17. 전하와 쿨롱의 법칙 The law of charge and coloumb
electro magnetic forcce
앞서 우리는 자연에 존재하는 힘이 네 가지가 있으며 그 중 우리의 주변에 일어나는 거의 모
According to the
든 자연 현상은 전자기력에 기인한다는 것을 알아보았다. 이에 더해 현대 문명의 거의 모든
observations, there
are two different types
기기와 시설들은 발전소로부터 생산된 전기 에너지를 이용하여 운영되고 작동되고 있음을 우
of electric charges,
and the same kind 리는 알고 있다. 전자기 현상은 정말 중요하다! 전기가 없는 현대 문명을 생각할 수 있을까?
receives the repulsive
force and the different
전자기 현상은 말 그대로 전기와 자기적 현상을 아우르는 말로 두 현상이 매우 밀접한 관계가
types receive the
attraction. Thus, if 있음을 암시한다. 본 장에서는 전기현상의 근본 물리량인 전하와 이 들이 주고받는 힘을 나
there are two kinds of
타내는 쿨롱의 법칙을 알아본다.
charges of the same
magnitude at "about
The most easily 'felt' presence of electric charge in our daily lives is static electricity, which occurs
the same point", it is
mainly during the dry winter months. Static electricity is a phenomenon in which an electric charge
observed that there is
flows instantaneously when two objects come into contact, and the force that causes the
17.1
전하
Charge
no charge at that
movement of such an electric charge is also created by the electric charges, which is similar to the
point, and if there are
fact that a mass is the cause of gravity and at the same time an object that is subjected to gravity.
2 units of one type
and 1 unit of the other
우리가 일상생활에서 전하의 존재를 가장 쉽게 ‘느끼는’ 경우는 주로 건조한 겨울철에 발생하
at "almost the same
point", then 1 unit of는 정전기일 것이다. 정전기는 두 물체가 접촉할 때 순간적으로 전하가 흐르는 현상으로 이와
charge is canceled
out and 1 unit of 같은 전하의 이동을 유발하는 힘 역시 전하들이 만든 것인데 이는 질량이 중력을 만드는 원인
charge is observed. In
other words, it is 임과 동시에 중력을 받는 대상이란 사실과 유사하다.
observed that there is
an electric charge
equal to the difference
관측 결과에 따르면 전하는 서로 다른 두 종류가 있으며 같은 종류 간에는 척력을 서로 다른
between the two
types of charge. In 종류 간에는 인력을 받는다. 따라서 ‘거의 같은 지점’에 같은 크기의 두 종류의 전하가 있는
view of these
observations, it is 경우 그 지점에 전하가 없는 것으로 관측되며 ‘거의 같은 지점’에 한 종류는 2단위, 다른 한
quite natural to
correspond to the two
종류는 1단위가 있는 경우 1단위의 전하는 상쇄되고 1단위의 전하가 있는 것으로 관측된다.
types of charges in
positive and negative
즉, 두 종류 전하량의 차이만큼 전하가 있는 것처럼 관측된다. 이와 같은 관측 결과를 볼 때
numbers. In other
words, if we define 두 종류의 전하를 양 과 음의 숫자로 대응시키는 것은 매우 자연스럽다. 즉, 둘 중 하나를 양
one as positive
전하로 다른 하나를 음전하로 정의하면 예를 들어 5단위와 음전하 –4단위가 있는 경우 거시
charge and the other
as negative, for
다음과 같이 관측된다.
example, if we have적으로는
5
units and negative
charge –4 units,
(17.1.1)
단위    단위  단위
macroscopically we
observe as follows:
한편 미시적으로 전하는 생성되고 소멸되는 것으로 관측되는데 이는 앞서와 마찬가지로 ‘거의
같은 지점’에 같은 크기의 양음 전하가 있다가 각자 다른 방향으로 튀어나오거나 다시 모이는
것과 유사하여 결국 반응 전후 총 전하량은 변하지 않는다. 원자나 분자 수준에서는 아래 식
(17.1.2)와 같이 전기적으로 중성이었던 분자가 양과 음이온으로 분리되거나 이들이 다시 합쳐
지는 현상이 한 예이다.
NaCl ↔ Na   Cl
(17.1.2)
On the other hand, microscopic charges are observed to be generated and destroyed, which is similar to the presence of
positive charges of the same size at "almost the same point" as before, and then each one bounces out in different directions
or gathers again, so that the total amount of charge before and after the reaction does not change. At the atomic or molecular
level, an example is when electrically neutral molecules are separated into positive and negative ions, or are recombined, as
shown in Equation (17.1.2) below.
This same property still holds for the atomic nucleus reaction in Equation (17.1.3)
이와 같은 성질은 다음과 같은 식 (17.1.3)의 원자핵 반응에서도 여전히 성립하며



