Esercizi di Matematica: Successioni, Serie, Equazioni

Esercitazioni Na1ema1ica di 2 °Yolume parte prima z / --- / .......... \ \ X = y \ Paolo Ma'rcellin/- Carlo Sbordane Esercitazioni di Matexnatica 2° Volume parte prima edizio,ne riveduta Lig1,J'ori Editore Pubblicato da Liguori Ec.Ji1or·: Yiu Mczzocannonc 19, SOi34 Napoli © Liguc.-riF.di1orc,S.r.l., l'i89. 1995 l diritti di traduzione. fiprocluzionee ada11amen10, 101alco purziale, sono riservati per tUtlÌi Paesi. Nessuno pane Gliquesto volume !')UÒc~scre riprodotta, registrata o trasmessa con qualsiasi mezzo:elenronico. ele11ro,11atko, meccanico, fotografico, ottico o rnagnetico (compresecopie fo1ostauche,microlilm e microfiches). Seco!1daedizione italiana Gennaio 1995 98765432.10 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 Le cifre s11/lutlesrra indicanoil numeroe ranno dd/' 11/timaris1ampaeffc11ua,a Primed in ltaly, Officine Graliche Liguori, Napoli ISBN 88-207 -1864-2 I ND I CE Capitolo 1 SUCCESSiùNI E SERIE ·or FUNZIONI di funzioni: lA. Successioni uniforme ed puntuale lB. Serie di funzioni lC. SeriP. di potenze 10. ~erie di Taylor convergenza 7 . pag. 9 Il 37 " 46 " 54 Capitolo 7-. SPAZI METRlCI E SPAZI NORMATI 2A. Spa1i metrici 2 .8. Condii ione di Cauchy. Completezza zc. Spaz~. metrici compatti 2D. Spazi normati Capitolo 76 " " " ~6 93 97 3 FUNZIONI .DI PIU' VARIABILI :lappresentazione grafica 3B. Insierr,i di definizione 3C. Lir,1iti e continuità parziali 3D. Derivate 3E. D1fferenziabilità 3F. Derivate delle funzioni composte 3G. Gradiente: -D~rivati direzionali 1'eali 3H. Funzioni di tre o piu. variabili 3A. Il . . ". 107 115 Il 123 Il 138 Il 154 " 166 " ·.174 :: . 18'1 ' Il ., ., 6 Capitolo 4 EQUAZIONI DIFFER~NZIALI LINEARI 4A. Equazioni differenziali lineari del primo ordine 4B. _Equazioni differenziali lineari omoge:nee a coefficienti costanti 4C. Equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti 4D. Il metodo della variazione delle costanti 4E. Problemi ai limiti 4F. Equazioni lineari di Eulero 4G. Integrazione per serie 4H. Sistemi di equazioni differenziali lineari pag. 197 " 211 Il 222 Il 232 236 " Il 242 " 250 " 255 Il 265 279 289 297 Capitolo 5 EQUAZIONI DIFFERENZIALI NON LINEARI DEL PRIMO ORDINE SA. Eciuazioni SB. Eciuazioni se. Eciuazioni SD. Eciuazioni SE. Equazioni SF. Equazioni X a variabili separabili di Bernoulli della forma y'=g(y/x) forma y'=g(ax+by) della ax + by+ c) forma y' =g (a'x+b'y+c' della non normali della forma = g(y') non normali SG. Equazioni y=g (y I) di Cl:i.iraut SH. Equazioni SI. Il teorema di Cauchy SL. Integrazione grafica SM. Esercizi di riepilogo della Il Il Il Il 302 Il 305 Il 308 forma Il 311 Il 319 329 339 Il Il 7 Capitolo 6 EQUAZIONIDIFFERENZIALI NON LINEARI DI ORDINE SUPERIOREAL PRIMO 6A. 6B. 6C. 6D. Generalità Equazioni Equazioni Equazioni secondo pag. della forma g(x,y' della forma g(y,y' superiore di ordine ,y")=O ,y")=O al Il Il Il 344 346 357 367 Capitolo E SUCCESSIONI lA. Successioni Sia nite ed (fn) Si dice f:I ➔ R, J.im FUNZIONI funzioni: una successione che DI con~=rgenza uniforme di funzioni reali defi- I di R. nell'intervallo funzione SERIE di puntuale 1 (fn) converge in I verso la veeN tale c.. ,x che per da x; puntualmente se risulta f(x) fn (x) n ➔ <D cioè se: n>vE,x > O e VxeI, 'h sihalfn(x)-f(x)I In generale, se invece, si parla il in <E. numero vE,x VE > O, tale numero convergenza uniforme. di Precisamente, te esiste I verso si f, dice se VE> che dipende è indipendente (f n ) converge O esiste anche vEeN da x, unifoxmemen tale - che 10 Vn > vE si ha Vxe I. Dunque la convergenza tuale. Se le funzioni fn,f uniforme implica sono limitate (fn) converge uniformemente verso se, posto Mn = sup { lfn(x)-f(x) lim Mn O. quella pug .in I, allora I se e solo fin l:xeI}, risult~ n ➔ CD La successione esiste (f n) si dice una costante M > in I, se equilimitata O tale che I fn (x) ! < M si dice equicontinua 6E > O tale 1n I, se, per ogni > E O esiste che VneN. Sussistono i seguenti notevoli TEOREMA1 (di. Ascoli-Arzelà). di funzioni equilimitate so e limitato I vergente uniformemente TEORE11,A 2 (Condizione Se {fn) ed equicontinue = [ a,b] , allora teoremi. essa è una successione nell'intervallo ammette chiu un'estratta con in I. di Cauchy uniforme) . Condizione - 11 necessaria e sufficiente uniformemente .esista verso tale "t affinchè la successione una funzione che definita > "t Vp,q (fn) converga in I è che: > O Vt sia VxeI. TEOREMA 3 (Continuità ni continue). del Se (fn) te le fn sono continue converge Sia I=(a,b) ed ivi sione (f~) in I e si (fn) al uniformemente convergente sotto funzio- verso f e tut- il segno di funzioni puntualmente uniformemente di anche f lò è. limite una successione converge uniforme in x 0 , allora TEOREMA 4 (Passaggio rivata). limite de- derivabili verso in I, di Se la succes- f. allura in f è derivabile ha: lim f' (x) f~ (x) Vxe I. n ➔ a:> TEOREMA 5 (Passaggio tegrale). I= [a,b] Sia (fn) ed ivi al limite una successione convergente sotto il segno di funzioni uniformemente verso di in·· continue in f. Allora si la succes- ha f b lim n ➔ a:> 1.1 Siano a,~ due f(x) dx. a numeri reali e sia (fn) 12 sione definita (0,1) in se xe(0,1/n] se xe (1/n, 1) Determinare il lire.sotto quali condizioni puntuale è la funzione che limite da puntuale di la (f n) e stabiè an çonvergenza uniforme. [ Il limite essendo Ifn<x) - sup identicamente ~I = uguale a ~- Inoltre, Ia- aI X E (0,1) si ha convergenza uniforme se e solo se è J.2 Studiare funzioni la convergenza delle (fn), (gn) definite sen [si ha lim fn(x) a=~] per successioni xeR da di nx = O solo per x=k11, con k E Z e n-+co lim gn(x)=l so- n➔ m lo per x=Zk·rr, con k E Z (si veda il paragrafo 12D del val. I, parte prima) J 1.3 Verificare = x zione f(x) n che la successione per xe(-1,1) (fn) converge = O puntualmente, definita verso la da fun rna non uniforrnemen - 13 te. ha [si lim fn(x) = lim xn = 0 1 n ➔ a> n ➔ co Vx E(-1 1 1). Esse.T1do poi I xn-ol sup xe(-1,1) la successione 1.4 = sup x e (-1 1 1) non converge Verificare che la I xn I =1 , uniformemente ] successione fn(x) = xn per xe(-1,1) converge ogni intervallo del (-a,a) [ Si ha tipo definita da uniformemente in (fn) con sup O< a< lim a n 1. = o, si ha n ➔ a, I 'asserto] 1.5 Studiare zioni la convergenza fn (x) = X -n della negli successione J = ( 2 , +a,) (b) (fn) sendo Mn = sup { x-n ro e dunque (fn) converge puntualmente : xE I} =l, non converge { x-n : xE J} = 2-n si ha verso la su~cessione uniformemente lim fun- intervalli (a) [La successione di zero per x 2_ 1.(R) E.§. (Mn) non converge in ·I. M~ = O e perciò a ze- (b) Essendo M~ = sup la successione (fn)con n ➔ <X> verge unifo:aneuiente 1.6 Il teorema a zero in J ] 5 stabilisce che la convergenza unifor 14 me è una condizione sufficiente per passare al ]i mite sotto il segno di integrale. Non è però cog dizione necessaria. Per mostrare ciò si conside7· ri la successione di funzioni (un altro esempio è proposto nell'esercizio 1.25): f n(x) =nxe e si verifichi -n2x2 VxeR, che (a) fn(x) converge (b) (fn) non converge (c) L'integrale lo a f(x)=0 ogni uniformemente definito [0,1] per xeR. in [0,1]. di fn (x) nell'interval- converge a zero. (d) Si determinino tutti e soli i numeri reali a,b (a<b) con la proprietà che (fn) converga uniformemente in [a,b]. [ (b) Consideriamo Fissato n, il massimo assoluto termL,a scegliendo x tale che f~(x) e si annulla il valore = =ne La successione [0,1] si de- più grande tra fn(O), fn(l) e fn(x) per O. La derivata in [ o,~ ] per x = / -112 fn(l) di fn{x) nell'intervallo ➔ prima vale li(2n 2 ) o, per n sufficientemente (Mn) è definitivamente . Essendo fn{O) o, grande risulta costante(> O) e non converge a zero. Perciò (fn) non converge n ➔+co l'integrale (c) Per ro (e zero è il valore uniformemente in [ O,l ] [0,1] definito di fn(x) in dell'integrale definito di f(x) in converge a ze- [0,1]); in - fatti: 1 Jfn(x)dx 2 2 1xe -n x dx= f = n o o (d) La successione converge stesso segno, scordi o s~ uno di essi nitivamente 1 [ --1 2n 2 unifomeme~te mentre non converge = - 2n in [ a,b uniformemente ] : x E [a, b (1-e -n 2 ) ➔ O. se a,b hanno lo se a,b hanno segni di - è nullo. Infatti, ad esempio 2 si ha / 1/(2n ) ~ a e quindi Hn= max { fn(x) 1.7 n se O< a< b, defi J} Sia (fn) una successione di funzioni continue nell'intervallo I di R, convergente uniformemente in I verso f. Verificare che, se xn,xel e xn ➔ ➔ x, allora si ha lim n [ Sia E>O e sia ➔ co VE tale che Vn > '\JE, Ifn(x)-f(x) i< E /2 , Vx E I. Allo-ra per n > \! E si ha Poichè f è continua e xn ➔ x El, si ha anche f(xn) 3:VE: > VE tale lf(xn)-f(x) I < E /2, Vn > \JE. Ne segue facilmente l'asserto 1.8 Sia che ➔ f(x), per ] a un parametro reale e sia (fn) la successio cui 16 ne di funzioni definita n (a) (b) cx \fxeR. Verificare che, ge puntualmente a f(x)=O per Utilizzando la cizio precedente (fn) non Verificare che R se cx < 1. (d) Mostrare derivate su R. Verificare che, (f~) ogni cxeR, fn(x) conver- su R. proprietà enunciata nell'eser con xn=l/n, verificare che converge (c) (e) da uniformemente (fn) converge su R. se cx>l. uniformemente su se~< O, la successione delle converge a zero uniformemente che, per a=O, la successione (f~) converge puntualmente per ogni xeR ad una~ zione g(x) f f' (x) (questo esempio mostra che il teorema 4, di passaggio al limite sotto il segno di derivata, non vale in generale supponendo che la successione delle derivate(f~) converga soltanto puntualmente,· invece che~ niformemente). [ (b) Essendo f(A) = o per ogni xe R, in base alla proprietà nell'esercizio 1.7, se (fn) convergessa enunciata a f(x) uniformemente su R, d2 vrebbe risultare lim fn(xn) = f(x) = O , n-++a> per ogni successione xn = 1/n si ottiene (xn) convergente ad x. Invece, se CX > 1, p9sto 17 a-1 lim n se a > l e se a si verifica che { + a, -1 e = n ➔ +a> -1 (c) Come nell'esercizio 1.6 (b), l . VnEN. Se ne deduce che (fn) (d) La successione converge unifonnemente delle derivate vale su R se e solo f~(x) = n a -n2 x2 e se a < O, converge a zero per ogni x E R. Inoltre il massimo assoluto senta massimi If~ (x) I su R è raggiunto di relativi 2 anche sex 2 =3/(2n )) a<1. se (l-2n 2 x 2 ) e, si verifica che I I pr~ di massimo per x=O ( f~(x) ed il valore vale max { If~(x) I : x E R } = max { If~(O) I ; a { l; n max 2 --:;;fi_ }• = n a e· se (el a < O tale valore converge a zero per Se a =O la successione lim f~(x) 2 f;,(x) f(x) = e-n x (l-2r.. se X 1 0 se X= 0. 2 x 2 ) converge a g(x) n ➔ + a, Essendo n ➔ +a> . 2 = O per ogni A E R, risulta f'(x) O# g(x) nel punto x= o] 1.9 Studiare la convergenza sioni di funzioni (a) f n (x) =x/ (. l+nx) in I=[0,1] (b) gn (x) =nx/ delle ( 1 +nx}, succes 18 [ (a) Si ha lim fn(x) ' O per ogni x E I. La convergenza è uniforme ; n ➔ CD > D per n >v,1/E infatti, fissato f. xé (0,1] risulta O < f - n (x) si ha fn(O) = O <E e, 1/ [ (1/x)+n] < 1/n < per E . = lim ~(x), si hag(O)=O e g(x) = 1 per ogni x e n ➔ co E (O, 1 ] • Poichè le ~ s>no continue e g è discontinua, la convergenza (b) Posto_g(x) non è uniforme·, rappresentato grazie •l teorema in fig. 11 per grafico 3. Il della funzione gn è n = 1,2,10,"30] y 1 y= 2/3 - - nx 1 + nx .1/2 o 1 figura 1.10 Studiare la convrrgenza sioni di funzioni (a) fn (x)=n/(l+nx) [ Le due successioni mente nulla, ·X 1.1 in (0,1) delle succes - 2 conveP,ono ma la conveP,enza puntualmente verso non è llliifomie, la funzione perchà ie f 0 identice e le ~ 19 non sono funzioni 1.11 Studiare cessioni la di [ (a) Si ha lirn in (0,1}] equilimitate convergenza ~unzioni fn(x) = O per in I=[-1,1] delle ogni x è I. Essendo fn(x) suc- = (1/n)nx/ [1+ n-+m +(nx) 2 ] , la convergenza è uniforme in quanto t/(l+t 2 ) i 1/2 per o- gni t ~ O. (b) Si ha lirn ~(x) = O per ogni xE I. Essendo ~(l/n)=l/2 (x= 1/n n-+a, è punto di massimo per~), la convergenza l'esercizio di gn è rappresentato 1.7. Il grafico non è uniforme, in figura grazie a1 1.2 per n = 1,2,10 ] y 1 y = n=1 nx 1 -1 2 1 2 1 I 2 I figura 1..2 1 20 1.12 Studiare la cessione [Si ha convergenza di lim in funzioni 2 I = (0,1] della 2 2 fn (x) n /(l+n 2 x ). Ifn(x)-f(x) = f(x) per ogni xe I. Essendo la convergenza non è uniforme, perchè nesswia fntx) • 1/x suc- I =_ n➔ m = 1/x 2 (l+nx 2 ), zioni 1.13 fn- f è limitata la convergenza cessione di funzioni lim fn(x) fil!! in I] . Studiare [Si ha delle in I= della n 2 x 2 /(l+n fn(x) = 1 per ogni x e I. [0,l] sue- 2 x 2 ). Essendo fn(l/n)=l/2,la convergenza n➔ m non è uniforme, 1.14 Sia (fn) grazie :una all'esercizio 1.7] successione di funzioni derivabili , in un intervalJo chiuso rivata Dimostrare (a) continua. Se (fn) successione memente in converge e limitato qualche delle derivate (f~) [a,b], allora anche in (b) Se (fri) converge na costante M tale che xe(a,b], allora e per memente ogni in con de- se la che: per formemente [a,b] x 0 e[a,b]e converge (fn) unifor- converge uni e se esiste u- M per neN [a,b]. [a,b]. puntualmente jf~(x)I (fn) ~ converge ogni unifor- 21 [(a) In base alla fonoula fondamentale del .calcolo integrale possiamo scrivere X J f~(t)dt • fn(x 0 ) + fn(x) X Indichiamo della con g(x) successione il V xe [a,b] , , V n EN. o limit~ per n -+ +co di f~ e con !I.. il di numeri reali fn(x 0 ). limite Definiamo poi X f(x) R. + = r Jx Con lo scopo di provare [ a,b g(t)dt Vxe [a,b] , o che (fn) ad converge f uniformemente in ] , consideriamo: I ~ Ifn(x Ifn(x)-f(x) b 0 )- R.j + J I f~(t)-g(t) I dt < a Si giunge facilmente convergenza fatte alla conclusione utilizzando le ipotesi di di Cauchy uniforme (teg su fn(x 0 ) e f~(x). (b) Basta di.mostrare che vale la condizione rema 2). e per il Per ipotesi teorema di Lagrange si ha, Yn: Vx,ye[a,b]. Sia [ a,b yi > O e E ] E Ii. sia costituita O =E /3M. Sia da intervalli { I 1 , ... ,Ir} di ampiezza una pa_rtizione minore di Per ogni p,qe Ne per ogni i è { 1, ••• ,r} o.,e siano si ha, J>er e [a,b]: I fp(x)-f 4 (x) I < Ifp(x)-fp<yi) I +.Ifp(yi)-fq(Yi) I4 + f (yi)-f 4 (x) I~ M lx-yi l+ltp(yi)~f 4 (yi) di I+ I+M lx-yiJ x E 22 > V Sia V tale che Vp,q Allora, poichè Vx E [a,b], E/3M, = e Vi e{1, ••• ,r} li E{ l, ... ,r} tale che j x-yij< Verificar~ che la successione >Ve (f~) f (x) = sen nx n n converge uniformemente camente nulla. VxE[a,b]J definita da Yxe[0,2n] verso la funzione identi- [La successione (fn) converge puntualmente verso zero. Essendo j f~{x)I= I _::.1, basta invocare il risultato preceden j cos nx te.Sì 1.16 6 si ha Vp,q l.is risulti conclude anche osservando che Dimostrare zioni che, continue la successione se I fn{x) I i 1/n ] (gn) è una successione ed equilimitate (fn) dell'esercizio definita in [a,b], di fun- allora da rgn(t)dt a ha un'estratta c-onvergente uniformemente. [ Sia M > O tale che Ign ( t) Ii M per ogni n e per ogn:i t. Essendo 23 f~(x) = ~(x), li Jx lfn(x) If~(x) I~ M e si ha I dt _i l&n(t) f a x M dt _i M (b-a) a per ogni ne per ogni x. Dal teorema di Ascoli-Arzelà 1.17 -~i dimostri il seguente segue la tesi] teor&ma del Dini.Sia (:Èn) una successione di funzioni continue convergerr te puntualmente verso una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [à,b]. Se (fn) è monotòna rispetto ad n, allora con verge uniformemente in [a,b]. [Pur di cambiare fn con -fn, possiamo li~itarci in cui fn(x) è decrescente ~ gn+l(x) rispetto a considerare ad n. Indichiamo con f(x) il li- e (gn) converge a zero.puntualmente. converge uniformemente. Fissato Dimostriamo Grazie alla contimiità zioni gn e per la d~crescenza della successione(~) esiste che O ~ g\J (x) che > o, per ogni x E [a,b] E < E/2. \ix E N tale il caso gn esiste delle ft..:J X to Ax contenente x tale che O i gn(y) < E, Vy E Ax un'aper- e Vn ~ Vx. U . • . U A e pon:iamo , xr = max {\I xl \} , ... , Vx } . Allora si ha O i gn(y) < E per·ogni e y · r per ogni n ~ V . Proponiamo anche una seconda dimostrazione, successione (f) n non converge unifonnemente E > O tale che, per ogni \/EN, esiste lrn(x)-f(x) I ~ E è verificata per assurdo: ad fin [a,b], se la esiste n > V per cui la relazione da qualche x E [a,b]. Consideriamo 24 il caso in cui (fn) è decrescente risulta quindi fn(x)-f(x) ad n. Essendo fn(x) L f(x), rispetto L E per qualche xe [a,b] con k arbitrario in N, si ottiene: Per l'ipotesi_di monotonia, se rn i k, si ha V xE [a,b Perciò risulta • Ponendo \J = k , k L m. ] , anche Vm,k e N,·con k L m. La successione(¾) è limit;i.ta in re da essa una sottosuccessione x0 E [a,b]. Per la continuità [a,b]. xkh E' perciò possibile estrar- convergente ad un numero reale di fm(x) e di f(x), al limite perti ➔ +co otteniamo Vm Ancora al limite, 1.18 stavolta E N. per m➔ +co, troviamo l'assurdo O~ è] Dimostrare con un esempio che il risultato dell'esercizio precedente non sussiste se si sosti tuisce l'intervallo chiuso e limitato [a,b] rispettivamente con: (a) (b) l'intervallo un intervallo [ (a) La successione aperto chiuso, (a,b). ma illimitato. fn(x) = xn converge decrescendo alla funzione continua f(x) = O per ogni xè (0,1), ma la convergenza non è uniforme (0,1) la stessa (Ei veda l'esercizio 1.3); successione in converge decre- 25 scendo anche nell'intervallo chiuso e limitato [O,l ] , ma in tal caso la funzione limite non è continua. Anche le successioni (fn)' (1:n) dell'esercizio 1.10 sono continue rispetto ad x è(O,l), sono decrescenti rispetto ad ne convergono puntualmente in {0,1) alla funzione identicamente nulla, ma la convergenza non è uniforme. {b) la successione (fn), definita da fn{x) = x/n, converge decrescendo a f{x) = O nell'intervallo 1.19 [o,+co), ma non uniformemente. Le successioni fn{x) = ex·n, ~(x) do rispettivamente forme su R] a f{x) = O e g(x) Sia fn(x) una in [a,b] che una funzione sa in [a, b]. [ Per ipotesi, = e(x+l/n) convergono decrescen = ex, ma la convergenza ~on é uni successione di funzioni per n➔ +co,ad f(x) è conve~ converga puntualmente, f(x). Dimostrare che per ogni n EN, fn{x) verifica la relazione Al limite per n➔ +"' si ottiene la 'disuguaglianza f{x) ] 1.20 Sia fn(x) una in [a,b] che una funzione sono derivabili allora l=f' successione converga f(x). in di di convessità per ~ funzioni convesse puntualmente, per Sia x 0 e(a,b). Se x0 e se converge f~ (x 0 ) fn(x)e n ➔ +co,ad f(x) ad i, (x 0 ). [Dato che per ogni n EN,fn{x) e derivabile risulta convesse in x 0 e convessa in [a,b] 26 Vx E [a,b]. Al limite per n ➔ +co otteniamo Vx E [a,b]. Dividiamo tivo entr"3Jllbi i membri per ~ R., x-x o Al limite per x ➔ x 0 f(x)-f(x) X > X se o si x-x o ottiene la tesi f'(x i R., se ) i] 0 X < Xo • La proprietà di convergenza delle derivate,proposta nell'esercizio precedente, vale in ogni punto x 0 interno all'intervallo [a,b], ma in g~ nerale non vale agli estremi dell'intervallo.MQ strare ciò discutendo il caso in cui fn(x) sia definita nell'intervallo [0,1] da: xn Vxqo,1] n [ fn(x) è una successione di funzioni a f(x) = O per ~xn-l, per x = l è costante i= 1.22 se (x-x 0 ) è posi distinguendo o neg~tivo: f(x)-f(x 1.21 (x-x 0 ), ogni x E [0,1] l, che è diverso Oimostrare sotto il [ Sia E: dalla convesse che, • La successione (f~ (1) derivata > O ; allora :il\J E N tale delle = 1) e quindi f'(l) = O ] il teorema 5 sul segno di integrale. per n➔ +a>, converge derivate converge passaggio al che per ogni n ~ V si ha al f~(x) valore limite 27 VxE [a,b] . Ne segue che per n LV 1.23 Sia (fn) una successione in [a,b], convergente mostrare che, per continue di funzioni uniformemente verso f.Di ogni p ~ l,risulta b lim J I fn - f IP dx = O . a [Dal teorema della media segue che 1 b-a b f Ifn - f Ip ·dx i sup If 0 - f Ip xE [a,b] Ja da cui la tesi] 1.24 Data la successione (f 0 ) definita in R da (fig. l. 3): se n i x < n + 1 altrimenti verificare che fn(x) ➔ f(x) = O per ogni xeR. Verificare inoltre che essa converge uniforme mente in ogni intervallo limitato, ma non con- 28 verge uniformemente in tutto R. [a,b] , se n > b si ha sup {fn(x):a,S_x,S.b Da ciò segue in particolare che fn(x) ➔ [ Per ogni intervallo ha sup {fn(x) : xER} = 1 f(x) = O, Vx ER. Invece } =O. si per ogni n EN'] y Vn --?-: y I I I I I I 1 I: I;i - - - - - - - - - - - -- ,....---o I orti~---X► n+1 n O I I I 2n ri figura 1.25 Per ogni presentata 1.3 neN si in figura consideri figura 1.4 se altrimenti. la funzione e definita 1/(2n)< in 1.4 fn(x) raQ [0,1] da x < 1/n 29 Mostrare (a) che: La successione ~ zione f(x) te in [0,1]. (b) Per n➔ + 00 = O f. 1.26 fun - di fn(x) nel- a zero. x E (O ;l segue non è uniforme, ] , per ogni n > 1/x la convergenza in quanto f ;;:;1/n = dx = O 1/(Zn) Si noti che O e il valore puntuale sup { fn(x) di : x E ;-;; dell'integrale ~ ( n ~)➔ o. 2n definito di f(x) nell'inter - la convergenza~ funzioni (fn) de ] Siano a> O, I =[0,b] della finita da fn lx) =O.Ne la non converge a zero. 1 J fn(x)dx [0,1] converge fn(x) La convergenza E [ O, 1 ] } = ;-;;- vallo definito per ogni n. Se poi si ha x > 1/n e perciò verso ma non uniformeme~ l'integrale [0,1] [ (a) Si ha fn(O) converge O puntualmente, l'intervallo fn verso (fn) b > 1. Studiare successione di r:'x 1-b n2x + ab b-1 n '- o In particolare, dell'integrale [ Se vede subito studiare la di fn su I. che (fn) 1/n <· x < b/n < x < b convergenza converge pW1tualmente alla b/n funzione per f(x) n ➔ ro = O, 30 l b V x E _I. Essendo o vergenza 1.27. unifonne, f b fn (x)dx = ab/2, = O, non può esservi f(x)dx corr o al teorema 5 J grazie Data la successione - x), calcolare, g 2 , ••• tali di funzioni fn (x)=n(x(n+l)/n_ per x > O, le funzioni g0 , g1 , che g 0 (x)=lim f (x), g 2·(x)=lim f~'(x), n ➔ co lim f' (x), n n ➔ co n ... n ➔ co Trovare inoltre il [Si trova in particolare derivnta ·n-sima di g 0 ] 1.28 Verificare = che (x 2 -x)n [0,1]. [ Se verifica faci !mente fn(x) converge I estremi di funzioni è fn(x)= nell'in- -1 < x 2 - x _$_O per ogni x E [O, 1] . Perciò che ogni x E [0,1] . Calcoliamo n I : x E[o,1]} = max {(x-x 2 ) n dell'intervallo. Perciò gn{x) = (x-x 2 ) è non negativa rt : x E [0,1] e si annulla agli asswne massimo in un punto interno allo in [0,1] }; LO,l], intervallo Risulta anche che¾ a zero uniformemente ' la funzione g 0 ,g 1 ,g 2 , ... Si verifica la successione a zero per M =max{ (x 2 -x) n g 0 (x) = x log·x. converge tervallo legame tra g~(x) che si può determinare annullando la derivata prima. n-1 -, = n(x-x 2 ) {1-2x) = O per x = o, x = 1 e x=l/2. Il punto x = 1/2 è di massimo per !;i(x) ed il valore massime vale M11 la 31 = i;,(1/2) ~ (1/4) n . Dato che per n ➔ +co,Mn converge a zero, sione fn (x) converge unifonneme11te in [ O,-1] . In figura segnato il grafico valori di fn(x) per alcuni nità di misura sugli assi) la succes- l. 5 abbiamo di di n (con due diverse u- ] y 1 16 1 1 64 figura 1.5 X 32 1.29 Verificare che la successione = (x~l)x-n converge a zero uniformemente nell' x L 1} • Per detenninare Mn consideriamo tervallo di funzioni fn(x)= in [1,+ai). -n [Poniamo Mn= sup {(x-l)x la derivata f~(x) = x -n-1 [ n - (n-l)x] • f~(x') > O per ogni x L l; mentre per n L 2, f~(x) sian- Per n=l risulta nulla per x = n/.(n-1), che è un punto di massimo (assoluto) [ 1, +ai ) . In corrispondenza l'intervallo -n M = f ( ) n n n-1 n n-1 ! ) ( - n per f(x) nel otteniamo M1 = 1 e ) -n n-1 . - 1 n-1 (l- l n - ) . n Per n ➔ +ai, Mn converge a zero. Perciò fn(x) converge uniformemente [1, + ai). In figura ni valori di n ] ------- ---- 1.6 abbiamo disegnato il grafico in di fn(x) per alc~ y 1 4 4 ----- 27 2 3/2 figura 1.6 X 33 1.30 Posto fn(x) = n(x-l)x-n (a) fn(x) converge (b) fn(x) non converge vallo [l,+e0). fn(x) non converge vallo [1,2]. fn(x) converge (c) (d) lo , verificare a zero per che: ogni xl 1. uniformemente nell'inter uniformemente nell'inter uniformemente nell'interval- [ 2, +CD)• [Si può procedere comenell'esercizio precedente. In particolare in (b) e (c) per ogni n l 2 risulta M n =f n ( - n n-1 ) =- n n-1 1 n (1 - - ) n ➔ e- 1 perciò Mnnon tende a zero e quindi la convergenzanon è uniforme.Invece, nel caso (d), per ogni n ~ 2 1 si ha: 1.31 Stabilire per successione limi te. la quali fn(x)=n Determinare successione xeR risulta ( n lx - 1) inoltre converge un convergente la e dP.terminare il intervallo in cui uniformemente. [Per ogni n pari fn(x) è definita per x ~ O. La successione diverge -CD per· x = O e convergeper x > O a f(x) = logx in base al limite lim n➔ +CD a xl/n _1 1/n Per deteminare un intervallo in cui la convergenzaè uniforme,studia- 34 n_ mo per x > O e n E N la funzione gn(x) = fn(x) - f(x)=n ( /x -1) - logx. La derivata 1 n:-1 g~(x) = x 1 1 X X ! - - = - (x n - 1) si annulla per x = 1, è positiva per x > 1 ed è negativa in (0,1).Il punto x=l è di minimo per &n(x) ed il valore minimoè &n(l)=O. Perciò gn(x) ~ O per ogni xE {O,+a,). Se ne deduce inoltre che fn(x) converge a f(x) u11iformementein ogni intervallo infatti, 1.32 [a,b] , con O<a <b; ad esempio, se a= l risulta: Date le (a) fn(x) stabilire il limite. degenere successioni di = (e-l/n2x2)/nx funzioni (b) gn(x)=e-l/(x2+n) per quali XER convergono e calcolarne Determinare almeno un intervallo non in cui la convergenza sia uniforme. [ (a) Si ha fn(x) ➔ f(xì = O per ogni x -I O. La convergenza è uniforme in ogni intervallo &r,i(x) -+ g(x) 1.33 Date (a) le che non contenga un intorno di zero. (b) Si ha = O uniformemente in R ] successioni di = (nLx2)2 (n2-x2)2+1 funzioni 35 3(x+n) 2 +2 (x+n)2 +1 log stabilire per quali xeR convergono e calcolarne il limite. Determinare almeno un intervallo non degenere in cui la convergenza sia uniforme. [ (a) Si ha fn(x) ➔ f(x)=l, ogni intervallo limitato. (b) Si ha &n(x) ➔ [a,+m) con che nell'intervallo g n (x)=(logx-xn+Z )/xn ➔ [1,+m) ➔ 1/x non uniformemente -x 2 uniformemente che nell'intervallò [o,+~) uniformemente non uniformemente 1.36 Verificare f n (x)= che nell'insieme R n sen(x 2 +l)+n 2 x uniformemente ➔ -,~ n2(x2+1) x 2 +l sen x non uniformemente 1.37 Verificare che in è unifo_r a ER] f n (x) = (xn-I + log x n) /xn 1.35 Verificare è uniforme g(x) = log 3 per ogni xE R. La convergenza me in ogni intervallo 1.34 Verificare per ogni x ER. La convergenza 36 f n (x) [-1,1] in 1.38 + (1- ✓ 1-x 2 2 /n) sen(x = )/n ➔ O uniformemente. Verificare che f n (x) (cos ➔ f(x)=-1 x)/n-cos(x/n) in R non uniformemente. [ Si ha fn(n)-f(n) ➔ 1-cos 1.39 Sia (x)n la successione l'intervallo la 1] [0,1]. successione dei numeri . Studiare la f 0 definita in razionali del- convergenza del- [0,1] da X E { X l , • • . , xn } x È [ O, 1 J - {X 1 , . . . , Xn } [La successione da f(x) (fn) = 1 sex x è razionale, n > \! f(xn+ll = 1 puntualmente è razionale, allora e perdò le si ha fn(x) converge f(x) esiste risulta \) fn(x) verso = O sex è irrazionale. per ogni n > V. non vi può essere sup { convergenza definita Infatti se per ogni Se x è irraziuna- = O per ogni n. Poichè per ogn,i n EN risulta allora f che x E {x 1 , ••• ,xn} tale = l la funzione I fn(x) - f(x) I : x E [0,1]} uniforme ] = 1 fn(xn+il=O e perciò 37 lB. Serie Sia nite (fn) di fun.zioni una successione nell'intervallo di I di funzioni R. Se per reali ogni defi- xel la serie CO E n=l è convergente, cioè, se la successione (sn)delle som me parziali converge rie puntualmente in I, allora si dice che la se uniformemente in (1) u- di funzioni 00 (1) in è convergente Se la I verso successione f, niformemente allora in Se esistono lfn(x)/.::_ I. M11 per (s) Il si dice I verso f. dei numeri xEI e per ca M1 + M2 + ... + M n + ... ce çhe la serie Si verifica (1) converge che Yeali serie Mn ~ O neN e se la è convergente, è totalmente facilmente la che converge che tali serie n_umeri- allora si di convergente in una totalmente serie convergente è anche uniformemente convergente. I teoremi di passaggio al limite sotto I. il segno 38 di integrale o di zioni (ved.paragrafo vi all'integrazione spettivamente. derivata per le successioni di funlA) implicano i seguenti,relatio alla derivazione per serie, ri- TEOREMA(di integrazione per serie). zioni continue in I = [ a,b] converge Se la serie (1) di fun uniformemente verso f ,a!:._ lora b J TEOREMA(di derivazione in I J f (x) dx n n=l a ni derivabili rie derivata b <» f (x) dx = E a per serie). Se la serie (1) di funzi~ in I verso f e se la se- = ( a.,b ) converge a, E n=l converge uniformemente in I, allora f è derivabile f'n in I e risu!:._ ta a, f I (X) E vxer. f~ (x) n=l 1 .40 Dire se la serie geometrica 1 + x + X 2 + ... è convergente O<a<l. +xn-l unifo1·memente +. per XE I= [-a, a], con [Essendo IXn-1 I .$_a n-1 ed essendo O< a< 1, la serie Vx H data è maggiorata da una serie numerica 39 convergente 1.41 Dire e perciò se la senx essa converge totalmente in I ] serie - sen 2x + sen è convergente per 3x - sen xe(O,n). [La serie non converge in alcun punto x E (O, 'li), 1.42 ne generale (-l)n,+- 1sen n x non converge] Studiare per a, xeR la COS E ll 4x + ... convergenza perchè il" suo tenni- della serie X n2 n=l [La serie è totalmente in R. Infatti convergente si ha I (cos nx)/n 12. 2 a, .::_ ·1/n 2 e la serie E l/n 2 è convergente numerica (ved. es. 6.21 n=l del vol. 1.43 I, parte Stabilire a:, (a) [ (a) 1.44 E X per quali ] x > O convergono a, 1 n=l nxn > l; (b) Verificare (b) X ~ l] la serie totalmente in E n=l E n=l che a, converge seconda) 1 n 4 xn [1,+~). le serie 40 [ Per ogni x ~ 1, risulta 1.45 Studiare rie a> (a) la 1/(n 4 xn) i con~ergenza E ~ e -nx n=l, n 1/n 4 ] puntuale in 00 (b) converge puntualmente il termine_generale x = O risulta fn(x) =e -nx nenx se e solo sex~ O. Infatti, x/n non è infinitesimo"per fn(O) = O e -la serie se- 1 E n=l [ (a) La serie R delle ha somma zero. se x<O n -->a>. Se è x >O Se infine essendo O< e-x < 1, la serie a, (e E X -x n ) n n=l converge in base al criterio della radice o del rapporto; converge puntualmente se e solo sex> o] 1.46 Si consideri la parametro serie reale. ; L ------ X n P ( 1 +nx 2 ) n=l Verificare che (b) la serie essendo p un essa: (a) converge puntualmente su R se p > O; (b) converge uniformemente su R se p > 1/2. [ (a) Sex= O la serie ha somma zero. Sex# O, per il criterio infinitesimi (paragrafo 6B del volume 1°, parte ha lo stesso carattere della CX> E n=l serie seconda) la serie armonica generalizzata 1 nP+l ed è quindi convergente se (e solo se) p + l > I, cioè se p > O. degli data 41 (b) Poichè la funzione dispari mo su R per x = 1//-; , risulta 2 fn(x)=x/(1+nx )assume il valore massi l 2n(p+l/Z) (p+l/2) . numerica di terminP. generale 1/n e convergente se p+ + 1/2 > 1. Dunque la· serie data è totalmente e perciò uniformemente (e assolutamente) convergente se p > 1/2] La serie 1.47 Verificare che la x-(x 2 /2)+(x 3 è uniformemente sup O~x~l nerale /3)-(x 4 /4)+ ... convergente convergente 1v1 totalmente [Si ha serie in [0,1], ma non la serie di termine~ lxn/n I= 1/n ed e8sendo divergente 1/n, allora la serie data non è totalmente convergente. Per ogni x E (0,1] la serie data è una serie numerica alternata termine genE:rale infinitesiuio e decrescente ir. valore a5soluto. Per il teorema ~ulle parte seconda) la serie funzione f(x); sulta e perciò 1.48 inoltre, la convergenza Utilizzando calcolare il la è .. serie alternate (vcd. ~aragrafo e-on 6C del vol.I, è convergente pun_tualmente in [O, 1] verso una detta la successione (sn(x)) di sn a f è uniforme ridotte,ri- ] teorema di derivazione somma della serie 1+2 X+3x 2 + 4x 3 + ... + nx n-l + ... delle per serie 42 nell'intervallo , [osserviamo fatti I [-a,a], con in primo luogo che per x e I O< la serie a< 1. data· è convergente.In si ha lim n ➔ CD lim n ➔ CD lim li.'11 n ➔ a:, n ➔ CD jxj~a<l (si veda la (4) del paragrafo 7Ddel vol. I, parte prima) ed allora la serie converge assolutamente grazie al criterio il cap. 6 del I parte la serie val. è totalmente La serie seconda). Essendo della· radi.ce n j x jn-l i (ved. nan-l per xEI, e perciò uniformemente convergente. data si ottiene derivando termine a termine la serie geom~ trica l + X + X 2 + •.. che converge f(x) e perciò uniformemente in I verso totalmente = 1/(1-x). -!- xn + ... Pertanto, dal teorema di derivazione la funzione per serie, segue che CD 1+2x+3x 2 + ... + nxn-l E xn) + .• . = D ( n=O 1.49 Verificare che CD la X e n converge serie D 1 1 1-x 1-x) di funzioni -nx totalmente in I= [0, 00 ) [La serie converge pW1tualmente in I (ved. l'esercizio lire se essa converge totalmente sup { X n e 2 ] -nx in I, calcoliamo x~O 1.45). l'estremo Per stabisuperiore: 43 Per ogni n EN la funzione = e -nx (1 - nx)/n. massimo per fn. chè la serie La derivata f~ si annulla Si verifica e risulta f~(x)= che è punto di. per x = 1/n, che Mn = fn(l/n) = l/(en 2 del vol. I, part_e seconda) allora la se- è totalmente convergente facilmente ). Poi numerica 1 <D <D E 1 n=l n2 E Mn = - n=l è convergente rie = xe -nx /n è derivabile fn(x) e (ved. di funzioni es. 6.21 considerata che uniformemente ed assolutamente convergente in I e quindi in tale insieme an ] <D 1.50 Stabilire se la serie di funzioni E xe -nx con n=l verge totalmente [ Posto Mn= sup I x Lo} {xe-nx: data non converge 1.51 in [0,+m). si vede che Mn=l/(en).Perciò Stabilire se la serie considerata zio precedente converge totalmente nell'eserciin I=[l,+~). [ Posto Mn = sup { xe -nx : x L l} , si ~ede c,he Mn = e -n. rie 1.52 converge Stabilire la serie totalmente] totalmente per Perciò la seper x L 1] quali x ~ O converge la serie CD E (/n 3 +(x 2 +2)n 2 +4 - ✓ n 3 +3xn +1) 2 n=l [La serie converge in ogni altro solo per x = 1 x LO. Infatti e x = 2; essa è invece si ha / n 3 + 3xn 2 + 1 dive~gente 44 (x 2 - 3x + 2) n 2 + 3 Ne segue che : se x 2 - 3x + 2 = O Xcioè sex= 1 oppure x=2), allora il termine generale della serie è infinitesimo dello stesso ordine di n-j/Z e quindi 1~ serie è convergente (ved. il paragrafo 6B del vol. 1.53 I, parte seconda), per n ➔+·a,] Altrimenti il termine Determinare la serie l'insieme dei a, L n=l converge vergenza generale non è infinitesimo numeri reali x in cui tale insieme la con- log(l+nx) n 3 x+n 2 e stabilire se in è totale. converge puntualmente e totalmente per x ~ O. Si osservi che dalla disuguaglianza log (l+y) ~ y, vy > - 1 (ved. l'eserc. 1.50 del vol. I, parte seconda) segue che il termine generale della serie data si può maggiorare con 1/n 2 ] [ La serie 1.54 Studiare la a, E n=l [ La serie 1.55 convergenza della serie n log (l+x/n) (x+n) 2 converge puntualmente Verificare te co~~erge puntuale per x > - l ] che la serie totalmente dell'esercizio nell'insieme precede~ [O,+"'). 45 1.56 Stabilire per quali E fn (x) con risulta xeR convergente la O) serie n=l { { [ (a) O~ x < 1/e, 1.57 Studiare la serie per x=-1; (nx)" /n ! /(nx) 4 3x/n _ n ! / (nx) se Xl 0 se X < 0 2 1/n se x l O n se x < O +1 (b) x =log 2 /log x >Ola -n 2 3, x < - 1/e convergenza ] puntuale del· O) E x-log n n=l [La serie si può rappresentare O) e -(log n)(log sotto la forma x) n=l ed è quindi convergente val. 1.58 se log x > 1, cioè sex> e (ved. es.6.21 del I, parte seconda) ] Studiare funzioni la convergenza puntuale della serie di 46 CD + 1/x n] [ (x/2)n L n=l [E' opportuno eseguire la scomposizione a, CD [ (x/2)n + 1/xn] I E n=l n=l La serie lC. risulta Se.rie Sia reali. CD 1/xn. n=l che 1 < convergente per ogni x tale di I X I< 2 ] potenze a 0 ,a 1 , ••• La serie I + (xtzt ,an, di ... una successione (di punto di numeri funzioni /Xl (1) I n=O si chiama coefficienti serie di potenze a 0 , a 1 , ••. , iniziale zero), a n' •.. Si chiama raggio di convergenza della serie di ze (1) l'estremo sup·eriore re[O,+°'J dell'insieme gli xeR nei quali essa converge. Si possono verificare tre casi: 1) r=O. 2) Allora 0 < r < + °'· per x E (-r,r) nuto in (-r,r), lx I > r. 3) r = + CD gni xe R di R. la serie di (1) converge solo pote!!, de- per x = O. Allora la serie (1) converge assolutamente e totalmente in ogni intervallo chiuso contementre non converge in alcun punto x tale che Allora la serie (1) e totalmente in ogni converge intervallo assGlutamente in ochiuso e limitato 47 Osserviamo che, nel caso 2), nulla. si può dire in g~ nerale sulla convergenza della serie di potenze nei punti -r, r. Per il calcolo del raggio di convergenza di una serie di potenze, sussistono i seguenti teoremi. TEOREMA DI CAUCHY. se esiste lim = 1 n~ limite il R, E n ➔ co allora è dato il raggio da r di convergenza della serie di potenze (1) r = 1/1, pur di porre = + co. 1/0 TEOREMA DI D I ALEMBERT. Se risulta siste il n ed e- Ia:+~I = 1 eR lim n ➔ co allora an I O per ogni limite il raggio di convergenza r della di funzioni (1) è dato da r = 1/J!. pur di porre 1/0 = +"' Più in generale, (2) una serie "' }: an(x-x n=O n 0 ) = a 0 +a 1 (x-x ove x 0 eR, si chiama Si dimostra che l'insiene serie 0 del n )+ ... +an(x-x di potenze X dei tipo 0 ) di punto numeri reali + ... , iniziale x per cui 0 • 48 essa converge è sempre un intervallo, detto intervallo Precisamente, se r è il raggio di con vergenza della serie (1) avente gli stessi coefficieg ti e punto iniziale O, allora l'intervallo di convergenza X è: di convergenza. r = o ,. se ii) uno degli intervalli di x 0 -r, estremi x 0 +r, se O<r<+co; iii) R, se r + cc numero r si chiama raggio anche del di convergenza (2) . serie (2) ha rag_ Si dimostra che se la serie di potenze gio di convergenza r > o, la sua somma f(x) definita per x e (x O -r, x 0 +r) da Il la Q) (3) f(x) L n=O è continua sulta e derivabile (4) f I (X) in (x 0 -r, cc L n=l (5) Ix f(t)dt X o nan (x-x cc an n+l L n=O x 0 +r). Inoltre ri- n-1 0 ) ( x-xo ) n+l , le serie a secondo membro delle (4) e (5) avendo anch'esse raggio di convergenza uguale a r. Si dimostra inoltre che, se la serie (3) ha raggio di convergenza r > O, allora f è dotata di deriva te di ogni ordine in (x -r, x 0 +r) e risulta 0 49 VneN. per cui la (3) esser può f(x) E la forma n! n=O Enunciano sotto .cCnl ('" ) .L Ao a, (6) riscritta infine il seguente TEOREMA DI ABEL. se la sex ie di potenze ( 2) ha raggio di convergenza rE (O,+°') e converge in x 0 +r (rispettivamente in x O -r J, allora essa converge uniformemente in [ s,x O +r] ( rispe!:_ tivamente in [x 0 -r,s ]J per ogni se (x 0 -r, x 0 +r). In particolare la somma f(x) è continua in [ s, x 0 +r·] (risp. in [x 0 -r, s ] J. 1. 59 Verificare che le seguenti serie = di convergenza r 1 no raggi-o CD (a) E X CD n (b) Studiarne tervallo t.(a) (c) n n~l n=O <lD xn E della serie georretrica agli n2 estremi Ix I < 1. (b) Si ha an+l/an = n/n+l e perciò r = 1, grazie ma di D'Alembert. La serie c·onverge per x = - 1 (vEd. del vol. seconda), non converge I, parte 6.5 del val. I, parte ciò r = 1, grazie - 1 (ved. (ved. (c)' Si ha an+l/an 6. 39 del ,val. 6.21 del val. I, parte in solo se al teore- l'eser::izio 6.38 per x = 1 al teorema di D'Alembert. l'esercizio l'esercizio seconda). dell' x che converge di ragione han xn E n=l il c_omportamento di-convergenza. Si tratta di potenze I, (ved. l'Pserc-izio = n 2 /(n+l) 2 e per- La serie parte converge seconda), per x = e per x = I seconda)] CD 1.60 Verificare che la serie di potenze I n=O n! x0 ha 50 raggio [si di convergenza ha ::'n+ifan = (n+l) ! /n! r = 0.- = n + 1 ed allora basta invocare il teorema di D 'Alembert ] 1.61 Determinare il rie di potenze raggio di CD (a) convergenza r delle se- CD E (b) n=l E n=l (3+1/nP [ (a) Essendo (n+l)/(n+2) = (n+l) 2 n/(n+l) n(n+2) si ha lim I e perciò _r = 1, a nonna del teorema di D1Alem bert. (b) Si ha· lim n/i/ [ 3+(1/n)] n = lim 1/ [ 3+(1/n)] = 1/3 e pe!: n ➔ o:> ciò r = 3, a normadel teorema di Cauchy] 1. 62 Determinare serie guenti CD (a) E n=l a, (c) (e) E n=l di convergenza il raggio di potenze xn n! xn si1 a, nn xn E n=l n! r delle se- a, (b) E n! (x/2)n n=l a, (d) E n=l CD (f) E n=l X n nn n! xn nn [ (a) Essendo an'an+l = (n+l)!/n! = n+l, si ha r=+a,, a nonna del teorema 51 n (b) r=O. (c) Essendo~ di D'Alembert. del teorema di Cauchy. = -1/5, si ha r = s, n n iit.ç-= n/ /~, sendo a norma n (d) Essendo / an = 1/n, si ha r=+ co. (e) Es .risulta ~ = e (ved. lim 1 1 esercizio n➔ m I parte 7.58 del vol. 1.63 Determinare serie prima) e perciò si ha r=l/e. l'intervallo delle (X) E (b) E n=l n=O [ (a) Per verge. r = e] I di convergenza (X) (a) (f) Ix I Per .S. 1 Ix I ·n2 Ix I /n! si ha .S.1/n! e perciò n2 > l si ha lim ( lx I ~ /n!) [ -1,1] t =+ co perciò con2 ( lx In /nn)= non converge. Pertanto I = convergènza della n ➔ co = lim ( Ix I n/n n ➔ a:> la serie • lim n· ➔ m là serie . (b) Posto t = 2x, studiamo la serie a, ~ tn/ /;.Essendo (l/~)/(1/ I n/(n+l) /-;)= n=l rna di D 1 Alembert questa serie converge > 1. Per t = 1 essa si riduce alla per serie lt serie i: 1. / /-;;- e n=l che converge. L (-l)ntrn alternata I<1 e diverge per !ti> divergente e,:, t = - 1 alla· ➔ l, per il tecre- per In definitiva n=l la serie 1.64 data converge Determinare [-1/2, l'intervallo 1/2)] di convergenza I della xn (X) serie per x El= E n=O [Essendo an+l/an D'Alembert = (n+1)2 n / [ ( n+2)2 n+l segue che il raggio =2. l'e;::-tanto la serie converge J = (n+l)/2(n+2), di convergenza per Ix I della < 2. Per dal teorema serie data x = - 2 di valer= essa si 52 riduce alla serie si riduce alla 1.65 armonica alternata serie Determinare o:, serie l'intervallo log n n· 2 n E n=l che converge, mentre, per x=2 essa armonica che diverge. Dunque è I= di convergenza [-2,2) ] I della Xn [Essendo log(n+l) (n+l)2n+l log n 2 n n+l log(n+l) logn dal teorema di D'Alembert segue che il raggio di convergenza della rie data vale r = 2. Pertanto la serie converge per essa si riduce alla serie alternata I x I < 2. sePer x = - 2 log n . n che converge, mentre per x = 2 essa si riduce alla serie E log n n=l che diverge 1.66 in quanto maggiorante Calcolare, il raggio "'E r=l se la:l a; della serie per ogni valore del di convergenza della a(a-1) I= 0,1,2,3, è definitivamente ... (a-n) armonica] parametro reale a, serie di potenze ,xn n! n=l [Essendo 11 Ia -n-1 I , per ,il teorema di D'Alembert n+l si ha •.• Altrimenti il termine generico della serie data nullo e perciò essa ha raggio di convergenza r=+ 00 ] 53 1.67 Studiare la convergenza 2n CD (a) E X delleCO n (b) X I n = 2 ~ / [(a) Essendo an+l/an bert il raggio di convergenza è r = 1/2. Per x = - 1/2 si ottiene serie alternata lim n -+CD convergente, a +Ifa n n = I, parte 1/9. Perciò /n+4 finitesimo seconda). (b) Si verifica il raggio di convergenza (D E n=l (D (c) E n=O il raggio di convergenza seguenti serie di potenze Sn xn zn n=O CO n (d) X l: n=l X E E n (D n=l [ (a) r = 2; diverge (ved. facilmente che valer= 9. la s2 generale non è in ( b) r Determinare scuna delle = + co; ( c) r = l; ( d) r T di ciascu- n1 (D (b) .(n+l)n n! CO (e) suo termine .una ] Calcolare na delle (a) , per il teorema di D'Alem - mentre per x = 1/2 la serie rie non converge per x = ± 9, perchè il 1.69 di potenze n=l n=O es. 6.21 del vol. 1.68 serie (n+l)! X n n n+l n 3 +n?. xn (1 +n) s 5; ( e ) r= 5; ( f) r= 1 ] l'intervallo di convergenza seguenti serie di potenze di cia- 54 (a) (c) ~ n(x:3r n=l 2 "' E (x+t.Jn a, ~ n=l lD. (-5, (e) [-5~ -i] ; Serie -1); di n zn ✓ n+l m E nn(x+?)n (d) n=l a, (x+3)n 2~3 [(a) (x+4) E n=O n2 n=l (e) m (b) (f) (b) (f) [-6, -2); [ -10, (e) -8] (x+9) n-1 E n=2 (n-1) [ -3, -1); (d) 2 {-7 } ; ] Ta.ylo:r Sia f(x) una funzione ogni ordine nell'intervallo serie dì funzioni reale dotata di derivate (a,b) e sia x~e(a,b). di La m (1) r n=O prende il nome di serie di Taylor nì z iale Xo. Se la serie (1) è convergente cioè se risulta, Vx:e(a,b): f(x) di f (x), in di punto (a, b) verso i- f(x), E n=O allora si dice che f (x) è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x 0 , nell'intervallo (a,b). Dalla definizione del resto n-simo Rn (x) della formula di Taylor 55 n f(x)- E k=".l si ricava che: f(x) sia in (a,b) sviluppabile è che (2) condizione necessaria e sufficiente affinchè in serie di Taylor di punto iniziale x0, lim Vxe (a, b). n ➔ m· Da tale condizione, grange per il resto ricordando Rn (x): l'espressione di La- la con (3) (con~ opportuno valore seguente stima del resto Mn+l (4) (n+l)! nell'ipotesi si deduce Mn+l il compreso Ix-xo I = sup { I én+l) fra x 0 e x)e n+l (x) I :xe (a, b) }< "", seguente TEOREMA 1. Se f(x) è dotata di derivate b) ed esistono M,L ~ O tali che di ogni ordine in (a, Vxe (a, b) (in particolare se le derivate di f sono equilimitate in (a,b)J allora, lz'x 0 e (a,b), f(x) è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x 0 nell'intervallo (a,b) e si ha: 56 [L (b- a) J n+l (5) IRn(x)I Le stime zioni al del resto (4) e (5) hanno notevoli calcolo numerico dei valori delle Utile < è inoltre M, (n+l)! il Vxe(a,b). applica funzioni. - seguente TEOREMA 2. Sia f(x) dotata di derivate b) e sia x 0 e(•,b). Se risulta di ogni ordine in (a, a, f'(x)=I Vxé(a,b), n=l cioè, se la serie derivata della somma f', allora f è sviluppabile niziale x 0 nell'intervallo (a,b). Nel caso serie x 0 la serie (1) di f (x) . = O, di Mac Laurin Sussiste serie di Taylor di in serie di Taylor infine il prende anche f ha_ per di punto i il nome di seguente TEOREMA 3 Se f(x) è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x 0 nell'intervallo I =(x 0 -r, x 0 +r) e se g:X ➔ I è una funzione definita nell'insieme X e R tale che g(X) è chi!:!_ so, allora si ha, uniformemente.in X a, 1. 70 Sia f(x) = E n=O per lxl< r e sia g(x) t=rnin {r,s}, verifi- per lxi< a, E bnxn per n=O care che lxl< s. Posto a, f(x)+g(x)= E n=O t. 57 [ Basta oss:irvare che per ogni k E N n=O 1.71 Calcolare i primi quattro coefficienti della rie di Taylor di punto iniziale x 0 =l di f(x) = 1/(l+x 2 ). [a 0 =f(l)= 1/2; 1.72 [Si la = cos ha f(n)(x) Pertanto rie 3 = 24(x-x Scrivere f(x) f'(x) =- Ìx/(l+x = (6x 2 -2)/(l+x sendo f"(x) f'"(x) essendo 2 )/(l+x ) 2 4 ) 3 , ) 2 , , si ha a 3 = f (3) di Mac Laurin hx =(ex+ e-x)/2. = 1 se n è pari, di cos hx è perciò = 1/4; (1)/31 serie è f(n)(O) si ha a 1 =f'(l)=-l/2; si ha a 2 = f"(l)/2! = cos hx se n è pari, di Mac Laurin 2 s~ = = O es- essendo ] della funzione f(n)(x) = sen hx se n è dispari f(n)(O) = O se l+(x 2 n è dispari. /2 ! ) + (x 4 /4 ! ) . La sg_ + ... + + [x 2n/(2n) ! ] + ... ] 1.73 Scrivere la serie f"(x)=2 =(-l)n2ne-zx. ... + (-l)n 1.74 di Mac Laurin 2 e- 2\ Ne sego1e che la serie 2n n! Scrivere f(x)=(l+x)a f(J)(x)=-2 cercata della 3 e-Zx funzione ; •.. r(n) (x) 23 I x2 - - z2 è l-2x+ 2! x3 3! xn + .•• ] la serie di Mac Laurin per x > - 1, aeR. della funzione + .. 58 [si ha f' (x) . a(a-1)· = ; ... ·(a-n+1)(1+x) . . . . ( a -n+1), e la serie a, Scrivere f"(x)= a (a. -l)(l+x) a~ W cercata .Perciòf a-2 (O)= ... f (n) = (x) a(a-1)· .... é a (a -1) ... (a -n+l) 1 + E 1.75 a-1 = a (l+x) n J X n=1 n! la serie di Mac Laurin della y" = x/ / (1-x 2 ) 3 = xy'/(i-'l< funzione y = arcsenx. = 1/ ✓ 1-x 2 [ Si ha y' , 2 ), da ... cui (6) (1 - Dalla (6) si deduce colo delle n-sima una formula per ricorrenza successive di y=arcsen del primo membro della 2 (1-x derivate 2 )y 11 - xy 1 = 0. X )y da cui, (n-12) - 2nxy (n+l) assai utile x. Calcolando per il la cal- derivata (6) si ha - n(n-l)y (n) -xy (n+l) -ny (n) = O semplificando ed ancora y (n+2) [ (2n+l)xy Poneindo x = o si ha y (n+2) (n+l) + n2 y (O) = n 2 y (n) (n) 2 ]/(1-x (O), ) da cui, essendo y (O) (O) = y(O) = O segue 'Y (2k) (O)=O; Se ora indichiamo, rali non maggiori y (2k+l) . (0)=1 2 ·3 2 ·5 2 ... (2k-1) VmE N, con m! ! il prodotto di m ed aventi la stessa 2 • di tutti parità i nwneri natu- di m (ad esempio 6!!= 59 2·4·6; 7!! = 1·3·5·7), y (2k+l) lx 3 1·3 x+ - - +·- 1.76 (O) a x5 2 ·4 5 CD n=O x3 2 1.77 Verificare serie di - ..• 3 che Taylor X + (-1) (n) (x) n-1 xn - n J 2n+l di Mac Laurin [Si verifica per· induzione chef la serie cercata è + - 2n+l (2n-l)!! (2n)! ! + ..• Scrivere la serie f(x) = log (l+x). X segue ] 2 (2k.-l) ! ! [ relazioni di Mac Laurin di y = arcsenx .è Perciò la serie 2 3 dalle precedenti (-1) della n-1 funzione (n-1)!/(l+x) n e perciò + ... J sussistono i seguenti sviÌuppi :in XER (b) 1 /x = 1-(x-l)+(x-1) 2 +(-1) - ••• n+l n-1 (x-1) +... (c) logx=(x-1)- + ( - l) n+l + xe(0,2) Cx-12 2 + (x-12 3 2 (x-l)n n + ... 3 - ... + xE(O, 2) [(a) Le derivate di f(x) ex essendo equilimitate in ogni intervallo]i mitato di R, basta applicare il teorema 1. (b) Per x E(0,2) si ha 1 -x e (-1,1), perciò la serie geometrica di primo termine 1 e ragione 1-x è convergente e si ha 60 1 X __ l_ 2 1 + (1-x)+(l-x) 1-(1-x) + •.• +(1-x) n-1 + .... (c) La serie derivata della serie a secondo membro di (c),_coincide con quella considerata in (b) che converge verso D logx = 1/x. Si può perciò applicare il teorema 2 ] 1. 78 Verificare serie di X che sussistono Mac Laurin. (a) e- (b) senx (c) cosx=l- (<l) arctgx=x- (e) senhx (f) coshx=l+ =1-x+ seguenti X2 xn 2! n! 3 X x- -+ 3! x2 + 2! 2! X . (x e R) 2n + ! (Zn) X ---+ .+(-l)n 3 x2 X ~----+ (x eR) 2n+l x3 + in (xeR) (Zn+ 1) ! n .. +(-1)· + sviluppi 2n+l n .. .+(-1) -+ X i x3 3! + ... + .. + + X (xe[-1,1]) 2n+l X 2n+l (Zn+l) ! + ... (xeR) 2n (2n) ! + ... (xeR) [(a) Segue dall'esercizio pr.ecedente.(b) Le derivate di f(x) = senx essendo equi.limitate in R, basta invocare il teorema 1. (c) Le derivat"\di f(x) = cosx essendo equilimitate in R, basta invocare il teorema 1. (d) La serie derivata della ·serie a secondo membro è 1-x 2+... +(-1f""1 x2 (n-l) + ... cioè è la serie geometrica di primo termine 1 e di ragione -x 2 ,che nell'intervallo (-1,1) ha per sorrana1/(x 2 +1); allora, invocando il te.Q rema (2) si ha lo sviluppo indicato per x E (-1,1).Che lo sviluppo su~ sista anche per x = ± 1 segue dal teorema di Abel. (e) Essendo senhx = = (P.x - e-x)/2, si può invocare il risultato dell'eserci1.io 1.70 e gli 61 sviluppi ti (a) del presente esercizio ..;eme in (e) l'uguaglianza 1. 79 Verificare ti sviluppi (a) log (l+x) ( - l) L a, [(a) i seguen- geometrica di pri- n X 2n X a, L X 2n n=O YR= 2n+l CD (d) (f) Si sfru! n=O 1 l-x 2 (c) (-1)" L n+l n n=l 1 l+x~ _precedente. per xe(-1,1) sussistono serie di Mac Laurin che in a, (b) e di quello coshx = (ex + e-x)/2] log X E X 2n+l n=O Ved. la (e) dell'esercizio 1.77. (b) E' la serie 1 e ragione -x 2 • (c) E' _la serie geometrica di primo temine 1 e ragione x 2 . (d) La sede derivata deìla serie a secondo membro mo termine di (d) coincide con quella -x 2 ) = D log /(l+x)/(1-x). può. procedere log 1.80 anche /(i+x)/(1-_x) (a) stessa·, zicne lo sviluppo nella val. parte zie precedente altra Pre~isamente, via. log (1-x) il verso teorema 1/(1 - 2. Si osservando che ] /2 ed allora quale si cambi x in -x, la relazione 2 = 1- 2+ 3 la serie I, applicare si ottiene dalla (a) e per sottra - desider<1,to ] Dimostrare [Poichè in (c) che converge Si può perciò [log(l+x)- dalla log per c~nsiderata 1 1 1 4 + .. a secondo membro converge seconda), il possiamo applicare teorema di Abel. Pertanto + ... n (ved. l'esercizio alla serie 6.38 (a) dell'eserci la (a) sussiste anche del per 62 X = 1] 1.81 Calcolare la derivata sesta f( 6 )(0) ne f(x) = 1/(l+x 2 ), utilizzando il in serie di Mac Laurin. . [ Dalla (b) dell'esercizio · te dix 6 1.79 segue chef , è uguale a -1. Pertanto f (6) 1.82 Senza effettuare il calcolo cessive della funzione f(x) care"che f( 7 ) (O)= 6! [ Dalla (a) dell'esercizio 1. 79 segue che (6) della funzio suo sviluppo (0)/6!, cioè il coefficien (O)= - 6! ] delle derivate suc= log (l+x), verifi /7)(0)/J!, cioè il coefficien te di x 7 , è uguale a 1/7] 1.83 Dare un esempio di funzione rivabile in tutto R, la cui non converge in tutto R. indefinitamente deserie di Mac Laurin [ Ad esempio f(x) = l/(l+x 2 ) la cui serie di Mac Laurin, l'esercizio 1.79 (b), converge nell'intervallo [ -1,1] 1.84 Sia f(x) [a,b] una funzione con derivata (a) Dimostrare Rn ( X ) = per derivabile X n+l volte f(~l)(x) continua. induzione la formula Jx ( Xn!- t ) n f (n+l) ( t) d t , indicata ] nel- in Vxe[a,b], o che esprime, in forma integrale, formula di Taylor di f di punto il resto della iniziale x 0 e[a, b]. (b) Dedurre dalla rappresentazione del resto in 63 forma integrale la sua espressione secondo Lagrange: esiste un punto s nell'intervallo di estremi x ed x 0 per cui e [Ricordiamo che, per definizione, (a) Per n = O, dalla fonnula fondamentale niamo f del calcolo integrale otte X f' (t)dt = xo Supponiamo per induzione che per qualche n risulti (k) n f(x) = E k=O f --- (x 0 ) k! f x (x-x ) k + o xo n (x-t) (n+l) --, - f (t)dt. n. ~upponiamo anche che f(x) ammetta derivata(n+2)-esima [ a,b ] • Integrando per parti otteniamo f(x) continua n - E k=O (x-t) n+l n+l f ___ (n+l)! (x)....._ (x-x ) 0 n+l + J xo (x-t) (n+l)l n+l f (n+2) l f (n+:l.) (t)dt = x (n+l) in (t)dt - 64 che è quanto si voleva diEostrare. (b) Supponiamo x > x 0 (le differenze con il caso x < x 0 sono soltanto formali). Indichiamo con m,M rispettivamente il minimo ed il massimo di (n+l) (n+l) f (t) nell'intervallo [x 0 ,x] , certo esistenti essendo f continua. Dalle disuguaglianze spressione integrale m ,i f del resto (n+l) . (t) ,i M, Vt E [x 0 ,x], Rn(x) ne deduciamo che n (x-t) --n! (x-~) dt ,i J\i(x) ,i M n. L'integrale 1 è calcolabile (x-t) n! n dt elementarmente _ (x-t) 1 n! e dall'e- [ n+l n dt. e vale n+l t=x = (x-:<o) ] n+l (n+l) ! t=x o Perciò m .i M • Per il teorema dell'esistenza dei valori intermedi applicato alla fun - · f(n+l). (t ) ( ta l e f unz1onP. . . z1one asswne tutti . 1. va l ori . compresi . tra 1·1 m1 nimo m ed il massimo M) , esiste = Rn(x)·(n+l)!/(x-x e-E [ x ,x J tale .., 0 che r)n+l) n+l 0 ) ] 1. 85 Dimostrare che VaeR la funzione f(x) = (l+x) sviluppabile in serie di Mac Laurin nell'inter vallo (-1,1) e risulta (8) ( .., e- ) -- (l+x) a CD L n=O a è - 65 ove ( ~) = a(a-1) do membro della esercizio 1.74). ... (a-n+l)/n!" La serie (8) si serie chiama a secon- binomiale(ved (n+l) a-n-1 [Essendo f (t) = a (a -1) ..• (a -n)(l+t) ( ved. 1.74), il resto J\i(x) della forurula di Mac Laurin é ... (a-'n) a(a-1) n! f o x-t n ( ) (l+t) l+t 1.84 (a)). Essendo, per O< (ved. l'esercizio I X a-1 l'esercizio dt jt j<jx j<1, jx-t j! Il+t I < Ix I , si ha Ia (a -1) ... (a -n)j I In J (l+t) a -1 dt n! X X o e perciò Rn(x) ➔ O grazie 1.86 Sviluppare in = ✓ l+x 2 f(x) al risultato serie dell'esercizio di Mac Laurin [Ponendo nella serie al pos:to dix, si ha per binomiale (ved. l'esercizio (9) 1 ./2 la l.85) ] relazione = 1 + ~ (-l)n n=l funzione a 1/2 lx I < 1 1 + x 2 /2 - x 4 /8 + x 6 /16 + ... Dimostrare la . 3! 1.87 1.66 ] 1·3· ... ·(2n-1) 2·4· ... · (2n) X 6' + .. • e X 2 66 [ Ponendo nella per Ix serie binomiale (ved. l'esercizio 1.85) a =-1/2, si ha I <1 1 1- - X+ 2 Poichè la serie 1 - 2 3 - X 2 - ... +(-1) 4 a secondo membro della n 1·3 •.. (2n-l) -----X+ 2·4 ... 2n n ... (9) converge in quanto essa è una serie alternata e la successione ( [ 1·3 • .... · (2~ - 1)]/ [2·4· · ... ·2n]) è decrescente e infinitesima, allora possiamo applicare il teorema di Abel allo sviluppo di 1/ I l+x ] 1.88 Sviluppare in serie lo la funzione (-1,1) [Lo sviluppo l'esercizio (l+x) -1/2 Sostituendo 1.89 in serie 1.85) di Mac Laurin f(x) di g(x) =(l+x) -1/2 = (1-; nell'interval2 )- per xE (-1,1) 112 è dato da (ved . 1 1·3 1·3·5 = 1 - - x +x 2 - -x 3 + ... 2 2·4 -x 2 al posto dix 2·4·6 si ha Verificare che lo svlluppo iri serie rin in (-1,1) della funzione f(x) to da (ved. l'esercizio 1.75): arcsenx=x+ 1 x3 -+ 2 3 1·3 X 5 -1--+ 2·4 5 di Mac Lau arcsenx è da x7 1·3·5 -+ 2 ·-4 · 6 7 [Poichè la serie derivata della serie al secondo membro converge per x E e (-1,1) verso f'(x), allora a norma del teorema 2, .si ha lo sviluppo in dicato] 67 1.90 Sviluppare in serie la funzione 4 f(x) dopo averla zioni aventi mo grado. di Mac Laurin (1-x) (1+3x) rappresentata a denominatore ' come somma di un polinomio due di fra pri [Vale la scomposizione · f(x) 1 = - 1-x + -- 3 1+3x La formula per la sormnadella CD 1 1-x validi X (-1) 1+3x n=O rispettivamente per 1.91 risulta Verificare sèrie (a) sen3x=3x- (b) cos · lS.=12 n+l 3 ]x n 81 x2 2 2 -2! + x6 lxi< 113. per I x I < 1/3 ] 2 t l+x :in sviluppi , n 2n+l 1,-1) 3 (2n+l) ! 2n+l X + .. · 2n 4 ! - · · · + ( - l) n xa 3! + 4! + ... +(-1) e sviluppi n n i seguenti z x 3 + 80 X 5 - ... + (e) (d) n sussistono 9 gli 3 X < 1 e per jxj f(x) = I [1+(-1) n=O che n fornisce n=O C0 Pertanto geometrica CO 1 n E serie 2~n (2n) ! + · ·· n x2n ~ + ... ex 2 ex 3 exn =e + ex + 2! + 3! + ... + ~ + uniformemente in ogni intervallo limitato di R. 68 [ Basta applicare il teo~ema 3 ] Sia f(~) una- funzione sviluppabile in serie Taylor di punto iniziale x 0 nell'intervallo -r, x 0 +r). La ridotta n-sima della serie di (x 0 - di Tay- lor n E k=O è un polinomio di grado di Taylor ( di Mac Laurin centro 1.92 x 0 , della n che si chiama polinomio se x 0 = O), di ordine n e funzio11e f(x). Rappresentare graficamente la funzione y = sen x ed i suoi polinomi di Mac Laurin di ordine 1 e 3. y ---y I = sen x '- I '-, -1 " ~ ' 2 figura 1.7 3 69 [I polinomi di Mac Laurin di y = seruc di ordine vamente p 1 (x) = x poi rappresentati figura è stata e p 3 (x)=x-x i polinomi eseguita 3 /6 (fig; di Mac Laurin con l'ausilio 1 e 3 sono rispetti- 1. 7). In fig. fino all'ordine 1.8 sono La 19. di un computer ] X P ,5 figura 1.93 P,s 1.8 Per quali valori dix possiamo sostituire con x, commettendo un errore non maggiore = 0.0005? [Essendo senx si maggiora conda). = x-x /3! + ... una serie alternata, Ix j /3! (vedi il paragrafo 3 con Allora 3 risulta Ix 3 j /3! .::_ E se l'errore 6C del vol. j x 3 j i 0.003, sen x ài E= - x se- cioè lx/.$. se 3-- i J0.003 1.94 Nel 1706 ] il matematico J. Machin scoprì I ]senx I, parte un metQ 70 do per calcolare le prime TI, basandosi sull'identità 100 cifre (10) arctg arctg TI=l6 (1/5)-4 decimali (1/239) e sullo sviluppo in serie di Mac Laurin cotangente. Dimostrare tale identità. [Per dimostrare la (10), poniamo -tg20:) = 5/12 e =4 a - TI /4, dalle di per l'ar a = arctg (1/5); allora tg2 Ct=2tga/(1tg 4 a = 2tg 2Ct /(1-tg 2 2CX) = 120/119. Posto ~ = fonnule di addizione per la tangente si ricava tg ~ = (tg4CX-l)/(l+tg4Ct) = 1/239. Essendo O< ~ < TI /2, si ha = arctg (1/239) = 4 a - TI /4 e cioè la (10). Nel 1973 J°. Guilloud M. Bouyer arrivarono sull'analoga a calcolare (1/18)+ Nel 1983 sono state 32 arctg calcolate metodo un pò diverso. fornisce (1/57)-20 oltre·16 L'uso della pia vantaggioso arctg (1/239). milioni di cifre (10) per il calcolo di quello dell'identità TI, basandosi TI di TI, con un approssimato di = 4 arctg che 1, l'espressione 1 1 1 3 5 7 TI= 4 (1- - + - - ..; + ... + (-1) 1.1ltima serie serie di e identità: TI·=48 arctg TI e assai un milione di cifre ~ = n 1 -+ ... ) , in quanto 2n+l converge "lentamente". Applicando i noti (ved. il paragrafo 6C del vol. alternate risultati 1 1 parte questa sulle seconda) si deduce la disuguaglianza 4 4 ITI - (4- -43 + -45 - -47 + ... +(-1) n+l 2n-l ) I< 2n+l Per n = 500, questa stima implica che l'er.ore mando TI con la somma dei priJr.i 500 termini di 4/1001 < 0.004 < 0.005. (10) fornisce 4 lo sviluppo l'espressione · 16 TI = 5 (l239 Invece, che si commette approssi della 1 1 l ... ) 3·25 + 5·25 2 - 7 · 25 3 + (1 - __ l__ + 1 5·57121 2 3 · 57121 - .... ) se.ie-(11) di arctgx e min~re applicato alla ~1 I -'- Si noti che, ad esempio, 16 1 1 4 (l - 3·25 + 5·25 2 ) 5 e cioè, prendendo di - 239 = 3 · 1415 ··· la somma di tre primo termine della esatte risulta seconda, termini della si ottengono TI. La convergenza e solo il cifre decimali in questo caso è molto veloce. Consideran do un numero maggiore di addendi si trovano cifre prima serie gia quattro ad esempio le prime trenta decimali: TI = 3.141592653589793238462643383279 .... ] Negli esercizi che seguono vogliamo mostrare CQ me si possa ricorrere all'integrazione per serie,~ lo scopo di calcolare gli integrali definiti di funzioni non integrabili elementarmente. 1.95 Calcolare l l'integrale 1 e x2 dx. o [Lo sviluppo ex= l+x+(x 2 /2!)+ .•. +(xn/n!) in ogni intervallo limitato + ... sussiste uriiformemente x 2 al posto di R. Sostituendovi di .x si ha ci;:, x2n per x e [0,1]. uniformemente Perciò si ha CD CD dx= E 1 E dx n=O (2n+l)n! n=O 1 1.96 Calcolare l'integrale feriore a 0.001. [sostituendo -x 2 al posto dix ha f• o e nello -x 2 sviluppo J dx con errore di Mac Laurin di ex in- si 72 uniformemente per x E [ O,1 ] . Perciò si ha e-x Jo J x dx+ Jl o o 1 z l 2 dx= x4 - 2i dx -r o x6 -+ 3! ... [ X] : _ [X/] : + [ :: ] : _ 1 -.Ò/3)+(1/10)-(l/42)+(1/216)-(1/1320)+ •.• All'ultimo membro abbiamo una serie alternata e perciò (ved. il paragr~ fo 6C del vol. I, parte seconda) l'errore si maggiora con il valore assoluto del primo termine trascurato. Per avere un errore inferiore a 0.001 dovremo sommare fino al termine 1/216 incluso. Perciò, a meno di 0.001 si ha 1 2 J e-x dx _ 1 - (1/3) + (1/10) - (1/42) + (1/216) =O. 747 J o 1.97 Calcolare, con sei lore dell'integrale 1 Jo [si ha sen x sen x X co senx x L (-1) n=O n x 2n+l decimali esatte, /(2n+l)! va- per x ER e perciò 2n x2 x 4 x6 n X ---+ + - - - + ••. +(-1) 3! 5! 7! (Zn+l) ! dalla serie il dx. l - - uniformemente nell'intervallo è maggiorata cifre (0,1). Infatti ... la serie a secondo membro numerica di termine generale 1/(Zn+l)! nell'i!!. tervallo (0,1). quest'ultima converge, come si verifica facilmente diante il criterio del rapporto. Integrando per serie si ha perciò me- 73 1 f 1 X o x2 X~ 3! 5! r (1- -+J sen x --dx= o X6 - -+ .•. ) dx 7! 1 1 1 1 3·3! 5·5! 7·7! 9·9~ 1---+-----+-- - Per un teorema sulle serie alternate (ved. il paragrafo 6C del vol. I., parte seconda) l'errore che si coJIDllettearrestando lo sviluppo si mag giora con il valore assoluto del primo termine trascurato. SoJIDllando,per ciò, solo i primi quattro termini, l'errore sarà minore di 1/9·9! Il valore approssimato richiesto = 0.0000003. 1.98 1 1 - -3·3! + -- Calcolare per serie f log~l+x) dx (a) 1 5·5! - -- 1 7·7! gli = O. 946083 ] integrali 1 f 1 (b) o o CD [ (a) è dunque E (-1) n-1 /n 2 ; {b) Integrando per parti log x x+l si è ricondotti n=l tegrale 1.99 in (a) ] Calcolare peT serie fx sen(t (a) 2 gli integrali )dt (b) CD E (-1) n=0 00 (b) t n=0 (-1) f o o [{a) (xeR): n n 4n+3 x /[(2n+1)1(4n+3)]; x 4n+l / [ (2n)!(4n+l)] J cos(t 2 )dt dx all'in Riepilogo sviluppi di e 2, senx x3 x- 31 3, cosx"' 1- 4, (b+x) a"' ba 5, a 6. arcsenx 7, notevoli n x2 l+x+ 2! X 1. in serie X +,, ,+ - +,,, n! x4 + 4! 21 2n+l n + .. ,+ (-1) x2. (xe R) X ---+,., (2n+l) ! x n -, , ,+(-1) (xE R) 2n (x e R) +.,, (2n)I a(a-1),,,(a-n+1) + a ba -l x + ... + n! X arctgx (x loga) 2 (x loga,n 2! n! · l+ x lega+-----+.,,+-'--..;;;;....;._+.,, l 'X 3 1·3•x +---+ 2·4·5 = x + -- 2·3 5 2•4•6•7 ,, ·(2n-l)x + 2·4·6·,,, ·2n(2n+l) X3 x' X - 3 XS +- 5 9. coshx 1 + - + - +,' ,+ -2! 4! (2n)! X E R) 7 + .... ( I I < 1) 2n+l n X 2n+l + < lx !.s.1> X 2n+l x3 X+ - +.,,+ 3! x2 (x +.'' +, '.+ (-l) 7 a. -n ·x n + .. , 2n+l 1•3·5·. 8, senhx 10, sett 1·3·5·x b X --(2n+l)I 2n 4 x3 sen hx = x- -+ 2·3 (x E R) + •.• X 1 · 3x -- 2'4'5 (x E R) +, .. 5 - l '3 · 5x 2·4·6·7 7 + ... 75 +(-1) X 11. sett tghx = x + 3 X2 12. log ( l+x) x- 2 n 1·3·5· ... ·(2n-l)x 2n+l ( Ix I::. 1) 2·4·6·- ..• ·2n(2n+l) 3 X 2nf-1 5 X + -+ 5 .•. + -2n+l X3 +- - 3 +(-1) ( I I < 1) + •.. n+l X xn n + ... (-1< 1+x x3 X 5 X Zn+l 13. log = 2 (x + + + ... + -+ .•. ) 1-x 3 5 . 2n+l 14, log X 2 x-1 1 x-1 3 1 x-1 2n+l + - ( -) + ... + ( -) + ••. [ x+l 3 x+l 2n+l x+l · xs x9 15. sen hx + senx = 2 (x + - + 51 9! X4 16, COS hx + COS X 2 ( 1+ - 41 ( I I < 1) X ] (x > O) + ... ) (x E R) +. , , ) (xER) X B +, - 81 X.i 1) Capitolo SPAZI - • • METRICI Spa.zi 2 SPAZI E metrici Sia X un insieme ed: Xx ~."::. Si dice che d è una distanza :',ì,o verificate le condizioni: -J NORMATI d(x,y) O se e solo ::.ijd.(x,y) d(y,x) ~1iJd(x,y)~ d(x,z)+d(z,y) ( disug11aglianza per X ➔ [0,+ 00 ) o metrica y sex= ogni una funziosu X, se x,yeX per ogni x,y,zeX. triangolare) Se d è una spazio metrico, ~o non vi sarà Per intorno ogni sferico distanza su X si dice che (X,d) è uno o anche che X è uno spazio metrico, quan_ possibilità di equivoco. r > O, x 0 eX, si' chiama cerchip aperto (o o sfera aperta ) di centro x 0 e raggio r, _;_'insieme si chiama cerchio chiuso di centro x 0 e raggio r l 'in - 77 sieme un ce.r_ Un insieme A'=._Xsi dice aperto, se VxeA esiste C e X chio aperto B(x,r) contenuto in A. Un "insieme si dice chiuso,. se X-C è aperto. Se xeX, I '=._X, si dice che I è un intorno di x, se esiste un cerchio Sia per ogni L'insieme intorno di Y si La chiusura contenuto xeX di dice I dix, (eventualmente cumulazione solo B(x,r) Y e X. Un punto per Y se, definito aperto di si vuoto) (x 1 , ••. se e solo ,xn), ·accumulazione ha I n(y-{:x})f0. ~ei punti di ac- Y e X è l'insieme da Y = Y U D(Y). Un insieme Sex= I. con D(Y). indi~a dell'insieme se C = C, cioè in Y e X C è chiuso se e se C ~ D(C). y ·= (y 1 , ••• ,yn) sono punti dl . R" ,posto n·. la coppia (R si spazio chiama ,dn) uno spazio euclideo metrico a n dimensioni (ved.es.2.3) e che che indicher~ con R". mo semplicemente Per n = 1 è la d1(x,y) si riduce (1) = lx-yl a (x,yéR) Se (X,d) è uno spazio metrico e Y è un sottoin sieme di X, allora, la restrizione della funzione a Y x Y è una metrica su Y, che si chiama metrica d in- 78 da d su Y . Un- sottoinsieme Y dello spazio metrico (X,d) si dice limitato, se esiste un cerchio (chiuso) C che col!_ tiene Y, ovvero se esister> O tale che d(x,y)_ ~ r, per ogni x,yeY. dotta Sia 2.1 X un insieme e sia, {: d(x,y)= 2.2 per x,yeX se X sex = y 'f y Verificare quale ogni che (X,d) è uno spazi9 metrico insieme è aperto e chiuso. Siano a= (a 1 , ••• Rn. Verificare e .b = (b 1 , ••• ,an) che sussiste ,bn) nel punti la disuguaglianza di di Cauchy-Schwarz I [si n E a. b. , < 1 i:l l per ogni t ha, r L '- i=l - e R n n ( L b~1 )t 2 + 2 ( L a.b.)t 1 1 i=l i:l : Si noti tutti che nulli at a ,y at + 2 ~t + y . ~ O; ed in tal mer,te verificata. do in t: 2 2 + inoltre caso Supponiamo +2 ~ t +y se a = O ( ed analogamente la disuguaglianza quindi a > O; il polinomio e non negativo y) i bi sono di Cauchy-Schwarz e ovvia- di secondo gr~ per ogni t E R. Quindi l 'e - 79 quazione di secondo grado ad esso associata non ha due radici reali{al trimenti il polinomio sarebbe negativo all'interno dell'intervallo del 2 le radici). Ciò equivale a dire che ti/4·= 13 - ay ..'.:_o, cioè l32 i_Cly che, ricordando il significato dei simboli a, 13,y, corrisponde alla tesi] 2.3 Tenendo rresente l'esercizio precedente,dimostr~ re che la funzione dn definita dalla (1) -è metrica (dett~ metrica euclidea) . [ La (i) e la (ii) valgono banalmente. Dimostriamo che dn(x,y)i + dn(z 1y) con x=(x 1 , ••• ,xn), y = (y 1 , ••• ,yn), che si ha bi e n E (ai+bi) i=l 2 o, ciò che è lo stesso, n n E a.b. <( ~ 1 1 i=l - relazione vera, · i=l 1/2 n [(Ea?) i=l i a~) 1 grazie 1 zi - yi )1/2 n +(Eb? i=l 1 dn{x,z) + z = (z 1 , ... ,zn), basta dimostrare una_ cioe' che ] 2 che 1/2 n 1/2 ( E b.1 2 ) i=l all'es. precedente] y Verificare che d' ed" sono metriche in R 2 • Rap- 80 presentare siano il relativo graficamente in un riferimento carte cerchio di centro O= (0,0) e raggio 1 ai tre spazi metrici (R 2 ,d 2 ), (R 2 ,d' ) , (ove d 2 è la metrica euclidea). (R 2 ,d") [Ved. fig. 2.1 ove sono rappresentati figura di centro O e raggio la metrica d') 2.5 Verificare le 2.1 1, rispettivamente e Cd" (nella metrica che la tra i cerchi Cd (nella 2 d"} ] metrica metrica euclidea d 2 ) _cd, (nel- dn in Rn e metriche sussistono n d'n (x, y) = E d~' (x, y) = max { Ix i - Yi I le i=l relazioni i=l, ... ,n} 81 che sì esprimono triche anche dicendo. che esse sono me - equivalenti. [ Basta osservare che, se al'a 2 , ••• ,an sono numeri reali non negativi,si ha ... + an2 /ai+ la seconda n i ( L ai) n i L a 1. i n max {a 1 1 ••• ,an } i=l disuguaglianza essendo equivalente 2 ,rerifìca] 1 di semplice all'altra: a i + ... +a~ i Rn Se i=l (X (k) ) una successione di punti (k) (k) ( (k) Sé X verificare Xl I '• '> Xn ) I 2. 6 Sia ... 2.7 che per si ha dn(x(k) ,x) o per (k) xi xi (per k➔ co) per = (Xl, . .. , xn), solo dì ➔ se risulta ➔ k ➔ CD ogni = X se e i=l, ,n. LDall'esercizio precedente Posto x,yeR per segue ch,e per ogni che [ Dimostriamo che d soddisfa conto d è una metrica alla (limitata) disuguaglianza dell'esercizio 1.58 triangolare del vol. si ha. d(x,y) ,n, si ha i + verificare ER, tenendo 1 1 2 1 ••• lx-xl lx-yl d(x,y) x,y,z i Ix-y I 1+ lx-yI I (x-z)+(z-y) l+ I i(x-z)+(z-y) i su R. (iii). I, parte seconda Se , iì2 Iz-y I Ix-z I S. l+ lx-z 2.8 i + l+ lz-yl Evidentemente, risulta zione ] limitata Sia (S,d) uno B 2 =B(x 21 r 2 ) yeB 1 nB 2 , d(z,y). d(x,z)+ d(x,y) i 1 per ogni x,y ER e perciò spazio due metrico cerchi allora e siano aperti. esister> d è una fun - B 1 =B(x 1 ,r 1 )e Verificare O tale che che, se B(y,r)~B n 1 n B2 • [ Posto r = min{ r 1 -d(x 1 ,y), i d(x,y) d(x,xi) + d(y,xi) r 2 -d(x 2 ,y) sia xe B(y,r). < r + d(y,xi) < ri par i= Allora 1,2. "Ne si ha segue xEB 1 n B 1 ] 2.9 Verificare che ogni intervallo aperto I di Rn cog tiene un cerchio aperto concentrico, e che ogni cerchio apertv B di Rn contiene un intervallo aperto concentrico. [ Sia I = (c 1 -éi 1 , c 1 -i- o i) x ... x (cn-éin,cn+ n di R di centro c = (cl'c to B il cerchio aperto si ha, V j = 1, ..• ,n 2 , ... di centro éin) un intervallo o = min {0 1 , ... ,cn) e sia e e raggio ,on}. aperto De!_ éi, se x = (x 1 , ... ,xn) E B , e dunque x E I. Siano c = (c 1 , ••• ,cn) e r il centro Be sia ed il raggio del cerchio aperto 83 Sex= (x 1 , ... ,~n) EI si ha, Indichiamo sioni con 1a, l'insieme limitate 2S.= ( xn ) , di (xn) Y = . ( y n) d(2S_,y) I < r/ ✓n ed anche, som - lxi-ci < r, cioè xE B] · mando membro a membro, dn(x,c) 2.10 Vi, E = di numeri tutte le succes- reali. Posto, per .2.a,: sup lxn - Yn n verificare che (1a,,d) [Limitiamoci a dimostrare la disuguaglianza i sup n Prendendo l'estremo 2.11 è uno superiore lx n -z n spazio triangolare. Verificare 2. 2) . Siano~= (xn) I+sup lzn -ynl n su n del primo membro, si ha l'asserto Sia X=Lm([O,l]} l'insieme delle limitate in [0,1] .e poniamo per d(u,v) metrico. funzioni ] reali u,vex = sup{lu(x)-v(x)l:xe[0,1]}. che d è una metrica su X (ved • [La (i) e la (ii) sono ovvie. Per dimostrare la disuguaglianza la I fig. triango- 84 lare, siano u,v,w E X. Allora d(u,v) = sup { I (u(x)-w(x))+(w(x)-v(x)) S sup { ju(x)-1-1(x) : xE [0,1]} i I +j w(x) - v(x) I: xE [0,1]} S j S sup { j u(x) - w(x) j : x È [0,1]} + sup { j w(x)-v(x) j + d(w,v) ] = d(u,w) : xE [0,1]} + = y u(x) v(x) o 1 figura 2.12 Sia X= continue 2.2 C([O,l]) l'insieme delle funzioni su [0,1]. Per u,veX poniamo 1 d(u, v) = . X Jo ju(x)-v(x) jdx reali 85 Verificare che d è una metrica su X (la distanza d(u,v) è rappresentata dall'area della regiQ ne tratteggiata in figura 2.3). y u ( x) V ( X) o X 1 figura [La disuguaglianza triangolare si 2.3. ottiene integrando su [0,1] membro a membro la relazione Iu(x)-v(x) I ~ Iu(x)-w(x) i+ lw{x)-v(x) I , E; ovvio che d(u,v) = d(v,u). d(u,v) J:nfin;i, = O allora risulta alla continuità di .u, v, seconda, si che, se in base 5.4 del volume I, parte come nell'esercizio VxE [0,1] prova I = O per ogni xE [0,1] lu(x)-v(X) e quindi u = v ] 2.13 Dimostrare che Y2 limitati dello sieme [Sia Ci= l'unione di due sottoinsiemi spazio metrico (X,d) chiuso contenente Y1 , è un in- 1,2. AllQ r=max {r 1, limitato. Ci(xi,ri) ra i 1. cerchio chiuso un cerchio C = C (x 1 ,r) di centro Y i' x1 per e raggio i= 86 r 2 } + d(x 1 , x:?) contiene C 1 U C 2 e perciò contiene ovviamente C 1 ed inoltre di Ca~chy. Y 1 U Y 2 . Infatti C risulta per· ogni x E e 2 ] 2B. Condizione Completezza. Sia (X,d) uno spazio sione di punti di X. Si dice che punto xeX se, per ogni E> O, esiste d(xnx) < E n > v, cioè, per ogni metrico e sia xn una x n converge veN se risulta succes- verso un tale che d(xnx) ➔ O Sia C un sottoinsieme di X, allora si verifica che C è chiuso se e solo se C contiene il limite di ogni successione convergente xn con x 0 eC, Vn~N. Si dice che O, esiste gni E> ogni p, q > v. x 0 _è una v e N successione tale che di Cauchy d(xp, xq) se, < E, per Q per Una successione convergente è anche di Cauchy,ma, in un generico spazio metrico, una successione di Cauchy non sempre è convergente (ved. l'eserc. 2.15). Lo spazio metrico (X,d) si dice completo se ogni successione di Ca~chy è convergente., Poichè ogni successione di Cauchy di numeri reali è convergente, lo spazio euclideo R è completo (ved. l'eserc. 2.20). Relativamente agli spazi metrici completi è impoL 87 tante il seguente: TEOREMA DELLE CONTRAZIONI . - Sia (X, d) uno spazio e f una contrazione su X con costante L, metrico completo cioè una funzione su X a valori definita d(f(x), f(y)) ogni X, yEX, con L numero reale In tali ipotesi esiste uno ed un solo (x 0 si dice punto tale che < Ld(x,y) x 0 eX tale o punto unito e minore di 1. che f(x 0 ) = positivo per = X0 X in per fisso f(x)). Rimandiamo al paragrafo 12C del volume I (parte prima) per una discussione e per la dimostrazione del teorema delle contrazioni nel caso in cui X sia un intervallo chiuso di Re d la usuale distanza euclidea d(x,y) = lx-yl. 2.14 Sia f:R➔ R definita rificare che: è una Imi < 1. da f(x) = mx+q, contra~ione su R con se m,qER.V~ (a) f(x) e solo se (b) Se m=l la funzione f(x) o non ha punti fissi, oppure, se esiste un punto fisso su R, esso non è unico_ [ (a) Vale l' fdentità If(x)-f(y) Perciò f(x) lmI < l; I=Im(x-y) I è una contrazione (b) se o non ha soluzioni(se 2.15 I m I . I x-y I • ' con costante m= 1 risulta L = vx,yE Im I se R. e solo se x + q. L'equazione x 0 + q= x 0 q 1 O), oppure ogni x ER è soluzione (se q=O) ] f(x) = Verificare che l'insieme Q dei numeri munito della metrica usuale d(x,y) = razional~ non lx-yl 88 è completo. [La successione convergente di numeri razionali è di Cauchy (in quanto xn = (1+1/n)n in Q, in quanto in R) ma non è convergente Q] xn =e~ lim n ➔ «> 2.16 Sia X un insieme d(x,y) Verificare che è convergente nìtìvamente [Poichè X y 1 se X 'f y. .successione verso x, e solo cioè xn = x, per [se xn è una successione di· Cauchy, ta xn dì punti se lo spazio precedente perciò se una che definì o da X dì se essa è defi- se e solo se esiste ogni n. > lim d(xn,x) = O implica n < 1/2 per n > V , si ha l'asserto Verificare nell'esercizio completo. ogni p ,q 2.18 che metrica la relazione che d(xn,x) 2.17 { = costante, \!EN, tale d la e sia metrico è uno allora esiste > \! • Dunque xn è una successione \!. che esiste V EN tale, ] (X,d) spazio definito metrico \! È N tale definitivamente che d(xp , costante convergente] Verificare lo spazio che una successione xn di metrico (X,d) è limitata. [ Poichè xn è di Cauchy, esiste \! EN tale che d(xp,xq) Cauchy .$. 1 nel- per ogni p ,q> e > \I. Perciò l'insieme degli elementi maggiore di V è limitato. cessione 2.19 aventi to, l'asserto Sia (X,d) indice minore o uguale a segue dall'esercizio uno cessione dì vergente verso te x0 • verso [ Fissato E della spazio Cauchy \I degli metrico dotata e sia di sue - è limite_ xn una un'estratta anche sue x nk - con - xn è convergen- tale che p,q > V k > V. per per k > V indice della essendo finito, \I, per. Allora, aventi elementi 2.13] x 0 • Allora > O, sia successione Poichè l'insieme risulta E in quanto nk L k > \I J 2.20 Dimostrare meri reali che una successione è convergente. [se xn è di Ca~chy, essa è limitata di (ved. l'eserc. norma del teorema di Bolzano-Weierstrass (ved. I, parte prima) essà ammette un'estratca xn di nu- 2.18) ed allora; a Cauchy il paragrafo convergente. 7H del vol Dall'eserci- k zio 2.19 segue l'asserto] 2.21 Rn, con la metrica Dimostrare che uno metrico spazio completo. euclidea dn è 90 sendc per i= l, .•• ,n le successioni = lim k➔ CD xik x.k sono di cauchy in Re (x 1 , ••• ,xn) si ha (ved. ex= 1 ~ dn(xk,x) per cui risulta n [ i=l xi= 2.5) Ixik - xi I , verso x in Rn J di R e sia L.(I) lo spazio del limitate su I. Posto per u,v e = sup: {lu(x)-v(x)!: verificare che la successione verso ueL(I) nella metrica d, uniformemente in I. 2.23 l'eserc. Posto L(I) d(u,v) [Ved. convergenti. ➔ O, cioe xk converge dn(xk,x) 2. 22 Sia I un intervallo le funzioni reali E percio il paragrafo Verificare limitate une L(I) se e solo che lo [0,1], (*) d(u,v) è uno spazio [Sia una successione spazio L([0,1]) munito della delle distanza = sup {lu(x)-v(x)I: xe[0,1]} metrico co~pleto. di Cauchy in L( [0,1] ); allora la condizione di Cauchy uniforme e, pe_rciò, per il essa uniformemente una funzione converge converge se un ➔ u lA ] in (un) xeI}; verso funzioni (un) teorema ·2 del u E L( [O, 1] ) ] verifica par. lA, 91 2.24 Verificare metrica(*) lo spazio spazic è uno pre~ente l'esercizio uniforme di funzioni continue [Basta 2.25 che tener Sia C 1 ([a,b]) con derivata d'(u,v) ~([0,1]) ~etrico munito completo. p~~~~~~~te e ricordare è con~:...7~: (teorema lu(x)-,·,,x}j+ sup sup [a,b] xE (C 1 ([a,b~1 [Che d' sia una metrica, si prova eone n~ll'esercizio di Cauchy rispetto Cauchy in (C0 ( considerata [ a,b allora u e v tali = u' (x) r continue, Posto spazio 2.11. me~ una Sia un e u~ sono .entrambe su C0 metrica che d(un,u) per ogni x E [ a,b un(x) - un(a) = ] ju'(x)-v'(x)j è uno 2.24. P0iché C0 ( [a,b] continue Dimostriamo che v(x) ad'; ] ) ,d) ove d è l'usuale nell'esercizio no due funzioni d') limite lA) [a,b] verificare·che trico completo. successione che il 3 del par. l'insieme èelle funzioni prima conti~u~ in [a,b]. xE della u~(t) dt u(a), applicando ( [ a,b ) è completo, ➔ O e d(u~,v) di ] ) esistQ ➔ O. ] • Essendo a u (a) 0 saggio al limite sotto cap. 1), comP. è lecito ➔ il segno di integrale teorema di il paragrafo in quanto u~ ➔ v uniformemente, x u(x) - u(a) = f v(c)dt. a Da quest'ultima (ved. il uguaglianza segue u' = v] si ha pas lA de_l 92 2.26 Sìa (X,d) uno spazio metrico completo, e sia YcX. Dimostrare che Y, munito della metrica indotta da d, è uno spazio metrico completo se e solo se Y è un sottoinsieme chiuso di X. [se Y è 'completo a d, sia Yn una successione Yn è una successione vergente verso x ex. converge verso un punto y e y. in quanto r.ontiene_ il so, vergente. Viceversa, Poichè sia Poichè xe[-1,1], verificare Dedurne 1], che continue munito Y con di cauchy in Y, essa x = yE'f xn➔ x. che e perciò Y è Cffi!! successione con - di Cauchy. Poichè Y è chiuso Y è uno spazio metrico ➔ lxi uniformernen spazio C 1 ([-1,l]) delle fun la derivata prima in loro della metrica della sup { iu(x)-v(x) I e completo] = ✓ 1+n 2 x 2 /n,per un(x) eh~ un(x) con di xn E Y una success_ione successione lo di punti sua qualunque xe X tale anche x èy . Pertanto la zioni di una in X e sia esiste Considerata te. Dunque risulta limite Y chiuso è completo, (X,d) xn E y,. allora 2.27 -rispetto convergenza [-1 uni - forme d(u,v)= non x€[a,b]} , è completo. [Si ha l ➔ per cui un(x) di C0 ( [ l'esercizio -1,1]} 2.26, Ix I uniformemente. non è chiuso rispetto si ha l'asserto] Allora alla < n [ / l +n 2 x 2 +n Ix I] - n il C 1 ( [-1,1]) metrica sottoinsieme d. Tenendo conto del 93 2C. Sp=zi metrici comp=tti Uno spazio metrico (X,d) si dice compatto se da o gni successione di punti di X se ne può estrarre una convergente verso un punto di X. Poichè da ogni successione limitata di numeri rea li se ne può estrarre una convergente, allora un so! toinsieme chiuso e limitato Y di R, munito della metrica indotta da quella euclidea, è uno spazio metri co compatto: Sia (X,d) uno spazio metrico e sia f:X➔~ una fun zione reale definita in X. Si dice che f è continua in x eX se per ogni E>O esiste o>O tale che per ogni xeX con d(x,x <6, r1sulti lf(x)-f(x )I < E. 0 Si dice che f è continua in X se f è continua in ogni punto x eX. Si dice che f è uniformemente continua in X se, per ogni E > O esiste o > O tale che d(x, y) <o => If(x) 0 0 ) 0 - f(y) I < E. Sussistono i seguenti TEOREMA 1. so è completo. Se (X,d) TEOREIV,A 2 (di compatto e f nimo in X. ,::o TEOREMA 3 (di patto e f : X ➔ tinua. notevoli è uno spazio Weierstrass). : X ➔ R Cantor). R Se è continua, teoremi. metrico compatto,allora es (X ,d) è uno spazio metriallora :f ha massimo e mi Se (X,d) è uno spazio metrico è continua, allora f è uniformemente comcon- Uno spazio metrico (X,d) risulta separato (o di Haus ), cioè due punti distinti di X ammettono sempre aJ,meno due intorni disgiunti. Sia (X,d) uno spazio metrico. Un sottoinsieme Y di X si dice compatto se, munito della metrica indotta da d, esso risulta uno spazio metrico compatto. dorff 94 Un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto è compatto. Si dimostra, infine, che un sottoinsieme y dello spazio euclideo Rn è compatto se e solo se Y è chiuso e limitato. 2 .28 Verificare che, se (X,d) è uno spazio metrico e f : X ➔ R è una funzione reale, allora f è conti nua in X se e solo se x n ➔ x => f (xn ) ➔ f (x) . 2.29 Verificare che, se (X,d) è uno spazio metrico e f : X ➔ R è una funzione reale, allora_f è uni formemente continua se e solo se, per ogni coppia xn , Yn di successioni di punti di X tali che lim d(xn,Yn) O, si = ha lim n [Ved. l'esercizio 2.30 lfCxn)-f(yn)I = O. x 0 eX, veri n 9.31 del vol. I, parte prima] Sia (X,d) uno ficare che la mente continua spazio metrico. Fissato funzione xeX ➔ d(x,x 0 ) su X. [Proviamo preliminarmente è uniforme- la disuguaglianza Vx,y EX. Dalla disuguaglianza La disuguaglianza 2.31 triangolare iniziale deduciamo che segue _dalla definizione dalla proprietà della- distanza d(x,y) = d{y,x). nuità uniforme la si fà con O=E di valore assoluto La verifica della conti ] Dimostrare che uno spazio è anche completo (teorema metrico 1). compatto (X,d) e 95 [Sia xn una successione ta da xn convergente esercizio 2. 19 ] 2.32 di Cauchy. Poichè X è .compatto,esiste verso un punto di X. L'asserto un'estra1 segue allora Dimostrare no spazio che un sottoin_sieme Y compatto metrico (X,d) è limitato. [se Y non fosse limitato, ti di Y tali esisterebbero che lim d(xn,Yn) = + due successioni Poichè "'. dallo di u- xn, Yn di pun- Y è compatto, da tali n successioni se ne potrebbero spettivamente mente, verso i punti estrarre due xnk e Ynk' convergenti x,y E Y. Essendo, come si verifica ri facil - Id(x,y)-d(xn k ,Ynk.) I i. d(x,xn k )+ d(y,yn k ), si avrebbe 2.33 Sia d(xn ,Yn) k k Y il da Y; ta lim sottoinsieme {xe1 : 00 d(x,O) come nell'eserc. il che è assurdo dello ] che Y non [La successione di punti di Y xk = (xkl' spazio i 00 definito ove d(x,y) è defini- e O= (0,0,0, ... ) . < 1} 2.10 Verificare cioè la successione 2.34 = d(x,y), k è compatto. xk2 , •.... ) definita da xki Oki' non in quanto per k f h si ha ammette estratte convergenti, Dimostrare to rispetto che lo spazio C([0,1]) non alla convergenza uniforme. è compat- Yb [La successione un(x) = xn per x E [ 0,1 ] non ammette alcuna convergente uniformemente, in quanto una qualsiasi estratta te convergente, converge necessariamente verso la funzione u(x) = O per 2.35 x E [ 0,1), Una famiglia b]) si dice per x,ye[a,b] u(l) 2.36 invocare I < E o => ju(x)-u(y) Dimostrare che una tinua ed equilimitata [Basta appartenenti a C0 ([a, VE > O, 3:6>0 tale che funzioni equicontinua se < puntualmendiscontinua = 1 ] Y di jx-yj estratta UE Y. famiglia YcC 0 ([a,bJ} equiconè compatta in C 0 ([a,b]). il teorema di Ascoli-Arzelà] Sia (X,d) uno spazio metrico e sia xn una successione di compatto, sia x 0 e X punti di X. Se ogni estratta converge lora da xn convergente, ➔ xn x per ogni k e N. Poichè X è compatto, k xn E > O ed un'estratta verso x 0 , esisterebbe che d(x 0 ,xn } ~ E ha un'estratta x 0 ,al x". [se xn non converges~e da xn tale verso convergente verso un punto x. Dall'ipotesi, x nk nk segue kh che necessariamente = x x e cioè x o quanto d(x ,xn o 2.37 Sia (X,d) formemente 'successione è una kh ) ~ E , per uno spazio continua. di successione ogni h E N X 0 in e sia f: X➔ R uni che se xn è una punti Cauchy Il che é assurdo, J metrico Verificare _Cauchy di di ➔ nkh di di X, allora numeri reali. f(xn) 97 E> O, esiste [ Fissato 2D. o>o tale che d(x,y) o => I f{x)-f(y) I< E:. O, esiste \! EN tale che, < o ed anche I f(xp)-f(xq) I< E] Poiché xn è di Cauchy, in corri!ipondenza per p,q > \/ , si ~a d(xp,xq) Spa.zi < di n.orma.ti Sia X uno spazio vettoriale. ogni xeX associa il numero reale su X se ha le seguenti proprietà: (j) llxll ..:. O; (j j ) Il À X Il = Una funzione che ad llxll si chiama norma llxll = O se e solo I À I . IlX Il , VxeX sex= O e ( j j j ) Ilx +y Il 2- Ilx Il + Ily Il Se Il Il norma su X, si dice che (X, Il Il) è uno o anche che X è uno spazio normeto,quag do non vi sarà possibilità di equivoco. Dato uno sp~ zio normato (X, Il Il), ponendo d(x,y) = lix - yll si ha una distanza su X, per cui ogni spazio normato ;è anche metrico. Se (X,d) è completo, si dice che -X è uno spazio di Banach. Due norme Il 111 e Il 112 sullo spazio vettoriale X si dicono equivalenti se esistono due costanti c 1 , c2 > >O tali che spazio è una normato, c 1 Ilx Il 1 2- Ilx Il2 2- c 2 V xeX. Ilx Il 1 Per indicare che la successione zio normato (X, per indicare che llxn -xll ➔ O, scriveremo Evidentemente, se determinano Il Il) converge xn di verso se due norme sono le stesse successioni il punti dello punto xeX,cioè xn ➔ x. equivalenti,esconvergenti. sp.§:_ 98 Nello spazio n (r !xl (1) prende il Se X è uno verificante le prende 2.38 = il Sia l. norma euclidea. spazio normato, proprietà = f(x) f (cxx) ~ X uno si funzionale e siano che se Àn➔ À, xn+yn ➔ X 1-y, + lly-ynl\; segue IIÀx-Àxnll= IÀI Àn,ÀeR; xn ÀXn ➔ Àx, ➔ x, xn,Yn, Yn➔y, al ÀnX ➔ ÀX. Il (x+y)-(xn+yn) Il ~ llx-xnll; reX su X. lineare no=, R VaeR normato [ Dagli ass:io·mi della X· ➔ f Vx·, VxeX, spazio ha: funzione f(y) Dimostrare lora una o:f (x) nome di x,yeX. norma X~ ) 1/2 i=l nome di f(x+y) la Rn !I x-xn!I + !IÀnx-Àxll=IÀn-ÀI lix Il] 2.39 Sia yéX, X uno spazio normato. Dimostrare risulta I llx\l - llyll j .s_llx-y\l. se xn ➔ x, allora \lxn/1 ➔ segue Il xli che, per x Dedurne che, llxll. I [ Dalla disuguaglianza 2.40 (jjj) = Il (x-y)+yll ~-- llx-yll +Il y\l ; scambiando x con y si ottiene la disuguaglianza Sia C 0 ([a,b]) l'insieme tinue nell'intervallo delle chiuso richlesta funzioni e limitato ] reali co~ [a,b] . 99 Posto, ueC 0 ([a,b]) per xe[a,b]} verificare che quale C0 ([a,b]) [La (jj) è evidente. lo spazio sia Il llm è una è uno norma, sp~zio Si veda l'esercizio di alla Banach. 2.11 per di Banach segue dal teorema rispetto la (j) e la (jjj). 2 del paragrafo Che 1A e dell'e- ser.2.22] 2.41 Sia X uno spazio normato e sia f: X ➔ R un fun zionale lineare su X. Dimostrare chef è continuo se e solo se 3k > O tale che (*) lf(x)I [ Se vale la (>'<), allora jf(xn ➔ .:::_k llxll - x)I .:::_ k per ìf XEX. la linearità llxn - xli, di f, per cui, si ha I f(xn)-f(x) I se xn ➔ x·, allora é f(xn) ➔ f(x). Viceversa (*). Allora sia f continua e supponi= per ogni n EN esiste L n llxn Il. Posto Yn = x/(n·II ciò Yn ➔ o. Poiché il che contrasta x0 E X- per assurdo {o} tale xn Il), si ha f è continua, dovrebbe che r,on valga che it(xn) IlYn Il= 1/n ➔ O e per esserP. f(yn) ➔ la L I - f(O) = O , con la disuguaglianza v-nEN] 2.42 Sia aeRn n = E aixi e consideriamo il funzionale ove a 0) ex= a= i=l Verificare che (a 1 , ••• esso è un funzionale f(x) (x 11 ••• lineare ,xn) con 100 tinuo sullo spazio euclideo Rn. . n [Tenendopresente la definizione (1) della normaeuclidea su R e l'eseE cizio 2.2 si ha n 1/2 I f(x) I ~ ( L a f ) Ix I i=l Applicandol'esercizio precedente, si ha l'asserto ] 2.43 Per ueC 0 ([a,b]-) n V xE R • poniamo b f I (u) u(x) dx ; a verificare che 0 nuo.su C ([a,b]) : a~ I è un funzionale lineare conti munito della norma llul,=max{lu(x)I x ~ b} [Tenendopresente l'esercizio 2.41, basta osservare che, per il teorema b dellamedia, VuEC ([a,b])siha 0 lr(u)I= lf u(x)dxJ~(b-a)·llull] a 2.44 Consideriamo l'insieme C0 ([a,b]) continue nell'intervallo chiuso Posto per p ~ 1, U<C 0 ([a,b]) delle funzioni e limitato [a,b]. b I I lulp verificare che = ( Ja lu(x) IP dx) l/p ( Il Il p è una norma. [Per verificare che llu Il =O=:>· u=O,si tenga presente l'esercizio p 5.4 del vol. I, parte seconda. La condizione (jj) zione (jjj) diviene è evidente. La condi- - 101 (f b I-u(x)+v(x) Ip dx) itp i ( ibI- I p u(x) a dx) itp + a b + ( fI Ip dx) 1/p v(x) a e prende il nome di disuguaglianza di Minkowski . Dimostriamola. Si ha f p b j u(x) t v(x) j b dx = a f Iu(x) + v(x) I p-1 Iu(x)+v(x) Idx .S. a fI b .S. u(x) + v(x) I p-l I u(x) j dx + u(x) + v(x) I p-l I v(x) j dx. a fI b + a Dalia disuguaglianza seconda, = v(x), di Holder (ved. l'eserc. p-1 = I ~(x) + v(x) I (1/p) + (1/q) = 1) si déduce b Iu(x) + v(x) con g(x) f p-1 j 5,97 del vol. = u(x), oppure p-1 q ) dx] ~q [ f e f(x) I, parte f(x) Iu(x) Idx .S. a ~ [ f b( j u(x)+v(•x) j a a ed anche f a b Iu(x) + v(x) j p-1 Iv(x) I dx.$. b p ~ ju(x)j dx]P = 102 Dalle precedenti disuguaglianze, osservando che (p-l)q = p, segue b JI IPdx~ u(x) + v(x) a +(JI b 1 ] v(x) IPdx)P a Dividendo ambo i membri per il primo fattore vando.che 1 - (1/q) = 1/p, segue l'asserto] Z.45 Lo spazio firiita G0 ([a,b]), munito nell'esercizio zio di Banach. d ere ceh la della precedente, Verificare successione. ~hy in C ([-1:1]), 0 la norma a secondo membro ed osser- Il 111 , verso ciò uk ()x per Con la sostituzione 111 rl J-1 Il Il P non è uno sp~p=l, facendo v~ ma non converge, rispetto una funzione di C ([-1,1]). I~(x) x = - y si ha - uk{x) de- = x l/(2k-l), e d'1 Cau- . [Per h,k EN, si ha lll\i-"lc norma Idx ~ 0 ai- 103 O l f I t;.i(x)- uk(x) I dx = r It;.i(y)- uk(y) I dy ·o -1 e perciò fI 1 11t;.i - uk Il = 2 J It;.i - ~ I dx =2 o l ("b-1)+(1-~) I dx 5. o Essendo per ogni me N fI I dx = precedenti disuguaglianze 1 um(x)-1 o dalle f[ l 1-// 2m che converga ad una funzione Tenendo s 7gue "11:è di Cauchy. Supponiamo ora, per la successione norma Il '. 