Elektrische Feldlinien und Äquipotential-Linien Auf einer Äquipotential-Linie gilt Φπ = ππππ π‘. Für Punktladung am Ursprung gilt: Φ πΤ¦ πΈ πΤ¦ = −π»Φ πΤ¦ ο 1 π =+ β 4πππ π πΈ πΤ¦ ⊥ Äquipotential-Linie Elektrische Feldlinien und Äquipotential-Linien πΈ πΤ¦ = −π»Φ πΤ¦ ο πΈ πΤ¦ ⊥ Äquipotential-Linie πΈ zeigt in Richtung der max. Abnahme des el. Potentials. πΈ zeigt von der pos. Ladung weg und zur neg. Ladung hin. Der elektrische Dipol Äquipotential-Linien ⊥ πΈ- Feld πΈ πΤ¦ = −π»Φ πΤ¦ ο πΈ πΤ¦ ⊥ Äquipotential-Flächen → Metallische Oberflächen sind Äquipotential-Flächen. sonst würden sich die Elektronen entlang des πΈ - Feldes bewegen und das Potential verändern! → π¬ - Felder sind senkrecht zu metallischen Oberflächen. Plattenkondensator Räumliche verteilte elektrische Ladung a) Punktladung, q1, am Ort, π 1 : Elektrische Feld am Ort π? Τ¦ π1 = πΤ¦ − π 1 π1 = πΤ¦ − π 1 πΈ πΤ¦1 bzw. 1 π1 = β 3 β πΤ¦1 4πππ π1 πΈ πΰ΄± 1 π1 = β 3 β 4πππ π−π Τ¦ 1 πΤ¦ − π 1 Mehrere Punktladungen: π π = ΰ· ππ’ π’=π π π π=1 π=1 1 ππ πΈ πΤ¦ = ΰ· πΈπ πΤ¦ = βΰ· β πΤ¦ − π π 3 4πππ πΤ¦ − π π Mehrere Punktladungen: π π π=1 π=1 1 ππ πΈ πΤ¦ = ΰ· πΈπ πΤ¦ = βΰ· β πΤ¦ − π π 3 4πππ πΤ¦ − π π π π π=1 π=1 1 ππ Φ πΤ¦ = ΰ· Φπ πΤ¦ = βΰ· 4πππ πΤ¦ − π π Kontinuierliche Ladungsverteilung: dq=ο²οdV ππ homogene Ladungsdichte ο²= ; ππ‘ππ‘ = β«πΧ¬β¬ ππ Einheiten: π πΆ π΄βπ = 3= 3 π π π β ππ = π β π πΏπππ’ππ ππππ’πππ Kontinuierliche Ladungsverteilung: 1 πΈ πΤ¦ = ΰΆ± ππΈ πΤ¦ = βΰΆ± 4πππ π π 1 = βπΰΆ± 4πππ π ππ πΤ¦ − π 3β πΤ¦ − π dq=ο²οdV ππ πΤ¦ − π 3β πΤ¦ − π Symmetrie-Eigenschaften des el. Feldes Zirkulation des E-Feldes: ΰΆ» πΈπ π Τ¦ = 0 E-Feld ist «wirbelfrei» Die Zirkulation des E-Feldes: ππ΄→π΄ = −π Φπ΄ − Φπ΄ = 0 Coulomb-Kraft ist konservativ ! ππ΄→π΅→π΄ = β«πΉ Χ―β¬Τ¦ ππ Τ¦ = 0 ο β«π ππΈ Χ―β¬Τ¦ = 0 E-Feld ist „wirbelfrei“ Andere Formulierung: Die elektrischen Feldlinien sind nicht geschlossen. z.B. elektrischer Dipol Der Fluss des elektrischen Feldes Erinnerung: Hydrodynamik (strömende Flüssigkeit) π£Τ¦ Strömungsgeschwindigkeit, π£Τ¦ Τ¦ ist senkrecht zur Fläche. Flächenvektor, π΄, π΄Τ¦ gibt die Grösse der Fläche an. π£Τ¦ Volumen an Flüssigkeit das pro Sekunde durch dA fliesst: ππ = π£Τ¦ β ππ΄Τ¦ β ππ‘ = ππ β ππ‘; ππ = π£Τ¦ β ππ΄Τ¦ und π = β«π£ π΄Χ¬β¬Τ¦ β π π΄Τ¦ «Fluss» Einheiten: π π3 = π ππππ’πππ ππππ‘ Zurück zum elektrischen Feld, πΈ ersetze das π£Τ¦ − πΉπππ durch das πΈ − πΉπππ ππππ = πΈ β ππ΄Τ¦ «Fluss» von πΈ durch dπ΄Τ¦ geschlossene Fläche A, umschliest die el. Ladungen Fluss des el. Feldes durch die geschlossene Oberfläche: πππ = ΰΆ» ππππ = ΰΆ» πΈ β π π΄Τ¦ π΄ π΄ Spezialfall Punktladung Fluss durch Oberfläche