ST. BANACH. MECHANIKA
!om 1
Książka ta została wydrukowana
w Szwecji jako dar Rządu Szwedzkiego
dla kulturalnej odbudowy w Polsce
WYco,AN!
BIBLIOTEKI . Z!·ZSIOROW
MONOGRAFIE MATEMATYCZNE
KOMITET REDAKCYJNY:
K. BORSUK, B. KNASTER, K. KURATOWSKI, W. SIERPIŃSKI,
H . STEINHAUS, W. ŚLEBODZIŃSKI i A . ZYGMUND
TOM VIII
STEFAN BANACH
PROFESOR UNIWERSYTETU WE LWOWIE
MECHANIKA
~
W ZAKRESIE SZKOŁ AKADEMICKICH
Tom 1
·s !/i ,.4r
300 -
SPÓŁDZIELNIA WYDAWNICZA »CZYTELNIK»
1947
Wydanie pierwsze 1938
Wydanie drugie odbite sposobem
fotomechanicznym 1947
WSZELKIE PRAWA ZASTRZEŻONE
All rights reserved
265
PRINTED IN SWEDEN
Be~gt,on, Litografiaka AB Sthlm 1'H7
Pierwsze wydanie dzieła nmteJszego ukazało się w roku
1938. Na skutek normalnej rozsprzedaży, a częściowo na skutek
wypadków wojennych, nakład pierwszego wydani;J został wyczer=
pany całkowicie. Wydanie obecne stanowi fotoreprodukcję wyda=
nia pierwszego. Dołąc~ona została fotografia Autora, zmarłego
\
dnia Jl sierpnia 194:5 roku we Lwowie.
Oddając do użytku ogółu czytelników pierwszy wydany po
wojnie tom „Monografii Matematycznych", Komitet Redakcyjny
pragnie wyrazić głęboką wdzięczność instytucjom, ~tórym ukaza=
nie się tego tomu i szeregu tomów następnych zawdzięcza: Szwedzkiej Fundacji „Svenska Kommitten for Internationell Hjalpverk~
samhet", Wydziałowi Nauki Ministerstwa Oświaty i Spółdzielni
Wydawniczej „Czytelnik".
K-0mitet Redakcyjny
J10NOGRAFII MATEMATYCZNYCH
PRZEDMOWA.
Na treść obu części tej książki złożyły się moje wieloletnie
wykłady z zakresu mechaniki na Uniwersytecie Jana Kazimierza
i Politechnice Lwowskiej.
Ograniczyłem się do mechaniki układu punktów materialnych
i ciała sztywnego. Zakres materiału dostosowany jest na ogół do
wymagań uniwersyteckich, ze względu jednak na potrzeby studentów
politechniki, rozdział VI traktujący o statyce ciała sztywnego został
tak opracowany, by mógł być dostępny bez znajo~ości kinematyki
i dynamiki. Można go czytać zaraz po rozdziale I, uzupełnionym
kilkoma wiadomościami podług wskazówek zawartych w odnośniku
na str. 235. Dostosowując się do zakresu mechaniki na Politechnice, podałem w rozdziale VI również pewne wiadomości z mechaniki technicznej.
Wiadomości matematyczne, konieczne do zrozumienia całości,
ograniczają się do początków geometrii analitycznej oraz rachunku
różniczkowego i całkowego 1 ). Inne potrzebne pojęcia i twierdzenia
podałem w tekście, aby nie odsyłać czytelnika do dzieł zbyt specjalnych. W szczególności podaję w Dodatku (przy końcu części
drugiej) metodę rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych
rzędu drugiego o współczynnikach stałych, jako często występują­
cych w mechanice.
Starałem się w książce o możliwie łatwy wykład. Trudniejsze
rozważania objaśnione są na wielu przykładach. Zadań do rozwią­
zywania nie umieszczałem; znajd~ie je· czytelnik w większości podręczników i w zbiorach zadań, jakie niżej podaję. Nie uważałem
też za potrzebne obciążać treści cytowaniem nazwisk autorow
poszczególnych twierdzeń lub przykładów, ponieważ materiał objęty
tą książką uważa,m za klasyczny.
Potrzebne wiadomości zna.leźć można np. w książce: S. Ba n ach,
Rao~k roffliczkowy i całkowy, 2 tomy, Lwów 1929.
1)
VII
Szczegółowe
wskazówki bibliograficzne znajdzie czytelnik
w odpowiednich artykułach tomu IV Enzyklopadie der ·mathematischen
Wissenschaften (Teubner, ·Leipzig 1901-1935) oraz vi tomie Y dzieła
Handbuch der Physik (Berlin 1927), a dane historyczne i uwagi
krytyczne w dziele E. Mach, Die Mechanik in °ihrer Entwicklung
(9 Aufl., Leipzig 1933). Tutaj ograniczam się do podania z piśmien­
nictwa kilkunastu ważniejszych dzieł, mianowicie:
•
I
w języku polskim:
H. Ozopowski, Mechanika teoretyczna, t. I-_IV, wyd. 2,
Warszawa 1921-22,
W. Pogorzelski_, Zarys teorii wektorów, Lwów-Warsza~a 1925,
A. Przeborski, Wyklady mechaniki teoretycznej, t. I, Warszawa 1930, t. II, Warszawa 1935,
E. J. Routh, Statyka teoretyczna (przekład z angielskiego),
Warszawa 1916,
Z. Straszewicz, Nauka o ruchu, wyd. 2, Kraków-Lwów-Warszawa 1923,
S. Zaremba, Zarys Mechaniki teoretycznej, t. I, Kraków 1933;
w językach obcych:
P. Appell, Traite de mecanique rationnelle, vol. I, 5-eme ed.,
Paris 1926, vol. II, 4-eme ed., Paris 1931,
- et G. I)autheville, Prt!eis de mecanique rationnelle, 5-eme
ed., Paris, 1934,
A. Fo pp 1, V orlesungen iiber technische Mechanik, Bd. I, II,
IV, VI, 4-8 Aufl., Leipzig 1921-1933,
G. Hamel, Elementare Mechanik, Leipzig 1912,
T. Levi-Oivita e U. Amaldi, Lezioni di meccanica razionale,
vol. I, Bologna 1922, vol. II, Bologna 1927,
A. E. H. Love, Theoretical Mechanics, 2nd ed., Cambridge 1921,
- Theoretische Mechanik (przekład niemiecki), Berlin 1920,
J. Nielsen, Elementare Mechanik, Berlin 1935,
Oh. de la Vallee-Poussin, Le90ns de mecaniq'U,e analytique,
vol. I, 2-eme ed., Paris 1926,
E. J. Rou th, An elementary treatise on the dynamics of a system
of rigi.d bodies, 3rd ed., London 1877,
Ol. Schą,fer, Einfiihrung in die theoretische Physik, 3. Aufl.,
I. Bd., Berlin-Leipzig 1928,
- Die Prinzipe der Mechanik, Berlin-Leipzig 1919,
VIII
A. G. Webster, The iJ,yr,,amics of particles and of rigid, elastic,
and fluid bodies, 3-rd ed., Leipzig 1925,
E. T. \Vhittaker, .A. treatise on the analytical dynamics of
parUcles and rigid bodies, 3-rd ed., Cambridge 1927 (w przekładzie
niemieckim, Berlin 1924);
zbiory zadań:
J. Si a n oż ę ck i-W o j n i c ź, Zbiór zadań z mechaniki teoretycznej, Wars~awa 1916,
A. Wundheiler, Zadania z mechaniki teoretycznej, Warszawa,
1937,
F. Witt en bauer, .A.ufgaben aus der technisrhen Mechanik,
6. Aufl., I. Bd., Berlin 1929.
Miło
mi jest podziękować p. Docentowi Drowi Bronisławowi
K n a s·t er o w i za wydatną pomoc przy wydaniu tej książki,
p. Drowi Edwardowi Otto za wykonanie rysunków i p. Profesorowi
Drowi Antoniemu Zygmundowi za pomoc w korekcie.
Stefan Banach.
Lwów, w styczniu 1938.
IX
ERRATA.
stronica, wieraz:
jest:
ma być:
203
899
931s
to~ej
wzięty
mimośród
mimośród liniowy
"
103
9
15015
163"8
16514
16914
1731
2722
2721
29217
30511
359,
4052
4611'
523,
.,,
V
2n/T
cosa
1,3m a, 1,7 m
a:=1,8cm
2n/T
cosa
1,3mm a, 1,7mm
a:=1,8mm
yz
a,z
Y=±a
Dxu
Y=±a
D%
statyczne bezwładności statyczne i bezwładności
-R1u a cosa
-R111 lcoea
-R111 Z
-R1ua
(rys. 1) (rys. 2)
(rys. 2) (rys. 1)
.A1Aa
.AoA:1
.
.
r x c.o
str. 39,6
(4:)
J
11
rx c.o
str. 403 (por. str. 396)
(3)
11
.r
to
ROZDZIAŁ
I
TEORIA WEKTORÓW
I. Działania na wektorach
f 1. Określenia wstępne. Wielkości, które możemy określić
przy pomocy jednej liczby rzeczywistej, nazywamy skalarami. ~kalarem jest więc masa, praca, energia kinetyczna i t. p.
Wektorem nazywamy odcinek, w którym wyróżniony jest początek i koniec. Do wektorów zaliczamy punkty i nazywamy je
wektorami zerowymi.
Wielkości takie jak np. prędkość, przy śpieszenie, siła, możemy
przedstawić przy pomocy wektorów. Wektor oznaczamy bądź jedną
literą z kreską u góry np. a, bądź symbolem AB, gdzie A oznacza
początek, zaś B koniec (rys. i). Na rysunku koniec wektora zaznaczamy strzałką. Początek wektora nazywamy także punktem !zaczepienia.
Długością lub wartością bezwzględną wektora AB nazywamy
długość odcinka AB· i oznaczamy ją przez I.A.BI.
Dwa wektory mające ten sam kierunek (t. zn. równoległe) mogą
mieć zwroty zgodne lub przeciwne (rys. 2).
l.
a.
tJ
2.
6
d
a-5
a•5
3.
4.
Wektory a i b mające równe długości, kierunki i zwroty nazywamy równymi (rys. 3), pisząc
ii=b.
Dwa wektory mające równe długości i kierunki, ,lecz zwroty
przeciwne, nazywamy przeciwnymi. Wektor przeciwny do a oznaczamy przez· :....:..a (P~ str. 4, rys. 3).
S. Banach. Mechanik~.
1
2
ROZDZIAŁ
I. Teoria wektorów.
Położeniem
wektora nazywamy prostą, na której wektor leży.
Wektory a i b równe i mające to samo położenie (t. zn. leżące
na jednej prostej) nazywamy wektorami równoważnymi (str. I, rys. 4):
a== b.
Dwa wektory zerowe uważamy za równe i równoważne.
Wektory równe oznaczać będziemy często jedną i tą samą
literą (gdy nie będzie obawy pomyłki).
Rzutem wektora a na prostą (lub płaszczyznę) nazywamy wektor, którego początkiem jest rzut początku wektora a, zaś końcem
rzut jego końca.
Przypuśćmy, że mamy dany w przestrzeni układ współrzędnych
O(x, y, z) prostokątny lub skośnokątily. Obróćmy oś x około O
w płaszczyźnie xy o kąt <n tak,
2
by dodatnia część osi x padła
z
na dodatnią część osi y. Jeżeli
dla widza znajdującego się po
tej stronie płąszczyzny xy, ·po
Y
której leży dodatnia część osi z,
ruch ten odbywa się zgodnie
2.
1.
z ruche~ wskazówek zegara,
wówczas układ O(x,y,z) nazywamy lewoskrętnym, w przeciwnym-razie
,
prawoskrętnym.
tej używać będziemy stale układu prostokątnego
lewoskrętnego (t. j. jak na rys. 1, a nie 2).
Powiadamy, że układ wektorów (a, b, c) nie równoległych do
jednej płaszczyzny ma zwrot lewy (wzgl. prawy), jeżeli prowadząc
przez dowolny punkt O osie x, y, z równoległe do wektoró~ a, b, c
i zgodnie z nimi skierowane, otrzymamy układ lewoskrętny (wzgl.
W
książce
prawoskrętny).
wektora. Niechaj a będzie dowolnym
wektorem, zaś a' rzutem jego na daną oś x.
Współrzędną wektora a względem osi x nazywamy liczbę, którą
oznaczamy przez ax, określoną jak następuje: ax = la'I, jeżeli a' ma
zgodny kierunek z osią x, zaś ax= - la'I w przypadku przeciwnym.
§ 2.
Współrzędne
Mamy oczywiśeie
(1)
ax = lal cos a,
gdzie a oznacza ką,t między wektorem a a osią x (str. 3, rys. 2).
3
Działania na. wektorach.
I.
(§3)
Przypuśćmy, że mamy dany prostokątny u.kład współrzędnych
wektora a względem osi układu
przez ax, ay, az, zaś kąty, jakie a tworzy z osiami przez a, p, y
(rys. 1), otrzymamy na mocy (1):
(tV, y, z).
Oznaczając współrzędne
ax = lal cos a,
(I)
ay = lal COB P,
a.i= lal cos y.
A więc: wektory równe mają równe współrzędne · względem osi
układu.
Ponieważ
według
znanego wzoru z geometrii analitycznej
jest cos a + cos {J + cos y = l, więc na mocy (I)
2
2
2
lal= Va;+a;+a!,
cos a= ax I lal,
cos p= ay I lal,
(II)
(III)
cos y = az I lal.
Z równań (II) i (III) wynika, że współrzędne wektora określają
jego długość, . kierunek i zwrot.
A więc dwa wektory a i b, mające odpowiednio równe współ­
rzędne względem osi układu prostokątnego (t. zn. dla których ax= bx,
ay= bu, a.i= bz), są równe.
Jeżeli wektor a leży w płaszczyźnie my (rys. 2), to
ax= lal cosa,
(IV)
lal =V~;+a~,
(V)
au= lal sin a,
cosa= ax/lal,
Często (gdy pomyłka jest
z
wykluczona) rzutami wektora
a· na osie układu nazywamy
także współrzędne a,:, ay, az.
,,
Łatwo
można
sin a =au/lal.
Y
',
a,
okazać,
że jeżeli
punkty .A i .A' maaA·
x
ją współrzędne odpowiednio
1.
2•
x, y, z i x', y', z', to wektor
a=AA' ma współrzędne! ax= x'-x, au=Y'-y i a.i=z'-z.
§ 3. · Suma I rótnica wektorów. Sumą wektorów a i b nazywamy każdy wektor, który daje się otrzymać w sp~sób następujący:
Z dowolnego punktu O kreślimy wektor równy wektorowi a,
z końca tego wektora drugi wektor równy wektorowi b; wektor,
którego początkiem jest O, końcem zaś koniec dru~ego wektora,
nazywamy sumą wektorów a i b (str. 4, rys. 1) i oznaczamy przez·
a+b.
I*
4
ROZDZIAŁ I.
Teona wektorów.
Dla wektorów przeciwnych (rys. 3) otrzymamy więc w szczególności
a+(-a)=O.
Sumę kilku wektorów np. a +b+c otr-zymujemy, tworząc sumę
b+c, a następnie dodając otrzymaną, sumę do wektora a (rys. 2).
Do sumy wektorów stosuje się prawa przemienności
i łączności. A więc:
b
a+b=b+a,
(ii+b)+c =a+(b+c).
2.
I.
Z praw tych wynika, że suma ilukolwiek wektorów nie zmieni
się, jeżeli zmienimy porządek składników lub jeżeli kilka z nich
~astąpimy ich suiµą~ Np.:
a+b+c ...i..il+e=a+c+e+b+d=(a+c)+e+(b+d).
Różnicę a - b określamy jako sumę a+(-b).
Zatem wedle definicji
-a
a-b=a+(-b).
3.
4'.
5.
Rys~ 4 i 5 przedstawiają,, jak wyznacza się różnicę.
Ponieważ
(a-b) +b=a+ (-b) +b=a,
więc różnica dodana do odjemnika daje w wyniku odjemną.
I ł. Iloczyn wektora przez liczbę. Iloczynem wektora a
przez Ziozbę m nazywamy wektor, który ma ten sam kierunek co a,
długość 1ml razy większą,, a zwrot zgodny z.a lub przeciwny, zależnie
od tego czy m>O, czy m<O. Iloczyn a przez m oznaczamy przez
ma.
Jeżeli m=O lub a=O, to ma=O.
Mamy oczywiście (p. str. 5, rys.1 dla m= 2):
(-m)a=-ma.
Wynika stąd, że
(-l)a=-a.
Działania na wektorach.
I.
[§5]
Dla iloczynu łatwo dowieść prawa rozdzielności sumy wzglę­
dem iloczynu. i prawa łączności:
m(a+l>)=ma+mb,
(m+p)a=ma+pa,
m(pa)=(mp)a,
oznaczają
liczby (rys. 2 i 3). Z powyższych praw
wynikają zwykłe .reguły algebraiczne dodawania i mnożenia.
gdzie m i p
pa
m~
f2Ja
a
pa•
•
za
m/pa/.•(mp/i
1.
3.
•
Drielenie wektora przez liczb~ (różną od zera) okreś1amy jakó
mnożenie przez odwrotność tej liczby. A więc:
a
1 _
-=-a.
m m
I A. Współrzędne sumy I -Iloczynu. Łatwo można okazacS,
że
rzut (na prostą, lub płaszczyznę) sumy wektorów równa
svmie rzutów tych wektorów (rys. 4). A więc:
się
Rzut (a+b) = Rzut a+ Rzut b.
Podob~· rzut iloczynu wektora przez liczbę równa się iwczynowi rzutu wektora przez tę liczbę (rys. 5). A więc:
Rzut (ma)= m Rzut a.
Jeżeli wektor a ma współ­
rzędne . ax, a11, az, a wektor b ma
współrzędne
bx, bg, bz, wówczas
wektor s=a+b ma współrzędne
Y1Yl1
I
a· r .I
J'...b'
I
I
I
I
I
a'
I
I
I
ma'
Wynika to z twierdzenia
o rzucie sumy.
Podobnie z twierdzenia o rzucie iloczynu wektora przez liczbę wynika, że wektor C=ma ma współrzędne .Cx==max, c11 =ma11 , Cz=ffl.az.
.4.
J_eteli np. il= oo- 3b-_2c. to:
ci.r=&l.r-3b.r-2cx,
6
ROZDZIAŁ
I.
Teoria wektorów.
§ 6. Rozkład wektora. Sumę wektorów a i b o wspólnym
początku, lecz różnym położeniu (tj. nie leżących na jednej prostej),
przedstawia przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach. Podobnie sumę trzech wektorów a, b, c, o wspólnym początku, lecz nie leżących na Jednej . Płaszczyźnie, przedstawia przekątna równoległościanu zbudowanego na tych wektorach.
N a powyższych twierdzeniach .opiera się rozkład danego wektora na sumę dwóch lub trzech wektorów o danych kierunkach.
Przypuśćmy, że mamy dany wektor s i dwie proste Zim nie
równoległe, leżące w pe~ej · płaszczyźnie równoległej do 8. Jeżeli
chcemy przedstawić wektor 8 j~ko sumę dwóch wektorów a i b
równoległych do l i m, to tworzymy równoległobok o bokach równoległych do Z i m, którego przekątną jest s. W tym celu kreślimy
z początku i końca wektora 8 proste równoległe do l i m. Boki
otrzymanego równoległoboku wyznaczą wektory a i b (rys. 1).
Łatwo zauważyć, że taki rozkład jest możliwy w jeden tylko
sposób.
Podobnie, jeżeli dany jest wektor s i trzy proste Z, m, n nie
równoległe do jednej płaszczyzny i chcemy przedstawić wektor s
jako sumę trzech wektorów a, b, c równoległych do Z, m, n, to budujemy równoległościan o krawędziach równoległych do Z, m, n,
którego przekątną
z
jest 8. Kreślimy zan'
tem z początku O
a
wektora 'ś proste
l', m', n' równoległe
do Z, m, n; następnie
z końca wektora s
prostą równoległą do
3.
1.
2.
n aż do punktu G
przecięcia tej prostej z płaszczyzną prostych Z', m'; wreszcie z punktu G kreślimy proste równoległe do l i m. Pun.lrty przecięcia tych
prostych z prostymi l' i m' są końcami wektorów a i b, których
początkiem jest O. Wektor c jest równy wektorowi łączącemu
punkt G z końcem wektora s (rys. 2).
Jeden tylko taki rozkład jest- możliwy, ponieważ istnieje
jeden tylko równoległościan o krawędziach równoległych do l, rrt, n
i o przekątnej s.
Działania na wektorach.
I.
[§7]
7
Szczególnym przypadkiem takiego rozkładu jest przed st aw ie nie wektora, przy pomocy wektorów jednostkowych.
Oznaczamy rzuty wektora a n.a osie układu (x, y, z) przez a', a'', a"'.
Mamy oczywiście (str. 6, rys. 3):
-a~a-,+-"+-'"
a
a .
Obierzmy na osiach układu wektory "i, 1, lć o długości 1, skierowane zgodnie z odpowiednimi osiami. Z określenia współrzędnych
ax, ay, az (§ 2, str. 2) wynika, że
-11
-;
a =ayJ,
Zatem
a=ax"i+ay1+azk.
(I)
Wektory "i, 1, k nazywamy wektorami jednostkowymi. Wzór (I)
wyraża wektor a przy pomocy współrzędnych i wektorów jednostkowych.
§ 7. Iloczyn skalarowy. Tloczynem skalarowym wektorów
a i b tworzących kąt <p (p. rys. obok), nazywamy liczbę lal Ibi ~os <p.
•
Iloczyn skalarowy oznaczamy przez a,b
~
lub ab. Zatem
o.:
c,:,
C:
~
-·-·-
(I)
ab= lal Ibi cos ,p.
Iloczyn skalarowy jest zerem nie tylko
Rzvt..b
w przypadku gdy a=O lub b=O, lecz także .
a
gdy alb, wtedy bowiem <p=n/2, więc cos<p=O.
Jeżeli zaś a =ł= O i b =ł= o, to iloczyn skalarowy może być dodatni lub
ujemny zależnie od tego, czy <p jest kątem ostrym czy rozwartym.
Iloczyn n ie zależy. od porządku czynników. Mamy bowiem
ba= Ibi lal coB <p = lal Ibi coB <p = ab.
Wyrażenie
Ibi cos <p przedstawia rzut wektora, b na oś wy-
znaczoną, przez wektor a i żgod.nie z nim skierowaną.
Rzut ·ten nazywamy rzutem b na kierunek- a i oznaczamy przez Rzut 0 b. Zatem:
Rzuta b = Ibi cos <p,
Rzutb a= lal oos <p.
Na mocy więc (I):
(1)
ab=lalRzuta b=lbl Rzut;; a.
Zatem iloczyn skalarowy równa się iloczynowi dlu.gości jednegQ
wektora przez rzut drugiego na kierunek pierwszego.
8
ROZDZIAŁ I.
Teoria wektorów.
Prawo rozdzielności. Na mocy określenia iloczynu mamy
(a+b)c=lcl Rzutc (a+b).
Ponieważ Rzutc(a+b)=Rzutca+Rzutvb, więc
(a+b)c=lcl Rzut 0 a+lcl Rzut 0 b.
Lecz lcl Rzutc a=ac i leiRzut 0 b=bc;. zatem
(a+b)c=ac+bc.
(II)
Podobnie postępując, otrzymamy
(a -b)c=ac-bc.
(III)
0
A więc dla sumy i Y•óżnicy żachodzi prawo rozdzielności wzglę­
dem iloczynu. Wynikają stąd zwyczajne prawa
mnożenia
sumy
przez sumę.
Np. (a+b> (c+<t>=<a+b>c+<a+i>)d=ać+·bc+ad+bd.
Prawo
Zatem
łączności.
Niechaj m oznacza
jakąkolwiek. liczbę.
(ma)b=lblRzut,;(m~)=mb Rzut,;a, skąd (ma)b=m(<ił>).
Niechaj teraz m, n oznaczają liczby". Na mocy poprzedniego
wzoru jest (ma) (nb)=m{a·(nb)}=m{n(ab)}, więc
(IV)
(ma) (nb)= (mn) (ab).
Wynikają stąd zwykłe prawa mnożenia wielomianu przez
wielomian.
Np. (2a-3b) 5c=IOoo-I5bc, (4a - 2b) cac+d)=I2oo-6bc+4aJ- 2&:i.
Kwadrat wektora. Kwadrat skalarowy a2 określamy jako
iloczyn a,a. Zatem ał=a·a=lal lal cos O, więc, w=lal2, stąd lal=Vai.
Otrzymujemy stąd :
(V)
(a+b)2=(a+b) (a+b)=a 2 +2ab+b2,
(a-b) 2=(a-b) (a-b)=ą2 -2ab+ba,
(a+b) (a-b)=a2_52.
Dwa pierwsze wzory możemy napisać w postaci:
(VI)
la+bl1 =lal 2 +21a1 Ibi cos ,+10; 2,
la-bl1 =lal1 -21al Ibi cos q,+lbl2Wzory te wyrażają t. zw. twierdzenie Carnota, znane z trygonometrii.
I.
[§8]
Działania na wektorach.
9
Przedstawienie analityczne iloczynu skalarowego.
Niech -:,, 1, k . oznaczają wektory jednostkowe (str. 7). Z okreś­
lenia iloczynu skalarowego otrzymujemy:
t2=12=k2=1,
tJ=tk=Jk=O.
Przedstawiając wektory ·a i b w postaci a=ax"i+au1+azk,
hx=hx"i+bu1+bzk (p. str. 7), możemy i~oczyn ab napisać w postaci
ab=(ax"i+au1+azk) (bx"i+buJ+bzk).
(2)
w myśl reguł mnożenia i opierając się na wzorach (2), dostajemy
Wymnażając
ab=axbx +ayby + azhz.
(VII)
Wzór powyższy pozwala. obliczyć iloczyn skalarowy dwóch
wektorów, gdy znane są ich współrzędne.
Jeżeli wektory a i b są do siebie prostopadłe, to ab= O, zatem
(VIII)
Naodwrót, jeżeli a-b=O, to wektory a i b są do siebie prostopadłe, o ile są różne od zera. Zatem wzór (VIII) przedstawia warunek
prostopadłości wektorów a i b (różnych od zera).
§ 8. Iloczyn wektorowy. Iloczynem wektorowym wektorów
a i b nazywamy wektor c spełniający warunki następujące:
1) Długość. Jeżeli <p oznacza kąt, jaki tworzą -wektory a i b, to
(I)
lcl=lai Ibi sin <p.
2) Kierunek. Wektor c jest prostopadły do wektorów a i b.
Jeżeli więc np. wektory a i b wychodzą z jednego punktu, to wektor c jest
prostopadły do płaszczyzny, w
której leżą wektory a i b (p. rysunek).
3) Zwrot. Zwrot układu wektorów (a, b, c) jest zgodny z przyjętym układem współrzędnych, t. zn. lewy.
Iloczyn wektorowy oznaczamy przez
ć •d..< b
axb.
Ze wzoru (I) wynika, że lei jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy. a= O lub b= O
lub <p= O lub <p = 11.
Zatem: iloczyn wektorowy jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy jed.en z czynników jest zerem, z,u.b gdy czynniki są do siebie równolegle.
10
ROZDZIAŁ I.
Jeżeli iloczyn jest zerem,
Teoria wektorów.
to odpadają oczywiście warunki 2)
i 3). W szczególności mamy
axa = o.
(II)
Uwag a. Wartość bezwzględna iloczynu wektorowego wynosi
lal ibi sin <p (p. wzór (I)). Wyrażenie to przedstawia pole równoległo­
boku zbudowanego na wektorach odpowiednio równych węktorom
a i b i wychodzących z jednego punktu (p. rys. na str. 9).
Zmiana porządku czynników. Jeżeli zmienimy porządek
czynników, to otrzymamy iloczyn
bxa.
Iloczyn a x b ma (na mocy określenia iloczynu) długość 'i kierunek
te same, co iloczyn b x a, lecz zwrot przeciwny. Zatem
bxa=-(axb).
(III)
A więc: wraz ze zmianą porządku czynników zmienia się znak
iloczynu wektorowego.
Prawo łączności. Opierając się na określeniu iloczynu wektorowego, ·łatwo można wykazać następujące związki (gdzie m i n
oznaczają liczby):
(IV)
m(axb)=(ma) xb=ax(mb),
(V)
(mtZ) x (nb)= (mn)(ax b).
Np.
3axb=3(axb);
2ax 3b=6(axb).
Prawo rozdzielności względem sumy. Dla iloczynu wektorowego zachodzą wzory:
(VI)
cx(a+b) = cxa+cxb;
(a+b)xc = a~c+bxc.
Wyprowadzimy najpierw wzór pierwszy. Moźemy oczywiście
przyjąć, że a, b i c mają wspólny początek O.
Załóżmy na razie, że lei =1. Poprowadźmy przez O płaszczyznę
Ill c. Połóżmy
(1)
i oznaczmy przez a', b', s' rzuty wektorów a, b, s na płaszczyznę n
(p. rys. na str. 11). Mamy oczywiście
-, -,+b-, .
(2)
8 =a
I.. 'Działania na wektorach.
[§8]
11
Niechaj <p będzie kątem zawartym między c i a. Zatem
ia'l=lal sin <p = lal lcl sin <p, gdyż założyliśmy, że !cl= 1. A więc
ja'l=lcxal
i podobnie lb'l=lc-xb!, la'l=lcxsl.
Obróćmy teraz wektory a', b', s' o 90° w płaszczyźnie n około O
-0d ręki lewej ku prawej, względem człowieka mającego stopy w początku, zaś głowę w końcu wektora c. Otrzymamy wektory a'', b'', s''.
Będzie na mocy (2)
(3)
{4)
{5)
s" = a" +b",
la"I = Ja'I,
lb"I = lb'I,
ls"I = ls'I·
Wektor a" jest prostopadły do a i c; zwrot układu wektorów
{c, a, a") jest lewy.
Ponieważ
nadto na mocy (3) i (5) mamy
la"l= lcx al, więc a"=cxa i podobnie
h" = cxb, s" = cxs. Na mocy więc
t
{ 4) i (1) otrzymujemy
cx(a+b) =cxa+cxb.
Wzór powyższy udowodniliśmy
przy założeniu, że lcl=l. Udowodnimy
go teraz w przypadku ogólnym. Niechaj h będzie wektorem o długości 1,
zgodnie skierowanym z wektorem c.
Zatem
(6)
i
skąd na mocy prawa łączności
cx(a+b) = lclhx(a+b) == lcl {kx(a+b)}.
(7)
Ale na mocy wzoru udowodnionego dla przypadku lcl = 1 i na
mocy prawa łączności jest kolejno:
lol{7ixa+7ixl>} = lo1(1ixa)+lel(1ixl>) = (lel h)xa + (lc!X)xl>,
skąd na mocy (6) i (7) otrzymujemy już w całej ogólności:
cx(a+6) = exa+cxl>.
Drugi ze wzorów (VI) możemy otrzymać z pierwszego, stosując
wzór (Ili):
(a+'l>)xe=-{cx(a+l>)}=-{cxa+cxł>)=-(~xa)-(oxl;)=axc+ixa.
Ze wzoru (Vl) wynika łatwo wzór
{VII)
(a+b)x(c+d) = ax c+axtl+l>xc+bxd.
12
ROZDZIAŁ I.
Teoria wekt.orów.
Np. (~-3b)x(5c+2J)=IOiixc+4axd- I5bxc-6bxd.
(a+b)x (a-b) =axa-axb+bxa-bxb= -2axb.
(3a+2b)x (5a-2b)=-I6axb.
Współrzędne
iloczy·nu wektorowego. Oznaczając przez
i, j, k wektory jednostkowe (str. 7), mamy:
tXi=JXJ=kXk=O,
(8}
(9)
tXJ=-(JX°i)=k,
JXk=-(kXJ)=i,
Kładąc
otrzy~amy
axb = (ax"i+a111+azk)x(bx"i+b111+bzk).
Wykonując mnożenie,
dostajemy na mocy (8) i (9):
axb = (agbz - azbg) "i+(azbx - axbz) 1+(axb,, - aybx) Tc.
Dla c=axb jest więc
*9. Iloczyn kllku wektorów. 1°
uwagę iloczyn a(bxc). Kładąc r·
Weźmy
najpierw pod
bxc, otrzyma.my
a(bXC) = ar= axrx+a11 r11 +azT:rPonieważ
rx . bycz -bzCg i. t. d., więc
a(bxc) = ax(b11 Cz -bzCg)+ag(bzCx -bxCz)+a.,(bxCg - Cybx).
Wzór powyższy możemy napi~ w . posta.ci
ax, a,, az
a(bxc)= bx, _by, bz .
Cx, c11 , Cz
(I)
Ze znanych własności wyznaczników wynika łatwo wzór
a(bxc) = b(cxa) = c(axb).
(Il)
wektory a, b, c ~ają początek w początku
n.kładu. Z geometrii ana.litycznej wiadomo, że objętość v. czworo.:
.łicianu o krawędziach a, b, c wynosi ł wa.~ości wyznacznika. (I) .
.A więc V=ła(bxc).
Przypuśćmy,
że
I.
[§ 10]
Działania na wektioraah.
13
Zatem: warunkiem koniecznym i wystarczajqcym na to, aby
wektory
b, c ( o wspólnym początku) leżały w jednej plaszczym~,
jest, by V=O, czyli by a(bxc)=O.
Jeżeli zaś nie zakładamy, że a, b, c mają wspólny początek, to
- jak łatwo widzieć - warunek a(bx c)=O jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by wektory a, b, c były róumoleg"
do jednej płaszczyzny.
2° Weźmy teraz pod uwagę iloczyn .ax (bx c). Oznaczmy ten
µQczyn przez u i połóżmy r=b x c. Zatem
·
,i,
Ux=·a gTz-azry= ay(bxCy-byex)-az (bzCx-bxGz).
Dodając i odejmując składnik
axbxCx, otrzymamy
Ux= bx(axcx+auCu+azbz,- Cx(axbx+aubu+a„b.,),
skąd ux=bx(ac)-cx(ab) i podobnie u,,-by(ac)-cu(ab), uz=b.,(ac)-cz(ab).
Zatem
ax(bxc) = b(ac)-c(ab).
(Ili)
3° Ze wzorów (I), (li) i .(Ili) wynikają wzory nas~ępujące:
(IV)
(axb) (cxd) = (ac) {bd)-(ad) (be),
(V)
(axb)x(cxd) ~ b[a(cxd)]-a[b(cxd)].
§ 10. Funkcje wektorowe. Jeżeli każdej liczbie t przedziału
(t', t") przypisany jest wektor w, wówczas powiadamy, że w prze·
dziale (t', t") określoną mamy funkcję wektorową i piszemy
(1)
w=F(t),
Współrzędne Wx, Wu, W z są również funkcjami (już w zwykłym
sensie czyli liczbowymi) zmiennej t. Zatem:
(2)
Wy= <p (t),
Wx= f(t),
Powyższe trzy funkcje określają, dokładnie funkcję wektorową (1 ).
Granica. Powiadamy, że funkcja wektorowa (1) ma, granic(J w 0
dla t dążącego do t0 , co piszemy
limF(t) =Wo,
gdy
t-+t"
lim /(t) = Wo,x, lim <p (t) = Wo,g i lim tp(t) = Wo, z•
1+4
,..,.
t-+4
14
ROZDZIAŁ I.
Teoria wektorów.
Ciągłość.
lim F(t) = w0 ,
t-ł,10
Funkcja wektorowa (1) jest ciągła dla t0 , jeżeli
gdzie w0 = F(t0 ).
Oczywiście zachodzą wówczas związki:
lim <p (t) = <p (t0),
lim f(t) = /(to),
Hlo
lim tP(t) = tP(to).
Hlo
'""*'°
Funkcje f, <p, tP są więc wtedy ciągłe dla t=t0 • Na odwrót, jeżeli
f, 'P, t/1 są ciągłe dlą, t0, to ·funkcja wektorowa w=F(t) jest również
ciągła dla t0 •
Pochodna. Oznaczamy przez Jt przyrost zmiennej t, a, przez
Jw odpowiedni przyrost wektora w. Więc w+dw = F(t+dt), zatem
Jw--:- F(t+Jt) - F(t), skąd
Jw
~=
F(t+Lit)-F(t)
Jt
•
Granicę .:lt-+O
lim ~wt nazywamy pochodną funkcji F(t) w punkcie t .
IJ
Pochodną oznaczamy przez
dw
dt,
w' lub F'(t).
Ponieważ wektor Jw ma współrzędne
Jwx= f(t+Jt)-f(t),
Jwy = <p(t+Jt)-<p(t),
Jwz = t/J(t+Jt)-t/J(t),
więc
W~= f'(t),
w~= q>'(t),
w~= tP'(t).
Pochodne wyższych rzędów określamy w zwykły sposób: a,
więc drugą pochodną jako pochodną pierwR'~ej pochodnej, trzecią
pochodną jako pochodną drugiej pochodnej i t. d. Wyższe pochodne oznaczamy przez
lub
_,, _,,,
w 'w '
i t. d.
Łatwo wykazać, że
w;= f"(t),
"
Wy=
<p"(t)
. '
w~= tP"(t)
i t. d.
Jeżeli funkcje w=F(t) i v= 0(t) mają pochodne, to zachodzą wzory:
In
Działania na wektorach.
I.
l § 11]
(II)
d(w±v) _ dw ± dv
dt
- dt dt'
d(mw)
dw
dt =mdt
(III)
d(wv) dw _ _ dv
-~=dtv+wdt'
(IV)
d(wxv) dw _ _ dv
dt
=dtxv+wx dt ·
(I)
(gdzie m jest liczbą,),
Wyprowadzimy wzór (III). Mamy J(wv) = (w+Jw) (v+Jv)-wv,
więc
J(wv)
Jt
Jw_+_Jv+J_Jv
= Jt V
W Jt
W Jt '
skąd, przechodząc do granicy, otrzymujemy (III).
Funkcje wektorowe wielu zmiennych. Możemy również
rozpatrywać funkcje wektorowe wielu zmiennych. Np. funkcja wektorowa
aJ_est funkcją trzech zmiennych ~, fJ,
określone pewnemi funkcjami
~
c,:,
Wx =
/(;, 11, ,),
s, Rzuty wektora w są wówczas
Wy= Cf' (6, 1'/, Ś),
Wz =
t/J ( ;, fJ,
s).
i pochodne cząstkowe funkcyj wektorowych
~ kilku zmiennych łatwo już podać, wzorując się na przypadku jednej
ci zmiennej.
c:::
a,
~
Granicę, ciągłość
Moment wektora względem
~ punktu. Przypuśćmy, że mamy dany wektor AB i punkt O. Mo~ mentem wektora .A.B względem punktu O nazywamy wektor M, speł­
. a niający warunki następujące:
(1) IMI równa się podwójnemu polu trójm
kąta OAB czyli
§ 11. Moment wektora.
--
IMI = IABl·h,
gdzie h oznacza odległość punktu O od .A.B.
(2) Kierunek wekt?ra M jest prostopadły do płaszczyzny przechodzącej przez O i AB.
(3) Układ wektorów (.A.B, O.A., M). ma zwrot zgodny z układem
współrzędnych, t. j. zwrot lewy.
16
ROZDZIAL I. Teoria wektorów.
Moment wektora AB względem punktu O oznaczać będziemy
symbolem
MomoAB.
Moment jest zerem tylko w przypadkach, gdy AB=O lub gdy
przedłużenie wektora AB przechodzi przez O. Jeżeli moment jest
zerem, wówczas warunki (2) i (3) odpadają.
Dla wektorów równoważnych (str. 2) zachodzi następujące
Twlerd#enle 1~ Wektory równoważne mają wzg~m tego samego punktu momenty równe.
Dowód. Przyjmijmy, że AB-A'B'. Zatem wektory AB
i A'B' są równe i leżą na tej samej prostej. Łatwo stwierdzić, że momenty obu wektorów względem O mają ten sam kierunek i zwrot.
Mają również t,ę samą długość, · gdyż trójkąty OAB i OA'B' mają
równe powierzchnie (równe podstawy i wspólną wysokość). A więc
Morno AB = Momo A'B', c. b. d. d.
Moment jako iloczyn wektorowy. Weźmy pod uwagę
iloczyn wektorowy ABxOA. Zauważmy, że iloczyn powyższy ma
ten sam kierunek i zwrot, co MomoAB. Mamy również IAB xóA I=
FIMomoABI. Bezwzględna bowiem wartość iloczynu równa się polu
r6wnoległoboku O.ABC (p. rys. na str. 15), zatem podwójnemu
polu trójkąta OAB. A więc
MomoAB=AB x O.A..
Gdybyśmy zamiast wektora AB wzięli wektor równoważny A' B',
wówczas mielibyśmy
MomoA'B'=A'B'xOA'.
N a mocy więc poprzedniego twierdzenia
MomoAB =A'B'xOA' = ABxOA'.
A więc: jeżeli A' jest dowolnym punktem na prostej, na której
leży wektor AB, wówczas
MomoAB=ABxOA'.
[f 11]
1'1
I. Działania na wektorach.
Twterd#enie 2. Jeżeli dwa wektory . równe
pewnego punktu równe momenty, to są równoważne.
Do wód.
mają
wzg~dem
Zakładamy, że
AB=A'B'
l
Momo..AB =Morno.A'B'.
Zatem AB x O.A= .A'B' x OA', skąd .AB x O.A= .ABxO.A', więc
ABx(OA-OA') = O. Ponieważ zaś O.A-O.A'= .A'.A, więc
ABx.A'.A = O.
Lecz AB x A' A = Mom..t' AB, więc
MomA,AB= O.
Wynika stąd, że punkt A' leży na przedłużeniu wektora AB.
Ponieważ nadto AB jest równoległy do A'B', więc AB i .A.'B' leżą
na tej samej prostej.
Moment sumy wektorów o wspólnym początku. Załóżmy, że dane są wektory AB i AC (t. j. oba o początku
w punkcie A). Niechaj AD będzie ich sumą.
Mamy
Moino AD= iDxOA = (AB+AO)xOA,
zatem
MomoAD=ABxOA+AOxOA,
więc
MomoAD= MomoAB+MomoAO.
Podobny wzór otrzymamy dla sumy kilku wektorów. A więc:
suma momentów kilku wekto.rów o wspólnym początku równa się momentowi ich sumy o tym samym początku.
momentu. Położenie wektora a jest określone,
jeśli dane są, jego rzuty i współrzędne ~, y, z dowolnego punktu .A
prostej l, na której wektor a leży. Niechaj x0 , Yo, z 0 będą współrzędnymi punktu O. Mamy
.
Współrzędne
Momoa=axOA.
Rzuty wektora O.A wynoszą x-x0 , y-y0 , z-z0 • Zatem, oznaczając przez M moment · względem O, otrzymamy:
(I)
Mx= a11(z-z0 )-az(y-g0 ),
8. Banach. M"chanika.
Mg= tłz(X-X0)-ax(z-z0),
Mz= a.r(y-y 0 )-ag(X-X0 ).
2
18
ROZDZIAŁ I.
Jeżeli
a,0
Teoria wektorów.
w szczególności punkt O jest początkiem układu, to
= O, Y,= O, z0 = O, a więc
(Il}
a-a'.
Przypuśćmy,że
Zatem,ozna.czającprzez Mi M' momenty
wektorów względem dowolnego punktu, mamy
Jl =11' czyli
Na odwrót,
jeżeli
zachodzą
a=a',
powyższe
równości,
to
.a=a'
i ll=M', zatem na mocy twierdzenia 2, str.17, wektory a i a' są
równoważne.
A więc: rzuty wektora a i rzuty momentu M wzg~dem dowolnego
punktu wyfflaCZajq długość, kier1mek, zwrot i położenie wektora a.
Moment wektora względem prostej. Niech dane będą
wektor a i prosta Z. Poprowadźmy przez dowolny punkt O prostej l
płaszczyznę n prostopadłą do Z. Utwórzmy rzut a' wektora a na
płaszczyznę
n.
Moment wektora a' względem O nazywa.my momentem wektora a
wzgUJ(Um prostej Z i oznaczamy symbolem Mom,a.
Mom,a nie zależy oczywiście od obioru punktu O.
Morn, a jest zerem tylko w następujących
z ~
przypadkach:
I
8
, :
1° gdy a=O,
I
Morn,?)_"
2° gdy al!Z, gdyż wtedy a'=O,
V a·
3° gdy przedłużenie a przecina z, gdyż wtedy
o
przedłużenie a' przechodzi przez O.
Jeżeli d oznacza odległość a od Z, · zaś <p kąt między i.i i ł,
to łatwo można. okazać, że
I
(li)
IMom,al = d lal Bin 'P·
Obierzmy prostą Z za. oś z, płaszczyznę Il za płaszczyznę a,y.
Połóżmy 11 = Momo a i L = Mom, a. Ponieważ a' ma rzuty a~= a,..,
a~=a,,, a~=O, więo Lx=O, Ly=O i Lz=axy-a11 a,, gdzie a,, y, z 8'
współrzędnymi początku wektora a. Widzimy więc, że Mz=Lz.
A zatem: Mom, a jut rzutem na pro8t(ł Z ,momemu wektora a
1"{/~m dowomego punktu tej prolltej.
II. Układy wektorów.
[111]
19
n. Układy wektorów
I 12. Moment ogólny układu wektorów. Niech dany
będzie układ wektorów:
Oznaczmy przez saum@ układu (t. j. sumę wektorów układu).
A więc
8= i.ii+ li1
+... +lin.
Obierzmy dowolny punkt O.
Momentem ogómym lub krótko momentem układu względem O
. nazywamy sumę momentów poszczególnych wektorów względem O.
Oznaczamy go przez
Mamy więc
1lo=Momoli1 +Momoli1 + ... + Momolin.
Moment ogólny czasem oznaczamy też przez
Momo (li1, lit, ... lin).
Obierzmy inny punkt O'. Mamy
1lo' = Momi,, li1 +MomO' ~+ ... MomO' an.
PonieważMomoa 1 =a1 x O'.A1 , gdzie.Adest
początkiem
wektora iii i t. d., więc
11<Y = a1 X O'.A + cis x ·O'.A1 + ...
Lecz O'.A 1 =0'0+0.A1 i t. d., zatem
Al'q=ii1 X(0'0+0.A 1 )
+ li1 X(O'O+O.A1 ) + ...
Po wymnożeniu otrzymujemy:
(1)
.MO'= <aixO'O + a1 xO'O + ... )+(a1 xO.A 1 + li1 x0.A 1 + ...).
Lecz a1 x0'0 + a,xO'O + ... =(cii+a,+ ... fxO'O=sxO'O.
Suma zawarta w drugim nawiasie równości (1) przedstawia moment
układu względem O. Zatem
(I)
Jlq=iXO'O+Mo.
Iloczyn ixO'O jest momentem względem O' sumy układu
wektorów o początku O.
20
ROZDZIAŁ I.
Teoria wektorów.
A więc: jeżeli zmieniamy punkt, wzg~dem którego wyznaczamy
ogólny moment ukladu,·wówczas moment ten zmienia się o moment sumy·
układu zaczepionej w dawnym punkcie, wziętej względem nowego pvnktu.
Z twierdzenia powyższego wynikają następujące wnioski:
l. Jeżeli suma układu .jest zerem, to moment ogólmy jest stały
(t. j. nie zależy od punktu, względem którego się go wyznacza).
Jeżeli bowiem s=O, wówczas axO'O=O, więc M~=Mo.
2. Jeżeli momenty ogólne względem trzech punktów nie leżącyci
na jednej prostej są równe, to suma układu jest zerem.
Załóżmy
momenty ogólne względem punktów
O, O', O" nie leżących na jednej prostej są równe. Zatem
bowiem,
że
Mo=Mo =M(Y',
1
Jeżeli więc
skąd
s x 0'0=0 i
s x 0;'0=0.
s =ł= o, to sjjOO' i s;IO"O, co niemożliwe, gdy O, O', O"
nie leżą na jednej prostej.
3. Jeśli p unkt, względem którego wyznaczamy moment ogólny,
1
przesuwa się wzdłuż prostej
moment nie ulega zmianie.
Jeśli bowiem
równoległej
do sumy
układu,
wówczas
sllO'O, to sxO'O=O, więc MO'=Mo.
4. Iloczyn skalarowy momentu ogólnego przez Bttm(! układu jest
wielkością stalą (t. j. nie zależy od punktu, względem którego IJlO-
ment jest wyznaczony).
Pomnóżmy bowiem obustronnie równość (I) skalarowo przez i.
Otrzymamy sMO'= 8(8 x O'O) + sM0 ,
s(sxO'O) = o, skąd
aMO'=sMo.
lecz
s x O'O 1 i,
zatem
Iloczyn skalarowy momentu ogólnego przez sumę nazywa się
parametrem układu.
5. Rzut momentu na kierunek sumy jest wielko1cią stalą (przyczem zakłada się, że suma jest różna od zera).
. Mamy bowiem na mocy wniosku 4 i określenia iloczynu skaJarowego Iii Rzut; MO' = Iii Rzut; 1lo, ek-.d
Rzut. MO' = Rzut, Jl o.
[§ 13]
Il.
21
Układy wektorów.
*13. Parametr. Wyznaczymy obecnie parametr (t. j. iloczyn
skalarowy momentu ogólnego przez sumę) dla pewnych układów
występujących często w mechanice.
Układem środkowym lub central,nym nazywamy układ, w którym przedłużenia poszczególnych wektorów przechodzą, przez pewien stały punkt O, zwany środkiem (rys. 1).
Moment układu względem środka jest zerem, gdyż moment
każdego wektora jest zerem. Zatem i parametr jest zerem.
A więc: parametr układu środkowego jest zerem.
/a
I
I
I ,'
,
,
,,
y
ć
·~---o
I.
"'
ł
ś
"'
II
2.
M
s
b
n
TT
o
A
M
3.
4.
Układem płaskim nazywamy układ, w którym wszystkie wek-
tory leżą, w jednej płaszczyźnie n (rys. 2).
Moment ogólny układu względem dowolnego punktu O płasz­
czyzny n jest prostopadły do Il, gdyż . momenty poszczególnych
wektorów względem O są prostopadłe do Il. Ponieważ suma leży
w płaszczyźnie II, więc suma jest prostopadła do momentu ogólnego.
Wynika stąd, że parametr jest zerem.
A więc: parametr układu pla8kiego jest zerem.
Układem równoległym nazywamy układ, w którym wszystkie
wektory są równoległe (rys. 3).
Jeżeli suma s jest zerem, to parametr jest oczywiście równy zeru.
Załóżmy więc, że s =ł= O. Obierzmy dowolny punkt O. Momenty
poszczególnych wektorów względem O leżą w płaszczyźnie ll pro·s to- ·
padłej do wektorów układu i przechodzącej przez O. Zatem moment.
ogólny leży również w płaszczyźnie n. Ponieważ Bln, więc a jest
prostopadłe do momentu ogólnego, wobec czego parametr jest
zerem.
A więc: parametr układu rówrwkglego jest zerem.
Załóżmy teraz, że wektory i.i i b są akome ( t. j. nie leżące w jednej płaszczyźnie) . Niechaj O będzie początkiem wektora b (rys. 4).
Moment M układu (a, b) względem O równy jest' oczywi·
ście Morno a. Parametr F wynosi K =Mi= M(a+b) = Ma+ M'6.
Lecz M = Morno a jest prostopadły do płaszczyzny ll przechodzącej
22
ROZDZIAŁ I.
Teoria wekt.orów.
przez O i wektor a. Ponieważ w płaszczyźnie n leży wektor at zaś
nie leży wektor b, więc moment M jest prostopadły do a, nie jest
natomiast prost~padły do b, skąd na mocy ostatniej równości
K= Mb=f=O.
A więc: parametr układu złożonego z dwóch wektorów skośnych
;est różny od zera.
§ 14. Układy równowaine. Dwa układy wektorów (iii, a9 , ••• )
i (ai, ~ ... )nazywamy równoważnymi, jeżeli mają równe sumy i równe
momenty ogólne względem każdego punktu.
Jeżeli mamy układ (a) złożony z jednego tylko wektora a
i układ (a') złożony z jednego tylko wektora a', to - jak wynika
z twierdzenia 2, str. 17 - warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by układy (a) i (a') były równoważne, jest aaaa'.
A więc w tym przypadku pojęcie równoważności układów pokrywa
się z pojęciem równoważności wektorów.
W przypadku ogólnym mamy następujące twierdzenia:
1. Jeżeli dwa układy mają równe sumy i równe momenty ogólne
wzglft(l,em pewnego punktu, to układy te są równoważne.
Wynika to ze wzoru (I), str. 19. Jeżeli bowiem momenty wzglę­
dem punktu O są równe i sumy są równe, to momenty względem
każdego punktu O' będą równe, gdyż przy zastąpieniu punktu O
przez O' ulegną one równym zmianom w obu układa.eh.
2. Jeżeli dwa układy mają wzg~dem trzech punktów nie leżących
na jednej prostej równe momenty, to układy te są równoważne.
bowiem oznaczymy przez 0 11 0 2, 0 3 punkty, względem
których momenty ogólne obu układów są równe, zaś przez si a' sumy
tych układów, to otrzymamy ze wzoru (I), str. 19, sx010 1 = s'x0 10 2
i sx010 3 = s'x010 3 , skąd
Jeżeli
i
Gdyby było s-s' =ł= o, to mielibyśmy s-a'll0 101 i s-s'II010a,
oo niemożliwe, bo 0 11 0 2 , 0 3 nie leżą na jednej prostej. Jest zatem
i -a'= O, czyli a= i', skąd na mocy poprzedniego twierdzenia wynika równoważność układów.
Z określenia parametru wnosimy natychmiast, że układy równoważne mają równe parametry.
Twierdzenie odwrotne jest oczywiście fałszywe.
I I. Układy wekłiorów.
(łl6]
23
Układy równoważne
zeru. Jeżeli suma układu jest zerem,
to -jak wiemy- moment ogólny jest stały. Otóż jeżeli suma układu
jest zerem i moment ogólny jest zerem, układ nazywamy układem
równoważnym zeru.
Układ równoważny zeru jest równoważny wektorowi zerowemu.
Aby przekonać się, czy układ jest równoważny zeru, wystarczy
zbadać, czy jego suma i moment względem jakiegoś dowolnego
punktu są równe zeru.
Z twierdzenia 2, str. 20 wynika łatwo, że układ jest równoważny
moment ogólny układu wzg~ trzech punktóto
-nie leżących na jednej prostej jest równy zeru.
zeru,
Układ
jeżeli
trzech wektorów równoważnych zeru. Jeżeli
11klad zrożony z trzech wektoróte, jest równoważny zeru, to ,rzedlużenia
łych wektoróte przeclwdzą pru,z jeden punkt (lub wektory są rytoMleg'l8 ).
Przyjmijmy, że układ wektorów a, b, c jest równoważny zeru.
·Moment ogólny względem .A (początku wektora a) jest więc zerem,
skąd MomA '6 + Mom..t c = O, a więc Mom... b = -MomA c. Wynika
stąd, że wektory ,; i c leżą w płaszczyźnie II przechodzącej przez .A.
Ponieważ a+l>.+c=O, więc a=-'6---c, zatem a także leży w płasz­
czyźnie Il. Oznacżmy przez O punkt, w którym przecinają się wektory a i 1>. Ponieważ moment ogólny układu względem O redukuje
się do momentu wektora c względem O, więc Momoc=O, zatem c
przechodzi również przez O. Wreszcie, jeżeli a llłi, to również allc,
bo c = -a--1> (p. str. 21, rys. 1).
ff 15. Para wektorów. Parą wektorów nazywamy układ zło­
żony z dwu wektorów
a i -a równoległych, lecz przeciwnie skiero-
wanych i równych co do długości.
Ponieważ suma pary wektorów jest równa zeru, więc moment pary jest stały. Obliczając go względem początku wektora a, widzimy, że moii
ment wektora a jest zerem, moment zaś
wektora. -a, jest prostopadły do płaszczyzny
pary i równy polu równoległoboku zbudowanego na wektorach wchodzących w skład pary.
A więc: moment pary wektorów jest równy polu równoległoboku
zbudowanego na wektorach pary i jest prostopadły do płaszczymy pary.
Jeżeli wektory pary leżą na tej
moment jest zerem.
samej prostej, to oczywiśofo
24
ROZDZIAŁ I.
Teoria wl'ktor,,w.
Jeśli h oznacza odległość wektorów
(I)
a i-a zaś ~li moment pary, to
illfi =lal·h.
Do danego wektora ;.l i można zawsze znaleźć parę o momencie
równym Jl. Wystarczy na pła8zczyźnie prostopadłej do .Jl! obrać
dowolny równoległobok o polu równym IM!. Przeciwległe hoki, odpowiednio skierowane, utworzą, szukaną, parę wektorów. Oczywiście,
zadanie to możemy rozwiązać na nieskończenie wiele sposobów.
Dwie pary o równych momentach tworzą, układy równoważne.
Jeżeli więc parę wektorów dowolnie przesuniemy lub skręcimy
w płaszczyźnie pary, to otrzymamy parę równoważną.
I 16. Redu~eja układu wektorów. Niech dany będzie
układ 8 złożony z wektorów a17 a2 , • •• , an~ Zajmiemy się wyznaczeniem najprostszego układu równowatnego układowi S.
Obierzmy dowolny punkt O. Oznaczmy przez s sumę układu S,
przez 11 moment ogólny względem O. Weźmy pod uwagę układ R
złożony z pary (a,-a) o momencie równym Mi z 'wektora s o początku O. Układy R i S są, oczywiście równoważne, ho mają sumy
równe s i momenty względem O równe Jl.
A więc! każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożo­
nemu ze sumy <> początku w dowolnym punkcie () i par:IJ o momencie
równym momentowi układu wzg~dem O.
Jest to t. zw. twierdzenie ,, redukcji. Punkt O nazywamy
środkiem redukcji.
Parę (a,. a) możemy tak dobrać, by punkt O był po~zątkiem wek-
tora -a. Zastąpmy wektory s i -a ich sumą, 1i o początku O (rys. 1 ).
·Układ złożony z wektorów aili jest oczy~ście równoważny układowi 8.
Zatem: każdy układ wektorów rÓffltł,oważny jest ·u.kładowi dwu wektorów, z których jeden ma początek w punkcie dowolnie obranym.
W szelki układ wektorów jest więc równoważny pewnemu
układowi złożonemu z wektora
M
M
i pary, lub z dwóch wektorów.
Zajmiemy się teraz wyznaczeniem warunków, przy których dany układ jest równoważny jednemu tylko wekto1.
2.
rowi lub jednej parze.
Rozpatrzmy kolejno przypadki, w których parametr układu
jest różny od zera i równy zeru.
[§ 16J
II.
25
Układy wektorów.
1° Parametr różny od zera. Układ złożony z jednego
wektora lub jednej pary jest układem płaskim, ina zatem parametr
K = O. Jeżeli więc parametr układu 8 jest różny od zera, to układ S
nie może być równoważny jednemu wektorowi ani parze wektorów,
ponieważ układy równoważne mają równe parametry.
Załóżmy teraz, że układ 8 o parametrze K =ł= O równoważny
jest układowi R złożonemu .z dwu wektorów a i b. Parametr układu R
jest zatem także różny od zera. Wynika stąd, że wektory a i b nie
mogą leżeć w jednej pła.szczyźnie, są więc skośne (p. § 13, str. 21 i 22).
Zatem: jeżeli parametr układu jest ró.żny od zera, to układ jest
równoważny układowi dwu wektorów skośnych.
:!0 Parametr równy zeru, suma· różna od zera. Przy·
pu~ćmy, że parametr K układu 8 jest zere~, zaś suma s=f=O. Obierzmy
dowolny punkt O i oznaczmy przez M moment układu 8 -względem O.
Ponieważ K =Ms= o, więc Ml s. .~zeprowadźmy przez O płasz­
czyznę Il prostopadłą do M (str. 24, rys.: 2). Na n możemy obrać
wektor i równy wektorowi a, tak, by Momor=M. Odległosć A
wektora i od O dostaniemy z równości IMI = h!rl. Łatwo zauważyć,
że układ 8 równoważny jest wektorowi r.
A więc: jeżeli parametr układu jest równy zeru~ zaś suma ·różna
od zera, to układ równoważny jest jednemu wektorotoi.
Wektor r, któremu równoważny Jest cały układ 8, nazywa się
wektorem wypadkowym lub krótko wypadkową układu 8 .
Yie należy mieszać sumy z wypadkową. Suma ma tylko okre·
aloną długość, kierunek i zwrot; wypadkowa ma ponadto określone
położenie, t. j. prostt, na której leży.
wreszcie, że
zarówno parametr jak suma układu są równe zeru. N a mocy twierdzenia o redukcji wynika stfłd, że układ jest równoważny parze wektorów. Ponieważ suma jest zerem, więc moment ogólny M jest stały.
Jeżeli M =ł= o, wówczas para wektorów jest najprostszym ukła­
dem równoważnym danemu. Jeżeli zaś M = o, to ponieważ z zało­
żenia suma równa się zeru, więc układ jest równoważny zeru, czyli
wektorowi zerowemu.
A więc : układ o · parametrze i sumie równych . zeru jest równo3° Parametr i suma równe zeru.
Załóżmy
ważny parze wektorów lub wektorowi zerowemu, zależnie od tego czy mo-
ment ogólny jest ·różny od zera czy -równy zeru.
ROZDZIAŁ I.
Teoria wektorów.
Powyższe wyniki zebrane są w następującej
tabelce:
Parametr
Suma
.Moment
N ajproetezy układ równoważny
~=f=O
-
-
wektor i para lub
dwa wektory skome
s=f= o
-
wektor wypadkowy
8=0
M+o
para wektorów
8=0
M=O
wektor zerowy
K=O
Wynikają z nich łatwo
twierdzenia następujące:
1. Jeżeli moment układu jest zerem względem pewnego punktu O,
to układ ma wypadkową o ·początku w O.
2. UkZad wodkowy ma wypadkową zaczepioną w środku.
Twierdzenia te wynikają, z twierdzenia o redukcji (str. 24), jeżeli za środek redukcji wziąć punkt O (wzgl. środek układu).
3.
Układ
plaski ma wypadkową albo jest równoważny parze.
4. Układ równoległy ma wypadkową albo jest równoważny parze.
Twierdzenia 3 i 4 otrzymujemy od razu z tabelki, gdyż w obu
przypadkach parametr K jest zerem.
I 17. Oś środkowa. Skrętnik-. Niech dany będzie układ 8
o sumie różnej od zera. Wyznaczmy miejsce geometryczne punktów,
których moment ogólny jest równoległy do a (lub =0 ).
Obierzmy w tym celu dowolny punkt O. Niechaj Mo= O.A
będzie momentem ogólnym u.kła.du względem punktu O, zaś OB
rzutem Jl o na a.
Wyznaczmy teraz punkt O', względem którego moment sumy a
o początku w O, równa się .AB. Punkt taki znajdziemy w odległości d od O na prostej prostopadłej w punkcie O do AB i s,
gdzie d spełnia warunek:
względem
d- Iii = I.A.BI.
27
II. Układy wektorów.
Ił 17]
Mamy
zatem
MomO' i == .AB czyli
i x O'O
więc na mocy
= AB,
I
,5
I
(I), str. 19
MO'=sxO'O+Mo,
A
I
8
O.Ś .środkowtJ
M(!
MO"'cł·AB
M<Y=AB +O.A= OB.
A więc MO' jest równoległy do i (lub = o, gdy Jl o 1 s).
Przeprowadźmy przez O' prostą Zrównoległą do sumy
a. Dla do·
w9ln~go·p~tti 9': pr~stej i ~hodzi związek sliO'O", więc sx 0'0"=0,
skąd M <Y = M (Y' (p. str. 20, wniosek 3).
A więc: moment ogólny względem dowolnego punktu prosteJ Z
jest równoległy do s (lub =0).
Punkty poza prostą l nie posiadają powyższej własności. Jeżeli
bowiem dla jakiegoś punktu .0 1 moment M 0 , jest równoległy do
lub równy zeru, to na mocy twierdzenia . 5, st!. 2~, mamy
Rzut8 Mo,= Rzut8 MO'· Zatem Mo,= MO'· Wynika stąd na mocy
wzoru (I), str. 19, że sx0'01 = o, czyli że ill0'01• Punkt 0 1 leży
więc na prostej l.
Udowodniliśmy zatem, że szukanym miejscem geometrycznym
jest prosta równoległa do i. Prostą tę nazywamy osią środkową układu.
s
Oś środkowa układu
jest to więc prosta o tej własności, że
moment ogólny względein dowolnego jej punktu jest równoległy do
sumy lub równy ~erg..
A więc: układ, którego suma jest różna od zera, posiada jedną
(i tylko jedną) oś środkową.
Układ złożony z wektora i pary o momencie równoległym do
wektora nazyw.a my skrętnikiem.
W szczególności skrętnikiem nazywamy jeden wektor lub parę.
Obierając punkt na osi środkowej, widzimy, że na mocy tw.
o redukcji, str. 24, układ redukuje · się do skrętnika. Jeśli suma
układu jest zerem, to układ redukuje się do pary wektorów, a więc
również do skrętnika.
Zatem: wszelki- układ jest równ-oważtl,]/ pewnemu skrętnikowi.
28
ROZDZIAŁ I.
Teoria wektorów.
I 18. Środek wektorów równoległych. Niech dany będzie
układ wektorów równoległych (au a 2 , ••• , an) o sumi3 różnej od zera.
Oznaczmy przez w wektor o długości 1, równoległy do wektorów
u.kładu. Wektory iii, a2 , • •• , an możemy przedstawić w postaci
...'
gdzie liczby au a 2 , ... , a11 są co do wartości bezwzględnej równe długo­
ściom wektorów iiu ii2 • •• , li11. Zatem s= (a1 +a2 + ... + an)w. Ponieważ
więc ll:i+a 2 +... +an I o.
Obierzmy dowolny punkt O' i oznaczmy
przez r1, r2, ... , rn wektory O'Ar, O'A2, ... , O'An,
gdzie A1, A2, ... , A„ są początkami wektorów
sto,
MO'= a1 w X r1 + a 2 w X r 2 + ... + an w X Tn
czyli
(1)
MO' = wx .I"'a; r;.
Obierzmy punkt O tak, by
- - 0'0 - };a;r;
(2)
T-
-
};a1 •
Na mocy wzoru (I), str. 19, jest
Mo= sxOO'+Mo
(3)
1
•
Ponieważ
sxOO' =- (J;a, w)x(-r) = -wxr2,'<J.1,
więc według (2) jest sx00' = - wx2a1r;. Stąd
na mocy (.1) i (3)
wynika, że Mo= O.
Zatem wypadkowa układu przechodzi przez O (str. 26, tw.1).
Zauważmy, że wedle ( 2) położenie punktu O nie zależy od kierunku w wektorów a,. Jeżeli więc skręcimy wektory a, około ich punktów zaczepienia, to wypadkowa znowu przejdzie przez O.
Punkt O nazywa się środkiem układu wektorów a1, ~' ... ,an,
Jeżeli współrzędne początków
.A1 oznaczymy przez x,, y" zł'
współrzędne zaś środka przez x 0 , Yo, z 0 , to obierając punkt O' w początku układu, otrzymamy na mocy (2)
(4)
[fl9]
II. Układy wektorów.
f 19. Przeksztaleenla elementarne układa. Następuj"'8
przekształcenia, układu . wektorów nazywamy e~naymi:
a) dodanie do układu (lub usunięcie z niego) dwóch wektorów
leżących na jednej prostej, równych co do długości, lecz przeciwnie
skierowanych,
b) dodanie do ~ładu (lub usunięcie z niego). kilku wektorów
o wspólnym począ,tku i o sumie równej zeru.
Przekształcenia elementarne nie zmieniają oczywiście sumy ani
ąiomentu układu. Stosując zatem do układu przekształcenia elementarne, otrzymamy zawsze układy z nim równoważne. Przekształcenia
elementarne grają ważną rolę w teorii ciała sztywnego.
Łatwo wykazać, że przy pomocy przekształceń elementarnych
możemy:
1) punkt zaczepienia wektora przesunąć do dowoltłie obranego
punktu na prostej, na kt~rej wektor leży,
2) kilka wektorów o wspólnym początku zastąpić ich sumq
o tym samym początku,
3) jeden ·wektor zastąpić kilkoma wektorami o tym samym
początku co wektor dany i o sumie równej wekt<JrotDi danem•.
D ów ód: 1) Przypuśćmy, że wśród wektorów danego układu
występuje wektor a o początku .A.
.
Obierzmy na prostej l, na której a leży, dowolny punkt B. Dodajmy do układu dwa wektory a i - a o pocz3'tku B. Wykonaliśmy więc przekształcenie ele·
a. a
mentarne (a). U suńmy teraz
-.s
z układu wektory: a (o po- , a
- ---------~-:.'1_
A
czą,tku .A) i - a. Będzie
A
. 8
~
to przekształcenie elemen ~
2.
1.
tarne (b ). Operacje, jakie wykonaliśmy na układzie, sprowadzają się do przesunięcia punktu za~
czepienia. wektora a z A do B (p. rys. 1).
2) Przypuśćmy, że punkt .A jest początkiem wektorów
a1, al, ... , an. Dodajmy do układu . dwa wektory o początku .A: wektor
&= a1 +ai+ ... +an i wektor -s (przekształcenie elementarne (a}).
Usuńmy teraz wektory a1, a!, ... , an, - a (przekształcenie elementarne (b)). Operacje, jakie wykonaliśmy, sprowad~ają się do zastą­
pienia wektorów a,, aJ, •.. , i.in ich sumą a (p. rys. 2).
3) dowodzi się podobnie.
30
ROZDZIAŁ I.
Teoria wektorów.
U dowodniroy teraz następujące twierdzenia:
T1v·lerd~enie 1. W ,zelki ,kład wektorów można · aprowadnć
przy pomocy pruk8ztaloeń e~mentarnyoh do układu z nim równoważ­
nego, iloum,ego z trzech wektorów.
Dowód. Przypuśćmy, że mamy układ wektorów (a1, a2, ... , łinl
zaczepionych odpowiednio w punktach A1, A2, .•. , An. Obierzemy trzy
dowolne punkty L, M, N nie leżące na jednej prostej i takie, by
w płaszczyźnie przechodzącej przez L, M, N nie leżał żaden z punktów
A,, A2, ... , An. .
Ponieważ proste A 1L, A 1 M i A 1N nie leżą w jednej płaszczyźnie,
więc wektor a1 możemy zastąpić trzema wektorami u17 v17 w1 o początku A17 leżącymi na prostych A 1L, A 1 M, A 1N, przyczem oczywiście
lii · u1 + v1 + w1 (rys. 1). Wektory Ui, v17 w1 możemy przesunąć
wzdłuż prostych, na których leżą, odpowiednio do punktów L, .Jl, N.
