제1장 연습문제 풀이 1. (1) . (2) . 2. 두 벡터가 동등하므로, , 이다. 두 식을 풀면 , . 3. (1) 일 때 ∥ ∥ 따라서, . (2) ∥ ∥ . 일반적으로 은 스칼라이므로 ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 이다. ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 4. ∙ (1) cos . 따라서 . 즉 서로 직교한다. ∥ ∥∥ ∥ ∙ (2) ∥ ∥ ∥ ∥ . 5. 와 직교하는 벡터를 라 하면 ∙ . 이 식을 만족 시키는 를 찾으면 또는 이다. 이 들 벡터를 정규화시킨 벡터를 과 라 하면 , . 6. 구하는 벡터를 라 하자. 벡터는 평면에 나란하므로 의 성분이 0이 다. 따라서 이라 하자. 두 벡터는 직교하므로 ∙ 을 쓰면 이다. 위의 식을 풀면 , 또는 , 이고, 구하는 벡터는 과 이다. 이를 정규화 시키면 구하는 벡터는 ± 이다. 7. 을 지나며 과 나란하므로 이 평면의 법선벡터 n 이 다. 따라서 구하는 평면의 방정식은 . 8. , 일 때, 을 와 의 선형결합으로 표시하면 또는 - 1 - 두 벡터는 동등하므로, , , 처음 두식을 연립으로 풀면 이다. 이 값은 마지막 식에도 성립하므로 을 와 의 선형결합으로 표시하면 이다. 을 와 의 선형결합으로 표현할 수 있 으므로 는 선형종속인 집합이다 9. (i) 폐집합 의 경계점은 10과 20이다. 이들은 모두 포함하고 있으므로 폐집합이다 (ii) 개집합 아님 의 모든 점이 내부점으로만 된 것은 아니므로 개집합이 아니다. (iii) 볼록집합 와 가 의 원소라면 은 집합 의 원소임을 보이자 (단 ≤ ≤ ). 와 가 의 원소이므로 다음 식이 성립한다. ≤ ≤ ≤ ≤ 와 를 각각 곱한 후 더하면 ≤ ≤ 따라서 = ∈ 이므로 는 볼록집합이다. - 2 - 10. (i) 폐집합 집합 를 그래프로 그리면 아래와 같다.집합 의 경계점을 모두 포함하고 있으므로 집합 는 폐집합이다. 5 1 1 5 (ii) 개집합이 아님 의 원소중 와 등은 내부점이 아니므로(경계점임) 는 개집합이 아니다. (iii) 볼록집합이 아님 과 은 집합 의 원소이다 그러나 볼록결합 은 이 되어 의 원소가 아니다. 따라서 는 볼록집합이 아니다. 또는 과 을 이은 선분은 집합 S 안에 있지 않으므로 집합 S는 볼록집합이 아니다. - 3 - 제2장 연습문제 풀이 1. 는 × × × 가 되어 정의되지 않음. 2. ′ . ′ 3. 행렬의 동등으로부터, , , , 위의 연립방정식 모두 만족시키는 과 를 구하면, , 이다 . 따라서 4. 2차형식 5. (1) (2) (3) (4) 6. - 4 - 7. 8. 이고 이다 일반적으로 ≠ 이므로 반드시 이 성립하는 것은 아니다. 9. 10. , 11. - 5 - 제3장 연습문제 풀이 1. (1) . (2) . (3)제 1열과 제3열을 바꾸면 삼각형행렬이 되고, 두 열을 바꾸었으므로 . 2. (1) 을 풀면 , . (2) 또는 위의 식을 풀면 , , . 3. (1) 은 의 제2행과 제3행의 위치를 바꾼 행렬의 행렬식이므로 . (2) × × . (3) 는 의 제1행에 제3행을 더한 행렬이므로 . (4) . (5) 이고 또한 이므로 . 4. (1) 세 행이 비례하므로 . (2) 제4행은 제1행의 3배이므로 . (3) 제2행을 제3행에 더하면 제3행은 제1행의 배이다 따라서 . 5. (1) det det (2) 에서 행렬식을 구하면 , 따라서 (3) det det (4) 이다 det det det - 6 - 6. 제1열과 제4열의 위치를 바꾼 후 다시 제2열과 제3열의 위치를 바꾸면 다음 행렬을 얻 는다. 행의 위치를 2번 바꾸었으므로, 7. 는 의 1행과 제2행을 지우고 만든 행렬식이므로 × 행렬의 ′ ′ (∵ 이 홀수이고, ′이므로 ′ 이므로)이 성립한다. 우변을 좌변으로 옮기면 . 즉 이다. 8. 9. 제2행, 3행, 4행을 제1행에 더한 후 제1행의 공통인수 를 행렬식 밖으로 뺀다. 또 한 제1행에 를 곱하여 제2행, 제3행, 제4행에 더하면, - 7 - 제4장 연습문제풀이 1. (1) . 따라서 . (2) (3) ′ , . (4) 의 역행렬을 라 하면, 이다 의 제1열을 이라 하면 다음식이 성립한다. 또는 크래머 공식을 사용하기 위하여 , , 및 을 구하면 , , 따라서 , , . 2. (1) 의 제1행 제2열의 원소를 라 하면 ′이므로 , 따라서 . (2) 의 역행렬을 라 하고 의 제3열을 라 하자. 로부터 - 8 - 또는 크래머 공식을 이용하여 을 구하기 위하여 을 구하면, 따라서 3. ′이므로 이므로 이다. 4. (1) 와 여인수행렬 와 수반행렬 를 구하면, ′ 따라서 , (2) . 행렬로 표시하면 - 9 - 을 이용하여 , , 를 구하면 5. 을 행렬로 쓰면 이다. 크래머 공식을 이용하기위하여 , , 및 을 구하면 , , , 따라서 , , 6. (1) (2) 7. (1) 와 를 구하면, - 10 - (2) 에서 의 제2열을 라 하면 또는 을 구하기 위하여 를 구하면 따라서 (3) 를 행렬로 표시하면 을 이용하여 풀면 8. 