Chapter 12
Kinematics of a Particle
12.2 Rectilinear Kinematics: Continuous Motion
Position, Displacement, Velocity, Acceleration
예제)
직선(x 축) 상을 움직이는 질점(particle)의 위치는 시간의 함수로 주어진다.
x(t ) = 6t 2 − t 3
(식 1)
t는 초(second), x는 meter 단위이다. (*. 교과서는 x 축 대신 s 축으로 명명했다.)
시간에 대한 질점의 위치를 아래의 그래프로 나타낼 수 있다.
시간 t
<그림 1>
(첨부 동영상 “직선운동.avi” 를 playback 하시오. 시간이 흐르면서, (식 1)로 표현되는 질
점의 1차원 운동이다.)
아래 <그림 1>은 t = 2 초 순간, 질점의 위치는 x = 16 m 이다. <그림 1>의 그래프 참조하기.
-1-
0초 부터 1초 간격으로 계산한, 질점의 위치를 <표 1>에 나타냈다.
<표 1> 1초 간격으로 계산한 질점의 위치
시간 t (second)
위치 x(t) [m]
0
0
1
5
2
16
3
27
4
32
5
25
6
0
7
-49
8
-128
아래 <그림 2>와 같이 시간의 흐름에 따라 변하는 질점의 위치를 1초 간격으로 x 축 상에
표시할 수 있다. t = 4 초 이후 질점의 속도 방향(=움직이는 방향)은 왼쪽 이다.
x=0
x=0
t=6
t=0
x=–49
t=7
x=5
x=16
t=1
t=2
x=25
t=5
x=27 x=32
t=3
t=4
+ x방향
<그림 2> 1초 간격으로 표시한 질점의 순간 위치
0 ~ 4 초 구간에서, 질점의 위치가 증가하므로 질점은 우측(“+”)방향으로 움직인다. 질점의
속도는 양("+")의 값을 가진다. t=4 초 순간, 질점의 속도는 "0" 이다. <그림 1>을 관찰하면,
t = 4 초 에서 위치함수의 기울기가 "0" 이다. 4초 이후, 질점의 위치는 감소하므로 질점은
좌측방향("-"방향)으로 움직인다. 질점의 속도는 음("-")의 값을 가진다.
단순한 1차원 운동에서도, 질점의 속도는 크기와 방향을 가지는 벡터이다.
1) 질점의 평균속도(average velocity)
x'
<그림 3> t 와 t+Δt 동안 질점의 위치 변화 Δx
-2-
임의의 시간 t 에서 질점은 P 지점에 있으며 위치는 x 또는 x(t) 이다. 시간 t' = t+Δt 에서
질점은 P' 지점에 있으며 위치는 x' 또는 x+Δx 이다. x'는 시간 t+Δt 에서 질점의 위치이
므로 아래와 같이 표현할 수 있다.
x = x (t + t )
평균속도 𝑣𝑎𝑣 는 아래와 같이 정의(=약속)한다.
교과서 p.6 맨 아래 줄의 식은 틀림.
− 부호는 제거해야 한다.
∆𝑠
∆𝑡
∆𝑠 자체가 양수, 0, 음수가 될 수 있다.
𝑣𝑎𝑣 =
∆𝑥
𝑣𝑎𝑣 =
∆𝑡
(식 1)을 다시 보자.
x(t ) = 6t 2 − t 3
(식 1)
1초와 1.5초 사이의 위치 변화량(=변위) Δx 는
Δx = x(1.5) - x(1) = 10.125 - 5 = 5.125 m
1초 와 1.5초 사이에 질점은 양의 방향(우측 방향)으로 5.125 m 이동하였다.
걸린 시간 Δt = 1.5 - 1.0 = 0.5 초
1초 와 1.5초 사이의 평균속도 vav = Δx /Δt = 5.125 / 0.5 = 10.25 m/s
3초 와 7초 사이의 위치 변화량(=변위) Δx 는
Δx = x(7) - x(3) = -49 - 27 = -76 m 이다.
3초 와 7초 사이에서 질점은 음의 방향(좌측 방향)으로 76 m 이동하였다.
시작하는 시간 3초와 끝나는 시간 7초 만을 고려하면, 질점은 음의 방향(좌측 방향)으로 76
m 이동하였다.
3초와 7초 사이의 평균속도 vav = Δx /Δt = -76 / 4 = -19 m/s
왼쪽방향(음의 방향)으로 1초 당 19 m 이동하는 비율로 움직인다.
3초와 7초 사이 질점의 평균속력을 구하자. 평균속력은 이동거리를 걸린 시간으로 나누어
구한다. “이동거리”는 방향을 고려하지 않는 양수이므로 평균속력은 양수이다. 평균속력은
평균 빠르기로 생각할 수 있다. <그림 2> 참조.
3초 와 7초 사이 질점의 총 이동거리 = 5 m + 81 m = 86 m
3초 와 7초 사이 질점의 평균속력 = 86 m / 4 s = 21.5 m/s
-3-
<표 2> 0초부터 1초 간격으로 계산한 질점의 평균속도
Δt (second)
0~1 초 사이
1~2 초 사이
Δt = 1-0 = 1
Δt = 2-1 = 1
Δx (m)
vav=Δx/Δt (m/s)
참고
Δx = x(1) - x(0)
=5-0=5
vav= Δx/Δt
= 5/1 = 5
1초동안 양의(우측)
Δx = x(2) - x(1)
= 16 - 5 = 11
vav= Δx/Δt
= 11/1 = 11
1초동안 양의(우측)
방향으로 5m 이동
방향으로 11m 이
동
2~3 초 사이
Δt = 3-2 = 1
Δx = x(3) - x(2)
= 27 - 16 = 11
vav= Δx/Δt
= 11/1 = 11
1초동안 양의(우측)
방향으로 11m 이
동
3~4 초 사이
Δt = 4-3 = 1
Δx = x(4) - x(3)
= 32 - 27 = 5
vav= Δx/Δt
= 5/1 = 5
1초동안 양의(우측)
4~5 초 사이
Δt = 5-4 = 1
Δx = x(5) - x(4)
= 25 - 32= -7
vav= Δx/Δt
= -7/1 = -7
1초동안 음의(좌측)
Δx = x(6) - x(5)
= 0 - 25 = -25
vav= Δx/Δt
= -25/1 = -25
1초동안 음의(좌측)
5~6 초 사이
Δt = 6-5 = 1
방향으로 5m 이동
방향으로 7m 이동
방향으로 25m 이
동
6~7 초 사이
Δt = 7-6 = 1
Δx = x(7) - x(6)
= -49 - 0 = -49
vav= Δx/Δt
= -49/1 = -49
1초동안 음의(좌측)
방향으로 49m 이
동
7~8 초 사이
Δt = 8-7 = 1
Δx = x(8) - x(7)
vav= Δx/Δt
= -128 - (-49)= -79 = -79/1 = -79
1초동안 음의(좌측)
방향으로 79m 이
동
더 자세한 정보를 얻기 위하여 아래 <표 3>과 같이 0.5 초 간격으로 질점의 평균속도를 계
산할 수 있다.
<표 3> 0초부터 0.5초 간격으로 계산한 질점의 평균속도
Δt (second)
Δx (m)
vav= Δx/Δt (m/s)
참고
0~0.5초 사
이
Δt = 0.5-0
= 0.5
Δx = x(0.5) - x(0)
vav= Δx/Δt
= 1.375 - 0 = 1.375 =1.375/0.5=2.75
0.5초 동안 양의(우측)
0.5~1초 사
이
Δt = 1.0-0.5
= 0.5
Δx = x(1.0) - x(0.5) vav= Δx/Δt
= 5 - 1.375 = 3.625 =3.625/0.5=7.25
0.5초 동안 양의(우측)
1~1.5초 사
이
Δt = 1.5-1.0
= 0.5
Δx = x(1.5) - x(1)
vav= Δx/Δt
=10.125 - 5 = 5.125 =5.125/0.5=10.25
0.5초 동안 양의(우측)
...