\V ten sposób zastąpiliśmy wektor a1 wektorami u11 i\, w1 zaczepionymi w punktach L, M, N. Podobnie zastąpimy każdy z wektorów a2, ... , a" trzema wektorami zaczepionymi w L, M, N.
\Vektory o początku L zastąpmy teraz ich sumą u, zacze1lioną
również w L. Podobnie wektory o poezątkach 111 i N zastąpmy
sumami v i w zaczepionymi odpowiednio w Jf i N.
\V ten sposób przy pomocy przekształceń elementarnych
sprowadziliśmy dany ukł~d do układu złożonego z trzech wektorów,
c. b . <I. o.
Y?
o .,./'____
.,t.-,,
,
',
V.
',,
M
-
'·~ v
-·
•)
-r
N
r---~-----L----.. .---1
'
',
:
' ,!
----,?,
•
,' I
l.
r
L
lj
Jw
',
I
I
I
I
:
:
I
,
"'
,'
,~--V
M
..
V
',, : , ,,' ...
......
3.
Twiertlzewie 2. Układ rów·nowa.z·n.lJ zer·tt można przy pomocy
przeksztalce1i elementarnych ,'lprowadz-i,J do ivektota zerQWego.
Dowód. Załóżmy, że ukłacl (a1, a.i, ... , a,,) jest równoważny
zeru. :Na mocy tw. 1 możemy go zastąpić przy pomocy przekształ­
ceń elementarnych układem złożonyn1 z trzech wektorów u, v, w,
zaczepionych odp.owiednio w punktach L, .M, .N. Gkłacl (u, v, w)
jest równoważny zeru, ho jest równoważny układowi danemu (przekształcenia elem(mtarne nie zmieniają bowien1 :,un1y ani momentu).
[f 19]
Il.
3i
Układy wektorów.
N a mocy twierdzenia ze str.. 23, wektory u, v, w są albo równoległe albo ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie O (str. 30,
rys. 2). W drugim przyp~u możemy punkty zaczepienia, wektorów u, v, w przenieść do O, a następnie wektory 1;e usunąć, gdyż
suma ich jest zerem.
Załóżmy więc, że wektory u, v, w są równoległe (str. 30, rys. 3).
Gdyby u+v= O, byłoby o~zywiście w= o. Układ ·sprowadzałby się
zatem do P.ary u, v. Ponieważ moment jest zerem, więc wektory u i v
leżałyby na tej samej prostej; ponieważ nadto u+v= o, więc moglibyśmy wektory u i v usunąć. Niech więc u+v+o. Dodajmy dwa
wektory r i - i leżące na prostej LM i zaczepione odpowiednio
w Li M. Wektory u i r o początku L możemy zastąpić ich sumą u'
zaczepioną również w L. Podobnie wektory v i - r · możemy zastąpić ich sumą v' zaczepioną w M. Wektory u' i v' nie są równoległe, zatem wektory u', v', w możemy jak poprzednio usunąć. A więc
układ równoważny zeru sprowadziliśmy przy pomocy przekształ­
ceń elementarnych do wektora zerowego, c. b. d. o.
Tu„ierd:renie ·:1. Jeżeli dwa układy wektorów ,'Ją równoważne,
to przy pomocy przekształceń elementarnych można jeden układ prze:.
prowadzić w
drugi.
Dowód. Załóżmy, że układ wektorów (a,, a.i,.~., a,,) zaczepionych w punktach .A1, ...4.2, .•• , An jest równoważny układowi . wektorów (b1, b2, ... , br) zaczepionych w punktach
B2, ... , Br.
Dodajmy do pierwszego układu wektory b1,-b1 o początku Bu
wektory 1i1,-b1 o początku B 1 itd. Ponieważ wektory a1, a..!, ..• , an,
--Ó1, -bz, ... , -br tworzą układ równoważny zeru, więc na mocy
tw. 2 .możemy układ ten przy pomocy przekształceń elementarnych
usunąć, t. j. ia.stąpić wektorem zerowym. Po usunięciu zostanie
B,,
układ (i,, ~2 t ••• , br)•
ROZDZIAŁ Ii
KINEMATYKA PUNKTU
I. Ruch względem układu odniesienia
tł 1. Czas.
W kinematyce oprócz pojęć znanych z geometrii
występuje pojęcie
czasu. W rozważaniach kinematyki teoretycznej
wystarczy przyjąć, że każdej chwili przypisana jest pewna liczba t,
przyczem chwili wcześniejszej przypiRana jest mniejsza liczba niż
późniejszej; ponadto przy tym przyporządkowaniu każdej liczbie t
odpowiadać ma, na odwrót, pewna chwila: liczbie większej chwila.
późniejsza.
Dla kinematyki teoretycznej jest zupełnie obojętne, w jaki sposób powyższe przyporządkowanie zostało określone. W zagadnieniach konkretnych postępujemy w Hposób następujący. Obieramy
dowolną jednostktJ czasu, np. sekundę, i dowolną chwilę, którą nazywamy chwilą początkową. Chwili początkowej przypisujemy liczbę O.
Każdej innej chwili przyporządkowujemy liczbę t, której bezwzględna
wartość równa się liczbie sekund, jakie upłynęły między chwilą początkową a daną,; liczba t jest dodatnią, dla chwil późniejszych od
początkowej, ujemną zaś dla chwil wcześniejszych.
§ 2. Układ odnlęslenla. W kinematyce przyjmujemy, te
dany jest pewien układ współrzędnych zwany układem odnie8ienia.
Ciało porusza się względem układu odniesienia, jeżeli zmieniają się współrzędne punktów ciała. Zadaniem kinematyki jest opis
ruchu ciała względem układu odniesienia, polegający na · podaniu
współrzędnych punktów tego ciała dla każdej chwili czasu.
t
•
Dla kinematyki jest rzeczą obojętną, jak został obrany \lklad
odniesienia. W zagadnieniach konkretnych obieramy układ odniesienia związany z pewnymi ciałami jak np. z ziemią, słońcem, gwiazdami stałymi i t. p.
I. Ruch względem układu odniesienia.
L§ 3]
33
Ruch ciała zależy od układu o'dniesienia. Względem· jednego
układu odniesienia ciało może być w spoczynku, względem innego
zaś w ruchu. Podróżny siedzący w wagonie· kolejowym jest wzglę­
dem wagonu (tj. układu odniesienia związanego z wa.gonem) w spo:.
czynku, a względem ziemi jest w ruchu.
Wyłania się pytanie czy w zadaniach ko~etnych -nie można
badać ruchu ciała. niezależnie od innych ciał. Ruoh taki byłby t. zw.
ruchem· bezwzględnym (absolutnym). Okazuje się jednak (z :uwagi
na to, że punkty przestrzeni są nierozróznialne ), · że przy pomocy po„
mia.rów odległości i twierdzeń geometrycznych niepodobna ·stwierdzić
w żaden ·sposób, czy ciało badane w dwu chwilach zmieniło swoje
położenie czy nie. Pojęcie ruchu absolutnego jest więc bezużyteczne.
Musimy się zatem ograniczyć do badania ruchu względnego, t. j . .ru~
chu ciała względem innyoh ciał.
łł 8.
Ruch . pup,ktu. Zajmiemy się na, początku ruchem jednego punktu. Opis ruchu ci~a sprow~ się bowiem do opiea
ruchu jego punkt~w. Nadto w wielu przypadkach opis nohu ciała
sprowadza się praktycznie do podania ruchu jednego jego punktu,
np. gdy wymiary ciała są drobne w stosunku do przebywanej drogi
(ruch zienii wkoło słońca, ruch kuli karabinowej) lub jeżeli ruch
jednego punktu wyznacza ruch całego ciała. (np. ruch wagonu).
Oznaczmy współrzędne poruszającego ą.ię punktu M względem
pewnego układu odniesienia przez x, y, z. Współrzędne ·z , y, z zależą
od czasu, są więc funkcjami zmiennej t:
r
I
X== (t),
y=<p(t),
Z=t/J(t).
Funkcje te dają nam opis ruchu punktu M względem przyjętego układu odniesienia. Znając je, możemy podać współrzędne
x, y, z punktu M w każdej chwili t.
O funkcjach f, <p i tp zakładamy, że są ciągłe wraz z pierwszą
i drugą pochodną w pewnym przedziale <
to, 0, w którym ruch badamy.
Ruch punktu można określić przy pomocy jednej funkcji wek~
torowej . Połóżmy r = OM (O począ,tek układu). Zatem
r=F(t).
Powyższa
funkcja wektorowa opisuje ruch w zupełności, podając dla każdej chwili czasu wektor r, a więc położenie punktu .Jl.
Zauważmy, że funkcje f, <p i t/J podają składowe wektora r.
S, Ranach. Mechanik,.
·3
34
ROZDZIAŁ Il.
Kinematyka punk:to.
Linię, jaką zakreśla punkt podczas ruchu nazywamy torem lub
lrajektoriq.
Przypućmy, że
torem punktu jest łuk. L. Nadajmy łukowi
temu pewien zwrot i obierzmy na nim dowolny punkt O, który
nazwiemy poozqtkiem (rys. 1). Położ~nie punktu ·M na łuku L będzie
wyz·n aezone przez podanie liczby ,, której bezwzględna wartojć równa
się długości łuku OM, przy czym liczba, jest dodatnia lub ujemna
za.leżnie od tego, czy zwrot łuku OM jest zgodny ze zwrotem obra·
nym na L czy nie. Liczbę s nazywamy te8półr~fl.fł lukową punktu M
na łuk.u L.
Ruch punktu M po łuku L będzie wyznaczony również funkcją
s=f(t),
podającą w każdej chwili t współrzędną łukową, punktu M .
.,
·r
o
t
I.
D
B
AO
2.
t
t, t, t'
3.
I ł. Wykres ruchu. Niechaj ruch punktu po krzywej L
określony będzie funkcją s~f (t). Obierzmy dwie osie prostopadłe a i t.
Wykres funkcji a= f (t) nazywamy wykresem lub diagramem ruchu
(rys. 2).
Na rys. 3 n;iamy wykres ruchu dwór.h pociągów, z których jeden
biegnie od stacji .A do stacji D (przez stacje B, O), drugi zaś od
stacji D do .A. Z wykresu odczytujemy np., że w chwili O pociąg
wyjechał ze stacji .A i przybył do B w chwili t0 • Stację B opuścił
w chwili ti i t. d. Współrzędne (t', s'} ·punktu· przecięcia obu wykresów
przedstawiają chwilę i miejsce spotkania obu pociągów.
ff 5. Prędkoś~. Załóżmy, że punkt poruszający się po krzywej L
znajdował się w chwili t w punkcie ...4.,
a w chwili t+Jt w punkcie B.
Wektor .AB nazywamy przesuni1Jciem poruszająoogo się punktu
w czasie Jt. Iloraz
(1)
.AB/JJt = ...4.0
I. Ruch względem układu odniesienia.
[§5]
35
przedstawia przesunięcie przypadające na jednostkę cza.su. Iloraz
powyższy nazywamy także wektorem prędkości średniej lub krótko
prędkością średnią w czasie .1t.
z
Załóżmy, że istnieje granica ilorazu (1) gdy przyrost czasu .1t dąży do O.
Oznaczmy tę granicę przez v. Zatem
_
(I)
.
AB
V= 1l l l l - •
'11--W .1t
X
Wektor v nazywamy wektorem prędkości lub krótko prtJdkością
w chwili t.
Jeżeli
.1t ~ O, sieczna AB
prędkości jest styczny do toru.
dąży
do stycznej . .A więc: wektor
Niechaj ruch określony będzie funkcjami X= f (t), y= <p (t), Z='I/J (t).
Oznaczmy współrzędne punktu A przez x, y, z, a punktu B przez
x+.1x, y+.1y, z+.1z. Wektor AB ma zatem rzuty Jx, Jy, .1z. Rzub d
·
·1
Jx .1y Jz
t ann· 1·1orazu .AB
.1t ę ą więc 1 orazy Ji, It , Jt ·
Wynika stąd, że rzuty prędkości v wyrażają się wzorami:
f'( )
lim .1x = dx
dt = t '
V 11
Vx = Jt-w Jt
= dy
dt = <p'(t ),
Vz
=:: =
tp'(t).
W mechanice pochodną względem cza.Bu przyjęte jest oznaczać,
kropką u góry. Za tem
(II)
Vx
= i:,
Vy=Y,
Vz= Ż.
A więc: rzuty wektora prędkości na osie układu równają się pochodnym ( względem czasu) współrzędnych poruszającego się punktu.
Niech teraz ruch określony będzie funkcją wektorową r=F (t).
Przyjmując AB=ilr, otrzymamy
. .AB lim Jr dr -=_
v = 1rm = . - = - = r.
Jt-H)
Lit
Jt-H)
A więc
(III)
ii= r.
.1t
dt
36
ROZDZIAŁ II. Kinematyka punktu.
Prędkość
jako pochodna drogi. Niech wreszcie ruch
punktu po torze L określony będzie funkcją s=f(t), gdzie s oznacza
współrzędną łukową. Ponieważ prędkość jest styczna do toru, więc
dla wyznaczenia prędkości w punkcie A wystarczy podać wielkość
i zwrot prędkości. Z określenia prędkości wynika, że
lvl =lim AB =lim AB . Lis'
4t~ .1t
4t~ lis
Jt
gdzie j.1sj oznacza długość łuku AB. Ponieważ lim ~B =1, więc
4s~
lvl = ~
LJS
l!:I = 1::1 = !si.
Wykreśllny w punkcie .A styczną i nadajmy jej zwrot zgodny
ze zwrotem obranym na krzywej L. Jeżeli ś>O, wówczas dla małych Jt>O jest '18>0; zatem punkt porusza się po torze w kierunku
dodatnim, więc v ma zwrot zgodny ze zwrotem stycznej. Podobnie,
jeżeli s<O, to v ma zwrot przeciwny do zwrotu stycznej. Jeżeli
więc przez v oznaczymy współrzędną wektora prędkości względem
stycznej, której nadaliśmy zwrot zgodny ze zwrotem toru, to
v-ds-s
-dt- .
(IV)
f 6. Przyśpieszenie. Załóżmy, że w chwili t punkt był w .A.
i miał prędkość v, zaś w chwili t+ Jt był w B i miał prędkość v'.
Połóżmy
.1v = v' - v.
v'
lim.1v
· · M-+-0.
Gran1cę
Lit = -p nazywamy wek torem przyśpieszenia lub krótko
szeniem. w chwili t.
przyśpie­
Niech ruch określony będzie funkcjami
X=f(t), y=tp(t), Z=tp(t). Mamy
Vx = f'(t) i v~=f'(t+Lit),
więc
Zatem Px= lim f'(t+.d1t-f'(t)
f"(t),;
Ponieważ
Livx= v~ ~ Vx= f'(t+Jt)-f'(t).
P.t==!~ .1;,x.
4t-+,O
podobnie py=tp"(t) i Pz=t//'(t).
d 1x dly d 2z
.. .. ..
Pochodne dti' dtt' dt• oznaczamy przez x, y, z. Stąd:
(I)
..
Px=X,
p,,=y.
..
P: ·= z.
37
I. Ruch względem układu odniesienia.
[§6]
Zatem: rzuty przyśpieszenia na osie układu równają się drugim
pochodnym współrzędnych poruazającego się punktu.
Jeżeli ruch określony
jest funkcją wektorową
r=F(t),
to -
jak wynika z definicji drugiej pochodnej -
mamy:
dv d 2r
..
P_= dt = dt 2 = r.
(II)
Przykład 1 -. Punkt porusza się w płaszczyźnie w ten sposób,
że jego współrzędne w
(1)
chwili t wyrażają się wzorami:
X=a COS kt,
y=b sin kt
Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie,
(a>O, b>O, k>O).
oraz tor.
Mamy tutaj
x=- ak sinkt,
iJ=bk c9s kt,
i= - ak2 cos kt,
y = - bk2 sin kt,
a więc wartość bezwzględna prędkości będzie lvi=k Va2 sin2 kt+b1cos1 kt,
zaś wartość bezwzględna przyśpieszenia IPl=k1 J'aicos1 kt+błsin•kt.
Aby otrzyniać tor punktu, ąależy znaleźć związek między
współrzędnymi x, y, t. zn. wyrugować czas t. Dzieląc równania (1) odpowiednio przez a i b, podnosząc do kwadratu i dodając, otrzymujemy
x2/a~ + y1 /lr = 1.
A więc tor jest elipsą o osiach 2a, 2b. Wektor prędkości jest
oczywiście styczny
do elipsy. Współrzędne wektora przyśpieszenia
można, z uwagi na równania (1), napisać w postaci:
skąd
IPI =k2 J.'x2+y2,
y /i=y/x.
Wektor przyśpieszenia jest zatem proporcjonalny do odległości
od początku układu i zawsze skierowany ku początkowi układu.
Pt•zyklad 2 . Wyznaczyć. prędkość, przyśpieszenie i tor punktu,
którego ruch określony jest równaniami
(2)
a
x= (l+cost),
2
. t
z-asm2
(a>O).
38
ROZDZIAL II. Kinematyka punktu.
Różniczkując, otrzymujemy
.
a .
x=--s1nt,
y=-cost,
..
a
x=--cost,
..
a .
Y=- sint,
.
2
:V
1+ coS'
!
.
Z=
2
..
a
2
COS
t
2
,
a . t
z= - 4 sin 2,
2
2
skąd JO!=
a
V!
IPI=; 1+ sin•~ .
i
Aby wyznaczyć tor punktu, należy z równań_ (2) wyrugować
czas, co da nam dwa związki między x, y, z określające krzywą przestrzenną, po której się punkt porusza. Rugowanie to w ogólności
przedstawia duże trudności rachunkowe, w tym przykładzie jednak
łatwo daje się przeprowadzić. Podnosząc równania (2) do kwadratu
i dodając, otrzymujemy
. a;1+y2+z2=a2.
Podobnie, z pierwszych dwu równań (2) wynika, że
(x-a/2)2+y2=(a/2)2.
Z równań otrzymanych widzimy, że tor punktu jest krzywą
przekroju kuli i walca kołowego.
P1·~yklad ,"l. Ruch jednostajny prostolinijny. Punkt
porusza się w ten sposób, że przyśpieszenie jest stale zerem. Zakła­
damy więc, że p=O. Zatem·
i= o,
ii= o,
Wynika stąd po scałkowaniu, że
(3)
i=Ci,
y=c,.,
i= o.
Ż=Cs,
gdzie Cu c2 , c3 oznaczają pewne stałe. Całkując jeszcze raz, otrzymamy
(4)
X=C1t+du
Y=C1t+d2,
Z=Cat+da.
Tutaj .di, d 1 , d3 oznaczają również pewne stałe. Równania (4)
przedstawiają parametrycznie równanie linii prostej. Z równań (3)
wynika, że wektor prędkości jest stały. Ruch więc · odbywa się po
linii prostej z prędkością stałą. Ruch taki nazywamy ruchem jedno·
,tajnym _p ro,tolinijnym.
_Zauważmy, że założenie _
p =O równoważne jest z _założeniem,
że wektor prędkości jest stały. Mamy bowiem p= ij. Jeżeli więc
D=const., to p= O i na odwrót, jeżeli p= O, to ~=,O, zatem ii=const.
39
I. Ruch względem układu odnieeiema.
(16]
Hodograf. Niechaj punkt porusza się po krzywej L (rys. 1).
Obierzmy dowolny ·punkt O. Dla każdej chwili t wykreślmy
z punktu O wektor prędkości, jaką punkt ruchomy ma w danej
chwili (rys. 2). Końce tych prędkości utworzą krzywą H zwaną
hodografe-m.
1.
4.
2.
N a hodografie oznaczyliśmy przez .A', B', C' końce prędkości,
jakie punkt poruszający się po krzywej L ma w .A, B, C. Jeżeli
więc punkt porusza się po torze L, to koniec odpowiedniej pręd­
kości porusza się po
hodografie.
Oznaczmy przez iJH prędkość punktu na hodografie w .A'. Z określim..A'B'
A•
. prędkośc1. mamy ve=
lewa
--:c-t • Lecz A'B' =""v,
więc
4t~
LI
Zatem: przyśpieszenie poruszają-0ego sitJ punktu równa si~ pr~kości odpowiedniego punktu na hodografie.
Pr~yklad 4. Jeżeli punkt porusza się po linii prostej, to kie-
runek prędkości jest stały. Zatem hodograf jest też linią, prostą.
Pr~y/uad Il. Załóżmy, że punkt porusza się po kole K z pręd­
kością stałą co do wartości bezwzględnej
(rys. 3).
Hodograf będzie kołem (rys. 4). Punkt po hodografie będzie poruszał się również z prędkością stałą co do wartości bezwzględnej.
Ponieważ prędkość punktu A 1, na hodografie jest styczna do
hodografu, zatem jest prostopadła do v1 • Wynika stąd, że przyśpie­
szenie punktu poruszającego się po kole K jest skierowane ku środ­
kowi koła i jest stałe co do wartości bezwzględnej.
40
ROZDZIAL II. Kinematyka punktu.
I 7. Rozkład przyśpieszenia na styczne I normalne.
Ruch po torze płaskim. Niech ruch punktu ...4 po torze L
określony będzie funkcją B= f (t), gdzie s oznacza współrzędną łukową.
Wykreślmy w punkcie ...4 styczrią t i normalną n. Nadajmy stycznej
zwrot zgodny ze zwrotem krzywej L, zaś
normalnej zwrot ku środkowi krzywizny.
t
Rzut przyśpieszenia p na styczną naL
zywa.iny przyśpieszenie1!' stycznym p,. Rzut
przyśpieszenia na normalną nazywamy
Qll'ó-~,...-o-----0 przyśpieszeniem normalnym Pn· Jest oczyp„
O
wiście
(I)
Mając więc
dane przyśpieszenie styczne i normalne, możemy
wyznaczyć przyśpieszenie p. Przyśpieszenie styczne będzie określone
przez podanie współrzędnej p, względem stycznej. Podobnie, współrzędna Pn względem normalnej określa przyśpieszenie normalne.
Oznaczmy przez Ja kąt ostry zawarty między· stycznymi
w punkcie ...4 o współrzędnej łukowej s w bliskim od ...4 punkcie B
o współrzędnej łukowej s+ Js. Załóżmy, że Js>O. Mamy wówczas
lim Ja_..!_
.1t-M> Js -
e'
gdzie e oznacza. pronµeń krzywizny. Jak wiemy, p = lim JJiit ; zatem
.1t-+-O
.
p,=2:
Rzut,Jv
Jt
,
gdzie Rzut, J v oznacza współrzędną J v względem stycznej t. Lecz
.Rzutiiv=Rzut,(v+Jv)-Rzut,v. .A więc Rzut,Jv=(v+Jv)cosJa-v.
Stąd
(1)
p, = lim
.4t-M)
(v+Jv) COB Ja - V
At
La
1· cos Ja-1 + 1· Jv
= v .41-M)
1m
At
1m At cos La a .
La
.4t-M)
A
LI
Lecz
(2)
lim cos Ja - 1 -- lim cos Ja - 1 . Ja . Js
.1,-+0
Jt
- .11-+0
Ja
Js Jt ·
Ze znanej reguły na obliczanie symbolów nieoznaczonych
otrzymujemy
cosJa-1 _ li cosJa-1 _ . -sinJa _
lim
1
A
-m
-Im
- 0.
.At~
Laa
.4a-M>
Ja
.da-M>
l
I . Ruch względem układu odniesienia.
[§7]
41
Zatem na mocy (2) lim cosJa-l = o..!.v = o, skąd na mocy (1):
,:1'"*6
Jt
(!
p, = dv/dt =
Przejdźmy
s.
tetaz do obliczenia, Pn· Mamy
- lim Rzuta J v
Pn -:- ,:it--W
.d t
.
Lecz RzlltnJv= Rzutn(v+Jv)-Rzutn v= (v+Jv) sin Ja. Więc
.
sinJa
.
. sin Ja . sin Ja Ja Lis
1
Pn=lim(1'+'1v)
Jt . Pomeważlim ~t =lim J
·T·-y-t=I·-·V,
M-+O
,:it~
M~
a LJ 8 .LJ
(!
więc
Pn= v1 /e.
Zatem przy'i>ieszenia: styczne p 1 i normalne Pn wyrażają się
wzorami
(Il)
gdzie e jest promieniem krzywizny.
Ponieważ przyśpieszenie styczne jest prostopadłe do przyśpie­
szenia normalnego, więc
(III)
Ze wzoru (1) wynika, że Pn~O. Zatem przyśpieszenie normalne
ma zawsze zwrot ku środkowi krzywizny . .
Zauważmy, że przyśpieszenie styczne zależy tylko od zmiany
wartości bezwzględnej prędkości, a nie zależy ,od zmiany jej kierunku. Przyśpieszenie styczne jest wtedy i tylko wtedy stale zerem, ,
gdy v = const.
Przyśpieszenie normalne zależy od promienia krzywizny e,
zatem od .zmiany kierunku prędkości. Przyśpieszenie normalne jest
stale zerem, jeżeli ~tale v=O lub 1/e=O. W pierwszym przypadku
punkt jest w spoczynku, w drugim ruch odbywa się po linii prostej.
Pr z y kład. Punkt porusza się · po kole o promieniu r z prędkością ł1
stałą co do wartości bezwzględnej. Zatem na mocy (I)
p 1=d~/dt=0, Pn = v1 /r = const
A więc przyśpieszenie jest wówczas stale s~ierowane ku środkowi i stałe
co do wartości bezwzgl~nej (por. str. 39, przykład 5).
ROZDZIAŁ II. Kinematyka punktu.
Ruoh po torze przestrzennym. Niech punkt porusza się
po torze przestrzennym L. Oznaczmy przez v prędkość punktu w .A,
przez v+Jii prędkość jego w B.
Przeprowadźmy przez styczną w punkcie .A płaszczyznę Il
równoległą do stycznej w punkcie B. Na tej płaszczyźnie leżą wektory ii i v+Jv wykreślone z punktu .A. Zatem w płaszczyźnie li leży
wektor Jv/Jt. Gdy punkt B dąży do punktu .A, płaszczyzna Il
zmierza do t. zw. płaszczymy ściśle stycznej w punkcie .A_. Wynika
stąd, że przyśpieszenie p= lim ~'tit leży w płaszczyźnie ściśle stycznej.
At-+O LJ
A więc : wektor -przyśpieszenia leży w płaszczyźnie ściśle stycznej.
N a płaszczyźnie ściśle stycznej leży styczna. Prostą prostopadłą do stycznej i leżącą w płaszczyźnie ściśle stycznej nazywamy
tWrmo.lną główną. Na normalnej głównej leży środek krzywizny.
Tworząc rzuty przyśpieszenia na styczną i normalną, otrzymamy
analogicznie do wzoru (I), otrzymanego przy ruchu plask.im:
P= P1+Pn·
Nadając stycznej zwrot zgodny ze zwrotem krzywej, .zaś nor-
malnej zwrot ku środkowi krzywizny, otrzyma.my postępując jak
poprzednio
i
Pt =dv/dt=s
.
gdzie e oznacza promień krzywizny.
Wzory powyższe są identyczne ze wzorami (li) w przypadku
toru płaskiego.
Pr~k-ladl. Ruch jednostajny. Niech punkt A porusza się
po krzywej L, na której obrany jest zwrot i początek O. Załóżmy
te prędkość punktu .A jest stała co do wielkości (t. j. co do warto,ci bezwzględnej). Ruch taki nazywamy ruchem . jednostajnym
po krzywej L.
Zakładamy tedy, że v=s=const. c·ałkując, otrzymamy
B=vt+ s0 •
(3)
Podstawiając
t=O, dostajemy 8=80 . A więc stała s 0 oznacza
współrzędną łukową punktu .A w chwili t=O.
I. Ruch względem układu odniesienia.
[§7]
43
Ruch jednostajny jest określony funkcją pierwszego stopnia,
względem t. Na odwrót, dowolna funkcja pierwszego stopnia ·a =at+b
określa ruch jednostajny z prędkością v=s=a. Ponadto s0 =b. ·
Na mocy (3) mamy
p 1 = v = ii = O,
Ponieważ przyśpieszenie styczne jest zerem, więc przyśpieszenie
ma stale kierunek ku środkowi krzywizny. Wielkość przyśpieszenia
wynosi Pn· Zatem przyśpieszenie jest co do wielkości odwrotnie
proporcjonalne do promienia krzywizny q (czyli wprost proporcjonalne do krzywizny .K =1/Q).
Jeżeli w szczególności punkt porusza się ruchem jednostajnym
po kole o promieniu r, wówczas q=r, a więc
Pn= v2/r.
Zatem: jeżeli punkt porusza się po kole ruchem jednostajnym,
to przylpieszenie jest st<de co do wielkości i skierowane ku środkOtCi kola.
p„zykla<l 2. Ruch jednostajnie przyśpieszony. Punkt
poruszający się po krzywej L ma stałe przyśpieszenie styczne. Ruch
taki nazywamy ruchem jednostaj'N,ie przyśpieszonym po krzywej L.
Zakładając, - że p1 =p = const.,
dostajemy s =p1=p, więc
(4)
Ruch jednostajnie przyśpieszony jest określony funkcją 8= f (t)
drugiego stopnia względem t Na odwrót, dowolna funkcja drugiego
stopnia s=ati+bt+c określa ruch jednostajnie przyśpieszony. Mamy
bowiem, różniczkując :
p 1=8=2a = const.
Przyjmijmy, że w ruchu jednostajnie przyśpieszonym określo­
nym funkcją (4) punkt w chwili t=O miał prędkość v=v0 i współ­
rzędną łukową, s
Kładąc
= s0•
t=O, otrzymujemy z (4) v0 =c1,
B0 =C2•
w równania (4), otrzymamy
s=łpt2 +vJ+s0 •
v=pt+v0 ,
W szczególności, jeżeli v0 =0 i ·s0 =0, dostaniemy
1'
= pt
i
8
= t pt•.
Wstawiając
44
ROZDZIAŁ II. Kinematyka punktu.
Przykład
3. Ruch po cykloidzie. Niech koło o promieniu r toczy się po prostej. Zbadać ruch dowolnego punktu
na obwodzie - koła.
Załóżmy, że . dany punkt P obwodu koła jest początkowo
punktem styczności koła i prostej. Obierzmy ten punkt za początek
układu, zaś prostą za oś x-ów. Jeże~ koło obróci się o kąt rp, punkt
zajmie nowe położenie P'(x,y).
Aby wyrazić współrzędne x, y
·W ~ ~ ~ jako funkcje kąta rp, zauważ­
P
9
my, że nowe położenie punktu
możemy otrzymać,najpierw obracając koło dokoła środka o kąt rp w kierunku wskazówki zegara, a następnie przesuwając je wzdłuż osi x-ów
o odcinek PQ równy lukowi P'Q należącemu do kąta rp, którego
dlugo·ść wynosi rrp. Zatem X= - r sin rp +rqi, y=r -r cosrp, czyli:
G)~
/
"""' /' """"'
x = r(rp-sin rp),
y = r(l -cos rp).
Po wykonaniu przez koło pełnego obrotu, t.j. dla <p=211, punktP
znowu jest punktem styczności, poczem ruch powtarza się. Wykonując wykres, otrzymujemy krzywą złożoną z przystających łuk.ów,
zwaną cyk"loidą.
Załóżmy, że koło obraca się jednostajnie, t . j. że kąt rp jest pro-
porcjonalny do czasu: <p= wt (gdzie w stałe). Równania ruchu punktu
P są wówczas
x = r( wt - sin cvt),
y= r(l - cos wt).
Różniczkując
je dwukrotnie względem czasu, otrzymujemy
składowe prędkości i przyśpieszenia
Stąd
(5)
i = rw(l - cos wt),
iiJ = rw 1 sin wt,
il= rw sin wt
y = rw 2 cos wt.
I
11 2 2·
-wt I
. lvl=,r
cu (2 --2coswt)=2rw sin
2 1,
IPl=rw 2 •
Ze względu na to, że po wykonaniu pełnego obrotu ruch powtarza się, możemy się ograniczyć do prżedziału czasu O~ t ~ 2n/w.
Ze wzorów powyższych widzimy, że wielkość przyspieszenia punktu P
jest stała, natomiast wielkość prędkości zmienia się. Mianowicie
w chwili t=O oraz t=2n/w, t. j. gdy punkt znajduje się na prostej,
prędkość równa się zeru, zaś w chwili t = n/w t. j. gdy punkt osiąga
położenie najwyższe, prędkość jest największa i wynosi 2rw.
Nadajmy cykloidzie zwrot zgodny ·z ruchem punktu. W czasie
O~t~2n/w mamy v=lii , zatem na mocy (!S)
I. Ruch względem układu odniesienia.
[§8]
45
. wt
2
V= 2 rws1n-.
Przyśpieszenie styczne będzie więc
p 1 = v. = rw 2. COB "'' .
2
Aby wyzn.aczyć przyś~ieszenie normalne, obliczamy krzywiznę
według znanego wzoru
la,ii-yxl,, = r 2w3 (1-cos wt) =
3
3
1
-=
(l
8r3w sin wt/2
(x2+y2) l t
1
.
4r sin wt/2
Zatem
Pn= v2/e = rw 2 sin ~t ·
Droga, przebyta przez punkt do chwili t równa się, z uwagi
na to, że d8 = ,v dt,
B
=
fo ds =of vdt =of 2rw sin ~t dt = 4r (1 -cos ~t) .
t
t
t
W szczególności dla t=2n/w otrzymujemy długość toru cykloidy
przy pełnym obrocie koła. Długość ta wynosi 8r.
· ff 8. Prędkośi I przyśpieszenie kątowe. Niech punkt .A.
porusża się po kole o promieniu r i środku M. Obierzmy zwrot na
kole i punkt początkowy O (rys.1). Oznaczmy przez <p kąt między
promieniami MA. i MO liczo.n y zgodnie z obranym zwrotem. Mamy
B=rq>, zatem
s=rq;
(1)
Pochodną
i
.. ..
s = r<p.
q; nazywamy prędkością kątową i oznaczamy zazwy-
czaj przez w.
Pochodną
łpieszeniem
ip nazywamy przykątowym i oznaczamy
przez E.
Mamy oczywiście q; = w i w= E.
Na mocy (1) jest więc
(I)
v=rw i p 1 =re,
a, ponieważ Pn=v1/r,
(II)
więc
1.
2.
ROZDZIAŁ II.
Kinematyka punktu.
Wektor prędkości. kątowej. Niech punkt obraca się około
pewnej osi Z, t. zn. porusza się po kole leżącym w płaszczyźnie prostopadłej do Z, którego środkiem jest punkt przebicia tej płaszczyzny
osią Z (str. 45, rys. 2).
Niechaj punkt w pewnej . chwili t ma prędkość kątową ro.
Oznaczmy przez ro wektor położony na osi Z o dług<,ści '.wl. Zwrot
wektora ro obierzmy tak, aby człowiek, mający głowę w · końcu,
a stopy w początku we)[tora, widział ruch od ręki prawej ku lewej.
Wektor ro nazywamy wektorem prtJdkości kątowej.
Łatwo sprawdzić, że prędkość v punktu ...4 równa się momen-
towi ro 'Yzględem ..4:
v = Mom..4 w.
(2)
Jeżeli przez r
oznaczymy wektor O.A, gdzie O jest dowolnym
punktem na prostej Z, to v = w x ..40, więc
v = r x w.
(III)
Oznaczając
przez wx, w11, w„ rzuty wektora m na osie układu,
przez a:, y, z współrzędne punktu A i przez a:0 , Yo, z0 współrzędne
punktu O, otrzymujemy
(IV)
'Vx= Wz(Y-Yo)-wg(Z-Zo),
1'z= Wg(X -
Vy
= Wx(Z-Zo) - w.,(X-Xo),
Xo) - Wx(Y-Yo)•
Jeżeli w szczególności Z przechodzi przez początek układu, to
przyjmując
x0 =y0 =z0 =0,
otrżymamy
(V)
fł 9. Rueh płaskl w układzie biegunowym. Jeżeli punkt
porusza się w płaszczyźnie xy, to położenie punktu wyznaczone
jest w zupełności przez długo~ć odcinka 0.A=r, zwanego promieniem wodzqcym~ oraz ką,t 'P, jaki
odcinek O.A tworzy z osią x-ów. Buch
y
punktu określony więc będzie dwiema
funkcjami
r = F(t), · <p = f(t).
Ponieważ
'
x=r cos 'I', y=r sin 'P, więc
tworząc pochodne względem czasu t, dostaniemy:
47
[§ 1(I]
I. Ruch względem układu odniesienia.
(1)
i=; cos <p - rrp sin 'P, iJ = r sin q;+rrp cos <p,
x = r cos 'P - 2r<ji sin <p - r<ji 2 cos ff - r~ sin 'P,
ii= r sin 'P + 2r<p cos 'P - rtp2 sin 'P + r~ cos 'P·
(2)
(1) i (2) możemy wyznaczyć x, x, y, fi, znając
r, r, ip, ~ i na odwrót. Z równania (1) otrzymamy
Z
równań
(3)
f= xx+yiJ,
(4 )
<ii=xy-yi,
ł1x2+y2
x2+y2
Często wygodnem jest rozkładać prędkość
i przyśpieszenie nie
w kierunkach osi współrzędnych·, l~cz w kierunku promienia wodzącego i kierunku do niego prostopadłym, przyczem zwrot dodatni w tych kierunkach obieramy jak na rysunku. Składowe te
nazywamy odpowiednio składowt radialną i transwersalną.
Jeżeli ax, ag są współrzędnymi dowolnego wektora ii wychodzącego z punktu .A.( r, q; ), to rzutując ten wektor na oś AR oraz AL,
otrzymujemy jako składową radialną ar i transwersaJną ac,,:
a'P = -ax sin q;+au cos <p.
Stosując
te wzory do wektorów prędkości i przyśpieszenia,
otrzymujemy na mocy równań (1) i (2):
Vr=r,
(I)
(li)
Pr z y kład. Punkt porusza się po linii spiralnej r=a+bg, w ten sposób,
ie kąt 'I' jest proporcjonalny do czasu t. Jest więc g,= wt, gdzie w jest współ­
czynnikiem proporcjonalności. WówczaB <j, = w, ip = O, ,; = b <j, = bw i ;; = O, skąd
vr= bw,
Pr=-(a+bwt)w1 ,
v'P=(a+bwt)ru,
p'P= 2bCl.lt.
8 10. Prędkość polowa. Niechaj ruch odbywa się w płasz­
czyźnie
xy. Oznaczmy przez JS pole zakreślone przez promień
wodzący r w czasie od t do t+Jt. Ze wzoru na obliczenie pola w ukła­
dzie biegunowym współrzędnych otrzymamy
<p+dcp
JS =
!fr2 dq;,
cp
skąd,
'1)
na podstawie twierdzenia o wartości średniej,
JS=łr;Jq;,
48
ROZDZIAŁ II. Kinematyka punktu.
gdzie r, oznacza wartość po,rednią między maximum a minimum
promienia r w czasie od t do t +L1t.
lim
.~1--/. •
1--•
•
.
Grarucę
. L1S
,., nazywamy pr~,wlJet.ą
pow«1ą 1 oznaczamy Ją
.:it-+-O .{.J
przez .A. Zatem na mocy (1) jest
(I)
A=łr'ą,.
.
. 1( .
.) z
Ze wzorów (4) str. 47 ot rzymuJemy
tp= r2 xy-yx . atem na
mocy (I)
A=ł-(xy-yi).
(li)
Pr My kład.
Wyznaczyć
prędkość i przyśpieszenie punktu poruszającego się po kole
xl-2a:e+y1 =0 ze stałą pręd­
J
J
kością polową
'
J
2.
1.
(2)
h.
Równanie danego koła we
współrzędnych biegunowychjest
r= 2a cos q,. Warunek stałości
prędkości polowej wyraża się
równaniem
czyli 91=2h/r2.
Różniczkując równanie koła, otrzymujemy
ł
r91=h,
.
. .
4ah .
r= - 2a<p sm <p=- ~ s1n<p.
Zatem
.
2h
·
r
4ah .
Vr=- - -2 BID 'P,
T
V'P= -
Z uwagi na to, że prędkość polowa jest stała, wzór (li), str. 47,
1
!!.(r2m)
P·.'1' = rdt
.,-, pociąga p"'=O. Zatem; przyśpieszenie ma; zawsze kieT
runek promienia wodzącego.
Różniczkując pierwsze z równań (2), otrzymujemy 2rrq,+r2~=0,
.
..
2 r<p 16ah2 sm
. rp; r ÓŻn1cz
• k .
ś . d t .
więc q;,=-- - =
UJąc za
r, os aJemy
r
·•
··
•
r5
,,;Jl
.
r = - 2 aq, sm <p - 2 a.,, cos <p = - 2 a sm q>
=-
16ah2 .
r5
4hl
sm <p - 2 a cos <p r' =
32a2 h2 • 2
4h2
16a2 h2
•
r6 sm rp-4a2 cos1 q> ,.5 = - r6 (l+sm2 q,).
49·
I. Ruch względem układu odniesienia.
[§ ll]
.1
4h2
4h2
4h2 16a1 h1
2
1
Ponieważ r<p =r r' =r2 r6 =4a cos q, r6 =
r6 ·cos1 q,, więc
ze wzoru Pr=r-rcp1 otrzymujemy
Pr=-32a2h2/r6.
łł 11.
Wymiary wlelkośel klnematyeznyeh. Miara pręd­
kości, przyśpieszenia i t. p. zależy od jednostek długości i czasu. Zajmiemy się pytaniem, jak zmieniają się te miary, gdy jednostki dfu.;.
gości i czasu będą ulegały zmianom.
·
Obierzmy dowolnie jednostkę długości Li jednostkę czasu T.
Przypuśćmy, że punkt w ruchu jednostajnym przebył drogę długo:.
ści sL w czasie tT (jeżeli np. L oznacza cm, zaś T sek, to aL= , ·cm,
tT=t sek). Miara prędkości v przy-jednostkachL"i T wynosi
V=B/t.
Obierzmy teraz nowe jednostki długości i czasu L', T'. Załóżmy,
że między nowymi jednostkami a poprzednimi zachodzą związki
L=J.L',
T=iT',
gdzie l i -i wskazują, ile jednostek nowych mieszczą jednostki stare.
Oznacżając przez s', t', v' miary długości, czasu i prędkości w nowych jednostkach, otrzymamy
v' =s' /t'.
(1)
Ponieważ
,
skąd v
, al
sL=slL',
·zaś
tT=hT',
więc
s'= sl,
t'=ti,
s i
=ri =t ·1, a więc
,
l
V =V'J
J ednostk;ę prędkości (t. j. prędkość, której miara wynosi 1) przy
jednostkach L i :f oznaczamy przez
L
T
Prędkość,
lub
której miara wynosi v, oznaczamy przez
L
vT
lub
Np. ó em •sek- 1 oznacza prędkość, której miara ·wynosi 5, ~eżeli za jednostkę długości przyjmiemy cm a za jednostk~ czasu sek.
S. Banach. Mech,nika.
ROZDZIAŁ Il. Kinematyka punktu.
Za.łóżmy tera.z, że obraliśmy nowe jednostki długości i czasu,
i T', związane z dawnymi przez równania (1). · Podstawmy
L'
w wyrażeniu vLT- 1 zamia.st Li T odpowiednio lL' i .iT', a na.stępnię
przekształćmy otrzymane wyrażenie tak, jak gdyby litery L' i T'
oznaczały liczby. Otrzymamy:
.rp- • --1'A'L''f-J p,-1_
, -IL'T'-1 •
- 'ł"''i .
V.LI
Podstawmy v'='Vli-•. Zatem
vLT-1=1''L'T'-1•
Zauważmy, że v'
jest według definicji miarą prędkości przy
jednostka.eh L' i T'; zatem wyrażenie. v'L'T'-1 przedstawia pręd­
kość przy jednostka.eh długości ·i cza.su L', .T '.
Widzimy stąd, że symbol ·LT-1 pozwala wyznaczyć rachunkiem
formalnym miarę prędkości przy zmianie jednostki.
Przykład.
Wyzna~zyó
miarę prędkości 12cm: sek - 1
przy jednoet-.
kach m i min.
Mamy cm=O·OI m~ sek= 1/60 r~in. Rach~jąc formalnie, otrzymamy
12cm. sek- 1= 12 • O·OI m · (l/60min)- 1=12 • O·OI • 60m. min- 1=7·2 m. min- •.
A więc 7,2 jest miarą danej prędkości przy jednostkach m i min.
Wyrażenie LT- , w którym L i T nie oznaczają szczególnych
1
jednostek, lecz są symbolami dowolnych jednostek długości i czasu,
nazywamy wymia-rem prtJdkości.
Ogólne określenie wymiaru. Pojęcie wymiaru podane wyżej dla prędkości można uogólnić na inne -~elkości, jak np. przyśpieszenie, prędkość i przyśpieszenie kątowe, etc.
Wymiarem jakiejkolwiek wielkości A
nazywać będziemy
wy-
rażenie
gdzie wykładniki a, {J są liczbami spełniającymi warunek: jeżeli a jest
miarą wielkości A przy Jednostkach długości i _
czasu L, T, zaś. a' jej
miarą przy jednos_tkach L', T' związanych z Li T równaniami (1), to
(2)
Wymiar wielkości A oznaczamy przez [AJ. Zatem
[A]=LllTP,
[§ 11)
I. Ruch względem układu odniesienia.
51
Jednostkę wielkości .A przy jednostkach długości i czasu
L, T
oznacza.my przez L" ~- Jeżeli więc a jest miarą wielkości .A przy
jednostce L" pfł, to wielkość tę oznaczamy przez
aL"'r.
Załóżmy · teraz, że wprowadziliśmy
nowe jednostki długości
i czasu L', T' związ~e z poprzednimi przez równania (1 ), str. 49. Rachując formalnie, otrzymujemy aL" pfł = a(lL't(-iT')'1 = al"L'"ł T'fł,
więc aL"Tfł=(a)."l)L'"T'fł. Stąd, oznaczając przez a' . miarę danej
wielkości przy jednostkach L', T', dostajemy na mocy (2)
(3)
A więc rachunek formalny pozwala wyznaczyć miarę
przy zmianie jednostek.
Przykład. Wymiar przyśpieszenia. jest LT- 2 (eo można. stwierdzić po·
dobnie jak przy prędkości). · Przedstawić przyśpieszenie 5cm. sek- 2 przy jednostkach m i min.
Ponieważ em=0,01 m, sek=l/60min., więcl=0,01 , r=l/60, a=l, p=-2,
skąd na. mocy (3) 5 em-sek-2 =5(0,01 m)(l/60 min)-2 =5 · 0;01·60lm•min--t, czyli
5 em•sek-2 = 180m•min- 2 •
A zatem 180 jest miarą danego przyśpieszen"ia w jednostka.eh m i min.
Wyznaczanie wymiaru. Do wyznaczania wymiarów pomocnym jest następujące
Twierdzenie. Niech dane będą wielkości A, B, dla których
( 4)
[A]=L a T fł,
md
[B]=Li' :i:
,
oraz trzecia wielkość O uzależniona od .A i B w ·taki sposób, że oznaczając przez a, b, c miary . wielkości A, B, O wyrażone w dowoln:11ch
jednostkach L i T, mamy zawsze
(.5)
C= ga" b",
gdzie -liczby g, p, q nie zależą od jednostek L i T.
Przy tych założeniach jest
(I)
[ C].....:...Lpa+ cr,•TprJ+q•S.
Wzór ten można napisać jeszcze inaczej. Wymia1· [ C] możemy
otrzymać, rachując formalnie jak następuje:
[ O]=(L" p,'l )P (Li' T6)q =LP" pPfl Lq;•T..,,s =Lpt,+,,;·T/1;1...... ,,,..;
wzorowi (I) możemy więc również na<lać prn;tać
[O] = [AJ" [B]q.
52
ROZDZIAŁ II. Kinematyka punktu.
Dowód. Obierzmy nowe jednostki L' i T' związane z poprzednimi przez równania· (1), str. 49. . Oznaczmy przez . a', b', o'
miary wielkości A., B, O przy nowych jednostkach. Mamy wedle
założenia (5) c'=ga'Pb,q. Na mocy (4) ·jest a'=l"ła i b'=)-''ib,
zatem c' =g(l"ł at (l" ib)q=lpa:ł-ą,, i11,i+ą6 o, a, stąd w myśl definicji
wymiaru wynika wzór (I), c. Q. d. d·.
Z twierdzenia powyższego wypływają następujące wnioski:
· Wniosek 1. Jeżeli wzór (5) ma postać
c= ab,
c=a/b,
to
,,
[ 0]= [A.] [B]=L"+Y T9+6
[ O]. [A]/[B]-L"._,, pH
c=aP,
"
[ 0]=[.A.f=L"P pPP_
Przyklfldy:
1. Prędkośó wyraża się wzorem v=s/t. Zatem
1
[v]=[s]/[t]=L/T-LT- •
2. Przyśpieszenie p w ruchu jednostajnie przyśpieszonym wy_raża się wzorem p=v/t. Zatem
[p ]=('V]/ [t]=LT-l / T =LP-2•
Podobny wynik ótrzymamy, opierając się. na wzorze B=łpP.
Obliczamy z niego p=2s/t1• Zatem
[p] =[8] / [
tt=LIT =LT2
2
•
3. Prędkość kątowa jest w=d<p/dt. Wymiar kąta <p jest L 0 TO,
gdyż miara łukowa <p nie zależy od jednostek długości. Zatem
[ro.] =l/T=T-1•
4. Przyśpieszenie kątowe jest e==dlq,/dt', więc .
[tJ=l/T2 =T-2•
Wniosek 2. Pewne stałe mogą zależeć od wyboru jednostek
długości i czasu. Możemy wtedy mówić o wymiarze tych stałych.
Pr z y kład. Np. w pewnym ruchu przyśpieszenie jei,;t co do wartości
proporcjonalne do kwadratµ prędkości. Oznaczając współczy1lllik proporcjonalności przez k, mamy
Przy jednostkach cm, sek jest k=2. Obliczyć k przy jednostkach mi min.
Mamy k=p/v1 , zatem [k]=[p]/[v]•=LT-2/(LT- 1
więc [k] = L - 1, 8kąd
r,
2cm-1=2(lj l 00 m)- 1=200 m - 1•
W układzie jednostek m i min jest więc k = 200.
53
II. Zmiana układu odniesienia.
[§ 12]
n. Zmiana układu odniesienia
I 12. Związek między współrzędnyinl. Prędkość i p1·zyśpieszenie
punktu zależą 9d układu . odniesienia, względem którego
badamy ruch punktu. Ruch tego samego punktu będzie więc opisany odmiennie przez dwóch obserwatorów, którzy poruszają się
względem siebie.
Jeżeli np. jedziemy pociągiem, wówczas podróżni jadący
z na.mi są względem na.a w sp9czynku. Dla obserwatora stojącego
przy torze podróżni porusza.ją się z prędkością pociągu. Możemy to
wypowiedzieć w ten sposób: względem układu odniesienia związa­
nego z pociągiem podrótni są w spoczynku, a względem układu odniesienia związanego z ziemią podróżni poruszają się z prędkością­
pociągu.
Ruchy planet i słońca względem układu odniesienia. związanego
z ziemią są ba.rdzo ekomp~owa.ne. Kopernik zrobił odkrycie, że
ruchy pia.net przedstawia.ją się o wiele prościej, jeżeli jako układ
odniesienia obierzemy układ związany ze słońcem.
Niech dany będzie układ odniesienia. 0(:v, y , z) i drugi jeszcze
układ M (f, f/, ,) poruszający się względem poprzedniego (rys. 1).
Dla odróżnienia układ (:v, y, z) nazywać będziemy układem stałym,
a układ (E, 'l, b) ruohomym. Ruch tego samego punktu będzie przedstawiał się rozmaicie w obu układach.
Zajmiemy się za.da.niem wyznaczenia ruchu punktu .A względem
jednego układu, gdy znany jest ten ruch względem innego układu.
Zada.nie powytsze jest ba.rdzo ważne i spotykamy się z nim
w wielu przypadkach.
Oznaczmy przez a,0, '!Io, z0 współrzędne początku M w układzie
O(a,, y, z), a przez to, "Io, , 0 współrzędne początku O w układme
M (E, 11, C), Niechaj "i, a 1 : ... , y8 będą kątami między osiami obu
układów, jak wskazuje tabelka:
11
1·~
e · a1 01
-·- ·- -- -· ·
aa
osie
,
g
[Jl
I • Yt
I
P1 /Ja
,,. ,,,
I.
2.
54
ROZDZIAŁ
Jeżeli x, y, z i ~' 1/,
II. Kinematyka punktu.
t są współrzędnymi punktu A odpowiednio
w układzie pierwszym i · drogim, wówczas, .j ak wiadomo z geometrii
analitycznej,
x=xo+i oos a 1 +'1 oos a 1 +t ęos a,
(I)
Y=Yo+scosP1+'1 oosP.. +,oo8Pa
Z= Zo + Ecos Y1 +'1008 Y1 +, 008 Ys
~=Eo +xoos a1 +Y oos P1+zco8 Y1
(I')
ł/=f/o
+io cos a 1 +y .008 P1 +z oos y1
,=,o+xoos a1 +yoosP8 +zoosy8 •
Ruch układu M(E,11,C) względem O(x,y,z) będzie znany,
jeżeli dla każdej chwili t podane będą współrzędne x0 , y 0, z0 i kąty
a„ a 1 , ••• , Ya• Zate~ współrzędne x0 , Yo, a:0 , · i ką,ty a 1 , fit, .•., Ys są
funkcjami czasu t. Jeżeli ruch punktu A względem układu M(s, '1, ')
określony jest funkcjami s=/(t), f]=q>(t), ,=łJ,(t), wówczas ruch
względem układu O(x, y, z) otrzymamy ze wzorów (I)
X=Xo+ /(t) COB a ,1 +q,(t) 008 a2+"1(t) COB aa
i podobnie dla y, z.
Jeżeli ruch punktu A odbywa się_ w pła.szcz.yźnie II, to obierając osie x, y i g, '1 w tej płaszczyźnie i oznaczając przez 'I' kąt
między osiami x a g (str. 53, rys. 2), otrzymamy:
(II)
(II')
X=~o+E 008 <p - '7 Sin 'P,
;=;0 +a, cos q, + y Bin q,,
Y=Yo+s sin '1'+'7 008 'I'
'7=1]0 - a, sin q,+y cos <p.
(E,
Jeżeli kierunki osi układu ruchomego M
"l, ~) nie zmieniają,
się, powiadamy, że układ ten porusza się ruchem postępowym.
W tym przypadku kąty a 1, a 2, ••• , y8 są stale.
Mówimy, że układ ruchomy obraca się około osi Z z prędkością
kątową "', jeżeli punkty położone na osiach ~' 11, , obracają się
około osi Z z prędkością kątową w.
Niech układ M (;, "l, ,) obraca s~ę około osi , z prędkością kąto­
wą"'· Przyjmijmy, że w chwili t=O układ stały O(x, y, z) pokrywał się
z układem ruchomym M( E, 'T/, ,). Mamy zatem Xo= Yo= Zo=eo=f/o=,o=O.
Oznaczmy przez q, kąt między osiami x, E. Oczywiście q>=(J)t. Ponieważ osie x, y i ;, 'I leżą stale w jednej płaszczyźnie, więc na
mocy (li i (li'):
(III)
z=;coswt-1Jsinwt,
(III')
E=x cos wt+ y sin wt,
y=;sin wt+11 cos wt,
11=-z sin wt+y cos wt,
55
II. Zmiana układu odniesienia.
[f 12]
Pr~yklad .l. Ruch punktu ~zględem układu stałego określony
Jest równaniami
(1)
x=acos wt,
y=bsin wt,
a więc tor punktu jest elipsą o. równaniu f»•/a1 + y'/b' = 1.
Jak przedstawia się ruch tego punktu w układzie ruchomym
o tym samym początku, jeżeli układ ten obraca się w kierunku
dodatnim z prędkością kątową 61 !
Zakładamy przytem, że w chwili początkowej t = O oba układy
się pokrywają,.
Otóż oznaczając
przez ~' 1/ współrzędne dowolnego punktu
względem układu ruchomego, mamy
f=x cos cot+y sin rot,
rJ=-X sin rot+ y cos rot,
zawarty między osiami x,; wynosi
tu rot. Podstawiając po prawej stronie tych wzorów wyrażenia (1),
otrzymujemy równania krzywej opisanej przez punkt w-=układzie
ruchomym
gdyż na mocy założenia kąt (fi
s=a cos rot +b sin rot,
2
rJ=(b- a) sin rot cos rot,
2
t 1-cos 2 (J)ł
. ki
czyli, z uwagi. na związ
cos2 co t = 1 + COB 2 rot, sm•ro = - - 2- •
D
2
i sin rot cos cot=ł sin 2<.ot:
a+b a-b
z:=--+- cos2wt'
•
2
2
ską,d
+b]2
g-T
[
. 2 ro t,
7J= b-a
- --- Slll
2
b)2
+TJ2 = ((t·2 ___ •
A więc: ze względu na. układ. ruchomy punkt opisuje koło,
gdy a b, zaś znajduje się w spoczynku, gdy a= b.
+
Pr%yklad 2. Ruch po linii śrubowej. Ważnym przykła­
dem ruchu punktu po krzywej przestrzennej jest ruch śrubowy~
który powstaje w sposób następujący. Układ ruchomy (;, TJ, C) obraca
się z prędkością kątową stałą w około osi C, zaś punkt porusza się
względem układu ruchomego ruchem jednostajnym z prędkością o
po prostej
11= O (t. j . po prostej równoległej do osi C i prze-
;=·r,
cinającej oś ~ w punkcie ~=r).
66
ROZDZIAŁ II. Kinematyka punktu.
Ruch taki powstaje np. gdy walec obraca się około swej osi
s prędkością kątową w, zaś punkt porusza się po tworzącej walca
ruchem jednostajnym.
Niech w chwili t= O układ stały (x, y, z) pokrywa, się z układem
ruchomym (s, TJ, C), zaś punkt ruchomy ma współrzędne r, o, o. N a
mocy (Ili)
X=rcoswt,
(2)
y=rsinwt, z=C,.
Równania powyższe możemy również
odczytać wprost z rysunku. PrzedstawiaJfł
one parametrycznie równanie. linii śru­
bowej. Ruch punktu odbywa się · więo po
linii śrubowej. Różniczkując (2) otrzymamy
x=-rw sin wt„ fl=rw cos wt,
ż=o
i=-rw•coswt, y=-rw'sin_wt, i=O.
Zatem
A
C<J
więc:
w ruchu śrubowym prędkość i
do wartości bezwzględnej.
p,ą,piesufł,ie sq
stale
·
I 18. Związek między prędkołelaml. Prędkość punktu .A
względem układu stałego
(x, y, z) nazywamy pr@ilkościq bezwzględną
i oznaczamy przez Vt,.
Prędkość punktu względem układu ruchomego nazywamy
prtJdkością względną i oznaczamy przez Vw•
Wyobraźmy sobie, że punkt .A, którego ruch badamy, zwią­
sany jest z układem ruchomym (E, TJ, C) sztywnie, t. zn. że jego współ­
rzędne E, TJ, Cnie zmieniają się. Przy tym. założeniu punkt .A, złączony
z układem ruchomym, posiadałby pewną prędkość względem układu
stałego. Prędkość tę nazywamy prędkością unoszenia
i oznaczamy
·przez Vu.
Możemy także powiedzieć, że prędkością unoszenia, punktu
.A
w chwili danej nazywamy prędkość punktu złączonego z układem
ruchomym i pokrywającego się w chwili tej z punktem .A.
I I. Zmiana układu odniesienia.
[§ 131
8tały
57
Przypuśćmy np., ie po korytarzu pociągu biegnie podrótny. Za układ
obierzmy układ związany z ziemią, za układ ruchomy - układ związany
z podągiem.
Człowiek stojący przy torze będzie obserwował ruch podrółnego względem
układu ~tałego, a człowiek siedzący w wagonie -
względem układu ruchomego.
Prędkość 1>odrótnego, jaką zaobserwuje całowiek stojący przy torze, ~dzie prędko~cią bezwzgl((lmt. Prędkość, jaką zaobserwuje całowiek siedzący w pociągu, będzie prędkogcią wzg~nq. Prędkośei11 VfWnffltG będsie prędkość tego
punktu podłogi korytarza, kMrego dotyka w danej chwili podrótny biegnący
przez korytarz.
Prędkoś~ unoszenia będzie więc w tym przypadku prędkością pociągu.
Pr~tlko;.ć bezwzględna. będzie większa lub mniejsza od prędkości unoszenia zależnie ocl tego, czy podrótny hiegnie w kierunku ruchu pociągu, czy przeciwnie.
Zajmiemy się teraz związkami zachodzącymi między prędkością
bezwzględną, względną i unoszenia.
Punkt A ma względem układu stałego współrzędne te, y, •·
Zatem rzuty prędkości bezwzg1ędnej na, osie układu stałego będą:
(1)
PodobniP, rzuty
mego będą
·v"'· --
(!!)
~
p~ę<lkości względnej
.
I:
.,,,
Vw
na oeie układu rucho-
,, = t/,
Aby porównać prędko~ć bezwzględną ze względną, utwórzmy
rzuty prędko~ci względnej na osie układu stałego. Otrzymamy
·v," = i cos a 1 +~cosa1 +C cosa3
(3)
i t. d.
.\·
Na mocy (1), str.•)4,
współuędne
x, y, z względem układu
stałego wynoszą
i t. d.
Rótniezkuj-.c powyższy wzór, dostaniemy więc na mooy (I)
Prędkośó
unoszenia otrzymamy, zakładając, że punkt A jest
awi11&11Y z układem ruchomym utywnie, t. zn., że współrzędne ?,
·q,,
58
ROZDZIAŁ II. Kinematyka p~ktu.
t
są stałe, czyli że t=O, ~=O,
O. Na mocy więc (4) rzuty pręd·
kości unoszenia na osie układu (x, y, z) wyniosą
_ . + tdoosa1 + doosa1 +,.d-c osa 3
(5)
Vux -
Xo
dt
S
.· 'TJ
dt ·
~
dt
i t. d.
Na mocy (3) i (5) otrzymujemy z (4) v6X =vtl,r +v10.r i podobnie
"b fi=Vtlg
+" , v6
Wg
z
" ttz
+". , czyli
1Dz
'
(I)
UdowodnUiśmy więc, że pł'~ko'ć bezwzg~ równa ~ sum~ ·
pr~dko'ci łfflOSZenia i pr~kości wzg~.
Gdy układ ruchomy porusza się ruchem postępowym, kąty
dcosa1 dcosa 1
dcosy3
au a 1, ••• , y 1 są stałe, zatem pochodne
dt ,
dt , ··· ,
dt
są zerami. Ze wzoru (5) otrzymujemy przeto
'Vu = 'Yo,
li
Jeżeli więc v0 jest prędkością początku układu ruchomego, to
Zatem: jeżeli układ porusza si~ ruch6m poB,Wowym, to prtJ(l.kość
unoszenia jest dla wszystkich punktów ta sama i równa s~ prtJ(l.kości
początku układu.
Uwaga. O punkcie .A mówimy„ że wykonywa dwa ruchy
równocze~nie: jeden z prędkością względną, a drugi z prędkości,
unoszenia. Rucll względem układu stałego nazywamy ruchem złożo­
nym z obu ruchów składowych albo ich ruchem wypadkowym.
Prędkość
ruchu wypadkowego jest więo sumą prędkości ruchów składowych. Aby prędkość ruch~ wypadkowego była okre,1ona, wystarC7!Y podać prędkość ruchów składowych; nie potrzeba
przy tym podawać, która z prędkości jest względna, a, która jest
prędkością unoszenia.
Pr~yklad 1. Pociąg porusza się z prędkością u; po podłodze
wagonu toczy się punkt .A z prędkością v względem podłogi. Jaka
jest prę~ość punktu .A. względem ziemi f
[ł 14]
59
li. Zmiana układu odniesienia.
Pr.zyjmijmy, że osie układu (x, '!I, z) związane są z ziemią, zaś osie
l, łJ, ś z wagonem (rys.1).
Prędkością unoszenia punł 1'/
ktu .A. J. est więc u. Tak~..,•- - - - - - - - bowiem prędkość miałb;
v
~
punkt .A. względem ziemi,
A
'q
gdyby był w spoczynku
względem wagonu. Pręd­
ł
kość względna punktu .A.
1.
2.
niechaj wynosi v. Zatem
jego prędkość bezwzględna vb (t. j. prędkość względem ziemi) wyniesie
fZj
Przykład 2. Walec obraca się około osi z prędkością kątową w.
Punkt .A. porusza się po tworzącej walca z prędkością v (względem
tworzącej). Jaka jest prędkość bezwiględna punłtu .A. t
wynosi v. Aby wyznaczyć prędkość unoszenia, zauważmy J=że gdyby punkt .A. był z walcem związany, wówczas poruszałby się po kole K z prędkoś~ią kątową w (rys. 2). Jeżeli
więc r oznacza promień podstawy walca, to prędkość unoszenia iZ
jest etyczna do koła K i IuI= r w. Prędkość bezwzględna vb wynosi
zatem vb=v +u, a ponieważ vlu, więc
Prędkość względna
(v=lvl, u=lul).
łł 14. Związki między przyśpieszeniami.
Zajmiemy się
teraz związkami zachodzącymi · między przyśpieszeniami punktu
względem różnych układów. Przyjmijmy, że mamy dwa układy:
stały (x, y, z) i ruchomy a, 1'/, ś),
Przy~pieezenie punktu .A. względem układu stałego nazywamy
f'"YApieazeniem bezwzg~dnym Pb·
Przyśpieszenie punktu względem układu ruchomego nazywamy
przyśpieszeniem wzg~dnym Pw·
Przyśpieszenie, jakie by punkt .A. posiadał (względem układu
stałego), gdyby z układem ruchomym był związany sztywnie, nazywamy przyśpieszeniem unoszenia· Pu·
Możemy również p~wiedzieć, że przyśpielzeniem unoszenia. na-
zywamy przyśpieszenie takiego punktu związanego z układem ruchomym, który w danei chwili pokrywa się z punktem .A..
60
ROZDZIAŁ
II. Kinematyka punktu.
Jeteli np. po korytarzu wagonu biegnie podróżny i za układ stały obierzemy układ .IWiązany z ziemią, za ruchomy zaś - związany z wagonem, to:
przyśpieueniem be.zwględnym podróżnego będzie przyśpieszenie, jakie zaobser.
wuje człowiek stojący przy torze, przyśpieszeniem względnym będzie przyśpie.
szenie, jakie zauważą podróżni jadący tym wagonem, wreszcie przyśpieszeniem
unoszenia. będzie przyśpieszenie względem ziemi tego punktu podłogi, którego
w danej chwili dotyka. biegnący podrótny.
Oznaczmy przez x,y,z współrzędne punktu .A względem układu
stałego, zaś przez E, r;~ ~ względem układu ruchomego.
Rzuty przyśpieszenia bezwzględnego Pb na osie x, y, a: są:
(1)
Pb =x,
Pb =y,
g
X
Rzuty przyśpieszenia względnego
(2)
p10
=E,
p w, =ii,
1
1
Pb= z.
Z
Pw na osie E, 11,, są:
PtD;
=t~
Utwórzmy rzuty wektora f>w na osie układu stałego. Otrzymamy
i t. d.
(3)
Na mocy (I), str. 54, mamy
x=x0 + Ecos a1 + ricosa 1 + ,cos «1
(4)
i t. d.
Przytłpieszenie unoszenia otrzyma.my, zakładając,
te punkt A
jest sztywnie związany z ~ład:e~. ru~~omym, czyli te E, 'l, , q
stałe, a więc że pochodne- E, iJ, t, E, jj,, są równe zeru.
Rzuty wektora Pu na osie x, y, z otrzymamy, różniczkuj,.c
dwukrotnie równa.nie (4) przy założeniu, że E, 'l,, są stałymi:
i t . d.
(5)
Jeżeli au
a., ... Bł stałe, to Pu. =Xo.
\"
A więc: jdeU układ porusza się ruchem postępowym, to przy~
Apiuzenie uno,zenia jest dla wszystkich pvnk_tów równe przyśpieszeniu
początku układu.
Zróżniczkujmy
dwukrotnie równanie (4). Otrzymamy
-· _ ..
1:d1cosa1 + cl1cosa 1 + t,ztcoRa3 +
11
.i; - Xo +
dtl
'1 dt1
dtl
.
(6)
+ [ COS al + qCO:i a2 + eCOS U3 +
+ •) (E<lc_oRa1 + . clcdsa2 + t<lcosa3) ·
..,
dł
1J
tlt
.
tlt
'
i t. d .
61
I I. Zmiana układu odniesienia.
[§ 14]
Wed.le (3) i (5) wyrażenia w pierwszym i w drugim wierszu
oznacza.ją rzuty Pu i Pw na osie x, y, z.
Oznaczmy przez Pe wektor, którego rzuty na osie x, y, z wyrażają się wzorami
(7)
p CX
= 2 (~dcosa1 +. dcosa2 +;-dcosa3)
~
dt
dt
'TJ
dt
b
i t. d.
Wektor Pe nazywamy przyśpieszeniem Ooriolisa.
Wzór (6) na mocy (1), (3), (5) i (7) możemy napisać w postaci PbX=PuX +PwX +Pe.
·Podobnie otrzymamy pb.7=PUy +PWy +Peg
.l
i Pb z = Puz +Pwz +P cz. Możemy więc napisać
(I)
A więc: przyśpieszenie bezwzględne równa się sumie przyśpieszeń:
unoszenia, względnego i Oorioli_sa.
Przyśpieszenie
Coriolisa. Aby uzmysłowić sobie znaczenie
przyśpieszenia Coriolisa, wykreślmy z początku M układu ruchomego
wektor· prędkości względnej MB= Vw, Współrzędne punktu B wzglę·
dem układu (E,11,,) wynoszą v10 ,vw ,vw czyli i,~,t. Wyobraźmy
$
1'/
;
sobie, że punkt B jest sztywnie związany z układem (~,TJ,;). Prędkość u punktu B względem układu stałego (x, y,z) równa się zatem
jego prędkości unoszenia (bo jego prędkość względna jest zerem).
Pisząc
zamiast E, 17, t, otrzymamy więc na mocy (5), str. 58:
e, ~' t
_ . + i: d cos a1 + . d COB a + ;- d cos aa
'Ux -
Porównując
Xo
~
dt
TJ
dt
2
b
dt
i t. d .
ze wzorem (7), otrzymamy:
. + -rPc
1
'Uu= Yo
,
u
,Jeżeli więc przez ii0 oznaczymy prędkość początku układu ru-
chomego, to u=v0 + }Pe, zatem
(II)
Różnica u-v0 jest to prędkość punktu B względem początku M
układu ruchomego (E, 1/, ,) (por.
