4. Diferensial Parsial
Turunan suatu fungsi f(x) terhadap variabel x dilambangkan dengan notasi
df ( x )
dx
Berangkat dari pengertian limit, maka defenisi turunan f(x) terhadap
x dapat diperoleh dari:
df ( x )
f  x x   f ( x )
 lim
x  0
dx
x
Untuk fungsi yang mempunyai dua atau lebih variabel, misalnya z = f(x,y)
yang menggambarkan suatu permukaan dalam sistem koordinat kartesian,
turunan terhadap salah satu variabel dapat dilakukan dengan menganggap
variabel lainnya konstan. Misalkan pada suatu permukaan yang dinyatakan
dengan fungsi f(x; y) bila diambil x konstan, maka akan didapat kurva yang
merupakan hasil perpotongan permukaan f(x,y) dengan bidang x konstan
tersebut. Turunan atau diferensial seperti ini dinamakan diferensial parsial
(turunan sebagian).
Notasi yang digunakan untuk menuliskan turunan parsial dari fungsi
f(x,y) terhadap variabel y (dengan menganggap x konstan) adalah
f
y
1
Jika diferensial biasa didenisikan dengan limit, maka untuk turunan parsial
defenisinya adalah
f ( x , y )
f  x x, y   f ( x, y )
 lim
x  0
x
x
f ( x , y )
f  x, y  y   f ( x, y )
 lim
x  0
y
y
Turunan kedua juga dapat diperoleh untuk fungsi multivariabel tersebut,
misalnya untuk fungsi f(x,y) dapat diperoleh turunan-turunan berikut:
 f
2 f

,
2
x x
x
 f
2 f

,
x y xy
 2 f
3 f

x xy x 2 y
dan sebagainya
Notasi lain yang sering digunakan untuk menuliskan
turunan parsial adalah fx untuk menyatakan
Contoh 1. Hitunglah fx, fy, dan fyx dari fungsi
f
x
z  f  x, y   x 3 y  e xy
f
z
2 f
2z
2
xy

 f yx  z yx  f 21  3 x 2  e xy  xye xy ,

 f x  z x  f1  3 x y  ye ,
xy xy
x x
2
4.1 Deret Pangkat Multivariabel
Untuk fungsi multivariabel, hal yang serupa juga dapat dilakukan yaitu
menguraikannya menjadi deret pangkat.
Tinjau suatu fungsi multivariabel, misalnya yang dinyatakan dengan
f(x,y) = sin x cos y. Uraian deret pangkat (MacLaurin) untuk f(x,y) tersebut
dapat diperoleh dengan mengalikan dua deret pangkat masing-masing
untuk sin x dan cos y sebagai berikut



x3
y2
x 3 xy 2
f  x, y   sin x cos y   x 
  1 
    x 


3
!
2
!
3
!
2
!



