Universidad Tecnológica Nacional – F.R.H.
1
SEMINARIO UNIVERSITARIO – FINAL DE MATEMÁTICA
FINAL DE MATEMÁTICA
Resuelto por equipó de Tutores Pares
a
2
b
a
3
b
a
4
b
a
b
Escriba todos los cálculos en forma clara y prolija
Comisión:
Especialidad:
Nota:
Tema: 34
Apellido y Nombre:
DNI:
Colegio de Procedencia:
Fecha: 18 de Febrero del 2025
EJERCICIO 1
a) Simplifique y elimine cualquier
exponente negativo de la
expresión:
52 ∙ 𝑚3 ∙ 58 ∙ 𝑛−3 ∙ 𝑝 5
25 ∙ 𝑝 −5 ∙ 𝑛 ∙ 𝑚6
b) Calcule el o los valores del parámetro
“k” para que el polinomio:
𝑃(𝑥) = 𝑥 8 − 𝑘𝑥 4 + 1
Sea divisible por:
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1
a) Halle el conjunto de todos los números reales tales que su distancia a 3 sea
menor a 6
EJERCICIO 2
b) En un vivero, María plantó seis árboles más que su Hermana. Si entre las dos
plantaron 28 árboles ¿Cuántos plantó María? ¿Y su Hermana?
La temperatura, en grados Celsius, que alcanza el motor de un auto en los primeros
quince minutos puede determinarse mediante la fórmula:
𝑓(𝑥) =
8
16
⋅ 𝑥2 −
⋅ 𝑥 + 10
25
25
Donde “x” están expresados en minutos
EJERCICIO 3
Calcule:
a) ¿Cuál es la temperatura inicial del motor? ¿Qué temperatura alcanza el motor
al cabo de 5 minutos? ¿En qué minuto alcanza los 34°C?
b) Calcule el dominio, imagen, vértice, ordenada al origen, eje de simetría en el
contexto del problema y represente gráficamente.
a) El movimiento de una partícula se modeliza mediante la función:
𝑓(𝑡) = 3 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(2𝜋 ⋅ 𝑡)
EJERCICIO 4
Donde 𝑓(𝑡) representa el movimiento de la partícula en metros y el tiempo
medido en segundos.
Calcule: Dominio, amplitud, período, frecuencia, pulsación, imagen y su
representación gráfica en un periodo en el contexto del problema.
b) Un Dirigible que está volando a 800m de altura, distingue un pueblo con un
ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia horizontal del pueblo se halla?
Resolución:
1.a)
52 ∙ 𝑚3 ∙ 58 ∙ 𝑛−3 ∙ 𝑝 5
25 ∙ 𝑝 −5 ∙ 𝑛 ∙ 𝑚6
Agrupamos por grupos de la misma especie
52 ∙ 58 𝑚3 𝑛−3 𝑝 5
∙ 6∙
∙
25
𝑚
𝑛 𝑝 −5
Resuelvo los exponentes negativos
25 ∙ 58 𝑚3
1
𝑝5 ∙ 𝑝5
∙ 6∙
∙
25
𝑚 𝑛 ∙ 𝑛3
1
Resolviendo los cocientes queda:
58 ∙
1 1
∙ ∙ 𝑝10
𝑚3 𝑛 4
Acomodando:
58 ∙ 𝑝10
𝑚3 ∙ 𝑛 4
_____________________________________________________________________________________
1.b) Sabemos que 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1 es un divisor del polinomio, y su resto nos da cero.
