Mavzu: Trigonometrik tengsizliklar o’qitish metodikasi.
Trigonometrik tengsizliklar - trigonometrik funktsiya belgisi ostida o'zgaruvchini o'z
ichiga olgan tengsizliklar.
Trigonometrik tengsizliklarni yechish
Trigonometrik tengsizliklarni yechish ko'pincha quyidagi ko'rinishdagi eng oddiy
trigonometrik tengsizliklarni echishga to'g'ri keladi: \(\ \sin xa \), \(\ \cos x > a \), \(\
\operatorname(tg) x > a \ ), \(\ \ operator nomi(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x
\leq a \), \(\ \operator nomi(tg) x \ leq a \), \ (\ \operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x
\geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname(tg) ) x \geq a \ ), \(\ \operator nomi(tg) x
\geq a \)
Eng oddiy trigonometrik tengsizliklar grafik yoki birlik trigonometrik aylana yordamida
yechiladi.
Ta'rifga ko'ra, \(\ \alfa \) burchakning sinusi birlik aylanasining \(\ P_(\alpha)(x, y) \)
nuqtasining ordinatasidir (1-rasm), kosinus esa bu nuqtaning abscissasi. Bu fakt
kosinus va sinus bilan eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni birlik doirasi yordamida
yechishda ishlatiladi.
Trigonometrik tengsizliklarni yechishga misollar
· Vazifa
Tengsizlikni yeching \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)
· Yechilgan
\(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| bo'lgani uchun bu tengsizlik yechimga ega va uni ikki usulda
yechish mumkin.
Birinchi yo'l. Keling, bu tengsizlikni grafik tarzda yechamiz. Buning uchun bir xil
koordinatalar tizimida sinus \(\ y=\sin x \) (2-rasm) va \(\ y=\frac(\sqrt(3))( to'g'ri chiziq)
grafigini tuzamiz. 2) \)
Sinusoid to'g'ri chiziq grafigidan pastda joylashgan intervallarni tanlaymiz \(\
y=\frac(\sqrt(3))(2) \) . Ushbu grafiklarning kesishish nuqtalarining \(\ x_(1) \) va \(\ x_(2) \)
abscissalarini toping: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3) ))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3)
x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Biz \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) oralig'ini oldik, lekin \(\ y=\sin x \)
funktsiyasidan beri davriy bo'lib, \(\ 2 \pi \) davriga ega bo'lsa, javob oraliqlar birligi bo'ladi:
\(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7) \pi)(3)+ 2 \pi k\o'ng] \), \(\ k \in Z \)
Ikkinchi yo'l. Birlik doira va chiziqni quring \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) , ularning kesishish
nuqtalarini \(\ P_(x_(1)) \) va \(\ P_(x_) belgilang. (2 )) \) (3-rasm). Asl tengsizlikning
yechimi \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) dan kichik bo'lgan ordinatalar to'plami bo'ladi. \(\
\boldsymbol(I)_(1) \) va \(\ \boldsymbol(I)_(2) \) qiymatini soat miliga teskari yo'nalishda
aylanib topamiz, \(\ x_(1) 3-rasm.
\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin
\frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
Sinus funksiyasining davriyligini hisobga olib, biz nihoyat \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ;
\frac(7 \pi)(3)+2 \ intervallarni olamiz. pi\o'ng] \), \(\k\in Z\)
· Javob\(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\o'ng] \), \(\ k \ Z ichida\)
· Vazifa
Tengsizlikni yeching \(\ \sin x>2 \)
· Yechim
Sinus chegaralangan funksiyadir: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , va bu tengsizlikning o'ng tomoni birdan
katta, shuning uchun yechimlar yo'q.
· Javob: Hech qanday yechim yo'q.
· Vazifa
Tengsizlikni yeching \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)
· Yechim
Bu tengsizlikni ikki usulda yechish mumkin: grafik va birlik doirasi yordamida. Keling,
usullarning har birini ko'rib chiqaylik.
Birinchi yo'l. Bitta koordinatalar sistemasida tengsizlikning chap va o'ng qismlarini
tavsiflovchi funksiyalarni tasvirlaymiz, ya'ni \(\ y=\cos x \) va \(\ y=\frac(1)(2) \) . \(\ y=\cos x
\) kosinus funksiya grafigi \(\ y=\frac(1)(2) \) toʻgʻri chiziq grafigi ustida joylashgan
oraliqlarni tanlaymiz (4-rasm). ).
\(\ \boldsymbol(x)_(1) \) va \(\ x_(2) \) nuqtalarining abstsissalarini toping - \(\ y=\cos x \
funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalari. ) va \(\ y=\frac (1)(2) \) , ular ko'rsatilgan
tengsizlik o'rinli bo'lgan intervallardan birining uchlaridir. \(\ x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)
Kosinus davriy funktsiya ekanligini hisobga olsak, davri \(\ 2 \pi \) , javob \(\ \left(\frac(\pi)(3) oraliqlaridan \(\ x \) qiymati hisoblanadi. )+2 \pi k; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\o'ng) \),
\(\ k \in Z \)
Ikkinchi yo'l. Keling, birlik aylana va to'g'ri chiziqni quramiz \(\ x=\frac(1)(2) \) (chunki x o'qi
birlik doiradagi kosinuslarga mos keladi). \(\ P_(x_(1)) \) va \(\ P_(x_(2)) \) (5-rasm) chiziq
va birlik doiraning kesishish nuqtalari bo'lsin. Asl tenglamaning yechimi \(\ \frac(1)(2) \) dan
kichik bo'lgan abscissa nuqtalari to'plami bo'ladi. \(\ x_(1) \) va \(\ 2 \) qiymatini toping, soat
sohasi farqli o'laroq sxemani yarating, shunda \(\ x_(1) Kosinusning davriyligini hisobga
olgan holda, biz nihoyat intervallarni olamiz \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k;\frac(\pi)(3)+2 \pi
k\right) \),\(\ k \in Z \)
· Javob: \(\ x \in\left(-\frac(\pi)(3)+2 \pi k; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\o'ng) \), \(\ k \in Z \)
· Vazifa
Tengsizlikni yeching \(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)
· Yechim
\(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) funksiyalarning grafiklarini bitta
koordinata tizimida tuzamiz.
\(\ y=\operatorname(ctg) x \) funksiya grafigi \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) to‘g‘ri chiziq grafigidan
yuqori bo‘lmagan oraliqlarni tanlaymiz. ) \) (6-rasm) .
\(\ x_(0) \) nuqtaning abssissasini toping, bu oraliqlardan birining oxiri \(\
x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac(\) sqrt(3))( 3)\o'ng)=\pi-\operator
nomi(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\o'ng)=\pi-\frac(\pi)(3) )=\frac(2 \pi)(3) \)
Bu bo'shliqning ikkinchi uchi \(\ \pi \) nuqtasi bo'lib, \(\ y=\operatorname(ctg) x \) funksiyasi
bu nuqtada aniqlanmagan. Shunday qilib, bu tengsizlikning yechimlaridan biri \(\ \frac(2
\pi)(3) \leq x intervalidir.
· Javob: \(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+\pi k; \pi+\pi k\o'ng) \), \(\ k \in Z \)
Murakkab argumentli trigonometrik tengsizliklar
Murakkab argumentli trigonometrik tengsizliklarni almashtirish yordamida eng oddiy
trigonometrik tengsizliklarga keltirish mumkin. Uni yechigach, teskari almashtirish amalga
oshiriladi va asl noma'lum ifodalanadi.
· Vazifa
Tengsizlikni yeching \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)
· Yechim
Ushbu tengsizlikning o'ng tomonidagi kosinusni ifodalang: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right)
\leq-\frac(1)(2) \)
Biz almashtirishni amalga oshiramiz \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , shundan so'ng bu tengsizlik eng
oddiy tengsizlikka aylantiriladi \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \ )
Keling, uni birlik doirasi yordamida hal qilaylik. Birlik aylana va chiziq quramiz \(\ x=\frac(1)(2) \) . Chiziq va birlik doiraning kesishish nuqtalari sifatida \(\ P_(1) \) va \(\ P_(2) \)
ni belgilaymiz (7-rasm).
Asl tengsizlikning yechimi eng ko'p \(\ -\frac(1)(2) \) bo'lgan abscissa nuqtalari to'plami
bo'ladi. \(\ P_(1) \) nuqtasi burchakka mos keladi \(\ 120^(\circ) \) , va nuqta \(\ P_(2) \) .
Shunday qilib, kosinus davrini hisobga olsak, biz \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq
240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \ ni olamiz. ), \(\ n \in Z \)
Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ)
\cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)
Biz \(\ \mathbf(x) \) ifodalaymiz, buning uchun birinchi navbatda \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot ayiriladi. n \leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \ n\in Z\); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq
140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)
va keyin 2 ga bo'ling \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq
\frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\ n \in Z \); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq
x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)
· Javob\(\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \), \ (\
x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \)
Ikki tomonlama trigonometrik tengsizliklar
· Vazifa
Ikki trigonometrik tengsizlikni yeching \(\ \frac(1)(2)
· Yechim
\(\ t=\frac(x)(2) \) o'rnini kiritamiz, keyin asl tengsizlik \(\ \frac(1)(2) ko'rinishini oladi.
Keling, uni birlik doirasi yordamida hal qilaylik. Ordinata o'qi birlik aylanasidagi sinusga
to'g'ri kelganligi sababli, biz uning ustida \(\ x=\frac(1)(2) \) dan katta va \(\ dan kichik yoki
teng bo'lgan ordinatalar to'plamini tanlaymiz. \frac(\sqrt(2))(2 ) \) . 8-rasmda bu nuqtalar \(\
P_(t_(1)) \), \(\ P_(t_(2)) \) va \(\ P_(t_(3)) \) yoylarida joylashgan bo'ladi. , \( \ P_(t_(4)) \) .
Keling, qiymatni topamiz \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) , soat miliga teskari
yoʻnalishda aylanib, va \ (\ t_(1) \(\ t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi\frac(\pi)(4)=\frac(3) \ pi)(4) \); \(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi) )
(6)\)
Shunday qilib, biz ikkita intervalni olamiz, ular sinus funksiyaning davriyligini hisobga olgan
holda, quyidagi tarzda yozilishi mumkin \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k
\quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \) , \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k
Express \(\ \mathbf( x) \), buning uchun ikkala tengsizlikning barcha tomonlarini 2 ga
ko'paytiramiz, \(\ \frac ni olamiz. (\pi)(3)+4 \pi k \leq x
· Javob\(\ x \in\left(\frac(\pi)(3)+4 \pi k; \frac(\pi)(2)+4 \pi k\right] \kupa\left[\frac( 3
\pi)(2)+4 \pi k ; \frac(5 \pi)(3)+4 \pi k\o'ng) \), \(\ k \in Z \)
TRIGONOMETRIK TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI
Muvofiqlik. Tarixan trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar maktab o‘quv dasturida
alohida o‘rin tutgan. Aytishimiz mumkinki, trigonometriya maktab kursining va
umuman butun matematika fanining eng muhim bo'limlaridan biridir.
Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar o'rta maktab matematika kursida o'quv
materialining mazmuni va ularni o'rganish jarayonida shakllantirilishi mumkin bo'lgan
va yaratilishi kerak bo'lgan o'quv va kognitiv faoliyat usullari bo'yicha markaziy
o'rinlardan birini egallaydi. nazariy va amaliy xarakterdagi muammolar soni.
Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechish o‘quvchilarning trigonometriya
bo‘yicha barcha o‘quv materialiga (masalan, trigonometrik funksiyalarning xossalari,
trigonometrik ifodalarni o‘zgartirish usullari va boshqalar) oid bilimlarini tizimlashtirish
uchun zarur shart-sharoitlarni yaratadi va ular bilan samarali aloqalarni o‘rnatish
imkonini beradi. algebra fanidan o‘rganilayotgan material (tenglamalar, tenglamalar
ekvivalentligi, tengsizliklar, algebraik ifodalarni bir xil o‘zgartirishlar va boshqalar).
Boshqacha qilib aytganda, trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechish
usullarini ko'rib chiqish ushbu ko'nikmalarni yangi mazmunga o'tkazishni o'z ichiga
oladi.
Nazariyaning ahamiyati va uning ko'plab qo'llanilishi tanlangan mavzuning
dolzarbligidan dalolat beradi. Bu, o'z navbatida, kurs ishining maqsadi, vazifalari va
tadqiqot mavzusini aniqlash imkonini beradi.
Tadqiqot maqsadi: trigonometrik tengsizliklarning mavjud turlarini, ularni yechishning
asosiy va maxsus usullarini umumlashtirish, maktab o‘quvchilari tomonidan
trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun topshiriqlar to‘plamini tanlash.
Tadqiqot maqsadlari:
1. Tadqiqot mavzusi bo'yicha mavjud adabiyotlarni tahlil qilish asosida materialni
tizimlashtirish.
2. “Trigonometrik tengsizliklar” mavzusini mustahkamlash uchun zarur bo`lgan
topshiriqlar to`plamini bering.
O'rganish ob'ekti maktab matematika kursidagi trigonometrik tengsizliklardir.
O'rganish mavzusi: trigonometrik tengsizliklar turlari va ularni yechish usullari.
Nazariy ahamiyati materialni tartibga solishdan iborat.
Amaliy ahamiyati: nazariy bilimlarni masalalar yechishda qo‘llash; trigonometrik
tengsizliklarni yechishning asosiy tez-tez uchraydigan usullarini tahlil qilish.
Tadqiqot usullari Kalit so'zlar: ilmiy adabiyotlarni tahlil qilish, olingan bilimlarni sintez
qilish va umumlashtirish, vazifalarni hal qilish tahlili, tengsizliklarni yechishning
optimal usullarini izlash.
§bir. Trigonometrik tengsizliklar turlari va ularni yechishning asosiy usullari
1.1. Eng oddiy trigonometrik tengsizliklar
yoki > belgisi bilan bogʻlangan ikkita trigonometrik ifoda trigonometrik tengsizliklar
deyiladi.
Trigonometrik tengsizlikni yechish deganda tengsizlikka kiritilgan noma'lumlar
qiymatlari to'plamini topish tushuniladi, bunda tengsizlik qondiriladi.
Trigonometrik tengsizliklarning asosiy qismi ularni eng oddiylarini yechishgacha
kamaytirish orqali yechiladi:
Bu faktorizatsiya, o'zgaruvchini o'zgartirish usuli bo'lishi mumkin (
,
va hokazo), bu erda birinchi navbatda odatiy tengsizlik, keyin esa shaklning
tengsizligi hal qilinadi
va boshqalar yoki boshqa usullar.
Eng oddiy tengsizliklar ikki usulda yechiladi: birlik doirasi yordamida yoki grafik.
Bo'lsinf(x ) asosiy trigonometrik funksiyalardan biridir. Tengsizlikni yechish uchun
uning yechimini bir davrda topish kifoya, ya'ni. uzunligi funksiya davriga teng bo'lgan
har qanday segmentdaf ( x ) . Shunda asl tengsizlikning yechimi topiladix ,
shuningdek, funktsiya davrlarining har qanday butun soni bilan topilganlardan farq
qiladigan qiymatlar. Bunda grafik usuldan foydalanish qulay.
Tengsizliklarni yechish algoritmiga misol keltiramiz
(
)
Va
.
Tengsizlikni yechish algoritmi
(
).
1. Sonning sinus ta’rifini tuzingx birlik aylanasida.
3. Y o'qida koordinatali nuqtani belgilanga .
4. Shu nuqta orqali OX o'qiga parallel chiziq chizamiz va uning aylana bilan
kesishgan nuqtalarini belgilaymiz.
5. Barcha nuqtalari ordinatasidan kichik bo'lgan aylana yoyini tanlanga .
6. Aylanib o‘tish yo‘nalishini belgilang (soat miliga teskari) va oraliq uchlariga
funksiya davrini qo‘shib javobni yozing.2p ,
.
Tengsizlikni yechish algoritmi
.
1. Son tangensining ta’rifini tuzingx birlik aylanasida.
2. Birlik doirasini chizing.
3. Tangenslar chizig'ini chizing va uning ustidagi nuqtani ordinata bilan belgilanga .
4. Bu nuqtani koordinata boshiga ulang va hosil bo'lgan segmentning birlik doirasi
bilan kesishgan nuqtasini belgilang.
5. Doira yoyini tanlang, uning barcha nuqtalari tangens chiziqda ordinatasidan kichik
bo'ladi.a .
6. O'tish yo'nalishini ko'rsating va javobni funktsiya doirasini hisobga olgan holda,
nuqta qo'shib yozing.pn ,
(yozuvning chap tomonidagi raqam har doim o'ng tarafdagi raqamdan kamroq).
Eng oddiy tenglamalar yechimlarining grafik talqini va tengsizliklarni umumiy shaklda
yechish formulalari ilovada (1 va 2-ilovalar) keltirilgan.
1-misol Tengsizlikni yeching
.
Birlik doirasiga chiziq chizing
, u aylanani A va B nuqtalarda kesib o'tadi.
Barcha qadriyatlary NM oralig'ida ko'proq , AMB yoyining barcha nuqtalari bu
tengsizlikni qanoatlantiradi. Barcha aylanish burchaklarida, katta
kichikroq
,
, lekin
dan kattaroq qiymatlarni qabul qiladi (lekin bittadan ortiq emas).
1-rasm
Shunday qilib, tengsizlikning yechimi intervaldagi barcha qiymatlar bo'ladi
,
ya'ni.
.
Ushbu tengsizlikning barcha yechimlarini olish uchun ushbu intervalning uchlarini
qo'shish kifoya
,
qayerda
,
ya'ni.
,
.
E'tibor bering, qiymatlar
Va
tenglamaning ildizlaridir
,
bular.
;
.
Javob:
,
.
1.2. Grafik usul
Amalda trigonometrik tengsizliklarni echishning grafik usuli ko'pincha foydalidir.
Tengsizlik misolida usulning mohiyatini ko'rib chiqing
:
1. Agar argument murakkab bo'lsa (dan farqliX ), keyin uni bilan almashtiramizt .
2. Biz bitta koordinatali tekislikda quramiztoOy funksiya grafiklari
Va
.
3. Biz shunday topamizgrafiklarning kesishishning ikkita qo'shni nuqtasi, ular
orasidasinusoidjoylashganyuqorida Streyt
.
Bu nuqtalarning abssissalarini toping.
4. Argument uchun qo‘sh tengsizlikni yozingt , kosinus davrini hisobga olgan holda
(t topilgan abscissalar orasida bo'ladi).
5. Teskari almashtirishni bajaring (asl argumentga qayting) va qiymatni
ifodalangX qo'sh tengsizlikdan javobni son oralig'i sifatida yozamiz.
2-misol Tengsizlikni yeching: .
Tengsizliklarni grafik usulda yechishda funksiyalar grafiklarini iloji boricha aniq qurish
kerak. Tengsizlikni quyidagi shaklga aylantiramiz:
Bitta koordinata tizimidagi funksiyalar grafiklarini tuzamiz
Va
(2-rasm).
2-rasm
Funktsiya grafiklari bir nuqtada kesishadiLEKIN koordinatalari bilan
;
.
Orasida
grafik nuqtalari
diagramma nuqtalari ostida
.
Va qachon
funktsiya qiymatlari bir xil. Shunung uchun
da
.
Javob:
.
1.3. Algebraik usul
Ko'pincha, dastlabki trigonometrik tengsizlik, to'g'ri tanlangan almashtirish orqali
algebraik (ratsional yoki irratsional) tengsizlikka tushirilishi mumkin. Bu usul
tengsizlikni o'zgartirish, almashtirishni kiritish yoki o'zgaruvchini almashtirishni o'z
ichiga oladi.
Keling, ushbu usulning qo'llanilishini aniq misollarda ko'rib chiqaylik.
3-misol Eng oddiy shaklga qisqartirish
.
(3-rasm)
3-rasm
,
.
Trigonometrik funksiyalar
Trigonometrik funksiyalar — funksiyalarning muhim sinflaridan biri.
Trigonometrik funksiyalarlar nazariyasining asosiy masalalaridan
xisoblanadi. Trigonometrik funksiyalar nazariyasining baʼzi muhim
natijalari: 1. Oʻlchovli va deyarli xamma yerda chekli f (x) funksiya
uchun f (x) ga deyarli hamma yerda yaqinlashuvchi Trigonometrik
funksiyalar [[mavjud. 2. Furye qatori xamma yerda uzoqlashadigan
integrallanuvchi funksiyalar [[mavjud. 3. Har bir oʻlchovli f (x) funksiya
uchun f (x) ga oʻlchov boʻyicha yaqinlashuvchi Trigonometrik
funksiyalar [[mavjud. Trigonometrik funksiyalar sonlar nazariyasi
("Trigonometrik yigʻindilar usuli")da va matematik fizika tenglamalarida
keng tatbiqlarga ega ("Furye usuli"). Trigonometrik funksiyalar birinchi
marta L. 5mler ishlarida uchraydi. Lebeg intefali kiritilgandan soʻng
Trigonometrik funksiyalarlarning hozirgi qat'iy nazariyasi yaratildi.
Teskari trigonometrik funksiyalar — arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx,
arcseox, arccosex x funksiyalar. Teskari trigonometrik funksiyalar f.ning
xossalari maktab matematika kursida oʻrganiladi.
