Sintesi
PER TI
TUT
Il lavoro e le forze conservative
• Il lavoro di una forza costante è il prodotto scalare tra forza e spostamento:
" "
L = F ⋅ s = F ⋅ s cosα
"
"
con α angolo compreso tra F ed s . Il lavoro si misura in joule (J).
• Il lavoro è positivo o motore, se forza e spostamento formano un angolo acuto; è negativo
o resistente, se l’angolo è ottuso.
del rettangolo con dimensioni F ed s.
• Il lavoro di una forza variabile si ottiene individuando in un grafico forza-spostamento l’area
sottesa dal grafico della forza. La forza elastica è una forza variabile.
• Il lavoro (negativo) della forza elastica in fase di compressione dalla posizione di equilibrio
di una molla è dato da:
1
LFel = - Ks2
2
dove K è la costante di elasticità della molla ed s lo spostamento dalla posizione di equilibrio
dell’estremo della molla.
• Il lavoro della forza elastica da una posizione iniziale sin a una finale sfin è dato da:
1
1
L = Ks2in - Ks2fin
2
2
• Una forza è conservativa se il lavoro che compie (su un corpo in movimento) non dipende
dal percorso seguito, ma solo dalle posizioni iniziale e finale.
La caratteristica fondamentale di una forza conservativa è che compie un lavoro nullo
su un corpo in movimento lungo un percorso chiuso. Esempi di forze conservative sono la forza
peso e la forza elastica. Una forza non conservativa si chiama dissipativa. Un esempio
è la forza di attrito.
L’energia e le leggi di conservazione
• L’energia cinetica di un corpo di massa m e velocità istantanea v è:
1
Ec = mv2
2
e si misura in joule (J).
• Il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro totale compiuto da una forza è uguale
alla variazione di energia cinetica:
1
1
L = mvB2 - mvA2 = DEc
2
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| unità 4 • La conservazione dell’energia meccanica
• Il lavoro di una forza costante in un grafico forza-spostamento è individuato dall’area
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modulo 2 • I princìpi di conservazione
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A INC
IC
SIVA
LU
UNITÀ
DIDATT
S. Fabbri, M. Masini, E. Baccaglini
S. Fabbri, M. Masini, E. Baccaglini
di energia, detta energia potenziale.
Se una forza è conservativa allora esiste una grandezza posizionale detta energia
potenziale U, tale che il lavoro compiuto dalla forza, quando il suo punto di applicazione
si sposta da A a B, è:
LAB = - ∆U = - (UB - UA) = UA - UB
dove UA e UB rappresentano rispettivamente i valori di U calcolati in A e in B e ∆U = UB - UA
è la variazione della grandezza.
• L’energia potenziale gravitazionale (caso della forza peso) di un corpo di massa m posizionato
in un punto posto a un’altezza h rispetto a un livello di riferimento è data dal lavoro (positivo)
che la forza peso compie per spostare il corpo da tale punto al livello di riferimento:
• Poiché l’energia potenziale in un punto non ha un valore assoluto, ma dipende dal livello
di riferimento scelto, si dice che è definita a meno di una costante e la sua espressione
generale risulta:
U = mg ⋅ ∆h + c
Per convenzione la costante c si pone uguale a 0.
• Dato un corpo di massa m che sotto l’azione della forza peso si muove da A a B, la differenza
di energia potenziale gravitazionale tra i due punti A e B è:
UA - UB = LAB = mg (hA - hB) = -∆U
• L’energia potenziale elastica Uel di una molla compressa o allungata di s rispetto alla posizione
di equilibrio corrisponde al lavoro (positivo) che la forza elastica compie per riportare la molla
nella posizione di equilibrio:
1
Uel = Ks2
2
con K = costante elastica della molla.
• Un sistema isolato è un insieme di corpi che possono interagire fra di loro, ma con interazioni
trascurabili con l’esterno del sistema (ambiente).
• Il principio di conservazione dell’energia afferma che l’energia totale di un sistema isolato
si conserva.
• Per la legge di conservazione dell’energia meccanica in un sistema isolato, in cui agiscono solo
forze conservative, la somma dell’energia potenziale elastica e gravitazionale e dell’energia
cinetica è costante ed è uguale all’energia meccanica del sistema:
EM = Uel + U + Ec = costante
Questa legge equivale ad affermare che per ogni posizione A e B vale la relazione:
1
1
1
1
KsA2 + mghA +
mvA2 =
Ks2 + mghB +
mvB2
2
2
2 B
2
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| unità 4 • La conservazione dell’energia meccanica
U = mgh
modulo 2 • I princìpi di conservazione
• Le forze conservative sono caratterizzate dalla possibilità di immagazzinare una forma
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• Un fluido ideale è non viscoso (privo di attrito interno, per cui scorre liberamente)
e incomprimibile (densità del fluido costante).
• Un flusso ideale è stazionario (in ogni punto la velocità è costante nel tempo) e irrotazionale
(ogni piccolo elemento di fluido deve avere velocità angolare nulla e quindi non vi devono
essere vortici).
• In un flusso stazionario le traiettorie delle particelle di fluido possono essere rappresentate
• La portata di volume P è il rapporto tra il volume di fluido che attraversa una sezione
del condotto e l’intervallo di tempo impiegato ad attraversarlo:
P=
DV
SvDt
=
= Sv
Dt
Dt
dove S rappresenta la sezione del condotto e v la velocità del fluido stazionario.
L’unità di misura della portata nel SI è il m3/s.
• Secondo l’equazione di continuità, in qualunque istante la portata attraverso una qualsiasi
sezione di un condotto è costante:
Sv = costante
• L’equazione di Bernoulli afferma che in un punto qualsiasi di un fluido ideale soggetto
a un flusso stazionario e irrotazionale vale la relazione:
1
dv2 + dgh = costante
2
dove p rappresenta la pressione, d la densità e h la quota di un punto qualsiasi lungo il tubo.
p+
• L’effetto Venturi, che è un’applicazione dell’equazione di Bernoulli, afferma che se la velocità
di un fluido aumenta la sua pressione diminuisce:
pA +
1
1
dvA2 = pB +
dvB2
2
2
• Quando un fluido si muove più velocemente lungo la superficie di un corpo rispetto a quella
opposta, si crea una differenza di pressione che dà luogo a una forza laterale.
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| unità 4 • La conservazione dell’energia meccanica
mediante le linee di flusso (o linee di corrente) che hanno la proprietà di risultare tangenti
in ogni loro punto al vettore velocità istantanea delle particelle di fluido che passano
per quel punto. Un insieme di linee di flusso individua un tubo di flusso che per semplicità
viene assimilato a un condotto reale.
modulo 2 • I princìpi di conservazione
La fluidodinamica
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