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Analytische
Mechanik
von
J. L. Lagrange.
Deutsch
herausgegeben
von
Dr. H. Servus.
Rar
3263
Berlin.
Verlag von Julius Springer.
1887.
Universitätsbibliothek Bem
Druck von Eduard Kranse in Berlin.
nometerarepipotek Belu
Vorwort des
Herausgebers .
Die Analytische Mechanik von Lagrange ist unstreitig
ein Werk
ersten
Ranges ,
welches
wohl
im
Besitze
aller
Mathematiker und Physiker sein sollte , das aber , da im Original
vergriffen , doch nur selten in Privatbibliotheken zu finden ist .
Um dieses Fundamentalwerk nun den Studirenden zugänglich zu
machen, habe ich mich entschlossen , eine deutsche Ausgabe erscheinen
zu lassen , mit welcher hoffentlich einem wirklichen Bedürfnisse
entsprochen wird.
Die erste Auflage des französischen Originals erschien in einem
Bande im Jahre 1788.
Eine zweite Auflage gelangte in den Jahren
1811 bis 1815 zur Ausgabe, doch konnten nur der erste Band und die
Hälfte des zweiten Bandes von Lagrange selbst herausgegeben
werden, da der Tod diesen Forscher am 10. April 1813 nach kurzer
Krankheit seinem Wirken entriss. Prony , Garnier und Lacroix
übernahmen die Vollendung des zweiten Bandes ; eine dritte, von
Bertrand veranstaltete und mit Anmerkungen versehene Ausgabe erschien 1853-1855.
Der vorliegenden deutschen Ausgabe ist die zweite OriginalAusgabe dieses Werkes zu Grunde gelegt.
Ich habe die Eigen-
tümlichkeiten des Originals durch möglichst wortgetreue Uebertragung zu wahren gesucht, ohne dass die Klarheit des Ausdrucks
dadurch beeinträchtigt sein dürfte.
1*
Vorwort des Herausgebers.
IV
Die Herren Privatdocent Dr. B. Weinstein und Dr. L. Levy
haben das Manuskript einer Durchsicht unterzogen und mich bei
der Erledigung der Korrekturen unterstützt ; von ihnen rühren
auch einzelne , das Verständnis erleichternde Erweiterungen und
Noten her.
Ich habe für diese Hülfe , welche es ermöglichte, dem
genialen und sehr schwierigen Werke gerecht zu werden , meinen
verbindlichsten Dank auszusprechen .
So hoffe ich denn , dass das vorliegende Werk in jeder Weise
korrekt ausgefallen ist und die Anerkennung aller Leser findet .
Charlottenburg , im August 1887.
Dr. H. Servus.
Lagrange's
Anzeige
der
ersten
Ausgabe .
Es giebt bereits mehrere Werke über Mechanik , aber der
Plan dieses Werkes ist gänzlich neu . Ich habe mir vorgenommen ,
die Theorie der Mechanik und die Kunst ,
ziehenden Probleme
zu
lösen ,
die darauf sich be-
auf allgemeine Formeln zurück-
zuführen , deren einfache Entwicklung alle für die Lösung jedes
Problems notwendigen Gleichungen ergiebt. Ich hoffe , dass die
Art, wie ich dies zu erfüllen bestrebt gewesen bin , nichts zu
wünschen übrig lassen wird.
Dieses Werk wird übrigens noch einen anderen Nutzen haben,
es wird, um die Lösung der mechanischen Fragen zu erleichtern ,
die verschiedenen Prinzipe vereinigen und unter einen Gesichtspunkt stellen , und es wird die gegenseitige Verbindung und Abhängigkeit derselben sowie ihre Richtigkeit und Ausdehnung zeigen.
Ich teile es in zwei Teile : Die Statik , oder Theorie des
Gleichgewichts, und die Dynamik , oder Theorie der Bewegung ;
jeder dieser Teile wird getrennt über die festen und flüssigen
Körper handeln.
Man wird in diesem Werke keine geometrischen Figuren finden.
Die Methoden , welche ich auseinandersetze , erfordern weder Con- ..
structionen , noch geometrische oder mechanische Betrachtungen,
sondern nur algebraische, einem regelmässigen und gleichförmigen
Gange unterworfene Operationen. Alle, welche die Analyse lieben ,
werden mit Vergnügen sehen, dass die Mechanik ein neuer Zweig
derselben wird, und werden mir Dank wissen, dass ich die Herrschaft
derselben in dieser Weise ausgedehnt habe.
Lagrange's
Anzeige
der
zweiten
Ausgabe.
(Vorrede zum ersten Bande .)
X
Es giebt bereits mehrere Werke über Mechanik , aber der
Ich habe mir vorPlan des vorliegenden ist gänzlich neu.
genommen , die Theorie der Mechanik und die Kunst , die darauf
sich beziehenden Probleme zu lösen, allein auf allgemeine Formeln
zu bringen, deren einfache Entwicklung alle für die Lösung jedes
Problems nötigen Gleichungen liefert.
Dieses Werk wird übrigens noch einen anderen Nutzen haben ;
es wird, um die Lösung mechanischer Probleme zu erleichtern , die
verschiedenen Prinzipe vereinigen und unter einen Gesichtspunkt
stellen, und es wird die gegenseitige Verbindung und Abhängigkeit
derselben, sowie ihre Richtigkeit und Ausdehnung zeigen.
Ich teile es in zwei Teile :
Die Statik ,
oder Theorie des
Gleichgewichts , und die Dynamik , oder Theorie der Bewegung,
und in jedem dieser Teile behandle ich getrennt die festen und
flüssigen Körper.
Man wird in diesem Werke keine geometrischen Figuren finden.
Die Methoden, die ich auseinandersetze, erfordern weder Constructionen noch geometrische oder mechanische Betrachtungen, sondern
allein algebraische, einem regelmässigen und gleichförmigen Gange
Alle, welche die Analyse lieben , werden
mit Vergnügen sehen , dass die Mechanik ein neuer Zweig derselben wird, und werden mir Dank wissen, dass ich die Herrschaft
derselben in dieser Weise ausgedehnt habe.
unterworfene Operationen .
Dies ist der Plan, den ich in der ersten Auflage dieses Werkes
von 1788 auszuführen versucht habe. Die vorliegende neue Ausgabe
ist in mehreren Hinsichten ein neues Werk auf demselben , aber
erweiterten Plan.
Wir haben den Prinzipen und allgemeinen
Formeln mehr Entwicklung und den Anwendungen eine grössere
Anzeige der zweiten Ausgabe.
VII
Ausdehnung gegeben, weil in ihnen die Lösung der Hauptprobleme ,
die in das Gebiet der Mechanik gehören, enthalten ist.
Wir haben die gewöhnliche Bezeichnung der Differentialrechnung beibehalten , weil sie dem System der unendlich kleinen
Grössen entspricht, das in diesem Werke angenommen ist. Wenn
man den Geist dieses Systems recht begriffen hat, und wenn man
sich von der Genauigkeit seiner Resultate durch die geometrische
Methode der ersten und letzten Gründe, oder durch die analytische
Methode der derivierten Funktionen überzeugt hat , so kann man
die unendlich kleinen Grössen als ein sicheres und bequemes Mittel
anwenden , um die Beweise abzukürzen und zu vereinfachen. In
gleicher Art kürzt man die Beweise der Alten durch die Methode
der unteilbaren Grössen ab.
Wir wollen nun die hauptsächlichsten Vermehrungen mitteilen ,
welche diese Ausgabe von der vorigen unterscheiden .
Der erste Abschnitt des ersten Teils enthält eine vollständigere
Analyse der drei Prinzipe der Statik mit neuen Bemerkungen
über die Natur und den Zusammenhang dieser Prinzipe ; er endigt
mit einem directen und von den beiden andern Prinzipen gänzlich
unabhängigen Beweis
keiten.
des Prinzips der
virtuellen Geschwindig-
Im zweiten Abschnitt haben wir auf eine strengere Weise
gezeigt, dass das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten für eine
beliebige Zahl von im Gleichgewicht befindlichen Kräften aus dem
Fall abgeleitet werden kann, wo nur zwei Kräfte vorhanden sind,
wodurch das Prinzip direct auf dasjenige des Hebels zurückgeführt
ist ; wir bringen die Gleichungen , welche aus diesem Prinzipe
folgen, auf eine allgemeinere Form , und geben die Bedingungen
an, welche nötig sind, damit ein System von Kräften einem andern
System von Kräften gleichwertig sei und an die Stelle desselben
treten könne.
Im dritten Abschnitt stellen wir auf eine directere Weise die
Formeln der momentanen Rotationsbewegungen und ihrer Zusammensetzung auf, und leiten daraus die Theorie der Momente
und ihrer Zusammensetzung ab ; wir setzen eine wenig bekannte
Eigenschaft des Schwerpunktes auseinander und geben einen neuen
Beweis für die Maxima und Minima , welche beim Gleichgewichtszustand stattfinden .
Der vierte Abschnitt enthält allgemeinere und einfachere
Formeln für die Lösung der Probleme , welche von der Methode
VIII
Anzeige der zweiten Ausgabe.
der Variationen abhängen, und aus der Vergleichung dieser Formeln
mit denen des Gleichgewichts der Körper von veränderlicher Gestalt
zeigen wir , wie die auf ihr Gleichgewicht bezüglichen Probleme
zu der Classe derjenigen gehören , die unter dem Namen des allgemeinen isoperimetrischen Problems bekannt sind ,
lösen sie auf dieselbe Weise auf.
und
Der fünfte Abschnitt bietet einige neue Probleme und wichtige
Bemerkungen über einige schon in der ersten Ausgabe gegebene
Lösungen.
Im
sechsten Abschnitt haben wir einige auf die historische
Analyse der Prinzipe der Hydrodynamik bezügliche Einzelheiten
hinzugefügt.
Im siebenten Abschnitt haben wir der Berechnung der Variationen
von Flüssigkeitsmolekülen mehr Strenge und Allgemeinheit gegeben
und die Analyse der Glieder , welche sich auf die Grenzen der
Flüssigkeitsmasse beziehen, einfacher gemacht ; aus diesen Gliedern
haben wir die Theorie der Wirkung von Flüssigkeiten auf feste
Körper, welche sie bedecken , oder auf die Wände der Gefässe, in
denen sie eingeschlossen sind , abgeleitet und daraus einen directen
Beweis des Problems hergeleitet , dass beim Gleichgewicht eines
festen Körpers, der mit einer Flüssigkeit bedeckt ist , die Kräfte,
welche auf den festen Körper wirken, dieselben sind, als wenn die
Flüssigkeit nur eine einzige Masse mit dem festen Körper bildet.
Wir haben auch sowohl in diesem , als im folgenden Abschnitt,
welcher vom Gleichgewicht elastischer Flüssigkeiten handelt, einige
Anwendungen der allgemeinen Formeln des Gleichgewichts der
Flüssigkeiten hinzugefügt.
Der zweite Teil , welcher die Dynamik enthält , hat
grössere Zahl von Vermehrungen erhalten.
eine
Im ersten Abschnitt haben wir eine vollständigere und in
einzelnen Punkten genauere historische Analyse der Prinzipe der
Dynamik gegeben .
Im zweiten Abschnitt geben wir einen wichtigen Zusatz, worin
wir zeigen, in welchen Fällen die allgemeine Formel der Dynamik,
folglich auch die Gleichungen , welche daraus für die Bewegung
eines Systems von Körpern folgen, von der Lage der Coordinatenaxen im Raume unabhängig sind , woraus sich das Mittel ergiebt,
eine Lösung, in welcher man einige Constanten gleich Null gesetzt
hat , durch Einführung dreier neuen willkürlichen Constanten zu
vervollständigen.
IX
Anzeige der zweiten Ausgabe.
Im dritten Abschnitt haben wir den Eigenschaften ,
welche
sich auf die Bewegung des Schwerpunktes, und auf die durch ein
System von Körpern beschriebenen Flächen beziehen , mehr Ausdehnung gegeben ; wir haben die Theorie der Hauptaxen oder der
gleichförmigen Rotation hinzugefügt, welche aus der Betrachtung
der momentanen Rotationsbewegungen durch eine von derjenigen
verschiedene Analyse hergeleitet ist, die man sonst dafür anwendete ;
wir beweisen ferner einige neue Theoreme über die Rotation eines
festen Körpers oder eines Systems von Körpern , wenn dieselbe
von einem ursprünglichen Anstoss abhängt.
Der vierte Abschnitt ist fast derselbe wie in der ersten Ausgabe geblieben.
Der fünfte Abschnitt aber ist ganz neu ; er enthält die Theorie
der Variation willkürlicher Constanten, welche Gegenstand dreier
Abhandlungen gewesen ist, die unter den ,,Mémoires de la première
classe de l'Institut" 1808 gedruckt sind ; diese Theorie aber ist
hier auf eine einfachere Weise und als allgemeine Annäherungsmethode für alle mechanischen Probleme dargestellt, wenn im Verhältnis zu den Hauptkräften nur wenig beträchtliche störende
Kräfte vorhanden sind.
(Wir bemerken hier , dass , um dieser Theorie die ganze Ausdehnung zu geben , deren sie fähig ist , die Funktion V, welche
von den Hauptkräften abhängt , nur eine ganze Funktion der
einzigen unabhängigen Variablen ,,
etc. und der Zeit t sein
kann , dass aber die mit m
2 bezeichnete Funktion , welche von den
störenden Kräften abhängt , nicht von derselben Natur zu sein
braucht. Wie diese Kräfte auch beschaffen sein mögen, so braucht
man doch nur, wenn man sie für jeden Körper m des Systems in
die drei Kräfte X, Y, Z in Richtung der Coordinaten x, y, z zerlegt,
welche diese Coordinaten zu vergrössern streben, diese Coordinaten
als Funktionen der unabhängigen Variablen ,,
etc. darzustellen ;
ΘΩ
"
Stelle der partiellen Differentiale
man kann dann an die
ΘΩ
etc. die respectiven Summen
მს
дх
yoy +2
X
(
Sm (x a + You + Zδε ),
дах
X
Sm ( x
dy
+Y
+
200)...
+
მს
und folglich für A2 die Grösse
Sm (XAx + YAy + ZAz)
X
Anzeige der zweiten Ausgabe.
setzen, wo ▲ eine die willkürlichen Constanten betreffende Variation
ΘΩ
bedeutet, so dass man да in
dx
Sm
X
да
verwandeln kann.
ez
d
+ Y y +2
да
θα
Aehnliche Ausdrücke erhält man für die andern
partiellen Differentiale von 2. Auf diese Weise wird die Methode
auch auf störende Kräfte , welche durch beliebige Variable dargestellt sind, anwendbar gemacht.)
Der sechste Abschnitt endlich, welcher der letzte dieses Bandes
ist, und welcher dem ersten Paragraphen des fünften Abschnittes
der vorigen Ausgabe entspricht, ist um verschiedene Bemerkungen
und besonders um die Lösung einiger Probleme über die sehr
kleinen Oscillationen der Körper vermehrt ; er schliesst mit der
Theorie schwingender Saiten , welche ich im ersten Bande der
Mémoires de Turin gegeben habe , und welche hier auf eine einfachere Weise
und mit Beachtung
der Einwendungen ,
welche
d'Alembert gegen diese Theorie im ersten Bande seiner Opuscules
gemacht hat, dargestellt ist.
Ueber
der
die
Veröffentlichung des
zweiten
Ausgabe
der
zweiten
Analytischen
Bandes
in
Mechanik.
(Von den französischen Herausgebern des zweiten Bandes.)
*
Die Veröffentlichung des zweiten Bandes der Analytischen
Mechanik hat eine Verzögerung erlitten, deren Hauptgründe wir
hier angeben wollen.
Lagrange hatte bereits einige Blätter
davon drucken lassen , als der Tod ihn der Wissenschaft entriss.
Prony übernahm die Herausgabe dieses Bandes, wobei er in der
Revision durch den Professor Garnier von der königl . Militairschule unterstützt wurde .
Das Manuskript der Abschnitte VII
und VIII fand sich geordnet vor; aber bei dem Abschnitt IX zeigte
es sich , dass er unvollständig und nur der erste Paragraph
davon vollendet war. Binet , Prony und Lacroix übernahmen
es dann, unter den Papieren Lagrange's nachzusuchen, ob man
Anzeige der zweiten Ausgabe.
ΧΙ
diesen nicht vielleicht Stoff entnehmen könnte, um diesen Abschnitt
zu vervollständigen. Ihre Untersuchungen führten zu der Ueberzeugung, dass der berühmte Autor diesen Teil nur vorbereitet
hatte, und dass nichts völlig Vollendetes mehr vorhanden war.
Zahlreiche anderweitige Beschäftigungen verhinderten jedoch
bald Prony, den Druck zu überwachen, der besonders in Abschnitt IX
eine grosse Aufmerksamkeit erforderte, wo es sich darum handelte ,
den Stoff und die Bezeichnungsweisen der alten Ausgabe mit denen
der neuen Ausgabe in Uebereinstimmung zu bringen .
Binet |
unterzog sich deshalb dieser oft sehr schwierigen Arbeit. Dabei
wurden alle Randbemerkungen in dem Lagrange'schen Exemplar,
die er selbst geschrieben hatte, benutzt. Einzelne auf die Rotationsbewegung sich beziehende Notizen konnten in den Text nicht mit
aufgenommen werden , da sie zu unvollständig waren ; sie wurden
deshalb als Fragmente an das Ende des Bandes gestellt.
Unter den Fragmenten findet sich noch eine Notiz , die sich ebenfalls unter den Manuskripten vorfand , und die sich auf die Bahnbestimmung der Kometen bezieht, welches Problem im Abschnitt VII,
§ 3 behandelt worden war.
44
44
Joseph - Louis
Lagrange.
Joseph - Louis comte de Lagrange wurde am 25. Januar 1736 zu
Turin geboren ; er war der Sohn von Joseph- Louis Lagrange und Maria
Theresia Grass , einzigen Tochter eines reichen Arztes in Cambiano.
Sein Vater hatte das Amt eines Kriegsschatzmeisters inne und war, da er
eine sehr vorteilhafte Heirat gemacht hatte, reich; allein in Folge von unglücklichen Speculationen verarmte er später. Unser Lagrange war das
jüngste Kind einer zahlreichen mittellosen Familie und deshalb darauf angewiesen, sich sobald als möglich eine selbständige Stellung zu verschaffen
und seinen Lebensunterhalt aus eigenen Kräften zu erwerben. Er selbst
betrachtete dies später als sein besonderes Glück und sagte eines Tages :
" Wenn ich Vermögen gehabt hätte, so hätte ich mich wahrscheinlich nicht
der Mathematik gewidmet." Für die Mathematik interessierte er sich anfangs
gar nicht; Cicero und Virgil und das Studium der Alten zogen ihn an,
erst das Studium einer Abhandlung von Halley in den Philosophical Transactions vom Jahre 1693 : On the superiority of modern algebra in determining
the foci of object- glasses führte ihn der Mathematik zu und zeigte ihm
seine wirkliche Bestimmung . Er widmete von nun an der Mathematik seine
ganzen Kräfte, und mit ausserordentlicher Energie brachte er es bald dahin ,
dass er im Alter von 16 Jahren (andere sagen 15 oder 19 Jahren) zum
Professor der Mathematik an der Königlichen Artillerieschule zu Turin
ernannt wurde, trotzdem er jünger als alle seine Schüler war. Trotz seiner
Halley
grossen Jugend folgten seine Schüler dennoch seinen Vorlesungen mit
der grössten Aufmerksamkeit , und er selbst schloss mit einigen derselben
enge Freundschaften, Aus dieser Vereinigung bildete sich die Akademie zu
01
Turin. Allein das angestrengte Denken hatte bald seiner Gesundheit in
erheblicher Weise geschadet ; er arbeitete beständig mit dem Kopfe und
durchdachte seine Werke derartig, dass er sie bei der Abfassung ohne jede
Correctur niederschrieb. Diese Geistesanstrengung in seiner Jugend versetzte ihn oft in eine Art fieberhafter Aufregung, und seit jener Zeit behielt
er einen unregelmässigen und anomalen Pulsschlag bis an sein Ende. Im
Jahre 1759 erschien der erste Band der Denkschriften der Turiner Akademie
unter dem Titel :
Actes de la Société privée.
Lagrange war einstimmig
zum Direktor der physikalisch - mathematischen Sektion dieser Akademie
erwählt worden, und der genannte erste Band enthält hauptsächlich seine
te aus seiner Jogard qu
(Lagrange pilesto
Siehe Ango
Bd
1.
B...
1.
ezaten ,days, als er zufällig in Leibniz'
die
Werken auf eine analyt.formal step,
45
.9
$
er des Initnes Alademe als sime digone
foleret have,sein
Entdeckung
Schnecke eine formliche Ohnmacht
folge Schaóf nuk
XIV
Joseph -Louis Lagrange.
Inhalt die Arbeiten. Nachdem er neue Methoden zur Berechnung der Maxima und
en Werke, Minima jeder Art angegeben und die Unzulänglichkeit der bekannten Formeln 11
dargelegt hatte, zeigt er die Fortsetzung in einem besonderen Werke an, in
dem er aus denselben Prinzipen die ganze Mechanik fester und flüssiger
Körper herleiten will. Im Alter von 23 Jahren hatte er also bereits die
Grundlage zu den grossen Werken gelegt , welche später die allgemeinste
Bewunderung erregten.
In demselben Bande führt er die Theorie der recurrenten Reihen und
die Lehre vom Zufall auf die Differentialrechnung zurück ; er zeigt ferner,
dass die Prinzipien , welche Newton bei seinen Untersuchungen über die
Fortpflanzung des Schalles zu Grunde legt , ungenügend und falsch sind,
und er gründet seine neuen Untersuchungen auf die bekannten Gesetze der
Dynamik. Das ganze Problem führt er auf dasjenige der schwingenden
Saiten zurück, indem er in der Luft nur diejenigen Teilchen betrachtet,
welche in gerader Linie liegen. Die Rechnungen , welche bis dahin die
grössten Geometer über das Problem schwingender Saiten angestellt hatten,
weist er als ungenügend nach , um diese Frage zu entscheiden und unternimmt selbst eine allgemeine Lösung auf Grundlage einer neuen und höchst
interessanten Analyse, vermöge deren er zugleich eine unbestimmte Anzahl
von Gleichungen zu lösen vermag, und welche sich sogar auf discontinuierliche
Funktionen ausdehnen lässt. Es würde uns hier zu weit führen, alles anzugeben, was in diesen Abhandlungen Neues vorhanden ist, und er selbst bezeichnet es als sein Ziel , die Vorurteile derer zu zerstören , welche daran
zweifeln, dass die Mathematik im Stande sei, Licht in physikalische Fragen
zu bringen.
So stellt sich Lagrange mit einem Schlage in die Reihe der grossen
Geometer Newton , Taylor, Bernoulli , d'Alembert und Euler ; er ist
ihnen ebenbürtig geworden, und zeigt ihnen an dem schwierigen Problem der
schwingenden Saiten, worin sie sich geirrt hatten und giebt selbst die
wirkliche Lösung des Problems, welche jene nicht finden konnten . So fest
begründet seine Rechnungen auch waren und so weit sie auch alle bis
dahin behandelten Fragen lösten , so verhehlte sich Lagrange doch nicht,
dass sie noch nicht hinreichend waren, um alle einschlägigen Probleme zu
lösen , und dass man bei den Blaseinstrumenten nicht die Annahme machen
könne, dass die Luft in gerade Linien geteilt sei,
Nach der Entdeckung seiner Methode der Maxima und Minima zeigten
sich im Alter vou 25 Jahren Symptome von Schwermut und eines Gallenleidens. Man weiss ja , dass diese Art von Leiden bei Männern von viel
sitzender und denkender Lebensweise vielfach vorkommt Lagrange wurde
nervös und melancholisch , und dazu trug wohl zum grössten Teil das damals
beliebte Aderlassen die Schuld , zu dem man bei den schon erwähnten
Fieberanfällen seiner Jugend häufig gegriffen hatte ; 29 Mal liess man ihn
in seinem Leben zur Ader , und es ist klar , dass dies seine Constitution
schwächen musste. Lagrange beschäftigte sich sogar mit der Medicin;
Joseph - Louis Lagrange.
XV
er stellte Untersuchungen über die Organisation, über die Natur der Gifte
und verschiedener schädlichen Substanzen an . So hatte er sich eine eigene
Meinung über die Physiologie gebildet und glaubte , dass die Melancholie
hauptsächlich aus der Oberherrschaft des Nervensystems über das Arteriensystem herrühre. Fortgesetzte körperliche Uebungen , die Unterbrechung
seiner geistigen Arbeit und vor allem seine Jugend stellten bald seine unterbrochene Gesundheit wieder her. Er machte Gebrauch von Pflanzensäuren,
z. B. Citronensäure, und von den Früchten und Gemüsen des Sommers, wie
er überhaupt die Pflanzenkost der Fleischkost beständig vorzog, und diese
Gewohnheit trug nicht wenig dazu bei, ihm die Gesundheit des Körpers und
den natürlichen Frieden seiner Seele wieder zu geben.
Seine ersten Entdeckungen brachten ihn schon in Beziehung zu
2.
Enter
3.
d'Alembert
d'Alembert und Euler , welche mit ihm als mit ihresgleichen correspondierten. Im Jahre 1764 gewann der 28 jährige Lagrange den grossen
mathematischen Preis der Pariser Akademie für seine Theorie der Libration
des Mondes.
Als Euler, obgleich mit grosser Mühe, von Friedrich dem Grossen
die Erlaubnis erhielt, an die Akademie von Petersburg zurückzukehren, und
| dadurch die Stelle eines Directors der Berliner Akademie frei wurde, berief
der König d'Alembert auf diesen Posten . Dieser aber , welcher in
Frankreich in den Wissenschaften einen ausserordentlichen Einfluss besass,
den er in Preussen hätte aufgeben müssen , schlug das Anerbieten des
Königs aus , empfahl ihn aber Lagrange , dessen Ruhm schon durch
ganz Europa gegangen war. So wurde denn im Jahre 1766 Lagrange
nach Berlin berufen mit einem jährlichen Gehalte von 1500 Thalern ; am
26. November 1766 nahm er Besitz von seiner Stellung. Friedrich der
Grosse achtete ihn hoch, und Lagrange sagte später selbst einmal : „ Der
König behandelte mich mit Wohlwollen ; ich glaube , dass er mich Euler
vorzog, welcher ein wenig devot war, während ich mich von jeder Discussion
über Religion fern hielt und so mit Niemandem darüber in Streit geriet. "
Lagrange's Ruhm wurde immer grösser, und die Gesandten verschiedener
Staaten, besonders die von Neapel und Spanien, machten ihm die verlockendsten Anerbieten ; sie wollten diesen grossen Mann an ihr Land ketten
(1773), allein Lagrange schlug alle Anerbieten aus und verblieb auf
seinem Posten, auf dem er sich die Hochachtung und Liebe der Deutschen
im höchsten Masse erworben hatte. Eine grosse Anzahl der tiefsten und
gelehrtesten mathematischen Abhandlungen füllen die „ Abhandlungen der .
Berliner Akademie" und sind eine Zierde derselben geworden.
Das Klima von Preussen sagte ihm aber weniger zu als dasjenige von
Italien; vom Genuss des Weines, den er stets mit der grössten Mässigkeit
trauk, kam er jetzt ganz ab und zog das Bier vor, welches ihm dienlicher
war . Er verheirathete sich auch in jener Zeit mit seiner Cousine, vielleicht
weil er hoffte, durch diese Verbindung aller häuslichen Sorgen ledig zu werden,
die er denn auch mit vollstem Vertrauen seiner Gattin überliess . Allein diese
||
XVI
Joseph - Louis Lagrange.
wurde bald von einer langen und grausamen Krankheit befallen ,
und
Lagrange vergass seine geometrischen Studien, um sich nur mit der Pflege
seiner Gattin zu beschäftigen. Er selbst nahm alle seine medicinischen
Kenntnisse zusammen und griff zu neuen Heilmitteln, um seine Gattin dem
Tode zu entreissen, jedoch vergebens . Sie starb, ohne ihm Kinder zu hinterlassen , und eine lange Zeit blieb Lagrange Wittwer.
Der Tod Friedrichs des Grossen rief aber dann grosse Veränderungen in Preussen hervor ; die Gelehrten fanden nicht mehr dieselbe Beachtung wie früher. Lagrange blieb noch einige Zeit nach dem Tode des
Königs in Berlin ; als er aber bei den damaligen Machthabern , besonders
bei dem allgewaltigen Minister Hertzberg nicht mehr die zuvorkommende
Behandlung erfuhr, welche ihm während der Lebenszeit des grossen Königs
zu Teil geworden war, legte er sein Amt nieder, um nach Frankreich zurückzukehren. Sehr schwer nur willigte der König darein , diesen grossen Ge-
11
lehrten zu entlassen ; endlich aber erhielt er die Erlaubnis unter dem Versprechen , dass er noch mehrere Abhandlungen für die Berliner Akademie
schreiben wollte. Lagrange hat sein Versprechen gehalten und die Bände
yon 1792, 1793 und 1803 enthalten wertvolle Abhandlungen von ihm,
Im Jahre 1787 siedelte Lagrange nach Paris über und wurde von
der Königin Marie - Antoinette mit Wohlwollen aufgenommen ; sie betrachtete ihn als einen Deutschen, der ihr von Wien aus empfohlen worden
Er erhielt eine freie Wohnung im Louvre und lebte hier glücklich
bis zur Revolution .
besitzen.
Man war glücklich in Paris, diesen Gelehrten jetzt zu
Lagrange war gesprächig und liebenswürdig, wenn man ihn um etwas
fragte; dagegen drängte er sich nie vor, um zu sprechen; er erschien zerstreut
und melancholisch. In den Versammlungen, die wöchentlich bei Lavoisier
stattfanden, und bei denen sich die hervorragendsten Gelehrten des ganzen
Landes zusammenfanden, konnte man ihn gleichgiltig ein Fenster oder
andere Dinge betrachten sehen , ohne auf das , was um ihn her gesprochen
wurde, zu hören. Er selbst gestand dann , dass er jeden Geschmack an
mathematischen Untersuchungen nun verloren habe.
4.
Die schönen Experimente des unglücklichen Lavoisier scheinen sein ?
ganzes Interesse in Anspruch genommen zu haben; denn er widmete sich Lavoisier
jetzt der Chemie ; seit seiner Jugend schon hatte er sich mit der Physik be- .
schäftigt ; jetzt aber beschäftigte er sich auch in aller Stille mit anderen
Wissenschaften. Er stellte tiefsinnige Untersuchungen über die verschiedenen
Religionen und über die Metaphysik an , obgleich es nie seine Absicht
gewesen ist, darüber etwas zu veröffentlichen . Er besass ausserordentliche
physikalische und litterarische Kenntnisse und liebte die Musik und Botanik.
Einst untersuchte er auch, warum die Jugendzeit um so viel schöner sei
als das Alter und kam mit Montaigne zu dem Schluss, dass im Alter der
Geist , ebenso wie der Körper , Runzeln erhält und sich mit Systemen und
Vorurteilen belastet, die die Jugend nicht kennt.
Joseph - Louis Lagrange.
XVII
Am 31. Mai 1792 verheirathete er sich wieder mit einer Tochter des berühmten Astronomen Lemonnier, welche noch in der Blüte der Jugend stand,
als er bereits 56 Jahre zählte. Sie sorgte für ihn auf das zärtlichste, und die
Hingebung, mit der sie ihn während seiner Krankheit pflegte, verbindet
ihren Namen unzertrennlich mit dem seinigen. Er selbst gab ihr einst
öffentlich das Zeugnis, dass, wenn es ihm schwer werde aus diesem Leben
zu scheiden, so rühre es nur daher, dass er sich von so viel Tugenden und
Güte trennen müsse, die ihm sein Leben köstlich machten. Vor ihr hatte
er keine Geheimnisse; die zartesten Interessen vertraute er ihr voll und
ganz, und mit hingebendster Treue und Liebe lohnte sie ihm dafür.
In dieser Zurückgezogenheit lebte er bis zum Ausbruch der Revolution,
ohne auch nur das geringste zu seinen mathematischen Entdeckungen hinzuzufügen, ja ohne auch nur einmal seine Analytische Mechanik" aufgeschlagen zu haben, welche schon zwei Jahre vorher erschienen war.
Während der Revolution enthielt er sich jeder politischen Aeusserung
und überstand so glücklich jene schwere Zeit. Als man ihm nach der
Hinrichtung Lavoisier's riet, Frankreich zu verlassen, konnte er sich dazu
nicht entschliessen, sondern setzte sich lieber der Gefahr aus, das Schicksal
Lavoisier's zu teilen . Im Jahre 1792 wurde er in die Münzcommission,
und dann in jene Commission gewählt, welche zur Festsetzung eines neuen
Nach der Unterdrückung der
Maassystemes bestimmt worden war.
Akademie wurde jene Commission noch eine Zeitlang bestehen gelassen,
dann aber einer Reinigung unterworfen und Lagrange beibehalten .
Später wurde er zum Professor an der ,,École Normale" ernannt, als diese
aber nach kurzer Zeit zu bestehen aufhörte, ging er in gleicher Eigenschaft
an die neu begründete ,,Ecole Polytechnique" über. Er hielt hier Yorlesungen über die Mathematik und veröffentlichte im Journal jener Schule
mehrere mathematische Schriften , so die " Theorie der analytischen Funktionen" 1797, eine Abhandlung über die Auflösung von numerischen Gleichungen 1798 etc. Napoléon , welcher ihn die ,,haute pyramide des sciences
mathématiques" nannte , überhäufte ihn mit Ehrenbezeugungen ; er machte
ihn zum Senator, erhob ihn in den Grafenstand und ernannte ihn dann zum
Gross-Offizier der Ehrenlegion.
Ueber seine Vorlesungen an der École Polytechnique sagt Lacroix :
Alle diejenigen, denen es vergönnt war, seinen interessanten Lectionen zu
folgen, haben mit Vergnügen bemerkt, wie er unter den Augen der Zuhörer
fast alle Teile seiner Theorie erst erschuf."
5.
Lacroix
In diese Zeit fallen auch die Vorarbeiten für die zweite Ausgabe seiner
Analytischen Mechanik. ( Sein Plan war, die gebräuchlichsten Teile derselben
weiter zu entwickeln.) Er arbeitete daran mit dem ganzen Eifer und der ganzen
Kraft seines Geistes . Diese Anstrengung brachte aber eine Geistesabmattung
hervor, die ihn mehrfach einer Ohnmacht nahe brachte, Eines Tages fand
ihn seine Gattin im Zustande der Ohnmacht auf der Erde liegen; sein Kopf
war beim Fallen auf die Ecke eines Gegenstandes geschlagen , und dieser
II
11
XVIII
Joseph - Louis Lagrange.
Schlag hatte ihn seiner Sinne beraubt. Dies Ereignis zwang ihn , sich mehr
zu schonen ; doch lag ihm die Vollendung seines Werkes zu sehr am
Herzen ; der erste Band erschien einige Zeit vor seinem Tode, der zweite
erst im Jahre 1815 nach seinem Tode, Kurz nach dem ersten Bande der
Mechanik erschien ferner eine neue Ausgabe seiner Analytischen Funktionen,
und es ist klar, dass eine solche Fülle von Arbeiten seine Kräfte aufzehren
musste. Gegen Ende März stellte sich das Fieber wieder ein; der Appetit
war fort und der Schlaf unruhig. Er merkte wohl die Gefahr, die ihm jetzt
drohte, aber mit seiner unzerstörbaren Heiterkeit studierte er selbst alles,
was in ihm vorging. Als am Morgen des 8. April Lacépède und Monge
und Chaptal ihn besuchten, sagte Lagrange zu ihnen : „Ich habe mich
vorgestern sehr schlecht befunden , meine Freunde, ich fühlte mich dem
Tode nahe ; die Kräfte meines Körpers schwanden mehr und mehr, und
meine geistigen und physischen Kräfte erloschen allmählich . Mit Vergnügen
beobachtete ich das stufenweise Verschwinden meiner Kräfte , und ich war
ohne Schmerz und ohne Bedauern am Ende angelangt. O ! der Tod ist
nicht zu fürchten, und wenn er ohne Schmerz kommt, so ist er nur eine
letzte Funktion, die weder peinlich noch unangenehm ist. "
Ein weiteres Zeugnis für die schon erwähnte Hingebung seiner Gattin
gab er denselben Freunden in folgenden Worten : „Ich wollte sterben, ja
ich wollte sterben und fand Vergnügen daran; aber meine Frau wollte es
nicht. In diesen Momenten hätte ich lieber eine weniger gute Frau gehabt,
die weniger dafür besorgt gewesen wäre, meine Kräfte wieder herzustellen ,
und die mich mein Leben hätte sanft beschliessen lassen . Meine Laufbahn
ist vollendet; ich habe einige Berühmtheit in den mathematischen Wissenschaften erlangt, ich habe Niemanden gehasst, nichts Uebles gethan und
muss mein Leben enden ; doch meine Frau hat es nicht so gewollt. "
Lagrange behielt bis an sein Ende sein grosses Gedächtnis und
seine Fähigkeit zu arbeiten ; seine Sinne waren alle sehr gut, mit Ausnahme
des Gehörs, das gegen Ende seines Lebens schwach wurde. Wie Descartes
schlief er ziemlich lange, stand erst gegen 10 Uhr auf und legte sich erst
gegen Mitternacht zur Ruhe nieder. Am Morgen genoss er Kaffee mit Milch;
er ass sehr mässig zum Mittag mit nur wenig Fleisch und zog Gemüse und
süsse Früchte vor. Er trank nur Bier und hasste alle starken Liqueure .
Dann trank er sehr süssen Kaffee, so heiss , als er ihn nur ertragen konnte,
da er die Wärme liebte, und setzte sich an schönen Tagen in den warmen
Sonnenschein. Abends um 10 Uhr nahm er sehr heissen und sehr süssen
Thee , den er häufig mit Citronensaft versetzte, um sich zu erfrischen.
Er war nicht unempfindlich für die Reize der Musik und des französischen
Schauspiels, und nur in der letzten Zeit seines Lebens mied er das Theater,
weil die Luft eines geschlossenen Raumes mit so vielen Menschen ihm nicht
zusagte; überhaupt liebte er die freie Luft sehr und ging jeden Tag
spazieren. Seine Krankheit nahm in der That einen schlechten Verlauf; seine
angestrengte geistige Thätigkeit hatte seine Kräfte aufgerieben , und schon
XIX
Joseph- Louis Lagrange.
am 10. April 1813, in seinem 78. Lebensjahre , verschied dieser grosse
Mathematiker an vollständiger Entkräftung. Seine sterblichen Ueberreste
wurden im Panthéon bestattet, und seine berühmten Collegen und Freunde
Laplace und Lacépède hielten die Leichen- und Gedächtnisrede . " Unter
jenen ", sagt Laplace, " welche am wirksamsten die Grenzen unserer Wissenschaft erweitert haben, haben Newton und Lagrange jene glückliche
Kunst im höchsten Masse besessen, die allgemeinen Prinzipe zu entdecken,
6.
Lapl
ace
welche das eigentliche Wesen der Wissenschaft ausmachen . Diese Kunst,
verbunden mit einer seltenen Eleganz in der Entwicklung der abstraktesten
Theorien ist's, was Lagrange charakterisiert. "
Im Folgenden wollen wir noch einiges über seine Werke sagen.
Weiter vorn haben wir schon gezeigt, dass die im ersten Bande der
Turiner Abhandlungen erschienenen Abhandlungen den Namen Lagrange's
über die ganze gelehrte Welt verbreitet und ihn in Beziehungen zu den
grössten damals lebenden Mathematikern gebracht hatten. Euler schrieb
ihm darüber : Ihre Lösung des isoperimetrischen Problems lässt nichts zu
wünschen übrig, und ich freue mich, dass dieser Gegenstand, mit dem ich
mich seit den ersten Anfängen beschäftigt habe, durch Sie zu einem so
hohen Grade von Vollendung gebracht worden ist. Die Wichtigkeit der
Materie hat mich vermöge der Lichtpunkte, welche Sie geben, angeregt,
eine analytische Lösung des Problems zu suchen, die ich aber nicht eher
veröffentlichen werde , als bis Sie selbst Ihre folgenden Untersuchungen
veröffentlicht haben, um Ihnen keinen Teil des Ruhmes zu entreissen, der
Ihnen gebührt. " Die Abhandlung, in welcher Euler die Lagrange'sche
Methode und die Theorie dieser neuen Rechnung, welche er VariationsRechnung nennt, auseinandersetzt, beginnt Euler mit den Worten : „ Nachdem ich mich lange und vergeblich bemüht hatte, jenes Integral zu finden,
wie gross war da mein Erstaunen, als ich hörte, dass in den Turiner
Abhandlungen das Problem mit ebenso viel Leichtigkeit als Glück gelöst
sei. Diese schöne Entdeckung hat mir um so mehr Bewunderung abgenötigt,
als sie gänzlich von den Methoden, die ich gegeben habe, verschieden ist
und dieselben an Einfachheit bei Weitem übertrifft."- Das Hauptwerk von
Lagrange ist seine Analytische Mechanik ; er schrieb dieselbe in Berlin,
wünschte aber, dass sie in Paris gedruckt würde , weil er der Meinung
war, dass dort seine Formeln sorgfältiger abgedruckt würden. Wohl trug er
Besorgnis, das Manuskript einem Reisenden anzuvertrauen , der den Wert
desselben gar nicht kannte ; er verfertigte deshalb eine Abschrift, welche
Duchâtelet an den Abbé Marie überbrachte. Der Abbé liess es sich
nun angelegen sein, einen Verleger für das Werk zu finden und, was man
kaum glauben könnte, er fand keinen Verleger. Endlich nahm sich
Desaint des Werkes an, er liess es aber nur drucken unter der Bedingung,
dass Lagrange die nach Ablauf einer festgesetzten Zeit nicht verkauften
Exemplare auf seine Kosten ankaufen sollte. So erschien denn das Werk
II*
(2.)
Enter
XX
Joseph- Louis Lagrange.
im Jahre 1788; allein es hatte nur wenig Erfolg; die Ideen und Theorien
waren zu neu und der verständigen Leser zu wenige.
Im Verlauf seiner Vorlesungen an der École polytechnique hatte er den
Plan gefasst, die Anwendungen seiner Theorien zu vermehren und eine
zweite Ausgabe seiner analytischen Mechanik zu unternehmen. Sein Plan
war, die gebräuchlichsten Teile derselben weiter zu entwickeln, und mit der
grössten geistigen Anstrengung arbeitete er an der Vollendung dieses seines
Hauptwerkes , dessen erster Band im Jahre 1811 erschien, während es ihm
nicht mehr vergönnt war, den zweiten Band zu vollenden ; derselbe wurde
nach seinem Tode von Prony, Garnier und Binet herausgegeben.
Bedeutung des
Dieses grosse Werk gründet sich ganz auf die Variationsrechnung,
es
Inhalt
deren Erfinder Lagrange ist. Seit Galilei die Dynamik begründet hatte,
der
waren die einzelnen Forscher bestrebt gewesen , diejenigen allgemeinen
Mecha
Analyt.Jei prinzipiellen Sätze aufzufinden, welche einen gewissen Kreis von mechanischen
Aufgaben in sich begreifen, und diese Sätze wurden für um so wichtiger
gehalten, je grösser die Anzahl der mechanischen Probleme war, die unter
ein solches Prinzip gebracht werden konnten. Auf diese Weise entstand
eine gewisse Anzahl von Prinzipen , welche vermöge der sich stetig entwickelnden mathematischen Analysis in leicht übersichtliche mathematische
Formeln umgesetzt werden konnten und vermöge der rein algebraischen
Eigenschaften der Zahlengebilde, die in jenen Formeln vorkommen, auf
neue Sätze von prinzipieller Wichtigkeit für die Mechanik führten. Bis zu
Lagrange hin kannte man schon den Satz vom Parallelogramm der
Kräfte, den Hebelsatz, das d'Alembert'sche Prinzip , das Prinzip der
kleinsten Wirkung und verschiedene andere Sätze, und man bemühte sich
vergebens für sämmtliche mechanischen Probleme einen einzigen Satz aufzustellen, ein einziges Prinzip, das alle Fälle der Wirkung von beliebig
vielen Kräften auf ein beliebiges System enthielte. Diesen Schritt zu thun,
war Lagrange vorbehalten. Indem er das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten mit dem d'Alembert'schen Prinzip verband, gelangte er
zu der allgemeinen Formel der Dynamik für die Bewegung eines
beliebigen Systems von Körpern " , wie er sie nennt. (Analyt. Mechanik,
Teil II, Abschn. II.) Das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten" ist | X
eigentlich so alt wie die Mechanik selber, aber erst bei Galilei und
Johann Bernoulli nimmt es festere Gestalt an; bei Lagrange endlich
ist es die Basis der gesammten Mechanik. Zuerst verwendet er es in seiner
Preisschrift ,,Recherches sur la libration de la lune" ( 1764), In der ersten
Ausgabe seiner Mechanik von 1788 ist ihm dies Prinzip noch ein Axiom
ohne jede Begründung , das er zum Ausgangspunkt seiner Entwicklungen
macht. In der zweiten Ausgabe führt er das Prinzip auf eine einfache
mechanische Combination von Kraftwirkungen an einer ideellen Maschine
zurück. Er bedient sich dazu einer Verbindung ideeller Flaschenzüge
deren soviele angebracht gedacht werden, als Angriffspunkte von Kräften
vorhanden sind. Um alle festen und beweglichen Rollen aller Flaschen-
773
Joseph-Louis Lagrange.
XXI
züge windet sich ein einziger unausdehnbarer Faden , der mit dem einen
Ende an einem festen Punkte befestigt ist, während das andere Ende ein
Gewicht trägt, welches die Gesammtwirkung der Kräfte ausdrückt, Die
Anzahl der beweglichen Rollen eines jeden Flaschenzuges ist der am entsprechenden Angriffspunkte wirkenden Kraft proportional. Man kann nun
leicht zeigen, dass 1. das Produkt des Gewichtes am freien Ende des Seiles
multipliciert mit der Strecke, um welche dieses bei irgend einer Verrückung
der Angriffspunkte der Kräfte herabsinkt, gleich ist der Summe der Produkte
der einzelnen Kräfte, multipliciert mit den auf der Richtung der entsprechenden Kraft projizierten Verschiebungen der bezüglichen Angriffspunkte und 2. dass im Falle des Gleichgewichts die genannte Summe von
Produkten verschwindet, oder mit anderen Worten: sich in ihrer Gesammtwirkung auf das freie Ende des Fadens aufhebt. Der Flaschenzugbeweis "X
kommt zum ersten Male bei Lagrange im ,,Journal de l'école polytechnique"
(tome II, cahier 5, 1796) unter dem Titel : ,, Sur le principe des vitesses
virtuelles" vor; im dritten Teile der zweiten Ausgabe seiner Funktionentheorie findet er sich in höchster Vollendung. Hier tritt an die Stelle der
Flaschenzüge ein System fester Rollen, und an das eine Ende des Fadens ,
der die Kraftwirkungen vermittelt, ist kein Gewicht angebracht gedacht,
sondern beide Enden sind an feste Punkte befestigt.
Aus diesem einen Prinzipe entwickelt nun Lagrange auf rein
analytischem Wege die Grundgleichungen der Mechanik, welche die Prinzipe
der Bewegung des Schwerpunkts, der Erhaltung der Flächen, der lebendigen
Kräfte etc. genannt werden.
Als Carnot Minister des Innern war, setzte er es bei der Regierung
durch, dass die Manuskripte Lagrange's käuflich erworben wurden . Es
wurde dann eine Commission ernannt, welche diejenigen Schriften auswählte,
die zur Publikation geeignet waren , während alle anderen in der Bibliothek
des Instituts deponiert wurden . Die Commission bestand aus Legendre,
Prony, Poisson und Lacroix.
In neuester Zeit ist eine Gesammtausgabe der Werke Lagrange's
durch Serret veranstaltet worden , wovon der erste Band im Jahre 1867
erschien .
Für die Biographie Lagrange's sind folgende Schriften anzuführen :
Eloge de Lagrange (Mém. de l'institut pour 1812). Journal de l'Empire
du 28 avril 1813. Vircy et Potel: Précis historique sur la vie et la mort
de Lagrange 1813. Cossali: Eloge de Lagrange, Padova 1813.
Seine Werke sind folgende :
Miscellanea Taurinensia.
Tome I.
Recherches sur la méthode de maximis et minimis.
Sur l'intégration d'une Equation differentielle à différences finies , qui contient la
théorie des suites récurrentes.
Recherches sur la propagation du son.
11
X XII
Joseph -Louis Lagrange.
Tome II.
Nouvelles Recherches sur la propagation du Son.
Essai sur une nouvelle Méthode pour déterminer les Maxima et Minima des formules
intégrales indéfinies.
Application de cette Méthode à la solution de differents Problèmes de Dynamique.
Tome III.
Sur différents Problèmes de Calcul intégral.
Tome IV.
Solution d'un Problème d'Arithmétique.
Sur l'intégration de quelques Équations differentielles où les indéterminées sont séparées
mais dont chaque membre en particulier n'est point intégrable.
| Sur la méthode des Variations.
Sur le mouvement d'un corps attiré vers deux centres fixes, premier et deuxième
Mémoire.
Tome V.
Sur la figure des Colonnes.
Sur l'utilité de la Méthode de prendre un milieu entre les observations.
Mémoires de L'Académie de Turin.
1784-85.
Teil I.
Sur la percussion des fluides.
Teil II.
Nouvelle Méthode de Calcul intégral, pour les differentielles affectées d'un radical
carré sous lequel la variable ne passe pas le 4 degré.
Abhandlungen der Berliner Akademie.
Band XXI. 1765.
Sur les courbes tautochrones.
Band XXII. 1766.
Sur le passage de Venus, du 3. juin 1769 (ou sur les Parallaxes).
Band XXIII. 1767.
Sur la solution des Problèmes indéterminés du second degré.
Sur la résolution des équations_numériques.
Band XXIV. 1768.
Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques.
Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminées, en nombres entiers.
Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales, par le moyen des séries.
Band XXV. 1769.
Sur la force des ressorts pliés,
Sur le problème de Kepler.
Sur l'élimination.
Neue Abhandlungen der Berliner Akademie.
1770.
Nouvelles réflexions sur les tautochrones.
Démonstration d'un théorème d'Arithmétique.
Réflexions sur la résolution algébrique des équations.
Joseph- Louis Lagrange.
XXIII
1771.
Démonstration d'un théorème nouveau concernant les nombres premiers.
Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations.
1772.
Sur une nouvelle espèce de Calcul relatif à la differentiation et à l'intégration.
Sur la forme des racines imaginaires des équations.
Sur les réfractions astronomiques.
Sur l'intégration des équations aux différences partielles du premier ordre.
1773.
| Nouvelle solution du problème du mouvement de rotation d'un corps.
Sur l'attraction des spheroides elliptiques.
Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires.
Recherches d'arithmétique.
1774.
Sur les intégrales particulières des équations différentielles.
Sur le mouvement des noeuds des orbites des planètes.
1775.
Recherches sur les suites récurrentes dont les termes varient de plusieurs manières
différentes, ou sur les équations linéaires aux différences finies partielles, et sur
l'usage de ces équations dans la théorie des hasards.
Additions au Mémoire sur l'attraction des spheroides elliptiques.
Suite des recherches d'arithmétique imprimées dans le volume de 1773.
1776.
Sur l'altération des moyens mouvements des Planètes.
Solution de quelques problèmes d'astronomie sphérique, par le moyen des séries.
Sur l'usage des fractions continues dans le calcul intégral.
1777.
Recherches sur la détermination du nombre des racines imaginaires dans les équations.
littérales.
Sur quelques problèmes dé l'analyse de Diophante.
Remarques générales sur le mouvement de plusieurs corps qui s'attirent.
Réflexions sur l'échappement.
1778.
Sur le problème de la détermination des orbites des comètes, premier mémoire, second
mémoire.
| Sur la théorie des lunettes.
Sur une manière particulière d'exprimer le temps dans les sections coniques décrites
par des forces inversement proportionelles au carré des distances.
1779.
Sur différentes questions d'analyse rélatives à la théorie des intégrales particulières.
second mémoire.
Sur la construction des cartes géographiques, premier mémoire
1780.
Théorie de la libration de la lune.
1781.
Sur la théorie des mouvements des fluides.
Théorie des variations séculaires des élements des orbites des planètes (Teil 1).
XXIV
Joseph - Louis Lagrange.
1782.
Théorie des variations séculaires etc. (Teil II).
1783.
mouvements
des planètes (Teil I).
périodiques
variations
des
des
Théorie
Sur les variations séculaires des mouvements moyens des planètes.
Sur la manière de rectifier les méthodes ordinaires d'approximation pour l'intégration
des équations du mouvement des planètes.
Sur une méthode particulière d'approximation et d'interpolation.
Sur une nouvelle propriété du centre de Gravité.
Sur le problème de la détermination des orbites des comètes (Teil III) .
1784.
Théorie des variations périodiques du mouvement des planètes.
1785.
Teil II.
Méthode générale pour intégrer les équations aux différences partielles du premier ordre,
lorsque les différences ne sont que linéaires.
1786.
Théorie géometrique du mouvement des aphélies , pour servir d'addition au Principes
de Newton.
Sur la manière de rectifier deux endroits des Principes de Newton, relatifs à la
propagation du son et au mouvement des ondes.
1787.
(Lagrange überreicht der Berliner Akademie die Bestimmung der säkularen und periodischen Variationen der Elemente des Herschel (Uranus) von Duval - le - Roi .)
1792-1793.
Sur une question concernant les annuités.
Recherches sur plusieurs points d'analyse , relatifs à différents endroits des mémoires
précédents:
1. Sur l'expression du terme général des séries récurrentes ;
2. Sur l'attraction des spheroides elliptiques;
3. Sur la méthode d'interpolation ;
4. Sur l'équation séculaire de la Lune.
1803 .
Sur une loi générale de l'optique.
Recueils de l'Académie des sciences de Paris.
Mémoires.
1772. Teil I.
Recherches sur la manière de former des Tables des planètes d'après les observations.
1774.
Recherches sur les équations séculaires du mouvement des noeuds et des inclinaisons
des orbites des planètes.
Preis-Arbeiten.
Tome IX.
Recherches sur la libration de la lune, 1764.
Recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter, 1766.
Essai d'une nouvelle méthode pour résoudre le problème des trois corps, 1772.
Joseph - Louis Lagrange.
XXV
Savants étrangers.
Tome VII.
Sur l'équation séculaire de la Lune.
Tome X.
Recherches sur le dérangement d'une comète qui passe prés d'une planète.
Institut de France.
Mémoires de la première classe.
1808.
Sur la théorie des variations des éléments des planètes, et en particulier des variations
du grand are de leurs orbites.
Sur la théorie générale des variations des constantes arbitraires dans tous les problèmes
de la mécanique.
Supplément au mémoire précédent.
1809.
Second mémoire sur la théorie de la variation des constantes arbitraires dans les
problèmes de mécanique.
Journal de l'école polytechnique.
Tome 11, cahier V.
Essai d'Analyse numérique sur la transformation des fractions.
Sur le principe des vitesses virtuelles.
Tome II, calier VI.
Discours sur l'objet de la théorie des fonctions analytiques.
Solutions de quelques problèmes relatifs aux triangles sphériques avec une analyse
complète de ces triangles.
Tome VIII, cahier XV.
Éclaircissement d'une difficulté singulière qui se recontre dans le calcul de l'attraction
des sphèroïdes peu différents d'une sphère.
Tome XIII, cahier XXI.
Formules relatives au mouvement du boulet dans l'intérieur des canons.
Séances des écoles normales.
Leçons d'Arithmétique et d'Algèbre données à cette École en l'an III (1794-95).
Connaissances des Temps.
1796.
Compas de réduction pour la distance de la lune aux étoiles.
1814.
Sur Porige des comètes.
1817 .
Sur le calcul des éclipses sujettes aux parallaxes.
1819.
sur la méthode des projections dans le calcul des éclipses de soleil ou d'étoiles .
(Diese Abhandlung erschien in deutscher Sprache 1781 im Berliner astronomischen
Jahrbuch.)
1821.
Nouvelle méthode pour déterminer l'orbite des comètes d'après les observations.
(Diese Abhandlung erschien ebenfalls in deutscher Sprache 1783 im Berliner astronomischen Jahrbuch .)
Remarque
XXVI
Joseph - Louis Lagrange.
Abhandlungen in deutscher Sprache im Berliner astronomischen
Jahrbuch.
1781 .
Bemerkungen über die Projectionsmethode bei der Bestimmung der Sonnenfinsternisse
und der Sternbedeckungen durch den Mond.
1782.
Berechnung der den Parallaxen unterworfenen Verfinsterungen.
Ueber die Verminderung der Schiefe der Ekliptik.
1783.
Ueber Interpolation.
Neue Methode, die Bahn der Kometen zu bestimmen.
Anwendung der vorigen Methode durch Schultz.
1786.
Jährliche Variationen der Elemente der Planeten.
1789.
Formeln zur Bestimmung der Bahn eines Kometen oder eines Planeten aus drei genäherten Beobachtungen.
Als selbständige Werke sind noch zu erwähnen:
Additions à l'algèbre d'Euler.
Mécanique analytique. I. Ausgabe 1788. II. Ausgabe, Band I, 1811 ; Band II, 1815.
Théorie des fonctions analytiques. I. Ausgabe 1797. II. Ausgabe 1813.
Résolution des équations numériques. I. Ausgabe 1798. II. Ausgabe 1808.
Leçons sur le calcul des fonctions. 1801. 1806.
Lagrange, Theo
de
die Grundst Berl
e inr
Grueson
1798
J.P.
von
.
vorgetragen werden , übersetzt
shifferentia
284Seiten
lrechnung
/Pappband
rie der analyt. funktionen , in welcher
11
Inhalt.
Seite
III
V
VI
XIII
Vorwort des Herausgebers .
Anzeige der ersten Ausgabe
Anzeige der zweiten Ausgabe
Lebenslauf von J. L. Lagrange
Erster Teil.
3
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik
Abschn. II. Allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht irgendeines Systems von Kräften , nebst der Methode, von dieser Formel
Gebrauch zu machen •
Abschn. III. Allgemeine Eigenschaften des Gleichgewichts eines Systems von
Körpern, abgeleitet aus dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten
§ 1. Eigenschaften des Gleichgewichts eines freien Systems in
Bezug auf fortschreitende Bewegung
§ 2. Eigenschaften des Gleichgewichts in Bezug auf rotierende
Bewegung
§ 3. Von der Zusammensetzung der Rotationsbewegungen um_verschiedene Axen und von den Momenten in Bezug auf Axen . ·
§ 4. Eigenschaften des Gleichgewichts in Bezug auf den Schwerpunkt
§ 5. Maxima und Minima beim Gleichgewicht .
Abschn. IV. Ueber eine einfachere und umfassendere Methode , von der
§ 1. Von dem Gleichgewicht eines Körpers oder eines Punktes, der
durch mehrere Kräfte angegriffen wird
§ 2. Von der Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte
36
36
39
46
51
54
60
60
64
71
28
allgemeinen Bedingungsgleichung des Gleichgewichts Gebrauch zu
machen .
§ 1. Methode der Multiplicatoren
§ 2. Anwendung derselben Methode auf die Formel für das Gleichgewicht continuierlicher Körper, deren sämmtliche Punkte durch
•
beliebige Kräfte angegriffen werden ·
§ 3. Analogie mit Problemen über Maxima und Minima
Abschn. V. Lösung verschiedener Probleme der Statik
Cap. I. Ueber das Gleichgewicht mehrerer Kräfte , die an demselben Punkte angreifen. Ueber die Zusammensetzung und
Zerlegung von Kräften .
23
680
Abschn. I.
Statik.
86
86
87
90
XXVIII
Inhalt.
Seite
Cap. II. Vom Gleichgewicht mehrerer , an einem System von
Körpern , die als Punkte betrachtet werden und durch
Fäden oder Stäbe mit einander verbunden sind , wirkenden
Kräfte ..
§ 1. Vom Gleichgewicht dreier oder mehrerer Körper, die an einem
unausdehnbaren oder an einem ausdehnbaren Faden befestigt sind
§ 2. Ueber das Gleichgewicht dreier oder mehrerer Körper, die an
einem unbiegsamen und starren Stabe angebracht sind . · •
§ 3. Vom Gleichgewicht dreier oder mehrerer Körper, die an einem
elastischen Stabe angebracht sind ·
Cap. III. Vom Gleichgewicht eines Fadens , dessen sämmtliche
Punkte durch irgend welche Kräfte gezogen werden , und
der als biegsam oder unbiegsam , oder elastisch und zu
gleicher Zeit als dehnbar oder undehnbar angesehen wird
§ 1. Vom Gleichgewicht eines biegsamen , unausdehnbaren Fadens
§ 2. Vom Gleichgewicht eines biegsamen und zu gleicher Zeit
ausdehnbaren und zusammenziehbaren Fadens oder einer Fläche
mit entsprechenden Eigenschaften
§ 3. Vom Gleichgewicht eines elastischen Fadens oder einer
elastischen Platte
94
95
103
109
111
111
119
123
§ 4. Vom Gleichgewicht eines starren Fadens von gegebener Gestalt 131
Cap . IV. Vom Gleichgewicht eines festen Körpers von messbarer Grösse und beliebiger Gestalt , dessen sämmtliche
138
Punkte durch irgend welche Kräfte angegriffen werden .
143
Abschn. VI. Prinzipe der Hydrostatik
149
Abschn . VII. Vom Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten
§ 1. Vom Gleichgewicht einer Flüssigkeit in einer sehr engen Röhre 149
§ 2. Ableitung der allgemeinen Gesetze des Gleichgewichts incompressibler Flüssigkeiten aus der Natur der Teilchen, aus.
154
denen sie bestehen
§ 3. Ueber das Gleichgewicht einer freien Flüssigkeitsmasse, welche
166
einen festen Körper umschliesst
§ 4. Vom Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten , welche in
172
Gefässen enthalten sind .
Abschn. VIII . Vom Gleichgewicht compressibler und elastischer Flüssigkeiten
175
Zweiter Teil. - Dynamik.
Abschn. I. Ueber die verschiedenen Prinzipe der Dynamik
Abschn. II. Allgemeine Formel der Dynamik für die Bewegung eines
Systems von Körpern, welches durch irgendwelche Kräfte angetrieben
wird
Abschn. III. Allgemeine aus der Bewegungsgleichung abgeleitete Eigenschaften der Bewegung
§ . 1. Eigenschaften bezüglich des Schwerpunktes
§ 2. Auf Flächen bezügliche Eigenschaften .
$ 3. Eigenschaften von Rotationen, welche durch momentan wirkende
Kräfte erzeugt werden
183
203
211
211
215
222
Inhalt.
XXIX
Seite
1
§ 4. Eigenschaften der festen Rotationsaxen eines freien Körpers
von beliebiger Gestalt
$ 5 . Eigenschaften hinsichtlich der lebendigen Kräfte .
§ 6. Eigenschaften nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung
Abschn. IV. Differentialgleichungen für die Lösung aller Probleme der
Dynamik
Abschn . V. Allgemeine Annäherungsmethode für die Auflösung von
Problemen der Dynamik , begründet auf die Variation arbitrarer
Constanten
227
235
241
249
264
§ 1. Ableitung einer allgemeinen Relation zwischen den Variationen
der arbiträren Integrationsconstanten aus den allgemeinen
Bewegungsgleichungen
§ 2. Ableitung der einfachsten Differentialgleichungen, um die
Variationen beliebiger Constanten zu bestimmen , welche von
störenden Kräften herrühren
§ 3. Beweis einer wichtigen Eigenschaft der Grösse , welche die
lebendige Kraft eines durch Störungskräfte gestörten Systems
ausdrückt . ·
Abschn. VI. Ueber sehr kleine Oscillationen eines Systems von Körpern
265
269
279
284
§ 1. Allgemeine Lösung des Problems sehr kleiner Oscillationen
eines beliebigen Systems von Körpern um deren Gleichgewichts284
punkte .
§ 2. Ueber die Oscillationen eines Systems linear angeordneter
301
Körper
§3. Anwendung der Formeln auf die Schwingungen einer gespannten und mit mehreren Körpern belasteten Saite, und auf
die Schwingungen eines unausdehnbaren Fadens , welcher mit
einer beliebigen Zahl von Gewichten belastet und an seinen
313
beiden Enden oder nur an einem Ende befestigt ist
§ 4. Ueber die Schwingungen tönender Saiten , wenn diese als
gespannte, mit einer unendlichen Menge kleiner und unendlich
naher Gewichte belastete Saiten betrachtet werden, und über die
327
Discontinuität willkürlicher Funktionen
Abschn. VII. Die Bewegung eines Systems von freien Körpern, die als
Punkte gedacht werden und durch Attractionskräfte bewegt werden 346
Cap. I. Ueber die Bewegung eines als Punkt gedachten Körpers,
der durch Kräfte , die einer Funktion der Entfernung proportional sind, nach einem festen Centrum hingezogen wird,
und insbesondere über die Bewegung der Planeten und
Kometen um die Sonne . ·
348
§ 1. Ueber die Bewegung der Planeten und Kometen um die als
357
unbeweglich angenommene Sonne
§ 2. Bestimmung der Elemente einer elliptischen oder parabolischen
373
Bewegung
379
§ 3. Ueber die Bestimmung der Kometenbahnen .
Cap. II . Ueber die Variation der Elemente elliptischer Bahnen,
welche durch eine Impulsionskraft oder durch beschleuni396
gende Kräfte hervorgerufen wird
Inhalt.
XXX
Seite
§ 1. Von der Veränderung in den Bahnelementen eines Planeten.
397
wenn derselbe einen beliebigen Impuls erleidet •
§ 2. Variationen der Bahnelemente der Planeten , welche durch
404
störende Kräfte erzeugt werden •
Cap . III. Ueber die Bewegung eines Körpers, der durch Kräfte,
welche umgekehrt proportional dem Quadrate der Ent428
fernungen sind , gegen zwei feste Centren gezogen wird .
Cap. IV. Ueber die Bewegung zweier oder mehrerer freier
Körper, die sich gegenseitig anziehen, und besonders über
die Bewegung der Planeten um die Sonne und über die
säkularen Störungen ihrer Elemente .
§ 1. Allgemeine Gleichungen für die relative Bewegung von Körpern,
die sich gegenseitig anziehen
§ 2. Allgemeine Formeln für die säkularen Variationen der Elemente
der Planetenbahnen •
§ 3. Ueber die säkularen Gleichungen der Elemente der Planeten,
wenn dieselben durch den Widerstand eines sehr dünnen Mittels
erzeugt werden .
§ 4. Ueber die Bewegung mehrerer , sich gegenseitig anziehender
Körper, um den gemeinsamen Schwerpunkt .
Abschn. VIII . Ueber die Bewegung unfreier Körper, die auf eine beliebige
·
Weise auf einander wirken
438
439
445
472
476
482
Cap. I. Allgemeine Formeln für die Variation der willkürlichen
Constanten bei der Bewegung eines beliebigen Systems von
Körpern, die durch endliche und momentane oder durch
unendlich kleine und continuierliche Impulse erzeugt wird 485
Cap. II. Ueber die Bewegung eines Körpers auf einer gegebenen
491
Fläche oder Linie .
§ 1. Ueber die Schwingungen eines einfachen Pendels von gegebener
495
Länge • •
§ 2. Ueber die Bewegung eines schweren Körpers auf einer be• 507
liebigen Umdrehungsfläche .
509
Rotationsbewe
Abschn. IX . Ueber die
gung ·
Cap. I. Ueber die Rotation eines beliebigen Systems von
Körpern
•
§ 1. Allgemeine Formeln für die Rotationsbewegung
§ 2. Gleichungen für die Rotationsbewegung eines festen Körpers,
der durch irgend welche Kräfte angetrieben wird
§ 3. Bestimmung der Bewegung eines schweren Körpers von beliebiger Gestalt . •
Abschn. X. Ueber die Prinzipe der Hydrodynamik
Abschn. XI.
Ueber die Bewegung incompressibler Flüssigkeiten
509
509
523
533
561
568
§ 1. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung incompressibler
568
Flüssigkeiten
§ 2. Ueber die Bewegung schwerer und homogener Flüssigkeiten
594
in Gefässen oder Röhren von beliebiger Form
77
Inhalt.
XXXI
Seite
Anwendung dieser Formeln auf die Bewegung einer
Flüssigkeit, die in einem engen und fast verticalen
Gefässe fliesst
597
Anwendungen der nämlichen Formeln auf die Bewegung
einer Flüssigkeit , die in einem wenig tiefen und fast
horizontalen Kanal enthalten ist und insbesondere auf
· 605
die Bewegung der Wellen ·
Abschn. XII. Ueber die Bewegung compressibler und elastischer Flüssigkeiten
609
Fragmente.
625
Fragment I. Ueber die Bestimmung der Kometenbahnen .
627
Fragment II. Ueber die Rotationsbewegung
Fragment III. Fragment über die allgemeinen Gleichungen der Rotations632
bewegung eines beliebigen Systems
Fragment IV. Anderes Fragment über die Rotation eines beliebigen Systems 634
Erster
Teil.
STATIK
Lagrange , Analytische Mechanik.
.
4
74
1
Abschnitt I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
Die Statik ist die Wissenschaft vom Gleichgewicht der Kräfte.
Unter def. der Statik
Kraft versteht man im allgemeinen die Ursache , gleichviel welcher Art, Reeff. der Kraft
welche den Körper, an dem man sie sich wirkend denkt , in Bewegung
setzt oder in Bewegung zu setzen strebt ; daher muss man auch die Kraft Mass der Kraft
nach der Grösse der erzeugten Bewegung oder nach dem Bestreben, den
Körper in Bewegung zu setzen, schätzen. Im Zustande des Gleichgewichts Kraft bein
Gleichgewicht
bringt die Kraft keine Wirkung hervor; sie erzeugt nur ein einfaches Streben
nach Bewegung, man muss sie dann durch die Wirkung messen, welche sie ihr Mass
hervorbringen würde,
wenn der Körper, an dem sie wirkt, dem Streben nach
w
"(Wer, was hindert ?)
Bewegung zu folgen, durch nichts gehindert wäre. Nimmt man die IntenEinheit der
sität irgend einer Kraft oder die Wirkung dieser Kraft als Einheit an , so
Kraft
stellt sich der Ausdruck für jede andere Kraft als ein Verhältnis zu jener
dar , bildet also eine mathematische Grösse, welche durch Zahlen oder
Linien dargestellt werden kann ; von diesem Gesichtspunkte aus muss man
in der Mechanik die Kräfte betrachten.
Das Gleichgewicht resultiert , wenn die Wirkungen der betreffenden
Kräfte sich gegen einander aufheben , die Kräfte also einander entgegenarbeiten und ihre Wirkungen vernichten ; Ziel der Statik ist es, die Gesetze
anzugeben, denen gemäss diese Vernichtung vor sich geht. Es sind aber
diese Gesetze auf allgemeine Prinzipe begründet , die man auf drei zurückführen kann : das Prinzip des Hebels , das der Zusammensetzung von
Kräften und das der virtuellen Geschwindigkeiten.
1. Archimedes , der einzige unter den Alten, der uns eine Theorie des Geschichtlich I
Gleichgewichts, und zwar in den beiden Büchern der Schrift de Aequiponderantibus, oder de Planorum aequilibriis, hinterlassen hat, hat zuerst das
Prinzip vom Hebel aufgestellt. Es besteht dieses Prinzip darin, dass, wenn
ein geradliniger Hebel zu beiden Seiten des Unterstützungspunkts mit zwei
irgendwo angebrachten Gewichten so belastet wird , dass deren bezügliche
Entfernungen vom Unterstützungspunkt sich umgekehrt verhalten wie die
Gewichte selbst, derselbe im Gleichgewicht verharrt und sein Unterstützungspunkt mit der Summe beider Gewichte belastet ist. Archimedes nimmt
dieses Prinzip für den Fall, dass beide Gewichte gleich sind und sich in
1*
mit einverleiRass messbar (also 31B. je 7Einbeste betragen). )
Axiom
Abschn. I. Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
10 gleichen Entfernungen vom Unterstützungspunkt befinden , als ein für sich
evidentes Axiom der Mechanik, oder wenigstens als einen Erfahrungssatz an.
Auf diesen einfachen und ursprünglichen Fall führt er den einer Beschwerung
des Hebels mit / ungleichen Gewichten zurück, indem er sich diese Gewichte,
wenn sie,,commensurabel" sind , in mehrere unter einander gleiche Teile geteilt denkt, die Teile jedes Gewichtes von einander trennt und sie auf den
bezüglichen Armen des Hebels in gleichen Entfernungen von einander
anbringt, so dass der Hebel zu beiden Seiten des Unterstützungspunktes
66666666 von mehreren kleinen unter einander gleichen und in gleichen Entfernungen
von den bezüglichen Angriffspunkten der betreffenden Gewichte befindlichen
Gewichten (gleichmässig) belastet erscheint. Darauf zeigt er die Richtigkeit
dieses Theorems für ,incommensurabele" Gewichte mit Hilfe der Exhaustions
methode , indem er beweist, dass zwischen solchen Gewichten niemals
Gleichgewicht stattfinden kann, wenn ihre Beträge nicht im umgekehrten Ver-
I, I
hältnis ihrer Entfernungen vom Unterstützungspunkte stehen. Eschöpfergemethode
Einige moderne Schriftsteller, wie Stevin in seiner Statik, und Galilei
in seinen Dialogen über die Bewegung, haben den Archimedischen Beweis
vereinfacht, indem sie den an den Hebel angebrachten Gewichten die Form
von in ihren Mitten horizontal aufgehängten Parallelepipeden gaben ; Breite
und Höhe wählten sie bei beiden gleich , die Länge aber machten sie bei
jedem Parallelepiped doppelt so gross als die bezüglichen entgegengesetzten
Hebelarme. Es stehen dann die beiden Parallelepipede im umgekehrten
Verhältnis ihrer Hebelarme , und zu gleicher Zeit liegen sie mit ihren Enden
so an einander, dass sie nur ein einziges Ganze bilden, dessen Mitte genau
mit dem Unterstützungspunkt des Hebels zusammenfällt.
Archimedes
hatte schon eine ähnliche Betrachtung angestellt, um den Schwerpunkt einer
aus zwei parabolischen Flächen zusammengesetzten Figur zu bestimmen,
und zwar in dem ersten Lehrsatz des zweiten Buches vom Gleichgewicht
der Ebenen .
Andere Schriftsteller aber haben Fehler in dem Archimedischen
W
Beweise zu finden geglaubt und haben ihn auf verschiedene Weisen abgeändert , um ihn strenger zu machen ; aber man muss gestehen , dass
dadurch die Einfachheit dieses Beweises verloren ging , während an Genauigkeit fast nichts gewonnen worden ist.
Ich muss aber von denen , welche es versucht haben, den Archimedischen Beweis über das Gleichgewicht des Hebels zu ergänzen,
Huyghens hervorheben , der hierüber eine kleine Schrift : Demonstratio
aequilibrii bilancis verfasst hat, welche 1693 in der Sammlung der älteren
Mémoires de l'Académie des Sciences abgedruckt ist. *)
Huyghens bemerkt, dass Archimedes stillschweigend voraussetzt, dass,
wenn mehrere gleiche Gewichte in unter einander gleichen Entfernungen an
*) Anmerkung : Diese Schrift von Huyghens bildet einen Teil seiner Werke,
die von s'Gravesande 1724 (Lyon) veröffentlicht worden sind : tome I , page 282.
Т
PIT
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
5
einem horizontalen Hebel angebracht werden , sie dieselbe Kraft ausüben ,
um den Hebel aus seiner horizontalen Lage zu entfernen , sei es nun , dass
sie sich alle auf derselben Seite vom Unterstützungspunkt befinden , oder
sei es , dass ein Teil auf der einen, ein anderer auf der andern Seite
dieses Punktes angreift. Um nun diese prekäre Voraussetzung zu vermeiden, verteilt er die gleich grossen Teile der Gewichte, nicht wie Archimedes auf denselben Hebel zu beiden Seiten der Punkte, wo die ganzen
Gewichte angebracht sein sollten , sondern auf zwei andere horizontale
T förmige Hebel , die auf dem betrachteten Hebel in seinen Endpunkten
senkrecht stehen : so bekommt er eine mit mehreren gleichen Gewichten
belastete Horizontalebene , die offenbar gegen die Linie des ersten Hebels
im Gleichgewicht ist, weil die Gewichte zu beiden Seiten dieser Linie gleichförmig und symmetrisch sich verteilt finden. Nun zeigt Huyghens , dass
diese Ebene auch im Gleichgewicht ist gegen eine zu jener geneigte gerade
Linie , wenn diese nur die Hebellinie in dem Punkte schneidet , welcher
den ursprünglichen Hebel in Teile teilt, die umgekehrt proportional sind
den Gewichten, mit denen er als belastet gedacht wird , denn auch so
finden sich die kleinen Gewichte in gleichen Entfernungen zu beiden Seiten
derselben geraden Linie angebracht : daraus schliesst er, dass die Ebene
und folglich auch der gegebene Hebel überhaupt in Bezug auf den bezeichneten Punkt im Gleichgewicht sein muss.
Dieser Beweis ist wohl geistreich, aber er ergänzt nicht völlig das, was
man wirklich an dem Beweise des Archimedes vermisst.
2. Dass ein gerader und horizontaler Hebel, dessen Enden mit gleichen
Gewichten belastet sind, und dessen Unterstützungspunkt in der Mitte liegt,
im Gleichgewicht beharrt, leuchtet von selbst ein, weil kein Grund ersichtlich
ist, warum eines dieser Gewichte das andere überwiegen soll . Nicht so
evident ist die Voraussetzung, dass die Belastung des Unterstützungspunktes
gleich ist der Summe der beiden Gewichte. (Es scheint, dass Alle, die sich mit
der Mechanik beschäftigt haben, sie als ein Resultat der täglichen Erfahrung
angenommen haben, welche lehrt, dass das Gewicht eines Körpers nur von
Bewer
forthese
seiner ganzen Masse, keineswegs von seiner Gestalt abhängig ist. Indessen
kann man diese Behauptung mit Hilfe des ersten Satzes auch begründen,
wenn man wie Huyghens das Gleichgewicht einer Ebene gegen eine Versuchsaword
l
Hobe
gerade Linie betrachtet.
Dazu braucht man sich nur ein ebenes Dreieck zu denken, welches an
den beiden Enden seiner Basis mit zwei gleichen Gewichten, und an seiner
Spitze mit dem doppelten Gewicht belastet ist. Diese Ebene wird offenbar 2x1
im Gleichgewicht sein, wenn sie sich auf eine gerade Linie oder feste Axe
Webol
stützt, welche durch die Mitten der beiden Dreiecksseiten geht; (denn man
kann jede dieser beiden Seiten als einen Hebel ansehen, der au seinen
beiden Enden mit zwei gleichen Gewichten belastet ist und seinen Unterstützungspunkt auf der Axe hat, welche durch seine Mitte geht. ) Man kann Beginn
des
By
aber dieses Gleichgewicht auf eine andere Weise auffassen, indem man die Beweisenben-
ganges.
1. Basis als Hebel. 2. Gedachter Transversalhebel,von Greieckspitze auf Basismitte.
3. Jessen Enden betrachtet. 4. bie Awe: Greieck darant in Gleichgewichts, Fransversalhebel auch,
und
знаг dessen Mitte. 5. Folglich müssen seine beiden Enders gleit belastet sein.
Basis-Rebel
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
Basis des Dreiecks selbst als einen Hebel ansieht, dessen Enden von zwei
gleichen Gewichten belastet sind, und indem man sich einen Transversalhebel denkt , welcher die Spitze des Dreiecks mit der Mitte der Basis zu
einer Figur von der Form eines T verbindet, und dessen eines Ende von
dem an der Spitze angebrachten doppelten Gewichte belastet wird, während
das andere dem Hebel, welcher die Basis bildet, als Unterstützungspunkt
dient. Es ist offenbar, dass dieser letztere Hebel auf dem Transversalhebel
im Gleichgewicht sein wird, da er von ihm in der Mitte unterstützt und an
seinen Enden gleichmässig belastet ist, und dass andererseits der Transversalhebel auf der Axe im Gleichgewicht ist, auf welcher das Dreieck im Gleichgewicht ist. Da nun die Axe durch die Mitte der beiden Dreiecksseiten
geht, so wird sie notwendig auch durch die Mitte der geraden Linie gehen,
welche von der Spitze nach der Mitte der Basis des Dreiecks gezogen ist ;
. der Transversalhebel wird also seinen Unterstützungspunkt in seiner Mitte
haben und wird folglich an beiden Enden in gleicher Weise belastet sein
müssen : die Belastung, welche der Unterstützungspunkt desjenigen Hebels
trägt, welcher die Basis , des Dreiecks bildet, und der an seinen beiden
Enden zwei gleiche Gewichte trägt, wird also gleich sein dem an der
Spitze befindlichen doppelten Gewicht und wird folglich auch gleich sein
der Summe der beiden diesen Hebel belastenden Gewichte.
Wenn man an Stelle eines Dreiecks ein Trapez betrachten würde, welches
an seinen vier Ecken mit vier gleichen Gewichten belastet ist, so würde
man auf dieselbe Weise finden, dass die beiden Hebel von ungleicher Länge,
welche die parallelen Seiten des Trapezes bilden, auf ihre Unterstützungspunkte gleiche Kräfte ausüben.
3. Hat man diesen Lehrsatz einmal festgestellt, so ist klar, dass man,
wie Archimedes es that , für ein an einem Hebel im Gleichgewicht sich
befindendes Gewicht zwei gleiche halb so grosse Gewichte setzen kann ,
wenn man diese nur an dem zugehörigen Arm und in gleichen Entfernungen
zu beiden Seiten des Punktes anbringt, in dem das Gewicht befestigt sein
sollte. In der Tat ist die Wirkung dieses Gewichtes so gross, wie diejenige
eines in seinem Mittelpunkte aufgehängten und an den beiden Enden mit zwei
gleichen Gewichten , deren jedes gleich ist der Hälfte jenes Gewichtes, belasteten Hebels, und es ist offenbar, dass nichts daran hindern kann , diesen
letzteren Hebel dem ersteren so weit zu nähern, dass er einen Teil desselben
bildet. Oder besser und vielleicht noch strenger : man betrachte diesen
letzteren Hebel als in Gleichgewicht gehalten durch eine an seinem Mittelpunkt und von unten nach oben wirkende Kraft, die gleich ist demjenigen Gewicht, dessen beide Hälften man sich an den Endpunkten angebracht denkt ; legt man nun diesen im Gleichgewicht sich befindenden
Hebel auf den ersten Hebel, von dem man annimmt, dass er in seinem
Unterstützungspunkte im Gleichgewicht ist, so wird immer ein totales
Gleichgewicht stattfinden, und wenn dieses Aufeinanderlegen so geschieht,
dass die Mitte des zweiten Hebels zusammenfällt mit dem Ende eines Armes
4
44
47
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
7
des ersten Hebels, so wird man die Kraft, welche den zweiten Hebel hält
sich in dem Gewichte selbst angebracht denken können, mit welchem dieser
Arm belastet ist. Da dieses Gewicht nunmehr unterstützt ist, wird es auf
den ursprünglichen Hebel keine Wirkung mehr ausüben, aber es treten jetzt
an seine Stelle zwei gleiche Gewichte, die sich zu seinen beiden Seiten auf
dem verlängerten ersten Hebel befinden und deren jedes gleich seiner Hälfte
ist. Die damit bewiesene Möglichkeit einer Superposition von Gleichgewichten
ist für die Mechanik ein nicht minder fruchtbares Prinzip, wie für die
Geometrie die Superposition von Figuren.
4. Man kann es also als eine streng bewiesene Wahrheit ansehen, dass
ein gerader , horizontaler Hebel sich im Gleichgewicht befindet , falls die
Gewichte , mit denen er belastet ist , im umgekehrten Verhältnis ihrer Entfernungen vom Unterstützungspunkte stehen . Vermöge des Prinzips der
Superposition ist es nun leicht, den Beweis auf irgend einen Winkelhebel
auszudehnen, dessen Unterstützungspunkt im Scheitel liegt und dessen Arme
durch Kräfte , die senkrecht auf ihren Richtungen stehen, in entgegengesetztem Sinne angegriffen werden. In der That ist es zunächst offenbar,
dass ein Winkelhebel mit gleichen Armen , der sich um seinen Scheitel
drehen lässt, im Gleichgewicht gehalten werden wird durch zwei gleiche
Kräfte, die die Arme in ihrenEndpunkten und senkrecht zu ihren Richtungen angreifen und danach streben, sie in entgegengesetztem Sinne zu drehen. Um
aber zu dem Gleichgewicht eines beliebigen Winkelhebels zu gelangen,
nimmt man einen geraden ungleicharmigen Hebel , dessen einer Arm die
Länge eines der gleichen Arme des Winkelhebels hat und auch mit einem den
an den Armen des Winkelhebels angreifenden Kräften gleichwertigen Gewichte
belastet ist, und dessen anderer Arm eine beliebige Länge hat und an seinem
Endpunkte mit einem solchen Gewicht belastet ist , dass der Hebel sich im
Gleichgewicht befindet. Diesen Hebel denkt man sich an den gleicharmigen
Winkelhebel so angelegt, dass der Unterstützungspunkt des geraden Hebels
mit dem Scheitel und der erste Arm des geraden Hebels mit einem Arm
des Winkelhebels zusammenfällt, und dass endlich die beiden an den nunmehr
vereinigten Endpunkten der betreffenden Arme der beiden Hebel wirkenden
Kräfte einander entgegengesetzt sind. Danu heben sich diese beiden Kräfte
auf, die diesen Kräften entsprechenden Arme der beiden Hebel , an denen
sie wirken, werden wesenlos ; und da durch die Superposition das gesammte
Gleichgewicht nicht geändert ist, muss der übrig bleibende ungleicharmige
Winkelhebel, der an seinen Endpunkten von senkrechten Kräften angegriffen
wird , die im umgekehrten Verhältnis der Längen der Arme stehen , im
Gleichgewicht sein — wie bei einem geraden Hebel .
Nun ist es für die Wirkung einer Kraft gleichgiltig, in welchem Punkte
ihrer Richtung man diese sich angebracht denkt.
Also sind zwei Kräfte,
welche an irgend welchen Punkten einer in einem Punkte festgehaltenen
Ebene angebracht und in dieser Ebene beliebig gerichtet sind , im Gleichgewicht , wenn sie unter einander im umgekehrten Verhältnis der Lote
8
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
stehen , die man von dem festen Punkte aus auf ihre Richtungen fällen
kann ; denn man kann die Lote als einen Winkelhebel betrachten , dessen
Unterstützungspunkt der feste Punkt der Ebene ist. Man nennt diesen Satz
das Prinzip der Momente , indem man unter Moment das Produkt versteht,
welches gebildet wird aus einer Kraft in den Hebelarm, an welchem sie wirkt.
Dieses allgemeine Prinzip genügt , um alle Probleme der Statik aufzulösen.
Es ist dieses Prinzip sogleich bei den ersten Schritten , welche man
nach Archimedes in der Theorie der einfachen Maschinen gethan hat,
durch die Betrachtung der Welle erkannt worden, wie man aus dem Werke
von Guido Ubaldi : Mecanicorum liber, ersieht , welches 1577 zu Pesaro
erschienen ist ; aber der genannte Schriftsteller hat es weder auf die schiefe
Ebene , noch auf andere Maschinen, welche von derselben abgeleitet werden
können, wie den Keil und die Schraube , von denen er eine nur wenig genaue
Theorie giebt, anzuwenden verstanden.
5. Das Verhältnis der Kraft zum Gewicht auf einer schiefen Ebene
ist unter den modernen Forschern lange ein Problem gewesen. Stevin hat
es zuerst gelöst ; aber seine Lösung gründet sich auf eine indirecte und
von der Theorie des Hebels unabhängige Betrachtung.
Stevin betrachtet ein solides Dreieck, das auf seiner horizontalen Basis
aufrecht steht, so dass seine beiden Seiten zwei schiefe Ebenen bilden, und
nimmt an , dass ein Kranz von mehreren gleichen in gleichen Entfernungen
von einander durch Fäden in geschlossener Reihe verbundenen Gewichten,
oder vielmehr eine Kette von überall gleicher Dicke über beiden Seiten dieses
Dreiecks gelegt ist. Oben an den beiden Seiten des Dreiecks soll die Kette
diesen Seiten sich dicht anschmiegen , der untere Teil soll frei unter der
Basis herabhängen , gleichsam als wenn die Kette an den beiden Enden
dieser Basis befestigt wäre.
Stevin bemerkt nun , dass die Kette , selbst wenn sie frei über das
Dreieck gleiten könnte , dennoch in Ruhe bleiben müsste ; denn finge sie
von selbst an nach einer Richtung hin zu gleiten , so müsste sie fortfahren
immer zu gleiten, da dieselbe Ursache der Bewegung weiter bestehen würde,
indem die Kette wegen der Gleichförmigkeit ihrer Teile immer auf dieselbe
Art am Dreieck hinge , woraus eine beständige Bewegung folgen würde.
Dies ist aber absurd .
Es muss also notwendig Gleichgewicht zwischen allen Teilen der Kette
stattfinden ; uun kann man aber den unter die Basis herabhängenden Teil
der Kette schon an und für sich als von selbst im Gleichgewicht befindlich
ansehen. Die Wirkung aller auf der einen Seite aufliegenden Gewichte
muss also der Wirkung aller auf der anderen Seite liegenden das Gleichgewicht halten ; aber die Summe der einen steht zu der Summe der andern
in demselben Verhältnis wie die Länge der einen Seite zu der der andern.
Es bedarf also , um Gewichte auf schiefen Ebenen gleicher Höhe und ungleicher Neigung zu halten , immer derselben Kraft, falls diese Gewichte
proportional den Längen der Ebenen sind. Ist aber eine Ebene vertical, so
K=G
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
9
ist die Kraft selbst dem Gewichte gleich ; es verhält sich also bei jeder schiefen
"K : G = H : L
Ebene die Kraft zum Gewicht, wie die Höhe der Ebene zu ihrer Länge
geistsehr
er
angegeben
,
weil
Stevins
hier
Beweis
diesen
Ich habe
Uebrigens leitet Stevin aus dieser
reich und sonst wenig bekannt ist.
Theorie die Bedingung für das Gleichgewicht zwischen drei Kräften her, welche
an demselben Punkte angreifen , und er findet , dass dieses Gleichgewicht
eintritt, wenn die Kräfte parallel und proportional den drei Seiten irgend
eines geradlinigen Dreiecks sind . Man vergleiche hierüber die Éléments
de Statique und die Additions à la Statique dieses Schriftstellers , die
Hypomnemata mathematica , die 1605 in Leyden gedruckt sind , ferner Les
oeuvres de Stevin, die in das Französische übersetzt und 1634 durch die
Elzevir gedruckt worden sind. Man muss aber beachten , dass dieses
Fundamental - Theorem der Statik , obgleich es allgemein Stevin zugeschrieben wird, von diesem Schriftsteller nur für den Fall bewiesen worden
ist, wo die Richtungen zweier der Kräfte senkrecht zu einander sind.
Stevin bemerkt mit Recht , dass ein Gewicht , welches sich auf einer
schiefen Ebene befindet und durch eine Kraft , die parallel zur Ebene ist,
festgehalten wird, in demselben Falle sich befindet, als wenn es durch zwei
Fäden gehalten würde , von denen der eine senkrecht, der andere aber
parallel zur Ebene ist , und findet aus seiner Theorie der schiefen Ebene,
dass das Verhältnis des Gewichts zu der zur Ebene parallelen Kraft gleich
ist dem Verhältnis der Hypotenuse zur Basis eines rechtwinkligen Dreiecks,
welches über der Ebene durch zwei gerade Linien construirt wird , von
denen die eine vertical gerichtet ist, die andere senkrecht zur Ebene steht.
Stevin begnügt sich damit , diese Proportion auf den Fall auszudehnen,
wo der Faden , welcher das Gewicht auf der schiefen Ebene festhält , auch
gegen diese Ebene geneigt ist , indem er ein analoges Dreieck construirt
mit denselben Linien , die eine vertical , die andere senkrecht zur Ebene,
und indem er die Basis in die Richtung des Fadens verlegt ; aber um zu
dieser Erweiterung berechtigt zu sein , hätte er zeigen müssen, dass dieselbe
Proportion bei dem Gleichgewicht eines Gewichtes gilt , welches auf einer
schiefen Ebene durch eine zur Ebene schiefen Kraft gehalten wird ; dies
aber lässt sich nicht aus der Betrachtung der durch Stevin gedachten
Kette herleiten.
6. In der Mechanik des Galilei , die durch den Pater Mersenne 1634
zuerst in französischer Sprache veröffentlicht wurde, wird das Gleichgewicht
auf einer schiefen Ebene auf dasjenige eines Winkelhebels mit zwei gleichen
Armen zurückgeführt . Galilei nimmt an , dass der eine Arm senkrecht
zur Ebene steht und mit dem auf der Ebene angebrachten Gewichte belastet ist, während der andere horizontal ist und von einem Gewichte belastet wird, welches der Kraft gleichkommt, die nötig ist, um das Gewicht
auf der Ebene festzuhalten. Das Gleichgewicht dieses Winkelhebels wird
dann zurückgeführt auf dasjenige eines geraden horizontalen Hebels , indem
man das an dem geneigten Arme angebrachte Gewicht so betrachtet , als
10
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
ob es an einem horizontalen Arme aufgehängt wäre, welcher mit dem horizontalen Arme des Winkelhebels einen geraden Hebel bildet. Es steht dann
das Gewicht zu der Kraft, welche es auf der geneigten Ebene festhält , im
umgekehrten Verhältnis dieser beiden Arme des geraden Hebels , und es
ist leicht zu beweisen , dass diese Arme sich unter einander verhalten, wie
die Höhe zur Länge der Ebene.
Man kann sagen, dass dies der erste directe Beweis ist, den man vom
Gleichgewicht auf einer schiefen Ebene gegeben hat. Galilei hat sich
desselben später bedient , um streng darzutun , dass die durch schwere
Körper , welche von derselben Höhe auf verschiedenartig geneigten Ebenen
herabfallen , erlangten Geschwindigkeiten stets gleich sind ; in der ersten
Ausgabe seiner Dialoge hatte er sich begnügt, diese Gleichheit nur vorauszusetzen. Es wäre Galilei leicht gewesen, auch den Fall zu lösen , wo die
Kraft , welche das Gewicht festhält , eine schiefe Richtung zur Ebene hat ;
aber dieser neue Schritt wurde erst einige Zeit später von Roberval
gethan, in dessen Traité de Mecanique, der 1636 in der Harmonie universelle
von Mersenne abgedruckt wurde.
7. Roberval sieht ebenfalls das auf der schiefen Ebene ruhende Gewicht als am Arme eines Hebels angebracht an , der senkrecht zur Ebene
ist, und betrachtet die Kraft , mit der man es festhält , als an demselben
Arm , aber in einer gegebenen Richtung , wirkend ; er hat auf diese
Weise einen einarmigen Hebel , dessen eines Ende fest ist , und dessen
anderes Ende durch zwei Kräfte, die Kraft des Gewichtes und die festhaltende
Kraft , angegriffen wird. Er setzt darauf für diesen Hebel einen Winkelhebel , dessen beide Arme senkrecht auf den bezüglichen Richtungen der
Kräfte stehen , und welcher denselben festen Punkt zum Unterstützungspunkt hat und lässt die beiden Kräfte an den Armen dieses Hebels nach
ihren wirklichen Richtungen angebracht sein ; er erhält so für das Gleichgewicht die Bedingung, dass das Gewicht zur Kraft im umgekehrten Verhältnis der beiden Arme des Winkelhebels steht , das heisst der Lote,
welche man von dem festen Punkte auf die Wirkungsrichtungen des Gewichts und der Kraft fällen kann.
Roberval leitet daraus das Gleichgewicht eines Gewichtes ab, welches
durch zwei Fäden gehalten wird, die einen beliebigen Winkel mit einander
bilden , indem er an Stelle des zur Ebene senkrechten Hebels einen Faden,
der im Unterstützungspunkt des Hebels angebracht ist , und für die Kraft
einen anderen Faden, der in der Richtung dieser Kraft gezogen wird, setzt.
Durch verschiedene Constructionen und ein wenig complicierte Analogien
gelangt er zu folgendem Schluss : wenn man von irgend einem Punkte in
der durch das Gewicht gehenden Verticalen eine Parallele zu einem der
Fäden so weit zieht, bis sie den anderen Faden schneidet , so werden die
Seiten des so entstandenen Dreiecks proportional sein den Gewichten und
den Kräften, welche in der Richtung dieser Seiten wirken, und dies ist, wie
man sieht, das von Stevin gegebene Theorem .
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
11
Ich habe geglaubt, diesen Roberval'schen Beweis erwähnen zu müssen ,
nicht allein weil er der erste strenge Beweis ist, den man von dem Stevinschen Theorem besitzt , sondern auch weil er in einem heute seltenen
Traité d'Harmonie, wo ihn niemand zu suchen meint, in Vergessenheit gerathen ist. Uebrigens bin ich auf diese Einzelheit , was die Theorie des
Hebels anbetrifft, nur eingegangen, um denen Vergnügen zu bereiten, welche
es lieben , den Pfaden des Geistes in den Wissenschaften zu folgen , die
Wege kennen zu lernen, welche die Erfinder eingeschlagen haben, und die
directeren Wege, welche sie hätten einschlagen können .
8. Die Werke der Statik, die nach demjenigen von Roberval erschienen
sind, bis zu der Epoche von der Entdeckung des Satzes von der Zusammensetzung der Kräfte haben nichts zu diesem Teile der Mechanik hinzugefügt ;
man findet darin nur die schon bekannten Eigenschaften des Hebels und
der schiefen Ebene und ihre Anwendung auf andere einfache Maschinen ;
darunter sind einige, welche wenig genaue Theorien enthalten, wie dasjenige
von Lami über das Gleichgewicht fester Körper , in welchem ein falsches
Verhältnis des Gewichts zu der Kraft angegeben wird, welche es auf der
schiefen Ebene festhält. Ich spreche hier nicht von Descartes , Torricelli
und Wallis , weil sie für das Gleichgewicht ein Prinzip angenominen haben,
welches sich auf die virtuellen Geschwindigkeiten bezieht , und einen Beweis für dieses Prinzip nicht geben.
9. Das zweite Fundamentalprinzip der Statik ist dasjenige von der
Zusammensetzung der Kräfte. Es gründet sich auf die Voraussetzung, dass
wenn zwei Kräfte zugleich , aber in verschiedenen Richtungen auf einen
Körper wirken, diese Kräfte dann einer einzigen Kraft äquivalent sind , welche
fähig ist dem Körper dieselbe Bewegung zu erteilen , die ihm die beiden
getrennt wirkenden Kräfte erteilen würden . Wenn nun ein Körper sich
gleichförmig nach zwei verschiedenen Richtungen zugleich bewegen soll ,
so durchläuft er notwendig die Diagonale des Parallelogramms , dessen
Seiten er in Folge jeder der beiden Bewegungen getrennt durchlaufen hätte.
Man schliesst daraus , dass zwei beliebige Kräfte , welche vereint auf denselben Körper wirken, einer einzigen Kraft gleich sind, welche ihrer Grösse
und Richtung nach durch die Diagonale des Parallelogramms dargestellt
wird, dessen Seiten die Grössen und Richtungen der beiden gegebenen
Kräfte darstellen. Hierin besteht das Prinzip der Zusammensetzung der
Kräfte.
Dieses Prinzip ist hinreichend , die Gesetze des Gleichgewichts in allen
Fällen zu bestimmen ; denn setzt man so nach und nach alle Kräfte immer
zwei und zwei zusammen , so muss man zu einer einzigen Kraft gelangen,
deren Wirkung derjenigen dieser Kräfte gleich ist. Im Fall des Gleichgewichts
ist diese Kraft Null, wenn kein fester Punkt in dem System vorhanden ist ;
giebt es aber einen solchen festen Punkt, so braucht diese Kraft nicht Null
zu sein , sie muss dann aber durch den festen Punkt gehen. Dies kann
man in allen Büchern über Statik lesen , und besonders in der Nouvelle
12
Abschn. I. Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
Mecanique von Varignon , in welcher die Theorie der Maschinen allein aus
dem eben genannten Prinzipe abgeleitet ist.
Es ist offenbar, dass das Theorem von Stevin über das Gleichgewicht
dreier Kräfte , die parallel und proportional zu den drei Seiten eines beliebigen Dreiecks sind , eine unmittelbare und notwendige Folgerung aus
dem Prinzipe der Zusammensetzung der Kräfte ist , oder dass es vielmehr
nichts anderes als dieses Prinzip selbst, nur unter anderer Form ist. Dieses
aber hat den Vorteil auf einfache und natürliche Bemerkungen gegründet
zu sein , während das Theorem von Stevin nur durch indirecte Betrachtungen gefunden ist.
10. Wie man aus einigen Stellen der mechanischen Probleme von
Aristoteles ersieht, haben die Alten schon die Zusammensetzung der Bewegungen gekannt. Die Geometer besonders haben sie für die Beschreibung von Curven angewendet , z . B. Archimedes für die Spirale , Nicomedes für die Conchoide etc.; unter den Neueren hat Robervall daraus
eine geistreiche Methode abgeleitet, die Tangenten solcher Curven zu ziehen ,
die man sich als durch zwei Bewegungen , deren Gesetz gegeben ist, beschrieben denken kann ; Galilei aber ist der erste , welcher die Betrachtung der zusammengesetzten Bewegung in der Mechanik angewendet hat,
um die Curve zu bestimmen , welche von einem schweren Körper unter der
Einwirkung der Schwerkraft und einer Wurfkraft beschrieben wird.
In dem zweiten Lehrsatz des vierten Tages seiner Dialoge zeigt Galilei ,
dass ein Körper , welcher sich mit zwei gleichförmigen Geschwindigkeiten
bewegt, von denen die eine ihn horizontal , die andere vertical forttreibt,
eine Geschwindigkeit annehmen muss , welche durch die Hypotenuse des
Dreiecks dargestellt wird, dessen Seiten jene beiden Geschwindigkeiten darstellen. Galilei scheint aber nicht die ganze Wichtigkeit dieses Satzes für
die Theorie des Gleichgewichts erkannt zu haben; denn in dem dritten
Dialoge , wo die Bewegung schwerer Körper auf schiefen Ebenen behandelt
wird , leitet er , anstatt das Prinzip der Zusammensetzung der Bewegung
auf die directe Bestimmung der relativen Schwere eines auf einer schiefen
Ebene sich befindenden Körpers anzuwenden , diese Bestimmung vielmehr
aus der Theorie des Gleichgewichts auf schiefen Ebenen ab, unter Benutzung
der Betrachtungen, die er vorher in seinem Werke della Scienza meccanica,
in welchem er die schiefe Ebene auf den Hebel zurückführt, angestellt hatte.
Man findet dann die Theorie der zusammengesetzten Bewegungen in
den Schriften von Descartes , Roberval , Mersenne , Wallis etc.; aber
bis zum Jahre 1687 , in welchem die Principia mathematica von Newton
und das Werk Projet de la Nouvelle Mecanique von Varignon erschienen
sind , hatte man noch nicht daran gedacht , bei der Zusammensetzung der
Bewegungen die Kräfte an die Stelle der Bewegungen, welche sie erzeugen
können , zu setzen , und die zusammengesetzte aus den beiden gegebenen
Kräften resultierende Kraft so zu bestimmen, wie man die zusammengesetzte
7
77
47
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
13
Bewegung aus zwei gegebenen geradlinigen und gleichförmigen Bewegungen
bestimmt.
Im zweiten Zusatz zum dritten Bewegungsgesetz zeigt Newton mit
wenigen Worten, wie die Gesetze des Gleichgewichts sich leicht aus der
Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte herleiten lassen , wenn man
die Diagonale eines Parallelogramms als die aus zwei durch die Seiten desselben dargestellten Kräften, zusammengesetzte Kraft annimmt ; dieser Gegenstand aber ist bis ins einzelne in dem Werke von Varignon behandelt,
und die Nouvelle Mecanique , welche nach dem 1725 erfolgten Tode
ihres Verfassers erschienen ist, enthält eine vollständige Theorie des Gleichgewichts der Kräfte bei den verschiedenen Maschinen, welche allein aus der
Betrachtung der Zusammensetzung oder Zerlegung der Kräfte hergeleitet ist.
11. Das Prinzip von der Zusammensetzung der Kräfte ergiebt sofort die
Bedingungen des Gleichgewichts zwischen drei Kräften , welche auf einen
Punkt wirken , während man sie aus dem Gleichgewicht des Hebels nur
durch eine Reihe von besonderen Ueberlegungen hätte herleiten können .
Wenn man aber andererseits aus diesem Prinzip die Bedingungen des
Gleichgewichts zwischen zwei an den Enden eines geraden Hebels angebrachten parallelen Kräften finden will, so ist man genötigt indirecte Betrachtungen anzuwenden , indem man , wie Newton und D'Alembert es
gethan haben , an Stelle des geraden Hebels einen Winkelhebel setzt , oder
indem man zwei fremde Kräfte , die sich gegenseitig aufheben , hinzufügt,
die aber, wenn man sie mit den gegebenen Kräften zusammensetzt , zu in
ihren Richtungen convergenten Kräften führen , oder endlich , indem man
annimmt, dass die verlängert gedachten Richtungen der Kräfte sich im
Unendlichen treffen, und beweist, dass die zusammengesetzte Kraft durch den
Unterstützungspunkt gehen muss. Dies ist die Methode, deren sich Varignon
in seiner Mecanique bedient. Obgleich also die beiden Prinzipe des Hebels
und der Zusammensetzung der Kräfte immer auf dieselben Resultate führen,
so ist es doch merkwürdig, dass der einfachste Fall für das eine dieser
Prinzipe zum compliciertesten für das andere wird.
12. Man kann aber eine unmittelbare Verbindung zwischen diesen
beiden Prinzipen herstellen durch das Theorem , welches Varignon in
seiner Mecanique (section I., lemme XVI.) gegeben hat , und welches darin
besteht, dass , wenn man von einem beliebigen Punkte in der Ebene eines
Parallelogramms Lote auf die Diagonale und auf die beiden der Diagonale
anliegenden Seiten fällt , das Produkt der Diagonale in ihr Lot gleich der
Summe der Produkte der beiden Seiten in ihre respectiven Lote ist ; wenn
der Punkt ausserhalb des Parallelogramms liegt, oder gleich der Differenz
dieser Produkte, wenn er in dem Parallelogramm liegt. Varignon zeigt durch
eine sehr einfache Construction , dass, wenn man Dreiecke bildet, welche die
Diagonale und die beiden Seiten zu Grundlinien und den gegebenen Punkt
zum gemeinsamen Scheitel haben, das über der Diagonale gebildete Dreieck
im ersten Fall gleich der Summe und im zweiten Falle gleich der Differenz der
14
Abschn. I. Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
beiden über den Seiten gebildeten Dreiecke ist. Dies ist schon an sich ein
schönes Theorem der Geometrie, auch abgesehen von seiner Anwendung auf
die Mechanik.
Das Theorem gilt gleichfalls, und der Beweis wäre derselbe, wenn man
irgendwo auf der Verlängerung der Diagonale bezw. der Seiten Teile annimmt, welche diesen Linien gleich sind , so dass man , da jede Kraft an
jedem beliebigen Punkte ihrer Richtung angebracht gedacht werden kann,
allgemein schliessen
kann, dass zwei Kräfte, die ihrer Grösse und Richtung
1
nach durch zwei gerade Linien in einer Ebene dargestellt werden, eine zusammengesetzte oder resultierende Kraft haben, die ihrer Grösse und Richtung
nach durch eine gerade Linie dargestellt wird , welche in derselben Ebene
liegt und , wenn man sie verlängert, durch den Schnittpunkt der beiden
Geraden geht. Diese Linie ist ferner so beschaffen , dass , wenn man in
dieser Ebene einen beliebigen Punkt annimmt und von diesem Punkte Lote
auf sie und die beiden andern verlängerten geraden Linien fällt, das Produkt
aus der Resultante in ihr Lot gleich der Summe oder Differenz der respectiven
Produkte aus den beiden zusammensetzenden Kräften in ihre Lote ist , je
nachdem der Punkt, von dem die drei Lote ausgehen, ausserhalb oder innerhalb der geraden Linien angenommen wird, welche die zusammensetzenden
Kräfte vorstellen.
Wenn dieser Punkt in der Richtung der Resultante verlegt wird , so
kommt diese Kraft in der Gleichung nicht vor , und es findet Gleichheit
zwischen den beiden Produkten der Componenten in ihre Lote statt. Dies
ist der Fall bei jedem geraden Hebel und jedem Winkelhebel , wenn der
Unterstützungspunkt der Punkt ist, um welchen es sich handelt , weil dann
die Wirkung der Resultante durch den Widerstand des Unterstützungspunktes
aufgehoben wird.
Das bezeichnete von Varignon herrührende Theorem ist die Grundlage fast aller modernen Lehren über Statik geworden , und in ihm beruht
das allgemeine Prinzip der Momente. Sein grosser Vorteil besteht darin,
dass die Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte auf Additionen und
Subtractionen gebracht sind, so dass man, wie gross auch die Zahl der zusammenzusetzenden Kräfte sei , leicht die resultierende Kraft findet , die im
Falle des Gleichgewichts Null sein muss .
13. Ich habe den Zeitpunkt der Entdeckung von Varignon auf denjenigen der Veröffentlichung seines Projet bezogen , obgleich in der Ankündigung an der Spitze der Nouvelle Mecanique bemerkt wird , dass der
Verfasser zwei Jahre vorher in der Histoire de la République des Lettres eine
Abhandlung über die Flaschenzüge veröffentlicht hat , in welcher er sich
der zusammengesetzten Bewegungen bediente, um alles zu bestimmen , was
auf diese Maschine sich bezieht ; aber ich muss bemerken, dass die Angaben
dieser Ankündigung nicht exact sind . Die Abhandlung über die Flaschenzüge , um welche es sich handelt , befindet sich nur in den Nouvelles de la
République des Lettres vom Mai 1687 unter dem Titel Nouvelle Démonstration
Abschn. I. Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
15
générale de l'usage des poulies à moufle. Der Autor betrachtet darin das
Gleichgewicht einer Last, welche an einem Seile befestigt ist, das über eine
Rolle geht, und dessen beide Teile nicht parallel sind . Er macht darin
weder Gebrauch von dem Prinzip der Zusammensetzung der Kräfte , noch
erwähnt er es auch nur, sondern er wendet die schon bekannten Theoreme
über die an Seilen befestigten Gewichte an und citiert die Werke von
Pardis und Dechales über die Statik. In einem zweiten Beweise führt er
die Aufgabe auf das Problem des Hebels zurück, indem er die gerade Linie,
welche die beiden Punkte verbindet, wo das Seil die Rolle verlässt, als einen
Hebel ansieht, der von dem an der Rolle angebrachten Gewicht belastet ist,
und dessen Enden durch die beiden Teile des Seiles gezogen werden,
welches die Rolle hält.
Um nichts auszulassen , was die Geschichte des Gesetzes von der Zusammensetzung der Kräfte betrifft , muss ich ein Wort über eine kleine
von Lami 1687 unter dem Titel Nouvelle manière de démontrer les
principaux théorèmes des éléments des mécaniques veröffentlichte Schrift
sagen. Der Autor bemerkt, dass, wenn ein Körper durch zwei Kräfte nach
zwei verschiedenen Richtungen hin gestossen wird , er notwendig einer
mittleren Richtung folgt, so dass, wenn der Weg nach dieser Richtung ihm
verschlossen wäre , er in Ruhe bleiben würde , und die beiden Kräfte sich
das Gleichgewicht hielten. Er bestimmt nun die mittlere Richtung durch
die Zusammensetzung zweier Bewegungen , welche der Körper im ersten
Augenblick, vermöge jeder der beiden Kräfte annehmen würde , wenn sie
getrennt wirkten , und dies giebt ihm die Diagonale des Parallelogramms,
dessen beide Seiten die in gleicher Zeit unter der Einwirkung der beiden
Kräfte durchlaufenen Räume und folglich diesen Kräften proportional sein
würden. Daraus zieht er sogleich das Theorem, dass die beiden Kräfte sich
umgekehrt verhalten wie die Sinus der Winkel, welche ihre Richtungen mit
der mittleren Richtung bilden, die der Körper einschlagen würde, wenn er
nicht gehemmt wäre, und er macht davon Anwendung auf die schiefe Ebene
und auf den Hebel, wenn dessen Enden durch Kräfte gezogen werden, deren
Richtungen gegen einander geneigt sind; aber für den Fall , wo diese
Richtungen parallel laufen , wendet er unsichere und wenig folgerichtige
Ueberlegungen an.
Die Uebereinstimmung des von Lami angewendeten Prinzips mit dem
von Varignon hat den Verfasser der Histoire des Ouvrages des Savants
(April 1688) zu dem Ausspruch bewogen , es habe den Anschein , als ob
der erstere die Entdeckung seines Prinzips dem letzteren verdanke. Lami
hat sich gegen diese Beschuldigung in einem durch das Journal des Savants
vom 13. September 1688 veröffentlichten Briefe gerechtfertigt , auf welchen
der Herausgeber der Histoire im Monat December desselben Jahres geantwortet hat. Dieser Streit aber , an welchem Varignon nicht Teil
nahm, hat nicht länger gedauert, und die Schrift von Lami scheint in
Vergessenheit geraten zu sein.
16
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
Die Einfachheit des Prinzips von der Zusammensetzung der Kräfte und
die Leichtigkeit, mit der dieses Prinzip sich auf alle Probleme des Gleichgewichts anwenden lässt , haben es von allen Forschern sogleich nach
seiner Entdeckung annehmen lassen und man kann sagen, dass es als Basis
für fast alle Werke der Statik dient, 'die seitdem erschienen sind.
14. Man kann indessen nicht umhin anzuerkennen , dass das Prinzip
des Hebels allein den Vorteil hat , auf die Natur des Gleichgewichts an
sich, als eines von der Bewegung unabhängigen Zustandes, betrachtet, gegründet zu sein . Uebrigens besteht ein wesentlicher Unterschied in der
Art, die Kräfte , welche sich das Gleichgewicht halten , nach diesen beiden
Prinzipen zu bemessen . Wenn man nicht dazu gelangt wäre, diese Prinzipe
durch ihre Ergebnisse zu verbinden , so hätte man mit Recht zweifeln
können , ob es erlaubt ist , an die Stelle des Fundamentalprinzips vom
Hebel ein Prinzip zu setzen , welches aus der fremden Betrachtung der
zusammengesetzten Bewegungen folgt.
In der That sind beim Gleichgewicht des Hebels die Kräfte Gewichte,
oder können als solche angesehen werden , und eine Kraft ist nur das
doppelte oder dreifache einer anderen, wenn sie durch die Vereinigung zweier
oder dreier gleicher Kräfte gebildet wird, deren jede so wirkt wie die andern.
Das Bestreben , sich zu bewegen , kann nur bei allen Kräften als gleich
stark vorausgesetzt werden , welches auch die Intensität dieser Kräfte sein
mag, während man bei dem Prinzip der Zusammensetzung der Kräfte den
Wert dieser Kräfte nach dem Grade der Geschwindigkeit schätzt, welche sie
dem Körper, an welchem sie wirken, erteilen würden, wenn jede von ihnen
für sich frei wirken könnte. Hierin liegt vielleicht die Differenz in der Art
die Kräfte aufzufassen, welche die Gelehrten lange Zeit verhindert hat, die
bekannten Regeln für die Zusammensetzung der Bewegungen auf die Theorie
des Gleichgewichts anzuwenden , deren einfachster Fall der des Gleichgewichts schwerer Körper ist.
15. Man hat seitdem versucht , das Prinzip von der Zusammensetzung
der Kräfte unabhängig von der Betrachtung der Bewegung zu machen und
es nur auf an sich evidente Wahrheiten zu gründen . Daniel Bernouilli
hat zuerst in den Commentaren der Petersburger Akademie, Band I, einen
sehr geistreichen, aber langen und complicierten Beweis vom Parallelogramm
der Kräfte gegeben , der darauf von D'Alembert in dem ersten Bande
seiner Opuscules vereinfacht worden ist.
Dieser Beweis gründet sich auf folgende zwei Prinzipe :
1. Wenn zwei Kräfte auf denselben Punkt in verschiedenen Richtungen
wirken, so haben sie zur Resultante eine einzige Kraft, deren Richtung den
von den beiden Richtungen der beiden Kräfte eingeschlossenen Winkel in
zwei gleiche Teile teilt, wenn die beiden Kräfte gleich gross sind , und
deren Betrag gleich der Summe der Beträge der beiden Kräfte ist , wenn
dieser Winkel Null ist , und gleich der Differenz dieser Beträge, wenn der
Winkel ein gestreckter ist.
Abschn. I. Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
17
2. Gleiche Vielfache derselben Kräfte, oder Kräfte, die gegebenen Kräften
proportional sind, haben eine Resultante, welche dasselbe Vielfache der Resultante der gegebenen Kräfte ist , also eine solche , welche dieser Resultante
proportional ist, falls die Winkel zwischen den Kräften in beiden Fällen dieselben sind.
Dieses zweite Prinzip ist evident , wenn man die Kräfte als Grössen
betrachtet, die man addieren oder subtrahieren kann.
Das erstere beweist man, indem man die Bewegung, welche ein durch
zwei Kräfte, die nicht im Gleichgewicht sind, getriebener Körper annehmen
muss , betrachtet , und welche , da nur eine einzige Bewegung möglich ist,
von einer Kraft herrühren muss , die allein auf ihn in der Richtung seiner
Bewegung wirkt. Man kann also sagen, dass dieses Prinzip nicht gänzlich
von der Betrachtung der Bewegung frei ist.
Was die Richtung der Resultante im Fall der Gleichheit beider Kräfte
betrifft, so ist klar, dass kein Grund vorhanden ist, warum sie zu einer der
beiden Kräfte mehr geneigt sein sollte als zur anderen, sie muss den Winkel
zwischen den Richtungen der beiden Kräfte in zwei gleiche Teile teilen.
Man hat später die Grundlage dieses Beweises in die Analysis übertragen, und man hat diesem Beweise verschiedene mehr oder weniger einfache Formen gegeben , indem man die Resultante als Funktion der Componenten und des von diesen gebildeten Winkels betrachtete. Es sei auf
Band II der Mélanges de la Société de Turin , die Mémoires de l'Académie
des Sciences von 1769 , Band VI der Opuscules von D'Alembert etc. hingewiesen. Man muss aber gestehen , dass , indem man so das Prinzip von
der Zusammensetzung der Kräfte von dem Prinzip der Zusammensetzung
der Bewegungen trennt, man ihm seine Hauptvorteile , die Klarheit und
Einfachheit, raubt und es auf ein Resultat geometrischer oder analytischer
Constructionen reduciert.
16. Ich komme jetzt zum dritten Prinzip , dem der virtuellen Geschwindigkeiten. Unter virtueller Geschwindigkeit muss man die Geschwindigkeit verstehen, welche ein Körper, der sich gerade im Gleichgewicht
befindet, bereit ist anzunehmen, in dem Augenblicke, wo das Gleichgewicht
gestört worden ist, d. h. die Geschwindigkeit , welche der Körper wirklich
in dem ersten Augenblicke seiner Bewegung annehmen würde. Das genannte Prinzip besteht aber darin, dass Kräfte im Gleichgewicht sind, wenn
sie im umgekehrten Verhältnis ihrer virtuellen Geschwindigkeiten stehen ,
diese in den Richtungen dieser Kräfte gemessen.
Schon bei der oberflächlichsten Untersuchung der Gleichgewichtsbedingungen am Hebel und an anderen Maschinen ist es leicht . das Gesetz zu
erkennen , dass die Last und die Kraft zu einander im umgekehrten Verhältnisse der Räume stehen, welche sie in derselben Zeit durchlaufen können.
Trotzden scheinen die Alten keine Kenntnis von diesem Gesetze gehabt zu
haben. Guido Ubaldi ist vielleicht der erste , der es bei dem Hebel und
bei den beweglichen Rollen oder Flaschenzügen bemerkt hat. Galilei hat
2
Lagrange, Analytische Mechanik.
18
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
es darauf bei den schiefen Ebenen und den von diesen abhängigen Maschinen
erkannt , und er hat es als eine allgemeine Eigenschaft des Gleichgewichts
der Maschinen angesehen. Man sehe seine " Mechanik" und das Scholion
zum zweiten Lehrsatz des dritten Dialogs in der Bologneser Ausgabe vom
Jahre 1655 .
Galilei versteht unter Moment eines Gewichtes oder einer an einer
Maschine wirkenden Kraft die Anstrengung, die Wirkung, die Energie oder
den Anstoss (impetus) dieser Kraft, um die Maschine in Bewegung zu setzen.
Nach ihm besteht zwischen zwei Kräften Gleichgewicht, wenn ihre Momente,
um die Maschine zu bewegen, gleich gross , aber entgegengesetzt gerichtet
sind, und er zeigt , dass das Moment immer proportional der mit der virtuellen Geschwindigkeit multiplicierten Kraft ist, und von der Art abhängt,
wie die Kraft wirkt. Dieselbe Auffassung der Momente hat auch Wallis in
seiner 1669 erschienenen Mechanik bekundet. Der Autor nimmt hier das
Prinzip der Gleichheit der Momente zur Grundlage der Statik und leitet aus
ihm die Theorie des Gleichgewichts bei den hauptsächlichsten Maschinen ab.
Heute versteht man gewöhnlich unter Moment nur das Produkt einer
Kraft in die Entfernung ihrer Richtung von einem Punkte oder von einer
Linie oder von einer Ebene, d. h. in den Hebelarm , an welchem sie wirkt.
Es scheint mir aber , dass die durch Galilei und Wallis gegebene Auffassung des Momentes natürlicher und allgemeiner ist , und ich sehe nicht
ein, warum man sie verlassen hat, um an ihre Stelle eine andere zu setzen ,
welche nur den Wert des Momentes in gewissen Fällen, wie beim Hebel etc.,
ausdrückt.
Decartes hat auf ähnliche Weise die ganze Statik auf ein einziges
Prinzip zurückgeführt, welches seinem Wesen nach mit demjenigen Galilei's
übereinkommt, aber auf eine weniger allgemeine Weise dargestellt ist.
Dieses Prinzip besagt , dass man weder mehr noch weniger Kraft bedarf,
um ein Gewicht auf eine gewisse Höhe zu heben , als dazu nötig ist , um
ein schwereres Gewicht auf eine so viel Mal geringere Höhe , oder ein
weniger schweres Gewicht auf eine so viel Mal grössere Höhe zu heben .
(Man sehe den 73. Brief des I. Bandes, 1657, und die in den hinterlassenen
Werken gedruckte Mécanique). Daraus folgt, dass Gleichgewicht zwischen
zwei schweren Massen besteht, wenn diese so verteilt sind , dass die Wege
geschätzt in Richtung der Verticalen , welche sie zugleich durchlaufen können ,
im umgekehrten Verhältnis der Gewichte dieser Massen stehen. Aber in
der Anwendung dieses Prinzips auf die verschiedenen Maschinen darf man
nur die im ersten Augenblick der Bewegung durchlaufenen Räume betrachten ,
welche den virtuellen Geschwindigkeiten proportional sind, andernfalls würde.
man nicht die wirklichen Gesetze des Gleichgewichts erhalten.
Ob man nun das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten, wie Galilei ,
als eine allgemeine Eigenschaft des Gleichgewichts betrachtet , ob man
es mit Descartes und Wallis für die wahre Ursache des Gleichgewichts
nehmen will , jedenfalls muss man gestehen , dass es die ganze Einfachheit
Abschn. I. Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
19
hat , welche man bei einem Fundamentalprinzip wünschen kann , und wir
werden weiter unten sehen, wie sehr dieses Prinzip in Folge seiner Allgemeinheit
empfehlenswert geworden ist.
Torricelli , Galilei's berühmter Schüler, ist der Autor eines anderen
Prinzipes, welches ebenfalls von demjenigen der virtuellen Geschwindigkeiten
abhängt. Es besteht darin, dass wenu zwei Körper mit einander verbunden
sind und eine solche Lage haben , dass ihr Schwerpunkt nicht fallen kann,
sie in dieser Lage im Gleichgewicht sind. Torricelli wendet es nur auf
die schiefe Ebene an, aber man kann sich leicht überzeugen , dass es auch
bei den anderen Maschinen gilt. Man sehe sein Werk de Motu gravium
naturaliter descendentium vom Jahre 1664.
Das Prinzip von Torricelli hat ein anderes zur Folge gehabt , von
dem einige Autoren Gebrauch gemacht haben, um mit grösserer Leichtigkeit
verschiedene Aufgaben der Statik zu lösen. Es besagt , dass bei einem
System von schweren Körpern , wenn diese sich im Gleichgewicht befinden ,
der Schwerpunkt so tief als möglich liegt. Aus der Theorie der Maxima
und Minima weiss man in der That, dass der Schwerpunkt am tiefsten liegt,
wenn das Differential seines Falles Null ist , oder was auf dasselbe hinauskommt, wenn der Schwerpunkt weder steigt noch fällt, während das System
seine Lage unendlich wenig ändert.
17. Das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten kann auf folgende
Weise sehr allgemein gemacht werden :
Wenn ein beliebiges System von beliebig vielen Körpern
oder Punkten , deren jeder durch beliebige Kräfte angegriffen
wird , im Gleichgewicht ist , und man diesem System eine beliebige kleine Bewegung erteilt , in Folge deren jeder Punkt
eine unendlich kleine Strecke durchläuft , so ist die Summe aller
Kräfte , jede multipliciert mit der Strecke , welche der Punkt,
an dem sie wirkt, in der Richtung dieser Kraft durchläuft , - eine
Strecke , die man als Maass der virtuellen Geschwindigkeit ansehen und geradezu als virtuelle Geschwindigkeit bezeichnen
kann - immer gleich Null , wenn man die kleinen im Sinne der
Kräfte durchlaufenen Strecken als positiv , die im entgegengesetzten Sinne durchlaufenen als negativ ansieht.
Jean Bernoulli ist, so viel ich weiss, der erste, welcher diese grosse
Allgemeinheit des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten und seinen
Nutzen zur Lösung der Probleme der Statik bemerkt hat. Man sieht dies
aus einem seiner Briefe an Varignon von 1717, den der letztere an die
Spitze des neunten Abschnittes seiner Nouvelle Mecanique gestellt hat ,
ein Abschnitt , der gänzlich dazu dient , die Wahrheit und den Gebrauch
des genannten Prinzips durch verschiedene Anwendungen zu zeigen.
Dasselbe Prinzip hat zur Entstehung eines anderen Prinzips Veranlassung gegeben , welches Maupertuis in den Mémoires de l'Académie des
2*
20
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
Sciences de Paris für 1740 unter dem Namen Gesetz der Ruhe vorgeschlagen hat, und welches Euler später in den Abhandlungen der Berliner
Akademie für 1751 weiter entwickelt und verallgemeinert hat. Endlich ist
es noch dasselbe Prinzip , welches demjenigen als Basis dient , das Courtivron in den Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris für 1748 und
1749 aufgestellt hat.
Im allgemeinen glaube ich voraussagen zu können, dass alle allgemeinen
Prinzipe , welche man noch in der Lehre vom Gleichgewicht entdecken
könnte, lediglich dieses Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten sein werden,
nur anders aufgefasst und anders ausgedrückt.
Aber dieses Prinzip ist nicht nur an sich sehr einfach und allgemein ,
sondern es hat auch den ausserordentlichen Vorteil vor allen andern voraus,
dass es sich in eine allgemeine Formel übersetzen lässt, welche alle Probleme
enthält , die man über das Gleichgewicht der Körper aufstellen kann . Wir
wollen diese Formel in ihrer ganzen Ausdehnung auseinandersetzen und
sogar versuchen , sie auf eine noch allgemeinere Weise darzustellen und
neue Anwendungen von ihr zu geben.
18. Was die Natur des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten betrifft,
so muss man zugeben, dass dieses Prinzip an sich nicht evident genug ist, dass
es als ursprüngliches Axiom hingestellt werden kann ; aber man kann es ansehen als den allgemeinen Ausdruck der Gesetze des Gleichgewichts, welche
aus den beiden vorher erklärten Prinzipen abgeleitet sind . Bei den Beweisen,
welche man von diesem Prinzip gegeben hat, hat man es immer durch mehr
oder weniger directe Mittel von diesen abhängig gemacht. Aber es giebt
in der Statik ein anderes allgemeines Prinzip, das vom Hebelgesetz und der
Regel für die Zusammensetzung der Kräfte unabhängig ist , wenn es auch
die Forscher gewöhnlich darauf beziehen, welches das natürliche Fundament
des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten zu sein scheint ; man kann es
das Prinzip der Rollen nennen.
Wenn mehrere Rollen mit einander an demselben Kloben verbunden
sind, so bilden sie in ihrer Vereinigung einen Flaschenzug (Polispaste). Die
Vereinigung zweier Flaschenzüge , von denen der eine fest , der andere beweglich ist, und die durch ein und dasselbe Seil umfasst sind, dessen eines
Ende fest gemacht ist und dessen anderes Ende durch eine Kraft gezogen
wird, bildet eine Maschine, in welcher die Kraft sich zu der am beweglichen
Flaschenzug angebrachten Last, wie die Einheit zu der Zahl der Windungen
verhält, in welchen das Seil um diesen Flaschenzug herumgeht, wenn man
annimmt, dass diese Windungen alle parallel sind , und man von der Reibung
und der Starrheit des Seiles absieht. Denn da das Seil in seiner ganzen
Länge gleich stark gespannt ist , so wird die Last durch ebenso viele der
Kraft, mit welcher das Seil gespannt ist , gleiche Kräfte gehalten , als
Windungen vorhanden sind , welche den beweglichen Flaschenzug halten,
denn diese Windungen sollten parallel sein und können als ein einziges
Abschn. I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Statik.
21
Ganze angesehen werden , wenn man sich den Durchmesser der Rollen unendlich klein denkt.
Vermehrt man die festen und beweglichen Rollensysteme und lässt sie
alle von demselben Seil vermittelst verschiedener fester , die Richtung des
Seils ändernder Rollen umfassen, so wird dieselbe Kraft, die an seinem beweglichen Ende angebracht ist , so viele Lasten halten können , als es bewegliche Flaschenzüge giebt , und jede dieser Lasten wird sich zu dieser
Kraft verhalten, wie die Zahl der Seile des Flaschenzuges, welcher es trägt,
sich zur Einheit verhält.
Wir wollen der Einfachheit halber ein Gewicht an die Stelle der Kraft
setzen und das Ende des Seils , welches dieses Gewicht trägt , das wir zur
Einheit nehmen , über eine feste Rolle gelegt denken. Ferner stellen wir
uns vor, dass die verschiedenen beweglichen Flaschenzüge anstatt Lasten zu
tragen , an als Punkte gedachten Körpern befestigt sind , und wir verteilen
sie unter sich so , dass sie ein beliebiges gegebenes System bilden. Auf
diese Weise wird dasselbe Gewicht vermittelst des Seiles , welches alle
Flaschenzüge umfasst, verschiedene Kräfte erzeugen , welche auf die verschiedenen Punkte des Systems wirken , und zwar wirkt jede dieser Kräfte
in der Richtung , in welcher das Seil von dem betreffenden beweglichen
Flaschenzug in den verschiedenen Windungen zu dem zugehörigen festen
läuft, und jede dieser Kräfte verhält sich zu dem am Ende des Seils wirkenden
Gewicht, wie die Zahl der Windungen , die den betreffenden Flaschenzug
trägt , zur Einheit. Diese Kräfte werden also selbst durch die Zahl der
Windungen dargestellt werden , welche zusammenwirken , um sie bezüglich
durch ihre Spannung zu erzeugen .
Es ist nun offenbar , dass das Gewicht , wenn das durch diese verschiedenen Kräfte gezogene System im Gleichgewicht bleiben soll , infolge
einer beliebigen unendlich kleinen Verrückung der Punkte des Systems nicht
fallen darf; denn da ein Gewicht von selbst schon immer zu fallen strebt,
so wird es , wenn eine Verrückung des Systems möglich ist , die ihm zu
fallen gestattet, von selbst schon fallen und seinerseits diese Verrückung in
dem System erzeugen.
Wir bezeichnen mit a, ß, y etc. die unendlich kleinen Strecken, welche
vermöge dieser Verrückung die verschiedenen Punkte des Systems in der
Richtung der Kräfte , welche sie ziehen, durchlaufen würden, und mit P, Q,
R etc. die bezüglichen Zahlen der Flaschenzugseile, die an diesen Punkten
angebracht sind und durch ihre Spannung diese Kräfte erzeugen. Zunächst
ist klar, dass die Strecken a, ẞ, y etc. zugleich auch die Strecken angeben,
um welche die beweglichen Flaschenzüge sich den festen , welche zu ihnen
gehören, bei dieser Verrückung nähern würden , und dass diese Annäherungen
die Stücke des Seiles , welches sie umfasst, um die Grössen Pa, Q3 , Ry etc.
verkürzen würden. Da nun die ganze Länge des Seils sich nicht ändern
soll, so wird das an seinem Ende wirkende Gewicht um die Strecke
Pa + QB + Ry + ···
.
Statik
der
Prinzipe
verschiedenen
die
Ueber
I.
.
Abschn
223
fallen. Also muss, wenn zwischen den durch die Zahlen P, Q, R etc. dargestellten Kräften Gleichgewicht vorhanden sein soll , die Gleichung bestehen
0,
Pa + QB + Ry +
In
und diese Gleichung bildet eben den analytischen Ausdruck des allgemeinen
Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten.
19. Es könnte scheinen , dass auch dann , wenn die Grösse Pa + Q3
+ Ry + ... nicht Null, sondern negativ ist, das Gleichgewicht herzustellen
wäre, weil es doch unmöglich ist, dass das Gewicht von selbst steige ; aber
man muss beachten, dass, welches auch die Verbindung der Punkte des gegebenen Systems ist, die Relationen, welche aus dieser Verbindung zwischen
den unendlich kleinen Grössen a, ß, y etc. resultieren, nur durch DifferentialGleichungen ausgedrückt werden können , und folglich lineare Relationen
zwischen diesen Grössen sind. Es wird also notwendig eine oder mehrere
unter diesen Grössen geben , die unbestimmt bleiben , und welche beliebig
gross oder klein genommen werden können . Deshalb wird man allen diesen
Grössen solche Werte zu verleihen vermögen, dass sie vermöge der zwischen
ihnen bestehenden Relationen stets zugleich das Zeichen ändern können .
Daraus folgt, dass wenn , bei einer gewissen Verrückung des Systems, der
Wert der Grösse Pa + QB + Ry + ... negativ ist, er auch als positiver Wert
existiren kann , wenn man die Grössen a , ß ,
etc. mit entgegengesetzten
Vorzeichen nimmt; die entgegengesetzte Verrückung , welche hiernach in
gleicher Weise möglich ist , würde also das Gewicht fallen lassen und das
Gleichgewicht zerstören .
20. Man kann umgekehrt zeigen, dass wenn die Gleichung
Pa + QB + Ry +
0
für alle möglichen unendlich kleinen Verrückungen des Systems gilt , dasselbe notwendig im Gleichgewicht sein muss ; denn da das Gewicht bei
diesen Verrückungen in Ruhe bleibt, so bleiben die Kräfte, welche auf das
System wirken, in ihrem früheren Zustande , und es ist kein Grund weiter
dafür , dass sie eher die eine der beiden Verrückungen , in welchen die
Grössen a, ẞ, y etc. entgegengesetzte Vorzeichen haben , erzeugen sollten
als die andere. Dies ist der Fall bei der Waage , die im Gleichgewicht
bleibt , weil kein Grund vorhanden ist , dass sie sich nach der einen Seite
mehr neige als nach der andern.
Das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten , das wir so für unter
sich commensurable Kräfte bewiesen haben , wird auch für beliebige
incommensurable Kräfte gelten , da man weiss , dass jeder Satz , den man
für commensurable Grössen beweisen kann , auf gleiche Weise durch die
„ Zurückführung auf's Absurde" bewiesen werden kann, wenn diese Grössen
incommensurabel sind.
Abschnitt II.
Allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht
irgend eines Systems von Kräften, nebst der Methode
von dieser Formel Gebrauch zu machen.
1. Die allgemeine Bedingung des Gleichgewichts bei den Maschinen
besteht darin, dass die Kräfte sich umgekehrt verhalten wie die Geschwindigkeiten der Punkte, an denen sie wirken , wenn diese Geschwindigkeiten in
der Richtung der Kräfte gemessen werden .
In diesem Gesetz besteht das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten,
ein Prinzip, das, wie wir im vorigen Abschnitt gezeigt haben, schon seit
langer Zeit als das Fundamentalprinzip des Gleichgewichts angesehen wird,
und das man folglich als eine Art Axiom der Mechanik betrachten kann.
Um diesen Satz in eine Formel zu bringen, wollen wir annehmen, die
Kräfte P, Q, R, etc., die nach gegebenen Linien wirken, seien unter einander im Gleichgewicht. Wir wollen uns ferner von den Punkten, an denen
diese Kräfte wirken , gerade Linien p, q, r etc. ausgehend denken, die in
der Richtung dieser Kräfte gezogen sind, und mit dp, dq, dr etc. die
Variationen oder Differentiale dieser Linien bezeichnen, insofern sie von
einer unendlich kleinen Veränderung in der Stellung der verschiedenen
Körper oder Punkte des Systems herrühren.
Es ist klar, dass diese Differentiale die Räume ausdrücken werden,
welche die Angriffspunkte der Kräfte P, Q, R etc. in einem und demselben
Augenblicke in den Richtungen dieser Kräfte durchlaufen, wenn man voraussetzt, dass diese Kräfte die Linien p, q, r zu vergrössern streben. Die
Differentiale dp, dq, dr etc. werden also proportional den virtuellen Geschwindigkeiten der Kräfte P, Q, R etc. sein und werden der Einfachheit
halber für diese Geschwindigkeiten gesetzt werden können.
Dies vorausgeschickt, nehmen wir an, dass zuerst 2 Kräfte P und Q im
Gleichgewicht sind. Nach dem Gesetze für das Gleichgewicht zweier Kräfte
müssen die Grössen P und Q unter einander im umgekehrten Verhältnis
der Differentiale dp, dg stehen ; aber es ist leicht zu begreifen, dass Gleichgewicht zwischen zwei Kräften nicht stattfindet, wenn diese nicht derart verteilt sind , dass , während die eine von ihnen nach irgend einer Richtung
24
Abschn. II.
Allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
bewegt, die andere gezwungen ist , in einem entgegengesetzten Sinn zu
bewegen ; daraus folgt, dass die Werte der Differentiale dp und dq entgegengesetzte Vorzeichen haben müssen ; nimmt man die Werte der Kräfte P
und
als positiv an, so folgt also für das Gleichgewicht
P-
dp
Q
dq
oder besser Pdp + Q dq = 0.
Dies ist die allgemeine Formel für das Gleichgewicht zweier Kräfte.
Betrachten wir jetzt das Gleichgewicht dreier Kräfte P, Q, R, deren
virtuelle Geschwindigkeiten durch die Differentiale dp, dq, dr dargestellt
sind. Es sei Q = Q'Q" , und wir nehmen an, was erlaubt ist, der Teil
Q' der Kraft Q sei so beschaffen, dass Pdp + Q'dq = 0 ist ; Q' wird also
der Kraft P das Gleichgewicht halten , und damit völliges Gleichgewicht
stattfinde, muss der andere Teil Q" derselben Kraft Q, der dritten Kraft
R das Gleichgewicht halten . Daraus folgt
Q" dq + Rdr = 0 .
Verbindet man diese Gleichung mit der vorhergehenden , so folgt, weil
Q'+ Q" - Q ist,
PdpQdq + Rdr = 0.
Hat man noch eine vierte Kraft S, deren virtuelle Geschwindigkeit durch
ds dargestellt ist, so setzt man
und
•
Q = Q' + Q" und Pdp + Q'dq = 0
R = R' + R" und Q'dq + R'dr = 0.
der Kraft Q wird also der Kraft P allein das Gleichgewicht
Der Teil
halten ; der Teil R' von R wird dem anderen Theil Q" von Q das Gleichgewicht halten , und damit völliges Gleichgewicht zwischen den Kräften
P, Q, R, S stattfindet, muss der restierende Teil R'' der Kraft R der letzten
Kraft S das Gleichgewicht halten, und man muss folglich haben
R'dr
Sds = 0.
Verbindet man diese Gleichung mit den zwei voraufgehenden entsprechenden,
so folgt
Pdp + Qdq + Rdr + Sds = 0
und so weiter, wie gross auch die Zahl der Kräfte sei .
2. Man hat hiernach allgemein als Bedingung für das Gleichgewicht
einer Anzahl von Kräften P, Q, R etc., die nach den Linien p, q, r, ... gerichtet sind und an irgend einem System von Körpern oder an auf eine
beliebige Art verteilten Punkten angreifen, eine Gleichung von der Form
Pdp + Qdq + Rdr + ... = 0.
Dies ist die allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht irgend
eines Systems von Kräften.
Abschn. II.
Allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
25
Wir wollen jedes Glied der Formel , wie z . B. Pdp, das Moment der
betreffenden Kraft , in unserm Beispiel das der Kraft P, nennen , und das
Wort Moment in der Bedeutung nehmen, welche Galilei ihm gegeben hat,
nämlich als das Produkt aus der Kraft in die virtuelle Geschwindigkeit.
Die allgemeine Formel der Statik sagt dann aus , dass beim Gleichgewicht
die Summe der Momente aller Kräfte Null sein muss.
Bei der Anwendung dieser Formel wird alle Schwierigkeit darin bestehen, die Werte der Differentiale dp, dq, dr etc. der Natur des gegebenen
Systems gemäss zu bestimmen.
Wir wollen dazu das System in zwei verschiedenen, aber einander unendlich nahen Lagen betrachten , und die allgemeinsten Ausdrücke für die
besagten Differentiale suchen , indem wir so viele unbestimmte Grössen in
dieselben einführen, als willkürliche Elemente durch die Variation der Lage
des Systems entstanden sind. Die so gewonnenen Ausdrücke für dp, dq, dr etc.
wollen wir dann in die gegebene Gleichung substituieren. Nun muss diese
Gleichung unabhängig von allen den unbestimmten Grössen gelten , wenn
das Gleichgewicht des Systems allgemein und in jedem Sinne bestehen soll.
Daher haben wir die bezüglichen Summen aller Glieder , die mit denselben
unbestimmten Grössen behaftet sind , einzeln gleich Null zu setzen . Dadurch
bekommen wir so viele besondere Gleichungen, als unbestimmte Grössen vorhanden sind; es ist aber nicht schwer, sich davon zu überzeugen, dass die gesammte Anzahl aller Gleichungen allezeit der Anzahl der unbekannten Grössen
gleich ist , die bei der Lage des Systems in Frage stehen ; wir erhalten
also durch diese Methode so viel Gleichungen als nötig sind , den Zustand
des Gleichgewichts des Systems zu bestimmen.
Auf diese Art sind alle Schriftsteller verfahren, die bis auf unsere Zeit
den Satz von den virtuellen Geschwindigkeiten zur Auflösung statischer
Aufgaben angewendet haben ; aber diese Methode, dieses Prinzip anzuwenden ,
erfordert geometrische Zeichnungen und Betrachtungen , welche die Auflösungen ebenso lang machen , als wenn man sie von den gewöhnlichen
statischen Grundsätzen herleitete , und darin lag vielleicht der hauptsächlichste Grund, warum man nicht in allen Fällen Gebrauch von dem Prinzip
der virtuellen Geschwindigkeiten gemacht hat , da es doch scheint , als
ob man es wegen der Einfachheit und Allgemeinheit dieses Prinzips gerade
hätte thun müssen.
3. Aufgabe dieses Werkes soll es sein , die Mechanik auf rein analytische Operationen zurückzuführen ; die Formel , die wir gefunden haben,
macht es uns leicht , diese Aufgabe zu lösen. Es handelt sich nur darum,
die Werte der nach den Richtungen der Kräfte P, Q, R etc. angenommenen
Linien auf die allgemeinste Art analytisch auszudrücken ; dann erhält man
durch einfache Differentiation die Werte der virtuellen Geschwindigkeiten
dp, dq, dr etc.
Dabei ist nur zu bemerken, dass man in der Differentialrechnung, wenn
mehrere Grössen sich zugleich ändern , annimmt , dass sie alle zu gleicher
26
Abschn. II.
Allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
Zeit um ihre Differentiale zunehmen , und wenn sich nach der Natur der
Frage einige von ihnen vermindern müssen , während die andern sich vermehren, man alsdann den Differentialen derjenigen , die sich vermindern,
das Vorzeichen minus giebt.
Die Differentiale dp , dq, dr etc. , welche die virtuellen Geschwindigkeiten der Kräfte P, Q, R etc. darstellen, werden also positiv oder negativ
genommen werden müssen, je nachdem diese Kräfte die Linien p, q, r etc.
zu vergrössern oder zu verkleinern streben ; aber da die allgemeine Formel
des Gleichgewichts sich nicht ändert, wenn sich die Vorzeichen aller Terme
ändern, so kann man beliebig die Differentiale der Linien, welche zugleich
abnehmen oder die derjenigen , welche zugleich wachsen, als positiv annehmen,
wenn man nur die Differentiale der Linien, welche sich im entgegengesetzten
Sinne ändern, auch mit entgegengesetzten Zeichen versieht. Betrachten wir
also die Kräfte als positiv, so werden ihre Momente Pdp, Qdq etc. positiv
oder negativ sein, je nachdem ihre virtuellen Geschwindigkeiten dp, dq etc.
positiv oder negativ sind ; will man die Kräfte im entgegengesetzten Sinne
wirken lassen , so wird man auch den Grössen , welche diese Kräfte darstellen, das Vorzeichen minus zu geben oder die Vorzeichen ihrer Momente
zu verändern haben .
Es resultiert daraus die allgemeine Eigenschaft des Gleichgewichts,
dass irgend ein System von Kräften im Gleichgewicht beharrt , wenn die
Wirkungsrichtung bei jeder der Kräfte umgekehrt wird, vorausgesetzt, dass
die Constitution des Systems keine Veränderung durch die Veränderung der
Richtung der Kräfte erleidet.
4. Wie nun auch die Kräfte , welche auf ein gegebenes System von
Körpern oder Punkten wirken , beschaffen sein mögen , so kann man sie
stets so betrachten , als ob sie nach Punkten gerichtet wären , die in den
Linien, die ihre Richtungen fixieren, liegen .
Wir wollen diese Punkte Mittelpunkte der Kräfte nennen, und wir
setzen für die Linien p, q, r etc. die respectiven Entfernungen dieser Mittelpunkte von denjenigen Punkten des Systems , an denen die Kräfte P, Q,
R etc. angreifen. In diesem Falle ist es klar, dass diese Kräfte die Linien
p, q, r etc. zu verkleinern streben , und man muss folglich ihren Differentialen das Vorzeichen minus geben ; ändert man aber alle Vorzeichen,
so bleibt die Formel
Pdp + Qdq + Rdr +
bestehen. Nun können die Mittelpunkte der Kräfte sowohl ausserhalb des
Systems als in dem System liegen und ein Theil desselben sein ; hiernach
zerfallen die Kräfte in äussere und innere.
Im ersten Falle ist es klar , dass die Differentiale dp , dq, dr etc. die
ganzen Variationen der Linien p , q ,
etc. ausdrücken , welche von der
Veränderung der Lage des Systems herrühren , sie sind folglich die vollständigen Differentiale der Grössen p, q, r etc. , wenn man alle Grössen,
Abschn. II. Allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
27
die sich auf die Lage des Systems beziehen, als Variabele, und diejenigen,
welche sich auf die Lage der verschiedenen Kraft -Mittelpunkte beziehen,
als Constanten ansieht.
Im zweiten Falle werden einige der Körper des Systems selbst Mittelpunkte der Kräfte sein, welche auf andere Körper des Systems wirken, und
wegen der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung werden diese Körper
zu gleicher Zeit Kraftcentren sein, welche auf die ersten wirken.
Betrachten wir daher zwei Körper, die auf einander mit einer gewissen
Kraft P wirken , sei es nun , dass diese Kraft herrührt von der Anziehung
oder Abstossung der Körper, oder von der Spannung einer zwischen ihnen befindlichen Feder, oder von irgend einer anderen Ursache, und ist p die Distanz
zwischen diesen beiden Körpern , dp' die Variation dieser Distanz , insofern
sie von der Veränderung des Ortes eines dieser Körper abhängt, so ist klar,
dass man in Bezug auf diesen Körper Pdp' für das Moment der Kraft P
hat; ebenso erhält man, wenn man durch dp" die Variation derselben Distanz
p, insofern sie von der Veränderung des Ortes des andern Körpers herrührt,
bezeichnet, Pdp" als Moment von P in Bezug auf den anderen Körper.
Das ganze Moment, das zu dieser Kraft gehört, kann also durch P(dp' + dp")
ausgedrückt werden. Man sieht aber leicht, dass dp' + dp" das vollständige
Differential von p ist , welches wir mit dp bezeichnen , weil die Distanz p
nur durch die Veränderung der Orte der beiden Körper eine Variation erleiden kann ; das fragliche Moment wird also einfach durch Pdp gegeben
sein. Man kann diese Schlüsse ausdehnen auf so viele Körper, wie man will.
5. Hieraus folgt, dass, um die Summen der Momente aller Kräfte (seien
es äussere oder innere) eines gegebenen Systems zu erhalten, man jede der
Kräfte , die auf die verschiedenen Körper oder Punkte des Systems wirken,
besonders zu betrachten hat, und dass man die Summe der Produkte dieser
verschiedenen Kräfte , jede Kraft multipliciert mit dem Differential der
respectiven Entfernung zwischen den beiden Endpunkten ihres Wirkungsbereichs , d . h . zwischen dem Punkt, auf den diese Kraft wirkt , und dem,
von dem sie ausgeht, bilden muss . Hierbei hat man in diesen Differentialen
als Variabele alle Grössen anzusehen, die von der Stellung des Systems abhängen, und als constant alle diejenigen, die sich auf äussere Punkte oder
Centren beziehen, also diese letzteren Punkte als fest zu betrachten, während
die Lage des Systems eine Aenderung erleidet. Setzt man die Summe der
so berechneten Momente gleich Null , so erhält man die allgemeine Formel
der Statik.
6. Um dem analytischen Ausdruck dieser Formel die ganze Allgemeinheit und Einfachheit , deren sie fähig ist , zu geben , bezieht man die Lage
aller Körper oder Punkte eines gegebenen Systems, wie die Lage der festen
Centren, auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem, dessen Axen parallel zu
drei im Raume festen Axen sind.
Wir wollen die Coordinaten der Punkte, an denen die Kräfte angreifen,
im allgemeinen mit x, y, z bezeichnen , und sie in der Folge durch einen
28
Abschn. II. Allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
Strich oder durch mehrere Striche unterscheiden , entsprechend den verschiedenen Punkten des Systems.
Wir bezeichnen ferner mit a, b, c die Coordinaten für die Kraftcentren.
Es ist klar, dass die Entfernungen p , q , r etc. zwischen den Angriffspunkten und Kraftcentren allgemein durch die Grösse ausgedrückt werden
√ (x − a)² + (y — b)² + (≈ — c) ³,
worin a , b , c Constanten sind , oder wenigstens als Constanten angesehen
werden müssen , falls sie sich auf Punkte ausserhalb des Systems beziehen,
falls also die Kräfte äussere sind , während x , y , z sich ändern ; in dem
Falle dagegen , wo die Kräfte innere sind und von einigen der Körper des
Systems selbst ausgehen , gehen die Grössen a , b , c in "" etc. , y'" etc.,
z" etc. über und sind variabel.
Hat man auf diese Weise die Ausdrücke für die endlichen Grössen p,
q, r etc. in bekannten Funktionen der Coordinaten der verschiedenen Körper
des Systems erhalten , so hat man nur nötig auf die gewöhnliche Art zu
differentiieren, indem man diese Coordinaten als allein veränderlich ansieht.
Auf diese Weise erhält man die gesuchten Werte der Differentiale dp , dq,
dr etc. , welche in der allgemeinen Formel des Gleichgewichts vorkommen.
7. Obgleich man immer die Kräfte P, Q, R etc. als nach gegebenen
Centren wirkend ansehen kann , so gehört doch die Betrachtung dieser
Centren nicht zur Aufgabe selbst , in der man gewöhnlich nur die Grösse
und Richtung jeder Kraft als gegeben annimmt ; wir werden im Folgenden
deswegen allgemeinere Methoden geben, um die Differentiale dp, dq, dr etc.
auszudrücken .
Nimmt man zuerst an , was stets erlaubt ist, dass eine Kraft P nach
einem festen Centrum gerichtet sei, so hat man
p = √ (x − a)² + (y — b ) ² + (≈ — c)²
und wenn man differentiiert, ohne a, b, c als veränderlich anzusehen,
XC
y-b
a
dx +
dp
P
C
dy +
p
de,
p
worin da, dy, de die virtuellen Geschwindigkeiten in Richtung der Coordinatenс
x - a y -b 2
nichts
axen angeben. Man sieht aber leicht , dass
"
"
p
p
p
anderes sind als die Cosinus der Winkel, welche die Linie p mit den Linien
(x - a), (y - b), (
c) bildet. Nennt man allgemein a, ẞ, y die Winkel,
welche die Richtung der Kraft P mit den Axen der x , y , z oder mit zu
diesen Axen parallelen Geraden einschliesst, so ist
2- C
y
b
X- a
= cosẞ;
= COSY ,
= cos a;
p
p
P
folglich
dp = cos a dx + cosẞ dy + cosy de.
Abschn. II. Allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
29
In entsprechender Weise lassen sich die anderen Differentiale dq, dr etc.
ausdrücken.
Dagegen wenn P als eine innere Kraft auf die beiden Punkte wirkt,
deren Coordinaten x , y , z und x' , y
' , z'′ sind , und sie zu nähern oder zu
entfernen strebt, so hat man im Ausdruck für p
a = x'; b = y'; c = d
zu setzen, und bekommt
-— dy' ) + cosy (dz — de').
dp = cosa(dx — dx') + cosẞ (dy In Bezug auf die Winkel a, ß, 7 bemerkt man zunächst, dass
cos2a + cos2ẞ + cos2y = 1
ist, wie man leicht aus den für diese Cosinus vorher angegebenen Formeln
ersieht. Wir können also immer einen der Cosinus durch die beiden andern
ausdrücken, oder die drei Winkel auf zwei reducieren.
Eine solche Reduction
kann zum Beispiel in folgender Weise ausgeführt werden. Es sei der Winkel,
den die Projection der Linie p auf die Ebene der x und y mit der x Axe
macht, e, so folgt
b
X1 a
y
9
; sinɛ =
COSE
π
Π
wenn
π=
(x
·a)² + (y — b)²
gemacht wird; setzt man in diesem Ausdruck für π , für (x — a) , (y — b),
ihre Werte pcosa, p cosß, so folgt auch
π = p.√
/cos²α + cos2ẞ = p 1/1 - cos2y = p siny,
also wird
a
х
У
= sin y cos ε ;
b
= siny sinε
p
und folglich
cos asiny cose ; cosẞ = siny sine.
8. Ich beachte hierauf, dass, weil dp die kleine Strecke ausdrückt, die
der Körper oder Punkt, an dem die Kraft P wirkt, nach der Richtung dieser
Kraft durchläuft , dieser Punkt sich nur in zu dieser Kraft senkrechten
Folglich ist dp = 0 die
Richtungen bewegen kann , wenn dp = 0 ist.
Gleichung einer Fläche, auf welcher die Richtung der Kraft senkrecht steht.
Diese Fläche wird eine Kugel sein, wenn die Grössen a, b, c Constanten
sind , sie wird aber irgend eine andere Fläche sein , wenn diese Grössen
variabel sind.
Wir denken uns jetzt eine Fläche , zu der die Kraft P senkrecht steht,
und stellen sie allgemein dar durch die Formel
Adx + Bdy + Cdz = 0.
30
Abschn. II . Allgem
ei
ne
Formel der Statik für das Gleichg
ewicht
etc.
Soll auch die Verrückung dp senkrecht zu P geschehen , so dass dp = 0 ist,
so haben wir diese Gleichung coincidieren zu lassen mit der Gleichung
(x - a) dx + (y — b) dy + (z — c) dz == 0),
die aus der Gleichung dp = 0 resultiert, und es wird dann
A
X
2
C
a. B C C
y
2
C
oder
B
A
=
(x — a)=— — (e —- c) ; (y -— b) · — C (≈ — c) .
Substituiert man diese Werte in den Ausdruck für dp, so folgt
Adx + Bdy + Cdz
dp:
'A² + B² + C²
und diese Gleichung gilt allgemein, ob dp gleich Null ist oder nicht. Hat
man somit die Differentialgleichung der Fläche , auf welcher die Kraft P
senkrecht steht , so hat man auch den Ausdruck für die virtuelle Geschwindigkeit dp.
Man darf setzen
Adx + Bdy + Cdz = du,
wo u eine Funktion von x, y, z bedeutet ; denn man weiss, dass eine Differentialgleichung erster Ordnung mit drei Variabeln keine Fläche darstellen
kann , wenn sie nicht integrabel ist oder es durch einen Multiplicator wird.
Man hat also
ди
ди
ди
; C=
A==
"
B=
дл
Əz
ду
und folglich
du
dp
ди 2
ди 2
ди 12
+
+
дх
ду
(ou
)
Das Moment einer Kraft P, die senkrecht steht auf einer durch die
Gleichung du = 0 gegebenen Fläche, wird also sein
Pdu
ди
ди 2
ди 12
+
+
Əz
дх
dy
Auf dieselbe Weise lassen sich die Werte von dq , dr etc. bestimmen,
nämlich aus den Differentialgleichungen der Flächen , auf welchen die
Richtungen der Kräfte Q, R etc. senkrecht stehen.
9. Indessen ist es nicht notwendig , die Betrachtung dieser Flächen
einzuführen , denn da man jede Grösse durch eine Linie darstellen kann,
darf man p als irgend eine Funktion der Coordinaten ansehen , und die
Kraft P so , als ob sie den Wert von p zu verändern strebt. Daun wird
Abschn. II. Allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
31
Pdp gleich sein dem virtuellen Moment der Kraft P; ebenso werden Qdq,
Rdr etc. die Momente der Kräfte Q, R etc. sein , wenn man diese so betrachtet , als ob sie die Werte der Grössen q , r etc. , die man als irgend
welche Funktionen derselben Coordinaten voraussetzt, zu verändern strebten .
Diese Art, die Momente aufzufassen , giebt der allgemeinen Formel des Gleichgewichts eine viel grössere Ausdehnung und macht sie einer viel grösseren
Zahl von Anwendungen fähig .
10. Sind die Differentiale dp, dq , dr etc. als Funktionen der Differentiale der Coordinaten der verschiedenen Körper des Systems bekannt, so
braucht man sie nur in die allgemeine Formel
Pdp + Qdq + Rdr + ... = 0
zu substituieren und hierauf diese Gleichung unabhängig von den Differentialen,
die sie enthält, zu erfüllen.
Ist also das System völlig frei , findet folglich keine Relation zwischen
den Coordinaten der verschiedenen Körper und daher auch nicht zwischen
ihren Differentialen statt, so müsste man der vorhergehenden Gleichung
unabhängig von den Differentialen Genüge leisten , also die Summe aller
Glieder, die mit demselben, Differential multipliciert sind , einzeln gleich
Null setzen. Dies ergiebt dann so viele Gleichungen , als veränderliche
Coordinaten vorhanden sind , und folglich so viele als nötig sind , alle
diese veränderlichen Grössen zu bestimmen , um mit Hilfe derselben die
Lage des ganzen Systems im Zustande des Gleichgewichts kennen zu lernen .
Ist aber die Natur des Systems so beschaffen, dass die Körper in ihren
man
Bewegungen besonderen Bedingungen unterworfen sind , so
damit den Anfang machen , dass man diese Bedingungen durch analytische
Gleichungen ausdrückt, die wir als Bedingungsgleichungen bezeichnen,
und dies ist stets leicht. Wären z. B. einige Körper gezwungen , sich auf
gegebenen Linien oder Flächen zu bewegen , so hätte man als Bedingungen
zwischen den Coordinaten dieser Körper die Gleichungen der gegebenen
Linien oder Flächen selbst. Wären zwei Körper so mit einander verbunden ,
dass sie sich stets in der gleichen Entfernung k von einander befinden , so
hätte man als Bedingung die Gleichung
7² = (x′ — x'' )² + (y' — y ' )² + (≈' — '' )² etc.
Hat man die Bedingungsgleichungen so oder anders gefunden, so muss
man vermittelst derselben so viele Differentiale als möglich in den Ausdrücken für dp, dq, dr etc. fortschaffen , so dass die übrig bleibenden
Differentiale völlig unabhängig von einander sind und nur das Willkürliche
bei der Veränderung der Lage des Systems ausdrücken. Da nun die allgemeine Formel des Gleichgewichts gelten muss , diese Veränderung mag
beschaffen sein , wie sie will , so muss man die Summe aller Glieder , die
mit demselben unbestimmten Differentiale behaftet sind , bei jedem Differential
für sich gleich Null setzen , und daraus werden dann so viele einzelne
32
Abschn. II . Allgemeine Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
Gleichungen entstehen, als noch solche Differentiale vorhanden sind. Diese
Gleichungen nun , verbunden mit den gegebenen Bedingungsgleichungen,
schliessen alle zur Bestimmung des Gleichgewichtszustandes des Systems
nötigen Formeln in sich , denn es ist leicht zu verstehen , dass alle diese
Gleichungen immer von gleicher Zahl mit den verschiedenen veränderlichen
Grössen sein werden, die allen Körpern des Systems zu Coordinaten dienen ,
sie reichen aus , um jede dieser veränderlichen Grössen zu bestimmen.
11. Haben wir übrigens die Orte der Körper immer durch rechtwinklige
Coordinaten bestimmt, so ist dies blos deshalb geschehen, weil dadurch die
allgemeine Rechnung am einfachsten und leichtesten wird ; man kann bei der
eben angegebenen Methode sich aber ebensowohl anderer Coordinaten bedienen,
denn es ist klar , dass bei dieser Methode uns nichts zwingt , eher rechtwinklige Coordinaten anzunehmen als andere Linien oder Grössen , durch
welche die Orte der Körper bestimmt werden. So könnte man statt der
beiden Coordinaten x, y, wenn die Umstände es erforderten , einen Radius=
vector p√x² + y² und einen Winkel
gebrauchen , dessen Tangente
y
ist, was ergeben würde
gleich
XC
x = p cosq ; y = p sing .
Die dritte Coordinate z könnte dabei so bleiben wie sie vorher war;
man könnte aber auch einen Radiusvector P = x² + y² + z2 mit zwei
einführen, die definirt sind durch
und
Winkeln
tang
= y ; tang
X
=
2
x² + y²'
alsdann wird
x = p cos
cosq ; y = p cos sin19; 2 -
sin .
Ebenso könnte man auch andere Winkel und Linien benutzen.
Wir bemerken noch , dass , da eigentlich nur die Betrachtung der
Differentiale dx, dy, dz in unserer Methode vorkommt , es auch erlaubt ist,
den Ursprung der Coordinaten beliebig zu verlegen , was unter Umständen
dazu dienen kann, die Ausdrücke für diese Differentiale zu vereinfachen .
Substituiert man p cose und p sine für x und y, so hat man allgemein
dx = do cosq ― p sing dq ; dy = dp sing
+ p cosy dy .
Setzt man aber ❤ == 0 , was darauf hinauskommt , den Winkel
vom
Radiusvector p aus zu messen , so hat man einfach dx = do und dy =
= pdq.
Dasselbe gilt für andere ähnliche Fälle.
12. Welches auch im allgemeinen das System der Kräfte sei , dessen
Gleichgewicht man sucht, und auf welche Weise auch die Punkte , an denen
die Kräfte wirken , unter einander verbunden seien , so kann man doch
stets die Variabeln , welche die Lage dieser Punkte im Raum bestimmen,
auf eine kleine Zahl von unabhängigen Variabeln zurückführen , indem
Abschn. II.
Allgem. Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
33
man vermittelst der durch die Natur des Systems gegebenen Bedingungsgleichungen ebenso viele Variabeln , als es Bedingungsgleichungen giebt,
eliminiert , d . h . indem man alle Variabeln , deren für jeden Punkt drei
vorhanden sind , ausdrückt durch eine kleine Zahl von ihnen , oder durch
irgend welche andere Variabeln , welche , da sie keiner Bedingung unterworfen sind , unbestimmt und von einander unabhängig sein werden. Es
muss also Gleichgewicht in Bezug auf jede dieser unabhängigen Variabeln
stattfinden , weil jede dieser Variabeln für sich eine mögliche Veränderung
in der Lage des Systems angiebt.
13. Bezeichnet man diese unabhängigen Variabeln mit , Y,
etc. und
betrachtet die Werte von p , q, r etc. als Funktionen dieser Variabeln , so
hat man
др
д
др
+ dе
q d? +
・
αξ +
ddy +
dp =
DE
д
dа
да
a de
αξ +
+ ...
dy + де
dq =
ф
дг
dr =
дг
dr
αξ +
Οξ
·dy +
de + ...
მს
0 für das Gleich-
u. s. f. , und die Bedingung Pdp + Qdq + Rdr +
gewicht wird
дг
да
dp
+R
de
+
Q
ДЕ + ...)
(P DE
да
dr
др
P
+R
+
+ Q
მს
მს
(P ის
др
dr
+R
+ P
+
+ Q
да
деф
+
) ay
= 0.
do
Da nun hierin die Werte von de, dy, de etc. unbestimmt und von einander
unabhängig sein sollten, so hat man die Factoren dieser Differentiale einzeln
gleich Null zu setzen und bekommt so die Gleichungen
др
да
+ R
Οξ
да
dp
дг
P
+R
+
бу + Q ის
ду
de + Q ૦૬
Or
Р
+R
+
дер
деф
др
др
Р
+ Q
deren Zahl gleich der Zahl der Variabeln , 4,
ausreichen, alle diese Variabeln zu bestimmen.
Lagrange, Analytische Mechanik.
- 0,
==0,
= 0,
etc. sein wird , die also
3
34
Abschn . II.
Allgem. Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
Jede dieser Gleichungen stellt , wie man sieht , die Bedingung für ein
besonderes Gleichgewicht dar, in welchem zwischen den virtuellen Geschwindigkeiten bestimmte Beziehungen bestehen, und aus der Vereinigung aller
dieser Gleichungen setzt sich die Bedingung für das allgemeine Gleichgewicht des Systems zusammen.
Man kann ferner bemerken , dass gerade für diese partiellen und bestimmten Gleichungen ohne Ausnahme die Ueberlegungen des Artikels 1
dieses Abschnittes gelten , und da bei dem Fall zweier Kräfte das Gleichgewicht auf dasjenige eines geraden Hebels zurückgeführt werden kann,
dessen Arme im Verhältnis der virtuellen Geschwindigkeiten stehen, so kann
man damit das allgemeine Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten allein
von dem Prinzip des Hebels abhängig machen.
14. Wenn die Grösse Pdp + Qdq + Rdr + ·· nicht Null ist in Bezug auf
alle unabhängigen Variabeln, so werden die Kräfte P, Q, R etc. sich nicht
das Gleichgewicht halten, und die durch diese Kräfte angegriffenen Körper
werden Bewegungen annehmen, die sowohl von den Kräften als von ihren
gegenseitigen Wirkungen abhängen.
Nehmen wir an , dass andere durch P', Q' , R
' etc. dargestellte und
nach den Linien p' , q' ,
etc. gerichtete Kräfte, indem sie auf die Körper
desselben Systems wirken , ihnen auch dieselben Bewegungen erteilen wie
die Kräfte P, Q, R etc., so werden jene Kräfte diesen ersteren gleichwertig
sein und in allen Fällen an deren Stelle gesetzt werden können , da ihre
Wirkung als der dieser gleich vorausgesetzt wird. Wenn nun diese selbigen
Kräfte P' , Q' , R' etc. ihre absoluten Werte behalten , aber ihre Wirkungsrichtungen gerade ins Entgegengesetzte ändern , so ist klar , dass sie denselben Körpern Bewegungen von derselben Art wie vorher, aber im entgegengesetzten Sinne gerichtet, erteilen. Wirken sie also in diesem neuen Zustande
auf die Körper des Systems zu gleicher Zeit mit den Kräften P, Q, R etc.,
so werden diese Körper in Ruhe bleiben, da die in dem einen Sinne erzeugten
Bewegungen durch andere gleiche , aber im entgegengesetzten Sinne gerichtete Bewegungen aufgehoben werden . Es wird also zwischen allen
diesen Kräften Gleichgewicht stattfinden, und damit ergiebt sich die Gleichung
(Art. 2)
Pdp + Qdq + Rdr + ... -· P'dp'- Q'dq' - R' dr' —...— 0,
oder
Pdp + Qdq + Rdr
...
P'dp' + Q'dq' + R'dr' + ...
Dies ist also die notwendige Bedingung dafür , dass die Kräfte P', Q',
R' etc., indem sie nach den Linien p' , q' , ' etc. wirken, den Kräften P, Q,
R etc. gleichwertig seien, welche nach den Linien p, q, r etc. wirken, und
da zwei Systeme von Kräften nur auf eine einzige Weise gleichwertig sein
können, weil die Bewegung eines Körpers immer nur eine einzige , bestimmte
sein kann, so folgt umgekehrt, dass, wenn zwei Systeme von Kräften P, Q,
A
Abschn. II.
Allgem. Formel der Statik für das Gleichgewicht etc.
35
R etc. und P' , Q' , R' so beschaffen sind, dass man allgemein und in Bezug
auf alle unabhängigen Variabeln die Gleichung hat
Pdp + Qdq + Rdr +
P'dp' + Q'dq' + R'dr' + ··· ,
diese beiden Systeme gleichwertig sind und in jedem Falle eines für das
andere gesetzt werden kann .
15. Es folgt also daraus das wichtige Theorem der Statik , dass zwei
Kraftsysteme gleichwertig sind und bei einem Systeme von Körpern , die auf
irgend eine Weise mit einander verbunden sind, für einander gesetzt werden
können, wenn die Summen der Kraftmomente in beiden Systemen stets gleich
sind, und umgekehrt : Wenn die Summe der Kraftmomente des einen Systems
stets gleich ist der Summe der Kraftmomente eines anderen Systems , so
werden diese beiden Systeme gleichwertig sein und bei demselben Systeme
von Körpern stets für einander gesetzt werden können .
Sind die Linien p , q , r etc. von den Linien έ , 4 ,
etc. abhängig, so
transformiert sich der Ausdruck
Pdp + Qdq + Rdr +
wie im Art. 13 , in
Eddy + $ dz + · · · ,
und hierin ist
да
др
Ər
+
+ R
03
04
дг
y= P
+ Q 04 + R 0 +
4
да
др
др
Φ == P
+ Q
+ R
+
DR
d?
d'
?
E=P
+ Q
ὃς
др
Hiernach hat man allgemein
Pdp + Qdq + Rdr +
= Edɛ + Va¥ + ¶dy +
2
Das System der Kräfte P, Q, R etc. , gerichtet nach den Linien p, q, r etc.,
ist also dem Systeme der Kräfte E , Y ,
etc. gleichwertig , welche in der
Richtung der Linien , 4,
etc. wirken , und kann demnach in demselben.
Systeme von Körpern , welche durch diese Kräfte angegriffen werden , an
Stelle dieser Kräfte gesetzt werden .
3*
Abschnitt III.
Allgemeine
Systems
Eigenschaften
des Gleichgewichts
eines
von Körpern , abgeleitet aus dem Prinzip
der virtuellen Geschwindigkeiten.
1. Wir wollen nun ein System oder eine beliebige Vereinigung von
Körpern oder Punkten betrachten , die, indem sie von gewissen Kräften geWenn in
zogen werden , einander gegenseitig das Gleichgewicht halten.
einem Augenblicke diese Kräfte aufhörten , ihre Wirkungen gegenseitig zu
vernichten , so würde das System anfangen sich zu bewegen , und mag die
Bewegung desselben auch beschaffen sein wie sie will, so kann man sie sich
doch allezeit als zusammengesetzt vorstellen : 1. aus einer allen Körpern gemeinschaftlichen fortschreitenden Bewegung, 2. aus einer rotierenden Bewegung
um irgend einen Punkt, 3. aus Bewegungen, die sich nur auf die einzelnen
Körper beziehen, und durch welche gegenseitige Lage und Entfernung der
Körper verändert wird . Soll also Gleichgewicht stattfinden , so müssen die
Körper keine dieser verschiedenen Bewegungen annehmen können. Es ist
nun klar, dass die Bewegungen der Körper gegen einander von der Art abhängen, wie diese Körper gegen einander verteilt sind, und es müssen die zur
Hinderung dieser Bewegungen nötigen Bedingungen für jedes System von
dessen besonderer Constitution abhängig sein . Dagegen brauchen die fortschreitende und rotierende Bewegung durchaus nicht von der Form des
Systems abzuhängen, und sie können auch vor sich gehen , ohne dass die
Verteilung und die gegenseitige Verbindung der Körper geändert wird.
Die Untersuchung dieser beiden Arten von Bewegungen muss darnach
zu allgemeinen Bedingungen oder Eigenschaften des Gleichgewichts
führen und diese Untersuchung wollen wir jetzt anstellen.
§ 1.
Eigenschaften des Gleichgewichts eines freien Systems in Bezug
auf fortschreitende Bewegung .
2. Es sei eine gewisse Zahl von Körpern gegeben, die man als Punkte
betrachten kann, und die auf eine beliebige Art geordnet und mit einander
verbunden sind ; wenn dieselben durch die Kräfte P, P', P" etc. nach den
Richtungen der Linien p , p', p" etc. angegriffen werden , hat man (nach
vorigem Abschnitt) als Bedingung für das Gleichgewicht dieser Körper die
allgemeine Formel
Pdp + P'dp' + P" dp" + ·
0.
Abschn. III, § 1.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
37
Bezieht man die Lage der verschiedenen durch die Kräfte P, P' etc.
angegriffenen Punkte , ebenso die Lage der Kraftcentren , wie im Artikel 6
des voraufgehenden Abschnitts, auf rechtwinklige Coordinaten , so hat man
zunächst für die äusseren Kräfte
—- c)²
p = √ (x − ·a)² + (y — b) ² + (z.p'= √ (x' — a')² + (y — b' ) ² + (z' — c')²
Wenn aber die Körper, welche z. B. den Coordinaten x, y, z und x, y, z
entsprechen, auf einander mit einer gegenseitigen Kraft wirken , welche wir
mit P bezeichnen , so hat man für den geradlinigen Abstand dieser beiden
Körper, den wir mit p bezeichnen, nach unseren früheren Festsetzungen
p = √(x − x)² + (y — ÿ) ² + (e — 7)²,
und man muss der vo
rigen allgemeinen Formel noch das Glied Pdp hinzufügen , welches von der inneren Kraft P herrührt . Aehnliche Glieder sind
hinzu zu addieren , wenn mehrere innere Kräfte auf dieselben Körper wirken .
3. Wir setzen , was erlaubt ist,
x' = x + { ; y' = y + n ; ≈′ = 2 + 6
x''= x + '; y ' = y + n' ; z'' = 2 + S'
x = x + §; y = y + n ; z = 2+ 6
und nehmen an, dass man diese Werte der Coordinaten in die vorige Formel
eingesetzt habe. Da x , y, z die absoluten Coordinaten des durch die
Kraft P angegriffenen Punktes sein sollten, so ist klar, dass §, n, ; §' , n' , ' etc.
nichts anderes bedeuten , als die relativen Coordinaten der anderen Körper
in Bezug auf diesen Punkt. Die relativen Coordinaten zählen dann alle
von diesem Punkte aus, und die Lagen der Körper gegen einander hängen
nur von diesen letzteren Coordinaten , keineswegs von den ersteren ab .
Nimmt man also das System als völlig frei an , d. h. nimmt man an, dass
die Körper zwar auf eine gewisse Art unter einander verbunden sind , aber
weder von festen Unterstützungspunkten, noch von irgend welchen sonstigen
äusseren Hindernissen zurückgehalten werden, so ist leicht einzusehen , dass
die von der Natur des Systems herrührenden Bedingungen nur die Grössen
§, n , 5 ; E' , n' , ' etc. und in keiner Weise die Grössen x , y , z angehen
können. Hiernach sind die Differentiale dieser drei letzteren Grössen unabhängig, und sie können ganz beliebig angesetzt werden .
Hat man also die genannten Substitutionen gemacht, so müssen demnach
die mit dx, dy, dz behafteten Glieder gleich Null gesetzt werden , man bẹkommt so die drei Gleichungen (Art. 2)
38
Abschn. III, § 1.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
др
Op'
op"
P +P
+ P"
дх
дл
дх
+P
др
дл
= 0,
Pд
др + p" op"
aр
y + P'
+
by
ду
+P
др
+
dy
= 0,
др
Op'
Op"
+ P'
+ P".
+
Dz
dz
Əz
+P
др
+
dz
== 0.
P
Nun sieht man zunächst , dass die Variabeln x, y, z in dem Ausdruck
von p überhaupt nicht vorkommen, es folgt also
др
др др 0;
0; Dz = 0;
дх
dy
demnach fallen die Glieder, welche die inneren Kräfte P, P' etc. enthalten ,
heraus.
Man sieht ferner, dass die Werte von
Op' op' op'
9
"
de
dy дъ
dx ду
дх
Əp" Op" Op"
Ox
dx ' oy
dy ' dz
dieselben sind wie die von
Op' Op' op' Op" Op" Op"
"
9
Əx'' Əy
'' Əz' ' dx” Əy" Əz″
Nennt man aber a, ß, y die Winkel , welche die Linie p mit den Axen
der x, y, z oder mit Parallelen zu diesen Axen bildet, a' , ' , ' die Winkel,
welche die Linie p' mit denselben Axen bildet etc. , so hat man , wie wir
früher sahen (Art. 7 des vorigen Abschnittes)
др
др
др
cosa ;
co
дх =
dy = cos ß ; dz = sy
und ferner
др =
др =
др
cosa';
cosẞ ' ; oz = cosy' ...
дх
ду
u. s. f.
Die drei obigen Gleichungen gehen also über in
P cosa + P' cos a' + P" cosa" +
0,
Pcosẞ + P' cosß' + P" cos ẞ" +0,
Pcosy
P' cosy' + P" cost" +0.
Diese Gleichungen müssen beim Gleichgewicht eines freien Systems notwendig
stattfinden. Sie bilden die notwendigen Bedingungen, um eine fortschreitende
Bewegung zu verhindern.
4. Sind die Kräfte P, P', P" etc. einander parallel , so haben wir
a = a' = a' ==
B = ß' —
— · ·· , r = 1' = 1' = ··· ,,
= B”
B" =
Abschn. III , § 2.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
39
und die drei vorhergehenden Gleichungen ziehen sich zu dieser einen zusammen
P+ P + P" +
0,
welche zeigt , dass die Summe der parallelen Kräfte gleich Null sein muss.
Ueberhaupt ist es leicht einzusehen , dass , wenn P die ganze Wirkung
der Kraft P nach ihrer eigenen Richtung anzeigt, Pcosa die relative, nach
der Richtung der xAxe , die mit der Richtung der Kraft P den Winkel a
bildet, gemessene Wirkung bezeichnen wird ; ebenso sind Pcosß und
Pcosy die relativen Wirkungen derselben Kraft nach den Richtungen der
y bezüglich zAxe gemessen ; ähnliches gilt für die anderen Kräfte P' , P" etc.
Daraus entspringt der Lehrsatz : Beim Gleichgewicht eines freien
Systems muss die Summe der nach der Richtung dreier auf einander senkrechter Axen gemessenen Kräfte in Bezug auf jede
dieser Axen gleich Null sein.
§ 2.
Eigenschaften des Gleichgewichts in Bezug auf rotierende
Bewegung.
5. Wir wollen nun, was stets erlaubt ist , an die Stelle der Coordinaten
x, y, x', y', x' , y' etc. x, y, z etc. die Radienvectoren p, p' , p" etc., p etc.
mit den Winkeln q , q' , q " etc. ,
etc. , welche diese Radien mit der Axe
bilden , setzen ; wir erhalten dann.
x = p cos ; y = p sin❤
und ebenso
x' = p'cosq' ; y'p'sinq' ;
; x = p cosq ; y = p sing ;
Setzen wir noch
4' = q + o ; q″ = q + d
′;·
'
; & = 4 + 0;
so ist klar, dass σ,
etc. ,
etc. die Winkel sein werden , welche die Radien
p', p" etc. , p etc. mit dem Radius p bilden ; folglich werden die Entfernungen
der Körper sowohl von einander als auch in Bezug auf die Ebene der x, y
und auf den Punkt , der zum Ursprung der Coordinaten genommen ist, nur
von den Grössen p , p' , p" etc. , p etc. , o ,
hängig sein.
etc. , ≈ , ' ,
' etc. , ≈ etc. ab-
Hat daher das System die Freiheit sich um diesen als Ursprung der
Coordinaten dienenden Punkt parallel zur Ebene der xy, d. h. um die zAxe,
welche auf dieser Ebene senkrecht steht , zu drehen , so wird der Winkel
von den Bedingungen des Systems unabhängig und das Differential de willkürlich sein . Hieraus folgt also , dass die mit de behafteten Glieder der
allgemeinen Gleichung des Gleichgewichts für sich zusammen gleich Null
sein müssen ,
40
Abschn. III, § 2.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
Es ist leicht zu sehen , dass alle diese Glieder durch N.dp dargestellt
werden können , wo
N= P
др
Op"
Op'
+ P"
+ P'
+
მო
0%
əş
др
+P
+
ist , so dass man für das Gleichgewicht die Bedingung N = 0 hat.
Substituiert man die Werte von x, y , x', y' etc. x, y etc. in die Ausdrücke von p, p' etc.. p etc. (Art. 2) und setzt
a = R cos A ; b = R sin A ; a' = R' cos A' ; b'R' sin B' , ...,
so folgt
p= √
√p².
/p² - 2p R cos ( − A ) + R² + (≈ — c )²,
p' = √
/p'²— 2p' R'cos (î' -— A′) + R'² + (≈' — c′)²,
p = √p² - 2pp' cos ( -q) + p² + (≈ — ≈ )²,
Gleichungen , in denen man noch ( + ) , (y + o') etc. , ( + ) etc. an
Stelle von ', ' etc. , y etc. zu setzen hat.
Bei Ausführung dieser letzteren Substitutionen sieht man aber sofort,
dass die Grössen p etc. den Winkel
nicht mehr enthalten ; man hat also :
dp
= 0 etc. , folglich werden auch jetzt die inneren Kräfte P etc. aus der
de
Gleichung verschwinden , es bleiben nur die äusseren Kräfte P, P' etc. übrig.
Nun ist
dp = PR sin(? - A)
de
p
;
dp' =
- p'F'sin ( q'— 4 ') ;
d?
p'
u. s. f ,
somit wird
N = PRO sin (
p
A)
P'R'p' sin ( '
+
A') + .
Da man nun die Centren der Kräfte P, P' etc. irgendwo auf der Wirkungsrichtung dieser Kräfte annehmen kann, so kann man auch annehmen,
dass diese Kräfte durch die Linien p , p' etc. selbst dargestellt werden,
welche die geradlinigen Entfernungen ihrer Angriffspunkte von den respectiven Centren angeben. Auf diese Weise bekommt man einfacher
N= Rp sin ( - A ) + R'p'sin ( ç'— A') + ···
In dieser Formel sind die Radien R und p , welche vom Ursprung der
Coordinaten ausgehen, in der xyEbene liegen und den Winkel (❤ — A) einschliessen , Seiten eines Dreiecks , das zur Basis die Projection der Linie p
auf die Ebene der x, y hat ; folglich drückt die Grösse Rp sin ( -A) den
1
Abschn. III, § 2.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
41
doppelten Betrag des Inhalts der Fläche dieses Dreiecks aus ; ähnlich verhält es sich mit den übrigen Grössen.
Da wir aber (Art. 3) y ,
etc. die Winkel genannt haben , welche die
Richtungen der Kräfte P, P' etc. mit der Achse , oder mit zu dieser Axe
parallelen Geraden bilden, so ist klar, dass die Complemente dieser Winkel
die Neigungen der Linien p, p' etc. zur Ebene der x, y sein werden ; p siny,
p'siny', etc. werden also die Projectionen dieser Linien auf die xy Ebene
sein. Fällt man nun vom Ursprung der Coordinaten auf diese Projectionen Lote, die wir II, II' etc. nennen wollen, so hat man
Rp sin (
A) = Пlp siny ; R'p'sin ( ' — A′) =
— Il'p' siny' ; ...
und die Grösse N reduciert sich auf die Form
NIIP siny + II'P' siny' + II" P" siny" +·...
indem man noch an die Stelle von p, p' , p" etc. wieder P, P', P" etc. setzt.
6.
Die Gleichung N = 0 ergiebt also folgenden wichtigen Lehrsatz :
Beim Gleichgewicht eines Systems , welches sich frei um
eine Axe drehen kann , und welches aus Körpern besteht , die auf
irgend eine Art auf einander wirken und zu gleicher Zeit durch
äussere Kräfte angegriffen werden , muss die Summe dieser
äusseren Kräfte , jede Kraft parallel zu einer auf der Drehungsaxe
senkrechten Ebene gemessen , und jede multipliciert mit dem
Lote , welches von der Axe auf die Richtung der auf dieselbe
Ebene projicierten Kraft in einer zu jener Ebene parallelen
Ebene gefällt ist , gleich Null sein , wenn Kräften , die das
System in entgegengesetzten Richtungen zu drehen streben ,
entgegengesetzte Vorzeichen gegeben werden.
Man spricht dieses Theorem gewöhnlich einfacher aus, indem man sagt,
dass die Momente der Kräfte , in Bezug auf eine Axe , sich aufheben müssen , wenn Gleichgewicht um diese Axe stattfinden
soll. Man versteht heute in der Mechanik unter Moment einer Kraft in
Bezug auf eine Linie das Produkt dieser Kraft , geschätzt parallel zu einer
auf dieser Linie senkrechten Ebene , und multipliciert mit ihrem Hebelarm .
Hebelarm ist dabei das von dieser Linie auf die Richtung der Kraft in
derselben Ebene gefällte Lot. In der That hängt die Wirkung der Kraft, ·
welche ein System um eine Axe zu drehen sucht, allein von diesem Momente
ab ; denn wenn man die Kraft in zwei Teile zerlegt, von denen der eine Teil
parallel zur Axe , der andere aber in einer zur Axe senkrechten Ebene
wirkt, so wird nur der letztere im Stande sein, eine Rotation hervorzubringen .
Wir werden folglich dieses Moment das Moment in Bezug auf eine
Rotationsaxe nennen .
7. Der Coefficient N des Gliedes Nde (Art. 5) drückt , wie man sieht,
die Summe der Momente aller Kräfte des Systems aus , in Bezug auf die
Axe der augenblicklichen Rotation de . Ebenso braucht man, um die Summe
42
Abschn. III, § 2.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
aller dieser Momente in Bezug auf irgend eine Axe zu finden , nur die allgemeine Formel
Pdp + P'dp' + P" dp" + ··· ,
welche die Summe der virtuellen Momente aller Kräfte ausdrückt, dadurch
zu transformieren , dass man als eine der unabhängigen Variabelen , den
Rotationswinkel um die gegebene Axe einführt.
Der Coefficient des
Differentials dieses Winkels wird dann die Summe aller Momente in Bezug
1 auf diese Axe sein ; diese Bemerkung kann bei vielen Gelegenheiten von
Nutzen sein.
8. Wenn das System um den Punkt, den wir als Ursprung des Coordinatensystems annehmen, sich in jedem Sinne drehen kann , so muss man
die augenblicklichen Drehungen um die drei Axen der x, y , z zugleich
betrachten, und man wird dann in Bezug auf jede dieser Axen eine ähnliche
Gleichung erhalten , wie diejenige , die wir soeben gefunden haben , und
welche die Eigenschaft der Momente ausdrückt. Indessen wird es nicht
unnütz sein , dasselbe Problem auf eine einfachere und allgemeinere Art
zu lösen.
Dazu sei, wie im Artikel 5,
x = p cos ; y = p sinq ; x = p'cos q' ; y'p' sing'; ...
etc. um dieselbe Differenz de variieren,
Lässt man die Winkel ,
so ist
ydq ; dy = xdq ; dx' = - y'dq ; dy' = x'dq ; ···
dx =
Dies sind die Variationen von x, y, x', y' , wie sie sich aus der Rotation
de des Systems um die z Axe ergeben.
Ebenso wird man die Variationen von y, z, y' ,
etc. erhalten, welche
herrühren aus einer Rotation d um die x Achse, indem man in den vorhergehenden Formeln für x, y, x' , y etc. respective y, z, y
' , z etc. und für do
jetzt de setzt. So bekommt man
= — zd↓ ; dz' = y'd↓ ; ...
dy—— zd4 ; dz = y d↓ ; dy—
Setzt man in diesen Formeln wieder für y, z, y' , z' etc. respective z, x,
z' , x' etc. und für dy jetzt dw , so erhält man die Variationen , welche aus
der Rotation do um die Axe der y herrühren. Diese werden also sein
dz = - xdw ; dx =: zdw ; dz:—— x'dw ; dx' = ' dw ; ···
Finden nun die drei Rotationen zu gleicher Zeit statt , so sind die
totalen Variationen der Coordinaten x, y, z, x' , y' ,
etc. nach den Regeln
der Differentialrechnung gleich den Summen der partiellen Variationen,
welche aus jeder dieser Rotationen hervorgehen , so dass man dann die
folgenden vollständigen Ausdrücke erhält
dx = & dw - y do ; dy = x dx -z dy ; dz = y dy - x dw,
do
-. z'dy ; dz' := y'd❤ — x'dw
dx ' = z'dwy'
x'dq—
»,
dy'' = x'dç
y'dq ;; dy
Abschn. III, § 2.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
43
Substituiert man diese Werte in die allgemeine Formel des Gleichgewichts
(Art. 2), so erhält man die Glieder, welche allein aus den Rotationen dy, dw ,
do um die drei Axen der x , y, ≈ herrühren . Da das System sich frei in
jedem Sinne um den Ursprung der Coordinaten soll drehen können, so müssen
diese Glieder für sich gleich Null sein.
Durch Differentiation folgt nun
(x − a) dx + (y —b) dy + (z -— c) dz
9
p
(x' — a') dx' + (y′ — b′) dy' + (z'— c') dz'¸
dp'=
2
p'
− 2) (dz — dz)
(dx — dx) + (y — y)
ÿ) (dy -- dy) + (≈ (x − x) (dx
dp=
"
P
dp
Führt man die abgeleiteten Beträge der dx, dy, dz, ... in diese Gleichungen ein, so resultirt
(ay — bx) do + (bz — cy) d↓ + (cx — az) dw
p
- c'y
(a'y' — b'x') do
"_ ' ) d↓ + (c'x' — a'z' ) dw
dq + (b'z' ——
dp' =
p
dp =
Indem man für dx, dy, dz etc. die analogen Werte xdw
y de ,
xdp — zdy, ydų - xdw etc. setzt , findet man ferner dp = 0, dp' = 0 etc.
Daraus kann man schliessen, dass die Glieder Pdp, P'dp' etc. derselben
Gleichung, welche aus den inneren Kräften des Systems resultiren, nach
diesen Substitutionen herausfallen.
Man findet aber auch dp = 0 , wenn man a = 0, b = 0, c == 0 macht,
d. h. wenn das Centrum der Kraft P in den Ursprung der Coordinaten fällt,
in diesem Falle wird also die Kraft wesenlos.
9. Sehen wir also ab von den inneren Kräften, wenn solche vorhanden .
sind, und von jeder Kraft, die gegen das Centrum der Coordinaten, den
Punkt, um welchen die Drehung stattfindet, gerichtet ist, so wird man allgemein für alle nach den Linien p, p' etc., P, P' etc., gerichteten Kräfte
die Gleichung haben
Ldy + Mdw + Nd = 0,
woselbst
' — c'y')
L = P(bz - cy) + P' (b'z
+
Ρ
p'
M= P(cx - az) + P' (c'x' a'z') +
Ρ
p'
, P' (a'y' — b'x')
N= Play - bx) +
+
p
p'
44
Abschn. III, § 2.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
ist, und man bekommt für jedes System, das sich frei in jedem Sinne um
den Ursprung der Coordinaten drehen kann, die drei Gleichungen : L = 0 ;
M = 0; N = 0. Diese 3 Gleichungen entsprechen der letzten Gleichung
des Art. 5, wenn man diese nacheinander auf die drei Coordinatenaxen
bezieht.
Denn führt man für die Coordinaten der Kräftecentren an Stelle von
a, b, c, a' etc. die Winkel a, ß, y, a' etc. ein , welche die Richtungen dieser
Kräfte mit den drei Coordinatenaxen bilden, und setzt folglich, wie im Art. 7
des vorhergehenden Abschnittes,
a = x - p cosa; b =
= y — p cosß ; c = z — p cosy
und ähnlich für die andern Grössen, so ergiebt sich
L = P(y cosy - z cos ẞ) + P' (y' cos y'- ' cos ẞ') + ...
a'— x' cos y') + ···
M= P(e cosa - x cos 7) + P' ( ' cos a'NP(x cosẞy cosa ) + P' (x' cos ẞ' - y' cos a') + ···
Da nun Pcosa, Pcosß, Pcosy die Werte der Kraft P sind , geschätzt nach
den Richtungen der drei Axen der x, y, z, so sieht man , dass xPcosß,
- y Pcosa die Momente in Bezug auf die zAxe sind, wobei das Glied y Pcosa
das negative Vorzeichen haben muss, weil die Kraft Pcosa das System in
dem Sinne zu drehen strebt, welche der Drehung durch die Kraft Pcosß
entgegengesetzt ist. Ebenso werden z Pcosa,
xPcosy die Momente in
Bezug auf die yAxe, und y Pcosy, - 2 Pcosß die Momente in Bezug auf die
xAxe sein : dasselbe gilt von den übrigen ähnlichen Ausdrücken . Die drei
Gleichungen L = 0, M - 0 , N = 0 drücken also aus, dass die Summe
dieser Momente in Bezug auf jede der drei Axen gleich Null ist.
Man sieht auch, dass die Coefficienten L, M, N der augenblicklichen
Rotationen de, dw , de nichts anderes als die Momente in Bezug auf die
augenblicklichen Rotationsaxen sind (Art. 7) .
10. Man könnte vielleicht zweifeln, ob die Rotationen um drei CoordinatenAxen genügen, um alle kleinen Bewegungen darzustellen , welche ein System
von Punkten um einen festen Punkt ausführen kann, ohne dass die gegenseitige Lage der Punkte dadurch geändert wird. Um diesen Zweifel zu
heben, wollen wir alle diese Bewegungen auf eine directere Art untersuchen .
Durch den gegebenen Punkt , welcher als Ursprung der Coordinaten
der x, y, z dient, und durch einen andern Punkt des Systems denken wir
uns eine gerade Linie gezogen und legen durch diese Linie und einen
dritten Punkt des Systems eine Ebene. Wir beziehen auf diese Linie und
auf diese Ebene alle übrigen Punkte des Systems in den neuen Coordinaten
x' , y' , z' , welche mit denen der x, y, z denselben Ursprung haben. Es ist
klar, dass diese neuen Coordinaten nur von der gegenseitigen Lage der
Punkte des Systems abhängen, folglich sich nicht ändern werden, wenn das
System seine Lage ändert, und dass nur die ersteren durch diese Lagenänderung variieren.
Abschn. III, § 2.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
45
Die allgemeine Theorie der Transformation der Coordinaten giebt uns
sofort die Relationen zwischen den drei ersteren und den drei letzteren
Coordinaten, nämlich
x = ax' + By + rz' 9
y = a'x' + B'y' + y'a
z = a''x' + ẞ" y' + y″'z'.
Die 9 Coefficienten a , ß , y , a' etc. hängen nur von der respectiven
Lage der Axen beider Coordinatensysteme ab , und müssen immer so beschaffen sein , dass die Coordinaten x , y, z sich auf dieselben Punkte wie
die Coordinaten x' , y
' , ' beziehen, dass folglich die beiden Ausdrücke
x² + y² + z² und x2 + y² + z2'2
identisch sind.
Es ergeben sich hieraus die folgenden 6 Bedingungs-
gleichungen
ß² + ß′² + ß''2 =
— 1;
a" 2 :a² + a¹² + a''²
= 1;
y² + y²² + y''² = 1 ;
aß + a'B' + a" ẞ" = 0 ; ay + x'y' + a " y" = 0 ; By + B'y' + B ″ y" = 0,
so dass unter den neun Grössen a , ß , y , a' etc. noch drei unbestimmt
bleiben.
Wenn die Axen der x' , y' , ' mit denen der x, y, z zusammenfallen,
so hat man
x = x'; y = y'; 2 = 2' ,
folglich
a = 1 , B = 0, y = 0 ; a' = 0, ẞ' = 1 , y' = 0 ; a " = 0 , ẞ" = 0, y" = 1 .
Differentiiert man die vorhergehenden Formeln und macht dann diese Substitutionen, so hat man auf diese Weise das Resultat irgend einer unendlich
kleinen Verrückung des Systems im Raume um einen gegebenen Punkt.
Wir haben jetzt die Ausdrücke von x, y, z unter der Annahme , dass
x', y' , ' constant sind , zu differentiieren, und nach der Differentiation x, y, z
für x' , y', ' zu substituieren ; so bekommen wir
dx = xda + ydẞ + edz 9
dy = xđá thấp tran
dzxda" + ydẞ" + edy" .
Aber die 6 Bedingungsgleichungen ergeben durch Differentiierung und durch
nachherige Substitution der für den Fall x = x' , y = y' , z = e' gefundenen
Werte a = 1 ; ẞ = 0 ; y = 0 etc. ,
da0; dẞ'0 ; dy" = 0 ;
a + đá = 0 ; đy + đá = 0 ; i + đó" = 0,
und daraus folgt
――
đá =
=-dy'.
đôi đá =
= -· dy
0 ; đ "=
d
46
Abschn. III, § 3.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
Substituiert man diese Werte in die Ausdrücke für dx , dy , dz , so erhält man
dx
da —d
- zdẞ";
đa =
đá trd ; dy = x đá
?" ; d = xảy
+ ga " ,
welche mit denen des Art. 8 zusammenfallen, wenn man setzt
da' = do;
dydw ;
dẞ"
dy.
Diese Formeln für die Variationen von x, y, z haben also die ganze
Allgemeinheit , welche sie für unsere Frage haben müssen , und die drei
Gleichungen L = 0, M = 0, N = 0, welche aus dem Verschwinden der mit
dy, dw, do behafteten Glieder der allgemeinen Gleichung des Gleichgewichts
sich ergeben, sind folglich notwendig und hinreichend, um das System um
einen gegebenen Punkt im Gleichgewicht zu erhalten , wenn man von dem
absieht , was von der gegenseitigen Lage der Punkte unter sich abhängt.
Ist diese Lage eine unveränderliche , so hängt das Gleichgewicht nur von
jenen drei Gleichungen ab.
D'Alembert ist der erste , welcher die Gesetze des Gleichgewichts
mehrerer Kräfte , die an einem unveränderlichen System von Punkten angreifen , in seinen Recherches sur la Précession des équinoxes gefunden hat.
Er ist dazu auf eine sehr complicierte Weise gelangt , indem er die Kräfte
zerlegt und wieder zusammensetzte. Später wurden diese Gesetze von verschiedenen Schriftstellern auf einfachere Weise bewiesen , aber unsere
Formeln haben den Vorteil, direct auf sie zu führen.
§ 3. Von der Zusammensetzung der Rotationsbewegungen um verschiedene
Axen, und von den Momenten in Bezug auf Axen.
11. Nimmt man in einem System einen Punkt an , für welchen die
Coordinaten x , y , z proportional dy , dw , de sind , so werden die entsprechenden Differentiale dx, dy , de Null sein , wie man dies aus den
Formeln des Art. 8 unmittelbar ersieht. Dieser Punkt, sowie alle diejenigen,
welche dieselbe Eigenschaft haben , werden also in dem Augenblicke , wo
das System die drei Winkel dy, dw , de beschreibt , indem es sich zugleich
um die Axen der x, y, z dreht , unbewegt bleiben. Es ist aber leicht zu
sehen, dass alle diese Punkte auf einer geraden Linie liegen, die durch den
Ursprung der Coordinaten geht , und mit den Axen der x, y, z Winkel
λ, μ, v bildet, welche so beschaffen sind, dass
do
do
cos μ =
cosλ =
√dy² + dw² + dq²
COSY =
√dy² + dw² + dp²
do
địa + du 2 + đẹp
ist.
Diese so definierte gerade Linie ist die augenblickliche
Momentan- Axe der zusammengesetzten Rotation.
oder
Abschn. III, § 3.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
Führt man an Stelle der Winkel
Abkürzung
, «,
47
die λ, μ, v ein und setzt zur
√ dy² + dw² + dq² = do ,
so wird
dy = do cosλ ; dw = do cosμ ; do = de cosv ;
und die allgemeinen Ausdrücke von dx, dy, dz (Art. 8) gehen über in
dx = (≈ cosμ
y cosv ) do,
dy = (x cosv --- z cosλ) do,
dz = (y cosλx cos µ) do.
Da das Quadrat des von irgend einem Punkte durchlaufenen Weges
dx² + dy² + de2
ist, wird es ausgedrückt durch
[ (≈ cos µ — y cos v)² + (x cos v — z così )² + (y cosλ — x cosµ)²] do²,
und das ist gleich
+ y² + z² — (x cosλ + y cosµ + ≈ cosv) ²] do²,
weil
cos²λ + cos²μ + cos²v = 1
ist.
Es ist nun leicht zu beweisen , dass x cosλ + y cosμ + z cosv = O die
Gleichung einer durch den Coordinatenursprung gehenden Ebene ist , die
senkrecht auf einer geraden Linie steht , welche mit den Axen der x , y , z
die Winkel λ , µ , v bildet ; der von irgend einem Punkte dieser Ebene beschriebene kleine Weg ist also
do • √/x² + y² + 2²,
und da die augenblickliche Rotationsaxe senkrecht auf dieser selbigen Ebene
steht , so folgt , dass de der Winkel der Rotation um diese Axe sein wird ,
die aus den drei partiellen Rotationen dy, dw, de um die drei Coordinatenaxen zusammengesetzt ist.
12. Es folgt daraus, dass irgend welche momentane Rotationen dy, dw,
do um drei Axen , welche sich in einem Punkte unter rechten Winkeln
2
schneiden, sich zu einer einzigen Rotation do = √/dy² + dw² + doª zusammensetzen lassen, welche um eine Axe stattfindet, die durch denselben Schnittpunkt geht und mit jenen Axen Winkel λ, j , v bildet, welche bestimmt sind
durch
dw
dy
de
COS Y =
cos a =
cosμ =
do ;
do
do
Umgekehrt folgt auch, dass irgend eine Rotation do um eine gegebene
Axe sich in drei partielle Rotationen zerlegen lässt , die durch cosλdo,
48
Abschn. III, § 3.
Gleichgewicht eines Systems von Körpern etc.
cosμdo , cosvdo ausgedrückt werden , und um drei Axen erfolgen , die sich
rechtwinklig in einem Punkte der gegebenen Axe schneiden , und welche
mit dieser Axe die Winkel λ, µ, v bilden. Wir haben so ein sehr einfaches
Mittel, die momentanen Bewegungen oder die Rotationsgeschwindigkeiten zu
zerlegen und zusammenzusetzen. Nimmt man nämlich drei andere zu einander rechtwinklige Axen , welche mit der Rotationsaxe de die Winkel X',
X", "" ; mit der Rotationsaxe do die Winkel p' , u' , u'" ; und mit der Ro'tationsaxe de die Winkel v' , v" , y'" bilden , so lässt sich die Rotation de in
die drei Rotationen zerlegen , cosλ'dy , cosλ" dy , cos "" dy , welche um diese
neuen Axen stattfinden ; ebenso lässt sich die Rotation do in die drei Rotationen cosp'dw , cosµ" dw , cosp "" dw , und die Rotation de in die drei
Rotationen cosv'de , cosv'de , cosv"" do zerlegen , welche um dieselben Axen
stattfinden. Addiert man die Rotationen um eine und dieselbe Axe und bezeichnet mit de' , do" , do''' die totalen Rotationen um die drei neuen Axen ,
so folgt
do' = cos ' d + cosµ' dw + cosv' do,
cost" d + cos p" do + cosv" do ,
do"
cos " d + cosμ"" dw + cosy"" do.
do"
13. Die Rotationen dy , dw , de sind also auf diese Weise auf drei
Rotationen do' , do" , do"" zurückgeführt , welche um drei neue zu einander
rechtwinklige Axen stattfinden ; diese müssen also durch Zusammensetzung
dieselbe Rotation do ergeben , welche aus den Rotationen dy, dw, do resultiert, so dass man hat
1112
d0² = do'² + do″ ² + do''' ² = d↓ ² + dw² + dy²
und da die letztere Gleichung eine identisch erfüllte sein muss , so folgt,
dass wir haben
cos² X' + cos² X” + cos² X"" = 1 ,
cos2u'+ cos2 " + cos2μ"" = 1,
cos² v' + cos² v'' + cos² v'"' = 1 ,
cos X'cosμ' + cos " cosµ" + cos ""' cos µ"":= 0,
cos X'cos + cos λ" cos v" + cos X''' cos v"" =
= 0,
cos p'cos v'+ cos p" cos v" + cosp" cos v'" = 0,
was sich auch auf geometrischem Wege ergiebt.
Durch diese Relationen kann man sogleich auch umgekehrt die Werte
von dy, dw, de ausgedrückt durch do', do " , do' ' erhalten. Man multipliciert
die Gleichungen für do', do" , do"" nach einander mit cosλ' , cos ", cosλ"",
cosμ' , cosu" etc. und addiert die so erhaltenen Werte ; man findet dann
dy = cos λ'de' + cos λ" do" + cos X'''de""',
dw = cos p'd0' + cos µ" d0" + cosμ " do" ,
do = cos v'do' + cos v'do" + cos v'''do"" .
Abschn. III, § 3.
Allgem. Eigenschaften des Gleichgewichts etc.
49
14. Bezeichnet man ferner mit ' , π" , "" die Winkel , welche die Axe
der zusammengesetzten Rotation do mit den Axen der drei partiellen
Rotationen do' , do" , de" bildet, so hat man, wie im Art. 11
do'
cos'do ; do"
cos " do ;
do " = cos ""'de,
und wenn man in den oben (Art. 12) erhaltenen Ausdrücken von do ' , do" ,
do" für dy, dw, dp (nach Art. 11 ) ihre Werte cosλdo , cosµdo , cosvde einsetzt, ergiebt die Vergleichung dieser verschiedenen Ausdrücke von do', do " ,
de" nach Division mit de die folgenden neuen Relationen
COS π' = cosλ cos
cosμ cosμ' + cosy cosy 9
COST" = cosλ cosλ" + cosμ cosμ" + cosy Cosv" ?
. "" + cos y cosy"" ,
cos " = cosλ cos " + cosμ cosp
die sich auch auf geometrischem Wege verificieren lassen.
15. Man ersieht daraus, dass diese Zusammensetzungen und Zerlegungen
von Rotationsbewegungen denen der geradlinigen Bewegungen ganz
analog sind.
Nimmt man auf den drei den Rotationen dy , dw , de entsprechenden
Axen von deren Schnittpunkte aus Linien an , die respective proportional
dy, dw, de sind, und construiert über diesen drei Linien ein rechtwinkliges
Parallelepipedon, so ersieht man leicht, dass die Diagonale dieses Parallelepipedons die Axe der zusammengesetzten Rotation de bildet, und zu gleicher
Zeit in der Länge dieser Rotation de proportional ist. Daraus und aus dem
Umstand , dass die Rotationen um eine und dieselbe Axe , je nachdem sie
in demselben oder in entgegengesetztem Sinne gerichtet sind, sich wie Bewegungen, welche gleiche oder entgegengesetzte Richtungen haben, addieren
oder subtrahieren lassen, muss man schliessen, dass die Zusammensetzung
und Zerlegung von Rotationsbewegungen auf dieselbe Weise vor sich geht
und denselben Gesetzen folgt, wie die Zusammensetzung und Zerlegung der
geradlinigen Bewegungen ; man hat nur für die Rotationsbewegungen geradlinige Bewegungen zu setzen, welche die Richtung der Rotationsaxen haben .
16. Wenn man jetzt in den Ausdruck des Art. 9
Ldy + Mdw + Nd?,
welcher die von den Rotationen de , dw , de herrührenden Glieder des
allgemeinen Ausdrucks Pdp + P'dp' + P'dp" + ... enthält, für dy, dw, de
die im Art. 13 gefundenen Ausdrücke einsetzt, so geht er über in
( L cos )’ + MI cos
+ N cosv ) 0
+ (L cos " + M cosp" + Ncos " )d0"
+ (L cos "" + M cos p" + Ncosv ") do" .
Nach Art. 7 werden also die Coefficienten der Winkelelemente do' ,
do" , do'' die Summen der Momente in Bezug auf die zu den Rotationen
do' , do" , do" gehörigen Axen ausdrücken . Demnach geben auf drei rechtLagrange, Analytische Mechanik.
50
Abschn. III, § 3. Allgem. Eigenschaften des Gleichgewichts etc.
winklige Coordinaten bezogene Momente L, M, N, wenn sie auf drei andere
rechtwinklige Axen bezogen werden , welche mit jenen resp. die Winkel X' ,
j ', v '; 2" , je'' , v'' ; λ''' , µ''' , v''' bilden, die neuen Momente
I cosλ
' + M cos μ' + N cos ' 9
L cos " + M cos μ" + N cosv" 9
L cos "" + M cosu"
" + Ncos v"" .
Einen geometrischen Beweis für diesen Satz findet man in den Nova
Acta der Petersburger Academie Bd . VII.* )
17. Nimmt man an, dass die Rotationen dy, dw, de proportional L, M,
N sind, und setzt
H= √√L² + M² + N²,
so hat man nach Art. 11
L = Hcosλ; M = Hcosp; N = H cosy,
und die drei Momente , für die wir oben ihre Ausdrücke gefunden haben,
reducieren sich, vermöge der Relationen des Art. 14, auf die einfache Form
HCOST'; Hсos "; Hсos "".
Nun sind ', π " , "" die Winkel, welche die Axen der Rotationen do' ,
do", do" mit der Axe der zusammengesetzten Rotation do bilden . Lässt
man die Axe der Rotation do' mit der Axe der Rotation de zusammenfallen ,
so hat man ' = 0 , und " , " sind beide gleich einem Rechten ; folglich
wird das Moment um diese hervorgehobene Axe einfach H sein , und die
beiden andern Momente um Axen , welche senkrecht auf dieser stehen,
werden verschwinden .
Daraus schliesst man, dass Momente von den Beträgen L, M, N, welche
sich auf drei rechtwinklige Axen beziehen , sich zu einem einzigen Moment
2
vom Betrag H = √L² + M² + N² zusammensetzen lassen, welches sich auf
eine Axe bezieht , die mit den Axen der Teilmomente L, M, N solche
Winkel λ, μ, v bildet, deren Cosinus durch die Gleichungen
cosλ =
M
L
=
H ; cosμ
H
COSV =
N
H
bestimmt sind.
Dies sind die über die Zusammensetzung der Momente von Rotationen
bekannten Lehrsätze ; und es ist offenbar, dass diese Zusammensetzung nach
denselben Regeln geschieht , wie die der geradlinigen Bewegungen. Man
hätte sie unmittelbar aus der Zusammensetzung der augenblicklichen
Rotationen herleiten und dann an Stelle der Rotationen die sie hervorbringenden Momente setzen können , wie Varignon die Kräfte für die
geradlinigen Bewegungen gesetzt hat.
*) Der Beweis ist von Euler.
Abschn. III, § 4.
Eigenschaften in Bezug auf den Schwerpunkt.
51
§ 4. Eigenschaften des Gleichgewichts in Bezug auf den Schwerpunkt.
18. Nimmt man an , dass die in den Formeln des Art. 9 vertretenen
Kräfte P, P', P" etc. alle in unter einander parallelen Richtungen wirken ,
so ist
a = a' = a" = · · · , B = ß' = ?" — · · · , y = 7'
y' = y''
y" = ···;
es werden dann, wenn man zur Abkürzung setzt
X = Px + P'x' + P" x" + ...
Y = Py + P'y' + P'y' + ...
Z = Pz + P'z' + P" z" +
die Grössen L, M, N
LY cosy - Z cosß,
M = Z cosa - X cosy,
NX cosẞ - Y cosa.
Die Bedingungen für das Gleichgewicht sind L = 0; M = 0 ; N = 0.
Nun ist allerdings in diesem Falle die dritte dieser Gleichungen eine Folge
der beiden ersten , aber da als weitere Beziehung ausserdem cos2a + cos2ẞ
+ cos2y = 1 (Abschnitt II , Art. 7) hinzukommt , so wird man durch diese
Gleichungen die Winkel a , ẞ, y doch bestimmen können . In der Tat
findet man
X
cos α =
9
√ X² + Y² + Z²
Y
cosẞ =
X² + Y² + Z²
COSY =
Ꮓ
2
X² + Y² + Z²
Ist also die Stellung der Körper zu drei Axen gegeben, so muss, damit
jede Rotationsbewegung des Systems aufgehoben sei , das System in Bezug
auf die gemeinsame Richtung der Kräfte eine solche Lage haben, dass diese
Richtung mit den Axen gerade die Winkel a, ß, y bildet, deren Cosinus wir
soeben bestimmt haben .
19. Wären die Grössen X, Y, Z gleich Null , so blieben die Winkel
a, ß, unbestimmt, und das System könnte in Ansehung der Richtung der
Kräfte jede beliebige Lage einnehmen. Hieraus ergiebt sich folgender
Lehrsatz :
Wenn die Summe der Produkte paralleler Kräfte in ihre bezüglichen Entfernungen von dreien auf einander senkrechten
Ebenen für jede dieser Ebenen gleich Null ist, so wird die
Thätigkeit der Kräfte , um das System um den gemeinschaftlichen
Durchschnittspunkt dieser Ebenen zu drehen , aufgehoben.
52
Abschn. III, § 4.
Eigenschaften in Bezug auf den Schwerpunkt.
Bekanntlich wirkt die Schwere in parallelen Richtungen und im Verhältnis der Masse ; sucht man daher in einem Systeme von schweren Körpern
einen Punkt, der so beschaffen ist, dass die Summe der betreffenden Massen
multipliciert mit ihren Entfernungen von einer durch , diesen Punkt gehenden
Ebene gleich Null ist, und dass dies für drei zu einander senkrechte Ebenen
der Fall ist, so wird derselbe die Eigenschaft haben, dass die Schwere dem
System keine Umdrehungsbewegung um ihn mitteilen kann. Mau nennt
diesen Punkt, der von einem ausgedehnten Nutzen in der ganzen Mechanik
ist, den Schwerpunkt des betreffenden Systems.
Um diesen Punkt zu bestimmen, hat man nur die Entfernung desselben
von drei auf einander senkrechten gegebenen Ebenen zu suchen . Die
Summe der Produkte der Massen in ihre Entfernungen von einer durch den
Schwerpunkt gehenden Ebene soll gleich Null sein, folglich wird die Summe
der Produkte eben dieser Massen in ihre Entfernungen von einer andern,
der vorigen parallelen Ebene notwendig dem Produkte der Summe aller
Massen in die Entfernung des Schwerpunktes von eben dieser Ebene gleich
sein. Man erhält also diese Entfernung, wenn man die Summe der Produkte
der Massen in ihre Entfernungen durch die Summe der Massen selbst
dividiert. Hieraus entspringen die bekannten Formeln für die Berechnung
der Lage des Schwerpunktes bei Linien , Flächen und Körpern.
