STATISTIKA TERAPAN
Rangkuman dari 5-02, 5-55, 5-58
Dosen : Sakti Prabowo (Dosko)
TM 9
Estimasi dan Ukuran Sampel
A. Konsep Utama
1. Perkiraan/Estimasi Titik(Point Estimate)
Didefinisikan sebagai nilai tunggal(atau titik) yang digunakan untuk memperkirakan
parameter populasi
2. Proporsi Sampel
Proporsi sampel adalah estimasi titik terbaik dari proporsi populasi p
Contoh:
Pertanyaan : Dalam Bab Masalah kami mencatat bahwa dalam jajak pendapat Pew
Research Center, 70% dari 1501 orang dewasa yang dipilih secara acak di Amerika
Serikat percaya pada pemanasan global, jadi proporsi sampelnya adalah
0,70.
Temukan perkiraan terbaik dari proporsi semua orang dewasa di Amerika Serikat yang
percaya pada pemanasan global.
Jawaban :
Karena proporsi sampel adalah perkiraan titik terbaik dari proporsi populasi, kami
menyimpulkan bahwa perkiraan titik terbaik padalah 0,70. Saat menggunakan hasil
sampel untuk memperkirakan persentase semua orang dewasa di Amerika Serikat yang
percaya pada pemanasan global, perkiraan terbaik adalah 70%.
3. Interval Keyakinan
Didefinisikan sebagai rentang (atau interval) nilai yang digunakan untuk memperkirakan
nilai sebenarnya dari parameter populasi. Interval kepercayaan terkadang disingkat CI.
4. Tingkat Keyakinan
Didefinisikan sebagai probabilitas 1-α (sering dinyatakan sebagai persentase ekuivalen),
bahwa interval keyakinan sebenarnya mengandung parameter populasi dengan asumsi
bahwa proses estimasi diulangi berkali-kali. Tingkat keyakinan juga disebut degree of
confidence atau confidence coefficient. Nilai tingkat keyakinan berkisar 1 – 0, dimana
apabila nilai mendekati 1 maka akan semakin baik interval keyakinannya.
Confidence coefficient yang paling umum yaitu 90% (α = 10%), 95% (α= 5%), dan 99%
(α=1%).
B. Mengestimasi Proporsi Populasi
1. Critical Value(Nilai Kritis)
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
1
STATISTIKA TERAPAN
Nilai kritis adalah standar z score yang dapat digunakan
untuk
membedakan
antara
statistik
sampel
yang
cenderung terjadi dan yang tidak mungkin terjadi. Nilai
kritis didasarkan pada pengamatan berikut:Dalam kondisi
tertentu, distribusi sampling dari proporsi sample dapat
diperkirakan dengan distribusi normal.
Z-score
yang
terkait
dengan
proporsi
sampel
memiliki
kemungkinan α/2 berada di sisi kiri dan kanan ekor.
Notasi untuk nilai kritis
Nilai kritis z/2 adalah yang positif z nilai yang ada di batas vertikal yang memisahkan suatu
area /2 di ekor kanan distribusi normal standar. (Nilai dari -z/2 berada di batas vertikal
untuk area dari /2 di ekor kiri.) Subskrip /2 adalah hanya sebagai pengingat bahwa z skor
memisahkan suatu daerah dari /2 di ekor kanan distribusi normal standar.
Temuan z2 untuk 95% Tingkat kepercayaan diri
 = 5%
2 = 2,5% = 0,025
Temuan z2 untuk 95% Confidence Level – lanjutan
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
2
STATISTIKA TERAPAN
2. Margin of error
Margin of error adalah perbedaan kemungkinan maksimum (dengan probabilitas 1α) antara proporsi yang diamati dan nilai sebenarnya dari proporsi populasi p.
Notasi:
Keterangan:
E = Margin of error
p = population proportion
n = jumlah sample values
Zα/2 = z-score yang memisahkan area
α/2 di sisi kanan dari distribusi normal
standar.
Ketika data dari sampel acak sederhana digunakan untuk memperkirakan proporsi
populasi p, itu margin of error, dilambangkan dengan E, adalah perbedaan
kemungkinan maksimum (dengan probabilitas 1 - , seperti 0,95) antara proporsi
yang diamati dan nilai sebenarnya dari proporsi penduduk p. Margin kesalahan E
juga disebut kesalahan maksimum dari perkiraan dan dapat ditemukan dengan
mengalikan nilai kritis dan deviasi standar dari proporsi sampel.
3. Interval Keyakinan untuk Memperkirakan Proporsi Populasi p
1. Sampel adalah sampel acak sederhana.
2. Kondisi untuk distribusi binomial terpenuhi: ada sejumlah uji coba tetap, uji coba
independen, ada dua kategori hasil, dan probabilitas tetap konstan untuk setiap uji
coba.
3. Setidaknya ada 5 keberhasilan dan 5 kegagalan.
Rumus:
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
3
STATISTIKA TERAPAN
Prosedur-Interval Keyakinan
1. Pastikan bahwa asumsi yang diperlukan terpenuhi. (Sampel adalah sampel acak
sederhana, kondisi untuk distribusi binomial terpenuhi, dan distribusi normal dapat
digunakan untuk memperkirakan distribusi proporsi sampel karena np lebih besar
sama dengan 5, dan nq lebih besar sama dengan 5)
2. Lihat Tabel Z-Score dan temukan nilai kritis zα/2 yang sesuai dengan confidence
level yang diinginkan.
3. Mengevaluasi margin kesalahan
4. Dengan menggunakan nilai margin kesalahan yang dihitung, E dan nilai proporsi
sampel, p, cari nilai p - E dan p + E. Ganti nilai-nilai tersebut dalam format umum
untuk confidence interval:
5. Aturan Pembulatan: Bulatkan nilai tersebut menjadi tiga angka dibelakang koma
Contoh Soal:
Pow Research Center dari 1501 orang dewasa AS yang dipilih secara acak
menunjukkan bahwa 70% responden percaya pada pemanasan global. Hasil sampel
adalah n = 1501, dan p ˆ = 0.70
a. Temukan margin kesalahan E yang sesuai dengan confidence interval 95%.
b. Temukan estimasi confidence interval 95% dari proporsi populasi p
c. Berdasarkan hasil, dapatkah kita menyimpulkan bahwa mayoritas orang dewasa
percaya pada pemanasan global?
d. Dengan asumsi bahwa Anda adalah seorang reporter surat kabar, tulislah pernyataan
singkat yang secara akurat menjelaskan hasil dan mencakup semua informasi yang
relevan.
Jawaban
a. Pemeriksaan persyaratan: sampel acak sederhana; jumlah percobaan tetap, 1501;
uji coba bersifat independen; dua kategori hasil (percaya atau tidak); probabilitas
tetap konstan. Catatan: jumlah keberhasilan dan kegagalan minimal 5.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
4
STATISTIKA TERAPAN
Gunakan rumus untuk menemukan margin error
b. Interval kepercayaan 95%
c. Berdasarkan interval kepercayaan yang diperoleh pada bagian (b), terlihat bahwa
proporsi orang dewasa yang percaya pada pemanasan global lebih besar dari 0,5
(atau 50%), sehingga dapat disimpulkan bahwa mayoritas orang dewasa percaya
pada pemanasan global. Karena batas 0,677 dan 0,723 kemungkinan besar memuat
proporsi penduduk yang sebenarnya, maka tampak bahwa proporsi penduduk
bernilai lebih dari 0,5.
d. 70% orang dewasa Amerika Serikat percaya bahwa bumi semakin hangat.
Persentase itu didasarkan pada jajak pendapat Pew Research Center terhadap
1501 orang dewasa yang dipilih secara acak di Amerika Serikat. Secara teori, dalam
95% jajak pendapat semacam itu, persentase seharusnya berbeda tidak lebih dari
2,3 poin persentase di kedua arah dari persentase yang akan ditemukan dengan
mewawancarai semua orang dewasa di Amerika Serikat.
Saat menganalisis, pertimbangkan:
1. Sampel harus berupa sampel acak sederhana, bukan sampel yang tidak sesuai
(seperti sampel respons sukarela).
2. Tingkat kepercayaan harus disediakan. (Seringkali 95%, tetapi laporan media
sering lalai untuk mengidentifikasinya.)
3. Ukuran sampel harus disediakan. (Biasanya disediakan oleh media, tetapi tidak
selalu.)
4. Kecuali untuk kasus yang relatif jarang, kualitas hasil polling tergantung pada
metode pengambilan sampel dan ukuran sampel, tetapi ukuran populasi biasanya
bukan merupakan faktor.
C. Menentukan Ukuran Sampel
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
5
STATISTIKA TERAPAN
Apabila kita berencana untuk mengambil data sampel dengan tujuan menaksir proporsi
populasi, cara untuk mengetahui berapa banyak sampel yang harus diambil adalah
sebagai berikut:
Aturan Pembulatan untuk Menentukan Ukuran Sampel
Jika ukuran sampel dihitung n bukan bilangan bulat, dibulatkan dengan nilai n hingga
bilangan bulat besar berikutnya.
Contoh Soal
Internet memengaruhi kita semua dengan berbagai cara, jadi ada banyak alasan untuk
memperkirakan proporsi orang dewasa yang menggunakannya. Asumsikan bahwa
seorang manajer E-Bay ingin menentukan persentase saat ini dari orang dewasa A.S.
yang sekarang menggunakan Internet. Berapa banyak orang dewasa yang harus
disurvei agar ia memiliki 95% keyakinan bahwa persentase sampel error dari populasi
dengan tidak lebih dari tiga poin persentase?
a. Pada tahun 2006, 73% orang dewasa menggunakan Internet.
b. Tidak ada nilai proporsi yang diketahui.
Jawaban:
a.
Keterangan: Agar 95% yakin bahwa persentase sampel kami berada dalam tiga poin
persentase dari persentase sebenarnya untuk semua orang dewasa, kami harus
memperoleh sampel acak sederhana dari 842 orang dewasa.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
6
STATISTIKA TERAPAN
b.
Keterangan : Untuk menjadi 95% yakin bahwa persentase sampel kami berada dalam
tiga poin persentase dari persentase sebenarnya untuk semua orang dewasa, kami
harus memperoleh sampel acak sederhana sebanyak 1.068 orang dewasa.
Menemukan Perkiraan/Estimasi Titik dan E dari Interval Keyakinan
D. Mengestimasi Mean Populasi: α Diketahui
Rata-rata sampel x adalah perkiraan poin terbaik dari rata-rata populasi µ
 = rata-rata populasi
 = deviasi standar populasi
X bar= rata-rata sampel
n = jumlah nilai sampel
E = margin error
z/ 2 = z skor memisahkan suatu area Sebuah/ 2 di ekor kanan distribusi normal
standar(z score yang menjadi critical value)
Asumsi yang harus dipegang:
1. Sampel adalah simple random sampling. (Semua sampel dengan ukuran yang sama
memiliki peluang yang sama untuk dipilih.)
2. Nilai standar deviasi populasi diketahui.
3. Salah satu atau kedua kondisi ini terpenuhi: Populasi terdistribusi normal atau n> 30.
Formula Interval Keyakinan untuk Memperkirakan Rata-rata Populasi (dengan 
Diketahui)
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
7
STATISTIKA TERAPAN
Prosedur-Confidence Interval/Interval Keyakinan
1. Pastikan bahwa asumsi yang diperlukan terpenuhi.
2. Lihat Tabel Z-Score dan temukan nilai kritis zα/2 yang sesuai dengan confidence level
yang diinginkan.
3. Mengevaluasi margin error
4. Temukan nilai confidence interval
5. Bulatkan. Apabila mengetahui nilai asli data, bulatkan satu angka decimal lebih
banyak. Apabila hanya mengetahui summary statistics maka bulatkan sebanyak desimal
mean
Contoh Soal:
Dalam beberapa dekade terakhir, berat rata-rata pria telah meningkat secara signifikan,
jadi kami perlu memperbarui perkiraan kami tentang hal itu sehingga kapal, pesawat
terbang, lift, dan perangkat lain tidak menjadi kelebihan muatan. Kami memperoleh
statistik sampel ini untuk sampel acak sederhana: n = 40 dan = 172,55 lb. Penelitian dari
beberapa sumber lain menunjukkan bahwa populasi bobot pria memiliki standar deviasi
 = 26 lb.
a. Temukan point testimate terbaik dari berat rata-rata populasi semua pria.
b. Buatlah perkiraan confidence interval 95% dari berat rata-rata semua pria.
c. Apa hasil yang disarankan tentang berat rata-rata 166,3 lb yang digunakan untuk
menentukan kapasitas penumpang yang aman dari kapal air pada tahun 1960 (seperti
yang diberikan dalam rekomendasi keselamatan Dewan Keselamatan dan Transportasi
Nasional M-04-04)?
Jawaban
a. Rata-rata sampel 172,55 lb adalah perkiraan titik terbaik dari berat rata-rata populasi semua
pria.
b.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
8
STATISTIKA TERAPAN
c. Berdasarkan interval kepercayaan ada kemungkinan bahwa berat rata-rata 166,3 lb yang
digunakan pada tahun 1960 bisa menjadi berat rata-rata laki-laki saat ini. Namun, perkiraan
titik terbaik dari 172,55 lb menunjukkan bahwa berat rata-rata laki-laki sekarang jauh lebih
besar dari 166,3 lb. Mempertimbangkan bahwa perkiraan yang terlalu rendah dari rata-rata
berat laki-laki dapat mengakibatkan hilangnya nyawa melalui kapal dan pesawat yang
kelebihan muatan, hasil ini sangat menyarankan bahwa data tambahan harus dikumpulkan.
(Data tambahan telah dikumpulkan, dan asumsi berat badan rata-rata pria telah
ditingkatkan.)
Menemukan Ukuran Sampel untuk Memperkirakan Rata-rata Populasi
Menemukan Ukuran Sampel n Kapan  tidak diketahui
1. Gunakan aturan praktis kisaran (lihat Bagian 3- 3) untuk memperkirakan deviasi
standar sebagai berikut:   jarak / 4.
2. Memulai proses pengumpulan sampel tanpa mengetahuinya  dan, dengan
menggunakan beberapa nilai pertama, hitung simpangan baku sampel s dan gunakan
sebagai pengganti  . Nilai perkiraan  kemudian dapat ditingkatkan karena lebih
banyak data sampel diperoleh, dan ukuran sampel dapat disempurnakan.
3. Perkirakan nilai  dengan menggunakan hasil beberapa studi lain yang telah
dilakukan sebelumnya
Contoh Soal
Asumsikan bahwa kami ingin memperkirakan skor IQ rata-rata untuk populasi siswa
statistik. Berapa banyak statistik yang harus dipilih secara acak untuk tes IQ jika kita
ingin keyakinan 95% bahwa rerata sampel berada dalam 3 poin IQ dari rerata populasi?
Jawaban
 = 0.05
 /2 = 0.025
z / 2 = 1.96
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
9
STATISTIKA TERAPAN
E=3
 = 15
Keterangan: Dengan sampel acak sederhana yang hanya terdiri dari 97 siswa statistik,