§ 14, str. 65, (I)).
62
ROZDZIAŁ ~I.
Kinematyka punktu.
A więc: aby otrzymać przyipiuzenie Ooriolua, wykreślamy z początku układu ruchomego wektor prędkości wzgl@il,ne.j Vw i wyobrażamy
so~ie, że wektor· ten j~st związany sztywnie z układem ruchomym.
Przyśpieszenie Ooriolisa równa się podwojonej prędkości końca
wektora Vw wzgl@il,em jego początku.
Wyl).ika stąd, że przyśpieszenie .Ooriolisa jest zerem, jeżeli pr~~
kość wzg'lędna jest zerem lub jeżeli układ ruchomy porusza s~ ruchem
post,Jpoo,ym.
W tych bowiem przypadkach początek i koniec wektora Vw
ma tę samą prędkość. Można to również łatwo odczytać ze wzoru (7 ),
kładąc i =0, ~=O, t=O lub a 1=const., 0t=const., a 3=const. i t. d.
Niech układ (~, 17, t) obraca się około pew' nej osi Z z prędkością kątową w. Zachowując
poprzednie znakowanie i obierając dowolny
punkt O na osi Z, otrzymamy
ii=OB X w,
v0 = OM X w.
Zatem Pe= 2(u - v0 )=2(0B- OM) x w.
Lecz OB-OM= vw . .A więc
Pe= 2-vw X ro.
(III)
Widzimy więc, że przyśpieszenie Ooriolisa równa się podwojonemu
iloczynowi wektorowemu wektora prędkości wiględnej i prędkości kątowej.
Przyśpieszenie ·Coriolisa
jest. tedy prostopadłe do osi obrotu
i prędkości względnej i wynosi
IPcł = 2 lwl lvwl sin a,
gdzie r1. jest kątem między osią obrotu a prędkością względną. Wynika
stąd, że przyśpieszenie Coriolisa jest zerem (poza tym, gdy Vw= O),
wówczas gdy r1.= O, t . j. gdy wektor vw jest równoległy do ro.
Wykażemy
póżniej
(w rozdziale VII), że w każdej chwili
prę<lko1foi punktów· związanych sztywnie z układem ruchomym
(~, 11, n są takie, jak gdyby układ wykonywał dwa ruchy równocześnie: jeden ruch postępowy z prędkością początku układu,
a drugi obrotowy około pewnej osi, przechodzącej przez początek
układu, z prędkością kątową w.
Tę oś ohrotu nazywamy o,,.ią chwilowego obrotu; w nazywamy
rhwilową prędko.foią kątową .
[f 14)
II. Zmiana układu odniesienia.
63
W każdym momencie czasu może być inna oś
obrotu i inne c.o. A więc, oznaczając przez v0
prędkość początku .układu M, otrzymamy na
prędkość unoszenia fiu punktu A wzór
Vu= v0 +MAX c.o.
przez B oznaczymy koniec
wektora prędkości względnej ·wykreślonej z ·początku układu, zaś przez u (jak poprzednio)
prędkość unoszenia punktu B, to, u= v0 + MB X c.o = v0 + Vw X c.o,
skąd na mocy (li), str. 61
Jeżeli
więc
Pe= 2 vw X c.o.
(IV)
Wzór (IV) przedstawia przyśpieszenie Coriolisa w przypadku
ogólnym.
Przyśpie,zenie Corioli8a jest ~ zerem: 1 ° gdy c.o = o, (t. j .. gdy
układ porusza się ruchem postępowym), 2° gdy v.,= O, 3° gdy w livw.
Prtyklad 1. Pociąg porusza po tor~e proątolinijnym z przy·
śpieszeniem
p. Po podłodze wagonu porusza się punkt · z przyśpie­
szeniem li względem , wa.gonu. Wyznaczyć przyśpieszenie punktu
względem ziemi.
Przyśpiesz~e względne jest Pw=a, przyśpieszenie unoszenia
Pu= p. Ponieważ układ odniesienia związany z wagonem porusza
się ruchem postępowym, więc przyśpieszenie Coriolisa Pc=O. Zatem
przyśpieszenie bezwzględne (t. j. przyśpieszenie względem ziemi)
wynosi
Pb =a+ p.
Pr%y,Clad 2. Walec o promieniu r obraca się około osi z pręd­
kością kątową c.o. Po tworzącej walca porusza się punkt A z pręd­
kością stałą
.v względem tworzącej. Wyznaczyć przyśpieszenie pun-
ktu A względęm układu stałego.
Obierzmy ·układ ruchomy związany z walcem, przyjmując oś.
walca za oś C. Gdyby punkt A był .sztywnie związany z układem
(E, YJ, C), wówczas posuwałby się po kole 'K z prędlrością kątową c.o.
P~zyśpieszenie unoszenia Pu jest więc ski~rowane ku środkowi koła K
i ·IP~l=rw2. Przyśpieszenie \YZględne . .P·w=O, wedle założenia. Po•
nieważ prędkośc względna v"' · v jęst równoległa do oRi obrotu, więc
przyśpieszenie Coriolisa Pe=~. Zatem
Pb= Pu•
64
ROZDZIAL II. Kiuemat~·ka 1mnktu.
Pr%1Jklad 3. Płaszczyzna pozioma ohra('a. Kię z prę,lkrns<:ią
kątową w około osi pionowej. Po płaszczyźnie porm,za sit punkt A,
mający w pewnej ch\\ili względem płaszczyzny prędkrn~ć v,,, i przyśpieszenie Pw· Wyznaczyć przyśpieKzeni~ względ<•m uklndu stah•go
w owej chwili.
Oznaczmy przez O punkt przehicia oxi ohrotu z plasz,·z.,·zllą
ruehomą. Gdyby punkt A h~· ł z pla~zczyzną rurhomą związany,
wówc•zas
prnmwalby si~ po kole o śroclku ()
i promieniu OA = 1· z prę,Lkością
kątową
CJJ.
Zatem 1>rzy8pieszenie
unoszenia pu Hkierowane
jest. do
.
2
punktu O i ltJ"I = rw •
Aby wyznaczyć przyśpieszenie Coriolisa Pe, obierzmy punkt O
za początek układu ruchomego, związanego z płaszczyzną ruchomą
i wykreślmy z punktu O wektor OB= v,,,. Ponieważ prędkość punktu O
jest zerem, więc } Pe równa się prędkrnfoi punktu IJ. Zatem JJr.l v,,,
i ]Pel = 2 OB w= 2 lvwl w.
To samo ·oczywiście otrzymaliby limy, opiercł.j~ Hif na wzorze
Pe= 2 vw x w i na tym, że wektor pręclko1foi kątowej w ma kiPrunek
osi obrotu, jest więc do płaszczyzny ruchomej prostopadły.
Przyśpieszenie bezwzględne otrzymamy, dodając do siebie
wektory Pw, Pu i PePrzykład 4 . Kula o promieniu r obraca się _dokoła stałej
osi
ze stałą prędkością kątową w. Po wielkim kole, przechodzącym
przez oś obrotu, porusza się punkt P ze stałą prędkością c. Wy·
znaczyć prędkość i przyśpieszenie tego punktu względem układu
stałego (x, y, z).
e,
Z{
Niech
TJ, C oznacza układ ruchomy, którego oś C jes~ ta sama co
dla układu stałego, zaś płaszczyzna EC .
jest płaszczyzną południka, po którym
porusza się punkt P. Układ ten obraca
I
się wraz z kulą dokoła osi z ze stałą
prędkością kątową w (którą na rysunku
przedstawia wektor narysowany na osi z).
Prędkość punktu P względepi układu ruchomego, t . j. prędkość
względna vw, jest wektorem o długości c, stycznym do południka (po
II. Zmiana układu odniesi~n.ja.
l§ 15}
.65
którym porusza się P). Prędkość unoszeni~ tiu równa ·się p.rędkośoi
punktu równoleżnika przechodzącego przez P. Ponieważ punkt ten
porusza się po kole o promieniu . e= r cos <p, gdzie <p. oznacza szerokość geograficzną tego równoleżnika (t. j . . kąt zawarty międiy
promieniem OP a płaszczyzną równika), więc prędkość tiu jest styczna
do równoleżnika i wynosi ew= r w cos <p. Prędkości ~w i Vu . są do ..siebie prostopadle, zatem lv„I = V.<r + r 2 w 2 cos2 <p. Prędkość bezwzględna., vb
·tworzy z południkami kąt {} określony wzorem tg {J=
,'!:', = rew cos <p.
Ponieważ punkt P porusza się po poiudniku ze stałą prędkoscią c,
więt· przyśpieszenie względne f>w jest skierowane ku środkowi
kuli i w <r/r. Podobnie, przyśpieszenie unoszenia pu . jest skie-
IP I=
rowane ku środkowi . równoleżnika (przechodzącego przez P) i
l1)ul = ew2 = rw2 cos <p. Przyśpieszenie Corfolisa Pe= 2 v,)>< W jest prostopadłe do w i v"'' zatem jest prostopadłe do płaszczyzny południJia
i ma ten sam zwrot co v". Ponieważ, jak łatwo widzieć, kąt zawarty
między w a vw wynosi n-<p, więc lf>cl = 2lvwl lwi sin <p ~2c~-,ain <p.
Dodając wektory P,,,, p 11 i Pe, otr.zymamy przyśpieszenie bezwzględne
p,,.
§ 16. Wyznaczanie ruchu względnego. Dotychczas zajmowaliśmy się wyznaczaniem rucpu względem układu stałego, mając
dany ruch względem układu ruchomego. Często spotykamy się
z zagadnieniem odwrotnym, t.· zn . . mamy znaleźó ·, ruch. wżględem
układu ruchomego, znając ten ruch względem układu ,stałego.
Ze wzorów (I), str. 58 1i 61, otrzymujemy na prędkość -wzgl~ną
i przyśpieszenie względne:
(I)
A więc: pr~kość względną otrzymamy, dodając do prędkości bezwzględnej prędkość unoszenia ze zwrotem przeciwnym. PrŻyśpieszeni6
względne otrzymamy, dodając do przyśpieszenia bezwzględnego przyśpieszenie
uno.szenia i Coriolisa ze zwrotami przeciwnymi.
Ruch wżględem punkt:u. Niech punkty · .A.1 i .A. 2 · po~uszają
się względem pewnego układu stałego (x, y, z) z prędkościami v1 i v1•
Umieśćmy w .A. 2 początek układu ruchomego (;, 1/, C) i załóżmy,
że układ ten porusza się ruchem postępowym.
Ruch punktu .A.1 względem układu (~, 1/, C) nazywać będziemy
ruchem względnym względem punktu .A. 1 •
S. Ranach. Mechanika
66
-ROZDZIAŁ II. Kinematyka pUDktu.
Taki ruch zauważyłby obserwator poruszający się ~chem ·po·
stępowym wraz z punktem Aa.
· Oznaczmyprzez v1,2 prędkość punktu .A1 względem punktu .Alt
t. zn. względem układu (E, 1/, C). Ponieważ prędkość unos~arówna
się prędkości v1 punktu .Aa, zaś prędkość bezwzględna wynosi Vu
więc v1 .:....v1,2+v1 , skąd ii1,2=v1 - · v1 lub
. (li)
ii1,2=ii1+(- ii1)•
Oznaczając przez p12 przyśpieszenie punktu .A1 względem Aa,
t. j. względem układu · (E: 1/, C), otrzymamy , z uwagi na to, że przy„
śpieszenie Coriolisa jest zerem, P1,2 =p1 -p2 lub
(III)
P1,2=P1 +(-P2J·
A więc: pr~koló ( przylpieszenf,e) punktu ...4.1 wzg~m .A1 otrzy·
mamy, dodając do pr~kości (przylpiuzenia)punktu .A1 pr~koló (przy'7>wzenie) punktu A. 1 ze zwrotem przeciwn,ym.
Pr~klad 1. Punkty .A1 i .Aa porus~ają się odpowiednio po
osiach x i y ruchem jednostajnym _z prędkościami Ot i c1• Wyznaczyć prędkość punktu .A1 względem ...4.1 •
Szukana. prędkość v1,2 jest różnicą prędkości punktu ...4.1
i punktu .A.1 • A więc ii1,2=ii1-v1 • Rzuty~prędkości ii1,2.na osie x i y
wynoszą Ot i - c1 • Zatem
lv1,2!= ~~+c~ .
Pr~klad 2. Punkt ...4.1 porusza się po kole o promieniu r
ruchem jednostajnym, zaś punkt .Aa porusza się w ten sposób, że
znajduje się za.wsze na drugim końcu średnicy przechodzącej przez .A1 •
Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie punktu .A.1 względem Aa.
Oczywiście prędkości i przyśpieszenia
obu punktów są równe
co do wartości i mają zwroty przeciwne. Oznaczając ·przez v i p
prędkość i przyśpieszenie punktu .Au otrzymamy
i\2 =v-_(-v)=2 v i
p1,2=p~(-p)=2 p.
Poniewa.ł lv1,2l=const., więc przyśpieszenie styczne ruchu względ­
nego jest zerem; zatem P1,2 jest przyśpieszeniem normalnym. Stąd
IP121= lv12l1 / e= 4 lvi•Il!, a ponieważ IP121= 2 lpl = 2 li 1 / r, więc
'
'
'
.
4 lvla/ ~-= 2 lvl1 /r czyli e=2r.
1
A więc ruch punktu ..4.1 względem .A. 1 odbywa się po kole
o środku .A. 1 o promieniu 2 r, z prędkością, dwa razy większą od
prędkości punktu ..4.1 •
·n. Zmiana układu odniesienia.
{ł 16]
67
Przy k ·l ad a. Po osi (I) porusza się ciało .A. z prędkością stałą w,
wyrzucając co T sekund drobne ciałka, biegnące po osi (I) ruchem
jednostajnym z prędkością c. Niechaj v oznacza częstość emisji
(t. j. il~śó ciałek wyrzucanych na sekundę,), zaś ;. odległość dwóch
po sobie wyrzuconych ciałek. Mamy oczywiście v=l / T.
Ponieważ prędkość względna ciałka wyrzuoonego jest względem .A.
o-u, więc po czasie T odległodćoiałkaod .A. wynosi l=(o-u).T. Zatem
(1)
v=(o-u)/)..
Przypuśćmy teraz, że po osi (I) porusza się obserwator B z pręd•
kośoią stałą v. Oznaczmy przez v' częstość względną emisji (t. j. ilośó
ciałek na sekundę, napotykanych przez obserwatora), a pl'zez T' czas
między spotkaniami dwu·kolejnych ciałek. Ponieważ prędkolłć ciałek
względem B
wynosi o-v, więc l=(c-v)T'. Zatem
(2)
v' ;= (o- v)/.t
Na mocy (1) i (2) otrzymujemy
(3)
v'= v(c- v)/(c- u)= v(l-v/c)/(1-u/c).
Załóżmy, że prędkość c
ściami
jest wielka w porównaniu z prędko­
u i v.
· Ponieważ dla małych (I) mamy 1/(1- (l))=l+(l), więcną,mocy(3)
jest v' ~ v(l-v/c)(l +u/c)= v[l- (v- u)/c-vu/c']. Opuszczając
ostatni wyraz w nawiasie jako bardzo mały w porównaniu z pozostałymi, otrzymujemy w końcu
v'= v[l-(v- u)/c].
W szczególności, jeżeli u= o, dostaniemy
(5)
v' = i,(l-v/c).
Pr#yklad 4. W przestrzeni porusza się rój drobnych ciałek
z prędkością stałą · v. Poprzez rój porusza się ciało .A. z prędkością u.
Prędkość względna ciałek względem .A. wynosi więc
w=v-u.
Oznaczmy przez w, v i u bezwzględne wartości tych prędkości,
przez <p kąt między w i v, a przez a kąt między w i u. Z trójkąta
o bokach v, - u, w otrzymujemy
(6)
·,
u .
em <p= - sma.
1'
68
ROZDZIAŁ II . Kinematyka punktu.
Podamy zastosowanie powyższego wzoru.
Jako układ stały obierzmy układ związany ze
r G'
słońcem i gwiazdami stałymi. Pewna gwiazda G
I
G' '
II
wysyła ku ziemi promienie światła biegnące
'
'~
,~
z prędkością v (v=300.-000 km/sek). Ziemia
' I
'I
porusza się z prędkością u (u= 30 km/sek). Promienie światła ma-ją więc względem ziemi pręd­
kość względną w. Obserwator na ziemi, chcąc
zobaczyć gwiazdę G, musi ustawić lunetę w kier runku prędkości względnej w. Będzie więc widział G pozornie w miejscu G'. · Kąt rp, wska._
zujący odchylenie od prawdziwego kierunku, możemy wyliczyć z (6).
Ponieważ v jest wielkie w porównaniu z u, więc kąt <p jest
bardzo mały. Ze wzoru (6) otrzymamy
..
.
sina
Sin cp
= 10.000 •
Dla a=n/2 (t. j. sina=l) otrzymujemy dla kąta <p jako wartość
maksymalną
cp=22".
Pr~klad, IJ. Po okręgu koła o środku O poruszają się punkty
A1 i A 1 z prędkościami kątowymi roi "i w 1 względem pewnego układu
stałego. Obierzmy osie E, TJ układu ruchomego w płaszczyźnie koła,
przyjmując O za początek, za, prostą O.A. 1 za oś E.
Prędkość kątową
punktu .A.1 względem obranego układu ruchomego nazywamy pr€(lkością kątową (względną) punktu A1 wzg"l@dem pmiktu A 1 ; oznaczamy ją przez w1 ,2,
Łatwo można okazać, że
(7)
Przypuśćmy, że punkty
.A.1 i .A. 1 poruszają się z prędkościami
kątowymi stałymi. Oznaczając przez
Tu T I od}Jowiednio czasy obiegów punktów A 17 .A. 1 w układzie stałym, zaś przez T1,2 czas obiegu
punktu .A.1 względem .A. 1 (t. j. czas obiegu punktu .A.1 w układzie ruchomym), otrzymamy: T 1 = 2 n I roi, T 1 = 2 n I w1, T1,2 = 2 n I w1,2•
Zatem na mocy ( 7)
(8)
[§ Hi]
II. Zmiana układu odniesienia.
69
Czas obiegu dużej wskazówki na zegarku w~-nosi T1 =1 godz,
małej T 9=12 godz. Ze wzoru (8) dostajemy: l /T1:i=l--ł7J., skąd
T1,1. = tł godz= 1 godz 5 min 27 sek. Zatem wskazówki pokrywają
się co 1 godz 5 min 27 sek..
Podróżnikowi odbywającemu podróż naokoło zien1i w kierunku
z zachodu na wschód wydaje się, że podróż jego trwała n dób, ponieważ w ciągu podróży miał n dni i n nocy. vVróciwszy jednak
do miejsca, ~ którego podróż rozpoczął, stwierdza, że pod1·óż t.rwała
nie n, lecz n' dób. Jaki jest związek między n a n' 1
Oznaczmy przez T1 okres podróży, a przez T~ czas pozornego
obiegu słońca naokoło ziemi. Zatem T 1 =n' i T 2 =-1 (gdyż słońce
obraca się, pozornie .dokoła .ziemi ze wschodu na zachód t~ j. w kierunku przeciwnym· do kierunku podróży). Podróżnik przyjmował
za dobę pozorną okres czasu między jednym a drugim przejściem
słońca przez południk zmienny, na którym się znajdował. Ponieważ
w ciągu n dni pozornych było n' dni prawdziwych, więc doba pozorna wynosi n' /n prawdziwych. Stąd T 1,2=n'/n. Na mocy więc (8)
n/n'=l/n'+l
czyli n'=n-1.
Zatem prawdziwych ~ni upłynęło o 1 mniej niż pozornych.
Gdyby podróżnik szedł ze wschodu na zachód, to (jak łatwo
widzieć) prawdziwych dni upłynęłoby o 1 więcej niż pozornych.
ROZDZIAŁ ill
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. Dynamika punktu swobodnego
I t. Podstawowe pojęcia dynamiki. Przedmiotem badań
dynamiki jest ruch ciał pod wpływem sił, które ruch ten wywołują.
W kinematyce wszystkie układy odniesienia są, jak już wiemy,
równouprawnione; jest rzeczą obojętną, jak mierzymy czas (t. j. jakie
przedziały czasu uważamy ·z a równe). Prawa dynamiki natomiast,
wypowiedziane przez Newtona, ważne są nie dla każdego układu
odniesienia i nie dla każdego · pomiaru czasu.
Układ inercjalny,
czas bezwzględny. Układ odniesienia,
dla ;którego przy pewnym pomiarze czasu· zachodzą prawa dynamiki
newtonowskiej, nazywamy u.kładem inercjalnym, odpowiedni zaś pomiar czasu - pomiarem czasu. absolutnego, a ruch ciała względem
układu inercja.lnego ruoMm absolutnym.
Śoiśle biorąc. nie zna.my dotyohożas przykładu ani układu inercjalnego ani
czasu ·absolutnego. W wielkiej liozbie zagadnień moiemy jednak obraó takie
układy odniesienia. i takie metody mienenia. czasu, że stosowanie praw dynamiki doprowadza do wyników dość mało różniącyoh Bię od <1.oświadosenia, aby
błędy motna było pra.ktyoznie pominąó. ·
Jeteli np. ba.dainy ruch drobnych oia.ł w pobliżu ziemi w krótkim przeciągu ozasu, to wyniki będą naógół wystarczająco dokładne, gdy za układ
inerojalny przyjmiemy układ odniesienia awiązany z ziemią, zaś mierzenie osa.Bu
absolutnego oprzemy na za.łoteniu. te ziemia względem gwiazd stałych obraca
się około swej osi w równych czasach o równe kąty.
W innyoh jednak zagadnieniach (jak np. wahadło Foucaulta, giroskop.
ruoh planet) stosowanie praw dynamiki do układu odniesienia zwi4unego • ~emią nie prowadzi już do równie dobrych wyników. Znacznie lepsze wyniki otrzymamy tu, przyjmując za układ inercjalny układ odniesienia., którego poos,tek
znajduje Bię w Błońou, osie zaś skierowane
ku gwiazdom stałym.
Prócz poprzednio wspomnianego mierzenia cza.Bu, opartego · na jednoatajnośoi ruchu obrotowego ziemi około swej osi, istnieją jeązoze inne metody mierzenia. czasu, które poda.je a.Btronomia..
s,
W dynamice
i czas absolutny.
zakładamy,
że
dany mamy
u.kład
inercjalny
(11]
I. Dynamika punktu swobodnego.
:71
Masa i siła. W dynamice występują nowe pojęcia, jak np.
masa i siła. . Przyjmujemy, że są one czytelnikowi znane z fizyki
i nie będziemy bliżej wchodzili w ich określenia. Podamy tylko
te ich własności, ja.kie za.kia.damy. o nich w dynamice.
Masa ciała wyraża si~ liczbą dodatnią, zależną od obioru jednostki masy t. j. od obioru dowolnego ciała, którego masę oznaczamy liczbą I.
8wsunek mas dwóch ciał nie zależy od Óbioru jednostki.
Jeżeli więc przez mi i m1 oznaczymy masy dwóch ciał przy
pewnej jednostoo, zaś przez mi i m,.i masy tych ciał przy innej
jednostce, to
mi/ ma = mt/ 'm2.
Niech np. masa pewnego ciała .A wynosi m, jeżeli za jednostkę
obierzemy masę ciała B. Przyjmijmy ponadto, że masa ciała .A
wynosi m', ciała zaś B wynosi m", jeżeli za jednostkę obierzemy
masę innego ciała O. Stosunek mas ciał .A i B wynosi_ zatem mfl,
gdy jednostką jest masa ciała B, zaś m' fm", gdy jednostką jest
masa. ciała O. Jest więc na mocy założenia m /1 = m ' fm" , skąd
m'-=mm11•
Możemy zatem, znając masy ciał przy pewnej jednostce, obliczyć je przy innej
jednostce.
Masa ciała jest niezależna od czasu, t. zn. że dane ciało ma w każ­
dej chwili tę samą masę.
8~ uważamy za wyznaczoWl, jeżeli .Podana jest jej wielkość
(wartość bezwzględna), kie«unek, fflWOt i punkt zaczepienia. Siłę,
działającą na ciało, może nam uzmysłowić nitka napięta lub sprę­
żyna rozciągnięta, przyczepiona do ciała (p. rysunek).
Siły, których wielkość wyraża się liczbą O,
.
4
nazywamy ,ua.m i zerowymi. Przy siłach zero- ~
p
r
wych nie rozróżniamy kierunku ani zwrotu.
Wielkość Biły niezerowej wyraża n, liczbą dodatnią, zależnt
od jednostki siły, t. j. od obioru dowolnej siły (niezerowej), której
wielkość oznaczamy liczbą 1.
Stosunek wielkości dwóch iu (niezerowych) nie aależy od obioru
j«lnostki.
Opierając się na tym, możemy z wielkości siły przy p_
ewnej
jednostce wyznaczyć jej wielkość przy innej jednostce.
'1'2
· ROZDZIAŁ III. Dynamika. punktu materialnego.
Siłę, działającą .n a. ciało, prżedstawiamy· -jako ·wektol'. Obieramy
w·tym· celu dowolną jednostkę długości i dowolną jednostkę siły.
Siłę · daną prżędstawia ·wektor, którego długość wyraża się tą samą
li~zbą co wielkość . siły, za.~ począte~, kierunek i zwrot są te sanie,
co początek, kierunek i .zwrot siły. Wektor mający np. r,. jeclnostek
·długości -prz~d-stawia siłę mającą 5 jeclnostek siły. Siłę zerową prze,l·
stawia wektor zerowy.
·
Dzi(il~nia ria silac.k określamy jako działania na wektor-ach,
k.t óre przedstawiają te si~y.•Jeżeli np. wektory P1, P2 , ... , P11 prze,lstawiają_, pewne siły; wówczas sumą tych sił nazywamy :-Jiłę, którą,
przedstawia wektor P=P,+P2+ ...+P" .
Momentem siły · (przedstawionej przez wektor P) względt1m
punktu O nazywamy moment wektora P względem O.
Puntt materiał~)' . W dynamii!e zajmiPmy się najpie1·w
ruchem -punktów, a następnie ruehem dal. Prnlohniti jak w kiue~
lllatyęe, punkt będziemy niekiedy uważali za m°'lt1I dala (np. w przypadku, .g.d y rozmiary - ciała są <lrohne w stosunku do toru).
Masą. punktu nazywamy
masę niala, k~órB dany punkt przed.
stawia; sam punkt nazywamy wówc,zas punktem materialn11m .
.Jeżeli siła działa na ciało, którego ohrazem jeKt punkt materialny A, wówczas siłę tę przedstawiamy w postaei wektora o początku w A.
Silti, dzialafełca na punkt materialny, może się · zmienial 'UJ czaltie
zarówno oo do wielkości, jak co <Io kierunku i zwrotu.
. .
\
I 2. Prąwa dynaliil~I.. Newtona. Prdiwa dynamiki, wy1>0wiedziane przez Newtona, podają związki', jakie zachodzą w.ruchu
absolutnym między masą, przyśpieszenien1 i Kiłami; działającymi na
punkt materialny~
P.ra._w a ruch u. Niech. 11:kład odniesienia (x, y, z) będzie układem
inercjalnym, zaś t nieo~ 9znacz~ czas absolutny. ?r.zy tych założe.'.'
niach prawa ruchu mo~emy wypowiedzieć jak następuje:
I . Jeżeli m oma.cza m,aaę .. p~n'lpu materialnego, p przyśpieszenie
w chwili ·t, P sumę sil działających na punkt materio.iny w chwili t, to
(1)
mp=KP,
gdzie K oznacza pewną liczbę ( dodatnią), zależną tylko od · ·o'bwru
jednostek , długo,oi, ożasu, masy i siły (a ·więc niezale.żną, ód czasu,
masy i siły).
[§2)
I. Dynamika punktu swobodnego.
73
Z równości (1) wynika, że
mlpl=KIPI.
(2)
Jeżeli :~vięc .. ie
wspomnianych jed~~stek trzy . o.bięrzemy dowolnie, to_czwartą możemy zawsze tak . dobr.ać, . QY K=l. Obierzmy
np. dowolnie jednostki czasu, długości i męisy„ a, za,. je4,noatk.ę siły
obierzmy taką Kiłę, która punktowi o masie l · nadaje .przyśpieszenie 1..
Przy tych jednostkach dla ·m=l f ..Pl=l ma.my . IPl=l, .~tern z~
wzoru (2) otrzymamy .1( =l. Związek (1) przyjmie wte~y postać
mp=:P.
(I)
N a przyszłość będziemy stale zakładać, że jednostki są tak
dobrane, by 1( =1. Praw~ Newtona będziemy więc zawsze przyjmowali w postaci (I).
Tworząc rzuty
(Il)
na,. osie układu otrzymamy ·.na mocy (I):
mpX =P.t,
Równości (I) i
(II) są oczywiście równoważna.
Ponieważ p=dv/dt, zaś m jest liczbą~tałą, _więc mp:::;: d(mv)/dt.
Zatem związek (I} możemy. na.pisać również w pos~i
(III)
tl(mv)/dt=P.
Wektor mv nazywamy pędem (ilością r-uchl,).
A więc: pochodna pęd-u (względem czasu) równa · s~ s·um,ie sil
dzialając·.l/ch na pwnkt materialny ..
Niech na punkt materialny o masie m działają si}y1 których
suma P w pewnym okresie czasu stale jest zerem. Wtedy ·mp=O,
więc przyśpieszenie p= o, i punkt porusza się wówczas ruchem
jednostajnym pr.ostolinijny1n (lub j°est W spoczynku)~ iia:niy więc
następujące . prawo, zwane prawem bezwladnosc,i N e·wtona ~ ·
II. J eżeZi :na punkt materialny w pewnym okresie czas-u ·dzfo.lają siły o sumie o·, to punkt jest w spoczynku albo w · rueh u jednostajnym prostolinijnym.
Na odwrót, jeżeli punkt jest w spoczynku lub w h1cl1u jednostajnym prostolinijnym, to przyśpieszenie p= o,_ a ponieważ na
mocy prawa (I) jest mp=..P, więc sunia sił działających .P jest zerem.
74
ROZDZIAŁ III.
Dynamika punktu materialnegó.
Siły działające na punkt ma.terialny pochodzą zazwyczaj z działania innych punktów materialnych na dany punkt. Dla sił tych
Newton podał prawo następujące, zwane prawem akcji i reakcji:
III. Jeżeli punkt materialny A działa na punkt materialny B
z pewną silą, to również punkt B działa w6wcztl8 na punkt A ~ BU4
równą co do wielkości i kierunku, ale . o zwrocie preecitmym; Biły
z jakimi punkty A i B działają na skbie są · ZGtDsu skwrowtJM
wzdłuż prostej AB, "lączącej te punkty.
ma zwrot ku A
(a więc siła, z jaką pqnkt B działa na .A, ma zwrot ku B), to mówimy, że punkty .A i B przyciągają ~; w przypadku przooiwnym
mówimy, że punkty te się odpychają.
Jeżeli siła z jaką punkt .A działa na punkt B
Równowaga punktu i sił. Jeżeli punkt materialny jest
w spoczynku, to powiadamy, że jest 10 rótmot.oadu. O siłach
Pi, P2, ... , Pn mówimy, . że są w róumotoadu lub że si~ rótmot.oa.żą,
jeżeli ich suma jest zerem, t. zn. jeżeli P1+P2+ ... +Pn=O.
Jeżeli więc punkt materialny jest w równowadze, to siły działające na ten punkt również są w równowadze. Jeżeli natomiast
siły działające na punkt ma.teri&lny w pewnym okresie czasu są
w równowadze, to w tym okresie czasu przyśpieszenie p= O, zatem punkt jest bądź w równowadze, bądź w ruchu jednostajnym
prostolinijnym.
Siła bezwładności. Zasada ·d'Alemberta. Prawo (I) możemy napisać również w postaci
.
(IV)
.
P+(-mp)=O.
Wektor -mp o początku w punkcie m nazywamy silą bei-
władności.
Nie należy sądzić, że wektor -mp przedstawi& siłę działającą
na punkt materialny m. Tylko dla wygody nazywamy ten wektor
siłą (bezwładności). Na punkt m działają tylko siły, których suma
wynosi P.
Związek (IV) możemy wypowiedzieć . jak następuje:
Siły działające
na punkt materialny są w r6wnot.oad.ze z silq-
bezwUJdnośoi.
Powyższe sformułowanie
jest równoważne I prawu Newtona
i nosi nazwę ztl8ady d'.AZemberta.. Zasada ta daje duże usługi przy
badaniu ruchu punktów t. zw. nieswobodnych.
I. Dynamika punktu swobodnego.
[§3]
75
§ 8. Układy Jednostek dynamicznych. Zasadniczymi
jednostkami, jakie przyjmujemy w dynamice, są, jednostki długości
cza.su i masy. Przy pomocy tych jednostek określamy jednostkę
siły. Za jednostkę siły obieramy mianowicie silę, która masie 1 nadaje przyśpieszenie 1.
Układ
fizyczny cg s. Otóż za jednostkę długości przyjmuje
się centymetr (cm), masy gram (g), za jednostkę czasu seku~ (sek)
i siły dynę (dyn).
Pierwotnie metr (m=lOO cm) miał przedstawiać jedną czterdziestomilionową część południka ziemskiego. Przy obliczeniach jednak popełniono pewien niewielki błąd. Dzisiaj metr określamy
przy pomocy długości wzorca przechowywanego w Paryżu. Podobnie
jednostka masy 1 g miała być pierwotnie masą 1 cm8 wody chemicznie czystej przy 4° ć pod ciśnieniem. 76.0-mm rtęci. Obecnie
jednak przyjmujemy za 1 kilogram (kg=lOOO g) masę wzorca platynowego, przechowywanego w Paryżu.
Jednostkę czasu 1 sek określamy z pomocą t. zw. średniej doby
8łonecznej, której wyznaczeniem zajmuje się astronomia. Średnia
doba słoneczna= 24 godzin (godz), godzina= 60 minut (min), minuta = 60 sek.
Jednostką 13iły 1 dyn jest siła, która masie 1 g nadaje przyśpieszenie 1 cm . sek-2•
Układ zasadniczych jednostek (centymetr, gram, sekunda) nazywamy krótko układem fizycmym cgs.
Mierzenie mas i sił. Drol;>ne ciała w pobliżu ziemi, pusz,czone swobodnie, spadają ku ziemi pionowo ruchem jednostajnie
przyśpieszonym (jeżeli pominiemy opór powietrza). Przyśpieszenie
to (zwane ziem,kim) jest w danym miejscu na ziemi dla wszystkich ciał jednakowe, zmienia się jednak wraz z szerokością geograficzną. Oznacza się je przez g. U nas przyśpieszenie ziemskie
wynosi w przybliżeniu g=981 em. sek-2 •
Niechaj m oznacza masę drobnego ciała. Silę skierowaną pionowo w dół, o wielkości Q=mg, nazywamy ciężarem tego ciała.
Ciężar
jest więc pro~orcjonalny do masy ciała; cj.ała mające
równe ciężary (w tym samym miejscu na ziemi) mają równe masy
i na odwrót.
Przy pomocy przyrządu zwanego wagq (którego zaaadę poznamy w rozdz. VI), możemy porównywać ciężary dwóch ciał. Ponieważ
76
ROZDZIAŁ III. Dynamika punktu materialnego.
z równości . ciężarów wynika równość mas, więc· przy pomocy wagi
możemy pośrednio porównywać masy ciał. Wynika stąd, że przy
pomocy wagi m.ożemy mierzyć, t. j. wyznaczać masy ciał.
Siły mierzymy sposobem dynamicznym lub Btatyomym.·
Sposób dynamiczny opiera się na I prawie Newtona (P=mp).
Ze wzoru tego możemy wyznaczyć siłę P, gdy znamy masę . ciała m
i przyśpieszenie p, jakie mu sił~ P nadaje.
Sposób statyczny opiera się na tyin, · że pod .działaniem . sił
ciała zmieniają swój kształt (odkształcają się). Ze znajoinośoi odkształceń możemy w pewnych przypadkach wnioskować o ,·wielkości
sił, wywołujących te odkształcenia. Jeteli np. na sprężynkę, zawie.:.
śŻoną pionowo, działa w dolnym jej ·końcu siła skierowana pionowo
w dół, wówczas sprężynka· się wydłuża; Wydłużenie jest (przy ma:.
łych ·siłach) proporcjonalne do wielkości siły działającej. Przyrządy
służące do statycznego mierzenia · sił nazywamy dynamometrami.
Układ te.chniczny jednostek. W technice tozpow~z·echniony jest t. zw. uk'lad techniczny jednostek. W układzie technicznym
przy_jmuje się za jednostki zasadnicze jednostki długości, cżasu i siły.
Jednostkę długości jest 1 m, czasu 1 sek, a siły 1 kilogram (kg).
Jest to ciężar 1 dcm3 wody (w normalnych warunkach) pod 45°
szerokości ·geograficznej północnej (gdzie · przyśpieszenie ziemskie
g=981 cm-sek- 2=9,81 m ·sek-2 ).
Jeżeli .we wzorze IPI= mlpl położymy :Pl= 1 i IPI= I, dostaniemy m=l. A zatem jednostką masy będzie masa, której siła 1 kg
nadaje przyśpieszenie 1 m•sek-2 •
Niech m będzie masą ciała, Q jego ciężarem (pod 450 szer.
geogr. płn.) i połóżmy g=9,81 m -sek-2 • Zatem Q=mg, więc
(l)
m=Q/g=Q/9,81.
Ze wzoru powyższego możemy wyznaczyć masę cia.ła w jednostkach układu technicznego, gdy znamy ciężar ciała. Ponieważ
ciężar 9,81 dcm3 wody (pod 45° . szer. ~eogr. płn.) wynosi 9,81 kg,
więc jednostkę· masy w układzie technicznym przedstawia masa
9,81 dema wody.
W układzie cgs masa 9,81 dcm3 wody wynosi 9,81 kg (masy) =
= 9810 g (masy). Zatem:
•
(2)
•
•
•
I
Jedn. masy w ukł. techn.= 9,81 kg (maxy) = 9~10 g (masy).
Aby znaleźć związek między jednostką siły (kg) w ukla,lzie
technicznym a jednostką siły (dyną) w układzie cgs~ zauważmy, że
t§ 3]
I. Dynamika punktu swobodnego.
11
1 dcm8 wody (t. j. mBSa l OOO g) spada na ziemię pod wpływen1 swego
2
ciężaru 1 kg z przyśpieszeniem 981 cm· sek- • Zatem 1 kg (siły) =
= 1000·981 dyn, skąd
(3)
1 kg (siły)= 981.000 dyn.
Wymiary wielkości dynamicznych. W dynamice wystę­
pują jeszcze inne wielkości (np. praca, energia kinetyczna i t. p. ), któ- ·
rych jednostki określamy, podobnie jak jednostkę siły, przy pomocy jednostek zasadniczych, t. j. długości, masy i czasu. P<:>dobnie
jak dla wielkości kinematycznych (por. Rozdz. II, § 11), można
wprowadzić dla wielkości dynamicznych pojęcie wymiaru. Znajomość
wymiaru danej wielkości pozwala w łatwy sposób wyznaczyć miarę
tej wielkości przy zmianie zasadniczych jednostek.
Przypuśćmy, że obraliśmy dwa układy jednostek długości, masy
i czasu, które oznaczymy odpowiednio przez L, M, T i L', M', T'
i że między tymi jednostkami zachodzą związki
(4)
L = ).L',
M=µM',
T = TT'.
Niechaj miara jakiejś wielkości dynamicznej A wynosi a przy
jednostkach L, M, T, zaś a' przy jednóstkach L ', M', T'.
Jeżeli można dobrać takie liczby a, {3, y, żeby dla każdych
dwóch układów jednostek L, M, T i L', M', T' spełniających
związki (4) zachodził związek
(5)
to wymiarem wielkości A nazywamy wyrażenie
(6)
Wymiar wielkości A oznaczamy przez [A], a jednostkę wiel·
kości A przy jednostkach L, M, T przedstawiamy symbolem LaM"'l!".
Wielkość A wynosi zatem a LaMfJT" przy jednostkach L, M, T,
11
zaś a'L'a M'· T'i' przy jednostkach L', M', T', skąd
(7)
Opierając się na wzorach (4) i rachując . formalnie, dostaniemy
aL"Mfłpi' = a (lL't (µ M'l (TT')", skąd
(8)
a La Mfl 'f>' = (a ;.a µfJ-r)L'a M'fJT„1•
Ze wzorów (7) i (8) otrzymujemy przez przyrównanie wzór (5 ).
W ten sposób przy pomocy rachunku formalnego motemy, znajłł()
ROZDZIAŁ III. Dynamika punktu materialnego.
78
wymiar wielkóści .A, otrzymać jej miarę przy zmianie jednostek
długości, masy i czasu.
Czytelnik łatwo uogólni twierdzenie podane na str. 51, które
daje duże usługi przy wyznaczaniu wymiaru.
Pr~klad 1. Siła o wielkości (wartości bezwzględnej) P, działając
na punkt materialny o masie m, nadaje mu przyśpieszenie
o wielkości p. Zatem P=mp, skąd [P}=-[m] · [p]. Ponieważ [m]=M
i [p]=LP-·2, więc
[siła] =LM P- •
2
(I)
Jednostką siły w układzie cgs jest dyna. Zatem
dyn= cm· g· sek-2•
(li)
Pr~klad 2. Siłę o wielkości 6m kg min-2 przedstawić w ukła­
dzie cgs.
Mamy
6 m ·kg· min-2 = 6 (100 cm) · (1000 g) · (60 sek)-'2 =
= (6 · 100 · 1000 · 60-2 ) • (cmg sek-2) -:-1661 / 1 dyn.
Ił. Równania ruehu.
Jednym z głównych zagadnień dynamiki jest wyznaczenie ruchu punktu materialnego, gdy dana jest
masa m tego punktu i siła P, działająca na ten punkt. W ńajprostszym
przypadku siła P może być podana, jako funkcja czasu, t. zn. że
dane są funkcje:
(1)
Px = F' (t),
określające w każdej
Pz= 1JI (t),
chwili t (pewnego okresu czasu) rżuty siły P
na osie układu.
·
Spotykamy się jednak z przypadkami bardziej skomplikowa•
nymi. Zdarzyć się może, że jakiś obszar D ma tę własność, że na,
dany punkt materialny, umieszczony gdziekolwiek w obszarze D,
działa pewna siła P.
Jeżeli siła
P zależy tylko od położenia .punktu, a nie zależy
od niczego więcej (np. prędkości), to obszar D nazywamy polem sil.
Przykładem pola sił jest pole grawitacyjne ziemskie: na da.ny bowiem
punkt materialny umieszczony w poblitu ziemi, działa siła ciężkości zależna tylkc>
od położenia tego punktu (a ·niezależna od prędkości).
[§4j
I. Dynamika punktu swobodnego.
79
W polu sil jest więc siła P funkcją współrzędnych .x, y, z danego punktu. Pole jest określone, jeżeli są dane funkcje:
(2)
P 11 = tl>(x,y,z),
Px=F(x,y,z),
Pz= lJl(x,y,z) 1
wyznaczające w<każdym punkcie pola rzuty siły P. Jeżeli więc .ba·
damy ruch punktu w ·polu sil, to mamy do czynienia z siłą, która
zależy od położenia punktu.
Jeżeli ,punkt materialny porusza się w pewnym ośrodku (np.
w powietrzu), wówczas ·na punkt materialny oprócz innych sił działa
również siła oporu, jaki ośrodek przeciwstawia ruchowi. Siła ta za·
leży między innymi od prędkości punktu materialnego. W tym
przypadku mamy więc siłę zależną również od prędkości punktu.
W najogólniejszym przypadku przyjmować będziemy, że siła P za•
leży od czasu, położenia i prędkości punktu. Zakładać więc będziemy,
że siła P działająca na punkt materialny określona jest funkcjami:
(3) Px-F(x,y,z,x,y,ż,t), P,r-tl>(x,y,z,x,y,ż,t), Pz=lJl(x,y,z,x,y,ż,t),
których wartościami są rzuty tej siły, zależne od współrzędnych
położenia punktu (x, y, z) i jego prędkości i, y, ż, oraz od czasu t.
O f'unkcjach (3) zakładamy zazwyczaj, że są ciągle i mają pochodne czqatkowe ciągle w pewnym obszarze zmiennych x, y, z, i, y, ż, t.
Oczywiście, że w poszczególnych zagadnieniach siła P nie musi
zależeć od wszystkich zmiennych x, y, ... , t, lecz od niektórych może
być niezależna.
.
Teoretycznie jest do pomyślenia, że siła P może zależeć od
wyższych pochodnych (np. od drugich, trzecich, i t. d.) zmiennych .
x, y, z. Z ·przypadkami takimi nie spotykamy się jednak w zagadnie_n iach praktycznych i nie będziemy ich tu rozważać.
:Niechaj ruch punktu materiaJnego dany będzie przez funkcje:
(4)
X=
f (t),
y = <p(t),
Z= tp(t).
Na mocy równości (II), str. 73, otrzymujemy:
(I)
Jeżeli założymy, że
Px, Pu, Pz są funkcjami kształtu (3), rów-
nania (I) przyjmą postać
mx = F (x, y, z, i, il, ż, t),
(II)
my = <P(x, y, z, i, il, ż, t),
mi = lJl(x, y, z, i, il, ż, t).
80
ROZDZIAŁ Ili.
Dynamika punktu materialnego.
Powyższe równania przedstawiają ukła,l równań różniczkowych
rzędu drugiego,
przyczem szukanymi funkcjami są funkcje (-1 ).
Przypuśćmy, że badamy ruch w otoczeniu pewnej chwili t0 •
Załóżmy, że w chwili t 0 punkt miał współrzędne .c0, ?Io, z 0 , zaś pręd­
kość jego miała rzuty i 0 , Yo, ż 0 • Załóżmy nadto, że funkeje (3) są
funkcjami ciągłymi, posiadającymi ciągłe pochodne <'ząstkow<> w otoczeniu wartości x0 , Yo, z0 , i 0 , Yo, ż0, t0 •
Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że przy powyższych
założeniach istnieje jeden i tylko jeden układ funkcyj (4) ciągłyc·h
wraz z pierwszymi i drugimi pochodnymi w otoczeniu chwili t0,
spełniających równania (li) oraz związki:
(5) /(to)= Xo, 'I' (to)= Yo, 1f' (to)= zo;
f' (to) =io, rp'(to) =Yo, y,'( to)= Żo.
Układ
ten, jako jedyny ukłacl funkcyj (4) czyniący zadość
wszystkim żądanym warunkom, wyznacza więc ruch punktu materialnego, mającego w chwili t 0 współrzędne x0 , Yo, z0 i prędkość
o rzutach i 0 , Yo, ż0 •
Widzimy stącl,
że
ruch punktu jest w zupeln01foi wyznaczony
przez podanie masy punktu, sil dzialają<1y~h na niego i t. zw. waru.-nków
początkowych (t. j. jego położenia i prędkości w chwili początkowej t0 ).
Równania ()I) noHzą nazwę równań ruchu Newtona.
Przyk,,lod. Siła zależna -t ylko Ód czaHu. Niech siła P
zależy tylko od cz~u i dana będzie przez funkcje (1). Równania
ruchu (II) będą więc miały postać:
mi= F(t),
Dzieląc przez m
t
i=!!F(t)dt+Ci,
o
my = -,p (t),
mi = !l'(t).
i całkując obustronnie, otrzymamy dla t0 =0:
11·
y= m
o
11·
t
t
f/>(t)dt
+ C2,
ż= m
!l'(t)dt+ Cs·
o
Przyjmijmy, że dla t=O mamy i=x0 , 1i='!io, ź=ź0 (warunki
początkowe). Podstawiając w powyższych równaniach t=O, dostaniemy Ci =i0, c1 =y0, ea=ż0• Zatem:
t = !1'1 (t) + ż0,
(6)
il== 4)1(t) + '!io,
t
gdzie F 1 (t)=
!f
F(t)d.t i t. d. Całkując równania (6),· otrzymamy:
o
I
(7)
81
·1. Dynamika ·punktu swobodnego.
(§5)
t
I
x= fF 1(t) dt+x0t+c1, y=f <P1(t) dt+y0t+c2, z=f'l'1(t) dt+ż0t+c8•
o
o
o
Przyjmijmy teraz, że dla t=O jest x=x0 , y=y0 , z=z0 • Zatem
i równań (7), kładąc t=O, dostaniemy c;=x0 , ci=y0 , ca=z0 • A więc
(8)
x = F 2(t) + x0t + x0 , y = <P2(t) +flot+ Yo, z= 'l'2(t) + ż0t + z0,
t
gdzie F 2 (t) ==fF1(t)dt i t. d. Z równań (8) wynika, że ruch będzie
o
określony, jeżeli w chwili początkowej t= O podamy położenie punktu
(t. j. x 0 , Yo, z0 ) i prędkość początkową (t. j. x0 , flo, ż0).
łł 5. Ruch pod wpływem siły clętkoścl.
Niech na punkt
materialny o masie m działa siła P stała co do wielkości, kierunku
i zwrotu.
Z tym przypadkiem mamy do czynienia, badając ruch drobnych ciał
w pobliżu ziemi i przyjmując za układ inercja.lny układ związany z ziemią. Jeżeli pominiemy opór powietrza, to na ciało wyrzucone działać będzie tylko siła
ciężkości, którą na małej przestrzeni uważać możemy za stałą.
Niech P oznacza siłę ciężkości. Zatem IPI= mg (g przyśpie­
szenie ziemskie). Obierzmy układ (x,y,z) w ten sposób, by oś z była
zwrócona pionowo ku górze. Zatem:
p X = o,
p g = o,
p ~ = - mg,
. Równania ruchu Newtona (str. 79, wzory (Il)) przyjmą więc
postać: mx=O, my=O, mz = - mg czyli:
..
..
..
(1)
X = 0,
y = 0,
Z =-g.
Całkując powyższe
równania, otrzymamy:
X= Ci,
(2)
Całkując jeszcze raz,
(3)
X =eit
+ 01,
Y = Cz,
Ż
= -gt+ Ca•
dostaniemy:
y =C2t
+ 02,
z= f gt2.+ Cat+ C3.
Liczby Ci, 01 , c3 , c1, c2, eś oznaczają stałe_ całkowania, które wyznaczymy, znając warunki początkowe, t. j. współrzędne x0 , Yo, z0
i rzuty i 0 , Yo, ż0 prędkości v0 punktu ruchomego w chwili początko­
wej t0 • Bez szkody dla ogólności możemy założyć, że t0 =0; ponadto
(dobierając odpowiednio układ współrzędnych) możemy przyjąć, że
w chwili t 0 =0 punkt znajdował się w początku układu, zaś prędkość v0
leżała w płaszczyźnie pionowej zx.
6
82
ROZDZIAŁ
III. Dynamika punktu materialnego.
x 0 =0, y 0 =0, z0 =0 i y0 =0.
Wstawi~jąc t= O w równania (2) i (3), otrzymamy:
Zakładamy więc, że dla t=O jest
~=~
~=~=~
~=~;
~=~=O, ~=~=O, ~=~=0.
Równania (2) i (3) przyjmują więc postać:
y=O, ż=-gt+żo,
X=x0t, y=O, z=-ł gt2 +ż0t.
Ponieważ jest stale y= O, więc ruch odbywa się w płaszczyźnie
pionowej zx.
Rozpatrzymy dwa przypadki: t. zw. rzut pionowy i rzut ukośny.
Rzut pionowy. Załóżmy, że w chwili t=O prędkość v0 miała
kierunek pionowy (lub była zerem), a więc że i 0 = O. Kładąc ż=v
i ż0 = 'Vo, otrzymamy z (2') i (3'):
(4)
i=O, y=O,
x=O, y=O,
(5)
v=- gt+·v0 ,
Z=--} gt2 +v0t.
Ponieważ jest stale x= O i y= o, więc punkt porusza się po osi z
t. j. po pionie. Mamy nadto v=p=- g.
A więc : jeżeli prędkość początkowa ma kierunek pionowy (lub
i = i0 ,
(2')
(3')
jest zerem), wówczas punkt pod- wpływem siły ciężkości porusza się
ruchem jedn~stajnie przyśpieszonym po pionie.
Przyjmijmy, że v0 > O, t. j. że w chwili początkowej prędkość
miała zwrot ku górze (np. że wyrzuciliśmy punkt pionowo w górę
z prędkością v 0 ). Oznaczmy przez h wysokość rzutu, t. j. wzniesienie
maksymalne, jakie .punkt o_siągnie. Aby ,'>trzymać h, należy obliczyć maksimum funkcji z=-ł gt2 +v0t. Dostaniemy
(6)
h=v~ / 2g
w chwili
t=v0 /g.
Rzut ukośny. Załóżmy, że · prędkość v0 (-=ł=- O) tworzy z osią x
kąt a=ł= ± n/2. Kładąc :v0 J=v0 , dostaniemy x0 =v0 cosa, ż0 =v0 sina.
Na mocy więc (2'} i (3' ):
ż=- gt+v0 sina
(7)
X=Vo cosa,
iJ=O,
y=O,
Z=-1 gt2 +v0tsina.
(8)
x=v0t cosa,
Ponieważ
cosa =ł= O i v 0 =ł= O, więc na mocy pierwszego z równań (8) t=x / v 0 cos a, skąd
(9)
z=- 2 2 U 2 x2+xtg a.
VoCOS a
Równanie powyższe jest równaniem paraboli.
A więc: punkt w rzucie ukośnym porusza Bi'J po paraboli.
[f 6]
83
I. Dynamika punktu swobodnego.
Parabola ta przecina oś x w punktach O i D. Długość odcinka
OD=d nazywamy odkgiośoią rzutu..
z
Aby wyliczyć d, podstawiamy z= O w (9).
Otrzymamy
2·
p
Vo
d= - sin 2a.
(10)
I
g
A więc: maksymal,na odkglość rzutu przy· danej prędkości . początkowej v0 .wypada dla kąta a = n/ 4 = 45°.
Aby otrzymać wysokość rzutu h, należy obliczyć maximum
funkcji (9 ). Dostaniemy
h=vi sin2 a / 2g
(11)
dla
X=visin2a /2g.
I 6. Ruch w ośrodka stawiającym opór. Punkt materialny, poruszający się w ośrodku takim jak np. powietrze, napotyka na opór. Doświadczenie okazuje, że opór powiet.rza daje się
wyrazić przez siłę zależną tylko od prędkości punktu (przy ciałach
opór zależy jeszcze od kształtu ciała). Opór ma kierunek prędkości,
ale zwrot przeciwny. Wielkość oporu zależy od wielkości prędkości,
a nie zależy od jej kierunku. Oznaczmy wielkość oporu przez r,
a wielkość prędkości przez v. Możemy więc napisać
I'=f(v).
Funkcja / jest rc;,snącą, przyczem /(0)=0. Dla prędkości mn1eJszych od prędkości głosu (wynoszącej w powietrzu 333 m/sek) możemy z dużą dokładnością przyjąć, że
(1)
I'=lv2,
gdzie ,\ jest współczynnikiem zależnym od temperatury i gęstości
powietrza.
Rzut pion owy. Rozpatrzymy przypadek spadania punktu.
Załóżmy, że punkt spada po osi z, której nadajmy zwrot pionowo
w dół. Zatem współrzędna prędkości ż=v > O. Opór jest skierowany
ku górze, ·więc rzut jego na oś z jest ujemny. Przyjmując, że wielkość
oporu wyraża się wzorem (1), otrzymujemy, kładąc A= km:
..
(2)
oA
St'f'-L
(3)
· dv
k •.li
mz=m dt =mg- mv-.
dV
dt
.
g- kvi = , a Więc
f
g iJ.tJktf'
=f dt=ł.
84·
ROZDZIAŁ III.
Kładąc """=
f
f/i,
Dynamika punktu materialnego.
dostaniemy
~-=lf dv 2 __1_ 10 voo+v+c
k
g- k?J?.
'V~- 'V
2kVoo g 'Voo-V
-
'
gdzie c jest stałą całkowania. N a mocy więc (3)
(4)
1
Voo+v
2 'Voo
Voo-V
k . log--+c==t.
Załóżmy, że w chwili początkowej
t=O prędkość wynosiła v=O.
Podstawiając v=·o i t=O we wzorze (4), dostaniemy c=O. Zatem
e2kłloot -1
(
2
·v =-2k·11 t . Voo= 1- 2kv t
e 00. 1
e 00
(5)
+
)
+ 1 Voo.
Ze wzoru (5) · wynika, że stale v < Voo.
A więo: pr~kość punktu spadającego pionowo w ośrodku stawia.;qqgm opór n,e wzrasta nieograniczenie, lecz jest stale mniejsza od
iwcdkości granicmej 'Voo.
Po pewnym czasie · prędkość v mało się różni od Voo i punkt
spada ruchem prawie jednostajnym. Zaobserwować to możemy na
kroplach ·deszczu:
Rzut ukośny. Załóżmy obecnie, że punkt porusza się w płasz­
czyźnie pionowej :DZ. Przyjmijmy ogólnie, że wielkość oporu wynosi
I'=/(v). Oznaczając opór przez
skąd
I (v)
r, otrzymamy więc r - f(v)
v,
'V
I (v)
.
I'x=- - - 'V,c I
I'%=- - - V%.
V
V
Zatem:
r" -__ f(v)x.'
"
Równa,nia ruchu będą więc miały postać
..
I (v) .
ma,=---x
V
'
..
I (v)
mz=mg---ż,
·1 ~-
2
V=ri-+ż.
V
Rozwiązaniem powyższych równań zajmuje się t. zw. balistyka
zewnętrzna.
Zadanie to jest bardzo trudne, gdyż wa.rtośoi funkcji
f(t,) znamy tylko z pomiarów.
I. Dynamika punktu swobodnego.
[17)
I 7. Moment Uośel ruehu. Niech punkt materialny .A o masie m porusza; się z prędkością v. Wektor mv o początku w .A nazwaliśmy p~m albo ilością ruchu (str. 73). Jeteli a:, y, z są współ­
rzędnym.i punktu .A, to rzuty pędu na osie układu wynoszą od.po~
wiednio mi, my, mż.
Oznaczmy przez K moment ilości ruchu mv względem początku,
układu. Zatem (str.18, wzót (li)):
(1)
KJt=m(yz-ży),
Ky=m(ż'l!-iz),
Kz=m(:ty-ya,).
Utwórzmy pochodną (względem cza.su) momentu ilości ruchu.
Otrzyma.my:
(2)
.1tr=m(yz- zy),
Ku=m(zx-mz), Kz=m(iy-yx).
Załóżmy, że układ odniesienia jest układem inercjalnym, -a na
punkt .A działa siła P. Wówczas mii:=Px,· mjj=Pu, mi ==Pz, skąd
na. mocy (2)
(3)
Kx=Pyz-PzY,
K.y=Pzx-Pxz,
Kz._Pxy-Py:i.
Wyrażenia., stojące po prawych ·stronach równań (3), przedstawiają
momenty siły P względem osi układu. Oznaczając więc
przez M moment siły P względem początku układu, mamy na mocy (3 ):
(4}
Kx= Mx,
Kg-:;= My,
Kz, · Mz•
Równa.nia powyższe możemy napisać w postaci jednego równania wektorowego:
(5)
K=M.
'
Za początek układu mogliśmy obrać punkt dowolny.
A więc: pochodna momentu i'wści ruchu względem . dowolnego
punktu stałego równa się momentowi siły działającej względem teg_o
punktu.
Z równań (4) wynika również, że pochodna momentu iwści
ruchu względem dowolnej osi stałej równa się momentowi siły względem
tej osi.
Zasada zachowania pól. Przypuśćmy, że moment siły P
względem pewnej osi Z jest stale zerem; albo więc kierunek siły P
przecina oś Z, a]bo siła P jest do osi Z równoległa. Obierzmy oś Z za
osz. Mamy zatem Mz=O. Na mocy(4)jest więc.Kz=O, czyliKz=const.
Stąd na mocy (1) otrzymujemy
(6)
m(iy- yx) = const.
czyli
iy-yx = const.
86
ROZDZIAŁ III.
Dynamika punktu materialnego.
Niechaj A' będzie rzutem punktu A na płaszczyznę .t:y.
Punkt .A' ma współrzędne x, y. Zatem prędkość polowa (str. -ł 7)
punktu A.' wynosi -4-(iy-yx). Ze wzoru(6) wynika, że prędko~~
polowa punktu A' jest stała.
A więc: jeżeli moment siły względem pewnej osi jest stale zerem,,
to moment ilości ruchu wzgl€dem tej osi jest stały i prędkość polowa
rzutu ruchu na. płaszczyznę prostopadłą do tej osi jest stała.
Twierdzenie powyższe nosi nazwę zasady zachowania mmnentu
i'lości ruchu lub zasady zaohowania pól.
w
łf 8. Rueh środkowy. Jeżeli punkt materialny porusza. się
ten sposób, że jego przyśpieszenie w każdej chwili ma kierunek
przechodzący
przez pewien stały punkt O, to ruch punktu nazywamy ruchem środkowym, punkt zaś O środkiem r1,chu.
Np. ruch jednostajny punktu po okręgu koła jest ruchem środkowym,
ku środkowi koła, będącemu w tym
przypadku śro'1kiem ruohu (str. 43).
gdyż przyśpieszenie jest stale skierowane
Ponieważ przyśpieszenie .ma kierunek siły działającej na punkt
materialny, więc w ruchu środkowym kierunek siły przechodzi przez
środek ruch u.
Pole sił w którym .kierunki sił przechodzą przez pewien stały
pup.kt O nazywamy polem środkowym, a punkt O środkiem pola .
Punkt o masie M umieszczony nieruchomo w stałym punkcie O
i przyciągający inny punkt o masie m z siłą, która zależy tylko od
wzajemnej odległości tych punktów, wytwarza pole sił. Pole to jest
polem środkowym, gdyż siła działająca na punkt m ma - wedle p:ra,wa
akcji i reakcji (str. 74, III)- kierunek przechodzący przez punkt M.
Punkt materialny porusza się w polu środkowym ruchem
środkowym; środek ruchu leży oczywiście w środku pola.
Obierzmy początek układu współrzędnych w środku pola. Ponieważ kierunek siły przechodzi stale przez początek układu, więc
jej moment względem każdej osi jest zerem. N a mocy zasady zachowania pól ruch rzutu punktu na każdą płaszczyznę układu
ma wówczas prędkość polową stałą, zatem:
(1)
yz- ży = a,
żx - iz = b,
xy-yx = c,
gdzie a, b, c są pewnymi stałymi. Mnożą_c równanie pierwsze obustronnie przez x, drugie przez y, trzecie przez z i dodając stronami,
otrzymamy
(2)
ax +by + cz= O.
.
~
I. Dynamika punktu swobodnego.
[§8]
87
Widzimy więc, żewspółr.zędne punktu spełniają stale równanie(2).
Jest ono równaniem płaszczyzny, przechodzącej przez początek
układu (t. j. przez środek pola). Zatem punkt porusza się w płasz·
czyźnie, przechodzącej przez początek układu.
Jeżeli na tej płaszczyźnie obierzemy osie z, y, wówczas z (1)
wynika, że prędkość polowa w płaszczyźnie ruchu jest stała; promienie wodzące zakreślają więc w równych czasach równe pola.
A zatem: tor ruchu środkowego jest torem płaskim, leżącym
w płaszczyźnie przechodzącej przez środek; promienie wodzące, wychodzące ze środka, zakreślają .w równych cza,ach, równe pola.·
Udowodnimy teraz twierdzenie odwrotne:
JeżeU tor
punktu jest plaski, a promienie wodzące, wychodzące
z pewnego stałego punktu O (leżącego w pla,zczyźnie toru), zakreślają
w równych cza,ach równe pola, wówcza, kierunek siły działającej
przechodzi stale przez punkt O.
nd~ód. Obierzmy początek układu w O, zaś osie x, y w płasz­
czyźnie ruchu. Punkt porusza się więc w płaszczyźnie xy. Poniewaź
prędkość polowa jest stała, więc ży- 'flx= const. Różniczkując obustronnie, dostaniemy i'cy-yx=O, więc (~)y-(my)x=O, skąd
(3)
i=O, więc P,=mi=O. Siła P leży zatem w płasz­
czyźnie xy; na inocy (3) moment siły P względem O jest zerem,
Ponieważ
więc kierunek siły
P przechodzi przez O, c. b. d. d.
Uwaga. Załóżmy, że prędkość polowa w ruchu środkowym
jest zerem. Wtedy xy-'flx=O lub (we współrzędnych biegunowych)
rłqJ= o. Wynika stąd, że al~o jest stale r= o, t. zn. że punkt jest
w spoczynku, albo jest stale ą,=0 czyli q;,=q;,0 =const, t. zn., że punkt
porusza się po prostej przechodzącej przez środek (i nachylonej do
osi x pod kątem q;,0 ) •
.A więc: jeżeli w ruchu środkowym prędkość polowa jest zerem,
to punkt porusza się po prostej przechodzącej przez środek.
Jeżeli zaś założymy, że prędkość polowa jest różną od
to
r2ą, =ł= O,
zera,
czyli r =ł= O.
A więc: jeżeli w ruchu środkowym prędkość polowa jest różna
od zera, to punkt nigdy nie przechodzi przez środek.
88
ROZDZIAŁ III.
Dynamika punktu materialnego.
Wzór Bineta. Punkt .A o masie m porusza się w ,rodkowym
polu sił w płaszczyźnie xy z prędkością polową różną od zera. Wprowadźmy współrzędne biegunowe r, 'I'· Oznaczmy przez P rzut siły P
na promień wodzący O.A. Zatem P.,.=PCOS'fJ i P.,=Psin'P, więc
P.,.coe<p+P„sin 'fJ=P, skąd
P=m(icos'P+iisin 'fJ).
(4)
Ponieważ
x-:-r cos <p i y=r siny, więc (por. :str. 47, wzór (2))
ie cos <p + ii sin <p = r - rip2,
skąd
na mocy (4)
(5)
·+
Oznaczmy prędkość polową przez -ł c. Z założenia jest -ł c O.
Ponieważ we współrzędnych biegunowych prędkość polowa wynosi
{r!<j, (str. 47), więc
r2<j,= c
(6)
Przypuśćmy, że
.
(7)
czyli
ip = c/r.
tor ·ma równanie r=f(<p). Zatem
dr
dt
dr d<p
d<p dt
dr c
. d<p r2
r=-=---=--=-C
d (1/r)
,
d<p
więc
r = -~t. = dr dep = _ c2 <P(l/r) .!. .
(8)
dt
dep dt
d<p2
r
Ze wzoru (5) .na mocy (6) i (8) otrzymujemy:
c2),
p = m ( - ~~2 ~2(!/!~ - 3
, -r dqr
r
zatem
(I)
!) .
p = _. '!f!c2 (<P (1/r) +
r1
dq/'r
Wzór powyższy nosi nazwę wzoru Bineta.
Wzór ten z kształtu toru pozwala wyznaczyć siłę, działającą
w ruchu środkowym. Na od wrót, znając siłę P jakó funkcję
zmiennych r i <p, możemy wyznaczyć tor.
89
I. Dynamika punktu swobodnego.
[§ 9]
t 9. Ruchy planet. Prawa Keplera. Opierając się na obserwacjach, podał · Kepler następujące trzy prawa odnoszące się do
ruchów planet:
1) Planety krążą po elipsach, w których ognisku znajduje sfę
słońce.
2) Promienie wodzące, wychodzące ze słońca zakreślają w równych czasach równe pola.
3) Kwadraty czasów obiegu dwóch planet są do siebie w stosunku takim, jak . trzecie potęgi ich średnich odległości od słońca
(przyczem przez średnią odległość rozumie się połowę wielkiej osi
elipsy, po której krąży : planeta).
. Trze~ie prawo nie jest zupełni~ ścisłe. Przyczynę tego poznamy
później. Zauważmy jeszcze, że prawa Keplera mają charakter ściśle
kinematyczny.
Wnioski z praw Keplera. Z praw Keplera wyprowadził Newton (przy pomocy dynamiki) prawo, określające siły, które wywołują
ruch planet. Z pierwszych dwóch praw Keplera wynika mianowicie, że
pl~nety krążą po torach płaskich z prędkością polową stałą. N a mocy
więc twierdzenia odwrotnego Że . str. 87, .siły działające na planety
są siłami środkowymi, których kierunki przechodzą przez · słońce.
Obierzmy w płaszczyźnie ruchu planety osie x, y, umieszczając
początek układu w słońcu jako ognisku elipsy, po której pJaneta
krąży. Za kierunek osi x obierzmy kierunek wielkiej osi elipsy i nadajmy osi x taki zwrot; by środek elipsy leżał w części ujemnej
osi x. Oznaczmy oś wielką elipsy przez 2 a, oś małą przez 2 b, a mimośród przez 2 e. Równanie elipsy we współrzędnych biegunowych
będzie wówczas miało postać
,
(1)
a(l-e2 )
1 +ecosq,
·{i
'f= - -- - ,
gdzie
(2)
e Va1 -b2 .
e= -- =
a
a
Ze wzoru Bineta (str. 88, (I)) możemy otrzymać siłę, działającą
1
l+ecosq,
na planetę. Mamy mianowicie na mocy (1) - = (
J, skąd
r
a 1 -e2
tP(l /r)
e cos q,
.
-dq,2-=-a(l-e2)'aw1ęcnamocy (2) i wzoru Bineta
(3j
p =-
mc2a
IJ'l,,2- •
90
ROZDZIAŁ III.
Dynamika punktu materialnego.
Pole elipsy wynosi abn; oznaczając przez T czas obiegu pła.­
nety, otrzymamy z uwagi na to, że ! c jest prędkotfoią polową,
ł c = abn/T, czyli c = 2abn/T. Na mocy zatem (3) dostaniemy
(4)
P < O, więc siła jest skierowana ku słońcu.
Na mocy trzeciego prawa Keplera mamy dla dwóch planet
T"/Ti = a1 /a1, czyli a3 /T2 = aVTf. Iloraz a3 /T: ma zatem stałą
wartość dla wszystkich planet. Kładąc
Ponieważ
µ = a8/T2,
(5)
otrzymamy z (4)
4n2 µm
(6)
P=-r2-·
A więc: siła, pod której wpływem planeta się porusza, jest skierowana ku słońcu i wprost proporcjonalna ( co do wielkości) do masy
planety, a odwrotnie do kwadratu odległości od słońca.
