기하
많은 학생들은 왜 개념원리로 공부할까요?
정확한 개념과 원리의 이해,
수학의 비결
개념원리에 있습니다.
개념원리수학의 특징
01
하나를 알면 10개, 20개를 풀 수 있고 어려운 수학에 흥미를 갖게 하여 쉽게 수학을 정
복할 수 있습니다.
02
나선식 교육법을 채택하여 쉬운 것부터 어려운 것까지 단계적으로 혼자서도 충분히 공
부할 수 있도록 하였습니다.
03
페이지마다 문제를 푸는 방법과 틀리기 쉬운 부분을 체크하여 개념원리를 충실히 익히
도록 하였습니다.
04
전국 주요 학교의 중간·기말고사 시험 문제 중 앞으로 출제가 예상되는 문제를 엄선
수록함으로써 어떤 시험에도 철저히 대비할 수 있도록 하였습니다.
이 책을 펴내면서
수험생 여러분!
수학을 어떻게 하면 잘 할 수 있을까요?
이것은 과거에나 현재나 끊임없이 제기되고 있는 학생들의 질문이며 가장 큰 바람입니다.
그런데 안타깝게도 대부분의 학생들이 공부는 열심히 하지만 성적이 오르지 않아서 흥미
를 잃고 중도에 포기하는 경우가 많이 있습니다.
수학 공부를 더 열심히 하지 않아서 그럴까요? 머리가 나빠서 그럴까요? 그렇지 않습니다.
그것은 공부하는 방법이 잘못되었기 때문입니다.
새 교육과정은 수학적 사고를 기르는 데 초점을 맞추고 있고 현재 출제 경향은 단순한 암기
식 문제 풀이 위주에서 벗어나 근본적인 개념과 원리의 이해를 묻는 문제와 종합적이고 논
리적인 사고력, 추리력, 응용력을 요구하는 복잡한 문제들로 바뀌고 있습니다.
따라서 개념원리수학은 단순한 암기식 문제 풀이가 아니라 개념원리에 의한 독특한 교수
법으로 사고력, 응용력, 추리력을 배양하도록 제작되어 생각하는 방법을 깨칠 수 있게 하
였습니다.
이 책의 구성에 따라 인내심을 가지고 꾸준히 공부한다면 학교 내신 성적은 물론 다른 어
떤 시험에도 좋은 결실을 거둘 수 있으리라 확신합니다.
구성과 특징
Ⅰ 이차곡선
01 개념원리 이해
1. 이차곡선
01
포물선의 방정식
1. 이차곡선
개념원리 이해
각 단원마다 중요한 개념과 원리를 정확히 이해하
1. 포물선
필수예제 1, 4
평면 위의 한 점 F와 이 점을 지나지 않는 한 직선 l이 주어질 때, 점 F
고 쉽게 응용할 수 있도록 정리하였습니다.
l
H
와 직선 l에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다.
P
꼭짓점
이때 점 F를 포물선의 초점, 직선 l을 포물선의 준선, 포물선의 초점 F
초점
A F
를 지나고 준선 l에 수직인 직선을 포물선의 축, 포물선과 축의 교점을
축
준선
꼭짓점이라 한다.
① 포물선은 축에 대하여 대칭이다.
② 포물선의 정의에 의하여 포물선 위의 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같다.
⇨ PFÓ=PHÓ
2. 포물선의 방정식
포물선
방정식
필수예제 1~3, 6
초점이 F(p, 0), 준선이 x=-p인 포물선
yÛ`=4px (단, p+0)
y
p>0
초점이 F(0, p), 준선이 y=-p인 포물선
xÛ`=4py (단, p+0)
p>0
yÛ =4px
y
xÛ =4py
F(0, p)
-p O F(p, 0) x
⇨ 왼쪽으로 볼록한 포물선
y
p<0
x
y=-p
O
-p
x=-p
그래프
⇨ 아래로 볼록한 포물선
p<0
yÛ =4px
y
-p
O
F(p, 0) O -p x
y=-p
x
F(0, p)
x=-p
⇨ 오른쪽으로 볼록한 포물선
초점의 좌표
준선의 방정식
꼭짓점의 좌표
축의 방정식
F(p, 0) Û x축 위에 있음
x=-p Û y축에 평행
(0, 0) Û 원점
y=0`(x축)
xÛ =4py
⇨ 위로 볼록한 포물선
F(0, p) Û y축 위에 있음
y=-p Û x축에 평행
(0, 0) Û 원점
x=0`(y축)
10 Ⅰ. 이차곡선
02 개념원리 익히기
학습한 내용을 확인하기 위한 쉬운 문제로 개념과
개념원리
1
익히기
다음은 초점이 F(3, 0)이고 준선이 x=-3인 포물선의 방정식을 구하는 과
정이다.  안에 알맞은 것을 써넣으시오.
초점이 F(3, 0)이고 준선이 x=-3인 포물선의 방정식을 yÛ`=4px라 하
원리를 정확히 이해할 수 있도록 하였습니다.
면 p=
생각해 봅시다!
초점이 F(p, 0)이고 준선
이 x=-p인 포물선의 방
정식
⇨ yÛ`=4px (단, p+0)
이므로 구하는 포물선의 방정식은
yÛ`=
2
다음 포물선의 방정식을 구하시오.
⑴ 초점이 F{;6!;, 0}이고 준선이 x=-;6!;인 포물선
⑵ 초점이 F(0, -1)이고 준선이 y=1인 포물선
3
다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시
오.
4
⑴ yÛ`=x
⑵ yÛ`=-8x
⑶ xÛ`=4y
⑷ xÛ`=-12y
포물선 yÛ`=-6x를 x축의 방향으로 ;2!;만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행
이동한 포물선의 방정식을 구하고, 초점의 좌표와 준선의 방정식을 각각 구하
시오.
포물선 yÛ`=4px를 x축의
방향으로 m만큼, y축의 방
향으로 n만큼 평행이동한
포물선의 방정식
⇨ (y-n)Û`=4p(x-m)
1. 이차곡선
13
03 필수예제
01 포물선의 방정식
필수예제
더 다양한 문제는 RPM 기하 10쪽
다음 조건을 만족시키는 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구하시오.
⑴ 점 F{;2!;, 0}과 직선 x=-;2!;로부터 같은 거리에 있는 점 P
필수예제에서는 꼭 알아야 할 문제를 수록하여
⑵ 점 F(0, -4)와 직선 y=4로부터 같은 거리에 있는 점 P
⑴ 점 P가 나타내는 도형은 초점이 F{;2!;, 0}이고 준선이 x=-;2!;인 포물선이므로
풀이
학교 내신과 수능에 대비하도록 하였습니다.
yÛ`=4px라 하면 p=;2!;
∴ yÛ`=2x
⑵ 점 P가 나타내는 도형은 초점이 F(0, -4)이고 준선이 y=4인 포물선이므로
xÛ`=4py라 하면 p=-4
∴ xÛ`=-16y
⑴ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하고, 점 P에서 직선 x=-;2!;에 내린 수선의 발을
다른풀이
y
H라 하면 PFÓ=PHÓ이므로
H
¾¨{x-;2!;}Û`+yÛ`=|x-{-;2!;}|
-;2!;
양변을 제곱하여 정리하면 yÛ`=2x
P(x, y)
O
F{;2!;, 0}
x
x=-;2!;
⑵ 점 P의 좌표를 (x, y)라 하고, 점 P에서 직선 y=4에 내린 수선의 발
y
"ÃxÛ`+(y+4)Û`=|y-4|
확인체크

한 점과 이 점을 지나지 않는 한 직선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합 ⇨ 포물선

yÛ`=4px ⇨ 초점의 좌표: (p, 0), 준선의 방정식: x=-p

xÛ`=4py ⇨ 초점의 좌표: (0, p), 준선의 방정식: y=-p
5
확인
체크
y=4
x
O
F(0, -4)
KEY
Point
H
4
을 H라 하면 PFÓ=PHÓ이므로
양변을 제곱하여 정리하면 xÛ`=-16y
P(x, y)
다음 조건을 만족시키는 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구하시오.
⑴ 점 F(-5, 0)과 직선 x=5로부터 같은 거리에 있는 점 P
수학에서 충분한 연습은 필수! 직접 풀면서
⑵ 점 F{0, ;4#;}과 직선 y=-;4#;으로부터 같은 거리에 있는 점 P
실력을 키울 수 있도록 하였습니다.
6
준선이 x=-;2%;이고 꼭짓점이 원점인 포물선이 있다. 이 포물선이 점 (a, 10)을 지날 때,
a의 값을 구하시오.
14 Ⅰ. 이차곡선
04
연습문제·실력 UP
정답과 풀이 51쪽
연습문제
STEP
연습문제에서는 그 단원에서 알아야 할 핵심
1
1
생각해 봅시다!
꼭짓점의 좌표가 (0, 0)인 포물선이 점 (4, 2)를 지날 때, 이 포물선의 방정
식을 모두 구하시오.
적인 문제들을 풀어봄으로써 단계적으로 실력
2
을 키울 수 있도록 하였습니다.
실력 UP에서는 고난도 문제를 통하여 단 한 문
실력
36
제도 놓치지 않는 실력을 키울 수 있도록 하였
포물선
포물선 (y-3k)Û`=8k(x-k+1)의 초점이 y축 위에 있을 때, 이 포물선의
정답과 풀이 59쪽
(y-n)Û`=4p(x-m)
⇨ 초점: (p+m, n)
준선: x=-p+m
준선의 방정식을 구하시오. (단, k는 상수)
생각해 봅시다!
xÛ` yÛ`
y
오른쪽 그림과 같이 쌍곡선
- =1의 두 초점 xÛ`-2x-8y+b=0의
점 P(x, y)를 직선 y=x
두 포물선
꼭짓점이 직선
16 yÛ`+2ay-4x+9=0,
9
P(a, b)
두 점 P, Q가 원점에 대하
에 대하여 대칭이동한 점을
y=x에
때, 상수
구하시오.
을 각각 F, F'이라 하고,
제 1대하여
사분면대칭일
위에 있는
쌍 a, b에
F' 대하여 b-a의 값을 여
대칭이므로
3
곡선 위의 한 점 P(a, b)와 원점에 대하여 대칭인
O
Q
F
x
⇨ △PF'Fª△QFF'
P'이라 하면
⇨ P'(y, x)
점을 Q라 하자. 사각형 F'QFP의 넓이가 60일 때,
[ 평가원기출 ]
aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오.
초점이 F인 포물선 yÛ`=8x 위의 점 P(a, b)에 대하여 PFÓ=4일 때, a+b
습니다.
4
37
의 값은? (단, b>0)
①3
②4
③5
④6
쌍곡선 3xÛ`-4yÛ`=12 위의 임의의 점 P에서 이 쌍곡선의 두 점근선에 이르
⑤7
는 거리의 곱을 구하시오.
QR코드
어려운 문제에 QR코드를 제공하여 모바일
STEP
2
38
yÛ` 위의 서로 다른 세 점 A, B, C에서 준선까지의 거리의 합이
xÛ`xÛ`=12y
포물선
두 초점을 공유하는 타원
쌍곡선에서 쌍곡선의 한 점근선의
+ =1과
25 16
21일 때, 삼각형 ABC의 무게중심의 y좌표를 구하시오.
방정식이 y='3Œ5x일 때, 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 사이의 거리를 구하시오.
39
오른쪽 그림과 같이 포물선 yÛ`=kx 위의 한y 점 P에서
오른쪽 그림과 같이 두 초점이 F('3, 0),
x축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 P에서 포물선
F'(-'3, 0)이고 두 점근선이 이루는 각의 크기가
의 초점 F까지의 거리가 4이고 PFH=60ù일
O
F때,x
60ù인 쌍곡선의 방정식이 4xÛ`-pyÛ`=q일 때, 상수 ∠ F'
60ù
양수 k의 값을 구하시오.
p, q에 대하여 p+q의 값을 구하시오.
기기로 동영상 강의를 언제, 어디서든 쉽게
5
6
y
삼각형 PFH에서
직선이 Px축의 양의 방향과
FHÓ=PFÓ`cos`60ù
이루는 각의60ù크기를 h라 하
면
x
O F H
⇨ (기울기)=tan`h
yÛ =kx
들을 수 있도록 하였습니다.
40
[ 평가원기출 ]
yÛ`
xÛ`
- =1의 두 초
16
9
점을 F, F'이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 P를 중
오른쪽 그림과 같이 쌍곡선
심으로 하고 선분 PF'을 반지름으로 하는 원을 C
라 하자. 원 C 위를 움직이는 점 Q에 대하여 선분
C
P
F'
Q
y xÛ
yÛ
;16;-;9;=1
O
F
1. 이차곡선
x
FQ의 길이의 최댓값이 14일 때, 원 C의 넓이는?
(단, PÕF'Ó<PFÓ)
① 7p
② 8p
③ 9p
④ 10p
⑤ 11p
1. 이차곡선
49
19
차례
Ⅰ
이차곡선
1. 이차곡선
01 포물선의 방정식
10
연습문제
19
02 타원의 방정식
21
연습문제
32
실력 UP
34
03 쌍곡선의 방정식
35
연습문제
47
실력 UP
49
2. 이차곡선과 직선
01 이차곡선과 직선의 위치 관계
연습문제
02 포물선의 접선의 방정식
연습문제
03 타원의 접선의 방정식
연습문제
04 쌍곡선의 접선의 방정식
52
55
56
63
65
72
74
특강 음함수의 미분법과 이차곡선의 접선
77
연습문제
82
Ⅱ
평면벡터
1. 벡터의 연산
01 벡터의 뜻
86
02 벡터의 덧셈과 뺄셈
90
연습문제
96
03 벡터의 실수배
98
연습문제
107
실력 UP
109
2. 평면벡터의 성분과 내적
01 위치벡터
112
특강 OP³=mOA³+nOB³를 만족시키는
점 P의 자취
연습문제
02 평면벡터의 성분
연습문제
03 평면벡터의 내적
114
119
120
129
131
특강 평면벡터의 내적을 이용한 삼각형의 넓이 140
04 평면벡터의 내적과 수직, 평행
141
연습문제
143
실력 UP
145
05 직선의 방정식
146
06 두 직선이 이루는 각의 크기
152
07 원의 방정식
156
연습문제
158
차례
Ⅲ
공간도형과
공간좌표
1. 공간도형
01 직선과 평면의 위치 관계
162
02 직선과 평면의 평행
167
연습문제
170
03 직선과 평면의 수직
171
04 삼수선의 정리
175
05 두 평면이 이루는 각의 크기
178
연습문제
06 정사영
181
183
연습문제
190
실력 UP
192
2. 공간좌표
01 공간에서의 점의 좌표
194
02 두 점 사이의 거리
199
연습문제
03 선분의 내분점과 외분점
204
206
연습문제
211
04 구의 방정식
212
특강 두 구의 위치 관계
215
연습문제
222
실력 UP
224
Ⅰ
이차곡선
1. 이차곡선
2. 이차곡선과 직선
01
포물선의 방정식
1. 이차곡선
개념원리 이해
1. 포물선
필수예제 1, 4
평면 위의 한 점 F와 이 점을 지나지 않는 한 직선 l이 주어질 때, 점 F
l
와 직선 l에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다.
H
P
꼭짓점
이때 점 F를 포물선의 초점, 직선 l을 포물선의 준선, 포물선의 초점 F
초점
A F
를 지나고 준선 l에 수직인 직선을 포물선의 축, 포물선과 축의 교점을
축
준선
꼭짓점이라 한다.
① 포물선은 축에 대하여 대칭이다.
② 포물선의 정의에 의하여 포물선 위의 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같다.
⇨ PFÓ=PHÓ
2. 포물선의 방정식
필수예제 1~3, 6
포물선
초점이 F(p, 0), 준선이 x=-p인 포물선
초점이 F(0, p), 준선이 y=-p인 포물선
방정식
yÛ`=4px (단, p+0)
xÛ`=4py (단, p+0)
p>0
y
p>0
yÛ =4px
y
xÛ =4py
F(0, p)
-p O F(p, 0) x
O
-p
x=-p
그래프
⇨ 왼쪽으로 볼록한 포물선
y
p<0
⇨ 아래로 볼록한 포물선
p<0
yÛ =4px
F(p, 0) O -p x
x
y=-p
y
-p
O
y=-p
x
F(0, p)
x=-p
⇨ 오른쪽으로 볼록한 포물선
초점의 좌표
준선의 방정식
꼭짓점의 좌표
축의 방정식
10 Ⅰ. 이차곡선
xÛ =4py
⇨ 위로 볼록한 포물선
F(p, 0) Û x축 위에 있음
F(0, p) Û y축 위에 있음
(0, 0) Û 원점
(0, 0) Û 원점
x=-p Û y축에 평행
y=0`(x축)
y=-p Û x축에 평행
x=0`(y축)
① 포물선 yÛ`=4px는 p>0이면 x¾0이므로 y축의 오른쪽에 있고, p<0이면 xÉ0이므로
y축의 왼쪽에 있다.
② 포물선 xÛ`=4py는 p>0이면 y¾0이므로 x축의 위쪽에 있고, p<0이면 yÉ0이므로
x축의 아래쪽에 있다.
③ 포물선 xÛ`=4py는 포물선 yÛ`=4px를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것이다.
x
O
④ 포물선 xÛ`=4py는 이차함수 y=;4Áp;xÛ`의 그래프와 같다.
설명
y
xÛ =4py
y=x
yÛ =4px
⑴좌표평면에서 점 F(p, 0)(p+0)을 초점으로 하고 직선 x=-p를 준선으로 하는 포
y
H
물선의 방정식을 구해 보자.
P(x, y)
포물선 위의 점 P(x, y)에서 준선 x=-p에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H의 좌
표는 (-p, y)이다.
포물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ이므로 "Ã(x-p)Û`+yÛ`=|x+p|
양변을 제곱하여 정리하면
-p O
F(p, 0) x
x=-p
yÛ`=4px yy`㉠
역으로 방정식 ㉠을 만족시키는 점 P(x, y)에 대하여 PFÓ=PHÓ이므로 점 P는 초점이 F(p, 0)이고 준선이
x=-p인 포물선 위에 있다.
⑵같은 방법으로 점 F(0, p)(p+0)를 초점으로 하고 직선 y=-p를 준선으로 하
y
는 포물선의 방정식은
F(0, p)
xÛ`=4py
O
y=-p -p
P(x, y)
x
H
다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.
예
⑴ yÛ`=-12x
풀이
⑵ xÛ`=2y
⑴ yÛ `=-12x=4_(-3)x이므로 p=-3
yÛ =-12x y
따라서 초점의 좌표는 (-3, 0), 준선의 방정식은 x=3이고, 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
-3
O
3
x
x=3
⑵ xÛ`=2y=4_;2!;y이므로 p=;2!;
따라서 초점의 좌표는 {0, ;2!;}, 준선의 방정식은 y=-;2!;이고, 그래프
는 오른쪽 그림과 같다.
3. 포물선의 평행이동
y
xÛ =2y
;2!;
O
x
-;2!;
y=-;2!;
필수예제 2, 3
⑴포물선 yÛ`=4px를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 포물선의 방
정식은 (y-n)Û`=4p(x-m)
⑵포물선 xÛ`=4py를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 포물선의 방
정식은 (x-m)Û`=4p(y-n)
1. 이차곡선
11
개념원리 이해
① 방정식 f(x, y)=0이 나타내는 도형을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 도형의 방정식은
⇨ f(x-m, y-n)=0
②
포물선의 방정식
(y-n)Û`=4p(x-m)
(x-m)Û`=4p(y-n)
y
(y-n)Û =4p(x-m)
O
F(p+m, n)
m
(x-m)Û =4p(y-n)
F(m, p+n)
xÛ =4py
n
그래프
y
yÛ =4px
n
x
O
m
초점의 좌표
(p+m, n)
(m, p+n)
준선의 방정식
x=-p+m
y=-p+n
꼭짓점의 좌표
(m, n)
(m, n)
축의 방정식
y=n
x=m
x
포물선 (y-3)Û`=4(x+1)은 포물선 yÛ`=4x를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로
예
3만큼 평행이동한 것이다.
포물선 yÛ`=4x의 초점의 좌표는 (1, 0)이고 준선의 방정식은 x=-1이므로
포물선 (y-3)Û`=4(x+1)의 초점의 좌표는 (1-1, 0+3), 즉 (0, 3)이고
준선의 방정식은 x=-1-1, 즉 x=-2이다.
4. 포물선의 방정식의 일반형
필수예제 3, 5
평행이동한 포물선의 방정식을 전개하여 정리하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.
⑴ 축이 x축에 평행한 포물선의 방정식
⇨ yÛ`+Ax+By+C=0 (단, A, B, C는 상수, A+0)
⑵ 축이 y축에 평행한 포물선의 방정식
Û xy항이 없고, y에 대하여 이차, x에 대하여 일차인 식
⇨ xÛ`+Ax+By+C=0 (단, A, B, C는 상수, B+0)
Û xy항이 없고, x에 대하여 이차, y에 대하여 일차인 식
설명
⑴ 축이 x축에 평행한 포물선의 방정식 (y-n)Û`=4p(x-m)을 전개하여 정리하면
yÛ`-4px-2ny+4pm+nÛ`=0
이때 -4p=A, -2n=B, 4pm+nÛ`=C로 놓으면
yÛ`+Ax+By+C=0 (단, A+0)
즉, xy항이 없고, y에 대하여 이차, x에 대하여 일차인 식으로 나타내어진다.
⑵ 같은 방법으로 축이 y축에 평행한 포물선의 방정식 (x-m)Û`=4p(y-n)을 전개하여 정리하면
xÛ`+Ax+By+C=0 (단, B+0)
즉, xy항이 없고, x에 대하여 이차, y에 대하여 일차인 식으로 나타내어진다.
12 Ⅰ. 이차곡선
개념원리
1
익히기
다음은 초점이 F(3, 0)이고 준선이 x=-3인 포물선의 방정식을 구하는 과
정이다.  안에 알맞은 것을 써넣으시오.
초점이 F(3, 0)이고 준선이 x=-3인 포물선의 방정식을 yÛ`=4px라 하
면 p=
생각해 봅시다!
초점이 F(p, 0)이고 준선
이 x=-p인 포물선의 방
정식
⇨ yÛ`=4px (단, p+0)
이므로 구하는 포물선의 방정식은
yÛ`=
2
다음 포물선의 방정식을 구하시오.
⑴ 초점이 F{;6!;, 0}이고 준선이 x=-;6!;인 포물선
⑵ 초점이 F(0, -1)이고 준선이 y=1인 포물선
3
다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시
오.
4
⑴ yÛ`=x
⑵ yÛ`=-8x
⑶ xÛ`=4y
⑷ xÛ`=-12y
포물선 yÛ`=-6x를 x축의 방향으로 ;2!;만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행
이동한 포물선의 방정식을 구하고, 초점의 좌표와 준선의 방정식을 각각 구하
시오.
포물선 yÛ`=4px를 x축의
방향으로 m만큼, y축의 방
향으로 n만큼 평행이동한
포물선의 방정식
⇨ (y-n)Û`=4p(x-m)
1. 이차곡선
13
필수예제
01 포물선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 10쪽
다음 조건을 만족시키는 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구하시오.
⑴ 점 F{;2!;, 0}과 직선 x=-;2!;로부터 같은 거리에 있는 점 P
⑵ 점 F(0, -4)와 직선 y=4로부터 같은 거리에 있는 점 P
⑴ 점 P가 나타내는 도형은 초점이 F{;2!;, 0}이고 준선이 x=-;2!;인 포물선이므로
풀이
yÛ`=4px라 하면 p=;2!; ∴ yÛ`=2x
⑵ 점 P가 나타내는 도형은 초점이 F(0, -4)이고 준선이 y=4인 포물선이므로
xÛ`=4py라 하면 p=-4 ∴ xÛ`=-16y
⑴점 P의 좌표를 (x, y)라 하고, 점 P에서 직선 x=-;2!;에 내린 수선의 발을
다른풀이
H라 하면 PFÓ=PHÓ이므로
¾¨{x-;2!;}Û`+yÛ`=|x-{-;2!;}|
양변을 제곱하여 정리하면 yÛ`=2x
y
H
-;2!;
P(x, y)
O
F{;2!;, 0}
x
x=-;2!;
⑵점 P의 좌표를 (x, y)라 하고, 점 P에서 직선 y=4에 내린 수선의 발
을 H라 하면 PFÓ=PHÓ이므로
"ÃxÛ`+(y+4)Û`=|y-4|
y
4
F(0, -4)
확인
체크

한 점과 이 점을 지나지 않는 한 직선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합 ⇨ 포물선

yÛ`=4px ⇨ 초점의 좌표: (p, 0), 준선의 방정식: x=-p

xÛ`=4py ⇨ 초점의 좌표: (0, p), 준선의 방정식: y=-p
5
y=4
x
O
양변을 제곱하여 정리하면 xÛ`=-16y
KEY
Point
H
P(x, y)
다음 조건을 만족시키는 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구하시오.
⑴ 점 F(-5, 0)과 직선 x=5로부터 같은 거리에 있는 점 P
⑵ 점 F{0, ;4#;}과 직선 y=-;4#;으로부터 같은 거리에 있는 점 P
6
준선이 x=-;2%;이고 꼭짓점이 원점인 포물선이 있다. 이 포물선이 점 (a, 10)을 지날 때,
a의 값을 구하시오.
14 Ⅰ. 이차곡선
필수예제
02 꼭짓점이 원점이 아닌 포물선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 11쪽
다음 포물선의 방정식을 구하시오.
⑴ 초점이 F(3, 4)이고 준선이 x=-2인 포물선
⑵ 초점이 F(1, -3)이고 준선이 y=1인 포물선
⑴주어진 포물선은 준선이 y축에 평행하므로 포물선의 방정식을 (y-n)Û`=4p(x-m)이라 하면
풀이
초점의 좌표는 (p+m, n), 준선의 방정식은 x=-p+m
따라서 p+m=3, n=4, -p+m=-2이므로 m=;2!;, n=4, p=;2%;
∴ (y-4)Û`=10{x-;2!;}
⑵주어진 포물선은 준선이 x축에 평행하므로 포물선의 방정식을 (x-m)Û`=4p(y-n)이라 하면
초점의 좌표는 (m, p+n), 준선의 방정식은 y=-p+n
따라서 m=1, p+n=-3, -p+n=1이므로 m=1, n=-1, p=-2
∴ (x-1)Û`=-8(y+1)
⑴포물선 위의 한 점을 P(x, y)라 하고 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을
다른풀이
H라 하면 포물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ이므로
"Ã(x-3)Û`+(y-4)Û`=|x-(-2)|
양변을 제곱하여 정리하면 (y-4)Û`=10{x-;2!;}
y
H
P(x, y)
F(3, 4)
x
-2 O
x=-2
⑵포물선 위의 한 점을 P(x, y)라 하고 점 P에서 준선에 내린 수선의 발
을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ이므로
"Ã(x-1)Û`+(y+3)Û`=|y-1|
양변을 제곱하여 정리하면 (x-1)Û`=-8(y+1)
y
1
H
O
x
P(x, y)
y=1
F(1, -3)
KEY
Point
확인
체크
포물선의 꼭짓점이 원점이 아닐 때
7

준선이 y축에 평행하면 ⇨ (y-n)Û`=4p(x-m)

준선이 x축에 평행하면 ⇨ (x-m)Û`=4p(y-n)
다음 포물선의 방정식을 구하시오.
⑴ 초점이 F(-2, 3)이고 준선이 x=4인 포물선
⑵ 초점이 F(4, -5)이고 준선이 y=-2인 포물선
8
초점이 F{;2#;, 2}이고 준선이 x=;2!;인 포물선이 x축과 만나는 점의 좌표를 구하시오.
1. 이차곡선
15
필수예제
03 포물선의 방정식의 일반형
더 다양한 문제는 RPM 기하 11쪽
다음 포물선의 초점의 좌표, 준선의 방정식, 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
⑴ yÛ`-8x-2y+17=0
⑵ xÛ`-10x-4y+21=0
⑴ 주어진 식에서 yÛ`-2y+1=8x-16 Û y에 대하여 완전제곱꼴로 변형
풀이
∴ (y-1)Û`=8(x-2)
이 포물선은 포물선 yÛ`=8x를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
이때 포물선 yÛ`=8x의
초점의 좌표는 (2, 0), 준선의 방정식은 x=-2, 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)
따라서 구하는 포물선의
초점의 좌표는 (4, 1), 준선의 방정식은 x=0, 꼭짓점의 좌표는 (2, 1)
⑵ 주어진 식에서 xÛ`-10x+25=4y+4 Û x에 대하여 완전제곱꼴로 변형
∴ (x-5)Û`=4(y+1)
이 포물선은 포물선 xÛ`=4y를 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.
이때 포물선 xÛ`=4y의
초점의 좌표는 (0, 1), 준선의 방정식은 y=-1, 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)
따라서 구하는 포물선의
초점의 좌표는 (5, 0), 준선의 방정식은 y=-2, 꼭짓점의 좌표는 (5, -1)
KEY
Point

포물선의 방정식의 일반형
⇨ x 또는 y에 대하여 완전제곱꼴로 변형한다.
확인
체크
9
다음 포물선의 초점의 좌표, 준선의 방정식, 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
⑴ yÛ`+2x-6y+11=0
10
⑵ 2y=;4!;xÛ`-x
포물선 xÛ`-4x-4py+4-4p=0의 초점의 좌표가 {2, -;2!;}일 때, 상수 p의 값을 구하시
오.
11
두 포물선 yÛ`-8x+8a=0, yÛ`+4x+4b=0의 초점이 서로 일치할 때, 상수 a, b에 대하
여 a+b의 값을 구하시오.
16 Ⅰ. 이차곡선
필수예제
04 초점과 포물선 위의 한 점이 주어진 포물선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 11쪽
초점이 F(3, 1)이고 점 (6, 5)를 지나며 준선이 y축에 평행한 포물선의 방정식을 모두
구하시오.
설명
준선의 방정식을 x=a라 하고 포물선의 정의를 이용한다.
풀이포물선 위의 한 점을 P(x, y), 준선의 방정식을 x=a라 하고 점 P에서 준선에
y
내린 수선의 발을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ이므로
H
"Ã(x-3)Û`+(y-1)Û`=|x-a|
F(3, 1)
양변을 제곱하면 (x-3)Û`+(y-1)Û`=(x-a)Û` yy`㉠
㉠이 점 (6, 5)를 지나므로 (6-a)Û`=25
6-a=5 또는 6-a=-5 ∴ a=1 또는 a=11
P(x, y)
O
a
x
x=a
때, ㉠에서 (x-3)Û`+(y-1)Û`=(x-1)Û`
Ú a=1일
∴ (y-1)Û`=4(x-2)
때, ㉠에서 (x-3)Û`+(y-1)Û`=(x-11)Û`
Û a=11일
∴ (y-1)Û`=-16(x-7)
필수예제
05 축이 x축 또는 y축에 평행한 포물선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 11쪽
축이 x축에 평행하고 세 점 (0, 0), (0, 2), (-1, 1)을 지나는 포물선의 방정식을 구하
시오.
풀이축이 x축에 평행하므로 구하는 포물선의 방정식을 yÛ`+Ax+By+C=0`(A, B, C는 상수, A+0)이
라 하자.
이 포물선은 세 점 (0, 0), (0, 2), (-1, 1)을 지나므로
C=0
yy`㉠
4+2B+C=0
yy`㉡
1-A+B+C=0 yy`㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 A=-1, B=-2, C=0 ∴ yÛ`-x-2y=0
확인
체크
12
초점이 F(4, -2)이고 점 (0, 1)을 지나며 준선이 x축에 평행한 포물선의 방정식을 모두
구하시오.
13
축이 y축에 평행하고 세 점 (0, 0), (4, 0), (2, -1)을 지나는 포물선의 초점의 좌표를 구
하시오.
1. 이차곡선
17
필수예제
06 포물선의 정의의 활용
더 다양한 문제는 RPM 기하 12, 13쪽
오른쪽 그림과 같이 점 A(8, 4)를 지나고 x축에 평행한 직선과 포
y
물선 yÛ`=8x의 교점을 P라 하고, 이 포물선의 초점을 F라 할 때,
yÛ =8x
P
A(8, 4)
APÓ+PFÓ의 값을 구하시오.
x
O F
y
포물선 yÛ`=8x=4_2x의 풀이
초점 F의 좌표는 (2, 0), 준선의 방정식은 x=-2
yÛ =8x
H
P
오른쪽 그림과 같이 점 P에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면 포
A(8, 4)
x
-2 O F(2, 0)
물선의 정의에 의하여
PFÓ=PHÓ
∴ APÓ+PFÓ=APÓ+PHÓ=AHÓ
x=-2
=8-(-2)=10
KEY
Point

포물선 yÛ`=4px 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서 초점 F(p, 0)까지의 거리와 준선
yÛ =4px
y
H
x=-p까지의 거리는 서로 같다.
⇨ PFÓ=PHÓ
P(xÁ, yÁ)
x
-p O F(p, 0)
x=-p
확인
체크
14
오른쪽 그림과 같이 포물선 xÛ`=4y의 초점 F를 지나는 직선
이 포물선과 만나는 두 점을 각각 A, B라 하고, 두 점 A, B
y
A
에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 C, D라 하자. ABÓ=5일
때, ACÓ+BDÓ의 값을 구하시오.
15
오른쪽 그림과 같이 포물선 yÛ`=-12x 위를 움직이는 점 P와 두
점 A(-3, 0), B(-5, 5)에 대하여 APÓ+BPÓ의 최솟값을 구하
시오. (단, 점 P는 제 2 사분면 위의 점이다.)
18 Ⅰ. 이차곡선
C
xÛ =4y
F
5
O
B
x
D
yÛ =-12x
B(-5, 5)
y
P
A(-3, 0) O x
정답과 풀이 51쪽
연습문제
STEP
1
1
꼭짓점의 좌표가 (0, 0)인 포물선이 점 (4, 2)를 지날 때, 이 포물선의 방정
생각해 봅시다!
식을 모두 구하시오.
2
포물선 (y-3k)Û`=8k(x-k+1)의 초점이 y축 위에 있을 때, 이 포물선의
포물선
준선의 방정식을 구하시오. (단, k는 상수)
(y-n)Û`=4p(x-m)
⇨ 초점: (p+m, n)
준선: x=-p+m
3
두 포물선 yÛ`+2ay-4x+9=0, xÛ`-2x-8y+b=0의 꼭짓점이 직선
점 P(x, y)를 직선 y=x
에 대하여 대칭이동한 점을
P'이라 하면
⇨ P'(y, x)
4
y=x에 대하여 대칭일 때, 상수 a, b에 대하여 b-a의 값을 구하시오.
[ 평가원기출 ]
초점이 F인 포물선 yÛ`=8x 위의 점 P(a, b)에 대하여 PFÓ=4일 때, a+b
의 값은? (단, b>0)
①3
②4
③5
④6
⑤7
STEP
2
5
포물선 xÛ`=12y 위의 서로 다른 세 점 A, B, C에서 준선까지의 거리의 합이
6
오른쪽 그림과 같이 포물선 yÛ`=kx 위의 한 점 P에서
21일 때, 삼각형 ABC의 무게중심의 y좌표를 구하시오.
x축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 P에서 포물선
의 초점 F까지의 거리가 4이고 ∠PFH=60ù일 때,
양수 k의 값을 구하시오.
y
삼각형 PFH에서
P
FHÓ=PFÓ`cos`60ù
60ù
O F H
x
yÛ =kx
1. 이차곡선
19
정답과 풀이 52쪽
연습문제
7
오른쪽 그림과 같이 초점이 F인 포물선 xÛ`=4y 위의
y
점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하자. 삼각형
P
PFH가 정삼각형일 때, 점 P의 좌표를 구하시오.
F
O
(단, 점 P는 제 1 사분면 위의 점이다.)
8
오른쪽 그림과 같이 포물선 yÛ`=4x의 초점 F를 지나는
실력
10
x
l
직선 l이 이 포물선과 두 점 A, B에서 만난다.
A
(단, 점 A는 제 1 사분면 위의 점이다.)
H
y
AFÓ`:`BFÓ=3`:`1일 때, 직선 l의 기울기를 구하시오.
9
xÛ =4y
O F
x
B
yÛ =4x
포물선 xÛ`-8y+16=0 위를 움직이는 점 P와 원점 O에 대하여 선분 OP의
P(x, y)라 하면 점 Q의
중점을 Q라 할 때, 점 Q가 나타내는 도형의 방정식은?
좌표는 {;2{;, ;2};}
① xÛ`=y-1
② xÛ`=4(y-1)
④ yÛ`=x-1
⑤ yÛ`=4(x-1)
③ xÛ`=8(y-1)
[ 교육청기출 ]
오른쪽 그림과 같이 포물선 yÛ`=8x 위의 네 점 A,
y
B, C, D를 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD에 대
점 F와 일치하고 DFÓ=6일 때, 사각형 ABCD의
넓이는?
yÛ =8x
A
하여 두 선분 AB와 CD가 각각 y축과 평행하다.
사각형 ABCD의 두 대각선의 교점이 포물선의 초
D
F
O
x
B
C
① 14'2
② 15'2
④ 17'2
⑤ 18'2
③ 16'2
실력
11
좌표평면 위의 두 점 A(0, -1), B(3, -5)와 포물선 xÛ`+4y=0 위의 임
의의 점 P에 대하여 삼각형 ABP의 둘레의 길이의 최솟값을 구하시오.
20 Ⅰ. 이차곡선
02
타원의 방정식
1. 이차곡선
개념원리 이해
1. 타원
필수예제 7, 8
평면 위의 서로 다른 두 점 F, F'에서의 거리의 합이 일정한
B
점들의 집합을 타원이라 하고, 두 점 F, F'을 타원의 초점이라
꼭짓점
장축
단축
A'
한다.
선분 FF'의 수직이등분선이 타원과 만나는 점을 각각 B, B'이
A
F
F'
두 초점 F, F'을 잇는 직선이 타원과 만나는 점을 각각 A, A',
꼭짓점
B'
중심
초점
라 할 때, 네 점 A, A', B, B'을 타원의 꼭짓점, 선분 AA'을
타원의 장축, 선분 BB'을 타원의 단축이라 하며, 장축과 단축의 교점을 타원의 중심이라 한다.
① 타원은 장축, 단축 및 중심에 대하여 각각 대칭이다.
② 타원의 두 초점은 장축 위에 있다.
2. 타원의 방정식
타원
방정식
필수예제 7, 8, 11~13
두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)에서의
두 초점 F(0, c), F'(0, -c)에서의
거리의 합이 2a`(a>c>0)인 타원
거리의 합이 2b`(b>c>0)인 타원
xÛ` yÛ`
+ =1 (단, bÛ`=aÛ`-cÛ`)
aÛ`
bÛ`
xÛ` yÛ`
+ =1 (단, aÛ`=bÛ`-cÛ`)
aÛ`
bÛ`
y
Bb P
그래프
A'
-a
꼭짓점의 좌표
중심의 좌표
장축의 길이
A
a x
A'
-a
F(c, 0)
F'(0, -c)
O
F'(-c, 0)
초점의 좌표
F(0, c)
B' -b
F(c, 0), F'(-c, 0) Û x축 위에
y
Bb
O
P
A
a
x
B' -b
F(0, c), F'(0, -c) Û y축 위에
(a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b)
(a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b)
AÕA'Ó=2a
BÕB'Ó=2b
(0, 0) Û 원점
(0, 0) Û 원점
단축의 길이
BÕB'Ó=2b
AÕA'Ó=2a
거리의 합
PFÓ+PÕF'Ó=2a
PFÓ+PÕF'Ó=2b
① 타원의 정의에 의하여 타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이와 같다.
⇨ PFÓ+PÕF'Ó=(장축의 길이)
② a>b>0이면 장축과 초점이 x축 위에 있고, b>a>0이면 장축과 초점이 y축 위에 있다.
xÛ` yÛ`
+ =1은 x축, y축, 원점에 대하여 각각 대칭이다.
aÛ` bÛ`
④ bÛ`=aÛ`-cÛ`에서 cÛ`=aÛ`-bÛ`이므로 c="ÃaÛ`-bÛ` ⇨ F("ÃaÛ`-bÛ`, 0), F'(-"ÃaÛ`-bÛ`, 0)
같은 방법으로 aÛ`=bÛ`-cÛ`에서 c="ÃbÛ`-aÛ` ⇨ F(0, "ÃbÛ`-aÛ`), F'(0, -"ÃbÛ`-aÛ`)
③ 타원
1. 이차곡선
21
개념원리 이해
설명
⑴좌표평면에서 두 점 F(c, 0), F'(-c, 0)을 초점으로 하고 두 초점에서의 거
리의 합이 2a`(a>c>0)인 타원의 방정식을 구해 보자.
y
F'(-c, 0)
b
P(x, y)
F(c, 0)
-a -c
O
c
타원 위의 점을 P(x, y)라 하면 타원의 정의에 의하여
PFÓ+PÕF'Ó=2a이므로
"Ã(x-c)Û`+yÛ`+"Ã(x+c)Û`+yÛ`=2a
"Ã(x-c)Û`+yÛ`=2a-"Ã(x+c)Û`+yÛ`
a x
-b
양변을 제곱하여 정리하면 cx+aÛ`=a"Ã(x+c)Û`+yÛ`
다시 양변을 제곱하여 정리하면 (aÛ`-cÛ`)xÛ`+aÛ`yÛ`=aÛ`(aÛ`-cÛ`)
이때 a>c>0이므로 aÛ`-cÛ`=bÛ`으로 놓으면 bÛ`xÛ`+aÛ`yÛ`=aÛ`bÛ`
양변을 aÛ`bÛ`으로 나누면
xÛ` yÛ`
+ =1 (단, bÛ`=aÛ`-cÛ`) yy`㉠
aÛ` bÛ`
역으로 방정식 ㉠을 만족시키는 점 P(x, y)는 두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)에서의 거리의 합이 2a인 타원 위에 있다.
⑵같은 방법으로 두 점 F(0, c), F'(0, -c)를 초점으로 하고 두 초점에서의 거리의 합
이 2b`(b>c>0)인 타원의 방정식은
xÛ` yÛ`
+ =1 (단, aÛ`=bÛ`-cÛ`)
aÛ` bÛ`
y
F(0, c)
b
P(x, y)
-a
O
a
x
F'(0, -c) -b
타원
예
yÛ`
xÛ`
+ =1의 초점과 꼭짓점의 좌표, 장축과 단축의 길이를 구하고, 그 그래프를 그
25
9
리시오.
풀이
a=5, b=3이므로 c="ÃaÛ`-bÛ`="Ã5Û`-3Û`=4
따라서 초점의 좌표는 (4, 0), (-4, 0) y
꼭짓점의 좌표는 (5, 0), (-5, 0), (0, 3), (0, -3)
3
장축의 길이는 2a=10
단축의 길이는 2b=6
또, 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
3. 타원의 평행이동
-5 -4
O
4 5 x
-3
필수예제 9, 10
xÛ` yÛ`
+ =1을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 타원의 방정
aÛ` bÛ`
(x-m)Û` (y-n)Û`
식은
+
=1
aÛ`
bÛ`
타원
22 Ⅰ. 이차곡선
① 타원을 평행이동하면 초점, 꼭짓점, 중심도 함께 평행이동된다.
그러나 타원을 평행이동해도 모양은 변하지 않으므로 장축의 길이, 단축의 길이는 변하지 않는다.
②
(x-m)Û` (y-n)Û`
(x-m)Û` (y-n)Û`
타원의 방정식
+
=1 (a>b>0)
+
=1 (b>a>0)
aÛ`
bÛ`
aÛ`
bÛ`
y (x-m)Û (y-n)Û
;;:::::;;;;+;;;;;::::;;;=1
aÛ
bÛ
y
(x-m)Û (y-n)Û
;;:::::;;;;+;;;;;::::;;;=1
aÛ
bÛ
n
n
그래프
m
O
x
O
yÛ
xÛ
;;;;;+;;;;;=1
bÛ
aÛ
초점의 좌표
x
("ÃaÛ`-bÛ`+m, n), (-"ÃaÛ`-bÛ`+m, n)
(m, "ÃbÛ`-aÛ`+n), (m, -"ÃbÛ`-aÛ`+n)
(a+m, n), (-a+m, n),
(a+m, n), (-a+m, n),
꼭짓점의 좌표
(m, b+n), (m, -b+n)
(m, b+n), (m, -b+n)
중심의 좌표
(m, n)
(m, n)
장축의 길이
2a
2b
단축의 길이
2b
2a
타원
예
m
yÛ
xÛ
;;;;;+;;;;;=1
bÛ
aÛ
(x+2)Û` (y-1)Û`
xÛ` yÛ`
+
=1은 타원
+ =1을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방
9
5
9
5
향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
xÛ` yÛ`
+ =1의 중심의 좌표는 (0, 0)이고 초점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0)이므로
9
5
(x+2)Û` (y-1)Û`
타원
+
=1의 중심의 좌표는 (0-2, 0+1), 즉 (-2, 1)이고
9
5
초점의 좌표는 (2-2, 0+1), (-2-2, 0+1), 즉 (0, 1), (-4, 1)이다.
타원
4. 타원의 방정식의 일반형
필수예제 10
평행이동한 타원의 방정식을 전개하여 정리하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.
AxÛ`+ByÛ`+Cx+Dy+E=0 (단, A, B, C, D, E는 상수, AB>0, A+B)
Û xy항이 없고, xÛ` 항, yÛ` 항이 모두 있는 이차방정식
A=B이면 원의 방정식이 된다.
설명
타원의 방정식
(x-m)Û` (y-n)Û`
+
=1의 양변에 aÛ`bÛ` 을 곱하여 정리하면
aÛ`
bÛ`
bÛ`xÛ`+aÛ`yÛ`-2bÛ`mx-2aÛ`ny+bÛ`mÛ`+aÛ`nÛ`-aÛ`bÛ`=0
이때 bÛ`=A, aÛ`=B, -2bÛ`m=C, -2aÛ`n=D, bÛ`mÛ`+aÛ`nÛ`-aÛ`bÛ`=E로 놓으면
AxÛ`+ByÛ`+Cx+Dy+E=0 (단, AB>0, A+B)
즉, xy항이 없고, xÛ`항, yÛ`항이 모두 있는 이차방정식으로 나타내어진다.
1. 이차곡선
23
16
개념원리
익히기
다음은 타원
yÛ`
xÛ`
+ =1의 초점과 꼭짓점의 좌표, 장축과 단축의 길이를
16
9
구하고, 그 그래프를 그리는 과정이다.  안에 알맞은 것을 써넣고, 그래프를
그리시오.
타원의 한 초점의 좌표를 (c, 0)`(c>0)이라
=
따라서 초점의 좌표는
장축의 길이는 2_
=
단축의 길이는 2_
=
꼭짓점의 좌표는
17
O
,
,
,
⑴
18
x
,
다음 타원의 초점의 좌표 및 장축과 단축의 길이를 구하고, 그 그래프를 그리
시오.
yÛ`
xÛ`
+ =1
100 36
⑵ 4xÛ`+yÛ`=4
다음 타원의 중심과 초점의 좌표를 구하시오.
⑴
(x-3)Û` (y+1)Û`
+
=1
4
16
⑵ 16(x+5)Û`+25yÛ`=400
24 Ⅰ. 이차곡선
xÛ` yÛ`
+ =1
aÛ` bÛ`
(단, a>b>0, cÛ`=aÛ`-bÛ`)
⇨ 초점의 좌표:
타원
(c, 0), (-c, 0)
장축의 길이: 2a
단축의 길이: 2b
꼭짓점의 좌표:
y
하면
c=¿¹16-
생각해 봅시다!
(a, 0), (-a, 0),
(0, b), (0, -b)
필수예제
07 타원의 방정식 ⑴
다음 타원의 방정식을 구하시오.
⑴ 두 초점 F(3, 0), F'(-3, 0)에서의 거리의 합이 12인 타원
⑵ 두 초점 F(0, 2), F'(0, -2)에서의 거리의 합이 6인 타원
⑴ 두 초점이 x축 위에 있으므로 구하는 타원의 방정식을
풀이
xÛ` yÛ`
+ =1`(a>b>0)이라 하자.
aÛ` bÛ`
거리의 합이 12이므로 2a=12 ∴ a=6
yÛ`
xÛ`
aÛ`-bÛ`=3Û`에서 bÛ`=6Û`-3Û`=27 ∴
+
=1
36 27
xÛ` yÛ`
⑵ 두 초점이 y축 위에 있으므로 구하는 타원의 방정식을
+ =1`(b>a>0)이라 하자.
aÛ` bÛ`
거리의 합이 6이므로 2b=6 ∴ b=3
xÛ` yÛ`
bÛ`-aÛ`=2Û`에서 aÛ`=3Û`-2Û`=5 ∴
+ =1
5
9
⑴조건을 만족시키는 타원 위의 점을 P(x, y)라 하면 타원의 정의에 의
다른풀이
하여 PFÓ+PÕF'Ó=12이므로 "Ã(x-3)Û`+yÛ`+"Ã(x+3)Û`+yÛ`=12
y
F'(-3, 0)
P(x, y)
"Ã(x-3)Û`+yÛ`=12-"Ã(x+3)Û`+yÛ`
양변을 제곱하여 정리하면 2"Ã(x+3)Û`+yÛ`=x+12
다시 양변을 제곱하여 정리하면 3xÛ`+4yÛ`=108
O F(3, 0)
yÛ`
xÛ`
∴
+
=1
36 27
⑵ 조건을 만족시키는 타원 위의 점을 P(x, y)라 하면 타원의 정의에 의하여
PFÓ+PÕF'Ó=6이므로 "ÃxÛ`+(y-2)Û`+"ÃxÛ`+(y+2)Û`=6
"ÃxÛ`+(y-2)Û`=6-"ÃxÛ`+(y+2)Û`
y
KEY
Point
O
x
F'(0, -2)
xÛ` yÛ`
+ =1에서
aÛ`
bÛ`
 두 초점이 F(c, 0), F'(-c, 0)일 때 ⇨ (거리의 합)=2a, cÛ`=aÛ`-bÛ`
타원

확인
체크
P(x, y)
F(0, 2)
양변을 제곱하여 정리하면 3"ÃxÛ`+(y+2)Û`=2y+9
xÛ` yÛ`
다시 양변을 제곱하여 정리하면 9xÛ`+5yÛ`=45 ∴
+ =1
5
9
x
19
두 초점이 F(0, c), F'(0, -c)일 때 ⇨ (거리의 합)=2b, cÛ`=bÛ`-aÛ`
다음 타원의 방정식을 구하시오.
⑴ 두 초점 F(4, 0), F'(-4, 0)에서의 거리의 합이 10인 타원
⑵ 두 초점 F(0, 5), F'(0, -5)에서의 거리의 합이 14인 타원
20
두 점 (0, '2), (0, -'2)에서의 거리의 합이 일정한 점 P가 나타내는 도형이 점 ('3, 2)
를 지날 때, 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구하시오.
1. 이차곡선
25
필수예제
08 타원의 방정식 ⑵
더 다양한 문제는 RPM 기하 14쪽
다음 물음에 답하시오.
⑴ 초점이 F(2'3, 0), F'(-2'3, 0)이고, 장축의 길이가 10인 타원의 방정식을 구하
시오.
⑵ 초점이 F(0, 5), F'(0, -5)이고, 장축과 단축의 길이의 차가 2인 타원 위의 한 점
을 P라 할 때, PFÓ+PÕF'Ó의 값을 구하시오.
⑴ 두 초점이 x축 위에 있으므로 구하는 타원의 방정식을
풀이
xÛ` yÛ`
+ =1`(a>b>0)이라 하자.
aÛ` bÛ`
장축의 길이가 10이므로 2a=10 ∴ a=5
aÛ`-bÛ`=(2'3)Û`에서 bÛ`=5Û`-(2'3)Û`=13
yÛ`
xÛ`
∴
+
=1
25 13
xÛ` yÛ`
+ =1`(b>a>0)이라 하자.
aÛ` bÛ`
bÛ`-aÛ`=5Û` ∴ (b+a)(b-a)=25 yy`㉠
⑵ 두 초점이 y축 위에 있으므로 구하는 타원의 방정식을
이때 장축의 길이는 2b, 단축의 길이는 2a이고 장축과 단축의 길이의 차가 2이므로
2b-2a=2 ∴ b-a=1 yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 b+a=25 yy`㉢
㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=12, b=13
∴ PFÓ+PÕF'Ó=2b=2_13=26
KEY
Point
xÛ` yÛ`
+ =1에서
aÛ`
bÛ`
 초점이 x축 위에 있으면 ⇨ 장축의 길이: 2a, 단축의 길이: 2b (단, a>b>0)
타원

확인
체크
초점이 y축 위에 있으면 ⇨ 장축의 길이: 2b, 단축의 길이: 2a (단, b>a>0)
21
초점이 F(0, '3), F'(0, -'3)이고, 단축의 길이가 4인 타원의 방정식을 구하시오.
22
초점이 F(8, 0), F'(-8, 0)이고, 장축과 단축의 길이의 차가 8인 타원 위의 한 점을 P라
할 때, PFÓ+PÕF'Ó의 값을 구하시오.
23
타원 4xÛ`+9yÛ`=36과 두 초점을 공유하고, 장축의 길이가 2'1Œ5인 타원의 단축의 길이를
구하시오.
26 Ⅰ. 이차곡선
필수예제
09 중심이 원점이 아닌 타원의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 15쪽
두 초점 F(6, 2), F'(0, 2)에서의 거리의 합이 10인 타원의 방정식을 구하시오.
설명
타원의 두 초점 F, F'에 대하여 타원의 중심은 선분 FF'의 중점과 같다.
풀이
타원의 중심은 선분 FF'의 중점이므로
{
y
6+0 2+2
,
}, 즉 (3, 2)
2
2
이때 두 초점이 x축과 평행한 직선 위에 있으므로 구하는 타원의 방정식을
(x-3)Û` (y-2)Û`
+
=1`(a>b>0)이라 하자.
aÛ`
bÛ`
F'
2
중심
O 3
F
6
x
거리의 합이 10이므로 2a=10 ∴ a=5
또한, 중심에서 초점까지의 거리가 3이므로
3Û`=aÛ`-bÛ`에서 bÛ`=5Û`-3Û`=16
따라서 구하는 타원의 방정식은
(x-3)Û` (y-2)Û`
+
=1
25
16
타원 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 타원의 정의에 의하여
다른풀이
P(x, y)
PFÓ+PÕF'Ó=10이므로
10
"Ã(x-6)Û`+(y-2)Û`+"ÃxÛ`+(y-2)Û`=10
"Ã(x-6)Û`+(y-2)Û`=10-"ÃxÛ`+(y-2)Û`
F(6, 2)
F'(0, 2)
양변을 제곱하여 정리하면 5"ÃxÛ`+(y-2)Û`=3x+16
다시 양변을 제곱하여 정리하면
16(x-3)Û`+25(y-2)Û`=400 ∴
KEY
Point
확인
체크
(x-3)Û` (y-2)Û`
+
=1
25
16
타원의 중심이 원점이 아닐 때

두 초점이 x축과 평행한 직선 위에 있으면 ⇨
(x-m)Û` (y-n)Û`
+
=1 (a>b>0)
aÛ`
bÛ`

두 초점이 y축과 평행한 직선 위에 있으면 ⇨
(x-m)Û` (y-n)Û`
+
=1 (b>a>0)
aÛ`
bÛ`
24
두 초점 F(2, 3), F'(2, -1)에서의 거리의 합이 8인 타원의 방정식을 구하시오.
25
두 점 A('5+1, -1), B(-'5+1, -1)에 대하여 APÓ+BPÓ=10을 만족시키는 점 P
가 나타내는 도형의 방정식을 구하시오.
1. 이차곡선
27
필수예제
10 타원의 방정식의 일반형
더 다양한 문제는 RPM 기하 15쪽
타원 xÛ`+4yÛ`-4x-24y+24=0의 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표, 중심의 좌표, 장축의
길이, 단축의 길이를 각각 구하고, 그 그래프를 그리시오.
주어진 식에서 (x-2)Û`+4(y-3)Û`=16 Û x, y에 대하여 완전제곱꼴로 변형
풀이
(x-2)Û` (y-3)Û`
+
=1
16
4
yÛ`
xÛ`
이 타원은 타원
+ =1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방
16
4
향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
양변을 16으로 나누면
yÛ`
xÛ`
+ =1의
16
4
초점의 좌표는 (2'3, 0), (-2'3, 0), Û 'Ä16-4=2'3
이때 타원
꼭짓점의 좌표는 (4, 0), (-4, 0), (0, 2), (0, -2),
y
(x-2)Û (y-3)Û
+
=1
16
4
3
O
2
x
yÛ
xÛ
+ =1
16
4
중심의 좌표는 (0, 0)
이므로 구하는 타원의
초점의 좌표는 (2'3+2, 3), (-2'3+2, 3),
꼭짓점의 좌표는 (6, 3), (-2, 3), (2, 5), (2, 1),
중심의 좌표는 (2, 3),
장축의 길이는 2_4=8,
단축의 길이는 2_2=4
KEY
Point
확인
체크

타원의 방정식의 일반형 ⇨ x, y에 대하여 완전제곱꼴로 변형한다.

