1. Considere la transferencia de calor unidimensional en una placa plana de 40 mm de espesor con una generación interna de 70 MW/π3 . La superficie izquierda y derecha de la placa se encuentran a una temperatura constante de 180 β y 140 β respectivamente, la placa está compuesta de un material con una conductividad térmica de 250 W/m K. Encuentre a) La función de distribución de temperatura en la placa plana π»(π) b) La ubicación en x de la temperatura máxima en (mm) c) La temperatura máxima en la placa (β) Si las condiciones de la placa plana cambian y se ve expuesta a un coeficiente de convección h=15 kW/π2 πΎ y 80 β de temperatura ambiente. Uniforme a ambos lados de la placa plana determine: d) La función de distribución de temperatura en la placa plana π»(π) e) La ubicación en x de la temperatura máxima en (mm) f) La temperatura máxima en la placa (β) g) Las Temperaturas de las Superficies π1 π¦ π2 (β) Estado Estable o Estacionario πΜ πππ π π π» )+ =π π π π π Cππ ππππππππóπ π π πππππ πΜ πππ π π π» )+∫ = π ππ π πΜ πππ π π» = πͺπ − π π π π ( ∫( π¬π« π³πππππ π π ππ π πππ ππ ∫ πΜ πππ ππ π π» + πͺππ + πͺπ = π»(π) = − π π π π Condiciones de Frontera (π»(π)) = π»π π»(π) = − (π»(π³)) = π»π πΜ πππ (π)π + πͺπ(π) + πͺπ = π»π π π πͺπ = π»π πͺπ = πππβ Condiciones de Frontera (π»(π³)) = π»π π»(π. ππ) = − π»(π. ππ) = − (ππ ππππ πΎ/ππ ) (π. ππ)π + πͺπ(π. ππ) + πͺπ = π»π (πππ πΎ/ππ²) π (ππ ππππ πΎ/ππ ) (π. ππ π)π + πͺπ(π. ππ π) + πππβ = πππβ (πππ πΎ/ππ²) π πͺπ = ππππ β/π π»(π) = −(π. π ππππ )ππ + πππππ + πππ Donde se encuentra π»πππ ?? πΜ πππ π π» = πͺπ − π=π π π π π π» = ππππ − (π. π π πππ )π = π π π π = π. ππππ π π = ππ. π ππ Vππ₯π¨π« ππ π»πππ ?? π»(π. ππππ) = −(π. π ππππ )(π. ππππ)π + ππππ(π. ππππ) + πππ = πππ. ππβ πππ. ππ β πππ β πππ β π = ππ. π ππ Si la placa plana se ve expuesta a un coeficiente de convección h=15 kW/π2 πΎ y 80 β de temperatura ambiente. Uniforme a ambos lados de la placa plana determine: Condiciones de Frontera πΜ = −π ππ» | = ππ (π»(π³) − π»∞π ) ππ π=π³ Simetría Térmica Balance de Energía πΈπππ − πΈπππ + π¬πππ = βπ¬π»éπππππ ππππ π¬Μπππ = π¬Μπππ En la pared hay una generación volumétrica uniforme de 70 MW/π3 , pero en condiciones de simetría térmica analizamos solo la mitad del volumen total a partir del plano central hacia una de sus superficies en este caso (L/2, L): πΜ πππ | π=π³/π πΜ πππ | π=π³/π = πΜ πππ = ππ (π»(π³, π) − π»∞π ) = (ππ π΄πΎ/ππ ) ∗ (π. ππ π) = π. π π΄πΎ/ππ π. π π΄πΎ/ππ = ππ (π»(π³) − π»∞π ) π. π π΄πΎ/ππ = (ππ ππΎ/ππ π²)(π»(π³) − ππβ) (π»(π³)) = πππ. ππβ Condiciones de Frontera Simetría Térmica πΜ πππ ππ» | = [πͺπ − (π. ππ)] = π ππ π=π³/π π πͺπ = ππ π πππ πΎ/ππ (π. ππ π) = ππππ β/π πππ πΎ/πβ π»(π³) = −(π. π ππππ )ππ + πππππ + πͺπ = πππ. ππβ πͺπ = πππ. ππβ π»(π) = −(π. π ππππ )ππ + πππππ + πππ. ππ Donde se encuentra π»πππ ?? π = π. ππ π Vππ₯π¨π« ππ π»πππ ?? π»(π. ππ) = −(π. π ππππ )(π. ππ)π + ππππ(π. ππ) + πππ. ππ = πππ. ππβ πππ. ππ β πππ. ππ β πππ. ππ β π = ππ ππ Ejercicio 2. La figura EX-IM414-2(a) Ilustra un motor construido con devanados que rodean un polo de hierro. Se le ha pedido que estime la temperatura máxima que ocurrirá dentro de los devanados; los devanados y los polos se aproximan como cilíndricos, como se muestra en La figura EX-IM414-2(b) Los devanados son un compuesto complicado formado por conductores de cobre, aislamiento y aire que llena los espacios entre los cables adyacentes. Sin embargo, en la mayoría de los modelos, los devanados están representados por un sólido con propiedades equivalentes que dan cuenta de esta estructura subyacente. Por lo tanto, puede considerar que los devanados de la figura EX-IM414-2(b) son sólidos. La corriente eléctrica en los devanados