INTRODUCTION TO MECHANICS OF DEFORMABLE BODIES M E C H A N IC S M A Y B E D E F IN E D A S T H E S C IE N C E W H IC H C O N S ID E R S T H E E F F E C T S O F F O R C E S O N R IG ID B O D IE S M E C H A N IC S O F D E F O R M A B LE B O D IE S D E A LS W IT H R E LA T IO N S B E T W E E N E X T E R N A LLY A P P L IE D LO A D S A N D T H E IR IN T E R N A L E F F E C T S O F B O D IE S S T U D IE S H O W M A T E R IA LS B E H A V E U N D E R D IF F E R E N T T Y P E S O F LO A D U N D E R S T A N D IN G T H E S T R A IN S T H A T D E V E LO P W IT H IN M A T E R IA LS T H E P R IN C IP LE S A N D C O N C E P T O F S T R ES S ES A N D D E F LE C T IO N S S H A LL B E U S E D F O R T H E S A F E D E S IG N O F S T R U C T U R ES T H AT A R E C AP A B LE O F S U P P OR T IN G T H E IR IN T E N D E D LO A D S F O U R D IF F E R E N T T Y P E S O F LO A D I N G W H IC H R E S U LT IN D IF F E R E N T T Y P E S O F S T R E S S : A X IA L F O R C E ( P ) M E A S U R ES T H E P U LL IN G ( T E N S I LE F O R C E ) O R P U S HIN G ( C O M P R E S IV E F O R C E ) A C T IO N O V E R T H E S E C T IO N SHEAR FORCE ( ) C O M P O N E N TS O F T H E T O T A L R E S IS T A N C E T O S LID IN G T H E P O R T IO N T O O N E S ID E O F T H E E X LO R A T O R Y S E C T IO N P A R T T H E O T H E R T H E F O R C E T H A T T R IE S T O C U T O R T E A R A M A T ER IA L B Y M A K IN G O N E S ID E R E LA T IV E T O T H E O T H E R B E N D IN G M O M E N T S ( M ) M E A S U R ES T H E R E S IS T A N C E T O B E N D IN G T H E M E M B E R ABOUT THE Y OR Z AXES S A G G IN G IS A P O S IT IV E B E N D IN G M O M E N T W H E N A B E A M B E N D S IN A ∪ S H A P E H A G G O IN G IS A N E G A T IV E B E N D IN G M O M E N T W H E N A B E A M B E N D S IN A ∩ S H A P E TORQUE (T) M E A S U R ES T H E R E S IS T A N C E T O TW IS T IN G T H E MEMBER LESSON 1: SIMPLE STRESS S IM P LE S T R E S S IS T H E IN T E R N A L R E S IS T A N C E O F A M A T E R IA L P E R U N IT A R E A W H E N S U B J EC T E D T O AN EXTERNAL FORCE IT R E P R E S E N TS TH E IN T E N S IT Y O F F O R C E A C T IN G W IT H IN A M A T E R IA L T O R E S IS T D E F O R M A T IO N . O R T H E U N IT S T R E G N T H O F M A T E R IA L IT C A N B E D E F IN E D A S : WHERE: P =A STRESS P = APPLIED LOAD A = CROSS-SECTIONAL AREA B A S IC T Y P E S O F S IM P LE S T R E S S : 1 . N O R M A L S T R E S S ( A X IA L F O R C E ) 2 . S H E A R IN G S T R E S S ( S H E AR F O R C E ) 3 . B E A R IN G S T R E S S ( A X IA L F O R C E ) NORMAL STRESS T H E IN T E N S IT Y O F T H E F O R C E A C TIN G N O R M A L T O A N A R E A IS D E F IN E D A S T H E N O R M A L S T R ES S IF T H E N O R M A L F O R C E OR S TR E S S P U LLS O N A N A R E A IT IS R E F E R R E D T O A S T E N S ILE S T R E S S IF P U S H E S O N A N A R E A IT IS C A LL E D C O M P R E S S IV E S T R ES S SIMPLE STRESS S H E A R IN G S T R E S S IT IS C A U S E D B Y F O R C E S AC T IN G A LO N G O R P A R A LLE L T O T H E A R E A R E S IS T IN G T H E F O R C E S IT IS A LS O K N O W N A S T A N G E N T IA L S T R E S S A S IT A C T S A LO N G T H E S U R F A C E F O R M U LA C A N B E D E F IN E D A S : WHERE: V =A Z SHEAR STRESS V = SHEAR FORCE A = CROSS-SECTIONAL AREA T Y P E S O F S H E A R IN G : 1 . S IN G LE S H E A R F O R C E S AC T S O N A S IN G LE C R O S S -S E C T IO N A L A R E A O F A M A T ER IA L F O R M U LA : V =A Z 2 . D O U B LE S H E A R F O R