Atau misalnya suatu fungsi lain yaitu ln(1 + x – y) yang dinyatakan sbb:
2
3


x  y
x  y
ln 1  x  y    x  y  


2
3
x2
y 2 x3
y3
2
2
 x y
 xy 

 x y  xy 

2
2
3
3
3
Terlihat bahwa secara umum akan diperoleh suku-suku yang jumlah pangkat
variabel x dan y masing-masing 0, 1, 2, 3 … Sehingga uraian deret MacLaurin
untuk fungsi dua variabel secara umum berbentuk
f ( x, y )  c00  c10 x  c01 y  c20 x 2  c11 xy  c02 y 2  c30 x 3  c21 x 2 y
 c12 xy 2  c03 y 3  
dengan semua c adalah konstanta.
Sedangkan uraian deret pangkat dalam variabel x dan y untuk suatu fungsi
sembarang di sekitar titik (a; b) (uraian deret Taylor) secara umum dapat
dinyatakan sebagai berikut
f ( x, y )  c00  c10 ( x  a )  c01 ( y  b )  c20 ( x  a ) 2  c11 ( x  a )( y  b )
 c02 ( y  b ) 2  c30 ( x  a ) 3  c21 ( x  a ) 2 ( y  b )
 c12 ( x  a )( y  b ) 2  c03 ( y  b ) 3  
Koefisien c00 dapat diperoleh dari f(a,b). Selanjutnya bila deret tersebut
diturunkan terhadap x, dan kemudian dihitung nilainya pada x = a dan y = b
4
maka akan diperoleh koefisien c10
f ( x , y )
 c10  2c20 ( x  a )  c11 ( y  b )  
x
1 f
1
c10 
 f x (a, b)
2 x x  a , y  b 2
fx 
Sedangkan bila f(x,y) diturunkan terhadap y dan dihitung nilainya pada x = a
dan y = b maka akan diperoleh koefisien c01
f ( x , y )
fx 
 c01  c11 ( x  a )  2c02 ( y  b )  
y
c01 
1 f
1
 f y (a, b)
2 y x  a , y  b 2
Dengan proses yang sama akan dapat diperoleh koesien-koesien yang
lainnya, yaitu
1
c20  f xx ( a , b ),
2
1
c11  f xy ( a , b ),
2
1
c02  f yy ( a , b ) dst
2
5
Secara umum akan dapat diperoleh bentuk uraian deret pangkat (deret Taylor)
di sekitar titik (a,b) untuk fungsi dua variabel adalah sebagai berikut
n
1

 

f ( x, y )     x  a 
  y  b   f ( a , b )
x
y 
n  0 n! 

4.2 Diferensial Total
Jika z = f(x,y), maka diferensial total dari z dinyatakan dengan
z  f  x, y   dz 
z
z
dx 
dy
x
y
dz menyatakan perubahan variabel z dalam arah bidang singgung ketika x
berubah sebesar dx dan y berubah sebesar dy.
Untuk fungsi yang memiliki variabel lebih banyak, cara yang sama juga
dapat dilakukan. Jika u = f(x,y,z,…), maka diferensial total dari u adalah
u  f  x, y , z ,   du 
f
f
f
dx 
dy 
dz  
x
y
z
6
Contoh 1. Tentukan diferensial total dari fungsi f(x,y) = y exp(x + y).
Turunan parsial fungsi tersebut adalah
f
 exp( x  y )  y exp( x  y )
y
f
 y exp( x  y )
x
dengan demikian
f
f
df 
dx 
dy   y exp( x  y ) dx  exp( x  y )  y exp( x  y ) dy
x
y
Sedangkan turunan total (total derivative) atau sering juga disebut sebagai
turunan (derivative) suatu fungsi f(x,y) terhadap variabel x dan y dapat
diperoleh sebagai berikut
df ( x, y ) f f dy


dx
x y x
df ( x, y ) f dx f


dy
y y y
7
Contoh 2. Tentukanlah turunan
total fungsi
f ( x, y )  x  3 xy
2
terhadap variable
x jika y = arcsin x
Turunan total terhadap variabel x dapat diperoleh sebagai berikut
df
f dx f dy f f dy




dx x dx y x x y x
karena f ( x, y )  x 2  3 xy dan y  arc sin x, maka
f
f
 2 x  3 y,
 3x
x
y
Jadi
dan
dy

x
1
1 x
2
,
df
3x
 2 x  3 y  
dx
1 x2
8
4.3 Hubungan Resiprok dan Siklik
Misalkan x adalah fungsi yang terdiri dari
dua variabel yaitu y dan z sehingga
dinyatakan sebagai x(y,z). Diferensial dx
dapat diperoleh sebagai berikut
Umumnya berarti dapat pula dinyatakan
bahwa y adalah fungsi yang terdiri dari dua
variabel yaitu x dan y. Dengan demikian
diferensial dy dinyatakan sebagai berikut
 x 
 x 
 dy  
dx  
 dz
 z  y
 y  z
 y 
 y 
dy  
 dx  
 dz
 x  z
 z  x
Bila dy pada persamaan pertama diganti dengan persamaan kedua maka
  x 
 x 
  x    y 
 x 
 y 
 dy  


dx  
dz

dx

dz




 dz




 z  y
 z  x   z  y
 y  z
  y  z   x  z
  x    y 
 x   y 
 x  
 
 
 
 dx  
 
  dz .......... .......... .........( **)
 y  z  z  x  z  y 
 y  z  x  z
9
Jika ditinjau untuk keadaan z konstan yang berarti dz = 0 maka persamaan
tersebut di atas menjadi
 x   y 
 x   y 
 
 
dx  
 dx  0  1  


y

x

y

x



z

z

z
z
sehingga akan diperoleh suatu hubungan resiprok (kebalikan), yaitu:
 x 
 y  1

