T.C
İSKENDERUN TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
HAVACILIK VE UZAY BİLİMLERİ FAKÜLTESİ
HAVACILIK VE UZAY MÜHENDİSLİĞİ
NACA 4412 KANAT PROFİLİNİN AERODİNAMİK ÖZELLİKLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI
AERODİNAMİK FİNAL PROJESİ
ÖMER AŞIKLI
MAHMUT TAŞDOĞAN
YİĞİTHAN BOZKURT GÖKSU
225602027-225602004-225602027
DANIŞMAN
DR. ÖĞR. ÜYESİ AHMET ŞUMNU
1. GİRİŞ
Havacılık ve uzay mühendisliğinde kanat profillerinin aerodinamik performansı, hava aracının
genel verimliliğini, manevra kabiliyetini ve uçuş güvenliğini doğrudan etkilemektedir. Özellikle
orta Reynolds sayıları (yaklaşık 1 × 106 –5 × 106 ) aralığında çalışan insansız hava araçları, hafif
uçaklar ve küçük ölçekli rüzgâr türbinleri gibi uygulamalarda, kanat profili seçiminde en kritik
tasarım parametrelerinden biri kaldırma-sürükleme (𝐶𝐿 /𝐶𝐷 ) oranıdır. Bu noktada, NACA 4
haneli kanat profili serisi, yalın geometrik tanımlamaları, üretim kolaylığı ve geniş bir çalışma
aralığında sağladığı istikrarlı aerodinamik performans nedeniyle tasarımcıların ilk tercihlerinden
biri olmaktadır.
Serinin öne çıkan üyelerinden NACA 4412, maksimum kambersinin (camber) yüzde 4 olması,
bu maksimum kambere noktası kord boyunun yüzde 40’ında konumlanması ve yüzde 12 kalınlık
oranına (thickness-to-chord ratio) sahip olmasıyla dikkati çekmektedir. Literatürdeki deneysel
çalışmalar (Abbott ve von Doenhoff, 1959; Lissaman, 1983), bu profilin 1 × 106 –3 × 106
Reynolds sayıları arasında yüksek kaldırma (𝐶𝐿 ≈ 1.2–1.5) ve düşük sürükleme (𝐶𝐷 ≈ 0.01–0.03)
değerleri sunduğunu göstermiştir. Bununla birlikte, yüksek hücum açılarında (𝛼 > 12∘ )
türbülanslı sınır tabaka ayrılmasının devreye girmesi, hem deneysel hem de sayısal analizlerde
belirsizlikleri artıran kritik bir olgu olarak karşımıza çıkmaktadır.
Güncel literatürde, NACA 4412 gibi yaygın kullanılan kanat profillerinin aerodinamik
analizlerinde öne çıkan iki temel sayısal yaklaşım, Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği (CFD)
ve Panel Metodu (Potansiyel Akış) olarak sıralanabilir. CFD yaklaşımında, Navier-Stokes
denklemleri sonlu hacim yöntemiyle (finite volume) çözülmekte; viskoz etkiler, türbülans
modelleri (ör. SST k-omega, Spalart-Allmaras, RNG k-epsilon) ve akış ayrılmaları gerçekçi
biçimde modellere dahil edilebilmektedir (Menter, 1994). ANSYS Fluent gibi ticari yazılımlar,
farklı türbülans modellerini aynı platformda uygulama olanağı tanıyarak sonuçların birbiriyle
kıyaslanmasına imkân vermektedir. Ayrıca, bu yazılımlarda inviscid (potansiyel akış) kabulu ile
hızlı bir ön değerlendirme yapmak da mümkündür. RANS tabanlı çözücülerin (ReynoldsAveraged Navier-Stokes) uygun ağ (mesh) yoğunluğu, y+ değeri kontrolleri ve yakınsama
kriterleri sağlandığında ±%5 doğruluk payına ulaşabildiği belirtilmektedir (Celik ve ark., 2008).
RNG k-epsilon modeli, standart k-epsilon yaklaşımına kıyasla ani basınç gradyanları ve dönüşlü
(swirling) akışlarda iyileştirilmiş performans vaat etse de, harici (external) aerodinamik
problemlerinde akış ayrılmalarını öngörmede zaman zaman yetersiz kalabilmektedir (Yakhot ve
Orszag, 1986). Buna karşılık, 2B harici akışlarda SST k-omega ve Spalart-Allmaras gibi
modellerin daha tutarlı sonuçlar sunduğu birçok çalışmada rapor edilmiştir (Menter, 1994).
Öte yandan, Panel Metodu (potansiyel akış) yaklaşımı, akışın inviscid olduğu varsayımından
hareketle Laplace denkleminin panel temsili yoluyla çözülmesi esasına dayanmaktadır.
XFOIL/XFLR5 gibi yazılımlar, bu yöntemi temel alırken kısmi sınır tabaka modellerini de
entegre ederek sürükleme tahminlerinde belirli oranda iyileşme sağlamaktadır. Ancak yüksek
hücum açıları (ör. 𝛼 > 10∘ ) ve akış ayrılmalarının belirgin olduğu durumlarda, sonuçlardaki
sapma artmaktadır (Drela, 1989). Panel metodunun en büyük avantajı ise hesaplama hızı ve
kurulum kolaylığı olması nedeniyle, erken tasarım aşamalarında hızlı geometri taramaları
yapmak için sıklıkla tercih edilmesidir.
Bu çalışma, NACA 4412 kanat profilinin 1.5 × 106 Reynolds sayısında ve farklı hücum açıları
altında (özellikle literatürde NASA tarafından doğrulanmış 13.87° ile tasarım gereksinimleri
açısından kritik öneme sahip 10°) gösterdiği aerodinamik davranışı farklı yöntemlerle
karşılaştırmayı amaçlamaktadır. Analizlerde aşağıdaki modeller kullanılacak ve elde edilen
sonuçlar (kaldırma katsayısı 𝐶𝐿 , sürükleme katsayısı 𝐶𝐷 vb.) istatistiksel metrikler (ortalama kare
hatası – RMSE, korelasyon katsayısı – R) yardımıyla değerlendirilecektir:
1. ANSYS Fluent (SST k-omega türbülans modeli)
2. ANSYS Fluent (Spalart-Allmaras türbülans modeli)
3. ANSYS Fluent (RNG k-epsilon türbülans modeli)
4. ANSYS Fluent (Inviscid – potansiyel akış yaklaşımı)
5. XFLR5 (Panel metodu)
Bu kapsamda, CFD tabanlı türbülans modelleri ile inviscid çözüm arasındaki farklılıklar
incelenecek, ayrıca CFD ile panel metodu arasındaki sapma niceliksel olarak ortaya konacaktır.
Özellikle yüksek hücum açılarında k-epsilon tabanlı modellerin sınırlılıkları, SST k-omega ve
Spalart-Allmaras’ın akış ayrılmasını tahmin etmedeki görece başarıları, ve panel metodunun
düşük ve orta Reynolds sayıları aralığında hangi koşullarda tercih edilebilir olduğu gibi konular
ayrıntılı biçimde ele alınacaktır.
Ağ (mesh) oluşturma süreci de bu çalışmanın önemli bir parçasını oluşturmaktadır. Dış akış
problemlerinde doğru sonuçlara ulaşmak için yeterli domain boyutunun seçilmesi, sınır
tabakasının doğru modellenebilmesi adına uygun y+ değeri hedeflenmesi ve geometri etrafında
ince katmanlı (inflation) bölgelerin oluşturulması kritik öneme sahiptir. Ayrıca, kanat profili
etrafında geometri tanımlama aşamasında burun (leading edge) ve arka kenar (trailing edge) gibi
hassas bölgelerde “snap-to-geometry” hataları yapılması sayısal sapmalara yol açabileceğinden,
bu tür hataların önüne geçmek için dikkatli bir yaklaşım izlenmesi gerekmektedir.
Literatürde bu konuda benzer çalışmalar (Genc ve ark., 2019; Kumar ve Tripathi, 2021) olsa da,
çoğunlukla tek bir sayısal yöntem veya dar bir hücum açısı yelpazesi incelenmektedir. Farklı
türbülans modelleri (SST k-omega, Spalart-Allmaras, RNG k-epsilon, inviscid) ile panel
metodunu aynı profil üzerinde ve kapsamlı bir açı aralığında sistematik biçimde karşılaştıran
çalışmalar ise nispeten sınırlı kalmaktadır. Bu açıdan, sunulan çalışma aşağıdaki katkıları
hedeflemektedir:

Tasarım aşamalarının erken safhaları (hızlı/ucuz hesaplama) ile ileri safhalar (yüksek
doğruluk gerektiren ayrılma analizi) arasında hangi yöntemin tercih edilmesi gerektiğine
dair kapsamlı bir değerlendirme sunmak,

2B harici akışlarda k-epsilon temelli modellerin performansını tartışmak ve akış
ayrılmasının kritik olduğu durumlarda bu modellerin kısıtlarını netleştirmek,

Farklı ağ (mesh) oluşturma stratejilerinin sayısal sonuçlara etkisini vurgulamak ve
yüksek hücum açıları için doğru y+ değeri ile geometri tanımlama yaklaşımlarının
önemine işaret etmek,

