METROLOGIA
Misurare è fondamentale per conoscere. Da sempre l’uomo effe8ua misure per conoscere il mondo
che lo circonda e le proprietà degli ogge</fenomeni di interesse. Con gli anni si è capito che le cose
fondamentali da misurare sono 7.
Il termometro a mercurio, il pendolo, la meridiana sono misuratori analogici: hanno tu< una
risoluzione infinita di misura, ovvero indicano una misura potenzialmente infinitamente corre8a
con un numero finito di misure. I misuratori digitali hanno una risoluzione finita di misura, perché
hanno una certa sensibilità e un range di misura. La misura è sempre associata ad un’unità di misura:
il valore è il numero che esprime il rapporto con il riferimento (unità di misura). C’è sempre una certa
incertezza legata alla misura, che non è l’errore massimo che può fare il disposiLvo.
Misure di grandezze fisiche quanLtaLve: la grandezza è un a8ributo di un fenomeno o di una
sostanza, disLnguibile qualitaLvamente e determinabile quanLtaLvamente; il misurando è la
grandezza so8omisura. Grandezze omogenee sono della stessa natura e quindi dire8amente
confrontabili tra loro.
La misura è il confronto tra due grandezze omogenee, di cui una è presa come riferimento, chiamata
campione di misura. Il valore della misura è il numero che esprime il rapporto con il riferimento:
l’obie<vo è trovare dei riferimenL comuni a tu<, che siano anche facilmente riproducibili.
La misura viene fa8a sempre per confronto: Lpicamente con un manufa8o, qualcosa di facilmente
riproducibile dall’uomo, ma se è arLficiale avrà dei limiL sperimentali, che non hanno i riferimenL
fisici. Nessuna misura è esa8a, sono tu8e approssimazioni. Esistono misure più o meno accurate,
cioè quanto sono vicino al valore reale.
Accuratezza ≠ incertezza. L’incertezza quanLfica di quanto mi discosto dalla misura, l’accuratezza
quanto sono vicino. Cause:
_riferimenL (accuratezza e stabilità): scostamento della definizione e variabilità nel tempo
_daL di origine o risultaL di altre misure
_relazione tra misurando e sistema di misura: incertezze ed errori dello strumento (misure dire8e,
misure indire8e, ovvero fare la misura di una grandezza per o8enerle un’altra mediante una
relazione); quando ho delle misure dire8e l’incertezza è data dallo strumento, con delle misure
indire8e è data dalle misure di origine.
_effe< di carico: sono problemi ele8rici, se in un voltmetro ci fosse una tensione sbagliata
_errore di modello: errore nella relazione funzionale che descrive una misura indire8a
_errori di misura: parametri ambientali, errore di parallasse
_errori di offset, gain/slope: offset sovrasLma o so8osLma tu8a la misura, gain il sistema non misura
allo stesso modo una variazione a diversi punL della misura (capitano nelle bilance)
_non linearità, isteresi, vedi slide 13, lo riconosco aggiungendo costantemente una tot misura e poi
togliendola (bilancia 10 kg, 10 kg e così via e poi li tolgo, Lpicamente accade nei termometri ad alta
escursione, perché il sistema subisce una rico8ura, ovvero cambiano i rapporL degli atomi interni)
Accuratezza: grado di concordanza tra un valore misurato e un valor vero di un misurando, copia
altre definizioni slide 14. L’incertezza sLma di quando sbagliamo a misurare.
Sensibilità: rapporto tra la variazione della grandezza (segnale) di uscita e la corrispondente
variazione della grandezza (segnale) d’ingresso. È importante perché, lavorando in un mondo
digitale, tu8e le misure devono essere trasdo8e da una grandezza a una differenza di potenziale.
Risoluzione: capacità di uno strumento/misura di risolvere staL (livelli) diversi del misurando. Non
corrisponde all’errore massimo di misura, che vale la metà della risoluzione.
1
Ripe>bilità: capacità di o8enere, per uno stesso misurando, valori di le8ura vicini tra loro nel breve
periodo
Stabilità: capacità di o8enere, per uno stesso misurando, valori di le8ura vicini tra loro in un
intervallo di tempo ben definito e chiaramente specificato.
Riproducibilità: capacità di o8enere, per uno stesso misurando, risultaL vicini tra loro in diverse e
specificate condizioni di misura.
Riferibilità: proprietà di una misura di essere messa in relazione (riferita) con quella fornita da un
campione riconosciuto.
Il Sistema Internazionale è un sistema coerente: tu8e le sue unità derivate si ricavano come prodo<
e rapporL delle se8e unità di base, senza introdurre fa8ori molLplicaLvi.
METRO
1970: basato sul krypton
1983: lunghezza del tragi8o compiuto dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a
1/299792458 secondi. Si può o8enere da una misura del tempo di volo di un impulso
ele8romagneLco. È anche la base del GPS. In laboratorio si preferisce realizzare il metro mediante
conteggio del numero di lunghezze d’onda di un laser.
KILOGRAMMO
Nel 2019 era l’unica ad avere ancora come riferimento un manufa8o. L’incertezza è sicuramente 0,
ma è difficilmente riproducibile e varia nel tempo. Hanno cercato di migliorarlo costruendo una sfera
perfe8a e analizzata con dei laser, riproducendo il kg grazie alla conoscenza del peso atomico con
un’incertezza migliore di 10-9, ma non sono riusciL.
SECONDO
Era definito come il periodo di tempo che conLene 9192631770 periodi della radiazione emessa da
un atomo di cesio “imperturbato” che decade tra due livelli iperfini dello stato fondamentale.
L’atomo viene eccitato e quindi rieme8e energia a una certa frequenza stabile. Perme8e un errore
di un secondo ogni un milione di anni: 10-16, è la più accurata, ogni Lpo di misura si cerca di
trasformarla in misura di tempo. Il GPS fa una misura di tempo, in realtà sono fino a 15-16 per le
misure commerciali.
AMPERE
Intensità di corrente ele8rica che a8rae due fili paralleli e distanL 1 m con una forza di 2x10-7 N/m,
con μ0 nota e pari a 0. Definizione difficilmente realizzabile. Realizzate non meglio di 10-7.
KELVIN, MOLE E CANDELA
Quelle realizzate con le incertezze peggiori.
Kelvin è la frazione 1/273.16 della temperatura del punto triplo dell’acqua. Realizzazione. Incertezza
di 10-6.
La mole è la quanLtà di sostanza che conLene tante enLtà elementari quanL sono gli atomi
contenuL in 0.012 kg di Carbonio 12. Incertezza di 9x10-8.
La candela è l’intensità luminosa, in una assegnata direzione, di
una sorgente che eme8e luce a 540x1012 Hz con intensità
magneLca di 1/683 Wsr-1. Incertezza di 3x10-3.
A destra vediamo la tabella delle relazioni tra le grandezze. Solo
il Kelvin non è legato alle altre.
La corrente era definita mediante una definizione irrealizzabile.
Veniva realizzata con l’effe8o Josephson: ai capi di una giunzione
di due supercondu8ori debolmente accoppiaL, cioè separaL da
2
un so<le strato di materiale diverso (isolante, condu8ore o semicondu8ore), opportunamente
polarizzata con una corrente conLnua e irradiata da un’onda ele8romagneLca di frequenza f, si
generano valori quanLzzaL di tensione media secondo la relazione V = (h/2e)nf essendo n un intero,
h la costante di Planck ed e la carica dell’ele8rone. riproducibilità 10-10.
È comodo perché lo “scalino” del potenziale perme8e di o8enere lo
stesso valore anche se si sbaglia di poco la frequenza. Entro un certo
range è insensibile alla frequenza. Come o8engo la corrente se ho la
tensione? Usando la legge di Ohm.
Ora devo generare R in modo che sia un riferimento: sfru8o l’effe8o Hall.
La resistenza dovuta all’effe8o Hall in un gas ele8ronico bidimensionale,
in presenza di elevaL valori di induzione magneLca (B=10T) e a basse
temperature(T<1K), assume valori discreL secondo la relazione
R=h/(ie^2), essendo i un intero, h la costante di Planck ed e la carica dell’ele8rone. Anche questo
perme8e di generare una resistenza costante per un certo intervallo. Ora ho due riferimenL per
tensione e resistenza, da loro trovo la corrente. La mia bravura nel determinare la corrente sarà
unicamente la precisione con cui calcolo una tensione e una resistenza: la misura di resistenza poi la
si fa misurando una tensione: è tu8o una misura di tensione, che a sua volta posso misurarla come
un tempo.
Per il KILOGRAMMO c’è stato un tentaLvo mediante la bilancia del Wa8 o di Kibble. Perme8e di
determinare la costante di Planck e poi definire la massa.
Nel 2019 è stato poi ridefinito il Sistema Internazionale.
Vedi immagini accanto. Le costanL sono definite in
maniera esa8a, non c’è alcuna incertezza sulla definizione,
che però ci sarà sulla realizzazione.