  


y

x
z

z 
Hal penting lainnya yang dapat diperoleh adalah bila x konstan yang berarti dx = 0, maka dari persamaan (**) akan diperoleh
 x   y 
 x 

 
 
 0

y

z

z
x 
y

z 
selanjutnya bila persamaan tersebut di atas dikalikan dengan
 z 



x

y
 x   y   z 
 x   z 

 
 
 
 
 0

y

z

x

z

x
x 
y 
y
y

z 
 x   y   z 
 x   z 

 
 
  
 


y

z

x

z

x
x 
y

y
y

z 
10
Kemudian dengan menggunakan hubungan resiprok yang telah diperoleh se
belumnya, maka
 z 
 x  1

 

 x  y  z  y
sehingga
 x   y   z 

 
 
 1
 y  z  z  x  x  y
 x   z 

 
  1 dan selanjutnya diperoleh
 z  y  x  y
yang dikenal dengan hubungan siklik.
4.4 Aturan Rantai
Dalam persoalan diferensial biasa, jika f merupakan fungsi dari x
sedangkan x merupakan fungsi dari variabel t, maka laju perubahan fungsi
s terhadap variabel t dapat diperoleh dengan aturan rantai, yaitu
df
df dx

dt
dx dt
Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk fungsi multivariabel. Misalkan
z = f(x(t), y(t)), maka dapat dinyatakan
11
dz z dx z dy


dt x dt y dt
Misalkan suatu fungsi multivariabel z = f(x,y) dengan x dan y masingmasing adalah fungsi dengan dua variabel yaitu s dan t. Hal ini berarti z
adalah fungsi dari s dan t sehingga dapat diperoleh turunan parsial z
terhadap s dan juga terhadap t. Turunan parsialnya dapat dinyatakan
sebagai berikut
z z x z y


,
s x s y s
z z x z y


.......( 2*)
t x t y t
Contoh 1. Misalnya suatu fungsi z = xy dengan x = sin(s + t) dan y = s - t, maka
z
z
 y,
 x,
x
y
x
x
y
y
 cos st ,
 cos st ,
 1 dan
 1
s
t
s
t
sehingga diperoleh
z
 y cos( s  t )  x (1)  s  t  cos( s  t )  x
s
z
 y cos( s  t )  x  1  s  t  cos( s  t )  x
t
12
Contoh 2. Hitunglah
u u
,
jika u  x 2  2 xy  y ln z , x  s  t 2 , y  s  t 2 , z  2t ,
s t
dengan menggunakan turunan parsial terhadap s dan t maka
u u x u y u z



s x s y s z s
u
 2 x  2 y,
x
u u x u y u z



t x t y t z t
u
u
y x
y
z
 2 x  ln z ,
 ,
 1,
 1,
0
y
z
z s
s
s
x
y
z
 2t ,
  2t ,
2
t
t
t
u
y
 2 x  2 y 1  2 x  ln z 1  0   4 x  2 y  ln z
s
z
u
2y
 y
 2 x  2 y 2t   2 x  ln z  2t     2   4 yt  2 ln z 
s
z
 z
13
Dengan cara yang lain jika kita perhatikan soal di atas maka u = f(x,y,z)
maka turunan total u adalah
 u 
y
 u 
 u 






du  
dx

dy

dz

2
x

2
y
dx

2
x

ln
z
dy

dz





z
 x 
 z 
 y 
 x 
 x 
 y 
 y 
dx   ds   dt  ds  2tdt , dy   ds   dt  ds  2tdt ,
 s 
 t 
 s 
 t 
 z 
dz   dt  2dt
 t 
Jadi
du  2 x  2 y ds  2tdt   2 x  ln z ds  2tdt  
y
2dt 
z
y

