Elektrische Feldlinien und Äquipotential-Linien
Auf einer Äquipotential-Linie gilt Φ𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Für Punktladung am Ursprung gilt: Φ 𝑟Ԧ
𝐸 𝑟Ԧ = −𝛻Φ 𝑟Ԧ 
1
𝑄
=+
∙
4𝜋𝜀𝑜 𝑟
𝐸 𝑟Ԧ ⊥ Äquipotential-Linie
Elektrische Feldlinien und Äquipotential-Linien
𝐸 𝑟Ԧ = −𝛻Φ 𝑟Ԧ 
𝐸 𝑟Ԧ ⊥ Äquipotential-Linie
𝐸 zeigt in Richtung der max. Abnahme des el. Potentials.
𝐸 zeigt von der pos. Ladung weg und zur neg. Ladung hin.
Der elektrische Dipol
Äquipotential-Linien ⊥ 𝐸- Feld
𝐸 𝑟Ԧ = −𝛻Φ 𝑟Ԧ 
𝐸 𝑟Ԧ ⊥ Äquipotential-Flächen
→ Metallische Oberflächen sind Äquipotential-Flächen.
sonst würden sich die Elektronen entlang des 𝐸 - Feldes
bewegen und das Potential verändern!
→ 𝑬 - Felder sind senkrecht zu metallischen Oberflächen.
Plattenkondensator
Räumliche verteilte elektrische Ladung
a) Punktladung, q1, am Ort, 𝑅1 : Elektrische Feld am Ort 𝑟?
Ԧ
𝑟1 = 𝑟Ԧ − 𝑅1
𝑟1 = 𝑟Ԧ − 𝑅1
𝐸 𝑟Ԧ1
bzw.
1
𝑞1
=
∙ 3 ∙ 𝑟Ԧ1
4𝜋𝜀𝑜 𝑟1
𝐸 𝑟റ
1
𝑞1
=
∙
3 ∙
4𝜋𝜀𝑜 𝑟−𝑅
Ԧ 1
𝑟Ԧ − 𝑅1
Mehrere Punktladungen:
𝟑
𝐄 = ෍ 𝐄𝐢
𝐢=𝟏
𝑁
𝑁
𝑖=1
𝑖=1
1
𝑞𝑖
𝐸 𝑟Ԧ = ෍ 𝐸𝑖 𝑟Ԧ =
∙෍
∙ 𝑟Ԧ − 𝑅𝑖
3
4𝜋𝜀𝑜
𝑟Ԧ − 𝑅
𝑖
Mehrere Punktladungen:
𝑁
𝑁
𝑖=1
𝑖=1
1
𝑞𝑖
𝐸 𝑟Ԧ = ෍ 𝐸𝑖 𝑟Ԧ =
∙෍
∙ 𝑟Ԧ − 𝑅𝑖
3
4𝜋𝜀𝑜
𝑟Ԧ − 𝑅
𝑖
𝑁
𝑁
𝑖=1
𝑖=1
1
𝑞𝑖
Φ 𝑟Ԧ = ෍ Φ𝑖 𝑟Ԧ =
∙෍
4𝜋𝜀𝑜
𝑟Ԧ − 𝑅𝑖
Kontinuierliche Ladungsverteilung:
dq=dV
𝑑𝑞
homogene Ladungsdichte = ; 𝑄𝑡𝑜𝑡 = ‫𝑉׬‬
𝑑𝑉
Einheiten: 𝜌
𝐶
𝐴∙𝑠
= 3= 3
𝑚
𝑚
𝜌 ∙ 𝑑𝑉 = 𝜌 ∙ 𝑉
𝐿𝑎𝑑𝑢𝑛𝑔
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
Kontinuierliche Ladungsverteilung:
1
𝐸 𝑟Ԧ = න 𝑑𝐸 𝑟Ԧ =
∙න
4𝜋𝜀𝑜 𝑉
𝑉
1
=
∙𝜌න
4𝜋𝜀𝑜
𝑉
𝑑𝑉
𝑟Ԧ − 𝑅
3∙
𝑟Ԧ − 𝑅
dq=dV
𝑑𝑞
𝑟Ԧ − 𝑅
3∙
𝑟Ԧ − 𝑅
Symmetrie-Eigenschaften des el. Feldes
Zirkulation des E-Feldes:
ර 𝐸𝑑 𝑠Ԧ = 0
E-Feld ist «wirbelfrei»
Die Zirkulation des E-Feldes:
𝑊𝐴→𝐴 = −𝑄 Φ𝐴 − Φ𝐴 = 0
Coulomb-Kraft
ist konservativ !
