Relações Métricas em um Triângulo Qualquer
Professor: Kássio Lopes
17 de fevereiro de 2025
1
Funções trigonométricas no triângulo retângulo
1.1
As funções trigonométricas (0 < θ < 90◦ )
Daremos uma introdução às funções trigonométricas antes de falar das relações do título do
material. Consideremos o ângulo agudo AÔB, onde m(AÔB) = θ. A partir dos pontos A1 , A2 , A3
e etc. da semirreta OA, tracemos segmentos perpendiculares A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 e etc. à semirreta
OB.
x
Figura 1
Veja que os triângulos △A1 B1 O, △A2 B2 O, △A3 B3 O e etc. são todos semelhantes pelo caso
AA. Podemos, assim, escrever:
A1 B 1
A2 B 2
A3 B 3
=
=
= ···
OA1
OA2
OA3
(1)
Essa relação depende apenas do ângulo θ e não dos lados. Sendo assim, podemos definir uma função
que depende desse ângulo, que chamaremos de função seno de θ.
Como △A1 B1 é retângulo, chamaremos o lado A1 B1 de cateto oposto (CO), pois encontra-se
oposto ao ângulo θ. O lado OA1 será chamado de hipotenusa (CA), pois é o maior lado d o triângulo
1
(oposto ao ângulo reto). Então a função seno de θ será igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa.
Em símbolos:
sen θ =
CO
A1 B 1
=
OA1
H
(2)
Chamaremos, ainda, de cateto adjacente (CA) o lado do triângulo retângulo vizinho ao ângulo θ.
Podemos definir outras duas funções trigonométricas, pois
OB1
OB2
OB3
=
=
= ···
OA1
OA2
OA3
A1 B 1
A2 B 2
A3 B 3
=
=
= ···
OB1
OB2
OB3
(3)
a da esquerda, chamaremos de cosseno de θ e denotaremos por cos θ, enquanto a da direita de
tangente de θ e denotaremos por tg θ. Em símbolos,
cos θ =
CA
H
tg θ =
CO
CA
(4)
Daqui, tiramos algumas relações básicas entre as funções:
tg θ =
sen θ
cos θ
cos θ = sen(90◦ − θ)
sen2 β + cos2 β = 1
(5)
(6)
Onde a relação (6) é chamada de Teorema Fundamental da Trigonometria. Considere o triângulo
△ABC reto em Ĉ com hipotenusa igual a 1 abaixo:
Figura 2
Usando as relações (2) e (4), temos:
sen β = a
cos β = b
(7)
Aplicando o teorema de pitágoras, temos:
1 = sen2 β + cos2 β
2
(8)
1.2
Ângulos notáveis
Geralmente, é comum em sala de aula decorar a música do Paulo Pereira do Equaciona Matemática para saber o valor do cosseno de 30◦ e etc. Mas, nunca nos deparamos com o porquê. Sendo
assim, esta subseção visa explicar os resultados que estamos comumente familiarizados. Além disso,
abaixo estará uma tabela contendo os valores possíveis dos ângulos notáveis para seno, cosseno e
tangente:
1.2.1
Ângulo de 30◦ e 60◦
Considere o triângulo △ABA′ equilátero de lado 1 na figura abaixo:
Figura 3
Todos os ângulos de um triângulo equilátero medem 60◦ (pesquise sobre isso). Trace a altura BC.
Esse segmento, além de ser altura, também corta o lado AA′ em dois segmentos congruentes. Como
m(AA′ ) = 1, então m(AC) = 1/2 = m(CA′ ). Usando a relação (4), temos:
cos 60◦ =
1/2
1
=
1
2
(9)
Usando a relação (5), temos:
cos 60◦ = sen 30◦ =
3
1
2
(10)
√
√
l 3
3
Seja a medida de BC igual a h, sabemos que h =
, como l = 1 então h =
. Segue, a partir
2
2
da relação (2), que
√
3
◦
(11)
sen 60 =
2
e da relação (5),
√
3
◦
cos 30 =
(12)
2
A partir de (5), temos:
√
sen 60◦ √
sen 30◦
3
1
◦
◦
tg 60 =
tg 30 =
= 3
=√ =
(13)
◦
◦
cos 60
cos 30
3
3
1.2.2
Ângulo de 45◦
Considere o triângulo △ABC que seja isósceles com os ângulos da base iguais a 45◦ e de lados
√
AB = AC = 1. Por pitágoras, sabemos que a hipotenusa BC é igual a 2. Construa a altura desse
triângulo. Pelo fato de ser isósceles, a altura coincide com a mediana do triângulo, isto é, divide
o segmento BC
√ em duas partes congruentes. Desta forma, sendo o ponto P no lado BC, então
2
.