주어진 문제를 행렬로 쓰면 를 구하기 위하여 와 를 구하면 , - 11 - 따라서 9. 균형가격과 균형수급량을 각각 및 라 하자. 균형가격이란 수요량과 공급량을 일 치시키는 가격이므로 에서 가 된다. 균형하에서 주어진 수요함수와 공급함 수를 다음과 같이 바꾸어 쓸 수 있다. 행렬로 표시하면 이다. 크래머 공식을 이용하기 위하여 , 및 를 구하면, , , 따라서 , 10. 와 를 구하면 , 따라서 11. 행렬식을 구하면 즉 (∵ 이므로) 12. 또는 역행렬을 구하면 (∵ 를 이용) 를 이용하면 위 두식을 동시에 쓰면 - 12 - 13. ⋯ ⋯ ⋯ 그런데 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 임을 이용하면 ⋯ ⋯ ⋯ 준식 14. (1) , , . (2) 를 구하면 , , 15. ⋯ ⋯ 이라 하자. 와 내적을 구하면 ∙ ⋯ ⋯ ∙ 서로 직교하므로 , ≠ ∥ ∥ ≠ 이므로 ⋯ 이다. 따라서 벡터 은 선형독립이다. 16. 으로 놓은 후 정리하면 , , 는 선형독립이므로 , , 위의 3개의 식을 만족시키는 를 구하면 , , 이 존재하여, , , 는 선형종속이다 - 13 - ⋯ ⋯ 17. ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 새로운 행렬을 이라 하자 ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ , ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮⋱ ⋮ ⋯ 의 제1열은 의 제1열에 을 곱한 것과 같고 나머지는 와 같다. 또는 즉 의 제1열만 로 줄어들고 나머지는 변화가 없다. 18. 보조방정식을 구하면 을 풀면 고유근은 이다. 에 대한 고유벡터를 구하려면 다음 연립방정식을 풀면 된다. 위의 연립방정식을 풀면 같은 방법으로 에 대한 고유벡터를 구하면, 이다 단 과 는 0이 아님). - 14 - 제5장 연습문제 풀이 1. (1) . 의 극한값은 이라고 추측할 수 있다. 이제 극한값을 확인하기 위 해 임의의 양수 을 택하자. . 이 식을 풀면 이다. 로 택하면(여기서 는 Gauss 함수로서 를 넘지 않는 최대정수를 의미함) 이므로, 인 모든 에 대하여 . 그러므로, 의 극한값은 . (2) . 의 극한값은 이라고 추측할 수 있다. 이제 극한값을 확인하기 위해 log 임의의 양수 을 택하자. . 이 식을 풀면 이다. log log log 로 택하면 인 모든 에 log log 이므로 대하여 log log ( ∵ ≡ log ). 그러므로 의 극한값은 . 2. (1) lim lim lim . → → → lim lim (2) 분자•분모를 로 나누면, →∞ →∞ . lim lim ( ∵ ). (3) 분자•분모를 로 나누면, → ∞ ← ∞ lim → → 을 곱해주면, lim (4) 분자•분모에 . lim → (5) 분모를 로 생각하여, 분자•분모에 를 곱해주면, - 15 - lim →∞ . lim → ∞ sin →∞ (6) ≤ sin ≤ 이므로 유한한 값을 가진다. 따라서, lim . 3. , , 인 경우로 나누어 생각해 보자. (ⅰ) 인 경우 . 분자, 분모를 으로 나누어 주면, lim lim → ∞ → ∞ (ⅱ) 인 경우 분자, 분모를 으로 나누어 주면, lim lim . → ∞ → ∞ (ⅲ) 인 경우 분자, 분모를 으로 나누어 주면, lim . lim → ∞ → ∞ 이 짝수이면 lim ∞ 이고, 이 홀수이면 → ∞ lim ∞ . 따라 → ∞ 서, ∞ 이짝수 . lim ∞ 이홀수 → ∞ 4. ① , lim lim . 따라서, lim ([그림 lim lim → → → → 5-1]참조). [그림 5-1] - 16 - → ② . 따라서, lim ∞ , lim ∞ . 따라서, 극한값이 존 → → 재하지 않는다([그림 5-2] 참조). [그림 5-2] - 17 - 제6장 연습문제 풀이 1. (1) lim . 따라서, 연속. → (2) ≥ . 즉, 함수 는 ≠ 에서 상수함수이므로 ≠ 인 모든 점에서 연속. 2. lim . lim 이면 에서 연속이다. lim → → → 따라서, 이면 연속. 3. (1) 이고, ln 는 에서 lim 연속. 따라서, [정리 6.2.2]에 의해 →∞ ln lim . lim ln ln lim ln →∞ →∞ →∞ (2) lim cos 이고, 는 에서 연속. 따라서, [정리 6.2.2]에 의해 → lim cos lim cos . → → 4. 는 ≥ ≤ 에서 연속이고, ≥ . 는 ≠ 에서 연속. 따라서, [정리 6.2.3]에 의해 는 에서 연속. 5. 중간값정리의 적용. (1) 라 는 하자. 구간 에서 연속이고, . 따라서, 중간값정리에 의해 이 되는 가 에 존재. (2) 라 는 하자. 구간 에서 연속이고, . 따라서, 중간값정리에 의해 이 되는 가 에 존재. (3) 라 하자. 