Prawo ogólnego cią,żenia. Wynik powyższy, wyprowadzony
z praw Keplera, nasunął Newtonowi przypuszczenie, że siła działa­
jąca na planetę pochodzi ze wzajemnego przyciągania się planety
i słońca. Myśl tę uogólnił Newton w postaci prawa powszechnej
grawitacji czyli ogólnego ciążenia:
Dwa jakiekolwiek punkty materialne przyciągają się z silami,
których wielkość jest wprost P!Oporcjonalna do mas, a odwrotnie do
kwadratu odległości tych punktów.
Według
prawa akcji i reakcji, siły, z jakimi się punkty materialne przyciągają, są co do wielkości równe, przeciwnie skierowane i działają wzdłuż prostej łączącej te punkty. Oznaczając przez
mi i m 2 masy punktów, przez r ich odległość, a przez P wielkość
siły, z jaką się przyciągają, otrzymamy więc
· mm·
P=K-~-(I)
r2 -~,
gdzie K jest pewną stałą, t. zw. stalą ciążenia, zależną tylko od jednostek długości, masy i czasu.
Z równania (I) mamy K=Pr2 /m1m 2 , zatem (K]=[P][r]2 /[m.il(m2],
2
więc [KJ = L 3 M - 1 T- • Pomiary okazały, że w układzie cgs :
K = 6,6.I0- 8 cm3 g- 1 sek- 2 •
[f 9]
I. Dynamika punktu 1wobodnego.
91
Stałą ciążenia można zmierżyć przy pomocy t.zw. wagi JoUy'ego.
Jest to waga, która po jednej stronie ma ·dwie szalki, górną i dolną,
a po drugiej jedną. Ciało a o masie m
kładziemy na szalce górnej i równoważymy .­
je il.a szali przeciwnej ciężarkiem o masie m.
Ciało a przenosimy następnie na szalkę
m•p.
dolną; równowaga nie zostanie przez to
zachwiana. Jeżeli jednak pod szalkę dolną
podstawimy ciało b o masie M, waga się
przechyli. Żeby równowagę przywrócić,
musimy do ciężarka m dołożyć ciężarek o masie µ.
W doświadczeniu ciało b było kulą ołowianą. Ponieważ, jak
można okazać, kula jednorodna przyciąga punkt materialny poło­
żony zewnątrz tak, jak gdyby jej całkowita masa była skupiona
w środku, więc oznaczając przez r odległość środka kuli od ciała a,
mamy K mM /'1'2 = µg czyli
K = µgir2/m.M.
Mas a ziem i. Można okazać, że kula złożona z warstw współ­
,rodkowych o gęstości stałej przyciąga punkt położony zewnątrz
tak, jak gdyby cała jej masa skupiona była w środku kuli. Przyjmując, że ziemia, spełnia powyższe założenie, i oznaczając przez M
masę ziemi, przez R jej promień, a przez Q ciężar ciała o masie m
(na powierzchni ziemi), otrzymamy Q=K mM/R". Ponieważ Q=mg,
więc mg=K mM/Jłl, czyli
M = gR"/K.
(7)
Przyjmując g=9,81m·sek-2, R=6300km, K=6,6.IO- xcm3 g · 1 sek
-t,
otrzymamy (po zamianie m i km na. cm}
M = 6.lo~t..g.
Gęstość ziemi otrzymujemy
ze wzoru
e ~ Jl/ ł R 3 n = 3g/4 KR n= 5;6 g <!m-!ł.
Równanie Keplera. Zajmiemy się teraz wyznarzaniem położenia planety w danej chwili czasu. Obierzmy ukla<l wsp6lrzę<lnych
w płaszczyźnie ruchu planety, jak na i,;tr. 89. Elipsa, po której
krąży planeta, ma we współrzędnych prostokątnyeh równanie
(x
+ e)2/a2 +112/b2= l.
ROZDZIAŁ III. . Dynamika punktu materialnego.
92
Wprowadmny . kąt pomocniczy u, okreQony przez równania:
(m+s)/a = oos u,
(II)
y/b = sin 11.
K,t 1' nazywamy tfflOmalią mimoirodotoą.
Bównańia- (II)' okmlajfł qt u jedl1oznaoznie. Z (Il) dostajemy:
·a:= a(c~s 11-e/a),-
y= b sin u.
Pocutawiająo B=fe/a, b==aVt-sl, otrzymujemy stfl(l:
(8)
a,=a(00& 1'-.e),
y=atl--el·Bin 11.
Promień r otrzymujemy z równania
,.a= a,ł + '!11 ·= a1(1-e oos u)1•
Zatem
r ~ a(l-e oos v)•.
(III)
Kąt <p, jaki r tworzy z osią a:, nazywamy t.mo,naH4 pratOdftłDq.
Z równania elipsy we współrzędnych biegunowych (str. 89, (1))
dos~emy rsoos<p=a(l-sl)-r, więc
re(l +oos q,) = (1-s) [a(l + s)-r],
skąd
na mocy (ID), r(l + oosq,) = a(l-1) (1 +cos11).
Ponieważ
1 + oos q, = 2 ooe1 !E. i 1+ cos u= 2 cos1 ! , więc
2
2
(IV) V,: ooe ~ = Va(l- e) coe; i podobnie J'rsinl = Va(l+ e) sin ;;
stąd
tg 9' =
2
(V)
vl + ,
1-e
tg u .
2
Wzory (IV) i (V) wyznaczają jednoznacznie <p przy pomocy u.
Przypuśćmy, że
w. chwili t=O jest u=O, a więc <p=O. Pole
elipsy wynosi abn. Jeżeli P oznacza czas obiegu planety, wówczas
prędkość polowa ·wynosi abn/P. Promień wodzący zakreśli więc
w czasie od O dot pole ~n t. Pole to możemy również przedstawić
w postaci całki
(9)
lł. 10]
I. Dynamika punktu swobodnego.
Różniczkując
.
(V),
otrzymamy
. ~'P =
cos2 !2
93
vl +
du • Na
1 - e cos• !!2
mocy więc (IV) d<p =
VfP.+
e a (1-e) du= a VI-e du.
. ·
1
w (9) otrzymamy
abn
-T-t
~
1
- e
r
8
r
.•
PodstawiaJąo
-- u
aYt-iAf
. rdu, skąd na mocy (III),
2
o
1
abnt
a V1-e2
. u.
) Stą,d z uwagi. na to, że a1 ,1-e
1,
1 = ab,
T =-2- - (u-e .sm
do·s taniemy
(VI) .
u - e sin u= 2nt/T.
Wyrażenie
2nt/T nazywamy anomalią średnią.
Równanie (VI) nosi nazwę rówńania Kep1,era.
Przy pomocy równania Keplera możemy dla każdej chwili t
wyznaczyć u, a następnie przy pomocy równań (III), (IV), (V) promień r i ką,t 'P· Astronomia podaje liczne metody rozwiązywania
równania Keplera.
W aatronomii anomalię mimośrodową u oznacza się zazwyczaj literą E,
anomalię prawdziwą <p literą V, a anomalię średnią 21ft/T literą M.
I 10. Praca. Przypuśćmy, że punkt materialny przesunął się
z punktu A do B i że podczas tego przesunięcia
(oprócz być może innych sił) siła P.
działała nań
Siła stała. Załóżmy, że siła P, działająca na punkt materialny
podczas jego ruchu od A do B, była stała co do wielko~ci, kierunku
i zwrotu (choć ruch mógł się odbywać po linii krzywej).
Pracą siły
P na przesunięciu AB nazywamy iloczyn skalarowy
P,AB.
Jeżeli więc pracę
(I)
oznaczymy przez L, to
L = P·AB.
Niechaj a będzie kątem zawartym między P i AB. Zatem
(Il)
L = IPI · IAB! cos a.
94
ROZDZIAŁ III.
Dynamika pv.nk:tu materialnego.
Praca może być liczbą dodatnią, ujemną lub zerem. Praca
siły P jest ~erem, jeżeli_ P=O lub · .AB=O (t. zn. gdy nie -ma przesunięcia) lub jeżeli a= n/2 (t. zn. gdy ~a jest prostopadła do przesunięc~a). J ejeli P =ł= O, AB =ł= O i oos a =ł= O to praca jest liczbą dodatniąi lub ujemną, zależnie od tego czy · a j·est kątem · ostrym czy
rozwartym.
Jeżeli a = O lub a = n (t. zn. jeżeli siła ma kierunek przesunię­
cia), mamy
przyczem znak zależy od tego, czy siła i przesunięcie mają zwroty
zgodne czy przeciwne.
Z twierdzeń o iloczynie skalarowym (rozdz. I, str. 7) wynika, że
praca siły P na przesunięciu AB !Ówna się iloczynowi przesunięcia
i rzutu siły na kierunek przesunięcia lub iloczynowi siły i rzutu
przesunięcia na kierunek siły.
Należy zwrócić uwagę, że - według określenia -
praca nie zależy
od czasu, w jakim punkt materialny przesunął si, od .A do B.
Oznaczmy rzuty przesunięcia AB na osie układu przez Lla;, Lly, LI~.
N a mocy więc (I)
(1)
Jeżeli punkt
Aa;= x1 -
a;0
.A. ma współrzędne x 0 , Yo, z 0 , · zaś B
a;17 Yu Zi,
to
i t. d. Zatem
(2)
Siła
zmienna. Załóżmy teraz; że punkt porusza się po krzywej ,O określonej parametrycznie przez funkcje:
(3)
( <1 ~ <1~ <1
1
:D=f(u),
11
).
przytem, że jeżeli u1 < u 2 , to położenie punktu
odpowiadające wartości u1 jest wcześniejsze od położenia odpowiaPrzypuśćmy
dającego wartości
u 2•
Załóżmy
dalej, że na punkt działa siła zmienna P, której
rzuty w dowolnym punkcie toru o współrzędnych x, y, 1 dane są
przez funkcje:
(4)
P"=F(x, y, z),
P 11 = 4'(a;, y, z),
Pz= 1Jl(x,-y, z).
[I 10]
I. Dyna.mika punktu swobodnego.
95
•
O funkcjach F, fJ>, 'P zakładamy oczywiście, że są określone w każdym punkcie toru.
Utwórzmy dowolny podział ó odcinka <1 <1
przy pomocy punktów <1 =<10 , <1 0 ••• , <1n=<1". t.
Niechaj tym wartościom parametru <1 odpowiadają na krzywej O punkty:
A'= Ao(Xo, Yo, Zo), A1(~i, Yu Z1), ...,
Na mocy (3) jest:
(5)
x,= f(a,),
1
11
1
dla i =0, l, ..., n.
Połóżmy:
(6)
Ax1 =x1+ 1- x1,
Ay1 =y1+1-y1,
.1z1 = zi+ 1-z1 (i=0,1, ... ,n-1).
Oznaczmy wreszcie przez P 0 , P 17 ••• , P„ siły działają.ce w punktach A 0 , Au ..., An. Na mocy (4) jest: .
(7)
P tx = F (x1, y 1, z1),
P 111 = f/>(x,, y 1, z,),
P 1z = 'P(x;, Y;, z 1).
Gdyby siła P na przesunięciach A 0 Au A 1 A 2 , ••• była stała
i odpowiednio równa P0 , Pu ... , to prace na poszczegóJnych przesunięciach wyrażałyby się wzorami:
Lo=P0x.1x., + Po11 Ayo + Poz.1zo,
L1=P1x.1X1 + P111AY1.+ P1iL1z1,
. . . . . . . . .. .. . . . . . .
.
Kładąc
L' = L 0 + L 1 + ... , otrzymamy więc
11- l
L' = I; (P,x..1x1 + P 111 ..1y1 + P,zAz;)•
(8)
/=O
Wyrażenie stojące po prawej stronie powyższej równości zależy
oczywiście od podziału
ó odcinka a' a".
Jeżeli L' dąży
do pewnej granicy dla każdego oiągu norma!.;
nego
odcinka a'a", to granicę tę nazywamy pracą
siły P po krzywej O (albo wzdłuż krzywej O).
Wyrażenie (8) możemy więc uważać za wartość przybliżoną
pracy L siły P.
Granicą wyrażenia (8) jest tak zwana całka krzywolinijna 2 }
po krzywej O:
(III)
L = (Pxdx+P11.dy+Pzdz).
1 ) podziałów {dł}
j
C
1 ) ł.
j. takiego, w którym długość największego odcinka. podziału dąży do
zera. Por. S. Banach, .Rachunek f'Ómiczkowy i całkowy, T. Il, Lwów, str. 69.
*) tamte, str. 187 i 196.
96
ROZDZIAŁ III.
Dynamika punktu m_aterialnego.
Całkę krzywolinijną możemy zamienić na .zwyczajną całkę
oznaczoną, wyrażając zmienne ::c, y, i funkcjami (3) przy pomocy
parametru a. Otrzymamy wówczas
8''
L =
f [P,d'(a)+ P <p'(a)+ Pzy,'(a)] da,
11
a'
gdzie P.r=F(f(~), <p(a), 'l'(a)), P.,= (p{f (a), <p(a), '1'(<1)) i t. d. Jeżeli
w szczególności u oznacza czas t, wówczas f'(a)=x, <p'(a)=y, v,'(a)=ż.
Zatem
f'
L=
(IV)
f [Pxx+P„y+P,ż]dt.
f
Ponieważ x,y,ż są rzutami prędkości
Zatem
v, więc Pxx+P11y+P,ż=Pv.
f'
L = j(Pv)dt.
(V)
f
Uwaga. Wzór (Ili) jest słuszny, gdy położ~nia punktu ruchomego na krzywej następują po sobie w porządku,- który odpowiada
nrostowi parametru a. Jeżeli ~dnak jest przeciwnie,.. t. zn. jeżeli
a1 > u2, to położenie odpowiadające u1 jest późniejsze od położenia
odpowiadającego a2 i wówczas należy we wzorze (III) zamiast
da:, dy, dz podstawić -dx, -dy, -dz. Otrzymamy wtedy
L =-f(P.r·d x+ P dy+ P,dz).
11
C
· Jeżeli więc punkt materialny poruszał się po krzywej C od .A'
do .A" i siła P wykonała pracę L, to gdy punkt poruszać się bę­
dzie po krzywej C od .A" do .A' (przyczem położenia będą nastę­
powały po sobie w porządku odwrotnym niż poprzednio), ta sama
siła P wykona pracę -L.
Praca sumy sił. Przypuśćmy, że punkt materi~lny, poruszając się po krzywej O, był -pod działaniem dwóch sił P i Q. Połóżmy lł=P+ Q. Oznaczmy przez L pracę siły R, przez L' pracę
siły Pi przez L" pracę siły Q. Wówczas L=f(Rxdx+R,/1,y+Rzdz)=
C
=f[(P.r+Qx)dx+(P.,+Q.,)dy+ (Pz+Qz)dz] = f (Pxdx+P dy+Pzdz)+
C
C
+f (Q.rdx+Q„dy+Q:idz) L'+L", a więc
11
C
(VI)
L =L' +L".
[§ 11]
I. Dynamika punktu swobodnego.
97
llożemy
zatem powiedzieć, że praca sumy dwóch (lub kilku)
sil na pewnej krzywej równa si, sumie prac poszczególnych sil ną tej
krzywej.
Wymiar i jednostki pracy. Na mocy (li), str. 93, mamy
[praca]= [siła],[droga] = LMT-·2L, a więc
[praca] =L2 M T - 2•
Jednostką pracy w układzie cgs jest erg. Jest to praca, jaką
wykona siła 1 dyn na drodze 1 cm. Zatem
erg =cm2 ,g,sek- 2•
Większą jedą~tką jest Joule (J)=107 erg. W układzie technicz-
nym jednostką. pracy--.jest kilogramometr (kgm). Jest to praca siły
1kg na drodze 1 m. Ponieważ 1 kg (siły)= 981000 dyn, a lm=lOOcm,
więc
kgm = 9,81 · 10; erg = 9,81 J.
*11. Pole
Obszar D nazwaliśmy (str. 78)
polem sil, jeżeli na punkt materialny, g~ziekolwiek w obszarze D
umieszczony, działa siła zależna tylko od położenia tego punktu.
Pole sił jest określone przez podanie funkcyj:
(1)
sił potencjalne.
Px = F(x, y, z),
P 11 = <l>(x, y, z),
Pr= -.P(x, y, z),
które wyznaczają rzuty siły działającej P w punkcie o współrzę­
dnych x, y, z.
Natężenie ·pola. Może się zdarzyć, że siła f> jest proporcjo-
nalna do masy m punktu materialnego. Wówczas siłę działającą. na
jednostkę masy (t. j. siłę P/m) w pewnym punkcie pola nazywamy
nat~żeniem pola w tym punkcie.
Przykładem takiego pola jest pole grawitacyjne ziemskie.
Ciężar ciała jest proporcjonalny do masy ciała. N a powierzchni
ziemi natężenie pola jest co do wielkości równe g (przyśpieszeniu
ziemskiemu).
Linie sił. Na specjalną uwagę zasługują pewne krzywe w polu
sił, zwane liniami sil. Są to krzywe o tej własności, że styczna w dowolnym punkcie ma _,kierunek siły działającej w tym punkcie.
Np. w polu grawitacyjnym ziemskim liniami sił są linie pionowe.
Linie sił są określone układem równań różniczkowych: .
(2)
S . Bamlch. Mllchanika.
d-X/Px = dy/Py = dz/Pz.
7
98
ROZDZIAŁ
III. . Dynamika punktu materialnego.
Określenie
pola potencj a.lnego. Gdy w polu :sił ·punkt
materialny przesunie się· od punktu A do punktu B po jakimś łuku .AB,
wówczas ·praca siły działającej P (str. 95, (Ili)) wynosi
L=j(Pxdx+P11 dy+Pzdz).
(I)
Ad
Praca zależeć będzie na ogół ~e tylko od punktów ...4. i B, lecz
także od przebytej drogi, t. j. od łuku AB. W m~eha.ni~ ważną rolę
odgrywają pola, w których praca zależy tylko ' od punktów ·..4. i B,
a nie zależy od łuku AB. Jeżeli więc w takim polu punkt materialny
przesuwać się będzie od A do B po rozmaitych torach, to siła P
wykona zawsze .tę samą pracę. Pola takie nazywamy polami potencjalny.mi lub zachowawczymi (konserwatywnymi).
A więc: polem potencjalnym jest takie pole sil, w którym praca nie
zależy od drogi przejścia, lecz tylko od punktu pQ~zątkowego i końcowego.
Jeżeli
w polu potencjalnym punkt odbył drogę zamkniętą
(czyli wyszedł z punktu A i powrócił do A), to praca wykonana
wzdłuż tej
drogi jest zerem. Praca bowiem w polu potencjalnym
.zależy tylko od punktu początkowego i końcowego, więc jeśli się
one pokrywają, .t o praca jest taka, jak gdyby punkt wogóle się
nie poruszył.
.
Na odwrót, jeżeli pole sił ma tę własność, że praca po każdej dro··
<fze zamkniętej jest zerem, to pole jest polem potencjalnym. Obierzmy
bowiem dwa dowolne punkty A, B i łuki AMB, ANB :.
8
Ożnaczmy przez L' pracę na łuku .A MB, a przez L"
na łuku ..A.NB. Praca po linii zamkniętej ..AMBNA
jest wedle założenia: zerem. Pracę tą można przedstawiQ
jako sumę prac: od ..A do B .po łuku AMB i od B
"
do ..A po łuku BNA. Ponieważ praca po łuku BNA
ró"Wlla się -L" więc L'+(-L")=O, skąd L' L". Zatem praca
p9 obu łukach jest ta sama.
0
Możemy więc powiedzieć, że na to
aby pole sil było polem po·
tencjalnym, potrzeba i wystarcza, by praca pQ Wltzelkiej linii zamkni(Jtej
·była w .·nim zerem.
Pote_ncjał.
Obierzmy' dowolny układ współrzędnyoh (li, y, z}
i punkt A w po.lu· potencjalnym. Jeżeli będziemy uważać punkt ..A
za stały, to praca LAs, gdzie B jest dowolnym punktem pola, będzie
[§ 11]
I. Dynamika punktu swobodnego.
99
zależeć tylko od · wspólrzęt}nych
x, y, z .p unktu. B . Zatem praca LAB
ł>ędzie funkcją współrzędnych x, y, z. Oznaczając tę _: fmikoję' przeż
V (x, y~ ż), · otrzymamy
(3)
LAB= V (x, y, z).
Funkcję
V (x, y, z) _nazywamy funkcją sil albo
potencjałem.
Weźmy pod uwagę jakiś punkt B' o wspoł­
rzędnych x', y', z'. Praca po dowolnej linii .A.BB'A
jest zerem. Zatem LAB + LBB' +LB'.,. = O. Le1c~
LB'A= -LAB'= - V(x', y', z'). Więc na mocy (3)
V(x, y, z)+LBB -V(x', y', z')-:-0_1 .skąd
1
(II)
LBB'=V(x', y', z')-V(x, y, z).
Wzór (li) możemy wypowiedzieć, jak następuje:
Przy przejściu od jtdnego punktu do drugiego praca równa s~
różnicy potencjałów 111 tgeh punktach.
Potencjał określiliśmy w zależności od obioru punktu A . Gdybyśmy obrali inny punkt .A.'(x'; y', z'),
to potencjał wyraziłby się
inną funkcją V '(x, y, z). Ponieważ na mocy określenia potencjału
mamy dla dowolnego punktu B (x, y, z)
.
.
.
V'(x, y, z)= LA' B = V (x, y, z) -V (x', y', z'),
więc
V (x, y, z)- V' (x, y, z) = V (x' , y,' z') = const.
A więc różnica obu funkcyj V i V' jest stała. Widzimy stąd,
że w polu sił potencjał jest funkcją określoną tylko po za pewną
stałą (podobnie jak całka nieoznaczona). Stała ta jednak, ·jak wskazuje wzór (II), nie gra roli, ponieważ na wielkość pracy wpływa
jedynie różnica potencjałów w dwóch punktach.
Wymiar potencjału. Ponieważ na mocy określenia potencjał
równa ~ię pracy, więc wymiar potencjału jest taki, jak wymiar
pracy. Zatem
[potencjał] = l l M T- 2 •
Jednostki pracy są również jednostkami potencjału.
100
ROZDZIAL III.
Dynamika punktu materialńego.
Związek między siłą
a potencjałem. Przesuńmy punkt
materialny z punktu A (x0 , y, z) do punktu B(x, y, z) po prostej
równoległej do osi x. Praca wynosi więc na mocy (I) i (li):
LAB= V(x, y, z)-V(x0 , y, z)
LAB= j(Pxdx+Pudy+Pzdz).
lub
AB
Ponieważ punkt przesunął się po prostej równoległej do osi x,
X
f
więc dy=O i dz=O. Zatem LAB= Pxdx =fPxdx, .skąd
Xo
AB
X
V(x, y, z)-V(x0 , y, z) =fPµ.
Xo
Tworząc pochodną cząstkową względem x,
dostaniemy c'V/ ~x=Px;
analogiczne wzory otrzymamy dla pozostałych pochodnych cząst­
kowych~
A więc: pochodne cząstkowe potencjału równają Si'J odpowiednio
rzutom slly na· osie układu, t. j ~·
av
(Ili)
dX = Px,
av
~Y = P11,
av
dZ =Pz.
Na odwrót, jeżeli założymy, że w danym polu sił istnieje funkoja V spełniająca związki (III), wówczas pole jest polem potencjalnym. Niech bowiem pewna funkcja V spełnia związki (Ili). Zatem,
· praca od punktu A (xi, Yu z1 ) do punktu B (xz, y1 , z2 ) po dowolnym
łuku AB wynosi:
LAB=
f
(Pxdx+Pydy+P1:dz) =
AB
av
(
f
av
av )
"ax dx+ay· dy+ ~z dz .
AB
Ponieważ wyrażenie
zawarte w nawiasie ostatniej całki jest
różniczką zupełną dV, więo otrzymujemy wzór
(4)
LAB =fdV = V (xa, Y2, Z2) - V(~u Yu Z1),
AB
wyrażający, że praca nie zależy od drogi,
lecz tylko od punktu początkowego i końcowego. N a mocy (4) funkcja V jest tedy potencjałem.
A '!lęc: jeżeli dla po1,a sil i8tnieje funkcja V spełniająca równania (III), wówczas to pole sil jest polem potencjalnym, zaś funkcja V
jest potencjałem.
[§ 11]
I. Dynamika punktu swobodnego.
101
Powierzchnie potencjalne. Gdy (' jP~t dowolną stałą, powierzchnię określoną równaniem
(5)
V(x,y, z)= c
nazywamy powierzchnią potencjalną.
A więc: powierzchnia potencjal,na jest to taka powierzchnia, na
której potencjał, ma wartość stalą.
W geometrii różniczkowej dowodzi się, że dostawy kierunkowe
cosa, cos [J, COB y normalnej do powierzchni (5) w punkcie (x, y, z)
spełniają warunki:
8V
cosa: coB[J: cos y = ~ :
c,X
skąd na mocy
ć'V ~V
"°
: -;;;-,
cy oz
(III) str. 100,
COB a : COB /J : COB i'
= p x : p y : p z•
coB a', cos fi', cos y' siły P speł­
niają podobne warunki: cosa': cosfi': cosy' = Px: Py: Pz, więc siła P
ma kierunek normalny do powierzchni potencja,lnej.
Ponieważ dostawy kierunkowe
A zatem: w każdym punkcie powierzchni potencjalnej siła działająca jest prostopadła do tej powierzchni. Wynika stąd, że linie sil
są
prostopadle do powierzchni ·potencjalnych.
Obierzmy dwie powierzchnie potencjalne S i S', dość bliskie,
o potencjałach c i c', gdzie c' > c. Z dowolnego
p
punktu .A. powierzchni S wykreślmy norm~lną do
tej powierzchni aż do przecięcia A' ·z powierzchnią S'.
Praca przy przesunięciu od .A. do A' wynosi
LAA' = c' - c > O. Ponieważ praca jest dodatnia,
więc siła P ma zwrot przesunięcia ĄA '.
A
więc: siła
zwrócona jest względem powierzchni potencjalnej
w ...;tronę wzrostu potencjału.
\V przybliżeniu mamy LAA'=!PIAA'=c'-c czyli IPI= (c'-c)/.A..A.'.
A więc : na jednej i tej 'samej powierzchni potencjalnej siła jest
w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalna do odcinka normalnej, za-
wartPgo mięrlzy tą p()ioierzchnią a powierzchnią potencjalną doąć bliską.
102
ROZDZIAŁ · Ul.
Dynamika punktu materialnego.
ł 12. Przykłady pól potenejillnyeh. Rozpatrzymy obecnie
kilka rodzajów pól potencjalnych, z którymi często mamy do ·<'ZY·
nienia w praktyce.
Pole stałe. Jeżeli siła P jest w pewnym polu stała. ro do
wielkości, kierunku i zwrotu, to pole takie nazywamy polem. stal!rm...
Pole grawitacyjne ziemski.e w małym . otoczeniu danego punkt.u
na ziemi jest polem stałym.
Obierzmy układ współrzędnych (x, y, z), nadając osi z kierunek
siły P, zwrot· Ż~ś przeciwny. Kładąc I.Pl : mg, otrzyma.my
P 11 = O,
Łatwo sprawdzić, że funkcja
Px= O,
Pz= -mg.
v·= -mgz
jest potencjałem. Mamy bowiem
avJax = O= Px,
aV /ay::;:: O-:- Pu,
aV /~z= -mg= Pz.
A więc: pole stale jest polem pot.encjalnym..
Pra~a, od punktu .A.(x1 , Y,1, Zi) do punktu B (x,, Yu z~) po .. qo- .
wolnej drodze wynosi LAB= - mgzi.- ( - mgz1 ), więc
(1)
LAB= mg(Zi- z1 ).
Przy zał~żeniu, .że siła P jest siłą ciężkości, jasnym j~st, że
z1 -z2 = h jest różnicą poiiomów, na który.eh znajdują się punkty A
i B. Kładąc więc IPl=Q=mg, otrzymamy
L.ts=Qk.
Powierzchnia ..potęncja~ ma równanie .. V= const., zatem
-mgz= const. czy.li z= const. A więc.. powierzchni~mi potencjalnymi są płaszc~yzny poziome (t. j. prostopadłe do kierunku siły).
Ponieważ. lilµe sił są prostopadłe do powierzchni potencj~ych, więc
liniami sił są. proste. równoległe do osi z, t. j. linie pionowe.
Pole środkowe czyli centralne; Jeżeli w polu sił kierunek
&iły · przechodzi zawsze przez pewien stały punkt O, to pole nazywa
się środkowym lub centralnym, a sam punkt O środkiem„ po'la (str. 86}.
Załóżmy, że w danym polu środkowym wielkość siły w dowolnym ·punkcie A zależy tylko od odległości · r punktu A od
środka O. Oznaczmy . przez P rzut siły P działającej w A na.
kierunek OA. Zatem P jest funkcją r. Połóżmy
p = /(r).
[I 12]
103
I. Dynamika punktu swobodnego.
Obierzmy początek układu współrzędnych w O. Oznaczając
przez x,y, z współrzędne _ punktu A, a przez a kąt, jaki O.A tworzy
z osią x, otrzymamy cos a=x/r. Zatem
(2)
Px=Pcosa =Px
r
i podobnie
P 11 = P 'Y, Pz=p:...
r
r
Połóżmy V ·= fPdr=f!<r)dr. Ponieważ r = Vxl+ y1 + z2, więc .
dr/dx=:e/r, ~r/~11=11/r i 2r/a~=z/r. Zatem
z
y
av
dV dT
X
X
~=-d ·T=f(r)-=P-=Px
o(I)
r
fiX
r
r
av· P av P z• P o1e nasze Jest
.
1 ana1ogiczme ~ = ,,, ~ =
.
.
A/.1.y,ZJ
.
I
~
~ v
oy
o~
,
więc polem potencjalnym i funkcja V jest potencjałem.
'
A więc: pole ŚTfłd~e, w którym sil& zależy tylko od·· odległości
~unktu od środka, jest polem potencjalnym i potencjał wyraża się wzorem
.V =f Pdr.
(3)
Ponieważ potencjał
w punkcie A jest· funkcją odległości r
punktu A od środka O, więc na kulach o środku O potencjał · ma
wartość stałą. Powierzchniami potencjalnymi będą więc tutaj kule
o środku O. Liaj.ami sił są oczywiście prąste przechodzące przez
pun)rt o.
Pole grawitacyjne Newtonowskie. Przypuśćmy, że punkt
o masie m jest przyciągany z siłą P przez stały punkt o masie M
według prawa ciążenia, Newtona (str. 90, (I)), t. zn. że
IPI= KmJf/r2.
Ponieważ siła skierowana jest ku punktowi
Jf, więc pole jest
polem środkowym=; którego środkiem jest punkt M . ZatPm, wedle'
określenia liczby P, P= -KmM/r2.
Mamy V=fPdr= --fKmMdr/r2. Zatem
V=KmM/r.
Awięcpracapodowolnymłuku.A'.A wynosiLA'A= KmM( l /r- l./r'),
gdzie r i r' oznac~ają odległości punktów A i A' od środka. ,J<.~żeli
w szczególności punkt A' obierzemy w nieskończoności cz.v li położymy r'= oo, to otrzymamy
(4)
(5)
ROZDZIAŁ III.
104
Dynamika punktu materialnego.
A więc: 10 polu grawitacyjnym Newtonowskim potencjał 10 punkcie .A róuma_są pracy, jaką wykonałaby n"Za P, sprowadzając punkt
materialny z nieskończoności do .A.
Pole osiowe. Pole'·sił o tej własności, że w każdym punkcie
pola kierunek siły przecina pod kątem prostym pewną stałą prostą Z,
nazywamy polem osi0togm, a prostą Z nazywamy osią pola.
Załóżmy, że wielkość siły P, działającej w dowolnym punkcie .A,
zależy tylko od odległości r punktu .A od osi pola. Połóżmy P=-IPI
lub P = IPI zależnie od tego, czy siła P ma zwrot ku osi Z czy przeciwnie. Ponieważ wielkość siły P jest funkcją r (t. j. odległości
punktu A od osi Z), więc możemy napisa~
P= f (r).
Obierzmy układ współrzędnych, przyjmując oś pola za oś z.
Łatwo - zauważyć, że rzuty siły P działającej w punkcie A (x, y, z)
wynoszą
Px=Px,
·
r
Z
Py=Py i Pz= O, gdzie
r
-r =~x2+y2• Połóżmy
V =fPdr = f f(r) dr.
'
aV
d V Br
x
.
ć) V
Zatem -;--~ = P - = P x • Podobn1e T""" = P "' Ponieex = -d
r · ex
r
ey
waż V nie zależy od z (gdyż r nie zależy od z), więc ć)ć): = O = Pz.
Wynika stąd, że pole dane jest polem potencjalnym, zaś V
jest potencjałem.
A więc: po"le osiowe, w którym wielkość siły zależy tylko od od"leglości p·u nktu od osi, jest po"lem· potencjolnym i pofencjal wynosi
V
(6)
Łatwo zauważyć, że
=fPdr.
powierzchniami potencjalnymi są tutaj
walce, których wspólną osią jest oś pola. Liniami sił są proste prze~inające oś pola pod kątem prostym.
Jeżeli np. P=mw2r (w stałe) wówoza~ V =fPdr=fmw2rdr,
więc V={mw2r2= }met12(x2+y2). Powierzchnie potencjalne otrzymamy, kładąc V= const., żatem łmw2 (x2 + y2) = const., więc
x2 + y 2 = const. ; jest to równanie walca o osi z.
105
I. DJ111amika punktu swobodnego.
[! 13]
Suma pól potencjalnych. Niechaj w pewnym obszarze D
danych będzie kilka pól o siłach Pu P 21 ... • Pole w obszarze D
o sile .P=l\+P2+ ... nazywa· się sumą pól sil Pi, P 2 ....
Jeżeli pola sil 1\, P2, ... są potencjalne, to -jak łatwo okazać­
surna pól jest również polem potencjalnym,, którego potencjał V rÓWńa
się
wu:mie potencjałów Vu V 2 ... poszczególnych pól.
.·
bow1em
·
v = v1+v2+ .... M
av ~ --;;-ć'V1
Po ł ozmy
.r amy ~
= P 1_,. + P 2_,. + • .. = P .,:
.
1
.
.
av
ana1og1czn1e dY =
ex
P
av2
ex +. -"-+
ex ... =
av
", c?z = Pz.
A więc
V jest potencjałem sumy danyeh p9l.
Przypuśćmy
np., że punkt o masie m przyciągany jest wedle
prawa Newtona przez dwa stałe punkty o masa..oh m1 i m 2 z ·silami l\ i .P2 • Siła więc wypadkowa będzie .P=P1+P2• Na str. 103
wy kazaliśmy, że siły P 1 i P2 mają potencjał.
n'l
Zatem wedle (4), str. 103, oznaczając przez ri, r 2
od1egłości punktu m od m 1 i m 2 , otrzymamy:
r. P.
,~ ',
/
I
Hila P nia więc potencjał V= V 1
/n'I,
+ V 2• Zatem V= K m(mr11 + mr22 )·
Podobnie, jeżeli punkt o masie m przyciągany jest wedle prawa
:Kewtona. przez n punktów stałych o masach m 1 , m2 , ... , m,,, wówczas
(,)
V= Km (mi +m2 + ... + m,,),
r1
"2
r„
gclzie r 1 , r 2, ... , r„ oznaczają. odpowiednio odległości punktu m od
punktów mi, ·m2 , ... , m,,.
§ 13. Energia kinetyczna I potencjalna. Niech na punkt
materialny A (x, y, z) o masie m działa .siła P. Zatem (str. 79, (I)):
·ma: ·= P.,·,
my = Pm
mi = P z·
Pomnóżmy obie strony pierwszego równania przez x, drugiego
przez fi, trzeciego przez ż i dodajmy następnie równania stronami.
Otrzymamy
(1)
m(x.iJ
+ ify +żi) = P.,.x + P,,fl + Piż,
Oznaczmy przez v wartość bezwzględną prędkości punktu .A.
Zatem v2 = :t,2 + f12 + ż2 , skąd d( v2 )/dt = 2 (.ix + iJ;ij + żi ), a więc
106
ROZDZIAL . III. Dynamika punktu ma~rialnego.
d(łmv1 )/dt
= m(ix + yy + żz ).
o.t rzymamy
Wstawiaj~ to
w równanie (1),
d(lmvl)/dt = P"i + P,1i + P~ż.
pbus~ronnie (względe1n t) od ·_chwili. p,oczątkowej t0
do chwil.i t, dostaniemy
Całkując
f
(2)
t.,
t
2
d(:v ) dt =
f
t
[Pxi +P,y +P.i]dt.
In
Niechaj .v 0 będzie wartością bezwzględną prędkości ~ chwili
początkowej t0 ; lewa, strona równania (2) wynosi więc· tmv2 -ł-mv!
a prawa strona równa się (str. 96,.(IV)) pracy, jaką wy~onała ąiła;_ p
w czasie od t0 do t. Oznaczmy _tę pracę przez L1.,1· Równanie (2)
ąióżemy więc napisać w postaci
·
(3)
}mv;- }mvi:.;=. L1o1•
Wyrażenie }mv2 nazywamy ·energią kinetyczną punktu.
Kładąc
E -- ~tmv2
. '
(4)
otrzymamy:
(I)
A więc: przyrost energii kinetycznej w pewnym czasie równa si~
pracy siły działającej w tym czasie.
Twierdzenie to nosi nazwę zasady równowartości pracy i energij,
kinetycznej.
W szczególności, jeżeli praca siły .P jest stale zerem, to E--E0 = O
czyli E=E0 , więc na mocy (4) v=v0 • Punkt ma zatem wówczas
prędkość stałą co do wielkości. Jeżeli więc siła jest np. stale prostopadła do toru, to punkt porusza się ruchem jednostajnym. Przykładem jest ruch jednostajny punktu po kole pod wpływem siły
stałej . co do wielkości i skierowanej ku środkowi koła.
Niech teraz punkt porusza się w polu potencjalnym. Oznacz1ny
przez V i V O potencjały jakie punkt posiada odpowiednio w chwilach t i t0 • Zatem L,o1=V-V0 , skąd na mocy (I) E-E0= V- V 0
czyli
E- V= E 0 -V 0 •
(5)
Wyrażenie
- V nazywamy energią potencjalną.
I. Dynamika pwiktu swobodnego.
[f H]
Kładąc -V~ U
i -V0= U0 , otrzymamy
E
(li)
107
+ U = E 0 + V O= const.
Sµmę energii kinetycżnej i potencjalnej t. j . wyrażenie· E
nazywamy energią całkowitą.
·
+U
A więc : jeżeli punkt porusza się w polu potencjalnym, wówczas
jego energia ·całkowita jest stała.
Twierdzenie powyższe nosi nazwę zasady zachowania energ1
całkowitej.
Wymiar energii kinetycznej i potencjalnej . Na mocy (4
jest [E]=[m] [v2], więc
[energia kinetyczna]= L 2 M p-2 •
A zatem energia kinetyczna ma wymiar pracy. Jednostki prac)
są więc również
jednostkami energii kinetycznej.
Energia potencjalna ma na mocy określenia wyn1iar potencjału
zat~m ma również w·y miar pracy (str. 99)~
I tł. Ruch punktu przyciąganego przez masę nleru•
chomą.
Ruch po krzywej rzędu drugiego. Niech punkt materialny .A. o masie ~ przyciągany . będzie przez punkt-nieruchomy
o masie M z siłą P, działającą według prawa Newtona. Umieśćmy
w .punkcie M początek O układu współrzędnych. Oznaczając (jak na
str. 103) przez P rzut siły na kierunek O.A., otrzymamy
P=-K~f.
(1)
przez x, y, z współrzędne punktu .A., otrzymamy
x
mM x.
(str.103): Px=P-=-K~·-1 t.. rl. Równania ruchu punktu A
r
.,- r
Oznaczając
są więr.
(I)
mMx
mx= - K r l r'
.. - KmM11
my=
-r2- -r,
.
..
KmMz
mz= -,-2- -r·
przypadku siła P ma potencjał V= Krn Jl fr
(str. 103), zatem energia potencjalna U =-KmJJ fr . Xa mocy
zasady zachowania energii całkowitej }'>m~2 -Km Jl /r = eonst ., skąd
kładąe
Jl,
211
v2 = - ·- + Ił,
g,lzi(• h = co ust.
(2)
W naszym
,,=K
1
108
ROZDZIAŁ III.
Dynamika. punktu materialnego.
Ponieważ w rozważanym przypadku ruch jest ruchem środko­
wym (str. 86), więc tor jest płask.i. Przyjmijmy więc, że ruch odbywa
się w płaszczyźnie xy i że prędkość polowa jest różna od zera.
Ze wzoru Bineta (str. 88, (I)) otrzymamy na mocy (1)
_KmM =_me• [d2(1/r) + 1]
r2
r2
d<p2
r '
(3)
a ponieważ KM=µ, więc
<P(l /r) + 1 _ µ .
(4)
dr
r-c2
Podstawmy u=l/r. Otrzymujemy
<Pu + u=µ.
(5)
dqr
<fi,
Rozwiązaniem szczególnym powyżsżego równania
jest u = µ /c2.
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego f'P~ +u= O jest - jak
postaci u= a cos ą:> + b sin
wiązaniem równania (5) będzie
łatwo stwierdzić -
'P· Ogólnym więc roz-
u=µ /&+ a cos <p + b sin <p,
gdzie a i b są dowolnymi stałymi . Kładąc a= e cos 'Po, b = e sin 'Po
(gdzie e i 'Po są dowolnymi stałymi) i podstawiając z powrotem
1 /r= u, otrzymamy rozwiązanie ogólne równania ( 4)
(6)
1/r = µ /c2 + (! cos (ą:>-ą:>0 ).
Otóż ogólne równanie krzywej rzędu drugiego, gdy biegun jest
w ognisku, ma kształt
1 1
E
= - + - cos (m-mo)
r
p p
T
T
'
gdzie p jest parametrem, e mimośrodem, zaś 'Po kątem, jaki oś
krzywej tworzy z osią układu. Równanie więc (6) jest równaniem
krzywej rzędu drugiego. Z przyrównania dostajemy
(7)
P = c2 Iµ
1
e = ec2 I,,,.
Krzywa taka jest elipsą, hyperbolą lub parabolą, zależnie od
tego · czy e < l, e > l lub e=l. Aby rozpoznać rodzaj krzywej,
musimy obliczyć stałą g. Wyznaczymy ją ze wzoru (2). Mamy
[§ 14]
I. Dynamika punktu swohoduego.
109
v2 =f2 +r2fP2. Ponieważ łc jest prędkośeią polową,, "ięc }r=}r29, rzyli
2
ip=c/r2; zatem (str.88, wzór(7)) v2 =c2 ·(d(dl/r)) +
,<p
<:.
Xa mocy (6)
r
otrzymujemy tedy
2
v• = ~ + 2µ!> cos (<p-<p0 ) + c2e2 •
(8)
Wyrażając r
przez <p przy pomocy wzoru (6) i wstawiając· wt.•
wzór (2), otrzymujemy v2-2µ 2 /&+21,e cos (cp-<p0 )+ h. skąd przez
przyrównanie ze wzorem (8)
µ2
h
V1+
he•.
V
(9)
e= ci+c2'
a więc na mocy (7)
E=
.
µ'
Zatem e§l zależnie 9(1 tego czy h ~ O.Kładąc t=t0 , v=v0 , r=r0 ,
otrzymujemy ze wzoru (2) h=v~-2µ/r0 ; zatem:
h j O zależnie od tego czy
vi ; 2 µ/r
0•
Wynika stąd, że rodzaj krzywej nie zależy od kierunku pręd­
kości,
lecz tylko od jej wielkości.
Rodzaj krzywej możemy więc wyznaczyć, znając jedno poło­
żenie punktu i szybkość jego w tym położeniu.
Komety np. poruszają · się w obrębie układu słonecznego pod wpływem
przyciągania przez sło11ce, krążą więc (względem słońca) po krzywych rzędu
drugiego.
Załóżmy
naniu
obecnie,
punkt porusza
1
się
po elipsie o rów-
1
=
+_!cos (q:,-,p0 ). Ze wzoru Bineta
r p p
KMm
m
-r2- = - -c2
p -r2
elipsy,
że
zaś
N"1ech
czy1·1 KM = -c2
p·
T czasem obiegu.
(3)
dostaniemy
.
.
a 1 b b ęd ą os1arm
Pr~dkość
polowa będzie wówczas
KM =4n2a3 /T2, skąd
tc=abn/T. Ponieważ p= b2/a, więc
(10)
a3 /1'2 = KM/4n2•
Wynika. stąd, że stosunek a3 /T2 zależy tylko od masy ciała przyciągająpego, a nie od masy poruszającego się punktu.
Gdyby słońce było w spoczynku, to stosunek a3 /T" byłby dla planet wielkolicią stalą (tak jak tego wymaga trzecie prawo Keplera). Słońce nie jest jednak
w ~poczyuku, ponieważ jest przyciągane przez planety. Stąd pochodzą odchylenia
0'1 prawa Keplera.
8nrawa ta zainai~mv się później przy t. zw. zagadn.i eniu dwóch ciał (rozdz. V).
ROZDZIAŁ III.
110
Dynamika punktu materialnego.
Ruch po linii prostej. Zbadajmy jeszcze przypadek szczególny, gdy prędkość polowa jest zerem. Ruch wtedy odbywa się
po prostej przechodzącej przez środek pola, t. j. przez punkt M
(str. 87). Ponieważ v oznacza wartość bezwzględną prędkości, więc
(11)
I)=
lrl.
Przyp~śćmy, że dla t=O jest ·r =r0 , V=·v0 • Z równości (2), str. 107,
wynika
{12)
·v2 = 2µr- 1
+ h,
skąd
2
2 µro-1 •
h = Vo-
(13)
Załóżmy, że w chwili początkowej
t= O prędkość poruszającego
się punktu zwrócona była od punktu, M, czyli -że punkt się oddalał.
Dla t=O jest więc r > o.
Rozpatrzymy dwa przypa.dJd
czy h< O.
zależnie
od tego, czy h ~ o,
1°. h~ O. Na mocy (12) jest stale v2 ~2µr-•, więc v2 >0; zatem
stale v > O. Wynika stąd, że punkt nigdy się nie. zatrzyma i'ciąglę
będzie oddalał się od M . Będzie więc stale i'>O, skąd na mocy (11)
v=i' przez cały czas ruchu. Z (12) otrzymujemy
(14)
r =V= V2 µr- 1 + h
Zatem
czyli
dr 1v2 µr- 1 + h = dt.
..: v= ====
J +
,.
(15)
dr
2µr -·1
h
t.
li,
Z równości powyższej wynika, że gdy. t dąży do oo, r
dąży do· oo, a więc punkt oddala się do nieskończoności.
także
2°. h<O. W tym przypadku istnieje takie r=r1 , dla którego V= O.
Wartość r 1 otrzymamy z (12), kładąc v=O i r=r1 • Dostaniemy
'1 = - 2µ/h.
(16)
Łatwo
okazać,
że
1· 1 >r0 •
Mamy bowiem· 2µ > 2µ-r0 v~:= r0(2µr01 -v~) = r0(-h). Ponieważ h<O; więc - 2·µ / h>ró, zatem
na mocy (16) jest r 1 > ·rc.
Xa początku ruchu, dopóki · r<ru punkt będzie ·Się· więc odda.lał od 1lf. W tyin okresie będzie więĆ stale f:>O, zatem na
mocy (11) r=v i wskutek tego będą zachodziły wzory (14) i (15).
[§ 15]
I. Dynamika punktu swobodnego.
111
Podstawiając
we wzorze (15) zamiast górnej granicy całkowa­
nia r wartość r17 otrzymamy chwilę tu dla której r= r 1• Zatt•m
}'~2µrd~, +li= t,.
To
Dla t=t 1 będziemy mieli 1;=0, a ,Ua t>t 1 punkt hę(lzit~ się
z powrotem zbliżał do llf..
Przyjmując, że
ziemia jest kulą złożoną z warstw jednorodnych (t. j. o stałej gęstości), współśrodkowych, można okazaó, że
ziemia przyciąga punkt materialny zewnętrzny tak, jak gdyby cała masa ziemi
. P
skupiona była w jej środku O. Otrzymane
O
,..
m
I
wyniki możemy więc stosować do ruchu
ciał przyciąganych przez ziemię, oznaczając
przez .Jf masę ziemi (skupioną w jej środku 0) i zakła,lając, że 1>0czątek układu znajduje się w punkcie O, zaś poruszający się punkt
materialny nad powierzchnią ziemi, t. zn. że r~ R, g<lzi<~ Ił jest
promieniem ziemi.
8
i-.-..·---·
p,.~ykla,l. Załóżmy , że punkt materialny został wyrzucony
z powierzchni ziemi pionowo do góry z prę,lkm~cią ·v0 • Zatem r0=R
i na mocy (13) ~=v~-2 µR --1• Ze wzoru (7) str. 91, wynika., że
µ=KM = gR2, gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemski(,. Zatem
h=vt- 2 glł.
,Jeżcli v 0 < V2gR, to h < o, a więc punkt spadnie z powrotem
na ziemię. ,Jeżeli · natomiast v 0 ~ V2 fi R, to h~ o, a więc punkt nie
powróci więcej- na ziemię.
PrzyfrnUJ!ł!C R = 6300km, g = 9,81 m-sek-2, otrzymam,y f2gR = 12 km · i:łck- 1 •
Zatem, jeżeli dało wyrzucimy w górę z prędk9ścią v0 ~ 12 km · Rek 1, to nie Apac.lnie
nigcly z powrotmn na ziemię. Wynik ten nie uwzglęclnia - jednak oporu powietrza.
§ 15. Ruch harmoniczny. Ruch harmoniczny prosty.
Niech w polu środkowym na punkt materialny o masie m działa
siła P, skierowana stale ku środkowi O i której wielkość jelit proporcjonalna do odległości punktu od O.
Siłę P nazywamy wówczas silą sprężystą.
Załóżmy na razie, że punkt porusza się po osi x, której O
jest }lOczątkiem . Oznaczając przez x współrzędną punktu m, zaH
przez P wsvółrzędną siły, będziemy więc mieli
ROZDZIAŁ III.
112
Dynamika punktu materialnego.
P= - ).2 x,
(1)
gdzie ).2 jest współczynnikiem proporcjonalności. Zatem mx = - J.2x.
KJadąc k 2 =A2 /m, otrzymamy x = - k2x czyli
x+ k x = o•
2
(2)
. Z równania (2) wynika, że przyśpieszenie punktu ma wielkość
proporcjonalną
do odległości punktu od początku O i zwrot stale
ku O.
Ruch, mający tę własność nazywamy ruchem harmonicznym
(lub drgającym) prostym.
Równanie różniczkowe (2) jest równaniem liniowym drugiego
rzędu o współczynnikach stałych. Pierwiastki równania charakterylłtycznego r2+k2 =0 są r1.2= ±ki. Ogólnym więc rozwiązaniem równania (2) jest
(3)
X=C1 sin kt+c2 COB kt.
c1 = a cos kt0 , c1 ==- a sin kt0 , (gdzie
są . dowolnymi stałymi, przyczem a~ O),· otrzymamy
Pisząc stałe c1, c1 w postaci
a i t0
m=asin k(t-t0 ),
(4)
skąd, zaczynając rachubę
(I)
czasu od chwili t0 ,
x=asinkt.
Stałą a nazywamy .amplitudą.
Ponieważ
Isin ktl ~ 1, więc amplituda a wyraża największe od-
chylenie punktu od O. Dla t=± n/2 k dostajemy x=± a. Torem
punktu jest więc odcinek od -a do a. Połóżmy
T = 2n/k.
(5)
Wówczas asink(t + T) =a sin (kt+ 2n) = a sin kt. Na mocy
więc (I) punkt zajmie to samo położenie w czasie t i t+ T. Ruch
jest zatem okresowy (czyli periodyczny) o okresie T.
Wstawiając w (I) zamiast k wartość wyznaczoną z (5).
otrzy-
mamy
. 2n
x=a sin T t.
(li)
Jeżeli n
więc
(III)
oznacza ilość okresów na 1 sek, to n=l/T. Na mocy
(II)
x = a sin 2nnt.
[ł 15]
113
I. Dynamika punktu swobodnego.
Różniczkując
.
(6)
X
(li), otrzyman1y:
2an
..
2n
= 'l.~ = ~ cos T t,
Na mocy (II) i (6)
4an2
możemy
ułożyć
podającą j>olożenie, prędkość i przyśpieszenie
i T, '2 T i 7
•
2n
X= p = --T2 sm Tt.
następującą
tabelkę,
punktu dla t= O, i T ;
1
t
:
o
i
!T
i
X
o
t'
2an/T
p
o
I
-4an2/T2
II
I
I
łT
I
T
I
o
o
-a
- 2an/T
o
2an/T
4an2/T1
o
a
o
1
{T
I
I
o
i
Z tabelki tej widzimy, że w ciągu okresu T punkt porusza się o~
poc·zątku układu O do punktu x= a, następnie wraca przez punkt O
i dochodzi do punktu x= - a, następnie powraca do O i t. d. NajwiękNza prędkość jest w O, natomiast na krańcach toru (t. j. w punktach x= ± a) prędkość jest zerem. Przyśpieszenie zaś jest najwiękNzt• na kra11<·ach, t. j. dla X=± a; w O przyśpieszenie jest zerem.
Pr~yklod. \\' dolnym końcu sprężyny zawieszonej pionowo ·
przy<·zt-piona jrst: kulka o masie m. Niech O ozµacza punkt w którym jn;t ona w spoczynku (w równowadze). Jez'eli kulkę odcl!ylimy
wzdłuż linii pionowej od położenia równowagi, to kulka zacznie się
waha{,. pionowo. ,Jeżt>li masa sprężyny je~t, mała, t,o możemy w przybliżeniu przyjąć, żH sprężyna działa na kulkę z silą P proporcjonalną
do wydlużep.ia (wzgl. skr6cenia) i skierowaną, stale ku punktowi A 0 ,
w którym znnjdownł sif konie<\ sprężyny nierozriągniętej przed zawieszeniNn kulki.
Ohierzmy w punkcie O poezątek osi ..c, skierowanej pionowo w dół. Kła,dąe A 0 0 = d, otrzymamy
P= -- ).2 (.t + d),
gdzil' ;, jei,;t liezhą stał~, zn,leżną od sprężyny. Ponieważ
w O kulka jt•st w równowadze i P= - A2d (bo :t=O),
zatem _:_ .l2d + m,g = O, skąd ).2 =mg/d. Podc•zas ruC'hu
jest 111,.x =P + m!J = - A2(.r + d) + rn!J, wie<· 1n:r + A2 .r = O
c·zyli i+ k 2 .r = O. gclzit-
J,
o
ą
k2 = i.2 /m = !J/d .
S. ·Banach.
Mechanika.
· ·. .
. ....
8
ROZDZIAŁ III.
114
Dynamika punktu mate~alnego.
Na mocy (I), str. 112„ rozwiązaniem powyższego równania jest
x=a1dnkt, zatem
;J;
= a sin
V~
I.
Kulka będzie więc odbywała ruch harmoniczny prosty około
punktu O. N a mocy (5) okres ruchu wynosi
T = 2n:/k=2n:Vd/g= 2n:Vm/.t
Okres ruchu zależy więc od masy punktu.
Ruch · harmoniczny plaski. Niechaj punkt porusza się
w polu sił środkowym, w którym siła P ma zwrot ku środkowi pola
i jest (co do wielkości) proporcjonalna do od_ległości punktu od środka.
Obierzmy w środku pola początek O układu współrzędnych.
Ponieważ ruch środkowy jest ruchem płaskjm, więc możemy przyjąć, że odbywa się w płaszczyźnie xy.
Według prawa Newtona jest mp=P, gdzie p oznacza przyśpie­
szenie punktu. Przyśpieszenie ma więc zwrot ku środkowi pola
i jeRt (co do wielkości) proporcjonalne do odległości punktu od
środka.
Ruch mający tę własność nazywamy ruchen1 h.armonicznym
płaskim, a siłę . P siłą, sprężystą (por. str. 111).
N a mocy założenia 'mamy
l
P,, = _;..2y,
gdzie ;.. jest współczynnikiem proporcjonalności. Równania ruchu
będą miały postać
Kładąc,
jak poprzednio k 2 = ).2 /m,, otrzymamy.
(7)
Na str. 11~, wzór (4), wykaza,liśiny, że rozwiązaniem powyż~
szych równań jest:
(8)
x = a' sin k(t -
t~),
y = a" sin k(t - ,),
gdzie a', a", tó, , są dowolnymi stałymi.
Jak łatwo sprawdzić, ruch ten jest również rnche1n okresowym
w okresie 1.' = 2n/k.
I. Dynamika punktu swobodnego.
[§ 15]
115
Z równań (8) otrzymuje1ny:
a"~ cos kto - a'y cos któ = a'a" cos kt sin k(tJ - tó),
a" x sin kto-- a' y sin któ = a'a" sin kt sin k(to- tó).
Podnosząc
(9)
a"2.v2
do kwadratu i dodając stronami, otrzymamy
+ a'2y
2-
2 a'a"a;y cos k(to -
Jeżeli a'=O, lub a"=O, lub
tó) = [a'a" sin k(to- tó)]2.
to-tó=nn/k (gdzie n -całkowite),
to równanie (9) jest równaniem linii prostej. W pozostałych przypadkach (9) jest równaniem elipsy, której środek leży w początku
układu.
A więc: ruch harmoniczny plaski odbywa się po prostej, przechodzącej przez środek pola, lub po elipsie, której środek kży w środku pola.
Ruch harmoniczny plaski, odbywający się po prostej, jest oczywiście ruchem harmonicznym prostym.
Ruch harmoniczny tłumiony. Niech na punkt materialny, poruszający się po osi x, działa oprócz siły sprężystej P
(t. j. proporcjonalnej do odległości od środka i skierowanej ku środ­
kowi), jeszcze siła Q (tłumiąca czyli hamująca ruch), co do wielkości
proporcjonalna do prędkości~ lecz wprost przeciwnie skierowana niż
prędkość.
Ruch, jaki punkt będzie wówczas wykonywał, nazywamy ruchem harmonicznym tłumionym..
Oznaczając przez P i Q współrzędne sił P i Q, możemy napisać:
P= -
(10)
gdzie ).2 i ,u>_O
mi=
-12.x- ~ ,ui.
(11)
są
,2
A
X
()
,.
I
= - •)... /tX,.
wspólczynnikan1i
proporcjonalności.
Zatem
Kładąc
A2/m=k2
i
/l /-nt=E,
otrzyma111y więc
(IV)
Równanie (IY) jest równaniem liniow~·m o wspól<·zynnikal'h
stalyd1 rzę,Iu clrugiego . .Jego r{rn·nanit•m <·haraktt~ryst~·<·znym je;;;t
( 1 2)
r2 + :! 1-: r + k 2 = o,
skąd
(13)
r, .1 = -- E ± :e-•) ·-- k')
·-.
'
116
e2 -
ROZDZIAŁ
III.
Dynamika punktu materialnego.
Rozpatrzymy tu trzy przypadki, zależnie od tego czy wyróżnik
k2 jest ujemny, dodatni czy równy zeru.
10. e2 -k1 < O. Przypadek ten występuje, gdy e jest małe, t. j.
gdy siła hamująca Q jest mała. Połóżmy
Vk2 - e = k1·
2
(14)
Zatem, na mocy (13) r 1,2 = -· e ± ik1t. Rozwiązaniem ogólnym równania (IV) jest więc w tym przypadku
x = e- Et(c1 sin k 1 t + c2 cos k2 t).
ci, c2, w postaci c1 = · A cos k 1t0 i c2= - A sin k 1t0 ,
gdzie A > O i t 0 są dowolnymi stałymi, otrzymamy
Pisząc stałe
(15)
x = A e-et sin k1 (t ·- t0 ).
Obierzmy, jako nowy początek czasu, chwilę t 0 ; podstawmy zatem t - t 0 = t'. Dostaniemy x = Ae- E rr+to> sin ~ t';
pisząc z powrotem t · zamiast· t'
,, ---;;
i kładąc .Ae-etu= a, otrzymamy •=--ae~' ,,,,./'
(V) ~=ae-etsink1t, gdzie a>O.
Wykres powyższej funkcji podany jest na rysunku. Aby wyznaczyć ekstrema tej funkcji, należy obliczyć· miejsca zerowe pochodnej i = ae· c-t(ki cos k 1f - e sin k1t). Będzie więc i:= O dla tych
wartości t, dla których
(16)
Jeżeli t0 jest najmniejszym pierwiastkiem dodatnim równania (16),
to pozosta.łe pierwiastki mają postać
(17)
tn = t 0 + nn/ki,
gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą. Badając znak drugiej pochodnej, stwierdzamy, że maxin1um występuje dla n parzyst,ych, a minimum dla n nieparzystych. Wynika stąd, że w chwilach t„ IlOchodna i zmienia znak, a więc~ prędkość zmienia zwrot.
Chwile t:l nazywamy rhwilami Z'll'totu, odpowiednie zaś położe­
nia poruszającego się punktu ·- - pun.ktam.i zwrotu.
Punkty zwrotu wypadają okresowo co n /k 1 st-k. i to kolejno,
raz na prawo, raz na lewo orl pot:·zątkn O.
[§ 15]
I. Dynamika: . punktu swobodnego.
117
Czas T 1 =2n/k1 nazywamy jak wprzódy okresem rudw.
Czas 4-T1 =n/ki między dwiema chwilami zwrotu naz~·wa się
okresem drgania.
Na ~ocy (17) mamy więc
(18)
Weźmy pod uwagę dwa po sobie następujące
punkty zwrotu
Xn, X11+1, odpowiadające chwilom tn, tn+J· Na mocy (V) i, (1~) jest:
skąd
IXn+1l/lxnl = e-łtT, •
Wynika stąd, że współrzędne Xn maleją do zera (co do modułu)
według postępu geometrycznego.
A więc: jeżeli siła hamująca jest mała, to maksymalne odchylenia
punktu następ~ją po sobie w równych odstępaeh czasu (okres drgania.)
i maleją do zera w~g postępu geometrycznego.
20. e2- k 2 > o: Przypadek ten występuje gdy siła tłumiąca
jest duża. Łatwo stwierdzić, że pierwiastki równania charakterystycz.:.
nego (13) są w tym przypadku ujemne. Oznaczając je przez - e1
1 - e2 , otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania (IV) w: postaci
(VI)
gdzie .A i B są stałymi dowolnymi oraz e1 > O i ei> O.
Gdy czas t '!zrasta, to x szybko dąży do zera. Nie trudno,
sprawdzić, że istnieje co najwyżej jeden punkt zwrotu. Prędkość
jest więc co najwyżej raz tylko zerem.
30.
e2-k2
= O. Przy tym założeniu równanie charaktery-
styczne (13) ma pierwiastek podwójny - e. Rozwiązanie ogólne równania (IV) ma postać
x = e-tt (At + B),
(VII)
gdzie .A i B są stałymi dowolnymi.
Gdy czas wzrasta, x dąży szybko do zei'a. Podobnie jak poprzednio, istnieje co najwyżej jeden punkt zwrotu, a więc prędkość
staje się zerem co najwyżej raz tylko.
ROZDZIAŁ III.
118
Dynamika punktu materialne~o.
Ruch harmoniczny wymuszonr. Niech na ptinkt materialny, poruszający się po osi x, dzia_ła oprócz sil~· sprfżystej P
i tłumiącej Q jeszcze siła ił, skierowana wzdłuż osi :r i zalt-żua tylko
od czasu.
Współrzędna siły ·.ił będzie więc
R = mw f(t),
gdzie ~ jest . stałe.
Przypuśćmy, że siła .ił jest periodyczna, np. że
R = mw sin (at
(19)
gdzie a i fJ
str. 115):
są stałe.
+ {J),
Równanie ruchu ma więc postać (por. (IV),
a;+ 2ei+k2x = w sin (at+/J),
(20)
gdzie znaczenie stałych e i k jest takie sanie jak poprzednio. Aby
otrzymać rozwiązanie ogólne równania (20), wyznaczamy jedno szczególne p~staci
w= b sin (at+y).
(21)
W celu wyznaczenia stałych b i y, podstawmy (21) w (20). Do-
staniemy
(22)
·
(k1 -
a1 )b sin (at+ y) + 2aeb cos (at+ y)
= w sin (at+ /J).
Kładąc raz at+y=O, drugi raz at+y=n/2, dostaniemy
(23)
2 aeb = w sin (/J-y),
(k1 -· a1 )b = w cos (/J-y),
skąd
(24)
biw
- (k1 - a 1 )1
+ 4 a2et '
2ae
. tg({J-y) = kl
I'
-a
a z równości tych wyznaczamy już b i y.
Opierając się na (24), łatwo stwierdzić, że funkcja (21) spełnia
równanie (20) tożsamościowo dla każdego t.
Rozpatrzmy przypadek el-- k1 < O. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ii:+ 2 ei+ k1w = O podaje wzór (15), str. 116. Zatem ogólnym rozwiązaniem równania (20) jest
(25)
w= Ae-EI sin k 1(t - t0 )
+ b sin (at+ y),
gdzie
k1 = Vk1 - e'·
Gdy t wzrasta, pierwszy składnik dąży szybko do zera i ruch
staje si~ w przybliżeniu harmonicznym _o równaniu
x = b sin (at+ y).
[§ 16]
llO
I. Dynamika punktu swobodnego.
Amplitudą
tego ruchu jeKt. b. Siła ił jeKt Kiłą perirnly<·zną
o okresie T' = 2 nfa. Okres ruchu 'harmonicznego tłumionego wynosi T1 = 2n/k1 • Przypuśćmy, że okreRy '1" i 'l'i mało Kię różnią od
siebie, czyli że a mało się różni od k1 • tf eżeli siła tlumią.<·a j(•st mała,
to e jest małe, więc. k1 = Vk1 - e2 mało Rię · różni od k. Zatt-m i k
mało się będzie różniło od a. Na mocy wif<: (:!4) może hy~ b wiPlkit~
nawet wówczas, gdy w jeRt _małe (t. zn. gdy Kiła R jeKt mała).
Widzimy stąd, że małą silą periodyczną, u okresie zbliżmi:l/1n
· do okresu ruchu, możemy wywołać wielkie odchylenia p1tnktu od śmtlka,
gdy Bila a-umiąca jest mała.
Oddział tołnierzy, przechodzących
przez mo15t krokiem miarowym, wy.
wołuje drgania (własne) moetu. Jeteli o~resy kroków i drgania mostfr mało Kię
rótnią od 1Jiebie, to odchylenia moatu mogą stać. się szybko tak dute, te most
się załamie.
Podobnie gdy automobil doznaje na złej dro<he w.strząsów, clrob.
nych nawet, ale których okree jest zblitony do okresu drgaia (własnych) jego
resorów. to wahania mog11 stać się tak wielkie, te reeor pęknie.
Krzywe Lissajous. Niech na punkt materialny działa siła P,
której. rzuty na osie układu są (co do wielkości) proporcjonalne do
współrzędnych punktu 1 skierowane ku początkowi układu. Możemy
więc przyjąć, że:
Px=_-A! x,
gdzie l 1, l 1 , A3
są stale.
·p,,= -A~y,
Pz= -A:z,
Równania ruchu mają postać:
mx= -A~x,
my= -A}y,
mi= -A:z.
Kładąc .tVm = k~, ~/m=~ i ~/m=~, otrzyma.my więc:
x =-k~ x,
(26)
ii=-~Y,
i =--k:z.
RoŻwiązaniami powyższych równań (por. Htr.112, wzór (4)) si
funkcje:
(27)
X=a1 Sinki(t -
,),
y=a2sink,!(t - to),
Z=aasinka(t -t~')
Okresy tych funkcji wynoszą (str. 112, wzór (5)):
(28)
T,. = 2n/k2 ,
Jeżeli ruch jest okresowy o okresie T,
1'3 = 2n /k3•
to ilorazy T: 1.'i, 1': 'l.'2, 'l.': 'J.
muszą być liczbami całkowitymi. Zatem ilorazy T 1 : T 2 , T 1 : Ta i T 2: 1.
(lub ze względu na (28) ilorazy k2 : k1, k3 : k1 i k3 :k1 ) muszą by
liczbami wymiernymi. Jeżeli więc nie wszystkie te ilorazy s·
liczbami wymiernymi, to ruch nie jest ruchem okreHowym.
ROZDZIAŁ III.
120
Dynamika punktu materialnego.
W przypadku ruchu na p'łaszczyżnie, tory ruchu określonego
równaniami ,(27) noszą nazwę krzywych Li11ajou1; odgrywają one
watną rolę w akustyce.
Pr•yklad. Ruch odbywa się w płaszczyźnie xy. Niech k 1 : k 1 = 2
i tó = tó' = o.
Kładąc k1 = k i k1 = 2k, otrzymamy zatf!m na mocy (27):
i
y
= ,a1 sin 2kt.
. Ponieważ y=2a-1 sinktcoskt, więc sinkt=x/a1 i cóskt=4ty/2arJ,
skąd (x/4t)2 + (au1/2arJJ)1 = I, czyli
4 at2~
,..l _ 4 a?. a„ x?.
1 2
+ a' y;2 = O
1
•
Tor będzie więc krzywą rzędu czwartego.
§ 18. Warunki .równowagi w polu sił. Jeżeli w pewnym
polu sił punkt materialny jest w punkcie A w równowadze, to oczywiście siła P . działająca w A równa się zeru. Na odwrót, jeżeli w pewnym punkcie .A (x0 , Yo, z0 ) pola, siła P= O, to punkt ~naterialny
umieszczony w A w chwili ·t=t0 bez prędkości początkowej (t. zn.
v0 =0) pozostanie stale w. spoczynku t . j. w równowadze. Wynik&
to stąd, że warunki początkowe wyznaczają ruch jednoznacznie,
a spoczynek (t. j. ruch określony równaniami x= x0 , y = y 0 , z= z0 )
spełnia warunki początkowe i równanie mp=ł'; mamy howienr stale
p=O i P=O.
,v polu potencjalnym pochodne cząstkowe potencjału V równe
są, jak wiemy, rzutom siły na osie układu (§ 11, str. ·100). Jeżeli
więc punkt A jest położeniem równowagi, wówczas w pul)kcie .A.:
(1)
Równania powyższe zachodzą w szczególności w tych punktach,
w których występują . maxima lub minima potencjału.
A
więc:
p'u,nkty, w których występują ekstrema potencjału, są
położeniami równowagi.
Położenia równowagi mogą
jednak występować również w takich punktach, w których po~encjal_nie ma ekstremum; równania (1)
przedstawiają bowiem tylko warunki konieczne istnienia ekstremum.