kami akan 95% yakin bahwa rata-rata sampel berada dalam 3 poin IQ dari rata-rata
populasi sebenarnya.
E. Memperkirakan Rata-rata Populasi:  Tidak diketahui
Bagian ini menyajikan metode untuk memperkirakan rata-rata populasi saat deviasi
standar populasi adalah tidak diketahui. Dengan σ tidak diketahui, dapat menggunakan
Student t distribusi dengan asumsi bahwa persyaratan yang relevan terpenuhi.
1. Distribusi t student adalah distribusi untuk semua sampel ukuran n dan digunakan
untuk menemukan nilai kritis yang ditunjukkan oleh tα/2. (untuk mencari tα/2 dapat
menggunakan table A-3).
Rumus:
2. Degree of Freedom
Nilai degree of freedom untuk pengumpulan data sampel adalah jumlah nilai sampel
yang dapat bervariasi setelah pembatasan tertentu diberlakukan pada semua nilai data.
Pada t distribution:
df = n-1
Margin of Error E untuk Estimasi (Dengan σ Tidak diketahui)
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
10
STATISTIKA TERAPAN
Keterangan:
Prosedur – Confidence Interval
1. Pastikan bahwa asumsi yang diperlukan terpenuhi.
2. Lihat Tabel t-Score dan temukan nilai kritis tα/2 yang sesuai dengan confidence level
yang diinginkan dan gunakan df yang sesuai.
3. Mengevaluasi margin kesalahan.
4. Temukan nilai confidence interval x bar -E dan x bar +E
5. Bulatkan. Apabila mengetahui nilai asli data, bulatkan satu angka decimal lebih
banyak. Apabila hanya mengetahui summary statistics maka bulatkan sebanyak desimal
mean
Contoh soal
Klaim umum adalah bawang putih menurunkan kadar kolesterol. Dalam tes efektivitas
bawang putih, 49 subjek diobati dengan dosis bawang putih mentah, dan kadar
kolesterol mereka diukur sebelum dan sesudah perawatan. Perubahan kadar kolesterol
LDL mereka (dalam mg / dL) memiliki rata-rata 0,4 dan standar deviasi 21,0. Gunakan
statistik sampel n = 49, = 0,4 dan s = 21,0 untuk mengestimasi confidence interval 95%
dari perubahan bersih rata-rata kolesterol LDL setelah pengobatan bawang putih. Apa
yang disarankan oleh confidence interval tentang efektivitas bawang putih dalam
mengurangi kolesterol LDL?
Jawaban
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
11
STATISTIKA TERAPAN
Keterangan: Kami 95% yakin bahwa batas –5.6 dan 6.4 benar-benar mengandung nilai
, itu rata-rata perubahan kolesterol LDL untuk populasi. Karena batasan interval
kepercayaan mengandung nilai 0, maka hal tersebut sangat memungkinkan bahwa ratarata perubahan kolesterol LDL sama dengan 0, menunjukkan bahwa pengobatan
bawang putih tidak mempengaruhi kadar kolesterol LDL. Sepertinya tidak pengobatan
bawang putih efektif dalam menurunkan kolesterol LDL.
Karakteristik t distribution:
1. Distribusi t Student berbeda untuk ukuran sampel yang berbeda (lihat slide berikut,
untuk kasus n = 3 dan n = 12).
2. Distribusi t Student memiliki bentuk lonceng simetris umum yang sama dengan
distribusi normal standar tetapi mencerminkan variabilitas yang lebih besar (dengan
distribusi yang lebih luas) yang diharapkan dengan sampel kecil.
3. Distribusi t Student memiliki rata-rata t = 0 (seperti halnya distribusi normal standar
memiliki rata-rata z = 0).
4. Deviasi standar dari distribusi t Student bervariasi dengan ukuran sampel dan lebih
besar dari 1 (tidak seperti distribusi normal standar, yang memiliki σ = 1).
5. Ketika ukuran sampel n semakin besar, distribusi Student t semakin mendekati
distribusi normal.
Perbandingan t distribution:
F. Memilih Distribusi yang Tepat
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
12
STATISTIKA TERAPAN
Keterangan:
Menemukan Perkiraan Titik dan E dari Interval Keyakinan
G. Memperkirakan Varians Populasi
1. Chi-Square Distribution
Dalam populasi yang terdistribusi normal dengan varian  2 asumsikan bahwa kita
secara acak memilih sampel independen ukuran n dan, untuk setiap sampel,
menghitung varians sampel s 2 (yang merupakan kuadrat dari standar deviasi
sampel s). Statistik sampel  2 (diucapkan chi-square) memiliki distribusi sampel
yang disebut distribusi chi-square.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
13
STATISTIKA TERAPAN
Jenis-jenis Distribusi Chi-Square
1. Distribusi chi-kuadrat tidak simetris, tidak seperti yang normal dan Pelajar t distribusi.
Distribusi Chi-Square Distribusi Chi-Square untuk df = 10 dan df = 20 Ketika jumlah
derajat kebebasan meningkat, maka distribusi menjadi lebih simetris.
2. Nilai chi-square bisa nol atau positif, tetapi tidak boleh negatif.
3. Distribusi chi-square berbeda untuk setiap nilai degrees of freedom. Saat df semakin
membesar, distribusi Chi-Square akan mendekati distribusi normal.
Contoh Soal:
Sampel acak sederhana dari sepuluh level tegangan diperoleh. Pembuatan interval
kepercayaan untuk deviasi standar populasi membutuhkan nilai kritis kiri dan kanan  2
sesuai dengan tingkat kepercayaan 95% dan ukuran sampel n = 10. Temukan nilai kritis
 2 memisahkan area 0,025 di ekor kiri, dan mencari nilai kritis  2 memisahkan area
seluas 0,025 di ekor kanan.
Jawaban:
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
14
STATISTIKA TERAPAN
Deviasi standar sampel s adalah perkiraan titik yang umum digunakan  (meskipun ini
merupakan perkiraan yang bias).
Persyaratan:
1. Sampel adalah sampel acak sederhana.
2. Populasi harus memiliki nilai yang terdistribusi normal (meskipun sampelnya besar)
Prosedur:
1. Pastikan bahwa asumsi yang diperlukan terpenuhi.
2. Dengan menggunakan n - 1 degree of freedom, lihat Tabel A-4 atau gunakan teknologi
untuk menemukan nilai kritis 2 R dan 2 L yang sesuai dengan tingkat kepercayaan
yang diinginkan.
3. Tentukan batas confidence interval atas dan bawah menggunakan format confidence
interval ini:
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
15
STATISTIKA TERAPAN
4. Akarkan
kedua
sisi
tersebut
untuk
mendapatkan standar deviasi.
5. Bulatkan. Apabila mengetahui nilai asli data,
bulatkan satu angka decimal lebih banyak.
Apabila
hanya
mengetahui
summary
statistics maka bulatkan sebanyak desimal
variance
Contoh Soal:
Pengoperasian yang tepat dari peralatan rumah tangga yang umum membutuhkan level
voltase yang tidak jauh berbeda. Di bawah ini tercantum sepuluh level tegangan (dalam
volt) yang direkam di rumah penulis pada sepuluh hari yang berbeda. Sepuluh nilai ini
memiliki standar deviasi s = 0,15 volt. Gunakan data sampel berikut untuk mengestimasi
confidence interval 95% dari standar deviasi dari semua level tegangan.
123.3 123.5 123.7 123.4 123.6 123.5 123.5 123.4 123.6 123.8
Jawaban
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
16
STATISTIKA TERAPAN
Kalau untuk pekerjaan yang sederhana
saja kita tidak mampu untuk
memebrikan yang terbaik, maka
jangan harap kita akan mampu
melakukan hal yang jauh lebih besar.Iman Usman
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
17
STATISTIKA TERAPAN
Rangkuman dari 5-24
Dosen : Robinson
TM 9
Estimasi dan Ukuran Sampel (Estimates and Sample Sizes)
PREVIEW
Statistik Inferensial
Dua aktivitas utama statistik inferensial adalah (1) menggunakan data sampel untuk
memperkirakan nilai parameter populasi, dan (2) untuk menguji hipotesis atau klaim yang
dibuat tentang parameter populasi.
ESTIMATING A POPULATION PROPORTION
Definisi
1.
Point estimate Sebuah nilai (point) yang digunakan untuk menebak nilai parameter yang
ada di populasi
2.
Confidence Interval (CI) Sebuah range (atau interval) dari nilai-nilai yang digunakan untuk
mengestimasi nilai sebenarnya dariparameter milik populasi
3.
Margin of error Sebuah nilai maksimum yang menghitung selisih (perbedaan) dengan
probabilitas tertentu (seperti 1- α) diantara nilai yang diestimasi dan parameter populasi
Critical Value dan Confidence Level
Confidence Level
Berbentuk probabilitas 1 – α yang dinotasikan dengan persentase yang menekankan tingkat
kepercayaan bahwa confidence interval mengandung nilai parameter milik populasi
Most common choices are 90% (α=10%), 95% (α=5%), or 99% (α=1%)
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
18
STATISTIKA TERAPAN
Critical Value
Dinotasikan dengan Zα/2 dan merupakan pembatas antara nilai usual dan unusual dari sebuah
distribusi.
Finding Zα/2 for a 95% Confidence Level
Margin of Error for Proportions
Margin of error, dilambangkan dengan E, adalah perbedaan kemungkinan maksimum (dengan
probabilitas 1 - α, seperti 0,95) antara proporsi yang diamati dan nilai sebenarnya dari proporsi
penduduK.
E  z 2
ˆˆ
pq
n
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
19
STATISTIKA TERAPAN
Confidence Interval for Estimating a Population Proportion p
1.
Sampel adalah simple random sample.
2.
Kondisi untuk distribusi binomial terpenuhi: ada sejumlah uji coba, uji coba independen,
ada dua kategori hasil, dan probabilitas tetap konstan untuk setiap uji coba.
3.
Setidaknya ada 5 keberhasilan dan 5 kegagalan
Confidence Interval for Estimating a Population Proportion p
Round-Off Rule for Confidence Interval Estimates of p
Bulatkan confidence interval limits for p three significant digits (tiga angka di belakang
koma)
Procedure for Constructing a Confidence Interval for p
1.
Verifikasi bahwa asumsi yang diperlukan sudah dipenuhi. (Sampel adalah sampel acak
sederhana, kondisi distribusi binomial terpenuhi, dan distribusi normal dapat digunakan
untuk mendekati distribusi proporsi sampel karena np ≥ 5, dan nq ≥5).
2.
Lihat Tabel A-2 dan temukan nilai kritisnya Zα/2 yang sesuai dengan tingkat kepercayaan
yang diinginkan.
3.
Evaluasi margin of error.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
20
STATISTIKA TERAPAN
4.
Dengan menggunakan nilai margin kesalahan yang dihitung, E dan nilai proporsi sampel, p,
cari nilai p - E dan p + E. Ganti nilai-nilai tersebut dalam format umum untukconfidence
interval
5.
Bulatkan nilai tersebut menjadi tiga angka di belakang koma
Contoh soal
Pow Research Center dari 1501 orang dewasa AS yang dipilih secara acak
menunjukkan bahwa 70% responden percaya pada pemanasan global. Hasil
sampel adalah n = 1501, dan
a. Temukan margin kesalahan E yang sesuai dengan confidence interval 95%.
b. Temukan estimasi confidence interval 95% dari proporsi populasi hal
Jawaban
a. Tentukan Zα/2
Dengan tabel A-2 atau dengan excel
Rumus Excel
Zα/2 =abs(NORM.S.INV(0,025))
Tentukan E
ˆˆ
pq
 1.96
n
E  0.023183
E  z 2
 0.70  0.30 
1501
b. confidence interval 95%
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
21
STATISTIKA TERAPAN
Sample Sizes
Misal kita ingin mengumpulkan data sampel untuk memperkirakan beberapa proporsi populasi.
Pertanyaannya adalah berapa banyak barang sampel harus diperoleh?
Determining Sample Size
Jika ukuran sampel dihitung n bukan bilangan bulat, dibulatkan dengan nilai n hingga
bilangan bulat besar berikutnya.
Finding the Point Estimate and E from a Confidence Interval
ESTIMATING A POPULATION MEAN: σ KNOWN
The sample mean is the best point estimate of the population mean µ.
Asumsi
1.
Sampel adalah simple random sampling. (Semua sampel dengan ukuran yang sama
memiliki peluang yang sama untuk dipilih.)
2.
Nilai standar deviasi populasi diketahui.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
22
STATISTIKA TERAPAN
3.
Salah satu atau kedua kondisi ini terpenuhi: Populasi terdistribusi normal atau n> 30
Confidence Interval for Estimating a Population Mean (with
σ Known)
Notasi
Confidence Interval
Sample mean
1.
Untuk semua populasi, mean sampel adalah unbiased estimator dari rata-rata populasi µ,
artinya distribusi mean sampel cenderung berpusat pada nilai mean populasi.
2.
Untuk banyak populasi, distribusi mean sampel cenderung lebih konsisten (dengan variasi
yang lebih sedikit) daripada distribusi statistik sampel lainnya.
Procedure for Constructing a Confidence Interval for µ (with Known σ )
1.
Pastikan bahwa asumsi yang diperlukan terpenuhi.
2.
Lihat Tabel Z-Score dan temukan nilai kritis zα/2 yang sesuaidengan confidence level yang
diinginkan.
3.
Mengevaluasi margin kesalahan.
4.
Temukan nilai confidence interval x-E dan x+E
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
23
STATISTIKA TERAPAN
5.
Bulatkan. Apabila mengetahui nilai asli data, bulatkan satu angka decimal lebih banyak.
Apabila hanya mengetahui summary statistics maka bulatkan sebanyak desimal mean
Contoh soal
Dalam beberapa dekade terakhir, berat rata-rata pria telah meningkat secara signifikan, jadi
kami perlu memperbarui perkiraan kami tentang hal itu sehingga kapal, pesawat terbang, lift,
dan perangkat lain tidak menjadi kelebihan muatan. Kami memperoleh statistik sampel ini
untuk sampel acak sederhana: n = 40 dan X bar = 172,55 lb. Penelitian dari beberapa sumber
lain menunjukkan bahwa populasi
bobot pria memiliki standar deviasi = 26 lb.
a. Temukan point estimate terbaik dari berat rata-rata populasi semua pria.
b. Buatlah perkiraan confidence interval 95% dari berat rata-rata semua pria.
Jawaban
a. Rata-rata sampel 172,55 pon
b. Confidence Interval
Finding a Sample Size for Estimating a Population Mean
E where E  z 2 

n
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
24
STATISTIKA TERAPAN
Jika ukuran sampel dihitung n bukan bilangan bulat, dibulatkan dengan nilai n hingga
bilangan bulat besar berikutnya.
Finding the Sample Size n When σ is Unknown
1.
Gunakan range rule of thumb untuk mengestimasi standard deviation σ ≈ range/4
2.
Memulai proses pengumpulan sampel tanpa mengetahui σ dan, dengan menggunakan
beberapa nilai pertama, hitung simpangan baku sampel s dan gunakan sebagai pengganti
σ.
3.
Eatimasikan nilai σ dengan menggunakan hasil beberapa studi lain yang telah dilakukan
sebelumnya.
Contoh soal
Asumsikan bahwa kami ingin memperkirakan skor IQ rata-rata untuk populasi siswa statistik.
Berapa banyak statistik yang harus dipilih secara acak untuk tes IQ jika kita ingin keyakinan
95% bahwa rerata sampel berada dalam 3 poin IQ dari rerata populasi?
ESTIMATING A POPULATION MEAN: σ NOT KNOWN
Student t Distribution
Apabila distribusi populasi berbentuk normal maka distribusi:
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
25
STATISTIKA TERAPAN
Adalah Student t Distribution untuk semua sampel pada size n. Distribusi ini juga seringkali
disebut t distribution dimana ia dipakai untuk menghitung critical value tα/2
Degree of Freedom
Nilai degree of freedom untuk pengumpulan data sampel adalah jumlah nilai sampel yang dapat
bervariasi setelah pembatasan tertentu diberlakukan pada semua nilai data.
Pada t distribution:
df = n-1
Margin of Error E for Estimate of µ (With σ Not Known)
Confidence Interval for the Estimate of μ (With σ Not Known)
Procedure for Constructing a Confidence Interval for µ (With σ Unknown)
1.
Pastikan bahwa asumsi yang diperlukan terpenuhi.
2.
Lihat Tabel t-Score dan temukan nilai kritis tα/2 yang sesuai dengan confidence level yang
diinginkan dan gunakan df yang sesuai.
3.
Mengevaluasi margin kesalahan.
4.
Temukan nilai confidence interval x-E dan x+E
Contoh soal
Klaim umum adalah bawang putih menurunkan kadar kolesterol. Dalam tes efektivitas bawang
putih, 49 subjek diobati dengan dosis bawang putih mentah, dan kadar kolesterol mereka diukur
sebelum dan sesudah perawatan. Perubahan kadar kolesterol LDL mereka (dalam mg / dL)
memiliki rata-rata 0,4 dan standar deviasi 21,0. Gunakan statistik sampel n = 49, x bar= 0,4 dan
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
26
STATISTIKA TERAPAN
s = 21,0 untuk mengestimasi confidence interval 95% dari perubahan bersih rata-rata kolesterol
LDL setelah pengobatan bawang putih.
Jawaban
Persyaratan terpenuhi: sampel acak sederhana dan n = 49 (yaitu, n > 30).
95%
menyiratkan
Sebuah
=
0,05.
Dengan n = 49, df = 49 - 1 = 48
Df terdekat adalah 50, dua ekor, jadi tα/2 = 2.009
Menggunakan tα/2 = 2.009, s = 21.0 dan n = 49 margin of error adalah:
Confidence Interval
Karakteristik t distribution
1.
Distribusi t Student berbeda untuk ukuran sampel yang berbeda (lihat slide berikut, untuk
kasus n = 3 dan n = 12).
2.
Distribusi t Student memiliki bentuk lonceng simetris umum yang sama dengan distribusi
normal standar tetapi mencerminkan variabilitas yang lebih besar (dengan distribusi yang
lebih luas) yang diharapkan dengan sampel kecil.
3.
Distribusi t Student memiliki rata-rata t = 0 (seperti halnya distribusi normal standar memiliki
rata-rata z = 0).
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
27
STATISTIKA TERAPAN
4.
Deviasi standar dari distribusi t Student bervariasi dengan ukuran sampel dan lebih besar
dari 1 (tidak seperti distribusi normal standar, yang memiliki σ = 1).
5.
Ketika ukuran sampel n semakin besar, distribusi Student t semakin mendekati distribusi
normal
Student t Distributions for n = 3 and n = 12
Choosing the Appropriate Distribution
Finding the Point Estimate and E from a Confidence Interval
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
28
STATISTIKA TERAPAN
ESTIMATING A POPULATION VARIANCE
Chi-Square Distribution
Dalam populasi yang terdistribusi normal dengan varian σ asumsikan bahwa kita secara acak
memilih sampel independenukuran n dan, untuk setiap sampel, menghitung varians sampel s2
(yang merupakan kuadrat dari standar deviasi sampel s). Statistiksampel x 2 (diucapkan chisquare) memiliki distribusi sampel yang
disebut distribusi chi-square.
Properties of the Distribution of the Chi-Square Statistic
1.
Distribusi chi-square tidak simetris, tidak seperti yang normal dan Pelajar t distribusi. Ketika
jumlah derajat kebebasan meningkat, maka distribusi menjadi lebih simetris.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
29
STATISTIKA TERAPAN
2.
Nilai chi-square bisa nol atau positif, tetapi tidak boleh negatif.
3.
Distribusi chi-square berbeda untuk setiap derajat kebebasan, yaitu df = n - 1. Ketika
jumlah derajat kebebasan meningkat, distribusi chi-kuadrat mendekati distribusi normal.
Pada Tabel A-4, masing-masing nilai kritis x2 sesuai dengan area yang diberikan di baris
atas tabel, dan area itu mewakili area kumulatif terletak di sebelah kanan dari nilai kritis.
Contoh
Sampel acak sederhana dari sepuluh level tegangan diperoleh. Pembuatan interval
kepercayaan untuk deviasi standar σ populasi membutuhkan nilai kritis kiri dan kanan x2 sesuai
dengan tingkat kepercayaan 95% dan ukuran sampel n = 10. Temukan nilai kritis x2
memisahkan area 0,025 di ekor kiri, dan mencari nilai kritis x2 memisahkan area seluas 0,025 di
ekor kanan.
Rumus Excel
Ekor kiri
=CHISQ.INV(0.025,9)
Ekor kanan
=CHISQ.INV(0.975,9)
Estimators of σ2
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
30
STATISTIKA TERAPAN
2
The sample variance s is the best point estimate of the population variance σ2.
Estimators of σ
Deviasi standar sampel s adalah estimate point yang umum digunakan σ
(meskipun ini
merupakan perkiraan yang bias).
Confidence Interval for Estimating a Population Standard Deviation or Variance
Confidence Interval for the
Population Variance
Confidence Interval for the
Population Standard Deviation
Procedure for Constructing a Confidence Interval for σ2 or σ
1.
Pastikan bahwa asumsi yang diperlukan terpenuhi.
2.
Dengan menggunakan n - 1 degree of freedom, lihat Tabel A-4 atau gunakan excel untuk
menemukan nilai kritis x2L dan x2R yang sesuai dengan tingkat kepercayaan yang
diinginkan.
3.
Tentukan batas confidence interval atas dan bawah menggunakan format confidence
interval ini
4.
Akarkan kedua sisi tersebut untuk mendapatkan standar deviasi.
5.
Bulatkan. Apabila mengetahui nilai asli data, bulatkan satu angka decimal lebih banyak.
Apabila hanya mengetahui summary statistics maka bulatkan sebanyak desimal variance
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
31
STATISTIKA TERAPAN
Contoh soal
Pengoperasian yang tepat dari peralatan rumah tangga yang umum membutuhkan level voltase
yang tidak jauh berbeda. Di bawah ini tercantum sepuluh level tegangan (dalam volt) yang
direkam di rumah penulis pada sepuluh hari yang berbeda. Sepuluh nilai ini memiliki standar
deviasi s = 0,15 volt. Gunakan data sampel berikut untuk mengestimasi confidence interval 95%
dari standar deviasi dari semua level tegangan.
123.3 123.5 123.7 123.4 123.6 123.5 123.5 123.4 123.6 123.8
Jawaban
0.010645   2  0.075000
0.10 volt    0.27 volt.
Berdasarkan hasil ini, kami memiliki keyakinan 95% bahwa batas 0,10 volt dan 0,27 volt
mengandung nilai sebenarnya σ.
Determining Sample Sizes
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
32
STATISTIKA TERAPAN
Contoh soal
Kami ingin memperkirakan deviasi standar dari semua level tegangan di rumah. Kami ingin
95% yakin bahwa perkiraan kami berada dalam 20% dari nilai sebenarnya . Seberapa besar
sampelnya? Asumsikan bahwa populasi berdistribusi normal.
Jawaban
Dari Tabel di atas kita dapat melihat bahwa kepercayaan 95% dan kesalahan 20% untuk sesuai
dengan sampel berukuran 48. Kita harus mendapatkan sampel acak sederhana dari 48 level
tegangan dari populasi level tegangan.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
33
STATISTIKA TERAPAN
TM 10
Uji Hipotesis Awal
A. Preview
Dalam statistik, hipotesis adalah klaim atau pernyataan tentang properti suatu
populasi. Uji hipotesis (atau uji signifikansi) adalah prosedur standar untuk menguji
klaim tentang properti suatu populasi.
Contoh hipotesis yang dapat dilakukan pengujian di bidang :
 Genetik : The Genetics & IVF Institute mengklaim bahwa metode XSORT
memungkinkan pasangan meningkatkan kemungkinan memiliki bayi perempuan.
 Business : Sebuah headline surat kabar menyatakan bahwa sebagian besar
pekerja mendapatkan pekerjaan melalui networking.
 Medicine : Peneliti medis mengklaim bahwa ketika orang yang masuk angin
diobati dengan echinacea, pengobatan tersebut tidak berpengaruh.
 Aircraft Safety : Federal Aviation Administration mengklaim bahwa berat rata-rata
penumpang maskapai (termasuk bagasi kabin) lebih besar dari 185 ponds.
 Quality Control : Perusahaan teknologi A mengklaim bahwa mobil V keluaran
2020 lebih efisien karena variabel kesalahan di produk sebelumnya sudah
diperbaiki.
Catatan :
“Saat melakukan pengujian hipotesis, daripada langsung beralih ke prosedur dan
penghitungan, pastikan untuk mempertimbangkan konteks datanya, sumber data, dan
metode pengambilan sampel.”
B. Dasar Pengujian Hipotesis
Rare Event Rule, jika dengan asumsi tertentu, probabilitias terjadinya suatu peristiwa
sangat kecil, dapat disimpulkan bahwa asumsi tersebut mungkin salah.
Null Hypothesis (H0)
 Merupakan pernyataan bahwa nilai parameter populasi (proporsi, rata-rata, atau
standar deviasi) sama (=) dengan beberapa nilai yang diklaim, dimana H0
diformulasikan untuk ditolak atau tidak ditolak sesuai pengujian.
 Pada pengujian ini, kita menguji hipotesis nol secara langsung dengan kesimpulan
menolak H0 atau gagal menolak H0. Apabila H0 tidak ditolak atau diterima, hal itu
menunjukkan bahwa berdasarkan data sampel, ternyata tidak terdapat cukup bukti
untuk menolak H0.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
1
STATISTIKA TERAPAN
Alternative Hypothesis (H1)
 Merupakan pernyataan bahwa parameter memiliki nilai yang berbeda dari
hipotesis nol (H0).
 Bentuk simbolis menggunakan salah satu dari simbol berikut: tidak sama dengan
(≠), kurang dari (<), atau lebih dari (>).
Catatan :
“Jika kita melakukan studi dan ingin menggunakan uji hipotesis untuk mendukung
klaim kita, klaim tersebut harus dibuat dalam kata-kata sehingga menjadi hipotesis
alternatif”
Tes Statistics
Merupakan nilai yang digunakan dalam membuat keputusan tentang hipotesis nol,
dan ditemukan dengan mengonversi statistik sampel menjadi skor dengan asumsi
bahwa hipotesis nol itu benar.
Critical Region (Rejection Region)
Merupakan himpunan semua nilai uji statistik yang menyebabkan kita menolak
hipotesis nol
Significance Level ()
Probabilitas bahwa statistik uji akan jatuh di wilayah kritis ketika hipotesis nol
sebenarnya benar. Pilihan umum untuk alfa (α) adalah 0.05; 0.01; dan 0.1.
Pada pengujian kali ini, kita membandingkan nilai test Statistics yang kita dapat
dengan rumus sebelumnya dengan nilai test statistic yang berdasar pada tingkat
signifikansi.
Critical Value
Nilai apa pun yang memisahkan critical region (tempat menolak hipotesis nol) dari nilai
statistik uji yang tidak mengarah pada penolakan hipotesis nol. Critical value
bergantung pada sifat hipotesis nol, distribusi sampling yang berlaku, dan Significance
Level ()
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
2
STATISTIKA TERAPAN
P-Value
Probabilitas untuk mendapatkan nilai uji statistik yang setidaknya sama ekstrimnya
dengan yang mewakili data sampel, dengan asumsi hipotesis nol (H0) benar.
Hipotesis nol ditolak (reject) jika P-value sangat kecil (kurang dari 0.05)
Jika nilai P rendah  menolak H0
Jika nilai P tinggi  gagal menolak Ho
P-Value VS Proporsi (p)
P-value = probabilitas untuk mendapatkan statistik pengujian setidaknya sama
ekstrimnya dengan yang mewakili data sampel
p = proporsi populasi
Langkah-Langkah menguji Hipotesis
1. Tentukan H0 dan H1
2. Tentukan alpha (α) -> peluang kita tolak H0 padahal H0 benar (error tipe 1)
Biasanya 1% (bidang medis) ,5%,10%
3. Tentukan nilai uji yang dipakai
a. Proporsi
Np>5, Nq>5
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
3
STATISTIKA TERAPAN
b. Rata-rata
Jika standar deviasi diketahui
Jika standar deviasi tidak diketahui
c. Standar deviasi
4. Tentukan wilayah kritis atau wilayah tolak
5. Keputusan
Contoh Soal
The genetics & IVF Institute melakukan uji klinis metode YSORT yang
dirancang untuk meningkatkan kemungkinan mengandung anak laki-laki. Pada tulisan
ini, 291 bayi yang dilahirkan dari orang tua dengan metode YSORT, dan 239 di
antaranya adalah laki-laki. menggunakan tingkat signifikansi 0,01 untuk menguji klaim
bahwa metode YSORT efektif dalam meningkatkan kemungkinan bayi laki-laki.
Langkah-langkah :
1. Tentukan klaim dan alternatif klaim
Klaim
= Metode YSORT dapat meningkatkan kemungkinan mengandung
anak laki-laki (P>0.5)
Alt. Klaim = Metode YSORT tidak dapat meningkatkan kemungkinan
𝑝=
𝑥
𝑛
𝑝=
239
291
𝑝 = 0.8213
mengandung anak laki-laki (P=0.5)
2. Menulis hipotesis
H0  P = 0.5
H1  P > 0.5
3. Mencari proporsi
4. Melakukan Tes Statistic
𝑧=
𝑧=
𝑝−𝑝
𝑝𝑞/𝑛
0.8213 − 0.5
0.5(1 − 0.5)/291
𝑧 = 10.96
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
4
STATISTIKA TERAPAN
5. Mencari nilai P-Value dan membandingkan dengan Significance Level (0.01)
Nilai P-Value untuk z = 10.96
P = 1 – 0.9999
P = 0.0001
0.0001 < 0.01  Menolak H0 karena nilai P di bawah significance level
6. Kesimpulan
Terdapat cukup bukti untuk mendukung klaim bahwa metode YSORT dapat
meningkatkan probabilitas mengandung anak laki-laki
C. Jenis-Jenis Tes Hipotesis
Penentuan P-Value dan Critical Value dipengaruhi oleh apakah suatu wilayah kritis
berada pada two-tailed, left-tailed, atau right-tailed (dilihat dari H1). Oleh karena itu,
menjadi penting untuk mengkarakterisasi uji hipotesis dengan benar sebagai twotailed, left-tailed, atau right-tailed.
1. Two-tailed
2. Left-tailed
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
5
STATISTIKA TERAPAN
3. Right-tailed
Kesimpulan dari uji hipotesis ini ada 2, yaitu :
1. Menolak H0 (reject H0), atau
2. Gagal menolak H0 (fail to reject H0)
D. Decision Criterion
a. P Value Method : menggunakan significance level α
Apabila P Value ≤ α  reject H0
Apabila P Value > α  fail to reject H0
b. Traditional Method
Apabila hasil test statistic terletak pada critical region  reject H0
Apabila hasil test statistik tidak terletak pada critical region  fail to reject H0
c. Opsi Lainnya:
Tidak dengan menggunakan significance level seperti 0.05, identifikasikan saja P
Value-nya, lalu biarkan pembaca sendiri yang mengambil kesimpulan
d. Confidence Interval
Apabila confidene interval tidak memuat nilai dari klaim, maka tolak klaim tersebut.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
6
STATISTIKA TERAPAN
e. Langkah Mengambil Kesimpulan
Apakah Klaim
mengandung
kondisi ekualiti
(H0 = Klaim)
YA
YA
Apakah H0
ditolak?
Tidak terdapat bukti
yang cukup untuk
menolak klaim bahwa
…
TIDAK
TIDAK
(Sehingga
Klaim
menjadi H1)
YA
Apakah H0
ditolak?
TIDAK
Terdapat bukti yang
cukup untuk menolak
klaim bahwa …
Sample data
mendukung klaim
bahwa …
Tidak terdapat sample
data yang cukup untuk
membuktikan klaim
bahwa …
Type I Error
Kesalahan dimana peneliti menolak H0 ketika sebenarnya saharusnya tidak ditolak.
Simbol (α) digunakan untuk merepresentasikan error tipe I ini.
Type II Error
Kesalahan dimana peneliti gagal menolak H0 ketika sebenarnya nilai tersebut
seharusnya ditolak. Simbol (β) digunakan untuk merepresentasikan error tipe II ini.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
7
STATISTIKA TERAPAN
Controlling Error Type I and Type II
 Untuk nilai α yang tetap, peningkatan jumlah sample akan mengurangi β.
 Untuk sample size n yang tetap, peningkatan α akan mengurangi β, begitupun
sebaliknya.
 Untuk mengurangi α dan β, tambah jumlah sample.
Contoh soal
1. Populasi Survei produk, diasumsikan 50% orang suka, n=100, X=60 0rg (suka produk).
Ujilah apakah dpaat dikatakan saat ini produk tsb disukai lebih dari 50%?
Jawaban
H0 p=0,5
H1 p>0,5
α = 5%
p^ = x/n = 60/100 =0,6
Z=2
Z terima> z tolak 1,645 (berada di wilayah reject H0)
2. Diketahui nilai uts mahasiwa stan Varian populasi 2,25 , Sampel 150 mahasiswa Rata2
= 7,9 Ujilah apakah rata-rata=8?
Jawaban
H0 µ =8
H1 µ ≠ 8
α = 5%
Z = 0,4
Z untuk α=5% (two tailed) -> z = -1,96 dan z = 1,96
Sehingga z 0,4 berada di wilayah fail to reject H0
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
8
STATISTIKA TERAPAN
3. Ajang lempar lembing Jarak 1,3 m. Dari 25 sampel, terdapat rata-rata 1,2m degan std
deviasi 0,3. Tentukan apakah rata-rata sekarang kurang dr rata-rata sebelumnya?
Jawaban
H0 µ >1,3
H1 µ <1,3
α = 10%
t = -1,6
Karena H1 kurang dari maka lakukan uji satu arah
Df = 25-1 =24
Cari t dengan derajat bebas = 24 α = 0,1
Tentukan t berada di wilayah reject atau failed to reject H0
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
9
STATISTIKA TERAPAN
Rangkuman dari 5-02, 5-55, 5-58
Dosen : Sakti Prabowo (Dosko)
TM 11
Uji Hipotesis Lanjutan
A. Review
Hypothesis Test
P-Value Method
Hypothesis Test
– Traditional Method
P Value Method : menggunakan significance level α
Apabila P Value ≤ α  reject H0
Apabila P Value > α  fail to reject H0
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
1
STATISTIKA TERAPAN
Traditional Method
Apabila hasil test statistic terletak pada critical region  reject H0
Apabila hasil test statistik tidak terletak pada critical region  fail to reject H0
B. Pengujian untuk Klaim Proporsi
Persyaratan:
1. Observasi diambil dari sampel acak sederhana
2. Memenuhi ketentuan binomal distribution
3. np ≥ 5 dan nq ≥ 5 terpenuhi sehingga bisa diaproksimasi dengan normal
distribution.
Note: Confidence interval baik digunakan saat mengestimasi proporsi populasi,
namun yang kita gunakan P-value atau traditional method untuk menguji
hipotesis seperti yang kita pelajari pada bab ini.
Contoh:
57 dari 104 wanita hamil dapat menebak jenis kelamin bayi mereka.
Dengan menggunakan klaim tersebut, ujilah klaim bahwa kesuksesan menebak
jenis kelamin itu tidak berbeda dari 50%. Gunakan signifikan level 0.05
Penyelesaian: (P-value method)
 Identifikasi Klaim awal
Original Klaim: Tingkat kesuksesan menebak jenis kelamin bayi tidak
berbeda dari 50% (p = 0.5)
berbeda



