第三章 平面汇交力系与平面力偶系
平面汇交力系与平面力偶系
§3-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
一.多个汇交力的合成
力多边形规则
2
平面汇交力系与平面力偶系
ρ
ρ ρ
FR1 = F1 + F2
ρ
ρ
ρ
3 ρ
FR 2 = FR 1 + FR 3 = ∑ Fi
i =1
ρ n ρ
ρ
FR = ∑ Fi = ∑ Fi
i =1
力多边形
力多边形规则
3
平面汇交力系与平面力偶系
二.平面汇交力系平衡的几何条件
ρ
平衡条件 ∑ Fi = 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的力多边形自行封闭.
4
平面汇交力系与平面力偶系
思考：
如图所示两个力的三角形中三个力的关系是否一样？
5
例
1
已知： P = 20 kN, R = 0.6 m, h = 0.08 m
求： 1.水平拉力 F = 5 kN 时，碾子对地面及障碍物的压力？
ρ
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F 至少多大？
ρ
ρ
3.力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 F 多
大？？
6
例
1
解:1.取碾子，画受力图.
用几何法，按比例画封闭力四边形
ρ
FB
R−h
θ = arccos
= 30 ο
R
FB sin θ = F
FA + FB cos θ = P
FA = 11.4kN
FB = 10kN
7
例
1
2.碾子拉过障碍物， 应有 F A = 0
用几何法解得
F = P ⋅tanθ=11.55kN
ρ
FB
θ
ρ
P
ρ
F
ρ
FB
3. 解得 F min
ρ
Fmin
ρ
FB
θ
ρ
P
= P ⋅ sin θ = 10 kN
8
例
2
已知： AC = CB, F = 10 kN ,各杆自重不计；
求：CD 杆及铰链 A 的受力.
9
例
2
解：CD为二力杆，取 AB杆，画受力图.
用几何法，画封闭力三角形.
按比例量得
F C = 28 . 3 kN , F A = 22 . 4 kN
10
平面汇交力系与平面力偶系
§3-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
投影
Fx = F ⋅ cosθ
分解
Fy = F ⋅ cos β
ρ ρ ρ
F = Fx + Fy
11
平面汇交力系与平面力偶系
思考：
ρ
力 F 沿轴Ox和Oy的分力和力在两轴上的投影有何区别？
ρ
ρ
ϖ
j
试以如图所示两种情况为例说明。式 F = Fx i + Fy 对两种
情况都成立吗？
12
平面汇交力系与平面力偶系
二.平面汇交力系合成的解析法
ρ
ρ
FR = ∑ Fi
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FR x = ∑ Fix
合力的大小为：
方向为：
F R y = ∑ F iy
FR = FRx + FRy
ρ ρ ∑ Fix
cos( FR , i ) =
FR
作用点为力的汇交点.
2
2
ρ ρ ∑ Fiy
cos( FR , j ) =
FR
13
平面汇交力系与平面力偶系
三.平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
平衡方程
ρ
FR = 0
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
14
平面汇交力系与平面力偶系
思考：
用解析法求平面汇交力系的合力时，若取不同的直角坐标系
所求得的合力是否相同？
答：合力是相同的，因力的作用效果是一样的，但表达式
可以不同。
用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，x轴与y轴是否一定
相互垂直？当不垂直时，建立的平衡方程 ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
能满足力系的平衡条件吗？
答：不一定垂直。当不垂直时，平衡方程能满足力系的平衡
条件，因为能够说明力系的合力为零。
15
平面汇交力系与平面力偶系
如图所示三种结构，构件自重不计。忽略摩擦，θ = 60ο
如B处作用相同的力，问铰链A处的约束力是否相同?
。
16
例
3
已知：图示平面共点力系；
求：此力系的合力.
解：用解析法
FRx = ∑ F ix = F1 cos30ο − F2 cos60ο − F3 cos45ο + F4 cos45ο = 129.3N
FRy = ∑ F iy = F1 sin 30ο + F2 sin 60ο − F3 sin 45ο − F4 sin 45ο = 112.3N
FR =
FR2x + FR2y = 171 .3 N
FRx
cos θ =
= 0.7548
FR
FRy
cos β =
= 0.6556
FR
θ = 40 . 99 , β = 49 . 01
ο
ο
17
例
4
已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小,
P = 20 kN;
求：系统平衡时，杆 AB,BC 受力.
解： AB,BC 杆为二力杆，
取滑轮 B （或点 B ），画受力图.