20. Es giebt aber eine Eigenschaft des Schwerpunktes, welche weniger
bekannt ist und vielleicht bei einigen Gelegenheiten nützlich sein kann,
weil sie von der fremden Betrachtung der Ebenen, auf welche man die verschiedenen Körper des Systems bezieht , unabhängig ist und weil sie dazu
dienen kann , den Schwerpunkt der Körper einfach aus deren Lage gegen
einander abzuleiten . Sie lässt sich in folgender Weise festsetzen .
Es sei A der Quotient, den man erhält , wenn man die Summe der
Produkte je zweier Massen, multipliciert in das Quadrat ihres gegenseitigen
Abstandes, durch das Quadrat der Summe der Massen dividiert.
Es sei ferner B die Summe der Produkte der einzelnen Massen in die
Quadrate ihrer Entfernungen von irgend einem gegebenen Punkte , diese
Summe dividiert durch die Summe der Massen.
Man erhält dann , wie weiter unter bewiesen wird ,
B - A als Entfernung des Schwerpunktes aller Massen von dem gegebenen Punkte . Die
Grösse A hängt von der Lage dieses Punktes nicht ab. Bestimmt man
also nur die Werte von B in Bezug auf drei verschiedene Punkte, die man
beliebig in dem System oder ausserhalb desselben wählen kann, so bekommt
man auch die Entfernungen des Schwerpunktes von diesen drei Punkten
und folglich auch seine Lage in Bezug auf diese Punkte. Wenn die Körper
alle in derselben Ebene liegen, genügt es, zwei Punkte zu betrachten ; und
ein einziger Punkt genügt , wenn alle Körper in einer gegebenen geraden
Linie sich befinden.
Nimmt man die gegebenen Punkte in den Körpern des Systems selbst,
so wird (weil dann auch die zur Bildung von B erforderlichen Entfernungen
Abschn. III, § 4.
Eigenschaften in Bezug auf den Schwerpunkt.
53
relativ werden) die Lage des Schwerpunktes allein durch die Massen und
ihre gegenseitigen Entfernungen gegeben sein . Hierin besteht der hauptsächlichste Vorteil dieser Methode, den Schwerpunkt zu bestimmen .
Um diese Eigenschaft des Schwerpunktes zu beweisen , nehme ich wieder
die in Art. 18 gegebenen Ausdrücke von X, Y, Z auf und bilde , indem ich
drei weitere willkürliche Grössen f, g, h einführe , die folgenden leicht zu
verificierenden identischen Gleichungen
[X- (P + P + P" + · · ·) f ] ²
= (P + I' +P'' + · · · ) [ P (x — f ) ² + P' (x' — f)² + P" (x" — f) ² + ··· ]
-x')²— PP" (x — PP'(x —
— x" ) 2— P' P'' (x' -- x″ ) ? — ...
[Y— (P + P'+ P" + · · ·) g]²
=
= ( P + P' + P' + · · ·) [ P (y — g) ² + P′ (y'— g) ² + P" (y" — g)² + .. •]
-...
- PP' (y — y' ) ² — PP" (y — y' ') ª— P' P'' (y'— y'') ² —
[Z− (P + P' + P'' + · · · )h]²
= (P + P'+ P" + ·· ·) [ P(≈ — h) ² + P' (z' — h)² + P" (z
' ' — h) ² + ···]
- PP' (2- ) — PP" (≈ — 2' ') ² - P' P'' ( '— '')? — ...
Die Grössen P, P', P" etc. stellen die Gewichte oder die Massen der
Körper dar, die jenen proportional sind, und die Grössen x, y, z, x', y' , z' ,
x" etc. sind die rechtwinkligen Coordinaten dieser Körper. Nun haben wir
gesehen (Art. 19), dass, wenn der Ursprung der Coordinaten im Schwerpunkt
liegt, die drei Grössen X, Y, Z Null sind. Setzt man also in den drei
vorhergehenden Gleichungen X = 0 ; Y = 0 ; Z = 0, addiert sie und macht
zur Abkürzung
f² + g² + h² = r²,
(x − f)² + (y − g)² + (≈ − h)² = (0)2,
(x' — f)²
+ (y' — g) ²
( " -f)²
+ (y" — g)²
+ (≈′ − h)² =
+ (2″ —1)² =
( 1)²,
(2)2,
(x − x')² + (y- y' ) ² + (≈ — z' ) ² = (0,1 ) ²,
(x − x' ')² + (y — y' ') ² + (≈ — 2' ' )² = (0,2) ²,
(x' — x'')² + (y' — y'' ) ² + (≈′ — ≈′ ′ )² = ( 1,2) ²,
so folgt nach Division mit (P + P' + P' + ...)2
=P(0)² + P' ( 1 )² + P" (2) ² + ...
P + P + P" + ···
PP'(0,1 )² +PP" (0,2) ² + P′P'' (1,2)² +
(P + P' + P" + ···)²
Nimmt man jetzt die drei Grössen f, g, h als rechtwinklige Coordinaten
eines gegebenen Punktes an , so ist klar , dass r die Entfernung dieses
Punktes vom Schwerpunkt ist, wenn dieser im Anfangspunkt der Coordinaten
angenommen wird , dass ferner (0) , ( 1 ) , ( 2) etc. die Entfernungen der
Gewichte P, P' , P" etc. von demselben Punkte sein werden, und dass (0,1) ,
54
Abschn. III, § 5.
Maxima und Minima.
(0,2) , ( 1,2) etc. bezw. die Entfernungen zwischen den Körpern oder Gewichten P und P', P und P" , P' und P" etc. sein werden. Die obige
Gleichung wird also
r² = BA,
folglich
r = √B - A.
21.
§ 5. Maxima und Minima beim Gleichgewicht.
Wir wollen jetzt Maxima und Minima in Betracht ziehen , die
beim Gleichgewicht stattfinden können, und in dieser Hinsicht die allgemeine
Bedingung
Pdp + Qdq + Rdr +
0,
für das Gleichgewicht zwischen den nach den Linien p, q, r etc. wirkenden
Kräften P, Q, R etc. (Abschn. 2, Art. 4) wieder vornehmen.
Wir machen die Voraussetzung, dass die wirkenden Kräfte so beschaffen
sind, dass die Grösse Pdp + Qdq + Rdr + ... ein volllommenes Differential
einer Funktion von p , q , r etc. ist ; drückt man diese durch II aus , so soll
also dПl :=·Pdp + Qdq + Rdr +
sein, und man hat alsdann im Gleichgewicht die Gleichung dII = 0.
Hieraus sieht man, dass das System im Gleichgewicht eine solche Lage
haben muss , dass die Funktion II , allgemein geredet , entweder ein
Maximum oder ein Minimum ist.
Ich sage mit Vorbedacht : allgemein geredet , denn man weiss , dass,
wenn ein Differential = O ist , dies nicht immer ein Maximum oder ein
Minimum andeutet, wie man aus der Theorie der krummen Linien ersieht.
Die gemachte Voraussetzung trifft allgemein zu , wenn die Kräfte P,
Q , R etc. wirklich nach äusseren festen Punkten hin oder nach Körpern
des Systems selbst hin wirken und beliebigen Funktionen der Entfernungen
proportional sind ; dies ist aber in der Natur gewöhnlich der Fall .
Bei dieser Annahme über die Kräfte wird also das System im Gleichgewicht sein , wenn die Funktion II ein Maximum oder Minimum ist , und
hierin besteht das Prinzip , welches Maupertuis unter dem Namen des
Gesetzes der Ruhe bekannt gemacht hat.
Betrachtet man nun ein System von im Gleichgewicht befindlichen
schweren Körpern , so sind die Kräfte P, Q , R etc. , die von der Schwere
herrühren , wie wir bereits wissen , den Massen der Körper proportional und
constant , und die Entfernungen p, q, r etc. sind nach dem Mittelpunkt der
Erde gerichtet. In diesem Falle hat man daher
Пl = Pp
Qq + Rr +
und es wird folglich , da die Linien p, q, r etc. in diesem Fall als parallel
angesehen werden, die Grösse
II
P + Q + R +...
Abschn. III, § 5.
Maxima und Minima.
55
3399
die Entfernung des Schwerpunkts des ganzen Systems vom Mittelpunkt der
Erde ausdrücken. Diese Entfernung muss also entweder ein Maximum oder
ein Minimum sein , wenn das System sich im Gleichgewicht befinden soll ;
sie ist z. B. ein Minimum bei einer Kettenlinie , ein Maximum bei Körpern ,
die sich dadurch gegenseitig halten , dass sie zu einem Gewölbe aufgeschichtet
sind. Dieses Prinzip ist schon lange bekannt.
22. Denkt man sich jetzt das System in Bewegung, und drückt durch
u', u' , u'" etc. die Geschwindigkeiten , durch m ' , m", m"" etc. aber die
respectiven Massen der verschiedenen Körper , die das System ausmachen,
aus , so verschafft das Gesetz der Erhaltung der lebendigen Kräfte ,
von dem wir im zweiten Teil einen direkten und allgemeinen Beweis geben
werden, folgende Gleichung
Const. - 211.
m'u'² + m'u''2 + m'"' u'"'2 + ...
Weil aber im Zustande des Gleichgewichts die Grösse II entweder ein
Minimum oder ein Maximum ist, so besagt die obige Gleichung , dass auch
die Grösse m'u'² + m" u"¹² + m "" ""'2+ etc. , welche die lebendige Kraft des
ganzen Systems ausdrückt , ein Maximum oder ein Minimum ist, und hierin
besteht ein weiteres Prinzip der Statik , dass nämlich unter allen
Lagen , die ein System annehmen kann , diejenige , in welcher die
lebendige Kraft am grössten oder kleinsten ist , zugleich auch
die Lage ist , in welche man das System vor allen anderen
setzen muss , wenn es im Gleichgewicht bleiben soll .*)
23. Wir haben eben gesehen , dass die Funktion II ein Minimum oder
ein Maximum ist, wenn die Lage des Systems so beschaffen ist, dass Gleichgewicht vorhanden ist ; jetzt wollen wir beweisen, dass, wenn diese Funktion
ein Minimum ist , alsdann das Gleichgewicht Stabilität hat, in der Weise,
dass das System , wenn es sich Anfangs im Zustande des Gleichgewichts
befunden hat und hernach ein wenig von diesem Zustande abgebracht wird ,
von selbst wieder in jenen Zustand zu gelangen sucht , indem es um denselben unendlich kleine Oscillationen macht, und dass im Gegenteil in dem
Falle , wo jene Funktion ein Maximum ist , das Gleichgewicht nicht stabil
ist , sondern dass , wenn dasselbe alsdann einmal gestört ist , das System
Oscillationen auszuführen vermag , die nicht unendlich klein sind , und die
es immer mehr von seinem ersten Zustande abbringen können.
Um diesen Satz auf eine allgemeine Art darzuthun , erwäge ich , dass
die Lage des Systems - d . h. die Lage der verschiedenen Körper, die dasselbe ausmachen, welche Form dieses System auch hat, allezeit durch eine
gewisse Anzahl von veränderlichen Grössen bestimmt ist , und dass die
Grösse II eine gegebene Funktion eben dieser veränderlichen Grössen sein
wird. Gesetzt nun , im Zustande des Gleichgewichtes seien die eben genannten veränderlichen Grössen gleich a, b , c etc. und bei einem demselben
sehr nahe kommenden Zustande seien sie (a + x) , (b + y), (c + z) etc. , wo
*) Man sehe die Mémoires de l'Académie des Sciences 1748 und 1749.
56
Abschn. III, § 5.
Maxima und Minima.
die Grössen x, y, z etc. sehr klein sind, so bekommt die Funktion II , wenn
man diese letzteren Werte in den vorigen Ausdruck für dieselbe substituiert,
und nach Potenzen von x, y, z etc. entwickelt, folgende Form
A + Bx + Cy + Dz + ...
··
II :
+ Fx² + Gxy + Hy² + Kxz + Lyz + Mz² +
wo die Grössen A, B, C etc. als Funktionen der a, b, c etc. gegeben sind.
Nun muss im Zustand des Gleichgewichts dII = O sein , durch welche
Veränderung der Lage auch die Variation von IП hervorgebracht sein mag,
es muss also auch dII = 0 sein für x = y = 2 = 0. Bildet man aber die
Variation von II in Bezug auf x , y, z , so bleiben die Faktoren der ersten
Potenzen von x, y, z, die B, C, D, ... für sich stehen, sie müssen daher
auch für sich verschwinden , folglich haben wir B = 0 , C = 0 , D = 0 etc.
Man bekommt daher für einen dem Gleichgewicht sehr nahen Zustand
folgenden Ausdruck für II
ПI = A + Fx² + Gxy + Hy² + Kxz + Lyz + M2² + etc. ,
in welchem man , so lange die veränderlichen Grössen x , y , z etc. sehr
klein sind, nur ihre zweiten Dimensionen zu berücksichtigen braucht.
24. Soll nun die Grösse II unter allen Umständen gerade dann ein
Minimum sein, wenn x, y, z etc. Null sind, so muss die Funktion
Fx² + G x
+ Hy² + Kxz + Lyz + My² + etc.,
die ich mit X bezeichnen will, allezeit positiv sein, die Werte der veränderlichen Grössen x, y, z etc. mögen beschaffen sein, wie sie wollen.
Es lässt sich aber diese Funktion auf die Form bringen
X = ƒ¢² + gn² + hl² + ··· ,
wenn man setzt
f= F,
Ke
Gy
+
+
2f
2f
G2
9=A
"
4f
GK 2
+
n= y + 1
2f 2g
K2
L2
h= M2
4f 4g
2+
&
x+
Daher müssen , wenn X positiv sein soll , die Coefficienten f, g, h etc.
positiv sein, und man sieht zu gleicher Zeit, dass, wenn diese Coefficienten
positiv sind, der Wert von X notwendig positiv sein muss , da die Grössen
etc. reell sind, wenn die Variabeln x, y, z etc. es sind.
,,
Abschn. III, § 5.
Maxima und Minima.
57
Wenn dagegen die Grösse II gerade ein Maximum sein soll , wenn x,
y, z etc. Null sind, so muss X beständig negativ sein, und folglich müssen
die Coefficienten f, g, h etc. negativ sein , und umgekehrt , sind diese
Coefficienten negativ , so folgt daraus , dass der Wert von X notwendig
negativ ist.
25. Mit dem so unter alleiniger Berücksichtigung der zweiten Dimensionen
der sehr kleinen Grössen x, y, z etc. resultierenden Ausdruck
П] = A + fe² + gn² + hl² + ···
geht die Gleichung für die Erhaltung der lebendigen Kräfte (Art. 22)
über in
M'u'2 + M'u''² + M'"' u'"'2 + ...
11..
Const. - 2A — 2ft² — 2gn² — 2hl² — ·
Um die Constante dieser Gleichung zu bestimmen , beachten wir , dass
im Gleichgewichtszustande nach der Voraussetzung
x = 0; y = 0; 2 = 0 ; ...
also auch nach den im voraufgehenden Artikel gegebenen Formeln
= 0; n = 0; % = 0 ; ...
ist.
Wenn man demnach voraussetzt , dass man das System dadurch aus
diesem Zustande entfernt, dass man den Körpern M', M" , M"" etc. die sehr
kleinen Geschwindigkeiten V' , V" ,
"" etc. erteilt, so muss u' = V ';
= 0 ; % = 0 etc. ist. Folglich
u" = V" ; u"" = "" etc. sein, wenn = 0 ;
hat man
M'V'2 + M" V" ² + M'"' V""'2 + ··· = Const. — 2A,
und die willkürliche Constante ist bestimmt.
Die vorhergehende allgemeine Gleichung wird aber
2ft² + 2gn² + 2hC² +
· M' V'² + M" V" 2 + M""' V'''2 +
1112
— (M'u'² + M" u''² + M""' u""' ² + ··· )
und hieraus kann man die folgenden beiden Schlüsse ziehen :
1. In dem Falle, dass II ein Minimum ist, in welchem Falle die Coefficienten f, g, h etc. positiv sind, wird die stets positive Grösse
...
2f2 + 2gn² + 2hC² + ···
notwendig kleiner sein müssen und höchstens gleich sein können der gegebenen Grösse M'V'² + M" V" ² + M"" V '''' + · · · , welche selbst sehr
klein ist ; nennt man diese Grösse T, so wird man folglich für jede der
Variabeln , 7,
etc. die Grenzwerte haben
T
T
土
2g
Τ
2h
58
Abschn. III, § 5.
Maxima und Minima.
zwischen denen ihre Beträge notwendig eingeschlossen sein müssen. Es
folgt also , dass für diesen Fall das System sich nur sehr wenig aus dem
Gleichgewichtszustand entfernen und nur sehr kleine Oscillationen von ganz
bestimmter Ausdehnung machen kann .
2. In dem Falle, dass II ein Maximum ist, in welchem Falle die Coefficienten f, g, h etc. sämmtlich negativ sind , wird die stets positive Grösse
-2f2-2gn² — 2hl?
ins Unendliche wachsen können, und das System wird sich mehr und mehr
aus seinem Gleichgewichtszustande entfernen . Wenigstens lässt die obige
Gleichung erkennen , dass in diesem Falle nichts die Variabeln E, n,
etc.
hindert , immer grösser und grösser zu werden , aber es folgt daraus noch
nicht, dass diese Variabeln immer mehr und mehr zunehmen müssen ; wir
werden diesen letzteren Lehrsatz im VI. Abschnitt der Dynamik beweisen.
Wenn alle Coefficienten f, g, h etc. Null sind , so wissen wir aus der
Methode der Maxima und Minima , dass für die Existenz eines Maximums
oder Minimums auch die Glieder der dritten Dimension verschwinden,
und diejenigen von der vierten Dimension beständig positiv oder negativ
sein müssen. Auf diese Weise kann man über die Stabilität eines durch das
Verschwinden der Glieder erster Dimension von Пl gekennzeichneten Gleichgewichts auch dann urteilen, wenn die Glieder zweiter Dimension zu gleicher
Zeit verschwinden sollten .
26. Uebrigens sind diese Eigenschaften der Maxima und Minima, welche
beim Gleichgewicht eines Systems beliebiger Kräfte auftreten , nur eine unmittelbare Folge des Beweises , den wir am Ende des ersten Abschnittes vom
Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten gegeben haben.
Es sei nämlich p die Entfernung zwischen den beiden ersten Rollen,
von denen die eine fest, die andere beweglich ist , die aber durch P Seilwindungen verbunden sind, welche eine Kraft hervorbringen, die proportional
zu P ist , und welche man einfach durch P darstellen kann , indem man
das Gewicht, welches an dem Seile wirkt, zur Einheit nimmt; es sei ferner q
erzeugen , ✈ die
die Entfernung zwischen zwei Rollen , welche die Kraft
Entfernung zwischen zwei andern, welche die Kraft R erzeugen etc., so ist
klar , dass Pp die Länge des Seiles sein wird , welches die beiden ersten
Rollen umfasst ; ähnlich werden Qq, Rr etc. die Längen der Teile des Seiles
sein, welche die anderen Rollen umfassen , so dass die ganze Länge des die
festen und beweglichen Rollen umfassenden Seiles durch
Pp
Qq
Rr + ...
···
angegeben wird.
Wir wollen zu dieser Länge noch die Länge a der verschiedenen Seilteile addieren, welche sich zwischen denjenigen festen Rollen befinden , die
wir , um dem Seil die nötigen Richtungen beim Uebergang von einem
Flaschenzug zum anderen geben zu können , hinzufügen müssen ; ferner
Abschn. III, § 5.
Maxima und Minima .
59
wollen wir noch den Teil dazu nehmen, der sich zwischen der letzten , die
Seilrichtung ändernden Rolle und dem am Ende des Seils angebrachten
Gewichte befindet. Ist dann u die Länge dieses letzten Seilstücks , 7 die
gesammte Länge des Seils , dessen erstes Ende an einem unbeweglichen
Punkte festgemacht ist , und dessen anderes Ende das Gewicht trägt , so
wird also
1 = Pp
Qq + Rr +
+ a + u,
woraus folgt
u= l - a
-
Pp
Qq
Rr
...
Nehmen wir nun an, dass (für die betreffende virtuelle Verrückung) die
Kräfte P, Q, R etc. constant, d . h. unabhängig von p, q, r etc. sind, was
beim Gleichgewicht, wo man nur unendlich kleine Verrückungen betrachtet,
stets erlaubt ist, so ist klar, dass Pp + Qq + Rr + ... dieselbe Grösse sein
wird , die wir in Art. 21 mit II bezeichnet haben; man hat also allgemein
u = 1 - a - 11,
П,
wound a Constanten sind .
27. Jetzt ist klar, dass , da das Gewicht so weit wie möglich zu fallen
strebt, nur dann Gleichgewicht stattfinden kann , wenn der Wert von u,
welcher die Fallstrecke des Gewichts, von der festen Rolle ab gerechnet, ausdrückt, ein Maximum ist , und dass folglich derjenige von II ein Minimum
sein wird; man sieht zu gleicher Zeit, dass in diesem Falle das Gleichgewicht
ein stabiles sein wird, weil irgend eine kleine Aenderung in der Lage des
Systems nur ein Steigen des Gewichts hervorrufen kann, so dass dieses dann
wieder herabzufallen und das System wieder in den Gleichgewichtszustand
zu versetzen streben muss.
Wir haben aber gesehen, dass für das Gleichgewicht nur die Bedingung
= 0 und folglich du = O erfüllt zu sein braucht. Diese Bedingung
kann aber auch dann erfüllt sein , wenn der Wert von u ein Minimum ist,
in welchem Falle das Gewicht anstatt am tiefsten, am höchsten sich befindet.
Alsdann ist es aber klar , dass eine kleine Aenderung in der Lage des
Systems nur ein Herabfallen des Gewichts verursachen kann , welches dann
nicht wieder aufzusteigen , sondern noch mehr zu sinken und das System
aus seinem Gleichgewichtszustande zu entfernen streben muss. Daraus folgt
also , dass , wenn u ein Minimum ist, das Gleichgewicht kein stabiles sein
kann; ist es einmal gestört , so strebt das System auch nicht mehr , diesen
Gleichgewichtszustand wieder anzunehmen.
Abschnitt IV.
Ueber eine einfachere und umfassendere Methode, von
der
allgemeinen
Bedingungsgleichung
gewichts
des
Gleich-
Gebrauch zu machen.
1. Diejenigen, die bisher über das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten
geschrieben haben, bemühten sich mehr, die Wahrheit, dieses Gesetzes durch
die Uebereinstimmung seiner Resultate mit denen der gewöhnlichen Grundsätze der Statik zu beweisen, als den Nutzen zu zeigen , den man aus ihm
ziehen kann , um die Probleme unserer Wissenschaft direct aufzulösen . Ich
habe mir das Ziel gesteckt, gerade dieses letztere mit der ganzen Allgemeinheit
auszuführen , deren die Sache fähig ist, aus diesem Gesetz analytische Formeln
herzuleiten, die die Auflösung aller Aufgaben enthalten, die nur beim Gleichgewicht der Körper vorkommen können ; beinahe in derselben Weise, wie die
Formeln über die Subtangenten, die Krümmungsradien etc. die Bestimmung
dieser Linien für alle Curven in sich schliessen.
Die im 2. Abschnitt auseinandergesetzte Methode ist in allen Fällen
anwendbar und erfordert , wie man gesehen hat , nur rein analytische Operationen ; allein man stösst oft , wenn man die veränderlichen Grössen und
ihre Differentiale unmittelbar durch die Bedingungsgleichungen eliminieren
will , auf sehr verwickelte Rechnungen ; wir wollen daher dieselbe Methode
noch unter einer einfacheren Form darstellen und in dieser Absicht alle
Fälle auf den Fall eines völlig freien Systems zurückführen .
§ 1. Methode der Multiplicatoren.
2. Es seien L - 0, M = 0, N = 0 etc. die verschiedenen Bedingungsgleichungen , die durch die Natur des Systems gegeben sind ; die Grössen
L, M, N etc. mögen gewisse endliche Funktionen der veränderlichen Grössen
x, y, z, x', y' , ' etc. ausdrücken. Differentiiert man diese Gleichungen, so
bekommt man dL == 0, dM = 0, dN = 0 etc. , und diese Formeln geben die
Beziehungen an, welche zwischen den Differentialen der veränderlichen Grössen
stattfinden. Ueberhaupt werden wir durch dL = 0 , dM = 0 , dN = 0 etc.
die Bedingungsgleichungen zwischen diesen Differentialen darstellen, es mögen
diese Gleichungen nun selbst vollständige Differentiale sein oder nicht, vorausgesetzt, dass die Differentiale nur linear sind.
Abschn. IV, § 1.
61
Methode zur Formel des Gleichgewichts.
Nun sollen diese Gleichungen nur dazu dienen, eine gleiche Anzahl von
Differentialen in der allgemeinen Gleichung des Gleichgewichts wegzuschaffen,
worauf dann jeder von den Coefficienten der übrig bleibenden Differentiale
gleich Null gesetzt werden muss. Es ist aber nicht schwer aus der Theorie
der Elimination linearer Gleichungen zu beweisen, dass man dieselben Resultate auch erhält, wenn man nur zur genannten Gleichung die verschiedenen
Bedingungsgleichungen dL = 0, dM = 0 , dN = 0 etc. , jede mit einem unbestimmten Coefficienten multipliciert, addiert und hernach die Summe aller
Glieder, die mit einerlei Differentialen multipliciert sind, gleich Null setzt.
Man bekommt so soviele besondere Gleichungen , als Differentiale vorhanden
sind, und kann endlich aus diesen letzteren Gleichungen die unbestimmten
Coefficienten, mit denen man die Bedingungsgleichungen multipliciert hat,
eliminieren .
3. Hieraus erwächst dann folgende sehr einfache Regel , um die Bedingungen des Gleichgewichts für ein gegebenes System zu finden :
Man nehme die Summe der Momente aller Kräfte, die im Gleichgewicht
sein sollen (Abschn. II, Art. 5), addiere dazu die verschiedenen Differentialfunktionen, die nach den Bedingungen des Problems Null sein müssen ,
nachdem man jede dieser Funktionen mit einem unbestimmten Coefficienten
multipliciert hat, und setze die ganze Summe gleich Null ; so erhält man
eine Differentialgleichung, die man wie eine gewöhnliche Gleichung über
die Maxima und Minima behandeln muss, und aus der man so viele besondere
endliche Gleichungen zieht, als veränderliche Grössen vorhanden sind ; befreit
man endlich durch Elimination die so entstehenden Gleichungen von den
unbestimmten Coefficienten, so werden sie alle für das Gleichgewicht nötigen
Bedingungen geben.
Die gesuchte allgemeine Differentialgleichung wird also die Form haben :
Pdp + Qdq + Rdr +
+ λdL + ŋdM + › dN +
0,
wo λ, p,
unbestimmte Grössen sind ; wir werden sie in der Folge allgemeine Gleichung des Gleichgewichts nennen.
Diese Gleichung wird für jede Coordinate, z . B. für die x Coordinate
jedes einzelnen Körpers des Systems eine Gleichung von folgender Gestalt
geben:
дд
др
ON
OL
дм
Or
+ fl
=0;
+
+Q
+v
+λ
+
+R
P
дх
дх
дх
дх
дх
дх
die Zahl solcher Gleichungen ist daher der Zahl aller Coordinaten der Körper
gleich . Wir werden diese particuläre Gleichungen des Gleichgewichts
nennen.
4. Die ganze Schwierigkeit besteht nun noch darin , die unbestimmten
etc. aus diesen letzteren Gleichungen zu eliminieren ; dies
Grössen , p,
kann nun zwar jederzeit durch die bekannten Methoden geschehen, allein
man muss immer die Methoden hierzu wählen, die zu den einfachsten Re-
62
Abschn. IV, § 1.
Methode zur Formel des Gleichgewichts.
sultaten führen können . Die Endgleichungen der Elimination enthalten alle
für das besagte Gleichgewicht nötigen Bedingungen, und da die Zahl dieser
Gleichungen der Zahl aller Coordinaten der Körper des Systems, vermindert
um die Anzahl der unbestimmten Grössen λ, μ, v etc., die man hat wegschaffen müssen , gleich ist, und da überdies eben diese unbestimmten
Grössen an Zahl den endlichen Bedingungsgleichungen L = 0, M = 0 ,
- 0 etc. gleich sind, so müssen auch die genannten Gleichungen, mit
N=
diesen letzteren verbunden, jederzeit mit den Coordinaten aller Körper von
gleicher Zahl sein ; sie reichen also dazu aus, diese Coordinaten zu bestimmen,
und die Lage kennen zu lehren, die jeder Körper annehmen muss, um im
Gleichgewicht zu sein.
5. Ich bemerke jetzt, dass die Glieder λdL, µdM, vdN etc. der allgemeinen Gleichung des Gleichgewichts auch als Grössen angesehen werden
können, die Momente verschiedener am System angreifender Kräfte vorstellen.
Denn weil dL eine Differentialfunktion der veränderlichen Grössen
x' , y' , z , x'' , y″ etc. ist, die zu Coordinaten der verschiedenen Körper des
Systems dienen, so ist diese Funktion aus verschiedenen Teilen zusammengesetzt, die ich durch dĽ , dL" etc. andeuten will, so dass dL = dL' + dL" + etc.
ist, wo dĽ nur solche Glieder in sich einschliesst, in denen dx', dy' , dz'
vorkommt ; d ' aber nur solche, die dx" , dy" , dz" enthalten u. s. w.
Auf diese Art wird das Glied AdL der allgemeinen Gleichung aus den
Gliedern λdL , λdL" etc. zusammengesetzt sein. Giebt man aber dem Gliede
AdL' die Form
dL'
L'\2
λ
+
X
(8 ) +(税 )
OL)-++
√(дх
)
so ist klar (Abschn . II, Art. 8), dass diese Grösse das Moment einer Kraft
λ
(C ) +(S ) + (Oz'
vorstellen kann, die an einem Körper wirkt, dessen Coordinaten x', y' ,
sind, und deren Richtung senkrecht auf der Fläche ist, deren Gleichung
dĽ
' = 0 ist, wenn man in derselben nur x' , y' , ' als variabel ansieht. Auf
gleiche Art kanu das Glied λdL" das Moment einer Kraft vorstellen, die
gleich
2
2
+
Əz"
" √ ( 24
" )² + ( 3/4" )"
ist und an einem Körper wirkt, dessen Coordinaten x" , y" , "' sind, und
die senkrecht auf der krummen Fläche steht, deren Gleichung dĽ" = 0 ist,
wenn man nur x" , y" , " als variabel betrachtet u. s. w.
Abschn. IV, § 1.
Methode zur Formel des Gleichgewichts.
63
Allgemein wird also das Glied λdL die Wirkung verschiedener Kräfte
vorstellen können, die durch
ƏL
+
ƏL 12
+
dy'
+
+
2
OL2
ƏL \2
ez'
ƏL \2
etc.
Oy"
ausgedrückt sind, und die an den Körpern wirken , zu denen die Coordinaten
x
' , y', z', x' ' , '
y ' , z" etc. gehören , und zwar nach Richtungen , die auf den
krummen Flächen senkrecht stehen , die durch die Gleichung dL = O dargestellt werden, wenn man zuerst x' , y' , z' und hernach x' , y" , z″ u. s . f.
als veränderlich annimmt.
6. Allgemein wird man den Ausdruck dL als das Moment einer
Kraft
ansehen können, welche darnach strebt, den Wert der Funktion L
variieren zu lassen , und da dL = dĽ + dĽ" + ...
·
ist , so wird der Ausdruck AdL die Momente mehrerer Kräfte ausdrücken, die alle gleich
sind
und das Bestreben haben , die Funktion L zu verändern , falls man die
Veränderlichkeit der verschiedenen Coordinaten x' , y' , ' , x' , y" , " etc. getrennt ins Auge fasst.
(Abschn. II, Art. 9) .
Dasselbe gilt von den Ausdrücken µdM, vdN etc.
Da in der allgemeinen Gleichung des Gleichgewichts (Art. 3) vorausgesetzt ist, dass die Kräfte P, Q , R etc. nach Centren gerichtet sind , in
welchen die Linien p , q, r etc. endigen , und die Kräfte also diese Linien
zu verkleinern streben , so muss man auch jede der Kräfte λ , μ , v etc. so
ansehen , als ob sie die Werte der Funktionen L, M etc. zu vermindern
trachteten.
7. Hieraus ergiebt sich , dass jede Bedingungsgleichung einer oder
mehreren Kräften gleichwertig ist, die am System nach gegebenen Richtungen
angebracht sind , oder allgemein die Werte gegebener Funktionen zu
variieren trachten , so dass die Gleichgewichtsbedingungen des Systems
dieselben bleiben, man mag diese Kräfte oder die Bedingungsgleichungen
der Rechnung zu Grunde legen.
Umgekehrt können diese Kräfte die Bedingungsgleichungen , die aus
der Natur des gegebenen Systems herrühren , ersetzen , so dass , wenn man
diese Kräfte in Rechnung bringt, man die Körper als ganz frei und ohne Verbindung unter einander ansehen kann . Und hieraus ersieht man den inneren
Grund , warum die Einführung der Glieder dL + µdM + ·
in die allgemeine Gleichung für das Gleichgewicht bewirkt , dass man hernach diese
Gleichung so behandeln kann , als wenn alle Körper des Systems völlig
frei wären; gerade hierin besteht das Wesen der in diesem Abschnitt auseinanderzusetzenden Methode.
Um bestimmter zu reden , so tragen die genannten Kräfte den Widerständen , die die Körper infolge ihrer gegenseitigen Verbindung leisten ,
64
Abschn. IV, § 1.
Methode zur Formel des Gleichgewichts.
oder den Hindernissen , die vermöge der Natur des Systems ihrer Bewegung
sich entgegensetzen könnten , Rechnung ; oder vielmehr diese Kräfte sind
nichts anderes als die Kräfte dieser Widerstände selbst , die den von den
Körpern ausgeübten Druckkräften gleich und genau entgegengerichtet sind .
Unsere Methode giebt, wie man sieht, das Mittel an die Hand, diese Kräfte
und Widerstände zu bestimmen , und dies ist ein nicht geringer Vorzug
derselben vor andern Methoden.
8. In den Fällen , wo die Kräfte P, Q, R etc. sich nicht das Gleich-
gewicht halten und wo man verlangt sie durch gleichwertige Kräfte zu
ersetzen, deren Richtungen gegeben sind , addiert man zur Summe der
Momente der Kräfte P, Q , R etc. , die aus den Bedingungsgleichungen
L = 0 , M = 0 etc. resultierenden Momente , und hat so die Summe der
Momente derjenigen Kräfte , welche den Kräften P, Q, R etc. und auch
der Wirkung gleichwertig sind, welche die Körper nach diesen Bedingungsgleichungen auf einander ausüben.
Wendet man so alle aus der Natur des gegebenen Systems sich ergebenden Bedingungsgleichungen an , so kann man die Coordinaten jedes
Körpers des Systems als unabhängig ansehen. Für jede dieser Coordinaten,
z. B. x, hat man dann eine Grösse von der Form
dr
др
aL
да
P
+ Q
+ ... +λ
+R
дх
дх
дх
дх
әм
ΟΝ
+ v
+
дх
дх
welche die resultierende Kraft in der Richtung der Linie x darstellt. Im
Falle des Gleichgewichts wird diese, wie wir im Art. 3 gesehen haben, gleich
Null sein müssen.
§ 2.
Anwendung derselben Methode auf die Formel für das Gleichgewicht continuirlicher Körper, deren sämmtliche Punkte durch beliebige
Kräfte angegriffen werden.
9. Bisher haben wir die Körper nur als Punkte betrachtet und gesehen,
wie man die Gesetze des Gleichgewichts dieser Punkte bestimmt , ihre
Anzahl mag so gross sein , und die Kräfte , die auf sie wirken , von einer
Beschaffenheit sein , wie sie wollen . Ein Körper von beliebigem Volumen
und beliebiger Gestalt ist aber nichts anderes als die Vereinigung unzähliger
materieller Teile oder Punkte, und man sieht hieraus, dass man durch Anwendung der vorhergehenden Grundsätze auch die Gesetze des Gleichgewichts für Körper von einer beliebigen Gestalt bestimmen kann.
In der That besteht die gewöhnliche Art, mechanische Aufgaben aufzulösen, welche Körper von endlicher Masse betreffen , darin, dass man anfangs
nur eine Anzahl von Punkten, die in endlichen Entfernungen sich von einander befinden , betrachtet und die Gesetze ihres Gleichgewichts und ihrer
Bewegung aufsucht, hierauf aber diese Untersuchung auf eine unbestimmte
Anzahl von Punkten ausdehnt , und endlich gar die Anzahl dieser Punkte
unendlich gross , ihre Entfernungen von einander aber zugleich unendlich
Abschn. IV, § 2.
65
Gleichgewicht continuirlicher Systeme.
klein annimmt , zugleich aber auch an den für eine endliche Anzahl von
Punkten gefundenen Formeln die Reductionen und Aenderungen vornimmt,
welche der Uebergang vom Endlichen zum Unendlichen erfordert.
Dieses Verfahren ist, wie man sieht, den geometrischen und analytischen
Methoden ähnlich , die der Infinitesimalrechnung vorangingen ; und wenn
diese Rechnungsart den Vorzug hat , in überraschender Weise die Auflösung der Aufgaben , die die krummen Linien betreffen , zu erleichtern
und zu vereinfachen , so rührt dieser Vorzug nur daher, dass die Infinitesimalrechnung diese krummen Linien direct als solche ins Auge fasst, ohne nötig zu
haben , sie zunächst als Polygone und dann erst als Curven anzusehen.
Ungefähr denselben Vorteil hat man also bei der Behandlung der mechanischen
Aufgaben, von denen wir sprechen , wenn man sie direct angreift und die
Körper, die endliche Massen haben , sogleich als eine Vereinigung von einer
unendlichen Menge von Punkten oder Körperchen betrachtet , auf deren
jedes gegebene Kräfte wirken. Nichts ist leichter , als die soeben vorgetragene Methode nach dieser Richtung zu vereinfachen und zu verändern .
10. Man beachte aber ja vor allem andern , dass bei der Anwendung
dieser Methode auf Körper von endlicher Masse , wo jeder einzelne Punkt
durch gewisse Kräfte angegriffen wird , zwei Arten von Differentialgrössen
vorkommen, die man wohl zu unterscheiden hat. Eine Art von Differentialen
bezieht sich auf die einzelnen Punkte, welche den Körper ausmachen, (sind
anzuwenden , wenn man von einem Punkt des Körpers zu einem andern
übergeht) , die andere hängt gar nicht von der gegenseitigen Lage dieser
Punkte ab, sondern enthält Differentiale, welche nur die unendlich kleinen
Räume vorstellen , die jeder Punkt durchlaufen kann , wenn man annimmt,
dass die Lage des Körpers als Ganzes eine kleine Veränderung erleidet.
Wir hatten bisher nur Differentiale von dieser letztern Art zu betrachten
und haben sie mit dem gewöhnlichen Symbol d bezeichnet ; jetzt aber
müssen wir gleichzeitig auf beide Arten von Differentialen achten und daher
noch ein neues Zeichen einführen ; wir wollen daher durch d künftig
Differentialgrössen von der ersten Art andeuten, die mit denen analog sind,
welche man gewöhnlich in der Geometrie betrachtet, die Differentialgrössen
der zweiten Art aber , die dem Gegenstand , den wir hier abhandeln , eigen
sind , wollen wir durch
andeuten , welches Zeichens ich mich schon in
der Variationsrechnung bedient habe, mit welcher die gegenwärtige Rechnung
in innerer und notwendiger Verbindung steht.
Und eben weil unsere jetzigen Rechnungen den Variationsrechnungen
entsprechen, wollen wir auch die Differentialgrössen, die durch
angedeutet
werden , Variationen nennen ; Differentiale dagegen sollen diejenigen.
Grössen heissen , deren Kennzeichen d ist ; übrigens werden dieselben
Formeln, welche die gewöhnlichen Differentiale geben, auch die Variationen
geben, wenn man nur statt d ein & substituiert.
11. Ferner bemerke ich noch , dass man eine gegebene Masse nicht als
eine unendliche Menge von benachbarten Punkten zu betrachten hat, vielLagrange, Analytische Mechanik.
5
66
Abschn. IV, § 2.
Gleichgewicht continuirlicher Systeme.
mehr dem Geist der Infinitesimalrechnung entsprechend sie sich als aus
unendlich kleinen Elementen zusammengesetzt vorstellen muss , die von
derselben Dimension als die ganze Masse selbst sind. Um die Kräfte zu
erhalten , die auf jedes dieser Elemente wirken , muss man dann die Kräfte
P, Q, R etc., die man sich an jeden Punkt dieser Elemente wirkend denkt,
und die man als beschleunigende Kräfte analog denen ansieht , die von
der Wirkung der Schwere herrühren , mit diesen Elementen selbst multiplicieren.
Nennen wir daher m die ganze Masse, dm die Masse eines ihrer Elemente,
so drücken Pdm , Qdm , Rdm etc. die Kräfte aus , die auf das Element dm
nach den Richtungen der Linien p , q , r etc. wirken . Multipliciert man
weiter diese Kräfte mit den Variationen op , og , or etc. , so erhält man
dadurch ihre Momente, deren Summe für jedes Element dm durch den Ausdruck
(Pop + Qoq + Rôr + ·· ·) dm
dargestellt werden kann. Um dann die Summe der Momente aller Kräfte
des Systems zu bekommen, braucht man nur diesen Ausdruck über die ganze
gegebene Masse zu integrieren .
Diese ganzen (bestimmten), d . h. in Bezug auf Umfang der ganzen Masse
genommenen Integrale, wollen wir durch den grossen Buchstaben S andeuten ,
das gewöhnliche Zeichen
aber gebrauchen , wo es sich um partielle oder
Sa
unbestimmte Integrale handelt.
12. Hiernach erhalten wir für die Summe der Momente aller Kräfte
des Systems den Integralausdruck
S(Pop + Qoq + Rôr + ...) dm ;
und diese Grösse muss im Zustande des Gleichgewichts allgemein gleich
Null sein.
Nach der jeweiligen Natur des Systems bestehen aber notwendig gewisse
Beziehungen zwischen den verschiedenen zu jedem einzelnen Punkt der Masse
gehörigen Variationen op, dq, dr etc. , man muss daher diese Variationen auf eine
gewisse Anzahl von unabhängigen und unbestimmten Variationen zurückführen ; alsdann werden die mit diesen letzteren Variationen multiplicierten
Glieder gleich Null sein , und man bekommt auf diese Art die particulären
Gleichungen für das Gleichgewicht. Diese Reductionen aber können oft
sehr verwickelte und umfassende sein , und man wird sie daher vermittelst der
Methode, die wir in dem vorigen Paragraphen gegeben haben, zu vermeiden
suchen.
13. Um diese Methode aber auf den gegenwärtigen Fall anzuwenden ,
wollen wir annehmen , dass L = 0 , M0 etc. die Bedingungsgleichungen
sind , die nach der Natur der Aufgabe in Bezug auf jeden Punkt der
Masse stattfinden müssen. Wir nennen diese Gleichungen unbestimmte
Bedingungsgleichungen.
Abschn. IV, § 2.
67
Gleichgewicht continuirlicher Systeme.
Die Grössen L, M etc. werden hier Funktionen der zu jedem Punkte
der gegebenen Masse gehörenden endlichen Coordinaten x , y , z und ihrer
Differentiale beliebiger Ordnungen sein.
Differentiiert man die Bedingungsgleichungen gemäss dem Zeichen ô,
so erhält man ¿L = 0 , ¿ M = 0 etc. Man multipliciere die Grössen òL,
¿M etc. mit den unbestimmten Coefficienten λ , μ etc. und bilde das ganze
Integral
S (λôL + µòM + ·· ·) ;
man addiere hierauf dieses Integral zu dem im vorhergehenden Artikel
aufgestellten , so bekommt man den für das Gleichgewicht allgemein, massgebenden Ausdruck.
Uebrigens ist zu bemerken, dass es nicht notwendig ist, dass 6L, 6M etc.
vollständige Variationen der Funktionen x, y, z, dx, dy etc. sind, es genügt,
wenn nur 6L = 0 , 6M = 0 etc. die unbestimmten Bedingungsgleichungen
zwischen den Variationen von x, y, z, dx, dy etc. darstellen . (Art. 3.)
Es ist aber noch zu beachten , dass ausser den Kräften, die im allgemeinen auf alle Punkte der Masse wirken, es auch noch solche Kräfte geben
kann , die nur bestimmte Punkte dieser Masse angreifen , und zwar
gewöhnlich diejenigen Punkte , die sich an den Grenzen der gegebenen
Masse befinden , d . h. solche , die den Anfang und das Ende des mit S
bezeichneten Integrals festsetzen .
Ebenso können auch besondere Bedingungsgleichungen für diese Punkte
stattfinden, und diese wollen wir bestimmte Bedingungsgleichungen nennen,
um sie von denen zu unterscheiden , die allgemein für die ganze Masse
gelten, und wir wollen sie durch A = 0 , B = 0, C = 0 etc. oder vielmehr
durch A = 0, ¿B = 0, ¿ C = 0 etc. darstellen.
Wir wollen ferner mit einem kleinen Strich oder mit zwei , drei etc.
Strichen alle Grössen andeuten , die sich auf bestimmte Punkte der Masse
beziehen , und insbesondere wollen wir durch einen Strich diejenigen anzeigen , die sich auf den Anfang des durch S bezeichneten Integrals beziehen , mit zwei Strichen aber diejenigen , die sich auf das Ende dieses
Integrals beziehen , mit dreien oder mehreren die , welche zu dazwischen.
liegenden Punkten gehören.
Hiernach hat man zum Integrale
*
S (Pôp + Qôg + Rôr + etc.) dm
die Grösse
P'òp' + Q'òq' + R'òr' + etc. P" òp" + Q″ òq" + R" òr' + etc.
und zum Integrale
S (λ8L + µòM + ···)
die Grösse
aòA + ẞòB + rôC + ...
zu addieren .
5*
68
Abschn. IV, § 2. Gleichgewicht continuirlicher Systeme.
Damit erhält die allgemeine Formel für das Gleichgewicht folgende
Gestalt
S (Pop
Qôg + Ròr + ... ) dm + S (28L + µôM + ··· ) + P'òp' + Q'òq'
(Pòp + Qoq
... + P" òp" + Q" òq" + R'òr' ' + ···
... + adA + βδβ
ßôВ
+ R'òr' + ···
+ ròC +
0.
14. Da die Funktionen L, M etc. nicht allein die Variabeln x, y, z,
sondern auch deren Differentiale enthalten können, so werden die Variationen
6L, M etc. Glieder geben , die mit dx, dy, dz, òdx , ôdy etc. multipliciert
sind , und die letzte Gleichung wird , wenn man darin die Werte von dp,
ôq, dr etc., ôL, ¿M etc. in dx, òy, òz, ôdx, ôdy, ôdz etc. und diejenigen von
ốp , ôp ” etc., ông , ôq etc. , ôA , ôB etc. in ôc , ốc etc., ông , ông ” etc. , odc etc.,
die aus den besonderen Umständen des Problems hergeleitet werden , substituiert, immer eine Form erhalten, die derjenigen analog ist, welche die
Variationsrechnung für die Bestimmung der Maxima und Minima unbestimmter Integrale liefert ; man braucht also nur die bekannten Regeln
dieser Rechnung anzuwenden.
Man wird also bedenken müssen , dass die Zeichen d und d zwei Arten
von unter einander völlig unabhängigen Differentialen sind ; wenn diese
Zeichen sich zusammen vorfinden, bleibt es indifferent, in welcher Ordnung
sie stehen, weil, wenn man annimmt, dass eine Grösse auf zwei verschiedene
Arten variiert, man immer zu demselben Resultat gelangt, welches auch die
Reihenfolge sei, in der diese Variationen erfolgen. Es wird also odx dasselbe sein, wie dox, und ähnlich wird ôd²x gleich d²ox sein etc. Man kann
also stets nach Belieben die Ordnung der Zeichen ändern , ohne damit den
Wert der Differentiale zu ändern . Für unsern Gegenstand ist es von Vorteil,
das Zeichen d vor 8 zu setzen, damit die gegebene Gleichung nur Variationen
der Coordinaten und die Differentiale dieser selben Variationen enthalte.
Gleiches gilt von den Integrationszeichen
oder Sim Verhältnis zum
S
Zeichen der Variationen ô ; man darf immer die Symbole of oder S in
oder So ändern.
Diese Vertauschbarkeit der einzelnen Operationen bildet das erste
Fundamentalprinzip der Variationsrechnung.
15. Die Differentiale dox, dồy, dồz, d2dx etc., die sich unter dem
Zeichen S befinden, können aber durch das bekannte Verfahren der partiellen Integrationen fortgeschafft werden ; denn es ist allgemein
Qdox = Ωδη
Sedex - Qax -Sandl ;
Qd²òx = Qdòx
Sadria = Qdix — dQix + Saxd¹Q
etc., dabei ist wohl zu beachten , dass die ausserhalb des Zeichens
sich
Abschn . IV, § 2.
Gleichgewicht continuirlicher Systeme.
69
befindenden Grössen sich natürlich auf die Grenzen der Integrale beziehen,
und dass man , um diese Integrale vollständig zu machen, notwendig unter
den ausserhalb des Integralzeichens befindlichen Grössen die Differenz dieser
Grössen in den letzten Punkten der Integrale gegen die in den ersten zu
verstehen hat ; dies ist aus der Theorie der Integration klar.
Bezeichnet man also mit einem Strich die Grössen , die sich auf den
Anfang der ganzen durch S bezeichneten Integrale beziehen , und durch
zwei Striche diejenigen , die sich auf das Ende derselben beziehen , so hat
man folgende Reductionen
— Sôx dº
—
d
SQdox - Q'òx" -Q'òx'=
Q'dox
"SQ d² òx
welche dazu dienen, alle Differentiale der Variationen, die unter dem Zeichen
S vorkommen können , verschwinden zu lassen .
Diese Reductionen bilden
das zweite Fundamentalprinzip der Variationsrechnung.
16. Auf diese Art wird also die allgemeine Formel für's Gleichgewicht
auf die Form gebracht
S(Edx + Σòy + ¥ ôz) + A = 0,
wo E, 2,
Funktionen von x, y, z und deren Differentialen sind und wo A
die Glieder enthält, in denen dx' , òy' , òz' , òx'' , dy' , de" etc. und ihre Differentiale vorkommen.
Damit nun diese Gleichung erfüllt wird, und zwar unabhängig von den
Variationen der verschiedenen Coordinaten , müssen erstlich E , Σ ,
nach
dem ganzen Umfang des Intregrals S, d. h. in jedem Punkt der Masse, gleich
Null sein ; zweitens muss jedes Glied von A gleich Null sein .
Die unbestimmten Gleichungen E = 0 , Σ = 0 Ψ = 0 geben die Be-
ziehung, welche überhaupt zwischen den Variabeln x, y, z stattfinden muss ;
sie enthalten aber noch die unbestimmten Factoren λ, p, v etc., deren Anzahl ebenso gross ist wie die Zahl der Bedingungsgleichungen
L = 0, M = 0, ... (Art. 13)
und diese Factoren hat man zu eliminieren.
Ich bemerke aber, dass die Zahl der Bedingungsgleichungen nicht über
drei steigen darf, denn da es unbestimmte Gleichungen zwischen den drei
Variabeln x, y, z und ihren Differentialen sein sollen, so ist klar, dass, wenn
ihrer mehr als drei wären, man mehr Gleichungen als veränderliche Grössen
hätte, und alsdann müsste die vierte eine notwendige Folge der drei ersten
sein, und so auch jede andere noch etwa vorhandene. Niemals werden also
mehr als drei unbestimmte Grössen λ, n, v zu eliminieren sein, so dass man
stets die Werte dieser unbestimmten Grössen als Funktionen von x , y ,
finden kann . Uebrigens werden die Gleichungen , welche durch diese
Eliminationen verschwinden, durch diese Bedingungsgleichungen selbst wieder
.
Systeme
continuirlicher
Gleichgewicht
2.
§
,
IV
.
Abschn
770
ersetzt , so dass man genügend Gleichungen hat , die Werte von x, y, z zu
berechnen, welche beim Gleichgewicht des ganzen Systems stattfinden müssen.
Es kann vorkommen, dass die Bedingungsgleichungen L = 0, M = 0 etc.
noch andere Variabele u, v etc. mit ihren Differentialen enthalten , welche
mit Hilfe anderer Gleichungen , wie U = 0 , V = 0 etc. eliminiert werden
müssten in diesem Falle würde man diese neuen Bedingungsgleichungen
ebenso behandeln können , wie diejenigen , welche durch die Natur des
Problems gegeben sind . Man multipliciert also mit unbestimmten Coefficienten
σ , v etc. , und fügt zu den Gliedern λdL + µdM + ... , welche in der allgemeinen Gleichung des Art. 13 unter dem Integrationszeichen stehen , die
Glieder dU + vòV + ... hinzu , und nachdem man alle Differentiale der
Variationen dx , dy , òz , du, dv etc. hat verschwinden lassen, wird die Endgleichung des Art. 16 unter dem Integralzeichen Glieder enthalten , welche
die Variationen du, ov etc. zu Factoren haben, welche folglich einzeln gleich
Null sein müssen. Man wird so ebenso viele neue Gleichungen bekommen,
als unbestimmte Grössen o, v etc. vorhanden sind . Durch diese Gleichungen
eliminiert man die σ, v,
und endlich durch die Gleichungen U = 0 , V = 0 etc.
die neuen Variabeln u, v etc. Diese Methode wird stets nützlich sein , wenn
in den Funktionen L, M etc. Integralgrössen sich befinden ; denn setzt
man an Stelle solcher Integrale neue unbestimmte Grössen , so wird man
alle Integrationszeichen verschwinden lassen können, wodurch die Rechnung
leichter wird.
17. Was die andern Grössen betrifft, die von den verschiedenen Gliedern
der ausserhalb des Integrationszeichens befindlichen Grösse A herkommen,
so geben sie nur solche particuläre Gleichungen , die nur für bestimmte
Punkte der Masse gelten und dazu dienen, die willkürlichen Constanten zu
bestimmen , welche die Ausdrücke von x , y , z, welche aus den vorhergehenden Gleichungen hergeleitet sind , enthalten können . Um von diesen
Gleichungen Gebrauch zu machen, substituiert man in die aus der Grösse A
resultierenden Gleichungen die gefundenen Werte von λ,
etc., schafft dann
die unbestimmten Grössen a, ẞ etc. weg, und verbindet mit den dann noch
restierenden Gleichungen die Bedingungsgleichungen A = 0 , B = 0 etc.,
welche dazu dienen , die Stelle derer zu ersetzen , die die eben genannte
Elimination der unbestimmten Grössen hat verschwinden lassen .
18. Die Ausdrücke Pop , Qoq etc. , welche von den beschleunigenden
Kräften P,
etc. herrühren, erfordern keine Reduction, sobald diese Kräfte
in der Richtung der Linien p , q etc. wirken , da p , q etc. nur Funktionen
der endlichen Variabeln x , y , z sind ; wenn man jedoch Kräfte gebraucht,
deren Wirkung eine gegebene Funktion (Abschn. II, Art. 9) zu ändern versucht, hat man, falls diese Funktion Differentiale enthält, auf die betreffenden
Glieder dieselben Reductionen anzuwenden , wie für die Glieder dL etc.
und wird dann stets zu einer Endgleichung von derselben Form wie früher
gelangen . Dieser Fall tritt ein , wenn man elastische feste oder flüssige Körper
betrachtet.
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen über Maxima u. Minima.
71
§ 3. Analogie mit Problemen über Maxima und Minima.
19. Die Variationsrechnung findet nicht allein ihre Anwendung in derselben Weise auf Probleme des Gleichgewichts continuirlicher Körper und
auf die Probleme der Maxima und Minima von Integral-Ausdrücken, sondern
sie zeigt auch zwischen diesen beiden Arten von Problemen eine merkwürdige
Analogie, welche wir jetzt entwickeln wollen.
Ich beginne damit, eine allgemeine Formel für die Variation einer
Differential-Funktion mehrerer Variabeln aufzustellen.
Man weiss , dass man in Funktionen mehrerer Variabeln und ihrer
Differentiale von höherer als der ersten Ordnung stets eines der ersten
Differentiale als constant annehmen kann, was die Funktion , ohne ihr etwas
an Allgemeinheit zu nehmen , bedeutend vereinfacht; dann muss man aber
auch in den Variationen
die Variabele , deren Differential als constant
vorausgesetzt ist , als constant ansehen , und will man allen Variabeln
Variationen beilegen, so muss man die Veränderlichkeit des als constant
angenommenen Differentials wiederherstellen.
dy day
20. Es sei zunächst U eine Funktion von x, y, dx ' dx² etc. , wobei
dr als constant angesehen wird ; setzt man wie in der Funktionentheorie
dy = y
',
' ,' dy'
x =y
" dx
dx
dx
y"," ...
so wird die Grösse U eine Funktion von x, y, y' , y' etc. , und die Variation
U bekommt bei Anwendung besonderer Bezeichnungen für partielle Differentiale die Form
8U=
au
au
au
до
8x +
by by t by by + ···
дх
dy by + ду
Lässt man jetzt alle Grössen variieren, so folgt
бу =
dy"
dyody
dx
dx
dy odx
dx dx
dox
doy
—y''
dx
dx
đông — ý ôx )
+ y" òx,
dx
'+ y " ox
dx
d²(dy — y'dx)
+ y " ôx,
dx2
— gô )
đ3( ông by":
+ y "" dx
dx3
und indem man diese Werte in den Ausdruck für
kürzung
=
dy — y' dxdu,
U einsetzt und zur Ab-
72
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen über Maxima u. Minima.
also
by
бу
du + y'ox
macht, erhält man
au
au
au
¿U=
ох
· ;y" + dy" y'"+ ..)8.
=100
дх + dy·y'+
dy'
au
Udou
Su +
+
dy
+
by dx
U d'ou
+ ...
oy" dx2
Differentiiert man aber die Funktion U und setzt für dy ein y'd , für dy'
analog y'da, so folgt
au
au
au
au
+
·y' + y
d ' y' + dy" y"
dy
дх
dU=
..
)da,
also wird
au
au
au
+
·y'+dy' y' +
дх
dy
=
dU
2
dx
und wir bekommen
au
dU
8x +
SU=
dx
du d² su
U dou
Su +
dy
+
dy' dx
Oy" dx2
Enthält die Funktion U noch eine andere Variabele s mit ihren Diffedz d2z
dz
dz
= 2" und
rentialen
,
dx dx2 etc. , so sind noch , indem man setzt dx =2 , Ax
auf dieselbe Weise verfährt, die folgenden Glieder
ай
au dov
au d'òv
+
δυ+
+
Oz" dx2
dz
Oz' dx
WO
δυ = δε - π' δι,
dem vorhergehenden Werte von
U hinzuzufügen u. s. f.
Uda ein Maximum oder ein Minimum
S
werden, so ist nach den Regeln der Variationsrechnung zu setzen
21. Soll die Integral-Funktion
è (SUdx) =S¿ (Udx) =√(¿Udx + Vòde) = 0.
Substituieren wir den Wert von U, verwandeln ôdx in dox und lassen
durch partielle Integration die Differenzen dx, du, dv verschwinden , so bleiben
unter dem Integralzeichen nur Glieder von der Form
(Eòx + You + Yòv) da,
in welchen
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen über Maxima u. Minima.
73
E = dU - -dU = 0,
d2
Y = до
dy
a(37)
+
dx
dy"
dx2
y = au
ez
a(37) +
dx
d2
8²(30
)
dx²
gesetzt ist.
Die Glieder unter dem Integralzeichen müssen Null sein, welches auch
die Variationen ox , dy, öz sein mögen ; setzt man aber für du , ov wieder
ihre Werte dy - y'òx , òz - z'òx, so geben diese Glieder , da E für sich
schon identisch Null ist,
[Yòy + Vòz — (Yy' + ¥z') òx] dx.
Daraus folgen nur zwei Gleichungen Y = 0 , y = 0; die dritte , welche aus
dem Verschwinden der mit dx multiplicierten Grössen resultieren sollte , ist
bereits in diesen beiden enthalten.
Man sieht daraus , dass man sich davon frei machen kann , auch der
Variabeln x , deren Element als constant in der Funktion U vorausgesetzt
ist, eine Variation zu erteilen , da die zur Lösung des Problems nötigen
Gleichungen schon aus der Variation der andern Variabeln hervorgehen .
Dies ist eine Bemerkung , die schon bei der Begründung der Variationsrechnung gemacht wurde, und die eine notwendige Folge dieses Calculs ist.
Es kann aber nützlich sein, alle Variationen in Bezug auf die Grenzen
des Integrals auf einmal zu betrachten , weil aus einer jeden von ihnen
besondere Bedingungen für diejenigen Punkte resultieren können , welche
diesen Grenzen entsprechen, wie wir dies in der letzten Lection der Funktionenrechnung gezeigt haben.
22. Die Integral - Funktion, deren Maximum oder Minimum man sucht,
kann auch andere Integrale enthalten ; aber wie sie auch beschaffen sei,
man kann sie stets so reducieren, dass sie nur endliche Variabele mit ihren
Differentialen enthält und von einer oder von mehreren Bedingungsgleichungen
zwischen diesen Variabeln abhängt, Gleichungen, denen man stets vermittelst
der Methode der Multiplicatoren genügen kann.
Wir wollen z. B. annehmen , dass U eine Funktion von x , y , z und
deren Differentialen ist , und dass zu gleicher Zeit die Variabele z von der
Bedingungsgleichung L = 0 abhängt. Differentiieren wir diese Gleichung
durch 6, so folgt &L = 0. Man hat nun die Gleichung &L = 0 nur mit
einem unbestimmten Coefficienten oder auch, falls L nicht schon selbst ein
Differential ist, wegen der Homogenität mit Adx zu multiplicieren , die Integral= 0 zu der Gleichung des Maximums oder Minimums
gleichung Shelda
Udx = 0 zu addieren und endlich die Variationen dx, dy, dz als unabhängig
&SUda ==
74
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen über Maxima u. Minima.
zu betrachten. Fasst man aber L als eine Funktion von x, y, x', y' etc.,
2, ', ' etc. auf, so hat man
SL =
ƏL
ƏL
dL ox +
ƏL
öz' +
oy + D 02 +
by' +
z
dx
De'
dy
dy'
Wir machen für dy', dz' , òy' etc. dieselben Substitutionen wie oben
und erhalten
ƏL
OL dov
OL dou
dL
ƏL
ou +
ox +
до +
6L =
+
+
dx
dz
dz dx
dy
oy' dx
Darnach bekommen die Glieder unter dem Integralzeichen , welche aus
der Gleichung
S(8 ( Udx) +
8 Ldx ) == 0
herrühren, die Form
(Eòx + You + Yov) dx,
worin
E = λdL,
ƏL
1
ου
1
ƏL
+λ
d2
d
+λ
+
dx
dx2
dy
ду
dy"
dy
ду
dy'
ƏL
rau
ου
1
1
Yd2
+λ az +
十入
d
+λ
да
dx a(
Oz"
dx2
ov
ist.
Υ-
ƏL
+λ
dx,
dx
Aus der Bedingungsgleichung L = 0 folgt nun auch dL = 0 , folglich
= 0. Setzt man ebenso die Coefficienten der drei Variationen dx , dy, dz
gleich Null, so hat man wieder nur die beiden Gleichungen Y= 0, ч = 0, von
denen eine zur Elimination der unbestimmten Grösse λ dienen wird. So
bleibt zur Lösung des Problems nur eine Gleichung zwischen x, y, z, welche
mit der gegebenen Gleichung L = 0 zu combinieren ist .
23. Da für den Fall, dass da als constant vorausgesetzt wird,
dy
d2y
y' = dx' y" =dx2 2
=
dz
dx'
d2z
=
dx2'
ist, so sieht man, dass es genügt, in den Funktionen U, L etc. allein die
Variabeln y, z etc. mit ihren Differentialen variieren zu lassen ; nimmt man
▷ als Bezeichnung für die jetzigen partiellen Variationen, so folgt
au
au
ου
-Dy +
·d² Dy + ·
ddyday
+
dd2y
dy
au
au
au
DE+
ddz +
·d² dz + …….
+
Odz
Əz
Od2z
=
SU=
Will man aber zu gleicher Zeit auch auf die Variation von x Rücksicht
dU
nehmen , so braucht man nur zu dem Ausdrucke von U das Glied
ох
dx
dz
etc. zu verwandeln .
dy ôx , de indz.
zu addieren und by in (öy — dy ôx),
dx sat )
(
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen über Maxima u. Minima.
75
Man bekommt dann nach den nötigen Reductionen
Udx = (
Yoy + Yoz + · · ·) dx + Y'ôy + Y" dòy + ··· + Y'òz + Y''dòz + ··
· ,
&Sʊde =Sray
S
· Xôy + ¥ ôê + ·· ·) dæ + Y'êy + Y”đôy +
worin gesetzt ist
au
Y =
y =
y'
ου
да
au
Odz
au
au
au
+ da
d
dy
au
Y' =
òdy
au
Y" =
Od²y
od²y
дау
au
d
+
Əd²y
au
au
2
+ d2
Odz
Od2z
au
-d+
Od2z
d
y" =
Od2z
Nimmt man dann wieder Rücksicht auf die Variation von x , so muss
dy бх
man in allen Gliedern der Integralgleichung noch die Ausdrücke :
dx
dz
ZU
ох zu oz etc. hinzufügen .
dx
24. Dies ist die allgemeine Methode, um die Maxima und Minima unbestimmter Integrale zu bestimmen , für welchen Zweck die Variationsrechnung zuerst erfunden war. Man sieht, dass, wenn man alle Variabeln
variieren lässt, diese Methode eine Gleichung weniger giebt , als Variabele
vorhanden sind , und das entspricht der Natur der Sache , da man nicht
den individuellen Wert einer jeden Variabeln sucht, wie bei den gewöhnlichen
Fragen über Maxima und Minima, sondern unbestimmte Relationen zwischen
diesen Variabeln, durch welche dieselben Funktionen von einander werden und
durch Curven einfacher oder doppelter Krümmung dargestellt werden können .
25. Wir wollen jetzt dieselbe Methode auf Probleme der Mechanik
anwenden und wollen der Einfachheit wegen annehmen, dass der Ausdruck
Pdp + Qdq + Rdr + ...
···
integrabel sei, und wie im Art. 21 des Abschnittes III zum Integral II hat ;
man bekommt dann
: 811,
Pop + Qoq + Ròr + ·
und die allgemeine Gleichung des Gleichgewichts (Art. 13) wird
S(ò (Ïdm) + λôZ + µôM + ···) = 0,
wenn man vorläufig von den für bestimmte Punkte geltenden Bedingungsgleichungen absieht.
76
Abschn . IV, § 3. Analogie mit Probleme über Maxima u. Minima .
n
Da die Masse dm jedes Teilchens des Systems nicht variieren kann,
während die Lage des Systems sich ändert , so muss man odm - O setzen,
und diese Beziehung giebt schon eine Bedingungsgleichung , so dass man
SL = 8dm hat.
In einem linear verteilten System ist im allgemeinen dm = Udx , wo
U eine solche Funktion ist, wie sie im Art. 20 angegeben ist. Man hat
dann
SL = Udx + Uòdx,
und der Ausdruck ShoL wird unter dem Integralzeichen die Glieder
(Eòx + You + Tòv) dx
ergeben, in welchen (Art. 22)
1
= (λаU — а (^ U)) ãx'
==
до
ου
Υλ
αλ
dy
dx
Y = λ OU
1 d ( 100)
1 2 α (18 )
ду + dx
au
au
au --- 1
αλ
.
+
=^
Oz
dx
(2 Og"
26. Wenn also keine andere Bedingung zu erfüllen ist als die hervorgehobene , so wird die Gleichung , welche von den Gliedern unter dem
Integralzeichen herrührt, sein
x + You + Tov) dx = 0,
8Пdm + (
welche für jede der Variationen dx, dy, dz zu erfüllen ist.
Funktion von x, y, z, also hat man
ΕΠ =
II ist aber eine
ап
all
ап
8x +
62,
by +
дх
dy
und da
=
Su
dy-
dz
dy
δι
dx, δυ =62 dx
dx
ist, so wird die vorhergehende Gleichung
ΟΠ
dm +Edx - Ydy·- Ydz 6x
дх
•).
dm +
+( 9
ΟΠ
dm + Ydx dz = 0 .
Vdc:)
): =
Ydx) oj + (111
Daraus folgen die drei Gleichungen
ап
+ Edx - Ydy — V dz = 0,
dx dm
all
dm + Ydx = 0,
ду
ап
dm + Ydx = 0.
да
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen über Maxima u. Minima.
77
Man hat also so viel Gleichungen als Variabele vorhanden sind, und es
scheint hierin ein Unterschied zwischen dieser Art mechanischer Probleme
und den Problemen der Maxima und Minima zu bestehen .
27. Ich bemerke aber zunächst, dass durch die Elimination der unbestimmten Grösse à die drei Gleichungen sich auf zwei reducieren ; obgleich
im allgemeinen die Bedingungsgleichungen immer die Gleichungen ersetzen ,
welche durch die Elimination der unbestimmten Grössen verschwinden, so
kann die hier eingeführte Bedingung òdm = 0, d. h. dm
const. keine besondere Gleichung für die Lösung des Problems liefern, weil man entsprechend dem Geiste der Differentialrechnung irgend ein Element als
constant annehmen darf. In der Tat sind es ja nur die Verhältnisse der
Differentiale zu einander, nicht aber die Differentiale selbst, welche in der
Rechnung auftreten. So reducieren sich also die drei Gleichungen tatsächlich
auf zwei, und sie dienen, wie bei den Problemen der Maxima und Minima,
nur dazu, die Natur der Curve zu bestimmen, welche das lineare System im
Zustand des Gleichgewichts bildet.
28. Ferner sei hervorgehoben, dass man Probleme der Statik, um welche
es sich hier handelt, auch auf einfache Probleme der Maxima und Minima
zurückführen kann.
Denn addiert man die drei oben gefundenen Gleichungen, nachdem man
die erste mit dx, die zweite mit dy, die dritte mit dz multipliciert hat, so
resultiert, da
ап
Әп
ΟΠ
・dx +
dy +
dz = all
dy
дх
dz
ist, die Gleichung
dПdm +
(dx)² = 0.
Man hat aber
Udλ,
und da dm = Udx ist, so wird, indem man durch dm dividiert, dII
· dλ = 0.
-
-=
Edx = λdU — d(λU)
Daraus folgt λ = II + a , wo a eine beliebige Constante ist.
Ferner ist L = odm, also wird der Ausdruck λòL gleich Пlòdm + aòdm
und da Ildm + Пlôdm = (IIdm) ist , so wird die in Art. 25 aufgestellte
Bedingung für das Gleichgewicht in unserm Fall
Sô (Ildm ) + a Sôdm = 0,
d. h.
ô (SÃdm) + aô (S'ảm) = 0.
Dies ist aber die Gleichung, die notwendig besteht, wenn der Integralausdruck Sildm ein Maximum oder Minimum werden soll, unter der Bedingung, dass Sam seinen Betrag bei der Variierung von SПldm nicht ändert.
78
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen über Maxima u. Minima.
Auf diese Weise kann man, wie bei den Problemen der Maxima und
Minima, eine der Variabeln in Bezug auf die Variationen
als constant
ansehen, was die Analyse bedeutend vereinfacht ; aber die allgemeine Methode
hat den Vorteil , dass sie den Wert des Coefficienten λ ergiebt, welcher, der
im vorhergehenden Abschnitt auseinandergesetzten Theorie zufolge , die Kraft
ausdrückt, mit welcher das Element dm der Wirkung der Kräfte P, Q, R etc.,
welche das System angreifen, widersteht.
29. Wir haben der Einfachheit halber vorausgesetzt, dass nur eine
Bedingungsgleichung, L = 0, vorhanden sei ; wenn ausserdem die Gleichung
′ , " etc.
M= 0 vorhanden wäre, wo M eine Funktion von x, y, z, y', y' ' etc. 2
ist, so müsste man unter dem Integralzeichen in der Gleichung des Gleichgewichts zu dem Gliede λdZ noch den Ausdruck µdM, oder auch der Homogenität wegen den Ausdruck μMdx addieren ; die Werte von E, Y, Y des
Art. 25 vermehren sich dann um die respectiven Grössen
1
α
Τ
x μαλ
dα
дм
м бу
1
dx
ΟΛΙ
1 2
+ dx2d
әм
де Dz
1
d
dx
1 2
дм
әм
+ x2d
aar) d
い
ду
дм
(" dy"
So würde man drei Gleichungen von derselben Form wie diejenigen
des Art. 26 erhalten , und diese durch Elimination der unbestimmten Grössen
λ und µ auf eine einzige Gleichung reducieren. Verbindet man aber damit
die Bedingungsgleichung M = 0 , so bekommt man , wie vorher , zwei
Gleichungen zwischen den drei Variabeln x, y, z.
Die drei ursprünglichen Gleichungen geben, wie in Art. 28, die Gleichung
dПldm + = (dx)² = 0 .
Hier ist aber
-=
Edx
Udλ + µdM.
Die Gleichung M = 0 aber ergiebt auch dM := 0; man wird also , wie im
genannten Artikel, haben
Edx
Udλ
und daraus findet man dasselbe Resultat
=
ò (S [ldam) + aô (S'dm) =
30. Allgemein also reduciert sich das Problem des Gleichgewichts
eines Systems von Partikeln, welche durch Kräfte P, Q, R etc. angegriffen
werden, die in den Richtungen p, q, r etc. wirken, und die so beschaffen
sind, dass
= dll
Pdp + Qdq + Rdr +
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen über Maxima u. Minima.
79
ist, einfach auf das Problem, den Integral-Ausdruck Sildm zu einem Maximum
oder Minimum zu machen, indem man im Uebrigen auf die besonderen Bedingungen des Systems Rücksicht nimmt. Dadurch nun treten alle Probleme
des Gleichgewichts in die Klasse der unter dem Namen der isoperimetrischen
Probleme bekannten Probleme der Maxima und Minima.
Für den Fall einer Kette hat man , wenn man die yOrdinaten vertical
annimmt, II = gy , wo g die Constante der Schwerkraft bezeichnet. Für
diesen Fall muss also der Ausdruck Sydm unter allen denen , für welche
der Wert von Sam einen bestimmten vorgeschriebenen Betrag hat,
Sydm
ein Maximum oder Minimum sein.
Es ist aber
die Entfernung des
Sam
Schwerpunktes der Kette von der Horizontalen , es muss folglich diese Entfernung, da die ganze Masse gegeben ist, die grösste oder die kleinste sein,
wie schon lange bekannt ist.
31. Bis jetzt haben wir nur Funktionen von unter einander unabhängigen Variabeln betrachtet ; wenn aber die Variabele
eine Funktion
von x und y ist, und die Funktion U von x, y, z und partiellen Differentialen
von z nach x und y abhängt, so kann man die Variation òU so verlangen,
dass zugleich auf die Variationen von x, y, z Rücksicht genommen wird.
Der Einfachheit halber sei
де
022
Əz
= 2' ;
= 21 ;
dx²
dy
дх
a2z
z" ;
a2z
= 2113
21 ;
дхду
dy2
032
გ 32
=# ;
= 115
dx²dy
Охдуг
გ32
=
მე 3
Die Grösse U wird dann eine Funktion von x, y , z , 2
' ', 21 ,
′ , 71 , 2
211 etc. sein, und man hat
¿U=
au
au
au
dz
ox +
by +
дх
dz
dy
au
+
02+
au
au
au
021 +...
·82, + Əz" ·ôž" +
021
und die Schwierigkeit wird sich darauf reducieren, die Werte der Variationen
ôz', 81, òz etc. zu finden, indem man in den partiellen Differentialen von z
die Elemente da und dy zu gleicher Zeit variieren lässt.
Um die Rechnung einfacher zu gestalten , können wir voraussetzen,
dass die Variation or eine von y unabhängige Funktion von x , und die
Variation dy eine von x unabhängige Funktion von y ist. Wir werden in
der Folge sehen, dass diese Annahme die ganze Allgemeinheit hat, die man
nur wünschen kann.
1
80
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen über Maxima u. Minima.
32.
Setzt man dies voraus, so bekommt man durch Variation
dz' - δ
02
одг
=
дх
дх
de d(dx)
дх дх
Es ist klar, dass
=
60%
дх
дог
одх дох
und
=
дх
дх
дх
ist, man hat also
ôz' =
дог
дх
oz
, dz ·òx + di dy.
dy) +
(dz - z'òx - z, бу
дх
дх
дх
дох
дх
or
% - z'dx)
0 ((dz
ə
ох
+
дх
дх
oder besser
Ebenso folgt
z'òx - 2₁dy)
621 -
+
dy
1
Əz d + D# 8Y,
x
D
dy
y
weil der Aunahme nach
дох
дбу
=0
дх
= 0 und
ду
sein sollte.
Man hat weiter
02" = d
'dz'
=
дх
dx
д дох
Ох дх
Substituiert man hierin den Wert von oz', so ergiebt sich
02(6zz'dx - 21
ê10y)) , 2%
0221
ox + dx2 by,
+
дх2
მე2
ferner
ez
Əòz'
дг'дбу
მყ
by dy
=
δρ =
Substituiert man auch hier den Wert von dz', so ist, da
081
=
дх
a²(dz - z'dx - ≈10y
z₁dy))
0221
02
6х +
+
d
дхду
б
хду y .
дхду
Aehnlich wird man finden
0211
021
02(dez'dx -• 2₁dy)
02
SJ )
dx +
+
by
dy2
dy2
dy2
etc.
33.
Setzt man also zur Abkürzung
ઈંટ
Dz
ох
ох
by = du,
dy
Əz'
2
dy
81
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen der Maxima u. Minima.
und beachtet man, dass
de'
021
Dy
дх
02
021
дх
da'
გ22
011
dé
d '
0221
es
=
-; дхду =
;
;
дх
дх
dy ' Əy²
дхду
;
;
dy
მე 2
0281
Əz"
;
dx2
дх
Oz"
ay i
so hat man einfacher
Sz' =
de
Əz
дби
6х +
+
Dy
дх
дх
Әби
621
+
D&1 dy
081
8x + dy
9
ду
дх
Əy
Oz
"
гби
-8x+ oz
dy dy,
82" =
+
дх
მე2
0.
6x +
"
дх
Dy
D
811 8x + 0d8y
гби
118
+
ду Y 9
дх
dy2
би
821 =
+
Ахду
611
Führt man die so erhaltenen Ausdrücke für die in Frage kommenden
Variationen in dʊ ein und beachtet noch, dass öz in ganz ähnlicher Weise
durch
Əz
д b
y
εx +
δεν = δω+
dy
дх
dargestellt werden kann, so bekommt man , wenn die Glieder in Bezug auf
ôx, dy, und die Derivierten von du geordnet werden,
ουδεί
(du
ου δε
au dz
JU dz"
Ju dz'
+
+
+
+
+ 02
+ ...
ддх
дх
да дх
да дх
дх
да дх
მთ .1მე
8U=
бх
au
du dz
ου δεί
du dzi
aʊ əz"
au dz'
+
+
+
+
+
+ ...
De dy
де" ду
dz dy
d21 dy
dy
dzi oy
au
au dou дидди
au d²du
au d'òu
+
+ Əz ou +
+
+
+
Əz
'' x²
да дх
де дхду
021 ay
+
dy
Es ist aber klar, dass die Faktoren von dx, dy nichts anderes sind als die
partiellen Differentialquotienten von U in Bezug auf x und y, und zwar so gebildet, dass man zugleich auch der Thatsache, dass z Funktion dieser beiden
Variabeln sein soll , Rechnung trägt.
Bezeichnet man diese Differentialquotienten mit
, so hat man also
dy),
(at), (ay
JU Əz
au dz
dU
au d21
=
+
+
+
+0
дх
dz' dx
dx
да дх
მე
მთ2,1 дх
au dz
au
=
dy
+
+
dy
dz dy
Lagrange, Analytische Mechanik.
ουδει
au de'
+
+
Əz dy
dz₁ dy
6
82
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen der Maxima u. Minima.
Die vollständige Variation von U reduciert sich hiernach auf die Form
=
SU=
+
dU
JU
sx +
- δι
dx
(a
dy)by +
ди дои до дои
+
+
Dz ax
dz' dx²
dz₁ dy
du d²du
до
би
+
+
да,1 дхду
+
OF11 Oy²
34. Wenn man ein doppeltes Integral SS Udxdy zu einem Maximum
oder Minimum machen soll, so hat man der Bedingung zu genügen
8 (SSUdxdy) = SS ô ( Udx dy) = 0.
Lässt man nun alle Grössen variieren , so wird 8 ( Udxdy) = ¿ Udx dy
+ Uò (dx dy). Hierbei ist zu beachten , dass dady ein Rechteck vorstellt,
welches ein Element der Ebene der x, y ist, und welches auch nach der Variierung
der Coordinaten x, y um dx, dy ein Rechteck bleiben muss, falls man , wie
geschehen , voraussetzt , dass weder dx von y noch dy von x abhängig ist.
Aus dx dy wird daher einfach dy òdx + dxòdy ; da ferner
8dx =ddx =
doy dy
дох
дх dx, ôdy
doy =
dy
und zudem dx und dy Funktionen allein von x und y sein sollten, so
hat man
dox + vody
by dxdy.
ô (Udx dy) = ( ôU + U дх
ду
Substituiert man den Wert von
U und lässt die Differentiale der Variationen
ox, dy, du durch partielle Integrationen verschwinden , so bleibt unter dem
doppelten Integrationszeichen ein Ausdruck
(Edx + Yoy + You) dxdy,
worin
E=
dx
- (dU = 0 ,
dx
'dU
Y:=
-(ay) — (a
dy ) = 0 ,
au
dU
Y=
Əz
dx
dy
ist.
+
+
dx2
+
(ded₁)
dx dy + ( 2011)
Dabei ist zur Abkürzung gesetzt
U' =
au
au
au
au
U₁ =
-; U" = Əg" ; U₁₂ = əz,'
Əz' ;
U11
=
әй
0211
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen der Maxima u. Minima.
83
und die Differentialquotienten dieser Grössen nach x und y sind in Klammern
eingeschlossen, um anzudeuten, dass dieselben die vollständigen partiellen
Differentialquotienten darstellen sollen, dass also bei beiden Differentiationen
z als Funktion von x und y anzusehen ist.
д
dz
δα
35. Da nun du = 62
dy ist, so liefert der Ausdruck unter
дх
ду
dem doppelten Integralzeichen die einfache Gleichung
δι
Oy by ) = 0.
v ( as -3
дх& -05
Setzt man die Coefficienten von dz, dx, dy einzeln gleich Null, so hat man
hätte
= 0, wie wenn man nur die eine Variabele
nur die Gleichung
variieren lassen.
Man sieht also, dass bei den Problemen der Maxima und Minima
doppelter Integrale, in welchen eine der drei Variabeln eine Funktion der
andern beiden ist, streng genommen nur eine Gleichung direkt gefunden
werden kann, und zwar indem man nur die Variabele, welche eine Funktion
der beiden andern Variabeln ist, nach & variieren lässt. Diese Gleichung
fixiert aber diejenige Fläche, welche dem betreffenden Problem genügt. In
dieser Weise ist zum Beispiel die partielle Differentialgleichung der kleinsten
Fläche (Minimalfläche) gefunden worden. Die Funktion , um die es sich
dabei handelt, ist U = √1 + (2 )² + ( 1 ) ² und das, was wir soeben bewiesen
haben, zeigt, dass diese Gleichung völlig die Bedingungen des Problems
erfüllt, welche Variationen man auch den Coordinaten der Fläche beilegen mag.
36. Man kann die Formeln für Variationen , die wir soeben erhalten
haben, auf die Gleichung eines Oberflächensystems von Teilchen dm anwenden, welche von irgend welchen Kräften angegriffen werden und im
Gleichgewicht verharren sollen.
Berücksichtigt man nur die Unveränderlichkeit von dm, so wird man ,
wie in Art. 25, als Gleichung des Gleichgewichts
SS(8Пdm + 18dm) = 0
haben.
Der Wert von dm wird von der Form Udxdy sein und folglich hat
man (Art. 34)
дох
doy
Sdm = SU + U
+ Uдх
ду
dx dy.
Substituiert man diesen Wert, sowie denjenigen von U des Art. 33 , in
das Integral SSλödm und lässt die Differentiale der Variationen dx, dy, du
durch partielle Integrationen verschwinden, so bleibt unter dem DoppelIntegral nur der Ausdruck
(Eoi + Yông + yêu ) dây ,
6*
84
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen der Maxima u. Minima.
WO
dx
==
U)
dx
E= 1
αλ
dx
αλ
Y= λ
dy )dy -(
2
7)
(
до
Əz
dy
´dŪ₁
'dU
dx
d²U₁
+
+
+
dx2
+
dy2
ist und U
'; U ; U" ; U etc. die im Art. 34 angegebenen Werte haben .
Fügen wir noch zum obigen Ausdruck denjenigen, welcher von dem
Integrale SS&Ildm herrührt, d . h. , indem wir die Werte von oll und dm
substituieren,
all
эп
ΟΠ
sx +
dy ·dy + де 6 Udxdy
дх
Əz
δι
dy (Art. 33), so enthält die
дх
ду
Gleichung des Gleichgewichts unter dem Doppel-Integral die folgenden nach
und setzen für du seinen Wert dz ―
den Variationen dx, dy, dz geordneten Glieder
all
дх
U- Y
Dz
ох
дх
U- Y
Oz)
by dx dy.
dy
(124)]
dx
αλ
ап
U + Ydz.
дг
Daraus ergeben sich die drei Gleichungen
αλ
dx
all
αλ
dy
dy
U-Y
dz
дх
=
гап
дх
0,
==0,
U -Y
dy
ап
U+ Y = 0.
Əz
эп
iert man
——- U de substitu
Aus der letzten dieser Gleichungen folgt
diesen Wert in die beiden andern Gleichungen , so folgt nach Division durch U
эп
ДП д
+
дх
да дх
ап
ӘП 02
+
dy
де ду
αλ
(a ) = 0,
αλ
= 0.
dy
Abschn. IV, § 3. Analogie mit Problemen der Maxima u. Minima.
85
Die erste Gleichung giebt nun = II + Funct. y; die zweite - II + Funct. x,
also muss sein λ = Пl + a, wo a eine Constante ist. Substituieren wir diesen
Wert von
über in
in die allgemeine Gleichung des Gleichgewichts, so geht diese
SS(8 (Пdm) + addm) = 0,
d. h. in
=
ô (SSÏâm) + að (SSdm) — 0.
Dies ist aber die Bedingung , wenn aus dem Doppelintegral SSIldm
ein Maximum oder Minimum unter der Voraussetzung gemacht werden soll,
dass bei der Variation des betreffenden Integrals die Grösse SSdm ungeändert bleibt.
Das Problem der Mechanik*) reduciert sich also auf eine einfache Aufgabe über Maxima und Minima , deren Lösung nur von der Variation der
einzigen Coordinate z abhängig ist , welche selbst als Funktion von x und
y angenommen worden ist (Art. 35) .
Man kann diese Theorie auch auf dreifache Integrale ausdehnen und
ähnliche Schlüsse aus ihnen ableiten.
*) Bei einem Oberflächen-System von Teilchen , oder mit anderen Ausdrücken
bei einer biegsamen Fläche, bleiben nicht allein die Oberflächen-Elemente unveränderlich, sondern auch die linearen Elemente ; es resultiert dies, wie Gauss gezeigt hat,
daraus , dass das Produkt der Krümmungsradien in jedem Punkte einen constanten
Wert hat. Lagrange lässt diese Bedingungen bei Seite und die Gleichungen, welche
er erhält , können folglich nicht als die genaue Uebertragung des Problems angesehen
werden. Man sehe Gauss' Werke. (Bemerkung von Bertrand.)
Abschnitt V.
Lösung verschiedener Probleme der Statik.
Wir wollen nunmehr die Anwendung unserer Methoden an verschiedenen
Problemen über das Gleichgewicht der Körper zeigen ; an der Gleichförmigkeit und Schnelligkeit der Lösungen wird man erkennen , wie sehr
diese Methoden denen , welche man bisher in der Statik angewendet hatte,
überlegen sind.
Capitel I.
Ueber das Gleichgewicht mehrerer Kräfte , die an demselben
Punkte angreifen.
Ueber die Zusammensetzung und Zerlegung
von Kräften.
1. Es sei die Aufgabe gestellt, die Gesetze des Gleichgewichts von beliebig vielen Kräften, P, Q, R etc., zu finden, welche alle auf einen Punkt
wirken und nach gegebenen Punkten gerichtet sind.
Nennt man p, q, r etc. die geradlinigen Entfernungen des gemeinsamen
Angriffspunktes dieser Kräfte von den Punkten, nach denen die Kräfte gerichtet
sind, so hat man für die Summe der Momente aller Kräfte den Ausdruck
Pdp + Qdq + Rdr +
und diese Summe muss im Zustande des Gleichgewichts gleich Null sein.
Es seien x, y, z die drei rechtwinkligen Coordinaten des Punktes , auf
den alle Kräfte wirken , ferner a , b, c die rechtwinkligen Coordinaten für
den Punkt, nach dem hin die Kraft P gerichtet ist; f, g, h diejenigen des
Punktes , nach dem die Kraft Q; l, m, n diejenigen des Punktes , nach
welchem die Kraft R gerichtet ist etc.; alle diese Coordinaten auf dieselben
Axen im Raume bezogen. Nun ist
p = √(x − a) ² + (y — b) ² + (≈ — c) ³,
= /(x — f) ² + (y — g) ² + (≈ − h)²,
r = √(x− 1)² + (y — m) ² + (z — n) ³,
Abschn. V, Cap. I, § 1.
Gleichgewicht eines Punktes.
87
die Grösse Pdp + Qdq + Rdr + ... geht also über in
Xdx + Ydy + Zdz,
worin
X-a
7
X
R+
-fQ +
r
p
q
m
b
У
y -g
y
·R + ···,
Y:
P+
Q+
r
p
q
h
n
-c
2
R+
2=
P+
Q+
r
p
q
=
X=
X
P+
gesetzt ist.
Es ist nicht unnütz zu bemerken , dass in diesen Ausdrücken
X- a
2 -с
y- b
2
;
den Cosinus der Winkel gleich sind,
p
p
p
welche die Linie p , d. h. die Richtung der Kraft P, mit den Axen der
X
2 - h die Cosinus der Winkel
x, y, z bildet ; dass ferner
q
sind, welche die Richtung der Kraft Q mit denselben Axen bildet etc.
(Abschn. II, Art. 7).
die Quotienten
§ 1.
Von dem Gleichgewicht eines Körpers oder eines Punktes , der
durch mehrere Kräfte angegriffen wird.
2. Dies vorausgesetzt , wollen wir zuerst annehmen , dass der Körper
oder Punkt, auf den die Kräfte P, Q , R etc. wirken , völlig frei ist; dann
wird gar keine Bedingung zwischen den Coordinaten x, y, z stattfinden ,
und die Grösse Xdx + Ydy + Zdz wird stets gleich Null sein müssen,
unabhängig von den Werten von dx , dy, dz (Abschn. II , Art. 10). Dies
giebt sogleich
X = 0 ; Y = 0 ; Z = 0.
Diese Gleichungen enthalten also die Gesetze für das Gleichgewicht von
beliebig vielen Kräften , deren Wirkungsrichtungen alle in einem und demselben Punkte zusammenlaufen .
3. Setzt man in diesen Ausdrücken von X, Y, Z: P = p, Q == q, R = r,
was hier geschehen kann , weil es gleichgiltig ist , auf welche Punkte man
die Kräfte wirkend annimmt, wenn diese Punkte nur in den Richtungen
der Kräfte liegen, so erhält man folgende Gleichungen
-a + x − f + x -1 +
= 0,
m +
= 0,
b + y− 9 + y
y
h + ... = 0,
2
c + & ―h + z
hieraus folgt , wenn man die Zahl der Kräfte P, Q, R etc. gleich μ setzt,
a + f + l + ...
X=
9
jj:
b+g+ m +
y=
μ
c + h + n +
9
дв
.
Punktes
eines
Gleichgewicht
1.
§
I,
.
Cap
,
V
.
Abschn
888
und diese Ausdrücke für x, y, z zeigen, dass der Punkt, an dem die Kräfte
zusammen wirken , der Schwerpunkt der Punkte ist, nach welchen diese
Kräfte (unserer letzten Festsetzung nach) streben.
Hieraus folgt das Theorem von Leibnitz , dass wenn beliebig viele
Kräfte in einem Punkte im Gleichgewicht sind, und man von diesem Punkte
gerade Linien zieht , die sowohl die Grösse als Richtung jeder dieser Kräfte
angeben, dieser Punkt der Schwerpunkt aller der Punkte ist , in denen diese
Linien endigen.
Sind also nur vier Kräfte vorhanden, und stellt man sich eine Pyramide
vor, deren vier Ecken in den Enden der geraden Linien liegen , welche
die Kräfte nach Grösse und Richtung vorstellen , so wird Gleichgewicht
zwischen diesen vier Kräften stattfinden , wenn der Punkt , auf den sie
wirken , der Schwerpunkt der Pyramide ist ; denn aus der Geometrie weiss
man , dass der Schwerpunkt jeder Pyramide mit dem Schwerpunkt von vier
Körpern zusammenfällt , die in den vier Ecken der Pyramide sich befinden
und einander an Masse gleich sind. Dieser Satz rührt von Roberval her .
4. Wir nehmen zweitens an, dass der Körper oder Punkt, auf welchen
die Kräfte P, Q, R etc. wirken, nicht gänzlich frei ist, sondern gezwungen
ist, sich auf einer Fläche oder einer gegebenen Linie zu bewegen ; dann
wird man zwischen den Coordinaten x , y, z eine oder zwei Bedingungsgleichungen haben, welche nichts anderes als die Gleichungen dieser Fläche
oder dieser Linie selbst sein werden.
Es sei also L = O die Gleichung der Fläche oder der Linie, auf welcher
der Körper nur gleiten kann ; man muss dann zu der Summe der Momente
der Kräfte Xdx + Ydy + Zdz das Glied λdL (Abschn. IV , Art. 3) hinzufügen, und hat als allgemeine Gleichung für das Gleichgewicht
Xdx + Ydy + Zdz + λdL = 0,
worin
eine unbestimmte Grösse ist.
Da nun
Differentiation
eine bekannte Funktion von x, y , z ist , so folgt durch
OL
ƏL
aL
dx +
de;
dy +
dL =
Dz
дх
dy
substituiert man diesen Betrag von dL in die allgemeine Gleichung und
setzt dann die Summe der mit dx, dy, de multiplicierten Glieder einzeln gleich
Null , so erhält man die drei folgenden particulären Gleichungen für das
Gleichgewicht
aL
X +1
= 0,
дх
aL
Y +1
0,
dy
=0.
Z +λ
Oz
Abschn. V, Cap. I, § 1.
indem man hieraus
Gleichgewicht eines Punktes.
89
fortschafft, resultiert
ƏL
дх
ƏL
Z
дх
Y-
ƏL
X
=0,
dy
ƏL
= 0,
X
Dz
und diese Gleichungen enthalten die gesuchten Bedingungen für das Gleichgewicht eines Körpers , der auf einer gegebenen Fläche zu bleiben gezwungen ist.
5. Wenn man jetzt die im Abschn. IV, Art. 5 gegebene Theorie anwendet, so kann man daraus schliessen, dass die Fläche dem Körper einen
Widerstand entgegensetzt, dessen Grösse
ду )+ ( 6 )
(6 )
+(税
ist, und der senkrecht zu der Fläche ist, der die Gleichung dL = O zukommt. Der Widerstand wirkt also senkrecht gerade auf der Fläche , auf
welcher der Körper sich befindet. Da ferner
ƏL
ƏL
ƏL
=- Y ; λ
=- Χ; λ
λ
Z
дх
да
dy
ist , so folgt, dass der Druck des Körpers auf die Fläche (ein Druck , der
gleich und entgegengerichtet dem Widerstande der Fläche sein muss) durch
'X² + Y² + Z² angegeben wird, und, wenn Gleichgewicht stattfinden soll,
senkrecht zu derselben Fläche wirken muss. Auf diese Bedingung allein
reducieren sich die beiden oben gefundenen Gleichungen für das Gleichgewicht des Körpers, wie man sich durch die Methode der Zusammensetzung
der Kräfte leicht überzeugen kann.
6. Für den Fall eines einzigen Körpers , der von gegebenen Kräften
angegriffen wird , kann man übrigens die Bedingungen des Gleichgewichts
noch einfacher finden, indem man unmittelbar in die Gleichung Xdx + Ydy
ƏL
ƏL
dx +
dy
дх
dy
+ Zdz an die Stelle von de seinen Wert
9 der sich aus
OL
02
der Differentialgleichung der gegebenen Fläche , auf welcher der Körper
gleiten kann , ergiebt , einsetzt , alsdann , gemäss der allgemeinen Methode
(Art. 10 Abschn. II), die Coefficienten der Differentiale dx, dy , welche unbestimmt bleiben, einzeln gleich Null setzt.
Man hat dann sofort die beiden Gleichungen
ƏL
ƏL
дх
dy
= 0,
=0 ; Y - Z
X - ZOL
OL
Əz
Dz
welche mit den oben gefundenen übereinstimmen.
90
Abschn. V, Cap. I, § 2. Zusammensetzung u. Zerlegung v. Kräften.
Aehnlich verfährt man , wenn der Körper der Bedingung unterworfen
wäre, sich auf einer Linie von gegebener Gestalt zu bewegen, welche durch
die beiden Differentialgleichungen dy = pdx , dz = qdx bestimmt ist; man
braucht dann nur diese Werte von dy und dz in Xdx + Ydy + Zdz = 0
zu substituieren, durch Division mit dx erhält man dann
X + Yp + Zq = 0
als Bedingung für das Gleichgewicht.
In allen Fällen aber, wo mehrere Körper im Gleichgewicht sind, wird
die Methode der unbestimmten Coefficienten, die im vorigen Abschnitt auseinandergesetzt ist , den Vorteil sowohl der Leichtigkeit als der Einfachheit und Gleichförmigkeit der Rechnung haben.
§ 2.
Von der Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte.
7. Die identische Gleichung
Pdp + Qdq + Rdr + … .. = Xd + Ydy + Z đỡ ,
die wir im Art. 1 gefunden haben, zeigt, dass das System der Kräfte P, Q,
R etc., welche nach den Linien p, q, r etc. gerichtet sind, mit dem Systeme
der drei Kräfte X, Y, Z gleichwertig ist , die nach den Linien x, y, z gerichtet sind (Abschn . II , Art. 15). Die Grössen X, Y, Z geben also die
Werte der Kräfte P, Q , R etc. , wenn diese nach den drei rechtwinkligen
Coordinaten x , y, z zerlegt sind ; sie streben , diese Coordinaten zu verkleinern, da von den Kräften P, Q, R etc. vorausgesetzt ist , dass sie die
Linien p, q,
etc. zu verkleinern suchen.
8. Wenn allgemein irgend welche Kräfte P, Q, R etc. , die nach den
Linien p , q , r etc. gerichtet sind , auf denselben Punkt wirken , so kann
man alle diese Kräfte auf drei andere reducieren , die nach den Linien έ,
,
gerichtet sind, vorausgesetzt, dass diese drei Linien nicht alle in derselben Ebene sich befinden . Denn, da drei Linien, welche in verschiedenen
Ebenen liegen, zur Bestimmung der Lage eines Punktes im Raume genügen ,
so kann man die Werte der Linien p , q , r etc. stets als Funktionen der
drei Grössen , 4 ,
ausdrücken und nach der Theorie des Art. 15 , Abschnitt II werden die Kräfte P, Q, R etc. gleichwertig mit den drei Kräften
E, Y, O sein, die durch die Formeln
дг
др
да
+
+ Q DE + R
૦૬
да
др
др
+Q
=
+ R
+
. P
მს
14
эф
da
др
дг
Φ= P
+R
+
+Q
дф
дф
E =P
"
ausgedrückt und nach den Linien §, Y,
gerichtet sind, oder auch nur nach
den Elementen de, dy, do, wenn einige dieser Linien krumm sind.
Abschn. V, Cap. I. § 2.
Attraction eines Körpers.
91
Diese Formeln können bei mehreren Gelegenheiten von grossem Nutzen
sein, sind aber besonders dann von Vorteil, wenn man die Resultante einer
unendlichen Menge von Kräften zu suchen hat, die auf einen Punkt wirken,
wie z. B. die Anziehung eines Körpers von beliebiger Gestalt.
9. Es sei m die Masse eines Körpers , von dem jedes Element dm als
Centrum einer Kraft P angesehen wird, die proportional dm und einer
= F(p) , so giebt
Sf(
p) dp = F(p) ,
JF(p)
dm , dessen
das Element dm in dem Ausdruck für E das Glied
DE
Funktion f(p) der Entfernung p ist ; setzt man
Integral in Bezug auf die ganze Masse m das Resultat der Anziehung dieser
Masse in Richtung der Linie & sein wird. Da diese Integration von der
Differentiation nach & unabhängig ist, so kann man dem genannten Integrale
ǝSF(x)dm
auch die Form
geben, so dass , wenn
DE
SF(x) dm = Σ
gesetzt wird, man erhält
ΟΣ
y
οξ
ΟΣ
ΟΣ
ду 3
00
Man braucht dann nur in der Funktion F(p) an Stelle von p den Betrag
dieser Grösse als Funktion der Coordinaten zu substituieren , welche die Lage
jedes Teilchens dm im Raume, und der Coordinaten & , 4, 4 des angezogenen
Punktes bestimmen, und alsdann einzeln die Integration in Bezug auf den
anziehenden Körper, und die Differentiationen in Bezug auf den angezogenen
Punkt auszuführen.
1
1
und folglich
In der Natur hat man f(x) = »½ '› also F(p) = p
Σ = - sdm
p
Es seien a, b, c die Coordinaten eines Teilchens dm des Körpers , man
wird dann, wenn man die Dichtigkeit dieses Teiles als Funktion
von
a, b, c ansieht, haben
dm = rdadbdc,
also
Σ= -S
I da dbdc .
p
Sind nun x, y, z die Coordinaten des angezogenen Punktes , so ist weiter
(Art. 1)
- c)²,
— b) ² + (e —
c — a)² + (y P = √(xalso
Tdadbdc
Σ = -S
√(x − a)² + (y — b) ² + (≈ — c) ²
1
92
Attraction einer Kugel.
Abschn. V, Cap. I, § 2.
10. Der einfachste Fall ist der, wo der anziehende Körper die Form
einer überall gleich dichten Kugel hat. In diesem Falle ist, wenn man
r1 setzt und den Ursprung für die Coordinaten x, y, z des angezogenen
Punktes in den Mittelpunkt der Kugel legt,
m
Σ= —
x² + y² + z²
4
a³
wo m die Masse der Kugel , wie man weiss ,
ist, falls a den Radius
das Verhältnis des Kreisumfanges zum Durchmesser bezeichnet.
Wenn die Dichtigkeit l' im Innern der Kugel variabel ist, muss man,
indem man sie als Funktion von a annimmt und unter a jetzt die Entfernung irgend eines Punktes der Kugel von dem Mittelpunkte dieser versteht, setzen
4
m == 12
/
3 ñSÃd(a³).
und
Man kann auch den Betrag von Σ erhalten, wenn der anziehende Körper
ein elliptisches Sphäroid ist, dessen Oberfläche durch die Gleichung
a2
b2
c2
=1
+
+
A2 B2
C2
dargestellt wird, wo A, B, C die halben Axen der drei Hauptschnitte und
a, b, c die rechtwinkligen Coordinaten der einzelnen Punkte der Oberfläche
sind, die letzteren auf drei Axen genommen, deren Ursprung, der gemeinsame
Schnittpunkt, im Mittelpunkt des Sphäroids liegt. Der allgemeine Ausdruck
dieses Betrages von Σ hängt aber von einem ziemlich complicierten Integrale
ab, mittelst dessen es nicht möglich ist, Σ als Funktion von x, y, z zu erhalten.
Nimmt man aber an, dass das Sphäroid nur wenig von einer Kugel
verschieden ist, oder dass die Entfernung des angezogenen Punktes vom
Mittelpunkte des Sphäroids gegen die Axen des Sphäroids sehr gross ist, so
kann man den allgemeinen Wert von
durch eine convergente, von jeder
Integration freie Reihe ausdrücken . Laplace hat in seiner Theorie der
Anziehung der Sphäroide (Mécanique céleste, tome II, livre III, Cap. I) eine
sehr schöne Formel angegeben, vermöge welcher man nach und nach alle
Glieder der Reihe bilden kann, und welche zu gleicher Zeit zeigt, dass der
Σ
Wert von
m wo m die Masse des Sphäroids ist, nur von den Grössen
(B³ — A²) und ( C² — A²) abhängt, welche die Quadrate der Excentricitäten
der beiden Schnitte sind, die durch dieselbe Halbaxe A gelegt sind.
Ich habe gefunden, dass, wenn man von diesem Resultat ausgeht und
von dem Theorem Gebrauch macht , welches ich in den Denkschriften der
Berliner Akademie von 1792-93 gegeben habe, die genannte Reihe auf
einen Schlag erhalten wird, indem man die Wurzel
1
√x² + y² + 2ª — 2 by — 2 ce + b² + c²
Abschn. V, Cap. I, § 2.
Attraction eines Sphäroids.
93
nach Potenzen von b und c entwickelt , nur die Glieder beibehält , welche
gerade Potenzen von b und c enthalten, und jedes dieser Glieder, wie z. B.
H.b2i c2x in
(1 · 3 · 5 ... ((2¿ — 1 )) ( 1 . 3 . 5 ... ( 2x - 1 )) · H · (B² — A²) i . ( C² — A²)x .m
5.7.9 ... (2i + 2x + 3)
transformiert, wo m die Masse des Sphäroids ist , und durch die Formel
4
3 πABC ausgedrückt wird .
Um also die nach Potenzen von x und y geordnete Reihe zu erhalten,
setze man
r= √x² + y² + 22
und entwickele zuerst die Wurzel (r2 — 2by — 2 cz + b² + c²) ´
nach Po-
tenzen von y und z ; begnügt man sich mit den geraden Potenzen , so
erhält man
"
1
1.3 b² y² + c² ≈2
1.5.7 b¹y¹ + 6 b² c² y²x² + c4 x4
+
+
+
r² + b² + c²
2 (x² + b² + c²)#
8
(x² + b² + c²)³
Man entwickele alsdann die Wurzeln (r² + b² + c²)
etc. nach Potenzen von b², c² und transformiere diese Potenzen in Potenzen von (B² — A²)
(C² - A²) wie in der oben gegebenen Formel angedeutet. Setzt man der
Einfachheit halber
B2 - A² = e², C2— A² = i²,
wo e und die Excentricitäten der beiden Ellipsen sind , welche durch die
Schnitte gebildet werden , die durch die Halbaxen A, B und A, C gehen,
so wird man für
eine Reihe von folgender Form erhalten
Σm (R + Ty² + Ve² + Xy¹ + Yy²x² + Zz4 + ·· ·) ,
WO
1
r
e² + 12
9 (e4 + ¿4) + 6e²¿²
+
+.
2.5 73
8.5.7.7.5
3e2
9e4 + 3e²¿2
T=
4.7.7 +
2.5 r5
312
9i4 + 3e² i2
V=
+.
2.5 r5
4.7.7
3e4
X=
8r9
6e212
...
Y1
8r9
314
Z
829 +
R=
Wir haben die Näherung nur bis zu den vierten Dimensionen von e
und i getrieben, es ist aber leicht , sie so weit auszudehnen , als man will .
94
Abschn. V, Cap. I, § 2.
Attraction eines Sphäroids.
Wäre das Sphäroid aus ellipsoidischen Schichten verschiedener Dichtigkeiten zusammengesetzt , so würde man alsdann , wenn man in dem Ausdruck von Σ die Grössen A, B, C und folglich auch e und i variieren lässt,
S(Td ) als Betrag von Σ für das Sphäroid erhalten .
Ist so der Wert von Σ als Funktion der rechtwinkligen Coordinaten x,
y, z des angezogenen Punktes bestimmt, so hat man durch Differentiation in
ΟΣ ΟΣ ΟΣ
unmittelbar die Kräfte nach den Coordinatenaxen , welche von
?