...
...
-4-
...
방향으로 1.375m 이동
방향으로 3.625m 이동
방향으로 5.125m 이동
...
2) 질점의 순간속도(Instantaneous velocity)
vav =
x
t
Δt 를 점점 작게 취하면, Δx 도 점점 작아진다.
Δt 가 무한히 작아지면(Δt → 0), vav 는 임의의 시간 t 에서의 질점의 순간속도 v(t) 에 수렴
한다.
v(t ) = lim
t → 0
x dx
=
t dt
(식 2)
(식 1)로 주어지는 움직이는 질점(particle)의 위치함수를 다시 생각해 보자.
x(t ) = 6t 2 − t 3
(식 1)
시간에 대하여 위치함수를 미분하면 질점의 속도함수를 구할 수 있다.
v (t ) =
dx
= 12t − 3t 2
dt
(식 3)
(식 1)을 미분하면 (식 3)을 구할 수 있으나, 미분의 정의인 (식 2)를 사용하여 (식 3)을 유
도해 보자.
x
x'− x
x(t + t ) − x(t )
= lim
= lim
t → 0 t
t → 0 t
t → 0
t
v(t ) = lim
x(t + t ) = 6(t + t )2 − (t + t )3
x(t + t ) − x(t ) = 6(t + t )2 − (t + t )3 − (6t 2 − t 3 )
= 12tt + 6(t )2 − 3t 2t − 3t (t )2 − (t )3
v(t ) = lim
t → 0
v (t ) =
x(t + t ) − x(t )
= lim 12t + 6(t ) − 3t 2 − 3t (t ) − (t )2
t → 0
t
(
dx
= 12t − 3t 2
dt
속도함수의 그래프를 아래 <그림 4>에 제시하였다.
-5-
)
<그림 4>질점의 속도 그래프
Δt 가 무한히 작아지면(Δt → 0), vav 는 시간 t 에서의 질점의 순간속도 v(t) 에 수렴한다는
실례를 들어보자.
t = 1.5초에서 순간속도 v(1.5)= 12×1.5 - 3×1.52 = 11.25 m/s 이다.
t = 1.5 초 에서 질점은 x(1.5) = 6×1.52 - 1.53 = 10.125 m 위치에 있다.
t = 1.6 초 에서 질점은 x(1.6) = 6×1.62 - 1.63 = 11.264 m 위치에 있다.
1.5 초 와 1.6 초 사이의 평균속도 vav 는 (Δt = 0.1 초)
vav = Δx / Δt = [x(1.6) - x(1.5)] / 0.1 = 1.139 / 0.1 = 11.390 m/s
t = 1.5 초 에서 질점은 x(1.5) = 6×1.52 - 1.53 = 10.125 m 위치에 있다.
t = 1.51 초 에서 질점은 x(1.51) = 6×1.512 - 1.513 = 10.23765 m 위치에 있다.
1.5 초 와 1.51 초 사이의 평균속도 vav 는 (Δt = 0.01 초)
vav = Δx / Δt = [x(1.51) - x(1.5)] / 0.01 = 0.11265 / 0.01 = 11.265 m/s
t = 1.5 초 에서 질점은 x(1.5) = 6×1.52 - 1.53 = 10.125 m 위치에 있다.
t = 1.501 초 에서 질점은 x(1.501) = 6×1.5012 - 1.5013 = 10.1362515 m 위치에 있다.
1.5 초 와 1.501 초 사이의 평균속도 vav 는 (Δt = 0.001 초)
vav = Δx / Δt = [x(1.501) - x(1.5)] / 0.001 = 0.0112515 / 0.001 = 11.252 m/s
3) 질점의 평균가속도(average acceleration)
시간 t 에서 질점은 P 지점에 있으며 P의 위치는 x 혹은 x(t), 속도는 v 혹은 v(t) 이다. 시
간 t+Δt 에서 질점은 P' 지점에 있다. 질점이 P' 에 있을 때의 위치를 x', 속도를 v' 라고 하
자. v' 는 시간 t+Δt 에서 질점의 속도이다.
v  = v ( t + t )
-6-
x'
v
v'
<그림 5>
시간 t 와 시간 t' = t+Δt 구간에서, 질점의 평균 가속도 aav 는 다음과 같이 정의된다.
aav =
v
t
(식 4)
(식 1)로 주어지는 질점의 위치함수를 다시 보자.
x(t ) = 6t 2 − t 3
v(t ) =
(식 1)
dx
= 12t − 3t 2
dt
(식 3)
시간이 흐르면서 질점의 속도가 변화하면 가속도가 발생한다.
