내용정리 및 수능대비문제 (함수의극한 다항함수의 미분법) (해설 및 정답) 남 기 수 편저 정답 및 해설 정답 및 해설 ∴ (참) ㄴ. 일 때, 이므로 그림은 다음과 같다. 그림과 같이 두 원 , 가 도형 1. ⑤ 와 만나는 점을 A , B , C , D , A , B , C , lim , lim 이므로 → → D 라 하자. lim lim → → 이때 OP ⊥ O Q 인 순서쌍 P Q 는 존재하지 않으므로 2. ③ →∞ 따라서 함수 는 에서 다항함수 는 lim 3차식이고 최고차항의 계수가 1임을 알 수 있다. 이때 조건 (다)를 만족시키는 OP ⊥ OQ 인 순서쌍 P Q 의 개수는 위 그림에서 A B , A B , A B , A B , 에서 다항함수 는 lim → D C , D C , D C , D C 이고 로 이다. 이므로 lim 를 만족시키는 양수 는 상수 라 하면 ∴ 존재하지 않는다. (거짓) 나눈 몫 ∴ 에 을 대입 한 값이 2임을 알 수 있다. 정리하면 에서 ∙∙∙① 에 대입 → lim (거짓) → ㄷ. 원 의 중심 과 직선 이다. 원의 사이의 거리는 반지름의 길이는 이고, 일 때 한 값이 2 이므로 이므로 일 때의 그림은 ∙∙∙② 다음과 같다. 그림과 같이 두 원 , 가 도형 ≤ 이므로 ≤ ∙∙∙③ 와 만나는 점을 ②식에서 , ①식에서 A B C D A B C D 라 하자. 를 ③식에 대입하면 ≤ 이므로 ≤ 그러므로 4. ➂ →∞ 일때 → 이고 이므로 → → ∞ 일때 → 이고 이므로 → 로 놓으면 lim lim 의 최댓값은5, →∞ 이므로 ≤ , ≤ 그러므로 → 로 놓으면 최댓값은3 ③식에서 의 최댓값이 이므로 의 값은 ∴ lim lim lim lim 3이 된다. → → ∞ 그러므로 이 된다. 이때 조건 (다)를 만족시키는 OP ⊥ OQ 인 따라서 순서쌍 P Q 의 개수는 위 그림에서 A B , A B , A B , A B , 3. ① D C , D C , D C , D C 를 풀면 또는 이므로 로 이다. 도형 는 두 직선 와 를 ∴ 나타낸다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ이다. 5. ③ 또한 일 때, 즉 일 때의 , 반지름의 길이는 이고, 원 그림은 다음과 같다. 그림과 같이 두 원 , 의 중심은 , 가 도형 와 만나는 점을 A , B , C , D 라 반지름의 길이는 이다. 하자. ≤ ≺or ≥≺ 한편, 원 의 중심은 → ∞ →∞ → 일 때, ≺ ≺ 이므로 lim lim ∴ → → lim → ㄱ. 일 때, 그림과 같이 두 원 , 는 lim ⋅ → 모두 원점을 지난다. 두 원이 도형 와 만나는 → 일 때, 점 중 원점이 아닌 점을 A B C D 라 하자. ≺ ≺ 이므로 ∴ lim lim → → 이때 조건 (다)를 만족시키는 OP⊥ OQ 인 순서쌍 P Q 의 개수는 위 그림에서 A B , D C 로 이다. 이때 조건 (다)를 만족시키는 OP ⊥ OQ 인 lim → 순서쌍 P Q 의 개수는 위의 그림에서 lim A B , D C 로 이다. ⋅ ∴ 한편, 일 때의 그림은 다음과 같다. → ∴ -1 - lim lim → → 정답 및 해설 6. ② 10. ③ 곧, lim 에서 lim lim → → lim 이므로 → lim → → → 계수가 인 이차식) 이어야 한다. → 에서 분모, lim lim →∞ 분자를 로 나누면 lim lim →∞ →∞ 따라서 이므로 모든 실수 에 대하여 함수 는 이므로 함수 는 주기가 인 주기함수이다. ㄴ. lim lim ∵ ㄱ. →∞ →∞ (는 상수)로 놓을 수 있다. ㄴ. 일 때, 이고, → 조건 (가)에서 lim lim → → 이므로 조건 ㈎의 lim 에서 → 일 때, → 분모 → 이고 극한값이 존재하므로 분자 → 이어야 한다. → ( 는 상수)로 놓을 수 있다. … ㉡ 이므로 따라서 위의 그래프에서 을 만족시키는 의 값은 존재하지 않는다. 곧, 방정식 은 해를 갖지 않는다. (참) ㄷ. [반례] 일 때, 조건 (나)에 의해 lim lim , → → lim 이므로 9. ② 삼각형 P O Q 가 이등변삼각형이므로 점 Q 의 좌표는 이다. 즉, 삼각형 P O Q 의 넓이는 lim ≤ lim 이려면 삼각형 P RO 가 이등변삼각형이므로 선분 O P 의 수직이등분선이 축과 만나는 점이 R 이다. M 이고 직선 MR 의 기울기는 이므로 부등식 ≤ 의 해는 ≤≤ 그런데 일 때, 이므로 직선 MR 의 방정식은 곧, 따라서 일 때, 인 모든 lim lim → ∴ R 11. ⑤ × × … ㉠ ∴ lim lim ㄱ. 함수 가 에서 연속이고 lim lim → 에서 → 일 때, 분모 → 이고 극한값이 → → → 성립하는 것은 아니다. (거짓) → 실수 에 대하여 lim ≤ lim 가 삼각형 P RO 의 넓이는 조건 ㈏의 → ≤ , ≤ ± ≤ 에서 × × → → lim lim → → 이므로 함수 의 따라서 → 과 조건 (나)에서 모든 실수 에 대하여 ㉠, ㉡에서 곧, lim × 선분 O P 의 중점을 M 이라 하면 8. 그래프는 다음 그림과 같다. ≤ ≤ , 하는 실수 의 개수는 이다. (참) lim 이므로 × × × ⅱ) 는 자연수 일 때, → , 따라서 함수 가 에서 연속이 되도록 따라서 → 또는 한편, lim 에서 → ㄷ.ⅰ) 는 자연수 일 때, lim lim → 따라서 lim →∞ 조건 (가)에 의하여 lim lim 조건 ㈐에서 7. ⑤ → → →∞ →∞ lim lim 또, lim 이므로 lim lim ( 는 최고차항의 → ∴ ㄱ. 함수 가 에서 연속이려면 따라서 → lim → 이라 하면 → → → 일 때 (분모) → 이고 극한값이 존재하므로 (분자)→ 이어야 한다. 즉, lim 이므로 → 존재하므로 분자 → 이어야 한다. -2 - lim lim 정답 및 해설 또는 직선 중의 하나이어야 이 되어 에 모순이다. lim 또한 함수 가 에서 연속이고 이므로 ≠ 이라 하면 lim 이고 → ≠ 이므로 lim (참) lim → 한다. 따라서 구하는 순서쌍 의 개수는 × × (개) → → 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. [1단계] 함수 의 식에 를 대입하여 lim → 15. ④ 의 값을 구한다. 12. ③ ㄱ. 일 때, 이때 이므로 , 이라 하자. 따라서 함수 가 에서 연속이면 , 에서 연속이어야 한다. 이다. (참) ㄴ. 함수 가 에서 불연속이고 × lim →∞ × lim →∞ → lim lim 에서 (ⅰ) 가 짝수인 경우 lim lim 이므로 ≠ 일 때 lim 라 하면 → 이므로 lim → ∴ lim → 또한 함수 가 에서 불연속이고 일 때 lim 에서 lim → → → 일 때 (분모) → 이고 극한값이 존재하므로 (분자)→ 이어야 한다. 따라서 lim 이므로 → lim → 가 모든 실수 에서 연속이려면 → → → ⋯⋯ ㉠ lim lim 에 → → → lim 이 → 즉, 함수 가 에서 불연속이면 lim 이다. (참) → 대입하여 에서의 좌우극한값을 구한다. ㄴ. 이고 인 경우 ㉠, ㉡에서 lim lim →∞ →∞ , 은 방정식 , 즉 (ⅰ) 일 때, 므로 ⋯⋯ ㉡ 이므로 lim 이므로 →∞ 일 때, , (ⅱ) 일 때, ∴ 또는 이므로 일 때 일 때, 의 근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 , 일 때 따라서 의 최댓값은 이다. ∴ lim × → 홀수일 때 이다. (거짓) [2단계] 함수 의 식에 와 를 서 lim 따라서 가 짝수일 때 가 따라서 일 때, lim lim → → lim lim 13. ③ 는 다항함수이므로 모든 실수 에 대하여 연속이다. → → 이므로 lim 이다. (참) → ㄷ. 이면 따라서 함수 가 연속이 아닌 점들의 개수는 인 의 개수와 같다. 를 구하여 함수 의 연속성을 lim 에서 lim → → 판별한다. → 일 때 (분모) → 이고 극한값이 존재하므로 (분자)→ 이어야 한다. 이 때, 방정식 은 서로 다른 lim →∞ 따라서 lim 이므로 → lim ⋯⋯ ㉠ 개의 실근을 가지므로 구하는 불연속 점의 개수는 이다. → 이때 라 하면 14. ⑤ [3단계] 가 홀수인 경우와 짝수인 경우의 함수 ㄷ. (ⅰ) 가 홀수인 경우 일 때, × lim →∞ lim lim → → 에서 이 이 홀수일 때는 이 이고, 라 하면 가 존재하지 않는다. lim lim → → ( 는 자연수) ∴ 짝수일 때는 이므로 의 값에 관계없이 함수 (ⅱ) 가 짝수, 가 홀수인 경우 lim → lim → lim lim → → ㉠에서 모든 실수 에 대하여 ⋅ lim →∞ 를 만족하므로 또는 lim →∞ 이다. 일 때, 그런데 두 함수 는 연속함수이므로 ≦ ≧ 의 세 구간에서 와 의 그래프는 각각 포물선 -3 - lim →∞ 정답 및 해설 일 때, 18. ⑤ × lim →∞ 는 주어진 개의 점 중에서 중심이 라 하자. 원점이고 반지름의 길이가 인 원 (ⅰ) 일 때, 의 경계 또는 그 내부에 속하는 ≤ ≥ 일 때, 20. ① 점의 개수와 같다. ㄱ. 일 때, 이다. 집합 에 속하는 점 중에서 원 의 일 때, 경계 및 그 내주에 속하는 점들은 × lim →∞ lim lim , → → lim → 의 개이므로 lim 이므로 함수 가 에서 연속이려면 → ∴참 ㄴ. lim lim 의 값은 집합 의 원소 이어야 한다. 곧, 중에서 원 위에 있는 점의 개수와 lim lim 에서 이므로 또한 ⋯ ㉠ 같다. 이어야 한다. 또한, 그런데 집합 의 원소 중에서 원점으로부터의 함수 는 에서 연속이고 거리가 같은 점의 개수가 최대일 때의 점들은 → lim lim 일 때 lim 이고 lim lim → → → → → → lim lim , → → 의 lim lim 이므로 함수 가 에서 연속이려면 개이므로 lim lim 의 최댓값은 이다. 함수 는 에서 연속이다. ㄷ. 함수 가 에서 불연속이 되는 이어야 한다. 따라서 가 짝수, 가 홀수일 때, 함수 는 경우는 집합 의 원소 중에서 원 ㉠, ㉡에서 조건을 만족시키는 두 정수 의 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 위에 적어도 한 개의 점이 있을 때이다. 순서쌍 는 뿐이므로 그 개수는 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되는 집합 에 속하는 개의 점 중 원점을 제외한 이다. 순서쌍 의 개수는 무수히 많다. (참) 개의 점 중에서 직선 위에 개의 점이 (ⅱ) 일 때, → → → → → → 곧, (∵ ⋯ ㉡ ∴참 있고, 나머지 개의 점은 개씩 직선 에 16. ② 대하여 대칭이다. 한편, 직선 위에 ㄱ. lim 있거나 이 직선의 아래쪽에 있는 점 중에서 → lim lim → → (참) ㄴ. 함수 는 ± , 는 에서 불연속이므로 함수 의 연속성은 ± 에서만 보이면 된다. 에서 는 연속이고 에서 는 불연속이므로 함수 가 불연속인 점은 개이다. (참) ㄷ. 이면 가 실수 전체의 뿐이다. lim 따라서 함수 가 에서 불연속이 되는 양수 의 개수는 → → lim → lim lim × lim 이고 → → → 함수 가 에서 연속이므로 lim → 같은 방법으로 lim → → 이므로 임의의 정수 에 대하여 함수 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ≤ 이므로 조건을 만족시키는 두 정수 의 모든 순서쌍 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 는 , , , , 19. ② (ⅲ) 일 때, ㄱ. lim 에서 ≤ ≥ 이므로 그 개수는 이다. → → lim lim × lim → ∴참 → → lim lim , → lim 따라서 는 에서 17. ① 이다. 원점으로부터의 거리가 같은 점은 라고 하면 lim 집합에서 연속이다. (거짓) ≥ 이다. lim lim , → 연속이다. ∴ 참 → lim ㄴ. 이므로 → lim 이므로 임의의 정수 에 대하여 함수 는 → lim ⋅ ∴참 → ㄷ. [반례] 이면 lim 에서 연속이다. 또한, lim lim , → → lim → 이므로 함수 가 에서 연속이려면 → lim 이어야 한다. 곧, 의 이므로 에서 이므로 그래프가 한 점에서만 불연속이 되기 위해서는 lim 이지만 그러므로 함수 또는 이므로 또는 → 또는 이어야 한다. → 일 때 조건을 만족시키는 두 정수 의 는 에서 불연속이다. ∴ 거짓 모든 순서쌍 는 , , 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. , , 이므로 그 개수는 따라서 구하는 값은 × -4 - 정답 및 해설 이다. × 이므로 일 때 조건을 만족시키는 두 정수 의 또는 모든 순서쌍 는 , 이므로 × , 이고 그 개수는 이다. 이므로 함수 이 의 치역은 이므로 이때 순서쌍 이 중복되므로 일 때 에서 연속이려면 는 치역에 속하지 않는다. 