 2 x  2 y  2 x  ln z ds   4 xt  4 yt  4 xt  2t ln z   dt
z

2y 

 4 x  2 y  ln z ds   4 yt  2t ln z   dt .
z 

u
 4 x  2 y  ln z ,
s
u
2y
 4 yt  2t ln z  .
t
z
14
Persamaan (2*) dapat juga dituliskan dalam notasi matriks.
Jika u = f(x,y,z), x(s,t), y(s,t), z(s,t), maka dapat dituliskan
 u

 s
u   u
  
t   x
u
y
 x

 s
u   y
 
z   s
 z

 s
Contoh 3. Hitunglah dz/dt jika diberikan
Dari persamaan di atas diperoleh
x 

t 
y 

t 
z 

t 
z  x  y , x 2  y 2  t 2 , x sin t  ye y
 z 
 z 
dz    dx    dy  dx  dy
 x 
 y 
Sekarang kita memerlukan dx dan dy yang dinyatakan dalam dt. Untuk itu
kita diferensialkan kedua persamaan yang lain
2 xdx  2 ydy  2tdt ,

y
y
sin tdx  x cos tdt  ye  e dy


15
Yang dapat disusun kembali menjadi
y
 xdx  ydy  tdt ,
 x
 dx   t

   
dt
 

y 
y
 sin t   y  1e  dy    x cos t 
sin tdx   y  1e dy   x cos tdt
Kedua persamaan simultan ini diselesaikan dengan kaidah determinan
tdt
y
 x cos tdt   y  1e y  t  y  1e y  xy cos t
dx 

dt ,
y
x
y
 x  y  1e  y sin t
sin t   y  1e y
dan
x
tdt
sin t  x cos tdt
 x 2 cos t  t sin t
dy 

dt ,
y
x
y
 x  y  1e  y sin t
sin t   y  1e y
16
Setelah dx dan dy kita dapatkan, selanjutnya kita substitusi ke persamaan dz
  t  y  1e y  xy cos t
 x 2 cos t  t sin t 
 dt
dz  

y
y
 x  y  1e  y sin t 
  x  y  1e  y sin t
yang kita dapat tulis kembali
  t  y  1e y  xy cos t  x 2 cos t  t sin t 
 dt
dz  
y
 x  y  1e  y sin t


atau
  t  y  1e y  xy cos t  x 2 cos t  t sin t 
dz

 
y
dt
 x  y  1e  y sin t


17
4.5 Diferensial Implisit
Diferensial (turunan) untuk fungsi yang dinyatakan secara eksplisit, misalnya
y = f(x) = x2 +2x dapat diperoleh dengan mudah. Namun terkadang suatu
fungsi dinyatakan dalam bentuk yang tidak eksplisit seperti itu. Misalnya saja
fungsi yang dinyatakan dalam bentuk x3 - 3xy + y3 = 2. Dalam kasus ini, fungsi
tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi suatu variable sehingga
untuk mencari turunannya (dy/dx) diperlukan cara lain yang disebut turunan
impisit (implicit diferential ). Prosesnya dapat dilakukan dengan menurunkan
masing-masing suku terhadap x sebagai berikut
 
 
d 3
d
3 xy   d y 3  d 2 
x 
dx
dx
dx
dx
dx 
 dy
2 dx
2 dy
3x
  3x
 3y
0
  3y
dx  dx
dx 
dx
dy
dy 3 x 2  3 y x 2  y
2
3x  3 y 
3x  3 y  0 


2
dx
dx 3 x 3 y
x y 2
2


18
Contoh 1. Tentukan
dx d 2 x
, 2
dt dt
x  ex  t
Dari fungsi
Jika fungsi persamaan tersebut didiferensialkan terhadap t maka akan diperoleh
dx x dx
dx
1
e
1 

dt
dt
dt 1  e x
Selanjutnya persamaan di atas difeferensialkan kembali terhadap t
2
dx x dx
d x
d x
 dx 
ating again
e
 1 differenti