0초부터 1초 간격으로 계산한 질점의 속도를 아래 <표 4>에 나타냈다.
<표 4> 0초부터 1초 간격으로 계산한 질점의 속도
시간 t (second)
속도 v(t)[m/s]
0
0
1
9
2
12
3
9
4
0
5
-15
6
-36
7
-63
8
-96
<표 4>를 이용하여 1 초 간격으로 질점의 평균가속도를 계산하여 <표 5>에 제시하였다.
-7-
<표 5> 0 초 부터 1 초 간격으로 계산한 질점의 평균가속도
Δt (second)
Δv (m/s)
(속도의 변화량)
aav= Δv/Δt
(m/s2)
참고
0~1 초 사
이
Δt = 1-0 = 1
Δv = v(1) - v(0)
=9-0=9
aav= Δv/Δt
= 9/1 = 9
1초 동안 9m/s
증가
1~2 초 사
이
Δt = 2-1 = 1
Δv = v(2) - v(1)
= 12 - 9 = 3
aav= Δv/Δt
= 3/1 = 3
1초 동안 3m/s
증가
2~3 초 사
이
Δt = 3-2 = 1
Δv = v(3) - v(2)
= 9 - 12 = -3
aav= Δv/Δt
1초 동안 3m/s
= -3/1 = -3 감소
Δv = v(4) - v(3)
aav= Δv/Δt
3~4 초 사
이
Δt = 4-3 = 1
= 0 - 9 = -9
1초 동안 9m/s
= -9/1 = -9 감소
4~5 초 사
이
Δt = 5-4 = 1
Δv = v(5) - v(4)
= -15 - 0 = -15
aav= Δv/Δt
= -15/1 = -15
1초 동안 15m/s
감소
5~6 초 사
이
Δt = 6-5 = 1
Δv = v(6) - v(5)
= -36 - (-15) = -21
aav= Δv/Δt
1초 동안 21m/s
= -21/1 = -21 감소
6~7 초 사
이
Δt = 7-6 = 1
Δv = v(7) - v(6)
= -63 - (-36) = -27
aav= Δv/Δt
1초 동안 27m/s
= -27/1 = -27 감소
7~8 초 사
이
Δt = 8-7 = 1
Δv = v(8) - v(7)
= -96 - (-63)= -33
aav= Δv/Δt
1초 동안 33m/s
= -33/1 = -33 감소
아래 <표 6>에 0.5 초 간격으로 질점의 평균 가속도를 계산하였다.
<표 6> 0.5초 간격으로 계산한 질점의 평균 가속도
aav=Δv /Δt (m/s2)
Δt (second)
Δv (m/s)
0~0.5초 사
이
Δt = 0.5-0
= 0.5
Δv = v(0.5) - v(0)
= 5.25 - 0 = 5.25
aav= Δv /Δt
=5.25/0.5=10.5
0.5초 동안
5.25m/s 증가
0.5~1초 사
이
Δt = 1.0-0.5
= 0.5
Δv = v(1.0) - v(0.5) aav= Δv/Δt
= 9 - 5.25 = 3.75
=3.75/0.5=7.5
0.5초 동안
3.75 m/s 증가
1~1.5초 사
이
Δt = 1.5-1.0
= 0.5
Δv = v(1.5) - v(1)
=11.25 - 9 = 2.25
0.5초 동안
2.25m/s 증가
...
...
...
aav= Δv/Δt
=2.25/0.5=4.5
...
참고
...