I. Dynamika punktu swobodnego.
[ł 18]
121
Równowaga stała. Niech w polu sil punkt materialny znajduje się w równowadze w punkcie A..
Powiadamy, że równowaga jest ,tala, jeżeli punkt materialny
po małym przesunięciu z punktu · A i po otrzymaniu małej energii
kinetycznej początkowej, będzie poruszał się stale w niewielkiej odległości od A i posiadał stale małą energię kinetyczną. ęciślej mówiąc,
równowaga, w A jest stała, jeżeli do każdych dwu liezb R>O i' e>O
można dobrać tak.ie liczby R~> O i Eo> O, że punkt m~terialny, znajdujący się gdziekolwiek w odległości mniejszej niż R 0 od A, · będzie
po otrzymaniu energii kinetycznej początkowej mniejszej niż e0 po~
ruszał się w odległości od .A stale mniejszej niż R i posiadał energię
kinetyczną stale mniejszą niż e.
Jeżeli
równowaga w punkcie A nie jest stała,. mówimy, że
w punkcie tym jest równowaga niestała.
Twierd~enie Di1·ichleta. W polu potencjalnym punkt, w którym potencjał osiąga maximum właściwe, jest położeniem r&wnow'agi
stałej.
Dowód. Niech w pewnym polu potencjalnym potencjał V
osiąga maximum .właściwe w punkcie A (mówi się, że funkcja
o~ią.ga w punkcie ..A maximum właściwe, jeżeli w pewnym otoczeniu
tego punktu naj.większą wartość prżyjmuje tylko w punkcie A).
Załóżmy, że w punkcie A potencjał ma wartość · O; moiemy
to za~sze uzyskać przez dodanie odpowiednie.i stałej, ponieważ potencjał określony jest tylko z dokładnością do pewnej stałej (str. 99).
Weźmy dowolne R?O i e>O. Bez szkody dla ogólności dowodu możemy też obrać R tak małe, by w kuli Ko środku A i promieniu R potencjał. był wszędzie po za A ujemny. Oznaczmy przez L
maksimum potencjału na powierzchni kuli K; zatem L<O.
Niech teraz Eo będzie dowolną liczbą, spełniającą nierówności:
(2)
e0 >0,
e0 <-}L,
Ponieważ w A potencjał jest zerem, więc istnieje taka kula K 0
o środku A i promieniu R 0 < R, że
(3)
- e0 < V~ O w kuli
K 0•
Umieśćmy punkt materialny gdziekolwiek w odległości < R 0 od A
(t. j. w kuli K 0 ) i nadajmy mu energię kinetyczną początkową
(4)
E 0 < e0 •
122
ROZL>ZIAL III.
Dynamika punktu materialnego.
Na moc·,v U•). str. 106, jest podczas ruchu stale
(5)
E-V=E0 -V0 •
Ponieważ
na mocy (3) jest - e0 <V0 , więc wobec (5) i (4) jest
(6)
E-V<2e0 •
Z uwagi na to, że ·E~O, otrzymujemy -V~2e0 , skąd na
mocy (2) -Tr< -L, czyli V>L. A więc punkt materialny nigdy
nie przekroczy powierzchni kuli K (bo potencjał na niej jest ~ L);
~uch jego będzie Mię tedy odbywał wewnątrz kuli K, t. j. w odległości od A mniejszej niż R . Ponieważ ponadto w kuli K jest stale
V~ o, <·zyli - V~ O, więc na mocy (6) jest E<2e0 , skąd na mocy (1)
E < e. A .więc w A jest równowaga stała, c. b. d. d.
Przykład. Weźmy pod uwagę pole sił,
w którym Px=-k'x,
P 11 = -k2J1, Pz = -k z. Pole to jest więc polem potencjalnym o potencj~le V = - } k2r2, gdzie r2 = x2 + y' + zł.
Punkt A (o, o, O) jest p~lożeniem równowagi stałej, bo w punkcie
tym potencjał osiąga wartość największą o, a poza tym jest uj~mny.
Stałość równowagi w A udowodnimy teraz bezpośrednio.
Niech dane będą dow~lne liczby R>O i e>O. Umieśćmy punkt
materialny w odległości r 0 od A i nadajmy mu energię kinetyczną E.
Zaten1 E + } -,..·ir1. = E 0 + } k'?~, skąd
2
(7)
E~ Eo+ ł k 2 r~.
Ponadto } k 2 r2 ,
E0
+ ł kt.r i czyli
r~v-~ r
(8)
~
k2 E O +
2
O•
Jeżeli więc dobierzemy Eo i R 0 tak, by było równocześnie
Eo
.•
<E
+ ~ k·'R2
I
O
.
l
1/2.
y JĆ2 Eo + .o,O < R '
D'l
to otrzymamy dla wszelkich E 0 <e0 i r 0 < R 0 na mocy (7) i (8)
E<e i r<R. Udowodniliśmy więe, że równowaga w A jest stała.
123
li. Dynamika p1D1ktu nieswobodnego.
[§ 17]
U Dynamika punktu nieswobodnego.
f 17. Równania ruchu. Dotychczas badaliśmy ruch punktu
materialnego swobodnego, t. j. takiego, który mógł wykonywać dowolne ruchy przy odpowiednich siłach. Spotykamy się jednak również z zagadnienia.mi, w których ruchy punktu podlegają pewnym
ograniczeniom, takim np., że punkt musi stale pozostawać na pewnej
linii, powierzchni i t. p.
Przykład. Wyobraźmy sobie, ze drobna kulka. nawleczona. jest na szt,vwny
drut (np. w kształcie koła) . Jakimikolwiek siłami działaliby~my na kulkę. ł~­
dzie ona mogła wykonywać jedynie takie mchy, przy których pozost.a.nie 8t,ale
na drucie. Zagadnienie sprowadza się więc w tyn1 pr;ypadku do l,a<lania nwl111
punktu mate~alnego, który ma pozostawać stale na. pewnej linii.
Punkt taki nazywamy nieswobodnym, a warunki ograni<'zająee,
jakim muszą czynić zadość ruchy punktu nieswobodnego, naz~..wamy
wi~zami.
Reakcja. Przy rozpatrywaniu ruchu punktów nie8woho<lnych
będziemy zakładali, że na punkt nieswobodny działa (oprócz danycl:t
sił) pewna dodatkowa siła, która sprawia, że punkt zachowuje więzy.
Tę dodatkową siłę ~azywamy reakcją (oddziaływaniem).
Reakcję przypisujemy działaniu na punkt materialny ·ciał wywołujących
więzy. Reakcją ·drutu jest więc np. siła, z jak, drut przeciwstawia się porzuceniu
go przez nawleczoną na niego kulkę.
R
/1/
1.
2.
3.
Niech punkt materialny nieswobodny . A ma pozostawać stale
na krzywej O (rys. 1). Niech reakcja w pewnym położeniu punktu A
będzie R. Składową N reakcji, prostopadłą do styeznej, nazywan1y
rea.keją normalną, składo.wą T styczną nazywamy reakr.ją st.11cznt{
lub tarciem.
·
Podobnie, jeżeli punkt ma pozostawać stale na pewnej powierzchni S (rys. 2), to składową reakeji prostopadłą do powierzchni S
nazywamy reakcją normalną, składową z~~ styczną reak('ją styczną
lub tarciem.
124
ROZDZIAŁ III.
Dynamika punktu materialnego.
Ilekroć więc zakładan1y, że
nie ma tarcia, to przyjmujemy
tym samym, że reakcja jest prostopadła do krzywej (powierzchni).
Gdy nie ma 'tarcia, mówimy też, że krzywa (powierzchnia) jest gładka.
Jeżeli. o punkcie .A, leżącym po pewnej stronie powierzchni,
zakładamy tylko; ż.e nie może przejść na drugą jej stronę (choć
może porzucić tę powierzchnię), to reakcję uważamy za skierowaną
w tę stronę powie·rzchni, z której znajduje się punkt (str. 123, rys. 3).
Gdy np. kulka
ku górze.
leży
na stole, wówczas reakcja
stołu
skierowana jest
Równania ruchu. Reakcję określiliśmy_ jako siłę dodatkową,
która sprawia, że punkt nieswobodny zachowuje więzy. Jeżeli więc
do siły działającej P dodamy reakcję ił, to będziemy mogli uważać
punkt materialny za punkt swobodny. Oznaczając przez m masę,
a przez p przyśpieszenie punktu, otrzymamy więc
(I)
W ten sposób badanie ruchu punktu nieswobodnego sprowa-
dzamy do badania ruchu punktu swobodnego. Jeżeli o reakcji R
przyjmiemy jeszcze pewne założenia specjalne, np. że nie ma tarcia,
to (jak okażemy później) równanie (I) wystarcza do wyznaczenia ruchu.
Przykład.
Niech punkt o masie m spada pod wpływem cię­
żaru Q= mg po płaszczyźnie, nachylonej do poziomu pod kątem a.
Załóżmy, że nie ma tarcia. Reakcja R
jest zatem prostopadła do płaszczyzny.
Oznaczając przez p przyśpieszenie punktu,
mamy na mocy (I) mp=Q+R. Tworząc rzuty
na płaszczyznę pochyłą i kładąc p=IPI, otrzymamy mp=mgsina1 skąd
p=g sina.
Energia kinetyczna. Przyrost energii .kinetycznej punktu .
nieswobodnego równa się sumie .prac siły działającej P i reakcji Il.
Przy założeniu ]?raku tarcia reakcja jest prostopadła do .toru, zatem
praca reakcji równa się zeru. "\Yynika stąd, że gdy nie ma tarcia,
przyrost energii kinetycznej równa się · jedynie pracy wykonanej
przez siłę P.
·
W szczególności, jeżeli nie ma tarcia, to su.ma energii kinetycznej
·i potencjalnej punktu poruszają-0ego si, w. polu potencjalnym jest stal.a.
U 181
125
II. Dynamika punktu nieswobodnego.
łf 18.
Ruch punktu nieswobodnego po krzywej.
Ruch po kl'zywej pla~kiej. Zalóżn1y, że punkt A o masie m n1a pozostawać na krzyw(-\j płaskiej (' i że siła P tlzialająca
na punkt leży w l)łaszczyźnie krzywpj C. Przypuśćmy, że nie ma
tarcia, t. zn. że reakcja R jest prostopadła do krzywej.
Oznaczając · przez p przyśpit>~zpnit.> punkt.u, n1am.\· więe (por.
wzór (I)., str. 124)
m}>=T'+R.
(1)
Nadajmy stycznej t zwrot :1.go<lny ze zwrotem krzywej, a normalnej n zwrot ku _ środkowi krzywizny (rys. 1). Niechaj p,, Pn, P,, P11
będą rzutami' przyśpieszenia p i :--il,\· P na styczną i norma.Iną zaś R
rzutem reakcji R na normalną. ~ równania (1.) otrzyman1y, tworząc
rzuty na styczną i normalną:
mp,,=P,,+R.
(2)
Niech v oznacza rzut prę<lkoś<:i na
krzywizny. Wówczas (str. 41):
e promień
styczną, zaś
p,=v,
skąd
na mocy (2):
mv=P,,
(I)
Pierwsze z równań (I) pozwala wyznaczyć ruch, znając siłę P
lub jej rzut P,. Równanie
b
to możemy także napisać
w innej jeszcze postaci,
C
mianowicie: ·
(3)
ms=P,,
gdżie s oznacza współrzęd­
ną łukową na krzywej
C.
I.
2.
Drugie z równań (I) pozwala obliczyć reakcję R, znając prędkość v.
Ruch po krzywej przestrzennej. Załóżmy, że tor jest
krzywą przestrzenną C i że nie ma tarcia.
Nadajmy · stycznej t zwrot zgodny ze zwrotem krzywej, normalnej głównej n zwrot ku środkowi krzywizny, wreszcie binormalnej b
zwrot taki, by układ (t, n, b) miał zwrot zgodny z 'układem współ­
. rzędnyeh
(rys. 2).
126
· ROZDZI.AL III. D~·namika punktu m a terfohu•,l!'o,
Utwórzmy rzuty na styczną, na normalną główną i na hinormalną. Ponieważ rzut przyśpieszenia na binormalną (str. 4:.n i rzut R
na styczną są zerami, więc otrzymamy z równania· 1np= P +R:
skąd
(li)
mp,=P,,
mp,,=P,,+R,,,
O=Pb+Rb,
mv=P,,
mv2 /e=P,,+R,,,
Pb+Rb=O.
Pier:wsze z równań (li) pozwala wyznaczyć ruch, z dwóch za8
pozostałych równań (II) możemy obliczyć składowe R„ i Rb, a więc
reakcję ii.
Ruch punktu ·nieswobodnego ciężkiego. Niech na punkt
materialny nieswobodny o masie. m działa siła ciężkości. Załóżmy,
że nie ma tarcia. Potencjał siły ciężkości wynosi V= -mgz (oś z
skierowana pionowo w górę). Na mocy zasady zachowania energii
całkowitej otrzymamy więc { mv2+ mgz= const. lub po uproszczeniu
v2 +2gz= h.
(III)
Stałą h możemy wyznaczyć, znając prędkość v 0 i współrzędną i 0
w pewneJ chwili t 0 • Dostaniemy
h = vi + 2gz0 ,
(4 )
skąd
,,;1.
+ 2gz = v~ + 2gz0 •
Z (III) wynika 2gz~ h, zatem z~h/2g. Maksymalna więc wy1:1ok0Hć,
na jaką punkt może się wznieść, wynosi
(5)
Zmax
1
1
= -2g h = -2g Vó + Z0 ,
?
.
punkt w ciągu ruchu znajduje się kilka razy na tym
samym poziomie z=z', wówczas na mocy (III) mamy v2-h-2gz'.
Jeżeli
A więc: · na jednym i tym fłamJJm poziomie punkt ma jedną i t,
sa·mą pręllko.ęć,
Przykład 1.
Punkt spada po krzywej O o równaniu z=f(x ),
położonej w płaszczyźnie pionowej xz. · Załóżmy, że w czasie t=O
1nmkt1 znajduje się w punkcie A (x 0 , z0 ) i ma prędkość v0 = O.
Oznaezając przez Ił współrzędną łukową, <lostaniemy więc na
moc.v (-ł), z uwagi na to, że IJ=·'l ,
czyli
Ohi~rzmy na krzywł~j <.' zwrot zgodny z początkowym ruchem
punktu (t. j . Z\\ rot ku ,lolowi ). .\ż do ehwi1i, gdy punkt mate-
[§ 18]
II. Dynamika plDlktu nieswobodnago.
127
rialny dojdzie do punktu H, położonego na tej Karnej wy1mkości co
1
punkt A (rys. I), mamy
:!g(z0 - z), więc tlJJ l ·-.!.g(z0 - ·.:)=tlt.
Ponieważ t.l.'J = ~ 1 +/'2( :r.) d.r, więc
-~=J
!l
J
I
1+ f'2(x)
/ '!.f/(/(xo)-/(x)) <lx=t.
(6)
·""
. Wzór powyżKzy poda.je_ <·zas, w kt6rym punkt materialny
osiągnie punkt D o w8pólrzę,lnych ..c=
!/= f (e) ••Jeżeli ..c1 oznacza,
odciętą punktu B, to <lJa. J:0 ~e<..c1 ,·ałk~ (6) ma. wartoHć skończoną,
więc czas t jest Rkończony. Dla ; = x 1 funkcja podcałkowa staje się
nieskończoną, ho z zał9żenia Zu=f (.r0 )= f (x1 ). W tym przypadku
wartość całki może być więc skończona luh nieHkończona. Wynika
stąd, że punkt materialny może ,lojść do punktu B Juh nie: zależeć
to będzie od ~ształtu krzywej ( '. ł~atwo okazać, it~ jeżt>li ~tyczna·
w punkcie B nie jest pozioma (t. zn. jeż(•Ji f'(.r,i) =ł= O). w6wc·za~ wartość całki (6) jest skoń­
czona, więc punkt materialny osiągnie punkt B. z
z.
Przykład
2.
l
Niech punkt zsuwa i,ię
w płaszczyźnie pionow,~j
po krzywej (), kti,rej
,. '
część BE TJ F jest kołem
J.
2.
o ~rodku O i promieniu r. Za.Mżmy, że nie ma ta.reia. ZaMżmy t,?ż, żt> punkt nie musi
stale pozoi.;tawać na krzywej G, hylc~h.v tylko nic~ fH'ZPKzedł na drugą
jej i,tronę; rmtk<:ja hęflzie wię,~ i,,ki,~r·owana w tę i,;tronę, po kt6rej
punkt i,;ię znajduje (ryi.;. i).
Zapytajmy xię, z jakiej wysoko~f\i z0 nafoży punkt OJm~cić bez
prędkośc~i poc~zątkowej, ażehy ohi,~gł okrąg kola IJED/11.
e,
Obierzmy na kole punkt R ,Jowolui<~. Ozrnwzmy przez v 1>ręd­
kość punktu w E, .przez 11 kąt, ,jaki fiworzy z pionem promień OE.
.Zatem na moc:y (I), str. I i;j, jei,;t rnn2 /r= Jn!J em; ·i'l +H, ezy li
m,
2
II~ = -(
r n · ·· (Ir
., COS #·).
Ponieważ
H ~ O (gdyż r(mkc~ja musi hyć ijkierowana w stronę
punktu, t . j. ku środkowi koła,), więe
(7)
,;
2
·
yr eos O~ O.
ROZDZIAŁ III.
128
Dynamika punktu materiabtego.
Ponieważ
punkt opuścił wysokość z0 bez prędkoś<·i początko­
wej, więc oznaczając przez z WHpólrzędną punktu E, będziemy
mfeli ·v2+2gz=2gz0 • Wyznaczając stąd r 2 i wstawiają<: w (7), otrzy•
mamy 2gz0 -2gz-1r„ coH łJ ~ o, Hkąd
(8)
Z0 ~
z+ ł ~os (J.
Nierówność (8) jest .warunkiem koniecznym i wpłtartzającym,
jaki mu~i spełniać wysokość z0 , aby punkt obiegi okrą.g BD EP·. Prawa
strona tej nierówności osiąga maksymalną wartość w najw)·żHzym
punkcie kola, w którym z=21· i fl=(t. Wstawiając· te wartoK<:i
w (8 ), dostaniemy
z0 ~ 5r/2.
Jeżeli więc spuścimy
punkt materialny z . w~·Hokośei z0 ~5r. 2,
to punkt obiegnie kolo.
Jeżeli zaś
z"<5r/2, to w pewnym punkcie koła. ilaKz punkt
materialny opuści kolo, mianowicie w tym punkcie, w którym,
z0 =z+łrcos łJ. Gdyby bowiem dalej poruszał Hię po kole, to, juk
łatwo stwierdzić, mielibyśmy R<O, co jest niemożliwe,, gdyż to hy
oznaczało, że punkt jest przyciskany do krzywej. Po opuHzezeniu
kola punkt hę<lzie ·spadał oczywiście tylko pod wpł)·wem inn~go
ciężaru.
l"1•z11 ktatl :1. Punkt o maHie m poruKzn Kit p8'l działaniem
siły ciężkości
po linii śrubowej
X=r COS rp,
(9)
y=r sin ff,
Mamy
więc
v2 = x2+y2+ż2= (r2+ k2)ip2, skąd na mocy (Ili), str. 1~6, otrz)··
mujemy (r2+ k1 )ipl+ 2gkrp= h, a zatem . dt/dq,= ±V(r2+ k2),f (h ~2gkq;)
i wreszde
Znak po prawej stronie i stała r, zależą od warunków począt­
kowych. Wyrażając~ <p przez t i wst,awiając w (9), otrzymamy
równania ruchu.
[§ 19]
129
Il. Dynamika punktu nie1:1wobodnego.
I 19. Ruch punktu nieswobodnego po powierzchni.
Niech na punkt materialny o masie m działa siła P. Załóżmy, że
punkt ma pozostawać stale na powierzchni S o równaniu
F(x, y, z)=O
(1)
i że nie ma tarcia. Reakcja R jest więc prostopadła do S.
Z geometrii różniczkowej wiadomo, że współczynniki kierunkowe
normalnej do powierzchni są proporcjonalne do pochodnych cząst­
kowych d F / ~a:, dF /ay, dF / az. Ponieważ reakcja R ma kierunek
normalnej, więc:
(2)
Rx=lBF/~x,
Ry=AaF/ay,
Rz=AdF/az,
gdzie l jest współczynnikiem proporcjonalności zależnym od czasu.
Zatem l=,i(t).
(I )
Z równania mp=P +R otrzymamy na mocy (2):
„
p
.. p
.. p
1 aF
1 dF
mX =
X
+ Ą d(JJ '
my =
li
+ dY '
li.
mz =
z
dF
+ a~ •
1
li.
Równania (1) i (I) wyznaczają łącznie nieznane funkcje czasu
a:=f(t), y=<p(t), Z=tp(t) i A=l(t). Po wyznaczeniu tych funkcyj
możemy reakcję Ił obliczyć z równań (2).
P1•%yklatl 1. Punkt ciężki o masie m porusza się po powierz-
chni walca · kołowego (oś z skierowana pionowo w górę)
x2+y2=r2.
Mamy tutaj F(x, y, z) - x2 + y 2 - r 2 = O,
i Pz = - mg, więc na mocy (I):
(3)
Px = O,
Py = O
mx=2AX,
mifl=2).y,
mi=-mg.
Trzecie z równań (3) daje po scałkowaniu
2
Z=-łgt +at+b,
(4)
gdzie a i b są stałe. Przyjmijmy warunki początkowe dla t= O:
(5)
x 0=r,
y 0=0,
Z0=0,
i 0=0,
if0=u,
ż0=w,
gdzie u i w oznaczają, pewne stałe (i0= O, gdyż w chwili t= O
prędkość v0 jest styczna do walca, więc prostopadła do osi a:). N a
mocy (4) i (5) dostajemy b=O i a=w, zatem
2
(6)
Z=- } gt +wt.
Ponieważ v2+ ·2 gz=v~+2gz0 , więc i2+if2+ż2 +2gz=u 1 +w2, skąd
na mocy (6) i 2 +;,i2+(-gt+w)2 -g2t 2 +2wgt=u2 +w2, a zatem
(7)
S. Banach. Mechanika.
9
-1 30
ROZDZ.IAL lll.
Dynamika punktu materialnego.
A więc rzut punktu na płaszczyznę po_ziomą porusza się po
kole x2+ y2 = r2 z prędkością stałą ·u; prędkość kątowa wynosi
więc c,J= ·u/r. Stąd x=rcos(ut/r+q;0 ) i y=rsin(ut/r+q;0 ). Ponieważ
dla t=O jest według(?;) .c0 =r i y0 =0, więc możemy przyjąć q;0 =0.
Dostaniemy zatem:
u
. u
..c= r cos.- t, · y= r s1n-t.
(8)
r
r
Równania. (6) i (~) określają ruch punktu. Czynnik ;. otrzymamy
z równań (3), wstawiając za.miast x i .c wartości z (8). Dostaniemy
A= - ·m u2 /:!r2, ~ką'1 na mocy. (:!):
.
mu2
R.,· = - --2-.x, .
r
1
mu2
Ry=---2Y,
r
wreszcie
mu2 1,_ + _ mu2
R -_liRt
r .r +R2u- r2 r.h-2 Y2 - r •
A
więc:
padła do
rea.keja je:-;t stała co do wielkości i zawsze prosto-
osi walca• .
Przykład 2. ·Punkt
o masie ·m }JOrusza się pod działaniem ·
Biły eiężkości 1>0 kuli (oś z skierowana pionowo w górę)
(9)
Na moey więc (I), str. 129:
(10)
m.v = 2lx,
-m:ij =2J.y,
nii = 2J.z - mg.
Równania (1 O)' nie dadzą się rozwiązać przy pomocy funke~~j
elementa.rnyl'h. )ł.ożemy jednak wyprowa<lzić pewne wnioski, nie
rozwiązując tych równań.
Zauważmy, że reakcja il jest stale skierowana ku środkowi
kuli, a więc, że jej rzut il' na płaszczyznę poziomą jest stale skierowany ku początkowi O układu. Rznt .R' jest więc silą środkową.
Ponieważ rzut siły ciężkości nai płaszczyznę poziomą jest zerem, więc oznaczając przez p' rzut przyśpieszenia punktu ua
płaszczyznę poziomą, otrzymamy mp' =R'.
.
Wynika stąd (str. 86), że nich rzutu będzie ruchem środkowym.
Tor rzutu będzie więc albo linią prostą Z, 1>rzechodzącą przez początek O, albo krzywą O, która nigdy przez początek nie przejdzie
(str. 87 }.
[§ 20)
II. Dynamika punktu nieswobodnego.
131
W przypadku pierwszym ruch samego punktu będzie odbywał
się w płaszczyźnie pionowej, której śladem jeśt Z; punkt będzie
więc poruszał się po południku. Przypadek ten zajdzie, jeżeli punktowi
nadamy prędkość początkową styczną do południka, wtedy bowiem
rzut prędkości (na płaszczyznę a;y) będzie skierowany ku początkowi O,
prędkość polowa rzutu będzie zerem i . tor rzutu będzie linią, prostą­
przechodzącą przez środek O.
W przypadku drugim, gdy tor rzutu jest krzywą O nigdy nie
przechodzącą przez O, będziemy mieli, oznaczając przez r0 i r 1 naj•
mniejszą i największą odległość rzutu od O, ri~w+y2 ~1·
Na mocy (9) jest z'-=ri-(x2+y2 }, więc ri- r~~zt~r2-1 czyli
Vr-· Ti~lzl~Vrs-ri.
Wynika stąd, że punkt będzie krążył po kuli między dwiema
płaszczyznami poziomymi. Przypadek ten zajdzie, jeżeli prędkość
początkowa v0 punktu nie będzie styczna do południka; wtedy bowiem rzut prędkości v0 na płaszczyznę a;y nie będzie skierowany
ku O i prędkość polowa rzutu będzie różna od zera.
§ 20. Wahadlo matematyczne. W akadlem mat~matycz'!"'ym
nazywamy punkt materialny m zawieszony w polu ciężkości na
nici niematerialnej i nierozciągliwej, utwierdzonej jednym końcem
w punkcie S.
Nić działa na punkt materialny tylko wówczas, gdy jest napięta; reakcja Ił jest skierowana wzdłuż nici ku pup.ktowi S. Odległość punktu m od punktu S jest stale niewiększa od długości
nici Z. Punkt może się zatem poruszać wewnątrz i na powierzchni
kuli K o środku S i promieniu Z.
Jeżeli przy napiętej nici, tworzącej z pionem SO kąt < n /2
puścimy wolno punkt m (t. j. bez prędkości początkowej), to punkt
będzie się poruszał w płaszczyźnie pionowej, przechodzącej przez S,
po kole o środku O i promieniu Z.
Przyjąwszy na kole dowolny zwrot, oznaczmy położenie punktu A (leżącego na dolnej połowie koła) przy pomocy współrzędnej
łukowej s, liczonej od najniższego punktu koła O. Oznaczmy przez
<p kąt między OS i ·O.A, przyczem znak ktta <p niechaj będzie
zgodny ze zwrotem łuku O.A. Zatem
(1)
B=U/). .
132
ROZDZIAŁ
III.
Dynamika punktu materialnego.
Tworząc rzuty siły ciężkości i reakcji R
na, styczną w .p unkcie .A, otrzyma~y
ma=
.= ,,_ mg sin 'P,
a ponieważ na mocy (1) jest
i · Zip, więc mlip =- mg sin 'P, a więc
..
(I)
g .
<p=-z Sm<p.
o s
,,\ ,
Przyjmijmy, że w chwili . początkowej
ą
t = O mieliśmy <p _:.'Po >0. W ciągu całego ruchu będzie oczywiście
-rp0 ~'P~'Po, gdyż punkt nie m<>że się wznieść do położenia wyż­
szego niż początkowe.
Jeżeli 'Po jest dość małe, wówcżas z wielkim przybliżeniem mo-
żemy przyjąć <p=sinrp. Zatem na mocy (I) otrzymamy ii>+frp= O,
a ponieważ według (1) jest rp=s/l, więc
..
,
(2)
+zg B=O.
Porównując
równanie (2) ·z ·równaniem ruchu harmonicznego
(str. 112 ), widzimy, że punkt będzie poruszał się ruchem harmonicznym. Okres ruchu w myśl (5), str. 1I 2, i z uwagi, że ·k=Vg/Z, wynosi
T=2nYZ/g.
(3)
Wzór (3) jest wzorem przybliżonym, wyprowadzonym przy
założeniu, że kąt 'Po jest mały. Ciekawem jest, że okres T nie zależy
od kqta wychylenia 'Po·
Odrzućmy
teraz założenie, że kąt 'Po jest mały. Pomnóżmy
obie strony równania (I) przez 'P i scałkujmy. Otrzymamy:
~ ip1 = f cos rp+c.
(4)
Dla t=O jest <p=<p0 i a=O; zatem na mocy (1) jest ip=O. Z równania (4) dla t=O dostaniemy O=f'cos rp0 +c czyli c=-f cosrp0,
a więc
(
~ ip1 = ę COS<p-COS<po) czyli
'P=±V t tcos.,,-cosrp
2
(5)
0•
Przypuśćmy,
że
badamy ruch punktu od chwili początko­
wej t=O do chwili, w której osiągnął on to samo wzniesienie po
[§ 21]
II. Dynamika pw1ktu nieswobodnego.
133
przeciwnej stronie prostej OS. Zatem 97~ O, a więc wobec (5) będzie
skąd
<p=-1 12
z9 Vcosq; - cosq;0,
r
Oznaczając przez
-V
l
dq;
-dt
2g ł'cosq;-.cosq;o -
.
T okres wahania, otrzymamy
-VJ.-J
- rpu
2g
'Po
zatem
T=V2l !'Pu
(6)
ibp
-!11
·Vcosq;-cosq;0 -2 '
dq;
9 - tpo fcosq;-cosq;0
2y2z
g
j~o
O
dq;
Vcosq;-cosq;0 •
Wprowadźmy nową zmienną, u~ podstawiając sin4q;=sinusin}q;0 •
Ponieważ cos q; -
cos fo=2(sin 1 ł q;0 -sin2 ł q; ), otrzymamy
4v~JV1-
T .
(7)
9
n/2
o
du
.
2
2
sin u sin -ł q;0
Obliczaj~ całkę przy pomocy rozwinięcia w szereg 1 ), dostapiemy:
T=2nn[1+(~)'sin•(~ 9'o) + (!:!)'Bin'(~ 9'o) + (!:!:!)'Bin'(~9'o) + .. .].
Dla małych 'Po otrzymujemy wzór (3), pomijając wyrazy szeregu począwszy od drugiego.
121. Równowaga punktu nles:wobodneg.o . Jeżeli punkt
nieswobodny jest w równowadze, znaczy to, że siła działająca P
równoważy się z reakcją R. Zatem
(I)
Równanie powyższe przedstawia warunek konieczny równowagi.
Gdy punkt ma pozostawać na powierzchni i nie ma tarcia, to
- jak l\iemy- reakcja jest prostopadła do powierzchni. W przypadku więc równowagi siła działająca P musi być również prostopa4lła do powierzchni.
Na odwrót, jeżeli w pewnej chwili t siła P jest prostopadła
do powierzchni S, a punkt ma prędkość v=O, wówczas P+ił=O,
1)
Por. ~. B a n a " h , Rad,:1,mek rółniczkowy t całkowy, T. II, Lwów, str. 11O.
ROZDZIAŁ III.
134
Dynamika punktu materialnego.
czyli punkt pozostanie w spoczynku. Przypuśćmy bowiem, że P+ R=ł= o;
punkt posuwałby się więc po pewnej krzywej O, położonej na powierzchni S. Zauważmy, ~ w chwili t przyśpieszenie normalne jest
Pn=rP/f!=O. z·równania mp=P+.R, tworząc rzuty na styczną do O,
otrzymamy· mp,=0, gdyż P i R są prostopadle do stycznej. Ponieważ pn=O i p,=O, więcp=O. Zatem byłoby P+ił=mp=O wbr~w
założeniu.
A więc: warunkiem koniecznym i wy,tarczajqcym równowagi
punktu nie,wobodnego, mającego pozostawać (bez tarcia.) na pewnej po·
wierzchni, jest to, . by siła działająca P była prostopadła do powierzchni.
To ·samo odnosi się do liilii krzywej.
Równowaga stała. Równowagę stałą określamy dla punktu
nieswobodnego podobnie jak dla punktu swobodnego (str. 120), z tą
różnicą, że wychylenie. z położenia równowagi ma być zgodne z wię•
zaroi. Punkt będzie więc w równowadze stałej, jeżeli przy małym
(i zgodnym z więzami) wychyleniu ~ .położenia równowagi i przy
małej energii kinetycznej początkowej punkt ten będzie poruszał się
stale w pobliżu położenia równowagi i stale z małą energią kinetyczną.
Równowaga w · polu potencjalnym. Niech w polu sił
potencjalnym punkt materialny ma pozostawać na pewnej powierzehni S o równaniu F(x, y, z)=O. Załóżmy, że nie m~ tarcia.
Jeżeli w pewnym punkcie A(x, y, z) powierzchni S potencjał V
osiąga ~kstremum ze wzg~u na punkty tej powierzchni, to punkt A
jest położeniem równowag~.
W punkcie A występuje bowiem ekstremum funkcji V z warunkiem ubocznym F(x,y,z)=O. Na mocy więc twierdzenia z teorii
maximów i minimów istnieje taka liczba )., że:
ć'V
~F
av dF
av+,aF _ 0
-;-+l~=O,
~ +A~=O,
.dZ "'dZ - •
ua;
ux
uy
c.y
, BF .
Zatem P ... +11.-;=0,
c(l)
p
, BF
"+"'-;=0,
cy
p
,8F
p
.
.
~..c
O. on1ewaz z~
z+"'"-=
cz
:F,
!F, ~F są proporcjonalne do współęzvnników
kierunkowych noru(l) oy c Z
„
malnej w A, więc siła P ma kierunek normalnej, czyli punkt A jest
istotnie położeniem równowagi.
Jeżeli w .A. wystwuje ~imum właściwe potencjału
ze względu
na punkty powierzchni S, to punkt .A. jest położeniem rÓWMWagi stałej.
Dowód przebiega podobnie jak na str. 121.
135
II. Dynamika punktu nie!łwohodnego.
(§21J
Uwagi powyższe ·. odnoszą się również do przypadku, gdy punkt
materialny ma pozostawać na krzywej.
Niech np. punkt ma pozostawać w polu siły ciężkości na powierzchni S o równaJ;).iu z=f(x, y) (oś z skierowana pionowo do
góry). Położeniami równowagi są te punkty, w którycµ siła . cięż­
kości jest prostopadła do powierzchni, t .. j. w: których plasz{·zyzna
styczna jest po.zioma. :L\logtt to być punkty
najwyższe lub. najnitsze (ze względu na otoczenie) lub t. zw. punkty siodłowe. Maximum
właściwe potencjału V=- mgz występuje w tych
punktach, w których funkcja z=f(x, y) osiąga minimu~ właściwe.
W punktach najniższych występuje więc równowaga stała. Punkty
.A, B są tedy położeniami równowagi stałej; punkt zaś C położe­
niem równowagi niestałej (p. rysunek).
Jeżeli punkt wychylimy z położenia A, np. do A', i nadamy
mu małą prędkość, to będzie on krążył w zagłębieniu koło punktu A
z małą pr~d.kością. ,Jeżeli natomiast punkt wychylimy z położenia C
(choćby nieznacznie nawet) do położenia C', to oczy"'iście oddali się
on od C pod wpływem ciężaru.
Przyk.lad 1. Punkt materialny ciężki, zawieszony na nici
tworzącej z pionem kąt a, jest w równowadze pod. wpływem siły
poziomej P (rys. ·1). Na punkt działa reakcja nici ił skierowana
wzdłuż nici (ku punktowi za'\\,ez
szenia), ciężar Q ~ siła P. Zatem
,(
p
I
I
,
ł
I
,m
,'a
,
1/
Kładąc liłl=R, IPl=P i ICJI= mg,
otrzymujemy z trójkąta utworzonego przez siły ił, Q i P
C
"'---- o
l.
B+Q +P=O.
2.
P=mgtga,
R = mg/cosu..
Pr~yktad 2. Na krzywej C o równaniu z= /(x), leżącej
w płaszczyźnie xz, znajduje się punkt ciężki, przyciągany ku początkowi układu O z siłą P, o wielkości proporcjonalnej do odległości punktu od O. W jakim położeniu punkt będzie w rÓ\\~nowaclze,
przy założeniu, że nie ma tarcia?
W położeniu równowagi .siła P, eiężar Q i reakcja R równoważą się (rys. 2), więc
ROZDZIAŁ Ili.
136
(1)
Dynamika punktu materialnego.
P+Q+R=O.
Rzuty siły P na osie układu wynoszą,:
(2)
gdzie ;. jest współczynnikiem proporcjonalności. Niechaj a oznacza
kąt, jaki w położeniu równowagi styczna tworzy z osią x. Rzutując
na styczną, otrzymamy z (I) i (2) --A2x cosa-).2zsina -mgsina=O.
Dzieląc przez cosa, dostaniemy z uwagi na to, że tg a= z'
(3)
).2x ).2zz' + mgz' = O.
+
Znając funkcję
z=/(x), możemy z równania (3) wyznaczyć
współrzędną x położenia równowagi.
,Jeżeli
np. krzywa () jest pa,raholą z=x2-- -a, to na mocy (3)
mamy ;.2x+2).2(x2 -a)x+2mgx=O, Hkąd
- ± v).
2
X2,3 Roz"iązania
x2,:-J istnieją przy
wiastkiem jest dodatnie.
(2a-l)-2mg_
2;.2
założeniu~ że
wyrażenie
pod pier-
Zapytajmy teraz: jaka to jest krz11wa, na której punkt jest w każ­
dym położeniu w równowadze?
Dla krzywej tej równanie (3) mmd hyć spełnione tożsamoifoiowo.
Całkująe je, otrzymamy {· ).2 x 2 +i ,1,2 z2 + mgz = const., skąd
·(
mg· 2
x 2 + .z + ;.2 ) = const.
Krzywą taką je.1Jt wi~c dowolne kolo o .frodku w punkcie (O,-mfl/A2 ).
[ł 22]
III. Dynamik11 ruchu wzgł~nego.
137
DL Dynamika ruchu wzgl~dnego~
ł li. Prawa-ruehu·. Przypuśćmy, że
badamy ruch punktu
materialnego w układzie (x, y, z), poruszającym się względem układu
inercjalnego~ Uważając układ inercjalny (p. str. 70) za stały, zaś
układ (x, y, z) za .ruchomy, otrzymamy (str. 61):
Pb= Pw +Pu+ Pe czyli Pw =Pb-Pu -Pe,
gdzie Pb, Pw, Pu, Pe oznaczają przyśpieszenia: bezwzględne, względne,
(1)
unoszenia i Coriolisa. Mnożąc (1) obustronnie przez masę m danego
punktu, dostaniemy
(2)
Połóżmy:·
Pb =mpb,
Pu= -mpu,
Pe= -mPe·
Ponieważ pb jest przyśpieszeniem punktu względem układu
inercjalnego, więc Pb jest wedle prawa Newtona siłą działającą na
dany punkt materialny; nazywamy ją silą be~zględną. ·Wektor Pu
nazywamy silą unoszenia lub silą odśrodkową, a wektor Pe siłą Oorio-(I)
lisa lub silą odśrodkową złożoną.
na to, że wektory -mpu i -mp0 nie
przedstawiają żadnych sił, lecz nazwaliśmy je tylko ze względów
praktycznych siłami unoszenia i Coriolisa.
Na mocy (2) i (I) jest
Należy zwrócić uwagę
mpw=Pb+Plł+Pe.
(li)
Według prawa Newtona mamy w układzie inercjalnym mp=P;
widzimy, że równanie (li) ma postać podobną.
A więc : prawa ruchu w układzie ruchomym współrzędnych są
takie, jak gdyby układ b11l układem inercjalnym, pod warunkiem jednak,
że do sil działających dodamy silę unoszenia i silę Ooriolisa.
Sumę sił: bezwzględnej,
unoszenia i Ooriolisa nazywamy 8ilq
względną i oznaczamy przez Pu.
Zate.m
Pw=Pb+Pu+Pe.
(3)
Równanie (li) . możemy więc napisać w posta.ci
(Ili) .
mp,~= Pw.
ROZDZIAŁ III.
138
lJynamika punktu materialnego •
.
Ob1;erwator, będ,1cy w spoczynku względem układu ruchomego i przyjmująe,,· go za układ inercjalny, będzie sądził, że siłą działającą na punkt materialny je~t wła~nie siła względna p w· Jeżeli układ . rozpoczął ruch w pewnej
chwili t 0 • to obserwatorowi będzie się wydawało, że oprócz siły Pb• działającej
poprze<luio, zaczęła działać od chwili t 0 nowa siła. P u+P0 • Np. człowiek jadący
na karuzeli sądzi, że oprc,c-z siły ciężkości działa na niego . jeszcze nowa siła,
skierowana od i:;rodka ruchu i starająca się zrzucić go z karuzeli (siła odśrodkowa).
Dla ohi-erwatora zaś hędącego w spoczynku względem układu inercjalnego siły
n11osze11ią i Coriolisa o<·z.vwi~<.·ie nie istnieją.
,Jpż('}i układ
ruchomy porusza się względem pe'\\,iego układu
iner<·jalnego ruC'hem postępowym z prędkością stałą, to.p~=O i p0 =0
(p. Rtr. 6:ł); wohe<· tego P11 =0 i P0 =0 i na mocy (li)
rnpw =Pb.
Do takiego układu ruC'homego stosują się zatem prawa N e'\\-1iona.
A wie<·: każ<l~t/ układ współrzędnych, który porusza się względem
'ttkl<ul'll iner<!}alnego ru.chern. postępow11m z prędkością stalą, jest rów"
nie.ż układem in.ercjaln11m.
Widzimy stąd, że prawa. mechaniki nigdy nie pozwolą rozstrzygnąć, czy dany układ inercjalny jest w spoczynku czy · nie.
•JeżeU ruch punktu materialnego badamy w pewnym układzie
odniesfonia (x, y, z), to z równania (III)° możemy otrzymać siłę
wzglę(lną P"' . .Jeżeli znamy przytem skądinąd siłę bezwzględną -P1,
i zauważymy, że Pb-4:P,,.,, to wówczas będziemy mogli stwierdzić,
że nkhul (.c, Jl, z) nie jest układem inercjalnym, więr że porusza się
wzgh;d(•m każdego układu inercjalnego.
§ 23.
Przykłady ruchu.
Ruch
postępowy
układu.
Gcly układ porusza się ruchem postępowym, przyśpie8zenie
Coriolisa jest Pc=O (str. .62), więc siła Corio1isa Pc=O. Przyśpiesze"
nie uno~zenia jest dla wszy~tkich punktów stałe i ·równa się ·przyśpiei;zeniu początku układu (względem układu inercjalnego). Zatem
siła unoszenia jest, stałą. Wynika stąd, 7.e siła unoszenia tworzy pole
potencJa!ne (str. 102). Na n1oc·.y (II), str. 137, mamy wówcza~
:- -Pb +Pu·
mpl/1-
(I)
Przykład
1. Płaszczyzna pochyła porusza sit; ze !)tałyn1 przy-
poziomym a. N a, płaszezyźnie poehylej znajduje się
punkt ciężki o masie m. Tarcia. nie uwzględniam~·. Jakie przyśpiesz~ni() względem płaszc·zyzny poC'h~·łej będzie miał punkt m !
śpie1:1zeniem
lł 23)
III. Dynamika ruchu względnego.
139
Silami bezwzględnymi są: ciężar Q i reakcja Ił, prostopadła
do płaszczyzny pochyłej. Siła unoszenia .wynosi ·-ma. ·Obierzm1 za
oś w-ów prostą przecięcia płaszczyzny pochyłej z płaszczyzną pionową,
przechodzącą przez m, i nadajmy jej zwrot ku dołowi (rys. 1).
Oz~zając przez a. kąt, jaki płaszczyzna pochył~ tworzy z poziomem,
i tworząc rzuty na oś w-ów, otrzymamy z (I) ·
p = g sin a - a cos a,
(1)
gdzie P=Pwx, zaś a= lal. Widzimy stąd, że p>O lub p<O,
zależnie od tego czy a<g tga
1
P.
~-~~
~ya>g-a.
ma
Przy kład 2. Układ
I
(w, y, z) porusza się w polu
siły ciężkości ruchem postę­
2.
I.
powym ze stałym przy~pieszeniem poziomym a. Przyjmijmy, że oś z skierowana jest pionowo
w górę, zaś oś w ma kierunek przyśpieszenia a, zwrot zaś przeciwny.
Siła unoszenia jest Pu= - ma; kładąc a= lal otrzymamy
Pur ma, P u 11= .0 i P uz= O. Łatwo zauważyć, że siła unoszenia
wytwarza pole potencjalne o potencjale V u= maa;; potencjał siły
ciężkości wynosi V g= ~ mgz. Siła względna wytwarza więc pole
o potencjale
V = maz -
(2)
mgz.
Jeżeli na punkt materialny działa tylko siła ciężkości Q, to stosując zasadę zachowania energii całkowitej i kładąe v=
mamy na n1ocy (2) łmv2 -V= const. czyli
lvwl, otrzy·
v2-2aw + 2gz = h,
(3)
gdzie h jest pewną stałą.
Przy.puśćmy
teraz, że badamy ruch punktu nieswobodnego,
mającego pozostawać na krzywej leżącej w płaszczyźnie xz o równaniu z=w2 (rys. 2).
Załóżmy, że dla t=O jest x=O i v=O. Jeżeli nie uwzględniamy
tarcia, to reakcja jest prostopadła do toru i nie wykonuje prac:y.
Do ruchu stosuje się więc wzór (3). Z warunków początzkowyc:h wynika, że h=O, więc v2 -2a.v+2gw2=0 czyli
(4)
r 2 = 2x(a - g:r).
140
ROZDZIA~ III. Dynamjka punktu mat.erialnego.
Ponieważ vt;;i,·o, więc 2x(ti- gm)~ O; wynika stąd, że O~m~a/g.
(~r żh
Ruch odbywać się więc będzie po łuku zawartym między odciętymi
Ponieważ
"'1 =·0 a z,= a/g.
V=:
= : · :=
żV1+
więc na mocy (4) będzie i 1 +4m2) = 2m(
a - fPJ ), skąd
·
2
(
=
+4zl,
V~
4
+ m2 )dm= dt,
2m a-gfD
a więc
X
IV
0
1 +4m2
2x(a-gx)
dm = t
•
Wzór ·powyższy ważny jest od chwili t=O aż do chwili gdy
punkt osiągnie odciętą m,.=a/g. Dla m2 =a/g na mocy(4) mamy v=O.
Następnie odbywać . się będzie ruch powrotny aż . do chwili, gdy
punkt osiągnie odciętą fD= O i t. d.
Ruch obrotowy układu. Niech układ (fD,y,z) obraca się około
osi z z prędkością kątową .ro stałą. Przyśpieszenie unoszenia ma rzuty:
z
Pux=-~w", Pu0 ----yw2 i . Puz=O. Zatem · dla
...,
siły unoszenia mamy:
',,,~IJ.1,lJ
II
·
I
',...
t
P..•
,·~
,'
I.(
,y ---------~
'..
t 11
I
p ux = m..,
M2
w ,
p uy = m y"
ro ,
p uz =
o.
.Łatwo zauważyć, że siła unoszenia wytwarza pole o potencjale
(5)
Przyśpieszenie Coriolisa będzie pc=2vwx ro (str. 63 ). Ponieważ rzuty
prędkości względnej na osie m, y, z wynoszą x, fi, ż, zaś rox= O, w11 = O
i ro.i=ro, więc będzie Pcx=2flw, Pc =-2iw i Pcz=O, skąd
11
PeX = - 2my· w,.
Pc11 = 2miw,
Równania ruchu będą więc miały_ poRtat: (str.137, wzór(IJ)):
( 6)
mk =Pbx + mmw2 - 2mfl ro,
Pracę siły w
my =Pb11 +my ro2 +2,ni ro,
mi = Pbz·
ruchu względnym nazywamy pracą względną.
Ponieważ f>c jest prostopadle rlo v11 , więc Pc jel'it prostopadłe
do· vw; zatem siła Coriolisa nie wykonywa pracy względnej. Praca
względna siły względnej sprowadza. Rię więc <lo pracy siły hezwzględnej i siły unotlzenia.
III. Dynamika:1 ruchu względnego.
[§ 23]
141
Jeżeli siłą bezwzględną jest siła ciężkości, to prz~rjmując, że oś z
jest skierowana pionowo w górę, otrzymamy jako potencjał siły
ciężkości V g= - mgz. Siła ciężkości wraz z siłą unoszenia wytwarza.
pole potencjalne o potencjale
V= -mgz +łniw2(x2 + y2).
Jeżeli więc położymy
v=lvwl, to na mocy zasady równowartości
pracy i energii kinetycznej (str. 106) dostaniemy
łmv' -
V= oonst.,
więc
łmv2
+ mgz - łm w (x2 + y = const.
2
2
)
czyli
(7)
gdzie h jest stalą.
Jeżeli badamy ruch punktu nieswobodnego po krzywej (lub
powierzchni) nieruchomej względem- układu (x, y, z), to przy zało­
żeniu, że nie ma ..tarcia, reakcja nie wykonywa pracy względnej;
wzó.r ( 7) zachodzi więc również i w tym przypadku.
Przykład 8. Krzywa O płaska obraca się około osi pionowej,
leżącej w jej płaszczyźnie, ze stałą prędkością kątową w. Wyznaczyć
ruch punktu nieswobodnego poruszającego
się
po krzywej O pod
wpływem siły ciężkości.
Obierzmy .za oś obrotu oś z skierowaną pionowo ku górze; za
płaszczyznę krzywej O obierzmy płaszczyznę xz. Niechaj krzywa ą
ma równanie z= /(x). Na mocy (7), wobec y=O, dostaniemy
v2+2gz-w1 x2=h. Zakładając, że dla t=O jest x=x0 , z=z0 =f(:p0 )
i v=O, otrzymamy h=2gz0 -w2x~. Poniewa·ż ds=dxVl+f2(x), więc
v=s=xVI+f't(x); zatem
(8)
żl(l
+f~(x)) + 2g/(x) -w1xl = h.
Z równania powyższego możemy wyznaczyć x jako funkcję
czasu t.
P -r ~y kład 4. Niech w szczególności O
(z przykładu poprzedniego) będzie prostą l przechodzącą przez początek układu O i nachyloną
do osi z pod kątem- cp.
I
'
Aby wyznaczyć ruch punktu po prostej Z, można.by zastosować
wzór (8), podstawiając z=f(x)=xct_gcp. Wyprowadzimy jednak równania ruchu bezpośrednio.
ROZDZIAŁ III.
142
Dynamika punktu niaterialnego.
Siła
unoszenia jest prostopadła do osi z i wynosi n~wl.
Oznaczmy przez. s długośó odcinka OA. Ponieważ siła Coriolisa
i reakcja są prostopadłe do prostej Z, więc rzut siły względnej na. I
wynosi-:- mgcosq,+ffl3:cu1 sin_q,. Z uwagi na to że x=s sin q,, otrzymamy więc
mii = - mg COB <p + ·m8 a,1 sin• q>
czyli
8 - 8 o,1 sin1 q> = - g COB 'P·
(9)
Równanie jednorodne ;· - s w 1 sin2 <p = O ma rozwiązanie ogólne
postaci 8=~tsin91+ be- wtsin". Ponieważ rozwiązaniem szczególnym
•
•
r Ównama (9) Jest
8=
g COB <p
•
. 1 , WJęc
1
co Sln <p
rozwiązaniem
ogólnym te~o
równania będzie
.
8= aewt S1n9)
(10)
+ be-w
.
1S ln9'
+ wg COS
•
sm <p
m
2
T
2
,
Stałe
a i b wyznaczymy z warunków począ:tkowych. .Jeżeli
w szc.zególności' <p=n/2, czyli prosta l "jest osią x-ów, to
(11)
8
= ae"'' + be- wt.
§ 24. Równowaga względna. Jeżeli punkt materialny jest
w równowadze (czyli spoczynku) względem układu ruchomego, · to
przyśpieszenie względne jest Pw=O, · a prędkość względna iiw=O,
Wynika stąd, że również przyśpieszenie Coriolisa jest Pe= O, a zatem
i siła Coriolisa Pc=O. Z równania (II), str. 137, otrzymamy więc
(I)
A więc: gdy punkt jest· w równowadze względnej, siła bezwzględna
równoważy się z silą unoszenia.
Równowaga względna w uk_ładzie poruszającym się
ruchem postępowym. Gdy układ porusza się ruchem postępo­
wym, przyśpieszenie unoszenia, ·ma wartość stałą dla wszystki~h
punktów; stąd i siła unoszenia musi być jednakowa w · każdym
punkcie.
Jeżeli w szczególności układ ruchomy .p orusza się ruchem po-
stępowym z prędkością stałą, to Pu= O, skąd Pu= O i równanie (I),
wyrażające warunek równowagi, sprowadza się do postaci - Pb= O.
f§ 24]
143
III. Dynamika ruchu wz~J,<lne~o.
Przykład 1. W windzie, }loruszającej się z przyiipieijzeniem p,
zawieszony jest na nici nierozciągliwej punkt ciężki o masie m.
Niechaj nić ma kierunek pionowy i niech punkt pozostaje w równowadze względem. windy (t. j. układu związanego z windą). Siły
działające, mianowicie ciężar Q i napięcie nici T znoszą się więc
z siłą unoszenia (rys. 1). Połóżmy p=lp i T=ITI' .
'
r
l
pt
p
mg
mp
ro
I
I
I
9
I
---'----- - -- .
·--.,....,
)
I
I I
I I
'/__
~
1.
I
V
(
2.
3.
Przyśpieszenie.
unoszenia jest p. Załóżmy, że jest skierowane w górę. Zatem siła unoszenia jest skierowana w dół i wynosi·mp.
Tworząc rzuty sił na oś skierowaną pionowo w górę, otrzymamy
T-mg-mp=O czyli T=mg+mp. ~apięcie nici jest więc większe
Ii.iż ciężar. Gdybyśmy trzymali ciało w ręce, uczulibyśmy pozorny
wzrost ciężaru.
N a odwrót, jeżeli przyHpieszenie jest skierowane w dół, to
T=mg-mp; . n~pięcie nici jest więc mniejRze niż ciężar i ciało
w tym przypadku wydaje się lżejsze.
Wreszcie, jeżeli p= o, to T= mg. A więc podczas ruchu jednostajnego windy napięcie nici równe jest ciężarowi.
Przy kład 2~ Wagon kolejki zębatej porusza się z przyśpie­
szeniem p po torze nachylonym do poziomu pod kątem a. Punkt
materialny, zawieszony na nici nierozciągHwej, znajduje się w równowadze względem wagonu. Niech {J oznacza kąt odchylenia nici od pionu.
Ciężar punktu Q i napięcie nici T równoważą, się z Riłą
uno-
szenia Pu (rys. 2), zatem
(1)
unoszenia jest p. Załóżmy, że jest skierowane
w górę. Pu jest więc skiero~ane w dół i !Pul=, mlpl. Tworząc rzuty
na oś poziomą i pionową, otrzymamy z (1):
Przyśpieszenie
T cos /J- mp sin a - mg= O,
(2)
T sin /J-· mp cosa= O,
gdzie
T=ITI i p=-;lpl. Z równań (2) otrzymujemy:
144
ROZDZIAŁ III.
T = mJ'p1
Dynamika punktu tuateriaJnego.
+ fł + 2pg sina,
t
_
p cosa .
g{J- g+p sina
Gdy w szczególności a= O, t. zn. gdy tor jest poziomy, będzie
T = m·Ip 2 + g2 i tgfJ = p/g. Możemy więc w wagonie -kolejowym
wyznaczyć z kąta wychylenia nitki od pionu przyśpieszenie wagonu: mamy bowiem p=gtg{J.
Przyk.lad :1. Po torze poziomym, zakrzywionym, porusza się
wagon z prędkością stałą v. Możemy więc przyjąć, że wagon obraca
się około pewnej prostej pionowej l. Niech punkt ciężki o masie m,
zawieszony . na nici nierozciągliwej, będzie w równowadze względem
wagonu (str. 143, rys. 3).
Oznaczmy przez a kąt, jaki nić tworzy z pionem, przez 1· odległość punktu zawieszenia nici od prostej l. Odległość punktu m
od osi l wynosi więc r'=r+x=r+d sin a (gdzie d długość nici).
Przyśpieszenie unoszenia pu punktu m jest prostopadłe do l 'i jest
skierowane ku l, przyczem 1Pul=v2/(r+x). S~ła unoszenia, mająca zwrot przeciwny, wynosi zatem I.Pul=mv1/(r+x). Ponieważ
ciężar Q i napięcie nici T równoważą się z , siłą unoszenia, więc
z trójkąta sił otrzymamy
tga = I.Pul/lQI = v2 /g(r + x).
Gdy x jest małe w stosunku do r, to tga=v"Jgr.
Przykład .J:. Punkt nieswobodny ciężki o masie m
ma pozostawać na krzywej C, obracającej się z prędkością kątową _w około
stałej prostej pionowej l. Tarcia nie uwzględniamy. W jakim poło­
żeniu punkt będzie w równowadze względem krzywej CT
Obierzmy układ ruchomy (x 1 y,z) obracający się wraz. z krzywą C
około osi l z prędkością kątową w, przyjmując l za oś· z-ów skierowaną ku górze. Niech krzywa O, będąca w spoczynku względem
układu (x, y, z), dana będzie parametrycznie przy pomocy funkcyj:
.
(3 )
x = f (a),
y =<p(o),
z ='/J(<1).
W położeniu równowagi względnej ciężar Q, reakcja R i siła
unoszenia Pu równoważą się. Zatem suma Q+Pu jest prostopadła
do krzywej C. · Oznaczając przez x, y, z współrzędne punktu w położeniu równowagi względnej, otrzymamy więc Pux= -xw2 , Pu11= -yw•
i Pu.ł=O, _skąd Pux=m.xw1 , Pu11=myw1 i Puz=O. Suma Pu+Q ma
zatem rzuty: m.xw2, myw2 i - mg.
III. Dyna.mika. ruchu względnego.
§ 24]
145
Współczynniki kierunkowe stycznej są proporcjonalne do po}bodnych x' f'(a), y' =<p'(u), z'=1J''(a). Z warunku prostopadłośoi
=
l'u+Q· do stycznej .wynika tedy (po skróceniu przez m), że
xx'w1 + yy'ro1 - gz' = O.
4)
Z równania powyższego możemy wyznaczyć wartość p ~
netru u, odpowiadającą, położeniu równoz
wagi względnej.
Jeżeli w szczególności krzywa O jest
uzywą płaską o równaniu Z=-1P(x), leżącą
w płaszczyźnie xz, wówczas dla położenia
~ównowagi otrzymamy z równania (4)
:kładąc x . a, y=O i Z=1P(u)) lub bezpo.irednio z rysunku:
(5)
tga= 1P'(x) = xw2 /g.
· Jeżeli np. krzywa O ma· równanie z=-Yr2-xt (czyli jest
dolną częścią koła xt+zl=r2), to z (5) dostaniemy x/Vr2- xt =Xw2 /g,
skąd "''=O i :r..,s= ±
gdy r2-
Vr'-!:·Rozwiązania istnieją
x.2,s
tylko wtedy,
g: ~ O, t. zn. gdy ro~ Vg/r.
(J)
Zapytajmy teraz, jakie to są krzywe, na których pwnkt jest w każ­
dym położeniu w równowadze wzgltJdnej.
Dla krzywy'}b tych równanie (4) musi być spełnione tożsamoś­
ciowo, t. j. dla każdej wartości parametru a. Otrzymamy tedy z ( 4)
1 d[xt+y2 ] 2
dz ·
du
w -g du =0. Całkując, dostajemy (xt+y2.)ro2/2-gz=const.
2
czyli
(6)
w2
Z=-(x2+y2)+c
2g
.
'
gdzie c=const.
Równanie· (6) przedstawia zbiór paraboloid obrotowych, po2
wstałych przeż o.brót paraboli z=; x2+c dokoła osi z. Na mocy (6)
9
krzywa, leżąca na którejkolwiek z tych paraboloid, spełnia równa,..
nie (4) tożsamościowo. Krzywe płaskie, spełniające równanie (4),
otrzymamy, tworząc przekrój paraboloidy dowolną płaszczyzną.
Jako przekroje dostaniemy elipsy i parabole.
W szczególności,2 prze.
krój płaszczyzną pionową. y = Obędzie parabolą o równaniu z= wgm2+c.
2
S. Banach. Mechanika.
10
146
ROZDZIAŁ III.
Dynamika punktu materialnego.
§ 25. Rueh względem ziemi. Siła ciężkości. Przyjmijmy
za układ inercjalny układ, którego początek znajduje się w słońcu,
a osie skierowane są ~u gwiazdom stałym. Ziemia nie jest w spoczynku względem tego układu. Badając ruch punktu w ciągu kró~
]tiego cza.su, możemy się ograniczyć' do ruchu obrotowego ziemi
tylko około pewnej osi.
·
Niech punkt zawieszony na nici w pewnym miejscu powierzchni
ziemi będzie względem-ziemi w spoczynku. Siłami bezwzględnymi Słł:
przyciąganie ziemi .A i napięcie nici '1' (równe co do wielkości i kierunku ciężarowi, lecz o zwrocie prz~ciwnym).
Przyciąganie ziemi nie jest równe ciężarowi, bo w przeciwnym
raŻie równoważyłoby się ono z napięciem nici i punk~ byłby w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostolinijnym. To jednak nie
zachodzi, gdyż punkt obraca się wraz z ziemią około jej osi.
Stosując warunki równowagi .względnej (§ 24, str. 142) do
układu związanego z ziemią, możemy powiedzieć, że przyciąganie
ziemi _4.i napięcie nici T równoważą się z siłą· unoszenia Pu• A więc
A+T+Pu=O.
Ponieważ ciężar ciała Q=-T, więc .A-Q+P11=0, skąd
Q=A+Pu.
(I)
A więc: ci~żar jest wypadkową siły odśrodkowej (siły unoszenia)
i sil:lJ przyciągania ziemi.
Wielkość
i kierunek przyciągania ziemi. Załóżmy, że
ziemia ma kształt bryły obrotowej, której osią jest oś obrotu ziemt
Załóżmy ponadto, że gęstość ziemi jest rozłożona symetrycznie
względem środka masy. Można udowodnić wówczas, że siła przyciągania jest skierowana stale ku środkowi masy ziemi.
Niechaj a będzie kątem, jaki siła .A tworzy
z pionem, t. j. z ciężarem Q. Oznaczmy przeze
. promień równoleżnika, na którym znajduje się
punkt materialny, przez <p szerokość gęogra~.
ficzną tego punktu (t. j, kąt między prze- .
chodzącym przezeń pionem a płaszczyzną
równika), wreszcie przez w prędkość kątową
obrotu ziemi.
. ·
Siła unoszenia · lezy w płaszczyźnie równoleżnika i jest skierowana od osi obrotu, przyczem 1Pul=mero2 • Utwórzmy rzuty sił
A„ Qi P 11 na oś z zwróconą pionowo w górę ora.z na oś.'/ poziomą (t. j.
[ł26]
III. Dynamika-ruchu · względnego.
147
prostopadłą
do pionowej), leżącą w płaszczyźnie południka (t. j.
w płaszczyźnie sił) i zwróconą na południe. Kładąc A=IAI i Q=IQI,
otrzymamy na mocy (I)
-.A sin a -t·mec.o9 sin <p = O.
-Q=-A cosa+mero2cos 'P,
Zatem:
.A cos a=Q +mec.o' cąs <p,
A sin a= mew' sin 'P·
Stąd, znając Q, e, rui 'P, możemy obliczyć .A i a. Na równiku
mamy <p=·O; zatem na mocy (1) dostajemy a= O. Oznaczając przez
A 0 , Q0 i eo odpowiednie wartodci na równiku, otrzymamy
(l)
Ao=Qo+meoc.o'.
(2)
Znając Q0 i eo, możemy więc obliczyć .A 0 • Znając .A. 0 , otrzymamy
ffl(!0oł/.A 0 =1/289=1/l 71 •
(3)
Gdyby prędkojć ziemi wynosiła c.oi=l 7c.o, byłoby więc me0c.oV.A.0=1
czyli .A.0-me0c.of. Na mocy (2) otrzymujemy stąd Q0-.A.0 -meo'"f= O;
gdyby więc ziemia obracała się 17 razy szybciej, wówczas ciała na
równiku pozbawione były by ciężaru.
· Załótmy teraz, że ziemia jest kulą, złożoną z warstw wepół­
Rodkowych o stałej gęsto,ci. Wówczas, jak można wykazać, .A musi
być stałe na powierzchni ziemi. Zatem .A =A 0 • Oznaczając przez R
promień ziemi, otrzymamy
e=R cos (<p-f.ł).
(4)
Na mocy (1) jest sina
·mRc.o2
•
Ao · cos (<p-a) sin 'P,
a
ponieważ
eo-R, więc na mocy (3)
.
1
(
mały;
przy.j~ując więc
Slll a= 289 COB <p Kąt
a jest bardzo
. 'P·
a ) Slll
w przybliżeniu
eina=a i cos (<p- a)=cos <p, dostaniemy
1
. •)
a-2·289 Sill,.. 'P•
Widzimy stąd, że a ma największą wartość dla
Kładąc a= o, dostaniemy na mocy (1) i ( 4)
m,R(J)2
)
o
.
Q=Ao -mRc.o2 cos2 <p=Ao ( 1- A
cos2 rp ,
tp= 45°.
ROZDZIAŁ III •.. Dynamika punktu materialnego.
14:8
skąd na mocy (3), wobec er-R, otrzymamy
cos1 <p)
Q=Ao (1- 289 .
Siła
Coriolisa. Badając ruch punktu względem ziemi, należy
do sił bezwzględnych dodać ·siły unoszenia i Coriolisa. Załóżmy, że
oprócz ·siły przyciągania .A działa na punkt materialny jeszcze pewna
siła P. Oznaczając przez p przyśpieszenie względem ziemi, otrzymamy
mp=P+A+Pu+Pc, a poniew~ż A+Pu równa się ·ciężarowi Q, więc
mp=P+ Q+Pc.
(5)
Zatem: przy badaniu ruchu punktu wzg~dem ziemi należy do
ałly P i ciężaru Q dodać ~i~ OorioliBa P c.
Obierzmy w danym miejscu na ziemi oś z
skierowaną pionowo w górę, oś x poziomo
r skierowaną na wschód i oś y poziomo skierowaną na południe. Oś obrotu będzie leżała.
w płaszczyźnie yz i utworzy z osią z kąt
90° -<p (porównaj rysunek na str. 146).
Ponieważ ziemia. obraca się z zachodu na
wschód, więc wektor prędkości kątowej ro,
położony na osi obrotu, ma zwrot od bieguna.
południowego ku północnemu. Kładąc lwl=w, otrzymamy n~ pół­
kuli północnej:
(N)
Wx=O,
w 11=-WCOS<p,
Wz=wSin<p,
w11= - W COB <p,
Wz=- W Sin <p,
a na południowej:
(S)
przez v prędkość punktu względem ziemi, otrzymamy Pc=2vxw, zatem P 0 =-mp0 =-2mvxw czyli
Oznaczając
(6)
Pc=2mwxv,
skąd na mocy (N), dla półkuli północnej:
(Il)
Pcx=- 2mw(v11 sin <p + vz cos <p),
Pe,,= 2mwvx sin <p,
Pcz=2mwv.\'cos <p.
Jeżeli punkt ma tylko prę<lkość pionową, t. j. gdy v... = O i v11
= O,
otrzymamy Pcx=-2mwvzcos <p, Pc11 =0 i Pc.!.=0. Przy wznoszeniu się punktu jest Vz> O, a więc Pcx <O i Pe jest skierowane
[§ 26]
III. Dynamika ruchu wgględnego.
149
poziomo na .zachód; przy opadaniu zaś punktu i,z <O, Pcx>O,
a zatem P c jest skierowane poziomo na wschód.
Wynika stąd, że ciało spadające zbacza na wschód pod ·wpływem
,iły
Oarioliaa.
Jeżeli punkt porusza się
stale w płaszczyźnie poziomej, · czyli
gdy 1'z=O, to Pex=-2mw'V9 Sin(J) i Pe9 =2mwvxsinf.· Składowa
pozioma siły Coriolisa jest więc wtedy prostopadła do prędkości
i ma w stosunku do niej zwrot na prawo.
A zatem: punkt poruszająey się w :płaszczyźnie poziomej na
półkuli północnej dąży (pod wpływem siły Coriolisa) do zbaczania
w prawo od kierun,ku prędkości.
Z tego powodu np. prawa szyna jeet bardziej ueiekana przy biegu pociągów niż lewa.
Efekty siły Coriolisa są małe, bo siła jest mała. N a mocy (6)
mamy bowiem IPel=2mwlvlsin e, gdzie e oznacza kąt między i
a osią obrotu. Ponieważ
2
2n
,i
k-1 ·
k- 1 O00007 k-1
w= Tse
=24,60,60se = ' . se '
gdzie T oznacza czas obrotu ziemi dookoła osi, Więc Pe jest małe.
Utwórzmy rzuty (5) na osie aJ, y, z. Na mocy (Il) otrzymamy:
(Ili) mi=Px-2mw(ysin (J) + i cos (J)),
my =P9 +2mwa, sin 9',
mi =Pz-mg+2mwioo~ 9'·
Zboczenie na wschód przy spadku. Zajmiemy się wyznaczeniem zboczenia od pionu dla punktu materialnego spadają­
cego swobodnie.
Załóżmy, że dla t= O mamy:
aJ=O,
(7)
y=O,
z=O,
v=O.
N a mocy (III), otrzymamy przy założeniu, że P= O:
(8)
i =-2ro(ysin f+ż COB (J)),l
Całkując,
(9)
y = 2wa, sin (J),
Z=-g+2ro~008 9',
dostaniemy z uwagi na warunki początkowe (7):
i=-2w(ysinf+zcos9'),
y=2roaJBinf,
Wstawiając w (8) wartości 'fi i ż,
ż=-gt+2wa,cos91.
otrzymamy
i=- 4w'a,+2wgt COB (J),
150
ROZDZIAŁ III.
Dynamika punktu materialnego.
Równanie powyższe możnaby było scałkowa-0, a następnie, pod·
stawiając w (9), moglibyśmy wyznaczyć y i z. Rozwiązanie przybliżone otrzymamy, opuszczając wyraz -4w2 x, bardzo mały w porównaniu z 2w gt cos <p. Dostaniemy x=2w gt cos <p, skąd
=aw gt3 COS <p.