İnviscid, türbülanslı ve panel metodu yaklaşımıyla elde edilen kaldırma-sürükleme
değerleri üzerinden bir kıyaslama yaparak tasarımcıların zaman-maliyet-doğruluk
dengesinde karar almalarına rehberlik etmek.
Bu çerçevede elde edilecek bulgular, insansız hava araçları, küçük ölçekli rüzgâr türbinleri ve
benzeri orta Reynolds sayıları rejimlerinde faaliyet gösteren sistemlerin tasarım süreçlerinde
hem CFD ve panel metodu seçimine hem de türbülans modellerinin kullanımına yönelik stratejik
bir çerçeve sunacaktır. Böylece, mühendislik uygulamalarında karar verme aşamalarında hangi
yöntemin hangi koşullar altında tercih edilebileceği daha net biçimde ortaya konacaktır.
1.1 Gelişme
Bu çalışmada NACA 4412 kanat profilinin ANSYS ortamında analiz edilebilmesi için öncelikle
profilin koordinatlarının doğru ve düzenli bir şekilde programa aktarılması gerekmektedir. Bu
amaçla, deneysel ve literatür tabanlı doğruluk payını artırmak için 200 farklı noktadan oluşan bir
koordinat listesi hazırlanmıştır. Daha yüksek nokta sayısı, profilin kıvrımlarını ve geometrik
karakteristiklerini daha hassas temsil etmeye imkân tanır. Koordinatların 11 metrelik bir kord
uzunluğuna ölçeklenmesi ise, NASA tarafından kullanılan yaklaşık 0,900{,}90 metrelik kord
değeriyle karşılaştırılabilir bir boyutsal referans oluşturur. Böylece elde edilen sonuçların,
literatürdeki verilerle karşılaştırılması daha kolay hale gelir. Airfoil’in ucu kapatılmadan
hesaplamalara girilmesi, hem mesh oluşturma sürecinde hem de akış analizinde çözüm
hatalarına neden olabileceğinden, koordinat listesine son satırda (1, 0) değeri eklenerek firar
kenarının kapatılması sağlanmıştır.
Elde edilen koordinat listesi, Excel’den kopyalanarak bir .txt dosyasına aktarılmış ve ANSYS
yazılımının okuyabileceği formatta düzenlenmiştir. Ardından ANSYS’e import edilmesiyle
profil, iki boyutlu çizim olarak oluşturulmuştur. Bu aşamada dikkat edilmesi gereken husus, dış
hatların kapalı bir geometri hâline getirilmesi için profilin uç noktalarının birleştirilmesidir; aksi
takdirde profil katı modele dönüştürülemez. ANSYS ortamında “kenarlardan yüzey oluştur”
(Surface from edges) seçeneği kullanılarak airfoil sınırları boyunca bir katı model meydana
getirilmiştir. Bu adım, sonlu elemanlar yöntemi (Finite Element Method) tabanlı analizlerde,
geometriye mesh atama ve yük/akış tanımlama gibi işlemlere geçiş yapabilmek için kritik önem
taşır.
İlk olarak, NACA 4412 kanat profilinin boyutlandırılması gerçekleştirilmiştir. Aerodinamik
analizlerde kanat profili üzerindeki akışın doğru şekilde incelenebilmesi için, kord uzunluğunun
fiziksel ölçülerle uyumlu hale getirilmesi gerekmektedir. Bu kapsamda, airfoil’in kord uzunluğu
1 metre (1000 mm) olarak belirlenmiştir. Ortalama aerodinamik kordun genellikle profil
uzunluğunun %25’lik kısmında yer aldığı bilinmektedir. Bu noktayı referans alarak, airfoil
üzerindeki aerodinamik merkez konumunun belirlenebilmesi amacıyla H1 = 250 mm olarak
tanımlanmıştır. Ayrıca, airfoil’in hücum kenarının (leading edge) orijin (0,0) noktasına
hizalanması, ilerleyen analiz süreçlerinde ölçüm ve hesaplamaları kolaylaştıracaktır. Bu adım,
aerodinamik merkez baz alınarak kaldırma, moment ve sürtünme gibi aerodinamik katsayıların
daha sistematik şekilde hesaplanmasına olanak tanımaktadır.
(simetri komutu ile airfoilin alanın ortası kalması için kullanılır)
Airfoil’in fiziksel boyutlarının belirlenmesinin ardından, akış bölgesinin (domain) oluşturulması
aşamasına geçilmiştir. Sayısal akış analizlerinde, dış domainin doğru boyutlandırılması, sınır
koşullarının analiz sonuçlarına olan etkisini minimize etmek için kritik bir faktördür. Bu
bağlamda, literatürde yaygın olarak kullanılan "akış alanı, kanat kordunun en az 10 katı
uzunluğunda olmalıdır" prensibine uygun olarak domain boyutları belirlenmiştir. Yapılan
analizlerde, hem giriş hem de çıkış sınırlarının akışı yapay olarak etkilemesini önlemek
amacıyla, domain genişliği ve yüksekliği H3 = 10m ve V3 = 10 m olarak seçilmiştir. Özellikle
yüksek Reynolds sayılarında, giriş ve çıkış bölgelerinin kanada yakın olması halinde sınır
koşullarından kaynaklı yapay basınç dalgalanmaları meydana gelebilmektedir. Bu nedenle,
domain boyutları geniş tutularak, kanat etrafındaki hava akışının doğal gelişimi sağlanmış ve
sınır koşullarının analiz üzerindeki etkileri en aza indirgenmiştir. Ayrıca, domainin giriş
bölgesinde yuvarlak bir yapı oluşturularak, akışın homojen bir şekilde ilerlemesi sağlanmış,
türbülans etkilerinin giriş sınırında başlamasının önüne geçilmiştir.
Geometri modelleme sürecinin bir diğer kritik aşaması, boolean işlemi ile akış bölgesinin
oluşturulmasıdır. Sayısal analizde doğru sonuçlar elde edebilmek için, hava akışının hareket
edeceği alanın fiziksel olarak tanımlanması gerekmektedir. Başlangıçta, airfoil ve akış alanı tek
bir katı olarak modellenmektedir. Ancak, bu şekilde analiz gerçekleştirilemez, çünkü hava
akışının hareket edebileceği bir boşluk bulunmamaktadır. Bu sorunun çözülmesi amacıyla,
ANSYS ortamında "boolean subtract" (çıkartma) işlemi uygulanarak, airfoil katısı dış domain
içerisinden çıkarılmıştır. Bu sayede, kanat profilinin fiziksel varlığı korunurken, etrafında hava
akışının gerçekleşeceği bir fluid domain tanımlanmıştır. Boolean işlemi yapılmadan bırakılan
bir modelde, akış alanı belirsiz olacağı için analiz sürecinde ciddi hatalar meydana gelecektir. Bu
nedenle, boolean işleminin uygulanması, sayısal çözüm sürecinin doğruluğunu artıran ve
modelin fiziksel gerçekliğe uygun olmasını sağlayan önemli bir adımdır.
Airfoil ve çevresi oluşturulduktan sonra, daha detaylı bir mesh yapısı ve daha hassas sonuçlar
elde edebilmek için geometriyi birkaç parçaya bölmek gerekmiştir. Bu amaçla, kordun 250 mm
mesafesinde – yani %25 noktasında – yeni yatay bir çizgi oluşturulmuş; ayrıca bu noktada firar
kenarına dik şekilde çizgiler çekilerek airfoil geometrisi 6 farklı bölgeye ayrılmıştır. Bu çizgiler,
“extend” komutu ile dış geometri boyunca uzatılmış, ardından “projection” komutu yardımıyla
mevcut koordinat düzlemine yansıtılarak geometri üzerinde kesişim yerleri oluşturulmuştur. Bu
sayede her bölge için ayrı bir mesh oluşturulabilmesi ve her bölümün özelinde daha ince ayarlar
yapılabilmesi mümkün hale gelmiştir. Parçalara ayrılan geometri, özellikle sınır tabakası
(boundary layer) detaylarının inceleneceği alanlarda daha yüksek doğrulukta sonlu elemanlar
modeli kurmayı kolaylaştırır.
Bahsedilen tüm adımlar, hem geometrik bütünlüğün sağlanması hem de sayısal akış analizindeki
hassasiyetin artırılması içindir. Kısacası, airfoil koordinatlarının eksiksiz aktarılması ve dış akış
bölgesinin tutarlı şekilde oluşturulması, ANSYS tabanlı sayısal analizde temel öneme sahiptir.
Profilin doğru şekilde kapatılması ve dış geometriyle boolean işlemi yoluyla çıkarılması
sayesinde, akış problemlerinde ihtiyaç duyulan sınır şartlarının kararlı ve gerçekçi sonuçlar
vermesi mümkün kılınmıştır. Böylece NACA 4412 profilinin farklı hücum açıları, hızlar ve
diğer aerodinamik parametreler altında nasıl davranacağı ayrıntılı olarak incelenebilecek, elde
edilen sonuçlar literatürdeki verilerle karşılaştırılarak modelin doğruluğu test edilebilecektir.
Meshing
Aerodinamik performansın belirlenmesi ve akış etkileşimlerinin analiz edilmesi, modern
mühendislik uygulamalarında kritik bir önem taşımaktadır. Özellikle hava araçları, türbin
kanatları ve benzeri kanat profillerinin (airfoil) tasarım ve iyileştirme süreçlerinde sayısal
hesaplamalar (CFD) sıklıkla tercih edilen bir yöntem haline gelmiştir. Bununla birlikte elde
edilecek sonuçların doğruluğu, büyük ölçüde oluşturulan mesh kalitesine bağlıdır. Dolayısıyla,
kanat profilleri üzerinde yapılacak CFD çalışmalarında hem mesh topolojisinin (C-Grid, O-Grid
vb.) hem de eleman sayısının belirlenmesi temel aşamalardan biri olarak karşımıza çıkmaktadır.
2.
Literatürde Mesh Stratejileri
CFD analizlerinde mesh oluşturma yaklaşımları; yapılandırılmış (structured), yarıyapılandırılmış (semi-structured) ve yapılandırılmamış (unstructured) olmak üzere üç temel
gruba ayrılmaktadır.