дх ду д
der totalen Attraction des Sphäroids herrühren.
Nimmt man an Stelle der Coordinaten x , y, z den Radiusvector r mit
zwei Winkeln
und v, die definiert sind durch
x = r cosμ ; y:= r sinµ sinv ; z = r sinµ cosy,
so erhält man durch die drei partiellen Differentiale
ΟΣ
ΟΣ
ΟΣ
dr ' rdµ' r sinµ Əv³
die Anziehung des Sphäroids 1. in Richtung des Radius r, welcher den angezogenen Punkt mit dem Mittelpunkte des Sphäroids verbindet ; 2. senkrecht
auf diesem Radius in der Ebene , welche durch die Halbaxe A geht , und
3. senkrecht auf demselben Radius in einer Ebene, die parallel zu derjenigen
ist, die durch die Halbaxen B und C geht.
Diese Formeln sind besonders in der Theorie der Figur der Erde von
Nutzen.
Capitel II.
Vom Gleichgewicht mehrerer, an einem System von Körpern,
die als Punkte betrachtet werden und durch Fäden oder Stäbe
mit einander verbunden sind, wirkenden Kräfte.
11. Mögen die Kräfte , welche auf jeden einzelnen Körper wirken, sein
welche sie wollen , so haben wir doch eben gesehen (Art. 7) , dass und wie
man sie immer auf drei, X, Y, Z bringen kann, deren Richtungen die der drei
rechtwinkligen Coordinaten x, y, z eben dieses Körpers sind, und die diese
Coordinaten zu verkleinern streben. Wir wollen daher der Einfachheit
halber hier und in der Folge immer voraussetzen , dass alle auf einen
Punkt wirkenden äusseren Kräfte auf drei X, Y, Z gebracht seien. Die
Summe der Momente dieser Kräfte ist dann jederzeit durch den Ausdruck
Xdx + Ydy + Zde bestimmt ; folglich wird die Summe der Momente aller
Kräfte des Systems durch die Summe von so vielen ähnlichen Ausdrücken wiedergegeben, als bewegliche Körper oder Punkte vorhanden sind
•
Abschn. V, Cap. II, § 1. Gleichgew . d. Fäden verbundener Punkte.
95
Indem man also durch ein , zwei , drei etc. Striche die Grössen
bezeichnet, die sich auf die verschiedenen Körper, die wir durch die Zahlen
1 , 2, 3 etc. unterscheiden wollen, beziehen , bekommt man hiernach für die
Summe der Momente der Kräfte, die auf drei oder auf eine grössere Anzahl
von Körpern wirken,
X'dx' + Y'dy' + Z' de' + X" dx" + Y" dy" + Z" de" + X ""' dx""' + Y""'dy""
+ Z"" dz""' +
Man hat daher nur noch die Bedingungsgleichungen L = 0 , M - 0,
N = 0 etc. , die aus der Natur der Aufgabe folgen, zu suchen .
Wenn L, M, N etc. oder auch nur ihre Differentiale dL, dM, dÑ, ...
als Funktionen von x' , y' , z' , x" etc. gefunden sind , nimmt man unbestimmte Coefficienten λ , µ , v etc. und hat zur vorhergehenden Grösse die
Glieder dL + µd M + vdN + ... zu addieren und hierauf einzeln die mit
jedem der Differentiale dx', dy' , dz' , dx" etc. behafteten Glieder gleich
Null zu setzen .
§ 1. Vom Gleichgewicht dreier oder mehrerer Körper , die an einem
unausdehnbaren, oder an einem ausdehnbaren Faden befestigt sind.
12. Wir wollen zuerst drei Körper betrachten , die fest an einen undehnbaren Faden geheftet sind. Die Bedingungen der Aufgabe bestehen
dann darin, dass die Entfernungen zwischen dem ersten und zweiten Körper
und zwischen dem zweiten und dritten unveränderlich seien, da diese Entfernungen die Längen der zwischen den Körpern enthaltenen Teile des als
undehnbar vorausgesetzten Fadens sind . Ist f die erste dieser Entfernungen,
g die zweite , so sind die Bedingungsgleichungen df = 0, dg = 0, folglich :
dL = df, dM = dg und die allgemeine Gleichung des Gleichgewichts dieser
drei Körper wird
X'dx' + Y'dy
' + Z' dz' + X" dx" + Y" dy" + Z" dz'' + X''' də'"' + Y'''dy'"
+ Z" de" + λdf + µdg = 0.
Man sieht aber leicht, dass
'(x''
' ' — x′ ) ² + ( y' — y
′ ) ² + (≈'' — ≈′ ) ²,
f= √(x
= '(x''' — x' ')² + (y'""' — y'') ² + (≈''' — 2'') ²
ist, folglich bekommt man, wenn man differentiiert ,
(x" — x′) (dx" — dx ') + (y' — y') (dy" — dy') + (~" — z′ ) ( dz" — dz') "
df=
f
_ (x' " — x'') (dx' " — dx'') + (y'"' —y' ) (dy"" — dy' ') + (≈'"' —≈'' ) (dz'"' — dz" )
dg =
g
Substituiert man diese Werte, so erhält man folgende neun Gleichungen
als Bedingungen des Gleichgewichts des Fadens
96
Abschn . V, Cap . II, § 1. Gleichgew. d . Fäden verbundener Punkte .
ac" - x'
X' -λ
= 0,
f
Y'
λ
Z'
λ
'y' — y'
70) = 0,
= 0,
f
-
-X
X" + λ
μ
f
Y" + λ
-
Z" + λ
-
= 0,
g
'y'"' —y"` =
0,
g
2".
= 0,
g
'x' "' — x"
X"" +μ
= 0,
g
—y'
'y""
Y"" +μe
g
Z"
" + fe
= 0,
= 0.
g
Man hat also nichts weiter nötig, als die beiden unbekannten Grössen
und μ noch zu eliminieren, was auf verschiedene Art geschehen kann, wodurch man verschiedene, oder verschiedenartig dargestellte Gleichungen für
das Gleichgewicht dreier an einem Faden befestigter Körper erhält. Wir
wollen diejenige Methode wählen, die uns am einfachsten erscheint.
Man sieht zunächst ein, dass, wenn man die erste, vierte und siebente
Gleichung, ebenso die zweite, fünfte und achte und dann die dritte, sechste
und neunte addiert , man folgende drei von den unbekannten Grössen λ, µ
freie Gleichungen erhält
X' + X" + X"" =
Y' + Y" + Y"" = 0,
Z' + Z" + Z"" :=
= 0.
Diese Gleichungen zeigen, dass die Summe aller Kräfte, die parallel zu
jeder der drei Axen sind , gleich Null sein muss ; die Gleichungen bilden
nur einen speciellen Fall der allgemeinen im Abschn. III , § 1 gefundenen
Gleichungen.
Es ist also nur noch übrig , vier andere Gleichungen zu finden ; zu
diesem Zwecke addiere ich, indem ich von den drei ersten Gleichungen absehe , die drei mittleren zu den drei letzten und erhalte dadurch folgende
Gleichungen, in denen u nicht mehr vorkommt,
λ
(2'' — x') = 0 ,
f
λ
Y" + Y
'"'"' + — (y
' —y
' ) = 0,
f
λ
Z" + Z" + ·(≈" — ≈′) = 0 .
f
X" + X"" +
Abschn. V, Cap. II, § 1.
Gleichgewicht starrer Stäbe.
97
Durch Elimination von λ gelangt man zu den zwei folgenden Gleichungen
y" —y
Y" + Y""
(X" + X" ) = 0,
"
Z" + Z""
x"
(X" + X" )= 0.
Betrachtet man die drei letzten Gleichungen , die u allein enthalten , und
eliminiert dieses p, so resultieren die folgenden beiden weiteren Gleichungen
Y""
Z""
y" — y"
X"" = 0,
x"
20 "
2"
-X"" = 0.
x'
Diese sieben Gleichungen enthalten die notwendigen Bedingungen für das
Gleichgewicht der drei Körper ; verbindet man sie mit den Gleichungen ,
welche die Bedingung ausdrücken , dass f und g vorgeschriebene Beträge
haben sollen, so genügen sie, die Lage eines jeden der Körper im Raume zu
bestimmen.
13. Wäre der Faden , den wir noch immer als undehnbar annehmen ,
mit vier Körpern belastet , die , nach den Richtungen der drei Axen der
rechtwinkligen Coordinaten, von den Kräften X' , Y' , Z'; X ", Y", Z" ; X"" etc.
gezogen werden, so fände man durch ein dem vorigen ähnliches Verfahren,
welches zu wiederholen ich für unnötig halte, als Bedingungen für's Gleichgewicht folgende neun Gleichungen
X ' + X" + X""' + X""" = 0 ,
Y' + Y" + Y'' + Y" " = 0 ,
Z' + Z" + 2 "'"' + Z '""':=0,
'
- y" —y
Y"' + Y'"' + Y''"'___
(X" + X"' + X"") = 0,
x".- x'
Z" + Z"" + Z""""
(X" + X''' + X""" ) = 0,
y"" —y"
(X' ' + X"""') = 0 ,
-Z"" + 2""" .
' ""' + X " ') = 0 ,
·(X
x"
Y" +1""".
Y "
y'""' —y "
X " " = 0,
"" - ""
X """ = 0).
Z"""
X'''' - x'''
Es ist leicht, diese Lösung auf eine so grosse Anzahl von Körpern auszudehnen , als man will. Selbst der Fall der Kettenlinie lässt sich als eine
Verallgemeinerung der obigen Probleme behandeln ; diesen Fall werden wir
jedoch nach der am Ende des § 2 des vorigen Abschnittes auseinandergesetzten Methode betrachten.
Lagrange, Analytische Mechanik.
98
Abschn. V, Cap. II, § 1.
Gleichgewicht starrer Stäbe.
14. Man würde eine in gewisser Beziehung einfachere Lösung erhalten,
man die Unveränderlichkeit der Entfernungen f, g etc. gleich von
vornherein in die Rechnung einführte.
Beschränkt man sich auf den Fall dreier Körper , nennt , ' die
Winkel , welche f und g mit der Ebene der x , y bilden und ? , ç' die
Winkel , welche die Projectionen dieser Linien auf dieselbe Ebene mit der
x Achse einschliessen, so hat man
x" - x' = fcos y cosy ; y" — y' = fsing cosy ; " — e' = ƒsinų ;
x"
x" = gcos q'cost' ; y" -y" = gsinq'cos ' ;
" — " = gsiny' ;
Die aus diesen Gleichungen resultierenden Werte von x" , y' , z" ; x'',
y'", "" setzt man in die allgemeine Formel für das Gleichgewicht dreier
Körper, in
X'dx' + Y'dy' + Z'dz + X " dx" + Y " dy" + Ż" dz"' + X""' dx'" + Y "" dy'"
+ Z"" d="" = 0
ein , und indem man einfach die Grössen x', y' , z', q , q' , 4 , 4' , deren
Variationen willkürlich bleiben , variieren lässt , und die mit jeder dieser
Variationen multiplicierten Grössen einzeln gleich Null setzt , erhält man
folgende sieben Gleichungen
X'+ X" + X " = 0,
Y' + Y" + Y"" = 0 ,
Z' + Z" + Z"" = 0,
(X" + X " ) sin
(Y" + Y " ) cos ¢ = 0,
" cos '= 0,
X " sing'- Y"
(X" + X" ) cos y sin + (Y" + Y"" ) singsiny - (Z" + Z""') cosy = 0,
X " cos ' sin ' + Y"" sin q'sin'- Z"" cos '
0,
von denen die fünf ersten mit denen zusammenfallen , die wir in Art. 12
durch Elimination der unbestimmten Grössen λ und u gefunden haben , und
die beiden letzten sich leicht auf jene zurückführen lassen , indem man die
Grössen Y" , Y"" mit Hilfe der vierten und fünften eliminiert.
Aber wenn man auf diese Weise directer zu den Endgleichungen
gelangt , so rührt dies daher , dass man thatsächlich eine vorläufige Transformation der Variabeln angewendet hat, bei welcher die Bedingungsgleichungen schon berücksichtigt werden , wogegen bei unmittelbarer Anwendung der Gleichungen mit unbestimmten Coefficienten , wie im Art. 12,
die Lösung des Problems auf einen reinen Mechanismus des Rechnens
zurückgeführt wird ; ausserdem liefert aber diese letztere Methode durch
die Coefficienten den Betrag der Kräfte , welche die Stäbe f und g infolge
des Widerstandes , den sie ihrer Verlängerung entgegensetzen , aushalten
müssen, wie man dies sogleich sehen wird.
15. Wollte man , dass der erste Körper fest gelegt sei , so hätte man
die Differentiale dx' , dy' , dz ' gleich Null zu setzen , die Glieder , in denen
Abschn. V, Cap. II, § 1.
99
Gleichgewicht starrer Stäbe.
diese Differentiale vorkommen , würden also in der allgemeinen Gleichung
des Gleichgewichts von selbst verschwinden.
Es würden dann die drei ersten Gleichungen des Art. 12, nämlich
λ
λ
- λ (x'' —x′)
(y"" —y')
2 - ( - s ) = 0,
= 00 ; Z'- ") =
X'— ' (x"
—x ') = 0 ; r — f
—(
f
f
nicht mehr stattfinden ; infolgedessen beständen auch die Gleichungen
X '+ X" + X"" + ·
0,
Y' + Y" + Y"" +
0,
Z' + Z" + Z" +
= 0,
zu deren Ableitung jene benutzt sind, nicht mehr ; alle anderen Gleichungen
aber würden unverändert bleiben . Dieser Fall tritt , wie man sieht , ein,
wenn der Faden in einem seiner Enden an einen unbeweglichen Punkt festgeknüpft ist.
Wäre der Faden aber mit seinen beiden Enden fest , so hätte man
= 0, dy"" ··· =
= 0,
nicht nur d ' = 0, dy' = 0, dz' = 0, sondern auch da""
dz'" ....
O und die Glieder , in denen diese sechs Differentiale in der
allgemeinen Gleichung des Gleichgewichts vorkommen , würden verschwinden,
und folglich würden auch die sechs davon abhängigen particularen
Gleichungen fortfallen.
Wenn allgemeiner die zwei Enden des Fadens nicht völlig frei, sondern
an nach einem gegebenen Gesetze bewegliche Punkte befestigt wären, so würde
der analytische Ausdruck dieses Gesetzes eine oder mehrere Gleichungen
zwischen den Differentialen dx' , dy', dz' , die sich auf den ersten Körper
beziehen, und den Differentialen de""
, dy""'
, dz""
, die sich auf den
letzten Körper beziehen , verschaffen . Diese Gleichungen müsste man, nachdem
jede mit einem neuen unbestimmten Coefficienten multipliciert ist , zur
allgemeinen oben gefundenen Gleichung für's Gleichgewicht addieren , oder
man könnte auch den Wert eines oder mehrerer dieser Differentiale , wie
man sie aus den genannten Gleichungen erhält , in diese allgemeine
Gleichung substituieren und hierauf den Coefficienten von jedem der übrig
gebliebenen Differentiale, gleich Null setzen , wie dies in Art. 14 geschehen
ist. Da hier keine besonderen Schwierigkeiten auftreten, so halten wir uns
nicht länger dabei auf.
16. Um die Kräfte kennen zu lernen , welche von der Reaction des
Fadens auf die verschiedenen Körper herrühren , hat man sich nur der in
Art. 5 des vorigen Abschnitts gegebenen Methode zu bedienen .
Man zieht in Betracht, dass im gegenwärtigen Falle
dL= df =(x" — x′ ) (dx' — dx' ) + ( y' ' — y' ) (dy'' —dy' ) + (≈'' — z′ ) (dz'' — dz′ )
f
'')
dM = dg :-(x"' — x'') ( dit"'"' — dx " ) + (y""' —y'' ) (dy""' — dy' ) + (2""' — z″ ) (dz"" — dz
g
7"
100
Abschn. V, Cap. II, § 1.
Die Widerstandskräfte.
ist, hat also 1. in Bezug auf den ersten Körper, dessen Coordinaten x', y ,
z
' sind,
ƏL
ƏL
x" -- x²
2"
y' — y' ƏL
"
;
Dz
dx'
ду
f
f
f
und damit
√ (x'' —
√( 2) + (14) + (14)³ - √(~" — a')° + (ƒ —' — y ')² + (a " — d
')' _ ;1 .
f
(a ) + (2 ) + (9 )
Hiernach wird der erste Körper durch die Wirkung der andern Körper eine
Kraft von der Grösse
erhalten ; die Richtung dieser Kraft steht auf der durch
die Gleichung dL = df = 0 dargestellten Fläche senkrecht , wobei allein
x' , y' ,
als variabel anzusehen sind . Nun ist aber leicht zu sehen , dass
diese Fläche nichts anderes ist als eine Kugel , deren Radius = f ist, und
deren Mittelpunkt die Coordinaten x" , y" , " hat ; folglich ist diese Kraft λ
nach diesem Radius , d. h . nach der Länge des Fadens , der den ersten
und zweiten Körper verbindet, gerichtet.
2. Ebenso hat man in Bezug auf den zweiten Körper, dessen Coordinaten
x", y" , " sind , die Gleichungen
ƏL
x'' x'
ƏL
y
'ƏL
id="
f
dx"
dy
;
'
'
f
f
also
√ (x'
(y″ —
√(~
-) + (~~) + (3 )' =
~
— V(a'" ' — a')'" + (g'" '
— g')² + (a" — a')? _ 1; .
f
Hieraus folgt, dass der zweite Körper von einer Kraft angegriffen wird,
deren Grösse ebenfalls λ ist ; auch diese Kraft steht senkrecht auf der Fläche,
deren Gleichung dL = df= 0 ist , doch ist in ihr a" , y" , " als variabel
anzusehen . Allein diese Fläche ist wieder eine Kugel , deren Radius f ist,
deren Mittelpunkt aber die Coordinaten x' , y' ,
des ersten Körpers hat ;
die Kraft λ, die auf den zweiten Körper wirkt, wird also ebenfalls ihre Richtung nach dem Faden f haben, der diesen Körper mit dem ersten verbindet.
3. Ferner hat man noch in Bezug auf den zweiten Körper.
дм
მეს
әм
y""' — y"
dy"
g
;
g
2
ƏM' =
;
g
also
2
OM\2
OM \ 2
= 1.
√( дх
8 )²+ ( BNM
dy")² + ( DM ) = 1
Der zweite Körper wird also auch noch durch eine Kraft getrieben , deren
Grösse
ist, deren Richtung senkrecht auf der durch die Gleichung dg = 0
vorgestellten Fläche steht, wenn man in ihr x" , y" , " als variabel ansieht.
Diese Fläche ist aber nichts anderes als eine Kugel , deren Radius gleich
g ist ; es folgt also , dass die Kraft μ nach diesem Radius gerichtet ist, d . h .
nach dem Fadeu, der den zweiten Körper mit dem dritten verbindet.
•
Abschn. V, Cap. II, § 1.
Die Widerstandskräfte.
101
Dieselben Schlüsse wird man bei den anderen Körpern machen und
daraus ähnliche Resultate herleiten.
17. Es ist offenbar , dass die Kraft λ , die beim ersten Körper in der
Richtung des Fadens, der diesen Körper mit dem folgenden verbindet, hervorgerufen wird , und die Kraft λ , die der vorigen gleich , aber ihr gerade
entgegengerichtet ist, und in der Richtung desselben Fadens auf den andern
Körper wirkt, nur Kräfte sein können , welche von der Reaktion eben dieses
Fadens auf die beiden Körper herrühren , d . h. von der Spannung , welche
der zwischen dem ersten und zweiten Körper befindliche Teil des Fadens
erleidet ; der Coefficient
drückt also die Grösse dieser Spannung aus.
Ebenso drückt der Coefficient μ die Spannung des Teils des Fadens aus,
der zwischen dem zweiten und dritten Körper enthalten ist u. s . f.
Uebrigens ist bei der Lösung der gegenwärtigen Aufgabe stillschweigend
vorausgesetzt, dass jeder Teil des Fadens nicht nur unausdehnbar , sondern
auch nicht zusammendrückbar ist , so dass er immer die nämliche Länge
behält ; die Kräfte λ, µ etc. drücken also die Spannungen nur insofern aus,
als sie positiv sind und die Körper näher an einander zu bringen suchen.
Wären sie negativ, also strebten sie, sie von einander zu entfernen, so würden
sie vielmehr die Widerstände ausdrücken , die der Faden vermöge seiner
Unbiegsamkeit oder seiner Incompressibilität dem Körper entgegensetzen kann.
18. Um das , was wir eben bewiesen haben, zu bestätigen und zugleich
eine neue Anwendung unserer Methode zu geben, wollen wir jetzt annehmen ,
dass der Faden , an dem die Körper befestigt sind , elastisch und einer
Ausdehnung und Zusammenziehung wohl fähig ist ; es seien dann F, G etc.
die Contractionskräfte der Teile f, g etc. des Fadens , die bezw. zwischen
dem ersten und zweiten und dem zweiten und dritten Körper enthalten sind .
Alsdann ist aus Art. 9 des Abschn. II klar, dass die Kräfte F, G etc.
die Momente Fdf+ Gdg geben werden.
Diese Grösse muss man also zu den Momenten addieren , welche von
der Wirkung der äusseren Kräfte , die , wie wir oben (Art . 11 ) gesehen.
haben, durch
X ' dx' + Y'dy' + Z' dz' + X " dx " + Y" dy" + Z" dz" + X"" dx"" + Y"" dy""
+ Z"" de""' + ...
ausgedrückt werden , herrühren , um die ganze Summe der Momente des
Systems zu bekommen. Sonst soll keine andere Bedingung zu erfüllen sein,
welche auf die Lage der Körper Bezug hätte , man erhält daher die allgemeine Gleichung für das Gleichgewicht, wenn man die angeführte Summe
gleich Null setzt, und bekommt
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + X " dı" + Y" dy
' ' + Z" dz
' ' + X''dx''' + Y '' dy'"'
+ Z" dz"" + ... + Fdf+ G dg + ·
0.
Substituiert man nun die in Art. 12 gefundenen Werte von df, dg etc. und
setzt allemal die Summe der mit jedem der Differentiale dx' , dy' etc. be-
102
Abschn. V, Cap . II, § 1.
Gleichgewicht eines elastischen Fadens.
hafteten Glieder gleich Null , so hat man im vorliegenden Fall folgende
Gleichungen für das Gleichgewicht des Fadens
F( "
x' ) =
= 0,
'
X
f
Y' ―
2'
F(y" —y
') =0,
f
F(2" — ') =
=0,
f
X" + F(x'' — x' ) _ G (x' ' — x" ) — 0 ,
g
f
G(y"" — y" ) ==0,
y
')
F( "
Y" +
g
f
F( "
%')
Z" +
f
X" +
G (~"" — ≈") =0,
g
G(x" — x" ) 0,
g
G(y"" — y″ ) =
0,
g
G (≈"" — 2'') =
Z"" +
0,
J
Y" +
welche, wie man sieht, den dort für den Fall , wo der Faden unausdehnbar
ist, gefundenen analog sind , wenn man nur an Stelle von λ und
setzt F
bezüglich G.
Hieraus folgt, dass F, G etc. , welche hier die Kräfte der Fäden unter
der Voraussetzung, dass diese elastisch sind, ausdrücken, dieselben Grössen
sind , wie diejenigen λ, p , die wir im Art. 16 für eben diese Kräfte der
Fäden unter der Voraussetzung, dass diese unausdehnbar seien, gefunden haben.
19. Wir wollen noch einmal den Fall vornehmen, wo der Faden unausdehnbar und mit drei Körpern belastet ist, aber wir wollen zugleich voraussetzen, dass der mittlere Körper den Faden entlang gleiten kann ; in diesem
Falle wird also die Bedingung der Aufgabe darin bestehen, dass die Summe
der Entfernungen zwischen dem ersten und zweiten , und zwischen dem
zweiten und dritten Körper constant sei. Nennt man also wie oben ƒ und g
diese Entfernungen, so ist f+ g = const und folglich
dfdg = 0.
Man muss daher die Differentialgrösse df+ dg mit einem unbestimmten
Coefficienten
multiplicieren und zur Summe der Momente der verschiedenen.
Kräfte , die nach der Annahme auf die Körper wirken , addieren ; dies giebt
folgende allgemeine Gleichung des Gleichgewichts
X'dx' + Y'dy + Z'de' + X " da" + Y " dy" + Z " dz
' ' + X""' dx""' + Y""' dy""
Z'''dz
'""' + λ (df+ dg) = 0 .
Abschn. V, Cap. II, § 2.
Gleichgewicht starrer Polygone.
103
Substituiert man hier wieder die Werte von df und dg und setzt die Summe
der mit jedem der Differentiale dy' , dx' etc. behafteten Glieder gleich Null ,
so erhält man folgende Gleichungen für das Gleichgewicht des Fadens
'x"
X' 一入
= 0,
f
y" -·y'
Y'• ——-λ
2 ( 1"' —
f '' ) = 0 ,
Z' - λ
2" 0,
f
X"
x". x'
X"
x" + 2 ( *" '" —
— '
*"'
—' "') = 0 ,
f *"* _
g *
y " —y"
Y
Y"
r" + 1 ( 1 f 1 _ " g "" ) = 0,
z"
Z"
— " 2" + 2 ( " —
f
g
' '" -X"
X" +λ
=
= 0,
g
x + x(
g ) = 0,
2" " +
" ) = 0,
( " - ") = 0,
aus denen man nur noch die unbekannte Grösse λ zu eliminieren hat.
Man sieht hieraus, wie man zu verfahren hat, wenn eine grössere Anzahl
von Körpern vorhanden ist, von denen einige an dem Faden befestigt sind,
andere aber frei auf demselben gleiten können .
§ 2. Ueber das Gleichgewicht dreier oder mehrerer Körper, die an einem
unbiegsamen und starren Stabe angebracht sind.
20. Wir wollen jetzt annehmen , die drei Körper seien durch einen unbiegsamen Stab mit einander so verbunden , dass sie stets dieselben Entfernungen unter einander behalten müssen ; in diesem Falle muss nicht allein
df= 0 und dg = 0 sein , sondern auch das Differential der Entfernung
zwischen dem ersten und dem dritten Körper, welche wir mit h bezeichnen,
muss gleich Null sein; nehmen wir also drei unbestimmte Coefficienten λ,
μ,
an, so erhält man folgende allgemeine Gleichung des Gleichgewichts
X'dx' + Y'dy' + Zdz + X" dx" + Y" dy'' + Z" dz" + X"" da"" + X "" dy"
+ Z''' dz''' + λdf + µdg + vdh : = 0,
104
Abschn. V, Cap. II, § 2.
Gleichgewicht starrer Polygone.
Für die Grössen df, dg haben wir ihre Werte schon oben gefunden ; was
dh anbelangt, so ist klar, dass man hat
h = √ (x''' — x') ² + (y'" — y
' ) ² + (≈
' "' — %)³,
folglich
' ) + (≈'" — ≈
′ ) (dz""' — dz')
dh - (x''' — x') (dx''' — dx' ) + (y " — y') (dy" — dy
h
Macht man diese Substitutionen und setzt die Summe der Glieder,
welche mit jedem der Differentiale dx' , dy etc. behaftet sind , gleich Null,
so erhält man folgende 9 particulare Gleichungen
X' - λ
= 0,
ν
h
·Y' ― - λ y" — y - Y y"" -y' ― 0,
h
f
V
Z' - λ
0,
h
X" + λ
- 0,
μ
f
g
y' —y'
y"" —y" =
0,
g
2.
= 0,
μ
g
x"" —x'
+v
0,
h
Y " +λ.
де
Z" + λ
f
―
X" + μ
9
y"" —y"
y'" -y'
'+μ
Y""
+ v
h
g
Z" - "
""'-2'
Z"" +μ
+v
h
9
0,
0.
Aus diesen hat man die unbekannten Grössen λ, µ , v . zu eliminieren,
wodurch die Zahl der Bedingungsgleichungen für das Gleichgewicht auf
sechs reduciert wird.
21. Aus der Form dieser Gleichungen sieht man leicht , dass , wenn
man die drei ersteren zu den entsprechenden der drei folgenden und hernach
zu den entsprechenden der drei letzteren addiert, man sogleich drei Gleichungen
erhält, in denen λ, u, v nicht mehr vorkommen, nämlich
X' + X" + X"" = 0,
Y' + Y"
Y" - 0,
Z' + Z" + Z"" = 0.
Nichts ist leichter als noch drei andere Gleichungen durch Elimination
von λ, μ, v zu bekommen ; um aber hierzu auf die einfachste und allgemeinste
Abschn. V, Cap . II, § 2.
Gleichgewicht starrer Polygone.
105
Art zu gelangen, leite ich zuerst aus den Gleichungen des vorigen Artikels
die folgenden neun transformierten Gleichungen ab
- Y
X
- λ\ Y
' y —
' x —
′ x″ — x′ y″
f
Y y' x'" — x' y''' = 0,
h
z' x'" — x' z'"
x . 2 x¹¹ — x′ 2″ ,
' —
X' z
-Z' x' —
-.λ
Y
= 0,
h
f
-y
' 2″
z' y''' — y' z'''
- λ z' Y
Y' z — Z
' ' — y′
' y' —
—‚
= 0,
—
h
f
y'x'" — x'y' " =
X" y
' —-Y"
Y'' x' + λ Y′ x'' — x′ y″
— 0.
y"
f
g
""
2'x" - x' 2" X" 2' - Z" x" + λ.
fl
= 0,
g
f
z" y""' — y'z''' =
-Z" y' + λ Z
z'
Y'' '
z' —
′ y″ —
= y' "__
μ
,
— 0,
f
9
' x'" - x' y'"' =
y'''ax''' — x'y
y
' ''
X""'y"" — Y"" x"" + μ
+v
0,
h
g
z'' x' '' — x'' z'"
2′ x'" — x′ 2'!! X"" "" - Z" x"" + μ.
+y
0,
h
g
' Z"
'′ y'" —y
Y"" ""' — Z"" y"" + μe. z" y" — y" z"" + y z
= 0.
h
g
Diese Gleichungen sind, wie man sieht, den ursprünglichen analog und
geben auf dieselbe Weise durch einfache Addition folgende drei Bedingungen
Xy - Y'x'+ X" y" — Y" x" + X" y"" — Y"" x" = 0,
X - Zx + X" ' — Z" x" + X"" ""
Z"" x " = 0 ,
Y'z'- Z'y' + Y'' z'— Z" y" + Y''' 2""' — Z""' y""':= 0.
Die drei ersten oben gefundenen resultierenden Gleichungen zeigen ,
dass die Summe der zu jeder der drei Coordinatenaxen parallelen Kräfte für
jeden Körper gleich Null sein muss ; die drei soeben gefundenen Gleichungen
aber enthalten den bekannten Grundsatz der Momente (indem man unter
Moment das Produkt der Kraft in ihren Hebelarm versteht), nach welchem
die Summe der Momente aller Kräfte, vermöge deren das System sich um
je eine der drei Axen zu drehen strebt, ebenfalls gleich Null sein muss .
Es sind also diese sechs Gleichungen nur besondere Fälle der allgemeinen
im Abschnitt III. §§ 1 und 2 gegebenen allgemeinen Gleichungen.
22. Wäre der erste Körper fest, so würden die Differentiale dx', dy' , de'
gleich Null sein, und die drei ersteren der neun Gleichungen des Art. 20
würden nicht mehr gelten ; man hätte dann also nur noch sechs Gleichungen,
welche durch Elimination der drei unbekannten Grössen A, µ, v sich auf
drei bringen liessen.
106
Abschn. V, Cap. II, § 2. Gleichgewicht starrer Polygone.
Um zu diesen drei Gleichungen zu gelangen, kann man sich einer
Methode bedienen, die der analog ist, welche man benutzt hat, um die drei
letzten Gleichungen des vorigen Artikels zu finden, wenn man nur so zu
Werke geht, dass die transformierten Gleichungen nicht mehr die unbestimmten Grössen
und v, welche in den drei ersteren vorkommen, und
von denen man jetzt absehen muss, enthalten. Man erreicht dies aber durch
folgende Combinationen
y′ ) (x' '' — x' " ') — (x" — x ') (y' "'— y' ')— 0,
X" (y" —y') — Y" (x " — x′) — µ.(3' ' — '
g
(≈'' —≈′ ) (x''' — x'') — (x'' — x′) (≈' ' ' —-≈' ')
X" (≈"' —2
′) — Z" (x' ' 11
-— x′) — μg
Y" (z
' —z' ) — Z″ (y' —3′) — µ (s'
0,
—£
' ) (y'"' — y'"') — (y' —Y
'″) — 0,
') (z'" '—z
g
' ” — y ")_ 0,
' " ' —'') ( x' "'— x' ') — (x ' ” — x')(y
— x') + µ (Y
'"'
' ' '(x
''
)—
— Y'''
—y
,' " '
'('
'''''(y""
X
X
—
')
g
(≈' ' — 2' ) (x'''— x' ') —— (x '' — x ′) (2''' — * ') — 0,
X'''(~''' — ~
') — Z''' (x ''' — x') + je
g
(2' '— z
'′) (y'''— y
'""'— y' ) (z' "' — £
'″ ) — (y
' "') — 0 .
Y'''(≈''' — ≈') — Z' "' (y'"' — y' ) + µ ·
9
Addiert man jetzt die drei ersteren dieser transformierten Gleichungen
zu den entsprechenden der drei letzteren, so erhält man sofort folgende drei
Formeln
X" (y" — y′) — Y" (x" — x′) + X''' (y'" — y′) — Y
' "' (x" — x′ ) = 0,
X" ( " -2') - Z' (x" — x ') + X''' (2"" — 2′ ) — Z'" (x"" — x') = 0,
Y" (z" — z
') -— Z" (y" — y' ) + Y''' (2''' — %
' ) — Z'" (y' " — y') = 0,
welche stets stattfinden werden, wie auch der Zustand des ersten Körpers
beschaffen sein mag, da sie nicht von den auf diesen Körper sich beziehenden
Gleichungen abhängen. Diese Gleichungen enthalten, wie man sieht, dasselbe Prinzip der Momente, aber in Bezug auf Axen , welche durch den ersten
Körper gehen .
23. Wir wollen jetzt annehmen, es wäre noch ein vierter Körper an
demselben Stabe befestigt ; die rechtwinkligen Coordinaten desselben seien
x'''', y'''' , z'''', und die diesen Coordinaten parallelen Kräfte X"'" , Y'''', Z'""' .
Man hat dann zur Summe der Momente der Kräfte die Grösse
X'''' dx''"' + Y'''"' dy'""' + Z"' "' dz"""
zu addieren. Ausserdem ist aber, da die Entfernungen zwischen allen Körpern
constant bleiben müssen, nach den Bedingungen der Aufgabe nicht nur
df0, dg = 0, dh0 wie im vorhergehenden Falle, sondern auch dl = 0,
dm = 0, dn = O, wenn man mit l, m, n die Entfernungen des vierten Körpers
Abschn. V, Cap . II, § 2.
Gleichgewicht starrer Polygone.
von den drei vorhergehenden Körpern bezeichnet.
des Gleichgewichts wird also hier
107
Die allgemeine Gleichung
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + X" dx" + Y" dy" + Z" dz" + X'''dx''' + Y '''dy""'
+ Z" dz
'" + X"""' dx'""' + Y"""'dy
' ""' + Z"""' dz
' ""' + λdf + µdg + vdh + пdl
+ pdm + odn = 0.
Die Beträge von df, dg, dh sind dieselben , wie die obigen , was aber
die von dl, dm, dn betrifft, so ist offenbar
1 = √ (x' ''' — x' ) ² + (y'''' — y
′ )² + (~'''' — 2 )²,
m =· √ (x' ''' — x'' ) ² + (y'''' -- y'' )² + (~'' '' — ~'' )³,
n = √ (x'''' — x''' )² + (y'''' — y''') ² + (~' ''' — ~''')²,
folglich
' ''' — y' ) (dy'''' — dy' ) + (2'''' — ≈' ) (dz'''' — dz
′ ),9
dl -(x'''' — x' ) (dx'''' — dx'′ ) +(y
' ' '' — dx' ' ) + (y''"' — y'' ) (dy' ''' — dy'' ) + (2' ''' — z'' ) (dz''''—dz" ) ,
dm = (x
' ''' — x'' ') (dx
m
' ""' — dy''') + (~'''' — z''') (dz
'""' — dz' ' ).
dn = (x' ''' — x''') ( dx'''' — dx''') + (y'''' — y''') (dy
n
Macht man diese Substitution
en und setzt man die Summe der mit jedem
der Differentiale dx' , dy
' etc. behafteten Glieder , gleich Null , so findet
man zwölf besondere Gleichungen , worin die neun ersten dieselben wie die
im Art. 20 sind , wenn man zu ihren linken Seiten folgende Grössen bezüglich addiert
x'
20
2
'"' — y'
Πy
Π
"
" —π
2
7
x"
y""" — y"
--P
- 20'"
し
σ
"
9
7
!!!!
y' ""'—— y'"'
"
7
2"
;
die drei letzten Gleichungen sind aber
X ".m
x'
X'""'+ T
'
—y
y""" -
Y"""' + π
+p
-
= 0,
+o
n
y
'"" — y"
+o
m
== 0,
n
-
Z"""' + π
= 0.
+o
+p
m
n
24. Da man zwölf Gleichungen und sechs unbestimmte Grössen λ, µ , v, π, P,
• zu eliminieren hat, so bleiben für die Bedingungen des Gleichgewichts nur
108
Abschn. V, Cap. II, § 2. Gleichgewicht starrer Polygone.
sechs Endgleichungen , wie für den Fall dreier Körper , übrig , und man
findet ähnlich, wie in Art. 21 , folgende sechs Gleichungen, die denen dieses
Artikels analog sind,
X' + X" + X"" + X""" = 0 ,
Y' + Y" + Y'" + Y""" = 0 ,
Z' + Z" + 2""' + Z""" = 0 ,
X'y'— Y'x' + X" y" -— Y" x" + X "" y"" — Y " x""' + X''""' y"""' — Y''''''''' = 0,
X'z' - Z'x' + X" z" — Z" x" + X"" z" - Z"" x""' + X" " "" — Z""" x'"""" =0,
Y'z - Z'y' + Y" z" - Z" y + Y"" "" — Z"" y"" + Y""" """ - Z""" y "" = 0 .
Anstatt der drei letzten Gleichungen kann man auch die drei nachstehenden
substituieren , die man durch die Methode des Art. 22 findet , und welche,
indem sie gar nicht von den Gleichungen , die sich auf den ersten Körper
beziehen , abhängen , noch den Vorzug haben , dass sie immer gelten , wie
auch der Zustand dieses Körpers beschaffen sein mag,
X"(y" -y') - Y' (x" — x') + X ''' (y'" — y′ ) — Y''' (x'" — x')
+ X'''' (y'""' — y') — Y'''' (x'' "' — x') = 0,
X" (≈'' — z′) —- Z'' (x " — x ') + X'''(2''' — 2′) — Z ''' (x ''' — x′)
+ X'''' (~''''.- *') — Z
' '''' (¿ '''' — x′ ) = 0),
Y" ( "' — ') — Z" (y'' — y
' ) + Y ''' (2'' — 2') — Z''' (y"" — y')
+ Y'''' ('2'''' — · ≈
') — '
Z '""' (y'''' — y') = 0 .
25. Hieraus sieht man schon , wie man verfahren muss , um die Bedingungen des Gleichgewichts irgend einer gewissen an einer unbiegsamen
Stange oder an einem Hebel angebrachten Zahl von Körpern zu finden .
Ueberhaupt leuchtet ein , dass , damit die gegenseitige Lage der Körper
unverändert bleibe , nur die Entfernungen der drei ersten Körper von einander constant zu sein brauchen ; für irgend einen der Körper braucht denn
auch nur seine Entfernung von diesen drei Körpern constant zu sein , da
die Lage eines Punktes stets durch die Entfernungen von drei andern
gegebenen Punkten bestimmt ist. Für jeden neuen Körper , den man noch
an dem Hebel anbringt , muss man also dieselben Schlüsse und dasselbe
Verfahren anwenden, wie im Art. 23 in Bezug auf den vierten Körper ; jeder
neue Körper veranlasst drei neue besondere Gleichungen , aus denen drei
neue Unbekannte zu eliminieren sind, so dass die Zahl der Endgleichungen
immer der bei drei Körpern gleich ist ; es haben auch diese Endgleichungen
stets dieselbe Form, wie die, welche wir im vorigen Artikel gefunden haben.
Ueberdies sieht man , dass diese Gleichungen in denen enthalten sind,
welche wir allgemein für das Gleichgewicht eines beliebigen freien Systems
in den Art 3 und 9 des Abschn. III gefunden haben . Denn da wegen der
Unbiegsamkeit der Stange die Entfernungen der Körper von einander unveränderlich sind , so folgt , dass Gleichgewicht stattfinden muss , wenn alle
Abschn. V, Cap. II, § 3.
Gleichgewicht einer biegsamen Stange.
109
fortschreitenden und drehenden Bewegungen aufgehoben sind. Man hätte
also allein schon durch diese Betrachtung das vorhergehende Problem nach
den Formeln der angeführten Artikel auflösen können ; wir hielten es aber
nicht für unnütz , eine directe und aus den besonderen Bedingungen der
Aufgabe gezogene Lösung zu geben.
§ 3.
Vom Gleichgewicht dreier oder mehrerer Körper, die an einem
elastischen Stabe befestigt sind.
26. Wir wollen nun von neuem den Fall der drei durch einen Stab
verbundenen Körper betrachten , wollen jetzt aber annehmen , der Stab sei
in dem Punkte , in welchem sich der zweite Körper befindet , elastisch , so
dass zwar die Entfernungen dieses Körpers vom ersten und letzten constant
sind, der Winkel aber, den die Verbindungslinien des mittleren Körpers mit
den beiden anderen Körpern einschliessen, sich verändern kann und dass die
Wirkung der Elasticität darin besteht , diesen Winkel zu vergrössern und
folglich den durch eine dieser Linien und die Verlängerung der andern
gebildeten äusseren Winkel zu verkleinern .
Wir wollen die Kraft der Elasticität E nennen und den äusseren
Winkel, welche sie zu verkleinern strebt, e , so ist das Moment dieser Kraft
(Abschn. II, Art. 9) ausgedrückt durch Ede, so dass die Summe der Momente
aller Kräfte des Systems
X'dx'+ Y'dy' + Z'de' + X " dx" + Y" dy" + Z" de" + X""' dx"" + Y""' dy""
+ Z" dz"" + Ede
sein wird.
Die Bedingungen der Aufgabe sind hier dieselben wie im Art. 12,
d. h. es ist df= 0 ; dg = 0, folglich hat man folgende allgemeine Gleichung
für das Gleichgewicht
X'dx' + Y'dy' + Z'dz' + X'dx'' + Y" dy" + Z" dz
' ' + X''' dx ""' + Y'""'dy'"
+ Z"" de"" + Ede + λdf+ udg = 0.
Hierin sind noch die Werte von de, df, dg zu substituieren.
Die Werte von df und dg sind dieselben wie im genannten Artikel.
Um den Wert von de zu finden , beachte man , dass in dem Dreieck,
dessen drei Seiten f, g, h sind (Art. 20), woh die geradlinige Entfernung
zwischen dem ersten und dritten Körper bedeutet, der der Seite h gegenüberliegende Winkel 180° - e ist, so dass man nach einem bekannten Satze hat
cose =
— h²
f² + g² 2fg
Der Wert von de folgt hieraus durch Differentiation. Man hat aber nach
den Bedingungen der Aufgabe df = 0 ; dg = 0, braucht daher nur e und
als veränderlich anzunehmen, und erhält so
de =
h dh
1g sine
110
Abschn. V, Cap. II, § 3.
Gleichgewicht einer biegsamen Stange.
Substituiert man diesen Wert in die vorhergehende Gleichung, so ist klar,
dass sie dieselbe Form annehmen wird wie die allgemeine Gleichung
für das Gleichgewicht in dem Falle des Art. 20 , wenn man nur in dieser
Eh
V
setzt. Die besonderen Gleichungen sind folglich in beiden
fg sine
Fällen dieselben, nur mit dem Unterschied, dass in der des genannten Artikels
die Grösse unbestimmt ist und folglich eliminiert werden muss, während in
dem gegenwärtigen Falle diese Grösse als völlig bekannt anzusehen ist, und
man nur die zwei unbestimmten Grössen λ, μ zu eliminieren hat , es bleibt
also eine Endgleichung mehr übrig , als im angeführten Falle , d. h. , man
hat sieben Endgleichungen anstatt sechs. Da aber nichts hindert, die Grösse
✓ mag bekannt sein oder nicht, sie selbst nebst den beiden anderen Grössen
und μ zu eliminieren , so ist klar , dass man auch im gegenwärtigen Falle
zunächst dieselben Gleichungen bekommt, die in Art. 21 , 22 gefunden worden
sind, und um dann die siebente Gleichung zu finden, hat man nur in den
drei ersten oder μ in den drei letzten der neun besonderen Gleichungen des
Eh
Art. 20 zu eliminieren und für v seinen Wert zu substituieren.
fg sine
27. Hätte man übrigens in dem Werte von de nicht df = 0 und dg = 0
setzen wollen , so hätte man einen Ausdruck von folgender Form erhalten
h dh
de
+ Adf+ Bdg,
fg sin e
wo A und B Funktionen von f, g, h und sine sind , alsdann würden die
drei Glieder
Edeλdf pdg
der allgemeinen Gleichung sich in
Eh
dh + (EA
) df + (EB + µ) dg
fg sine
verwandelt haben ; aber λ und µ sind zwei unbestimmte Grössen , man kann
also offenbar an ihre Stelle ( — EA), (µ — EB) setzen , wodurch die vorgegebene Grösse sich in
Eh
dh + λdf + µdg
fg sine
verwandelt , genau so , als wenn f und g in dem Ausdruck von e constant
gewesen wären .
Sind noch mehr Körper unter einander durch elastische Stäbe verbunden ,
so findet man auf gleiche Art die für das Gleichgewicht dieser Körper nötigen
Gleichungen , und überhaupt giebt unsere Methode allezeit mit derselben
Leichtigkeit die Bedingungen des Gleichgewichts eines Systems von Körpern ,
die auf eine gewisse Art unter einander verbunden sind, und von beliebigen
äusseren Kräften getrieben werden , an die Hand . Die Rechnung geht, wie
man sieht, immer den gleichen Weg, und dies hat man als einen der Hauptvorteile dieser Methode anzusehen.
Abschn. V, Cap. III, § 1. Gleichgewicht eines elastischen Fadens.
111
Capitel III.
Vom Gleichgewicht eines Fadens , dessen
sämmtliche Punkte
durch irgend welche Kräfte gezogen werden, und der als biegsam
oder unbiegsam, oder elastisch und zu gleicher Zeit als dehnbar
oder undehnbar angesehen wird.
28. Es ist hier der Ort, die Methode anzuwenden , welche wir in Abschnitt IV, § 2 angegeben haben.
Wir wollen um grösserer Einfachheit willen immer voraussetzen , dass alle
äusseren auf jeden Punkt des Fadens wirkenden Kräfte auf drei Componenten
X, Y, Z reduciert seien, deren Richtungen nach den rechtwinkligen Coordinaten x, y, z dieses Punktes gerichtet sind. Nennen wir dm das Element
des Fadens, welches proportional dem Element ds der Curve, die der Faden
bildet, multipliciert mit der Dicke des Fadens ist, so erhält man auf diese
Weise für die Summe der Momente aller dieser Kräfte in Bezug auf die ganze
Länge des Fadens das Integral (Art. 12, Abschn. IV)
S(Xox + Yoy + Zòz) dm,
und da die Grösse Xdx + Ydy + Zdz nur eine Transformation von Pdp
+ Qdq + Rdr + ……. (Art. 1 ) ist, wenn die Kräfte P, Q, R etc. so beschaffen
sind, dass diese Grösse integrabel ist, so hat mau, wenn man noch wie im
Art. 25, Abschn. IV das Integral dieses Ausdrucks mit Il bezeichnet,
Xox + Yoy + Zòz = dП ,
und die Summe der Momente ist durch Soll dm ausgedrückt.
§ 1.
Vom Gleichgewicht eines biegsamen, unausdehnbaren Fadens.
29. Wir wollen zuerst den Fall eines vollkommen biegsamen und unausdehnbaren Fadens betrachten . Es sei ds das Element der Curve, die der
2
Faden bildet, welches durch
da2 + dy² + dz² ausgedrückt ist, so muss
wegen der Bedingung der Unausdehnbarkeit ds eine constante Grösse sein,
und folglich hat man in Bezug auf jedes Element des Fadens die unbestimmte Bedingungsgleichung ôds = 0. Multipliciert man also ôds mit einer
unbestimmten Grösse
und nimmt das ganze Integral , so hat man Shods,
und wenn weiter keine Bedingungsgleichung vorhanden ist , bekommt man
die allgemeine Gleichung für das Gleichgewicht, wenn man die Summe der
beiden Integrale Sollam und Sheds gleich Null setzt.
Da nun ds = √dx² + dy² + dz² ist , so erhält man , wenn man nach ô
differentiiert,
ods =
dxò dx + dyody + dzòdz
ds
112
Abschn. V, Cap. III, § 1. Gleichgewicht eines elastischen Fadens.
also
λαχ
λαπ
8dz.
y ôdy + S
Sdds
Srods = S
x sdx + Sλd
ds
ds
Aendert man nun ôd in dò und integriert partiell , um d vor & fortzuschaffen , so hat man nach den in Art. 15 , Abschn. IV gegebenen Regeln
die folgenden transformierten Gleichungen
N'dx"
-δι
Sλda 8dx =
ds
ds"
Xdx'
Sx' — Sã¹dx 8x,
ds
ds'
X
" dy"
dy"
ds"
X'dy'
-by,
ds' by - Salay
X''dz"
82'
Sλde öde =
ds
ds"
X'dz'
ôz′ — Sa¹dz 62 .
ds
ds'
Sdy ody
ds
Die allgemeine Gleichung des Gleichgewichts wird also.
λαχ
δε
d
Xdm ds ) às + ( Ydm - ddy
s [(xam
ds ) by + ( Zum — à ds
d de
de ) se]
X''dx"
X"dy"
ông
+ ds" Òx" +
ds"
t
X" dz"
‫الحرة‬
ds"
X'dx'
·òx'
ds'
'
X'dy
ds' by'
N'oz
ds'
= 0.
30. Setzt man nun (Abschn IV, Art. 16 ) die Coefficienten von dx, dy,
dz unter dem Zeichen S gleich Null, so erhält man folgende drei particuläre
und unbestimmte Gleichungen
Xdm - d
λαχ
= 0,
ds
Ydm - d
λαμ =
0,
ds
Zdm - d
λαν
- 0.
ds
Iudem man hieraus die unbestimmte Grösse
eliminiert, bleiben noch
zwei Gleichungen übrig , welche dazu dienen , die Curve , die der Faden
bildet, zu bestimmen.
Diese Elimination kann aber auf eine sehr leichte Art bewerkstelligt werden,
denn man braucht nur die vorhergehenden Gleichungen zu integrieren , so
erhält man folgende Formeln
λαχ
= A + Xdm,
ds
Sxdm,
λάψ
\ Ydm,
ds — B +
+Sxdm .
λας
=C+
ds
3+ Szam.
113
Abschn. V, Cap. III, § 1. Gleichgewicht eines undehnbaren Fadens.
wo A, B, C beliebige Constanten sind ; eliminiert man X, so folgt
dy =B + /Ydm
dx
A +/ Xdm
da
dx
C + /Zdm
2
A + / Xdm
Gleichungen , die mit den bekannten Gleichungen der Kettenlinie übereinstimmen.
Will man direkt zu reinen Differentialgleichungen gelangen , in denen
das Zeichen
nicht vorkommt , so kann man die particulären Gleichungen
S
auf die Form
dix
dx
dλ = 0,
Xdm ― λα
ds
ds
Y dm - λα
dy
ds
dy
αλ = 0 ,
ds
Zdm
dz
ds
dz
λ=0
ds
- λα
bringen. Hieraus erhält man zunächst durch Elimination von dλ folgende
zwei Gleichungen
- Yd
Xdy —
dm
ds
Zdx
Xdz
dm =
ds
dy , dx
d
ds ds
dx , dy
d
ds ds
dz .dx
d
지dsds
dx dz
d
ds ds
dx
Wenn man dann noch dieselben Gleichungen resp. mit ds
multipliciert, so hat man nach einer Addition, da
dy
ds
dz
ds
dx d.x
dz
dy , dy
dz
1
' dx² + dy² + dz²\ = 0
=
+
d
= — d
a
= 0
d
+
d
ds
ds
ds
ds
ds
ds
2
ds2 -༧༠༠ )
ist, die Gleichung
X+ Ydy + Zd dm = dλ
ds
und man hat nur noch in dieser letzten Gleichung den aus jeder der beiden
vorhergehenden Gleichungen resultierenden Wert von dλ nach einander zu
substituieren , um zwei Differentialgleichungen für die Gleichung der Curve
zu erhalten.
31. Da die Grösse λods das Moment einer Kraft
darstellen kann,
welche die Länge des Elementes ds (Abschn. IV , Art. 6) zu verkleinern
strebt, so wird das Glied Shods der allgemeinen Gleichung für das Gleichgewicht des Fadens (Art. 29) die Summe der Momente aller Kräfte λ angeben,
die man sich als auf die einzelnen Elemente des Fadens wirkend vorstellen
kann.
In der That widersteht jedes Element infolge seiner Unausdehnbarkeit
8
Lagrange , Analytische Mechanik.
114
Abschn. V, Cap. III, § 1. Gleichgewicht eines undehnbaren Fadens.
der Wirkung der äusseren Kräfte , und man sieht diesen Widerstand gewöhnlich als eine active Kraft an , die man als Spannung bezeichnet.
Hiernach drückt also die Grösse λ die Spannung des Fadens aus.
32. Was die Bedingung der Unausdehnbarkeit des Fadens betrifft,
welche durch die Unveränderlichkeit der Länge jedes Curvenelementes ds
dargestellt wird, so kann man sie nicht dadurch in die Gleichung der Curve
einführen, dass man sie an die Stelle der unbestimmten Grösse λ setzt, wie
in dem Fall , wo der Faden ein Polygon bildet , weil der absolute Wert der
Elemente von Curven, und im allgemeinen aller unendlich kleinen Elemente,
der Natur der Differentialrechnung gemäss unbestimmt bleibt. Aus demselben Grunde brauchen aber auch nicht ebenso viele Gleichungen als
Variabele vorhanden zu sein, es genügt, wenn eine Gleichung weniger vorhanden ist, um eine Linie einfacher oder doppelter Krümmung zu bestimmen.
So ist also die Lösung , die wir soeben durch unsere Methode gefunden
haben , in Anbetracht der Differentialgleichungen vollständig , und erfordert
nichts weiter als Integrationen, welche von den Ausdrücken für die Kräfte X,
Y, Z abhängen.
33. Wir wollen jetzt in der allgemeinen Gleichung des Art. 29 die
Glieder betrachten, welche ausserhalb des Zeichens S sind , und wir wollen
zuerst annehmen , dass der Faden völlig frei ist. In diesem Falle werden
die Variationen ôx' , òy' , òz', ôx" , òy" , òz" , die sich auf die beiden äussersten
Punkte des Fadens beziehen , unbestimmt und willkürlich sein , und es muss
jedes Glied, in dem eine dieser Variationen vorkommt, für sich selbst gleich
Null sein. Hiernach hat man X' = 0 , X″ = 0 , d . h. der Wert von λ muss
am Anfang und am Ende des Fadens gleich Null sein. Man erfüllt diese
Bedingung mit Hilfe der Integrationsconstanten . Nun geben die drei ersten
Integralgleichungen des Art. 30 für den ersten Punkt des Fadens , wo die
mit
behafteten Grössen gleich Null sind,
N'dz'
Ndx'
X'dy
'
= A,
= B , ds' = C,
ds'
ds'
und für den letzten Punkt des Fadens, wo
sich in S verwandelt ,
vo S
Xdx"
X" dz"
X" dy"
= C + SZdm.
SYdm,
= A + SXdm,
ds"
ds"
ds" = B +
Man hat also im Falle eines an seinen Enden freien Fadens
A = 0, B = 0, C = 0,
und damit auch
SXdm = 0, S'Ydm = 0, Szdm = 0.
Diese letztern drei Gleichungen entsprechen, wie man sieht, denen des
Art. 12 des gegenwärtigen Abschnittes .
Abschn. V, Cap. III, § 1. Gleichgewicht eines undehnbaren Fadens.
115
34. Wir wollen zweitens annehmen , der Faden sei an einem seiner
Enden oder an beiden festgemacht. Ist der Faden an seinem ersten Ende
befestigt , so sind die Variationen dx' , oy' , oz gleich Null , X' tritt also gar
nicht auf; dx", oy' , dz" sind aber willkürlich und man hat noch die
Coefficienten von ôx" , dy" , dz" auch gleich Null zu setzen, d. h . man muss
X" = 0 machen.
Aus demselben Grunde wird , wenn das zweite Ende fest ist , X' = 0 zu
machen sein. Wären aber beide Enden zu gleicher Zeit fest, so hätte man
keine besondere Bedingung zu erfüllen , da in diesem Falle die Variationen
dx' , dy' , dx', dx" , dy" , dz" von vornherein alle gleich Null sind.
35. Wir setzen drittens voraus , die Enden des Fadens seien an
krummen Linien oder Flächen gebunden und können längs dieser Linien
oder Flächen frei gleiten. Es seien z. B.
a'dx' + b'dy' ; dz' = a" dx" + b" dy"
dz'
die Differentialgleichungen der Flächen , an denen bez. der erste und letzte
Punkt gebunden ist. Man erhält dann, indem man & für d setzt ,
=
c + ở ông .
thông ;các
= a
Hiernach sind diese Werte von dz' , dz" in die vorgegebenen, auf die Enden
sich beziehenden Glieder zu substituieren und darauf die Coefficienten von
òx', òy', dx'' , òy" gleich Null zu setzen .
Allgemein kann man den Teil, der ausserhalb des Zeichens S in der all-
gemeinen Gleichung des Gleichgewichts sich befindet , so behandeln , als
wenn er allein stände und die Gleichung für das Gleichgewicht zweier
Körper vorstellte, die von einander getrennt und an den Euden des Fadens
befestigt sind.
36. Wir wollen annehmen , der Faden sei z. B. mit seinen beiden
Enden an den beiden Enden eines um einen festen Punkt beweglichen
Hebels festgemacht. Es seien a , b , c die drei rechtwinkligen Coordinaten,
die im Raume die Lage dieses festen Punktes , d . h. des Unterstützungspunkts des Hebels bestimmen, und es sei feruer f die Entfernung zwischen
diesem Unterstützungspunkt und dem Ende des Hebels , an welchem das
erste Ende des Fadens befestigt ist , g die Entfernung zwischen demselben
Unterstützungspunkt und dem andern Ende des Hebels , an welchem das.
zweite Ende des Fadens befestigt ist, h die Entfernung zwischen den beiden
Enden des Hebels , und folglich auch zwischen den beiden Enden des
Fadens, so ist klar , dass diese 6 Grössen a , b , c , f, g , h durch die Natur
der Aufgabe vorgeschrieben sind . Zugleich sieht man , dass , wenn x' , y , z die
Coordinaten für den Anfang der vom Faden gebildeten Curve und x" , y' , z''
die Coordinaten für das Ende dieser Curve sind , man hat
-f= √(a − x' )² + (b − y′ ) ² + (c — 2'′ )²,
2
·
9 = √ (a — x'')² + (b − y' ') ² + (c — ≈'')²,
h = √ (x" — x' )² + (y″ — y′ ) ² + (2'' — 2' )².
8.
116
Abschn. V, Cap. III, § 1. Gleichgewicht eines undehnbaren Fadens .
Diese Grössen f, g, h sind aber unveränderlich , differentiiert man also durch
8, so erhält man folgende drei bestimmte Bedingungsgleichungen
(a(a − c )
+ (b − y ) ông + ( −2 )
= n,
"
--=
(a − x ) x + ( b − y ) ông ” + ( c −z")
= 0,
( — x ) ( c – ôn) + ( − y) (ông— ông ) + (− z ) (
—
) = 0.
Diese Gleichungen hat man nun jede mit einem unbestimmten Coefficienten
zu multiplicieren und zur allgemeinen Gleichung für das Gleichgewicht zu
addieren. Nimmt man a , ß , y für diese 3 Coefficienten an und setzt die
Factoren , mit denen dann die 6 Variationen dx' , dy' , dz'; dx" , òy" , dz"
behaftet erscheinen , gleich Null , so erhält man auf diese Weise ebenso
viele particuläre bestimmte Gleichungen, nämlich
X dx'
a (a — x′ ) — y (x” — x′) — ds' = 0,
X dy
- 1 (y" — y') — ' ' - 0,
a (b − y ) —
ds'
X
' dz'
0,
a (c — z ) — y (≈' ' — ≈') —
ds'
X"dx"
- 0,
ß (a — x'') + ɣ (x' — x′) + ds"
" =
X" dy
0,
ds"
X
'
"'dz"
0.
ß
ẞ (c — ≈'') + y (≈" — ≈′) + ds"
ẞ (b − y' ) + 1 (y'' — y') +
Durch Elimination von a, ß, y lassen sich diese sechs Gleichungen auf drei
reducieren.
Verbindet man hierauf diese drei Gleichungen mit den obigen drei Bcdingungsgleichungen , so ist man im Stande , die Lage der beiden Enden
des Fadens zu bestimmen . Man sieht daraus , wie man sich in ähnlichen
Fällen zu verhalten hat.
37. Sind ausser den Kräften , die jeden Punkt des Fadens beleben ,
noch besondere an den beiden Enden des Fadens angreifende und durch
X', Y' , Z' für das erste Ende des Fadens , durch X", Y" , Z" für das
zweite Ende desselben dargestellte Kräfte vorhanden , so geben diese Kräfte
die Summe weiterer Momente
Xôx + Y'ông + Z '
+ Xô " + Y " ông " + Z" ô ¢" .
Man hat diese Summe noch zum ersten Glied der allgemeinen Gleichung
für das Gleichgewicht zu addieren , d . h. zu dem Teile , welcher ausserhalb
des Zeichens S steht. Dadurch geht dieser Teil über in
X"dz"
X"+ X " da " ) dx"" + ( x " + " dy " ) ay" + ( 2 " +
ds"
ds" ") "
' de'
Xdx'
X
dx² + Y'
öz'
X'
day)oy
' + ( Z' xds'
ds' ds' -):
(z
)
+(
Abschn. V, Cap. III, § 1. Gleichgewicht eines undehnbaren Fadens.
117
und mit diesem Ausdruck würde man in den verschiedenen Fällen so zu
verfahren haben, wie wir in den vorhergehenden Artikeln an einzelnen Beispielen erläutert haben.
38. Man nehme jetzt an, der in allen seinen Punkten durch dieselben
Kräfte X, Y, Z angegriffene und noch überdies durch die Kräfte X' , Y' , Z' ;
X" , Y", Z" an seinen beiden Enden gezogene Faden soll seiner ganzen
Länge nach auf einer gegebenen krummen Fläche liegen, deren Gleichung
dz = pdx + q dy ist , und man verlange die Figur und Lage dieses Fadens
zu kennen, wenn er im Gleichgewicht beharrt.
Diese Aufgabe , die nach den gewöhnlichen Lehrsätzen der Mechanik
vielleicht schwer zu behandeln sein würde , wird durch unsere Methode
und Formeln leicht gelöst. Denn verändert man d in ô , so wird aus der
Gleichung der gegebenen Fläche dz =
- pox + qoy; man hat also nur diesen
Wert von oz in die Glieder, die sich unter dem Zeichen S der allgemeinen
Gleichung für das Gleichgewicht des Fadens befinden (Art. 29) , zu substituieren ,
und hernach die Summen der Grössen , in denen dx und dy vorkommen,
gleich Null zu setzen . Man gelangt dann zu folgenden zwei unbestimmten
Gleichungen
λαχ
λαχ
d
Xdm
d . ds
0,
Zdm
ds + p (
Adz
λάψ
- d
=0.
Ydm - d
ds
ds + q (Zam
Verbindet man dieselben mit der Gleichung dz = pdx + q dy der Fläche
und eliminiert die unbestimmte Grösse λ , so erhält man zwei Gleichungen,
aus denen die Krümmung des Fadens sich unmittelbar bestimmen lässt.
39. Da wir ferner vorausgesetzt haben , dass der Faden sich seiner
ganzen Länge nach an diese Fläche anschmiegt , so hat man auch für
seine beiden äussersten Punkte
"1
=
phổ thông , und ô" = phô " + q " ông" .
Man substituiere daher auch noch diese Werte in die Glieder ,
die sich
ausserhalb des Zeichens S der allgemeinen Gleichung befinden , oder vielmehr in den im Art. 37 gegebenen Ausdruck , in dem auch auf die Kräfte
X' , Y' etc. Rücksicht genommen ist, hierauf setze man die Grössen , in
denen jede der übrigen vier Variationen dx' , oy, ôx" , oy' vorkommen,
gleich Null , das Resultat besteht dann in den folgenden vier neuen bestimmten Gleichungen
' da
X
X dz'
= 0,
X'
' (Z'
ds'
ds' +p
X de
X dy'
==0,
Y'
+ qZ'
(z
ds'
ds'
X
" da"
X''dz"
= 0,
X" +
+p" Z" +
ds"
ds"
X
'dz"
'
"
X"dy"
=
Y" +
+ q" Z" +
ds"
ds"
118
Abschn. V, Cap. III , § 1. Gleichgewicht eines undehnbaren Fadens.
denen man mit Hilfe der bei den Integrationen auftretenden Constanten
genügen muss.
40. Aber anstatt, wie wir gethan haben , den Wert von de durch ôx
und by, nach der Gleichung dz — pôr
pòx — qoy := 0 auszudrücken und ihn
dann zu substituieren , könnte man diese letztere Gleichung als eine neue
unbestimmte Bedingungsgleichung anschen ; dann müsste man diese
Gleichung mit einem weiteren unbestimmten Coefficienten & multiplicieren,
das vollständige Integral davon nehmen und zur allgemeinen Gleichung des
Gleichgewichts addieren (Art. 29).
Hierdurch wird der Teil unter dem
Zeichen S
λαχ
SXdm - d ds
d dy 1P ) & x + ( Yam — a
ds — pq) ày + ( Zdm — d¹de
ds + p)dz} ,
und man erhält sofort folgende drei unbestimmte Gleichungen
λαχ
Xdm - d
up = 0,
ds
λάμ ազ = (),
ds
λαπ
Zdm - d
= 0,
=
ds
Ydm - d
welche durch Elimination von μ die schon im Art. 38 gefundenen Gleichungen
wieder ergeben . Diese letzteren aber haben noch den Vorteil , zugleich den
Druck erkennen zu lassen , den jedes Element des Fadens auf die Fläche,
gemäss der im Art. 5, Abschn. IV gegebenen Theorie, ausübt.
In der That ist es leicht , aus dieser Theorie herzuleiten , dass die
Glieder
μ(oz -pox - qòy) ,
die aus der Bedingungsgleichung
dz - pox - qoy = 0
herrühren , die Wirkung einer Kraft µ √/1 + p² + q² darstellen können , die
an jedem Element ds des Fadens in einer auf der Fläche, von der Gleichung
dz -pox - qoy - 0 oder besser dz - pdx - qdy = 0,
d. h . gerade auf der Fläche , auf der wir den Faden liegend angenommen
haben , senkrechten Richtung angreift. Diese Fläche erzeugt daher durch
ihren Widerstand ihrerseits die Kraft μ / 1 + p² + q² , die folglich dem
durch den Faden auf eben diese Fläche ausgeübten Druck gleich und
entgegengesetzt , ist (Art. 7 , Abschn. IV) .
Der Druck jedes Punktes des
/ 1 + p² + q² .
Fadens wird also sein µ √
oder besser , wenn man die Werte
ds
von μ, up, uq, die aus den obigen Gleichungen sich ergeben , substituiert,
Xdm - d
λdx\2
+
ds
λdy 2
Ydm — d
+ Zdm
ds
ds
Adz \2
d
ds
Abschn. V, Cap. III, § 2. Gleichgewicht eines dehnbaren Fadens.
119
Dieselben Schlüsse wird man auch auf den Teil der allgemeinen Gleichung anwenden, welcher sich ausserhalb des Zeichens S befindet, und man
wird daraus ganz analoge Schlüsse ziehen können .
41. Ist der auf der gegebenen Fläche liegende Faden nur durch an
seinen Enden wirkende Kräfte gespannt , so wird X = 0 , Y = 0 , Z = 0
und folglich dλ : 0 (Art. 30) ; λ ist also eine Constante. Die Spannung des
Fadens wird also überall dieselbe sein (Art. 31 ) , was mit dem übereinstimmt,
was wir schon wissen. In diesem Falle reduciert sich die allgemeine Formel
für das Gleichgewicht auf
Sôds + Sp (öz- pòx — qòy) =
— 0.
Das erste Glied ist aber auch gleich 18 (Sds) , und da dieses Ads giebt , so
drückt die vorstehende Gleichung aus, dass die Länge der durch den Faden
auf der durch die Gleichung dz - pdx - qdy = 0 gegebenen Fläche gebildeten Curve ein Maximum oder ein Minimum sein muss.
Der von dem
Faden auf jeden Punkt dieser Fläche ausgeübte Druck wird alsdann
dy 2
dx \2
dz \2
ds *
ds
ds
+
(ada)
'
+
(ada)
×√(ada)²
ds
dx
dz 2
dy2
ds
ds ' + (ado
ds )² + (d de)"
√(dde)
den Contingenzds
winkel der Curve ausdrückt, dieser ist aber auch gleich
wenn man mit P
p
P'
λ
und
den Krümmungsradius bezeichnet. Der Druck ist also auch gleich
P
steht folglich im umgekehrten Verhältnis zum Krümmungsradius.
Nun wissen wir , dass
§ 2. Vom Gleichgewicht eines biegsamen und zu gleicher Zeit ausdehnbaren und zusammenziehbaren Fadens oder einer Fläche mit entsprechenden Eigenschaften .
42. Bisher haben wir angenommen, der Faden sei unausdehnbar ; jetzt
wollen wir ihn als elastisch und der Ausdehnung und Zusammenziehung
fähig betrachten. Es sei F die Kraft , mit der jedes Element ds der vom
Faden gebildeten Curve sich zusammenzuziehen strebt ; dann erhält man,
wie in Art. 18 (indem man ds an die Stelle von f setzt und d in 6 umändert), Fòds für das Moment dieser Kraft und SFods für die Summe der
Momente aller Zusammenziehungskräfte , die auf die ganze Länge des Fadens
wirken.
Man hat daher dieses Integral SFôds zu dem Integrale
S(Xdx + Ydy + Zdz) dm , welches die Summe der Momente aller äusseren
Kräfte ausdrückt , die auf den Faden wirken (Art. 28) , zu addieren . Setzt
man nun das Ganze gleich Null , so erhält man die allgemeine Gleichung
für das Gleichgewicht des elastischen Fadens.
120
Abschn. V, Cap. III, § 2.
Gleichgewicht eines dehnbaren Fadens.
Man sieht aber leicht , dass diese Gleichung von derselben Form sein
wird , wie die im Art. 29 für den Fall eines unausdehnbaren Fadens , und
dass , wenn man F in λ verwandelt , die beiden Gleichungen sogar identisch
werden. Man hat daher im gegenwärtigen Falle dieselben particulären
Gleichungen für das Gleichgewicht des Fadens , welche man in dem Falle
des Art. 30 gefunden hat, wenn man nur in diesen F an die Stelle des
setzt. Eliminiert man aber die Grösse F, wie man die Grösse
eliminiert
hat, so resultieren für die durch einen ausdehnbaren Faden gebildete Curve
zwei Gleichungen , die genau dieselbe Form haben , wie die Gleichungen,
welche für die Curve eines unausdehnbaren Fadens stattfinden.
43. Was die Grösse F, welche die Elasticität oder die Zusammenziehungskraft jedes Elementes ds darstellt, betrifft , so liegt es nahe , sie
durch eine Funktion der Ausdehnung auszudrücken , welche dieses Element
in Folge der Kräfte X, Y, Z erleidet. Nimmt man also an , do sei die
ursprüngliche Länge von ds, so kann man F als eine gegebene Funktion
ds
von
ansehen ; da aber nach dem Wesen der Differentialrechnung der
do
absolute Wert der Elemente ds unbestimmt bleibt, so wird der Wert von F
ebenfalls unbestimmt sein, und er kann nur vermittelst einer der drei Gleichungen für das Gleichgewicht des Fadens ermittelt werden. So liefert in
dem gegenwärtigen Falle unsere Analyse, obwohl sie eine Gleichung zu viel
zu ergeben scheint , thatsächlich nur die Bedingungen , die notwendig sind,
um die Curve des Fadens und den Widerstand jedes seiner Elemente zu
bestimmen.
Da die Grösse
der Lösung des Art. 30 genau der Grösse F entspricht,
welche die reelle Kraft , mit welcher jedes Element des Fadens durch Einwirkung der äusseren Kräfte gespannt ist, ausdrückt , so folgt daraus , dass
man diese Grösse
auch so ansehen kann , als ob sie die Spannung des
unausdehnbaren Fadens darstellte. Dies haben wir schon a priori im Art. 31
gefunden.
44. Wir wollen nun dieselben Prinzipien auf die Bestimmung des
Gleichgewichts einer Fläche anwenden, deren sämmtliche Elemente dm ausdehnbar und zusammenziehbar sind.
Das Element einer Fläche , dessen
Coordinaten x, y, z sind, wird, wenn man z als Funktion von x und y auffasst, ausgedrückt durch.
02 | 2
dx
ох ) + (85) .
de dy √1 + (8
Bezeichnet man mit F die Elasticitätskraft , mit welcher dieses Element sich
zusammenzuziehen strebt, so wird die Summe der Momente aller Kräfte
durch das Doppel-Integral
dz
dx dy11 + dx
SFG (de dy √1 + (de) + (de)")
dy
Abschn. V, Cap. III, § 2.
Gleichgewicht einer dehnbaren Platte..
121
ausgedrückt ; wenn man dieses zu dem Doppel-Integral
SS(Xox + Yoy + Zòz) dm
addiert, wo dm das Flächenelement ist, erhält man die Summe der Momente
aller Kräfte, welche beim Gleichgewicht gleich Null sein muss .
Nun ist
дох
8 (Udx dy) = BU+ U
+
boy
дх
dy )]dxdy.
Setzt man aber, wie im Art. 31 , Abschn . IV,
Oz
Oz
= Z;
dy = 21₁ und
дх
1 + ' ² + &₁² = U,
so wird
dm = Udxdy und
au
Z ас
21
=
= ;
U 071
U'
Oz'
also (Art. 33, 34, Abschn . IV)
дби
1
dou
ди
до
6x +
‫اچه‬
by +
+21
SU=
Əy
дх
U
дх
sou).
Indem man diese Werte in das Doppel-Integral SS Fo (Udx dy ) substituiert
und die partiellen Differentiale der durch
kenntlich gemachten Variationen
durch partielle Integrationen verschwinden lässt, hat man
S(σôy
Uox +
+ &ou
Zou)
Fdy
U
U
Fdx + S (
öx + ( FOU
2x
дх _? (PU))
дх
+ SS [ ( FOU
dy
2 (PU) ) by — Vêu ] dedy,
WO
F
Fz,
U
평) + 이 U
Ꮴ= (
дх
dy
und nach Art. 33, 34, Abschn. IV
dudz
δι =
- z'dx - 2₁ôy
ist . Die einfachen Integrale in Bezug auf x und y beziehen sich auf die
Grenzen und verschwinden von selbst in dem Falle, wo man annimmt, dass
die Grenzen der Fläche unveränderlich fest sind, weil alsdann dx, dy, dz in
allen Punkten des Umfangs der Fläche Null sind .
Addiert man die Glieder unter dem doppelten Zeichen SS zu denen
des Doppel-Integrals SS(Xox + Yoy + Zoz ) Udxdy und setzt die Coefficienten der Variationen x, y, z einzeln gleich Null , so erhält man
folgende drei Gleichungen
FOU
Ə (UF)
XU +
+ V≈' = 0,
дх
дх
FOU Ə (UF)
YU +
+ V%₁ = 0,
dy
dy
ZU - V = 0.
122
Abschn. V, Cap. III, § 2.
Gleichgewicht einer dehnbaren Platte .
Die beiden ersten Gleichungen geben den Wert der Kraft F, den man in
den Ausdruck von V der dritten Gleichung substituieren muss, so dass man
bei der letzten Analyse nur eine einzige partielle Differentialgleichung zur
Bestimmung der Gleichgewichtsfläche haben wird.
Obgleich in der That die Kraft F als eine bekannte Funktion der Lage
und Form des Elementes dm der Fläche in ihrem Zustande der Zusammenziehung oder Ausdehnung vorausgesetzt werden muss, so bleibt sie deshalb
nicht weniger unbestimmt , weil die absolute Grösse der Flächenelemente
nicht in die Rechnung eintreten kann ; so kann der Wert von F nur
durch die Bedingungen des Gleichgewichts selbst bestimmt werden. Wir
haben hier einen ähnlichen Fall , wie in Art. 43.
45. Um die Grösse F zu eliminieren , substituiere man in den beiden
ersten Gleichungen den Wert von V, den man aus der letzten erhält ; sie
gehen dann über in
FOU
a(UF) =
+
0,
U (x + Z дх
OZ)
дх
дх
FOU
dz
(UF) = 0.
UX + Z
+
Dy
dy
dy
Ist, wie im Art. 28 ,
Xd
+ Ydy + Zdz
đã = dll,
so hat man, da z als Funktion von x, y angesehen wird ,
ап
дх
X + Z·
да ап
Əz
-= Y + Z
-;
дх
dx dy
dy
und die beiden Gleichungen werden, wenn man sie durch U dividiert,
ап
OF
=
;
дх
дх
OF
ап
=
dy
dy
Daraus folgt
dll = dF; also F = Пl + a .
Dies ist ein Resultat , welches mit dem in Art. 36 , Abschn . IV erhaltenen
übereinstimmt. Betrachtet man Il als Funktion von x , y , z , so giebt die
dritte Gleichung
F
ап
U
이뜸).
= 0,
U
Əz
дх
dy
und damit ist die Gleichung, die der Fläche im Zustand des Gleichgewichts
zugehört, gewonnen.
Ist die Fläche wenig von einer Ebene verschieden , so dass die Ordinate
z sehr klein ist, so hat man , indem man die sehr kleinen Grössen zweiter
Ordnung vernachlässigt,
U= 1 ,
und in
F = 11 + a
Abschn. V, Cap. III, § 3.
ist a eine Constante .
ап
дг
Gleichgewicht eines elastischen Fadens.
123
Die Gleichung der Fläche wird also
Oz
a (11+ a)ax
дх
дх
дг
a (II + a)
Dy
= 0.
dy
Es sei z. B. als wirkende Kraft nur die Schwerkraft g yorhanden und die
Axen mögen so liegen , dass
in die Richtung dieser Kraft fällt und
von derselben vergrössert werden kann , so hat man II =
= -gz; es wird
folglich , wenn man immer die zweiten Dimensionen von z vernachlässigt,
die Gleichung der Fläche
82%
+
g= a
( მე2 dys
).
Diese Gleichung ist allgemein integrirbar, aber durch imaginäre Funktionen,
welche die Lösung für die Anwendung wenig brauchbar machen .
§ 3. Vom Gleichgewicht eines elastischen Fadens oder einer elastischen
Platte.
46. Wir nehmen den Fall eines unausdehnbaren Fadens wieder auf,
aber anstatt diesen Faden zugleich als vollkommen biegsam , wie bisher
geschehen ist, anzusehen, nehmen wir an, er sei elastisch , so dass in jedem
Punkte eine Kraft vorhanden ist, die ich E nennen will , die sich der
Biegung des Fadens entgegensetzt , und die folglich den Contingenzwinkel
zu verkleinern strebt. Nennen wir diesen Winkel e, so haben wir (Art. 26)
(wenn wir nur d in
verwandeln ) Ede für das Moment jener Kraft E,
folglich ist SEde die Summe der Momente aller elastischen Kräfte , die in
der ganzen Länge des Fadens wirken , und diese Summe muss demnach
zum ersten Gliede der allgemeinen Gleichung für das Gleichgewicht, welche
für den Fall gilt, dass der Faden unausdehnbar und vollkommen biegsam
ist (Art. 29), addiert werden.
Die ganze Schwierigkeit besteht also darin , das Integral SEde auf
eine passende Form zu bringen ; dazu suche man zuerst den Wert von e ;
wir haben aber oben (Art. 26) gefunden
cose =
f² + g² — h²
2fg
woraus folgt
sin'e:
4f²g" — (f² + g² — h²)²
4f2g2
Um diese Formel auf den gegenwärtigen Fall anzuwenden , genügt es
zu bemerken, dass die Coordinaten x' , y' , ' ; x'', y'' , z'' ; x''' , y'" , 2"'' ,
durch welche wir die Grössen f, g, h (Art. 12 und 20) ausgedrückt haben , sich
hier in x, y, z ; x + dx, y + dy, z + dz ; x + 2 dx + d²x, y + 2dy + d²y,
* + 2de + d²% verwandeln, so dass man hat
124
Abschn. V, Cap. III, § 3.
Gleichgewicht eines elastischen Fadens.
f² = dx² + dy² + dz² = ds²,
g² = (dx + d²x) ² + (dy + d²y) ² + (dz + d²z)²,
— dx² + dy² + dz² + 2 (dx d²x + dy d²y + dz d²z) + ( d²x)² + ( d²y) ² + (d²z)²
= ds² + 2 ds d²s + (d²x) ² + (d²y)² + (d²z)²,
h² = (2 dx + d²x) ² + ( 2dy + d²y) 2 + (2 de + d²z)*
= 4ds² + 4 ds d's + (d²x) 2 + (d²y) ² + (d²z)².
Es ist also
f² + g² — h² =
2 ds2 - 2 ds d's
und
4 f²g² — (f² + g² — h²) ² =
— 4 ds¹ + 8 ds³d²s + 4ds² ( (d²x) ² + (d²y) ² + (d²z)²)
- 4 (ds² + ds d²s)2
= 4ds² ( (d²x) ² + (d²y) ² + (d²z) ² — (d²s)*) .
Vernachlässigt man die unendlich kleinen Grössen dritter Ordnung, so folgt
sin 2e = (d²x)² + (d²y)² + (d²z)² — (d²s)2
ds2
da dieser Wert von sine unendlich klein von zweiter Ordnung ist, so folgt
daraus , dass sine und daher auch e unendlich klein von erster Ordnung
sind, so dass.
(d²x) ² + (d²y) ² + (d²%)² — (d²s)2
ds
gesetzt werden kann , und dies ist in der Tat der Ausdruck für den
Contingenzwinkel e einer beliebigen Curve doppelter Krümmung ; er stimmt
übrigens mit dem des Art. 41 überein.
47. Man differentiiere jetzt e nach 8, um den Wert von de zu erhalten.
Vermöge der Bedingung, dass der Faden sich nicht soll dehnen lassen, ist
òds = 0 (Art. 29) und folglich auch dô ds = ò d²s = 0 , folglich kann man
bei der genannten Differentiation ds und des als constant ansehen . Man
bekommt also
de =
d²xòd²x + d²yôd²y + d²zôdz
ds √ (d²x)² + (d²y) ² + (d³z) ² — (d²s)?
Substituiert man diesen Wert in S Ede und setzt zur Abkürzung
E
E
ds√ (d³x)² + (d³y)² + (d²z)²— (d²s)'
eds²
= I,
so wird
SEde = SId²xò d²x + S1d²yồ d³y + SId²zèd²%.
Abschn. V, Cap . III, § 3. Gleichgewicht eines elastischen Fadens,
125
Diese Ausdrücke hat man nach den im Art. 15 , Abschn . IV gegebenen
Regeln zu behandeln , indem man zuerst dd in de verwandelt und alsdann
partiell integriert , um d vor
verschwinden zu lassen . Hiernach erhält
man folgende Transformationen
SId²xò d²x == I'd²x'dòx" —
— d( I ″ d²x'') òx"
"—
— I'd²x'dòx'
+ d(I'd²x') ôx' + S d² (Id²x) òx,
SId2yôdy = I" d2j" đông" — d ( "
1
)ông — Id >jđôg
+ d ( I'dj ) ông + Sa ? ( Idy ) ôy ,
·
S Id²zòd²z = 1" d²z" dòz" — d (I″ d²z'' ) òz" — I'd²z'dôz
′
+ d (l'd²z') òz' + S d² (Id²z) ôz.
Addiert man diese verschiedenen Glieder zu den Gliedern , die den ersten
Teil der allgemeinen Gleichung des Gleichgewichts bilden (Art. 29), so
resultiert die Gleichung für das Gleichgewicht eines unausdehnbaren und
gegen Biegung elastischen Fadens.
48. Wir haben jetzt die Coefficienten der Variationen dx, dy, dz, welche
sich unter dem Zeichen S befinden , gleich Null zu setzen und bekommen
folgende drei unbestimmte Gleichungen
λαχ
Xdm --d
+ d² (Id²x) = 0,
ds
λάν
d
Ydm
ds + d² (Id²y) = 0,
λαπ
d
Zdm
ds + d² (Id²%) = 0.
Hieraus hat man die unbestimmte Grösse
zu eliminieren , man erhält
dann zwei Gleichungen, die hinreichend sind , die Curve , die der Faden im
Zustande des Gleichgewichts bildet, zu bestimmen.
Die erste Integration ergiebt
λαπ
+ Xdm,
ds - d(Id²x) = A +
S
λάψ
ds
d(Id²y) = B + Ydm,
+S
:
λαπ
d (Id²2) = C + Zām,
ds
:
+S
wo A, B, C willkürliche Constanten sind ; eliminiert man λ, so folgt
dxd(Id³y) — dyd (Id² x) = ( A + | Xdm) dy— (B+ Ydm)dx,
1 +Сx
dx d(Ide) - de d (Id²x) = (A + Xdm) dz― (C+ Zdm) dx,
:
(4+f
+S.
dyd(Id²e) — de d (Id²y) = (B + | Ydm) dz − (C+ Zdm) dy,
+Sza
:+S³
126
Abschn. V, Cap. III, § 3.
Gleichgewicht eines elastischen Fadens .
von denen die letzte Gleichung schon in den beiden ersten enthalten ist.
Diese Gleichungen sind von neuem integrabel und man erhält
I( dxd²y — dyd²x) = F +√(A +ƒ´ Xdm)dy −S(B +ƒYâm) dx,
―
I(dx
d²z — dz d²x)
G + \ ( A + / Xdm) dz
Idedt_ded
)= G
+S(
A +.
+SZdm) dx,
(c + fZim )dư ,
dz
+fZdm) dy,
I(dyd²z — dza²y) = H +√(B +ƒYam) de −f( C +
wo F, G, H neue constante Grössen sind.
Wir hatten aber in Art. 47 gesetzt
E
I=
ds√ (d²x)² + (d²y) ² + (d²%)² — (d²s) 2
Das Quadrat des Nenners dieser Grösse ist
ds² ((d²x) ² + (d²y)² + (d³ %)² — (d²s) ²)
= (dx² + dy² + dz²) ((d²x ) ² + (d²y) ² + (d²%) ²) — (dx d²x + dyd²y + dzd³z)²
= (dx d²y — dy d²x) ² + (dx d²z — dz d²x) ² + (dy d²z — dzd²y)².
Addiert man also die Quadrate der drei vorhergehenden Gleichungen , so
erhält man folgende Gleichung, in der keine Differentiale mehr stehen,
2
E2 =
F+
(B + ƒ Ydm) dx
-S(B
2
+ [[ G
+
((A
+
/
Xam)dz
−S
(C
+
ƒZảm)
dx
G +S(A +JXdm)
2
H+
dz
+ [ II + S(B + ƒY dm)de −S ( C + ƒZdm) dy]ª ·
Dividiert man noch zwei derselben Gleichungen durch einander, zum Beispiel
die zweite durch die erste, so folgt eine neue Gleichung
G + /(A +ƒXdm) dz −ƒ( C + fZdm) dx
dxd'z - dz d²x
=
dx d³y — dyd²x
F +ƒ(A +ƒXdm) dy− f(B + fYdm) də ’
in welcher die Elasticität E nicht mehr vorkommt.
Diese beiden Gleichungen dienen dazu , auf die einfachste Art die
elastische Curve zu bestimmen , indem man auf die doppelte Krümmung
Rücksicht nimmt.
49. Man nimmt gewöhnlich an, dass die elastische Kraft , welche der
Biegung sich entgegensetzt, umgekehrt proportional dem Krümmungsradius
K,
wo Kein constanter
ist. Nennt man diesen Radius p, so hat man E Coefficient ist.
Ke
ds
Man weiss aber, dass P =
; und die Grösse I,
ist, folglich wird E =
ds
e
E
K
welche wir gleich
gesetzt haben (Art. 47), geht also über in s3 wird
eds2
d
Abschn. V, Cap. III, § 3.
Gleichgewicht eines elastischen Fadens.
127
also auch constant, wenn wir annehmen , dass ds constant ist , was ja
erlaubt ist. Die drei Gleichungen im Anfang des Art. 48 geben also
λαχ
Xdm ― α
+
ds
Kd+x
- 0,
ds³
Kdy
λαμ
= 0,
+
·dds
ds3
Kd+z
λαπ
Zdm - d
+
=0.
ds
ds³
Ydm
dx
" die
Addiert man diese drei Gleichungen , nachdem man die erste mit
ds
dz
dy
zweite mit
" die dritte mit
ds multipliciert hat , so hat man , weil
ds
dy , dy
dx dx
1
dz dz
d
d
+
+ dsds
=0
a ( de² + dj²
{} d
ds ds
ds ads = 2
ds2 + de³) = (
ist , die Gleichung
dm
_dxdx + dy d¹y + dzd¹z
= dr.
( Xdx + Ydy + Z ) ds + K
ds4
Das Element dm ist gleich rds , falls mit П die Dichte der Substanz des
Fadens bezeichnet wird , und die Integration der vorigen Gleichung für
ds = Const. ergiebt
λ=
+ K
( Xdx + Ydy + 2đ )
dx d³x + dyd³y + dz d³ z
ds4
(d²x) ² + (d²y)² + (d² z)²
2ds4 +(d²2)²).
Dieser Wert von λ drückt die Spannung des elastischen Fadens aus ,
d. h. den Widerstand , mit dem er der Kraft , welche ihn zu verlängern
strebt, sich entgegensetzt , wie in Art. 31 .
50. Der einfachste und gewöhnlichste Fall ist der , bei welchem die
Kräfte X, Y, Z, von denen man annimmt , dass sie auf alle Punkte des
elastischen Stabes wirken , gleich Null sind , und wo die Krümmung des
Fadens allein von den an seinen beiden Enden angreifenden Kräften herrührt. In diesem Falle geben die Integrale des Art. 48 , wenn man für 1
K
seinen Wert
setzt,
ds3
dxd²y - dyd²x
= F +Ay - Bx,
ds3
dxd2z - dz d²x
K
G + AzCx,
ds3
K dyd²z — dzd²y = H + B2 ·― Cy.
ds3
K
Die weitere Integration dieser Gleichungen ist aber allgemein vielleicht
unmöglich.
128
Abschn. V, Cap. III, § 3.
Gleichgewicht eines elastischen Fadens.
Wenn die Krümmung des Stabes ganz in einer und derselben Ebene
liegt , so wird , wenn man diese Ebene zur Ebene der x, y nimmt und
dyds sing ; dx = ds cosp setzt , die erste Gleichung , welche alsdann die
einzig notwendige ist,
do
= F + A sinds
ds
sinds -BS cospds.
4 Ssinga
Durch Differentiation ergiebt sie
d2q
ds2
A sin
— B cosy .
Multipliciert man mit de und integriert, so folgt
(d )2
2 (ds)2
A cosy + B sinç + D,
woraus man bekommt
do
ds
2D + 2A cosy + 2B sin❤
und folglich
cos y dy
dx =
/2D + 2A cos
+ 2B sing
do
Da ferner nach der ersten Gleichung ds = F + Ay- Bx ist, so hat man
F
Bx
У
―
A
1
Α
2D + 2A cosy + 2B siny .
Es kommt also Alles darauf zurück , die Werte von ds und da zu integrieren . Diese Integrationen hängen aber von der Rectification von Kegelschnitten ab. Bis jetzt scheint man in der allgemeinen Lösung des Problems
der elastischen Curve noch nicht weiter gekommen zu sein.
51. Wir wollen jetzt die Glieder der allgemeinen Gleichung , welche
ausserhalb des Zeichens S sind , betrachten. Diese Glieder sind
"
Xdx"
ds"
[X" dy"
+
+ ds"
[X" de"
+
ds"
N'dx'
ds'
X'dy'
-Pds'
X'de'
ds'
d( I" dzz" ) | ô " + I" d®
đôn
đ ( I"d ") | ôý” + I'd j” đồng
d(I'd²≈'' ) | 8 " + I″ d²z" dòz"
d(I' d²x' )
ox' — I' d²x' dòx'
·d (I′ d²y' )
dy' -− I' day' doy'
·
·d(I'
d²z
′ ) ]| ôg
' — I′ d²z' dòz'
·
Abschn. V, Cap. III, § 3.
Gleichgewicht eines elastischen Fadens.
129
und man muss sie unabhängig von den Werten von dx" , dy" etc. zum verschwinden bringen.
Wenn also erstens der Faden völlig frei ist, so müssen die Coefficienten
der 12 Grössen ô ” , ông” , ô ” , đôi” , đông” , đôi" , ô , ông , ốc, độc, đông , đối
einzeln gleich Null sein.
Aus den ersten Integralgleichungen des Art. 48 sieht man aber , dass,
wenn man die Integrationen beim ersten Punkt des Fadens anfangen lässt,
die Coefficienten der ox' , dy' , oz' den Grössen A, B, C und die Coefficienten
von ôx", ôy
'', òz" bez. ( A + SXdm) , (B + SYdm) , ( C + SZdm) gleich
werden.
Im gegenwärtigen Falle muss man also haben
A = 0 ; B = 0 ; C = 0 ; SXdm = 0 ; SYdm = 0 ; SZdm =0.
Es muss aber ferner sein
I'd²x" = 0 ; I'd²y" = 0 ; I" d22" =
-0 und I'd²x' = 0 ; I'd²y
' = 0 ; I'd²z' = 0,
wenn die Glieder , in denen dox" , doy" etc. vorkommen , verschwinden sollen.
Hiernach ist es auch klar, dass die zweiten Integralgleichungen desselben
Artikels ergeben
F = 0; G = 0; H = 0
und
S(SXdmdy —fYdm dx) = 0 ; S(ƒXdm dz —ƒZdmdx) = 0,
0
S(SYdm dz - ƒZdmdy) ·= .
Wenn zweitens das erste Ende des Fadens fest ist, so wird
dx' = 0; by = 0; dz' = 0.
Hier werden also A, B, C nicht gleich Null sein ; aber die Bedingung, dass
die Coefficienten von ox" , dy" , oz gleich Null sein sollen, giebt
A === SXdm; B =--SYdm ; C -- SZdm.
Wäre noch die Lage der Tangente gegen dieses erste Ende von vornherein fixirt,
so hätte man auch : dox' = 0 ; dòy' = 0 ; dòz' = 0 , folglich zwar F, G , H
nicht gleich Null, aber da die Bedingung, dass die Coefficienten dox' , dòy' , dòz"
gleich Null sein sollen, bestehen bleibt,
' = S [ (B + / Ydm) dx − (A + ƒXdm) dy ] .
S [(C
G =·S
[ (C + ƒ Zdm) dx − (4 +ƒXdm) dz ] ,
= S [ ( C +ƒZam) dy — (B + ƒYdm) dz ] .
In ganz derselben Weise wird man dem betreffenden Zustand des zweiten
Endes des Fadens Rechnung zu tragen haben.
Lagrange, Analytische Mechanik,
9
Abschn. V, Cap. III, § 3.
Gleichgewicht eines elastischen Fadens.
130
Gäbe es drittens ausser den Kräften , die auf alle Punkte des Fadens
wirken , noch besondere Kräfte X' , Y ' , Z' ; X" , Y" , Z" , die die beiden
Enden des Fadens angreifen , so hätte man zu den vorigen Gliedern noch
zu addieren
Xô + Y'ông ' + Z'ô + Xô ” + Y " ày + Z" " .
Ueberhaupt sind immer dieselben Prinzipien und dieselbe Behandlungsweise massgebend , was für Bedingungen man auch sonst noch in Bezug
auf den Zustand dieser Enden zu erfüllen haben mag.
52. Wollte man , dass der Faden in doppelter Hinsicht elastisch sei,
nämlich sowohl in Bezug auf die Biegsamkeit als in Bezug auf die Ausdehubarkeit , so hätte man in der allgemeinen Gleichung des Gleichgewichts
anstatt des Gliedes Sidos das Glied SFdòs, d . h. nur Fan die Stelle von
zu setzen , wenn man F die Kraft der Elasticität nennt, welche der Ausdehnung des Fadens widersteht (Art. 42) . Allein in diesem Falle muss
man in dem Ausdruck von de auch ds als variabel annehmen , hat folglich
zum Werte von de aus Art. 47 die beiden Glieder zu addieren
e òds
ds
d's & d²s
eds2
Der Wert von SEde desselben Artikels vermehrt sich dann um die Glieder
- S
Ed2s
Ee
6d2s.
ods - -S
eds
ds
Das letzte dieser beiden Glieder reduciert sich aber durch partielle Integration
auf
E' d's'
E'd's"
ds.
·dòs'
- dòs" +
e'ds'2 ·dos' + Sa (Eds) ô
e'"' ds"2
Zum Werte von SEde hat man also die Glieder
-
E'd's
E" d2s"
òds
dòs' + Sa
·dòs" +
S [a(Ed's) - Re]
e'ds'2
e'ds"2
zu addieren . Das letzte Glied dieses Ausdrucks ist dem Gliede SFòds
analog , und ist folglich ähnlicher Reductionen fähig ; in Bezug auf die
dxdox + dydôy + dzdôz
beiden andern hat man nur für dos seinen Wert
ds
zu substituieren und alle Buchstaben mit einem oder zwei Strichen zu versehen.
Hieraus kann man leicht schliessen , dass man für die Lösung der
gegenwärtigen Aufgabe dieselben Formeln erhalten wird wie in dem Falle,
wo der Faden als elastisch und unausdehubar angenommen ist, wenn man nur
Ed's
Ee an die Stelle von Asetzt und zu den Gliedern ausserF+ d
eds2
ds
E" d's"
E' d²s'
halb des Zeichens S die beiden Glieder e'ds'? dòs'- e'ds"2 dos' addiert.
Abschn. V, Cap. III, § 4.
131
Gleichgewicht eines starren Stabes.
Da in der Gleichung der Curve die Grösse
eliminiert sein muss , SO
folgt daraus , dass die Gleichung des elastischen Fadens dieselbe sein wird,
mag man den Faden als ausdehnbar annehmen oder nicht. Die Spannung
des Fadens aber, welche durch λ oder F ausgedrückt wird, wenn der Faden
nicht elastisch ist (Art. 43) , wird durch die Elasticität E um die Grösse
ds
Ep d's
E
ist (Art. 49) .
vermehrt, weil e =
ds3
P
P
§ 4.
Vom Gleichgewicht eines starren Fadens von gegebener Gestalt.
53. Wir kommen nun zu dem Fall , wo der Faden unausdehnbar und
unbiegsam ist. Man hat für die Summe der Momente der Kräfte denselben
Integralausdruck wie im Art. 28 ; nämlich : S( Xôx + Yòy + Zòz) dm.
Die Bedingung , dass der Faden unausdehnbar sei, giebt ferner, wie in
demselben Artikel , ôds = 0 und die , dass er sich auch nicht soll biegen
lassen , de = 0 , weil der Contingenzwinkel unveränderlich sein muss. Es
reichen aber diese beiden Bedingungen in dem Falle , wo die Curve von
doppelter Krümmung ist, wie wir bald sehen werden, nicht aus, die Gestalt
derselben völlig zu bestimmen.
Um die vorgegebene Frage auf die einfachste und direkteste Weise zu
behandeln, bemerke ich, dass alles darauf hinausgeht, dass die verschiedenen
Punkte der Curve des Fadens unter einander immer dieselben Entfernungen
beibehalten . Betrachtet man nun mehrere aufeinanderfolgende Punkte,
deren Coordinaten bezüglich
x, y, z ; (x + dx), (y + dy), (≈ + dz ) ; (x + 2 dx + d²x) , (y + 2dy + d²y),
(≈ + 2dz + d2z) etc.
sind, so ist klar , dass die Quadrate der Entfernungen zwischen dem ersten
dieser Punkte und den folgenden durch die Grössen
dx² + dy² + dz2,
(2 dx + d²x) ² + (2 dy + d²y) ² + ( 2 de + d²e)³,
(3 dx + 3d2x + d³x)² + (3 dy + 3d²y + d³y) ² + (3dz + 3 d²z + d³%)²
ausgedrückt werden müssen.
Wir wollen der Kürze halber setzen
dx² +
dy² +
dz² = α,
(d³x)² + (d²y) ² + ( d²z) ² = ß,
(d³x)² + (d³y) ² + (d³z) ² = Y,
Die vorhergehenden Grössen werden dann , wenn man die Quadrate entwickelt,
a,
4a + 2da + ß,
9a + Ida + 9ẞ + 3 (ď²a — 2ß) + 3 dß + Y,
9.
132
Abschn. V, Cap . III, § 4.
Gleichgewicht eines starren Stabes.
Die Variationen dieser Grössen müssen daher im ganzen Umfange der Curve
gleich Null sein, und man gelangt zu folgenden unbestimmten Gleichungen
δα = 0,
46a + 26da + oß = 0,
98a + 98da + 3 ôß + 3 ôd² + 3 ôdß + ôy = 0 ,
Aber wenn da = O ist , so ist auch doa = 8da = 0; also nach der
=
zweiten Gleichung 680,
und daraus folgt
d²dadd²α = 0; doß = odẞ = 0,
also nach der dritten Gleichung dy0, und so fort.
Die Bedingungsgleichungen für die Unausdehnbarkeit und Unbiegsamkeit des Fadeus sind also : oz = 0 ; d3 = 0 ; dy = 0 etc.; d . h . , wenn man
differentiiert und dd in dò verwandelt,
dxdox + dydoy + dz doz == 0,
d2x d'ox + d2yd²òy + d²zd2oz = 0,
d3x d36x + đồngđông + d3zdog = 0,
Es ist klar, dass man nur drei dieser Gleichungen nötig hat , um die drei
Variationen ox, dy, oz zu bestimmen, woraus man sogleich schliessen kann,
dass , wenn man von solchen Gleichungen den drei ersten Genüge gethan
hat, allen andern , deren man eine unendliche Anzahl angeben könnte, von
selbst genügt wird . Hiervon kann man sich auch durch die Rechnung selbst
überzeugen, wie man weiter unten (Art. 60) sehen wird.
54. Man erhält also durch unsere Methode folgende allgemeine Gleichung
für das Gleichgewicht
0 = S (Xòx + Yòy + Zòz) dm + Sλ (dx dòx + dy dòy + de dòz)
+ Sud
được + đây đường + dzđôi ) + S (d3rd36x + đ®yd3ng + d cd3òa ),
welche durch die angegebenen Transformationen sich auf folgende Form
bringen lässt
0=
S [ Xdm - d(\ dx) + d² (µd²x ) — d³ (vd³x) ] òx
+ S [Ydm - d(\ dy) + d²( p.d²y) — d³ (vd³y) ] òy
— d³ (vd³ %) ] òz
+ S [Zdm - d ( dz) + d² (µ d²z) —
+ [λ" dix " — d (µ " d²x" ) + d² (v'd³x′ )] ôx″
+ [p." d²x" — d (v'd³x' ) dòx" + v″ d³x" ] d²òx"
+ [X" dy" —— d (µ" d²y'' ) + d² (v''d³y'') ] ôy'
+ [µ" d²y" — d (v" d³y' ) dòy" + v " d³y″ ] d²òy"
+ [X" dz" —- d (µ " d²z " ) + d² (v″ d³z″ )] òz″
Abschn. V, Cap. III , § 4.
Gleichgewicht eines starren Stabes.
133
+ [µ" d²z" -— d(v″ d³z″ ) dôz" + v" d³½″ ] d²ôz″
―
— [X'dx' — d (µ'd²x' ) + d² (v'd³x')] ôx'
— [µ'd²x' — d (v'd³x') dôx′ + v′d³x' ] d²òx′
— [ λdy' — d (µ'd²y' ) + d² (v'd³y' )] öy'
--- [u'd²y — d (v'd³y
' ) dòy' + v'd³y' ] d²öy'
- [λdz' - d(µ'd²z') + d² (v'd³z' ) ] dz'
— [µ'd²z— d (v'd³ z′ ) dôz' + v'd³z ′ ] d² òz'.
55. Setzt man zuerst die Coefficienten von ôx, dy, öz unter den Zeichen
S gleich Null, so erhält man folgende drei unbestimmte Gleichungen
Xdm - d( dx) + d²( µd²x) — d³ (v d³x) = 0 ,
Ydm - d(\ dy) + d² (pd²y) — · d³ (vd³y) = 0,
Zdm — d(\ dz) + d² (µ.d²z) — d³ (vd³z) = 0 ,
welche drei unbestimmte Variable λ , μ , v enthalten und daher nur dazu
dienen , diese drei Grössen zu bestimmen. Es giebt hier also keine unbestimmte Gleichung zwischen den verschiedenen Kräften X, Y, Z, die man
an alle Punkte des Stabes sich wirkend denkt , und die Bedingungen des
Gleichgewichts werden einzig von den Gliedern abhängen, welche ausserhalb
des Zeichens S stehen. Da aber diese Glieder die unbekannten Grössen
λ , v enthalten, so muss man damit beginnen, diese Grössen zu bestimmen.
Dazu muss man die vorhergehenden Gleichungen integrieren.
leicht, man erhält folgende drei Gleichungen
Xdmλdxd (µd²x) — d² (vd³x) = A,
Sx
Ydmλdy + d(µd²y) — d² (vd³y) = B,
Zdm — λdz + d(µd²z) — d² (vd³z) = C,
wo A, B, C willkürliche Constanten sind.
Indem man jetzt λ eliminiert, bekommt man
dx Ydm
dySxam - defram
+ dyd(µ d²x) - dxd (pd2y) — dyd² (vd³x ) + dxd² (vd³y)
= Ady - Bdx,
=
dx
deSXdm - dz√Zdm
+ dzd(µd²x) — dxd (µdz) — dz d² (vd³x) + dxd²(vd³z)
= Adz - Cdx,
Zdm
dz
deSYdm - dySzam
+ dz d(µd²y) — dyd (µd²z) -— dz d² (v d³y) + dyd² (vd³z)
= Bdz
Cdy.
Dies ist
134
Abschn. V, Cap. III, § 4.
Gleichgewicht eines starren Stabes.
Auch diese Gleichungen sind integrabel und ergeben
Ydm
yXdm
S
· (xy — Yx) dm
ySxam - xfram -Scxy-:
+ μ (dyd²x - dxd²y) — dyd (vd³x) + dxd (vd³y) + v (d²yd³x — d²x d³y)
= Ay― Bx + F,
Zx) dm
Szam Scxz
#SXdm - xSZ dm -S( X# - Za) dm
+ µ (dz d²x — dx d²z) — dzd (vd³x) + dxd(vd³z) + v (d²z d³x — d²x d³z)
= Az― Cx + G,
Zdm
(Y2
Ydm
Sxam - ySzam - Scxz - Zy) am
+ µ(dz d²y — dyd²z) — dzd(vd³y) + dyd (vd³z) + v (d²zd³y — d²yd³z)
Bz- Cy + H,
.
sind
wo F, G, H neue willkürliche Constanten
Diese drei letzten Gleichungen dienen dazu , die drei Grössen μ, v und
dv zu bestimmen , während die drei ersten Integral - Gleichungen die Werte
von λ , dµ , d²v geben. Dadurch hat man aber alle unbekannten Grössen, die
in den Gliedern ausserhalb des Zeichens S vorkommen ; denn um diese zu
bekommen , genügt es in den sechs Gleichungen , die wir soeben gefunden
haben, alle Grössen, mit Ausnahme der willkürlichen Constanten, einmal mit
einem und dann mit zwei Strichen zu versehen, alsdann im ersten Falle die
Grössen, die mit dem Zeichen
behaftet sind , indem man sie sich auf den
S
ersten Punkt des Fadens bezogen denkt , gleich Null zu setzen , im zweiten
in S zu verwandeln,
S
um sie auf den letzten Punkt des Fadens zu beziehen.
dieselben Grössen stehen zu lassen , in ihnen aber
56. Dies vorausgeschickt , wollen wir jetzt die Bedingungen suchen , die
aus dem Verschwinden der in der allgemeinen Gleichung für das Gleichgewicht (Art. 54) ausserhalb des Zeichens S befindlichen Glieder folgen.
Es sei zunächst .der Stab völlig frei , die Variationen dx', dy
' , ôz' , dồx' ,
dòy' , dòz', d'òx' , d'òy', d'òz' und ôx" , dy" , dz" , dox" etc. sind dann alle
unbestimmt, folglich muss man bei jeder ihren Coefficienten gleich Null
setzen, und es ist offenbar, dass alsdann die Grössen X' , u', v' , du' , dv' , d²v ',
sowie auch ", µ " , v' , dµ " , dv" , d² " alle gleich Null sein müssen .
Die drei ersten Integralgleichungen des vorigen Artikels geben also,
bezogen auf den Anfang des Fadens,
A = 0; B = 0 ; C = 0,
und auf das Ende
SXamA; SYdm = B ; SZdm = C.
Abschn. V, Cap. III, § 4.
Gleichgewicht eines starren Stabes.
135
Ebenso geben die drei letzten Integrale in Bezug auf den Anfang des Fadens
Ay'- Bx' + F = 0,
AgCx' + G = 0,
B2 - Cy + H = 0,
und in Bezug auf das Ende
y" SXdm - x" SYdm - S (Xy - Yx) dm = Ay" — Bx" + F,
z" SXdm - x" SZdm - S (Xz - Zx) dm = Az" - Ca" + G,
z" SYdmy" SZdm - S (Yz — Zy) dm =
— Bz" — Cy" + II.
Folglich ist
A = 0; B = 0; C = 0; F - 0 ; G = 0 ; H = 0
und demnach
SXdm = 0 ; SYdm = 0 ;
SZdm = 0 ,
S(XyYx) dm = 0 ; S (Xz - Zx) dm = 0 ;
S(Yz - Zy) dm =
— 0.
Diese sechs letztern Gleichungen sind also allein zum Gleichgewicht eines
unbiegsamen Stabes nötig , an dem kein Punkt fixirt ist, und dies stimmt
mit dem überein , was wir schon oben (Art. 25) gefunden haben ; man
hätte sie auch unmittelbar aus der im 3. Abschnitt gegebenen Theorie, wie
wir auch a. a. O. bemerkt haben , herleiten können .
57. Wir wollen jetzt annehmen, es gäbe in dem Stabe einen festgelegten
Punkt, und es sei dieser Punkt das erste Ende des Stabes. In diesem
Falle hat man
dx = 0; by' = 0 ; dz' = 0,
so dass die Glieder , in denen diese Variationen vorkommen, von vornherein
fortfallen. Man hat also noch die Coefficienten von dox' , doy , dòz' , d²òx',
d'òy', d'òz', sowie die Coefficienten von dx" , dy' , òz" , dòx" , dòy" etc. gleich
Null zu setzen.
Es ist aber leicht einzusehen , dass man dazu nur
μ' = 0; v' = 0; dv' = 0
und dann
X" = 0 ; µ" = 0 ; v' = 0 ; dµ " = 0 ; dv " := 0; d² " = 0
zu setzen hat , ganz wie im vorhergehenden Falle ; man bekommt dann die
nämlichen Bedingungen wie im vorhergehenden Artikel , nur dass jetzt
A, B, C nicht gleich Null sein werden .
Hiernach hat man
A = SXdm; B = SYdm ;
C = SZdm
und
FBx' - Ay' ; G = Ca' — Az' ; H = Cy' — Bz',
136
Abschn . V, Cap . III, § 4.
Gleichgewicht eines starren Stabes .
und die drei letzten Gleichungen verwandeln sich in
',
-S (Xy- Yx) dm = Bx'— Ay
-S (Xz - Zx) dm — Cx' — Az' ,
-S (Yz - Zy) dm — Cy' — Bz' ,
d. h. in
S (Xy- Yx) dm + x'S Ydm - y'S Xdm = 0,
S (XzZx) dm + x S Zdm - ' S Xdm = 0,
S (Yz — Zy) dm + y'S Zdm ·- z' S Yam = 0,
oder , was dasselbe ist , in
S [X(y - y') - Y(x — x') ] dm = 0,
S [X(≈ — ≈') — Z(x — x′ ) ] dm = 0 ,
S [Y(
z)
Z (y - y') ] dm = 0.
Dies sind die einzigen zum Gleichgewicht nötigen Bedingungen, und es ist
klar, dass sie mit denen übereinstimmen, die wir im Art. 24 gefunden haben.
58. Wäre der Stab in der Weise an seinem ersten Ende befestigt, dass
nicht nur der erste Punkt der Curve, sondern auch die Tangente an diesem
ersten Punkt festgelegt wäre, so erhielte man ausser
δι'
Ô = 0 ; y = 0 ; v = 0,
auch noch
8dx'dox' = 0 ; ôdy = doy
' = 0 ; 8dz = diz' = 0,
folglich werden alle Glieder , in denen diese Grössen vorkommen , von selbst
verschwinden, und es bleibt nichts weiter übrig, als dass auch die Glieder,
' , d28 und dx" , dy", de" , dox" , doy" etc. vorkommen,
in denen d'ox' , d2dy
zum Verschwinden gebracht werden.
In diesem Falle hat man also die Bedingungen
v = 0; x = 0; μ"
0 ; du" -0 ; dv'"' = 0 ; d²y" = 0.
Folglich wird auch in diesem Falle
A = SXdm; B = SYdm; C = SZdm.
Wendet man endlich die drei letzten Integrale des Art. 55 auf den letzten
Punkt des Stabes an, so ergeben sie
F = S (Yx - Xy) dm ; G = S (Zx — Xx) dm ; H = S (Zy — Y2) dm,
und wenn man dieselben Gleichungen auf den ersten Punkt anwendet , so
hat man
µ' (dy'd²x' — dx'd²y′ ) — dv' (dy'd³x' ·— dx'd³y' ) =
— Ay' — Bx' + F,
µ' (dz'd²x' — dx'd²z' ) — · dv' (dz'd³x' — dx'd³z ') =
— Az ' — Cx' + G,
µ' (dz'd²y' — dy'd²%') — dv' (dz'd³y — dy'd³x' ) =
— Bz' — Cy' + H.
Abschn. V, Cap. III, § 4.
Gleichgewicht eines starren Stabes.
137
Eliminiert man hieraus u' und dv' , so erhält man folgende Gleichung
A(y'dz' — z'dy') + B (z'dx' —x'dz' ) + C(x'dy' — y'dx' ) + F'dz' —Gdy' —Hdx'— 0.
Diese Gleichung muss notwendig bestehen, wenn der Stab sich um seine
erste Tangente, welche als befestigt vorausgesetzt ist, zu drehen verhindert sein
soll, und es ist leicht zu sehen, dass das erste Glied gleich Null wird , wenn
der Stab eine gerade Linie bildet.
59. Die Weitläufigkeit dieser Lösung könnte als ein Mangel unserer
Methode angesehen werden, und in der That ist diese Lösung länger als diejenige
über das Gleichgewicht eines biegsamen Fadens , während dieses letztere
Problem nach den gewöhnlichen Methoden viel schwieriger zu behandeln ist
als dasjenige über das Gleichgewicht eines starren Stabes, der durch beliebige
Kräfte angegriffen wird ; denn beim elastischen Faden hat man durch Zusammensetzung der Kräfte erst die Curve zu bestimmen, welche der Faden im
Zustande des Gleichgewichts annehmen muss , in dem Falle des starren
Stabes ist diese Curve dagegen schon gegeben, und das Gleichgewicht verlangt nur die Aufhebung der Momente der Kräfte. Wenn man aber für alle
diese Probleme einen gleichmässigen Gang verfolgen und schrittweise von
dem einen zu dem anderen Problem übergehen will, in dem Masse als man
neue Bedingungen hinzufügt , so ist klar , dass der Fall eines unbiegsamen
Fadens weniger einfach, als der eines biegsamen Fadens ist, weil analytisch
ausgedrückt die Unbiegsamkeit in der Unveränderlichkeit der gegenseitigen
Entfernungen aller Punkte des Fadens besteht. Und wenn in diesem Falle,
wo die Curve gegeben ist , sie nicht mehr ein Resultat der Rechnung sein
kann , wie in dem Falle eines biegsamen Fadens , so ist dies ein Umstand,
welchen die Analyse anzeigen muss , und den sie in der That dadurch anzeigt , dass in den drei unbestimmten Gleichungen zwischen x , y , z des
Art. 55 drei unbestimmte Grössen A, μ, v verbleiben, so dass diese Gleichungen
auf jede beliebige, gegebene, Curve angewendet werden können . Man darf
also schon aus diesem Grunde diese Gleichungen nicht als einen unnützen
Ueberfluss betrachten ; sie dienen aber ausserdem dazu , die drei Unbekannten
λ, p, v zu bestimmen , von denen die Bedingungen für das Gleichgewicht
abhängen, und welche zu gleicher Zeit die Kräfte ausdrücken, die sich dem
widersetzen, dass die Werte der drei Funktionen a, ß , y durch Einwirkung
der auf den Faden wirkenden Kräfte variieren.
Allerdings müssen die drei unbestimmten Grössen λ, μ , v durch die
drei Bedingungsgleichungen ersetzt werden , welche die Thatsache aussprechen , dass die Differentialfunktionen a , ß , y als gegeben gedacht
werden müssen. Da aber nach der Natur der Differentialrechnung der
absolute Wert der Differentiale unbestimmt bleibt und da nur ihr Verhältnis
gegeben sein kann, so können diese drei Bedingungen nur zweien gleichwertig, sein, welche die Verhältnisse der drei Grössen a, ß, y enthalten, und
diese beiden Verhältnisse sind hinreichend, um die Curve zu bestimmen.
138
Abschn. V, Cap. III, § 4.
Gleichgewicht eines starren Stabes.
Aus den oben (Art. 46) entwickelten Gleichungen sieht man in der
That, dass der von zwei aufeinanderfolgenden Elementen der Curve gebildete
/4aß — da²
√
Contingenzwinkel ausgedrückt wird durch
, wenn a, ß , y die
2α
in Art. 53 angegebene Bedeutung haben ; der Krümmungsradius wird also
Σαγα
• Da dieser Radius also als gegeben vor√4aß — da²
ausgesetzt wird, so ist auch die Gestalt der Curve, wenn diese von einfacher
' Krümmung ist , gegeben ; für Curven doppelter Krümmung ist es nicht
schwer zu beweisen, dass die zweite Krümmung, welche von dem Contingenzwinkel herrührt, der von den durch zwei benachbarte Elemente der Curve
hindurchgehenden Ebenen gebildet wird , von dem Verhältnis der drei
Grössen a, ß, y abhängt. Die drei genannten, auf die Curve sich beziehenden
Bedingungen reducieren sich also darauf, dass diese Curve gegeben sein
muss, wie das Problem es voraussetzt.
wiedergegeben durch
Man könnte die Analyse dieses Problems auf den Fall einer Fläche
oder eines festen Körpers ausdehnen, dessen sämmtliche Punkte von irgend
welchen Kräften angegriffen werden ; wir wollen aber zeigen , wie man sie
vereinfachen kann , indem man von denselben Bedingungsgleichungen ausgeht und dann durch diese Gleichungen die Form der Variationen der
Coordinaten bestimmt.
Capitel IV.
Vom Gleichgewicht eines festen Körpers von messbarer Grösse
und beliebiger Gestalt, dessen sämmtliche Punkte durch irgend
welche Kräfte angegriffen werden.
60. Da die Bedingung, dass der Körper starr ist, darin ausgesprochen
ist, dass alle seine Punkte beständig dieselbe Lage gegen und dieselbe Entfernung von einander behalten , so hat man zwischen den Variationen dx,
oy, dz dieselben Bedingungsgleichungen, die wir im Art. 53 gefunden haben ;
denn es ist klar, dass, wenn man sich im Innern des Körpers eine beliebige
Curve denkt , es genügt , dass alle Punkte dieser Curve dieselben Entfernungen von einander behalten, welche Bewegung der Körper auch erhalten
möge. Durch jene Gleichungen wird man also unmittelbar die Werte dieser
Variationen bestimmen können.
Dazu bemerke ich , dass , wenn man zu den Differentialen zweiter
Ordnung übergeht , man stets eines der ersten Differentiale als constant
annehmen kann ; man uehme also dx = Const. und folglich d²x = 0,
d³x:= 0 etc. Hierdurch wird die zweite und dritte Gleichung des Art. 53 :
= und d³yd³dy + d³½d³ôz · = 0.
d²yd³dy + d²zd2ôz0
Abschn. V, Cap. IV.
Gleichgewicht ausgedehnter fester Körper.
139
d2z
d2ôz und,
Die erste dieser Gleichungen ergiebt sogleich : d2dy -d2y
wenn man differentiiert,
d2z
d3%
dazday) d2dz.
(dy) ?
d³ dy =
d2y
Substituiert man diesen Wert in die zweite Gleichung , so lässt diese sich
d³yd2g
und man hat nach der Division
dividieren durch d³g
d2y
d³y
d2dz = 0,
d³dz
d2y
woraus durch Integration folgt
d2dz = 8Ld2y,
wo mit 8L eine Constante bezeichnet ist.
Hat man d'oz, so findet man
- 8Ld2z. Integriert man wieder und bezeichnet die neuen Cond2dy =
=
stanten mit - Mdx , Ndx, so folgt
=
doz8Ldy
- 6 Mdx ; doy = -6Ldz + 6 Ndx.
Indem man diese Werte in die erste Bedingungsgleichung , nämlich in
dxdox + dydoy + dz dòz = 0,
substituiert , geht diese Gleichung über in
dox = ―
— Ndy + 8Mdz.
Endlich giebt eine dritte Integration , wenn die dabei hinzukommenden
neuen Constanten ôl , ôm , ôn heissen,
δι =
dxolyo
N + z6M,
бу= ôm + CÔN — TÔI ,
ông
dzòn - xoM + yồL.
Es ist leicht , sich davon zu überzeugen , dass diese Ausdrücke nicht
nur den drei ersten Bedingungsgleichungen des Art. 53 genügen , sondern
auch allen anderen , die man ins Unbegrenzte finden könnte und welche
alle enthalten sind in der allgemeinen Gleichung
d" xd" ôx + d"yd " by + d" zd " oz = 0.
Sie geben aber die Werte der Variationen dx , dy , dz für ein gewisses System
von Punkten , die so unter einander verbunden sind, dass sie immer dieselben
Entfernungen von einander behalten. Es dienen daher diese Werte nicht
nur für den Fall einer gewissen beweglichen und in ihrer Gestalt unveränderlichen Curve , sondern auch für den Fall eines festen Körpers von
irgend welcher Gestalt.
Euler hat zuerst diese einfachen und eleganten Formeln gefunden ,
die dazu dienen, die Variationen der Coordinaten aller Punkte eines festen,
im Raume sich bewegenden Körpers auszudrücken .
Er ist dazu durch Be-
W
140
Abschn. V, Cap. IV.
Gleichgewicht ausgedehnter fester Körper.
trachtungen gelangt, die er aus der Differentialrechnung herleitete, die aber
von denen verschieden sind , welche uns darauf geführt haben, und die, wie
mir scheint, weniger streng sind. Man sehe dazu in dem Bande für 1750
der Berliner Akademie die Abhandlung : Découverte d'un nouveau principe
de Mécanique .
61. Da also schon die vorhergehenden Werte von dx, dy, dz den Bedingungsgleichungen des Problems genügen , so ist klar , dass man sie nur
in die Formel 0 = S ( Xôx + Yòy + Zòz) dm zu substituieren und dafür zu
sorgen hat , dass diese unabhängig von den Grössen ôl, ôm, ôn, ôL, ¿M, ôN,
welches die einzigen unbestimmten Grössen sind , die noch übrig sind , gleich
Null werde.
Nun sind aber diese Grössen für alle Punkte des Körpers dieselben,
man muss sie also bei der Substitution ausserhalb des Zeichens S bringen ;
hierdurch erhält man folgende allgemeine Gleichung für das Gleichgewicht
eines starren Körpers von beliebiger Gestalt
ol SXdm + ôm SYdm + on SZdm + îNS (Yx — Xy) dm
+ ôMS (Xz — Zx) dm + ôLS (Zy— Yz) dm =
— 0,
woraus man die besonderen Gleichungen für das Gleichgewicht erhält, indem
man den verschiedenen Umständen des Problems Rechnung trägt.
62. Nehmen wir zuerst an , der Körper sei völlig frei , so sind die
sechs Variationen ôl, ôm, ôn, dL, M, N alle unbestimmt , und man muss
die Grössen , mit denen sie multipliciert sind , gleich Null setzen ; man gelangt dadurch zu folgenden sechs schon bekannten Gleichungen :
SXdm = 0; SYdm = 0 ; SZdm = 0 ;
S (Yx - Xy) dm = 0 ;
S ( Xz — Zx) dm = 0 ;
S (Zy — Yz) dm = 0 .
Ist zweitens in dem Körper ein fester Punkt vorhanden , um den derselbe
sich frei nach allen Richtungen hin drehen kann , und nennt man a, b, c
die Beträge der Coordinaten x, y, z für diesen Punkt , so muss man haben
δα = 0;
b = 0; oc = 0,
also
δι - bôN + côM = 0 ; ôm taôn – côL =· 0 ; dn — a¿M + bòL = 0,
woraus folgt
ôl
δι =
= boNcoM,
Sm = còL — adN,
on == adM ― bòL.
Man substituiere diese Werte in die allgemeine Gleichung des vorigen
Artikels und bringe die Grössen a , b , c , die in Bezug auf die einzelnen
Abschn. V, Cap. IV.
Gleichgewicht ausgedehnter fester Körper.
141´
Punkte des Körpers constant sind , unter das Zeichen S, so erhält man
folgende transformierte Gleichung
ôNS [Y(x — a) — X(y — b) ] dm + ¿ MS [ X(≈ — c) — Z (x — a) ] dm
+ 8LS [Z(y — b) — Y(z — c) ] dm = 0
woraus die drei Gleichungen entstehen
S [ Y( x - a)
X(y — b)] dm = 0,
S [ X(≈ — c) — Z(x − a)] dm =
— 0,
SLZ (y - b) -Y (≈ — c) ] dm = 0.
Sind drittens in dem Körper zwei feste Punkte vorhanden und sind †, g, h
die Werthe von x, y, z für den zweiten dieser Punkte, so hat man noch
=
olgo
N - ho
hôMM,
ôm = hôL -– fòN ,
on = fò M - yol..
Vergleicht man diese Werte von ôl, ôm , on mit den vorhergehenden , so
ergiebt sich demnach
(g- b) &N
(h — c) 6M = 0,
(fa)&N -(h — c) òL = 0) ,
(fa) ¿M — (g — b) ôL = 0.
Die beiden ersten dieser Gleichungen geben
&L =
f- a
6N;
h
с
g
M =h
6N,
с
und da diese Werte auch der dritten Gleichung genügen , so folgt , dass
nur die Variation N unbestimmt bleibt.
Macht man diese Substitutionen in der oben gefundenen transformierten
Gleichung, so hat man
ôN { (h — c) S [Y(x − a) — X (y — b)] dm + (g — b) S [ X (z − c) — Z(x — a)] dm
+ (f − a) S [Z(y — b) — Y(x — c)] dm } = 0 .
Die Bedingungen des Gleichgewichts sind also in der folgenden einzigen
Gleichung enthalten
(h — c) S [Y(x − a) — · X(y — b)] dm + (g — b) S [ X (e —- c) — Z (x —
− a)] dm
+ (f− a) S [Z(y — b) — Y (≈ — c)] dm = 0.
63. Diese verschiedenen Gleichungen entsprechen denen , die wir im
Abschn. III für das Gleichgewicht eines Systems isolierter Punkte von unveränderlicher gegenseitiger Lage gegeben haben , und wir hätten die Be-
`142
Abschn. V, Cap. IV.
Gleichgewicht ausgedehnter fester Körper.
dingungen dieses Gleichgewichts unmittelbar auf dasjenige eines festen
Körpers von beliebiger Gestalt anwenden können , dessen sämtliche Punkte
durch gegebene Kräfte angegriffen werden. Ich hielt es aber nicht für
unnütz , um die Fruchtbarkeit unserer Methoden zu zeigen , diese letztere
Frage gesondert zu behandeln , ohne etwas von schon gelösten Problemen
zu benutzen.
Wenn übrigens die beiden Punkte des Körpers, die wir soeben als fest angenommen hatten, nicht geradezu festgelegt sind, sondern auf gegebenen Linien
oder Flächen gleiten können , oder auch nur auf eine gewisse Art mit
einander verbunden sind , so hat man noch eine oder mehrere Differentialgleichungen zwischen den Variationen der Coordinaten a, b , c; f, g, h, die
zu diesen Punkten gehören . Setzt man an die Stelle dieser Variationen
ihre Werte in 87 , ôm , ôn, L, M, N, nach den allgemeinen Formeln des
Art. 60, so bekommt man ebensoviele Gleichungen zwischen diesen letzteren
Variationen, mit deren Hilfe man einige dieser Variationen durch die andern
Indem man dann diese Werte in die allgemeine Gleichung
bestimmt.
des Gleichgewichts substituiert und jeden der Coefficienten der übrig gebliebenen Variationen gleich Null setzt, erhält man alle zum Gleichgewicht
nötigen Gleichungen .
Der Weg der Rechnung ist , wie man sieht , stets derselbe und dies
muss man als einen der Hauptvorzüge dieser Methode ansehen.
64. Die oben (Art. 60) gefundenen Ausdrücke für die Variationen dx,
dy , dz zeigen , dass dieselben nichts anderes als die Resultate der fortschreitenden und drehenden Bewegungen sind , die wir im Abschn. III
besonders betrachtet haben.
In der That sieht man, dass die Glieder ôl, ôm, ôn, die allen Punkten
des Körpers gemeinsam sind, die kleinen Räume, die der Körper in Richtung
der Coordinaten x , y , z in Folge einer fortschreitenden Bewegung durchlaufen hat , darstellen. Man erkennt auch aus den Formeln des Art. 8
desselben Abschnittes , dass die Glieder ( M- yoN) , (xò Ngô L) ,
(yoL - xoM) die kleinen Räume ausdrücken , die durch jeden Punkt des
Körpers nach denselben Richtungen durch drei drehende Bewegungen L,
*M, N um die drei Axen der x, y, z durchlaufen sind. Es entsprechen
die Grössen L, M, N den Grössen dy, dw, de a. a. O. Man hätte also
die gegenwärtigen Ausdrücke sogleich aus der blossen Betrachtung dieser
Bewegung herleiten können , was zwar einfacher , jedoch weniger direkt
gewesen wäre. Die vorhergehende Analyse führt ganz natürlich auf diese
Ausdrücke und beweist dadurch auf eine allgemeinere und direktere Art
als diejenige des Art. 10, Abschn. III, dass, wenn die verschiedenen Punkte
eines Systems ihre gegenseitige Lage immer beibehalten , das System in
jedem Augenblick nur fortschreitende Bewegungen im Raume und drehende
Bewegungen um drei auf einander senkrechte Axen haben kann .
Abschnitt VI.
Prinzipe der Hydrostatik.
Obgleich wir die innere Beschaffenheit der flüssigen Körper nicht kennen ,
so dürfen wir dennoch nicht daran zweifeln , dass die Teile , aus denen
die Flüssigkeiten bestehen, materiell sind, und dass aus diesem Grunde die
allgemeinen Gesetze des Gleichgewichts den Flüssigkeiten ebenso zukommen,
wie den festen Körpern . In der That besteht auch die vornehmste Eigenschaft der flüssigen Körper , die sie allein von den festen unterscheidet,
darin, dass alle ihre Teile der geringsten Kraft weichen, und sich mit der
grössten Leichtigkeit gegen einander bewegen können , die Verbindung und
gegenseitige Wirkung der Teile mag übrigens beschaffen sein wie sie will.
Da sich nun diese Eigenschaft leicht durch den Calcul ausdrücken lässt, so
ergiebt sich, dass die Gesetze des Gleichgewichts der flüssigen Körper keine
besondere Theorie erfordern , sondern dass sie nur ein besonderer Fall
der allgemeinen Theorie der Statik sein müssen . Unter diesem Gesichtspunkte wollen wir sie auch betrachten ; aber ich glaube damit den Anfang
machen zu müssen , kurz die verschiedenen Grundsätze auseinanderzusetzen ,
die bis jetzt in diesem Teile der Statik, den man gewöhnlich Hydrostatik
nennt, angewandt worden sind , um die Analyse der Prinzipe der Statik,
die ich im ersten Abschnitt gegeben habe, zu vervollständigen.
Wieder ist Archimedes der älteste Schriftsteller , der uns einige
Grundsätze über das Gleichgewicht flüssiger Massen hinterlassen hat. Sein
Traktat de insidentibus humido ist nic in griechischer Sprache gefunden
worden , und man hatte auch nur eine sehr fehlerhafte lateinische Uebersetzung davon durch Tartalea , bis Commendin es unternahm , den
Traktat wieder herzustellen und durch Noten zu erläutern ; er erschien durch
die Sorgfalt dieses geschickten Commentators im Jahre 1565 unter dem
Titel de iis quae vehuntur in aqua.
Dieses Werk, welches man als einen der kostbarsten Reste des Altertums
ansehen kann, ist in zwei Bücher geteilt. Im ersten Buch stellt Archimedes
folgende zwei Grundsätze fest, die er als Erfahrungssätze annimmt, und auf
welche er seine ganze Theorie baut :
1. dass die Natur der flüssigen Körper so beschaffen ist , dass die
weniger gedrückten Teile durch die mehr gedrückten weggetrieben
werden , und dass jeder Teil immer durch das Gewicht der Säule
gedrückt wird, die vertical auf ihm steht ;
144
Abschn. VI. Prinzipe der Hydrostatik,
2. dass alles , was durch eine flüssige Masse in die Höhe getrieben
wird , längs der Verticalen in die Höhe getrieben wird , die durch
den Schwerpunkt geht .
Aus dem ersten Satze schliesst Archimedes sogleich , dass die Oberfläche einer flüssigen Masse , deren Teile alle als gegen den Mittelpunkt
der Erde gezogen angenommen werden, eine sphärische Gestalt haben muss,
wenn die flüssige Masse im Gleichgewicht sein soll. Hierauf zeigt er, dass
ein Körper , der ebenso schwer wie ein gleiches Volumen der flüssigen
Masse ist, darin völlig eintauchen muss ; denn wenn man zwei gleiche
Pyramiden der flüssigen Masse betrachtet, von der vorausgesetzt wird, dass
sie sich um das Centrum der Erde im Gleichgewicht befindet, so würde die
Pyramide , in welche der Körper nur zum Teil eingesunken wäre , einen
grösseren Druck auf das Centrum der Erde oder überhaupt auf eine beliebige sphärische Oberfläche, die man sich um dies Centrum denkt, ausüben,
als die andere. Auf gleiche Art beweist er , dass die Körper , die leichter
als ein gleiches Volumen der flüssigen Masse sind , nur soweit einsinken
können, bis der eingesunkene Teil den Raum eines Volumens der flüssigen
Masse einnimmt , welches ebenso schwer ist wie der ganze Körper ; hieraus
leitet er dann die beiden hydrostatischen Theoreme her, dass Körper, die
leichter sind als gleiche Volumina der flüssigen Masse , in welche sie eingetaucht sind, in die Höhe getrieben werden mit einer Kraft, welche gleich
ist dem Ueberschuss des Gewichts der verdrängten Flüssigkeit über das
des eingetauchten Körpers, und dass die schwereren Körper darin einen Teil
ihres Gewichts verlieren , der dem Gewichte der aus der Stelle getriebenen
flüssigen Masse gleich ist.
Archimedes bedient sich hierauf seines zweiten Grundsatzes , um die
Gesetze des Gleichgewichts der Körper , die auf einer flüssigen Masse
schwimmen , zu bestimmen ; er beweist , dass jeder Kugelabschnitt, der
leichter ist als ein gleiches Volumen der flüssigen Masse , in welcher er
schwimmt , notwendig eine solche Lage annehmen muss , dass die Basis
horizontal ist ; sein Beweis besteht darin, dass er zeigt, dass , wenn die Basis
geneigt ist, das ganze Gewicht des Körpers, welches man im Schwerpunkt sich
vereinigt vorstellen kann, und die Kraft, vermöge welcher die flüssige Masse
alles vertical in die Höhe zu treiben strebt , und die man sich im Schwerpunkt des untergetauchten Teils auch gleichsam concentriert denken kanu,
allezeit dem Körper so lange eine drehende Bewegung mitteilt , bis seine
Basis wieder horizontal geworden ist.
Damit ist der Inhalt des ersten Buches charakterisirt. Im zweiten Buch
giebt Archimedes nach eben diesen Grundsätzen die Gesetze des Gleichgewichts verschiedener durch die Umdrehung von Kegelschnitten gebildeten
Körper an , wenn sie in flüssige Massen eingetaucht werden , die schwerer
als diese Körper selbst sind ; er betrachtet die Fälle , wo diese Conoide
darin geneigt bleiben können , diejenigen , wo sie aufrecht bleiben müssen,
und diejenigen , wo sie sich umkehren oder sich wieder aufrichten müssen.
Abschn. VI.
Prinzipe der Hydrostatik.
145
Dies Buch ist eins der schönsten Monumente des Archimedischen Genies
und enthält eine Theorie der Stabilität schwimmender Körper , zu welcher
die neueren Schriftsteller nur wenig hinzugefügt haben.
2. So leicht es auch nach dem, was Archimedes gezeigt hatte, war,
den Druck einer flüssigen Masse auf den Boden oder die Seitenwände des
Gefässes , in welchem sie enthalten ist , zu bestimmen , so ist doch Stevin
der erste , der diese Untersuchung unternahm , und der das hydrostatische
Paradox fand, dass eine flüssige Masse einen weit grösseren Druck ausüben
kann , als ihr eigenes Gewicht beträgt. Stevins Theorie der Hydrostatik
findet sich im 3. Bande der Hypomnemata mathematica . Snellius hat
sie aus dem Holländischen übersetzt und 1608 zu Leyden herausgegeben .
Nachdem Stevin bewiesen hat, dass ein fester Körper von beliebiger Form
und derselben Schwere wie das Wasser, in demselben in jeder Lage verharren
kann , weil er immer den nämlichen Platz einnimmt und so viel wiegt , als
wenn er aus Wasser wäre , stellt er sich ein rechtwinkliges mit Wasser
gefülltes Gefäss vor, und zeigt leicht, dass dessen Boden das ganze Gewicht
des Wassers zu tragen hat , welches das Gefäss erfüllt. Er nimmt hierauf
an, dass man in dieses Gefäss einen festen Körper von irgend einer Form
und von der Schwere des Wassers tauche ; alsdann ist klar, dass der Druck
derselbe bleiben wird, so dass, wenn man dem eingetauchten festen Körper
eine solche Gestalt giebt , dass er nur eine Flüssigkeitsröhre von sonst
beliebiger Form übrig lässt, der Druck dieser Flüssigkeitsröhre auf die
Grundfläche noch immer derselbe und folglich dem Gewichte einer verticalen
Wassersäule von dem Querschnitt der Grundfläche gleich sein wird. Nun
bemerkt Stevin , dass, wenn man diesen festen Körper an seiner Stelle sich
befestigt vorstellt, durch ihn keine Veränderung in der Wirkung des Wassers
auf den Boden des Gefässes erfolgen kann ; der Druck auf diesen Boden
wird also immer dem Gewichte derselben Wassersäule gleich sein. Die
Form des Gefässes mag dabei beschaffen sein, wie man will .
Stevin geht hierauf weiter und bestimmt den Druck des Wassers auf
senkrechte oder geneigte Wände , er teilt die Oberfläche der Wände durch
horizontale Linien in mehrere kleine Teile und zeigt , dass jeder Teil an
seiner Stelle und in seiner Lage einerseits mehr gedrückt wird , als wenn er
horizontal wäre und in der Höhe des oberen Randes sich befände , und
andererseits weniger gedrückt wird , als wenn er sich in horizontaler Lage
in der Höhe des unteren Randes befände. Er verringert nun die Breite
der Teile immer mehr , vermehrt aber zugleich ihre Zahl ins Unendliche,
und beweist durch die Grenz-Methode , dass der Druck auf eine senkrechte
ebene Seitenwand dem Gewicht einer Säule gleich ist, deren Grundfläche
diese Seitenwand, und deren Höhe die halbe Höhe des Wassers ist.
Endlich bestimmt er den Druck auf einen beliebigen Teil einer ebenen
geneigten Seitenwand und findet, dass dieser dem Gewichte einer Wassersäule
gleich ist , die entsteht , wenn man an jedem Punkte dieses Teiles gerade
Linien senkrecht anbringt, die der Tiefe dieser Punkte unter dem Wasserspiegel
10
Lagrange, Analytische Mechanik.
146
Abschn. VI.
Prinzipe der Hydrostatik.
gleich sind, und sich diese Linien als Flüssigkeitsfäden vorstellt. Nachdem so dieses Theorem für Ebenen, wie auch ihre Lage beschaffen sein
mag, bewiesen ist, ist es leicht, es auf krumme Flächen zu erstrecken,
und daraus den Schluss zu ziehen , dass der durch ein schweres Fluidum
gegen irgend eine Fläche ausgeübte Druck das Gewicht einer Säule von
eben diesem Fluidum zum Maasse hat , deren Grundfläche gleich der gedrückten Fläche ist, (die , wenn es nötig ist, in eine ebene Fläche verwandelt
gedacht werden kann ,) und deren zu den verschiedenen Punkten der
Grundfläche gehörenden Höhen den Entfernungen der correspondierenden
Punkte der Fläche von der horizontalen Niveaufläche des Fluidums gleich
sind ; oder , was auf dasselbe hinauskommt, dieser Druck wird durch das
Gewicht einer Säule gemessen werden , die zur Grundfläche die gedrückte
Fläche und zur Höhe die verticale Entfernung des Schwerpunkts eben dieser
Fläche von der oberen Fläche des Fluidums hat.
3. Die vorhergehenden Theorien für das Gleichgewicht und den Druck
flüssiger Massen hängen , wie man sieht , nicht im geringsten von den allgemeinen Prinzipen der Statik ab , sie gründen sich vielmehr nur auf Erfahrungen, die den Flüssigkeiten eigen sind . Diese Methode , die Gesetze
der Hydrostatik zu beweisen , indem man aus einer auf die Erfahrung
sich gründenden Erkenntnis einiger dieser Gesetze die aller anderen herleitet,
ist von den meisten neueren Schriftstellern angenommen worden und hat
aus der Hydrostatik eine von der Statik ganz verschiedene und unabhängige
Wissenschaft gemacht.
Es war jedoch von Wichtigkeit , diese beiden Wissenschaften zu verbinden und beide von einem und demselben Prinzip abhängen zu lassen.
Unter den verschiedenen Prinzipen , die der Statik zur Basis dienen können
und von denen wir eine kurze Auseinandersetzung im ersten Abschnitt
gegeben haben, lässt sich aber, wie leicht zu sehen ist, nur das Prinzip der
virtuellen Geschwindigkeiten in gleicher Natürlichkeit beim Gleichgewicht
flüssiger Körper anwenden. In der That hat sich auch Galilei , der Urheber
dieses Prinzips , desselben bedient , um die hauptsächlichsten Lehrsätze der
Hydrostatik in gleicher Weise wie die der Statik zu beweisen.
In seinem Discorso intorno alle cose che stanno su l'acqua , o che in
quella si muovono leitet er sogleich aus diesem Prinzip die Bedingung für
das Gleichgewicht des Wassers in einem Heber her , indem er zeigt , dass,
wenn man die Flüssigkeit von einerlei Höhe in den beiden Armen annimmt,
sie weder in dem einen fallen , noch in dem andern steigen kann , ohne dass
das Moment in dem Teil des Fluidums, welches fällt, dem Moment in demjenigen Teil, welcher steigt, nicht gleich ist. Aus demselben Prinzip folgert
Galilei die Bedingung für das Gleichgewicht zwischen Flüssigkeiten und
festen Körpern , die darin eingetaucht werden. Es ist wahr , dass seine
Beweise die gehörige Strenge nicht haben , und obgleich man sie in den
zur Florentiner Ausgabe von 1728 angebrachten Noten zu ergänzen versucht
hat, lassen sie doch noch viel zu wünschen übrig.
Abschn. VI.
Prinzipe der Hydrostatik.
147
Descartes und Pascal wendeten ebenfalls dieses Prinzip der virtuellen
Geschwindigkeiten in der Hydrostatik an ; letzterer besonders machte von
demselben in seinem Traité de l'équilibre des liqueurs ausgedehnten Gebrauch
und bewies durch dieses Prinzip die hauptsächlichste Eigenschaft der
flüssigen Körper, dass nämlich irgend ein an einem Punkte ihrer Oberfläche
wirkender Druck sich gleichförmig nach allen andern Punkten verbreitet.
4. Diese Anwendungen des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten
waren aber noch zu hypothetisch, und , wenn man so sagen darf, zu wenig
zuverlässig , als dass sie dazu hätten dienen können , eine strenge Theorie
des Gleichgewichts der Flüssigkeiten aufzustellen . Seitdem ist aber dieses
Prinzip von den meisten Schriftstellern , welche über die Hydrostatik geschrieben haben , verlassen worden . Namentlich haben sich diejenigen
desselben nicht mehr bedient , welche es unternahmen , die Grenzen dieser
Wissenschaft zu erweitern , und die Gesetze des Gleichgewichts heterogener
Flüssigkeiten zu suchen , deren Teile alle durch gewisse Kräfte getrieben
werden; Untersuchungen, die besonders deswegen sehr wichtig sind, weil sie
mit dem berühmten Problem über die Gestalt der Erde in Verbindung stehen.
Huyghens nahm bei einer solchen Untersuchung als Grundsatz für
das Gleichgewicht an , dass die Schwere gegen die Oberfläche der betreffenden
Flüssigkeit senkrecht ist. Newton ging von dem Grundsatz aus, dass die
Gewichte vom Mittelpunkt der Flüssigkeitsmasse ausgehender Flüssigkeitssäulen gleich sein müssen. Bouguer bemerkte hierauf, dass diese beiden
Grundsätze oft nicht dasselbe Resultat geben , und schloss daraus , dass , wenn
Gleichgewicht einer flüssigen Masse bestehen soll, beide Grundsätze zugleich
gelten müssen und bei der Bildung der Oberfläche des Fluidums zugleich mit
einander wirksam sein müssen . Aber Clairaut bewies ferner, dass es Fälle
geben kann, wo auch diese Uebereinstimmung stattfindet, und wo dennoch kein
Gleichgewicht vorhanden ist. Maclaurin machte Newtons Prinzip allgemeiner, indem er den Satz aufstellte, dass bei einer flüssigen im Gleichgewicht sich befindenden Masse jeder Teil durch alle die geradlinigen
Säulen des Fluidums gleichmässig zusammengedrückt werde , welche auf
diesem Teile ruhen und an der Oberfläche endigen. Clairaut verallgemeinerte diesen Grundsatz noch weiter, indem er zeigte, dass das Gleichgewicht einer flüssigen Masse es erfordere , dass für jeden irgendwie
geformten Faden der Flüssigkeit, sei es, dass dieser Faden an der Oberfläche
endigt oder in sich selbst zurückkehrt , die an seinen Teilen wirkenden
Kräfte sich gegenseitig aufheben. Endlich leitete er auch zuerst aus diesem
Grundsatze die wahren Fundamentalgesetze für das Gleichgewicht einer
flüssigen Masse her, deren Teile alle durch gewisse Kräfte bewegt werden,
und fand die partiellen Differentialgleichungen , durch welche man diese
Gesetze ausdrücken kann . Diese Entdeckung gab der Hydrostatik ein ganz
anderes Ansehen, und schuf sie gleichsam zu einer neuen Wissenschaft um .
5. Das Prinzip von Clairaut ist nur eine natürliche Folgerung aus
dem Prinzip der Gleichheit des Drucks nach allen Richtungen ; in der Tat
10*
148
Abschn. VI. Prinzipe der Hydrostatik.
kann man aus letzterem sofort dieselben Gleichungen herleiten, welche aus
dem Prinzip des Gleichgewichts der Flüssigkeitssäulen sich ergeben. Denn
betrachtet man den Druck als eine Kraft , welche auf jedes Teilchen wirkt,
und welche durch eine Funktion der Coordinaten, die den Ort des Teilchens
in der Flüssigkeit bestimmen , ausgedrückt werden kann , so giebt die
Differenz der Druckkräfte , welche das Teilchen auf zwei entgegengesetzten
und parallelen Flächen erleidet , die Kraft , welche das Teilchen senkrecht
zu diesen Flächen zu bewegen strebt, und welche durch die beschleunigenden
Kräfte , mit denen dieses Teilchen belebt ist, zerstört werden muss. Bezieht
man dann alle solche Kräfte auf drei gegen einander senkrechte Coordinaten
und denkt sich die Flüssigkeitsmasse in kleine rechtwinklige Parallelepipeda
geteilt , welche die Elemente dieser Coordinaten zu Seiten haben , so erhält
man sofort drei partielle Differentialgleichungen zwischen dem Druck und
den gegebenen beschleunigenden Kräften , welche dazu dienen , den Betrag
des Druckes und die Relation zu bestimmen, welche zwischen diesen Kräften
stattfinden muss.
Dieses einfache Mittel , die allgemeinen Gesetze der
Hydrostatik zu finden , rührt von Euler her (Berliner Abhandlungen von
1755) ; es ist jetzt fast in allen Lehrbüchern dieser Wissenschaft angenommen.
6. Das Prinzip der Gleichheit des Druckes nach jeder Richtung ist
also bisher die Grundlage der Theorie des Gleichgewichts der Flüssigkeiten,
und man muss gestehen, dass dieses Prinzip in der That die einfachste und
allgemeinste Eigenschaft enthält , welche die Erfahrung bei den im Gleichgewicht befindlichen Flüssigkeiten hat finden lassen. Aber ist denn die
Kenntnis dieser Eigenschaft bei der Untersuchung der Gesetze des Gleichgewichts der Flüssigkeiten unerlässlich ? Kann man diese Gesetze nicht
direct aus der Natur der Flüssigkeiten, wenn man diese als Ansammelungen
von weit getrennten, von einander unabhängigen und vollständig nach allen
Richtungen hin beweglichen Molekülen betrachtet, ableiten ? Dies will ich in den
folgenden Abschnitten versuchen, indem ich nur das allgemeine Prinzip des
Gleichgewichts , von dem ich bisher nur bei den festen Körpern Gebrauch
gemacht habe , anwende. Und dieser Teil meiner Arbeit wird nicht allein
eine der schönsten Anwendungen des genannten Prinzips liefern , sondern
wird auch dazu dienen , die Theorie der Hydrostatik selbst in manchen
Punkten zu vereinfachen.
Man weiss , dass die Flüssigkeiten im Allgemeinen in zwei Arten zerfallen in incompressible , deren Teile ihre Gestalt , nicht aber ihr Volumen
ändern können , und in compressible und elastische , deren Teile zugleich
Gestalt und Volumen ändern können und immer darnach streben , sich mit
einer bekannten Kraft auszudehnen, von der man gewöhnlich annimmt, dass
sie proportional einer Funktion der Dichtigkeit ist.
Das Wasser , Quecksilber etc. gehören zur ersten Art , die Luft , der
Dampf des kochenden Wassers etc. gehören zur zweiten Art.
Wir wollen zuerst vom Gleichgewicht incompressibler , und dann von
demjenigen compressibler elastischer Flüssigkeiten handeln.
Abschnitt VII.
Vom
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
1. Es sei m die Masse einer Flüssigkeit, deren sämmtliche Punkte
durch die Schwere oder beliebige Kräfte P, Q, R etc. , deren Richtungen
durch die Linien p, q, r etc. gegeben sind, angegriffen werden ; dann erhält
man nach Art. 12 , Abschn. IV, wenn man die daselbst gebrauchten Benennungen beibehält, für die Summe der Momente aller Kräfte den Integralausdruck
S (Pôp + Qòq + Ròr + ···) dm,
welcher gleich Null sein muss, wenn das Fluidum im Gleichgewicht sein soll.
§ 1.
Vom Gleichgewicht einer Flüssigkeit in einer sehr engen Röhre.
2. Wir wollen uns zuerst die Flüssigkeit in eine Röhre , die unendlich
eng und von einer gegebenen Form ist, eingeschlossen denken , und sie uns
in unendlich kleine Schichten oder Teile eingeteilt vorstellen, deren Höhe ds
und deren Querschnitt w ist ; man kann dann dm := wds setzen , weil der
Querschnitt der Röhre o als unendlich klein angenommen worden ist , und
ds das Element der Curve der Röhre ist . Stellen wir uns nun vor , die
Flüssigkeit erhalte eine kleine Bewegung , und verändere unendlich wenig
ihre Stelle in der Röhre, und es sei der kleine Raum , den die Schicht oder
das Teilchen dm in der Röhre durchläuft, so ist klar , dass wos die Menge
der Flüssigkeit sein wird , die zu gleicher Zeit durch jeden der Schnitte w
der Röhre geht.
Wegen der Incompressibilität der Flüssigkeit aber
muss diese Grösse überall dieselbe sein ; setzt man wos = a, so wird a für
den ganzen Verlauf der von der Röhre gebildeten Curve, also in Bezug auf
a
die Krümmung der Röhre constant sein. Man hat aber w =
und folglich
ὃς
ads
dm =
Setzt
man
also
die
constante
Grösse
a
ausserhalb
des
Integralos
zeichens S, so geht die Grösse, welche die Summe der Momente der Kräfte
ausdrückt, über in
ds
a S (Pôp + Qôq + Rôr + ...) ds
150
Abschn. VII, § 1. Princip d. virt. Geschw. b. incompr. Flüssigkeiten.
Man sieht jetzt leicht , dass , weil op , dq , or etc. die Variationen der
Linien p, q, r etc. sind, welche von der Variation os herkommen, sie gegen
ds dasselbe Verhältnis haben müssen , wie die Differentiale dp , dq, dr etc.
gegen ds, da ja die Gestalt der Röhre eine festgegebene ist. Man hat also
op = dp
ds
os
dq
dq
or
=
os
ds' ôs
dr
dsi
und der vorhergehende Ausdruck nimmt die Form an
a S (Pdp + Qdq + Rdr + ···) ,
wo die Differentiale dp , dq , dr etc. sich auf die Kanalcurve beziehen , und
wo das Zeichen S ein Integral andeutet, welches sich über den ganzen Kanal
erstreckt.
Setzt man daher diese Grösse gleich Null , so wird
S (Pdp + Qdq + Rdr + · · ·) = 0,
das allgemeine Gesetz für das Gleichgewicht einer Flüssigkeit , die in eine
Röhre von beliebiger Gestalt eingeschlossen ist.
3. Giebt es ausser den Kräften P, Q, R etc., die auf jeden Punkt der
Flüssigkeit wirken , noch eine äussere Kraft II' an einem der Enden der
Röhre, die etwa durch einen Stempel auf die Oberfläche der Flüssigkeit und
senkrecht auf die Seitenwände der Röhre wirkt , und bezeichnen wir dann
durch ds' den kleinen Raum , den die Schicht der Flüssigkeit, welche nach
der Voraussetzung von der Kraft Il' gedrückt worden ist, durchläuft, während
die anderen Schichten die von diesem verschiedenen Räume ds durchlaufen,
so muss man zur Summe der Momente der Kräfte P, Q, R etc. das Moment
der Kraft II', welches durch Il'os' dargestellt wird , addieren. Nennt man
daher
den Schnitt der Röhre an dem Ort, wo die Kraft II' wirkt, so hat
man w'ôs' für die Menge der Flüssigkeit , die durch den Schnitt w' geht,
während durch einen anderen Schnitt o die Menge der Flüssigkeit wds geht.
Die Incompressibilität der Flüssigkeit aber erfordert, dass diese Grössen
überall dieselben seien ; hat man daher wôs
a gesetzt, so hat man auch
α
w'ôs' = a , folglich ôs' = w'
Folglich wird die ganze Summe der Momente
der Kräfte, die auf die Flüssigkeit wirken, durch die Grösse
II'
a[W
" + S (Påp + Qaq + Rår + ···
ausgedrückt werden können, so dass die Gleichung für's Gleichgewicht sein
wird
Π'
+ S (Pdp + Q dq + Rdr + ...) = 0.
4. Es ist offenbar, dass im Zustande des Gleichgewichts die Kraft II '
dem Druck der Flüssigkeit gegen den Stempel , dessen Querschnitt w'ist,
Abschn. VII, § 1. Princip d. virt. Geschw. b. incompr. Flüssigkeiten.
151
das Gleichgewicht hält ; dieser Druck wird folglich gleich - II ' sein , und
folglich gleich
w' S (Pdp + Qdq + Rdr + ·· ·),
also wird allgemein der Druck der Flüssigkeit auf jeden Punkt des Stempels
durch das Integral
S (Pdp + Qdq + Rdr + ··· )
ausgedrückt, wenn dieses Integral über die ganze Länge der Röhre genommen
wird. Dieser Druck wird auch derselbe sein , wenn man anstatt eines beweglichen Stempels einen unbeweglichen Boden annimmt, der die Röhre auf
einer Seite verschliesst.
5. Wirkte auch am anderen Ende der Röhre eine Kraft von der
Grösse Пl ", etwa ebenfalls vermittelst eines Stempels , so fände man auf
ähnliche Weise , wenn man w" den Querschnitt der Röhre an dieser Stelle
nennt, die Gleichung
II"
Π'
+ S (Pdp + Qdq + Rdr + ...) = 0
w' +
als Bedingung für das Gleichgewicht der Flüssigkeit.
6. Wird die Flüssigkeit nur durch die beiden äusseren Kräfte Пl', II"
gedrückt , die in den Flächen w' und w " angreifen , so hat man also im
Gleichgewicht
II'
II"
+ "/
0,
W
w'
woraus man sieht, dass die beiden Kräfte II ',9 II" entgegengesetzte Richtungen
haben müssen, und zu gleicher Zeit umgekehrt proportional sein müssen den
Flächen w', w " , auf die sie wirken. Diesen Satz sieht man gewöhnlich blos
als einen Erfahrungssatz an , oder wenigstens als eine Folge des Prinzips
der Gleichheit des Drucks nach allen Seiten , in welchem Prinzip nach den
Schriftstellern über Hydrostatik die Natur der Flüssigkeiten ihren Ausdruck
finden soll.
7. Die Kenntnis der Gesetze des Gleichgewichts einer Flüssigkeit , die
in eine sehr enge Röhre von beliebiger Gestalt eingeschlossen ist, kann auf
diejenige der Gesetze des Gleichgewichts irgend einer Flüssigkeitsmasse
führen, gleichviel ob diese in ein Gefäss eingeschlossen ist oder nicht.
Denn es ist klar , dass , wenn eine Flüssigkeitsmasse im Gleichgewicht
ist, und man sich irgend einen Kanal denkt, welcher sie durchschneidet, die
in diesem Kanal enthaltene Flüssigkeit auch von selbst , d. h. unabhängig
von der übrigen Flüssigkeit, im Gleichgewicht ist. Man hat dann für das
Gleichgewicht in dieser Röhre, wenn man von den äusseren Kräften absieht
(Art. 2)
S (Pdp + Q dq + Rdr + · · ·) = 0,
Abschn. VII , § 1. Prinzip d. virt. Geschw. b. incompr. Flüssigkeiten.
152
Da nun diese Gleichung gelten muss , wie man auch die Röhre durch
die Flüssigkeit laufen lassen mag, so muss die vorhergehende Gleichung
von der Form der Röhre unabhängig sein ; daraus könnte man folglich
schliessen , wie Clairaut es in seiner Théorie de la figure de la Terre gethan hat, dass die Grösse (Pdp + Qdq + Rdr + ...) ein vollständiges Differential sein muss. Man kann aber auch durch die Analyse zu diesem Schluss
kommen und so zu gleicher Zeit auch die Relationen finden , die zwischen
den Grössen P, Q, R etc. stattfinden müssen. Dazu braucht man blos
das Integral
S(Pdp + Qdq + Rdr + ···)
nach
der Methode der Variationen variieren zu lassen
und diese
Variation gleich Null zu setzen.
8. Bezeichnen wir mit V den Wert des Integrals
S(Pdp + Qdq + Rdr + ·· ·),
genommen über die ganze Länge der Röhre, so muss man haben 64 = 0.
Durch Differentiation findet man nun
Sч =
64
_ 8 S (Pdp + Qdq + Rdr + ·· · ) = Sô (Pdp + Qdq + Rdr + ·· ·)
= S(Pôdp + Qôdg + Rôdr + ... + ¿ Pdp + & Qdq + ô Rdr + ···).
Verwandelt man dd in dồ und lässt dann das doppelte Zeichen đồ durch
partielle Integrationen verschwinden, so hat man
¿Y = Pôp + Qoq + Ròr + ... + S (ôPdp — dРôp + ôQ dq — dQ ôq
+ Rdr--dRòr + ···),
wo die Glieder , die sich ausserhalb des Zeichens S befinden , sich auf die
Enden des durch dieses Zeichen angedeuteten Integrals beziehen, und folglich
den Enden der Röhre entsprechen , so dass zum Beispiel , wenn man diese
Enden als fest annimmt, die Variationen op, dq, or etc. , welche ihnen entsprechen, gleich Null sind, und die Glieder, um welche es sich hier handelt,
von selbst verschwinden.
Da nun die Grössen P, Q , R etc. , welche die Kräfte darstellen , stets
als Funktionen von p, q, r etc. angesehen werden können, so ist klar, dass
der Teil von 6 , der das Zeichen S vor sich hat , keiner Reduction mehr
= O sein soll , muss dieser Teil selbst gleich Null
fähig ist; damit also
sein , und man muss daher für jeden Punkt der Flüssigkeitsmasse die identische Gleichung haben
¿Pdp — dPop + ôQ dq − dQ òq + ¿Rdr - dRor + ... = 0.
Betrachtet man die Ausdrücke der Kräfte P, Q, R etc. als Funktionen von
P, q, r etc. , so hat man nach der angenommenen Bezeichnung
dp=
ӘР
ӘР
ӘР
dr +
dp +
dq +
Dr
др
да
Abschn. VII, § 1. Prinzip d. virt. Geschw. b. incompr. Flüssigkeiten.
153
ferner
6P=
ӘР
ӘР
ӘР
-op +
·or +·
·ôg +
Dr
да
др
und ebenso für die anderen Differentiale.
Hiernach nimmt die vorherige
Gleichung nach Substitution dieser Werte und Ordnung der Glieder die
folgende Form an
ӘР
0=
(ôqdp - dqop)
да
ӘР
OR
+
(ordp - drop)
др
др
Vaq
OR
+
(ordy - dròq)
др
да
Diese Gleichung muss bestehen unabhängig von den Differentialen dp, dq,
dr etc., op, dq, or etc.
Wenn es also keine Relation zwischen den Variablen p, q, r etc. giebt,
so muss sein
ӘР
მი =
0,
dq
др
ӘР
OR
= 0,
др
др
aq
OR
= 0.
Or
Dies sind die bekannten Bedingungen für die Integrabilität des Ausdrucks
Pdp + Qdq + Rdr +
9. Wenn die Linien p, q, r etc. sich wie im gegenwärtigen Falle auf
einen und denselben Punkt im Raume beziehen, so können sie nur von den
drei Coordinaten dieses Punktes abhängen und die Kräfte P, Q, R lassen sich
immer auf drei in Richtung dieser Coordinaten wirkende reducieren (Abschn. V,
Art. 7) . Nimmt man also p, q, r als Coordinaten an , mögen sie rechtwinklig sein oder nicht, und P, Q, R etc. als die Kräfte , welche auf jedes
Flüssigkeitsteilchen in der Richtung dieser Coordinaten wirken , so müssen
die Grössen P, Q, R, als Funktionen von p, q, r betrachtet, den drei Gleichungen
ƏQ
ƏR
ӘР
ӘР
OR
aQ 0; др - др = 0; Dr - да = 0
др
да
genügen. Dies sind die notwendigen Bedingungen dafür , dass die Flüssigkeitsmasse im Gleichgewicht sei , wenn die Kräfte P, Q, R auf alle ihre
Punkte wirken.
Ich habe übrigens bisher von der Dichtigkeit der Flüssigkeit abgesehen,
oder vielmehr, ich habe sie als constant und gleich der Einheit angenommen ;
154
Abschn. VII, § 2.
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten .
wenn man sie aber als variabel annehmen wollte , so würde man , wenn r
die Dichte irgend eines Teilchens dm bezeichnet, haben (Art. 2) dmlwds,
und die Grössen P, Q, R etc. würden alle mit П multipliciert werden müssen .
Man hat dann für das Gleichgewicht von Flüssigkeiten von variabler Dichte
dieselben Gesetze wie für das Gleichgewicht von Flüssigkeiten mit gleichförmiger Dichtigkeit , falls man nur die verschiedenen Kräfte mit der Dichtigkeit des Elements , auf welches sie wirken , multipliciert , d . h. indem man
einfach гP, Q, FR etc. an die Stelle von P, Q, R etc. setzt.
§ 2. Ableitung der allgemeinen Gesetze des Gleichgewichts incompressibler Flüssigkeiten aus der Natur der Teilchen, aus denen sie bestehen.
10. Wir wollen jetzt die Gesetze des Gleichgewichts incompressibler
Flüssigkeiten direct aus unserer allgemeinen Formel ableiten , indem wir
diese Flüssigkeiten als aus einer Menge von Teilchen gebildet ansehen, die
nach allen Richtungen hin beweglich sind, und ihre Gestalt, nicht aber ihr
Volumen ändern können .
Wir wollen der Einfachheit halber annehmen , dass alle Kräfte , welche
auf die Teilchen der Flüssigkeit wirken , auf drei durch X, Y, Z dargestellte
Kräfte reduciert seien , welche in Richtung der Coordinaten wirken , und
zwar diese Coordinaten zu verkleinern streben. Wir haben im Cap. I,
Abschn. V die allgemeinen Formeln für diese Reduction angegeben.
Nennt man dm die Masse irgend eines Teilchens , so hat man für die
Summe der Momente der Kräfte X, Y, Z die Integralgrösse
S (Xôx + Yoy + Zôz)dm,
wo das Element dm durch dxdydz dargestellt werden kann. Bezeichnet r
die Dichte, so ist klar, dass dmldx dydz ist, und das Integrationszeichen
bezieht sich also auf die drei Variablen x, y, z zugleich.
Man muss ferner die Bedingungsgleichung beachten , welche aus der
Incompressibilität der Flüssigkeit folgt, und welche, wenn man sie als durch
L = 0 dargestellt annimmt, nach
differentiiert , mit dem unbestimmten
Coefficienten
multipliciert und integriert , den Ausdruck ergiebt Sλ8L,
den man zum vorhergehenden addieren muss.
Wenn weder äussere Kräfte , die auf die Oberfläche der Flüssigkeit
wirken , noch besondere Bedingungen für diese Oberfläche vorhanden sind ,
hat man einfach als allgemeine Gleichung des Gleichgewichts (Abschn. IV,
Art. 13)
S (Xox + Yoy + Zòz) dm + Sλ8L = 0,
in welcher die
nehmen sind.
Integrale
über
die
ganze Masse
der Flüssigkeit zu
11. Die Bedingung der Incompressibilität besteht darin , dass das
Volumen jedes Teilchens unveränderlich sei ; drückt man dieses Volumen
Abschn. VII, § 2.
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
155
durch dadydz aus , so hat man dx dydz = const als Bedingungsgleichung ;
folglich wird sein
L = dx dydz― const ; und 8L = ô (dx dydz).
Bei der Bildung der Variation (dxdydz) , könnte man glauben , dass man
einfach dx dydz nach
zu differentiieren hat , aber man muss hier doch
noch eine besondere Betrachtung anstellen , ohne welche die Rechnung nicht
streng sein würde. Die Grösse dx dydz drückt nur dann das Volumen eines
Teilchens aus , wenn man als Gestalt dieses Teilchens ein rechtwinkliges
Parallelepipedon annimmt, dessen Seiten parallel den Axen der x, y, z sind.
Diese Annahme ist wohl gestattet, da man sich die Flüssigkeit in unendlich
kleine Elemente von jeder beliebigen Gestalt geteilt denken kann. ô (dx dydz)
muss also die Variation ausdrücken , welche dieses Volumen erleidet , wenn
das Teilchen unendlich wenig seine Lage ändert, und seine Coordinaten
x, y, z jetzt (x + ôx) , (y + dy) , ( + ôz) werden. Es ist klar , dass , wenn
bei dieser Veränderung das Teilchen seine Gestalt eines rechtwinkligen
Parallelepipedons behält, man hat
ò (dx dydz) = dy dzò dx + dx dzò dy + dx dyò dz.
Nach den Prinzipen der Variationsrechnung kann man ddx, ôdy, ôdz
in dôx, doy, doz verwandeln, aber man muss beachten, dass die Variationen
ox, dy, dz als unbestimmte und unendlich kleine Funktionen von x, y, z betrachtet
werden können , damit überhaupt dox die Variation der Kante dx des rechtwinkligen Teilchens drdydz darstelle ; diese Kante ist aber durch die Zunahme de der Coordinate x gebildet, während die beiden andern Coordinaten
y, z sich nicht ändern , es muss also bei der Differentiation von dx allein x
als variabel gedacht werden. Nach der Bezeichnung der partiellen Diffeдох
rentiale hat man hiernach einfach
dx an die Stelle von dox zu schreiben .
дх
a by
dy, und
Ebenso und nach einer ähnlichen Ueberlegung schreibt man
ду
дог
Əz dz an die Stelle von doy bez . dôz. Bei der Annahme, dass das Teilchen
dx dydz nach der Variation ein rechtwinkliges Parallelepipedon bleibt , hat
man also
дох
ady дог
ô (dxdy dz) = dx dy dz (
( дх + ду + dz
Dieselbe Gleichung würde noch stattfinden , wenn das Teilchen dx dy dz
durch die Variation ein Parallelepipedon würde , dessen Winkel unendlich
wenig vom rechten Winkel abweichen . Man weiss nämlich aus der Geometrie,
dass, wenn a, b, c die drei Seiten eines Parallelepipedons sind, welche eine
Ecke bilden, und a, ß, y die drei Winkel angeben, welche diese Seiten unter
sich bilden , der Inhalt des Parallelepipedons ausgedrückt wird durch die
Grösse
cos2 a - cos²ß — cos²y + 2 cosa cosẞ cos7) .
abc √ (1
156
Abschn. VII, § 2.
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
Bei der Variation gehen nun die Seiten über in
дох
dx
2
dz(1 + 3дх ) ; dy ( 1 + bay ) ; de ( 1 + 506)
und die Cosinus von α, ß, y werden unendlich klein ; substituiert man also
diese Werte für a, b, c und vernachlässigt die unendlich kleinen Grössen
von höherer als erster Ordnung, so hat man als Variation von dx dydz denselben Ausdruck, den wir gefunden haben.
Obgleich nun diese letztere Annahme erlaubt ist , wollen wir sie doch
nicht ohne Beweis hinnehmen, um nichts an der Genauigkeit unserer Formeln
fehlen zu lassen . Wir wollen also auf eine strenge Weise die Variation von
dxdydz suchen , indem wir zu gleicher Zeit auf die Veränderung der Lage
und der Länge jeder Seite eines rechtwinkligen Parallelepipedons Rücksicht
nehmen , und nur voraussetzen , dass diese Seiten geradlinig bleiben , was
beim Unendlichkleinen genau ist.
12. Um diese Untersuchung zu vereinfachen , wollen wir damit beginnen,
erst eine der Flächen des Parallelepipedons dx dydz zu betrachten , z. B.
die Fläche dxdy, deren vier Ecken folgenden vier Coordinatensystemen
entsprechen
x, y, z;
(1)
(2)
(x + dx, y, z) ;
(3)
(x, y + dy, z);
(4)
(x + dx, y + dy, z).
Nehmen wir an, dass die Coordinaten x, y, z der ersten Ecke gleich (x + dx),
(y + ôy) , (≈ + z) werden , und betrachten wir die Variationen dx, dy, dz
als unendlich kleine Funktionen von x, y, z, und lassen wir x, y nach
und nach um ihre Differentiale dx, dy wachsen , so findet man , was nach
und nach aus den Coordinaten der drei anderen Systeme werden muss.
Bezeichnet man die verschiedenen Systeme von Coordinaten mit denselben
Nummern wie vorher, so hat man nach der Variation
(1)
( tô )' , ( y tông ), ( ẽ tô ),
(2)
(2x + de + x + дх
(
ade) .
(3)
(x
+ &x +
(x+
dx
dx
дх de) . ( +80+ дх
(y + by + Bay
de de ) ;
дох
(4)
дог
bxdy) ,
(y + dy + by + bby dy) ,
(z
(2 + is +
дох
дох d
x + dy dy,
dx
x + dx + 6x +·
дх
d
ady
дбoуy dy,
y + dy + oy + дх dx + dy
2 +62 +
дог
дог
dx +
dy .
дх
dy
by dy ) ;
Abschn. VII, § 2.
157
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
Da diese vier Coordinatensysteme den Winkelpunkten des neuen Vierseits entsprechen, in welches sich das Rechteck dx dy verwandelt hat, so ist
klar, dass man die Seiten dieses Vierseits erhalten wird, wenn man die
Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Differenzen der Coordinaten
für die beiden Endpunkte jeder Seite nimmt. Bezeichnen wir die gerade
Linie, welche zwei Ecken mit einander verbindet, durch Vereinigung der
beiden Zahlen, welche diesen Ecken entsprechen, so hat man hiernach
12
1+
+ (940)²
+ Dar)
дх ,
дх ²+ (061)²
дх
( 1,2) = dx
дох 2
=
(1,3) — dy √( dy
6 )² + ( 1+
2
дх )",
y ) + (3
2
2
дох2
дх )" + (³à
дх)".
(3,4) = de √ ( 1 + дх
dx) + (3d
Ədz 12
2
dy
√
(
0bx)
( 2,4) =d (Br ) + ( 1 +a )+ (
).
Daraus ersieht man, dass die einander gegenüberliegenden Seiten ( 1,2)
und (3,4) unter sich gleich sind, ebenso die Seiten ( 1,3) und (2,4) , und
dass folglich das Vierseit ein Parallelogramm ist, dessen beide anstossenden
Seiten ( 1,2 ) und ( 1,3) , wenn man unter dem Wurzelzeichen die Grössen
zweiter Ordnung gegenüber denen erster Ordnung vernachlässigt, sind
(1,2 ) = dz ( 1 +
дох
r) ; ( 1,3 ) = dy ( 1 + day)
ду
13. Was den Winkel anbetrifft, der von diesen beiden Seiten eingeschlossen ist, so findet man ihn vermittelst der Diagonale (2,3) , welche man
erhält, indem man wie oben die Quadratwurzel der Quadrate der Differenzen
der den Systemen ( 2) und (3 ) entsprechenden Coordinaten nimmt, zu
(2,3) = √ (
дох
・dxдх
дох
2
dy
dy
дбу
+ dy + d ·dyy
doy
2
дог
dx
-dx ] +
дх
( дх
dy
ду
Nennt man a den Winkel, um den es sich handelt, so folgt aus dem
durch die drei Seiten ( 1,2), (1,3) , (2,3) gebildeten Dreieck
COS α = (1,2) ² + ( 1,3)² — (2,3)²
2 ( 1,2) · ( 1,3)
Substituiert man in diesem Ausdruck die für ( 1,2), ( 1,3) , ( 2,3) gefundenen
Werte, streicht die Glieder, welche sich aufheben, aus und vernachlässigt
die unendlich kleinen Grössen zweiter und höherer Ordnung, so hat man
дох
Cosa =
+
ду
əöy
дх
2
ə öz
-
dx +
158
Abschn. VII, § 2.
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
Man sieht also in der Tat, dass der Winkel a nur um unendlich kleine
Grössen von einem rechten Winkel differiert, da sein Cosinus unendlich
klein ist.
14. Wendet man dieselbe Analyse auf die beiden andern Flächen dxdz,
dydz des rechtwinkligen Parallelepipedons dx dydz an, so findet man, dass
diese Flächen sich ebenfalls in Parallelogramme verwandeln, so dass die
drei gegenüberliegenden Flächen auch Parallelogramme sein werden , wie man
dies leicht nach den Lehren der Geometrie zeigen kann. Der neue Körper
wird also ein Parallelepipedon sein, dessen in einer Ecke zusammenstossenden
Seiten die Längen haben
дох
д );
de ( 1 + bar
dy ( 1 + day ) ;
de ( 1 +
+ 25
002).
Nennt man a, ß , y die Winkel zwischen diesen Seiten , so hat man
COS a =
дох дбу
"
+
dy
дх
дох до
cosẞ = dz + дх
doy
ə öz
+
COS Y =
Əz
dy
Daraus kann man schliessen, dass die Variation des rechtwinkligen Parallelepipedons dx dydz durch die oben (Art. 11 ) gegebene Formel streng ausgedrückt ist.
15. Man sieht auch daraus, dass, wenn die Variationen dx, ôy, dz nur
Funktionen resp. von x, y, z sind, man streng hat
Cosa =·0, cosẞ = 0, cosy = 0,
so dass das rechtwinklige Parallelepipedon dxdydz auch nach der Variation
rechtwinklig bleibt. Da nun die Formveränderung des Parallelepipedons
nur unendlich klein ist und auf den Wert des Inhalts keinen Einfluss hat,
so folgt daraus, dass, ohne der Allgemeinheit des Resultates etwas zu nehmen,
man voraussetzen darf, dass die Variationen dx, dy, dz einfach Funktionen
von resp . x, y, z sind, wie wir es im Art. 31 , Abschn. IV gethan haben.
16. Hat man auf diese Weise den Wert von (dx dy dz), so kann man
ihn in den von òL einsetzen und erhält
6L =
= dx dy dz
ə ox
доу
ὃ δε
+
+
dy
дх
де
•
Diesen Ausdruck für L wird man also in die allgemeine Gleichung des
Art. 10 zu substituieren und zu gleicher Zeit für dm seinen Wert гdx dydz
zu setzen haben. Man erhält dann die Gleichung
ST ( Xòx + Yòy + Zòz) + λ
дог
дох дбу
+
+
Dz )]dx dydz = 0.
dy
дх
Abschn. VII, § 2.
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten .
159
Es wird sich nur noch darum handeln, die doppelten Zeichen do durch die
im § 2 , Abschn. IV auseinandergesetzte Methode verschwinden zu lassen.
дох
17. Wir wollen zuerst die Grösse S
dx dy de betrachten, wo S ein
дх
dreifaches Integral nach x, y, z bezeichnet. Weil das Differential de nur in
Bezug auf die Variation von x genommen ist, so ist klar, dass man , um es
verschwinden zu lassen, auch nur die Integration nach a zu berücksichtigen
дом
hat ; deshalb wird man dieser Grösse zuerst die Form Sdy dz Sdx
дох
geben, darauf wird man das einfache Integral Sλdx in X" òx"-― N'òx'
дх
Ολ
S d.x ox dx transformieren, wobei die mit einem Strich bezeichneten Grössen
sich auf den Anfang des Integrals, und diejenigen mit zwei Strichen auf das
Ende des Integrals beziehen, gemäss der Bezeichnungsweise, die wir a. a. O.
angenommen haben .
Die genannte Grösse wird also in folgende verwandelt
Ολ
Sdydz (X''ôx" — X'ôx') - Saydz Sox
дх dx,
oder, was dasselbe ist, in
Ολ
S
' (\″ òx" — l'òx' ) dydz — Sdx
dx dy dz.
дх
Auf dieselbe Weise und nach ähnlichen Ueberlegungen werden sich die
Grössen
doy
Sa
ə öz
dz
ду dx dyde und Sdx dy dz
verwandeln in
S ( " ông "
Ολ
Xông ) dxdz – Săn
dy ây dxdy da
und
S(2″ òg' — \' ò£') dxdy — Sözdxdydz.
Nach Substitution dieser transformierten Ausdrücke geht die allgemeine
Gleichung für das Gleichgewicht der Flüssigkeitsmasse über in
Ολ
S[ (rx - дх
2:)
)
Ολ
Ολ
+ (rx - 3 ) oy + (гz – 21 ) as ] de dydz
-
+Sox − x
) dy đã + S ( " dy
xông ) do đã
+ S (X" dz" — X'dz') dx dy = 0).
Hierin sind nun die Coefficienten der unbestimmten Variationeu òî, òy, òz
einzeln gleich Null zu setzen (Art. 16 , Abschn. IV) .
160
Abschn VII , § 2.
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
18. Thut man das , so bekommt man zuerst folgende drei Gleichungen
гX-
Ολ
дх
0; гY
Ολ
Ολ =
:0; гz—
Əz
მყ
0,
welche für alle Punkte der Flüssigkeitsmasse stattfinden müssen .
Wenn ferner die Flüssigkeit nach allen Richtungen frei ist, so werden
die Variationen ôx' , òy', òz', ôx" , òy" , òz" , welche sich auf die Punkte der
Oberfläche der Flüssigkeit beziehen , ebenfalls unbestimmt sein und folglich
muss man auch ihre Coefficienten getrennt gleich Null setzen, wodurch man
erhält X' = (), X" = 0 , d . h. , es muss allgemein λ = 0 sein für alle Punkte
der Flüssigkeitsoberfläche , und diese Gleichung wird also dazu dienen , die
Gestalt dieser Fläche zu bestimmen.
Dasselbe wird stattfinden , wenn die Flüssigkeit in ein Gefäss eingeschlossen ist , für den Teil der Fläche, wo das Gefäss offen ist ; was aber
den Teil anbetrifft , der gegen die Wände stösst, so müssen zwischen den
Variationen ox ' , òy' , òz', ôx" , òy" , dz " gewisse durch die Gestalt der Wände
gegebene Beziehungen stattfinden , da die Flüssigkeit nur diesen Wänden
entlang laufen kann ; wir werden später zeigen, dass, welches auch die Gestalt der Wand sein mag , die Glieder , welche die besagten Variationen
enthalten, immer von selbst Null sein werden, so dass keine Bedingung für
diesen Teil der Flüssigkeitsoberfläche zu erfüllen ist.
19. Die drei Gleichungen, welche wir für die Bedingungen des Gleichgewichts der Flüssigkeit gefunden haben, ergeben
Ολ
Ολ ―
Ολ
= TY;
= гх;
= гZ.
dz
дх
dy
Da nun dλ =
Ολ
Ολ
Ολ
dx +
dy +
Əz dz ist, so hat man
дл
dy
dλ = F (Xdx + Ydy + Zdz).
Die Grösse
(Xdx + Ydy + Zdz) muss also ein vollständiges Differential nach x , y, z sein , und diese Bedingung enthält die Gesetze des
Gleichgewichts der Flüssigkeiten.
Eliminiert man aus denselben Gleichungen λ, so erhält man
Ə (гX) =
____ Ə(г ¥)
дх
ду
a(
a (TX) == rz) ,
Oz
дх
Ə (гy) =
____ a(rz)
ə (гz) ,
Oz
dy
welche Gleichungen mit denen des Art. 9 übereinstimmen.
Diese Bedingungen sind also notwendig, damit die Flüssigkeitsmasse
unter der Wirkung der Kräfte X, Y, Z im Gleichgewicht sein kann . Wenn
Abschn. VII, § 2.
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
161
sie vermöge der Natur dieser Kräfte gelten , so ist man sicher , dass das
Gleichgewicht möglich ist, und es bleibt nur übrig , die Gestalt zu finden,
welche die Flüssigkeitsmasse annehmen muss, um im Gleichgewicht zu sein ,
d. h . die Gleichung der äusseren Oberfläche der Flüssigkeit zu finden.
Wir haben im vorigen Artikel gesehen, dass für jeden Punkt der Fläche
λ -O sein muss. Da aber dλ = г ( Xdx + Ydy + Zdz) ist, so folgt durch
Integration
λ
Xdx + Ydy + Zde) + const ;
x =fr (xdz +
folglich ist die Gleichung der äusseren Fläche
[dx + Ydy + Zdz) =
— K,
Srcxae
wo K eine für die betreffende Oberfläche charakteristische Constante ist ;
diese Gleichung besteht stets aus endlichen Gliedern , da die Grösse
г (Xdx + Ydy + Zdz) als vollständiges Differential vorausgesetzt ist.
20. Die Grösse Xdx + Ydy + Zdz ist immer von selbst ein vollständiges Differential, wenn die Kräfte X, Y, Z von einer oder von mehreren
Anziehungen herrühren, die irgend welchen Funktionen der Entfernungen von
Kraftcentren proportional sind , denn man hat nach Art. 1 , Abschn . V allgemein
Xdx + Ydy + Zdz = Pdp + Qdq + Rdr + ...
Bezeichnet man diese Grösse mit dПl , so wird dλ = гdПl ; und da dλ ein vollständiges Differential ist, muss in diesem Falle П eine Funktion von II sein.
Hiernach ist auch
=Srall notwendig eine Funktion von II.
In diesem Falle , welcher der Natur entspricht , wird man also als Gestalt der Oberfläche die Gleichung ƒ (II) = K haben, d . h . auf der Oberfläche
muss II gleich einer Constanten sein, wie wenn die Flüssigkeit von vornherein
gleichförmig dicht wäre. Da ferner П eine Funktion von Il ist, so folgt aus
der Constanz von II an der Oberfläche , dass die Dichtigkeit
in allen
Punkten der Oberfläche einer im Gleichgewicht befindlichen Flüssigkeitsmasse dieselbe sein muss.
Im Innern der Flüssigkeit kann die Dichtigkeit beliebig variieren, bleibt
jedoch stets eine Funktion von II : sie ist aber überall constant, wo der Wert
von II constant ist, und die Gleichung II - h giebt allgemein die Gleichung
der Flächen gleicher Dichtigkeit, wenn
eine Constante ist. Durch Differentiation folgt
ап = 0 oder Xd + dy + Zdz = 0
als allgemeine Gleichung dieser Flächen.
Es ist nun klar, dass dieselbe
Gleichung auch den Flächen zugehört , auf denen die Resultante der Kräfte
11
Lagrange , Analytische Mechanik.
162
Abschn. VII, § 2.
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
X, Y, Z senkrecht steht, und welche Clairaut Niveauflächen nennt. Daraus
folgt dann, dass die Dichtigkeit in jeder Schicht, welche von zwei unendlich
nahen Niveauflächen eingeschlossen wird , überall die nämliche Grösse
haben muss .
Dieses Gesetz würde hiernach für die Erde und alle Planeten gelten,
vorausgesetzt, dass diese Körper ursprünglich flüssig gewesen sind und bei
ihrer Erhärtung die Form beibehalten haben , welche sie unter dem Einfluss
der Anziehung ihrer Teile und der Centrifugalkraft angenommen hatten.
21. Was die Grösse
betrifft , deren Wert wir soeben bestimmt haben,
so ist es gut, zu bemerken , dass das Glied Sh8L der allgemeinen Gleichung
des Art. 10 die Summe der Momente von Kräften
darstellt , welche den
Wert der Funktion L zu vermindern streben (Art. 7, Abschn. IV). Da nun
SL - 8 (dx dy dz) ist , so kann man sagen , dass die Kraft λ jedes Teilchen
dx dydz der Flüssigkeit zu verdichten strebt. Diese Kraft ist folglich nichts
anderes als der Druck , den jedes Flüssigkeitsteilchen von allen Seiten her
erleidet, und dem es infolge seiner Incompressibilität Widerstand leistet.
Man hat hiernach allgemein für den Druck in jedem Punkt der Flüssigkeitsmasse den Ausdruck
Sг (Pdx + Qdy + Rdz)
und da die Grösse unter dem Integralzeichen stets integrabel sein muss, wenn
die Flüssigkeit im Gleichgewicht ist, so folgt daraus, dass der Druck immer
durch eine endliche Funktion der Coordinaten des Teilchens, welches diesen
Druck erleidet , ausgedrückt wird . Dies ist das Fundamentalprinzip der
Theorie der Flüssigkeiten , welches Euler aufgestellt hat (Abhandlungen
der Berliner Akademie, 1755) .
22. Um eine Anwendung von der Gleichung II
Const. zu machen,
welche, wie wir gefunden haben, die Oberfläche einer im Gleichgewicht sich
befindenden Flüssigkeitsmasse darstellt (Art. 20) , wollen wir das Gleichgewicht des Meeres betrachten unter der Voraussetzung, dass es die Erde ganz
bedeckt, die wieder als ein elliptischer, von der Kugel wenig abweichender
Körper angesehen wird, und dass jedes seiner Teilchen zu gleicher Zeit von
allen Teilchen der Erde und des Meeres selbst angezogen, und von der aus der
gleichförmigen Rotation der Erde um ihre Axe herrührenden Centrifugalkraft belebt wird.
Hier haben wir Gelegenheit, die Formeln anzuwenden, welche im Art. 10,
Abschn. V gegeben sind. Wir haben mit
den Wert der Funktion II
bezeichnet, wenn die Kräfte das Resultat der Anziehungen aller Teilchen
eines Körpers von bestimmter Form sind , und wir haben den Ausdruck
von
angegeben für den Fall , wo die Anziehung umgekehrt proportional
dem Quadrate der Entfernungen variirt, und wo der anziehende Körper ein
elliptisches Sphäroid ist, das wenig von der Kugel verschieden ist. Behält
Abschn. VII, § 2.
163
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
man die in jenem Artikel benutzten Bezeichnungen bei und begnügt sich
mit Gliedern, welche die zweiten Potenzen von e und i enthalten, so hat man
1
e² + ¿2
e² y² + i²x²
m
Σ=
+3 .
2.5.73
2.5.7.5
G
wo r = √/x² + y² + 2² die Entfernung dieses Punktes vom Centrum des Sphäroids, x, y, z die rechtwinkligen Coordinaten des angezogenen Punktes und
Απ
und m die Masse dieses Sphäroids angiebt und gleich 3 ABC ist, wenn
A, B, C die Halbaxen desselben sind.
Bezeichnet man mit T die Dichtigkeit des als homogen angenommenen
Sphäroids, so muss man diesen Ausdruck von Σ noch mit г multiplicieren ,
und wenn man voraussetzt , dass der Kern dieses Sphäroids wieder ein
Sphäroid ist, dessen Dichtigkeit allerdings eine andere sein kann , so braucht
man nur zu dem obigen Σ den Wert von Σ in Bezug auf dieses neue Sphäroid,
multipliciert mit der Differenz der Dichtigkeiten der beiden Sphäroide , zu
addieren. Markirt man also mit einem Strich die zu dem innern Sphäroid
gehörigen Grössen, und nimmt an, dass dessen Dichtigkeit gleich г + I' sei,
so hat man für den ganzen Wert von Σ :
I'm (e² + i²) + I'm' (e'² + ¿' ²)
I'm + I'm'
Σ
+
2.5.3
r
Imi² + I'm'ï'2
Ime² + I'm'e'2
-3
22.
·y2 — 3
2.5.5
2.5.75
23. Wir nehmen nunmehr an, der von dem Sphäroid angezogene Punkt
werde ausserdem durch drei Kräfte fx, gy, he angegriffen, deren Richtungen in
die der Coordinaten x, y, z fallen, und die für jeden Punkt diese Coordinaten zu
vergrössern suchen, - fxdx, -.
hzdz sind dann ihre Momente, und
- gydy,
hz2
fx²
gy2
es werden die Glieder zu der Grösse Σ addiert werden
2
2
2
müssen , um den Wert von II zu erhalten , welcher von allen Kräften herrührt , die auf denselben Punkt einwirken. Die Gleichung für das Gleichgewicht ist also
fx² + gy² + hz²
Σ
Const.
2
24. Um diese Formeln jetzt auf die vorliegende Aufgabe anzuwenden,
wird man voraussetzen, dass das äussere Sphäroid durch das Meer gebildet
ist, und das innere , dessen Dichtigkeit I + I'
wird , dessen Dichtigkeit
ist, die Erde darstellt ; den angezogenen Punkt wird man an die Oberfläche
des Meeres verlegen, und die Coordinaten x, y, z desselben mit den Coordinaten a, b, c der Punkte der Oberfläche des äusseren Sphäroids zusammenfallen lassen. Damit diese Oberfläche im Gleichgewicht ist, muss
I'm + I'm'
I'm (e² + i²) + I'm' (e'² + ¿' ²)
faca
+ 2
2.5.3
r
Ime² + I'm'e'2
h
I mi² + I'm'i' ?
g
22
+
+ 2 y² + 3
+ (3 Ime 2.5.5
2
2.5.75
Const.
11.
164
Abschn. VII , § 2.
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
sein. Diese Gleichung, in welcher r = √x² + y² + 2² ist , giebt die Gestalt
der Oberfläche. Wir haben aber in den Formeln des Art. 10 , Abschn . V
vorausgesetzt, dass diese Fläche durch die Gleichung
x2
y2
*2
+
+
A2
B2
C2
1
dargestellt werde, wo x , y , z an die Stelle von a, b, c gesetzt sind ; es muss
also diese Gleichung mit der voraufstehenden zusammenfallen . Substituiert
man in r2-=
= x² + y² + ≈² für x² seinen aus der letzten Gleichung folgenden
A222
A2y2
Wert 42 setzt dann noch für B2 und C2 ihre Ausdrücke
B2
C2
(A² + e²), (A² + 2), so hat man
r² = A² +
1222
e2y2
+
A² + ¿2
A² + e²
Daraus folgt , indem man die höheren als zweiten Potenzen von e und i
fortlässt,
1
1
Α
e2y2 + i²x²
245
1
Wenn man jetzt diesen Wert von r und den angegebenen von x2 in die
erste Gleichung substituiert und die Glieder , welche et , it , e²¿2 enthalten
würden, fortlässt, erhält man
I'm + I'm'
Α
fA2
гm (e² + i²) + I'm' (e'² + i'²)
+
2
2.5.43
+3
Ime² + I'm'e'²
g
+
2.5.45
2
+ 3
Tmi² + I'm'i'2
2.5.45
fA2
2B2
(I'm + I'm ' ) e²)
245
h
- fA2 _ (I'm + I'm' ) i² 22
245
2
2 C2
= Const.
Da diese Gleichung für alle Werte von
und y identisch erfüllt sein muss,
so müssen die Coefficienten der variablen Grössen y² und z² einzeln gleich
Null sein , und man bekommt so die beiden Gleichungen
3 I'm'e'2
2.545
fA2 =
(2гm + 5г'm') e²
g
+ = 0,
2.5.45
2
2B2
3г'm'i'2
2.5A5
h
fA2
(2гm + 51'm') i2
=0
+ 2
2 02
2.5 . A5
welche dazu dienen, die beiden Excentricitäten e und
Meeresoberfläche zu bestimmen.
der ellipsoidischen
Abschn. VII, § 2.
Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten .
165
25. Man weiss, dass die Centrifugalkraft proportional der Entfernung des
betreffenden Punktes von der Rotationsaxe und proportional dem Quadrate der
Winkelgeschwindigkeit der Rotation ist. Nimmt man also die Axe 2A, welche
auch x Axe ist, als Rotationsaxe an und bezeichnet mit F die Centrifugalkraft in
der Entfernung A von der Axe , so hat man für die Centrifugalkraft an irgend
Fu
einem Punkte des Sphäroids Α ' wenn u = √√y² + 22 ist. Diese Kraft, welche
die Richtung von u hat und u zu vergrössern strebt , giebt das Moment
Fu2
Fudu
(y² +22) F
muss noch zur Grösse
Integral
ist, d. h. A , dessen
2A
2A
Σ addiert werden, wenn man auf die Centrifugalkraft Rücksicht nehmen will .
Man bekommt daher die Bedingungen für das Gleichgewicht des Meeres in
Folge der wechselseitigen Anziehung aller Meeresteilchen und der Erdteilchen,
und der von der Rotation der Erde herrührenden Centrifugalkraft , wenn
F
F
man in den beiden vorgehenden Gleichungen f = 0 ; 9 = Ã-,' h = A setzt.
Da hiernach die beiden Constanten g und h einander gleich sind , so sieht
man aus diesen Gleichungen , dass , wenn die Excentricitäten e' und ' der
Erde gleiche Grösse haben , auch die beiden Excentricitäten e und i der
Figur des Meeres unter sich gleich sein werden, so dass, wenn die Erde ein
Rotationssphäroid ist, auch das Meer ein solches ist. Wenn aber die Erde
kein Rotationsspäroid ist , ist es das Meer auch nicht , und die beiden genannten Gleichungen werden dann die Werte der beiden Excentricitäten e
und i berechnen lassen , die von den Excentricitäten e' und ' der Erde
verschieden sein werden .
26. Die gegebene Lösung ist übrigens nur bis auf Grössen von der
Ordnung e², 2, e2 , 2 genau , wollte man in den Werten von Σ und r auf
Glieder , welche noch höhere Potenzen der Excentricitäten enthalten , Rücksicht nehmen , so würde die Beziehung
Σ-
(y² + 22) F
= Const.
2A
nicht mehr allgemein die Form der Gleichgewichtsfläche darzustellen vermögen. Daraus muss man schliessen, dass diese Fläche, streng genommen,
nicht die Figur eines elliptischen Sphäroids haben kann .
Ich sage allgemein , weil in dem Falle , wo das Sphäroid homogen
ist und Kern und Schale gleiche Dichtigkeit haben, man gefunden hat,
dass die Anziehungen auf irgend einen Punkt der Oberfläche in Richtung
der drei Coordinaten x, y , z genau dargestellt werden durch die Grössen :
mLx, mMy, mNz,
wo L, M, N Funktionen von A , B, C sind, welche durch bestimmte . Integrale gegeben sind, woraus für Σ als strenger Ausdruck folgen würde
m
Σ == -2 ·· (Lx² + My² + Ng²) ,
166
Abschn VII, § 2. Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten.
(y² + 22)F
Const. von
2A
2
2
2
2
y
x
derselben Form ist , wie diejenige des Sphäroids 42 + B2 + C2 - 1 , So
n
e
n
e
ich
durch folConstant
kann man sie mit dieser mit Hilfe der willkürl
n
e
g
n
h
c
u
n
s
g
e
i
n
mach
ident
gende zwei Bedi
Da nun die Gleichung des Gleichgewichts
mM
F
=
mL
A2
B2
-
A2
mN- F
-=
mL
C²'
Aus diesen Gleichungen folgt aber B:=C, weil die Grösse M von B und C
in ähnlicher Weise abhängt, wie N von C und B; sie reducieren sich also
auf eine einzige Gleichung, welche dazu dient, das Verhältnis von A zu B
zu bestimmen.
Dieser Fall ist bisher der einzige, für welchen man eine strenge Lösung
gefunden hat, und es rührt diese Lösung von Maclaurin her. Das Problem
der Gestalt der Erde , physikalisch aufgefasst , ist also nur streng gelöst,
wenn man das Sphäroid als durchaus flüssig und homogen annimmt. In
diesem Falle geben die beiden oben (Art. 24) gefundenen genäherten Gleichungen, wenn man
F
e= i
г = 1 ; ' = 0; g = h =
Α
folgende
Beziehung
setzt,
2me2
F =: 0.
5 A4
Vergleicht man die Centrifugalkraft mit der als Einheit angenommenen
m
Schwerkraft, so ist dieselbe bis auf Grössen von der Ordnung e² gleich A2
m
=
man braucht also nur
= 1 zu setzen, und man hat
42
B2 - A³
2€2
"
=F =2
542
5 A2
woraus folgt
B
=
A
Man hat nun F =
1
288
also nahezu
1+
5F
2
231
B
=
230 A
wie man schon seit langer
Zeit weiss.
§ 3. Ueber das Gleichgewicht einer freien Flüssigkeitsmasse, welche einen
festen Körper umschliesst.
27. Die besonderen Gesetze des Gleichgewichts einer Flüssigkeit mit
einem festen Körper, der in sie hineingetaucht ist , oder von ihr umschlossen
ist, hängen, wenn alle Punkte der Flüssigkeit und des Körpers durch irgend
welche Kräfte angegriffen werden, von den Gliedern der allgemeinen Gleichung (Art. 17) ab , welche sich auf die Grenzen beziehen und welche nur
Doppel-Integrale enthalten.
Abschn. VII, § 3. Gleichgew. von Flüssigkeiten u. festen Körpern.
167
Diese Glieder geben folgende Gleichung
8X ” ( ô
dy đãtôn " dưa đã tôi" đọ dy) —SX (
đy để tây đọc để tôi dư duy) = 0,
welche für alle Punkte gelten muss , wo die Flüssigkeit sich mit dem Körper
berührt.
28. Wir wollen zuerst den Fall einer Flüssigkeitsmasse betrachten,
deren äussere Oberfläche frei ist, und welche einen festen Kern von beliebiger
Gestalt umgiebt.
Legt man den Coordinatenursprung in einen inneren Punkt des Kernes ,
so beziehen sich die mit einem Strich bezeichneten Grössen auf die Oberfläche des Kernes , und die mit zwei Strichen bezeichneten auf die Oberfläche der Flüssigkeit. Man hat nun zuerst für alle Punkte dieser Oberfläche die Gleichung X"
0, welche, wie wir oben gesehen haben (Art. 19),
ST (Xd + Ydy + Zd )= K
für die Form dieser Fläche angiebt.
Es bleibt also nur die Gleichung
8X (ôx duy đã tông chủ đã tối đa dy ) = 0
zu erfüllen übrig , deren sämmtliche Glieder sich auf die Oberfläche des
Kernes beziehen.
29. Da die Integration dieser Glieder sich auf die Coordinaten bezieht,
deren Differentiale in dem Ausdruck der Flächenelemente dx dy , dx dz,
dyde vorkommen, so muss man damit beginnen, diese Elemente auf gleiche
Form zu bringen, wozu man gelangen kann , wenn man sie auf das Element
der Fläche bezieht, zu welchem sie gehören.
Bezeichnen wir mit ds2 das Oberflächenelement, welches dem Elemente
dx dy der xy Ebene entspricht, und mit y' den Winkel, welchen die Tangentialebene an diesem Oberflächenelement mit derselben xyEbene bildet , so hat
man aus den bekannten Eigenschaften der Ebenen dxdy
ds² cost', und das
Integral Söz'dady wird SX
' cos y'oz ds2, welches sich über alle Punkte
=
der Flüssigkeitsoberfläche erstreckt.
Wenn ferner do² das Element der Oberfläche ist, welches dem Element dxde
der azEbene entspricht, und ẞ' den Winkel bezeichnet, welchen die Tangentialebene an do² mit derselben az Ebene bildet , so hat man : dxdz = do2 cosß'
und das Integral Soy'dadz wird SX' cosẞ'oy'de', und muss gleicherweise
über die ganze Flüssigkeitsoberfläche erstreckt werden .
30. Ich bemerke jetzt, dass, obgleich die beiden Elemente ds2 und do²
unter einander nicht gleich zu sein brauchen, nichts desto weniger in den beiden
Integralen dasselbe Element genommen werden darf; denn die beiden.
Integrale , in denen diese Elemente vorkommen , beziehen sich auf dieselbe
Fläche. In der Differentialrechnung ist ja der absolute Wert der Elemente
168
Abschn. VII , § 3. Gleichgew. von Flüssigkeiten u. festen Körpern.
ein beliebiger und beeinflusst denjenigen des Integrals nicht.
also das Integral S'cosẞ'oy'de in SX' cos'oy'ds verwandeln .
Man kann
Durch dieselbe Ueberlegung kann man das Integral SX' ôx'dy dz auf die
Form S
cosa'ox'ds² bringen, wenn a' der Winkel ist, den die Tangential-
ebene an ds2 mit der xyEbene bildet.
Es ist übrigens klar, dass man stets die Elemente dx, dy, dz so nehmen
kann, dass sie den Beziehungen
dx dy = cos y'ds² ; dx dz = cosẞ'ds² ; dy dz = cos a'ds2
genügen, denn aus diesen Beziehungen folgen die stets zu erfüllenden Gleichungen
dx = ds
cos B' cos y'
cos a' ;; dy = ds
cos a' cosy
cosẞ'
; dz = ds
cos a' cosẞ'
Cosy'
Durch die angegebenen Transformationen wird hiernach die auf die Grenzen
sich beziehende Gleichung
SX
' (cosa'dx' + cosẞ'dy' + cos y'dz' ) ds² = 0,
wo die Integration über die ganze Flüssigkeitsoberfläche sich erstreckt,
soweit sie den Kern berührt.
31. Wir wollen annehmen , dass die Form dieser Fläche durch die
Differentialgleichung
Adx' + Bdy' + Cdz' = 0
dargestellt wird. Nennen wir a' , B' , ' die Winkel, welche die Tangentialebene im Punkte x' , y', z' mit den Ebenen der xy, xz und yz bildet, so
hat man aus der Theorie der Flächen
A
cos a'=
A2 + B2 + C2
B
cosB'=
'A² + B² + C2
C
cos y'=
'A² + B² + C²
Die Gleichung des vorigen Artikels in Bezug auf die Fläche geht daher
über in
Aòx' + Boy' + Côz·
ds² = 0.
S[2
√A² + B² + C²
Da diese Fläche nach Lage und Gestalt durch die Form des festen
Kerns gegeben ist, so muss zwischen den Variationen ox' , dy' , dz' der
Coordinaten der Teilchen , welche der Fläche benachbart sind, eine Relation
stattfinden, welche von der Gleichung dieser Oberfläche abhängt. Wir haben
nun diese Gleichung in der Form Adx' + Bdy
' + Cde' = 0 vorausgesetzt
Abschn. VII, § 3. Gleichgew. von Flüssigkeiten u. festen Körpern.
169
daher wird notwendig auch Aòx' + Bòy
' + Co = 0 sein ; damit wird der
Grenzbedingung des vorigen Artikels Genüge geleistet, ohne dass eine neue
Gleichung sich ergiebt.
32. Es sei nun p' eine Linie , die senkrecht auf der Fläche in dem
Punkte steht, welchem die Variationen ôx', dy' , oz' entsprechen, und welche
in einem festen Punkte endigt. Da a' der Winkel ist, den die Tangentialebene mit der yz Ebene bildet , so wird er auch der Winkel sein , welchen
das Lot p' auf dieser Ebene mit der xAxe bildet, die ja ebenfalls senkrecht
auf der yz Ebene steht. Ferner wird ẞ' der Winkel sein , den dieses Lot
mit der yAxe bildet und y' der Winkel, den dasselbe Lot mit der Axe bildet.
Welches also auch die Variationen dx', dy
' , dz' sein mögen , so hat man
allgemein, nach Art. 7 , Abschn. II, wenn man d in d verwandelt ,
op' = cosa'dx' + cos B'oy + cos y'o' ,
und die Gleichung des Art. 30 für die Oberfläche der Flüssigkeit kann hiernach auf die Form
SX'op'ds² = 0
gebracht werden. Man sieht aber , dass jedes Element X
' ds2op' dieses
Integrals das Moment einer Kraft ' ds² darstellt , welche an dem Elemente
ds² der Fläche wirkt, und die Richtung des Lotes p' dieser Fläche
hat. Das Integral SX'op'ds wird also die Summe der Momente aller
Kräfte
darstellen , die in den einzelnen Punkten der Fläche wirken und
diese Fläche senkrecht angreifen. Die Kraft , welche gleich
ist , ist
offenbar der Druck , welcher von der Flüssigkeit auf die Oberfläche des
Kernes ausgeübt wird, und der durch den Widerstand des Kernes aufgehoben
wird . Man kann aber im allgemeinen alle Glieder der Gleichung für die
Grenzen, welche sich auf die Flüssigkeitsoberfläche beziehen, auf die Form
Shopds bringen, sei es nun, dass diese Fläche frei ist oder nicht. Da nun
für freie Flächenteile = O ist, so ist der Druck in allen Punkten , wo die
Fläche frei ist, gleich Null, was wir schon auf eine andere Weise (Art. 18 )
gefunden haben.
33. Wenn der mit der Flüssigkeit bedeckte Kern beweglich wäre , so
müsste man die Variationen dx , oy , dz um Variationen vermehren, welche
von der Lageveränderung des Kernes abhängig sind.
Um die verschiedenen Variationen zu unterscheiden , wollen wir mit
ox, oy , ôz die Variationen bezeichnen , welche von der Lageänderung der
Flüssigkeitsteilchen in Bezug auf den als fest gedachten Kern herrühren ,
und ô , ôŋ , o die Variationen nennen , welche von Lagenänderung des
Kernes allein herrühren. Diese letzteren werden ausgedrückt durch folgende
Formeln, welche wir schon im Art. 60, Abschn . V gefunden haben
=
òòl
+ zòM — yồN,
δη =
ôn
= Im
âm – tôi +
+ xƠNN ,
δζ
0 .= ôn ty ÔI — xô
170
Abschn. VII, § 3. Gleichgew. von Flüssigkeiten u . festen Körpern.
In der allgemeinen Gleichung des Art. 17 muss man dann ôx + d§, ôy + ôŋ,
dz +
an die Stelle von dx , dy, dz setzen und hierauf sowohl die mit
den Variationen dx , dy , dz als die mit den neuen Variationen ôl , om, dn,
8L, M, N behafteten Glieder einzeln gleich Null setzen. Die letzten
Variationen kann man vor die Zeichen Streten lassen, da diese Variationen
für alle Flüssigkeitsteilchen dieselbe Grösse haben.
Man sieht zuerst, dass die Einführung der Variationen 6 , on,
keine
Veränderung in den Gleichungen hervorbringt, welche für alle Punkte der
Flüssigkeit stattfinden müssen , und welche von den mit einer dreifachen
Integration behafteten Gliedern herrühren, weil, wenn man die Coefficienten
von ox, oy, dz in diesen Gliedern gleich Null setzt, die Variationen d , on,
Daraus folgt , dass die allgemeinen
zu gleicher Zeit verschwinden .
Gesetze des Gleichgewichts , welche in den Formeln des Art. 19 enthalten
sind, vom Zustand wie von der Figur des Kernes unabhängig sind.
34. Man muss nun noch die Gleichung für die Grenzen betrachten,
die wir im Art. 30 auf die Form
SX
' (cosa ox' + cosẞoy
' + cosy oz ) ds² = 0
zurückgeführt haben. Substituiert man hierin für dx' , dy
' , dz' die Werte
ôx' + de', dy' + ôn' , dz' + d ' , welche mit einem Strich bezeichnet sind , um
anzudeuten , dass sie sich auf die den Kern berührende Oberfläche der
Flüssigkeit beziehen, so wird die Gleichung
SX'(cosa ox' + cos ẞôy' + cos y ôz') ds² + S ' (cosa d ' + cos ẞon' + cos y ob') ds² = 0.
Der Teil, welcher die Variationen ox', dy', dz' enthält, ist von selbst gleich
Null , wie wir im Art. 31 gezeigt haben. Der andere Teil der linken Seite
der Gleichung muss also auch gleich Null sein . Indem man hierin die
Werte von ', on' , o ' substituiert, und dann die mit ôl, ôm , dn, ¿L, ¿M, ¿N
multiplicierten Grössen einzeln gleich Null setzt , hat man folgende sechs
Gleichungen
SX' cosa ds2 = 0; Sx' cosẞds2 = 0 ;
Sx'cosyds² = 0,
SX' (y' COST- z'cos ẞ) ds² = 0,
' ( ' cosa - x'cosy) ds² = 0 ,
SX
SX' (x'cosẞy'cosa) ds² = 0 ,
welche für das vollständige Gleichgewicht der Flüssigkeit und des festen
Körpers notwendig sind.
Diese Gleichungen entsprechen denen des Art. 62 , Abschn. V , wenn
man ds2 für dm und X'cosa , X'cos ß , X'cosy für X, Y, Z setzt. Ist X' die
Druckkraft , welche senkrecht zur Oberfläche des festen Kernes steht , so
sind in der That X'cosa, X'cosẞ, X'cosy die Kräfte, welche von derselben in
Abschn. VII, § 3. Gleichgew. von Flüssigkeiten u. festen Körpern .
171
Richtung der Coordinaten x, y, z hervorgerufen werden. Der Körper muss also
im Gleichgewicht sein, wenn jeder Punkt der Fläche durch diese nämlichen
Kräfte angegriffen wird.
35. Wenn eine Flüssigkeit von einem festen Körper von gegebener Figur
getragen wird , und dabei zusammen mit dem festen Körper von gewissen
Kräften angegriffen wird, so ist es einfacher, die Lösung des Problems direkt
aus der Fundamentalgleichung des Art. 16 zu ziehen, und daselbst unmittelbar
für ox, dy , oz ihre vollständigen Werte ôx + , ôy + ôŋ, ôz + ô zu substituieren (Art. 33).
Da die Variationen ox, dy, dz unabhängig von den anderen Variationen
ôl, om etc. sind, so werden sie eine ähnliche Gleichung geben, wie diejenige
des Art. 17, und sie werden dieselben Resultate für das Gleichgewicht der
Flüssigkeit liefern wie in dem Falle , wo der feste Körper als unbeweglich
vorausgesetzt ist.
Was die anderen Variationen d , on ,
betrifft , so ist zuerst
leicht zu sehen , dass sie nichts zu den Werten der partiellen Differentiale
дох обу обг
9
,
dx
dy
Əz beitragen , da die Variationen òl, ôm , ôn, ôL, ¿M, òN als
unabhängig von x, y, z gedacht werden .
Es genügt also 8 , on, o an Stelle von dx, dy, oz in dem Ausdruck
S(Xdx + Yoy + Zòz) ľ dxdydz
zu substituieren, und die mit jeder der sechs Variationen ôl, ôm, ôn, ôL, ¿M, ¿N
multiplicierten Grössen einzeln gleich Null zu setzen , nachdem diese Variationen
vor das Zeichen S gestellt worden sind . Es ist klar, dass man auf diese Weise
dieselben Gleichungen erhalten wird , welche man schon in Abschn. V
(Cap. IV) für das Gleichgewicht eines festen Körpers gefunden hat , dessen
sämtliche Teile dm, oder hier l' dxdyde, durch irgend welche Kräfte X, Y, Z
angegriffen werden ; man hat so für das Gleichgewicht einer Flüssigkeit über
einem beweglichen festen Kern dieselben Bedingungen, als wenn die Flüssigkeit über dem Kern erstarrt wäre.
36. Aus diesen beiden Arten, die Variationen ins Auge zu fassen, folgt
also , dass der Druck der Flüssigkeit auf die Oberfläche des Kernes der
Wirkung aller Kräfte gleichkommt, welche jedes Flüssigkeitsteilchen angreifen, wenn man voraussetzt, dass die Flüssigkeit als fest zu betrachten ist,
so dass der Kern um die ganze Masse der fest gewordenen Flüssigkeit
vermehrt erscheint.
Da dieses Theorem der Statik wichtig ist, so glauben wir auf eine direktere
Weise zeigen zu müssen , wie es sich aus unserer Formel ableiten lässt.
Es kommt Alles darauf hinaus, zu beweisen, dass die Gleichung
S (Xôë + Yôn + Zò5) г dx dy dz = 0
dieselben Resultate liefert wie die Gleichung für die Grenzen
Sx' (8%' dy dz + ôŋ'dx dz + ò'dx dy) = 0,
172
Abschn. VII, § 3. Gleichgew. von Flüssigkeiten u. festen Körpern.
Infolge der Bedingungen für das Gleichgewicht der Flüssigkeit hat man
(Art. 19)
Ολ
Ολ
Ολ
TX:
ΓΖ =
ГУ =
=
Əz
Ox
‫ذروة‬
(Art. 33) unabhängig von x, y, z sind, so
und da die Werte von 6 , on,
wird hiernach
a (285)
a (λon)
Χ =a(16 ); ΓΥδη =
ΓΖΟΥ
zo -= Oz
; r
дх
dy
=
Die erstere Gleichung giebt also
)+
$( (28
( 65)
дх
(
Mon) + d (205) | dx dy dz = 0 .