𝑊𝐴→𝐵→𝐴 = ‫𝐹 ׯ‬Ԧ 𝑑𝑠Ԧ = 0  ‫𝑠𝑑𝐸 ׯ‬Ԧ = 0
E-Feld ist
„wirbelfrei“
Andere Formulierung:
Die elektrischen Feldlinien sind nicht geschlossen.
z.B. elektrischer Dipol
Der Fluss des elektrischen Feldes
Erinnerung: Hydrodynamik (strömende Flüssigkeit)
𝑣Ԧ
Strömungsgeschwindigkeit, 𝑣Ԧ
Ԧ ist senkrecht zur Fläche.
Flächenvektor, 𝐴,
𝐴Ԧ gibt die Grösse der Fläche an.
𝑣Ԧ
Volumen an Flüssigkeit das pro Sekunde durch dA fliesst:
𝑑𝑉 = 𝑣Ԧ ∙ 𝑑𝐴Ԧ ∙ 𝑑𝑡 = 𝑑𝜑 ∙ 𝑑𝑡;
𝑑𝜑 = 𝑣Ԧ ∙ 𝑑𝐴Ԧ und 𝜑 = ‫𝑣 𝐴׬‬Ԧ ∙ 𝑑 𝐴Ԧ «Fluss»
Einheiten: 𝜑
𝑚3
=
𝑠
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
𝑍𝑒𝑖𝑡
Zurück zum elektrischen Feld, 𝐸
ersetze das 𝑣Ԧ − 𝐹𝑒𝑙𝑑
durch das 𝐸 − 𝐹𝑒𝑙𝑑
𝑑𝜑𝑒𝑙 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴Ԧ
«Fluss» von 𝐸 durch d𝐴Ԧ
geschlossene Fläche A,
umschliest die
el. Ladungen
Fluss des el. Feldes durch die geschlossene Oberfläche:
𝜑𝑒𝑙 = ර 𝑑𝜑𝑒𝑙 = ර 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴Ԧ
𝐴
𝐴
Spezialfall Punktladung
Fluss durch Oberfläche einer Kugel mit Radius, R, und
Ladung, +Q, am Mittelpunkt.
𝐸 ∥ 𝑑 𝐴Ԧ
𝐸 ∥ 𝑑 𝐴Ԧ
1
𝑄
E(R)=
∙ 2
4𝜋𝜀𝑜 𝑅
𝝋𝒆𝒍 = ‫𝐴 𝑑 ∙ 𝐸 𝐴ׯ‬Ԧ = 𝐸 𝑅 ‫ ∙ 𝑅 𝐸 = 𝐴𝑑 𝐴ׯ‬4𝜋𝑅2 =
1
𝑄
𝑸
2
∙ 2 ∙ 4𝜋𝑅 =
4𝜋𝜀𝑜 𝑅
𝜺𝒐
𝑄
Ԧ
Gauss-Theorem: 𝜑𝑒𝑙 = ‫= 𝐴 𝑑 ∙ 𝐸 𝐴ׯ‬
𝜀
𝑜
𝜑𝑒𝑙 ist unabhängig von:
- der Form des geschlossenen Fläche, A
- der Form der Ladungsverteilung.
Satz von Gauss:
‫𝐴𝑑 𝐸 𝐴ׯ‬Ԧ = ‫𝑉𝑑 𝐸 𝑣𝑖𝑑 𝑉׬‬
𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸𝑧
𝑑𝑖𝑣 𝐸 = 𝛻𝐸 =
+
+
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑄
1
𝜑𝑒𝑙 = ර 𝐸 𝑑 𝐴Ԧ = න 𝑑𝑖𝑣 𝐸 𝑑𝑉 = = න 𝜌 𝑑𝑉
𝜀𝑜 𝜀𝑜 𝑉
𝐴
𝑉
→ 𝑑𝑖𝑣 𝐸 𝑟Ԧ
= 𝛻𝐸 𝑟Ԧ
1
= ρ 𝑟Ԧ
𝜀𝑜
2. Maxwell-Gleichung
2. Maxwell-Gleichung:
→ 𝑑𝑖𝑣 𝐸 𝑟Ԧ
= 𝛻 ∙ 𝐸 𝑟Ԧ
1
= ρ 𝑟Ԧ
𝜀𝑜
Die el. Ladungen sind die Ursache sprunghafter
Veränderungen des el. Feldes!
Andere Formulierung:
Die elektrischen Feldlinien sind nicht geschlossen.
z.B. elektrischer Dipol
Rechenbeispiel für Punktladung, Q, am Ursprung:
𝑥
1
𝑄
1
1
𝑦
𝐸 𝑟Ԧ =
∙ 3 ∙ 𝑟Ԧ =
∙𝑄∙ 2
∙
Τ
4𝜋𝜀𝑜 𝑟
4𝜋𝜀𝑜
𝑥 + 𝑦2 + 𝑧2 3 2 𝑧
Berechne: 𝛻𝐸 =
𝑑𝐸𝑦
𝑑𝐸𝑥
𝑑𝐸𝑧
+
+
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝐸𝑥
𝑄
𝑑
=
∙
𝑑𝑥
4𝜋𝜀𝑜 𝑑𝑥
𝑥
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3Τ2
= 0 (für r > 0)
Rechenbeispiel für Punktladung, Q, am Ursprung:
𝑥
1
𝑄
1
1
𝑦
𝐸 𝑟Ԧ =
∙ 3 ∙ 𝑟Ԧ =
∙𝑄∙ 2
∙
Τ
4𝜋𝜀𝑜 𝑟
4𝜋𝜀𝑜
𝑥 + 𝑦2 + 𝑧2 3 2 𝑧
Berechne: 𝛻𝐸 =
𝑑𝐸𝑦
𝑑𝐸𝑥
𝑑𝐸𝑧
+
+
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝐸𝑥
𝑄
𝑑
=
∙
𝑑𝒙
4𝜋𝜀𝑜 𝑑𝒙
𝒙
𝒙𝟐 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3Τ2
= 0 (für r > 0)
𝑑
→
𝑑𝑥
𝑑 𝑓 𝑥
𝑑𝑥 𝑔 𝑥
𝑥
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3Τ2
𝑑𝑓
𝑑𝑔
∙𝑔−𝑓∙
𝑑𝑥
= 𝑑𝑥
𝑔2
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3Τ2 − 𝑥 ∙ 3/2 ∙ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 1Τ2 ∙ 2𝑥
=
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 3
𝑟 3 − 3𝑥 2 ∙ 𝑟
1 2
2
=
=
𝑟
−
3𝑥
𝑟6
𝑟5
Rechenbeispiel für Punktladung, Q, am Ursprung:
𝑑𝐸𝑥
𝑑
1
𝑥
=
∙ 𝑄 ∙ 2 2 2 3Τ2
𝑑𝑥
𝑑𝑥 4𝜋𝜀𝑜
𝑥 +𝑦 +𝑧
𝑄
1
=
∙ 5
4𝜋𝜀𝑜 𝑟
𝑟 2 − 3𝑥 2
Analog für y- und z-Komponente:
𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸𝑧
1 2
+
+
= 5 𝑟 − 3𝑥 2 + 𝑟 2 − 3𝑦 2 + 𝑟 2 − 3𝑧 2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑟
1
= 5 3𝑟 2 − 3 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
𝑟
Singularität bei r=0!