111 . J dx= -l o e perciò uk (2m-l) presente u e C0 il ( l -1,1]) risultato dente abbiamo i. 2k + [ Il "11:-ull1. assurdo rispetto alla dell'integrale prece- , 104 1 ➔ +m otteniamo J I u(x)-1 I dx = O; per Per k l'ipotesi di conti- veda l'eser- O 2.46 u(x) = l nuità di u, risulta cizio 5.4 del volume I, parte x e [0,1] ogni seconda). per ogni x <O.Ciò si di continuita [ -1,1 Sia tt . Ilp di u(x) in llull p ➔ + 00 Posto per dire [se l'es. nell'e- p 5.99 del vol. I, parte I : xe [a, b]} seconàa] u~C 0 ([0,2]) sup ju(x) O <x< 1 !Iuli con la ipote- su C0 ([a,b]) che !Iuli - max { ju(x) [Si tenga presente vede Posto !Iuli = lim verificare contrasta si JJ la norma definita 2.44. (si Per motivi analoghi che deve essere u(x) = - l sercizio 2.47 per I + f 2 ju(x) I dx 1 se Il Il è una norma in C ([0,Z]) 0 Il ull = o, allora sup { ju(x) 2 I : O ~ x ~ 1} = O e J ju(x) i dx=O, l perciò risulta u(x) = O per x E [0,2] . La condizione V9rifica. Per dimostrare la (jjj) si hsservi che I u(xj + v(x) I j u(x) j + sup O~xil (ved. l'eserc. 1.46 del vol. I, parte prima) e che (jj) I v(x) I è di facile 105 J / u(x) + v(x) Idx i f.[ ju(x) I + / v(x) I ] dx] 2 2 1 2.48 1 Si consideri ta per deri su C0 ([0,1]) ogni p anche la la norma 1 nell'esercizio > successione llullp definiSi consi 2.44. di C0 ([0,1]): \fneN. Vxe[0,1], (a) Verificare che un converge ne identicamente to alla norma Verificare (b) spetto nulla la funzio~ u=0eC 0 ([0,1]) rispe! ~u111 • che un non converge alla norma llun - ull 1 = l Il; verso u=O ri ttull 2 • 1 [(a) verso l xn I dx= /~ J - In n x dx= -- perciò n+l o o ;- lim llun-u111 .= V lim n'+f n ➔ +co CD n --= n + 1 O· , (b) invece { n e tale 2.49 quantità si ha: r dx} j l 2n x o n ! 2 = -- 2n.Ll non converge a zero per n ➔ +co] Generalizzando l'esercizio precedente, re che la successione u n in C ([0,l]) da 0 un (x) n 1/q verifica definita 106 (con q > 1) converge per n➔ +m verso la u=O rispetto alla· norma· llullp se e solo [ Ilu n Il p = {I I l O n = n(l/q)-(1/p) 1/q x n IPdx }1/p = n 1/q {f 1 xnp dx }1/p = O { _l_ p+(l/n) e tale· quantità. conve,ge cioè, se p < q] se e solo funzione se p < q. • } 1/p verso .zerv se e solo se risulta (l/q)-(1/p)<O Capitolo FUNZIONI In questo funzioni reali con il simbolo DI PIU' 3 VARIABILI capitolo prendiamo in di n variabili reali, considerazione che denotiamo In particolare consideriam~ n = 2; in tal caso diremo che f -è una funzione reale di ,:!ue variabili reali e useremo indifferentemente le notazioni oppure naturalmente denti sono f(x,y); nel primo caso le due variabili x 1 , x 2 , mentre nel secondo caso indipeg sono x,y. Rimandiamo invece la trattazione delle funzioni di tre o più variabili all'ultimo paragrafo di questo capitolo. Per rappresentare graficamente una funzione di due variabili si può procedere in due modi. Un primo 1.08 metodo consiste nel rappresentare i punti di coordin~ te (x,y, f(x,y)) in un riferimento cartesiano ortogonale di assi x,y,z, ottenendo una superficie in R3 de! ta grafico della funzione f(x,y). Un secondo metodo consiste nel disegnare nel piano x,y le linee di livello della funzione f(x,y), cioè il luogo dei punti di coordinate (x,y) tali che = z = costante, f(x,y) per diversi valori della costante. Questo metodo si~ tilizza usualmente per rappresentare una zona geografica su di una carta topografica; in tal caso la linea di livello z = O (livello del mare) rappresenta Ja costa, le linee di livello z =costante> O rappreseg tana i punti al di sopra del livello del mare ad altezza fissata, mentre le linee di livello z = costante< O danno una rappresentazione del fondo del mare. Di seguito proponiamo alcuni esempi. z y X figura 3.1 109 3.1 Si consideri la funzione f(x,y) = x 2 +y 2 . Verificare che il grafico di f è un paraboloide come in figura 3.1 e che le linee di livello di f si rappresentano in un riferimento cartesiano ortogonale d~ assi x,y come nelle figure 3.Z(a) e 3.Z(b). y 3 figura 3.2 Disegnare funzione [ Il grafico 3.2 (a) figura il grafico e le linee di due variabili f(k,y) è in figura sono iperboli 3.3. Le linee di livello se z f. O. Mentre, equilatere, tali 3.2 y 2 -x 2 = z che y 2 - x 2 = O è costituito ti di coordinate (x,)I) te di equazione y = '± x. Si veda la figura 3.4] (b) di livello = y 2 -x 2 . se z = O, il X della = costante luogo dei pun- , dalle due re!;_ 110 y z y X figura 3.3 Disegnare le coppie le funzioni (a) 3.3 figura approssimativamente (x,y) per cui f(x,y) , f(x,y)=y2-x 2 e, ~ 3.4 limitatamente O, il grafico al del (b) [ (a) Il grafico di f(x,y) in un intorno dell'origine è disegnato in figura 3.3 "1, limitatamente alle coppie (x,y) per cui f(x,y) ~ o, in figura 3.5; (b) figura 3.6] z z -----► y y X figura 3.5 figura 3.6 3.4 Disegnare approssimativamente e limitatamente al le coppie (x,y) per cui f(x,y) ~ O il grafico daj,_ la funzione f(x,y) = sen x. Deter~inare inoltre le linee di livello. [ La funzione_f(x,y) tutte le funzioni linee di livello te positiva dipende esplicitamente costanti sono rette di f(x,y) rispetto parallele è disegnato dal4t sola variabile ad y (e definite all'asse in figura 3.7] x; Come per ogni x E R),le y. Il grafico della par_ 112 z - - - - - - ~--"'----y X figura 3.5 Disegnare 3.7 il grafico della funzione f(x,y)=~ 2 7x 3 • il grafico della funzione f(x,y)=/x 2 +y 2! [ Figura 3.8] 3.6 Disegnare /0 I I. [ Per y = O risulta f(x,O) = = x Analogamente,. per · x = O ri sulta f(O,y) = Yi . Il grafico di f(x,y) si ottiene facendo ruotare in torno all'asse z il g·rafico della funzione di una variabile reale x➔ Si ottiene un cono circolare retto (con z ~ O), come in figura 3.9 ] I Ix'i. 113 z z y y 1 X 3.7 X figura 3.8 Determinare y X ~ 0, > (a) figura le linee o i grafici di livello delle y2 z = x2+y2 [ Le funzioni date non sono definite (b) 3.9 e disegnare funzioni z nell'origine per x:y x2+y2 degli assi. Le linee di livello sono costituite dalle semirette passanti per l'origine. La fWlzione in (a) è maggiore od uguale a zero per ogni (xiy) I (O,O). Il minimo di f(x,y) si ottiene per y=Oe vale O; il massimo si ottiene per. 114 >è = O e vale 1. Il grafico della funzione in (a) è in figura 3.10; in particolare per x = y la funzione vale 1/2. La funzione in (b) assume il valore O in corrispondenza dei punti (x,y) tali che x = O (e y; O), oppure tali che y = O (ex; O). Il massimo di f~x,y) si ottiene in co~ rispondenza della retta di equazione y = x e vale z = 1/2 (il minimodi f(x,y) vale -1/2 ed è assunto sulla retta di equazione y=-x). Il grafico è in figura 3.11] z y figura 3.8 figura 3.ll. 3.10 Disegnare il grafico r La funzione è definita è assunto della e positiva 2 funzione per ogni (x,y) per (x,y) = (O,O) e vale z=l. Il grafico 2 z=e-Cx +Y ). 2 E R2 • Il massimo su R è.in figura 3.12] 115 z 1 y X figura 3B. Insiemi Di seguito sieme definizione proponiamo la determinazione dell'in, o campo di esistenza , o dominio, di funzione di due variabili reali. di definizione una assegnata 3.9 di 3.12 Determinare l'insieme guenti funzioni di definizione delle (a) z = log (1-x2 -y2) .(b) z ✓ z-x2-y2 (e) z = log (x2+y2-1) (d) z ✓ -lx2+y2-z1 (e) z = log (x2_+y2) (f) z = (x 2+y2) -1 se- llb è definita se l-x 2 -y 2 > o, cioè se x 2 + y 2 < 1, che è il _luogo geometrico dei punti del piano x,y interni al cerchio di cen tro.(0,0) e raggio 1 (circonferenza esclusa); (b) la funzione è definita nei punti del cerchio di centro (0,0) e raggio fi (circonferenza inclusa); (c) la fWlzione è definita all'esterno del cerchio di centro (0,0) e raggio 1 (circonferenza esclusa). (d) la fWlzione è definita S.Q. lo se x 2 + y 2 - 2 = O, cioè sulla circonferenza di centro ( O ,o) e rag gio /2; (e), (f) definite se (x,y) f. (0,0) ] ((a) 3.10 La funzione Rappresentare graficamente in un piano cartesiano x,y gli insiemi di definizione delle funzioni [ (a) La funzione è definita per ogni coppia (x,y) E R 2 per cui y 2 -x 4 ::_O , 2 4 cioè y. ::._ x , cioè ancora y ::._ x 2 oppure y ~ - x 2 • Si ottiene lo insieme dei punti del piano x,y al di sopra della parabola di equazione y = x 2 e al di sotto della parabol~ di equazione y = - x2 , tratteggil:!, to in figura 3.13. Ad esempio, si verifichi come riprova, ponendo x = o, che la funzione è definita su tutti i punti dell'asse y. (b) Il dominio è costituito dall'insieme { (x,y) rappresentato ER 2 con tratteggio - X 2 i y i in figura X 2 } 3.14] y figura 3.13 figura 3.14 117 3.11 Rappresentare zione delle (a) z=log(l-x (e) z=log(x [(a) graficamente funzioni 2 2 )+log(l-y -l)+ log(l-y la funzione è definita 2 l'insieme di defini- ) (b) z=log 1-x 2 l-y 2 2) (d) z=log x 2 -l l-y 2 nel quadrato (lati esclusi) definito da 3.17; (d) fi- { (x,y) ER2 : - 1 < x < l; -1 < y < l } tratteggiato gura 3.18] in figura 3.15; (b) figura · y 3.16; (e) figura y 1 X X fig-..i.ra 3.15 figura 3.16 figura figura 3.18 3.17 118 3.12 Determinare zioni (a) z l'insieme = /sen/x 2 +y 2 di definizione delle z = ✓x sen/x (b) fun - 2 +y 2 quando sen / x 2 +y 2 ~ O, cioè per 2k 1T i 5. I x +y i (2k+l) 1T, per k = 0,1,2, ... L'insieme di definizione è tratteggiato in figura 3.19; (b) l'insieme di definizione ·è tratteggiato in figura 3 • 20 ] [(a) I.a fnnzione 2 2 è definita y figura y 3.19 figura 3.20 , 3.J3 Determinare zion,i (a) [(a) z l'insieme arcsen x+y-1 x-y+l la funzione è definita sotto di definizione . (bj z=arctg le condizioni delle fun - .x2 -y2 +1 x2+y2+1 119 -1 x+y-1 <1 x-y+l - < -- - Si è così ricondotti X - y + l / 0. ' a risolvere i due sistemi x-y+l > O { -(x-y+l)S di disequazioni x:-y+1 < O { x+y-1 ~ x-y+l x-y+1 i x+y-1 S - (x-y+l) primo si.sterna ha per soluzioni le coppie (x,y) ER 2 tali che x LO y S 1 (la condizione x-y+l > O è soddisfatta di conseguenza pµrchè sia (x,y),; (0,1)). Il secondo sistema ha per soluzioni le coppie (x,y) E E R2 tali che x So, y l 1, purchè sia (x,y) I (0,1). L'insieme di te_ li punti costituisce il campo di esistenza della funzione ed è rappresentato con tratteggio in figura 3.21; (b) la funzione è definita per ogni (x,y) ER 2 ] Il / . / / / / / X / / / figura - 3.21 X ' / / / figura 3.22 120 3.14 Determinare zione l'insieme [La funzione è definib y 2 { 1 - x Le soluzioni 3.15 ~ 0· 2 y2 > o - del sist~ sono rappresentate Determinare l'insieme zioni di due variabili (a) z-log log della per le coppie (x,y)"verificà.llti X 2 - di definizione (x-1)2+y2 X 2 +y 2 (b) in figura delle z=log(x 3.2~ fun- 1 log x+y) [(a) La funzione è definita per tutte le coppie (x,y) ER2 tali con l'esclusione del punto (O,0); (b) l'insieme di definizione giato in figura 3.23 ] che x<l/2 è tratteg 2 X flgura 3.23 figura - le condizioni graficamente di definizione fun 3.24 121 3.16 Rappresentare graficamente in.un piano cartesia no x,y l'insieme di definizione della funzione _ yzx-(x 2 +y 2 ) f(x,y) - X 2+ y2 - X per tutte le coppie (x,y)E R2 soddisfacenti le limitazioni x < x + y _$. 2x. Geometricamente (si veda il paragrafo 6D del voll.DDe1°, parte prima) tale insieme è costituito dai punti <El ce.r, chiodi centro (1,0) e raggio 1, privato dei punti del cerchio di centro (1/2,0) e raggio 1/2, tratteggiato in figura 3.24 ] [La funzione è definita 2 3.17 2 Determinare l'insieme zioni di due variabili (a) f(x,y) = (b) f(x,y) = (e) f(x,y) (d) f(x,y) [(a) L'insieme l'unione: { (x,;) di definizione ,/4-x2-y V x-y delle fun- 2 V(!x!-l)(!y!-1) !x!+!y!-1 arcsen log cx~+y 2 -l) xy = arcsen (x+y-2)+ arcsen (x 2 -4x+y+3) TT di definizione, rappresentato ER 2 : x 2 +y 2 _$.4; x > y in figura (x-y) 3.25, è dato dal }U{ (x,y) ER2 : x 2 +y 2 2 4; x<y}. I+ IY (b) Si noti in particolare che l'insieme { (x,y) ER2 : !x 1<1} è il quadrato (lati esclusi) di vertici ( ±1,0) e (O, ± 1). La funzione data è definita nell'insieme tratteggiato in figura 3.26; (c) figura 3.27; (d) figura 3.28] 122 y y X figura X 3.25 figura 3.26 y 2 y V2.X I figura 3.27 figura 3.28 123 3.18 Determinare zione l'insieme f(x,y) [La funzione tuito terni di xz e+ y 4 =arccos è definita dall'.ellisse all'ellisse definizione nell'insieme - tratteggiato 2 di equazione(x di equazione(x 2 2 /4)+ y2 /4}+ y 2 della fun- 2) in figura 5. 3, privato <1J 3.29, costi dei punti in- y \/3 X figura 3.29 3C. Limiti e Ricordiamo la zione di n variabili generico punto di nenti, useremo la c.on.t.:i.n.1..1ita.' definizione reali. Rn e con notazione di limite per una funSe indichiamo con x un (x 1 ,x 2 , ••• ,xn) le sue comp.2_ 124 per indicare una funzione di n variabili reali. Inol tre, denoteremo con lxl il modulo (o norma) di x, d~ to da IX I = ( i=lE X~)l. 112 Sia D l'insieme di definizione della funzione f(x) e sia x 0 un punto di accumulazione per D; f(x) converge ad i e R per. x che tende ad x 0 se, per ogni E > O esiste un numero o > O tale che lf(x)-il< E:per ogni XED tale che o r lx-xol < o. In simboli ciò si scrive: VE:> O Ho>O: lirn x ➔x f(x) o = i <=> { Vxè0-{x 0 } lx-x 0 l<o => lfCx)-tl<E: Il lettore noti l'analogia con la definizione di limite (finito) per le funzioni di una variabile rea le. Faccia però attenzione che in questo caso il si!!!_ bolo Ix-x 0 I denota il modulo della differenza x-x cioè la distanza (euclidea) cli x da x 0 ; invece lf(x)-i I è il valore assoluto di f(x) - L Si ricordi anche che x-x è un vettore di Rn mentre f(x)-i è una quan ti tà reale (scalare) . Se f(x) è definita in x 0 e se il limite per x ➔ x 0 di f(x) è uguale a f(x 0 ), si dice che f(x) è continua in X 0 • Anche in questo paragrafo prenderemo.in considerazione le funzioni di due variabili e rimandiamo i limiti e lo studio della continuità di funzioni di tre o più variabili alla fine del capitolo. Per n=Z, ponendo come d'uso (x 1 ,x 2 ) = (x,y), abbiamo la se guente definlz~one di limite: 0 0 , 125 joo f(x,y)=R.. lim (x,y) ➔ (xo ,y o) V(x,y)eD-{(x 3:6>0: l < . /(x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 0 ,y 0 )} <o=> => lfCx,y)-tl<e: 3.19 Utilizzando re che la definizione di limite, verifica- lim (x,y) ➔ (O ,O) [ Per mezzo della Perciò, per ogni / x2 + y 2 < o 3.20 Utilizzando re che E > O, posto fE , lii ha O = I 4 I ---o X x2+y2 => la d~finizione < e: J di limite, verifica- o . lim (x,y) x 4 =x 2 • x 2 ~ x 2 (x 2 +y 2 ) otteniamo disuguaglianza ➔ (O,O) x4 _ y4 x2 y2 [Essendo I + sercizio precedente] I ~ -- x4 x2 +y2 4 + _Y_. x2+y 2 , si può procedere come nell '~ 126 3.21 Verificare che 1 y 2 cos lirn (x,y) ➔ (O,O) [La funzione è definita al di fuori degli assi o. xy coordinati.• Dalla relazi.Q. ne si deduce che nella 3.22 Utilizzando che lim (a) (x,y) ➔ (ù,O) lim (b) (x,y) ➔ (1,1) [ (a) In base alla Dato che definizione di limite si può scegliere la definizione di limite, 3x 3 +2x 2+2y 2 x2+y2 2 {y-12 4 x 2 +y 2 +2(1-x-y) relazione Ix j = ~ S. /~ 6 = IE ] .verificare o Ix3 I=Ix I · x2 S. Ix I (x 2 + y 2 ) si ottiene 2 +y2 , per ogni E: > O, posto 6 = E: / 3, < E: si ottiene 3x 3 + Zx 2 + Zy 2 I X 2 - 2 + y2 (b) il denominatore si può rappresentare nella = (x-1) 2 + (y-1) 2 . Si verifica la definizione ne I forma x 2 +y 2 +2(1-x-y) . di limite = con la relazi.Q. 127 I 2 (y-1) (y-1) 4 x +y 2 +2(1-x-y) 2 [ (x-1) 2 +(y-1) 2 J (x-1) 2 + (y-1) 2 (y-1) 2 ] 3.23 Utilizzando re che (a) (b) [(a) limite, ➔ (1,1) ➔ (4,-1) XY + y2 +X+ y + 1 lim (x,y) di (x-1) 5 -(x-1) 2 -3(y-1) x 2 +3y 2 -2(x+3y-2) lim (x,y) la. definizione =-l y = 3 Il denominatore si può rappresentare x 2 +3y 2 -2(x+3y-2) 2 verifica- nella = (x-1) 2 + 3(y-l) forma 2 • Si può procedere come nella parte (b) dell'esercizio precedente; (b) la funzione data è definita nell'insieme { ( x ,Y) ER 2 : y I - l } • In tale insieme vale la scomposizione xy+y 2 +ic+y y(x+y)+(x+y) (x+y)(y+l) y + l y + 1 y + l Occorre perciò stimare y I (x+y)-3 I . Risulta dato che I (x-4) 2 ~ / (x-4) 2 + (y+l) si conclude ponendo 6 = 3.24 =X+ 2 (ed a."lalogamente per /(y+1) 2) E: /2 ] . Utilizzando la definizione, verificare che la funzione f(x:y) = xy è continua nel punto (O,0). 128 [Occorre verificare 2 riconduce E la definizione > O risulta dì limite Verificare continua nel può procedere ) jxy scopo è utìle tale che, come facilmente E R 2 • la dis~ si verifica, ìn base a tale si disugua~ . I < E se x 2 + y 2 < 2 E. Perciò nelo = /u ] f(x,y) sen precedente utilizzando si può scegliere che la funzione punto (0,0). come nell'esercizio (xy) è la disugua - Isent I ..'.:_ It I (valida per ogni t E R) con t = xy] glianza 3.26 2 x 2 +y 2 ± 2xy ~ O, V( x ,Y) a za, per ogni [Si lira xy =O.A (x,y) ➔ (O,O) Ixy I -< -12 (x + y guaglìanza 3.25 che Le seguenti (a) f(x,y) (b) g(x,y) funzioni 2 +y2 /3) x2+ y2;3 sen(x 1-cos(xy) x2y2 ncn sono continue in (0,0), non essendo ivi nite. Estenderle a (0,0) in modo da renderle, possibile, continue in tale punto. defi se [(a) f(O,O)= La funzione =l ed in tal f(x,y) può essere modo l'estensione definita rìsulta in (O,O) con il valore continua in (C,O) (e su tutto 2 R ) dato che lim (x,y) ➔ (O,O) sen(x 2 +y 2 /3) x2 ciò segue dal limite +y2/3 di funzione = l; di una variabile lim t➔ O sent t =1. Infa.!;_ 129 ti, per ogni < E E .> O esiste O -1 /x2 i 13° /xz +y2 I un nwnero O > O per cui (sent)/t-1 posto t = x 2 +y 2 /3, risulta I< o. Perciò, O -I lt se < /36 => lsen (x2 +y2/3) +y2/3 I< - 1 I< 1/2 e utì - X 2 + y 2 /3 <E • (b) Si può procedere lìzzando il come nella parte (a) ponendo g(O,O) limite dì funzioni dì .wia variabile lim 1 - cost t2 t ➔O 3.27 1 = 2 ] Estendere con continuità le, le seguenti fuhzìonì (a) f(x,y) = sen (Zx-Zy) x-y (-e) f(x, y) xy loglxyl (d) f(x,y) = (e) f(x,y) = (f) f(x,y) = ( ex+y - [ (a) La funzione se al limite è possibile (b) f(x,y)- _ _El_ lxyl 1 3x + 3y l+yy+x:2 è definita di funzione lim t4 0 a tutto R 2 , se possibi dì due variabili reali sen 2t estendere t ) y { (x,y) nell'insieme dì una variabile E R 2 :x -I y } . In ba- t(=x-y) = 2 con continuità f(x,y) a tutto R 2 ponendo f(X:,y)= uu = 2 se x=y. (b) La funzione non è definita in corrispondenza degli assi coordinati. Dato che non esiste il limite per t ➔ O della funzione t ➔ ➔ t/ I t non e possibile estendere con continuità f(x,y) a tutto R 2• Si noti che la funzione data vale l sexy >.O (cioe nel primo e nel te~ zo quadrante) e vale -1 sexy< O. (c) La funzione converge a zero se il prodotto xy tende a zero, in base al limite !, lim t ➔ o+ t log t = O perciò e possibile estendere con continuità, con il valore O, la funzi2 ne f(x,y) anche in corrispondenza degli assi coordinati. (d) La funzio2 2 ne non e definita nell'origine. Dato che lxy I 5. (x +y )/2 per ogni (x,y) E R2 (infatti ciò corrisponde a x 2 + y 2 ± 2xy ~ O), risulta anche lf(x,y) I= jxy I I log (x2 +y2)15. 2l (x2 +y2) log (x2 + y2 ); ponendo t = x 2 + y 2 ,. si verifica come in (c) che f(x,y) ➔ O per (x,y) ➔ ➔ (O,O); perciò la fw1zione si estende con com:inuità all'origine degli assi ponendo f(O,O) = O. (e) La funzione si estende con continuità allo insieme { (x,y) ER 2 : x + y = O } con il valore 1/3. (f) La funzione si estende con continuità all' insieme {(x,y) E R2 : y = O } 2 con il valore el+x J Ricordiamo che una condizione necessaria affinuna funzione f(x,y) abbia limite i per(x,y1 ➔ ➔ (x 0 ,y 0 ) è che, per ogni curva regolare di equa~ zioni parametriche x=x(t), y=y(t) passanti per (x 0 ,y 0 ) in corrispondenza ad un valore t0 (cioè tali che x(tol = Xo, y(to)=yo), risulti chè lim t ➔t f(x(t) ,y(t)) = i. o Notiamo esplicitamente limite della funzione che, per l'esistenza di due variabili, il del valo- 131 re i deve essere indipendente dalla y(t)) scelta. In pratica spesso si prende in ne il fascio di rette passanti per · equazioni para.aetriche y(t)=y 0 curva (x(t), considerazio(x 0 ,y 0 ), di + mt, con i, m parametri direttori della generica retta (in questo caso è t 0 = O). Oppure, escludendo le rette parallele all'asse y, si considera la famiglia di rette di equazione cartesiana dove il parametro m è il coefficiente angolare della retta. In questo tecondo caso la variabile indipendente è t = x e risulta t 0 = x0 • Ricordiamo che l'applicazione del criterio s~ pra esposto con una particolare scelta delle CUI ve passanti per (x 0 ,y 0 ) (ad esempio con una fami glia di rette) fornisce una cortdizione solo necessaria, ma non sufficiente, per l 'esistfmza del limite. Di seguito diamo alcuni esempi. 3.28 Verificare ➔ (0,0) d·ella che non esiste funzione f (x' y) [Consideriamo rametriche una generica x(t)=it, per (x,y) ➔ - ..2IT.._ 2 2 X +y retta passante per l'origine, di equazioni con 1,m ER ( 1 2 +m 2 ;! O). La y(t)=mt, {di una variabile reale) f(x(t), y(t) )=f( h,mt)= (h) fissati limite - composta Percio, il p~ funz.ione vale it-mt 2 +(mt) 2 1,m e R, la funzione composta im 12+m 2 , e costante Vt ;! O. rispetto a t 132 per t➔ O, converge è quindi, pende_. evidentemente, dalla ne di due variabili im/( particolare retta non annette.limite Si giunge allo stesso equazione cartesiana variabile x) vale risultato y(x) )=f(x,mx)= 2 X 3.29 Anche in questo caso il m che la retta] individua. Verificar~ ➔ = [ Come nell'esercizio lim t-+o perciò +(nuc) valore 2 la famiglia di rette di composta (della m = l+m2 Vx i- O. (per x ➔ O) dipende dal parametro limite il limite per (x,y) ➔ ogni (x, x 3 -2xy+y 3 x2+y2 precedente si verifica ad esempio che f( i t,mt) -2im = R,2 +,n 2 la funzione f definita per se f (0,0); f(0,0)=0. Si consideri di- la funzio- (x,y) ➔ (o,o). considerando che non esiste della funzione (0,0) f(x,y) 3.30 per scelta; = mx. In tal caso la funzione nuc2 f(x,y(x) R.2 +m 2 ). Tale valore al valore ] y) ::R2 da: xy f(x,y)= x2+y2 (x,y) Si verifichi che f(x,y) è continua sepa.ratamente rispetto alle variabili x e y, ma che essa non è continua in (0,0) come funzioi1e di due .variabili. [Per y=O la funzione lim x➔x f(x,O) o vale identicamente = lim O = O = f(x 0 ,0). x➔ xo zero. Perciò 133 La funzione f(x,O) della variabile x è quindi continua su R. Se y=y /0 0 la fW1Zione f(x,y 0 ) è continua perchè rapporto tra due polinomi con.d~ nominatore che non si annulla. Analogamente la funzione della variabile Y, f(x 0 ,y) è continua su R per ogni x 0 E R. Però la funzione ..di due variabili non è continua in (O,O) perché, come mostrato nel.l'esercizio 3.28, non esiste il limite per (x,y)➔ (0,0). di f(x,y). Il grafico di f(x,y) è rappresentato in figura 3.11;. si noti in particolare che la funzione z = f(x,y) é nulla in corrispondenza agli assi x,y. La discontinuità in (O,O) è evidenzia.ta in figura 3.11 dal fatto che, avvicinandosi al punto (O,O) percorrendo una generic~ retta per l'origine, si rimane ad urla quota (valore di z) dipendente dalla retta stessa; in particolare, per x = y, si ottiene la quota z=l/2,men tre per y=O (asse x) si ottiene la quota z=O ] 3.31 Utilizzando le rette per che le seguenti funzioni per (x,y) ➔ (O,O). (a) z=arctg Y l'origine, verificare non ammettono limite (b) X z = sen(x-2y) x-y [(a) La funzione è costante sulle rette di equazione y=mx e la costante (=arctg m) dipende dalla retta; (b) ponendo y=mx risulta lim x➔ O sen(x-2mx} x-::mx = lim x➔ ù l-2m 1-rn sen [ (l-2m)x] (l-2m)x l-2m l·-m Dato che il risultato del li.mite per x ➔ O dipende dal parametro m, la funzione di due variabili non ammette limite per (x,y) ➔ (O,.O) ] 3.32 Si confrontino gli esercizi Si verifichi in particolare sto per lo studio del primo ta per l'altro. 3.33 Si consideri la funzione 3.31(b) che il limite f(x,y) = e 3.27(a) metodo propQ non si adat- 134 Verificare che: (a) Esiste il limite per x➔ O della- funzione co~ posta f(x,mx) su ogni retta. per l'origine di equazione cartesiana y=mx ed il valore limite è indipendente da m. (b) Non esiste il limite di f(x,y) .per (x,y) ➔ ➔ (0,0), dato che il limite per t➔ O della funziQ ne composta f(it,mt) sulle rette di equazione I!! rametrica x=it, y=mt dipende dalla retta scelta. 4 [ (a) Per ogni x ; O risulta Perciò lìm f(x,mx)=O. Si ricordi 4 m x" f(x,mx) = 2 4 X +m X 4 = che la famiglia m x 2 4 l+m X 2 di rette • di equazig_ x ➔O ne y=mx non costituisce l'insieme di tutte le rette per l'orìgine, ma rimane escluso l'asse y, di equazione x=O. Per x=O rìsulta f(O,y) = 1 per ognì y; o. Quindì_la funzione f(x,y) rìstretta aglì assì x,y converge a valori fra loro dìstìnti (lìm .f(x,O)=O; lim f(O,y) = 1). Ciò è x➔ O y ➔O sufficìente ad affermare che la funzione dì due variabili limìte per (x,y) ➔ (O,O). (b) Per ognì t; O rìsulta f( tt,mt) Si verifica facilmente non ammette che se lìm f( i t,mt) t➔ O 3.34 Si consideri Verificare la funzione se f(x,y) i = O (ed m ; o) ] = che: (a) Esiste il limite per t ➔ O della funzione co~ posta f(it,mt) su ogni retta per l'origine di~ quazione parametrica x=it, y=mt ed il valore li mite è indipendente dai parametri i,m. (b) E' possibile determinare due curve regolari passanti per l'origine sulle quali la funzione 135 assume y) non limiti assume distinti; limite la i 2 mt 3 = i ( t) 4 +(mt) 2 I O risulta Tale quantità converge a zero per t ➔ O qualunque f(R.t,mt) · (b) Si consi~erino parametro tore, reale le parabole (tale quadratico è suggerita dalla che tali i ,m ER nulla struttura grado m del denomina~ rispetto parabole (con se m-=0}. y=mx 2 , con cartesiana ad y e di quarto mx4 m 2 4 = l+m2 (l+m )x = Perciò la funzione dipende e tale siano ad x; la sce!: sono linee di livello Risulta costante ± 1/2 f(x, i 2 mt i 4t 2 + m 2 - mt) è identicamente di eq~zione anche dal fatto funzione). f(x,mx) = scelta rispetto. ta è suggerita della f(it, funzione (x,y} ➔ (O,O). [ (a) Per ogni t R.2 + m2 I O} (in particolare 3.35 percio per è costante sulle vx ; o. , parabole scelte ed il valore da m. Ad esempio, per y = ± x 2 risulta è ~che il limite Siano a,~ parametri care che la funzione per x ➔ O dì f(x, reali f(x, della ± x 2 )= ± x 2 )] non negativi. Verifì- (uguale ~e a+~> a zero) 2. per(x;yJ ➔ f(x,y) ammette limite finito se e soltanto ➔ (0,0) [Lungo le rette y=mx per l'origine ~ f(x ,mx)= , Se a+~ -2 Im I Ix I la funzione vale a+~ (l+m2)x2. < O allora zione è costante di lì~ell.o) sulle f(x,mx) ➔ +e.o per x ➔ o. Se rette per l'origine (che e ·1a costante(= a+~ i 2, la funzione Viceversa zero per (x,y) f(x,y) verifichiamo ➔ (O,O). lm I~/(l+m 2 )) dipende non ammette lìmite che, se A tale a+~> a+ f3-2 = O la fun- risultano finito 2, allora scopo osserviamo che quindi da m. Perciò, linee se per (x,y) ➔ (O,O). f(x,y} convel'ge a 136 (x 2 + y 2 ) ed analogamente I YI~ oi x2 + y 2 Se a+~> 2 allora a/2 + ~ /2 - 1 > O. Perciò (x 2 + y 2) per (x,y) ➔ (O,O). In base al teorema di confronto funzione data converge a zero ] 3.36 a/2 ,9'.+l?.-1 2 2 dei carabin~eri ➔ o la Siano a,~,r parametri reali non negativi. Deter minare i valori dei parametri in modo che le seguenti funzioni ammettano limite finito per (x~ y) ➔ (O,O). (b) Come nell'esercizio precedente,la tanto se a+~ > 2 y ; (b) utilizzando [(a) funzione converge a zero se e sol le parabole di equazione y=mx2 , si •rerifi.ca che la funzione nor. ha limite finito se a+z ~ -4 y 5. o. Viceve1: sa, se tale condizione non vale, la funzione f(x,y) converge a zero per (x,y) ➔ (O,O); ciò si dimostra con il teorema di confronto (come nell'~ sercizio preceùente), utilizzando le disuguaglianze a I x Iet = (x ,.) -4 5. (x 4 cx + y2 )4 ~ .§ I y I 5. <x.. + y >2 • 2 In definitiva la funzione risulta convergente in (O,Oj se e soltanto se O: +2 ~ - 4 y > O. Si noti che la funzione dell'esercizio 3. 34 è un. caso particolare (a parte i valori assoluti a numeratore) .con a =2, ~ =l e y = 1; risultando in tal caso a +2 ~ - 4Y = O, la funzione non a11111ette limite (finito), in accordo con quanto stabilito nell'esercizio 3.34 ] 137 3.37 Calcolare (a) (e) . lim [(a) se~e x2y2 2 (x,y) -+(o,o) X +y lim (x,y)-+ (0,0) (e) i seguenti limiti (b) 6 1-cos(xy) lim (x,y) -+(O,O) x4+y4 1-cos(xy) x2+y6 lim lim {x,y)-+(o,o) (x,y)-+ {O,O) x6+y4 x2 y2 Essendo x 2 ,i x 2 + y6,risulta anche O ,5_ 2 6 ,$_y 2 .5.x 2 + y 2 • Ne _x +y che il limite per (x,y) ➔ (O,O) vale O; (b) sulle rette di equazione y = mx la funzione vale 1-cos(mx 2 ) x 4 +m"x" 1-cos(mx 2 ) '(mx 2 ) 2 m2 l+m" Vx # O, m2 e per x -+o converge al limite --~. Dato che tale valere dipende 2(Hm 4 ) dal parametro m, il limite in (b) non esiste; (c) il limite vale zero e si può ottenere come prodotco dei limiti 3.37(a) e 3.26.(b); (d) considerando la Iunzione sulle rette per l'origine, si verifica che il limite non esiste; (e) si può calcolare il limite con il prodotto lim (x,y)-+(O,O) lim . (x,y)-+ (O,o) Il primo fattore vale uno in base al limite di funzione di una varia-· bile reale lim log(l+t)/t = 1; il secondo limite vale zero e lo si t-+ o . può verificare in modo simile a come indicate nella parte (a) del pr~ sente esercizio; (f) lungo le curve di equazione y = mx312 , con x>ò, 13 8 la funzione vale m 2x6 m2x6 1-e x 6 m2 1-e 4 +m x 6 2 m x In base al limite 6 ltm 4 di funzione di una variabile lim (1-et)/t = - 1, per t➔ o + x ➔O l'espressione precedente valore dipende da m, cioè dalla ste] 3.38 2 .. converge a -m /(l+m ) • Dato che · tale curva scelta, il limite in (f) non esi- nell' con Quali delle funzioni considerate precedente si possono estendere nel punto (0,0)? esercizio continuità [E' possibile estendere con continuita le funzioni in (a), (c), (e) definendole zero per (x,y) = (o,o). Non è invece possibile estendere in(O,O) le funzioni 3D. in (b), Deriv-a.t.e (d), ·(f) ] pa.rzia.1i Una funzione f definita in un intorno del punto cli coordinate (x,y) ammette derivate parziali in tale punto se esistono finiti i limiti (di una variabile reale): f(x+h,y)-f(x,y) h lim f(x 1 y+k)-f(x 1 y) k k ➔ O Il primo dE,ii due limiti si chiama derivata parziale f rispetto ad x e si denota con uno dei simboli, fra loro equivalenti, di af ax Analogamente, . 1 1 .... secondo limite si chiama derivata par- 139. ziale di f rispetto ad y e si denota con uno dei sirnbo li af ay Se f ammette derivate parziali in un punto (x,y) si dice anche che f è derivabile in tale· punto (il le!, tore faccia attenzione a non confondere tl concetto di deri vabil:i. tà con quello di· differenziabilità, che prenderemo in considerazione nel paragrafo successivo). Diretta conseguenza della definizione è che le derivate parziali fx, fy di una assegnata funzione& due variabili f(x,y) si calcolano con le usuali r~ gole di derivazione delle funzioni di una sola vari~ bile reale, considerando l'altra variabile costante con il ruolo di parametro. 3.39 Calcolare, parziali nel della punto (x,y) funzione f(x,y) [Per detenninare la derivata si fissa y ~ 7 e si calcola riabile x: f(x,7) = x3 + (4,7), y2 - le derivate xy parziale di f rispetto ad x nel punto(4,7) la derivata della funzione della sola va - = x 3 + (7) 2 - 7x; si ottiene 3x 2 - 7; ponendo x = 4 si detennina to (4,7): fx(4,7) il valore = 3-(4) 2 - 7 = 41. Per determinare di fx nel PI.I!!. la derivata par - ziale di f rispetto ad y nel punto (4,7) si fissa x = 4 e si calcola la derivata della funzione di una variabile (4) 3 + y 2 - 4y, che vale 2y - 4; ponendo y = 7 si ottiene il valore di ·f nel punto (4,7) : y . f (4,7) = 2-7-4 =· 10. In un punto (x,y) generico di R2 le derivate y 140 parziali 3.40 valgono Calcolare guenti insiemi le derivate parziali funzioni nei punti di definizione. fx• fy deile interni ai rispettivi f=x 2 · + 2y f=xy f=(x+y)(x-y) f f = X [ f y x-y x+y f = .15.±..Y... 1-xy f [f X y' . f y=- -y2 = - =~ X x2+y2 f x2-y2 x2+y2 (x+y)2 l+y 2 [ fx = (1-xy) 2 ; xy y-x J y I x-yI f f J X f f 1 X f - r::-::1 [f=--=- 1 x 2 /x+2y f = 1 Y /x+2y J se- 141 X [f=-- [f=--x- x f=2./xy [ f • X = y fy = o ] f /?+? X ~ ; Y/7+? =•/! v;- x2 [ fx = (x3+y 3 )2/3 y2 f=sen(xy) f=sen [ fx= cos x•sen y 2 x · sen y 2 fy=2y senx-cosy f= 1 3 1 sen 2 x+ -cos 2 2 y 2 ] 2 [ f = - senx cosx; X 3 fy= - seny cosy] f=xy-sen(xy)cos(xy) [ f X=2y sen 2 (xy}; fy= 2x sen 2 (xy) f=xy sen(xy) +cos (xy) [ fx=· xy 2 cos(xy) fy=x 2 y cos (xy) f=x 2 + + sen(x 2 +y 2 )cos(x 2 +y 2 ) ] ; ] [ fx=4x cos 2 (x 2 + y 2 ); ] 142 y [f f sen x f tgx·tg3y f tgx tgy f= 1-tg(xy) l+tg(xy) =- y COS :i< [f 1 X f = -Y sen x sen 2x = --=-1 __ f x cos 2xtgy . [f = x =~ Y f =--l+x2y 2 2 f----] -7 Y- l+(Sx-7y) X y fy =- X 2+ y 2 Y X ~) 2 [f y = X f y f= arctg ] ]2 X y s__ X l+(Sx-7y) ~ f= l+arctg f=(arctg [r = __ 2 .cos(xy)] f= arctg(xy) f= arctg x+y x-y ] sen 2 y -2y [sen(xy)+ -2x f -------~,y- [sen(xy)+cos(xy) f= arctg(Sx-7y) ] 2y arctg(x/y) X2 +y2 -2x arctg (x/y) = ---,,-=---.:___:..:. X 2 + y2 ] ] 2 143 ~ arctg f x+y ~ f = arctg l+xy 1 -1 [ fl:= Hx 2 f y -- l+y 2 ; ~ f arctg f arcsen f Y-1+y2 --- l-xy y_. x -y Ix I/x 2 -y 2 [ fx= I I X f f = arcsen = y ✓~] X -y X ~ x+y J f log(2x+2y) f lùg lx-yl [f=....:...; f log (xy) [f=-; f log .!. f log y ~ + X y [ f =f X Y = - 1 1 f=- -J. Y y-x x x-y 1 X f =~ ; f X [ f X X ] x+y y y =- =- l ] y ~y J l J J 144 f f =log ✓x 2 +y 2 f=-log sen(x 2 +y 2 ) 2 2 f = 2y cos(x +y ) Y sen(x 2 +y 2 ) J f=xy [1-log(xy)] fy = - x log(xy) f=log f=log f =e x+ ✓'i"+"xT y+ ✓ l+y2 [f=--;f=--] ] 1 -1 _xri+;r /i+?" y 1+ ✓x2+y2 1- ✓x2+y2 xiy f=e x/eY y/x f=2 y/x _ -y 2 log 2 [ fit- x2 f y = Y/x 1 2 og X 2 J 145 f 11 xy f = (x - 1 ) exy [ f =xye f ·~ex (seny+cosy) [ fx=f; y [ f f X • ' x 1 f = (y y2 f =ex(rosy-seny) y. = ex f y = O [ Si noti (~) e xy ] ] fy = x log xy xy e logx [ fx = (- /ogxlogy ; X log x fy = y ; xy xy ) J (xy) e f = y J che f(~,y)=y. x/2 [ fx = y log(xy)(-) logx y xy ] + x 2 - -y ) e xx f f xy X 146 · cosy-1 cosy f=(senx) [ fi:c:=cosx. cosy(senx) cosy ·fy=-(senx) [ f f [ f -y = - X X2 1 X f X ( lcgy logx + ~ ) ; = ? x? X. X yX log· X J y=O risulta f(x,O) (di una variabile fx(O,O). = /~ reale) i limiti lim h ➔ o± y = xxY xY (logx) 2 ] = xyY yY logx (l+logy) ] = Ix I e, come ben noto, ·tale non è d·erivabile Si può anche procedere sono diversi y 2 la funzione f(x,y)=/x +y 2 non parziali nel punto (O,Ò). Verificare che mette derivate [Per 1 - ) ] = X xY f 3.41 X X .f y= xy x-'l f 1 y-1 (l+ - ) = (l+ - )Y iog(l+ y J seny log senx destro f(h 1 0)-f(0 1 0) h per x=O; perciò in base all~ definizione, e sinistro: lim h ➔O ± Mh ± 1. a - funzione non mostrando esiste che 147 In modo analogo si verifica 3.42 che non esiste fy(o,o)] In quali punti (x,y)eR 2 esistono le ziali della· funzione f(x,y) = lxyl? [ Fissato y E R, la funzione I è derivabile 0 O se y 0 I O; mentre, se y 0 to ad x) per ogni xi y 0 ) è identicamente J x I· Jy f(x,y 0 ) = 0 nulla e quindi è derivabile che la funzione f(x,'y) ammette derivata paL derivate (rispet- o, la funzione = f(x, per ogni xE R. Ne segue parziale rispetto ad x in- tutti i punti dell'insieme {(x,y) 3.43 e R 2 : x; o} U{ (o,o)}, cioè in tutti i punti del piano xy, escluso ne degli Analogamente fy esiste assi. l'asse y ma inclusa l'origi nell'insieme f(x,y)=lx-yJ Stabilire se la funzione te deTivate parziali nei (0,0), (3,2) e (2,3). punti di (x+y) amme! coordinate(l,D, [ La funzione non ammette derivate parziali nel punto (l,l); infatti sempio, per il limite del rapporto incrementale relativo ad fx(l,l), sulta lim f(l+h,l) Viceversa = infatti lim è derivabile ± 2. lim h ➔O ± parziali nel punto (O,O) ed esse ad esempio per fx f(h,0)-f(O,O) h h ➔O La funzione = la funzione ammette derivate valgono zero; fx(o,o) - f(l,l) h h➔ o± ad~ ri - lim h ➔O ~ = h in (3,2) e (2,3) e con le usuali regole o. di de- 148 Supponiamo che una funzione f(x,y) ammetta deriv~ te parziali fx (x,y), fy(x,y) in un insieme aperto. Se le funzioni fx, fy ammett.ono a loro volta derivate pa.r. della fun ziali a clx f x• a ay fx, a -F ax ~Y'· a ay fy esse vengono zione f e si chiamate indicano derivate parziali con i simboli fxy, fxx ' oppure anche seconde. con i simboli a f a2 f 2 ax 2 ayax ' Le derivate Per miste. esse ma di Schwarz: tutti si f yx fxy , chiamano sussiste il Le derivate seconde i punti teor~ fxy , fyx sono u- 3.44 Calcolare le derivate seconde delle seguenti fu~ zioni all'interno dei rispettivi insiemi di defi nizione e verificare che le derivate seconde miste sono uguali fra loro. (c) f(x,y) = sono importante in f(x,y)= cui miste seconde guali (a) in seguente derivate continue. /x 2 +3y 2 (b) f(x,y)=ex yx (d) f(x,y)=arctg cosy ~ 1+xy 149 (e) f(x,y)=arctg x+y x-y (f) f(x,y)=log (d) -2x fxx= (l+x 2)2 2y fxy=fyx = O; f yy = (l+y 2)2 (e) 2xy fxx= (x2+y2)2 y 2_x2 fxy=fyx=(x2+y2)2 (f) y2-x2 fxx= (x2+y~)2 /x2+y2 -2xy f yy = (x2+y2)2 x2 _ y 2 f yy. = (x2+y 2)2 -2xy fxy=fyx = (x2+y2)2 J 3.45 Verificare f(O,O)=O che la funzione e f(x,y)= f(x,y) definita se (x,y)r(O,O), x3y , X 2 +y~ da 150 ammette derivate seconde miste fxy , f yx fra loro distinte nel punto (x,y) = (0,0). Verificare inoltre che le derivate seconde miste non sono con tinue in (0,0), in accordo con il teorema di Schwarz. [Si noti che, essendo lim (x,y) f(x,y)=O anche f(O,O)~O, la funzione è continua Le derivate parziali (esercizio 3.35) ed essendo ➔ ( O,O) in (O,O) (ed anche in tutto prime, per ogni (x,y) R 2 ). I (O,O), valgono Come nell'esercizio 3.36 (a) si verifica che sia fx(x,y) che fy(x,y)con vergono a zero per (x,y) ➔ (O,O). Ciò implica che fx, fy sono continue (anche) m.(o,o)",essendo fx(O,O)=fyCO,O)=O;iniatti,ad esempio per fx(O,O): lim O O. h ➔ O Calcoliamo le derivate seconde miste in (O,O): h s /h4 lim h ➔O l. h Perciò le derivate seconde miste sono fra loro distinte in (O,O).Al con trario, in base al teorema di Schwarz, esse sono tra loro uguali per ogni (x,y) f (0,0). Con le usuali regole di c!·erivazione si trova Essendo fxy = fyx per (x,y) almeno una delle due derivate I (O,O) e fxy(O,O) 1 fyx (O,O) ne segue seconde miste non è continua che in (O,O). C~ 1 51 munque, con verifica mettono limite diretta, si prova che fxy(x,y) per (x,y)->- (O,O); infatti, tengono i limiti fra sulle e fyx(x,y) rette non am- y=O e x=O si ot-- loro• distinti lim O O ] y ➔O 3.46 Siano zione a,b parametri reali 2 definiti in R da f(O,O)=O f(x,y)- e e sia f(x,y) _ ax 3 y + bxy 3 X 2 +y Ver_ificare che fxy (O,O)=b e che fyx (0,0) [Si può procedere come nell'esercizio te, nel modo seguente: no definite da oppure, piu rapidamen- = ag(x,y.) + bh(x,y), X 3 }' X PGr la linearit.a Le derivate sercizio +y 2 delle derivate h(x,y)= , +y funzione S.Q. se (x,y)f(O,O). g, calcolate ~algono gxy (O,O) = O, ~x(o,o) e dove g,h risulta scambiando il ruolo di x,y, risulta Perciò fxy(O,O)= b xy3 - 2-- 2 X seconde miste in (O,O) della precedente, = a. precedente si pone f(x,y) g(O,O)=h(O,O)=O e g(x,y)= - 2-- fun- (x,y)7'1(0,0). se 2 la anche hxy(O,O) nell'e- = 1. Per sinm,etria, 1, hyx(O,O) = O. fyx(O,O) = a ] 3.47 Si considerino le funzioni definite f(O,y) = O e per x f O rispettivamente per x=O da da 152 (a) f(x,y)=x 2 sen y_ (b) f(x,y)=x fxy (0,0)=0 e che X Verificare che 2 arctg y_ X fyx(O,O)=l. [(a) Essendof(O,y) = O risulta lim f(h,y}-f(O,y) h➔O ----- = lim h sen h➔O h rh = O fx(O,k}-fx(O,O} perciò fxy(o,o) = lim -----= lim O= O. k-+O k k➔o Conle usuali regole di derivazionesi ottiene fy(x,y)=x cos(y/x) per~ gni x I O; inoltre, dato che f(O,y) è costante (=O},risulta fy(O,O}=O. Quindi (b) 3.48 si verifica in modoanalogo] Generalizzando l'esercizio precedente, sia g(t) una funzione di una variabile reale, limitata su Re derivabile per t = O, e sia f(x,y) la funzio ne di due variabili definita da f(x,y)=O se x=O Verificare che fxy (0,0)=0 e e che fyx(O,O)=g'(O). [Si giunge,"3.llaconclusione con lo stesso metododell'esercizio precedente. Si noti che anche la funzionedell'esercizio 3.45 è del tipo qui con siderato, con g(t} = t/ (l+t 2 ) J 3.~9 Mostrare con un esempio zio precedente non vale ne limitata su R. che la tesi dell'esercise g(t) non è una funziQ 153 [Ad esempio la tesi 3.50 non vale se g(t)=t, VtE R] Una funzione di due variabili u(x,y) si dice in un insieme aperto AcR 2 s.., essa arnme!_ te derivate seconde uxx_• uyy per ogni (x,y)eA e se esse soddisfano l'equazione differenziale(al le derivate parziali, detta equazione di Laplace) armonica + u yy u.xx = o. Verificare che le seg~enti funzioni che nel loro insieme di definizione sono armoni X (a) u=3x+2y (b) u=e seny (c) u=x2-y2 . (d) u=x"-6x (e) U'-=log(x 2+y 2) (f) u=arctg (h) u=x6 -15x 4 y 2 +15x2y 4 -y 6 X (1) x2 -y2 u= (x2+y2)2 xy y3 -yx2 (n) u= (x2+y2)3 (g) u=arctg x-y x+y (i) u= x2+y2 (m) u= ·cx2+y2)2 (f),(g) uxx=-uyy= -Zxy (x2 +y2)2 2x(x 2 - y 2 ) (i) UXX = - Uyy = ( X 2 +y 2 ) 3 ; (h)u xx =-u 2 yy=30x y 2 +y" (y/x) 4 -18Ox 2 y 2 +30y 4 154 3E. Differe~zi=bi1ità Al contrario di quanto accade per le funzioni di una variabile reale, per le funzioni di due 0 più variabili l'esistenza delle derivate parziali in un pu~ to non implica la continuità nel punto, stesso. Un esempio in tal senso è proposto nell'esbrcizio 3.SZ(si· veda anche l'esercizio 3.82). La nozione naturale per le funzioni 4i più variabili, che estende il concetto di derivabilità per le funzioni di una variabile reale, è ·quella di differenziabilità. . Siano x,heR" e sia f(x) una funzione della variabile (vettoriale) x. Si dice che la funzione f è differenziabile in X: se esiste una funzione lineare L:R" ➔ ➔R tale che lim f(x+h)-f(x)-L(h) o Jhl h➔O in tal caso L si nel punto x e si chiama verifica della differenziale funzione f che n L(h) E f x. (x) h i i=l , 1 dove hi (i=l,2, ... ,n) sono le componenti h e fx.,. sono le derivate parziali della del vettore funzione f.Si dice essa anche chef è differenziabile in un insieme A se è differenziabile in ogni punto xeA. In particolare si osservi che se f è differenziabile j n x allo1·a f è anche derivabile in x, cioè amme_!. te derivate parziali af/axì per i=l,2, ... ,n. Viceversa, un importante teorema (detto teorema del differe~ ziale) afferma che se f ammette derivate parziali in un intorno di X e se tali derivate sono continue in X, allora f è differenziabile in Diretta conseguenza X. della definizione è che, se f 155 è differenziabile in x, allora f e anche continua in tale punto. Una applicazione geometrica del concetto di differenziabilità è la seguente: se la funzione f(x) è differenziabile in x 0 ,allora esiste il piano tangen, te in (x~,f(~ 0 ))eR ed ha equazione dove (x-x 0 indica ). n+l la al grafico della componente i-esima funzione f(x) del vetto- 1 Spesso si utilizzano le seguenti notazioni. Sia A un insieme aperto di Rn. Se f è una funzione conti nua in A si dice che f è di classe C 0 in A e si scri0 ve feC (A). Se f ammette derivate parziali prime e se queste sono continue ne_ll' aperto A, si dice che f è di classe C 1 in A e si scrive feC 1 (A). Più general mente fECk (A), keN, significa che f ammette deri vat; parziali in A fino all'ordine k e che queste sono fun zioni continue. Sé feCk(A) per ogni keN si dice eh; f E CCD(A). i . Con i si~boli introdotti valgono le implicazioni feC 1 (A) => Nella f è differenziabile pratica, in A=> feC 0 (A). per decidere se una data funzione si studia la continuità delle derivate parziali prime e si applica, se possibile, il criterio enunciato nel teorema del differenziale. Co sì, in base a tale criterio, le funzioni elementari (composizioni razionali di polinomi, esponenziali,l~ garitrni, funzioni trigonometriche, ecc.) risultano differenziabili all'interno del rispettivo insieme è differenziabile, 156 ài dtfinizione. !:'::gli esercizi che seguono proponiamo lo studio , fra l'altro, della differenziabilità di funzioni in situazioni tali da non poter applicare il criterio enuncht(J nel teorema del differenziale.Ricordiamo che, per. Y'::rificare direttamente con la definizione se ·una d.ata :ur,zione f è differenziabile in un punto x, è O.E. ~ 0 rt½n0 salcolare preliminarmente le derivate parzia'' e suçs'::ssivamente verificare che è nullo il limite ·~ è in ~'::ttore di componenti (hi)) n f(x + h) - f(x) - -~ In ~articolare, ,:.a:,::i '::ssa frz,y) ~~~'::tte fxi Cx) hi 1 lim per n=2, una funzione di due va in un punto (x,y) se fx, fy in tale punto e è differenziabile derivate parziali ~~ l i r:1 f(x+h,y+k)-f(x,y)-fx(x,y)h-fy (x,y)k =O. ✓ h2+k2 (h,1-.J ~/ri,OJ s~ f(z,y) è differenziabile in (x 0 ,y 0 ), il piano :angente al grafico della funzione in corrispondenza ad (z~,Y~J, cioè tang~nte nel punto (x 0 ,Y 0 ,f(xo,Yo)), :-,a r:-q1Jazione 3.51 Mostrare renziabile renziabile [La funzione Li. Perciò che la funzione f(x,y) = !xyl è diffe nel punto (x,y)=(O,O), ma non è diff~ nel punto (x,y) = (1,0). è identicamente le derivate nulla parziali in corrispondenza degli in (O,O) valgono zero; assi risulta coordinaquindi 15 7 lim f(h,k)-f(O,O)-fx(O,O)h-fy(O,O)k (h,k)➔ (O,O) /h 2 + k 2 il limite vale zero perchè, essendo = lim ~ =O• (h,k) ➔ (o,o) ~ I~ 21 (h + k 2 jhk ihkl < -1 / --h 2 + k 2 • In base al la definii:ione, < -=. - /h 2+k2 - 2 differenziabile derivabile parziale 3.52 2 ), risulta per y=O; perciò fy(l,O), la funzione f(x,y), non è differenziabile Si consideri la funzione f(O,O)=O e Verificare che: (a) non f(x,y) f(x,y)= ~y +y 2 da se (x,y) r (0,0). in (0,0). (b) f('x,y) è (c) non è differenziabile f(x,y) I non è in (1,0)] è continua derivabile jy è non ammettendo derivata definita X o~ la funzione in (O,O). Ponendo x=l, la funzione f(l,y)= , in (0,0). in (0,0). [(a) Si vedano gli esercizi 3.28 e 3.30; (b) la funzione é costante(=O) sugli as~i coordinati; perciò fx(O,O) = fy(O,O)=O; (c) essendo f discontinua in (O,O) ne segue che essa nort e differenziabile in tale pu~ to. In ogni caso la verifica diretta, in base alla definizione, è molto semplice: essendo f(O,O) = fx(O,O) = fy(O,O), f è differenziabilem (O,O) se P, solo se è nullo il limite seguente lim f(h,k) (h,k) ➔ (O,O) /~ Si verifica invece, con le rette per l'origine, che il limite non esiste] 3.53 La continuità di una funzione f(x,y) to non implica la sua differenziabilità in un punin tale 1 r. O .L-'V punto. Dimostrare nel punto (0,0), l'affermazione le funzioni (a) f(x,y) (b) f(x,y) = /Tx'Yf (c) f(0,0)=0 e f(x,y)= fatta xy (x,y)f(0,0) se ✓ x2+y2 studiand~ [(a) I.a. funzione è continua in (O,O) ma, non essendo derivabile in tale punto (esercizio 3.41), non è nenmeno differenziabile in (o,o); (b) la funzione è continua in (O,O) (si può procedere come nell.'esercizio 3.24) ed è derivabile con derivate fx(O,O) = fy(O,O) = O. Non è però differen. ziabile in (0,0) perchè non esiste il limite f(h,k) lir.i (h,k) ➔ (o,o) lh (c) utilizzando 2 +k = 2 lim (h,k) ➔ (O.,O) la disuguaglianza Jxy Vjhkj 2 h +k 2 li 21 (x 2 +y 2 ) si verifica che la funzione è continua in (O,O). E' anche derivabile nell'origine e le derivate parzinli valgono zero. Però non è differenziabile in (O,O) peK che non esiste il limite f(h,k) -=== 1m (h,k) ➔ (010) / h 2 tk 2 3.54 hk 1m (h,k)➔ (O,O) h 2 +k 2 = ] La continuità delle derivate parziali plica la differenziabilità. Mostrare le il viceversa studiando, nel punto funzione definita da f(x,C)=0 [La funzione (x,y) f(x,y) e f(x,y)=y è costante E R2 • La funzione 2 cos 1 y se prime im che non va(O, O), la y f O. rispetto ad x; perciò fx(x,y)=O per è derivabile anche rispetto ad y e risulta ogni 159 lim f(x,k)-f(;.:,O) fy(x,y) = k k➔O 1 1 = Zy cos - + sen y y 1 lim k cos - k ➔O = O k , se y I O. La derivata parziale fy(x,y) non é continua in (x,O) perché non esiste il limite per y➔ O di fy(x,y). Peré la funzione risulta differenziabile in (x,O) perchè f(x+h,k) lim ✓~ (h,k) ➔ (o,o) 3.55 k 2 cos(l/k) lim ✓ h2 + k 2 (h, k) ➔(O,O) o Traendo spunto dall'esercizio precedente,si con sideri una funzione costante rispetto ad x, del la forma f(x,y) = g(y). Mostrare chef è differenziabile in (x,y) se e solo se g è derivabile iny. [se f è differenziabile in (x,y),èsistono Essendo fyCx,y) = lim [ g(y+k)-g(y) le derivate parziali fx, fy. ] /k, la funzione g _é derivabile k➔ O in y e e'(y) = fy(x,y). Viceversa, se g è de~iv~bile g(y + k) = g(y) + g'(y)k (infatti o(k) g(y+k)-g(y) -= ----k k Es:;;endo /k/ /h 2 +k 2 lim (h ,k) ➔ (O,O) 3.56 / - g'(y) + o(k) converge a zero per = ✓ h 2 +k 2 f(x,y) k ➔ O). ~ 1, si ottiene f(x+h,y+k)-f(x,y)-fxh-fyk Sia a un parametro zione in y, risulta positivo. = Ixyl o(k) lim (h,k) ➔ (O,O) k Mostrare .a che la fun 160 è differenziabile [La funzione in è identicamente =fyCO,O)=O.La funzione (O,O) se e soltanto sugli assi coordinati. Perciò fx(O,O)= differenziabile in (o,o)se e solo se nulla risulta se a.