Le definizioni rimangono teoriche, ci sono poi le
realizzazioni, che servono poi per effe8uare le misure. Ce
ne sono tre Lpi:
_campioni primari: realizzano l’unità (a livello del SI, in
alcuni IsLtuL Metrologici nazionali) con i migliori livelli di
accuratezza praLcamente o8enibili, di solito difficili da
o8enere;
_campioni secondari: consentono di trasferire l’unità e di
effe8uare i confronL tra i campioni primari e verso altri
campioni, il loro riferimento sono i primari, l’accuratezza è
ne8amente superiore alla richiesta commerciale;
_campioni di trasferimento: sono campioni secondari
parLcolarmente ada< al trasporto e usaL per trasferire
l’unità, su quesL si tarano i campioni secondari.
Tarare uno strumento significa valutare l’incertezza di un
campione/strumento rispe8o a uno di qualità superiore e
di ricavare le correzioni.
La messa a punto è l’insieme di operazioni volte a perme8ere a uno strumento di operare nelle
migliori condizioni di lavoro (regolazione di offset e guadagno, parametri ambientali ecc…).
3
Sono state create anche 1027, 1030, 10-27 e 10-30.
Il BEL esprime il rapporto di potenze in scala logaritmica uLlizzando una base decimale: è il log10 di
un rapporto di potenze. Fa il clipping, ovvero comprime la scala.
Il DeciBel è 10*log10.
I rapporL di ampiezze, quando tensioni e correnL sono misurate su uno stesso carico, si esprimono
in decibel secondo la relazione
perché P=(A2)/R, cioè (V2)*R.
Le potenze in dB non si sommano: è un rapporto, è un numero puro, devo trovare prima le potenze
associate e poi rifare il rapporto nuovo.
Neper, dBc e RIN sono altri log che si usano. Neper è un rapporto usando e, di solito per distanze
astrofisiche. dBc si usa in campo radio, c sta per carrier, ovvero portante: esprime un rapporto di
potenza rispe8o alla potenza della portante. Si usa il dBc per capire di quanto le frequenze modulate
abbiano una potenza abbastanza grande rispe8o alla portante, per essere rivelata dalla radio (la
radio fm si sente molto meglio della am). RelaLve Intensity Noise è il rapporto di potenza di rumore
e la potenza di segnale, più e basso, meglio è il segnale.
4
INCERTEZZA
Dobbiamo parLre da un presupposto, la variabilità delle misure: misure ripetute dello stesso
parametro fisico non forniscono lo stesso valore (con un adeguato grado di risoluzione). Si crea così
una certa dispersione dei valori, ovvero dei valori che non sono tu< uguali. Come si descrive? Si
cerca il valor medio, che è un modo per rappresentare tu8e le misure che ho fa8o (la media è uno
sLmatore). Si è visto da un punto di vista staLsLco che le misure sono disperse in un certo modo
(figura a fianco), con una distribuzione gaussiana.
StaLsLcamente le misure di disperdono con la forma della
gaussiana, che ha come picco il valor medio. Come avviene
la dispersione? Viene espresso dalla varianza e poi dalla
deviazione standard, la radice della varianza, che indica
quanto mediamente le misure sono distanL dal valor medio.
Perché è importante per descrivere la dispersione? Perché il
suo valore quanLtaLvo dice quanto le misure sono vicine o lontane al valor medio; tanto più sono
lontane, tanto meno il valor medio è rappresentaLvo della distribuzione. La deviazione è quindi un
parametro qualitaLvo per la qualità della media.
Si preferisce quindi un approccio sta>s>co:
le misure sono sempre affe8e da flu8uazioni o errori, mai perfe8amente conoscibili, che si
traducono in una naturale indeterminazione o incertezza sul risultato di misura. Occorre lasciare un
approccio determinisLco (si vorrebbero conoscere le flu8uazioni) in favore di un approccio staLsLco
grazie al quale è possibile sLmare le flu8uazioni.
Il risultato della misura è quindi un intervallo di valori possibili entro il quale il misurando può trovarsi
con una data probabilità, ma potrebbe anche trovarsi all’esterno del risultato (c’è una certa
probabilità che si può sLmare).
Nelle vecchie misure si esprime una semi ampiezza in cui si trova il valor medio: x+-u(x).
La teoria degli errori di misura prevedeva che un misurando non potesse mai essere perfe8amente
conosciuto a causa degli inevitabili errori di misura. Errore = valore misurato – valore vero. Ma il
valore vero non lo conosco e quindi l’errore è indeterminato.
Quindi gli errori sono di due Lpi e vanno sLmaL:
_errori sistema>ci: si presentano nella stessa enLtà ogni volta che si ripete la misura (offset o
polarizzazione);
_errori accidentali: si presentano in maniera diversa e impredicibile ogni volta che si ripete la misura.
Il problema è che i due Lpi di errore non sono della stessa natura: i primi sono componenL
determinisLche, i secondi sono componenL aleatorie, talvolta riducibili, ma mai eliminabili. QuesL
due Lpi non possono essere combinaL/sommaL in maniera corre8a (si sommano solo le grandezze
omogenee ma anche logicamente dello stesso Lpo).
Dalla teoria degli errori nasce la teoria dell’incertezza, che è alla base di tu8a la misurazione. Una
corre8a analisi staLsLca della variabilità di una misura consente di risolvere in maniera
soddisfacente il problema di esprimere l’incertezza standard di misura. Ci sono due categorie di
incertezza per sLmare tu< i Lpi:
A – s>mata con metodi sta>s>ci (su un insieme, o campione, di misure ripetute)
B – s>mata in altro modo (si sLma con conoscenze a priori o proprietà dello strumento), di solito
più difficile, è quella delle conoscenze a priori
5
Il Lpo A è più sistemaLco, si guarda media e deviazione standard, il Lpo B è più basato sull’esperienza
dell’utente.
PROBABILITÀ
Varia da 0 a 1 (evento impossibile e certo). Con X si intende una variabile casuale con valori x reali.
La probabilità di un evento all’interno di un intervallo è l’integrale della densità di probabilità
all’interno dell’intervallo (ad esempio la gaussiana, è quella a cui tendono tu8e le distribuzioni nella
legge dei grandi numeri).
La normalizzazione della funzione densità di probabilità (PDF) non è altro che l’integrale da -infinito
a +infinito di tu8a la densità di probabilità, che dà la certezza dell’evento.
Se abbiamo una variabile casuale X reale, esistono degli sLmatori che consentono di conoscere
alcuni parametri cara8erisLci del processo casuale. In parLcolare, media e varianza perme8ono di
sLmare la tendenza centrale e la dispersione dei valori x associabili a x.
La media (valore aOeso) è l’integrale del prodo8o della variabile, per la densità di probabilità, in
tu8o l’intervallo (reali).
La varianza è lo sLmatore della distanza tra la variabile x e il valor medio. È l’integrale del prodo8o
della probabilità e la variabile casuale – la media al quadrato.
Non si usa la varianza ma la deviazione standard, che è la sua radice. Da un punto di vista teorico
hanno lo stesso significato, ma la deviazione ha la stessa unità di misura della variabile.
La PDF normale o gaussiana è la PDF più comune per la descrizione della media di fenomeni casuali
quali le misure (per il teorema del limite centrale la media di una variabile casuale tende ad avere
una PDF gaussiana in una “approssimazione dei grandi numeri”). È diverso, nel senso che si usa uno
sLmatore, si dice che la sLma della media sulla variabile casuale, dà la stessa distribuzione gaussiana:
superiore di dire che una singola variabile casuale alla lunga avrà una distribuzione gaussiana. La
differenza è che la media si può fare su un numero non così grande di valori, al contrario della legge
dei grandi numeri, che dice che alla lunga avrà una
gaussiana.Forma analiLca (dice esa8amente punto
per punto):
la distribuzione gaussiana per valori diversi di
media e varianza dà delle forme completamente diverse (immagine a sinistra slide 11) -> la
deviazione standard è un parametro qualitaLvo della misura: tanto più sono vicini alla misura e più
è buona la misura.
Devo usare la gaussiana perché è il modo più semplice dal punto di vista matema>co di approcciare
delle misure limitate: il bello della staLsLca è che con un limitato numero di evidenze sperimentali
riesco a sLmare come si comporta il grande campione.
La PDF gaussiana serve a conoscere perfe8amente, con un certo grado di incertezza (acce8abile)
come si comporterà un sistema di misura.
Approccio quanLtaLvo: qual è la probabilità di cadere in un intervallo gaussiano.
QuanL valori stanno nella gaussiana?
Entro +-σ stanno il 68% delle misure (circa 2/3).
Per essere quasi cerL che la singola misura cada all’interno
della distribuzione occorre prendere 2σ: nella distanza di
due volte la deviazione standard si o<ene il 95,5% delle
misure. In 3σ ci stanno il 99,7% delle misure.
A livello industriale si scrive x +- U(x), si intende 2σ, che si usa quasi sempre a livello industriale, per
“pararsi i fondelli”, perché è più chiaro per tu< e perché circa 1/3 delle misure che il mio strumento
6
fa non stanno nel range e un uLlizzatore comune potrebbe non capire o spaventarsi. Dal punto di
vista del costru8ore sarebbe meglio scrivere 1σ, ma è meglio me8ere il valore con la maggiore
probabilità di trovare l’output del sistema.