C E S AC T S O VE R TW O C R O S S - S E C T IO N A L AREA F O R M U LA : V = 2A Z SIMPLE STRESS 3 . P U N C H IN G S H E A R W H E N A T H IN M A T E R IA L IS P R E S S E D B Y A C O N C E N T R A T E D LO A D F O R M U LA : WHERE: V = C SHEAR STRESS V = SHEAR FORCE THICKNESS OF MATERIAL C = CIRCUMFERENCE OF THE B E A R IN G S T R E S S A C O N T A C T P R ES S U R E B E TW E E N S E P A R A T E B O D IE S W H E N O N E P R ES S E S A G A IN S T T H E O T H E R F O R M U LA : P = Ab WHERE: BEARING STRESS Pb = BEARING FORCE Ab = CROSS-SECTIONAL AREA *NOTE THAT Ab = D WHERE; THICKNESS OF THE MATERIAL D = DIAMETER OF THE HOLE OR PIN LESSON 2: SIMPLE STRAIN S T R A IN D E S C R IB E S H O W A M A T ER IA L D E F O R M S W HE N S U B J EC T E D T O EX T E R N A L F O R C E S . IT Q U A N T IF IE S T H E R E LA T IV E C H A N G E IN S H A P E O R S IZE O F A B U D Y D U E T O A P P LIE D S T R E S S IN O R D E R T O D E S C R IB E T H E D E F O R M A T IO N O F A B O D Y B Y C H A N G E S IN LE N G T H S A N D S H AP ES , T H E C O N C EP T O F S T R A IN IS D E V E LO P E D U N D E R T H E C O ND IT IO N S B E LO W , T H E S T R A IN M A Y B E A S S U M E D C O N S TA N T A N D V A LU E C O M P U T E D: 1 . T H E M A T ER IA L H A S A C O NS T A NT C R OS S S E C T IO N A L A R E A 2 . T H E M A T ER IA L M U S T B E H O M O GE N E O U S ( S A M E ) 3 . T H E LO A D M U S T B E A X IA L, P R O D U C E U N IF O R M S T R E S S IT C A N B E D E F IN E D A S : WHERE: =L STRAIN DEFORMATION L = ORIGINAL LENGTH A C C O R D IN G T O R O B E R T H O O K E T H E R E LA T IO N S H IP B E T W E E N S T R ES S A N D S T R A IN A R E D IR E C T LY P R OP O R T IO N A L WHERE: =E = STRESS = STRAIN = YOUNG’S MODULUS OF ELASTICITY (MATERIAL PROPERTY THAT MEASURES STIFFNESS) SIMPLE STRAIN S T R ES S S T R A IN D IA G R A M P R O P OR T IO N A L L IM IT T H E M A X IM U M P O IN T W H E R E S TR E S S A N D S T R A IN R E M A IN D IR E C T LY P R OP O R T IO N A L B E Y O N D T H IS T H E R E LA T IO N S H IP B E C O M E S N O N L IN E A R E LA S T IC L IM IT T H E M A X IM U M S T R E S S A M A T ER IA L C A N E D U R E W IT H O U T P E R M A N E N T D E F O R M A T IO N B E Y O N D T H IS T H E S T R ES S A P P LIE D W IL L R E S U LT I N T H E M A T E R IA L N O T R E T U R N IN G T O IT S O R IG IN A L S H A P E A N D S IZE W H E N S T R E S S IS U N LO A D E D . IT W IL L R E T A IN A P E R M A N E N T D EF O R M A T IO N C A LLE D P E R M A N E N T S E T Y IE LD P O IN T P LA S T IC D E F O R M A T IO N B E G IN S T H E R E IS A N A P P R E C IA B LE E LO N G A T IO N O R Y IE LD I N G O F T H E M A T E R IA L W IT H O U T A N Y C O R R ES P O N D IN G IN C R E A S E O F LO A D ( P A R T IC U LA R LY S E E N IN S T E E LS ) U LT IM A T E S T R E NG T H T H E H IG H E S T S T R E S S A M A T E R IA L C A N W IT H S T A N D B E F O R E N E C K IN G ( A S IG N IF IC A N T R E D U C T IO N IN C R O S S S E C T IO N A R E A ) B E G IN S R U P T U R E S TR E N GT H T H E S T R ES S A T F A ILU R E C O N S ID E R IN G T H E O R IG IN A L D IM E N S IO N S O F T H E C R OS S S E C T IO N A L A R E A O F T H E M A T E R IA L SIMPLE STRAIN A C T U A L R U PT U R E S T R E N G T H T H E S T RE S S AT FA I L U R E C O NS I DE R I N G T H E C R O S S S E C T I O N A L A R E A A T R UP T U R E P O IN T S T A T I C A L L Y I N DE T E R M I N AT E A XI A L L O A D E D M E M B E R S I N S T R U CT U R A