타원을 평행이동하면 초점, 꼭짓점, 중심의 좌표는 변하지만 장축의 길이, 단축의 길이는 변하지 않는다.
26
타원 9xÛ`+4yÛ`-54x-16y+61=0의 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표, 중심의 좌표, 장축의
길이, 단축의 길이를 각각 구하고, 그 그래프를 그리시오.
27
28 Ⅰ. 이차곡선
xÛ` yÛ`
+ =1을 x축의 방향으로 a만큼, y축의
12
8
방향으로 b만큼 평행이동한 것이다. 이때 a+b의 값을 구하시오.
타원 2xÛ`+3yÛ`-16x+6y+11=0은 타원
필수예제
11 타원의 정의의 활용 － 삼각형의 둘레의 길이
더 다양한 문제는 RPM 기하 16쪽
y
오른쪽 그림과 같이 점 (1, 0)을 지나고 기울기가 1인 직선이 타
xÛ` yÛ`
원
+ =1과 만나는 두 점을 각각 A, B라 하자. 이때 점
9
8
C(-1, 0)에 대하여 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형
A
C
-1 O
ABC의 둘레의 길이를 구하시오.
설명
x
1
B
타원 위의 점과 두 초점을 연결한 선분의 길이의 합 ⇨ 장축의 길이
xÛ` yÛ`
+ =1에서 'Ä9-8=1이므로 초점의 좌표는 9
8
(1, 0), (-1, 0)
풀이
y
212
즉, 점 C는 타원의 한 초점이므로 F(1, 0)이라 하면 타원의 정의에 의하여
-3
ACÓ+AFÓ=BCÓ+BFÓ=2_3=6
따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는
C O
A
F
3 x
B -212
ABÓ+BCÓ+CAÓ=(AFÓ+BFÓ)+BCÓ+ACÓ
=(AFÓ+ACÓ)+(BFÓ+BCÓ)
=6+6=12
KEY
Point
확인
체크
타원
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 점 P와 두 초점 F, F'에 대하여
aÛ`
bÛ`

a>b>0이면 ⇨ PFÓ+PÕF'Ó=(장축의 길이)=2a

b>a>0이면 ⇨ PFÓ+PÕF'Ó=(장축의 길이)=2b
28
yÛ`
xÛ`
+ =1의 두 초점을 F, F'이라
12
4
하고 곡선 위의 두 점을 각각 P, Q라 할 때, 사각형 PF'QF의
y
오른쪽 그림과 같이 타원
P
F'
둘레의 길이를 구하시오.
F
x
O
Q
29
오른쪽 그림과 같이 두 점 F(0, 6), F'(0, -6)을 초점으로 하는 타원
xÛ` yÛ`
+ =1이 점 F를 지나는 직선과 만나는 두 점을 각각 A, B라 하
aÛ` bÛ`
자. 삼각형 ABF'의 둘레의 길이가 36일 때, 상수 a, b에 대하여
aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오.
y
B
F
O
A
x
F'
1. 이차곡선
29
필수예제
12 타원의 정의의 활용 － 최대·최소
더 다양한 문제는 RPM 기하 16쪽
xÛ` yÛ`
+ =1의 두 초점 F, F'과 타원 위의 점 P에 대하여 PFÓ_PÕF'Ó의 최댓값을
16
9
구하시오.
타원
설명산술평균과 기하평균의 관계
a>0, b>0일 때, a+b¾2'¶ab (단, 등호는 a=b일 때 성립)
PFÓ=a, PÕF'Ó=b라 하면 타원의 정의에 의하여
풀이
a+b=2_4=8
이때 a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
a+b¾2'¶ab (단, 등호는 a=b일 때 성립)
8¾2'¶ab, '¶abÉ4 ∴ abÉ16
따라서 PFÓ_PÕF'Ó의 최댓값은 16이다.
KEY
Point

타원
Ú
xÛ` yÛ`
+ =1의 두 초점이 F, F'이고, 점 P(xÁ, yÁ)이 타원 위의 점일 때 최대·최소 구하기
aÛ`
bÛ`
xÁÛ`
yÁÛ`
+
=1, PFÓ+PÕF'Ó=(장축의 길이)임을 안다.
aÛ`
bÛ`
Û 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다.
확인
체크
30
타원 2xÛ`+yÛ`=6의 두 초점 F, F'과 타원 위의 점 P에 대하여 PFÓ_PÕF'Ó의 최댓값을 구하
시오.
yÛ`
xÛ`
+ =1 위의 점 P(a, b)에 대하여 ab의 최댓값을 구하시오. (단, a>0, b>0)
25 16
31
타원
32
오른쪽 그림과 같이 타원
xÛ` yÛ`
+ =1에 내접하는 직사각형
9
4
ABCD의 넓이의 최댓값을 구하시오.
(단, 직사각형의 각 변은 x축 또는 y축에 평행하다.)
y
A
-3
D
3 x
O
B
30 Ⅰ. 이차곡선
2
-2
C
한 걸음 더
필수예제
13
타원의 정의의 활용 － 삼각형의 넓이
더 다양한 문제는 RPM 기하 16쪽
오른쪽 그림과 같이 타원 4xÛ`+9yÛ`=36의 두 초점 F, F'과
y
P
타원 위의 점 P에 대하여 ∠FPF'=90ù일 때, 삼각형 PF'F
의 넓이를 구하시오.
F'
O
x
F
xÛ` yÛ`
+ =1
9
4
'Ä9-4='5이므로 두 초점 F, F'의 좌표는 각각
4xÛ`+9yÛ`=36에서
풀이
('5, 0), (-'5, 0) ∴ FÕF'Ó=2'5
PFÓ=a, PÕF'Ó=b라 하면 타원의 정의에 의하여 a+b=2_3=6 yy`㉠
이때 삼각형 PF'F는 ∠FPF'=90ù인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여
aÛ`+bÛ`=(2'5 )Û` ∴ (a+b)Û`-2ab=20
yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 6Û`-2ab=20 ∴ ab=8
따라서 삼각형 PF'F의 넓이는
;2!;_PÕF'Ó_PFÓ=;2!;ab=;2!;_8=4
KEY
Point
타원


확인
체크
33
xÛ` yÛ`
+ =1의 두 초점 F, F'과 타원 위의 점 P에 대하여 ∠FPF'=90ù일 때
aÛ`
bÛ`
타원의 정의에 의하여 ⇨ PFÓ+PÕF'Ó=(장축의 길이)
Û
Û
피타고라스 정리에 의하여 ⇨ PFÓ `+PÕ
F'Ó `=FÕ
F'Ó `Û
오른쪽 그림과 같이 타원 2xÛ`+yÛ`=4의 두 초점 F, F'과 타원 위
y
의 점 P에 대하여 ∠FPF'=90ù일 때, 삼각형 PFF'의 넓이를 구
F
하시오.
P
O
x
F'
34
xÛ` yÛ`
+ =1의 두 초점 F, F'을 지
25
9
름의 양 끝 점으로 하는 원이 있다. 타원과 원의 한 교점을 P라
오른쪽 그림과 같이 타원
할 때, 삼각형 PF'F의 넓이를 구하시오.
y
P
F' O
F
x
yÛ
xÛ
;25;+;9;=1
1. 이차곡선
31
정답과 풀이 53쪽
연습문제
STEP
1
12
좌표평면 위의 점 P(x, y)에서 두 점 F('2, 0), F'(-'2, 0)까지의 거리
생각해 봅시다!
의 합이 4이고, 점 P와 원점 사이의 거리는 '3일 때, xÛ`-yÛ`의 값을 구하시
오.
13
중심이 원점이고 초점이 y축 위에 있는 타원이 있다. 이 타원의 장축의 길이
가 4이고 단축의 길이가 2일 때, 두 초점 사이의 거리를 구하시오.
[ 수능기출 ]
14
(x-2)Û` (y-2)Û`
+
=1의 두 초점의 좌표가 (6, b), (-2, b)일 때,
a
4
ab의 값은? (단, a는 양수)
타원
① 40
15
② 42
③ 44
④ 46
⑤ 48
타원 4xÛ`-24x+16yÛ`-64y+84=0에 대한 다음 설명 중 옳은 것은?
타원을 평행이동하면 초점,
꼭짓점, 중심의 좌표는 변
하지만 장축의 길이, 단축
의 길이는 변하지 않는다.
① 장축은 y축과 평행하다.
② 중심의 좌표는 (2, 3)이다.
③ 두 초점 사이의 거리는 2'3이다.
④ 장축의 길이는 단축의 길이의 4배이다.
⑤ 타원 위의 임의의 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 2이다.
16
오른쪽 그림과 같이 두 초점이 F, F'인 타원
xÛ` yÛ`
+ =1`(a>b>0)의 한 꼭짓점 A에 대하여
aÛ` bÛ`
삼각형 AF'F는 한 변의 길이가 6인 정삼각형이다.
이때 상수 a, b에 대하여 aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오.
32 Ⅰ. 이차곡선
y
A
F' O
F
x
c>0일 때,
F(c, 0), F'(-c, 0)이라
하면 정삼각형 AF'F의 한
변의 길이는 2c이다.
정답과 풀이 54쪽
STEP
2
17
오른쪽 그림과 같이 타원 5xÛ`+9yÛ`=45와 포물선
y
yÛ`=8x의 교점 중 제 1 사분면 위의 점을 P라 하고
P
Q
점 P에서 직선 x=-2에 내린 수선의 발을 Q라 하
자. 직선 x=-2와 x축의 교점을 A라 할 때,
yÛ =8x
x
O
A
APÓ+PQÓ의 값을 구하시오.
x=-2
18
오른쪽 그림과 같이 두 초점이 F, F'인 타원
y
xÛ` yÛ`
+ =1`(a>b>0)과 x축의 교점을 각각
aÛ`
bÛ`
A, A'이라 하자. 타원 위의 점 P에 대하여 삼각
P
F' O
A'
F
A x
형 PA'A의 넓이는 삼각형 PF'F의 넓이의 2배
이고 삼각형 PF'F의 둘레의 길이는 6일 때, 상수 a, b에 대하여 aÛ`+bÛ`의 값
을 구하시오.
19
[ 평가원기출 ]
직선 PF'은 원에 접하므로
선분 PF를 그으면
PFÓ⊥PÕF'Ó이다.
y
오른쪽 그림과 같이 두 점
P
F(c, 0), F'(-c, 0)`(c>0)을 초점으로 하고
장축의 길이가 4인 타원이 있다. 점 F를 중심으로
하고 반지름의 길이가 c인 원이 타원과 점 P에서
F'
O
x
F
만난다. 점 P에서 원에 접하는 직선이 점 F'을 지
날 때, c의 값은?
① '2
20
② '1Œ0-'3
③ '6-1
오른쪽 그림과 같이 어떤 다리의 아치는 장축
의 길이가 40`m인 타원의 일부와 같다. 타원
의 중심에서 아치의 높이는 12`m이고 중심으
④ 2'3-2
⑤ '1Œ4-'5
12 m
hm
10 m
40 m
타원의 중심을 원점으로 생
각하여 타원의 방정식을
xÛ` yÛ`
+ =1로 놓는다.
aÛ` bÛ`
로부터 10`m 떨어진 다리 위의 지점에서 아치
의 높이는 h`m일 때, h의 값을 구하시오. (단, 아치의 두께는 무시한다.)
1. 이차곡선
33
정답과 풀이 55쪽
실력
21
생각해 봅시다!
오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 10인 원기둥을 밑
면과 45ù의 각을 이루는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면은 타원
이다. 이 타원의 두 초점 사이의 거리를 구하시오.
10
22
yÛ`
xÛ`
+ =1의 장축
100 36
을 10등분한 후 장축의 양 끝점을 제외한 각 등분
오른쪽 그림과 같이 타원
P»
...
점에서 장축에 수직인 직선을 그었을 때, x축 위
y
45ù
타원의 또 다른 초점을 F'
Pª
PÁ
O
이라 하면 타원의 정의에
의하여
F
x
F
x
쪽 부분에 있는 타원과의 교점을 차례로 PÁ, Pª,
P£, y, P»라 하자. 타원의 한 초점 F에 대하여
FÕPkÓ+FÕ'PkÓ
=(장축의 길이)
(단, k=1, 2, 3, y, 9)
FÕPÁÓ+FÕPªÓ+FÕP£Ó+`y`+FÕP»Ó의 값을 구하시오.
[ 수능기출 ]
23
xÛ` yÛ`
+ =1의 두 초점 중 x좌표가 양수인 점
9
4
을 F, 음수인 점을 F'이라 하자. 이 타원 위의 점 P
y
Q
타원
를 ∠FPF'=90ù가 되도록 제 1 사분면에서 잡고,
P
선분 FP의 연장선 위에 y좌표가 양수인 점 Q를
FQÓ=6이 되도록 잡는다. 삼각형 QF'F의 넓이를
F'
O
구하시오.
24
yÛ`
xÛ`
+ =1의 두 초점 F, F'과 타원 위의 점 P에 대하여
16
7
PÕF'Ó：PFÓ=3：1일 때, 삼각형 PFF'의 넓이를 구하시오.
25
길이가 5인 선분 AB에 대하여 점 A는 x축 위를 움직이고, 점 B는 y축 위를
타원
움직인다. 이때 선분 AB를 3：2로 내분하는 점 P가 나타내는 도형의 방정
식을 구하시오.
34 Ⅰ. 이차곡선
A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)일
때, ABÓ를 m`:`n`(m>0,
n>0)으로 내분하는 점
mxª+nxÁ
⇨{
,
m+n
myª+nyÁ
}
m+n
03
쌍곡선의 방정식
1. 이차곡선
개념원리 이해
1. 쌍곡선
필수예제 14
평면 위의 서로 다른 두 점 F, F'에서의 거리의 차가 일정한 점들의
집합을 쌍곡선이라 하고, 두 점 F, F'을 쌍곡선의 초점이라 한다.
주축
꼭짓점
A'
꼭짓점
A
F'
두 초점 F, F'을 잇는 직선이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 A, A'이
F
초점
라 할 때, 두 점 A, A'을 쌍곡선의 꼭짓점, 선분 AA'을 쌍곡선의
초점
중심
주축, 선분 AA'의 중점을 쌍곡선의 중심이라 한다.
① 쌍곡선은 주축의 연장선과 주축의 수직이등분선 및 중심에 대하여 각각 대칭이다.
② 쌍곡선의 두 초점은 주축을 포함하는 직선 위에 있다.
2. 쌍곡선의 방정식
쌍곡선
방정식
필수예제 14, 18
두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)에서의
두 초점 F(0, c), F'(0, -c)에서의
거리의 차가 2a`(c>a>0)인 쌍곡선
거리의 차가 2b`(c>b>0)인 쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =1 (단, bÛ`=cÛ`-aÛ`)
aÛ`
bÛ`
xÛ` yÛ`
- =-1 (단, aÛ`=cÛ`-bÛ`)
aÛ`
bÛ`
y=-;aB;x
b
-a
그래프
y=;aB;x
y
-b
F(c, 0), F'(-c, 0) Û x축 위에
초점의 좌표
꼭짓점의 좌표
중심의 좌표
P
y=;aB;x
a
x
F'(0, -c)
y=-;aB;x
P
O a F(c, 0) x
F'(-c, 0)
y
F(0, c)
(a, 0), (-a, 0)
(0, 0) Û 원점
b
-a
-b
O
F(0, c), F'(0, -c) Û y축 위에
(0, b), (0, -b)
(0, 0) Û 원점
거리의 차
| PFÓ-PÕF'Ó|=2a
| PFÓ-PÕF'Ó|=2b
주축의 길이
2a
2b
점근선의
y=Ñ;aB;x
y=Ñ;aB;x
방정식
① 쌍곡선의 정의에 의하여 쌍곡선 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이와 같다.
⇨ |PFÓ-PÕF'Ó|=(주축의 길이)
② 쌍곡선
xÛ` yÛ`
xÛ` yÛ`
- =1의 초점과 주축은 x축 위에 있고, 쌍곡선
- =-1의 초점과 주축은 y축 위에 있다.
aÛ` bÛ`
aÛ` bÛ`
xÛ` yÛ`
- =Ñ1은 x축, y축, 원점에 대하여 각각 대칭이다.
aÛ` bÛ`
④ bÛ`=cÛ`-aÛ`에서 cÛ`=aÛ`+bÛ`이므로 c="ÃaÛ`+bÛ` ⇨ F("ÃaÛ`+bÛ`, 0), F'(-"ÃaÛ`+bÛ`, 0)
같은 방법으로 aÛ`=cÛ`-bÛ`에서 c="ÃaÛ`+bÛ` ⇨ F(0, "ÃaÛ`+bÛ`), F'(0, -"ÃaÛ`+bÛ`)
③ 쌍곡선
1. 이차곡선
35
개념원리 이해
설명
⑴좌표평면에서 두 점 F(c, 0), F'(-c, 0)을 초점으로 하고 두 초점에서의
y
거리의 차가 2a`(c>a>0)인 쌍곡선의 방정식을 구해 보자.
쌍곡선 위의 점을 P(x, y)라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여
|PFÓ-PÕF'Ó|=2a이므로
"Ã(x-c)Û`+yÛ`-"Ã(x+c)Û`+yÛ`=Ñ2a
P(x, y)
a F(c, 0) x
F'(-c, 0) O
-a
"Ã(x-c)Û`+yÛ`="Ã(x+c)Û`+yÛ`Ñ2a
양변을 제곱하여 정리하면 cx+aÛ`=Ña"Ã(x+c)Û`+yÛ`
다시 양변을 제곱하여 정리하면 (cÛ`-aÛ`)xÛ`-aÛ`yÛ`=aÛ`(cÛ`-aÛ`)
이때 c>a>0이므로 cÛ`-aÛ`=bÛ`으로 놓으면 bÛ`xÛ`-aÛ`yÛ`=aÛ`bÛ`
양변을 aÛ`bÛ`으로 나누면
xÛ` yÛ`
- =1 (단, bÛ`=cÛ`-aÛ`) yy`㉠
aÛ` bÛ`
역으로 방정식 ㉠ 을 만족시키는 점 P(x, y)는 두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)에서의 거리의 차가 2a인 쌍곡선 위에
있다.
⑵같은 방법으로 두 점 F(0, c), F'(0, -c)를 초점으로 하고 두 초점에서의 거
y
리의 차가 2b`(c>b>0)인 쌍곡선의 방정식은
xÛ` yÛ`
- =-1 (단, aÛ`=cÛ`-bÛ`)
aÛ` bÛ`
F'(0, -c)
3. 쌍곡선의 점근선
쌍곡선
P(x, y)
F(0, c)
bO
x
-b
필수예제 15
xÛ` yÛ`
xÛ` yÛ`
- =1과
- =-1의 점근선의 방정식은
aÛ` bÛ`
aÛ` bÛ`
y=;aB;x, y=-;aB;x
곡선이 어떤 직선에 한없이 가까워질 때, 이 직선을 그 곡선의 점근선이라 한다.
설명
⑴ 쌍곡선의 방정식
y=-;aB;x
xÛ` yÛ`
- =1 yy`㉠
aÛ` bÛ`
-c
aÛ`
y=Ñ;aB;x¾¨1xÛ`
aÛ`
의 값은 0에 한없이 가까워지므
xÛ`
이때 이 두 직선을 쌍곡선 ㉠의 점근선이라 한다.
36 Ⅰ. 이차곡선
-a
O
-b
로 쌍곡선 ㉠은 두 직선 y=;aB;x, y=-;aB;x에 한없이 가까워진다.
⑵ 같은 방법으로 쌍곡선
y=;aB;x
b
을 y에 대하여 풀면
이 식에서 x의 절댓값이 한없이 커질 때
y
xÛ` yÛ`
- =-1의 점근선의 방정식도 y=;aB;x, y=-;aB;x이다.
aÛ` bÛ`
a
c
x
xÛ` yÛ`
- =-1의 초점, 꼭짓점, 중심의 좌표 및 주축의 길이, 점근선의 방정식을 구
3Û` 2Û`
하고, 그 그래프를 그리시오.
예
쌍곡선
풀이
a=3, b=2이므로 c="ÃaÛ`+bÛ`="Ã3Û`+2Û`='1Œ3
따라서 초점의 좌표는 (0, '1Œ3), (0, -'1Œ3)
꼭짓점의 좌표는 (0, 2), (0, -2)
y
중심의 좌표는 (0, 0)
y=-;3@;x
주축의 길이는 2b=2_2=4
y=;3@;x
2
O
점근선의 방정식은 y=Ñ;aB;x=Ñ;3@;x
-2
x
-1123
또, 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
4. 쌍곡선의 평행이동
1123
필수예제 16, 17
xÛ` yÛ`
xÛ` yÛ`
- =1,
- =-1을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행
aÛ` bÛ`
aÛ` bÛ`
이동한 쌍곡선의 방정식은 각각
쌍곡선
(x-m)Û` (y-n)Û`
(x-m)Û` (y-n)Û`
=1,
=-1
aÛ`
bÛ`
aÛ`
bÛ`
① 쌍곡선을 평행이동하면 초점, 꼭짓점, 중심, 점근선도 함께 평행이동된다.
그러나 쌍곡선을 평행이동해도 모양은 변하지 않으므로 주축의 길이는 변하지 않는다.
②
쌍곡선의
(x-m)Û` (y-n)Û`
(x-m)Û` (y-n)Û`
=1 (a>0, b>0)
=-1 (a>0, b>0)
aÛ`
bÛ`
aÛ`
bÛ`
방정식
y
그래프
y
(x-m)Û (y-n)Û
;;:::::;;;;-;;;;;::::;;;=1
aÛ
bÛ
n
(x-m)Û (y-n)Û
;;:::::;;;;-;;;;;::::;;;=-1
aÛ
bÛ
n
O m
x
yÛ
xÛ
;;;;;-;;;;;=1
bÛ
aÛ
yÛ
xÛ
;;;;;-;;;;;=-1
bÛ
aÛ
m
x
O
초점의 좌표
("ÃaÛ`+bÛ`+m, n), (-"ÃaÛ`+bÛ`+m, n)
(m, "ÃaÛ`+bÛ`+n), (m, -"ÃaÛ`+bÛ`+n)
꼭짓점의 좌표
(a+m, n), (-a+m, n)
(m, b+n), (m, -b+n)
중심의 좌표
(m, n)
(m, n)
주축의 길이
2a
2b
점근선의
y=Ñ;aB;(x-m)+n
y=Ñ;aB;(x-m)+n
방정식
1. 이차곡선
37
개념원리 이해
(x-3)Û` (y-1)Û`
xÛ` yÛ`
=1은 쌍곡선
- =1을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방
4
5
4
5
향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
쌍곡선
예
xÛ` yÛ`
- =1의
4
5
초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0),
쌍곡선
꼭짓점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0)
(x-3)Û` (y-1)Û`
=1의
4
5
초점의 좌표는 (3+3, 0+1), (-3+3, 0+1), 즉 (6, 1), (0, 1)이고
이므로 쌍곡선
꼭짓점의 좌표는 (2+3, 0+1), (-2+3, 0+1), 즉 (5, 1), (1, 1)이다.
5. 쌍곡선의 방정식의 일반형
필수예제 17
평행이동한 쌍곡선의 방정식을 전개하여 정리하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.
AxÛ`+ByÛ`+Cx+Dy+E=0 (단, A, B, C, D, E는 상수, AB<0)
Û xy항이 없고, xÛ` 항, yÛ` 항이 모두 있는 이차방정식
설명
쌍곡선의 방정식
(x-m)Û` (y-n)Û`
=Ñ1의 양변에 aÛ`bÛ`을 곱하여 정리하면
aÛ`
bÛ`
bÛ`xÛ`-aÛ`yÛ`-2bÛ`mx+2aÛ`ny+bÛ`mÛ`-aÛ`nÛ`ÐaÛ`bÛ`=0
이때 bÛ`=A, -aÛ`=B, -2bÛ`m=C, 2aÛ`n=D, bÛ`mÛ`-aÛ`nÛ`ÐaÛ`bÛ`=E로 놓으면
AxÛ`+ByÛ`+Cx+Dy+E=0 (단, AB<0)
즉, xy항이 없고, xÛ` 항, yÛ` 항이 모두 있는 이차방정식으로 나타내어진다.
6. 이차곡선
필수예제 19
일반적으로 x, y에 대한 이차방정식
AxÛ`+ByÛ`+Cxy+Dx+Ey+F=0 (A, B, C, D, E, F는 상수)
은 특수한 경우를 제외하면 원, 포물선, 타원, 쌍곡선 중의 어느 하나를 나타내며 이들을 통틀
어 이차곡선이라 한다.
38 Ⅰ. 이차곡선
설명
⑴x, y에 대한 이차방정식 AxÛ`+ByÛ`+Cxy+Dx+Ey+F=0이 계수가 실수인 두 일차식의 곱으로 인수분해되
면 이 방정식은 이차곡선을 나타내지 않는다.
⇨ x,
y에 대한 이차방정식 xÛ`-3yÛ`-2xy=0은 (x+y)(x-3y)=0으로 인수분해되므로 두 직선 x+y=0,
x-3y=0을 나타낸다. 즉, 이차곡선이 아니다.
⑵x, y에 대한 이차방정식 axÛ`+byÛ`+cx+dy+e=0이 이차곡선을 나타낼 때, 이차항의 계수 사이의 관계에 따라
다음과 같이 분류된다.
이차곡선
계수 사이의 관계
참고
원
포물선
a=b
a=0, b+0 또는
(a+0, b+0)
a+0, b=0
타원
쌍곡선
ab>0, a+b
ab<0
x, y에 대한 이차방정식 중에서 이차곡선을 나타내지 않는 특수한 경우
① 한 점이 되는 경우 ⇨ xÛ`+yÛ`=0은 점 (0, 0)을 나타낸다.
② 두 직선이 되는 경우 ⇨ xÛ`-yÛ`=0은 두 직선 y=x, y=-x를 나타낸다.
③ 도형이 되지 않는 경우 ⇨ xÛ
`+yÛ`=-1은 이를 만족시키는 실수 x, y의 값이 존재하지 않으므로 도형을 나타내지
않는다.
보충학습
원뿔곡선
원뿔을 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 자를 때 평면이 기울어진 정도에 따라 다음 그림과 같이 단면
에 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 나타난다. 따라서 지금까지 배운 이차곡선을 원뿔곡선이라고도 부른
다. 포물선(parabola), 타원(ellipse), 쌍곡선(hyperbola)은 원뿔을 자르는 평면의 기울기를
모선의 기울기와 비교할 때, ‘일치한다(parabole)’, ‘부족하다(ellipsis)’, ‘초과한다(hyperbole)’
라는 뜻의 그리스어에서 비롯된 것이다.
원
타원
포물선
쌍곡선
1. 이차곡선
39
35
개념원리
익히기
다음은 쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =1의 초점과 꼭짓점의 좌표 및 주축의 길이를 구하
3
6
고, 그 그래프를 그리는 과정이다.  안에 알맞은 것을 써넣고, 그래프를 그
리시오.
쌍곡선의 한 초점의 좌표를 (c, 0)`(c>0)이라 하면
c=¿¹3+
주축의 길이는 2_
꼭짓점의 좌표는
36
,
O
,
xÛ`
-yÛ`=1
4
⑵ xÛ`-2yÛ`=-12
xÛ` (y-3)Û`
=1
9
36
⑵ -5(x+1)Û`+4(y-1)Û`=20
다음 쌍곡선의 점근선의 방정식을 구하시오.
⑴
yÛ`
xÛ`
- =1
36 16
⑵
(x+2)Û` (y-3)Û`
=-1
4
25
40 Ⅰ. 이차곡선
(a, 0), (-a, 0)
주축의 길이: 2a
점근선의 방정식:
y=Ñ;aB;x
다음 쌍곡선의 초점의 좌표와 꼭짓점의 좌표를 구하시오.
⑴
38
x
=
그리시오.
37
y
다음 쌍곡선의 초점과 꼭짓점의 좌표 및 주축의 길이를 구하고, 그 그래프를
⑴
xÛ` yÛ`
- =1
aÛ` bÛ`
(단, c>a>0, cÛ`=aÛ`+bÛ`)
⇨ 초점의 좌표:
쌍곡선
(c, 0), (-c, 0)
꼭짓점의 좌표:
=
따라서 초점의 좌표는
생각해 봅시다!
필수예제
14 쌍곡선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 17쪽
다음 쌍곡선의 방정식을 구하시오.
⑴ 두 초점 F(4, 0), F'(-4, 0)에서의 거리의 차가 6인 쌍곡선
⑵ 두 초점 F(0, '7 ), F'(0, -'7 )에서의 거리의 차가 4인 쌍곡선
⑴두 초점이 x축 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의 방정식을
풀이
xÛ` yÛ`
- =1`(a>0, b>0)이라 하자.
aÛ`
bÛ`
거리의 차가 6이므로 2a=6 ∴ a=3
aÛ`+bÛ`=4Û`에서 bÛ`=4Û`-3Û`=7 ∴
yÛ`
xÛ`
- =1
9
7
⑵두 초점이 y축 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의 방정식을
xÛ` yÛ`
- =-1`(a>0, b>0)이라 하자.
aÛ`
bÛ`
거리의 차가 4이므로 2b=4 ∴ b=2
aÛ`+bÛ`=('7 )Û`에서 aÛ`=('7 )Û`-2Û`=3 ∴
yÛ`
xÛ`
- =-1
3
4
⑴조건을 만족시키는 쌍곡선 위의 점을 P(x, y)라 하면 쌍곡선의 정
다른풀이
y
의에 의하여 |PFÓ-PÕF'Ó|=6이므로
P(x, y)
F(4, 0)
F'(-4, 0)
|"Ã(x-4)Û`+yÛ`-"Ã(x+4)Û`+yÛ`|=6
"Ã(x-4)Û`+yÛ`="Ã(x+4)Û`+yÛ`Ñ6
x
O
양변을 제곱하여 정리하면 -4x-9=Ñ3"Ã(x+4)Û`+yÛ`
다시 양변을 제곱하여 정리하면 7xÛ`-9yÛ`=63 xÛ` yÛ`
- =1
9
7
⑵조건을 만족시키는 쌍곡선 위의 점을 P(x, y)라 하면 쌍곡선의 정의에 의하
∴
여 |PFÓ-PÕF'Ó|=4이므로
y
F(0, 17)
O
|"ÃxÛ`+(y-'7 )Û`-"ÃxÛ`+(y+'7 )Û`|=4
"ÃxÛ`+(y-'7 )Û`="ÃxÛ`+(y+'7 )Û`Ñ4
P(x, y)
x
양변을 제곱하여 정리하면 -'7y-4=Ñ2"ÃxÛ`+(y+'7 )Û`
다시 양변을 제곱하여 정리하면 4xÛ`-3yÛ`=-12 ∴
KEY
Point
확인
체크
xÛ` yÛ`
- =-1
3
4

두 초점이 F(c, 0), F'(-c, 0)일 때 ⇨
xÛ` yÛ`
- =1, (거리의 차)=2a, cÛ`=aÛ`+bÛ`
aÛ`
bÛ`

두 초점이 F(0, c), F'(0, -c)일 때 ⇨
xÛ` yÛ`
- =-1, (거리의 차)=2b, cÛ`=aÛ`+bÛ`
aÛ`
bÛ`
F'(0, -17)
39
두 초점이 (0, 2), (0, -2)이고 점 (2, '6 )을 지나는 쌍곡선의 방정식을 구하시오.
40
두 초점이 F(3, 0), F'(-3, 0)이고 주축의 길이가 2'2인 쌍곡선이 점 (k, 7)을 지날 때,
양수 k의 값을 구하시오.
1. 이차곡선
41
필수예제
15 쌍곡선의 점근선
더 다양한 문제는 RPM 기하 17쪽
다음 물음에 답하시오.
⑴ 두 초점이 F(0, 5), F'(0, -5)이고 점근선의 방정식이 y=Ñ;2!;x인 쌍곡선의 방정
식을 구하시오.
⑵ 두 초점이 F(6, 0), F'(-6, 0)이고 점근선의 방정식이 y=Ñ'5x인 쌍곡선의 주축
의 길이를 구하시오.
⑴ 두 초점이 y축 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의 방정식을
풀이
aÛ`+bÛ`=5Û`=25 xÛ` yÛ`
- =-1`(a>0, b>0)이라 하자.
aÛ`
bÛ`
yy`㉠
또, 점근선의 방정식이 y=Ñ;2!;x이므로
;aB;=;2!; ∴ a=2b yy`㉡
㉠, ㉡에서 aÛ`=20, bÛ`=5
∴
yÛ`
xÛ`
- =-1
20
5
⑵ 두 초점이 x축 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의 방정식을
aÛ`+bÛ`=6Û`=36 xÛ` yÛ`
- =1`(a>0, b>0)이라 하자.
aÛ`
bÛ`
yy`㉠
또, 점근선의 방정식이 y=Ñ'5x이므로
;aB;='5 ∴ b='5a yy`㉡
㉠, ㉡에서 aÛ`=6 ∴ a='6 (∵ a>0)
따라서 주축의 길이는 2a=2_'6=2'6
KEY
Point
확인
체크

41
쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =Ñ1의 점근선의 방정식 ⇨ y=Ñ;aB;x
aÛ`
bÛ`
두 초점이 F(2'3, 0), F'(-2'3, 0)이고 점근선의 방정식이 y=Ñ'3x인 쌍곡선의 방정
식을 구하시오.
42
42 Ⅰ. 이차곡선
xÛ` yÛ`
- =-1의 주축의 길이가 4이고 한 점근선의 방정식이 y=2x일 때, 상수 a,
aÛ` bÛ`
b에 대하여 aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오.
쌍곡선
필수예제
16 중심이 원점이 아닌 쌍곡선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 18쪽
두 초점 F(3, -1), F'(-1, -1)에서의 거리의 차가 2인 쌍곡선의 방정식을 구하
시오.
설명
쌍곡선의 두 초점 F, F'에 대하여 쌍곡선의 중심은 선분 FF'의 중점과 같다.
풀이
쌍곡선의 중심은 선분 FF'의 중점이므로
{
y
3-1 -1-1
,
}, 즉 (1, -1)
2
2
-1
이때 두 초점이 x축과 평행한 직선 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의
방정식을
F'(-1, -1)
-1
O
1
3
x
F(3, -1)
중심
(x-1)Û` (y+1)Û`
=1`(a>0, b>0)이라 하자.
aÛ`
bÛ`
거리의 차가 2이므로 2a=2 ∴ a=1
또한, 중심에서 초점까지의 거리가 2이므로
aÛ`+bÛ`=2Û`에서 bÛ`=2Û`-1Û`=3
따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 (x-1)Û`-
(y+1)Û`
=1
3
다른풀이 쌍곡선 위의 한 점을 P(x, y)라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여
y
P(x, y)
|PFÓ-PÕF'Ó|=2이므로
|"Ã(x-3)Û`+(y+1)Û`-"Ã(x+1)Û`+(y+1)Û`|=2
"Ã(x-3)Û`+(y+1)Û`="Ã(x+1)Û`+(y+1)Û`Ñ2
O
x
F(3, -1)
F'(-1, -1)
양변을 제곱하여 정리하면 -2x+1=Ñ"Ã(x+1)Û`+(y+1)Û`
다시 양변을 제곱하여 정리하면
3(x-1)Û`-(y+1)Û`=3 ∴ (x-1)Û`-
KEY
Point
확인
체크
(y+1)Û`
=1
3
쌍곡선의 중심이 원점이 아닐 때

두 초점이 x축과 평행한 직선 위에 있으면 ⇨
(x-m)Û` (y-n)Û`
=1 (a>0, b>0)
aÛ`
bÛ`

두 초점이 y축과 평행한 직선 위에 있으면 ⇨
(x-m)Û` (y-n)Û`
=-1 (a>0, b>0)
aÛ`
bÛ`
43
두 초점 F(1, 8), F'(1, 0)에서의 거리의 차가 6인 쌍곡선의 방정식을 구하시오.
44
두 점 F(4, 2), F'(-6, 2)에 대하여 | PFÓ-PÕF'Ó|=8을 만족시키는 점 P가 나타내는 도
형의 방정식을 구하시오.
1. 이차곡선
43
필수예제
17 쌍곡선의 방정식의 일반형
더 다양한 문제는 RPM 기하 19쪽
쌍곡선 4xÛ`-9yÛ`-8x+36y-68=0의 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표, 중심의 좌표, 주축
의 길이, 점근선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.
주어진 식에서 4(x-1)Û`-9(y-2)Û`=36 Û x, y에 대하여 완전제곱꼴로 변형
풀이
(x-1)Û`
(y-2)Û`
=1
9
4
xÛ` yÛ`
이 쌍곡선은 쌍곡선
- =1을 x축의 방향으로 1만
9
4
큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 그 그래
양변을 36으로 나누면
프는 오른쪽 그림과 같다.
y
(1313+1, 2)
(-1313+1, 2)
xÛ` yÛ`
- =1의
9
4
초점의 좌표는 ('1Œ3, 0), (-'1Œ3, 0), Û 'Ä9+4='1Œ3
이때 쌍곡선
꼭짓점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0),
(x-1)Û (y-2)Û
;;;;;;;9;;;;;;;-;;;;;;;4;;;;;;;=1
x
O
xÛ yÛ
;9;-;4;=1
중심의 좌표는 (0, 0),
점근선의 방정식은 y=Ñ;3@;x
이므로 구하는 쌍곡선의
초점의 좌표는 ('1Œ3+1, 2), (-'1Œ3+1, 2),
꼭짓점의 좌표는 (4, 2), (-2, 2),
중심의 좌표는 (1, 2),
주축의 길이는 2_3=6
점근선의 방정식은 y-2=Ñ;3@;`(x-1), 즉 y=;3@;x+;3$;, y=-;3@;x+;3*;
KEY
Point
확인
체크

쌍곡선의 방정식의 일반형 ⇨ x, y에 대하여 완전제곱꼴로 변형한다.

쌍곡선을 평행이동하면 초점, 꼭짓점, 중심의 좌표, 점근선의 방정식은 변하지만 주축의 길이는 변하지 않는다.
45
쌍곡선 4xÛ`-5yÛ`+16x+10y+31=0의 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표, 중심의 좌표, 주축
의 길이, 점근선의 방정식을 구하고, 그 그래프를 그리시오.
46
쌍곡선 xÛ`-8yÛ`-2x-7=0의 두 초점의 좌표가 (a, 0), (b, 0)일 때, ab의 값을 구하시
오. (단, a>b)
47
쌍곡선 3xÛ`-yÛ`+18x+4y+26=0의 두 초점을 A, B라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이를
구하시오. (단, O는 원점)
44 Ⅰ. 이차곡선
필수예제
18 쌍곡선의 정의의 활용
더 다양한 문제는 RPM 기하 19쪽
오른쪽 그림과 같이 점 (2, 0)을 지나는 직선이 쌍곡선
y
A
3xÛ`-yÛ`=3의 x¾0인 부분과 만나는 두 점을 각각 A, B라 하자.
두 점 A, B와 점 C(-2, 0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의
둘레의 길이가 22일 때, 선분 AB의 길이를 구하시오.
C
-2
x
2
O
B
yÛ`
=1
3
'Ä1+3=2이므로 초점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0)
y
3xÛ`-yÛ`=3에서 xÛ`-
풀이
이때 점 C는 쌍곡선의 한 초점이므로 F(2, 0)이라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여
ACÓ-AFÓ=2_1=2 yy`㉠
A
-1
C
-2
1 F
O 2
x
B
BCÓ-BFÓ=2_1=2 yy`㉡
㉠+㉡을 하면
ACÓ-AFÓ+BCÓ-BFÓ=4
ACÓ+BCÓ-(AFÓ+BFÓ)=4
ACÓ+BCÓ-ABÓ=4 yy`㉢
한편, 삼각형 ABC의 둘레의 길이가 22이므로
ACÓ+BCÓ+ABÓ=22 yy`㉣
㉣-㉢을 하면 2ABÓ=18 ∴ ABÓ=9
KEY
Point

쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =1 위의 점 P와 두 초점 F, F'에 대하여
aÛ`
bÛ`
|PFÓ-PÕF'Ó|=(주축의 길이)=2a`(a>0)
확인
체크
48
xÛ` yÛ`
- =-1의 두 초점을 F, F'이라
6
3
하고 점 F를 지나는 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 A, B라
y
오른쪽 그림과 같이 쌍곡선
하자. ABÓ=4'3일 때, AÕF'Ó+BÕF'Ó의 값을 구하시오.
A
F
B
O
x
F'
49
yÛ`
xÛ`
- =1의 두 초점 F, F'과 쌍곡선 위의 점 P에 대하여 PÕF'Ó=2PFÓ가 성립할
16
9
때, 삼각형 PFF'의 둘레의 길이를 구하시오.
쌍곡선
1. 이차곡선
45
필수예제
19 이차곡선
더 다양한 문제는 RPM 기하 20쪽
다음 방정식은 어떤 도형을 나타내는지 말하시오.
⑴ xÛ`+yÛ`-4x-5=0
⑵ 4xÛ`-yÛ`-2y+3=0
⑶ 3xÛ`+12x+5y+2=0
⑷ 5xÛ`+yÛ`-10x+4y-1=0
⑴ xÛ` 항과 yÛ` 항의 계수가 같으므로 원이다.
풀이
⑵ xÛ` 항과 yÛ` 항의 계수의 곱이 음수이므로 쌍곡선이다.
⑶ yÛ` 항과 xy항이 없으므로 포물선이다.
⑷ xÛ` 항과 yÛ` 항의 계수의 곱이 양수이고 서로 다르므로 타원이다.
⑴ xÛ`+yÛ`-4x-5=0에서 (x-2)Û`+yÛ`=9
다른풀이
따라서 주어진 방정식은 중심이 (2, 0)이고 반지름의 길이가 3인 원을 나타낸다.
⑵ 4xÛ`-yÛ`-2y+3=0에서 4xÛ`-(y+1)Û`=-4 ∴ xÛ`따라서 주어진 방정식은 쌍곡선 xÛ`-
(y+1)Û`
=-1
4
yÛ`
=-1을 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 쌍곡선을 나타
4
낸다.
⑶ 3xÛ`+12x+5y+2=0에서 3(x+2)Û`=-5(y-2) ∴ (x+2)Û`=-;3%;(y-2)
따라서 주어진 방정식은 포물선 xÛ`=-;3%;y를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행
이동한 포물선을 나타낸다.
⑷ 5xÛ`+yÛ`-10x+4y-1=0에서 5(x-1)Û`+(y+2)Û`=10 ∴
따라서 주어진 방정식은 타원
(x-1)Û` (y+2)Û`
+
=1
2
10
yÛ`
xÛ`
+ =1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행
2
10
이동한 타원을 나타낸다.
KEY
Point
확인
체크
x, y에 대한 이차방정식 axÛ`+byÛ`+cx+dy+e=0에서

a=b`(a+0, b+0) ⇨ 원

a=0, b+0`또는 a+0, b=0 ⇨ 포물선

ab>0, a+b ⇨ 타원

ab<0 ⇨ 쌍곡선
50
다음 방정식은 어떤 도형을 나타내는지 말하시오.
⑴ yÛ`+12x+6y-3=0
51
⑵ 3xÛ`+2yÛ`-12x+4y-4=0
방정식 2xÛ`+kyÛ`-6x=0이 나타내는 도형이 다음과 같을 때, 실수 k의 값의 범위를 구하
시오.
⑴ 타원
46 Ⅰ. 이차곡선
⑵ 쌍곡선
정답과 풀이 56쪽
연습문제
STEP
26
27
1
생각해 봅시다!
xÛ` yÛ`
- =1의 두 초점 사이의 거리가 주축의 길이의 4배일 때, 이
aÛ` bÛ`
쌍곡선의 점근선의 방정식을 구하시오. (단, a, b는 상수)
쌍곡선
[ 평가원기출 ]
두 직선 y=mx+n,
y=m'x+n'이 서로 수직
이면
⇨ mm'=-1
다음 조건을 만족시키는 쌍곡선의 주축의 길이는?
㈎ 두 초점의 좌표는 (5, 0), (-5, 0)이다.
㈏ 두 점근선이 서로 수직이다.
① 2'2
28
② 3'2
③ 4'2
④ 5'2
⑤ 6'2
쌍곡선 4xÛ`-yÛ`-24x+4y+28=0에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대
로 고르시오.
보기
ㄱ. 주축의 길이는 6이다.
ㄴ. 주축은 x축에 평행하다.
ㄷ. 초점의 좌표는 ('5+3, 2), (-'5+3, 2)이다.
ㄹ. 점근선의 방정식은 y=2x-3, y=-2x+5이다.
29
방정식 xÛ`-yÛ`+2y+k=0이 나타내는 도형이 x축에 평행한 주축을 갖는 쌍
곡선이 되기 위한 실수 k의 값의 범위는?
① k<-1
30
② k>-1
③ k<1
④ k>1
⑤ k>2
주축이 x축에 평행한 쌍곡
선의 방정식
⇨
(x-m)Û` (y-n)Û`
=1
aÛ`
bÛ`
yÛ`
xÛ`
- =1의 두 초점 F, F'과 쌍곡선 위의 한 점 P에 대하여
4
12
PFÓ：PÕF'Ó=3：2일 때, 삼각형 PFF'의 둘레의 길이를 구하시오.
쌍곡선
1. 이차곡선
47
정답과 풀이 57쪽
연습문제
STEP
2
31
오른쪽 그림과 같이 타원
xÛ` yÛ`
+ =1과 쌍곡선
aÛ` cÛ`
y
xÛ` yÛ`
- =1은 두 초점 F, F'을 공유한다. 이 두 곡
bÛ`
cÛ`
선의 한 교점 P에 대하여 PFÓ=4, PÕF'Ó=12일 때,
타원과 쌍곡선의 정의에 의
하여
P
F'
O
F
x
cÛ`의 값을 구하시오. (단, a, b, c는 상수)
32
[ 교육청기출 ]
xÛ` yÛ`
- =1이 서로 다른 네 점에서 만나고 이 네 점
aÛ` bÛ`
은 원의 둘레를 4등분한다. 이 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 y='2x일 때,
원 xÛ`+yÛ`=8과 쌍곡선
aÛ`+bÛ`의 값은? (단, a, b는 상수)
①4
33
②5
③6
④7
⑤8
두 초점이 (4, 0), (-4, 0)이고 주축의 길이가 4인 쌍곡선을 x축의 방향으
로 6만큼 평행이동하였을 때, 처음 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 A, B라 하
자. 이때 선분 AB의 길이는?
① 2'1Œ0
34
② 3'5
③7
④ 2'1Œ5
⑤ 3'1Œ3
방정식 3xÛ`-4yÛ`+16y-28=0이 나타내는 도형의 점근선과 x축으로 둘러
싸인 부분의 넓이는?
①
35
PFÓ+PÕF'Ó
=(타원의 장축의 길이)
|PFÓ-PÕF'Ó|
=(쌍곡선의 주축의 길이)
3'2
4
②
3'3
4
③
3'3
2
④
8'2
3
⑤
8'3
3
점 F(-4, 0)에서의 거리와 직선 x=-1에서의 거리의 비가 2：1인 점 P
의 자취의 방정식을 구하시오.
48 Ⅰ. 이차곡선
원과 쌍곡선은 모두 원점을
중심으로 하고 원점, x축, y
축에 대하여 대칭인 도형이
다.
정답과 풀이 59쪽
실력
36
xÛ` yÛ`
- =1의 두 초점
16
9
을 각각 F, F'이라 하고, 제 1 사분면 위에 있는 쌍
y
오른쪽 그림과 같이 쌍곡선
생각해 봅시다!
P(a, b)
F'
곡선 위의 한 점 P(a, b)와 원점에 대하여 대칭인
O
Q
F
x
두 점 P, Q가 원점에 대하
여 대칭이므로
⇨ △PF'Fª△QFF'
점을 Q라 하자. 사각형 F'QFP의 넓이가 60일 때,
aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오.
37
쌍곡선 3xÛ`-4yÛ`=12 위의 임의의 점 P에서 이 쌍곡선의 두 점근선에 이르
는 거리의 곱을 구하시오.
yÛ`
xÛ`
+ =1과 쌍곡선에서 쌍곡선의 한 점근선의
25 16
방정식이 y='3Œ5x일 때, 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 사이의 거리를 구하시오.
38
두 초점을 공유하는 타원
39
오른쪽 그림과 같이 두 초점이 F('3, 0),
y
F'(-'3, 0)이고 두 점근선이 이루는 각의 크기가
60ù인 쌍곡선의 방정식이 4xÛ`-pyÛ`=q일 때, 상수
F x
F'
O
C
y xÛ
yÛ
;16;-;9;=1
60ù
직선이 x축의 양의 방향과
이루는 각의 크기를 h라 하
면
⇨ (기울기)=tan`h
p, q에 대하여 p+q의 값을 구하시오.
40
[ 평가원기출 ]
yÛ`
xÛ`
- =1의 두 초
16
9
점을 F, F'이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 P를 중
오른쪽 그림과 같이 쌍곡선
심으로 하고 선분 PF'을 반지름으로 하는 원을 C
라 하자. 원 C 위를 움직이는 점 Q에 대하여 선분
P
F'
Q
O
F
x
FQ의 길이의 최댓값이 14일 때, 원 C의 넓이는?
(단, PÕF'Ó<PFÓ)
① 7p
② 8p
③ 9p
④ 10p
⑤ 11p
1. 이차곡선
49
Take a Break
하나의 어리석음에서
또 다른 어리석음을 만들지 마라.
하나의 어리석음에서 또 다른 어리석음을 만들지 마라.
한 가지 어리석음을 개선하려다 네 가지 어리석음을 범하거나 한 가지 잘못을 고치려다 더 큰 잘못을
저지르는 일이 자주 있다.
잘못된 비난보다 더 나쁜 것은 잘못을 보호하려는 것이다.
그리고 악 그 자체보다 더 악한 것은 그 악을 감추지 못하는 것이다.
과실은 가장 지혜있는 자라도 저지를 수 있다.
그러나 그 과실이 되풀이되어서는 안 된다.
또한 과실이 오랫동안 지속되어서도 안 된다.
Ⅰ
이차곡선
1. 이차곡선
2. 이차곡선과 직선
01
이차곡선과 직선의 위치 관계
2. 이차곡선과 직선
개념원리 이해
1. 이차곡선과 직선의 위치 관계
필수예제 1, 2
축이 x축 또는 y축에 평행한 이차곡선과 직선의 방정식을 각각
axÛ`+byÛ`+cx+dy+e=0 yy`㉠
y=mx+n yy`㉡
이라 하고, ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 다음과 같다.
(a+bmÛ`)xÛ`+(2bmn+c+dm)x+(bnÛ`+dn+e)=0 yy`㉢
이때 이차곡선 ㉠과 직선 ㉡의 교점의 개수는 이차방정식 ㉢의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
따라서 이차방정식 ㉢의 판별식을 D라 하면 D의 부호에 따라 이차곡선과 직선의 위치 관계는 다
음과 같다.
⑴ D>0이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ D=0이면 한 점에서 만난다. (접한다.)
⑶ D<0이면 만나지 않는다.
y
D<0 D=0
D>0
x
O
y
D<0
D=0
D>0
y
y=mx+n
O
x
O
x
yÛ
xÛ
;;;;;+;;;;;=1
bÛ
aÛ
D<0
D=0
D>0
yÛ
xÛ
;;;;;-;;;;;=1
bÛ
aÛ
y=mx+n
yÛ =4px
y=mx+n
① 포물선의 축과 평행한 직선은 포물선과 한 점에서 만나지만 접선은 아니다.
② 쌍곡선의 점근선과 평행한 직선은 쌍곡선과 한 점에서 만나지만 접선은 아니다.
③ 쌍곡선의 주축과 평행한 직선은 쌍곡선과 항상 두 점에서 만난다.
y
① y
②
③
O
x
O
x
예
포물선 yÛ`=4x와 직선 y=x+1의 위치 관계를 말하시오.
풀이
y=x+1을 yÛ`=4x에 대입하여 정리하면
xÛ`-2x+1=0
D
=(-1)Û`-1=0
4
따라서 포물선과 직선은 한 점에서 만난다. (접한다.)
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
52 Ⅰ. 이차곡선
y
O
x
필수예제
01 이차곡선과 직선의 위치 관계 ⑴
더 다양한 문제는 RPM 기하 28쪽
다음 이차곡선과 직선 3x-y+1=0의 위치 관계를 말하시오.
⑴ yÛ`=12x
⑵ xÛ`+
yÛ`
=1
3
⑶ xÛ`-yÛ`=1
설명
이차곡선의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식을 이용한다.
풀이
3x-y+1=0에서 y=3x+1 yy`㉠
⑴ ㉠을 yÛ`=12x에 대입하면 (3x+1)Û`=12x
∴ 9xÛ`-6x+1=0
D
=(-3)Û`-9=0
4
따라서 주어진 이차곡선과 직선은 한 점에서 만난다. (접한다.)
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
(3x+1)Û`
yÛ`
=1
=1에 대입하면 xÛ`+
3
3
∴ 6xÛ`+3x-1=0
⑵ ㉠을 xÛ`+
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=3Û`-4_6_(-1)=33>0
따라서 주어진 이차곡선과 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑶ ㉠을 xÛ`-yÛ`=1에 대입하면 xÛ`-(3x+1)Û`=1
∴ 4xÛ`+3x+1=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=3Û`-4_4_1=-7<0
따라서 주어진 이차곡선과 직선은 만나지 않는다.
KEY
Point
이차곡선의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식을 D라 할 때