建图示坐标系
ο
ο
F
=
0
F
sin
30
−
F
cos
30
− FBA = 0
∑ x
1
2
ο
ο
F
=
0
−
F
sin
30
−
F
cos
30
+ FBC = 0
∑ y
2
1
FBA = −7.321kN
FBC = 27.32kN
18
例
5
已知：F = 3 kN, l = 1500 mm, h = 200 mm ，忽略自重；
求：平衡时，压块 C 对工件与地面的压力，AB 杆受力.
解： AB,BC 杆为二力杆.
取销钉 B .
∑F =0
x
FBA cosθ − FBC cosθ = 0
FBA = FBC
∑ F = 0 F sin θ + F sin θ − F = 0
y
解得
BA
BC
FBA = FBC = 11.35kN
19
例
5
选压块 C
∑F =0
x
解得
∑F = 0
y
解得
FCB cosθ − FCx = 0
ϖ
FCB
F
Fl
FCx = cotθ =
= 11.25kN
2
2h
− F CB sin θ + FCy = 0
ϖ
FCx
ϖ
FCy
FC y = 1 .5 k N
20
平面汇交力系与平面力偶系
§3-3
平面力对点之矩的概念和计算
一、平面力对点之矩（力矩）
力矩作用面，O 称为矩心，O
到力的作用线的垂直距离 h 称
为力臂
两个要素：
ρ
1.大小：力 F 与力臂的乘积
2.方向：转动方向
ρ
M O(F) = ± F ⋅ h
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的
乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为
21
负.常用单位 N ⋅ m 或kN ⋅ m
平面汇交力系与平面力偶系
二、合力矩定理
平面汇交力系
ρ
ρ
M O (FR ) = ∑ M O ( Fi )
该结论适用于任何合力存在的力系
22
平面汇交力系与平面力偶系
三、力矩与合力矩的解析表达式
ρ
ρ
ρ
M O ( F ) = M O ( F y ) − M O ( Fx )
= x ⋅ F ⋅ sin θ − y ⋅ F ⋅ cos θ
= xF y − yF x
ρ
ρ
M O FR = ∑ M O Fi
( )
( )
ρ
M O FR = ∑ (xi ⋅ Fiy − yi ⋅ Fix )
( )
23
例
6
ο
θ
=
20
, r = 60mm
已知: F = 1400 N,
ρ
求: M O (F )
解:直接按定义
MO
r
F = F ⋅ h = F ⋅ r ⋅ cos θ
( )
= 78.93N ⋅ m
按合力矩定理
r
M O F = M O
( )
r
Ft
r
Fr
( )+ M ( )
O
= F ⋅ c o s θ ⋅ r = 7 8 .9 3 N ⋅ m
24
例
7
已知： F ,θ , xB , y B , l ;
求： 平衡时，CD 杆的拉力.
解： CD 为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cosθ ⋅ yB − F sinθ ⋅ xB − FCD ⋅ l = 0
解得
F cosθ ⋅ y B − F sin θ ⋅ xB
FCD =
l
ρ
FCD
25
例
8
已知： q,l ;
求：合力及合力作用线位置.
x
解： 取微元如图
q′ = ⋅q
l
1
x
P = ∫ ⋅ q ⋅dx = ql
0 l
2
l
由合力矩定理
x2
P ⋅ h = ∫ q ′ ⋅d x ⋅ x = ∫
q ⋅d x
0
0
l
l
得
l
2
h= l
3
26
平面汇交力系与平面力偶系
§3-4
平面力偶理论
一.力偶和力偶矩
1.力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组
ρ ρ
成的力系称为力偶，记作 (F , F ′)
27
平面汇交力系与平面力偶系
2.力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面.
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩
M = ± F ⋅ d = ± 2ΔABC
28
平面汇交力系与平面力偶系
二. 力偶与力偶矩的性质
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
29
平面汇交力系与平面力偶系
2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的
改变而改变.
ρ ρ
ρ
ρ
M O (F , F ′) = M O (F ) + M O (F ′)
1
1
1
= F ⋅ (d + x1 ) − F ⋅ x1 = Fd
ρ ρ
M O (F , F ′) = F ′ ⋅ (d + x2 ) − F ⋅ x2
2
= F ' d = Fd
力偶矩的符号
M
30
平面汇交力系与平面力偶系
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移
转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对
刚体的作用效果不变.
=
=
=
31
平面汇交力系与平面力偶系
Δ ABC ？ Δ ABD
Δ ABC = Δ ABD
ρ ρ
M (FR , FR′ ) = FR d1 = 2Δ ABD
ρ ρ
M (F , F ′) = Fd = 2Δ ABC
32
平面汇交力系与平面力偶系
=
=
=
=
33
平面汇交力系与平面力偶系
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
思考：
如图所示结构，力偶引起的支座反力是否相等？
34
平面汇交力系与平面力偶系
三.平面力偶系的合成和平衡条件
已知： M 1 , M 2 , Λ M n ;
任选一段距离d
=
M 1
= F1
d
M 1 = F1 d
M 2
= F2
d
M 2 = F2 d
M n
= Fn
d
M n = − Fn d
=
35
平面汇交力系与平面力偶系
FR′ = F1′+ F2′ + Λ − Fn′
FR = F1 + F2 + Λ − Fn
=
=
=
36
平面汇交力系与平面力偶系
M = FR d = F1d + F2 d + Λ − Fn d = M 1 + M 2 + Λ M n
n
M = ∑Mi = ∑ Mi
i =1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0 ，有如下平衡方程
∑ M i = 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数
和等于零.
37
平面汇交力系与平面力偶系
思考：
在刚体的A、B、C、D四点作用有四个大小相等的力，此
四力沿四边恰好组成封闭的力多边形。此刚体是否平衡？
ϖ
ϖ
若力 F1 和 F1 ' 都改变方向，此刚体是否平衡？
38
平面汇交力系与平面力偶系
从力偶理论知道，力不能与力偶平衡。但为什么螺旋压榨机
上，力偶似乎可以用被压榨物体的反抗力来平衡？为什么如
图所示轮子上的力偶M似乎与重物的力P相平衡？
力偶由螺杆上的摩擦力和法向力的水平分力形成的力偶平衡，
ρ
螺杆上的摩擦力与法向力的铅直方向的分力与 FN 平衡。
39
例
9
已知：M 1 = M 2 = 10 N ⋅ m , M 3 = 20 N ⋅ m , l = 200 mm ;
求： 光滑螺柱 AB 所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质，
其受力图为
∑M = 0
FAl − M 1 − M 2 − M 3 = 0
解得
M1 + M 2 + M 3
F A = FB =
= 200 N
l
40
例
已知
10
M 1 = 2kN ⋅ m, OA = r = 0.5m, θ = 30ο ;
求：平衡时的 M 2 及铰链 O, B 处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
∑M = 0
解得
M 1 − FA ⋅ r sin θ = 0
FO = FA = 8kN
41
例
10
取杆 BC ，画受力图.
∑M = 0
解得
r
F ⋅
− M2 = 0
sin θ
'
A
M 2 = 8kN ⋅ m
FB = FA = 8kN
42
平面汇交力系与平面力偶系
思考：
如图所示两种机构处于平衡状态，A，C处约束力和杆CD上
作用的力偶是否相同？
43
平面汇交力系与平面力偶系
本章小结：
平面汇交力系的合力
几何法：根据力的平行四边形法则。
ρ n ρ
ρ
FR = ∑ Fi = ∑ Fi
i =1
合力作用线通过汇交点。
解析法： FR =
FRx + FRy
2
2
ρ ρ ∑ Fix
ρ ρ ∑ Fiy
cos( FR , i ) =
cos( FR , j ) =
FR
FR
平面汇交力系的平衡条件
几何条件：力的多边形自行封闭。
解析条件：平衡方程。 ∑ Fx = 0
∑F = 0
y
44
平面汇交力系与平面力偶系
平面力对点O之矩是代数量
ρ
M O(F) = ± F ⋅ h
一般逆转为正，顺转为负。
力偶是由等值反向不共线的两个平行力组成的。力偶没有
合力，也不能由力来平衡。平面力偶对物体的作用效应决
定于力偶矩M的大小和转向。力偶对平面内任意点的矩等
于本身力偶矩，与矩心的位置无关。
M = ± F ⋅ d = ± 2ΔABC
平面力偶系可以合成为一个力偶，合力偶矩等于各分力偶
矩的代数和。平面力偶系的平衡方程为
∑M = 0
45
平面汇交力系与平面力偶系
本章作业：
1、已知：P = 20kN ，不计构件
自重及滑轮尺寸。
试求：杆AB和BC所受的力。
2、已知：杆重不计，力偶矩
M，尺寸a。
试求：支座A和C的约束力。
46