Alternatif klaim:
Tingkat kesuksesan menebak jenis kelamin bayi
dari 50% (p ≠ 0.50)
Tentukan hipotesis, pastikan H0 yang memiliki tanda equal
H0 : p = 0.5
H1 : p ≠ 0.50
significance level is  = 0.05
Uji Statistik proporsi
z

p̂  p

pq
n
57
 0.50
104
 0.98
0.50 0.50 
104
Mencari nilai P-value dan membandingkannya dengan signifikance level
0.05
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
2
STATISTIKA TERAPAN
Nilai P-value untuk z = 0.98 (lihat tabel A2)
p = 1 – 0.8365 = 0.1635
Karena H1 mengandung tidak sama dengan, maka gunakan two tailed
test (area dua sisi). P-value nya dikali 2.
P-value = 0.1635 x 2 = 0.3270
Karena P-value > α  fail to reject (gagal tolak) H0.
 Kesimpulan
Karena original klaim mengandung equality dan hasilnya gagal tolak H0,
maka kesimpulannya adalah tidak terdapat cukup bukti untuk menolak klaim
bahwa Tingkat kesuksesan menebak jenis kelamin bayi tidak berbeda dari
50%.
C. Pengujian Klaim untuk Rata-Rata Populasi (mean) ketika σ diketahui
Persyaratan:
1. Merupakan simple random sample
2. σ diketahui
3. Salah satu dari kedua kondisi terpenuhi: Populasinya berdistribusi normal atau n
> 30
Contoh:
Orang orang meninggal dalam kecelakaan kapal karena perkiraan usang
tentang rata rata bobot pria digunakan . Kami memperoleh statistik sampel ini :
n = 40 dan x = 172,55 lb. Penelitian dari beberapa sumber lain menunjukkan
bahwa populasi bobot pria memiliki standar deviasi yang diberikan σ = 26 lb.
Gunakan hasil ini untuk menguji klaim bahwa pria memiliki berat rata rata lebih
besar dari 166,3 lb , yang merupakan bobot dalam rekomendasi Dewan
Transportasi dan Keselamatan Nasional. Gunakan tingkat signifikansi 0,05, dan
gunakan metode P-value.
Penyelesaian:
 Identifikasi klaim awal
Original Klaim: Berat badan rata-rata penumpang > 166.3
Alternatif Klaim: Berat badan rata-rata penumpang ≤ 166.3



Tentukan hipotesis, pastikan H0 yang memiliki tanda equal
H0 :  = 166.3
H1 :  >166.3
significance level is  = 0.05
Uji Statistik Rata-Rata
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
3
STATISTIKA TERAPAN
z
x  x


172.55  166.3
 1.52
26
n


40
Mencari nilai P-value dan membandingkannya dengan signifikance level
0.05
Nilai P-value untuk z = 1.52 (lihat tabel A2)
Karena H1 > maka gunakan right tailed test, P-value adalah area kanan dari
z = 1.52
P-value = 1 – 0.9357 = 0.0643
Karena P-value > α  fail to reject (gagal tolak) H0.
Kesimpulan
Karena original klaim tidak mengandung equality dan hasilnya gagal tolak
H0, maka kesimpulannya adalah tidak terdapat cukup bukti untuk
mendukung klaim bahwa Berat badan rata-rata penumpang lebih besar dari
166.3 lb
Mendapatkan proporsi sample
•Traditional Method
(Dengan menggunakan z = 1.645, z = 1.52 tidak jatuh pada critical
region)
Zstatistic < Z critical value → 1.52 < 1.645 → Fail to reject
•Confidence Interval
(Gunakan one tailed test dengan α = 0.05, 90% confidence interval).
165.8 < < 179.3 karena nilai 166.3 berada diantara range ini maka fail to
reject
D. Pengujian Klaim Rata-Rata (mean) ketika σ tidak diketahui
Syarat:
1) Pengamatan sampel adalah sampel acak sederhana.
2) Nilai standar deviasi populasi tidak diketahui
3) Salah satu dari kedua kondisi terpenuhi: populasi terdistribusi normal atau
n>30
n= jumlahsampel
x = rata-rata sampel
µ = rata-rata populasi untuk semua sampel
s = standar deviasi sampel
t = t statistic dengan df = n-1
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
4
STATISTIKA TERAPAN
Sifat penting dari distribusi t student:
a. Ukuran sampel yang berbeda menghasilkan distribusi t student yang
berbeda juga.
b. Berbentuk lonceng seperti distribusi normal standar. Bentuk yang lebih
lebar mencerminkan variabilitas yang lebih besar dari yang diharapkan
ketika σ yang digunakan adalah σ yang diperkirakan.
c. Rata-rata dari t = 0 (seperti distribusi normal standar yang rata-rata z nya
adalah 0)
d. Standar deviasi beragam ukuran sampel nya dan lebih besar dari 1 (
tidak seperti distribusi normal standar yang memiliki σ = 1).
e. Semakin besar ukuran sampel, distribusi t student semakin menyerupai
distribusi normal.
Contoh:
Orang orang meninggal dalam kecelakaan kapal karena perkiraan usang
tentang rata rata bobot pria digunakan . Kami memperoleh statistik sampel ini :
n = 40 dan x = 172,55 lb. Penelitian dari beberapa sumber lain menunjukkan
bahwa populasi bobot pria memiliki standar deviasi yang diberikan . oleh s =
26.33 lb. Gunakan hasil ini untuk menguji klaim bahwa pria memiliki berat rata
rata lebih besar dari 166,3 lb , yang merupakan bobot dalam rekomendasi
Dewan Transportasi dan Keselamatan Nasional. Gunakan tingkat signifikansi
0,05, dan gunakan metode tradisional.
Jawaban:
Asumsi yang dimiliki terpenuhi 1 simple randome sample, 2 standar deviasi
populasi diketahui 26 lb 3 sampel size lebih dari 30.
 Identifikasi klaim awal
Klaim awal (original claim) adalah µ > 166.3
Klaim alternative dimana µ ≤ 166.3
 Tentukan hipotesis, pastikan H0 yang memiliki tanda equal
H0 : µ=166.3
H1 : µ>166.3
 Level signifikansi adalah  = 0.05
 Uji Statistik
Sampel melibatkan rata rata populasi dimana standar deviasi tidak diketahui
maka gunakan t statistics.
t
x   x 172.55  166.3