확인
체크
52
D>0 HjK 서로 다른 두 점에서 만난다.
D=0 HjK 한 점에서 만난다. (접한다.)
D<0 HjK 만나지 않는다.
다음 이차곡선과 직선 x+2y-2=0의 위치 관계를 말하시오.
⑴ xÛ`=2y
53
쌍곡선
⑵ xÛ`+4yÛ`=2
⑶
xÛ` yÛ`
- =-1
4
3
xÛ` yÛ`
- =-1과 직선 y=3x가 두 점 A, B에서 만날 때, 선분 AB의 길이를 구
2
2
하시오.
2. 이차곡선과 직선
53
필수예제
02 이차곡선과 직선의 위치 관계 ⑵
더 다양한 문제는 RPM 기하 28쪽
포물선 yÛ`=3x와 직선 y=x+k의 위치 관계가 다음과 같을 때, 실수 k의 값 또는 범위
를 구하시오.
⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ 접한다.
⑶ 만나지 않는다.
설명
포물선의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식을 이용한다.
y=x+k를 yÛ`=3x에 대입하면 (x+k)Û`=3x
풀이
∴ xÛ`+(2k-3)x+kÛ`=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(2k-3)Û`-4kÛ`=-12k+9
⑴ 서로 다른 두 점에서 만나면 D>0이므로
-12k+9>0 ∴ k<;4#;
⑵ 접하면 D=0이므로
-12k+9=0 ∴ k=;4#;
⑶ 만나지 않으면 D<0이므로
-12k+9<0 ∴ k>;4#;
확인
체크
54
xÛ`
-yÛ`=1과 직선 y=x+k의 위치 관계가 다음과 같을 때, 실수 k의 값 또는 범
2
위를 구하시오.
쌍곡선
⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ 접한다.
⑶ 만나지 않는다.
xÛ` yÛ`
+ =1과 직선 y=x-3이 접할 때, 상수 a의 값을 구하시오. (단, a>0)
a
3
55
타원
56
포물선 xÛ`=-y가 직선 y=-x+m과는 만나지 않고, 직선 y=2x+m과는 서로 다른
두 점에서 만나도록 하는 실수 m의 값의 범위를 구하시오.
54 Ⅰ. 이차곡선
정답과 풀이 60쪽
연습문제
STEP
1
41
포물선 2yÛ`-x=0에 대하여 다음 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
생각해 봅시다!
보기
ㄱ. 직선 2x-4y+1=0과 접한다.
ㄴ. 직선 x-y+2=0과 만나지 않는다.
ㄷ. 직선 x+y+1=0과 서로 다른 두 점에서 만난다.
42
실수 전체의 집합의 두 부분집합
A={(x, y)|y=ax-2}, B=[(x, y)|
xÛ` yÛ`
+ =1]
6
3
에 대하여 n(A;B)=1을 만족시키는 모든 실수 a의 값의 곱을 구하시오.
STEP
2
43
포물선 yÛ`=-8x와 서로 다른 두 점에서 만나는 직선 y=x를 y축에 대하여
대칭이동한 후 x축의 방향으로 k만큼 평행이동하면 포물선 yÛ`=-8x와 만
나지 않는다. 이때 실수 k의 값의 범위를 구하시오.
44
[ 교육청기출 ]
직선 y=mx가 두 쌍곡선 xÛ`-yÛ`=1,
n(A;B)=1이면 직선
y=ax-2는 타원
xÛ` yÛ`
+ =1과 한 점에서
3
6
만난다.
직선 y=x를 y축에 대하여
대칭이동하면
⇨ y=-x
yÛ`
xÛ`
- =-1 중 어느 것과도 만나
4
64
지 않도록 하는 정수 m의 개수는?
①2
②4
③6
④8
⑤ 10
실력
45
쌍곡선 2xÛ`-yÛ`=-4와 직선 y=2x+a가 서로 다른 두 점 A, B에서 만날
때, 선분 AB의 중점이 나타내는 도형의 방정식을 구하시오. (단, a는 실수)
2. 이차곡선과 직선
55
02
포물선의 접선의 방정식
2. 이차곡선과 직선
개념원리 이해
1. 기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식
필수예제 3
포물선 yÛ`=4px에 접하고 기울기가 m`(m+0)인 직선의 방정식은
p
y=mx+
m
① 한 포물선에 대하여 기울기가 주어진 접선은 1개 존재한다.
② 포물선 yÛ`=4px에 접하고 기울기가 0인 접선은 존재하지 않는다.
설명
포물선 yÛ`=4px에 접하고 기울기가 m`(m+0)인 직선의 방정식을 구해 보자.
y
y=mx+n
O
x
구하는 직선의 방정식을 y=mx+n이라 하고, 이 식을 yÛ`=4px에 대입하여 정리하면
mÛ`xÛ`+2(mn-2p)x+nÛ`=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
=(mn-2p)Û`-mÛ`nÛ`=4p(p-mn)
4
이때 포물선과 직선이 접하면 D=0이므로
4p(p-mn)=0 ∴ n=
p
m
따라서 구하는 직선의 방정식은
y=mx+
참고
p
m
포물선 xÛ`=4py에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은
y=mx-mÛ`p
예
다음 직선의 방정식을 구하시오.
⑴ 포물선 yÛ`=4x에 접하고 기울기가 3인 직선
⑵ 포물선 xÛ`=2y에 접하고 기울기가 -4인 직선
풀이
⑴ yÛ`=4x=4_1_x에서 p=1이므로 구하는 접선의 방정식은
y=3x+;3!;
⑵ xÛ`=2y=4_;2!; y에서 p=;2!;이므로 구하는 접선의 방정식은
y=-4x-(-4)Û`_;2!; ∴ y=-4x-8
56 Ⅰ. 이차곡선
yÛ =4px
2. 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식
필수예제 4
⑴ 포물선 yÛ`=4px 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
yÁ y=2p(x+xÁ)
⑵ 포물선 xÛ`=4py 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
xÁ x=2p(y+yÁ)
⑴ 포물선의 방정식에 yÛ` 대신 yÁ y, x 대신 ;2!;(x+xÁ)을 대입한 것과 같다.
⑵ 포물선의 방정식에 xÛ` 대신 xÁ x, y 대신 ;2!;(y+yÁ)을 대입한 것과 같다.
설명
y y-yÁ=m(x-xÁ)
⑴ 포물선 yÛ`=4px 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식을 구해 보자.
Ú xÁ+0일 때, 접선의 기울기를 m`(m+0)이라 하면 구하는 접선의 방정식은
y-yÁ=m(x-xÁ) yy`㉠
P(xÁ, yÁ)
㉠을 yÛ`=4px에 대입하여 얻은 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0에서
O
x
16pxÁmÛ`-16pyÁm+16pÛ`=0
yÛ =4px
이 식을 yÁÛ`=4pxÁ임을 이용하여 정리하면
(yÁm)Û`-4pyÁm+(2p)Û`=0, (yÁm-2p)Û`=0 ∴ m=
2p
yÁ
이것을 ㉠에 대입하여 정리하면
yÁ y=2p(x+xÁ) yy`㉡
Û xÁ=0일 때, 점 P는 원점이므로 접선의 방정식은 x=0, 즉 ㉡이 성립한다.
Ú, Û에서 구하는 접선의 방정식은
yÁ y=2p(x+xÁ)
⑵같은 방법으로 포물선 xÛ`=4py 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
xÁ x=2p(y+yÁ)
예
다음 접선의 방정식을 구하시오.
⑴ 포물선 yÛ`=2x 위의 점 (2, 2)에서의 접선
⑵ 포물선 xÛ`=-4y 위의 점 (-2, -1)에서의 접선
풀이
⑴ yÛ`=2x=4_;2!;x에서 p=;2!;
xÁ=2, yÁ=2이므로 구하는 접선의 방정식은
2y=2_;2!;_(x+2) ∴ y=;2!;x+1
⑵ xÛ`=-4y=4_(-1)y에서 p=-1
xÁ=-2, yÁ=-1이므로 구하는 접선의 방정식은
-2x=2_(-1)_(y-1) ∴ y=x+1
2. 이차곡선과 직선
57
개념원리 이해
3. 포물선 밖의 점에서 포물선에 그은 접선의 방정식
필수예제 5
포물선 밖의 점 P에서 포물선에 그은 접선의 방정식은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.
[방법 1] 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식 이용
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 할 때, 이 점에서의 접선이 점 P를 지남을 이용한다.
[방법 2] 기울기가 주어진 접선의 방정식 이용
접선의 기울기를 m이라 할 때, 이 접선이 점 P를 지남을 이용한다.
[방법 3] 판별식 이용
점 P를 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식과 포물선의 방정식을 연립하여 얻은 이
차방정식의 판별식이 0임을 이용한다.
포물선 밖의 점에서 포물선에 접선을 그을 수 있을 때, 접선은 모두 2개이다.
예
점 P(-2, 1)에서 포물선 yÛ`=4x에 그은 접선의 방정식을 구하시오.
풀이
[방법 1] 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 접선의 방정식은 yÁ y=2(x+xÁ)
이 직선이 점 P(-2, 1)을 지나므로 yÁ=2(-2+xÁ) yy`㉠
또, 점 (xÁ, yÁ)이 포물선 yÛ`=4x 위의 점이므로 yÁÛ`=4xÁ yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 xÁÛ`-5xÁ+4=0
(xÁ-1)(xÁ-4)=0 ∴ xÁ=1 또는 xÁ=4
㉠에서 xÁ=1일 때 yÁ=-2, xÁ=4일 때 yÁ=4이므로 구하는 접선의 방정식은
y=-x-1, y=;2!;x+2
[방법 2] 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은 y=mx+
1
m
1
m
이 직선이 점 P(-2, 1)을 지나므로 1=-2m+
2mÛ`+m-1=0, (m+1)(2m-1)=0
∴ m=-1 또는 m=;2!;
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=-x-1, y=;2!;x+2
[방법 3] 점 P(-2, 1)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은
y-1=m(x+2), 즉 y=mx+2m+1 ㉢을 yÛ`=4x에 대입하여 정리하면
mÛ`xÛ`+2(2mÛ`+m-2)x+(2m+1)Û`=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
=(2mÛ`+m-2)Û`-mÛ`(2m+1)Û`=0
4
2mÛ`+m-1=0, (m+1)(2m-1)=0
∴ m=-1 또는 m=;2!;
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=-x-1, y=;2!;x+2
58 Ⅰ. 이차곡선
yy`㉢
개념원리
57
익히기
생각해 봅시다!
다음 직선의 방정식을 구하시오.
포물선 yÛ`=4px에 접하고
기울기가 m`(m+0)인 직
선의 방정식
p
⇨ y=mx+
m
⑴ 포물선 yÛ`=12x에 접하고 기울기가 2인 직선
⑵ 포물선 yÛ`=-2x에 접하고 기울기가 ;5!;인 직선
58
다음 접선의 방정식을 구하시오.
⑴ 포물선 yÛ`=-8x 위의 점 (-2, -4)에서의 접선
⑵ 포물선 xÛ`=12y 위의 점 (-6, 3)에서의 접선
⑶ 포물선 yÛ`=3x 위의 점 (3, -3)에서의 접선
⑷ 포물선 ;2!;xÛ`=-4y 위의 점 (4, -2)에서의 접선
59
① 포물선 yÛ ` =4px 위의
점 P(xÁ, yÁ)에서의 접
선의 방정식
⇨ yÁ y=2p(x+xÁ)
② 포물선 xÛ ` =4py 위의
점 P(xÁ, yÁ)에서의 접
선의 방정식
⇨ xÁ x=2p(y+yÁ)
다음은 점 (1, 0)에서 포물선 yÛ`=-x에 그은 접선의 방정식을 구하는 과정
이다.  안에 알맞은 것을 써넣으시오.
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 접선의 방정식은
yÁ y=
이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로
0=
yy`㉠
또, 점 (xÁ, yÁ)이 포물선 yÛ`=-x 위의 점이므로
yÁÛ`=-xÁ yy`㉡
㉠, ㉡에서 xÁ=
, yÁ=-1 또는 xÁ=
, yÁ=
따라서 구하는 접선의 방정식은
y=
, y=
2. 이차곡선과 직선
59
필수예제
03 기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 28쪽
포물선 yÛ`=16x에 접하고 직선 3x-y+2=0과 평행한 직선이 점 (a, 1)을 지날 때,
a의 값을 구하시오.
설명
평행한 두 직선의 기울기는 서로 같음을 이용하여 접선의 기울기를 알 수 있다.
풀이
직선 3x-y+2=0, 즉 y=3x+2와 평행한 직선의 기울기는 3이므로
포물선 yÛ`=16x=4_4x에 접하고 기울기가 3인 직선의 방정식은
y=3x+;3$;
이 직선이 점 (a, 1)을 지나므로
1=3a+;3$;, 3a=-;3!; ∴ a=-;9!;
직선 3x-y+2=0, 즉 y=3x+2와 평행한 직선의 기울기는 3이므로
다른풀이
포물선 yÛ`=16x에 접하는 직선의 방정식을 y=3x+k라 하고 yÛ`=16x에 대입하면
(3x+k)Û`=16x ∴ 9xÛ`+2(3k-8)x+kÛ`=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
=(3k-8)Û`-9kÛ`=0, -48k+64=0 ∴ k=;3$;
4
따라서 직선의 방정식은 y=3x+;3$;이고 이 직선이 점 (a, 1)을 지나므로
1=3a+;3$;, 3a=-;3!; ∴ a=-;9!;
KEY
Point

포물선 yÛ`=4px에 접하고 기울기가 m`(m+0)인 직선의 방정식
⇨ y=mx+
확인
체크
60
p
m
포물선 yÛ`=-8x에 접하고 직선 2x+y+3=0에 수직인 직선이 점 (-2, k)를 지날 때,
k의 값을 구하시오.
61
포물선 yÛ`=;3!;x에 접하고 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45ù인 직선의 방정식을
ax+by+1=0이라 할 때, 상수 a, b에 대하여 a-b의 값을 구하시오.
62
포물선 yÛ`=-6x에 접하고 직선 y=-x+2와 평행한 직선이 x축, y축과 만나는 점을 각
각 A, B라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이를 구하시오. (단, O는 원점)
60 Ⅰ. 이차곡선
필수예제
04 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 29쪽
포물선 yÛ`=-x 위의 점 (-4, a)에서의 접선의 방정식을 구하시오. (단, a>0)
점 (-4, a)가 포물선 yÛ`=-x 위의 점이므로
풀이
aÛ`=-(-4)=4 ∴ a=2 (∵ a>0)
따라서 포물선 yÛ`=-x=4_{-;4!;}x 위의 점 (-4, 2)에서의 접선의 방정식은
2y=2_{-;4!;}_(x-4) ∴ y=-;4!;x+1
점 (-4, a)가 포물선 yÛ`=-x 위의 점이므로
다른풀이
aÛ`=-(-4)=4 ∴ a=2 (∵ a>0)
구하는 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은
-;4!;
1
, 즉 y=mx4m
m
이 직선이 점 (-4, 2)를 지나므로
1
, 16mÛ`+8m+1=0
2=-4m4m
y=mx+
(4m+1)Û`=0 ∴ m=-;4!;
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=-;4!;x+1
KEY
Point
확인
체크
포물선 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식

yÛ`=4px ⇨ yÁ y=2p(x+xÁ) Û yÛ` 대신 yÁ y, x 대신 ;2!;(x+xÁ) 대입

xÛ`=4py ⇨ xÁ x=2p(y+yÁ) Û xÛ` 대신 xÁ x, y 대신 ;2!;(y+yÁ) 대입
xÛ`
=y 위의 점 (6, 3)에서의 접선의 방정식을 구하시오. (단, k>0)
k
63
포물선
64
포물선 yÛ`=6x 위의 점 {;2!;, '3}에서의 접선과 이 포물선의 초점 사이의 거리를 구하시오.
65
포물선 yÛ`=-4x 위의 점 (-2, 2'2)에서의 접선과 수직이고, 포물선의 초점을 지나는 직
선의 y절편을 구하시오.
2. 이차곡선과 직선
61
필수예제
05 포물선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 30쪽
점 (-1, 1)에서 포물선 yÛ`=8x에 그은 두 접선의 기울기의 곱을 구하시오.
설명
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하고 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식을 이용한다.
풀이
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 포물선 yÛ`=8x=4_2x 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
yÁ y=4(x+xÁ)
이 직선이 점 (-1, 1)을 지나므로 yÁ=4(-1+xÁ) yy`㉠
또, 점 (xÁ, yÁ)이 포물선 yÛ`=8x 위의 점이므로 yÁÛ`=8xÁ yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 {4(-1+xÁ)}Û`=8xÁ
2xÁÛ`-5xÁ+2=0, (2xÁ-1)(xÁ-2)=0 ∴ xÁ=;2!; 또는 xÁ=2
㉠에서 xÁ=;2!;일 때 yÁ=-2, xÁ=2일 때 yÁ=4이므로 접선의 방정식은
y=-2x-1, y=x+2
따라서 두 접선의 기울기의 곱은 (-2)_1=-2
접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은 y=mx+
다른풀이 1
2
m
2
m
mÛ`+m-2=0, (m+2)(m-1)=0 ∴ m=-2 또는 m=1
이 직선이 점 (-1, 1)을 지나므로 1=-m+
따라서 두 접선의 기울기의 곱은 (-2)_1=-2
점 (-1, 1)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은
다른풀이 2
y-1=m(x+1) ∴ y=mx+m+1
이것을 yÛ`=8x에 대입하면 (mx+m+1)Û`=8x ∴ mÛ`xÛ`+2(mÛ`+m-4)x+(m+1)Û`=0
D
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=(mÛ`+m-4)Û`-mÛ`(m+1)Û`=0
4
mÛ`+m-2=0, (m+2)(m-1)=0 ∴ m=-2 또는 m=1
따라서 두 접선의 기울기의 곱은 (-2)_1=-2
KEY
Point

포물선 밖의 점에서 포물선에 그은 접선의 방정식 구하기
[방법 1] 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식 이용
[방법 2] 기울기가 주어진 접선의 방정식 이용
[방법 3] 판별식 이용
확인
체크
66
포물선 xÛ`=-2y에 접하고 점 (0, 2)를 지나는 직선의 방정식을 모두 구하시오.
67
점 (2, 1)에서 포물선 yÛ`=-4x에 그은 접선이 점 (4, k)를 지날 때, k의 값을 모두 구하
시오.
62 Ⅰ. 이차곡선
정답과 풀이 62쪽
연습문제
STEP
1
46
직선 y=2x를 x축의 방향으로 k만큼 평행이동하면 포물선 x+2yÛ`=0에 접
47
생각해 봅시다!
한다. 이때 k의 값을 구하시오.
포물선 yÛ`=-8x 위의 점과 직선 2x+y-6=0 사이의 거리의 최솟값을 구
하시오.
48
포물선 yÛ`=12x 위의 두 점 P(a, b), Q(3, -6)에서의 두 접선이 서로 수
49
포물선 yÛ`=4x 위의 점 P(a, b)에서의 접선이 x축과 만나는 점을 Q라 하자.
50
직일 때, ab의 값을 구하시오.
PQÓ=4'3일 때, aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오.
[ 수능기출 ]
포물선 yÛ`=4x 위의 점 A(4, 4)에서의 접선을 l이
y
A
라 하자. 직선 l과 포물선의 준선이 만나는 점을 B,
직선 l과 x축이 만나는 점을 C, 포물선의 준선과
x축이 만나는 점을 D라 하자. 삼각형 BCD의 넓이
C
① ;4&;
②2
③ ;4(;
④ ;2%;
l
B
D
O
포물선 yÛ`=4px의 준선의
방정식
⇨ x=-p
x
yÛ =4x
는?
51
두 직선이 서로 수직
⇨ (기울기의 곱)=-1
⑤ :Á4Á:
점 P(-2, 0)에서 포물선 yÛ`=12x에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라
할 때, 삼각형 PAB의 넓이를 구하시오.
2. 이차곡선과 직선
63
정답과 풀이 63쪽
연습문제
STEP
2
52
오른쪽 그림과 같이 포물선 yÛ`=4px에 접하고 기울기가
y
lÁ
lª
-1인 직선을 lÁ이라 하고, 포물선 yÛ`=4px와 직선 lÁ
의 접점을 지나고 직선 lÁ에 수직인 직선을 lª라 하자.
두 직선 lÁ, lª 및 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가
O
2일 때, 상수 p의 값을 구하시오. (단, p<0)
53
x
yÛ =4px
두 포물선 2yÛ`=x, xÛ`=32y가 기울기가 -;4!;인 직선 l에 동시에 접할 때,
그 접점을 각각 A, B라 하자. 이때 선분 AB의 중점의 좌표를 구하시오.
54
A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)에
대하여 선분 AB의 중점의
좌표
xÁ+xª yÁ+yª
⇨{
,
}
2
2
점 (a, 5)에서 포물선 yÛ`=-8x에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, a의 값을
구하시오.
실력
55
포물선 xÛ`=20y 위의 점 P에서의 접선이 x축, y축과 만나는 점을 각각 Q,
R라 할 때, PRÓ=k QRÓ가 성립한다. 이때 양수 k의 값을 구하시오.
(단, 점 P는 제 1 사분면 위의 점이다.)
실력
56
[ 교육청기출 ]
오른쪽 그림과 같이 초점이 F인 포물선 yÛ`=12x가 있
y
yÛ =12x
A
다. 포물선 위에 있고 제 1 사분면에 있는 점 A에서의
접선과 포물선의 준선이 만나는 점을 B라 하자.
ABÓ=2AFÓ일 때, ABÓ_AFÓ의 값을 구하시오.
O
B
64 Ⅰ. 이차곡선
F
x
포물선 위의 점 A에서 준
선에 내린 수선의 발을 H
라 하면
⇨ AHÓ=AFÓ
03
타원의 접선의 방정식
2. 이차곡선과 직선
개념원리 이해
1. 기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식
필수예제 6
xÛ` yÛ`
+ =1에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은
aÛ` bÛ`
y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`+bÛ`
타원
한 타원에 대하여 기울기가 같은 접선은 2개이다.
설명
타원
xÛ` yÛ`
+ =1에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식을 구해 보자.
aÛ` bÛ`
y
구하는 직선의 방정식을 y=mx+n이라 하고,
xÛ` yÛ`
이 식을 + =1에 대입하여 정리하면
aÛ` bÛ`
(aÛ`mÛ`+bÛ`)xÛ`+2aÛ`mnx+aÛ`(nÛ`-bÛ`)=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
y=mx+n
b
-a
a
O
x
-b
yÛ
xÛ
;;;;;+;;;;;=1
bÛ
aÛ
D
=(aÛ`mn)Û`-(aÛ`mÛ`+bÛ`)_aÛ`(nÛ`-bÛ`)
4
=aÛ`bÛ`(aÛ`mÛ`+bÛ`-nÛ`)
이때 타원과 직선이 접하면 D=0이므로
aÛ`bÛ`(aÛ`mÛ`+bÛ`-nÛ`)=0
ab+0이므로 nÛ`=aÛ`mÛ`+bÛ`에서
n=Ñ"ÃaÛ`mÛ`+bÛ`
따라서 구하는 직선의 방정식은
y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`+bÛ`
참고
오른쪽 그림과 같이 타원
xÛ` yÛ`
+ =1에 접하고 기울기가 0인 직선은
aÛ` bÛ`
y=Ñb`(b>0)이므로 m=0일 때에도 접선의 방정식
y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`+bÛ`이 성립한다.
y
yÛ
xÛ
;;;;;+;;;;;=1
bÛ
aÛ
y=b
O
x
y=-b
xÛ` yÛ`
+ =1에 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식을 구하시오.
2
3
예
타원
풀이
m=2, aÛ`=2, bÛ`=3이므로 구하는 직선의 방정식은
y=2xÑ"Ã2_2Û`+3 ∴ y=2xÑ'1Œ1
2. 이차곡선과 직선
65
개념원리 이해
2. 타원 위의 점에서의 접선의 방정식
필수예제 7
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
aÛ` bÛ`
xÁ x yÁ y
+
=1
aÛ`
bÛ`
타원
타원의 방정식에 xÛ` 대신 xÁ x, yÛ` 대신 yÁ y를 대입한 것과 같다.
설명
타원
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식을 구해 보자.
aÛ` bÛ`
ÚyÁ+0일 때, 구하는 접선은 점 P(xÁ, yÁ)을 지나므로 기울기를 m이라 하면
y
접선의 방정식은
b
y-yÁ=m(x-xÁ), 즉 y=mx-mxÁ+yÁ yy`㉠
xÛ` yÛ`
+ =1에 대입하여 얻은 이차방정식의 판별식을 D라 하면
aÛ` bÛ`
㉠을
D=0에서
(aÛ`-xÁÛ`)mÛ`+2xÁ yÁ m+bÛ`-yÁÛ`=0 -a
y-yÁ=m(x-xÁ)
P(xÁ, yÁ)
O
a
-b
yÛ
xÛ
;;;;;+;;;;;=1
bÛ
aÛ
x
yy`㉡
xÁÛ` yÁÛ`
이 식을
+ =1임을 이용하여 정리하면
aÛ`
bÛ`
aÛ`yÁÛ`
bÛ`xÁÛ`
, bÛ`-yÁÛ`=
aÛ`-xÁÛ`=
bÛ`
aÛ`
이것을 ㉡에 대입하여 정리하면
{
ayÁ
bxÁ Û
m}Û`+2xÁ yÁ m+{
}`=0
b
a
{
ayÁ
bxÁ Û
bÛ`xÁ
m+
}`=0 ∴ m=b
a
aÛ`yÁ
이것을 ㉠에 대입하여 정리하면
xÁ x` yÁ y
+
=1 yy`㉢
aÛ`
bÛ`
Û yÁ=0일 때, 점 P는 x축 위에 있으므로 접선의 방정식은 x=Ña, 즉 ㉢이 성립한다.
Ú, Û에서 구하는 접선의 방정식은
참고
xÁ x` yÁ y
+
=1
aÛ`
bÛ`
타원 AxÛ`+ByÛ`=C 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식을 구할 때,
xÛ` yÛ`
+ =1의 꼴로 변형할
aÛ`
bÛ`
필요 없이 AxÛ`+ByÛ`=C에 xÛ` 대신 xÁ x, yÛ` 대신 yÁ y를 대입하면 된다.
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 점 ('2, 1)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
4
2
예
타원
풀이
xÁ='2, yÁ=1이므로 구하는 접선의 방정식은
'2x
'2
+;2};=1 ∴ y=x+2
4
2
66 Ⅰ. 이차곡선
3. 타원 밖의 점에서 타원에 그은 접선의 방정식
필수예제 8
타원 밖의 점 P에서 타원에 그은 접선의 방정식은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.
[방법 1] 타원 위의 점에서의 접선의 방정식 이용
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 할 때, 이 점에서의 접선이 점 P를 지남을 이용한다.
[방법 2] 판별식 이용
점 P를 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식과 타원의 방정식을 연립하여 얻은 이차
방정식의 판별식이 0임을 이용한다.
타원 밖의 점에서 타원에 접선을 그을 수 있을 때, 접선은 모두 2개이다.
xÛ` yÛ`
+ =1에 그은 접선의 방정식을 구하시오.
3
6
예
점 P(3, 0)에서 타원
풀이
[방법 1] 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 접선의 방정식은
xÁ x yÁ y
+
=1
3
6
이 직선이 점 P(3, 0)을 지나므로
3xÁ
=1 ∴ xÁ=1 yy`㉠
3
xÛ` yÛ`
또, 점 (xÁ, yÁ)이 타원
+ =1 위의 점이므로
3
6
xÁÛ`
yÁÛ`
yy`㉡
+
=1 3
6
㉠을 ㉡에 대입하면
yÁÛ`
;3!;+
=1, yÁÛ`=4 ∴ yÁ=2 또는 yÁ=-2
6
따라서 xÁ=1, yÁ=2 또는 xÁ=1, yÁ=-2이므로 구하는 접선의 방정식은
;3{;+;3};=1, ;3{;-;3};=1
∴ y=-x+3, y=x-3
[방법 2] 점 P(3, 0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은
y=m(x-3)
xÛ` yÛ`
이것을
+ =1에 대입하여 정리하면
3
6
(mÛ`+2)xÛ`-6mÛ`x+9mÛ`-6=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
=(-3mÛ`)Û`-(mÛ`+2)(9mÛ`-6)=0
4
-12mÛ`+12=0, mÛ`=1 ∴ m=-1 또는 m=1
따라서 구하는 접선의 방정식은
y=-x+3, y=x-3
2. 이차곡선과 직선
67
개념원리
68
익히기
생각해 봅시다!
다음 직선의 방정식을 구하시오.
xÛ` yÛ`
⑴ 타원
+ =1에 접하고 기울기가 ;3!;인 직선
9
5
⑵ 타원 4xÛ`+3yÛ`=12에 접하고 기울기가 -2인 직선
69
다음 접선의 방정식을 구하시오.
⑴ 타원
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 점 (-2, 1)에서의 접선
8
2
⑵ 타원
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 점 ('6, '2)에서의 접선
10
5
⑷ 타원 2xÛ`+yÛ`=6 위의 점 (1, -2)에서의 접선
xÛ`
+yÛ`=1에 그은 접선의 방정식을 구하는 과
2
정이다.  안에 알맞은 것을 써넣으시오.
다음은 점 (2, 1)에서 타원
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 접선의 방정식은
2
+
=1
이 직선이 점 (2, 1)을 지나므로
2
또, 점 (xÁ, yÁ)이 타원 위의 점이므로
㉠, ㉡에서 xÁ=0, yÁ=
또는 xÁ=
따라서 구하는 접선의 방정식은
y=
68 Ⅰ. 이차곡선
, y=
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 점
aÛ` bÛ`
P(xÁ, yÁ)에서의 접선의
방정식
xÁ x yÁ y
⇨
+
=1
aÛ`
bÛ`
타원
⑶ 타원 4xÛ`+yÛ`=20 위의 점 (1, 4)에서의 접선
70
xÛ` yÛ`
+ =1에 접하
aÛ` bÛ`
고 기울기가 m인 직선의
방정식
⇨ y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`+bÛ`
타원
+yÁ=1 yy`㉠
xÁÛ`
+yÁÛ`=1 yy`㉡
2
, yÁ=
필수예제
06 기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 31쪽
타원 4xÛ`+yÛ`=4에 접하고 직선 2x-y-3=0에 평행한 직선의 방정식이 y=ax+b일
때, 상수 a, b에 대하여 aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오.
설명
평행한 두 직선의 기울기는 서로 같음을 이용하여 접선의 기울기를 알 수 있다.
풀이
직선 2x-y-3=0, 즉 y=2x-3과 평행한 직선의 기울기는 2이므로
yÛ`
=1에 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식은
4
y=2xÑ"Ã1_2Û`+4 ∴ y=2xÑ2'2
타원 4xÛ`+yÛ`=4, 즉 xÛ`+
따라서 a=2, b=Ñ2'2 이므로
aÛ`+bÛ`=4+8=12
직선 2x-y-3=0, 즉 y=2x-3과 평행한 직선의 기울기는 2이므로 a=2
다른풀이
이때 y=2x+b를 4xÛ`+yÛ`=4에 대입하면
4xÛ`+(2x+b)Û`=4 ∴ 8xÛ`+4bx+bÛ`-4=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
=(2b)Û`-8(bÛ`-4)=0, bÛ`=8
4
∴ aÛ`+bÛ`=4+8=12
KEY
Point

타원
xÛ` yÛ`
+ =1에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식
aÛ`
bÛ`
⇨ y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`+bÛ`
확인
체크
71
타원 xÛ`+2yÛ`=6에 접하고 직선 x-y+4=0에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
72
xÛ` yÛ`
+ =1의 한 꼭짓점의 좌표가 (2, 0)이고 직선 y=-2x+5에 접할 때, 양수
aÛ` bÛ`
a, b에 대하여 ab의 값을 구하시오.
73
기울기가 1이고 타원
타원
xÛ` yÛ`
+ =1에 접하는 두 직선 사이의 거리를 구하시오.
5
4
2. 이차곡선과 직선
69
필수예제
07 타원 위의 점에서의 접선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 31, 32쪽
타원 xÛ`+ayÛ`=9 위의 점 (-1, 2)에서의 접선이 점 (b, 3)을 지날 때, a+b의 값을 구
하시오. (단, a는 상수)
점 (-1, 2)가 타원 xÛ`+ayÛ`=9 위의 점이므로
풀이
1+4a=9, 4a=8 ∴ a=2
이때 타원 xÛ`+2yÛ`=9 위의 점 (-1, 2)에서의 접선의 방정식은
-x+2_2y=9 ∴ y=;4!;x+;4(;
이 직선이 점 (b, 3)을 지나므로
3=;4!;b+;4(;, ;4!;b=;4#; ∴ b=3
∴ a+b=2+3=5
KEY
Point

타원
⇨
확인
체크
74
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식
aÛ`
bÛ`
xÁ x yÁ y
+
=1 Û xÛ` 대신 xÁ x, yÛ` 대신 yÁ y 대입
aÛ`
bÛ`
타원
75
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 점 ('2, 1)에서의 접선의 y절편이 b일 때, ab의 값을 구하시오.
a
2
(단, a는 상수)
타원 3xÛ`+4yÛ`=48 위의 점 (2, 3)에서의 접선과 수직이고, 점 (3, 4)를 지나는 직선의
방정식을 구하시오.
76
70 Ⅰ. 이차곡선
yÛ`
xÛ`
+ =1 위의 점 (3, 1)에서의 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를
12
4
구하시오.
타원
필수예제
08 타원 밖의 점에서 그은 접선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 32쪽
점 (1, 6)에서 타원 4xÛ`+yÛ`=8에 그은 접선의 방정식을 구하시오.
설명
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하고 타원 위의 점에서의 접선의 방정식을 이용한다.
풀이
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 타원 4xÛ`+yÛ`=8 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
4xÁ x+yÁ y=8
이 직선이 점 (1, 6)을 지나므로 4xÁ+6yÁ=8 ∴ yÁ=-;3@;xÁ+;3$; yy`㉠
또, 점 (xÁ, yÁ)이 타원 4xÛ`+yÛ`=8 위의 점이므로 4xÁÛ`+yÁÛ`=8 yy`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 4xÁÛ`+{-;3@; xÁ+;3$;}Û`=8
5xÁÛ`-2xÁ-7=0, (5xÁ-7)(xÁ+1)=0 ∴ xÁ=;5&; 또는 xÁ=-1
㉠에서 xÁ=;5&;일 때 yÁ=;5@;, xÁ=-1일 때 yÁ=2이므로 구하는 접선의 방정식은
y=-14x+20, y=2x+4
점 (1, 6)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은
다른풀이
y-6=m(x-1) ∴ y=mx-m+6
이것을 4xÛ`+yÛ`=8에 대입하면
4xÛ`+(mx-m+6)Û`=8 ∴ (mÛ`+4)xÛ`-2(mÛ`-6m)x+mÛ`-12m+28=0
D
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=(mÛ`-6m)Û`-(mÛ`+4)(mÛ`-12m+28)=0
4
mÛ`+12m-28=0, (m+14)(m-2)=0 ∴ m=-14 또는 m=2
따라서 구하는 접선의 방정식은
y=-14x+20, y=2x+4
KEY
Point

타원 밖의 점에서 타원에 그은 접선의 방정식 구하기
[방법 1] 타원 위의 점에서의 접선의 방정식 이용
[방법 2] 판별식 이용
확인
체크
77
점 (2, 1)에서 타원 xÛ`+6yÛ`=6에 그은 두 접선의 y절편의 합을 구하시오.
78
yÛ`
xÛ`
+ =1 밖의 점 P(4, 1)에서 타원에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라 할
16
4
때, 삼각형 PAB의 무게중심의 y좌표를 구하시오.
타원
2. 이차곡선과 직선
71
정답과 풀이 64쪽
연습문제
STEP
1
57
타원
58
점 (k, k)에서 타원
생각해 봅시다!
xÛ`
+yÛ`=1에 접하고 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 30ù인 직
3
선의 방정식을 구하시오.
x축의 양의 방향과 이루는
각의 크기가 h인 직선의 기
울기
⇨ tan`h
xÛ` yÛ`
+ =1에 그은 한 접선의 기울기가 -1일 때, k의
2
4
값을 모두 구하시오.
59
타원 3xÛ`+4yÛ`-12=0 위의 점 (2a, a)에서의 접선이 점 (0, b)를 지날 때,
60
'2
xÛ`
xÛ` yÛ`
+yÛ`=1 위의 점 P{-1,
}에서 그은 접선과 타원
+ =1
2
2
4
9
위의 점 Q(a, b)에서 그은 접선이 서로 평행할 때, aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오.
61
점 A(a, 0)에서 타원 2xÛ`+3yÛ`=4에 그은 접선의 접점을 P라 할 때,
STEP
2
62
타원 2xÛ`+yÛ`=12 위의 점 P(a, b)와 직선 2x+y-8=0 사이의 거리가
ab의 값을 구하시오. (단, a>0)
타원
APÓ=OPÓ가 성립한다. 이때 양수 a의 값을 구하시오. (단, O는 원점)
최소일 때, a+b의 값은?
①3
72 Ⅰ. 이차곡선
②4
③5
④6
⑤7
평행한 두 직선의 기울기는
서로 같다.
정답과 풀이 66쪽
63
오른쪽 그림과 같이 타원
xÛ`
+yÛ`=1 위의 점
4
y
l
'3
}에서의 접선을 l이라 하고, 이 타원의
2
두 초점 F, F'에서 직선 l에 내린 수선의 발을 각
Q
A
A{1,
F'
O
P
F
x
각 P, Q라 하자. 이때 FPÓ_FÕ'QÓ의 값을 구하시오.
64
오른쪽 그림과 같이 포물선 yÛ`=2x와 타원
y
yÛ`
xÛ`
+ =1이 만나는 한 점 P에서 두 이차곡선에 그
16 kÛ`
수직인 두 직선의 기울기의
곱은 -1이다.
P
x
O
은 접선이 서로 수직일 때, 양수 k의 값을 구하시오.
yÛ =2x
65
점 (k, 3)에서 타원 2xÛ`+yÛ`=6에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, k의 값을
구하시오.
실력
66
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 제 1 사분면에 있는 점 P에서의 접선이 x축, y축과
16
4
만나는 점을 각각 A, B라 하자. 이때 삼각형 OAB의 넓이의 최솟값을 구하
타원
시오. (단, O는 원점)
실력
67
[ 평가원기출 ]
xÛ` yÛ`
+ =1에 그은 두 접선
8
2
의 접점을 각각 P, Q라 하고, 타원의 두 초점 중
P
하나를 F라 할 때, 삼각형 PFQ의 둘레의 길이는
F
점 (0, 2)에서 타원
y
2
중심이 원점인 타원은 y축
에 대하여 대칭이다.
Q
O
x
a'2+b이다. aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오.
(단, a, b는 유리수)
2. 이차곡선과 직선
73
04
쌍곡선의 접선의 방정식
2. 이차곡선과 직선
개념원리 이해
1. 기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식
필수예제 9
xÛ` yÛ`
- =1에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은
aÛ` bÛ`
y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`-bÛ` (단, aÛ`mÛ`-bÛ`>0)
⑴ 쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =-1에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은
aÛ` bÛ`
y=mxÑ"ÃbÛ`-aÛ`mÛ` (단, bÛ`-aÛ`mÛ`>0)
⑵ 쌍곡선
① 한 쌍곡선에 대하여 기울기가 같은 접선은 2개이다.
② aÛ`mÛ`-bÛ`=0, 즉 m=Ñ;aB;이면 점근선과 일치하므로 접선이 아니다.
설명
xÛ` yÛ`
- =1에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식을 구해 보자.
aÛ` bÛ`
⑴ 쌍곡선
y y=mx+n
구하는 직선의 방정식을 y=mx+n이라 하고,
이 식을
xÛ` yÛ`
- =1에 대입하여 정리하면
aÛ` bÛ`
(aÛ`mÛ`-bÛ`)xÛ`+2aÛ`mnx+aÛ`(nÛ`+bÛ`)=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
=(aÛ`mn)Û`-(aÛ`mÛ`-bÛ`)_aÛ`(nÛ`+bÛ`)
4
=aÛ`bÛ`(bÛ`-aÛ`mÛ`+nÛ`)
이때 쌍곡선과 직선이 접하면 D=0이므로
aÛ`bÛ`(bÛ`-aÛ`mÛ`+nÛ`)=0
ab+0이므로 nÛ`=aÛ`mÛ`-bÛ`에서 aÛ`mÛ`-bÛ`>0일 때
n=Ñ"ÃaÛ`mÛ`-bÛ`
따라서 구하는 직선의 방정식은
y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`-bÛ` (단, aÛ`mÛ`-bÛ`>0)
⑵ 같은 방법으로 쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =-1에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은
aÛ` bÛ`
y=mxÑ"ÃbÛ`-aÛ`mÛ` (단, bÛ`-aÛ`mÛ`>0)
xÛ` yÛ`
- =1에 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식을 구하시오.
3
4
예
쌍곡선
풀이
m=2, aÛ`=3, bÛ`=4이므로 구하는 직선의 방정식은
y=2xÑ"Ã3_2Û`-4 ∴ y=2xÑ2'2
74 Ⅰ. 이차곡선
x
O
yÛ
xÛ
;;;;;-;;;;;=1
bÛ
aÛ
2. 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식
필수예제 10
xÛ` yÛ`
- =1 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
aÛ` bÛ`
xÁx yÁy
=1
aÛ`
bÛ`
xÛ` yÛ`
⑵ 쌍곡선
- =-1 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
aÛ` bÛ`
xÁx yÁy
=-1
aÛ`
bÛ`
⑴ 쌍곡선
쌍곡선의 방정식에 xÛ` 대신 xÁ x, yÛ` 대신 yÁ y를 대입한 것과 같다.
설명
⑴ 쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =1 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식을 구해 보자.
aÛ` bÛ`
ÚyÁ+0일 때, 구하는 접선은 점 P(xÁ, yÁ)을 지나므로 기울기를 m이라 하
y
면 접선의 방정식은
y-yÁ=m(x-xÁ), 즉 y=mx-mxÁ+yÁ yy`㉠
O
xÛ` yÛ`
㉠을 - =1에 대입하여 얻은 이차방정식의 판별식을 D라 하면
aÛ` bÛ`
D=0에서
(aÛ`-xÁÛ`)mÛ`+2xÁ yÁ m-(bÛ`+yÁÛ`)=0 yy`㉡
P(xÁ, yÁ)
x
yÛ
xÛ
;;;;;-;;;;;=1
y-yÁ=m(x-xÁ) aÛ
bÛ
xÁÛ` yÁÛ`
- =1임을 이용하여 정리하면
aÛ`
bÛ`
aÛ`yÁÛ`
bÛ`xÁÛ`
, bÛ`+yÁÛ`=
aÛ`-xÁÛ`=bÛ`
aÛ`
이 식을
이것을 ㉡에 대입하여 정리하면
{
ayÁ
bxÁ Û
ayÁ
bxÁ Û
bÛ`xÁ
m}Û`-2xÁ yÁ m+{
}`=0, {
m}`=0 ∴ m=
b
a
b
a
aÛ`yÁ
이것을 ㉠에 대입하여 정리하면
xÁx yÁy
=1 yy`㉢
aÛ`
bÛ`
Û yÁ=0일 때, 점 P는 x축 위에 있으므로 접선의 방정식은 x=Ña, 즉 ㉢이 성립한다.
Ú, Û에서 구하는 접선의 방정식은
⑵ 같은 방법으로 쌍곡선
참고
xÁx yÁy
=1
aÛ`
bÛ`
xÛ` yÛ`
- =-1 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
aÛ` bÛ`
xÁx yÁy
=-1
aÛ`
bÛ`
쌍곡선 AxÛ`-ByÛ`=C 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식을 구할 때,
xÛ` yÛ`
- =Ñ1의 꼴로 변
aÛ`
bÛ`
형할 필요 없이 AxÛ`-ByÛ`=C에 xÛ` 대신 xÁ x, yÛ` 대신 yÁ y를 대입하면 된다.
xÛ` yÛ`
- =1 위의 점 (2, '3)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
2
3
예
쌍곡선
풀이
xÁ=2, yÁ='3이므로 구하는 접선의 방정식은
2x '3y
=1 ∴ y='3x-'3
3
2
2. 이차곡선과 직선
75
개념원리 이해
3. 쌍곡선 밖의 점에서 쌍곡선에 그은 접선의 방정식
필수예제 11
쌍곡선 밖의 점 P에서 쌍곡선에 그은 접선의 방정식은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.
[방법 1] 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식 이용
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 할 때, 이 점에서의 접선이 점 P를 지남을 이용한다.
[방법 2] 판별식 이용
점 P를 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식과 쌍곡선의 방정식을 연립하여 얻은 이
차방정식의 판별식이 0임을 이용한다.
쌍곡선 밖의 점에서 쌍곡선에 접선을 그을 수 있을 때, 접선은 모두 2개이다.
xÛ`
-yÛ`=1에 그은 접선의 방정식을 구하시오.
3
예
점 P(1, 0)에서 쌍곡선
풀이
[방법 1] 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 접선의 방정식은
xÁ x
-yÁ y=1
3
이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로
xÁ
=1 ∴ xÁ=3 yy`㉠
3
xÛ`
또, 점 (xÁ, yÁ)이 쌍곡선
-yÛ`=1 위의 점이므로
3
xÁÛ`
yy`㉡
-yÁÛ`=1 3
㉠을 ㉡에 대입하면
3-yÁÛ`=1, yÁÛ`=2 ∴ yÁ=-'2 또는 yÁ='2
따라서 xÁ=3, yÁ=-'2 또는 xÁ=3, yÁ='2이므로 구하는 접선의 방정식은
y=-
y=m(x-1)
xÛ`
이것을
-yÛ`=1에 대입하여 정리하면
3
(1-3mÛ`)xÛ`+6mÛ`x-3mÛ`-3=0
'2
'2
'2
'2
, y=
x+
x2
2
2
2
[방법 2] 점 P(1, 0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
=(3mÛ`)Û`-(1-3mÛ`)(-3mÛ`-3)=0
4
'2
'2
또는 m=
-6mÛ`+3=0, mÛ`=;2!; ∴ m=2
2
따라서 구하는 접선의 방정식은
y=-
76 Ⅰ. 이차곡선
'2
'2
'2
'2
, y=
x+
x2
2
2
2
특강
음함수의 미분법과 이차곡선의 접선
※ [미적분] 을 이수한 학생이 학습할 수 있습니다.
2. 이차곡선과 직선
1. 음함수의 미분법을 이용한 이차곡선의 접선의 방정식
이차곡선 위의 점 P에서의 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.
Ú 음함수의 미분법을 이용하여
dy
를 구한다.
dx
dy
에 점 P의 좌표를 대입하여 접선의 기울기를 구한다.
dx
Ü 점 P의 좌표와 Û에서 구한 기울기를 이용하여 접선의 방정식을 구한다.
Û Ú에서 구한
방정식 f(x, y)=0에서 x와 y가 정의되는 구간을 적당히 정하면 y는 x에 대한 함수가 되고 이때 방정식 f(x, y)=0을
y의 x에 대한 음함수 표현이라 한다.
예
음함수의 미분법을 이용하여 포물선 yÛ`=8x 위의 점 (2, 4)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
풀이
yÛ`=8x의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y
dy
dy
=8 ∴
=;]$; (단, y+0)
dx
dx
이때 주어진 점에서의 접선의 기울기는 ;4$;=1이므로 구하는 접선의 방정식은
y-4=x-2 ∴ y=x+2
특강
1
음함수의 미분법을 이용한 접선의 방정식
음함수의 미분법을 이용하여 타원
더 다양한 문제는 RPM 기하 35쪽
xÛ`
+yÛ`=1 위의 점 {'3, ;2!;}에서의 접선
4
의 방정식을 구하시오.
풀이
dy
xÛ`
+yÛ`=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 ;2!;x+2y
=0 4
dx
dy
x
∴
(단, y+0)
=4y
dx
'3
'3
이때 주어진 점에서의 접선의 기울기는 이므로 구하는 접선의 방정식은
=2
4_;2!;
y-;2!;=-
확인
체크
79
'3
'3
(x-'3) ∴ y=x+2
2
2
음함수의 미분법을 이용하여 다음을 구하시오.
⑴ 쌍곡선 2xÛ`-yÛ`=4 위의 점 (-2, 2)에서의 접선의 방정식
⑵ 포물선 xÛ`-y=0에 접하고 기울기가 4인 직선의 방정식
2. 이차곡선과 직선
77
개념원리
80
익히기
생각해 봅시다!
다음 직선의 방정식을 구하시오.
xÛ` yÛ`
⑴ 쌍곡선
- =1에 접하고 기울기가 -1인 직선
5
4
⑵ 쌍곡선
81
yÛ`
xÛ`
- =-1에 접하고 기울기가 ;4!;인 직선
16
9
직선의 방정식은
y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`-bÛ`
(단, aÛ`mÛ`-bÛ`>0)
xÛ` yÛ`
②쌍곡선
- =-1
aÛ` bÛ`
에 접하고 기울기가 m
인 직선의 방정식은
다음 접선의 방정식을 구하시오.
⑵ 쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =-1 위의 점 (0, 2)에서의 접선
2
4
⑶ 쌍곡선 xÛ`-yÛ`=3 위의 점 (2, 1)에서의 접선
⑷ 쌍곡선 2xÛ`-9yÛ`=-1 위의 점 (-2, 1)에서의 접선
xÛ` yÛ`
- =1에 그은 접선의 방정식을 구하는
9
4
과정이다.  안에 알맞은 것을 써넣으시오.
다음은 점 (3, 4)에서 쌍곡선
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 접선의 방정식은
9
-
=1
4
이 직선이 점 (3, 4)를 지나므로
9
또, 점 (xÁ, yÁ)이 쌍곡선 위의 점이므로
㉠, ㉡에서 xÁ=
78 Ⅰ. 이차곡선
, x=
4
=1 yy`㉠
xÁÛ` yÁÛ`
- =1 yy`㉡
9
4
, yÁ=-;3*; 또는 xÁ=
따라서 구하는 접선의 방정식은
y=
-
, yÁ=
y=mxÑ"ÃÃbÛ`-aÛ`mÛ`
(단, bÛ`-aÛ`mÛ`>0)
xÛ` yÛ`
③쌍곡선
- =1 위
aÛ` bÛ`
의 점 P(xÁ, yÁ)에서의
접선의 방정식은
xÁx yÁ y
=1
aÛ`
bÛ`
xÛ` yÛ`
④쌍곡선
- =-1
aÛ` bÛ`
위의 점 P(xÁ, yÁ)에서
의 접선의 방정식은
xÁx yÁ y
=-1
aÛ`
bÛ`
xÛ` yÛ`
⑴ 쌍곡선
- =1 위의 점 (-4, -'2)에서의 접선
8
2
82
xÛ` yÛ`
- =1에
aÛ` bÛ`
접하고 기울기가 m인
①쌍곡선
필수예제
09 기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 33쪽
쌍곡선 xÛ`-2yÛ`=2에 접하고 직선 x+2y-1=0에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
설명
서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 -1임을 이용하여 접선의 기울기를 알 수 있다.
풀이
직선 x+2y-1=0, 즉 y=-;2!;x+;2!;과 수직인 직선의 기울기는 2이므로
xÛ`
-yÛ`=1에 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식은
2
y=2xÑ"Ã2_2Û`-1 ∴ y=2xÑ'7
쌍곡선 xÛ`-2yÛ`=2, 즉
직선 x+2y-1=0, 즉 y=-;2!;x+;2!;과 수직인 직선의 기울기는 2이므로
다른풀이
구하는 직선의 방정식을 y=2x+k로 놓고 xÛ`-2yÛ`=2에 대입하면
xÛ`-2(2x+k)Û`=2 ∴ 7xÛ`+8kx+2kÛ`+2=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
=(4k)Û`-7(2kÛ`+2)=0, kÛ`=7 ∴ k=Ñ'7
4
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=2xÑ'7
KEY
Point
확인
체크
쌍곡선에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식

xÛ` yÛ`
- =1 ⇨ y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`-bÛ` (단, aÛ`mÛ`-bÛ`>0)
aÛ`
bÛ`

xÛ` yÛ`
- =-1 ⇨ y=mxÑ"ÃbÛ`-aÛ`mÛ` (단, bÛ`-aÛ`mÛ`>0)
aÛ`
bÛ`
83
쌍곡선 2xÛ`-yÛ`+4=0에 접하고 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45ù인 직선의 방
정식을 구하시오.
84
직선 y=2x+4가 쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =1에 접할 때, 이 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리를 구
5
a
하시오. (단, a는 상수)
85
쌍곡선
yÛ`
xÛ`
- =1에 접하고 기울기가 2인 두 직선 사이의 거리를 구하시오.
9
16
2. 이차곡선과 직선
79
필수예제
10 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 33, 34쪽
xÛ`
-yÛ`=1 위의 점 (a, b)에서의 접선이 점 (4, 2)를 지날 때, a+2b의 값을
4
구하시오.
쌍곡선
점 (a, b)가 쌍곡선
풀이
이때 쌍곡선
xÛ`
aÛ`
-yÛ`=1 위의 점이므로 -bÛ`=1 4
4
yy`㉠
xÛ`
-yÛ`=1 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은
4
ax
-by=1
4
이 직선이 점 (4, 2)를 지나므로 a-2b=1 ∴ a=2b+1 yy`㉡
㉡ 을 ㉠에 대입하면
(2b+1)Û`
-bÛ`=1, 4b-3=0 ∴ b=;4#;
4
b=;4#; 을 ㉡에 대입하면 a=;2%;
∴ a+2b=;2%;+;2#;=4
KEY
Point
확인
체크
쌍곡선 위의 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식

xÛ` yÛ`
xÁ x yÁ y
- =1 ⇨
=1
aÛ`
bÛ`
aÛ`
bÛ`

xÛ` yÛ`
xÁ x yÁ y
- =-1 ⇨
=-1
aÛ`
bÛ`
aÛ`
bÛ`
86
xÛ` 대신 xÁ x, yÛ` 대신 yÁ y를 대입
쌍곡선 -xÛ`+2yÛ`=10 위의 점 (2, a)에서의 접선이 점 (b, 0)을 지날 때, aÛ`+bÛ`의 값을
구하시오.
87
쌍곡선 2xÛ`-yÛ`=-18 위의 점 (3, -6)에서의 접선에 수직이고, 점 (2, 5)를 지나는 직
선의 방정식을 구하시오.
88
쌍곡선 xÛ`-4yÛ`=12 위의 점 (4, 1)에서의 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이
를 구하시오.
80 Ⅰ. 이차곡선
필수예제
11 쌍곡선 밖의 점에서 그은 접선의 방정식
점 (-1, 0)에서 쌍곡선
더 다양한 문제는 RPM 기하 34쪽
xÛ` yÛ`
- =1에 그은 접선의 기울기의 곱을 구하시오.
2
4
설명
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하고 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 이용한다.
풀이
접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =1 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
2
4
xÁ x
yÁ y
=1
2
4
xÁ
=1 ∴ xÁ=-2 yy`㉠
2
xÁÛ` yÁÛ`
xÛ` yÛ`
또, 점 (xÁ, yÁ)이 쌍곡선
- =1 yy`㉡
- =1 위의 점이므로
2
4
2
4
㉠을 ㉡에 대입하여 풀면
이 직선이 점 (-1, 0)을 지나므로 -
xÁ=-2, yÁ=-2 또는 xÁ=-2, yÁ=2
따라서 접선의 방정식은
y=2x+2, y=-2x-2이므로 구하는 기울기의 곱은
2_(-2)=-4
점 (-1, 0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은
다른풀이
y=m(x+1) ∴ y=mx+m
xÛ` yÛ`
- =1에 대입하면
4
2
(mx+m)Û
`
xÛ`
=1 ∴ (mÛ`-2)xÛ`+2mÛ`x+mÛ`+4=0
4
2
D
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
=(mÛ`)Û`-(mÛ`-2)(mÛ`+4)=0
4
mÛ`=4 ∴ m=Ñ2
이것을
따라서 구하는 접선의 기울기의 곱은 (-2)_2=-4
KEY
Point

쌍곡선 밖의 점에서 쌍곡선에 그은 접선의 방정식 구하기
[방법 1] 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식 이용
[방법 2] 판별식 이용
확인
체크
89
점 (0, '3)에서 쌍곡선 3xÛ`-yÛ`=-9에 그은 접선의 방정식을 구하시오.
90
점 (1, 0)에서 쌍곡선 xÛ`-4yÛ`=4에 그은 두 접선의 접점을 각각 P, Q라 할 때, 선분 PQ
의 길이를 구하시오.
2. 이차곡선과 직선
81
정답과 풀이 67쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
68
직선 y=-3x+1을 x축의 방향으로 k만큼 평행이동하면 쌍곡선
xÛ` yÛ`
- =1에 접할 때, 양수 k의 값을 구하시오.
3
2
69
쌍곡선 3xÛ`-4yÛ`=-12에 접하고 기울기가 ;2!;인 직선이 포물선 yÛ`=ax의
초점을 지난다. 이때 상수 a의 값을 구하시오. (단, a>0)
70
71
포물선 yÛ`=4px의 초점의
좌표는 (p, 0)이다.
xÛ` yÛ`
- =1 위의 점 ('2, 1)에서의 접선의 기울기가 '2일 때, 양수
a
b
a, b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.
쌍곡선
[ 수능기출 ]
쌍곡선 xÛ`-4yÛ`=a 위의 점 (b, 1)에서의 접선이 쌍곡선의 한 점근선과 수
직이다. a+b의 값은? (단, a, b는 양수)
① 68
② 77
③ 86
④ 95
⑤ 104
72
yÛ`
xÛ`
- =1 위의 점 (a, b)에서의 접선이 원 (x-2)Û`+yÛ`=1의
12
8
넓이를 이등분할 때, a-b의 값을 구하시오. (단, b<0)
73
점 P(0, 2)에서 쌍곡선 xÛ`-3yÛ`=6에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B라
쌍곡선
할 때, 삼각형 PAB의 넓이를 구하시오.
82 Ⅰ. 이차곡선
xÛ` yÛ`
- =Ñ1의
bÛ`
aÛ`
점근선의 방정식
쌍곡선
⇨ y=Ñ;aB;x
원의 넓이를 이등분하려면
접선이 원의 중심을 지나야
한다.
정답과 풀이 69쪽
STEP
2
74
오른쪽 그림과 같이 쌍곡선 2xÛ`-yÛ`=2의 제 4 사분
접선의 기울기를
m`(m<0)이라 하고 접
선의 방정식을 구한다.
면 위의 점에서의 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 삼
각형의 넓이가 ;2!;일 때, 접선의 방정식을 구하시오.
75
y 2xÛ -yÛ =2
O
x
쌍곡선 xÛ`-yÛ`=-3 위의 점 (1, 2)에서의 접선과 두 점근선으로 둘러싸인
삼각형의 넓이를 구하시오.
76
xÛ` yÛ`
xÛ` yÛ`
+ =1과 쌍곡선
- =1이 점 P('2, 1)에서 만나고, 점 P
4
2
aÛ` bÛ`
에서의 타원의 접선과 쌍곡선의 접선은 서로 수직이다. 이때 상수 a, b에 대
타원
하여 aÛ`+bÛ`의 값을 구하시오.
실력
77
'3
xÛ` yÛ`
- =1의 점근선의 방정식이 y=Ñ
x이고 한
3
aÛ` bÛ`
초점이 F(4'3, 0)이다. 점 F를 지나고 x축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과
[ 교육청기출 ]
좌표평면에서 쌍곡선
제 1 사분면에서 만나는 점을 P라 하자. 쌍곡선 위의 점 P에서의 접선의 기울
기는? (단, a, b는 상수)
①
실력
78
2'3
3
② '3
③
4'3
3
④
5'3
3
⑤ 2'3
xÛ`
-yÛ`=-1에 그은 접선 중 기울기가 양수인 직선
3
을 l이라 하자. 이 쌍곡선의 두 초점에서 각각 직선 l에 내린 수선의 길이의
점 (xÁ, yÁ)에서 직선
ax+by+c=0에 내린 수
선의 길이
곱을 구하시오.
⇨
점 (1, 0)에서 쌍곡선
|axÁ+byÁ+c|
"ÃaÛ`+bÛ`
2. 이차곡선과 직선
83
Take a Break
전문가의 비애
“정말 놀랍군.”
한 교수가 그의 아내에게 말했습니다.
“우리가 이렇게 무지했다니! 거의 모든 사람들이 자신의 특정 분야에 대해서만 전문가일 뿐 그로 인
해 더더욱 편협해지지 않았나. 우리 모두가 다른 사람이 하는 일에 대해서는 전혀 모르고 있어.”
아내는 고개를 끄덕였습니다.
“당신 말이 맞아요.”
교수가 말했습니다.
“나는 내 자신이 현대 과학을 따라가지 못하고 있다는 것이 부끄럽소. 전등을 예로 들어 봅시다. 나는
어떻게 해서 불이 켜지는지 전혀 모르겠소.”
그러자 그의 아내가 의기양양한 표정으로 미소를 지으며 말했습니다.
“어머, 당신이 그처럼 무지하다니 정말 부끄러운 일이군요. 그건 간단해요. 스위치만 누르면 되잖아
요?”
아무리 간단한 것이라도 복잡하게 생각하면 복잡하고 어려워지게 됩니다.
Ⅱ
평면벡터
1. 벡터의 연산
2. 평면벡터의 성분과 내적
01
벡터의 뜻
1. 벡터의 연산
개념원리 이해
1. 벡터의 뜻
필수예제 1
⑴ 속도, 힘과 같이 크기와 방향을 함께 가지는 양을 벡터(vector)라 한다.
B(종점)
⑵ 벡터를 그림으로 나타낼 때는 오른쪽 그림과 같이 방향이 주어진 선
분을 이용한다.
AB³
점 A에서 점 B로 향하는 방향과 크기가 주어진 선분 AB를 ‘벡터
AB’라 하고, 이것을 기호로 AB³와 같이 나타낸다.
이때 점 A를 벡터 AB³의 시점, 점 B를 벡터 AB³의 종점이라 한다.
A(시점)
⑶ 벡터 AB³에서 선분 AB의 길이를 벡터 AB³의 크기라 하고, 이것을 기호로
|AB³| Û2 |AB³|=ABÓ
와 같이 나타낸다.
⑷ 벡터를 한 문자로 나타낼 때에는
aø, bø, cø, y
aø
와 같이 나타내고, 벡터 aø의 크기는 |aø|와 같이 나타낸다.
|aø|
⑸ 크기가 1인 벡터를 단위벡터라 한다.
⑹ 벡터 AÕA,³ BÕB² 등과 같이 시점과 종점이 일치하는 벡터를 영벡터라 하고, 이것을 기호로 0ø와
같이 나타낸다. 영벡터의 크기는 0이고 그 방향은 생각하지 않는다.
① 길이, 질량과 같이 크기만을 가지는 양을 스칼라(scalar)라 한다.
② 벡터를 그림으로 나타낼 때에는 선분에 화살표로 방향을 표시하여 나타낸다. 이때 선분의 길이는 벡터의 크기를 나타내
고, 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타낸다.
③ AÕA³=0ø, BB³=0ø
예
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD에서
A
D
⑴ |AB³|=ABÓ=1, |AÕD³|=AÕDÓ=1이므로 AB³, AÕD³는 단위벡터
이다.
⑵ |AC³|=ACÓ="Ã1Û`+1Û`='2
86 Ⅱ. 평면벡터
1
B
C
2. 서로 같은 벡터
필수예제 1
두 벡터 aø와 bø의 크기와 방향이 각각 같을 때, 두 벡터 aø와 bø는 서로 같다고 하고, 이것을 기호
로
aø=bø
와 같이 나타낸다.
① 두 벡터 aø와 bø가 서로 다를 때, aø+bø로 나타낸다.
② 한 벡터를 평행이동하여 겹쳐지는 벡터는 모두 같은 벡터이다.
설명
오른쪽 그림에서 벡터 AB³를 평행이동하면 벡터 CD³와 포개지므로 두 벡터 AB³와 CD³
D
는 시점의 위치는 다르지만 그 크기와 방향이 각각 같다.
B
이와 같이 두 벡터 AB³와 CD³의 크기와 방향이 각각 같을 때, 두 벡터 AB³와 CD³는 서로
같다고 하고 AB³=CD³와 같이 나타낸다.
C
A
3. 크기가 같고 방향이 반대인 벡터
필수예제 1
B
벡터 aø와 크기는 같지만 방향이 반대인 벡터를 기호로 -aø와 같이 나타낸
aø=AB³
다. 즉,
|-aø|=|aø|, BA³=-AB³
예
오른쪽 직사각형 ABCD에서 AB³=aø, AD³=bø라 하면
⑴ 벡터 DC³는 벡터 AB³와 크기와 방향이 각각 같으므로
DC³=AB³=aø
⑵ 벡터 CB³는 벡터 AD³와 크기는 같지만 방향이 반대이므로
-aø=BA³
A
A
bø
D
aø
B
C
CB³=-AD³=-bø
1. 벡터의 연산
87
개념원리
91
익히기
⑴ OB³
92
93
생각해 봅시다!
다음 벡터의 시점과 종점을 각각 말하시오.
⑵ DC³
오른쪽 그림 위에 다음 벡터를 나타내시오.
⑴ AB³
⑵ BD³
⑶ CA³
⑷ DC³
B
A
C
D
오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서
4
A
D
ABÓ=3, ADÓ=4일 때, 다음을 구하시오.
벡터 AB³의 크기
⇨ |AB³|=ABÓ
3
⑴ |BC³|
⑵ |AC³|
B
94
C
오른쪽 그림을 보고, 다음을 구하시
오.
cø
ø 서로 같은 벡터
⑴ b와
ø 서로 같은 벡터
⑵ e와
⑶ aø와 크기가 같지만 방향이 반대
인 벡터
⑷ cø와 크기가 같지만 방향이 반대
인 벡터
88 Ⅱ. 평면벡터
dø
aø
서로 같은 벡터
⇨ 크기와 방향이 각각 같
다. 한 벡터를 평행이동
하여 겹쳐지는 벡터는
모두 같은 벡터이다.
eø
gø
bø
fø
hø
필수예제
01 벡터의 크기와 서로 같은 벡터
더 다양한 문제는 RPM 기하 42쪽
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정육각형 ABCDEF에서 세
대각선 AD, BE, CF의 교점을 O라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
³ 서로 같은 벡터를 모두 구하시오.
⑴ DÕE와
⑵ BC³와 크기는 같지만 방향이 반대인 벡터를 모두 구하시오.
A
B
1
F
O
C
E
D
⑶ BC³의 크기를 구하시오.
⑷ |AE³|를 구하시오.
⑴ DÕE³와 크기와 방향이 각각 같은 벡터는 BA³, CO³, OF³
풀이
⑵ BC³와 크기는 같지만 방향이 반대인 벡터는 CB³, OA³, DO³, EF³
⑶ 선분 BC의 길이가 1이므로 |BC³|=BCÓ=1
⑷ 선분 BE의 길이는 선분 AF의 길이의 2배이므로 |BE³|=BEÓ=2
따라서 직각삼각형 ABE에서
|AE³|=AEÓ=¿¹ BEÓ Û`-ABÓ Û`="Ã2Û`-1Û`='3
KEY
Point
확인
체크