=0
(nicht gezeigt)
Anwendung des Gauss-Theorem
𝐸-Feld für geladenen dünnen Draht:
radiales E-Feld in der Schnittfläche
Deckflächen:
𝐸 ⊥ 𝑑𝐴Ԧ  𝐸 ∙ 𝑑 𝐴Ԧ = 0
L
Mantelflächen:
𝐸 ∥ 𝑑𝐴Ԧ  𝐸 ∙ 𝑑𝐴Ԧ
= 𝐸 𝑅 ∙ 𝑑𝐴
𝑄
1-d Ladungsdichte: =
𝑙
oder Q=l
𝐶 𝐴∙𝑠
𝜆 = =
𝑚
𝑚
Länge, l
Ladungsdichte für ein-dimensionales (1-d) Objekt:
𝐸-Feld für geladenen dünnen Draht:
𝜑𝑒𝑙 = ‫𝐴 𝑑 𝐸 𝐴ׯ‬Ԧ = ‫= 𝐴𝑑 𝑅 𝐸 𝑙𝑒𝑡𝑛𝑎𝑀׬‬
𝐸 𝑅 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝐿
𝑄
∙𝐿
und: 𝜑𝑒𝑙 = =
𝜀𝑜
𝜀𝑜
mit  = Q/L
L
𝐸-Feld für geladenen dünnen Draht:
𝜑𝑒𝑙 = ‫𝐴 𝑑 𝐸 𝐴ׯ‬Ԧ = ‫= 𝐴𝑑 𝑅 𝐸 𝑙𝑒𝑡𝑛𝑎𝑀׬‬
𝐸 𝑅 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝐿
𝑄
∙𝐿
und: 𝜑𝑒𝑙 = =
𝜀𝑜
𝜀𝑜
L
mit  = Q/L
 𝐸 𝑅 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝐿 =
∙𝐿
𝜀𝑜
 𝐸 𝑅 =

2𝜋𝜀𝑜
∙ 1Τ𝑅
𝐸-Feld für geladenen dünnen Draht:
𝜑𝑒𝑙 = ‫𝐴 𝑑 𝐸 𝐴ׯ‬Ԧ = ‫= 𝐴𝑑 𝑅 𝐸 𝑙𝑒𝑡𝑛𝑎𝑀׬‬
𝐸 𝑅 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝐿
𝑄
∙𝐿
und: 𝜑𝑒𝑙 = =
𝜀𝑜
𝜀𝑜
L
mit  = Q/L
 𝐸 𝑅 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑅 ∙ 𝐿 =
∙𝐿
𝜀𝑜
 𝐸 𝑅 =

2𝜋𝜀𝑜
∙ 1Τ𝑅
allgemein: 𝐸 𝑟

1
=
∙
2𝜋𝜀𝑜 𝑟
Zylindrischer Draht (mit endlichem Radius R):
Draht: Radius, R, Ladung, Q, Ladungsdichte, 𝜌 = 𝑄ൗ𝑉
Zylinder-Oberfläche:
Radius r, Mantelhöhe, L
Deckflächen:
𝐸⊥𝑑𝐴Ԧ  𝐸 ∙ 𝑑 𝐴Ԧ = 0
Mantelflächen:
𝐸 ∥ 𝑑 𝐴Ԧ 𝐸 ∙ 𝑑𝐴Ԧ = 𝐸 𝑟 ∙ 𝑑𝐴
Zylindrischer Draht:
E-Feld für r > R:
𝜑𝑒𝑙 = ‫𝐴 𝑑 𝐸 ׯ‬Ԧ=
𝐴
‫ ∙ 𝑟 𝐸 = 𝐴𝑑 𝑟 𝐸 𝑙𝑒𝑡𝑛𝑎𝑀׬‬2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿
𝑄
𝜌∙𝜋∙𝑅 2 ∙𝐿
Gauss: 𝜑𝑒𝑙 = =
𝜀𝑜
𝜀𝑜
Zylindrischer Draht:
E-Feld für r > R:
𝜑𝑒𝑙 = ර 𝐸 𝑑 𝐴Ԧ =
𝐴
‫ ∙ 𝑟 𝐸 = 𝐴𝑑 𝑟 𝐸 𝑙𝑒𝑡𝑛𝑎𝑀׬‬2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿
𝑄
𝜌∙𝜋∙𝑅 2 ∙𝐿
Gauss: 𝜑𝑒𝑙 = =
𝜀𝑜
𝜀𝑜
𝜌∙𝜋∙𝑅 2 ∙𝐿
𝐸 𝑟 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿 =
𝜀𝑜
2 1
𝜌∙𝑅
 𝐸 𝑒𝑥𝑡 𝑟 =
∙
2𝜀𝑜 𝑟
E-Feld im Innenbereich für r<R:
𝜑𝑒𝑙 = 𝐸 𝑟 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿
𝑄 𝑖𝑛𝑡.
𝜌∙𝜋∙𝑟 2 ∙𝐿
Gauss-Theorem: 𝜑𝑒𝑙 =
=
𝜀𝑜
𝜀𝑜
E-Feld im Innenbereich für r<R:
𝜑𝑒𝑙 = 𝐸 𝑟 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿
𝑄 𝑖𝑛𝑡.
𝜌∙𝜋∙𝑟 2 ∙𝐿
Gauss-Theorem: 𝜑𝑒𝑙 =
=
𝜀𝑜
𝜀𝑜
𝜌∙𝜋∙𝑟 2 ∙𝐿
𝐸 𝑟 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿 =
𝜀𝑜
𝜌
𝑖𝑛𝑡.