Dz
dy
Das erste Glied unter dem S Zeichen ist in Bezug auf x integrabel , das
zweite in Bezug auf y , das dritte in Bezug auf z; führt man diese partiellen Integrationen aus, wie im Art. 17, so folgt daraus die Gleichung für
die Grenzen
Sx" (ôë” dy dz + ôŋ" dx dz + ô¿" dx dy) — SX' (ô§'dy dz + ôŋ'dx dz + ò¿'dx dy) =
— ().
Man hat aber ″ = 0 (Art. 23 ) , weil die äussere Fläche der Flüssigkeit als
frei vorausgesetzt ist ; es bleibt also die Gleichung
Sư cô dude + ôn da đã + ốc dy đề )= 0.
Die beiden beregten Gleichungen kommen also genau auf dasselbe hinaus.
37. In Bezug auf die von der Lagenänderung des Kernes abhängigen
Variationen kann man die Flüssigkeit , welche ihn bedeckt, so ansehen, als
ob sie mit ihm nur eine feste Masse bildet ; wenn also die Punkte des Kernes
auch noch für sich durch beliebige Kräfte angegriffen werden , so braucht
man nur diesen Kräften Rechnung zu tragen, wie denen, welche die Teilchen
der Flüssigkeit angreifen, und auf das Gleichgewicht der aus der Flüssigkeit
und dem festen Körper zusammengesetzten Masse , als wenn sie nur einen
einzigen festen Körper bildete , die im Cap. IV des Abschn. V gegebenen
Lösungen anzuwenden.
§ 4.
Vom Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten , welche in Gefässen enthalten sind.
38. Die allgemeine Gleichung für die Grenzen, die in Art. 27 gegeben
ist, muss für alle Punkte der Wände des Gefässes, in welches die Flüssigkeit
eingeschlossen ist, erfüllt werden. Wir wollen diese Gleichung auf die Form
bringen
SQ ” ô — Xô) dy đã + S Quông – Xông da đe
+ S (X" de " — X'de' ) dx dy = 0
Abschn. VII, § 4.
Gleichgewicht von Flüssigkeiten in Gefässen.
173
— X'ôz' ) dx dy betrachten, in welchen dz" und
und zuerst die Glieder S ( " öz " sind , die zu zwei Punkten der Flüssigdz die Variationen der Ordinate
keitsoberfläche gehört, die denselben Coordinaten x und y entsprechen .
Es ist offenbar, dass die Variationen og" darnach streben, die Teilchen
der zugehörigen Fläche aus der Flüssigkeitsmasse herauszuwerfen , und dass
die Variationen ddarnach streben , die Teilchen der entgegengesetzten
Fläche in die Masse hineinzuziehen, so dass, wenn man dieser das negative
dz' gleichmässig darnach streben,
Zeichen giebt, die Variationen og" und
die Teilchen der Fläche aus der Flüssigkeitsmasse hinauszuwerfen . Das
Doppel-Integral
'
S (x'' ôz' + X' . (— ôz′)) dx dy
wird also die Summe aller Grössen λde dx dy darstellen, welche allen Punkten
der Flüssigkeitsfläche entsprechen , und in welchen die Variationen oz mit
einem Bestreben, vom Innern der Flüssigkeit nach Aussen zu gelangen, gedacht werden . Unter dieser Bedeutung können wir dem Integral die einfachere Gestalt Shoz dady geben.
Auf dieselbe Weise und unter derselben Bedeutung kann man die
anderen beiden Doppel-Integrale
S ( " ông! — Nông )chdz und S ( "ô " — Xô ) dy đã
auf die Form
Shoydadz und Shôx dydz
bringen.
Die Grenzgleichung lässt sich also schreiben
Sλoz dx dy + Shoy dxdz + Shox dy dz = 0,
und man kann ihr nunmehr nach Art . 33 die Form geben
S (cosxox + cosẞoy + cosy oz ) ds = 0 ,
wo a, ß, y die Winkel sind, welche die Tangentialebene der Fläche in dem
Punkte , welcher zu den Coordinaten x, y, z gehört , mit den drei Ebenen
der yz , der xz und der xy bildet. Die Integration dieser Gleichung erstreckt sich über die ganze Fläche der Flüssigkeit und die Variationen ôx,
oy, oz sind vom Innern zum Aeussern der Flüssigkeit gerichtet zu denken .
39. In den Punkten , wo die Fläche frei ist, kann man , da die Variationen ôx, oy, dz unbestimmt bleiben , der Gleichung genügen , wenn man
λ = 0 setzt, und kann daraus die Gestalt dieser Fläche , wie wir in Art. 18
gesehen haben, ableiten .
174
Abschn. VII, § 4.
Gleichgewicht von Flüssigkeiten in Gefässen.
Für alle anderen Punkte der Fläche, wo die Flüssigkeit mit den Wänden
des Gefässes zusammenstösst, hat man, wenn man die Grössen, welche sich
auf diese Teile der Flüssigkeitsbegrenzung beziehen , mit einem Strich bezeichnet, für diese Wände dieselbe Gleichung , die wir in Bezug auf die
Fläche des mit Flüssigkeit bedeckten Kernes gefunden haben (Art. 30) . So
sind also alle Schlüsse , welche wir aus dieser Gleichung , vom genannten
Artikel ab bis zum Ende des vorigen Paragraphen, gezogen haben, auf die
Wäude des Gefässes anwendbar , in welchem die Flüssigkeit eingeschlossen
ist, es mag übrigens das Gefäss eine Gestalt haben, welche es will, es mag
fest bleiben, oder es mag durch den Druck der Flüssigkeit und die Wirkung
fremder Kräfte , welche es nach beliebigen Richtungen ziehen , im Gleichgewicht erhalten sein.
Abschnitt VIII .
Vom Gleichgewicht compressibler und elastischer
Flüssigkeiten.
1. Es seien , wie im Art. 10 des vorigen Abschnittes , X, Y, Z die
Kräfte , welche auf jeden Punkt der Flüssigkeitsmasse in der Richtung der
x, y, z Axen wirken , und welche diese Coordinaten zu verkleinern streben .
Man hat dann zuerst S(Xôx + Yöy + Zöz) dm als Summe ihrer Momente .
Bei den elastischen Flüssigkeiten giebt es noch eine innere Kraft,
welche man Elasticität oder Spaunkraft nennt, und welche sie auszudehnen oder ihr Volumen zu vergrössern strebt. Es sei also ɛ die Elasticität irgend eines Teilchens dm ; das Moment dieser Kraft, welche das
Volumen dxdydz zu vermehren strebt, kann man sich nach Art. 9 , Abschn. II
also dargestellt denken durch die Grösse - eo(dx dydz) . Ich gebe hier
dem Momente dieser Kraft das Zeichen - weil sie die Variable dxdy dz
zu vermehren strebt , während die Kräfte X , Y, Z die Variablen x , y, z
verkleinern wollen. Die Summe der Momente , welche von der Elasticität
der
ganzen Flüssigkeitsmasse
herrührt ,
wird
also
ausgedrückt durch
-Seò(dxdyde).
Die ganze Summe der Momente der Kräfte , welche auf die Flüssigkeit
wirken, wird also sein
S(X ôx + Yòy + Zồz) dm — Sɛ ô (dx dy dz) ,
und da hier keine besondere Bedingung zu erfüllen ist, so hat man die
Gleichung des Gleichgewichts , wenn man diese Summe einfach gleich
Null setzt.
2. Man bekommt so für das Gleichgewicht elastischer Flüssigkeiten eine
Gleichung, welche dieselbe Form hat wie diejenige, welche man im Art. 10
des vorigen Abschnittes für das Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten
gefunden hat, da in dieser
8L8 (dx dy de) (Art. 11)
ist, so dass das Glied S &L, welches von der Bedingung der Incompressibilität herrührt, dem Gliede Seo (dx dy dz) , welches von dem Momente der
elastischen Kräfte herrührt, ganz analog ist.
176
Abschn. VIII. Gleichgew. compressibler u. elastischer Flüssigkeiten.
Es folgt daraus , dass die für das Gleichgewicht incompressibler Flüssigkeiten gefundenen Formeln sich unmittelbar und ohne jede Beschränkung
auf das Gleichgewicht elastischer Flüssigkeiten anwenden lassen, wenn man
einfach den Coefficienten
in a verwandelt , d. h . wenn man voraussetzt ,
dass die Grösse λ, welche den Druck der incompressiblen Flüssigkeiten bezeichnete, und negativ genommen ist, die elastische Kraft jedes Elementes
einer elastischen Flüssigkeit ausdrückt.
3. Die Elasticität e hängt von der Dichtigkeit und der Temperatur
jedes Flüssigkeitsteilchens ab, und muss als eine bekannte Funktion dieser
beiden Grössen betrachtet werden ; die Dichtigkeit jedes Teilchens ist unbekannt, weil sie von dem Verhältnis der Masse dm des Teilchens und seinem
Volumen dx dydz abhängt , die Differentialrechnung aber dieses Verhältnis
nicht zu bestimmen vermag, welches von der Zahl der elementaren Teilchen
abhängt, die in dem Raumelement dx dy de der Flüssigkeitsmasse enthalten sind.
Man kann also den Wert nur a posteriori vermittelst der Kräfte kennen
lernen, welche die Flüssigkeit im Gleichgewicht halten, und muss hiernach
den Wert von & ebenso bestimmen , wie man den Wert von à im Art. 19
des vorigen Abschnittes bestimmt hat.
ε, so hat man aus jenem Artikel die Gleichungen
4. Aendert man λ in
θε
+ гX = 0;
дх
θε
+ lY = 0;
dy
θε
+ rz = 0,
dz
woraus folgt
de + T ( Xd + Ydy + Zdz) = 0
und folglich
εConst. - ST(Xdx + Ydy + Zdz).
Die Grösse ( Xdx + Ydy + Zdz) muss also für das Gleichgewicht ganz so
wie bei incompressibeln Flüssigkeiten auch bei elastischen Flüssigkeiten ein
vollständiges Differential sein muss.
Daraus kann man, wie im Art. 20 des vorigen Abschnittes, schliessen,
dass die Grösse Xdx + Ydy + Zdz selbst ein vollständiges Differential sein
muss ; und es findet sich dann , dass auch hier die Dichtigkeit I in jeder
Niveaufläche gleichförmig sein.
5. Bezeichnet man mit
die Temperatur , welche an jeder Stelle der
Flüssigkeit herrscht , so nimmt man für die Luft gewöhnlich an , dass e
proportional To ist, wenn man von anderen Ursachen, wie z. B. den Dämpfen,
der Elektricität etc. absieht, die ihre Elasticität beeinflussen können .
Wir wollen in die Gleichung de + г (Xdx + Ydy + Zde) für
seinen
ε
Wert
setzen, sie wird dann
ηθ
m
de
X +Y
+
ε
0
+ Zd
= 0.
Abschn. VIII. Gleichgew. compressibler u. elastischer Flüssigkeiten.
177
Da die Wärme durch locale Ursachen erzeugt wird , so ist die Grösse
eine gegebene Funktion von x, y , z , es muss folglich , damit die vorige
Gleichung bestehen kann,
Id + Tây + đ
0
ein vollständiges Differential sein.
6. In der Natur, wo (Xdx + Ydy + Zdz) = dIl ist (Art. 20, Abschn . VII) ,
muss also
eine Funktion von II sein ; folglich wird de
0, wenn dll-= 0
ist. Hiernach muss die Wärme in jeder Niveaufläche , auf welcher die
Schwere senkrecht wirkt, überall gleich gross sein, sonst kann die Atmosphäre
nicht im Gleichgewicht verharren. Wenn also die Luft der Erde in Ruhe
bleiben soll, muss die Temperatur auf der ganzen Erdoberfläche gleich sein,
sie kann , wenn sie sich in der Atmosphäre ändert , nur von einer Niveauschicht zur anderen variieren.
7. Wendet man die Reduction des Art. 32, Abschn . VII an, so wird die
Grenzgleichung für die Oberfläche der Flüssigkeit Seop ds² = 0, und in
dieser Form erhellt die Richtigkeit der Grenzgleichung von selbst, denn an
der Oberfläche braucht man nur die Elasticitätskraft e zu betrachten, welche
in Richtung der Linie p senkrecht zu dieser Fläche wirkt. Ist die Flüssigkeit
in einem Gefässe enthalten, so sind die Variationen op gleich Null, und die
Gleichung ist ohne weiteres von selbst erfüllt ; wenn aber ein Teil der Fläche
frei ist , muss die Elasticität & daselbst Null sein , denn sonst würde die
Flüssigkeit nicht zusammengehalten werden, sie würde sich zerstreuen .
8. Die Elasticität e ist in der Atmosphäre der Barometerhöhe, welche wir
mit h bezeichnen wollen, proportional. Es sei Z die Intensität der Schwerkraft; nehmen wir die Ordinate z senkrecht zur Erdoberfläche und von unten
nach oben gerichtet an, so wird die Gleichung des Art. 5
m
dh
Zdz
+
0
h
0.
Hieraus folgt durch Integration
H
( Zdz
m Lg h =
0
wo H die Höhe des Barometers für 2 = 0 ist, und das Integral im Punkte
z = 0 beginnt.
Man sieht daraus, dass der Logarithmus des Verhältnisses der Barometerhöhen an zwei Stationen, streng genommen, nur eine Grösse ergiebt, welche
dem Werte des Integrals ( Zde
0 proportional ist, wenn das Integral zwischen
den Höhen dieser Stationen genommen wird. Um daraus die Höhendifferenz
der Stationen zu finden, muss man das Gesetz der Abhängigkeit der Temperatur
von der Höhe z als bekannt voraussetzen .
Lagrange, Analytische Mechanik.
12
178
Abschn. VIII. Gleichgew. compressibler u . elastischer Flüssigkeiten.
9. Nun nimmt bekanntlich die Schwere umgekehrt proportional der Entfernung vom Mittelpunkt der Erde ab . Bezeichnet man also mit r den Erdradius , und mit z die verticale Höhe einer Station über der Erdoberfläche ,
so hat man
g
Z:
"
2
1+
wo g die Schwerkraft an der Erdoberfläche ist.
Daraus folgt
dz
Zdz - g
2
1+
+ =)²
==gdx,
2
wenn man x =
setzt, und man erhält demnach
1+
2
r
H
m Lg h
dx
S Ө
und die Schwierigkeit besteht jetzt darin,
als Funktion von x zu erhalten.
10. Wenn in einem besondern Fall 0 constant ist, wird, falls man zur
тв
Abkürzung
= K setzt,
g
H
X = KLg == K(LgH — Lgh ) ;
woraus vermittelst der Formel
=
der Wert von
erhalten wird.
- X
X
" welches für nicht allzu grosse Höhen
r
von unmerklichem Betrage ist, so hat man z = x, und bekommt so die gewöhnliche Regel für barometrische Höhenmessung.
Vernachlässigt man das Glied
Der Coefficient K muss durch die Beobachtung bestimmt werden.
Deluc hatte für die gleichförmige Temperatur von 16°,75 Reaumur diesen
Coefficienten gleich 10 000 gefunden , dabei nimmt er die gemeinen Logarithmen und misst die Höhen in Toisen. Für andere Temperaturen vergrösserte oder verkleinerte er diesen Coefficienten um seinen 215 ten Teil
für jeden Grad über oder unter 16°,75 , und um endlich auch der Variation
der Temperatur von einer Station zur anderen Rechnung zu tragen, begnügt
er sich damit, als Temperatur das arithmetische Mittel zwischen den Temperaturen beider Stationen zu nehmen. Seitdem hat man die obige Regel durch
genauere Bestimmung der Constante und durch neue an den Coefficienten
angebrachte Verbesserungen vervollkommnet.
11. Nimmt man übrigens für die gleichförmige Temperatur das
arithmetische Mittel aus den äussersten Temperaturen der Luftsäule , so
Abschn. VIII. Gleichgew. compressibler u, elastischer Flüssigkeiten.
179
setzt man dabei voraus, dass die Temperatur in arithmetischer Progression abnimmt. Um zu sehen , was diese Hypothese ergiebt , mache man , um die
Rechnungen zu vereinfachen ,
8 ( 1 — nz) oder vielmehr = ( 1 — nx),
die Temperatur für x = O ist. Substituiert man diesen Wert in
dx
die Formel
2 integriert und ersetzt n durch seinen aus der vorigen
Ө
Gleichung sich ergebenden Wert, so hat man :
wo
dx
=X .
0
wenn man
L.O - LO
X
ᏞᎾ
=
1
0
x
T+ t
T + Tt + t'
+
2x
3x2
= x + T, 0 = x + t setzt und mit x eine feste Temperatur,
mit T, t die Thermometergrade über dieser Temperatur bezeichnet .
mx.
Die Formel des Art. 9 giebt also , wenn man
= K setzt und die Ang
näherung nur bis zu den zweiten Dimensionen von T und t treibt ,
T+t
x = K 1+
2 2x
+ 1
1
H
(T - t)² | Lgh •
12x2
Die beiden ersten Glieder entsprechen der Regel von Deluc und das dritte
wird fast immer unmerklich sein.
12*
Zweiter
Teil.
DYNAMIK .
(dazer in derStatik :)
Archimedes,Stevin , Ubaldi , Jami, Jorricelli , Varignon,
;
"
Partis, Bechales , Courtivront
(Dynamik :)
Neston ,Euler, Maclaurin , Descartes, Wallis,
Jchilie, buygon,
Plessence, Rebeval, Jeeds Bearulis , de & Wortel, Membed"
Taylor , Herman , Clairant,Leibniz , Daw. Bevulli , d'arey,
Slampertuis, Lagrange.-
1
Abschnitt I.
Ueber die verschiedenen Prinzipe der Dynamik.
Die Dynamik ist die Wissenschaft von den beschleunigenden oder verzögernden Kräften und von den Veränderungen , welche diese Kräfte in den
Bewegungszuständen von Körpern hervorrufen. Diese Wissenschaft gehört
ganz der neueren Zeit an, ihre Grundlagen rühren von Galilei her. Vor
Galilei hatte man die auf die Körper wirkenden Kräfte nur im Zustande des
Gleichgewichts betrachtet, und obgleich man den beschleunigten Fall der
schweren Körper und die krummlinige Bewegung der Projectile keiner anderen
Ursache als der beständigen Wirkung der Schwere zuschreiben konnte, so war
es doch trotz der so einfachen Ursache noch niemandem geglückt, die Gesetze
dieser alltäglichen Erscheinungen zu bestimmen. Galilei that zuerst diesen
wichtigen Schritt und eröffnete dadurch einen neuen und unermesslichen
Weg zur Vervollkommnung der Mechanik. Er trägt diese Entdeckung und
deren Entwickelung in seinem Werke: Discorsi e dimonstrazioni matematiche
intorno a due nuove scienze vor , das zuerst zu Leyden im Jahre 1638
erschien. Allein diese Schrift verschaffte Galilei unter seinen Zeitgenossen
nicht soviel Ruhm als diejenigen Entdeckungen, die er am Himmel machte,
jetzt freilich bildet sie den festesten und reellsten Teil vom Ruhme dieses
grossen Mannes.
Die Entdeckung der Jupiterssatelliten , der Phasen der Venus , der
Sonnenflecken etc. erforderten nichts weiter als Teleskope und ausdauernden
Fleiss ; aber ein ausserordentliches Genie war erforderlich, die Gesetze der
Natur bei Phänomenen zu entdecken , die man allezeit unter Augen gehabt
hatte, deren Erklärung aber allezeit den Untersuchungen der Philosophen
entgangen war.
Huyghens , dessen Bestimmung es gewesen zu sein scheint , den
grössten Teil der Galileischen Erfindungen zu vervollkommnen und zu
ergänzen, fügte zur Theorie der beschleunigten Bewegung schwerer Körper
die Theorie der Pendelbewegung und der Centrifugal-Kräfte hinzu und
bahnte auf diese Art den Weg zu der grossen Entdeckung der allgemeinen
Schwere. Unter Newton's Händen wurde dann die Mechanik zu einer
184
Abschn. I. Prinzipe der Dynamik.
neuen Wissenschaft, seine Prinzipien , die 1687 zuerst erschienen, bewirkten diese Umwälzung.
Die Erfindung der Infinitesimalrechnung setzte endlich die Mathematiker
in den Stand, die Gesetze der Bewegung der Körper auf analytische Gleichungen
zu bringen, und die Untersuchung der Kräfte und der aus ihnen entspringenden Bewegungen wurde nachher der hauptsächlichste Gegenstand ihrer
Arbeiten.
Ich habe mir hier zum Ziel gestellt, den Analytikern ein neues Mittel
an die Hand zu geben , das diese Untersuchungen erleichtert ; vorher aber
18 wird es nicht unnütz sein , die Prinzipe vorzutragen , die der Dynamik zur
Grundlage dienen, und zu zeigen , wie die Ideen, die das meiste zur Erweiterung und Vervollkommnung dieser Wissenschaft beigetragen haben, stufenweise zur Ausbildung gelangt sind.
1. Die Theorie der variierenden Bewegungen und der beschleunigenden
Kräfte , welche dieselben hervorbringen , gründet sich auf die folgenden
allgemeinen Gesetze:
dass jede einem Körper erteilte Bewegung ihrer Natur nach gleichförmig und geradlinig ist,
dass verschiedene einem Körper auf einmal oder nach und nach erteilte Bewegungen so wirken, dass der Körper in jedem Augenblick sich in
demselben Punkt des Raumes befindet, in welchem er sich durch die Verbindung dieser Bewegungen befinden müsste , wenn er jeder Bewegung
für sich und gesondert folgte .
Diese beiden Gesetze bilden die bekannten Grundsätze der Trägheit und
der zusammengesetzten Bewegung. Galilei nahm diese beiden Grundsätze
zuerst wahr und leitete aus denselben die Gesetze der Bewegung geworfener Körper her, indem er die schiefe Bewegung, d. i. die Wirkung des
dem Körper mitgeteilten Stosses mit der des senkrechten Falls, welcher von
der Wirkung der Schwere herrührt, zusammensetzte.
Was die Gesetze der beschleunigten Bewegung der schweren Körper
betrifft , so lassen sie sich auf natürliche Weise aus der Betrachtung der
constant und gleichförmig wirkenden Kraft der Schwere auf der Erde herleiten, vermöge welcher die Körper in gleichen Zeitelementen gleiche Grade
von Geschwindigkeit nach derselben Richtung erhalten , und daher dann
die ganze am Ende einer gewissen Zeit erlangte Geschwindigkeit dieser Zeit
proportional ist. Es ist hiernach klar, dass dieses constante Verhältnis der
Geschwindigkeiten zur Zeit wiederum der Intensität der Kraft proportional
sein muss, welche von der Schwere, um den Körper in Bewegung zu setzen,
in Anwendung kommt. Hiernach braucht bei der Bewegung auf schiefen
Ebenen dieses Verhältnis nicht, wie bei der verticalen Bewegung der absoluten
Kraft der Schwere , proportional zu sein , sondern nur der relativen Kraft,
welche von der Neigung der Ebene abhängt und durch die Regeln der Statik
bestimmt wird. Man hat so ein leichtes Mittel, die Bewegungen der Körper,
die auf verschieden geneigten Ebenen herabgleiten, unter sich zu vergleichen.
Abschn. I.
Galileis Prinzipe.
185
Galilei scheint die Gesetze des Falles schwerer Körper aber nicht
auf diese Art entdeckt zu haben.
Er setzte vielmehr zuerst den Begriff einer gleichförmig beschleunigten Bewegung fest , wobei die Geschwindigkeiten wie die Zeiten wachsen : hieraus leitete er geometrisch die
hauptsächlichsten Eigenschaften dieser Art von Bewegung und insbesondere
das Gesetz her , dass die Räume wie die Quadrate der Zeiten zunehmen ;
endlich überzeugte er sich durch Experimente , dass dieses Gesetz wirklich
bei der Bewegung der Körper statt hat, die vertical oder auf beliebigen geneigten Ebenen herabfallen. Um aber die Bewegungen auf verschieden
geneigten Ebenen unter einander vergleichen zu können, sah er sich genötigt,
zuerst den unsicheren Grundsatz mit anzunehmen , dass die durch den
Fall von gleichen vertikalen Höhen erlangten Geschwindigkeiten auch allezeit gleich sind, und erst kurze Zeit vor seinem Tode und nach der Herausgabe seiner Dialoge fand er den Beweis dieses Prinzips durch die Betrachtung der relativen Wirkung der Schwere auf geneigte Ebenen ; dieser Beweis ist in der Folge in den anderen Ausgaben dieses Werkes eingerückt
worden.
2. Das constante Verhältnis , welches bei den gleichförmig beschleunigten
Bewegungen zwischen den Geschwindigkeiten und Zeiten, oder zwischen den
Räumen und Quadraten der Zeiten stattfinden muss , kann hiernach als Mass
einer beschleunigenden Kraft angesehen werden, die continuirlich auf einen
Körper wirkt; denn in der That kann diese Kraft nur nach der Wirkung gemessen werden , die sie auf den Körper hervorbringt und die in den erzeugten
Geschwindigkeiten oder in den in gleichen Zeiten durchlaufenen Räumen
besteht.
Es genügt also zur Schätzung der Kräfte die in einer beliebigen
endlichen oder unendlich kleinen Zeit erzeugte Bewegung zu betrachten,
wenn man nur die Kraft während dieser Zeit als constant ansieht. Man kann
daher, wie auch die Bewegung des Körpers und das Gesetz seiner Beschleunigung beschaffen sein mag, da man nach der Natur der Differentialrechnung
die Wirkung jeder beschleunigenden Kraft während einer unendlich kleinen
Zeit als constant ansehen kann , auch jederzeit die Intensität der Kraft bestimmen, die jeden Augenblick auf den Körper wirkt, wenn man die in diesem
Augenblicke erzeugte Geschwindigkeit mit der Dauer dieses Augenblicks
oder den Raum, den die Kraft den Körper während dieses Augenblicks durchlaufen lässt, mit dem Quadrat der Dauer desselben vergleicht; und es ist
nicht einmal nötig, dass dieser Raum wirklich durch den Körper beschrieben
werde , man braucht sich nur vorzustellen , dass er bei einer zusammengesetzten Bewegung beschrieben worden sei, da die Wirkung der Kraft nach
dem zweiten der oben vorgetragenen Prinzipe der Bewegung in beiden Fällen
dieselbe ist.
Auf diese Art entdeckte Huyghens , dass die Centrifugalkräfte von in
Kreisen mit constanter Geschwindigkeit bewegten Körpern sich verhalten wie
die Quadrate der bezüglichen Geschwindigkeiten dividiert durch die Radien
186
Abschn. I.
Prinzipe der Dynamik.
der Kreise. Er verglich dann diese Centrifugalkräfte mit der Schwerkraft
auf der Oberfläche der Erde , wie man aus den Beweisen sieht, die er von
seinen Lehrsätzen über die Centrifugalkraft am Ende des Tractates : Horologium
oscillatorium, der 1673 erschien, hinterlassen hat.
Wenn dann Huyghens diese Theorie der Centrifugalkräfte mit der Theorie
der durch Abwicklung entstehenden Curven combiniert hätte, deren Entdecker
er selbst ist, und welche jeden unendlich kleinen Teil einer beliebigen Curve
auf Kreishogen reduciert , wäre es ihm leicht gewesen , sie auf alle Curven
auszudehnen. Newton aber war es vorbehalten, diesen neuen Schritt zu thun
und die Lehre von den variierenden Bewegungen und den beschleunigenden
Kräften, welche sie erzeugen können , zu vervollkommnen. Diese Lehre besteht
jetzt nur in einzelnen sehr einfachen Differentialformeln ; Newton aber machte
beständig von der durch die Betrachtung der ersten und letzten Gründe
vereinfachten geometrischen Methode Gebrauch, und wenn er sich bisweilen
der analytischen Rechnung bediente, war es einzig die Methode der Reihenentwicklung, welche von der Differentialmethode wohl zu unterscheiden ist,
obgleich es leicht ist, diese beiden Methoden einander nahe zu bringen und
auf dasselbe Prinzip zurückzuführen.
Die Mathematiker, welche nach Newton die Theorie der beschleunigenden
Kräfte behandelt haben, haben sich fast alle damit begnügt, seine Theoreme
zu verallgemeinern und sie in Differentialausdrücke zu übersetzen. Daher
rühren die verschiedenen Formeln für die centralen Kräfte , welche man in
mehreren Werken über Mechanik findet, Formeln , von denen man aber fast
keinen Gebrauch macht, weil sie sich nur auf Curven anwenden lassen, die
bei Bewegungen in Frage kommen, welche durch eine einzige nach einem
Centrum strebende Kraft erzeugt werden , und weil man jetzt allgemeine
Formeln hat, um die durch beliebige Kräfte erzeugten Bewegungen zu bestimmen.
3. Nimmt man an , dass die Bewegung eines Körpers und die auf ihn
wirkenden Kräfte nach drei unter einander senkrechten Geraden zerlegt seien,
so kann man die auf jede der drei Richtungen bezüglichen Bewegungen und
Kräfte getrennt betrachten . Denn da die Richtungen senkrecht zu einander
sind, ist es klar , dass jede dieser partiellen Bewegungen als unabhängig
von den beiden anderen angesehen werden kann , und dass jede dieser Bewegungen eine Aenderung nur von Seiten der Kraft erleiden kann , welche
in der Richtung dieser Bewegung wirkt. Hieraus lässt sich also schliessen,
dass jede dieser drei Bewegungen für sich den Gesetzen der geradlinigen
durch gegebene Kräfte beschleunigten oder verzögerten Bewegungen folgen.
muss. Bei der geradlinigen Bewegung aber besteht die Wirkung der beschleunigenden Kraft darin, dass sie die Geschwindigkeit des Körpers ändert,
diese Kraft muss also durch das Verhältnis zwischen dem Zuwachs oder der
Abnahme der Geschwindigkeit während eines gewissen Augenblicks und der
Dauer dieses Augenblicks , d . h. durch das Differential der Geschwindigkeit
dividiert durch das Differential der Zeit gemessen werden. Die Geschwindig-
Abschn. I.
Zerlegung der Bewegungen.
187
keit bei den veränderlichen Bewegungen aber wird durch das Differential des
Raumes , dividiert durch das Differential der Zeit ausgedrückt , hieraus folgt
also, dass die erwähnte Kraft durch das zweite Differential des Raumes, dividiert
durch das Quadrat des ersten Differentials der Zeit, wenn man dies als constant
annimmt, gemessen wird. Es wird daher auch das zweite Differential des
Raumes, den der Körper nach jeder der drei senkrechten Richtungen durchläuft , oder den man sich wenigstens von ihm durchlaufen denken kann,
dividiert durch das Quadrat des constanten Differentials der Zeit , die beschleunigende Kraft ausdrücken, durch welche der Körper nach eben dieser
Richtung getrieben werden muss , und wird folglich der wirklichen Kraft
gleich sein, die man nach dieser Richtung wirkend angenommen hat. Hierin
ist das so bekannte Prinzip der beschleunigenden Kräfte ausgesprochen.
Es ist nicht notwendig , dass die drei Richtungen , auf welche man die
jeweilige Bewegung des Körpers während eines gewissen Augenblicks bezieht,
vollkommen fest seien , es genügt , wenn sie es während dieses Augenblicks sind. So kann man bei Bewegungen in krummen Linien in jedem
Augenblick diese Richtungen festlegen, und zwar die eine in der Tangente
und die beiden anderen in den auf der Curve senkrechten Linien. In diesem
Falle wird die beschleunigende Kraft , die in Richtung der Tangente wirkt,
und die man Tangentialkraft nennt , ganz dazu verwendet , die absolute
Geschwindigkeit des Körpers zu ändern, und sie wird durch das Element dieser⚫
Geschwindigkeit dividiert durch das Element der Zeit ausgedrückt .
Die Kräfte, die senkrecht zur Curve wirken, verändern dagegen nur die
Bewegungsrichtung des Körpers und hängen von der Krümmung der Linie,
die dieser beschreibt, ab. Reduciert man diese beiden letztern Kräfte auf eine
Kraft, so muss die Richtung dieser Kraft in der Ebene der Krümmung
liegen, und ihr Wert kann durch das Quadrat der Geschwindigkeit, dividiert
durch den Krümmungsradius, ausgedrückt werden, da in jedem Augenblick
der Körper als in dem betreffenden Krümmungskreise bewegt gedacht
werden kann.
Auf diese Weise hat man die bekannten Formeln für die Tangentialund Normalkräfte gefunden, deren man sich lange Zeit bedient hat, um die
Probleme der Bewegung der durch gegebene Kräfte getriebenen Körper zu
lösen. Die Mechanik von Euler, welche 1736 erschienen ist, und welche man
als das erste Werk betrachten muss, in dem die Analyse auf die Wissenschaft
von der Bewegung angewendet worden ist, ist noch ganz auf diese Formeln
gegründet , man hat sie aber seitdem fast ganz verlassen , weil man eine
einfachere Art gefunden hat, die Wirkung der beschleunigenden Kräfte auf
die Bewegung der Körper auszudrücken.
Es besteht diese neue Ausdrucksweise darin , dass man die Bewegung
des Körpers und die antreibenden Kräfte auf im Raume feste Richtungen
bezieht. Nimmt man also, um den Ort des Körpers im Raume zu bestimmen,
drei rechtwinklige Coordinaten an , die eben jene Richtungen haben , so
stellen die Variationen dieser Coordinaten offenbar die von dem Körper nach
188
Abschn. I. Prinzipe der Dynamik.
den Richtungen dieser Coordinaten durchlaufenen Räume vor ; folglich drücken
die zweiten Differentiale eben dieser Coordinaten , durch das Quadrat des
constanten Differentials der Zeit , dividiert , die beschleunigenden Kräfte
aus, welche in Richtung dieser Coordinaten wirken müssen ; setzt man diese
Ausdrücke denen gleich, welche die durch die Natur des Problems gegebenen
Kräfte darstellen , so erhält man drei sich ähnelnde Gleichungen zur Bestimmung aller Umstände der Bewegung.
Diese Art , die Bewegungsgleichungen eines von beliebigen Kräften getriebenen Körpers aufzustellen ,
indem man sie auf geradlinige Bewegungen reduciert , ist ihrer Einfachheit
halber allen anderen vorzuziehen. Sie hätte sich zuerst darbieten müssen,
aber Maclaurin scheint der erste gewesen zu sein , der sie in seinem
Treatise of Fluxions , welcher 1742 in englischer Sprache erschienen ist,
angewendet hat ; jetzt ist sie allgemein angenommen .
4. Durch die eben vorgetragenen Grundsätze ist man jetzt im Stande,
die Gesetze der Bewegung eines freien Körpers zu bestimmen , der durch
gewisse Kräfte getrieben wird , wenn man den Körper nur als einen Punkt
ansieht.
Eben diese Grundsätze lassen sich aber auch bei der Untersuchung der
Bewegung mehrerer Körper anwenden , von denen einer den anderen nach.
einem Gesetze anzieht , welches eine bekannte Funktion der Entfernungen
der betreffenden Körper ist; endlich ist es nicht schwer , sie auf die
Bewegungen in widerstehenden Mitteln, sowie auch auf diejenigen, die auf
gegebenen krummen Flächen vor sich gehen , auszudehnen . In der Tat,
ist der Widerstand eines Mittels nichts anderes als eine Kraft, die der Kraft
gerade entgegenwirkt, die den Körper zu bewegen strebt; ist ferner der
Körper gezwungen, sich auf einer gegebenen Oberfläche zu bewegen, so ist
notwendig eine auf die Oberfläche senkrechte Kraft vorhanden, die ihn darauf
festhält, und deren unbekannter Wert aus den aus der Natur dieser Oberfläche resultierenden Bedingungen bestimmt werden kann.
Will man aber die Bewegung mehrerer Körper kennen lernen , welche durch
Stoss oder Druck auf einander wirken , es sei nun unmittelbar wie beim
gewöhnlichen Stoss, oder mittelbar durch Fäden oder unbiegsame Hebel, an
denen sie befestigt sind, oder auf irgend eine andere Art, so gehört die Aufgabe zu einer höheren Ordnung und kann durch die vorhergehenden Grundsätze
nicht aufgelöst werden . Denn hier sind die auf die Körper wirkenden Kräfte
unbekannt , und man muss sie aus der Wirkung , die die Körper unter
einander nach ihrer gegenseitigen Stellung ausüben , herleiten. Man muss
daher notwendig noch einen anderen Grundsatz zu Hülfe nehmen , der
dazu dient, die Kraft der in Bewegung begriffenen Körper aus ihrer Masse
und Geschwindigkeit zu bestimmen.
5. Dieser Grundsatz besteht darin , dass um einer gegebenen Masse
eine gewisse Geschwindigkeit nach einer gewissen Richtung zu erteilen,
diese Masse mag in Ruhe oder in Bewegung sein, man einer Kraft bedarf,
deren Wert dem Produkt der Masse in die Geschwindigkeit proportional
Abschn. I.
Die Lehre vom Stoss.
189
ist, und deren Richtung derjenigen dieser Geschwindigkeit gleich ist.
Dieses Produkt , aus der Masse eines Körpers multipliciert in seine Geschwindigkeit , wird gewöhnlich die Grösse der Bewegung dieses
Körpers genannt , weil sie in der That die Summe der Bewegungen aller
materiellen Teile des Körpers ist.
Die Kräfte werden also durch die
Grössen der Bewegungen, die sie hervorzubringen im Stande sind, gemessen ;
umgekehrt ist die Grösse der Bewegung eines Körpers das Mass der Kraft,
die der Körper gegen ein Hindernis auszuüben im Stande ist, und die Stoss
genannt wird. Hieraus folgt, dass, wenn zwei nicht elastische Körper nach
genau entgegengesetzten Richtungen mit gleichen Bewegungsgrössen gegen
einander stossen , ihre Kräfte einander das Gegengewicht halten und einander aufheben müssen ; in diesem Falle also müssen die Körper einander
aufhalten und so in Ruhe bleiben. Geschieht der Stoss aber vermittelst
eines Hebels, so müssen, wenn die Bewegung der Körper aufgehoben werden
soll , ihre Kräfte dem bekannten Gesetz vom Gleichgewicht des Hebels
folgen.
Descartes scheint den eben besprochenen Grundsatz zuerst wahrgenommen zu haben, aber als er ihn auf den Stoss der Körper anwendete,
beging er den Irrtum, anzunehmen , dass die nämliche Grösse der absoluten Bewegung beständig bestehen bleiben müsse.
Wallis ist eigentlich der erste , der eine deutliche Idee von diesem
Grundsatze hatte, und der sich desselben mit Vorteil zu bedienen wusste, um
die Gesetze der Mitteilung der Bewegung beim Stoss harter oder elastischer
Körper zu bestimmen , wie man aus den Philosophical Transactions
von 1669 und aus dem 9. Teile seines Tractates De motu, den er 1671
herausgab, sieht.
Wie ferner das Produkt der Masse in die Geschwindigkeit die endliche
Kraft eines in Bewegung sich befindenden Körpers ausdrückt , so wird
das Produkt der Masse in die beschleunigende Kraft,
die, wie wir gesehen
haben, durch das Element der Geschwindigkeit dividiert durch das Element
der Zeit vorgestellt wird , — die Elementar-Kraft am Beginn, beim Entstehen
der Geschwindigkeit, ausdrücken, und betrachtet man diese Grösse als das
Mass der Wirkung , die der Körper vermöge seiner elementaren Geschwindigkeit, die er angenommen hat, oder anzunehmen strebt, ausüben kann, so
hat man das, was man Druck nennt; sieht man sie aber als das Mass
der Kraft an , die nötig ist diese Geschwindigkeit hervorzubringen , so ist
• sie eben das , was man bewegende Kraft nennt.
Druckkräfte oder bewegende Kräfte heben sich daher auf, oder sind im
-
Gleichgewicht , wenn sie einander gleich und gerade entgegengesetzt sind,
oder, wenn sie , an irgend einer Maschine angebracht , den Gesetzen des
Gleichgewichts derselben folgen.
6. Sind die Körper dergestalt unter einander verbunden , dass sie den
empfangenen Stössen und beschleunigenden Kräften , die auf sie einwirken , nicht frei folgen können , so üben diese Körper notwendig auf
190
Abschn. I.
Prinzipe der Dynamik.
einander continuierliche Druckkräfte aus , die Aenderungen in ihren Bewegungen hervorbringen und dadurch deren Bestimmung erschweren.
Die erste und einfachste Aufgabe dieser Art, mit welcher sich die
Mathematiker beschäftigt haben, ist die von den Schwingungsmittelpunkten.
Sehr berühmt war dieselbe im vergangenen Jahrhundert und noch im Anfang
des laufenden Jahrhunderts durch die Bemühungen und Versuche , die die
grössten Geometer anwendeten , um zum Ziel zu gelangen. Da man diesen
Untersuchungen die unermesslichen Fortschritte verdankt, die man seitdem
in der Dynamik gemacht hat , so glaube ich hier eine kurze Geschichte
derselben geben zu müssen , um zu zeigen , auf welchen Stufen sich diese
Wissenschaft zu der Vollkommenheit erhob, welche sie in der neuesten Zeit
erlangt zu haben scheint.
Die ersten Spuren von Untersuchungen über die Schwingungsmittelpunkte
finden sich in Descartes Briefen. Man sieht aus denselben, dass der Pater
Mersenne ihm aufgegeben hatte, die Grösse zu bestimmen, die ein Körper,
gleichviel von welcher Form , haben muss , damit er , wenn er an einem
Punkt aufgehangen sei, seine Oscillationen in derselben Zeit wie ein Faden
yon gegebener Länge , der mit einem einzigen Gewicht an seinem Ende
beschwert ist, mache. Descartes bemerkt, dass die Aufgabe in einer gewissen Beziehung zu der Aufgabe über den Schwerpunkt steht, und dass
ebenso wie bei einem schweren Körper , der frei fällt, ein Schwerpunkt
vorhanden ist, um den herum die Wirkungen der Schwere aller Teile des
Körpers im Gleichgewicht sind , so dass dieser Punkt so herabfällt, als
wenn der Ueberrest des Körpers vernichtet, oder in eben diesem Punkte vereinigt wäre bei schweren Körpern, die sich um eine feste Axe bewegen, sich
ein Mittelpunkt finden muss, den er Mittelpunkt der Bewegung nennt,
um den die Bewegungskräfte aller Teile des Körpers sich im Gleichgewicht
halten, dergestalt dass , wenn dieser Mittelpunkt von der Wirkung dieser
Kräfte frei ist, er so bewegt werden kann, wie es geschehen würde, wenn die
anderen Teile des Körpers vernichtet oder in eben diesem Mittelpunkt vereinigt wären. Alle Körper , bei denen dieser Mittelpunkt gleich weit von
der Umdrehungsaxe entfernt ist, müssen folglich ihre Schwingung in derselben Zeit vollführen.
Auf Grund dieser Definition vom Mittelpunkt der Bewegung giebt
Descartes eine allgemeine Methode, ihn bei Körpern von beliebiger Gestalt zu bestimmen. Diese Methode besteht darin , den Schwerpunkt der
Bewegungskräfte aller Teile des Körpers zu suchen , indem man diese
Kräfte durch die Produkte der Massen in die Geschwindigkeiten , dieAhier
thr
den Entfernungen von der Umdrehungsaxe proportional sind, misstyund
annimmt , dass die Teile des Körpers auf die Ebene , die durch seinen
Schwerpunkt und durch die Umdrehungsaxe geht, dergestalt projiciert sind,
dass sie ihre Entfernungen von dieser Axe beibehalten.
Diese Lösung Descartes' wurde ein Gegenstand des Streites zwischen
ihm und Roberval . Der letztere behauptete, dass sie nur stichhaltig wäre,
Abschn. I. Die Aufgabe vom Schwingungsmittelpunkt.
191
wenn alle Teile des Körpers in einer durch die Rotationsaxe gehenden Ebene
wirklich liegen oder dort liegend gedacht werden können , dass man aber
in allen anderen Fällen nur die senkrecht zu der durch die Rotationsaxe
und den Schwerpunkt des Körpers gehenden Ebene stattfindenden Bewegungen betrachten dürfte, und dass man jedes Teilchen auf den Punkt
beziehen müsste , in dem diese Ebene von der Richtung der Bewegung
dieses Teilchens getroffen wird, welche Richtung immer auf der durch dieses
Teilchen und durch die Rotationsaxe gehenden Ebene senkrecht steht.
Es lässt sich aber leicht beweisen , dass die Momente der Kräfte ,
die auf diese Weise gemessen sind , in Bezug auf die Rotationsaxe , immer
denjenigen der nach der Descartes'schen Methode gemessenen Kräfte
gleich sind.
Mit mehr Recht behauptet Roberval , dass der von Descartes erwähnte
Mittelpunkt kein anderer als der Mittelpunkt des Stosses ist, um den herum die
Stösse oder ihre Momente gleich sind , und dass man , um den wahren
Schwingungsmittelpunkt eines schweren Pendels zu finden, auch auf die Wirkung
der Schwere Rücksicht nehmen muss, vermöge der das Pendel sich bewegt.
Diese Untersuchung aber war für die Mechanik der damaligen Zeit zu hoch;
die Mathematiker ,fuhren daher stillschweigend fort anzunehmen , dass der
Mittelpunkt des Stosses mit dem des Schwunges identisch sei, und Huyghens
war der erste , der den letzteren Mittelpunkt in seiner wahren Bedeutung
betrachtete. Auch glaubte er diese Aufgabe als ganz neu ansehen zu
müssen , und da er nicht im Stande war , sie durch die bekannten Gesetze
der Bewegung aufzulösen, so stellte er einen neuen , jedoch indirecten Grundsatz auf, der nachher unter dem Namen der Erhaltung der lebendigen
Kräfte berühmt geworden ist.
7. Befestigt man das eine Ende eines Fadens, den man als eine unbiegsame Linie ohne Schwere und Masse betrachten kann, an einen festen Punkt
und beschwert das andere mit einem kleinen Gewicht , das man als einen
Punkt sich vorstellen kann, so hat man das, was man ein einfaches
Pendel nennt, und das Gesetz der Schwingungen dieses Pendels hängt ganz
allein von der Länge desselben, d . h. von der Entfernung zwischen dem Gewicht und dem Aufhängepunkt ab, Befestigt man aber an diesem Faden noch
ein Gewicht oder mehrere Gewichte in verschiedenen Abständen vom Aufhängepunkt, so erhält man ein zusammengesetztes Pendel , dessen Bewegung
gewissermassen die Mitte zwischen den Bewegungen der verschiedenen einfachen Pendel halten muss, die man bekommen würde, wenn jedes dieser
Gewichte allein an einem Faden aufgehängt wäre. Denn einerseits ist die
Schwerkraft bestrebt , alle Gewichte in gleichen Zeiten gleichweit fallen zu
lassen , auf der anderen Seite zwingt die Unbiegsamkeit des Fadens sie, in
eben dieser Zeit ungleiche und ihren Entfernungen vom Aufhängepunkte
proportionale Bogen zu beschreiben, es muss also zwischen diesen Gewichten
eine Art von Compensation und Verteilung ihrer Bewegungen stattfinden ,
so dass die dem Aufhängepunkt am nächsten liegenden Gewichte die
192
Abschn. I.
Prinzipe der Dynamik.
Schwingungen der entfernteren beschleunigen und diese wiederum die
Schwingungen der ersteren aufhalten werden . Es wird hiernach in dem
Faden ein Punkt anzutreffen sein , wo die Bewegung eines dort befestigten
Körpers durch die anderen Gewichte weder beschleunigt noch verzögert
wird , und so vor sich geht, als wäre dieser Körper allein an dem Faden
aufgehängt. Dieser Punkt würde der wahre Schwingungsmittelpunkt des
zusammengesetzten Pendels sein, und ein solcher Mittelpunkt muss sich in
jedem festen Körper, die Gestalt dieses mag auch beschaffen sein , wie sie
will, finden, wenn er um eine horizontale Axe schwingt.
Huyghens sah wohl ein , dass man diesen Mittelpunkt nicht mathematisch streng bestimmen könne, wenn man nicht das Gesetz kennt, nach dem
die verschiedenen Gewichte des zusammengesetzten Pendels gegenseitig ihre
Bewegungen ändern, die die Schwere ihnen in jedem Augenblick mitzuteilen
sich bestrebt; aber anstatt dieses Gesetz aus den Fundamentalsätzen der
3.
Mechanik herzuleiten, begnügte er sich damit,einen indirecten Grundsatz hier
anzuwenden , der darin besteht , dass , wenn mehrere auf irgend eine Weise
an einem Pendel befestigte Gewichte allein durch die Wirkung der Schwere
herabfallen , und man sie sich nun in einem Augenblick abgebunden und
von einander getrennt vorstellt , jeder derselben vermöge seiner durch den
Fall erlangten Geschwindigkeit zu einer solchen Höhe steigen wird, dass der
gemeinschaftliche Schwerpunkt zu derselben Höhe gelangt, von der er vorher
heruntergefallen ist. Zwar setzte Huyghens diesen Grundsatz nicht unmittelbar fest , sondern leitete ihn von zwei Hypothesen her, die er als
Postulate der Mechanik annehmen zu müssen glaubte. Die eine davon ist,
dass der Schwerpunkt eines Systems von schweren Körpern nie zu einer
grösseren Höhe steigen kann , als von der er gefallen ist , wie man auch
die gegenseitige Stellung der Körper verändern mag, weil sonst eine immer(höher).
währende Bewegung stattfinden könnte ; die zweite ist, dass ein zusammen2 . gesetztes Pendel von selbst jederzeit zu der Höhe steigen kann, von der es
frei gefallen ist. Uebrigens merkte er noch an , dass der nämliche Grundsatz
nicht weniger
hoch
sowohl bei der Bewegung schwerer, auf irgend eine Art unter einander verbundener Körper, als auch bei der Bewegung flüssiger Körper Geltung hat.
Umsonst würde man zu errathen versuchen , was eigentlich bei diesem
Schriftsteller die Idee eines solchen Grundsatzes veranlasst hat , aber vermuthen kann man wohl, dass er dazu durch den Lehrsatz verleitet worden
ist, den Galilei über den Fall schwerer Körper bewiesen hatte, die , es sei
nun, dass sie vertical, oder auf schiefen Ebenen herunterfallen, allezeit Geschwindigkeiten erlangen, die im Stande sind , sie wieder zu derselben
Höhe , von welcher sie gefallen sind , zu erheben . Dieses Theorem allgemeiner gemacht, und auf den Schwerpunkt eines Systems von schweren
Körpern angewendet, giebt den Satz von Huyghens.
Es mag dies nun sein , wie es will , soviel ist doch ersichtlich , dass
1.
nicht mehr
dieser Satz eine Gleichung verschaffen wird zwischen der verticalen Höhe,
von welcher der Schwerpunkt des Systems in einer gewissen Zeit gefallen
Abschn. I. Die Aufgabe vom Schwingungsmittelpunkt.
193
ist, und den verschiedenen verticalen Höhen , bis zu denen die das System
ausmachenden Körper mit ihren erlangten Geschwindigkeiten steigen können,
und die sich nach den Lehrsätzen Galilei's wie die Quadrate dieser Geschwindigkeit verhalten.
Bei einem um eine horizontale Axe oscillirenden Pendel verhalten
sich aber die Geschwindigkeiten der verschiedenen Punkte , wie ihre Entfernungen von dieser Axe ; man kann also die Gleichung auf nur zwei
unbekannte Grössen bringen , von denen die eine die Strecke angiebt , um
welche der Schwerpunkt des Pendels in einer gewissen Zeit fällt, und die
andere die Höhe ist, zu welcher ein gegebener Punkt dieses Pendels vermöge
seiner erlangten Geschwindigkeit steigen könnte. Der Fall des Schwerpunktes aber bestimmt den jedes anderen Punktes des Pendels ; man hat
also eine Gleichung zwischen der Höhe, von der ein gewisser Punkt des
Pendels gefallen ist, und der, zu welcher er vermöge der durch seinen Fall
Im Schwingungsmittelpunkte
erlangten Geschwindigkeit steigen könnte.
müssen diese beiden Höhen gleich sein, da freie Körper jederzeit zu der
nämlichen Höhe wieder steigen können , von der sie gefallen sind. Die
Gleichung zeigt nun, dass diese Gleichheit nur bei einem Punkt stattfinden
kann , der auf einer Linie liegt , die die Umdrehungsaxe senkrecht trifft
und durch den Schwerpunkt des Pendels geht und welcher von dieser
Axe um eine Grösse entfernt ist , deren Ausdruck gegeben ist durch einen
Bruch, dessen Zähler die Summe der Producte der Gewichte aller das Pendel
bildenden Einzelteilchen in die Quadrate ihrer Entfernungen von der
Axe, und dessen Nenner die Summe der Gewichte selbst noch multipliciert
mit der Entfernung des Schwerpunktes des Pendels, von derselben Axe ist.
Diese Grösse wird also die Länge eines einfachen Pendels ausdrücken,
dessen Bewegung der des zusammengesetzten gleich ist.
Huyghens hat diese Theorie in seinem Tractat Horologium oscillatorium
vorgetragen, der 1673 erschien, und hat eine Menge schöner Anwendungen
davon hinzugefügt. Sie würde nichts zu wünschen übrig gelassen haben ,
hätte sie sich nicht auf ein unsicheres Prinzip gestützt , so aber blieb
immer noch dieses Prinzip zu beweisen übrig , sollte die Theorie gegen
jeden Angriff gesichert werden .
Gegen diese Theorie erschienen im Jahre 1681 im Journal des savants
de Paris einige schlechte Einwürfe, denen daher auch Huyghens nur oberflächlich und wenig befriedigend antwortete. Inzwischen zog der so entstandene Streit doch die Aufmerksamkeit Jacob Bernoulli's auf sich , und
veranlasste diesen , Huyghens' Theorie weiter zu untersuchen und auf die
ersten Grundsätze der Dynamik zurückzuführen. Bernoulli betrachtete
zuerst nur zwei einander gleiche an einer geraden , unbiegsamen Linie angebrachte Gewichte und bemerkte , dass die Geschwindigkeit , die das erste
Gewicht , nämlich dasjenige , welches dem Aufhängepunkt am nächsten ist,
erlangt, indem es einen gewissen Bogen beschreibt , geringer sein muss,
als diejenige, welche es erlangt haben würde, wenn es frei denselben Bogen
13
Lagrange, Analytische Mechanik.
2x langsamer
194
Abschn. I. Prinzipe der Dynamik.
beschrieben hätte , und dass andererseits zu gleicher Zeit die durch das
andere Gewicht erlangte Geschwindigkeit grösser sein muss als diejenige,
welche es erlangt haben würde , wenn es frei den nämlichen Bogen beschrieben hätte. Die durch das erste Gewicht verlorene Geschwindigkeit ist
also dem anderen mitgeteilt worden , und da diese Mitteilung vermittelst
eines um einen festen Punkt beweglichen Hebels geschieht , so muss sie
dem Gesetz des Gleichgewichts der an diesem Hebel wirkenden Kräfte
folgen , so dass der Verlust des ersten Gewichts an Geschwindigkeit zum
Gewinn des zweiten im umgekehrten Verhältnis der Hebelarme , d . h. der
Entfernungen vom Aufhängepunkt, steht. Hieraus und aus dem Umstande,
dass die wirklichen Geschwindigkeiten der beiden Körper ihrerseits diesen
Entfernungen vom Aufhängepunkt direkt proportional sein müssen , kann
man diese Geschwindigkeiten und demnach auch die Bewegung des Pendels
leicht berechnen.
8. Dies war der erste Schritt , der zur direkten Auflösung dieser berühmten Aufgabe gethan wurde. Die Idee , die Kräfte , die aus den durch
die Gewichte gewonnenen oder verlorenen Geschwindigkeiten entspringen , auf
den Hebel zu beziehen , ist sehr fein und giebt den Schlüssel zur wahren
Theorie an die Hand ; aber Jacob Bernoulli beging einen Fehler , indem
er die während einer gewissen endlichen Zeit erlangten Geschwindigkeiten
betrachtete . Er hätte vielmehr die elementaren während eines Augenblicks
erlangten Geschwindigkeiten betrachten , und mit denen , die die Schwere
während desselben Augenblicks mitzuteilen bestrebt ist, vergleichen müssen.
Dies that später der Marquis de L'Hôpital in einer in dem Rotterdamer
Journal von 1690 aufgenommenen Schrift. Er denkt sich an dem unbiegsamen Faden, der das zusammengesetzte Pendel vorstellt, zwei Gewichte befestigt, und setzt die von diesen Gewichten in einem beliebigen Augenblicke
gewonnenen Bewegungsgrössen mit den verlorenen , d. h. die Differenzen
zwischen den Bewegungsgrössen , die die Gewichte in diesem Augenblick
thatsächlich erwerben und denen , welche die Schwere sich bestrebt ihnen
mitzuteilen , unter einander ins Gleichgewicht. Hierdurch bestimmt er das
Verhältnis der momentanen Beschleunigung jedes Gewichts während eines
Augenblicks zu der Beschleunigung, welche die Schwere allein ihm zu geben
sucht, und er findet den Schwingungsmittelpunkt, indem er den Punkt des
Pendels sucht, für den diese beiden Beschleunigungen einander gleich sind.
Alsdann dehnt er seine Theorie auf eine grössere Zahl von Gewichten aus,
und zwar betrachtet er zu diesem Zwecke jedesmal die ersten Körper als
in ihrem Schwingungsmittelpunkte vereinigt ; doch ist diese Betrachtungsweise nicht mehr so direkt und kann auch nicht ohne Beweis zugelassen
werden.
Diese Auflösung des Marquis de L'Hôpital rief Jacob Bernoulli die
seinige wieder ins Gedächtnis zurück und veranlasste endlich die erste direkte
und strenge Auflösung dieses Problems von den Schwingungsmittelpunkten,
eine Auflösung, die um so mehr die Aufmerksamkeit der Mathematiker ver-
Abschn. I.
Die Aufgabe vom Schwingungsmittelpunkt.
195
dient, als sie den Keim desjenigen Prinzips der Dynamik enthält, von dem
später d'Alembert so oft fruchtbaren Gebrauch machte.
Bernoulli betrachtet die Bewegungen , die die Schwere jeden Augenblick den Körpern , aus denen das Pendel besteht , erteilt ; da diese Körper
wegen ihrer starren Verbindung mit einander diesen nicht völlig folgen
können , so stellt er sich die Bewegungen , welche die Körper annehmen
müssen, als aus denen zusammengesetzt vor, welche ihnen erteilt sind, und
aus anderen, hinzuzufügenden oder fortzunehmenden, die einander aufheben ,
und vermöge deren allein das Pendel im Gleichgewicht bleiben würde. Auf
diese Art ist die Aufgabe auf die Grundsätze der Statik zurückgeführt und kann nun mit Hülfe der Analysis gelöst werden. Hierdurch
fand auch Jacob Bernoulli allgemeine Formeln für die Schwingungsmittelpunkte von Körpern jeder beliebigen Form , zeigte ihre Uebereinstimmung
mit den nach Huyghens' Grundsatz berechneten und bewies die Identität
des Schwingungsmittelpunktes mit dem Mittelpunkt des Stosses .
Diese
Lösung wurde in den Leipziger acta eruditorum von 1691 an fast erschöpft ;
vollständig wurde sie aber erst im Jahre 1703 in den Memoiren der Pariser
Akademie der Wissenschaften gegeben.
9. Um nichts von dem, was die Geschichte des Problems vom Schwingungsmittelpunkte betrifft, vermissen zu lassen , müsste ich noch eine Lösung erwähnen, die später Johann Bernoulli in eben diesen Memoiren, und fast
zu gleicher Zeit auch Taylor in seinem Werke Methodus incrementorum
bekannt machte , und welche einen sehr lebhaften Streit zwischen diesen
beiden Geometern veranlasste. So sinnreich indess die Idee war , auf der
diese neue Lösung gebaut war ,
sie besteht darin , das zusammengesetzte
Pendel sogleich in ein einfaches zu verwandeln , indem man . an die Stelle
der verschiedenen Gewichte andere in einem Punkt vereinigte setzt , deren
gedachte Massen und Schweren so beschaffen sind , dass ihre Winkelbeschleunigungen und Momente in Bezug auf die Rotationsaxe die gleichen.
sind, und dass die totale Schwere der vereinigten Gewichte ihrer natürlichen
Schwere gleich ist - so muss man dennoch gestehen, dass diese Idee weder
so natürlich, noci so einleuchtend ist , als die vom Gleichgewicht zwischen
den erhaltenen und aufgehobenen Bewegungsgrössen .
Man findet ausserdem noch in Herman's Phoronomia, die 1716 herauskam , eine neue Methode , dieselbe Aufgabe aufzulösen , die auf diesem
änderen Grundsatz beruht , dass die bewegenden Kräfte , durch welche die
das Pendel bildenden Gewichte getrieben werden müssen , wenn sie ihrer
Verbindung unter einander ungeachtet sich bewegen sollen , mit denen,
die von der Einwirkung der Schwere herkommen , gleichwertig sind. Die
ersteren müssen also , ihre Wirkung im entgegengesetzten Sinne gedacht,
den letzteren das Gleichgewicht halten.
Dieses Prinzip ist im Grunde dasjenige von Bernoulli , nur ist es
auf eine weniger einfache Art dargestellt , und es ist leicht durch die
Prinzipe der Statik das eine auf das andere zurückzuführen . Euler verall13*
196
Abschn. I.
Prinzipe der Dynamik.
gemeinerte es später und wendete es an , um die Oscillationen biegsamer
Körper zu bestimmen ; die diesbezügliche Abhandlung findet sich im
VII. Bande der Anciens commentaires de Pétersbourg vom Jahre 1740.
Es würde zu weit führen, von den anderen Problemen der Dynamik zu
reden , die nach dem vom Schwingungsmittelpunkt und ehe die Kunst sie
aufzulösen auf bestimmte und festgesetzte Regeln gebracht war, den Scharfsinn der Geometer beschäftigten . Man findet diese Aufgaben , die u. A.
Bernoulli , Clairaut , Euler sich gestellt haben , zerstreut in den ersten
Bänden der Petersburger Commentarien , in den Berichten von Berlin und
Paris (in den Jahren 1736 und 1742) , in Bernoulli's Werken und in
Eulers Opuscula.
Sie gehen darauf aus , die Bewegungen mehrerer
schwerer oder nicht schwerer Körper zu bestimmen, die einander durch Fäden
oder unbiegsame Hebel, an denen sie befestigt sind oder längs denen sie frei
gleiten können, stossen oder anziehen , und die, nachdem man ihnen gewisse
Impulse gegeben hat , sich selbst überlassen sind oder gezwungen werden,
sich auf gegebenen Flächen oder Linien zu bewegen.
Bei Auflösung dieser Aufgaben gebrauchte man fast immer Huyghens
Grundsatz ; da indessen dieser Grundsatz nur eine Gleichung giebt, so suchte
man die anderen Gleichungen durch Betrachtung der unbekannten Kräfte
zu gewinnen , mit denen , wie man annahm , die Körper sich stossen oder
ziehen sollten , und die man als elastische Kräfte ansah , die gleichförmig
nach entgegengesetzten Richtungen wirken. Bei Anwendung dieser Kräfte
brauchte man anf die Verbindung der Körper unter einander keine Rücksicht mehr zu nehmen , und man konnte von den Gesetzen der Bewegung
freier Körper Gebrauch machen. Endlich dienten die Bedingungen, die nach
der Natur der Aufgabe zwischen den Bewegungen der verschiedenen Körper
bestehen mussten , dazu , die unbekannten Kräfte zu bestimmen , die man
in die Rechnung eingeführt hatte. Jedoch erforderte es immer bei jeder
Aufgabe einen besonderen Kunstgriff, alle die Kräfte zu ermitteln , auf
welche man Rücksicht nehmen musste. Dadurch wurden diese Aufgaben
so anlockend und zum Wetteifer ermunternd.
10. D'Alemberts Traité de Dynamique, der 1743 erschien, machte allen.
diesen gegenseitigen Herausforderungen der Gelehrten ein Ende.. Er enthält
eine directe und allgemeine Methode alle möglichen dynamischen Aufgaben
aufzulösen , oder doch wenigstens auf Gleichungen zu bringen , und zwar
besteht diese Methode darin , dass alle Gesetze der Bewegung der Körper
auf die des Gleichgewichts reduciert werden , und die Dynamik also auf
die Statik zurückgeführt wird . Wir haben bereits oben bemerkt , dass der
Grundsatz , dessen sich Jacob Bernoulli bei der Untersuchung des
Schwingungsmittelpunktes bediente , den Vorteil hat , diese Untersuchung
von den Bedingungen des Gleichgewichts des Hebels abhängig zu machen ;
indess war es d'Alembert vorbehalten, diesen Grundsatz auf eine allgemeine
Art zu betrachten , und ihm die ganze Einfachheit und Fruchtbarkeit zu
geben, deren er fähig war.
Abschn. I.
D'Alemberts Prinzip.
197
Teilt man mehreren Körpern Bewegungen mit, die sie wegen ihrer
gegenseitigen Einwirkung auf einander selbst zu ändern gezwungen sind, so ist
klar, dass man diese Bewegungen als aus denen, welche die Körper wirklich
erhalten, und andern Bewegungen zusammengesetzt betrachten kann , welche
infolge der gegenseitigen Einwirkung der Körper zerstört sind ; hieraus folgt
also , dass diese letzteren Bewegungen so beschaffen sein müssen, dass wenn
die Körper von ihnen allein getrieben werden, sie einander das Gleichgewicht
halten müssen.
Dies ist das Prinzip, welches d'Alembert in seinem Traité de Dynamique
gegeben hat und von dem er bei mehreren Problemen, und besonders bei
dem von der Präcession der Aequinoctien , einen glücklichen Gebrauch gemacht hat. Es liefert zwar dieses Prinzip nicht unmittelbar die zur Lösung
der dynamischen Probleme nötigen Gleichungen; aber es zeigt, wie man diese
aus den Gleichgewichtsbedingungen herleiten kann. Combiniert man also
dieses Prinzip mit demjenigen des Gleichgewichts am Hebel , oder mit dem
von der Zusammensetzung von Kräften , so kann man stets die Gleichungen
jedes Problems finden ; aber die Schwierigkeit die Kräfte, welche aufgehoben
werden müssen, ebenso wie die Gesetze des Gleichgewichts zwischen diesen
Kräften zu bestimmen , macht die Anwendung dieses Prinzips mühsam und
heikel, und die Lösungen, welche daraus folgen, sind fast immer complicierter,
als wenn sie aus den weniger einfachen und directen Prinzipen hergeleitet
wären , wie man sich leicht aus dem zweiten Teil desselben Traité de
Dynamique überzeugen kann . *)
11. Will man die Zerlegungen von Bewegungen, welche dieses Prinzip
verlangt, vermeiden, so braucht man nur von vornherein das Gleichgewicht
zwischen den Kräften und den erzeugten Bewegungen , letztere aber in
entgegengesetzten Richtungen genommen , aufzustellen. Denn denkt man
sich , dass man jedem Körper die Bewegung , die er annehmen muss , im
entgegengesetzten Sinne erteilt, so ist klar, dass das System in den Zustand
der Ruhe gelangt. Diese Bewegungen werden daher diejenigen Bewegungen
aufheben , welche die Körper empfangen hätten , und denen sie ohne ihre
gegenseitige Einwirkung gefolgt wären, es muss also zwischen ihnen und
diesen letzteren Bewegungen oder zwischen den Kräften , die all diese Bewegungen erzeugen können, Gleichgewicht stattfinden .
Diese Art , die Gesetze der Dynamik auf diejenigen der Statik zurückzuführen , ist in Wahrheit weniger direct als diejenige , welche aus dem
Prinzip von d'Alembert folgt, aber sie ist in den Anwendungen einfacher ;
sie kommt auf die Methode von Herman und von Euler zurück, welcher sie bei
der Lösung vieler mechanischer Probleme angewendet hat, und man findet
sie in einigen mechanischen Werken unter dem Namen des d'Alembertschen Prinzips.
*) Die Lösungen werden noch dadurch besonders verwickelt , dass der Verfasser
die Zeitelemente dt wie Constanten zu behandeln vermeiden will , wie er selbst
hervorhebt.
198
Abschn. I. Prinzipe der Dynamik.
12. Im ersten Teil dieses Werkes haben wir die ganze Statik auf eine
einzige allgemeine Formel gebracht, welche die Gesetze des Gleichgewichts
jedes beliebigen Systems von Körpern , die von beliebigen Kräften angegriffen
werden , ergiebt. Man kann also auch die ganze Dynamik auf eine allgemeine Formel bringen ; denn um die Formel des Gleichgewichts eines
Systems von Körpern auf seine Bewegung anzuwenden , genügt es Kräfte
darin einzuführen, welche von den Variationen der Bewegung jedes Körpers
herrühren, und welche zusammen vernichtet werden müssen. Nimmt man auf
die von der Natur des Systems abhängigen Bedingungsgleichungen Rücksicht,
so giebt die Entwickelung dieser Formel alle für die Bestimmung der Bewegung jedes Körpers nötigen Gleichungen ; dann braucht man nur , was
Gegenstand der Analyse ist, diese Gleichungen zu integrieren.
13. Einer der Vorteile , den diese Formel gewährt , ist , dass dieselbe
sogleich auf die allgemeinen Gleichungen führt , welche die unter dem
Namen der Erhaltung der lebendigen Kräfte , der Erhaltung der
Bewegung des Schwerpunktes , der Erhaltung der Rotationsmomente
oder des Flächenprinzips und des Prinzips der kleinsten Wirkung
bekannten Grund- oder Lehrsätze ausmachen. Man muss aber alle diese Sätze
vielmehr als allgemeine Resultate der Gesetze der Dynamik, denn als ursprüngliche Grundsätze dieser Wissenschaft ansehen. Da dieselben iudess als solche bei
Auflösung der Aufgaben oft angewendet werden , so glaube ich auch von
ihnen ein Wort sagen zu müssen. Ich werde mich jedoch darauf beschränken,
zu zeigen , worin sie bestehen , und von wem sie herrühren , um auf diese
Weise in dieser Einleitung in die Grundlehren der Dynamik nichts vermissen zu lassen.
14. Den ersten dieser vier eben genannten Sätze, nämlich den der Erhaltung der lebendigen Kräfte , fand Huyghens , jedoch unter einer von
derjenigen Form, die man ihm jetzt zu geben pflegt, etwas verschiedenen Gestalt ;
wir haben seiner schon bei Gelegenheit der Aufgabe über die Schwingungsmittelpunkte gedacht. Es besteht dieser Satz , insoweit er bei Auflösung
dieser Aufgabe angewandt worden ist, in dem Ausdruck der Gleichheit zwischen
den Fallen und Steigen des Schwerpunktes mehrerer schweren Körper, die
in Verbindung mit einander fallen und hernach einzeln wieder steigen, indem
jeder für sich mit der Geschwindigkeit, die er beim Fallen erlangt hat, wieder
in die Höhe geht. Nach den bekannten Eigenschaften des Schwerpunktes
einer Anzahl von Einzelmassen wird nun der durch diesen Punkt nach
einer gewissen Richtung durchlaufene Weg, durch die Summe der Produkte
der Einzelmassen in die bezüglichen nach der nämlichen Richtung durchlaufenen Wege , dividiert durch die Summe der Einzelmassen , ausgedrückt.
Andererseits ist nach den Lehrsätzen Galilei's der durch einen schweren
Körper in senkrechter Richtung durchlaufene Weg dem Quadrat der Geschwindigkeit, die der Körper durch seinen freien Fall erhalten hat, und mit
der er wieder zu derselben Höhe hinaufsteigen könnte, gleich . Der Grundsatz
von Huyghens besteht also darin, dass bei der Bewegung schwerer Körper
Abschn. I. Abgeleitete Prinzipe der Dynamik.
199
die Summe der Produkte der Massen in die Quadrate der Geschwindigkeiten
in jedem Augenblick ebenso gross ist , wenn die Körper auf irgend eine
Art unter einander verbunden sich bewegen, als wenn sie frei dieselben
verticalen Höhen durchlaufen. Dies hat auch schon Huyghens selbst in
einer kleinen Schrift, die sich auf die Methoden des Jacob Bernoulli und des
Marquis de L'Hôpital bezieht, für die Schwingungsmittelpunkte kurz bemerkt.
Bisher war dieser Satz nur als ein einfaches Theorem der Mechanik
angesehen worden ; als aber Johann Bernoulli den von Leibnitz aufgestellten Unterschied zwischen todten Kräften, oder keine wirkliche Bewegung hervorbringenden Druckkräften , und den lebendigen Kräften ,
wo wirklich eine Bewegung stattfindet , sowie auch als Maass dieser
letzteren die Producte der Massen in die Quadrate der Geschwindigkeiten,
annahm , sah er in dem erwähnten Satze nichts weiter als eine Folgerung
aus der Theorie der lebendigen Kräfte und ein allgemeines Gesetz der Natur,
nach welchem die Summe der lebendigen Kräfte mehrerer Körper unverändert
dieselbe bleibt, während diese Körper durch einfache Druckkräfte auf einander
wirken, und beständig der einfachen lebendigen Kraft gleich ist, die aus der
Wirkung der in Thätigkeit begriffenen, die Körper bewegenden, Kräfte entspringt. Er gab diesem Prinzipe daher den Namen der Erhaltung der
lebendigen Kräfte und bediente sich desselben mit glücklichem Erfolg
bei der Auflösung einiger Aufgaben, die noch nicht gelungen war, und zu
deren Lösung man durch directe Methoden auch nur schwer gelangen zu
können schien.
In der Folge gab Daniel Bernoulli diesem Prinzipe eine grössere Ausdehnung und leitete aus ihm die Gesetze der Bewegung flüssiger in Gefässen
eingeschlossener Körper her , welche Materie vor ihm nur auf eine oberflächliche und willkürliche Art behandelt worden war. Endlich aber verallgemeinerte er diesen Satz in den Berichten von Berlin für das Jahr 1748 ,
indem er zeigte, wie man ihn auf die Bewegung der Körper anwenden
könne , die durch gewisse gegenseitige Attractionen auf einander wirken ,
oder die nach festen Centren durch gewisse, Funktionen der Entfernungen
proportionale, Kräfte gezogen werden.
Das Prinzip der lebendigen Kräfte gewährt den grossen Vorteil , dass
es ohne weiteres zu einer endlichen Gleichung zwischen den Geschwindigkeiten
der Körper und den veränderlichen Grössen , die ihre Lage im Raum bestimmen , führt , so dass , wenn es die Aufgabe zulässt , alle veränderlichen
Grössen auf nur eine einzige zu bringen, diese Gleichung hinreichend ist,
die Aufgabe vollständig aufzulösen , und dies ist der Fall bei der Aufgabe
von den Schwingungsmittelpunkten. Ueberhaupt giebt der Satz von der
Erhaltung der lebendigen Kräfte jederzeit ein erstes Integral der verschiedenen
Differentialgleichungen jedes Problems , was in vielen Fällen von grossem
Nutzen ist.
15. Den zweiten Satz haben wir Newton zu verdanken , da er im Anfang
seiner Principia beweist , dass der Zustand der Ruhe oder der Bewegung
200
Abschn. I. Prinzipe der Dynamik.
des Schwerpunktes mehrerer Körper durch die gegenseitige Wirkung dieser
Körper, wie sie auch beschaffen sein mag, nicht gestört werde, so dass der
Schwerpunkt von Körpern, die auf irgend eine Art auf einander wirken , es
sei nun durch Fäden oder durch Hebel oder durch Anziehungsgesetze etc.,
wenn nicht irgend eine äussere Wirkung oder ein äusseres Hindernis vorhanden ist , allezeit in Ruhe sich befindet oder sich gleichförmig in einer
geraden Linie bewegt. Später gab d'Alembert diesem Satze in seiner
Dynamik eine grössere Ausdehnung, indem er zeigte, dass, wenn Körper durch
constante beschleunigende Kräfte getrieben werden , die sämmtlich in
parallelen Linien, oder nach einem festen Punkt gerichtet sind, und die der
Entfernung proportional wirken , der Schwerpunkt die nämliche krumme
Linie beschreiben muss , als wenn die Körper frei wären. Man kann noch
hinzusetzen, dass die Bewegung dieses Punktes überhaupt die nämliche bleibt,
als wenn alle Kräfte der Körper , wie sie auch beschaffen sein mögen, jede
nach ihrer eigenen Richtung an diesem Punkt direct angriffen.
Man ersieht, dass dieser Grundsatz dazu dient, die Bewegung des
Schwerpunktes von Körpern unabhängig von den respectiven Bewegungen
dieser Körper zu bestimmen, und dass er also allezeit drei endliche Gleichungen
zwischen den Coordinaten der Körper und der Zeit liefern wird, welche Integrale
der Differentialgleichungen der Aufgabe sein werden.
16. Der dritte Satz ist viel weniger alt als die beiden vorhergehenden ,
scheinen
ihn Euler , Daniel Bernoulli und d'Arcy zu gleicher
es
Zeit, jedoch unter verschiedenen Formen gefunden zu haben .
Nach den beiden ersten Schriftstellern besteht er darin, dass bei der Bewegung mehrerer Körper um einen festen Mittelpunkt die Summe der Producte
der Masse jedes Körpers in die Geschwindigkeit, mit der er um den Mittelpunkt
circulirt und in die Distanz desselben von demselben Mittelpunkte allezeit
von der gegenseitigen Wirkung unabhängig ist, die die Körper auf einander
ausüben können , und immer dieselbe bleiben muss , so lange keine äussere
Einwirkung oder kein äusseres Hindernis vorhanden ist.
Daniel Bernoulli trug diesen Grundsatz im I. Bande der Berliner
Memoiren, der 1746 herauskam, vor. Euler machte ihn in demselben Jahre
im I. Bande seiner Werke bekannt. Auch ist es dieselbe Aufgabe, die beide
darauf geführt hat , nämlich die Untersuchung der Bewegung mehrerer beweglichen Körper, in einer Röhre von einer gegebenen Gestalt, die sich nur
um einen Punkt oder ein festes Centrum drehen kann.
Der Satz von d'Arcy , sowie er ihn der Pariser Akademie der Wissenschaften in einer Abhandlung ausgesprochen hat, die 1747 vorgelegt ist, jedoch
erst 1752 erschien, besteht darin, dass die Summe der Producte der Masse
jedes Körpers in die Fläche, die sein Radiusvector um einen festen Punkt beschreibt , diese Fläche für alle Körper auf derselben Projectionsebene
genommen, immer der Zeit proportional ist. Man sieht, dass in diesem Satz
das schöne Theorem Newton's von den unter der Einwirkung gewisser
Centripetalkräfte beschriebenen Flächen nur auf eine allgemeine Art aus-
Abschn. I. Prinzipe der Dynamik.
201
gedrückt ist. Um aber die Analogie oder vielmehr Identität dieses Theorems
mit dem von Euler und Daniel Bernoulli einzusehen , hat man nur zu
erwägen , dass die Geschwindigkeit der Umdrehung durch das Element des
Kreisbogens , dividiert durch das Zeitelement , ausgedrückt wird , und dass
das erstere dieser Elemente, multipliciert mit der Distanz vom Mittelpunkte,
das Element der um diesen Mittelpunkt beschriebenen Fläche giebt ; man
sieht also , dass der Satz von Euler und Bernoulli nichts anderes als der
Differential-Ausdruck des Satzes von d'Arcy ist.
Später trug d'Arcy seinen Grundsatz unter einer dem anderen Satze
näher kommenden Gestalt vor, indem er sagte , dass die Summe der
Producte der Massen in die Geschwindigkeiten und in die vom Mittelpunkt
auf die Bewegungs-Richtungen der Körper gezogenen senkrechten Linien
eine constante Grösse ist.
Unter diesem Gesichtspunkt machte er daraus sogar eine Art von
metaphysischem Grundsatz, den er die Erhaltung der Wirkung nannte,
um ihn dem Grundsatz der kleinsten Wirkung entgegen zu setzen oder
zu substituieren , als wenn unbestimmte und willkürliche Benennungen das
Wesen der Naturgesetze ausmachten und einfache Resultate der bekannten
Gesetze der Mechanik durch irgend eine verborgene Eigenschaft zu Endursachen erheben könnten .
Wie dem auch sein mag, so findet doch der Grundsatz, von dem jetzt die
Rede ist, allgemein bei jedem System von Körpern statt, die auf irgend eine
Weise auf einander wirken, mag dies nun durch Fäden oder unbiegsame Linien,
durch Anziehungskräfte etc. geschehen und die durch gewisse nach einem
festen Mittelpunkt gerichtete Kräfte getrieben werden, es mag nun das System
völlig frei sein , oder gezwungen sein , sich um eben diesen Punkt zu bewegen. Die Summe der Producte der Massen in die um diesen Mittelpunkt
beschriebenen und auf irgend eine Ebene projicierten Flächen ist immer
der Zeit proportional, so dass, wenn man diese Flächen auf drei auf einander
senkrechte Ebenen bezieht, man drei Differentialgleichungen erster Ordnung
zwischen der Zeit und den Coordinaten der durch die Körper beschriebenen
krummen Linien erhält. In diesen Gleichungen nun besteht die Natur des
eben genannten Grundsatzes .
17. Ich komme endlich auf den vierten Satz , den ich den Satz der
kleinsten Wirkung nach Analogie desjenigen Satzes nenne, den Maupertuis
unter dieser Benennung gebracht hatte , und den die Schriften mehrerer
berühmter Schriftsteller nachher so berühmt machten. Dieser Grundsatz ,
analytisch betrachtet, besteht darin , dass bei der Bewegung von Körpern, die
auf einander wirken, die Summe der Producte der Massen in die Geschwindigkeiten und in die durchlaufenen Räume ein Minimum ist. Maupertuis
leitet hieraus die Gesetze der Reflexion und Refraction des Lichtes , sowie
auch die des Stosses der Körper in zwei Abhandlungen her, von denen die eine
in den Abhandlungen der Pariser Akademie der Wissenschaft für das Jahr
1744 und die andere zwei Jahre später in denen der Berliner Akademie erschien.
1746
202
Abschn. I. Prinzipe der Dynamik.
Indessen muss man doch gestehen , dass diese Anwendungen sich zu
sehr auf specielle Gegenstände beziehen, als dass man auf sie den Beweis eines
allgemeinen Grundsatzes aufbauen könnte ; ausserdem sind sie etwas unbestimmt und willkürlich , wodurch die daraus gezogenen Folgerungen
für die Stichhaltigkeit des Grundsatzes unsicher gemacht werden. Meiner
Meinung nach würde es auch ungerecht sein, diesen Satz mit den eben angeführten auf dieselbe Linie zu stellen. Man kann ihn aber auf eine allgemeinere und strengere Art betrachten , und diese verdient allein die Aufmerksamkeit der Mathematiker. Die erste Idee davon gab Euler in seiner
Abhandlung De Isoperimetricis, die zu Lausanne im Jahre 1744 herauskam,
indem er zeigte , dass bei den Bahnen , die von durch Centralkräfte getriebenen Körpern beschrieben werden, das Integral, genommen von der Geschwindigkeit multipliciert in das Element der Curve , stets ein Maximum
oder ein Minimum wird. Euler hatte diese Eigenschaft nur bei der
Bewegung einzelner Körper gefunden , auf welchen Fall sie ihm auch
beschränkt erschien ; ich habe sie aber mit Hilfe des Satzes von der Erhaltung der lebendigen Kräfte auf die Bewegung jedes Systems von Körpern
ausgedehnt, die auf beliebige Art auf einander wirken. Hieraus folgt dann
dieser neue allgemeine Satz , dass die Summe der Producte der Massen in
die Integrale der mit den Elementen der durchlaufenen Räume multiplicierten
Geschwindigkeiten beständig ein Maximum oder Minimum ist.
Dies ist der Grundsatz, dem ich hier, wiewohl uneigentlich, den Namen
der kleinsten Wirkung gebe, und den ich nicht als einen metaphysischen
Grundsatz , sondern als ein einfaches und allgemeines Resultat der Gesetze
der Mechanik betrachte. Den Nutzen , den er bei Auflösung mehrerer
schwerer dynamischer Aufgaben gewährt hat , kann man im 2. Bande der
Memoiren von Turin sehen. Dieser Grundsatz, verbunden mit dem der Erhaltung der lebendigen Kräfte und nach den Regeln des Variation- Calculs
entwickelt, giebt sogleich alle zur Auflösung einer Aufgabe nötigen Gleichungen,
und hieraus entsteht dann eine eben so einfache wie allgemeine Methode, die die
Bewegung der Körper betreffenden Aufgaben aufzulösen , allein diese Methode
ist nur eine Folge von der, die den Gegenstand des 2. Teils dieses Werkes
ausmacht, die aber noch den Vorzug hat , dass sie aus den ersten Grundsätzen der Mechanik abgeleitet ist.
Abschnitt II.
Allgemeine Formel der Dynamik für die Bewegung
eines Systems von Körpern , welches durch irgend
welche Kräfte angetrieben wird.
1. Sind die auf ein System von Körpern wirkenden Kräfte, den im
ersten Teil dieses Werkes vorgetragenen Gesetzen gemäss verteilt, so heben.
sich diese Kräfte gegenseitig auf und das System bleibt im Gleichgewicht.
Findet das Gleichgewicht aber nicht statt , so müssen sich die Körper notwendig bewegen, indem sie den Wirkungen der sie treibenden Kräfte im Ganzen
oder zum Teil folgen. Die Bestimmung der Bewegungen, die durch gegebene
Kräfte hervorgebracht werden , ist Gegenstand dieses zweiten Teiles meines
Werkes.
Wir betrachten darin besonders die beschleunigenden und verzögernden
Kräfte, deren Wirkung , wie die der Schwere continuierlich ist, und die jeden
Augenblick allen Teilen der Materie eine unendlich kleine für alle Teile
gleich grosse Geschwindigkeit zu erteilen streben.
Wirken diese Kräfte frei und gleichförmig, so bringen sie notwendig
Geschwindigkeiten hervor, die wie die Zeiten zunehmen, und man kann die
auf diese Art in einer gegebenen Zeit erzeugten Geschwindigkeiten als die
einfachsten Wirkungen dieser Art von Kräften, und folglich als solche ansehen, die am geeignetsten sind, ihnen zum Maass zu dienen . Man muss
in der Mechanik die einfachen Effecte der Kräfte als bekannt ansehen;
die Kunst dieser Wissenschaft besteht einzig und allein darin, die zusammengesetzten Effecte, die von der zusammengesetzten und modificierten Wirkung
eben dieser Kräfte entstehen, daraus herzuleiten .
Wes Bet
2. Wir wollen daher annehmen, man kenne die Geschwindigkeit, die
jede beschleunigende Kraft einem beweglichen Körper mitzuteilen im Stande
ist, wenn sie immer auf dieselbe Weise während einer gewissen Zeit wirkt,
die wir für die Zeiteinheit annehmen wollen, und wir wollen die beschleunigende Kraft eben durch diese Geschwindigkeit messen, die ihrerseits wiederum
durch den Raum zu messen ist, den der bewegte Körper in der gleichen
Zeit durchlaufen würde, falls die Geschwindigkeit von jetzt ab gleichförmig
wäre. Man weiss aber aus den Lehrsätzen Galilei's , dass dieser Raum
204
Abschn. II .
Allgemeine Bewegungsgleichung.
allezeit doppelt so gross ist als der , den der Körper unter der constanten
Wirkung der beschleunigenden Kraft wirklich durchlaufen hat.
Sonst kann man auch eine bekannte beschleunigende Kraft zur Einheit
annehmen, und auf sie alle anderen beziehen . Man nehme alsdann zur
Einheit der Räume das doppelte des Raumes an, den diese gleichförmig
wirkende Kraft einen Körper in der Zeit durchlaufen macht , die man zur
Zeiteinheit annimmt , die in dieser Zeit durch die beständige Wirkung derselben Kraft erzeugte Geschwindigkeit ist dann die Einheit der Geschwindigkeiten . Auf diese Art sind die Kräfte , die Räume, Zeiten und Geschwindigkeiten nichts als einfache Verhältnisse gewöhnlicher mathematischer Grössen .
Nimmt man z. B. die Schwere in der Breite von Paris für die Einheit
y
心
der beschleunigenden Kräfte an, und zählt die Zeit nach Secunden , so muss
man 30,196 Pariser Fuss zur Einheit der durchlaufenen Räume annehmen,
weil 15,098 Fuss die Höhe ist , die ein sich selbst überlassener Körper in
einer Sekunde in dieser Breite durchfällt ; und die Einheit der Geschwindigkeiten ist diejenige , welche ein schwerer Körper erhält , indem er von dieser
Höhe durch die angegebene Zeit fällt.
3. Diese vorläufige Definition vorausgeschickt, wollen wir jetzt ein System
von Körpern. betrachten , die irgend eine Lage in Beziehung auf einander
haben , und die durch beliebige beschleunigende Kräfte getrieben werden.
Es sei m die Masse irgend eines dieser Körper, die wir als in einen Punkt
concentrirt ansehen, und es seien x, y, z die drei rechtwinkligen Coordinaten,
welche die absolute Lage dieses Körpers zu einer gewissen Zeit bestimmen .
Diese Coordinaten aber nehme man mit drei festen Axen im Raume , die
sich senkrecht in einem Punkt schneiden , den man den Anfang der
Coordinaten nennt , parallel an. Sie drücken alsdann die geraden Entfernungen des Körpers von drei, durch eben diese Axen gehenden Ebenen aus.
Weil wir diese Ebenen als senkrecht auf einander angenommen haben,
so geben die Coordinaten x, y , z Räume an , um welche sich der bewegte
dx dy
dz
Körper von diesen Ebenen entfernt ; folglich stellen dt > dt " dt die Geschwindigkeiten vor , die dieser Körper in einem gewissen Augenblick hat,
um sich von jeder dieser Ebenen zuoder
entfernen
und sich in Richtung der
sist zu nähern
Coordinaten x, y, z fort zu bewegen.
Ueberliesse man nun den Körper sich selbst , so würden diese Geschwindigkeiten in den folgenden Augenblicken nach den Fundamentalsätzen
der Theorie der Bewegung constant bleiben .
Moder)
Aber in Folge der Verbindung der Körper unter einander und der Einwirkung der beschleunigenden Kräfte, welche sie angreifen, bekommen die Gedy
dx
(ab)
schwindigkeiten während des Augenblickes dt die Zunahmen d· t d. t '
d
d '
dz
d.
die nun bestimmt werden müssen. Man kann diese Zunahmen als
dt '
neue, jedem Körper erteilte Geschwindigkeiten ansehen , und wenn man sie
mit dt dividiert, so hat man das Mass für die beschleunigenden Kräfte,
Abschn. II.
Allgemeine Bewegungsgleichung.
205
die erforderlich waren, um diese Zunahme hervorzubringen ; denn wie variabel
auch immer die Wirkung einer Kraft sein mag, so kann man sie doch nach
den Lehren der Differentialrechnung während einer unendlich kleinen Zeit
als constant ansehen, und die durch diese Kraft in dieser Zeit erzeugte Geschwindigkeit ist dann proportional der mit dem Zeitintervall multiplicierten
Kraft ; die Kraft selbst wird folglich durch die durch die Zeit dividierte
Geschwindigkeit ausgedrückt werden.
Nimmt man das Element dt der Zeit als constant, so werden die ged2x day d2z
nannten beschleunigenden Kräfte durch, dtdtdt ausgedrückt , und
multipliciert man diese Kräfte mit der Masse m des Körpers , auf welchen
d2x
d2z
m day, m
die
dta
dt
sie wirken , so hat man in den Ausdrücken m
zur Bewegung des Körpers m während der Zeit dt in parallel zu den Coordinaten der x, y, z laufenden Richtungen verwendeten Kräfte. Man kann
nun jeden Körper m des Systems als von ähnlichen Kräften angetrieben
ansehen , folglich werden alle diese Kräfte denen gleichwertig sein , von
denen man annimmt, dass sie das ganze System angreifen , und deren
Wirkung durch die Natur des Systems selbst modificiert wird . Es muss also
nach dem im Art. 15 , Abschnitt II des Teiles I gegebenen Theorem die
Summe ihrer Momente immer gleich der Summe der Momente dieser sein.
4. Wir wollen in der Folge das gewöhnliche Zeichen d gebrauchen ,
um die Differentiale nach der Zeit zu bezeichnen, und wollen die Variationen,
welche die virtuellen Geschwindigkeiten ausdrücken , mit o bezeichnen , wie
wir dies schon bei einigen Problemen des ersten Teils gethan haben.
d2z
d2x
day
Man hat so m
dz für die Momente der Kräfte
ox, m ats by m
dt2
dt2
d²x
d2y
d2z
, welche in der Richtung der Coordinaten x, y, z
m
, m
, m
dt2
dt2
dt2
als
o darges
durch den streben
Ausdru;ckdie
denvergrössern
me aller Momente kann
teldiese
lt werzu
wirken
und
.
d2x
$m
dt² by + diz=d=
dt2 ix + dy
I'm (diz
is),
),
wenn man vorausschickt , dass das Zeichen S sich über alle Körper des
Systems erstrecken soll.
5. Es seien jetzt P, Q, R etc. die gegebenen beschleunigenden Kräfte,
welche jeden Körper m des Systems nach den betreffenden Centren hintreiben , nach welchen , wie wir angenommen haben, diese Kräfte gerichtet
sein sollen , und es seien p, q, r etc. die geradlinigen Entfernungen jedes
dieser Körper von denselben Centren. Die Differentiale op , og , or etc.
werden dann die Variationen der Linien p, q, r darstellen , welche von den
Variationen ox, by, oz der Coordinaten x, y, z des Körpers m herrühren.
Da aber diese Kräfte P, Q, R etc. diese Linien zu verkleinern streben sollen,
so müssen ihre virtuellen Geschwindigkeiten durch ―-op , — dq , — or etc.
206
Abschn. II.
Allgemeine Bewegungsgleichung.
(Art. 3, Abschn. II, Teil I) dargestellt werden, und die Momente der Kräfte
mP, mQ, mR etc. werden also durch - m Pop, -m Qòq, - m Ròr etc.
gegeben sein ; die Summe.der Momente aller Kräfte wird also
—· Sm (Pòp + Qòg + Rôr + ··· ).
Setzt man diese Summe der des vorigen Artikels gleich, so hat man
d2y
(d2x
·8x +
by +
diz
S'm (2
dt2
dt2 òz) = — Sm (Pôp + Qòg + Ròr + …··),
dt2
oder :
đây ông t
(d²x ôx + d2y
da )) + Sm (Pòp + Qòg + Rôr + ···) =
— 0.
dt2 ·oy + 45·ôz
Sm ( dt2
Dies ist die allgemeine Formel der Dynamik für die Bewegung irgend eines
Systems von Körpern.
6. Es ist klar , dass diese Formel von der allgemeinen im Abschn . II,
Teil I gegebenen Formel der Statik nur durch die von den Kräften
d2x
d2z
d2y
, m
m
-, m
dt2 herrührenden Glieder sich unterscheidet , welche die
dt2
dt²
Beschleunigung des Körpers m nach den Richtungen der drei Coordinaten
x, y, z erzeugen. In der That haben wir im vorigen Abschnitt (Art. 11 )
gesehen, dass diese Kräfte, im entgegengesetzten Sinne genommen, d. h. so,
als ob sie die Linien x, y, z verkleinern wollten, den thatsächlich wirkenden
Kräften P, Q, R etc., von denen wir angenommen hatten, dass sie die Linien p,
q, r etc. verkleinern sollten, das Gleichgewicht halten müssen. Man braucht
also nur zu den Momenten dieser letzteren Kräfte diejenigen der Kräfte
d2x
d2y
d2z
m
, m
, m
für jeden der Körper m zu addieren, um sogleich von
dt2
dt2
dt2
den Bedingungen des Gleichgewichts zu den Eigenschaften der Bewegung
überzugehen (Art. 4, Abschn. II, Teil I) .
7. Dieselben Regeln , die wir im Abschn . II des ersten Teiles für die
Entwicklung der allgemeinen Formel der Statik gegeben haben, lassen sich
also auch auf die allgemeine Formel der Dynamik anwenden. Dabei muss
man aber beachten, dass
1. die Differentiale , die wir dort, um die Variationen darzustellen, mit
d bezeichnet hatten, in der Folge immer mit ò bezeichnet werden.
2. das Zeichen d immer in Bezug auf die Zeit gilt , ebenso wie das
entsprechende Zeichen
für die Integrationen, mit Ausnahme auf partielle
Differentiale sich beziehender, wo es gleichgiltig ist, welches Zeichen man
anwendet.
3. um die Elemente einer Curve oder Fläche oder allgemein eines
aus einer grossen Zahl von Teilchen zusammengesetzten Systems darzustellen, man stets das Zeichen D gebrauchen wird , welches dem Integralzeichen S entspricht. Wenn man also die Formeln, welche wir für das
Gleichgewicht in den Cap. III und IV des Abschn. IV Teil I gegeben haben,
Abschn. II.
Berücksichtigung von Widerständen.
207
auf die Bewegung ausdehnen will, so muss man überall das Zeichen din D
verwandeln , um den Ausdruck für die Summe der Momente aller Kräfte
zu haben .
8. Wenn die Bewegung in einem widerstehenden Mittel stattfindet, so
muss man den Widerstand des Mittels als eine Kraft ansehen, welche der
Bewegung des Körpers entgegenwirkt , und welche folglich als nach einem
Punkte der Tangente seiner Bahn treibend gedacht werden kann .
Nehmen wir an, der Widerstand sei R, so braucht man, um sein
Moment
Rôr zu erhalten, nur zu beachten, dass allgemein
r = √(x
(x − 1) ² + (y — m) ² + (z — n)²
ist, wo l, m , n die Coordinaten des Centrums der Kraft R sind.
haben wir
X
m
y
or =
r
r
oy +
Hiernach
-n
δχ .
r
Nehmen wir das Centrum von R in der Tangente der von dem Körper
beschriebenen Curve und sehr nahe bei diesem Körper an , so muss man setzen
X-- l = dx ; y
— n = dz,
m = dy; z -
bezeichnet also ds das Element der Curve, so hat man
X -7 dx . y- m = dy 2- n
=
;
ds
r
ds
r
und folglich
dz
2
ds
dy
dy dz
or -dac 6х +
+ ds 82.
by
ds
ds
i
Das gilt, wenn das widerstehende Mittel sich in Ruhe befindet ; ist es selbst
in Bewegung, so muss man diese Bewegung mit der des Körpers zusammensetzen, um die Richtung der Widerstandskraft zu erhalten. Es seien da, dß, dy
die kleinen Räume, welche das Mittel parallel den Coordinatenaxen x, y, z
durchläuft, während der Körper den Raum ds beschreibt ; man braucht dann
nur diese Grössen von dx, dy, dz abzuziehen, um die relativen Bewegungen
zu haben. Da nun ds = √/ dx² + dy² + dz² ist, so hat man, wenn
ds =
√(dx — da) ² + (dy— dß) ² + (dz — dy)²;
gesetzt wird, in diesem Falle
or =
dx - da
dz - dy
8x + dy-dẞ by +
62.
do
do
do
Der Widerstand R ist gewöhnlich eine Funktion der Geschwindigkeit
ds
dt aber in dem Falle, wo das Mittel in Bewegung ist, wird er eine Funktion
ds
der relativen Geschwindigkeit
sein.
208
Abschn. II.
Allgemeine Bewegungsgleichung.
Auf diese Weise kann man unsere allgemeinen Formeln auf die Bewegungen in widerstehenden Mitteln auwenden, ohne irgend eine besondere
Betrachtung für diese Arten von Bewegungen nötig zu haben.
9. Es ist wichtig zu bemerken ,dass der Ausdruck d²x 8x + d²ydy + d²zòz,
um welchen die allgemeine Formel der Dynamik von der der Statik abweicht
(Art. 5), unabhängig ist von der Lage der Coordinatenaxen x, y, z.
Denn substituiert man an die Stelle dieser Coordinaten andere rechtwinklige Coordinaten x', y' , ' mit demselben Ursprung, die sich aber auf
andere Axen beziehen , so hat man nach den Transformationsformeln für
Coordinaten (Art. 10, Abschn. III, Teil I)
x = a x' + ß y'+ q z',
y = a' x' + ß' y' + j' z',
z = a " x' + ẞ " y' + 7″ Z.
Differentiiert man diese Ausdrücke von x, y , z , indem man dabei alle
Coefficienten a, ß, 7, a' etc. als constant und die neuen Coordinaten x', y' , 2'
allein als variabel ansieht, so hat man
d²x = a d²x' + ß d²y' + y d²z',
d²y = a' d²x' + ß' d²y' + 7' d²z ,
d²ea" d²x' + ẞ " d²y
' + 7" d²z'.
Ebenso hat man
6x
by==
=
Indem man jetzt diese Werte in den Ausdruck d²xòx + d²y òy + d²z oz substituiert und auf die a. a. O. angegebenen Bedingungen zwischen den Coefficienten
a, B, %, a' etc. Rücksicht nimmt, bekommt man
đểxôi + dâyôy + đôi =
Macht man dieselben Substitutionen in dem Ausdruck für die geradlinigen
Entfernungen der verschiedenen Körper des Systems , die durch p , q etc.
dargestellt sind, so ist leicht zu sehen, dass auch hier die Grössen a, ß, Y,
a' etc. verschwinden werden , und dass die Ausdrücke für die Entfernungen
dieselbe Form behalten werden. In der That hat man
X) + (y — - Y) ² + (≈ — Z)³,
√(x − x)²
p = √(x
wo x, y, z die Coordinaten eines Körpers m und X, Y, Z diejenigen eines
anderen Körpers m , auf dieselben Axen bezogen , sind. Durch die Veränderung der Axen werden die ersteren x', y' , ' , und bezeichnet man mit
X
', Y' , Z
' , was aus den letzteren wird, so hat man auch
X = a X' + ẞ Y +
Z,
Ya' X'B' Y' + ' Z',
Za" X' + B"Y' + " Z.
Abschn. II.
Einführung anderer Coordinaten.
209
Durch Substitution und Berücksichtigung derselben Bedingungsgleichungen
folgt
p = √√(x' —- X′) ² + (y' — Y ' ) ² + (≈'— Z' )³.
Ein ähnlicher Ausdruck ergiebt sich für die analogen Grössen q, r u. s. f.
10. Es folgt daraus , dass , wenn das System nur von inneren Kräften
P, Q, R etc. angegriffen wird, die dazu proportional irgend welchen Funktionen
der Entfernungen p , q , r etc. zwischen den Körpern sind , falls die Bedingungen des Systems nur von der gegenseitigen Lage der Körper abhängen, so dass die Bedingungsgleichungen nur zwischen den verschiedenen
Linien p , q etc. stattfinden , die allgemeine Formel der Dynamik (Art. 5)
für die transformierten Coordinaten x', y' , z' dieselbe Form hat, wie für die
Nachdem man durch Integration
ursprünglichen Coordinaten x , y , z.
der verschiedenen Gleichungen , die aus dieser Formel abgeleitet sind , die
Werte der Coordinaten x , y , z jedes Körpers m , als Funktionen der Zeit
ausgedrückt, gefunden hat , kann man diese Coordinaten x, y, z, in irgend
welche anderen x', y , z umsetzen, mit Hilfe der Gleichungen
x = a x' + ß y' + ɣ z' ,
y = a' x' + ß'y'+ q' z',
z = α" x' + ẞ " y + 7″z.
Die neun Coefficienten a, ß, y etc. dienen zur Fixirung der x' , y' , z
' , sie
repräsentiren aber nur drei unbestimmte Grössen , da zwischen ihnen sechs
Bedingungsgleichungen vorhanden sind.
Wenn die Werte von x' , y' , ' alle willkürlichen Constanten enthalten ,
welche nötig sind , um die verschiedenen Integrale zu vervollständigen , so
werden die drei genannten unbestimmten Grössen sich mit diesen willkürlichen
Constanten verschmelzen ; im anderen Fall können sie diejenigen Constanten
ersetzen, welche fehlen , und so die Lösung vollständig machen, welche sonst
unvollständig sein würde. Diese drei neuen willkürlichen Grössen, die man am
Ende der Rechnung einführen kann, geben die Möglichkeit, den Wert ebenso
vieler willkürlicher Constanten gleich Null oder gleich ganz bestimmten
Grössen anzunehmen , wodurch die Rechnung häufig erleichtert und vereinfacht werden kann .
11. Die Wirkungen des Antriebes und des Stosses kann man zwar stets
wie diejenigen zweier beschleunigenden Kräfte berechnen , wenn man aber
nur die totale erteilte Geschwindigkeit verlangt , kann man sich von der
Betrachtung der successiven Zunahmen derselben befreien , und die
Impulsionskräfte als den erteilten Bewegungen gleichwertig ansehen.
Es seien also P, Q, R etc. die an irgend einem Körper m des Systems
wirkenden Impulsionskräfte, die nach den Linien p, q, r etc. gerichtet sind,
und es sei angenommen, dass die diesem Körper erteilte Geschwindigkeit drei
durch x, y, ż bezeichneten nach den Axen der x, y, z wirkenden Kräften
14
Lagrange , Analytische Mechanik.
210
Abschn. II. Bewegungsgleichung für Momentankräfte.
ist
äquivalent sind, so hat man, wie im Art. 5, wenn man die beschleunigenden
d²x d'y de
Kräfte dt2 ' dt² ' dt2 in die Geschwindigkeiten , j,
verwandelt, die
allgemeine Gleichung
...· ) = 0 .
S(xòx + ÿòy + zòz) m + S (Pòp + Qòg + Ròr + ··
Diese Gleichung wird , nachdem man alle mit
bezeichneten Variationen
auf die kleinstmögliche Zahl , gemäss den Bedingungen des Systems,
reduciert hat , ebenso viele particuläre Gleichungen ergeben , als unabhängige Variationen übrig bleiben.
Abschnitt III.
Allgemeine aus der Bewegungsgleichung abgeleitete
Eigenschaften der Bewegung.
1. Wir wollen nun ein System von Körpern betrachten, die in irgend
einem Verhältnis oder einer Verbindung zu einander stehen, und dabei annehmen, dass weder feste Punkte noch irgend welche Hindernisse eine Veränderung in ihrer Bewegung hervorbringen . Es ist dann klar, dass die Bedingungen des Systems nur von der gegenseitigen Lage der Körper abhängen ,
und die Bedingungsgleichungen können keine anderen Funktionen der Coordinaten enthalten , als die Ausdrücke für die gegenseitigen Entfernungen der
Körper. Diese Betrachtung liefert für die Bewegung des Systems allgemeine von
der Natur des Systems unabhängige Bedingungen, die denen, welche wir für
das Gleichgewicht im § 1 , Abschn. III, Teil I gefunden haben , analog sind.
§ 1. Eigenschaften bezüglich des Schwerpunktes.
2. Es seien x', y' , ' die Coordinaten irgend eines bestimmten Körpers
des Systems , während x, y, z allgemein die Coordinaten irgend eines anderen
Körpers darstellen. Man setze, was stets erlaubt ist,
x= x+ ;
y= y
′+ q;
z = 2' + 5;
so ist offenbar, dass die Grössen x' , y', z' in den Ausdrücken der gegenseitigen Entfernungen der Körper nicht vorkommen werden, es werden vielmehr
diese Entfernungen nur von den verschiedenen Grössen , n,
abhängen ,
welche eigentlich die Coordinaten der verschiedenen Körper in Bezug auf
denjenigen Körper , zu welchem x' , y',
gehören , ausdrücken . Die Bedingungsgleichungen des Systems werden folglich allein zwischen den
Variablen ,
stattfinden und x', y' , z' nicht enthalten.
Reduciert man also in der allgemeinen Formel der Dynamik (Art. 5 ,
Abschn. II) alle Variationen auf ôx, dy, òz und substituiert für dx, òy, òz
ihre Werte d ' + ô§, dy' + ôŋ, ôz′ + %, so werden die Variationen òx', òy' , 62'
von allen anderen unabhängig und für sich selbst beliebig sein. Man muss
also alle mit jeder dieser Variationen behafteten Glieder gleich Null setzen ,
und so erhält man drei allgemeine und von der besonderen Constitution des
Systems unabhängige Gleichungen.