서로 같은 벡터 ⇨ 시점의 위치에 관계없이 크기와 방향이 각각 같은 벡터

크기는 같지만 방향이 반대인 벡터 ⇨ AB³=-BA³
95
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서 AB³=aø, AC³=bø,
D
AD³=cø라 할 때, 다음 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
C
bø
cø
보기
ㄱ. BC³=cø
96
ㄴ. CA³=-bø
ㄷ. CD³=aø
A
B
aø
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정삼각형 ABC의 세 변
A
AB, BC, CA의 중점을 각각 D, E, F라 할 때, 다음 물음에 답하
D
시오.
⑴ AD³와 서로 같은 벡터를 모두 구하시오.
⑵ BE³와 크기는 같지만 방향이 반대인 벡터를 모두 구하시오.
B
F
E
2
C
⑶ |DE³|를 구하시오.
1. 벡터의 연산
89
02
벡터의 덧셈과 뺄셈
1. 벡터의 연산
개념원리 이해
1. 벡터의 덧셈
필수예제 2, 3
⑴ 삼각형을 이용한 벡터의 덧셈
오른쪽 그림과 같이 두 벡터 aø, bø에 대하여 aø=AB³, bø=BC³가 되
C
도록 세 점 A, B, C를 잡을 때, 벡터 AC³ (=cø)를 두 벡터 aø, bø의
cø=aø+bø
합이라 하고, 이것을 기호로 aø+bø와 같이 나타낸다.
bø
따라서 다음이 성립한다.
aø+bø=cø HjK AB³+BC³=AC³
A
B
aø
같다.
⑵ 평행사변형을 이용한 벡터의 덧셈
오른쪽 그림과 같이 aø=AB³, bø=AD³가 되도록 세 점 A, B, D를
D
잡고, 사각형 ABCD가 평행사변형이 되도록 점 C를 잡으면
bø
AD³=BC³이므로
aø+bø=AB³+AD³
C
aø+bø
bø
A
B
aø
=AB³+BC³=AC³
⑴ 삼각형을 이용한 벡터의 덧셈
벡터 aø의 종점과 벡터 bø의 시점이 일치하도록 옮겨서 벡터 aø의 시점과 벡터 bø의 종점을 잇는다.
⑵ 평행사변형을 이용한 벡터의 덧셈
벡터 aø의 시점과 벡터 bø의 시점을 일치시킨 다음 벡터 aø와 벡터 bø를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형을 만들어 벡
터 aø의 시점과 대각선 방향의 평행사변형의 꼭짓점을 잇는다.
설명
D
⑵ 오른쪽 그림과 같이 aø=AB³, bø=AD³가 되도록 세 점 A, B, D를 잡고, 사각형 ABCD
가 평행사변형이 되도록 점 C를 잡는다.
bø
이때 두 벡터 AD³, BC³는 ADÓ=BCÓ이고 방향이 같으므로 AD³=BC³이다.
따라서 AB³+AD³=AB³+BC³=AC³이다. 즉, 두 벡터의 합 AB³+AD³는 평행사변형
A
C
aø+bø
bø
B
aø
의 대각선인 AC³이다.
예
오른쪽 그림과 같이 정육각형 ABCDEF에서 세 대각선 AD, BE, CF
의 교점을 O라 하면
⑶ BC³+AF³=BC³+CD³=BD³
⑷ AO³+BO³=AO³+OE³=AE³
90 Ⅱ. 평면벡터
E
A
⑴ BO³+OF³=BF³
⑵ AO³+AB³=AO³+OC³=AC³
F
Û2 AB³=OC³
Û2 AF³=CD³
Û2 BO³=OE³
B
O
C
D
2. 벡터의 덧셈에 대한 연산 법칙
필수예제 2
세 벡터 aø, bø, cø에 대하여
⑴ 교환법칙: aø+bø=bø+aø ⑵ 결합법칙: (aø+bø)+cø=aø+(bø+cø)
세 벡터의 덧셈에서 (aø+bø)+cø와 aø+(bø+cø)의 결과가 같으므로 이를 보통 괄호 없이 aø+bø+cø로 나타낸다.
설명
⑴ 교환법칙
두 벡터 aø, bø에 대하여 오른쪽 그림과 같이 aø=AB³, bø=BC³가 되도록 세 점 A, B,
D
C를 잡고 사각형 ABCD가 평행사변형이 되도록 점 D를 잡으면
aø+bø=AB³+BC³=AC³
bø
bø+aø
A
aø
bø+aø=AD³+DC³=AC³
따라서 aø+bø=bø+aø이므로 벡터의 덧셈에 대한 교환법칙이 성립한다.
aø
C
aø+bø
bø
B
⑵ 결합법칙
세 벡터 aø, bø, cø에 대하여 오른쪽 그림과 같이 aø=AB³, bø=BC³, cø=CD³가 되도
D
cø
록 네 점 A, B, C, D를 잡으면
(aø+bø)+cø=(AB³+BC³)+CD³=AC³+CD³=AD³
aø+(bø+cø)=AB³+(BC³+CD³)=AB³+BD³=AD³
따라서 (aø+bø)+cø=aø+(bø+cø)이므로 벡터의 덧셈에 대한 결합법칙이 성립
한다.
C
bø+cø
aø+bø+cøø
bø
aø+bø
A
B
aø
3. 영벡터의 덧셈에 대한 성질
벡터 aø에 대하여
⑴ aø+0ø=0ø+aø=aø ⑵ aø+(-aø)=(-aø)+aø=0ø
설명
⑴ 벡터 aø에 대하여 aø=AB³라 하면 영벡터는 0ø=BB³로 나타낼 수 있으므로
aø+0ø=AB³+BB³=AB³=aø
⑵ 벡터 aø에 대하여 aø=AB³라 하면 -aø=BA³이므로
aø+(-aø)=AB³+BA³=AA³=0ø
예
오른쪽 그림의 삼각형 ABC에서
A
⑴ AB³+BA³=AÕA³=0ø
⑵ AB³+BC³+CA³=AC³+CA³=AÕA³=0ø
B
C
1. 벡터의 연산
91
개념원리 이해
4. 벡터의 뺄셈
필수예제 3
⑴ 두 벡터 aø, bø에 대하여 aø와 -bø의 합 a+(-bø)를 aø에서 bø를 뺀 차라 하고, 이것을 기호로
aø-bø와 같이 나타낸다. 즉,
aø-bø=aø+(-bø)
⑵ 오른쪽 그림과 같이 aø=AB³, bø=AD³가 되도록 세 점 A, B, D를
aø
D
잡고, 사각형 ABCD가 평행사변형이 되도록 점 C를 잡으면
aø-bø=AB³-AD³=DB³
같다.
Û2 bø의 종점에서 aø의 종점으로
C
aø-bø
bø
A
-bø
B
aø
aø-bø는 두 벡터 aø, bø의 시점을 일치시켰을 때, 벡터 bø의 종점을 시점으로 하고 벡터 aø의 종점을 종점으로 하는 벡터이다.
설명
오른쪽 그림과 같이 aø=AB³, bø=AD³가 되도록 세 점 A, B, D를 잡고, 사각형 ABCD가
D
aø-bø
bø
aø-bø=aø+(-bø)
=AB³+(-AD³)
A
오른쪽 그림의 정사각형 ABCD에서 AB³=aø, AC³=bø, AD³=cø라 할 때,
D
다음을 구하시오.
⑴ bø-aø
풀이
⑵ bø-cø
⑶ (bø-aø)-cø
⑴ bø-aø=AC³-AB³=AC³+BA³=BA³+AC³
=BC³=AD³=cø
⑵ bø-cø=AC³-AD³=AC³+DA³=DA³+AC³
=DC³=AB³=aø
⑶ (bø-aø)-cø=cø-cø=0ø
KEY
Point

벡터의 덧셈, 뺄셈의 계산 방법
[방법 1] 삼각형 또는 평행사변형을 이용하여 벡터의 연산을 한다.
[방법 2] 다음 성질을 이용한다.
⑴ AB³+BC³=AC³, AB³-AC³=CB³
같다.
92 Ⅱ. 평면벡터
같다.
⑵ aø+0ø=aø, aø-0ø=aø, 0ø-aø=-aø, aø-aø=0ø
cø
A
-bø
B
aø
=DC³+CB³=DB³
예
C
aø
평행사변형이 되도록 점 C를 잡으면
C
bø
aø
B
개념원리
97
익히기
두 벡터 aø, bø가 다음 그림과 같이 주어질 때, aø+bø를 그림으로 나타내시오.
⑵
⑴
⑶
aø
aø
bø
bø
생각해 봅시다!
aø+bø
⇨ 벡터 aø의 종점과 벡터 bø
의 시점을 일치시킨다.
bø
aø+bø
aø
bø
aø
98
두 벡터 aø, bø가 다음 그림과 같이 주어질 때, aø-bø를 그림으로 나타내시오.
⑵
⑴
aø
⑶
aø
bø
99
aø-bø
bø
aø
bø
aø-bø
⇨ 두 벡터 aø, bø의 시점을
일치시킨다.
bø
aø
다음을 간단히 하려고 한다.  안에 알맞은 것을 써넣으시오.
벡터의 덧셈
AB³+BC³=AC³
⑴ AC³+CB³=
같다.
⑵ BÕA³-BC³=
벡터의 뺄셈
⑶ BÕA³-CA³=BÕA³+
=
⑷ AB³-CB³=AB³+
=
AB³-AC³=CB³
같다.
1. 벡터의 연산
93
필수예제
02 벡터의 덧셈에 대한 연산 법칙
더 다양한 문제는 RPM 기하 43쪽
다음을 간단히 하시오.
⑴ AB³+CD³+BC³
⑵ QR³+PQ³+ST³+RS³
⑴ AB³+CD³+BC³=AB³+BC³+CD³
풀이
(교환법칙)
=(AB³+BC³)+CD³
(결합법칙)
=AC³+CD³=AD³
⑵ QR³+PQ³+ST³+RS³=PQ³+QR³+RS³+ST³
=(PQ³+QR³)+(RS³+ST³)
(교환법칙)
(결합법칙)
=PR³+RÕT³=PT³
KEY
Point

벡터 aø=AB³의 종점과 벡터 bø=BC³의 시점이 일치하면`(꼬리물기)
C
⇨ 삼각형을 이용한 벡터의 덧셈
aø+bø
bø
⇨ AB³+BC³=AC³
A
확인
체크
aø
B
100 다음을 간단히 하시오.
⑴ BD³+CA³+DC³
⑵ AB³+CD³+BC³+DE³
⑶ AB³+DC³+BD³+CA³
101 평면 위의 서로 다른 네 점 A, B, C, D에 대하여 다음 등식이 성립함을 보이시오.
⑴ AC³+DÕA³+CB³=DB³
94 Ⅱ. 평면벡터
⑵ AC³-AB³=AD³-AB³+DC³
필수예제
03 벡터의 덧셈과 뺄셈
더 다양한 문제는 RPM 기하 43쪽
오른쪽 그림과 같이 평행사변형 ABCD의 두 대각선의 교점을
A
D
aø
O라 하고 OÕA³=aø, OB³=bø라 할 때, 다음 벡터를 aø, bø로 나타
bø
내시오.
O
B
⑴ AB³
⑵ BC³
⑶ CD³
⑷ DÕA³
C
AB³+BC³=AC³, OA³-OB³=BÕA³
설명
⑴ AB³=AO³+OB³=-OA³+OB³=-aø+bø
풀이
⑵ BC³=BO³+OC³=BO³+AO³=-OB³-OÕA³=-aø-bø
⑶ CD³=CO³+OD³=OÕA³+BO³=OÕA³-OB³=aø-bø
⑷ DÕA³=DO³+OÕA=
³ OB³+OÕA³=aø+bø
⑴ AB³=OB³-OÕA=
³ -aø+bø
다른풀이
⑵ BC³=OC³-OB³=AO³-OB³=-OÕA³ OB³=-aø-bø
⑶ CD³=OD³-OC³=BO³-AO³=-OB³+OÕA=
³ aø-bø
⑷ DÕA³=OÕA³ OD³=OÕA³-BO³=OA³+OB³=aø+bø
KEY
Point

AB³=-BA³

AB³+BC³=AC³

같다.
확인
체크
AB³-AD³=DB³
같다.
102 오른쪽 그림과 같이 정육각형 ABCDEF의 세 대각선 AD, BE,
A
CF의 교점을 O라 하고 OA³=aø, OB³=bø라 할 때, 다음 벡터를 aø, bø
⑴ AB³
aø
B
로 나타내시오.
bø
⑵ AE³
E
O
C
103 오른쪽 그림의 사각형 ABCD에서 AB³=aø, BC³=bø, CD³=cø,
D
dø
A
DÕA³=dø라 할 때,
aø
aø+bø+cø+dø=0ø
임을 보이시오.
F
B
D
cø
bø
1. 벡터의 연산
C
95
정답과 풀이 71쪽
연습문제
STEP
1
79
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형
생각해 봅시다!
2
A
D
ABCD에서 AB³-CD³+BD³의 크기를 구하시오.
B
80
82
C
평면 위의 서로 다른 네 점 A, B, C, D에 대하여 다음 중
CA³-DÕA+
³ BÕA³+DÕB와
³ 항상 같은 벡터는?
① AB³
81
AB³-CD³+BD³의 크기
⇨ |AB³-CD³+BD³|
② BC³
③ CA³
④ BA³
⑤ CB³
서로 다른 세 점 A, B, C에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은?
① AB³+BC³=AC³
② AB³+BA³=0ø
④ AB³-BC³=CA³
⑤ AB³+BC³+CA³=0ø
③ AC³-AB³=BC³
오른쪽 그림과 같이 정육각형 ABCDEF의 세 대각선
aø
AD, BE, CF의 교점을 O라 하고 AB³=aø, AF³=bø라
② -aø+bø
④ aø+bø
⑤ 2aø-bø
2
83
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 마름모
O
E
D
A
ABCD에서 BD³의 크기를 구하시오.
2
B
96 Ⅱ. 평면벡터
bø
F
C
③ aø-bø
STEP
A
B
할 때, EF³를 aø, bø로 나타낸 것은?
① -aø-bø
AÕA³=0ø
AB³=-BA³
D
120ù
C
마름모의 두 대각선은 서로
다른 것을 수직이등분한다.
정답과 풀이 71쪽
84
[ 수능기출 ]
삼각형 ABC에서 ABÓ=2, ∠B=90ù, ∠C=30ù이다. 점 P가
PB³+PC³=0ø를 만족시킬 때, |PA³|Û`의 값은?
①5
85
②6
③7
④8
⑤9
오른쪽 그림의 정육각형 ABCDEF에서 AB³=aø,
aø
BC³=bø라 하자. DF³=maø+nbø일 때, 실수 m, n에 대
하여 m+n의 값은?
86
A
B
F
bø
① -2
② -1
④1
⑤2
C
③0
서로 같은 벡터
⇨ 한 벡터를 평행이동하여
겹쳐지는 벡터
E
D
A
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는
정육각형 ABCDEF에서 AB³+FE³-AF³의 크기를 구
AB³-AC³=CB³
1
B
F
같다.
하시오.
C
E
D
87
실력
88
한 평면 위의 사각형 ABCD와 임의의 점 O에 대하여
OÕA³ OD³=OB³-OC³가 성립할 때, 사각형 ABCD는 어떤 사각형인가?
① 정사각형
② 직사각형
④ 마름모
⑤ 사다리꼴
서로 같은 벡터
⇨ 크기와 방향이 각각 같다.
③ 평행사변형
[ 교육청기출 ]
xÛ` yÛ`
+ =1 위의 점 P와 두 초점 F, F'에 대하여 |PF³+PÕF'³|의 최
9
5
댓값은?
타원
①5
②6
③7
④8
⑤9
1. 벡터의 연산
97
03
벡터의 실수배
1. 벡터의 연산
개념원리 이해
1. 벡터의 실수배
필수예제 4
실수 k와 벡터 aø의 곱 kaø를 벡터 aø의 실수배라 하고, 다음과 같이 정의한다.
실수 k와 벡터 aø에 대하여
⑴ aø+0ø일 때,
Ú k>0이면 kaø는 aø와 방향이 같고 크기는 k|aø|인 벡터이다.
Û k<0이면 kaø는 aø와 방향이 반대이고 크기는 |k||aø|인 벡터이다.
Ü k=0이면 kaø=0ø이다.
⑵ aø=0ø일 때, kaø=0ø이다.
① 1 aø=aø, (-1)aø=-aø, 0 aø=0ø, k 0ø=0ø, |kaø|=|k||aø|
② 벡터와 실수의 곱은 벡터이다.
설명
오른쪽 그림과 같이 영벡터가 아닌 벡터 aø에 대하여 aø+aø는 aø와 방향이 같고 크기
-aø
aø
가 |aø|의 2배인 벡터이다.
aø
이것을 aø+aø=2aø로 나타낸다.
2aø
aø
또, (-aø)+(-aø)는 aø와 방향이 반대이고 크기가 |aø|의 2배인 벡터이다.
-2aø
-aø
이것을 (-aø)+(-aø)=-2aø로 나타낸다.
벡터 aø와 방향이 같고 크기가 |aø|의 ;2!;배인 벡터는 ;2!; aø이고, 벡터 aø와 방향이 반대이고 크
예
기가 |aø|의 3배인 벡터는 -3aø이다.
2. 벡터의 실수배에 대한 연산 법칙
필수예제 4, 5
두 실수 k, l과 두 벡터 aø, bø에 대하여
⑴ 결합법칙: k(laø)=(kl)aø
⑵ 분배법칙: (k+l)aø=kaø+laø, k(aø+bø)=kaø+kbø
설명
실수를 계수, 벡터를 문자로 생각하여 다항식의 연산과 같은 방법으로 간단히 한다.
벡터의 실수배
다항식의 연산
3(2aø)=(3_2)aø=6aø
3(2a)=(3_2)a=6a
7aø=(4+3)aø=4aø+3aø
7a=(4+3)a=4a+3a
2(aø+bø)=2aø+2bø
2(a+b)=2a+2b
예
3(aø+2bø)+2(-aø+2bø)를 간단히 하시오.
풀이
3(aø+2bø)+2(-aø+2bø)=3aø+6bø-2aø+4bø=(3-2)aø+(6+4)bø=aø+10bø
98 Ⅱ. 평면벡터
3. 벡터의 평행
필수예제 7
⑴ 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø의 방향이 같거나 반대일 때,
aø와 bø는 서로 평행하다고 하고, 이것을 기호로
bø
aø
aøbø
bø
aø
와 같이 나타낸다.
⑵ 두 벡터의 평행 조건
영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여
aøbø HjK bø=kaø (단, k는 0이 아닌 실수)
aø=AB³, bø=CD³일 때, aøbø라는 말은 두 선분 AB,`CD가 평행하다는 뜻이고 일치하는(겹치는) 경우도 포함한다.
<두 벡터 aø, bø의 방향이 같을 때>
<두 벡터 aø, bø의 방향이 반대일 때>
aø
aø
aø
bø
일직선 위에
있지 않다.
설명
aø
bø
일직선 위에
있다.
bø
bø
일직선 위에
있지 않다.
일직선 위에
있다.
⑵ 벡터의 실수배의 정의에 따라 영벡터가 아닌 두 벡터는 한 벡터가 다른 벡터의 실수배일 때만 평
행하다.
영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하면 두 벡터 aø, bø의 방향은 같거나 반대이다. 이때 두 벡
터 aø, bø는 서로의 실수배가 되므로 두 벡터 aø, bø가 평행하다는 것은 bø=kaø를 만족시키는 0이 아
닌 실수 k가 존재한다는 뜻이다.
역으로 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여 bø=kaø를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재하면
두 벡터 aø, bø의 방향은 k>0일 때 서로 같고, k<0일 때 서로 반대이므로 두 벡터 aø, bø는 서로
bø
aø
bø=2aø
⇨ aøbø
평행하다.
따라서 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여 다음이 성립한다.
aøbø HjK bø=kaø (단, k는 0이 아닌 실수)
참고
① bø=kaø 대신 aø=kbø라 하기도 한다. (단, k는 0이 아닌 실수)
② 두 벡터의 평행 조건에서 실수 k는 0이 아니라는 조건이 꼭 필요하다.
만약 k=0이라 하면 영벡터가 아닌 임의의 두 벡터 aø, bø에 대하여
aøbø, k=0 HjK bø=kaø=0ø
가 되므로 bø+0ø라는 가정에 모순이 된다.
③ 두 벡터 aø, bø에 대하여 bø=kaø에서 k=1인 경우는 aø=bø이므로 aøaø이다. 즉, 서로 같은 벡터는 서로 평행하다.
④ 영벡터는 방향이 없으므로 다른 벡터와의 평행 관계를 생각하지 않는다.
예
세 벡터 pø=2aø+4bø, qø=aø+3bø, rø=3aø+bø에 대하여 두 벡터 pø-qø, qø+rø가 서로 평행함
을 보이시오. (단, aø+-bø)
풀이
pø-qø=(2aø+4bø)-(aø+3bø)=2aø+4bø-aø-3bø=aø+bø
qø+rø=(aø+3bø)+(3aø+bø)=4aø+4bø=4(aø+bø)
즉, qø+rø=4(pø-qø)이므로 pø-qøqø+rø
1. 벡터의 연산
99
개념원리 이해
4. 두 벡터가 서로 같을 조건
필수예제 6
영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않을 때, 실수 m, n, m', n'에 대하여 다음이 성립한다.
⑴ maø+nbø=0ø HjK m=n=0
⑵ maø+nbø=m'aø+n'bø HjK m=m', n=n'
영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않을 때, 등식 (m-5)aø+(n+1)bø=0ø를 만
예
족시키는 실수 m, n의 값을 구하시오.
풀이
(m-5)aø+(n+1)bø=0ø에서 m-5=0, n+1=0 ∴ m=5, n=-1
5. 세 점이 한 직선 위에 있을 조건
필수예제 8
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 조건
C
⑴ AC³=kAB³ (단, k는 0이 아닌 실수)
B
A
⑵ 한 점 O에 대하여 OC³=m OA³+n OB³ (단, m+n=1)
AB³=k BC³, AB³=k AC³, BC³=k AC³는 모두 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 존재한다는 의미이므로 어떤 것을 사용해
도 관계없지만 편의상 AC³=k AB³의 식을 쓰도록 한다.
설명
⑴서로 다른 세 점 A, B, C에 대하여 AC³=k AB³를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재하면
AC³=kAB³ C
AB³AC³이므로 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있다.
B
역으로 서로 다른 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으면 AC³=k AB³를 만족시키는 0이 아닌
A
실수 k가 존재한다.
A
⑵한 평면 위의 서로 다른 네 점 O, A, B, C에 대하여
B
AB³=OB³-OA³, AC³=OC³-OA³이므로
AC³=k AB³ HjK OC³-OA³=k(OB³-OA³)
∴ OC³=(1-k)OA³+k OB³
O
이때 1-k=m, k=n으로 놓으면
OC³=m OA³+n OB³ (단, m+n=1)
예
평면 위의 서로 다른 네 점 O, A, B, C에 대하여 OÕA³=aø, OB³=bø, OC³=5aø-4bø일 때,
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있음을 보이시오.
풀이
두 벡터 AB³, AC³를 각각 aø, bø로 나타내면
AB³=OB³-OA³=bø-aø yy`㉠
AC³=OC³-OA³=(5aø-4bø)-aø=4aø-4bø=-4(bø-aø) yy`㉡
㉠, ㉡에서 AC³=-4AB³
따라서 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있다.
100 Ⅱ. 평면벡터
C
개념원리
익히기
생각해 봅시다!
104 두 벡터 aø, bø가 오른쪽 그림과 같이 주어질 때, 다음 벡터를 그
bø
림으로 나타내시오.
⑴ 2aø
⑵ 3bø
⑶ 2aø+3bø
⑷ -2aø+3bø
aø
105 다음을 간단히 하시오.
벡터의 실수배에 대한 연산
⇨ 실수를 계수, 벡터를 문
자로 생각하여 다항식의
연산과 같은 방법으로
계산한다.
⑴ 3(2aø+bø-3cø)-(6aø+5bø-cø)
⑵ ;2!;(aø+2bø-3cø)-;2#;(aø-2bø+cø)
106 오른쪽 그림에서 네 벡터 aø, bø, cø, dø 중 벡터 pø와
평행한 벡터를 모두 말하시오.
aøbø
⇨ 두 벡터 aø와 bø의 방향이
같거나 반대이다.
aø
pø
bø
cø
dø
1. 벡터의 연산
101
필수예제
04 평면도형에서의 벡터의 연산
더 다양한 문제는 RPM 기하 45쪽
오른쪽 그림과 같이 정육각형 ABCDEF에서 세 대각선 AD, BE,
CF의 교점을 O라 하고 AB³=aø, BC³=bø라 할 때, 다음 벡터를 aø, bø
로 나타내시오.
⑴ BO³
aø
B
F
bø
⑵ AE³
⑶ CE³
⑷ EB³
A
O
C
E
D
⑴ BO³=AO³-AB³=BC³-AB³=-aø+bø
풀이
⑵ AE³=AO³+OE³=BC³+BO³
=bø+(-aø+bø)=-aø+2bø
⑶ BF³=AF³-AB³=BO³-AB³
=(-aø+bø)-aø=-2aø+bø
이때 CE³=BF³이므로 CE³=-2aø+bø
⑷ EB³=AB³-AE³=aø-(-aø+2bø)=2aø-2bø
⑵ AE³=AD³+DE³=2BC³+BÕA³=2BC³-AB³=-aø+2bø
다른풀이
KEY
Point

평면도형에서의 벡터의 연산
① 두 벡터의 종점과 시점이 일치 ⇨ 벡터의 덧셈 이용 ⇨ AB³=AC³+CB³
② 두 벡터의 시점이 일치 ⇨ 벡터의 뺄셈 이용 ⇨ AB³=OB³-OA³
③ 서로 같은 벡터를 찾는다.
확인
체크
107 오른쪽 그림과 같이 평행사변형 ABCD에서 두 대각선의 교점을
A
D
aø
O라 하고 OD³=aø, OC³=bø라 할 때, BÕA+
³ CA³를 aø, bø로 나타내
O
시오.
bø
B
C
108 오른쪽 그림과 같이 정육각형 ABCDEF에서 AB³=aø, AC³=bø라 할
때, 벡터 AE³를 aø, bø로 나타내면?
① -4aø+bø
② -3aø+2bø
④ aø-3bø
⑤ 2aø+bø
A
aø
B
③ -2aø-bø
F
bø
C
E
D
102 Ⅱ. 평면벡터
필수예제
05 벡터의 실수배에 대한 연산
더 다양한 문제는 RPM 기하 44쪽
다음 물음에 답하시오.
⑴ 다음 등식을 만족시키는 벡터 xø 를 aø, bø로 나타내시오.
2(aø+xø)-3(2bø-aø)=xø
⑵ 벡터 aø에 대하여 2xø+3yø=5aø, 3xø+4yø=6aø일 때, 두 벡터 xø, yø 를 aø로 나타내시오.
⑴ 2(aø+xø)-3(2bø-aø)=xø에서
풀이
2aø+2xø-6bø+3aø=xø ∴ xø=-5aø+6bø
⑵ 2xø+3yø=5aø yy`㉠
3xø+4yø=6aø yy`㉡
㉠_3-㉡_2를 하면 yø=3aø
이것을 ㉠에 대입하면 2xø+9aø=5aø
2xø=-4aø ∴ xø=-2aø
KEY
Point

벡터의 연산`(덧셈, 뺄셈, 실수배)
⇨ 실수를 계수, 벡터를 문자로 생각하여 다항식의 연산과 같은 방법으로 계산한다.
확인
체크
109 다음 등식을 만족시키는 벡터 xø 를 aø, bø로 나타내시오.
⑴ 3(aø+bø+xø)=2(3bø-2aø)+2xø
⑵ 4(xø-aø+2bø)=3{2aø-;3@;bø }-xø
110 두 벡터 aø, bø에 대하여 2xø-yø=-aø, -3xø+2yø=-bø일 때, 두 벡터 xø, yø 를 aø, bø로 나타
내시오.
111 두 벡터 aø, bø에 대하여 2xø-3yø=aø, 3xø-5yø=bø일 때, 벡터 xø-3yø 를 aø, bø로 나타내시오.
1. 벡터의 연산
103
필수예제
06 두 벡터가 서로 같을 조건
더 다양한 문제는 RPM 기하 46쪽
영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않을 때,
(4m-3n)aø+(2m+3n)bø=aø+2bø
를 만족시키는 실수 m, n의 값을 구하시오.
설명
m, n, x, y가 실수이고 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않을 때
풀이
(4m-3n)aø+(2m+3n)bø=aø+2bø에서
maø+nbø=xaø+ybø HjK m=x, n=y
4m-3n=1, 2m+3n=2
위의 두 식을 연립하여 풀면
m=;2!;, n=;3!;
KEY
Point
영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않을 때, 실수 m, n, m', n'에 대하여


확인
체크
maø+nbø=0ø HjK m=0, n=0
maø+nbø=m'aø+n'bø HjK m=m', n=n'
112 서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여 등식
(3x+y-7)aø+(2x-y-8)bø=0ø
가 성립할 때, 실수 x, y에 대하여 x+y의 값을 구하시오.
113 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않을 때,
(3k+2l)aø+(k-l-2)bø=(k-l)aø+(l+5)bø
를 만족시키는 실수 k, l에 대하여 k-l의 값을 구하시오.
114 서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여 OA³=aø, OB³=bø, OC³=2aø+kbø
이다. 4BC³=mBA³일 때, 실수 k, m에 대하여 m+2k의 값을 구하시오.
104 Ⅱ. 평면벡터
필수예제
07 두 벡터가 서로 평행할 조건
더 다양한 문제는 RPM 기하 46쪽
서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여
pø=2aø+bø, qø=aø-2bø, rø=kaø-5bø
일 때, 두 벡터 qø-rø와 pø+qø가 서로 평행하도록 하는 실수 k의 값을 구하시오.
설명
두 벡터가 서로 평행하면 한 벡터는 다른 벡터의 실수배임을 이용한다.
풀이
두 벡터 qø-rø 와 pø+qø 가 서로 평행하려면
qø-rø=m(pø+qø) yy`㉠
를 만족시키는 0이 아닌 실수 m이 존재해야 한다. 이때
qø-rø=(aø-2bø)-(kaø-5bø)=(1-k)aø+3bø
pø+qø=(2aø+bø)+(aø-2bø)=3aø-bø
이므로 이 식을 ㉠에 대입하면
(1-k)aø+3bø=m(3aø-bø) ∴ (1-k)aø+3bø=3maø-mbø
따라서 1-k=3m, 3=-m이므로
m=-3, k=10
(qø-rø)(pø+qø)이므로 qø-rø=(1-k)aø+3bø, pø+qø=3aø-bø 에서 aø 와 bø 의 계수의 비가 같다.
1-k
3
에서 k=10
즉,
=
3
-1
다른풀이
KEY
Point
확인
체크

aø+0ø, bø+0ø일 때, aøbø HjK bø=kaø (단, k는 0이 아닌 실수)
115 두 벡터 pø=4aø-6bø, qø=2aø+kbø가 서로 평행할 때, 실수 k의 값을 구하시오.
(단, 두 벡터 aø, bø는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않다.)
116 서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여
pø=9aø-3bø, qø=2aø+kbø, rø=-8aø+2bø
일 때, 두 벡터 pø-qø 와 qø+rø 가 서로 평행하도록 하는 실수 k의 값을 구하시오.
1. 벡터의 연산
105
필수예제
08 세 점이 한 직선 위에 있을 조건
더 다양한 문제는 RPM 기하 47쪽
평면 위의 서로 다른 네 점 O, A, B, C에 대하여
OA³=2aø+bø, OB³=aø-bø, OC³=4aø+mbø
일 때, 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있도록 하는 실수 m의 값을 구하시오.
(단, 두 벡터 aø, bø는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않다.)
① 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으면 세 점 중 두 점을 선택하여 만든 서로 다른 두 벡터는 평행하다.
설명
② 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 조건 ⇨ AC³=kAB³`(단, k는 0이 아닌 실수)
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면
풀이
AC³=kAB³ yy`㉠
를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재해야 한다. 이때
AC³=OC³-OÕA³=(4aø+mbø)-(2aø+bø)=2aø+(m-1)bø
AB³=OB³-OÕA=
³ (aø-bø)-(2aø+bø)=-aø-2bø
이므로 이 식을 ㉠에 대입하면
2aø+(m-1)bø=k(-aø-2bø) ∴ 2aø+(m-1)bø=-kaø-2kbø
따라서 2=-k, m-1=-2k이므로 k=-2, m=5
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으려면 AC³=kAB³를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재해야 한다.
다른풀이
OC³-OÕA=
³ k(OB³-OÕA³)에서 OC³-OÕA=
³ k OB³-k OÕA³
∴ OC³=k OB³+(1-k)OÕA ³
yy`㉠
이때 주어진 OÕA,³ OB³, OC³를 ㉠에 대입하면
4aø+mbø=k(aø-bø)+(1-k)(2aø+bø)
=(2-k)aø+(1-2k)bø
따라서 4=2-k, m=1-2k이므로 k=-2, m=5
KEY
Point

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 조건
⇨ AC³=kAB³ (단, k는 0이 아닌 실수) HjK OC³=mOA³+nOB³ (단, m+n=1)
A
B
C
O
확인
체크
117 서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø 에 대하여
AB³=2aø-bø, AC³=(m+1)aø+3bø
일 때, 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있도록 하는 실수 m의 값을 구하시오.
118 평면 위의 서로 다른 네 점 O, A, B, C에 대하여 OÕA³=aø, OB³=bø, OC³=3aø+mbø일 때,
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있도록 하는 실수 m의 값을 구하시오.
106 Ⅱ. 평면벡터
(단, 두 벡터 aø, bø는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않다.)
정답과 풀이 72쪽
연습문제
STEP
1
89
오른쪽 그림과 같이 정육각형 ABCDEF의 세 대각선
생각해 봅시다!
A
AD, BE, CF의 교점을 O라 하자. AB³=aø, BC³=bø
라 할 때, 다음 중 옳지 않은 것은?
① OF³=-aø
② AC³=aø+bø
③ BE³=2aø-2bø
④ CE³=-2aø+bø
F
AB³=AC³+CB³
AB³=OB³-OÕA³
aø
B
E
O
bø
C
D
⑤ EÕA³=aø-2bø
90
오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD
1
A
D
에서 AB³=aø, BC³=bø라 할 때, |aø+bø|, |3aø-4bø|의 값
을 각각 구하시오.
aø
B
bø
C
91
두 벡터 aø, bø에 대하여 3xø+2yø=2aø-5bø, 2xø+4yø=3aø+5bø일 때,
92
서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여 pø=aø-bø,
두 벡터가 서로 평행하면
qø=maø+3bø, rø=2aø-5bø 일 때, 두 벡터 pø+qø 와 qø-rø 가 서로 평행하도록
한 벡터는 다른 벡터의 실
수배이다.
xø+yø=maø+nbø이다. 이때 실수 m, n에 대하여 m+n의 값을 구하시오.
하는 실수 m의 값을 구하시오.
93
실수를 계수, 벡터를 문자
로 생각하여 계산한다.
평면 위의 서로 다른 네 점 O, A, B, C에 대하여 OA³=-aø+2bø,
OB³=2aø-bø, OC³=bø일 때, 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있음을 보이시오.
1. 벡터의 연산
107
정답과 풀이 73쪽
연습문제
STEP
2
94
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원 O 위의 세
B
점 A, B, C에 대하여 ∠AOB=∠BOC=∠COA일
OÕA³+OB³-OC³를 OC³로
나타내 본다.
1
때, |OÕA³+OB³-OC³|의 값을 구하시오.
A
O
C
95
오른쪽 그림과 같이 합동인 두 정육각형이 한
변을 공유하고 있다. OÕA³=aø, OB³=bø라 할 때,
O
벡터 OC³를 aø, bø로 나타내시오.
A
aø
bø
C
B
96
D
오른쪽 그림과 같이 일정한 간격의 평행선으로 이루
어진 도형 위에 네 점 A, B, C, D가 있다.
AC³=mAB³+nAD³
C
일 때, 실수 m, n에 대하여 m-n의 값을 구하시오.
A
B
97
서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여 cø=aø+2bø일 때,
보기에서 벡터 aø+bø와 서로 평행한 벡터만을 있는 대로 고르시오.
0이 아닌 실수 k에 대하여
k(aø+bø) 꼴로 나타내어지
는 벡터를 찾는다.
보기
ㄱ. aø-cø
98
ㄴ. aø+cø
ㄷ. bø-cø
ㄹ. bø+cø
서로 다른 세 점 O, A, B에 대하여 OÕA=
³ aø, OB³=bø일 때, 다음 조건을 만
족시키는 세 점 P, Q, R 중에서 항상 직선 AB 위에 있는 점을 모두 구하시
오. (단, 두 벡터 aø, bø는 서로 평행하지 않다.)
OP³=4aø-5bø, OQ³=-2aø+3bø, OR³=-aø+2bø
108 Ⅱ. 평면벡터
세 점이 한 직선 위에 있을
조건을 생각한다.
정답과 풀이 74쪽
실력
99
xÛ` yÛ`
+ =1의 두 초점을
25
9
F, F', 원점을 O라 하자. 이 타원 위의 한 점 P에 대
생각해 봅시다!
y
오른쪽 그림과 같이 타원
OF³=FÕ'O³
P
하여 |OP³+OF³|=4가 성립할 때, 벡터 PF³의 크기
O
F'
yÛ
xÛ
;25;+;;9;;=1
를 구하시오.
100 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 3인 정육각형
A
F
|AD³|=6
3
ABCDEF에서 |AB³+AC³+AD³+AE³+AF³|의
B
값을 구하시오.
E
C
D
101 오른쪽 그림은 반지름의 길이가 2인 원 O에 내접하는
정오각형 ABCDE이다. 이때 AB³+AC³+AD³+AE³
A
2
B
의 크기를 구하시오.
C
102 오른쪽 그림의 사각형 ABCD에서 두 대각선 AC,
가 성립한다. OB³=kOD³일 때, 실수 k의 값을 구하
D
A
BD의 교점을 O라 하면 2OA³-OB³=2OD³-OC³
E
O
(단, OA³+OB³+OC³+OD³+OE³=0ø)
x
F
D
O
B
C
시오.
[ 평가원기출 ]
103 직사각형 ABCD의 내부의 점 P가 PA³+PB³+PC³+PD³=CA³를 만족시
CA³=CP³+PA³
킨다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
보기
ㄱ. PB³+PD³=2CÕP²
ㄴ. AP³=;4#; AC³
ㄷ. 삼각형 ADP의 넓이가 3이면 직사각형 ABCD의 넓이는 8이다.
①ㄱ
②ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
1. 벡터의 연산
109
Take a Break
구두쇠의 희망
돈 많은 졸부가 친구에게 말했습니다.
“이상하단 말일세. 내가 죽으면 나의 전 재산을 모두 자선 단체에 기부하겠다고 유언해 두었는데도
왜 사람들은 나를 구두쇠라고 비난하는 거지?”
친구가 대답했습니다.
“내가 암소와 돼지 이야기를 하나 해주겠네. 어느 날 돼지가 암소에게 불평하길
‘사람들은 항상 너, 암소의 부드럽고 온순함을 칭찬하지. 물론 너는 사람들에게 우유와 크림을 제공
해 주고 말이야. 하지만 난 사람들에게 사실 더 많은 것을 제공한다고. 베이컨과 햄, 심지어 발까지
주는데도 사람들은 여전히 날 좋아하지 않아. 도대체 왜 그러는지 난 알 수가 없어.’
암소는 잠시 생각에 잠기더니 말했다네.
‘글쎄, 그건 아마도 내가 살아 있을 때 사람들에게 유익한 것을 제공하기 때문일 거야.’
라고 말일세.”
- 내 인생을 변화시키는 짧은 이야기 중에서 -
Ⅱ
평면벡터
1. 벡터의 연산
2. 평면벡터의 성분과 내적
01
위치벡터
2. 평면벡터의 성분과 내적
개념원리 이해
1. 위치벡터
⑴ 한 점 O를 시점으로 하는 벡터 OA³를 점 O에 대한 점 A의 위치벡터라 한다.
⑵ 위치벡터의 성질: 두 점 A, B의 위치벡터를 각각 aø, bø라 하면
AB³=bø-aø
① 일반적으로 좌표평면에서는 위치벡터의 시점 O를 원점으로 잡는다.
② 점 O에 대한 점 A의 위치벡터를 간단히 점 A의 위치벡터라 한다. 이때 점 O의 위치벡터는 0ø이다.
설명
⑴평면에서 한 점 O를 고정하면 임의의 벡터 aø에 대하여 aø=OA³인 점 A의 위치가 오직
A
하나로 정해진다.
역으로 임의의 점 A에 대하여 OA³=aø인 벡터 aø가 오직 하나로 정해진다.
aø
aø
따라서 벡터 OA³와 평면 위의 한 점 A는 일대일로 대응한다.
이때 정해진 점 O를 시점으로 하는 벡터 OA³를 점 A의 위치벡터라 한다.
O
B
⑵오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B의 위치벡터를 각각 aø, bø라 하면
OA³=aø, OB³=bø이고, AB³=OB³-OA³이므로
bø
AB³=OB³-OA³=bø-aø
bø-aø
O
A
aø
예
세 점 A, B, C의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø라 할 때, 3AB³+2BC³를 aø, bø, cø로 나타내시오.
풀이
3AB³+2BC³=3(OB³-OA³)+2(OC³-OB³)
=3(bø-aø)+2(cø-bø)=-3aø+bø+2cø
2. 선분의 내분점과 외분점의 위치벡터
필수예제 1
두 점 A, B의 위치벡터를 각각 aø, bø라 할 때
A
m
⑴ 선분 AB를 m`:`n`(m>0, n>0)으로 내분하는 점 P의 위치벡터
: n
11
+
Ú
암기 요령 m
Ú
mbø+naø
m+n
1
pø=
1
pø는
aø
bø
aø
O
112 Ⅱ. 평면벡터
Ú
aø+bø
⑶ 선분 AB의 중점 M의 위치벡터 m²은 m²=
2
1
mbø-naø
m-n
-
1
qø=
:
11
암기 요령 m
aø
Ú
n
B
bø
⑵ 선분 AB를 m`:`n`(m>0, n>0, m+n)으로 외분하는 점 Q의 위
치벡터 qø는
P
pø
A
n
aø
bø
O
m
B
n
bø
qø
Q
설명
두 점 A, B의 위치벡터를 각각 aø, bø라 하면
⑴ 선분 AB를 m`:`n`(m>0, n>0)으로 내분하는 점 P의 위치벡터 pø
오른쪽 그림에서 APÓ`:`ABÓ=m`:`(m+n)이므로
AP³=
A
m
m
AB³
m+n
aø
이때 AP³=OP³-OA³=pø-aø, AB³=OB³-OA³=bø-aø이므로
pø-aø=
m
(bø-aø)
m+n
∴ pø=aø+
O
n
B
bø
m
mbø+naø
(bø-aø)=
m+n
m+n
⑵ 선분 AB를 m`:`n`(m>0, n>0, m+n)으로 외분하는 점 Q의 위치벡터 qø
A
오른쪽 그림에서 AQÓ`:`ABÓ=m`:`(m-n)이므로
AQ³=
m
AB³
m-n
qø-aø=
m
(bø-aø)
m-n
∴ qø=aø+
B
aø
이때 `AQ³=OQ³-OA³=qø-aø, AB³=OB³-OA³=bø-aø이므로
P
pø
bø
O
m
n
Q
qø
m
mbø-naø
(bø-aø)=
m-n
m-n
⑶ 선분 AB의 중점 M의 위치벡터 m²
선분 AB의 중점 M은 선분 AB를 1`:`1로 내분하는 점이므로 점 M의 위치벡터 m²은
m²=
aø+bø
2
선분 AB를 2`:`3으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라 하고 네 점 A, B, P, Q의 위치
예
벡터를 각각 aø, bø, pø, qø라 할 때, pø, qø를 aø, bø로 나타내시오.
풀이
pø=
2bø+3aø 3aø+2bø
2bø-3aø
, qø=
=
=3aø-2bø
2+3
5
2-3
3. 삼각형의 무게중심의 위치벡터
필수예제 2, 3
세 점 A, B, C의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø라 할 때, 삼각형 ABC의 무게중심 G의 위치벡터 gø 는
gø=
설명
aø+bø+cø
3
m²=
A
오른쪽 그림과 같이 선분 BC의 중점을 M이라 하면 점 M의 위치벡터 m² 은
bø+cø
2
2
이때 삼각형 ABC의 무게중심 G는 선분 AM을 2`:`1로 내분하는 점이므로
2m²+aø
gø=
=
2+1
2_
bø+cø
+aø
aø+bø+cø
2
=
3
3
aø
gø
B
G
1
C
M
møÕ
bø
cø
O
2. 평면벡터의 성분과 내적
113
특강
OP³=mOA³+nOB³를 만족시키는 점 P의 자취
2. 평면벡터의 성분과 내적
1. 0ÉmÉ1, 0ÉnÉ1, m+n=1인 경우
Ú m=0, n=1이면 점 P는 점 B와 같다.
A
Û m=1, n=0이면 점 P는 점 A와 같다.
n
P
A
m
B
B
⇨
Ü 0<m<1, 0<n<1이면 m+n=1이므로
O
nOB³+mOA³
n+m
이때 점 P는 선분 AB를 n`:`m으로 내분하는 점이다.
O
OP³=mOA³+nOB³=
따라서 점 P가 나타내는 도형은 선분 AB이다.
한편, m¾0, n¾0의 조건 없이 m+n=1인 경우 점 P가 나타내는 도형은 직선 AB이다.
2. 0ÉmÉ1, 0ÉnÉ1, m+nÉ1인 경우
m+n=k로 놓으면 0ÉkÉ1
A
Ú k=0, 즉 m=0, n=0이면 OP³=0ø이므로 점 P는 점 O와 일치한다.
P
m n
Û k+0이면
+ =1이므로
O
k
k
m
n
OP³=mOA³+nOB³= (kOA³)+ (kOB³)
k
k
이때 점 P는 두 벡터 kOA³, kOB³`(0<kÉ1)의 종점을 연결하는 선분 위에 있다.
B
따라서 점 P가 나타내는 도형은 삼각형 AOB의 내부와 그 둘레이다.
3. 0ÉmÉ1, 0ÉnÉ1인 경우
오른쪽 그림과 같이 두 선분 OA, OB를 이웃하는 두 변으로 하는
B
평행사변형의 나머지 한 꼭짓점을 C라 하면
Ú m=0이면 OP³=nOB³`(0ÉnÉ1)이므로 점 P가 나타내는 도
형은 선분 OB이다.
Û n=0이면 OP³=mOA³³`(0ÉmÉ1)이므로 점 P가 나타내는 도
C
P
nOB
O
mOA
A
mOA+nOB
형은 선분 OA이다.
Ü m=1이면 OP³=OA³+nOB³`(0ÉnÉ1)이므로 점 P가 나타내는 도형은 선분 AC이다.
Ý n=1이면 OP³=mOA³+OB³`(0ÉmÉ1)이므로 점 P가 나타내는 도형은 선분 BC이다.
Þ 0<m<1, 0<n<1이면 OP³=mOA³+nOB³이므로 점 P가 나타내는 도형은 평행사변형
OACB의 내부이다.
따라서 점 P가 나타내는 도형은 두 선분 OA, OB를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형의 내부와 그
둘레이다.
114 Ⅱ. 평면벡터
개념원리
익히기
119 다음은 세 점 A, B, C의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø라 할 때, 벡터 AB³-3BC³
를 aø, bø, cø로 나타내는 과정이다.  안에 알맞은 것을 써넣으시오.
AB³-3BC³=(OB³=(
-
=-aø+
)-3(
)-3(
bø-
-OB³)
생각해 봅시다!
위치벡터
⇨ 모든 벡터의 시점이 점
O가 되도록 시점을 통
일한다.
-bø)
cø
120 세 점 A, B, C의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø라 할 때, 다음 벡터를 aø, bø, cø로
나타내시오.
⑵ 2AB³+BC³-3CA³
Ú
⑴ 선분 AB를 3`:`2로 내분하는 점 P의 위치벡터 pø
11
m :
1
121 두 점 A, B의 위치벡터를 각각 aø, bø라 할 때, 다음 벡터를 aø, bø로 나타내시오.
1
⑴ AB³-BC³
aø
Ú
n
bø
⑵ 선분 AB를 3`:`2로 외분하는 점 Q의 위치벡터 qø
⑶ 선분 AB의 중점 M의 위치벡터 m²
122 두 점 A, B의 위치벡터를 각각 aø, bø라 할 때, 선분 AB를 3`:`4로 내분하는
점 P의 위치벡터 pø와 3`:`4로 외분하는 점 Q의 위치벡터 qø를 aø, bø로 나타내
시오.
2. 평면벡터의 성분과 내적
115
필수예제
01 선분의 내분점과 외분점의 위치벡터
더 다양한 문제는 RPM 기하 56쪽
오른쪽 그림과 같은 삼각형 OAB에서 변 OA의 중점을 P, 변
B
AB를 1`:`2로 내분하는 점을 Q라 하자. OÕA³=aø, OB³=bø라 할
bø
때, PQ³=maø+nbø를 만족시키는 실수 m, n에 대하여 m+n
의 값을 구하시오.
풀이
O
Q
A
P
aø
점 P는 선분 OA의 중점이므로 OP³=;2!;aø
점 Q는 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점이므로
OQ³=
bø+2aø
=;3@;aø+;3!;bø
1+2
∴ PQ³=OQ³-OP³={;3@; aø+;3!; bø}-;2!; aø=;6!; aø+;3!;bø
따라서 m=;6!;, n=;3!;이므로
m+n=;2!;
KEY
Point
내분점 ⊕
1
1
Ú
aø bø
확인
체크
⇨ pø=
mbø+naø
m+n
m : n
① 11
Ú
Ú②
1
① 11
②
1
m : n
외분점 ⊖
①
Ú
②
aø bø
①
②
mbø-naø
⇨ qø=
m-n
123 오른쪽 그림과 같은 삼각형 OAB에서 변 OB의 중점을 M, 선분
B
AM을 2`:`3으로 내분하는 점을 N이라 하자. OÕN=
³ xOÕA+
³ yOÕB³
M
를 만족시키는 실수 x, y에 대하여 x+y의 값을 구하시오.
N
O
A
124 삼각형 OAB에서 선분 OA를 3`:`2로 내분하는 점을 P, 선분 PB를 1`:`2로 외분하는 점
을 Q라 하자. OÕA³=aø, OB³=bø라 할 때, 벡터 OQ³를 aø, bø로 나타내시오.
116 Ⅱ. 평면벡터
필수예제
02 삼각형의 무게중심의 위치벡터 ⑴
더 다양한 문제는 RPM 기하 57쪽
삼각형 ABC의 무게중심을 G라 할 때, GÕA³+GB³+GC³=0ø임을 보이시오.
세 점 A, B, C의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø라 하고, 무게중심 G의 위치벡터를 gø 라 하면
풀이
gø=
aø+bø+cø
이므로
3
GÕA+
³ GB³+GC³=(aø-gø)+(bø-gø)+(cø-gø)=aø+bø+cø-3gø
=aø+bø+cø-3_
필수예제
aø+bø+cø
=0ø
3
03 삼각형의 무게중심의 위치벡터 ⑵
더 다양한 문제는 RPM 기하 57쪽
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서 AB³=aø, AD³=bø
A
라 하고 삼각형 ABC의 무게중심을 GÁ, 삼각형 ACD의 무게
bø
D
Gª
aø
중심을 Gª라 할 때, 벡터 GÕªGÁ³을 aø, bø로 나타내시오.
GÁ
C
B
오른쪽 그림과 같이 선분 BC의 중점을 M, 선분 CD의 중점을 N이라 하면
풀이
A
aø+(aø+bø) 2aø+bø
AB³+AC³
AÕGÁ³=;3@; AÕM³=;3@;_
=
=;3@;_
2
2
3
bø
D
Gª
aø
(aø+bø)+bø aø+2bø
AC³+AD³
AÕGª³=;3@; AN³=;3@;_
=
=;3@;_
2
2
3
aø+bø N
GÁ
B
C
M
2aø+bø aø+2bø
∴ GÕªGÁ³=AÕGÁ³-AÕGª³=
=;3!; aø-;3!; bø
3
3
KEY
Point
확인
체크
삼각형 ABC의 꼭짓점 A, B, C의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø라 하고 무게중심을 G라 할 때

무게중심 G의 위치벡터 gø ⇨ gø=

GA³+GB³+GC³=0ø
aø+bø+cø
3
125 삼각형 ABC의 무게중심 G에 대하여 GA³=aø, GB³=bø라 할 때, BC³=xaø+ybø이다. 이때
실수 x, y에 대하여 xÛ`+yÛ`의 값을 구하시오.
126 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 세 점 P, Q, R는 각각 세
A
변 AB, BC, CA의 중점이고, 점 G는 삼각형 ABC의 무게중심
R
P
이다. BÕA³=aø, BC³=bø라 할 때, 벡터 GP³를 aø, bø로 나타내시오.
aø
B
G
bø
Q
2. 평면벡터의 성분과 내적
C
117
필수예제
04 삼각형에서 위치벡터의 활용
더 다양한 문제는 RPM 기하 57쪽
평면 위의 점 P와 삼각형 ABC에 대하여 2PA³+5PB³+PC³=BC³가 성립한다. 다음 물
음에 답하시오.
⑴ 점 P는 삼각형 ABC에서 어떤 위치에 있는지 말하시오.
⑵ 삼각형 PAC와 삼각형 PBC의 넓이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.
⑴ 네 점 A, B, C, P의 위치벡터를 각각 aø, bø, cø, pø라 하면
풀이
2PA³+5PB³+PC³=BC³에서
2(aø-pø)+5(bø-pø)+(cø-pø)=cø-bø
2aø+6bø=8pø
aø+3bø 3_bø+1_aø
=
4
3+1
따라서 점 P는 선분 AB를 3`:`1로 내분하는 점이다.
∴ pø=
⑵ 삼각형 PAC와 삼각형 PBC는 APÓ, BPÓ를 각각 밑변으로 할 때 높이가
A
3
서로 같다.
∴ △PAC`:`△PBC=APÓ：BPÓ=3`:`1
1
B
P
C
⑴ BC³=PC³-PB³이므로 2PA³+5PB³+PC³=PC³-PB³
다른풀이
2PA³=-6PB³ ∴ PA³=-3PB³
따라서 세 점 A, P, B는 한 직선 위에 있고 PA³, PB³의 방향이 서로 반대이므로 점 P는 선분 AB를
3`:`1로 내분하는 점이다.
KEY
Point
확인
체크
A
양수 m, n에 대하여 nPB³=-mPC³이면

점 P는 선분 BC를 m`:`n으로 내분하는 점이다.