Opuszczając w trzecim z równań (9) wyraz 2wxcosą,, jako
mały w porównaniu z -gt, otrzymamy ż=-gt, skąd z=-łgt3 •
Gdy punkt spadnie do.poziomu z=- h, będzie -h=-łgt3, zatem
t~V2h/g. Na mocy więc (10)
(10)
X
X=fw h cos <p V2h/g.
(11)
Wzór powyższy przedstawia zboczenie na wschód (gdyż x>O)
ciała spadającego z wysokości h.
W Harvard (Stany Zjednoczone) wykonano doświadczenia, przyjmując
h=23 m i g>=420. Z około tysiąca doświadczeń otrzymano zboczenie zawarte mi~dzy 1,3m a 1,7m. Ze wzoru przyblitonego (ll) wypada natomiast x=l,Scm.
Różnica jest więc niewielka.
Wahadło
Foucaulta. Zbadajmy wpływ siły Coriolisa na,
ruch wahadła. Umieśćmy początek układu (x, y, z) w punkcie za·
wieszenia nici nierozciągliwej, na której końcu umocowany jest
punkt ciężki o masie m. Niechaj Z będzie długością wahadła (t. j. nici).
Ponieważ reakcja P ze strony nici działa na punkt wzdłuż njci,
więc, oznaczając przez x, y, z współrzędne punktu m, otrzymamy:
Px=lmx,
Py=i.my,
Pz=lmz,
gdzie l jest współczynnikiem proporcjonalności, zależnym od czasu.
Na mocy (fil), str. 14:9, otrzymamy, dzieląc przez m:
(12)
X=AX-2w(ysin <p+ż cos q,),
y =ly+2w xsin <p,
z=lz-g+2wwcos<p.
(13)
Zajmiemy 13ię tylko przybliżonym rozwiązaniem równań (12)
i (13). Załóżmy, że kąt wychylenia jest dostatecznie mały, by można
było przyjąć w przybliżeniu
(14)
Z=-l,
ż=O,
i=O.
Z równania (13) otrzymamy zatem 0=-ll-g+2wxcos <p, skąd
„ -g+2wZ x COB <p• O
1
.
puszcza.Jąc
oJ,...,.
w 1·1czniku d rugi· wyraz J"ako mw:a.J
w porównaniu z pierwszym, dostaniemy
(15)
).=-g/l.
(12~]
III. Dynamika ruchu wzgl~nego.
151
Współczynnik l możemy więc uważać w przybli~eniu za stały.
Równania (12) przyjmą na mocy (14) i (15) postać:
(16)
..
g
. .
X=-zfr-2w ys1n<p,
ii
=-f y+2wżsinq,.
Mnożąc pierwsze z równań (16) przez i:, a drugie przez
dając, otrzymamy xx +ii il=
-r +yy),
(xż
y, i do„
skąd po scałkowaniu
(17)
gdzie a jest pewną stałą. Mnożąc pierwsze z równań (16) przez y,
· a drugie przez x i odejmując, dostaniemy yx-xy =-2w(yy+xi) sin 'P,
ękłd po scałkowaniu
_(18)
yx...:..xiJ= - w (x2+y1 ) sin 'P+b.
gdzie b jest pewną stałą. Wprowadźmy współrzędne biegunowe:
x=rcostp,
y=rsin_tp.
Na mocy . (17 i (18) 9trzymamy:
.(19)
r+rltj, 1 =-frl+a,
·(20)
rltj, = r' w sin <p- b.
Wprowadźmy
nowy układ współrzędnych (~, Yu z1 ), mający
z układem poprzednim (x, y, z) wspólny początek oraz wspólną o, z
i obracający się dookoła, osi z z prędkością kątową w sin tp w kie·nmku od wschodu na południe, t. j„ od x ku y. Dla współrzędnych
biegunowych r17 tp1 otrzymamy w nowym układzie_ wzory:
(21)
tp=tp1 +wt sin ,p.
r=ru
Przez podatawienie (21) w (20) otrzymamy w nowych współ­
rzędnych r11 'Pi równanie ri( ip1 w sin q,)=17w sin q,-b, sąd
+
(22)
17'1'1=-b,
a przez podstawienie (21) w równanie (19) dostaniemy
. +-?.
• 2
g 2+ a,
r·2+-"-:..:i.+2...2.
't'l'J
't'P,wSinq,
r 1w· 2 Slll
q,=-zr,
1
ekąd opuszczając wyraz· 'i oJ2 sin• q, jako bardzo mały i stosując równanie (22), otrzymamy
(23)
~"-+ r1'P1=-cr,
2·2
g 2+ au
't
gdzie "i= a + 2b o) sin <p=const.
152
ROZDZIAŁ Ili.
Dynamika punktu materialnego.
Łatwo sprawdzić, że
(22) i (23) są równaniami ruchu, który
we współrzędnych Wu Yu z1 ma równania:
.. .
(24)
g
Y,=-zY1·
Istotnie, równania (16) przyjmują tę właśnie postać dla w=O.
A więc, wprowadzając współrzędne biegunowe, otrzymamy, jak
widać z równań (19) i (20) dla ru=O, równania (22) i (23).
Równania' (24) wyznaczają ruch punktu pod wpływem siły P,
której rzuty wynoszą:
(25)
t. j. skierowana stale ku początkowi
układu współrzędnych i wprost proporcjonalna do odległości punktu
od początku układu. Na str. 114 wykazaliśmy, że ruch pod wpły­
wem siły sprężystej odbywa się po elipsie. A więc punkt materialny
będzie odbywał ruch w układzie (w1 , Yu z,,) po elipsie. Że zaś ten
układ obraca się około osi z z prędkością kątową w sin <p, więc oś
łiej elipsy będzie obracała się z ptędkością kątową w sin <p ze wschodu
na południe. Czas obrotu wynosi
Jest to
siła sprężysta
T=2n/wsin<p.
Poniewat obrót ziemi trwa 24godz, więc 2n/w=24godz, skąd T= 24/sin9' godz.
Dla 9>==460 dostajemy _T=34godz.
Zjawisko powytsze pierwszy stwierdził doświadczalnie L. F o u o a ul t.
Stanowi ono dowód obrotu ziemi naokoło osi.
ROZDZIAŁ IV
GEOMETRIA MAS
I. Układy punktów
łf t. Momenty statyczne. Moment statyczny pun-ktu.
Weźmy pod uwagę dowolną płaszczyznę II. Dzieli ona przestrzeń
na dwie części; jedną z tych części uważajmy za dodatnią, a drugą
za ujemną. Niech .A oznacza pewien punkt materialny, a d jego
odległość od płaszczyzny II. Będziemy pisali <1= +d lub <1= -d,
zależnie od tego, czy punkt .A leży w dodatniej części przestrzeni
czy w ujemnej.
Oznaczając masę punktu .A przez m, wyrażenie
Mn=m<1
nazywać będziemy
momentem statycznym punk.tu materialnego .A
względem płaszczyzny II.
Moment statyczny punk.tu może więc być liczbą dodatnią,
ujemną lub zerem (jest on zerem dla kaźdego punk.tu .A leżącego
na płaszczyźnie Il).
Jeżeli za płaszczyznę II obierzemy jedną z płaszczyzn rzutowych xy, yz, zx, to za część dodatnią przestrzeni uważać będziemy
tę część, w której znajduje się część dodatnia osi prostopadłej do
obranej płaszczyzny rzutow:ej. Gdy punkt .A o masie m ma współ­
rzędne a:, y, z, mamy na mocy powyższej umowy:
Mxy=mz,
Mzx=my,
gdzie Mxu, Muz, Mzx oznaczają odpowiednio momenty statyczne
punktu .A względem płaszczyzn xy, yi i zx.
154:
ROZDZIAŁ IV.
Geometria maa.
Moment statyczny układu punktów. Zbiór punktów
materialnych nazywamy układem punktów, sumę zaś momentów
statycznych poszczególnych jego punktów nazywamy momentem
statycznym (ogólnym) układu punktów.
Jeżeli więc punkty materialne o masach mi, m1 , ••• , mn, mają
odpowiednio względem płaszczyzny II momenty statyczne: mi au
m 1 a1, ••• mnan, to momentem statycznym ogólnym układu tych
punktów będzie
n
MII =m1a1 +m1a1+ ... +mnan=2m1a1,
t=t
Jeżeli punkty materialne danego układu punktów mają odpo-
x., z.,
Y1,
Xi, 112, Z2, ••• , Xn, Yn, zn, to momenty
wiednio współrzędne
statyczne ogólne tego układu punktów względem odpowiednich
płaszczyzn rzutowych wyrażają się wzorami:
n
MXII= m1 Z1 +mi z1+ ...
+ mn Zn=2m, z,,
.
l=l
-
n
1
My:r=m1X1 +m,x1+ ... + ·mnXn=2 m1x1,
,-1
"
Mu= mi Yt +m2Y2+ .•• + mnYn=2m,y,.
t=I
Momenty
pierwszego.
statyczne
nazywamy
także
momentami. stopnia
I 2. Środek masy. Niech będzie dany układ U punktów
materialnyeh m.(x,, Y1, z.>, m2<x2, Y2, Z2), ..., mn<xn, Yn, zn>·
pod uwagę punkt 8 o współrzędnych:
(I)
Zo=
m 1 z1 + m1 z1 + ... + mn z„
.
Weźmy
m1 + m1 + ... + mn ·
Punkt 8 nazywamy środkiem masy lub hodkiem ~żkości
danego układu punktów U.
Sumę mas poszczególnych punktów ( występującą w mianowniku ułamków (I)) nazywać będziemy maaq całkowitą · układu
punktów.
Jakkolwiek określiliśmy środek masy przy pomocy układu
współrzędnych, to jednak wykażemy, że położenie środka masy je~t
od układ.u współrzędnych nie zależne, lecz że zależy ono tylko od
155
I. Układy punktów.
[ł 2]
mas punktów i ich wzajemnego rozmieszczenia. Wyniknie to łatwo
z następującego twierdzenia:
Tu,ierue'Wie 1. Moment statyczny układu punktów względem
dowolnej płaszczyzny równa się momentowi statycznemu masy całko­
witej, umieszczonej w środku ciężkości.
Dowód. Niechaj II będzie dowolną płaszczyzną, której równanie normalne ma kształt
X COS a+ y COS
p+Z COS i' -p = 0.
Przyjmijmy za dodatnią tę z dwóch części przestrzeni, dla
~tórej (1) COB a+y COB fJ+z COB y-p>O, gdy zą, x, y i z podstawić
współrzędne dowolnego punktu tej części. Jeżeli więc A. (ro, y, ~)
jest dowolnym punktem przestrzeni, to ponieważ odległość punktu
A od płaszczyzny II wyraża się wzorem
d=lx cos a+y cos fJ+z·cos y-pl,
zatem możemy w myśl naszej ~owy położyć:
a=m COB a+y 008 fJ+z COB y-p.
Moment statyczny punktu A. o masie m względem płaszczyzny II
wynosi więc
M n=ma=mx COB a+my COB P+mz cos y-mp.
Niech dany będzie układ punktów materialnych m 1(~\, y 1, z 1),
m2<x2, Y2, Z2), ..., mn(xn, Yn, zn>· Moment statyczny tego układu punktów względem płaszczyzny II będzie na mocy (1)
(1)
M 11=(mim1 cosa+m1 y1 cos fJ+m 1 ~ 1 COB y-m1 p)+ ...
•.• +(mnxn COB a+mn'Yn 008 fJ+mnzn COB y-mnp)
czyli
M 11=(m1x 1 +m2 x 2 + ..~+mnxn) cosa+(m1y 1+ ... +mnYn) co~{J+
(2)
+(tniZt + ...mnzn) COB y-(mi + ... +mn) p.
Kładąc ffli +m1 +...mn=m, mamy na mocy (I):
(Il)
mm0=2m,m1, my0 =2m1y 1,
tnz0 =,21m1z1 i=l, 2 1 ••• ,n.,
skąd na mocy (2)
(3)
M 11=mm0 COB a+my0 COB P+mz0 cos y-mp.
Ponieważ prawa strona równości (3) przedstawia na mocy (ll
moment statyczny masy m, umieszczonej w środku.ciętkośoi 8 o wapół,
rzędnych (/)0 , y 0 , zĄ7 więc twierdzenie zostało udowodnione.
156
ROZDZIAŁ
IV. Geometria mas.
Aby wykazać teraz, że środek masy układu punktów nie za,.:
leży od wyboru· układa współrzędnych, przypuśćmy, że własność
środka ciężkości 8, wypowiedzianą · w twierdzeniu, posiada, prócz
punktu 8, jeszcze ja.kiś inny punkt 8'. Udowodnimy, że to jest
nie możliwe.
Poprowadźmy w tym celu przez punkt 8 dowolną płaszczyznę Il,
nie przechodzącą przez 8'. Zatem
Mn=ma
i
Mn=ma',
gdzie a i a' oznaczają odpowiednio odległości (ze znakami) punktów
8 i 8' od płaszczyzny Il. Z (4) wynika, że a=a'. Lecz a=O, ponieważ Il ·przechodzi przez 8. Zatem musiałoby byó również a'= o,
co jednak nie możliwe, gdyż 8' nie leży w płaszczyźnie Il.
(4)
Widzimy więc, że położenie środka masy układu punktów nie
zależy
od układu wspólrz~dnych.
Śro_dek masy dwóch układów punktów. Niech układ U
złożony będzie z
m~(x~, y~, z~),
punktów materialnych
m;(x;, y;, z;),
... ,
Środek 8' masy układu punktów
określenia współrzędne:
(5)
m;, m; ... ma, na mocy
x~ =( m~ x; + m; x; + ... )/m',
' ( , ' +m2z2
' ' + .••)/m.',
•o= m1 Z1
gdzie m'=m;+m;+ .... Dla środka 8 masy całego układu U będzie zaś
'
skąd na mocy (5)
(6)
Xo
m' $~+( m~ x~ +m; x; + ... )
m'+(m~+m;+ ... )
•
Podobne wzory otrzymamy na y 0 i z0 • Wzór (6) przedstawia
odciętą środka masy układu, jaki otrzymamy z układu danego U,
jeżeli część jego, mianowicie punkty o masach
zastąpimy
jednym punktem materialnym o masie ,;,,,' = m; +m;+ ... , ·umieszczonym w środku masy tej części. Otrzymaliśmy zatem
m;, m;, ...
Twierd~enie 2. Środek masy układu pHktów ftie eomiffli Bi@,
jeteli jego c~ć zastąpimy punktem materialnym o marie r6t.mej marit
tej CZIJŚci i umieszczonym 10 środku jej ma,y.
[§ 2]
I. Układy punktów.
157
Jeżeli więc w szczególności
mamy dwa układy punktów U'
i U" o masach całkowitych m' i m" i o środkach ciężkości 8' i 8'',
to środek masy układu . U'+ U" otrzymamy, wyznaczając środek
masy układu dwu pun.lrtów .' materialnych o masach m' i m", umieszczonych odpowiednio w punktach 8' i '8". Układy U' i U" możemy
bowiem uważać za cżęści układu U'-t-U".
Układ pła·ski
punktów. Układ punktów materialnych nazywa.my piaskim,. ję~li wszystkie jego punkty leżą w jednej płasz­
czyźnle. Obierając ię płaszczyznę za płaszczyznę xy (co wolno nam
uczynić, p.onieważ środek masy nie zależy od wyboru układu . współ­
rzędnych), będziemy mielidlapunktówukła.du: z1 =0, z1·=0, ..., Zn=O,
skąd na mocy wzorów (I), str. 154, dostaniemy z0 =0.
Środek ciężkości układu płaskiego leży zatem w płaszczyźnie
układu.
Momentem statycznym układu płaskiego względem dowolnej
prostej l leżącej w płaszczyźnie układu nazywamy wyrażenie
n
M1= 2m, a,,
(7)
1= 1
gdzie la,1 jest odległościąi punktu o masie od prostej l, . zaś znak
przy a, zależy od tego, czy m, znajduje się w dodatniej czy ujemnej
części płaszczy'zny, na które dzieli płaszczyznę prosta Z. Widzimy stąd,
że moment statyczny układu płaskiego względem prostej Z jest to
moment statyczny tego układu względem płaszczyzny prostopadłej
do płaszczyzny układu i przecinającej ją wzdłuż prostej Z. W szczególności więc momenty względem osi x i y wyrażają się wzorami:
(8)
Mx=2m 1 y;,
My=2m 1
x,.
Układ
liniowy punktów. Jeżeli punkty układu leżą na
jednej prostej l, to środek masy układu leży również na 'tej prostej.
Obierając bowiem prostą Z za oś ro-ów, mamy y 1 =0, y2 ::;::::0, ...
i z1 =0, z2 =0, ... , skąd na mocy wzorów (I), str. 154, dostaniemy
y 0 =0, z0 =0. Środek masy będzie więc także leżał na osi x~
Środek masy dwóch punktów. Niech punkty materialne
o masach mi i m1 będą od siebie w odległości d. Srodek masy leży
oczywiście na prostej łącząc~j te punkty. Umieśćmy w m1 początek
osi x-ów, zaś dodatnią jej część przeprowadźmy przez m 2• Punkty
m1 i m2 będą więc miały współrzędne odpowiednio X1 =0 i x 2 =d,
a środek masy współrzędną
(9)
x0 =m2 d/(fflt +m2 ).
158
ROZDZIAŁ IV.
Geąmetria maa.
Ponieważ O<a,0 <d, więc środek masy leży między punktami.
Oznaczając przez di i d1 odległo~ środka masy od punktów mi i m1,
i d,= d-di =mi d / (tlłi +m1 ),
otrzymujemy di= a,0 =mad I (mi +m1 )
skąd
(1 O)
di/da= ma/mi.
Mamy więc następujące
Twiertkenie 3. Środek masy układu dwupunktowego 'leży mifdty punktami układu i dzieli odcinek,~ te punkty, w Btosunkv
odwrotnym do ich
mas.
Opierając się na twierdzeniu 2, str. 156, możemy w następujący
sposób wyznaczyć środek masy skończonego
układu punktów, .Au .Aa, .Aa,...
o maeaoh
m, m,., m:.u ••• (rys. 1): wyznaczamy najpierw środek
masy 8 1 układu punktów .A1 i .Aa; wyznaczamy
następnie środek masy Ba układu dwu punktów,
złożonego z ·punktu o masie m,. +mz, umieszczonego w Si, i z punktu Aa o masie 1:'ła;
postępując tak dalej, otrzymamy środek masy całego danego układu.
Układy
punktów symetryczne. Punkt O (prostą Z, pł~­
-czyznę li) nazywamy środkiem ( prostq, plas~mq) symetrii ukladv
punktów materialnych, jeżeli do każdego punktu m, istnieje w uldadzie punkt o tej samej masie m1,· symetrycznie względem O·
(prostej Z, płaszczyzny li) położony.
Jeżeli środkiem symetrii jest początek układu współrzędnych
(rys·;-2), to wraz z każdym punktem m 1(a,1, y 1, z1) układ punktów za,;.
z
z
z
mJ" 'Jl,.Z.tł
'
y
m/Ji,fi,ZJ
I
~
,r
I
lffl.fft.Yi,·ZJ
2.
3.
- y,,
4.
wiera punkt m;(-x"
- z,). Jeżeli płaszczyzną symetrii jest płasz­
czyzna xy (rys. 3), to wraz z każdym punktem m,(z,, y„ z,) układ
zawiera punkt m 1(x1, y„-z,). Jeżeli osią symetrii jest oś z (rys. 4),
to. wraz z każdym punktem m,(x" y,; z,) układ zawiera punkt
m;(-x1
,-y,, z,}.
[f 8]
I. Układy punktów.
Łatwo okazać, że zawsze środek
159
symetrii jest wodk·ie-m tłłasy.
Środek ~ y pary punktów symetrycznych Jety bowiem na
n.oey twierdżenia 3, str. 158, w środku symetrii. N·a mocy twierdzenia 2, _str. 156, możemy więc taką parę zastąpid przez punkt
materialny umieszczony w środku symetrii. Robiąc to z każdą parą,
przekonywa.my się, że środek symetrii jest tirodkiem masy całko­
witej układu.
Podobnie, środek maay 'leży na prostej symet,·ii ( i na plaazczyźnie
symetrii).
Z tych samych bowiem powodów środek pary punktów symetrycznych leży na prostej (i na płaszczyźnie) symetrii.
f. 8 Momenty stopnia drugiego. Moment bezwładności.
Niech będzie dany pu~t materialny .A o masie m i pewna pla,szczyzna n. Oznaczmy przez r odległość punktu A od płasz­
czyzny n. Wyrażenie
l=mr2
(1.)
nazywa.my momentem bezteladnoAci punktu A względem płasz­
czyzny n. Jeżeli przez oznaczymy odległość punktu materialnego .A od pewnej prostej Z (lub od pewnego punktu O), to (1)
będzie momentem bezwładności punktu A wzglę,lem prostej l (lub
względem punktu O).
r
·. Momentem be:mJładności ogólnym układu punktów nazywamy
sumę momentów bezwładności poszczególnych punktów tego układu.
Moment zboczenia (dewiacji). Niech dane będą dwie
płaszczyzny ll1 i ll1 , prostopadłe do siebie. Połótmy a1 = ± d1 , gdzie
di oznacza odległość punktu materialnego A od ll11 przyczem znak
zależeć ma od tego, czy punkt znajduje się w dodatniej czy ujemnej z dwu części, na jakie dzieli przestrzeń płaszczyzna I/1 • Po·dobnie określamy a1 względem płaszczyzny I/2• Wyrażenie
(2)
D=ma1 a1
nazywamy momentem zboczenia (lub dewiacji) punktu materialnego .A
względem płaszczyzn ll1 i ll1 •
Momentem zboczenia ogólnym układu punktó~ A 17 A 2, ••• wzglę­
dem płaszczyzn ll1 i ll1 nazywamy sumę momentów zboczenia
poszczególnych punktów. A więc
D = 41
~ m a<I) aU>,
(3)
I J 2
160
ROZDZIAŁ IV.·
Geometria mas.
m,, a\o, '4() oznaczają odpowiednio masę punktu A i jego odległości od płaszczyzn ll i ll (opatrzone właściwymi znakami).
Momenty bezwładności i momenty zboczenia nazywamy mogdzie
1
1
1
mentami stopnia d·rugiego.
'
Ramię bezwładności. Niech I oznacza ogólny moment bezwładności układu punktów U względem pewnej płaszczyzny ll
(prostej Z, punktu O). Liczbę
k=YI/m,
(4)
gdzie m=m1 +m2 + ...
nazywamy ramieniem bezwładności układu punktów U względem
płaszczyzny II (prostej Z, punktu O). Na mocy (4) jest
2
l=mk.
(5.)
A więc: ramitJ bezwładności k jest odległością, w jakiej umieszózona masa caJ,kowita układu ma.moment bezwładności równy ogólnemu
momentowi bezwładności układu.
Masa zredukowana. Niech r będzie dowolną liczbą dodatnią.
Masą układu zredukowaną · na odległośó r względem danej płaszczyzny
.(prostej lub punktu) nazywamy liczbę
mr= llrl.
(6)
I
Zatem I =mrr2. A więc: moment bezwładności układu względem
płaszczyzny (prostej, punktu) równa sitJ momentowi bezwładności jego
masy zredukowanej mr, umie.szczonej w odległości r od tej płaszczyzny
(prostej, punktu).
Momenty stopnia drugiego układu punktów:
·m lv„ y 17 z1),
mix2 , y2 , z2 ),
•• • ,
m)x,,, '!I,,, z,,)
względem płaszczyzny, osi i początku układu spółrzędnych wyrażają
się następującymi wzorami:
Momenty bezwładności względem płaszczyzn xy, yz i xz:
n
(7)
I =2m,z·,i,
xg
l= l
Momenty bezwładności względem osi x, y i z:
(8)
[I 31
161
I. Układy punktów.
Momenty
rzędnych:
(9)
Momenty zboczenia względem par płaszczyzn ą1 i1za:, ""I i yz
oraz n i zy:
n
(10)
n
Dz:=2m,y
1 z1,
,_ ,
n
D,==2m
fD z ,
t-=1 1 1 1
Dz 1=1
2m1fD1 y1•
Ze wzorów (7)-(10) wynikają la.two związki:
z,
I,= I.ą + I 11
I,z= ł[I,+Iz-Iz],
Iz= lq+ln,
Iz,,= ł[Iz + I,-.Iz], .
Momenty
bezwładności
Iz= la=+ I,z;
I~= ł[Iz+I.c-I11];
względem
prostych równo ległych. Znając momenty bezwładności układu punktów o ma.się
całkowitej · m względem prostych przechodzących przez jeden punkt
np. przez początek ukła.du spółrzędn.ych, możemy łatwo wyznaczyó
moment bezwładności tegoi układu punktów względem dowolnej
prostej w przestrzeni, opierając się na następującym twierdzeniu:
J eżili prosta l przechodząca · przez lrodek ma,y układu pun,któtc
j~,t róumo~la do pro,tej l', to
Ir= I,+ md2,
gdzie d oznac,4 odkgloić mi~zy Z a l', zaś I, i Ir momenty b e ~
(I)
noici wzg~ tych prostych .•
Dowód. Środek 8 masy układu punktów, przez który przechodzi prosta l, obierzmy za początek
z
układu współrzędnych, prostą Zza oś fD-ów,
a płaszczyznę przesuniętą przez proste
równoległe l i l' za płaszczyznę fDY. Oznar
czając odpowiednio przez r i r' odległość
dowolnego punktu A(fD,y,z) od prostych
1
Zil', mamy r'1 =zl+(d-y)1 i r'=zl+y•,
skąd r'1 =r'+d'-2dy, a więc
·
n
n
~
n
Ir= 2m,r, ="" m,[r1 +d -?Jly1]="" m 1r1 +
'2
t=l
l=I
2
i
~
2
t=l
n
d! ~
·
""~,-
l=l
n
2d""'m,11t=
~
t-1
·
n
=l,+miJ,2-2d2m,y,.
' l
S. Hanach, Mechanika.
11
162
ROZDZIAŁ IV. · Geometria mu.
n
Lecz Im,y,-·my0=0, gdyż środek 8 ma.sy ukiadu punktów
1=1
leży w początku układu współrzędnych. Zatem lr=11+md , c. b. d. d.
2
Z wzoru (I) wynika, te jeżeli wziąć pod uwagę wszystkie proste
równoległe do prostej · o pewnym danym kierunku, to moment bezwładności będzie najmniejszy względem tej prostej, która przechodzi
przez środek masy. Oczywistym jest również, że jeżeli proste Z' i 1"
są równoległe, to oznaczając przez di i d 1 odległości środka ma.sy od
tych prostych, będziemy mieli
(10)
lr-md~=lr-m~,
ponieważ na, mocy (I) obie strony równości wynoszą li,
gdzie Z jest
prostą · równoległą do· i' i "Z", --przechodzącą przez środek masy.
Ze wzoru (10) mamy
(II)
· Ir,= lr+m(~-d~).
Wzór powyższy pozwala obliczyć moment bezwładności układu
punktów względem dowolnej prostej w przestrzeni, gdy znane s,
µiomenty bezwładności .tego układu względem wszystkich prostych
przechodzących przez jeden punkt i położenie środka masy układu.
Momenty zboczenia, względem płaszczyzn równoległych. Dla momentów zboczenia można udowodnić twierdzenie podobne do twierdzenia o momentach beżwładności (str. 161).
Niechaj płaszczyzny Ilu Il1 będą do siebie prostopadłe
i przechodzą przez środek masy m danego układµ ·punktów materiaJnych. Obierzmy dowolnie płaszczyzny
z z·
,
· II1, II2 równoległe odpowiednio do płaszz·
czyzn Ilu II2 • Niech u1 oznacza odległość
~-+-W,,::..-, między płaszczyznami II1, u;, zaopatrzoną
J' P/{, Tj,(/
"
z
znakiem + lub - zależnie od tego, czy
, i płaszczyzna II; leży w dodatniej czy ujemnej
s
części przestrzeni, na jakie dzieli przestrzeń
płaszczyzna,II1 • Analogicznie określmy u 2 dla
pary płaszczyzn II2, n;,. Wreszcie oznaczmy przez D i D ' momenty
zboczenia danego układu względem par płaszczyzn II1, lI2 i u;, n;,.
Mamy wówczas analogicznie do (l) wzór
(III)
I. Układy punktów.
[§ 4]
163
Uwaga. Zauważmy, że iloczyn ma1 a 2 oznacza moment zboczenia względem pary płaszczyzn Ilu l12 masy całkowitej m układu,
umieszczonej gdziekolwiek bądź na prostej przecięcia pary płasz­
czyzn Ili i n;,.
Dowód wzoru (III). Obierzmy początek układu współrzęd­
nych· (x, y, z) w środku 8 masy całkowitej m danego układu punk·
tów. Za 'oś x-ów weźmiemy prostą przecięcia płaszczyzn IJ1 i Ilu
zaś płaszczyzny te obieramy odpowiednio za płaszczyzny xy i yz.
Analogicznie obieramy drugi układ współrzędnych (x', y', z')
dla pary płaszczyzn Ili, I12, przyjmując za początek dowolny punk~ P
leżący na prostej przecięcia płaszczyzn II1 i n;..
Oznaczmy współrzędne punk.tu P względem układu' współrzęd­
nych (x, y,' z) przez E, 1J, C. Oczywiście tJ= a 2 i C= a1 • Niech x, y, z
będą współrzędnymi dowolnego punktu ..4. względem układu współ­
rzędnych (x, y, z), zaś x', y', z' współrzędnymi tegoż punktu ..4. wzglę­
dem układu współrzędnych (x', y', z'). Wówczas:
x'=x-E,
(11)
y'=Y-TJ,
z'=z-c . .
Ponieważ
D'=2m,z~y;,
(12)
więc
(13)
na mocy (11)
D'= 2m,(z,-C) (y 1-TJ)=2m,[z, Y,+ CTJ-CY1-TJZ1]=
=2m,z,y1+ CTJ2m,-C2m,y1-TJ2m,zr
Lecz 2m1 y 1=my0 =0 i 2m1 z1=mz0 =0, gdyż środek 8 masy m
danego układu punktów leży z założenia w początku układu (x, y, z).
Nbi mocy (12) i (13) jest więc D'=D+mCTJ, _a ponieważ C= a1
i TJ= a 2, więc otrzymujemy w . końcu D'=D+ma1 a 2, c. b. d. d.
§ ł. Elipsoida bezwładności. Osie bezwładności. Niech
O(x, y, z) będzie dowolnym układem współrzędnych prostokątnych
o początku O. Udowodnimy, że znając
z
momenty bezwładności względem osi i momenty zboczenia względem płaszczyzn tego
układu współrzędnych, można wyznaczyć moL
menty bezwładności względem dowolnej pro'aAl
stej Z, przechodzącej przez O.
)
Niechaj prosta Z tworzy z osiami układu
współrzędnych O (x, y, z) kąty a, P, y. Obierzmy
dowolny punkt ..4. (x, y, z) i niechaj P będzie rzutem punktu .A na
n•
164
ROZDZIAŁ
prostą
IV.
Geometria mas.
Z. Zat.em AP= r jest odległością punktu A od prostej Z.
Połóżmy
OA=e=Vx2+y•+;a.
(1)
Oznaczając przez <p kąt między prostą O.A. a prostą l, otrzymamy
AP=r=e sin <p.
(2)
Ponieważ, jak wiadomo z geometrii analitycznej,
OP=x cosa+ y coB fJ+z cos y,
więc
z uwagi na to, że OP=e cos <p, otrzymamy
C08<p
xcosa+y cos {J+z cos y
e
N a mocy (2) jest ,.S=e• sin1 <p =e1( 1- cos• <p), więc
~
•[l (xcosa+ycosfJ+zeosy)2]
~ [ cosa + y oos /J+ oos y ]•,
fr
,=(!
= f ! - x·
-
z
skąd.na mocy (1) jest rl=x'[l-cos1 a]+y2(1-cos2 /J]+zl[l-oos1 y]-
- 2xy COB a COB {J-2xz 008 a cos y -2yz COB fJ COB,,.
Ponieważ cos•a+oos1 /J +cos1 y=l, więc podstawiając 1-cos1 a=
= cos' fJ +cos1 y i t. d., dostaniemy:
r2 = (y1 + zł) cos1 a+ (x' + ~) cos1 fJ +(XS+ y1 ) cos1 y- 2xy cos a C08 fJ-2xz COB a COB y - 2yz COB {J 008 y.
a przez r, odległość punktu A, danego układu punktów Au .A. 1, ••• od prostej Z, otrzymamy na moment bezwładności I, tego układu punktów względem prostej Z wzór
Oznaczając przez m, masę,
11=.Em,r~=cos•a_Emt(y~ +z~)+ cos2 {J~mt(x~ +z~) +cos2 y,Emt(x~ +y;)-2 cosa cos fJ~m,x,y 1-2 cosa cos y Emix,z,-2 cos /J cos y Em,y,z,,
skąd
(I)
-2DzC08a COB fJ-2DgCOSa 008 y-2DxcosfJ cosy.
Ze wzoru (I) możemy wyznaczyć moment bezwładności układu
punktów materialnych względem prostej l, znając lx, lu, Iz, Dx, Du, Dz
oraz kąty, jakie prosta l tworzy z osiami układu współrzędnych.
165
I. Układy punktów.
[§ 4]
Zachowując_ znakowanie poprzednie, oznarzmy przez k,, długość
ramienia bezwładności danego układu punktów wzgl~den1 prostej l.
Zatem (str. 160)
k,=tll/m.
(3)
Załóżmy, że
dla każdej prostej l przechodzącej przez O jest
I,=ł= O. Założenie to równoważne jest założeniu, że punkty materialne
danego układu nie leżą na jednej i tej samej prostej przechodzącej
przez O. Ponieważ J,=ł= O, więc na mocy (3) jest- również k,=ł= O.
Odetnijmy na każdej prostej l odcinki OQ i OQ' o długości
odwrotnie ·proporcjonalnej ·do ramienia bezwładności k1, t. zn.
(4)
OQ=OQ'=a/k,=a~m/11,
gdzie a jest dowolni stałą dodatnią, nie zależną od prostej l. Oznaczając przez x, y, z wspólrŻędne punktu Q, mamy:
Z=± a.
I,
V
-COŚ y.
m
Punkt Q' ma · współrzędne -x,-y,-z. Zbiór wszystkich punktów Qi Q' utworzy pewną powierzchnię I. Aby otrzymać jej równani.e, wyznaczmy z (5) cosa, cos f3, cos y i watawmy otrzymane
wartości do równania {I). Dostaniemy:
· skąd
(6)
lxW' +luy2 +Izz2-2Dxyz-2Dyxz-2DzXY=<ł,
gdzie <ł=ma2• Wi~imy _stąd, że powierzz
chnia I jest powierzchnią rzędu drugiego.
Wykażemy, że I jest elipsoidą. Wystarczy
w tym celu udowc:>dnić, że I jest powierzchnią ograniczoną (t. zn. że odległości jej
punktów od początku układu współrzędnych
nie przekraczają pewnej liczby). W rzeczy
samej, założyliśmy, że l1=ł=O, a więc mamy
stale 11>0. Ponieważ na mocy wzoru (I) 11 jest funkcją ciągłą
k.ątów a, {J, y, więc minimum 1 1 j.est · również dodatnie. Oznaczając to minimum przez h, mamy na mocy (3) k1~~h/m, skąd
na. mocy (4) OQ'=OQ~~'m/h. A z~tem powierzchnia I jest powierzchnią ograniczoną. Wynika stąd, że powierzchnia. I jest
166
ROZDZIAŁ IV.
~metria maa.
elipsoid,, gdyż jedyną powierzchnią ograniczoną drugiego rzędu
jest elipsoida.
Otrzymaną elipsoidę I nazywamy elipsoidą beZVJladfł-08oi danego układu punktów względem punktu O.
Ponieważ w równaniu (6) brak jest wyrazów pierwszego stopnia, t. j. y, x, z, .więc punkt O jest środkiem elipsoidy bezwładności.
Zatem: elipsoida bezuiladności układu punktów materialnych
wzg~ punktu O ma t~ tolafflość, że odleglośó od O każdego jej punktu
jMt odwrotnie proporcjonalna do ramienia bezwładności układu wzg~dem średnicy; przechodzącej przez ten punkt.
Osie elipso\dy bezwładności względem punktu O nazywamy
osiami bezwlaa1Wśm względem punktu O.
Elipsoidę bezwładności względem środka ciężkości
elipsoidą
bezwładności
środkowymi
nazywamy
środkową,
a płaszczyzny
osie . jej osiami bezwładności
przeprowadzone przez dwie osie płasz­
czyznami środkowymi.
Istnieje oczywiście nieskończenie wiele elipsoid· bezwładności
danego układu względem jednego i tego samego punktu O. Zależą
one od wyboru współczynnika proporcjonalności. Wszystkie te eli.:.
psoidy mają jednak wspólny środek i wspólne kierunki osi głównych.
Ponadto stosunek osi głównych jest we wszystkich elipsoidach jednakowy. Wszystkie elipsoidy .bezwładności względem jednego i tego
samego punktu O są więc do siebie podobne.
Ramię bezwładności ma największą wartość względem osi małej; zatem moment bezwładności ma najmniejszą wartość wzglę­
dem osi małej. Względem wielkiej osi jest na odwrót.
W szczególności, ·gdy elipsoida jest kulą, punkt O nazywamy
punktem kulistym.
Momenty bezwładności względem każdej prostej przechodzącej
przez punkt kulisty są równe (i na odwrót).
Wyznaczanie osi bezwładnóści. Jeżeli za osie spółrzęd­
nych x, y, z przyjąć osie bezwładności, to równanie elipsoidy bezwładności będzie miało kształt
.A.XS+ By1 + Oz2 = F.
Porównując równania (6) i ( 7 ), widzimy, że w tym przypadku
Dx= O, Dy= O i D%= O; równanie elipsoidy bezwładności będllie zatem
(7)
(8)
Ixxl + lgy1 + I,z'I. = <ł.
I. Układy punktów. .
c1,1
167
A więc: u,arunkiem koniecfflym_i dodatecfflym M to, by 0116
"kładu 10iłpólr~nycA były oriami bffll1łt.ldftHci, jut by ,nomemy zboczenia Dx, D 9 , Dz były rót.one zeru.
.
Jeżeli ·osie spółrzędnych :e,y,z obierzemy tak,
by tylko jedna
z nich, np. oś z, pokrywała się z jedną z osi bezwładności, to równanie elipsoidy bezwładno'°i przyjmie kształt
'
.Aa,I +By'+ Czi+ E:ey
(9)
= F.
Porównując
równania (6) i (9), widzimy, że Dx=O i D 11 =0.
Równanie ·elipsoidy bezwładności będzie więc w tym przypadku
(10)
A więc: warunkiem komecznym- i wyatarczajqcym n·a t<>, by oś z
była osią bezwładności, jest by momenty zboczenia Dx i D 11 były róu,,ne zeru.
Łatwo sformułować analogiczne warunki na to, by osiami bezwzględności były oś x, lub oś y.
Przyjmijmy teraz za początek układu· współrzędnych (x, y, z)
środek S masy całkowitej m danego układu punktów materialnych,
zaś jego osie środkowe za osie współrzędnych x,y,z. Mamy oczywiście:
(11)
Dx= O,
Du= o,
Przyjmijmy następnie dowolny punkt O(E, 11, C) za początek
nowego układu współrzędnych (x', y', z') o osiach odpowiednio równoległych do osi x, y i z. Na mocy (III), str. 162, będzie:
Dx1 = Dx + mC17,
skąd
(12)
D,l = D 11
+ m~C,
na mocy (11.) :
D11, = mEC,
Załóżmy, że punkt O(E, 1/, C) leży na jednej z płaszczyzn środ­
kowych, np. na płaszczyźnie xy. Zatem C= O. Na mocy Więc (12)
otrzymamy Dx1=0 i Dg1=0. Wynika stąd, że oś z' jest osią bezwładności względem punktu O. Mamy więc twierdzenie:
Jedna z osi bezwładności wzg~dem punktu polożonega w płasz­
czyźnie środkowej jest prostopadła do tej płaszczyzny.
'f68
ROZDZIAŁ IV.
Geometria mu.
·w· siczególno'°i, gdy punkt O Jeży na· osi środkowej, np. na
osi x~ ·mamy 11=0 i C=:=O, skąd na mocy (12) Dx1=0, D,1=0 i Dz1=0.
Wynika stąd, że osie x', y', z' są osiami bezwładności względem
punktu .9,. Otrzymujemy więc wnioski:
1
° Osie bezwładności względem punktu p<il-Ożonego na osi środ­
kowej są równolegle do, osi środkowych.
2 8 oś ·Środkowa jest osią bezwładności względem każdego jej punktu.
Jeżeli dany układ punktów materialnych posiada oś lub płasz­
czyznę symetrii, wówczas można dowieść następującego twierdzenia:
Oś
symetrii układu punktów materialnych jest osią środkową;
podobnie płaszczyzna symetrii jest płaszczyzną środkową.
Dowód. Aby dowieść pierwszej części twierdzenia, zauważmy,
~ na osi symetrii leży środek S masy m układu. Weźmy S za począ­
tek ukł84u współrzędnych (x, y, z), a oś symetrii za oś z. Wobec tego
dany układ punktów materialnych zawiera do każdego punktu .A.,
o masie m, 1 współrzędnych x 1, '!1t,z1 drugi punkt
o masie równej
i o współł.'zędnych -flJ1, -y,,
Mamy .więc:
m,
z,.
Dx~.l'[m1y 1z1+ m,(-11,)z,] =-O,
A,
D 9 =2[m,x,z,+ m,(-x,)z,]=0.
Wynika stąd, że oś symetrii z jest zarazem osią bezwładności
względem środka masy S, a zatem jest osią środkową.
drugiej części twierdzenia, zauważmy, że na
płaszczyźnie symetrii leży środek masy ,s ~.:·Przyjmijmy S za początek układu współrzędnych, zaś osie x i '!i tjbierzmy w płaszczyźnie
symetrii. Ponieważ płaszczyzna xy jest płaszczyzną symetrii, więc
do każdego· punktu .A. 1 o masie m, i współrzędnych x„ y" z1 istnieje
w naszym 'układzie punktów materiaJnych punkt .A., o masie równej m, i o współrzędnych xi, yi, -z;. Mamy więc:
Aby
dowieść
Wynika stąd, że oś z jest osią środkową, a więc płaszczyzna
eymetrii xy, jako prostopadła do osi środkowej z, jest płaszczyzną
~rodkową.
[§ 5)
I. Układy punktów.
ł$ 5.
Momenty kwadratowe
układu
169
plask.lego. Niech
dany będzie układ punktów materialnych leżących w płaszczyźnie 11.
Jako płaszczyzna symetrii jest więc płaszczyzna II na mocy twierdzenia poprzedniego płaszczyzną środkową. W każdym punkcie
płaszczyzny 11 jedna z osi bezwładności jest tedy prostopadła do
płaszczyzny 11, podczas gdy dwie pozostałe osie bezwładności leżą
w płaszczyźnie 11.
Jeżeli wziąć pod uwagę tylko momenty bezwładności względem
prostych leżących w płaszczyźnie Il, to rozważania §§ 3 i 4 można
uprościć.
Obierzmy dany punkt O za początek układu współrzędnych
(x, y) płaszczyzny Il. Wykreślmy z punktu O
J
.dowolną prostą Z leżącą w tej płaszczyźnie
i tworzącą kąt a z osią x-ów. Moment bezwładności względem Z otrzymamy ze wzoru (I),
str. 164, kładąc /J=906 - a i y=90°. Zatem
'
(1)
l1=lx cos2 a+ ly sin2 a - Dz sin 2a.
Moment zboczenia Dxy=l:m1X;Y; nazywać będziemy momentem zboczenia względem osi x i y.
Zaznaczmy na prostej Z punkty Q i Q', których odległości od O
są odwrotnie proporcjonalne do ramienia bezwładności. Zbiór takich
par punktów zaznaczonych na wszystkich prostych l, jakie przechodzą przez O, utworzy krzywą, która będzie przekrojem płasz­
czyzny II z elipsoidą bezwładności względem punktu O. Krzywa ta
będzie zatem elipsą; nazywamy ją elipsą bezwładności względem O.
Równanie jej otrzymamy z równania (6), str. 165, kładąc z=O.
A więc równaniem elipsy bezwładności będzie
(2)
Jeżeli za osie x, y
obierzemy osie
elipsy bezwładności przyjmie postać
(3)
bezwładności,
to równanie
110
ROZDZIAŁ IV.
Geometria mu.
U. . Bryły, powłenehnle 1·· Unle materialne.
ł 8 •. Gęeto6L. Gdy ciało nie jest tak małe, . byśmy je mogli
uważać za punkt materialny, to oprócz masy ciała podajemy także
rozmieszczenie masy w ciele. W wielu bowiem zagadnieniach mechaniki duże znaczenie ma nie tylko znajomość masy całego. ciała,
lecz także znajomość masy jego posżczególnych części.
Często się zdarza, .te masa części ciała jest proporcjonalna do
objętości. Oznaczając wówczas przez m masę, a przez v objętość
ciała, otrzymamy, że masa przypadająca na jednostkę objętości,
wynosi
(I)
e=m/v.
Liczbę
e nazywamy gęstością ciała.
Mówimy w tym przypadku, że masa jest w ciele rozmiesz~zona
jednostajnie, lub że ciało jest jednorodne, lub wreszcie, że gęstośó
jest stała.
Masa części ciała ·o objętości v' wyniesie wówczas m' = v' €!·
Na mocy (I) wymiar gęstości jest
(1)
[gęstość] =L-3 M
Przejdźmy teraz do przypadku ogólnego, t. j. nie zakładajmy,
że masa jest w danym ciele rozmieszczona jednostajnie. Niechaj
A
będzie jakimkolwiek punktem danego ciała. Obierzmy w ciele dowolny sześcian o_ masie Jm i objętości .dv, którego środkiem jest
punkt A. Granicę
(li)
Jm
liID-:.=(!
liv--M> LJV
nazywamy gęstością ciała w punkcie A.
Gęstość e zależy w ogólności od punktu A .. Jeżeli A ma współ­
rzędne x, y, z, to f! jest funkcją zmiennych x, y, z; możemy więc
napisać . e= e(x, y, z). Jeżeli e=const., to masa w ciele jest rozmieszczona jednostajnie i mamy rozpatrzony już przypadek ciała
jednorodnego.
Zakładać będziemy zawsze, że e jest funkcją ciągłą.
li 61
II.
Bryły. powierzchnie i
linie mateńalne.
171
Obliczanie mas·y. Znając gęstość w każdym punkcie ciała
możemy obliczyć jego masę, jak również masę dowolnej jego części.
Przy pomocy płaszczyzn równoległych do płaszczyzn xy, yz, zx
podzielmy mianowicie dane ciało na drobne prostopadłościany (t. zw.
elementy objętości) i na ewentualne kawałki brzeżne o kształcie nieregularnym. Oznaczmy objętości kolejnych prostopadłościanów przez
Jvi, Jv 2 , ••• i obierzmy w każdym z nich po jednym punkcie o współ­
rzędnych x1, y1, z1 , x 2 , y 2 , z2 , ... • Masy poszczególnych prostopadło­
ścianów wynoszą w przybliżeniu e(x1 , y 1 , z1 )Jv1 , e(x 2, y 2, z2 )Jv 2 , • •• •
Zatem suma
przedstawia w przybliżeniu masę ciała. Tworząc podział na coraz
drobniejsze prostopadłościany o wymiarach dążących do zera i przechodząc do granicy, otrzymamy dla masy m danego ciała wzór
(III)
m=
ff f e(x: y, z)dv,
D
gdzie obszar całkowania D obejmuje całe ciało.
W szczególności, gdy e= const., dostajemy ze wzoru (III)
m = ev zgodnie ze wzorem (I).
Wzór (III) podaje również masę dowolnej części danego ciała,
jeżeli przyjmiemy, że D oznacza obszar zajęty przez tę część.
Powierzchnia materialna, linia materialna. Niekiedy
jeden lub dwa wymiary ciała są drobne w porównąniu z pozostałymi.
Przykładami takich ciał są płyty, pręty. druty i t. p. W tych przypadkach przedstawiamy ciało, jako powierzchnię lub linię materialną
i mówimy, że masa jego jest rozłożona powierzchniowo lub liniowe.
Niech masa będzie rozłożona na powierzchni S i niechaj
A oznacza dowolny punkt tej powierzchni. Oznaczmy przez J <1 pole
małego płata powierzchni S, pokrywającego punkt A (t. zw. element
pola), przez Am masę tego płata. Jeżeli wymiary płata będą dążyły
do zera, granicę
(IV)
• Am
Illn""T"9= (}
.4(HO LJ(J
nazywamy gęstością powierzchniową w punkcie A.
172
ROZDZIAŁ
Geometria mas.
IV.
W szczególności, gdy e= const, wówczas e przedstawia masę
płata o polu 1 cm2, wyciętego z powierzchni S.
Można wykazać (podobnie jak poprzednio przy bryłach), że
masa powierzchni S wyraża się wzorem
m=f f eda,
(V)
8
gdzie obszar całkowania S rozciągnięty jest na cal, powierzchnię.
Gdy e= const. i P oznacza pole powierzchni S, mamy m-y:= eP,
skąd
e = m/P.
(2)
Ze wzoru powyższego otrzymujemy dla gęstości powierzchnio-
wej wymiar
[gęstość powierzchniowa] = L-2M.
(3)
Podobnie postępujemy w przypadku masy rozłożonej liniowo
na· pewnej krzywej O. Jeżeli A jest punktem krzywej C, wówczas
obieramy dowolny łuk krzywej C, pokrywający punkt .A. Jeżeli
As oznacza długość tego łuku (t. zw. element długości), zaś Am jego
masę, wówczas granicę
. Jm
(VI)
11m- =e
4s-+O L1 S
nazywamy gęstością liniową _w punkcie A .
W szczególności jeżeli e=const, wówczas e przedstawia masę
łuku (krzywej C) o długości 1 cm.
Masa m na całej krzywej O wynosi
(VII)
m
=feds,
C
.gdzie obszar całkowania rozciągnięty jest na całą tą krzywą.
Gdy (! = const i s oznacza długość krzywej C, ma.my na
mocy (VII):
(4)
-m =
es,
skąd
e = m/s.
N a wymiar gęstości liniowej otrzymujemy więc wzór
(5)
1
(gęstość liniowa.] =L- M .
[§ 7]
U.
Bryły,
powierzchnie i linie materialne.
173
§ 7. Momenty statyczne bezwładności. Środek masy.
Moment statyczny ciała względem pewnej płaszczyzny, np. xy, określamy w sposób następujący. Dzielimy ciało na drobne prostopadło­
ściany o objętościach L1vu L1v2 , ••• i
ewentualnie na pewne kawałki
nieregularne brzeżne. W każdym prostopadłościanie obieramy dowolnie po jednym punkcie o współrzędnych xu Yu zu x 1 , y„ z17 •••
Oznaczmy przez e(x, y, z) gęstość ciała w punkcie x, y, z. Masa
prostopadłościanu L1v1 wynosi w przybliżeniu e(xu Yu Zi) ,L1v1 ; gdybyśmy całą jego masę umieścjli w punkcie Xu Yu Zu to moment statyczny tej masy względem płaszczyzny xy byłby równy
Zi · (! (xu Yu Zi) • L1v1 • Możemy więc przyjąć, że suma
Z1 • (! (Xi, Yu Z1)' Av1
+ Z2' (! (x2, Y2, Z2)' Av2 + •••
przedstawia w przybliżeniu moment statyczny ciała względem płasz­
czyzny xy. Z tego powodu granicę powyższej sumy, gdy wymiary
prostopadłościanów dążą do zera, nazywamy momentem ati,,t,ycznym
ciała wzgl~em płaszczyzny xy.
Ponieważ granicą powyższej sumy jest całka potrójna ff f zedv,
D
gdzie obszar całkowania D jest rozciągnięty na całe ciało, więc
(I)
Mxy =ff f z edv i podobnie Mxz =ff f y edv, Mz=ff f xedv.
11
D
D
D
Analogicznie określamy moment statyczny powierzchni i linij.
Zamiast całek potrójnych wystąpią odpowiednio całki podwójne po
powierzchniach i pojedyńcze po liniach.
W przypadku masy rozłożonej na powierzchni S otrzymamy
(li)
Mxy= ff Zf!d<1,
Mv=f f yed<1,
Mz= ff xeda,
8
S
8
11
'
gdzie da jest elementem pola, a dla masy rozłożonej liniowo na
krzywej O:
f
(Ili)
Mxz= Yeds,
C
gdzie ds jest elementei,i długości łuku.
Momenty statyczne figur płaskich względem osi x i y wyrażają
się wzorami
(1)
Mx= j j y edaJdy,
D
M =ffx edxdy.
11
D
174
:ROZDZIAŁ IV.
Geometria mas.
Dla linij płaskich mamy:
(2)
f
Mx= j Yeds,
M,,= xeds.
C
C
Środek masy ciała, powierzchni lub linii materialnej określa­
my jako ·punkt o współrzędnych:
{IV)
Yo = Mx:i/m,
gdzie M:i11 , M:q, Mx11 oznaczają momenty statyczne względem płasz­
czyzn zy, xz, xy, a m masę ciała.
Dla figur i linii płaskjch dostajemy:
(V)
'!/o= Mx/m.
Jeżeli gęstość w ciele jest
i m=
e= const., to Mzy = efff xdt1
D
efff dv =ev, skąd
D
(VI)
ff f xdv
ff f ydv
Xo=----,
Yo=--v--,
D
V
D
ff f
Zdf)
D
~o=----•
'V
Widzimy stąd, że x 0 , Yo i z0 nie zależą od gęstości.
.A więc : jeżeli gęstość jest stała, to położenie środka ciężkości nie
zależy od gęstości.
To samo odnosi się do powierzchni i linij.
Można wykazać, że
twierdzenia o środku masy dla układów
punktów materialnych, udowodnione w § 2, zachodzą również
w przypadku ciał, powierzchni i linij materialnych.
Bryły,
powierzchnie i linie g e ometryczne. Momentem
statycznym bryły geometrycznej nazywamy moment statyczny ciała
materialnego, mającego postać danej bryły, przy założeniu, że gę­
stość e=const; zazwyczaj przyjmujemy e=l.
Środek masy tego ciała (który nie zależy od e) nazywamy
środkiem ciężkości bryły geometrycznej.
Analogicznie określamy moment statyczny i środek ciężkości
dla powierzchni i linii geometrycznych.
[§ 7]
II.
Bryły,
175
powierzchnie i linie matenalne.
Momenty statyczne i środJti masy tworów geometrycznych
otrzymamy zatem, kładąc w podanych wzorach (I)-(V), (1) i (2) e=l
i przyjmując wobec tego, że m oznacza objętość, pole lub długość,
za.leżnie od tego czy twór geometryczny jest bryłą, powierzchnią
czy linią.
Poznamy teraz pewne twierdzenie, ułatwiające w wielu wypadkach znalezienie środka masy. Przetnijmy daną bryłę D płasz­
czyznami równoległymi do pewnej płaszczyzny II. Załóżmy, że
środki ciężkości przekrojów leżą w pewnej płaszczyźnie o.
Przy tych założeniach można udowodnić, że środek ciężkości
bryły D leży również w płaszczyźnie o.
Intuicyjnie jest to jasne. Podzielmy bowiem bryłę D na cienkie
warstwy przy pomocy płaszczyzn równoległych do płaszczyzny II.
Możemy przyjąć w przybliżeniu., że środek masy każdej warstwy
leży w płaszczyźnie <1. Zatem moment statyczny każdej warstwy
względem płaszczyzny o jest równy zeru. Wynika stąd, że moment
statyczny całej bryły D względem płaszczyzny <1 jest zerem (gdyż
równy jest sumie momentów poszczególnych warstw). A więc śro•
dek masy bryły D też będzie leżał w- płaszczyźnie o.
Ścisły
dowód można przeprowadzić
w następujący sposób. Przyjmijmy, że II
jest płaszczyzną poziomą, zaś <1 jest płasz­
czyzną o równaniu
(3)
z
Ax +·By+ Cz+ E = O.
(
:t.',,,;,
Oznaczmy przez Dz przekrój bryły D
'
1
płaszczyzną poziomą na wysokości z. Niechaj ~,,17 i C=z, będą współrzędnymi środka ciężkości Sz prze•
kroju Dz. Oczywiście ~' 17 i C są funkcjami z i na mocy (3)
I
A~+B17+CC+E=O.
Oznaczając przez x0 , y 0 , z0 współrzędne środka masy bryły D,
otrzymujemy z (VI)
(4)
(5)
1
.Ax0+By0 +Cz0+E= (.A. fffxdv+B fffydv+C
V
D
D
ff f zdv+Ev\J·
D
Niech P z będzie polem przekroju Dz, a z' i z" (gdzie z'< z")
granicami, w których· się zmienia zmienna •· Wówczas
(6)
Pz=
f j dx dy.
D:i
176
ROZDZIAŁ
IV.
Geometria maa.
Zamieniając całkę potrójną na całkę
i terowaną, otrzymamy:
z''
( 7)
V=
z''
ff f dv = f dz.f.f tkc dy= fp z dz,
z'
D
D&
z'
z''
z''
z"
ff f zdv= f zdzf f tkcdy= f Pzz<k= f PzC<lz,
(8)
z'
D
z'
D&
z'
z''
./ff xdv=fdzf f xdxdy.
(9)
z'
D
D6
Ponieważ ff a; tkc dy przedstawia moment statyczny przeD6
.fj xdx.dy=Pz e. Zatem
kroju Dz względem płaszczyzny yz, więc
D&
na mocy (9)
z"
(10)
.fff xdv=f Pz~dz
D
z"
i podobnie
z'
fff y dv=f Pz TJ dz.
D
z'
Na mocy więc (6)-(10) dostaniemy
!j
.Ax0+By0+Cz0+E=
z''
(Ae +Bt1 +CC +E)Pz dz.
z'
Ze wzoru (4) otrzymamy tedy
Ax0 +By0 +Cz0 +E= O.
A więc, środek ciężkości bryły n· leży w płaszczyźnie <1. Udowodniliśmy więc
Ttvi-e rdzenie. Jeżeli środki ciężkości przekrojów równoległych
danej bryły leżą w jednej płaszczyźnie, to środek ciężkości tej bryły
leży w tej samej płaszczyźnie.
W szczególności wynika stą_g., że jeżeli środki ciężkości przekrojów leżą na jednej prostej, to i środek ciężkości bryły leży na
tej prostej. Jeżeli bowiem przez tę prostą przeprowadzimy dowolną
płaszczyznę, to na mocy udowodnionego twierdzenia środek ciężlrości
bryły będzie leżał w tej płaszczyźnie.
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla powierzchni i figur
płaskich.
II. Bryły, powierzchnie i linie materialne.
[§ 7]
Reguły
Gu.dina. Niech na płaszczyźnie xy dana będzie
krzywa O, o równaniu y=f (x), przyczem f(x)~O dla · a~xt ·,;:
Oznaczmy przez Z długość krzywej. Na mocy (V) środek ciężkości
wyznaczony jest wzorami:
b
(11)
f
x 0 =M11 /m=fx ds/l,
b
Yo=Mx/m= y ds/l.
a
a
Pole powierzchni zatoczonej pr.zez daną krzyw~ przy obrocie
f
b
<>koło osi x-ów wynosi P = 2n y ds. N a mocy więc (11) jest
a
I.
P=2nly0 •
Podobny wzór otrzymamy, dla dowolnej krzywej, leżącej ponad
-Osią X-ÓW.·
Ponieważ przy obrocie krzywej środek masy zatacza koło o pro-
mieniu Yo, więc 2ny0 oznacza obwód tego kola.
A więc: powierzchnia bryły, zatoczonej przez obrót krzywej plagkiej około osi, leżącej w płaszczyźnie tej krzywej i nie przecinającej
jej, równa silJ iloczynowi długości krzywej przez drogę, jaką opisuje
,rodek ciężkości.
Jest to t. zw. pierwsza reguła Gul,dina.
Weźmy
teraz pod uwagę dla tej samej krzywej obszar D zawarty między krzywą, osią x a rzędnymi X= a i X= b. Oznaczmy
przez F' pole obszaru D . Środek ·ciężkości obszaru D ma na mocy (V),
str. 174, współrzędne:
(12)
My
f f xdxdy
Mx
D
Xo= F' =--F--,
b
ff ydxdy
D
Yo=y=--F--
li
b
Lecz f f ydxdy= f dx(fydy) =łfy 2 dx. Na mocy więc (12) jest
D
a
a
\l
·b
(13)
F'yo=łfy2 dx.
..
a
Jeżeli krzywa obróci się około osi
x, wówczas objętość zato1S
178
ROZDZIAL IV.
czonej bryły będzie wynosiła
Geometria maa.
b
V=nfy1 dx, skąd na mocy (13)
a
II.
V=2nyoF'.
Podobny wzór otrzymalibyśmy dla dowolnego obszaru położo­
nego nad osią x.
A więc: obj@tość bryły zatoczonej przez obrót obszaru płaskiego
naokoło oai, leżącej .w plaszczymie obszaru i nieprzecinającej go, równa
aię iloczynowi pola ob,zaru przez drogę, jaką odbył środek ciężkości
ob1zar11.
Jest to t. zw. druga reguła Guldina.
Momenty bezwładności i momenty zboczenia. Postę­
pując podobnie jak przy momentach statycznych, dochodzimy do
określenia momentów bezwładności i momentów zboczenia dla brył,
powierzchni i linij.
Jeżeli e(x, y, z) oznacza gęstość bryły, to momenty bezwład­
ności względem płaszczyzn xy, yz i zx określamy przez wzory:
(VII)
lx11=fff(!z2dv,
l 11z= ff f (!x2dv,
D
D
lu= ff f e1J dv,
2
D
momenty bezwładności względem osi .współrzędnych:
·lx=f ff e(y +z2)dv,
111 - .ff j e(x2+z2)dv,
2
(VIII)
D
D
Iz= ff f (!(xl+y1 )dv,
D
a momenty zboczenia względem płaszczyzn układu:
(IX)
D 11_:_
fff ezxdv,
D
Dz= ff f ex1JdV.
D
Aby otrzymać momenty bezwładności dla powierzchni (linij),
należy w podanych wzorach całkę potrójną zamienić na podwój~
(pojedyńczą) po powierzchni (po linii) i zastąpić dv przez da (ds),
podobnie jak dla momentów statycznych. Określenia ramienia bezwładności oraz masy zredukowanej pozostają bez zmiany. Twierdzenia udowodnione dla układów · punktów n1aterialnych zachodzą
także i tutaj.
[§ 8]
II.
Bryłył
powienohnie i linie materialne.
179
I 8. Środkl elętkoścl nlekt6rych Unij powierzchni l bryi.
Jeżeli linia, powierzchnia lub bryła posiada środek symetrii, to jest
on równocześnie środkiem ciężkości. Zatem środkiem ciężkości odcinka, pełnego równoległobo~u, koła, równoległościanu, kuli i wal~
jest środek symetrii tych tworów.
Linia łamana. Środek ciężkości linii łamanej, n~. :A.BOD,
otrzymamy, - zastępując każ4,y odcinek lińii ,
punktem materialnym, umieszczonym w środku
odcinka, o masie równej długości odcinka. Śro­
dek ciężkości układu tych punktów będzie środ­
kiem linii .ABOD (rys. 1).
1..
.,._,,
,, ,
Niechaj di, d2, d8 oznaczają długości odcinków AB, BO, OD, zaś 8 1 (Xi, Y1), S,.(:e-, Y2),
1.
8 8 (x8 , x3 ) środki tych odcinków. środek ciężkości łamanej -.ABOD
będzie więc miał współrzędne
di Xi +d1:»1+daXa
(1)
Xo
il
~
+dI +d8 '
o promieniu r, należący do kąta środkowego 2a,
~a za oś symetrii dwusieczną tego kąta. środek ciężkości łuku leży
więc na tej dwusiecznej (rys. 2) .
.Aby wyznaczyć odległość środka ciężkości 8 od środka koła O,
opieramy się na pierwszej regule Guldina. Przy
obrocie naokoło średnicy l, prostopadłej do dwusiecznej kąta 2a, ~ opisuje powierzchnię pasa
kulistego o polu 2rnh (gdzie h oznacza długośó
cięciwy, na której wspiera się łuk). Długość łuku
wynosi B=2ra, droga zaś środka ciężkości 2n-08.
Zatem 2rnh=4rna·OS, skąd 08=h/2a. 'P onieważ h = 2r sin a, więc
Łuk
koła
2.
OS=rsin a.
(2)
a
W szczególności dla półkola jest, 2a=n, stQ,d 08=2r/n = 0,64r.
Trójkąt.
Przetnijmy trójkąt prostymi równoległymi do jednego z boków. Środki odcinków, a więc i środek ciężkości trójkąta,
leżą na dośrodkowej.
Wynika stąd, że środek ciężkości trójkąta leży w punkcie
przecięcia się trzech dośrodkowych, a więc w orlleglo~ri 1 / 3 odpowiedniej wysokości od każdego boku.
12•
180
ROZDZIAŁ
IV.
Geometria maa.
Trapez. Środki odcinków równoległych do podstawy trapezu,
a więc również środek ciężkości 8 trapezu, leżą na dośrodkowej.
Aby wyznaczyć odległość y 0 środka ciężkości 8 od podstawy,
obliczmy moment statyczny ·trapeźu względem podstawy. Niechaj
a oznacza podstawę, b drugi bok równoległy, h wysokość i P powierzchnię trapezu. Moment statyczny względem podstawy wynosi
(3)
Dzieląc trapez
na równoległobok i trójkąt, dostan.jemy
M =bh · -łh+ł(a-b)h·łh=łh2(a+2b).
(4)
Z porównania (3) i (4) dostaniemy
a+2b
Yo=!· a+b h.
(5)
Wynika stąd konstrukcja geometryczna środka ciężkości, przedstawiona na rysunku 1. Z podobieństwa trójkątów BOS i ADS
dostajemy (h-y 0 )/y0 = (łb+a)/(ła+b), skąd otrzymujemy '!/o
zgodnie ze wzorem (5).
--
.,.c::::.-L..-~U.....--..w
b
A
1.
o
I,
~Jo
2.
~ielokąt.
Aby wyznaczyć środek ciężkości wielokąta, rozbijamy go na trójkąty (trapezy, prost_okąty), a następnie obliczamy
momenty statyczne poszczególnych części względem osi układu.
. Oznaczmy przez p np. pole figury podanej na rys. 2. Rozbijamy ją na 3 prostokąty o polach Pu Pt i Pa· Niechaj Xu Yu x 1 , y„
i x1 , Ya ·będą współrzędnymi środków ciężkości względem osi z i y.
Mamy M:r=p1 y 1 +PzYz+PaYa i M 11 =p1 x 1 +p1 x,.+p1 3 ; środek cięż­
kości 8 ma, więc współrzędne:
x
(6)
[§ 8]
II.
Bryły,
powierzchnie i linie mat.erialne.
181
Wycinek koła. Weźmy pod uwagę wycinek koła O.AB. Z po·
wodu symetrii środek ciężkości 8 wycinka leży na dwusiecznej· kąta
środkowego 2a. Odległość 08 środka ciężkości od środka koła O otrzymamy opierając się na drugiej regule Guldina. Wycinek O.AB zatoczy przez obrót n~około promienia O.A= r
wycinek kuli. Wysokoś.ó czaszy wycinka kulistego wyniesie · 0A=OA.~00=r_-rcos2a=2rsin2 a,
skąd objętość wycinka kuli ·v=fir'n·2rsin2 a=
= ł~'~ sin2 a. środek ciężkości zatoczy koło
o promieniu y0 =08-sin a. Pole wycinka równa
C
się rla. N a . mocy drugiej reguły Guldina o
będzie więc łr8n sin2 a= 2ny0 ·r'a= 2n08 sin a•r'a, skąd
08
(7)
2
~~ar.
Dla półkola mamy, w szczególności 2a=n czyli
(8)
08=4r/3n=0,42r.
Odcinek koła. Środek ciężkości 8' odcinka koła znajduję się
na dwusiecznej kąta śro~owego do którego należy te;n odcinek.
Odległość 08' środka ciężkości ~dcinka od środka koła otrzymamy ze wzoru, przedstawiającego moment statyczny wycinka O.AB
względem O.A jako sumę momentów trójkąta O.AB i odcinka koła.
Oznaczając więc przez p pole wycinka, przez p' pole· trójkąta O.AB,
przez p" pole odcinka, a przez F środek ciężkości trójkąta O.AB,
otrzymamy P:0S sina=p',OF sina+p",08' sina. Ponieważ p=rla,
p'=,trl sin2a, p"=p-p' i OF=łr cosa, więc
(9 )
4 sin3 a
OS = 3(2a-sin2a) r.
,
Gr ani as to slup. W ale c. Środki ciężkości przekrojów graniasto.
słupa płaązczyznami równoległymi do podstawy le~ą na prostej,
łączącej środki ciężkości obu podstaw·. Przekroje zaś płaszczyznami
równoległymi. do jednej ze ścian bocznych są równoległobokami (lub
składają się z kilku równoległoboków); środki ciężkości tych przekrojów leżą w płaszczyźnie równoległej do podstawy, poprowadzonej
w połowie wysokości. · Podobnie przedstawia się sprawa dla walca.
Wynika stąd, że łrodek ~żkoAci, graniastosłupa Zub walca leży
w połowie jego wysokoAci na pro,tej, lączqcej łrodki ~żko8ci obu jego
podltaw.
182
ROZDZIAŁ
Ostrosłup.
Geometria mas.
IV.
Stożek. Środki ciężkości przekrojów równole-
głych do podstawy ostrosłupa leżą na prostej, łączącej wierzchołek
ze środkiem ciężkości podstawy. Na tej prostej leży więc również
środęk ciężkości S ostrosłupa. Aby wyznaczyć
l
wysokość, na jakiej leży ten środek ciężkości,
statyczny ostrosłupa
względem płaszczyzny podstawy. Obierając
płaszczyznę podstawy za płaszczyznę pozion1ą,
otrzymujemy Mxy= f f f zd:Jidydz. Obszar
c~owania jest rozciągnięty na cały ostr~słup . Oznaczmy przez h wysokość ostrosłupa, przez Dz przekrój płaszczyzną pożiomą na wysokości z
i przez Pz pole przekroju Dz. Zamieniając całkę potrójną na całkę
obliczamy
mo~ent
h
h
iterowaną dostaniemy Mxy= f zdzf f d:Jidy= f zPzdz. Niech P oznacza
O
Dz
O
pole podstawy. Jak wiadomo Pz/P= (h- z)2
/h czyli Pz= (1-firP.