 1.501
s
26.33
n
40
Table A-3. df = n – 1 = 39, area of 0.05, one-tail yields t = 1.685;
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
5
STATISTIKA TERAPAN
t = 1.501 tidak jatuh pada critical region
dengan batas t = 1.685 → gagal tolak H0

Kesimpulan
Klaim awal tidak mengandung equality, hasil gagal tolak H0, maka kesimpulan
adalah Tidak terdapat cukup bukti untuk mendukung bahwa bahwa rata rata
populasi lebih besar dari 166.3
E. Pengujian Klaim untuk Standar Deviasi atau Varians
Syarat:
1) Pengamatan sampel adalah sampel acak sederhana
2) Populasi harus teridistribusi normal
n  1s

 
2
2
2
Sifat dari distribusi Chi-Square:
1. Nilai dari x2 selalu positif, dan distribusi nya tidak simetris
2. Ada perbedaan distribusi x2 untuk setiap angka dari degree of freedom
3. Nilai kritis dapat dicari pada Table A-4 dengan menggunakan: degrees of
freedom = n – 1
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
6
STATISTIKA TERAPAN
Notes :


Tes  2 pada bagian ini tidak kuat terhadap penyimpangan dari normalitas ,
yang berarti bahwa tes tersebut tidak berfungsi dengan baik jika populasi
memiliki distribusi yang jauh dari normal (tingkat kesalahan lebih besar).
Oleh karena itu , kondisi populasi yang terdistribusi secara normal
merupakan persyaratan yang jauh lebih ketat daripada pengujian rata rata.
Tabel A-2 untuk distribusi normal standar menyediakan area kumulatif dari
kiri, namun tabel A-4 untuk distribusi Chi-Square menggunakan area
kumulatif dari kanan. ). Nilai kritis ditemukan tabel ini dengan terlebih dahulu
menemukan baris yang sesuai dengan jumlah derajat kebebasan yang
sesuai (di mana df = n 1). Selanjutnya , level signifikansi α digunakan untuk
menentukan kolom yang benar . Contoh contoh berikut didasarkan pada
tingkat signifikansi α = 0,05, tetapi tingkat signifikansi lainnya dapat
digunakan dengan cara yang sama.
Pada Table A-4 :



Tes right tailed: Karena area di sebelah kanan critical value adalah 0,05, cari
0,05 di bagian atas Tabel Chi square.
Tes left tailed: Dengan area left tailed 0,05 , area di sebelah kanan critical value
adalah 0,95, jadi cari 0,95 di bagian atas Tabel Chi square.
Tes Two tail: Tidak seperti distribusi standard normal dan t student , critical
value dalam uji Chi square ini akan menjadi dua nilai positif yang berbeda
bukan sesuatu seperti 1,96). Bagilah tingkat signifikansi 0,05 antara ekor kiri
dan kanan , sehingga area di sebelah kanan dua critical value masing masing
adalah 0,975 dan 0,025. Temukan 0,975 dan 0,025 di bagian atas table A-4
Contoh:
Pertimbangkan sampel acak sederhana dari 37 berat uang pasca 1983
yang tercantum dalam Data Set 20 dalam Lampiran B. 37 bobot itu memiliki rata
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
7
STATISTIKA TERAPAN
rata 2,49910 g dan standar deviasi 0,01648 g. Spesifikasi A.S. Mint
mengharuskan koin diproduksi sehingga berat rata rata adalah 2.500 g. Tes
hipotesis akan memverifikasi bahwa sampel tampaknya berasal dari populasi
dengan rata rata 2,500 g seperti yang diperlukan , tetapi menggunakan tingkat
signifikansi 0,05 untuk menguji klaim bahwa populasi bobot memiliki standar
deviasi kurang dari spesifikasi 0,0230 g.
Penyelesaian:
 Identifikasi klaim awal
Klaim
:  < 0.0230
Alt. Klaim
:  ≥ 0.0230

Tentukan hipotesis, pastikan H0 yang memiliki tanda equal

significance level is  = 0.05

Uji Statistik
Sampel menguji standar deviasi maka kita menggunakan Chi Square
distribution.
n  1 s 2  37  1 0.01648 

2
 

 18.483
2
2
0.02302
Berdasarkan hipotesis nol diketahui bahwa kita menguji left tailed
Selanjutnya maka kita bisa melihat nilai t table dengan df = n-1 = 36 dan
area 0.95. Karena di tabel tidak terdapat 36 degree of freedom, maka kita
bisa menggunakan nilai antara 18.493 dan 26.509. (Using technology, the
critical value is 23.269.)
Karena nilai Chi square statistic, 18.483 lebih kecil dari Chi square di tabel
18.493 (karena left tail maka cari yang lebih kecil lihat gambar) →
Maka
reject H0.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
8
STATISTIKA TERAPAN
Nilai Chi square statistic jatuh di
dalam region → tolak H0.

Kesimpulan:
Terdapat cukup bukti untuk mendukung klaim bahwa standar deviasi dari
berat adalah lebih kecil dari 0 0230. Dikarenakan variasi lebih
kecil
dari
0.0230 g maka proses manufaktur dapat diterima.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
9
STATISTIKA TERAPAN
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
10
STATISTIKA TERAPAN
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
11
STATISTIKA TERAPAN
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
12
STATISTIKA TERAPAN
Rangkuman dari 5-24
Dosen : Robinson
TM 11
STATISTIKA INFERENSIAL 2 SAMPEL
(INFERENCES FROM TWO SAMPLES)
A. Uji statistik 2 Proporsi
Notasi untuk 2 proporsi
p1 = proposi populasi
n1 = ukuran sampel
x1 = jumlah sukses dalam sampel
p1 = x1/n1 (proporsi sampel)
q1 = 1 - p1
*juga berlaku untuk populasi 2
Pooled Sample Proportion
Test Statistic for Two Proportions
Syarat:
Proporsi sampel berasal dari 2 sampel
acak yang independen
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
13
STATISTIKA TERAPAN
Untuk tiap sampel, terdapat
kegagalan (np ≥ 5 dan nq ≥ 5)
setidaknya
5
kesuksesan
dan
5
Confidence Interval Estimate of p1 – p2
Contoh Soal
Tabel di bawah ini mencantumkan hasil dari sampel acak sederhana dari
penumpang di kursi depan yang terlibat dalam kecelakaan mobil. Gunakan tingkat
signifikansi 0,05 untuk menguji klaim bahwa tingkat kematian penumpang lebih
rendah untuk mereka yang berada di dalam mobil yang dilengkapi Airbag.
Jawaban
H0: p1 = p2
H1: p1 < p2
α = 0,05
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
14
STATISTIKA TERAPAN
Luas α = 0,05 di ekor kiri sesuai dengan nilai kritis z= –1,645. Statistik pengujian
tidak termasuk dalam wilayah kritis yang dibatasi oleh nilai kritisz = –1,645. Reject
H0
B. Uji Statistik 2 Mean : Sampel Independen
σ1 dan σ2 tidak diketahui dan diasumsikan tidak sama
df = n1 – 1 atau n2 – 1 (pilih yang nilainya lebih kecil)
Syarat:
σ 1 dan σ 2 tidak diketahui dan tidak sama
Sampel independen
Simple random sample
n1 > 30 dan n2 > 30 atau kedua sampel berdistribusi normal
Confidence Interval
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
15
STATISTIKA TERAPAN
σ1 dan σ2 tidak diketahui dan diasumsikan sama
Syarat:
σ 1 dan σ 2 tidak diketahui
Sampel independen
Simple random sample
n1 > 30 dan n2 > 30 atau kedua sampel berdistribusi normal
Confidence Interval
σ1 dan σ2 diketahui
P-values and critical values: Lihat Table A-2.
Syarat
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
16
STATISTIKA TERAPAN
σ 1 dan σ 2 diketahui
Sampel independen
Simple random sample
n1 > 30 dan n2 > 30 atau kedua sampel berdistribusi normal
Confidence Interval
C. Uji Statistik 2 Mean : Sampel Dependen
d = perbedaan nilai masing-masing pasangan
Miu d = rata-rata nilai perbedaan data mesing-masing
pasangan
Sd = standar deviasi perbedaan (d) pasangan data
n = jumlah pasang data
Syarat:
Sampel dependen
Simple random sample
n1 > 30 dan n2 > 30 atau kedua pasangan data berasal dari distribusi normal
Confidence Interval
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
17
STATISTIKA TERAPAN
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
18
STATISTIKA TERAPAN
TM 12
Statistika Inferensial untuk 2 Sampel
A. Uji Statistik 2 Proporsi
1. Notasi
p1 = proporsi populasi
n1 = jumlah sampel yang ada
x1 = jumlah sukses dalam sampel
2. Persyaratan
a. Memiliki proporsi dari 2 simple random samples yang independent
b. Berdasarkan 2 samepl, setidaknya terhadap jumlah kesuksesan 5 dan jumlah
kegagalan 5
3. Uji Statistik
P-Value: Gunakan Tabel A-2. (Gunakan nilai yang dihitung dari statistik uji z dan
temukan nilai-P dengan mengikuti prosedur yang diringkas oleh Gambar 8-5
dalam teks.)
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
1
STATISTIKA TERAPAN
Critical Value: Gunakan Tabel A-2. (Berdasarkan tingkat signifikansi α, temukan
nilai kritis dengan menggunakan prosedur yang diperkenalkan pada Bagian 8-2
dalam teks.)
Confidence Interval:
Contoh Soal:
Tabel di bawah daftar hasil dari sampel acak sederhana penghuni kursi depan
yang terlibat dalam kecelakaan mobil. Gunakan tingkat signifikansi 0,05 untuk
menguji klaim bahwa tingkat kematian penghuni lebih rendah bagi mereka yang
menggunakan airbag.
Jawaban
Asumsi yang dimiliki terpenuhi:
1. 2 simple random sample,
2. 2 sampel bersifat independen,
3. Setiap populasi memiliki 5 sukses dan 5 kegagalan.
Tahap 1: Klaim awal (original claim) adalah: p1 < p2
Tahap 2:Buatlah klaim alternative dimana p1 >= p2
Tahap 3: p1 < p2 tidak mengandung equality maka ia adalah H1. H0: p1 >= p2 dan
H1: p1 < p2
Tahap 4: Level signifikansi adalah a = 0.05
Tahap 5: Sampel melibatkan distribusi normal sebagai perkiraan terhadap
distribusi binomial
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
2
STATISTIKA TERAPAN
Tahap 6 : Temukan nilai statistik uji
z