1 A +- 0,1 A -> 0,1 A = 2σ
Si scrive anche 1,0(1) A -> (1) si intende 1σ, significa 0,1. È la notazione compa8a. L’altra si usa solo
per i 2σ.
Per qualsiasi misura si definisce incertezza standard o scarto >po, con simbolo u dall’inglese
uncertainty, una sLma della deviazione standard σ, radice quadrata della varianza σ2, prevista per il
valore di misura. A seconda del metodo impiegato per la sLma di u(.) classificheremo questa
incertezza come di categoria A o B.
La media campionaria è la sLma di un valor medio dell’intera popolazione, a8ravoerso lo sLmatore
x segnato. Si o<ene facendo la media di campioni diversi, è come se ogni campione descrivesse
distribuzioni (in teoria) diverse. Si ha un misurando noto a8raverso n determinazioni o8enute in
condizioni di ripeLbilità. Ogni singola determinazione la si deve vedere come una media, si vuole
sLmare che la media della media è uguale alla media stessa. Si vuole dimostrare che gli x valori presi
la loro media è quella delle infinite misurazioni fa8e, se potessi farle.
Per misure ripetute di una grandezza X la miglior sLma del valore di misura x coincide con il valor
medio delle misure ripetute. Per determinare la dispersione del
valore di misura dovremo valutare la dispersione della variabile
casuale. Dovremmo variare la varianza della varianza
campionaria, ovvero quanto si discosta la varianza dalla varianza
campionaria. Dunque cercheremo σ(x segnato), che risulta una
funzione di σ(x) e del numero di misure ripetute.
Si parte dalla varianza campionaria.
Nella varianza campionaria, il denominatore n-1=v è il numero di
gradi di libertà, che dicono quanto una varianza è fa8a bene. C’è
una dipendenza delle variabili casuali dal valor medio, che fa sì
che i gradi di libertà (numero di misure al ne8o delle relazioni
che ci sono tra media e varianza, siccome c’è una relazione
lineare tra le due, i gradi di libertà sono n-1).
Ci sono tre validi moLvi per cui dividere la somma degli n scarL
quadraLci per n-1 e non per n:
_ Non ha alcun senso calcolare la varianza per un campione che
contenga un solo dato (n=1). In tale caso, dividendo per n-1
o8eniamo come s2(x) una forma indefinita del Lpo 0/0.
_ Nella formula di s2(x) calcoliamo di fa8o gli scarL quadraLci
della media campionaria, x segnato (nota), e non dalla media della popolazione, μx, che è ignota:
dunque degli n scarL quadraLci sommaL solo n-1 sono tra loro indipendenL.
_ Si dimostra che il valore a8eso della varianza campionaria, con l’n-1 al denominatore, è la varianza
della popolazione: E{s2(x)} = σ2(x)
Incertezza di categoria A. Per determinare l’incertezza sul valore di misura valuLamo la deviazione
standard della variabile casuale x segnato. Si definisce incertezza di categoria A la dispersione del
valor medio delle misure ripetute, calcolabile come nella
figura a fianco.
7
Incertezza rela>va. Abbiamo sempre espresso un’incertezza dimensionale (con unità di misura). Si
può descrivere la stessa cosa anche in termini relaLvi, per alcuni Lpi di conteggio è più comodo. È il
valore di incertezza calcolata al passaggio precedente diviso il valor medio e prende il nome di
incertezza relaLva. MolLplicata per 100 diventa l’incertezza percentuale. Sarà un numero
adimensionale, un numero puro che esprime l’incertezza relaLva.La cosa bella dell’incrtezza relaLva
è che possono essere confrontate tra di loro, amche se non sono omogenee. L’incertezza relaLva
indica, indipendentemente dal valore e Lpo del misurando, il grado di conoscenza che abbiamo
raggiunto sul valore di misura.
L’incertezza estesa è quella più usata a livello industriale. Quando si vuole definire un intervallo di
valori a8orno al valore di misura, all’interno del quale si riLene che il misurando debba cadere, si dà
un certo livello di confidenza e si uLlizza l’incertezza estesa. Si estende l’incertezza molLplicando per
k seguendo i principi già visL. A livello industriale si usa l’incertezza relaLva con l’incertezza estesa
perché così è difficile che le misure escano dall’intervallo. Di solito si me8e l’incertezza estesa k=2.
L’incertezza va espressa con al più due cifre significaLve. Esiste anche un’incertezza dell’incertezza e
di norma non ha senso impiegare più di due cifre significaLve per u(x), perché l’errore percentuale
sarebbe talmente piccolo che non inficierebbe nella precisione della misura. Si arrotonda al valore
più vicino (con il 5 di regola si arrotonda al numero più alto). Nei calcoli e passaggi intermedi
conviene conservare anche più di due cifre significaLve.
Misura V=7,00 V
UA(V)=0,37 V
Convenzione per rappresentare la misura con incertezza (al 68%, no incertezza estesa): 7,00(37) V.
Per l’incertezza estesa si usa 7,00+-0,74 V.
Incertezza di categoria B. Il dato viene pretra8ato, sulla base dello strumento. Si basa sulla
definizione “a priori” di un opportuno intervallo di valori entro il quale si suppone debbano vadere i
valori del misurando (con una data probabilità P). Esempio: quando uso il righello ho la stessa
probabilità di cadere più vicino a una tacche8a o a un’altra, non ho probabilità diverse. L’intervallo
è Lpicamente centrato a8orno al valor medio. ΔX sarà legata all’incertezza di misura.
Come si calcola?
1. Definisco l’intervallo
2. Definisco qual è la PDF dell’intervallo (tra le due tacche8e ho la stessa probabilità, quindi
probabilità uniforme)
3. Calcolo media, varianza e deviazione standard
Nel caso A non si calcola nessun intervallo, senza definire densità di probabilità o altre cose, ci
appellavamo al fa8o che per la legge dei grandi numeri divenL tu8o gaussiano. Ora posso fare degli
errori, nel caso A non si possono fare grossi errori se non quelli di calcolo.
Le PDF più comuni sono:
_ uniforme: ogni punto ha la stessa probabilità
_ triangolare: c’è una variazione lineare della probabilità (che esca il valore, più mi allontano dal valor
medio più è facile che non trovi il valore, all’estremo non trovo nulla -> differente dall agaussiana
perché fuori dall’intervallo ho ancora qualcosa)
_ a U: Lpicamente è quando produco qualcosa e tolgo quelle del valore del centro dell’intervallo
_ gaussiana
Come scelgo intervallo e distribuzione? tanto la larghezza dell’intervallo quanto la PDF si scelgono
sulla base di precedenL conoscenze o daL di miure, esperienza sul comportamento del msiruando,
specifiche dei costru8ori di materiali e strumenL coinvolL nella misura, daL di calibrazioni,
8
informazioni da arLcoli scienLfici/tecnici, incertezza sui parametri di riferimento (presa dai manuali
o da altre fonL).
Si scrive uB(x). Quando si dispone di una PDF per la grandezza x, è
possibile calcolare μ(x) e σ(x) che danno il valore di misura e la sua
incertezza. Vedi immagine a fianco. Per la PDF triangolare il
ragionamento è simile, uB sarà minore: Δx/√24
Ci sono altri metodi di calcolo di uB, dando ad esempio l’incertezza
estesa.
MISURE DIRETTE E INDIRETTE
Le misure dire8e sono le misure per cui calcolo il valore che voglio misurare in modalità 1:1. Ad
esempio uso un voltmetro per calcolare la tensione, un termometro al mercurio per misurare la
temperatura ecc…
Se voglio calcolare la temperatura con una termocoppia (due sensori a uan T di riferimento e alla
temperatura da misurare, trovo la ΔV, che sarà proporzionale alla ΔT. Una misura è indire8a quando
misuro una grandezza per ricavarne un’altra.
Quando si fa un’incertezza si può calcolare l’incertezza come se fosse composta da incertezza di
categoria A e B, anche se vengono da daL diversi. Non si sommano linearmente le incertezze! Si
sommano in modo quadraLco.
Una volta che ho la misura che voglio o8enere, vado a trovare una funzione che descriva come si
comporta rispe8o ai suoi parametri. La funzione f(Xi) prende il nome di relazione funzionale
(equazione della misura). Y e Xi sono le variabili mentre y e xi i valori. Naturalmente dalla conoscenza
dei valori degli ingressi è possibile ricavare il valore d’uscita: y=f(xi). Saranno invece le incertezze
degli ingressi, opportunamente “combinate”, a fornire l’incertezza
dell’uscita:
L’idea fondamentale è di lavorare intorno al punto di lavoro (valore di misura). È possibile sviluppare
in serie di taylor (1° ordine) la relazione funzionale f -> sostanzialmente faccio la derivata. In praLca
si guarda quale dei parametri influenza di più la funzione.
Definiamo coefficienL di sensibilità le derivate prime parziali della relazione funzionale rispe8o alla
variabile xi. ci indica come varia il misurando Y in
corrispondenza di una variazione del parametro Xi
di dipendenza.