 H   H↔  He
(17.1.3)
더 나가 원자핵을 이루는 핵자 간의 반응식 (17.1.4)에서도 역시 성립한다.
Furthermore, the equation between nucleons that make up the nucleus of an atom (17.1.4) also holds true.
→     

(17.1.4)
식 17.1~4의 모든 반응의 공통점은 어떤 상황 전후에 전하량의 총량은 언제나 일정하다는 것
인데 이를 전하 보전 법칙이라 한다. 전하 보존 법칙은 에너지 보존 법칙처럼 가장 보편적인
법칙 중 하나이다. The common feature of all reactions in Eq. 17.1~4 is that the total amount of charge before and after
a certain situation is always constant, which is called the law of charge conservation. The law of
conservation of charge is one of the most common, as is the law of conservation of energy
전하 보존 법칙
전하는 생성되거나 없어지지 않는다. The law of conservation of charge: Charges do not
create or disappear.
The atom, the basic unit
of all matter, consists of
an atomic nucleus
consisting of protons
and neutrons at its
Charges in an atom
center, and electrons
원자 속의 전하
surrounding it. Protons
literally have a positive
charge and are the
모든 물질을 구성하고 있는 기본 단위인 원자는 중심에 양성자(proton)과 중성자(neutron)로 source of all positive
charges, and electrons
구성된 원자핵과 그 주위를 에워싼 전자(electron)으로 구성되어 있다. 양성자는 말 그대로 양 have a negative charge
and are the root source
전하를 가지고 있어 모든 양전하의 근원이며 전자는 음전하를 가지고 있어 모든 음전하의 근 of all negative charges.
The electrons in each
원이다. 각 원자의 전자들은 원자핵의 양성자에 의한 인력으로 인해 원자에 속박되어 있는데 atom are bound to the
atom due to the
그 크기는 원자에 따라 다르다. 예를 들어 플라스틱 막대의 전자는 손수건의 전자들 보다 핵 attraction caused by the
으로부터 더 강하게 속박되어 있어서 이 둘을 문지르면 손수건에 있던 전자들이 플라스틱 막 protons in the nucleus,
and their size varies
대로 이동하게 된다. 결과적으로 플라스틱 막대는 양전하보다 음전하가 많게 되고 손수건은 from atom to atom. For
example, the electrons
없어진 전자만큼 양전하가 더 많아진다. 이와 같이 음전하가 더 많이 있는 물체를 음으로 대 in a plastic rod are
bound more strongly in
It is interesting to
the nucleus than the
note that protons 전되어 있다고 하며 양전하가 더 많아진 손수건의 경우 양으로 대전되었다고 한다.
electrons in a
and electrons,
관측 결과에 의하면 양성자의 전하량과 전자의 전하량은 다음과 같다.
handkerchief, so when
which differ in
the two are rubbed, the
mass by about
electrons in the
2,000 times,
양성자의 전하량 :
handkerchief move to
have exactly the
 ×    C
the plastic membrane.
same amount of
As a result, plastic rods
charge. Here, C
  ×    C 1)
전자의 전하량 :
(17.1.5)
have more negative
is the SI unit of
charges than positive
the charge,
charges, and
called coulomb,
and we will find 질량이 약 2천배나 차이가 나는 양성자와 전자가 정확히 같은 크기의 전하량을 갖고 있다는 handkerchiefs have as
much positive charge as
its definition in all
syllables. On the 사실은 매우 흥미롭다. 여기서 C 는 전하의 SI 단위로 쿨롱(coulomb)이라 하며 그 정의를 다 the missing electrons. In
this way, an object with a
other hand, the
음 절에서 알아볼 것이다. 한편 자연에 관측되는 전하량은 전자나 양성자의 전하량이 최소이 more negative charge is
amount of
said to be negatively
charge observed
in nature is the 고 어떤 물질이든 이의 정수배만 존재한다. 최소의 전하량 단위, 즉 전자와 양성자의 전하량 charged, and a
handkerchief with a
minimum charge
more positive charge is
of electrons or
1) 전하의 양음 부호는 처음 부호를 정한 사람 맘대로 정한 것으로 특별한 의미는 없고 서로 대수적으로 said to be negatively
protons, and
상쇄된다는 의미이다.
charged. According to
there are only
the observation results,
integer multiples
the charge of the proton
of any
and the charge of the
substance. The
electron are as follows.
smallest unit of
charge, i.e. the
charge of
electrons and
protons
의 크기를 다음과 같이  로 표현한다.
    ×    C
(17.1.6)
The force acting between the charges (Coulomb's Law)
17.2 전하들 간에 작용하는 힘(쿨롱의 법칙)
앞서 같은 종류의 전하는 척력을 다른 종류의 전하는 인력은 받는다고 했는데 이에 더해 두
전하 사이의 전하량이나 서로 떨어진 거리에 따라 주고받는 힘의 크기가 달라짐을 실험적으로
관찰할 수 있다. 그 힘의 방향은 두 점 전하를 연결한 직선과 같은 방향이고 그 크기는 두 점
전하량의 곱에 비례하고 떨어진 거리에 반비례한다. 이를 수식으로 표현하면 다음 식 (17.2.1)
과 같고 이를 쿨롱의 법칙이라 한다.
쿨롱의 법칙
  