Trigonometriya (yunonchadan "trigon" - uchburchak, "metrezis" o'lchash so'zlaridan olingan bo'lib, o'zbek tiliga "uchburchaklarni
o'chash" deya tarjima qilinadi) - matematikaning asosiy bo'limlaridan
biri hisoblanib, uchburchak tomonlari va burchaklari orasidagi
bog'lanishlar, trigonometrik funksiyalarning xossalari va ular o'rtasidagi
bog'lanishlarni o'rganadi.
Hindistonliklar ilk marta trigonometrik funksiyalar qiymatlari jadvalini
kashf qilganlar. Shumer astronomlari aylanalarni 360 gradusga bo'lish
orqali burchak o'lchovini o'rganishdi[1]. Ular va keyinchalik bobilliklar
o'xshash uchburchaklar tomonlari nisbatlarini o'rgandilar va bu
nisbatlarning ba'zi xususiyatlarini kashf etdilar, lekin buni
uchburchaklarning tomonlari va burchaklarini topishning tizimli usuliga
aylantirmadilar.Qadimgi nubiyaliklar ham xuddi shunday usuldan
foydalanganlar[2]. Miloddan avvalgi III asrda Yevklid va Arximed kabi
yunon matematiklari akkordlar va aylanalarga chizilgan burchaklarning
xossalarini oʻrganib, zamonaviy trigonometrik formulalarga ekvivalent
boʻlgan teoremalarni isbotladilar, garchi ular ushbu formulalarnini
algebraik jihatdan emas, balki geometrik jihatdan isbot qilgan boʻlsalar
ham. Miloddan avvalgi 140-yilda Gipparx (Nikea, Kichik Osiyo)
zamonaviy sinus qiymatlari jadvallariga oʻxshash akkordlarning birinchi
jadvallarini bergan va ulardan trigonometriya va sferik trigonometriya
masalalarini yechishda foydalangan[3]. Milodiy II asrda yunon-misr
astronomi Ptolomey (Misrning Iskandariya shahridan) oʻzining
“Almagest” asarining 1-kitobi, 11-bobida batafsil trigonometrik
jadvallarni (Ptolemeyning akkordlar jadvali) tuzgan[4]. Ptolemey
o'zining trigonometrik funksiyalarini aniqlash uchun akkord uzunligidan
foydalangan, bu biz ishlatadigan sinus funksiyasidan ozgina farq qiladi.
Biz sin(α) deb ataydigan qiymatning akkord uzunligini Ptolemey
jadvalidagi kerakli burchak qiymati ikki barobarini (2α) aniqlash va
keyin bu qiymatni ikkiga bo'lish orqali topish mumkin. Batafsilroq
jadvallar yaratilgunga qadar asrlar o'tdi va Ptolemeyning risolasi keyingi
1200 yil davomida O'rta asr Vizantiyasi, Islom va keyinchalik G'arbiy
Yevropa dunyolarida astronomiyada trigonometrik hisoblarni amalga
oshirish uchun ishlatilgan. Zamonaviy sinus funksiyasi birinchi marta
Surya Siddxantada uchragan va uning xususiyatlarini V asrda (milodiy)
hind matematiki va astronomi Aryabhata hujjatlashtirgan[5][6]. Bu
yunon va hind asarlari oʻrta asr islom matematiklari tomonidan tarjima
qilingan va kengaytirilgan.
X asrga kelib islom matematiklari barcha oltita trigonometrik
funksiyadan foydalanib, ularning qiymatlarini jadvalga kiritib, sferik
geometriya masalalariga qoʻllaganlar. Fors olimi Nosiriddin at-Tusiy
trigonometriyaning oʻziga xos matematik fan sifatida yaratuvchisi
sifatida taʼriflangan[7]. U birinchi bo'lib trigonometriyani
astronomiyadan mustaqil matematik fan sifatida ko'rib chiqdi va sferik
trigonometriyani hozirgi shaklga keltirdi. U sferik trigonometriyada
to‘g‘ri burchakli uchburchakning oltita aniq holatlarini sanab o‘tdi va
o‘zining “Sektor rasmi to‘g‘risida” asarida tekislik va sferik
uchburchaklar uchun sinuslar qonunini bayon qildi, sferik uchburchaklar
uchun tangenslar qonunini ochdi va ikkalasiga ham isbotlar keltirdi.
Trigonometrik funksiyalar va usullar haqidagi bilimlar G'arbiy
Yevropaga Ptolemeyning yunoncha "Almagest" asarining lotincha
tarjimalari, shuningdek, Al Battani va Nosiriddin at-Tusiy kabi fors va
arab astronomlarining asarlari orqali yetib bordi. Shimoliy
yevropaliklarning matematikada trigonometriyaga oid eng qadimgi
asarlaridan biri bu XV asr nemis matematigi Regiomontanusning "De
Triangulis" asari boʻlgan. Shu bilan birga, Almagestning yunon tilidan
lotin tiliga yana bir tarjimasi Jorj Trebizond tomonidan yakunlandi. XVI
asrda Shimoliy Yevropada trigonometriya hali ham kam miqdorda
ma'lum edi.
Navigatsiya talablari va yirik geografik hududlarning aniq xaritalariga
ortib borayotgan ehtiyoj tufayli trigonometriya matematikaning asosiy
sohasiga aylandi. Trigonometriya so'zi ilk bor Bartholomeush
Pitiushning 1595-yilda chop etilgan "Trigonometriya" asarida uchragan.
Kompleks sonlarni trigonometriyaga to‘liq kiritgan shved olimi Leonard
Eyler edi. Shotland matematiklari Jeyms Gregori(XVII asr) va Kolin
Maklaurin(XVIII asr)ning ishlari trigonometrik qatorlarning
rivojlanishiga taʼsir koʻrsatdi. Yana, XVIII asrda Bruk Teylorning
Teylor seriyalari yaralgan.
Quyida 4 ta trigonometrik funksiyalar uchun grafiklar keltirib o'tilgan.
Trigonometrik funksiyalar radiusi 1 bo'lgan birlik aylana orqali
ifodalanishi ham mumkin. Birlik aylana markazi A(0;0) nuqta bo'lsin va
birlik aylanada B(x;y) nuqta olingan bo'lsin (ma'lumki AB = 1). ABC
to'g'ri burchakli uchburchakda (bunda AB - gipotenuza,) AC = cosA va
BC = sinA. Demak, x=cosA va y=sinA.
Pastda ayrim trigonometrik funksiyalar uchun qiymatlar jadvali berilgan.
Bu darsda trigonometrik funktsiyalarning integrallarini ko'rib chiqamiz,
ya'ni integrallarning to'ldirilishi har xil birikmalarda sinuslar, kosinuslar,
tangenslar va kotangentlar bo'ladi. Barcha misollar batafsil tahlil
qilinadi, hatto choynak uchun ham tushunarli va tushunarli bo'ladi.
Trigonometrik funktsiyalarning integrallarini muvaffaqiyatli o'rganish
uchun siz eng oddiy integrallarni yaxshi bilishingiz, shuningdek, ba'zi
integratsiya usullarini o'zlashtirishingiz kerak. Ushbu materiallar bilan
ma'ruzalarda tanishishingiz mumkin. Noaniq integral. Yechim misollari
Va .
Va endi bizga kerak: Integrallar jadvali, Hosiliy jadval va Trigonometrik
formulalar bo'yicha ma'lumotnoma. Barcha qo'llanmalarni sahifada
topish mumkin Matematik formulalar va jadvallar. Men hamma narsani
chop etishni tavsiya qilaman. Men ayniqsa trigonometrik formulalarga
e'tibor qarataman, ular sizning ko'zingiz oldida bo'lishi kerak- busiz ish
samaradorligi sezilarli darajada pasayadi.
Lekin birinchi navbatda, ushbu maqolada qaysi integrallar haqida Yo'q.
Bu erda shaklning integrallari yo'q, - kosinus, sinus ba'zi bir polinomga
ko'paytiriladi (kamroq, tangens yoki kotangensli narsa). Bunday
integrallar qismlar bo'yicha integrallanadi va usulni o'rganish uchun
qismlar bo'yicha integratsiya darsiga tashrif buyuring. Yechimlarga
misollar.Shuningdek, "arklar" bilan integrallar yo'q - yoy tangensi, yoy
sinusi va boshqalar, ular ham ko'pincha qismlar bilan integrallanadi.
Trigonometrik funktsiyalarning integrallarini topishda bir qator usullar
qo'llaniladi:
(4) Jadval formulasidan foydalaning , yagona farq shundaki, "x" o'rniga
bizda murakkab ifoda mavjud.
2-misol
3-misol
Noaniq integralni toping.
Turnir jadvalida g'arq bo'lganlar uchun janr klassikasi. Siz sezgan
bo'lsangiz kerak, integrallar jadvalida tangens va kotangensning integrali
yo'q, ammo shunga qaramay, bunday integrallarni topish mumkin.
(1) Biz trigonometrik formuladan foydalanamiz
(2) Funksiyani differentsial belgisi ostida keltiramiz.
(3) Jadvalli integraldan foydalaning .
MAVZU: ZAMONAVIY UMUMIY O’RTA TA’LIM
MAKTABLARIDA TESKARI TRIGONOMETRIK
FUNKSIYALARNI O’QITISH METODIKASI
Anotatsiya:
Maqolada
umumiy
o’rta
ta’lim
maktablarida
trigonomeriya bo’limini o’qitishdagi muommolar, trigonometriya bo’limini
o’rganishda teskari trigonometrik
teskari
funksiyalar
mavzusining
ahamiyati,
trigonometrik funksiyalar mavzusini o’qitishda o’qituvchilarga
metodik tavsiyalar va unga doir masalalar yechimi ko’rsatilgan.
Kalit
so’zlar:
Teskari
arksinus, arkkosinus,
trigonometrik
arktangens,
trigonometrik funksiyaning
arkkotangens
hossalari,
kursida
Arkfunksiyalar:
funksiyalar,
teskari
teskari trigonometrik
funksiyalar
Trigonometriya
funksiyalar,
qatnashgan
trigonometrik
funksiyalarni
tenglamalar.
o'rganish
alohida
ahamiyatga ega. "Teskari trigonometrik funksiyalar" mavzusi metodologik
nuqtai
nazardan
eng qiyin mavzulardan biri hisoblanadi. Afsuski, maktab
o'quv darsliklarida ushbu mavzuga tegishlicha e'tibor berilmagan. Masalan,
amaldagi 10 sinf “Algebra va analiz asoslari II qism” darsligida faqat arksin,
arkkosin, arktangens ta'riflari va ushbu ta'riflarni qo'llash uchun eng oddiy
mashqlar
berilgan.
"Teskari
trigonometrik
funksiyalar"
atamasi
kiritilmagan.
Shubhasiz,
arkfunksiyalari
tushunchalari
va
ularning
xususiyatlari
trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar yechimining mohiyatini tushunishda
muhim rol o'ynaydi.