provoca una disipación óhmica que se puede modelar como una tasa de generación volumétrica uniforme de ππππ = 1π₯106 W/m3. La conductividad de los devanados es k = 1.0 W/m-K. El radio interior de los devanados es r_in = 1.0 cm y el radio exterior es r_ext = 2.0 cm. Los devanados tienen L = 2.0 cm de largo y se puede suponer que las superficies superior e inferior están aisladas de modo que la temperatura en los devanados varía sólo en la dirección radial. El polo del estator es conductor y se enfría externamente; por lo tanto, puede suponer que el diente del estator tiene una temperatura uniforme de T_polo = 50°C. Desprecie cualquier resistencia de contacto entre el radio interior del devanado y el polo; por lo tanto, la temperatura de los devanados en r = rin es Tpole. El radio exterior de los devanados está expuesto a aire a Tair = 25°C con un coeficiente de transferencia de calor de h = 25 W/m2-K. a.) Deduzca la ecuación diferencial gobernante para la temperatura dentro de los devanados (es decir, la ecuación diferencial que es válida desde r_in < r < r_ext). Debería terminar con una ecuación diferencial ordinaria para T(r) en términos de los símbolos proporcionados en el enunciado del problema. Muestre claramente sus pasos en el planteamiento del análisis, que deben incluir: 1. definir un volumen de control diferencialmente pequeño, 2. Un balance de energía en el volumen de control, 3. Expanda los términos r + dr en su balance de energía y tome el límite como dr → 0, 4. Sustituya las ecuaciones de tasa de transferencia de calor (Ley de Fourier) en su balance de energía. 5. Encuentre la temperatura máxima y la posición en r 6. Grafique el perfil de temperatura en el devanado para r_in < r < r_ext (Con 3 puntos es suficientes) Coordenadas Cilíndricas en Estado Estacionario π π ππ» π π ππ» π ππ» (ππ ) + π (ππ )+ (ππ ) + πΜ πππ = π π ππ ππ π ππ ππ ππ ππ πππ ππππππππóπ π π πππππ Coordenadas Cilíndricas Unidimensional en Estado Estacionario πΜ πππ π π ππ» (π ) + =π π ππ ππ π π π ππ» (ππ ) + πΜ πππ = π π ππ ππ =π πΜ πππ π π π π» (π ) = − π π π π π ∫ =π πΜ πππ π πͺπ π π» =− + π π ππ π ∫ πΜ πππ π π π π» (π ) = ∫ − π π π π π πΜ πππ π πͺπ π π» = ∫− + π π ππ π π πΜ πππ ππ π π» =− + πͺπ π π ππ π»(π) = − πΜ πππ ππ + πͺπ ππ(π) + πͺπ ππ πππππóπ π π π«πππππππππóπ π π π»ππππππππππ Condiciones de Frontera Frontera en πππ π»(πππ ) = − πΜ πππ πππ π + πͺπ ππ(πππ ) + πͺπ = π»ππππ ππ π»(πππ ) = − πΜ πππ πππ π + πͺπ ππ(πππ ) + πͺπ = ππβ ππ Frontera en ππππ πΈΜ = −ππ¨ π π» | = ππ¨(π»(ππππ ) − π»∞ ) π π π=ππππ πΜ πππππππ πͺπ πΜ πππ ππππ π πΈΜ = −πππ ππππ π³ [− + ] = πππ ππππ π³ [− + πͺπ ππ(ππππ ) + πͺπ − π»∞ ] ππ πΜ = −π [− ππππ ππ πΜ πππππππ πͺπ πΜ πππππππ π + ] = π [− + πͺπ ππ(ππππ) + πͺπ − π»∞ ] ππ ππππ ππ πͺπ = πΜ πππ ππππ [ π ππππ πͺπ π + − πͺπ ππ(ππππ ) + π»∞ ]− ππ ππ ππππ π Sustituimos π»(πππ ) = − πΜ πππ πππ π + πͺπ ππ(πππ ) + πͺπ = ππβ ππ π»(πππ ) = − πΜ πππ πππ π π ππππ πͺπ π + πͺπ ππ(πππ ) + πΜ πππ ππππ [ + − πͺπ ππ(ππππ ) + π»∞ = ππβ ]− ππ ππ ππ ππππ π π»(πππ ) = πͺπ [ππ ( πͺπ = πππ π π ππππ πππ π )− ] = ππβ − π»∞ − πΜ πππ (ππππ [ + ]− ) ππππ ππππ π ππ ππ ππ ππβ − π»∞ − πΜ πππ (ππππ [ π [ππ (π ππ ) − πππ π ππππ π π + ] − ππ ) ππ ππ ππ π ] ππππ π ππβ − ππβ − (πππππ ) ((π. ππ) [ πͺπ = π. ππ π [ππ (π. ππ) − ] (π. ππ)(ππ) πͺπ = ππβ + π»(π) = − πͺπ = πππ. π πΜ πππ πππ π − πͺπ ππ(πππ ) = πππ. ππ ππ πΜ πππ ππ + πππ. πππ(π) + πππ. ππ ππ π»(π)πππ = π π» πΜ πππ π πͺπ − + =π π π ππ π π»(π)πππ = − =π (π. ππ) (π. ππ)π π + ) ]− π(ππ) π(π) π(π) πππππóπ π π π«πππππππππóπ π π π»ππππππππππ π·πππππππππ πππͺπ π(π)(πππ. π) π=√ =√ πΜ πππ (πππππ ) πΜ πππ ππππ π + πππ. πππ(ππππ ) + πππ. ππ ππ ππππ = π. πππππ π ππππ = π. πππ ππ π»(π)πππ = ππ. ππβ