Ne esce il conto in figura. Non useremo la forma
con due sommatorie; è la covarianza tra due
parametri, cioè quanto un parametro influenza
l’altro, noi useremo semore parametri che non
influenzano l’altro, basandoci sul fa8o che le
variabili sono staLsLcamente indipendenL.
Slide 52 – ricorda la prima parte, la seconda esprime quanto l’incertezza su una singola variabile in
una misura indire8a influenzi l’altra. Lavoriamo sempre con variabili staLsLcamente indipendenL.
Per fare il conto dell’incertezza si fa l’incertezza della singola variabile e sommerò con il coefficiente
di sensibilità (vedi slide 49). Così vedo di quanto pesa nel calcolo totale.
Slide 54 coefficienL di correlazione, che valgono sempre tra -1 e +1 (che significano completa
correlazione, non ci farà esercizi su questo in esame).
9
Ci sono casi parLcolari sull’indipendenza delle variabili: slide 56-57. Con un rapporto o prodo8o
posso usare una formula semplificata. La formula generale è sempre giusta.
La compaLbilità tra due misure è una quesLone un po’ più filosofica. Se faccio due misure con
strumenL diversi, ma mi danno i risultaL della grandezza che voglio conoscere, probabilmente essi
saranno diversi. Il fa8o che siano diversi non dice se una è giusta o sbagliata. Su una stessa idenLca
grandezza vado a vedere due misure diverse (a istanL diversi o con strumenL diversi), la
compaLbilità dice quanto le distribuzioni sono simili, prima di tu8o si vede la distanza tra le due
misure (le medie), poi si vede se rispe8o alla distanza dei due risultaL o8enuL, la combinazione delle
due incertezze associate rispe8o a un fa8ore k (fa8ore di compaLbilità), la somma quadraLca delle
incertezze guardo quando è superiore alla distanza. Fisicamente si calcola k, che è la distanza fra8o
la somma quadraLca delle incertezze (lavoriamo sempre con misure indipendenL).
Due misure si dicono compaLbili se k è inferiore a 1, 2 o 3 (compaLbile con k=1,2,3); k esprime
qunata distribuzione di una misura rispe8o a un’altra è sovrapposta. 0 è il caso perfe8o, in cui vorrei
trocarmi; se l’incertezza è alta, la distribuzione è più larga e quindi k è minore. La compaLbilità non
dà l’idea se una misura è migliore dell’altra, dice solo se staLsLcamente le distribuzioni sono
sovrapposte.
Se le due misure sono incompaLbili può dire molte cose: sono cambiate le condizioni di misura
(cambio temperatura), uno strumento è ro8o o non calibrato, ho sbagliato la tecnica con cui fare la
misura e altre cose, devo poi analizzare le cause.
La compaLbilità serve per la media pesata. Nasce nel momento in cui ho misure fa8e con metodi o
strumenL diversi. Si può usare solo se due misure sono compaLbili: posso trovare una misura
composta delle due misure. La medi aè pesata con l’incertezza con cui conosco la misura: tanto
inferiore è l’incertezza, tanto maggiore sarà il peso. Formula slide 74.
Poi si può fare l amedia oesata delle incerteze: slide 75.
Gradi di libertà (cosa in più). servono anche per sLmare quanto sono distante da una gaussiana
quando prendo un numero inferiore di misurazioni rispe8o all’infinito. Sull’incertezza di categoria B
si fa una sLma. Slide 84/86 leggi, gradi di libertà perme8ono di sLmare l’incertezza dell’incertezza,
non si fa praLcamente mai, ma è uLle quando si possono fare solo poche misurazioni.
Formula di Welch-Sa8erthwaite (non la chiede): sLma i gradi di libertà effe<vi calcolabili per
un’incertezza di cat. A. se si molLplica il numero per l’incertezza, si corregge il valore dell’incertezza
rispe8o alla distribuzione gaussiana, ovvero perme8e di dire qual è l’errore in termini dimensionali
rispe8o a una sLma gaussiana, dovuto al fa8o che la distribuzione può essere gaussiana se e solo se
ho un numero infinito di misurazioni. Questo valore è praLcamente nullo sopra le 20 misuraizoni.
So8o la fomrula di w.s. esistono una serie di distribuzioni (distribuzioni di T.D. Student), che
descrivono qual è la reale distrubuzione dei valori all’aumentare dei campioni presi -> praLcamente
sopra i 100 campioni diventa come la gaussiana, so8o no e la formula di w.s. dice di quanto.
Esercizio slide 88/ è sbagliato: c’è un errore nel calcolo del volume, perché dire che il volume del
cubo è L^3 è molto forte, perché quando si sLma l’incertezza di L, quella vale per un lato solo e non
si può estendere agli altri due laL perché sarebbero correlate. Si sarebbero dovute fare tre misure
staLsLcamente indipendenL, con relaLva incertezza.
10
CAMPIONAMENTO, SCHEDE DAQ, PROTOCOLLI
CONCETTTI DI BASE DELL’ACQUISIZIONE DATI.
CAMPIONAMENTO
Il campionamento si basa su due passaggi: una parte di discre>zzazione del tempo e una di
discre>zzazione d’ampiezza. La prima significa fermare la variabile d’interesse in un certo istante,
ad esempio una foto ferma l’immagine in un istante e la seconda significa quanLzzare l’ampiezza dei
vari segnali RGB, con dei filtri. Il primo passaggio ferma un asse, il secondo ferma l’asse successivo.
Vanno fa< in quest’ordine.
La discreLzzazione del tempo avviene idealmente con un tempo predeterminato, facendo una
misura ogni tot secondi (tempo di campionamento), la cara8erisLca è che quesL tot secondi
rimangono gli stessi lungo tu8o il periodo di misura e ci dirà se la misura è fa8a bene o male.
Segnale di tensione: Lpicamente è conLnuo nel tempo e costante in ampiezza. Tipicamente lo
campiono, cioè lo misuro in determinaL istanL temporali, secondo la teoria di Fourier -> ogni segnale
sarà unico perché avrà una certa composizione di frequenze, che ci saranno uLli qual è la frequenza
ada8a per campionare il segnale.
In un campionamento ideale il segnale è molLplicato per un treno di delta di Dirac h(t)= δ(t); in un
campionamento reale il segnale è molLplicato per un treno di re8angoli h(t)=rect(t/TW), in cui il
singolo re8angolo ha durata finita TW. Campionamento ideale significa prelevare il suo valore solo in
determinaL istanL temporali. Per Fourier, uno spe8ro sarebbe arrivato all’infinito come frequenze
delle sinusoidi, in uno spe8ro campionato si arriva fino a fc/2, replicando lo spe8ro rispe8o alla
frequenza di campionamento fc, l’unica parte poi che interessa è quella >0. Il limite alla frequenza
max ricostruita è la metà di fc, che è l’inverso del periodo di
campionamento (distanza dei campioni che ho preso).
Nasce così il teorema di Shannon: per ricostruire bene un
segnale (per campionare bene), va campionato almeno al
doppio della frequenza massima contenuta nel segnale;
nella figura a fianco la scri8ura formale. L’idea
fondamentale è che qualunque segnale ho, devo
raddoppiare la frequenza massima e o8engo la frequenza
minima di campionamento (posso fare anche di più). Dà una
misura quanLtaLva, non qualitaLva.
Cosa succede se la frequenza massima è maggiore di metà della frequenza di campionamento?
Problema dell’aliasing, o equivocazione spaziale -> o8engo una funzione diversa.
Fourier tra8a un campionamento ideale, io non posso mai conoscere l’onda in un tempo infinito, ma
faccio un assunto, cioè assumo che l’onda sia uguale prima e dopo (molto forte). Il problema è che
nelle intersezioni avrò delle disconLnuità (si fanno delle finestre, Lpicamente cosinusoidali, pesando
i campioni ai bordi meno).
Nel campionamento reale si sta aperL per un tempo
determinato, il valore che esce è la media di quel tempo.
Il segnale o8enuto è un re8angolo, la cui trasformata è
un seno cardinale. La forma tra8eggiata è il seno
cardinale (il delta di Dirac è quello sopra, quello che
dovrebbe uscire).
Nel campionamento reale non si lavora mai al limite del
teorema di Shannon, al limite di condizioni, ma si cerca di
lavorare ampiamente sopra. Per costruire bene una
11
sinusoide devo campionarla a 20 campioni a periodo, perché viene usata poi l’interpolazione lineare
(il cui problema è che non manLene la derivata).
Il campionamento del tempo è fa8o con un interru8ore e l’hold è fa8o con un sistema che manLene
la tensione nel tempo, mantenendo la capacità -> sono molto semplici.