는 - 18 - 구간 에서 연속이고, . 따라서, 중간값정리에 의해 이 되는 가 에 존재. 6. lim lim lim → → → 그러나 함수 는 에서 정의되지 않으므로 불연속이다. 7. 는 보다 작은 가장 큰 정수를 나타내므로 임의의 정수 에 대하여 이다. 그러 나 lim , → lim → 이므로 → 일 때 극한값이 존재하지 않는다. 따라서 함수 는 모든 정수에서 불연속이 다. - 19 - 제7장 연습문제 풀이 1. (1) 일 때 ′ (2) 일 때 ′ ∙ ∙ (3) 일 때 ′ (4) 일 때 ′ ∙ ∙ 2. 이 음함수 를 정의한다고 가정하여 양변을 에 관하여 미분하 면, ′ ′를 에 관하여 다시 미분하면 ″ 3. (1) 일 때 역함수는 이다. 역함수의 미분법을 이용하면, - 20 - (2) 일 때 역함수는 (3) 일 때 역함수는 이다. (4) 역함수의 미분법을 이용하면 (5) 는 일대일 대응이 아니므로 역함수가 존재하지 않는다. 4. (1) 일 때 (2) 일 때, ∙ (3) 음함수 가 정의된다고 가정하고 양변을 에 관하여 미분하면, ∙ ∙ . 따라서, 5. (1) 일 때 에서 선형근사식을 구하자 ′ , , ′ ′ - 21 - ≈ (2) 일 때 에서 선형근사식을 구하자 , ′ , ′ ∙ ∙ ′ ∙ ∙ ∙ ≈ 6. lim → lim → lim lim lim → → → ′ ′ 7. 가 음함수 를 정의한다고 가정하여 양변을 에 관하여 미분하면 ∙ ′ 점 에서 ′를 구하면 ′ 8. 가 음함수 를 정의한다고 가정하고 양변을 에 관하여 미분하면, 점 (1, 2)에서 기울기를 구하면 따라서 접선의 방정식은 즉 9. 의 역함수를 라 하자 일 때 두 역함수의 도함수는 - 22 - ′ ′ 인 관계가 있다. 일 때 ′ 이다. ′ ′ , ′ 따라서 ′ 10. lim 이므로, 는 에서 연속이다. 그러나 → ′ lim lim → → 여기서 lim , lim 이므로 ′ 은 존재하지 않는다. 따라서 는 → → 에서 미분불능이다. - 23 - 제8장 연습문제 풀이 1. (1) sin cos일 때 ′ cos sin (2) sin 일 때 ′ sin cos 2. sin sin sin (1) lim lim lim → → → sin sin sin (2) lim lim ∙ lim ∙ lim ∙ ∙ sin sin sin → → → → 3. sin 일 때 ′ cos ∙ ″ sin ∙ sin ″ sin sin 4. (1) 일 때 ′ (2) 일 때 ′ ln ∙ ∙ ln (3) 일 때 ′ (4) 일 때 ′ (5) cos 일 때 ′ cos 5. (1) sin 이 를 에 관한 함수 를 정의한다고 가정하고 양변을 에 관하여 미분하면 cos ∙ cos cos cos cos (2) cos 가 를 에 관한 함수 를 정의한다고 가정하고 양변을 에 관하 여 미분하면, sin - 24 - sin sin sin sin 6. (1) 일 때 양변에 ln 을 취하면 ln ln 양변을 에 관하여 미분하며 ∙ ln ln (2) ln 일 때 양변에 ln 을 취하면, ln ln . 양변을 에 관하여 미분하면 ln ln ∙ ln ∙ . 따라서, ∙ . (3) ln 일 때 양변에 ln 을 취하면 ln ln ln 에 관하여 미분하면 ∙ ln ln ∙ ln ln ln ln ln (4) 일 때 양변에 ln 을 취하면 ln ln 에 관하여 양변을 미분하면 ∙ (5) log 일 때 ′ ln (6) cos 일 때 양변에 ln 을 취하면 ln cos ln 양변을 에 관하여 미분하면 - 25 - ∙ sin ln cos cos cos ln ∙ sin - 26 - 제9장 연습문제 풀이 1. (1) 일 때, ′ 을 풀면 ″ 이므로 에서 극소값 1을 갖는다. (2) 일 때, ′ 을 풀면 , 이다. ″ 이고 ″ , ″ 이므로 에서 극대값 17, 에서 극 소값 을 갖는다. (3) 일 때, ′ ∙ 을 풀면 이다. 의 좌우에서 ′의 부호는 ( )에서 ( )으로 변하므로 에서 극소값 1을 갖는다. (4) 일 때 ∙ 을 풀면 , 이다. ′ 좌우에서 ′의 부호는 ( )에서 ( )으로 변하므로 에서 극소값 을 갖고, 의 좌우에서 ′의 부호는 ( )에서 ( )으로 변하므로 에서 극대값 을 갖는다. 2. (1) 일 때, ′ 을 풀면, , 이다. 따라서 구하는 임계값은 , 이다. (2) 일 때 을 풀면 ± ′ ∙ ∙ 이 - 27 - 다. 또한 ± 에서 ′이 정의되지 않으므로 구하는 임계값은 이다. (3) 일 때, ′ 이다. ′ 인 값은 존재하지 않고, 은 주어진 함수의 정의역의 한점이지만 에서 ′은 정의되지 않으므로 구하는 임계값은 이다. (4) 일 때, ′ 이다. 에서 ′가 정의되지 않으므로 가 임계값이다. 3. (1) 일때 (단, ≤ ≤ ) ′ 로 함수 는 단조 증가함수이다. 따라서 일 때 최소값 , 일 때 최대값 -3을 갖는다. (2) 일 때 (단, ≤ ≤ ) ′ 을 풀면 이다. 이 점은 정의역에 있지 않다. 따라서 최대값과 최소값은 끝점에 있으므로 끝점에서 함수값을 구하면, , 이다. 