두 벡터 PB³, PC³는 한 직선 위에 있고 방향이 서로 반대이다.

△ABP`:`△APC=m`:`n
B
m
P n
C
127 삼각형 ABC와 점 P에 대하여 2PA³+3PB³+3PC³=2BA³가 성립할 때, 점 P는 변 BC를
m`:`n으로 내분하는 점이다. 이때
m
의 값을 구하시오.
n
128 넓이가 42인 삼각형 ABC와 점 P에 대하여 4PA³+PB³+2PC³=AB³일 때, 삼각형 PBC
의 넓이를 구하시오.
118 Ⅱ. 평면벡터
정답과 풀이 75쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
104 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 ABÓ=4,
A
ACÓ=3이고 점 D는 ∠A의 이등분선이 변 BC와
각의 이등분선의 성질
4
A
3
만나는 점이다. 이때 AD³=mAB³+nAC³를 만족
시키는 실수 m, n에 대하여 m-n의 값을 구하시
B
C
D
오.
C
B
1`:`2로 내분하는 점을 P, 선분 BP를 1`:`2로 내분
Q
bø
하는 점을 Q, 선분 AQ의 중점을 R라 하자. 두 점
R
O
P
aø, bø로 나타내시오.
STEP
D
⇨A
BÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`DCÓ
105 오른쪽 그림과 같은 삼각형 OAB에서 선분 OA를
A, B의 위치벡터를 각각 aø, bø라 할 때, 벡터 OR³를
B
aø
A
2
106 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 점 M은 선분
A
무게중심은 중선을 꼭짓점
으로부터 2`:`1로 내분하는
점이다.
AC의 중점이고, 점 G는 삼각형 ABC의 무게중심
다. 실수 m, n에 대하여 m+n의 값을 구하시오.
M
aø
이다. BA³=aø, BC³=bø라 할 때, AG³=maø+nbø이
G
B
bø
C
107 넓이가 14인 삼각형 ABC의 내부의 한 점 P에 대하여
3PA³+2PB³+2PC³=0ø일 때, 삼각형 PAB의 넓이를 구하시오.
실력
108 좌표평면 위의 세 점 O(0, 0), A(4, 2), B(1, 6)에 대하여
OP³=mOA³+nOB³ (m+n=1, m¾0, n¾0)
를 만족시키는 점 P가 그리는 도형의 길이를 구하시오.
2. 평면벡터의 성분과 내적
119
02
평면벡터의 성분
2. 평면벡터의 성분과 내적
개념원리 이해
벡터는 평면이나 공간 어디에서든 생각할 수 있는데 평면에서의 벡터를 평면벡터라 한다.
1. 평면의 단위벡터
좌표평면에서 x축, y축 위의 두 점 EÁ(1, 0), Eª(0, 1)의 위치벡터를
y
각각 eÁ², eª²로 나타낸다. 즉,
Eª(0, 1)
eÁ²=OÕEÁ³, eª²=OÕEª³
eª
O eÁ
EÁ(1, 0)
x
|eÁ²|=|eª²|=1이므로 두 벡터 eÁ², eª²는 모두 단위벡터이다.
2. 평면벡터의 성분
필수예제 5~9
좌표평면에서 임의의 점 A(aÁ, aª)의 위치벡터를 aø라 할 때, 벡터
y
aø는
aª
A(aÁ, aª)
aø=aÁeÁ²+aªeª²
aø
eª
와 같이 나타낼 수 있다.
이때 실수 aÁ, aª를 벡터 aø의 성분이라 하고 aÁ을 x성분, aª를 y성분
O
x
aÁ
eÁ
이라 한다.
또, 벡터 aø 를 성분을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
aø=(aÁ, aª)
① 좌표평면에서 단위벡터와 영벡터를 성분으로 나타내면 eÁ²=(1, 0), eª²=(0, 1), 0ø=(0, 0)이다.
② 일반적으로 벡터를 성분으로 나타냈을 때에는 원점을 시점으로 하는 위치벡터로 간주한다.
설명
좌표평면에서 임의의 점 A(aÁ, aª)의 위치벡터 OA³=aø를 eÁ², eª²로 나타내어 보자.
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 x축, y축에 내린 수선의 발을 각각 AÁ(aÁ, 0),
Aª(0, aª)라 하면 OÕAÁ³=aÁeÁ², OÕAª³=aªeª²이고, OA³=OÕAÁ³+OÕAª³이므로 벡터
y
aª Aª
A(aÁ, aª)
aø 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
aø=aÁeÁ²+aªeª²
aø
eª
이때 벡터 aø=aÁeÁ²+aªeª²를 성분을 이용하여 나타내면 다음과 같다.
O
eÁ
AÁ
aÁ
x
aø=(aÁ, aª)
예
다음에서 두 벡터 eÁ², eª²로 나타낸 벡터는 성분으로, 성분으로 나타낸 벡터는 eÁ², eª²로 나타내
시오. (단, eÁ²=(1, 0), eª²=(0, 1))
풀이
⑴ aø=2eÁ²-3eª²
⑵ bø=(-2, 3)
⑴ aø=(2, -3)
⑵ bø=-2eÁ²+3eª²
120 Ⅱ. 평면벡터
3. 평면벡터의 크기
필수예제 5
aø=(aÁ, aª)일 때
|aø|="ÃaÁÛ`+aªÛ`
설명
오른쪽 그림에서 aø=(aÁ, aª)일 때, 원점 O와 점 A(aÁ, aª)에 대하여 aø=OA³이므로
벡터 aø의 크기는 선분 OA의 길이와 같다. 즉,
|aø|=|OA³|=OAÓ="ÃaÁÛ`+aªÛ`
4. 두 평면벡터가 서로 같을 조건
A(aÁ, aª)
aª
|aø|
aø=(-3, 4)이면 |aø|="Ã(-3)Û`+4Û`='2Œ5=5
예
y
aÁ
O
x
필수예제 6, 7
두 벡터 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)가 서로 같으면 대응하는 성분이 각각 같다. 즉,
aø=bø HjK aÁ=bÁ, aª=bª
예
두 벡터 aø=(5, -1), bø=(3x-1, 2+y)에 대하여 aø=bø일 때, 실수 x, y의 값을 구하시오.
풀이
aø=bø에서 5=3x-1, -1=2+y ∴ x=2, y=-3
5. 평면벡터의 성분에 의한 연산
필수예제 5
aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)일 때
⑴ aø+bøø=(aÁ+bÁ, aª+bª)
⑵ aø-bøø=(aÁ-bÁ, aª-bª)
⑶ kaø=(kaÁ, kaª) (단, k는 실수)
평면벡터의 덧셈과 뺄셈은 각 성분의 합, 차와 같다.
설명
두 벡터 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)와 실수 k에 대하여
aø=aÁeÁ²+aªeª², bø=bÁeÁ²+bªeª²이므로
⑴ aø+bø=(aÁeÁ²+aªeª²)+(bÁeÁ²+bªeª²)=(aÁ+bÁ)eÁ²+(aª+bª)eª²
=(aÁ+bÁ, aª+bª)
⑵ aø-bø=(aÁeÁ²+aªeª²)-(bÁeÁ²+bªeª²)=(aÁ-bÁ)eÁ²+(aª-bª)eª²
=(aÁ-bÁ, aª-bª)
⑶ kaø=k(aÁeÁ²+aªeª²)=(kaÁ)eÁ²+(kaª)eª²=(kaÁ, kaª)
y
aª+bª
aø+bø
bª
aª
O
bø
bÁ
aø
aª-bª
aÁ aÁ+bÁ x
aÁ-bÁ
aø-bø
2. 평면벡터의 성분과 내적
121
개념원리 이해
aø=(2, 3), bø=(3, -2)일 때,
예
⑴ aø+bø=(2, 3)+(3, -2)=(2+3, 3+(-2))=(5, 1)
⑵ aø-bø=(2, 3)-(3, -2)=(2-3, 3-(-2))=(-1, 5)
⑶ 2aø=2(2, 3)=(4, 6)
6. 평면벡터의 성분과 크기
필수예제 5, 7
두 점 A(aÁ, aª), B(bÁ, bª)에 대하여
⑴ AB³=(bÁ-aÁ, bª-aª)
⑵ |AB³|="Ã(bÁ-aÁ)Û`+(bª-aª)Û`
설명
좌표평면 위의 두 점 A(aÁ, aª), B(bÁ, bª)에 대하여 벡터 AB³의 성분과 크기를 구
y
A(aÁ, aª)
해 보자.
AB³
OA³=(aÁ, aª), OB³=(bÁ, bª)이므로 벡터 AB³를 성분으로 나타내면
B(bÁ, bª)
AB³=OB³-OA³=(bÁ, bª)-(aÁ, aª)
O
=(bÁ-aÁ, bª-aª)
또, 벡터 AB³의 크기는
예
두 점 A(3, 3), B(4, 1)에 대하여
x
|AB³|="Ã(bÁ-aÁ)Û`+(bª-aª)Û` Û |AB³|=ABÓ
AB³=(4-3, 1-3)=(1, -2), |AB³|="Ã1Û`+(-2)Û`='5
7. 평면벡터의 성분과 평행
필수예제 8
영벡터가 아닌 두 벡터 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)에 대하여
aøbø HjK bÁ=kaÁ, bª=kaª (단, k는 0이 아닌 실수) Û bø=kaø
bÁ bª
HjK
=
aÁ aª
설명
영벡터가 아닌 두 벡터 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)에 대하여 aøbø이면 bø=kaø 를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재한다.
이를 성분으로 나타내면 (bÁ, bª)=k(aÁ, aª)
∴ bÁ=kaÁ, bª=kaª
bÁ bª
=
aÁ aª
이때 k를 소거하면
역으로
bÁ=kaÁ, bª=kaª에서 bø=kaø ∴ aøbø
예
두 벡터 aø=(1, -2)와 bø=(-3, p)가 서로 평행하도록 하는 실수 p의 값을 구하시오.
풀이
a
ø bø이려면 1=-3k, -2=pk를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재해야 한다.
bÁ bª
bÁ bª
= 일 때, 이 값을 k`(k+0)로 놓으면 = =k
aÁ aª
aÁ aª
두 식을 연립하여 풀면 k=-;3!;, p=6
122 Ⅱ. 평면벡터
개념원리
익히기
129 다음에서 두 벡터 eÁ², eª²로 나타낸 벡터는 성분으로, 성분으로 나타낸 벡터는
eÁ², eª²로 나타내시오. (단, eÁ²=(1, 0), eª²=(0, 1))
⑴ aø=2eÁ²-5eª²
⑵ bø=-5eª²
⑶ cø=(-3, 2)
⑷ dø=(4, 0)
130 다음 벡터의 크기를 구하시오.
⑴ aø=(-7, 0)
생각해 봅시다!
aø=aÁeÁ²+aªeª²
=(aÁ, aª)
aø=(aÁ, aª)일 때
⇨ |aø|="ÃaÁÛ`+aªÛ`
⑵ bø=(4, -3)
131 다음 두 벡터 aø, bø에 대하여 aø=bø일 때, 실수 m, n의 값을 구하시오.
두 평면벡터가 서로 같을
조건
⇨ 대응하는 성분이 각각
같다.
⑴ aø=(m+2n, 6), bø=(3, 2m+n)
⑵ aø=(2, 3+m), bø=(n-m, 4)
132 aø=(3, -2), bø=(-1, 4)일 때, 다음 벡터를 성분으로 나타내시오.
⑴ 2aø-3bø
⑵ 3(2aø+bø)-2(3aø-2bø)
133 다음 두 점 A, B에 대하여 벡터 AB³를 성분으로 나타내고, 그 크기를 구하
시오.
⑴ A(3, 2), B(-5, -1)
⑵ A(-2, 3), B(4, -1)
두 점 A(aÁ, aª),
B(bÁ, bª)에 대하여
① AB³
=(bÁ-aÁ, bª-aª)
② |AB³
|
="Ã(bÁ-aÁ)Û`+(bª-aª)Û`
2. 평면벡터의 성분과 내적
123
필수예제
05 평면벡터의 연산과 크기
더 다양한 문제는 RPM 기하 58쪽
다음 물음에 답하시오.
⑴ aø=(3, 2), bø=(4, -1)일 때, 2(xø-aø)=xø+aø-3bø를 만족시키는 벡터 xø를 성분
으로 나타내시오.
⑵ 세 벡터 aø=(2, -5), bø=(3, -2), cø=(-4, 1)에 대하여
3(aø-2bø+cø)-2(aø-bø+2cø)를 성분으로 나타내고, 그 크기를 구하시오.
⑴ 2(xø-aø)=xø+aø-3bø에서 2xø-2aø=xø+aø-3bø
풀이
∴ xø=3aø-3bø=3(3, 2)-3(4, -1)
=(9-12, 6+3)=(-3, 9)
⑵ 3(aø-2bø+cø)-2(aø-bø+2cø)=3aø-6bø+3cø-2aø+2bø-4cø
=aø-4bø-cø
=(2, -5)-4(3, -2)-(-4, 1)
=(2-12+4, -5+8-1)
=(-6, 2)
또, 주어진 벡터의 크기를 구하면
|3(aø-2bø+cø)-2(aø-bø+2cø)|="Ã(-6)Û`+2Û`=2'1Œ0
KEY
Point

aø=(aÁ, aª)일 때, |aø|="ÃaÁÛ`+aªÛ`

aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)에 대하여
⇨ aø+bø=(aÁ+bÁ, aª+bª), aø-bø=(aÁ-bÁ, aª-bª), kaø=(kaÁ, kaª)
확인
체크
134 세 벡터 aø=(1, 2), bø=(6, 2), cø=(3, -1)에 대하여
2(aø+xø)-5(bø-cø)=3(aø-bø+xø)를 만족시키는 벡터 xø의 크기를 구하시오.
135 aø=(3, 2), bø=(-4, 2), cø=(1, -1)일 때, 3(-aø+bø-2cø)+2(2aø-2bø+cø)를 성분
으로 나타내고, 그 크기를 구하시오.
136 aø=(-1, 2), bø=(3, 4)일 때, 0ÉtÉ2인 실수 t에 대하여 |-taø+bø|의 최댓값과 최솟
값을 구하시오.
124 Ⅱ. 평면벡터
필수예제
06 평면벡터가 서로 같을 조건
더 다양한 문제는 RPM 기하 59쪽
aø=(-2, 1), bø=(3, 4), cø=(-12, -5)일 때, cø=kaø+lbø를 만족시키는 실수 k, l
에 대하여 k+l의 값을 구하시오.
설명
두 평면벡터가 서로 같다. ⇨ x성분끼리, y성분끼리 각각 같다.
풀이
cø=kaø+lbø를 성분으로 나타내면
(-12, -5)=k(-2, 1)+l(3, 4)
=(-2k, k)+(3l, 4l)
=(-2k+3l, k+4l)
두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여
-12=-2k+3l, -5=k+4l
위의 두 식을 연립하여 풀면
k=3, l=-2
∴ k+l=1
KEY
Point
확인
체크

두 벡터 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)에 대하여
⇨ aø=bø HjK aÁ=bÁ, aª=bª
137 aø=(-1, 4), bø=(2, -3)일 때, 다음 벡터를 kaø+lbø 꼴로 나타내시오.
(단, k, l은 실수)
⑴ cø=(3, -2)
⑵ dø=(-5, 0)
138 세 벡터 aø=(3, -p), bø=(p+q, 2), cø=(-3q, 4)에 대하여 cø=2aø+3bø일 때, |bø|를
구하시오.
2. 평면벡터의 성분과 내적
125
필수예제
07 평면벡터를 성분으로 나타내기
좌표평면 위의 세 점 A(3, 2), B(1, -1), C(-2, 0)에 대하여 AB³=CD³를 만족시
키는 점 D의 좌표를 구하시오.
점 D의 좌표를 (x, y)라 하면
풀이
AB³=OB³-OA³
=(1, -1)-(3, 2)=(-2, -3)
CD³=OD³-OC³
=(x, y)-(-2, 0)=(x+2, y)
이때 AB³=CD³이므로 (-2, -3)=(x+2, y)
두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여
-2=x+2, -3=y ∴ x=-4, y=-3
따라서 구하는 점 D의 좌표는 (-4, -3)이다.
KEY
Point

두 점 A(aÁ, aª), B(bÁ, bª)에 대하여
⇨ AB³
=(bÁ-aÁ, bª-aª)
|AB³|="Ã(bÁ-aÁ)Û`+(bª-aª)Û` Û 평면벡터의 크기
확인
체크
139 좌표평면 위의 네 점 A(0, 3), B(1, 1), C(x, y), D(2, 6)에 대하여 두 벡터 AB³, DC³
가 서로 같은 벡터일 때, x+y의 값을 구하시오.
140 세 점 A(2, 0), B(-3, 1), C(4, 5)에 대하여 PA³+PB³=CP³를 만족시키는 점 P의 좌
표를 구하시오.
126 Ⅱ. 평면벡터
필수예제
08 평면벡터의 평행 조건
더 다양한 문제는 RPM 기하 59쪽
세 벡터 aø=(4, 4), bø=(2, -1), cø=(-1, 5)에 대하여 두 벡터 aø+kbø와 cø-aø가 서
로 평행할 때, 실수 k의 값을 구하시오.
설명
영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여 aøbø이면 bø=taø`(단, t는 0이 아닌 실수)
풀이
aø+kbø=(4, 4)+k(2, -1)=(4+2k, 4-k)
cø-aø=(-1, 5)-(4, 4)=(-5, 1)
이때 두 벡터 aø+kbø와 cø-aø가 서로 평행하므로
aø+kbø=t(cø-aø)`(t+0)라 하면
(4+2k, 4-k)=t(-5, 1)=(-5t, t)
두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여
4+2k=-5t, 4-k=t
위의 두 식을 연립하여 풀면
t=-4, k=8
aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)에 대하여 aøbø일 때
다른풀이
bÁ
bª
= 임을 이용하면
aÁ aª
4+2k 4-k
∴ k=8
=
-5
1
KEY
Point

영벡터가 아닌 두 벡터 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)에 대하여
aøbø HjK
bÁ=kaÁ, bª=kaª (단, k는 0이 아닌 실수) Û bø=kaø
HjK
확인
체크
bÁ
bª
=
aÁ
aª
141 두 벡터 aø=(3x+1, -5), bø=(-2, x)가 서로 평행할 때, 모든 x의 값의 합을 구하시오.
142 세 벡터 aø=(5, 4), bø=(-2, 3), cø=(3, 7)에 대하여 두 벡터 aø+kcø와 bø-aø가 서로 평
행할 때, 실수 k의 값을 구하시오.
2. 평면벡터의 성분과 내적
127
한 걸음 더
필수예제
09
평면벡터에서의 점의 자취
더 다양한 문제는 RPM 기하 66쪽
좌표평면 위의 세 점 A(-5, 1), B(-1, 8), C(3, 3)에 대하여 점 P가
|PA³+PB³+PC³|=6을 만족시킬 때, 점 P가 그리는 도형의 넓이를 구하시오.
설명
점 P의 좌표를 (x, y)라 하고 |PA³+PB³+PC³|=6을 이용하여 x, y 사이의 관계식을 구한다.
풀이
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
PA³=(-5, 1)-(x, y)=(-5-x, 1-y)
PB³=(-1, 8)-(x, y)=(-1-x, 8-y)
PC³=(3, 3)-(x, y)=(3-x, 3-y)
∴ PA³+PB³+PC³=(-5-x, 1-y)+(-1-x, 8-y)+(3-x, 3-y)
=(-3-3x, 12-3y)
이때 |PA³+PB³+PC³|=6이므로 "Ã(-3-3x)Û`+(12-3y)Û`=6
양변을 제곱하면 (-3-3x)Û`+(12-3y)Û`=36
∴ (x+1)Û`+(y-4)Û`=4
따라서 점 P가 그리는 도형은 점 (-1, 4)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원이므로 구하는 넓이는
p_2Û`=4p
KEY
Point

평면벡터에서의 점의 자취를 구할 때
⇨ 점의 좌표를 (x, y)라 하고 각 벡터를 성분으로 나타낸 후, 주어진 조건을 이용하여 x, y 사이의 관계식
을 구한다.
확인
체크
143 두 점 A(-2, 4), B(5, 3)에 대하여 |AP³|=|BP³|를 만족시키는 점 P가 그리는 도형의
방정식을 구하시오.
144 세 점 A(1, 2), B(3, -1), C(-1, -2)에 대하여 점 P가 |PA³+PB³+PC³|=2를 만
족시킬 때, 점 P가 그리는 도형의 둘레의 길이를 구하시오.
128 Ⅱ. 평면벡터
정답과 풀이 76쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
109 벡터 aø={x-2, ;5$;}가 단위벡터가 되도록 하는 모든 실수 x의 값의 합을 구
하시오.
aø가 단위벡터이면
⇨ |aø|=1
110 두 벡터 xø, yø에 대하여
xø+2yø=(5, 4), 3xø-yø=(-6, 5)
일 때, xø-yø는?
① (-4, -1)
② (-4, 1)
④ (4, -1)
⑤ (4, 1)
③ (1, -4)
111 두 벡터 aø=(2, -1), bø=(-1, 1)에 대하여 |aø+tbø|의 값이 최소가 되도
록 하는 실수 t의 값과 그때의 최솟값을 구하시오.
112 오른쪽 그림은 모눈종이 위에 세 벡터 aø, bø,
cø 를 나타낸 것이다. cø=paø+qbø일 때, 실수 p,
세 벡터의 시점을 원점으로
놓고 성분으로 나타낸다.
aø
cø
q에 대하여 p+q의 값을 구하시오.
bø
113 좌표평면 위의 세 점 A(0, 2), B(3, 5), C(1, x)가 한 직선 위에 있을 때,
x의 값을 구하시오.
세 점이 한 직선 위에 있다.
⇨ 평행 조건을 이용한다.
2. 평면벡터의 성분과 내적
129
정답과 풀이 77쪽
연습문제
STEP
2
114 두 벡터 aø=(4, -2), bø=(0, 2)에 대하여 벡터 aø+xbø의 크기가 8이 되도
록 하는 모든 실수 x의 값의 합을 구하시오.
aø=(aÁ, aª)일 때
⇨ |aø|="ÃaÁÛ`+aªÛ`
115 좌표평면 위의 세 점 A(2, 2), B(-1, 3), C(-2, 4)에 대하여
PA³+3PB³-PC³=2AC³를 만족시키는 점 P의 좌표가 (a, b)일 때, ab의
값을 구하시오.
[ 평가원기출 ]
116 두 벡터 aø=(3, 1), bø=(4, -2)가 있다. 벡터 vø에 대하여 두 벡터 aø와
vø+bø가 서로 평행할 때, |vø|Û`의 최솟값은?
①6
②7
③8
④9
aøbø HjK bø=kaø
(단, k는 0이 아닌 실수)
⑤ 10
117 두 점 A(1, 3), B(3, 1)에 대하여 |PA³+PB³|=10을 만족시키는 점 P가
그리는 도형의 둘레의 길이를 구하시오.
실력
118 좌표평면에서 정삼각형 ABC에 내접하는 원의 방정식이
xÛ`+yÛ`-4x+6y-12=0일 때, 벡터 OA³+OB³+OC³의 크기를 구하시오.
실력
119 좌표평면 위의 두 점 A(2, 3), B(3, 2)와 직선 y=-x+2 위를 움직이는
점 P에 대하여 |AP³+BP³|의 최솟값을 구하시오.
130 Ⅱ. 평면벡터
점 P의 좌표를
(a, -a+2)라 한다.
03
평면벡터의 내적
2. 평면벡터의 성분과 내적
개념원리 이해
1. 평면벡터의 내적
필수예제 10
⑴ 두 평면벡터가 이루는 각
영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø, bø에 대하여 aø=OA³, bø=OB³일 때,
B
∠AOB=h (0ùÉhÉ180ù)
bø
를 두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기라 한다.
O
h
영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø, bø가 이루는 각의
크기를 h라 할 때, 두 벡터 aø와 bø의 내적을 기호로
aø•bø와 같이 나타내고, 다음과 같이 정의한다.
bø
bø
h
aø
|bø|cos h
Ú 0ùÉhÉ90ù일 때
180ù-h
h
aø
|bø|cos (180ù-h)
[0ùÉhÉ90ù]
aø•bø=|aø||bø|`cos`h
A
aø
⑵ 평면벡터의 내적
[90ù<hÉ180ù]
Û 90ù<hÉ180ù일 때
aø•bø=-|aø||bø|`cos (180ù-h)
또, aø=0ø 또는 bø=0ø일 때에는 aø•bø=0으로 정한다.
① 두 평면벡터 aø와 bø의 내적 aø•bø는 벡터가 아니라 실수이다.
② aø•aø=|aø||aø| cos`0ù=|aø|Û`
③ 평면벡터의 내적 aø•bø의 부호는 h의 크기에 의하여 정해진다.
즉, aø+0ø, bø+0ø일 때 0ùÉh<90ù이면 aø•bø>0, h=90ù이면 aø•bø=0, 90ù<hÉ180ù이면 aø•bø<0이다.
④ 내적 aø•bø를 aø`bø 또는 aø_bø로 쓰지 않는다.
|aø|=2, |bø|=3인 두 평면벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 h라 하면
예
⑴ h=60ù일 때, aø•bø=|aø||bø| cos`60ù=2_3_;2!;=3
⑵ h=135ù일 때, aø•bø=-|aø||bø| cos (180ù-135ù)=-2_3_
2. 평면벡터의 내적과 성분
'2
=-3'2
2
필수예제 11
평면벡터의 내적을 성분으로 나타내면 다음과 같다.
aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)일 때, aø•bø=aÁbÁ+aªbª
설명
보충학습 1 참조
예
다음 두 벡터의 내적을 구하시오.
풀이
⑴ aø=(2, -3), bø=(3, 1)
⑵ aø=(1, 2), bø=(3, -2)
⑴ aø•bø=2_3+(-3)_1=3
⑵ aø•bø=1_3+2_(-2)=-1
2. 평면벡터의 성분과 내적
131
개념원리 이해
3. 평면벡터의 내적의 성질
필수예제 12
세 평면벡터 aø, bø, cø에 대하여
Û 교환법칙
⑴ aø•bø=bø•aø
⑵ aø
•(bø+cø)=aø•bø+aø•cø
Û 분배법칙
(aø+bø)•cø=aø•cø+bø•cø
⑶ (kaø)•bø=aø•(kbø)=k(aø•bø)`(단, k는 실수) Û 결합법칙
주의
a•
ø aø+aø Û`, aø•bø+aø_bø
설명
보충학습 2 참조
예
다음 등식이 성립함을 보이시오.
⑴ |aø+bø|Û`=|aø|Û`+2aø•bø+|bø|Û`
풀이
⑵ (aø+bø)•(aø-bø)=|aø|Û`-|bø|Û`
⑴ |aø+bø|Û`=(aø+bø)•(aø+bø)=aø•(aø+bø)+bø•(aø+bø)
=aø•aø+aø•bø+bø•aø+bø•bø
=|aø|Û`+2aø•bø+|bø|Û` Û aø•aø=|aø|Û`
⑵ (aø+bø)•(aø-bø)=aø•(aø-bø)+bø•(aø-bø)
=aø•aø-aø•bø+bø•aø-bø•bø=|aø|Û`-|bø|Û`
4. 두 평면벡터가 이루는 각의 크기
필수예제 13, 14
영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ180ù)
라할때
⑴ aø•bø¾0이면 cos`h=
aÁbÁ+aªbª
aø•bø
=
|aø||bø| "ÃaÁÛ`+aªÛ` "ÃbÁÛ`+bªÛ`
⑵ aø•bø<0이면 cos (180ù-h)=-
aÁbÁ+aªbª
aø•bø
=|aø||bø|
"ÃaÁÛ`+aªÛ` "ÃbÁÛ`+bªÛ`
aø•bø¾0이면 0ùÉhÉ90ù이고, aø•bø<0이면 90ù<hÉ180ù이다.
예
두 벡터 aø=(2, -1), bø=(3, 1)이 이루는 각의 크기를 구하시오.
풀이
aø•bø=2_3+(-1)_1=5
aø•bø¾0이므로 두 벡터가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
'2
aø•bø
5
5
=
=
=
2
|aø||bø| "Ã2Û`+(-1)Û` "Ã3Û`+1Û` '5 '1Œ0
따라서 h=45ù이므로 구하는 각의 크기는 45ù이다.
cos`h=
132 Ⅱ. 평면벡터
보충학습
1. 평면벡터의 내적과 성분
오른쪽 그림과 같이 영벡터가 아닌 두 평면벡터
y
B(bÁ, bª)
OA³=aø=(aÁ, aª), OB³=bø=(bÁ, bª)
가 이루는 각의 크기를 h`(0ù<h<90ù)라 하자.
bø
삼각형 OAB의 꼭짓점 B에서 직선 OA에 내린 수선의 발을 H라 하면
h aø
두 직각삼각형 HAB, OHB에서 다음이 성립한다.
Û
Û
|AB³|Û`=ABÓ `=AHÓ
`+BHÓ
`Û
H
A(aÁ, aª)
O
x
=(OAÓ-OHÓ)Û`+(OBÓ Û`-OHÓ Û`) Û △OHB에서 OHÓ Û`+BHÓ Û`=OBÓ Û`
Û
Û`-2_OAÓ_OHÓ
=OAÓ `+OBÓ
=OAÓ Û`+OBÓ Û`-2_OAÓ_OBÓ`cos`h Û OHÓ=OBÓ`cos`h
=|OA³|Û`+|OB³|Û`-2 OA³•OB³
이때 벡터의 크기를 성분으로 나타내면
(bÁ-aÁ)Û`+(bª-aª)Û`=(aÁÛ`+aªÛ`)+(bÁÛ`+bªÛ`)-2aø•bø
이고, 위의 식을 정리하면 다음과 같다.
aø•bø=aÁbÁ+aªbª
위의 식은 h=0ù, 90ùÉhÉ180ù일 때에도 성립하고, aø=0ø 또는 bø=0ø일 때에도 성립한다.
2. 평면벡터의 내적의 성질
세 평면벡터 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª), cø=(cÁ, cª)에 대하여 다음이 성립한다.
⑴ aø•bø=aÁbÁ+aªbª=bÁaÁ+bªaª=bø•aø
⑵ bø+cø=(bÁ+cÁ, bª+cª)이므로
aø•(bø+cø)=(aÁ, aª)•(bÁ+cÁ, bª+cª)
=aÁ(bÁ+cÁ)+aª(bª+cª)
=(aÁbÁ+aªbª)+(aÁcÁ+aªcª)=aø•bø+aø•cø
aø+bø=(aÁ+bÁ, aª+bª)이므로
(aø+bø)•cø=(aÁ+bÁ, aª+bª)•(cÁ, cª)
=(aÁ+bÁ)cÁ+(aª+bª)cª
=(aÁcÁ+aªcª)+(bÁcÁ+bªcª)=aø•cø+bø•cø
⑶ 실수 k에 대하여
(kaø)•bø=(kaÁ, kaª)•(bÁ, bª)=kaÁbÁ+kaªbª
=aÁ(kbÁ)+aª(kbª)=(aÁ, aª)•(kbÁ, kbª)=aø•(kbø)
(kaø)•bø=(kaÁ, kaª)•(bÁ, bª)=kaÁbÁ+kaªbª
=k(aÁbÁ+aªbª)=k(aø•bø)
∴ (kaø)•bø=aø•(kbø)=k(aø•bø)
2. 평면벡터의 성분과 내적
133
개념원리
익히기
145 |aø|=4, |bø|=3인 두 평면벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기가 다음과 같을 때,
aø•bø를 구하시오.
⑴ 30ù
⑵ 120ù
⑶ 180ù
생각해 봅시다!
두 평면벡터 aø, bø가 이루는
각의 크기가 h일 때
Ú 0ùÉhÉ90ù이면
aø•bø=|aø||bø| cos`h
Û 90ù<hÉ180ù이면
aø•bø
146 다음 두 벡터 aø, bø의 내적을 구하시오.
⑴ aø=(3, 2), bø=(-4, 6)
=-|aø||bø|
_cos (180ù-h)
aø=(aÁ, aª),
bø=(bÁ, bª)일 때
⇨ aø•bø=aÁbÁ+aªbª
⑵ aø=(2, -1), bø=(3, 4)
⑶ aø=(-2, 4), bø=(5, 0)
147 두 평면벡터 aø, bø에 대하여 |aø|=3, |bø|=4, aø•bø=5일 때, 다음을 구하시
aø•aø=|aø|Û`
오.
⑴ aø•(aø+2bø)
⑵ (3aø-bø)•(aø+bø)
148 다음 두 평면벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 구하시오.
⑴ aø=(0, 1), bø=(-2'3, 2)
⑵ aø=(2, -2'3 ), bø=(-'3, 1)
영벡터가 아닌 두 평면벡터
aø, bø가 이루는 각의 크기가
h일 때
Ú aø•bø¾0이면
cos`h=
aø•bø
|aø||bø|
Û aø•bø<0이면
cos (180ù-h)
=-
134 Ⅱ. 평면벡터
aø•bø
|aø||bø|
필수예제
10 평면도형에서의 벡터의 내적
더 다양한 문제는 RPM 기하 60쪽
오른쪽 그림의 삼각형 AOB는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이고
A
점 M은 변 AB의 중점이다. 다음을 구하시오.
⑴ OA³•OB³
⑵ OA³•OÕM³
⑷ OA³•AB³
⑸ OA³•OA³
M
2
⑶ OÕM³•AB³
B
O
설명두 평면벡터가 이루는 각의 크기를 이용하여 내적을 구한다.
⑷ 시점이 같지 않은 두 벡터는 평행이동을 이용하여 시점을 같게 한 후 내적을 구한다.
⑴ 두 벡터 OA³와 OB³가 이루는 각의 크기가 60ù이고 |OÕA³|=2, |OB³|=2이므로
풀이
OÕA•
³ OB³=|OÕA|³ |OB³| cos`60ù=2_2_;2!;=2
⑵ 두 벡터 OA³와 OÕM³이 이루는 각의 크기가 30ù이고 |OÕA³|=2,|OÕM|³ ='3이므로
'3
=3
2
⑶ OÕM³과 AB³는 수직이고 |OÕM|³ ='3, |AB³|=2이므로
OÕA•
³ OÕM³=|OÕA³||OÕM³| cos`30ù=2_'3_
OÕM³•AB³=|OÕM³||AB³| cos`90ù='3_2_0=0
³ 고
⑷ 오른쪽 그림과 같이 벡터 AB³를 평행이동하여 시점을 같게 만들면 AB³=OÕB'이
Õ '이
³ 이루는 각의 크기가 120ù이므로
두 벡터 OÕA와
³ OB
A
60ù
OÕA•
³ AB³=OÕA•
³ OÕB'³=-|OÕA|³ |OÕB'³| cos (180ù-120ù)
120ù
O
=-2_2_;2!;=-2
B
⑸ OÕA•
³ OÕA³=|OA³|Û``cos`0ù=2Û`_1=4
B'
KEY
Point
확인
체크
두 평면벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기가 h일 때

0ùÉhÉ90ù이면 aø•bø=|aø||bø| cos`h

90ù<hÉ180ù이면 aø•bø=-|aø||bø| cos (180ù-h)
149 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 4인 정삼각형 OAB에서
O
OA³•AB³를 구하시오.
A
150 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정육각형 ABCDEF의 세 대
각선 AD, BE, CF의 교점을 O라 할 때, 다음을 구하시오.
³ OB³
⑴ OÕA•
⑵ BA³•FE³
⑶ AC³•AD³
⑷ AD³•EB³
B
4
2
A
B
F
O
C
E
D
2. 평면벡터의 성분과 내적
135
필수예제
11 성분으로 주어진 평면벡터의 내적
더 다양한 문제는 RPM 기하 60쪽
다음 물음에 답하시오.
⑴ 두 벡터 aø=(2, -3), bø=(-1, 2)에 대하여 aø•(aø-2bø)를 구하시오.
⑵ 두 벡터 aø=(2, x), bø=(3x-1, 2)에 대하여 aø•bø=14일 때, 실수 x의 값을 구하
시오.
⑴ aø-2bø=(2, -3)-2(-1, 2)
풀이
=(2+2, -3-4)=(4, -7)
∴ aø•(aø-2bø)=(2, -3)•(4, -7)
=2_4+(-3)_(-7)=29
⑵ aø•bø=(2, x)•(3x-1, 2)
=2_(3x-1)+x_2=8x-2
이때 aø•bø=14이므로 8x-2=14
8x=16 ∴ x=2
⑴ aø•(aø-2bø)=|aø|Û`-2aø•bø
다른풀이
={2Û`+(-3)Û`}-2{2_(-1)+(-3)_2}
=13+16=29
KEY
Point

aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)일 때
⇨ aø•bø=aÁbÁ+aªbª
확인
체크
151 두 벡터 aø=(3, x-1), bø=(-2, x+3)에 대하여 aø•bø=-1을 만족시키는 양수 x의
값을 구하시오.
152 두 벡터 aø=(x+2, 4), bø=(1, 6-x)에 대하여 |aø|=5일 때, aø•bø를 구하시오.
136 Ⅱ. 평면벡터
(단, x>0)
필수예제
12 평면벡터의 내적의 성질
더 다양한 문제는 RPM 기하 61쪽
두 평면벡터 aø, bø에 대하여 |aø|=2, |bø|=1, |aø+bø|='2일 때, 다음을 구하시오.
⑴ aø•bø
⑵ |3aø-2bø|
설명
|aøÑbø|Û`=|aø|Û`Ñ2aø•bø+|bø|Û``(복부호동순)을 이용한다.
풀이
⑴ |aø+bø|='2의 양변을 제곱하면
|aø|Û`+2aø•bø+|bø|Û`=2, 2Û`+2aø•bø+1Û`=2
2aø•bø=-3 ∴ aø•bø=-;2#;
⑵ |3aø-2bø|Û`=9|aø|Û`-12aø•bø+4|bø|Û`
=9_2Û`-12_{-;2#;}+4_1Û`=58
∴ |3aø-2bø|='5Œ8
KEY
Point
확인
체크
두 평면벡터 aø, bø에 대하여

|aøÑbø|Û`=|aø|Û`Ñ2aø•bø+|bø|Û``(복부호동순)

(aø+bø)•(aø-bø)=|aø|Û`-|bø|Û`

aø•aø=|aø|Û`
153 두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기가 60ù이고 |bø|=1, |aø-3bø|='1Œ3일 때, |aø|를 구하시
오.
154 두 벡터 aø, bø에 대하여 |aø+bø|=5, |aø-bø|=3일 때, |2aø-bø|Û`+|aø+2bø|Û`의 값을 구하
시오.
2. 평면벡터의 성분과 내적
137
필수예제
13 성분으로 주어진 두 평면벡터가 이루는 각의 크기 구하기
더 다양한 문제는 RPM 기하 62쪽
세 벡터 aø=(1, -2), bø=(3, -1), cø=(2, -4)에 대하여 두 벡터 aø-bø, aø-cø가 이
루는 각의 크기를 구하시오.
aø-bø=(1, -2)-(3, -1)=(-2, -1)
풀이
aø-cø=(1, -2)-(2, -4)=(-1, 2)
∴ (aø-bø)•(aø-cø)=(-2)_(-1)+(-1)_2=0
(aø-bø)•(aø-cø)¾0이므로 두 벡터 aø-bø, aø-cø가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
cos`h=
(aø-bø)•(aø-cø)
|aø-bø||aø-cø|
=
∴ h=90ù
KEY
Point
확인
체크
0
=0 "Ã(-2)Û`+(-1)Û` "Ã(-1)Û`+2Û`
두 벡터 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ180ù)라 할 때
aÁbÁ+aªbª
aø•bø
=
"ÃaÁÛ`+aªÛ` "ÃbÁÛ`+bªÛ`
|aø||bø|

aø•bø¾0이면 cos`h=

aø•bø<0이면 cos (180ù-h)=-
aÁbÁ+aªbª
aø•bø
=a
ÁÛ
`
"Ã +aªÛ` "ÃbÁÛ`+bªÛ`
|aø||bø|
155 세 벡터 aø=(3, 1), bø=(1, 2), cø=(-2, 1)에 대하여 두 벡터 aø-bø, aø+2cø가 이루는
각의 크기를 구하시오.
156 두 벡터 aø=(x-1, 3), bø=(x, 2)에 대하여 aø•bø=8이다. 두 벡터 aø, bø가 이루는 각의
크기를 h라 할 때, cos`h의 값을 구하시오. (단, x>0)
138 Ⅱ. 평면벡터
필수예제
14 내적의 성질을 이용하여 두 평면벡터가 이루는 각의 크기 구하기
더 다양한 문제는 RPM 기하 62쪽
두 평면벡터 aø, bø에 대하여 |aø|=3, |bø|=1, |aø-bø|='7일 때, 두 벡터 aø, bø가 이루
는 각의 크기를 구하시오.
설명
|aøÑbø|Û`=|aø|Û`Ñ2aø•bø+|bø|Û``(복부호동순)을 이용하여 aø•bø를 구한다.
풀이
|aø-bø|Û`=|aø|Û`-2aø•bø+|bø|Û`
=3Û`-2aø•bø+1Û`
=10-2aø•bø
즉, 10-2aø•bø=('7)Û`이므로 2aø•bø=3
∴ aø•bø=;2#;
aø•bø¾0이므로 두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
;2#;
aø•bø
=
=;2!; |aø||bø| 3_1
∴ h=60ù
cos`h=
KEY
Point
확인
체크
두 평면벡터 aø, bø에 대하여
aø•bø
|aø||bø|

aø•bø¾0이면 cos`h=

aø•bø<0이면 cos (180ù-h)=-
aø•bø
|aø||bø|
157 세 평면벡터 aø, bø, cø에 대하여 aø+bø+cø=0ø이고 |aø|=6,`|bø|=10,`|cø|=14일 때, 두 벡
터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 구하시오.
158 오른쪽 그림의 삼각형 OAB에서 |OA³|=3, |OB³|=2,
B
OA³•OB³=3'2일 때, 삼각형 OAB의 넓이를 구하시오.
2
O
3
2. 평면벡터의 성분과 내적
A
139
특강
평면벡터의 내적을 이용한 삼각형의 넓이
2. 평면벡터의 성분과 내적
1. 평면벡터의 내적을 이용한 삼각형의 넓이
세 점 O(0, 0), A(aÁ, aª), B(bÁ, bª)에 대하여 OA³=aø,
y
OB³=bø일 때, 삼각형 AOB의 넓이를 S라 하면
A(aÁ, aª)
S=;2!;¿¹|aø|Û`|bø|Û`-(aø•bø)Û`
=;2!;|aÁbª-aªbÁ|
aø
O
B(bÁ, bª)
bø
x
세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 넓이는 ⇨ ;2!;¿¹|AB³|Û`|AC³|Û`-(AB³•AC³)Û`
설명
두 벡터 aø, bø가 이루는 예각의 크기를 h라 하면
S=;2!; OAÓ_OBÓ`sin`h=;2!;|aø||bø| sin`h yy`㉠
한편, h는 예각이므로 cos`h=
aø•bø
이고, 오른쪽 직각삼각형에서 피타고라스 정리에 의하여
|aø||bø|
sin`h="Ã1-cosÛ``h=¾¨1=
(aø•bø)Û`
|aø|Û`|bø|Û`
¿¹|aø|Û`|bø|Û`-(aø•bø)Û`
이것을 ㉠에 대입하여 정리하면
|aø||bø|
S=;2!;|aø||bø|_
h
cos h
|aø||bø|
=;2!;¿¹|aø|Û`|bø|Û`-(aø•bø)Û`
=;2!;"Ã(aÁÛ`+aªÛ`)(bÁÛ`+bªÛ`)-(aÁbÁ+aªbª)Û`
=;2!;"ÃaÁÛ`bªÛ`-2aÁbªaªbÁ+aªÛ`bÁÛ`
=;2!;"Ã(aÁbª-aªbÁ)Û`=;2!;|aÁbª-aªbÁ|
140 Ⅱ. 평면벡터
sin h
¿¹|aø|Û`|bø|Û`-(aø•bø)Û`
확인
체크
1
159 세 점 O(0, 0), A(1, 2), B(4, 1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 AOB의 넓이를
구하시오.
04
평면벡터의 내적과 수직, 평행
2. 평면벡터의 성분과 내적
개념원리 이해
1. 평면벡터의 내적과 수직, 평행
필수예제 15
영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø, bø에 대하여
⑴ 수직 조건: aø⊥bø HjK aø•bø=0
⑵ 평행 조건: aøbø HjK aø•bø=Ñ|aø||bø|
HjK aø=kbø 또는 bø=kaø (단, k는 0이 아닌 실수)
Û [방법 1]
Û [방법 2]
두 벡터 aø=(aÁ, aª), bø=(bÁ, bª)에 대하여
⑴ aø⊥bø HjK aÁbÁ+aªbª=0
⑵ aøbø HjK aÁbÁ+aªbª=Ñ"ÃaÁÛ`+aªÛ` "ÃbÁÛ`+bªÛ`
설명
⑴영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기가 90ù일 때, 두 벡터 aø와 bø는 서로 수직이
라 하고, 이것을 기호로 aø⊥ bø와 같이 나타낸다.
bø
영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø, bø에 대하여 aø⊥ bø이면 aø와 bø가 이루는 각의 크기가 90ù이므로
aø
aø•bø=|aø||bø| cos`90ù=0
역으로 영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø, bø에 대하여 aø•bø=0이면 |aø||bø| cos`h=0이므로 cos`h=0이어야 한다.
이때 0ùÉhÉ180ù에서 h=90ù이므로 aø⊥ bø이다.
∴ aø⊥ bø HjK aø•bø=0
⑵ 영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø, bø에 대하여 aøbø일 때, 두 벡터의 방향은 같거나 반대이다.
Ú aø
bø이고 aø와 bø의 방향이 같으면 h=0ù이므로
aø
aø•bø=|aø||bø| cos`0ù=|aø||bø|
bø
역으로 aø•bø=|aø||bø|이면 cos`h=1에서 h=0ù이므로 aøbø이다.
Û aø
bø이고 aø와 bø의 방향이 반대이면 h=180ù이므로
aø
aø•bø=-|aø||bø| cos (180ù-180ù)=-|aø||bø|
역으로 aø•bø=-|aø||bø|이면 cos (180ù-h)=1에서 180ù-h=0ù, 즉 h=180ù이므로
aøbø이다.
180ù
bø
Ú, Û에서 aøbø HjK aø•bø=Ñ|aø||bø|
예
두 벡터 aø=(1, -1), bø=(3, x)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 실수 x의 값을 구하시오.
⑴ aø⊥bø
풀이
⑵ aøbø
⑴ aø•bø=0에서 1_3+(-1)_x=0 ∴ x=3
⑵ [방법 1] aø•bø=Ñ|aø||bø|에서
1_3+(-1)_x=Ñ"Ã1Û`+(-1)Û` "Ã3Û`+xÛ`, 3-x=Ñ'2"Ã9+xÛ`
양변을 제곱하여 정리하면 xÛ`+6x+9=0, (x+3)Û`=0 ∴ x=-3
[방법 2] bø=kaø`(k+0)에서
(3, x)=k(1, -1)=(k, -k) ∴ k=3, x=-3
2. 평면벡터의 성분과 내적
141
필수예제
15 평면벡터의 내적과 수직, 평행
더 다양한 문제는 RPM 기하 63쪽
두 벡터 aø=(3, 1), bø=(1, 2)에 대하여 두 벡터 aø-xbø, aø+bø가 다음 조건을 만족시
킬 때, 실수 x의 값을 구하시오.
⑴ (aø-xbø)⊥(aø+bø)
⑵ (aø-xbø)(aø+bø)
두 벡터 aø-xbø, aø+bø를 각각 성분으로 나타내면
풀이
aø-xbø=(3, 1)-x(1, 2)=(3-x, 1-2x)
aø+bø=(3, 1)+(1, 2)=(4, 3)
⑴ (aø-xbø)⊥(aø+bø)이면 (aø-xbø)•(aø+bø)=0이므로
(3-x)_4+(1-2x)_3=0, -10x+15=0 ∴ x=;2#;
⑵ (aø-xbø)(aø+bø)이면 (aø-xbø)•(aø+bø)=Ñ|aø-xbø||aø+bø|이므로
(3-x)_4+(1-2x)_3=Ñ"Ã(3-x)Û`+(1-2x)Û` "Ã4Û`+3Û`
-10x+15=Ñ5"Ã5xÛ`-10x+10
양변을 제곱하여 정리하면
xÛ`+2x+1=0, (x+1)Û`=0 ∴ x=-1
⑵ (aø-xbø)(aø+bø)이면 aø-xbø=k(aø+bø)를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재하므로
다른풀이
(3-x, 1-2x)=k(4, 3)=(4k, 3k)
두 평면벡터가 서로 같을 조건에 의하여
3-x=4k, 1-2x=3k
위의 두 식을 연립하여 풀면
k=1, x=-1
KEY
Point
영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø, bø에 대하여