Due Lpi di interru8ori: i primi che lavorano a bassa frequenza (meccanici), i relè, dei cilindre<
magneLci avvolL in una spira, si fa passare una corrente, si crea un campo magneLco indo8o che
muove il traferro avanL e indietro, Lpicamente si usano fino a 10 Hz. Gli altri interru8ori sono fa<
con transistor, quindi generatori di corrente controllaL in tensione. Vedi schemi su slide: a sinistra
c’è l’interru8ore e il condensatore che manLene la tensione che si vuole campionare, a destra c’è il
buffer, un amplificatore operazionale usato non per amplificare il segnale (l’anello di feedback di
solito ha una resistenza), ma per disaccoppiare l’ingresso dall’uscita. Se la misurassi dire8amente
sulla capacità sarei collegato dire8amente al sistema che genera la tensione e il sistema con cui
misuro potrebbe richiedere un certo quanLtaLvo di corrente che magari il sistema non riesce a darmi
e potrei misurare una tensione più bassa -> il buffer previene ciò, perché il sistema di misura lavora
sul buffer, che è dimensionato al sistema di misura. L’altra modalità (più convenzionale) è avere R1 e
R2 sul feedback, che perme8e di amplificare il segnale in ingresso di una quanLtà R1 su R2.
SCHEDE DAQ
Figura a fianco: schema di base di una scheda di
acquisizione daL. Sono strumenL uLlizzaL per
acquisire segnali di tensione (alcune volte hanno
porte per misurare corrente, ma Lpicamente
tensione). La cara8erisLca che li disLngue da altri strumenL di misura è che possono acquisire più
segnali “contemporaneamente” -> sono fa8e per gesLre più segnali da misurare e vanno gesLL tu<
con una singola scheda, con un singolo ADC (conver>tore analogico digitale). La cara8erisLca è
proprio questa, di avere un solo ADC.
Ci sono più conneOori d’ingresso che vanno in un mul>plexer, il segnale in uscita dal mux viene
mandato in un amplificatore da strumentazione, che può amplificare o a8enuare un segnale e
manLene la stessa amplificazione/a8enuazione qualunque sia la frequenza del segnale in ingresso
all’interno della banda della scheda – vengono vendute con una certa frequenza di acquisizione, che
sarà la frequenza dell’ADC, e l’amplificatore sarà dimensionato per dare lo stesso guadagno a tu8e
le frequenze all’interno della fascia di campionamento.
C’è poi il sampling ADC, il converLtore da analogico a digitale, o8enendo una stringa di bit, che
vengono salvaL in una memoria FIFO (first in first out), che forniscono i daL Lpicamente a un
calcolatore in due maniere, usando linee dedicate (DMA, direct memory access, che caricano
dire8amente nella ram del pc) o interrupt, affidando la gesLone al bus della mother board, che ne
gesLsce l’invio su scheda grafica, ram, disco fisso ecc… la seconda è più lenta della prima. Le schede
hanno cara8erisLca di avere uscite analogiche (DAC), cioè possono generare tensioni e correnL da
qualcosa che creo in digitale, delle linee di I/O digitale, cioè linee in cui si possono generare e leggere
degli impulsi o linee di trigger, di Lmer.
Il MUX funziona in due modalità: single-ended o differenziali. Per quesLoni pre8amente
economiche, se si può, si uLlizza solo la modalità single-ended, che significa dare un singolo ingresso
(filo di rame) per trasme8ere il segnale all’ingresso, ma siccome la tensione (differenza di potenziale)
per essere misurata ha bisogno di due punL, una massa e il punto di segnale, in modalità singleended il punto di riferimento o la massa è all’interno della scheda stessa e lo usa per la misura di
tensione; il dife8o è che qualunque rumore, disturbo applicato sul segnale tra l’origine e l’ingresso
del mux, si somma al segnale e inficia la qualità del segnale. Eventualmente se i disposiLvi esterni
12
hanno tu< la stessa massa (cosa difficile), si può collegare la massa esterna alla massa interna per
avere lo stesso riferimento (me<amo tu8o a massa).
In modalità differenziale, oltre al filo del segnale, per ogni segnale si porta il suo riferimento di
massa; quindi, abbiamo due canali fisici per segnale. Il mux non chiude più un singolo interru8ore
alla volta, ma chiude due interru8ori abbinaL; quindi, prendo la differenza di potenziale che non è
più riferita alla massa della scheda, ma dire8amente alla massa del segnale. Vantaggi: Lpicamente i
due fili sono intrecciaL, quando si misura la ddp i disturbi, che agiscono allo stesso modo sui fili, si
annullano; altro vantaggio è di poter misurare tu< i segnali che per natura sono differenziali, ci sono
segnali che possono essere misuraL in entrambi i modi e altri solo in modalità differenziale -> con le
schede si misura sempre in modalità differenziale (un mulLmetro ad esempio), oppure misurare una
resistenza in un filo, anche le termocoppie – lo svantaggio della modalità differenziale è puramente
economico, con gli stessi fili posso misurare la metà di canali. Il numero Lpico di canali analogici
d’ingresso di una scheda va da 8 a 80, si possono fare anche di più.
Un altro parametro fondamentale è la frequenza di campionamento, Lpicamente quando si compra
una DAQ essa è indicata e ci dice la frequenza massima che si può raggiungere se si campiona un
segnale, se ne ho più devo dividerla sui vari segnali di ingresso. È la frequenza massima a cui la DAQ
può digitalizzare il segnale (lo può infa< fare anche a frequenze minori): quando si effe8ua un
campionamento mulLcanale (su più ingressi), la massima frequenza campionabile sul singolo canale
fsample, segnale = fmax, ADC / Nsegnali.
Se si campiona in uno o nell’altro modo non c’è differenza e se c’è un segnale che necessita la
modalità differenziale tu< sono acquisiL in questo modo (tranne alcune di alto livello), si può
impostare manualmente la modalità. Le frequenze stano tra i 10 kSa/s e i 10 MSa/s.
Un altro parametro è la dinamica della ADC, che è fissa e non è sempre ada8a al segnale, perché
discreLzza il segnale: c’è un certo intervallo che corrisponde alla soglia tra un bit e l’altro, sono i livelli
che discreLzzano il segnale (risoluzione). Quindi avere un converLtore che fissa numero di bit e
dinamica rende la DAQ poco flessibile, perché obbliga a uLlizzare segnali che siano nella dinamica
del converLtore, quindi si me8e l’amplificatore da strumentazione, per ada8are il segnale alla
dinamica, per passare sul massimo numero di livelli possibile -> l’idea è di rendere più flessibile il
sistema.
L’ulLmo parametro importante è la risoluzione dell’ADC, che è il numero di bit che l’ADC usa per
rappresentare il segnale analogico in ingresso, perché la risoluzione dimensionale è anche basata sul
guadagno che si imposta. La risoluzione sul segnale è pari
alla dinamica dell’ADC diviso il numero di livelli, per
conoscere la risoluzione dimensionale sul segnale si deve
dividere anche per il guadagno. La risoluzione
adimensionale è 1 fra8o il numero di livelli. La risoluzione
è solo una delle cara8erisLche che descrivono
l’accuratezza della DAQ. Rumore ele8ronico ed errori (di
linearità, di offset, di guadagno) devono essere
consideraL per descrivere corre8amente l’accuratezza
dell’ADC.
PROTOCOLLI DI COMUNICAZIONE
L’interfaccia seriale RS-232 è un protocollo degli anni 70, ma viene usato ancora tanLssimo. La
comunicazione seriale avviene a8raverso 3 linee, il conne8ore è Lpico degli anni 70, ma non
influenza nulla del protocollo. I tre fili sono di ricezione, trasmissione e una massa. La ricezione
13
avviene in single-ended in modalità half duplex (può parlare un solo disposiLvo per istante). Possono
essere implementate altre linee (sono pronto a ricevere, non sono pronto…, più uLli nel passato).
Altro parametro fondamentale è la frequenza di daL.
L’interfaccia RS-422 è un protocollo per la comunicazione daL seriale che prevede l'impiego di due
fili con linea differenziale e mulLpunto (differenziale bilanciata). Prevede, per ogni coppia di fili, la
trasmissione di daL unidirezionale e non reversibile, su linee di trasmissione daL terminate o non
terminate.
Nell’interfaccia IEEE-488 la trasmissione non è più seriale ma parallela, l’ele8ronica è più spinta.
L’interfaccia USB nasce a metà anni 90, aveva l’idea di rispondere alla FireWire di macintosh, molto
più simile alla GIPB, la USB evoluzione di RS. Doveva colmare il gap di essere interfaccia solo di
trasmissione daL e l’alimentazione a parte, l’USB ha una linea di alimentazione. La FireWire chiedeva
le royalLes, la USB no, quindi ha avuto più successo. L’altra cosa bella è che sono retrocompaLbili, si
può cioè usare una USB 1.0 su una porta USB 3.0. Riprende la RS , trasmissione su due linee senza
ridondanza, è sulla polarità se trasme8o o ricevo, il basso è sempre lo 0, se ricevo deve essere
negaLvo e i livelli più bassi. Guarda velocità slide 23. Da 3.0 la comunicazione è full duplex
(trasme8ere e ricevere), hanno aumentato la corrente che può erogare (aumentando il diametro del
filo) e full duplex hanno raddoppiato i canali.