p̂1  p̂2  p1  p2 
pq pq

n1 n2
52 
 41
 11, 541  9, 853   0


 0.004347  0.995653   0.004347  0.995653
11, 541
9, 853
z  1.91
Tahap 7 : Karena P.-value 0,0281 lebih kecil dari tingkat signifikansi = 0,05, kami
menolak hipotesis nol p1 = p2
Karena kami menolak hipotesis nol, kami menyimpulkan bahwa terdapat cukup bukti
untuk mendukung klaim bahwa proporsi kematian akibat kecelakaan pada penumpang
mobil dengan kantung udara lebih kecil daripada proporsi kematian pada penumpang
mobil tanpa kantung udara. Berdasarkan hasil ini, tampaknya kantung udara efektif
dalam menyelamatkan nyawa.
Jika menggunakan metode tradisional
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
3
STATISTIKA TERAPAN
Dengan tingkat signifikansi a = 0,05 dalam tes arah kiri berdasarkan distribusi
normal,kita mengacu pada Tabel A-2 dan menemukan bahwa luas a = 0,05 di ekor kiri
sesuai dengan nilai kritis z= –1,645. Statistik pengujian tidak termasuk dalam wilayah
kritis yang dibatasi oleh nilai kritis:
z=–1,645.
Contoh soal :
Gunakan data sampel yang diberikan dalam contoh sebelumnya untuk membangun
estimasi interval kepercayaan 90% dari perbedaan antara dua proporsi populasi.
(Seperti yang ditunjukkan pada Tabel 8-2 di halaman 406, tingkat kepercayaan 90%
sebanding dengan tingkat signifikansi α = 0,05 yang digunakan dalam uji hipotesis
ekor kiri sebelumnya.) Apa yang disarankan hasil tentang efektivitas airbag di
kecelakaan?
Batas interval kepercayaan tidak mengandung 0, menyiratkan bahwa ada perbedaan
yang signifikan antara kedua proporsi.
Interval kepercayaan menunjukkan bahwa tingkat kematian lebih rendah untuk
penumpang di mobil dengan kantung udara daripada untuk penumpang di mobil tanpa
kantung udara. Interval kepercayaan juga memberikan perkiraan jumlah perbedaan
antara dua tingkat kematian.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
4
STATISTIKA TERAPAN
B. Uji statistik 2 rata-rata sampel bebas(independent)
1. σ Tidak Diketahui
a. Persyaratan
 Standar deviasi kedua sampel tidak diketahui dan tidak ada asumsi bahwa
keduanya sama
 Memiliki proporsi dari 2 sampel yang independent
 Kedua sampel simple random sampel
 Antara sampel size > 30 atau populasi distribusi normal
b. Notasi
1 = rata-rata populasi
σ1 = deviasi standar populasi
n1 = ukuran sampel pertama
x1 = rata-rata sampel
s1 = sampel deviasi standar
c. Uji statistik untuk 2 proporsi
Test Statistik untuk 2 Rata-rata
P-Value: Gunakan Tabel A-2. (Gunakan nilai yang dihitung dari statistik uji z
dan temukan nilai-P dengan mengikuti prosedur yang diringkas oleh Gambar 85 dalam teks.)
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
5
STATISTIKA TERAPAN
Critical Value: Gunakan Tabel A-2. (Berdasarkan tingkat signifikansi α,
temukan nilai kritis dengan menggunakan prosedur yang diperkenalkan pada
Bagian 8-2 dalam teks.)
Confidence Interval:
Contoh soal:
Sebuah tajuk utama di USA Today menyatakan bahwa “Pria, wanita adalah
pembicara yang setara.” Judul itu merujuk pada studi tentang jumlah kata yang
diucapkan oleh sampel pria dan wanita dalam sehari. Diberikan di bawah ini
adalah hasil dari penelitian ini. Gunakan tingkat signifikansi 0,05 untuk menguji
klaim bahwa pria dan wanita mengucapkan jumlah rata-rata kata yang sama
dalam sehari. Apakah ada perbedaan?
•
Jawaban:
Asumsi
yang dimiliki
terpenuhi:
1. standar
deviasi
tidak diketahui
2. 2 simple random sample,
3. 2 sampel bersifat independen,
4. sampel cukup banyak
Tahap 1: Klaim awal (original claim) adalah: m1 = m2.
Tahap 2: Buatlah klaim alternative dimana m1 ≠ m2
Tahap 3: m1 ≠ m2 tidak mengandung equality maka ia adalah H1. H0: m1 = m2 dan
H1: m1 ≠
Tahap 4: Level signifikansi adalah a = 0.05
Tahap 5: Sampel menggunakan t distribusi karena standar deviasi tidak
diketahui
Tahap 6 : Hitunglah nilai :
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
6
STATISTIKA TERAPAN
Berdasarkan hipotesis alternatif, diketahui bahwa kita menguji two tailed.
Dengan nilai tersebut, maka kita harus mencari t-critical dari dua area yaitu
kurang dari -1.972 atau lebih dari 1.972.
Tahap 7: Nilai t-value -0.676 berada diantara -1.972 dan 1.972 Maka tidak
berhasil mereject hypothesis
Tahap 8 : Tidak terdapat cukup bukti untuk menolak kesimpulan bahwa terdapat
persamanaan rata-rata jumlah kata yang diucapkan oleh laki laki dan
perempuan.
Contoh soal:
Dengan menggunakan data sampel yang diberikan dalam contoh sebelumnya,
buat perkiraan interval kepercayaan 95% dari perbedaan antara jumlah rata-rata
kata yang diucapkan oleh pria dan jumlah rata-rata kata yang diucapkan oleh
wanita.
Jawaban:
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
7
STATISTIKA TERAPAN
Langkah selanjutnya
a. Tingkat signifikansi=0,05
b. Gunakan t student
c. Hitung uji statistic
Gunakan Tabel A-3: luas dua ekor adalah 0,05, df = 185, yang tidak ada dalam tabel,
nilai terdekatnya adalah:
Langkah terakhir :
Karena statistik pengujian tidak termasuk dalam wilayah kritis, gagal tolak hipotesis nol.
Tidak ada cukup bukti untuk menjamin penolakan klaim bahwa pria dan wanita
berbicara dengan jumlah kata yang sama rata-rata dalam sehari. Tampaknya tidak ada
perbedaan yang signifikan antara kedua sarana tersebut.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
8
STATISTIKA TERAPAN
2. Metode alternative
A. Sampel Independen dengan σ1 dan σ2 Diketahui.
Persyaratan:
1. Standar deviasi kedua
keduanya sama
sampel diketahui dan
tidak ada asumsi bahwa
2. Memiliki proporsi dari 2 sampel yang independent
3. Kedua sampel simple random sampel
4. Antara sampel size > 30 atau populasi distribusi normal
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
9
STATISTIKA TERAPAN
C. Uji statistik 2 rata-rata sampel berpasangan
Persyaratan:
1. Sampel data bersifat dependent
2. Sampel bersifat simple random sample
3. Salah satu diantara dua kondisi ini terpenuhi: jumlah lebih dari 30 atau populasi
terdistribusi normal
Notasi :
Contoh soal:
Gunakan sampel data pada Tabel 9-1 dengan tingkat signifikansi 0,05 untuk
menguji klaim bahwa untuk populasi siswa, perubahan rata-rata berat badan
dari September ke April adalah sama dengan 0 kg. Catatan: Syarat terpenuhi
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
10
STATISTIKA TERAPAN
Jawaban:
Asumsi yang dimiliki terpenuhi:
1. standar
deviasi
tidak diketahui
2. 2 simple random sample,
3. 2 sampel bersifat independen,
4. sampel cukup banyak
Tahap 1: Klaim awal (original claim) adalah: md = 0.
Tahap 2:Buatlah klaim alternative dimana md ≠ 0
Tahap 3: md ≠ 0 tidak mengandung equality maka ia adalah H1. H0: md = 0 dan
H1: md ≠ 0
Tahap 4: Level signifikansi adalah a = 0.05
Tahap 5: Sampel menggunakan t distribusi karena standar deviasi tidak
diketahui
Tahap 6 : Hitunglah nilai t
Berdasarkan hipotesis alternatif, diketahui bahwa kita menguji two tailed.
Dengan nilai tersebut, maka kita harus mencari t-critical dari dua area yaitu
kurang dari -2.776 atau lebih dari 2.776.
Tahap 7: Nilai 0.186 berada diantara -2.776 dan 2.776 Maka tidak berhasil
mereject hypothesis
Tahap 8 : Tidak terdapat cukup bukti untuk menolak kesimpulan bahwa
perubahan berat badan siswa dari September ke April sama dengan 0 kg
P-value mehod
Berdasarkan test statistic t=0.186 dan df=4. Maka nilai P-value lebih besar dari
0.20 dimana significant level = 0.05. Karena 0.20 > 0.05 maka not reject H0
Confidence Interval
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
11
STATISTIKA TERAPAN
D. Membandingkan Variasi dalam 2 sampel
Notasi:
Persyaratan:
1. Kedua populasi tersebut independen
2. Kedua sampel tersebut adalah sampel acak sederhana
3. Kedua populasi tersebut masing-masing ber distribusi normal
Uji statistik:
Karakteristik F Distribusi:
 Distribusi F tidak simetris
 Nilai dari F distribusi tidak boleh negative
 Bentuk F distribusi bergantung pada dua derajat kebebasan(degree of
freedom) yang berbeda
Menemukan nilai kritis F distribusi
Untuk menemukan kritis F nilai yang sesuai dengan tingkat signifikansi
0,05, lihat Tabel A-5 dan gunakan arah kanan 0,025 atau 0,05, tergantung
pada jenis pengujian:
Uji dua sisi: gunakan 0,025 di ekor kanan
Uji satu sisi: gunakan 0,05 di ekor kanan
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
12
STATISTIKA TERAPAN
Contoh soal:
Kumpulan Data 20 di Lampiran B mencakup bobot (dalam g) kuartal yang dibuat
sebelum tahun 1964 dan bobot kuartal yang dibuat setelah tahun 1964. Contoh statistik
tercantum di bawah ini. Saat merancang mesin penjual koin, kita harus
mempertimbangkan deviasi standar dari kuartal pra-1964 dan pasca-1964. Gunakan
tingkat signifikansi 0,05 untuk menguji klaim bahwa bobot kuartal pra-1964 dan bobot
kuartal pasca-1964 berasal dari populasi dengan deviasi standar yang sama.
Jawaban:
Persyaratan terpenuhi: populasi independen; sampel acak sederhana; dari populasi
dengan ber distribusi normal
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
13
STATISTIKA TERAPAN
Gunakan varians sampel untuk menguji klaim varians populasi yang sama, tetap
nyatakan kesimpulan dalam istilah deviasi standar.
Langkah 1: klaim deviasi standar yang sama adalah ekuivalen dengan klaim varian
2
yang sama
 2
1
2
Langkah 2 : Jika klaim asli salah, maka
 12   22
Langkah 3 :
Langkah 4 : tingkat signifikansi 0,05
Langkah 5 : melibatkan dua varian populasi, gunakan F varians distribusi
Langkah 6 : Hitung uji statistik
s12 0.087002
F 2
 1.9729
s2 0.0161942
Untuk nilai kritis dalam uji dua sisi ini, lihat Tabel A-5 untuk luas 0,025 di ekor kanan.
Karena kita menetapkan bahwa varian yang lebih besar ditempatkan di pembilang
statistik uji F, kita hanya perlu menemukan nilai kritis arah kanan.
Dari Tabel A-5 kita melihat bahwa nilai kritis F adalah antara 1.8752 dan 2.0739, tetapi
lebih mendekati 1.8752. Interpolasi memberikan nilai kritis 1,8951, tetapi STATDISK,
Excel, dan Minitab memberikan nilai kritis yang akurat 1,8907.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
14
STATISTIKA TERAPAN
Langkah 7: Statistik uji F= 1,9729 tidak termasuk dalam wilayah kritis, jadi kami
menolak hipotesis nol dari varian yang sama. Ada cukup bukti untuk menjamin
penolakan klaim deviasi standar yang sama.
Ada
cukup bukti untuk menjamin
penolakan klaim bahwa kedua deviasi
standar itu sama. Variasi antara bobot
kuartal yang dibuat setelah tahun 1964
sangat berbeda dengan variasi bobot
kuartal yang dibuat sebelum tahun 1964.
"Tidak ada kenyamanan di
masa tua bagi orang yang
malas di masa muda." - Bob
Sadino
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
15
STATISTIKA TERAPAN
Rangkuman dari 5-02, 5-55, 5-58
Dosen : Sakti Prabowo (Dosko)
TM 13
Korelasi dan Regresi
A. Korelasi
Korelasi adalah hubungan antara dua variabel dimana nilai salah satunya memiliki
kaitan dengan nilai dari variabel lainnya. Koefisien Korelasi Linier (r) adalah ukuran
kekuatan hubungan linier antara sepasang variabel x dan y dalam sampel.
Persyaratan
1. Sepasang data kuantitatif (x, y) bersifat simple random sample.
2. Tampilan scatterplot mendukung.
3. Outliers harus dikeluarkan.
n
: Jumlah pasang data
∑
: Sigma melambangkan penjumlahan
∑x
: Melambangkan penjumlahan seluruh nilai x
∑x2
: Melambangkan kuadrat dari x lalu dijumlahkan
CREAM BREGADASATYA 2021
1
STATISTIKA TERAPAN
(∑x)2 : Melambangkan penjumlahan seluruh x lalu dikuadratkan
∑xy
: Melambangkan nilai x dan nilai y lalu dijumlahkan
r
: korelasi linier untuk data sampel
ρ
: korelasi linier untuk data populasi
Properti dari Koefisien Korelasi Linier
1. -1 ≤ r ≤ 1
2. Jika variabel yang dimasukkan diubah skala nilainya, nilai r tidak akan
berubah
3. Jika x dan y ditukar nilai r tidak akan berubah
4. r mengukur kekuatan dari hubungan linier
5. r sangat sensitif terhadap
Dalam varians dilambangkan r2 menggambarkan proporsi variasi dalam y yang
dijelaskan oleh hubungan linier antara x dan y.
Pengujian menggunakan t-Test
H0 : ρ = 0 (Tidak terdapat korelasi linier)
H1 : ρ ≠ 0 (Terdapat korelasi linier)
Tes satu sisi dapat terjadi dengan klaim korelasi linier positif atau klaim korelasi
linier negatif. Dalam kasus seperti ini, hipotesis dari klaim akan seperti berikut.
CREAM BREGADASATYA 2021
2
STATISTIKA TERAPAN
B. Regresi
Regresi adalah hubungan antara variabel x (disebut sebagai explanatory
variable/predictor variable/ independent variable), dan ŷ (disebut sebagai response
variable/dependent variable).
Persamaan regresi adalah sebuah koleksi dari pasangan data yang dapat ditulis
dalam persamaan
Asumsi dan Notasi
1. Sepasang data kuantitatif (x, y) bersifat simple random sample
2. Tampilan scatterplot mendukung
3. Outliers harus dikeluarkan
Outliers
Dalam sebaran, outliers adalah titik yang terletak jauh dari titik data lainnya.
CREAM BREGADASATYA 2021
3
STATISTIKA TERAPAN
Data sampel berpasangan dapat mencakup satu atau lebih titik berpengaruh, yang
merupakan titik yang sangat mempengaruhi grafik garis regresi.
Residu
Untuk sepasang sampel x dan nilai y, residual adalah perbedaan antara nilai
sampel yang diamati dari y dan nilai y yang diprediksi dengan menggunakan
persamaan regresi sebagai berikut
CREAM BREGADASATYA 2021
4
STATISTIKA TERAPAN
Analisis plot residual
Saat menganalisis plot residu, cari pola dalam cara titik-titik dikonfigurasi, dan
gunakan kriteria sebagai berikut: Plot residual seharusnya tidak memiliki pola yang
jelas dan bukan pola garis lurus; plot residual tidak boleh menjadi lebih tebal (atau
lebih tipis) jika dilihat dari kiri ke kanan.
Analisis regresi
1. Buat sebaran scatter dan verifikasi bahwa pola titik-titiknya kira-kira
merupakan pola garis lurus tanpa outlier.
2. Bangun plot residual dan verifikasi bahwa tidak ada pola (selain pola garis
lurus) dan juga verifikasi bahwa plot residual tidak menjadi lebih tebal atau
tipis
3. Gunakan histogram dan / atau normal quantile plot untuk mengkonfirmasi
bahwa nilai residu memiliki distribusi yang mendekati normal
4. Pertimbangkan efek dari suatu pola dari waktu ke waktu
C. Peringkat Korelasi
CREAM BREGADASATYA 2021
5
STATISTIKA TERAPAN
Tes korelasi peringkat (atau uji korelasi peringkat spearman) adalah tes nonparametrik yang menggunakan peringkat data sampel yang terdiri dari pasangan
yang cocok.
Kelebihan
1. Metode korelasi peringkat nonparametrik dapat digunakan dalam berbagai
keadaan yang lebih luas daripada metode parametrik korelasi linier. Dengan
korelasi peringkat, kita dapat menganalisis data berpasangan yang
peringkat atau dapat dikonversi ke peringkat.
2. Korelasi peringkat dapat digunakan untuk mendeteksi beberapa hubungan
yang tidak linier
Kekurangan – Tingkat efisiensi yang lebih rendah
Asumsi
1. Sepasang data sampel harus diambil secara random
2. Tidak ada asumsi distribusi normal
Menentukan signifikansi
CREAM BREGADASATYA 2021
6
STATISTIKA TERAPAN
1. Jika n ≤ 30 maka lihat tabel peringkat korelasi dan bandingkan dengan nilai
rs
2. Jika n > 30 maka hitung nilai critical value dengan formula di bawah dan
bandingkan dengan nilai rs sebelumnya
CREAM BREGADASATYA 2021
7
STATISTIKA TERAPAN
Rangkuman dari 5-24
Dosen : Robinson
TM 13
Korelasi dan Regresi (Correlation and Regression)
Correlation
Correlation adalah hubungan antara dua variabel dimana nilai salah
satunya
memiliki kaitan dengan nilai dari variabel lainnya.
Korelasi melihat keeratan Hubungan antar variabel yang menunjukkan jika X naik
maka y naik atau x naik maka y turun. Tetapi bukan hubungan sebab akibat (x
menyebabkan y naik atau turun)
Linear Correlation Coefficeint (r) adalah ukuran kekuatan hubungan linear antara
sepasang variabel x dan y dalam sampel.
Scatterplots of Paired Data
Asumsi
CREAM BREGADASATYA 2021
8
STATISTIKA TERAPAN
1. Sepasang data kuantitatif (x,y) bersifat simple random sample
2. Tampilan scatterplot mendukung
3. Outliers harus dikeluarkan
Rumus
Rounding the Linear Correlation Coefficient r
Bulatkan menjadi tiga desimal
Properties of the Linear Correlation Coefficient r
1. -1 ≤ r £ ≤ 1
2. Jika variabel yang dimasukkan diubah skala nilainya,
nilai r tidak akan
berubah,
3. Jika x dan y ditukar nilai r tidak akan berubah
4. r mengukur kekuatan dari hubungan linear
5. r sangat sensitive terhadap outliers
Interpreting r: Explained Variation
CREAM BREGADASATYA 2021
9
STATISTIKA TERAPAN
Nilai r2 adalah proporsi variasi dalam y yang dijelaskan oleh
hubungan linear
antara x dan y.
Formal Hypothesis Test
Hypothesis
Test
for
Correlation
Hypotheses
Hypothesis Test for Correlation P-Value from a t Test
One-Tailed Test
Tes satu sisi dapat terjadi dengan klaim korelasi linier positif atau klaim korelasi
linear negatif
Regression
Regresi adalah hubungan antara variabel x (disebut sebagai explanatory variable,
predictor variable atau independent variable), dan y (disebut sebagai response
variable atau dependent variable)
CREAM BREGADASATYA 2021
10
STATISTIKA TERAPAN
Persamaan Regresi adalah sebuah koleksi dari pasangan data yang dapat ditulis
dalam persamaan:
Garis Regresi adalah grafik persamaan regresi yang dapat disebut sebagai garis
regresi.
Asumsi
1. Sepasang data kuantitatif (x,y) bersifat simple random sample
2. Tampilan scatterplot mendukung
3. Outliers harus dikeluarkan
Notasi
Rumus
Strategy for Predicting Values of Y
CREAM BREGADASATYA 2021
11
STATISTIKA TERAPAN
Beyond the Basics of Regression
Outliers
Dalam sebar sebaran, outlier adalah titik yang terletak jauh
dari titik data
lainnya.Data sampel berpasangan dapat mencakup satu atau lebih
titik
berpengaruh, yang merupakan titik yang sangat mempengaruhi grafik garis regresi
CREAM BREGADASATYA 2021
12
STATISTIKA TERAPAN
Residuals
residual adalah perbedaan antara nilai sampel yang diamati dari y dan nilai y
yang diprediksi dengan menggunakan persamaan regresi
CREAM BREGADASATYA 2021
13
STATISTIKA TERAPAN
Residual Plot Analysis
Saat menganalisis plot residu, cari pola dalam cara titik-titik dikonfigurasi, dan
gunakan kriteria ini:
1. Plot residual seharusnya tidak memiliki pola yang jelas dan bukan pola
garis lurus.
2. Plot residual tidak boleh menjadi lebih tebal (atau lebih tipis) jika dilihat dari
kiri ke kanan.
Analisa Regresi
1. Buat sebaran scatter dan verifikasi bahwa pola titik-titiknya kira-kira merupakan
pola garis lurus tanpa outlier.
2. Bangun plot residual dan verifikasi bahwa tidak ada pola (selain pola garis
lurus) dan juga verifikasi bahwa plot residual tidak menjadi lebih tebal (atau
lebih tipis).
3. Gunakan histogram dan / atau normal quantile plot untuk
mengonfirmasi
bahwa nilai residu memiliki distribusi yang mendekati normal.
4. Pertimbangkan efek dari suatu pola dari waktu ke waktu.
CREAM BREGADASATYA 2021
14
STATISTIKA TERAPAN
Korelasi Rank
Tes korelasi peringkat (atau uji korelasi peringkat Spearman) adalah tes
non-
parametrik yang menggunakan peringkat data sampel yang terdiri dari pasangan
yang cocok.
Kelebihan:
Metode korelasi rank nonparametrik dapat digunakan dalam berbagai keadaan
yang lebih luas daripada metode parametrik korelasi
linier. Dengan korelasi
peringkat, kita dapat menganalisis data berpasangan yang peringkat atau dapat
dikonversi ke peringkat.
Korelasi rank dapat digunakan untuk mendeteksi beberapa (tidak
semua)
hubungan yang tidak linier.
Kekurangan: Tingkat efisiensi lebih rendah (0.91)
Asumsi
Sepasang data sampel harus diambil secara random
Tidak ada asumsi distribusi normal
Rumus
Formula – Menentukan Signifikansi
Jika n ≤ 30 maka lihat Table A-9 dan bandingkan nilai rs
Jika n > 30 maka hitung nilai critical value
dengan formula dan bandingkan
nilainya dengan rs sebelumnya.
CREAM BREGADASATYA 2021
15
STATISTIKA TERAPAN
CREAM BREGADASATYA 2021
16
STATISTIKA TERAPAN
TM 14
Chi Square dan Analisis Varian
A. Goodness Of Fit
1. Definisi dan Konsep
Sebuah tes hipotesis yang digunakan untuk menguji apakah sebuah
distribusi frekuensi yang diamati (dihitung) sesuai atau sama dengan distribusi
yang diklaim.
Syarat:
a. Data telah dipilih secara acak
b. Data sampel terdiri dari jumlah frekuensi untuk masing-masing kategori yang
berbeda
c. Untuk setiap kategori, frekuensi yg diharapkan minimal 5
Notasi
Uji Statistik
O mewakili frekuensi hasil yg teramati.
E mewakili frekuensi hasil yg diharapkan.
k mewakili jumlah kategori atau hasil yg berbeda.
n mewakili jumlah observasi atau total percobaan.
Jika semua frekuensi yang diharapkan adalah sama
Jika semua frekuensi yang diharapkan tidak sama, p =
probabilitas kategori
Menggunakan Critical Values:
-
Gunakan tabel A-4 dengan menggunakan degree of freedom = k-1,
dimana k=jumlah kategori.
- Hipotesis Goodness of fit selalu uji right tailed
Menggunakan P-Value:
P - value biasanya disediakan oleh perangkat lunak computer (ex: excel),
atau kisaran P – value dapat ditemukan dari Tabel A-4.
Kesimpulan
- Closed agreement antara nilai yang diamati dan yang diharapkan akan
mengarah pada nilai x2 yang kecil dan nilai P yang besar.
O = E (tidak berbeda signifikan) → sesuai harapan → Gagal tolak Ho
P-Value >
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
1
STATISTIKA TERAPAN
2 stat < 2 table
- Large disagreement antara nilai yang diamati dan yang diharapkan akan
menyebabkan nilai x2 besar dan nilai P kecil.
O ≠ E (berbeda signifikan) → tidak sesuai harapan → Tolak Ho
P-Value ≤
2 stat > 2 table
- Jika nilai P kecil, tolak hipotesis nol bahwa distribusinya seperti yang diklaim
2. Hubungan antara 2 test statistic, P-value, dan Goodness of fit
3. Contoh Uji Kecocokan Model (Goodness of fit)
Data di samping mencakup bobot dari 40 pria dewasa yang dipilih secara acak
dan 40 wanita dewasa yang dipilih secara acak. Bobot tersebut diperoleh
sebagai bagian dari Survei Pemeriksaan Kesehatan Nasional. Ketika orang
melaporkan bobot, mereka biasanya membulatkan ke bilangan bulat, sehingga
bobot yang dilaporkan cenderung memiliki banyak digit terakhir yang terdiri dari
0. Sebaliknya, jika orang benar-benar ditimbang dengan skala yang memiliki
presisi hingga 0,1 pon terdekat, bobot tersebut cenderung memiliki digit terakhir
yang didistribusikan secara seragam, dengan 0, 1, 2,…, 9 semuanya terjadi
dengan frekuensi yang kira-kira sama. Tabel 11-2 menunjukkan distribusi
frekuensi digit terakhir dari 80 bobot yang tercantum.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
2
STATISTIKA TERAPAN
(Misalnya, berat 201,5 lb memiliki digit terakhir dari 5, dan ini adalah salah satu
nilai data yang termasuk dalam Tabel 11-2.)
Uji klaim bahwa sampel berasal dari populasi bobot di mana digit terakhir tidak
terjadi dengan frekuensi yang sama. Berdasarkan hasil, apa yang bisa kita
simpulkan tentang prosedur yang digunakan untuk mendapatkan bobot?
Jawaban:
 Persyaratan terpenuhi: subjek yang dipilih secara acak, jumlah frekuensi,
frekuensi yang diharapkan adalah E=n/k=80/10=8 (> 5)
 Langkah 1: setidaknya satu dari probabilitas p0, p1, ... p9, berbeda dari yang
lain
 Langkah 2: setidaknya salah satu probabilitasnya sama:
p0 = p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = p 7 = p 8 = p 9
 Langkah 3: hipotesis nol mengandung equality
H0: p0 = p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = p7 = p8 = p9
H1: Setidaknya satu probabilitas berbeda
 Langkah 4: tidak ada signifikansi yang ditentukan, gunakan ᾳ = 0,05
 Langkah 5: menguji apakah distribusi yang seragam (varians) jadi gunakan
uji goodness of-fit: 2
Sebelumnya tentukan dulu nilai E (E= n/k = 80/10 = 8 (karena semua
frekuensi yang diharapkan sama)).
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
3
STATISTIKA TERAPAN

