卡方检验：比例、独立性、拟合优度

第 12 章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定 © 2020 Cengage 版權所有，為課本著作之延伸教材，亦受著作權法之規範保護，僅作為授課教學使用，禁止列印、影印、未經授權重製和公開散佈本章內容 • 12.1 檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性 • 12.2 獨立性檢定 • 12.3 適合度檢定第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第435頁 12.1 檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性 • 在本章中，我們將介紹 3 種假設檢定程序以擴展我們進行母體統計推論的能力。 • 通過使用基於卡方 (𝜒 2 ) 分配的檢定統計量來考慮資料的分類情況。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第436頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性 • 使用符號如下： p1＝母體 1 之母體比例 p2＝母體 2 之母體比例與 pk＝母體 k 之母體比例 • k ≥ 3 個母體之母體比例相等性的假設如下： H0：p1＝p2＝⋯＝pk Ha：並非所有的母體比例是相等的第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第437頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性 • 若樣本資料與卡方檢定計算結果指出 H0 不可被拒絕，我們不能偵測出 k 個母體比例中的差異。 • 若樣本資料與卡方檢定結果指出 H0 可被拒絕，我們即有統計證據做出並非所有的母體比例均相等的結論。 • 更進一步的分析，即可找出哪一部分的母體比例與其他的母體比例有顯著差異。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第437頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性 • 假設在某研究中，欲比較雪佛蘭 Impala、褔特 Fusion 與本田 Accord 3 款汽車的顧客忠誠度，所以目前擁有此 3 款汽車之一的車主，即構成該研究的 3 個母體： p1＝雪佛蘭 Impala 車主之母體願意再購買 Impala 的比例 p2＝褔特 Fusion 車主之母體願意再購買 Fusion 的比例 p3＝本田 Accord 車主之母體願意再購買 Accord 的比例 • 假設說明如下： H 0 ： p1 ＝ p2 ＝ p3 Ha：並非所有母體比例均相同第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第437頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性 • 為完成此假設檢定，我們由這 3 個母體中各抽取 1 組車主樣本。 • 每一樣本提供回答者願意或不願意再次購買該車的類別資料。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第437頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第438頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性 • 下列公式可被用於提供在 H0 為真的假設下之期望次數。 • 在 H0 為真的假設下之期望次數列 𝑖 總計欄 𝑗 總計 𝑒𝑖𝑗 = 總樣本數 • 若觀察與期望次數間存在明顯差異，即可拒絕 H0 假設。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第438-439頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第439頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性 • 運用下列卡方統計量之計算方式： • 卡方檢定統計量 2 ( f  e )  2    ij ij i j eij 其中 fij＝列 i 與欄 j 儲存格中之觀察次數 eij＝在假設 H0 為真時之列 i 與欄 j 儲存格中之期望次數 • 注意：在 k 個母體比例之相同性的卡方檢定中，上面的檢定統計量為 k－1 自由度之卡方分配，每一方塊的期望次數為 5 或以上。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第439頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第439頁母體變異數的假設檢定 • 拒絕法則 p 值法：若 p 值 ≤ a ，則拒絕 H0 臨界值法：若𝜒 2 ≥ 𝜒𝛼2 ，則拒絕 H0 此處卡方分配的自由度為 k－1，α 為顯著水準。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第441頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性 • 拒絕法則 ( 使用 a＝0.05) 若𝜒 2 ≥ 5.991，則拒絕 H0 當 α＝0.05 且自由度為 2 時不拒絕 H0 拒絕 H0 2 5.991 第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第441頁檢定 3 個或以上母體的母體比例相等性 • 使用 p 值法 • 我們可發現 χ2＝7.89 右尾區域介於 0.025 與 0.01 之間，其對應右尾區域或 p 值會介於 0.025 與 0.01，p 值 ≤ 0.05 ，故拒絕 H0，且得到這 3 個母體比例並非全等的結論。