2,
Zatem
Z drugiej strony, oznaczając przez v objętość ostrosłupa, a przez
z0 wysokość jego środka ciężkości, mamy
Mxg = z0v = z0 • !hP.
Z przyrównania obu wzorów na . Mxu otrzymujemy
(10)
z0 = h/4.
Podobnie przedstawia się sprawa dla stożka.
A więc : środek ciężkości ostrosłupa (stożka) leży w 1 /, .jego wysokości na prostej, 'łączącej wierzchouk ze środkiem ciężkości ·podstawy.
§ 9. Momenty bezwładności niektórych llnlJ, powierzchni I bryi. W tym § Zł\kładać będziemy, że rozpatrywane linie,
powierzchnie i bryły mają gęstość stałą f!·
Odcinek. Obliczmy moment bezwładności odcinka .AB o dłu­
gości a względem prostej Z, przechodzącej przez środek O tego odcinka i nachylonej do niego pod kątem a.
(§9]
II.
Bryły,
powienchnie i linie materialne.
183
.AB leży na osi x-ów i że O jest począt­
współrzędnych. Podzielmy odcinek .AB na drobne
Przyjmijmy,
że
kiem układu
odcinki przy pomocy punktów Xi, a:1 •••
I
Połóżmy LI~= z 1 -a1i,, Llx1 = a:1 -z1 i t. d.
Moment bezwładności odcinka Liz, względem
prostej Z wynosi w przybliżeniu r, Lim,, gdzie
Lim, oznacza masę i-tego odcinka, zaś r, odległość jego lewego końca od Z. Ponieważ
r1=a:1 sina, .dm,=eLla,1, więc r~Llm,=ar:eLlx,sin1 a. Możemy zatem
przyjąć, że moment bezwładności 11 względem prostej Z wynoai
w przybliżeniu 2afteLlx1 sin1 a. Przechodząc do granicy, otrzymamy
+ła
f
I,= xlesin1 adx = 1~ a3 esin 1 a.
-ła
Masa m odcinka .AB wynosi m=ae. Zatem
l 1= 1 ' 2" ma1 sinI a.
(1)
Ponieważ O jest środkiem ciężkości odcinka .AB, więc moment
bezwładności względem prostej
Z' równoległej do Z i leżącej w odległości d od O wynosi w myśl wzoru (I), str. 161, lr=l,+m,dl, czyli
Ir= -łi m (a1 sin2 a + 12d2).
(2)
W szczególności
d=&asina, skąd
(3)
jeżeli
Z' przechodzi przez koniec
A, to
I,,= ima1 sin1 a.
Jeżeli zaś proste Z i l' są prostopadłe do AB, to a= n/2 i mo-
menty 11 i Ir redukują się do momentów bezwładności względem
punktów O i A. Z (1) i (3) otrzymujemy dla a=n/2:
lo=-ama•,
(4)
Pr os tok ą t. Przeprowadźmy przez środek_ prostokąta o bokach a, b osie x, y ukł~u współrzędnych. Ponieważ osie te są osiami
symetrii, więc są zarazem osiami środkowymi i
b/'I.
11/2
lu= ffxledxay = efdy f xldx =
D
-b/2 -a/2
1
12
a•be.
184
ROZDZIAŁ
IV.
Geometria mas.
Masa prostokąta jest m=abe, więc
ly = -łrJ. ma2 ;
(5)
ł'
I
Ii= l 2 mb2 •
Moment zboczenia Dz jest zerem, więc elipsa
I
,
podobnie
bezwładnościśrodkowamarównanie( str.169, ( 3))
/,,--
IxfC2 + I yy2 = c2 czyli -ł2 mb2ar + i„ ma2y2 • c2.
Stała C jest dowolna; kładąc <fl-=n ma2 b2).2,
gdzie ). jest nową stałą dowolną, otrzymamy
8
l.
(x/J.a)2
(6)
+ (y/J.b)2 = 1.
A ~ęc: elipsy bezwładności środkowe mają osie proporcjonalne
do boków prostokąta.
Moment bezwładności względem prostej l (rys. 1), przechodzącej przez O i nachylonej pod kątem a względem osi x, wynosi
(str.169, wzór(l)) I1=lxcos2 a+I11 sin2 a czyli
11= ·ł-im(b2 cos2 a+ a 2 sin2 a).
(7)
.
.
Momenty bezwładności la i Ib względem boków a i b prostokąta
wynoszą I 0 =lx+m(b/2)2 i lb=lx+m(a/2)2, czyli
(8)
I a-- liJ.mb2 '
•
Ib = lł1ma2.
Kwadrat. Zachowują~ znakowanie ja,k dla prostokąta, mamy
a= b, skąd lx=l11• Wynika stąd, · że elipsa bezwładności środkowa
jest kołem. środek kwadratu jest więc punktem kołowym.
Trapez. Aby wyznaczyć moment bezwładności trapezu wzglę­
dem podstawy a (p. rys. ·2), podzielmy trapez na drobne paski
równoległe ;do podstawy. Oznaczmy przez L1y11 L1y 1 , ••• grubości tych
pasków, przez y 11 y 2 , ••• odległość ich środków od podstawy, a· przez
ru rz, ... długości odcinków, przechodzących
/J
przez środki pasków równo1eg1e do podstawy.
Możemy przyjąć, że moment bezwładności i-tego
_
_ __ ~
pa,ska względem boku a wynosi w przybliże­
2.
niu . L1m,y~, gdzie Lim, oznacza masę i-tego
paska. Moment bezwładności la względem boku a równa się w przybliżeniu 2L1m1y~. Lecz Lim,= L1 y,rtf!· Z rysunku 2 widzimy, że
& 1--=,r)'fNf
1
(r,-b)/(a-b)=(h-y;)/h, skąd r1 ·a-(a-b) ~-
Zatem la wynosi
Ci 9]
II.
w przybliżeniu
Bryły,
185
powierzchnie i linie materialne.
l' [a -(a-b) ~ ]@1Lly,. Przechodząc do granicy, do-
stajemy
1
la i[a-(a-b)i]e111 dy= 12 e(a+3b)hs.
Ponieważ m =ł (a+ b )Ąe, więc
_!. a+3b h2
.I a-6 a+b m ·
(9)
Trójkąt. Ze wzoru powyższego otrzymamy moment bezwład­
ności trójkąta względem podstawy, kładąc b=O. Dostaniemy
(10)
Równoległobok.
Kładąc
we wzorze (9) b=a, otrzymamy
moment bezwładności równoległoboku względem jednego z boków:
(11)
Prostopadłościan.
Umieśćmy początek układu współrzęd­
nych w środku prostopadłościanu, prowadząc osie x, y, z równolegle
do krawędzi, których długości oznaczymy przez a, b, c. Moment
bezwładności względem osi x wynosi
.
a;2
b/2
l
c/2
lx=fff e(Y + zl)daJdydz= efdaJ j ~y j (y + r)dz=12abce(b 1 +cl).
2
2
-· a/2 -b/2 -c/2
Kładąc m = abc(!, otrzymujemy stąd
lx=f! m(b2 +c2)
(12)
i podobnie lg=fvm(a2 +c2), Iz=nm(a2 +b2 ).
Moment bezwładności la względem krawędzi a jest la=lx+mdl,
gdzie d=ł~b2 +oi ~ęc·
Ia-:Jm(b2 +ol)
(13)
i podobi;>.ie Ib=łm(o,B+ol), lc=łm(a1 + bi).
Okrąg
koła. Moment bezwładności okręgu o promieniu
wzg~~em środka O wynosi oczywiście
(14)
lo=mrl.
r
186
ROZDZIAŁ
IV.
Geometria maa.
Aby wyznaczyć moment bezwładności względem średnicy,
obierzmy O za początek układu współrzędnych (x, y). Mamy oczywiście lx=l11• Ponieważ lo=lx+I,,, więc lo=21x czyli lx=łlo.
Stąd moment ~ezwładności względem średnicy wynosi
lx=łmrl.
(15)
Koło.
Ze względu · na symetrię momenty bezwładności powierzchni kola. względem średnic są· równe. Obierzmy środek kola. O
za. środek układu współrzędnych (x, y). Zatem 1.r _111, a ponieważ moment bezwładności względem środka
ł,
Io lx+I,,, więc lo=21.r, więc lx=łlo. Aby
obliczyć I o, podzielmy koło na pierścienie przy
pomocy kół współśrodkowych o promie~ach
Xi, x 2 , • • • • Połóimy Aa:i = x 1 -x17 L1x2 = x8 -x2 , ••••
Możemy przyjąć, że moment bezwładności
. i-tego pierścienia względem O wynosi w przybliżeniu L1m1x;, gdzie L1m oznacza masę tego
1
pierścienia. Ponieważ pole pierścienia wynosi w przybliżeniu 2mv1 L1x1,
więc L1m1=2mv,eAxr Zatem w przybliżeniu 1 0 =l;2mdfeL1xr Przechodząc do granicy, otrzymujemy· stąd
r
(16)
Io= f2nweik=lner".
o
Ponieważ
(17)
masa koła m=r2ne, więc:
I o=-łmrl
i
lx=imr2.
Powierzchnia kuli. Moment bezwładności powierzchni kuli
względem środka wynosi oczywiście
(18)
lo=mr2.
Aby wyznaczyć moment bezwładności względem średnicy kuli,
umieśćmy początek układu współrzędnych w środku kuli. Z powodu
symetrii mamy lx=l11 =1z. Ponieważ 21o=lx+l,,+lz, więc lo=llx.
Zatem 1.r=łlo, skąd
(19)
lx=imrł.
Kula. Biorąc za początek układu współrzędnych środek kuli,
mamy ze względu na, symetrię jak poprzednio lx=łlo. Moment Io
1§9]
II.
Bryły,
187
powierzchnie i linie materialne.
obliczymy postępujiC podobnie jak przy kole, t. j. dzieląc kulę na
warst"wy przy pomocy kul współśrodkowych. Otrzymamy
lo=!mr2
{20)
l
„ 2.
I x=gmr
Walec obrotowy. Oznaczmy przez r promień podstawy,
a przez h wysokość walca. Weźmy za początek układu współrzędnych
środek osi walca, przyjmując oś walca ·za oś z-ów.
Aby obliczyć moment Iz, postąpmy podobnie jak przy kole,
t. j. podzielmy walec na warstwy przy pomocy walców o podstawach
współśrodkowych z podstawą walca. Otrzymamy
(21)
Aby obliczyć momenty lx i lu, podzielmy walec na warstwy
przy pomocy płaszczyzn równoległych do podstawy. Oznaczmy
przez Azi, Az2 , ••• grubości WA~tw, przez z1 , z2, ... współrzędne środków
ich podstaw, przez .:dmu Jm. 2, ... masy warstw.
2
Moment bezwzględno~:ci i~tej .warstwy wzglę­
dem prostej równoległej do osi. x i przechodząr
-0ej przez środek ciężko,ci tej warstwy równa
się w przybliteniu ., f.1m,,r2 (jak moment bezwładności kołai -względem średnicy). A więc mo'
ment bezwładno.ści warstwy względem osi x , .--- -·---.•,
wyniesie w przybliżemu. iAm,r2+Am1z~. Ponie,,.,
waż Am,=r2:n:Az,e, więc będzie w przybliżeniu
lx=l'Hr+znr:n:eAz,, skąd, przechodząc do granicy, otrzymujemy
'
)
1
r2+z1 r1:n:edz= rineh(3r2+h2).
12
4
h,'2(1
lx=I
-h2
Ponieważ
(22)
masa walca jest ~=r2neh, więc
Ix=hm(3rl+h1 ).
Ze względu na symetrię mamy oczywiście lx=l,r
Moment względem tworzącej Z walca wynosi 11=lz +mrl, więc
{23)
l1=lmr2.
Oś z jest osią symetrii, a więc jest ona równocześnie osią środ­
kową. Z powodu symetrii osie x i y są również osiami środkowymi.
Elipsoida bezwładności ma więc równanie lxx2+111 y 2 +lzzl=c2, skąd
wobec (22) i 2 m(31'2 +h2 ) (xl+y2 )+~mr2zl=r.l· czyli
188
ROZDZIAŁ
IV.
Geometria mas.
(24)
gdzie l 2 jest dowolną, stałą.
Elipsoida bezwładności jest więc elipsoidą, obrotową. Gdy rV°3=h,.
elipsoida jest kulą.
Stożek
obrotowy. Oznaczmy przez r promień podstawy„
a przez h wysokość stożka. Umieśćmy początek O układu współ­
rzędnych w wierzchołku stożka i przyjmijmy oś stożka za oś z-ów.
Jako oś symetrii jest ona również osią.
z
bezwładności środkową,, a więc na mocy twierdzenia 2°, str~168, osią, bezwładności w punkcie O •.
Z powodu symetrii osie x i y są również osiami
bezwładności w punkcie O.
Podzielmy stożek na warstwy o grubości.
L1z, przy pomocy płaszczyzn równoległych do·
' podstawy. Moment bezwładności i-tej warstwy·
1
względem osi z wynosi w przybliżeniu L1m1rU2
(podobnie jak moment bezwładności walca względem .osi), gdzie rr
oznacza promień dolnej podstawy i-tej warstwy. Niech z, oznacza.
współrzędną środka dolnej podstawy i-·tej warstwy; wówczas.
rtfr=z;/h, czyli
(25)
(26)
skąd w przybliżeniu lz=ł:Ą(r/h)'neZ:Jzr Przechodząc do granicy„
otrzymamy
1% /
hl r '
I
2(,;:) nez'dz=1or'hn11,
~asa stożka jest m=ir2nhe, więc
(27)
Iz=
3
10
mr.
Aby obliczyć lx, zauważmy, że moment i-tej warstwy wzglę­
dem prostej równoległej do osi x-ó~ i przechodzącej przez ·środek.
ciężkości tej warstwy wynosi w przybliżeniu iJml'~· Zatem · wzglę­
dem osi x-ów wynosi on !Amr,+Am~. Suma ta równa się na mooy
[§ 9]
II.
Bryły,
powierzchnie i linie matenalne.
{25) i (26) ~(i)2nez:(4+
189
(i)2)Az,= Aw;, czyli fr równa się w przy-
Aw,. Przechodząc do granicy, otrzymamy
bliżeniu J;
czyli
,(28)
Oczywiście
mamy lx=ly.
Niech <p oznacza kąt między osią z a tworzącą l (leżącą w płasz­
·Czyźnie xz). Ponieważ osie x, y, z są osiami bezwładności w O, więc
na mocy wzoru ·(I), str.- 164, jest 1 1=1xcos1 a+lycos1 /J+lzcos'"Y,
_g dzie a, {J, y oznaczają kąty między tworzącą l a osiami układu
współrzędnych. Mamy a= ;-<p, /J=; i r= 'P, skąd
· 2 'P+ I zCOS2 <p,
I l = I xSlll
.a stąd na mocy (27) i (28)
,(29)
1 1 = ; m[(r2+4h2 ) sin2 <p+2r2 cos1 <p].
0
Z uwagi na to, że tg <p=rfh, dostajemy
.(30)
3m r2 +6h2
11 = 20 · r2+h1 r2 .
ROZDZIAŁ
V
UKŁADY PUNKTÓW MATERIALNYCH
§ 1. Równania ruehu. Niech dany będzie układ punktów
materialnych o masach mi, m 2, ••• , mn. Oznaczmy przez Pu P 2 , ••• ,Pn
sumy sił działających na poszczególne punkty, a przez Pu p2, ... , Pn
przyśpieszenia tych punktów względem układu inercjalnego współrzędnych. Wówczas według prawa Newtona:
·
.. .'
Równania powyższe zapisujemy krócej
m1p1= P 1
(I)
(i=l,2, ... ,n).
Niechaj punkt m, ma współrzędne x,, y" zr Równania (I) motemy napisać w postaci:
(II)
(i=l,2, ... ,n).
Układy
swobodne. . O siłach P 17 P 2, ... , Pn zakładamy, że
w najogólniejszym przypadku zależą one od czasu, położenia i pręd­
kości punktów układu. Przyjmo:wać więc będziemy, że siły są funkcjami: czasu t, zmiennych :111, y 1, Zi, ••• , a;n, 'Yn, zn określających położenia punktów oraz zmiennych i 1, iJ1, ż 1 , ••• , in, iln, żn określających
prędkości punktów. Zatem możemy napisać:
P1x=F1(t, :111, Y1, Z1, ... , xn, Yn, zn, ił, Y1, Ż1~ ·••• , in, Yn, żn),
i podobnie P 111=(,f)t, P,z=lJI,.
O funkcjach P,x, P,11 i P,% zakładamy, że są ciągle i że mają
ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe względem każdej zmiennej .
Równania (li) noszą nazwę równań ruchu Newtona.
Równania ruchu.
[f l]
191
Stanowią
one układ równań różniczkowych drugiego rzędu.
Z teorii równań różniczkowych wynika, że równania (Il) wyznaczają ruch układu punktów, jeżeli dane są w chwili początkowej
t=t0 położenia początkowe punktów (t.j. współrzędne ~,!fi,~, ... ,z?,)
i ·prędkości początkowe (t. j. i!f, y'f, ż<f, ..•, ~).
Siły wewnętrzne
i zewnętrzne. Siły, działające na punkty
układu, dzielim:y na dwie grupy.
·
Do pierwszej zaliczamy te siły, które pochodzą ze wzajemnego
oddziaływania punktów układu na siebie. Siły te nazywamy siłami
wewn~rmymi.
Pozostałe siły nazywamy siłami Zew'l!-tJtrmymi.
O .siłach wewnętrznych zakładamy, że stosują się do prawa
akcji i reakcji Newtona ·(str. 73).
Weźmy pod uwagę parę sił, z jakimi działają na siebie dwa
punkty układu m' i m". Suma tych sił jest zerem, a że nadto działają one wzdłuż prostej, łączącej punkty m' im", więc i moment ich
względem dowolnego punktu jest zerem. Ponieważ siły wewnętrzne
możemy zgrupować w takie pary, więc suma i ogólny moment sil
wewnętrznych jest zerem.
Równowaga układu punktów. Układ punktów jest w równowadze, jeżeli każdy punkt jest w równowadze.
więc, jeżeli układ
punktów jest w równowadze, to suma
sił działających na każdy punkt jest równa zeru. O układzie sił,
mającym tę własność, mówimy, że jest w równowadze lub że siły
tego układu równoważą się.
A
Niech dany będzie układ sił w równowadze. Weźmy pod uwagę
siły tego układu, działające na dowolny punkt materialny. Ponieważ
suma tych sił, jak i moment ogólny względem dowolnego punktu
przestrzeni, są równe zeru, więc dany układ jest równoważny zeru
(str. 23).
A więc: jeżeli siły, działające na układ punktów materialnych,
równoważą się, wówczas suma tych sil i ogólny moment jest zerem.
Warunek powyższy jest warunkiem koniecznym równowagi
sił, ale nie jest warunkiem wystarczającym. Ponieważ siły wewnętrzne mają sumę i ogólny moment równy zeru, więc z podanego
warunku wynika, że jeżeli układ punktów materialnych .jest w równowadze, to suma i ogólny moment sil zewnętrznych jest zerem.
192
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Podobnie jak poprzedni, warunek ten jest tylko warunkiem
koniecznym równowagi układu.
Zasada d'Alemberta. Równania (I), str. 190, możemy na·
pisać w postaci
i=l, 2 7 ••• , n.
Wektory -m1p1 nazwaliśmy silami bezwl.adnojci punktów m,
(str. 74). Możemy więc powiedzieć; że siły bezwładności równoważą
się z silami działającymi na punkty układu.
Twierdzenie powyższe nosi nazwę zasady d' Alemberta.
Znaczenie tej zasady występuje głównie w układach punktów
nieswobodnych, czym zajmiemy się dalej. Należy pamiętać, o czym
mówiliśmy na str. 74, że siły bezwładności nie są siłami, lecz wektorami, które tylko dla wygody nazywamy siłami.
Pr~yklad 1. Po osi x poruszają się dwa punk.ty Au A 2 o masach mi, m 2 , przyciągające się z siłą P według prawa Newtona.
Więc IPl=Km,:m 2/r2, gdzie r=.A 1A 2• Oznaczając przez x 1 i x 2 (x1< x 1 )
współrzędne punktów, otrzymamy równania ruchu w postaci:
·miii:1 = Kmi_m2 /(x2 - x1 ) 2 ,
m 2 ii12 = -Kmim2 /(x.1 - x1 )1 •
Przyjmijmy, że w chwili początkowej
..,o_ _P_
,, - _,. _._i'___
,, ' t=O jest x 1 =:i1, $ 2 =~, ż1 =0, i 2 =0. Dodając równania (1) stronami, dostaniemy
ffii.X1 +m 2 x1 =0, skąd po scałkowaniu
(1)
m1 ż1
+ m 2 i 1 = a,
Ze względu na warunki
i b=m1x1+ m~. Więc:
~1ż1
(2)
mix1
+ m 1 x 2 =at +b.
początkowe
otrzymamy
a=O
+ miż2 = O,
Z równań (1) otrzymujemy jeszcze
i 2 - i'c1 = -K(m1 + m 2)/(x1 - x1)1 •
Połóżmy x1 -x1 =r i K(m1 +m 2 ) · h. Dostaniemy r =-h/rl.
Mnożąc obustronnie przez ł i całkując, otrzymamy łrl._h/r+c.
Ponieważ dla t=O mamy r=żl-ir=o oraz r=~-aff=r0 , więc
(3)
c=-h· Zatem !;,2=~- h, skąd
r0
(4:)
2
1'
r0
ł=-V2h(i-:J·
[ł 1]
193
Równania ruchu.
Przyjęliśmy znak ujemny, gdyż punkty będą się zbliżać
siebie, więc r będzie maleć, skąd
O. Z (4) dostajemy
r<
dr
-dt
V2n (!_!.)
r r
'
więc
-J (~-Jj + - .
V2h
0
do
dr
o'-t
Po scałkowaniu otrzymamy
(5)
Vr.; [2 1,rr0r- rl + r0 arc sm
. rO- 2r]
.21 J,'2i
ro
+ o, = t.
Ponieważ ·dla t=O jest r=r0 , więc
,
n r Vr;
C - - -0 - •
(6)
- 4
Czas T, po którym punkty
kładąc r = O. Zatem
V2i
się spotkają,
otrzymamy z (5),
Dla mi= m1=1 g, r 0=1 cm 1 K = 6,6-10-a cm8 g:-1 sek-2 otrzymujemy T = 3055 sek.
Wzory (2), (5) i (6) (gdzie r=x2 - x1 ) wyznaczają ruch punktów.
Układy
nieswobodne. Jeżeli istnieją warunki ograniczające
możliwe ruchy układu punktów materialnych, wówczas nazywamy
go układem nieawobodnym, a warunki ograniczające wi~zami. Podobnie, jak w przypadku jednego punktu nieswobodnego, przyjmujemy,
że więzy są wynikiem pewnych sił, zwanych reakcjami, które powodują, że układ zachowuje więzy.
Jeżeli ·d o sił działających na punkty układu dołożymy siły re-
akcyjne, wówczas układ możemy uważać za swobodny. W ten sposób badanie ruchów układów nieswobodnych sprowadzamy do badania ruchów układów swobodnych_.
·
,Jeżeli więc na punkty układu
o masach {m,} działają siły {P,},
to oznaczaj,c przez {.R,} reakcje, mamy
(III)
i=l, 2, ..., n.
W s~zególności układ nieswobodny jest w równowadze, jeżeli
siły działające równoważą się z reakcjami.
S. Ba.nach. M11r.hĄnikll,,
18
194
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Więzy układu mogą polegać na tym, że niektóre punkty muszą
się stale znajdować na pewnych liniach lub powierzchniach. Oprócz
tego rodzaju więzów, poprzednio już poznanych (por. str. 123), spotykamy się
m,
jeszcze z innymi. Np. dwa punkty materialne mogą być połączone nicią nierozciągliwą o długości l; odległość zatem
punktów od siebie musi .być stale ~Z. Nić
działa na punkty tylko wtedy, gdy jest
. napięta (rys. górny). Jeżeli założymy, że masa nici jest dość mała,
by można ją było pominąć, to siły, z jakimi nić działa na punkty,
będą co do wielkości równe nawet wtedy, gdy nić będzie nawip.ięta
na jakieś ciało (rys. dolny) - o ile nie ma tarcia. Siły te są oczywiście
r~akcjami. Reakcje są styczne do nici i mają zwrot w kierunku nici.
R
Układ
·R
sztywny. Ważnym przykładem układu punktów nieswohodnego jest t. zw. układ sztywny. Jest to układ nieswobodny,
którego więzy polegają na tym, że wzajemne odległości punktów
układu pozostają niezmienne. Przyjmujemy, że w tym przypadku
występują pewne siły ~ewnętrzne (t. j. działające między punktami
układu), które sprawiają, że punkty zachowują odległości stam,
mimo działania sił zewnętrznych.
Ciało stale fizyczne na ogól odkształca się, t. j. zmienia swoją
postać pod wpływem sił na nie działających. Zdarzyć się jednak
może, że gdy siły nie przekraczają pewnej granicy, odkształcenia są
tak niewielkie, iż praktycznie możemy nie brać ich pod uwagę.
W tym przypadku za model takiego ciała przy małych siłach możemy obrać układ punktów, który nazwaliśmy układem sztywnym.
Wyniki, jakie otrzymamy, będą wówczas ważne w przybliżeniu dla
ciała fizycznego. W ten sposób możemy stosować do ciał stałych
fizycznych twierdzenia, jakie otrzymamy dla układów sztywnych. Ze
względu na ważną rolę, jaką odgrywa teoria układu sztywnego, zajmiemy się' tą teorią szczegółowo w ro~dziale VI. W tym rozdziale
ograniczymy się tylko do podania kilku przykładów na tle ogólnej
teorii układu punktów.
·
N aj prostszym przypadkiem układu sztywnego jest układ złożony
z dwóch punktów materialnych, których odległość r Jest stała.
Układ taki możemy zrealizować, łącząc dwa punkty materialne
sztywnym prętem o malej masie, którą w stosunku do mas samych
punktów można pomin~. Mówimy wówczas, że punkty połączone
[§ l]
195
Równania ruchu.
Sit! prętem sztywnym bez masy. W ten sposób siły wewnętrzne mię­
dzy punktami zastępujemy siłami, z jakimi pręt oddziafywa . na .te
punkty. Siły .~e są zatem co do wielkości równe, :µiają kierunek
pręta, .a zwroty przeciwne.
Pr~klad 2. Dwa ciężkie punkty materialne o masach mi i m-2
połączone są nicią nierozciągliwt . (bez
masy), przewiniętą przez
krążek. Punkt m2 musi pozostawać na prostej pionowej Z. Jaki
kąt <p twor.zy nić z prostą Z w położei#u równowagi, jeżeli nie ma
tarcia!
N a_punkt mi działa nić z siłą T skierowaną pionowo do góry
oraz ciężar mig skierowany pionowo w dół (rys. 1). Zatem
T-m.ig=O, więc
(7)
T = mig.
N a punkt m2 działa nić z siłą T skierowaną wzdłuż n1C1, cię~
żar m2fJ skierowany pionowo w dół i reakcja R prostopadła do
prostej Z. Tworząc rzuty sił na prostą Z, dostaniemy Tcos <p-mz11=0,
więc
T cos <p = m 2 g.
Z równań (7) i (8) otrzyAz
I
mamy
o..,...w
_______ ;.. __
COB <p = ms/'mt.
I
I
I
Równowaga jest więc
I
I
I
możliwa tylko wówczas gdy
,
L--~---·'IP----m1<mi.
:I
,. ft ił,
m,
'O
~------- ·R.1
m,9
: . m,r; S
Pr~y kład 3. Punkty
m,r.11.l
~------------materialne ciężkie A 1 i A 2
:
1
m,g
I
m,g
o masach mi, m 2 połączone są
nicią nierozciągliwą bez ma2.
1.
sy. Punkt A1 zawieszony jest
na nici OA11 również nierozciągliwej i bez masy. Cały układ obraca,
się około osi pionowej ze · stalą prędkością kątową w, przyc~em
kąty a i /J, jakie nici 0.A1 i .A1.A 2 tworzą z pionem, nie ulegają
zmianie podczas tego obrotu. Wyznaczyć kąty a i /J.
Obierzmy w punkcie O początek układu ruchomego (x, y, z),
obracającego się około osi pionowej z z prędkością kątową w (rys. 2).
Możemy przyjąć, że punkt A 1 znajduje się stale w płaszczyźnie :cz.
Ponieważ kąt a jest stały, więc punkt .A1 jest w równowadze względ­
nej względem układu (2', y, z).
(8)
,,
196
ROZDZIAL V.
Układy punktów materialnych.
Wykażemy najpierw, że w płaszczyźnie xz znajduje się również
punkt .A. 2•
Ponieważ
punkt A 1 jest w równowadze względnej, więc jego
siła unoszenia .P~1> równoważy się z siłami działającymi t. j. z cię­
żarem Q1 , reakcją R1 nici OA 1 i reakcją .R2 nici A 1A 2 • Zatem
(9)
Z równania powyższego wynika, że R2=-P~0 -Q1 -R1 • Ponieważ siły -P~>, -Q1 i -.R1 leżą w płaszczyźnie xz, więc .R2 leży
również w płaszczyźnie xz. Ponieważ nadto Il2 ma kierunek nici .A.1...4. 2 ,
więc i nić ...4.1...4. 2 leży w płaszczyźnie xz; zatem punkt A 2 leży również
w płaszczyźnie xz.
Przejdźmy do wyznaczenia kątów a i /3. Z uwagi na to, że
kąty te są stałe, oraz że długości 0...4.1 i A 1A 2 również się nie zmieniają, wynika, że punkt A 2 jest także w równowadze względnej
względem układu (x, y, z). Oznaczając przez p~> jego siłę unoszenia,
a przez Q2 jego ciężar, otrzymamy
Pu + Q2 - R 2 = O.
-(2)
(10)
-
-
Oznaczmy przez r1 1 r 2 odległości punktów A 1 i A 2 od osi
obrotu. Mamy:
(11)
(12)
Utwórzmy rzuty (9)
i R 2=IR2 j, dostaniemy :
(13)
(14)
1
(10) na osie x i z. Kładąc R 1=j.R1 j
m 1 r 1 w 2- R 1 sina+R2 sin /3= O,
m 1 r 2 w 2 -R2 sin/3= O,
-mig+R1 cosa-R 2 cosf3=0,
-m 2 g +R2 cos /3= O.
Z równań (13) i (14) otrzymujemy:
(15)
tga = (m1r 1 + m 2r 2)w2/(mi +m 2)g,
Jeżeli
przez r0 oznaczymy odległość środka S masy układu
punktów .A.1,.A. 2 od osi obrotu z, to otrzymamy {m1 +m2)r0=m1_r1 +m2r1,
skąd na mocy (15) tga=r0 w 2 /g, a więc z uwagi na to, że r 1 <r0 <r 1 ,
będzie tga<tg f3 czyli a< /J.
Znając 0.A.1 i .A.1.A. 1, znajdujemy a i /J z równań (11) i (15).
[§ I]
197
Równania ruchu.
Pr~iklad 4. Maszyna Atwooda. Na końcach nici
(nierozciągliwej, bez masy), przewiniętej przez krążek (bez masy),
zawieszone są dwa ciężkie punkty materialne o masach mi i m1•
Załóżmy, że oba punkty poruszają się pionowo. Ponieważ nić jest
nierozciągliwa, więc drogi przebywane przez oba punkty są równe.
Zatem przyśpieszenia i prędkości obu punktów są równe co do
wielkości, zwroty zaś mają . przeciwne. Oznaczmy przez p rzut
przyśpieszenia punktu mi na oś z skierowaną pionowo
w dół. Niechaj R oznacza wartość bezwzględną siły,
z jaką nić działa na punkty mi i m 2 • Na punkt mi
działa ciężar i reakcja nici. Zatem
(16)
n
miP = m.ig-R.
Dla punktu m 2 otrzymamy podobnie
(17)
-m2P = m2g-R.
Z równań (16) i (17) dostajemy:
1ni - mz
p = mi mag,
(18)
+
m,
ił.
m,
m,g
m,p
R _ 2m.i m2
- mi + m1 g.
A więc punkty będą się poruszać z przyśpieszeniem stałym.
Z równania (18) dostajęmy .(m1 +m1 )p=m1g- mzg.
A więc przyśpieszenie jest takie, jak. gdyby na punkt materialny o masie mi +m 2 działała siła mig-mt!J, t . j. siła równa różnicy
ciężarów.
Jeżeli mi> m 2 , wówczas p
> o, t. zn. że przyśpieszenie punktu mi
jest skierowane w dół, zaś punktu m 2 w górę.
Jeżeli mi= ma, wówczas p= o, t . zn. że punkty poruszają się
ruchem jednostajnym.
l'r~y kład Il. Dwa punkty ciężkie o masach mi i m 2, połączone
nicią nierozciągliwą bez masy, poruszają się w płaszczyźnie pionowej po dwóch prostych l1 i l2 • Na punkt mi działa nić z siłą Tu
ciężar mig i rea,k cja prostej lli. Podobnie na punkt m 2 działają
siły T 2' mzg i Ra. Przyjmijmy, że nie ma t arcia, zatem że R1 i R1
są prostopadłe odpowiednio do prostych l1 i Z2 (str. 198, rys. 1).
Ponieważ nić jest nierozciągliwa, więc drogi przebywane przez
oba punkty będą równe, przyśpieszenia będą tedy równe co do
wielkości.
ROZDZIAŁ V.
198
Układy pun'któw materialnych.
Nadajmy prostym Z1 i Za zwroty w dól.
Niechaj p oznacza współrzędną (wzglę­
dem li) przyśpieszenia punktu mu zate111
współrzędna (względem Z
1 ) przyśpieszenia
punktu ma wynosi-p. Siły T1 i T1 są co do
m,p
wielkości równe;· połóżmy T = IT11= IT1 j.
1.
Oznaczmy przez ai i a 2 kąty, jakie proste
l1 i Z2 tworzą z poziomem. Tworząc rzuty na proste Zi i Z2, otrzymamy miP=-T+m1gsina1 i -mJ>=-T+ms.qsina2, skąd
p =
mi sin ai - ma sin a 1
m,
+ ma
g.
A więc punkty poruszać się będą po prostych ruchem jedno•
stajnie przyśpieszonym."
I 2. Ruch środka masy.
Własności kinematyczne
środka · masy. Niechaj będzie dany układ punktów materialnych
.Au .A 2 ••• o masach m1 , m 2, •• •, którego środ-
kiem masy jest punkt S (rys. 2). Obierzmy
dowolny punkt O. Połóżmy m=.2m1 oraz:
r0 =08, r,=OA1
(i=l,2, ... ).
Przy powyższym znakowaniu zachodzi równość
A,
A,
o
2. .
(I)
Do wód. Obierzmy dowolny układ współrzędnych o początku
w O. Jeżeli x" y 1, z1 oznaczają wąpółrzędne punktu A.1, zaś x0 , y0 , z0
współrzędne środka S, to na mocy (II), str. 155, jest:
(1)
mx0 =.2m,x1,
Ponieważ wektor
więc równanie
my0 =2m,y0
mz0 =2m,z,.
r1 ma rzuty x,, y 1, z,, zaś r0 ma rzuty x0 , y0, z0,
(I) jest tylko postacią ·wektorową równości (1).
Utwórzmy teraz pochodną obu stron równości (I) ~zględem
czasu; otrzymamy mi-0=2 m/f1• Ponieważ i-1 oznacza ·prędkość v,
punktu Af, zaś f O prędkość v0 środka masy S względem układu
O(x, y, z), więc
(li)
mv0 = ~m,v,.
Wektor m.ih jest pędem (str. 73) punktu A,. Prawa strona.
równości (li) przedstawia więc sumę pędów poszczególnych. punktów
układu. Sumę tę nazywamy pędem (ogólnym) układu.
199
Ruch środka masy.
[§2]
Wektor mii0 możemy uważać za pęd punktu materialnego,
mającego masę równ~ masie całkowitej
układu, umieszczonego
w środku masy (i poruszającego się wraz ze środkiem masy).
A więc: pęd (ogólny) układu równa się pędowi masy całkowitej
układu, umieszczonej w środku masy.
Zróżniczkujmy
równanie (Il) obustronnie względem czasu t.
Dostaniemy m~0= 2.i..,m,ii,. Lecż V, oznacza przyśJ>it•szenie p1 punktu A,,
zaś ii0 przyśpieszenie p0 środka masy S. Więc
(III)
Wektor -m1p1
(str. 74 i 192).
nazwaliśmy
siłą
bezwładności
punktu
A,
A .więc: suma sil bezwladno.foi punktów ukladu równa się Hile
bezwładności masy całkowitej układu, umiesz<~zonej w śrud~u masy.
1
Uwaga. Tworząc rzuty na osie układu wi,;półrzę,lnych, otrzymamy z równań (li) i (Ili):
.
.
,., .
(II')
mi0 =2m1i 1 ,
my0 = ~ m,y;,
.
mz0 = LJ m 1 z 1 ,
(Ili')
ma:o= 2m,x,,
my0 = L m/fl,,
mit}= 2m,ir
'\"'
Wypa.d k ')Wa sił ciężkości. Niech ukła,l punktów A 17 A 2, •••
o masach mi, m 2, ••• znajduje się w polu siły ciężkośei. Oznaczmy
przez fi wektor przyśpieszenia ziemskiego, a przez S środek masy.
Niechaj O będzie dowolnym punktem. Połóżmy jak poprzednio
r0 OS i r, O.A., dla i=l, 2, ... Moment· ogólny sił ciężkoKci względem O
wynosi M=(m1gxr1)+(m2gxr2)+ ... , więc M=gx(m1r 1+m 2r2+ ... ),
skąd na mocy (I), str. 198,
(2)
Jeżeli w szczególności punkt O 8chodzi się z S,
to r0 = O, ską,l
na mocy (2) M=O.
A więc: moment ogólny ciężarów punktów układu względem środka
masy jest zerem.
Ponieważ ciężary tworzą układ sił równoległych i zgodnie skierowanych, więc. układ ten ma wypadkową (str. 26). Wypadkowa
przecp.odzi przez środek masy, g<l.yż moment ogólny względem środka
masy jest zerem.
200
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Własności dynamiczne środka
masy. Niechaj_ na punkty
Dlaterialne m, danego układu _działają siły P,. Oznaczmy przez p,
przyśpieszenie punktu m,, a przez p0 przyśpieszenie środka masy
tego układu punktów względem inercjalnego układu współrzędnych.
Na mocy wzoru (III), str. 199, mamy mp0=l: m,p„ gdzie m=})m1•
Ponieważ m1 p,P" więc mp0=l:P, czyli
(IV)
A więc: środek mtJ8y układu punktów porusza si, tak, jak gdyby
była w nim skupiona całkowita masa układu, poddana działaniu sumy
wszystkich sil.
Równanie (IV) możemy napisać w postaci d(mv0 ) /dt = P.
Zatem: pochodna p@du układ.u równa jest B1łmie W"1JBtkich sil
działających.
Jeżeli suma sił działających na punkty układu jest równa zeru,
t . j. je.tell P= o, wówczas na mocy (IV) mamy mp0 = O czyli p0 = O.
Jeżeli suma P jest zerem stale, to stale jest p0 =0, więc prędkość v0
środka masy jest stała. Środek masy jest wtedy w spoczynku albo
w ruchu jednostajnym prostolinijnym. Zauważmy, żę na mocy (II),
str. 198, jest mvo=2m,v,; a więc w tym przypadku pęd ogólny (czyli
ilość ruchu) układu jest wektorem stałym .
A więc: jeżeli suma sil, działających na układ punktów, jest stale
równa zeru, to środek masy jest w spoczynku albo w ruchu jednostaj·
nym prostoliniowym. a p'Jd ogólny układu jest wektorem stałym.
Powyżęze twierdzenie nosi nazwę zasady zachowt.mia p~du lub
ilości ruchu. ·
Jak wiemy (str. 191), suma sił wewnętrznych. jest zawsze zerem,
zatem suma wszystkich sił działających na punkty układu równa.
~ię sumie sił zewnętrznych. W podanych· twierdzeniach możemy więc
sumę sil zastąpić przez sumę sił zew~ętrznych.
Oznaczmy przez p<z> sumę sił ze~ętrznych. N a mocy (IV) jest
(V)
mpo=P<z>.
to p0 =0,
więc v0 = ·const. Możemy więc powiędzieć, że siły we~rme nie mogq
zmie.nić pr1Jdkości środka masy ani co do wielkości, ani co do kierunku.
Jeżeli na układ nie działają żadne siły zewnętrzne,
[§2]
Ruch środka masy.
201
Weźmy pod uwagę układ słoneczny (t. j. złożony ze słońca i 1,lanet). Siły.
pochodzące z przyciągania . ciał układu słonecznego przez gwiazdy stałe, możemy
pominąć, gdyż sily te są bardzo małe
z powodu wielkich odległości gwiazd stana ciała układu słon~znego działają tylko siły
w.awnętrzne, z jakimi ciała te przyciągają się wzajemnie według prawa Newtona.
(str. 90). Wynika stąd, że środek masy układu słonecznego jest względem gwiazd
stałych w spoczynku albo porusza się ruchem jednostajnym prostolinijnym.
łych. Możemy więc przyjąć. że
Pr~ypuśćmy, że
badamy ruch układu punktów w polu siły
ciężkości. Suma sił ciężkości wynosi m.ig+mtfl+ ... =mg. Środek
masy S będzie więc poruszał się tak, jak punkt materialny o masie m pod wpływem siły ciężkości mg, t. j . po prostej lub paraboli,
aż do chwili gdy choć jeden z punktów układu dotknie ziemi. W tej
bowiem chwili wystąpi nowa siła zewnętrzna wskutek zderzenia się
punktu z ziemią.
P~qklady: I. Środek masy pocisku biegnie po paraboli nawet wówczas,
gdy pociskwybuchnie i pęknie. Ruch środka masy nie zostanie bowiem przez to
·zaklóeony, poni~waż wybuch powstaje pod wpływem sił wewnętrznych. Dopiero
gdy· jeden z odłamków spadnie na ziemię, ruch środka masy ulegnie zmianie.
2. Gdy człowiek znajduje się na płaszczyznie poziomej gładkiej (np. na
lodzie), siłami zewnętrznymi są reakcja płaszczyzny i siła ciężkości; obie siły mają
kierunek pionowy. Jeżeli w chwili początkowej człowiek był w spoczynku,
to dopóki nie wystąpią inne siły zewnętrzne, środek masy będzie mógł się poruszać tylko po pionie. Ruchy, jakie człowiek wykonywa przy pomocy mięśni,
3dbywa.ją się pod wpływem sił wewnętrznych, a więc nie mogą wpłynąć na ruch
środka masy w kierunku poziomym. Gdyby zatem nie było tarcia, chodzenie
byłoby niemożliwe.
Jeżeli pewna część układu punktów zmienia
w jakiejś chwili
swój pęd pod wpływem sił wewnętrznych, wówczas pęd pozostałej
części układu doznaje równocześnie zmiany równej co do wielkości
i kierunku, lecz o zwrocie przeciwnym. Siły wewnętrzne nie mogą
bowiem zmienić pędu ogólnego. Oznaczając przez m' i m" masę
jednej i drugiej części układu, a przez vó i iio zmianę prędkości środ­
ków tych mas, otrzymamy m'vó+m"vó=O czyli lvól/lv'ól=m"/m'.
A zate~: zmiana prędkości środków mas jest odwrotnie proporcjonalna do mas obu części układu.
Tym tłumaczy się cofanie armaty po strzale. Podobnie, jeżeli człowiek
zacznie biec po pokładzie łodzi, łódź zacznie się poruszać w kierunku przeciwnym.
Prędkości łodzi i człowieka będą w stosunku odwrotnym do ich mas.
202
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Przy ·kład 1. N a gładkiej płaszczyźnie poziomej II opiera się
pręt ciężki .AB (o gęstości stałej). Siłami zewnętrznymi są ciężar
i reakcja w punkcie .A; obie siły są pionowe. Jeżeli zatem w chwili
początkowej pręt był w spoczynku, to pod działaniem sił zewnętrz­
nych, których suma ma kierunek pionowy, pręt będzie się poruszał
w taki sposób, że środek S jego masy będzie spadał po pionie.
Obierzmy za oś x krawędź przecięcia płaszczyzny pionowej
(przechodzą·cej przez pręt) z płaszczyzną II. Za
ł,
oś y przyjmijmy pion, po którym się porusza
środek ciężkości S. Połóżmy .AB= Z i oznaczmy
przez a kąt, jaki .AB tworzy z osią x. Oznaczając przez x, y współrzędne punktu B, otrzymujemy: x=} Z cosa i y=Z sina, skąd
A
'
(x / łl) 2
+ (y/l) =1.
2
Koniec pręta B będzie więc poruszał się po elipsie o osiach l, 2 l.
P ·r zyktad 2. Niech układ punktów Au .A 2, .. . o masach mi, m 2 , •••
porusza się w polu środkowym (str. 102) sił sprężystych (str. 114),
proporcjonalnych do. mas . . Niechaj O będzie środkiem pola. Połóżmy
OA 1 =1\, 0.A 2 =r2 i t. d. Oznaczając przez P 1 , P 2, ••• siły działające
na punkty A 1 ~ .A 2 , ••• i kładąc P=F\+P2+... , otrzymamy P1 = - A.2m1fu
P 2 =-A2m2 r 2 i t. d., skąd P=-A2(mir1 +m2 r 2 +... ). Oznaczając przez S
środek masy całkowit.ej mi kładąc 0S=r0 , otrzymamy na mocy (I),
str. 198,
P=-A.2 mr0 •
A zatem środek masy będzie się poruszał tak jak punkt materialny o masie m, poddany działaniu siły sprężystej P . Środek
masy będzie się więc poruszał ruchem harmonicznym płaskim po
prostej lub po elipsie (str. 114).
§ 8. Moment ilości ruchu.
Kręt
względen1
punktu.
Niech dany będzie układ punktów Au .A 2 , .. . o masach mi, m2, ...
i masie całkowitej m. Weźmy pod uwagę układ. pędów (układ ilości
ruchu) t. j. wektorów m1 Vu m2 v2 , ... o początkach w Au A 2, ....
Moment ogólny układu pędów (ilości ruchu) względem dowolnego punktu A nazywamy krętem lub moA,
m1~
inentem ilości riwh.1t układu względem A.
Zatem kręt K względem A wynosi
A
{§3]
Moment ilości ruchu.
Kładąc
{l)
208
r,=.A..A.,, otrzymamy
K = };(m/v,xr,).
Jeżeli E, 1J, ·C są współrzędnymi punktu A zaś
rzędnymi punktu
x,, y,, z, współ­
A,, to rzuty krętu na osie układu wynoszą:
Kx =17mly,(z,-C}- ż,(y 1 - .1J)],
Ku=l:m,[ż1 (x,-e)-x,(z,-C)],
(I)
Kz=lJmix,(y1-rJ)-y,(x1-E)].
w szczególności, gdy E= 1J = C= o, mamy:
(I') Kx=lJm,(y1 z1 -ż1 y 1 ), Klł=lJm,(ż1 x1 -x 1 z1 ), Kz=lJm,(x1y1-y1ro1).
e,
Niechaj 8 będzie środkiem masy. Połóżmy A8=r0 i SA,=
dla i=l, 2, ... Mamy r,= e1+ r0 • Zatem na mocy (1) kręt wzglę­
dem .A. wynosi
K =2m,v,x(e,+r0 ) =2m1v1
(2m1i11)Xr0 •
Pierwszy składnik ostatniego człona jest ·krętem względem
środka masy. Kręt ten oznaczymy przez Jl0 • Ponieważ J;m/v,=mv0
{gdzie v0 oznacza prędkość środka masy), więc
xe,+
{~)
X=X0 +mv0 xr0 •
Zauważmy, że mv0 xr0 jest to moment względem .A. ogólnego
pędu,
zaczepionego w środku masy.
Wzór (2) wynika bezpośrednio z twierdzenia na str. 20, odno8zącego się do zmiany ogólnego mom·e ntu układu wektorów.
Kręt
w ruchu postępowym. Załóżmy, że układ punktów
porusza się ruchem postępowym z prędkością v, t. zn. że wszystkie
punkty mają prędkość v.
Kręt względem dowolnego punktu .A. wynosi zatem wedle (2)
K =2(m/vxr,)=2(vxmt'r,)-:vx,2mt'r,. Lecz na mocy (I), str. 198,
jest 2m,r, = mr0 •. Więc K = vxmr0 czyli
K = mvxr0 •
{3)
A więc: kręt układu punktów, poruszającego się ruchem postę­
powym wzglę_dem pewnego pwnktu A, równa się momentowi wzglę­
dem A pędu ogólnego, zaczepionego w środku masy ukladu.
1
W szczególności gdy punkt A pokrywa się ze środkiem masy,
mamy r0 = O, więc K = O. Zatem: kręt względem · środka masy w rucltu
postępowym
jest równy zeru.
·
Wynika stąd (str. 26), że układ pędów w ruehu postępowym
ma wypadkową o początku w środku masy układu.
ROZDZIAŁ V.
204
Układy punktów mateńalnych.
Kręt
w ruchu względem środka masy. Niech układ
współrzędnych O(x, y, z) porusza się ruchem postępowym z pręd­
kością u. Oznaczając przez w1 , w 2 , • • • prędkości względne punktów
.A.u .A. 2, ... , przez w 0 prędkość względną środka Sich masy, przez Kw
kręt ruchu względnego i przez Kb kręt ruchu bezwzględnego układu
tych punktów względem O, otrzymamy
Kw='fni. w1 XOA 1 +m2 w 2 XO.A. 2 + ....
Ponieważ
w1=v1 -
u, w2=v2 - u, ... , więc
Kw= ('mi. v1 x0.A1 +m2 v2 xO.A 2+... )- ux (mi OA 1+m2 0.A. 1 + ... ).
Wyrażenie
zawarte w pierwszym nawiasie równe jest Kb;
wyrażenie zawarte w drugim nawiasie wynosi m,OS (str. 198). Zatem
(4)
gdy początek O ruchomego układu współ­
rzędnych obierzemy w środku S masy układu punktów .A.1, A 2 , ... ,.
będzie 0S=O, ską,d na mocy (4) Kw= Kb.
Jeżeli więc badamy ruch układu względem środka masy, to
kręty względem środka masy w ruchu względnym i bezwzgltJdnym są
równe.
W
szczególności,
Kręt względem
osi. Moment ogólny pędów układu punktów
względem pewnej osi nazywamy krtJtem· układu względem tej osi.
Wzory (I) przedstawiają kręty układu punktów względem osi
równoległych do osi x, y, z, przechodzących przez punkt .A., a wzory (I'}
kręty względem osi x, y, z. Weźmy pod uwagę kręt względem osi y
Ku= 2m,(ż,x,- x,z,).
· Oznaczając przez S, prędkość polową (str. 47) ruchu, jaki
wykonywa rzut punktu A, na płaszczyznę pionową xz, otrzymamy
ze wzoru (li), str. 48, S,= ł(ż,x,-i,z,), zatem
Ku=22m,S,.
A więc: kręt wzgl(Jdem pewnej osi równa si(J podwójnej sumie
ik>czynów mas przez pr(Jdkości pok>we ruchów, jakie wykonują rzuty
punktów na płaszczyznę prostopadłą do tej osi:
(5)
K =22m,S,.
Jeżeli w płaszczyźnie prostopadłej do osi wprowadzimy współ­
rzędne biegunowe r, <p, wówczas na mocy (I), str. 48, otrzymamy
1 2·
'
~,=v:r,
<p" a więc
.C'I
(6)
,, ..'J..
K =.:...m1'i'P1·
Moment ilości ruchu.
{§ 3]
205
Niech układ punktów obraca się około pewnej osi z prędkością ką­
tową w. Mamy wówczas 'Pt=ip.== ...=w. Zatem K=2m,r'fw=w2m,rf.
Ponieważ 2m1r'f=l, gdzie I jest momentem bezwładności względem
-0si obrotu, więc
K=lw.
{7)
A więc: jeżeli układ punktów obraca się około pewnej osi, wów.czas kręt wzg~dem osi obrotu równa s~ iloczynowi prędkości kątowej
i momentu bezwładności względem osi obrotu.
Dynamicznę własności krętu.
Niech A będzie dowolnym
punktem stałym lub ruchomym. Oznaczmy przez r, wektory AA,,
przeze, wektory QA, (gdzie O jest począt2
A;
kiem układu inercjalnego współrzędnych),
przez q wektor OA i przez u prędkość
punktu A. Zatem:
<s)
.
.
e= u
i
e,= v,
(i=l, 2, ... ).
Niechaj K będzie krętem względem A.
Na mocy (1), str. 203, jest K =2(m/v,xr,). Oznaczając przez p,
przyśpieszenia punktów A,, otrzymamy, różniczkując względem t,
{9)
K. =2(m;p,x1\) +2(m,v,x i).
. .
.
.
Lecz r;=e,- e, więc r,=e,-e. Zatem na mocy (8) r1=v,-u,
więc 2(m,v,xi,)=2(mtii,xv,)-2(mtv,Xu). Ale v,xvr-=O, zaś 2m[Vt=mv0 ,
:gdzie v0 oznacza prędkość środka masy. Zatem
(10)
Jeżeli
na punkt A,
działa
siła.
P,, to m/j>,=P,, a zatem
m1p1xr,=P1xr1 = MomA P,. Jeżeli więc M jest momentem ogólnym
sil względem A, to 2m1p1x r,=2P,xr,=2 MomAP,=M. Wzór ten
łącznie ze
wzorem (10) daje na mocy (9)
·(II)
Wyrażenie v0 xu będzie zerem, jeżeli przyjmiemy, że punkt A
jest w spoczynku (zatem że
O) lub że A pokrywa się ze środ­
u=
kiem masy (zatem że u=ii0 ) . W obu przypadkach otrzymamy
(III)
A więc: pochodna krętu ( względem punktu staugo lub środka
masy J równa się ogómemu momenwwi sil dziaZaj'łC'!/oh.
206
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Tworz~ rzuty na otJ stałą lub przechodzącą przez środek masy
i-nie zmieniającą kierunku, wnosimy·ze wzoru (III), że pochodna krętu
względem osi st.alej (lub przechodzącej przez środek masy i nie zmieniającej kierunku) równa się ogólnemu momentowi sil wzg~m tej osi.
W szczególności gdy moment ogólny sił wżględem pewnego
_punktu stałego lub względem środka masy jest stale zerem, pochodna krętu jest zere~ czyli kręt. jest wektorem ·stałym.
A więc: jeżeli moment ogólny sil ( względem pewnego punktu8talego lub środka masy) jest stale zerem, wówczas krtJt jest wektoremstalym.
Twierdzenie powyższe nosi nazwę zasady zachowania krętu.
Podobne twierdzenie otrzymujemy dla krętu względem osi.
A więc: jeżeli moment sil względem pewnej o·s i stałej (lub przechodzącej przez środek masy i nie zmieniającej kierunku) jest stalezerem, wówczas kręt względem_ tej osi jest stały.
Kręt względem osi wynosi wmyśl wzoru (5), str. 204, K=22m,B,,
gdzie przez B, oznaczyliśmy prędkości polowe ruchów, jakie wykonują rzuty na płaszczyznę II prostopadłą do osi. Jeżeli więc kręt
jest stały, to
(11)
2m,B,= c= const.
I
J
Zauważmy, że a,= S, dt przedstawia pole zakreślone w płaszczyźnie
4
.
Il przez rzut na niąi promienia wodzącego r1 punktu .Ar .
w czasie od t0 do·t. Zatem na mocy (11)
(12)
2m,a,=c(t-t0 ).
A więc : suma iloczynów mas i pól, zakreśwnych przez rzuty promieni wodzących na plaszczy;nę prostopaillą do osi, jest proporcjonalna.
do czasu.
Z tego powodu zasada zachowania krętu nosi również nazwę
zasady zac~:owania pól .
.Jak wiemy (str. 191), moment sił wewnętrznych jest wżględem
dowolnego punktu równy zeru. Zatem moment wszystkich sił działających sprowadza się do_mom_
e ntu sil zewnętrznych. Jeżeli więe
przez M<z> oznaczymy moment sił zewnętrznych względem pewnego
punk.tu stałego .A lub środka masy, równość (III) przyjmie postać
(III')
K=li<•>.
Moment ilo~ci rudrn.
(§3]
207
W twierdzeniach poprzednio po<lanyc·h 1noż<·m~- wife moment
wszystkich sil działającycl~ zastąpić przez moint•nt sił zcwnQtrzny<ih.
,Jeżeli na ukłacl punktów ż~uln<! siły ZPwnc:trzne ni<· ,tzialają,
to zachodzi oczywiście zasada zachowania vM (krQtu ), a więc kręt
względem każ<lego punktu stałego luh środka ..nuu,;~· jt•st wtPcly
wektorem stałym. Ponieważ kręt wzg1ę,Lem każch•j osi st.alej (lub
przechodzącej przez śrocl<'k ma8_v i nie zmicniając·.cj kit!rtmku) je:,;t
WÓWCZaS stały, \Vięc ·ró,vna.nhl ( 11) i ( 12) ZaC'.hodzą, clla I'll(' hc,w ,. ja kie
wykonują rzuty }lUnktów na clowolną plaszC'.zyzn~ stalą (luhporuszającą się wraz ze środkiem mw,;y i nie zmif'Hiają,·~ł ki('runku).
Ruch w polu siły dężkóśei. Sif'<"łt ukl:ul punktc',w materialnych .A11 .A 2 , ... o masa<"h mu ni 2 , .. . porusza siQ w Jmlu i,,iły
ciężkości. Jeżeli jeclynymi siłami zewnt:trznymi są, ciQżary punktów, to moment ogólny sił ciężkm;d wzglęclC'Jll śrrnlka masy j('st
zerem (str. 199), więc kręt wzglQdem 1-1r0flka masy j,~st stały.
Przyjmijmy układ ruehorp.y wspć,łrzQcln.n·h o J)0<·zątk11 w śr(}(lk11
ciężkości, poruszający się ruc·hem postępowym. Ah,v otrzymać r1wh
względny, należy do sił (lziałających doclać siły unoi,;zt•Hia (siła, Coriolisa jest zerem, bo układ WKJH1lrzęclnych 1,orusza się,- w myśl założenia, ruchem po~tępowym).
Oznaczmy przez li wektor przy!ipieszenia zimnskił•go. Poniewa,ż
środek ciężkoifoi ma przyKJ>icHzen.ie g, wię<: J>rzyKpiPHZ(mie unosz(~nia
wynosi również ij. Zaten1 siła unoKzenia clla J>oszpzeg61i1y,:h punktc,w
wynosi -mig, -m 2 g, .... Widzimy
że siły unoszenia znoszą się
z--ciężarami punktów. A więc rueh wzglę,lny hęclzie ta,ki, jak gdyby
nie działała siła ciężkości. Jeżeli prócz ciężarów . nie ma innych sił
zewnętrznych, to kręt względem środka masy w ruchu względnym
będzie wektorem Htałym i na mo<!Y (4), str. 204, będzie równy
krętowi względem środka maHy w ruchu hezwzg1ę<lnym.
wi~,,~,
Przy J,--,.t ad 1. Dwa punkty materialne A. i B o masach mi i m 2 ,
połączone prętem
sztywnym bez masy, poruszają się w polu siły
ciężkości. N a punkty .A i B działają więc siły ciężkości i reakcje pręta.
R i -.R. Reakcje zachowują się tak jak siły wewnętrzne, działają
bowiem wzdłuż prostej łączącej te punkty, są co do wielkości równe,
zwroty zaś mają przeciwne. Środek masy . będzie się więc poruszał
(jak punkt materialny o mą.sie mi +m1 pod wpływem ciężaru) z przyą>ieszeniem pionowym g po linii prostej lub po paraboli.
·
ROZDZIAŁ V.
208
Układy punktów materialnych.
Oznaczmy przez v1 i ii1 prędkości punktów A i B, a. przez S
środek maay. Kręt względem środka masy wynosi
(12)
Ponieważ
SA= ma AB
.
ffli +ma
'
SB
(str. 158), więc
SA= skąd
SB
:• AB,
mi m1
otrzymujemy przez podstawienie w (12):
(13)
z·
Załóżmy, że K =ł=O; zatem K ..LAB. Ponieważ
K. jest wektorem stałym, więc odcinek AB
K
jest podczas ruchu stale równoległy do pewn~j płaszczyzny II, prostopadłej do krętu K.
r
Obierzmy środek masy za początek ruchomego układu współrzędnych (a,'., y', z'), poruszającego się ruchem postępowym. Przyjmijmy, że płaszczyzna a,' y' jest stale równoległa do II. Zatem oś z'
jest równoległa do K. Pręt AB pozostaje więc stale w płaszczyźnie a,'y'.
Wynika stąd, że ruch względny pręta AB będzie obrotem około osi z'
(punkt S pręta jest bowiem nieruchomy względem układu (a,', y',z')).
Ponieważ kręt w ruchu względnym jest stały, więc kręt względem
osi z' wyniesie w myśl wzoru (7), str. 205,
(14)
Kr=lz10, = const.,
gdzie moment bezwładnościlr=m-ASS+m »sz
.. ..i
~
·oznacza prę4kośó kątową. Zatem o, = const.
mims AJJI zaś w
mi+m,
'
A więc ruch względny będzie obrotem w płaszczyźnie a,'y'
ok.oło środka masy S z prędkością kątową stałą.
[§ 3J
Moment ilości ruchu.
209
Obrót układu około osi. Załóżmy, że na układ U punktów
materialnych nie działają żadne siły zewnętrzne. Przypuśćmy, że
układ był na początku w spoczynku, a następnie jakaś część U1
układu zaczęła się pod wpływem sił wewnętrznych obracać około
pewnej osi stałej l. Oznaczmy przez 1 1 moment bezwładności
względem
_a przez w1 prędkość kątową tej ~zęśei układu. Zatem
kręt jej względem osi obrotu wynosi K 1 =11 w1 •
Ponieważ kręt całego układu musi być zerem, gdyż siły wewnętrzne nie mogą zmienić krętu, więc pozostała część U 2 układu
musi wykonać ruch, którego kręt względem osi l wynosi K 2 = -Ki,
tak by suma obu krętów_ była zerem (t. j. aby K 1 +K2 == O). Przypuśćmy, że ruch drugiej części jest również obrotem około osi Z
(przypadek ten zajdzie, jeżeli założymy np., że obie części mogą
tylko obracać się około Z). Jeżeli przęz 1 2 oznaczymy moment bezwładnoś'Ci części U 2 względem l, zaś przez w 2 jej prędkość kątową,
to· K 2 = I 2w2 •
Ponieważ J{1 +K2 =0, więc
l,
(15)
I1W1 +I2W2=
o.
Ró·wnanie powyższe wyraża związek między prędkościami kąto­
wymi obu części układ.u U. Ponieważ
roi/w 2 = - 1 2 / I 1 ,
(16)
więc obydwie części układu obracają się w kierunkach przeciwnych,
przyczem ich prędkości kątowe są co do wielkości odwrotnie proporcjonalne do IDOIJ10ntów bezwładności.
Oznaczmy ·p rzez <p1 i <p2 kąty, o jakie obróciły się części U1 i U 1
układu U w czasie t. Ponieważ q,1 =ro1 i q,2 =w2 , więc na mocy (13)
jest I 1 q>i +12 q,2 =0, skąd 11<p1 +I1<p2 =c. Zakładając, że dla t=O jest.
q,1 =0 i <p2 =0, otrzymamy 11<p1 +I2<p2 =0 czyli
(17)
<p1 /<p2 = - I2 /I1 •
Kąty obrotu są więc co do wielkości również odwrotnie proporcjonalne do momentów bezwładności obu części układu.
Jeteli w pewnej chwili 'Pt -<p1 =2kn, gdzie k jest dowolną
liczbą całkowitą, to położenie układu jest ·t akie, jak gdyby · układ
obrócił się
o kąt <p1 .
·widzimy więc, że ·układ punktów może się pod działaniem
jedynie a.ił wewnętrznych obrócić około osi o dowolny kąt 'P· Obrót
ten może nastąpić np. w ten sposób, że jedna, część układu obróci
się o qt 'P, a, druga ·w kierunku przeciwnym o kąt 2n -<p.
S. Banach. Mechanika.
14
210
ROZDZIAŁ
V.
Układy punktów materialnych.
Tym tłumaczy się fakt, te kot spadaj'° mote obróei6 sit w powietnu
tak, by 1paś6 na wuy1tkie cztery nogi.
Jeżeli na pokładzie łodzi zaczniemy obraeaó koło materialne około oBi
pionowej z pr~kością kątową CA>i, wówczaa łódi pocznie 'Bię obracać w kierunku
przeciwnym z pr~kością kątową ro1 ; obie pr~kości b~ą 1pełniały związki (US)
i (16), gdsie 11 i 11 oznaczają odpowiednio momenty bezwładności koła i łodzi.
Pr#fl kład 2. Kartka papieru spoczywa na gładkiej płaszczyźnie
poziomej; kartka jest przębita szpilką W · punkcie O tak, że może
lit tylko obracać wkoło tego punktu. Po kartce porusza, się owad .A.
Siłami zewnętrznymi działającymi na
układ, złożony z kartki i owa.du, są: rea.kej~_
szpilki o początku wpunkcie O, ciężar kartki
i owadu oraz reakcja płaszczyzny poziomej
-mające kierunek pionowy. Moment tych
,· sił względem osi pionowej z przechodzącej
przez O jest więc równy zeru, a wobec
tego kręt względem osi z jest stały.
Załóżmy, że w chwili początkowej t= O owad i kartka papieru
były w spoczynku. Kręt wżględem osi z będzie więc stale zerem.
Obiei;zmy w płaszczyźnie poziomej układ współrzędnych (x', y')
stały, zaś na kartce papieru układ (x, y) ruchomy, oba. mające początek w O. Oznaczmy przez <p1 kąt między O.A a. x', przez <p kąt
między O.A a x, a przez 'ł/J kąt, o jaki obróciła się kartka, t. j. kąt
między osia.mi x a x'. Niech wreszcie m oznacza masę owa.du, I moment. bezwładności kartki względem O i niech r=OA . Wówczas
kręt względem osi z wynosi mr2<i,1 +I,i=O, a ponieważ q,1 =<p+'ł/J, więc
(18)
mr2<i,+(mr2+I)1Ji=0.
Przypu'6my, ze owad porusza się po krzywej o równaniu
r=/(q,). Na mocy (18), z uwagi że tp/<i,=d'f/J/d<p, otrzymamy
d'f/J/d<p= -mr2/(mr2+1). Zatem, całkując od 'Po do <p, dostaniemy
<p
(19)
'ł/J-'f/Jo= -
f
mr2
mr2+1dVJ.
'Po
Różnica 'ł/J-'ł/Jo przedstawia kąt, o jaki obróciła się kartka
w czasie, gdy owad poruszał się po krzywej r = f (<p) · od <p0 · do <p.
Widzimy, że kąt obrotu nie zależy od prędkości owad.u, lecz
tylko od krzywej, po której owad się porusza. W szczególności,
jeżeli owad porusza się po kole r = const. wówczas. na mocy (19)
mr2
(20)
'ł/J-'f/Jo= -mrl+I·(<p-<po).
Prae&· i pot.enoj'ał . układa. punktów.
211
Kręt
w ruchu względnym. Niech układ współrzędnych
0'(~', y', z') porusza się względem inercjalnego układu współrzędnych
O(~, y, z). Aby wyznaczyć ruch względny układu punktów mate~
rialnych, należy do sił działających dodać siły unoszenia i Coriolisa.
Oznaczmy przez Kw kręt ruchu względnego względem początku O'
układu ruchomego, a przez .M, Mu, M c momenty sił działających,
'11108Zenia. i Coriolisa. względem p:unktu O'. Ponieważ prawa ~ewtona,
stosuj.ą się do ruchu względnego, jeżeli do sił działających dodać
siły unoszenia i Coriolisa (str. 137}, więc
Kw= M+Mu+Mc.
(21)
Wzór powyższy upraszcza się w prżypadk.u, gdy O' pokrywa
się ze środkiem S masy układu punktów materialnych I a układ
współrzędnych (~, y, z} porusza się ruchem. postępowym. .Udowodnilwny bowiem (str. 204), że w tym przypadku jest Kw=K, gdzie
/{ oznacza kręt (względem środka masy) w ruchu bezwzględnym.
Zatem Kw= i., a ponieważ f{ =M, więc otrzymujemy
(22)
.Jeżeli więc badamy ruch względem grodka masy,
to poohod!n4
kr@tv (względem środka masy) w ruchu wzg~ym równa si~ mofflffltowi (względem środka masy) sil działających.
Ił. ;łłraea I potencjał układu punktów.
Praca. Niech
na punkty układu działają siły 1\, P2, •• • • Praca siły P, wyraża się
(str. 95) wzorem L,=j(PiX d:vi+PiIJ dyi+PiZ tki), gdzie C.;, oznacza tor
c,
punktu i-tego.
Pracą całkowitą
(lub krótko pracą) sil Pu P 2 , ••• nazywamy
sumę prac poszczególnych sił.
Zatem praca całkowita wynosi
(I)
L= ,.,j.(Pi d:vi+Pi dy,+P, tk,).
~ Ct X
1/
z
Pracę całkowitą,
jakf wykonują siły w czasie od t0 do ,, możemy przedstawić w postaci (IV), str. 96,
(U)
ROZDZIAŁ V.
212
Układy punktów materialnych.
lub ((V), str. 96)
(II')
gdzie v, oznaczają prędkości punktów, zaś P/v, jest iloczynem ska.
larowym.
Praca równa zeru. Ważne są przypadki, w których praca
sił działających na układ jest równa zeru. Podamy kilka przykładów~
Przy kład 1. Dla układu sztywnego
punktów materialnych (str. 194) zachodzi
twierdzenie następujące:
z
A,
I
Praca sil wewn,trznych w układzie sztywnym jest zerem.
Dowód. Weźmy na razie pod uwagę dwa
punkty układu sztywnego .A.1 i A 2• Połóżmy:
(1)
gdzie O jest początkiem układu współrzędnych. Jeżeli . vi, v2 są pręd­
kościami punktów Au Au to
(2)
(3)
A1A 1 = const., więc r1 = const. Różniczkując wzglę­
dem czasu t, otrzymamy 2rr=O. Na mocy więc (3)
Ponieważ
(4)
Oznaczmy przez P 1 (wzgl. P 1 ) Bilę, z jaką punkt A 2 (wzgl. ..4.1 )
działa na punkt A 1 (wzgl. .A. 1 ). Na ·mocy prawa akcji i reakcji jest
(5)
P 1 i P 1 majat kierunek wektora .A1.A 1 =r, więc
Ponieważ siły
możemy przyjąć, że
( 6)
'P1 = ).r
i
P 1 = - ).r,
gdzie l jest współczynnikiem zależnym od czasu (wielko8ć sił P1 i P1
Praca i potencjał układu pn11któw.