BP = P C =
2
Figura 4
Assim, usando a relação (2)
√
◦
sen 45 =
2
2
(14)
e pela relação (5)
√
◦
cos 45 =
2
2
e. ainda, usando a relação (5)
tg 45◦ = 1
4
(15)
1.3
Aplicações
Problema 1. (FMM 2011) Um ponto P é exterior a uma circunferência e raio r e centro O, e
a reta P T é tangente à circunferência em T . Sabendo-se que a medida do ângulo formado pelos
segmentos de retas P O e P T é 30◦ , podemos afirmar que a medida do segmento P O é igual a:
a) 1, 5r
b) 2r
c) 3r
d) 2, 5r
e) 3, 5r
Considere o triângulo △OP T na circunferência abaixo:
Sabe-se que T Pb O = 30◦ . Como a reta P T é tangente à circunferência, então OT é perpendicular à
P T , então segue que o triângulo △OP T é retângulo. Assim, usando as relações (2) e (11), temos
sen(T Pb O) =
1
r
r
⇒ =
PO
2
PO
⇒ P O = 2r
Problema 2. (FMM 2012) Os valores de x e y, respectivamente, no paralelogramo abaixo são:
√
√
4 3 8 3
a)
e
3
3
√
√
8 3 4 3
b)
e
3
3
√
d) 5 3 e 8
√
c) 4 3 e 8
√
e) 8 e 4 3
Sabendo que um dos lados do paralelogramo vale 12, então o lado oposto também vale 12. Sendo
assim, o triângulo retângulo de lados x e y tem um dos lados igual a 4. Sabendo que um dos ângulos
5
desse triângulo mede 60◦ , então usando as relações (4) e (10) temos:
cos 60◦ =
4
1
4
⇒ =
x
2
x
⇒x=8
E para y, usando as relações (4) e (13), temos assim:
tg 60◦ =
√
y
y
⇒ 3=
4
√4
⇒y=4 3
Problema 3. (FMM 2013) Um observador de 2m de altura, situado num terreno plano, vê o topo
de uma torre sob um ângulo de 45◦ . Ao recuar 6m, ele avista o topo da torre sob um ângulo de
30◦ . Nessas condições, a altura da torre é, em metros:
√
a) 5(1 + 3)
√
d) 3 + 5 3
b) 3(1 +
√
√
c) 2(1 + 3 3)
3)
√
e) 2(1 + 3 3)
Seja a a medida da altura do triângulo. Como o observador possui 2m de altura, então a altura
da torre é de 2 + a. Considere o triângulo retângulo com um dos ângulos medindo 45◦ . Sendo x a
distância do observador para a torre, então usando a relação (4) temos:
tg 45◦ =
a
a
⇒ =1
x
x
⇒x=a
Olhando, agora, para o triângulo retângulo que possui um dos ângulos medindo 30◦ e aplicando
novamente a relação (6) junto com a (13), temos que:
√
x
3
x
◦
tg 30 =
⇒
=
6+x
3
6+x
√
√
⇒ 6 3 + 3x = 3x
√
√
⇒ (3 − 3) · x = 6 3
√
√
6 3
√ =3+3 3
⇒x=
3− 3
√
√
Como a altura do poste é 2 + x, segue que 2 + 3 + 3 3 = 5 + 3 3.
Os problemas 4 e 5 podem ser resolvidos com base nos problemas resolvidos anteriormente.
Problema 4. (FMM 2016) Na figura abaixo, está representado um paralelogramo. O valor de
x2 − y 2 é igual a:
6
a) 36
b) 16
d) 25
e) 9
c) 4
Problema 5. (FMM 2016 − Adaptada) Um passageiro em um avião avista duas cidades A e B
sob ângulos 15◦ e 30◦ , respectivamente. Se o avião está a uma altitude de 3km, então, a distância
entre as cidades A e B é:
(Considere: tg 15◦ = 0, 3 e tg 30◦ = 0, 6)
a) 5 km
b) 6 km
d) 9 km
e) 8 km
c) 4 km
Problema 6. (FMM 2013 − Adaptada) Podemos concluir que
1
− 1 é igual a:
cos2 α
c) tg2 α
a) sen α
b) tg α
d) cos α
e) cos2 α
Simplificaremos a expressão do problema a seguir:
1
1 − cos2 α
−1=
2
cos α
cos2 α
Da expressão (6), podemos obter a seguinte identidade:
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ sen2 α = 1 − cos2 α
Portanto,
1 − cos2 α
sen2 α
=
2
cos α
cos2 α
sen α 2
=
cos α
= tg2 α
2
Lei dos cossenos e lei dos senos
2.1
Lei dos cossenos
Seja o triângulo △ABC qualquer de lados a, b e c. A lei dos cossenos é uma fórmula que
relaciona os lados desse triângulo com o cosseno de um dos seus ângulos. Em símbolos, ela diz que:
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos Ab
7
(16)
Figura 5
Você pode ainda usar a mesma relação para exprimir um valor para b e c:
b
b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos B
(17)
c2 = a2 + b2 − 2 · b · c · cos Cb
(18)
Para chegar nessa fórmula, temos dois casos a considerar: ou Ab é agudo ou é obtuso. Consideremos
o primeiro caso (o segundo caso basta fazer uma mudança sutil). Construa a altura relativa ao lado
AC como na figura abaixo:
Figura 6
Façamos a medida de HA ser igual a x. Como o triângulo △AHB é retângulo, então usando a
relação (5) segue que:
cos Ab =
x
⇒ x = cos Ab · c
c
8
(19)
Tomando BH = h, então aplicando o teorema de pitágoras no triângulo △ABH, temos:
c2 = x2 + h2
Daí,
h2 = c2 − x2
(20)
Fazendo BC = a e aplicando o teorema de pitágoras no triângulo △HBC, tem-se
a2 = (b − x)2 + h2
(21)
Substituindo (20) em (21), segue assim
a2 = (b − x)2 + (c2 − x2 )
= b2 − 2bx + x2 + c2 − x2
= b2 + c2 − 2bx
(22)
Aplicando (19) em (22), logo
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos Ab
Fica como exercício o segundo caso.