따라서 에서 최대값 7, 에서 최소값 -32를 갖는다. (3) 일 때 (단, ≤ ≤ ) ′ , ′ 을 만족시키는 점은 없으나 에서 ′ 가 정의되지 않는다. 따라서 임계값은 이고 ′의 부호는 의 좌우에서 (-)에서 (+)로 변한다. 따라서 에서 극소값 0을 갖는다. 끝점에서 함수값을 구하면 , 이다, 따라서 이 이들 중 가장 크고 이 가장 작은 값이므로 에서 최소값 0, 에서 최대값 을 갖는다. (4) 일 때 (단, ≤ ≤ ) ′ 을 풀면 이다. 은 정의역내의 점이고 ″ 이므로 에서 극소값 0을 갖는다. 끝점에서의 함수값을 구하면 , 이다. 따라서 함수는 는 에서 최대값 9, 에서 최소값 0을 갖는다. - 28 - 4. ″′ ≠ 이므로 ″′ 는 플러스 또는 마이너스이다. 즉 ″는 증가하든가 또는 감소한 다. ″ 이므로 ″는 의 왼쪽과 오른쪽에서 부호가 서로 반대이다. 따라서 에서 변곡점을 갖는다. 5. (1) 일 때, ′ ″ ″ 으로 놓으면 . 가 2보다 작으면 ″ . 가 2보다 크면 ″ 이므로 구하는 변곡점은 ( )이다. (2) 일 때, ′ ″ 또는 2가 변곡점이 될 가능성이 있다. 가 0보다 작을 때 ″ , 가 0보다 클 때 ″ 이다. 가 2보다 작을 때 ″ , 가 2보다 클 때 ″ 이므로 구하는 변곡점은 (0, 10), (2, -6)이다. 또는 ″′ ≠ ″′ ≠ 이므로 위의 두 점은 변곡 점이다. (3) 일 때, ′ ″ ∙ ∙ 이다. ″가 에서 정의되지 않고 ″는 의 좌우에서 부호가 (+)에서 (-)로 변한다. 따라서 변곡점은 (0, 0)이다. (4) 일 때, ′ ″ 는 변곡점이 될 가능성이 있다. ″′ 이고 ″′ , ″′ 로서 ″′ ≠ , ″′ ≠ 이므로 (1, -1)과 (2, 0)은 변곡점이 다. - 29 - 제10장 연습문제 풀이 1. 함수 는 에서 연속이나 에서 미분불가능. 따라서, 평균치의 정리가 적용될 수 없다. 2. (1) 에서 ′ 이다. 평균치의 정리를 이용하면 위의 식을 만족시키는 를 구하면 (2) 에서 ′ 평균치정리를 이용하면 위의 식을 만족시키는 를 구하면 (3) ln ′ 평균치 정리를 이용하면 위의 식을 만족시키는 를 구하면 (4) , ′ 평균치정리를 이용하면 위의 식을 만족시키는 를 구하면 3. (1) cos → lim 위의 분수식은 에서 형을 가지므로 로피탈의 법칙을 이용하면 - 30 - cos → sin lim lim → (2) sin lim → 위의 식은 에서 형이므로 로피탈의 법칙을 이용하면 sin cos lim ∞ lim → → (3) sin lim → 로피탈의 법칙을 반복하여 이용하면(로피탈의 법칙을 시용할 때 로 표시함) sin cos sin lim lim lim → → → (4) 로피탈의 법칙을 반복하여 이용하면 lim → lim → lim → (5) lim → 주어진 식은 의 부정형이다. 로 놓고 양변에 ln 을 취하면 ln ln ln 로 바꾸어 쓸 수 있다. ln limln lim → → lim lim → → lim lim lim ln → → → 4. (1) 일 때 매클로린 급수를 구하면 ′ , ′ ″ , ″ - 31 - ″′ , ″′ ( ≥ ) ″ ″′ ′ (2) 일 때 에서 테일러급수를 구하면 ″ ″′ ′ ⋯ ′ , ′ ″ , ″ ″′ , ″′ ( ≥ ) 5. , ′ , ′ , ″ ′′ 테일러급수의 처음 3개항을 구하면 ″ ′ 6. sin , ′ cos , ′ ″ sin , ″ ″′ cos , ″′ sin , cos , ⋮ 따라서 - 32 - sin ⋯ ⋯ ⋯ 7. cos , ′ sin , ′ ″ cos , ″ ″′ sin , ″′ cos , sin , ⋮ ∴ cos ⋯ ⋯ ⋯ 8. ln ≈ ( 에서 테일러전개) ln ≈ - 33 - 제11장 연습문제 풀이 1. 단기생산함수는 . 따라서, , . 이 에 대해 감소함수 이므로, 2. ① ② , . 를 극소화하는 를 구하면 된다. 를 고정시키고, , . 따라서, . 3. ① 총수입은 . 따라서, 한계수입은 . [그림 11-1] ② . .따라서, 이윤극대화 생산량은 . 4. - 34 - , . 따라서, (i) 이면 탄력적, (ii) 이면 단위탄 력적, (iii) 이면 비탄력적. 5. (1) 생산량이 노동투입량과 동일하므로, 비용함수는 노동투입량에 임금을 곱한 것이 된다. 즉, . . 따라서, 이윤극 (2) . , 대화 생산량은 . (3) 임금이 상승할 때, 기업의 이윤극대화 생산량은 감소한다. 6. ∙ ∙ ′ ′ ′ ′ ∙ ′ ∙ ∙ ∙ 즉, 두함수 , 의 곱의 탄력도는 함수 와 의 탄력도의 합이다. 7. ∙ ∙ 8. 양변에 ln 을 취하면 ln ln ln ln 수요의 가격탄력도 ln ln 수요의 소득탄력도 ln 9. 일 때 총수입 은 다음과 같다. , 2차충분조건이 충족되므로 수입극대화 가격 - 35 - 10. 일 때 총수입을 이라 하면 이 일정하므로 11. 수요함수 : . (→ ) 함수 : (1) ∙ ∵ 에서 극대이윤을 얻는다. 이윤극대를 위한 산출량 (2) ∙ ( 일 때 ) ∙ (3) 만큼의 일괄세를 부과하면 이 되는데, 이 때 과 는 변 하지 않으므로 산출량의 수준은 불변이다. ∵ 일괄세의 부과 후의 이윤은 . (4) 총수입 ∵ ∴ 은 에서 극대값 ∙ ( 일 때 ) ∙ 12. (1) 균형상태에서는 이므로, 이것을 대입하면 다음 식이 성립된다. - 36 - ∙ (2) 판매세 원이 공급자에게 부과되므로 과세 후 시장공급함수는 가 된다. 새로운 균형가격과 균형수급량을 각각 및 라 하면 다음 식이 성립한다. ∙ (3) 조세수입을 라 하면 1차필요조건을 구하면 위의 식을 풀면, 로 2차충분조건이 충족된다. - 37 - 제12장 연습문제 풀이 1. (1) sin sin cos cos sin cos ∙ cos (2) (3) sin cos cos (4) ∙ 2. (1) cos cos sin (2) (3) 양변을 전미분하면 - 38 - 3. 일 때 (3, 2)에서의 선형근사식은 이다. , , 을 대입하면 4. 이라 하자 (3, 4)에서 선형근사식을 구하면 이다. , , 를 대입하면 ∙ ∙ 5. , sin , cos 일 때 cos sin 6. , , ∙ ∙ - 39 - ∙ ∙ 7. ∇ 8. , , 일 때 따라서 접평면의 방정식은 9. 를 에 관하여 미분하면 로 놓으면 - 40 - 제13장 연습문제 풀이 1. 이라 하자. , 이므로 모두 연속함수이다. ≠ 이면, 또한, ≠ 으로 음함수정리의 조건이 만족된다. 주어진 식을 전미분하면, . ≠ 일 때, 양변을 로 나누어 를 구하면, . 마찬가지로, ≠ 일 때, 양변을 로 나 , 는 누어 를 구하면, . 2. (1) 편도함수들은 상수함수이므로 연속이다. 또한 ≠ . 따라서 음함수 정리의 조건을 만족한다. (2) 이제 , 을 전미분하여 으로 놓고 정리하면, . 따라서, 크레머의 공식을 이용하면, , . 이제 , 을 전미분하여 으로 놓고 정리하면, . 따라서, 크레머의 공식을 이용하면, , . 3. , 라 하자. , 이고, , . - 41 - 따라서, 1차 편도함수들은 연속이다. 또한, ≠ 즉 , ≠ 이면 음함수를 정의한다. ≠ 이라 가정하자. , 을 전미분하여 으로 놓고 정리하면, . 따라서, 크레머의 공식을 이용하면, , . 4. 에 의하여 음함수 가 정의된다면 를 대입하면 항등 식이 된다. 즉 양변을 에 관하여 편미분하면 양변을 에 관하여 편미분하면 5. sin sin sin 에 를 대입하면 항등식이 된다 sin sin sin ≡ 양변을 에 관하여 편미분하면 cos cos ∙ cos ∙ cos ∙ cos cos cos cos 양변을 에 관하여 편미분하면 cos ∙ cos cos ∙ cos ∙ cos cos cos cos 6. - 42 - 주어진 방정식이 , 를 정의한다고 가정하고 두 식을 대입하면 ≡ ≡ 양변을 에 관하여 편미분하면 위의 식을 행렬로 쓰면 크래머 공식을 이용하면 - 43 - 제14장 연습문제 풀이 1. (1) (2) , 이므로, 등량곡선은 . . , . 따라서, 원점에 대해 볼록. (3) 이다. 일 때 이고, 일 때 이다. 2. 균형조건을 이용하면, 주어진 모형은 다음과 같다: . 위 식의 양변을 전미분하면, ′ ′ ′ . 양 변을 로 나누고 정리하면, ′ ′ ′ . 따라서, ′ . ′ ′ 또한, 에서 이므로, ′ . ′ ′ 따라서, 판매세가 증가하면, 소비자 지불가격은 상승하고, 공급자 수취가격은 하락한다. 한편, 위 식으로부터 판매세를 소비자와 생산자가 분담하는 형태를 예측할 수 있다. 의 균형하에서생산자수취가격 균형수급량 분자와 분모에 각각 을 곱해주면, . ∙ 단, : 공급의 가격탄력도, : 수요의 가격탄력도 - 44 - 따라서, →∞ 이면 . →∞ 이면 . 즉, 공급의 가격탄력도가 매우 크면 판매세 증가분은 대부분 소비자가 부담하게 되고, 수요의 가격탄력 도가 매우 크면 판매세 증가분은 대부분 생산자가 부담하게 된다. 3. (1) 에서 등량곡선의 기울기를 구하면 따라서 구하는 접선의 방정식은 다음과 같다 (2) 점 에서 법선벡터를 구하면 , , 이므로 따라서 접평면의 방정식은 다음과 같다. (3) 4. 산출량 수준을 라 하면 는 하나의 등량곡선을 정의한다. 방정식 가 음함수 을 정의하므로 등량곡선의 기울기 를 구하면 - 45 - 인 것을 고려하여 를 에 관하여 다시 한 번 미분하면 ∙ ∙ 를 대입 따라서 등량곡선은 원점에 대하여 볼록하다, 5. 균형조건과 , 를 대입하면 다음 2개의 항등식을 얻는다. 두 방정식을 에 관하여 미분하면 위의 식을 행렬로 쓰면 크래머 공식을 이용하여 를 구하면 6. (1) 방정식 에 음함수 을 대입하면 다음의 항등식을 얻는다. ≡ 에 관해 편미분하면 - 46 - 에 관하여 편미분하면 (2) , 을 대입하면 다음 항등식을 얻는다 ≡ ≡ 두 식을 에 관하여 편미분하면 행렬로 쓰면 크래머 공식을 이용하여 을 구하면 - 47 - 제15장 연습문제 풀이 1. (2) (1) (3) sin cos sin 라 하면 cos 이다. 준식 (4) 와 sin 를 대입하면, cos sin cos 라 하면 즉 이다. 