Yapılandırılmış ağlar genellikle düzenli, sıralı grid yapılarıdır ve NACA 4412 gibi
kanat profillerinde sıklıkla O-Grid ve C-Grid adı verilen topolojiler kullanılmaktadır.

Yarı-yapılandırılmış ağlar, bazı bölgelerde düzenli, bazı bölgelerde ise düzensiz
hücrelerin bir arada kullanıldığı hibrit çözümlerdir.

Yapılandırılmamış ağlar, özellikle karmaşık geometrilerde pratik avantajlar sunar;
üçgen ya da dörtgen (2B için) veya tetrahedral/prizmatik (3B için) elemanları içerebilir.
Literatürde, sınır tabakası üzerinde yeterli sayıda katmana (inflation layers) sahip olmanın ve
hedef y+ değerine (genellikle 1 < y+ < 5) dikkat etmenin, kullanılan türbülans modellerinin
(örneğin k-ω, Spalart–Allmaras vb.) doğruluğunu artırmada kritik bir faktör olduğu
belirtilmektedir. Ayrıca, doğru yaklaşımla oluşturulmuş bir mesh, akışın ayrılma (separation),
tekrar yapışma (reattachment) ve sınır tabakası geçişi gibi karmaşık fenomenlerini de daha
güvenilir biçimde yakalayabilmektedir 3–53–53–5.
3. Geometrinin Hazırlanması ve Bölgelendirme
3.1. Geometrinin Tanımlanması
NACA 4412 profili, matematiksel olarak tanımlı bir kanat kesitidir. Profil koordinatları CAD
ortamında oluşturulabilir veya hazır hava profili veri tabanlarından doğrudan alınabilir. Bu
koordinatlar kullanılarak iki boyutlu (2B) bir çizim oluşturulur ve akışın sağlıklı bir şekilde
çözümlenebilmesi için dış bölge (far-field boundary) yeterince uzağa yerleştirilir.
3.2. Çoklu Bölge (Multi-Zone) Uygulaması
Analizin kritik kısımlarının yüksek çözünürlükle incelenebilmesi adına, geometri farklı bölgelere
ayrılmaktadır:

Yakın saha (near-field): Kanat yüzeyinin hemen etrafındaki bölgedir. Burada yüksek
gradyanlı alanlar ve sınır tabakası etkileri çözülmeye çalışılır.

Orta saha (mid-field): Kanattan bir miktar uzaklaşıldığında hâlâ hız ve basınç
dağılımında önemli değişimlerin gözlendiği kısımdır.

Uzak saha (far-field): Hesap alanının dış sınırlarını kapsar. Eleman yoğunluğu, burada
daha düşük tutularak gereksiz hesaplama yükü engellenir.
Bu yaklaşım, her bir bölge için farklı ağ sıkılığı (mesh density) belirlemeye olanak tanıyarak
doğruluk ve verimlilik arasında dengeli bir sonuç elde etmeyi amaçlar 2,62,62,6.
4. Mesh Oluşturma Adımları ve Gelişmiş Stratejiler
4.1. Kenar (Edge) ve Yüzey (Surface) Örgü Tanımları
1. Kenar Yoğunluğunun Belirlenmesi: Hücum kenarı ve firar kenarı gibi yüksek
gradyanlı bölgelerde daha sık; akış özelliklerinin daha sabit olduğu kısımlarda ise daha
seyrek eleman kullanılır. Böylece, gerekli alanlarda detaylı çözünürlük sağlanırken,
toplam eleman sayısı kontrol altına alınır.
2. Sınır Tabakası Katmanları (Inflation Layers): Yüzey etrafında akışın viskoz
etkilerini doğru yansıtmak için, literatürde önerilen y+ aralığı (1 < y+ < 5) hedeflenerek
birden fazla ince katman oluşturulur. Bu katmanların kalınlığı, kullanılan türbülans
modelinin (örneğin k-ω, Spalart–Allmaras) ihtiyaçlarına göre ayarlanır. Özellikle düşük
y+ değerlerinde, akışın laminerden türbülansa geçişi veya ayrılma gibi fenomenler daha
iyi yakalanabilir.
3. Yapılandırılmış / Yapılandırılmamış Kısımlar: Profil yakınında yapılandırılmış
(structured) bir yöntem (C-Grid veya O-Grid) tercih edilebilirken, dış bölgede pratik
sebeplerle yapılandırılmamış üçgen veya dörtgen tabanlı (unstructured) elemanlar
seçilebilir. Bu hibrit yaklaşım, hem yüksek doğruluk hem de hesaplama verimliliği
açısından avantaj sağlar.
4.2. Çok Katmanlı Mesh Oluşturma ve Bias Uygulaması
Profil etrafındaki sınır tabakası bölgesinde çok katmanlı (multi-layer) bir ağ oluşturmak için bias
uygulanarak, eleman boyutu kademeli şekilde küçültülür. Bu yöntem:

Yakın saha (near-field) bölgesinde yüksek çözünürlükle,

Uzak saha (far-field) bölgesinde ise daha düşük ağ yoğunluğuyla,
çalışma olanağı sunar. Böylece, kritik aerodinamik bölgeler (hücum kenarı, firar kenarı,
basınç veya hız gradyanının yüksek olduğu alanlar) detaylı incelenir ve toplam eleman
sayısının aşırı artması engellenir 2,62,62,6.
4.3. Eleman Tipleri ve Quadrilateral Yaklaşımı
Farklı eleman tiplerinin bir arada kullanıldığı (hibrit mesh) çalışmalarda, dörtgen tabanlı yüzey
elemanlarının stabil ve doğru sonuçlar vermesi, özellikle duvar yakınında önem taşır.
“Quadrilateral” yaklaşımı olarak da anılan bu yöntemde, profil etrafında büyük oranda dörtgen
benzeri (quad-dominant) ağlar kullanılırken, eğrisel veya karmaşık kesitlere sahip alanlarda
üçgenlere de izin verilir.
Bu çalışmada yapılan ilk denemelerde, 226.151 eleman kullanılarak elde edilen sonuçların, daha
yüksek eleman sayıları (500 bin–1 milyon arası) ile karşılaştırıldığında Taşıma Katsayısı (Cl)
üzerinde önemli bir fark yaratmadığı gözlemlenmiştir. Bu durum, literatürde “mesh bağımsızlık
noktası” olarak tanımlanan eşiğe 4,74,74,7 yaklaşık 200–300 bin civarı elemanda
ulaşılabileceğini göstermektedir.
5. Mesh Bağımsızlık Analizi
Mesh bağımsızlık (grid independence) analizi, sayısal çözümün belirli bir eleman sayısının
üzerine çıktığında önemli aerodinamik parametreler (Cl, Cd, Cm vb.) açısından kararlı sonuçlar
verdiğini doğrulamak amacıyla yapılır 444. Yaygın uygulama şöyledir:

Farklı eleman sayıları (50 bin, 100 bin, 200 bin, 226 bin, 300 bin, 500 bin, 1 milyon
vb.) oluşturulur ve her biri için model koşuları gerçekleştirilir.

Elde edilen Cl, Cd ve Cm gibi parametreler karşılaştırılır. Bu karşılaştırmalarda
değerler arasındaki yüzde fark izlenir.

Fark belirli bir eşiğin altına (örneğin %1) düştüğünde, daha fazla eleman sayısı
kullanmanın hesaplama süresini artırdığı fakat sonuçlarda kayda değer bir iyileşme
sağlamadığı görülür. Bu aşamada, genellikle en düşük eleman sayısına sahip ağ (bu
durumda yaklaşık 226 bin eleman) seçilir.
Bu süreç, “daha fazla eleman sayısı her zaman daha iyi sonuç demek değildir” önermesini de
doğrulamaktadır. Çünkü akışın kritik bölgelerindeki çözünürlük sağlandığı sürece, eleman
sayısını yükseltmek hatayı minimal düzeyde azaltır ancak hesaplama maliyetini önemli ölçüde
artırır.
6. Değerlendirme

Akış Alanının Çoklu Bölgelerle Bölünmesi: Yakın saha (near-field), orta saha (midfield) ve uzak saha (far-field) olarak tanımlanan bölgelerde farklı ağ yoğunluğu
uygulanması, özellikle kanat yüzeyinde ve kritik akış bölgelerinde yüksek çözünürlüklü
sonuçlar elde edilmesine imkân tanımıştır.

Bias Uygulamasıyla İncelikli Çözünürlük: Airfoil yüzeyinde bias kullanılması, sınır
tabakası katmanlarının doğru modellenmesini ve hedef y+ değerinin tutturulmasını
kolaylaştırmıştır.

Hibrit Mesh ve “Quantrilyon” Yaklaşımı: Hem yapılandırılmış hem de
yapılandırılmamış elemanlar kullanılması (dörtgen tabanlı yoğun bölgeler + üçgen
alanlar), karmaşık geometri bölgelerinde esnek bir çözüm sunmuştur.