 2  e x 2  e x    0
dt
dt
dt
dt
 dt 
2
2
x dx
2
 dt 

e
d 2x
dx
d
x
 ex


x
x
1  e  e    2 

3
2
x
dt
dt
1 e
 dt 
1 ex


2
2


19
dy
dx
Contoh 2. Tentukan
dari fungsi
ye xy  sin x
Jika fungsi persamaan tersebut didiferensialkan terhadapx maka akan diperoleh
 
 
d
d
dy xy
d xy
dx
xy
ye  sin x  
e y
e  cos x
dx
dx
dx
dx
dx
dy
dx
dy 

e xy
 y  ye xy
 xe xy   cos x
dx
dx
dx 

dy xy
dy cos x  y 2 e xy
xy
2 xy
e  xye  y e  cos x 
 xy
dx
dx
e  xye xy


20
2.6 Aplikasi Diferensial Parsial
2.6.1 Persoalan Maksimun dan minimun
Untuk menguji titik-titik maksimun dan minimun dari fungsi dua variabel
(misal x dan y), dapat dilakukan dengan cara sbb:
 f   f 
  0
Jika 
  
 x   y 
di titik (a, b) maka
2
(a, b) merupakan titik
minimun fungsi jika :
 2 f 
 2 f 
  2 f   2 f    2 f 

  0, 
  0 dan 

  

2 
2 
2 
2 
 x 
 y 
  x   y    x  y 
(a, b) merupakan titik
maksimun fungsi jika :
 f 
 f 
  f   f    f 






  


0
,

0
dan
2 
2 
2 
 y 2 

x

x

y

x

y






 

2
2
2
2
2
2
(a, b) bukan merupakan titik maksimun atau minimun fungsi jika :
  2 f   2 f    2 f 


  

2 
2 
  x   y    x  y 
2
  2 f   2 f 
 2 f 
 2 f 

  0, yakni 
 dan 
 berlawanan tan da21
termasuk jika 
2 
2 
2 
2 
  x   y 
 x 
 y 
Contoh 1. Cari titik-titik maksimun dan minimun dari fungsi berikut :
f(x, y) = x2 + y2 + 2x – 4y + 10
Pertama kita buat
f
 2 x  2  0,
x
f
 2 y  4  0,
y
Dari kedua persamaan ini didapat x = -1 dan y = 2, jadi titik (a, b) = (-1, 2)
Sekarang kita cek titik (-1, 2) merupakan titik maksimun atau minimun f(x,y)
2 f 

 2 x  2 
 2,
 2 
( 1, 2 )
 x  ( 1, 2 ) x
2 f 

dan  2 
 2 y  4 
2
 y  ( 1, 2 ) y
( 1, 2 )
2 f 2 f 
 2   2   2 2   4,
 x   y 
2
 f 
 f 

2 x  2  ( 1, 2)  0 dan 



 0
 xy  ( 1, 2 ) y
 xy 
2
2
22
sehingga
 f 
 f 
 2   0 dan  2   0
 x 
 y 
2
2
 f   f 
dan 



x

y

x

y

 