[§ 4]
213
może się
bowiem zmieniać z biegiem czai;:1). Na mocy (II') praca
sił P 1 i 15,.. wynosi
,.
L=f(P1 v1+P1 v,J dt.
(7)
to
Z równości (6) dostajemy i\v1 +P2 v2 =l(rv1 -rv2 )=lr(v1 -v1 ),
na mocy więc (4) P 1 v1 +.P2 ii2 =0. Wynika stąd wobec (7), że
L=O.
Udowodniliśmy
zatem, że praca sił wewnętrznych, z jakilni
działają na siebie dwa jakiekolwiek punkty układu sztywnego jest
zerem. Suma prac wszystkich sił wewnętrznych jest więc również
zerem, c. b. d. d.
Pr~yklad 2. Dwa punkty materialne A 1 i A 2 połączone są
nicią nierÓzciągliwą (bez masy), przechodzącą przez stały punkt O.
Załóżmy, że nie ma tarcia. Udowodnimy, że praca sił, z jakimi
nić działa na punkty układu, równa jest zeru.
Obierzmy punkt O za początek układu współrzędnych. Niechaj
Xi, y1, z1 będą współrzędnymi punktu Au zaś x 1 , y 2, z1 współrzędnymi
punk.tu A 2 • Połóżmy
(8)
r1=0A 1=Vx~+Y~+z~
1
"2
=0A2 =Vx~+Y~+z~.
Ponieważ długość nici Z= const. i r1
(9)
+r2 = Z, więc
1\+r2=0.
Oznaczmy przez P 1 i P2 siły, z jakimi nić działa na punkty
.A.1 i .A 2 • Mamy (str. 194)
Kładąc P= -IP1
X1
P 1 = P -,
x
z
I.P1l==IPal·
(10)
r1
Y1
P 1 =PY
r1
1= -IP2 1, otrzymamy:
1
p · = pz1
-,
1
i
.
. +P1 Y1
. +PtiZ1. PX1~\+111Y1+Z1Ż1_p
·
P 1xX1
r1
9
11
i analogicznie ?\rx1 +P 111 y1 +P 1zż1 =Pr,.
Na mocy (II), str. 211, praca sił P 1 i P 2 wynosi tedy
I
I
L= j'[Pr1 +Pr1 ]dt=fP[r1 +r1 ]dt.
Io
Z (9) dostaniemy więc L= O.
le
A,
WJęc
r1·
,(
214
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Prąk.lad :-J. Przypuśćmy, że jakieś ciało K porusza się w ten
sposób, że pozostaje stale styczne do pewnej powierzchni E. Zakł&­
daJ-.c, że siły reakcyjne powierzchni zaczepione są w punktach
styczności, widzimy, że reakc)e zmieniają punkty zaczepienia, je:
żeli ciało
coraz to innymi punktami styka się z powierzchnią E.
Przyjmujemy, że praca sił reakcyjnych wyraża się w tym przypadku wzorem (II'), str. 212, gdzie v, oznaczają prędkości punk;.
. tów styczności, w których w danej chwili zaczepione są reakcje P,.
Jeżeli prędkości punktów styczności są stale równe zeru, mówimy, że ciało K to.czy aitJ po powierzchni E.
A więc: przy toczeniu się ciała praca sil reakcyjnych jest zerem.
Potencjał układu. · Jezeli siły P 1 , P 1 , • •• zależą tylko od po-
łożenia układu punktów,: wówczas powiadamy, że siły tworzą pole sil.
Ponieważ połoźenie układu określone je_
s t współrzędnymi ~u Yu Zi
jego punktów, więc siły Pu P 1 , ... · są funkcjami zmiennych m1, y1, zt, m1 , y 1, z2, • • • • Zatem
a11 , y 1 , z1 , •.•
w ;polu sił praca całkowita nie zależy od ·drogi prze:.
bytej przez układ punktów, lecz tylko od położenia początkowego
i końcowego tych punktów, to pole sił nazywamy polem _potmcjalnym lub ~achowawczym (kO'nllerwatyum,ym).
Jeżeli
Weźmy
pod uwagę dowolne położenie 8 0 układu pwik.tów,
określone współr~ędnymi m1, Y1, z<f, ~' yg, ~, ... . Oznaczmy przez V
pracę, jaką wykonają siły przy przejściu układu z położenia 8 0 do
położenia 8 o współrzędnych _ ~, Yu zt, m1, y„ z., .... Jeżeli pole jest
po~em potencjalnym, to praca .V nie. będzie zaieżała od dr~gi przejścia~ Zatem V będzie funkcją zmiennych mu Yu zt, ~., y 1 , ~i, .~.• Funkcję V nazywamy potencjałem lub junkcjq sil.
Postępując
podobnie jak w _p rzypadku_jednego punktu materialnego (str. 100), :można udowodnić następujące wzory:
(Ili)
c?V
P,x= a~'
I
ć'V
P,z =-dZ
'
(i=l, 2, ... ).
Na odwrót, jeżeli istnieje funkcja V spełniająca równania (III),
to pole jest polem potencjalnym i V jest potencjałem.
Praca i połencjał układu punkiów.
(14]
216
Jeżeli układ przesuniemy z połotenia o potencjale V1 w poło:.
żenie o potencjale V 1 ,
praca wyniesie ·
L= v 11 -v1 •
Jeżeli siły Pu 1'1 , ... tworzą każda z osobna pole potencjalne
o potencjałach Yu V 1 , ... , wówczas pole jest polem potencjalnym
o potencjale
v =·v1 + v11 + ....
(11)
Potencjał
siły
ciężkości.
Niech układ punktów o masach
mi, m1 , ••• porusza się w polu siły ciężkości. Jeżeli przyjmiemy, że
oś z jest skierowana pionowo do góry, wówczas (str. 102)
V1= -migzu
V2= -m.gz2,
· ·.
Na mocy więc (11) pole będzie polem potencjalnym o potencjale
(12)
Oznaczając przez z0 współrzędną 4rodka masy układu, będziemy
mieli fni Zi +m 2 z1 + ... = mz0, gdzie m oznacza masę caUro,witą układu
{str. 154). Według (12) jest więc
V= -mgz0•
(13)
Zauważmy,
~e mg jest ciężarem całego układu (t. zn. sumą
ciężarów . poszczególnych punktów).
Jeżeli w jednym położeniu układu środek ciężkości ma współ­
rzędną ~1), a w drugim zg>, wówczas praca wykonana przez siły
ciężkości wynosi L = (- mg~2>) - ( - mgzio) czyli,
{14)
A więc: praca w polu citJżkości zależy t11lko od różnicy poziomów
środka citJżkości układu, a. nie zależy od to·rów pm1z<,zególnych jego
punktów.
Praca sil citJżkości równa sitJ zatem pracy, jaką wykonałby <ntJżar całko wity układu, zaczepiony w środku jego masy.
Potencjał · sił
wewnętrznych.
Niech będzie dany układ
punktów Au ..4. 1 , .•• , An o masach mi, m 2 , ... , mn, Załóżmy, że · siły
wewnętrzne, z jakimi dwa dowolne punkty układu działają na siebie,
zależą co do wielkości tylko od odległości tych punktów, t~ zn. że
jeśli oznaczyć przez P11 siłę, z jaką punkt A}x1, y1, z} działa na
punkt A,(~,, y 1, z1), zaś przez ·r1j odległość między punktami A, i A 1 ,
216
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów
materialnY:ch.
to -IP11jest funkcją · odległości rl/ czyli
IP-1/I= fir,},
(15)
gdzie
(16)
Niechaj PIJ oznacza rzut siły P11 na kierunek .A1.A,. Zatem:
z
fo,
N
_:
~
m,a,.fi.Zil
Ą;
1° IP,11 = IPvl,
2° P 11 ~o, jeżeli punkty A. 1 i. .A.1 się przy-
mftJJ'J,l;J
~
ciągają, zaś
P,1 ~0 jeżeli punkty .A.,
i .A.1 się odpychają.
Ponieważ w myśl prawa akcji i reakcji
więc P;1=P11, skąd ·na mocy (15) i warunku 1°
~-----,1
jest P 11 . -P.1,
PIJ=± ft}r,}
(17)
czyli
P,1 ·
Fu(r,1).
Z określenia licżby P,1 wynika, że rzuty siły plJ · na osie układu
(x, y, z) możemy napisać w postaci:
p'l-p y,-y,
(18)
u-
Połóżmy
'l
rlj '
f
VI/= P,1dr11 =./F,1(r,} dr1r
(19)
Ponieważ PIJ= PJI i
r,1= r1,, więc
V u= V1,.
(20)
zatem na mocy (18):
(21)
Połóżmy
(22)
gdzie sumowanie rozciągnięte jest na wszystkie pary liczb i, j takie,
że i =ł= j, ·.i ~n i j ~n.
Niechaj P, oznacza sumę wszystkich sił wewnętrznych, działających na punkt .A.,. Zatem
.
(23)
Il
P 1= -2:PfJ dla j i= i.
/= 1
217
Praca i potencjał układu punktów.
Obliczmy pochodną cząstkową av/ex,. Zmienna x, występuje
tylko w funkcjach V IJ i V1,, gdzie j =ł= i. N a mocy (22) jest wobee tego
dla i =ł= j.
Z równości (20) i (21) wynika więc
dla i =ł: j,
skąd n~ mocy
(23):
av
av
aa:,= P,x,
,..-=P,.
cz,
z
Zatem V jest potencjałem.
Udowodniliśmy
więc
twierdzenie
następujące:
Jeżeli siły wewnętrzne, z jakimi punkty układu działają na siebie,
zależą tylko od oilleglości tych punktów, wówczas siły wew1_1,,trzne wytwarzają
pole potencjalne o potencjal,e danym przez wzór (22).
Prr.gklad 4. Niech punkty układu przyciągają się wzajemnie
według prawa Newtona. Wówczas dla i=ł= j jest P,1= -Km,m1/rtł,
a więc według (19) V IJ = PIJdrlJ=Km,m1frtJ, skąd na mocy (22)
f
(24)
. gdzie suma rozciągnięta jest na wszystkie pary liczb i, j takie,
•=ł=i, i~n i j~n.
że
W szczególności dla dwóch punktów mamy
(25)
Prąklad IJ.
Niech punkty . układu przyciągają się z siłami proporcjonalnymi do odległości. Wówczas dla ił: j będzie
PIJ=-. ;.irtJ, gdzie ;.IJ jest współczynnikiem zależnym od pary
punktów m1, m,1• A więc według (19) V u=fPudru= -łlirt. skąd
na mocy (22)
(26)
218
ROZDZIAŁ V.
Układy punkt.ów materialnych.
§ 5. Energia kinetyczna układu . .punktów. · Ni~ch dany
będzie układ punktów m,. m 2, ••• , mających w pewnej chwili -t pręcJ.:.
kości
vu v2, •••
Energią kinetyczną układu
punktów w·-c hwili t nazywamy sumę
energij kinetycznych poszczególnych punktów.
Jeżeli więc położymy v1
=lv1 1, v2 =lv11, ... , to energia kinetyczna
układu wyniesie
(I}
E= }m1 Vi + tffi-2V~ + ... = ł2m,v~.
Energia kinetyczna. układu w ruchu postępowym.
Jeżeli układ porusza się ruchem postępowym~z prędkością v (t. zn. jeżeli w&zystkie jego punkty mają tą, samą prędkość v}, wówczas
kładąc v=lvl, · mamy E=}2m,v2 =łv22m, czyli
(II}
E=fmvt,
gdzie m oznacza masę całkowitą układu.
Energia kinetyczna w ruch u obrotowym około ost
Niech układ punktów obraca się .około osi l z pr.ędkością - kątową- "'·
Oznaczając przez ru r 2, • •• odległości punktów układu od osi obrotu,
2
2
. ..2
·
mamy v;=r,w, a zatem E=ł2m,v,=ł2m,r,wl=łwl2m,r,. Poniewa~
,2m[1"~ jest momentem bezwładności . układu względem osi obrotu,
więc kładąc 1;m,r7=1, otrzymamy
(III}
E=}lw2 •
Twierdzenie Koniga. Niech dowolny układ współrzędnych
o początku O porusza· się względem układu odniesienia ruchem
postępowym. Oznaczmy przez u prędkość punktu O, zaś przez ih
prędkości bezwzględne, a przez w, · prędkości względne punktów materialnych m; (i=lr 2, ... ). Ponieważ u jest prędkością unoszenia, więc
v,= u+ w,,
skąd v; = (u + wi)2 = u2 +w;+ 2uw,. Kładąc v,=lv,I, w,=lw,I i u=lul,
2
t
t
otrzymamy E=}2m,v, =ł2m,u + t1:m,w, + 2m,uw,.
Jeżeli więc położymy m = Em,, dostaniemy
(2)
E= !mu2 + {2m,w~ + u,2m,w,.
Oznaczmy przez v0 prędkość bezwzględną, a przez w0 prędkość
względną środka 1nasy. Na mocy (1) mamy v0 =u+w0 • Ponieważ
l:miw,= mw0 , więc z (2) wynika E=fmu2 +{-Em,w~+muw0 lub, pisząc v0 :-- u za miast w 0 ,
·(IV)
E =}mu2 +t2m1wf+mu(v0 -u).
(1)
~
Energia kinetyczna układu punktów.
219
Pierwszy wyraz tej sumy oznacza energię ruchu postępowego
układu punktów, poruszającego się z prędkości, u. Wyraz drugi
·oznacza energię kinetyczną ruchu względnego, przyczem prędkości w1
możemy uważać za prędkości punktów m, względem punktu O, poruszającego się z prędkością u.
Jeżeli więc przyjmiemy, że ruch układu złożony jest z ruchu
postępowego o prędkości dowolnego punktu O i ruchu względnego
względem tegoż punktu O, to energia kinetyczna układu równa się
.sumie energii kinetycz1:ej ruchu postępowego, energii kinetycznej ruchu
·wzg~dnego i iloczynu masy całkowitej układu przez iloczyn skalarowy
· ~ prędkości punktu O i prędkości względnej środka mas.y.
Twierdzenie powyższe nosi nazwę twierdzenia Koniga.
Jeżeli w szczególności za punkt O obierzemy środek masy, to
-il=v0 , skąd na mocy ·(IV)
E=łmv~ +-ł2m,w~.
·( 3)
Jeżeli więc
ruch układu będziemy uważać za ruch złożony
z ruchu postępowego o prędkości środka masy i ruchu względnego
względem środka masy, wówczas energia kinetyczna układu równa się
,1umie mergii kinetycznej ruchu postępowego i energii kinetycznej ru-0hu wzg~dnego.
Zasada równowartości pracy i energii kinetycznej.
Niech na punkty materialne m, działają siły P,. Oznaczmy przez v,
prędkość punktu m, w _chwili t, przez ift0> prędkość jego w chwili t0 ,
a przez L~, pracę siły P 1 w czasie od t0 do t. Zatem ((3), str. 106)
0
łm,11l-łmt(v~ >)1 =Lj~t, sąd
ł2m,v:- -ł2m,(1'j0>)2 =2
Kładate: E=i-2mt"'' E0=4-2mt(1'~ >) ,
(V)
E-E0 =L,.,.
0 2
L<t,.
L1o1=2 L<t,, otrzymamy
We wzorze tym E oznacza energię kinetyczną układu w chwili t,
a E 0 w chwili t 0 ; wyrażenie L 1, 1 przedstawia sumę prac poszczegól-
na układ, t. j. pracę całkowitą, jaką siły te
wykonały w czasie od t0 do t.
nych
sił działających
A więc: przyrost energii kinetycznej układu punktów ,naterial-nyoh równa ,~ pracy całkowitej lil działających na puńkty układu.
Twierdzenie to nosi nazwę zaaady równowartości pracy i ·energii
kłnetycmej.
220
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Jeżeli praca całkowita sił działających jest zerem, czyli
L1o, = O,
wówczas na mocy (V) jest E-E0 =0 czyli
E=E0 •
A więc : jeżeli praca całkowita sil, działających na punkty układu
jest.stale zerem, wówczas energia kinetyczna układu jest wielkości,ą stalą.
Twierdzenie powyższe nosi nazwę zasady zachowania energii
kinetyCZ'nej.
Załóżmy, że układ sił działających
posiada potencjał. Jeżeli
przez V oznaczymy potencjał w chwili t, a, przez V O potencjał wchwili t0,
to L1o1 = V-· V 0, a więc na mocy (V) E -E0 = V - V O czyli
E-·v~E0 -V0 •
Wielkość
U= -V nazywamy energią potencjalną układu.
Zatem
E + U=E0 + U0 = const.
(VI)
Sumę E
+ U nazywamy energią ca.lkowitą układu.
A więc: jeżeli układ punktów porusza. się w polu potencjalnym,
to energia · całkowita układu jest stała.
Twierdzenia te są oczywi~cie uogólnieniem odpowiednich twierdzeń, dowiedzionych na str. 106i 107 dla jednego punktu materialnego.
Ener.gia kinetyczna w ruchu względnym. Niech układ
współrzędnych O'(x', y', z') porusza się względem układu inercjalnego O(x, y, z). Oznaczmy przez Ew i E'-!> energię kinetyczną w ruchu względnym w chwilach t i t0 , przez L, L~, i Lf, prace w ruchu
względnym sil działających, sił unoszenia i Coriolisa w czasie od to,
do t. Ponieważ prawa Newtona odnoszą się do ruchu względnego,
gdy do sił działających dodać siły unoszenia i Coriolisa (str.137), więc
0
,,
(4)
Ponieważ przyśpieszenie Coriolisa jest prostopadle do prędkości
względnej, więc siła Coriolisa jest również prostopadła do tej pręd­
ko·ści.
Zatem praca sil Coriolisa w ruchu względnym jest zerem,
wobec czego możemy napisać
(5)
EID-E"!>=L1o,+L;, ..
A więc: pr~rost energii kinetycznej w ruchu wzg~dnym równa
nę sumie prac w ruchu względnym sil działających i sil unoszenia.
{§ 6]
Energia kinetyczna układu punktów.
221
Niech w sz~zególności punkt O' znajduje się w środku 8
masy układu O' (x', y', z'). i niech układ ten porusza się ruchem postę,­
·powym. Ponieważ przy tym . założeniu przyśpieszenie unoszenia
równa się przyśpieszeniu p0 środka masy, więc siły unoszenia po.szczególnych punktów ukł~u mi, m1 , ••• wynoszą
{6)
Oznaczając przez Wi, Ws, ... prędkości względne punktów układu,
t
-Otrzymujemy Lt, =
t
f P w dt + f P w dt + ... , skąd według {6)
lu
lu
1
Io
1
Io
t
L't, 1=
.
-·f Po{ffi.i +m w + .•.) dt.
W1
Io
1
1
Prędkość względna w0 środka masy
równa się zeru, gdyż założyliśmy, że środek 8 masy całkowitej m jest stale w początku
układu ·ruchomego O'(x',y',z'). Zatem m.iw1 +m2 w 2 + ... =mw0 =0,
.eqd według ·ostatniego wzoru L 41=0.· Na mocy więc (5)
{7)
A więc : przyrost energii kinetycznej w ruchu wzg~dnym względem
.środka masy równa silJ pracy w ruchu wzgl'Jdnym sil działających.
PrZ11klad 1. Układ punktów materialnych porusza się w polu
8iły ciężkości. Niech środek masy 8 .będzie początkiem układu współ­
l'zędnych (x', y', z'), poruszającego się ruchem postępowym. Przyj_inijmy, że oś z' jest pionowa i zwrócona ku dołowi.
Ponieważ ciężary poszczególnych punktów mają kierunek osi z',
więc {podobnie jak w układzie bezwzględnym, str. 215) praca sił
-ciężkości w ruchu względnym równa się pracy, jaką wykona ciężar
-całkowity, zaczepiony w środku masy. Z uwagi na to, że środek
masy jest w spoczynku względem układu (x', y', z'), gdyż znajduje
aię z za.łożenia stale w początku tego układu, praca sił ciężkości
w ruchu względnym jest zerem. Przyrost zatem energij kinetycznej
w ruchu względnym równa się pracy pozostałych sił (poza ciężarami),
ja.kie działają na punkty układu.
W ·szczególności - jeżeli na punkty układu działają same tylko
-ciężary, to energia. kinetyczna tego układu w ruchu względnym
jest stała.
222
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Przypuśćmy np., że w chwili t=O puściliśmy swobodnie punkt.
materialny o masie mi, a po T sek drugi punkt o masie m 2• Po czasie t > T prędkośĆi punktów mi i m 2 wynoszą:
(8)
V1=ut
i
'V2=g(t - T).
Prędkość środka masy v0 otrzymamy z równania
ffliV1 +m2V2=( mi +m2)Vo,
Zatem v0 =(miv1 +m2 v2 )/ (mi +m2 ). Prędkości względne punktów mi.
i m2 wynoszą W1=V1-Vo i W 2 =V 2 - v0 , więc W1=m2(V1-V2)/(ffii+m1)
i w 2 =mi(v 2 -v1 )/mi+m2 ), skąd na mocy (8) w 1 =msaT/ (mi+m1 )·
i W2= -migT/ (mi + m2),
Energia kinetyczna w ruchu względnym wynosi zatem
Ew= {miwi+łm2 w~:;:,.=mimsa2.TJ/2(m1 +m 2 ) = const.
Widzimy więc, że energia kinetyczna w ruchu względnym
względem środka masy jest stała.
Pr~y kład 2. Dwa punkty A i B o masach m1 i m2 , połączone·
nicią nierozciągliwą bez masy, poruszają się w płaszczyźnie pionowej
~ ten sposób, że punkt A musi pozostawać stale na osi poziomej a:
zaś punkt B na osi pionowej z.
Oznaczmy przez l długość nici~ a przez x, z
fi,
współrzędne punktów A, B. Na punkt A działa,
reakcja .Ri, prostopadła do osi x (zakładamy, że
r---.:::--:~:-1. nie ma tarcia), ciężar Q1 i reakcja nici 1\; na
punkt B działa reakcja Jł.2, prostopadła do osi
ciężar Q2 i reakćja nici P2 • .
Z sił powyższych nie wykonują pracy: reakcje
Ru .R2 i ciężar Qi, gdyż siły · te są prostopadłe
z
do toru. Nie wykonują również pracy siły P 1
i P 2, ponieważ P 1 = -P2, a ponadto od~głość punktów A, B jest
stała (str. 212). Tylko więc ciężar Q2 wykonuje p~acę.
Przypuśćmy, że w chwili początkowej t0 = O punkty A, B
miały współrzędne x 0 , z 0 i prędkość· zero. Energia .kinetyczna.
w chwili t wynosi
E =łmt i2+{m1 ż2•
Praca siły Q2 równa się m 2 g (z -z0 ), jeżeli osi z nadamy zwrot..
ku dołowi. Zatem na mocy zasady równowartości pracy i energii
kinetycznej
z,
(9)
(f 6]
Energia kinetyczna układu punktów.
223
Oznaczmy przez <p kąt, jak.i nić tworzy z osią x w chwili t,
a przez q,0 kąt w chwili t0 =0. Mamy więc :
z0 = l sin q,0 ,
z= l sin <p,
X=l COS <p,
skąd:
i= -Zq,sin <p,
(10)
ż
= lq, cos q>.
Według (9) jest zatem
(11)
~Z1<fo2 (m1 sin2 q,+m2 cos2 q>)= m 2 gl(sin q>- sin q>0 ).
Z powyższego równania możemy, znając q>, obliczyć q;, a następnie z równań (10) wyznaczyć prędkości i i y. Znając q>, możemy również wyznaczyć reakcje Ru R2 , Pu P2• Przyjmijmy dla
prostoty, że mi=m 2 =m i q>0 =0. Otrzymamy z (11)
-}lqi2 = g -sin q>.
(12)
Różniczkując względem t,
dostaniemy l<p<p= gcp ~os q>, skąd
ip= g eos q>/l.
(13)
Oznaczając
przyśpieszenie
przez p 1
ffiiP1 =lł1 +Q1 + P1.
(14)
Tworząc rzut na oś x i kładąc
P=ll\1=11\ 1, dostaniemy
mi= -P cos q>.
(15)
Ponieważ na
(16)
punktu A, otrzymamy
mocy (10)
x = -lip sin q>- lcp2 coi,; p ,
więc z równań (15) i (16) możemy otrzymać P, znając <p, gdyż
możemy obliczyć z równań
(17)
<pi q,
(12) i (1:3). Dostaniemy
P = 3mg sin cp.
Tworząc rzut na oś z, dostaniemy z (14) R 1 +mg + Psin q>= O czyli
(18)
Ił1 =-mg -
Psin q>,
gdzie R 1 oznacza rzut siły R1 na oś .z.
Podobnie, dla punktu B mamy mp2=R2 +P2+Q2. Tworząc
rzut na oś x, otrzymamy z uwagi na to, że P 2 = -Pu równość
B,+Pcos q>=O, skąd
(19)
R2= -P COB q>.
Wzory (17)-- (19) wyznaczają , reakcj~. w zależności od kąta q>.
224
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Pr:ey kład :J. Dwa punkty materialne .A.1 i .A.1 o masach m1 i m1,
połączone nicią nierozciągliwą bez ma.sy, przechodzącą. przez stały
punkt O, poruszają się w płaszczyźnie poziomej (przechodzącej
przez O) bez tarcia. Obierzmy w tej płaszczyźnie układ współrzęd­
nych (x, z) o początku w O (p. rys. na str. 213) •• Ponieważ kierunki sił
Pu P 2, z jakimi nić działa na punkty .A.1 i .A. 1 , przechodzą stale przez O,
więc punkty .A.1 i .A. 2 będą poruszać się ruchem środkowym o środku O.
Połóżmy r 1 = O.A. 1 i r 2 = 0.A. 2 ; niechaj 'Pu <p2 oznaczają kąty
między osią x a odcinkami 0.A.1 i O.A.1 • Prędkości polowe punktów
.A.1 i .A.1 są odpowiednio równe ~~q,1 i łr~<p2 • Ponieważ prędkości
polowe w ruchu środkowym są stałe (str. 87), więc
(20)
r 2.
r 2.
1 <p1 -c1,
2 <p2 = c2 ,
gdzie c1 i c2 są pewnymi stałymi.
Na str. 213 dowiedliśmy, że praca całkowita sił 1\ i 1
· \ j~st zerem.
Zatem energia kinetyczna układu punktów Au .A. 2 ma wartość stałą.
Oznaczając przez v1 i v 1 wielkość prędkości punktów A 1 i A 2, otrzymamy łm 1v?+łm2 v~=c lub
(21)
gdzie c i h=2c są stałymi. .Ale ((3), str. 47):
...:.t
v21 =r·21 +r 21 ...:.t
y,1 1• 'V22 = r•22 + r 22 y,u
więc na
mocy (20),
wyrażając
2
2
Tt•
r2
<p1 i
rp 1 przez r1 1 r 2, otrzymamy
v? =ł?+ 0; i iv:=r~+ c!, skąd na mocy (21)
(22)
.
. ml~ m2c~
m1r~+m
2 r:+-:;-·+-2- = h.
't
'2
Oznaczmy przez Z długość nici. Zatem r 1 +r1 = Z czyli r 1 = Z-ru
skąd
(23)
Wstawiając
ł1=-ł1•
w (22), otrzymamy
(24)
Równa.nie ró'żniczkowe (24) wyznacza. r1 jako funkcję czasu t.
Z równości (23) i (20) otrzymamy r 11 'Pu 'Pi· Aby otrzymać rea.keje
P11 P 1 , za.uwatmy, że jeżeli Pi oznacza przyśpieszenie punktu .A.1, to
m1PJ.=P1• Utwórzmy rzut na kierunek 0.A.1• Oznaczając rzuty Pi i l'i
na 0...4: 1 przez p 1~, P, dostaniemy
.
(§6]
Zagadnienie dwóch cjał„
(25)
m,Pir=P.
22.5
Na mocy (li), str. 47, mamy p 1r= r1 - r1 'Pi· Zatem wedle (20)
(26)
Aby otrzymać ii, zróżniczkujmy równanie (24). Dostaniemy
. [
(27)
..
r1 (mi +m2)r1 Jeżeli
m 1 c1
m 2 c~ ]
ri: + (Z-r1)a =0.
r1 =ł= o, to na mocy (25). (27)
{28)
P=-
m 1 m2 [
c~
m1+m2 (l-r1)s
Ci]
+-.
"i
Ze wzoru (28) możemy otrzymać reakcję P, znając tylko r 1 •
Znając P, znamy P1 i P2, gdyż IP1 l=IP2 I.
§ 6. Zagadnienie dwóch elal. liTiech dwa punkty materialne o masach Mim przyciągają się wedle prawa Newtona z:·siłą
o wielkości
P=KmM/rl,
gdzie r oznacza odległość tych punktów. Na str. 107 badaliśmy
·ruch punktu m przy założeniu, . że punkt M jest nieruchomy. Udowodniliśmy, że w tym przypadku zachodzą prawa Keplera.· Obecnie
nie będziemy zakładać, że J?Unkt M jest nieruchomy, lecz że oba
punkty są swobądne. Pod wpływem · więc wzajemnego przyciągania
oba punkty m i M będą się poruszać. Oczywiście, ich środek masy
będzie w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostolinijnym, bo
według prawa akcji i reakcji suma sił działających na punkty mi M
jest równa zeru. Możemy za.tern początek układu inercjaln~go umieś­
cić w środku ciężkości obu pun.któ.w.
Niechaj x11 Yu Zi będą współrzędnymi punktu M, zaś x 1 , y 1 , z1
punktu m. Równania ruchu Newtona dla punktów M i m . l;>ędą
miały postać:
(1)
R Ranach. Mechanika.
M..
Yt
KmMy2-Y1
r2
r
,
15
226
ROZDZIAŁ . V.
Układy punktów materialnych.
Ponieważ środek ciężkości układu M, m jest w początku układu
współrzędnych, więc
skąd
Mx1 +mx2 =0, My1 +my1 =0 i MZi +mz2 =0,
Xz= -Mx1 /m, y 2 = -My1 /m i z2 = -Mz1 /m. Zatem:
M+m
(2)
m
M+m
Xi,
m
M+m
Yu
m
Zi•
A więc
(3)
r=V(x2-X1)2+(Y2-Y1)2+(z2-Zi)2= M +m r11
m
gdzie r 1 =Vx~+y~+z~ oznacza odległość punktu M od środka cięż­
kości. Podstawiając w równania (1) wyrażenia ze wzorów (2) i (3),
otrzymamy:
y1
Mi1= - (M +m)2rfr;-'
My 1 = - (M +m)2rf r 1
Km3M z 1
Mi=
·1
(M+ m)2 r; r 1
Km3 M
(4)
x1
..
Km3 M
Porównując
te równania z równaniami (I), str. 107, widzimy,
że ruch punktu M będzie taki, jak gdyby punkt ten był przyciągany
przez masę nieruchomą m 3 /(M +m)2, umieszczoną w początku układu.
A więc: jeżeli d~a punkty M i m przyciągają się wedle prawa
Newtona, to każdy z nich, np. M, porusza się względem środka cięż­
kości ( obu punkt6w) tak, jak gdyby w środku ciężkości umieszczona
była masa nieruchoma m3 /(M +m)2 , przyciągająca punkt M wedle
prawa Newtona.
Badanie zatem ruchu względem środka masy dwu punktów
sprowadza się do przypadku rozpatrywanego na str.107.
Wynika stąd, że oba punkty poruszają się po krzywych rzędu
drugiego w których ognisku znajduje się środek ciężkości tych punktów. Tory więc obu punktów są torami płaskiQri.
Zbadajmy jeszcze ruch punktu m względem punktu M. Umieśćmy
w punkcie M początek układu współrzędnych (x', y', z'), poruszają­
cego się wraz z M ruchem postępowym. Oznaczając przez ~' 'f/, C
współrzędne punktu m względem tego układu współrzędnych, otrzymamy
(5)
~=X2-Xu
1J=Y2-Yu
C=z2-Zi•
Mnożąc równania (1) przez m/M i odejmując od (1') dostaniemy
z uwagi na (5)
.[§6]
Zagadnienie dwóch ciał.
mE=-K(M;m>mf,
(6)
227
mij=-K(M;m)m;,
mł= _ K(M +m)mf.
r2
r
Porównując równania (6) z równaniami (I), str.107, widzimy, źe
punkt m porusza się względem punktu M tak, jak gdyby punkt M
był nieruchomy, a masa jego była zwiększona o masę punktu m.
A więc: jeżeli dwa punkty M i m .przyciągają się wedle prawa
N ewtoną,- to ruch względ'Jl,y punktu m wzg~dem punktu M jest taki,
jak ·gdyby punkt M był nieruchomy, a masa jego była zwiększona
o masę punktu m.
·
Także i w tym przypadku bad.anie ruchu jednego punktu ma-
terialnego względem drugiego .sprowadza się więc do przypadku
rozpatrzonego na str. 107.
Przyjmijmy, że ruch względny punktu m odbywa się po. elipsie
o osi wielkiej 2a, przyczem czas obiegu niechaj będzie T . Na mocy (10),
str. 109, otrzymamy a8 /T2=K(M +m)/4n2• Widzimy zatem, że w ruchu względnym stosunek a8 /T2 zależy od mas obu ciał. Ponieważ
ruJhy planet badamy względem słońca, więc przyjmując, źe · M
oznacza masę słońca, a m masę planety, widzimy, że trzecie prawo
Keplera (str. 89), które odnosi się do ruchu względnego planety
względem słońca, jest nieści,Ble. Dla innej planety (przy odpowiednim
znakowaniu) jest
(7)
skąd
8
2
a /T
M+m I+~
s -2=
=
·
(8)
a1/T1
M +mi
1+~
w układzie słonecznym stosunek m/M wyraża, się
w tysięcznych, więc ostatni ułamek mało różni się od jedności.
Dokładne obserwacje ruchu planet wykazują te odchylenia od trzeciego prawa Keplera.
Ponieważ
Gwiazdami podv,6jnymi nazywamy dwa ciała niebieekie, krątące wokół
siebie (zdała od innych ciał). Przyjmuj'°, te gwiazdy podwójne przyciągaj,
Bi~ według prawa Newtona, móżemy etoeowaó do nieb wnioaki otnymane
w tym §. Obserwacje potwierdsają t.e wnioski, a tym samym prawo powuech·
nego ci.lżenia,, z któregoemy je wyprowadzili.
228
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
ciał.
Niechaj n punktów materialnych
przyciąga się wzajemnie z silami ~iałającymi według prawa powszechnego ciążenia Newtona (str. 90). Badaniem ruchów w takim
układzie punktów zajmuje się t. zw. zagadnienie n ciał.
§ 7. Zagadnienie n
Zagadnienie to jest ważne dla astronomii. Słońce wraz z planetami tworzy
taki układ, jeżeli pominąć działanie gwiazd stałych, bardzo małe wskutek wielkiego ich oddalenia od układu słonecznego.
Zagadnienie dwóch ciał, którym zajmowaliśmy się w § 6, je1t1t szczególnym
przypadkiem zagadnienia n ciał.
Zagadnienie n ciał Iiie jest rozwiązane w całej ogólności. Nawet
w przypadku trzech ciał jest jeszcze wiele spraw nierozstrzygniętych.
Przy pomocy jednak t. zw. teorii perturbacji (czyli zaburzeń) mo.żemy wyznaczyć ruchy układu słonecznego z. żądaną dokładnością.
W zagadnieniu n . ciał mamy do czynienia tylko z siłami wewnętrznymi. Z twierdzenia o środku masy (str. 200) wynika. zatem,
że środek masy układu jest w spoczynku lub w ruchu jednostajnym
prostolinijnym. Możemy więc początek układu ine,:cjalnego współ­
rzędnych obrać w środku masy. Względem tak obranego układu
współrzędnych pęd układu n punktów będzie stale zerem (str. 199).
Z twierdzenia o kręcie (str. 206) wynika, że kręt układu punktów jest stały. Płaszczyzna przechodząca przez środek masy i prostopadła do krętu nie zmienia zatem położenia.
W przypadku układu słonecznego środek masy Jeży w słońcu (ze względu
na wielką masę słońca w stosunku do pozostałych planet) .
Płaszczyznę przechodzącą przez środek masy układu słonecznego i prostopadłą do krętu nazwał Laplace plasiczyz,ną niezmienną.
Płaszczyzna ta nie zmienia sw~go położenia w przestrzeni względem układu
inercjalnego współrzędnych o początku w słońcu. Podług obliczeń wykonanych
przez Laplace'a płaszczyzna niezmienn~ tworzy z ekliptyką kąt a=l,76890.
Zagadnienie trzech ciał. Niechaj dane będą trzy punkty
materialne A 17 A 1,A8 o masach mi,m2 ,m:,. Ozn~czmy przez PIJ
silę, z jaką punkt m1 przyciąga punkt m,; niech w,1 będzie siłą, z jaką
jednostka masy umieszczona·w A 1 przyćiąga jednostkę masy mnieszczoną w A,. Według prawa Newtona .mamy zatem
(1)
P,1 = m,m1w,1 •
Z prawa akcji i reakcji wynika, że Pu =-P1,,
(2)
W11=-Wji•
więc
[§ 7]
229
Zagadnienie n ciał.
Oznaczmy przez p; przyśpieszenie punktu m; w układzie inercjalnym współrzędnych. A więc m 1 p1 =1\ 2 +1\ 3 =m 1 m?.w12 +m 1 m3 w13,
skąd
(3)
P1=m2w12+maw1a·
Podobnie
(4)
N a mocy (3) i (4) otrzymamy z uwagi na A,
to, że w myśl (2) jest w12 =-w21 i w13 = -w31 :
w„
(5)
Różnica p2 -p1 przedstawia przyśpieszenie względne punktu .A. 2
względem .A 1 , t. j. przyśpieszenie punktu .A. 2 względem układu współ­
rzędnych o początku .A. 1 , poruszającego się ruchem postępowym.
Połóżmy p = p2 -p1• Z równania (5) dostaniemy
(6)
Prawa strona równości (6) przedstawia siłę względną punktu .A. 2
w ruchu względem .A.1 .
Pierwszy jej składnik, t. j. m2(m1 +m 2 )w21 , przedstawia śiłę
względną, jaka działałaby na punkt .A. 2 , gdyby nie było trzeciego
punktu Aa (t. j. gdyby było ma= O). Siła ta miałaby (zgodnie z twierdzeniem podanym na str. 227) kierunek ku punktowi A1 i byłaby taka,
jak gdyby masa punktu .A.1 była zwiększona o masę punktu A 2•
Drugi -~kładnik sumy, t. j. m 2m3 ( w 23 +w31 ), nazywamy silą
perturbacyjną (lub zabu1·zającą); pochodzi ona z działania punktu A 8•
Przykład 1. Niech m1 oznacza masę ziemi,
m2 masę księżyca,
a m 3 masę słońca.
W przybliżeniu masa słońca =1\-106 masy ziemi, odległość ziemi
od słońca = 400 odległości ziemi od księżyca, wreszcie masa księżyca
= ~1n masy ziemi. A więc:
(7)
Z trójkąta A 1 A 2 A 3 otrzymujemy
(8)
230
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Ze . względu na wielką odległość słońca od ziemi i od księżyca
(w stosunku do odległości księżyca od ziemi) wektory w18 i w81 będą
mało różniły się od siebie co do wielkości i kierunku, a zwroty będą
miały przeciwne. Suma w23 +w31 jest więc mała · co do wartości bezwzględnej. Opierając się na danych (7) i (8), można okazać, że
mama lwu+ ~sil ~ 1,5 .10-2.
m2(m1 +ms)lw21I ·
(9)
Widzimy stąd na mocy (6 ), że siła perturbacyjna, pochodząca
od słońca, jest mała i możemy ją w pierwszym przybliżeniu opuścić.
Zatem: w pierws·z ym przybliżeniu ruch względny księżyca wzglę­
dem ziemi otrzymamy, pomijają.c .działanie słońca.
Przybliżone
badanie ruchu ·względnego sprowadia się więc
w danym przypadku do zagadnienia dwóch ciał. Odnosi się to rów:µież do innych planet mają~ych księżyce.
Niech .A.1 będzie środkiem
ziemi, .A. 2 punktem na powierzchni ziemi i .A. 3
środkiem księżyca. Niech mi, m1 i m8 oznaczają odpowiednio masy ziemi, punktu As
~. W,.
w., i księżyca. Załóżmy że punkty Au As i .A. 8 leżą
A, na jednej prostej.
Wektory w 18 i w 31 mają zwroty przeciwne. Jeżeli .A.i leży między
.A.1 i A 3 , wówczas lwzal> jw81l, zatem wektor w18 +w31 ma zwrot
wektora w 23• Jeżeli zaś A 1 leży między A 8 i A 2, to lw23l<lw311i wektor
w18 +w31 ma wówczas zwrot wektora w81 • W obu przypadkach siła
purturbacyjna księżyca m 2 m3 ( w 23 + w 31 ) jest skierowana względem
ziemi pionowo w górę. Działaniem tej siły . tłumaczą się przypływy i' odpływy morza.
w,, w„
iv„
,-.--A-,-----4.
Przykład 2.
----------
Pr:eyklad 8. Niech mi oznacza masę jakiejś planety, m2 masę
jej księżyca, a średnią odległość pla:uety od jej- księżyca, T czas
obiegu księżyca dokoła planety w ruchu względnym (względem
planety). Na tnocy (7), str. 227, mamy
(10)
2
aS /T 2 =K(m1 +mi ) / 4n.
Jeżeli m~, m~, a' i T ' oznaczają odpowiednie wielkości dla innej
planety i jej księżyca, wówczas analogicznie do (10)
(11)
(18]
Ruch ciał o masie zmiennej.
231
Na ~ocy (10) i (11) jest (m1 +mt>f(m~ +m~)=aaT't/a'apz. Opusz-0zając masy księżyców m2 i m~, jako zazwyczaj małe w stosunku
do mas planet; dostajemy
mifm1' = a3T '2 /a·'8 T 2.
(12)
Zatem: stosunek mas dwóch planet możemy otrzymać z obserwacji
.,.uchów ich księżyców.
Uwaga. Możemy również przyjąć, że m~ oznacza masę słońca,
m;= m1, a' średnią odległość planety od słońca, za.ś T' jej czas obiegu .
.Przy tych założeniach wzór (12) -przedstawia stosunek masy danej
planety (posiadającej księżyc) do masy słońca.
§ 8. Rueh elal o masie zmiennej. Zbadajmy teraz ruch
ciała,
którego masa się zmienia wsk.utek odrywania się od ciała
(lub przyłączania .się nowych) cząstek podczas ruchu.
K
jJ
u
.s
o
Przykładem talQm jest poruszający się wózek
do którego dosypujemy piasek (lub z którego piasek
~ię wysypuje). Inpym przykładem jest rakieta.
Materiały pędne,
spalając się, wywołują wypływ
gazów i siłę popędową rakiety. Masa rakiety
maleje zatem o masę uchodzących gazów.
Przyjmijmy, . że ciało skiada się z wielkiej liczby drobnych
cząstek, które możemy uważać za punkty materialne. Oznaczmy
przez m masę .ciała, przez v prędkość środka S jego masy w chwili t,
zaś przez m+Jm i v+.Llv masę i prędkość środka S w chwili t+Llt.
Niechaj wreszcie P oznacza fmmę sił działających na ciało w chwili t.
Masa oderwanych cząstek w czasie od t do t + Lit wynosi
{ -J~); niech u i u+Llu oznaczają prędkości (w chwilach t i t+Jt)
środka S'' masy oderwanych cząstek.
Weźmy pod uwagę układ. U ws~ystkich cząstek, z których składa,
się dane ciało w chwili t. Pęd tego układu w chwili t jest H = mv,
a w chwili t+Jt będzie ll'=(m+Jm)(v+L1v)+(-Llm)(u+Ju).
·Przyrost pędu wyniesie zatem
11'-!1 = mJv-Jm(u+Au-v) + JmL1v~
Dzieląc przez Jt, otrzymamy w granicy dla Jt dą,żącego do zera
(1.)
·dJl = m dv _ dm (u-v)
dt
dt
dt
•
232
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Ponieważ pochodna pędu układu równa się
sił działających (str. 200), więc
sumie .wszystkich
dH/dt=P. Na mocy (1) jest więc
m~-m(u-v) = P.
(2)
Równość powyższą możemy napisać w postaci mij+mv=mu+P
czyli
d(mv)/dt=mu+P.
(3)
Wzory (2) i (3) stosują się również do przypadku, gdy nowe
cząstki _ dołączają się do ciała. W równaniach (2) i (3) wektor il
przedstawia prędkość środka 8" masy cząstek odrywających się
od ciała (lub dołączających się do ciała).
Kładąc u-v=w w równaniu (2), otrzymamy
m~--rhw=P.
(4)
Wektor w przedstawia prę,lkość względną środka masy odrywających się cząstek względem środka masy · ciała .
u
. . ·. ··
:-- -~-----)
-~.--::·,::_j]JL
i
•
Przy kład. Ruch rak ie ty. Oznaczmy przez m masę ra~iety,
przez v jej prędkość, przez w pręclkość wzglęclną (względem rakiety)
gazów wypływających z rakiety, a prz<,z P 1mmę sił zewnętrznych
działających na rakietę (jak ciężar, opór powietrza i t. d.). Przy
tych oznaczeniach zachodzi wz<>r· (4).
Przyjmijmy najpierw, żt, rakieta porusza oię w płaszczyźnie
poziomej po linii prostej, którą obierzemy za oś x-ów, nadając jej
zwrot zgoclny z kierunkiem ruchu rakiety. Poł6żmy v='. if i w · · lwi.
Załóżmy, że P = O ( a więc, że siła ciężkoifoi znoHi się z reakcją płasz­
czyzny, przyezcm pomijamy op<'>r. powietrza i tarcie). ·Ponieważ
ti i w mają zwroty przedwne, więc na mocy (4) mv +mw= O, skąd
(5)
.
rh
v=~-w.
m
Pr,ę,lkość względną w wypływająeyeh ga.z6w możemy uważać
za stałą. Całkując równanie (r,), otrzyma.my więe
(6)
v=-wlogrn+c.
[§ 8)
Ruch ciał o masie zmiennej~
233
Przyjmijmy, że dla t=O jest m=m0 i v=O. Według równania (6)
jest tedy <>= -wlogm0 +c, więc c=wlogm0 , a zatem na mocy (6)
mo,
(7)
'V=W 1og -
m
skąd m0 /m= e w czyli
0
(8)
m=m0 ę
-v/ w
•
Przypuśćmy, że
rakiet.a osiągnęła szybkość V=lOO km/god:z=
= 27 m/sek. Jako prędkość wypływu gazu można przyjąć
w=lOOOm/sek. Zatem na mocy (8) m=m0e-0•027 = 0,973 m 0, skąd
m0 -m=0,03 m0 •
Aby więc uzyskać prędkość rakiety 100 km/godz, trzeba spalić
materiałów ·pędnych o masie równej 3% masy rakiety.
Niech teraz rakieta porusza się pionowo w górę. Przyjmijmy oś z
skierowaną pionowo ku górze i zachowajmy znakowanie poprzednie. Otrzymamy z (4) (pomijając opór powietrza) mv+mw=-mg
· czyli
.
(9)
m
V=-W--g.
m
Całkując .i przyjmując, że dla t= O jest V= O i
m= m0 , otrzy-
mamy podobnie jak poprzednio
mo
(10)
V=W 1og--gt.
m
Aby rakieta nie spadła z powrotem na ziemię i oddaliła się
w przestrzenie międzyplanetarne, należałoby nadać jej prędkość
m
v~12 km/sek (str. 111). Z równania (10) otrzymujemy v~wlog
- 0,
. m
skąd · evfw~ m0 /m czyli mev:w ~ m 0 , a zatem
11/w
m 0 -m~m ( e · -1).
Kładąc
v=12 km/sek i w=lOOO m/sek=l km/sek, dostaniemy
m0 -m~160000,m.
W nierówności tej m oznacza masę rakiety po uzyskaniu pręd­
kości v=12 km/sek, zaś m0 -m masę spalonych materiałów pędnych.
Jeżeli więc przyjmiemy m=l kg, wówczas m0 -m~160000 kg.
234
ROZDZIAŁ V.
Układy punktów materialnych.
Trzebaby zatem spalić 160000 kg materiałów pędnych, by 1 kg
masy uleciał w przestworza.
Żeby więc odbyć podróż międzyplanetarną w wozie, mającym wraz z pod-
różnymi masę l tony, należałoby zabrać z sobą 160000 ton materiałów pęd- ·
nych, co jest oczywiście niemożliwe. Dowodzi to, że przy dzisiejszym stanie techniki podróż taka jest niewykonalna. Sprawa posunęłaby się naprzód, gdybyśmy
mogli wydatnie zwiększyć w, t . j . prędkość wypływu gazów, która dzisiaj, praktycznie biorąc, dochodzi do 2000.m/se~.
SPIS RZECZY.
C Z Ę Ś Ć P IE RW S Z A.
PRZEDMOWA
ERRATA . . .
.
III
VI
.
ROZDZIAŁ I. TEORIA WEKTORÓW.
I. Ddalanla na wektorach.
ł
1 . Okrrilenła w•tępae
1
I ia. W •pólrzęd.ne wektora
2
ł
3
4
3• Suma ł rótnłca wektorów
ł 4• Iloczyn wektora przez liczbę
ł 5. Współrzędne sumy ł iloczynu
ł 6. Rozkład ·wektora
. . . . . .
ł 7. Iloczyn skalarowy. Prawo rozdzielności.
ł
5
6
Prawo łączności. K wa.drat
wektora. Przedstawienie analityczne iloczynu ska.larowego . . . . .
8. Iloczyn wektorowy. Zmiana porządku czynników. Prawo łączności.
Prawo rozdzielności względem sumy. Współrzędne iloczynu wektorowego
ł
9• Iloczyn kilka wektorów . . . . . . . . . , . . , , . . . . . . . .
ł 10. Funkcje wektorowe. Granica. Ciągłość. Pochodna.. Funkcje wektorowe
wielu zmiennych
. . . . • . . • . • . . . • . . . . • . . . . . .
ł 11. Moment wektora. Moment wektora względem punktu. Moment ja.ko
iloczyn wektorowy. Moment sumy wektorów o wspólnym początku.
Współrzędne momentu. Moment wektora. względem prostej • . . . .
7
9
12
13
15
D. Układy wektorów.
ł 12. Moment ogólny układu wektorów
ł z3. Parametr
19
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł 14. Układy rówaowaiae.
Układy równoważne zeru.
Układ trv.ech wekto-
rów równoważny zeru . . . .- . • • . . . . . . . . . . • • .
f :15. Para. wektorów
. . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . .
ł 16. Redakcja układu wektorów. Twierdzenie o redukcji. Ta.belka .
ł 17. o, jrodkowa. Skrętnłk
. . . . . . .
. . . .• , . . . . . • .
ł 18. Środek wektorów równoległych . • •
• . • •
ł 19. Pneuatalceaia elem.eatanae akladu
. • • • .
• •
22
23
24
26
28
29
Spis rzeczy.
ROZD.ZIAŁ Il. KINEMATYKA PUNKTU.
I. Ruch względem. układu odnłesłen.la.
§
§
§
§
§
1.
Czas
. . . . . . . .
32
32
2. Układ odnłesłenła
3. Ruch punktu
4. Wykres ruchu . .
5. Prędkość. Prędkość jako pochodna drogi
§ 6. Przyśpieszenie. Ruch jednostajny prostolinijny. Hodograf
§ 7, Rozkład przyśpieszenia na styczne i normalne. Ruch po torze płaskim.
Ruch po torze przestrzennym. Ruch jednostajny. Ruch jednostajnie
.... ... ... .. .
§ 8. Prędkość ł przyśpieszenie lultowe. Wektor prędkości kątowej • . • .
przyśpieszony. Ruch po cykloidzie
§ 9. Ruch płaskl w układzie biegunowym.
. . . . . . . . . . .
§ 10. Prędkość polowa
. . . . . . . . . . . . . . . , . . . . .
§ 11. Wym.łary włelkośd kinematycznych. Ogólne określenie wymiaru. Wy-
znaczanie wymiaru.
'
. ......... . .... .. . . ... .
33
34
3436 ,
40
45
46
47
49
D. Zmiana układu odniesienia.
§ 12. Związek m.łędzy wspólrzędnym.ł. Ruch po linii śrubowej .
§ 13. Z~ek m.łędzy prędkoścłaml . . , . . . . . · . , . . .
§ 14. Zwbp]d m.łędzy pnyśpleszenłam.i. Przyśpieszenie Coriolisa
§ 15. Wyznaczanie ruchu względnego. Ruch względem punktu
53
56
59
66
ROZDZIAL Ili. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO.
I. Dynam.łka pllllktu swobodnego.
inercjalny, czas bezwzględny.
Masa i siła. Punkt materialny . . . . . · . . . . . . . • . . . . . .
§ . 2. Prawa dyn•mhcl Newtona. Prawa ruchu. Równowaga punktu i sił. Siła
bezwładności. Zasada d'Alemberta . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 3. Układy Jednostek dynam.łcznych. U kład fizyczny cg s. Mierzenie mas
i sił. Układ techniczny jednostek. ,vymiary wielkości dynamicznych.
§
§
§
§
§
§
§
1. Podstawowe
pojęcia .dynamiki.
U kład
4. Równania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Ruch pod wpływem słly cłężko6cł. Rzut pionowy. Rzut ukośny
6. Ruch w ośrodku stawiającym op6r. Rzut pionowy. Rzut ukośny
7. Moment łlośd ruchu. Za~ada za.chowania p~l .
. . . . . . .
8. Ruch boclkowy. Wzór Bineta . . . . . . . ,
, . . . . . .
9. Ruchy planet. Prawa Keplera. ·w nioski z praw Keplera. Prawo ogól-
70
72
75
78
81
83
85
86
nego ciążenia. Masa ziemi. Równanie Keplera . . . • . . . . . . . .
§ 10. Praca. Siła stała.. Siła zmienna. Praca sumy !iii. Wymiar i je<lnm1tki
89
pracy . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 11. Pole •U potencjalne, 'Satężenie pola. Linie sił. Określenie pola poten-
93
cjalnego. Potencjał. ·wymiar potencjału. Związek mi~dzy Rił:! a potencjałem. Powierzchni~ potencjalne . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Spis rzeczy.
ł 12. Przykłady pól potencjalnych.
Pole stale.. Polo ~rodkowe rz,di l't'll·
tralne. Pole grawitacyjne Xewtonowskie. Pole osiowe. ~num pól iwtPncjalnych . . . • • . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
,§ 13. Energia kinetyczna i pote.:..cjalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
ł 14. Ruch punktu przy~ganego przez masę nieruchomą. Ruch po krzywej
rzędu drugiego. Ruch po linii prostej
. . . . . . . . . . . . . . . lOi
§ 15. Ruch harmoniczny. Ruch harmoniczny prosty. Tabeika położenia,
prędkości i przyśpieszenia punktu. Ruch harmoniczny plaski. Ruch
harmoniczny tłumiony. Ruch harmoniczny wymu>Jzony. Krzywe Lissajous . . . . . • . . . . . . . .
... ..
. . . . . . 111
ł 16. Warunki równowagi w polu sil.
Równowaga stała: Twierdzenie
Dirichleta . . . . . . . . . . . .
120
.
.
.
n. DynamłL·a punktu nieswobodnego.
§ 17. R6wDania ruchu. Reakcja. J'nergia kinetyczna
. . . . . . . . 123
Ruch po krzywej płaskiej.
Ruch po krzywej przestrzenneJ. Ruch punktu nieswobodnego ciężkiego. 125
ł i:9. Ruch punktu nieswobodnego po powierzchni. . .
. . . . . . . 129
§ u. W•b•clło matematyczne . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 131
ł .u . Równowaga punktu nieewoboclnego. Równowaga stała. Równowaga
w polu potencjalnym . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 133
ł ..S. Ruch punktu nieswobodnego po krzywej.
m. Dynamika ruchu względnego.
,
§ u. Prawa ruchu
137
Ruch postępowy układu. Ruch obrotowy układu . . 138
ł 2f, Ró~waga względna. Równowaga względna w układzie poruszającym
się ruchem postępowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 142
§25. Rach względem ziemi. Siła ciężkości. ·wielkość i kierunek przycią­
gania ziemi. Siła Coriolisa. Zboczenie na wschód przy spadku. Wahadło
146
Foucaulta • . . . . . • . . • . . • . . . . . • •
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł 23. Przykłady ruchu.
.. . ... . .
ROZDZ I AL IV. GEOMETRIA MAS.
I. U~dy punktów.
ł 1. M~me.nty atatyczne. .Moment statyczny punktu. Moment statyczny
układu punktów
. . • . . • . , • . • • • •
. • • . • • . . . . 153
ł 2.
Środek maay. Środek masy dwóch układów punktów. Układ płaski
punktów. Układ liniowy punktów. Środek masy dwóoh punktów..
f 3.
Momenty •topnia dnapego. Moment bezwładności. Moment zboczenia
f 4.
ności względem prostych i płaszczyzn równoległych • • • . • . . . .
Ellpaolda bezwlacbaołci. Owie bezwłacbaołci. Wyznaczanie osi bezwład-
ł 5.
Momellty kwadratowe układa pla•Jdeso
Układy punktów symetryczne
• • . • . . . • . . . . • • • • • • • 154
(dewiacji). Ramię bezwładności. Masa zredukowana. Momenty bezwład­
ności
. • • . . . :• • • • • . • • • • • .
159
• • •
183
. . . . . • . . . . , • • . 169
Spis rzeczy.
D. Bryły, powłenc:lmłe i Unie materialne.
f 6.
Gęstość. Obliczanie
masy. Powierzchnia materialna, linia materialna.
§ '7• Momenty •tatyczne ł bezwladnńd. Środek maay. Bryły, powierzchnie
i linie geometryćzne. Reguły Guldina. Momenty bezwładności i momenty zboczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • .
§ 8. Środki cięikołd niektórych linij, powłerzchnł i bryi. Linia łamana.
Łuk koła. Trójkąt. Trapez. Wielokąt. Wycinek koła. Odcinek kola.
Graniastosłup. Walec. Ostrosłup. Stożek . . . . . . . . . . . . . .
§ 9. Momenty bezwladno,d niektórych Unij, powłerzdmi ł bryi. Odcinek.
Prostokąt. Kwadrat. Trapez. Trójkąt. Równoległobok. Prostopadłościan.
Okrąg koła. Koło. Powierzchnia kuli. Kula. Walec obrotowy. Stożek
obrotowy . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . • . . • . • . • .
170
173
179
182:
ROZDZIAŁ V. UKI.ADY PUNKTÓW MATERIALNYCH.
i zewnętrzne.
Równowaga układu punktów. Zasada d'Alemberta. Układy nieswobodne.
Układ sztywny. Maszyna Atwooda. . . . . . . . . • . . • • • • . .
§ 2. Ruch środka ma•y. Własności kinematyczne środka ma,sy. Wypadkowa
sił ciężkości. Własności dynamiczne środka masy . . . . . . . . . .
§ 3. Moment ilośd ruchu. Kręt względem punktu. Kręt w ruchu postę'po.
wym. Kręt w ruchu względem środka masy. Kręt względem osi.
Dynamiczne własności krętu. Rucl!, w polu siły ciężkości. Obtót układu
około osi. Kręt w ruchu względnym
, . . • . . . . . . . . . . .
Ił· Praca i potencjał uklaclu pllllktów. Praca. Praca równa zeru. Potencjał
układu. Potencjał siły ciężkości. Potencjał sił wewnętrznych . . . . .
9 5. Energia kinetyczna układu pllllktów. Energia kinetyczna w ruchu postę­
powym. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym około osi. Twierdzenie
Koniga. Zasada równowartości pracy i energii kinetycznej. Energia
kinetyczna w ruchu względnym . . . . .
§ 6. Zagaclnłenłe dwóch ciał · . . . . . . . . .
1 '7• Zagadnienie n ciał, Zagadnienie trzech ciał
§ 1.
§ 8.
Równania . l'llch11.
Układy swobodne.
Ruch ciał o maaie zmiennej
Siły wewnętrzne
, . . . , . , .,
190·
198
202
211
218.
22522S:.
23 l
CZĘŚĆ
DRUGA.
ROZDZIAŁ VI. STATYKA CIAI.A SZTYWNEGO.
I. Ciało .woboclne.
I 1. Cłalo •stywae. Układy sztywne punktów materialnych
236
I 2. Słla. Punkt zaczepienia siły. Moment siły względem punktu. Moment siły
względem osi.
Równowaga sił .
.
.
• .
.
• • • • .
• • .
I 3. Hlpo~ riwaowasł .n
I 4- Pnebnalc:anłe akladów .n. Zmiana punktu zaczepienia siły. Prawo
składania i rozkładania sił. Układy równoważne.
236
239
Para sił. Redukcja
układu sił. Układ płaski sił. Układ równoległy sił. Siły ciężkości. Układy
par.
.
• .
.
.
.
• .
• • • • • • • . . . . . . . •
ł 5. Wanmld .róWDOWap .u. Postać analityczna warunków równowag.i .
Układ płaski sił . . .
. • . . . •
. . .
I 6. Grafoatatyka. Wielobok •znarowy. Składanie sił. Wielobok sznurowy.
Wypadkowa części układu . . . . . . . . .
. . . .
I 7. Niektóre za•toaowanla wieloboku ••~ego. Wyznaczanie reakcyj
w punktach podparcia. Wyznaczanie · momentu sił. Wyznaczanie
środka ciężkości i momentu statycznego figur płaskich
.
239
245
238
256
D. Cłalo nłeawoboclne.
I 8. Warllllld równowagi . . . . . .
. . . .
. 261
I 9. Reakcje cłal •tykaJllcych •łę. Reakcja normalna i styczna. Podpory.
Środek ciśnień. Reakcje nici .
f 10. Tarcie.
.
.
.
.
.
• .
.
.
·
.
.
.
.
.
.
.
262
271
§ 11. Warllllld równowagi nłe zawłeraJllce reakcjł. Ciało o punkcie nierucho-
mym. Ciało o osi nieruchomej. Ciało płasko prowadzone. Dźwignia.
Wyznaczanie reakcyj działających na oś nieruchomą .
274
I 12. Równowaga cłal cłężldch podpartych. Ciało podparte w dwóch punktach. Ciało podparte w n>2 punktach
• 282
f 13. Slly wewnętrzne .
. . .
. . .
288
m. Układy cłal.
f 14. Waranld równowagi.
.
.
.
.
.
.
290
§ 15. Układy prętów. Napięcia w prętach. Połączenia przegubowe. Układy
prętów. W aga dziesiętna
.
.
.
• . .
. . . . .
f 16. Kratownice. Kratownica płaska. Wyznaczanie napięć w kratownicy
przy pomocy rachunku. Wyznaczanie napięć w kratownicy przy
pomocy planów sił. Wyznaczanie napięć z pomocą przekrojów • .
I 17. R.ównowap U. cł,ildch. Łańcuch. Lina. Lina obciążona
292
298
306
Spis rzeczy.
ROZDZIAŁ VII.
§
1. Przesunięcie
KINEMATYKA CIAł..A SZTYWNEGO.
i obrót
ciała około
translacja. Obrót około osi.
osi.
Przesunięcie
rówuoleglc l'Zyli
.
310
§ 2. Przesunięcia punktów ciała w ruchu płaskim. Obrót około punktu.
I Twierdzenie Eulera. Ciało płasko prowadzone
313
punktów ciała. II Twicrdzeuie Eulera. Twierdzeuie
Chasle'a. Skręt • . .
315
§ 4. Ruch postępowy i ruch obrotowy około osi. Ruch postępowy. Ruch
obrotowy około osi. .
320
§ 3• Przesunięcia
§ 5. Rozmieszczenie prędkości w ciele sztywnym. Związki między prędkoś­
ciami punktów ciała. Prędkości punktów liuii pt ost<·j i płaszczyzny.
Ruch chwilowy ciała sztywnego
323
§ 6. Ruch chwilowy ~·laski. Wyznaczanie środka obrotu chwilowego. .
326
§ 7. Ruch chwilowy przestrzenny~ Obrót około punktu. Ruch chwilowy
w przypadku O!;ólnym. Prędkość unUF1ze11ia. 8kręt chwilowy. ·wyznaczanie ruchu ciała
332
§ 8. Toczenie I ślizganie. Linia i;rodków chwilowyd1. 8toiek o!!i chwilowych.
Powierzchnia osi środkowych .
339
§ 9• Składanie ruchów ciała. Dwa obroty rówuoczt!Ktie. :;kła.danie kilku obrotów równoczesnych. Ruch względny ciała. l'rcecr,,ja regularna . . . 343
§ IO. Przedstawienie analityczne ruchu ciała sztywnego. PrędkoAć chwilowa .
kątowa. Oś ~rodkowa. Ruch płaiłki. Kąty Eulora. Kąty Eulera w precesji
regularnej .
351
§ 11. Rozkład przyśpieszeń. Ruch płaski. Ruch w prze15trzeni
357
ROZDZIAŁ VIII.
§
1. Praca ł
DYNAMIKA CIAł..A SZTYWNEGO.
energia kinetyczna.
Wielkości
dynamiczne. Praca. ~nergia
kinetyczna .
Ruch środka masy. Zasada krętu. Zasada energii
kinetycznej. Zasada d' Alemberta. Ruch postępowy ciała.. Waruuki
równowagi. Reakcje ciał i:.tykających się. Praca tarcia.
§ 3. Obrót około osł atał~j. Maszyna Atwooda. Wahadło fizyczne. Wyznaczanie rea,kcji na OM ohrotu. Oś obrotu osią środkową bezwład­
ności. Środek uderzeń .
§ f• Ruch plaski. Ruch plaski figury płaskiej. Ruch pła.ski ciała. •
§ 5. Kręt. Kręt względem środka masy ciała lub względem jego punktu
nieruchomego. Pochodna krętu .
§ 6. Równania Eulera. Ruch ciała sztywnego swobodnego
§ 7. Obrót ciała około punktu bez clzialania all. Kręt i energia kinetyczna.
Obrót około punktu kulistego. Obrót około punktu, którego elipsoida
bezwładności jest elipsoidą obrotową. Wyznaczanie kątów Eulera.
Obrót ciała około punktu w przypadku ogólnym
§ 8. Obrót ciała cłężldego około punktu
. . . . . .
§
2. Równania
361
ruchu.
f· 9• Ruch kuli po plaazczyźnie
. . . . . . . . . . . .
§ 10. Głroekop Foucaulta. Ruch psi symetrii w · płaszczyźnie południka.
Ruch osi w płaszczyźnie poziomej
" . . . . .
365
375
3s-;
394
399
401
408
411
414
Spis ueczy.
ROZDZIAł-'
§ 1.
IX. ZASADA PRAC PRZYGOTOWANYCH.
Układy holonomiczne alderoaomiczne. Więzy obustronne. Więzy
jed-
nm1tron11e. :-,topie11 !ólwobocly ukhu.lu .
420
Punkt ua. powierzchni. Punkt na linii.
Uklacl,v holonomic·zuf' 8kleronomicznH. Więzy obustronne. Ciało sztywne
~wohmlne. Punkt unieruchomiony. U~ unieruchomiona.. Ruch figury
w pła14Z<'zyźnif'. Więzy jednostronne .
424
§ 3. Zaaada prac przygotowanych. Praca Jll'zygotowana. Ciało swobodne.
Ciało ma,jące punkt stały. Ciało płasko prowa<lzoue. Ciało mające oś
titałą. Ciało 1i1ająct> ~tal:} oś ~krętu. Śruba. Wyznaczanie napięć
w prętach kl'atownicy.
436
§ f• Wyznaczanie położenia równowagi w polu sU. Mnożniki Lagrange'a. 449
§ 5, Wapólrzędne uogólnione Lagrange'a. Parametry układu. Prze1mnięcia
1.rzygotowa11e. J>rat·i~ przygotowana. Siły uogólnione. Warunki rówHowagi. R11wnuwag,t w polu potencjalnym .
455
§ 11.
Przeaunięcia przygotowane,
ROZDZ[Ał-' X. DYNAMIKA UKŁADÓW HOLONOMICZNYCH.
§ 1.
§ 11,
§ 3.
Układy
470
4 72
holonomiczne
Układy anholonomiczne
Przeaunięcia
l'unkt na powierzchni. Punkt na linii.
Przykłady. Układy punktfrw. Wi.,pólrzędne uogólnione.
§ 4. Zaaada d'Alemberta. Rt,wnuwaga. sił. Zasada d' Alembt>rta.
§ 5.
§ 6.
§ 7•
przygotowane,
Praca i energia kinetyczna w układach slderonomicznych
Równania Lagrange•a. pierwszego rodzaju .
Równania Lagrange'a drugiego rodzaju. Równania Lagrange'a w polu
473
478
483
485
potencjaluym. Współrzędne cykliczne.. Ruch punktu na powierzchni
obrotowej. · \Vr;półrzędue biegunowe
488
§ 8. Równania kanoniczne Hamiltona. U kłady skleronomiczne
504
ROZDZIAŁ XI.
§ 1,
ZASADY WARIACYJNE MECHANIKI.
Wariacja bez wariacji czasu. Wariacja funkcji. Wariacja całki. Wa-
riacja pochodnej. Waria,cja funkcji złożonej. Układy punktów
510
Ruch rzeczywisty. Ruch porównawczy. Zasada
Hamiltorrn dla współrzędnych naturalnych. Zasada Hamiltona dla
wsp<>łrzQdnych uogólnionych. Zasada Hamiltona w polu potencjalnym. Układy holonomiczne skleronomiczne w polu potencjalnym
518
§ 3. Wariacja z wariacj'l czasu. Wariacja funkcji. Ck.łady punktów. ·w ariacja wraz z wariacji~ czasu całki . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
§ f• Zaaada Maupertuis (najmniejszego działania). Przekształcenie Holdera.
Postać og<>luiejsza za.sady Hamiltona. Zasada Maupertuis . . . . . . 534
§ ~.
Zasada Hamiltona,
DODATEK. R ównania różniczkowo zwyczajne rzędu drugiego o współczynnikach stałych . . . . .
541
SKOROWIDZ NA
. , , , , 644
chnika Łńdzka
Ble
·,." ka ~łO.~na
. .' . ., !A ,:~i '·'
-~ . - . :. -
··Nr.iw
· ~·- .· ....................
..·-·--···-...........
.__ _ _ _ _,,....
_ ....~. .. - ·
-~
;.
--J