조건을 만족시키는 두 정수 의 순서쌍 즉 이어야 한다. (ⅰ) 인 경우 의 개수는 이다. ∴ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 조건을 만족시키는 두 정수 의 모든 순서쌍 의 개수는 이므로 조건에 맞지 않는다. 22. ⑤ (ⅱ) 인 경우 일 때, 이므로 lim 이므로 21. ④ 함수 의 그래프는 그림과 같다. →∞ 에서 lim 일 때, ∞ lim 이므로 lim lim →∞ 따라서 함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것으로 다음 그림과 같고 함수 가 에서 불연속이고 의 값에 따라 에서 불연속 일 수 있으므로 의 값에 따라 에서 불연속일 수 있으므로 함수 는 ≠ ≠ ≠ 인 모든 실수 에서 연속이다. ≠ 이므로 조건에 맞지 않는다. (ⅲ) 인 경우 이므로 →∞ 또는 에서 또는 또는 →∞ →∞ 또는 또는 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 ∘ lim lim 23. ④ 일 때, 점에서 접하는 의 값을 이라 하고, 함수 →∞ →∞ 그림과 같이 함수 의 그래프와 함수 의 그래프가 두 의 그래프가 점 를 지날 때의 의 값을 라 하자. 이므로 lim →∞ 또는 에서 또한 함수 의 그래프는 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 다음 그림과 같고 함수 가 에서 불연속이고 의 값에 따라 에서 불연속일 수 있으므로 함수 lim →∞ 이때 두 함수 의 따라서 또는 또는 그래프가 만나는 점의 개수는 다음과 같다. 따라서 함수 는 의 그래프는 그림과 같고 함수 가 ≠± ≠ ± 인 모든 실수 에서 실수 전체의 집합에서 연속이므로 연속이므로 ≠± ≠ 이면 lim 가 성립한다. 따라서 함수 는 에서만 는 ≠ ≠ 인 모든 실수 에서 연속이다. 함수 는 에서 연속이다. → 불연속이다. 이때 함수 가 실수 전체의 집합에서 일 때, 연속이려면 에서 연속이어야 하므로 이라 하면 lim lim → lim lim → → lim lim → lim × lim → → → lim lim , → → 이고 lim lim → × → O lim × lim → → ∘ 이므로 ∘ → 가 성립해야 한다. 이때 이차함수 는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 lim × , → -5 - 정답 및 해설 lim × , lim → [참고] × 를 만족시키면 곡선 따라서 lim lim → → lim lim ′ ′ ′ → → → 이 성립하려면 이어야 한다. 마찬가지로 이어야 한다. 이제 의 값을 구해보자. 마찬가지로 → i 두 함수 의 그래프가 두 점에서 접할 때, 곡선 와 직선 가 한 점에서 접해야 하므로 이차방정식 즉 의 판별식을 라 하면 따라서 이므로 lim → ⋯ ⋯① ⋯ ⋯② lim lim → → ′ ′ ′ ′ × (∵ ㉠) 또한 이므로 이차방정식 대칭이다. 위 등식의 양변에 를 곱하면 이다. 조건 (나)에 의해 일 때 ≤ 에서 ≤ 일 때 ≤ 에서 따라서 모든 실수 에 대하여 ≤ 가 성립한다. 이므로 ∗ 에 의해 이 ∴ lim → ① ② 를 하면 ⋯ ∗ 이어야 한다. [다른 풀이1] 조건 (가)에 의해 따라서 또는 이므로 곡선 는 직선 에 대하여 계수의 관계에서 에 대하여 대칭이다. 25. 이므로 이고. 이차방정식의 근과 (3) 함수 의 그래프는 직선 lim → 지날 때의 의 값은 에서 의 두 근은 서로 대칭이다. lim → 임의의 실수 에 대하여 ii 함수 의 그래프가 점 를 는 직선 에 대하여 대칭이다. (2) 함수 의 그래프와 함수 의 그래프는 직선 에 대하여 ′ lim ∴ (1) 함수 가 모든 실수 에 대하여 된다. 조건 (가)에 을 각각 대입하여 lim → 정리하면 lim → 일 때 일 때 ∴ lim lim → → 이므로 ′ ′ ′ ∵ × (ⅰ) 인 경우 i ii 에서 이므로 × ∴ ∴ 일 때 [다른 풀이2] 에서 임의의 실수 에 대하여 이므로 또는 이다. 이므로 곡선 는 직선 에 대하여 이 되어 대칭이다. 사차함수라는 조건에 위배된다. 이면 이때 에서 합성함수의 따라서 24. 미분법에 의하여 ′ 이고 는 미분가능한 ′ ′ ′ 이므로 ⋯ ③ 함수이므로 ′ ′ ′ ′ ′ 이 성립한다. ′ lim → ′ ′ ′ ′ ′ 그래프를 그려보면 사이값 정리에 의해 에서 근을 갖고 lim → ′ 에 을 대입하면 ≤ 을 만족한다. lim → lim lim → → lim lim → → ′ ′ ⋯⋯ ㉠ 이때 lim → 을 대입하면 이므로 ∴ lim → lim → lim → lim lim → → ′ ′ -6 - (ⅱ) ≠ 인 경우 에서 이므로 이 된다. 따라서 이 성립한다. 정답 및 해설 그래프를 그려보면 ≤ 을 만족하지 않는다. 이 성립한다. 이므로 ㄱ 이고 , × lim lim → → lim lim → → 이므로 [다른 풀이] 에서 와 는 에서 교점을 갖는다. 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 에서 와 는 lim lim × lim → → → lim lim × lim → → → 서로 접해야 한다. 아래 그림의 (a)처럼 접하면 이 는 에서 미분가능하지 않은 경우가 이때 함수 가 실수 전체의 집합에서 된다. 생기므로 (b)처럼 접해야 한다. 연속이면 에서도 연속이므로 ③을 대입하면 이라 하면 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 lim lim 이 → → 성립해야 한다. 에서 즉, 이어야 하므로 을 얻는다. (참) ∴ 함수 가 실수 전체의 집합에서 ㄴ 라 하자. 미분가능하면 에서도 미분가능하므로 ∴ × × 의 값이 존재해야 한다. lim → 26. 에서 또한, 일 때, 함수 가 미분가능하고 이므로 에서 두 함수 , 의 그래프는 접해야 한다. 즉, ′ ′ 이다. 또한, 에서 함수 는 미분가능하므로 에서 연속이다. 즉, lim lim 에서 → → lim lim ⋯ ㉠ → → (ⅰ) 보다 작은 근방 에서 일 때, 함수 가 에서 미분가능하므로 으 로 놓을 수 있다. (b)의 경우 와 가 접하는 점을 제외하고 만나는 점의 좌표를 라 하자. (ⅰ) 이면 → 일 때 → 일 때 에서 이고 ′ ′ ′ ′ 에서 ′ 이다. ′ 이면 는 일차함수가 아니므로 lim → lim → lim → lim lim → → ′ 이고, lim 조건에 맞지 않는다. → (ⅱ) ≥ 이면 ≥ lim lim → → 가 에서 연속이고 미분가능하므로 ′ ′ ′ ′ , ′ 에서 이고 그런데 는 일차함수이므로 모순이다. ′ ′ ′ ′ 에서 (ⅱ) 보다 작은 근방 에서 일 ′ 이다. 때, 함수 가 에서 미분가능하므로 따라서 , 로 놓을 수 있다. lim lim → → ′ ′ ′ ′ ′ , ′ ′ 또한, ㉠에서 , ′ ′ 에서 이므로 따라서 , 이상에서 , , ( 는 상수, 는 이 아닌 상수) 로 놓을 수 있으므로 , ′ , lim → ′ 이므로 이때 , ′ ′ 에서 lim → lim → lim → lim lim → → ′ 이므로 lim lim → → 가 성립하려면 ′ ′ 즉, 이어야 한다. (참) ㄷ (반례) 이라 하자. 이면 ≤ ≤ 이므로 함수 는 ≠ ≠ 인 실수 , 이고 27. ② 전체의 집합에서 미분가능하다. 다항함수 는 실수 전체의 집합에서 한편, 즉, , , 연속이므로 lim lim → → -7 - lim lim → → 정답 및 해설 이므로 함수 는 에서 미분가능하다. 또, lim → lim lim lim lim → → 이므로 함수 는 에서 미분가능하다. ∵ 따라서 함수 는 실수 전체의 집합에서 lim lim → → → → 미분가능하다. ′ ′ 하지만 함수 는 으로 ⅰ ⅱ 에서 나누어떨어지지 않는다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ ㄴ 이다. [참고] 31. ③ 가 (ｉ) ′ 이 존재한다. → 28. ⑤ ⅰ) lim ′ → ≥ ⅱ) ′ ․ ∴ ′ ′ 이 존재하므로 ∴ ∴ lim lim ′ lim ′ → → 두 다항함수 에 대하여 함수 ≥ 일 때, ′ ′ 이다. ′ 또한, 함수 가 에서 미분가능하면 ′ 에서 lim → → 일 때 (분모)→ 이므로 (분자)→ 이어야 한다. 즉, → 32. ④ ′ × × ㄱ. lim ′ lim ′ 이므로 즉, ′ 에서 lim lim ′ lim ′ 이다. → 에서 29. ⑤ → → lim ′ → → ∴ 또는 ∴ 참 이때 가 연속함수이므로 따라서 두 점 에서 ㄴ. [반례] 접선의 기울기는 서로 같다. 값이 서로 같아야 한다. 이므로 (단, 는 적분상수, 은 상수)이면 ∴ 이 값을 주어진 식에 대입하면 (ⅱ) 는 에서 연속이다. lim → 에서 두 함수 의 lim → lim ∙ → ∴ , lim → 이다. lim ∙ ′ → 따라서 ≠ 이면 lim 의 값이 ∴ ′ → 한편, 함수 에 대하여 의 값이 에서 존재하지 않는다. 까지 변할 때의 평균변화율은 ∴ 거짓 ㄷ. 함수 가 에서 연속이라고 ⋯⋯ ㉠ 가정하면 따라서 ㉠에서의 평균변화율과 ′ 의 값이 lim lim 이어야 하므로 → 같아야 하므로 → ∴ ㄴ에서 이고 이다. 30. ③ 이때 이므로 는 정의역이 실수 전체의 집합인 이차함수이다. ′ 이므로 따라서 함수 가 에서 → 일 때, → 미분가능하므로 함수 가 에서 → 일 때, → 미분가능하지 않다는 조건에 모순이다. ⅰ lim → 그러므로 함수 는 에서 불연속이다. ∴참 lim → 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. lim lim → → 33. ① ∵ ㄱ. lim 이면 분모→ → lim lim → → 이므로 분자→ 이어야 한다. ′ ′ 즉, lim lim → ⅱ lim → → ㄴ.[반례] 일 때, -8 - (참) 정답 및 해설 상수)라 하면 lim 따라서 ′ → lim → 이때 함수 이 실수 ≥ lim → 전체의 집합에서 미분가능하므로 lim lim → → 이지만 lim 은 존재하지 → 않는다.(거짓) ㄷ. [반례] ′ 이어야 한다. 즉, 이므로 ㄱ. ′ ′ ( 참) lim lim lim ㄴ. → → → ′ 이므 로 존재하지만 는 에서 미분 불능이다. (거짓) 로 따라서, 옳은 것은 ㄱ 뿐이다. 에서 극값을 갖는다. 만일 이면 × lim ≤ lim → → 함수 의 최솟값이 이므로 조건을 즉, (우 미분계수)× (좌 미분계수)≤ 이므로 만족시키지 않는다. 함수의 증감상태가 바뀌는 값을 구하는 즉, 이 이므로 이다. 문제이다. 이때 라 하면 ′ → lim → lim → 이므로 (참) ′ ′ ⋯ ㉡ 또, lim 에서 → → 일 때 분모 → 이므로 분자 → 이어야 한다. 즉, lim 이므로 → 에서 따라서 ㉠에서 따라서 ㄷ. 함수 는 에서 최솟값을 이므로 의 갖고, 최솟값은 → → 에서 ′ 따라서 ㉡에서 ′ 그러므로 곱의 미분법에 의해 ′ ′ ′ × × 37. ∘ 를 만족시키기 위해서는 (ⅰ) 모든 에 대하여 이거나 (ⅰ)의 경우 가 되면 는 증가함수가 되어 ′ , (ⅱ)의 경우 와 ′ ′ 을 만족해야 한다. 라 하면 ′ 이고 ⋯ ㉡ ⋯ ㉠ 따라서 의 그래프는 다음과 이므로 ⋯ ㉢ 같다. 에서 ㉠, ㉡, ㉢, ㉣을 연립하면 즉, 따라서 이므로 이므로 (참) 따라서 이다. 38. 36. ① 에서 lim → 이므로 ′ ′ ⋯ ㉣ 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ∴ 을 연립하면 따라서 ′ ′ ′ 인 조건에 만족하지 않는다. 그래프를 그려보면 ∴ lim × lim (ⅱ) 가 되어야 한다. 따라서 ′ 의 해는 이고 따라서 극점은 와 축과의 교점 및 일 때 이다. 이다. 34. ④ 이며 lim 이므로 → 일 때 분모 → 이므로 분자 → 이어야 한다. 즉, lim 이다. → 이때 두 다항함수 , 는 ⋯⋯⋯ ㉠ 또, ′ 이므로 ′ ∴ ⋯ ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 ∴ ′ 35. . ⑤ 연속함수이므로 ∴ × ′ × ( 는 ⋯ ㉠ [다른 풀이] -9 - 정답 및 해설 사차함수 의 그래프는 축에 대하여 대칭이므로 또, 도함수 ′ 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 ′ ′ ∴ × ′ × 39. ⑤ 이므로 의 최고차항은 lim →∞ ′ 이므로 이다. 이때 lim →∞ 이다. 이므로 의 계수가 0이 한편, lim → 이고 ′ ′ 이므로 아닌 항 중 차수가 가장 낮은 항은 이다. 라 하면 ′ 이므로 이때 lim → ′ ′ ⋯ ㉠ <다른 풀이> 이다. 한편, ′ ′ , ′ ′ 이므로 조건 (가)에 의하여 삼차함수 의 ′ ′ ⋯ ㉡ 그래프와 이차함수 의 그래프는 ㉠, ㉡에서 ㄴ. , 이므로 인 점에서 만나고 그 점에서 접선의 × ≧ (∵ ≧ ) (참) 기울기가 같으므로 방정식 은 ㄷ. 