2
2
2
Dengan demikian titik (-1,2) merupakan titik minimun dari fungsi
f(x, y) = x2 + y2 + 2x – 4y + 10
Unuk mencari nilai maksimun dan minimun suatu fungsi dua variable bebas,
f(x, y) di mana x dan y dihubungkan suatu persamaan kendala
Փ(x, y) = konstanta, dengan menggunakan metode pengali Lagrange sbb:
1.
2.
3.
4.
Tentukan fungsi f(x, y) yang akan diminumunkan atau dimaksimalkan
dan tentukan pula persamaan kendala
Bentuk fungsi baru seperti F(x, y) = f(x, y) + 𝞴Փ(x, y)
Cari turunan parsial dari F terhadap x dan terhadap y lalu set nilainya
masing-masing sama dengan nol, yaitu 𝜕F/𝜕x = 0 dan 𝜕F/𝜕y = 0.
Pecahkan kedua persamaan yang diperoleh pada langkah ke-3 Bersamasama dengan persamaan kendala untuk mencari x, y, 𝞴, lalu tentukan
solusi akhir yang diminta
23
Contoh 2. Tentukan jarak terpendek dari titik awal koordinat (0, 0) ke
kurva y = 1 – x2 pada bidang (x, y)
Penyelesaian
Pertama kita tentukan f(x, y) dan Փ(x, y)
Minimalisasi jarak (d) yang dapat dinyatakan d = √(x2 + y2) atau supaya lebih
muda f(x, y) = (x2 + y2) . Oleh karena masalah kita dibatasi oleh kurva y = 1 – x2
maka persamaan tersebut adalah sebagai kendalanya, yaitu Փ(x, y) = y + x2 = 1
. Selanjutnya buat fungsi baru
F ( x, y )  f ( x, y )    ( x, y )
F ( x, y )  x 2  y 2   ( y  x 2 )
Kemudian kita cari dua turunan
parsial dari F dan kita set
nilainya masing-masing sama
dengan nol :
F
 2 x  2  x  0,
x
F
 2 y    0,
y
24
Terakhir memecahkan kedua persamaan terakhir bersama-sama persamaan
kendalauntukmencari nilai x, y, 𝞴. Dari persamaan
F
 2 x  2 x  2 x (1   )  0  x  0,    1
x
Untuk x =0, dari persamaan kendala didapat
y  1  x 2  1  (0) 2  1  titik ( x, y )  (0, 1)
Untuk persamaan 𝞴 = -1, maka dari persamaan
F
1
 2 y    0 atau y 
y
2
dari persamaan kendala didapat
1
1
1
x 1 y 1   x  
2
2
2
2
1
1
sehingga titik ( x, y )  ( 
2, )
2
2
2
25
Dengan demikian penyelesaian ini menghasilkan tiga buah titik. Dari ketiga
titik ini yang jaraknya minimun dari asal (0, 0) adalah
Titik (0, 1)
1
1
Titik ( 
2, )
2
2
1
1
(
2, )
2
2
d
x 2  y 2  0 2  12  1
d
1
 1

1
2
2
x  y  
2    
3
2
 2

2
d
1
1

1
2
2
x y  
2    
3
2
2

2
2
2
2
2
Jadi jarak yang terpendek adalah dari titik asal kurva kurva y = 1 – x2 adalah
1
1
1
3 yaitu dari titik (0, 0) ke titik ( 
2, )
2
2
2
26
Contoh 3. Tentukan luas segi empat terbesar yang sisi-sisinya sejajar dengan
sumbu-sumbu koordinat, dan dibatasi elips:
x2 y2
 2 1
2
a
b
Untuk menyelesaikan soal ini, kita tinjau titik (x, y) merupakan titik sudut
pada kuadrat pertama dimana segi empat menyentuh elips, maka titik (x, y)
memenuhi persamaan ellips dan luas segi empat adalah A = 4xy (terdapat
empat kuadran). Masalah kita adalah memaksimunkan f(x, y) = A = 4xy,
dihubrngkan dengan persamaan ellips (persamaan kendala)
Dengan metode pengali Lagrange kita tuliskan
F ( x, y )  f ( x, y )    ( x, y )
x2 y2
F ( x, y )  4 xy   ( 2  2 )
a
b
27
Kemudian kita cari dua turunan parsial dari F(x,y) dan kita set nilainya
masing-masing sama dengan nol :
F
2 x
F
2 y
 4 y  2  0 , dan
 4x  2  0
x
a
y
b
Persamaan pertama kita kalikan dengan x dan persamaan kedua dengan y,
lalu keduanya kita jumlahkan, maka kita peroleh

 