𝐸
𝑟 =
∙𝑟
2𝜀𝑜
E-Feld im Innenbereich für r<R:
𝜑𝑒𝑙 = 𝐸 𝑟 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿
𝑄 𝑖𝑛𝑡.
𝜌∙𝜋∙𝑟 2 ∙𝐿
Gauss-Theorem: 𝜑𝑒𝑙 =
=
𝜀𝑜
𝜀𝑜
𝜌∙𝜋∙𝑟 2 ∙𝐿
𝐸 𝑟 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿 =
𝜀𝑜
𝜌
𝑖𝑛𝑡.
𝐸
𝑟 =
∙𝑟
2𝜀𝑜
Homogen geladene Kugel (mit
Radius, R):
Kugeloberfläche: 𝐸 ↑↑ 𝑑 𝐴Ԧ
Externes Feld:
𝜑𝑒𝑙 = 𝐸 𝑟 ර 𝑑𝐴 = 𝐸 𝑟 ∙ 4𝜋𝑟 2
𝑄
𝜌∙4/3𝜋∙𝑅 3
Gauss: 𝜑𝑒𝑙 = =
𝜀𝑜
𝜀𝑜
Homogen geladene Kugel (mit
Radius, R):
Kugeloberfläche: 𝐸 ↑↑ 𝑑 𝐴Ԧ
Externes Feld:
𝜑𝑒𝑙 = 𝐸 𝑟 ර 𝑑𝐴 = 𝐸 𝑟 ∙ 4𝜋𝑟 2
𝑄
𝜌∙4/3𝜋∙𝑅 3
Gauss: 𝜑𝑒𝑙 = =
𝜀𝑜
𝜀𝑜
𝐸 𝑟
3
𝜌∙4𝜋∙𝑅
∙ 4𝜋𝑟 2 =
 𝐸 𝑒𝑥𝑡. 𝑟
3𝜀𝑜
𝜌∙𝑅 3 1
=
∙ 2
3𝜀𝑜 𝑟
3
𝜌
∙
𝑅
1
𝑒𝑥𝑡.
𝐸
𝑟 =
∙ 2
3𝜀𝑜 𝑟
gleich wie für die Punktladung
𝜌∙𝑅3
1
da
=
𝑄
3𝜀𝑜
4𝜋𝜀𝑜
mit =4
𝑄
∙𝜋∙𝑅 3
3
Siehe Gauss-Theorem: Es spielt keine Rolle wie die
Ladung innerhalb der geschl. Oberfläche verteilt ist.
Homogen geladene Kugel (mit Radius, R):
Externes Feld:
𝜑𝑒𝑙 = 𝐸 𝑟 ර 𝑑𝐴 = 𝐸 𝑟 ∙ 4𝜋𝑟
2
𝑄
𝜌∙4/3𝜋∙𝑅 3
Gauss: 𝜑𝑒𝑙 = =
𝜀𝑜
𝜀𝑜
𝜌∙4𝜋∙𝑅 3
2
𝐸 𝑟 ∙ 4𝜋𝑟 =
3𝜀𝑜
𝜌∙𝑅 3 1
𝑒𝑥𝑡.
𝐸
𝑟 =
3𝜀𝑜 𝑟 2
Internes Feld:
𝜑𝑒𝑙 = 𝐸 𝑟 ර 𝑑𝐴 = 𝐸 𝑟 ∙ 4𝜋𝑟 2
𝑄
𝜌∙4/3𝜋∙𝑟 3
Gauss: 𝜑𝑒𝑙 = =
𝜀𝑜
𝜀𝑜
3
2 𝜌∙4𝜋∙𝑟
𝐸 𝑟 ∙ 4𝜋𝑟 =
3𝜀𝑜
𝜌
𝑖𝑛𝑡.
𝐸
𝑟 =
∙𝑟
3𝜀𝑜
Anmerkung: Die Annahme einer homogenen
Ladungsverteilung innerhalb der metallischen Kugel ist
falsch.
Innerhalb der Kugel sind keine elektrischen Ladungen und es
gilt E=0! Andernfalls bewegen sich die Elektronen im E-Feld,
so lange bis E=0.
Die elektrische Ladungen befinden such alle an der
Kugeloberfläche!
Auf das E-Feld ausserhalb der Kugel hat das keinen Einfluss,
siehe Gauss-Theorem!