Quando si conne8e un USB si sincronizza il clock, Lpicamente si me8e in modalità control, poi ci
sono le 3 Lpologie di trasferimento daL (2,3,4, interrupt non si usa praLcamente mai, se non i
gamer). Bulk è usata Lpicamente dalle stampanL, isosinchronicous Lpicamente delle webcam. USBC hanno duplicato i canali, aumentando i pin, ma togliendo la retrocompaLbilità.
14
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI
Tipicamente l’incertezza con cui conosciamo la variabile dipendente è molto più grande di quella
con cui conosciamo quella indipendente -> o8eniamo grafici di dispersione.
Ricorda: nelle scale logaritmiche le potenze sono W (calcolo con il 10), ampiezze sono V o A (calcolo
con il 20).
Interpolare significa raccordare due o più punL di misura per prevedere il comportamento della
funzione anche nei punL in cui non ho misure. Si definisce interpolante una funzione conLnua che
passando per i due punL in quesLone ci fornisce l’andamento presunto della relazione ingressouscita.
Ci sono vari Lpi di interpolazione: vedi slide
_interpolazione lineare: non manLene le derivate, visivamente è meglio dei soli punL.
_interpolazione polinomiale cubica (spline): mantengo conLnue la derivata prima e seconda
_interpolazione a seno cardinale: a livello praLco è il miglior Lpo, se usata o8eniamo i migliori
risultaL al ne8o dei punL campionaL. Da un punto di vista computazionale ha bisogno di più risorse,
viene usato solo ad alta fascia o ai limiL del teorema di Shannon.
Regressione di più punL sperimentali (fi<ng dei daL – data fi<ng)
È un processo più fine della mera interpolazione. Ho dei punL sperimentali, si sceglie la dimensione
della variabile dipendente e indipendente, si mostra su un grafico e in base alla conoscenza pregressa
si sceglie la funzione che meglio descrive l’andamento dei daL. La funzione non deve
necessariamente passare per i punL sperimentali, ma è quella che mediamente si avvicina di più ai
punL, scegliendo fra qualsiasi funzione io voglia. Ci sono poi dei parametri per descrivere la qualità,
ovvero la distanza media (tanto minore è, tanto migliore è la funzione usata).
La tecnica più semplice è la distanza media, poi ce ne sono altre, fra cui la tecnica di massima
verosimiglianza, ai minimi quadraL.
15
VOLTMETRI DIGITALI E CONVERTITORI (D/A E A/D)
Esistono due Lpi di converLtori:
digitali-analogici: ci sono vari livelli digitali, si dice il livello analogico che si vuole creare e il
converLtore lo trasforma, esempio è una traccia audio, il livello in uscita sarà migliore tanL più
saranno i livelli digitali.
analogici-digitali: al contrario, un microfono riceve un segnale analogico e lo trasforma su vari livelli
in segnale digitale.
a-d: abbiamo una tensione in ingresso, prima viene campionata nel tempo (con dei cerL Hz o Sa/s)
e poi quanLzzata in ampiezza (le a8ribuisco un livello). L’orecchio umano raggiunge i 20 kHz, quindi
la frequenza minore di campionamento è 40 kHz.
La quanLzzazione in ampiezza avviene suddividendo la dinamica D di misura in N so8o intervalli di
larghezza costante, questa genererà ovviamente un errore di quanLzzazione. Altri errori possono
essere offset, gain, DNL, INL. Errore di non linearità differenziale è il peggiore, i livelli non valgono
tu< uguali. Errore di non linearità integrale è la somma degli errori di non linearità differenziali.
Conver>tore digitale-analogico. ne vediamo solo un Lpo.
Ho una stringa di bit e la voglio converLre in un segnale
analogico. All’amplificatore arriva una corrente (su cui non
passa corrente), che è la somma di tu8e quelle che passano
nelle resistenze, quindi passa nella resistenza di feedback.
Come ricostruiamo?
Ho una sfilza di resistenze l’una il doppio dell’altra, so8o degli interru8ori che possono essere aperL
o chiusi. Se le resistenze sono tu8e diverse, creo delle correnL tu8e diverse, la corrente più grande
sarà alla resistenza più piccola. Se ho n bit, la corrente della prima resistenza (R) equivale al LSB, al
contrario 2^n-1 R equivale al MSB, creando così delle resistenze associate ai livelli. Le correnL si
sommano nel nodo di somma (prima dell’amplificatore) e passeranno a8raverso la resistenza di
feedback. È molto importante l’accuratezza delle resistenze per evitare errori di non linearità
differenziale -> non si uLlizzano resistenze, ma capacità commutate perché più facili da realizzare. È
importante che l’alimentazione sia stabile. Inoltre, una causa di non linearità è l’amplificatore.
Conver>tore
analogico-digitale
(voltmetro).
Risoluzione,
accuratezza e velocità di le8ura sono parametri su cui si basano, i
primi due e il terzo sono alternaLvi, aumenta uno e diminuisce
l’altro. Ne esistono di due Lpi: differenziali e integratori. I primi fanno
la misura come differenza con una misura che hanno dentro loro, i
secondi integrano la tensione e la scaricano nel tempo, andando a
leggere il valor medio, facendo una misura di tensione come se fosse
una misura di tempo (che posso fare con maggiore accuratezza).
Voltmetro differenziale. Effe8uano la misura di una tensione incognita VX mediante il confronto
“dire8o” con una tensione di riferimento Vr disponibile internamente allo strumento. Vr è una
tensione di riferimento variabile e per generarla si ricorre a un riferimento interno che è una
tensione V0 di elevata accuratezza e stabilità. L’accuratezza di V0 e dunque di Vr si ripercuote
sull’accuratezza dei singoli confronL e infine su quella della misura. Usano un comparatore, con due
ingressi per il riferimento (piede -) e la tensione in ingresso, resLtuisce un livello alto o basso a
seconda che la tensione sia maggiore o minore del riferimento.
16
Voltmetro potenziometrico: i primi potenziometri erano fa< così.
Potenziometro: dentro c’è della grafite, con dei conta<
striscianL in grafite (condu<va). Tre piedini, uno collegato
al conta8o strisciante che striscia sulla resistenza e ne
prende una porzione più o meno grande, l’altro e il piedino
a cui è connessa tu8a la resistenza.
Voltmetro a rampa analogica. Non si usa più. Le cifre
decimali si calcolano come il numero di livelli, che a loro
volta sono il numero di onde quadre che entrano nella
rampa.
Voltmetro – conver>tore flash. È l’archite8ura più veloce che
esista, si arriva fino a 50 GSa/s. Tipicamente è un converLtore a
8 bit, con varianL a 12 e 14 bit, ma non perme8ono la stessa
banda delle versioni a 8 bit, il problema è che aumentando la
frequenza, aumenta il rumore e diminuendo il numero di bit
effe<vi, sfru8andone molto meno.
Nell’immagine a fianco sono tu< comparatori, sono n-1 dove n
è il numero di livelli, che fanno quello che facevano nelle altre
archite8ure, escono con 1 se la tensione è superiore a quella di
riferimento, altrimenL 0. Ne me8o così tanL per far sì di comparare la tensione in ingresso in modo
uguale su tu< i comparatori con delle tensioni che rappresentano fisicamente i livelli in volt del
converLtore. Dai comparatori arrivano N-1 valori, che può essere codificato in n bit. Perché c’è R/2
e non parte da R o da 0? Ricordiamoci la curva di conversione di un converLtore, se parto da 0 c’è il
problema che qualsiasi valore superiore a 0 sarebbe sca8ato con un bit e non avrei minimizzato
l’errore di conversione che al massimo è pari a mezzo bit. Il bello di questo converLtore è che la
tensione in ingresso viene immediatamente converLta facendo un confronto con tu< i livelli
possibili nel voltmetro. Si chiama flash perché è il più veloce in commercio: con un singolo confronto
o8engo il risultato (in realtà con molL in parallelo).
Le cause maggiori di incertezza di questo Lpo di voltmetro sono le resistenze, se voglio avere dei
livelli tu< uguali le resistenze devono essere tu8e uguali, il problema è che è difficile e che il
voltmetro flash ha una complessità di Lpo esponenziale. Ci sarebbe quindi un errore di non-linearità
differenziale, si è raggiunto il miglior modello con 8 bit. È usato per misure su segnali molto veloci,
usano una tecnica di interallacciamento: ne prendono tanL e li fanno parLre con dei ritardi.
Voltmetro ad approssimazioni successive. Molto uLlizzato nei microcontrollori, a metà strada tra gli
altri. O<ene la misura a8raverso una serie di approssimazioni, tante quanL i numeri di bit del
converLtore. C’è una tensione che viene comparata con una serie di tensioni date dalla DAC, con il
numero di bit della misura che voglio o8enere (raddoppia o dimezza la tensione, se aumento
incremento il bit successivo, se è inferiore diminuisco l’ulLmo bit analizzato) -> genero livelli sempre
più piccoli che approssimano la mia tensione. Viene chiamato SAR: Successive ApproximaLon
Register.