따라서 준식 (5) cos sin sin 라 하면 준식 (6) 라 하면 준식 (7) ∙ cos cos 라 하면 , , sin cos sin sin sin cos (8) ln ln , 라 하면 - 48 - , ln ln ln (9) 라 하면 준식 ln ln (10) 라 하면 이다. 따라서 준식 ln ln 2. 이므로, 주어진 식은 ( C 는 상수) 또한 이므로, 주어진 식은 . - 49 - 제16장 연습문제 풀이 1. (1) = (2) . lim → = lim ln ln lim ln ln ∞ 이므로 주 → → 어진 이상적분은 발산한다. (3) 은 에서 정의되지 않으므로, 주어진 적분은 다음과 같이 표현된다. lim → . 따라서, 그런데, lim lim ∞ 이므로 주어진 이상적분은 발산한다. → → (4) 준식 = = lim → lim → = lim lim → → = lim lim ∞ 이므로 주어진 이상적분은 발산한다. → → 2. (1) cos sin cos 라 하면 sin 이다. 일 때 , 일 때 이므로 준식 (2) - 50 - 라 하면 이다. 일 때 , 일때 이므로 준식 ln ln ln ln (3) ln 라 하면 이다. 일 때 , 일 때 이므로 준식 (4) , 라 하면 , 를 계산하기 위하여 부분적분법을 다시 한번 사용하자. , 라 하면 , ∴ 3. 두 함수로 주어진 곡선의 교점을 구하면 와 이다. 면적을 에 관하여 적분 하여 구하면, 또는 주어진 적분을 에 관하여 적분하면 ∙ - 51 - 4. (1) ∞ ∞ (2) ∞ lim → ∞ lim → ∞ lim → ∞ (3) 피적분함수가 에서 불연속이다 lim lim ln → → lim ln ln ∞ → 따라서 주어진 적분은 발산한다. 5. (1) 이라 하면, 의 적분영역은 이고, . 따라서, . (2) 이라 하면, 의 적분영역은 이고, . 따라서, . 6. - 52 - . 위 식의 첫 번째 항에서 라 하면, 의 적분영역은 이고, . 따라서, 첫 번째 항은 진 식은 . 그러므로, 주어 . (1) 이면, . (2 이면, . 7. ≡ ln 라 하자. lim → lim ln . → - 53 - 제17장 연습문제 풀이 1. (2) (3) ln (4) ln ln ln ln ln ln ln 을 계산하기 위하여 라 하면 , ln ln ln ln ln 따라서 ln ln ln (5) (1) - 54 - (6) sin cos sin cos cos sin cos 2. (1) (2) sin sin sin sin sin cos 3. (1) 와 를 극좌표로 변환하면 다음과 같다. cos sin 과 의 변역을 구하면, ≤ ≤ ∞ , ≤ ≤ 가 되므로(적분영역이 평면 전체이므로) ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∵ cos sin ∞ - 55 - (2) cos , sin 라 하자. 적분영역 을 평면으로 표현하면 ≤ ≤ ≤ ≤ 준식 cos cos cos cos sin (3) cos , sin 라 하자. 적분영역 을 평면으로 표현하면 ≤ ≤ ≤ ≤ 4. (1) 영역 는 다음과 같다. 를 과 의 두 영역으로 나누어 적분하면 (2) , 라 하면 - 56 - 이다. 이므로 이다. 주어진 적분영역을 와 의 평면에 표현하면 ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. 이므로 준식 - 57 - 제18장 연습문제 풀이 1. (1) 일 때 공급량을 구하면 즉 따라서 × (2) 일 때 공급량을 구하면 , 즉 일 때 역함수를 구하면 2. (1) 일 때 역수요함수를 구하면 이다. 일 때 수요량 이다. (2) ∙ - 58 - 즉 만큼 소비자 잉여는 감소한다. 3. ∞ ∞ - 59 - 제19장 연습문제 풀이 1. (1) 모든 ≠ 일때, 이므로 양정부호이다. (2) 모든 에 대하여 ≥ 이고 ≠ 에 대하여 이므로 양반정부호이다. (3) 일 때 양의 값이고 일 때 음의 값이므로 부정부 호이다. 2. 의 헤시안 행렬 을 구하면, 이다 , 이면 강오목함수 이다. 이를 구하면, , 이다. 따라서 , 이면 강오목함수이다. 같은 방법으로 , 이면 강볼록함수이다. 3. 라 하면, , , 이다. 라 하면, 이므로 생산함수 는 강오목함수이다. 4. (1) , , 은 모두 볼록함수이다. 볼록함수의 비부선형결합도 볼록함수이므로 도 볼록함수이다. (2) 이라하면 는 볼록함수이다. → 는 볼록함수이며 증가함수 이다. 따라서 는 볼록함수이다. - 60 - 5. 과 ∈ 라면 ∈ 이다. (단, ≤ ≤ ) 와 가 오목함수이므로 다음식이 성립한다. ≥ ≥ 위의 두식을 이용하여 라 할 때 ≥ 이다. 즉 , ≥ 이 성립하므로 오목함수의 비부선형결합은 오목함 수이다. 6. (1) (2) 7. (1) ′ , , 이므로 는 음정부호이다. (2) ′ , , 이므로 는 음정부호이다. 