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第440-441頁多重比較程序 • 我們已得到這 3 個母體比例並非全等的結論。 • 為證實母體比例差異存在於何處，我們會依賴多重比較程序。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第441頁多重比較程序 • 我們開始計算 3 個樣本比例如下：品牌忠誠樣本比例雪佛蘭 Impala 褔特 Fusion 本田 Accord 𝑝1ҧ = 69Τ125 = 0.5520 𝑝ҧ2 = 120Τ200 = 0.6000 𝑝ҧ3 = 123Τ175 = 0.7029 • 我們將討論一種多重比較程序，即 Marascuilo 程序 (Marascuilo procedure)。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第441頁多重比較程序 • 計算成對樣本比例之間的差異雪佛蘭 Impala 與褔特 Fusion p1  p2  0.5520  0.6000  0.0480 雪佛蘭 Impala 與本田 Accord 𝑝ǉ1 − 𝑝ǉ3 = 0.5520 − 0.7029 = 0.1509 褔特 Fusion 與本田 Accord 􀸫 𝑝ǉ − 𝑝ǉ = 0.6000 − 0.7029 = 0.1029 2 3 第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第442頁多重比較程序 • k 個母體比例的 Marasuilo 成對比較程序之臨界值 • 每一組成對比較之臨界值計算如下： 𝐶𝑉𝑖𝑗 = 𝜒𝛼2 𝑝ǉ𝑖 (1 − 𝑝ǉ 𝑖 ) 𝑝ǉ𝑗 (1 − 𝑝ǉ𝑗 ) + 𝑛𝑖 𝑛𝑗 • 其中 𝜒𝛼2 ＝顯著水準 α 與 k – 1個自由度之卡方 𝑝ҧ𝑖 與 𝑝𝑗ҧ ＝母體 i 與 j 之樣本比例 𝑛𝑖 與 𝑛𝑗 ＝母體 i 與 j 之樣本大小第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第442頁多重比較程序第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第443頁評註 1. 在第 10 章中，我們使用標準常態分配與 z 檢定統計量，來執行兩母體比例之假設檢定，然而本節中也使用卡方檢定來執行兩母體比例相等的假設檢定。在兩者檢定程序中，結果將會相同，且檢定統計量 𝜒 2 之值，將會等於檢定統計量 z 值的平方。第 10 章中的方法其優點為可用於兩母體比例之單尾或雙尾假設，而本節中的卡方檢定僅能用於雙尾檢定。習題 6 將會給你使用卡方檢定比較兩母體比例是否相同的機會。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第443頁評註 2. 本節中每 k 個母體有「是」與「否」兩種回應結果，亦即每一母體都是參數 p、母體比例回應為「是」之二項式分配。本節的卡方程序可延伸適用於有 3 個或以上水準(levels)的 k 個母體。此情形下，每一個母體將是多項式分配。期望次數 eij 與檢定統計值 𝜒 2 的卡方計算方法，與式 (12.1) 和式 (12.2) 相同。唯一不同處為虛無假設為所有母體之多項式分配中的反應變數均相同。對於 k 個母體中每一個母體都有r 個水準，卡方檢定統計量即有 (r－1)(k－1) 個自由度。習題 8 會給你使用卡方檢定來比較 3 個多項式分配之母體的機會。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第443頁 12.2 獨立性檢定 • 兩類別變數獨立性的卡方檢定 1. 列出虛無假設與對立假設。 H0：兩類別變數相互獨立 Ha：兩類別變數並非相互獨立 2. 由每一母體中選取一組隨機樣本，並蒐集樣本中每一元素的兩個變數。並將觀察次數 fij 記錄於 r 列 c 行的表中。 3. 假設虛無假設為真，並計算期望次數 eij。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第449頁獨立性檢定 • 兩類別變數獨立性的卡方檢定 4. 若每一儲存格中的期望次數 eij 是 5 或以上，即計算檢定統計量： 2 ( f  e )  2    ij ij i j eij 5. 拒絕法則： p 值法：若 p 值 ≤ α，則拒絕 H0 臨界值法：若 𝜒 2 ≥ 𝜒𝛼2 ，則拒絕 H0 其中卡方分配有(r－1)(c－1)個自由度且 α 為顯著水準。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第449頁獨立性檢定實例 • 某啤酒商進行一項調查，以決定酒客對淡啤酒、一般啤酒與黑啤酒的喜好。有200 位啤酒客被選出，每位均被要求指出在 3 種類型啤酒中最喜歡的 1 種。在問卷最後，要求回答者提供各種基本資料，其中包括性別。 • 其中 1 項有趣的研究問題是，啤酒客的性別是否與 3種類型啤酒的偏好相互獨立。若啤酒偏好與性別兩類別變數獨立，則啤酒偏好不會取決於性別，即對男性或女性啤酒客而言，可預期淡啤酒、一般啤酒與黑啤酒的偏好均相同。