Umumiy
o’rta
ta’lim
maktab
o’quvchilari
teskari
trigonometrik
funksiyalarnin yechishda qiyinchiliklarga duch kelishadi.
Umiy o’rta ta’lim o’quvchilarining matematika fanini o’zlashtirish
darajasini aniqlash maqsadida o’tkazilgan yozma ish natijalari L.M.Bronnikova,
I.V. Kiselnikov, O.A.Tishchenkolar tomonidan o’rganib chiqildi, ularning
asosiy maqsadi ko’p sonli o’quvchilarning topshiriqlarni bajarishdagi yo’l
qo’ygan asosiy xatoliklarini tahlil qilishdan iborat edi. Bu o’rganishlardan
etiborimizni teskari trigonometrik funksiyalarga doir amallarni bajarishda
o’quvchilar yo’l qo’ygan xatolarga qaratamiz.
Yozma ishning 15-topshirig’i quyidagicha
6 2 + 5√2 sin + 2 = 0
a)Tenglamani yeching, b)Tenglamani [ ; 5 ] kesmadagi yechimlarini
2
ko’rsating.
Ushbu topshiriqni ikkala qismini ham to’g’ri bajargan o’quvchilar umumiy
o’quvchilarning 19,27 % ni, Faqat bitta qismini to’g’ri bajargan yoki tenglamani
yechishning oxirgi bosqichida hisoblashda xatolikka yo’l qo’ygan o’quvchilar
esa umumiy o’quvchilarning 8,9 % ni, topshiriqni noto’g’ri yechganlar 25,93 %
ni, umuman bajarmagan o’quvchilar esa 45,9 % ni tashkil qiladi.
Tenglamani yechishda ko’p sonli o’quvchilar bir xil xatolikka yo’l
qo’yganligi kuzatilgan. O’quvchilar topshiriqni bajarishda arkfunksiyalarning
qiymatlarini
noto'g'ri
hisoblashgan
yoki
arkfunksiyalarning
manfiy
argumentdagi qiymatini topa olmaganlar. Ushbu xatolar, tenglamaning ildizlari
noto'g'ri ko'rsatilganligiga olib keladi, natijada masalaning birinchi bandi
bajarilmaydi.
Masalan: sin = − 1
yechishda:
ko’rinishidagi sodda trigonometrik tenglamani
2
−
(− 1 ) ning qiymatini
emas −
ga teng deb
6
2
3
hisoblashgan.
Bundan tashqari
a
a
a
a deb hisoblashadi. Bunga sabab y
juftigidan y
emas
x funksiya
x funksiya ham juft deb hisoblashlari bo’lishi mumkin.
O'qituvchilar uchun muammo: Bunday vaziyatda nima qilish kerak?
Maktab o'quvchilari tomonidan materialni yaxshi o'zlashtirishi va oliy
o’quv yurtlariga kirish imtihonlarida mavzuga
doir masalalarni to’g’ri
yechishlari uchun o'qituvchilar "teskarilanuvchanlik" va "teskari trigonometrik
funksiyalar" tushunchalari bilan bog'liq qo'shimcha soatlarni o'tkazishlari kerak.
Ushbu qo'shimcha materialni o'rganishning asosiy uchta nuqtasiga to'xtalamiz:
1) Teskari funksiya yordamida arkfunksiyalar ta'riflarini kiritish;
2) = sin ([−
; ]) , = cos ( [0; ]), =
2 2
=
(
(−
; )),
2 2
((0; ))funksiyalarning xossalariga asoslanib y = arcsin x, y
= arccos x, y = arctan x, y = arcctg x funksiyalarining xususiyatlarini analitik
ravishda hosil qilish;
3)quyidagi mavzularni ko'rib chiqish: "Trigonometrik funksiyalarni teskari
trigonometrik
funksiyalar
orqali
ifodalash",
"Arkfunksiyalar
qatnashgan
ifodalarni soddalashtirish", "Ayniyatni isbotlash", "Arkfunksiyalar qiymatlarini
trigonometrik funksiyalar qiymatlaridan hisoblash", "Teskari trigonometrik
funksiyalarni teskari trigonometrik funksiyalar bo'yicha ifodalash", "Teskari
trigonometrik
funksiyalar
qatnashgan
tenglamalarni
yechish",
"Teskari
trigonometrik funksiyalar qatnashgan tengsizliklarni yechish".
Teskari trigonometrik funksiyalar mavzusida o’quvchilar bilan birgalikda
dars mashg’ulotlarida quyidagi mashqlarni bajarishni tavsiya etish mumkin.
I.Teskari trigonometrik funksiyaning xossalariga doir mashqlar:
= arcsin(3 − 4) funksiyaning aniqlanish sohasini toping
Yechish: arksinus funksiyasi [−1; 1] kesmada aniqlanadi, shuning uchun
funksiya aniqlanish sohasini topish uchun −1 ≤ 3 − 4 ≤ 1 tengsizlikni
yechish kifoya
Javob: [1; 5 ]
3
(3√2+
9
2. =
−
4√2
) funksiyaning qiymatlar sohasini toping
Yechish:Yig’indini ko’paytmaga keltirish formulasidan foydalanamiz:
−
=
−
(
− )=2
( − ) = √2( −
)
4
2
4
4
Sinus funksiyaning qiymatlar sohasi [−1; 1] kesma. Demak √2( −
) funksiyaning qiymatlar sohasi (−√2) dan (√2)gacha. Bundan (3√2 +
4
−
)
funksiyaning
qiymatlar
sohasi
(2√2)
dan
(4√2)
gacha
qiymatlarni qabul qiladi.
= 3√2+
−
4 √2
qiymatlarda
arccos [0;
kasr 0,5 va 1 oraliqda qiymatlarni qabul qiladi. Bu
0,5 =
va
3
] . Bu yerda ( ) = (9
3
Javob: [0; 3]
1 = 0,
demak
arccos ) = [0; 3]
[0,5; 1]
da
II. Ifodani qiymatini hisoblashga doir mashqlar.
Ifoda qiymatini hisoblashda trigonometriya formulalaridan foydalaniladi.
3. sin(200 arcsin(−0,5)) ni qiymatinnni aniqlang.
Yechish: arcsin 0,5 =
6, shunda
sin(200 arcsin(−0,5)) = −
=
200 ) = −
( 6
√3
2
Javob: √3
2
4. (
(− 1
) − ) ni hisoblang.
3
)− )=
( −
1
3
(34 − 2
3
2
)=
3
=
3
(− 1
Yechish: (
3
(−
1
) = −(
1
3
Javob: − √2
4
5.Ifodani hisoblang:
Yechish: =
2+
=(
2+
2+
3) =
− )=
)=−
3
1
3√1−19
=− 1
√2
2
2√ = −
4
3
3 belgilash kiritib olamiz.
(
1−(
2) + (
2) ∙ (
3)
=
3)
2+3
1−2∙3
= −1
= −1 dan
ni qiymatini topib olamiz.ushbu qiymat aniq bo'lishi
ning o'zgarish chegaralarini ko'rsatish kerak.
uchun
4
<
2<
2
va <
3<
4
2
<
, bundan
2+
3< ,
2
demak,
2
<
3 < , bundan = 3
2+
Javob: = 3
4
4
III.Teskari trigonometrik funksiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni
yechish.
Arkfunksiyalarini o'z ichiga olgan tenglamalarni yechishda, tenglamalarni
yechishning umumiy usullari, xususan, ma'lum bir algebraik tenglamaga olib
keladigan o'zgaruvchilarni almashtirish usuli qo'llaniladi, shuning uchun
o'quvchilar bilan algebraik tenglamalarni yechishning bilim va ko'nikmalarni
umumlashtirish va tizimlashtirish bo'yicha dastlabki ishlar olib boriladi.
6. 2
2
=
−7
+ 3 = 0 tenglamani yeching.
deb belgilash kiritib 2 2 − 7 + 3 = 0. Bunda tenglamaning
ildizlari
1 = 3
chunki, −
2 =
2
≤
1
2
ga teng.
≤
2
1
= 3 tenglamaning yechimi bo’l olmaydi
yordamida yechib = sin 1
2
Javob:sin 1
2
tenglamani mikrokalkulyator
=1
.
2
≈ 0,4794 ekanligini anqlaymiz.
O’quvchilarning trigonometrik tenglama va tengsizliklarni to’g’ri va aniq
yechishiga faqatgina ularga teskari trigonometrik funktsiyalar xususiyatlarini
ifodalovchi ma'lum miqdordagi to'g'ri tanlangan misollar yechimini o’rgatish
bilangina erishiladi. Teskari trigonometrik funktsiyalar mavzusida maqsadli
o'qitish,
nostandart
masalani
yechish
bilan
bog'liq
faoliyatining
ba'zi
xususiyatlarini aniqlab, o'quvchilarning matematika faniga bo'lgan qiziqishini
uyg'otishi va matematika faniga bo’lgan muhabbatini kuchaytirishi mumkin.
Mavzu: Trigonometrik tengsizliklar
Reja:
• Cosx>a Tengsizlik
• Sinx >a Tengsizlik
• Tg x > a Tengsizlik
• Ctgx > a Tengsizlik
• Trigonometrik tengsizliklarni yechishning
ayrim usullari.
Cos>a Tengsizlik.
y=cosx davri 2π ga teng bo’lgan funksiya
bo’lgani
uchun cosx>a
tengsizlikning
tengsizlikni
uzunligi
2п gat
eng
biror
kesmada
yechish
kifoya.cosx>a
barcha yechimlari esa topilgan bu yechimlarga 2πn, n=0< ±1 …sonlarini qo’shish bilan
hosil qilinadi.Odatda, y=cosx funksiya uchun uzunligi 2π bo’lgan(-π;π) kesma asosiy kesma deb olinadi.
1-masala .cosx> tengsizlikni yeching.
y=cosx funksiyaning (-π;π) kesmadagi grafigini
qaraylik va unda y= to’g’ri chiziq o’tkazaylik
(rasmga qaralsin). y=1/2 to’g’ri chiziq y=cosx x
funksiya grafigini absissalari x1=-
x2=
bo’lgan
A va B nuqtalarda kesib o’tadi, x E(-;π) kesmadagi
yechimlari – <x<
tengsizliklar bilan
ifodalanishi quyidagi rasmdan ravshan ko’rinib
turibdi.
U holda cosx> tengsizlikning barcha yechimlari
- +2πn <x<+2πn,.n -Е Zbo’ladi.
Javob:-+2πn <x<+2πn.
-
• M1 nuqta P(1;0) nuqtani – burchakka va
shuningdek ,- +2n(n=1,2…)
• burchaklarga burishdan hosil bo’ladi.
•
Birlik aylana yoyining M1 vaM2
to’g ’richiziqdan o’ngda yotuvchi barcha M
nuqtalari dan katta absissaga ega bo’ladi.
Shunday qilib ,cos> tengsizlikning yechimi <x< oraliqdagi barcha x sonlaridir.