Mesh Bağımsızlık Analizi: Yaklaşık 226 bin elemanlık bir ağın, daha yüksek eleman
sayılarıyla (%1’in altındaki fark) benzer sonuçlar verdiği gösterilmiştir. Böylelikle
optimum ağ boyutunun bu civarda olduğu ve hesaplama maliyeti ile doğruluk arasındaki
en uygun dengenin sağlandığı doğrulanmıştır.
7.Akış Çözücüsü ve Navier-Stokes Denklemleri: Temel Açıklamalar
Bu çalışmada, akış alanının (flow field) çözümü için ticari bir hesaplamalı akış dinamiği (CFD)
yazılımı olan ANSYS Fluent kullanılmıştır. ANSYS, akış problemlerini çözmek için NavierStokes denklemlerinin sayısal çözümüne dayalı bir yöntem kullanır. Bu denklemler, sıvı veya
gaz gibi Newtonyen akışkanların hareketini matematiksel olarak tanımlayan temel fiziksel
denklemlerdir.
Navier-Stokes denklemleri, kütle korunumu (süreklilik), momentum korunumu ve enerji
korunumu olmak üzere üç temel fizik yasasına dayanır. Çoğu mühendislik uygulamasında,
sıkıştırılamaz akış varsayımı yapıldığında kütle ve momentum denklemleri yeterli olur.
ANSYS, bu denklemleri sonlu hacimler (finite volume) yöntemi ile ayrıklaştırarak
(discretization), iteratif çözücüler kullanarak çözer. Bunun anlamı şudur: Bütün akış alanı
küçük kontrol hacimlerine (mesh elemanlarına) bölünerek her bir hacimdeki hız, basınç ve
diğer değişkenlerin zaman içinde nasıl değiştiği hesaplanır. Akışın türbülanslı olduğu
durumlarda, Navier-Stokes denklemlerine ek olarak Reynolds-Averaged Navier-Stokes
(RANS) veya Large Eddy Simulation (LES) gibi modelleme yöntemleri uygulanır. Bu
çalışmada RNG k-ε ,SST k-ω, Spalart–Allmaras, İnvizid Akış modeli kullanılmış ve NavierStokes denklemlerine ek olarak türbülans taşınım denklemleri de çözülmüştür.
7.1. Süreklilik (Kütle Korunumu) Denklemi
Kütle korunumu, herhangi bir kapalı sistemde toplam kütlenin değişmeyeceğini ifade eder.
Matematiksel olarak sıkıştırılamaz bir akış için şu şekilde yazılır:
∇⋅𝐮=0
Bu denklemde:

∇ ⋅ 𝐮: Akışkanın hız alanının diverjansıdır. Bu, herhangi bir noktada akışkanın hacminin
değişip değişmediğini ölçer.

𝐮 = (𝑢, 𝑣, 𝑤): Akışkanın üç boyutta hız bileşenlerini (𝑥, 𝑦, 𝑧 yönlerinde) gösteren
vektördür.

0: Bu, sıkıştırılamaz bir akışta hızın diverjansının sıfır olması gerektiğini gösterir.
Yani, bir noktaya ne kadar akış giriyorsa, aynı miktarda çıkmalıdır.
Fiziksel Açıklama:
Süreklilik denklemi, akışın herhangi bir noktasında kütle birikimi olmaması gerektiğini söyler.
Eğer belirli bir bölgeye giren akış miktarı çıkan akış miktarına eşitse, o bölgede yoğunluk
zamanla değişmez ve sıkıştırılamaz akış kabulü geçerli olur. ANSYS Fluent, tüm hesaplama
alanında bu denklemi sağlamak için hız değerlerini iteratif olarak günceller.
7.2. Momentum (Navier-Stokes) Denklemleri
Newton’un ikinci hareket yasasına (𝐹 = 𝑚𝑎) dayanan momentum denklemi, akışkanın her
noktada hareketini nasıl değiştirdiğini gösterir. Genel formu:
𝜌
∂𝐮
+ 𝜌(𝐮 ⋅ ∇)𝐮 = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝐮 + 𝐅
∂𝑡
Bu denklemde her bir terimin anlamını açıklayalım:
1) Sol Taraf: Hızın Zamana ve Konuma Bağlı Değişimi

𝜌
∂𝐮
∂𝑡
→ Yerel ivme terimi: Akışkanın belirli bir noktadaki hızının zamanla nasıl
değiştiğini gösterir. Örneğin, bir vanayı aniden kapattığınızda borudaki suyun hızında
ani değişimler olur; bu terim o etkiyi temsil eder.

𝜌(𝐮 ⋅ ∇)𝐮 → Konvektif ivme terimi: Hızın mekânda nasıl değiştiğini gösterir. Eğer bir
hava akışı bir daralmaya girerse, hızın nasıl arttığını bu terim belirler.
2) Sağ Taraf: Akışa Etki Eden Kuvvetler

−∇𝑝 → Basınç kuvveti: Akışkanın hareketi üzerindeki basınç gradyanının
(değişiminin) etkisini gösterir. Eğer bir borunun bir ucu yüksek basınçta, diğer ucu
düşük basınçta ise, akışkan düşük basınca doğru hareket eder.

𝜇∇2 𝐮 → Viskoz kuvvetler: Akışkanın moleküler sürtünmesini temsil eder. Örneğin, su
ile bal arasındaki fark, viskozitenin farklı olmasıdır. Yüksek viskozite, akışın daha
"yapışkan" ve yavaş olmasına neden olur.

𝐅 → Dış kuvvetler: Yerçekimi (𝜌𝑔) gibi ek dış kuvvetler bu terime dahil edilir.
7.3. ANSYS’in Navier-Stokes Denklemlerini Çözme Yöntemi
Navier-Stokes denklemleri, doğrudan analitik olarak çözülemeyen karmaşık diferansiyel
denklemlerden oluşur. ANSYS, bu denklemleri sonlu hacimler yöntemiyle çözer.

Hesaplama Alanı (Mesh): Bütün akış alanı küçük hücrelere bölünür (mesh elemanları).
Her bir eleman içinde hız, basınç, sıcaklık vb. değişkenler hesaplanır.

Ayrıklaştırma (Discretization): Diferansiyel denklemler sonlu farklar veya sonlu
hacimler yöntemleriyle ayrıklaştırılır.

Iteratif Çözüm: SIMPLE veya Coupled gibi algoritmalar kullanılarak denklemler
defalarca çözülür ve yakınsama sağlanana kadar devam eder.

Türbülans Modellemesi: Türbülanslı akışlar için ek türbülans denklemleri çözülerek
akışın daha doğru tahmin edilmesi sağlanır.
7.3.1. Spalart-Allmaras Türbülans Modelinin Tanımı ve Prensipleri
Spalart-Allmaras modeli, Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) çözüm yöntemleri ile
∼
birlikte kullanılan, modifiye türbülans kinetik viskozitesi 𝜈 için tek-denklemli bir taşınım
modelidir. Bu model, türbülans kinetik enerjisini hesaplamaya yönelik değil, bunun yerine
türbülans viskozitesinin taşınımını doğrudan belirlemeye odaklanmaktadır. Böylece, özellikle
duvar yakınlarındaki akışların ve sınır tabaka etkilerinin hassas bir şekilde
modellenmesini sağlar.
SA modelinin temel taşınım denklemi şu şekildedir:
∼
𝐷𝜈
= 𝑃−𝐷+𝑇
𝐷𝑡
Burada:



𝑃 : Türbülans üretim terimi,
𝐷 : Türbülans bozunma terimi,
𝑇 : Difüzyon terimi olup türbülansın taşınmasını ifade eder.
Bu denklemin genişletilmiş hali aşağıdaki gibidir:
∼
∼
∼
∼ 2
∂𝜈
∂𝜈
1 ∂
𝜈
∼
∼ ∂𝜈
[(𝜈 + 𝜈 )
]) − 𝐶𝑤1 𝑓𝑤 ( )
+ 𝑢𝑗
= 𝐶𝑏1 𝑆𝜈 + (
∂𝑡
∂𝑥𝑗
𝜎 ∂𝑥𝑗
∂𝑥𝑗
𝑑
Burada:

𝜈 : Kinematik viskozite,
∼
 𝜈 : Modifiye türbülans viskozitesi,
 𝑆 : Modifiye kayma gerilimi (strain rate),
 𝑑 : En yakın duvara mesafe,
 𝐶𝑏1 , 𝐶𝑤1 , 𝜎 gibi sabitler: Modelin parametreleridir.
Bu model, özellikle laminer-türbülans geçiş bölgelerinin ardından duvar yakınındaki
türbülans akışını modellemek için tasarlanmıştır ve hesaplamalı akışkanlar dinamiğinde
(CFD) yaygın olarak kullanılmaktadır.
7.3.2 RNG 𝑘 − 𝜀 Türbülans Modeli: Genel Tanım ve Denklem Seti
7.3.2.1. Modelin Genel Tanımı
RNG 𝑘 − 𝜀 modeli, standart 𝑘 − 𝜀 modeline benzer şekilde çift-denklemli bir türbülans
modelidir ve türbülans kinetik enerjisi (𝑘) ile türbülansın bozunum oranı (𝜀) için iki ayrı taşınım
denklemi çözer. Ancak, RNG yaklaşımı, türbülansın küçük ölçeklerdeki etkilerini daha iyi
modelleyebilmek için Renormalizasyon Grup Teorisi (RNG) kullanılarak türetilmiştir.
Bu model, özellikle yüksek türbülanslı ve girdap yoğunluklu akışlarda, türbülans
viskozitesini ve enerji transferini daha hassas bir şekilde belirleyerek gelişmiş doğruluk
sağlar. Ayrıca, standart 𝑘 − 𝜀 modeline kıyasla daha geniş bir Reynolds sayısı aralığında
geçerlidir ve düşük Reynolds sayılı akışlara uyarlanabilir.
7.3.2.2. Denklem Seti
RNG 𝑘 − 𝜀 modeli, türbülans kinetik enerjisi (𝑘) ve türbülans bozunum oranı (𝜀) için
aşağıdaki taşınım denklemlerini içerir:
Türbülans Kinetik Enerjisi ( 𝑘 ) Denklem
∂𝑘
∂𝑘
∂ 𝜇𝑡 ∂𝑘
+ 𝑈𝑗
=
(
) + 𝑃𝑘 − 𝜀
∂𝑡
∂𝑥𝑗 ∂𝑥𝑗 𝜎𝑘 ∂𝑥𝑗
Bozunum Oranı ( 𝜀 ) Denklem
∂𝜀
∂𝜀
∂ 𝜇𝑡 ∂𝜀
𝜀
𝜀2
+ 𝑈𝑗
=
(
) + 𝐶1𝜀 𝑃𝑘 − 𝐶2𝜀 + 𝑅𝜀
∂𝑡
∂𝑥𝑗 ∂𝑥𝑗 𝜎𝜀 ∂𝑥𝑗
𝑘
𝑘
Bu denklemlerde:

𝑈𝑗 : Ortalama hız bileşeni

𝜇𝑡 : Türbülans viskozitesi
𝜇𝑡 = 𝐶𝜇

𝑘2
𝜀
𝑃𝑘 : Türbülans kinetik enerji üretimi
∂𝑈𝑗
∂𝑥𝑖
𝑅𝜀 : RNG modeline özgü ek terim olup, türbülansın küçük ölçeklerdeki etkilerini
modellemek için kullanılır.
𝑃𝑘 = −𝜌𝑢𝑖′ 𝑢𝑗′

Bu ek terim, RNG modelinin standart 𝑘 − 𝜀 modeline kıyasla daha hassas bir türbülans
viskozitesi öngörmesini sağlar.
Model katsayıları:

𝐶𝜇 = 0.0845


𝐶1𝜀 = 1.42
𝐶2𝜀 : Standart modelde sabit olmakla birlikte, RNG modeli için değişken bir
formülasyon ile belirlenir.
SST 𝑘 − 𝜔 Türbülans Modelinin Genel Tanımı
SST 𝑘 − 𝜔 modeli, duvar yakınlarındaki akışlarda yüksek doğruluk sağlayan 𝑘 − 𝜔
modelinin avantajlarını, serbest akış bölgelerinde daha iyi performans gösteren 𝑘 − 𝜀
modelinin özellikleri ile birleştirmektedir.
Bu modelin en önemli özelliği, harmonik bir karışım fonksiyonu kullanarak duvar
yakınlarında 𝑘 − 𝜔 modeline, serbest akış bölgesinde ise 𝑘 − 𝜀 modeline geçiş yapmasıdır.
Böylece, duvar etkilerinin önemli olduğu akış bölgelerinde hassasiyet artarken, serbest
akış bölgesinde kararsızlık sorunları azaltılmaktadır.
SST modeli ayrıca, türbülanslı kayma gerilmelerinin daha iyi modellenmesini sağlamak
amacıyla ekstra bir türbülans viskozite düzeltmesi (Shear Stress Transport - SST)
içermektedir. Bu sayede, türbülanslı ayrışmaların ve akış ayrılmalarının daha doğru bir
şekilde tahmin edilmesi mümkün olmaktadır.
7.3.3. SST 𝑘 − 𝜔 Modelinin Denklem Seti
SST 𝑘 − 𝜔 modeli, türbülans kinetik enerjisi (𝑘) ve özgül türbülans bozunma hızı (𝜔) için
aşağıdaki taşınım denklemlerini içerir:
7.3.3.1. Türbülans Kinetik Enerjisi ( 𝑘 ) Denklem
∂𝑘
∂𝑘
∂
∂𝑘
((𝜈 + 𝜎𝑘 𝜈𝑡 )
) + 𝑃𝑘 − 𝛽∗ 𝑘𝜔
+ 𝑈𝑗
=
∂𝑡
∂𝑥𝑗 ∂𝑥𝑗
∂𝑥𝑗
Burada:


𝑈𝑗 : Ortalama hız bileşeni
𝜈𝑡 : Türbülans viskozitesi
𝑎1 𝑘
max(𝑎1 𝜔, 𝛺𝐹2 )
𝑃𝑘 : Türbülans kinetik enerji üretimi
∂𝑈𝑗
𝑃𝑘 = −𝜌𝑢𝑖′ 𝑢𝑗′
∂𝑥𝑖
∗
𝛽 : Model katsayısı
𝜈𝑡 =


7.3.3.2. Türbülans Bozunum Oranı ( 𝜔 ) Denklem
∂𝜔
∂𝜔
∂
∂𝜔
𝛾
1 ∂𝑘 ∂𝜔
((𝜈 + 𝜎𝜔 𝜈𝑡 )
) + 𝑃𝑘 − 𝛽𝜔2 + 2(1 − 𝐹1 )𝜎𝜔2
+ 𝑈𝑗
=
∂𝑡
∂𝑥𝑗 ∂𝑥𝑗
∂𝑥𝑗
𝜈𝑡
𝜔 ∂𝑥𝑗 ∂𝑥𝑗
Burada:



𝜎𝑘 , 𝜎𝜔 : Türbülans viskozite katsayıları
𝛾, 𝛽: Model katsayıları
𝐹1 , 𝐹2 : Karışım fonksiyonları olup, SST modelinin duvar yakınlarında 𝑘 − 𝜔
modeline, serbest akışta ise 𝑘 − 𝜀 modeline geçiş yapmasını sağlar.
Karışım fonksiyonları şu şekilde tanımlanır:
4
4𝜎𝜔2 𝑘
√𝑘 500𝜈
𝐹1 = tanh ([min (max ( ∗
, 2 ),
)] )
𝛽 𝜔𝑑 𝑑 𝜔 𝐶𝐷𝑘𝜔 𝑑 2
2
2√𝑘 500𝜈
𝐹2 = tanh ([max ( ∗
,
)] )
𝛽 𝜔𝑑 𝑑2 𝜔
Burada:


𝑑: En yakın duvara olan mesafe
𝐶𝐷𝑘𝜔 : Türbülansın bozulma terimini düzelten ek bir katsayı
Bu modelde, 𝐹1 fonksiyonu duvar yakınlarında SST modelinin 𝑘 − 𝜔 bölgesinde
çalışmasını sağlarken, 𝐹2 fonksiyonu türbülans viskozitesini belirleyerek serbest akış
bölgesinde 𝑘 − 𝜀 geçişini kontrol eder.
Reynolds Sayısı Nedir ve Nasıl Hesaplanır?
Reynolds sayısı (Re), akışkanlar mekaniğinde akışın türbülanslı mı yoksa laminer mi olduğunu
anlamamızı sağlayan boyutsuz bir sayıdır. Özellikle hava veya su gibi akışkanların bir yüzey
(örneğin kanat profili) etrafında akışı incelenirken sıkça kullanılır. Temel olarak, akışın atalet
kuvvetleri ile viskoz kuvvetlerinin oranını temsil eder. Matematiksel ifadesi şu şekildedir:
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
¸
ya da esdeğ er olarak 𝑅𝑒 =
𝑉𝐿
𝜈
Burada:

𝜌 (rho): Akışkanın yoğunluğu (kg/m³),

𝑉: Akışkanın veya cismin göreli hızı (m/s),

𝐿: Karakteristik boyut (örneğin kanat kord uzunluğu, m),

𝜇: Akışkanın dinamik viskozitesi (Pa·s ya da kg/(m·s)),

𝜈 (ni): Akışkanın kinematik viskozitesi (𝜈 = 𝜇/𝜌, m²/s).
Reynolds sayısı 2000’in altında ise (genellikle) laminer akıştan, 4000’in üzerinde ise türbülanslı
akıştan söz edilir (bu değerler akış türüne ve geometriye göre değişebilir). Aradaki geçiş bölgesi
ise geçiş akışı olarak adlandırılır.
Problem Tanımı
Bu çalışmada, standart hava koşullarında (deniz seviyesinde, yaklaşık 15°C sıcaklıkta ve 1 atm
basınçta) hava akışının bir kanat kordu (L) boyunca gerçekleştiği durum ele alınmaktadır.
Kanadın kord uzunluğu 𝐿 = 1 m olarak belirlenmiştir. Reynolds sayısının hedef değeri 𝑅𝑒 =
1,500,000 (1,5 milyon) olarak verilmiştir. Bizden istenen, bu Reynolds sayısına ulaşabilmek
için gereken hava hızının (𝑉) belirlenmesidir.
Standart Hava Koşullarının Parametreleri
Deniz seviyesinde ve yaklaşık 15°C sıcaklıkta hava için tipik değerler aşağıdaki gibidir (bu
değerler yaklaşık olup ufak değişiklikler olabilir):

Yoğunluk, 𝜌 ≈ 1,225 kg/m3

Dinamik viskozite, 𝜇 ≈ 1,7894 × 10−5 kg/(m\cdotps)
(ya da 𝜇 ≈ 1,7894 × 10−5 Pa\cdotps)

Kinematik viskozite, 𝜈 = 𝜇/𝜌 ≈ 1,46 × 10−5 m2 /s
Reynolds Sayısına Göre Hava Hızının Hesaplanması
Reynolds sayısı ifadesini (dinamik viskozite üzerinden) kullandığımızda,
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
.
𝜇
Verilen değerleri yerleştirelim:

𝑅𝑒 = 1,500,000,

𝜌 = 1,225 kg/m3 ,

𝐿 = 1 m,

𝜇 = 1,7894 × 10−5 kg/(m\cdotps).
Bu formülü hız (𝑉) için çözelim:
𝑉=
𝑅𝑒 × 𝜇
.
𝜌×𝐿
Numaraları yerine koyduğumuzda:
𝑉=
1,500,000 × 1,7894 × 10−5
.
1,225 × 1
Önce çarpma işlemini yapalım:
1,500,000 × 1,7894 × 10−5 = 1,500,000 × 1,7894 × (0,00001,7894)
Yaklaşık değer olarak hesapladığımızda:
6. 1,500,000 × 1,7894 × 10−5 ≈ 26,841 (Adım adım çarparsanız 1,5×1,7894=2,6841 ve
bunu 10’a (10−5 → 101 çarpımı şeklinde) getirince yaklaşık 26,84 elde edilir.)
7. Sonra bu değeri 𝜌 (1,225) ile böleriz:
𝑉≈
26,84
≈ 21,93 m/s.
1,225
Kurulum Parametreleri
Parameters
Fluid
Density
Viscosity
Inlet Velocity
Values
Air
1.225 kg/m³
1.7894 × 10⁻⁵ kg/m-s
22 m/s
Turbulence Models
Momentum
Pressure
Turbulent kinetic Energy
Gradient
Spalart-Allmaras, SST k-ω, RNG k-ε
Second Order Upwind
Second Order
Second Order Upwind
Least Squares Cell Based
Chord
1m
Analiz sonuçlarının elde edilmesi
Bu çalışmada, NACA 4412 profili için aerodinamik katsayıları (kaldırma katsayısı, 𝐶𝐿 ve
sürükleme katsayısı, 𝐶𝐷 ) belirlemeye yönelik çoklu sayısal yöntem uygulanmıştır. Söz konusu
yöntemler arasında XFLO5 panel metodu, ANSYS içindeki inviscid çözüm, SpalartAllmaras, SST k-omega ve RNG k-epsilon türbülans modelleri bulunmaktadır. Analizler, 0°
hücum açısı (angle of attack, AoA) temel alınarak yürütülmüş ve sonuçlar, hem literatürdeki
verilerle hem de NASA kaynaklı referans ölçümlerle karşılaştırılmıştır.
Ayrıca, bu çalışma çerçevesinde elde edilen bulguların, gelecekte 10° ve daha yüksek hücum
açılarında yapılacak detaylı incelemelere bir altyapı sağlaması hedeflenmiştir.
8. NACA 4412 Profili, Inviscid Yaklaşım ve XFLO5 Panel Metodu
8.1. NACA 4412 Profili
NACA 4412 profili, kanadın orta çizgisinin eğriliğini ve kalınlık dağılımını tanımlayan
konvansiyonel bir tasarım olarak bilinmektedir. %4 maksimum kalınlık ve %4 maksimum
eğrilik (camber) parametrelerine sahip bu profil, düşük ve orta hücum açılarında yeterli kaldırma
kuvvetini düşük sürükleme maliyeti ile sunması sayesinde pek çok tasarım sürecinde tercih
edilmektedir. Söz konusu profilin deneysel verileri, NASA tarafından yayımlanmış olup, güncel
araştırmaların sayısal yöntemlerini doğrulamak açısından geniş bir referans tabanı sunar.
8.2. Inviscid Yaklaşım
Inviscid akış varsayımı, akışkanın viskoz etkilerini dışlayarak potansiyel akış kuramına dayalı
bir çözüm kurgular. Gerçekte akışkanın viskozitesi sıfır olmamasına rağmen, bu yaklaşım,
özellikle tasarımın ilk aşamalarında veya kavramsal düzeyde hızlı öngörülerde bulunmak
amacıyla sıklıkla başvurulan bir yöntemdir. Öte yandan, inviscid modeller;

Sürtünme temelli sürükleme kuvvetini ihmal ettiğinden 𝐶𝐷 değerini olduğundan düşük,

Viskoz kökenli akış ayrılma ve sınır tabaka etkilerini hesaba katamadığından 𝐶𝐿
değerini olduğundan yüksek tahmin etme eğilimi gösterir.
8.3. XFLO5 Panel Metodu
Bu çalışmada kullanılan XFLR5 panel metodu, inviscid ve potansiyel akış modelini esas alır.
Kanat geometrisi, küçük paneller (sanal yüzey elemanları) halinde ayrıştırılarak, hız ve basınç
dağılımlarının analitik yaklaşımlar ve basitleştirilmiş sınır denklemleri yardımıyla
hesaplanmasına dayanır.

Hızlı hesaplama: Diferansiyel tabanlı tam CFD çözümlerine kıyasla daha düşük
hesaplama kaynaklarına gereksinim duyar.

Basit modelleme: Türbülans modeli veya sınır tabaka çözünürlüğü gibi karmaşık
parametrelere duyulan ihtiyacı en aza indirir.

Geçerlilik sınırları: Yüksek Reynolds sayılarında, ayrılma bölgeleri ve viskoz etkilerin
önemli olduğu koşullarda öngörü hataları artar.
9. Sayısal Çözüm Sonuçlarının Karşılaştırılması
Bu başlık altında, 0° hücum açısı için XFLO5 (panel metodu), ANSYS (inviscid çözüm),
Spalart-Allmaras, SST k-omega ve RNG k-epsilon türbülans modelleriyle gerçekleştirilen
analiz sonuçları sunulmaktadır. Amaç, NACA 4412 profili için farklı sayısal yaklaşım ve
türbülans modellerinin elde ettiği kaldırma (𝐶𝐿 )ve sürükleme (𝐶𝐷 ) değerlerini irdelemek ve
bunları NASA referans verileriyle ilişkilendirmektir.
Metot
𝐶𝐿 (Kaldırma Katsayısı) 𝐶𝐷 (Sürükleme Katsayısı)
XFLR5 (Panel Metodu)
0.476
0.007
ANSYS (Inviscid)
0.5100
0.00081
Spalart-Allmaras
0.445
0.011
SST k-omega
0.4549
0.01097
RNG k-epsilon
3.0944e+130
-4.2274e+128
9.1. Inviscid Sonuçlar (XFLR5 ve ANSYS)
XFLO5 ile ANSYS içerisinde yapılan inviscid çözüm, 0° hücum açısında büyük ölçüde benzer
sonuçlar üretmiştir. Her iki yöntem de viskoz etkileşimleri dışladığından, literatürdeki deneysel
verilerle kıyaslandığında 𝐶𝐿 değerlerinin daha yüksek, 𝐶𝐷 değerlerinin ise daha düşük
tahmin edildiği gözlemlenmektedir. Bununla birlikte, tasarımın ilk aşamalarında veya hızlı
optimizasyon senaryolarında bu sapma, mühendislik toleransları içinde kabul edilebilir
düzeydedir.
9.2. Türbülans Modelleri

Spalart-Allmaras ve SST k-omega modelleri, NACA 4412 gibi profile sahip akışlarda
kararlı ve gerçeğe daha yakın sonuçlar vermektedir. Viskoz sürtünme kaynaklı
sürükleme artışı hesaba katıldığından 𝐶𝐷 değeri, inviscid modelin aksine, daha yüksek
tahmin edilmektedir. Dolayısıyla NASA verileriyle daha tutarlı sonuçlar elde etmek
mümkündür.


RNG k-epsilon modeli, akış ayrılmalarının ve üç boyutlu türbülans yapıların
belirgin olduğu yüksek Reynolds sayılarına sahip problemlerde sıklıkla tercih
edilmektedir. Ancak iki boyutlu analizlerde ve düşük hücum açılarında, bu
model kararsız sonuçlar ortaya koyabilmektedir. Özellikle NACA 4412 gibi
kanat profillerinin 2D analizlerinde, RNG k-epsilon modelinin üç boyutlu
etkileri ve kompleks ayrılma bölgelerini daha iyi öngörmeye yönelik
optimizasyonları, iki boyutlu senaryolarda tutarlı sonuçlar vermesini
zorlaştırmaktadır. Dolayısıyla, 2D koşullar altında, ağ (mesh) kalitesi, sınır
tabaka modellemesi ve giriş koşullarındaki ufak değişiklikler dahi sonuçlarda
aşırı sapmalara yol açabilmektedir.
Bu nedenle, NACA 4412 benzeri profillerde 2D analiz için RNG k-epsilon’ın
güvenilir sonuçlar üretebilmesi, kapsamlı bir mesh iyileştirmesi ve model
parametre ayarı gerektirir. Aksi takdirde, modelin varsayılan ayarlarla 2D
koşullarda kararlı ve fiziksel olarak anlamlı değerler sunması güçleşir. .
Bu yüzden validasyon ve hesaplama değerleri Spalart Allmaras üzerinden yapılacaktır.
Bu görüntüde, bir sayısal akışkanlar dinamiği (CFD) analizine ait ağ (mesh) yapısını ve sınır
koşullarını göstermektedir. Sınır koşulları kesin olarak şu şekilde belirlenmiştir:
1. Giriş Koşulları (Inlet) – Mavi Oklar:
o Mavi oklarla gösterilen bölgeler, akışın sisteme giriş yaptığı sınırları ifade
etmektedir.
o Giriş koşulu olarak genellikle hız (velocity inlet) veya debi (mass flow inlet)
sınır koşulu tanımlanır.
o Görüntüde sol yarım dairesel bölgede ve üst-alt kenarlarda giriş sınır koşulları
tanımlanmıştır.
2. Çıkış Koşulları (Outlet) – Kırmızı Oklar:
o Kırmızı oklarla gösterilen bölgeler, akışın sistemden çıkış yaptığı sınırları temsil
etmektedir.
o Çıkış koşulu olarak genellikle basınç çıkışı (pressure outlet) veya serbest çıkış
(outflow) sınır koşulu kullanılır.
o Görüntüde sağ kenarda (düzgün dikdörtgensel ağ bölgesinde) çıkış sınır
koşulları bulunmaktadır.
NACA 4412 kanadının yüksek hücum açısındaki ayrılma bölgesi (özellikle trailing edge
separation) birçok akademik ve endüstriyel çalışmada CFD yöntemlerini validasyon
(doğrulama) amacıyla test etmek için kullanılır. NASA’nın 1970’li ve 1980’li yıllardaki klasik
deneysel çalışmalarına (ör. Coles & Wadcock, 1979; Wadcock, 1979) ve daha sonra kendi CFD
kodları olan CFL3D ve FUN3D sonuçlarına ait veriler, literatürde “karşılaştırma standardı”
hâline gelmiştir. Bu çalışmalarda:

Kanat kordu 90 cm alınmış,

Reynolds sayısı (kord boyuna göre) 1.52×10^6 olarak belirlenmiş,

Hücum açısı (Angle of Attack, 𝛼) tam olarak 13.87° değerine ayarlanmıştır.
Burada sunulan Fluent çözümü de benzer koşulları taklit etmek üzere hazırlanmıştır.
9.3. Sayısal Kurulum ve Hücum Açısını Ayarlama Adımları
9.3.2 Izgara ve Model Seçimi
o
Çözümlerde iki boyutlu (2D) bir grid ve Spalart–Allmaras türbülans modeli
kullanılmıştır.
o
Hız girdisi (inlet) “Velocity Inlet” sınır şartı ile tanımlanmıştır.
9.3.3 Hız Değerinin Belirlenmesi
o
Deneylerde 1.52×106 Reynolds sayısı elde etmek için NASA 27.1 m/s civarında
bir serbest akış hızı kullanmıştır. Ancak çalışma sıcaklığı ve akış özellikleri
nedeniyle Fluent’ta 22.5 m/s seçilerek Reynolds sayısı aynı mertebede
tutulmuştur (hâlihazırda hava özellikleri, yoğunluk, viskozite vb. kabul edilen
değerlerle 1.52×106 ’ya yakındır).
9.3.3.1 Hücum Açısının (𝛼 = 13.87∘ ) Sağlanması
o
Fluent’ta geometri, coordinate sistemine genellikle x-y eksenleriyle hizalı
şekilde yerleştirilir.
o
Ancak akış, 13.87°’lik bir açıyla gelmelidir. Bu açı, “Velocity Specification
Method” kısmında Magnitude and Direction kullanılarak, ya da “Lift-Drag
yön vektörleri” (Force Vectors) ayarlanarak elde edilir.
o
Bu çalışmada akış yönünün x-bileşeni ≈ 0.9708, y-bileşeni ≈ 0.2397 olarak
girilerek (tan𝛼 ≈ 0.2397/0.9708), akışın 13.87° açıyla geldiği sağlanmıştır.
9.3.3.2 Lift ve Drag Raporlarının Tanımı
o
Fluent’ta “Report Definitions” bölümünde Lift ve Drag katsayılarının
hesaplanabilmesi için, yine Force Vector’da X=0.97084, Y=0.23972 (veya tam
tersi—duruma göre) girilerek, kuvvet bileşenlerinin “Kanat üzerine etkiyen
kaldırma” (𝐶𝐿 ) ve “Kanat üzerine etkiyen sürükleme” (𝐶𝐷 ) olarak hesaplanması
sağlanmıştır.
o
Bu sayede “Lift Coefficient” ve “Drag Coefficient” iterasyon esnasında her
döngüde ya da istenilen sıklıkta yazdırılıp kaydedilebilir.
9.4 Elde Edilen Sonuçlar ve Karşılaştırma
Aşağıdaki tabloda, Fluent çözümü (Spalart–Allmaras, 22.5 m/s, 𝛼 = 13.87∘ ) ile NASA’nın
referans kodları olan CFL3D ve FUN3D sonuçlarının özet karşılaştırması verilmektedir.
Fluent (Bu Çalışma)
CFL3D (Ref. 1) Sapma (%) FUN3D (Ref. 2) Sapma (%)
𝐶𝐿
1.662
1.721
–3.4
1.717
–3.2
𝐶𝐷
0.02615
0.02861
–8.6
0.02947
–11.3

Kaldırma Katsayısı (𝐶𝐿 ): Fluent’ta 1.662 olarak bulunmuş; bu değer, referans
sonuçlara kıyasla yaklaşık %3–4 düşük çıkmaktadır.