>1/2. lim (h,k) ➔ (O,O) Con il metodo dell'esercizio se e solo se a. > 1/2 3.35 si verifica 3. 57 Stabilire per quali risulta differenziabile finita da f(O,O)=O 3.58 e limite vale zero dei parameti:i a, S. > O (0,0) la funzione de- valori in f Cx ) = ,Y a Ix2+y2 x I IY I [ Con il metodo dell'esercizio 3. 35 si verifica ziabile a. +S> 3 ] in (O ,O) se e solo se Sia p un parametro reale za p-esima del modulo di definita da f(x,y) .:he il ] positivo (x,y), = (x 2 +y 2 ) P /2 ~ se (x,y)f(0,0). che la funzione è differen ed f la potencioè la funzione • CD Se p è un numero naturale Se invece p è un numero feCp-l pari, naturale allora feC (R 2 ). dispari, allora (R 2 )-CP (R 2 ). Se infine p non è un numero [p J 2 [p]+1' feC (R )-C (R 2 ), dove il indica, come al solito, la parte in- naturale,allora simbolo [p] tera di p. Si verifichi la proprietà enunciata ni valori di p; ad esempio per p=Z,4, per p = 1/2, 3/2. per alc~ per p=l e 161 [Per p=2,4, o in generale se p è un naturale pari, la funzione f(x,y) è un polinomio di grado 2p e perciò é di classe Ca, (R 2 ) • Se p = 1 . ( ed anche se p = 1/2). la funzione è continua, ma non derivabile in (O,O) ; perciò in tal caso f E C0 (R 2), ma f ~ C 1 (R 2 ). Se p=3/2 le parziali in (O,O) sono nulle e per (x,y) I (O,O) esse valgono 3 4 y X 4-- .. -- V x2+y 2 Con il metodo dell'esercizio :; x2+y 2 3.35 si verifica no continue (anche)in (O,O). Inoltre che.fx(x,y), 3.59 la funzione definita f(x,y)= x3+x2y(y-l)+xy2-y3 x2+y2 Stabilire se è differenziabile caso affermativo calcolarne da f(O,O)=O '\f (X J Y) f ( il e o o) • I in (0,0) ed differenziale. in h2k2 t;c(O,O)h-fy(O,O)k = - --2 2- e per (h,k)-+(0 10) . h +k . divisa per ✓ h 2 + k 2 , converge a z~ro. Perciò la f(h,k)-f(O,O)- tale esprsssione, funzione è differenziabile 3.60 seconde miste in (O,O)s2 Perciò, se p = 3/2, f E c 1 (R 2 ) ma ff/ c 2 (R 2) ] Si consideri (Risulta so-· la funzione non ammette derivate seconde fxx(O,O), fyy(O,O) (mentre le derivate no nulle). fy(x,y) ---- in (0 1 0) ed il differenziale Nel caso siano differenziabili minare il differenziale delle vale L(h,k) in (0,0), deters~guenti funzioni: (a) f=x 2+x(lyl-1)~2y (b) f=(lxl-x) (c) f=x (1+ ✓ lsen. Y! ) (d) f=( ✓-fxf-x) ✓ lsenyl + + 4y IYl-3y+l 162 - fyCO,O)k ] = h 2 +h 3.35) che [ (a) Risulta f(h,k)- [f(0,0)-fx(O,O)h rifica (con il metodo dell'esercizio Ik I - Si ve- h2+hlkl lim (h,k) ➔ (O,Ò) ✓ h2+k2 Perciò la funz~one è differenziabile ed il differenziale vale L(h,k) = =-h + 2k; (b) la funzione è differenziabile in (O,O) ed il differenziale vale L(h,~)=-Jk; (c) la funzione è differenziabile in (O,O) ed ildif ferenziale vale L(h,k)=h; (d) la funzione, pur ammettendo derivate parziali fx(O,O)=O, fy(0,0)=4, non è differenziabile in (O,O) perchè non esiste il limite (si considerino le rette per l'origin~ h=mk): (/Th'T- h) ✓ Isenk I J ✓h 2 +k2 lim (h,k) 3.61 ➔ (O,O) Stabilire se zione definita è differenziabile da f(O,O)=l f Cx,y) = e parziali ad esempio per fx(O,O):· in (0,0). f(h,k)-f(O,O) sen (h,k) ➔ (O,O) ✓ h 2 + k2 la fun (x,y)f(O,O). in (O,O) e queste valgono zero.In La funzione è anche differenziabile ✓ h' +k 2 , si ottiene lim se • X 2 +y- [La funzione ammette derivate fa~ti, (0,0) 2 +y 2 sen/x ✓ in lim Infatti, ✓h 2 + k 2 -· ✓h 2 + k 2 . (h,k)➔ (O,O) sent - t t 2 _ponendo o J t - 163 3.62 Stabilire se in (0,0) risulta continua, derivabile o differenziabile la funzione f definita da f(O,O) = O e, se (x,y) r (0,0), rispettivamente da (a) f 1-cos xy x4 -1- y4 (b) 1-cos xy f= x2 + y2 (c) f sen xy x2+y2 (d) x4+3y4 f=x 2 log x4+ y4 (e) f X (f) f= x2+3y2 log x2+y2 sen 2 x+sen 2y ✓x2+y2 [(a) Con le rette per l'origine (si veda anche l'esercizio 3.37(b)) si verifica chef non é continua in (O,O) e quindi neanche differenziabile. E' pero derivabile e le derivate parziali in (O,O) sono nulle; (b) é continua, derivabile e differenziabile in (O,O); (e) non è continua, né differenziabile, ma è derivabile in (O,O); (d) ut~lizzando le disuguaglianze, valide per ogni (x,y) 1 (O,O) X4 + y4 X 4+ 3y4 3x 4+3y 4 < lcg 4 . i log 4 4 4 +y X -+y• X +y O=log - -4 X log 3, si verifica che la funzione é differenziabile in (O,O); (e) funzione continua e derivabile, ma non differenziabile in (O,O); (f) continua, ma non derivabile né differenziabile in (O,O)] 3.63 al Determinare l'equazione del piano tangente in corrispon grafico delle seguenti funzioni, denza del punto indicato. (x, y) = (O, 1) (a) f(x,y)=x 3 -2x 2y+Sxy 2+y3 (x,y)=(l,O) (b) f(x,y)=x 3 -2x 2y+Sxy 2+y 3 I f(x,y)=arctg (x+Zy) (x,y)=(l,O) (d) f(x,y)=arctg (x+Zy) 2+y 2 )- 2 (x,y)=(O,O) (c) (e) f(x,y)=(x (x, y) = (1, 1) 164 (x,y)=(/2,o) [(a) z=5x+3y-2; (b) z=3x-2y-2; (e) z=S/4-(x+y)/2; (f) 3.64 Determinare fico della (e) z = x/2 + y + 1T/4 - l; (d) z=x+2y; J z=S/4 - x/./z l'equazione del piano funzione dell'esercizio tangente al.gr~ 3.59 per(x,y)= =(0,0). [z = X - y } 3.65 Determinare, in un punto generico di coordinate (x 0 .,y 0 ), l'equazione del piano tangent~ al grafi_ co della funzione f(x,y) = x 2 +y 2 • 3. 66 Determinare fico della 1' equazione funzione tangente al gr~ = ✓~ f(x,y) in un punto de 1 piano generico [z = (xo x + y o y),/ lx o2 + y o2 di coordinate (x 0 ,y 0 )!(0,0). J 3.67 Due funzioni differenziabili in un aperto conne~ so, con derivate parziali fra loro uguali, diff~ riscono per una costante. Utilizzare tale prop~ tà per discutere le identità (cioè per determin~re re se è in quale insieme esse valgano): ~ + arctg (a) arctg (b) arctg·y [La funzione f(x,y) X = arctg degli assi coordinati + arctg X y X y = = 1T 2 .'.!!. 2 (y/x) + arctg (x/y) è derivabile al di fuori e le derivate parziali sono nulle (percio la fun - 165 zione è differenziabile al di fuori degli assi, perchè le derivate parziali sono costanti e quindi continue). La funzione f(x,y) è costante :il ogni componente connessa del suo insieme di definizione, cioè in ognuno dei quattro quadranti. Le costanti si determinano scegliendo (x,y) ad!!. sempio.uguale a (1,1), (-1,1), (-1,_-1), (1,-1)._Risulta che l'identita' (a) vale nel primo e nel terzo quadrante (cioè per xy > O), mentre l'identità (b) vale nel secondo e nel quarto quadrante] y y ~ ~~'?{@" A -------+-------- figura 3.68 Discutere X X A figura 3.30 le identità (a) arctgx + arctgy = arctg (b) arctgx - arctgy = arctg (e) arctg X 1T y 4 - + arctg ~ 1-xy ~ ?S.:.Y x+y l+xy 3.:H 166 [(a)"calcolando le derivate parziali pri.me,si verifica che la funzione x+y f(x,y)_ = arctgx + arctgy - arctg -1-xy è costante figura in ognw:io dei tre 3. 30 e def;initi da A= { (x,y)·ER 2 : insiemi connessi A,B,C rappresentati xy < 1}; B= {(x,y) ER2 :x>O,y>.l X in }; . 2 e= { (x,y) ER : X < o, y < -I .} • X Ponendo (x,y) = (O,O) si verifica e calcolando il li.mite lim . f(x,x) x-+1+ che f(x,y) è nulla in A. Ponendo y=x 1T 1T 1T _4 4 2 = - + - + - , si verifica che f(x.,y) vale 1T in B. Analogamente f(x,y) vale -TI in C. Perciò l'identità (a) vale nell'insieme A, cioè per xy < I; (b) I'ideg · tità vale nell'insieme { (x,y) ER 2 : xy >-1 } . Si noti che l'identità {b) si ottiene dall'identità (a) scambiando y con -y; (e) l'identità v~ le nell'insieme tratteggiato in figura 3.31] 3F. Deri~=te de11e fu.n.zio~i composte Siano x(t), y(t) due funzioni reali definite nell'intorno di un punto t ~ sia f(x,y) una funzione di due variabili definita in un intorno del punto (x(t), y(t)). Se le funzioni di una variabile x(t), y(t) sono derivabili in ·t e se la funzione di due variabili f(x,y) è differenziabile in (x(t), y(t)), allora ri sulta derivabile 'rispetto ·a t la funzione composta(di una variabile reale) t-+f(x(t),y(t)) e la derivata vale d dtf(x(t) ,y(t))=fx (x(t),y(t))x' (t)+fy(x(t),y(t))y'(t). 167 Geometricamente parametriche di una tre y=y(t), x=x(t), x=x(t), y=y(t) sono le curva in R 2 (nel piano z=f(x(t), equazioni x,y), meg y(t)) sono le equazioni parametriche di una curva in R3 (nel lo spazio di assi x,y,z) che giace su~la superficie di equazione cartesiana z=f(x,y), come nelle figure 3.32, 3.33, 3.34, 3.35. In particolare, in figura 3.32 abbiamo scelto x(t)=x 0 , y(t)=t, che sono le e- z = f(x, y) y '.' X figura x= X0 , _y= t 3.32 y figura 3.33 168 quazioui parametriche di una retta passante per (x 0 , O) e parallela all'asse y; in fig. 3.33 consideriamo una retta parallela all'asse x, di equazioni x(t)=t, y(t)=Yo· z z= ICx,y) y ·figura 3 . 34 figura 3.35 z z = f(x y) 169 La derivata della funzione di una variabile reale t➔ f{x(t),y(t)) fornisce una misura della pendenza del cammino scel'to, quando si pensi al grafico della funzione z=f(x,y) come alla superficie di una zona geografica, ad esempio· una collina; e alla curva (x(t), y(t), .f(x(t),y(t)))come ad un sentiero trac ciato su tale superficie. Con questa analogia di tipo geografico, la curva di equazioni parametriche x= =x(t), y=y(t) è la rappresentazione topografica bidi mensionale (nel piano x,y, che costituisce la carta topografica) del sentiero sulla superficie della col lina. 3.69 Determinare la derivata, le reale t, delle funzioni to" di seguito rispetto alla variabicomposte come indie~ (a) f(x,y)=x 2 +y 2 con x(t)=l+t, (b) f(x,y)=x 2 +y 2 con x(t)=cost (c) f(x,y)= ----=--'-- con (d) f(x,y)= i 2 +y' (e) f(xiy)=log(x xy2 x2+y4 xy2 y(t)=l-t 1 y(t)=sent x(t)=y(t)=t ·(ti con 2 -y 2 ) con x(t)•cost, =sent (f) 2 -y 2 ) f(x,y)=log(x con d [(a) dt O) y(t) (O<t< x(t)= ✓ l+t 2 , !) y(t)=t . f(x(t),y(t))=f (x(t),y(t))x'(t)+fy(x(t),y(t))y'(t)=2(l+t) - X - 2(1-t) = 4t. (b) fx(x(t),y(t))x'(t)+fyCx(t),y(t))y'(t)=-2 La derivata rispetto a tè identicamente sent cost+ 2 sent cost=O. nulla. Ciò significa che la funzione f(x,y) è costante lungo la curva di equazioni parametriche x(t) = cost, y(t) = sent. Infatti tale curva è la circonferenza di cerr tro (0 1 0) e raggio 1 ed è una delle linee di livello di f(x,y) (sì ve- 170 da l'esercizio 3.1 e la figura 3.2. Infine osserviamo che, con una semplice verifica per sostituzione, risulta f(cost,sent) costante, uguale ad uno. (c) Le derivate parziali dì f(x,y), per (x,y) f (O,O), valgono e la derivata della funzione composta è uguale a (l-t 2 )/(l+t 2 ) 2 • (d)La derivata rispetto a t della funzione composta f(3t 2 ,2t) è nulla; infatti la parabola di equazioni parametri.che x(t)=3t 2 , y(t)=2t (e dì equazione cartesiana x = (3/4)y 2 ) per t f O è una linea di livello di f(x, y). (e) La derivata della funzione composta vale -2 sen(2t)/cos(2t).(f) La derivata della funzione composta è nulla; la funzione è costante lug go il ramo di·iperbole di equazioni parametriche x(t) = /1+t 2 , y(t)= =t (e di equazione cartesiana ~ 2 -y 2 =l, x > O) ] · 3.70 Sia A un insieme aperto di R 2 con la proprietà che, se (x,y)eA, allora (tx,ty)eA per ogni t > O (un insieme siffatto si dice un cono di R 2 ). Una funzione di.due variabili f(x,y) si dice omogenea di grado aeR in A se, per ogni (x,y)eA, risulta (*) f(tx,ty) = taf(x,y) Vt>O. Ad esempio le funzioni dell'esercizio 3.3 sono omogenee dì grado 2 in R 2 ; quella dell'esercizio 3.6 è omogenea di gradc 1 in R 2 ; quelle dell' esercizio 3.7 sono omogenee di grado zero in R 2 -{(0,0)}. Sia f (x, y) una funzione differenziabile e omogenea di grado a. Verificare che: (a) le derivate parziali sono omogenee di grado a-1; (b) vale l 'ide'ntità di Eulero xfx +yfy = af. [ Sì inizi derivando la relazione di omogeneità (:'<). (a) Derivando rispetto ad x la (>'<) membro a membro,si ha 171 Dividendo entrambi i _membri per t,si a -1. Analogamente per fy. (b) Derivando vede che fx è omogenea membro a membro rispetto (>\), in base alla formula dì derivazione la conclusione per t = 1 ] a.t la relazione delle funzioni di grado di omogeneìta' composte sì oJ; tiene Sì ottiene Dato che una derivata parziale si calcola rispe! to ad una variabile reale considerando l'altra vari~ bile costante (o le altre variabili costanti) con il ruolo di parametro, vale la formula· di derivazione Gella funzione composta f(x,y) anche quando x,y sono a lorb volta funzioni di due (o più) variabili reali Così, se x=x(s.~), y=y(s,~) sono funzioni derivabili e se f(x,y) è differenziabile, risulta 3.71 Il legame tra le coordinate le coordinate polari (p, -&) si zioni X= p COS -S, cartesiane esprime y=p sen con (x,y) e le rel~ -S. Assegnata una funzione differenziabile f(x,y) , verificare che le derivate parziali della funzione composta f(pcos-S, psen~) rispetto alle va riabili p,-S sono date da 172 3.72 Verificare la seguente identità, che esprime in coordinate polari il quadrato del modulo del gr~ diente di una funzione differenziabile f(x,y)~er il gradiente si veda anche il paragrafo che segue): f 2 .+ f 2 = f 2 + p y X 1 ~ f2 -6 [ Utilizzando le espressioni f p , f,e dell'esercizio precedente, si ottiene f 2 + .l. f 2 = f 2 cos 2 -6+ 2f f sen-6cos-6+ f 2 sen 2 .S+ p p2 ,e· X xy y 2 -6-2f f senBcos .\,+ f 2 cos 2 -6=f2 + f 2 ] + f;_.sen X xy -y X y 3. 7 3 Sia le f (x, y) derivate funzione una funzione di classe parziali seconde fPP' composta f(pcos-6, psen-6). [Utilizzando le formule dell'esercizio 3.71 si ha: C2 • fp-e• Calcolare f,e,e della f pp = aap [ fx( pcos -e, p sen -e )cos-6+ fy (pcos-6' p sen-6 }sen-6J =fxx cos 2 -6 + 2fxy sen~ cos -6+ fyy sen 2 -e; a f p-6 = cl.!½[ fx( P cos -6 ,P sen -6)cos.S+fy<P cos -6 ,P sen -6 )sen-6] =-fxx p sen -6cos -6+ fxy pcos 2 .S - fx sen-6 -fyx p sen 2 -e·+ fyy p sen -6cos -6+fycos -6 = p [ (f w - f ~)sen -6cos -6+f~ (cos 2 -e-sen 2 -6}+f ycos -6-fxsen-6] ; 1 73 2 ·=P (fxxsen2 ·-S-2fxysen-Scos-S + fyy cos. 2 -S~- p (fX cos-&+f • ysen-S)] 3.74 Verificare che è utile le funzioni la seguente identità differenziale nello studio di alcune proprietà armoniche (esercizio 3.50): 1 f + __1_ f XX + f YY = f pp + p p p2 f , del -s-s [Utilizzando le espressioni di f pp, f-S-Sdel.l'esercizio precedente e l'espressione di fp data nell'esercizio 3.71, otteniamo 1 fpp + p2 = f 3.75 -s-s+ p f p = 2 xxcos -S+ 2f xy sen -Scos -S+f":fY sen -S 2 1 - - (f pX 1 f 1 cos -S+f y sen-ti) + -p (f cos~+ f y sen -S) = f XX + f YY ] X Verificare coordinate (qualunque che le seguenti funzioni, espresse :in polari p,-S, sono armoniche per pi O sia il valore del parametro reale a) (a) = p 0 cos(a-S) f(p,-S) 174 In base all'identità ne f è armonica. 3.76 differenziale Si consideri prècedente,la la trasforrnaiione funzio- ] di coordinate S + T), X= Verificare che, per se C2 , vale l'identità fxx - fyy a [fS = af (f( s+17, s-n)) t sn dell'esercizio In (b) si procede analogamente ogni funzione differenziale = 1 f(x,y) • di clas- fsn = fJ< + fy I da cui a = ~ <tx<-s+n ,s -n )-+ t:1 es +11,s -11))=txx-txy+fyx-ryy J Se f(x,y) è una funzione derivabile in un punto (x, y), in tale punto è possibile de fini re il gradiente di f, indicato con DF o 'vf oppure con gradf, che per definizione è il vettore di R 2 avente per componenti le derivate parziali di f; quindi o, più concisamente, Df = (fx,fy). Per capire il significato geometrico del gradiente è opportùno considerare anch~ le derivate direzionali di f. A tale scopo cons ideriarno un ve_! tore di modulo unitario À=(À 1 ,À 2 ), cioè tale che Àf + À: = 1. Un tale vettore si chiama anche una 175 in R 2 • La derivata direzionale di f (x, y) in un punto (x,y) nella direzione (À 1 ,À 2 ) è il limite (se esiste ed è finito) direzione f(x+tÀ lim 1 t ➔ O e si eR 2 indica con il ,y+tÀ 2 )-f(x,y) t simbolo 'èJf 'èJÀ , con À=(À 1 ,À 2 ) e • In particolare, se À=(l,O), la direzione co!l siderata è quella parallela all'asse x (ed il verso è quello delle x positive) e la derivata direzionale coincide con la derivata parziale rispetto ad x; mentre, se À=(0,1), si ottiene Ja derivata parziale rispetto ad y. 3.77 Si calcoli in base alla definizione la derivata 2 direzionale della funzione f(x,y)=(x+y) nel pu!l to (x,y) = (1,2) nelle direzioni di seguito indicate: (a) À=(l,O) [Ingenerale, se À=(0,-1) (b) À.=(À 1 ,À 2 ), 'è)f [3+t(À TI c1,2> 1+ siha À2 >P-9 t = lim t➔O Quindi nel·caso (a), 'è!t/ 'è!À=-6; (e) se vece se À=( À1 ,À2 ) = (1,0), À= ( .fz12, ./z/2) À =( /212, -./z/2) allora allora si ha 'è!f/ 'èJÀ=6; (b) 'è!t/ 'è!À= 5 /2; se in- 'è!t/'è!À= O] Seguendo la definizione, la derivata dire zionale 'èJf/'èJÀ, con À=(À1 ,À 2 ), è la derivata del:_ la funzione di una variabile reale t ➔ f(x+tÀ 1 ,y+ 176 +tÀ 2 ), calcolata per t=O. Se f(x,y) è differen zi~bile in (x,y), per la regola di derivazione delle funzioni composte,la derivata direzionaledata da af dÀ = fx(x,y)À Con i simboli + 1 fy(x,y)À vettoriali 2 è • À=(À 1 ,À 2 ) e Df =(fx,f 1 ), in ogni punto dove f è tlifferenziabile la derivata direzionale risulta uguale al prodotto scalare tra il gradiente Df e la dir:ezione À (si ricordi che il prodotto scalare tra due vettori v=(v 1 ,v 2 ) e w ~ (w 1 ,w 2 ) è uguale a v 1 w1 + + v 2 w 2 ). dotto Utilizzando scalare, si il simbolo (,) per il pro- ha (Df I À) • Il prodotto scalare tra due vettori non nulli di modulo fissato è massimo quando i due vettori sono fra loro paralleli e orientati nello stesso verso (il prodotto scalare è minimo se i due vettori sono paralleli e con versi discordi, mentre il prodotto scalare vale zero se i due ve!_ tori sono ortogonali). Quindi nel nostro caso la derivata direzionale risulta massima se À è la direzione del gradiente. Dato chela derivata è una misura della pendenza della funzione considerata, ne risulta che il vettore gradiente, se· non è nullo, indica la direzione di massima pendenza. In altre parole, fissato un punto funzione di una variabile reale (x,y), la 177 (che, come già detto nel paragrafo precedente,ge~ metricamente corrisponde ad un cammino sulla superficie z = f(x,y)) ha derivata massima per t=O (il sentiero ha la massima pendenza) se À ha la stessa direzione e lo stesso verso del gradiente Df. 3.78 Si consideri la funzione f(x,y) = ~ 2 +y 2 • (a) Calcolare il gradiente di fin un punto gen~ rico di coordinate tx,y). (b) Calcolare la derivata direzionale di f nel punto (1,1), nella direzione della retta y=x nel verso delle x crescenti. (c) Si verifichi che, in ogni punto (x,y)=f(O,O), il gradiente è ortogonale alle linee di livello (rappresentate nelle figure 3.2(a) e 3.2(b)) della funzione f. [ (a) Df = {2x,2y); (b) Si richiede di calcolare la derivata nel punto (1,1) nella direzione À =( /212, ./2/2) (si ricordi che la direzione À ha modulo unitario). La derivata direzionale vale ar 12 rz aÀ = 2x - 2 + 2y - 2 = ./z (x+y) - e nel ptmto (1,1) di equazione f(x,y) rappresentate nelle essa risulta uguale a ·2 /z. (c) Le lin_ee di livello = z, con z costante positiva, sono le circonferenze figure 3.2(a) e 3,2{b) di centro (O,O) e raggio h Consideriamo un punto di coordinate (x,y) sulla =z; il vettore r di componenti (x,y), applicato linea di livello x 2 +y2 = all'origine, è un rag - gio del c~rchlo in figura 3.36 e, naturalmente, è ortogonal~ alla cir conferenza x 2 + y 2 ~, z; il gradiente Df = {2x,2y) è uguale a 2r ed è quindi anch'esso ortogonale in (x,y) alla circonferenza. Si può anche procedere analiticamente nel modo seguente: consideriamo~ na generica circoriferenza di equazione x 2 + y 2 = z, con z > O. In forma parametrica tale circonferenza può essere rappresentata con le equazioni x(t)=/-;_- cost, y(t)=rz sent, 178 y X figura 3.36 La retta tangente alla circonferenza ri proporzionali alle derivate x'(t), in (x(t), y(t)) ha coseni direttoy'(t), cio~ ha la direzione del vettore sent, v = (x'(t), y'(t)) = (-/-; Of = (2x,2y) e, per (x,y) = (x(t), y(t)), lare tra i due v~ttori ve Df; infatti (v,Df)=x'(t)x(t) 3.79 + y'(t)y(t)=-/-:;, ;-:;, cost). risulta sent cost + Si verifichi che il gradiente, lo, è ortogonale alle rispettive lo nei casi in cui la funzione ta da (a) f(x,y) y-x (c) f(x,y) = e x· [(a) L'insieme alla bisettrice delle linee (d) di livello del primo e terzo Il gradiente nullo quando linee f(x,y) è costituito vale se~ h cost sent = o] non di sia è nul- liveldefini xy f(x,y)= quadrante. prodotto il dalle Il gradiente rette parallele è costante e 179 ·vale Df=(~1,1);il vettore di componenti (-1,1) ha la direzione della bi settrice del secondo quadrante ed è quindi ortogonale alla famiglia di rette parallele ~nzidette. (b) Le linee di livello, di equazione y2 -x 2 = z, sono iperboli per ogni z; o, mentre sono le due rette di eq1.1e z.',one y = ± x se z=O (si veda la figura 3.4). Se z I O tali iperboli si rappresentano in forma parametrica per mezzo delle funzioni iperboli che (il lettore segua, in dettaglio, anche questa strada) oppure, se z >Oe y > O, ad esempio con le equazioni y(t) x(t)=t, La direzione del vettore (x' (t), y' (t)) /z+t = 2 VtE R. , tangente è data da = (1, t/ I z+t2 ) e si vede immediatamente (verificando tore è ortogonale che x'fx+ y'fy O) che tale Df = (-2x,2y) = (-2t, 2 / z+t 2 ). Se z = O e se co_nsideriamo ad esempio la linea di livello ha la direzione Df~(-2x,2y), nullo, vet- a del vettore (1,1); per x=y ha la direzione tra loro ortogonali. (c) Le linee di livello il gradiente del vettore (-1,1) hanno equazione ex y=x(IO), essa se non ed i due vettori z con z costante è sono positiva , cioè x = logz = costante. Perciò le linee di livello sono rette parall~ le all'asse y. La Jìrezione del gradiente Df = (ex,O) è costante ed è la stessa del vettore (l,O), che è ortogonale alle linee di livello. (d) La funzìone è rapprese~tata in figura 3.11. Le linee di livelle sono ~emirette per l'origine di equazioni parametriche x(t)= it, y(t)~mt, con t > O ed i 2 + l!I 2 = l ( il vettore retta). Il gradiente Df e si verifica ( i ,m) è la direzione vale (y(y2-x2) (x2+y2 )2 che x'(t)fx + y'(t)fy x(x 2 - y 2 ) (x2+y2)2 tf X + mfy =O·' infatti: o J della semi- 180 3.80 Si consideri la funzione dell'esercizio f(x,y) ove Calcolare = 3.79(d) xy x2+y2 possibile: modulo· del IDf I; (a) il (b) il vettore (di modulo unitario) Df/lDfl rappresentare graficamente il corrispondente campo vettoriale (cioè disegnare la direzione ed il verso di Df/jDfl (o equivalentemente di Df) in corrispondenza ad ogni. punto y)). IDf I = lx 2 - y 2 I [ (a) (x 2 +y2 )3/2 gradiente (x,y) e (x, I- (0,0). (b) Df non é definito in (0,0) e, altrimenti, è nullo se y = ± x. Tolti questi casi, il vettore Df/ Df è uguale a I I Distinguendo i casi y 2 ~ x 2 , si ottiene Df y fotl=± ((x2+y2)1/2' I Df/ jof è il vettore unitario tangente alla circonferenza di centro la origine e passante per il punto (x,y), orientato in verso orario se jyl> lx I (figura 3.37(a)) ed in verso antiorario se IY [< IY.I (fi~ ra 3.37 (b)). Sia per y > Ix che per y < il versore Df/ Df indica la direzione ed il verso da prendere per "avvicinarsi" alla retta di eq!J!! zione y = x (x I- O). ,Dàto che il gradiente (e quindi anche Df/ jofl) i!! dica la direzione di massima pendenza, cio significa che, avvicinandosi a tale retta lungo le circonferenze per l'origine, la funzione f cr~ sce. Ciò è visibile anche dal grafico di fin figura 3.11: in corrispo!! I I I I I IxI I I 0 181 -Y y -x y y ( '' I I '' '' X figura 3.37(a) '' figura 3.37(b) denza della retta y=x(x#O) la funzione assume il suo massimo (z=l/2) , ~entre assume valori inferiori in corrispondenza alle altre rette per l'origine. rigine In particolare esclusa) f(x,y) e nulla lungo gli assi ed è minima in corrispondenza Il campo del gradiente è schematizzato alla in figura coordinati retta 3. y=-x (x ;. O}. 38 ] y )( figura 3. 38 (o- 182 3.81 Sia g(t) una funzione = g( ✓x 2 +y 2 f(x,y) V~rificare <lerivabile che IDfl per > O e sia ). = lg' I per [si osservi che, essendo g(t) derivabile t ogni (x,y)i(O,O). per t > o, con il metodo dell'e- sercizio 3.55 si può provare che f(x,y) è differenziabile per ogni(x,y)i i (O,O). Il metodo più elegante per calcolar~ il modulo del gradiente di f è quello di scrivere fin coordinate polari, mediante la trasformazione x = p cosB , y e p sen B, e di utilizzare 1 1 espressione del modulodel gradiente (si veda l'esercizio 3.72): Iori = ✓ f 2 + ry2 = · ✓ t Q + ...L p2 t~ 2 X Essendo nel nostro caso f = g( p ) , risulta Si può anche procedere ni composte: 3.82 Utilizzando zione f(x,y) f(x,y) -- in base alla la definizione, definita da x2y X "\J 4 +y 2 se . f-\, = O e quindi formula di derivazioue verificare (x,y)f(O,O) e delle funzio- che la fun f (O, O) = O ammette in (o,-o) derivata direzionale in ogni di rezione À=(À 1 ,À 2 ), pur non essendo ivi continua~ Verificare inoltre che in (O,O) nori vale la formula af/aÀ = fxAl + fyÀ2. 183 [ Sia À=( À 1 , À 2 ) un vettore di modulo unitario. zione, la derivata di f, nel punto (O,O), nella In base alla def ini direzione À è data da Perciò la funzione f è derivabile in (O,O) in ogni direzione. Però essa non è continua in tale punto perchè non esiste il limite di f(x,y) p~r. (x,y)-+ (O,o); si verifica ciò considerando le parabole per l'origi ne di equazione y=mx2 , con m E R, come indicato nell'esercizio 3.34(b). Da verifica diretta in base alla definizione, oppure dal limite precedente ponendo rispettivamente À =(1,0) e À =(0,1), si vede che in (O,O)le derivate parziali rappresenta una direzione ti (ciò corrisponde valgono fx(O,O)=fy(O~O)=O.Seinvece À=(Àl'À,) diversa dalle direzioni degli assi coordina- al caso in cui sia À 1 che ÀiJ >-.2 sono non nulli) lora df/dÀ= À 2 ;. O. Percio in (O,O) la derivata non e combinazione lineare delle due derivate parziali] 3.83 al direzionale Sia f(x,y) la funzione dell'esercizio preceden2 te e sia g(x,y)=[f(x,J)] • Verificare che g(x,y) non è continua in (0,0) nonostante che la derivata direzionale esista e valga zero, qualunque sia la direzione. [come nell'esercizio precedente (si veda anche 3.34(b))si verifica che g(x,y) non ammette limite per (x,y) ➔ (O,O). Circa la derivata direzi~ nale, risulta ag a [ d À = a>,_ f(x,y) Essendo f(O,O) = o, risulta ··J2 = 2f(x,y) a>-. af dg/ dÌ\ = O nel punto (O,O) qualunque sia À] 3.84 Si consideri la funzione f(x,y) = x 2 +2xy+2y 2 in un intorno del punto (2,1). Determinare in quale direzione À la derivata ar/clÀ, calcolata per (x,y) = (2,1), è massima ed in quale direzione 184 è minima. [Il gradiente indica la direzione di massima pendenza. Perciò il massimo della derivata direzionale si ottiene per À = Df/ lnrl ed il valore massimo è À + f ar = f dÀ X 1 À y =f 2 f _x_ X Df I I i_= + f y 2 2 fx +fy. IDf I iDfT lnrl Analogamente,la derivata direzionale è minima nella direzione e nel ve~ so opposto- al gradiente, cioè per À=- Df/ [Df ed in tal ·caso la derivata vale 'èJf/ À =- I Df Per la fllllzione presa in considerazione otteniamo i valori Df=(2x + 2y, 2x + 4y) ed in particolare Df(2,l) = (6,8). In (2,1) r~sulta quindi lnf(2,1) I= I 6 2 + 8 2 = 10 e Df/ lnrj = (3/5, 4/5): Perciò, nel punto (2,1), la derivata direzionale clf/ dÀ è massima se À =(3/5,4/5) ed in tal caso df / 'èJÀ.= 10. La derivata direzionale è minima (e vale -10) nella direzione À=(-3/5, -4/5)] a I. I 3. 85 Come nell'esercizio funzione to (2,1). derivata nulla. [La direzione precedente, si consideri f(x,y)=x 2 +2xy+2y 2 in un intorno del Determinare una direzione À in cui direzionale af/clÀ nel punto (2,1) À deve essere crtogonale Df/ lnf I= (3/5,4/5), si può scegliere 3/5) ] 3.86 al gradiente. À =(4/5,-3/5) la pU!!_ la sia Essendo in (2,1) oppure À = (-4/5 , Sia f(x,y) una funzione con derivate seconde co!!_ tinue. Verificare che la derivata seconda di f nella direzione À = (A1 ,À 2 ) vale [Nell'ipotesi che la funzione sia di classe c 2 , si puo applicare due vol te la fornrula di derivazione delle funzioni compostè, ottenendo 185 3. 8 7 Dimostrare reche f(x,y) sia una funzione di classe C2 in un insieme aperto A, se (x,y) e (x+h,y+k) sono punti di A con la proprietà che il segmento ~i estr~; mi (x,y) e (x+h,y+k) è contenuto in A, allora e siste un numero reale %e(0,1) tale che st~ la seguente di Lagrange del formula ordine secondo f(x+h,y+k)=f(x,y)+fx(x,y)h di Taylor con il : nell'ipotesi + fy(x,y)k + 1 + -z [f xx (x+-eh ' y+-ek)h 2 +2f xy (x+-eh,y+-ek)hk + +fyy (x+%h, y+%k) k 2 ] [La fW1zione di una variabile reale g (t)=f(x+tti,y+tk) volte, continua. Possiamo con derivata ·mula di Taylor grange di seconda g (t), al secondo ordine: con centro esiste g (1) = g (O) +g'(O) La tesi t 0 =O, con t=l un numero segue ponend~ rispet~ivamente + = fx(x+th,y+tk)h + fy(x+th,y+tk)k g "(t) = fxx<x+th,y+tk)h 2 scrivere due la fordi 4!. e con il resto % E (O, 1) tale che z g"(% ). l t=O et= g'(t) è derivabile perciò ,e nelle due relazioni + 2fxy(x+th,y+tk)hk+fyy(x+t:!,y+tk)k 2 ] . ~,,. .l.OU 3H. F"t..J.:nzion.i di Proponiamo a funzioni di t:re o in questo tre variabili -v-a.:ria.bili :rea.li paragrafo reali esercizi relativi con (x,y,z)èR = f Cx, y, z) f ed anche, bili reali soprattutto, (n ~ 1) più relativi 3 a funzioni , di n varia Nei paragrafi precedenti abbiamo già enunciato,nel caso generale delle funzioni di n variabili, le principali definizioni e proprietà, come ad esempio la d~ finizione di limite ed i concetti di continuità, deri vabilità e differenziabilità. Ricordiamo qui che usia mo la notazione lxl = ( per indicare tiamo inoltre n 2 E X. 1 i=l il 1/2 ) (o norma) modulo del vettore x. Deno- con (x, y) il 3.88 prodotto scalare tra Verificare che di Rn verifica ÀER): i vettori X prodotto seguenti scalare proprietà il le (a) (x,y) (b) (x+y,z) = (x,z) (c) (Àx,y) = À(x,y) = (y,x) + (y,z) e y. fra vettori (x,y,zeRn , 187 (d) (x,x) ~ O (e) I (x,y) l..'.:.lxl · IYI [ (a),(b),(c),(d) e (x,x)=O se e solo se x=O (disuguaglianza sono diretta di Cauchy-Schwarz) conseguenza · della definizione n = . E xiyi . La disuguaglianza di Cau~hy-Schwarz (e) é conseguenza deli=l le proprietà 3.89 precedenti ed è provata nell'esercizio Dedurre dalla disuguaglianza dalla relazione (x,x) = lxl golare 2 2.2] di Caucby-Schwarz e la disuguaglianza trian : lx+yl Vx,yeR ..'.:. lxl+IYI [ lx+y 12 = (x+y, x+y)=(x,x)+i(x,y)+(y,y) 2 i. lxl 3.90 (x,y)= Verificare nue su Rn: +2 2 lxllYl+IYl = lxl f(x) (b) g(x)=(x,y) . = Ix I 2+2(x,y)+ I y I 2 S 2 = clxl+IYl) che le seguenti (a) n funzioni ] sono conti - (norma dix) (prodotto [ (a) Procediamo come nell'esercizio re si deduce che scalare con y fissato) 2.39. Dalla disuguaglianza triangol~ I X I= I (x-y)+y I s I x-y I + I y I. da cui Ix I - I y I s I x-y I • Scambiando il ruolo di x ,y otteniamo - i I x 1- I y I I s I x-y I • Quindi ciè implica che lim f(x) x ➔x o = f(x 0 ). (b) La tesi segue dalla disuguaglianza seguente, conseguenza delle pro - 188 prietà 3.91 (b), (e) con (e) dell'esercizio À =-1, la funzione f(x) = lxl, con xeRn, per x=O, mentre sex f O le devalgono fxi = xi/1~1 per ogni i= Verificare che non è derivabile rivate parziali =1,2, ... ,n. [Ad esempio f non anmette per x=Oderivata fatti fx (O) = lim Sex 3.92 f(h,o, ... ,o) ... ,o)-f(o,o, h➔ o± 1 parziali, parziale rispetto li7 = lim h ➔o± h I O,le derivate 3.88: --. h ad x 1 in- = ± 1. per i=l,2, ... ,n, valgono Sia sia À una direzione di Rn (cioè ÀERn con IÀl=l)e f(x) = lxl. Verificare che, per ogni x f O, f(x) è differenziabile e che il gradiente Df e Ja de~ivata direzionale af/aÀ valgono Df (x, À) !xl = ___2S_ lx! [Per x I O le derivate pa1·ziali di f valgono fx. = x./ 1 1 Ix VX f O. I, per ogni. i=l,2, ... ,n. Tali derivate, come rapporto tra funzioni continue (con d~ nominatore non nullo), sono continue. Perciò f è di classe C 1 in Rn-{o} e quindi è anche differenziabile. Il gradiente vale La derivata direzionale, per x # O, vale n À. 1 = L r:-:-1 À-=-,I I i=l xi X 1 1 X 189 3.93 Verificare che l'equazione al grafico della funzione denza di un punto generico [y = f(x 0 )+(Df(x 0 ),x-x) 0 = del piano f(x)=lxl in x0 f O è tangente corrispoB I xo I + ( klx , x-x o ) X 0 =Ix 3.94 3.95 o [(x ,x)- lx I+ lx::71 X o o o 12 J = ti(xX,x) Verificare che l'equazione grafico della funzione f(x) generico x 0 eRn è data da Sia g(t) f(x) = g(lxl). una (a) Calcolare (b) ··' Verificare le del piano derivabile derivate Verificare se e ?olo tangente al punto = lxl 2 in un per parziali chef è derivabile se g' (O) = O. solo (c) funzione J o t ~ O e sia di f per xfO per x=O se per x =O che f è differenziabile se g'(O) = O. (b) Per i = 1,2, ... ,n e per h e R risulta lim g( h➔ o± e quindi esiste I h I )-g(O) = lim h il limite h➔ o± per·h ➔O I g( I h )-g(O) lh I ih • -- I = ± g'(O) h (=O=fxi(O)) se e solo se g'(O)=O . . (c) Se f è differenziabile in O,deve essere anche derivabile in tale punto e perciò è necessario che g'(O)=O. Viceversa, se g'(O)=O, risul- e 190 ta fxi(O) n h=(hi) ER, = O per ogni i=1,2, •.• ,n; quindi,se n f(O+h)-f(O) - l;,l fxi(O)hi lim h = lim Ih I ➔O hl:-g(O) =g' (O)=O in o] e quindi f è differenziabile 3.96 g(_ h-+ O Sia f(x)=lxlp con p parametro positivo. Verific~ re chef è differenziabile per x=o·se e solo se p>l. Si verifichi inoltre che se p è un intero pari allora f è di classe Cm(Rn) ,mentre se,ad esempio, p = =3/2 ·allora f è di classe C1 (Rn)ma non di classe c2 (Rn). [Per quanto riguarda la differenziabilità in x=O, si può applicare il cri terio dell'esercizio precedente con g(t)=tP. Per il resto si proceda come nell'esercizio 3.58] 3.97 Sia f(x,y,z) definita da f(x,y,z) la funzione = lxyzj di tre variabili a con a parametro positivo. Verificare to (0,0,0) la funzione f è: per (a) derivabile (b) differeniiabile se e solo [(a) Essendo f~O lungo gli assi fz sono nulle. coordinati, ogni (b) La funzione è differenziabile mite (*) lim (x,y,z) ➔ (O,O,O) /x 2 +y +z Utilizzando 2 la disuguaglianza reali a> che nel pUQ O; se a>l/3. in (O,O,O) le derivate fx,fy, in (O,O,O) se e solo se è nullo il li- 2 191 lxya I e le analoghe disuguaglianze per j yj , j zj , otteniamo (x 2 +y 2 + z 2 )'312 , da cui, se (x,y,z) f. (O,O,O) i Oi Perciò, se > 1/3, il limite(*) a go le rette per l'origine x(t)=i t, il a rapporto e, se a.<1/3, limite 3.98 Se invece a.'.::,1/3, lun z(t)=nt in ("•) vale I inm I a I t 13a h,2-lm2+n2 penda dalla zero. parametriche y(t)=mt, ( R,2 +m 2 + n 2 =l), jxyzj vale di equazioni· diverge retta jtj all'infinito scelta; J1.nm f. O) mentre, (per ciò prova che, se a .'.::. 1/3, se a=l/3,di non esiste il ('~) ] Generalizzando l'esercizio precedente (ed anche l'esercizio 3.56), verificare che la funzione f ( X 1 , X 2 1 ••• , X n) è differenziabile solo se [ Utilizzare lxi ·X2 ..•• nell'origine ·xnIa degli assi se e 1/n. a> la disuguaglianza e per ogni x =(xi) E Rn disuguaglianza un valore c'è ·, xi j i (°si faccia Ix j , valida attenzione assoluto, per ogn:l. i=l, 2, .. n che a primo membro della mP.ntre a secondo membro c'è un modulo) ] 3.99 Calcolare, definizione, ti funzioni all'interno dei rispettivi insiemi cli le derivate parziali delle seguendi tre variabili reali 192 (a) f (c) f = xyz (b) f X yz (d) [(a) fx= yz, fy=xz, fz=xy; (c) fx=yzxyz-l , (d) fx=y z xyZ- 1 , 3.100 3 .101 f (b) fx=l/x, Calcolare le derivate seguenti , X funzioni parziali funzioni di [ (a) fx = 1/xi; 1 lxi ✓jxj 2 +1 (h) rare preliminarmente (c) fx. = 1 3.102 fx,l (i=l, 2, ... , n) n variabili reali n f = E i,j=l - f-log in difficoltà x 1.x. J V~ \~ provi a consid~ il caso n=2); I I ( I I +1) X (d) fxi =2x1 (il lettore Xc ~ X rela- x: n) f=arcsen va- (yz) del teorema di Schwarz seconde miste: (b) (c) J di tre (b) f = x arctg la tesi derivate (x 1 , X 2 , ••• fz=l/z; fz = xYZ y logx; le seguenti soddisfano tiva alle delle fy=l/y, fy=x yZ y z-1 zlogx, fz = xyZ y zlogx logy log .!Y z = f = X yZ fy=xYZz logx, Verificare che riabili real i (a) log (xyz) ; 2 Calcolare la derivata direzionale delle ni considerate nell'esercizio precedente, J funzionella :i.93 direzione della retta di =xn, nel verso delle xi crescenti. [ .Si chiede di calcolare vettore unitario Nei punti la derivata in cui f è differenziabile, Sia f(t) rivabile 'af/ 'aÀ, dove À è il. direzionale Ad esempio, nel caso (a), nell'insieme n df/dÀ= (1//;) L 1/xd i=l 3.103 x 1 =x 2 = ... equazione la derivata direzionale di definizione di f una funzione definita in [0,+m) due volte per t > O. Poniamo vale risulta e de- u(x)=f(lxl), Verificare che, per ogni conde ux·x· soddisfano la · 1. l. n (x) E i=l Nel sommare rispetto n X~ i=l lxl2 lxl2 E _1._=-- 3.104 x f O, le relazione = f" (Ix I ) +(n -1) f' derivate se Ì ~ I I) IX ad i=l 12, ... ,n cccor·re tener pt:esente che 1 Sia g(t) una funzione t > O e sia u (x) = g (Ix derivabile I2) due volte VxeRn . per 194 Verificare 3.105 che, per ogni xeRn, si ha Sia u(x)=f(lxl), con f(t) derivabile due volte per t>O. Verificare che, per ogni x f O,risulta· n-1 . f" (1 +f I 2) 3/2 + 3.106 Una funzione . . . , xn) essa di n variabili si dice ammette armonica reali u(x 1 ,x 2 , •••. in un insieme aperto A se in A derivate seconde l'equazione differenziale se soddisfano f' IX I _(_l_+_f-,2-)-=-11=2. ux·x· e se_ es 1 1 (equazi~ ne di LapÌace) n L i=l o UX1•X1• Verificare che, è armonica in Rn - {O} . [ Si può utilizzare se n~3, la funzione u(x)=lxl 2-n 2-n 3.103 con f(t)=t , oppg 1 2-n)/2 J.104 con g(t)=t' • Ad esempio,per.f(t) la formula dell'esercizio re quella dell'esercizio risulta f"(t)+(ri-1) 3.107 f' (t) -- t =t -n [ (2-n)(l-n)+(n-1)(2-n)] =O, Vt # O] Verificare che la f.unzione u(x)= ✓ l-lxl 2 (che ha per grafico una semisfera in Rn) verifica l' equazione differenziale alle derivate parziali (detta equazione 0elle superfici con curvatura media costante) 195 n =-n, i:: IX I < 1 . V X e Rn : i=l [ Si u~ilizzi 3.108 la formula dell'esercizio Una funzione genea di 3.105 con f(t)= f definita se grado in Rn-{0"} tale (a) ipotesi, dice omo- VxeRn-{O}. verificare che: se f(x) è differenziabile in Rn - {O} , le derivate parziali sono omogenee di grado a -1 e vale 1 'identità di Eulero a f ; se a< 0,non è finito il limite per x ➔ 0 di f Cx), a meno che f non sia identicamente nulla; se a~0,non esiste il limite per x➔ 0 di f(x) a meno chef non sia costante; se a>0 e se f(x) è contin~a in Rn~{0}, essa può essere estesa per continuità in x=0 (con il valore f(0) = O). (b) (c) (d) [ (a) si ] Cl \ft>O, Sotto 2 /1-t Si veda l'esercizio rigine di direzione Lungo tale retta per t ➔+ a, tale le notazioni 3.70; (b) considP.riamo À e di equazioni la funzione vale f(x)=f(tÀ espressione diverge all precedenti si ha f(x) con Perciò, se ~ non _per l'origine a x, il li,11ite di f(x) f(x) di direzione dipendente ma À, f(x) da À . Ciò per x ➔O; (d) per il limitata) nell'insieme chiuso e limitato {x ERn : che M per ogni x con x/ Ix I un vettore E Rn, di modulo I ,per ogni è di quindi Ix I= 1 } . Sia Ix I ,; 1. x E Rn - a§_ implica teorema assume massimo e minimo (ed Mt R tale I f(x)li /.O, =to f(À)=f(À). su ogni semiretta la funzione À) ; se f(À) a =O, costante che non esiste )=t af( per l'o- Àt (t >O). (c) se sume valore Weierstrass, x(t)= infinito; I è costante, rispetto la semiretta parametriche Essendo { O } , otteniamo 196 Vx/0. a > O segue che f(x) ➔ O per x➔ O] Dall'ipotesi 3 .109 Dimostrare grange la al secondo formula ordine di Taylor con il resto di L3. : se f (x) è una funzione di classe C2 in un insieme sono punti di A, allora -Se(0,1) tale che n f(x+h)=f(x)+ L i=l convesso A, sex, esiste un numero fx.1 (x) h.1 + n 1 [ 2 i,j=l x + h reale fx,1 x·J (x+~h)h.h. 1 J In simboli più compatti, si può scrivere tale for mula in modo equivalente (dove (Df,h) è il pr~ dotto scalare tra il gradiente Df ed il vettore h, D2 f è la matrièe nxn delle derivate seconde, 2 D f·h è un prodotto tra matrici con h pensato matrice riga o colonna, infine (D 2 f·h,h) è un prodotto scalare tra vettori di Rn): 1 f(x+h)=f(x)+(Df(x),h)+ [ Applichiamo Posto il metodo proposto g (t)=f(x+th) le funzioni 2 (D f(x+-Sh)·h,h) per 3.87 per il caso neil'esercizio , in base alla tf [0,1] di una variabile) ne, con centro 2 con il ~esto t 0 =0 e con t=l, formula di Lagrange .\'le (t 0 ,t 1 )=(0,l) esiste n = 2. di Tayl,:,r (per al secondo ordi per cui , g(t) Si ottiene la tesi rivazione delle n g '(t)= esplicitando funzioni [ i=l 1 +~ 2 g"(-S). le-derivate composte: L fx , (x+th)hi i=l n g ''(t)= = g(O) +g'(O) ; g', g" con la regola di d§. Capitolo 4A. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI Eq~azioni differenziali lineari primo (1) del tipo g(x,y,y') ove y=y(x) vata prima tre variabili renzia+e tegrale y=y(x) vabile, = O, è una.funzione incognita e y' la sua der_i ed ove g è un' asse.gnata funzione reale di reali, prende il nome di equazione diff§. (ordinariaidel primo ordine. Per soluzione (o in particolare) della (1) ,, si j_ntende una funzione definita in un intervallo I di R ed ivi deriche soddisfi la (1), cioè tale che risulti = O, g (x, y (x) , y' (x)) Un'equazione di forma Un'equazione differenziale se è del normale y' (2) (3) del ordine Un'equazione ce 4 del del primo tip o = f(x,y). primo y' \fxel. ordine = a(x)y del + b(x), tipo ordine si di. 198 ove a(x) e b(x) sono funzioni continue nell'interval lo I, si dice lineare . Se è b (x) = O, l'equazione (3) si dice omogenea. Le funzioni a(x), b(x) si chiamano, rispettivamente, coefficiente e termine noto dell' equ~ zione (3). Esempi di equazioni lineari del primo ordine sono le equazioni (4) y' b (x) (5) y' y. della Com'è noto dal calcolo (4) sono date dalla (6) y = B(x) ove B(x) è una primitiva guarda la (5), osserviamo integrale, formula + le soluzioni c di b(x) e ceR. Per quanto1i_ che le funzioni y = cex sono sue scluzioni. ( s) , cioè ne della (cER) y(x) Viceversa,se se risulta è una soluzio- y' (x)-y(x)=O, moltiplicando Yxel, ambo i membri per e-xy'(x) e - e-xy(x) -x ' S1 ha O e cioè d dx [e-><y(x)] Ne segue = O, Yxe I. 199 con c costante opportuna e perciò ( 7) Abbiamo così verificato che tutte le soluzioni dell'equazione differenziale (5) sono date dalla (7). Le equazioni differenziali (4) e (5), che sono casi particolari della (3), ammettono infinite soluzioni, dipendenti da una costante arbitraria c. E' perciò naturale aspettarsi che, anche in generale,la equazione differenziale (3)·ammetta infinite soluzi.2_ ni, dipendenti da una costante scelta arbitrariamente. Sussiste in proposito il seguente TEOREMA.Tutte (3) sono (8) le espresse da y(x) = eA(x) soluzioni ( dell'equazione differenziale f e-A(x) b(x)dx) è una primitiva di a(x). Si noti che l'integrale indcfini to che figura neJ. la (8), dipende, al solito, da una costante arbitraria. Volendo mettere bene in evidenza la dipendenza dalla costante, possiamo riscrivere la (8) nel modo seguente: ove (8') A{x) y(x)= eA(x) ( f e-A(x)b(x)dx+c). La dimostrazione del teorema procedimento che conviene seguire risolvere equazioni particolari fornisce nella e perciò anche il pratica per la richi~ mo. Moltiplichiamo ambo i membri detto fattore integrante , ottenendo della (3) per e -A(x~ cioè, A'(x) essendo relazione d~ = a(x): che può esser Integrando e-A(x) ]= y(x) [e-A(x) riscritta e-A(x) ambo i membri, = y(x) f e-A(x) nel modo seguente: b (x) - si ha b(x)dx, ciQè la (8). Viceversa, se y(x) è data dalla (8), si ~erifica facilmente che essa soddisfa l'equazione(3), La ( 8) prende il nome di integrale generale de 11 '~ quazione differenziale (3), In particolare, le soluziùni dell'equazione omogenea ( 10) = a(x)y y' sono espresse da y (x) ( 11) = c eA(x) con A(x) primitiva di a(x). Sussiste il inoltre (c eR) TEOREMA DI CA.UCHY(PERLE EQUAZIONI LINEARI DEL PRI MO ORDINE) . Siano a(x) e b(x) funzioni continue nell 'inter vallo chìuso e limitato I, e sia x 0 eI. Per ogni y 0 eR esiste u;1a ed una sola funzione y(x), derivabile in I , soluziore del problema dì Cauchy 201 a(x)y + b(x) (12) = Yo Dalla soluzìone ( 13) formula (8) y(x) dì (12): sì x Jx a(t)dt b(x) per = O sì (14) 4,1 Y (x) t ove a(x) [Chela con a(x) b (t)dt) a o nulla è y(x funzìone identìcarnente del problema dì Caucµy =O sia soluzione del dato problema di Cauchy è e- = O 0 ) è continua Che sia l'unica Dimostrare chy 0 = a(x)y funzione y(x) vidente, J a(s )d s x a(t)dt Dimostrare che la l'unìca soluzìone ( y' 4,2 X Yo e della o rìduce f - Je x (yo+ X che, l 'espressìone t x O y(x)=e rìcava chs continua la ìn I e x 0 el. segue dal teorema di esistenza soluzione del ìn e x 0 e[a,b], [a,b] ed unicità problema di non ] Cau- sian 202 nulla in alcun punto di [a,b]. [ Se esistesse-;;- E [a,b] tale che y(x)=O, la funzione y(x) sarebbe soluzione del problema di Cauchy anche y'_= a(x)y { y(x) = o e c1oe, per l'eserci~io nulla, contro il fatto 4.3 Sia y 0 (x) precedente, dovrebbe essere che y(x 0 ) = 1 ] la soluzione y' = a(x)y { y(x 0 ) y(x) identicamente del problema di Cauchy = 1 con a(x) funzione continua Dimostrare che l'integrale ne y'=a(x)y è dato da in [a,b] generale e x 0 e[a,b] dell'equaziQ [ Si deve dimostrare che la gene:rica soh•zione y dell'equazione y'=a(x)y, è data da y(x) = cy O (x), con c. costante opportuna. Post.o c=y(x 0 ), le funzioni y(x) e cy 0 (x) sono entrambe soluzioni del problema di Cauc~y y' = a(x)y { y(x ) = c 0 e perciò, per il teorema di unicità ogni x E [a,b]] 4.4 Risolvere l'equazione genea y'=sxy. [ Una primitiva di Cauchy, risulta differenziale di a(x)=8x è A(x)=4x 2 • Moltiplicar.do y(x)=cy 0 (x) .Per lineare omo- ambo i membri della 203 2 . equazione data per e -A(x) =e -4x . i.«2 - Bx e- 4x 2 y = O, da cui y•e- Ne segue e -4· x 4.5 2 Risolvere genea y • c, cioè y = c e4x l'equazione 2 ·J differenziale lineare omo- y' di a(x) = x/(x 2 +l) è A(x)=log /~ . Moltiplicando ambo i membri dell'equazione data per e-A(x) = 11/x 2+1 , si ha [ Una primitiva [y•I J;'2+i" J- [yx/(x ~ +1) 312] = O da cui d dx (y/17+1 ) = o. Ne segue y/ ~ = c, cioè y = c /~ 4.6 Risolvere ferenziale nell'in•tervallo omogenea y' = (cotg ] (0,11) l'equazione dif- x)y. della funzione z.(x)=cutgx è A(x)=log ]senx j. Neil'intervallo (O, 1T), la funzione sen.x e positiva; quindi in tale intervallo , A(x) = log senx. Dalla formula risolutiva (11), si ricava [ Una primitiva y(x) = e eA(x) = e elog senx= e senx. Si poteva procedere anche tenendo conto dell'esercizio ta y(x) la soluzione del problema di Cauchy 4.3. Infatti,de!_ 204 y' = (cotg x) y { y(x 0 ) = 1 si ha y(x) > O per x E(0,1T ), grazie all'eserc!.zio 4.2, e perciò, y' /y = cotg x. Integrando ambo i membri fra x0 ex, x y' (t)° f X da cui, --dt y(t) o f si ha X X cotgt dt o essendo log y(x 0 ) = log 1 = O log y(x) = log sen x - log sen x0 Scegliendo x 0 = 1T/2 si ha log y(x) = log sen x e infine l'esercizio 4,3 y(x)=senx.Dal segue che la generica soluzion~ dell'equazione data I è , y = c sen x. In generale, per K 'f k1T, si trova la soluzione y=c' senxl che è equivalente a y=c senx pur di cambiare il segno alla costante] 4. 7 Determinare equazioni y' l'integrale differenziali = 3y 3x x2 [ y = ce ] [ y = ce /x y'=(cosx)y y, =_ex y [ y = ce J senx J J -ex 2 y seguenti ] X y'=(x-l)y/x 2xex delle omog1;?nee [ y = ce y'=Zxy y'= generale lineari [ y = ce , eX2 L y = ce y'=(tgx)y [ y = c/cosx y'=-y/Zx [ y = ] et/--;_] J 205 y'=2y/x [y=cx y'=-(cotgx)y [ y = c/senx y' =C ✓x)y . 2/(3.,/?') [ y = ce y'=y/ ✓ x+S [ y = ce 2rx+s] y'=(logx)y/x [ y = ce y' =·xy/ (x 2- 1) [ y = y'=(l+log x)y [y = c/] y'=y/(x logx) 4.8 [ y=ce COS [ y=c /arctgx y'=(arcsenx:)y [ y=c e y'=g'(x)y [ y = c eg(x) [ Una primitiva X X2 è A(x)=-2log ] 2 X J ] J / fi+xT (x arcsenx diffcrenzialP. sen 4x A(x) di a(x)=-2/x y =ce ] [ (x+l)/2]] y'=(arctgx)y 2 ] (senx-xcosx) [ l'equazione ] (log 2 x)/2 y'=-(sen2x)y y'=--y+ ] c Ix2 -1 I 1/2 [ y=c tg sen x Risolvere ] [ y = c logx y'=y/sen(x+l) y'=xy 2 + /1-x 2 )] ] non omogenea I I =-logx 2 , per cui y. ii è a-A(x) = x 2 . Si ha, moltiplicando per x 2 ambo i 2 2 membri dell'equazione, x y'=-2xy + sen4x, cioè x y'+2xy=sen4x e ancofattore integrante ra D(x 2 y)=sen4x. Integrando ambo i m~mbri di que;t'ultima ~ x 2 y = sen4xdx =-(cos4x)/4+c e ,perciò y=(-cos4x/4+c)/x relazione,si 2] Determinare l'integrale equazioni differenziali seguenti f 4.9 y'=3y+l y'=ay+b, generale lineari delle non ·omogenee [ y =ce (a,beR, a;iO) 3x - (1/3) ] [y = c e ax - (b/a) ] 206 X [y = e e -x-1] -x [y=e (x+c) ] y'=y+x y I= -y+e-X y' +y/x = 1/x [y=l+c/x ] X y'=(y/x)+xex [y=xe +cx ] y I =y+e X · IY=(c+x)e ] 4x 2x [y=ce + e /2 ] X y I =4y- e2X y'=ay+e~ y' = - Zxy+xe -x (afb) 2 2 -x 2 [y=e 2 [y=cx y'=(Zy/x)+(x+l)/x y'=y+x bx [y= [ e /(b-a) ] +e] . (e+ x 2 /2) ] x -( 1/2) ] - X [y=ce -·(x+l) 2 ] -l [y= [ c+(x-l)e x ] /x J y'=ex-(y/x) 2 y' =Zxy+e x_cosx 2 [y=ex (senx + e) ] y' =-y+e-x cosx [y=e (senx + e)] -x y 1 = _ ( y+ e -X / X 2 ) [y=e-x(c + 1/x) ] y' +y=Zxe -x [y=e (x·2 + e) ] -x [y=e (x 3 +e)] -x y, +y=3x 2 e-x y I +y=e -X /2./x y' = (cosx.) y+e senx1ogx y'=(3y/x)+X: 3 ex [y;,e-\l~+c)] seruc [y=e (xlogx-x+c)] X [y=x3 (e +e)] y'=(tgx)y+cosx [y= [(x/2)+(sen2x) /4+c ] /cosx ] y'=(y+l)/ ✓x [re e senx [y=c e y'=(y+l)cosx 4.10 Risolvere 2/~ il problema dì Cauchy - 1J - 1] 207 y' = 3x [ y(O) ex y = 1 [ Una primit;iva di :a.(x)=3xex dell'equazione si 2 data 2 è A(x)=3ex 3 x2/2 è y(x)=c e e 2 j2, perciò . Imponendo l.' integrale generale la condizione y(O)=l, y(O) = e e 3 l 2 = 1, da cui c = e - 3 /z. Pertanto 2 3(eX -l)/2 di Cauchy è y(x)=e ] trova problema 4.11 Risolvere i seguenti y' = (1-y)/x { y(l) = o y'=Zy+l problemi la soluzione di Cauchy [ y = (x-1)/x [ y = ( 3e 2x ] -1) / 2 ] { y(O)=l y'=ay+b (a,beR,afO) { y(O)=O y' + 1 X { y(l) y = x3 i/5 ( y' = (tgx)y+l i y(TI) a = [ y tgx - ( 1 / cosx) ] 1 y' =[ (x+l)y/x]+x(l-x) { y(l) [y=x''ts] e [ y=(e-l)xe x-1 + x2 ] del 208 y' I =[-y/(sen 2 x cotgx)J+ +cotg 2 x [·y = (cotgx)(log senx) ] y(n/4)=log( ✓2/2) y'= 2y/x+3x 2 cosx { y(n) [- y = 3x 2 (sen x + TI) ] = 3TI3 y' =~ (cosx)y+senxcosx { y(O) = O y'=(cotgx)y { y(O) + 4.12 x 5 senx -senx - 1 ] [ y = seruc ( e + x 6 / 6) ] = O 2 y'=Zxy/(l+x { y(O) [ y = senx + e )+(x+x 3 )senx[ ( y= l+x 2 )( seruc-x cosx) J = O Siano a(x) e b(x) funzioni continue nell'intervallo chiuso e limitato [a,~] e siano x 0 e[a,~J, y 0 eR. Detta y(x) la soluzione del problema di Cauchy { y' = a(x)y + b(x) l y(xo)=yc ed indicata con Il Il la norma del sup in C0 ([a , ~]), dimostrare che esiste una costante c > O , dipendente da a,~ e Ila,11, ma indipendente da y(x), tale che llyll+lly'li < cCIY I+ llbll). 0 209 [Dalla formula f X e risolutiva (13}, tenendo che (x 0 ix) presente 13 X f a( t)dt o i i e .$. e ( 13-a ) Ila Il e ja(t} I dt a K e che -f t a(s.)d s e xo i e ricordando e le proprietà degli integrali definiti, si ha X I y(x) I .$. K ( Iy I + IJ K b(t)dt 0 X .$. K( , y o , + K I) .$. 0 r, b( t) , dt} .$. a 5. K( I y O I+K( 13-a) .$. J(' ( ove si é posto Passando ("') J {K,K 2 (13-a)) al sup per x E [a, llyll.$_K (j=,, 1 dipendente Essendo per ipotesi i. I + Il b Il ) 'JO K'=max con K' costante Il b Il } y' 0 . 13] , ne segue j+llbll) solo da = ay a., 13,a(x} + b, si ha Il y' Il .$_Il a Il • Ily Il+ Ilb Il ; e non da y(x). 210 dalla{*) segue allora llyll+lly' 11.$.( llall+1) llyll .s llbll + .$.( ·Ila Il +l)K' ( IyJ + Il b Il ) + Il b Il .$. c ( IY I+ Il b Il) 0 ove si è posto c = ( Ila Il +l) K' + 1 ] 4.13 Siano a(x) e bn(x) vallo [a,p] e sia j o,n una Supposto che b n (x) ri reali. te in [a,P] funzioni e che Yon ➔ ·' successione dì continue nell'inte~ successione di ➔ b(x) nume- uniformemen - y 0 , dimostrare che soluzioni dei· problemi soluzione y(x) yn(x)_delle la Cauchy f y~ lY converge in del problema = a(x)yn n (x o) + bn(x) = Yo,n C 1 ([a,~J) verso di Cauchy la + b(x) [sottraendo membro a membro, si ottiene Applicando il risultato dell'esercizio precedente,si Il yn-y Il + Il y n1 - y ' Il -< c ( I y o,n - y o I+ Ilbn - b Il· ) ha 211 da cui segue l'asserto, ricordando la definizione (ved. ·esercizio 2..25) ] 4B. Eq~azioni genee a differenz~ali coefficienti Un'equazione (1) norma su lineari costanti differenziale y" + ay' della del c1 omo- tipo + by = f(x) con a,beR e f(x) funzione continua in un intervallo I di R, prende ì 1 nome di equazione differenziale linea re del secondo ordine a coefficienti costanti, di termine noto f(x). L'equazione (1) sì dice omogenea se f(x) =' = O, altrimenti si dice non omogenea. Per soluzione (o integrale particolare) dell' equazi.2_ ne (1), si intende una funzione y = y(x), derivabile due volte in I, che soddisfi la (1), cioè tale che y"(x)+ay' L'equazione (2) (x)+by(x)=f(x) differenziale y" + ay' Vxe I. omogenea + by = O prende i 1 nome dì equazione omogenea associata al l 'equ~ z ione (1). a studiare Nel presente paragrafo ci limitiamo su!:. l'equ~zìone omogenea (2), rimandando al paragrafo cessivo lo studio della (1). Per determinare l'integrale generale dell'equa zion~ (2) e cioè l'insieme di tutte le sue soluzioni particolari y(x), assai utili sono i seguenti teoremi. TEOREMA 1. Se y 1 e y 2 sono due soluzioni particolari 212 della (2), allora anche R, la funzione è una soluzione particolare della con C 1 , della TEOREMA 2 . Se Y 1 e Y 2 sono due soluzioni (2), tali che allora C 2 tutte E le soluzioni della + c 2 y 2 (x) , al variare dei particolari ( 2) sono del tipo c1, c2 • parametri ( 2). + C 1 y 1 (x) Si dimostra che la condizione (3) equivale a diTe che le funzioni y 1 (x), y 2 (x) sono linearmente indi pendenti, cioè che le uniche costanti c 1 , c 2 per cui si ha V XER sono le costanti c1 Dal teorema 2 segue, l'integrale (4) generale L(y) = = zione l 5) O. pe!'ciò, dell'equazione y" + ay' basta conoscere due suoi dipendenti y1 e Y2. Per ticolari c2 + by integrali che: per determinare omogenea "' O particolari linearmente in- determinare esplicitamente due integrali pa.!:_ y 1 e y 2 della (4), si considera la sua equa- caratteristica À2 + aÀ che è un'equazione + b = O, algebTica di secondo grado,le cui 213 radici (complesse) sono (6) ove Se ò = a2 ò < 4b. - O, allora (7) porremo - a/2 a= , f3 = -ì-F./2 in modo che a e ±P saranno, rispettivamente, la parte reale ed il coefficiente della parte immaginaria dei numeri complessi À1 e À2 • Si dimostra il seguente TEOREMA 3 (SOLUZIONI DELL'EQUAZIONE OMOGENEA) Tutte le soluzioni (i) y(x)=c 1 e ( ii) y(x)=c 1 e 1 e (iii)y(x)=c ove c1 sono definite 4.14 Risolvere e dell'equazione À1X À 1 li. ax e perciò da ò > o + c 2 xe À 1 X se ò o se ò < o' À1 , À2 , a, f3 ·(6), le ax senf3x, arbitrarie, ed ove (7). equazioni y"-6y'+Sy [ (a) L'equazione date se cosf3x+c 2 e dalle sono , + c2e c 2 sono cos·tanti ('a) À2 X (4) = O (b) omogenee y"-2y'+2y = À 2 -6 À+S=O ha discriminante caratteristica ammette due radici differenziali O Ò=l6 > O e distinte: À 1 =l, À 2 =5. Perciò lo integrale generale è y(x)=c 1 ex+c 2 e 5x. (b) L'equazione caratteristica À 2 -2 À+2=0 ha discriminante Ò=-4· < O ed ammette come radici reali i numeri complesEi coniugati À 1 =1-i, À 2 =l+i 214 Perciò 4.15 l'integrale Risolvere generale l'equazione [L'equazione caratteristica te À 1 =l come radice + c 2 xex ] 4.16 Risolvere mogenee (a) [(a) le L'equazione doppia. Perciò complesse 1 integrale Risolvere generale -1 è radice doppia dìfferenzìali lineari À (À-2)=0, ed am - generale è y=c 1 + caratteristica è À 2 +4=0, ed aimnette le due l'integrale y = ± 2i. Perciò generale è À 2 +2À+ 1 generale = o, cioè [ y c1 e delle X + c2 e 3x (c 1 + c 2 x) e y"-Zy'+y=O [ y y"-lOy'+ZSy=O [ y = (c 1 +c y"-Zy' 2 7x x· x)e] ] ] ] Sx J [ y = c 1 cosx ·+ c 2 senx = o -15y -· 3y =O. [ y=c 1 cos(/3x)+c o [y=c Perciò seguenti 2x + c2 e J o 2 (À+l) è y=(c 1 +c 2 x)e-x ] [ y = c1 e y"-lOy'+Zly=O + è y"+Zy'+y=O. e l'integrale y"-3y'+Zy=O y'' o- y"+4y=O Determinare l'integrale generale equazioni lineari omogenee = è y(x)=c 1 ex+ l'integrale l'equazione caratteristica + y 0 ed amme_t 2 ] [L-'equazione y" 2 (À-1) O e 2. Perciò, c?niugate =c 1 cos2x+c 2 sen2x ossia è À 2 -2 À =O, cioè caratteristica reali y"-Zy'+y=O. 1 (b) -t-c 2 e 2 x. (b) L-1 equazione 4.18 À 2 -2 À+l=O, è equazioni le du_e radici radici + c 2 exsenx ] differ.enziale y"-Zy'=O mette 4._17 è y(x)=c 1 excosx 1 e -3x 2 sen(/3 + e2 e Sx ] x)] 215 y"-y=O [y=c1 e-x + c2 ex] y"-4y'+4y=O [y=(c1 y"-2y'+Sy=O [ y=ex( e 1 cos2x + c 2 sen2x) y"+y'+y=O [ y=e -x/2 + C2 x)e2x - [ c 1 cos(/ 2x ] · ~ 3 x/2)+c 2 sen( ·v 3 x/2)]] y."-4y' +20y=O [y=e y"+9y=O [y=c 1 cos3x+.c y"-6y'+10y=O (y=e 3K(c 1 cosx + c 2 senx) y"+ ✓I y'=O (c 1 cos4x+c 2 sen4x)] [y=c 1 + c 2 e 2 sen3x] -/z X (y=(c1 + c2x)e4x ] y"-y'/2 (y=(cl + c 2 x)ex/4 ] Passiamo ora a studiare le lineare omogenea ài ordine l'equazione n: ] . ] y"-8y'+16y=O. + y/16=0 ] differenzia (8) a coefficienti La (8) equazione è un caso differenziale Per rema di costanti TEOREMA 4 ed una sola e per ,an e R. della di ordine (9) si più generale n dimostra il seguente teo- : se i (DI ESISTENZA ED UNI CITA'). cienti ai (x) ed il termine no continui nell'intervallo X O E [ a , b] ,an-l particolare lineare l'equazione Cauchy a 1 , •.. ogni soluzione (1) (Yo , YO yin coeff4_ (9) soper ogni noto f(x) dell'equazione limitato [a, b], allora, [a,b] (n-1) , - •• , YO della ) (9), ER n tale , esiste che una 2'16 (1 0 ) Y( X o ) =Yo , Y1 ( ) Xo (1) (n-1) =yo , • • • , Y ( (n-1) -y o , _ Xo, La soluzione y, di cui al teorema di Cauchy, si chiama soluzione del problema di cà.uchy relativo alla equazione (9) ed alle condizioni iniziali (10). L'equazion~ (9) si dice omogenea se risulta f(x) = O, altri menti si dice non omogenea. Ana-logamente a quanto già visto nel caso n=Z, si dimostia che se y 1 (x), y 2 (x), ... ,yk(x) sono k inte grali ~articolari dell'equazione (8), allora anche una loro combinazione lineare del tip~ è un integrale particolare Se ora y 1 (x), y 2 (x), ticolari dell'equazione defini~ione,il seguente W(x)= della (8). sono n integrali par (8) il loro Wronskiano è, per determinante ... y n(x) y l (X) Y 2 (x) y n(x) Y; (x) y ~ (x) y~(x) . . . . . . . .............. (n-1\ yl X ) •-· (n-1) Y2 (x) ... ..... (n-1) (x) Yn che si dimostra essere o identicamente nullo o sem pre diverso da zero nell'intervallo [a,b]. .Si ha W(x) f O per ogni xe[a,b] se e solo se le funzioni Y1 (x), ... , Yn (x) sono linearmente indipendenti, cioè s-e Sussiste- il seguente TEOREMA 5. Se y 1 (x), ... ,Yn (x) sono n soluzioni partj,_ 217 i linearmente qualsiasi soluzione indipendenti della (8) colar cioè, la (11) è. l'integrale .dell'equazione tipo (8), allora una è del generale dell'equazione (8), Per determinare n integrali linea~mente indipendenti dell'equazione (8), basta conoscere le radici dell'equazione algebrica di grado n che prende il nome di equazione caratteristica in modo analogo a come abbiamo già visto =2. Si dimostra infatti che 1) Se le n radici zione ( reali caratteristica ni (rispett. sono reali tutte À 1 , À 2 , ••• distinte, À2 X , ... ,e linearmente indipendenti À é una radice (reale o complessa) dell'equazione caratteristica, allora reali o complesse) Àx sono r soluzioni , Àn dell (8) n= 'equ~ al·lora le funzio- della (8). À nX 2) Se e della caso o complesse) e sono n soluzioni o complesse) nel xe Àx , ... , linearmente r-1 X e multipla di ordine le funzioni (rispett. r Àx indipendenti della (8). Poichè per ogni radice À si trova un numero soluzioni linearmente i~dipendenti della (8) pari :a molteplicità di À, in tal modo si determinano soluzioni linearmente indipendenti della (8). OSSERVAZIONE1. Se l' equa7.ione caratteristica di al n ha 218 una radice complessa À=a+ip, essa avrà anche la radi ce coniugata I = a-ii3 ed alle due soluzioni complesse Àx e e Ix e ax e si potranno e ax e {cospx + i senPx) (cosax - i senax) sostituire ax ax le due soluzioni cosax eix)/2 senpx eÀ X)/2 Ì, reali risultando, il nuovo sistema di integrali ri che si ottiene, ancora di n integrili indipendenti. 4.19 Risolvere l'equazione [L'equazione e perciò [ (1/2)-i/3/2 + c3 e da .y(x) = e 1e 4. 2 O Riso! vere [L'equazione ciò 4.21 l'integrale Risolvere [L'equazione -x generale x/2 generale y "' - 3y" + 3y' è dato da y(x)=ex(c data [(1/2)+i/3/2x] M + 1, x ] - y =O. tripla +c 2 x+c 3 x 2 ) 1 À =l. Per- ] y"'-Sy''=O. è À 3 -5 À 2 = À2 ( À-5 )=O ed ammette la radice =5 e la radice doppia À =O. Perciò l'integrale generale +e 2 x+c 3 e 5x .Si poteva procedere anche diversamente:p6sto À= è dato da y(x)=c 1+ u=y', l'equazione 11-5u'=O.L'integrale generale di quest'ultima equazione e' 5x,. si 5 +c · e x. Risolvendo l'equazione y'=u(x)=c +c e trova 1 2 1 2 diviene·u u(x)=c +c 2 e 3/2 ±i/ conto dell'osservazione (À-1) 3 =0 ammette la radice l'equazione caratteristica -x x/2 cos / 3/2 x + c 3 e sen 1 'equazione caratteristica tenendo -1,(1/2) le radici è dato da y(x)=c 1 e J , ovvero, X + c2 e y = O. À 3 +1=0 ammette caratteristica l' integr11.ls y"'+ particolalinearmente 219 4.22 Sx y(x)=c 1 x+Sc 2 e ·+c 3 , integrale generale determinato, delle per l'arbitrarietà Determinare equazioni o y'" - 4y' y lii - y'-' = O = o generale delle terzo ordine seguenti y lii -y"-y e2x J [y=c 1+C 2X+C3 eXJ -4y"+4y'=O [ y=c 1+ (c 2 +e 3 x)e2x J [y=c 1+ex(c I +y=O 2 cos2x+c 3 sen2x)] [y=c 1 e-x+(c 2+c 3 x)ex ] y'"+y"-y' -y=O [y = c 1ex+(c 2 +c 3 x) e-x Y "' +6y"+ 12y 1 +8y=O [y=(c 1 +c 2x+c 3 x 2 )e- 2 x] y 111 +Zy"-1 ly -4y"+Sy' 1 J [y=c 1 e-x+c 2 e 3x+c 3 e- 4 x ] -12y=O -Zy=O . 1 vere 4. 23 R iso [L'equazione già costanti] [y=c1+c2e-2x+c3 y"'·-2y"+Sy'=O y"' con quello [y=c 1+c 2 x+c 3 x 2 ] y'." y"' l'integrale omogenee del che coincide l' equazione . caratteristica di -2 e 3 seno radici è semplici 4 y < ) - y (J) À4 - - 6 y 11 = 0 • À 3 - 6À 2 = À.2 (À-3)(À+2)=0, e O è radice quin doppia .. L'integrale generè le è dato da y(x) = c 1 + c 2 x + c 3 e -2x + c 4 e Jx 4.24 Risolvere l'equazione [L'equazione caratteristica dici ±1 sono e ± 2i. 4.25 Risolvere 1, da y(x) 4 ) + 3y" - 4y À 4 + 3 À 2 - 4 '• O è biquadratica Perciò = c 1 e -x + c 2 e x + c 3 e -2ix servazione y( l'integrale generale + c 4 e 2ix ~ ovvero, = O. e le sue rè è dato da tenendo conto dell'os- = e 1 e -x + c 2 ex + c 3 cos2x + c 4 sen2x l'equazione y( 4 ) +2y(J) y(x) +3y"+2y'+y=O. ] [L'equazione +1) 2 caratteristica =O.Perciò può essere l'integrale generale cos ( ✓ 3/?)x + (c 3 +c 4 x)sen( 4. 26 Risolvere caratteristica la radice 4.27 doppia Risolvere l'equazione e 51Ti/4 + c3 e 4.28 quarte di = - (i+l)/ y(x) è rale Risolvere [L I equazio,1e e 71Ti/4 + c3 e 4.29 x/2 x//2 ccs(x// - cos (/3x/2) y y y (4) (4) (4) (4) 3y"' -3y"' -4y" +2y" _zy 11, +Zy" ) anmette general.e è + y = O. ✓- = (l+i)/ 2 , e sono le radici 31Ti/4 ✓- l'integrale x/ /2 ✓- e /2, = (i-1)/ 2. Perciò, 2) + c 2 y\ è Perciò + c4 e o + 4 ✓- sen(x/ gene+ 2 o = o o = '4) + y' O. = À 4 + À = À ( À 3 + 1) =O; le sue -1, e te~ze di -1, cioè l'integrale generale x/2 1Ti/3 soluzioni =(l+i · ✓- è y(x)=c 1 +c 2 e 3 )/2, -x - sen (/3x/2)] Determinare 1 'integrale equazioni omogenee del y essa. 1 1 integrale -2) + c e-x/ ./z sen (x/ /2) ] 4 complesse )/2. 2 O. À 2 (À 2 +1)=0; ± i. Perciò = (1-i)/ cos(x/ caratteristica - 1 4 senx] l'equazione = (1-i/3 À2= 1Ti/4 ✓- 2 , e la forma ( ·À 2 + À+ = e-x/ 2 [(c +c x) À 4 +1=0; le sue soluzioni è cioè e sono O e le radici 211 i/3 = y( -1, = c 1 e -x/ /2 y C > + y" À 4+ 3 cosx+c caratteristica complesse y(x) À =O e le radici 1 +c 2 x+c [L'equazione è 4 è dato da y(x)=c sotto /3/2)x]] l'equazione [L'equazione scritta generale delle Quarto ordine seguenti [ y=c l + C 2 X+ C 3 X 2 + C4 X 3 [y=c 1 +c 2 x+c 3 e -4x X +e 4 e [y=c 1 +c 2 x+c 3 e +c 4 e X 2X X ] ] ] [y=c 1 +c 2 x+e (c 3 cosx+c 4 senx) J + 221 y y (4) (4) -6y y (4) +8y=O -3y"-4y=O y(4) y 11 -y'" -y"+y'.= o [ y=c -2y"'+y"=O 4 y < > +Zy"+y=O 4.30 [y=c 1+c 2 x+(c 3 +c 4 x)ex] [y=(c 1+c 2 x)cosx+(c 3 +c 4 x)senx [ y=c 1 +c 2 x+c 3 cosa-.:+c 4 senax ] Determinare equazioni to. generale delle ordine superiore y y y y (5) o (6) - y" (6) ( 6) (5) - ] [ y=c·1e -ax + c 2 eax+ c 3 cosax+c 4 senax ] -a4y=O y (4) +a 2 y"=O y 4.31 +c 4 e -x ] X [y =c 1 +e 2 x+c 3 e 2 X+c 4 e-Zx J -4y"=O (4) y(4) 1+(c 2 +c 1 x)e l'integrale omogenee di seguenti al quar- 2 3 ~. ] L y=c1+c2 i-:.+c 3 x +c,.x +c 5 x r = 16y" y (4) - 4y lii Determinare o [ y=c1 +c2 x+c3e o = o o [ y=c1 +c2 x+c3 e la y" -x X +c4 e +c5 cosx+c 6 senx ] -2x +c4 e 2x +c5 cos2x+c 6 sen2x] -X X [ y=c1+c2 x+c3 x 2 +c4 x 3 +es e +<;;e 2 -2x 2x [y=c 1+c2 x+c3 x +c4 e +c5 e ] soluzione - 2Y I del Y = - problema di Cauchy Q y(O) = O { 2 ✓2 y' (O)= [L'equazione caratteristica À 2 -2 À -1 = O annnette le due radici reali 1 ± /2. Perciò l'integrale generale dell'equazione data è y(x) = = c1 e (1+/2)x Essendcy'(x)=c + c2 e (1-/2)x (1+/2)e 1 (l+fi)x La condizione . y(O)=O i~hca c 1 (1-/2)e (1-h )x c2 c1 • si ha 222 y' (O)=Zc 1 /2. 4.32 y' (O) = 2/2 La condizione . . c 2 = - 1. La soluzione . (1+/z)x e y = e Determinare ti problemi soluzione Cauchy la di y"-y'-2y (a) - e di [(a) { y' (0)=3 4.33 2x Risolvere y lii { y (o) { (b) y=e il y'(O)=O 3x (cosx-3senx); problema I+ Sy=O y(O) =1 (d) . segue~ y' (O)=l (e) y=xe di Caucny y" (o) = o 5x ; x (d) y=e cos2x] Zy" + Sy I = o - = o> [y = - 2/5 + e 4C. -x -e dei y"-Zy y' (O)=l y = e ] y(O)=l' (b) y(O)=O { e1 = 1 y" - 6y' + 1 Oy=O y''-10y'+25y=O (e) perciò ciascuno = O y ( O) =O. { implica (1-lz)x X y I (o)= 1 , [ (2/5) cosZx + (3/10)sen2x] Eqt..ia.zioni ficienti 1inea.ri_ ] non omogenee a. coef (x) y' +an (x) y = f(x) costanti Sia (1) (n) y . +a 1 (x) y (n-l) + ... +an-l e 223 un'equazione coefficienti un intervallo grale differenziale lineare di ordine n, a ai(x) e termine noto f(x) continui in limitato [a,b]. Per determinare l'intedella (1), assai utile è il seguente generale TEOREMA 1 . Sia v un integrale particolare della siano y 1 , ••• , y nl n integrali particolari linearmente pendenti dell'omogenea associata O Allora, l'integrale In questo zioni del equazioni (2) y(n) in cui Sia paragrafo tipo (1) + aly(n-1)+ f (x) è un P(À) l'equazione y generale (n) omogenea so della (1) ci limitiamo a coefficienti termine noto di tipo e - da a studiare costanti, le equacioè le particolare. = caratteristica + al y (n-1) + .•. associata dell'equazione y, + a n-1 + an y alla (2). Si di grado m, lf(x) con Pm(x) è dato ( 1) indi polinomio = O dimostra che, nel ca i) se P(À) I O, allora re del tipo e con qm(x) ii) À.x Si dimostra e inoltre con Pm(x) polinomio grado k: se P(À±iµ) colare del con jj) ÀX h, allora ammette un qm (x). che, nel caso di grado me I O, allora la (2) rk(x) la (2) ammette .polinomio un integrale di parti- tipo q- (x) , m particol~ di grado m. se P( À)=O e À ha molteplicita. i~tegrale particolare del tipo h un integrale q~(x) polinomio x j) la (2) ammette s -Cx) m polinomi di grado m = max { m,k } se P( f.±i]l)=O e À±iµ ha molteplicità h, allora ammette un integrale particolare del tipo ( x ) cosµx xh e Àx Lqiii la (2) + siii( x ) senµx ] In particolare: se f(x) è un polinomio di grado m e risulta, nell'equazione (2), a 0 f O, allora la (Z)ha per integrale particolare un polinomio dello stesso grado;. se invece a 0 =0 e perciò À=O è una radice di 225 P(À)=O, allora la (2) un polinomio di grado ove h è la molteplicità 4.34 Risolvere n·ea y"-3y' [L'equazione ha per integrale particolare m+h del tipo x h(b 1 +b 2 x+ ... +hm x'") della radice À=O. l'equazione gifferenziale + Zy = 2x 3 - x 2 + 1. caratteristica dell I omogenea associata è non omoge - À 2 -3 À +2=0 ed ammette le radici 1,2; perciò l'integrale generale dell'omogenea associata è c 1ex+c 2e 2x. Poichè il termine noto dell'P.quazione differenziale data è un polinomio di terzo grado, e zione caratteristica, allora ticolare del tipo l'equazione À =O non è radice dell'equa- data ammette un integrale v 0 (if) = b 0 x 3 +b1x 2+b2x+b3 • Sostituendo paE v 0 nell'equa - v~(x) - 3v~(x) + 2v0 (x)=2x 3 -x 2 +1, cioè: zione, si ricava da cui, per ogni xE R Da tale relazione, per il principio di identità e cioè b 0 =l, b 1 =4, b 2 =9, b 3 =10. Pertanto, 4.35 Risolvete nea y"-4y' l'equazione = x 2 +1. [L'equaziori.e caratteristica arrunette le radici ciata è c dei polinomi, l'integrale differenziale dell'omogenea 0,4; perciò l'integrale segue: generale è non ornoge - 2 associata è generale dell'omogenea À -4 À= O ed ass~ 4x 1 + c 2e . Poichè il termine noto dell'equazione data è un polinomio di secon 226 do grado e À =O è radice semplice dell'equazione caratteri~tica, ra l'equazione data ammette un integrale particolare x (b 0 x 2 +b 1 x+b 2 ). Sostituendo v 0 (x) nell'equazione, da cui, per ogni x E R Da tale relazione, -12b =l· o per il principio di identità del tipo si ricava allQ v 0 (x) dei polinomi segue 2b 1 -4b 2 = 1 ' e cioè b 0 =-l/12, b 1 =-1/16, b 2 =-9/32. Pertanto,l'integrale = c. 1 + c 2 e4x - x[ (x 2 /12)+(x/16)+(9/32)] ] generale è y(x) 4.36 Risolvere lLequazione differenziale nea y" - ty' - 3y = 8e 3x • [L'equazione caratteristica dell'omogenea associata è non omoge - À 2 -2 À -3=0 ed ammette come radici -1 e 3; perciò l'integrale generale dell' associata è c 1 e-x+c 2 e 3x. Poichè À=3 ;, radice dell'equazione omogenea caratt~ ristica (per la ii)) l'equazione data ammette un integrale particolare del tipo v o (x) = bxe 3~. Sostituendo v o (x) nell'equazione data, si trova: da cui, dividendo ambo i membri per e 3x, segue b=2. Pertanto, gr.:le generale è y(x) = c 1 e-X+c 2 e3x + 2x e3x ] 4.37 Dimostrare ne (*) che y" se + ay' il termine + by f(x) noto l'inte dell'equazio- - 227 è del tipo k f(x) iEl f i (x) e se yi (x) verifica l'equazione alloL·a 4.38 ì i=l verifica yi(x) l'equazione(*) Tenendo presente l'esercizio precedente, minare l'integrale generale dell'equazione - 3 y ' + 2 y = 2 X 3 + 1 - x 2 + e 3x [y(x) 4.39 n y (x) = x 3 + 4x 2 + 9x + 10 + (e 3x/2) + c 1 ex+ c 2 e 2x caratteristica dell'omogenea y"- ] Risolvere l'equazione differenziale nea y" - 2y' - 3y = cos 2x [L'equazione deter- non associata À 2 -2 À - 3 è ed ammette come radici -1 e 3; perciò l'integrale generale nea associata è c 1e-x + c 2e 3X Poichè O ± 2i non è radice zione caratteristica, tegrale particolare 4.40 nel. cos2x, da cui segue -7b -4c = le 4b - 7r, = O e quindi tanto è y[x)=-(7/65) l'integrale generale l'equazione b=-7/65, cos2x-(4/65) J Risolvere Sostituendo data si trova (-7b - 4c)cos2x + (4b-7c) sen2x + cze?X =O dell 'ornogedell'equa - allora per la j), l'equ~zione data arnmette un in del tipo v0 (x) = bcos2x + csen2x. Si ha v~(x) = - 2b sen2x + 2c cos2x, v~(x) = - 4b cos2x - 4c sen2x. l'equazione omoge- differenziale c=-4/65. Per- sen2x + c 1e-x + non omoge - 228 + y = xex y" - Zy' nea . [L'equazione caratteristica dell'omogenea associata -1) 2 = O ed ammette la radice doppia À=l. Perciò dell'omogenea l'integrale è c ex + c x ex. Poichè À =l è radice 1 2 associata dell'equazione.caratteristica, integrale particolare À 2 -2 À +l=(À è per la ii) del tipo v 0 (x) = x l'equazione 2 - generale doppia data ammette un eX(bx+c). Si ha v~(x) = ex [bx 3 +(3b+c)x 2 +2cx]+ex = ex da cui, = [bx 3 + (6b+c)x 2 + (6b + 4c) x + 2c] sostituendo ed anche, [3bx 2 + 2(3b+c)x + 2c ] v 0 nell'equazione data, si ha semplificando ex (6bx + 2c) - xe X Dividendo per ex ed applicando il princ1p10 di identità si ha b = 1/6, c l'integrale generala O. Pertanto ta è y(x) = c 1e ;< + c 2xe_X + x 3e K /6 4.41 Risolvere secondo le seguenti ordine lineari, J equazioni differenzialidà non omogenee: y"-Zy'+y J rLY=(c +c x ) e +x 2 +Sx+8 J 1 2 y" - Zy I +'y [y= (c +c x)ex+x 2ex/2 ] 1 2 y" + y =-'X+ y" - Sy'+6y 1 [y=c 1 cosx+c 2senx+x+l X = ex dei polinomi dell'equazione [y = cle2x+ c2e3x+ ex/2 , da- 229 J [ y=c e-x+c e 3 x~(2x+l)ex/4 1 2 [ y=c e-K+c eX+(x 2 -x)ex/4 1 2 [ y=ex(c cosx+c senx)~e 2Xtz] 1 2 2 [ y=c e-x+c e x+(cosx-3sen x)/5 1 2 y"-2y'-3y=(2x+l)ex J = xex y"-y = e zx y 11 _ 2 y , + 2 y y"-y'-2y = 2senx J y" + y = cosx [ y=c 1cosx+c 2 senx+(xsenx)/2 y" [ y=c 1cos2x+c 2 sen2x-(xcos2x)/4] + ·4y _= sen2x y" 2y' + Zy senx [ y=eX( c cosx+c 1 y 11 _ 2 y , + y = e 2x [ y=(cl+czx)e2x+x2e2x/2 ] = COSX Y 11 -y I senx)+('2cosx+seruc)/5] · [ y=( cl+czx)ex + ezx 2x y"-4y'+4y=e 2 [ y=c1+ciex-(cosx + senx)/2 y" + y'=senx+cosx [ y=c1+c2e-x - cos K ] y"-y=2xsenx [ y=c1e -x+c2 ex-xsenx-cosx ] y"-3y' y"+y' 3 x [ y=c1ex+cze2x+e3x ] (3cosx+senx) [ y=c1+c2e-x+exsenx +2y=2e =ex J [y=c y"-2y' [ y=ex(c 1cosx+c2senx)-xeKcosx/2 ] +2y=e xsenx 1 +c 2 e-x+(S/2)x 2 -Sx+ex] y"+y'=Sx+zex y" +9y= s en.x +e 2x [y=c 1 cos3x 1-c 2 ~en3x+(senx)/8+e 2 X/J3 J y" - 4y=e zx sen2x 2 [ y = c e -Zx + ,- 2e x_ 1 y" - y [ y "cle y" + 2y' = X e2x (sen2x + 2cos2x,',"20 J1 xe -x -x c~2 + x) e-x/4 + 3y e-xcosx + c~e [ y = e-x(c 1cos ( /2x) y" + y = X sen + c sen (/2 2 2x X) + cos,c) 230 [ y = c senx + c 2cosx - x(sen2x)/3 1 yn+y=x - 4(cos2x)/9 ] exsenx [ rc 1senx+c 2cosx+ex [ (14-10x)cosx+(Sx-2)senx] 4.42 y"+y=x+ex senx Risolv_ere l'equazione y"'- /25] y"=senx. [L'equazione caratteristica dell' omogenea associata è À3 - À 2 = = À 2 ( À - 1) = O ed ammette la radice semplice ">..= 1 e la radice doppia À=O. Perciò l'integrale generale dell'omogenea associata è c 1eX + + c 2x + c 3 . Per la j) dell'introduzione, esistono due numeri reali q,s tali che v 0 (x) = qcosx + s senx è un'integrale particolare dell'equa zione data. Sostituendo v 0 nell'equazione, si ricava q=s=l/2, pertanto l'integrale generale della data equazione è y(x) = c 1 eX+c2x+c 3+(cosx+ +senx)/2 .] 4. 43 .Risolvere [L'integrale l'equazione generale dell'omogenea + c 4senx. Cerchiamo un integrale =ax 3 + bx 2 +cx+ 4. 44 Risolvere [L'equazione y (4 J -y=x 3 • differenziale associata particolare è y=c e-x+c ex + c cosx+ sotto d. Imponeudo a v 0 di risolvere 4 y < ) + 2y" l'equazione caratteristica dell'omogenea 2 1 3 la forma v 0 (x) = L'equazione data,si + y=xex associata è À "+ ZÀ 2 + l= O ed élJIIIIlettele due radici doppie i, -i. Pertanto l'integrale generale dell'omogenea associata è c 1cosx + c 2senx + x (c 3cosx + c4 senx). Poichè À= 1 non è radice dell'equazione ta ammette un integrale particolare stituendo v 0 nell'equazione, caratteristica, l'equazione da- del tipo v 0 (x) = eX(b1x + b2). S2 si ricava b 1 = 1/4, b2 =-l/2; pertanto lo 231 integrale generale. della + x(c 3 cosx + c 4senx) + ex 4.45 è data equazione [ (l/4)x-(l/2) y(x) ] c cosx + c sen x 1 2 ] Risolvere genee di le seguenti equazioni lineari ordine superiore al secondo y" 1 + 3y 1 3y" - y - _ y1 y _ ] 3 2 Zy" 1 + 7y" + 7y 1 + Zy x2 [ y=c e-Zx + c e-x/Z + c e-x + (l/2)x 1 y 111 2 1 + ex(c cosx + c senx) + e 2x/4 2 3 = cos - Zy" + Zy' y"' 2 (7/2)x - 3 + 35/4] Zy" + Zy 1 = e 2x - [ y = c ] -=- e 2x [ y=c ex + c e -x+ c xe -x+ e 2x /9 1 non omo -=- cosx [ y = c ex + c xex + c 3x 2ex + (senx + cosx)/4 1 2 y 111 + y 11 J X [ y = c 1 + ex(c 2cosx + c 3 senx) + (senx + 2cosx)/5] y 1" y" = 3X 2 + X - [y = c 1 + c 2x + c 3 ex - (l/4)x 4 y <> + y [ y = c ex/ /z 1 + c e-x//z 3 4 y<> - = Zsenx cos(x/ /2) COS(X/ /2) 4 - (7/6)x 3 - (7/2)x 2 ] cosx ex//z sen (x/ /z ) + + c e-x//z 4 sen (X/ ✓z )+(sen2x)/17 + c 2 3y 111 + Zy" = cosx + ] 232 4D. Il metodo della ~ariazione delle co- secondo or- stanti Consideriamo l'equazione lineare del + a(x)y' + b(x)y = f(x) dine y" (1) a coefficienti e termine noto continui. Nel paragrafo 4C abbiamo visto che, per determinare il suo inte grale generale, è sufficiente conoscere due integrali y 1 (x), y 2 (x) linearmente indipendenti delJ'omogenea associata ed un suo integrale particolare v 0 (x). In tal modo, l'integrale generale è dato da Y (x) Per determinare variazione dal delle v (x) O costanti, si può ricorrere al dovuto a Lagrange, metodo della descritto seguente TEOREMA.. Siano y 1 (x), y? (x) due integrali linearmenindipendenti dell'omogenea associata alla (1). Siano y 1 (x) y 2 (x) due funzioni tali che le loro derivate prime risolvano te il sistema o f (x) . Allora la integrale 4.46 particolare Determinare y" v,(x) funzione + y = [Le due funzioni neannente = y 1 (x)y qell'equazione l'integrale 1/cosx. 1 (x)+y 2 (x)y 2 (x) è un (1). generale dell'equazione y (x)=cosx, y (x) = senx sono integrali particolari li 2 1 indipendenti dell'omogenea associata. Per deteminare un'ìn- 233 tegrale delle particolare costanti, dell'equazione cerchiamo data con il metodo della una soluzione della data equazione variazione sotto la funzioni è d~ fonna con Y 1(x), Y 2(x) soluzioni J y 1(x)cosx + y ;/x)senx = O -y (x)senx + Y'j.x)cosx = 1/cosx. 11 Si trova del sistema Y i(x)=-tgx Y 2(x) e 1. Una primitiva di ta!i ta da Icosx I , Y 2 (x) Y 1 (x) = log Perciò risulta v 0 (x) = (log le dell'equazione data I) cosx + xsenx. L'integrale gener~ I) cosx + x senx + c 1cosx + jco~x è y(x)=(log x. jcosx + c senx 2 4.47 Applicando il metodo della stanti, risolvere l'equazione y" [L'integrale - y generale una soluzione della y 2(x) 5oluzioni 3x 2 dell'omogenea forma v 0 (x) - variazione { Y (x)ex 1 associata = Y 1 (x)ex Y 2(x)e-x=O - y 2(x)e-x y 'i(x) = e-x(3x 2 -1)/2 y 2(~:)=- ex(3x~ -1)/2. = 3x 2 co- 1 del sistema Yi(x)ex+ delle - 1 è c ex·+ 1 c 2e-x. Cerchiamo + Y 2 (:<)e-x con Y Fx) 2-34 Una primitiva.di funzioni da [x 2 +2(x+l)-(l/3) J /2 '( 2 (x)=-3ex [x 2 -Z(x-1)-(1/3)] /2. l'integrale generale Applicando il metodo stanti, risolvere le (a) è data y 1 (x)=-3e-x In definitiva, 4.48 tali y'' + y è y = c eX+ c e-x 1 2 della variazione delle equazioni differenziali = tgx (b) log I cotg (i+:) (b) y=c 1cosx + c 2 se_nx + sern: log I tg(x/2) I ] 4. 49 ·Applicando stanti, renziali il metodo risolvere le (a) y"-3y'+Zy=Ze (c) y"+4y (d) y"-3y'+2y=xe [(a) 2x = 5 sen3x 3x y = c ex + c e 2x + 2xe 2x. 1 2 co- y"+y=cotgx y=c 1cosx + c 2 senx + cosx [(a) - 3x 2 -5 ] I• della variazione delle coseguenti equazioni diffe - (b) y' 1 +4y=S senZx - 7 cos3x (e) y"+2y'+y=(logx)/ex (b) y = c cos2x + c sen2x 1 2 - 5(xcos2x)/4. (e) y = c sen2x + c cos2x - sen3x + 7(cos3x)/5; 1 2 (d) y = c e 2x + c ex + [ (x/2)-(3/4)] e 3x; (e) y=(c +c x)e-x + 1 2 1 2 2 + x e-x(2 logx-3)/4.] 4.SO Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale y" + k 2 y= f(x), ove f(x) è una fu!!_ zione continua nell'intervallo limitato [a,b] e k f O. 235 [I due integrali dell'omogenea sono linearmente indipendenti, a -k. Cerchiamo un integrale associata y 1 (x) = sen k x, y 2 (x)=cos k x in quanto il loro w~onskiano è uguale particolare dell'equazione data sotto la forma = y 1 (x) v O (x) con Y~(x), senkx + y 2 (x) coskx Yk(x) soluzioni del sistema {::::: =•Y:(;:::::. f(x) Si trova f y 1 (x) = ; X a pertanto = 4.51 ~k f risulta o f ~k X X f(t)senktdt X f( t) [ senkx coskt-coskx . f(t)senk(x-t)dt.L'integrale è y= generale a ~k f sen ckt] dt = X f(t)senk(x-t)dt+ a Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale y" - k2y= f(x) ove f(x) è una zione continua in [a,b] e k f O. il metodo della a quanto fatto + [ ekx J\(t) a nell'esercizio variazione delle precedente, e-kt dt - e-kx e a a [Applicando 4.52 v (x) = f y 2 (x") = - ~ f(t)cosktdt, f \(t) costanti, fun in modo analogo si trova y(x)=c_ ei<x+c2e-kx + 1 ekt dt ] /2k ] a Risolvere l'equazione lineare del primo ordine = a(x)y+b(x), ricorrendo al metodo della variazione delle costanti. y' 236 [sia y 1 (x) 1· O un integrale ra si ha y' 1 = a(x)y 1 • particolare dell'omogenea Cerchiamo un integrale v 0 (x)=Y (x) y 1 (x).Imponendo che v 0 verifichi associata; particolare l'equazione data y 'y l + YY\. = a(x) Yy 1 + b(x), da ::ui, per l'ipotesi allo- del tipo si trova su y 11 X X = b(x). y (x) Ne segue f X trova 4.53 così la formula b(t) ~ dt, yi(t) con y 1 (x)=e Jx a(t)dt o ; si ri- o (13) del paragrafo 4A] Applicando il metodo della variazione delle costanti, risolvere l'equazione y""'3y'+2y=ex/(ex+ + 1) . 4E. Problemi ai limiti Come sappjamo integrale generale neare del secondo dal teorema 1 del paragrafo di un'equazione differenziale OTdine è dato da ove y 1 ,y 2 sono integrali due particolari, 4C, lu li- linearmen- te indipendenti, dell'omogenea associata e v0 è un integrale particolare dell'equazione data;definiti in un intervallo [a,b]. Dal teorema di Cauchy enunciato nel paragrafo 4B sappiamo che è sempre possibile determin~re univocamepte le costanti ci e c 2 in modo da ottenere un integrale particolare verificante le condizioni iniziali y(x 0 ) = Y 0 , Y 1 (x 0 ) = yJll 237 Se invece si impongono alla y le cosiddette condi y(a) = A, y(b) = B, o, più in generale~ hy(a) = A, ky(b)+k'y' (b) = B con h e h' non entrambe nulle e k,k' non entrambe nulle, si po~ sono avere una sola soluzione o nessuna soluzione o infinite soluzioni. Ad esempio, nel caso più semplice delle condizio ni ai limiti y(a) = A, y(b) = B, si ottiene il si~ sterna di due equazioni lineari nelle due incognite ci' c2 zioni ai limiti + h'y'(a) y,(a)c, (2) il { y (b)c 1 cui determinante + 1 y,(a)c, + y 2 (b)c dei 2 :-v 0 (~) + A --v + B 0 (0) coefficienti essere diverso da zero o uguale a zero. Il sistema omogeneo associato al sistema (2) è quello relativo all'equa~ione differenziale omogenea associata alla dat~, corr le condizioni ai limiti omQ genee, cioè nelle quali risulti A=O, B=O. Perciò, se questo problema omogeneo ha come unica soluzione la funzione identicamente nulla, il problema non omogeneo avrà un'unica soluzione. Se .il problem·a omogeneo ha invece una s6luzione non nulla, il problema non omogeneo avrà infinite soluzioni, o sarà impossi~ile a-seconda che il termine noto f(x) e le costanti A, B verifichino, o meno, certe condizioni. Ad esempio, studiamo i problemi ai limiti per la equazione differenziale y" + y = O, con le condizioni può 238 ·y (O) = 1 y(O)=l (b) (a) y(O) =O (c) { y(n)=l { y(,r/2)=-1 { y(,r)=O L'integrale generale è y(x)=c 1 cosx + c 2 senx; do le condizioni (a), si ottiene il sistema nelle incognite c1, c2 c 1 cos { ·c cioè c 1 =1, 1 c 2 =-l, ca soluzione O+ c 2 seno= 1 cos(1r/Z) + c 2 sen(1r/Z)~-l per il cui impone!!:_ lineare problema ammette l'uni- y = cosx-senx. Imponendo le condizioni (b), si ottiene il siste ma c 1 cos0 {C 1 COS1T + c 2 sen0 + che è impossibile, per cui il problema non ha solu zione. Infine, nel caso (c) si ottengono le infinite soluzioni y=c 2 senx, c 2 eR. 4.54 Determinare k, per cui ma tutti esiste i valori un'unica - reali ciel parametro soluzione del probl~ { y" + ky = o y ( o ) =y ( 1T) = o [L'equazione (a) k caratteris_tica > O, (b) (a) Le soluzioni k = O, (c) é À 2 + k =· O. Distinguiamo casi: k < O. dell'equazione è y(x)=c caratteristica l'integrale generale sulti = y(1T)=O, dovrà essere y(O) tre 1 cos(/k sono x)+ c 2 sen . ± i/k, (/"k x). perciò Affinchè ri- 239 c:. cos O + c 2 sen O = O { c 2 sen( lk 71 ) = O. ovvero c 1 = O, Se o c 1 COS 1k é intero, precedente è soddisfatto ra sen(fk TI) I O perciò pia, da c 1 = O, c 2 E R. Se y(O)· = y(TI) (c) L'equazione ±/:iZ"",perciò ovvero c 1 se e solo se all.Q ha una ed una so- /k non è intero. c 1 + c 2 x. Affinché c 1 = c 2 = O e cioé caso il problema ha unica y(x) generale è y(x)= doE. risulti = O per ogni x. soluzione. À 2 - (-k)=O ammette caratteristica risulti c2 lk non é intero, c 1 = c 2 = d. è y(x) generale l'integrale sistema À 2 = O ammette lo zero come radice = O, dovrà essere in questo Affinché nulla) caratteristica per cui l'integrale Pertanto dev'essere (identicamente · (b) L'equazione TI)=O per cui il se k > O, il problema considerato In definitiva, la soluzione si ·ha sen( /k allora c1 e /~ le due soluzioni X y(O) = y(TI) = o, dev'essere O. Pertanto in questo caso il problema ha unica soluzione] 4.55 Determinare siste una limi ti i valori del parametro k per cui ed una sola soluzione del problema { y" ' y (o) differenziale [ X X o = y(l) [ Per k # - 5 l'equazione v 0 (x) + ky = xe 4y' ammette l'integrale 6 k+S - (k+5) 2 X ] e particolare eai 7.40 Per k < 4 (k I - 5) l'integrale generale è y(x) con Ài = - 2 ± / 4-k . Le condizioni ai limiti implicano 6/(k+5) 2 e perciò il problema ai limiti ha unica soluzione. Per k=4, l'integrale generale è y(x) Le condizioni e perciò c 1e -2x ai limiti implicano il problema ai limiti Per k > 4, l'integrale e le condizioni ai limiti ( c e -2 cos lk-4 1 e -2 - senlk-4 implicano 2 c 1 =6/(k+5) Il determinante ha unica soluzione. generale è + di .questo sistema nelle , perciò incognite c ·1 , c 2 il sistema aimnette unica soluzione con h intero. Nel caso k=-5, si verifica è /:. = se k/ 4+h 2 112 che il problema ha unica soluzione ] Z4l 4.56 Determinare i valori del parametyo li esiste almeno una soluzione del limi ti y"+y { y(O) [L'integrale generale y(x)=c = asenkx se k f. ±1; è dato + l3coskx = O = y(,r) è dato da dell'equazione 1 cosx keR per iqu~ problema ai a senkx ~ + +c 2 senx + 13coskx l-k 2 da y(x) =e 1 cosx +c 2 senx + ( 13senx-a cosx) x/2 se k = l; è dato da se k=-1. y(x)= e 1 èosx + c 2 seme + ( 13senx + a cosx)x/2 Nel caso k # ± 1, le condizioPi limiti y(O} { e questo sistema = c 1 + l3/(1-k y(TI )=- c 1 + è compatibile se k'!T = (2m± 1) TI con m intaro. solo se ai 2 ) =O 2 j3 cosk1T /(l-k se e solo implicano ) = O se cosk1T =-1, cioè Per k = ±1, il sistema è se e solo compatibile a= O ] 4. 5 7 Determinare i valoTi quali il problema ai del parametro limiti k f O per { y" + k2y = f(x) y (O) = y(TI) = o con f continua in [O,n], ammette una ed una so- J_ 242 la soluzione. [Da1~ 1 esercizio 4.50 segue che l'integrale generale dell'equazione è d~ to da X J f(t)senk(x-t)dt k 1 y(x) + c 1 senkx + c 2 coskx. o Imponendo le condizioni te c1, ai limiti, si ricava il sistema nelle incogni- c2. = o '1T J f(t)senk( '1T-t)dt o + c 1 senk TI o Se sen kTI I O, cioè se k non è intero, la costa.pte c:. è individuata univocamente, àl pari di c 2 , e perciò il problema ai limiti ammette soluzione unica. Se k è intero, là seconda equazione del sistema è impossibile (e ciò il problema ai limiti non ha soluzione) a meno che non risulti f per- '1T f(t)senk(TI-t) dt = O, o nel qual caso c 1 è indeterminata finit~ soluzioni) ] 4F. Eq~azioni (e perciò lineari di Si chiama equazione di Eulero renziale lineare del tipo y (n) con al' an-1 · + .. + + ~ y (n-1) ' a2' , aneR. X xn-1 Per X y' il problema ai limiti ha i]l Eulero un'equazione + an y xn f o l'equazione = diffe g(x) può seri- - 243 versi nella forma equivalenti. dove si è posto f(x) = xng(x). Tale equazione,pu·ì· sendo a coefficienti variabili, mediante la sostituzione t = loglxl si riduce ad un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. e~ Considereremo secondo ordine: del (1) x 2 y" nel O. Effettuando (cioè x=et) si s!Y. s!Y. dt ..!.s!Y. dx dt. dx X ndx 2 d dx ( 1 (7.) la ( 1) costanti ( 2 Eulero x > O la sostitu- dt 1 x2 s!Y.