Buscamos la raíz de (𝑥 + 1) = 0 y entonces nos queda que la raíz de 𝑄(𝑥) es 𝑥 = −1
(Esa es la explicación de por que cambiamos el signo
Por el teorema del resto podemos plantear que 𝑃(𝑥=−1) = 0 entonces:
𝑥8 − 𝑘 ∙ 𝑥4 + 1 = 0
Reemplazamos x por (-1)
(−1)8 − 𝑘 ∙ (−1)4 + 1 = 0
Despejamos k
1−𝑘+1= 0
𝑘=2
Verificamos por Ruffini
𝑃(𝑥) = 𝑥 8 − 2𝑥 4 + 1
𝑃(𝑥) = 𝑥 8 + 0𝑥 7 + 0𝑥 6 + 0𝑥 5 − 2𝑥 4 + 0𝑥 3 + 0𝑥 2 + 0𝑥 + 1
𝑄(𝑥) = 𝑥 + 1
1 0 0 0 -2 0 0 0 1
-1
-1 1 -1 1 1 -1 1 -1
1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0
2.a)
Resolución analítica
Planteamos formula de distancia como inecuación
|𝑥 − 3| < 6
Divido el modulo en los dos casos, recordando que en el caso negativo pasa un (-1) cambia el sentido de
la desigualdad
𝑥−3 < 6
{
𝑥 − 3 > −6
𝑥<9
resolviendo: {
𝑥 > −3
solución : (-3;9) 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 {𝑥 ∈ ℝ⁄−3 < 𝑥 < 9}
Resolución gráfica
2.b) Para resolver hay que plantearlo como un sistema de ecuaciones, declaro las variables:
M: Maria
H: Hermana
Planteo las ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales 2x2
𝑀 =𝐻+6
{
𝑀 + 𝐻 = 28
(𝑒𝑐. 1)
(𝑒𝑐. 2)
Reemplazo el valor de M en (ec.2) con la (ec.1) (método sustitución)
(𝐻 + 6) + 𝐻 = 28
Despejo la cantidad de árboles que planto la Hermana
2 ∙ 𝐻 = 28 − 6
𝐻=
22
2
𝐻 = 11
Con el valor de H puedo reemplazar en la ecuación 1 o en la ecuación 2 y despejar cuantos arboles planto
Maria
𝑀=𝐻+6
𝑀 = 11 + 6
𝑀 = 17
Respuesta: María planto 17 arboles y su hermana 11 árboles.
3.a) Para la temperatura inicial planteamos 𝑓(𝑥=0)
Nos queda:
𝑓(0) =
8
16
⋅ 02 −
⋅ 0 + 10
25
25
𝑓(0) = 10
Ese valor es justamente la ordenada al origen. (coeficiente “c” de la función)
Para temperatura a los 5 minutos planteamos 𝑓(𝑥=5)
𝑓(5) =
8
16
⋅ 52 −
⋅ 5 + 10
25
25
𝑓(5) = 14,8
Para el minuto en el que la temperatura alcanza los 34°C, planteamos 𝑓(𝑥) = 34 y despejamos x.
Nos queda la siguiente ecuación para resolver:
8
16
⋅ 𝑥2 −
⋅ 𝑥 + 10 = 34
25
25
8
16
⋅ 𝑥2 −
⋅ 𝑥 − 24 = 0
25
25
Aplicamos formula de la resolvente con valores a=8/25, b=-16/25, c=-24
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
16
16
8
−(− ) ± √(− )2 − 4 ⋅
⋅ (−24)
25
25
25
𝑥1,2 =
8
2⋅
25
𝑥=
𝑥1 = 9,718
⋁
𝑥2 = −7,718
Como el tiempo no puede ser negativo nos quedamos solo con el resultado positivo. (Ver dominio de 𝐹(𝑥))
Respuesta: La temperatura inicial del motor es de 10°C, a los 5 minutos alcanza una temperatura de 15°C
y la temperatura de 34°C a alcanza a los 10 minutos (9min 43,5 segundos)
3.b) Si bien el dominio los polinomios son todos los reales, el enunciado nos dice que la función solo es
valida durante los primeros 15 minutos, por lo tanto, en el contexto del problema:
Dominio: [0 ; 15]
Para la imagen, hay que ver los valores desde el mínimo (en este caso el vértice) hasta donde termina
𝑓(15) = 72,4, o bien lo sacamos de el gráfico
Imagen: [9,68 ; 72,4]
Las coordenadas del vértice 𝑣(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 ) se pueden calcular con la formulas 𝑣𝑥 =
−𝑏
y 𝑣𝑦 = 𝑓(𝑣𝑥 ), lo cual nos
2𝑎
termina dando que el punto vértice es: 𝑣(1 ; 9,68) Recuerden verificar que pertenece al dominio de nuestra
función.