가 삼차함수이면 따라서 또 다른 한 근을 라 하면 , 이므로 ⋯ ㉠ (참) ㉠의 양변을 미분하면 ㄱ. 의 최고차항이 이고 차수가 가장 낮은 항이 이므로 ≧ (참) 를 중근으로 갖는다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ∴ ⋯ ′ ′ 따라서 조건 (나)에 의하여 ′ ′ 이고 ′ ′ 이므로 라 하면 ′ ≠ 이므로 , 한편, ′ ′ , ′ ′ 이므로 즉, ㉠에 대입하면 ′ ′ … ㉡ ⋯ ㉡ ㉢ ′ , ′ 이므로 ′ 에서 … ㉣ 41. 이므로 ≤ ≤ 이므로 함수 ( 는 상수) 라 놓으면 ′ 조건 (가)에서 함수 는 실수 전체의 따라서 집합에서 미분가능하므로 실수 전체의 는 에서만 불연속이고, , 에서만 미분가능하지 않다. ′ 구하는 값은 ㉢, ㉣에 의해 집합에서 연속이다. lim , → 에서 이다. ′ , ′ 에서 ′ 구하는 값은 ㉢, ㉣에 의해 또한, 이차함수 의 그래프의 대칭축은 ∴ … ′ 에서 ⋯ ㉣ ㉠, ㉡에서 , ′ ′ … ㉠ ′ , ′ 이므로 40. ㉢ , lim ㉡에 을 대입하면 → 이고 함수 는 에서 연속이므로 × 따라서 이다. 따라서 …㉠ 함수 는 에서 미분가능하므로 의 값이 존재한다. lim → 다른풀이 lim lim → 이고, - 10 - → 정답 및 해설 뿐이려면 다음 그림과 같이 두 함수 , → 의 그래프는 에서 lim → 접해야 한다. lim lim → 이면 이 되어 조건에 모순 따라서, 실수의 값은 이다. × lim lim → → × lim lim (∵㉠) → → 44. , , , 가 등차수열이므로 네 ′ 점을 연결하는 직선을 이라고 ′ 하자. 이므로 그러면 lim 따라서 → ′ ′ lim → 이어야 한다. 에서 고 하면 ′ ′ , ′ , ′ 따라서 ′ …㉡ 마찬가지로 함수 는 에서 …㉣ 라 고 할수 있다. 이라 , 이다. 이므로 에서의 접선은 미분가능하므로 lim 의 → ′ …㉤ ㉣÷㉤을 하면 에서의 접선은 값이 존재한다. 에서 두 접선이 만나므로 lim → lim → lim → lim → lim × lim → → ′ lim → lim → lim → 따라서 ㉣에 대입하여 풀면 이므로 따라서 × × × 42. ④ 직선 는 두 점 과 를 지나는 직선이므로, 는 직선 와 곡선 의 교점의 두식을 에 관하여 정리하면 , 연립하면 을 에 대입하면 가 나온다. 따라서 이므로 , 가 된다. 좌표를 의미한다. lim → 45. EBS 풀이 lim × lim → → 일 때, 함수 는 ′ 이므로 , 이 그래프는 함수 의 그래프를 lim 곡선 위의 점 lim → 에서 그은 접선의 방정식은 평행이동시킨 것이다. 그러므로 의 에서 이 접선이 원점을 지나므로 부호에 따라 나누면 다음과 같다. → ′ ′ 따라서 …㉢ ∴ ㉠, ㉡, ㉢에서 ′ 이므로 두 상수 43. ② 에 대하여 함수 를 두 곡선이 에서 접하면 ′ ′ 이 성립하므로 에서 ⋯ ㉠ 으로 놓을 수 있다. ′ ′ 에서 ⋯ ㉡ 방정식 의 실근이 ㉡에서 을 ㉠에 대입하면 - 11 - 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 즉, 일 때, 정답 및 해설 이 때, ′ 에서 또는 이 때, 함수 는 에서 극솟값 을 가져야 하므로 와 만나지 않는다. 또, 가 충분히 크면 삼차함수 의 그래프와는 직선 와 한점에서 만난다. 그러므로 조건을 만족시키지 못한다. 즉, 일 때, 이 경우에도 직선 가 이고 충분히 는 에서 극솟값을 갖는다. ∴ 그러므로 이 때, 직선 가 일 때는 곡선 ′ 한편 에 의해 에서 따라서 이므로 이므로 ≥ ∘ 종로 풀이 46. ③ 삼차함수 는 최고차항의 계수가 양수이므로 충분히 큰 실수 에 대하여 직선 와의 교점은 반드시 개만 생긴다. 따라서 직선 와 함수 의 그래프의 교점도 반드시 개만 은 함수 에 대하여 의 값이 에서 까지 변할 때의 평균변화율이므로 두 점 을 지나는 직선의 기울기와 같다. 생겨야 한다. ′ 은 에서의 미분계수이므로 그래프와 한 점에서만 만난다. 그러므로 조건을 따라서 이므로 따라서 주어진 조건에 의해 두 점 만족시키지 못한다. ∴ 즉, 일 때, 을 지나는 직선은 한편, 직선 가 함수 의 크면 직선 와 삼차함수 의 조건을 만족시키려면 유리함수 의 그래프의 점근선은 인 점에서의 접선의 기울기와 같다. 인 점에서의 접선이다. 그래프의 점근선 보다 위쪽에 있는 이어야 한다. 즉, 경우는 항상 직선 와 함수 의 또, 삼차함수 의 그래프는 두 직선 그래프의 교점은 개이므로 와의 에 접하고 ≤ 이어야 교점도 개이어야 하고 인 순간 직선 한다. 와 함수 의 그래프의 교점은 개이므로 와 의 교점이 개, 즉 가 의 접선이어야 하고 이어야 한다. 한편 는 을 지나므로 직선 과 의 그래프는 에서 접하므로 따라서 방정식 ′ 의 실근은 곡선 와 곡선 위의 인 점에서의 접선의 교점의 좌표와 이고 는 같으므로 서로 다른 실근은 또는 에서 극댓값을 갖는다. 이다. 일 때는 는 의 그래프와만 이상에서 구하는 두 실근의 합은 교점을 가지므로 이 의 이다. 접선이 된다. 이므로 47. ① 그래프는 다음과 같다. 에서 ′ 이므로 도함수 ′ 는 에서 최솟값 를 갖는다. ∴ , 이 때, 삼차함수 의 최고차항이 이므로 이때 곡선 위의 점 에서의 로 놓으면 접선의 방정식은 ′ , - 12 - 정답 및 해설 ∴ , 따라서 두 점 을 지나는 직선 ∴ 은 곡선 와 에서 접한다. 또한 조건 (다)에서 48. 두 점 를 지나는 직선과 곡선 의 교점의 개수는 이다. 즉, 두 점 를 지나는 직선은 곡선 위의 점 에서의 접선이고 곡선 와 오직 접점에서만 만나야 한다. 따라서 방정식 이 을 중근으로 갖는 경우 함수 의 그래프의 개형은 다음과 같다. (ⅰ) 인 경우 lim lim → → 즉, 함수 는 에서 불연속이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 따라서 방정식 함수 는 에서 극댓값 , 은 을 삼중근으로 갖고 에서 극솟값 을 갖는다. 세 접선의 함수 의 그래프의 개형은 다음과 기울기의 곱이 음수이므로 의 같다. 그래프에 접하는 세 접선의 기울기 중 한 접선의 기울기만 음수이다. 이므로 정수 의 최댓값 은 이다. 따라서 49. ② 에서 ′ 이므로 점 Q 의 좌표를 라고 하면 점 Q 에서의 접선의 기울기는 이다. 따라서 점 Q 에서의 접선의 방정식은 접선이 점 P 를 지나므로 위의 그래프에서 또는 이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) 인 경우 이다. 최고차항의 계수가 인 사차함수 는 (는 상수) 즉, ∴ 또는 → 함수 는 에서 연속이고, 따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 , ∴Q lim lim 이므로 → 으로 놓을 수 있다. 조건 (다)에서 이므로 곡선 한편, ′ 이므로 점 P 에서의 위의 점 에서의 접선은 점 을 접선의 방정식은 , 즉 지나야 한다. 곡선 와 직선 의 교점의 즉, 직선 ′ 는 점 을 지나므로 좌표를 구하면 에서 이므로 조건 (다)를 만족시키지 ′ 않는다. ∴ ′ …… ㉠ (ⅲ) 인 경우 이고 ′ 에서 ∴ 또는 ∴R ′ 이므로 따라서 두 점 Q , R 를 지나는 직선의 기울기는 ㉠에서 ∴ 50. 조건 (가)에서 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 ∴ 따라서 이므로 ′ 즉 - 13 - 정답 및 해설 두 조건 (가), (나)만으로는 방정식 BC BC × 이다. CA O C 이 을 삼중근으로 따라서 직선 A B 의 기울기, 즉 접선 의 갖는다고 할 수 없다. 다음 그림과 같이 곡선 기울기가 이므로 점 Q 의 좌표를 라 와 직선 이 하면 에서 접하면 ′ lim lim 이므로 함수 ≠ 이므로 참고 → → 이 이차방정식의 한 근이 이므로 ∴ 따라서 Q 이므로 접선 의 방정식은 54. ① ′ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 점 B 의 좌표는 중근으로 갖는 함수 에 대하여 두 조건 이때 점 Q 는 제 사분면에 있는 점이므로 즉, 방정식 이 을 평행이므로 ′ 에서 ⋅ ⋅ 는 에서 연속이다. 이때, 점 P 에서 접선은 직선 와 이므로 이다. 이므로 함수의 증감을 조사하면 즉, 이므로 점 Q 의 좌표는 즉, 이므로 이다. 또, × 이므로 에서 극댓값을 갖는다. 따라서 한편, 이므로 접선 의 방정식은 따라서 갖는다고 결론내릴 수 있다. 이고, 55. 51. 점 A 의 좌표는 이므로 이다. (가), (나)를 모두 만족시키는 경우가 존재한다. 따라서 세 조건 (가), (나), (다)를 모두 고려해야 방정식 이 을 삼중근으로 이므로 하자. 따라서 , 함수 이므로 함수 를 이라 하고, 점 ≤ 의 역함수가 존재하려면 구간 ∞ 에서 함수 의 극값이 존재하지 않아야 한다. ′ 이므로 이차방정식 52. ① 판별식을 라 하면 ′ 의 P 의 좌표를 라 하면 P 이다. 평균값의 정리에 의하여 에 속하는 ′ 임의의 두 수 에 대하여 이므로 접선 의 방정식은 라 일 때 이므로 함수 는 항상 극댓값과 극솟값을 갖는다. 따라서 함수 의 역함수가 존재하려면 ≤ 에서 항상 ′ ≦ ≦ ′ ≥ 이어야 한다. …… ㉠ 이다. 접선 이 원점 O 를 지나므로 인 가 적어도 한 개 존재한다. 즉 에서 ′ 이므로 이때 이차함수 ′ 의 그래프의 축의 방정식이 이므로 ㉠이 성립하려면 ≤ 이고 ′ ≥ 이어야 또는 이때 점 P 는 제 사분면에 있는 점이므로 접선 의 기울기는 이므로 접선 의 방정식은 ⋯⋯ ㉠ ≦ ≦ 한다. ⊂ ′ 한편, 삼각형 BO C 와 삼각형 BCA 의 넓이의 이다. 비가 이므로 O C CA 따라서 CA OC BC 이므로 이때 OC ≦ 53. ② ′ ≥ 에서 ≤ 또는 ≥ 삼각형 O A P 의 넓이가 최대가 되려면 이때 ≤ 이어야 하므로 ≤ 점 P 에서 직선 까지의 거리가 따라서 음의 정수 의 최댓값은 최대이어야 한다. 일 때 - 14 - 정답 및 해설 ≤ 는 에서 극소이고 그래프의 개형은 다음과 같다. 이므로 함수 의 역함수가 존재하려면 이상에서 실수 의 값의 범위는 61. ① 그래프가 그림과 같아야 한다. 두 삼차함수 의 최고차항의 계수가 모두 이고 이때 ′ ′ ′ 이고, ′ ′ ′ ⋅ 따라서 함수 에서 이고 함수 는 극값을 갖지 않으므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) 일 때 이므로 이때 에서 이므로 에서 이다. ∴ 곡선 는 에서 축에 접하므로 따라서 다음 관계가 성립한다. ∴ 이고 에서 양의 극댓값을 갖거나 에서 극댓값 을 갖는다. 따라서 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅳ) 일 때 ′ 58. ② 를 포함하는 어떤 구간에서 함수 56. ③ 의 값이 이하가 되는 경우는 ′ 이고 함수 가 에서 극댓값을 가질 때이다. 가 구간 ∞ 에서 감소하고 에서 구간 ∞ 에서 증가하므로 ′ 의 ′ 그래프의 개형은 다음과 같아야 한다. (ⅰ) 일 때 함수 는 극값을 갖지 않으므로 조건 (나)를 ∵ ′ ′ ′ ′ ⋅ 만족시키지 않는다. (ⅱ) 일 때 ∵ ′ × × ≤ 이므로 함수 는 다음 네 가지 경우 중 하나이다. ′ 에서 또는 따라서 ′ 는 에서 극대, 에서 극소이므로 따라서 ′ 에서 또는 이면 이므로 함수 은 에서 극대이다. 이면 이므로 함수 은 에서 극댓값 59. ① × 을 (1) ≧ 일 때, 갖는다. ′ 이므로 (ⅰ)∼(ⅳ)에서 이고 함수 는 증가한다. 이므로 즉, , …… ㉠ (2) ≦ 일 때, ′ …… ㉡ ′ 이므로 이때 ′ ≥ , ≥ …… 함수 가 증가하려면 ≦ , ≦ ′ ㉢ 따라서 ㉠, ㉡, ㉢을 만족시키는 실수 , 의 순서쌍을 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다. 이때, …… ㉣ 라 하면 ㉣이 직선 에 접할 때 은 최소가 되고, ㉣이 점 를 지날 때, 따라서 실수 의 최댓값은 이다. 이므로 60. ① 따라서 함수 는 에서 극솟값 에서 을 갖는다. ′ 에서 또는 × 은 최대가 된다. ′ 함수 가 에서 극댓값과 극솟값을 62. 모두 가지려면 방정식 ′ 이 , 함수 가 극값을 갖는 경우와 갖지 않는 즉 에서 서로 다른 두 실근을 경우로 나누어 생각한다. ∴ 가져야 하므로 i 함수 의 극값이 존재하지 않는 경우 (ⅰ) 에서 57. ② ∴ 또는 삼차함수 는 을 (ⅱ) ′ 에서 ⋯⋯ ㉠ 지나고 최고차항이 양수이므로 (단, 은 양수) 일차함수 는 을 지나고 기울기가 양수이므로 (단, 는 양수) 라 하면 함수 조건 ㈎를 만족시키기 위해서는 ′ 에서 ⋯⋯ ㉡ ㉠,㉡에서 (ⅲ) ′ 의 그래프의 축의 방정식이 이므로 ← 에서 - 15 - ① 두 함수 의 그래프가 정답 및 해설 ≠ 인 한 점에서 공통인 접선을 가지고 가지려면 의 좌우에서 의 값, 즉 두 점 이차함수 가 에서 극대이므로 인 점에서 만날 때, 두 함수 을 지나는 직선의 기울기가 함수 의 그래프는 직선 에서 의 그래프의 개형은 그림과 양수이어야 하므로 함수 는 그림과 같이 대칭이다. 