8. (1) ′ (2) , , 이므로, 따라서 는 음정부호이 다 (3) (4) , , 따라서, 강오목함수이다. - 61 - 제20장 연습문제 풀이 1. (1) 1차조건을 구하면 , 연립방정식을 풀면 , 의 헤시안행렬 를 구하면 , 는 음정부호이므로 에서 극대값 을 갖는다. (2) 1차조건을 구하면 ln , 연립방정식을 풀면 , 에서 헤시안행렬을 구하면, , 이므로 함수 는 에서 극소값 을 갖는다. (3) 1차조건을 구하면, , 연립방정식을 풀면, , 에서 헤시안행렬을 구하면, , 이므로 에서 극소값 을 갖는다. (4) 1차조건 , 연립방정식을 풀면, , 에서 헤시안행렬을 구하면, , - 62 - 이므로 에서 극대값 을 갖는다. (5) 1차조건 , 위의 식을 풀면, , 에서 헤시안행렬을 구하면, , 이므로 에서 극소값 을 갖는다. 2. (1) 1차조건 , , 위의 식은 대칭이므로(혹은 연립방정식을 풀면) 가 성립하여야 한다. 이를 대입 하여 풀면 또는 헤시안행렬 를 구하면, 이다. 에서 를 구하면 , , 으로 ≠ 이면서 상대적 극대와 상대적 극소의 충분조건을 만족시키지 못하므로 은 안장점이다. 에서 를 구하면 , , 따라서 에서 함수 는 상대적 극대가 된다. (2) 1차 조건 , 연립방정식을 풀면 , 헤시안행렬 구하면, , - 63 - 따라서 에서 는 안장점을 갖는다. (3) 1차 조건 , 위의 식을 연립으로 풀면 두 개의 해를 얻는다. 또는 헤시안 행렬 를 구하면, 에서 헤시안 행렬 를 구하면 , , 따라서 에서 함수 는 상대적 극소가 된다. 에서 헤시안 행렬 를 구하면, 에서 함수 는 안장점을 갖는다. , 이므로 (4) 1차 조건 , 연립방정식을 풀면 , 에서 헤시안행렬 구하면, , 따라서 에서 함수 는 상대적 극대가 된다. (5) 1차 조건 , 임을 이용하여 연립방정식을 풀면 3개의 해를 얻는다. , , 헤시안 행렬 를 구하면, 에서 헤시안 행렬 를 구하면 , 이므로 에서 함수 는 안장점을 갖는다. 과 에서 헤시안행렬은 구하면 - 64 - 과 에서 함수 는 상 , 이므로 대적 극대가 된다. 3. (1) 1차필요조건을 구하면 , , 위의 식을 풀면 , , 의 헤시안 행렬 를 구하면, 모든 ∈ 에 대하여 , , 이므로 는 강 오목함수이다. 따라서 유일한 에서 최대값 를 갖는다 (2) 1차필요조건을 구하면 , , 위의 식을 풀면 , , 의 헤시안 행렬 를 구하면, 모든 ∈ 에 대하여 , , 이므로 는 강볼록 함수이다. 따라서 유일한 에서 최소값 을 갖는다 (3) 1차필요조건을 구하면 , 위의 식을 연립으로 풀면 , 함수 의 헤시안 행렬을 구하면, 모든 ∈ 에서 , 이므로 는 강오목함수이다. 따라서 유일한 에서 최대값 을 갖는다 (4) 1차필요조건을 구하면 , , 위의 식을 풀면 의 헤시안 행렬 를 구하면, - 65 - 모든 ∈ 에서 , , 이므로 는 강볼록함수이 다. 따라서 유일한 에서 최소값 를 갖는다 (5) 1차조건을 구하면 , , 위의 식을 연립으로 풀면 의 헤시안 행렬 를 구하면, 모든 ∈ 에서 , , 이므로 는 강오목함 수이다. 따라서 유일한 에서 최대값 를 갖는다 - 66 - 제21장 연습문제 풀이 1. (1) 1차 조건을 구하면 , 연립방정식을 풀면 이다. 헤시안 행렬을 구하면 , 이므로 는 에서 극대값 을 갖는다. 사실상 함수 의 헤시안 행렬이 모든 ∈ 에 대하여 음정부호이므로 함수 는 강오목함수이다. 따라서 최대값 0 을 갖는다. (2) 라그랑지함수를 이라 하면 이다. 1차필요조건을 구하면 연립방정식의 해를 구하면 , 이다. 테두른 헤시안 행렬 를 구하면 이므로 , 일 때, 목적함수는 극대값 을 갖는다. 2. 라그랑지함수를 이라 하면 - 67 - 1차필요조건을 구하면 연립방정식을 풀면 , , 또는 , 테두른 헤시안행렬 를 구하면 , , 이므로 극대가 된다. 그러나 , 에서 이므로 극대값을 갖지 않는다(극소값을 갖는다). 3. 라그랑지함수를 이라 하면 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면 , , 또는 , , 테두른 헤시안행렬 를 구하면 다음과 같다. - 68 - , , 에서 이므로 목적함수는 극소값 를 갖는다. , , 일 때, 이므로 목적함수는 극대값 를 갖는다. 4. 라그랑지함수를 이라 하면 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면 4개의 해를 얻는다. ± , ± , ± , ∓ , 테두른 헤시안행렬 를 구하면 - 69 - ± ± 에서 를 행렬식을 갖는다. 또한 구하면, 이므로 에서 극대값 ± ∓ 에서 행렬식을 구하면, 이므로 에서 극소값 를 갖는다. 5. 라그랑지함수 이라 하면, 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면 2개의 해를 얻는다. , , , , 테두른 헤시안행렬 을 구하면, 에서 행렬식을 구하면, 이므로 에서 극대값 를 갖는다. 에서 또한 행렬식을 에서 극소값 를 갖는다. 이므로 - 70 - 구하면, 6. 