확인
체크
aø⊥bø HjK aø•bø=0
aøbø HjK [
aø•bø=Ñ|aø||bø|
aø=kbø 또는 bø=kaø (단, k는 0이 아닌 실수)
160 두 벡터 aø=(-4, 3), bø=(2, 1)에 대하여 두 벡터 2aø+bø, aø+xbø가 서로 수직일 때, 실
수 x의 값을 구하시오.
161 세 벡터 aø=(3, 0), bø=(1, -3), cø=(x, y)에 대하여 두 벡터 cø-aø, bø가 서로 평행하고,
두 벡터 aø, cø가 서로 수직일 때, cø의 크기를 구하시오.
142 Ⅱ. 평면벡터
정답과 풀이 78쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
120 오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 |AB³|=4,
A
|AC³|=5이고 삼각형 ABC의 넓이가 5'3일 때,
①8
② 10
④ 14
⑤ 16
5
4
AB³•AC³의 값은?
C
B
③ 12
삼각형 ABC의 두 변의 길이
가 a, b이고 그 끼인각의 크기
가 h`(0ù<h<90ù)일 때
⇨ △ABC=;2!;ab`sin`h
121 네 점 A(1, x), B(2, -1), C(5, 2), D(x+2, 0)에 대하여
AC³•BD³=14일 때, 실수 x의 값을 구하시오.
122 두 벡터 aø, bø에 대하여 |aø|=3, |bø|=2이고 두 벡터가 이루는 각의 크기가
aø•aø=|aø|Û`
60ù일 때, |2aø-3bø|의 값을 구하시오.
123 두 벡터 aø=(x, -1), bø=(2x-1, x+2)에 대하여 |bø-aø|=2'1Œ0이다.
두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 h라 할 때, cos`h의 값을 구하시오.
(단, x>0)
124 다음 보기에서 세 평면벡터 aø, bø, cø에 대한 설명으로 옳은 것만을 있는 대로
고르시오.
보기
ㄱ. aø•aø=bø•bø이면 |aø|=|bø|이다.
ㄴ. aø•bø=aø•cø이면 bø=cø이다.
ㄷ. aø•bø=aø•aø이면 두 벡터 aø, bø-aø는 서로 수직이다. (단, aø+0ø, aø+bø)
[ 평가원기출 ]
125 서로 평행하지 않은 두 벡터 aø, bø에 대하여 |aø|=2이고 aø•bø=2일 때, 두
벡터 aø와 aø-tbø가 서로 수직이 되도록 하는 실수 t의 값은?
①1
②2
③3
④4
⑤5
영벡터가 아닌 두 벡터
aø, bø에 대하여
aø⊥bø HjK aø•bø=0
2. 평면벡터의 성분과 내적
143
정답과 풀이 79쪽
연습문제
STEP
2
126 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정육각형
A
ABCDEF에서 (AB³+AF³)•AC³는?
B
'3
4
④ 4'3
2
①
'3
2
⑤6
③ 2'3
②
F
(AB³+AF³)•AC³
=AB³•AC³+AF³•AC³
E
C
D
127 두 벡터 aø=(2, 0), bø=(-1, 1)과 실수 t에 대하여 두 벡터 taø+bø와
aø-tbø의 내적을 f(t)라 할 때, f(t)가 최소가 되도록 하는 t의 값을 구하시오.
128 두 벡터 aø, bø에 대하여 |aø|=4, |bø|=2, |aø-bø|=2'3일 때, |aø+tbø|의
최솟값을 구하시오. (단, t는 실수)
129 오른쪽 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서 AB³=aø,
A
AD³=bø라 하자. |aø|=6, |bø|=5, aø•bø=-15일 때,
D
bø
aø
평행사변형 ABCD의 넓이를 구하시오.
B
C
평행사변형의 이웃한 두 변
의 길이가 a, b이고 그 끼
인각의 크기가 h일 때, 평
행사변형의 넓이 S는
⑴ 0ù<hÉ90ù이면
S=ab`sin`h
⑵ 90ù<h<180ù이면
S=ab`sin (180ù-h)
130 영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø에 대하여 2|aø|=|bø|이고 두 벡터 aø+bø,
5aø-2bø가 서로 수직이다. 이때 두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 구하시오.
[ 교육청기출 ]
131 평면 위에 길이가 1인 선분 AB와 점 C가 있다. AB³•BC³=0이고
|AB³+AC³|=4일 때, |BC³|의 값은?
①2
144 Ⅱ. 평면벡터
② 2'2
③3
④ 2'3
⑤4
AB³•BC³=0이면
AB³⊥BC³
정답과 풀이 81쪽
실력
132 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 2인 원 O에 내
A
생각해 봅시다!
F
G
접하는 정육각형 ABCDEF에서 두 삼각형 OFA,
OCD의 무게중심을 각각 G, H라 할 때, BG³•BH³
O
B
를 구하시오.
H
E
2
C
D
[ 수능기출 ]
133 한 변의 길이가 2인 정삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의
발을 H라 하자. 점 P가 선분 AH 위를 움직일 때, |PA³•PB³|의 최댓값은
;pQ;이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수)
134 오른쪽 그림과 같이 ABÓ=3, ADÓ=4,
∠ABC=60ù인 평행사변형 ABCD에서 ABÓ를
D
P
3
1`:`2로 내분하는 점을 P, BCÓ의 중점을 Q라 할
때, PQ³•CD³를 구하시오.
4
A
BA³=aø, BC³=cø라 하고
PQ³ •CD³ 를 aø , cø 에 대한
식으로 나타낸다.
60ù
B
C
Q
135 좌표평면 위의 세 점 A(1, 1), B(-1, 3), C(-3, 0)을 꼭짓점으로 하는
삼각형 ABC의 넓이를 구하시오.
136 이차방정식 xÛ`-ax+b=0의 두 양의 실근을 a, b라 할 때, 좌표평면 위의
세 점 O, A, B에 대하여 |OA³|=a, |OB³|=b, |AB³|=1이다. 삼각형
OAB의 넓이가
'5
이고 OA³•OB³=1일 때, a의 값을 구하시오.
4
(단, a, b는 상수)
137 오른쪽 그림과 같이 세 점 O(0, 0), P(2, 2),
y
Q(4, 2)에 대하여 점 P에서 직선 OQ에 내린 수선
P(2, 2)
의 발을 H라 하자. OH³=(m, n)일 때, 실수 m,
H
n에 대하여 m+n의 값을 구하시오.
HP³ ⊥ OQ³
⇨`HP³•OQ³=0
Q(4, 2)
O
x
2. 평면벡터의 성분과 내적
145
05
직선의 방정식
2. 평면벡터의 성분과 내적
개념원리 이해
1. 방향벡터를 이용한 직선의 방정식
필수예제 16
점 A를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 uø에 평행한 직선 l 위의 임의의 점을 P라 할 때, 두 점 A,
P의 위치벡터를 각각 aø, pø라 하면 직선 l의 방정식은
pø=aø+tuø (단, t는 실수)
이때 벡터 uø를 직선 l의 방향벡터라 한다.
직선과 평행한 벡터는 무수히 많고, 그 벡터는 모두 직선의 방향벡터가 될 수 있다.
설명
오른쪽 그림과 같이 직선 l 위의 임의의 점을 P라 하면 AP³uø이므로
y
P
AP³=tuø
l
A
인 실수 t가 존재한다.
이때 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 aø, pø라 하면 AP³=pø-aø이므로
pø
uø
aø
pø-aø=tuø
x
O
∴ pø=aø+tuø (단, t는 실수) yy`㉠
역으로 방정식 ㉠을 만족시키는 벡터 pø를 위치벡터로 하는 점 P는 직선 l 위에 있다.
따라서 ㉠은 벡터로 나타낸 직선 l의 방정식이다.
이때 벡터 uø를 직선 l의 방향벡터라 한다.
참고
㉠에서 t=0인 경우 pø=aø이므로 점 P는 점 A와 일치한다.
점 P는 점 A를 포함한 직선 l 위의 임의의 점을 나타내야 하므로 t를 0이 아닌 실수로 제한하지 않는다.
2. 한 점과 방향벡터가 주어진 직선의 방정식
필수예제 16
점 A(xÁ, yÁ)을 지나고 방향벡터가 uø=(uÁ, uª)인 직선의 방정식은
x-xÁ y-yÁ
(단, uÁuª+0)
=
uÁ
uª
설명 1 uÁuª=0인 경우의 직선의 방정식은 보충학습 1 참조
설명 2 방향벡터를 uø=(uÁ, uª)라 하고 두 점 A, P의 좌표를 각각 (xÁ, yÁ), (x, y)라
y
하면 aø=(xÁ, yÁ), pø=(x, y)이므로 pø=aø+tuø`(t는 실수)에서
(x, y)=(xÁ, yÁ)+t(uÁ, uª)=(xÁ+tuÁ, yÁ+tuª)
pø
∴ x=xÁ+tuÁ, y=yÁ+tuª yy`㉠
uÁuª+0일 때 ㉠에서 t를 소거하면 다음과 같은 직선의 방정식을 얻을 수 있다.
x-xÁ y-yÁ
=
uÁ
uª
146 Ⅱ. 평면벡터
P(x, y)
A(xÁ, yÁ)
uø=(uÁ, uª)
aø
O
x
점 (1, -3)을 지나고 방향벡터가 uø=(4, 5)인 직선의 방정식은
x-1 y+3
=
4
5
예
3. 두 점을 지나는 직선의 방정식
필수예제 16
서로 다른 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)를 지나는 직선의 방정식은
x-xÁ
y-yÁ
(단, xÁ+xª, yÁ+yª)
=
xª-xÁ yª-yÁ
x-xª
y-yª
로 나타낼 수도 있다.
=
xª-xÁ yª-yÁ
② xÁ=xª, yÁ+yª일 때 직선의 방정식은 x=xÁ이다. 또, xÁ+xª, yÁ=yª일 때 직선의 방정식은 y=yÁ이다.
⇨ 보충학습 2 참조
① 직선이 점 B(xª, yª)를 지나므로 직선의 방정식을
설명
두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)를 지나는 직선의 방향벡터는
y
B
yª
AB³=(xª-xÁ, yª-yÁ)
이고, 이 직선이 점 A(xÁ, yÁ)을 지나므로 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은 다
음과 같다.
x-xÁ
y-yÁ
=
(단, xÁ+xª, yÁ+yª)
xª-xÁ yª-yÁ
xÁ
O
A
yÁ
xª
x
두 점 A(2, 3), B(5, -1)을 지나는 직선의 방정식은
예
x-2
y-3
x-2 3-y
,즉
=
=
5-2
-1-3
3
4
4. 법선벡터를 이용한 직선의 방정식
필수예제 17
점 A를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 nø에 수직인 직선 l 위의 임의의 점을 P라 할 때, 두 점 A,
P의 위치벡터를 각각 aø, pø라 하면 직선 l의 방정식은
(pø-aø)•nø=0
이때 벡터 nø을 직선 l의 법선벡터라 한다.
직선과 수직인 벡터는 무수히 많고, 그 벡터는 모두 직선의 법선벡터가 될 수 있다.
설명
오른쪽 그림과 같이 직선 l 위의 임의의 점을 P라 하면 AP³⊥nø이므로
y
AP³•nø=0
이때 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 aø, pø라 하면 AP³=pø-aø이므로
(pø-aø)•nø=0 yy`㉠
역으로 방정식 ㉠을 만족시키는 벡터 pø를 위치벡터로 하는 점 P는 직선 l 위에 있다.
따라서 ㉠은 벡터로 나타낸 직선 l의 방정식이다.
이때 벡터 nø을 직선 l의 법선벡터라 한다.
nø
A
aø
pø
P
O
2. 평면벡터의 성분과 내적
x
l
147
개념원리 이해
5. 한 점과 법선벡터가 주어진 직선의 방정식
필수예제 17
점 A(xÁ, yÁ)을 지나고 법선벡터가 nø=(a, b)인 직선의 방정식은
a(x-xÁ)+b(y-yÁ)=0
설명
y
법선벡터를 nø=(a, b)라 하고 두 점 A, P의 좌표를 각각 (xÁ, yÁ), (x, y)라 하면
aø=(xÁ, yÁ), pø=(x, y)이므로 (pø-aø)•nø=0에서
A(xÁ, yÁ)
nø=(a, b)
(x-xÁ, y-yÁ)•(a, b)=0 ∴ a(x-xÁ)+b(y-yÁ)=0
aø
P(x, y)
pø
x
O
예
점 (-1, 3)을 지나고 법선벡터가 nø=(2, 1)인 직선의 방정식은
2(x+1)+(y-3)=0, 즉 2x+y-1=0
보충학습
1. 점 A(xÁ, yÁ)을 지나고 방향벡터가 uø=(uÁ, uª)인 직선에서 uÁuª=0인 경우
y
⑴ uÁ=0, uª+0일 때
yÁ
방향벡터 uø=(0, uª)는 y축에 평행하므로 직선의 방정식은
x=xÁ
A
uø
O
이것은 점 A(xÁ, yÁ)을 지나고 y축에 평행한 직선을 나타낸다.
⑵ uÁ+0, uª=0일 때
xÁ
x
y
A
방향벡터 uø=(uÁ, 0)은 x축에 평행하므로 직선의 방정식은
yÁ
y=yÁ
이것은 점 A(xÁ, yÁ)을 지나고 x축에 평행한 직선을 나타낸다.
예
O uø
⑴ 점 (2, 5)를 지나고 방향벡터가 uø=(0, 3)인 직선의 방정식은 x=2
⑵ 점 (1, -3)을 지나고 방향벡터가 uø=(2, 0)인 직선의 방정식은 y=-3
2. x축 또는 y축에 평행한 직선의 방정식
서로 다른 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)를 지나는 직선의 방정식은
⑴ xÁ=xª, yÁ+yª일 때 ⇨ x=xÁ
y
⑵ xÁ+xª, yÁ=yª일 때 ⇨ y=yÁ
y
yª
B
yÁ
A
O
xÁ
x
yÁ
A
B
O
xÁ
xª
y=yÁ
x
x=xÁ
예
⑴ 두 점 A(3, 5), B(3, 7)을 지나는 직선의 방정식은 x=3
⑵ 두 점 A(2, -3), B(-1, -3)을 지나는 직선의 방정식은 y=-3
148 Ⅱ. 평면벡터
xÁ
x
개념원리
익히기
162 다음 직선의 방정식을 구하시오.
⑴ 점 (2, 3)을 지나고 방향벡터가 uø=(4, -5)인 직선
⑵ 점 (0, 0)을 지나고 벡터 uø=(3, 2)에 평행한 직선
⑶ 점 (5, 1)을 지나고 방향벡터가 uø=(0, -2)인 직선
생각해 봅시다!
점 (xÁ, yÁ)을 지나고 방향
벡터가 uø=(uÁ, uª)인 직
선의 방정식
x-xÁ y-yÁ
⇨
=
uÁ
uª
(단, uÁuª+0)
⑷ 점 (3, -3)을 지나고 벡터 uø=(3, 0)에 평행한 직선
163 다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
⑴ A(2, 1), B(-4, 3)
⑵ A(-2, 4), B(5, -1)
서로 다른 두 점 A(xÁ, yÁ),
B(xª, yª)를 지나는 직선의
방정식
x-xÁ
y-yÁ
⇨
=
xª-xÁ yª-yÁ
(단, xÁ+xª, yÁ+yª)
⑶ A(-3, 1), B(-3, 5)
⑷ A(-2, 6), B(3, 6)
164 다음 직선의 방정식을 구하시오.
⑴ 점 (1, -3)을 지나고 법선벡터가 nø=(2, -4)인 직선
⑵ 점 (-2, 1)을 지나고 벡터 nø=(-3, 1)에 수직인 직선
점 (xÁ, yÁ)을 지나고 법선
벡터가 nø=(a, b)인 직선
의 방정식
⇨ a(x-xÁ)+b(y-yÁ)=0
⑶ 점 (-5, -2)를 지나고 법선벡터가 nø=(4, 0)인 직선
⑷ 점 (4, 1)을 지나고 벡터 nø=(0, -2)에 수직인 직선
2. 평면벡터의 성분과 내적
149
필수예제
16 방향벡터가 주어진 직선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 63쪽
다음 직선의 방정식을 구하시오.
x-2 1-y
에 평행하고 점 (2, -3)을 지나는 직선
=
4
3
⑵ 두 점 A(-2, 5), B(1, 4)를 지나는 직선에 평행하고 점 (2, 0)을 지나는 직선
⑴ 직선
설명
평행한 두 직선의 방향벡터는 같다.
x-2 1-y
x-2 y-1
,즉
의 방향벡터는 (4, -3)이다.
=
=
4
4
3
-3
x-2 1-y
구하는 직선이 직선
에 평행하므로 구하는 직선의 방향벡터는 (4, -3)이다.
=
4
3
따라서 점 (2, -3)을 지나고 방향벡터가 (4, -3)인 직선의 방정식은
y+3
x-2 y+3
x-2
∴
=
=4
4
-3
3
⑵ 두 점 A(-2, 5), B(1, 4)를 지나는 직선의 방향벡터는
⑴ 직선
풀이
AB³=(1, 4)-(-2, 5)=(3, -1)
구하는 직선이 두 점 A, B를 지나는 직선에 평행하므로 구하는 직선의 방향벡터는 (3, -1)이다.
따라서 점 (2, 0)을 지나고 방향벡터가 (3, -1)인 직선의 방정식은
x-2 y-0
x-2
∴
=
=-y
3
3
-1
KEY
Point

점 (xÁ, yÁ)을 지나고 방향벡터가 uø=(uÁ, uª)인 직선의 방정식
⇨
확인
체크
x-xÁ
y-yÁ
(단, uÁuª+0)
=
uÁ
uª
165 두 점 A(2, 3), B(4, 2)를 지나는 직선에 평행하고 점 (3, 1)을 지나는 직선의 방정식을
구하시오.
에 평행한 직선이 점 (k, 4)를 지날 때, k의 값
166 점 (1, -4)를 지나고 직선 x-3= 1-y
2
을 구하시오.
150 Ⅱ. 평면벡터
필수예제
17 법선벡터가 주어진 직선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 64쪽
다음 직선의 방정식을 구하시오.
x-1
=3-y에 수직인 직선
2
⑵ 점 (5, -1)을 지나고 직선 x-3y+6=0에 평행한 직선
⑴ 점 (-3, 2)를 지나고 직선
설명
⑵ 직선 ax+by+c=0의 법선벡터는 (a, b)이다.
풀이
⑴ 직선
x-1
x-1 y-3
의 방향벡터는 (2, -1)이다.
=3-y, 즉
=
2
2
-1
x-1
구하는 직선이 직선
=3-y에 수직이므로 구하는 직선의 법선벡터는 (2, -1)이다.
2
따라서 점 (-3, 2)를 지나고 법선벡터가 (2, -1)인 직선의 방정식은
2(x+3)-(y-2)=0 ∴ 2x-y+8=0
⑵ 직선 x-3y+6=0의 법선벡터는 (1, -3)이다.
구하는 직선이 직선 x-3y+6=0에 평행하므로 구하는 직선의 법선벡터는 (1, -3)이다.
따라서 점 (5, -1)을 지나고 법선벡터가 (1, -3)인 직선의 방정식은
(x-5)-3(y+1)=0 ∴ x-3y-8=0
KEY
Point

점 (xÁ, yÁ)을 지나고 법선벡터가 nø=(a, b)인 직선의 방정식
⇨ a(x-xÁ)+b(y-yÁ)=0
확인
체크
167 점 (1, -2)를 지나고 두 점 A(3, 2), B(-4, 1)을 지나는 직선에 수직인 직선의 방정식
을 구하시오.
=-y-1에 수직이고 점 (-2, -4)를 지나는 직선의 y절편을 구하시오.
168 직선 x+4
5
2. 평면벡터의 성분과 내적
151
06
두 직선이 이루는 각의 크기
2. 평면벡터의 성분과 내적
개념원리 이해
1. 두 직선이 이루는 각의 크기
필수예제 18
두 직선 l, m의 방향벡터가 각각 uø=(uÁ, uª), vø=(vÁ, vª)일 때, 두 직선이 이루는 각의 크
기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
cos`h=
설명
|uÁvÁ+uªvª|
|uø•vø|
=
|uø||vø| "ÃuÁÛ`+uªÛ` "ÃvÁÛ`+vªÛ`
두 직선 l, m의 방향벡터 uø=(uÁ, uª), vø=(vÁ, vª)가 이루는 각의 크기를 a라 하면
y
l
두 직선 l, m이 이루는 각의 크기 h는 a와 180ù-a 중에서 크지 않은 쪽이다.
cos`h=|cos`h|=
m
h
이때 uø•vø=|uø||vø| cos`h 또는 uø•vø=-|uø||vø| cos`h이므로 다음이 성립한다.
uø
|uø•vø|
|uÁvÁ+uªvª|
=
|uø||vø| "ÃuÁÛ`+uªÛ` "ÃvÁÛ`+vªÛ`
vø
a
x
O
x-1 y+2
x+2
, m:`
=
=3-y가 이루는 예각의 크기를 구하시오.
2
3
5
예
두 직선 l:`-
풀이
두 직선 l, m의 방향벡터를 각각 uø, vø라 하면
uø=(-2, 3), vø=(5, -1)
이므로 두 직선이 이루는 각의 크기를 h`(0ù<h<90ù)라 하면
cos`h=
|(-2)_5+3_(-1)|
'2
|uø•vø|
13
∴ h=45ù
=
=
=
2
|uø||vø| "Ã(-2)Û`+3Û` "Ã5Û`+(-1)Û` '1Œ3 '2Œ6
따라서 두 직선 l, m이 이루는 예각의 크기는 45ù이다.
2. 두 직선의 평행과 수직
필수예제 19
두 직선 l, m의 방향벡터가 각각 uø=(uÁ, uª), vø=(vÁ, vª)일 때
⑴ 평행 조건: lm HjK uø=kvø
HjK uÁ=kvÁ, uª=kvª (단, k는 0이 아닌 실수)
⑵ 수직 조건: l⊥m HjK uø•vø=0
HjK uÁvÁ+uªvª=0
설명
l
두 직선 l, m의 방향벡터가 각각 uø, vø일 때, 두 직선 l, m이 서로 평행하면
m
m
l
uø, vø도 서로 평행하고 그 역도 성립한다.
또, 두 직선 l, m이 서로 수직이면 uø, vø도 서로 수직이고 그 역도 성립한다.
152 Ⅱ. 평면벡터
uø
vø
vø
uø
개념원리
익히기
y+1
x
y-3
169 다음은 두 직선 x+2=- '3 , - 3 = '3 이 이루는 예각의 크기를 구
하는 과정이다.  안에 알맞은 것을 써넣으시오.
y+1
의 방향벡터를 uø라 하면 uø=
'3
x y-3
직선 - =
의 방향벡터를 vø라 하면 vø=
3
'3
이때 |uø|= , |vø|=
, |uø•vø|= 이므로 두 직선이 이루는 예
직선 x+2=-
생각해 봅시다!
두 직선 l, m의 방향벡터
가 각각 uø, vø일 때, 두 직선
이 이루는 각의 크기를
h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
⇨ cos`h=
|uø•vø|
|uø||vø|
각의 크기를 h라 하면
cos`h=
|uø•vø|
=
|uø||vø|
∴ h=
ù
170 다음 두 직선이 이루는 각의 크기를 구하시오.
x-3
x-4
=y+1, m:`
=2-y
2
3
x-1 y-2
x+1 3-y
⑵ l:`
, m:`
=
=
3
4
4
3
⑴ l:`
171 두 직선
3-x y-1 x+1 2-y
,
=
=
2
k
6
-3
에 대하여 다음을 구하시오.
⑴ 두 직선이 서로 평행할 때, 실수 k의 값
두 직선 l, m의 방향벡터
가 각각 uø, vø일 때
⑴ lm HjK uø=kvø
(단, k는 0이 아닌 실수)
⑵ l⊥m HjK uø•vø=0
⑵ 두 직선이 서로 수직일 때, 실수 k의 값
2. 평면벡터의 성분과 내적
153
필수예제
18 두 직선이 이루는 각의 크기
더 다양한 문제는 RPM 기하 64쪽
x-3
x+5
=y-1, m:`
=2-y가 이루는 각의 크기가 45ù일 때, 실수 a
2
a
의 값을 모두 구하시오.
두 직선 l:`
설명
두 직선의 방향벡터를 구한 후 두 방향벡터의 내적을 이용한다.
풀이
두 직선 l, m의 방향벡터를 각각 uø, vø라 하면
uø=(2, 1), vø=(a, -1)
두 직선이 이루는 각의 크기가 45ù이므로
|uø•vø|
=cos`45ù
|uø||vø|
'2
|2_a+1_(-1)|
, 2|2a-1|='1Œ0"ÃaÛ`+1
=
2
"Ã2Û`+1Û` "ÃaÛ`+(-1)Û`
양변을 제곱하여 정리하면
3aÛ`-8a-3=0, (3a+1)(a-3)=0
∴ a=-;3!; 또는 a=3
KEY
Point

두 직선 l, m의 방향벡터가 각각 u²=(uÁ, uª), vø=(vÁ, vª)일 때, 두 직선이 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
⇨ cos`h=
확인
체크
|uÁvÁ+uªvª|
|uø•vø|
=
|uø||vø|
"ÃuÁÛ`+uªÛ` "ÃvÁÛ`+vªÛ`
x-3 y+4
,
가 이루는 예각의 크기를 h라 할 때, sin`h의 값을
=
172 두 직선 x-2= y+1
2
2
-6
구하시오.
y-4 x-5 y+1
,
이 이루는 각의 크기가 30ù가 되도록 하는 모든 실
=
=
173 두 직선 x+2
5
2
a
'3
수 a의 값의 합을 구하시오.
154 Ⅱ. 평면벡터
필수예제
19 두 직선의 평행과 수직
더 다양한 문제는 RPM 기하 65쪽
6-y
3-x y-1
가 직선 m:`
과는 서로 평행하고, 직선
=
2
2
a
y+2
n:`5-x=
와는 서로 수직일 때, 실수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.
b
(단, ab+0)
직선 l:`x+4=
설명
방향벡터의 평행 조건과 수직 조건을 이용한다.
풀이
세 직선 l, m, n의 방향벡터를 각각 uø, vø, w²라 하면
uø=(1, -2), vø=(-2, a), w²=(-1, b)
두 직선 l, m이 서로 평행하므로
uø=kvø`(k+0)에서 (1, -2)=k(-2, a)
1=-2k, -2=ak ∴ k=-;2!;, a=4
또, 두 직선 l, n이 서로 수직이므로
uø•w²=0에서 1_(-1)+(-2)_b=0
-1-2b=0 ∴ b=-;2!;
∴ a+b=4+{-;2!;}=;2&;
KEY
Point
두 직선 l, m의 방향벡터가 각각 uø, vø일 때


확인
체크
lm HjK uø=kvø (단, k는 0이 아닌 실수)
l⊥m HjK uø•vø=0
=y-2가 서로 수직일 때, a의
174 두 점 A(a, 3), B(-1, a)를 지나는 직선과 직선 x+1
3
값을 구하시오.
1-y
, x-4=
가 서로 평행하도록 하는 모든 실수 k의 값의 합을 구
175 두 직선 ;k{;= 2-y
2
k+2
하시오.
2. 평면벡터의 성분과 내적
155
07
원의 방정식
2. 평면벡터의 성분과 내적
개념원리 이해
1. 벡터를 이용한 원의 방정식
필수예제 20
점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원 위의 임의의 점을 P라 할 때, 두 점 A, P의 위
치벡터를 각각 aø, pø라 하면 원의 방정식은
|pø-aø|=r 또는 (pø-aø)•(pø-aø)=rÛ`
설명
오른쪽 그림과 같이 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원 위의 임의의 점을 P
y
P(x, y)
라 하면 |AP³|=r이다.
이때 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 aø, pø라 하면 AP³=pø-aø이므로
|pø-aø|=r r
yy`㉠
pø
역으로 방정식 ㉠ 을 만족시키는 벡터 pø를 위치벡터로 하는 점 P는 |AP³|=r를 만족시
키므로 중심이 점 A이고 반지름의 길이가 r인 원 위에 있다.
aø
O
A(xÁ, yÁ)
x
따라서 ㉠ 은 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원을 나타낸다.
이때 ㉠의 양변을 제곱하면 |pø-aø|Û`=rÛ`이므로
(pø-aø)•(pø-aø)=rÛ` yy`㉡
Û aø•aø=|aø|Û`
한편, ㉡ 을 벡터의 성분을 이용하여 나타내어 보자.
두 점 A, P의 좌표를 각각 (xÁ, yÁ), (x, y)라 하면 aø=(xÁ, yÁ), pø=(x, y)이므로
pø-aø=(x-xÁ, y-yÁ)
따라서 ㉡에 의하여
(x-xÁ, y-yÁ)•(x-xÁ, y-yÁ)=rÛ`
∴ (x-xÁ)Û`+(y-yÁ)Û`=rÛ`
한 걸음 더
2. 지름의 양 끝 점이 주어진 원의 방정식 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식은
(x-xÁ)(x-xª)+(y-yÁ)(y-yª)=0
설명
오른쪽 그림과 같이 서로 다른 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)를 지름의 양 끝 점으로
y
A(xÁ, yÁ)
하는 원 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하자.
점 P가 두 점 A, B가 아닐 때, AP³⊥BP³이므로 AP³•BP³=0
세 점 A, B, P의 위치벡터를 각각 aø, bø, pø라 하면
AP³=pø-aø, BP³=pø-bø이므로 (pø-aø)•(pø-bø)=0
이때 pø=(x, y), aø=(xÁ, yÁ), bø=(xª, yª)이므로
(x-xÁ, y-yÁ)•(x-xª, y-yª)=0
∴ (x-xÁ)(x-xª)+(y-yÁ)(y-yª)=0
156 Ⅱ. 평면벡터
P(x, y)
aø
pø
B(xª, yª)
O
bø
x
필수예제
20 벡터를 이용한 원의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 65쪽
두 점 A(-2, 1), B(1, -3)에 대하여
AP³•BP³=0
을 만족시키는 점 P가 그리는 도형의 둘레의 길이를 구하시오.
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
풀이
AP³=(x+2, y-1), BP³=(x-1, y+3)
AP³•BP³=0에서
(x+2)(x-1)+(y-1)(y+3)=0
xÛ`+x+yÛ`+2y-5=0 ∴ {x+;2!;}Û`+(y+1)Û`=:ª4°:
따라서 점 P가 그리는 도형은 중심이 점 {-;2!;, -1}이고 반지름의 길이가 ;2%;인 원이므로 구하는 둘레
의 길이는
2p_;2%;=5p
KEY
Point

원의 중심 A와 원 위의 임의의 점 P의 위치벡터를 각각 aø, pø라 할 때, 반지름의 길이가 r인 원의 방정식
⇨ |pø-aø|=r 또는 (pø-aø)•(pø-aø)=rÛ`
확인
체크
176 두 점 A(3, -2), P(x, y)의 위치벡터를 각각 aø, pø라 할 때, |pø-aø|=5를 만족시키는
점 P가 그리는 도형의 방정식을 구하시오.
177 두 점 A(-1, 4), B(5, -2)를 지름의 양 끝 점으로 하는 원의 방정식을 구하시오.
178 세 점 A(4, -1), B(-2, 1), P에 대하여 OA³=aø, OB³=bø, OP³=pø라 할 때,
(pø-aø)•(pø-bø)=0을 만족시키는 점 P가 그리는 도형의 넓이를 구하시오.
(단, O는 원점)
2. 평면벡터의 성분과 내적
157
정답과 풀이 83쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
1-y
138 다음 중 점 (3, 2)를 지나고 직선 2(x+1)= 2 에 평행한 직선 위의 점
이 아닌 것은?
① (-2, 22)
② (-1, 18)
④ (1, -10)
⑤ (4, -2)
[ 교육청기출 ]
③ (0, 14)
1
139 함수 f(x)= xÛ`+x 의 그래프는 오른쪽 그림과
y
f(x)=
1
xÛ +x
두 점 P, Q를 지나는 직선
의 방향벡터는
PQ³=OQ³-OP³
같다. 함수 y=f(x)의 그래프 위의 두 점
P(1, f(1)), Q{-;2!;, f {-;2!;}}을 지나는 직선
-1 O
x
의 방향벡터 중 크기가 '1Œ0인 벡터를 uø=(a, b)
라 하자. |a-b|의 값은?
①1
②2
③3
④4
⑤5
140 두 점 A(1, 3), B(5, -1)을 지나는 직선에 평행하고 점 (2, 7)을 지나는
x-1
=6-y에 수직인 직선의 교점의
2
좌표가 (m, n)일 때, mn의 값을 구하시오.
직선과 점 (-2, 3)을 지나고 직선
x-3 y-2 x+2
,
=
=1-y가 이루는 예각의 크기를 h라 할 때,
4
3
7
cos`h의 값을 구하시오.
141 두 직선
142 다음 세 직선 lÁ, lª, l£에 대하여 lÁlª이고 lª⊥l£일 때, 실수 a, b에 대하
여 ab의 값을 구하시오.
y-1
x-3 y-2
x-2
lÁ:`x+3=
, lª:`
, l£:`
=
=;b};
2
a
4
3
158 Ⅱ. 평면벡터
두 직선 l, m의 방향벡터가
각각 uø, vø일 때
⑴ lm HjK uø=kvø
(단, k는 0이 아닌 실수)
⑵ l⊥m HjK uø•vø=0
정답과 풀이 85쪽
STEP
2
y+13
x+4 5-y
, lª:`
의 교점을 지나고 벡터
=
3
2
3
nø=(-3, 2)에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
143 두 직선 lÁ:`x+1=
144 원 xÛ`+yÛ`=4 위의 두 점 A(-1, '3 ), B(a, b)에서의 두 접선이 서로 수직
일 때, ab의 값을 구하시오. (단, b>0)
두 접선이 서로 수직이면
접선의 법선벡터도 서로 수
직이다.
145 방향벡터가 uø=(1, 2)이고 점 (0, 2)를 지나는 직선이 중심이 A(4, 5)인
원에 접할 때, 접점의 좌표를 구하시오.
146 세 점 A, B, P의 위치벡터 aø, bø, pø에 대하여 aø=(-2, 6), bø=(2, 3)이고,
(pø-bø)•(pø-bø)=9일 때, |pø-aø|의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
실력
x+1
147 점 A(4, -1)에서 직선 l:` 2 =y+1에 내린 수선의 발을 H라 할 때,
직선 l과 벡터 AH³는 서로
수직이다.
|AÕH³|를 구하시오.
실력
148 좌표평면 위의 세 점 A(6, 0), B(8, 6), P에 대하여 |PA³+PB³|='1Œ0이
다. OB³•OP³가 최대가 되도록 하는 점 P를 Q라 하고, 선분 AB의 중점을
M이라 할 때, OA³•MÕQ의
³ 값은? (단, O는 원점)
①
6'1Œ0
5
②
9'1Œ0
5
③
12'1Œ0
5
④ 3'1Œ0
⑤
18'1Œ0
5
2. 평면벡터의 성분과 내적
159
Take a Break
운명을 개척한 개구리
개구리 한 마리가 길에 패인 웅덩이에 빠져서 나올 수가 없었습니다.
사정을 안 친구들도 도와주려고 했지만 워낙 진창인데다 깊어서 도와줄 수가 없었답니다.
그러다 어둠이 깔리고 친구들은 그를 운명에 맡긴 채 집으로 돌아갔습니다.
그런데 그 다음 날 친구들이 그가 어찌 되었나 궁금해서 다시 그 장소로 찾아가 보니 그 개구리는 웅
덩이에서 빠져 나와 뛰어다니고 있었습니다.
친구들은 궁금해서 물었습니다.
“아니, 어떻게 된거니? 어떻게 빠져 나온거야?”
그러자 그 개구리는 대답했습니다.
“응, 아침에 트럭이 다가오길래 온 힘을 다해 빠져 나왔지.
그냥 앉아서 죽기에는 너무 억울하잖니.”
Ⅲ
공간도형과 공간좌표
1. 공간도형
2. 공간좌표
01
직선과 평면의 위치 관계
1. 공간도형
개념원리 이해
1. 공간도형의 기본 성질
⑴ 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나뿐이다.
⑵ 한 평면 위의 서로 다른 두 점을 지나는 직선 위의 모든 점은 이 평면 위에 있다.
(이때 ‘직선이 평면 위에 있다.’ 또는 ‘평면이 직선을 포함한다.’고 한다.)
⑶ 서로 다른 두 평면이 한 점을 공유하면 이 두 평면은 그 점을 지나는 한 직선을 공유한다.
⑴
⑵
⑶
A
B
B
C
A
A
① 위의 기본 성질은 증명 없이(무정의 용어) 채택하기로 한다.
② 직선, 삼각형, 사각형, 원 등과 같이 평면 위에 있는 도형을 평면도형이라 하고, 삼각뿔, 직육면체, 구 등과 같이 평면 위
에 있지 않은 도형을 공간도형이라 한다.
③ 평면도형은 점·선으로, 공간도형은 점·선·면으로 이루어진다.
④ 공간도형에서는 일반적으로 점을 A, B, C, y로, 직선을 l, m, n, y으로, 평면을 a, b, c, y로 나타낸다.
2. 평면의 결정 조건
필수예제 1
오른쪽 그림에서와 같이 공간에서 서로 다른 두 점 A, B를 지나는 평면은
C
무수히 많지만, 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C를 지나는 평면은 오
직 하나뿐이다. 이 성질을 기본으로 하여 다음의 각 경우에 평면이 단 하나
A
로 결정된다.
⑴ 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점
⑵ 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점
A
B
A
l
C
⑶ 한 점에서 만나는 두 직선
l
A
m
162 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
⑷ 평행한 두 직선
l
m
B
참고
1. 점의 결정 조건
① 서로 다른 두 직선이 만날 때, 단 하나의 점을 결정한다.
② 한 평면과 만나는 한 직선은 단 하나의 점을 결정한다.
③ 평행이 아닌 교선이 서로 만나는 세 평면은 단 하나의 점을 결정한다.
2. 직선의 결정 조건
① 서로 다른 두 점은 단 하나의 직선을 결정한다.
② 서로 만나는 두 평면은 단 하나의 직선을 결정한다.
교선
3. 두 직선의 위치 관계
필수예제 2
공간에서 서로 다른 두 직선의 위치 관계는 다음 세 가지 경우가 있다.
⑴ 한 점에서 만난다.
⑵ 평행하다.
⑶ 꼬인 위치에 있다.
l
l
l
m
m
m
한 평면 위에 있다.
한 평면 위에 있지 않다.
① 두 직선 l, m이 한 평면 위에 있고 서로 만나지 않을 때 두 직선 l, m은 평행하다고 하고, 이것을 기호로 lm과 같이
나타낸다.
② 서로 다른 세 직선 l, m, n에 대하여 lm, mn이면 ln이다.
③ 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않을 때, 두 직선은 꼬인 위치에 있다고 한다.
④ 만나지 않는 두 직선이 한 평면 위에 있으면 두 직선은 평행하고, 한 평면 위에 있지 않으면 두 직선은 꼬인 위치에 있다.
예
D
오른쪽 그림과 같은 직육면체에서
⑴ 직선 BC와 한 점에서 만나는 직선
⇨ 직선 AB, 직선 BF, 직선 DC, 직선 CG
A
H
C
B
G
⑵ 직선 AB와 평행한 직선
⇨ 직선 DC, 직선 EF, 직선 HG
E
F
⑶ 직선 BF와 꼬인 위치에 있는 직선
⇨ 직선 AD, 직선 DC, 직선 EH, 직선 HG
1. 공간도형
163
개념원리 이해
4. 직선과 평면의 위치 관계
필수예제 2
공간에서 직선과 평면의 위치 관계는 다음 세 가지 경우가 있다.
⑴ 포함된다.
⑵ 한 점에서 만난다.
⑶ 평행하다.
l
l
l
a
a
a
만난다.
만나지 않는다.
① 직선 l과 평면 a가 서로 만나지 않을 때 직선 l과 평면 a는 평행하다고 하고, 이것을 기호로 la와 같이 나타낸다.
② 직선 l과 평면 a의 교점이 두 개 이상인 경우 직선 l은 평면 a에 포함된다.
③ 직선 l과 평면 a가 평행하면 직선 l은 평면 a 위의 어떤 직선과도 만나지 않는다.
예
A
오른쪽 그림과 같이 밑면이 정사각형인 사각뿔에서
⑴ 직선 BC와 평행한 평면 ⇨ 평면 ADE
⑵ 직선 BC와 한 점에서 만나는 평면 ⇨ 평면 ABE, 평면 ACD
⑶ 직선 BC를 포함하는 평면 ⇨ 평면 ABC, 평면 BCDE
5. 두 평면의 위치 관계
E
B
D
C
필수예제 2
공간에서 서로 다른 두 평면은 만나거나 만나지 않는 두 가지 경우가 있다.
서로 다른 두 평면이 만나는 경우 두 평면은 한 직선을 공유하는데, 이 직선을 두 평면의 교선이라
한다. 또, 두 평면 a, b가 서로 만나지 않을 때 두 평면 a, b는 평행하다고 하고, 이것을 기호로
ab와 같이 나타낸다.
⑴ 만난다.
⑵ 평행하다.
a
a
교선
b
b
두 평면 a, b가 평행하면 평면 a 위의 어떤 직선도 평면 b와 만나지 않으므로 평면 a 위의 모든 직선은 평면 b와 평행하다.
예
오른쪽 그림과 같은 삼각기둥에서
A
C
⑴ 평면 ABC와 평행한 평면 ⇨ 평면 DEF
⑵ 평면 ABC와 만나는 평면
D
B
⇨ 평면 ADEB, 평면 BEFC, 평면 ADFC
⑶ 평면 ABC와 평면 ADEB의 교선 ⇨ 직선 AB
164 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
E
F
필수예제
01 평면의 결정 조건
더 다양한 문제는 RPM 기하 76쪽
공간에서 네 점 A, B, C, D가 한 평면 위에 있지 않고 어느 세 점도 한 직선 위에 있지
않을 때, 이 네 점으로 만들 수 있는 서로 다른 평면의 개수를 구하시오.
공간에서 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점은 하나의 평면을 결정한다.
풀이
따라서 네 점으로 결정되는 서로 다른 평면은 평면 ABC, 평면 ABD, 평면 ACD, 평면 BCD의 4개이다.
한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점은 하나의 평면을 결정하므로 구하는 평면의 개수는
다른풀이
C3=4C1=4
4
KEY
Point
확인
체크

평면의 결정 조건
① 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점
② 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점
③ 한 점에서 만나는 두 직선
④ 평행한 두 직선
179 공간에서 다섯 개의 점 A, B, C, D, E 중 어느 네 점도 한 평면 위에 있지 않고 어느 세 점
도 한 직선 위에 있지 않을 때, 이 다섯 개의 점으로 만들 수 있는 서로 다른 평면의 개수를
구하시오.
180 오른쪽 그림과 같은 사각뿔의 5개의 꼭짓점으로 결정되는 서로 다
A
른 평면의 개수를 구하시오.
E
D
B
C
181 오른쪽 그림과 같은 정육면체에 대하여 하나의 평면이 결정되는 것만
을 보기에서 있는 대로 고르시오.
D
A
보기
C
B
H
ㄱ. 세 점 A, C, G
ㄴ. 점 A와 직선 FH
ㄷ. 두 직선 BD, GH
ㄹ. 두 직선 BF, DH
G
F
E
1. 공간도형
165
필수예제
02 공간에서의 위치 관계
더 다양한 문제는 RPM 기하 76, 77쪽
D
오른쪽 그림과 같은 직육면체에서 다음을 구하시오.
C
A
⑴ 모서리 AD와 평행한 모서리
B
H
⑵ 모서리 AD와 꼬인 위치에 있는 모서리
G
E
⑶ 모서리 AB와 평행한 면
F
⑷ 면 AEHD와 만나는 면
⑸ 모서리 AB를 포함하는 면
답
⑴ 모서리 BC, 모서리 EH, 모서리 FG
⑵ 모서리 BF, 모서리 CG, 모서리 EF, 모서리 HG
⑶ 면 DHGC, 면 EFGH
⑷ 면 ABCD, 면 AEFB, 면 EFGH, 면 DHGC
⑸ 면 ABCD, 면 AEFB
KEY
Point
확인
체크

꼬인 위치 ⇨ 공간에서 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않다.
182 오른쪽 그림과 같은 사면체에서 두 직선이 꼬인 위치에 있는 것만을
A
보기에서 있는 대로 고르시오.
보기
ㄱ. 직선 BC와 직선 AD
ㄴ. 직선 AC와 직선 BD
D
B
ㄷ. 직선 AB와 직선 CD
C
183 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 직선 CE와 꼬인 위치에 있는 직선을
모두 구하시오.
D
C
A
B
H
G
F
E
184 오른쪽 그림과 같은 정팔면체에서 모서리 BF와 평행한 모서리의
A
개수를 a, 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 b, 평면
ABE와 평행한 평면의 개수를 c, 평면 ABC와 평행한 모서리의
개수를 d라 하자. 이때 a+b+c+d의 값을 구하시오.
E
D
B
C
F
166 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
02
직선과 평면의 평행
1. 공간도형
개념원리 이해
공간에서 직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면의 평행 관계에 대한 여러 가지 성질을 증명해 보자.
1. 직선과 직선의 평행
⑴ 평행한 두 평면 a, b가 평면 c와 만날 때 생기는 두 교선을 각각 l, m이라 할 때, 두 직선 l,
m은 평행하다.
⑵ 직선 l과 평면 a가 평행할 때, 직선 l을 포함하는 평면 b와 평면 a의 교선 m은 직선 l과 평
행하다.
증명
⑴ ab이므로 두 평면 a, b는 만나지 않는다.
c
이때 직선 l은 평면 a 위에 있고 직선 m은 평면 b 위에 있으므로 두 직선 l, m
도 만나지 않는다.
그런데 두 직선 l, m은 모두 한 평면 c 위에 있다.
따라서 두 직선 l, m은 한 평면 위에 있고 서로 만나지 않으므로 lm이다.
l
a
m
b
⑵ la이므로 직선 l과 평면 a는 만나지 않는다.
l
이때 직선 m은 평면 a 위에 있으므로 두 직선 l, m도 만나지 않는다.
그런데 두 직선 l, m은 모두 한 평면 b 위에 있다.
따라서 두 직선 l, m은 한 평면 위에 있고 서로 만나지 않으므로 lm이다.
m
a
b
2. 직선과 평면의 평행
⑴ 평행한 두 평면 a, b에 대하여 직선 l이 평면 a에 포함되면 직선 l과 평면 b는 평행하다.
⑵ 평행한 두 직선 l, m에 대하여 직선 l을 포함하고 직선 m을 포함하지 않는 평면 a는 직선
m과 평행하다.
증명
⑴ ab이므로 두 평면 a, b는 만나지 않는다.
이때 직선 l은 평면 a 위에 있으므로 직선 l과 평면 b도 만나지 않는다.
따라서 lb이다.
⑵오른쪽 그림과 같이 평면 a와 직선 m이 평행하지 않고 점 P를 공유한다고 가정
b
m
하자.
이때 lm이므로 두 직선 l, m을 모두 포함하는 평면은 오직 하나 존재한다. 이
평면을 b라 하면 점 P는 직선 m 위에 있으므로 평면 b 위에 있다.
a
l
P
따라서 점 P는 두 평면 a, b 위에 있으므로 두 평면의 교선 l 위에 있다. 즉, 두 직
선 l, m은 점 P에서 만난다.
이것은 두 직선 l, m이 평행하다는 조건에 모순이므로 ma이다.
1. 공간도형
167
개념원리 이해
3. 평면과 평면의 평행
⑴ 평면 a 위에 있지 않은 한 점 P를 지나고 평면 a에 평행한 서로 다른 두 직선 l, m에 의하
여 결정되는 평면을 b라 할 때, 두 평면 a, b는 평행하다.
⑵ 서로 다른 세 평면 a, b, c에 대하여 두 평면 a, b가 평행하고 두 평면 b, c가 평행하면 두
평면 a, c는 평행하다.
증명
⑴오른쪽 그림과 같이 두 평면 a, b가 평행하지 않고 교선 n을 공유한다고 가정
하자.
m
P
b
l
이때 직선 n은 평면 a 위에 있고 la, ma이므로 직선 n은 두 직선 l, m과
만나지 않는다.
n
a
그런데 세 직선 l, m, n은 모두 한 평면 b 위에 있으므로
ln, mn
즉, lm이고 이것은 두 직선 l, m이 한 점 P에서 만난다는 조건에 모순이므로
ab
⑵ 오른쪽 그림과 같이 평면 a 위에 있고 한 점에서 만나는 두 직선을 l, m이라 하면
m
ab이므로
a
lb, mb
b
이때 두 직선 l, m이 평면 c와 만난다고 가정하면 bc이므로 두 직선 l, m은 평
c
면 b와도 만난다.
그런데 이것은 lb, mb에 모순이므로
lc, mc
이때 두 직선 l, m은 모두 평면 a 위에 있으므로
ac
168 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
l
한 걸음 더
필수예제
03
직선과 직선의 평행
한 평면 위에 있지 않은 네 점 A, B, C, D를 차례로 이어서 만든 사각형의 각 변의 중점
을 각각 E, F, G, H라 하면 사각형 EFGH는 평행사변형임을 증명하시오.
A
설명삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 변에 평행하고 그 길이는 나머지 변의 길이
의 ;2!;과 같다.
M
⇨ 삼각형 ABC에서 두 점 M, N이 각각 ABÓ, ACÓ의 중점이면
B
MNÓBCÓ, MNÓÓ=;2!; BCÓ
풀이
N
C
삼각형 ABD에서 두 점 E, H는 각각 ABÓ, ADÓ의 중점이므로
A
EHÓBDÓ, EHÓ=;2!; BDÓ yy`㉠
또, 삼각형 BCD에서 두 점 F, G는 각각 BCÓ, CDÓ의 중점이므로
FGÓBDÓ, FGÓ=;2!; BDÓ
E
H
D
B
yy`㉡
G
F
C
㉠, ㉡에서 EHÓFGÓ, EHÓ=FGÓ
따라서 사각형 EFGH는 평행사변형이다.
네 꼭짓점이 동일 평면 위에 있지 않은 사각형을 꼬인사변형 또는 고슈사변형(gauche quadrilateral)이라 한다.
이와 같은 사각형은 보통 사각형의 대각선을 꺾어 만든 사각형이다.
참고
평행사변형이 되는 조건
① 두 쌍의 대변이 각각 평행하다. ⇨ ABÓDCÓ, ADÓBCÓ
A
D
② 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다. ⇨ ABÓ=DCÓ, ADÓ=BCÓ
③ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. ⇨ ∠A=∠C, ∠B=∠D
O
④ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다. ⇨ OAÓ=OCÓ, OBÓ=ODÓ
B
C
⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. ⇨ ABÓDCÓ, ABÓ=DCÓ
확인
체크
185 오른쪽 그림의 사면체에서 ACÓ=10, BDÓ=8이고, 네 모서리
A
AB, BC, CD, DA의 중점을 각각 P, Q, R, S라 할 때, 사각형
S
P
PQRS의 둘레의 길이를 구하시오.
10
8
B
Q
D
R
C
186 오른쪽 그림과 같이 한 평면 위에 있지 않은 네 점 A, B, C,
A
D를 차례로 이어서 만든 사각형의 각 변의 중점을 각각 E, F,
G, H라 하자. ACÓ=12, BDÓ=10일 때, 사각형 EFGH의 둘
레의 길이를 구하시오.
E
B
D
H
12
10
F
G
C
1. 공간도형
169
정답과 풀이 87쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
149 오른쪽 그림의 사면체에서 두 면 ABC, ACD의 무게
A
중심을 각각 P, Q라 할 때, 다음 보기에서 두 직선이 꼬
인 위치에 있는 것만을 있는 대로 고르시오.
P
B
Q
D
꼬인 위치
⇨ 공간에서 두 직선이 만
나지도 않고 평행하지도
않다.
보기
ㄱ. 직선 AD와 직선 BC
C
ㄴ. 직선 CD와 직선 BQ
ㄷ. 직선 PQ와 직선 BD
150 오른쪽 그림의 삼각기둥에서 세 직사각형
A
D
ABED, BCFE, ACFD는 모두 합동이다. 직선
AC와 꼬인 위치에 있는 직선의 개수를 a, 직선
E
B
AC와 평행한 평면의 개수를 b, 평면 ABC와 평
C
F
D
C
행한 직선의 개수를 c라 할 때, a-b+c의 값을 구하시오.
STEP
2
151 오른쪽 그림과 같은 정육면체의 8개의 꼭짓점과 12개
의 모서리를 연장한 직선으로 결정되는 서로 다른 평면
A
의 개수를 구하시오.
B
H
G
F
E
152 꼬인 위치에 있는 두 직선 사이의 거리는 두 직선에
A
1
공통인 수선의 길이이다. 오른쪽 그림과 같이 한 모서
리의 길이가 1인 정사면체에서 꼬인 위치에 있는 두
B
모서리 AB, CD 사이의 거리를 구하시오.
D
C
153 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 5인 정사면
A
체를 두 모서리 AC, BD에 평행한 평면으로 자를
S
P
5
때, 단면인 사각형 PQRS의 둘레의 길이를 구하
시오.
D
B
Q
R
C
170 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
다음과 같이 경우를 나누어
생각한다.
Ú 평행한 두 직선으로 만
들어지는 경우
Û 어느 두 점도 한 모서리
위에 있지 않은 세 점으
로 만들어지는 경우
03
직선과 평면의 수직
1. 공간도형
개념원리 이해
1. 두 직선이 이루는 각
필수예제 5
⑴두 직선이 한 점에서 만나는 경우
한 점에서 만나는 두 직선은 한 평면을 결정하므로 그 평면에서 두 직선이
이루는 각을 정할 수 있다.
⑵ 두 직선이 꼬인 위치에 있는 경우
오른쪽 그림과 같이 꼬인 위치에 있는 두 직선 l, m에 대하여 직선 m 위
l
의 한 점 O를 지나고 직선 l에 평행한 직선 l'을 그으면 두 직선 l', m은
점 O에서 만나고 한 평면을 결정한다.
l'
이때 두 직선 l', m이 이루는 각을 꼬인 위치에 있는 두 직선 l, m이 이루는 각
O
이라 한다.
m
특히, 두 직선 l, m이 이루는 각이 직각일 때 두 직선 l, m은 서로 수직
이라 하고, 이것을 기호로 l⊥m과 같이 나타낸다.
참고
두 직선 l', m이 만나서 생기는 각의 크기는 점 O의 위치에 관계없이 일정하다.
또, 직선 l 위의 한 점 O'을 지나고 직선 m과 평행한 직선을 이용해도 각의 크기는 같다.
일반적으로 두 직선이 이루는 각은 크기가 크지 않은 쪽의 각으로 생각한다.
예
A
오른쪽 그림과 같은 삼각기둥에서
⑴ BCÓEFÓ이므로 ABÓ와 EFÓ가 이루는 각의 크기는 ABÓ와 BCÓ가
B
이루는 각의 크기와 같다.
⑵ BEÓCFÓ이므로 ABÓ와 CFÓ가 이루는 각의 크기는 ABÓ와 BEÓ가
C
F
E
이루는 각의 크기와 같다. 즉, ABÓ⊥CFÓ이다.
2. 직선과 평면의 수직
D
필수예제 4
⑴ 직선과 평면의 수직
직선 l이 평면 a와 한 점 O에서 만나고 점 O를 지나는 평면 a 위의 모
l
P
든 직선과 수직일 때 직선 l과 평면 a는 서로 수직이라 하고, 이것을
기호로 l⊥a와 같이 나타낸다.
이때 직선 l을 평면 a의 수선이라 하고, 직선 l과 평면 a가 만나는 점
a
O
O를 수선의 발이라 한다.
위의 그림에서 직선 l 위의 한 점 P에 대하여 선분 OP의 길이를 점 P와 평면 a 사이의 거리라 한다.
1. 공간도형
171
개념원리 이해
⑵ 직선과 평면의 수직에 대한 정리
① 직선 l이 평면 a와 한 점 O에서 만나고 점 O를 지나는 평면 a 위의
l
서로 다른 두 직선 m, n과 각각 수직이면 직선 l과 평면 a는 수직
m
이다.
② 직선 l이 평면 a와 수직이면 직선 l은 평면 a 위의 모든 직선과 수
n
O
a
직이다.
증명
①오른쪽 그림과 같이 점 O를 지나는 평면 a 위의 임의의 한 직선을 g라 하고, l
P
점 O를 지나지 않고 세 직선 m, n, g와 각각 한 점에서 만나는 직선을 그어 세
직선과의 교점을 각각 A, B, C라 하자.
a
직선 l 위에 OPÓ=OÕP'Ó인 서로 다른 두 점 P, P'을 잡으면 두 직선 m, n은 모두
PÕP'Ó의 수직이등분선이므로
APÓ=AÕP'Ó, BPÓ=BÕP'Ó
m A
O
B
C
g n
P'
이때 ABÓ는 공통이므로 △PABª△P'AB
∴ ∠PAC=∠P'AC
또, APÓ=AÕP'Ó, ACÓ는 공통이므로 △PACª△P'AC ∴ PCÓ=PÕ'CÓ
즉, △PCP'은 이등변삼각형이고 점 O는 PP'Ó의 중점이므로 PP'Ó⊥OCÓ
∴ l⊥ g
따라서 직선 l은 점 O를 지나는 평면 a 위의 모든 직선과 수직이므로
l⊥a
②직선 l이 평면 a와 만나는 점을 O라 하고 평면 a 위의 임의의 직선 m에 대하여
l
점 O를 지나고 직선 m에 평행한 직선을 m'이라 하자.
또, mm'이므로 l⊥m
m'
O
이때 l⊥a이므로 l⊥m'
m
a
따라서 직선 l은 평면 a 위의 모든 직선과 수직이다.
예
A
오른쪽 그림과 같은 정사면체에서 모서리 BC의 중점을 M이라 할
때, 다음을 증명하시오.
⑴ BCÓ⊥(평면 AMD)
⑵ BCÓ⊥ADÓ
풀이
Ó 므로
⑴ 두 삼각형 ABC, DBC는 정삼각형이고 BÕMÓ=CÕM이
BCÓ⊥AÕM,Ó BCÓ⊥DÕMÓ
따라서 BCÓ는 두 선분 AM, DM을 모두 포함하는 평면 AMD와 수직이다.
∴ BCÓ⊥(평면 AMD)
⑵ BCÓ⊥(평면 AMD)이므로 BCÓ는 평면 AMD 위의 모든 직선과 수직이다.
이때 ADÓ는 평면 AMD에 포함되므로
BCÓ⊥ADÓ
172 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
D
B
M
C
필수예제
04 직선과 평면의 평행과 수직
더 다양한 문제는 RPM 기하 77쪽
공간에서 서로 다른 세 직선 l, m, n과 서로 다른 두 평면 a, b에 대하여 다음 보기의 설
명 중 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
보기
ㄱ. lm이고 mn이면 ln이다.
ㄴ. l⊥m이고 m⊥n이면 ln이다.
ㄷ. ma이고 mb이면 ab이다.
ㄹ. l⊥m이고 ma이면 l⊥a이다.
정육면체의 모서리를 직선으로, 면을 평면으로 생각하면 다음 그림과 같다.
풀이
ㄱ.
ㄴ. [반례]
l
ㄷ. [반례]
ㄹ. [반례]
m
m
n
m
l
l
a
a
n
m
b
l⊥m, m⊥n이지만
ma, mb이지만
l⊥m, ma이지만
l⊥n이다.
a⊥b이다.
la이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.
ㄱ. lm, mn이면 ln이다.
다른풀이
ㄴ, ㄷ, ㄹ. 반례는 순서대로 다음과 같다.
m
m
l
l
m
a
n
KEY
Point

b
a
직선과 평면의 위치 관계는 직육면체(또는 정육면체)를 이용한다.
⇨ 모서리는 직선, 면은 평면으로 생각하여 주어진 직선과 평면의 평행, 수직 관계를 확인해 본다.
확인
체크
187 공간에서 서로 다른 두 직선 l, m과 서로 다른 두 평면 a, b에 대하여 다음 보기의 설명 중
옳지 않은 것만을 있는 대로 고르시오.
보기
ㄱ. l⊥a이고 m⊥a이면 lm이다.
ㄴ. l⊥a이고 l⊥b이면 ab이다.
ㄷ. la이고 ma이면 lm이다.
1. 공간도형
173
필수예제
05 두 직선이 이루는 각
더 다양한 문제는 RPM 기하 78쪽
A
오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 다음 두 직선이 이루는 각의 크
기를 구하시오.
B
⑴ 직선 EB와 직선 CG
⑵ 직선 EB와 직선 AC
⑶ 직선 AD와 직선 EB
D
C
E
H
F
G
⑴ CGê BFê이므로 직선 EB와 직선 CG가 이루는 각의 크기는 직선 EB와 직선 BF가 이루는 각의 크
풀이
기와 같다.
이때 BFÓ=EFÓ, ∠BFE=90ù에서 삼각형 BEF는 직각이등변삼각형이므로 ∠EBF=45ù
따라서 직선 EB와 직선 CG가 이루는 각의 크기는 45ù이다.
⑵A
Cê EGê이므로 직선 EB와 직선 AC가 이루는 각의 크기는 직선 EB와 직선 EG가 이루는 각의
크기와 같다.
이때 BEÓ=EGÓ=GBÓ에서 삼각형 BEG는 정삼각형이므로 ∠BEG=60ù
따라서 직선 EB와 직선 AC가 이루는 각의 크기는 60ù이다.
⑶ ADê EHê이므로 직선 AD와 직선 EB가 이루는 각의 크기는 직선 EH와 직선 EB가 이루는 각의
크기와 같다.
이때 EHê⊥(평면 ABFE)이므로 직선 EH는 평면 ABFE 위의 모든 직선과 수직이다.
즉, EHê⊥EBê이므로 ∠BEH=90ù
따라서 직선 AD와 직선 EB가 이루는 각의 크기는 90ù이다.
KEY
Point

꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각의 크기를 구하는 경우
⇨ 한 직선을 평행이동하여 두 직선이 만나도록 하고 만나는 두 직선이 이루는 각의 크기를 생각한다.