4) 질점의 순간 가속도(Instantaneous acceleration)
aav =
v
t
(식 4)
Δt 가 무한히 작아지면(Δt → 0), t 와 t+Δt 사이의 질점 평균 가속도 aav 는 시간 t 에서의
순간 가속도 a(t) 에 수렴한다.
-8-
a(t ) = lim
t → 0
v dv
=
t dt
(식 5)
(식 1)로 주어진 움직이는 질점의 위치함수를 다시 보자.
x(t ) = 6t 2 − t 3
(식 1)
질점의 속도는 아래와 같다.
v (t ) =
dx
= 12t − 3t 2
dt
(식 3)
(식 3)을 시간에 대하여 미분하면 순간 가속도를 얻을 수 있으나 (식 5)를 사용하여 순간
가속도를 유도해 보자.
a (t ) =
dv
v
v'−v
v(t + t ) − v(t )
= lim
= lim
= lim

t
→
0

t
→
0

t
→
0
dt
t
t
t
v(t + t ) = 12(t + t ) − 3(t + t )2
v(t + t ) − v(t ) = 12(t + t ) − 3(t + t ) 2 − (12t − 3t 2 ) = 12t − 6t ( t ) − 3(t )
2
a (t ) = lim
t →0
v(t + t ) − v(t )
= lim (12 − 6t − 3( t ) ) = 12 − 6t
t →0
t
dv d  dx  d 2 x
a (t ) =
=  =
= 12 − 6t
dt dt  dt  dt 2
-9-
(식 6)
5) 적분을 이용한 질점운동의 결정
질점의 위치 x(t) 가 주어지지 않고, 질점의 속도 v(t) 가 주어졌다고 하자. 초기시간 t0 에
서 질점의 위치를 질점의 초기위치 x0 라 하며, 보통 주어진다. 그러면 임의의 시간 t 에서
의 위치 x(t)를 시간 t의 함수로 구할 수 있다. 초기시간 t0 를 반드시 “0” 초로 정할 필요
는 없다. t0 = 0 초 로 사용하는 경우가 많다. 아래 <그림 6>을 참조하자.
xn=x(t)
xn-1
x3
…
…
x2
x1
x1 - x0
- 16
x0
x=0
x0 v
0
t0
x2–x1
- 16
x1
v1
t1=t0+Δt
x3–x2
- 16
xn-1–xn
…
- 16
…
x2
x3
x =x(t) vn
xn-1
v2
v…
vn-1 n
3
+ x방향
t2=t0+2Δt
tn=t=t0+nΔt
t3=t0+3Δt … tn-1
=t0+(n-1)Δt
<그림 6>
초기시간 t0 는 주어진 시간이고, t 는 t0 초 이후 임의의 시간이다.
초기시간 t0 부터 임의의 시간 t 초 까지의 시간 구간을 n 등분 하면,
t =
t − t0
n
(식 7)
예를 들어, 초기시간 t0 = 10 초 와 t = 13초 사이의 시간구간을 n = 100 등분하면 Δt =
0.03 초가 된다. n = 10000 등분하면 Δt = 0.0003 초가 된다.
평균속도 vav = Δx/Δt
위치의 변화량(=변위) Δx = vav  Δt
<그림 6>에서, t0 초 와 t0+Δt 초 구간에서 발생한 질점의 위치변화량(=변위) x1 − x0 는
v(t0 )  t 로 근사화 할 수 있다. 일반적으로, t0 초 와 t0+Δt 초 사이의 시간 구간 에서 질점
의 속도는 일정하지 않고 변화할 것이다. 다른 시간 구간에서도 같은 근사화를 하면
- 10 -
x1 − x0  v(t0 )  t
x2 − x1  v(t1 )  t
x3 − x2  v(t2 )  t
………………………..