Sürükleme Katsayısı (𝐶𝐷 ): Fluent’ta 0.02615 olarak hesaplanmış; referans CFD
sonuçları ise 0.02861–0.02947 aralığındadır, yani yaklaşık %8–12 oranında bir farklılık
söz konusudur.
Bu değerlerden gördülüğü üzere aoa 10 derece ile çözüm yapılacaktır.
Aşağıda, NACA 4412 hava profilinin Re = 1.50×10^6 ve 𝛼 = 10∘ koşullarında üç farklı
yöntemle (XFLR5 panel metodu, Fluent Spalart–Allmaras (S–A) ve Fluent SST 𝑘-𝜔) elde edilen
kaldırma (𝐶𝐿 ) ve sürükleme (𝐶𝐷 ) katsayılarının karşılaştırılması yer almaktadır. XFLR5
çıktılarına kıyasla yüzdelik farklar da tablonun sağ sütunlarında verilmiştir:
𝐶𝐷
𝛥𝐶𝐿 (%)* 𝛥𝐶𝐷 (%)*
Yöntem
𝐶𝐿
XFLR5 (Panel Method)
1.445 0.0160
–
–
Fluent (Spalart–Allmaras)
1.321 0.0210
−8.6 %
+31.3 %
Fluent (SST 𝑘-𝜔)
1.317 0.0224
−8.9 %
+40.0 %
¨
Yontem−XFLR5
* Yüzdelik sapmalar, XFLR5 panel metodu sonuçlarına göre (
ile hesaplanmıştır.
XFLR5
× 100) formülü
10. Yöntemler ve Sonuçların Akademik Değerlendirmesi
10.1 XFLR5 (Panel Method)
o
Temelde potansiyel akış yaklaşımına dayanan bir hesaplama yöntemidir.
o
Viskozite ve ayrılma (separation) gibi fiziksel olguları ancak çok sınırlı ampirik
eklentilerle modelleyebilir.
o
Orta dereceli hücum açılarında (𝛼 ≈ 8∘ − 12∘ ), kaldırma (𝐶𝐿 ) tahminlerinde
çoğunlukla ilk tahmin veya ön tasarım amacıyla kullanılabilecek kadar makul
sonuçlar verir.
o
Buna karşın, sürükleme (𝐶𝐷 ) değerini çoğu zaman daha düşük tahmin eder; zira
gerçek viskoz direnci ve türbülanslı sınır tabakası kayıplarını tam olarak temsil
etmez.
10.2 Fluent (Spalart–Allmaras)
o
RANS tabanlı, özellikle harici aerodinamik sorunlar için tasarlanmış tek
denklemlik bir türbülans modelidir.
o
Gerçek akışın viskoz etkilerini ve kısmi ayrılmayı panel metoduna göre daha iyi
yakalar. Dolayısıyla 𝐶𝐷 tahmini, panel yönteminden daha yüksek çıkmaya ve
gerçek koşullara daha yakın olmaya eğilimlidir.
o
Yukarıdaki tabloda Spalart–Allmaras modeli, XFLR5’e kıyasla 𝐶𝐿 değerinde
%8.6’lık bir azalma, 𝐶𝐷 değerinde ise %31.3’lük bir artış öngörmektedir.
10.3 Fluent (SST 𝑘-𝜔)
o
Shear Stress Transport 𝑘-𝜔 modeli, özellikle yüksek gradyanlı ve kısmen
ayrılmalı akışlarda (örneğin yüksek hücum açılarında) iyileştirilmiş sonuçlar
vermesi amacıyla geliştirilmiştir.
o
XFLR5’e kıyasla 𝐶𝐿 değeri %8.9 daha düşük, 𝐶𝐷 ise %40.0 daha yüksek
bulunmuştur.
o
S–A’ya kıyasla biraz daha yüksek bir sürükleme öngörmesi, bu modelin
ayrılma bölgesi ve duvar yakınlarındaki türbülans mekanizmalarına daha
duyarlı olduğu şeklinde değerlendirilebilir.
10 derece angle of attack için hız gradyanı
11. SONUÇ
Spalart-Allmaras
İnvizid
Özellik
SST 𝑘 − 𝜔
RNG 𝑘 − 𝜀
(SA)
(Sürtünmesiz) Model
Matematiksel
Hibrit 𝑘 − 𝜔 ve 𝑘 − 𝜀
Çift-denklemli türbülans
Tek-denklemli
Euler denklemlerine
Model Tipi
modeli (çift denkleme
modeli
türbülans modeli
dayalı, viskoz etkileri
ihmal eden model
sahip)
Doğruluk
Yüksek
Orta-yüksek
Orta doğruluk(Düşük
Düşük
(Gerçek Akışa
doğruluk(Özellikle
doğruluk(Ayrışmış
hesaplama maliyeti ile
doğruluk(Gerçek
Yakınlık)
ayrışmış akışlarda ve
akışlar için iyileştirilmiş,
iyi tahminler sunar,
akışları temsil etmez,
duvar yakınlarında)
sadece ideal akış
Spalart-Allmaras
İnvizid
RNG 𝑘 − 𝜀
(SA)
(Sürtünmesiz) Model
ancak SST kadar iyi
ancak ayrışmalar için
analizlerinde
değil)
yetersiz)
kullanılır)
Yüksek hassasiyet (𝑘 −
Orta hassasiyet (Duvar
İyi (Duvar yakınında
Zayıf (Duvar
Yakınlarındaki
𝜔 yapısı sayesinde duvar
fonksiyonları kullanır,
doğru tahminler
etkilerini ihmal eder)
Akışlar
yakınında doğru
ancak SST kadar kesin
yapabilir, ancak
tahminler yapar)
değildir)
ayrışmalarda yetersiz)
Ayrışmış Akışlar
Çok iyi(Ayrışmış akışları
İyi(Standart 𝑘 − 𝜀
Zayıf(Ayrışmaları iyi
(Stall, Akış
başarılı şekilde
modeline kıyasla daha
tahmin edemez)
Ayrılması)
modelleyebilir)
doğru tahminler
Özellik
Duvar
SST 𝑘 − 𝜔
Modelleyemez
yapabilir)
Laminer-
İyi(Özel geçiş
Zayıf(Laminer-türbülans
Zayıf(Geçiş
Türbülans Geçişi
modellemeleri ile
geçişini doğrudan
modellemesi içermez)
desteklenirse daha doğru
modelleyemez)
Modelleyemez
tahminler yapılabilir)
Girdaplı Akışlar
Çok iyi (Girdap
İyi (Standart 𝑘 − 𝜀
Zayıf (Girdaplı
ve Rotasyonel
oluşumları ve dönme
modelinden daha iyi,
akışları yeterince iyi
İhmal edilir
Akışlar
içeren akışları hassas
ancak SST kadar güçlü
tahmin edemez)
şekilde yakalayabilir)
değil)
Serbest Akış
İyi(𝑘 − 𝜀 modeli ile hibrit
Çok iyi(Açık akışlar için
Orta(Serbest akışlarda
İdeal model(Ancak
Bölgeleri (Açık
çalıştığı için serbest akış
optimize edilmiştir)
doğruluk sınırlıdır)
viskoz etkileri hesaba
Akışlar,
bölgelerinde stabil
Atmosferik
sonuçlar sağlar)
katmaz)
Akışlar)
Reynolds Sayısı
104 − 109 geniş
104 − 108 (Yüksek
105 − 107 (Yüksek
Her Reynolds
Aralığı
aralık(Havacılık,
Reynolds sayılı
Reynolds sayılı akışlar
sayısında geçerli,
otomotiv ve türbülanslı
endüstriyel akışlar için
için verimli çalışır)
ancak viskoz
sınır tabaka akışları için
uygundur)
etkileşimleri hesaba
uygundur)
katmaz
Hesaplama
Yüksek(Çift denklemli
Orta(Hesaplama süresi
Düşük(Tek denklemi
Çok
Maliyeti
model olması nedeniyle
SST'ye göre daha düşük,
çözdüğü için
düşük(Hesaplama
hesaplama süresi
ancak ayrışmış akışlar
hesaplama maliyeti
açısından en hızlı
yüksektir)
için yeterince güçlü
düşüktür)
modeldir)
değil)
Endüstriyel
- Aerodinamik analizler
- Endüstriyel akışkan
- Havacılık
- Teorik akış
Kullanım
(kanat profilleri, hava
dinamiği (boru içi
aerodinamiği (kanat
analizleri (uçuş
Alanları
taşıtları, otomotiv
akışlar, soğutma
profilleri, hava
mekaniği, balistik
aerodinamiği) -
sistemleri) - Jet akışları
araçları) - Basit
hesaplamalar, ideal
Türbomakineler - Isı
- Çevresel rüzgar
aerodinamik
akış modelleri)
transferi problemleri
analizleri
problemler
Bu çalışma, NACA 4412 kanat profili etrafındaki aerodinamik performansın farklı türbülans
modelleri ve hesaplamalı yöntemlerle analizini sistematik bir şekilde ele almaktadır. Reynolds
sayısı 1.5×10⁶ ve hücum açısı 10° koşullarında yapılan simülasyonlar, türbülans modeli
seçiminin kaldırma (𝐶𝐿 ) ve sürükleme (𝐶𝐷 ) katsayıları üzerinde belirgin etkisi olduğunu ortaya
koymaktadır. Özellikle Fluent SST k-ω ve Spalart-Allmaras (S-A) modellerinin referans CFD
sonuçları (CFL3D, FUN3D) ve panel metodu (XFLR5) ile karşılaştırılması, modelleme
yaklaşımlarının güçlü ve zayıf yönlerini netleştirmiştir.
SST k-ω modeli, literatürde vurgulandığı üzere ayrışmış akışlar ve sınır tabaka dinamiklerinde
üstün doğruluk sağlamasına rağmen, bu çalışmada 𝐶𝐿 = 1.317 ve 𝐶𝐷 = 0.0224 değerleriyle
referans verilere kıyasla sırasıyla %8.9 ve %40 sapma göstermiştir. Bu tutarsızlık, modelin
türbülanslı kinetik enerji dissipasyonunu agresif şekilde hesaplaması veya ağ yapısının sınır
tabaka çözünürlüğünde yetersiz kalmasıyla ilişkilendirilebilir. Buna karşılık, Spalart-Allmaras
modeli, düşük hesaplama maliyeti avantajını korurken (𝐶𝐿 = 1.321, 𝐶𝐷 = 0.0210), XFLR5'e göre
%8.6 düşük kaldırma ve %31.3 yüksek sürükleme tahmini üreterek, basit aerodinamik
problemlerde pratik ancak sınırlı bir çözüm sunduğunu kanıtlamıştır. XFLR5 panel metodu ise
viskoz etkileri ihmal etmesi nedeniyle gerçekçilikten uzak sonuçlar (𝐶𝐷 = 0.0160) üretmiş ve
yalnızca ön tasarım aşamalarında kullanılabileceğini göstermiştir.
Sonuçlar, türbülans modellerinin performansının fiziksel akış koşullarına ve hesaplama
kaynaklarına bağlı olduğunu vurgulamaktadır. Örneğin, SST k-ω, yüksek hücum açılarında
ayrışma ve stall tahmini gerektiren kompleks problemlerde tercih edilmeli, ancak ağ kalitesi ve
yakınsama kriterleri optimize edilmelidir. Spalart-Allmaras, düşük maliyetle makul doğruluk
sunması nedeniyle ön analizlerde kullanışlıdır, ancak sürükleme katsayısındaki belirsizlikler
dikkate alınmalıdır. RNG k-ε gibi modeller ise serbest akış veya yüksek Reynolds sayılı
endüstriyel uygulamalarla sınırlandırılmalıdır.
Bu çalışmanın bulguları, aerodinamik simülasyonlarda model seçimi-doğruluk-maliyet
üçlüsünün dengelenmesinin kritik önemini ortaya koymaktadır. Mühendisler, proje kısıtlarına
göre SST k-ω'nın yüksek doğruluğunu veya Spalart-Allmaras'ın hızlı çözüm süreçlerini tercih
edebilir. Ancak, özellikle sınır tabaka geçişleri ve ayrışma dinamiklerinin baskın olduğu
senaryolarda, hibrit modeller (DES, LES) veya yapay zeka tabanlı optimizasyonların
entegrasyonu, gelecek çalışmalar için önemli bir potansiyel taşımaktadır. Bu tür çalışmalar, hem
akademik literatüre hem de endüstriyel tasarım süreçlerine katkı sağlayarak daha verimli ve
güvenilir aerodinamik çözümlerin geliştirilmesine olanak tanıyacaktır.
Referanslar
Anderson, J. D. (2007). Fundamentals of aerodynamics (5th ed.). McGraw-Hill.
Versteeg, H. K., & Malalasekera, W. (2007). An introduction to computational fluid dynamics:
The finite volume method (2nd ed.). Pearson Education.
Menter, F. R. (1994). Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering
applications. AIAA Journal, 32(8), 1598–1605. https://doi.org/10.2514/3.12149
Roache, P. J. (1994). Perspective: A method for uniform reporting of grid refinement studies.
Journal of Fluids Engineering, 116(3), 405–413. https://doi.org/10.1115/1.2910291
Spalart, P. R., & Allmaras, S. R. (1994). A one-equation turbulence model for aerodynamic
flows. La Recherche Aérospatiale, 1, 5–21.
Ferziger, J. H., & Perić, M. (2012). Computational methods for fluid dynamics (4th ed.).
Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56026-2
Celik, I. B., Ghia, U., & Roache, P. J. (2008). Procedure for estimation and reporting of
uncertainty due to discretization in CFD applications. Journal of Fluids Engineering, 130(7),
078001. https://doi.org/10.1115/1.2960953
Ansys Inc. (2010). ANSYS Fluent theory guide.
Mehdi, A., Hussain, S., & Kim, M. H. (2017). Assessment of SST k–ω turbulence model for
aerodynamic analysis. International Journal of Engineering, 33(4), 523–531.
https://doi.org/10.5829/ije.2017.30.04a.01
Wang, L., Fu, S., & Zhang, Y. (2012). Comparative study of k-ε and SST k-ω turbulence
models for airfoil aerodynamics. Proceedings of the ASME Fluids Engineering Division Summer
Meeting, FEDSM2012-72115. https://doi.org/10.1115/FEDSM2012-72115
Cadence. (n.d.). Y-Plus wall treatment in CFD simulations. Retrieved October 10, 2023, from
https://www.cadence.com/en_US/home/tools/system-analysis/computational-fluid-dynamics/yplus.html
Erol, V., & Şumnu, A. (2023). Optimization of NACA 4412 airfoil using Taguchi method.
Developments in the Field of Engineering, 5(1), 13–30.
https://www.researchgate.net/publication/377296793_Optimization_of_NACA_4412_Airfoil_U
sing_Taguchi_Method
NASA Langley Research Center. (n.d.). NACA 4412 validation cases. Retrieved October 10,
2023, from https://turbmodels.larc.nasa.gov/naca4412sep_val.html
NASA Langley Research Center. (n.d.). NACA 4412 SST k-ω validation. Retrieved October
10, 2023, from https://turbmodels.larc.nasa.gov/naca4412sep_val_sst.html
NASA Langley Research Center. (n.d.). NACA 4412 Spalart-Allmaras validation. Retrieved
October 10, 2023, from https://turbmodels.larc.nasa.gov/naca4412sep_val_sa.html