2 x 2
2 y 2
 4 xy 


 0    4 xy  2  0 
2
a
b

 

 x2 y2 
x2 y2
8 xy  2  2  2   0, tetapi 2  2  1 maka
b 
a
b
a
8 xy  2  0 atau    4 xy
Jika kita substitusikan 𝞴=-4xy ke
persamaan (𝜕F/ 𝜕x)= 0, diperoleh
2x2 y
4y 
0
2
a
28
atau bila kita bagi kedua ruas persamaan ini dengan y, akan diperoleh
2x2
4  2  0 , atau
a
x
a
2
Dengan cara yang sama, kita
substitusikan 𝞴=-4xy ke persamaan (𝜕
F/ 𝜕y)= 0, diperoleh
y
b
2
Sehingga luas segi empat maksimun adalah
 a  b  4 ab
A  4 xy  4 
 2 ab
 

2
2 
2

29
Contoh 4. Tentukan jarak minimun dari titik asal (0, 0, 0) ke garis yang
merupakan bidang xy = 6 dan bidang 7x + 24z =0
Dari soal di atas, yang akan diminimunkan adalah jarak d = √(x2 + y2 + z2),
maka kita pilih f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, , sedangkan kendalanya adalah dua
persamaan yaitu : Փ1 = xy =6 dan Փ2 = 7x + 24z =0, sehingga fungsi baru sbb:
F  f  11  2 2
 x 2  y 2  z 2  1 xy  2 7 x  24 z 
Selanjutnya kita cari tiga turunan parsial dari F dan kita set sama dengan nol.
F
F
F
 2 x  1 y  7 2  0,
 2 y  1 x  0,
 2 z  24 2  0.
x
y
z
Ketiga persamaan ini dipecahkan secara bersama-samaakan menghasilkan
Dari persamaan 2y + 𝞴1 = 0 dan persamaan xy =6
1  
2y
2 6
12
   2.
x
x x
x
30
Dari persamaan 2z + 24𝞴2 = 0 dan persamaan 2x + 24z = 0
2  
z
1  7x 
7x




.


12
12  24 
288
Jika 𝞴1 dan 𝞴2 disubstitusi ke persamaan (𝜕F/ 𝜕x) = 0 dan mengingat xy = 6,
di dapat
49 x 72
  12  6
 7x 
2 x   2   7

0
,

2
x

 3  0,

288 x
 x x
 288 
Jika ruas kiri dan kanan persamaan di atas
dikali dengan x3 didapat
x  12 / 5.
Jika hasil x disubstitusi ke xy = 6 diperoleh
y  5 / 2,
Dan sekali lagi x disubstitusi ke 7x + 24 z = 0 diperoleh
z  7 / 10
Jarak minimun dari titik asal ke garis perpotongan bidang xy =6 dan bidang
7x – 24z = 0
2
d
x y  z 
2
2
2
2
 12   5 
 7
       