14*
212
Abschn. III, § 1. Schwerpunktseigenschaften.
Die inneren Kräfte, durch welche die Körper auf einander einwirken
könnten und die wir mit P,
etc. bezeichnen wollen , (wie im Art. 2,
Abschn. III, Teil I) werden in diesen Gleichungen nicht vorkommen , weil die
gegenseitigen Entfernungen p, q etc. von x', y',
unabhängig sind , und
daher die Variationen op, dq etc. , welche sich auf diese Variablen beziehen,
Null sind.
Reduciert man die Kräfte P, Q, R etc. auf drei nach den Coordinatenaxen
x, y, z gerichtete Kräfte X, Y, Z, welche diese Coordinaten zu verkleinern suchen ,
so hat man , nach den Formeln , die wir in Cap . I , Abschn. V , Teil I gegeben haben,
Pop + Qoq + Ròr + ··· — Xòx + Yòy + Zòz
und die allgemeine Formel geht über in
d2x
Xm
dt2
S (17x
dt2 + x) mex + S ( 17+
S ( 17z + 2 ) moz
) may +8
màs = 0.
Berücksichtigt man nur die Variationen òx', òy', òz' , die von allen anderen
unabhängig sind, so giebt die vorige Gleichung
d2x
d2z
öx' S dt2 + ·x) m + ôy S (№
dt2 + z) m = 0,
dt22 + 1) m + îz' S (1223
woraus sofort folgende drei Gleichungen folgen
d2x
S
( ap2
s(
dt2 + x ) m = 0,
d2y
+ Ym = 0,
dt2
S ( dt2 +2) m = 0.
Diese werden bei der Bewegung irgend eines Systems immer gelten,
wenn dieses System gänzlich frei ist.
3. Wir wollen jetzt annehmen , dass der Körper, zu dem die Coordinaten
x', y', z' gehören , sich im Schwerpunkte des ganzen Systems befinde ; man
hat dann nach den bekannten Eigenschaften dieses Punktes (Teil I , Abschnitt III, § 4) die Gleichungen
S &m = 0 ; Srm = 0 ; S¿m = 0 .
Differentiiert man diese zweimal nach t, so ergeben sie
;
Sd25 m = 0
0;
dan
S 2 m = 0;
dt
d2%
S dt2 m == 0.
Hieraus folgt
d2x
d2x'
d 2x'
S dt2 m = S dt2 m = dt2 Sm,
Abschn. III, § 1. Prinzip d. Erhaltung d. Bewegung d. Schwerpunkts.
213
weil a' , welches für alle Körper denselben Wert hat , vom Zeichen Sunabhängig ist ; ebenso hat man
d2z'
d2z
Stday m = a²y
' Sm ; Sa²² m =
dt2 S'm.
dt2
dt2
dt2
Die drei Gleichungen des vorigen Artikels nehmen also folgende einfache
Gestalt an
d2x'
dtz ·Sm + SXm = 0,
d²y Sm + S Ym = 0 ,
dt2
d2z'
=
= 0.
dt2 Sm + S Zm
Diese Gleichungen dienen dazu, die Bewegung des Schwerpunktes aller Körper
unabhängig von der Bewegung jedes einzelnen von ihnen zu bestimmen.
Da die Werte von SXm, SYm, SZm keine inneren Kräfte des Systems
enthalten, so wird die Bewegung des Schwerpunktes in keiner Weise von der
gegenseitigen Wirkung, welche die Körper auf einander ausüben können, abhängen, sondern allein von den beschleunigenden Kräften bestimmt sein, welche
jeden Körper angreifen . Dies ist das allgemeine Prinzip von der Erhaltung
der Bewegung des Schwerpunktes.
Dies Prinzip besteht auch noch in dem Fall , wo die Körper in ihren Bewegungen sich gegenseitig stossen. Denn von welcher Natur auch die Körper
seien, man kann sich stets denken, dass ihre Wirkung bei dem Stosse vermittelst einer zwischen ihnen befindlichen Feder geschehe, die nach ihrer Compression darnach strebt, in ihren früheren Zustand zurückzukehren oder ihn
nicht wieder anzunehmen, je nachdem die Körper elastisch oder unelastisch sind.
Auf diese Weise wird die Wirkung des Stosses dargestellt werden können
als hervorgebracht durch Kräfte von der Natur derjenigen Kräfte , die wir
mit P,
etc. bezeichnet haben , und welche in der allgemeinen Formel
(Art. 2) verschwinden.
4. Man sieht übrigens , dass die Gleichungen für die Bewegung des
Schwerpunktes dieselben sind, wie diejenigen der Bewegung eines einzelnen
Körpers, der von allen beschleunigenden Kräften, welche auf die verschiedenen
Körper des Systems wirken , zugleich getrieben wird . Nimmt man in
der That an, dass alle diese Körper in einem Punkte vereinigt sind, zu dem
die Coordinaten x' , y' , ' gehören , so hat man in der allgemeinen Formel
x =·x' ; y = y' ; z == 2' , und setzt man alle mit jeder der drei Variationen
ox', òy', oz' behafteten Glieder gleich Null, so wird man dieselben Gleichungen
wie oben erhalten.
Daraus resultirt folgendes allgemeine Theorem : Die Bewegung
des Schwerpunktes eines freien Systems von Körpern , die gegen
214
Abschn. III, § 1. Schwerpunktseigenschaften.
einander irgend eine Lage haben, ist stets dieselbe , als wenn alle
Körper in diesem einzigen Punkte vereinigt wären , und als
wenn zu gleicher Zeit jeder von ihnen von denselben beschleunigenden Kräften , wie in seinem ursprünglichen Zustande , angegriffen würde .
5. Dieses Theorem gilt auch noch, wenn die Körper, aus welchen das
freie System besteht, sich deshalb bewegen, weil sie irgend welche Impulse
erhalten ; denn substituiert man in die Gleichung des Art. 11 des vorigen
Abschnitts ôx' + ò§ , òy' + ôn , dz' + d§ für òx , òy , öz und reduciert die
Kräfte P, Q, R etc. auf die drei Kräfte X, Y, Z, so kann man wie im
Art. 2 beweisen , dass die Variationen dx' , ôy', dz' willkürlich bleiben
müssen, woraus man die drei Gleichungen
S(mi + X) = 0 ;
S(my + Y) = 0;
S(mz + Z) = 0
erhält.
Bezieht man die Coordinaten x' , y', ' auf den Schwerpunkt des
Systems, so hat man infolge der Eigenschaften dieses Punktes
x'Sm = Sxm ;
' Sm = Sym ;
z2'S'm = Szm.
Differentiiert man nach t und setzt dx = xdt , dy = ÿdt , dz = zdł , dx' = x'dt,
dy' = y'dt, dz' =
— ' dt , so hat man auch
i'Sm = Sxm;
ÿ'Sm = Sÿm ;
'S'm = Sim ,
und folglich
x'S'm + SX = 0 ; ÿ'Sm + SY = 0 ;
2'Sm + SZ = 0.
Daraus ersieht man, dass die dem Schwerpunkt erteilten Geschwindigkeiten
x', y' , ' dieselben sind, als wenn alle Körper im Schwerpunkt vereinigt werden
und zugleich die Antriebe X, Y, Z erhalten .
6. Die allgemeine Formel (Art. 2) reduciert sich , wenn man ox' + ò½‚
öy' + ôŋ, òz' + dl für dx , dy, dz setzt , und die Glieder , die mit òx' , òy' , ôz
′
behaftet sind, verschwinden lässt, auf
$ (d² x d
dt2
+ X + Yên + Z0 %<)|m
m = 0.
Substituiert man x' + § , y' + n, z
′ + ( für x, y, z auch in die Differentiale
dax, day, d²z und setzt die Differentiale d²x' , day' , d² ' vor das Zeichen
S, so werden die mit diesen Differentialen behafteten Glieder sein
d2x
d2z
d2y'
Sorm.
Som +
dt2
dt2 Sinm + dt2
Abschn. III, § 1. Prinzip d. Erhaltung d. Bewegung d . Schwerpunkts.
Wenn sich aber die Coordinaten x', y' ,
so hat man (Art. 3)
215
' auf den Schwerpunkt beziehen ,
S&m = 0 ; Sqm = 0 ; S ?m = 0 ,
also auch, wenn man differentiiert
Söm = 0 ;
Soŋm = 0 ;
S& m = 0 ,
die genannten Glieder verschwinden also und die allgemeine Formel reduciert
sich auf
S
(d²o + d²non + d2565
+ Xo + Yòn + 26% ) m = 0.
dt2
285) m
Diese Formel ist also der ersteren völlig ähnlich , doch sind die Coordinaten
x, y, z, deren Ursprung im Raume fest ist, in , n,, deren Ursprung der
Schwerpunkt ist, verwandelt.
Man kann daraus allgemein schliessen , dass man in einem freien
Systeme für die Bewegung in Bezug auf den Schwerpunkt dieselben Gleichungen
und dieselben Eigenschaften hat wie in Bezug auf einen festen Punkt
ausserhalb des Systems .
§ 2.
Auf Flächen bezügliche Eigenschaften.
7. Wir wollen jetzt die Bewegung des Systems um einen festen Punkt
betrachten und annehmen , dass es sich in jedem Sinne frei um diesen
Punkt drehen kann. Sieht man von den Bewegungen der Körper des Systems
gegen einander ab , so wird die Drehung um jede der drei Axen der x, y, z,
wie wir in Art. 8, Abschn. III des Teiles I gefunden haben , die folgenden
Ausdrücke für die Variationen ox, dy, dz ergeben
6x =· zòv — yòq ;
òy = xò4 — zò4 ;
òz = yòf
- χδω ,
in welchen
, ow , op die elementaren Rotationen in Bezug auf die drei
Axen der x, y, z sind, und willkürlich bleiben müssen .
Diese Ausdrücke gelten allgemein für die Variationen der Coordinaten
aller Körper des Systems, und man braucht nur dieselben in die Formel des
Art. 5 des vorigen Abschnitts, nachdem man alle Variationen auf die dx, dy,
6% reduciert hat, zu substituieren und dann die mit den drei unbestimmten
Grössen d?, dw , & multiplicierten Grössen einzeln gleich Null zu setzen .
Man findet dann , wie im angegebenen Artikel des Abschn . I , dass die
Variation op Null wird , und dass ebenso die von den inneren Kräften P
des Systems herrührenden Glieder, welche die Variationen op, ow, o nicht
enthalten , zu den genannten Gleichungen nichts hinzufügen. Man findet
auch , wie man in demselben Artikel gesehen hat , dass die Variation op
gleich Null ist, wenn die Kraft P nach dem Coordinatenursprung gerichtet
ist, und dass dann auch diese Kraft in diese Gleichungen nicht eintritt..
216
Abschn. III, § 2.
Flächenprinzip .
Macht man einfach für ox, dy, oz die genannten Substitutionen , nachdem man die Kräfte P, Q, R etc. wie oben (Art. 2) in X, Y, Z verwandelt
hat, so hat man bezüglich der Variationen op , dw , dy die Gleichung
c- xd2z
xd²y - yd²x
- Zx ow
+ Ya — Xy)3p + (ed¹x dt2
— xd³½ + X2
S{(xd²y dt2
yd²z —
+ (yd'sdt2ad³y + Zy - Ye) o4} = 0,
und da die Variationen dq , ow, ô für alle Körper des Systems dieselben
sind, so darf man sie aus dem Integrationszeichen S herausziehen und bekommt drei Gleichungen in Bezug auf jede dieser Variationen, nämlich
x
d2y
dt2
d2x
2
S(~ dt2
d2z
y
S(v dt2
d2x
y
dt2
+ xY —
yx) m = 0,
— yX)
d2z
х dt² + zX — xZ ) m = 0,
d2y
RY | m
m = 0.
dt2 + yZ — ex)
Diese Gleichungen gelten jedesmal , wenn das System sich frei um
jede der drei Axen drehen kann , d . h . allemal, wenn das System so verteilt
ist, dass es sich frei im Kreise nach allen Richtungen um einen festen
Punkt drehen kann , welcher Ursprung der Coordinaten ist.
Es ist gut, zu bemerken, dass diese Gleichungen immer unabhängig
von der gegenseitigen Einwirkung der Körper stattfinden , in der Weise,
dass sie selbst bei Wirkungen , die im gegenseitigen Stoss der Körper des
Systems bestehen , aus demselben Grunde wie in Art. 3 Geltung behalten ;
sie sind ferner von den Kräften , welche nach dem festen Punkt , dem
Coordinatensprung, gerichtet sind, unabhängig
8. Um sich eine klarere Vorstellung von der Bedeutung dieser Gleichungen
zu bilden , bemerke man : 1. dass die Grössen (xd²y —yd²x), (zd²x—xd²z ) ,
(yd²z-zd²y) die Differentiale von (xdy - ydx) , (zdx - xde) , (ydz —zdy)
sind, letztere Ausdrücke aber das doppelte der elementaren Sectoren geben,
welche von dem Körper m in den xy, xz und yz Ebenen , d . h. in den auf den
Axen z, y, x senkrecht stehenden Ebenen, beschrieben werden . Denn substituiert man für x und y die Werte p cosy , p sing, so ist p²d das doppelte
der zwischen dem Radiusvector p und dem folgenden Radius, der mit ihm
den Winkel de bildet, enthaltenen Fläche . 2. Dass die Grössen X, Y, Ꮓ
die Kräfte darstellen, welche jeden Körper m in der Richtung der Coordinaten
x, y, z und nach deren Ursprung hin angreifen und aus allen Kräften P,
Q, R etc. resultieren , die auf diesen Körper nach beliebigen Richtungen
(Art. 5 , Abschn. II) wirken , und dass also die Grössen (yX - xY),
(xZ - X), (≈Y - yZ) die Momente der Kräfte ausdrücken, welche diesen
Körper um die einzelnen Axen der Coordinaten x, y, z drehen wollen, wenn man
Abschn. III, § 2.
Prinzip der Erhaltung der Flächen.
217
das Wort Moment im gewöhnlichen Sinne als das Produkt der Kraft in das
auf ihrer Richtung senkrecht stehende Lot nimmt.
9. Wenn keine äussere Kraft wirkt oder wenn das System allein von
Kräften angegriffen wird , die nach dem Punkte , den wir als Coordinatenursprung genommen haben, gerichtet sind, so reducieren sich die drei vorigen
Gleichungen auf
(x ď²y —- y d²x ) m = 0,
dt2
S
(zd²x - xd²z)
m = 0,
dt2
´y d²z — z d²y m == 0.
S(yd²z dt2
S
Integriert man diese nacht und bezeichnet mit A, B, C drei Constanten, so folgt
S (xdy — ydx m == C,
dt
zdx
xdz
m = B,
S
dt
ydz -zdy
m = A.
dt
s(
Diese letzten Gleichungen enthalten offenbar das Flächenprinzip ,
von dem wir schon im ersten Abschnitt gesprochen haben.
10. Beiläufig ist zu bemerken , dass diese Gleichungen dieselbe
Eigenschaft besitzen, wie diejenigen in Art. 10 des vorigen Abschnittes, dass
man also in dieselben durch Verwandlung der Coordinaten drei neue willkürliche Constanten einführen kann.
Sind x' ,
' , ' die neuen Coordinaten, so hat man zu setzen
' (x'dy' — y'dx' m = C' ,
S
dt
(z'dx'x'dz'
'
S
m = B',
dt
- 2
- 'dy m = A
',
S
'(y'dz' —dt
wo A' , B' , C' ebenfalls willkürliche, aber von A, B, C verschiedene Constanten sind .
Substituiert man aber in den Ausdruck (xdy - ydx) die Werte von
x, y, in x', y' , z' , welche im genannten Artikel desselben Abschnittes gegeben sind, so folgt
xdy — ydx = (xẞ'— ẞx') (x'dy'— y'dx') + (7α'— a7') (z'dx' — x'dz′ )
+ (By'— yẞ') (y'dz' — z'dy').
218
Abschn. III, § 2. Flächenprinzip.
Ebenso findet man
zdx
ã được
Ba"-— a ß'' ) (x'dy' — y'dx' ) + ( x y ″ — y a '') (e'dx' — x'de' )
x dz = (
(Bá
+ (y ß" — ß y'') (y'de' — z'dy'),
ydz — z dy = (a'ß " — B'a' ) (x'dy
' — y'dx ') + (y'a'' — a'7'') (z'dx' — x'dz')
+ (y'ß'' — B'y'') (y'dz
' — z dy') .
Setzt man allen Gliedern dieser Gleichungen das Zeichen S vor, nachdem
man sie mit m multipliciert und durch dt dividiert hat und substituiert man an
die Stelle der mit S behafteten Integrale die bezüglichen Werte A, B, C,
A' , B', C' , so folgt
C = (a ß'
ẞ' — Ba' ) C ' + (y a' — a y′ ) B′ + ( ß 7′ — y ß ' ) A',
B = (ẞ a" — a ß")
ẞ″ ) C' + ( a y" -— 7 a″ ) B' + ( y ẞ "' — ẞß y″ ) A',
· A = (a'ß" — ẞ'a'') C
'' + (y'a" — a'7'' ) B' + (y'ß '' — B'y'') A' .
Man kann diese Formeln auf einen einfachen Ausdruck reducieren ,'
zunächst ist
(x3'- Bx')² + (Bx" - aẞ" )² + (a'ẞ" - B'x" )² =
(a² + a²² + a" ?) (3² + B'² + ẞ" 2) -— (aß + a'ß ' + a''ẞ")²,
und dieses reduciert sich in Folge der Bedingungsgleichungen des Art. 10,
Abschn. III , Teil I auf 1. Man hat ferner folgende identische Gleichungen
a(a'ß" -— B'a" ) + a' (ẞa” — aß'') + a " (aß ' — ßa') = 0 ,
ß (a'ß" — ß'x'') + ß' (Ba" — aß" ) + ß'i (aß' — ßx') — 0.
Vergleicht man diese Gleichungen mit den drei Bedingungsgleichungen
2
7² + y² + y² = 1 ;
ay + ax'y' + a''y" = 0 ; By + B'y' + ß" y" = 0,
so kann man leicht schliessen, dass
ist.
a'ß" — ß'a'" = %; ßa" - aß" = y'; aß'- ßa'= y" .
erhalten können ,
Die Grössen , Y' , 7" würden auch noch das Zeichen
da aber bei der Coincidenz der Axen der x', y' , ' mit denen der x, y, z
stets a = 1 ; ẞ = 0 ; y = 0 ; a ' = 0 ; B ' = 1 ; y' = 0 ; a" = 0 ; ẞ " = 0 ; y″ = 1
sein muss (Art. 11 , Abschn. II, Teil I), so kann diese Bedingung nur stattfinden, wenn man y" und folglich auch y' und y positiv nimmt.
Auf dieselbe Weise findet man
j'a" — a'q'"' = ß ; ay" - ya" = ß' ; ja' - ay'= ß'',
'B" - B'y" = a ; YB" - By" = a' ; By'— YB' = a" .
Es wird also unter Benutzung dieser Relationen
Aa A'+ ẞ B' + † C ' ,
Ba' A'B' B'+ ' C',
Ca" A'+ ẞ"B' + y" C' ,
Abschn. III, § 2. Die invariabele Ebene.
219
woraus umgekehrt nach den Bedingungsgleichungen des Art. 10 (Abschn . III,
Teil I) folgt
A'
Aa + Ba' + Ca" ,
B = A + B + C3” ,
C'Ay + By + Cy
"
und
A² + B² + C² = A'² + B'² + C'².
Aus dieser letzten Gleichung resultiert aber
2
2
dz dt
dt
z dy ) m ]
-) m ]² + [ 8 ( v da
] + [ S ( dr2
z'dy'`
z'dx' · x'dz'
2
z
d
m
=
dt
dt
[ S (ady y'da ) ] + [ S ( de
dt
af de') m] + [ S ( dead
) m]
dx
dt
[s
[S(a dyd
)
—
'x'dy' x
2
- x dz
und hieraus schliesst man, dass die Funktion
2
2
m
dt
dt
dt
[S (ady 7 yds) m ]² + [ S (edzade) » ]² + [ S (yde 77 z dy) . ]"
-
immer einen Wert besitzt, der von der Projectionsebene und der Lage der
Coordinatenaxen x, y, z im Raume unabhängig ist, vorausgesetzt, dass diese
Coordinaten unter sich rechtwinklig sind.
11. Die Ausdrücke von A, B, C in A' , B', C' , die wir soeben gefunden haben , sind denen von x, y, z in x ', y' , z ' des Art. 9 des vorigen
= B'; '
Abschnitts ähnlich ; wenn man folglich ' A' ; y'C' setzt , so
hat man A = x ; B = y ; C = z und umgekehrt , wenn x = A; y = B;
z = C ist, so folgt A' = x' ; B' = y
' ; C' = z ' , d. h . A, B, C und A' , B', C'
werden zwei Coordinatensysteme sein , welche zu demselben Punkte gehören ,
und deren erstes sich auf die Axen der x, y, z und deren zweites sich auf
die Axen der x' , y , z bezieht.
Man sieht daraus sogleich , dass man A' = 0 ; B' = 0 machen kann,
wenn man die Axe der C ' oder ' durch den Punkt gehen lässt , zu dem
die Coordinaten A , B, C gehören , dann hat aber die Coordinate C' ihren
2
grössten Wert √² + B² + C², und es ist in diesem Falle
A=
C' ; B = ' C' ; C = y″ C' ,
wobei , wie leicht zu ersehen , die Coefficienten 7 , 7 , 7" nichts anderes
als die Cosinus der Winkel sind , welche die Linie C' mit den Axen der
A, B, C bildet. Die Lösung der Gleichungen.
'x'dy' — y'dx'
S
dt
$(
²
'z'dx'x'de'
S
dt
-
m = C' ,
m == 0,
S ( v'de
' dt ' dy) m =0
220
Abschn. III, § 2. Flächenprinzip .
giebt diejenige der Gleichungen
S
xdy - y dx
|m = y" C' ,
dt
S
zdx - xdz
m == ' C' ,
dt
m = " C",
S (ydeady)
dt
worin 7, 7'
drei Constanten bedeuten , die so beschaffen sind , dass
72 + 2 +y2 = 1 , von denen also zwei willkürlich sind.
Die zur Axe der C' senkrechte Ebene wird von Laplace, wenn C ' ein
Maximum ist, die invariable Ebene genannt, Existenz und Lage derselben
ist auch von diesem Forscher zuerst nachgewiesen.
Die Lage derselben ist leicht durch die Gleichungen
A = 7C' ; B = 7'C' ; C = 7" C"
zu bestimmen ; beachtet man nämlich, dass die Grössen y , y', y' die Cosinus
der Winkel sind, welche die Axe der C' oder ' , die senkrecht zur invariablen
Ebene ist, mit den Axen der x , y, z des Systems bildet, und nennt man
diese Winkel , m, n , so hat man, da C':= A2 + B2 + C2 ist
B
A
C
Cosm
A² + B² + C²
16
cos/ =
Cos n
√A³ + B² + C²
√A² + B² + C²
12. Wenn das System frei ist, d . h. wenn es keinen Punkt des Systems
giebt, der fest bleiben soll , so kann man den als fest angenommenen
Ursprung der Coordinaten x, y , z überall annehmen , wo man will. Die
Eigenschaften der Flächen und Momente , die wir soeben entwickelt haben,
werden dann in Bezug auf irgend einen festen Punkt bestehen , der nach
Belieben im Raume angenommen wird.
Aber nach dem , was wir im Art. 6 gefunden haben , bleibt die allgemeine Gleichung auch in Bezug auf den Schwerpunkt des Systems bestehen,
mag derselbe fest sein oder nicht. In der Tat findet man, wenn man nun in
den drei Gleichungen des Art. 7 für x, y , z die Grössen (x′ + §), y' + n),
(≈' + ) setzt, und wie im Art. 3 die Coordinaten x', y', z' auf den Schwerpunkt des Systems bezieht, unter Berücksichtigung der drei Gleichungen des
letzten Artikels folgende transformierten Gleichungen
S
Ed²n — nd²5
+ Y - rX ]m = 0 ,
nx)
dt2
'' d -- Ed²
S (<d²5dt2
m = 0,
- ( 2) m
- ? d³n + nZ — < x ) m = 0,
S (nd³?dt2
Abschn. III, § 2. Flächenprinzip in Bezug auf den Schwerpunkt.
221
und diese sind, wie man sieht , denen des Art. 7 ähnlich und unterscheiden
sich von jenen nur dadurch , dass an die Stelle der Coordinaten x, y , z,
welche von einem festen Punkte ausgehen , die Coordinaten έ , n , 5 , deren
Ursprung der Schwerpunkt des Systems ist , gesetzt sind.
Wenn also die beschleunigenden Kräfte Null sind, so hat man die Integrale
S (5dn — ndë
dt
m= C
',
ζας - ξας
dt
m = B,
S
s
-(dn ) m = A,
S(nd
dt
über welche man ähnliche Betrachtungen wie die, welche wir über die Gleichungen des Art. 9 gemacht haben , anstellen kann.
13. Wenn einer der Körper des Systems durch irgend ein Hindernis
festgehalten ist , so hat man , falls man den Coordinateuursprung in diesen
Körper legt, den Fall des Art. 7. Wenn aber zwei Körper des Systems fest
sind , so wird man die Linie , welche durch diese beiden Körper geht , als
eine feste Axe ansehen können , um welche das System sich frei drehen
kann, nimmt man diese Axe als zAxe an , so folgt nach demselben Artikel
einfach
dr
- yop; dy =
= xô
wo op die elementare Rotation um diese Axe ist , und unbestimmt bleiben
muss. Man hat also nur die einzige auf die Variable ? sich beziehende
Gleichung
S ( 20 - yd
+ xY - yX) m = 0,
und wenn das Moment xY - yX der äusseren Kräfte in Bezug auf die
Rotationsaxe Null ist, ergiebt sich durch Integration , wie im Art. 9 ,
xây
d
(xdy dt yds ) m = C,
welche Gleichung den Flächensatz in Bezug auf die xyEbene, die senkrecht
zur Rotationsaxe ist , und auf welche die durch die Radienvectoren der
Körper beschriebenen Flächen projiciert werden müssen, darstellt.
Wenn drei Körper des Systems fest wären, so wäre die Lage jedes der
anderen Körper im Raume durch seine Entfernungen von diesen drei Körperu
bestimmt, und es würde keine von der Natur des Systems und der Verteilung
der Körper unter sich unabhängige Variationen mehr geben , aus welchen
man allgemeine Gleichungen für die Bewegung eines beliebigen Systems ableiten könnte .
222
§ 3.
Abschn. III, § 3.
Rotation durch Momentankräfte.
Eigenschaften von Rotationen , welche durch momentan wirkende
Kräfte erzeugt werden.
14. Wenn ein System, welches sich frei nach allen Richtungen um einen
festen Punkt drehen kann , irgend welche Impulse erleidet , kann man in
der Gleichung des Art. 14 des vorigen Abschnittes , auch die Ausdrücke
von dx, dy, ôz des Art. 7 anwenden, nachdem man die Antriebskräfte P, Q,
R etc. auf die drei X, Y, Z reduciert hat. Setzt man dann die mit den
Variationen o , ow , dy multiplicierten Glieder einzeln gleich Null, so hat
man die drei Gleichungen
S[m(xỳ ― yx) + xY — yX] = 0,
S [m(zx − x2) + zX − xZ] = 0,
— zY] = 0,
S[m (yż - zy) + yZ für den ersten Augenblick der durch die Impulse X, Y, Z erzeugten Bewegung.
In den Systemen, welche gänzlich frei sind, kann man den festen Punkt
überall im Raume annehmen , wo man will , und die vorigen Gleichungen
werden stets in Bezug auf diesen Punkt gelten .
15. In solchen Systemen kann man auch die Rotationen auf drei Axen
beziehen , welche durch den Schwerpunkt gehen; denn setzt man , wie im
Art. 5
=
охmô
=
Ông
tô , ông mây
tông đã tôi tổng
so liefern die Variationen ox', oy' , de zuerst die drei Gleichungen für die
Bewegung des Schwerpunktes, die wir in demselben Artikel gefunden haben.
Es bleibt dann die Gleichung übrig
S [(mx + X) ô§ + (mý + Y) ôŋ + ( m² + Z) ¿¿] = 0.
der
Bezieht man nun die Rotationen oy, dw, og auf die Coordinatenaxen
, n,
und beachtet nur diese Rotationen , so hat man, wie im Art. 7
DE = % ów - no?; on = Eòp — Cò4 ; 65 = ndy — Edw .
und die drei unbestimmten Variationen oy, dw, op geben folgende drei
Gleichungen
S[m (§ý − ŋx) + ¿ Y —ŋX] = 0,
S [m (¿¿ — Ež) + ¢ X — { Z ] = 0,
S [m (nż — (i) + nZ − ? X] = 0 .
Es ist aber i = a' + §; ÿ = ÿ' + j ; ¿ = ¿' + ¿ ; substituiert man diese
Werte, setzt die Grössen
', y
',
' , welche sich auf den Schwerpunkt be-
Abschn. III, § 3.
Rotation durch Momentankräfte.
223
ziehen, vor das Zeichen S und beachtet, dass nach den Eigenschaften des
Schwerpunktes
Sm = 0 ; Smr = 0 ; S'm ? = 0
ist, so gehen diese drei Gleichungen über in
S[m (EnnE) + EY — ŋX] = 0 ,
X — {Z] = 0 ,
S[m (¿E― Et) + (¢ x
S[m(n? — (n) + 7Z— [ Y] = 0 ,
welche denen des vorigen Artikels völlig ähnlich sind und in welchen die
Coordinaten , n,
ihren Ursprung im Schwerpunkt haben, und die Geschwindigkeiten ,,
sich auch auf den Schwerpunkt beziehen .
Die auf einen festen Punkt bezüglichen Gleichungen bestehen also auch,
wenn das System frei ist in Bezug auf seinen Schwerpunkt.
16. Die Gleichungen, welche wir soeben für die Wirkung der Impulse
im ersten Augenblick gefunden haben , behalten ihre Giltigkeit auch in den
folgenden Augenblicken, wenn keine beschleunigenden Kräfte vorhanden sind,
wenn man also die Glieder, welche von den Impulsen X, Y, Z herrühren ,
als constant ansieht ; denn da x, y, z die Geschwindigkeiten parallel zu den
Axen der x, y, z sind, so hat man dx =xdt; dy = ý dt ; dz = 2dt, und die
Gleichungen des Art. 9 werden
Sm (ỷ — ) = C,
Sm (zi--- x2) = B,
S'm (yż ― zy) = A.
Daraus folgt, wenn man sie mit denen des Art. 14 vergleicht,
C = S (yX - xY),
B = S (xZ - 2X),
= S (zYyZ).
Man hat so die Werte der Constanten A, B, C ausgedrückt durch die ursprüng .
lichen Impulse , die jedem Körper erteilt sind , und man sieht , dass diese
Werte nichts anderes sind als die Summen der Momente dieser Impulse in
Bezug auf die Axen der x, y, z.
Dasselbe gilt für die auf den Schwerpunkt bezüglichen Gleichungen,
wenn man die Gleichungen des Art. 12 mit denen des Art. 15 vergleicht.
17. Wenn man nur die Rotationsbewegungen in Bezug auf die drei
Axen der x, y,
betrachtet und mit 4, w ,
die Geschwindigkeiten dieser
Rotationen bezeichnet , werden die Variationen
x,
y,
z den Geschwindigkeiten , ý , 2, und die Variationen o , do , o zu gleicher Zeit
proportional sein .
den Geschwindigkeiten 4, w,
224
Abschn. III, § 3.
Rotation durch Momentankräfte.
Die Formeln des Art. 7 geben dann
= = ៩យំ
yê ;
=x
− 2 : 2=
x.
Die Werte von x, y , z sind nur die Teile, welche von den drei Rotationen
abhängen ; um die vollständigen Werte der wahren Geschwindigkeiten x, ý, 2
zu erhalten , muss man noch die Teile addieren , welche von der Lage-Veränderung der Körper des Systems gegen einander abhängen und von den
Rotationen unabhängig sind.
Wenn aber das System invariabel ist, was bei allen festen Körpern von
beliebiger Gestalt stattfindet, so sind diese Teile der Geschwindigkeiten gleich
Null und die Werte von x, y, z reducieren sich einfach auf diejenigen , die
wir soeben gegeben haben. Man kann also diese Werte in die vorhergehenden Gleichungen substituieren, setzt man dann die Grössen , w, & vor
das Zeichen S, so hat man für einen festen Körper von beliebiger Gestalt,
indem man noch an die Stelle von m, Dm setzt (Art. 7 voriger Abschnitt) , die
Gleichungen
& S
′ (x² + y²) Dm — & Sxe Dm- & Syz Dm =
— C,
¿ S(x² + 2²) Dm −4Sxy Dm- & Syz Dm =
— B,
= A,
¿ S (y² + z²) Dm — ‹ SxyDm - & Sxz Dm —
aus denen man die Rotationsgeschwindigkeiten
, &,
bestimmen kann,
welche von den Impulsen X, Y, Z erzeugt sind, die an beliebigen Punkten
des Körpers wirkten, und deren Momente in Bezug auf die Axen der x, y, z
die Grössen A, B, C sind.
Da die Rotationsgeschwindigkeiten den unendlich kleinen Winkeln proportional sind , welche zu gleicher Zeit durch die bezüglichen Rotationen
beschrieben werden , so folgt aus dem , was wir im Art. 11 , Abschn. III,
Teil I gezeigt haben, dass die drei Geschwindigkeiten ,,
sich zu einer
einer einzigen Geschwindigkeit
• = √ į ² + ¿² + ¿²
zusammensetzen, mit welcher der Körper sich wirklich um eine augenblickliche Axe dreht, welche mit den Axen der x, y, z die Winkel λ, µ, v bildet,
welche bestimmt sind durch
cosλ =
cos μ ==
ė
COSY = & ·
Die drei vorigen Gleichungen geben also die Lage der Axe, um welche der
Körper sich im ersten Augenblick dreht und die Rotationsgeschwindigkeit
um diese Axe. Man nennt diese Axe die spontane Rotationsaxe.
18. In den folgenden Augenblicken wird der Körper vermöge seiner
Trägheit fortfahren , sich zu drehen , und die drei Gleichungen , welche wir
Abschn. III, § 3.
225
Rotation durch Momentankräfte.
soeben gefunden haben, werden noch ihre Geltung behalten, wenn man die
Glieder, welche die Impulsionskräfte X, Y, Z liefern, als constant ansieht,
wie wir dies im Art. 16 gesehen haben ; aber die Grössen S(x² + y²) Dm,
Sxy Dm etc. werden in Folge der Variation der Coordinaten x, y, z während
der Rotation variabel werden .
Aber eine merkwürdige Folgerung, die man aus diesen Gleichungen zieht,
ist die, dass der Körper in einem beliebigen Augenblicke dieselbe Rotationsbewegung hat, welche er in diesem Augenblicke durch den Impuls derselben
Kräfte erhalten würde, die ihn zuerst in Bewegung gesetzt haben, falls man
diese Kräfte so auf ihn wirken lässt, dass sie dieselben Bewegungen um die
Axen der x, y, z hervorbringen .
Da nun diese Gleichungen nur die allgemeinen Gleichungen des Art. 16
für ein beliebiges System von Körpern , jetzt aber in ihrer Anwendung auf
einen festen Körper von beliebiger Gestalt sind , so folgt daraus , dass,
wenn das System, welches ursprünglich Impulse erhalten hat, später durch
die gegenseitige und fortdauernde Einwirkung seiner einzelnen Teile ein unveränderliches oder festes wird , dieselben Gleichungen noch gelten werden .
Der feste Körper wird also in jedem Augenblick dieselbe Rotationsbewegung
haben, welche er durch jene ursprünglichen Impulse erhalten würde , wenn
sie auf ihn von vornherein als festen Körper gewirkt hätten , und zwar so
gewirkt hätten , dass sie dieselben Momente erzeugen könnten .
Es wird also auch jede Flüssigkeitsmasse , welche ursprünglich durch
beliebige Kräfte in Bewegung gesetzt wurde , dann sich selbst überlassen
und endlich durch die gegenseitige Anziehung ihrer Teile fest geworden ist,
in jedem Augenblick dieselbe Rotationsbewegung haben, welche die ursprünglichen Kräfte ihr erteilt hätten , wenn sie auf dieselbe Weise auf sie als
feste Masse gewirkt hätten.
19. Die drei Gleichungen des Art. 17 geben die Werte der Momente
A, B, C aller ursprünglichen Kräfte , wenn man die augenblickliche Lage
des Körpers und seine drei Rotationsgeschwindigkeiten ,, & in Bezug
auf die festen Axen der x, y, z, oder die zusammengesetzte Geschwindigkeit
um die augenblickliche Axe mit den Winkeln λ, μ ,
welche diese Axe mit
den festen Axen der x, y, z bildet, kennt ; und umgekehrt, hat man diese
Momente , so kann man daraus die Werte der Rotationsgeschwindigkeiten
ableiten.
Man sieht auch aus diesen Gleichungen, dass diese Momente Null sind,
wenn die Geschwindigkeiten Null sind ; umgekehrt ist aber noch nicht klar,
dass wenn die Momente Null sind, auch die Rotationsgeschwindigkeiten Null
sein müssen . Denn setzt man A = 0, B = 0, C = 0, so hat man drei
lineare Gleichungen zwischen , o ,, und es ist erst zu beweisen , dass
diese drei Gleichungen nicht zusammen bestehen können , wenn nicht
↓ = 0, & = 0, & = 0 ist.
Lagrange , Analytische Mechanik,
15
226
Abschn. III, § 3.
Rotation durch Momentankräfte.
Eliminiert man aber zwei dieser Unbekannten, so resultiert eine Gleichung,
welche den Wert der dritten Unbekannten gleich Null oder beliebig gross
ergiebt, aber man bekommt zugleich die Bedingung, dass
S(x² + y²) Dm · S(x² + z²) Dm · S(y² + & ²) Dm = S(x² + y²) Dm · S(xy Dm)²
+S
′(x² + z²) Dm · (Sxz Dm)² + S(y² + z²) Dm · (Syz Dm)²
+ 2SxyDm · Sxz Dm · Syz Dm,
sein muss, und hat zu beweisen, dass es unmöglich ist diese Bedingung zu
erfüllen, was sehr schwer zu sein scheint. Wir werden aber weiter unten
zeigen (Art. 31 ), dass wenn die Momente gleich Null sind , in der Tat auch
jede Rotation verschwindet.
Daraus können wir zuerst schliessen , dass ein System von isolierten
Punkten oder eine flüssige Masse unmöglich einen festen Körper bilden kann,
der eine Rotationsbewegung hat, wenn nicht die ursprünglichen Impulse derartig gewesen sind, dass daraus ein Moment in Bezug auf die Axe resultierte,
um welche der Körper tatsächlich rotiert.
20. Durch die Transformationen des Art. 10 kann man die drei
Gleichungen des Art. 17 in ähnliche Gleichungen verwandeln, in welchen die
Grössen x, y, z, A, B, C durch die analogen Grössen x , y , z, A
' , B' , C
ersetzt sind.
Bezeichnen wir mit ' , ', ' die Rotationsgeschwindigkeiten in Bezug
auf die neuen Axen der x', y' , z' , so hat man auch
dx' = ' dt = (e'w' — y' ') dt,
dy' = y' dt = (x'q' — z' Ÿ') dt,
de' = 2' dt = (y'4' — x' ') dt
und die drei Gleichungen des Art. 10 werden durch diese Substitutionen,
wenn man m in Dm verwandelt
¿' S
'(x²² + y'²) Dm - 4' Sx'z' Dm-
' Sy' z' Dm = C',
w' S(e¹² + x'²) Dm — 4' S'x'y' Dm — ¿' Sy' z' Dm = B' ,
¿' S(y'² + z'²) Dm - ' S'x'y
' Dm- q' S'x' z' Dm = A' ,
in welchen nach demselben Artikel
A'
Aa + Ba' + Ca' ,
B' = Aẞ + Bß ' + Cß" ,
=
C'Ar
+ By' + Cy"
ist.
Diese Gleichungen haben den Vorteil , dass sie über die Lage der Rotationsaxen nichts voraussetzen, da diese Lage nur von den Grössen a, ß, 7, a' etc. ab-
Abschn. III, § 4.
Die Hauptaxen.
227
hängt, und da die Gleichungen linear sind , hindert nichts daran, diesen Axen
eine von Augenblick zu Augenblick verschiedene Lage zu geben und sie
so anzunehmen , dass sie im Innern des Körpers fest und folglich mit
ihm im Raum beweglich sind . Dann werden die Grössen S(x'² + y'²) Dm,
Sx'y' Dm etc. constant werden , aber die Grössen A' , B' , C' freilich variabel
sein , weil die Grössen a , ß , 7 , x' etc. variabel sind. Wir werden in der
Folge directe Mittel angeben, um zu diesen Gleichungen zu gelangen, welche
von grossem Nutzen beim Probleme der Rotation der Körper sind.
21. Wir haben im Art. 16 gesehen , dass die Constanten A, B, C die
Summen der Momente der den Körpern ursprünglich erteilten Impulse
in Bezug auf die Axen der x, y, z ausdrücken. Es ist nun leicht zu beweisen, dass die Grössen a , a' , a" die Cosinus der Winkel darstellen, welche
die Axe der x' mit den Axen der x, y, z bildet, dass die Grössen ß, B', ß"
die Cosinus der Winkel darstellen , welche die y'Axe mit den Axen der
x, y, z bildet , und dass die Grössen Y, Y', '' die Cosinus der Winkel darstellen , welche die Axe der
mit denselben Axen bildet. Nachdem , was
wir im ersten Teil über die Zusammensetzung der Momente (Abschn. III,
Art. 16) gezeigt haben, sind also die drei Grössen A' , B', C' die Momente
derselben Impulse bezogen auf die Axen der x', y' , z' , d . h . auf die
im Körper festen, aber mit ihm im Raume beweglichen Rotationsaxen. Man
wird also • auf diese Axen dieselben Schlüsse anwenden können , welche wir
im Art. 19 gezogen haben .
§ 4.
Eigenschaften der festen Rotationsaxen eines freien Körpers
von beliebiger Gestalt.
22. Die vollständige Lösung des allgemeinen Problems der Rotation
eines festen Körpers von beliebiger Gestalt behalten wir uns noch für ein
besonderes Capitel vor ; hier wollen wir nur den Fall untersuchen , wo die
augenblickliche Rotationsaxe im Raume unbeweglich oder wenigstens immer
parallel mit sich selbst bleibt , falls der Körper eine fortschreitende Bewegung hat, weil dieser Fall sich leicht mit Hilfe der Formeln des vorigen
Paragraphen lösen lässt , und weil er zu schönen Eigenschaften über die
Axen führt, welche man Hauptaxen oder natürliche Rotationsaxen nennt,
Wir nehmen wieder die Fundamentalgleichungen des Art. 17, setzen zur
Abkürzung
1 = Sx² Dm ,
m = Sy² Dm ,
n == S2 Dm ,
f = Syz Dm ,
9 = Sæz Dm ,
h = Sxy Dm
und substituieren für 4,,
ihre Werte
così , Ꮎ cosμ , Ꮎ COSY , WO é die
Rotationsgeschwindigkeit um die augenblickliche Axe ist, welche mit den festen
Axen der x, y, z die Winkel λ, μ , v bildet.
15*
228
Abschn. III, § 4.
Rotation um feste Axen.
Diese Gleichungen werden also, wenn man sie mit ✪ dividiert,
(m + n) così
h cosμg cosy =
(l + n) cosμ
h così ― fcosy =
(l + m ) cosv
g cosλ ―
B
>
C
fcos p =
23. Die sechs Grössen 7 , m , n , f, g, h sind variabel ; durch Differentiation und Substitution der Grössen dt, jdt , zdt für dx , dy, de und Einsetzen der Werte für x, y, z ( Art. 17 ) erhält man
al = 2 (gcosp - h cos v) ė dt,
dm = 2 ( hcosvfcos λ) dt,
=
dn
2( ' cosλgcosp) ėdt,
df = [(mn) così + gcosv - hcosµ] dt,
dg == [(n - 1) cosp + hcosì - fcosvjedt,
dh =·[(7 - m) cosv + fcosµ— gcosì ] ė dt.
Diese sechs Gleichungen , verbunden mit den drei Gleichungen des vorigen
Artikels , enthalten die allgemeine Lösung ; aber wir betrachten hier nur
den Fall, wo die Winkel λ, p , v unveränderlich bleiben, und es handelt sich
daher darum, zu untersuchen, unter welchen Bedingungen diese Unveränderlichkeit wirklich stattfinden kann.
24. Dazu braucht man nur die drei ersten Gleichungen des Art. 22
unter dieser Voraussetzung zu differentiieren und darin die in den 6 anderen
Gleichungen gegebenen Werte der Differentiale dl, dm etc. zu substituieren ,
man hat dann nach Division mit Odt folgende drei Beziehungen
f(cos2v - cos²µ) — gcosì cosμ + hcosì cosv + (m — n) cos μ cosv =
A do
•
3 dt
B đờ
fcosλcosp + g (cos² ) — cos2v)
cos²v) -hcosμ
- cosµ cosy + (n— 1) cos λ cos ›
ė³ dt
-fcosλcosvgcosμ cosv +h (cos μ - cos2λ) + (
m) cosλcosμ-
03 dt
Wenn man diese drei Gleichungen addiert , nachdem man die erste mit
cos , die zweite mit cosp , die dritte mit cosv multipliciert hat, hebt sich links
alles fort, und es bleibt
0=
A cosλ + B cosp + Сcos
A3
dė
dt
Abschn. III, § 4.
Rotation um feste Axen.
229
woraus folgt entweder
dė = 0,
oder
Acosì + Bcosμ + Сcosv = 0.
Wir werden weiter unten (Art. 38) sehen, dass die Grösse
Aỷ + Bi + C&,
welche dasselbe ist wie
(Acos) +Bcosμ + Сcosv) ė
die lebendige Kraft des Körpers ergiebt, und als solche niemals Null sein kann,
solange der Körper in Bewegung ist.
Man muss also allgemein đẻ =
– 0, und folglich die Geschwindigkeit &
als constant annehmen. Die drei obigen Gleichungen reducieren sich also
auf zwei, welche die Verhältnisse von cosλ, cos μ, cosv ergeben, und da
cos²
+ cos³µ + cos³v = 1
ist, so werden diese Verhältnisse zur Bestimmung der drei cosinus genügen.
25. Wir setzen zur Abkürzung
s=
COSY
603 μ.
"
u=
cos
Cos
so werden die drei vorigen Gleichungen , weil dė = 0 ist
f(u² — s²) —gs + hu + (m - n) su = 0,
u²) — hsu + fs + (n - 1) u =0,
g(1u2)
h(s2— m) s = 0.
1) + gsu― fu + (l -
Die letzte ergiebt
u=
-1) + (lm)8
I (s² -—
f- gs
Substituiert man diesen Wert in die erste oder zweite Gleichung oder vielmehr in die Summe beider Gleichungen , nachdem man die eine mit g, die
andere mit f multipliciert hat, um u fortzuschaffen, so hat man
[gh(m − n) + f(g² — h²)] s³
+ [g(l — m) (m — n) + fh (n − 2 1 + m) + g (g² + h² — 2ƒ³)] s³
+ [f(l — m) (m — n) + gh (n − 2 m + 1) + f(f² + h³ — 2g²)]s
+ fh(l ― n) + g (f² — h²) == 0.
Da diese Gleichung vom dritten Grade ist, so hat sie notwendig eine reelle
Wurzel, also bekommt man stets einen Wert von s und einen entsprechenden
von u, und nach diesen beiden kann man die Lage einer invariablen Axe
von gleichförmiger Rotation bestimmen. Da aber diese Bestimmung von den
230
Abschn. III, § 4.
Rotation um feste Axen.
Grössen l, m, n , f, g , h abhängt , welche mit der Zeit variieren , so muss
man noch beweisen, dass die Variabilität dieser Grössen auf den Wert der
Grössen s und u keinen Einfluss hat.
26. Um dazu zu gelangen, nennen wir P, Q, R die Glieder der linken
Seiten der drei Gleichungen des Art. 22 , so werden die Glieder der linken
dR
dP
dQ
"
sein, wobei man sich
Seiten der Gleichungen des Art. 24
ė dt
ė dt
ė dt
für dl, dm etc. ihre Werte substituiert zu denken hat. Es ist aber leicht
zu sehen , dass wenn man diese Substitution wirklich ausführt , man erhält
(R cosμ - Q cosv) ėdt,
=
R cosλ) Ödt,
(P cosv
dQ
AP
dR = (Q cosλP cosp)ėdt.
Aus diesen Gleichungen , in welchen λ , μ ,
und ė constante Grössen
dP dQ dR für
sein sollten , folgt aber leicht , dass wenn die Werte von dt 9 dt
dt
t = 0 oder überhaupt für irgend einen Wert vont Null sind , auch die
d²P d²Q d²R d³P d³Q_d³R
vont
dt? ' d ' dt2: dtз dtз
Werte von
dt3 ' dts etc. bis ins Unendliche, für denselben Wert von t gleich Null werden .
Nach dem Taylor'schen Lehrsatze weiss man nun , dass der Wert einer
dP
von t, wenn t gleich t + t wird, zu gleicher Zeit in
dt
Funktion
d2P
dP
d³P
d'P
t'2+
t'+
1'3 +
+
dt
dt2
dt3
2.3.dt¹
dP
Wenn also für t = 0, dt gleich Null ist, so hat man stets , wie
dP
dQ dR
gross auch
sein mag, dt = 0. Dasselbe gilt für die Werte von dt ?' dt
Es folgt daraus , dass wenn die Gleichungen des Art. 25 , welche nur
dP
dQ
dR
= 0,
= 0 sind , in
= 0,
die Transformationen der Gleichungen
dt
dt
dt
einem gegebenen Augenblicke gelten, sie auch bei der Hypothese, dass die
Grössen s und u constant seien, gelten müssen, welches auch die Zeit t sein
mag. Die Werte dieser Grössen werden folglich von der Veränderlichkeit
der Grössen l, m , n, f, g, h unabhängig sein, so dass es genügt, die Werte
dieser letzten Grössen für irgend eine Lage des Körpers in Bezug auf die
festen Axen der x, y, z zu bestimmen, um diejenigen der Grössen s und u
zu bekommen, welche die Lage der Rotationsaxe bestimmen ; diese muss im
Raume unbeweglich oder , wenn der Körper eine fortschreitende Bewegung
hat, wenigstens immer mit sich selbst parallel bleiben.
übergeht.
Da diese Axe ihrer Natur nach im Innern des Körpers während eines
Augenblickes fest ist, da der Körper sich um sie drehen soll, so folgt daraus,
dass sie immer fest bleiben muss , denn es ist offenbar, dass wenn sie im
Abschn. III, § 4.
Rotation um feste Axen.
231
folgenden Augenblick ihre Lage im Körper veränderte , sie auch notwendig
ihren Platz im Raume verändern würde, was aber gegen unsere Hypothese ist.
27. Hat man die Lage dieser Axe im Raume, so hindert nichts daran ,
anzunehmen, dass sie mit der Ꮳ Achse zusammenfalle, deren Lage beliebig ist.
Man kann also λ
O und folglich cos -= 1 setzen , woraus folgt :
= 0, u == 0. Daraus findet man mit den Gleichungen des Art. 25 g = 0,
h = 0. Diese Axe hat also die Eigenschaft , dass wenn man sie zur Axe
nimmt, die Werte der beiden Integrale Sxy Dm, Sxz Dm (Art . 22) gleich
Null werden.
Wir wollen jetzt in unsern Formeln wirklich g = 0, h = O annehmen
und mit f', l', m' , n' bezeichnen, was aus den Grössen f, l, m, n in diesem
Falle wird. Wir haben einmal s = 0, u = O, also den vorigen Fall ; dann
auch s und u beide gleich unendlich und folglich cosλ = 0 , d. h. λ = 90°,
welche Werte den beiden andern Wurzeln der Gleichung dritten Grades
für s und folglich der Lage der beiden andern Axen entsprechen. Die erste
der Gleichungen in s und u (Art. 25) wird, wenn g und h gleich Null sind,
— s²) + (m'— n') su =: 0,
f' (u² substituiert man für s und u ihre Definitionswerte, so ist
f' (cos³v - cos³µ. ) + (m' — n' ) cosp. cos › = 0) .
Setzt man aber in cos2λ + cos²μ + cos²vy = 1 den cosλ = 0, so hat man
COSY == √1 — cos²µ = sinp ,
somit wird die vorige Gleichung
2f"
tg 2p ==
= m' - n'
welche für den Winkel μ zwei Werte giebt , deren einer den andern um
90° übertrifft.
Hat man die Axe der x in der ersten Rotationsaxe angenommen , so
werden die beiden andern Axen der gleichförmigen Rotation in der yz Ebene
liegen und mit der yAxe die Winkel p. und μ + 90° bilden. Die drei Rotationsaxen sind also unter sich rechtwinklig wie die Coordinatenaxen. Man kanu
daher auch die beiden letzteren Axen als diejenigen der y und z nehmen ,
man hat dann μ0 und folglich f' = 0 , so dass der Wert des Integrals
SxyDm auch gleich Null sein wird .
28. Es existieren hiernach für einen starren Körper, welches auch seine Gestalt und Zusammensetzung sein mag, in Bezug auf jeden beliebigen Punkt
seiner Masse, drei zu einander rechtwinklige Axen , welche sich in diesem
Punkte schneiden und um welche der Körper sich frei und gleichförmig
drehen kann. Diese drei Axen sind bestimmt durch die Bedingungen
Sxy Dm = 0 ; Sxz Dm = 0 ; Syz Dm = 0,
232
Abschn. III , § 4.
Die natürlichen Rotationsaxen.
welche stattfinden sollen , wenn man diese Axen als Axen der Coordinaten
x, y, z nimmt.
Wenn diese Axen durch den Schwerpunkt gehen , so nennt man sie
nach Euler , dem man die Kenntnis derselben verdankt , Hauptaxen ;
man nennt sie auch natürliche Axen der Rotation oder überhaupt
Hauptaxen , ob sie nun durch den Schwerpunkt gehen oder nicht.
29. Setzt man f = 0 , g = 0 , h = 0 , Gleichungen , die für die drei
Hauptaxen gelten, so hat man auch durch die Gleichungen des Art. 23
dl
dt
dm
; dt
0;
dn
dt
0,
woraus man sieht, dass die Beträge der Grössen l, m, n alsdann grösste oder
kleinste sind . . Um über die Maxima und Minima entscheiden zu können ,
d21 d2m
d2n
"
braucht man nur die Werte der Grössen
zu suchen , man
dt2
dt2
dt2
findet, weil
constant ist,
d2l
dt2
d2m
dt2
2 [(n --
2 [(
1) cos²μ — (l - m) cos² v] ė²,
-- m) cos² v — (m n) cos² λ] ė²,
dan
=
dt2 = 2 [ (m — n) cos² ) — (n — 1) cos² µ]ė².
dal
Wenn also l
m > n ist, wird der Wert von
immer negativ, der
dt2
d2n
d2m
von
immer positiv und der von
immer positiv oder negativ sein,
dt2
dt2
folglich wird
stets ein Maximum, n ein Minimum sein, und m wird weder
dal + d2m
immer
das eine noch das andere sein. Man sieht auch , dass
dt²
d²m + d²n
einen negativen und
immer einen positiven Wert haben wird,
dt2
so dass die Grösse (7 + m ) immer ein Maximum und ( m + n) immer eiu
Minimum sein wird.
Die Grössen (7+ m), (l + n) , (m + n), welche die Summen der Produkte
der Masse jedes Moleküls des Körpers in das Quadrat seiner Entfernung von
den drei Axen der x, y, z sind, heissen nach Euler Trägheitsmomente des
Körpers in Bezug auf diese Axen ; sie haben für die Rotationsbewegung die
Bedeutung , die die einfachen Massen für die fortschreitende Bewegung besitzen, da man durch diese Momente die Momente der Impulsionskräfte
dividieren muss , um die Rotationsgeschwindigkeiten um dieselben Axen zu
erhalten .
Durch die Betrachtung der grössten und kleinsten Trägheitsmomente
hat Euler die Hauptaxen gefunden , jetzt bestimmt man diese Axe gewöhnlich durch die drei Bedingungen
Sxy Dm0; Sxz Dm = 0 ; Syz Dm = 0.
Abschn. III, § 4.
Die natürlichen Rotationsaxen.
233
30. Da aus der Analyse des Art. 27 mit Sicherheit folgt, dass die
Gleichung in s (Art. 25) drei reelle Wurzeln hat, so wird es stets leicht
sein , diese Wurzeln zu finden , wenn man diese Gleichung , nachdem man
sie vom zweiten Gliede befreit hat, mit der bekannten Gleichung
x3 - 3r2x
2r3 cosy = 0
vergleicht, deren drei Wurzeln sind
2r cos
3;
-- 2r cos 60° +
3
(60° + 1);
- 2r cos 60°
Man darf also die drei Werte von s , die wir mit s , s ' , s' bezeichnen,
während wir die entsprechenden Beträge von u mit u, u' , u' benennen wollen,
als bekannt ansehen. Bezeichnet man ferner mit λ , X' , " die Winkel,
welche die drei Hauptaxen mit der xAxe, mit p, p' , p" die Winkel, welche
sie mit der y Axe und mit v , v', '' die Winkel , welche sie mit der zAxe
bilden, so folgt durch die Art. 24 und 25 zunächst
1
cos λ =
?
1 + s² + u²
S
cosp. =
1 + s² + u²
И
COS Y =
1 + s² + u²
und hieraus bekommt man die andern Ausdrücke , wenn man die Buchstaben
λ, µ, v, s, u mit einem Strich oder mit zwei Strichen versieht. Die Bestimmung
der Lage der drei Hauptaxen kann also mit Hilfe dieser Formeln in jedem festen
Körper von beliebiger Gestalt, mag derselbe homogen sein oder nicht, leicht
ausgeführt werden, vorausgesetzt, dass man die Werte der Grössen f, g, h,
l, m , n in Bezug auf die festen Axen der x, y, z für eine gegebene Lage
des Körpers kennt.
Substituiert man diese Werte von cosλ , cosp , cosv in die drei Gleichungen des Art. 22, so hat man die Werte der Momente A, B, C, welche
nötig sind, um den Körper mit einer constanten Geschwindigkeit
um eine
im Raume feste Axe zu drehen , deren Lage durch dieselben Winkel λ , µ , v
gegeben ist , und welche zu gleicher Zeit eine der drei Hauptaxen des
Körpers sein wird , falls man für s und u eine der Wurzeln der Gleichung
in s nimmt.
31. Da diese drei Axen immer unter sich senkrecht sind, so wird mau
sie in den Formeln des Art. 20 für die Axen der x' , y' , z' nehmen können .
Man hat also infolge der Eigenschaften dieser Axen
Sx'y
' Dm = 0 ,
Sx'x' Dm = 0,
Sy' ' Dm = 0,
234
Abschn. III, § 4.
Die natürlichen Rotationsaxen.
und wenn man setzt
l' = Sx'² Dm , m' - Sy'² Dm ,
n' = S & ² Dm ,
so werden die drei Gleichungen des angegebenen Artikels folgende einfache
Form annehmen
(m' + n')¿' == A' .
(l' + m ') is':
'
B' ,
(l' + n') ¢' == C',
woraus man sogleich die Rotationsgeschwindigkeiten ' , ', ' um die drei
Hauptaxen erhält.
Hier ist der Ort , den Satz zu beweisen , welchen wir im Art. 19 angegeben haben. Setzt man in der That A = 0, B = 0, C = 0, so ist auch
(Art. 20) A' = 0 , B′ = 0 , C ' = 0 ; die vorigen Gleichungen geben also
= 0, da die Grössen 7 , m , n niemals für einen Körper
= 0,
¿'
0,
mit drei Dimensionen Null sein können. Daraus muss man schliessen , dass
keine Rotationsbewegung stattfinden kann, wenn die ursprünglichen Momente
Null sind.
Wenn von den drei Momenten A', B' , C' zwei gleich Null sind , wie
das bei B' und C' stattfindet, falls die Impulse in der y' Ebene erfolgen,
so werden auch die beiden Rotationsgeschwindigkeiten
', ' gleich Null
sein, und der Körper wird sich um die Hauptaxe der a' mit der Geschwindigkeit
drehen . Man hat nun durch die Formeln des Art. 20
A'² + B'² + C'² — A² + B² + C²
wegen der Bedingungsgleichungen, die zwischen den Grössen a, ß, y, a' etc.
bestehen ; setzt man also B' = 0 , C ' = 0 , so folgt
A' = √A + B + C².
A' ist also constant ; die Geschwindigkeit
Gleichung auch constant sein.
wird demnach vermöge der ersten
32. Aus den Werten von l' , m ', n' lassen sich leicht diejenigen von
l, m, n, f, g, h ableiten , denn die Ausdrücke von x, y, z durch x', y', z'
geben infolge der Bedingungsgleichungen (Art. 10 , Abschn. III , Teil I)
umgekehrt
x' = ax + a'y + x″ 2,
y' = ßx + B'y + ß'z,
Nimmt man nun die Axen der x', y' , z' als Hauptaxen an, so sieht man
aus Art. 21 , dass die Grössen a , a' , a" identisch sind mit cosλ, cosμ , cosv
und dass ähnlich ß , B' , 3" identisch mit cos ' , cosμ' , cosv' und y , y', y″
mit cos " , cosp." , cosv" sind.
Abschn. III, § 5.
Prinzip der lebendigen Kraft.
235
Substituiert man die oben gegebenen Werte dieser Cosinusse (Art. 30),
so hat man
x + sy + uz
x' =
+ s² + u²
y =
x + s'y + uz
9
'1+ s'²2 + u' ?
x + s'y + u ″ z
1 + s" ²+ u'2
Daraus erhält man, wenn man quadriert und integriert, nachdem man noch
mit Dm multipliciert hat , für die transformierten Grössen l, m, n
1'=
1 + s²m + u²n + 2sh + 2ug + 2suf
1 + s² + u²
m '=
7+ s'2m + u'2n + 2s' h + 2u'g + 2s'u'f'
1+ s'² + u'2
n'=
l + s″ 2 m + u " 2n + 2s' hı + 2u' g + 2s" u" f
1 + s'¹² + u''2
Bestimmungen der Hauptaxen verschiedener Körper findet man in den
meisten Werken über Mechanik ; in den Körpern , deren Form symmetrisch
ist, ist die Axe der Figur immer eine der Hauptaxen ; man kann dann die
beiden andern durch die Formel des Art. 27 finden .
§ 5.
Eigenschaften hinsichtlich der lebendigen Kräfte.
33. Wie auch die verschiedenen Körper , welche ein System bilden,
unter einander verteilt oder mit einander verbunden sein mögen , Vorausgesetzt dass diese Verteilung von der Zeit unabhängig ist, d . h. , dass die
Bedingungsgleichungen zwischen den Coordinaten der verschiedenen Körper
die Variable t nicht enthalten , so ist allgemein klar , dass man immer in
der allgemeinen Formel der Dynamik die Variationen x , y , z gleich
setzen darf den Differentialen dx , dy , dz , welche die effectiven durch die
Körper im Augenblick dt durchlaufenen Räume darstellen , während die
Variationen, von denen wir sprechen, die Räume darstellen müssen , welche
die Körper in demselben Augenblick durchlaufen könnten , wenn man auf
ihre Verbindung mit einander Rücksicht nimmt.
Da diese Annahme eine specialisierende ist , kann sie auch nur eine
einzige Gleichung liefern ; da sie aber von der Form des Systems unabhängig ist, so hat sie den Vorteil, eine allgemeine Gleichung für die Bewegung irgend eines Systems zu geben.
Substituiert man also in die allgemeine Formel des Art. 5 (vorig.
Abschn. ) an die Stelle der Variationen dx , dy , de die Differentiale dx, dy,
236
Abschn. III, § 5.
Prinzip der lebendigen Kraft.
dz , folglich auch die Differentiale dp , dq, dr etc. an die Stelle der
Variationen op, oq, ôr etc., welche von ôx, dy, dz abhängen, so erhält man
folgende allgemeine Gleichung , welche für jedes beliebige System von
Körpern gilt,
( dxd²x + dyd²y + dz d²z
+ Pdp + Qdq + Rdr + ... m = 0,
S(dxd²x
dt2
34. In dem Falle, wo die Grösse Pdp + Qdy + Rdr + ... integrabel
ist, was stattfindet, wenn die Kräfte P, Q, R etc. nach festen Centren, oder
nach Körpern desselben Systems gerichtet sind, und zugleich wie Funktionen
der Entfernungen p, q, r etc. variieren, bekommt man, falls
Pdp + Qdq + Rdr +·... - dll
gesetzt wird,
+ dyd³y + dz d²z + dll m = 0,
S ( dxd³x
(ard
dt2
alı) ,
und diese Gleichung giebt integriert
'dx² + dy² + dg²
+ 1]
11 ) m = H,
2dt2
$(
wo Heine beliebige Constante bezeichnet , die . gleich dem Werte des
linksstehenden Teiles der Gleichung für einen gegebenen Augenblick ist. Diese
letzte Gleichung enthält das Prinzip von der Erhaltung der lebendigen
Kräfte . Da in der That dx² + dy² + dz² das Quadrat der Strecke ist, den
dx² + dy² + dz² das
einer der Körper im Augenblick dt durchläuft, so wird
dt2
dx² + dy² + dz²
m die lebendige Kraft
Quadrat der Geschwindigkeit und
dt2
'dx² + dy² + dz2\
S
m giebt also die
des betreffenden Körpers sein.
dt2
Summe der lebendigen Kräfte aller Körper oder die lebendige Kraft des
ganzen Systems , und man sieht aus der genannten Gleichung , dass diese
lebendige Kraft gleich der Grösse (2H - 2SПm) ist, welche einfach von
den beschleunigenden Kräften abhängt , die auf die Körper wirken , nicht
aber von deren gegenseitigen Verbindungen, es ist also in diesem Fall die
lebendige Kraft des Systems in jedem Augenblick dieselbe , welche die
Körper erhalten haben würden, wenn sie, durch dieselben Kräfte angetrieben,
sich jeder frei auf der Linie , welche er beschrieben hat , bewegt hätten .
Von dieser Eigenschaft der Bewegung rührt die Bezeichnung "Erhaltung“ der
lebendigen Kräfte her.
35. Dieses Prinzip findet auch statt , wenn man die Bewegungen der
Körper auf ihren Schwerpunkt bezieht ; denn nennt man wie oben (Art. 3)
x', y' , ' die drei Coordinaten des Schwerpunktes und setzt x = x² + § ;
Abschn. III, § 5.
Prinzip der lebendigen Kraft.
237
y = y' + 1 , z = ' + , so werden die Coordinaten ,,
ihren Ursprung
in dem Schwerpunkt haben . Man bekommt dann zunächst
dx2 + dy 2 + dz %
(dx² + dy² + dz²
m =
•Sm
2d12
2dt2
dy S dn
αζ
dx'
dz'
αξ
de² + dŋ² + d¿²
m.
+ dt S dt m + dt 8 dt m + dt S dt m + S
2d12
Nach den dem Schwerpunkt zukommenden Eigenschaften wird aber
αξ
S
m = 0,
din
m == 0,
=
S dt m = 0 , Sdr
dt
dt
somit
'dx² + dy² + dz2
dx² + dy'² + dz² S'm + S (d² ² + dn² + dr²²
m ..
m)=
2dt2
2dt2
2dt2
$(
Differentiiert man diese Gleichung und subtrahiert sie von der des Art. 33 ,
so hat man
´d§ d² § + dŋ d²ŋ + d ? d²C`
dx'd²x' + dy'd²y' + dz'd²z'
m.
Sm + S (dë
(
d³½
dt2
dt2
).
+ S (Pdp + Qdq + Rdr + ... ) m = 0
An die Stelle von Pdp + Q dq + Rdr + ·· setzen wir die gleiche
Grösse Xdx + Ydy + Zdz , ferner substituieren wir für dx , dy, de ihre
Werte dx' + ds , dy' + dŋ, de' + d ; indem wir dann noch die Differentialgleichungen des Art 3 berücksichtigen , verwandelt sich die obige Gleichung in
S
'de d² + dn d²n + de d²? `
m + S (Xd; + Ydŋ + Zd½) m = 0).
dt2
Diese Formel ist aber derjenigen des Art. 33 analog , hier ist jedoch
die Grösse Xd + Ydŋ + Zdě nur in dem Falle integrabel, wenn die Kräfte
nach den Körpern des Systems selbst hin gerichtet und ausserdem
Funktionen der Entfernungen proportional sind . Findet das statt , so hat
man durch Integration
' (d²² + dn² + d²²
S
2dt 2
+1) m
m == H,
$(
welche Gleichung die Erhaltung der lebendigen Kräfte in Bezug auf den
Schwerpunkt enthält.
36. Uebrigens sind die Verhältnisse beim Prinzip der lebendigen Kräfte
nicht analog denen , die wir bei dem Prinzip des Schwerpunktes und dem
der Flächen gefunden haben ; diese Prinzipe gelten , welches auch die
Wirkung sei, welche die Körper auf einander ausüben, sie bestehen , selbst
238
Abschn. III , § 5. Lebendige Kraft bei Momentankräften .
wenn die Körper auf einander stossen , weil alle inneren Kräfte aus den
Gleichungen verschwinden, welche diese beiden Prinzipe aussprechen .
Die Gleichung von der Erhaltung der lebendigen Kräfte enthält alle
Glieder, sowohl die von den äusseren, als die von den inneren Kräften herrührenden , und sie ist nur von der directen Wirkung der Körper auf einander unabhängig, also von der, die durch deren Verbindungen mit einander verursacht wird. Es hat aber das Prinzip auch Giltigkeit bei der Bewegung nicht elastischer Flüssigkeiten, sobald diese eine continuirliche Masse
bilden und sobald kein Zusammenstoss ihrer Teile stattfindet. Wenn die Grösse
der lebendigen Kräfte nach dem Stosse elastischer Körper dieselbe ist, wie vor
dem Stosse , so nimmt man an , dass auch die Körper nach dem Stosse in
den Zustand, den sie vor dem Stosse hatten, zurückgekehrt sind ; die Glieder
SPdp in dem Ausdrucke für Il , welche von den aus der Spannkraft der
Körper sich ergebenden Kräften P herrühren , und deren Wert am grössten
ist, wenn die Zusammenpressung auf das höchste gestiegen ist , sollen also
während der Wiederherstellung des ursprünglichen Zustandes gleichmässig
abnehmen und am Ende des Stosses wieder gleich Null werden . Nur unter
dieser Annahme kann auch beim Stoss elastischer Körper die Erhaltung der
Kräfte stattfinden .
In jedem andern Falle wird die lebendige Kraft , wenn plötzliche Veränderungen in den Geschwindigkeiten einzelner Körper des Systems stattfinden, um die Grösse der lebendigen Kräfte verändert, welche von den beschleunigenden Kräften, die diese Veränderungen hervorbrachten, entstehen
können , und diese Grösse kann immer durch die Summe der Massen,
multipliciert mit den Quadraten der Geschwindigkeiten, welche diese Massen
verloren haben oder bei den plötzlichen Veränderungen der reellen Geschwindigkeiten der Körper als verloren gehalten werden, gemessen werden .
Dies ist das Theorem , welches Carnot für den Stoss harter Körper gefunden hat.
37.
Man kann auch in der Gleichung des Art. 11 des vorigen Ab-
schnittes annehmen , dass die Variationen òx , dy, dz proportional den Geschwindigkeiten x , y, z sind , welche die Körper durch Impulse erhalten.
Man wird dann folgende Gleichung haben
S [m (x² + y² + ¿²) + X❀ + Yÿ + Zż] = 0,
in welcher der Teil Sm( 2 +
2 + 22) die lebendige Kraft des Systems
Combiniert man diese Gleichung mit den drei Gleichungen des
Art. 14 , so erhält man eine Eigenschaft der Maxima und Minima in Bezug
auf die Linie, um welche das System sich im ersten Augenblick dreht, wenn
darstellt.
es irgend einen Anstoss erhalten hat , welche Linie man auch spontane
Rotationsaxe nennen kann.
Wenn man a, ß, 7 die Teile der Geschwindigkeiten x, y, z nennt, welche
von der respectiven Lageveränderung der Körper des Systems herrühren,
Abschn. III, § 5. Leb . Kraft bei Rotation um spontane Axen.
239
und wenn man diese Geschwindigkeiten zu denen addiert, welche sich aus
Rotationen (Art. 17) ergeben , so hat man die vollständigen Werte von
x, y, z, ausgedrückt durch
¿ = zử — y¢ + a ; y = x¢ — z↓ + ß ;
2 = y& -
Differenziert man diese Werte so, dass man & ,, & allein als variabel ansieht, und symbolisiert man diese Differentiale mit o, so resultiert
Əx = z đỏ = xə¢ — zðŸ ; əż =
уду — xə‹ .
dx
— yə¿ ; dÿ −
— yəè̟
Multipliciert man die drei Gleichungen des Art. 14 resp. mit di, dw, o
und addiert sie , setzt ferner die Differentiale de , do , d , welche für alle
Körper dieselben sind unter das Zeichen S, so erhält man durch Substitution
der vorhergehenden Werte
S[m(xôï + ÿðÿ + 2 ©2) + Xôx + Yəÿ + Zôż] = 0.
Aber die oben gefundene Gleichung der lebendigen Kraft giebt, wenn
man sie der durch
charakterisierten Operation unterwirft,
S[2m (¿ ôx + ÿðý + žôż) + Xôž + Yôý + Zəż] = 0,
Durch Vergleichung beider Gleichungen folgt also
Sm ( đôi + gội + * 02) = 0,
folglich
d . Sm (x² + y² + 2²) = 0.
Daraus ersieht man, dass die lebendige Kraft, welche das System durch
den Anstoss erhält , immer ein Maximum oder ein Minimum in Bezug auf
die um drei Axen stattfindenden Rotationen ist, und da diese drei Rotationen
sich zu einer einzigen Rotation um die spontane Axe zusammensetzen lassen ,
so folgt daraus , dass die Lage dieser Axe immer so beschaffen ist, dass die
lebendige Kraft des ganzen Systems in Bezug auf dieselbe Axe am kleinsten
oder am grössten ist.
Euler hatte diese Eigenschaft der spontanen Rotationsaxe für feste
Körper beliebiger Gestalt bewiesen ; aus der vorigen Analyse sieht man, dass
sie eine allgemeine Eigenschaft für jedes System von Körpern ist , ob diese
unter sich auf eine invariable Weise verbunden sind oder nicht, wenn diese
Körper irgend welche Impulse erhalten.
38. Wenn das System einen festen Körper bildet , der sich frei um
einen Punkt drehen kann , und welcher durch keine beschleunigende Kraft
angegriffen wird , so kann man aus der Combinierung der Gleichung der
lebendigen Kräfte mit der der Flächen eine durch ihre Einfachheit bemerkenswerte Relation , die , soviel ich weiss , bisher noch nicht angegeben
ist, zwischen den Rotationsgeschwindigkeiten ,,
in Bezug auf drei feste
Coordinatenaxen x, y, 2 ableiten.
240
Abschn. III, § 5. Leb. Kraft bei Rotation um spontane Axen.
In diesem Falle hat man nämlich einfach (Art. 17)
dx = xdt = (zó — yė) dt,
dy = ÿdt = (x4 — zį) dt,
de = 2dt = (y - xw ) dt.
Addiert man die drei letzten Gleichungen des Art. 9 , nachdem man
sie bezüglich mit & ,,
multipliciert hat, setzt diese Grössen unter das
dx dy dz
an die Stelle ihrer Werte, so hat man
Zeichen S und substituiert
dt' dt' dt
(dx² + dy² + dz²
m = Aỳ + Bi + C&;
dt2
S (do²
dz²) m
die Gleichung des Art. 34 giebt aber, wenn wie in diesem Falle II = 0 ist,
´dx² + dy² + dz2\
m = H.
2dt2
$(
Man hat also
Aỳ + Bw + C& =
: 2H,
wo A, B, C die ursprünglichen Elemente der Impulsion sind und H eine
beliebige Constante bedeutet , die notwendig positiv sein muss. Wenn man
in diese Gleichung für A, B, C die Ausdrücke des Art. 11 7C', ' C', ' C'
oder C'cos , C' cosm, C'cosn und für 4,,
die in Art. 17 angegebenen
Werte è cosλ, 8
Ꮎ cos μ,
cosv setzt, so hat man
2H
cosm cosμ + cosn cosv)
(cos/ così
C'
=(
In dieser Formel sind l, m, n die Winkel , welche die zur invariablen
Ebene senkrechte Axe mit den festen Axen der x, y , z bildet und λ , p , Y
sind die Winkel, welche die Augenblicksaxe der zusammengesetzten Rotation,
deren Geschwindigkeit
ist, mit denselben Axen bildet. Nennt man
den
Winkel, den die momentane Rotationsaxe mit der auf der invariablen Ebene
senkrechten Axe bildet, so hat man durch eine bekannte Formel
cosa
cos / cosλ + cos m cosp
. + cosn cosv
und folglich
2H
Ó cosσ =
C'
2H
eine Constante ist, welche vom Anfangszustand abhängt ;
C
man erhält so eine von der Figur des Körpers unabhängige Beziehung
zwischen der tatsächlichen Rotationsgeschwindigkeit in jedem Augenblick
und der Lage der Rotationsaxe in Bezug auf die invariable Ebene.
wo die Grösse
Legt man übrigens die Ebene der xy so , dass sie durch den Mittelpunkt des Körpers und durch die gerade Linie geht, in deren Richtung der
241
Abschn. III, § 6. Prinzip der kleinsten Wirkung.
Impuls gegeben wird , so werden die Constanten A und B gleich Null
(Art. 16) und die allgemeine oben gefundene Gleichung reduciert sich auf
C& = 2H.
Daraus sieht man, dass die Rotationsgeschwindigkeit in Bezug auf die
Axe,
das heisst parallel zur Ebene der Impulsion, stets dieselbe bleibt.
§ 6.
Eigenschaften nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung.
39. Wir wollen jetzt das vierte Prinzip, dasjenige der kleinsten Wirkung,
betrachten .
Nennt man u die Geschwindigkeit jedes Körpers m des Systems , so
hat man
u² = dx² + dy³ + dz²
dt2
und die Gleichung der lebendigen Kräfte (Art. 34) wird
Sm
(1 + 0) - H.
S = (227
Differentiiert man dieselbe gemäss der durch das Symbol
angedeuteten
Operation, so erhält man
Sm (uòu + ôП ) = 0.
Da nun П eine Funktion von p, q, r, ... ist, so hat man
ΕΠ = Pop + Qôg + Rôr + ... ,
oll
also ist
Sm (Pôp + Qoq + Rôr + ...) = - Smusu,
und diese Gleichung findet immer statt , wenn Pdp + Qdq + Rdr +
eine integrable Grösse ist , und die Verbindung der Körper von der Zeit
nicht abhängt ; sie hört auf wahr zu sein , wenn eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist.
Substituiert man jetzt den in Obigem gefundenen Ausdruck für das
Moment der Kraft in die allgemeine Formel der Dynamik (Art . 5, Abschn. II),
so wird dieselbe
d2x
d2y
d2z
6x +
by +
S'm(a
dt2
dt2
- usu
su ) = 0.
Nun ist:
d²x ôx ta
+ d²zde = d(dx ôx + dy by + dz dz) — dx dox - dy doy - dz doz.
+ d²yoy ta
đôi
Weil aber die Zeichen d und
die von einander gänzlich unabhängigen
Differentiale bezüglich Variationen darstellen, können die Grössen dòx, dòy,
Lagrange , Analytische Mechanik.
16
242
Abschn. III, § 6.
Prinzip der kleinsten Wirkung.
doz nicht verschieden sein von den Grössen idx, ôdy, ôdz.
ausserdem
1
dxôdx + dy ôdy + deôde =
— — ô (dx² + dy² + dz²) ,
Und da
ist, so hat man hiernach
1
d³xôx + d³yòy + d²z òz = d (dxòx + dyòy + dzòz) — —2 û (dx² + dy² + de²).
Ist ferner s der von dem Körper m in der Zeit t durchlaufene Raum oder
Bogen, so ist
ds
ds = V dx² + dy² + dz² und dt =-9
и
also wird
+ dyoy
+ dz òz)
đểxôn từgây + dzôz = d(dxox
d (côn tay
ông tảo
ôn ) — dsds
und daraus
dyb
d2x
y + d2z
62
·8x +
dta
dt2
dt2
u2òds
ds
d(dxdxdyby + dede)
dt2
Die genannte allgemeine Formel geht hiernach über in
u2òds
ds
Sm (d (dxòx + dyôy + deòs)
dt2
uou = 0.
u) =
ds
|
༤
Multipliciert man alle Glieder mit dem constanten Elemente dt =
und bemerkt, dass
(uòds + ds du) = ô (uds)
ist, so folgt
d(dxox + dyoy + dz oz)
Sm [aa
dt
5ô (uds ) | = 0 .
Da das Integralzeichen S keine Beziehung zu den Differentialzeichen d und
hat, so kann man diese vor jenes setzen, der vorigen Gleichung also die
Form geben
dism ( được tuyên + đã ôn )
— ò ( Smuds
)=
= 0.
dt
ds)
Integrieren wir in Bezug auf das Differentialzeichen d und bezeichnen
so haben wir
(
diese Integration durch das gewöhnliche Integralzeichen S
S (dxôn + dy ông + đôn )
dt
-Så (Smuds) = Const.
Da nun das Zeichen
in dem Ausdruck
ww
.
S
sich nur auf die
So(Smuds)
Abschn. III, § 6.
Prinzip der kleinsten Wirkung.
243
Variabeln u und s beziehen kann , und in keiner Verbindung mit den
Zeichen S und
steht , so ist klar , dass dieser Ausdruck übereinstimmt
mit d
setzt man also noch fest , dass in den Punkten , wo die
8 (Sm (uds);
Integrale Suds anfangen , ôx = 0, ôy = 0 , &z = 0 sein sollen , so muss die
durch
S eingeführte willkürliche Constante Null sein, weil ja dann die linke
Seite der Gleichung in diesen Punkten Null wird. Man hat also in diesem
Falle
ids =
è(SmJuas) =
S(dxox + dyoy + dzôz) m
dt
Nimmt man ferner noch an , dass die Variationen ôx, dy, öz auch gleich
Null seien für die Punkte, wo die Integrale
uds endigen, so wird überhaupt
Suds
das rechts stehende Glied verschwinden, und man hat einfach
(Sm Suds) = 0;
d. h . die Variation der Grösse Smuds wird gleich Null, es wird also die
d. h. die Variation der Grösse Sm Juds
Grösse Smuds ein Maximum oder ein Minimum sein . Daraus ergiebt sich
n Suá
dann folgendes allgemeine Theorem :
„Bei der Bewegung irgend eines Systems von Körpern , welche durch
gegenseitige Anziehungskräfte oder durch Kräfte angegriffen werden , welche
nach festen Centren gerichtet und irgend welchen Funktionen der Entfernungen proportional sind , sind die von den verschiedenen Körpern beschriebenen Curven und die Geschwindigkeiten notwendigerweise so beschaffen,
dass die Summe der Produkte der einzelnen Massen in die zugehörigen
Integrale der mit dem Curvenelement multiplicierten Geschwindigkeit ein
Maximum oder Minimum ist, vorausgesetzt , dass man die ersten und die
letzten Punkte jeder Curve als in ihrer Lage von vornherein vorgeschrieben
ansieht, so dass, wie auch die Curven variieren mögen, die Variationen der
diesen Punkten entsprechenden Coordinaten gleich Null sind . "
Dies ist das Theorem , von dem wir am Ende des ersten Abschnittes
unter dem Namen des Prinzips der kleinsten Wirkung gesprochen haben.
40. Es enthält aber nicht allein eine sehr bemerkenswerte Eigenschaft
der Bewegung der Körper, es kann auch dazu dienen, diese Bewegung selbst
SmS ds ein Maximum oder ein
Suds
Minimum sein muss, so braucht man nur nach der Methode der Variationen
zu bestimmen.
Denn
da
die Grösse
die Bedingungen zu suchen , welche sie dazu machen , und wenn man die
allgemeine Gleichung der Erhaltung der lebendigen Kräfte anwendet , so
wird man stets alle Gleichungen finden , die nötig sind , um die Bewegung
16*
244
Abschn. III, § 6. Prinzip der kleinsten Wirkung.
jedes Körpers zu bestimmen. In der Tat muss bei dem Maximum und Minimum
die Variation der betreffenden Grösse Null sein , und folglich hat man
schon die Gleichung & Smuds ) = 0 und nunmehr sind alle Schlüsse, die
Gleichung & (SmSuds) =
uns zu dieser Gleichung geführt haben, in umgekehrter Folge durchzumachen,
um zu der allgemeinen Formel zurück zu gelangen , von welcher wir ausgegangen sind.
Um diese Methode klarer zu machen , wollen wir sie hier mit wenigen
Worten auseinandersetzen.
Die Bedingung des Maximums oder Minimums
- 0; lässt man das Zeichen & unter die
giebt, im allgemeinen, & (S'mSuds) =
treten, (was nach der Natur dieser verschiedenen Zeichen
Zeichen S und
S
offenbar erlaubt ist), so hat man die Gleichung
=0
Sm Jo(uds)
oder besser, indem man die durch & gekennzeichnete Differentiation ausführt,
Sm (dsou + uods) = 0.
S'm Jason +
Ich betrachte zuerst den Teil Smdsôu ; setzt man für ds seinen Wert
Sasou ;
udt, so wird daraus S'm Jududt, oder indem man die Ordnung der Zeichen
S und
welche von einander völlig unabhängig sind, umkehrt, dt Smudu.
Sat
Nun giebt die allgemeine Gleichung des Prinzips der lebendigen Kräfte
(Art. 34)
Smu² - 2H - 2S(mП ).
Es war aber
all = Pdp + Qdq + Rdr + ···
Differentiiert man also die vorstehende Gleichung gemäss der Operation 6,
so hat man
Smudu = - Small = - Sm (Pôp + Qôg + Ròr + ·· ·),
denn da II als eine analytische Funktion von p, q, r etc. angenommen war,
bedeutet das Differential П dasselbe wie dll , indem man einfach d in o
verwandelt.
õu erhält hiernach folgende Form
Die Grösse Sm
Sasdsou
dt Sm(Pôp + Qôq + Ròr + ···).
-Sa
Nun betrachte ich den zweiten Teil Sm uods und substituiere darin
Sud
für ds seinen Werth , ausgedrückt durch rechtwinklige Coordinaten oder
andere Variabele. Bei rechtwinkligen Coordinaten hat man
ds = √
/dx² + dy² + de²,
Abschn. III, § 6.
245
Prinzip der kleinsten Wirkung.
und durch Differentiation nach d
& ds:=
dxodx + dyddy + dzôdz
ds
oder besser, indem man d und umsetzt, also do für dd schreibt, was wegen
der Unabhängigkeit dieser Zeichen von einander stets erlaubt ist,
&ds
dxdox + dydoy + dedòz
ds
Substituiert man diesen Wert und setzt dt an die Stelle von
ds
И
so hat man
= dxdox + dy doy + dz dôz
Swe
ds
Suod - Sardia + dyd
Differentiale der Variationen
S
Sx, dy , dz befinden , so muss man sie nach den Prinzipien der Variationsrechnung durch partielle Integration verschwinden lassen . Man wird also
đặt đồn
in die folgende ihr gleiche Grösse transzum Beispiel die Grösse
dt
formieren
dx
δι
dt &x -Sazd(di
di
).
Da sich hier unter dem Integralzeichen
Nimmt man aber an, dass Anfang und Ende der Curve fest gegeben sind,
so dass die Coordinaten , welche zu dem Anfang und Ende des Integrals
gehören, nicht variieren, so hat man einfach
dồx
dx
dt)
dt
Sardax--Sand
(de
Ebenso findet man
dyddy =dt
dt
-Seyd (dy).
de doz
==
d
dt
Söza (de).
Man erhält also
dz
öz d
δκα
dt + be a (da)
dt ] .
dt + byd (dy)
Surās = -S [txa ( de)
Subds
Die Grösse S'm Suòds wird dann
umsetzt und dt als constant ansieht,
, wenn man die Zeichen Sund
dz
dy
- dt
öz d
a
dt
-Sat S'm [ ånd (da) + byd (dv ) + às
S
246
Abschn. III, § 6.
Prinzip der kleinsten Wirkung.
Die Bedingungsgleichung für das Maximum oder Minimum geht also über in
Sat S'm [ P&p + Qôq + Rör +
...
Nun soll
dz
dy
+ dxd
= 0.
-Bed (da ) + byd (dt2
dv) + bed (dt2
da )] =
diese Gleichung allgemein für alle möglichen Variationen
gelten, daher muss die Grösse unter dem Zeichen
gleich Null sein .
in jedem Augenblick
S
Man erhält also folgende unbestimmte Gleichung
dx
dz
dy
...
Sm [ Pèp + Qôq+ Ròr +··· + &ed ( dt2
de) + òyd ( de ) + ied ( de )]= 0.
Das ist aber die allgemeine Formel der Dynamik (Art. 5 , Abschn. II)
und folglich giebt unsere Gleichung wie jene alle Gleichungen , welche für
die Lösung des Problems notwendig sind.
41. An Stelle der Coordinaten x , y , z kann man auch beliebige
andere unbestimmte Grössen anwenden und alles kommt darauf hinaus, das
Bogenelement ds als Funktion dieser unbestimmten Grössen auszudrücken.
Nimmt man z. B. den Radius oder die geradlinige Entfernung vom Coordinatenursprung, welche man mit p bezeichnet, als eine Coordinate und zwei
Winkel, von denen der eine & die Neigung dieses Radius gegen die xy Ebene
der Winkel der Projection desselben Radius auf diese
und der andere
xyEbene mit der Axe ist, so hat man
2 == p sin ; y = p cosy siny ; x = p cosy cosy ,
und daraus findet man
ds2 = dx² + dy² + dz² = dp² + p² (d¥ ² + cos²↓ dy²),
welchen Ausdruck man auch direct durch geometrische Betrachtungen finden
könnte . Die Differentiation nach ergiebt nun nach Umsetzung von und d
ds ôds = do dop
+ p(dy² + cos²4 dp²) ôp + p² (d¥ doy — siny cosy do
dç²ô4 + cos² dọ đôç) ;
ds
И und integriert, so folgt daraus
-=
dividiert man mit dt
uò ds =
S dp dôp + p (dy²dt+ cos³ydp³) õp
Suòds
"p² (dy doy — sin
+
Sp² (d4dô
·
cosy do2oy + cos² dy dop)
dt
Man kann nun die Doppelzeichen do unter dem Integral durch partielle
Integration zum Verschwinden bringen. Indem man dann die Glieder,
welche
Variationen ausserhalb
des Zeichens
enthalten , fortlässt , weil
diese Variationen , die sich dann auf die Enden des Integrals beziehen
Abschn. III, § 6.
247
Prinzip der kleinsten Wirkung.
müssen , durch die Voraussetzung , dass die ersten und letzten Punkte der
durch die Körper beschriebenen Curven fest gegeben und unveränderlich
seien, gleich Null werden, erhält man folgende transformierte Gleichung
du
Suòds=--Sauis
Suids
=d
δρ
dt
{ [a (dp) — p dip² + coa²14
- S
dp¹³] 8p
2
+ [ p² sin cos 4d4² + d ( 1244 ) ] 64 + d
dt
- d ( p2dy
dt ) ] 34 + d (cnatud?) 67} .
Die Gleichung des Maximums und Minimums wird also
Pop + Qoq + Ròr + ··
Sat Sm {pipcos²
y
cos de
0134 dp³] &p + [ psin dt2
dpa2) - p d42 + dt2
+ [a( dt
+ d (Pd
dt2 ) ] 84
+- d (costędy)
2
bp
0.
=0
Setzt man die Grösse unter dem Zeichen
gleich Null , so hat man
S
eine unbestimmte Gleichung , analog derjenigen des vorigen Artikels , die
aber an Stelle der Variationen dx, dy, de die Grössen op, op, o enthalten,
und man kann daraus die Gleichungen entnehmen , welche für die Lösung
des Problems nötig sind, indem man zuerst alle Variationen auf die kleinstmögliche Zahl bringt und alsdann Gleichungen dadurch bildet, dass man
für jede der übrig gebliebenen Variationen die mit ihr behafteten Glieder zusammen gleich Null setzt. Wendet man andere unbestimmte Grössen an,
so hat man wieder andere Formeln , man kann aber sicher sein , dass man
in jedem Falle stets die einfachsten Formeln bekommt, welche die Natur der
gewählten unbestimmten Grössen mit sich bringen kann. Für Weiteres sehe
man Band II der Mémoires de l'Académie de Turin, woselbst diese Methode
auf verschiedene Probleme der Mechanik angewendet ist und zu deren
Lösung geführt hat.
42. Da ds = uât ist , so kann man übrigens auch die Grösse Sm Juds,
welche ein Maximum oder ein Minimum ist, auf die Form bringen
dt
S'mSu'at
Sw² oder auf die Form Sat Smu², in welcher Smu? die lebendige Kraft
des Systems in einem beliebigen Augenblicke darstellt. Das Prinzip , von dem
wir reden , reduciert sich hiernach eigentlich darauf, dass die Summe der
momentanen lebendigen Kräfte aller Körper, von dem Moment an , wo diese
248
Abschn. III , § 6.
Prinzip der kleinsten Wirkung.
von gegebenen Punkten ausgehen , bis zu dem Moment , wo dieselben an
andern gegebenen Punkten ankommen, ein Maximum oder ein Minimum sei.
Man könnte es daher mit mehr Grund das Prinzip der grössten oder kleinsten
lebendigen Kraft nennen ; und diese Art, das Prinzip zu kennzeichnen, würde
noch den Vorteil haben, diesem Prinzip eine allgemeinere Bedeutung zu geben,
da es dann sowohl für die Bewegung als für das Gleichgewicht gelten würde ;
in der Tat haben wir im Abschn. III , Teil I , Art. 22 gesehen , dass die
lebendige Kraft eines Systems in der Gleichgewichtslage immer am grössten
oder kleinsten ist.
Abschnitt IV.
Differentialgleichungen für die Lösung aller Probleme
der Dynamik.
1. Die Formel , auf welche wir in Abschn. II die ganze Theorie der
Dynamik zurückgeführt haben , braucht nur entwickelt zu werden, um alle
Gleichungen zu ergeben , die für die Lösung irgend eines Problems dieser
Wissenschaft nötig sind; aber diese Entwicklung, welche lediglich Rechnungssache ist , kann noch in mehreren Hinsichten durch die Mittel, welche wir
in diesem Abschnitt anwenden wollen, vereinfacht werden .
Da alles darauf hinauskommt, die verschiedenen Variabeln , welche in
die besagte Formel eintreten , vermöge der Bedingungsgleichungen , welche
durch die Natur jedes Problems gegeben sind, auf die kleinstmögliche Zahl
zu bringen, so ist eine der Hauptoperationen, die wir auszuführen haben, die,
an die Stelle der gegebenen Variabeln Funktionen anderer Variabeln zu
setzen. Zu einer solchen Substitution führen schon die gewöhnlichen Methoden , aber hinsichtlich unserer Formel giebt es eine besondere Art, die
gedachte Operation auszuführen, welche den Vorteil hat, stets direct auf die
einfachste Transformation zu führen.
2. Unsere Formel besteht aus zwei verschiedenen Teilen , die getrennt
betrachtet werden müssen.
Der erste Teil enthält die Glieder
d2x
day
d2e
-8
Sm (dt2 x + dta by + a e
k d ),
welche allein von den resultierenden Kräften der Trägheit der Körper herrühren.
Der zweite Teil besteht aus den Gliedern
Sm (Pop + Qog + Rôr + ···),
welche den beschleunigenden Kräften P, Q, R etc. Rechnung tragen , die
auf jeden Körper in Richtung der Linien p, q,
etc. wirken sollten und
diese Linien zu verkleinern streben. Die Summe dieser beiden Teile gleich
Null gesetzt, giebt die allgemeine Formel der Dynamik. ( Abschn. II, Art. 5. )
250
Abschn. IV.
Differentialgleichungen der Bewegung.
3. Wir wollen zuerst die Grösse d'xox + d²y dy + d²zòz betrachten ;
man sieht, dass, wenn man dazu die Grösse dx dòx + dydồy + dzdòz addiert,
die Summe integrabel wird und als Integral dxdx + dyoy + dzoz ergiebt,
Daraus folgt, dass man hat
d'xox + d²yoy + d²zoz = d(dxox + dyoy + dz dz) -dx dox - dydoy - dz dz.
Da nun nach bekannten Prinzipien dò äquivalent od ist, so lässt sich die
Grösse dxdox + dy doy + dz dòz auf die Form dxòdx + dyôdy + dzôdz, d. h.
auf
(dx² + dy2 + dz2) bringen.
Man hat also folgende Reduction
d²xòx
d²z oz =
— ô (dx² + dy² + dz²) ,
công + d²yòy + đôi
= d (dxdx + dyôy + dzôz ) woraus man sieht, dass es, um die Grösse
d2xdx + d²yoy + d²z dz
zu berechnen, genügt folgende beiden Grössen zu berechnen , welche nur
erste Differentiale enthalten
dxox + dyoy + dzòz, dx² + dy² + dz²
und darauf eine nach d, die andere nach
zu differentiieren.
4. Wir wollen also annehmen , dass es sich darum handle, an die Stelle
der Variabeln x, y , z gegebene Funktionen anderer Variabeln E, Y,
etc.
zu substituieren. Differentiiert man diese Funktionen, so hat man Ausdrücke
von der Form
dx = A de + B do + C do + ···
B' dy + C' dp + ··
dy = A' de
dz
A'de
B" dy + C" d? + ···
in welchen A, A' , A" , B, B' etc. als bekannt anzusehende Funktionen
derselben Variabeln E, Y,
etc. sind. In ähnlicher Weise sind die Werte
von ôx, dy, òz auszudrücken, man hat nur d in 8 zu verwandeln.
Macht man diese Substitutionen in der Grösse dx ôx + dyòy + dzòzï, so
bekommt man folgende Form
Fd
+ G (do
+ d↓ d ) + Hd ò
+ I (dop + do ôE) + ···
wo F, G , H, I etc. bestimmte Funktionen von E ,,
etc. sein werden.
Indem man hierin & in d verwandelt, hat man auch den Wert von dx² + dy²
+ dz² ; derselbe wird also
Fd2 + 2Gde dy + Hd² + 21de de + ...
Differentiiert man die erste dieser beiden Grössen nach der Operation d, so
hat man als Differential
d(Fd§) ô
+ d (Gdy)
+ F'd§ dò ‡ + d (Gd§) d
+ Gd‡ do↓ + Gdy do
+ d ( Hd ) ô
+ Hdđề ! + ...
Abschn. IV.
251
Einführung unabhängiger Variabeln.
Differentiiert man dann die zweite nach ô , so bekommt man als Variation
SFd2 + 2Fdôd + 26 Gddy + 2G dôdz
+ 2Gd§§dų + ¿Hd¥² + 2Ħd¥ ddy + ·...
Die Hälfte dieses letzten Differentials haben wir von dem ersten Differential
abzuziehen ; beachtet man noch, dass do und ôd dieselben Operationen geben,
so resultiert
d(Fα )
1
- ôGd +
- * Fd2 + đ (Gđề) ô + a (Gd ! )ô –
(H
-18
)ô
+ ...
als transformierter Wert für die Grösse d²x ôx + d²y òy + d²zôz.
Es ist nun klar, dass dieser Wert unmittelbar aus dem letzten Differential
abgeleitet werden kann , wenn man daselbst alle Glieder mit 2 dividiert,
die Zeichen derjenigen von ihnen , welche nicht die doppelte Operation ôd
enthalten , ändert und in den andern Gliedern das d nach 8 weglässt , um
es an den Grössen anzubringen , welche die doppelten mit do behafteten
Differentiale multiplicieren. Bei diesen Umänderungen geht so das Glied
1
¿Fd2 über in Fd2 , das Glied 2Fdod wird d (Fd ) . , das Glied
2
26GdƐdų giebt — Gddy, das Glied 2G dydd giebt d(Gdy) .ôž , u . s . f.
5. Daraus folgt, dass wenn man mit
die Funktion von §, Y,
etc.
und von de, dy, de etc. bezeichnet, in welche die Grösse
1½ (dx² + dy² + dz²)
2
transformiert wird , wenn man die Werte von x, y, z in §, 4, ❤ etc. sub.
stituiert, die gesuchte Transformation allgemein wird
d²xox + d²yoy + d²zòz
ΟΦ
δαξ
[ δε
ӘФ
ӘФ
+
+ d
+d
1-800
Ody
ΟΦ
+ d
+
Õp
ΕΦ
den Coefficienten von
wenn man dem (jetzigen) Gebrauche gemäss mit
DE
ΟΦ
in der Variation & , mit
den Coefficienten von od in derselben VaOde
riation etc. bezeichnet .
6. Was wir soeben auf eine besondere Weise gefunden haben , hätte
einfacher und allgemeiner durch die Prinzipien der Methode der Variationen
abgeleitet werden können .
Es sei nämlich
irgend eine Funktion von x, y , z etc. , dx , dy , dz,
d²r, d²y, d²z etc. , welche durch Substitution der Werte von x, y, z etc. ausgedrückt, in ,,
etc. eine Funktion von E,,
etc., de , dy, do etc., d² ,
252
Abschn. IV.
Differentialgleichungen der Bewegung.
dy, d² etc. wird ; differentiiert man gemäss der Operation 8, so hat man
die identische Gleichung
88=
ӘФ
дх
ӘФ
+ ду dy
+
ӘФ
62
Əz
ӘФ
მდ
8dx +
·dd²x +.
dd²x
dx
ӘФ
ӘФ
+
ady ddy + ad²y·εd²y + ...
+
+
ӘФ
ӘФ
dd²z +
ddz +
dd2z
ade
ӘФ
·89 +
ay
дф
ΕΦ
ӘФ
ӘФ
-ddy +
δαξ +
+
a
ad
de ô đẹp +
δαξ
y
ӘФ
ΟΦ
ӘФ
+ ged
-ôd² +
·8d²? +
d
; + ad²y
дагер
ӘФ
δε
д
ӘФ
+
Wenn man die doppelten Zeichen ôd , dd2 etc. in die ihnen gleichwertigen
dò, d28 etc. ändert , dann in Bezug auf d integriert und durch partielle
Integrationen alle doppelten Zeichen do , do etc. unter dem Integral-
zeichen
welches sich auf das Differentialzeichen d bezieht , verschwinden
·
S
lässt, so bekommt man eine Gleichung von folgender Form :
1òx + Bòy + Côz + ·· ·) + Z = (A′ò§ + Bô
SCABE
: -SCA'85 und hierin ist
A=
ΟΦ
дх
ӘФ
B
ду
ΟΦ
C=
ΟΦ
A'=Οξ
ΕΦ
B'=
ду
ӘФ
C' =
дф
ӘФ
ad
+ d2
ad²x
dx
ΟΦ
ΕΦ
d
+ d2
дау
Oday
ӘФ
ӘФ
d
+ d2
ad2%
dz
d
ΟΦ
ӘФ
+ d2
ade
Φ
d
+ d2
Ody
(a )
d
ΟΦ
d
ΟΦ
+ d2
adp
(Dave)
+
+ Cô + ... + Z .
Abschn. IV.
ӘФ
dx
2=
ӘФ
+
дау
ΟΦ
+
Odz
Einführung unabhängiger Variabeln.
d
ady
ΟΦ
+
Lady
ӘФ
·dox +·
dd2x
+
by +
ӘФ
əday day + ...
62 +
ӘФ
doz +
ad2z
(baby)
ӘФ
d
ΟΦ
ad
d
+
ox +
%)
( 80
ӘФ
ӘФ
θα
ap
Z'=
+
ΕΦ
d
253
ӘФ
dot +
ad2
ΟΦ
oy + ddy do +...
茄 +
+
+
(2004)
ΟΦ
+
ad
ΟΦ
op +
doy +.
дага
Durch Differentiation und Umsetzung findet man rückwärts die Gleichung
dz' — dZ,
— Cô
A ' — Bô Adx + Boy + Côz +
und diese muss identisch erfüllt sein und muss gelten , welches auch die
durch
bezeichneten Variationen oder Differentiale sein mögen.
Da nun die rechte Seite dieser Gleichung ein genaues Differential in
Bezug auf d ist , so muss auch die linke Seite ein solches in Bezug auf
dasselbe Zeichen und unabhängig vom Zeichen
sein ; dies ist aber nicht
möglich, weil die Terme dieser Seite einfach die Variationen dx, dy, dz etc. ,
d , dy etc., nicht aber die Differentiale dieser Variationen enthalten.
Daraus folgt, dass für das Bestehen der Gleichung notwendig jedes der
beiden Seiten der Gleichung für sich gleich Null sein muss , und das führt
zu folgenden beiden identischen Gleichungen
Aòx + Boy + Còz +
· A'ò½ + B'ò↓ + C'òq +
dZdZ' ,
welche bei verschiedenen Gelegenheiten nützlich sein können.
℗ = { (dx² + dy² + dz²) , so hat man
ΟΦ
= 0;
дх
ӘФ
= dx ;
дах
ӘФ
=
=0;
ad²x
etc.
also
A = - d2x; B:
==
und endlich, da
d²y; C = -d2z,
nur Differentiale erster Ordnung enthält,
ӘФ
ӘФ
d
A'=
Ode
ӘФ
B':=
ду
ӘФ
C'=
дф
d
(a)
(od )
....
Ist z. B.
254
Abschn. IV.
Differentialgleichungen der Bewegung.
Man hat also die identische Gleichung
-d2xox - đgông — dzô
ӘФ
rao
=
+
ΟΦ
ΓΟΦ
d
d
δξ +
DE
ΟΦ -
(od)]
მო
a (od )]
даш
| მს
+
welche mit derjenigen des Art. 5 übereinstimmt.
7. Aus alledem folgt, dass, um den Wert der Grösse
Sm (đỏxô
als Funktion von E , 4,
Grösse
+ đây ông ta zô )
etc. zu erhalten, cs genügen wird, den Wert der
Sm (dx² + dy² + dz²)
als Funktion von , y ,
etc. und ihrer Differentiale zu suchen ; denn nennt
man T diese Funktion, so hat man sofort als gesuchte Transformation
[ d (³
от
от
d
-0
14
)−
34 ]
)–
³૬
7]
] * + [[ a
2 ((3
3 dy
)
-3
ат
o? +....
მო ] 3?·
+-[a
[ 2 (131727) — 327
Diese Transformation wird immer gelten, selbst wenn unter den neuen
Variabeln die Zeit t vorkommen sollte , vorausgesetzt , dass man diese Zeit
wie eine Constante beim Variieren behandelt, d. h. ôt = 0 setzt.
Ferner ist leicht zu sehen, dass eine ähnliche Transformation stattfindet
auch in dem Falle , wo die Variationen ô , ô , op etc. nicht genaue Differentiale sind , vorausgesetzt, dass dieselben unbestimmte Grössen darstellen
und dass die Variation 6T von der Form
от
дт
òde +
ade
DE
OT
эт
65+
6T==
...
oy +
ду
даф
от
от от
"
etc. irgend welche
ist, und hierbei können die Coefficienten
d ' do
a
Grössen bedeuten .
8. Im Uebrigen ist es gut zu bemerken , dass , wenn der Ausdruck
von T ein Glied dA enthält , welches das vollständige Differential einer
Funktion A ist, in welcher eine der Variabeln , z. B. § , nur in endlicher
Form vorhanden ist, dieses Glied nichts zu unserer Transformierten in Bezug
auf diese Variable beiträgt. Denn setzt man für T jetzt dA , so hat man
да
ДА
dy +
de +
T - dA:=
૦૬
ду
also
да
да
a
DE
ду
αξ +
·dy +
DE
Οξ
02A
Ə²A
=
= d
de +
dy +
a (04).
οξοψ
a
ДА
от
=
δαξ
૦૬
OT
Ο
Abschn. IV.
Einführung unabhängiger Gleichungen.
255
от
Also wird d
(응 )formierten,
, der Coefficient von
d
in unserer Trans-
да - да
d
=0.