•
Berilgan tengsizlikni barcha yechimlari esa •
- +2πn<x< +2πn, n E Z.
• oraliqlar to’plamidan iborat.
www.arxiv.uz
• Sinx >a Tengsizlik
•
y=sinx funksiya ham y=cosx funksiya kabi 2п
davrli trigonometrik funksiyadir.
• Shuning uchun sin x>a tengsizlikni uzunligi 2п
bo’lgan kesmada yechish kifoya.
• Sin x >a tengsizlikning barcha yechimlari esa
topilgan yechimlarga
• 2пn, n=0,
qilinadi.
sonlarni qo’shish bilan hosil
• Masala: Sinx >
tengsizlikni yeching.
y=sinx va y= funksiyalar grfiklarini bitta kordinatalar
•
sistemasida chizamiz
• (rasmga qaralsin).
• Berilgan tengsizlikning yechimini , avvaliga uzunligi 2π
gat eng (-π;π) kesmada topib olamiz.Bu kesmada sin x=
tenglama ikkita ildizga ega:
va
•
•
Rasmdan sin x > tengsizlikning (-π;π) kesmadagi
yechimlari (
oraliqda yotuvchi barcha sonlar
ekanligi ravshan, y=sinx 2π davrli funksiya bo’lgani
uchun
• sin x > tengsizlikning barcha yechimlari
•
Z.
• oraliqlardan olingan barcha x sonlardan iborat bo’ladi.
• Javob:
+2πn, n E Z
• Tg x > a Tengsizlik.
• y=tg x π davrli trigonometrik funsiya bo’lgani
uchun tg x > a tengsizlikning
• barcha yechimlarini uzunligi π ga teng bo’lgan
biror oraliqda
• toppish kifoya, chunki boshqa hamma
yechimlar topilgan yechimlarga
• πn, n=0,±1…. sonlarni qo’shish bilan hosil
qilinadi.
• Odatda , y=tg x funksiya uchun uzunligi π
bo’lgan • deb olinadi.
oraliq asosiy oraliq
• Masala: tg x > 1 tengsizlikni yeching.
• y=tg x va y=1 funksiyalar grafiklarini bitta koordinatalar
sistemasida qaraylik (rasmga qaralsin).
• Uzunligi π ga teng bo’lgan – oraliqda tg x=1 tenglama
bitta x=
• ildizga ega.
• Rasmdan tg x> 1 tengsizlikning -
; oraliqdagi
yechimlari
• oraliqdagi barcha x sonlar ekanligi ayon .
•
y=tg x funksiyaning dayri π bo’lgani uchun tg x >1
tengsizlikning
• barcha yechimlari
nEZ
• oraliqdan iborat.
•
Javob:
EZ
-
• Trigonometrik tengsizliklarni yechish.
• Berilgan tengsizlikni yechish uchun uni ayniy almashtirishlar
yordamida sodda trigonometrik tengsizlik ko’rinishiga olib
kelinadi.
• Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullarini masalalarni
yechish jarayonida hal qilaylik.
• 1-masala. sin6x+cos6x <
tengsizlikni yeching.
• Quyidagi ayniy almashtirishlarni bajaramiz;
x)(
•
=(sin2x+cos2x)2• .
• =1-
=1-
• Shunday qolib, berilgan tengsizlikni yechish
tengsizlikni yechishga keldi.Bundan:
• bu tengsizlikning
• yechimlari esa arccos
• Javob:
<x<
E Z oraliqlardan • iborat.
www.arxiv.uz
n E Z.
4- Mavzu: Ko’rsatkichli va logarifmik funksiyalarni o’qitish metodikasi
1.Chizmada qaysi funksiyaning grafigi taqriban tasvirlangan.
a. y = x -3
b. y = x3
c. y = x1 / 3
2. y = log1 / 3 ( x 2 - 2 x) + 1 funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
b. [- 1,0] È (2,3]
c. (- ¥,-1) È [3, ¥)
a. [- 1,3]
3.Quyidagi nuqtalarning qaysi biri f ( x) = -3x + 10 funksiyaning grafigiga tegishli.
a. (- 4,2)
b. (2,4)
c. (-2,4)
4. y = 3x funksiyaning grafini yasang.
a.
b.
c.
5.Quyidagi y = 42 x funksiyaning o’suvchi yoki kamayuvchiligini aniqlang.
a.o’suvchi funksiya
b.kamayuvchi funksiya c.o’suvchi va kamayuvchi
6.Ko’rsatkichli funksiyaning xossalarini belgilang.
1. D( f ) x Î (- ¥,+¥)
2. E( f ) x Î (- ¥,0)
3. a > 1 da o’suvchi
4. 0 < a < 1 da kamayuvchi
5.barcha a > 0, a ¹ 1 uchun a 0 = 1 bo’ladi
a.1,2,4,5
b.1,3,4,5
c.1,2,3,5
x2 - 5x + 6
funksiyaning aniqlanish sohasini toping
x -1
a. x Î [1,2) È (3, ¥)
b. x Î [1,2) È [3, ¥)
c. x Î (1,2) È (3, ¥)
x
0
8. x = 0, y = a = 1 bo’lganda y = a funksiyaning grafigi a ning har qanday qiymatida qaysi
7. f ( x) = log2
nuqtalardan o’tadi.
a. (1,0)
b. (1,1)
c. (0,1)
x
9. y = a funksiyaning qiymatlar sohasini toping. a > 0, a ¹ 1
a. y Î R
b. y Î R + c. y = R 10.Asosi o’zgarmas , darajali ko’rsatkichi o’zgaruvchi bo’lgan funksiya .... deyiladi.
a.logorifmik
b.ko’rsatkichli
c.darajali
11.Quyidagilarning qaysi biri y = log3 ( x - 2) funksiyaning grafigi.
у
у
y=
log
3
(x
-2
)
2
a.
b.
c.
3
х
2 3 х
12.Barcha x > 0 uchun agar a > 1 bo’lsa, logorifmik funksiya ... bo’ladi
a.kamayuvchi
b.o’suvchi
c.qat’iy o’suvchi
x
13. f ( x) = a funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
a. (- ¥,+¥ )
b. (0, ¥ )
c. (- ¥,0)
14.O’zining aniqlanish sohasida uzluksiz va monoton bo’lgan ... funksiya deyiladi.
a.logorifmik
b.darajali
c.ko’rsatkichli
67
15.Hisoblang lg1000
a.200
b.101
c.201
16. Chizmada qaysi funksiyaning grafigi taqriban tasvirlangan.
a. y = 2- x - 2
b. y = 2 x - 3
c. y = 2 x - 2
9log9 81
17.Hisoblang: log8 16
8
a.4
b.3
c.2
18.Grafik ko’rinishda berilgan funksiya qiymatlar to’plamini toping.
a. (- 2,2)
b. [- 2,3)
c. [- 2,2]
19. y = loga x funksiya uchun quyidagilarning qaysi biri to’g’ri.
a.1,3,5,6
1. a > 0
b.1,2,4,6
2. a = 1
3. x > 0
c.1,3,4,5
4. a ¹ 1
5. a > 1 da o’suvchi
6. a < 1 da kamayuvchi
20. Ushbu y = 4 x funksiya uchun quyidagi mulohazalarning qaysi biri noto’g’ri
a. toq funksiya
b. aniqlanish sohasida o'suvchi
c. aniqlanish sohasi [0;1) oraliqdan iborat
1
b
2
b
3
b
4
a
5
a
6
b
7
c
8
c
9
b
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
b c b a a c c b b c a
5-Mavzu: Ko’rsatkichli tenglamam va tengsizliklarni o’qitish metodikasi.
MUNDARIJA
Kirish………………………………………………………………………….. 3
1-§.Ko’rsatkichli tenglamalar…….……………………………………….…. 5
2-§.Logarifmik tenglamalar.................................… …………………………15
3-§.Parametrli logarifmik va ko’rsatkichli tenglamalarni yechishni o`qitish usullari
…………..……………………………………………………………… 19
4-§.Ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalar sistemasini yechishni o`qitish
usullari…..…………………………………………………………………..……22
5-§.Logarifm xossalari……………………………………………….…..…….24
Xulosa …………………………………………………..…………….….……. 25
Foydalanilgan adabiyot…………………...………………………..…...………. 26
Agar kimdir matematikaga ixcham va ma’nodor ta’rif bermoqchi bo’lsa, uning “Bu
fan cheksizlik haqidagi fan” – deyishning o’zi kifoyadir.
Anri Puankare
Kirish
Ushbu kurs ishi,,Ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalarni yechishning ba’zi bir metodlari ” deb
nomlangan bo’lib, bu mavzu ichida asosan ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalarni yechish
usullarini yoritish ko’zda tutilgan.
Mavzuning dolzarbligi. Mavzu asosan bo’lajak o’qituvchining o’rgangan bilim, ko’nikma,
malakalarini umumlashtirish,ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalarni yechish usullarini
ayrimlarini yoritish, va o’rganishdan iborat. Amaliyotda foydalanishi to’g’risida yoritib
berishdir.Logarifm(yunoncha logos-nisbat va son)-musbat sonlar toplamida aniqlangan.Sonlarni
qo’shish va ayirish ularni ko’paytirish,bo’lish va darajaga ko’tarishga nisbatan soddaroq bo’lgani
uchun yuqoridagi xossalardan foydalanib,logarifm dastlab texnik hisoblarda keng qo’llangan.
Logarifmik jadvallar, tuzilib, logarifmik lineykalardan foydalanilgan. Kompyuterlar ixtiro
qilingandan so’ng lineykalarga extiyoj qolmadi. Logarifm va logarifmik funksiya tushunchasini
Shotlandiyalik matematik D.Neper birinchi bo’lib kiritgan va o’rgangan (1614). Logarifmning
chuqur xossalari kompleks sonlar maydonida o’rganiladi.Natural logarifmlar D.Neper tomonidan,
o’nli logarifmlar esa G.Briggs tomonidan kiritilgan.
Mavzuning o’rganish jarayoni .
Logarifmik va ko’rsatkichli tenglamalarningBunda avvalo nazariy qismi berildi. So’ngra misollar
va ularni yechilishlari berilgan.
Ishning maqsad va vazifalari.
Nazariy bilimlarni amaliyotga tadbiqi va undan foydalanishni ko’rsatish.
Ob’yekti va predmeti.
Mavzuni ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalar haqida ma’lumotlar va ularni hisoblashning
ayrim usullari tashkil etadi. Predmeti o’quv adabiyotlari, darsliklardagi ma’lumotlar tashkil etadi.
Amaliy ahamiyati.
Kurs ishi mavzusi talabalarga uslubiy qo’llanma sifatida foydalanish mumkin.
Ishning tuzilishi.
Kurs ishiga kirish, 5 ta paragraf, xulosa va adabiyotlar ro’yxati berilgan.