El eje de simetría debería pasar por x=1, pero como la función está restringida en su dominio por el contexto
del problema no habría una simetría.
Para graficar podemos usar los siguientes valores que calculamos previamente en el ejercicio y deberíamos
calcular 𝐹(15) que nos da 72.4, con esos valores armamos una pequeña tabla de valores y lo graficamos.
𝑥
0
1
5
9.718
15
𝑓(𝑥)
10
9.68
14.8
34
72.4
Y el gráfico debería quedar de la siguiente forma:
4.a) 𝑓(𝑡) = 3 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(2𝜋 ⋅ 𝑡)
recordemos que la forma genérica es 𝑓(𝑥) = 𝐴 ⋅ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝐶) + 𝐷
Dominio:
[0; +∞)
Imagen:
[𝐷 − |𝐴|; 𝐷 + |𝐴|] = [−3; 3]
Amplitud:
|𝐴| = |3| = 3
Periodo:
𝑇=
2𝜋
2𝜋
= =1
𝑏
2𝜋
Frecuencia:
𝑓=
1
1
= =1
𝑇
1
Pulsación:
𝑏 = 2𝜋
Nótese que no son todos los ℝ por el contexto del problema
Para graficar un periodo recuerden que planteamos la siguiente inecuación para hallar el inicio y el fin del
periodo.
0 ≤ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 2𝜋
Reemplazamos con los valores de la función:
0 ≤ 2𝜋 ⋅ 𝑡 ≤ 2𝜋
Divido los casos y resuelvo para el intervalo de t
0 ≤ 2𝜋 ⋅ 𝑡
∧
2𝜋 ⋅ 𝑡 ≤ 2𝜋
0
≤𝑡
2𝜋
∧
𝑡≤
0≤𝑡
∧
𝑡≤1
2𝜋
2𝜋
Volvemos a unir y nos queda el siguiente intervalo para el periodo:
0≤𝑡≤1
Para graficar recomiendo armar una tabla de valores donde el primer valor de la variable independiente (t)
sea el inicio del periodo, y después calculamos con valores con una separación de ¼ del periodo entre si:
Inicio del periodo
sumo 1/4 T
sumo 1/2 T
sumo 3/4 T
sumo T
𝑡
0
0.25
0.5
0.75
1
𝑓(𝑡)
0
3
0
-3
0
Recuerden que para evaluar esta función con la calculadora la unidad angular debe ser Radianes “R”.
Como podrán ver dividiendo el periodo en 4 los puntos que me dan son justo los máximos mínimos o ceros
de la función sinusoidal. Y el grafico nos quedaría:
En rojo la función para 1 periodo, y en gris entrecortado la función para todo su dominio.
Recuerden trazar las rectas paralelas al eje x correspondientes al máximo y mínimo de la función.
4.b) Hacemos un pequeño boceto con los datos del problema e identificamos cual es el cateto adyacente
(CA), cateto opuesto (CO), Hipotenusa (H) al ángulo que nos dan como dato en el triángulo cuadrado a
resolver
(CA)
800 metros
α=12°
(CO)
Vemos que tenemos como dato el cateto opuesto y el ángulo de depresión y debemos hallar el cateto
adyacente (distancia horizontal), por las relaciones trigonométricas (recordando la regla nemotécnica SOH
CAH TOA), vemos que con la tangente del ángulo podemos despejar el cateto adyacente:
tan(𝛼) =
𝐶𝐴 =
𝐶𝐴 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
𝐶𝑂
tan(𝛼)
800 𝑚
tan(12°)
Calculamos con la calculadora en unidad angular Grado Sexagesimal Degrees o “D”
𝐶𝐴 = 3763,70 𝑚
Respuesta: El Dirigible se encontraba volando a una distancia horizontal de 3763,70 metros del pueblo.