2.2
Lei dos senos
Seja um triângulo qualquer △ABC de lados a, b e c. A lei dos senos garante que esse triângulo
b sen B
b e sen C.
b Isto é, os lados a, b e c são
é semelhante a um triângulo △A′ B ′ C ′ com lados sen A,
b
b
b
proporcionais ao lados sen A, sen B, sen C. Em símbolos,
a
sen Ab
=
b
b
sen B
=
c
sen Cb
(23)
Equivalentemente, ela estabelece que em um triângulo qualquer as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
Figura 7
9
Figura 8
Além disso, ela também garante que a relação (23) também é igual à medida do diâmetro da
circunferência circunscrita. Em símbolos,
a
sen Ab
=
b
b
sen B
=
c
sen Cb
= 2R
(24)
onde R é o raio da circunferência, como ilustra a figura 8.
Para chegarmos a essa relação, por um dos vértices do triângulo (vamos tomar por exemplo o
b ≡ B,
b
vértice A) trace o segmento AE de modo que seja o diâmetro da circunferência. Note que E
pois ambos enxergam a corda AC, como ilustra a figura 9.
Figura 9
No material de relações métricas foi dito que todo triângulo inscrito numa circunferência cujo
diâmetro é um dos lados é retângulo, sendo assim o triângulo △AEC é retângulo. Daí, aplicando
10
a relação (2), temos:
b=
sen E
b
b · 2R
⇒ b = sen E
2R
b
⇒ 2R =
b
sen E
(25)
b = sen B
b (pois E
b ≡ B),
b então substituindo em (25):
Sabendo que sen E
2R =
b
(26)
b
sen B
De modo análogo (por construção), obtemos que:
2R =
a
2R =
sen Ab
c
sen Cb
(27)
Portanto,
2R =
2.3
a
sen Ab
=
b
b
sen B
=
c
sen Cb
Aplicações
Problema 7. (FMM 2012) No triângulo retângulo da figura abaixo, temos que, para quaisquer
valores dos lados e dos ângulos, vale a relação:
a) a = b · cos β + c · cos γ
b) a = c · cos β + b · cos γ
c) a = c · sen β + b · cos γ
d) a = c · cos β + b · sen γ
e) a = b · sen β + c · sen γ
Utilizando as relações (17) e (18) , temos
b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos β ⇒ cos β =
a2 + c2 − b2
2·a·c
(28)
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ ⇒ cos γ =
a2 + b2 − c2
2·a·b
(29)
11
Substituindo (28) e (29) na expressão c · cos β + b · cos γ, temos:
c · cos β + b · cos γ = c ·
=
a2 + c2 − b2
2·a·c
a2 + c2 − b2
2·a
!
!
+
+b·
a2 + b2 − c2
2·a·b
a2 + b2 − c2
2·a
!
!
a2 + c2 − b2 + a2 + b2 − c2
2a
2 · a2
=
2·a
=a
=
Problema 8. (Mackenzie − SP) Três ilhas A, B e C aparecerem em um mapas em 1 : 10000, como
na figura. O valor que melhor se aproxima da distância entre as ilhas A e B é:
b mede 45◦ , então usando
Seja o triângulo ABC da figura do problema. Sabendo que o ângulo B CA
a relação (24) temos:
AC
AB
12
x
=
⇒ 1 = √
2
sen 30◦
sen 45◦
2
2
√
⇒ x = 12 2 ≈ 12 · 1, 4 ≈ 17 cm
Desta forma, 1, 7 km.
12