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第446頁獨立性檢定實例 • 然而，若是檢定結果此兩類別變數並非彼此獨立，我們就有證據說啤酒偏好與啤酒客性別有關或相依。如此我們可預期男性與女性的啤酒偏好不同，啤酒商即可使用此資訊，針對男性與女性不同的目標市場，採取不同的客製化廣告促銷。 • 此獨立性檢定之假設如下： H0：啤酒偏好與性別相互獨立 Ha：啤酒偏好與性別並非相互獨立樣本資料將彙整於啤酒偏好變數：淡、一般、黑，另一個是性別變數：男性與女性的雙向表格中。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第446頁獨立性檢定實例 • 200 位啤酒客的樣本研究結果彙整於表 12.6。 • 樣本資料係根據啤酒偏好與個別回答者之性別組合彙整而成。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第446頁獨立性檢定實例 • 對於類別變數性別，樣本中 200 位有 132 位是男性，可估計 132/200＝0.66 或66% 之啤酒客母體為男性。同樣我們可估計 68/200＝0.34 或 34% 之啤酒客母體為女性，故男性啤酒客顯然多於女性啤酒客約 2 比 1 。 • 3 種類型啤酒之樣本比例或百分比如下：喜好淡啤酒 90/200＝0.450 或 45.0% 喜好一般啤酒 77/200＝0.385 或 38.5% 喜好黑啤酒 33/200＝0.165 或 16.5% • 在整個樣本中，淡啤酒最受青睞，黑啤酒最差。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第447頁獨立性檢定實例 • 進行卡方檢定，以決定啤酒偏好與性別是否獨立。 • 計算方式和公式與 12.1 節中之卡方檢定相同。利用表 12.6 中列 i 與行 j 的 fij 之觀察次數，我們可算出在假設啤酒偏好與性別相互獨立下的期望次數 eij，期望次數計算與 12.1 節之邏輯與公式相同。。 • 例如，eij ＝(90)(132)/200＝59.40 為偏好淡啤酒的男性啤酒客之期望次數。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第447頁獨立性檢定實例 • 若啤酒偏好與性別獨立，可用式 (12.4) 找出如表 12.7 中的其他期望次數。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第447頁獨立性檢定實例 • 我們使用下列式子來計算卡方檢定統計量之值。 2 ( f  e )  2    ij ij i j eij • 表中列 r 欄 c ，卡方分配將有 (r－1)(c－1) 個自由度，各儲存格中的期望次數至少為 5，所以在此運用中，我們會使用 (3－1)(2－1) = 2 個自由度的卡方分配，計算卡方檢定計量的完整步驟整理如表 12.8。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第447頁獨立性檢定實例第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第448頁獨立性檢定實例 • 我們可使用自由度為 2 的卡方分配之右尾區域與 p 值法，來決定是否可以拒絕啤酒偏好與性別獨立之虛無假設。利用表 12.4 中之卡方分配表(列 2)，可得： • 如此，我們知 χ2＝6.45 的右尾區域介於 0.05 與 0.025 之間，且對應的右尾區域或 p 值必須介於 0.05 與 0.025 間。若 p 值 ≤ 0.05，我們即拒絕 H0，並結論啤酒偏好與啤酒客之性別並非獨立。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第447-448頁獨立性檢定實例 • 除了 p 值法外，我們也可使用臨界值法得到相同的結論。α＝0.05 與自由度 2，卡方檢定統計量之臨界值為 2 𝜒0.05 = 5.991，故右尾拒絕區域為若 𝜒 2 ≥ 5.991，則拒絕 H0 • 因為 6.45 ≥ 5.991，即拒絕 H0，所以 p 值法與臨界值法會得到同樣的結論。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第448頁獨立性檢定實例 • 當有證據顯示啤酒偏好與性別不獨立時，我們將需要由數據中獲得更多的洞察，以評估這兩變數之間的關係。有一種方法是個別計算男性與女性啤酒偏好回應的機率。這些計算如下：第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第448頁獨立性檢定實例第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第448頁獨立性檢定實例 • 樣本中女性啤酒客最喜歡淡啤酒，占 57.35%；而在男性啤酒客方面，一般啤酒最受喜愛，占 42.42%。女性較男性更偏好淡啤酒，男性在對一般啤酒及黑啤酒的偏好均高於女性。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第448頁 12.3 適合度檢定(P.452) • 多項機率分配 • 常態機率分配多項機率分配的適合度檢定 1. 列出虛無假設與對立假設。 H0：母體服從一含有 k 個類別及特定機率的多項分配 Ha：母體並未服從一含有 k 個類別及特定機率的多項分配 2. 選取一組隨機樣本，記錄每一類別的觀察次數 fi。 3. 假設虛無假設為真，將樣本大小乘以每一類別的機率，求得每一類別的期望次數 ei。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第455頁適合度檢定 4. 