Movimiento Forzado
ECUACIONES DIFERENCIALES MM -411
MODELO DEL MOVIMIENTO FORZADO
Cuando en un sistema masa-resorte hay una fuerza externa 𝑓𝑒 (𝑡)
(fuerza de excitación). Se le conoce como sistema con movimiento forzado.
Cuya ecuación diferencial es la siguiente:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
𝑚 2 +𝛽
+ 𝑘𝑥 = 𝑓𝑒 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Movimiento forzado con amortiguamiento
(𝛽 ≠ 0)
𝑑2 𝑥
𝑑𝑥
𝑚 2 +𝛽
+ 𝑘𝑥 = 𝑓𝑒 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
La solución general esta dada por una solución complementaria 𝑥𝑐 (𝑡) y una solución particular
𝑥𝑐 (𝑡)
𝑥 𝑡 = 𝑥𝑐 𝑡 + 𝑥𝑝 (𝑡)
Donde:
𝑥𝑐 𝑡 :Terrmino transitorio (porque lim 𝑥𝑐 𝑡 = 0)
𝑡→+∞
𝑥𝑝 (𝑡):Estado estable
Ejemplo grafico:
Ejemplo:
Se une una masa de 1 kg a un resorte con un amortiguador donde la
constante del resorte es 1 N y la constante de amortiguamiento 2
veces la velocidad instantánea. Si se aplica una fuerza de excitación
𝑓𝑒 𝑡 = 17Cos t, determine la posición y velocidad de la masa en
cualquier tiempo suponiendo que x(0)=0 m y x´(0)=0.
Solución
Observación
Termino transitorio 𝑥𝑐 𝑡 =
Note que lim 𝑥𝑐 𝑡 = 0, esto es que a medida pasa el tiempo solo se preserva el movimiento
𝑡→+∞
oscilatorio provocado por la fuerza externa.
Movimiento forzado sin amortiguamiento
(𝛽 = 0)
Se tiene un sistema masa-resorte donde 𝑚 = 5 𝑘𝑔 y 𝑘 = 20 𝑁 𝑚, que esta sometido a una
𝑓𝑒 𝑡 = 5𝐶𝑜𝑠 3𝑡 𝑁. Si el sistema tiene condiciones iniciales 𝑥 0 = 0.02 𝑚 𝑦 𝑣 0 = 0 𝑚 𝑠.
Determine:
a)
La posición velocidad y aceleración en cualquier tiempo.
b)
El periodo
c)
Los tiempos donde alcanza sus máximos y mínimos relativos.
Solución:
a)
b) El periodo seria el minimo común múltiplo de los periodos de las funciones dadas.
Como:
Note que Periodo de Cos 2t es 𝜋 y periodo de Cos 3t es
El minimo común múltiplo de 𝜋 y
Por lo que el periodo es 2𝜋
2𝜋
es 2𝜋
3
2𝜋
3
c)
c)
Grafica: