楊氏係數的測量
Young's Modulus
一、 實驗目的
(1) 了解楊氏係數的物理意義。
(2) 測量金屬線的楊氏係數，驗證線狀材料的一端受力拉長之後，其伸長量與受力大小的
關係。
(3) 學習如何利用光槓桿來測量微小的變化量。
二、 實驗理論
彈性體受外力作用時會變形，若外力移去，在彈性限度內可完全回復原狀，由虎克定
律可得：
應力 (stress)
應變 (strain)
= 彈性係數 (elastic moduls)
對於拉長及壓縮一線狀或棒狀彈性體的情形，此常數稱為楊氏係數，以『Y』符號表示，
此一係數隨著材料的不同而不同。因應力是單位面積所受的力（F/A）
，應變是單位長的伸
長量（ Δ! ! 0 ），則
Y =
F A
·············································· (1)
Δ! ! 0
Δ! =
!0
F ············································· (2)
YA
也就是，
所以線的伸長量 Δ! 與作用力 F 的大小以及線的原始長度 ! 0 成正比，但與線的截面積 A 以
及楊氏係數 Y 成反比。
三、 實驗方法
一般而言，彈性體受拉張力作用產生的伸長量很小，所以本實驗利用楊氏儀（如圖一）
1
以及光槓桿（如圖二）來精確測量金屬線的伸長量。
米尺
望遠鏡
平面鏡
金屬線
金屬線
圓柱
圓柱
平面鏡
砝碼
載重盤
水平調整螺絲
圖二、光槓桿
圖一、楊氏儀
光槓桿是一種測量微位移的儀器，其中包括了平面鏡夾於金屬圓柱上，並在金屬圓柱
上繞著欲測之金屬線；因作用力 F 增加，拉線伸長，造成圓柱轉動，平面鏡貼於圓柱面，
故隨著圓柱轉動相同角度。當平面鏡不轉動時，從望遠鏡旁附設米尺的 A 點發出之光線
AO，垂直投射於平面鏡上而由原路反射回來。若平面鏡轉 θ 角，則由米尺的 B 點發出之
光線 BO，經平面鏡反射後沿 OA 路徑進入望遠鏡，若 ON 是平面鏡的法線，則∠BON =
∠NOA = θ。所以平面鏡轉 θ 角，反射線轉 2θ 角。望遠鏡是裝於米尺之 A 點附近，故由望
遠鏡內讀出的間隔變化 D 值與米尺至平面鏡之距離 R 值，可求 2θ，即
tan 2θ =
D
R
θ=
或
1 -1 D
tan
2
R
····························· (3)
!
此 θ 的單位為度，要轉換成弧度，1 弧度＝ 360 ；因為金屬線繞在半徑為 r 厘米的金屬
2p
圓柱上，故線的伸長量 Δ! （ Δ! 單位為厘米，θ 用弧度值），
Δ! ＝r ∙θ
············································· (4)
從公式(1)可知，只要再測量金屬線的長度 ! 0 、截面積 A、以及作用力 F，即可求得金屬
線的楊氏係數。
2
然而，實際上的實驗操作並未如此直接，需要再費一些功夫，才可以測得金屬線的楊
氏係數。本實驗是在金屬線的一端掛一個載重盤與砝碼，利用他們的重力來提供作用力 F。
!0
假設載重盤的質量為 M，掛在金屬線上將造成 ΔL 的伸長量。從公式(2)可知 ΔL = YA Mg ，
但是此時可能因為一開始的金屬線尚未完全伸直且未緊繞金屬圓柱，無法有效帶動鏡面的
轉動，所以無法利用光槓桿來測量此段的 ΔL。由於載重盤的重量夠大，當掛上載重盤之
後，將金屬線完全伸直且緊繞金屬圓柱，因此我們再加上質量為 Δm 的法碼時，金屬線會
再增加Dl’的伸長量，且可以實際帶動光槓桿測得伸長量Dl’。從公式(2)可知，可知掛上質
!0
量為 M+Δm 的載重盤與砝碼後，金屬線的總伸長量為 DL + D!¢ = YA ( M + Dm) g 。又因為
DL =
!0
Mg ，所以可得
YA
!0g
Dm ········································ (5)
YA
當我們在載重盤上，加上不同質量的砝碼 Δm，可得到不同伸長量 D!¢ 。畫出 D!¢ 隨著 Δm
D!¢ =
變化情形，將可發現在彈性限度內會成如公式(5)的線性關係。利用線性迴歸分析，可以求
出該直線的斜率 s =
!0g
! g
的值，進而得到楊氏係數 Y = 0 。在此載重盤的功能適用來承載
YA
As
加掛的砝碼，並將金屬線完全伸直且緊繞金屬圓柱，並不需要測量載重盤的質量。
四、實驗儀器
楊氏儀、光槓桿、望遠鏡座（如圖三）
、待測金屬線、載重盤、砝碼一組、卷尺、螺旋測微
計、游標尺。
調整鈕
對焦旋鈕
傾斜旋鈕
********重要*********
望遠鏡上下調整三步驟：
(1)以手扶在望遠鏡下方(如虛線所示)
(2)另一手將固定鈕鬆開(按指示)
(3)另一手由調整鈕改變上下位置(按指示)
固定鈕
圖三、望遠鏡
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