  

(17.2.1)

여기서    는 두 점전하의 전하량이며 은 두 점전하가 떨어진 거리이고 는 비례 상수로
다음과 같은 값을 갖는다.
    ×   Nm   C 
(17.2.2)
The permittivity of a vacuum
한편 비례 상수 를 다음과 같이 진공의 유전율2)   을 사용하여 나타내기도 한다.
On the other hand, the constant of proportionality
can also be

 expressed using the permittivity of the vacuum 2) as
   ,   
(17.2.3)
follows:
 
Earlier, it was said
that the same
type of charge
receives a
repulsive force
from a different
type of charge,
but in addition to
this, it can be
observed
experimentally
that the
magnitude of the
force exchanged
varies depending
on the amount of
charge between
the two charges
or the distance
between them.
The direction of
the force is the
same as the
straight line
connecting the
two point
charges, and its
magnitude is
proportional to the
product of the two
point charges and
inversely
proportional to the
distance apart.
This is expressed
in the following
equation (17.2.1)
and is called
Coulomb's Law.

Unit of charge (Coulomb's definition)
전하량의 단위(쿨롱의 정의)
앞서 우리는 전하량의 단위가 C(coulomb)임을 알아보았다. 쿨롱의 법칙으로부터 이 값이 어
떤 의미인지를 알아보기로 하자. 1m 떨어져 있는 두 1C의 전하가 주고받는 힘을 식 (17.2.1)
로부터 구해보면 다음과 같다.