計算檢定統計量的值 ( fi  ei )   i 1 ei 2 k 2 第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第454頁適合度檢定 5. 拒絕法則： p 值法：若 p 值 ≤ a，則拒絕 H0 臨界值法： 2 2    若 a，則拒絕 H0 其中 α 為顯著水準，自由度為 k－1。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第455頁適合度檢定 • 適合度的檢定統計量 2 ( f  e ) 2   i i i 1 ei k 其中 fi＝類別 i 的觀察次數 ei＝類別 i 的期望次數 k＝類別的個數注意：此檢定統計量服從自由度為 k－1 的卡方分配，其中每個類別的期望次數皆須等於或大於 5。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第454頁多項機率分配實例 • 以 Scott 行銷研究公司進行的市場占有率的研究為例，某個產品在過去 1 年間，各廠商的市占率可說十分穩定，其中A、B、C 3 家公司的占有率分別為 30%、50% 與 20% • 因為每位顧客可被歸類為是向其中之一家公司購買產品。因此，我們有一個包含 3 種結果的多項機率分配。各結果的機率如下： pA＝顧客購買 A 公司產品的機率 pB＝顧客購買 B 公司產品的機率 pC＝顧客購買 C 公司產品的機率 • 使用此歷史市占率，可知此多項機率分配 pA＝0.30、 pB ＝0.50 與 pC＝0.20。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第453頁多項機率分配實例 • 最近 C 公司發展出「新改良性」產品，並將取代該公司目前在市場上的產品。該公司請 Scott 行銷研究公司協助判斷此一新產品是否會改變 3 家廠商的市占率。 • 基於樣本資料，可以使用以下假設檢定來確定 C公司的新產品是否可能會改變這 3 家公司的歷史市占率。 H0： pA＝0.30、 pB＝0.50 及 pC＝0.20 Ha：母體比例並非 pA＝0.30、 pB＝0.50 及 pC＝0.20 • 如果樣本結果導致我們拒絕 H0，則該市調公司即有充分證據認為 C 公司的新產品將會改變市占率。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第453頁多項機率分配實例 • 假設該市調公司選取 200 位顧客為一組樣本，在 A 公司、B 公司的既有產品及 C公司的新產品三者中，請每位顧客指出比較偏愛的產品，樣本結果如下所示。 • 在 H0： pA＝0.30、 pB＝0.50 與 pC＝0.20 的假設下，計算 200 位顧客的期望購買次數，其計算如下。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第453頁多項機率分配實例 • 令 α＝0.05，利用觀察次數與期望次數計算檢定統計量的值。由於所有的期望次數都等於或大於 5，卡方檢定統計量的計算如表 12.9 所示，即χ2＝7.34。 • 觀察次數與期望次數的差異夠大時，我們將拒絕虛無假設。此差異愈大會導致檢定統計量的值愈大，因此適合度的檢定為一右尾檢定，在檢定統計量的右尾區域計算 p 值，並據以決定是否拒絕虛無假設。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第454頁適合度檢定：多項機率分配實例 • 查卡方分配表 (表 12.4)，當自由度為 k－1＝3－1＝2 時，結果如下：第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第454頁多項機率分配實例 • 由於檢定統計量 χ2 ＝7.34 介於 5.991 與 7.378 之間，因此其對應的右尾區域或 p 值會落在 0.05 與 0.025 之間。因為 p 值 ≤ 0.05，我們的結論為拒絕 H0，亦即 C 公司藉由新產品的導入，將會改變目前市場占有率的結構。 • 運用附錄 D 的 Excel 可以算出當 χ2＝7.34 時，其 p 值為 0.0255。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第454頁多項機率分配實例 • 除了 p 值法外，我們也可以使用臨界法得到相同的結果。當 α＝0.05 且自由度為 2 時，檢定統計量的臨界值為 2 𝜒0.05 = 5.991，右尾拒絕法則即為若 χ2 ≥ 5.991，則拒絕 H0 • 由於 7.34 ≥ 5.991，因此拒絕 H0 。p 值和臨界值兩種方法都會有一致的檢定結果。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第454-455頁常態機率分配的適合度檢定 1. 列出虛無假設與對立假設。 H0：母體常態機率分配 Ha：母體並未為常態機率分配 2. 選取一組隨機樣本，且 a. 計算樣本平均數與樣本標準差。 b. 定義 k 個數值的區間，使得每個區間的期望次數至少為 5。使用等機率區間是一個可行的方法。 c. 記錄每個區間的觀察次數 fi。 3. 計算 2(b) 所定義的每個區間的期望次數 ei。將樣本數乘以常態隨機變數在該區間的機率。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第458-459頁常態機率分配的適合度檢定 4. 計算檢定統計量的值： 2 ( f  e ) 2   i i i 1 ei k 5. 拒絕法則： p 值法：若 p 值 ≤ a，則拒絕 H0 臨界值法：若 𝜒 2 ≥ 𝜒𝛼2 ，則拒絕 H0 其中 α 為顯著水準，且自由度為 k－3。