Langkah 6: Hasil perhitungan statistik uji 2 = 11.250, menggunakan ᾳ = 0,05

dan k - 1 = 9 derajat kebebasan (df), nilai kritisnya adalah 2 = 16,919.
Langkah 7: Karena statistik uji tidak jatuh di wilayah kritis, gagal tolak H 0,
tidak ada cukup bukti untuk menolak hipotesis nol.

Langkah 8: Tidak ada bukti yang cukup untuk mendukung klaim bahwa digit
terakhir berat badan tidak memiliki kesamaan frekuensi relatif
Tes good-of-fit ini menunjukkan bahwa digit terakhir memberikan
kesesuaian yang cukup baik dengan distribusi frekuensi yang kemungkinan
sama-sama diklaim. Alih-alih bertanya kepada subjek berapa beratnya,
tampaknya bobot mereka sebenarnya diukur sebagaimana mestinya.
4. Tabel Contingency
Contingency table (Two-way frequency table) adalah sebuah tabel yang berisi
frekuensi sebagai respon dari dua variabel. Satu variabel mengisi baris dan satu
variabel mengisi kolom.
Contingency table setidaknya terdiri dari dua baris dan setidaknya dua kolom
Notasi:
O mewakili observed frequency dalam sel tabel kontingensi.
E mewakili expected frekuensi dalam sel, ditemukan dgn mengasumsikan
bahwa variabel baris dan kolom bersifat independen
r mewakili jumlah baris dalam tabel kontingensi (tidak termasuk label).
c mewakili jumlah kolom dlm tabel kontingensi (tidak termasuk label).
Syarat:
a. Data sampel dipilih secara acak.
b. Data sampel direpresentasikan sebagai jumlah frekuensi dalam tabel dua arah.
c. Untuk setiap sel dalam tabel kontingensi, frekuensi yang diharapkan (E)
setidaknya 5.
d. H0: Variabel baris dan kolom independen.
H1: Variabel baris dan kolom dependen.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
4
STATISTIKA TERAPAN
Uji Statistik:
Bagian 1: Uji Independence
Uji independensi menguji hipotesis nol bahwa dlm tabel kontingensi, variabel
baris dan kolom bersifat independen
Di mana O adalah frekuensi yang diamati dalam sel dan E adalah frekuensi yang
diharapkan ditemukan dengan mengevaluasi.
Menggunakan Critical Value
Terdapat pada Tabel A-4 menggunakan derajat kebebasan (df) = (r - 1) (c - 1)
r adalah jumlah baris dan c adalah jumlah kolom, ingat-ingat jika tes indepndensi
selalu right-tailed
Menggunakan P-Value:
P - value biasanya disediakan oleh perangkat lunak komputer (ex:excel), atau
kisaran P – value dapat ditemukan dari Tabel A-4.
Kesimpulan (Hubungan antar Komponen dalam Test of Independen)
Contoh
Pilek biasa biasanya disebabkan oleh rhinovirus. Dalam uji keefektifan
echinacea, beberapa subjek uji diobati dengan echinacea yang diekstraksi 20%
dengan etanol, beberapa diobati dengan echinacea yang diekstrak 60%, dengan
etanol dan yang lainnya diberi plasebo. Semua subjek tes kemudian terkena
rhinovirus. Hasil dirangkum dalam Tabel 11-6 dan temukan frekuensi yang
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
5
STATISTIKA TERAPAN
diharapkan untuk sel pertama, di mana frekuensi yang diamati adalah 88.
Gunakan tingkat signifikansi 0,05 untuk menguji klaim bahwa mendapatkan
infeksi (pilek) tidak tergantung pada kelompok perlakuan. Lalu tentukanlah
mengenai efektifitas echinacea sebagai treatment pilek?
Sel pertama terletak di baris pertama (dengan frekuensi total 178) dan kolom
pertama (dengan frekuensi total 103). “Grand total” adalah jumlah semua
frekuensi dalam tabel, yaitu 207. Frekuensi yang diharapkan dari sel pertama
adalah
Sel pertama memiliki frekuensi yang diamati dari O = 88 dan frekuensi yang
diharapkan dari E = 88,570. Kita dapat menginterpretasikan nilai yang
diharapkan dengan menyatakan bahwa jika kita berasumsi bahwa mendapatkan
infeksi tidak tergantung pada perawatan, maka kita berharap menemukan bahwa
88.570 dari subyek akan diberi plasebo dan akan mendapatkan infeksi. Ada
perbedaan antara O = 88 dan E = 88.570, dan perbedaan tersebut merupakan
komponen utama dari uji statistik.
Jawaban




Persyaratan terpenuhi: distribusi secara acak ke kelompok perlakuan,
jumlah
frekuensi, frekuensi yang diharapkan semuanya setidaknya 5
H0: Mendapatkan infeksi tidak tergantung pada perawatan (indepeden)
H1: Mendapatkan infeksi tergantung pada perawatan (dependen)
Level signifikansi adalah  = 0,05.
Tabel Contingency : menggunakan distribusi 2 karena nilai yang dicari
adalah nilai varians
2
O  E

2
 
E
2
2
88  88.570 
10  7.285 



 ... 