Voltmetro a integrazione. Vediamo l’integrazione come una somma. Hanno una cara8erisLca che si
applica molto bene alla presenza del rumore. Se integro un valore e lo divido per il tempo di
integrazione o8engo il valore stesso, il disturbo, essendo una sinusoide, se scelgo opportunamente
il tempo di integrazione, il suo integrale è 0. Riesco quindi a misurare aggirando il rumore.
17
Trasmissione in potenza e reiezione in potenza: si molLplica al quadrato.
Voltmetro a doppia rampa. Il più uLlizzato per fare
misurazioni ad alLssima risoluzione (8 bit e mezzo). Ci sono
una rampa iniziale e una rampa finale (di salita e di discesa).
Dà una misura di tensione, ma misura un tempo, che
conosciuta la relazione tra tempo e tensione, perme8e di
misurare con grandissima accuratezza la ddp.
La Vx fa caricare il condensatore, la logica di controllo apre e
chiude s2, alternaLvamente su Vx e Vr, che hanno polarità
opposte; quindi, la tensione aumenta e diminuisce con pendenza costante, con pendenza di scarica
Vr /RC. Quando inizia a scaricarsi, la logica di controllo dirà al gate di aprirsi e far passare impulsi di
clock, che verranno conteggiaL e molLplicaL per la pendenza. Il conteggio viene bloccato dal
comparatore v0. Quindi contando i clock conto quanto tempo ci me8e a scaricarsi e, conoscendo Vr,
conosco la carica perché qualunque si ala tensione in ingresso scarica alla stessa maniera. Il bello è
che non importa la qualità delle resistenze perché nel calcolo si semplificano. Importa solo l’abilità
nel conteggio di N down.
ADC pipeline. Non è un vero e proprio voltmetro. È
un’archite8ura molto usata nei microcontrollori di ulLma
generazione, che perme8e elevate risoluzioni al ne8o di una
elevata frequenza di campionamento.
S/H è un sample and hold, un interru8ore, con una capacità,
che fotografa la tensione in un istante temporale. Viene
mandata parallelamente a un nodo di somma e a una ADC, a
bassissima risoluzione (2-3 bit), Lpicamente si uLlizza il flash, che dà una misura grezza di Vx che
viene mandata a una logica di ricombinazione e parallelamente a un DAC, che rigenera la tensione
e la riporta al nodo di somma, dove viene fa8a la so8razione tra il valore originale e la misura grezza,
trovando l’errore. Quindi viene mandata a un amplificatore esponenziale, che riamplifica l’errore.
Viene mandato a un s/h e riparte la stessa logica di prima. Viene ripetuto P volte, fino a o8enere il
numero di bit voluL. M bit = n x P, dove n è il numero di bit nella ADC. A ogni amplificazione si
aggiunge però del rumore, non avendo una ricostruzione o<ma, c’è però il vantaggio che la
frequenza è quella della ADC, lavorando come una pipeline (quindi c’è anche un delay).
Si può creare anche una ricorsione: al posto che me8ere più circuiL in sequenza se ne usa solo uno
con la ricorsione, dove però non avrò la stessa frequenza della ADC, ma frequenza/numero di
ricorsioni. Dà dei vantaggi in termini di risoluzione, ma degli svantaggi in termini di frequenza.
Alcuni degli ADC più uLlizzaL sono i σ -Δ.
18
BIT EQUIVALENTI
Se quanLzzo il segnale, convertendolo rispe8o a un voltmetro di quelli che abbiamo visto, la varianza
diventa ΔV/√12. Posso scrivere ΔV come D/2n, posso quindi creare una relazione tra σq e σs. In tu< i
sistemi il rapporto segnale-rumore è il rapporto tra le due varianze -> tanto più alto è il rapporto
tanto meglio posso quanLzzare il segnale. Per un quanLzzatore ideale il rapporto è 22n.
Potrei avere dei rumori, schemaLzzaL con varianza del rumore del converLtore e varianza del
rumore esterno. Sarà quindi s/nc, dove nc è la somma di tu< i rumori. Il numero di bit quindi
diminuisce. Calcoli su slide. Quindi o8engo meno bit -> potrei avere una risoluzione ideale molto
alta, ma in realtà i disturbi la abbassano. Questa cara8erisLca si chiama enob.
Digital Mul>-Meter (DMM)
Può fare delle misure sia in DC che in AC (conLnua e alternata), dando la possibilità di misurare
resistenze, correnL, tensioni, alternata, alcuni anche le capacità. Ha dei puntali per le varie misure:
sono tu8e misure di tensione, in base a come si posiziona il sele8ore, vi posiziona lo switch nella
posizione che fa cadere la tensione su una resistenza più o meno grande (parLtore di tensione) e va
avanL, se è in DC c’è un filtro passa basso, se è in AC campiona tanL punL e calcola l’rms
(scostamento medio dal valor medio), scrivendo la tensione efficacie, stessa roba per le resistenze.
Quelle delle correnL c’è uno schant (resistenza di cui si conosce il valore) e si misura la tensione su
quella resistenza. Hanno Lpicamente 3 cifre e mezzo.
19
OSCILLOSCOPI
L’oscilloscopio è lo strumento che serve per misurare tensioni variabili nel tempo e visualizzarle a
video.
OSCILLOGRAFO
L’oscillografo (oscilloscopio analogico) è fa8o con un tubo catodico e la sinusoide è tracciata da un
fascio di ele8roni che incide sullo schermo, dove ci sono dei
fosfori (che accumulano energia a una certa lunghezza d’onda e
la rieme8ono a una lunghezza meno potente, ma più a lungo nel
tempo). 8 divisioni verLcali e 10 orizzontali, si selezionano i volt
a divisione, che amplifica o a8enua il segnale. Ac/dc/gnd è
l’accoppiamento, dc (direct couple), il segnale viene collegato
dire8amente all’oscilloscopio per vederlo con la sua interezza,
ac fa passare solo le frequenze alternate (filtro passa-alto), gnd
per vedere dov’è il livello di 0.
Tubo a raggi catodici: si usava per riuscire a visualizzare il segnale nell’oscilloscopio (diverso da quello
dei televisori), c’è un filamento come nelle lampadine a incandescenza, scaldato con una corrente e
per effe8o termoionico eme8e ele8roni, c’è una camera di schermo che indirizza il primo fascio
verso il primo anodo, dove c’è una prima polarizzazione, poi c’è un secondo anodo e l’ulLmo è dove
c’è lo schermo, ci sono anche delle placche8e che perme8ono di concentrare il fascio e poi due
placche8e (di deflessione verLcale e di deflessione orizzontale), anch’esse polarizzate, che
perme8ono di spostare il fascio nelle due direzioni, le quali vengono controllate dalla tensione in
ingresso (quelle verLcali), quelle orizzontali sono comandate da una scansione interna con una serie
di rampe che spostano orizzontalmente il fascio, fino alla fine dello schermo.
CRT, moto degli ele8roni. I limiL sono che tanta più banda vuoi, tanto più devi accelerare e tanto più
devi crescere in tensione (ddp molto molto grandi, non c’erano grandissime correnL, quindi dal
punto di vista della potenza non era un problema, ma devo poi allungare il tubo catodico per farli
passare più a lungo tra le placche8e e altri problemi legaL anche al fa8o che il tubo catodico lavora
a vuoto). Aveva molL limiL.
OSCILLOSCOPIO DIGITALE
Il principio di funzionamento è il campionamento e la conversione del segnale, memorizzazione della
sequenza, elaborazione e visualizzazione. Il nome Lpico è DSO (Digital Storage Oscilloscope). I 6 bit
vanno dagli anni 80, ora 12-14 bit.
Schema fondamentale: campionamento e conversione del segnale (campioni numerici),
memorizzazione della sequenza, elaborazione e visualizzazione.
Si parte da una parte di condizionamento analogico del segnale (filtri, amplificazione…), poi il segnale
va nel blocco di trigger e in parallelo nell’ADC, dove da analogico viene trasformato in digitale, dove
dà le ampiezze, perché è poi il trigger ad associare le ampiezze al valore nel tempo del segnale; il
trigger analogico fa sca8are la parte di trigger digitale ed assegna rispe8o a quel valore t0 tu< gli
step temporali precedenL e successivi, assegnando un’eLche8a (tempo 0, +Δt, -Δt, -2Δt …), fino alla
profondità di memoria del sistema. C’è poi un display che perme8e di visualizzare a video i vari
segnali).
Differenze: c’è un disaccoppiamento temporale tra il segnale e la visualizzazione, permesso dalla
memorizzazione; c’è poi un display di Lpo raster (matrice bidimensionale di pixel), una memoria
RAM video e dei disposiLvi di input/output per trasferimento daL, mediante delle interfacce.
Amplificazione verLcale:
20
il commutatore varia il coefficiente di deflessione verLcale secondo passi taraL con la sequenza
1/2/5, Lpicamente da 1 mV/DIV fino a 5 V/DIV. Il grado di incertezza che il costru8ore assegna alla
taratura fi questa sezione è dell’ordine dell’1%. Lo standard è che l’oscilloscopio faccia vedere da 1
mV (in realtà da più, il rumore sarebbe troppo) a 5 V/DIV. La risoluzione dell’oscilloscopio analogico
è Lpicamente 1/10 della deflessione
verLcale impostata (dei volt divisione
impostaL).