같다. 에서 극댓값 을 가져야한다. ⋯⋯ ㉠ ② 두 함수 의 그래프가 이때 라 하면 는 인 점에서만 만날 때, 두 함수 의 그래프의 개형은 그림과 같다. 로 놓을 수 있다. 한편, 가 삼차함수이므로 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 에서의 곡선 에 접하는 접선의 기울기는 음수이어야 한다. 또, 방정식 의 모든 실근이 합이 한편, 두 조건 ㈎, ㈏가 성립하려면 위 그림과 이어야 하므로 다음 두 가지로 나눌 수 있다. 그런데 ①, ②는 함수 가 극값을 갖지 같이 함수 의 그래프가 직선 (ⅰ) 의 최고차항의 계수가 양수인 경우 않거나 극값이 개만 존재하므로 조건 ㈏를 와 두 점 만족시키지 못한다. 에서 동시에 접해야 ii 함수 가 극값이 존재하는 경우 하므로 i 과 같이 생각하면 조건 ㈎를 만족시키기 위해서는 공통인 접선을 갖는 경우는 조건 ㈏를 즉, 으로 만족시킬 수 없으므로 조건 ㈏를 만족시키기 놓을 수 있다. 위해서는 인 점에서만 만나야 하고, 이때 ㉠에서 이므로 두 함수 의 그래프의 ∴ ∵ ⋯⋯ ㉡ 개형은 그림과 같아야 한다. 한편, 한편, 의 이차항의 계수가 이므로 ′ 이고, ㉠에서 ′ 이므로 또는 ∴ ⋯⋯ ㉢ 그러므로 함수 는 에서 ㉡, ㉢에서 이므로 극소이다. 에서 하면 ′ ∵ ′ ∴ 또는 따라서 이라 하면 이고 에서 한편, 에서의 곡선 의 접선의 ∴ 기울기와 에서의 곡선 의 접선의 기울기가 같아야 하고 ′ ′ 이므로 이므로 ……㉠ ′ ′ × × × × 또, 구간 에서 의 최댓값은 , 최솟값은 이므로 ㉠을 즉, 이므로 이용하면 × 64. ② 조건에서 ∴ ∵ ㄱ. ′ 따라서 그러므로 ′ (참) 이때 에서 ㄴ. 함수 가 에서 극솟값 이므로 가지므로 한편, 이므로 ∴ 따라서 , ′ 이므로 ′ × × × 63. 조건 ㈎에서 함수 는 에서 극솟값 을 가지므로 일 때 두 점 을 지나는 직선의 기울기는 그러므로 이고 를 이때, ′ 이므로 ′ 에서 즉, 이고 는 실수 라 이고 따라서 ′ ′ 이므로 에서 ′ ′ ′ ′ 그러므로 (참) ㄷ. 이고 ㄴ에서 (ⅱ) 의 최고차항의 계수가 음수인 경우 이므로 이고 그러므로 (거짓) 이다. 즉, 이므로 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 또한 함수 가 에서 극솟값 을 65. - 16 - 정답 및 해설 로 놓으면 에서 의 그래프는 따라서 의 그래프의 개형은 다음과 직선 에 대하여 대칭이다. 같다. 이때, ′ 이면 ′ 이고 이므로 이차항의 계수가 이 아니다. ′ 이다. 그러므로 이러한 경우는 없다. ∴ ′ 따라서 (ⅰ)에서 구하는 값은 이다. 66. 이때 함수 는 닫힌 구간 에서 ∴ 일 때 최솟값 을 갖는다. 이므로 ∴ ∴ ∴ 따라서 는 에서 극댓값을 갖는다. 이다. 이때 (가)를 만족하려면 그림과 같이 은 서로 다른 세 실근을 갖는다. 69. ① 의 값을 조사하면 삼차함수 의 그래프가 원점을 중심으로 이동하여 실수 전체에서 정의된 ∴ ∴ 어떤 함수가 되려면, 아래의 그림 1 과 같이 ′ 그래프의 위아래로 교차하면 안된다. 즉 72. ⑤ , 그림 2와 같이 의 그래프가 에서 ㄱ. 일 때, 에서 즉 주어진 삼차함수 의 접선하거나, ′ (나)를 만족하려면 각 구간에서 최댓값은 을 기준으로 양의 방향으로는 주어진 ′ 에서 일 때이다. 삼차 함수의 그래프가 위에 있고, 음의 또는 한편 , 방향으로는 주어진 삼차함수의 그래프가 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 , 아래에 있으면 된다. 따라서, 다음과 같다. ≤ ≤ , ≤ ≤ ′ 에서 ′ ≧ 이다. ≤ ≤ , ≤ ≤ 인데, ≥ 이면 충분하다. 70. ④ ≥ , 즉 ≤ ㄱ. lim ′ 에서 두 조건으로부터 ≤ 을 만족하는 이하의 자연수는 일 때 ≤ ≤ -- 10개 → → 이면 → 이므로 따라서 닫힌구간 에서 함수 일 의 최댓값은 이므로 일 때 ≤ ≤ -- 4개 때, lim ′ lim ′ (거짓) ∴ 개 ㄴ. 는 연속함수이고 → (i) → 는 lim ′ , lim ′ → 67. ② 이다. (참) ㄴ. 닫힌구간 에서 함수 의 최댓값 ≤ 일 때 이고, → 삼차함수 의 그래프가 원점에 대하여 (ii) ′ 이고 대칭이므로 는 기함수 이다. 에서 ′ 가 기함수이므로 에서 ′ ≠ 로 놓을 수 있고, (iii) lim ′ , lim ′ 이때 , lim 이므로 함수 ′ 에서 가 에서 이므로 는 에서 극댓값, 에서 는 극값을 가지므로 극솟값, 에서 극댓값을 갖는다. (참) 에서 연속이다. ′ → 일 때 → ㄷ. 의 그래프의 개형은 다음과 같다. 에서 또는 ± 대칭이므로 로 놓을 수 있다. 이 때, 에서 극값을 가지므로 에서도 극값을 갖는다. ′ 이므로 ∴ ≡ 68. ③ 이고 최고차항의 계수가 1이므로 lim lim → 따라서 축과의 교점의 좌표 중 양수인 것은 이다. 의 그래프가 원점에 대하여 → ∴ [다른 풀이] ≤ ∴ → lim → lim → ∴ (참) lim → 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. lim → 71. ′ lim → lim ⋯ ⋯ ⋯ ′ 따라서 ′ lim 이므로 → ↗ ↘ ↗ 함수 는 에서 미분가능하다. (참) → ㄷ. ′ 로 놓을 수 있다. - 17 - ≤ 정답 및 해설 ′ 에서 또는 선분 O P 의 중점은 선분 A B 의 중점과 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 , 다음과 같다. 같으므로 , 이므로 는 에서 이므로 (참) 일 때 최댓값 을 갖는다. (참) ㄷ. 일 때 따라서 옳은 것은 ㄱ. ㄴ. ㄷ이다. 73. ② ≤ ㄱ. P 라 하면 점 P 의 좌표가 에서 좌표보다 크지 않을 때, [그림 ]과 같이 ′ ′ ′ × 이므로 함수 정사각형의 변 위의 점의 좌표의 최댓값은 점 P 의 좌표이므로 이다. 이므로 × (거짓) 74. 에서 ′ 이므로 ′ 을 만족시키는 의 값은 과 이다. 따라서 함수 은 에서 극댓값 , 에서 극솟값 을 갖는다. 함수 가 인 모든 양수 에서 미분가능하려면 인 모든 양수 에 ′ 대하여 ′ , 곧 ′ 이어야 이때 곡선 과 직선 의 한다. 교점의 개수가 이므로 직선 는 점 곡선 와 직선 의 모든 또는 을 지나야한다. 교점에서의 곡선 의 접선의 기울기가 다라서 양수 의 값은 이다. 이다. ㄱ에서 인 양수 가 존재하므로, ′ 을 만족시켜야 한다. 75. 라 하면 함수 는 따라서 곡선 는 [그림 ]과 같아야 ( 는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이므로 한다. 상수)로 놓을 수 있다. 이므로 lim ∞ 이다. 따라서 인 양수 →∞ ′ 에서 ′ 이므로 가 존재하고 이다. 는 닫힌구간 ⋯⋯ ㉠ 조건 (가)와 조건 (나)에서 곡선 는 두 에서 연속이므로 사잇값의 정리에 직선 와 각각 두 점에서 만나야 의하여 인 가 열린구간 에 한다. 존재한다. 이때 ′ 이므로 곡선 곧, 인 양수 가 존재한다. 는 그림과 같이 직선 와 따라서 어떤 양수 에 대하여 원점에서 접하고, 직선 와 점 이다. (참) 에서 접해야 한다. ㄴ. 일 때, [그림 ]와 같이 정사각형의 나머지 세 꼭짓점을 O , A , B 라 하면 정사각형의 변 위의 점의 좌표의 최댓값은 점 B 의 좌표이다. 따라서 ( 는 양의 상수)로 놓을 수 있다. 에서 이므로 ⋯⋯ ㉠ 에서 이므로 ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서 두 점 A B 에서 축에 내린 수선의 발을 각각 H I 라 하면 OA O B , ∠A O H ∠O BI , ∠H A O ∠IO B 이므로 두 삼각형 O H A 와 BIO 는 합동이다. 점 B 의 좌표를 이라 하면 점 A 의 좌표는 이다. , 즉, ′ 이므로 이때 ㉠ 에서 이므로 이므로 ㉠에서 따라서 이다. 따라서 에서 곡선 와 직선 의 접점의 - 18 - 좌표가 이므로 에서 정답 및 해설 lim lim 이므로 함수 → 는 에서 연속이고 이대 이므로 → ⋯⋯ ㉡ ′ 이므로 ′ 또, lim ′ lim ′ 이므로 함수 → → 에서 적어도 하나의 실근을 가지므로 실근3개와 허근1개를 가질 수 없다. 그러므로 4개의 실근을 갖는다. 81. 조건 (가)에서 곡선 위의 점 는 에서 미분가능하다. 에서의 접선이 축이고, 함수 는 ㉡ ㉢ 에서 함수 의 그래프는 그림과 같고, 곡선 최고차항의 계수가 인 이차함수이므로 위의 점 에서의 접선의 이다. ⋯⋯ ㉢ 방정식은 삼차함수 의 최고차항의 계수가 이므로 따라서 ∴ 인 범위에서 두 곡선 따라서 방정식 가 서로 다른 세 , 는 반드시 한 점에서 실근을 가지려면 ≥ 이므로 의 최솟값은 만난다. 이다. 조건 (다)에서 방정식 는 오직 이므로 × × 하나의 실근을 가지므로 두 곡선 , 79. ② 는 에서 만나는 점을 제외한 76. ① 점에서는 만나지 않아야 한다. 라 하면 또한, 조건 (가)에서 곡선 위의 점 의 에서의 접선의 방정식이 에서의 접선이 축이므로 곡선 이므로 는 차 함수이다. 는 축과 접해야 한다. 또한 조건 (나)에서 는 그러므로 함수 가 극값을 갖는 경우와 을 지나는 최고차항의 극값을 갖지 않는 경우로 나눈 후, 의 계수가 인 차 함수이므로 그래프의 개형을 그려 점 에서 곡선 라 놓을 수 있다. 함수 의 그래프의 개형은 따라서 ′ 에서 이고 에 그은 접선의 개수를 조사하면 오른쪽과 같다. 다음과 같다. 에서 이고 이다. 따라서 라 하면 방정식 이다. (ⅰ) 함수 가 극값을 갖는 경우 의 근은 함수 가 에서 극솟값을 가질 때, 구하는 답은 이다. 곡선 과 직선 가 만나는 점 에서 곡선 에 그은 접선의 교점의 좌표와 같다. 개수는 다음 그림과 같이 축을 포함하여 이때, 이므로 위의 그림에서 의 값에 이다. 77. ④ , ㄱ. 이면 이므로 는 증가한다. ∴참 따라 가 정해지고, 서로 다른 세 점에서 만나기 위해서는 이어야 하므로 ≠ ≠ 따라서 가능한 정수 는 모두 개다. 80. ⑤ ㉠ ′ 이면 는 을 인수로 갖기 때문에 는 로 나누어 떨어진다(참) ㉡ ′ ′ 이면 ′ 또는 ′ 이다 ′ 이면㉠에서 는 ㄴ. 이면 (극댓값)이므로 와 를 인수로 가지므로 은 그림과 같다. 이고 따라서 점 P 의 운동 방향은 한 번 바뀐다. ∴ ′ 이면㉠에서 는 거짓 있다. a ) 이면 점 에서 곡선 에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 같이 축을 포함하여 이다. 와 를 인수로 가지므로 ㄷ. ≤ ≤ 에서 ≥ 이면 된다. 이다. 이 구간에서 최솟값은 이므로 ≥ 따라서 은 허근을 갖지 않는다. 따라서 의 최솟값은 이다. ∴ 참 (참) 78. 한편, 함수 가 에서 극댓값을 가질 때 다음과 같이 세가지로 나누어 생각할 수 ㉢ 라 하면 ′ ′ ′ ′ b) 이면 점 에서 곡선에 ∴ 에 그은 접선의 개수는 다음 그림과 중간값 정리에 의하여 은 구간 같이 축을 포함하여 이다. 하지만 이때는 두 곡선 - 19 - 정답 및 해설 , 는 서로 다른 세 점에서 만난다. 일 때 ≥ 이고, 일 때 점 를 지나고 곡선 와의 c ) 이면 점 에서 곡선 에 그은 접선은 축 뿐이다. 즉 접선의 개수는 다음 그림과 같이 이다. ≤ 이 성립하기 위해서는 함수 의 극솟값이 이상이거나 극댓값이 접점을 이라 하면 이하이어야 한다. ′ 이므로 접선의 방정식은 이다. 이 접선이 를 지나므로 대입하면 ∴ 또한, 점 를 지나고 곡선 의 [함수 의 극솟값이 이상인 경우] 접점을 이라 하면 ′ 이므로 접선의 방정식은 (ⅱ) 함수 가 극값을 갖지 않는 경우 함수 이고, 점 에서 곡선 에 그은 접선의 개수는 그림과 같이 축을 포함하여 이다. 이다. 이 접선이 를 지나므로 대입하면 [함수 의 극댓값이 이하인 경우] 이므로 따라서 이다. 이때 (ⅰ) 함수 의 극솟값이 이상인 경우 ≥ ≤ 이므로 가 양수라는 조건에 모순이다. (ⅱ) 함수 의 극댓값이 이하인 경우 따라서 이므로 ≤ 따라서 ≥ 이때 ㉠에서 의 값은 곡선 와 축이 82. ① 부등식 ≥ 이 모든 실수 에 대하여 항상 성립하기 위해서는 일 때 ≥ 이고, 일 때 ≤ 이어야 (ⅰ), (ⅱ)에서 이다. 한다. 한편, 인 모든 실수 에 대하여 이때 삼차함수 는 연속함수이므로 ≤ ≤ ⋯⋯ ㉠ 이므로 곡선 는 직선 와 ′ 만나거나 아래쪽에 있어야 하고 곡선 ′ 에서 는 직선 와 만나거나 또는 위쪽에 있어야 한다. 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 한편, 직선 는 점 를 지나는 다음과 같다. 만나는 점의 좌표이고 극대인 점의 좌표가 아닌 값이다. 이때 의 값이 증가하면 의 값도 증가하므로 의 값이 최소일 때 의 값도 최소이다. 