C⋅ C
m 
   ×   N
      ×  Nm  C  

즉, 어떤 같은 전하량이 1m떨어져 있을 때 만약   ×   N 의 힘을 주고받는다면 그 때 각
각의 전하량이 1C이란 뜻이다. 따라서 비례상수 의 정의인 식 (17.2.2)이 곧 전하량의 단위
2) 유전율의 의미는 추후 알아보기로 하자
In other words, if the same charge is 1 meter apart and the force of ×N is
charge
of each
angle is
1C. and
Therefore,
theofdefinition
In exchanged,
other words,then
if thethe
same
charge
is 1 meter
apart
the force
×N is of the
proportional
constant
, Eq.of
(17.2.2),
is theisunit
the amount
charge. of the
exchanged,
then
the charge
each angle
1C.of
Therefore,
theofdefinition
proportional constant , Eq. (17.2.2), is the unit of the amount of charge.
In other words, if the same charge is 1 meter apart and the force of ×N is exchanged, then the charge of
In other words, if the same charge is 1 meter apart and the force of ×N is exchanged, then the charge of each angle
each angle
is 1C.
Therefore,
the definition
of the proportional
constant
Eq.
the unit
of the amount
is 1C.
Therefore,
the definition
of the proportional
constant , Eq.
(17.2.2),, is
the(17.2.2),
unit of theisamount
of charge.
of charge.
인 C(쿨롱)의 정의이다.
 ×   N 의 크기가 상상이 가는가? 위키에 의하면 이 힘은 10t트럭 10만대의 힘과 맞먹는
다고 한다. 이렇게 큰 단위가 기준이 된 것은 전기에 대한 상세한 지식이 없는 시절에 이를
단위로 삼았기 때문으로 실제 일상생활에서 발생하는 정전기의 전하량은 약    ∼    C 정
도에 불과하다.
At position x = -a,0,a, there are charges of q, -q, and 2q, respectively. Find the force received by each charge (let a=10cm,
q=1cm, 9E^9, Nm^2C^2).
예제 17.2.1) 위치      에 각각 전하량    의 전하가 있다. 각 전하가 받는 힘을
구하라(  cm    mC 이고    ×   Nm  C  라 하자).
풀이 17.2.1) 가 받는 힘은  로부터 인력을 로부터 척력을 받는다. 즉,  으로부터 오
른쪽 방향의 힘을 로부터 왼쪽 방향의 힘을 받는다. 따라서
  ×  
  × 
3)
 
   


 














 
    




   C 
  ×   Nm   C     N
  m 
같은 방법으로  가 받는 힘은
 
 N
      


이고 가 받는 힘은

 




  
  N
      


이다. 4)
쿨롱 법칙의 벡터 표현
식 (17.2.1)은 두 점 전하가 받는 힘의 크기를 나타낸 것으로 힘의 구체적인 방향은 각 전하
의 부호에 따라 결정됨을 예제 17.2.1) 에서 알아보았다. 이와 같은 표현 방법은 전하 한 두
개가 주고받는 힘을 표현하기에는 어려움이 없지만 앞으로 우리가 다룰 많은 수의 전하들이
상호작용을 표현하기에는 적합하지 않으며 이와 같은 경우 벡터 표현이 유용하다. 전하량이
   인 두 전하가 그림 17.2.1과 같이 각각 위치    에 있을 때 각각의 전하가 받는 힘

  
 는 다음과 같다.


3) 우리는 특별한 언급이 없으면 1차원공간의 오른쪽을 양, 왼쪽을 음으로 위쪽을 양, 아래쪽을 음으로
표현하였다.
4)         이다. 이유는?
 


 
   

 


   

   

(17.2.4)
여기서      이고 
    이다(   ).
그림 17.2.1 두 점전하가 주고받는 힘. 힘의
방향은   인 경우를 나타내었다.
단위 벡터 
  는  이  로부터 멀어지는 방향을 나타낸다. 따라서  이  로부터 받는 힘 

는    인 경우, 즉 두 전하의 부호가 같은 경우 그림 17.2.1과 같이 척력이고    인
경우, 즉 두 전하의 부호가 다른 경우 인력이다. 이는 식 (17.2.4)의 벡터 표현이 앞서 정의한
쿨롱의 법칙을 정확히 만족함을 의미한다.
예제 17.2.2) 예제 17.2.1)을 식 (17.2.4)를 이용해 구하라.
풀이 17.2.2) 전하
   의 위치는 각각   
        
 에서
      
  



      
  
⇒
   
  
⇒
  
  
      
  



⇒
   
  





이고 따라서

  
  

 ×    
 ×   
 
    
 

 

 


 



 






 
 




  
  

   ×   
 
   
 

  
 
 
 
  




 
 


 

  
  
  
  
  
  
      

 
 
예제 17.2.3)에서 알 수 있듯이 벡터를 사용한다고 계산이 간단해지지는 않는다. 하지만 전하
들이 주고받는 힘이 식 17.2.4) 로 표현되고 이를 이용하여 각각의 전하들이 주고받는 힘을
원칙적으로 구할 수 있다는 사실을 이해하는 것은 중요하다.
한편 힘을 주고받는 두 점 전하 중 하나가 원점에 있는 경우 다른 전하가 받는 힘은 보다 간
단한 형태로 나타낼 수 있다. 그림 17.2.2와 같이 좌표원점에 점전하  가 있고 위치 에 점
전하 가 있는 경우 가 받는 힘은 다음과 같다.
 

  


(17.2.5)
그림 17.2.2 두 점전하가 주고받는 힘. 힘
의 방향은   인 경우를 나타내었다.
예제 17.2.4) 원점에 C 이 있을 때 위치   m 에 있는 C 의 점 전하가 받는 힘을 구하
시오.
풀이 17.2.4) 각자 해보자.
예제 17,2,5) 원점과 점        에 각각    의 점전하가 있다.   에 있는
가 받는 힘을 구하라.
풀이 17.2.5) 원점에 있는 전하에 의한 힘

    

     
   

  
 에 있는 전하에 의한 힘



    


   에 있는 전하에 의한 힘



    

 
따라서 구하는 힘은









       
      
   
 



 

17.3 전기장(Electric Field)
장(Field)의 수학적 정의는 단순히  과 같이 (시)공간의 함수란 의미이다. 예를 들어 지도
에서 위치에 따른 높이를 나타내는 함수   도 장이다.
앞 절에서 점 전하 가 원점에 있는 점 전하  에 의해 원거리 작용력 
  
   을 받는
것을 알아보았다. 이를 관점을 바꿔 다음과 같이 가 받는 힘을 가 있는 위치의 함수인 어떤
값(즉 장,field) 
 와 전하량 의 곱이라 생각할 수도 있을 것이다.


  
 
   


적절하게도
(17.3.1)

  
   를 전기장이라 하고 점전하  에 의해 유발되어 전 공간에 정의된 값
이므로 다음과 같이 정의한다.
원점에 있는 점 전하  에 의한 전기장


    


(17.3.2)
물론 위치 에 점전하 가 있는 경우 전 공간에는 식 (17.3.2)에 더해 에 의한 전기장 역시
있게 된다. 하지만 자신이 만든 전기장에 자기가 영향을 받지는 않으므로.5) 공간의 한 전하가
5) 자기 자신의 전기장에 의해 자신의 전하가 받는 힘 또는 이로부터 생긴 에너지를 생각할 수 있다. 예
를 들어 점 전하를 작은 반지름이  인 구면에 전하 가 균일하게 분포한 것으로 모사하는 경우 구면
에 분포한 전하들에 의한 전기장은 서로 간 반발력을 준다. 이에 따른 퍼텐셜에너지는 ∝ 의 관
계가 있고 이를 self energy라 한다. 따라서   인 경우 즉, 진짜 점 전하인 경우 self energy는
∞이다. 하지만 실제 세상은 ‘어떤 이유에서든’ 진짜 0이나 ∞ 값은 없으므로 self energy 값은 비록
받는 힘은 자신을 제외한 나머지 전하들이 만든 전기장과 자신의 전하량의 곱이다.
여러 점전하에 의한 전기장
전기장은 벡터이므로 공간의 한 지점 의 전기장 
 은 공간에 분포한 여러 점 전하들에 의
한 전기장의 벡터 합이다. 점 전하   ⋯ 들이 위치     ⋯  에 있는 경우 위치 의
전기장 
은 다음과 같다.
여러 점 전하에 의한 전기장





 
 



 



′ , (  ′    )
 
′



(17.3.3.A)
공간에 연속적인 전하 분포가 있는 경우의 전기장 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.
연속된 전하분포에 의한 전기장