1-§. Ko’rsatkichli tenglama
Ko‘rsatkichli tenglama tushunchasini tushuntirishdan oldin
o‘qituvchi o‘quvchilarga daraja, ko‘rsatkichli funksiya va ulaming xossalari haqidagi ma’
lumotlarni takrorlash, so‘ngra ko`rsatkichli funksiyaning ta’rifini berish lozim.
Ta`rif. Daraja ko‘rsatkichida noma ’lum miqdor qatnashgan tenglamalar
tenglamalar deyiladi. Masalan, 3x = 2x-1 , 5
ko‘rsatkichli
=0,7x-2- √49 va hokazo. ax = b tenglama
maktab matematika kursidagi eng sodda ko‘rsatkichli tenglamadir. Bu yerda a va b berilgan
musbat sonlar bo`lib, а≠1 a> 0 bo`lishi kerak. x esa noma’ lum miqdordir. ax=btenglama
bitta yechimga egadir. Har qanday ko‘rsatkichlitenglama ayniy almashtirishlarni bajarish orqali
algebraik yoki ax=b ko‘rinishdagi sodda holga keltirib yechimlari topiladi.
Ko’rsatkichli tenglamalarni yechish darajasi quyidagi xossalarga asoslanadi.
1. Agar o‘zaro ikkita teng darajaning asoslari teng bo’lsa, ularning daraja ko‘rsatkichlari
ham o‘zaro teng bo’ladi.
Masalan, agar am =an bo’lsa, m=n bo’ladi, albatta bu yerda а≠0 va а≠ 1, a>0 bo’lishi kerak.
2. Agar o‘zaro teng darajaning ko‘rsatkichlari teng bo’lsa, u holda ularning asoslari ham teng
bo’ladi, ya’ni am=bm bo`lsa, u holda a= b bo’ladi. Maktab matematika kursidagi ko‘rsatkichli
tenglamalar asoslarini
tenglash, kvadrat tenglamaga keltirish,
logarifmlash,
yangi
o
‘zgaruvchini kiritish va gruppalash usullari bilan yechiladi. Bu usullarni quyidagi misollar
orqali ko‘rib chiqaylik.
1-misol.
36x=
tenglamani yeching.
Yechish.
Bu tenglama asoslarini tenglash yo’li orqali yechiladi:(36x = 216-1), (62x = 6-3) = >(2x= -3) =>
(x = - )
Ushbu tenglamani
ko‘ra:x=log36(
logarifmlash
usuli
bilan
ham
yechish mumkin. Logarifm
ta’rifiga
) bundan x=log36(216-1)=- log6(216)=- chunki log6(216)=3 ga teng.
2-misol.
52x-5x-600=0 tenglama yechilsin.
Yechish.
Bu tenglama yangi o‘zgaruvchikiritish usuli orqali kvadrat tenglamaga keltirib yechiladi.
Agar y=5x desak, berilgan tenglama y2-y-600=0
ko‘rinishni oladi.
Y1,2 = ±
+ 600 = ±
;
1=25
y2=24
5x=y yoki 5x=25, 5x=52, x=2
Javob: x = 2
3 - misol.
3x2+1 + 3x2-1 = 270 tenglamani yeching.
Yechish.
3x3 + 3x2 = 270, 3x2 = у desak, 3y+ y=270
=270, bundan у =81, 3x2 =81 yoki 3x2 = 34 bundan x2=4 va x1=2 x2=-
yoki
4 - misol.
52x-7x-52x ∙35+7x∙35=0 tenglamani yeching.
Yechish.
Tenglama guruppalash yo’li bilan yechiladi.
52x(1-35)=72x(1-35), 52x=7x, x=0
5-misol.
( 5 + 2√6)x+( 5 − 2√6)x=10tenglamani yeching.
Yechish.
Bu tenglamani yechishda( 5 + 2√6) + ( 5 − 2√6)x =1
ekanligidan foydalanamiz. Agar ( 5 + 2√6 )x= у desak, u holda
( 5 − 2√6)x= bo‘ladi, bu belgilashlarga ko‘ra tenglama quyidagicha ko‘rinishni oladi. у
+ =10 , bundan y2-10y+1=0 yoki y1=5—2√6va y2=5+2√6 ga ega bo‘lamiz.
a)
5 + 2 √6
(
5 + 2 √6 =
b)
5 + 2 √6
=5-2√6 bo’lsin, u holda
√ )(
√
√ )
= (5 + 2√6)-1 ,bundan =-1,x1=-2
= 5 + 2√6bo’lsin,u holda 5 + 2√6
= (5 + 2√6) bundan = 1 ,x1=2
Javob: x= -2 va x = 2
6 - misol.
100x= 300 tenglama yechilsin.
Yechish.
Tenglikning ikkala tomonini 10 asosga ko‘ra logarifmlaymiz. xlgl00=lg300.
Bizga
ma’ lumki,
lgl00=2.
Bu
yerda
lg300=lg(100∙3)= lgl00+lg3=2+lg3
kabi
ayniy
almashtirishlar bajaramiz. Bu almashtirishlarga ko‘ra berilgan tenglama x∙2=2+lg3 ko‘rinishni
oladi. Bundan:
=1+
x=
kelib chiqadi.
7 - m i s о I.
(23x-
)-6(2x -
)=1
Yechish. Bu tenglamani quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:
(23x-
)-6(2x− )-1=0
2x-
=y deb belgilasak, u holda
23x-
= 2 −
2
+2+
= 2 −
2 −
+6 = (
+ 6)
bo’ladi.
Bu almashtirishlarga ko'ra berilgan tenglama o`zgaruvchi y
ga nisbatan quyidagi ko'rinishni oladi: y (y2+ 6 )-6y-l =0 yoki y3=1,
y=1, 2 -
= 1, bundan
22x-2x-2=0 bo’ladi. Agar 2x=t desak, u holda tenglama t2 -t -2 = 0 ko‘rinishni oladi. Uning
yechimlari t1=2,t2=-1 bo’ladi. U holda 2x=2 yoki x=1, 2x=-1 tenglama yechimga ega emas.
Javob: x=l
Mavzu yuzasidan dars ishlanma.
DARSNING TEXNOLOGIK XARITASI
MAVZU: KO’RSATKICHLI TENGLAMALARNI YECHISH
MAVZUNING QISQACHA TA’RIFI: Ko’rsatkichli tenglamalarni yechishni
bilish.
O’QUV JARAYONINI AMALGA OSHIRISH TEXNOLOGIYASI:
Metod: interfaol.
Shakl: noan’anaviy.
Vositalar: “Matematik diktantlar” to’plami, multimedia.
Nazorat: savol-javob.
Baholash: 5 ballik reyting tizimi.
DARS AMALIYOTNING MAQSAD VA VAZIFALARI:
MAQSADLAR:
Ta’limiy: o’quvchilarni Ko’rsatkichli tenglamalarni yechish bilan tanishtirish.
Tarbiyaviy: kundalik hayotimizda Ko’rsatkichli tenglamalarni yechishdan
foydalanishni bilish.
Rivojlantiruvchi: o’quvchilarni fikrlashga o’rgatish.
KUTILAYOTGAN NATIJALAR:
Dars amaliyot yakunida o’quvchi biladi (Bilim): Ko’rsatkichli tenglamalarni
yechishni turli usullarini bilish.
Dars amaliyot yakunida o’quvchi tushunadi (Ko’nikma): Ko’rsatkichli
tenglamalarni yechishni usullarini qaysi misolda qanday qo`llashni bilish.
Dars amaliyot yakunida o’quvchi bajara oladi (Malaka): ma’lum shartlar talab
etilgan mashqlarni bajara olish.
DARS JARAYONI VA UNING BOSQICHLARI
ISHNING NOMI
BAJARILADIGAN ISH MAZMUNI VAQT
1-bosqich: Tashkiliy qism Davomatni aniqlash, sinfni darsga
2 min
tayyorlash.
2-bosqich: Refleksiya.
O’tilgan mavzuni takrorlash.
Extiyojlarni aniqlash.
Matematik diktant.
3-bosqich: Yangi mavzu
Ko’rsatkichli tenglamalarni
bayoni
yechishning usullari bilan
10 min
10 min
tanishtirildi. Kartochkalarda yozilgan
misollardan namunalar ko’rsatiladi.
4-bosqich: Mustahkamlash 336 – 345 – misollarni yechish.
15 min
“Venn diagrammasi” va “Klaster”
texnologiyalaridan foydalanish.
5-bosqich: Baholash.
To’plangan ballarni umumlashtirish, 5 min
Dars yakuni.
izohlash
6-bosqich: Uyga vazifa
346 – 347 – misollar.
3 min
Yangi mavzu bayoni
Ta’rif: Daraja ko’rsatkichida noma’lum ishtirok etadigan tenglamalar ko’rsatkichli tenglamalar
deyiladi.
Eng sodda ko’rsatkichli ternglama ax=b ko’rinishdagi tenglamadir, bunda a va b berilgan sonlar
bo’lib, a>0 va a ¹ 1 , x- esa noma’lum son.
ax=b tenglamani yechish uchun b ni ac shaklida yozib olish kerak bo’ladi.
Shunda biz ax=ac tenglamaga ega bo’lamiz va asoslarini tashlab yuborsak, x=c yechimiga ega
bo’lamiz.
Masalan: Ushbu tenglamalarni yechaylik,
1) 3x = 81
2) 42x-3 =64
3x=34
42x-3 =43
x= 4
2x-3=3
Javob: x=4
2x=6
Javob: x=3
1- xossaga ko’ra, a>0 bo’lsa, ax>0 bo’lishini bilamiz demak
b £ 0 bo’lsa , ax =b tenglama yechimga ega bo’lmaydi. Masalan: a) 2x = - 4 b) 3x = 0 kabi
tenglamalar yechimga ega emas.
2-eslatma: 2x = 7 tenglama berilganda biz hozircha 7 ni 2 asosli daraja ko’rinishida ifodalay
olmaymiz,lekin bu tenglama
yechimga ega ekanini bilamiz.Keyingi bo’limda biz shunga
o’xshash tenglamalarning yechimlarini yozishni o’rganamiz.
Ko’rsatkichli tenglamalarning asosiy tiplari va ularni yechish
usullari bilan tanishishni
boshlaymiz:
3) 5x 32x=2025
4)
5x 9x =2025
2x+2 – 3 × 2 x-1=40
2x-1 (23 -3) =40
45x = 452
2x-1 = 8
x= 2
2x-1 =23
Javob:
x=2
x-1=3
x=4
Javob: x=4
5) 3x = 7x tenglamalarni yeching.
Bu tenglamalarning ikkala qismini 7x ga bo’lib yuborsak
3
7
3x
= 1 tenglama hosil bo’ladi.
x
7
3
7
Bundan ( )X = ( )0 tenglama hosil bo’ladi va x=0 yechimga ega bo’lamiz.