직선이고, 는 이 직선의 기울기이므로 가 최소가 되는 직선과 최대가 되는 직선은 다음 그림과 같이 접선이다. ⋯ ⋯ ⋯ ′ ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ (ⅰ), (ⅱ)에서 일 때 방정식 즉, 의 실근 중 ≠ 인 따라서 함수 의 그래프의 개형은 다음 값이 의 최솟값이다. 에서 그림과 같다. 또는 따라서 의 최솟값은 이므로 의 최솟값은 - 20 - 정답 및 해설 인 에서 최솟값 을 가지므로 부등식 ≥ 이 모든 실수 에 대하여 항상 성립하기 위해서는 일 때 ≥ 이고, 일 때 ≤ 이어야 한다. 이때 삼차함수 는 연속함수이므로 한편, 방정식 의 서로 다른 실근의 개수가 이므로 방정식 을 lim lim → 그러므로 직선 과 함수 의 ∴ → 일 때 → lim lim 그래프의 개형은 그림과 같다. 일 때 → ∴ ∴ 이므로 1. ④ 만족시키는 서로 다른 실근의 개수는 ⋯⋯ ㉠ 수능 대비 문제 다른 풀이 ⋯⋯ ㉡ 2. ④ 이므로 → 일 때, ∣ ∣ 따라서 모든 실수 에 대하여 lim ≥ lim → → 이 항상 성립해야 하므로 라 하면 ≠ 에서 ≥ 이다. 그런데 는 연속함수이므로 lim ≥ 이 되어 모든 실수 에 → 3. ⑤ 즉, 함수 의 극댓값은 조건 (다)의 방정식 을 풀면 , 조건 (다)에서 방정식 은 서로 ≤ 다른 세 실근을 갖고 위의 그래프에서 방정식 ≥ 의 실근의 개수를 유추하면 이므로 ≤ 또는 ≥ 방정식 의 서로 다른 실근의 개수는 ⋯⋯ ㉢ lim lim → → 또는 대하여 ≥ 이다. ≥ ㄱ. 로 놓으면 이다. lim lim → → ∴ lim lim (참) → → ㄴ. lim → ㉡과 ㉢을 고려하여 그러므로 세 직선 , , 과 라 하면 함수 의 그래프의 개형은 그림과 ′ 같다. lim → ∴ lim (참) → 일 때 일때 ㄷ. lim ≥ 에서 ′ 가 증가하므로 일 때, → ′ ′ 이다. lim 는 ≥ 에서 증가하므로 의 → 최솟값은 ∴ lim (참) → 이다. 따라서 의 최솟값은 이다. 4. ① lim 83. ① → 함수 의 삼차항의 계수를 라 하면 조건 즉, 함수 의 극솟값은 lim lim (가)에 의해 함수 의 그래프와 축이 따라서 함수 의 극댓값은 , 극솟값은 서로 다른 세 점에서 만나므로 함수 × × 이므로 그 합은 의 그래프의 개형은 그림과 같다. 일 때 일 때 P → 일 때 (분자)→ 이고, Q 라 하면 (분모)→ 이어야 한다. 즉, lim 에서 → Q 두 점 P Q 의 속도가 같아지는 시각을 구해보면 함수 는 삼차함수이므로 실수 전체의 , 집합을 치역으로 갖고, 이차함수 ∴ 은 에서의 두 점 P Q 의 위치는 에서 최솟값 을 갖는다. , 은 이 아닌 값에 수렴하므로 lim → P 은 → 5. ① 84. 시각 에서의 두 점 P Q 의 속도를 각각 그러므로 조건 (나)에서 함수 → 이므로 두 점 P Q 사이의 거리는 이다. - 21 - lim ∴ lim → → lim → lim → ∴ ∴ 정답 및 해설 6. ⑤ 9. ⑤ 조건 (나)에 따라서 를 ㄱ. 세 개의 극한값이 모두 존재하므로 는 lim lim × lim → → → …… ㉠ 차례로 대입하면 을 인수로 갖는다. ① lim ② lim → → 즉, 는 으로 나누어 ③ lim ④ lim → → ㄴ. 로 놓으면 lim × lim lim 이므로 ①에 의해 는 을 에서 이다. (참) lim → …… ㉡ ㉠, ㉡에서 결국 두 식은 최고차항의 계수가 인 ㄷ. lim , 으로부터 → ∴ lim lim 삼차함수이므로 로 나타낼 수 인수로 가져야 한다. 또 ②에 의해 는 도 인수로 가진다. 있다. 이 때 ③, ④를 이용하면 아래의 식을 얻을 수 떨어진다. (참) → lim lim → → 7. ② 즉, 는 일차 이상의 차수를 갖게 되므로 조건 (가)에서 이고, 조건 (나)에서 는 5차 이상의 다항함수이다.(참) 이므로 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ( 는 실수) 로 놓을 수 있다. 10. ④ 이때 조건 (가)에서 lim lim ⋯ lim → → → → → → 12. ⑤ 라 하면 이므로 lim , lim →∞ →∞ lim 이므로 는 상수가 아니다. → 이고 이를 풀어주면 lim lim lim → lim lim → → 결국 → lim lim 로 놓으면 → 있다. lim →∞ lim →∞ lim →∞ lim →∞ ㉠ ㉠에서 13. [ 단계] 조건 (가)와 조건 (나)를 이용하여 두 ∴ lim lim 는 각각 lim → → → ∴ 수렴해야 하고, → 일 때 (분모)→ 이므로 추론한다. ∴ lim lim → → (분자)→ 이어야 한다. 즉, 조건 (가)에서 는 최고차항의 계수가 이고 는 인 이차함수이다. ⋯⋯ ㉠ lim → 삼차함수이므로 조건 (나)에서 주어진 극한값이 존재하고 (분모) → → → 8. ② 조건 (나)에서 lim 이므로 → lim → 즉, 이므로 다항함수 와 의 최고차항의 차수를 는 → 이므로 (분자) → 이어야 한다. 상수 ⋯ ㉡로 놓을 수 있다. ㉡에서 즉, lim ∴ ⋯⋯ ㉡ 이므로 lim lim → → ∴ lim lim lim 에서 lim → → lim 위 lim → → → → → [ 단계] 두 함수의 곱이 이차함수가 되는 경우를 나눠 가 상수함수임을 파악한다. (ⅰ) 가 상수함수일 때 이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) 가 일차함수일 때 가 일차함수이고 ㉠에서 두 함수의 일차항의 계수는 곱이 인 두 정수이므로 과 식을 ㉠에 대입하면 즉, 그러므로 이다. ∴ 따라서 이거나 과 이다. 조건 (다)에서 방정식 이 허근을 이므로 따라서 ㉡에서 또는 가지므로 이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 이 허근을 갖는다. 즉, ≺ 이 되어 ≺ ≺ 조건 (가)에서 는 모두 정수이므로 이다. 따라서 [ 단계] 조건의 함수의 극한값을 이용하여 11. ② lim lim ( 는 실수)라 → → 하면 이므로 lim lim lim → → → - 22 - 미정계수를 찾고 두 함수를 구한다. (ⅲ) 가 이차함수일 때 가 상수함수이고 ㉠에서 는 상수, ≠ 정답 및 해설 으로 놓을 수 있다. ㉡에서 lim 의 값이 존재하므로 그 값을 (는 → lim lim → → lim → lim ⋯⋯ ㉢ lim → 따라서 가정에 모순이므로 주어진 명제는 참이다. (참) ㄴ. ⋯⋯ ㉠ → 즉, lim 의 값은 존재한다. (참) → 따라서 이므로 ㄷ. (반례) ≧ , ≧ 이면 14. ② → 가 수렴하도록 하는 자연수 의 lim ≧ 이므로 lim → 최댓값이 이므로 이지만 lim 의 값은 존재하지 않는다. 이라 하자. lim → 자연수 , 에 대하여 lim × × lim 또한 lim 의 최댓값이 이므로 → 임을 알 수 있다. lim → → 가 극한값을 가져야 하므로 는 lim 을 인수로 갖는다. 다항함수 에 대하여 라 하면 → lim lim lim → 가 중 차수가 가장 작은 함수이고 가 을 인수로 가지므로 의 차수는 최소 이다. 가 차함수라면 의 최고차항이 이므로 이며, 이는 → 에 모순이다. lim 가 차함수라면 실수 에 대하여 의 꼴로 나타낼 수 있으며 → → lim lim lim → 따라서 → (참) 18. 에서 로 놓으면 함수 (거짓) 의 그래프와 직선 의 교점의 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 개수가 이다. 그런데 16. 최고차항의 계수가 이고 두 점 A , ≥ P 를 지나는 이차함수 는 이므로 의 그래프는 다음과 같다. 그러므로 점 Q 의 좌표는 Q A P , A Q × AP AQ lim lim lim 이므로 lim 이다. lim →∞ 19. ④ lim →∞ 불연속인 점은 , 이다. →∞ → → →∞ lim →∞ × (가)에서 좌극한과 우극한이 같고, (나)에서 이 때, 의 값은 존재하지 않고, 이므로 (다)에서 이다. ∴ 20. ③ , 이라 하자. 가 모든 실수 에서 연속이려면 즉 임을 알 수 있다. lim × ㄷ. lim → lim → lim → → ⋯⋯ ㉣ ㄴ. lim 이므로 → lim lim lim ㉢, ㉣에서 → 참) ∴ lim (참) → 이므로 × → lim , ( 는 실수)라 하면 × ㉡ ㉠ 에서 lim → → → → → → → → 조건 (다)에서 lim lim lim ⋯⋯ ㉡ 로 놓고 → ㄱ. lim ∞ 이므로 ( lim → lim ∞ 실수)라 하면 조건 (나)에서 → lim ∞ 이다. → 존재한다고 하면 → lim 이므로 ㄱ. lim 의 값이 ( 는 실수)로 → 즉 이므로 → 15. ③ , 에서 연속이어야 한다. 17. ⑤ lim ∞ 이고, → - 23 - lim lim 에서 → → 정답 및 해설 lim lim 이므로 → → ⋯⋯ ㉠ lim → lim 에 → lim lim → → lim → lim → lim 이 → × lim ≥ 이 되어 → × lim 에 모순이다, 에서 → lim lim 서 연속이므로 → → ∴ ≠ 일 때, 이므로 ∴ lim lim × ㉠, ㉡에서 ∴ (참) 이때 × lim 에서 , 은 방정식 , 즉 ㄷ. 이면 므로 ⋯⋯ ㉡ 의 근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 , → → ≤ ≤ 이므로 ≤ 함수 의 그래프는 그림과 같다. 이므로 → , 즉 이므로 23. ③ 이므로 함수 의 , 그래프는 직선 에 대하여 대칭인 ∴ 또는 연속함수이다. 일 때 한편, 를 간단히 하면 다음과 같다. 일 때 (i) 일 때 따라서 의 최댓값은 이다. (ii) 일 때 21. ⑤ (iii) 일 때 ㄱ. (ⅰ) ( 는 정수)일 때, , lim lim lim 이므로 ⇔ 또는 lim 가 성립한다. 이므로 함수 의 그래프는 다음과 같다. → → lim lim → → → → ∴ , , , ⋯ , (ⅱ) ≠ ( 는 정수)일 때, 함수 는 에서 연속이므로 에서 ≥ 이면 에서 lim lim 이므로 모순이므로 → → 함수 는 에서 연속이다. lim lim → → lim lim → → 에서 lim lim 이므로 함수 → → 이때 , ≤ 일 때, 이때, 함수 는 , 일 때 불연속이므로 함수 가 모든 실수 에 ∴ 연속이 되려면 조건 (나)에 의하여 ( 는 정수)일 때, 이어야 한다. 는 에서 연속이다. 따라서 를 만족시키는 이하의 함수 의 그래프는 조건 (나)에 의하여 따라서 의 대칭축의 방정식은 자연수 은 , , , ⋯ , 이다. 함수 가 에서 연속이면 실수 전체의 ⋯ ㉠이고, (ⅰ)에서 의 개수는 이고 (ⅱ)에서 의 집합에서 연속이다. ⋯ ㉡이어야 한다. 개수는 이므로 구하는 자연수 의 개수는 ㉠, ㉡에서 lim lim 이다. (참) 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ∴ 22. 24. 에서 즉 등식 의 양변에 함수 가 모든 실수 에서 연속이 되도록 ∴ 를 대입하면 하려면 lim 이 성립해야 한다. ㄴ. lim lim 에서 → → lim lim → → → → lim ≠ lim 이므로 함수 는 → → 에서 불연속이다. 즉, ( 는 정수) 에서 , 즉 → ∴ 따라서 ≠ 일 때 ∴ lim lim → → 에서 → 일 때, lim → (분모) → 이므로 (분자) → 이어야 한다. lim ∴ 조건 → 이므로 함수 는 ≠ 인 모든 실수 (나)에서 lim 이므로 → 일 때, → lim lim lim 에서 연속이다. (분모) → 이므로 (분자) → 이어야 한다. ∴ × ∴ → → → ≠ 이면 함수 가 에서 - 24 - lim lim → → 정답 및 해설 ∴ 조건 (가)와 조건 lim →∞ (나)를 만족시키는 차수가 최소인 다항함수 ⋅ lim →∞ 이므로 구간 에서 함수 (ⅲ) 일 때, 이므로 함수 다음과 같다. 를 로 놓을 수 있다. 그러나 이때 lim 에서 → lim → lim → ∴ 조건 (나)의 lim 에서 → ≠ 한편, 의 그래프는 의 분모, 분자를 으로 나누면 lim →∞ 따라서 에서 불연속이므로 불연속인 실수 의 개수는 이다. (참) 그런데 함수 는 이 아닌 모든 실수 에 대하여 연속이므로 일 때 연속이 되는 27. lim 조건을 구한다. (가)에서 로 놓으면 lim ≠ 가 일 때 연속이려면 → → lim lim (모순) 따라서 조건 (가)와 조건 (나)를 → 만족시키는 차수가 최소인 다항함수 를 이어야 한다. 즉, lim lim 로 놓을 수 있다. lim 에서 → lim → → → lim → → → ∴ lim lim lim → → → lim lim 라 놓으면 함수 → → 는 에서 연속이므로 → lim → lim → 26. ③ lim ＝ 이어야 한다. 따라서 ≤ 에서 모든 실수 에 대하여 이므로 ≤ 에서 ∴ ⋯⋯ ㉠ 함수 의 그래프는 함수 에서 lim → ≤ 의 그래프를 → 함수 의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다. 