L A N A L Y S IS , A X IA L LY LO A D E D M E M B E R S A R E E L E M E NT S T H A T E X PE R I E NC E FO R C E S A L O N G T H E I R L E N G T H , S U C H AS R O DS , B A RS , AN D C O L U M N S . WH E N A N A L Y Z I N G T H E S E M E MB E RS , WE T Y PI C A L L Y US E E Q U IL IB R IU M E Q U A T IO N S T O D E T E R M I N E T H E I N T E R N A L FO R C E S A N D R E A C T I O N S . H O W E VE R , I N S O M E C A S E S , E Q U IL I B R I U M E Q U A T IO N S A L O N E A RE N O T E N O U G H T O FU L L Y D E T E R M I N E T H E FO R C E S I N T H E S T R U C T U R E . S U CH C A S E S A R E C AL L E D S T A T IC A L LY IN D E T E R M IN A T E S Y S T E M S B E C A U S E A D D I T I O N AL I N FO R M A T I O N IS NE E D E D T O S O L VE FO R T H E UNKNOWNS. T H E RE A S O N E Q U I L I B RI U M E Q UA T I O NS A R E I NS U F FI C I E N T I S T H A T T H E S T RU C T U R E H AS M O R E U N K N O W N S T H A N E Q U A T I O N S . T H IS O FT E N H A PPE N S W H E N : A B A R I S FI X E D A T M U L T I PL E PO I N T S (E . G . , C L A MPE D AT BOTH ENDS). E X T R A S U PPO R T S O R RE D U N D A N T C O N S T R A I N T S A R E PR E S E N T . T O S O L VE FO R T H E U N K N O W N FO R C E S , WE N E E D A D D I T I O N AL E Q U A T I O N S B E Y O ND E Q U IL I B R I U M . T H E S E A D D I T I O N AL E Q U A T I O N S C O M E FR O M T H E C O NC E P T O F C O M P A T IB I L IT Y , W H I C H E N S U RE S T H A T T H E S T R UC T U R E D E FO R M S I N A WA Y T H A T I S PH YS I C A L L Y PO S S IB L E . C O M P A T IB I L IT Y E Q U A T IO N S E X PR E S S T H E FA C T T H A T D I F FE R E N T PO I N T S I N T H E S T R U CT U R E M U S T M O VE T O G E T H E R C O NS IS T E N T LY . T H E S E E Q U A T IO N S A RE D E R I V E D FR O M LO A D - D IS P LA C E M E N T R E LA T IO N S H IP S , W H I C H D E S C R I B E H O W FO R C E S C A U S E D E FO R M A T I O N S IN T H E MATERIAL. SIMPLE STRAIN THERMAL STRESS T H E R M A L S T R E S S IS T H E IN T E R N A L S T R E S S T H AT D E V E L O PS W I T H I N A M A T E R I AL W H E N IT E X PE R IE N C E S T E M P E R A T UR E C H A N G E S B U T I S R E S T RI C T E D FR O M E X PA N D I N G O R C O N T R A C T I N G W H E N T E M PE R A T U R E R IS E S , M AT E R I AL S N AT U R A L L Y E X PA N D . W H E N T E M PE R A T U R E DR O PS , M A T E R I AL S CONTRACT. I F T H E M A T E R I AL I S A L L O W E D T O E X PA N D O R C O N T R A C T , N O S T RE S S IS DE V E L O PE D . H O W E V E R , I F I T S M O VE M E N T I S R E S T RI C T E D B Y E X T E R N AL S U PP O R T S O R S U R R O U N D I N G S T R U C T U RE S , I NT E R N A L FO R C E S D E V E L O P T O R E S I S T T H E D E FO R M A T I O N . I T C A N B E D E FI NE D A S : WHERE: 𝜎T = E∝ ∆T 𝜎T = THERMAL STRESS E = YOUNG’S MODULUS OF ELASTICITY = COEFFICIENT OF THERMAL ∝ ∆T T H E R M A L D E FO R M A T I O N T H E R M A L D E FO R M A T I O N R E FE RS T O T H E C H A N G E IN T H E S H A P E , S IZE , O R D IM E N S IO N S O F A M A T E R I A L D U E T O T E M PE R A T U R E VA R I A T I O NS . T H I S O C C U R S B E C A U S E T H E A T O M S I N T H E MA T E R I A L M O V E M O R E O R L E S S D E PE N D I N G O N T E M PE R A T U R E , AF FE C T I N G T H E O V E R A L L S T R U C T U RE . I T C A N B E D E FI NE D A S : WHERE: 𝛿 T = ∝ L∆T 𝛿T = CHANGE IN LENGTH L ∝ = ORIGINAL LENGTH ∆T= C O E F F I C I E N T O F T H E R M A L EXPANSION = CHANGE IN TEMPERAT URE