3-eslatma: Umuman olganda a>0 va b> 0 bo’lsa ,af (x)= b g (x) tenglamalarning ildizi f (x) =0 va
g (x) =0 tenglamalarning umumiy ildizi bo’ladi.
2 x -1 = 9 x+1 bu tenglamaning yechimi x2-1=0 va x+1=0 tenglamalarning umumiy
2
6)
yechimidan iborat bo’ladi. x2-1=0 tenglama ildizlari x1=-1 va x2=1x+1=0 tenlama ildizi esa x=-1
Umumiy ildiz x=-1 Javob: x=-1
7) 3x+3+3x = 7x+1 + 5 × 7 tenglamani yeching 3x(33 +1)= 7x(7+5)
x
3x∙28=7x∙12
3x
12
=
28
7x
3
3
( ) x = ( )1
7
7
x =1
Javob : 1
7) 8 × 4 x - 6 × 2 x + 1 = 0 tenglamani yeching.
2x =t deb belgilasak ,t ga nisbatan kvadrat tenglama hosil bo’ladi.
8t2 – 6t +1=0
1
2
Bu tenglamaning ildizlari t1 = va t 2 =
1
sonlari bo’ladi. Topilgan ildizlarni belgilashdagi t ning
4
o’rniga qo’yib hosil bo’lgan tenglamalarni yechamiz.
1 x -1
x
2
=
, 2 = 2 , x = -1
1)
2
1 x -2
x
2
=
,2 = 2 , x = -2
2)
4
Javob : x1 =-1,x2 =-2
4-eslatma: Tengsizlikni ikkala qismini ax ifodaga bo’lib yuborish mumkin, bunda tengsizlik
ishorasi o’zgarmaydi.
8) x2∙5x – 52+x <0 tengsizlikni yeching
5x∙(x2-25)<0
5x ga bo’lamiz
X2-25<0
X2<25
-5<x<5
Javob: (-5:5)
5-eslatma : ax = kx+b va ax = kx2 + bx + c ko’rinishdagi tenglamalar transtsendent tenglamalar
deyiladi va bunday tenglamalarni yechishni taqribiy usullaridan boshqa umumiy usullar yo’q.
Grafik usulda bunday tenglama nechta ildizga ega ekanini aniq ko’rsatish mumkin.
9) 3x = 2- x tenglama nechta ildizga ega?
Ushbu
funksiyalarni qaraymiz y1 =3x va y2 = 2-x. Bu funksiyalarning grafiklarini
bitta
koordinata tekisligida tasvirlaymiz
Tasvirda ko’rinib turibdiki bu funksiyalarning grafiklari faqat bir marta kesishmoqda. Demak
berilgan tenglama faqat bitta yechimga ega Javob : tenglama bitta ildizga ega.
Tarixiy ma’lumotlar : Turli fizik jarayonlarga bog;liq masalalarni hal qilishda ko’rsatkichli
tenglamalar yechishga to’g’ri keladi.
t
1 T
Masalan ,radioaktiv yemirilish ushbu m(t) =m0 ( ) formula bilan ifodalanadi. Bunda m(t) va
2
m0 –radioaktiv moddaning mos ravishda t vaqt momentidagi va boshlang’ich t=0 vaqt
momentidagi massasi, T- yarim emirilish davri (modda dastlabki miqdorining ikki marta
kamayishgacha o’tgan vaqt oralig’i).
Havo bosimining ko’tarilishi balandligiga bog’liq ravishda o’zgarish ,cho’lg’amga o’zgarmas
kuchlanishni ulangandagi o’zinduksiya toki kabi hodisalar ham ko’rsatkichli funksiya orqali
ifodalanadi.
5- eslatma : y=ax funksiyada a>0 va a ¹ 1 deyiladi,chunki a=1 bo’lganda ax daraja x ning har bir
qiymatiga ham 1 ga teng bo’lar edi va bu holda y o’zgaruvchi x ga bog’liq bo’lmas edi.
Agar a< 0 bo’lganda,ax daraja x ning ko’p qiymatlarida ham 1 ga teng bo’lar edi va bu holda y
o’zgaruvchi x ga bog’liq bo’lmas edi. a<0 bo’lganda,ax daraja x ning ko’p qiymatlarida haqiqiy
son bo’lmas edi.
1
1
Masalan : a=-4 va x= bo’lganda, ax daraja (-4) 2 = - 4 ga aylanar edi,bu esa mavhum ifoda
2
bo’ladi
Yangi mavzuni mustahkamlash
Darsda o’rganilganlarni mustahkamlash uchun darslikdan ushbu misollar bajariladi: 344- mashq
(og’zaki) ,345 mashq (og’zaki),
346-351 (1,3) mashqlar
Uyga vazifa: 346-351 (2,4) mashqlar
O’quvchilarni baholash.
Ballarni jurnalga qayd etish, izohlash.
Uyga vazifa.
Darslikning 346-347- mashqlari.
Darsni yakunlash
2-§. Logarifmik tenglamalar
Maktab matematika kursida logarifmik tenglamaga ta’rif berib,
so‘ngra uni yechish
usullari ko‘rsatiladi.
Ta`rif.
Noma’lum
miqdor
logarifm
belgisi
ostida qatnashgan tenglamalar logarifmik
tenglamalar deyiladi.
Masalan,
lgx=3-lg5,
lgx=lg2,
2lg√ =lg(15-2x) va
hokazo.
Logarifmik tenglama ham
ko‘rsatkichli tenglama singari transsendent tenglama turiga kiradi. Logax=b tenglama eng
sodda logarifmik englamadir. Bu yerda a, b lar ma’ lum sonlar, x noma’ lum sondir. Bu
ko‘rinishdagi tenglama x=ab bitta yechimga ega bo'ladi. Logarifmik tenglamaning yechish
jarayonida
ma’lumotlarni
o`qituvchi
o‘quvchilarga logarifmik funksiya va uning xossalari haqidagi
takrorlab berish lozim. Ayniqsa, o‘qituychi ko‘paytmaning lg(a∙b)=lga+lgb,
kasrning lg =lga-lgb va darajaning lg an=nlg a logarifmlari hamda logarifmlarning bir
asosidan boshqa asosiga o‘tishlogab=
formulasi va qoidalarini imkoniyat boricha isboti
bilan tushuntirib berishi maqsadga muvofiqdir, chunki logarifinik tenglamalarni yechish
jarayonida ana shu qoidalardan foydalaniladi. Logarifmik tenglamalami yechish jarayonida
ko`pincha lgA=lgB bo`lsa, A=B bo`ladi degan qoidaga amal qilamiz.
Ayrim
hollarda
0‘quvchilar IgA +lgB -lgC tenglikdan ham A + B –C bo`ladi degan noto`g‘ri xulosaga
keladilar. Mana shunday xatoliklarni oldini olish uchun o`qituvchi yuqoridagi tengliklarni
aniq misollar yordamida ko`rsatib berishi lozim.
Masalan. l5+lg9=lg45. Bu tenglikdan yuqoridagi xato mulohazaga ko‘ra
5+9=45 bo`lishi kerak, bunda 14≠45. Bundan ko‘rinadiki, lg A +lg B =lg C dan A + B = C
deb yozish katta xatolikka olib kelar ekan. Demak,
lgA +lgB=lgC
bo`lsa,
ikki
son
ko‘paytmasining logarifmi qoidasiga ko‘ra lg(A∙B)=lgC, bo`ladi, bundan A ∙B =C ekanligi
ko‘rsatish kifoya. lg5+lg9=lg45, lg(5 ∙9)=lg45. 45=45. logaf(x)=logag(x) tenglamani yechish
uchun f(x )= g (x ) tenglamani yechish kerak va topilgan yechimlar ichidan f( х)>0, g(x)>0
tengsizliklami qanoatlantiradiganlarini tanlab olinadi. f(x)=g(x) tenglamaning qolgan ildizlari
esa logaf(x) =logag(x) tenglama uchun chet ildiz bo`ladi. Har qanday logarifmik tenglama
ayniy almashtirishlar yordamida uni logaf(x) =logag (x ) ko‘rinishga keltirib, f (x )=g(x )
tenglamani yechish orqali va yangi o`zgaruvchi kiritish orqali yechiladi. Logarifmik
tenglamalarni yechishni uning aniqlanish sohasini topishdan boshlash lozim.
1 - misol.
Logax=btenglama yechilsin.
Yechish.
Agar a>0 va а≠1 bo'lsa, x= ab bo`ladi.
2 – misol
(
)
= 2tenglama yechilsin.
Yechish.
lg2x ning aniqlanish sohasi x>0 bo‘Iadi. lg(4x-15) ning aniqlanish sohasi 4x-15>0, bundan x>
bo`ladi. Bundan tashqari 4x-15≠0 yoki x≠4 bo`lishi kerak, bularga asoslanib tenglamaning
aniqlanish sohasi x>3 va x≠ 4 bo'ladi.
Tenglamani yechish uchun quyidagicha ayniy almashtirish bajaramiz:
lg2x=21g(4x-15), lg2x=lg(4x-15)2x=16x2- 120x+225 yoki 16x2 -122x+225=0, bundan x1=
=
= 4 yechim tenglamaning aniqlanish sohasida yotadi, shuning uchun x1= 4 yechim bo‘ladi.
3 - m i s о 1.
Log2(lgx+2
+1)-log2(
+1)=1 tenglama yechilsin.
Yechish.
Bu tenglamadagi o‘zgaruvchining qabul qiladigan qiymatlari sohasi x≥l bo`ladi. Berilgan
tenglamani potensirlasak,
+ 1 = 2,
Javob: x=10
4 - m i s о l.
= 2yoki
=1 bundan x = 10.
= 100 tenglamani yeching.
Yechish.
Bu tenglamadagi nomalumning qabul qiladigan qiymatlar sohasi x>0 dir. Tenglikning har
ikkala tomonini 10 asosga ko‘ra logarifmlaymiz:
lgx∙ (1 +
)=
100
Agar lgx=t desak, lg100=2 bo`ladi. U holda (1 +t)t=2 yoki
t2+t-2=0, bundan t1=1, t2=-2. lgx=1, bundan x1 =10, lgx=-2,
bundan x2=
Javob.x1 = 10, x2=10-2
5-misol.
lg√5 − 4 +
√ +1=2+
0,18tenglama yechilsin
Yechish.
Bu tenglamaning aniqlanish sohasi 5x-4>0 va x+1 >0 bo‘lishi kerak, bundan x >
bo’ladi.
Tenglamani potensirlasak: √5 − 4 ∙ √ + 1 = 100 ∙ 0,18 yoki √5 − 4√ + 1 = 18. Bunda
5x2+x-328=0, bundan x1=─ va x2 =8,x1= −
bo’lgani uchun yechim bo’lolmaydi.
Javob. x=8.
6-misol
= − lgx tenglamani yeching.