라그랑지함수 이라 하면, 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면 , , 테두른 헤시안행렬 를 구하면, 이므로 에서 극대값 를 갖는다. 7. (1) 라그랑지함수를 이라 하면 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면 , 테두른 헤시안행렬을 구하면 이므로 에서 극대값 를 갖는다. - 71 - (2) 라그랑지함수를 이라 하면 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면 , 테두른 헤시안행렬을 구하면 에서 를 구하면, 이다. 따라서 에서 극소값 를 갖는다. 8. 라그랑지함수를 이라 하면 1차필요조건을 구하면, 에서 를 소거하면 이다. 에 대입하여 풀면. , , , , - 72 - 테두른 헤시안행렬 을 구하면, 이다. 에서 행렬식을 구하면, 이므로 에서 극소값 를 갖는다. 또한 에서, 이므로 에서 극대 값 를 갖는다. 9. 라그랑지함수를 이라 하면, 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면 2개의 해를 얻는다. , , , , , , 테두른 헤시안행렬을 구하면, 에서 을 갖는다. 이므로 , 이므로 같은 에서, 방법으로 극소값 을 갖는다. - 73 - 극소값 , 10. (1) 라그랑지함수를 이라 하면, 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면 2개의 해를 얻는다. , , 테두른 헤시안행렬 을 구하면, 에서 이므로 극대값이 아니다. 에서 이므로 극대값 를 갖는다. (2) 라그랑지함수를 이라 하면, 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면, - 74 - , 테두른 헤시안행렬 을 구하면, 이므로 에서 극소값 를 갖는다. 11. 라그랑지함수를 이라 하면, 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면 2개의 해를 얻는다. , , , , , , 테두른 헤시안행렬을 구하면, 에서 , 이로 극소가 되기 위한 충 에서, , 분조건을 만족시키지 못한다. - 75 - 이므로 에서 극소값 을 갖는다. 12. 라그랑지함수를 이라 하면, 1차필요조건을 구하면, 연립방정식의 해를 구하면 , , , 이므로 극대가 되기 위한 2차충분조건이 만족된다. 간접목적함수를 라 하면, 를 와 에 관하여 편미분하면 , 이다. 라그랑지함수 을 과 에 대하여 편미분하면, - 76 - 과 을 와 에서 계산하면 가 되어 포락선정리가 성립한다. - 77 - 제22장 연습문제 풀이 1. (1) 이윤을 라 하면 1차필요조건을 구하기 위해 과 에 관하여 편미분하면 위의 수식으로부터 얻은 을 대입하여 풀면 이다 (2) 와 를 생산함수에 대입하면 다음의 공급함수를 얻는다. (3) 이윤함수를 얻기 위하여 에 , , 를 대입하여 정리하면 이윤함수는 다음과 같다. (4) 으로 포락선 정리가 성립한다. 즉, - 78 - 으로 포락선 정리가 성립한다. 즉, 2. (1) 라그랑지 함수를 이라 하면 1차 필요조건을 구하면 2차 충분조건 이 만족되는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 처음 두식으로부터 이 식을 에 대입한 후 을 , 및 에 관하여 풀면 에 대한 수요함수를 얻는 다. 이식을 에 대입하면 의 수요함수는 다음과 같다. (2) 와 를 목적함수에 대입하면 다음의 간접효용함수를 얻는다. 3. 라그랑지 함수를 이라 하면 1차 필요조건을 구하면 - 79 - 처음 두식으로부터 또는 이 식을 에 대입하면, 또는 위 식을 풀면 생산요소의 수요함수와 비용함수를 구하면 다음과 같다. , 4. 극 대 화 : 제약조건 : 1차 필요조건 처음두식으로부터 즉 이 식을 에 대입한 후 풀면 또한 2차충분조건으로 이 성립하는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 5. - 80 - (1) 소비자가 직면한 문제는 다음과 같다 극 대 화 : 제약조건 : 라그랑지 함수를 이라 하면 1차 필요조건을 구하면 위의 연립방정식을 풀면 , 2차충분조건이 성립하는가를 보기위하여 을 구하면 으로 에서 극대가 된다. (2) 소비자가 새로이 직면한 문제는 다음과 같다 극 대 화 : 제약조건 : 라그랑지 함수를 이라 하면 1차 필요조건을 구하면 위의 연립방정식을 풀면 , (3) 대체효과를 구하기 위하여 가격변화전의 효용수준의 무차별곡선과 새로운 가격선과의 접하는 점을 구하여야 한다. 가격변화전의 무차별곡선은 × 를 만족시킨다. - 81 - 에 관하여 풀면 이다. 무차별곡선의 기울기를 구하면 가격변화후 새로운 가격선의 기울기를 로부터 구하면 이다. 두 기울기 동일하여야 하므로 다음 식을 얻는다. 원래의 무차별곡선과 새로운 가격선이 이동하여 접하는 점에서의 의 수요량을 라 하면 이다 대체효과는 소득효과는 가격효과는 가격효과=대체효과+소득효과의 관계가 성립한다. - 82 -