확인
체크
직선 l이 평면 a와 수직이면 직선 l은 평면 a 위의 모든 직선과 수직이다.
188 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 다음 두 직선이 이루는 각의 크기
를 구하시오.
D
A
⑴ 직선 AF와 직선 BG
⑵ 직선 AG와 직선 CF
B
H
E
189 오른쪽 그림의 정육면체에서 직선 DF와 직선 HE가 이루는 각의 크
기를 h라 할 때, cos`h의 값을 구하시오.
C
G
F
D
A
C
B
H
E
174 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
G
F
04
삼수선의 정리
1. 공간도형
개념원리 이해
1. 삼수선의 정리
필수예제 6, 7
공간에서 직선과 평면의 수직 관계에 대하여 다음이 성립하고, 이를 삼수선의 정리라 한다.
평면 a 위에 있지 않은 점 P, 평면 a 위의 점 O, 점 O를 지나지 않는 a 위의 직선 l, 직선 l 위
의 점 H에 대하여
⑴ POÓ⊥a, OHÓ⊥l이면 PHÓ⊥l
⑵ POÓ⊥a, PHÓ⊥l이면 OHÓ⊥l
⑶ PHÓ⊥l, OHÓ⊥l, POÓ⊥OHÓ이면 POÓ⊥a
P
⑴
l
a
H
O
P
⑵
l
a
H
P
⑶
O
l
a
O
H
세 직각 중 두 개만 직각이면 다른 하나는 자동적으로 직각이다. 즉, POÓ⊥a, OHÓ⊥l, PHÓ⊥l 중에서 어느 두 개의 수직
관계가 성립하면 나머지 한 개의 수직 관계도 성립한다.
증명
⑴ POÓ⊥a이고 직선 l은 평면 a 위에 있으므로 POÓ⊥l이다. P
또, OHÓ⊥l이므로 직선 l은 POÓ와 OHÓ를 포함하는 평면 PHO에 수직이다.
이때 PHÓ는 평면 PHO 위에 있으므로 PHÓ⊥l이다.
l
H
a
⑵ POÓ⊥a이고 직선 l은 평면 a 위에 있으므로 POÓ⊥l이다.
O
P
또, PHÓ⊥l이므로 직선 l은 POÓ와 PHÓ를 포함하는 평면 PHO에 수직이다.
이때 OHÓ는 평면 PHO 위에 있으므로 OHÓ⊥l이다.
l
H
a
⑶ PHÓ⊥l, OHÓ⊥l이므로 직선 l은 PHÓ와 OHÓ를 포함하는 평면 PHO에 수직이다.
O
P
이때 POÓ는 평면 PHO 위에 있으므로 POÓ⊥l이다.
또, POÓ⊥OHÓ이므로 POÓ는 OHÓ와 직선 l을 포함하는 평면 a에 수직이다.
즉, POÓ⊥a이다.
l
a
H
O
1. 공간도형
175
필수예제
06 삼수선의 정리
더 다양한 문제는 RPM 기하 79쪽
오른쪽 그림과 같이 평면 a 위에 있지 않은 한 점 P에서 평면
P
5
a에 내린 수선의 발을 O, 점 O에서 평면 a 위의 직선 AB에
때, 선분 AH의 길이를 구하시오.
2
O
A
내린 수선의 발을 H라 하자. OPÓ=2, OHÓ=2'3, APÓ=5일
213
B
H
a
설명두 개의 수직 관계가 주어지면 삼수선의 정리를 이용하여 수직인 두 직선을 찾는다.
오른쪽 그림과 같이 선분 PH를 그으면 직각삼각형 PHO에서
풀이
P
PHÓ="Ã2Û`+(2'3 )Û`=4
5
A
이때 POÓ⊥a이고 OHÓ⊥ABÓ이므로 삼수선의 정리에 의하여
PHÓ⊥ABÓ
따라서 직각삼각형 PAH에서
213
B
H
a
2
O
AHÓ="Ã5Û`-4Û`=3
KEY
Point

P
삼수선의 정리
⑴ POÓ⊥a, OHÓ⊥l이면 PHÓ⊥l
⑵ POÓ⊥a, PHÓ⊥l이면 OHÓ⊥l
⑶ PHÓ⊥l, OHÓ⊥l, POÓ⊥OHÓ이면 POÓ⊥a
확인
체크
l
O
H
a
190 오른쪽 그림과 같이 평면 a 위에 있지 않은 한 점 P에서 평면 a에
P
내린 수선의 발을 O, 점 O에서 평면 a 위의 직선 AB에 내린 수
선의 발을 H라 하자. OPÓ=4, OHÓ=3, AHÓ='7일 때, 선분
PA의 길이를 구하시오.
4
A
17
a
191 오른쪽 그림과 같이 평면 a 위에 있지 않은 한 점 P에서 평면 a에
A
선의 발을 Q라 하자. APÓ=4'2, ∠PAQ=60ù, ∠PQO=45ù일
176 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
3
B
O
P
412
내린 수선의 발을 O, 점 O에서 평면 a 위의 직선 AB에 내린 수
때, 선분 OQ의 길이를 구하시오.
H
a
60ù
Q
45ù O
B
필수예제
07 삼수선의 정리의 활용
더 다양한 문제는 RPM 기하 80쪽
오른쪽 그림의 직육면체에서 ADÓ=1, AEÓ=DCÓ=2이다. 점 D
에서 선분 EG에 내린 수선의 발을 I라 할 때, 선분 DI의 길이를
2
D
1
C
A
B
구하시오.
2
H
G
I
E
설명
삼수선의 정리에 의하여 HIÓ⊥EGÓ
풀이
DHÓ⊥(평면 EFGH), DIÓ⊥EGÓ이므로 삼수선의 정리에 의하여 HIÓ⊥EGÓ
직각삼각형 HEG에서 EGÓ="Ã2Û`+1Û`='5
1
2'5
;2!;_'5_HIÓ=;2!;_1_2 ∴ HIÓ=
5
따라서 직각삼각형 DHI에서
KEY
Point

2
H
이때 삼각형 HEG에서 ;2!;_EGÓ_HIÓ=;2!;_HEÓ_HGÓ
DIÓ=¾¨2Û`+{
F
15
I
E
G
2'5 Û 2'3Œ0
}`=
5
5
삼수선의 정리의 활용
① 공간에서 직선과 직선 또는 직선과 평면의 수직 조건이 주어지면 삼수선의 정리를 이용하여 다른 수직 관
계를 찾는다.
② 삼수선의 정리로부터 직각삼각형이 만들어지면 피타고라스 정리를 이용하여 선분의 길이를 구한다.
확인
체크
192 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체에서 선분 EF
의 중점을 M, 꼭짓점 D에서 선분 MG에 내린 수선의 발을 I라 할
때, 선분 HI의 길이를 구하시오.
4
D
A
C
B
H
G
I
E
193 오른쪽 그림의 직육면체에서 ABÓ=AEÓ=1, ADÓ=2이다. 점 D
에서 선분 EG에 내린 수선의 발을 I라 하고 ∠DIH의 크기를 h
라 할 때, sin`h의 값을 구하시오.
F
M
D
C
2
B
A
1
E
1
H
G
I
F
1. 공간도형
177
05
두 평면이 이루는 각의 크기
1. 공간도형
개념원리 이해
1. 이면각
필수예제 8
⑴ 평면 위의 한 직선은 그 평면을 두 부분으로 나누는데, 그 각각을 반평면이라 한다.
⑵ 오른쪽 그림과 같이 직선 l을 공유하는 두 반평면 a, b로 이루어진
b
도형을 이면각이라 한다. 이때 직선 l을 이면각의 변, 두 반평면 a, b
B
를 각각 이면각의 면이라 한다.
l
⑶ 이면각의 변 l 위의 한 점 O를 지나고 직선 l에 수직인 두 반직선
O
A
a
OA, OB를 각각 두 반평면 a, b 위에 그을 때, ∠AOB의 크기는
점 O의 위치에 관계없이 일정하다. 이 각의 크기를 이면각의 크기라 한다.
2. 두 평면이 이루는 각
필수예제 8
서로 다른 두 평면이 만나면 [그림 1]과 같이 네
b
b
개의 이면각이 생기는데, 이 중에서 크기가 크
지 않은 한 이면각의 크기를 두 평면이 이루는
각의 크기라 한다.
h
a
a
특히, [그림 2]와 같이 두 평면 a, b가 이루는
각이 직각일 때 두 평면 a, b는 서로 수직이라
하고, 이것을 기호로 a⊥b와 같이 나타낸다.
[그림 1]
[그림 2]
두 평면이 이루는 각의 크기를 h라 하면 0ùÉhÉ90ù이다.
예
오른쪽 정육면체에서 두 평면 ABCD, AFGD의 교선 AD에 대하여
ADÓ⊥ABÓ, ADÓ⊥AFÓ이고, ∠BAF=45ù이다.
따라서 두 평면 ABCD, AFGD가 이루는 각의 크기는 45ù이다.
D
A
B
H
E
178 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
C
G
F
3. 두 평면의 수직에 대한 정리
⑴ 평면 a에 수직인 직선 l을 포함하는 평면을 b라 하면 a⊥b이다.
⑵ 두 평면 a, b가 서로 수직일 때, 평면 b 위의 한 점 A에서 두 평면 a, b의 교선에 내린 수
선의 발을 O라 하면 AOÓ⊥a이다.
⑶ 평면 a에 수직인 두 평면 b, c가 만날 때, 그 교선을 l이라 하면 l⊥a이다.
증명
⑴오른쪽 그림과 같이 두 평면 a, b의 교선을 m이라 하고 직선 l과 평면 a의 교점을 O
b
l
라 하자.
평면 a 위에 점 O를 지나고 직선 m에 수직인 직선 n을 그으면
l⊥m, n⊥m
a
n
m
O
즉, 두 평면 a, b가 이루는 각의 크기는 두 직선 l, n이 이루는 각의 크기와 같다.
이때 l⊥a이고 직선 n은 평면 a에 포함되므로
l⊥n
따라서 a⊥b이다.
⑵오른쪽 그림과 같이 두 평면 a, b의 교선을 m이라 하고, 평면 a 위에 점 O를 지나고
b
A
직선 m에 수직인 직선 OB를 그으면
AOÓ⊥m, BOÓ⊥m
그런데 a⊥b이므로 AOÓ⊥BOÓ
a
B
m
O
따라서 AOÓ는 평면 a 위에서 만나는 두 직선 m, OB와 각각 수직이므로
AOÓ⊥a
⑶오른쪽 그림과 같이 두 평면 a, b와 두 평면 a, c의 교선을 각각 m, n이라 하고, 두 평
각각 Q, R라 하자.
⑵에 의하여 PQÓ⊥b, PRÓ⊥c이므로
PQÓ⊥l, PRÓ⊥l
l
b
면 b, c 위에 있지 않은 평면 a 위의 한 점 P에서 두 교선 m, n에 내린 수선의 발을
Q
a
m
c
R
P
n
따라서 직선 l은 평면 a 위에서 만나는 두 직선 PQ, PR와 각각 수직이므로
l⊥a
1. 공간도형
179
필수예제
08 이면각의 크기
더 다양한 문제는 RPM 기하 80쪽
오른쪽 그림과 같은 정사면체에서 평면 ABC와 평면 BCD가 이
A
루는 각의 크기를 h라 할 때, cos`h의 값을 구하시오.
D
B
C
설명이면각의 크기를 구할 때는 다음 순서에 따른다.
Ú 교선을 찾는다.
Û 교선에서 수직으로 뻗어나간 두 직선을 찾는다.
h
Ü 두 직선이 이루는 각의 크기를 구한다.
풀이
오른쪽 그림과 같이 BCÓ의 중점을 M이라 하면
A
AÕM⊥
Ó BCÓ, DÕM⊥
Ó BCÓ yy`㉠
평면 ABC와 평면 BCD가 이루는 각의 크기는 AÕM과
Ó DÕMÓ이 이루는 각의
크기와 같다. D
B
∴ ∠AMD=h
h
M
한편, 두 삼각형 ABC, BCD는 합동인 정삼각형이므로 AÕMÓ=DÕMÓ
H
C
점 A에서 삼각형 BCD에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼수선의 정리에 의하여
HÕM⊥
Ó BCÓ yy`㉡
㉠, ㉡에서 점 H는 선분 DM 위에 있다.
같은 방법으로 점 H는 점 B에서 선분 CD에 내린 수선 위에 있다.
즉, 점 H는 삼각형 BCD의 무게중심이므로
HÕMÓ=;3!; DÕM=
Ó ;3!; AÕMÓ
따라서 직각삼각형 AMH에서
cos`h=
확인
체크
HÕMÓ
=;3!;
AÕMÓ
194 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체에서 평면
DEG와 평면 EFGH가 이루는 각의 크기를 h라 할 때, cos`h의 값
을 구하시오.
D
C
A
H
G
F
E
195 오른쪽 그림과 같이 ABÓ=BCÓ=2인 직육면체가 있다. 평면 ABCD
와 평면 BDE가 이루는 각의 크기가 60ù일 때, 선분 AE의 길이를 구
4
B
D
A
하시오.
C
2
B
G
H
E
180 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
2
F
정답과 풀이 88쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
154 공간에서 서로 다른 두 직선 l, m과 서로 다른 세 평면 a, b, c에 대하여 다
음 중 옳지 않은 것을 모두 고르면? (정답 2개)
① la, a⊥b이면 lb이다.
② l⊥a, lm이면 m⊥a이다.
③ l⊥a, lb이면 a⊥b이다.
④ a⊥c, b⊥c이면 ab이다.
직육면체(또는 정육면체)
를 이용하여 확인해 본다.
⑤ l⊥a, ab이면 l⊥b이다.
155 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 두 선분 AC, BD의
M
D
교점을 M이라 할 때, 직선 FH와 직선 EM이 이루는
A
B
각의 크기를 구하시오.
H
G
E
F
156 오른쪽 그림과 같이 평면 a 위에 있지 않은 한 점 P
P
삼수선의 정리를 이용하여
수직인 두 직선을 찾은 후
PQÓ, OQÓ의 길이를 구한다.
14
에서 평면 a에 내린 수선의 발을 O, 점 O에서 평면
A
a 위의 직선 AB에 내린 수선의 발을 Q라 하자.
OPÓ=8, AQÓ=4'6, APÓ=14이고, ∠PQO=h라
C
416
a
8
h
O
Q
B
할 때, cos`h의 값을 구하시오.
[ 평가원기출 ]
157 오른쪽 그림과 같이 평면 a 위에 넓이가 24인 삼각
P
형 ABC가 있다. 평면 a 위에 있지 않은 점 P에서
선의 발을 Q라 하자. 점 H가 삼각형 ABC의 무게
C
A
평면 a에 내린 수선의 발을 H, 직선 AB에 내린 수
a
Q
H
B
중심이고, PHÓ=4, ABÓ=8일 때, 선분 PQ의 길이는?
④ 2'6
⑤ '2Œ6
158 오른쪽 그림과 같은 정사면체에서 ADÓ의 중점을 M이
A
① 3'2
② 2'5
③ '2Œ2
라 하고, 평면 ABC와 평면 MBC가 이루는 각의 크
기를 h라 할 때, cos`h의 값을 구하시오.
두 평면이 이루는 각의 크기
⇨ 두 직선이 이루는 각의
크기로 변형한다.
M
D
B
C
1. 공간도형
181
정답과 풀이 89쪽
연습문제
STEP
2
159 오른쪽 그림과 같이 두 평면 a, b는 서로 수직이
a
m
고 두 직선 m, n은 각각 두 평면 a, b 위에 있다.
두 직선 m, n이 두 평면 a, b의 교선인 직선 l 위
의 점 P에서 만나고, 직선 l과 이루는 각의 크기
는 각각 60ù, 45ù이다. 두 직선 m, n이 이루는 각
P 60ù
45ù
b
l
n
의 크기를 h라 할 때, cos`h의 값을 구하시오.
160 오른쪽 그림과 같은 사면체에서 OAÓ⊥OBÓ, OBÓ⊥OCÓ,
C
OCÓ⊥OAÓ이고, OAÓ='3, OBÓ=1, OCÓ=2일 때,
2
삼각형 ABC의 넓이는?
①
'1Œ3
2
④ '1Œ3
②2
⑤ '1Œ9
③
'1Œ9
2
B
O
13
1
A
161 오른쪽 그림과 같은 사면체에서 평면 ABC와 평면
A
삼수선의 정리를 이용하여
사면체의 높이를 구한다.
BCD가 이루는 각의 크기는 60ù이고 두 삼각형
ABC, BCD의 넓이는 각각 18`cmÛ`, 15`cmÛ`이다.
BCÓ=6`cm일 때, 이 사면체의 부피를 구하시오.
B
6 cm
D
60ù
C
실력
162 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 6인 정육면체에
서 두 점 P, Q는 각각 BDÓ, AGÓ 위에 있고, PQÓ는 BDÓ
D
A
와 AGÓ에 각각 수직이다. 이때 선분 PQ의 길이를 구하
시오.
실력
163
H
E
Q
C
P
B
6
G
F
[ 수능기출 ]
좌표공간에 서로 수직인 두 평면 a와 b가 있다. 평면 a 위의 두 점 A, B에
대하여 ABÓ=3'5이고 직선 AB는 평면 b에 평행하다. 점 A와 평면 b 사이
의 거리가 2이고, 평면 b 위의 점 P와 평면 a 사이의 거리는 4일 때, 삼각형
PAB의 넓이를 구하시오.
182 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
P는 ACÓ와 BDÓ의 교점
점
이다.
06
정사영
1. 공간도형
개념원리 이해
1. 정사영
필수예제 9
⑴ 정사영
한 점 P에서 평면 a에 내린 수선의 발을 P'이라 할 때, 점 P'을 점 P의 평면 a 위로의 정사영
이라 한다.
⑵ 도형 F에 속하는 각 점의 평면 a 위로의 정사영으로 이루어진 도형을 F'이라 할 때, F'을
도형 F의 평면 a 위로의 정사영이라 한다.
P
P
P
P'
a
P'
F
F
F
P
F'
P'
P'
F'
F'
① 정사영(正射影)은 빛을 평면에 수직으로 비추었을 때 생기는 그림자를 의미하며 영어로 orthogonal projection이
라 한다.
② 직선이 평면 a와 수직이면 이 직선의 평면 a 위로의 정사영은 한 점이다.
또, 다각형을 포함하는 평면이 평면 a와 수직이면 이 다각형의 평면 a 위로의 정사영은 선분이다.
③ 일반적으로 평면 위로의 정사영에서 점의 정사영은 점이고, 직선의 정사영은 직선 또는 한 점이다.
또, 다각형의 정사영은 다각형 또는 선분이고, 구의 정사영은 원이다.
예
D
오른쪽 정육면체에서
⑴ 점 A의 평면 EFGH 위로의 정사영은 점 E이다.
A
⑵ 대각선 AG의 평면 EFGH 위로의 정사영은 선분 EG이다.
C
B
H
E
G
F
2. 정사영의 길이
⑴직선과 평면이 이루는 각
직선 l과 평면 a가 수직이 아닐 때, 직선 l의 평면 a 위로의 정사영을
l'이라 하자. 이때 두 직선 l, l'이 이루는 각을 직선 l과 평면 a가 이루
는 각이라 한다.
l
a
l'
특히, la일 때 직선 l과 평면 a가 이루는 각의 크기는 0ù이고,
l⊥a일 때 직선 l과 평면 a가 이루는 각의 크기는 90ù이다.
1. 공간도형
183
개념원리 이해
⑵ 정사영의 길이
선분 AB의 평면 a 위로의 정사영을 선분 A'B'이라 하고, 직선 AB와
B
평면 a가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
A
AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`h
h
a
A'
B'
설명
보충학습 1 참조
예
길이가 8인 선분 AB의 평면 a 위로의 정사영을 선분 A'B'이라 할 때, 직선 AB와 평면 a
가 이루는 각의 크기가 60ù이면
AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`60ù=8_;2!;=4
3. 정사영의 넓이
필수예제 10, 11
평면 b 위에 있는 도형의 넓이를 S, 이 도형의 평면 a 위로의 정사영의
넓이를 S'이라 할 때, 두 평면 a, b가 이루는 각의 크기를
h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
S
b
h
S'=S`cos`h
S' a
설명
보충학습 2 참조
예
두 평면 a, b가 이루는 각의 크기가 30ù이고 평면 b 위의 도형의 넓이가 10일 때, 이 도형의
평면 a 위로의 정사영의 넓이는
10_cos`30ù=10_
KEY
Point

'3
=5'3
2
정사영은 어떤 물체를 위에서 보았을 때 생기는 그림자의 모습과 같으며 원래 물체의 길이 또는
넓이의 cos`h 배이다.
184 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
보충학습
1. 정사영의 길이
선분 AB의 평면 a 위로의 정사영을 선분 A'B'이라 하고, 직선 AB와 평면 a가 이루는 각의 크기
를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면 AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`h가 성립함을 증명해 보자.
증명 1 AÕA'Ó⊥a, BÕB'Ó⊥a이므로 AÕA'Ó BÕB'Ó
B
또, 점 A에서 직선 BB'에 내린 수선의 발을 C라 하면
h
A
사각형 AA'B'C는 직사각형이므로
AÕ'B'Ó=ACÓ, AÕ'B'ÓACÓ ∴ ∠BAC=h
a
h
O
C
B'
A'
즉, 삼각형 ABC에서 ACÓ=ABÓ`cos`h이므로
AÕ'B'Ó=ABÓ`Ó cos`h yy`㉠
한편, 직선 AB와 평면 a가 평행하거나 수직인 경우에도 ㉠이 성립한다.
증명 2 두 직선 AB, A'B'의 교점을 O라 하면
OÕA'Ó=OAÓ`cos`h, OÕB'Ó=OBÓ`cos`h
∴ AÕ'B'Ó=OÕB'Ó-OÕA'Ó=(OBÓ-OAÓ) cos`h=ABÓ`cos`h
참고
Ú h=0ù일 때, ABÓa이므로 AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`0ù=ABÓ
때, 선분 AB의 평면 a 위로의 정사영은 한 점이므로 AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`90ù=0
Û h=90ù일
2. 정사영의 넓이
삼각형 ABC의 평면 a 위로의 정사영을 삼각형 A'B'C'이라 하고, 삼각형 ABC와 평면 a가 이루
는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하자. 이때 두 삼각형 ABC, A'B'C'의 넓이를 각각 S, S'이라
하면 S'=S`cos`h가 성립함을 증명해 보자.
증명
오른쪽 그림과 같이 변 BC와 평면 a가 평행한 경우에 변 BC를 포
A
함하고 평면 a와 평행한 평면을 b, 점 A에서 변 BC에 내린 수선
의 발을 H, 직선 AA'과 평면 b의 교점을 A"이라 하면 삼수선의
AÕ"HÓ⊥ BCÓ
Û AÕA"Ó⊥b, AHÓ⊥BCÓ
따라서 ∠AHA"=h이므로
S'=△A'B'C'=△A"BC
H
b
정리에 의하여
=;2!;_BCÓ_AÕ"HÓ=;2!;_BCÓ_AHÓ`cos`h
A''
B
h
C
A'
B'
a
H'
C'
Û AÕ"HÓ=AHÓ`cos`h
이고 S=;2!;_BCÓ_AHÓ이므로
S'=S`cos`h
yy`㉠
한편, 변 BC와 평면 a가 평행하지 않은 경우에도 ㉠이 성립하고, 평면 ABC와 평면 a가 평
행하거나 수직인 경우에도 ㉠이 성립한다.
1. 공간도형
185
개념원리
익히기
생각해 봅시다!
196 다음  안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 선분 AB의 평면 a 위로의 정사영을 선분 A'B'이라 하고, 직선 AB와 평
면 a가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
=
`cos`h
⑵ 평면 b 위에 있는 도형의 넓이를 S, 이 도형의 평면 a 위로의 정사영의 넓
이를 S'이라 할 때, 두 평면 a, b가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)
라 하면
=
`cos`h
197 오른쪽 그림과 같은 정육면체에 대하여 다음을 구하시오.
⑴ 선분 AC의 평면 AEHD 위로의 정사영
D
A
B
⑵ 선분 DC의 평면 BFGC 위로의 정사영
E
F
198 선분 AB의 평면 a 위로의 정사영을 선분 A'B'이라 하고, 직선 AB와 평면
a가 이루는 예각의 크기를 h라 할 때, 다음을 구하시오.
⑴ ABÓ=10, h=45ù일 때, 선분 A'B'의 길이
⑵ h=60ù, AÕ'B'Ó=8일 때, 선분 AB의 길이
⑶ ABÓ=4, AÕ'B'Ó=2'3일 때, cos`h의 값
199 두 평면 a, b가 이루는 각의 크기가 30ù이고 평면 b 위에 반지름의 길이가
'3인 원이 있을 때, 이 원의 평면 a 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.
186 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
정사영
⇨ 꼭짓점에서 평면에 내린
수선의 발을 생각한다.
G
H
⑶ 선분 DF의 평면 EFGH 위로의 정사영
⑷ 삼각형 AFD의 평면 EFGH 위로의 정사영
C
AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`h
필수예제
09 정사영의 길이
오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2인 정육면체에서 선분
2
D
C
AF의 평면 DHFB 위로의 정사영의 길이를 구하시오.
A
B
G
H
F
E
설명
먼저 선분 AF의 평면 DHFB 위로의 정사영을 찾는다.
풀이
오른쪽 그림과 같이 BDÓ의 중점을 M이라 하면 2
D
C
M
AÕM⊥
Ó (평면 DHFB)
A
즉, AFÓ의 평면 DHFB 위로의 정사영은 MFÓ이다.
B
이때 직각삼각형 FBM에서
G
H
FBÓ=2, BÕMÓ=;2!; BDÓ=;2!;_2'2='2
E
F
∴ MFÓ=¿¹2Û`+('2 )Û`='6
확인
체크
200 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 6인 정사면체에서 모서리
A
AD의 평면 BCD 위로의 정사영의 길이를 구하시오.
6
D
B
C
201 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체에서 모서리
BF의 중점을 M이라 할 때, 선분 DM의 평면 DHGC 위로의 정사
영의 길이를 구하시오.
4
D
A
C
B
H
G
M
F
E
1. 공간도형
187
필수예제
10 정사영의 넓이
더 다양한 문제는 RPM 기하 82쪽
오른쪽 그림과 같이 밑면의 지름의 길이가 12인 원기둥을 원기둥의
밑면과 30ù의 각을 이루는 평면으로 자른 단면이 타원일 때, 이 타원
의 넓이를 구하시오.
12
단면인 타원의 원기둥의 밑면을 포함한 평면 위로의 정사영은 원기둥의 밑면이다.
풀이
타원의 넓이를 S라 하면 원기둥의 밑면의 넓이는 p_6Û`=36p이므로
S`cos`30ù=36p,
'3
S=36p
2
∴ S=24'3p
KEY
Point

평면 b 위에 있는 도형의 넓이를 S, 이 도형의 평면 a 위로의 정사영의 넓이를
S'이라 할 때, 두 평면 a, b가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
⇨ S'=S`cos`h`
확인
체크
b
S
h
S'
a
202 두 평면 a, b가 이루는 각의 크기가 60ù일 때, 평면 a 위에 있는 한 변의 길이가 2인 정삼각
형의 평면 b 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.
203 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 6인 정사각형을 밑면으로 하는 직
육면체를 밑면과 45ù의 각을 이루는 평면으로 잘랐을 때, 잘린 단면의
D
C
A
B
넓이를 구하시오.
G
H
E
188 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
6
F
필수예제
11 정사영의 활용
더 다양한 문제는 RPM 기하 83쪽
A
오른쪽 그림과 같이 밑면이 정사각형이고 옆면이 모두 합동인
이등변삼각형으로 이루어진 사각뿔에서 다음을 구하시오.
6
⑴ 삼각형 ABC의 평면 BCDE 위로의 정사영의 넓이
⑵ 평면 ABC와 평면 BCDE가 이루는 각의 크기를 h라 할 때,
B
cos`h의 값
풀이
6
E
D
4
C
⑴ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 사각형 BCDE에 내린 수선의 발을 H
A
라 하면 점 H는 사각형 BCDE의 두 대각선의 교점이므로 삼각형 ABC
6
의 평면 BCDE 위로의 정사영은 삼각형 HBC이다.
∴ △HBC=;4!;  BCDE=;4!;_4Û`=4
E
H
6
M
4
C
B
⑵ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 M이라 하면
D
BÕMÓ=CÕM=
Ó 2
또, 삼각형 ABM은 직각삼각형이므로 AÕMÓ="Ã6Û`-2Û`=4'2
∴ △ABC=;2!;_4_4'2=8'2
이때 삼각형 ABC의 평면 BCDE 위로의 정사영이 삼각형 HBC이므로
△HBC=△ABC`cos`h에서
4=8'2`cos`h ∴ cos`h=
확인
체크
'2
4
=
4
8'2
204 오른쪽 그림의 직육면체에서 ABÓ=ADÓ=2, AEÓ=3이다. 평면
AFC와 평면 EFGH가 이루는 각의 크기를 h라 할 때, cos`h의 값을
D
2
A
H
E
205 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2인 정육면체에서 모서리 BF
의 중점을 K라 하고 평면 CEK와 평면 EFGH가 이루는 각의 크기
를 h라 할 때, cos`h의 값을 구하시오.
B
2
구하시오.
3
C
G
F
D
2
A
H
K
E
206 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체에서 두 모서리
AD, FG의 중점을 각각 M, N이라 하자. 평면 ABCD와 평면
D
A
4
C
B
H
G
F
M
CMEN이 이루는 각의 크기를 h라 할 때, cos`h의 값을 구하시오.
C
B
E
G
F
1. 공간도형
N
189
정답과 풀이 90쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
164 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2인 정육면체
2
D
에서 직선 DF와 평면 AEHD가 이루는 각의 크기를 h
C
A
라 할 때, cos`h의 값을 구하시오.
B
H
G
E
165 오른쪽 그림과 같이 평면 a 위에 있는 한 변의 길이
F
A
D
a
가 6인 정사각형 ABCD의 평면 b 위로의 정사영
B
을 사각형 A'B'C'D'이라 하자. 두 평면 a, b가 이
A'
루는 각의 크기는 30ù이고 직선 BC가 평면 b와 평
직선 DF와 평면 AEHD
가 이루는 각을 찾는다.
C
B'
b
D' 30ù
C'
행할 때, 사각형 A'B'C'D'의 둘레의 길이를 구하시오.
166 오른쪽 그림과 같이 밑면이 한 변의 길이가 2인 정
O
사각형이고 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ=a인 사각뿔에
서 평면 OAB와 평면 ABCD가 이루는 각의 크기
가 45ù일 때, a의 값을 구하시오.
a
D
C
A
2
167 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2인 정육면체에
서 CGÓ, DHÓ의 중점을 각각 M, N이라 하자. 이때 사각
B
2
D
B
A
형 AEFB의 평면 NEFM 위로의 정사영의 넓이를 구
N
하시오.
H
E
C
M
G
F
168 오른쪽 그림과 같이 구 모양의 애드벌룬이 지면 위에
그림자의 정사영은 구의 중
심을 지나는 단면인 원이다.
떠 있다. 태양 광선이 지면과 이루는 각의 크기가 60ù
일 때, 이 애드벌룬의 그림자의 넓이는 6'3p`mÛ`이다.
이때 애드벌룬의 반지름의 길이를 구하시오.
60ù
지면
190 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
정답과 풀이 91쪽
STEP
2
169 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 선분 BD와 평면
D
AHGB가 이루는 각의 크기를 h라 할 때, sin`h의 값을
C
A
선분 BD의 평면 AHGB
위로의 정사영을 이용한다.
B
구하시오.
G
H
E
F
170 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 1인 정팔면체
A
에서 모서리 AB와 평면 BCDE가 이루는 각의 크기를
1
E
구하시오.
D
B
C
F
171 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2인 정사면
A
체에서 ADÓ의 중점을 M이라 하자. 이때 삼각형
2
BCM의 평면 BCD 위로의 정사영의 넓이를 구하시
오.
M
D
B
C
[ 교육청기출 ]
172 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 4인 정사각형
O
을 밑면으로 하고 OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ=2'5
P
인 정사각뿔 O-ABCD가 있다. 두 선분 OA,
AB의 중점을 각각 P, Q라 할 때, 삼각형 OPQ의
D
A
평면 OCD 위로의 정사영의 넓이는?
① ;2!;
② ;4#;
③1
④ ;4%;
Q
B
⑤ ;2#;
173 오른쪽 그림과 같이 ADÓ=DCÓ=2, AEÓ=5인 직육면체
에서 CGÓ를 3`:`2로 내분하는 점을 P라 할 때, 삼각형
C
2
D
A
2
C
B
GHF의 평면 PHF 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.
P
5
E
H
G
F
1. 공간도형
191
정답과 풀이 93쪽
실력
174 오른쪽 그림과 같이 두 평면 a, b가 이루는 각의 크기
는 30ù이고 평면 a 위에 있는 선분 AB와 두 평면 a,
30ù
b의 교선이 이루는 각의 크기는 45ù이다. ABÓ=4이
4
45ù
A
B a
생각해 봅시다!
A'
고 선분 AB의 평면 b 위로의 정사영을 선분 A'B'이
B' b
라 할 때, 선분 A'B'의 길이를 구하시오.
175 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 8인 정사면
A
체에서 모서리 BC의 중점을 M, 모서리 BD의 중점
8
을 N이라 할 때, 사각형 CDNM의 평면 AMN 위
N
B
로의 정사영의 넓이를 구하시오.
D
M
C
[ 평가원기출 ]
176 오른쪽 그림과 같이 ABÓ=9, BCÓ=12,
'3
인 사면체 ABCD에 대하여
3
점 A의 평면 BCD 위로의 정사영을 P라 하고 점 A
A
cos (∠ABC)=
에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 Q라 하자.
'3
일 때 삼각형 BCP의 넓이는
6
k이다. kÛ`의 값을 구하시오.
D
B
삼각형 BCP는 삼각형
ABC의 평면 BCD 위로
의 정사영이다.
P
Q
C
cos (∠AQP)=
177 밑면의 넓이가 12p이고 높이가 5인 원기둥 모양의 컵에 높이가 3만큼 물이
채워져 있다. 이 컵을 물이 쏟아지기 직전까지 최대로 기울였을 때, 수면의
넓이를 구하시오. (단, 컵의 두께는 생각하지 않는다.)
5
3
192 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
⇨
컵을 기울이면 한쪽 수면이
올라온 만큼 반대쪽 수면이
내려간다.
Ⅲ
공간도형과 공간좌표
1. 공간도형
2. 공간좌표
01
공간에서의 점의 좌표
2. 공간좌표
개념원리 이해
1. 좌표공간과 공간좌표
⑴ 좌표공간
z
오른쪽 그림과 같이 세 수직선을 각각의 원점에서 서로 직교하도록
긋고, 그 교점을 O라 하자. 이때 세 수직선을 각각 x축, y축, z축이
yz평면
zx평면
라 하고, 이 세 축을 좌표축이라 한다.
O
이와 같이 좌표축이 정해진 공간을 좌표공간이라 하고, 점 O를 좌표
공간의 원점이라 한다.
또, x축과 y축을 포함하는 평면을 xy평면, y축과 z축을 포함하는 평면
y
xy평면
x
을 yz평면, z축과 x축을 포함하는 평면을 zx평면이라 하고, 이 세 평면을 좌표평면이라 한다.
⑵ 공간좌표
좌표공간에 있는 한 점 P에 대응하는 세 실수의 순서쌍 (a, b, c)를
z
점 P의 공간좌표 또는 간단히 좌표라 하고, 점 P의 좌표가 (a, b, c)
c
P(a, b, c)
일 때, 이것을 기호로
P(a, b, c)
x
와 같이 나타낸다.
a
O
b
y
이때 a, b, c를 차례대로 점 P의 x좌표, y좌표, z좌표라 한다.
좌표공간에서 좌표축 또는 좌표평면 위의 점의 좌표는 다음과 같이 나타낸다.
원점: (0, 0, 0), x축 위의 점: (a, 0, 0), y축 위의 점: (0, b, 0), z축 위의 점: (0, 0, c)
xy평면 위의 점: (a, b, 0), yz평면 위의 점: (0, b, c), zx평면 위의 점: (a, 0, c)
설명
⑵ 수직선에서의 점의 위치는 하나의 실수로 된 좌표로 나타낼 수 있고, 평면에서의 점의 위치는 두 실수의 순서쌍으로
된 좌표로 나타낼 수 있다.
이제 공간에서의 점의 위치를 나타내는 방법에 대하여 알아보자.
오른쪽 그림과 같이 좌표공간에 있는 한 점 P를 지나면서 yz평면, zx평면, xy평면에
z
평행한 평면이 x축, y축, z축과 만나는 점을 각각 A, B, C라 하자.
cC
O
P(a, b, c)
B
b y
O
(0, b, 0)
y
세 점 A, B, C의 x축, y축, z축 위에서의 좌표를 각각 a, b, c라 할 때, 점 P에 대응하
는 세 실수의 순서쌍 (a, b, c)가 하나로 정해진다.
A
a
x
역으로, 세 실수의 순서쌍 (a, b, c)가 주어지면 x축, y축, z축 위에서의 좌표가 각각
a, b, c인 점 P가 하나로 정해진다.
따라서 공간에 있는 한 점 P와 세 실수의 순서쌍 (a, b, c)는 일대일로 대응한다.
참고
z
오른쪽 그림과 같이 xy평면 위에 있는 점의 z좌표는 모두 0이므로 xy평면을
z=0으로 나타낼 수 있다.
마찬가지로 yz평면은 x=0, zx평면은 y=0으로 나타낼 수 있다.
(a, 0, 0)
x
194 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
(a, b, 0)
z
오른쪽 그림과 같이 좌표공간에 놓인 직육면체에서 x축, y축, z축 위
예
3C
의 세 점 A, B, C의 좌표는 각각
R
(2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3)
(2, 1, 3)
1
y
B
O
xy평면, yz평면, zx평면 위의 세 점 P, Q, R의 좌표는 각각
2
A
(2, 1, 0), (0, 1, 3), (2, 0, 3)
P
x
2. 수선의 발의 좌표
Q
필수예제 1
좌표공간의 점 (a, b, c)에 대하여
⑴ 좌표축에 내린 수선의 발
① x축 ⇨ (a, 0, 0)
② y축 ⇨ (0, b, 0)
③ z축 ⇨ (0, 0, c)
② yz평면 ⇨ (0, b, c)
③ zx평면 ⇨ (a, 0, c)
⑵ 좌표평면에 내린 수선의 발
① xy평면 ⇨ (a, b, 0)
좌표공간의 점에서 좌표평면에 내린 수선의 발은 그 점의 좌표평면 위로의 정사영과 같다.
설명
보충학습 3 참조
3. 대칭인 점의 좌표
필수예제 2
좌표공간의 점 (a, b, c)와 좌표축, 좌표평면, 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표는 다음과 같다.
⑴ 좌표축에 대하여 대칭인 점
① x축 ⇨ (a, -b, -c)
z
② y축 ⇨ (-a, b, -c)
③ z축 ⇨ (-a, -b, c)
yz평면 (-a, b, c)
zx평면
(a, -b, c)
⑵ 좌표평면에 대하여 대칭인 점
O
① xy평면 ⇨ (a, b, -c)
② yz평면 ⇨ (-a, b, c)
③ zx평면 ⇨ (a, -b, c)
P(a, b, c)
y
xy평면
x
(a, b, -c)
⑶ 원점에 대하여 대칭인 점 ⇨ (-a, -b, -c)
설명
보충학습 4 참조
예
좌표공간에서 점 P(-2, 1, 3)에 대하여
xy평면에 대하여 대칭인 점의 좌표 ⇨ (-2, 1, -3)
yz평면에 대하여 대칭인 점의 좌표 ⇨ (2, 1, 3)
zx평면에 대하여 대칭인 점의 좌표 ⇨ (-2, -1, 3)
원점에 대하여 대칭인 점의 좌표 ⇨ (2, -1, -3)
2. 공간좌표
195
개념원리 이해
보충학습
1. 좌표평면에서 x축, y축은 평면을 4개의 부분으로 나눈다. 반면, 좌표공간에서 xy평면, yz평면,
zx평면은 공간을 8개의 부분으로 나눈다.
2. xy평면은 z축에 수직, yz평면은 x축에 수직, zx평면은 y축에 수직이다.
z
z
z
yz평면
xy평면
O
O
y
y
y
O
zx평면
x
x
x
3. 오른쪽 그림과 같이 좌표공간의 점 P(a, b, c)를 한 꼭짓점으로 하
z
cC
는 직육면체를 이용하여 점 P에서 좌표축 또는 좌표평면에 내린 수
선의 발의 좌표를 구해 보자.
E
P(a, b, c)
B
y
b
F
O
⑴ 점 P에서 x축, y축, z축에 내린 수선의 발을 각각 A, B, C라
하면
A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)
A
a
D
x
⑵ 점 P에서 xy평면, yz평면, zx평면에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라 하면
D(a, b, 0), E(0, b, c), F(a, 0, c)
4. 좌표공간의 점 P(a, b, c)와 좌표축 또는 좌표평면 또는 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표를 직
육면체를 이용하여 구해 보자.
⑴ 오른쪽 그림과 같이 점 P와 x축, y축, z축에 대하여 대칭인 점을 각
z
C
각 A, B, C라 하면
A(a, -b, -c)
B(-a, b, -c)
C(-a, -b, c)
Û y좌표, z좌표의 부호가 반대
b
a
A
E(-a, b, c)
F(a, -b, c)
Û x좌표의 부호가 반대
Û y좌표의 부호가 반대
F
O
P
a
b
y
D
x
z
c
Û 모든 좌표의 부호가 반대
P
a
G
x
196 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
E
c
⑶ 오른쪽 그림과 같이 점 P와 원점에 대하여 대칭인 점을 G라 하면
G(-a, -b, -c)
y
z
인 점을 각각 D, E, F라 하면
Û z좌표의 부호가 반대
B
x
⑵ 오른쪽 그림과 같이 점 P와 xy평면, yz평면, zx평면에 대하여 대칭
D(a, b, -c)
P
O
Û x좌표, z좌표의 부호가 반대
Û x좌표, y좌표의 부호가 반대
c
O
b
y
익히기
개념원리
생각해 봅시다!
207 다음 그림에서 세 점 P, Q, R의 좌표를 각각 구하시오.
z
⑴
2
P
x
4
Q
R
O
y
R
Q
z
c
3
P
3
공간좌표
z
⑵
2
P(a, b, c)
-1
y
O
x
x
z
⑶
5
Q
-3
Q
-2
R
O
3
O
b
y
z
⑷
P
a
y
2R
P
y
O
x
x
208 점 P(2, -1, -4)에서 다음에 내린 수선의 발의 좌표를 구하시오.
⑴ x축
⑵ y축
⑶ z축
⑷ xy평면
⑸ yz평면
⑹ zx평면
209 오른쪽 그림의 직육면체에서 다음 점의 좌표를 구하
z
5
시오.
P
⑴ 점 P를 x축에 대하여 대칭이동한 점 P'
⑵ 점 Q를 zx평면에 대하여 대칭이동한 점 Q'
⑶ 점 R를 원점에 대하여 대칭이동한 점 R'
R
O
4
3
Q
y
x
2. 공간좌표
197
필수예제
01 좌표공간에서의 수선의 발
더 다양한 문제는 RPM 기하 90쪽
점 P(2, 3, 5)에서 z축에 내린 수선의 발을 A(a, 0, b), xy평면에 내린 수선의 발을
B(2, c, d)라 할 때, a+b+c+d의 값을 구하시오.
풀이
점 P에서 z축에 내린 수선의 발 A의 좌표는 (0, 0, 5)이므로
z
a=0, b=5
A5
점 P에서 xy평면에 내린 수선의 발 B의 좌표는 (2, 3, 0)이므로
P(2, 3, 5)
c=3, d=0
2
∴ a+b+c+d=0+5+3+0=8
3
O
y
B
x
필수예제
02 좌표축 또는 좌표평면에 대하여 대칭인 점의 좌표
더 다양한 문제는 RPM 기하 90쪽
점 P(3, 2, -4)와 x축에 대하여 대칭인 점을 Q, 점 Q와 zx평면에 대하여 대칭인 점을
R라 할 때, 점 R의 좌표를 구하시오.
풀이
점 P(3, 2, -4)와 x축에 대하여 대칭인 점 Q의 좌표는
(3, -2, 4)
점 Q(3, -2, 4)와 zx평면에 대하여 대칭인 점 R의 좌표는
(3, 2, 4)
확인
체크
210 점 P(-1, 5, 6)과 원점에 대하여 대칭인 점에서 xy평면에 내린 수선의 발의 좌표를 구하
시오.
211 오른쪽 그림의 직육면체에서 꼭짓점 B의 좌표는 (a, 6, 4), 꼭짓점
z
D
A와 y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-2, 0, b)일 때, a-b의
C
A
값을 구하시오.
B
O
x
198 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
E
F
G
y
02
두 점 사이의 거리
2. 공간좌표
개념원리 이해
1. 두 점 사이의 거리
필수예제 3
좌표공간에서 두 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª) 사이의 거리는
ABÓ=¿¹(xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`+(zª-zÁ)Û`
특히, 원점 O와 점 A(xÁ, yÁ, zÁ) 사이의 거리는
OAÓ=¿¹xÁÛ`+yÁÛ`+zÁÛ`
① 좌표평면에서 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª) 사이의 거리는 ABÓ="Ã(xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`
② 두 점 A, B가 xy평면 위에 있을 때는 z좌표가 0이므로 두 점 A, B 사이의 거리는 "Ã(xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`
설명
좌표공간에서 두 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª) 사이의 거리를 구해 보자.
직선 AB가 각 좌표평면과 평행하지 않을 때, 오른쪽 그림과 같이 선분
z
zª
AB를 대각선으로 하고 모든 면이 세 좌표평면에 평행한 직육면체를 만
들면
B
zÁ
CDÓ=|xª-xÁ|, ACÓ=|yª-yÁ|, BDÓ=|zª-zÁ|
D
피타고라스 정리에 의하여
ABÓ Û`=ADÓ Û`+BDÓ Û`=(CDÓ Û`+ACÓ Û`)+BDÓ Û`
=(xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`+(zª-zÁ)Û`
따라서 좌표공간에서 두 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª) 사이의 거리는
xª
O
A
yÁ
C
yª
y
xÁ
x
ABÓ="Ã(xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`+(zª-zÁ)Û`
예
다음 두 점 사이의 거리를 구하시오.
⑴ A(2, 5, -3), B(3, -3, 1)
⑵ O(0, 0, 0), A(0, -2, 4)
풀이
⑴ ABÓ="Ã(3-2)Û`+(-3-5)Û`+(1+3)Û`=9
⑵ OAÓ="Ã0Û`+(-2)Û`+4Û`=2'5
2. 공간좌표
199
필수예제
03 공간에서의 두 점 사이의 거리
더 다양한 문제는 RPM 기하 90쪽
다음 물음에 답하시오.
⑴ 점 P(2, 1, 3)과 xy평면에 대하여 대칭인 점을 Q, z축에 대하여 대칭인 점을 R라 할
때, 선분 QR의 길이를 구하시오.
⑵ 세 점 A(3, 5, 1), B(4, 3, 2), C(1, 3, 5)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 넓이
를 구하시오.
⑴ 점 P(2, 1, 3)에 대하여 Q(2, 1, -3), R(-2, -1, 3)이므로
풀이
QRÓ="Ã(-2-2)Û`+(-1-1)Û`+(3+3)Û`=2'1Œ4
⑵ ABÓ="Ã(4-3)Û`+(3-5)Û`+(2-1)Û`='6
ACÓ="Ã(1-3)Û`+(3-5)Û`+(5-1)Û`=2'6
BCÓ="Ã(1-4)Û`+(3-3)Û`+(5-2)Û`=3'2
이때 ACÓ Û`=ABÓ Û`+BCÓ Û`이므로 삼각형 ABC는 ACÓ를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.
∴ △ABC=;2!;_ABÓ_BCÓ=;2!;_'6_3'2=3'3
KEY
Point
확인
체크

좌표공간에서 두 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª) 사이의 거리
⇨ ABÓ=¿¹(xª-xÁ)Û`+(yª-yÁ)Û`+(zª-zÁ)Û`
212 세 점 A(0, 1, 2), B(2k, -1, 0), C(-1, 2, k+1)에 대하여 ABÓ=2ACÓ일 때, k의 값을
구하시오.
213 점 P(2, 3, 1)에서 xy평면 위의 직선 y=x에 내린 수선의 발을 Q라 할 때, 선분 PQ의 길
이를 구하시오.
214 점 P(1, 1, 1)과 xy평면, yz평면, zx평면에 대하여 대칭인 점을 각각 A, B, C라 할 때,
삼각형 ABC의 넓이를 구하시오.
200 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
필수예제
04 같은 거리에 있는 점
더 다양한 문제는 RPM 기하 91쪽
다음 물음에 답하시오.
⑴ 두 점 A(2, -1, 3), B(4, 5, 3)에서 같은 거리에 있는 x축 위의 점 P의 좌표를 구
하시오.
⑵ 두 점 A(-1, -2, -1), B(-2, -3, 1)과 xy평면 위의 점 C에 대하여 삼각형
ABC가 정삼각형이 되도록 하는 점 C의 좌표를 모두 구하시오.
설명⑴ x축 위의 점은 y좌표, z좌표가 모두 0이므로 (x, 0, 0)으로 놓을 수 있다.
⑵ xy평면 위의 점은 z좌표가 0이므로 (x, y, 0)으로 놓을 수 있다.
풀이
⑴ 점 P가 x축 위에 있으므로 P(x, 0, 0)이라 하자.
APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로
(x-2)Û`+1Û`+(-3)Û`=(x-4)Û`+(-5)Û`+(-3)Û`
xÛ`-4x+14=xÛ`-8x+50, 4x=36 ∴ x=9
∴ (9, 0, 0)
⑵ 점 C가 xy평면 위에 있으므로 C(x, y, 0)이라 하자.
이때 삼각형 ABC가 정삼각형이 되려면
ABÓ=BCÓ=ACÓ, 즉 ABÓ Û`=BCÓ Û`=ACÓ Û`이어야 한다.
ABÓ Û`=BCÓ Û`에서
(-2+1)Û`+(-3+2)Û`+(1+1)Û`=(x+2)Û`+(y+3)Û`+(-1)Û`
∴ xÛ`+yÛ`+4x+6y+8=0 yy`㉠
또, BCÓ Û`=ACÓ Û`에서
(x+2)Û`+(y+3)Û`+(-1)Û`=(x+1)Û`+(y+2)Û`+1Û`
∴ y=-x-4 yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면
xÛ`+3x=0, x(x+3)=0 ∴ x=0 또는 x=-3
㉡에서 x=0일 때 y=-4, x=-3일 때 y=-1
∴ (0, -4, 0), (-3, -1, 0)
확인
체크
215 두 점 A(3, -4, 1), B(-2, 5, 3)에서 같은 거리에 있는 z축 위의 점 P의 좌표를 구하
시오.
216 세 점 A(1, 2, 1), B(-1, 0, 1), O(0, 0, 0)에서 같은 거리에 있는 yz평면 위의 점 P의
좌표를 (a, b, c)라 할 때, a+b+c의 값을 구하시오.
217 두 점 A(1, 1, 2), B(2, -1, 3)과 zx평면 위의 점 C에 대하여 삼각형 ABC가 정삼각형
일 때, 점 C의 좌표를 모두 구하시오.
2. 공간좌표
201
필수예제
05 좌표평면 위로의 정사영
더 다양한 문제는 RPM 기하 92쪽
두 점 A(1, -1, 2), B(4, 3, 7)에 대하여 다음을 구하시오.
⑴ 선분 AB의 xy평면 위로의 정사영의 길이
⑵ 직선 AB와 xy평면이 이루는 예각의 크기를 h라 할 때, cos`h의 값
① 두 점 A, B의 xy평면 위로의 정사영은 두 점 A, B에서 xy평면에 내린 수선의 발과 같다.
설명
② 점 (a, b, c)에서 xy평면, yz평면, zx평면에 내린 수선의 발은 각각 (a, b, 0), (0, b, c), (a, 0, c)이다.
⑴ 오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B의 xy평면 위로의 정사영을 각각 A', B'
풀이
B
이라 하면
A
A'(1, -1, 0), B'(4, 3, 0)
따라서 선분 AB의 xy평면 위로의 정사영은 선분 A'B'이므로 구하는
정사영의 길이는
AÕ'B'Ó="Ã(4-1)Û`+(3+1)Û`+0Û` =5
h
xy평면
A'
B'
⑵ ABÓ, AÕ'B'Ó의 길이를 각각 구하면
ABÓ="Ã(4-1)Û`+(3+1)Û`+(7-2)Û` =5'2, AÕ'B'Ó=5
이때 직선 AB와 xy평면이 이루는 예각의 크기가 h이므로
AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`h에서 5=5'2`cos`h
∴ cos`h=
KEY
Point
'2
5
=
2
5'2

점의 정사영 ⇨ 평면에 내린 수선의 발과 같다.

두 점 A, B의 xy평면 위로의 정사영을 각각 A', B'이라 하고, 직선 AB와 xy평면이 이루는 각의 크기를
h`(0ùÉhÉ90ù)라 할 때
⇨ AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`h임을 이용한다.
확인
체크
218 두 점 A(3, 2, -1), B(5, -4, 2)에 대하여 선분 AB의 xy평면, yz평면, zx평면 위로
의 정사영의 길이를 각각 구하시오.
219 두 점 A(6, -1, 2), B(3, 2, 5)에 대하여 직선 AB와 yz평면이 이루는 예각의 크기를 h
라 할 때, cos`h의 값을 구하시오.
220 두 점 A('2, 1, 3), B(0, 4, k)에 대하여 직선 AB와 zx평면이 이루는 각의 크기가 60ù
일 때, k의 값을 모두 구하시오.
202 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
필수예제
06 선분의 길이의 합의 최솟값
더 다양한 문제는 RPM 기하 92쪽
다음 물음에 답하시오.
⑴ 두 점 A(2, 4, 1), B(-2, -3, 2)와 xy평면 위의 점 P에 대하여 APÓ+BPÓ의 최
솟값을 구하시오.
⑵ 두 점 A(-2, 3, 1), B(4, 1, 5)와 yz평면 위의 점 P에 대하여 APÓ+BPÓ의 최솟값
을 구하시오.
설명두 점 A, B가 주어진 좌표평면을 기준으로 같은 쪽에 있는지 서로 반대쪽에 있는지 확인한다.
① xy평면이 기준일 때, 두 점의 z좌표의 부호 확인 )
② yz평면이 기준일 때, 두 점의 x좌표의 부호 확인 } ⇨ 확인한 좌표의 부호가 [
③ zx평면이 기준일 때, 두 점의 y좌표의 부호 확인 0
같으면 ⇨ 같은 쪽에 있다.
다르면 ⇨ 서로 반대쪽에 있다.
⑴ 두 점 A, B의 z좌표의 부호가 같으므로 두 점은 좌표공간에서 xy평면을
풀이
B(-2, -3, 2)
A(2, 4, 1)
기준으로 같은 쪽에 있다.
이때 오른쪽 그림과 같이 점 B와 xy평면에 대하여 대칭인 점을 B'이라
하면 B'(-2, -3, -2)
즉, BPÓ=BÕ'PÓ이므로
P
xy평면
APÓ+BPÓ=APÓ+BÕ'PÓ
B'(-2, -3, -2)
¾AÕB'Ó
="Ã(-2-2)Û`+(-3-4)Û`+(-2-1)Û`
='7Œ4
따라서 구하는 최솟값은 '7Œ4이다.
⑵ 두 점 A, B의 x좌표의 부호가 다르므로 두 점은 좌표공간에서 yz평면을
B(4, 1, 5)
기준으로 서로 반대쪽에 있다.
APÓ+BPÓ¾ABÓ
="Ã(4+2)Û`+(1-3)Û`+(5-1)Û`
P
yz평면
=2'1Œ4
A(-2, 3, 1)
따라서 구하는 최솟값은 2'1Œ4이다.
KEY
Point
확인
체크
두 점 A, B가 주어진 좌표평면을 기준으로 같은 쪽에 있는지 서로 반대쪽에 있는지 확인한다.