einer Kugel mit Radius, R, und Ladung, +Q, am Mittelpunkt. πΈ β₯ π π΄Τ¦ πΈ β₯ π π΄Τ¦ 1 π E(R)= β 2 4πππ π πππ = β«π΄ π β πΈ π΄Χ―β¬Τ¦ = πΈ π β« β π πΈ = π΄π π΄Χ―β¬4ππ 2 = 1 π πΈ 2 β 2 β 4ππ = 4πππ π πΊπ π Τ¦ Gauss-Theorem: πππ = β«= π΄ π β πΈ π΄Χ―β¬ π π πππ ist unabhängig von: - der Form des geschlossenen Fläche, A - der Form der Ladungsverteilung. Satz von Gauss: β«π΄π πΈ π΄Χ―β¬Τ¦ = β«ππ πΈ π£ππ πΧ¬β¬ ππΈπ₯ ππΈπ¦ ππΈπ§ πππ£ πΈ = π»πΈ = + + ππ₯ ππ¦ ππ§ π 1 πππ = ΰΆ» πΈ π π΄Τ¦ = ΰΆ± πππ£ πΈ ππ = = ΰΆ± π ππ ππ ππ π π΄ π → πππ£ πΈ πΤ¦ = π»πΈ πΤ¦ 1 = ρ πΤ¦ ππ 2. Maxwell-Gleichung 2. Maxwell-Gleichung: → πππ£ πΈ πΤ¦ = π» β πΈ πΤ¦ 1 = ρ πΤ¦ ππ Die el. Ladungen sind die Ursache sprunghafter Veränderungen des el. Feldes! Andere Formulierung: Die elektrischen Feldlinien sind nicht geschlossen. z.B. elektrischer Dipol Rechenbeispiel für Punktladung, Q, am Ursprung: π₯ 1 π 1 1 π¦ πΈ πΤ¦ = β 3 β πΤ¦ = βπβ 2 β Τ 4πππ π 4πππ π₯ + π¦2 + π§2 3 2 π§ Berechne: π»πΈ = ππΈπ¦ ππΈπ₯ ππΈπ§ + + ππ₯ ππ¦ ππ§ ππΈπ₯ π π = β ππ₯ 4πππ ππ₯ π₯ π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 3Τ2 = 0 (für r > 0) Rechenbeispiel für Punktladung, Q, am Ursprung: π₯ 1 π 1 1 π¦ πΈ πΤ¦ = β 3 β πΤ¦ = βπβ 2 β Τ 4πππ π 4πππ π₯ + π¦2 + π§2 3 2 π§ Berechne: π»πΈ = ππΈπ¦ ππΈπ₯ ππΈπ§ + + ππ₯ ππ¦ ππ§ ππΈπ₯ π π = β ππ 4πππ ππ π ππ + π¦ 2 + π§ 2 3Τ2 = 0 (für r > 0) π → ππ₯ π π π₯ ππ₯ π π₯ π₯ π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 3Τ2 ππ ππ βπ−πβ ππ₯ = ππ₯ π2 π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 3Τ2 − π₯ β 3/2 β π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 1Τ2 β 2π₯ = π₯2 + π¦2 + π§2 3 π 3 − 3π₯ 2 β π 1 2 2 = = π − 3π₯ π6 π5 Rechenbeispiel für Punktladung, Q, am Ursprung: ππΈπ₯ π 1 π₯ = β π β 2 2 2 3Τ2 ππ₯ ππ₯ 4πππ π₯ +π¦ +π§ π 1 = β 5 4πππ π π 2 − 3π₯ 2 Analog für y- und z-Komponente: ππΈπ₯ ππΈπ¦ ππΈπ§ 1 2 + + = 5 π − 3π₯ 2 + π 2 − 3π¦ 2 + π 2 − 3π§ 2 ππ₯ ππ¦ ππ§ π 1 = 5 3π 2 − 3 π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 π Singularität bei r=0! =0 (nicht gezeigt) Anwendung des Gauss-Theorem πΈ-Feld für geladenen dünnen Draht: radiales E-Feld in der Schnittfläche Deckflächen: πΈ ⊥ ππ΄Τ¦ ο πΈ β π π΄Τ¦ = 0 L Mantelflächen: πΈ β₯ ππ΄Τ¦ ο πΈ β ππ΄Τ¦ = πΈ π β ππ΄ π 1-d Ladungsdichte: ο¬= π oder Q=ο¬οl πΆ π΄βπ π = = π π Länge, l Ladungsdichte für ein-dimensionales (1-d) Objekt: πΈ-Feld für geladenen dünnen Draht: πππ = β«π΄ π πΈ π΄Χ―β¬Τ¦ = β«= π΄π π πΈ πππ‘πππΧ¬β¬ πΈ π β 2π β π β πΏ π ο¬βπΏ und: πππ = = ππ ππ mit ο¬ = Q/L L πΈ-Feld für geladenen dünnen Draht: πππ = β«π΄ π πΈ π΄Χ―β¬Τ¦ = β«= π΄π π πΈ πππ‘πππΧ¬β¬ πΈ π β 2π β π β πΏ π ο¬βπΏ und: πππ = = ππ ππ L mit ο¬ = Q/L ο πΈ π β 2π β π β πΏ = ο¬βπΏ ππ ο πΈ π = ο¬ 2πππ β 1Τπ πΈ-Feld für geladenen dünnen Draht: πππ = β«π΄ π πΈ π΄Χ―β¬Τ¦ = β«= π΄π π πΈ πππ‘πππΧ¬β¬ πΈ π β 2π β π β πΏ π ο¬βπΏ und: πππ = = ππ ππ L mit ο¬ = Q/L ο πΈ π β 2π β π β πΏ = ο¬βπΏ ππ ο πΈ π = ο¬ 2πππ β 1Τπ allgemein: πΈ π ο¬ 1 = β 2πππ π Zylindrischer Draht (mit endlichem Radius R): Draht: Radius, R, Ladung, Q, Ladungsdichte, π = πΰ΅π Zylinder-Oberfläche: Radius r, Mantelhöhe, L Deckflächen: πΈ⊥ππ΄Τ¦ ο πΈ β π π΄Τ¦ = 0 Mantelflächen: πΈ β₯ π π΄Τ¦ οπΈ β ππ΄Τ¦ = πΈ π β ππ΄ Zylindrischer Draht: E-Feld für r > R: πππ = β«π΄ π πΈ Χ―β¬Τ¦= π΄ β« β π πΈ = π΄π π πΈ πππ‘πππΧ¬β¬2π β π β πΏ π πβπβπ 2 βπΏ Gauss: πππ = = ππ ππ Zylindrischer Draht: E-Feld für r > R: πππ = ΰΆ» πΈ π π΄Τ¦ = π΄ β« β π πΈ = π΄π π πΈ πππ‘πππΧ¬β¬2π β π β πΏ π πβπβπ 2 βπΏ Gauss: πππ = = ππ ππ πβπβπ 2 βπΏ πΈ π β 2π β π β πΏ = ππ 2 1 πβπ ο πΈ ππ₯π‘ π = β 2ππ π E-Feld im Innenbereich für r<R: πππ = πΈ π β 2π β π β πΏ π πππ‘. πβπβπ 2 βπΏ Gauss-Theorem: πππ = = ππ ππ E-Feld im Innenbereich für r<R: πππ = πΈ π β 2π β π β πΏ π πππ‘. πβπβπ 2 βπΏ Gauss-Theorem: πππ = = ππ ππ πβπβπ 2 βπΏ πΈ π β 2π β π β πΏ = ππ π πππ‘. οπΈ π = βπ 2ππ E-Feld im Innenbereich für r<R: πππ = πΈ π β 2π β π β πΏ π πππ‘. πβπβπ 2 βπΏ Gauss-Theorem: πππ = = ππ ππ πβπβπ 2 βπΏ πΈ π β 2π β π β πΏ = ππ π πππ‘. οπΈ π = βπ 2ππ Homogen geladene Kugel (mit Radius, R): Kugeloberfläche: πΈ ↑↑ π π΄Τ¦ Externes Feld: πππ = πΈ π ΰΆ» ππ΄ = πΈ π β 4ππ 2 π πβ4/3πβπ 3 Gauss: πππ = = ππ ππ Homogen geladene Kugel (mit Radius, R): Kugeloberfläche: πΈ ↑↑ π π΄Τ¦ Externes Feld: πππ = πΈ π ΰΆ» ππ΄ = πΈ π β 4ππ 2 π πβ4/3πβπ 3 Gauss: πππ = = ππ ππ πΈ π 3 πβ4πβπ β 4ππ 2 = ο πΈ ππ₯π‘. π 3ππ πβπ 3 1 = β 2 3ππ π 3 π β π 1 ππ₯π‘. πΈ π = β 2 3ππ π gleich wie für die Punktladung πβπ 3 1 da = π 3ππ 4πππ mit ο²=4 π βπβπ 3 3 Siehe Gauss-Theorem: Es spielt keine Rolle wie die Ladung innerhalb der geschl. Oberfläche verteilt ist. Homogen geladene Kugel (mit Radius, R): Externes Feld: πππ = πΈ π ΰΆ» ππ΄ = πΈ π β 4ππ 2 π πβ4/3πβπ 3 Gauss: πππ = = ππ ππ πβ4πβπ 3 2 πΈ π β 4ππ = 3ππ πβπ 3 1 ππ₯π‘. οπΈ π = 3ππ π 2 Internes Feld: πππ = πΈ π ΰΆ» ππ΄ = πΈ π β 4ππ 2 π πβ4/3πβπ 3 Gauss: πππ = = ππ ππ 3 2 πβ4πβπ πΈ π β 4ππ = 3ππ π πππ‘. οπΈ π = βπ 3ππ Anmerkung: Die Annahme einer homogenen Ladungsverteilung innerhalb der metallischen Kugel ist falsch. Innerhalb der Kugel sind keine elektrischen Ladungen und es gilt E=0! Andernfalls bewegen sich die Elektronen im E-Feld, so lange bis E=0. Die elektrische Ladungen befinden such alle an der Kugeloberfläche! Auf das E-Feld ausserhalb der Kugel hat das keinen Einfluss, siehe Gauss-Theorem!