Yechish.
Bu tenglamaning aniqlanish sohasi x>0. Agar lgx=y desak, y2= −
,y2+3y-4=0, bundan
y1=1 va y2=-4 bo’ladi,u holda lgx=1 yoki x= 10, lgx=-4 yoki x=10-4
J a v о b. x1=10, x2=10-4
7-m i s о I.
log5x+ logx5 = 2,5
Yechish.
Tenglamaning aniqlanish sohasi x>0 va х≠1.Bu tenglamada logarifm asoslarini bir xilga
keltirish kerak. Buning uchun logab=
formuladan foydalanamiz: logx5+(log 5x)-1=2,5, agar
log5=y desak,
y+y-1=2,5 yoki y2-2,5y+1=0. Uni yechsak,y1 =2 va y2 =2-1 . Bularga ko’ra log5x=2 bunda x=25
va log5x=2-1~ , bundan x = √5 .
Javob: x1 = 25, x2=√5
3-§. Parametrli logarifmik va ko`rsatkichli tenglamalarni
yechishni o`qitish usullari
Parametrli logarifmik va ko'rsatkichli tenglamalani yechish parametrsiz shunday
tenglamalardan ana shu parametni qanoatlantiruvchi tenglama yechimini uning yo’l
qo'yiladigan qiymatlari ichidan izlash bilan farq qiladi.
1-m i s о 1.
Loga(a+√ +
)=
tenglama yechilsin.
Yechish.
Bu tenglamani yechish uchun avvalo
qiymatlar sohasini topamiz:
uning parametrini qanoatlantiruvchi yo‘l qo'yiladigan
)=logax2
x>0, x≠1, a>0, a≠1. Loga(a+√ +
Potensirlash qoidasiga ko'ra a+√ + =x2√ +
=x2-a, bu yerda x2>a tenglikning har ikki
tomonini kvadratga ko'tarsak,
a+x=x4-2ax2+a2,a2-(2x2+ 1)a+(x4- x)=0 bu tenglamani yechsak,
±(
a1,2=
)
hosil bo’ladi: a1=x2+x+l vaa2=x2-x tenglamani yechamiz:
x2-x-a=0 tenglamaning yechimi yo'l qo'yiladigan qiymatlar sohasida yotmaydi, x2-a> 0, x>0
bo'Igani uchun a = x2 -x tenglamani yechamiz: x2-x-a=0, bundan
x1,2= ±
+ = ±
Bulardan: x1=
=
±√
√
Bu yechimlardan x1=
x2=
√
√
tenglamaning yo'l qo'yiladigan qiymatlar sohasida yotadi, shuning
uchun u yechim bo'ladi. Bu berilgan tenglamaning logarifm xossalari va potensirlashga ko'ra a =
2
2
√ + = x ko'rinishda yozib olamiz. Bu tenglamaningа+х+√ + =x =xagar√ + =bdesak,
b2 + b = x2+ xhosil bo’ladi. Bundan
(a2 –b2)+(x -b) =0,
(x - b)(x+ b)+ (x- b)= 0,
(x - b)(x + b +1) = 0;
x+b+1≠0 bo’lgani uchun x-b=0 bo’ladi, b ning o‘rniga √ + ni qo‘ysak,
x-√ + =0
yoki x2-x -a = 0 bo’ladi. Biz bu tenglamani yechishni yuqorida ko‘rib o‘tdik.
2-misol.
+
=
(
) tenglama yechilsin.
Yechish.
Bu tenglamadagi o`zgaruvchining yo’l qo`yiladigan
qiymati x≠0
a) a∙b> 0 bo’lsin, u holda tenglamaning ikkala tomonidagi ifodalarni( ∙ ) ga bo’lamiz.
( ) +( ) =m (m> 0) Agar ( ) =t desak, t + = m, bundan t2 -t m + 1=0 bo’ladi.
Bu tenglamani yechamiz:
t1,2=
±√
, ( ) =
±√
,
(1)
Bu yerda m≥2bo’ladi.
a) m>2 boisin, bu holda ( 1 ) ning har ikki tomonini 10 asosga ko'ra logarifmlaymiz: lg =
lg(m± √
− 4) - lg2, x=
±√
a≠b
b) m=2 bo’lsin, u holda (1) quyidagi ko‘rinishni oladi:bundan:( ) = 1,
kerak.
2) a∙b =0 bo’lsin.
a) a = b - 0 bo’lsa, berilgan tenglamaning yechimi bo’lgan barcha sonlar.
b) a = 0, b≠0 yoki a≠0, b=0 bo’lsa, tenglama yechimga ega emas.
J: 1) Agar m> 2, a ≠0, b ≠0 , a ≠b bo’lsa,
x=
±√
2) Agar a) m= 2, a = b≠0 boisa, x - ixtiyoriy son.
b) a=b=0, x≠0 - ixtiyoriy son
3-misol.
lgx=1+
a≠0 tenglama yechilsin.
Yechish.
lg2x=lgx+a; lg2 x-lgx-a=0
lgx=y 2y2-ay-a2=0,
y1,2=
±√
=
±
y1=a y2=- ;
lgx=a, x=10; lgx= - ,
= 10
=
; a=b≠0 bo’lishi
4-§. Ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalar sistemasini yechishni o`qitish usullari
Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar sistemasini yechishda ham algebraik tenglamalr
sistemalarini yechishda qo‘llanilgan usullardan ( o‘zgaruvchilarni almashtirish, algebraik
qo‘shish, yangi noma‘malum kiritish va h.k.) foydalanish mumkin. Bunda birorta usulni
sistemani yechishdga qo‘llashdan oldin sistema tarkibiga kirgan har bir tenglamani soddaroq
ko‘rinishga keltirish lozim.
1-misol.
64 + 64 = 12
tenglamalar sistemasini yechamiz. u = 64x , v = 64y desak, u va v ga nisbatan
64
= 4√2
+
= 12
= 4√2
tenglamar sistemasini olamiz.
Bu sistema 4 ta yechimga ega:
=2
= 2√2
= 2√2
=2
= −2
= −2√2
= −2
= −2√2
Ammo u = 64x, v =64y bo‘lgani uchun u >0, v > 0 bo‘ladi. Shuning uchun topilgan 4 ta
yechimdan dastlabki 2 tasini olamiz. Demak, berilgan sistemani yechish quyidagi 2 ta
tenglamalar sitemasini yechishga keltiriladi:
64 = 2 64 = 2√2
64 = 2√2 64 = 2
Birinchi sistemani yechib, x1 =
topamiz.
Javob:
2-misol.
;
;
y1 = ni, ikkinchi sistemani yechib esa x2 =
y2 =
ni
, (
− )−
+
=2
Tenglamalar sistemasini yechamiz.
= 25
log0,5 (y-x) ifodada 2 asosga o‘tamiz:
( − )=
(
)
=−
( − )
bu tenglikdan foydalanib, sistemaning birinchi tenglamasidan y ni x orqali ifodalaymiz:
-log2(y-x)+log2y=2
log
=2
= 4 y=4y-4x 3y=4x
=
y uchun topilgan ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo‘yib topamiz:
x2+ x2=25 25x2=25∙9 x2=9 x1,2=±3 y1,2=±4
sistema tenglamalarining aniqlanish sohasidan y-x >0 yoki y >x va y >0 bo‘lishi kelib chiqadi. x
va y ning topilgan qiymatlaridan 3 va 4 bu shartlarni bajaradi. Demak, sistema birgina (3; 4)
juftdan iborat bo‘lgan yechimga ega.
5-§. Logarifm xossalari.
1.loga1=0
7.
= logab;
2.logaa=1
8.
k
3.logaak=k
9.logab=
4.logabk=klogab
10.logab=
5.loga(bc)=logab+logac;
11.
=
6.loga
12.
= ;
=logab-logac
=logab;
;
;
;
XULOSA
Mening kurs ishi mavzuyim ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalarni yechishning ba’zi bir
metodlari.Matematika fanlarning shohi deb bekorga aytishmaydi. Hech bir fan matematikasiz
alohida bir fan bo’la olmaydi. Chunki har bir fanning asosida matematika yotibdi. ”Har bir tabiiy
fan qancha matematikaga bog’liq bo’lsa unda shu qadar haqiqat mavjuddir” deydi I.Kant.
Masalan: Fizika, kimyo, biologiya, chizmachilik, astronomiya va hokazo.
Ushbu fanlarni matematikasiz tasavvur ham qila olmaymiz.
Matematika fani faqat hisoblashdan iborat emas.Bu fan insonning fikrlashini, tasavvur qila olish
qobiliyatini o’stiradi. Jumladan,logarifmlar mavzusidagi misollar rang-barang usullarda
yechishda mustaqil ishlash samarali natija beradi. Binobarin,oliy o’quv yurtlari dasturlari hamda
test to’plamlari,olimpiada topshiriqlarida logarifmlar mavzusiga doir misollar ko’p uchraydi.
Ayniqsa, logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishning ratsional usullarini topish
o’quvchilarning chuqur bilim olishlari,ularning fikrlash qobiliyatini rivojlantirishga yordam
beradi. Odatda asosida o’zgaruvchi qatnashmagan logarifmik tenglama o’quvchi-talabalar
tomonidan tez yechiladi. Ammo aslida o’zgaruvchi qatnashgan tenglamalarni yechishda juda
ko’p xatoliklarga yo’l qo’yiladi. Bu xatoliklarni oldini olish maqsadida logarifmik tenglamalarni
yechish mavzusiga alohida e’tibor maqsadga muofiq.
Men ushbu kurs ishimni yozish mobaynida shunga amin bo’ldimki ko’rsatkichli va
logarifmik tenglamalarni yechishni chuqur o’rganish orqali ko’plab misollarni hisoblash
qiyinchilik tug’dirmay qoladi.O’rgangan o’quvchida misollarni turli xil usullarda hisoblashga
imkoniyatlar ochiladi.
Foydalanilgan adabiyot
1.S.Alixanov “Matematika o’qitish metodikasi” T.:2008
2. A.Meliqulov va boshqalar ,,Matematika’’. I, II qism.
Kasb-hunar kollejlari uchun qo‟llanma. –T.: 2003-yil.
3.M.Jumayev “Matematika o’qitish metodikasidan praktikum” Toshkent o’qituvchi 2004 yil.
4.M.Axmedov,
B.Ibragimov,M.Jumayev,
“Matematika
o’qituvchisi
kitobi”
Toshkent
O’zinkomsentr.2003 yil
5.Muhammaedov K.Elementar matematikadan qo’llanma.Toshkent,”Sharq”,2008-B.368-402
6.Abduhamidov A.U, Nasimov U.M. Algebra va matematik analiz asoslari. 2-qism, Toshkent,
“O’qituvchi”2008.-B.85-97
7. peskiadmin.ru
8. library.ziyonet.uz
9. fayllar.org
10. bdpu.org