같은 쪽에 있으면 ⇨ 점 A와 좌표평면에 대하여 대칭인 점을 A'이라 할 때, 최솟값은 AÕ'BÓ의 길이

서로 반대쪽에 있으면 ⇨ 최솟값은 ABÓ의 길이
221 두 점 A(2, 2, 4), B(4, 5, -3)과 yz평면 위의 점 P에 대하여 APÓ+BPÓ의 최솟값을 구
하시오.
222 두 점 A(3, 0, 4), B(-3, 0, 2)와 x축 위의 점 P에 대하여 APÓ+BPÓ의 최솟값을 구하
시오.
2. 공간좌표
203
정답과 풀이 94쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
178 점 A와 yz평면에 대하여 대칭인 점을 B, 점 B와 z축에 대하여 대칭인 점을
C라 하자. 점 C의 좌표가 (3, -4, 6)일 때, 점 A의 좌표를 구하시오.
179 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 각각 3, 2
인 두 정육면체를 꼭짓점 F와 두 모서리가 겹쳐지
D
④ '3Œ8
② '3Œ4
E
⑤ 2'1Œ0
K
J
I
H
P
③6
점 H를 원점으로 하는 좌
표공간을 생각한다.
B L
A
도록 놓았다. 이때 두 점 A, N 사이의 거리는?
① 4'2
C
3
N
G
F 2
M
[ 교육청기출 ]
180 좌표공간의 점 P(3, 5, 4)에서 xy평면에 내린 수선의 발을 H라 하자. xy평
면 위의 한 직선 l과 점 P 사이의 거리가 4'2일 때, 점 H와 직선 l 사이의
거리는?
①3
② '1Œ0
③ 2'3
④ '1Œ5
⑤4
181 좌표공간의 두 점 A(1, 2, 1), B(2, 3, -1)과 xy평면 위의 점 C(a, b, c)
에 대하여 삼각형 ABC가 정삼각형일 때, a-b+c의 값을 구하시오.
(단, a>b)
182 좌표공간의 두 점 A(1, 4, 3), B(3, 1, 9)에 대하여 직선 AB와 zx평면이
이루는 예각의 크기를 h라 할 때, sin`h의 값을 구하시오.
183 두 점 A(2, 3, 1), B(4, 1, a)와 yz평면 위의 점 P에 대하여 APÓ+BPÓ의
최솟값이 2'1Œ4일 때, 양수 a의 값은?
①4
②5
204 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
③ 4'2
④6
⑤ 5'2
두 점 A, B가 yz평면을 기
준으로 같은 쪽에 있는지
서로 반대쪽에 있는지 확인
한다.
정답과 풀이 95쪽
STEP
2
184 오른쪽 그림과 같이 각 모서리가 좌표축에 평
z
A
행한 직육면체에서 D(3, 7, 6), F(5, 1, 4)
B
일 때, 대각선의 AG의 길이는?
①6
④ 2'1Œ1
② '3Œ7
⑤ '4Œ7
E
F(5, 1, 4) O
③ 2'1Œ0
D(3, 7, 6)
C
H
G
y
x
185 실수 t에 대하여 두 점 P, Q의 좌표가 각각 (t, 1-t, 1+t),
(2, -2+t, 6-t)일 때, PQÓ의 길이의 최솟값을 구하시오.
186 좌표공간의 두 점 A(1, 4, 0), B(4, 8, a)에 대하여 직선 AB가 xy평면과
이루는 각의 크기가 45ù일 때, 선분 AB의 zx평면 위로의 정사영의 길이를
구하시오. (단, a>0)
두 점 A, B의 xy평면 위로
의 정사영을 각각 A', B'이
라 하면
AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`45ù
[ 교육청기출 ]
187 오른쪽 그림과 같이 ABÓ=ACÓ=5, BCÓ=2'7인
P
삼각형 ABC가 xy평면 위에 있고, 점 P(1, 1, 4)
의 xy평면 위로의 정사영 Q는 삼각형 ABC의
B
Q
무게중심과 일치한다. 점 P에서 직선 BC까지의
xy평면
거리는?
① 3'2
② '1Œ9
③ 2'5
④ '2Œ1
A
C
⑤ '2Œ2
188 두 점 A(1, 3, 2), B(2, 1, -1)과 yz평면 위의 점 P, xy평면 위의 점 Q에
대하여 APÓ+PQÓ+QBÓ의 최솟값을 구하시오.
실력
189 세 점 A(2, 1, 3), B(2, 4, 3), C(4, 4, 1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형
ABC와 xy평면이 이루는 예각의 크기를 구하시오.
2. 공간좌표
205
03
선분의 내분점과 외분점
2. 공간좌표
개념원리 이해
1. 선분의 내분점과 외분점
필수예제 7, 8
좌표공간의 두 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª)에 대하여
⑴ 선분 AB를 m`:`n`(m>0, n>0)으로 내분하는 점 P의 좌표는
{
mxª+nxÁ myª+nyÁ mzª+nzÁ
,
,
}
m+n
m+n
m+n
⑵ 선분 AB를 m`:`n`(m>0, n>0, m+n)으로 외분하는 점 Q의 좌표는
{
mxª-nxÁ myª-nyÁ mzª-nzÁ
,
,
}
m-n
m-n
m-n
⑶ 선분 AB의 중점 M의 좌표는
{
xÁ+xª yÁ+yª zÁ+zª
,
,
}
2
2
2
설명
보충학습 1 참조
예
두 점 A(4, 1, -3), B(1, -2, 3)에 대하여 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P와 외분하
는 점 Q 및 중점 M의 좌표를 각각 구하시오.
풀이
P{
2_1+1_4 2_(-2)+1_1 2_3+1_(-3)
,
,
} ∴ P(2, -1, 1)
2+1
2+1
2+1
Q{
2_1-1_4 2_(-2)-1_1 2_3-1_(-3)
,
,
} ∴ Q(-2, -5, 9)
2-1
2-1
2-1
M{
4+1 1-2 -3+3
,
,
} ∴ M{;2%;, -;2!;, 0}
2
2
2
2. 삼각형의 무게중심
필수예제 9
좌표공간의 세 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª), C(x£, y£, z£)을 꼭짓점으로 하는 삼각형
ABC의 무게중심 G의 좌표는
{
xÁ+xª+x£ yÁ+yª+y£ zÁ+zª+z£
,
,
}
3
3
3
설명
보충학습 2 참조
예
세 점 A(1, 1, 2), B(-1, 2, 3), C(0, 3, 1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심
G의 좌표를 구하시오.
풀이
G{
1-1+0 1+2+3 2+3+1
,
,
} ∴ G(0, 2, 2)
3
3
3
206 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
보충학습
1. 선분의 내분점과 외분점
좌표공간의 두 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª)에 대하여 선분
z
AB를 m`:`n`(m>0, n>0)으로 내분하는 점 P의 좌표
(x, y, z)를 구해 보자.
A
세 점 A, B, P의 xy평면 위로의 정사영을 각각 A', B', P'이라
A'(xÁ, yÁ, 0), B'(xª, yª, 0), P'(x, y, 0)
이고
yÁ
O
하면
xÁ
x
n
m P
B
y
yª
A'
P'
xª
x
y
B'
AÕ'P'Ó`:`PÕ'B'Ó=APÓ`:`PBÓ=m`:`n
따라서 xy평면 위에서 점 P'은 선분 A'B'을 m`:`n으로 내분하는 점이므로
mxª+nxÁ
myª+nyÁ
x=
, y=
m+n
m+n
같은 방법으로 세 점 A, B, P의 yz평면 또는 zx평면 위로의 정사영을 이용하면
mzª+nzÁ
z=
m+n
따라서 선분 AB를 m`:`n으로 내분하는 점 P의 좌표는 다음과 같다.
{
mxª+nxÁ myª+nyÁ mzª+nzÁ
,
,
}
m+n
m+n
m+n
특히, 선분 AB의 중점 M은 선분 AB를 1`:`1로 내분하는 점이므로 점 M의 좌표는 다음과 같다.
{
xÁ+xª yÁ+yª zÁ+zª
,
,
}
2
2
2
마찬가지로 두 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª)에 대하여 선분 AB를
m`:`n`(m>0, n>0, m+n)으로 외분하는 점 Q의 좌표를 구하면 다음과 같다.
{
mxª-nxÁ myª-nyÁ mzª-nzÁ
,
,
}
m-n
m-n
m-n
2. 삼각형의 무게중심
좌표공간의 세 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª), C(x£, y£, z£)을 꼭
짓점으로 하는 삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 M이라 하면
M{
z
B(xª, yª, zª)
xª+x£ yª+y£ zª+z£
,
,
}
2
2
2
2_
¦
∴ {
xª+x£
yª+y£
zª+z£
+1_xÁ 2_
+1_yÁ 2_
+1_zÁ
2
2
2
¥
,
,
2+1
2+1
2+1
1
M
G
y
O
이때 무게중심 G는 선분 AM을 2`:`1로 내분하는 점이므로 점 G의
좌표는
A(xÁ, yÁ, zÁ)
2
x
C(x£, y£, z£)
xÁ+xª+x£ yÁ+yª+y£ zÁ+zª+z£
,
,
}
3
3
3
2. 공간좌표
207
필수예제
07 선분의 내분점과 외분점
더 다양한 문제는 RPM 기하 93쪽
두 점 A(1, -1, 3), B(4, 5, 0)에 대하여 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점을 P, 외분
하는 점을 Q라 할 때, 다음을 구하시오.
⑴ 점 P의 좌표
⑵ 점 Q의 좌표
⑶ 선분 PQ의 중점의 좌표
⑴ ABÓ를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는
풀이
{
2_4+1_1 2_5+1_(-1) 2_0+1_3
,
,
} ∴ (3, 3, 1)
2+1
2+1
2+1
⑵ ABÓ를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는
{
2_4-1_1 2_5-1_(-1) 2_0-1_3
,
,
} ∴ (7, 11, -3)
2-1
2-1
2-1
⑶ PQÓ의 중점의 좌표는
{
KEY
Point
두 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª)에 대하여

선분 AB를 m`:`n`(m>0, n>0)으로 내분하는 점의 좌표
⇨{


mxª+nxÁ myª+nyÁ mzª+nzÁ
,
,
}
m+n
m+n
m+n
선분 AB를 m`:`n`(m>0, n>0, m+n)으로 외분하는 점의 좌표
⇨{
확인
체크
3+7 3+11 1-3
,
,
} ∴ (5, 7, -1)
2
2
2
mxª-nxÁ myª-nyÁ mzª-nzÁ
,
,
}
m-n
m-n
m-n
선분 AB의 중점의 좌표 ⇨ {
xÁ+xª yÁ+yª zÁ+zª
,
,
}
2
2
2
223 두 점 A(1, 1, -3), B(-3, 1, 5)에 대하여 선분 AB를 3`:`1로 내분하는 점을 P, 외분
하는 점을 Q라 할 때, 선분 PQ의 길이를 구하시오.
224 두 점 A(3, -1, 0), B(-3, 2, -1)에 대하여 선분 AB를 k`:`1로 내분하는 점이 yz평
면 위에 있을 때, 양수 k의 값을 구하시오.
225 두 점 A(4, 3, -1), B(a, b, c)에 대하여 선분 AB가 zx평면에 의하여 3`:`2로 내분되
고, y축에 의하여 2`:`1로 외분된다. 이때 a+b+c의 값을 구하시오.
208 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
필수예제
08 선분의 내분점과 외분점의 활용
더 다양한 문제는 RPM 기하 94쪽
네 점 A, B, C, D를 꼭짓점으로 하는 평행사변형 ABCD에서 A(-2, -3, -4),
B(-1, -2, 5)이고 두 대각선의 교점의 좌표가 (0, 2, -3)일 때, 두 점 C, D의 좌표
를 각각 구하시오.
설명
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. ⇨ 평행사변형의 두 대각선의 중점은 일치한다.
사각형 ABCD가 평행사변형이므로 두 대각선 AC, BD의 중점이 일치한다.
풀이
두 점 C, D의 좌표를 각각 (a, b, c), (d, e, f )라 하면
ACÓ의 중점의 좌표는 {
-2+a -3+b -4+c
,
,
}
2
2
2
BDÓ의 중점의 좌표는 {
-1+d -2+e 5+f
,
,
}
2
2
2
이때 ACÓ의 중점이 두 대각선의 교점과 일치하므로
-2+a
-3+b
-4+c
=0,
=2,
=-3 ∴ a=2, b=7, c=-2
2
2
2
또, BDÓ의 중점이 두 대각선의 교점과 일치하므로
5+f
-1+d
-2+e
=-3 ∴ d=1, e=6, f=-11
=0,
=2,
2
2
2
∴ C(2, 7, -2), D(1, 6, -11)
KEY
Point
확인
체크
네 점 A, B, C, D를 꼭짓점으로 하는 사각형 ABCD가

평행사변형일 때 ⇨ 두 대각선의 중점이 일치한다.

마름모일 때 ⇨ 네 변의 길이가 같고, 두 대각선의 중점이 일치한다.
226 네 점 A, B, C, D를 꼭짓점으로 하는 평행사변형 ABCD에서 A(-1, 2, 3),
B(-3, 1, 5), C(2, 4, 5)일 때, 점 D의 좌표를 구하시오.
227 네 점 A, B, C, D를 꼭짓점으로 하는 평행사변형 ABCD에서 B(-3, 2, -4),
C(1, -3, 4)이고 두 대각선의 교점의 좌표가 (0, 4, 3)일 때, 선분 AB의 길이를 구하시오.
228 네 점 A(1, -5, -2), B(a, -1, 3), C(b, 6, 3), D(0, 2, -2)에 대하여 사각형
ABCD가 마름모일 때, ab의 값을 구하시오. (단, a<0)
2. 공간좌표
209
필수예제
09 삼각형의 무게중심
더 다양한 문제는 RPM 기하 94쪽
세 점 A(2, 0, 1), B(0, 1, -2), C(a, b, c)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게
중심의 좌표가 (2, 2, 1)일 때, a+b+c의 값을 구하시오.
(x좌표의 합) (y좌표의 합) (z좌표의 합)
,
,
}
3
3
3
설명
삼각형의 무게중심 ⇨ {
풀이
삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는
{
2+0+a 0+1+b 1-2+c
,
,
}
3
3
3
∴{
a+2 b+1 c-1
,
,
}
3
3
3
이 점이 점 (2, 2, 1)과 일치하므로
b+1
c-1
a+2
=2,
=1
=2,
3
3
3
따라서 a=4, b=5, c=4이므로
a+b+c=13
KEY
Point

세 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª), C(x£, y£, z£)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표
⇨{
확인
체크
xÁ+xª+x£ yÁ+yª+y£ zÁ+zª+z£
,
,
}
3
3
3
229 세 점 A(2, -3, 1), B(4, -1, 2), C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심이
G(3, -2, -1)일 때, 점 C의 좌표를 구하시오.
230 점 P(1, 2, 3)과 xy평면, yz평면, zx평면에 대하여 대칭인 점을 각각 A, B, C라 하자.
이때 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표를 구하시오.
231 세 점 A(-2, 1, 1), B(3, -4, 2), C(5, 3, -6)에 대하여 세 선분 AB, BC, CA를
2`:`1로 내분하는 점을 각각 P, Q, R라 할 때, 삼각형 PQR의 무게중심의 좌표를 구하시오.
210 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
정답과 풀이 96쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
[ 수능기출 ]
190 좌표공간의 두 점 A(1, a, -6), B(-3, 2, b)에 대하여 선분 AB를 3`:`2
로 외분하는 점이 x축 위에 있을 때, a+b의 값은?
① -1
② -2
③ -3
④ -4
x축 위의 점은 y좌표와
z좌표가 모두 0이다.
⑤ -5
191 점 P(1, 2, -1)에서 x축에 내린 수선의 발을 A, yz평면에 내린 수선의 발
을 B라 할 때, 선분 AB의 중점의 좌표를 구하시오.
192 네 점 O(0, 0, 0), A(p, 5, 3), B(-4, q, -2), C(2, 1, r)가 OAÓ와 OCÓ
를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형의 꼭짓점일 때, p+q+r의 값을 구
평행사변형의 두 대각선의
중점은 일치한다.
하시오.
193 세 점 P, Q, R를 꼭짓점으로 하는 삼각형 PQR의 무게중심이 G(2, 2, 1)
이고, 변 PQ의 중점이 M(2, 3, 1)일 때, 점 R의 좌표를 구하시오.
STEP
2
194 점 A(1, 1, 4)와 점 P{1, 2, ;2#;}에 대하여 대칭인 점 A'의 좌표를 (a, b, c)
점 P는 AÕA'Ó의 중점이다.
라 할 때, a-2b-3c의 값을 구하시오.
195 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 2인 정육면체가
있다. 선분 AG를 1`:`m으로 내분하는 점이 삼각형 BDE
D
A
의 무게중심과 일치할 때, 자연수 m의 값을 구하시오.
2
C
B
H
E
G
F
2. 공간좌표
211
04
구의 방정식
2. 공간좌표
개념원리 이해
1. 구
공간에서 한 점 C로부터 일정한 거리에 있는 점 P의 집합을 구라 하고, 점 C를
C
2. 구의 방정식
P
반지름
구의 중심, 선분 CP를 구의 반지름이라 한다.
중심
필수예제 10
⑴ 중심이 점 (a, b, c)이고 반지름의 길이가 r인 구의 방정식은
(x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=rÛ`
⑵ 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r인 구의 방정식은
xÛ`+yÛ`+zÛ`=rÛ`
(x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=rÛ` 을 구의 방정식의 표준형이라 한다.
설명
오른쪽 그림과 같이 점 C(a, b, c)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 구의 방정
z
P(x, y, z)
식을 구해 보자.
r
구 위의 한 점을 P(x, y, z)라 하면 CPÓ=r이므로
"Ã(x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=r
C(a, b, c)
O
양변을 제곱하면
(x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=rÛ` yy`㉠
역으로, 방정식 ㉠ 을 만족시키는 점 P(x, y, z)에 대하여 CPÓ=r이므로 점 P는
x
점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 구 위에 있다.
따라서 ㉠ 은 구하는 구의 방정식이다.
특히, 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r인 구의 방정식은 ㉠에 a=0, b=0, c=0을 대입한 것이므로
xÛ`+yÛ`+zÛ`=rÛ`
예
⑴ 중심이 점 (2, -1, 3)이고 반지름의 길이가 2인 구의 방정식은
(x-2)Û`+(y+1)Û`+(z-3)Û`=4
⑵ 중심이 원점이고 반지름의 길이가 3인 구의 방정식은
xÛ`+yÛ`+zÛ`=9
212 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
y
3. 이차방정식 xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By+Cz+D=0이 나타내는 도형
필수예제 11
이차방정식 xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By+Cz+D=0`(AÛ`+BÛ`+CÛ`-4D>0)은
중심이 점 {-
"ÃAÛ`+BÛ`+CÛ`-4D
A
B
C
인 구를 나타낸다.
, - , - }, 반지름의 길이가
2
2
2
2
① xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By+Cz+D=0`(AÛ`+BÛ`+CÛ`-4D>0)을 구의 방정식의 일반형이라 한다. 즉, 구의 방정식
은 xÛ`, yÛ`, zÛ`의 계수가 모두 같고 xy항, yz항, zx항은 포함하지 않는 x, y, z에 대한 이차방정식이다.
② xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By+Cz+D=0 yy`㉠에서
[
설명
A
B
C
, - , - }를 나타낸다.
2
2
2
AÛ`+BÛ`+CÛ`-4D<0이면 방정식 ㉠을 만족시키는 실수 x, y, z는 존재하지 않는다.
AÛ`+BÛ`+CÛ`-4D=0이면 방정식 ㉠은 한 점 {-
구의 방정식 (x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=rÛ` 을 전개하여 정리하면
xÛ`+yÛ`+zÛ`-2ax-2by-2cz+aÛ`+bÛ`+cÛ`-rÛ`=0
이때 -2a=A, -2b=B, -2c=C, aÛ`+bÛ`+cÛ`-rÛ`=D로 놓으면
xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By+Cz+D=0 yy`㉠
의 꼴로 나타낼 수 있다.
역으로, 방정식 ㉠ 은
{x+
A Û
B
C
AÛ`+BÛ`+CÛ`-4D
}`+{y+ }Û`+{z+ }Û`=
2
2
2
4
로 변형된다.
이때 AÛ`+BÛ`+CÛ`-4D>0이면 방정식 ㉠ 은
중심이 점 {-
예
"ÃAÛ`+BÛ`+CÛ`-4D
A
B
C
, - , - }, 반지름의 길이가
인 구를 나타낸다.
2
2
2
2
방정식 xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+6y-10z+2=0이 나타내는 구의 중심의 좌표와 반지름의 길이
를 구하시오.
풀이
xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+6y-10z+2=0을 완전제곱꼴로 고치면
(xÛ`-4x+4)+(yÛ`+6y+9)+(zÛ`-10z+25)=(4+9+25)-2
∴ (x-2)Û`+(y+3)Û`+(z-5)Û`=6Û`
따라서 중심의 좌표는 (2, -3, 5), 반지름의 길이는 6이다.
다른풀이 중심의 좌표: {-
반지름의 길이:
-4
-10
, -;2^;, } ∴ (2, -3, 5)
2
2
"Ã(-4)Û`+6Û`+(-10)Û`-4_2
=6
2
2. 공간좌표
213
개념원리 이해
보충학습
1. 좌표평면에 접하는 구의 방정식
필수예제 12
중심이 점 C(a, b, c)인 구가
⑴ xy평면에 접할 때, [그림 1]에서
(반지름의 길이)=|중심의 z좌표|=|c| ⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=cÛ`
⑵ yz평면에 접할 때, [그림 2]에서
(반지름의 길이)=|중심의 x좌표|=|a| ⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=aÛ`
⑶ zx평면에 접할 때, [그림 3]에서
(반지름의 길이)=|중심의 y좌표|=|b| ⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=bÛ`
C(a, b, c)
C(a, b, c)
zx평면
|a|
|c|
C(a, b, c)
|b|
xy평면
yz평면
[그림 1]
[그림 2]
[그림 3]
필수예제 12
2. 좌표축에 접하는 구의 방정식
중심이 점 C(a, b, c)인 구가
⑴ x축에 접할 때, [그림 1]에서
(반지름의 길이)="ÃbÛ`+cÛ` ⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=bÛ`+cÛ`
⑵ y축에 접할 때, [그림 2]에서
(반지름의 길이)="ÃaÛ`+cÛ` ⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=aÛ`+cÛ`
⑶ z축에 접할 때, [그림 3]에서
(반지름의 길이)="ÃaÛ`+bÛ` ⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=aÛ`+bÛ`
z
O
x
C(a, b, c)
|c|
y
|b|
[그림 1]
214 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
x
z
z
C(a, b, c)
O
O
y
|b|
|a|
y
|c| |a|
x C(a, b, c)
[그림 2]
[그림 3]
특강
두 구의 위치 관계
2. 공간좌표
1. 두 구의 위치 관계
두 구의 위치 관계는 두 구의 중심 사이의 거리와 두 구의 반지름의 길이의 합, 차의 대소를 비교하
여 알 수 있다.
두 구 O, O'의 반지름의 길이를 각각 r, r'`(r>r'), 중심 사이의 거리를 d라 할 때, 두 구의 위치
관계에 따른 r, r', d 사이의 관계는 다음과 같다.
한 구가 다른 구의 외부에 있다.
r
O
두 구가 외접한다.
r'
O'
d
r
O
r'
O'
r
r'
O d
O'
d>r+r'
d=r+r'
r-r'<d<r+r'
한 구가 다른 구에 내접한다.
한 구가 다른 구의 내부에 있다.
두 구의 중심이 일치한다.
r
O
d
1
r
r'
O
O'
d<r-r'
d=0
O
r'
O'
d=r-r'
특강
d
두 구가 교선이 원이 되게 만난다.
d
O'
두 구의 위치 관계
더 다양한 문제는 RPM 기하 99쪽
두 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`=16, xÛ`+yÛ`+zÛ`+12x-6y+4z+39+k=0이 외접할
때, 상수 k의 값을 구하시오.
풀이
구 xÛ`+yÛ`+zÛ`=16의 중심은 원점이고 반지름의 길이는 4이다.
또, xÛ`+yÛ`+zÛ`+12x-6y+4z+39+k=0에서
(x+6)Û`+(y-3)Û`+(z+2)Û`=10-k
즉, 이 구의 중심의 좌표는 (-6, 3, -2)이고 반지름의 길이는 'Ä10-k이다.
이때 두 구의 중심 사이의 거리는
"Ã(-6)Û`+3Û`+(-2)Û`=7
두 구가 외접하므로 4+'Ä10-k=7
'Ä10-k=3
양변을 제곱하면
10-k=9 ∴ k=1
2. 공간좌표
215
개념원리
익히기
232 다음 방정식이 나타내는 구의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하시오.
생각해 봅시다!
⑴ (x-3)Û`+(y+2)Û`+zÛ`=9
⑵ (x+2)Û`+(y+5)Û`+(z-3)Û`=16
233 다음 구의 방정식을 구하시오.
⑴ 중심이 점 (2, -1, 5)이고 반지름의 길이가 3인 구
⑵ 중심이 원점이고 반지름의 길이가 5인 구
⑶ 중심이 점 (0, 3, -2)이고 원점을 지나는 구
234 다음 방정식이 나타내는 구의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하시오.
⑴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x-4y+6z+2=0
⑵ xÛ`+yÛ`+zÛ`+6x-4y+9=0
중심이 점 (a, b, c)이고
반지름의 길이가 r인 구의
방정식
⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`
+(z-c)Û`=rÛ`
xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By
+Cz+D=0
(AÛ`+BÛ`+CÛ`-4D>0)
⇨ 중심의 좌표:
{-
A
B
C
,- ,- }
2
2
2
반지름의 길이:
"ÃAÛ`+BÛ`+CÛ`-4D
2
235 다음 구의 방정식을 구하시오.
⑴ 중심이 점 (2, -3, 5)이고 xy평면에 접하는 구
⑵ 중심이 점 (-3, 2, 1)이고 z축에 접하는 구
216 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
필수예제
10 구의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 95쪽
다음 구의 방정식을 구하시오.
⑴ 중심이 점 (3, -1, 2)이고 점 (2, 1, -1)을 지나는 구
⑵ 두 점 A(2, 0, 3), B(-2, 4, 1)을 지름의 양 끝 점으로 하는 구
설명⑴ 중심이 점 C이고 점 A를 지나는 구의 반지름의 길이는 CAÓ이다.
⑵ 지름의 양 끝 점을 이은 선분의 중점이 구의 중심이다.
⑴ 구의 반지름의 길이는 두 점 (3, -1, 2), (2, 1, -1) 사이의 거리이므로
풀이
"Ã(2-3)Û`+(1+1)Û`+(-1-2)Û`='1Œ4
따라서 구하는 구의 방정식은
(x-3)Û`+(y+1)Û`+(z-2)Û`=14
⑵ 구의 중심을 C라 하면 점 C는 ABÓ의 중점이므로
C{
2-2 0+4 3+1
,
,
} ∴ C(0, 2, 2)
2
2
2
또, 구의 반지름의 길이는
CAÓ="Ã(2-0)Û`+(0-2)Û`+(3-2)Û`=3
따라서 구하는 구의 방정식은
xÛ`+(y-2)Û`+(z-2)Û`=9
KEY
Point
확인
체크
구의 방정식

중심의 좌표 또는 반지름의 길이가 주어진 경우 ⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=rÛ` 에 대입한다.

두 점 A, B를 지름의 양 끝 점으로 하는 경우 ⇨ 구의 중심이 ABÓ의 중점임을 이용한다.
236 중심이 점 (2, -1, 2)이고 점 (1, 1, 0)을 지나는 구의 방정식을 구하시오.
237 두 점 A(-3, 1, -1), B(1, 3, -3)을 지름의 양 끝 점으로 하는 구의 방정식을 구하
시오.
238 두 점 A(1, 2, -3), B(4, -1, 3)에 대하여 선분 AB를 2：1로 내분하는 점과 외분하는
점을 지름의 양 끝 점으로 하는 구의 방정식을 구하시오.
2. 공간좌표
217
필수예제
11 구의 방정식의 일반형
더 다양한 문제는 RPM 기하 95쪽
네 점 (0, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 0, 0), (2, 3, -1)을 지나는 구의 방정식을 구하시오.
설명구 위의 네 점이 주어지면
⇨ 구의 방정식을 xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By+Cz+D=0이라 하고 네 점의 좌표를 대입한다.
구하는 구의 방정식을 xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By+Cz+D=0이라 하면
풀이
이 구가 두 점 (0, 0, 0), (2, 0, 0)을 지나므로
D=0, 4+2A+D=0 ∴ A=-2
즉, 구의 방정식은 xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x+By+Cz=0
또, 이 구가 두 점 (1, 1, 0), (2, 3, -1)을 지나므로
B=0, 10+3B-C=0 ∴ C=10
따라서 구하는 구의 방정식은
xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x+10z=0
KEY
Point

구 위의 네 점의 좌표가 주어지면
⇨ xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By+Cz+D=0에 대입한다.
확인
체크
239 네 점 (0, 0, 0), (-1, -1, 1), (2, -2, -3), (4, 0, 0)을 지나는 구의 방정식을 구하
시오.
240 중심이 점 (-2, 1, 4)이고 점 (2, 3, 2)를 지나는 구의 방정식이
xÛ`+yÛ`+zÛ`+ax+by+cz+d=0일 때, 상수 a, b, c, d에 대하여 a+b+c+d의 값을
구하시오.
241 방정식 xÛ`+yÛ`+zÛ`-6x+4y+2z-k=0이 구를 나타내도록 하는 정수 k의 최솟값을 구
하시오.
218 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
필수예제
12 좌표평면 또는 좌표축에 접하는 구의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 96, 97쪽
다음 물음에 답하시오.
⑴ 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x+2ay+2z+3=0이 xy평면에 접할 때, 양수 a의 값을 구하시오.
⑵ 점 (1, 5, 4)를 지나고 xy평면, yz평면, zx평면에 동시에 접하는 구의 방정식을 모두
구하시오.
⑴ 구가 xy평면에 접할 때 ⇨ (반지름의 길이)=|중심의 z좌표|
설명
⑵ 세 좌표평면에 동시에 접하는 구의 중심의 좌표를 (a, b, c)라 하면 구의 반지름의 길이는
⇨ |a|=|b|=|c|
⑴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x+2ay+2z+3=0에서
풀이
(x-1)Û`+(y+a)Û`+(z+1)Û`=aÛ`-1
이 구가 xy평면에 접하므로 반지름의 길이는 구의 중심의 z좌표의 절댓값과 같다.
즉, "ÃaÛ`-1=|-1|에서 양변을 제곱하여 정리하면
aÛ`=2 ∴ a='2 (∵ a>0)
⑵ 구가 xy평면, yz평면, zx평면에 동시에 접하고 점 (1, 5, 4)를 지나므로 반지름의 길이를 r라 하면
구의 중심의 좌표는 (r, r, r)
즉, 구의 방정식은 (x-r)Û`+(y-r)Û`+(z-r)Û`=rÛ`
이 구가 점 (1, 5, 4)를 지나므로
(1-r)Û`+(5-r)Û`+(4-r)Û`=rÛ`
rÛ`-10r+21=0, (r-3)(r-7)=0
∴ r=3 또는 r=7
따라서 구하는 구의 방정식은
(x-3)Û`+(y-3)Û`+(z-3)Û`=9, (x-7)Û`+(y-7)Û`+(z-7)Û`=49
KEY
Point

구가 평면에 접할 때
⇨ (중심과 평면 사이의 거리)=(반지름의 길이)
확인
체크
242 중심의 좌표가 (4, k, 5)이고 z축에 접하는 구의 반지름의 길이가 5일 때, 양수 k의 값을
을 구하시오.
243 점 (-3, 2, 5)를 지나고 xy평면, yz평면, zx평면에 동시에 접하는 구는 2개 있다. 이 두
구의 반지름의 길이의 곱을 구하시오.
244 반지름의 길이가 4인 구가 x축, y축, z축에 동시에 접할 때, 이 구의 중심과 원점 사이의 거
리를 구하시오.
2. 공간좌표
219
필수예제
13 구와 평면의 교선의 방정식
더 다양한 문제는 RPM 기하 98쪽
구 xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x-4y+2z-4=0과 xy평면이 만나서 생기는 도형의 넓이를 구하시오.
설명
① 일반적으로 구와 평면이 만나서 생기는 교선은 오른쪽 그림과 같이 원이다.
② 구 (x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=rÛ` 과 xy평면의 교선의 방정식
⇨ 구의 방정식에 z=0을 대입하면 교선인 원의 방정식을 구할 수 있다.
주어진 구의 방정식에 z=0을 대입하면 구와 xy평면의 교선의 방정식은
풀이
xÛ`+yÛ`-2x-4y-4=0 ∴ (x-1)Û`+(y-2)Û`=9
따라서 주어진 구와 xy평면의 교선은 반지름의 길이가 3인 원이므로 구하는 도형의 넓이는
p_3Û`=9p
xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x-4y+2z-4=0에서 (x-1)Û`+(y-2)Û`+(z+1)Û`=10
다른풀이
오른쪽 그림과 같이 구의 중심을 C라 하고 점 C에서 xy평면에 내린 수선의
발을 H, 구와 xy평면의 교선 위의 점을 P라 하면
C(1, 2, -1), H(1, 2, 0)이므로 CPÓ='1Œ0, CHÓ=1
이때 직각삼각형 CPH에서 PHÓ=¿¹('1Œ0)Û`-1Û`=3
따라서 주어진 구와 xy평면의 교선은 반지름의 길이가 3인 원이므로 구하는
P
xy평면
1310
C
1
H
도형의 넓이는
p_3Û`=9p
KEY
Point
구 (x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=rÛ` 에 대하여

xy평면과의 교선의 방정식은 구의 방정식에 z=0을 대입하여 구한다.
⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`=rÛ`-cÛ``(단, rÛ`>cÛ`)

yz평면과의 교선의 방정식은 구의 방정식에 x=0을 대입하여 구한다.
⇨ (y-b)Û`+(z-c)Û`=rÛ`-aÛ``(단, rÛ`>aÛ`)

zx평면과의 교선의 방정식은 구의 방정식에 y=0을 대입하여 구한다.
⇨ (x-a)Û`+(z-c)Û`=rÛ`-bÛ``(단, rÛ`>bÛ`)
확인
체크
245 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`+2x-4y+6z+k=0과 yz평면이 만나서 생기는 원의 반지름의 길이가
3일 때, 상수 k의 값을 구하시오.
246 중심이 점 (3, 6, 5)이고 반지름의 길이가 10인 구가 zx평면과 만나서 생기는 도형의 둘레
의 길이를 구하시오.
247 두 점 (-2, -5, 5), (6, -1, -3)을 지름의 양 끝 점으로 하는 구를 xy평면으로 자를
때 생기는 원의 넓이를 구하시오.
220 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
필수예제
14 구 밖의 한 점에서 구에 그은 선분의 길이
더 다양한 문제는 RPM 기하 98, 99쪽
다음 물음에 답하시오.
⑴ 점 P(-1, 2, 3)에서 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`-6x-2y+4z+5=0에 그은 접선의 길이를
구하시오.
⑵ 점 A(2, 0, 3)과 구 (x-1)Û`+(y-2)Û`+zÛ`=1 위의 점을 이은 선분의 길이의 최댓
값과 최솟값을 구하시오.
설명
구 밖의 한 점에서 구에 그은 접선은 그 접점과 구의 중심을 잇는 반지름에 수직이다.
풀이
⑴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-6x-2y+4z+5=0에서
(x-3)Û`+(y-1)Û`+(z+2)Û`=9
T
3
P(-1, 2, 3)
이므로 이 구의 중심의 좌표는 (3, 1, -2)이고 반지름의 길이는
C(3, 1, -2)
3이다.
오른쪽 그림과 같이 구의 중심을 C, 점 P에서 구에 그은 접선의
접점을 T라 하면
PCÓ="Ã(3+1)Û`+(1-2)Û`+(-2-3)Û`='4Œ2
∴ PTÓ=¿¹ PCÓ Û`-CTÓ Û`=¿¹('4Œ2)Û`-3Û`='3Œ3
⑵ 주어진 구의 중심의 좌표는 (1, 2, 0)이고 반지름의 길이는 1이다.
ACÓ="Ã(1-2)Û`+2Û`+(-3)Û`='1Œ4
1
따라서 직선 AC가 구와 만나는 두 점을 각각 P, Q라 하면
P
선분의 길이의 최댓값은 AQÓ=ACÓ+CQÓ='1Œ4+1

구 밖의 한 점 P에서 중심이 점 C이고 반지름의 길이가 r인 구에 그은 접선의
접점을 T라 하면 삼각형 PCT는 직각삼각형이므로
⇨ PTÓ=¿¹ PCÓ Û`-CTÓ Û`=¿¹ PCÓ Û`-rÛ`
확인
체크
C(1, 2, 0)
A(2, 0, 3)
선분의 길이의 최솟값은 APÓ=ACÓ-CPÓ='1Œ4-1
KEY
Point
Q
1
오른쪽 그림과 같이 구의 중심을 C라 하면
T
r
P
C
248 점 P(1, 3, -'2 )에서 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`-8x-10y+37=0에 그은 접선의 길이를 구하시오.
249 점 A(1, 2, -1)에서 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`+6x+4y+k=0에 그은 접선의 길이가 5일 때, 상
수 k의 값을 구하시오.
250 점 A(-1, 2, 0)과 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`+4x+2y-6z-2=0 위의 점을 이은 선분의 길이의
최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
2. 공간좌표
221
정답과 풀이 98쪽
연습문제
STEP
1
생각해 봅시다!
196 두 점 A(-5, 1, 7), B(1, 1, -2)에 대하여 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점
과 3`:`2로 외분하는 점을 지름의 양 끝 점으로 하는 구의 방정식을 구하시오.
[ 교육청기출 ]
197 좌표공간에서 두 점 A(-1, 1, 2), B(1, 5, -2)를 지름의 양 끝 점으로 하
는 구 S가 있다. 구 S 위의 한 점 C(0, 0, 0)에 대하여 삼각형 ABC의 넓
이는?
① '5
② 2'5
③ 3'5
④ 4'5
⑤ 5'5
198 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`-2kx+4y-10z+4k=0의 부피가 최소가 되도록 하는 실
수 k의 값을 구하시오.
구의 부피가 최소가 되려면
구의 반지름의 길이가 최소
이어야 한다.
199 두 점 (10, 2, 5), (-6, 10, 11)을 지름의 양 끝 점으로 하는 구와 y축의 두
교점을 각각 P, Q라 할 때, 선분 PQ의 길이를 구하시오.
200 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`-10x+6y-8z+k=0을 zx평면으로 자른 단면의 넓이가
24p일 때, 상수 k의 값은?
① 15
② 17
③ 19
④ 21
⑤ 23
201 두 점 A(1, 1, 2), B(3, 5, 6)을 지름의 양 끝 점으로 하는 구를 S라 하자.
점 P(1, -1, -4)에서 구 S 위의 점을 이은 선분의 길이의 최댓값과 최솟
값의 곱을 구하시오.
222 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
zx평면 위의 점의 y좌표는
0이다.
정답과 풀이 99쪽
STEP
2
202 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x+4y-6z-2=0과 직선 l이 두 점 A, B에서 만난다.
선분 AB의 길이가 6일 때, 구의 중심과 직선 l 사이의 거리는?
① '5
② '7
③3
④ '1Œ1
⑤ '1Œ5
203 두 점 A(0, 2, 0), B(0, -3, 0)에 대하여 PAÓ`:`PBÓ=2`:`3을 만족시키는
점 P가 나타내는 도형의 부피를 구하시오.
204 점 (-1, 1, -1)을 지나고 반지름의 길이가 3인 구가 z축과 xy평면에 동시
에 접할 때, 이 구의 중심의 좌표를 (a, b, c)라 하자. 이때 a-b+c의 값을
구하시오.
205 점 P(1, 1, 8)을 지나는 구와 xy평면이 만나서 생기는 도형은 중심이 점
(3, 2, 0)이고 반지름의 길이가 '5인 원이다. 이때 이 구의 반지름의 길이를
구하시오.
중심의 좌표가 (a, b, c)인
구가 z축에 접할 때
⇨ (반지름의 길이)
="ÃaÛ`+bÛ`
구와 xy평면의 교선의 방
정식은 구의 방정식에
z=0을 대입하여 구한다.
206 구 (x-2)Û`+(y-1)Û`+(z-2)Û`=25와 yz평면이 만나서 생기는 원을 밑면
으로 하고, 이 구에 내접하는 원기둥의 부피를 구하시오.
207 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`-8x-6'3y+2'2z+25=0 위의 점 P(a, b, c)에 대하여
aÛ`+bÛ`+cÛ`의 최솟값을 구하시오.
2. 공간좌표
223
정답과 풀이 100쪽
실력
생각해 봅시다!
208 두 구
구
xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x+4y-2z+2=0,
(x-a)Û`+(y-b)Û`
+(z-c)Û`=rÛ`
의 xy평면 위로의 정사영
⇨ (x-a)Û`+(y-b)Û`=rÛ`
xÛ`+yÛ`+zÛ`+4x-4y-6z+k=0
의 xy평면 위로의 정사영이 서로 외접할 때, 상수 k의 값을 구하시오.
209 구 (x-1)Û`+(y-2)Û`+(z-3)Û`=13이 xy평면과 만나서 생기는 교선 위
의 점과 점 P(5, 5, 4) 사이의 거리의 최솟값을 구하시오.
210 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점이 점 A(0, -4, 0)
인 원뿔에 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`-4y=0이 내접하고 있
z
원뿔과 구의 교선은 원이다.
A(0, -4, 0)
O
다. 이때 원뿔과 구의 교선의 길이를 구하시오.
y
x
211 구 (x-a)Û`+(y-2)Û`+(z+3)Û`=aÛ`-4a+20이 xy평면, yz평면, zx평
면과 각각 만나서 생기는 도형의 넓이의 합의 최솟값은? (단, 0<a<5)
① :°2°:p
② 28p
③ :°2¦:p
④ 29p
⑤ :°2»:p
[ 수능기출 ]
212 좌표공간에서 중심의 x좌표, y좌표, z좌표가 모두 양수인 구 S가 x축과 y축
에 각각 접하고 z축과 서로 다른 두 점에서 만난다. 구 S가 xy평면과 만나서
생기는 원의 넓이가 64p이고 z축과 만나는 두 점 사이의 거리가 8일 때, 구
S의 반지름의 길이는?
① 11
② 12
224 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
③ 13
④ 14
⑤ 15
빠른답 체크
개념원리 익히기·확인체크
1
3, 12x
2
⑴ yÛ`=;3@;x ⑵ xÛ`=-4y
3
⑴ 초점의 좌표: {;4!;, 0}, 준선의 방정식: x=-;4!;
17 ⑴ 초점의 좌표: (8, 0), (-8, 0)
장축의 길이: 20, 단축의 길이: 12
그래프는 풀이 참조
⑵ 초점의 좌표: (0, '3), (0, -'3)
장축의 길이: 4, 단축의 길이: 2
그래프는 풀이 참조
그래프는 풀이 참조
⑵ 초점의 좌표: (-2, 0), 준선의 방정식: x=2
그래프는 풀이 참조
18 ⑴ 중심의 좌표: (3, -1)
초점의 좌표: (3, 2'3-1), (3, -2'3-1)
⑶ 초점의 좌표: (0, 1), 준선의 방정식: y=-1
⑵ 중심의 좌표: (-5, 0)
그래프는 풀이 참조
초점의 좌표: (-2, 0), (-8, 0)
⑷ 초점의 좌표: (0, -3), 준선의 방정식: y=3
그래프는 풀이 참조
4
포물선의 방정식: (y+3)Û`=-6{x-;2!;}
초점의 좌표: (-1, -3), 준선의 방정식: x=2
5
⑴ yÛ`=-20x ⑵ xÛ`=3y
6
10
7
⑴ (y-3)Û`=-12(x-1)
⑵ (x-4)Û`=-6{y+;2&;}
8
(3, 0)
9
⑴ 초점의 좌표: {-;2#;, 3}
준선의 방정식: x=-;2!;
꼭짓점의 좌표: (-1, 3)
⑵ 초점의 좌표: {2, ;2#;}
준선의 방정식: y=-;2%;
꼭짓점의 좌표: {2, -;2!;}
10 ;2!;
11 -3
19 ⑴
20
xÛ` yÛ`
+ =1
6
8
21
xÛ` yÛ`
+ =1
4
7
22 20
23 2'1Œ0
24
(x-2)Û` (y-1)Û`
+
=1
12
16
25
(x-1)Û` (y+1)Û`
+
=1
25
20
26 초점의 좌표: (3, '5+2), (3, -'5+2)
꼭짓점의 좌표: (5, 2), (1, 2), (3, 5), (3, -1)
중심의 좌표: (3, 2)
장축의 길이: 6, 단축의 길이: 4
그래프는 풀이 참조
27 3
28 8'3
29 126
30 6
12 (x-4)Û`=4(y+3), (x-4)Û`=-16(y-2)
31 10
13 (2, 0)
32 12
14 3
33 2
15 8
34 9
16 9, '7, ('7, 0), (-'7, 0), 4, 8, 3, 6, (4, 0),
(-4, 0), (0, 3), (0, -3), 그래프는 풀이 참조
yÛ`
yÛ`
xÛ`
xÛ`
+ =1 ⑵
+ =1
25
24 49
9
35 6, 3, (3, 0), (-3, 0), '3, 2'3, ('3, 0),
(-'3, 0), 그래프는 풀이 참조
개념원리 익히기·확인체크 정답
225
빠른답 체크
개념원리 익히기·확인체크
36 ⑴ 초점의 좌표: ('5, 0), (-'5, 0)
54 ⑴ k<-1 또는 k>1
꼭짓점의 좌표: (2, 0), (-2, 0)
⑵ k=-1 또는 k=1
주축의 길이: 4, 그래프는 풀이 참조
⑶ -1<k<1
⑵ 초점의 좌표: (0, 3'2), (0, -3'2)
꼭짓점의 좌표: (0, '6), (0, -'6)
주축의 길이: 2'6, 그래프는 풀이 참조
37 ⑴ 초점의 좌표: (3'5, 3), (-3'5, 3)
꼭짓점의 좌표: (3, 3), (-3, 3)
⑵ 초점의 좌표: (-1, 4), (-1, -2)
꼭짓점의 좌표: (-1, '5+1), (-1, -'5+1)
38 ⑴ y=Ñ;3@;x ⑵ y=;2%;x+8, y=-;2%;x-2
39
xÛ` yÛ`
- =-1
2
2
57 ⑴ y=2x+;2#; ⑵ y=;5!;x-;2%;
58 ⑴ y=x-2 ⑵ y=-x-3
⑶ y=-;2!;x-;2#; ⑷ y=-x+2
59 -;2!;(x+xÁ), -;2!;(1+xÁ), -1, -1, 1,
60 -5
61 24
xÛ` yÛ`
- =1
3
9
62 ;8(;
42 5
43
56 ;4!;<m<1
;2!;x-;2!;, -;2!;x+;2!;
40 4
41
55 6
(x-1)Û` (y-4)Û`
=-1
7
9
(x+1)Û` (y-2)Û`
=1
44
16
9
45 초점의 좌표: (-2, 4), (-2, -2)
꼭짓점의 좌표: (-2, 3), (-2, -1)
중심의 좌표: (-2, 1), 주축의 길이: 4
2'5
4'5
점근선의 방정식: y=
x+
+1,
5
5
y=-
2'5
4'5
x+1
5
5
그래프는 풀이 참조
63 y=x-3
64 '3
65 '2
66 y=-2x+2, y=2x+2
67 0, 3
68 ⑴ y=;3!;xÑ'6 ⑵ y=-2xÑ4
69 ⑴ y=;2!;x+2 ⑵ y=-
⑶ y=-x+5 ⑷ y=x-3
70 xÁ x, yÁ y, 2xÁ, 1, ;3$;, -;3!;, 1, 2x-3
46 -8
71 y=-xÑ3
47 6
72 6
48 8'3
73 3'2
49 34
74 8
50 ⑴ 포물선 ⑵ 타원
75 y=2x-2
51 ⑴ 0<k<2 또는 k>2 ⑵ k<0
76 8
52 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다.
⑵ 한 점에서 만난다.`(접한다.)
⑶ 만나지 않는다.
53 '1Œ0
226 개념원리 익히기·확인체크 정답
'3
5'2
x+
2
2
77 6
78 ;1!5#;
79 ⑴ y=-2x-2 ⑵ y=4x-4
80 ⑴ y=-xÑ1 ⑵ y=;4!;xÑ2'2
114 6
'2
x+'2 ⑵ y=2
2
115 -3
⑶ y=2x-3 ⑷ y=-;9$;x+;9!;
117 -7
81 ⑴ y=
82 xÁ x, yÁ y, 3xÁ 4yÁ, -5, 3, 0, ;6%;x+;2#;, 3
83 y=xÑ'2
84 6
85 4
86 32
87 y=x+3
88 ;2(;
116 4
118 -2
119 OA³, OC³, bø, aø, cø, 4, 3
120 ⑴ -aø+2bø-cø ⑵ -5aø+bø+4cø
121 ⑴
2aø+3bø
5
122 pø=
aø+bø
2
4aø+3bø
, qø=4aø-3bø
7
123 ;5$;
89 y='2x+'3, y=-'2x+'3
124 ;5^;aø-bø
90 2'3
125 5
91 ⑴ 시점: O, 종점: B ⑵ 시점: D, 종점: C
126 ;6!;aø-;3!;bø
92 풀이 참조
⑵ -2aø+3bø ⑶
93 ⑴ 4 ⑵ 5
127 ;5#;
94 ⑴ hø ⑵ fø ⑶ gø ⑷ dø
128 30
95 ㄱ, ㄴ
129 ⑴ (2, -5) ⑵ (0, -5)
96 ⑴ DB³, FE³ ⑵ CE³, EB³, FD³ ⑶ 1
⑶ -3eÁ²+2eª² ⑷ 4eÁ²
97 풀이 참조
130 ⑴ 7 ⑵ 5
98 풀이 참조
131 ⑴ m=3, n=0 ⑵ m=1, n=3
99 ⑴ AB³ ⑵ CA³ ⑶ AC³, BC³ ⑷ BC³, AC³
132 ⑴ (9, -16) ⑵ (-7, 28)
100 ⑴ BA³ ⑵ AE³ ⑶ 0ø
133 ⑴ AB³=(-8, -3), |AB³|='7Œ3
101 풀이 참조
⑵ AB³=(6, -4), |AB³|=2'1Œ3
102 ⑴ -aø+bø ⑵ -aø-bø
134 5'5
103 풀이 참조
135 성분: (3, 4), 크기: 5
104 풀이 참조
136 최댓값: 5, 최솟값: 2'5
105 ⑴ -2bø-8cø ⑵ -aø+4bø-3cø
137 ⑴ aø+2bø ⑵ -3aø-4bø
106 bø, cø
107 aø-3bø
138
'1Œ7
2
108 ②
139 7
109 ⑴ xø=-7aø+3bø ⑵ xø=2aø-2bø
140 (1, 2)
110 xø=-2aø-bø, yø=-3aø-2bø
141 -;3!;
111 -4aø+3bø
112 1
142 -;2!;
113 5
143 7x-y-7=0
개념원리 익히기·확인체크 정답
227
빠른답 체크
개념원리 익히기·확인체크
144 ;3$;p
173 -5'3
145 ⑴ 6'3 ⑵ -6 ⑶ -12
146 ⑴ 0 ⑵ 2 ⑶ -10
147 ⑴ 19 ⑵ 21
175 -2
176 (x-3)Û`+(y+2)Û`=25
177 (x-2)Û`+(y-1)Û`=18
148 ⑴ 60ù ⑵ 150ù
178 10p
149 -8
150 ⑴ 2 ⑵ -2 ⑶ 12 ⑷ -8
151 2
179 10
180 7
181 ㄱ, ㄴ, ㄹ
152 23
182 ㄱ, ㄴ, ㄷ
153 4
183 직선 AB, 직선 AD, 직선 BF, 직선 DH,
154 85
직선 FG, 직선 HG
155 135ù
156
174 -3
184 9
2'5
5
185 18
157 60ù
186 22
3'2
2
187 ㄷ
158
188 ⑴ 60ù ⑵ 90ù
159 ;2&;
189
160 9
190 4'2
161 9
x-2 3-y
=
162 ⑴
4
5
'3
3
191 2'3
⑵ ;3{;=;2};
192
⑶ x=5 ⑷ y=-3
x-2
x+2 4-y
=1-y ⑵
=
163 ⑴
3
7
5
⑶ x=-3 ⑷ y=6
164 ⑴ x-2y-7=0 ⑵ 3x-y+7=0
⑶ x=-5 ⑷ y=1
x-3
=1-y
165
2
193
194
168 6
'5
3
'3
3
195 '6
196 ⑴ AÕ'B'Ó, ABÓ ⑵ S', S
197 ⑴ 선분 AD ⑵ 점 C ⑶ 선분 HF
⑷ 삼각형 EFH
166 -3
167 7x+y-5=0
8'5
5
198 ⑴ 5'2 ⑵ 16 ⑶
3'3
p
2
'3
, 30
169 (1, -'3), (-3, '3), 2, 2'3, 6,
2
199
170 ⑴ 45ù ⑵ 90ù
201 2'5
171 ⑴ -1 ⑵ 4
172
'2
2
228 개념원리 익히기·확인체크 정답
200 2'3
202
'3
2
203 36'2
'3
2
204
205
206
'2Œ2
11
'6
3
'6
6
207 ⑴ P(4, 0, 2), Q(4, 3, 0), R(0, 3, 2)
⑵ P(2, -1, 3), Q(0, -1, 3), R(2, -1, 0)
⑶ P(0, 0, 5), Q(0, 3, 5), R(-2, 3, 0)
⑷ P(2, -3, 0), Q(0, -3, 0), R(2, 0, 0)
208 ⑴ (2, 0, 0) ⑵ (0, -1, 0) ⑶ (0, 0, -4)
⑷ (2, -1, 0) ⑸ (0, -1, -4)
⑹ (2, 0, -4)
209 ⑴ (4, 0, -5) ⑵ (0, -3, 0)
⑶ (-4, -3, -5)
230 {;3!;, ;3@;, 1}
231 (2, 0, -1)
232 ⑴ 중심의 좌표: (3, -2, 0), 반지름의 길이: 3
⑵ 중심의 좌표: (-2, -5, 3), 반지름의 길이: 4
233 ⑴ (x-2)Û`+(y+1)Û`+(z-5)Û`=9
⑵ xÛ`+yÛ`+zÛ`=25
⑶ xÛ`+(y-3)Û`+(z+2)Û`=13
234 ⑴ 중심의 좌표: (1, 2, -3), 반지름의 길이: 2'3
⑵ 중심의 좌표: (-3, 2, 0), 반지름의 길이: 2
235 ⑴ (x-2)Û`+(y+3)Û`+(z-5)Û`=25
⑵ (x+3)Û`+(y-2)Û`+(z-1)Û`=13
236 (x-2)Û`+(y+1)Û`+(z-2)Û`=9
237 (x+1)Û`+(y-2)Û`+(z+2)Û`=6
238 (x-5)Û`+(y+2)Û`+(z-5)Û`=24
210 (1, -5, 0)
239 xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+6y-z=0
211 6
240 -9
212 ;2!;
241 -13
'6
213
2
214 2'3
215 (0, 0, 3)
216 2
217 (0, 0, 4), (3, 0, 1)
218 xy평면: 2'1Œ0, yz평면: 3'5, zx평면: '1Œ3
'6
219
3
242 3
243 19
244 2'6
245 4
246 16p
247 35p
248 '1Œ1
249 5
250 2'1Œ9
220 2, 4
221 '9Œ4
222 6'2
223 3'5
224 1
225 -;2!;
226 (4, 5, 3)
227 11
228 6
229 (3, -2, -6)
개념원리 익히기·확인체크 정답
229
빠른답 체크
연습문제·실력 UP
1
yÛ`=x, xÛ`=8y
38 1
2
x=-;3$;
39 21
3
18
4
④
5
4
42 -;6!;
6
4
43 k>2
7
(2'3, 3)
44 ④
8
9
'3
②
10 ⑤
11 11
12 1
40 ③
41 ㄱ, ㄴ
45 y=x
46 ;3Á2;
47 '5
48 18
13 2'3
49 21
14 ①
50 ③
15 ③
51 8'6
16 63
52 -'2
17 6
18 7
19 ④
20 6'3
21 20
22 90
23 12
24 '3Œ5
xÛ` yÛ`
+ =1
4
9
26 y=Ñ'1Œ5x
25
53 {-1, -;4!;}
54 2
55 2
56 32
'3
xÑ'2
3
'6 '6
,
58 2
2
59 3
57 y=
60 ;1*1(;
27 ④
61 2
28 ㄴ, ㄷ
62 ②
29 ①
63 1
30 28
64 4'2
31 24
65 0
32 ③
66 8
33 ④
67 32
34 ⑤
68 ;3$;
35 3xÛ`-yÛ`=12
36 116
37 :Á7ª:
230 연습문제·실력 UP 정답
69 8'2
70 2
71 ①
72 10
108 5
73 9
109 4
74 y=-2x+'2
110 ②
75 3
111 t=;2#;, 최솟값:
76 2
77 ①
78 3
79 2'2
80 ③
81 ④
82 ①
83 2'3
112 -2
113 3
114 2
115 3
116 ⑤
117 10p
118 3'1Œ3
84 ③
119 3'2
85 ①
120 ②
86 2
121 4
87 ③
122 6
88 ②
123
89 ③
90 |aø+bø|='2, |3aø-4bø|=5
91 ;4!;
92 -2
93 풀이 참조
94 2
95 ;2%;aø+;2#;bø
96 ;2!;
'5
5
124 ㄱ, ㄷ
125 ②
126 ⑤
127 -;2!;
128 2'3
129 15'3
130 60ù
131 ④
97 ㄴ, ㄷ
132 ;3*;
98 Q, R
133 7
99 6
134 -3
100 18
135 5
101 10
102 -2
103 ⑤
104 -;7!;
'2
2
136 '6
137 :Á5¥:
138 ④
139 ②
105 ;9%;aø+;3!;bø
140 :°9¼:
106 -;3!;
141
107 4
142 -3
'2
2
연습문제·실력 UP 정답
231
빠른답 체크
연습문제·실력 UP
143 3x-2y-14=0
144 '3
176 162
177 8'3p
145 (2, 6)
178 (3, 4, 6)
146 최댓값: 8, 최솟값: 2
179 ④
147 '5
180 ⑤
148 ③
181 2
149 ㄱ, ㄴ
182 ;7#;
150 5
151 20
183 ②
'2
2
153 10
184 ④
154 ①, ④
187 ①
152
155 90ù
156 ;5#;
157 ②
185 '2
186 '3Œ4
188 '2Œ2
189 45ù
190 ①
'6
3
'2
159
4
160 ③
191 {;2!;, 1, -;2!;}
161 15'3`cmÜ`
195 2
158
162 '6
163 15
'6
3
165 6'3+12
164
166 '3
4'5
167
5
168 3`m
169 ;2!;
170 45ù
2'3
171
3
172 ③
2'3
173
3
174 '1Œ4
12'1Œ1
175
11
232 연습문제·실력 UP 정답
192 -5
193 (2, 0, 1)
194 -2
196 (x-5)Û`+(y-1)Û`+(z+8)Û`=208
197 ③
198 2
199 2'2Œ1
200 ②
201 72
202 ②
203 288p
204 -6
205 '2Œ1
206 84p
207 5
208 8
209 5
210
8'2
p
3
211 ④
212 ②