축으로 만큼 평행이동한 후 축에 대하여 lim lim → lim lim lim → 대칭이동한 것이다. 따라서 함수 의 그래프는 다음과 같다. → (나)에서 함수 는 에서 lim 연속이므로 → lim lim lim → → → 하면 ∴ 을 ㉠에 대입하면 (참) 에서 ∴ 따라서 [다른 풀이] ∴ 이므로 lim lim 이므로 을 대입하면 ∴ lim × × × × ㄴ. ⋯⋯ ㉡ ㉡ ㉠을 ∴ ㄱ. 읫 그림에서 이므로 한편 lim lim 이므로 → 25. ② → lim 두 함수 와 의 그래프는 다음 → 그림과 같다. 이때 이다. 28. ④ ㄱ. lim lim → 함수 는 에서 불연속이다. → (거짓) ≠ ㄷ. 열린 구간 에서 함수 의 따라서, 함수 는 에서 그래프는 불연속이다. 다음과 같다. ㄴ. lim lim → lim ⋅ → 의 분모, 분자를 으로 나누면 lim ⋅ → lim →∞ → 따라서 lim ≠ 이므로 → → → (ⅰ) 일 때, 이므로 함수 → ⋅ 따라서, 함수 는 에서 연속이다. (ⅱ) 일 때, ㄷ. - 25 - 정답 및 해설 lim 불연속이다. 점에서 연속이다. 따라서 의 → 즉, ≥ 이다. lim 이때 에서 함수 의 연속성을 → 조사하면 따라서, 함수 은 lim 연속성은 와 에서만 조사하면 된다. (i) 에서의 연속성 × lim × 에서 연속이다. → 29. ① → ㄱ. , 가 모두 에서 연속이므로 이므로 함수 가 에서 lim lim lim 연속이려면 × 이어야 따라서 는 에서 연속이다. (참) 일 때, 에서 연속이다. 한다. ㄴ. (반례) , (ii) 에서의 연속성 따라서 × lim × → → → → ≧ 이면 는 불연속이지만 이므로 에서 불연속 는 에서 연속이다. (거짓) lim × ≧ 이면 , 는 함수 은 × 즉, → (ⅰ) 일 때 두 함수 가 모두 ≧ , lim 종로 풀이 에서 연속이고 는 에서 ㄷ. (반례) 그러므로 lim × → lim × 그러므로 → → lim × → 따라서 이면 는 에서 함수 은 × 즉, 또는 일 때, 에서 연속이다. 모두 에서 불연속이지만 불연속 이므로 는 (ⅱ) ≠ 일 때 (i), (ii)에서 따라서 에서 연속이다. (거짓) 는 에서 불연속이므로 이므로 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. lim ≠ lim → → 가 에서 연속이려면 30. ③ 34. ③ 마찬가지로 는 에서 불연속이므로 ㄱ. lim (참) ㄴ. lim 이고 (ⅰ) 일 때 ≠ 이므로 → → 성립하지 않는다. lim 이므로 (ⅱ) 일 때 × 이고 ㄱ. (참) 함수 의 그래프는 오른쪽 lim 이다. 그림과 같다. 따라서 함수 는 실수 전체의 따라서 집합에서 연속이다. 32. ④ 함수 가 ≠ 인 모든 실수 에서 에서 ㄴ. (거짓) 연속이므로 함수 도 ≠ 인 모든 실수 → → 에서 함숫값 이다. lim 이므로 → 는 에서 연속이다. (참) ㄷ. (반례) lim ∘ lim 이고 → → lim ∘ lim 이므로 → → 에서 연속이다. lim lim → → lim lim ∘ 이다. 이므로 lim 의 값이 존재하려면 따라서 lim ∘ ≠ ∘ 이므로 ≥ 이어야 한다. 함수 ∘ 는 에서 불연속이다. 이면 lim lim (거짓) ≥ 이면 31. . ④ → 함수 는 에서만 불연속이고, 함수 ⋅ 이므로 함수 가 lim 따라서 함수 은 에서 는 에서만 불연속이므로 함수 에서 연속이려면 연속이다. lim lim 이어야 ㄷ. (참) 에서 실수 전체의 집합에서 연속이다. 한다. ≥ 일 때, 만일 이면 ∴ ≥ × 따라서 자연수 의 최솟값은 이다. lim ∘ , → → 가 에서만 연속이면 → → → → → lim lim → → → lim → → 일 때, 이므로 양수 에 대하여 함수 의 lim × → lim × 로 놓으면 그래프의 개형은 그림과 같다. 33. ② → 함수 는 에서만 불연속이므로 함수 이므로 함수 가 에서 은 와 을 제외한 모든 - 26 - 정답 및 해설 ≥ 일 때, 교점의 개수는 2 ∴ ′ ∴ ∴ ′ × × × ′ 이므로 ∴ 라 하자. 36. ② 양수 에 대하여 함수 는 에서 로 놓으면 는 연속이고, 함수 는 에서 lim lim 모든 실수에서 연속이다. 불연속이므로 이면 ∴ ∴ 이 때, lim lim ∴ ′ 이므로 함수 는 에서 연속이다. 이므로 방정식 은 개구간 40. ⑤ 에서 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 라 하면 따라서 구하는 양수 의 개수는 이다. 따라서 방정식 방정식 은 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 개구간 에서 적어도 하나의 실근을 lim lim 갖는다. 에서 → → lim →∞ → ∴ ′ → → ′ 이므로 35. ④ → 37. 함수 에서 의 값이 에서 까지 변할 ′ (i) 일 때 때의 평균변화율은 lim lim , lim 이므로 lim → lim → ⋯⋯ ㉠ lim → →∞ →∞ (ii) 일 때 lim lim 이므로 →∞ →∞ 함수 의 에서의 미분계수 ′ 는 (iii) 일 때 lim lim 이므로 →∞ → →∞ (iv) 일 때 lim ∞ 이므로 →∞ ′ lim → ′ lim ⋯⋯ ㉡ 41. ③ 주어진 조건에서 ㉠ ㉡이므로 점 O A B 라 하자. 에서 ′ lim 이므로 → ′ ⋅ ∴ lim lim → → → lim →∞ ∴ (i)~ (iv)에서 또한 이므로 두 38. ① ′ × , lim → ′ ㄱ. 그림에서 (직선 O A 의 기울기)(직선 ′ 따라서 O B 의 기울기)이므로 함수 의 그래프를 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다. 39. (거짓) → ∞ lim ㄴ. 그림에서 직선 A B 으 기울기는 직선 의 차수를 차라 하면 분모는 차 의 기울기인 보다 작으므로 ,분자는 차 이므로 ＜ ∴ ＞ 이므로 ＜ (거짓) ∴ 는 3차이고 최고차항의 계수를 라 하면 양수 의 값에 따른 방정식 의 실근의 개수는 두 그래프의 교점의 개수와 ∴ 같다. ∴ 일 때, 교점의 개수는 3 ㄷ. 그림에서 에서의 접선의 기울기는 에서의 접선의 기울기보다 크다.∴ ′ ＞ ′ (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ이다. 42. ③ ′ ≤ 일 때, 교점의 개수는 4 lim 일 때, 교점의 개수는 5 분모→0, 분자→0이므로 lim ′ 일 때, 교점의 개수는 4 ∴ ＞ 조건 (가)에서 함수 의 그래프가 → → - 27 - 원점에 대하여 대칭이므로 정의역에 속하는 모든 실수 에 대하여 정답 및 해설 가 성립한다. 또한 점 A 을 지나므로 O , A 이므로 직선 O A 의 방정식은 조건 (나)에 의하여 곡선 는 점 일 때, lim → 이므로 lim 일 때, lim lim → → 일 때, ′ ′ ′ ′ lim →∞ 에서 직선 와 만나므로 × (∵ ㉠) × [다른 풀이1] 따라서 의 값이 에서 까지 변할 때의 함수 의 평균변화율은 곡선 는 점 에서 직선 와 접하므로 함수 의 임의의 실수 에 대하여 ∴ ⋯⋯ ㉠ 가 성립한다. 가 에서 미분가능하므로 lim lim → 따라서 의 값이 에서 까지 변할 때의 lim → → lim lim → → ′ ′ ′ lim → lim ∵ ㉠ → lim lim → → 이므로 43. ② 45. ② ′ 모든 실수에서 연속이다. 따라서 는 원소는 개 lim → lim 이고, → × 의 한 근은 무연근 이므로 → 따라서 모든 실수 에 대하여 기울기와 같다. ∴ ′ lim lim → 대칭이다. ∴ 에서의 미분계수의 합은 가 에서 연속이므로 이므로 곡선 는 직선 에 대하여 에서의 미분계수는 직선 의 의 평균변화율과 함수 의 lim →∞ →∞ lim → 함수 가 모든 실수에서 미분가능하므로 에서도 연속이다. ∴ ㉠에서 ∴ 즉, lim lim 이므 → 44. → 로 ′ 이고 는 미분가능한 함수이므로 48. ⑤ 조건 (가)에 의하여 또한, 조건 (가), (나)에 의하여 함수 의 ∴ ⋯⋯ ㉠ ′ lim → 한편, ′ lim → 함수 가 모든 실수에서 미분가능하므로 따라서 lim → 에서도 미분가능하다. ≠ ≤ ≤ 즉, lim lim 이므로 라고 하면 → → lim lim → → lim lim → → 이것을 ㉠ 에 대입하면 ′ ′ ⋯⋯ ㉠ 이때 ∴ ∴ 그래프는 닫힌 구간 에서 축과 접하게 된다. ′ 이므로 ′ 그런데, ≤ ≤ 이므로 일 때 최솟값 , 일 때 최댓값 46. ① lim ≧ lim → lim lim 이므로 는 → → → ∴ × lim lim → → 에서 연속이다. 가 에서 미분가능하므로 49. ′ ′ ′ ′ 주어진 조건을 만족하는 사차함수 그래프 마찬가지로 ′ lim → ∴ 에서 lim ′ lim ′ 이어야 한다. → → ∴ lim → 47. ④ - 28 - 개형이 다음과 같으므로 정답 및 해설 ′ 이다. 한편, ′ ≠ 이므로 ′ 이다. ( 는 상수)라 하면 ′ 에서 ′ 이고, ′ 에서 이다. 에서 이다. (단, ) 양변을 미분하면 ′ 따라서 가 일 때 극값을 가지므로 ∴ 에서 이때 이고 ′ 이므로 ≤ 에서 이고 ≤ ≤ 에서 이다. ∴ 함수 가 모든 실수 에 대하여 또는 이고 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 는 직선 와 곡선 의 교점에서 함수가 바뀔 수 있다. 함수 가 에서 미분가능하면 lim lim 그림과 같이 곡선 는 직선 와 50. 원점에서만 만나면 곡선 는 직선 ∴ × → 에 원점에서 접하므로 이고, ≠ 인 모든 실수 에 대하여 가 되도록 함수 를 정할 수 있다. (참) ㄴ. 곡선 가 원점에서 직선 에 접하므로 ′ (참) ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 , ′ 이므로 로 놓으면 × 이므로 51. ⑤ lim ≥ lim 곡선 와 직선 가 만나는 점의 → (ⅲ) 일 때 또는 ∴ 또는 ∴ ∴ → ∴ → 이다. 이때 개수는 방정식 의 서로 다른 실근의 개수와 같으므로 곡선 와 축이 × lim lim 만나는 점의 개수와 같다. → → 방정식 은 모든 실수 에 대하여 을 근으로 갖는다. 이때 조건 (가)에서 이므로 삼차방정식 ⋯ ㉠ 이므로 함수 는 에서 미분가능하지 함수 는 의 값에 관계없이 은 일 때 오직 하나의 실근 을 않아야 한다. 따라서 함수 는 에서 사차함수이므로 함수 의 함숫값은 함수 가져야 한다. 함수가 바뀐다. 와 실수 의 값에 따라 이상 이하의 또한 ㄱ에서 ≠ 인 모든 실수 에 대하여 또한 일 때, ′ 이므로 정수이다. lim → ㄱ. 직선 는 의 값에 관계없이 원점을 이어야 하므로 삼차방정식 ㉠은 ≠ 일 때 지난다. 이 아닌 또는 lim → (ⅰ) 일 때 서로 다른 실근의 개수가 이어야 한다. 원점을 지나는 직선은 최고차항의 계수가 인 즉, 모든 실수 에 대하여 방정식 ㉠의 서로 사차함수 의 그래프와 반드시 개 다른 실근의 이상의 개수는 이어야 한다. 점에서 만나므로 모든 실수 에 대하여 로 놓으면 ≥ 이다. 곡선 와 직선 는 오직 한 따라서 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 점에서만 만나야 (ⅱ) 일 때 하므로 는 극값을 가지지 않아야 한다. 조건 (가)에서 곡선 는 직선 이때 함수 의 최고차항의 계수가 이므로 와 오직 모든 실수 한 점에서만 만나야 한다. 따라서 인 에 대하여 ′ ≥ lim → 이어야 한다. ……㉠ lim → 에서 곡선 와 직선 의 교점을 A 라 하면 곡선 와 직선 는 그림과 같다. 실수 와 인 실수 가 각각 반드시 이어야 하고 이차방정식의 판별식을 라 하면 ∴ ≥ ⋯ ㉡ 존재하므로 ≤ 조건 (나)를 만족시키지 않는다. ≥ ( ∵ ㉡) ≥ (참) A 이므로 이고, ㉠에서 52. [정답] ② - 29 - 정답 및 해설 [출제의도] 함수의 그래프, 방정식, 미분가능성 등을 활용하여 함수를 추론하고 이완 관련된 이때 ㉠에서 함숫값의 최댓값을 구할 수 있다. [풀이] 이므로 (가)를 만족시키는 최고차항의 계수가 음수인 이다. 사차함수 는 따라서 이다. 또는 또는 (단, ) 이다. 일 때, 함숫값 은 또는 또는 따라서 의 최댓값은 이므로 이다. 그런데, ≤ 또는 ≥ 일 때, 점 P 가 에 있을 때, AB 의 ≥ 이므로 이다. → → lim ′ lim ′ → → 이고 이라 하면 ′ ′ ′ 이다. 또한, ≤ ≤ 에서 두 함수 와 의 그래프는 에서만 만나야 하므로 또는 에서 서로 접해야 한다. (ⅰ) 에서 접할 때, 에서 이므로 또한, ≤ ≤ 에서 ≤ 이므로 ′ 따라서 미분가능한 점은 이다. 은 미분 가능 이므로 ∴ 라 하면 이다. 미분가능하다. 가 에서 미분가능하지 않으므로 (ⅱ) 에서 접할 때, ≠ 이다. 에서 이므로 따라서 (단, 는 ≤ ≥ lim → 에서 ′ ′ ′ ′ ′ 에서 ′ 이다. 따라서 이다. 에서 ′ ⋯ ㉠ 가 에서만 미분가능하지 않으려면 두 함수 의 그래프는 다름 그림과 같아야 한다. ≠ 인 다항식) 방정식 은 삼차방정식이므로 실근이 존재한다. 이 실근을 ≠ 이라 하면, 이므로 이다. 함수 가 에서 미분가능하다.따라서 그런데, ′ 이므로 ′ ′ ′ ′ 는 을 인수로 갖는다. 이므로 에서 는 미분불가능이다. ≠ ≠ )에서 이고, 함수 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 의 최댓값은 이다. 가 에서 미분가능하므로 53. 다른 풀이 54. ② 즉, 는 실수 전체의 집합에서 lim → lim ≤ → ′ ′ 이므로 ≤ lim ≥ → ′ ′ 이고, ⋯ ㉠ 이고, 또한, ≤ ≤ 에서 ≤ 이므로 lim → lim → 과 ≥ 의 는 아래와 같다. lim′ lim ′ ≥ 에 있을 때, A B 의 수직이등분선인 이므로 함수 가 실수 ′ 이고, ≥ 에서 전체에서 미분가능하려면 는 과 이때, ≤ 이므로 의 교점 P 에서 PA P B 이다. 점 Q 가 교점 Q 에서 QA Q B 따라서 에서 미분가능해야 한다. 이므로 ≤ 에서 수직이등분선인 과 (단, ′ 이다. 따라서 는 을 인수로 가지므로 곧, 이어야 하므로 이다. 따라서 (단, ≠ ) 곧, ⋯ ㉡ - 30 - 정답 및 해설 이 때, lim ′ → ′ 이므로 lim → 에서의 접점을 라 하면 lim → 한편, lim 에서 라 → 접선의 방정식은 하면, 접선이 점 를 지나므로 lim → 일 때, → 이므로 lim 에서 → lim lim …… ㉠ ㉠은 접점의 좌표를 세 근으로 갖고 이 때의 ′ lim ′ → 접점의 좌표가 등차수열을 이루므로 세 근을 ㉠,㉡에서 ∴ ′ ′ lim lim → 에서 이고, 이므로 → → 이 므로 → ∴ lim × → ∴ ± ′ × ′ 세 근은 ′ × ′ × ′ 에서 연속이므로 lim lim 에서 → → 이 때, 라 하면 × 이므로 미분계수 ′ 가 존재하므로 lim → lim → lim → ㉠에서 근과 계수의 관계에 의하여 ∴ → → 62. ① ′ ′ ′ 곡선 와 직선 의 교점의 × × 좌표가 , 이고 일 때 접하므로 59. ∴ 조건 (가)에서 로 ′ 이므로 놓으면 점 에서의 접선의 기울기는 ′ lim → 라 하면 lim lim → → , 그러므로 이므로 따라서 에서 , 를 미분하면 그러므로 점 에서의 접선 의 방정식은 ∴ ′ 즉, 조건 (나)에서 ′ 이므로 lim ′ lim ′ ′ ′ 이므로 ∴ 이다. ∴ ′ ≥ 이다. 로 놓으면 이고, lim 이므로 → 55. ④ → 따라서 에서 따라서 접선 의 절편은 이다. 56. ∴ 함수 의 도함수를 구하면 ∴ ′ 이고, ′ ′ × 63. ① 라 하면 57. ③ 60. ④ ′ 이므로 곡선 ′ 직선 의 기울기는 이므로 이 위의 점 에서의 접선의 방정식은 이므로 ′ 직선과 평행한 접선의 기울기도 이다. 이 때, ′ 이므로 ∴ ⋯ ㉠ 58. ⑤ ∴ 또는 ㄱ lim 에서 → 일 때, → 따라서 접점의 좌표는 (분모)→ 이므로 분자 → 이어야 한다. lim 이므로 각각의 접선의 방정식은 접선 ㉠이 점 를 지나므로 ⋯ ㉡ 에 대한 방정식 ㉡의 실근의 개수가 ⋯⋯ ㉠ 이다. → ∴ ㉡위의 한 점 과 ㉠사이의 거리는 와 직선 의 교점의 개수가 lim 에서 → ∣ ∣ 이다. ⋯⋯ ㉡ lim 이므로 → → 일 때, 분자 → 이어야 한다. 61. ① - 31 - 으로 놓으면 곡선 ′ 에서 정답 및 해설 또는 따라서 실수 의 최댓값은 이다. , 의 극값은 65. 점 에서 곡선 에 그은 접선의 66. ② 접점의 좌표를 라 하면 에서 ′ 이므로 따라서 ′ 이므로 접점의 좌표를 접선의 방정식은 이라 하면 접선의 방정식은 이 직선이 점 을 지나므로 위의 등식에 , 를 대입하면 ∴ ⋯ ㉠ 이때 세 개의 접점의 좌표는 에 대한 함수 는 또는 삼차방정식 ㉠ 의 세 실근과 같다. 이때, 라 하면 따라서 구하는 좌표의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 67. 이므로 에서 불연속이다. 이므로 는 두 점 ∴ ∴ 를 지나는 직선의 기울기를 의미한다. ′ 64. ② 따라서 제 사분면 위의 점 에 대하여 주어진 조건에 의하여 가 최소가 될 때는 원점을 지나는 직선이 ′ 에서 (는 상수)로 놓으면 또는 ′ 이므로 에서 극소, 에서 극대이고 ′ ≤ 에서 , 이므로 ≤ ⋯⋯ ㉠ 즉, ㉠ 이 모든 실수 에 대하여 성립해야 에서 일 때 , 일 때 하므로 이다. 두 곡선 따라서 가 그림과 같아야 한다. 곡선 에 접할 때이다. ′ 이므로 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 ⋯⋯ ㉠ ㉠은 원점을 지나고 이므로 ∴ 모든 실수 에서 함수 가 연속이 되기 따라서 이므로 위한 조건을 살펴보자. 함수 가 모든 실수 에서 연속이고, 함수 즉, 실수 의 최댓값은 점 에서 곡선 에 그은 접선이 일 때이므로 접점을 이라 하면 ′ 에서 이 접선이 점 을 지나므로 즉, 접선의 기울기는 × 이므로 가 , 를 제외한 모든 68. 실수에서 연속이므로 함수 는 이므로 , 를 제외한 모든 실수에서 ′ 연속이다. 따라서 점 에서의 접선의 방정식은 따라서 함수 가 , 에서 연속이면 모든 실수에서 연속이다. 이므로 절편은 일 때, lim , → lim , 이므로 → lim → lim → 즉, × × × 가 성립하려면 이어야 한다. 같은 방법으로 일 때 연속이려면 이어야 한다. 따라서 , 는 방정식 의 두 근이므로 에서 또는 따라서 이므로 - 32 - ′ 에서 또는 따라서 의 극솟값은 이므로 극댓값은 × × 69. ④ 함수 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여 ′ 를 만족시키는 가 와 사이에 존재한다. 즉, 따라서 → ∞ 이면 → ∞ 이므로 lim lim ′ →∞ →∞ 정답 및 해설 ⋅ 갖는다. (참) 즉, 가 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 70. ② 성립해야 하므로 ′ 에서 ′ , ′ ∴ ∵ ′ 이므 ∴ 따라서 로 또 에서 이때, 이고 이 함수는 ′ ′ ′ 에서 극소이고 극솟값은 71. ① 이고, 함수 가 에서 연속이면 임의의 실수 에 대하여 이므로 일 때, 이면 는 lim lim 구간 ( ∞ ∞ )에서 증가함수이므로 모든 실수 에 대하여 ′ ≧ 이다. 74. ② → ′ lim lim → ′ ∴ ≦ ≦ 따라서 , 에서 극값을 가지므로 개다. → 함수 의 증감표를 만들면 다음과 같다. ′ ≧ 이려면 ≦ ′ 에서 → 따라서 lim ≠ lim → → 75. 극댓값을 갖는 점과 극솟값을 갖는 점의 좌표가 각각 , 이므로 ′ 의 두 근이 이다. 따라서, 정수 의 개수는 (개) 이다. 이므로 lim 의 값이 존재하지 → ∴ , 72. ② 않는다. 한편, 직선 의 기울기는 에서 그러므로 함수 는 에서 ′ 미분가능하지 않다. (거짓) (ⅰ) 일 때, 가 감소하므로 ′ ≤ 이어야 한다. ㄷ. ′ ⋯⋯ ㉣ ∴ ≥ (ⅱ) 일 때, 가 증가하므로 ′ ≥ 이어야 한다. ∴ ≥ (ⅰ), (ⅱ)에 의해서 ≥ ≤ ≥ (단, 는 적분상수) 이때 함수 는 에서 연속이므로 ≤ lim lim ∴ ≤ ≤ → → 이어야 한다. ∴ 73. ④ ㄱ. 조건 (가)에서 ′ 이고, ′ 이다. 이때 조건 (나)에서 모든 실수 에 대하여 ′ × ′ 즉, ′ 이므로 ⋯⋯ ㉠ 가 성립해야 하므로 ′ × ′ ′ × ′ 이때 ≠ 이므로 ′ ′ 따라서 삼차함수 는 최고차항의 계수가 이고, 한편, ㉣에서 함수 는 구간 에서 감소하고 구간 에서 증가하므로 에서 극소이다. ∴ 76. ⑤ 함수 는 에서 극댓값을 가지므로 ′ 의 부호는 다음과 같다. ⋯ ⋯ ′ ↗ (극대) ↘ 이때 함수 의 극솟값이 이면 ㄱ. [반례] 이라 하면 함수 는 에서 극댓값을 갖지만 함수 ∴ ≥ 이때 함수 는 와 에서 극댓값을 갖고, 은 에서 극솟값을 갖는다. (거짓) ㄴ. 는 에서 극댓값을 가지므로, 충분히 작은 양수 에 대하여 이다. 함수 를 이라 하면 는 ′ ′ 이므로 축에 대하여 대칭이므로 ′ ⋯⋯ ㉡ 이다. 한편, 또, 삼차함수 는 최고차항의 계수가 이므로 이고 이고, 이다. ′ ′ 이므로 따라서 함수 는 에서 ′ ⋯⋯ ㉢ 극댓값을 갖는다. (참) 이때 이면 함수 는 에서 ㄷ. 함수 라 하면 극솟값을 가지므로 조건 (가)에 모순이다. (ⅰ) → 인 경우 ∴ (참) ′ ′ ㄴ. ㉠, ㉡, ㉢에서 모든 실수 에 대하여 이때, ′ 이므로 ′ 이다. 따라서 함수 는 에서 최댓값 을 (ⅱ) → 인 경우 - 33 - 정답 및 해설 ′ ′ 79. ② 이용하여 명제의 참, 거짓을 구할 수 있는가? 이때, ′ 이므로 ′ 이다. 에서 [풀이] (ⅰ), (ⅱ)에 의해 함수 는 ′ ㄱ. ≠ 라고 에서 극댓값을 갖는다. (참) ′ 에서 또는 하면 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ≤ ≤ 에서 의 증감을 조사하면 ′ 이므로 다음과 같다. ′ ′ 에서 이고 77. ③ 함수 는 에서 연속이므로 lim lim 에서 → → ′ ⋯ ↗ 극대 ⋯ ↘ 따라서 의 극댓값은 ⋯⋯ ㉠ ∴ lim lim 에서 이므로 ⋯⋯ ㉡ ∴ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 따라서 ≥ 이고 의 그래프는 그림과 같다. 따라서, ↗ ′ 이므로 ′ 는 에서 최솟값을 갖는다. 구간의 양 끝 값은 → 에서 극댓값을 가지므로 ⋯ ′ 에서 이다. 극솟값은 이고 함수 는 에서 연속이므로 → 극소 (참) 의 최댓값은 이다. ㄴ. ′ 즉, 이므로 이고 조건 (가)에 으하여 삼차함수 는 80. ④ 따라서, 그림과 같이 방정식 는 이라는 조건으로부터 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참) 에서 극솟값을 갖는다. 삼차방정식 의 세 근 중 두 근이 라는 사실과 가 를 인수로 가진다는 사실을 알 수 있다. 또한, ′ ′ 이라는 조건으로부터 이차방정식 ′ 의 두 근이 라는 사실과 ′ 가 를 인수로 가진다는 사실을 알 수 있다. 우선 ′ 모두 를 인수로 에서 ′ 가지고 있다는 사실에 주목하면 는 을 인수로 가지고 있음을 알 수 있다. ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 ′ 에서 (이차 이상이 되어야 미분을 해도 인수 ′ 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 가 남아있다.) 또한, 다른 한 인수는 이므로 점 에서의 접선의 다음과 같다. 이므로 가 상수일 때 방정식은 이를 미분하면 ⋯ ㉠ ′ ㆍ ㉠에 점 즉, 를 대입하면 등식이 성립하므로 점 따라서 극댓값 극솟값 에서의 접선의 방정식은 점 이므로 그런데, ′ 는 를 인수로 가지므로 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 이다. 83. 78. ④ 81. 사차항의 계수가 양수인 사차함수 가 축과 교점의 좌표가 이므로 극댓값을 갖는다. ⇔ 함수 는 극대 또는 극소인 점을 개 갖는다. ⇔ 삼차방정식 ′ 은 서로 다른 세 실근을 갖는다. 를 지난다. (참) 조건 (가)에서 lim lim 이므로 로 놓으면 → → …… ㉠ 조건 (가)와 조건 (나)에서 lim lim 이므로 ′ → …… ㉡ 에서 ′ → 조건 (가)에서 lim 이므로 → 이고 → 일 때 → 이어야 한다. 이 때, 에서 극값을 가지므로 방정식 은 인 근을 방정식 ′ 의 두 근이 이다. 가지므로 이차방정식 은 따라서, 근과 계수와의 관계로부터 을 갖는다. …… ㉢ ≠ 인 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㉠, ㉡, ㉢에서 따라서 ≠ 이고 ∙ ∴ 또는 82. [정답] ⑤ 조건 (다)에서 함수 가 에서 [출제의도] 삼차함수의 그래프의 특징을 불연속인 실수 의 개수는 이므로 두 함수 따라서 함수 는 에서 극댓값 (는 상수) 로 놓을 수 있다. - 34 - 정답 및 해설 의 그래프는 그림과 같고, 방정식 ′ 의 두 실근은 함수 의 극솟값은 이어야 한다. 이고 근과 계수의 관계에 의하여 따라서 두 곡선 g 의 교점 A B 의 좌표는 A B 이다. 이므로 두 점 , 이때 직선 A B 의 방정식은 이므로 의 중점은 이다. 기울기가 이고 곡선 g 에 또한 열린구간 에서 접하는 직선의 접점을 각각 P ′ Q ′ 이라 하면 ′ 이고 이므로 사각형 A P BQ 의 넓이의 최댓값은 두 삼각형 A P ′Q ′ BP ′Q ′ 의 넓이의 합이다. 에서 ′ g′ 이고, 그러므로 방정식 의 실근의 ′ g′ 에서 이므로 개수는 이다. (참) 두 접점 P ′ Q ′ 의 좌표는 85. ⑤ P ′ Q ′ 이다. 극솟값은 이므로 에서 P ′Q ′ 이므로 ∴ ′ ∆A P ′Q ′ ∆BP ′Q ′ ′ 에서 , 따라서 이므로 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 이므로 ′ ′ 에서 ± 이고 함수 의 또는 따라서 함수 는 에서 극대, 에서 극소이며, 두 구간 ∞ , 84. ⑤ ㄱ. 