Ci sono vari approcci. A mulLconverLtore (usano nel 95% dei casi): al fine di massimizzare la
frequenza di campionamento, si usa interallacciare più ADC (un singolo ADC è in realtà composto da
tanL ADC), ognuno parte da un ΔT, già visto. Un altro approccio che veniva uLlizzato era quello con
un singolo ADC per diversi sample and hold.
Teorema del campionamento (e problema dell’aliasing): la frequenza di campionamento (in tempo
reale) deve essere più elevata del doppio della banda del segnale.
Visualizzazione per punL (problema aliasing perce<vo): affinché l’occhio posso riconoscere
disLntamente la forma d’onda, il numero di campioni acquisiL (su ciascun periodo) deve essere
sufficientemente elevato da non generare ambiguità di percezione. Con i segnali sinusoidali un
valore convenzionale è di almeno 25 punL per periodo. Un interpolatore lineare riduce a circa 10 i
punL necessari per periodo (sinusoide); un interpolatore a sin(x)/x, basato sulla teoria di Shannon,
riduce a 2.5 il numero di punL necessari, la banda di misura risulta il 40% (≈fc/2) della massima
frequenza di campionamento del converLtore A/D (in real-Lme).
Sincronismo del segnale: TRIGGER. Per visualizzare “fermo” un segnale periodico le acquisizioni
devono essere sincronizzate con il segnale. Il segnale di sincronismo può essere generato a parLre
dal segnale stesso tramite un comparatore (trigger analogico), scegliendo la pendenza (slope). Ci
sono le tre opzioni di trigger interno, esterno o di linea, quello esterno non si può vedere a schermo.
Si possono fare poi dei filtri.
Effe8o dei disturbi sul trigger: si me8ono dei filtri per evitare che accada che un disturbo faccia
sca8are il trigger prima del tempo. C’è anche il trigger hold-off, che ritarda lo sca8o del trigger.
Sincronismo del segnale visualizzato. Tra una acquisizione e la successiva può passare un tempo
elevato (relaLvamente al tempo di acquisizione) in cui l’oscilloscopio è cieco. Una delle
cara8erisLche dell’oscilloscopio è il numero di schermate/s che è in grado di fare (waveform update
rate può arrivare a milioni di waveforms/s). La waveform update rate dipende dalla profondità di
memoria. La memoria viene chiamate memoria circolare perché ci si muove avanL e indietro
dall’evento di trigger.
Nell’oscilloscopio analogico la sincronizzazione avviene solo a8raverso l’individuazione di un livello
o di una pendenza. Nell’oscilloscopio digitale ci sono anche delle modalità di trigger più evolute e
complesse, che seguono algoritmi sul segnale già campionato: che richiedano il verificarsi di
condizioni su più canali di ingresso (State-trigger), si può richiedere di visualizzare il segnale solo
quando rientra all’interno di una maschera preimpostata (width-trigger), quando si presenta un
parLcolare disturbo impulsivo (glitch-trigger).
La cara8erisLca dell’oscilloscopio è quindi che si possono analizzare segnali molto veloci nel tempo,
non l’accuratezza. Ha sempre e solo un asse dei tempi e si può triggerare sempre su un solo segnale.
Posso andare avanL e indietro nel tempo in base alla profondità di memoria (ram). Vediamo anche
quello che succede dal punto di vista ele8ronico.
Il dc offset/level perme8e di alzare/abbassare lo 0 V (di conseguenza il segnale) e serve a visualizzare
due segnali che si sovrappongono perché magari hanno la stessa frequenza. C’è poi un filtro
21
anLaliasing che corrisponde alla banda passante. La banda sono se frequenze che vengono viste
corre8amente dall’oscilloscopio: le frequenze superiori si vedono ma sono a8enuate. Tipicamente
la banda è idenLficata con il cosidde8o punto a -3 dB del filtro, che vuol dire che in quel punto
abbiamo in uscita il 70% di ampiezza dell’ingresso.
Approccio interallacciato (approccio mulLconverLtore) significa che ho molL s&h e adc che salvano
sulla memoria e poi il dsp interno va a rime8ere a posto i campioni.
L’oscilloscopio si può impostare in visualizzazione sia a punL che interpolata (di default interpola
linearmente, i più belli a seno cardinale, che migliora la ricostruzione al diminuire dei punL). Il trigger
è quella parte di sincronismo che perme8e di visualizzare fermo a video un segnale periodico. Ci
sono molL Lpi di trigger, Lpicamente usiamo quello di Lpo fronte.
Trigger di tre Lpi: interno, esterno, line (interno, segnale che viene da un canale, line usa la frequenza
di rete – 50 Hz in Italia, StaL UniL e Giappone 60 Hz). Ac/dc/filter, ac non lo filtri dc ammazzi la
componente conLnua, filter usi dei filtri passabasso o altro. Modalità auto anche se il segnale non
passa per i livelli di trigger visualizza quello che hai in memoria, normal se il segnale non è triggerato
non visualizzi niente (differenza tra digitale e analogico in questo caso, analogico in normal non vedi
nulla, tu8o nero, in digitale vedi l’ulLma schermata che è stata visualizzata in colore grigino/ghosLng,
che indica che è un vecchio segnale). Poi c’è lo slope con il comparatore di livello.
Effe8o dei disturbi sul trigger: se c’è un disturbo posso vedere lo stesso segnale che sca8a prima o
dopo, dipende quando sca8a il trigger. Posso anche impostare dei trigger logici (quando n segnali
sono sopra a un livello inizia a far vedere qualcosa ecc…), che non si può fare con l’analogico.
MODALITÀ DI CAMPIONAMENTO
Il campionamento di un segnale in un dso può avvenire secondo tre differenL modalità:
_ in tempo reale (single shot)
_ in tempo equivalente di Lpo sequenziale
_ in tempo equivalente di Lpo casuale
I campionamenL in tempo equivalente sono staL inventaL per incrementare ulteriormente le
frequenze acquisibili. La limitazione è che possono essere usaL solo per segnali ripeLLvi. Periodici,
inventaL negli anni 60 si arrivava già a bande di 50 gigasample al secondo (equivalenL). L’idea alla
base è che i campioni sono presi su più periodi della forma d’onda e successivamente riordinaL e
visualizzaL.
Per ora abbiamo usato il campionamento in tempo reale. Sequenziale: prendo un campione per
periodo e poi vengono uniL; il tu8o viene fa8o rispe8o al trigger, con un ritardo tau, poi 2τ, poi 3τ e
così via, così la frequenza di campionamento è pari a tau (non è parLcolarmente difficile fare tau
molto piccoli, ma è obbligatorio avere un trigger interno). Il dife8o è che bisogna mantenere il
segnale uguale per un certo periodo di tempo, più tempo si campiona e più si rischia di far entrare
rumore. L’applicazione più uLle sono le trasmissioni o<che.
Casuale: rispe8o alla sequenziale ha la cara8erisLca che l’adc viene fa8o lavorare alla massima
velocità, al fine di diminuire la lunghezza dell’acquisizione, dopodiché si va a riprendere i vari punL,
acquisiL su vari periodi, e si guarda la distanza dal trigger, venendo “rifasaL”; in questo modo l’asse
orizzontale viene risistemato e ho bisogno meno periodi di quello sequenziale per ricostruire il
segnale. Tra le due modalità quella che perme8e le più alte bande di campionamento è quella
sequenziale.
Medie e modalità high-res sono cara8erisLche di alcune marche di oscilloscopi.
Interfacce I/O e funzioni digitali sono Lpiche degli oscilloscopi digitali, ormai sono tu< con
interfaccia su pc. C’è la possibilità di autoset, analizzando il segnale e se8ando in maniera automaLca
22
le cara8erisLche. Sono presenL cursori (o markers) di ampiezza e tempo, che consentono di leggere
dire8amente sul display misure di differenze di tensione o intervalli di tempo (in un OA ci sono solo
i marker verLcali). Possono fare misure standard automaLzzate in ampiezza e in tempo. Poi analisi
spe8rale, pacche< so•ware per svariate applicazioni e funzionalità hardware addizionali
(generatore digitale di segnali, anche arbitrari, voltmetro digitale e contatore ele8ronico.
Ci sono anche i mixed signal e i mixed domain, dentro c’è un modulo per ingressi analogici e nel
secondo un analizzatore digitali. Molto usaL per i militari che captano segnali radio, ad esempio
criptaL, così che possono salvare il segnale e poi decriptarlo con il computer.
Figura a fianco parametri e
criteri di scelta di un DSO.
Sonde di ingresso già viste in
laboratorio, connessione in
cavo coassiale così da ridurre il
rumore. Il cavo porta capacità,
l’oscilloscopio fa da resistenza e
quindi può essere visto come
filtro passabasso, ma fa anche
da filtro passaalto.
Compensazione della sonda.
Sonde a<ve. Sonde di corrente (da sapere), l’anello è una bobina, calcola il campo magneLco
(corrente alternata). Vedi slide.
23