xn − xn −1  v(tn −1 )  t
좌측항들과 우측항들을 더하면,
(x1 − x0 ) + (x2 − x1 ) + (x3 − x2 ) +    + (xn − xn −1 )
 v(t0 )  t + v(t1 )  t + v(t2 )  t +    + v(tn −1 )  t
xn − x0  v(t0 )  t + v(t1 )  t + v(t2 )  t +    + v(tn −1 )  t
xn = x(tn) = x(t) 이므로,
n −1
n −1
i =0
i =0
x(t ) − x0   v(ti )  t =  v(ti ) 
t − t0
n
(식 8)
x(t ) − x0 = x(t ) − x(t0 ) 는 t0 초 와 t 초 사이의(총)위치변화량 이다.
t0 초 와 t 초 사이의 시간 구간을 수없이 많은 미세한 시간 구간으로 나눈다고 하자. (식
7)의 n 을 매우 크게 한다는 의미이다. (식 7) 에서 n → ∞ 이면 ∆t → 0 이 되며, (식 8)의
근사부호 “  ” 는 “=” 이 될 것이다. 이것을 수식으로 표현하면,
t
 n −1

x (t ) − x0 = lim  v (ti )  t  =  v (t )dt
n →  i =0
 t0
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(식 9)
를 적분하여도 (식 9)와 동일한 결과를 얻는다.
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑣(𝑡)d𝑡 ,
𝑡
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
𝑥0
𝑡
𝑥 − 𝑥0 = ∫𝑡 𝑣𝑑𝑡
0
𝑡0
(식 9) 와 동일함.
- 11 -
(식 9)을 다시 정리하면,
t
x(t ) = x0 +  v(t )dt
(식 10)
t0
(식 9)에서,
t
 v(t )dt 는 “초기시간 t 초 와 임의의 시간 t 초 구간에서 발생한 질점의 (총)위치변화
0
t0
량” 이다.
동일한 논리를 적용하면, 속도 v(t)와 가속도 a(t) 사이에는 아래의 관계가 성립한다.
 n −1
 t
v(t ) − v(t0 ) = lim  a(ti )  t  =  a(t )dt
n →  i = 0
 t0
(식 11)
t
v(t ) = v(t0 ) +  a(t )dt
(식 12)
t0
𝑑𝑣
𝑎(𝑡) =
를 이용하여 적분하여도 (식 11)과 동일한 결과를 얻는다.
𝑑𝑡
𝑣
d𝑣 = 𝑎(𝑡)d𝑡 ,
𝑡
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡
𝑣0
𝑡0
𝑡
𝑣 − 𝑣0 = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡
𝑡0
6) 등속도 직선 운동
x=0
초기시간: t0
임의시간: t
초기위치: x0
x
모든 시간에서 질점의 속도가 일정하다.
t
x(t ) = x0 +  vdt
t0
t
x(t ) = x0 +  vdt = x0 + v(t − t0 )
t0
x = x0 + v ( t − t 0 )
(식 13)
- 12 -
초기시간 t0 = 0 이면,
x(t ) = x0 + vt
또는 아래 방법을 사용해도 된다.
dx
= v = 상수
dt
dx = vdt
x
t
t
x0
t0
t0
 dx =  vdt = v  dt
x − x0 = v(t − t0 )
(식 14)
초기시간 t0 = 0 초 이면,
x = x0 + vt
7) 등가속도 직선 운동
dv
= a = 상수
dt
dv = adt
v
t
t
v0
t0
t0
 dv =  adt = a  dt
v − v0 = a ( t − t0 )
(식 15)
v = v0 + a ( t − t0 )
초기시간 t0 = 0 초 로 정하면,
v = v0 + at
(식 15)는 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.
dx
= a (t − t0 ) + v0 , dx = a (t − t0 ) + v0 dt
dt
t
a

2
x0 dx = t0 a(t − t0 ) + v0 dt =  2 (t − t0 ) + v0t t
0
x
t
1
x − x0 = a(t − t0 ) 2 + v0 (t − t0 )
2
(식 16)
- 13 -
초기시간 t0 = 0 초 로 정하면,
1
x = x0 + v0t + at 2
2
12.3 Rectilinear Kinematics: Erratic Motion
앞에 다룬 내용과 중복되므로 생략함.
- 14 -
예제 풀이
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