이면 , 는 각각 극댓값, 극솟값이므로 ∞ 에서 증가하고 구간 에서 감소한다. 87. ④ 으로 놓으면 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. ∴ ′ ∴ × ′ 에서 또는 이고, ′ ′ 이므로 ′ ′ (참) ㄴ. ′ 이고 함수 는 에서 극댓값을 가지므로 ′ 그러므로 이다. ≤ 또는 ≥ 이면 구간 에서 두 함수 , ′ 의 그래프는 다음 함수 가 증가하므로 그 구간에서 그림과 같이 에서 오직 한 개의 최솟값은 존재하지 않는다. 교점을 가지므로 방정식 은 열린구간 ≤ ≤ 이면 구간 에서 함수 에서 오직 하나의 실근을 갖는다. (참) ⋯ ⋯ ⋯ ′ ↘ ↘ ↗ 의 최솟값은 이고, 이면 최솟값은 이다. 일 때, , 이므로 이다. 따라서 구간 에서 함수 의 최솟값은 존재하지 않는다. 따라서 조건을 만족시키는 정수 의 값은 ㄷ. 라 하면 ′ 이므로 이므로 그 합은 ′ 이때 이므로 86. , g 에서 ∴ ⋯⋯ ㉠ 즉, 이므로 ′ ∴ 또는 - 35 - 따라서 의 그래프는 [그림 1]과 같고, 의 그래프는 [그림 2]와 같다. 이므로 정답 및 해설 ∴ ′ 에서 또는 88. 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 ≤ ≤ 일 때, 구간 에서 함수 다음과 같다. 의 최댓값은 에서의 함숫값이므로 ′ 에서 또는 또는 × 이므로 함수 는 일 때 최댓값 을 갖는다. (참) ′ 따라서 옳은 것은 ㄱ. ㄴ. ㄷ이다. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ - 0 + 0 - 0 + ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ ′ 따라서 사차함수 의 그래프는 오른쪽 ∴ ′ ⋅ ⋅ 90. ① 그림과 같이 직선 와 서로 다른 두 점에서 두 정사각형의 공통부분의 넓이를 이라 만나므로 사차방정식 은 서로 하면 다른 개의 실근을 갖는다. 89. ⑤ ㄱ. 일 때, 에서 ′ ≺ ≺ ′ ′ 에서 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 따라서 방정식 의 실근은 두 함수 따라서 의 최댓값은 다음과 같다. 또는 93. ① 의 교점의 좌표이다. 91. ③ 두 곡선 과 가 서로 다른 세 점에서 만나려면 방정식 따라서 닫힌구간 에서 함수 의 최댓값은 이므로 이다. (참) ㄴ. 닫힌구간 에서 함수 의 최댓값 이 방정식을 우변에 를 남겨 두고, 를 이항하여 정리하면 는 ≤ 일 때 이고, 일 때 ≤ ∴ 가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다. 가 되므로 이 방정식의 실근은 와 의 교점의 좌표와 같다. → 는 94. ⑤ 에서 로 놓으면 에서 연속이다. lim lim → 개의 음의 실근을 가져야 하므로 따라서 정수 의 개수는 개다. 이때 , lim 이므로 함수 방정식이 서로 다른 두 개의 양의 실근과 한 → lim → lim → ′ ′ 에 서 lim 일 때 극댓값 , lim → 을 가지므로 의 그래프의 개형은 오른쪽 → ′ 에서 또는 함수 의 증감을 조사하면 아래와 같다. 일 때 극솟값 ⋯ ⋯ ⋯ ′ ↗ (극 대) ↘ (극 소) ↗ lim → 위의 그림과 같다. 주어진 삼차방정식이 한 개의 양근과 두 개의 따라서 와 이 함수의 그래프가 서로 다른 허근을 가질 때는 의 그래프와 직선 lim 세 점에서 만나기 위한 값의 범위는 의 교점이 축의 오른쪽에 한 개만 있을 이 된다. 때이므로 구하는 의 값의 범위는 → 따라서 ′ lim 이므로 → 함수 는 에서 미분가능하다. (참) ㄷ. ′ 92. ③ ≤ - 36 - 정답 및 해설 따라서 방정식 은 서로 다른 네 개의 실근을 갖는다. ㄷ. 에서 또는 95. ② ㄱ. (반례) 이라 하면 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. 그러나 ′ 이므로 이므로 이를 만족시키는 의 (ⅰ) 인 경우 그래프의 개형은 다음 그림과 같고, [그림 ]의 ′ ′ 이므로 위 그림에서 경우에도 조건을 만족하지만 한 개의 실근을 (ⅱ) 인 경우 갖는다. (거짓) 에서 에 그은 접선의 접점을 라 할때 ′ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다(거짓) ′ ′ 이므로 [참고] 따라서 의 개수는 이다. (참) 가 다음 그림과 같을 때, 98. ② 은 하나의 실근만 갖고 ㄱ. (반례) 이라 하면 은 서로 다른 두 실근만 갖지만 이므로 서로 다른 두 실근을 ′ 은 서로 다른 두 실근을 가진다. 갖는다. 그러나 ′ 이므로 ′ 은 서로 다른 두 실근을 갖는다(거짓) ㄴ. (반례) 라 하면 이므로 실근 [참고] 이상에서 옳은 것은 ㄴ이다. 개와 허근 개를 가진다. 그러나 가 다음 그림과 같을 때, 은 하나의 실근만 갖고 ′ 이므로 ′ 은 중근을 97. ③ 은 서로 다른 두 실근만 갖지만 가진다.(거짓) (가) 조건에 의해 ′ 은 서로 다른 두 실근을 가진다. ㄷ. 명제 ′ 이 허근을 가지면 은 허근을 갖는다.의 대우는 ∴ …㉠ 이 실근만을 가지면 ′ 도 (나) 조건에 의해 실 근만을 가진다.이다 ㄴ. (반례) 라 하면 의 최고차항의 계수가 양수일 때, 이므로 실근 이 실근 만 가지면 의 ∴ …㉡ 개와 허근 개를 가진다. 그러나 그래프는 아래와 같다. ㄱ. ′ ′ 이므로 ′ 은 중근을 ㉠, ㉡에 의해 가진다.(거짓) ⇒ (∵ ) ㄷ. 명제 ′ 이 허근을 가지면 즉, 에서 ′ 은 서로 다른 두 실근을 가지고 은 이므로 ′ 은 중근을 가진다. 의 최고차항의 계수가 음수일 때에도 마찬가지 다.(참) 따라서 옳은 것은 ㄷ이다. 96. ① ㄱ. 다음 그림과 같이 인 경우에도 방정식 은 서로 다른 두 개의 실근을 갖는다. (거짓) 은 허근을 갖는다.의 대우는 따라서 (참) 이 실근만을 가지면 ′ 도 ㄴ. ′ 이고 실 근만을 가진다.이다 , 이므로 의 최고차항의 계수가 양수일 때, ∴ ′ 이 실근 만 가지면 의 ′ 그래프는 아래와 같다. 사이값 정리에 의해 ′ 는 에서 근을 가진다. ′ 이라 하면 가 에서 ′ 이다 (거짓) ㄷ. ′ 라 하면 ′ 는 을 지나는 직선이다. 삼차함수 와 직선이 개의 교점을 가지려면 직선은 의 접선이어야 한다. ㄱ에 의해 ′ 는 두 근을 갖고 따라서 에서 에 그은 접선은 , 의 두 개이다. 즉, 에서 ′ 은 서로 다른 두 실근을 가지고 은 이므로 ′ 은 중근을 가진다. 의 최고차항의 계수가 음수일 때에도 마찬가지 다.(참) 따라서 옳은 것은 ㄷ이다. 99. 조건 (나)에서 방정식 이 서로 다른 세 실근을 가지며 조건 (다)에서 함수 는 에서 극댓값 을 ㄴ. 이면 가지므로 그 그래프는 아래 그림과 같다. 이므로 의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다. - 37 - 정답 및 해설 ′ 에서 ′ ≥ ≤ 또는 ≥ (ⅰ) 인 경우 위의 그림에서 함수 는 에서 극솟값 을 가지므로 구하는 삼차함수는 다음과 같다. ′ 조건 (가)에서 ′ ′ 이므로 위 식에 , 을 대입하면 ∴ 따라서 이므로 ′ ……㉠ 조건 (나)에서 ′ 이므로 ㉠에서 ′ 이므로 이므로 ……㉡ 조건 (나)에서 ′ 이고 ≠ (ⅱ) 인 경우 ㉡에서 이므로 ′ 100. ② ㉠에서 ′ 에서 ′ 모든 실수 에 대하여 를 또는 이므로 만족시키므로 라 하자. 이때 방정식 이 서로 다른 세 실근을 가지므로 함수 의 그래프와 직선 은 그림과 같아야 한다. 또는 조건 (나)에서 이므로 따라서 이므로 또는 (ⅲ) 인 경우 ′ 이차방정식 ′ 에서 이차방정식 ′ 의 판별식을 라 하면 즉, 방정식 의 한 근이 이므로 나머지 두 근은 이다. ∴ 따라서 이므로 ′ 즉, ′ 에서 또는 또는 이므로 극솟값은 101. × × 이므로 이차방정식 ′ 은 의 값에 관계없이 서로 다른 두 실근을 이므로 갖는다. 서로 다른 두 실근을 라 하자. 이려면 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 를 ≤ 이어야 한다. 만족시키는 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 자연수 은 따라서 102. ③ 두 함수 ′ 의 그래프는 라 하면 그림과 같다. ′ 조건 (가)에서 인 양수 가 존재한다. 이때 ′ 에서 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. 또는 이고, 함수 의 조건 (가)에 의하여 함수 의 그래프는 점 에서 직선 과 접한다. ≥ 이므로 - 38 - 그러므로 방정식 이 ≤ ≤ 정답 및 해설 에서 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 함수 또는 의 그래프가 다음 그림과 같아야 (ⅰ) 일 때, 한다. lim lim → 또는 → (ⅱ) 인 경우 lim 일 때, 다음 그림과 같이 두 점 , 을 지나는 직선의 기울기 의 값 에 대하여 함수 가 불연속이므로 의 값 중 가장 작은 값은 이 아니다. → 이 값은 ㉠의 값과 다르므로 일 때 함수 는 미분가능하지 않다. (ⅱ) 일 때, 이 때 이므로 lim lim → 이다. → 그러므로 조건을 만족시키기 위해서는 lim ≥ 이고 이어야 한다. 이 값은 ㉠의 값과 같으므로 일 때 함수 → ≥ 에서 ≥ ≥ ⋯㉠ 또, 에서 ⋯㉡ 는 미분가능하다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 의 값은 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 이다. 이다. 한편, 조건 (나)에서 모든 실수 에 대하여 그러므로 점 을 지나고, 기울기가 인 ≥ 이어야하므로 함수 의 따라서 ㉠,㉡에서 직선과 함수 의 그래프의 개형은 그래프는 함수 의 그래프보다 위쪽에 ≤ 이므로 구하는 정수 의 다음 그림과 같다. 있거나 접해야 한다. 개수는 이다. 103. 함수 의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다. 직선 의 절편이 ≠ 이고, 곡선 위의 함수 가 에서 불연속이 되는 경우는 또는 인 경우 뿐 이다. (ⅰ) 인 경우 또는 ① 인 경우 인 범위에서 점 에서의 접선의 기울기가 이므로 일 때, 함수 와 , 일 때, 접하고 기울기가 인 접선의 접점을 일 때, ( )라 하자. 일 때, ′ , , ⋯ , 일 때, ′ ′ 일 때, ∴ × × 이때 접선의 기울기가 이므로 이므로 ′ 104. 따라서 그림과 같이 일 때 함수 다항함수이므로 이 범위에서 미분가능하다. 가 불연속이므로 의 값 중 가장 작은 한편, 조건 (가)에서 함수 가 실수 전체의 값은 이 아니다. 집합에서 미분가능해야 하므로 함수 는 함수 는 , 일 때, 에서 미분가능해야 한다. 즉, lim 이어야 lim → → , 또는 이때 그러므로 접선의 방정식은 , 한다. 따라서 ≥ 이므로 의 최솟값은 이다. 이때 그러므로 lim ⋯⋯ ㉠ lim → → 105. ② 인 범위에서 곡선 와 또, lim lim → → 에서 접할 때의 기울기 의 값 에 대하여 함수 여기서 → 일 때 (분모)→ 이고, 극한값이 또는 가 불연속이므로 의 값 중 가장 작은 존재해야 하므로 (분자)→ 에서 이므로 함수 는 에서 극댓값 lim , 를 갖고, 에서 극솟값 ② 인 경우 그림과 같이 점 을 지나는 직선이 값은 이 아니다. → - 39 - ′ 을 갖는다. 정답 및 해설 따라서 함수 는 극댓값 , ㄷ. 에서 접선은 극솟값 를 갖고, 함수 는 ′ 이고, 극댓값 , 극솟값 를 갖는다. 에서 ′ 이다. (i) 즉, 일 때, 에서는 이면 함수 는 , 이다. 에서 불연속이므로 불연속점의 개수는 ′ 를 만족시키려면 이다. ㄴ의 결과에서 이므로 자연수 의 개수는 5이다. 107. 시각 에서의 두 점 P Q 의 속도를 각각 P Q 라 하면 P (ii) 즉, 일 때, Q 두 점 P Q 의 속도가 같아지는 시각을 구해보면 , ∴ 에서의 두 점 P Q 의 위치는 , 따라서 함수 는 에서 불연속이므로 불연속점의 개수는 이다. ∴ 이므로 두 점 P Q 사이의 거리는 이다. 108. ① 점 의 속도 를 구하면 ′ 이므로 출발할 때와 반대방향으로 움직인 시각은 ≦ ⇔ ≦ (iii) 즉, 일 때, 함수 ⇔ ≦ 는 ⇔ ≦ ⇔ ≦ ≦ 에서 이므로 불연속이므로 불연속점의 개수는 이다. 움직인 거리는 109. ④ 라 놓으면 ′ ′ ′ 따라서, 는 감소함이고, ≦ 일 때, ≧ 일 때, 이다. (i)~(iii)에 의하여 ㄱ. ∴ ∴ 참 106. ⑤ ㄱ. , 으로부터 ㄴ. 에서의 접선이 점 을 지날 때이므로 ′ 에서 ′ ㄴ. ∴ ∴ 거짓 ㄷ. 는 감소함수이므로 즉, ∴ ∴ 참 점 을 대입하면 , , ∴ - 40 -