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第459頁常態機率分配實例 • 以表12.10 Chemline 公司應徵者的測驗資料，來說明常態分配的適合度檢定。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第456頁常態機率分配實例 • Chemline 公司每年都為旗下 4 家工廠僱用 400 名新進員工，人事主管想瞭解測驗成績的母體是否呈常態分配。因為果真如此的話，公司便能更迅速判定任何特定測驗成績的良窳。例如，某份成績名列前 20%、後 40% 等。因此，我們要檢定的虛無假設是測驗成績的母體為常態分配。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第456頁常態機率分配實例 • 利用表 12.10 的資料，計算虛無假設中常態分配的平均數與標準差之估計值。我們以樣本平均數 𝑥ҧ 與樣本標準差 s，做為該常態分配的平均數與標準差的點估計量，其計算如下。 σ 𝑥𝑖 3421 𝑥ҧ = = = 68.42 𝑛 50 𝑠= σ 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ 2 = 𝑛−1 5310.0369 = 10.41 49 第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第456頁常態機率分配實例 • 根據上面的值，提出如下的假設： H0：測驗成績的母體呈平均數 68.42 及標準差 10.41 的常態分配 Ha：測驗成績的母體並非呈平均數 68.42 及標準差 10.41 的常態分配第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第456頁常態機率分配實例第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第457頁常態機率分配實例 • 在連續常態機率分配的情況下，我們必須以不同的方式，來定義測驗成績區間。 • 我們在定義測驗成績的類別時，必須使每一區間或類別的期望次數至少為 5。由於本例中樣本數為 50，為達到前述的要求，可將常態機率分配分割為 10 個有相同機率的區間，如圖 12.4 所示。因為樣本大小為 50，每個區間或類別的期望次數均為 5 。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第456頁常態機率分配實例第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第457頁常態機率分配實例 • 我們進一步來討論各類別界限的計算方式，由於將母體假定為常態機率分配，因此可使用標準常態機率分配表來決定這些界限。首先，考慮後 10% 測驗成績的上限。從標準常態機率分配表中可查出此一上限的 z 值為−1.28 ，換算成測驗成績為 x＝68.42－1.28(10.41)＝55.10。如果算的是後 20% 測驗成績的上限，則 z ＝−0.84，因此 x ＝ 68.42－0.84(10.41)＝59.68 。根據此種方式，可計算得到下列測驗成績之值。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第456頁常態機率分配實例第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第457頁常態機率分配實例 • 測驗成績的類別或區間已經定義完成，且每個類別的期望次數已知為 5，我們可回到表 12.10 的樣本資料，並決定各個類別的觀察次數。其結果如表 12.11 所示。 • 以表 12.11 為基礎，我們可進行和以前一樣的適合度檢定；也就是說，我們可藉由計算 χ2 值而將觀察與期望結果做一比較。計算卡方檢定統計量的過程列於表 12.12 中，檢定統計量的值為 χ2＝7.2。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第457頁常態機率分配實例第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第458頁常態機率分配實例第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第458頁常態機率分配實例 • 為了決定所計算的 χ2 值是否大到可以拒絕 H0，我們需要參考卡方分配表。根據計算適合度檢定自由度的法則，自由度為 𝑘 − 𝑝 − 1 = 10 − 2 − 1 = 7，其中有 k＝10 個類別及有 p＝2 個參數 ( 平均數與標準差 ) 必須從樣本資料來估計。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第458頁常態機率分配實例 • 假定我們是以 0.10 的顯著水準，檢定測驗成績為一常態分配的虛無假設，為了檢定這個假設，我們必須藉由自由度為 7 的卡方分配的右尾區域，算出檢定統計量 χ2＝ 7.2 的 p 值。 • 查表 12.4 的第 7 列，當 χ2＝7.2 時，右尾區域的 p 值會大於 0.10。 • 運用附錄 D 的 Excel 程序，可以算出 p 值＝0.4084 。由於 p 值 > 0.10，因此 Chemline 公司應徵者的測驗成績為常態機率分配的假設不應被拒絕；也就是說，常態機率分配可以拿來輔助測驗成績的解釋。第12章比較多個比例、獨立性與適合度的檢定第458頁 End of Chapter 12 66

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