88.570
7.285
 2.925
Nilai kritis 2 = 5.991 didapatkan dari Tabel A-4 dengan ᾳ = 0,05 righttailed dan jumlah degree of freedom adalah (r - 1) (c - 1) = (2 - 1) (3 - 1) =
2.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
6
STATISTIKA TERAPAN


Gagal tolak H0 karena uji statistik tidak berada dalam wilayah kritis.
Kesimpulan: Tampaknya infeksi tidak tergantung pada kelompok
perlakuan. Hal ini menunjukkan bahwa echinacea bukanlah pengobatan
yang efektif untuk pilek.
B. Uji Homogenitas dan Uji Fisher Exact
a. Uji Homogenitas
Test for homogeneity adalah sebuah tes hipotesis mengenai klaim bahwa
populasi yang berbeda memiliki karakteristik yang sama. Prosedurnya sama
persis dengan tes independensi hanya hipotesis saja yang berubah.
Perbedaan uji homogenitas dengan uji independen:
 Pada uji homogen, sample size sudah ditentukan di awal
(predermined) untuk populasi yang berbeda.
H0 : Populasi yang berbeda memiliki proporsi yg sama
H1 : Populasi yang berbeda memiliki proporsi yg berbeda,
 Sedangkan uji independensi sample size ditentukan secara
random.
H0: Variabel baris dan kolom independen.
H1: Variabel baris dan kolom dependen.
Syarat:
a. Data sampel dipilih secara acak.
b. Data sampel direpresentasikan sebagai jumlah frekuensi dalam tabel dua
arah.
c. Untuk setiap sel dalam tabel kontingensi, frekuensi yang diharapkan (E)
setidaknya 5.
Metode yang digunakan :
P-value
: disediakan dengan teknologi atau temukan di tabel A-4
Critical value : Nilai critical value ditemukan di tabel A-4 dengan (df) = (r - 1) (c 1).
r adalah jumlah baris dan c adalah jumlah kolom.
Ingat! Tes independensi selalu right-tailed.
H0: Populasi yang berbeda memiliki proporsi karakteristik yang sama
H1: Populasi yang berbeda memiliki proporsi karakteristik yang berbeda
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
7
STATISTIKA TERAPAN
Contoh
Kami akan menganalisis pengaruh gender pada subjek survei pria saja. Tabel
11-8 didasarkan pada respons pria yang disurvei. Asumsikan bahwa survei
dirancang sedemikian rupa sehingga pewawancara pria diperintahkan untuk
memperoleh 800 tanggapan dari subjek pria, dan pewawancara wanita
diperintahkan untuk mendapatkan 400 respons dari subjek pria. Dengan
menggunakan tingkat signifikansi 0,05, uji klaim bahwa proporsi tanggapan setuju /
tidak setuju adalah sama untuk hal yang diwawancarai oleh laki-laki dan
perempuan.
Jawaban:





Persyaratan terpenuhi: data acak, jumlah frekuensi dalam tabel dua arah,
frekuensi yang diharapkan semuanya setidaknya 5
H0: Proporsi setuju / tidak setuju sama diantara responden yang
diinterview oleh laki laki dan perempuan
H1: Proporsi berbeda
Level signifikansi adalah ᾳ = 0,05.
Sampel menggunakan Chi square distribusi karena nilai yang dicari
adalah nilai varians. Kali ini menggunakan MINITAB
Tentukan nilai Chi Square setelah dihitung Chi Squarenya 6,529 dan PValue 0.011
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
8
STATISTIKA TERAPAN



Tampilan Minitab menunjukkan frekuensi yang diharapkan dari 578.67,
289.33, 221.33, dan 110.67. Ini juga termasuk uji statistik x2 = 6,529 dan
P - value 0,011.
Dengan menggunakan pendekatan P - value untuk pengujian hipotesis,
karena P-Value < ᾳ (0.011<0.05) maka Tolak H0. Terdapat cukup bukti
untuk menolak klaim bahwa proporsi tanggapan setuju / tidak setuju
adalah sama untuk hal yang diwawancarai oleh laki-laki dan perempuan.
Tampaknya respons dan jenis kelamin pewawancara berpengaruh.
Meskipun analisis statistik ini tidak dapat digunakan untuk membenarkan
pernyataan apa pun tentang kausalitas, kelihatannya pria dipengaruhi
oleh jenis kelamin pewawancara.
b. Uji Exact Fisher
Prosedur untuk menguji hipotesis dengan tabel kontingensi dengan dua baris
dan dua kolom (2 x 2) memiliki persyaratan bahwa setiap sel harus memiliki
frekuensi yang diharapkan setidaknya 5. Persyaratan ini diperlukan untuk
distribusi x2 untuk menjadi pendekatan yang cocok untuk distribusi uji statistik yang
tepat.
Uji Exact Fisher sering digunakan untuk tabel kontingensi 2 x 2 dengan satu atau
lebih frekuensi yang diharapkan di bawah 5. Uji eksak Fisher memberikan P value yang tepat dan tidak memerlukan teknik perkiraan. Karena perhitungannya
cukup rumit, sebaiknya gunakan perangkat lunak komputer saat menggunakan uji
eksak Fisher. STATDISK dan Minitab keduanya memiliki kemampuan untuk
melakukan tes eksak Fisher.
c. Mcnemar’s Test
Uji McNemar menggunakan penghitungan frekuensi dari pasangan data
nominal yang cocok dari dua kategori untuk menguji hipotesis nol bahwa untuk
tabel 2 x 2 seperti Tabel 11-9 di atas, frekuensi b dan c terjadi dalam proporsi
yang sama.
Notasi
a, b, c, dan d mewakili jumlah frekuensi dari tabel 2 x 2 yang terdiri dari
jumlah frekuensi dari pasangan yang cocok. (Jumlah total subjek adalah a + b +
c + d). Pada pengujian ini kita fokus pada discordant (yang berbeda) yaitu b dan
c.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
9
STATISTIKA TERAPAN
Syarat
1. Data dipilih secara random (acak)
2. Data sampel terdiri dari pasangan data dalam perhitungan frekuensi.
3. Data merupakan data nominal dan setiap observasi dapat dikelompokkan
dengan dua cara: (1) Menurut kategori yg membedakan nilai dg masing-masing
pasangan yg cocok, dan (2) menurut kategori lain dengan dua nilai yg mungkin.
4. Untuk tabel tersebut. Frekuensi b + c >= 10
H0: Proporsi frekuensi b dan c (seperti pada Tabel 11-9) adalah sama.
H1: Proporsi frekuensi b dan c (seperti pada Tabel 11-9) berbeda.
Uji Statistik
dimana frekuensi b dan c diperoleh dari tabel 2 x 2 dgn format yang mirip dengan
Tabel 11-9.
Menggunakan Critical Values
Gunakan tabel A-4 dengan menggunakan degree of freedom = 1.
Hipotesistes independent selalu right tailed
Menggunakan P-value
P-value biasanya disediakan oleh perangkat lunak komputer, atau kisaran
P-value dapat ditemukan dari Tabel A-4.
Contoh
Sebuah uji coba dirancang untuk menguji efektivitas pelindung pinggul dalam
mencegah patah tulang pinggul pada orang tua. Sebagian penghuni panti jompo
masing-masing mengenakan perlindungan, sebagian tidak. Hasilnya diringkas
dalam Tabel 11-8.
Jika seseorang menggunakan hip protector di kaki kirinya dan tidak
menggunakan di kaki kanannya dan di tabel 11-8 berikut adalah proporsi
keretakan hipnya. Dengan menggunakan tingkat signifikansi 0.05, apakah hip
protector efektif mencegah keretakan pada hip-nya?
Dengan menggunakan tingkat signifikansi 0,05, terapkan uji McNemar untuk
menguji hipotesis nol bahwa dua proporsi berikut adalah sama:
 Proporsi subjek tanpa fraktur pinggul pada pinggul yang dilindungi dan fraktur
pinggul pada pinggul yang tidak terlindungi.
 Proporsi subjek dengan fraktur pinggul pada pinggul yang dilindungi dan tidak
ada fraktur pinggul pada pinggul yang tidak terlindungi.
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
10
STATISTIKA TERAPAN
Jawaban:
 Persyaratan dipenuhi: subjek yang dipilih secara acak; pasangan jumlah
frekuensi yang cocok; tingkat pengukuran nominal, dikategorikan menurut
dua variabel, satu adalah "hip protector dipakai" atau "tidak", yang lain
adalah "patah tulang pinggul" atau "tidak"; b + c = 10 + 15 = 25, yang
setidaknya 10.
 H0: Proporsi kedua kelompok (i) dan (ii) sama
H1: Proporsi kedua kelompok (i) dan (ii) berbeda
 Data berasal dari pasangan yang cocok jadi gunakan uji McNemar: b = 10
dan c = 15
( b  c  1)2 (10  15  1)2
 

 0.640
bc
10  15
2



Tabel A-4 dengan tingkat signifikansi 0,05 dan derajat kebebasan = 1, tes
right-tailed : x2 = 3,841
Uji Statistik x2 = 0,640 tidak melebihi nilai kritis x2 = 3,841, jadi gagal
untuk menolak H0.
Karena uji statistik tidak masuk dalam wilayah kritis, maka gagal menolak
hipotesis nol. Tampaknya proporsi patah tulang pinggul dengan pelindung
yang dikenakan tidak berbeda secara signifikan dari proporsi patah
pinggul tanpa pelindung yang dikenakan. Pelindung pinggul tampaknya
tidak efektif dalam mencegah patah tulang pinggul.
C. Analysis of Variance (ANOVA)
Analisis varians satu arah (ANOVA) adalah metode untuk menguji hipotesis
bahwa tiga atau lebih populasi dengan cara menganalisis sampel varian. Dalam
ANOVA satu arah, setiap sampel hanya dibedakan oleh satu faktor, sehingga ada
satu karakteristik yang digunakan untuk memisahkan sampel data ke dalam kategori
yang berbeda.
Syarat:
a. Dua populasi independen.
b. Dua sampel merupakan sampel acak sederhana dan independen satu sama lain.
c. Dua populasi masing-masing terdistribusi normal.
d. Sampel merupakan bagian dari populasi yang sama (memiliki varian/standar
deviasi populasi yang sama).
e. Perbedaan antar sampel berasal dari populasi yang hanya memiliki satu kategori
(One-way)
Formula:
F
variance between samples
variance within samples
H0: μ1 = μ2 = μ3 =. . . μk
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
11
STATISTIKA TERAPAN
H1: Setidaknya ada satu μi ≠ μj ; dengan i ≠ j ; i,j = 1,2,3, ..., k (Setidaknya salah
satu berbeda)
Tambahan–Formula jika n berbeda
x= mean of all sample scores combined
k= number of population means being compared
ni= number of values in the ith sample
xi= mean of values in the ith sample
si= variance of values in the ith sample
 Jika P-value ≤ α, tolak hipotesis nol dengan cara yang sama dan
simpulkan bahwa setidaknya satu dari mean populasi berbeda dari yang
lain.
 Jika nilai P> α, gagal menolak hipotesis nol dengan mean yang sama.
Contoh:
Gunakan pengukuran trauma dada yang tercantum pada Tabel 12-1 dan tingkat
signifikansi α = 0,05 untuk menguji klaim bahwa ketiga sampel berasal dari
populasi dengan sarana yang sama.
Jawab:
Persyaratan dipenuhi: distribusi kira-kira normal (plot quantile normal); varians
populasi tampaknya hampir sama; sampel acak sederhana; sampel independen,
tidak cocok; dikategorikan menurut satu faktor ukuran.
 H0:
1 = 2 = 3
H1:
Setidaknya salah satu sarana berbeda dari yang lain
 significance level is  = 0.05
 Langkah 1: Gunakan teknologi untuk mendapatkan hasil ANOVA

Langkah 2 : Menampilkan semua show P-value = 0.28 saat dibulatkan
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
12
STATISTIKA TERAPAN


Langkah 3 : Karena nilai P-0,028 kurang dari tingkat signifikansi  = 0,05,
kita menolak hipotesis nol dengan mean yang sama.
Ada cukup bukti untuk menjamin penolakan klaim bahwa ketiga sampel
berasal dari populasi dengan sarana yang sama.
Relationship Between F Test Statistic / P-Value
SUPLEMEN BREGADASATYA 2020
13