+ 1. Q.:.Y dt dt X dt 2 dx a coeffi nell'equazione - s!y_ + qy = f(et). dt caratteristica Se À è una radice zione cmogenea per ha ~ ) dt trasforma À2 + (p-l)À di d2y - s!Y.) dt . dt 2 ndt + (p-1) L'equazione alla (2) è (3) si 1 X x2 equ.azioni + qy = f(x) + pxy' ove p,qeR ex> zione t = logx Perciò cienti seguito associata dell'omogenea + q semplice = O. della (3) allora l'equa - 244 x 2 y" (4) ammette + qy = O + pxy' l'integrale particolare come integrale della (4), radice doppia tegra della 1 are (3), 1 e part1co. grale della (4), la funzione fatto tipo che la (4) ri Il del À x, può sa. essere anche Ad esempio, determinarsi, cui corrisponde, xÀ. Se À è una funzione , cui la . (4) . corr1spon ammette l'iri- d e, inte come xÀlogx. ammetta integrali particola- À x logx posto, si la allora Àt dedotto y 1 =Àx Sostituendo te eÀt' direttamente nella (4), dalla À (4) y = x , con À stes da h~ À -1 nella (4), À(À-1) + pÀ + q si ottiene ovvero c1oe, = O l'equazione caratteristica (3). Per determinare l'integrale generale dell'equa zione omogenea (4), una volta che sia noto un suo integrale particolare y 1 (x), P.UÒ essere utile applicare il procedimento di abbassamento dell'ordine di una equaiione omogenea. Tale procedimento consiste nell'effettuare nella (4) il cambiamento di funzione incognita . 245 y = v (x) In tal modo la Posto u = v' mo ordine si y 1 (x) . (4) diviene, con semplici perviene così all'equazione passaggi del pri- (3) ammette allora le due funzioni xÀ 1 , xÀ 2 sono integrali particolari nearmente indipendenti dell'equazione di omogenea x 2 y" + pxy' + qy = O. ljEulero U I + ( Zy~ Y1 di 4.58 facile + E )u = O X risoluzione. Verificare che se l'e4uazione radici reali e distinte À1 , [Si vede subito che il Wronskiano delle À 1 + À 2 -1 ( À 2 -À 1 )x # O per x > O ] 4.59 funzioni Verificare che se l'equazione radice doppia À, allora le sono integrali particolari denti dell'equazione (4). [ Supponiamo che risulti 4.60 dev'essere x À1 , x À2 e uguale a (3) ammette una funzioni xÀ, xÀlogx linearmente indipen- e 1 x " + c 2 x À logx = O per x > O. Scegliendo =1, ne segue c 1 = O, e perciò anche c 2 x allora À2 , À logx = O per ogni x > O. x= Ma anche c 2 = O ] Verificare che se l'equazione radici reali complesse À 1 =a+ (3) ammette due i~, À 2 = a-i~,al 246 . . a+i13 a-iS lora le funz1on1 x , x grali particolari linearmente l'equazione (4). [ Si vede subito che il I O. Due· integrali f3logx) x asen( Wronskiano è uguale reali linearmente sono due indipendenti 2a -1 a -2 i f3x 'f O perchè f3'f sono x a cos( 13logx), indipendenti in quanto a± i f3 a ± i f3 a :!: i f3logx a x = x x x e =x [ cos( Slogx) ±isen( 4.61 inte del- Risolvere l'equazione - 4xy + 4y = o di Eulero f3logx) omogenea ] ] x 2 y" - I [Cerchiamo y" = un integrale À (À - l)Y. À-2 À À(À-l)x ossia, dividendo zione sono + c2 X della Sostituendo nel! 'equazione, À -4Àx per x À= 4 e forma y: particolare À +4x À Si ha y' = Àx xÀ À-1 si ha =O À 2 - SÀ+ 4 =o.Le radici di questa equa. - è y : c 1x ~ + À = l. Perciò l'integrale generale l'equazione di Eule1·0 x 2 y''+2xy' ] 4. 62 Risolvere t [ Ponendo x = e , si ott:iene d2y dy dt 2 dt -2y=x 2 1 1 equazione t 2 - 2y = (e ) dy .,. 2 dt ~ e 2t cioè 2t dy dt L'equazione mette - 2y = e caratteristica le radici genea associata dell'omogenea À 1 =-2, è c1 e -2t À 2 .=l. Perciò t À 2 + À-2=0 ed am associata è l'integrale generale + e 2 e . Un integrale particolare dell'omodell'equa- 247 (*) è v 0 (t) zione = 1/4, Perciò = be Imponendo che v 0 (t) l'integrale zionedataèc 1e generale x = e , si trova -2logx +c 2 e risolva(*) di (*) è y(t)=c t Ponendo nuovamente 4.63 2t logx 1e che l'integrale 2logx +e si -2t +c 2 e +e generale /4=c 1 x -2 x=e t si ottiene dy /4 , dell'eq~ 2 /4] Eulero l'eql,18zione dy +2 - dt di b = 2t +c 2 x+x Risolvere l'equazione differenziale 2 x y'' + 2xy' - y = x (logx + 2). [Ponendo trova t dt (t + 2)e - y t cioe t (t+2)~ L'equazione ammette le radici (-1± dell'omogenea associata /s )/2. Perciò l'!nt:egrale . nea associata alla le dP.lla (*) è v (t') = (bt+c)e trova b=l, solva = c1 e mente x =e, c1 x t <-1- ls)t11 si trova <-1- ✓s)12 Determinare le ::;eguenti x 2 y" + ('°') e c 1 e 0 (:'<), si è y(t) 4.64 caratteristica + c 2 :.. t + c2 e generale la condizione Perciò integrale + c2 e 1' c-1+/s)t/2 che l'integrale c-1+ ✓s)12 + (t-l)e [ y=c 1 x di ri('') . Ponendo nuova data ] per x > O l'integrale eq_uai'..ioni ùifferenziali - 4y = O che v 0 (c) generale'dell'equazione + x(logx-1) ed . Un 1.ntegr~, generale t - l=O dell'omo~ (-1+/s)t/2 . Imponendo c=-1. 2xy'-6y=O x 2 y" + xy' (-1- ✓s)t/2 À 2 +À è generale -3 [ y = Cl X -2 + c2 x2 + C2 X 2 ] ] del- è 248 x 2 y"-Sxy'+9y=O [ y=c l X 3 + C 2 X 3 logx x 2 y"+xy'+4y=O [y=c 1 cos(2logx)+c 2 x 2 y"-4xy'+6y=O [ y=c l X 2 + C 2 X 3 J sen(2logx)] x y"-.Sxy' +13y=O [ y=c 1 x cos(2 logx)+c 2 x 3 s en( 2logx) x 2 y"-Zxy' +Zy=x·2 +2 [y=c x 2 y"-Sxy'+9y=x [ y=c 1 x 3 + e 2 x 3 logx + (x 3 /2)1og 2 3 3 1 x+c 2 [ y=c_1 x 3 cos( logx)+c 2 x 3 sen( logx) x 2 y"+xy'+y=O [y=c 1 sen(logx)+c x 2 y" + 3xy' + y=O x 2 y"+Zxy'+y O logx)-!-c 2 sen(/3/2 x 2 y"-xy'-3y=x [ y = e 1x X 3 -1 [y = c 1 x -1 logx)] ] x 2 +x 2 logx+1] x 2 y"-Sxy'+10y=O [y= [c 1 cos(/312 +c 2 x 2 -1 cos(logx) 2 x] J ] logx ] //;_] 2 logx + c 2 x ~ -(2/9)x 2 -(x 2 logx)/3 J y" + X 2 y 1 + xy + 1 = 0 [ y = c 1 cos( logx) 3 x y'' 2 - x y' x 3 y 11 + 2x 2 y I x 2 y" + xy' + xy' 2 - - 10 ] = O ))+ c 2 x sen(log (x2 ))+ 5/(4x)] Zxy + 4 = o + k2y [ y = e 1 cos(klogx.) X 2 y' I + c 2 sen( logx) - 1/ (Zx) + Sxy [ y = e 1 x cos(log(x 4.65 ] = O + c 2 sen(klogx) ] - k2y = O Determinare le soluzioni renziale x 2 y"+xy'-4y=x- [ 3 y = c1 x k k + (c 2 /x) ] dell'equazione diffe x che soddisfano la 249 condizione Yltl lim 1 3 X x ➔ +a, t [Posto x e si ottiene l'equazione d 2y dt 2 -3t 4y = e - L 1omogenea.associata t - e -2t 2t generale y0 (t)=c 1 e +c 2 e d 2y -3t .-3t Un integrale particolare di - 2 - 4y = e è e /5 ; un integrale dt 2 d y . particolare di - 2 - 4y = et è -et/3 ; perciò ~ integrale particodt 1 lare di (' ) è vo = (e- 3t/S) + et/3. Allora l'integrale generale di U') è y(t) ha come integrale = c 1 e- 2t + c2 e 2t + (e-Jt/5) equazione data ammette l'integrale + et/3. Posto di nuovo x = et, la generale y(x) = ( c 1 /x 2 )+c 2 x 2 + + l/(Sx 3 ) + x/3. Imponendo la condizione lim y(x)/x = 1/3 si ha x ➔ + a, sono y(x) ~ (c/x )+(l/(Sx3.)) + 2 c 2 = O. Perciò le soluzioni richieste + (x/3) con c ER 4.66 4.67 Determinare renziale condizione ] le soluzioni dell'equazione x 2 y"+4xy' + 2y=x 3 -x- 1 che lirn x 2 y(x) = O [y(x) = (c/x) + (x 3 /20) - (logx)/x, con e E R] Considerata differenziale l'equazione (x--a)2y"+p(x-a)y' detta che, + qy anch'essa se l'equazione diffe soddisfam - la = O, verificare equazione di.Eulero, caratteristica À(À - 1) + pÀ + q = O ha due radici reali distinte À1 , À2 , il suo in- 250 tegrale generale À1 y=c 1 (x-a) mentre generale 4.68 se è dato À è una radice è dato da ry.. + xy' ammette camente y(2) À2 + c 2 (x-a) Determinare i valori quali il problema ai y (1) da , doppia, 1 ' integrale k 'f o per da quella identi del parametro limiti i + 4k 2 y = o = o una soluzione nulla. diversa [ L'equazione differenziale essendo un'equazione di E~lero omogenea , cerchiamo le sue soluzioni sotto la forma y = xÀ. Si trova l'equa zione À 2 + 4k 2 = O le cui radici sono date da À. = ±. 2ki. _Essendo k; O, l'integrale + c 2 cos (2klogx). La condizione generale y(l) è y(x) = c 1 sen(2klogx) = O implicar. zione y(2) = O implica c 1 sen(2klog2) = O. Pertanto, se k f hTI /(2log2) con h intero, perciò l'unica soluzione del problew4 ai limiti te nulla, Se invece esiste un intero h; O tale allora nulla 4G. allora per - si ha c 1 = O e è quella identicamen che k = hTI/(2log2) , la funzione y(x) = c 1 sen [ (h TI logx) /log2 ] è soluzione (.se c 1 # O) del problema dato] Integrazione + 2 = O. La condi non serie Non sempre è possibile integrare un'equari0neci[ feienziale mediante funzioni elementari, cioè fun zioni polinomiali, esponenziali, trigonometriche e loro inverse. Talvolta, la soluzione va cercata sot 251 to la forma di una serie di potenze (1) i cui coefficienti possono essere identificati, imponendo che la (1) sia solu~ione deila data equazio ne. Il punto x 0 che figura nella (1) potrà essere il punto nel quale sono assegnate le condizioni inizia li y(xo) = Yo I y' Cxo) = y~l) I ecc. Ad esempio, Cauchy si voglia risolvere il problema di differenziale, si ha delle stesse potenze relazioni tra i coeffi di - y I = XY { y(O) Cerchiamo la = 1. soluzione sotto la forma O) y(x) = I n=O Derivando si ha cx, = L na x n-l h' (x) n=l e, sostituendo (D E na h=O x n n-1 0 nell'equazione = X CD CD '., anx n I an X n=O n+l n=O ovvero Uguagliando i coefficienti x si ottengono le seguenti cienti incogniti 252 e, in generale Ne segue a zn-z/2n. = an_2 per nan a 2~ 1 =0 per Dalle ogni n ~ 2. n, ed.inoltre relazioni segue 2·4·6 ' · · · ' a 2 n = 2 · 4 · ... · 2n cioè Si ottiene così l'espressione di y(x) a, y(x) Essendo y(O) 1, si CD y(x) -- E n=O La serie 1uppo dì potenze d 1. Mac L aur1n. ricava X a 0 =l e perciò 2n 2 11n! a secondo membro d e 11 a f unzione . ex essendo 2 2 / lo svi . . , ritroviamo così la soluzione y(x) = ex 212 che avremmo determina to procedendo direttamente all'integrazione, con i metodi del paragrafo 4A. Osserviamo che non sempre la soluzione ottenuta mediante integrazione per serie sarà rappresentata da una serie convergente verso una funzione elementare. 253 4.69 Risolvere il y" problema + Zxy' { y(O)=l, di Cauchy + 2y = O y' (O)=O [ Cerchiamo una soluzione sotto la forma Essendo a, y' E n=l y" si ha CD n-2 x + 11 y" + 2xy' + 2y = E n(n-l)a n=2 CD n=l E n=O a, CD = E (n+2)(n~l)an+zXn n=O Perciò dev'essere, CD E 2nanxn + 2anx n CD + E 2nanxn + E 2anx n=O n=O n per ogni x o, E [(n+2)(n+l)an+Z + 2(n+l)an Jxn = O n=O e quindi i coefficienti an devono soddisfare le relazioni di ricor - renza n ~ O. Essendo y' (O) = a 1 = O, d~lla (~) segue che a 2k+l = O per ogni k. Se invece n = 2k, la i*) implica Essendo y(O) = a 0 = 1, ne segue .254 e cosi via- Pertanto e cosi si ottiene risulta a 2 (k+l) = (-1) l'espressione di y(x): CO E y(x) k (-1) x 2k k+l /(k+l)! /k! k=O Abbiamo percio dimostrato si può rappresentare necessariamente che se la soluzione mediante quella una serie che figura del problema di di potenze, allora al secondo membro della Cauchy la serie è (""'') - Poi - i passaggi eseguiti sono invertibili, per dimostrare che la rappresenta effettivamente la soluzione,'basterà dimostrare che chè tutti serie essa converge- Ciò segue 5ubito che (''"~) è lo sviluppo tale è la soluzione 4_70 Risolvere, equazione 4.71 Risolvere, equazione Risolvere, seguenti f=zione y(x)=e-x n 2n (-1) E Osserviamo 2 e che del dato problema di Cauchy] n=O CD X 2nn1 + al (-1) E per serie, + y = O 2 -(x" /3)-(x mediante equazioni 6 la n 2n+l X n=O l-3-S-----(2n+l) mediante integrazione per serie, differenziale (1-x 2 )y"-2xy'+2y=O. [ y(x)=a 0 x + a 1 [1-x 4.72 dì MacLaurin della del rapport~. mediante integrazione differenziale y" + xy' CD [ y(x) = a o dal criterio /5)-(x 8 JJ /7)----·- integrazione la per (a) y"+Sxy=O (b) y"+xy'+3y=O (e) y"+xy'+7y=O (d) y"+x 2 y 1 +xy=O serie, le a, [ Si ha y = E an x n=O n con a 0 e a 1 costanti an+z= - 5an_ 1 / [(n+l)(n+2) ] , per n LO; +l)(n+2) per n L 1; ], a, E a.n x n [ (n+l)(n+2)] a2 = ù , [(n mediante differenziale , con an+Z = - 2(c-n)an/ [ (n+l)(n+2)] di .equazioni differenziali di n equazioni integrazione di Hermite e a 0 ,a 1 costan- n=O ti arbitrarie] 4H. Sistemi lineari Un sistema differenziali del tipo (1) si chiama sistema di de una n-pla Per di = yn(x) che soddisfano ni x appartenente primo ordine. per Sussiste il equazioni soluzione funzioni seguente differenziali di tale derivabili line.:i.ri le ad un intervallo I di di del sistema si inteny 1 =y 1 (x), ... ,yr.= simuìtaneamente teorema Cauchy + , per n2_0; per n LO] (n+3)(n+2)] Per ogni ceR risolvere per serie l'equazione y"-2xy'+2cy =·O. e (a) (b) an+Z =-(n+3)an/ (c) an+Z =-(n+7)an/ (d) a 2 = O, an+J =-(n+l)an/[ 4.73 arbitrarie n equaziQ R. 2'56 TEOREMA (DI ESISTENZA ED UNI CITA'). Se i coeffi .fi (x) sono funzioni conti a ij (x) ed i termini noti nue nell'intervallo limitato [a,b], cienti b ,] ( y o1 , Y o2 , .•. e per ogni soluzione del sistema , allora, per ogni . yno) e Rn esiste (1) verificante X 0 t[a, una ed una sola le condizioni iniziali: Il sistema (1) si dice omogeneo se tutti i termini noti fi (x) sono identicamente nulli in [a,b]; altri menti si dice non omogeneo. Per risol~ere il sistema omogeneo a coefficienti costanti (2) cerchiamo di soddisfarlo ponendo (3) con I•• À 1 , ... , Àn,a Imponendo costanti che le da determinarsi. funzioni y 1 , ... il sistema (2), si perviene al sistema lineari nelle incognite À 1 , ... , Àn: ( a ll - a) À. 1 'I- a 12 À 2 + ... +aln (4) a21À 1 + (a22 -a )À2 Àn = O + ... + a2n Àn = O ,Yn soddisfino <li equazioni 257 che ammette una soluzione se risulta . . . ,O) se e solo a 11:(5) a a 21 a22 anl an2 diversa dal al2 aln - a a2n vettore (O, .. = o a. nn -a cioè (ved. il paragrafo SG del vol. I, parte prima) se e solo se a è autovalore della matrice a.. . La (5) è un'equazione algebrica di ·grado n che J.Jprende il nome .di equazione caratteristica del sistema (2) . Si dimostra che, se l'equazione caratteristica (5) ha n radici distinte a 1 ,ct 2 , •.. ,an, cioè, se la matrice aij han ... , À (k) ) = ak, le funzioni (k) n (k) = À1 · e costituiscono le soluzioni distinti, soluzione del la (\~k), Y1 autovalori akx una (y (k) y 2-2 - À(k) soluzione t>, y (k) 2 e allora, sistema akx del , ... ,y (k)_,(k) '/\ sistema (k) n ), e (2), . al a = per (4) y •···•n-n detta variare ak·x. e che di k = 1, ... ,n, costituiscono un insieme di soluzioni linearmente indipendenti. Pertanto, l'integrale generale del sistema (2) è dato da (y 1 , ... ,yn) con yi = e l ,(1) '/\ l , (1) '/\2 Yn = cl e e a 1x a 1x , (2) + e 2 '/\ 1 +c2 e ct 2 x À(n) + .•. + cn l anx e 258 . ar b.1trar1e . ove c 1 , ••• ,cn sono costanti ,À~~ sono autovettori della spandenti ,all'autovalore Consideriamo ti costanti ora il matrice À(k) e A= , ••••• 1 (alj) , corri ak. sistema a coefficien non omogeneo -{y ~ .Cx) (6) Y ~ (x) e supponiamo che i termini noti f(x) e g(x) sianod~ rivabili nell'intervallo [a,~]. Per risolverlo, possiamo procedere nel modo seguente. Deriviamo rispetto a x la prima equazione, ottenendo y~' = ay ~ + by~ conda Sostituendo equazione, y~ = ay~ + f' . il valore otteniamo di + b(cy + dy 2 + g)+f' 1 y~ ricavato dalla se- = -=ay~ + bcy 1 + dby 2 + bg + f'. Il valore equazione: by 2 può essere by 2 = y~ - ay 1 ricavato - f. dalla Sostituendo, prima si tiene ovvero ta Y1 l'equazione del secondo y~-(a+d)y~ + (ad-bc)y ordine 1 bg-df+f nell'lncogni- I. ot - 259 Dopo aver stema (6). determinato y 1 , si 4.74 il omogeneo Risolvere sistema ricava y 2 dal si- y~ : 5y 1 + 4y2 { y2 - yl + 2y 2 [ La matrice dei coefficienti L'equazione caratteristica s-a 41 l 2 - CL l è è (5-CX)(2-CX )-4=Ct 2 -7CH 6 Quindi la matrice A ha i due autovalori nare un autovettore di A corrispondente viamo il sistema O. semplici 6 e l. all'autovalore Per detemi.-. CX=6,risol- À1+4À2=0 À1-4À2=0 da cui segue À 1 = ~À 2 ; ad esempio (4,1) è un autovettore. mente si vede che (1,-1) è un autovettore corrispondente lore -a=l. Allora l'integrale generale del sistema dato 4.75 Risolvere il sistema omogeneo Analoge a!l'autovaè 260 4.76 Determinare la soluzione che ver.ifica le condizioni = o. y 2 (O) [ 4.77 y 1 = (e X + e -x ) /2, y 2 = (e X - e del -x Determinare la soluzione che verifica le condizioni Y2C0) sistema inizi ali ' del sistema iniziali y 1 (0) O, y 2 = cosx 4.78 Risolvere i seguenti sistemi (b) omogenei [2y~ tzy 1 =- 3x t Y1 [ (a) y 1 = 3c 1 e Y1 y 1 + 6y 2 (d) X = 1 ] ) /2 = 1. [ y 1 = semi:, y2 = e 1 e y l ( O) + 3c 2 e 3c 2 e , 2X ; Y2=c1e (e) Y1=c1e 3yl+Sy2 = Y1 + Y2 = Y1 - Y2 2x X X + c 2 e ; (b) y 1 = e 1 e +c 2e , -x 3x -x 3x + e2e , y 2 =- e 1 e +c 2e ; 3x X - + Y2 2 61 ./zx (d) Y 1 = c 1 e -/z X + l)e 4.79 +c 2 e -./zx , y2 a c 1 (/2 - - l)e ✓zx - - c 2 (/2+ ] Risolvere il sistema omogeneo yl=y3 y ~ = 3y l { + - 9y3 y~ = 2y2 [ La matrice del sistema A (: O L'equazione : _:) 2 -1 caratteristica -a o 1 3 7-ct -9 o è 2 è 7- a - a + 6 -a 3 +6a. 2 -na.+6 -:i.)(ct -3)=0. ossia (a -l)(ct dente all'autovalore La soluzione I -1-a. = { -9 -1-a 2 a =l, - Àl + 3 Àl + 2 À2 -2À3=0. è del tipo À3 Per decerminare risolviamo = o un autovettore corrispon il sistema o 6À 2 - 9 À3 = o (k,k,k) con k ER - { O } e perciò un auto - 262 vettore di A è (1,1,1). A corrispondente Per determinare all'autovalore un autovettore_della a=2, risolviamo rÀ, matrice il sistema + À 3· = 0 o 3À1 + SÀ 2 - 9 À3 2À 2 - 3 À 3 = o La soluzione tovalore (k, 3k, 2k) con k I O e perciò un autovettore è del tipo dì A•è (1,3,2). Per determinare un autovettore r, a-3, risolviamo corrispondente all'au- il sistema + À3 ·= 0 3À 1 +4À2-9 o À3 2À2 -4À3=0 La soluzione A è (1,6,3). è del tipo (k,6k,3k) con k I O e perciò w1 autovettore Allora, l'integrale generale del sistema dato è c 1e Y1 X +c2e 2x X e 1 e + 3c 2 e { Y, .YJ c1 e con c 1 , e 2 , c 3 costanti 4.80 Risolvere il X + 2c 2 e arbitrarie sistema y~ + e 3e 2x 2x a. 3x + 6c 3 e + 3c 3 e 3x 3x ] omogeneo = Ys y~ = y1 { [ Gli autovalori y; = yl della matrice - 3y 2 + 3y 3 del sistema sono -1,1,3, Corrispondenti autovettori sono, rispettivamente (1,-1,-1), (1,1,1), (1,3,1/3). Perciò l'integrale generale è y 1 = c 1 e-x + c 2 ex+ c 3 e 3X, y 2 •-c 1,çx+ 263 + c2 e X + 3c 3 e 3X , y 3 =- c 1 e ìl 4. 81 Rìsolvere -x sistema omo_geneo = 6yl - 2y2 + 2y3 y; = - Zyl + Sy2 r [ y 1 = 2c 1 e - e1 e 4.82 3x + 7y3 2yl y~ 3x - e 2e + 2c 2 e Risolvere 6x 6x il + 2c 3 e + 2c 3 e 9x 9x la prima equazione, espressione di y 2 dedotta facilmente. + e X = y dalla seconda equazione Dalla = c 1 (cosx-senx) ni y 1 (x), stema dato] y 2 (x) così Y3 = X dalla ottiene y'i + y 1 = 2e h si ha y' 1 = y\_ equa?.ione 1 - 2y 1 + y 2 - l + e . Pcichè in y 1 : y' 1 =- y 1 + 2e -1, cioè verifica 9x X X di tale -c 3 e si ha y'i = y\_ - y 2 + e . Sostituendo segue y 2 = y 1 - y' 1 + e , sostituendo,si generale 6x X x quazione lineare + 2c 2 e + 1 [ Derivando X 3x non omogeneo Y1 - Y2 + e - (2y 1 - y 2 + l)+e 2c 1 e J sistema 2y1-Y2 Y2 X prima e- l'equazione -1. L'integrale X è y 1 = c 1 cosx + c 2 s~nx + e -1, come si prima equazione segue poi y 2 = y 1 - YÌ + + c 2 (senx - cosx)-1 ottenute fornisce X + e . La coppia l'integrale di funziQ generale del si 26'4 4.83 Risolvere { non - Zy 2 + cosx y ! = Zy 1 - y 2 + senx (2-/s)x + e2 e (3+ /s)e( + 2senx)/10 4.84 sistema Y ~ = Sy l [y 1 = e 1 e y 2 = Cl il (2+✓ 5)x 2- /s)x omogeneo - (7cosx-senx)/10; + C 2 (3- i5)e(2+ /s)x - (26 cosx + ] Risolvere il sistema non omogeneo - Zy l + y 2 - 4y 1 + 3y 2 + 10 [y 1 (x) = e 1 e -x + e 2e - 7cosx + senx 4.85 Risolvere [y 1 (x) e 1e - 3cosx - sen x; y 2 (x)=c 1 e ] il X 2x COSX sistema non omogeneo - y 2 + cosx - senx - y 1 + cosx + senx + e2 e -x + cosx + senx; y 2 ( x) -x + 4c 2 e 2x Capitolo EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO S NON ORDINE LINEARI Preliminarmente esponiamo i metodi di risoluzio ne per alcune equazioni differenziali non lineari del primo ordine. Successivamente,nel paragrafo SI, discutiamo del teorema di Cauchy di esistenza ed unicità. SA. Equ.a.z:i.on.j_ Si renziale a. v-a.:ria.bil:i. sepa.:ra.biI.:i. dice a variabili separabili un: equazione del primo ordine del tipo (*) y' con f e g funzioni riabili separabili y' = X y = f(x) ·g(y) diffe , continue. Ad esempio, sono le equazioni differenziali a va- 266 Nel primo caso è f(x) = x e g(y) = 1/y, mentre, nel secondo caso, si può por~e f(x) = 1 e g(y)· = 1 + y 2 • Per determinare le soluzioni. dell'equazione differenziale (*), si scrive la derivata y' come rappo~ to tra differenziali y' = dy/dx; si ottiene .QY = f(x) ·g(y) dx poi si separano le variabili 1 g(y) e si integra dy g(y) r O) f(x)dx = dy = l f x) dx f( una relazione del tipo G(y) = F(x)+c che legame (in forma implicita) tra x e y. 5.1 Risolvere separabili le equazioni (a) y' [(a) Si scrive differenziali X = - (b) y l'equazione dy X dx y Integrando (supponendo membro a membro f g(y) Si ottiene esprime il · ' differen~iale da cui y' nella a variabili = 1 + y2 forma equivalente y dy = K dK. membro a membro, otteniamo => cioè ancora y 2 = K 2 + 2c (si noti che, pur di ~ambiare 1~ costante,si 267 può scrivere equivalentemente y 2 = x 2 + e'). L'insieme delle soluzioni. è quindi costituito dalla famiglia di iperboli equilatere y 2 - x 2 =e' , se e' ; o, e dalle rette di equazione y = ± x, se e' = O. Si può controllare l'esattezza del risultato ottenuto calcolando la derivata y' e verificando che y' = y/x. A tale scopo ricaviamo la y in funzione di x dalla relazione y 2 = x 2 + 2c: y = (si noti che, globalmente, y non è funzione di x; infatti y=/ x 2+ 2c è una funzione di x e y = - ~ è un'altra funzione). Derivando otteniamo y' (b) Scriviamo l'equazione dy -=l+y2 dx differenziale y' y ±/x 2 + 2c nella forma equivalente dy l+y2 => X X e quindi . dx ed integriamo membro a membro arctg y = f dy -- 2 = l+y X + C • Quindi, in forma implicita, le soluzioni• sono rappresentate dalla rel~ zione arctg y = x + e, Ve E R. Ricavando la y si può scrivere anche y = tg(x + e). 1 + y2 : Verifichiamo il risultato controllando che y' y' = D tg(x+c) 1/~os 2 (x + e); sen 2 (x+c) ' cos (x+c) 1 +--e--'---'2 5.2 Risolvere variabili le seguenti separabili equazioni 1 cos 2 (x+c) J differenziali a 268 = cos 2 y (a) y' (b) y'=Zx cos 2 y [ (a) Dividendo per cos 2 y {se cos 2 y # O) e integrando, dy cos 2 y => tg y dx J dy cos 2 y = otteniamo fdx=x+c. Quindi le soluzioni trovate sono rappresentate analiticamente dalla rel~ zione tg y = x + c, V c E R. Limitatamente alle funzioni y(x) per cui - 1T/2 < y{x) < 1T /2 si può scrivere y(x) arctg (x+c). Oltre a ciò, occorre verificare che, separando le variabili, non si siano perse alcune soluzioni corrispondenti al caso cos 2 y = O; infatti, ad esempio, per la funzione co:;:tante y{x) = 1T/2,per ogni x ER risulta y'(x) = O e quindi y' = cos 2 y· =O.Analogamente ogni altra funzione costante y(x) 1T /2 + k'IT (k EZ) è soluzione. Riassumendo, le soluzioni sono rappresentate da tg y x+c, vce R {b) Come in precedenza e Risolvere le equazioni y' Zxy (b) (a) Vk E Z, 2 si determinano le soluzioni tg y 5.3 1T --i-kTI, y e 1T Vk E Z y=2+k1', a v~riabili y'= y separabili (e) X y'=- X y [ (a) Oltre che a variabili se:·e1rabili, l_ 'equazione differenziale lineare omogenea. Notiamo subito che la funzione identicamente una soluzione; inoltre, separ~_jo le ·:ar·-ib;.-•, abbiamo dy dx da cui 2xy, Iy I = f~ f = eX 2 + c eX 2:.dx, 2 .a • log ] è anche nulla è IY I = x 2 + e; A: variare di c in R,é de!'.·rive tutti i numeri reali positivi; perciò ec rappreser.ta una generica costan2 ·~· s· ~· h ·1 _a,· pLrc-1·0· 1 nc-1 e e 1 seco,, do memb re e:: +c n,on s1· ann1111 ~ t e i:,os1c.1va. 269 y(x) non si annulla per alcun valore della 2 si giunge alla rappresentazione y = ± ex che y = O .è soluzione e ponendo e' = ± ec y(x) = o, si giunge.alla fonna y(x) e' rappresentazione x. Distinguendo i casi y ~ o ec, Tenendo conto che anse y(x) , O e e' =O se di tutte· le soluzioni nella eX2 (b) y(x) = O per ogni x E R (x f O) è soluzione. Separando le variabili si ottiene log I y I da cui IYI log e c I x I . Come in (a), posto = log (ec I x I ), Ix I + c e' c' = O se y(x) = O, si trovano le sol~zioni = nella ± e e se y(x) ; O forma y(x) e = c'x, Ve' E R. (e) Le soluzioni (in fonna implicita) sono date dall'equazionP. che, geometricamente, corrisponde alla famiglia di circonferenze con centro l'origine degli assi (per ogni scelta della costante + y2 = e c 5.4 > O) ] Risolvere (a) le equazioni tg y xy' a variabili (6) y'tgx separabili y [(a) Per applicare il metodo della separazione rlelle variabili, occorre dividere entrambi i membri per x tgy. Essendo tg y=O per. y = kTI, con k ez, tutte le fw1zioni costanti y(x) = kTI sono soluzioni. Inoltre , supponendo tgy f O (e anche x; O), separando le variabili otteniamo log I seny I f cosy seny c ( dx dy J x = 1011; I x I + c = log ( e e I x I ) , Ponendo c' = ± e, come nell'esercizio 5.3 si ottiene seny = c'x. Notiamo che, per e' O, si riottengono le soluzioni costanti y(x) = kTI, con k E Z, Perciò tutte le soìuzioni si possono rappresentare nella for_ 270 ma seny 5.5 = e 'x. (b) y(x) = e selllC, con e E R ] Disegnare in un riferimento cartesiano ortogonale il grafico delle soluzioni dell'equazione con siderata nell'esercizio 5.3(a). [si veda la figura 5.1] y y X figura 5.1 figura 5.6 Risolvere l'equazione differenziale segnare in un riferimento cartesiano il grafico delle soluzioni trovate. 5.2 y'=-2xy e di ortogonale -x2 [y(x) = e e 5.7 Determinare ferenziale , rappresentate in figura tutte le soluzioni 5.2] dell'equazione dif 271 2 + c), [y(x)=sen(x 5.8 l'equazione le variabili dy = ~ dx eY cosx. e Xcosx dx. a secondo membro utilizzando due vol- per parti + 1 l'integrale (l/2)e X X generale·dell'equazione (senx + cosx) + c, cioè e y X+ log 1 log formula risolutiva + a(x+c) c) J , + b f• X+ - b/a, avendo posto c'=e dx J ay+b - b] /a = c'e ax che si ottiene lo stesso per le equazioni lineari nel capitolo + cosx) + c, da cui reali non nulle. Risolvere separazione delle variabili, ( dy Iay + b I da cui y(x) = [ e Il lettore controlli = (l/2)(senx y è dato da e= abbiamo [ Sepél.rando le variabili a differenziale 2 = ay y' y-x senx + cosx ( Siano a,b costanti con il metodo della l'equazione linear-e siderata x-y J. e cosx dx= 2 e (senx + cos x) + c. Perciò 5.9 y'=e y(x)=±l] Jex senx = ex ( s.enx cosx) - Jex cosx dx ex cosx dx = ex senx - X f dy = l'integrale te la fortJnJla di integrazione da cui costanti differenziale f/ => Si può calcolare due funzioni si ottiene X f alle . Risolvere [Separando con c ~ R, oltre 4 ] C risultato ac utilizzando del primo or.dine, /a la già con- 2 72 5. 10 Risolvere i seguenti (a) (b) . { y(l) .[ L'equazione y(-1) si risolve + log y(x) = tg(c (a) Le soluzioni y(x) + k 1T); è quindi opportuno (-°',O) e (O,+a>). condizione In tal separatamente le I x Il 1T/2+ gli intervalli la y=l per x=l > o, ci poniamo nell'intervallo (O, y(x) = tg (c + logx) = 1 equivale e y(l) tangente 1T/ 4. La soluzione è periodica = tgc. di periodo 1T, basta del problema di Cauchy = tg ( 1T/4 + logx) .. (b) y(x) = tg( 1T/4 + log(-x)) i seguenti problemi Perciò c = 1T/4 + k1T. a tgc = 1, cioè che la funzione 5.11 Risolvere ed ha le variabili per x /- O (e per c+log considerare ad esempio c = y(x) separando I x I ). sono ùefinite caso risulta y(l) = 1 Dato che cerchiamolasoluzioney(x)chesoddisfa iniziale la condizione { xy'=l+y2 = 1 differenziale soluzioni di Cauchy 2 xy'=l+y +a,). problemi Dato scegliere quindi è ] di Cauchy y'+3x2y4=Q (a) { y(l) = O [ (a) La funzione ziale che il identicd!Dente dato iniziale di Cauchy. Si noti che, soluzione y(x) = o, = 1 y(l) nulla soddisfa ed è quindi separando ~ia l'equazione soluzione le variabili, (unica) differerr del problema si perde proprio Vx ER; (b) dopo aver separato la le variabili otte- niélJ:IO da cui /" 3 = 3x 3 - 3c. Imponendo la condizione y(l)=l da cui 3c = 2. Perciò la soluzione di Cauchy è data y(x) = l/(3x 3 13 ] - 2/ del problema si trova 1=3-3c da 273 5.12 Risolvere le equazioni a variabili (a) y'""Y cotg x [ (a) log I y I= separabili (b) y'=(y-3)cotg f; f = I senx I + c, cos x dx = log .sen x da cui log I y I = log e c I senx I e x quindi y= ± e c I senx I • Cambiando !a costante, le soluzioni si possono anche scrivere nella fonna y(x) = c'senx (si noti che anche y(x) = O è ioluzione e si ottiene per c'=O); (b) y(x) = 3 + csenx] 5.13 Risolvere [Separandole log (l+y 2 variabili ) dacuiy(x)=±(e 5.14 2x 2 yy' l'equazione Risolvere = otteniamo f !; 1 c-1/x = l+y 2 • 2 dy = J :: l/Z -1) l'equazione J xy' ylogy. [ La funzione costante y=l, che I\Jlllulla il secondo membro, è soluzio~e dell'equazione dìffe.enziale (mentre y = O è da scartare). Separando le variabili, otteniamo y(x) eCX; in particolare, la sol~ zione co-stant-e y = 1 corrisponde a c = O ] 5.15 Risolvere l'e [ y(x) = ± + C e uazione l/ /;- ] 4/x3" yy' = 1 - y2 • 274 5.16 Risolvere i problemi l (b) I [ o - x 2 -1 5.17 [ (a) y(x)=x; (b) y(x)=x; Risolvere l'equazione [ La funzione y' - X 2 +1 ✓3 y(O)= y(O)=l/2 ✓x •-·~ y (d) o y (O) l Y..:..:.1. - (e) { = y' y (O) Y Cauchy = y' (a) di (e) y(x)= + ✓y sen/x costante 2x+l 1T (d) y(x) =tg(- +arctx)J x+2 3 . differenziale = y=O è soluzione. o se y # O, Inoltre, l'integrale a secondo membro si può calcolare per sostituzione, pone~ do h = t. Si ottiene l'insieme di soluzioni y(x) = (c+cos/-;-) 2 ol tre, naturalmente, alla funzione identicamente nulla] 5.18 Determinare l'integrale ne differenziale generale + [ L'equazione ye della X equazio- = O. data non è in forma normale. E' possibile ricavar~ la y' 275 in funzione dix algebriche di secondo grado: e y mediante la fornrula risolutiva delle equazioni 1 BxeY - ( 4xe y y X y + ye ) ± ( 4xe - ye ) - y/4x 8xeY { Perciò I 'equazione data è equivalent_e li in forma normale y y' = - 4x y' Entrambe le equazioni 5.19 generale tegrale della [(x + /l+x 2 y = O è una soluzione. e risolvendo l'integrale cioè Iy J = x log (x + -- anche y( x) = e' (x+l l+x 2 ) identicamente nulla I -l/ 4 , mentre l'in rientra ] generale [La funzione costante log dell'equazio- )Y Separando le variabili in dx, otceniamo /1 + x 2 X differenzia- e si vede facilmente =clx seconda è y(x) = iog (e-ex) = log per parti due equazioni separabili della prima è y(x) Determinare l'integrale ne differenziale y' y = sonoavariabili che l'integrale generale alle X -e /e e .in tale - ✓ l+X 2 - /i+x 2 • Si noti rappresentazione, + e, che la funzione in corrisponden za di e' = O ] 5.20 Determi~are gente nel le curve y = y(x) la punto (x,y(x)) incontra cui retta tag l'asse dèlle 276 x nel punto (-x,O), come in figura 5.3. X X figura 5.3 [ Le curve incognite, (x,y) di equazione y = y(x), di equazione (nel piano di assi Y = y(x) La retta tangente se O= y(x) + y' (x)(X - x) incontra + y' (x)(-x-x), y - 2xy' l'asse di un'equazione fornisce le soluzioni di parabola aventi l'asse ] in X nel punto (-x,O) se e solo X,Y): • O. integrata, in (O,O) tangente cioè se e solo se Si tratta tice delle hanno retta differenziale y(x) coincidente a variabili = e IN. con l'asse separabili che, Si tratta di archi delle ascisse e ver- 277 5.21 Determinare le curve y=y(x) la cui retta norma le nel punto (x,y(x)) incontra l'asse delle~~ scisse in un punto C = C(x) a distanza uguale ad 1 da (x,y(x)), come ir> fi-gura 5.4. y CP = 1 y(x) X figura [ Nel piano X, Y è data l' eq=zione Tale retta yy' normale al grafico non nulla), di una fun;,;ion"' passaT\te per (x,y(x)), nel pW1to Cdi coordinate da Y = y(x) - (X,O), della y = v(x) (con derivata derivabile 5.4 incontra 1 y' (x) l'asse con X soddisfacente delle (X-x). ascisse .l'equazione O= y(x)-(X-x)/y'(x), = X-x, da cui dal pW1to e = CP = / X= x + yy'. La distanza (:< + yy' ,o) è data da [ ( x+yy1 )-x ] 2 + [-y] 2 del punto P cioè = (x,y(x)) ✓ (yy I) 2 + y 2 • 278 Imponendo la condizione fonna non nonnale (yy') che, evidentemente, CP = l si ottiene 2 = l l'equazione solo se 1-y 2 ~ O, può avere soluzioni a variabili in _ y2 -1 ~ y ~ 1. Si riconosce che le funzioni costanti soluzioni. Inoltre l'equazione data e equivalente differenziali differenziale cioè se y = ± l alle sono due due equazioni separabili yy' = ✓ 1-y2 yy' = - ✓ 1-y 2 che, risolte, danno le soluzioni (x+c) 2 + y 2 = l; si trat~a della f~ miglia di circonferenza di centro (-c,O) e raggio 1. Come gia detto, a questa famiglia di circonferenze zione y= ± l ] 5.22 vanno aggiunte le due rette di equa - Siano A e Bi punti di intersezione degli assi coordinati con la retta tangente al grafico del la funzione y = y(x) nel punto generico (x,y(x)) come in figura 5.5. Determinare le curve y(x)t~ li che: y A - (x-~Y' , o) B - (o,y-xy') y (X) X figura 5.5 279 (a) (b) (c) (d) l'ascissa l'ordinata l'ascissa l'ordinata [ La retta di A sia uguale di B sia uguale di A sia uguale di B sia uguale a Zx; a Zy; a kx (k>O); a ky (k>O): di equazione Y=y(x) + y'(x)(X-x) tangente X,Y nei punti A e B le cui coordinate si incontra determinano gli assi imponendo ri- 1 spettivamente Y = O e X= O e calcolando in corrispondenza 1 altra coordinata. Ad esempio, posto Y = O, risulta y + y'(X-x) =Oda cui, se y' f O, X= x - y/y'. mento alla figura In modo analogo si determina B. Con riferi- 5.5 si ha: Intersezione con l'asse X: A Intersezione con l'asse Y: B - - (x-y/y' ,o) (O,y-xy') (a) la condizione richiesta è x-y/y' l'equazione differenziale a variabili = 2x che, se y' f O, equivale al separabili y' =- y/x. Tale e- quazione ha per soluzioni y(x) le iperboli = c/x, con cE R (c=O è da 1/(l-k) scartare); (b) y(x) = c/x con cE R; (c) y(x) = c Ix I con c f O se k f l; altrimenti, se k = 1, non esistono funzioni y ~y(x) che soddisfano la condizione posta; (d) y = c Ix 11-k, con e E R] SB. Eq1..1a.zio:n.i del Si dice di Bernoulli un'equazione primo ordine del tipo di Be:rn.01..1lli y' = a(x)y differenziale + "b(x)ya con a(x), b(x) funzioni continue in un intervallo prefissato e con a parametro reale diverso da O e da 1 (altrimenti l'equazione è lineare). Il metodo di risoluzione è il seguente: prelimi narmente si dividono entrambi i membri dell'equaziQ_ 280 ne per ya denticamente ottiene (così facendo nulla, nel L = a (x) si trascura caso in cui la soluzione a è positivo);si y l-a + b (x) ya Si pone poi z(x) = (y(x)) l-a La derivata nuova funzione incognita z(x), per la regola vazione delle.funzioni composte, vale z' (x)= L'equazione d dx i- (y(x)) 1 - a a =(1-a)y- differenziale, della deri di v' y'=(l-a) -'- ya nell'incognita z, diviene z' è lineare del metodi descritti pi. 5.23 Risolvere li = (1-a)a(x)z + (1-a)b(x); primo ordine e quindi si risolve nel capitolo 4. Vediamo alcuni l'equazione differenziale y I = 2y - e [ Cominciamo con l'osservare y = O è una soluzione. trambi i membri per y Poniamo z(x) diventa (y(x)f Bernoul- X che, essendo Per determinare 2 di con i esem y2 a =2 > O, la funzione le altre soluzioni costante èividiamo : 1 , da cui z'=-y- 2 y'. Rispetto a z l'equazione err 281 z' - 2z + e X ed è quindi un'equazione lineaée del primo ordine, cioe del tipo z' = = a(x) z + b(x), con a(x) = - ? e b(x) = ex. Scegliendo A(x)=-2x come primitiva di a(x), si trova l'Lntegrale generale A(x) z(x) e = e J e -A(x) · b(x)dx = e -2x -2x 1 - e 3x + c) 3 1 e = - 3 x +ce 2X- X J e · e dx -2x 1 -1 x -zx-1 Ricordando che z = y- , risulta quindi y(x) = z =(e /3 +ce ) . Tali funzioni, unitamente alla funzione identicamente nulla, sono tu1 te le soluzioni dell'equazione data] 5.24 Risolvere (a) le seguenti y y' equazioni 1 y X (b) di Bernoulli 1 y y 2y'= X [ (a) Si tratta di un'equazione differenziale di Bernoulli con esponen te a =-1. Dividendo entrambi i memèri per y - 1 ( cfoè moltipl icar:do per y) otteniamo l'equazione yy' l 2 - y ~ - l. X z = y2 Nell'incognita essendo z 1 2 z' 2yy', si ha l'equazione lineare z - 2 . X Una primitiva di a(x) d 2/x è A(x) 2 log I x I = log x sto b(x) = - 2, si ha z(x)=/(x) f' e -A(x) b(x)dx 2 - + c) X 2x + cx 2 x2 • dx 2 • Perciò,p.Q. 282 In definitiva, essendo y= ± /~, l'equazione data ha come soluzioni 2 /2x+cx , concER. (b) y(x) = ± ljxj(c-logjxj)] funzioniy(x) 5.25 Risolvere i seguenti { Zy' (a) le =± y ~ X y y(l) problemi di Cauchy_ y' y r... X X (b) { y ( 1) = 1/2 1 a =-1. Dividendo entramè di Bernoulli con esponente bi i membri per y- l e ponendo z = y 2, otteniamo successivamente [ (a) L'equazione y2 2yy' - X Z 1 1 Z - X • X X Notiamo che il coefficiente che la condizione iniziale a(x) = 1/x non è definito per x=O. Dato nel punto x 0 = 1, ci limitiamo a è posta considerare il caso x > O in cui A(x) = log x (invece che, piu general mente, log j x j ) è una primitiva di a(x). La funzione z(x) risulta uguale a z(x) x J ;:· (-x)dx x(-x + c) da cui y(x) = .± ✓cx - x 2 . Imponendo la condizione iniziale y(l) =l si trova 1 = ± / c-1 ; si deve quindi scegliere il segno+ e c = 2. Perciò la soluzione del problema di Cauchy è y(x) = / 2x - x 2 . Si noti che tale funzione, definita per O ix i 2, è derivabile solo per O< x < 2 e perciò è soluzione solo nell'intervallo aperto (0,2). Pe, y >Osi può scrivere nelle forme equivalenti y / 2X - X in particolare, y(x) 2 l; dall'ultir.a ha per grafico espressione, la semicirconferenza si riconosce di centro facilme~te che (1,0) e raggio 1, con y > O. (b) L'equazione differenziale è di Bernoulli con esponente a=2,ma an- 283 5.26 che a variabili separabili. Risolvere li le (a) La soluzione equazioni x/(x+l)] di Bernoul differenziali Èi... + Zx./y y'= è y(x) (b) X + zx/y iY y'= X [(a) E' un'equazione di Bernoulli con esponente a =1/2. La funzione C.Q. stante y=O è una soluzione. Se y i O dividiamo entrambi i membri per /y e poniamo /y = ~. da cui z' = x + z/x. Una primitiva di a(x) = =1/x è A(x) = log lx In base alla formula risolutiva per le equazioni differenziali lineari del primo ordine,otteniamo (separatamente per x > O e x < O) I. z(x) e A(x) ± x· 5.27 I e -A(x) I I xc1x X dx J ±dx·= x Jdx = x(x+c) Quindi le soluzioni dell'equazione = (x 2 + ci::) 2 , oltre a y-=O; (b) y(x)=x" Risolvere X f TI l'equazione èifferenziale ( VX iniziale 1 O). sono y-(x) (e + log Ix I ) 2 e y=O] differenziale y'=x(y [ E' un'equazione di Bernoulli con espone:-ite a =3. Oltre a y(x)· V x ER, le soluzicni sono espresse da y(x) ± 1/ I l+ce-x' 5.28 Risolvere con ne differenziale 5.29 Risolvere il il pToblema y(l)=l; [ L'equazione metodo di Bernoulli proposta nell'esercizio differenziale di 3 -y) O J l'equaziQ 5.15. Cauchy: 2Xyy 1 = y 2 - X 2 + 1 è di Bernoulli con esponente a =-1. La so- 284 luzione, espressa risponde geometricamente gio 5.30 analiticamente semicirconferenza Risolver.e le equazioni (a) 4y' y tgx [ (a) y(x) senx - yr- c+cos 2 x (3/2,0) e rag_ = 2+ce-x y = o] e di Cauchy 1/2 y(l/2) oltre separabili. ad essere (a) y(x) Determinare l'integrale equazioni differenziali (a) xy' + 2y (b) yI y cosx (e) y' 3/2 Zy = del tipo (1+3e-x 2 generalR senx) (1-y (e) (f) y' ) o = zx✓y (x 2 + ✓y ) e y(x) ~ =O e y(x) = (ce y(x) = (senx - cosx e (cx+ logx + 1) -senx -2 -1 + senx - 1) + ce -x 2 ) ) = O di Bernoulli, -1/2 delle logx + Zy = ✓y senx Zx ( __y_ + _l_ y' = x 2 -l ./y 3 zx3y' + x2-.; + y- 5 tgx (c) y(x) = O /4 .{ Y' =xy+xy3 djfferenziale, che a variabili (b) y(x) 1 (b) { y(O) [ (a) y(x) = O Y... - xy2 2 y'= (b) y(x) i problemi [ L'equazione (d) di centro (b) y' =xy+xy3 5.32 / l+3x-x 2 ,cor- = di Bernoulli cosx Risolvere (a) y(x) funzione ✓s/2, con y > O ] 4 5.31 alla dalla /16; è ag ; (b) y(x)=O seguenti ] 285 (d) y(x) = (x 2 -1 + e /~ 13 / (e)_y(x) = x- 112 (c + log lcosx I ; 16 ; 3 / (f) y(x) = O e y(x) = (x 2 + 2 + e ex 5.33 Determinare una funzione per x➔ l+ e che è soluzione + 00 ) rispettivamente delle ziali: (a) y' (b) y' [ (a) y(x) 5.34 xy 3 2 [✓y ( che diverge a + 00 nell'intervallo (1, equazioni differen - y(x) 2 -1)] + xy 3/2 ) (b) y(x) = (l-x2) 2 J 12 / + 1/(x _g_ x 2 -1 25 2 121 J 9(1-x 2 )2 Sia a(x) una funzione derivabile in R con deri vata a'(x) continua. Determinare, per ogni valore del parametro reale a f 1, l'integrale g~ nerale delle equazioni differenziali (a) (1-a)y' a' (x) (y+a(x)y (b) ( 1-a) y' a' (x) (y+y a a J J [ (a) Se a> o,una soluzione è y(x)=O per ogni xE R. Dividendo entrambi i membri per ya e por.endo z(x)= [ y(x)] l- a, otteniamo z'=a'(x)[z+ + a(x) ] . Si tratta di un'equazione lineare nell'incognita z che ha per soluzioni: z(x) = ea(x) Calcoliamo per parti Je -a(x) ·J e-a(x)_ a'(x)a(x)dx. l'integrale ··a'(x)a(x)dx= f a secondo membro: d dx [ -e-a(x) ] a(x) dx = 286 J · -a(x) -a(x) =-e a(x)+ e a'(x)dx -1) 5.35 -a(x) a(x) - e -a(x) + c. ·a(x) 1/(1-a) y(x) = ( ce -a(x)-1) , a(x) nulla se a> O. (b) y(x)=(ce - per ogni a I 1, si ottiene In definitiva, oltre = - e naturalmente 1/(1-ct) e y(x) alla soluzione = O se a >o ] Siano a(x), b(x) funzioni derivabili su R con derivata continua e con a(x) non identicamente nulla. Determinare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali (a) a(x)y' a'(x) (y+y 2 ) (b) a(x)y' a' (x)y + b' (x)y 2 [ L'equazione in (a) è un caso particolare di quella in (b) e si ottiene ponendo b(x) = a(x)'. Perciò discutiamo il caso piu generale (b). Cominciamo con l'osservare che la funzione costante y=O è soluzione. Dividen do entrambi i membri per y 2 , otteniamo a(x)y' - a' (x)y y2 b' (x) . Poi si può procedere oltre con il metodo di Bernoulli, con la sostitu zione y- 1 = z. Proponiamo un altro metodo di risoluzione: a primo membro, a meno del segno, compare la derivata rispetto ad x del quozient~ a(x)/y; perciò l'eqUdzione si può scrivere nella fonna equivalente d. dx Risulta quindi a(x) y [ - + h(x)] (se y I O) a(x)/y = O. + b(x) =costante= c, da cui = a(x)/ [ c-b(x) ] • Nel caso particolare dell'equazione me di tutte le soluzioni è dato da y(x) = a(x)/[ c-a(x) y(x) = O, Vx ER] y(x) in (a) l'insig ] , oltre a 287 5.36 Sia y=y(x) una funzione definita per x > O e non negativa. Indichiamo con B il punto di intersezione dell'asse delle ordinate con la ret ta tangente al grafico della funzione in un punto generico (x,y(x)), come in figura 5.5.De terminare: (a) le curve y(x) tali che l'ordinata di B sia proporzionale a ya, con a > O; (b) la curva y(x) soddisfacente la condizione y(Z) = 2 e tale che l'ordinata di B sia uguale a y2. [ (a) Come già mostrato nell'esercizio 5.22 1 l'ordinata del punto B,i.n tersezione della retta tangente con l'asse delle ordinate, vale y -xy'. Indicando con k il fattore di proporzionalità, la condizione<!_ viene y - xy' ~ kya. Si tratta di un'equazione differenziale di Be_!: noulli +cx • che, :!.-a ) oltre 1/(1- a) (b) Ponendo k=l a a ~ y(x) O, ha y(x) = (k + come soluzioni per x > O. a= 2 nella espressione determinata in (a),si ot- c=-1. Percic ìa tiene C y(x) = ( 1 + - ) -1 X x+c x 5.37 Iraponencio la condizione iniziale funzione = ~,cx-1) cercata è y(x) y(2) z,si trova ] Determinare le curve tali che il punto di mezzo del segmento sulla retta normale, con estr~ mi sulla curva e sull'asse delle x, sia situato sulla raYabola x = y 2 • [ Si fa riferimento come mostrato alla figura 5.6.Se P ha coordinate(x,y(x)), nell'esercizio 5.21, C ha coordinate ciò il punto medio M ha coordinate giace sulla parabola (x + (yy')/2, allora, (x + yy' ,O). Per- y/2); -tale di equazione x = y 2 se e solo se (per punto y I O) 288 X Si tratta yy' +- 2 y = (-) 2 di un'equazione y y' 2. (=) = - 2 di Bernoulli = ± {4x + 4 +ce) X 1/2 . In particolare, bola di equazione sterna di riferimento fichi dal disegno 2x - y che ha per soluzioni y(x) per c = O, si ottiene la para- x = (y 2 /4) - 1. Il lettore tale parabola la proprietà M e la parabola enunciata in uno stesso si 2 iniziale x=y e veri nel testo] ------- -- X=Y 2 -- e figura disegni 5.6 289 SC. Equazioni della. y' forma. Si dicono brevemente omogenee renziali ordinarie che si pongono con g funzione continua. consiste nel porre z = Y, X cioè rispetto ed è a variabili y'=z+xz'. z, diviene - z Vediamo l'equazione y' diffe risoluzione all'incognita separabili. Risolvere mogeneo di da cui = g(z) xz' g(y/x) le equazioni nella forma metodo y(x)=xz(x), L'equazione, 5.38 Il = alcuni differenziale di esempi: tipo o- 1 + y_ = X ~ g(y/x), con g(t) = l+t. Poniamo y(x=z, Otteniamo l'equazione equivalente [ F' un'equazione ~ei tipo·y• da cui y = xz e y'=z + xz'. z + xz' = 1 + z, che si risolve z= Jdz = 5.39 f-; dx= log /x I+c = log (ec lx l)=log(c'x) = c ±·e. y(x) = x log(c'x) Le seguenti xz' = 1, separando le va~iabili: dove si è posto c' luzioni cioè Ricordando che y = xz,si ottengono le s~ ] equazioni sono nello stesso ·tempo 290 di tipo omogeneo e a variabili prima è anche linea,e): y'= (a) y X Risolverle con X y' (b) (c) y entrambi ( la separabili y'=- -25. y i metodi. [ (a) rette per l'origine y(x)=cx; (b) iperboli equilatere di equazione x 2 - y 2 = c (y r O); (c) circonferenze concentriche con centro nell'.2_ rigine 5.40 x 2 + y 2 = c (y r O) ] di· equazione Integrare [ Posto z l'equazione y/x ( da cui y' =z +. xz') (2z - 1 - z 2 )/z; y'=2- differenziale separando otteniamo l'equazione -25. y equivalente si ha (se z f 1, cioè le variabili l!Z'= se y Ix) -f __ J dxx ~ log (cx) . z_ dz = (z-1) 2 Inoltre, sommando algebricamente a primo membro, otteniamo r _z dz j ( 7--l) z-1 r ---dz (z-1) = J 2 1 z-1 perciò l'equazione ni le funzioni y -1) -1 - log 5.41 Risolvere y' y + X 1 a numeratore 1 --( z-l) 2 dz dell'integrando log /z-1 / + cost; data, oltre a y(x)=x, implicitamente dalla relazioae ha come soluzi.2_ I;- I l'equazione = e+ 2 differenziale definite X -1 1 = log(cx) differenziale omogenea 291 e verificare tuito dalla che l'integrale generale famiglia di funzioni .f. x2 - 1 2c 2 u(x) [con la sostituzione z = y/x si giunge all'equazione cui, separando le variabili - - y > O) cx .