 15   2 
 0
2
 d  5 / 2.
31
2.5.2 Persoalan Batas
Turunan parsial sama dengan nol hanya memberikan titik yang bersifat ekstremum dalam suatu daerah. Namun perlu diingat jika daerah yang ditinjau
terbatas, maka bisa jadi terdapat nilai maksimum atau minimum pada daerah
batas ataupun titik ujung. Untuk itu perlu diuji kemungkinan adanya nilai
ekstremum pada bidang batas ataupun titik batas.
Contoh 1. Temperatur pada suatu lempeng yang dibatasi oleh garis x = ±1 dan
y = ± 1 dinyatakan dengan persamaan T = 2x2 - 3y2 - 2x + 10. Tentukan
temperatur tertinggi dan terendah pada lempeng tersebut.
Titik ekstrimum di dalam daerah dapat diperoleh dengan
T
 4 x  2  0,  x  1 / 2 ,
x
T
  6y  0  y  0
y
Dengan demikian titik ekstremum dalam lempeng tersebut adalah ( ½, 0).
Temperatur pada titik ini dapat dihitung menggunakan persamaan T(x; y),
yaitu
32
2
1
1
T  2   30   2   10  9,5
2
2
Kemudian perlu dianalisa temperatur di batas-batas lempeng. Untuk x = 1,
maka persamaan temperatur memberikan
T ( x  1, y )  2  3 y 2  2  10  10 3 y 2
menghasilkan fungsi dengan variabel hanya y. Titik
ekstremumfungsi T(y) ini dapat dicari dengan cara
dT
  6 y  0, y  0
dy
Jadi diperoleh (1; 0). Selanjutnya T(1, 0) = 2 - 0 - 2 + 10 = 10
Langkah yang sama juga dilakukan untuk batas lainnya:
Pada x = -1, ⇒ (dT/dy) = 0, ⇒ y = 0 ⇒ T(-1, 0) = 14
Pada y = ±1, ⇒ (dT/dx) = 0, ⇒ x = 1/2 ⇒ T(1/2, ±1) = 6,5
Dengan demikian diperoleh bahwa temperatur tertinggi adalah 14 di
(-1, 0) sedangkan temperatur terendah adalah 6,5 di ( ½, ±1).
33
4.8 Pengubahan Variabel
Salah satu penggunaan penting dari diferensial parsial
adalah dalam hal pe ngubahan variabel (misalnya dari sistem
koordinat kartesian ke sistem koordinat silinder). Tinjau
suatu persamaan diferensial parsial yang dikenal sebagai
persamaan gelombang yaitu
 2 F 1  2T
 2 2
2
x
v t
Terlihat bahwa persamaan diferensial parsial tersebut mempunyai variabel
x dan t. Kemudian akan dilakukan pengubahan variabel dengan variabel
baru r dan s, dengan r = x + vt dan s = x - vt.
Dengan menggunakan konsep diferensial parsial dan aturan rantai, maka
dapat dinyatakan
F F r F s F F






 (  )F
x
r x s x r s
r s
F F r F s
F
F




v
v
 v(  ) F
t
r t s t
r
s
r s
34
Kemudian turunan kedua juga dapat diperoleh
2F
 F

 F F
2F
2F 2F

( )  (  )(

)
2
 2
2
2
x
x x
r s r s
r
r s s
2
2F
 F


F F
2F 2F
2  F
 ( )  v (  )v (

)v ( 2 2

)
t 2
t t
r s
r s
r
r s s 2
Dengan demikian, dalam variabel yang baru, persamaan gelombang tersebut
dapat dituliskan dalam bentuk
2F 1 2F
2F
 2
4
0
2
2
x
v t
r s
Terlihat bahwa dalam variabel baru tersebut persamaan gelombang menjadi
bentuk yang lebih sederhana dan lebih mudah diselesaikan (dicari solusinya).
Contoh 1. Carilah solusi persamaan diferensial
2z
2z
2z
5
6 2 0
2
x
xx
y
Dengan menggunakan substitusi variabel s = y + 2x dan t = y + 3x.
35
Persamaan diferensial tersebut menunjukkan bahwa z adalah fungsi dari x
dan y. Dengan menggunakan variabel baru s dan t, maka artinya secara
implisit z menjadi fungsi dari s dan t. Turunan parsial fungsi z terhadap
variabel x dan y dapat dinyatakan dalam bentuk
s z s z t
z
z


2 3
x s x t x
s
t
s z s z t
z z




y s y t y
s t
Kemudian turunan kedua juga dapat diperoleh
2z
 z
2z
2z
2z

( )  4 2  9 2  12
x 2 x x
s
t
s t
2z
 z
2z 2z
2z

( ) 2  2 2
2
y
y y
s
t
s t
2z
 z
2z
2z
2z

( )  2 2 3 2  5
xy x y
s
t
s t
Dengan menggunakan bentuk diferensial parsial tersebut di atas, maka
persamaan diferensial yang dimaksud dapat dituliskan kembali dalam bentuk
36
yang sederhana yaitu
2z
 s
 0 atau
( )0
s t
s t
yang berarti solusi persamaan diferensial tersebut adalah
z = f(s) + g(t) = f(y+2x) + g(y+3x), dengan f dan g adalah fungsi sembarang.
37