→∞  
′ 
 
′

′

′  
lim   


(17.3.3.B)
그림 17.3.1 연속 전하 분포에 의한 전기장
예제 17.3.1)   에서   까지 일정한 선 전하 밀도 로 전하가 분포한 경우      
에서의 전기장을 구하라.
풀이 17.3.1) 위치 에서 미소성분 에 의한 위치    에서의 전기장  는 다음과 같다.
큰 값일 수는 있으나 변하지 않는 값이다. 따라서 우리는 점 전하로 부르는 대상이 분해되거나 합쳐
지는 상황은 생각하지 않으므로 이 값은 변하지 않는 상수값이고 따라서 고려하지 않는다.


      
   
   
따라서 전체 전하에 의한 전기장은
 

   
   







 
 





     
 
    
예제 17.3.2)
반지름  인 고리에 총 전하  가 균일하게 분포하고 있다. 고리의 중심에서 고
리의 수직으로 만큼 떨어진 지점의 전기장을 구하라.
풀이 17.3.2) 고리의 각 미소 선분의 전하들이 주는 전기장의 방향은 모두 다르므로 전체 전
기장을 구하기 위해서는 벡터 합을 해야 한다. 하지만 구하고자 하는 전기장  는 고리가 있
는 평면에 수직한 방향이므로(왜 그럴까?) 각 미소 선분의 전기장 중 고리에 수직인 성분만
택해 더하면 된다. 고리의 일부분인 길이  (그림 17.3.2의 붉은 부분)에 있는 전하  에 의
한 전기장의 크기는 다음과 같다.




 
 ′   
,  
 
   
   

이로부터 고리에 수직한 성분의 전기장의 크기는 다음과 같다.
 


 
   ′ cos   
×






   
 
  
고리의 모든 미소 선분에 대해 이 결과는 동일하므로 전체 전기장은 다음과 같다.



 
×    
   
 
   
   
   

 

 

 
또는 전체 전하량은     이므로 다음과 같이 나타낼 수도 있다.



   
참고로 →∞ 이면

 ≈   이 되어 점전하의 결과와 같다. 이는 먼 거리에서 고리가 점전

하로 보일 것이므로 당연하다.
그림 17.3.2 균일한 전하 고리의 미소 전하 
 그리고 두
와 전기장을 구하고자 하는 지점 ,

점의 상대 위치 ′
예제 17.3.3) 전하가 무한직선에 일정한 전하밀도 로 분포하고 있는 경우 직선에서 만큼
떨어진 지점의 전기장을 구하라.
풀이 17.3.3) 무한 직선이므로 직선상 어느 점이건 원점이라 해도 상관없다. 따라서 축을 따
라  ∞    ∞ 에 균일한 전하 밀도 로 전하가 분포한 경우 위치    에서의 전기장을
구하는 문제와 동일하다.
그림 17.3.3과 같이 위치 에 있는 길이 인 미소 선분에 의한 위치   에서의 전기장의
크기  는 다음과 같다.
그림 17.3.3 무한 직선의 미소 길이의 전하량

 에 의한 점  에서의 전기장 


 
   



  
또한
    
 
이므로 이를 벡터로 나타내면 다음과 같다.
 의 방향은 

   
    
 


 
    

  
  


 




   

     
따라서 구하고자 하는 전기장은 다음과 같다.

  
  
 
  
   
 

 
    
 
   
   

 
 
   


∞

∞
 
∞
∞
∞
∞
∞

 

 

∞
 
6)
∞

을 구하기 위해    tan 로 변수를 치환하면
 
   

∞
 


cos 
  이 되어
   sec  , cos  
⇒





   

   

∞



cos
   sec  ×   
 
   


   cos


∞

 




sin


∞




     


 




     ∞



∞
∴



 
   


∞
 

7)
가 되어 구하고자 하는 전기장의 크기는 다음과 같다.
∞
  



 
    
 



   

∞

 


∞
 
 임을 논증해 보자
 
   

6)  
∞

 
7) 이 적분은 앞으로 서너 번 더 쓰이니 앞으로는 이 결과를 참조하기로 함
이로부터 일정한 선 전하밀도 로 전하가 분포한 무한직선이 있을 때 직선에서 거리  만큼
떨어진 지점의 전기장은 다음과 같다.
크기:
방향:


   
   

(17.3.4)
직선에 수직
예제 17.3.4) 무한 평면에 일정한 면 전하밀도 로 전하가 분포하고 있다. 평면에서 만큼 떨
어진 지점의 전기장을 구하라.
풀이 17.3.4) 무한 평면을 얇은 원형 고리들의 합으로 나누어 생각해 보자. 그러면 원점을 중
심으로 반경 이고 두께가 인 고리에 의한 전기장은 예제 17.3.2)의 결과로부터 다음과 같
다.


   
   
×    

 


   
   
고리의 면적
따라서

 
∞
 

 
   


 

  


 


 
    
∞

 

 
    
∞

  
    


∞




       

 
 
이 결과는 전기장의 크기가 평면에서 떨어진 거리 와 무관하다. 따라서 무한 평면에 전하
가 일정하게 분포한 경우 전 공간에서 전기장의 크기는 일정하다. 이로부터 일정한 면 전하밀
도 로 전하가 분포한 무한평면이 있을 때 공간 전체에서 전기장은 다음과 같다.
예제 17.3.5)
축의 선분

 
크기:
   8)
방향:
평면에 수직
(17.3.5)
  ≤  ≤ 에 일정한 선 전하밀도 로 전하가 분포해 있다. 위
치   에서 전기장을 구하라.
8) 평면의 윗면과 아랫면에서 전기장의 방향이 반대임을 유의할 것
예제 17.3.6)
한 변의 길이가 인 정 사각형에 일정한 선 전하밀도 로 전하가 분포해 있다.
정사각형의 중심에서 면에 수직방향으로 만큼 떨어진 지점의 전기장을 구하라.
전기쌍극자(Electric Dipole)
예제 17.3.7)    평면에 전하 와  가 각각 위치 ±    에 있다.
1) 위치    에서 전기장을 구하라.
2) 위치    에서 전기장을 구하라.
3)
위의 1)과 2)의 결과로부터
 ≫ ,  ≫ 일 때의 전기장의 근사 값을 구하라.
풀이 17.3.7)
쿨롱의 법칙으로부터 위치    에서 전기장은 다음과 같다.

   
      
     



 
       
       


따라서
     
   
 
    



 
1) 
     


 

 

 

    
    
    
     



   
   



     
2) 
     

 
 
   
   
    
    
 

3)  ≫ ,  ≫  일 때

    
 
 


≈





 

    
이고 테일러정리에 의하면  ≪ 이며 이 그리 큰 수가 아닌 경우     ≈   로 근사
할 수 있으므로(이 꼭 정수일 필요는 없음)  ≫ 일 때





 ±    ≈ 
 ∓  




 


 ±  
  ±   


로 근사된다. 따라서


 


    
     




≈           





    


 
 




이 결과는 특정한 두 방향만 계산해 본 것이지만 결과를 미루어 보면 같은 크기의 부호가 반
대인 두 점전하가 가까이 있는 경우 공간의 모든 점에서 전기장이 떨어진 거리의 3제곱에 반
비례한다는 것을 짐작할 수 있다.
크기는 같은 서로 다른 부호인 두 점 전하가 있을 때 이를 전기 쌍극자라 한다. 전기 쌍극자

는 음전하를 기준으로 양전하의 위치를 벡터 
로 나타낼 때 다음과 같이 정의된다.
전기 쌍극자

 

(17.3.6)
따라서 앞의 예제 17.3.7의 결과가 바로 전기 쌍극자에 의한 전기장을 나타내고 있다. 예제에
서 쌍극자는  
 이고 쌍극자에서 충분히 멀리 떨어진 경우 쌍극자 에 수직인 방향의
전기장  ⊥ 와 수평인 방향 전기장  ║ 은 각각 쌍극자와 떨어진 거리 에 대해 다음과 같음을
알 수 있다.
전기 쌍극자에 의한 전기장



   ≈  
⊥ ≈  



(17.3.7)