(con costi è X - /1+z 2 ; da xz' log (c'x). Come indicato nel paragrafo 4G della parte seconda del 1° volume, l'in tegrale a primo membro si determina con la sostituzione ~= t-~ .Si ottiene (si veda anche l'esercizio 4,119, dz ✓I+? volume 1°, parte log (c'x). Pur di cambiare la costante c', ciò equivale a z + /?+J. cordando che z = y/x, si giunge alla rappresentazione delle nella seconda): = cx. Risoluzioni foi:-ma = cx y - X Dopo aver posto la condizione cx - (y/x) ~ O ed elevando membri al quadrato si giunge alla conciusinne ] 5.42 Risolvere per x > O il y(l) [L'equazione O, = differenziale problema y' di = y + \~1 X V ammette come soluzioni con c -i O, oltre a y(x) ~fa la condizione iniziale = ± x. Tra tali y(l) soluzioni, entrambi Cauchy: -,:;i y(x)=x sen log(cx) quella = O è y(x) = x senlogx] che soddi- , 292 5.43 Risolvere per > 0 i problemi di Cauchy X j X r=;. y tg (a) y (2) (b) y'= y X + tg y_ X l y (1) = TI TI/3 [L'integrale generale dell'equazione differenziale è della forma sen(y/i)= = cx, con c E R. (a) La soluzione è sen (y/x) = x/4; esplicitando la y si ottiene y(x) = x arcsen torno di x = 2 individuato (x/4). Si noti che _y(x) è derivabile dalle limitazioni -1 nell'in- < x/4 < 1, cioè nell 'intervallo (-4,4); inoltre, formalmente, il secondo membro dell' equazione differenziale non è definito per x = O; perciò y(x) è soluzione del problema di Cauchy nell'intervallo (0,4). (b) y(x) = TIx] 5.44 le seguenti Risolvere rnogenee (a) x2y' (b) y' (e) y' (d) y' o- y2 + xy + 4x 2 1 2 X y (~ ;) + + y_ X X y y X + - = ~ (e) y' (f) xv' y+x = ; y (1- log y + logx) 2 [ (a) y(x) 2x tglog(cx) (c) y(x) ±x ( d) y(x) = (e) arctg y - ·+ log ; (b) y(x) = ± ;-;~;-; X garitmi differenziali equazioni ±xhog(c/x) 2 I~II od anche, tra~ferendoc/x i lQ X y a secondo membro, arctg - = log X e ~== /x2+y2 (f) y(x)=xe ] 293 5.45 Determinare, tro a f -O, 1, renziale per ogni valore reale del le soluzioni dell'equazione 5.46 I cx 2(1- a)/ a _1 ) 1/2 ( ~-~-----1 è la che la y' = ~ soluzione x+v che, ri (p,-S), [Po~to z=y/x, - log /""i+z"T" = log x, cioè arctg osservare che esprime ed essendo p = z(l) /7+? del y(l) x-y spiral1=: logaritmica si ] a 1 - Verificare chy - = x·2 + y2 o.xyy' [ y(x)= ±x pararne diffe- con = O, problema coordinate l'equazione si lrova (y1x) = e che log -S=arctg Cau O = in di pola- p=e-S. la soluzione / x 2 +y 2 (y/x) arctg z - • Rimane da ] La sottotangente relativa ad un punto generico di una curva di equazione y=y(x) è pe, definiziorre la lunghezza (con il SP.gno) del segmento orientato HA in figura 5.7, cioè del segmento di estremi H=(x,O)e A, punto di incontro del]'as~e dell~ a~cisse con la retta tangente al grafico della funzi0ne nel punto (x,y(x)). Ricordando (si veda l'esercizio 5.22) che A ha coordinate (x-y/y', O), per definizione risulta sottotangente HA = - _y_ y' 294 y = y (x) H figura 5.7 Analogamente la sottonormale è la 1)--1-nghezza (con il segno) del segmento orientato HC in figura 5.7,cioè del segmento di estremi H ~ (x,O) e C, punto di inte~ sezione dell'asse delle ascisse con la retta normale al grafico della funzione nel punto (x,y(x)). Ricordando (si veda l'esercizio 5.21) che C ha coordinate (x+yy' ,O), risulta sottonormale 5.47 = HC = yy' Determinare le curve y=y(x) aventi gen~e uguale alla media aritmetica nate del punto di tangenza. [La condizione è: sottotangente da cui = (x+y)/2, cioè y' -2y x+y l+ -2(y/x) (y/x) la sottotan delle coordi- 295 Notiamo che la fllllzione costante y = O no~ è accettabile come soluzione del problema geometrico proposto ,perchè' per essa non è definita la sottotangente. Con la sostituzione z = y/x, teniamo xz' =-(3z + z 2 )/(1 + z). Da cui, si è ricondotti razionale a calcolare l'integrale essendo y'=z+xzi, separando indefinito (l+z)/(3z + z 2 ); a tale scopo è utile 1 + z z 2 +3z A B + z z+3 (A+B)z + 3A con A+ B = 1 e si determinano log nella o.t variabili, della funzione la scomposizione z(z + 3) 3A = 1. Si trovano le soluzioni le i valori A=l/3 e B=2/3; perciò forma: c di. X + che, in base alle nella 5.48 proprietà forma z(z + 3) 2 Determinare le normale uguale genza. 2 3 J dz z+3 dei logaritmi, 3 3 ] curve y = y(x) aventi all'ascissa del punto vale yy', i'eq=zione del primo ordine · si possono anche scrivere = (c/x) 3 , con z = y/x [Dato che la sottonor.r.ale differenziale 1 = -logjz[+1logjz+3j, le curve y(x) la di davano yy' = x. Sj sotto tan- soddisfare tratta di un'equazione omogenea, ma anche a varia bi 1 i separabili. I 1 suo int~ grale generale è dato dalla famiglia di iperboli di equazione y(x)= ~ .tl?+c J 5. 49 Determina1·e le curve piane tal i che l'ordinata del punto di intersezione dell'asse delle ordinate con la i~cta tangente al grafico in (x,y) sia uguale alla distanza di (x,y)dal l'origine. 296 [Con le notazioni figura 5.8 figura 5.8 la condizione della Dato che 0B = y - xy' {si vP.da l'esercizio ?.ione differenziale - / l+(y/x) 5.41 2 si trova le a y ± /~ = /x 2 + y 2 y-xy' 5.22}, = c z + si ottiene , cioè anche Posto z = y/x, con lo stesso la soluzione da imporre è OB=OP l'equa- y' = (y/x) metodo dell' esercizio /7+i"""" = c/x che, per x ~ o, equiv~ J 5.50 Determinare le curve piane tali che, indicato con P un punto generico della curva (c0me in figura 5.8), con A l'intersezione della r-etta tangente co~ l'asse'delle ascisse e con O l'origine degli assi, il triangolQ AOP risulti isoscele di base OP. [ La condizione da imporre è OA = AP. Ricorda.ndo che A - (x-y/y ', O ) 297 (si veda l'esercizio 5.22), cui, si giunge semplificando, 2 (2xy)/(x = o 5.51 risulta lx-y/y' all'equazione y 2 ) che ha per soluzioni - I= l(-y/y') differenziale 2 + y2 , da omogenea y'= x 2 + y 2 + cy = le circonferenze }' Determinare le curve piane tali che il prodotto del quadrato della distanza dall'origine d~ gli assi di un p1mto generico P (x, y) della curva per l'ordinata del punto di intersezione dell'asse y con la retta normale alla curva in P sia uguale a: = y3 (a) [ Per l'equazione cartesiana della retta normale si veda (a) L'equazione differenziale luzioni le funzioni YlX) = ± l(c-x renziale é y' =-(x 3 + xy 2 )/(x 2 y + 3y 3 ) che ha per implicita x ~ + 2x 2 y 2 + 3y 4 = c Eq-ua.zion.i della. Un'equazione differenziale f• esercizio è xyy' =-(x 2 + y 2 ) che ha per s2. 4 )/(2x 2 ); (b) l'equazione diff§. 5.21. ve di equazione 5D. -2y 3 (b) y' fo:1...na. del soluzioni le CUf: ] = g(a.x+by) primo ordine del tipo y' = g(ax + by) con g funzione continua e a,beR (con a,b non nulli, al trirnenti l'equazione è già a vaTiabili separabili) si riconduce ad un'equazi_one a variabili separabili con la sostituzione z Cx) ax + by(x) 298 infatti, essendo ne equivalente z' =a+ nell'incognita by', 5.52 l'equazione differenziale Risolvere ~ y' l + x2 si ottiene z: z' =a+ l'~quaziobg(z). 2xy + y 2 • - [ L'equazione si può porre nella fonna y' = 1 + (x-y) 2 • Con la· sostituzione z = x - y (il lettore svolga l'esercizio anche con l'altra sosti tuzione z = y - x), essendo z' = 1 - y', si ottiene l'equazione equiv~ lente I - y' = 1 - [1+(x-y) 2 ] da cui, separando le variabili (se z f O) z' 1 J z dzz2-- - z2 ; J dx= X+ c. = Perciò z(x) = 1/(x+c) (oltre a z O), da cui, essendo y(x)= x - z(x), risulta y(x) = x - 1/(x + c) oppure y(x) = x] 5.53 Risolvere y' l'equazione = (x+y) 2 • [ Poste z = x + y si ha z' =I+ y' = l + (x + y) 2 = 1 + z 2 ; da cui, ·separando 1~ variabili, arctg z = x + c. Perciò z(x)=tg(x + c) e quindi y(x) = z(x)-x = tg(x + c) - x] 5.54 Risolvere y' l'equazione [ Posto z=x+y, si trova l'equazione I Si risolve l'integrale Jdx = ex+y. equivalente = X z'=l+ez, cioè + c. a primo membro con la sostituzione e z t: 299 J dz l+eZ dt --t(l+t) - lo g J + e' J [t=é = Perciò 1 1 integrale generale si scrive nella fonna implicita ez /'(ez + + 1) = ex+c e, con semplici passaggi algebrici, nella forma esplicita ex+c log --1-ex+c z(x) log e X e -c -e X da cui y(x) = z(x) - x =- log(e-c - ex). Si osservi che l'equazione niziale è anche del tipo a variabili separabili e si può risolverepar mezzo degli integrali indefiniti Risulta y(x) = - log(-c" -e" = e -e ] 5.55 Risolvere (a) le X e y' i - ex) come nel caso precedente, equazioni pur di porre differenziali (b) [(a) Dividendo entrambi i membri per ex,si ottiene l'equazione differenziale equivalente y'=l + ey-x, che si risolve con la sostituzione a z si ha z' = eZ cla cui, separandc le va' cioè y(x) [- (x + c) J riabili, z(x) = - log x + z(x) = ' = X - log [- (x + c) ] . (b) Si può procedere come nella parte (a) ottenendo la soluzione y(x) = X + log (x + c). Si può anchE: Z = y - X. procedere la funzione differenziale so da Rispettc nel modo seguente: dato che eYy• è la derivata dely(x) w(x) = e , con tale sostituzione otteniamo l'equazione lineare w' =ex+ w, il cui integrale generale è espre~ 300 f w(x)=ex. e-x • ex dx= ex f dx = ex(x + e). J = x + log (x+c) J Perciò y(x) = log w(x) = log [ ex(x + e) 5.56 Risolvere-le (a) y equazioni differenziali , _ 4y-x+l - 4y-x+4 y'= (b) x+y-1 2-x-y [ (a) 4y + log (4y-x) 4 = e t 2x; 5.57 (b) y(x) = 2-x ± J c-2x Determinare le soluzioni ] dei problemi di Cauchy y r = ( X +y' - 5) 2 (a) { y(0)=6 [ (a) y(x) = 5 - x + tg (x + TI /4); ( b) ( 2x + y + 2) 2 / 2 + log / 2x + y + 4 / 5.58 Risolvere l'equazione y' con a,b = costanti [ Si può determinare y(x) = ebx f x + log 2 ] differenziale lìneare ax + by reali i'integrale non nulle. generale con la fonnula risolutiva ax e -bx dx, oppure mediante la sostituzione z=ax+by, ottenendo l'equazione (linea re) a variabili separabili z'=a+by' = a+bz. Si ottengono le soluzioni z(x) = (±e b(x+c) - a)/b; perciò, posto ±e be /b 2 = e', si ha 301 z(x)-ax =-·-b y(x) 5.59 Determìnare, le À, tutte renzìale y' bx c'e a X per ogni valore del parametro rea le soluzioni dell'equazione diffe~ = À COS + y). (ÀX [ Posto z = Àx + y, si ottiene l'equazione per y = z = costante Invece, è soluzione. le soluzioni = z - y(x) À # O e cos z 'f - 1, separando l dz J À 'f O e z r se forma implicita fine, per forma y(x) dx che, per mentre, otteniamo x + e. f si ha d(z/2) cos 2 (z/2) 1T + 2k 11, si trovano cioè soluzioni tg è soluzione. ad un'equa~ione le soluzioni osserviamo differenziale À con iT cambiamento di variabile posto w(x') = y(x) = y(x'/ À), ne diventa w' = cos (x + w) ] risulta . nella ]= À (x+c).I!l rappresentare la soluzione in precedenza, Infine + c'. 2 nella ] . À =O, si è ritrovata zione costante z =tg [ (À x+y)/2 si possono [ \ (x+r.) come verificato può ricondurre tre Vk e Z.Per dz À x + 2 arctg = - À= O Àx = 1T + 2k1T- À x, 2 cos 2 (z/2), = À(x+c), se di z=TT+ 2k1T cos 2 (z/2) I z I < 1T , tali Si noti te nulla, tg(z/2) z'= À(l+cosz). in corrispondenza le variabili, f ~ 1 + cosz In base all'identità Perciò, " + cosz À equivalente À =O e per z = 1T+ 2k1T ; Il secondo membro si annulla si trovano ] b identicamen- anche ogni altrafun. che, per À # O, ci indipen~ent_e si dal param~ x'= Àx. In tal caso infatti w'=dw/dx' À e l'equazi.Q. = y'/ , 302 SE. Eq1:..1a.zion.i de11a. Consideriamo un'equazione y' = g , _ ( ax + by + Y -g a, x+b, y+c, forma. differenziale del c) tipo c) ax + by + ( a·, x + ·b 'y +c' con g funzione continua e a,b,c,a' ,b' ,c'eR. Se le co stanti a,b,a' ,b' sono tutte nulle, il secondo membro dell'equazione differenziale si riduce ad una costa~ te e quindi y(x) è una funzione lineare. Se a,b,a' , b' non sono contemporaneamente nulle e se a' ,b' sono proporzionali rispettivamente ad a,b (a'=ka, .b'~kb), allora il secondo membro dell'equazione è funzione solo di ax+by e si ritrova il caso già considerato nel paragrafo precedente, che si risolve con la sostituzione z = ax + by. Rimane il caso in cui a',b' non sono proporziona li ad a,b,o, più precisamente, il caso in cui ab':- a'b f O. Geometricamente, ciò corrisponde a due rette di equazione ax + by + c = O e a'x + b'y+c' = O che si incontrano in uno ed in un solo punto. Indichiamo con (x 0 ,y 0 ) le coordinate del punto intersezione delle due rette; per risolvere l'equa zione differenziale è utile la trasformazione~ coor dinate da (x,y) in (~,n) definita da T] Essendo ax 0 + by 0 ed analogamente Infine, all'equazione a'x +e= + b'y dato che n' differenziale = y - y,, O, risulta + c' = dn/d~ = a's + b'n. = dy/dx, si giunge 303 , _ ( ar,. + bn) n -g a+ b(n/0) ( a' +b' Cri/O g a'f;+b'n si tratta di un'equazione differenziale omogenea(di grado ·o), del tipo già considerato nel paragrafo 5~ che si risolve con la sostituzione z = ri/~. 5.60 Risolvere l'equazione [ Occorre determinare rette di equazione y-x-2 y+x y' preliminarmente il punto y-x-2=0 e y+x=O. A tal di incontro fine risolviamo y+x=O X = - => { y-x-2=0 Le rette si incontrano trasformazione si ottiene l'equazione il metodo proposto ç {da cui 'l I e i:-1 z'f;+z=- z+l e, separando I J l+z z+l dz = - l+z2 dz 2 utile x=s -1, (zs)' nel paragrafo ( 17/ l 17/ s )-1 s )+l SC: con la sostituzione z'i; + z) otteniamo i+z 2 => z's= Jt d z+l S - log(cf; ). --dz 2 l+z - log( l+z 2 )+arctgz+c'. a primo membro si ha = ~ 2 f --2z 2 l+z dz + f 1 2 la y= f1+1); le variabili, Per 1' integrale z+l E' quindi n =y-1 (cioò Tl - f, n + f, (n +1J+( s-1) Applichiamo 1 differenziale <n+1)-( t,;-1)-2 n' z= n/ s= x + 1, due il sistema y = 1 (x 0 ,y 0 )=(-l,l). nel punto di coordinate { .delle· 304 Ricordando generale T7/f, = (y-1)/(x+l) che z = neila fonna y-1 - x+l + arctg che, equivalentemente, 5.61 Risolvere [Le rette di equazione (21,-5). Con la trasformazione da Si noti di integrale 2 ) nella y-1 + arctg forma O ] x+l y+S y' x+y-16 y+S=O", x+y-16=0 si incontrano di coordinate nel punto(x 0 ,y.) [,=x-21, n=y+S si ottiene I n'r, ' T7 = E,+n l+T7/[, cu;, posto z = n / E,, ~ z' y l' differenziale n che z = z - z l+z -z 2 l+z =O è una soluzione ( ciò corrisponde = - 5). Separando le variabili E,=T]_ log( cn ) , cioè occorre 5.6? + (y-1) l'equazione l'equazione infine log (c(x+l)), = - si può anche scrivere 2 / (x+l) log (c si ottiene implicita_ aggiungere Risolvere abbiamo 1/z x-21 = (y+S) log la soluzione costante l'equazione trasformazione di coordinate Posto z = T] {[, log (e f,). Perciò che l'equazione , nella a n = y + 5 = O, cioè log(c[, [ c(y+S)] lì) .Qui!!_ z)=log(c . A tali soluzioni y(x)=-5] 1 y' l'equazione [ Si può scrivere = X .fonna y'=(Zx + y - 1)/x, eseguendola si ottiene f, =x, n =y - 1, da cui n '= 2 + ( T]/ [,) • f, z' = 2, le cui soluzioni soro z( f,) 2 l'integrale generale data è lineare ] è y(x)=l+ xlog(cx) 2 • Si noti 305 5.63 Risolvere (a) { i problemi y'+Z (~)2=O y (3) = 5 y-4 + log cy=O 4-x (b) y(x) costante Eq-ua.zioni X= { y(3) implicitamente . 2 arctg - y 1 +2 , (b) [ (a) La soluzione è definita 5F. di 'Cauchy con c=-e (Y..:.i) y-x 2 =Q = 4 dall'equazione 1 -1T/2 5 uguale a 4 ] non no:rma.1i de11a. forma. g(y') Nei paragrafi precedenti abbiamo preso in censi derazione equazioni differenziali del primo ordine in forma normale, cioè del tipo y' = f(x,y). Da questo paragrafo consideriamo anche equazioni non in forma normale. Cominciamo con equazioni della forma X= g(y') essendo g una funzione derivabile con derivata continua. Come al solito, per le equazioni differenzi~ li ordinarie del primo ordine, l'insieme delle soluzioni dipende da una costante arbitraria c che,in questo caso, è sempre additiva rispetto alla y; infatti si vede immediatamente dalla struttura dell'e quaz ione che, se y (x) . è una soluzione, anche y (x) +e è tale. Osserviamo anche che, se g è invertibile, allora l'equazione differenziale nella forma equivalen- 306 te y' = g- 1 (x) è a variabili separabili ed é risolubile mediante una sola integrazione (y è l'integrale indefinito di g- 1 (x)). Nel caso generale si cerca una soluzione in forma parametrica x = x(t)r y=y(t). Il metodo di risol~ zione consiste nell'assumere come paramet1·0 t=y' .Dal l'equazione differenziale si ricava subito x=g(t); i noltre risulta anche dx = y'. dt ~ = ~ dt dx per ed integrando g I (t) = . tg' (t) parti f ~dt dt= f tg'(t)dt=tg(t): y(t)= f g(t)dt Indicando con G(t) una primitiva di g(t), le soluzioni sono quindi espresse in forma parametrica (x(t), y(t)) da y(t) x(t)=g(t), 5.64 Risolvere = tg(t) l'equazione [ L'equazione differenziale Una primitiva è della G(t) di g(t) f G(t)= g(t)dt Quindi, = in forma parametrica, = g(t) y(t) = tg(t)-G(t)+ = t(l x = y' (1+2 logy'). forma x=g(y'), f t - dt) 2 p~r parti: le soluzioni = t 2 lc,gt + costante. I sono date da + 2logt); e= con g(t)=t(l+2logt) J (t + 2t logt) dt = 2 x(t) + c. si determina con un'integrazione = -t2 + 2 (-t2 lc,gt 2 - G(t) t 2 (1 + logt) + e ] 307 5.65 Risolvere l'equazione differenziale g(t)= 2 + t2 ; y(t)= tg(t)- 2 =x-2. con g(t)=2 + t 2 • Una le soluzioni sono e- [ Si tratta di tin 'equazione del tipo x = g(y'), primitiva di g(t) e G(t) = 2t + t 3 /3. Perciò spresse in forma parametrica da x(t)= (y') 2 G(t)= - t 3 + c. 3 In questo caso e semplice rappresentare in forma cartesiana le soluzioni; a tale scopo si può ricavare t dalla prima equazione e sostituire il valore trovato nella seconda: t = ± (x-2) 112 , da cui y(x)= =± (2/l)(x-2) 312 + c. Notiamo che l'equazione data e equivalente alle due equazioni differenziali = - ~ le quali, stesse soluzioni] 5.66 risolte in forma normale: per semplice y' = ,;-;::;:, integrazione, ridanno y' = le Traendo spunto dall'esercizio precedente, si consideri un'equazione differenziale del tipo x=g(y'), con g invertibile su R, e siano G,F primitive rispettivamente di g e g- 1 • Verific~ re che tutte le soluzi6ni in forma parametrica x(t)=g(t), sono anche y(t)=tg(t)-G(t)+c esprimibili y(x) [ Dato che g e invertibile, nella forma = F(x) + c. la relazione x=g(t) Perciò nella rappresentazione parametrica sumere x come parametro ottenendo y(x)=gne da provare che y(x) è wia primitiva g(g- 1 (x))= x): cartesiana equivale a t=g- 1 (x)_. delle soluzioni si può as1 (x)x-G(g- 1 (x))+ c. Rima- di g- 1 ; infatti (essendo 308 5.67 Risolvere le seguenti (a) xlyT = sen/y'" (c) equazioni = (sen ./t)/ /t cost l+sen2 t x(t) = --.,,....- , y(t)=/t (e) y(x) (3/2)x (e) x(t) - t + l/t (f) x(t) - 4/3 + c. 2 , (d) y(x) e (sent + cost), SG. Equ.a.zio:n.i. 2cos ./t + c,_che, pur più semplicemente x(s)=(sens)/s, - arctg sent + c. = x - logj x+l I+ c. y(t) = - t 2 /2 + 2/t +e. t = = y' sen/t+ tcost l+sen 2 t y(t) ' y')=cosy' x=eY' (seny'+cosy') (f) di porre s = lt > O, si può scrivere y(s) = s sens + 2.coss + c. {b) 2 (d) x(l-y') (e) x(y')2=1-(y')3 [ (a) x(t) x(l+sen (b) Bx = (y I) 3 differenziali :n.o:n. y(t) = te :n.o:rma.1 t i (sent + cost)-e t sent + e ] forma. de11a. y = g(y') mo Consideriamo un'equazione differenziale ordine non normale del tipo del pri- y = g(y') g funzione derivabile con derivata continua.Come paragrafo precedente,cerchiamo soluzioni in forma parametrica (x(t), y(t)) scegliendo come pararne tro t = y'. Si ricava subito y=g(t); inoltre,se y' f con nel t- o ' dx dt dx dy QY. dt -1...g'(t) y' g I (t) t 309 Perciò x(t) si ricava con G(t) una primitiva x(t) = G(t) integrando di g'(t)/~, + c, g'(t)/t. Indicata si ha quindi y(t) = g(t). Come verifica notiamo·, direttamente dall'equa zione differenziale y(x) = g(y' (x)), cambiando x con x + c, che se (x(t), y(t)) è una soluzione allora anche (x(t) + c, y(t)) è tale. Notiamo anche che, .avendo posto y' t- O, potremmo aver perso soluzioni per cui y' - O in un intervallo. ln tal caso y(x) =costante= c è soluzione dell'equazione differenziale y = g(y') se e solo se c = g(O). Perciò alle soluzioni espresse precedent~ mente in forma parametrica va (eventualmente, se g(t) è definita per t = O) aggiunta la soluzione pa~ ticolare y(x) = g(O), Vx~R. 5.68 Risolvere l'equazione y=y'seny' + cosy'. = [ Per y' O si ottiene la soluzione costante y cos O = 1. Posto g(t) = t sent + cost, risulta g' (t)=t cast. Una primitiva di g'(t)/t è G(t) = sent. Quindi le soluzioni, in fonna par.ametrica, sono espresse da x(t) oltre, naturalmente, 5.69 Risolvere [ L'equazione = t sent + cast, y(t) = c + sent, alla funzione l'equazione si può scrivere costante y = 1] y = log /1 + (y') equ1~alentemente y'=± 2 / e 2Y - 1 e si può risolvere separando 1~ variabili. Con il metodo esposto in que sto paragrafo si nota preliminarmente che y O è una soluzione; inoltre, posto g(t) = log ~ risulta g' (t) = t/(1 + t 2 ) e una primitiva di g(t)/t è G(t) = arctg t. Si ottengono le soluzioni in = forma parametrica: x(t) = c + arctg t, y(t) = log /!+t2. Ricavan- 310 do il parametro t dalla prima equazione si determina la forma carte siana delle soluzioni: y(x) = log /1 + tg 2 (x-c) oltre 5.70 alla f1,111zionecostante Risolvere le (a) y (y') (b) y = [(y'-1)2 (c) y + ✓ 1-(y')2 [ (a) x(t) = 4 (1-t (1-2 I le eY' o y(t) cos(x+c) y(x) =- 1; Vx e R] Determinare, paragrafo, a coefficienti logy') logt) + c, y(t) = (t-l)et + c, costante y ~ 2'. 5.71 differenziali + l] (b) x(t) (e) y(x) = - y =O ] equazioni 2 , = t 2 (1-2 logt). = (t 2 - 2t + 2) et, oltre alla funzione I per x + c -;. ( TI /2) + kTI , kE Z, oltre a con il metodo proposto .in questo soluzioni dell'equazione lineare costanti y' = ay + b, essendo af 'I o. [ Scrivendo l'equazione differenziale nella forma y=g(y'), con g(t) = =(t-b)/a, si trovano (oltre alla soluzione costante y=-b/a) le solu zioni in forma parametrica x(t) 1 =c + - a log It I , y(t) t-b a Eliminando il parametro (e ca~biando opportunamente la costante) giunge a y(x) = (c'eax- b)/a ] s: 311 SH. Equazioni del Si dice di clairaut un'equazione primo ord~ne non normale del tipo di Cla.ira.ut. y = xy' + g(y') differenziale , con g funzione derivabile. Come nei due paragrafi che precedono, si cercano soluzioni in forma param~ trica Cx(t), y (t)), scegliendo come parametro t=y'. Però, a differenza delle equazioni non normali considerate nei paragrafi precedenti, in questo caso la relazione y = xt + g(t) non definisce yin fun zione della sola t; per eliminare la dipendenza esplicita da x, è opportuno preljminarmente derivare entrambi i membri dell'equazione differenziale: _Q_ y(x) dx = _Q_ rxy'(x) dx L ottenendo (nell'ipotesi volte) y'=y'+xy"+g'(y')y", y"[x + g(y' (x))J che y(x) sia da cui + g'(y')J derivabile due = O. Si hanno due possibilità; (a) y"=O; (b)x+g'(y')= =O. Nel primo caso, se y" = O in un intervallo, y' è costante (=c) e, dall'equazione differenziale ini ziale, si ottengono le soluzioni y(x)=xc + g(c).Tali soluzioni sono polinomi di primo grado (geometri camente corrispondono a rette) per ogni valore della costante c. · Nel secondo caso, se x+g' (y')=O, posto t=y', si hanno le equazioni parametriche x(t)=-g' (t), y(t) = =-tg' (t)+g(t). La curva così ottenuta si dice inte grale singolare del i' equazione di Clairaut. Riassumendo, le soluzioni dell'equazione di Clai raut sono date dalla famiglia di rette di equazione 312 y =cx+ e dall' integrale singolare g(c) di equazioni x(t)=-g'(t), 5.72 parametriche y(t)=-tg'(t)+g(t). Risolvere l'equazione y=xy' 1 4 - - (y') 2 [ Si tratta di un'equazione di Clairaut con g(t)=~t 2 /4. L'insieme delle soluzioni é costituito dalla famiglia di rette y=cx-(c 2 /4), al variare di in R, e dall'integrale singolare di equazioni parametriche e 1 x{t)=-g'(t)= 5.73 2 t, y(t)=-tg'(t)+ g(t)= 41 t 2 ; l essendo t=2x, risulta anche y = - (2x) 2 = x 2 , che é l'equazione siana dell'integrale singolare] 4 cart~ Si rappresentino in uno stesso sistema di riferimento i grafici delle soluzioni dell'equazione di Clairaut dell'esercizio precedente: 1 4 y = cx - - c 2 (e eR), y = x2. [ Si disegnino le rette y = cx - (e 2 /4) per alcuni valori di ce R; ad esempio per c = ± 1, ± 2, come in figura 5.9. La famiglia di rette completa è rappresentata in figura 5.10 ] 313 y = C=-2 x2 y \ C=2 \ C=-1 I -- - - - - - - - - - - - - 1 I I ; \ \ I -1 1 figura X 5.9 X figura 5.10 314 5. 74 Si considerino e la famiglia Esse hanno la la parabola di equazione y = x2 di rette y = cx-c 2/4 (figura 5.10) seguente proprietà: Ogni retta è tangente al.1a parab?la in almeno un punto e viceversa, 9gni punto della parabola è di tangenza per una retta del la famiglia. Sotto queste condizioni si dice eh~ la parabola è una curva inviluppo della famiglia di rette. Verificare ciata. analiticamente la proprietà enun [ éònifrìc:iamocon il determinare le intersezioni della parabola y=x 2 con 2 2 la retta y = cx - c /4. Deve risultare x = cx - c 2 /4, cioè x 2 -cx + 2 2 + c /4 = o, cioè ancora (x-c/2) = O. Ciò significa che, per ogni cER, x = c/2 è l'ascissa dell'unico punto di intersezione. La retta tangente alla parabola y=x 2 per x0 = c/2 ha equazione y=f(x 0 )+f'(x 0 )(x-x 0 ) con f ( x) = x 2 ; quindi: 2xo x - x o2 = cx - c 2 / 4 come si voleva dimostrare 5.75 ] Si considerino le soluzioni dell'equ~zione di Clairaut y = xy' + g(y'), supponendo che g" rO. Generalizzando l'esercizio precedente, verific~ re che la curva di equazioni parametriche = - g'(t), x(t) è inviluppo della y(t)=-tg' famiglia [ Le intersezioni zione y(t) della curva con le rette = cx(t) + g(c), cioè -tg' (t) + g(t) =- cg' (t) + g(c). (t) di rette + g(t) y=cx+g(c). si detenninano con la condi - I Si vede che t=c è W'la soluzione; in corrispondenza il punto di inters§_ zione ha coordinate (x 0 ,y 0 ) = (-g'(c), -cg'(c) + g(c)). La retta tan - 315 gente alla curva (x(t), y(t)) ha la direzione del vetto~e (x'(t), y'(t)) = (-g"(t), -tg"(t)) che, se ~"(t) e/ O, è la stessa direzione del vettore (l,c) (per t=c). Percio l'equazione della retta tangente per t = c, e y = y 0 + c(x-x 0 )=-cg' + g + c(x + g')= 5.76 cx+ g ] Si consideri l'equazione differenziale y =(x-l)y', che è allo stesso tempo lineare e di Clairaut con g(t) =-t (con riferimento all' esercizio precedente si noti che g"=O identica.mente). Verificare che l'equazione ha per sol~ zioni una famiglia di rette, ma non ammette in tegrali singolari. y lx=1 X figura 5.11 316 [ L'integrale generale y=c(x-1) è rappresentato ìn figura 5.11 e sì de termina con ìl metodo delle equazioni dì Clairaut, ma anche con ìl metodo delle equazioni lineari. Formalmente l'integrale singolare avrebbe espressione analitica x(t)=l, y(t)=O; però (1,0) è solo un punto di R2 e non è una curva regolare. Si noti comunque che (1,0) è proprio il centro del fascio dì rette y=c(x-1)] 5.77 Risolvere le y=xy' (a) seguenti equazioni + e Y' (e) dì Claìraut R (b) y=xy'+ (d) y=xy'-seny' [ (a) y(x)=cx + ec; y(x)=x-x logx. (b) y(x)=cx·+ /~; y(x)=-1/(4x) 1/3 2 (c) y(x) = cx - (1/c ); y(x)=-3(x 2 /4) . (d) y(x)=cx-senc; x(t) = cost, 5.78 y(t) = t cost - sent Determinare una ] soluzione del problema y(l) = TI. dì Cau - chy y "' xy' - s eny' [ Dato che l'equazione differenziale non è in forma normale~ non è possi bile applicare il teorema di Cauchy di esistenza ed unicità. Le solu zìoni dell'equazio11e sono indicate nella risposta dell'esercizio 5.77 (d). L'w1ica retta della famiglia y(x) = cx-sene che soddisfa la condi zìona iniziale y(l)= 1T (cioè ·rr=c-senc) si ottiene (soltanto) per e= 1T ed è quindi la retta y=1Tx (infatti, dal segno detla derivata prima si vede che la funzione f(x) = x - senx è strettamente crescente su R ; dato che f ( 1T) = 1T , risulta f ( x) i! 1T per ogni x i- 1T). Per sta bi lire se la curva singolare (x(t), y(t)) ·passa per il punto (1, 1T), studiamo ì1 sistema ctost = 1 { cost-sent=1T <=> { cost = 1 t-sent= 1T (kE Z) <=> 317 5.79 Il sistema non ha soluzioni chy è y(x) = 1Tx ] e l'unica Studiare dì Cauchy i problemi soluzione y=xy I _ (y I) 2 / 4 (a) y=xy t - ( y I ) 2 / 4 (b) { y(O)=l del problema dì Cau- { y(l)=l [ L'equazione differenziale è risolta nell'esercizio 5.72. Come sì vede dalle figure 5.9 e 5.10, nessuna soluzione passa per il punto di coordinate (0,1). Quindi il problema dì Cauchy (a) non ha soluzioni. invece per il punto (1,1) passano le due curve_y{x) = x 2 e y(x) = = 2x-l, che sono entrambe soluzioni del problema dì Cauchy (b). Il lettore ritrovi per via analitica i risultati indicati ] 5.80 a f 0,1 Per ogni valore del parametro reale terminare le soluzioni dell'equazione ziale di Claìraut Y = xy I - (y I) a [ L'integrale integrale y(t) . generale è dato dalla famiglia singolare = ( a·-1)t a in forma parametrica ed in forma cartesiana d~ dìfferen di rette ha y = cx - c equazioni y(x)=(a-1)(x/a) a Lo a-1 x(t)= at a./( a -1) 5.81 Determinare la curva piana tale che il prodotto delle lunghezze (con il segno) dei segmenti orientati intercettati sugli assi coordinati dalla retta tangente in un punt~ generico sia costante uguale a 4. [ Con riferimento Cii'> equivale a alla figura 5. 5, la condizione da imporre è OA·0B=4. ] 318 y ) (y - xy') ( X - - y' L'equazione (y-xy') si può scrivere 2 =-4y', = 4 . nella cioè forma equivalente (se y' ; O): ±2/7 y=xy' Naturalmente deve essere y' i O (ciò è evidente anche dal fatto che OA·OB> O) .Abbiamodue equazioni. di Clairau: che hanno come solllzicni.·1e fani.glie di rett~ y = cx ± 2 /~ e gli integrali singolari di equazioni parametriche x(t) = ± 1;/-:; 1 y(t)= ± /7t ; eliminando il param.!l. tro si trova l'iperbole equilatera di equazione y=l/x. Il lettore verifichi che le soluzioni trovate soddisfano effettivamente la condi zione OA•OB= 4; ad esempio verifichi che la retta tangente all'iperbole y=l/x in un punto generico (x 0 , l/x 0 ) 1 con x 0 ;. O, ha equazione y=cx ± 2 /~ con c=y' (x 0 )=-1/x 2 e che le intersezioni con gli assi coordinati valgono A = ( ± 2//~ O) e B.= (0 1 ± 2 /~, per cui OA•OB= 4 ] 5.82 Determinare le curve del piano tali che il segmento della retta tangente in un punto generico delimitato dalle intersezioni con gli assi coor dinati, abbia lunghezza uguale ad 8. [ L'equazione y 2 ( l+(y') differenziale 2 )-2xy' ( H(y') che, esplicitata rispetto y = xy' 2 )y+(x 2 +x 2 (y') 2 -64 )(y') 2= O ad y, dà le equazioni di Clairaut y' ± 8 -:::==:::;;: che ammettono per soluzioni l' "asteroide" è ✓ 1+(y')2 la famiglia di equazione x 2/3 + y 2/3 di rette = 4 ] y=cx ± (Be)//~ e 319 5I . I 1 teorema. di Ca.u.chy Richiamiamo il teorema di Cauchy, di esistenza ed unicità locale per un'equazione· differenziale del primo ordine in forma normale. A tale scopo consid~ riamo una funzione di due variabili f(x,y) definita nell'intorno rettangolare Ix J del punto (x 0 ,y 0 )d~ finito da (a,b > O): Supponiamo (1) f(x,y) che: è continua (2) f(x,y) è Lipschitziana so che esiste una costante nel rettangolo Ix J; rispetto a y, nel L tale che sen- per ogni (x,y 1 ), (x,y 2 )el x J(alcune proprietà del le funzioni Lipschitziane sono discusse nei paragr~ fi 9C e lZC del 1° volume, parte prima). Usiamo le notazioni: M=max { lfCx,y) I: (x,y)elxJ}; o=min{a; TEOREMA DI CAUCHY. - Nelle ipotesi una ed una sola funzione y=y(x) definita l'intervallo (x 0 -6, x 0 +é) che verifica renziale, detto di Cauchy ~} (1) e (2) e derivabile il problema esiste neldiffe- y' (x)=:(x,y(x)), (*) { y(x 0 ) - Yo Notiamo che, talvolta, nella di Cauchy si afferma l'esistenza tesi del della teorema soluzione 320 nell'intervallo (x 0 -6 1 x 0 +6), con 6 definito,in vece che da o=min{a; b/M}, da 6 < min {a; b/M; 1/L}~ La formulazione dipende dalla dimostrazione adottata è comunque non cambia la sostanza del teorema, che afferma l'esistenza (e unicità) di una soluzione "in piccolo", cioè definita in un intorno di x 0 , intorno contenuto nell'intervallo I= [x 0 -a, x 0 +a]. La ulteriore limitazione o< 1/L è utile in una dimostra zione di tipo funzionale, basata sul teorema delle contrazioni negli spazi metrici (si veda il paragrafo 2B), e si può evitare con una dimostrazione di analisi reale, basata sulle proprietà degli integrali definiti e sulla convergenza uniforme di successioni di funzioni. Molto importante è la seguente formulazione del teorema di Cauchy: y(x) COROLLARIO. - Sia f(x,y) una funzione definita in 1m intorno rettangolare I X J del punto ( X 0 , y 0 ) • Se f (x, )') e la sua derivata parziale fy(x,y) sono continue in I X J, allora esistono o > O ed una ( unica) funzione y = y (x) definita e derivabile in (x 0 -é, X 0 + é)c I, soluzione del problema di Cauchy (*). I I I i Dimostrazione - Le funzioni di due variabili f(x,y) e fy(x,y) s2 no continue in Ix J. Consideriamo lL~ rettangolo chiuso e limitato I' x J' ,di I I I I centro (x O ,y 0 ) 1 contoanuto in I x J. Per il i:eorema di Weierstrass f e fv• assumono massimo su I' x J'. Se indichiamo con H,L. i rispettivi valori di ma§. simo, abbiamo I f(x,y) I .s_M, V (x 1 y) EI 1 x J'. In base al teorema di Lagrange (per le funzioni ogni y1 1 y 2 E J' esiste !; ÈJ' tale che di una variabile reale), per 321 Quindi,in I' x J',f(x,y) è Lipschitziana Perciò, essendo soddisfatte le ipotesi, in y uniformemente vale la tesi rispetto a x • del teorema di Cauchy.· Le ipoteii del teorema di Cauchy sono sufficien ti per l'esistenza di una soluzion~ del problema di Cauchy definita localmente in un intorno di x 0 , e per 1 'unicità della soluzione in tale intorno. Nel segui to discutiamo di queste questioni e della necessità delle ipotesi, cominciando dal problema dell'unicità. 5.83 Si consideri il problema yI = y di Cauchy 2/3 y(O) = O { Si verifichi che non sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema di Cauchy. Si verifichi inoltre che il problema ammette più di una solu zione. [ L'equazione e della differenziale fonna y'=f(x,y), con f(x,y)=y 2/3 (f è costante rispetto ad x). La funzione f(x,y) è continua su _R2 (da213 to che y è continua su R), ma f non è continua in un intorno di (O,C); anzi, fy = (2/3)y-l/ 3 non /definita per y=O e diverge a ± ai per y ➔o± . Ciò implica che y213 non è una funzione Lipschitziana in un intorno di y=O (si veda il paragrafo 12C del 1° volume, parte prima). Si vede subito che il problema di Cauchy ammette la soluzione identicamente nulla. Per deten,1inare eventuali altre soluzioni usiamo il metodo delle 3y 1/3 equazioni a variabili f dy = ~ y -2/3 separabili. Se y 1 O abbiamo fdx=x+c, da cui y(x) = (x+c) 3 /27. Deve essere y(O)=O, cioè O=c 3 /27, cioè <I!! cara c=O. La funzione y(x)=x 3 /27 è un'altra soluzione del problema di Cauchy ] 322 5.84 Si verifichi_ che il problema di Cauchy dell'e sercizio precedente ha infinite soluzioni. In particolare si verifichi che, per ogni k ~ -O, è soluzione su R la funzione h (x) definita da [ Si noti 5.85 in particolare Verificare che yk (x) è derivabile che il seguente y'cosx = 4y senx { y(O) ammette zione. quazioni nell'intervallo di Bernoulli do la funzione 5.86 Verificare y' = nulla y lxl < .k se X< - problema k. ] di Cauchy di una solu Con il metodo delle~ 3/4 entrambi i membri per y , sostituen y con z = y il più è una soluzione. y(x) = (x/cosx) che se > anche per x= ± k [0,TI/2) (divid~ndo incognita anche la soluzione X = O [La funzione identicamente . k se 4 1/4 e ponendo z(O) = O) si trova ] problema di Cauchy + /x2-y2 X { y(1)·= 1 ammette, in un intoTno una soluzione. sinistro di x 0 =l 1 più di 323 [Si tratta di un'equazione differenziale omogenea del tipo y'=g(y/x) Con la sostituzione z=y/x ci si riconduce all'equazione a variabili s~ parabili xz' = I 1-z 2 • Per procedere oltre, prima di separare le va2 riabili, è opportuno discutere il caso Il - z =O.Notiamo che la condizione iniziale y(l)=l corrisponde a z(1)=y(l)/l = 1. Siamo quindi proprio nel caso I 1-z 2 (x) = O, per x=l. · Si vede facilmente che la funzione costante z = 1 ~ una soluzione (e ciò corrisponde a y(x) = xz(x) = x). Un'altra soluzione si ottiene separando le variabili e supponendo che z 2 (x) < 1 per x # l; per x >Osi ottiene arcsen z = J -= ✓ 1-z dz = J -dx = c + logx 2 X I Imponendo la condizione z(l)=l si trova c =. arcsen 1 = 1T/2. Se TT/2+ + logxl i TT/2 (e ciò accade in un intorno sinistro di x 0 =l) risulta z(x) = sen(TI/2 + logx) = cos(logx). In termini di y(x) = xz(x); il prQ blema. di Cauchy ha quindi almeno le due soluzioni (in un intorno sinistro di xu=l) y(X) y(x)=x = X cos(logx) ] Negli esercizi che seguono discutiamo della esistenza locale delle soluzioni (cioè, come talvolta si dice, delle soluzioni "in piccolo", per distinguerle dalle soluzioni "in grande", che risultano definite in un intervallo fissato a priori) ed in particolare dell~ stima fornita dal teorema di Cauchy della semi ampiezza 6 dell'intervallo di definizione della solu zione. 5.87 Si consideri il problema 1i Cauchy Yo con (x 0 ,y 0 )eR 2 e y 0 > O. Si noti ne a secondo membro dell'equazione che la funziodifferenzia- 324 le f(x,y)=y stante, si 2 è continua verifichi (a) la soluzione lo (xo-o, Xo+o), su tutto R2 . Cionono - che: y(x) è definita con o= nell'interval- 1/Yoi (b) il più grande valore di o, stimato in base all'enunc{ato del teorema di Cauchy (6 = min {a; b/M}), è 6=1/(4y 0 ). [ (a) Con il metodo delle equazioni a variabili separabili, oltre a y=O. si ottengono le soluzioni dell'equazione differenziale y(x)=-1/(x+c) La condizione iniziale y(x 0 )=y 0 vale se c=-x 0 -(l/y 0 ). Perciò la solu zione del problema di Cauchy è data da La funzione y(x) è definita per xi x0 +(l/y 0 ). Limitatamente all'in tervallo contenente x 0 , la funzione è definita in (- 00 , x0 +(l/y 0 )). Il del tipo (x 0 - 6, ~0 + 6) in cui la funzione y(x) più grande intervallo si ha per 6 =1/y . (b) Le funzioni ·f(x,y) = y 2 \ fix,y)=2y sono continue il problema di Cauchy ammette una ed una sola soluzione su R2 (quindi y(x\ definita in un intorno in ogni rettan- è definita golo Ix di x 0 ). In particolare f(x,y) è continua J del tipo con a,b > O. Il massimo M <li f(x,y) M=max {f(x,y):(x,y) ir: Ix J vale 2 EI xJ}=max{y :y 0 -b.$._Y.$._Y +b}=(y 0 +b) 2 0 teorema cii Cauchy stabilisce per 6 la stima 6 =min{ a;b/M}. Po tendo scegliere a,bE R+ ed essendo b/M=b/(y o +b) 2 indipendente da a, è Il conveniente scegliere a in modo che a 1. b/M; ir: tal 6 = min { a;b/M} = b/(y .Ora scegliamo b in modo da ottenere calcoliamo il massimo (assoluto) per b ➔ + 00 ; quindi 0 per + b) 2 • 6 il massimo possibile; di 6 = 6(b) .Risulta i 1 massimo assoluto caso risulta di cioè 6 (O)=O e 6 (b) ➔ O éì (b) si ottiene in corri - 325 spondenza ad un valore b > O per cui la derivata sulta si annulla. Ri (y +b) 2 _-2(y· +b)b 6 1 (b) perciò O'(b) (yo+b)4 6 1 (b) = O per b=y0 e quindi b > O}= 6 (y 0 ) max{6(b): = l/(4y 0 ). Il teorema di Cauchy, nelle ipotesi ottimali b=y0 e a~b/M , stabilisce l'esistenza di una ed una sola soluzione del problema differenziale nell'intervallo (x 0 - 6, _x0 + 6), con O=l/(4y 0 ); COfflesi vede confrontando con (a), la soluzione· è di fatto definita in (- °' , x 0 + + (l/y 0 )) che è un intervallo contenente (x 0 -6, x0 + 6), Infine osserviamo che la funzione f(x,y)=y 2 è Lipschitziana spetto ad y E [ y O -b, yO +b ] con costante fo 12C del 1° volume, parte prima): L=max { In particolare, perciò 5.88 Si lf y I: y E [y o -b, yo +b]} per il valer~ ottimale il f problema y I = (x+y) ly(O) = 2(y 0 +b). b=y0 sopra scelto,risulta 6=1/(4y 0 ) è uguale a 1/L e risulta consideri ri - L data da ( si veda il paragr~ di anche L=4y0 ; o=min {a; b/M; 1/L}] Cauchy 2 o Si verifichi che: (a) la soluzione è definita per lxi < n/2 e non è definita per x = ± n/2; (b) il più grande valore di 6, stimato in base { a ; all'enunciato del teorema di Cauchy (6=min b/M}) è o=l/2. l(a) L'equazione differenziale è del tipo y'=g(ax+by) e si risolve con la sostituzione z(x)=x+y. Si trova la soluzione y(x) = tgx - x. (b) Sia f(x,y)=(x+y) 2 ; come nell'esercizio precedente, si pone (si noti che (x 0 ,y 0 ) = (0 1 0)): M=max { f(x,y): lx I~a, I YI $. b (a+b) 2 326 essendo a,b > O. Per determinare gni a> O, il massimo assoluto zione vale il massimo rispetto della zero per b=O e converge luto si ottiene si annulla 2 = min { a; b/(a+b) = min { a; b/11} quindi } , ad a,b è opportuno E R+ di calcolare, O= per .2. b ➔ b/(a+b) 2 • Tale fun - funzione a zero per b ➔ +cc ; il massimo asso- quando la derivata d- b a-b db (a+b) 2 (a+b ) 3 e ciò accade per b=a. Posto b=a, risulta o=niirt {a·;1/(4a) }• / \ // \ \ c5 - / \ / / \ \ 1 min {a; ;a} / / 2 o a 1 2 figura Come si vede dalla do 6 =a=l/(4a) 6 (l/2)_= Il ziali figura 5.12, 5,12 il massimo di e ciò accade· per a=l/2, 6= o(a) Il valore si ottiene massimo è quan O max = 1/2] teorema di Cauchy vale in forma normale, cioè del per tipo equazioni y'=f(x,y), differene non 32 7 vale in genere per equazioni non normali. Di seguito proponiamo alcuni esercizi relativi ad equazioni dif ferenziali non in forma normale. In particolare gli esercizi 5.89 e 5.90 sono esempi di non unicità, men tre l'esercizio 5.91 è un esempio di non esistenza. 5.89 5.90 Verificare che y=TI-x, y=x+TI sono del problema di Cauchy y' seny { y(0) = due soluzioni o + senx TI Il seguente problema differenziale non ha unici tà. Una soluzione è data da y(x)=x+2TI. Trovarne un'altra. ~ y 'seny l y(0) = senx = 2 TI [Ad esempio y(x) = 2TI - x] 5.91 VP-rificare che non esistono, stro di x 0 =0, soluzioni del { y' cosy y(O) [Gia dall'equazione in un intorno deproblema di Cauchy • cosx = TI/2 differenziale, ponendo x=O e y= TI /2, si trova l'a2. surdo O=l (purchè y 1 (Ò) E R; si noti che,_dall'espressione analitica che determiniamo di seguito, la derivata y' (x) diverge per x➔ 0-). Essendo D(sen y(x))=y'cosy(x), sen y(x) = f Dovendo risultare D(seny(x))dx . J( dall'equazione = y'cosy y(O)= TI/2, si ha l=sen( TI/2) = e + sen O = e, differenziale dx = f si ottiene cosx dx=c + senx. 3 28 da cui seny = 1 + senx. Tale relazione non definisce una funzione y(x) nell'intervallo (O,1T ), perchè in tal caso seny = 1 + seruc > l è assurdo. Quindi il problema di cauchy non ha soluzione in un intorno d~ r - 1T,O ] risulta stro di x 0 =O. Per xE = arcsen y(x) (l+senx). Si noti che tale funzione non è.derivabile per x=0 e quindi y(x) non è soluzione del problema di Cauchy (in senso classico) nenuneno in un intorno sinistro di x 0 =O ] 5.92 Si consideri po un'equazione X Jifferenziale del ti- = g(y') con g funzioné di classe C 1 (R). Verificare che se g(t) non è invertibile (localmente) in un i~ torno di un punto t 0 , allora in .corrispondenza la rappresentazione parametrica delle soluzioni y(t)=tg(t)-G(t)+c, x(t)=g(t), (con G'(t)=g(t)) non regolare, [ Se g non è nel invertibile ottenuta senso . in nel paragrafo che x' (t 0 )=y'(t un intorno di t0 allora SF, è 0 )=0. necessariamente g'(t,)=0 (infi'itti, se fo:;se g'(t)# o, g sarebbe strettamt>nte monotòna in un intorno di t 0 ). Ne segue che x'(t)=g'(t)ey'(t)=tg'(t) si annullano entrambe p~r t=t Concl11diamo il 0 paragrafo ] con il seguente TEOREMA DI PEANO - Se f(x,y) è una funzione intorno di (x 0 , y O), esiste una funzione y (x), in un intorno Notiamo di che X 0 ,-che il soddisfa teorema il problema di Peano continua .in un derivabile di Cauchy è un risultato di. 329 esistenza, ma non di unicità. Ad esempio i problemi di Cauchy degli esercizi 5.83, 5.85 e 5.86 sono del tipo y' = f(x,y), con f continua, ma non Lipschitzia na in y (la funzione t➔/t è continua in un intorn~ destro. di t=O, ma non è Lipschitziana) e non ·hanno unicità. La dimostrazione del teorema di Peano, simile sotto certi aspetti a quella del teorema di Cauchy, è basata sul teorema di Ascoli-Arzelà (paragrafo lA) 51. Integrazione grafica. Talvolta è possibile determinare tà del grafico di soluzioni di una renziale ordinaria y' alcune equazione propri~ diffe- = f(x,y) a priori, senza risolvere l'equazione analiticamente. In particolare può essere possibile determinare gli intervalli di monotonia delle soluzioni, gli eventuali p~nti di massimo e di minimo relativo,glj intervalli di convessità e concavità , i punti di flesso e gli asintoti orizzoHtali. Intervalli di monotonia.: Si determinano stabilendo il segno di y' (x). In base all'equazione differen ziale y' = f(x,y), risulta y' ~ O iri corrispondenza ai punti (x,y)eR 2 per cui f(x,y) ~ O. Intervalli di convessità : Si determinano in base al segno di y" (x). A tale scopo è opportuno deriva ..·e entrambi i, membri dell'equazione differenziale y' (x)= f(x, y (x)) : (occorre ziabile; supporre nell'ultimo chef sia una funzione differen passaggio si è tenuto conto del 330 fatto che spondenza y'=f(x,y)). ai punti Risulta (x,y):R 2 y" ~ O in quindi per cui fx+fyf ~ corri O. Asintoti orizzontali : Consideriamo per semplicità so lo il caso y'=f(y); con f funzione continua indipen~ dente da x, anche se il metodo che esponiamo si applica talvolta· anche al caso generale. Consideriamo gli asintoti orizzontali per x➔ + 00 ; il caso x ➔- 00 è analogo. E' opportuno stabilire innanzi tutto il segno di y'; se esiste x 0 eR per cui y'(x) ha segno costante per x > x 0 , allora y(x) è monotòna per x ~ x 0 . Indichiamo con leRU _{±00 } il limite per x ➔ + 00 di y(x). In base al teorema di L'H6pital, se leR anche y'(x) ha limite per x ➔ + 00 e tale limite vale zero; infatti: lim x ➔ +a> tl.tl X L'Hopital lim y I (X) . X ➔ +cc Notiamo che, per applicare il teorema di L'H6pital , è necessario verificare a priori che esiste il limite a secondo membro; ciò si ottiene direttamente dal l'equazione differenziale y'(x) = f(y(x)); infatti, per la continuità di f, y'(x) converge a f(l) per x ➔ +a>. Ricordiamo anche che il teorema di L' H6pital si applica alle forme indeterminate. 0/0 e oo/a,, ma a.!!_ che al caso l/a,, con leR. Al limite per x➔ + 00 nell'equazione differenziale y'(x)=f(y(x)),otteniamo O=f(l), che è un' equazione (algeb~ica o trascendente) ·nell'incognita leR. Spesso dall'equazione f(l)=O e dalle proprietà di monoto nia di y(x) è possibile determinare l. 5.93 Determinare·gli intervalli di monotonia e convessità e gli eventuali asintoti orizzontali delle soluzioni dei problemi di Cauchy di 331 y'=(y2-4y+3)3 (a) (b) { y(O) [(a) 3 y'=(y2-4y+3) { y(O) = 2 L'equazione differenziale è.a variabili O separabili, ma non è agev2 le risolverla analiticamente e determinare l'espressione cartesianaclaj,_ la soluzione. Applichiamo il metodo di integrazione grafica descritto precedentemente. La derivata y' è positiva se y'=(y2 -4y + 3) 3 = (y-1) 3 (y-3) > o 3 ciò si verifica se y e esterno all'intervallo [1,3] . Inoltre y' < O se y E (1,3) e y'=O se y=l oppure se y=3. Si iloti che le funzioni co stanti y=l e y=3 sono due soluzioni Dato che la condizione iniziale dell'equazione è y(0)=2, per la continuità (notiamo che, in base al teorema di Cauchy, esiste ne-derivabile y=y(x) che risolve il problema differenziale. una (unica) (a) in un intorno di y(x) funziodi x0 =Q) risulta y(x) E [ 1,3] in un intorno di x 0 =O e quindi y' (x)° < O in tale intorno (y(x) è perciò strettamente decrescente). E' possibile chey(x) sia illimitata nel suo insieme di definizione? E' possibile che y(x)di venti negativa per qualche valore dix> teorema dell'esistenza O? Se ciò accadesse, degli zeri esisterebbe per il x 1 > O per cui y(x 1 )=l; avremmo quindi due funzioni (la soluzione y(x) che stiamo studiando e la funzione costante uguale ad 1) che soddisfano entrambe il problema di Cauchy y' (y 2 - 4y + 3) 3 ' Per il teorema di unicità y(x l) dovrebbe risultare l. y(x) identicamente uguale ad 1, in contrasto con il fatto che y(O)=Z. Perciò y(x) non assume ma:i. il valore 1 e quindi è tale che y(x)>l per ogni X.Analogamente y(x)<3 per ogni x dell'insieme di definizione. Ne segue, tenendo conto anche della monotonia, che y(x) è-definita in (più precisamente, può essere estesa a) tutto R ed e limitata su R (1 < y(x) < 3 per ogni x ER). Indichiamo con i E [ 1,2] il limite di y(x) per x ➔ +cc . Dalle condizioni 332 lim y(x) x ➔ +a, lim R, ' x➔+ y'(x)=O, y'=(y 2 -4y+3) 3 a, otteniamo ( i 2 -4 i+3) 3 =O, cioè i =l oppure i =3. Dato che y(0)=2 e che y(x) è decrescente, y(x) converge ad 1 per x ➔ +a, . Analogamente y(x) ➔ 3 per x ➔- a:>, Per determinare gli intervalli di convessità e concavità, calcoli~ mo y". = 3(y 2 -4y'+ 3) 2 (2y-4)y' . Abbiamo già stabilito che la nostra soluzione y(x) è decrescente con y'(x) < O per ogni x ER. E' allora facile verificare che y" > O se e solo se y < 2. La soluzione y(x) è çonvessa se y(x) < 2 ed è concava se y(x) > 2; dato che y(O) = 2 e che y(x) è decrescente, ciò significa che y(x) è convessa nell'intervallo [ O,+ a,) ed è cor.cav;i in (-a:>,c] il punto x0 ~0 è di flesso. Il grafico di y(x) è disegnato in figura 5.13. y 1 X figura 5.13 333 (b) La soluzione y(x) è strettamente ta di equazione y=l è un asintoto orizzontale diverge per x ➔ -cc (infatti y(x), a - a:, per x ➔ +cc. Se convergesse soluzione dell'equazione Ciò contrasta crescente con il fatto con y(O)=O, essa crescente i+3) che, essendo mentre monotòna, ha = o, da cui y(x) limite essere ll=l oppure y(x) una funzione per x < O) è n~gativa su R. La ret~ x➔ +m , Il ER, Il do·.rebbe 3 Determinare per x ~-o gli nia e di convessità e gli rizzontali delle soluzioni 5.94 essendo ad un limite ( ll 2 -4 e concava per una i=3. strettamente ] intervalli di monotoeventuali asintoti odei problemi di Cau- chy . y'=x-_y2 y'=x-yz (b) (a) { y(O)=y { y(0)=0 [(a) Risulta figura 5.14, y' > O per x > y 2 , che è l'insieme delimitato dalla parabola piano di equazione > 0 tratteggiato x=y 2 _,,,,,,,,, /. 'l. ~ /, t ~ // X 5.14 //;g~~ ,. X \ \ figura in . y y O \ figura 5.15 334 La derivata sulta vale y" = 1 - 2yy' y"=O se l-2xy+2y 3 =O, da cui vicinanze y" < O purché x > y 2 + l/(2y) La soluzione 5.15). per il teorema di Cauchy, y(x), za dix =O.Risulta o fosse y(x 1 ) = (O,x 1 ), (insieme ha tangente oriz:i;ontale nelle differenziale in corrisponden- J-;.per ogni x > O; infatti, se per. qualche x 1 > O e y(x) < J-;. _per ogni < y(x) risultare (si noti y(x)-y(x 1 che x-x 1 è negativo): ) X - [ di x 0 ·= O e convessa y(O) = o, dall'equazione y(x) tratteggiato in un intorno crescente inoltre ✓-;-; dovrebbe esistente é strettamente d_i x 0 = O; essendo segue che y'(O)=O; quindi xE R,i • 2y Per y > O risulta in figura 3 l-2xy+2y ) 2y 3 + 1 = X 2 l-2y(x-y seconda d ✓- ] dx x Xl :x=x l il coP,trasto con il = O. Percio è provato fatto y(x) non ha asintoti 5.95 né asintoti orizzontali; numero reale i, che y'(x (perché infatti., risulterebbe zione differenziale, della soluzione figura 5 . 17 se y(x) l'assurdo per x ~ O, per ogni x > O. Per x-> + é limitata y'(x) ➔ O otterremmo y(x), < ;-;_ che O < y(x) obliqui = x 1 - (y(x 1 )) 2 = x 1 -( ✓½) 2 = 1 ) per superiormente convergesse x ➔ +a> e a, J;z-), per x -++ a, ad un quindi, O=+ a, ~i 2 =+ a,. è 5Chematizzato da in figura dall'equaIl grafico 5.16. (b) ] In dinamica delle popolazioni, un modello di cr~ scita di una popolazione isolata è descritto me diante l'equazione differe11ziale y I = qy _ rny 2 1 335 y y I /y'>O;y">O\ ___ ........ I I ' ------ ,.._ - X figura 5.16 figura 5.17 con q,m costanti positive. La condizione inizi~ le è y(x 0 )=y 0 , con O< y 0 < q/m. Determinare le proprietà grafiche della soluzione. [Notiamo preliminarmente ed anche del tipo (oltre che l'equazione di Bernoulli = o, l'equazione a y -qt +ce un grafico approssimativo differenziale ammette della che la derivata soluzione 5 .18). dell'equazior.e differenziale, nostro caso, interno per ogni altro non può assumere y(x 0 )=y 0 è interno su R. Circa la derivata i valori ;il!' rapidamente di Cauchy, se C<y< =O e di unicità O e q/m; quindi se, [ O,q/rn], la nostra si q/m(CQ. = q/m . sono y teorema im:e:rvallo sempio, nella seconda, zona O < y < q/m risulta - 2my > O, cioè per y < q/(2m). y problema il y(x)= le soluzioni ogni come nel y(x) rimane soluzione verifi < q/m per ogni x E R, ed è strettamente O < y(x) scente zontali per xE R. In particolare ca le limitazioni ma di convessità separabili esplicitamente è positiva Dato che y schema in figura soluzioni soluzione del y' = y(q-my) me nello altra è a variabili integrabile ] , con ce R). Comunque, per ottenere = 1/ [(m/q) può osservare data ed è quindi e concavità = l, deve risultare abbiamo ql- (q-2my)y'; y' > O e quindi In figura delle y" 5.19 soluzioni. cread e- y" > O per q - è rappresentatou-o sch~ Circa asintoti oriz- l=O oppure R=q/m m 1 2 = o, cioè gli 336 y y \ \ y'< o \ Y"> O q/m q/m Y" < O I I y'>O /·. y" > o X \ \ figura In base alie 5.20. y'<O X y" < o \ 5.18 figura proprietà Il grafico di monotonia, si ottengono di una particolare < q/m è rappresentato 5.19 soluzione i grafici y(x) tale in figura che O<y(x 0 )< in figura 5.21 ] y y q m q 2m -- - - -- X figura 5.20 figura 5. 21 33 7 5.96 Prescindendo (eventualmente) gno della derivata seconda, rnativarnente i grafici delle quazioni differenziali del (a) 5.97 Disegnare luzioni [Il 2 y'=(y -6y+8)(y-10) 20 (b) y'=y seny (d) y'=yeylogy _approssimativamente i grafici delle dell'equazione differenziale y'=-2xy. segno della derivata prima, schematizzato vo nel secondo e nel quarto quadrante. stante dallo studio del se disegnare approssi~ soluzioni delle etipo y' = f(y): y=Oè una soluzione e nessun'altra 5.22, è positi- in figura In particolare soluzione so la funzione tocca co- l'asse x . Inoltre y(x) ha un punto di massimo per x=O se y > O, mentre ha un pun to di minimo se y < O. ~ y '-,._/ ~>O y'<~ / ~ " y'>1/ "' ' / ~•<0 risulta ~ / .. V2 i X I y"> o T y"< o I '-V ~ I I I figura 5.22 5.23 seconda vale y"=-2y-2xy'=-2y-;2x(-2xy)=2y(2x 2 -1). y" < O all'interno gura 5.23 è rappresentato proprietà y"< o '}">o Y"< O - V2 X figura La derivata Y"> O '--./ dell'intervallo [ -/2/2, uno schema di convessità di monotonia e limitatezza Se y > O /212]; in fi- e concavità. Dalle di y(x) si dedùce che essa ha ce~ 33 8 tarnente asintoto orizzontale per x➔ ±.,, e, dall'equazione differenzii!a le, si ottiene che l'asintoto ha equazione y=O. Il grafico delle soluzioni è in figura 5.2; come indicato nell'esercizio 5.6, le soluzioni '-x2 sono y(x) = e e da tale espressio- che, ad esempio, x= ±/2/2 sono punti di flesso per y(x)] ne analitica 5.98 , con c ER. Il le~tore verifichi Disegnare approssimativamente per x ~ 1 il grafico della soluzione del problema di Cauchy y' { y(l) - ! + = 1 1 y è strettamente crescente e concava per x L 1 e diverge a + a, per x ➔ +a, . Il grafico è rappresentato in figura 5. 24] [ La soluzione y y +/ ..!,. -7/ ,✓ / / 1 --7--- 1 / / O<y<Y. / i I I 1 2 X figura 5.24 figura 5.25 X 33 9 5.99 Disegnare fico della [ In un intorno x ~ 2 il gr~ di Cauchy approssimativamente per soluzione del problema destro di x 0 =2,y(x} è strettamente decrescente e eone~ va. Tali proprietà sono comunque verificate se O< y <x._ Ne segue che y(x) non è definita su tutto [ 2,+ a,) perchè, fosse, dovrebbe incontrare l'intervallo l'asse delle sendo y(x 1 )=0, il secondo membro dell'equazione differenziale definito. Quindi, per x ~ 2, y(x) è definita in un intervallo male [2,x 1 ) e,per x ➔ x- 1 , y(x) conve~ge a zero e y'(x) quazione differenziale) diverge all'asse x con tangente gura s.·1.s ] vertisale. 5M. Esercizi di a - 00 , cioè Il se x in un punto x 1 dove, la soluzione grafico lo es- non è massi(dall' è schematizzato in fi- -riepilogo In questo paragrafo proponiamo, in ordine sparso, la risoluzjone di alcune equazioni differenziali (o problemi di Cauchy) del primo ordine dei tipi considerati nei paragrafi precedenti, ivi comprese le equazioni lineari. 2 2 +e) 5.100 y'=4x+xy [ y(x)~2tg(x 5.101 y'=4x+xy [ y(x)=c 5.102 y'=y-xy2 [ y(x)=l/(x-l+ce-x);y(x)=O 5.103 y'=y/(x+y) [ y(x)=O; 5.104 y'=2xy-(x 2 +y 2 ) e X 2 /2 ] -4] x=y log cy [ y(x)=x-tg(x+c) ] ] J e- si avvicina 340 5.105 y'=Z 5.106 y' 5.107 y' 5 .108 y' = .È._ 5 .109 y' = 5 .110 y'= 5. 111 Y, = 3 (y+ 1) - Zx 5 .112 'f I= ~) ( - 2 yt4 _ 2 arctg - x+y x-4 3xy x 2 -x-2 + log cy=O =y(:i:)=c(x+l)(x-2) 2 ] ] x 5 +4y X x+y y2 - - ::• I x 2 +xy x+3y-1 3-x-3y =O; y + X log cy = o ] =:.~ •3y+y I = x + y + e ] 4(y+l)-3x 2(2x-y) 2 +ll(v-:x·-:~ -(y-2x+3): = ::-:,Y-2) ~ .'2+1og I y-2x+4 j =c-x 5.113 y'= 1 - 1 Y.. 5.114 =:: :,:=:.-:,: log( cx)] X X y' x = sen + y' c03 : :l: -: 5.115 y=2(y 1 ) 3 -3(y 1 ) 2 y=xy'-y 5.117 y=xy'-(y') 2 5.118 x=y+(y'-1) 2 2 cost + e] 2 [ x(t)=~,:-:.: 5.116 =sent:+t cost,y(t)=t : :e:;: - e, y(t)=?,t 3 =cx/(l-cx); y(x)=-1] =::,:=cx-e 2 ; -3t 2 ; y(x)=O y(x)=x 2 /4 ] 341 1/x 5.119 y=x 2 y'-y 5.120 y=xy'-logy' 5.121 y=(y') 5.122 X+ yy' 5.123 yy' = ✓~ 5.124 2y+(x 5.125 2y'+(x 5.126 2xyy'-x 5.127 (x+y+2)y'+x+y+l=O [(x+y+Z) 2 5.128 yey' [ y(x)=l; y(x)=(x+c)(l-log(x+c)) 5.129 y'=ey(l-x); 2 2 2 [ y(x)=c/(c-e -logy' ); y(x)=-1 [ y(x)=l+logx; y(x)=cx-logc [ x(t)=2t+(l/t)+c, y(t)~t ] ] 2 -logt = 0 [ (x+c) 2 + y 2 =l ,con la corn;lizione -l)y'=O [ y(x)=c(x+l)/(x-1)] 2 -l)y=O [ y(x)=c 2 -y 2 =0 [ y 2 = X 2 + CX = 1-y' e -x ; y(-1 -(x 3 /6)+ ] =2x+c] ((x-1) ) =O ly(x)=(e-e-x)/;: 5.130 xy'+y=e 5 . 13 1 y 1 =y+ ex ; y (O) = O 5.132 xy' ] 2 /2) ] J [ y(x)=x ex ] + y=2 JxS°y; y(l) 1 = [ y(x) = (x 2 +l) 2 /4x 1-y'=/l-(x-y) 2 y(O)== O [ y(x) = x - sen x 5 . 13 4 y' = V1 + y\ y(O) = [ y(x)=• yy '~o] (x/2)] = log2 y(O) [ y(x)=-log 5.133 ] ] 1 ✓X2 + 2 ✓2 X t 1 ] 342 ...l:f_ 2 5 .13 5 Y '=x- 5.136 y'=cos(x+y-1); 5.137 y'=cos 5.138 x -l 2 · · y(O)=O [y(x)= ' y(O)=l x+l x-1 (x- -- 2 -2x+log [ (x+l) 2 [y(x)=l-x+2 arctgx ] TI+ arctg x J y; y(O)=n [ y(x)= y'=y tgx; y(0)=2 [ y(x) = 2/cosx] 5.139 ·x=cos 2 5.140 y = y ' (x - s eny' 5.141 y'senx+y(cosx-senx)-x=O l [x(t)=cos 2 t, y(t)= -tcos(2t)- y' 2 ) 2 ] ~-j 1 - sen(2t)+c] 4 2 [y(x)=c(x-senc);x(t)~sent+tcost,y(t)=t cost] [ y(x) 7 (cex-l-x)/senx] 5.142 =O y'senx-(xy+senx+cosx)y [ y(x)=O; y(x)=senx/(1-x+ce-x)] 5.143 x 2 y' cos 2 ,/y' [x(t)=(cost)/t, 5 .144 2 (y I) 2 X -- = l+(y')2 - arctg y' 2t 2 [x(t)= -- 2 l+t 5.145 x(y') 312 t= /yi"J y(t)=tcost-2sent+c,con - 2t 3 arctgt, y(t)= - 2 + e l+t l+y(y')l/2 [y(x)=cx-1/ .J'Z; y(x) = (3/2)(2x) 1/3 ] ] 343 5 .14 7 v' x =-'--y'+l + log(y'+l) [ x(t)= 5 .14 8 y'+ 5.149 2x+y x+2y+l =O x 2 (y'-1)-y(1+2x)=O 5. 15 O x 2 +4y=(x+2y') 2 - t t+l [x2 + log (t+l), y(t)= t2 -+ e ] t+l + y2 + xy + y = e ] [y(x)=x 2 (ce -1/x -1)] [y(x)=cx+c 2 ; y(x)=-x 2 /4 ] Capitolo 6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI ORD~NE SUPERIORE 6A. NON LINEARI AL PRIM9 i tà.. Genera.1 Una relazione del g ( x,y,y con x variabile I tipo , ... ,y (n)) indipendente, = Q' y=y(x) funzione inco - ·· · 1 2 , ... ,n ) d er1vata . . . d.1 y ( x,) gnita e y ( i) ( 1=, 1-es1ma prende il nome di equazione differenziale (ordinaria) di ordine n. Una soluii.one ( o integrale particolare ) è una fun zione y=y(x) definita in un intervallo I (con interno non vuoto) di R, derivabile n volte in I e tale che g(x,y(x), y' (x), ... ,Y (n) (x)) Un'equazione differenziale in forma normale se può essere • y (n)_.cc -i. x,y,y I , ... = O per ogni di ordine rappresentata ,y (n·l)\ ;, n si da xel. dice 345 con f funzione reale di n+l variabili reali. Per le equazioni differenziali di tipo normale vale il seguente teorema di Cauchy di esistenza ed unicità: TEOREMA DI CAUCHY. (n-1) ... n , Yo f una funzione )eR • Sia reali, di classe Allora esiste =y (x), di n ~ 1, Sia reale C 1 in un intorno .una funzione reale di il problema di Cauchy 6.1 Nelle ciato, ipotesi provare del teorema che: y(x) (a) la soluzione (b) se f è di n+l di una variabile di di è di variabili X0 , · Cauchy classe k soddisfacente sopra C n+l ; anche y(x) è [(a) Secondo il teorema di Cauchy y(x} è tma funzione verifica in un intorno di x 0 l'equazioae differenziale di classe Cn che Per ipotesi la funzione di n+l variabili f è di classe C 1 ; è anche differenziabife. In base alla regola di derivazione delle perciò funziQ è di classe C n+k qualche enun- allo y(x) C , per = y reale k~ 1, ra classe (y 0 ,y~, .. (x O , y O , y ~, ... , y~n-l)). di Cn in un intorno classe x 0 eR e . , o, (c) se f è di classe C allora di Cl) e . classe y (n) (x) = f(x,y(x), y' (x), ... ,y (n-1) (x)). ni composte,il secondo membro dell'equazione differenziale le. Perciò anche y(n)(x} è derivabile e si ha è derivabi- 346 y (n+l) d (x)= - dx y (n) d (x)= - dx f(x,y(x),y'(x), ... ,y (n-1) (x)) I f Il f (n) = f x + f yY + y•Y + ••• + y(n-l)Y n Dato che y è di classe C, dalla rappresentazione · · y (n+l)( x ) e· una f unzione continua; trovata 1 percio·• y e· d"i casse si deduce che cn+l • {b) Con k > 1 si può procedere per indu~ione in modo analogo al caso k= =l già considerato in (a). (c) Diretta conseguenza di (b) ] Nei parag'rafi seguenti prendiamo in considerazio ne equazioni differenziali di ordine superiore al pri mo, che si risolvono con opportune sostituzioni della funzione incognita,allo scopo di abbassare l'ordi ne dell'equazione. In particolare prendiamo in consi derazione alcuni tipi di equazioni del secondo ordine la cui risoluzione può essere ricondotta a quella di equazioni del primo ordine. Le equazioni possono essere non lineari, ma i metodi di risoluzione si aQ plicano anche alle equazioni differenziali lineari. 6B. Equ.a.:zion.i Se una ne è della forma. g(x,y' ,y")=O differenziale del secondo della. equazione forma g(x,y' ,y") ordi- o, cioè se la funzione g non dipende esplicitamente y, allora si può abbassare l'ordine con la sostitu zione z(x) = y''(x). Infatti, essendo z'(x)=y"(x), equazione nell'incognita z diviene g (x I Z, Z I) O• da la 347 Si tratta di un'equazione differenziale del primo ordine che, se possibile, si risolve con uno dei metodi indicati nei capitoli 4 e 5. Dopo aver calcolato z(x), si determinano le soluzioni y(x) come pri rnitive di z(x). Si noti che in generale z, soluzione di una equ~ zione differenziale del primo ordine, dipende da una costante arbitraria z=z(x,c 1 ); perciò y, primitiva di. z, dipende da due costanti -arbitrarie: y(x)=Z(x,c 1 )+ + c 2 , con Z' = z . 6.2 Risolvere (a) differenziali = 1 (b) y"-(y') 2 [ (a) Si tratta della le equazioni di un'equazione y ( oltre l'equazione che e del tipo a variabili Percio del secondo ordine mancante che del.la x). Con la sostituzione z' =y", si ottiene arctg differenziale y'_'+ (y I) 2=0 z = f z(x)=y' (x), essendo del primo ordine separabili. dz l+z 2 = Risulta dz/dx = 1 + z 2 ,da cui r j dx = x + c 1 . z(x) = tg(x+c 1 ) e quindi f y(x) = z(x)dx = (b) Con la sostituzione f sen(x+c 1 ) cos(x+c 1) z(x) = y'{x) otteniamo l'equazione z'+z 2 = O , che si risolve con il metodo delle equazioni a variabili separabili.Oltre a z = O (che annulla il denominatore e che corrisponde a y(x) = costante) si ot~engono le soluzioni _: = z da cui z(x) f- f = dz = z2 dx x + c 1/(x + c 1 ) e quindi 1 ' 348 f y(x) J z(x)dx nella log Ix + e 1 I + e2 = ± e e 2 , e 4 = ± e 1 e 3 , è possibile Si noti _che, ponendo e 3 re le soluzioni dx x+c 1 esprime- forma y(x) = log(c 3 x + c 4 ). In questo modo si ra~ presentano anche le soluzioni 6.3 Risolvere l'equazione Zxy'y" costanti differenziale 2 - (y') [Si tratta di un'equazione la y. Con la sostituzione (per c 3 = O) ] + 3 = O differenziale del secondo ordine mancante delz(x) = y' (x), essendo z' = y", si giunge a 2xzz' - z 2 + 3 = O. Si tratta di ·un'equazione differenziale del primo ordine del tipo di Bernoulli (paragrafo SB), che si risolve con la sostituzione w(x)=z 2 (x) Dato che w' = 2zz', rispetto all'incognita w si ottiene l'equazione differenziale lineare W I 1 : - 3 W X le cui soluzioni ±lc 1 x+3 f y(x) sono definite se et f z(x)dx Riassumendo, Vcl f o, 3. In cor~ispondenza risulta z(x) z(x)dx con e 1 ; O; invece, y(x) = c 1x + , da cui y(x) = Tali funzioni sono w(x) X le soluzioni Vc2 ER e da y(x) per ogni valere della costante e 1 ER, o, risulta sono date da y(x) = c2 ± ✓3 X ] c 2 ± (2/3c 1 )(c 1x+3) 3/2 349 6.4 Risolvere l'equazione differenziale = x(Z-y") y' [ Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine mancante del la y. Posto z(x) = y'(x) (da cui z' = y") si ottiene z=x(2-z') che è un'equazione lineare del primo ordine. Le soluzioni sono date da z(x) = = (c 1 /x), + x, da cui 6.5 Risolvere le equazioni differenziali (a) y' xy" - (y") 2 (b) yI xy" _ (y") -1/2 [ (a) L'incognita z(x)=y'(x) soddisfa l'equazione di Clairaut z=xz'-(z') 2 • Come indicato nel parag~afo SH, l'equazione runmette come soluzioni la famiglia di rette e l'integrale singolare di equazioni parametriche x( t) = - 2t, z(t) = t2 il quale, posto t = - x/2, si può anche &crivere nel!a forma cartesiana z=x 2/4. In corrispondenza si ottengono le soluzioni dell'equazione iniziale (b) y(x)= Jz(x)dx y(x) = Jz(x)dx e y(x)= ....!. 2 J(c x-c )dx = z x 1 e1 2 1 y(x) 2- 4/3 9 X 8 c 2l x + c 2 + C J 350 6.6 Risolvere l'equazione yI differenziale xy" = _ (y I ) 2 [Con la sostituzione z(x) = y'(x) si ottiene l'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili z'=(z 2 + z)/x, che anmette come soluzioni z(x) In corrispondenza alla funzione costante z(x) mentre le altre soluzioni sono espresse da y(x)= f 1 l X se c 1 I O, altrimenti Integrare e - x, J1-cc x dx = z(x)dx= =-x 6.7 - l si ha y(x) l y(x) log I1-c 1 x I + c 2 costante l'equazione xy" + y'logx ] differenziale - y'logy' = O [Con la sostituzione z(x) = y'(x) si ottiene l'equazione differenziale equivalente z' = (~/x)log(z/x), che è del tipo z'=g(z/x) e che si integra (si veda il paragrafo SC) ponendo w=z/x (da cui z=xw, z'=w+xw'). Ne risulta l'equazione del primo ordine w+xw' = wlogv che si risolve separando le variabili log I logv-1 I = J w(logv-1) dw oltre alla funzione costante w = e, che annulla il denominatore (w=O è da scartare). Pur di cambiare il segno di c 1 , risulta logw - 1 = c 1 x, da cui, ricordando che z(x) = xw(x) e che y'(x) = z(x), 351 f y(x)= Jx w(x)dx = Jx e l+c lx dx z~x)dx l A tali 6.8 soluzioni va aggiunta z=ex, cioè ancora (y'=z) Determinare le quella e-x cos + y' y" (b) xy" Zy' (e) xy" = 3y' + x 4 eX (d) y" + y'tgx + senx + Calcoliamo f e per parti -x Perciò f e-;.: senx dx le soluzioni y(x) f e (b) y(x) e 1x3 (e) y(x) e1 x 4 - lineari l'equazione differenzi -x che ha per soluzioni • indefini~o: + f -x e-xcosx cosx - • dx f e -x !lenx dx, (sern, + cosx)/2. sono espresse -x equazioni si ottiene z' + z = e-xcosx, senx - e - e da. (senx + e 1 )dx = - e -x senx + cosx (---+ c 1) + c 2 • 2 (x 2 + x) /2 + e 2 • X (z=xw) = o cosx (sel'lJi + c 1 ) senx dx = - e-xsenx -x e, cioè X l'integrale =-e da cui -x a w ] delle z(x) = y'(x) del primo ordine = e + c + 1 X [ (a) Con la sostituzione z(x) 2 soluzioni (a) le lineare corrispondente y(x)=(e/2)x + e ( x 3 - 3x 2 + 6x - 6) + e 2 • 2 352 (d) y(x) (x + senx cosx)/2 6.9 Risolvere + c 1 senx + c 2 le equazioni 4 (a) y" - (b) y" - 1 yI [(a) y(x) X 2 + y" YI x 2 -1 log (c 1 x) - (x 2 /4) 6.10 Determinare renziale y" [ un'equazione del soluzioni + (y' Perciò y(x) w= J f dw 2 l+w 6.11 Determinare differenziale xy" = x 2 tutte diffe - J = - che è ri- z' - 1, ha y' (x)=z(x) =x+w(x)=x-tg(x+c lcos (x + c 1 ) le soluzioni + Y ' + (xy') =O, 5D) che si si dx = - (x + e 1) 1 ) ,cioè + log 2 le variabili 2 z(x)dx a z'+(z-x) (si veda il paragrafo separando w=tg [ -(x+c 1 )] = -tg(x+c = si perviene w(x) = z(x) - x. Essendo w·• w' + 1 + w 2 =· o, da cui, arctg = z(x) z'=g(ax+bz) con la sostituzione dell'equazione + c 2 )] - x) 2 = O y'(x) tipo x + 2 + c 2 ; (e) y(x)=-c 1 (x+2 log lx-11 le Con la sostituzione solve O = x 6 /6 + c 1 x 5 + c 2 ; (b) y(x) + (x 2 /2) lineari 1 - 1 X (e) differenziali = x" y' X ] 2 O 1 ). Infine I + c2 ] dell ' equazione 353 [con la sostituzione z(x) = y'(x) si perviene ad un'equazione di Bernoulli che ammette le soluzioni z(x) = l/(x 2 +c 1x), oltre alla funzione costante z(x) =O.Quindi, oltre a y(x) = c, l'equazione data anunef te le soluzioni y(x) = Jc\ (; - x+c dx Jx2 -- 1 +c 1 X 1 I log x:c 1 Cl I ) + e2 se c 1 I o; altrimenti, per c 1 = o, si ottengono y(x) = - (1/x) + c J 6.12 Risolvere (a) (b) le (1-y")2 x2 [ (a) y(x) 2 + e 2y" o x2 1 (x-c 1) 3+ c2 12 2 Determinare la y(x) =; ( y(x) y I ) 2 = y'(O) 2 X 2 soluzione 2 y !· y Il { y(O) soluzioni differenziali (b) y(x) = .:.! x 2 + xe 2c1 + c 2 6.13 le ulteriori = X + y' - y' X'f" equazioni dx 1 4 del - problema di Cauchy X = 1 [con la sostituzione z(x) = y'(x) si giunge all'equazione del primo ordine del tipo di Bernoulli 2zz' = z 2 - x, che ha come soluzioni z(x)= = ±I c 1 ex+l+ x . Dalla condizione iniziale z(O) = y' (O) = 1 si deduce che c 1 = O e che z(x) = + / l+x • Integrando z(x) si trova y(x)=c 2 + 3/2 + (2/3)(1+x) ; imponendo la condizione iniziale y(O)=l si determina c 2 = 1/3. Perciò la soluzione del problema di Cauchy (per x > - 1) è 3/2 y(x) ~ [1+2(l+x) J /3 J ~isolvere i problemi di r· = o (y')3 = 2; y (2) y(2) I t"' = 1 y(l) = 1; y' (1)=0 (l+x2) y" + 1 +(y') 2 = o 1/2; Y I (1) = - 1 /z;-; (b) y(x) ~~terminare, -~ soluzione y"cosx ( y(O) 1/2 y' { y (1) ~-:~ Cauchy per del x - logx; ogni beR e per ogni problema di_Cauchy - y' senx = y0 ; (e) y(x)=l-(x + b cosx 2 /2) ] (y 0 ,y~)eR2, o = y~ y'(O) "C,n la sostituzione z(x) = y'(x) si giunga all'equazione lineare del rrimo ordine z' = z tgx - b, le cui soluzioni sono espresse da z(x) = (c 1 /cosxì - b tgx. In base .::.lla condizione iniziale z(O)=y;·(o) = y~ risulta c 1 = y~ ; quindi y(x) = .Jz(x)dx ~ y~ J~ - b J tgx dx cos X I = c1 + y (per il calcolo ~ log Itg ( ~ + ~ ) I+ b log Icosx I delle primitive di 1/cosx si vedano gli 4.22 del 1° volume, parte seconda). y(O) = y O si trova.c 1 = y 0 ] Infine, imponendo esercizi la 4.21, condizione 355 6.16 La legge del moto (s = s(t), spazio in funzione del tempo) relativa ad un punto materiale soggetto all'accclerazione di gravità che, partendo da una posizione di equilibrio per t=O, cade at traverso un mezzo resistente, soddisfa il problema di Cauchy g - ks' O; s'(O)=O dove g è l'accelerazione di gravità e k(> O)una costante di attrito (che è inversamente proporzionale alla massa del corpo). Determinare la velocità asintotica (circa uguale alla velocità che ha il corpo al momento di toccare· il terreno, se cade da una grande altezza), cioè il limite per t ➔ +m di v(t) = s' (t). [L'equazione differenziale Con la sostituzione v(t) (lineare) = s'(t) v' = g - kv ; Si può determinare tegrazione grafica) preliminarmente non dipende espiicitamente otteniamo il da s. problema di Cauchy v( O) = O. il limite per t ➔+m di v(t) con il @etodo (di in proposto nel paragrafo 51. A tale scopo si osservi che v' (t) > O nella zona g-kv >O, cioè per v < g/k. E2 sendc v(O) = O, risulta v(t) < g/k per ogni t ~ O (infatti, per il teQ rema di unicità, v(t) non può assumere il valore g/k, essendo tale valore costante soluzione, al pari di v(t), dell'equazione d~fferenzia le). Indicando con iE (O,g/k] il limite per t➔ +m di v(t),dato che v'(t) ➔ O, dall'equazione =g/k. Perciò la velocità Osservia~0 differenziale si ottiene O=g-k i, asintotica per t ➔ +co <l g/k. che è semplice risolvere trova v(t) g k (1 - e -kt ) cioè i= il problema di Cauchy e che si 356 g = - s(t) 1 +- Il modello proposto pioggia (e k k -kt descrive, che si origina ] -1) ad esempio, ne'l'atlllOsfera, e che cade verso il suolo. la somma algebrica dell'accelerazione La sua ac·celerazione al moto, dovuta all'attrito alla s'. r.isulta finita. duta libera = v s'{O) = 0 proporzionale per t ➔ + a, della c~ avremmo il moto unifor- del problema di Cauchy s"=g; s{0)=s 0 = ~ ( soluzione = v 0 + gt gt 1 S o 1 + V t + - gt 2 in tal caso, il tempo impiegato - gt 2 z o metri, t attrito) del- O): v{t) s(t) e asintotica se assumessimo co~e modello quello nel vuoto (quindi senza memente accelerato risultato g e dell'accelerazio- con l'aria Con tale modello la velocità Viceversa, s" è il di gravità ne, contraria velocità il lllOto di una gocc_ia di diciamo a 1000 metri di altezza 2 se lo spazio percorso per raggiungere Vg _(E"gs ::,_ il suolo è di 1000 sarebbe {MOOO V~ = 14.2 secondi e la velocità.corrispondente 139.16 m/sec. V I.a velocità di 139 metri 500 km all'ora (metri)). al secondo è circa (si moltiplica Se una goccia uguale _c.lla velocità per 3600 (secondi) d'acqua arrivasse e si divide pe. al suolo a tale velocità di 1000 a- vrebbe un effecto devastante. Invece, nella realtà, ciò non avviene; significa che il modello matematico descritto all'inizio è più realistico del modello (di caduta nel vuoto) del moto uniformemente accelerato ] 357 6C. Equa.zion.i Nel secondo riabile della. g(y,y' forma. ,y")=O caso in cui un'equazione differenziale ordine non dipenda esplicitamente dalla indipendente x, cioè sia del tipo g(y,y' ,y") del va- = o ' allora è opportuno, come nel paragrafo precedente, seguire la sostituzio~e z=y', considerando però, questo caso, y come variabile indipendente. Cioè, più precisamente, si pone z(y) = y' eri sulta y''= dv' dx dz (y) =../...._ dz dy dx gy_ dx z 'y' e in - z .' z. Si ottiene quindi un'equazione differenziale del pri mo ordine nella forma g(y,z,z'z) = O che, se possibi le, si risolve con uno dei metodi indicati nei capitoli 4 e 5, pervenendo ad un insieme di funzioni del la forma z=z(y,c 1 ), con c 1 costante arbitraria. Ri cordando che z=y', si ottiene la nuova equazione dif ferenziale del primo ordine (con c 1 parametro) che, non dipendendo li separabili. 6.17 Risolvere I esplicitamente da x, y" + (y') l'equazione 2 è a variabi = O. [si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine mancante d?,!_ la x (oltre che della y). Con la sostituzione z(y) = y', essendo y" = = z'z, si ~ttiene l'equazione del primo ordine z'z+z cioè z(z' 2 =O, + z) = O. Si presentano due possibilità: o z=O (e quindi y'=O 358 -y da cui y = costante), oppure z' + z = O, da cui z(y) = c 1 e . Rica.i;: dando che y'=z, abbiamo l'equazione differenziale del primo ordine in y: y' = c 1 e che, risolta -y con il metodo della separazione delle c1 x + c 2 • variabili.._, forni - sce le soluzioni e f y f /dy c 1 dx Tutte le soluzio_ni sono quindi espresse particolare ti 6.18 le soluzioni costanti il metodo qui proposto Risolvere le da y(x) = log ( c 1 x + c 2 ). si ottengono con quello dell'esercizio equazioni del 6.2 (b) secondo ordine (b) Zyy" = (y') (y I ) 2 ( d) yy" + ( y I) 2 = o [ (a) Poniamo z(y.) = y', da cui y" = zz'. (a) 2yy" ( C) yy" 1 + (y')2 = = primo ordine = O non è soluzione): ti che y log (l+z 2 ) - j' + z' 2z d~. l f 2 Si ottie_ne l'equazione 1 + z 2 • Separando le variabili 2yzz' In per c 1 =O. Si confron- del abbiamo (si no- dy y cioè 1 + z 2 = c 1 y, cioè ancora z= ± / c 1 y-l Ricordando che y' ~ z, risolviamo rando le variabili -C2 I -c l y-1 = J l In forma cartesiana y(x) si ha infine le equazioni y'= ± / c 1 y-l sepa- 359 {b) y{x) (c) y(x) (d) y(x) 6.19 D~terminare, per ogni valore dei parametri li a,b, tutte le soluzioni dell'equazione renziale y" b - z ( z' In corrispondenza =Osi IzI= diviene ~ z )=O • y-a a z=O otteniamo le soluzioni z' - bz/(y-a) log da cui, o y', da cui y" = zz'. L'equazione [Poniamo z(y) equazione (y')2 y-a f risolve dz z separando b dy f costanti. y-: a risolviamo l'equazione = log (c l differenziale 1-b Conglobando il fattore = f = f 1-b nelle costanti la .b I y-a I b. b Essendo (limitan- le variabili e 1 dx c 1 , c 2 , OLteniamo la rap - presentazione Se invece b=l risulta Iy-a I y'=c 1 (y-a) doci al caso y > a e supponendo b f 1) separando (y-a) 1-b Altrimenti le variabili pur di cambiare il segno di c 1 , z(y) = c 1 y' = z(y), readiffe y(x) = ~ +·ec 1x + c 2 ] 360 6.20 Risolvere do ordine le equazioni differenziali (a) yy" (b) yy" (e) yy" - (y I) 3 = o - (y I) 2 - (y I) 3 = o - (y I) 2 + (y I) 3 o (d) yy" - (y I) 2 - y2y' (e) yy" + (y I) 2 (b) y = e; y-(l/c 1 (c) y = c; y-(l/c 1 =o y(y')3 + c 1 y 2 +y=x+c (d) y = c 1 e secon- (y I) 2 + [(a)y=c; del o = 2 . ) log c 1 y = c 2 - x. ) log c 1 y = x-c 2 • (x+c 2 )/c 1 / [ · (x+c 2 )/c 1 ] 1 -e y(x) =-1/(x+c). (e) y=c; 6.21 Risolvere l'equazione differenziale y" (y I) 2 [ L'incognita z(y) = y' soddisfa l 'equazior.e differenziale del primo ordine che si z' y 2 -1 z y(l+y 2) risolve separando le variabili I log Iz I = 1) J (-l+y2 - -y 2y dy = log ( c 1 l+yy2) , segno di c 1 , z = c 1 (l+y 2 )/y. di nuovo le variabili, otteniamo da cui, pur di cambiare che y'=z, separando il Ricordando 361 2y l+y2 dy = problema di f log (l+y 2 ) da cui y(x) 6.22 Risolvere y" il + 2 seny { y(l) = O; Cauchy o cos 3 y = y'(l)";= 1 [Con la sostituzione z(y) = y' (y" = zz') =O, da cui, separando le variabili, J z dz 2 otteniamo J -2 seny cos y dy 3 Quindi z 2 = c 1 + cos 4 y. Nel determinare 1 = - 2 zz' + 2 seny cos 3 y= (cos 4 y +· c 1 ) la costante • c 1 è opportuno:r;i cordare che z è funzione di y; più esplicitamente, z=z(y(x)). Per x=~ risulta y=O e y' = z = 1. Perciò, sostituendo i valori y=O e z=l otteniamo 1 2 = c 1 + 1 4 , da cui c 1 = O. Quindi z 2 = cos 4 y, cioè z=± cos2y Affinchè risulti z=l per y=O occorre scegliere il segno positivo; per- ciò z = cos 2 y. Essendo y' = z, si perviene all'equazione differenziale y'=cos 2 y, che ha come soluzioni tg y = Ricordando che y = O per x = 1, si ottiene 6.23 = - 1. In definitfra, = ar~tg (x-1) Risolvere (a) la soluzione tg O= 1 + c 2 , da cui c 2 = del problema ] i problemi di Cauchy y" cosy = O + seny { y ( 1) =O;y'(l) -1 di cauchy è y(x) = 362 + (y')'seny { y"cosy = y' (b) y(O) T1/6; y'(0)=-1/2 e 1-x -1 = 2 arctg "T-"x-" e +l [ (a) y(x) TI 2 + 2 arctg e 1-x (vale l'identità perché le due funzioni sono uguali per x=l ed le derivate identicamente uguali fra loro). X (b) y(x) = 2 .arctg (-e tg( TI/12)) 6.24 Risolvere i problemi hanno ] di Cauchy y" = 3y 5 (a) { y(Z)=-1; y" y'(Z)=-1 = yS + 1 (b) { y(Z)=-1; y'(Z)=O [ (a) y(x) = - 1/ / 5-2x ; (b) la soluzione costante y= ••. ] 6.25 Risolvere { il problema (l+y2) y" y(4) O; y'(4) è inunediatal E' la funzione di Cauchy = y(y')2 = 1 [ Con la sostituzione z(y)=y', essendo y"=zz', l'equazione differenziale si trasfom.a in (l+y 2 )zz' = yz~. In corrispondenza a z=O si hanno le funzioni y = costante, che però non verificano la condizione iniziale y'(4)=1 e quindi non sono soluzioni del problema di Cauchy. Per z I O otteniamo (l+y 2 )z' = ~z cioè, separando ie variabili 363 y l+y2 l dy 2 log ( l +y 2 ) + c 1 Per x•4 risulta y=O e y'=z=l; ponendo y=O e z=l si detennina c 1 = O • Perciò I z = / l +y 2 ed ancora, essendo z=y' = l > O in corrispondenza di x=4, abbiamo z = /i+y2. Per separazione delle variabili si ha (z = y' = dy/dx) I f /:+y J 2 L'integrale = dx = x + c 2 • a primo membrosi calcola ponendo t = y+ per sostituzione, + /1+y 2 (si veda l'esercizio 4.119 del 1° volume, parte seconda).Una primi ti va di l / / l+y 2 è log I y+ / l+y 2 L'equazione in fonna implicita che definisce y(x) è quindi log I y+ /1+y 2 I= x + c • In I. 2 base alla condizione iniziale y(4)=0 si ottiene c 2 =-4 e ~g(y+/i+y2" )= =x-4, dato che l'argomento del logaritmo è positivo in un intorno di y=O. Con semplici calcoli si ricava y(x): /""i+y"'2 = e x-4 -y => 2y e x-4 = (e x-4 ) 2 - 1 x-4 -(x-4) ed infine· y(x)=(e -e · )/2 = senh(x-4). Si arriva àl risultato fi nale più rapidamente ricordando che <ina primitiva della funzione y ➔ ➔ 1/ / l+y 2 è il settore seno iperbolico di y ] 6.26 Si consideri il problema di y I (O) (a) (b) Cauchy = o Verificare che il problema ha più di una s~ luzione. Spiegare perchè non vale il teorema di Cauchy di (esistenza e) unicità. [(a) Si vede subito che la funzione y(x)=O per ogni x ER è una soluzione. Con il metodo basato sulla sostituzione z(y)=y' si trova, ad esem- 364 pio, y(x) = x 4 /144. ·(b) L'equazione anche la soluzione è nella forma normale y"=f(y) ,· con f funzione continua, se c 1 (e nerranenoLipschitziana). tesi del teorema di Cauchy ] 6.27 differenziale ma non di cla2, Perciò non sono soddisfatte le ipo- Sia y=y(x) una funzione derivabile due volte un intervallo di R. La curvatura del grafico y(x) nel punto x è data del rapporto in di Il [ 1+ (y 1) 2] 3/2 le funzioni y(x) il costante, uguale a k. Determinare curvatura [ Si deve risolvere l'equazione differenziale cui grafico ha del secondo ordine = k . [1+(y')2 ]3/2 Se k ~ O risulta y"=O, da cui y(x) • c 1 x + c 2 ; perciò, fini~ione le rette data, (e soltanto le rette) camente uguale a zero. Se kfaC, posto z(y). = y' ed essendo y"=zz' si ottiene = k, da cui, separando secondo la d~ hanno curvatura 3/2 zz' / [1+z 2] = le variabili -[1+z2]-1/2=J zdz. [1+z2]3/2 =kf dy=k(y+cl) ed elevando entrambi i membri al quadrato (tenendo presente c1 ) < O) 1 l+z 2 identi- k ~ (y+c l) 2_ Ricordando che z = y' abbiamo => z2= l-k2 (y+c1)2 k2 (y+c 1)2 che k(y + 365 1 ± Risulta / 1-k 2 (y+c 1)2 k 1-k 2 (y+c 1 ) 2 = k 2 (x+c Z) 2 , cioè anche (x+c 2 )2+(y-+cJ 2 = infine Ik I e = 1/k 2 • Si tratta della famiglia di circonferenze di raggio 1/ centro in un generico punto di coordinate (-c 2 , -c 1 ). Notiamo anche in generale, la quantità [ l+(y') 2 ] che, 3/2 I y" I raggio è chiamata Relativamente curvatura. nostra equazione k(y + c 1 ) < o, otteniamo deve essere le figure di alla 6.1, differenziale, ricordando per k 1·0 le soluzioni .che (si vedano 6.2): (se k > O) y(x)=-c 1 + / 1/k 2 - (K+c 2 ) 2 y curvatura= y k> O (se k < O) ] = k< O curvatura 1 '------- / __ l X figura 6.1 fil __- --- X figura 6.7. 366 6. 28 Trovare le curve piane il cui raggio di curvatura r = è uguale compreso alla tra la lunghezza del segmento curva e l'asse delle di normale ascisse. Il segmento di normale compreso tra la curva e l'asse delle ascisse è rappresentato in figura 5.4. La si"ia lunghezza vale (si veda l'esercì 2 + y 2 . Occorre perciò risolvere zio 5.21) /(yy') l'equazione diff~ renziale J [1+(y')2 3/2 Posto z(y)=y' risulta cando, si ottiene t IY°' / (yy')2 y" zz' l+z 2 zz', 1 2 da cui, elevando al quadrato e semplifi 1 ± - y Consideriamo separatamente biamo 7 + y2 log(l+z 2 )= il segno+ ed il segno f f~ zdz l+z 2 dy = log (c 1 y) con c 1 I O, da cui l+z 2 = cf y 2 ed ancora z= ±/c~ che z=y' Nel primo caso ab- y 2 - 1. Ricordando dy/dK, abiarno ± f dx L'integrale a primo membro si risolve tramite la funzione inversa del coseno iperbolico; oppure, ad esemp.io, con la sostituzione /c~ y 2 -1 = = t - c 1 y (si veda il paragrafo 4G del 1° volume, parte seconda), per cui, elevando al quadrato, si ha y:(t+l/t)/(2c ), da cui 1 dy 1 t-c l y Perciò f Dalla dy relazione noti 1 cl /cfy2-l si ricava (si diviene l'integrale f implicita 1 :t Ic 1Y+ /cfy2-l log Cl I • "· log la y: che cosh(t) = cosh(-t). - log ( c 1 y) ( c 1 I O), da cui ± / (1-c i y 2 )/(ci Nel caso del segno / 1 +z 2 1/(c y 2 ) • Ponendo z=y'=dy/dx - abbiamo 1 y) ed e separando log/1+z 2 • ancora z = le variabili otteniamo 1 Si tratta = 1/c 6D. = ± della famiglia di circonferenze di ordin= dx = ± (x+c 2 ) • di equazione f ] Eq~azioni condo f s~periore y 2 +p,+c 2 ) 2 al se- Per risolvere un'equazione differenziale di ordi ne superiore al secondo, ammesso che sia possibile per via analitica, può essere utile sostituire la:fu!!_ zione incognita y(x) con una sua derivata (z=y', CJ pure z=y", oppure ... ) in modo da abbassare l'oniins:: dell'equazione; però è necessario che l'equazione clif ferenziale non dipenda esplicitamente da x, oppure day, oppure da y,y', oppure da ... Vediamo alcuni esempi. 368 6.29 Risolvere, per x > O, le li del terzo ordine (a) y"' 2 ~ (b) y"' 2 ~ (e) y"' l.:L.'.. differenzia- v~ X Zx ✓yf'f + X X [ (a) Dato che nell'equazione differenziale non compaiono Essendo te y e y', è opportuno porre z(x) l'equazione del primo ordine in z: z' = 2 che è del tipo = 2t - equazioni = y"(x). esplicitamen- z' =y"', otteniamo, z' = g(z/x), con g(t)= ~ - •'= V;_ X di Bernoulli (ed anche del tipo /t ). In base al metodo di Bernoulli (paragrafo mo entrambi i membri dell'equazione in cui > O; notiamo anche che z = O è una soluzione (y"=z=O) y(x) = c 1x + c2 è soluzione z(x) spondenza terzo ordine) l'equazione e poniamo 1 1 X 2 ;;- di a(x) 1/x è, per x > O, A(x) f ( - /ix e-A(x) -3/2 z=w 2 = ( h che y"(x)=z(x), ) dx = X (x X Ne risulta /~ (nel caso ed in corri dell'equazione del lineare w' ;;: - w w(x)=/(x) per w = ;;: • Essendo w' = z' /(2 ;;: ) , otteniamo differenziale Una primitiva X > O: differenziale 5B), dividia- + Cl integrando X) 2 logx. Perciò, per dx -1/2 + Cl = X + 2c l X due volte, ) 3/2 otteniamo • + C~ X2 infine Ricordando 369 f y'(x) = y(x)= f (b) y(x) 2-x K2 z(x)dx 2 4 6 +6 +2-c 30 10 l C 5 x3 y' (x)dx 1 5/2 + - + - K l 3 7/2 8 c1K 35 x 5 +2-c 2 12 l + c f x3 + c 2 1 C 12 f + c2 x + c 3 . X 4 x 4 + c 2 x + c 3 , oltre a y(x ) =c 1 x+ (c) y(x) 6.30 Risolvere ordine le (a) y'y'" (b) y'y"' - equazioni + (y 11 ) 2 [(a) Nell'equazione tre =y'", otteniamo l'equazione la y (ol - porre z'=y", z"= precedente) e 2 g(z,z' che si risolve con la sostituzione dz' dw(z) dw dx dx dz che si scompone in w nel paragrafo w(z) = z'. dz dx di primo ordine = w'z' nella otteniamo Essendo = w'w, variabile w: = O ( ci_oè z' =O, cioè ancora z=c e quindi y( x) = = c 1 x + c 2 ) ed in zw' - w = o. Ricordando le variabili essendo = O ,z")=O (considerato l'equazione z(x)=y'(x); del secondo ordine che è del tipo otteniamo non compare esplicitamente opportuno zz" - (z') z" terzo O differenziale che la x); è perciò del = O 2 (y") differenziali 1 che w' = dw/dz, separando 3 70 log dz Iw I = J : Jz da cui, pur di cambiare il segno di c 1 , w = c 1 z, cioè z'=c 1 z. Si tratta di un'equazione lineare del primo ordine che ha per soluzioni c x Infine, essendo y'(x) = z(x), abbiamo y(x) = (c 2 /c 1 )e 1 + c 3 , se c 1 1 o, altrimenti y(x) = c 2 x + c 3 (soluzioni che avevamo già trov~ tro in precedenza). (b) Come in (a) si pone z(x)=y'(x) e w(z)=z'; si trovano le condizioni w=Ooppure zw' + w = O. In corrispondenza risulta z(x)=c 1 (y(x) = =e 1 x + c 2 ) oppure dw Iw I = J w log J dz z log da cui, pur di cambiare il segno di c 1 separando le variabili si trova z(x) = ± I c 1 x+c 2 w=c 1 /z. Essendo z'=w=c 1 /z, (pur di cambiare 2c 1 con e 1 ). Infine Jz(x)dx 6.31 ± J dx con c 1 1 O, oltre a y(x) Risolvere problema di Cauchy y(x)= il y"' { y (O) [ La funzione z(x) 2 - y" y I (O) 2. [ (x-l)y"] = 3; y"(x) soddisfa l'equazione ordine z' [ (x-l)z ] 2 - z , ' y" (o) differenziale 1 del primo 371 che è del tipo di Bernoulli; che z = O non soddisfa giunge all'equazione che ammette iniziale condizione w' (x-1) 2 = w - permette condizio!le , dato che conto della 2 + 1) e = l/(x = arctg = 2, si trova c 1 ; infatti, x + c2 c 2 = 2; infine, tenendo - log / l+x 2 J (IV) le soluzioni quarto ordine + (y"') = y"' soddisfa + z 2 =Oche, risolta dell' = 0 2 l' eq1.J<!zione differenziale per equazione separazione delle del primo variabili, O!: dà risultato z(x) - Infine, a z = y"' z=-x/(l+c se z = - x/(l+c =Osi ha y(x) x) con c 1 =O risulta 1 1 x) -x z (x) e O In corrispondenza .so particolare = c 1 x 2 +c 2 x+c 3 • Nel cay'" = z = - x, da cui con c 1 I O, abbiamo +- y"(x)= 1 c2 1 poi si , z(x) z(x)dx tµtte del z(x) noti ordine di determinare = 3 + 2x + x arctgx x2y x 2 z' (si = 1) y(O) = 3, risulta Determinare differenziale [ La funzione I = w(x)=l/z(x) z(O) = y"(O) w(}!) = c 1 ex + x 2 + 1. La generale y'(O) iniziale y(x) il primo = 1, è c 1 =O. Perciò Dovendo essere dine del l'integrale y'(x) iniziale lineare z(O)=y"(O)=l w(O)=l/z(O) 6.32 con la sostituzione la condizione y(x) si ottiene integrando due volte y"(x)] 372 6.33 Sian> 1, f(x) una funzione continua tervallo I e sia x 0 el. Vérificare che zione del problema di Cauchy in un inla solu - y<n)= f(x) {Y(xo) =y( 0) ,• Y Xo -y (1). . (n-1) ( )(n-1) o • • • • •Y Xo -y o , 1 ( )- 0 Con (O) Y (1) (y 0 , sentata, y(x)= 0 , per xeI, n-1 k! L k=O (n-1)°) eR , puo nella forma ,Yo ••• n , f (k) Yo (x-x 0 )k + essere x X f(t) rappre (x - t) - n-1 (n-1) dt. ! o [ In base al teorema di Cauchy (per le equazioni lineari) il problema ha una sola soluzione y(x) definita in I. La fonnula di Taylor.(valida per ogni funzione derivabile n volte con derivata n-sima continua)di y(x), di punto iniziale x 0 e con il resto in forma integrale (si veda l'ese~ cizio l.84(a)), fornisce la rappresentazione (x-x) y(x) k + f X si noti che y(x) ha derivata X y (n) (t) dt; o n-sima continua, (k) essendo y ogni x E I. Tenendo anche presente che y = O,l, •.• ,n-1, come indicato y(x) si rappresenta n-1 (x-t) (n-1) ! (k) (x 0 ) = y 0 (n) (x)=f(x) per nell'enunciato per ogni k = ] La parte seconda del 2° volume di esercizi contiene i seguenti capitoli: - MASSIMI E MINIMI PER LE FUNZIONI DI Più VARIABILI - MISURA ED INTEGRAZIONE IN R" - METODI DI CALCOLO PER GLI INTEGRALI MULTIPLI - FUNZIONI IMPLICITE - INTEGRALI SU CURVE E SUPERFICI - FORME DIFFERENZIALI

Esercizi di Matematica: Successioni, Serie, Equazioni

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