Ο
Es folgt daraus weiter, dass, wenn der Ausdruck von T ein Glied von
der Form BdA enthält, wo A eine Funktion von E,
etc. ohne de und B
irgend eine Funktion ohne
ist , dieses Glied in Bezug auf die Variation
ДА
dB ergiebt .
von
einfach das Glied
DE
Denn schreibt man das Glied BdA in der Form d (BA) — AdB, so
sieht man zuerst, dass das Glied d (BA) dem voraufgehenden zufolge nichts
in Bezug auf die Variation von
ergeben wird , da AB zwar ¿ , nicht aber
d enthält ; da ferner in dB weder
noch de anzutreffen sind und A das §
ohne de enthält , so sieht man , dass, wenn jetzt T—— AdB ist, man hat
от
эт
= 0'; und
ad
Οξ
JA
dB,
04
да
dB reduciert.
૦૬
...
9. Was die Grösse Pop + Qôq + Ròr + ·
anbetrifft, so ist sie stets
leicht auf eine Funktion von E, 4, y etc. zu bringen, da es sich dabei nur
darum handelt, die Ausdrücke der Entfernungen p, q, r etc. und der Kräfte
P, Q, R etc. zu transformieren . Die Transformation wird noch besonders
leicht , wenn die Kräfte so beschaffen sind , dass die Summe der Momente ,
d. h. die Grösse
Pdp + Qdq + Rdr +
so dass der Coefficient von
sich in der Tat auf
ein vollständiges Differential giebt , was in der Natur, wie wir schon bemerkt haben, stets der Fall ist.
Denn setzt man, wie im Art. 34 , Abschn . III
an = Pdp + Qdq + Rdr +
so hat man II ausgedrückt durch eine endliche Funktion von p, q, r etc.;
folglich wird
611 =·Pop + Qoq + Ròr +
und indem man mit m multipliciert und die Summe für alle Körper nimmt,
resultiert
S'm (Pôp + Qôg + Ròr + · · ·) = SmôÏI = è (SmII) ,
das letztere , weil die Operation S von der
unabhängig ist.
Man braucht also nur den Wert der Grösse Smil als Funktion von § ,
,
etc. zu suchen, und das erfordert lediglich die Substitution der Werte
von x, y, z, ausgedrückt durch &, 4,
etc., in die Ausdrücke für p, q, r etc.
256
Differentialgleichungen der Bewegung.
Absch. IV.
(Art. I, Abschn. II, Teil I) ; bezeichnet man diesen Wert von Sml mit V, SO
hat man dann sofort
av
=
av
65+
av
dy +
მს
op +
др
10. Durch diese Transformation geht die allgemeine Formel der Dynamik
(Art. 2) über in
Εδξ + Ψ ψ + Φδρ +
0,
worin
E == d.
эт
θα
ат
y= d
Ody
от
Q= d
Odo
ат
от
9
+
ล
a '
от
дт
+
14
ду
от
ат
+
მო
дф
ist, falls man T und V definiert durch
T = S ( d²² + 2dt2
dy² + do³) m ; V = SIIm
und II gemäss der Beziehung
dПl = Pdp + Qdq + Rdr +
wählt.
Wenn zwei Körper m und m' des Systems, als Punkte betrachtet, deren
Entfernung p ist , sich mit einer beschleunigenden Kraft P auziehen , die
eine Funktion von p ist, so ist, wie man leicht sieht, das Moment dieser Kraft
ausgedrückt durch mm ' Pdp, und man muss zum Werte von V noch die
Grösse mm' Pdp addieren ; in entsprechender Weise ist der Ausdruck für
S
V zu erweitern , wenn es in dem System noch andere gegenseitige Anziehungen giebt.
Wenn allgemein in dem System irgend welche Kräfte F, G etc. walten,
welche den Wert der Grössen f, g etc. zu vermindern streben , so sind
Fof, Gog etc. als Momente dieser Kräfte anzusehen ( Art. 9 , Abschn. II,
Teil I) , und dem entsprechend sind , falls F eine Funktion von f, G eine
Funktion von g etc. ist, zu dem Werte V ebenso viele Glieder von der
Form
Fdf,
SFar, SGag etc. zu addieren, als solche Kräfte vorhanden sind.
Nimmt man nun bei der Wahl der neuen Variabeln ,,
etc. auf die
durch die Natur des betreffenden Systems gegebenen Bedingungsgleichungen
Rücksicht, wählt also diese Variabeln so , dass dieselben gänzlich von
einander unabhängig sind , und dass folglich ihre Variationen
, dy,
op etc. absolut unbestimmt bleiben , so hat man sofort die besonderen
Abschn. IV.
257
Einführung unabhängiger Variabeln.
Gleichungen
= 0; Y = 0; Φ
P=O
0 etc., und diese Gleichungen dienen
dazu, die Bewegung des Systems zu bestimmen , und zwar vollständig zu
bestimmen , weil die Zahl dieser Gleichungen mit der der Variabeln , 4,
? etc. , von denen die Lage des Systems in jedem Augenblicke abhängt,
gleich ist.
11. Obgleich man nun die Auflösung dynamischer Probleme immer bis
zu diesem Punkt führen kann , da es sich nur darum handelt , durch
die Bedingungsgleichungen so viele Variable zu eliminieren als diese gestatten, und dann für έ, Y,
etc. die übrig bleibenden Variabeln zu nehmen,
so können nichts desto weniger doch Fälle vorkommen , wo dieser directe
Weg zu beschwerlich ist und wo es , um die Rechnung nicht zu sehr zu
complicieren, angebracht ist, eine grössere Anzahl von Variabelf beizubehalten.
In einem solchen Falle müssen die Bedingungsgleichungen , denen man
noch nicht genügt hat, dazu verwendet werden, in der allgemeinen Formel
einige der Variationen SE , 6 etc. zu eliminieren . Aber an Stelle eines
wirklichen Eliminationsverfahrens kann man auch von der in Teil I, Abschn. IV
auseinandergesetzten Methode der Multiplicatoren Gebrauch machen.
Es seien L = 0 ; M === 0 ; N = 0 etc. die besagten auf Funktionen von
,,
etc. zurückgeführten Gleichungen , so dass L, M, N etc. gegebene
Funktionen dieser Variabeln darstellen. Man addiert dann zur linken Seite
... 、
der allgemeinen Gleichung (vorig. Art.) die Grösse λôZ + µôM + vòN + ···
wo λ, μ, v etc. unbestimmte Coefficienten sind, und betrachtet nunmehr die
Variationen 8 , dy, dq etc. als unabhängige und willkürliche Grössen .
So bekommt man zunächst die allgemeine Gleichung
...
Eo tôi + Đập++ L + uôn + VỐN+ = 0 ,
und da diese unabhängig von der Grösse der Variationen ô , ô , op etc.
gelten soll, so erhält man für die Bewegung des Systems folgende besondere
Gleichungen
әм
ΟΝ
ƏL
+μ
三十 入
+v
+ ...
0,
ละ
DE
DE
OL
дм
ΟΝ
= 0,
+μ
入
4
+
ay
24
ay
дм
ƏL
ON
= 0,
Φ+λ
+"
+
Aus diesen Gleichungen hat man noch die Factoren λ , µ , v etc. zu
eliminieren , wodurch die Anzahl derselben sich um die Anzahl der Factoren
vermindert ; zieht man aber noch die Bedingungsgleichungen hinzu , die
notwendig stattfinden müssen , so hat man immer soviel Gleichungen als
Variable.
12. Da diese Gleichungen verschiedene , mehr oder weniger einfache,
"
und besonders mehr oder weniger für die Integration geeignete Formen
haben können , so ist es nicht gleichgiltig , unter welcher Form sie zuerst
Lagrange, Analytische Mechanik.
17
258
Abschn. IV.
Differentialgleichungen der Bewegung.
dargestellt werden , und es ist vielleicht einer der Hauptvorteile unserer
Methode , dass sie stets die Gleichungen jedes Problems in der einfachsten
Form in Bezug auf die verwendeten Variabeln ergiebt und uns in den
Stand setzt zu beurteilen, welches überhaupt die Variabeln sind, deren Anwendung die Ausführung der Integration am leichtesten macht.
Zur näheren Klarlegung mögen hier einige allgemeine Auseinandersetzungen folgen, deren Anwendbarkeit späterhin bei der Lösung verschiedener
Probleme hervortreten wird.
Aus den Formeln , die wir soeben gegeben haben , wird klar , dass die
Differentialglieder der Bewegungsgleichungen eines beliebigen Systems von
Körpern allein von der Function T herrühren , welche die Summe aller
dx² + dy² + dz²
Grössen
m in Bezug auf die verschiedenen Körper aus2dt
drückt ; jede endliche Variable , z. B. , welche im Ausdruck von T vorот
9 jede Differentialvariable , z. B. de , giebt
kommt , giebt das Glied OT •
Daraus erkennt man , dass die besagten Glieder keine
das Glied d
ode
anderen Funktionen der Variabeln enthalten können , als solche , welche in
dem Ausdruck von T selbst vorkommen . Wenn man nun etwa die Sinus
und Cosinus von Winkeln anwendet, was sich bei der Lösung verschiedener
Probleme von selbst darbietet , so kann es vorkommen , dass aus der
Funktion T diese Sinus und Cosinus verschwinden ; behält diese dann nur
die Differentiale der Winkel , so ist man sicher , dass auch die fraglichen
Glieder unserer Gleichungen nur dieselben Differentiale , nicht aber die
Sinus und Cosinus enthalten . Man kann also für die Einfachheit der
Gleichungen des Problems nur gewinnen, wenn man derartige Substitutionen
zur Anwendung bringt.
Um ein Beispiel anzuführen , ersetzen wir die beiden Coordinaten x, y
durch den Radiusvector r, welcher vom Anfangspunkte derselben Coordinaten
ausgeht , und durch den Winkel , welchen dieser Radius mit der x Axe
bildet. Wir haben dann
x = rcosq ; y = r sin ? ,
und die Differentiation ergiebt
dx = cosy dr -r sing do ;
dy = sing dr + r cosy dy ;
also
dx² + dy² = dr² + r²dq².
Dies ist ein sehr einfacher Ausdruck , welcher weder den Sinus noch
enthält; sondern nur das Differential do. Auf diese
den Cosinus von
Weise ist die Grösse dx² + dy² + dz² in r² dp² + dr² + dz² verwandelt.
Man könnte noch an Stelle von rund
einen neuen Radiusvector p
und den Winkel , welchen dieser Radius mit r, der Projection von p, einschliesst, anwenden ; dies ergiebt
r = p cost ;
p sin ,
259
Abschn. IV. Einführung unabhängiger Variabeln .
und folglich
dr² + dz² = dp² + p²d↓²,
so dass die Grösse dx² + dy² + de² transformiert ist in
p²(cos²y dq² + d¥ ²) + dp².
Es ist klar , dass p der Radius sein wird , welcher vom Centrum der
Coordinaten nach dem Punkte geht , wo der Körper m sich befindet ,
ist
die Neigung dieses Radius gegen die x yEbene , und
der Winkel , den
die Projection dieses Radius auf dieselbe Ebene mit der x Axe bildet ; man
hat dann, wie im Art. 4, Abschn. II, Teil I,
X
x=
= p cosy cosq ; y = p cosy sing ; z = psiny.
Endlich könnte man auch nach Belieben andere Substitutionen anwenden, und wenn das System aus mehreren Körpern besteht , könnte man
auch relative Coordinaten einführen. Die Umstände jedes Problems werden
stets die geeignetsten Transformationen von selbst anzeigen . Man könnte
sogar, nachdem man schon vermittelst einer Substitution eine oder einige
der Gleichungen des Problems gefunden hat , die andern durch andere Substitutionen herleiten . Dies wird neue Mittel an die Hand geben , diese
Gleichungen mannigfach zu gestalten und die am einfachsten und leichtesten
zu integrierenden zu finden.
13. Die andern Glieder der genannten Gleichungen hängen von den
beschleunigenden Kräften ab , welche auf die Körper wirken sollten , und von
den Bedingungsgleichungen , welche zwischen den Variabeln in Bezug auf
die Lage der Körper im Raume etwa bestehen.
Wenn die Kräfte P, Q, R etc. nach festen Punkten oder nach Körpern
eben des sich bewegenden Systems streben und proportional irgend welchen
Funktionen der Entfernungen sind, wie dies in der Natur der Fall ist, so wird
die Grösse V, welche die Summe der Momente m (Pdp + Qdq + Rdr + ...)
ScPap
für alle Körper m des Systems ausdrückt , eine algebraische Funktion der
Entfernungen sein und für jede Variable , aus welcher sie besteht , einen
av
endlichen Term von der Form
liefern.
DE
Entsprechend liefern die Bedingungsgleichungen L = 0, M - 0 etc. für
OL
дм
dieselbe Variable
die Terme λ
-, дв
"
u. s. f. Man braucht nur
૦૬
alle Funktionen L, M, N, ... mit den Factoren λ, µ , v, .... multipliciert
zu dem Werte von V zu addieren, bei der Differentiation nach den Variabeln
als constant anzusehen .
hat man dann die λ, u, v,
Wenn also einige der Variabeln, welche in der Funktion T vorkommen ,
in V, L, M etc. nicht vorkommen , so werden die auf diese Variabeln bezüglichen Gleichungen nur Differentialterme enthalten , und die Integration
derselben wird besonders leicht sein, zumal wenn diese Variabeln in T nur
17*
260
Abschn. IV.
Differentialgleichungen der Bewegung.
unter der Differentialform sich vorfinden. Dies wird zum Beispiel stattfinden,
wenn man in Fällen, wo die Körper nach Centren gezogen werden, die Entfernungen von diesen Centren und die um sie beschriebenen Winkel zu
Coordinaten nimmt.
14. Eine Integration , welche stets ausführbar ist , wenn die Kräfte
Funktionen der Entfernungen sind und die Funktionen T, V, L, M, N, ...
..
die endliche Variable t nicht enthalten, ist diejenige, welche das Prinzip von
der Erhaltung der lebendigen Kräfte giebt. Obgleich wir schon gezeigt haben,
wie dieses Prinzip aus der allgemeinen Formel der Dynamik sich herleitet
(Abschn. III, Art. 34) , ist es doch nicht unnütz nachzuweisen , dass in der
That auch die besonderen aus dieser Formel abgeleiteten Gleichungen immer
eine integrable Gleichung liefern, welche diejenige der Erhaltung der lebendigen
Kräfte ist.
Die allgemeine Form der bezeichneten Gleichungen ist (Art. 11)
от
av
ƏL
от
+
+λ
+
DE
૦૬
a
d
θ αξ
дм
+
o
0.
Addiert man diese Gleichungen , nachdem man dieselben mit respective de,
de etc. multipliciert hat, und beachtet, dass die Grössen V, L, M etc. der
Annahme nach Funktionen der Variabeln E ,
etc. sein sollten, die t nicht
enthalten, so erhält man die Gleichung
дт
(a θα
OT
от
of
ДЕ) aš + (a даф
+ dV + λdL + p. dM +
от
|dy +
оф
0,
da aber nach den Bedingungsgleichungen gerade L = 0 , M = 0 , ... sein
sollte, so hat man allgemein auch dL = 0 , dM = 0 , folglich reduciert sich
die vorige Gleichung auf
от
от
эт
d +
d
(a δας
от
87) ay + ...· + av = 0.
даф
Man hat nun
эт
эт
ddат
d =d
d2 ,
αξ a (of
αξ de
δαξ
und da T eine analytische Funktion der Variabeln %, 4, ... und ihrer Differentiale de, dy, ... ist, nicht aber von t abhängt, so wird
от
αξ +
Οξ
эт
от
ΟΤ
d² +
·dy + ddy day +
o de
ay
- ¿T.
Die Gleichung geht also über in
от
a(odde + ddy dễ +
-dTdV = 0,
Abschn . IV.
Prinzip der lebendigen Kraft.
261
Diese ist aber offenbar integrabel und ergiebt als Integral
эт
αξ+
δας
от
ddy dy +
TV = const.
Nun ist aber
t
T= S
dx² + dy² + dz? т
,
2dt2
also kann , welche Variable man auch für x , y , z substituieren mag , die
hieraus resultierende Funktion nicht anders als homogen und von zwei
Dimensionen in Bezug auf die Differentiale dieser Variabeln sein . Nach
dem bekannten (Euler'schen) Theorem hat man also :
от
αξ +
δαξ
эт
dy +
Ody
= 27.
Das gefundene Integral wird also einfach
T+ V = const
sein , und es setzt das Prinzip der Erhaltung der lebendigen Kräfte (Abschnitt III , Art. 34) fest.
Wenn die Grösse V keine analytische * ) Funktion wäre , so hätte man
av
αξ + ... " und wenn die Grössen T, L, M, ... auch
nicht mehr dV:=
Οξ
die Variable t enthielten, so würden ihre Differentiale dT, dL, dM, ... auch
ƏL
әм
от
noch mit den Gliedern
dt, at dt , at at ... behaftet sein ; die Reducdt
tionen, welche also die Gleichung integrabel gemacht haben, würden dann
nicht mehr anwendbar sein , und folglich würde auch das Prinzip von der
Erhaltung der lebendigen Kräfte nicht mehr gelten.
15. Obgleich das Theorem über die homogenen Funktionen , von dem
wir soeben gesprochen haben , in verschiedenen Werken bewiesen ist , und
ich es folglich als bekannt ansehen darf, so ist doch der folgende Beweis
für dieses Theorem so einfach , dass ich glaube , ihn nicht unterdrücken zu
dürfen.
Wenn F eine homogene Funktion verschiedener Variabeln x, y etc. und
von nter Ordnung ist, so ist klar, dass, wenn man in derselben ax, ay, ...
an die Stelle von x, y etc. setzt, dieselbe notwendig in a" .F übergeht, wie
auch die Grösse a beschaffen sein mag. Setzt man a = 1+ a und betrachtet
a als eine unendlich kleine Grösse , so wird hiernach die unendlich kleine
Zunahme von F, welche von den unendlich kleinen Zunahmen ax, ay , ...
der x, y, ... herrührt, gleich naF sein . Lässt man aber x, y, etc. um ax,
ay etc. variieren, so hat man nach der allgemeinen Variationsformel für die
Variation von F
1
OF
OF
ax +
-ay +
дх
dy
*) Analytisch in dem modernen Sinne des Wortes verstanden.
hier und an anderen Orten algébrique.
Lagrange hat
262
Abschn. IV.
Differentialgleichungen der Bewegung.
und indem man diese beiden Ausdrücke für die Zunahme von F einander
gleich setzt und durch a dividiert, resultiert die bezeichnete Formel
nF=
OF
OF
x +
Dy y +
дх
16. Das Integral in Bezug auf die Erhaltung der lebendigen Kräfte
ist von grossem Nutzen bei der Lösung mechanischer Probleme , besonders
wenn die Funktion T nur das Differential einer Variabeln enthält , die in
der Funktion V nicht vorkommt ; dann dient dieses Integral dazu , die
betreffende Variable zu bestimmen und aus den Differentialgleichungen fortzuschaffen.
Die Integrale, welche sich auf die Erhaltung der Bewegung des Schwerpunktes und auf das Flächenprinzip beziehen , und welche wir schon auf
eine allgemeinere Art im Abschn. III abgeleitet haben , bieten sich bei der
Lösung jedes Problems von selbst dar , vorausgesetzt , dass man bei der
Wahl der Variabeln darauf Bedacht nimmt , die absolute Bewegung des
Systems von den relativen Bewegungen der Körper gegen einander zu trennen,
wie wir dies a. a. O. gethan haben .
Die andern Integrale werden von der Natur der Differentialgleichungen
jedes Problems abhängen , und man kann keine allgemeine Regel angeben,
wie sie zu finden sind. Es giebt indessen einen besonderen Fall von sehr
weitgehender Bedeutung, welcher immer einer vollständigen Lösung in endlichen Ausdrücken fähig ist ; es ist das der Fall , wo das System nur sehr
kleine Oscillationen um die Gleichgewichtslage macht. Ich habe für dieses
Problem wegen seiner Wichtigkeit einen besonderen Abschnitt bestimmt.
17. Wenn das System, dessen Bewegung man sucht, aus einer unendlich grossen Zahl von Theilchen oder Elementen besteht, deren Vereinigung
eine endliche Masse von veränderungsfähiger Gestalt bildet, so muss man eine
Analyse anwenden , welche der im § 2, Abschn. IV, Teil I auseinandergesetzten
ähnlich ist ; aber an die Stelle des Zeichens d , welches wir dort gebraucht
haben (Art. 11 etc. ) , um die Differentiale der Variabeln in Bezug auf die
verschiedenen Elemente des Systems zu bezeichnen, muss man das Zeichen D
setzen, welches dem Integrationszeichen S in Bezug auf das ganze System
entspricht, um das andere Zeichen d für die verschiedenen Differentiale nach
der Zeit beibehalten zu können , für welche wir es im Abschn. II , Teil II,
Art. 7 bestimmt haben.
Nennt man m die ganze Masse und Dm eines ihrer Elemente, so muss
man in den Ausdrücken von T und V des Art. 10 , Dm an die Stelle von
m setzen.
Wenn es für jedes Element des Körpers Kräfte F, G etc. giebt, welche
die Grössen f, g etc. , von denen diese Kräfte Funktionen sind , zu verkleinern streben , so muss man zu dem Werte von V die Ausdrücke
dg etc. addieren.
SSFat; SSG ag
Abschn. IV.
Ausdehnung auf continuierliche Massen .
263
Sind Bedingungsgleichungen L = 0, M - 0 etc. vorhanden, deren jede
für jedes Element der Masse m gilt, so muss man Sh6L, SpoMetc. an die
Stelle von λoL, µdM in den Formeln des Art. 11 setzen .
Da die Grössen f, g etc. ebenso wie L, M etc. durch das Symbol D
definierte Differentiale der Variabeln enthalten können , so muss man die
doppelten Zeichen òD , ¿D² etc. durch partielle Integrationen verschwinden
lassen , so dass unter dem Zeichen S nur die einfachen mit o bezeichneten
Variationen übrig bleiben ; die Glieder ausserhalb des Zeichens S, die etwa
stehen bleiben , werden sich nur auf die Grenzen der Integrale beziehen .
Endlich muss man noch auf die Kräfte und auf die Bedingungsgleichungen, die nur bestimmten Punkten der Masse m zugehören , Rücksicht nehmen , und ihnen in der allgemeinen Formel Rechnung tragen ; sie
werden aber nur Glieder liefern , die von dem Zeichen Sunabhängig sind .
Die Variationen , welche unter dem Zeichen S übrig bleiben , geben,
wenn man ihre Coefficienten gleich Null setzt , so viele unbestimmte
Gleichungen für die Bewegung jedes Elementes des Systems, als sie selbst
an Zahl betragen , und die Variationen ausserhalb des Zeichens S geben
bestimmte Gleichungen für gewisse Punkte des Systems.
Abschnitt V.
Allgemeine Annäherungsmethode
für die Auflösung
von
begründet
Problemen
der
Dynamik ,
auf die
Variation arbiträrer Constanten.
Da die allgemeinen Gleichungen, welche wir im vorigen Abschnitt gegeben
haben, von der zweiten Ordnung sind, so verlangen sie noch Integrationen,
welche oft die Kräfte der bekannten Analyse überschreiten ; man ist daher
oft genötigt zu Annäherungen seine Zuflucht zu nehmen , und unsere Formeln
liefern auch für solche Annäherungsrechnungen die geeignetsten Mittel.
1. Jede Annäherung setzt die genaue Lösung eines speciellen Falles
der vorgelegten Frage voraus , in welcher man Elemente oder Grössen vernachlässigt hat , die man als sehr klein betrachtet. Diese Lösung bildet
das erste Glied der Annäherung und man corrigiert dann dieselbe , indem
man successive den vernachlässigten Grössen Rechnung trägt.
In den mechanischen Problemen, welche man nur durch Annäherungen
lösen kann , findet man gewöhnlich die erste Lösung , indem man nur auf
die Hauptkräfte , welche auf die Körper wirken , Rücksicht nimmt , und um
diese Lösung auf andere Kräfte, welche man Störungskräfte nennt, auszudehnen , muss man die Form der ersten Lösung beibehalten , aber die
arbiträren Constanten , welche sie enthält, als variabel annehmen ; denn
wenn die Grössen, welche man vernachlässigt hat und denen man Rechnung
tragen will , sehr klein sind , so sind diese neuen Variabeln in der Tat
nahezu constant , und man wird auf sie die gewöhnlichen Annäherungsmethoden anwenden können . Die Schwierigkeit reduciert sich also darauf
die Gleichungen zwischen diesen Variabeln zu finden .
Man kennt die allgemeine Methode , die arbiträren Constanten der
Integrale von Differentialgleichungen variieren zu lassen , um diese Integrale
mit denselben , aber um gewisse Glieder vermehrten , Gleichungen übereinstimmen zu machen ; aber die Form , welche wir im vorigen Abschnitt
(Art. 10) den allgemeinen Gleichungen der Dynamik gegeben haben , hat
Abschn. V, § 1. Beziehungen zw. Variationen arbiträrer Constanten.
265
den Vorteil, zwischen diesen Variationen der willkürlichen Constanten, welche
durch die Integration eingeführt werden, eine Beziehung zu liefern , welche
die Formeln für diese Variationen in den Problemen, in denen sie die Wirkung
der störenden Kräfte ausdrücken, ganz besonders vereinfacht. Wir wollen
zuerst diese Relation beweisen ; wir werden dann die einfachsten Gleichungen
zur Bestimmung der Variationen arbiträrer Constanten in den Problemen ,
um welche es sich handelt, angeben .
§ 1. Ableitung einer allgemeinen Relation zwischen den Variationen
der arbiträren Integrationsconstanten aus den allgemeinen Bewegungsgleichungen.
2. Es sei irgend ein System von Körpern m gegeben, welches von beschleunigenden Kräften P, Q, R etc. angegriffen wird , die nach irgend
welchen festen oder freien Centren streben und irgend welchen Funktionen
ihrer Entfernungen p, q, r etc. von diesen Centren proportional sind .
Wir nehmen an , dass wir unter Berücksichtigung der Bedingungsgleichungen des Systems die Coordinaten x, y, z jedes Körpers als Funktionen
anderer Variabeln E, 4,
etc. ausgedrückt haben, die unter sich von einander
gänzlich unabhängig sind und zur Bestimmung der Lage des Systems in
jedem Augenblick dienen.
Für die Bewegung des ganzen Systems gelten die Gleichungen des
Art. 10 des vorigen Abschnittes . Es ist aber leicht zu sehen , dass diese
Gleichungen von der zweiten Ordnung in Bezug auf die Variabeln E,,
etc.
sind, es müssen also die vollständigen Werte dieser Variabeln , welche man
durch Integration finden wird , und welche als Funktionen der Zeit t ausgedrückt werden , zweimal soviel arbiträre Constanten enthalten , als Variable
vorhanden sind. Da diese Constanten zunächst ganz willkürlich sind , so
können sie auch nach Belieben geändert werden ; man wird also die Gleichungen ,
um welche es sich handelt , in Bezug auf diese Constanten , welche in den.
Ausdrücken der Variabeln ,
etc. als vorhanden vorausgesetzt sind ,
;
auch differentiieren dürfen .
3. Setzen wir der Einfachheit halber d = ' dt, dy = ' dt. dq'dt,.
und von ' , ' ,
so wird die Grösse 7 eine Funktion von E, 4, 4,
und die Grösse V ist, wenn die Kräfte nach festen Centren gerichtet sind ,
oder nach Körpern desselben Systems , eine einfache Funktion von 5, 4, 7. ...
In diesem Falle hat man, wenn
Z - T- V
gesetzt wird,
от
az
=
от
az
=
az
от
"
=
δαξ
worin das Zeichen O nur dazu dient, die partiellen Differentiale hervorzuheben.
266
Abschn. V.
Methode der Variation arbiträrer Constanten.
Die Differentialgleichungen der Bewegung des Systems (Art. 10, vorigen
Abschn.) reducieren sich also , wenn man mit dt multipliciert, auf die einfachere Form
ᎧᏃ
ᎧᏃ
d
dt =0,
ટ્ટ'
Οξ
ᎧᏃ
ᎧᏃ
d
dt == 0,
24
az
az
dx'
05
d
dt = 0,
4. Mit
wollen wir nunmehr eine Operation bezeichnen , bei der allein
die in den Ausdrücken für die Variabeln , , &, ..." von denen Z eine
Funktion ist, enthaltenen arbiträren Constanten variiert werden . Führen wir
an den obigen Gleichungen diese Operation aus und beachten, dass , da das
ᎧᏃ
ᎧᏃ
, d
etc. vorkommnt, sich nur auf
Zeichen d, welches in den Gliedern d
die Variable t bezieht , welche die Zeit darstellt , nach den Prinzipien der
Variationsrechnung das doppelte Zeichen od in de verwandelt werden darf, so
bekommen wir die Gleichungen
д
do
-
dt = 0,
ô×'
az
Əz
dt =: 0,
ay
dt = 0,
0)
(
Wenn man ferner eine andere Variation derselben arbiträren Constanten
ausführt und, um diese mit der obigen durch & symbolisierten nicht zu verwechseln, das Zeichen ▲ anwendet, so hat man auch
A
d!
as(
32)
- 4(3/4
(영
dž' )( δε) dt = 0,
az
dA
-A
dt = 0,
dy
A
d
= 0,
as(374) - 4(32)
др dt = 0.
5. Multipliciert man jetzt den ersten Satz von Gleichungen mit resp .
Aš, Ay , Ay , ... und zieht von ihrer Summe diejenige des letzten Satzes
Abschn. V, § 1. Beziehungen zw. Variationen arbiträrer Constanten.
von Gleichungen ab , nachdem man diese mit resp. ô , ô , ô
pliciert hat, so hat man
Δέασ
as(0274) + Aydōl
267
etc. multi-
az
;) + Apd8(02) + ...
- δξ απ ( 37) - 84d4(37) - & p 18 (37) +
de'
dt
] de
Δε
Aç
-[4€ 8(37) + 448 (94) + Ap8(0
%) +
A
+ [ â€A(37) +84
деф +··· ] dt = 0.
(07)
მს + 39 A (37)
Da nun
Ꮓ
Δ
de'
de
′
Až dò (CZ) = d [·A‡ 8 (87) ] – d(45) (OZ)
ist, und weil d = ' dt ist,
d(AE) = ▲ (α§) = ▲¥' dt
wird , so resultiert
dô
૦૬ at
o = d [At 8(87)
de ] – A?' 8(32)
Ad3 37
.
Aehnlich hat man
ᎧᏃ
ò€ d▲ OZ = d [¿ ‡▲ (CZ) ] – î¥
4(
(37)
ara
6 ) dt
und entsprechende Formeln für die andern Grössen .
Vermittelst dieser Transformationen erhält die vorige Gleichung folgende
Form
AEO
이
DEA
મ
az
DE'
az
Ꮓ
+ Ayo(87 ) + Apol O '
+
-64A
△ (80) - 002(82)
ᎧᏃ
AES
+
468(37)
+ 4+ 8(87) + Apa(32)
д
dt
A& ( Z) +48(32)
(+58 (82)
ફ્ + A
+ ...
δξι
orp △( 0 % ) +
A ( 0%) + 64 0 (
104
მს ) + 000
dt = 0.
+
+ôE'A
+
૦૬ )
(
0
'A
+
+ àÿ´A(07)
268
Abschn. V.
Methode der Variation arbiträrer Constanten.
... und ebenso die
6. Wenn man nun die Ausdrücke
(인증). (응증)
ähnlichen Ausdrücke A( % ) ,
4(377) entwickelt, indem man Z als Funktion
von ,,
etc., E' , ' , ' etc. ansieht, so zeigt sich, dass die mit dt multiplicierten Glieder der vorigen Gleichung sich gegenseitig aufheben. Man
hat in der That
a2z
a2z
=
6
65+
ᎧᏃ =
δξ +
day
öy'+
oto
a2z
65+
+
d '+
2404
მამშ
02%
82%
+ 30*
a2z
૦૬૦
02Z
·64 +
·DE +
a2z
·0 +
+
a42
022
a
az
ᎧᏃ
dp +
૦૬૦
Ô2Z
DE2
a2z
δε
64+
a2z
day'
a2z
૬′2
3Z
=
;64+
ö '+
'+
+
მსმ
8Z
+
+
δελψ'
ay'2
Ordnet man die Glieder nach den partiellen Differentialquotienten von Z,
so ergiebt dies folgende Entwicklung
Ꮓ
(3124) +
+ A4 0
მს
02%
A
Ô²
AED
dt
+ Asia(0274)
(02) + Ay² (
02%
+
·(A6
όξου
+
3Z
+ AбE) + 042 A4 64 +
a2z
a2z
+ Õ§ ˜§². (A¦ ÒË ' + A¦´ Ò§) +
A ' )) +
+ ···
+4
(40 ' +
00·(A‡Ò
+
82%
a2z
· (Aµ òË' + A3′ òY ) +
მსმ
a2z
a2z
a2z
+
dž′2
Vertauscht man die Zeichen
und ▲ mit einander , so hat man die
Entwicklung des entsprechenden Ausdrucks
+ ...
향
მა )
(0%) + 64 스(84
a
+ òy´A
+.
Man sieht aber , dass diese Vertauschung keine Veränderung in der
vorigen Entwicklung erzeugt ; daraus folgt, dass beide Ausdrücke identisch
sind , so dass , da sie in der obigen Gleichung sich mit entgegengesetzten
Vorzeichen vorfinden, sie sich gegen einander in der That aufheben.
Abschn. V, § 1. Beziehungen zw. Variationen arbiträrer Constanten.
269
7. Es resultiert also einfach die Gleichung
AEO
az
az
+Ayo(
૦૬ '
+
+Apô( 077)
==0.
양시 (8 ) - 04
( 84)-
(0 )
TV ist und
Hierin kann man aber Z in T verwandeln , da Z
Variabeln , ' , ' etc. nicht enthalten darf (Art. 3) .
die
Die obige Gleichung lehrt darnach, dass die Grösse
T
A
дт
+ A40
T
- δξ Δ
de ) -64
- 양시 (0
+ ...
+ Ago
o
04
A
(04 )-09
(67)-..
notwendig immer constant ist in Bezug auf t, auf welches sich die mit d
bezeichneten Differentiale beziehen sollten , dass folglich , wenn man in der
obigen Grösse die aus den Gleichungen irgend eines mechanischen Problems
abgeleiteten Werte der Variabeln , y ,
etc. als Funktionen von t und
den arbiträren Constanten ausdrückt, die Variable t von selbst verschwinden
wird , welches auch die Variationen seien , welche diese Constanten in den
mit
und A behafteten Grössen erleiden . Dies ist eine neue sehr bemerkenswerte Eigenschaft der die lebendige Kraft des ganzen Systems. darstellenden Funktion T, und sie kann ein allgemeines Kriterium für die
Richtigkeit einer durch irgend eine Methode gefundenen Lösung abgeben ,
Die hauptsächlichste Anwendung findet aber die obige Formel für die
Variation der arbiträren Constanten, wie wir zeigen werden, in den mechanischen Problemen.
§ 2. Ableitung der einfachsten Differentialgleichungen, um die Variationen
beliebiger Constanten zu bestimmen , welche von störenden Kräften
herrühren.
8. Wir wollen jetzt annehmen, dass, nachdem wir das in den Differentialgleichungen des Art. 3 enthaltene Problem durch vollständige Integration
dieser Gleichungen gelöst haben, es sich darum handele, dasselbe Problein
zu lösen, aber mit Hinzufügung neuer an dem Systeme angreifender Kräfte,
die nach festen oder auf beliebige Art bewegten Centren gerichtet und
Funktionen derEntfernungen von diesen Centren proportional sind. Diese neuen
Kräfte, welche man als störende Kräfte der Bewegung des Systems ansehen
kann , und die von ähnlicher Natur wie die Kräfte P, Q, R etc. sind , von
denen die Funktion V abhängt , werden zu dieser Funktion eine analoge
Funktion hinzufügen, die wir mit bezeichnen wollen. Man braucht auf
diese Weise nur V - 2 an die Stelle von V in den Gleichungen des Art, 10
270
Abschn. V.
Methode der Variation arbiträrer Constanten.
(vorig. Abschn. ) zu setzen und folglich Z - Q an die Stelle von Z in den
Gliedern derjenigen des Art. 3 , welche die partiellen Differentiale von Z
etc. enthalten , um sofort die Gleichungen des neuen Problems
nach , 4,
zu erhalten ; diese sind also
d
ᎧᏃ
૦૬′
Əz
ᎧᏃ
ᎧᏃ
dt.
ΘΩ
dt =
d
ᎧᏃ
d
'Op'
ΘΩ
dt =
dt,
მს
ΘΩ
ᎧᏃ
dt =
др
dt.
ap
9. Wenn man die Ausdrücke der Variabeln E , 4 , p etc. in t und den
willkürlichen Constanten in dem Falle , wo die rechten Seiten dieser
Gleichungen Null sind , als bekannt annimmt, so kann man, indem man diese
Ausdrücke beibehält, aber ihre willkürlichen Constanten variieren lässt, bewirken, dass sie auch jetzt noch allen diesen Gleichungen genügen , und es
ist Gegenstand der folgenden Analyse , die einfachsten Formeln für die Bestimmung dieser veränderlich gewordenen Constanten zu geben.
Wir wollen zuerst bemerken, dass, da diese Constanten an Zahl doppelt
soviel sind als die Variabeln , 4, etc. , wie wir im Art. 2 gesehen haben, und
folglich auch an Zahl doppelt soviel sind wie die Gleichungen, denen man
genügen muss , man sie noch einer Zahl von beliebigen Bedingungen
unterwerfen kann, die gleich der Anzahl dieser Variabeln ist.
Die einfachsten und zu gleicher Zeit geeignetsten Bedingungen dafür
đẹp
đủ
đã
"
dieselbe Form behalten , als
sind , dass auch die Werte von
dt
dt ' dt
wenn die Constanten nicht variieren . Auf diese Weise werden nicht allein
die von den Körpern durchlaufenen Räume, sondern auch ihre Geschwindigkeiten
durch ähnliche Formeln bestimmt, mögen nun die willkürlichen Constanten
unveränderlich sein, wie in dem Falle, wo es keine störenden Kräfte giebt,
oder mögen dieselben durch die Wirkung solcher Kräfte Variationen
unterliegen.
Ausserdem haben diese Bedingungen noch den Vorteil, dass die Differentialgleichungen zwischen den neuen Variabeln auf solche erster Ordnung
zurückgeführt werden, man hat zwar doppelt soviel Gleichungen wie sonst,
aber nur solche von der ersten Ordnung.
10. Wendet man, wie im Art. 4, das Zeichen
an, um Differentiale
zu bezeichnen, welche allein von der Variation der willkürlichen Constanten
herrühren, dagegen d, wenn die Differentiale als nach der Zeit genommen
gedacht sind, so werden die Bedingungen, von denen wir soeben gesprochen
haben, durch die Gleichungen
=
60;
60 ;
p = 0, ...
ausgedrückt; es ist aber hervorzuheben, dass hier alle willkürlichen Con-
Abschn. V, § 2. Differentialgleichungen f. d. Variation d . Constanten.
271
stanten zu gleicher Zeit als variabel behandelt werden müssen, so dass das
Zeichen
in der Folge eine Operation symbolisiert, bei der gleichzeitig
alle willkürlichen Constanten variiert werden , und nicht wie in den
Formeln des Art. 4 u . f., wo es sich im Allgemeinen ebenso wie das andere
Zeichen A auf die Differentiation durch Variation ebensowohl aller Constanten
als auch nur einiger von ihnen , nach Belieben hervorgehobenen bezog.
Lässt man also Alles variieren, so werden die Differentiale von §, Y, ? etc.
einfach d , dy, dp etc. oder besser ' dt,
Zeit allein variierte.
' dt, q'dt etc. sein, wie wenn die
In den Gleichungen des Art. 8 wird darnach die Funktion Z dieselbe
sein, wenn die willkürlichen Constanten als variabel angesehen werden, wie
wenn man sie als wirkliche Constanten behandelt. Dagegen sind, wenn man
d
diese Constanten als variabel betrachtet, den Differentialen d (0 ), à (07) ,
az
etc. die Glieder
etc. hinzuzufügen, welche
a(3174)
do'
(07
) , 8 (37) , 8 (07)
von der Variation dieser Constanten herrühren .
Andererseits ist es klar, dass, da nach unseren Annahmen die Funktionen
von t und den Constanten , welche die Werte von § ,
.
etc. darstellen ,
denselben Gleichungen identisch genügen, nur dass dann in dem Falle, wo
diese Constanten nicht variieren, die zweiten Glieder fehlen, welches auch im
Uebrigen ihre Werte seien, die Glieder
az
az
az
d
dt, d
(02
૦૬ ) — 07 at, a
ду
az
dt,.
деф
sich gegenseitig aufheben und folglich von vornherein fortgelassen werden
können . Man hat also für die Variation der willkürlichen Constanten
einfach die Gleichungen
az
ΘΩ
=
ᎧᏃ
ΘΩ
ΘΩ
dt,
at; 8 (37) = 34
, at; 8 (80)(37)= 34
до
welche man mit den letzten oben gegebenen Gleichungen
= 0 etc. combinieren muss .
== 0, d
= 0,
Die Zahl dieser Gleichungen ist doppelt so gross als die der Variablen
E,,
etc. und folglich gleich der Anzahl willkürlicher Constanten (Art. 2),
sie reicht also aus, alle diese variabel gewordenen Constanten zu bestimmen.
11. Multipliciert man die soeben gefundenen Gleichungen mit A , AY ,
Ap etc. und addiert sie alle, so bekommt man
az
az
Δε δ
+
Αφ
4€ ε(37) + 448(37) + Ap³(37)
ΘΩ
=
ΘΩ
ΘΩ
AE +
A& +
მს
Δφ +
до
..) at.
272
Abschn. V.
Methode der Variation arbiträrer Constanten.
Hier zeigen A , Ay, Ay etc., wie im Art. 4 , die Differentiale der
Funktionen , y,
etc. an , wenn man nur die willkürlichen Constanten
auf irgend eine Art variieren lässt, sei es nun, dass sie alle zu gleicher Zeit
variieren, oder sich nur einige von ihnen ändern .
Betrachtet man nun 2 als eine Funktion von ,,
etc. und führt
in derselben die durch A charakterisierte Operation aus, so hat man
ΘΩ
ΘΩ
ΘΩ
As +
A& +
A (9) = DE Δ -+
ay
მო
Man bekommt also
A(2) dt = 46
う
+
+ Apò
) + 44 § (
·
Apa(02)
(0%)
(322)
und indem man von der rechten Seite dieser Gleichung die Grösse
A
A
+ ..
DEA
향스 (0 ) + 주소 (0%) + 뉴스 ( 응급) +
welche gemäss den Bedingungsgleichungen 5 = 0 , dy = 0 , òy = 0 etc.
gleich Null ist, subtrahiert, gelangt man zur folgenden allgemeinen Gleichung
az
AEG
ㅎㅎ (8 )+240 (84
az
az
A
DEA
or
=
A(2) dt =
und das giebt wegen Z =
- T - V, weil V von E' ,
Z
+
2
',
'
nicht abhängt,
эт
OT
дт
ΔΕδ
+
A÷ 8(8
+Að
Ayo( 877) +Apo(37)
૦૬) +
от
Әт
от
-ÒA
- 65 Δ
( de
A(2) dt =
Nun ist aber , wie man sieht , das zweite Glied der voraufstehenden
Gleichung dieselbe Funktion , von der wir schon im Art. 7 gezeigt haben,
dass sie unabhängig von der Zeit t sein muss ; also kann man , nachdem
man darin die Werte von
, Y,
etc. als Funktionen von t und den
arbiträren Constanten substituiert hat, t gleich Null oder gleich irgend
einer beliebigen Zahl setzen .
12. Wir dürfen nun annehmen , dass diese Funktionen &, 4, ç 9 ...
от от от
2
"
etc. darstellen ,
ebenso wie diejenigen , welche die Werte von
sich in Reihen nach steigenden Potenzen von t entwickeln lassen, dass also
ૐ
= a + a't + a't² + a""'13 +
↓
= B + B't + B"t² + B' '1'³ + ...,
y + y' t + y''t² + y'"'t³ +
Abschn. V, § 2. Differentialgleichungen f. d. Variation d. Constanten.
273
от
λ + λ't + X''t² + X'''ƒ³ +
૦૬
от
1145
- ·μ + µ't + µ't²+
µ''' ƒ³ +
ay
от
= v + v't + v''t² + v'''t³ +
дф
ist. Substituiert man diese Werte in das zweite Glied der Gleichung des
vorigen Artikels, so kann man also gemäss der obigen Bemerkung nachher
t = 0 setzen. Dadurch aber fallen alle Terme fort bis auf diejenigen, welche
a, ß, y, etc. λ, μ, v, etc. enthalten.
Die Gleichung reduciert sich also auf die Form
A(2) dt =
Aaoλ + Aẞoμ + Ayov +...
- Αλία - Αμδβ - Ανδ -...
13. Die Grössen a, ß, y etc.; λ, μ, ✓ etc. können nur Funktionen
der willkürlichen Constanten sein , welche die doppelte Integration in die
etc. einführt, und man kann
endlichen Ausdrücke der Variabeln ,,
sie geradezu für diese Constanten selbst nehmen.
In der That sind die willkürlichen Constanten, welche der Lösung eines
mechanischen Problems die ganze Allgemeinheit geben , welche sie haben.
kann , die Anfangswerte der Variabeln , und die Anfangswerte der ersten
Differentialquotienten, d. h . die Werte von , 4,
etc. und von
de de
dy 9 do etc. für t =
0;
dt' dt
dt
diese Werte sind nun in den Ausdrücken von § , Y ,
angenommen haben , gleich a , ß , y etc. , a' , ß ' , '
etc. , welche wir
Ferner ist
etc.
αξ
- du
=
Teine gegebene Funktion von § , 4 ,
etc. und von = dt
dt
ƏT от от
= do etc., also werden, da die Funktionen
für
etc.
0,
t=
9
"
dt
sich auf λ , μ , v etc. reducieren , diese Constanten λ , µ , y etc. dieselben
от эт
"
Funktionen der Constanten a, ß , y etc., a ' , ß ' , y' etc. sein wie die
от
"
es von den Variabeln ,,
etc. ' , ', ' etc. sind. Anstatt
მო '
also unmittelbar a' , ' ,
' etc. als willkürliche Constanten zu nehmen,
kann man folglich auch A, p,
etc. , welche von jenen abhängen, als
solche gelten lassen. Hiernach sind also in der That a, ß , y etc. , λ, µ,
y etc. die willkürlichen Constanten der Ausdrücke von ,,
etc. und man
sieht auch , dass die Zahl dieser Constanten genau doppelt so gross als
diejenige der Variabeln , y,
etc. sein wird.
-18
Lagrange, Analytische Mechanik.
274
Methode der Variation arbiträrer Constanten .
Abschn. V.
Nach dieser Auseinandersetzung ist nunmehr die Variation A von 2,
in welcher die Operation A sich nur auf die willkürlichen Constanten beeingeführt sind.
ziehen darf, welche in 2 durch die § , ་ 4 , 4 ,
ΘΩ
ΘΩ
ΘΩ
Aa +
AB +
Δγ +
θα
03
dr
ΔΩ
+
ΘΩ
ΘΩ
ΘΩ
Δλ +
Av + ...
Ap +
Əv
Ολ
Ομ
Substituiert man diesen Ausdruck in das erste Glied der Gleichung des
vorigen Artikels und ordnet die Glieder in Bezug auf die mit ▲ bezeichneten
Differentiale, so hat man
ΘΩ
ΘΩ
dt - όλ Δα +
dt - õpe ) AB +
dt - ov
да
•)Ay +...
ав
)
ΘΩ
ΘΩ
ΘΩ
δ
= 0.
+
dt + dx Aλ +
dt + of Aμ + Əv dt + ι Av +
Ολ
ιθμ
)
.
Da man den Differentialen Aa , Aẞ etc. , welche mit A behaftet sind,
jeden beliebigen Wert geben kann, so muss diese Gleichung unabhängig von
diesen Differentialen bestehen können , sie zerfällt daher in particuläre
Gleichungen von der Form
ΘΩ
dt = 6 ;
да
ΘΩ
ΘΩ
dt = dµ ;
ΘΩ
dt —— 62;
Ολ
ав
ΘΩ
dt = - oß ;
Ομ
dt = ov;
ΘΩ
dt = - oy; ...
av
deren Zahl so gross ist, wie die der in 2 enthaltenen Constanten a, ß, 7,
λ, μ , V, ...
14. Die mit
bezeichneten Variationen sind eigentlich die Differentiale
der variabel gewordenen willkürlichen Constanten (Art. 10) ; da diese
Variationen nunmehr auch auf die Zeit t bezogen werden können , so ist
es erlaubt und selbst passend d in d zu verwandeln und man hat zur Bestimmung der neuen Variabeln a, ß, y etc., λ, μ, v etc., die Gleichungen
da
dt
ΘΩ
axi
ΘΩ
αλ
=
dt
да ;
dß
=
dt
αμ. = ΘΩ
dt
ав
ΘΩ
Ομ ;
dy
dt
ΘΩ
Əv
dv
ΘΩ
=
;
dt
Əy
wie man sieht, Gleichungen von sehr einfacher Form, welche die einfachste
Lösung des Problems der Variation arbiträrer Constanten liefern .
15. Da die Funktion 2 die Grössen a, ß, Y, etc. , λ, µ, v, etc. enthält,
so muss man diese Grössen auch in den partiellen Differentialquotienten
dieser Funktion als variabel betrachten, weil aber der Wert von 2, welcher
von den störenden Kräften abhängt, als sehr klein vorausgesetzt ist, so ist
klar, dass die Variationen dieser Grössen a, ß, r,
λ, μl, V, ... auch nur
Abschn. V, § 2. Differentialgleichungen f. d. Variation d. Constanten.
275
sehr klein sein werden, man darf dieselben also bei der ersten Annäherung
in den partiellen Differentialen von 2 als constant ansehen und braucht
auf ihre Veränderlichkeit erst bei den folgenden Näherungen Rücksicht zu
nehmen.
Wir wollen mit a, b , c, etc. ,, m, n, etc. die constanten Teile von a, ß,
ihre variablen Teile
V₂ ..., λy fly Yg ... und mit a', B', I' , ..." λ' , μ' , v',
bezeichnen, welche, da sie von der Ordnung der Grösse
sind , auch notwendig sehr klein sein werden. Es sei O der Wert, den 2 annimmt, wenn
l, m, n, ... verwandelt.
man a, ß, Y, ... 9 λ, .flg Vg ... in a, b, c,
Man hat dann
x = a + a' ;
λ -·7 + X' ;
B = b + ß' ;
y = c + y'
µ = m + µ' ;
v = n + v' ;
und durch Entwicklung
Q= 0+
+
до
до
до
a't
B' +
дъ
да
де
до
до
до
"
'+
λ
'+
j'+
дт
дп
οι
+
Die Differentialgleichungen des vorigen Artikels geben hiernach
ΘΩ
οι đt ;
da' =
=
ΘΩ
dt:
да
=
đổ
du' -
ΘΩ
дт dt;
ΘΩ
dt;
ab
dy
' dv':=
ΘΩ
дп dt;
ΘΩ
dt;
де
denn es ist offenbar, dass an Stelle der partiellen Differentiale nach a, ß , y, etc.,
λ, µ, v, die nach den analogen Grössen a, b, c, etc., l, m, n, etc. gesetzt
werden können .
Für die erste Annäherung hat man 2 = 0; wo O eine einfache Funktion
von t ist; die Integration der obigen Gleichungen ergiebt also , nachdem
durch O ersetzt ist,
eben
- Coo dt; B' οι
X=
00
да-dt; μ'=
00
дт·dt; y' =
00
dt;
дъ
dt;
п
-Sдon
dt;
v'=
до
Substituiert man diese Werte in den Ausdruck von 2, so hat man für
die zweite Annäherung
Q= 0 +
+
догдо
dt
οι да
до
дт
додо
dt,
да
οι
до - до ( до
dt
dt,
дъ
მს дт
18*
276
Abschn . V.
Methode der Variation arbiträrer Constanten.
In derselben Weise bekommt man aus dieser die dritte , dann die
vierte ... Näherung .
16. Hier haben wir eine wichtige Bemerkung zu machen. Wenn die
Funktion
die Zeit nur unter Sinus- und Cosinus - Zeichen enthält, so ist
klar, dass der Wert von 2 bei der ersten Annäherung auch dieselben
Sinus und Cosinus enthalten wird . Man könnte aber zweifeln , ob die
folgende Annäherung nicht Glieder bekäme , in denen die Zeit ausserhalb
der Sinus- und Cosinus - Zeichen vorkommen , und welche , indem sie beständig wachsen , den Wert von 2 ins Unendliche vergrössern und folglich
die Annäherung fehlerhaft machen würden.
Um diesen Zweifel zu heben, wollen wir bemerken , dass solche Glieder
nur von einem constanten Teile von 2 herrühren können , d . h. einem
Teile, der keinen Sinus und Cosinus enthält, dessen Argument von t abhängt.
Es sei also A dieser Teil , welcher eine Funktion der willkürlichen
Constanten a, ß, y etc., λ , µ, v etc. sein wird . O wird dann eine ähnliche
Funktion von a, b, c etc., l, m, n etc. enthalten, welche wir ebenfalls noch
mit A bezeichnen wollen.
Substituiert man in dem Ausdruck von 2 des vorigen Artikels A an
Stelle von O, so hat man die zweite Annäherung des Teils von 2, welcher
von der Constante A herrührt , und es wird die zweite Näherung von A
nach Ausführung der Integration
ДАДА
t
οι θα
ДА ДА
t
+
от 07
A+
ДА ДА
да д t,
ДА ДА
t,
до дт
Hier heben sich aber , wie man sieht , die mit t behafteten Glieder zu
zwei und zwei gegenseitig auf, es bleibt nur A stehen. Man ist also sicher ,
dass die zweite Annäherung in 2 kein Glied giebt , welches mitt multipliciert ist; aber man müsste untersuchen, ob solche Glieder nicht etwa in
den folgenden Annäherungen vorkommen .
Uebrigens könnte dasselbe constante Glied A in
noch mit t
multiplicierte Glieder geben , die mit nicht constanten Gliedern derselben
Funktion 2 combiniert sind ; dann aber würde dieses ausserhalb der Sinus
und Cosinus stehende t zu gleicher Zeit mit den Sinus oder Cosinus von
Winkeln multipliciert sein , welche der Zeit proportional sind . Dasselbe
würde bei den Differentialquotienten von 2 nach den a, B, 7, ... stattfinden,
wenn der Coefficient von
unter den Sinus- und Cosinus - Zeichen eine
Funktion der willkürlichen Constanten a, ß, y etc. wäre, weil dann die beiden
Differentiationen von 2 in Bezug auf diese Constanten das t aus den Sinus und
Cosinus heraustreten lassen würden . Man kann aber bemerken, dass, wenn die
successiven Annäherungen Glieder von besagter Form erscheinen lassen, in
denen also die Sinus oder Cosinus mit dem Winkel multipliciert sich vor-
Abschn. V, § 2. Differentialgleichungen f. d. Variation d. Constanten.
277
finden , welcher auch unter den Funktionszeichen Sinus und Cosinus selbst
stehet , diese Art von Gliedern fast immer das Resultat der Entwickelung
anderer Sinus oder Cosinus sind, und dass man sie vermeiden kann , indem
man die Differentialgleichungen zwischen den willkürlichen jetzt variabel
gewordenen Constanten direct integriert.
17. Obgleich die willkürlichen Constanten , welche wir angewendet
haben, diejenigen sind, welche sich am natürlichsten darbieten und welche
die einfachsten Resultate ergeben , so ereignet es sich doch oft , dass die
verschiedenen Integrationen an ihre Stelle andere Constanten einführen, die
aber nur Funktionen von jenen sein können .
Wir wollen die willkürlichen Constanten, welche in die Ausdrücke der
Variabeln ,,
etc. eintreten sollten , mit a , b , c , f, g etc. bezeichnen,
deren Zahl doppelt so gross als diejenige der Variabeln sein muss . Um die
Relationen zwischen diesen neuen Constanten und den zuerst gebrauchten
ᎧᎢ .
etc. ,
ફ્
zu erhalten , genügt es in den Werten der Funktionen ,,
от дт
' ' etc. das t = 0 zu setzen und was dabei herauskommt, den Grössen a ,
ẞ , y etc. , λ , μ ,
etc. gleich zu machen. Auf diese Weise wird man die
genügende Anzahl Gleichungen zwischen diesen verschiedenen Constanten
haben , und kann die Werte von a , b , c , f, g etc. als Funktionen von α ,
3, y etc., λ, μ, v etc. bestimmen .
Wir wollen also diese Funktionen als bekannt voraussetzen ; die
Differentiation ergiebt sofort
oa
да
da +
αβ
да
ав
da =
+
да
dy +
да
да
да
αλ +
αμ + Əv dv +
Ολ
Ομ
Substituiert man also die oben (Art. 14) gefundenen Werte von da,
dẞ etc. und dividiert mit dt, so hat man
da
=
dt
да де
да де
θα ΘΩ
+
+
+
Ολ θα
Dv Dr
де ав
θα ΘΩ
да да
да де
да да
ав дея
ər əv
db dc
Entsprechende Gleichungen gelten für die Werte von dt " dt etc. , für
welche man nur in der vorigen Gleichung a in b, in e etc. zu verwandeln
braucht.
18. Diese Formeln enthalten aber noch die partiellen Differentiale
von
in Bezug auf die Constanten a, ß,
etc. , und man hat diese in
partielle Differentiale in Bezug auf a, b, c etc. zu verwandeln, was durch
die bekannten Operationen ausgeführt wird.
278
Abschn. V.
Methode der Variation arbiträrer Constanten.
Da Q jetzt Funktion von a, b, c etc. sein soll, und da diese Grössen
selbst Funktionen von a, B, Y etc. , 2, де , v etc. sind, so hat man sogleich,
nach dem Algorithmus der partiellen Differentiation
ΘΩ
да
ΘΩ
дв
6
до дъ
да
+
+
да да
до да
до де
+.
до да
де да
де дъ
де де
+
+
+
дъ дв
да дв
до дв
da db
,
und man braucht diese Werte nur in diejenigen von
etc. des vorigen
dt dt
Artikels zu substituieren .
Macht man diese Substitutionen und ordnet die Glieder in Bezug auf
die partiellen Differentiale von 2, so sieht man zuerst, dass der Coefficient
де
da
von
in dem Werte von
gleich Null ist , ebenso verschwindet der
да
dt
ΘΩ
db
Coefficient von
in dem Werte von
u. s. f.
дъ
dt
da
Wenn man dann, um den Wert von
dt darzustellen , sich der symbolischen Formel bedient
де
da
ΘΩ
д
= (a, b)
+
дъ + (a, c) до + (a, f) of
dt
80 hat man
(a, b) =
(a, c) =
да дъ
да до
да дъ
+
+
+
Ολ θα
ду ду
де дв
да дь
да дь
да дъ
θα ολ
ду ду
др дн
да до
да до
да до
+
+.
+
Ολ θα
Dv Dr
Ομ δβ
да де
да да
да де
да до
ав де
by av
db
zu erhalten , braucht man nur in diesen Formeln
dt
a in b und bin a zu verwandeln, indem man noch bemerkt, dass
(b, a) = --- (a, b) ist; man hat so
Um den Wert von
db
ΘΩ
ΘΩ
=- (a, b)
+
+ (b, c) дь + (b, f)
dt
да
of
(b, c):=
дь до
до де
дь до
+
+
+
Ολ θα
ду ду
ду дв
дъ до
да дл
до до
дь до
ав де
ду ду
-114
:
Abschn. V, § 3.
Variation der lebendigen Kraft.
279
i
Bezeichnet man allgemein mit x irgend eine der Constanten a , b , с
fg etc. und beachtet, dass der Wert der durch zwei Klammern dargestellten
Symbole gleich Null wird, wenn die beiden Buchstaben in der Klammer
identisch sind und dass er sein Zeichen ändert, wenn man die Ordnung
der Buchstaben ändert, so hat man folgende zusammenfassenden Formeln
dx
=
dt
ΘΩ
ΘΩ
ΘΩ
a) да + (x, b) ab + (x, c) до +
ди да
(x, α) =
ди да
ди да
да дл
ди да
+
+
Ολ θα
+
Ομ οβ
ди до
av ar
ди да
ав де
Əy av
19. Die Hauptanwendung finden diese Formeln in der Planetentheorie,
wenn es sich darum handelt , die Wirkung der gegenseitigen Störungen
zu berechnen , indem man die Berechnung auf die Variation der willkürlichen Constanten zurückführt, die in diesem Falle die Elemente der
ursprünglichen Bewegung sind.
Besonders nützlich sind sie , um die
Variationen zu bestimmen, welche die Astronomen säkulare darum nennen,
weil sie sehr lange Perioden haben und unabhängig sind von den Veränderungen, welche in den ursprünglichen Variabeln stattfinden .
Die Gleichungen des Art. 18 enthalten keine anderen Funktionen der
Zeit als wie sie in den partiellen Differentialquotienten der Funktion 2 auftreten, sucht man also den Teil A der Funktion 2 , welcher unabhängig von
der Zeit ist und nur die willkürlichen Constanten a, b, c etc. enthält, durch
Auflösung in Reihen oder auf eine andere Weise , so genügt es , zu dem
Behufe in diesen Gleichungen A an die Stelle von 2 zu setzen , man hat
dann direct die Gleichungen zwischen den Grössen a, b , c etc. , welche
variabel geworden sind , und der Zeit t , welche , weil sie von jedem Sinus
oder Cosinus befreit sind , dazu dienen werden , ihre säkularen Variationen
zu bestimmen.
§ 3. Beweis einer wichtigen Eigenschaft der Grösse, welche die lebendige
Kraft eines durch Störungskräfte gestörten Systems ausdrückt.
20. Die willkürlichen Constanten , deren Variationen wir soeben angegeben haben, hängen von der Natur jedes Problems ab und können nur
in besonderen Fällen bestimmt werden . Es giebt indessen eine Constante ,
welche allgemein in allen Problemen vorkommt, wo V nur eine Funktion von
,, w etc. ist , es ist diejenige , welche die Integration zu der Grösse t
hinzufügen muss ; denn da die Differentialgleichungen alsdann nur das
Element dt enthalten , so ist klar , dass man in den endlichen Ausdrücken
der Variabeln als Funktionen von t stets an die Stelle von t setzen kann
t plus einer Constanten.
280
Methode der Variation arbiträrer Constanten .
Abschn . V.
Bezeichnen wir diese Constante mit K und beziehen darauf die mit A
symbolisirten Differentiale in der allgemeinen Formel des Art. 11 , so hat man
ΔΩ -
ΘΩ
δε
Δέ
= дкAK; ...
; = әкAK; A&
44 =
әк AK; A
etc. Funktionen von t + K sind, so ist
Da aber ,,
Οξ = αξ =
ૐ
дк dt
und ferner
дер
ის __
dit = o ' ; ...
Do = dy
= dy әк dt = ' ; дк dt
Es ist also
AK; A& = Y'AK; Aq = & ' AK ; ·
A =
Aus demselben Grunde hat man
ᎧᏃ
ᎧᏃ
હ્રદ
AK; A
dt
ay'
d
az
=
A
૦૬
d
ᎧᏃ
a
AK;
dt
Die Differentialgleichungen des Art. 3 geben aber
0Z
૦૬'
dt
d
d
ᎧᏃ
૦૬
ᎧᏃ
ay' = ᎧᏃ
dt
ду
also wird
A
ᎧᏃ = ᎧᏃ
az
ᎧᏃ
=
AK; A
AK;
ਰਵਾ
und die allgemeine Formel des Art. 11 geht nach Division mit AK über in
ΘΩ
dt:=
дк
az
az
0
+4.(02)
ૐ |
+
ž'
ᎧᏃ
az
ᎧᏃ
მს
деф
DE δε
op
Nun hat man
ᎧᏃ
E'S
)
(응%)+
강금(0
40 ( 0% )+ 40 ( 87 ) +
=
'
E
ᎧᏃ
ᎧᏃ
+4
ละ
ay'
az
ᎧᏃ
+
.....
ᎧᏃ
ᎧᏃ
Əy
ap'
SEde
op'
und da Z eine Funktion von
so wird auch
ᎧᏃ =
281
Variation der lebendigen Kraft.
Abschn. V, § 3.
, 4,
etc. und von ' ,
' , q ' etc. sein soll,
az
07
ᎧᏃ
δξ +
·op +.
o4 +
Ə
ду
др
az
+
ᎧᏃ
δξ'+
02
84'+
đé'
Die vorige Gleichung giebt also
ΘΩ
az
ᎧᏃ
dt +4
이응
Әк
તદ્દ
+'
'dep²+
&
- z) ,
und hier muss das zweite Glied eine Funktion der willkürlichen Constanten
und unabhängig von t sein.
αξ
dt
verwandelt (Art. 3), so sieht man leicht, dass die Grösse
21.
Wenn man Z in 7 - V und ' ,
az
૦૬'
' etc. in
αψ " αφ
dt
dt
etc.
az
az
+9
+4
'
',
Z
+
Əy
dasselbe ist wie
от
de +
Ode
эт
от
·dy +
·dq +·
ddy
дар
T + V.
Diese Grösse ist aber , wie wir wissen, stets gleich TV und da sie
auch constant ist (Art. 14, vorig. Abschn.), so folgt die Gleichung T + V = H,
welche das Prinzip der Erhaltung der lebendigen Kräfte des Systems ausdrückt.
Nimmt man H als eine der willkürlichen Constanten , so hat man
also als ihre Variation, welche von den in der Funktion 2 enthaltenen
•
störenden Kräften herrührt, die folgende sehr einfache Formel
ΘΩ
dH= JK dt.
OK
22.
Zu
dieser Formel kann
man
auch auf einem kürzeren Wege
gelangen.
Denn geht man auf die Gleichungen des Art. 8 zurück,
multipliciert sie resp. mit de, dy, de etc. , addiert sie und integriert, indem
man dieselben Reductionen anwendet, wie im Art. 14 des vorigen Abschnittes ,
so gelangt man direct zu der Gleichung
ΘΩ
ΘΩ
ΘΩ
T+ V= H +
de +
dy +
dy
de +
оф
..
).
Hierin ist im Allgemeinen die Grösse, welche unter dem Integralzeichen
steht , nicht integrabel , weil die Funktion 2 wegen der Beweglichkeit,
welche man bei den Centren der störenden Kräfte annehmen kann, ausser
282
Abschn. V.
den Variablen ,,
enthalten wird .
Methode der Variation arbiträrer Constanten.
etc. noch andere von jenen unabhängige Variable
In dem Falle, wo es keine störenden Kräfte giebt , hat man einfach
T + V = H; es ist nun klar , dass man diese Form bei dem Integrale,
welches wir soeben gefunden haben, beibehalten kann, wenn man die Constante H variabel werden lässt und setzt
dH-==
ΘΩ
ΘΩ
ΘΩ
αξ +
dy +
do +.
DE
ду
Aber die Grösse
ΘΩ
ΘΩ
αξ +
Ə
ΘΩ
dy +
аф
de +
მ
ist nichts anderes als das Differential von 2, wenn man nur die Grössen
,,
etc. variieren lässt , welche von den ursprünglichen Differentialgleichungen abhängen, und die man als bekannte Funktionen von t + K,
wo K wie in Art. 20 die Constante ist, die stets zu den Variablen t addiert
werden muss, voraussetzt. Und da die Variablen ,,
etc. nur mit der
Zeit t variieren, so sieht man leicht, dass die genannte Grösse dasselbe wie
ΘΩ
Gleichung
әк dt sein wird ; man hat also, wie oben, die
ан
ΘΩ
=
dt
ак
23.
Diese Gleichung kann man auf die Form
dH
dt
ΘΩ
at
bringen, vorausgesetzt, dass man in dem angegebenen partiellen Differentiale
von
die Grösse t nur insofern variieren lässt, als sie in den Ausdrücken
der Variablen , 4,
etc. enthalten ist. Nun folgt aus dieser Definition
ΘΩ
von
dass, wenn die Funktion 2 die Zeit t nur unter den Sinus- und
dt
Cosinus-Zeichen enthält , wie in der Planetentheorie , der Ausdruck von
do
dt nur aus periodischen Gliedern zusammengesetzt sein kann, weil jedes constante Glied von 2 durch die Differentiation nacht verschwindet. Bei der
ersten Annäherung, wo man die arbiträren Constanten, welche in der Funktion
2 auftreten , als absolut constant ansieht , wird daher das Integral von
ΘΩ
sat dt, d. h. der Wert von H, keine solchen Glieder wie Nt enthalten, welche
1
mit der Zeit wachsen. Wir haben weiter oben (Art. 16) gesehen, dass die
zweite Annäherung in 2 auch kein Glied geben kann, welches nicht periodisch
Abschn. V, § 3.
Variation der lebendigen Kraft.
283
ist ; derselbe Schluss wird also in Bezug auf den Wert von H auch noch
bei der zweiten Annäherung gelten.
24. Die Grösse T drückt die lebendige Kraft des Systems aus und ist
gleich H --- V. Wenn das System durch keine störende Kraft gestört wird ,
ist die Grösse H constant, und die lebendige Kraft hängt nur von den
beschleunigenden in dem Ausdrucke von V enthaltenen Kräften ab , wie wir
in Art. 34, Abschn. III. gesehen haben. Diese Grösse wird variabel, sobald
störende Kräfte vorhanden sind, folglich wird die lebendige Kraft durch die
Einwirkung dieser Kräfte auch geändert , aber aus dem, was wir soeben
bewiesen haben , sieht man , dass diese Aenderungen nur periodisch sein
können, wenn der Ausdruck der störenden Kräfte wenigstens in den beiden
ersten Annäherungen periodisch ist.
Dieses Resultat ist bei der Störungsrechnung von grosser Wichtigkeit .
Abschnitt VI.
Ueber
sehr
kleine
Oscillationen
eines Systems
von
Körpern.
Die Differentialgleichungen für die Bewegung irgend eines Systems von
Körpern sind stets in dem Falle integrabel , wo die Körper sich nur sehr
wenig von ihren bezüglichen Gleichgewichtslagen entfernen, kleine Oscillationen
um diese Gleichgewichtslagen ausführen ; man kann die Gesetze solcher
Oscillationen des ganzen Systems bestimmen. Die allgemeine Analyse dieses
Falles, welche sehr ausgedehnte Bedeutung hat, und die Lösung einiger der
Haupt-Probleme, welche sich darauf beziehen, sollen Gegenstand dieses Abschnittes sein.
§ 1.
Allgemeine Lösung des Problems sehr kleiner Oscillationen eines
beliebigen Systems von Körpern um deren Gleichgewichtspunkte.
Es seien a, b, c die Werte der rechtwinkligen Coordinaten eines Körpers
m des Systems, wenn derselbe sich in seinem Gleichgewicht befindet. Für
irgend eine andere Lage desselben hat man
x = a + a; y =·b + ß ; z = c + r
und da dieser Körper bei seiner Bewegung nach der Voraussetzung sich
nur sehr wenig von seiner Gleichgewichtslage entfernen soll , so sind die
Variabeln α, ß, y stets sehr kleine Grössen, und man hat hiernach nur auf
die erste Dimension dieser Grössen bei den Differentialgleichungen der
Bewegung Rücksicht zu nehmen. Dasselbe wird für die a, ß , y der übrigen
Körper gelten ; wir wollen aber die Beziehung dieser a , ß , y auf die verschiedenen Körper m ' , m " etc. desselben Systems dadurch charakterisieren ,
dass wir die Buchstaben durch ein , zwei und mehrere Striche bezeichnen.
Wir wollen nun zuerst die Bedingungsgleichungen betrachten, die nach
der Natur des Systems stattfinden müssen und welche man durch L = 0,
M = 0 etc. darstellen kann, wo L, M etc. gegebene algebraische Funktionen
der Coordinaten x, y, z, x', y' , z',
sind. Da das System sich auch in
der Gleichgewichtslage befinden kann , so folgt , dass diese Gleichungen
L = 0, M = 0 etc. auch bestehen müssen, wenn man aus x, y, z, x' etc.
Abschn. VI, § 1. Theorie kleiner Schwingungen.
285
a, b , c , a' etc. werden lässt , woraus man leicht den Schluss ziehen kann ,
dass diese Gleichungen die Zeit t nicht enthalten können.
Es werde also aus L, M etc. bei Substitution der Gleichgewichtscoordinaten a, b, c ; a' , b' , c' , ... an Stelle der x, y, z, x', y', z' allgemein
A, B etc. Ersetzt man aber in L , M, N, ... die x, y, z ; a ' etc. durch
ihre Werte a + a , b + ß , c + 1 , a' + a ' etc. , so hat man , da α , ß , %,
a' etc. sehr klein sind ,
L= A +
ДА
да
ДА
ДА
at
at
B+
7+
де
да
da'
მს
M= B +
дв
дв
дв
дв
a't
a+
B+
7+
да
де
მს
da'
etc.
Folglich hat man, da im Zustand des Gleichgewichts L, M, N, ...
……. in
A, B, C, ... übergehen , allgemein
A = 0 ; B = 0, ....
1)
und somit in jedem Falle
ДА
ДА
да
да
a+
B+
7+
a'+
да
da'
де
მს
2)
дв
at
да
дв
дв
дв
a't
B +
1+
де
дъ
ды
-=0,
-0
welche Gleichungen die Relationen geben, die zwischen den Variabeln a, ß, y,
a' etc. stattfinden müssen .
Vernachlässigt man zunächst die sehr kleinen Grössen zweiter und
höherer Ordnung, so erhält man für die a, ß, y, a' , ... lineare Gleichungen,
durch welche man die Werte einiger dieser Variabeln durch die der anderen
bestimmen kann ; mit Hülfe dieser ersten Werte findet man dann in zweiter
Annäherung genauere, wenn man auch auf die zweite und höheren Potenzen,
so weit man will, Acht giebt. Man erhält also die Werte einiger dieser
Variabeln a, ẞ, 7, a' etc. als Funktionen in Reihen der anderen Variabeln
und diese übrig bleibenden Variabeln werden dann völlig unabhängig von
einander sein.
Man kann, wenn man auf die Bedingungsgleichungen Rücksicht nimmt,
in den meisten Fällen die Coordinaten sogleich durch Substitutionen
als rationale ganze Funktionen der anderen unter sich unabhängigen und
sehr kleinen Variabeln , deren Wert im Zustande des Gleichgewichts gleich
Null ist, darstellen.
Wir wollen daher annehmen, dass allgemein sei
x = a + a¸§ + a₂ ¢ + а34 +
+ a'₁§² +
y = b + b₁ ¿ + b₂ 4 + bzq + ··· + b²'₂1 §² +
≈ = c + c₁₂ & + C24 + C34 + ... + c₂² +
Abschn. VI.
286
Oscillationsbewegungen .
. ; die Grössen a, b, c,
und ebenso bei den andern Coordinaten x' , y' , z' ,
a₁ , b₁ , ... sind constant, die Grössen έ, Y, ? , ... sind variabel , sehr klein
und im Gleichgewicht gleich Null .
2. Man hat also diese Substitutionen in den Werten von T und V
des Art. 10, Abschn. IV auszuführen. Es genügt dabei nur noch auf die zweiten
Dimensionen Rücksicht zu nehmen , um so lineare Differentialgleichungen
zu erhalten. Es ist nun klar, dass hiernach der Wert von T die Form
haben wird
·(1) dĘ² + (2) d↓² + (3 ) dq² + ···
T=
2dt2
+
(1,2) d§d↓ + ( 1,3) d§ do + ( 2,3 ) đ↓ do + ··· 2
dt2
wenn man zur Abkürzung setzt
(1) = S (a¸² + b₁² + c¸³) m,
2
(2) = S (a₂² + b²² + c₂²) m,
2
(3) = S (az² + bz² + cz³) m,
(1,2) = S (a₁ a½ + b₁ b½ + c₁ c₂) m,
(1,3) = $ (a, a, + b₁ b + c₁ cz) m ,
(2,3) = S (α, az + b2b3 + C2 C3) m,
wo das Zeichen S Integrationen oder Summationen bezeichnet, die in Bezug
auf alle die verschiedenen Körper m des Systems zu nehmen sind und von
den Variabeln , y ,
etc. und von der Zeit t unabhängige Resultate ergeben.
Bezeichnet man ferner mit F die Funktion , in welche II übergeht, wenn
daselbst a, b, c, ... an die Stelle von x, y, z, ... gesetzt werden , so lässt
sich der allgemeine Wert von II ausdrücken durch
OF
..
(α₁ + α₂4 + az& + ···)
да
OF
+
дъ (b₁ § + b₂ 4 + bzq + ·· ·)
OF
.. •)
+
до (c₁E + C₂4 + C34 + ···)
02F
+ 2 da² (α₁ & + α₂ 4 + AzQ + ·· ·)²
F+
02F
+ дадь-(α₁ § + α₂ ¥ + аz & + · · ·) ( b₁ § + b₂ 4 + b₂ ¢ + · · ·)
02F
+ 2062 ·(b₁ § + b₂ 4 + b3 4 + ·· ·)²
287
Abschn. VI, § I. Theorie kleiner Schwingungen.
und es genügt nur noch die zweiten Dimensionen von έ, 4 , 9 , ... zu berücksichtigen. Um den ganzen Betrag V zu bekommen, multiplicieren wir
diese Funktion mit m und integrieren gemäss der Operation S, dann wird
allgemein
V = H + H₁₂
+
+ H₂
+ H₂q + ...
[1] ² + [2] ² + [ 3 ] q² + ···
2
+ [ 1,2]
+ [ 1,3 ]
+ [ 2,3 ] 4
+ ...
und hierin ist
H = SFm,
OF
OF
m,
да а1 + дъ ს , - + де C1Jm,
H₁ = S (37
OF
OF
OF
H₂ = S да A2 + дъ b₂ + до C2
OF
OF
OF
H3 да az + до სვ + де C3
ô²F
02F
да? а12 + ab2
m,
)m,
Ə²F
дег C₁2
m
[1 ] = S
02F
02F
02F
+2 dad ab₁ + 2
де
Jadc a1c1 +2 дъ вс
02F
02F 2
02F
дач ад? + dдb
ъгz b₂2+ ac²
m
[2 ] = S
d2F
02F
02F
+2
дадь aqb₂ + 2 дадс A2C2 + 2 дъдо b, c2
02F
02F
02F
баг аз2 + ab2 b₂2 + dc2 C3 2
m
[ 3] = S
02F
02F
"F
+2
дадь Azbz + 2 даде AzCz +2 доде bzCz
02F
да
[1,2] = S
02F
02F
ab2 ხხი + де C1 C2
02F
02F
+ дадь (a₁b₂ + a2b₁) + да до (a₁ c₂ + α₂c₁)
02F
+ მეც ( 12 + b2e, )
m
288
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen.
02F
02F
02F
да? a1a3 + 862 · ს, ხვ + :Oc² C103
02F
02F
[ 1 , 3] = S { +´da əb (а b² + аžb₁) + da dc (a₁ cz + αzc₁)
+
m
Ə²F
дъдс (b₁C3 + b3C1)
021
02F
Ə²F
дач ага: + дьг ხახვი + Oc C2C3
+
20
02F
02F
[2,3 ] = S { + da əb (a₂ b² + az b₂) + Đuốc (a₂ Cz + azC₂)
Ə²F
дъдс (bqC3 + b3 C2)
3. Hat man auf diese Weise die Werte von T und V als Funktionen
der von einander unabhängigen Variabeln έ, Y,
etc. , ausgedrückt, so ist
weiter keiner Bedingungsgleichung zu genügen und da die Grösse T
nur die Differentiale der Variabeln enthält, so bekommt man sogleich für
die Bewegung des Systems folgende Gleichungen
от
d
av
+
δαξ
эт
d
0,
Οξ
дт
= 0,
+
даф
მს
от
d
эт
+
дар
0,
00
Die Zahl dieser Gleichungen ist , wie man sieht , gleich der Zahl der
Variabeln.
Diese Gleichungen müssen auch im Zustande des Gleichgewichts
bestehen, weil das System, wenn es einmal im Gleichgewicht ist, stets darin
von selbst verbleiben würde.
Beim " Gleichgewicht ist aber x = a , y = b , z = c , x' = a' ,
(nach
de
=
=
der Voraussetzung), also
= 0,
0,
0 etc. und ebenso dt =0,
от
от
d23
dy =
"
0, etc. und
etc. sind folglich
= 0 etc. Die Glieder
dt
dt2
dd
ddy
ат av av
gleich Null und da die Glieder
sich in H1, H2, H₂ etc.
аф
оф
verwandeln, so hat man
H₁ = 0, H₂ = 0, H₂ = 0, ...
Abschn. VI, § 1. Theorie kleiner Schwingungen .
289
Dies sind die nötigen Bedingungen , damit a, b, c, a' etc. die Werte
von x, y, z, x' , ... für den Gleichgewichtszustand ausdrücken, wie wir
dies vorausgesetzt haben.
In der That, es ist
d V = S (Pdp + Qdq + Rdr ++ ...・) m
die Summe der Momente aller Kräfte Pm , Qm, Rm etc. , die an allen
Körpern m des Systems wirksam sind ; im Gleichgewichtszustande müssen
sich diese Momente aufheben, also muss nach der allgemeinen , im Abschn. II,
Teil I gegebenen Formel in Bezug auf jede der unabhängigen Variabeln
dV0 sein, und folglich werden
av
av
av
= 0,
= 0,
DE
მს
=0, ...
деф
die Bedingungen des Gleichgewichts ausdrücken ; aus diesen aber folgt,
weil im Gleichgewicht = 0, 4 =
: = 0, y = 0, ... sein sollte, wieder
H₁ = 0, H₂ = 0, H₂ = 0.
Die ersten Dimensionen der Variabeln § , Y , ❤ , ... in dem Ausdruck
von V fallen daher stets fort.
Wir substituieren jetzt in den allgemeinen Bewegungsgleichungen die
Werte von T und V und setzen H₁ , H₂ , H₂ gleich Null , wir bekommen
dann für die Bewegung des Systems die folgenden Gleichungen
d2 ;
d24
d24
0 = (1) dt2 + (1,2) dt2 + (1,3) dt2 +
+ [ 1 ] + [ 1,2] 4 + [ 1,3 ] 4 +
dºk
d24
d24
...
0 = (2)
dt2 + (1,2) dt2 + (2,3) dt2 +
+ [2] + [ 1,2] § + [ 2,3 ] + ...
··.
0 = (3) d240
dt
d24
2,3
dt2 + (1,3) dt2 + ( ) dt2 +
+ [ 3]
+ [ 1,3 ]
+ [ 2,3 ] 4 + ···
welche Gleichungen , da sie mit constanten Coefficienten eine lineare Form
verbinden , durch die bekannten Methoden auf völlig strenge und allgemeine
Art integriert werden können .
4. Man kann zuerst annehmen, dass die durch solche Gleichungen bestimmten Variabeln unter einander constante Verhältnisse haben, d. h . dass
4 = ft, 4 = gå, ..
Lagrange , Analytische Mechanik.
19
290
"
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen.
ist; führt man aber diese Substitutionen in die oben aufgestellten Gleichungen
ein, so wird
d2
[(1 ) + (1,2) f+ (1,3 )g + …..] dt2 + { [ 1] + [ 1,2] ƒ+ [1,3] g + ·· ·} § = 0,
d2Æ
[ (2 ) ƒ + ( 1,2) + (2,3 ) g + ···] dt2 + ([2]ƒ+ [ 1,2] + [2,3 ]g +···) § = 0,
[(3)g + (1,3 ) + (2,3) ƒ + ···] dt2 + ([ 3] 9+ [ 1,3 ] + [2,3 ]ƒ + ···) § = 0 ,
.
Alle Gleichungen haben also dieselbe Form
d2
+ x = 0,
dt2
wenn der Reihe nach gesetzt wird
x = [ 1] + [1,2]ƒ + [ 1,3]g +
9
(1) + (1,2)ƒ + ( 1,3) g + ..
= [2]ƒ + [ 1,2] + [ 2,3]g +
(2)f + ( 1,2) + (2,3)g +
[ 3]g + [ 1,3] + [2,3]f +
(3)g + (1,3) + (2,3)f +
Die Zahl dieser letztern Gleichungen ist, wie man sieht, der Zahl der
unbekannten Grössen f, g, ... gleich ; sie bestimmen folglich vollkommen
diese Unbekannten. Indem man den Term x als erstes Glied zurückbehält
und mit dem Nenner des zweiten Gliedes der jedesmaligen Gleichung multipliciert, bekommt man lineare Gleichungen in f, g, ... ; eliminiert man dann
diese f, g, ... mit Hilfe irgend einer der bekannten Methoden, so resultiert,
wie man aus den Eliminationsformeln leicht ersieht, für x eine Gleichung,
deren Grad der Anzahl der Gleichungen , und folglich auch der der
gegebenen Differentialgleichungen gleich ist. Man erhält also für x eine
der Anzahl der Differentialgleichungen entsprechende Zahl von verschiedenen
Werten, deren jeder, wenn man ihn in die Ausdrücke von f, g etc. substituiert,
die zugehörigen Werte dieser Grössen geben wird.
d2
κ = 0 folgt
Aus der Integration der Gleichung
+x
dt2
€ = E sin(t√√x + ε),
wo E, ɛ willkürliche Constanten sind ; mit Hilfe der angenommenen Be=g ,
ziehungen = f ,
... bekommen wir dann auch die Ausdrücke für
die Variabeln , p, ..., damit ist zwar nur eine particuläre Lösung gefunden ,
aber man kann sofort noch eine zweite, dritte etc. Auflösung erhalten , indem
man der Grösse x immer andere und andere von ihren Werten giebt ; verbindet man diese einzelnen Lösungen mit einander, so erhält man eine all-
Abschn. VI, § 1.
Theorie kleiner Schwingungen .
291
gemeine Lösung, da auf der einen Seite die Summe der particulären Werte
von §, 4, ❤, ... gleichmässig den Differentialgleichungen wegen der linearen
Form dieser genügt , und auf der anderen Seite diese Summe zweimal
soviel willkürliche Constanten enthält, als es Gleichungen giebt, und folglich
ebensoviel als die vollständigen Integrale zulassen können. Wir bezeichnen
mit x', x'', x''', ... die verschiedenen Werte von x , d. h. die Wurzeln der
Gleichung in x und mit f, g', ... ; f' ', g' , ...; f"" , g"", ...; die entsprechenden Werte von f, g, ...9 ferner nehmen wir eine gleiche Anzahl
von willkürlichen Grössen E' , E" , E"" , ... und von willkürlichen Winkeln
ε', ε", e'"' , ... an ; wir erhalten dann folgende vollständigen Werte von §, Y, p , ...
ૐ = E'sin(t√/x' + e') + E" sin ( t√/x" + e' ) + E'''sin (t√/x'"
' + ε ''') + ·· · ,
& = f'E'sin (t√/x' +e') + f" E" sin ( t√/x" + e" ) + f'" E""' sin (t√x"" + e"" ) +·
ç = g'E'sin (t√√x' + e' ) + g″ E" sin ( t√/x" + e" ) + g '" E"'' sin (t√/x'"' + e'"') +
in welchen die willkürlichen Grössen E', E" , E".9
. ; ε'," ɛ '' ", ε''', ... von
de do do ...
den Werten abhängen , die E , 4, 4, ..... und
für t = 0 ,
dt
dt ' at' at
d. h . für den Anfangszustand des Systems haben.
Wenn man nämlich in den für έ , 4 , 4 , ... gefundenen Ausdrücken
t = 0 setzt und die für diese Zeit geltenden Beträge von έ , 4 , 4 , ...
als gegeben ansieht , so hat man eine Reihe linearer Gleichungen zwischen
den Unbekannten E'sine' , E" sin e", ...9 deren Zahl halb so gross ist wie
die der Unbekannten E' , E",·9
. ; ε' , ε " , ... Betrachtet man aber auch
de dy do ...
die Werte der
für denselben Zeitpunkt t = 0 als bekannt
dt ' dt' dt'
und setzt in den Differentialen derselben Ausdrücke t = 0, so bekommt man
ein zweites System linearer Gleichungen zwischen E'cose', E" cose" , ...
und diese machen die zur Bestimmung der willkürlichen Constanten nötigen
Gleichungen vollzählig. So kann man also aus beiden Systemen leicht die
Werte von E' , E" ,
ebenso wie die von tge', tgs" , ... und endlich die
Werte der Winkel e', e" , ... selbst ausrechnen.
Man kann aber diese unbekannten Grössen direct und ohne weitläufige
Elimination bestimmen, und zwar dient dazu folgende einfache Methode.
5. Ich bemerke zunächst, dass, wenn ich die Differentialgleichungen des
Art. 3 addiere , nachdem ich die zweite mit f, die dritte mit g, ... multipliciert habe und der Kürze wegen
p = (1)
P = [1]
+ (1,2) f + ( 1,3) g + ···,
+ [1,2] + [ 1,3]g +
,
q = (2)f + (1,2) + (2,3) g + ··· ,
Q = [2] + [1,2] + [2,3]g + · 9
r = (3) g + ( 1,3 ) + ( 2,3 ) ƒ + ·
9
R = [3]g + [ 1,3 ] + [ 2,3] ƒ +.
19
292
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen .
gesetzt habe, ich erhalte
d²
d2q
αξ
0 = P at² + q dt2 + r dt2 +
+ PE + QY + Rq + ·
Die Gleichungen des Art. 4 aber geben
P = xp, Q = xq, R = xr,
also bekommt die vorstehende Gleichung die Form
d²(p + q
0
+ rq + ···)
+ (pë + gy + rię + · · ·) α,
dt2
woraus durch Integration folgt
på + q¥ + rq +
wo Z und
= L sin (t√√x + λ),
zwei willkürliche Constanten sind.
Diese Gleichung muss auf gleiche Weise für alle verschiedenen Werte
von x, die aus denselben Bedingungsgleichungen folgen und die wir mit x',
x' , ... bezeichnet haben , gelten . Bezeichnen wir also mit p', p' , ... ;
und nehmen verschiedene
q', q' , ... die entsprechenden Werte von p, q,
willkürliche Constanten L
' , L" ,
. ; λ', X".2 ... an, so erhalten wir folgende
Gleichungen
p' § + q′ 4 + r′ ? +
= L' sin (t√x + x′ ),
"
p″ § + q″ 4 + r'"' q + ··· = L" sin (t√/x" +2″ ),
p'''¿ + q'" & + "'"'? + ... = L'''sin (t√/x""'+ 2'''),
Diese Gleichungen dienen zugleich dazu, die Werte von E, 4, 7, ... zu
bestimmen , es ist aber klar , dass die so gefundenen Werte mit den oben
(Art. 6) abgeleiteten zusammenfallen müssen , da sie beide aus denselben
Differentialgleichungen resultieren .
Substituiert man daher die in dem
bezeichneten Artikel zusammengestellten Werte der Variabeln in die
vorigen Gleichungen , so müssen sie identisch erfüllt werden .
Hieraus schliesst man leicht , dass die erste Gleichung ergeben muss
N'e', L
' = (p' + f'q' + g'r' + ···) E'
und
p'+ f" q' + g" r
"''+
+ ··· = 0,
= 0,
p' + f
'""'q' + g'"'"'+
dass aus der zweiten Gleichung folgt
X" = e" , L" = (p" + f" q" + g″ r" + ·· ·) E "
Abschn. VI, § 1.
Theorie kleiner Schwingungen .
293
und
p'" + f' q' + g' r' + · ·· = 0 ,
p" + f"" q" + g"" " +
u . s. f.
0,
Substituiert man daher in die oben genaunten Gleichungen für
X
' , I' , X" , I" , X"" ,
"" etc. die eben gefundenen Werte, so erhält man
E' ṣin ( t√/ x' + e')
- p'§ + q'4 + r'q +....
p +q'f
' +rg + ...
E" sin (t√x" + ε")
-p''§ + q″ 4 + r'"'q +
p" + q" f" + r'g' +
p'''§ + q""'& + j'"& +
E''' sin (t√x"" + e""') ='
'p'""' + q'"'f
'""' + r'"'g'" + ·
welche in einem reciproken Verhältnis zu den in Art. 4 vorgeführten
Gleichungen stehen.
ε' ,
Jetzt hat die Bestimmung der willkürlichen Grössen E' , E" ,
ย่า ...
keine Schwierigkeiten mehr , denn setzt man t = 0 , so wird aus
den ersten Gliedern der vorstehenden Gleichungen
E'sine' , E" sinɛ ", ...
Die zweiten sind aber alle bekannt , wenn man die Werte von § , 4 ,
, ... als im ersten Augenblick gegeben ansieht. Differentiieren wir dann.
dieselben Gleichungen und setzen hierauf t = 0 , so werden die ersten Glieder
√
E' cose',
" E" cose" , ...
und die zweiten werden auch alle bekannt sein, wenn man die Grössen
αξ
de dy do
9
"
" ... für 10 als gegeben ansieht, folglich etc.
dt ' dt dt
6. Die Lösung des Problems ist daher einzig und allein auf die
Bestimmung der Grössen x, f, g, h etc. zurückgeführt. Diese Bestimmung
hängt aber, wie wir im Art. 4 gesehen haben , von der Lösung der
Gleichungen
px ― P = 0, qx — Q = 0 , rx — ·R = 0, ...
ab , wenn man für die Grössen p, q, r, ….., P, Q, R, ... die in Art . 5
gegebenen Definitionen beibehält.
Bezeichnet man aber mit A den Wert , den die Grösse T annimmt,
de
αξ
du
do
"
" đẹp " ... in e, f, g etc. verwandelt,
wenn man in ihrem Ausdruck
dt
dt
dt
und mit B den Wert, den der Teil von V bekommt, in welchem die Variabeln
,,
als Producte zu zwei und zwei vorkommen , wenn man diese
294
Oscillationsbewegungen.
Abschn. VI.
Variabeln ebenfalls in e, f, g etc. verwandelt, so sieht man leicht, und man
könnte sich sogar a priori davon überzeugen , dass man hat
ДА
Ρ = де
да
ДА
r=
q=
of'
Əg
дв
дв
, R=
of'
Əg
дв
2
P=
де
Die Grösse e ist nur der Homogeneität wegen eingeführt, nach Ausführung der Differentiation hat man sie gleich 1 zu setzen. Setzt man also
allgemein
Ax – B = K,
so werden die Gleichungen zur Bestimmung der Unbekannten x, †, 9, ...
әк
әк
әк
== 0,
= 0, ...
= 0,
де
Og
of
worin e
1 zu machen ist.
Da also die Grösse K unmittelbar aus den
Grössen T und V sich bildet , so kann man auch direct die gesuchten
Gleichungen finden, ohne nötig zu haben, sie aus den Differentialgleichungen
der Bewegung des Systems herzuleiten.
Ich bemerke jetzt , dass , weil K eine homogene Funktion zweier
Dimensionen von e, f, g, ... ist, man infolge der Eigenschaft dieser Art
von Funktionen, wie im Art. 15 , Abschn. IV. gezeigt ist, hat
әк
2K
e
әк
дк
де + f of + g og +
Da die Differentialquotienten von K gleich Null sind, so hat man also
auch K = 0, die Unbekannten f, g, h, ... müssen also so beschaffen sein,
dass nicht nur die Grösse K, sondern auch jede ihrer Differentiale in Bezug
auf diese Unbekannten gleich Null ist. Hieraus folgt dann , dass die
Grösse x , welche als eine Funktion dieser Unbekannten betrachtet worden
ist und von der Gleichung K = 0 abhängt, ein Maximum oder ein Minimum
sein muss.
Da also K mit seinen Differentialquotienten zugleich verschwindet,
kann man eine der obigen Gleichungen durch K = 0 ersetzen , macht man
dK
‫܀‬0
also von vornherein e
1 und ersetzt die Gleichung de = O durch K:= ‫ܕ‬
so hat man zur Bestimmung der Unbekannten f, g, h etc. die Gleichungen
әк
әк
= 0,
K = 0,
of
==0
og
әк
=0
Man bestimmt zuerst also den Wert von f aus der Gleichung of
und substituiert ihn in die Gleichung K = 0, dadurch geht diese Gleichung
әк
= 0 und
in eine andere K'0 über , aus dieser letztern bildet man
Og
Abschn. VI, § 1.
Theorie kleiner Schwingungen.
295
rechnet damit den Wert von g aus, setzt man diesen Wert in die Gleichung
K' = 0 ein und nennt K" ―0 die resultierende Gleichung, so hat man nunmehr
OK"
die Gleichung
= 0 zu bilden , die dann zur Berechnung von h dient u. s. f.
Auf diese Weise gelangt man zu einer Endgleichung , welche die Unbekannten f, g, h, ... nicht mehr enthält, sondern nur die Grösse x, und dies
ist die gesuchte Gleichung in x , deren Wurzeln x' , x' , x''' , ... genannt
waren.
Man kann diese Gleichung für x sogar auf eine allgemeine Form bringen,
wenn man berücksichtigt , dass , da die Grössen f, g, h, '……
. in dem Werte
von K nur in Quadraten und Producten zu zweien vorkommen , die Grösse
2KƏ²K- ƏK²
notwendig frei von f sein muss. Es ist also das Differential
дра
2K Ə³K
9 gleich Null, und man kann also
dieser Grösse in Bezug auf f, nämlich
орг
2K02 K ― ƏK²
immer K':=
setzen ; in dieser Grösse K' sind nun die übrig
af2
gebliebenen unbekannten Grössen g, h , ... ebenfalls nur in zwei Dimen2K'02K'OK'2
u. s . f.
sionen vertreten, also kann man wieder setzen K" :=
Əg²
Die letzte der Grössen K, K' , K" , ... gleich Null gesetzt, giebt die gesuchte
Gleichung in x. Die so gefundene Gleichung für x kann freilich zu einem
höheren Grade steigen als nötig ist , weil in die Gleichungen K" = 0,
K” = 0 , ... fremde Faktoren eingeführt sein können ; bringt man aber
nach und nach , indem man diese Gleichungen entwickelt , diese Faktoren
fort , und nimmt hierauf als Werte von K" , K" , ... nur ihre ersten auf
diese Art vereinfachten Glieder , so wird die Endgleichung von selbst auf
die Form und den Grad reduciert, den sie haben muss.
Die Werte von f, g, ... bestimmt man darauf durch die Gleichungen
ƏK'
- 0,
=0,
indem man mit der letzten beginnt und durch sucду
of
cessive Substitution der gefundenen Werte bis zur ersten aufsteigt.
дк
7. Da die vorstehend mitgeteilte Lösung auf die Voraussetzung gegründet ist, dass die Variabeln §, Y , p , ... sehr klein sind , so muss diese
Voraussetzung, damit die Lösung Berechtigung haben soll, in der That erfüllt sein ; es müssen also die Wurzeln x', x' , ... alle reell, positiv und
von einander verschieden sein , damit die Zeit t, welche ins Unendliche wächst,
immer nur unter den Sinus- oder Cosinus- Zeichen auftreten kann . Denn wenn
einige dieser Wurzeln negativ oder imaginär sind, so führen sie reelle
Exponentialgrössen an Stelle der entsprechenden Sinus oder Cosinus ein,
und werden einige Wurzeln gleich , so treten algebraische Potenzen des
Bogens ein. Davon kann man sich durch bekannte Methoden überführen,
indem man im ersten Fall an die Stelle der Sinus oder Cosinus ihre Ausdrücke durch imaginäre Exponentialgrössen setzt , und im zweiten Fall
annimmt , dass die gleichen Wurzeln sich von einander durch unendlich
kleine unbestimmte Grössen unterscheiden; da aber die Entwicklung dieser
296
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen .
Fälle für den vorliegenden Gegenstand von keinem Wert ist, so wollen wir
nicht länger dabei verweilen.
Wenn die Bedingung der Realität und Ungleichheit der Coefficienten
von t wirklich erfüllt ist , so sind, wie man leicht sieht, die grössten Werte
von § , von 4 , ... kleiner als die Summe der Grössen E', E" , E' , ... und
der Grössen f'E', f" E" , f'" E"" , .. u. s. f. , diese Grössen alle absolut,
also positiv genommen ; findet man daher diese verschiedenen Summen sehr
merklich klein , so ist man sicher , dass die Werte der Variabeln auch nur
klein sein werden .
Da aber die Coefficienten E' , E" , E" zunächst willkürliche Constanten
darstellen und allein von der Anfangsveränderung des Systems abhängen,
so ist es möglich, dass die Variabeln &,, ... sehr klein ausfallen , selbst
wenn unter den Grössen √x' , √x", ... einige imaginär oder einander gleich
sind ; denn wenn nun die entsprechenden Grössen E' , E" , ... Null sind,
verschwinden die Glieder, welche mit der Zeit t wachsen würden , von
selbst. Die Lösung wird dann , ohne allgemein genau zu sein , doch für
den besonderen Fall giltig sein , wo die vorstehend bezeichnete Bedingung
erfüllt ist.
8. Man hat Methoden , um zu erkennen , ob eine gegebene Gleichung
von irgend einem Grade lauter reelle Wurzeln hat oder nicht, und in dem
Falle der Realität über die Vorzeichen und Ungleichheit der Wurzeln zu
urteilen. Da aber die Anwendung dieser Methoden immer ein wenig mühsam ist, so wollen wir hier einige einfache und allgemeine Merkmale angeben, welche dazu dienen, in einer grossen Zahl von Fällen die Form der
Wurzeln, um welche es sich handelt, zu bestimmen.
Nimmt man nämlich die Gleichung K = 0 ; das ist Ax - B = 0 (Art. 6),
so hat man
B
%==
A
man kann sich aber leicht davon überzeugen , dass die Grösse A stets
notwendig einen positiven Wert hat, so lange f, g, ... reelle Grössen sind,
denn die Funktion T, aus welcher diese Grösse dadurch gewonnen wird,
de
dy
do ...
αξ
dass man in derselben
durch 1 , f, g, ... ersetzt,
dt
dt
dt
besteht aus der Summe mehrerer mit notwendig positiven Coefficienten
multiplicierten Quadrate. Ist also auch die Grösse B positiv, was der Fall
ist, wenn der Teil der Funktion V, in welchem die Variabeln §, 4, 4 , ...
in zwei Dimensionen vorkommen , auf dieselbe Form wie die Funktion T
gebracht werden kann - es resultiert ja die Grösse B auch aus diesem Teil
von V, wenn man , 4, 4,
in 1, f, g, etc. verwandelt
so ist man
...
sicher, dass die Werte von x, d . h. die Wurzeln der Gleichung in x, sobald
sie überhaupt reell sind , auch jedesmal positiv sind. Ist im Gegenteil die
Grösse B stets negativ, was eintritt, wenn sie aus mehreren mit negativen
Coefficienten multiplicierten Quadraten besteht, so werden die reellen Werte
Abschn. VI, § 1.
Theorie kleiner Schwingungen.
297
von x alle negativ sein . In diesem letzteren Falle kann die Lösung nicht
gut sein , weil die Wurzeln der Gleichung in x dann nur imaginär oder
reell und negativ ausfallen und die Ausdrücke für die Variabeln έ ,
etc..
folglich notwendig die Zeit t ausserhalb der Sinus- und Cosinus - Zeichen
enthalten.
Im ersten Falle , wo B positiv ist , sieht man , dass zwar , wenn die
Wurzeln reell sind, sie auch notwendig positiv sein müssen, es würde aber
vielleicht sehr schwer fallen direct zu beweisen, dass sie wirklich alle reell
sein müssen ; auf eine andere Art kann man sich aber überzeugen, dass dies
in der That der Fall ist.
Denn das Prinzip von der Erhaltung der lebendigen Kräfte , welches
wir in § 5, Abschn. III bewiesen haben, ergiebt (Art. 14 vor. Abschn .)
TV = Const.
und diese Gleichung findet stets statt , da T und V Funktionen ohne t
sind (Art. 2) . Bezeichnet man nun mit V' den Teil von V, welcher die Glieder
zweier Dimensionen enthält, so wird VH + V' , weil H₁ = 0 ; H₂ = 0 ;
H = 0 ... sind (Art. 3), also hat man
T+ H + V'— Const. = (T) + H + ( V' ),
wenn man mit (T) und ( V') die Werte , die T und V' im ersten Augenblick besitzen, bezeichnet. Es ist also
T + V'= (T) + ( V′) .
Nun ist T seiner Form nach eine stets positive Grösse , ist also auch
V' positiv, so hat man notwendig V' > 0 und < (T) + ( V') ; der Wert von
V' und folglich auch diejenigen der Variabeln ,,, ... werden also
stets innerhalb der gegebenen und von dem Anfangszustand allein abhängigen Grenzen eingeschlossen bleiben. Daraus folgt schon , dass die
Ausdrücke für die Variabeln die Zeit t nicht ausserhalb der Sinus- und
Cosinus-Zeichen enthalten können, denn dann wüchsen sie ja ins Unendliche .
Nun sollte der Wert von B beständig positiv sein , also ist wirklich der
Wert von V' auch positiv, folglich werden die Wurzeln der Gleichung in x
notwendig alle reell , positiv und ungleich sein (Art. 7) und die Lösung
wird immer gut sein.
In diesem Falle ist der Gleichgewichtszustand , aus dem das System
deplaciert worden war, ein stabiler, weil das System in ihn zurückkehrt oder
in ihn durch sehr kleine Oscillationen zurückzukehren bestrebt ist, wenigsteus
kann sich das System aus ihm nur sehr wenig entfernen .
9. Gerade auf diese Weise haben wir am Ende des Abschn. III der
Statik (Art. 23 etc. ) bewiesen, dass, wenn die Funktion II ein Minimum im
Zustande des Gleichgewichts ist , dieser Zustand ein stabiler ist ; denn es
ist leicht zu sehen , dass die dort mit II bezeichnete Funktion (Art. 21 a. a. O.)
dieselbe Funktion ist, die wir hier durch V symbolisiert haben, da jede das
298
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen.
Integral der Summe der Momente der auf die verschiedenen Körper des
Systems wirkenden Kräfte ist , welche Summe beim Gleichgewicht stets
gleich Null sein muss. Da nun VH + V' ist, und V' die Variabeln ,
nur in zwei Dimensionen enthält , so folgt daraus , dass V ein
Minimum oder ein Maximum sein wird , je nachdem der Wert von V
positiv oder negativ ausfällt, falls man diesen Variabeln irgend welche
Werte erteilt. Das Gleichgewicht wird also gemäss den Auseinandersetzungen des vorstehenden Artikels notwendig in dem Falle , wo
Minimum ist, stabil sein.
ein
Wenn dagegen Vein Maximum ist , so wird , da dann V' immer
negativ ist, B negativ sein ; denn setzt man
& = 1 ; 4 = g , ...,
so wird der Wert von V' gleich §2B (Art. 6) , und nach dem , was wir im
vorigen Artikel bewiesen haben , werden die Ausdrücke für die Variabeln
notwendig Glieder enthalten, in denen t ausserhalb der Sinus- und CosinusZeichen sich befindet.
Das Gleichgewicht kann also kein stabiles sein , weil ja das nur ein
wenig gestörte System sich immer mehr von ihm entfernt. Dieser zweite
Teil des a. a. O. der Statik erwähnten Theorems konnte dort aus Mangel
an den dazu nötigen Prinzipien nicht bewiesen werden ; wir haben deshalb
den Beweis bis auf die Dynamik zurückbehalten , und der soeben gegebene
lässt nichts zu wünschen übrig..
10. Uebrigens können zwischen diesen beiden Zuständen der Stabilität
und der absoluten Nicht-Stabilität, wobei das System, wenn es vom Gleichgewicht auf irgend eine Weise nur ein wenig abgebracht ist, sich entweder
von selbst in dasselbe wieder verfügt , oder von demselben sich immer
mehr und mehr zu entfernen strebt , Zustände der bedingten und relativen
Stabilität auftreten , in welchen die Wiederherstellung oder NichtWiederherstellung des Gleichgewichts von der anfänglichen Verrückung des
Systems abhängt. Denn sind einige der Werte von x imaginär, so werden
die correspondierenden Terme in den Werten der Variabeln Kreisbogen
enthalten und das Gleichgewicht wird im allgemeinen kein stabiles sein;
wenn aber die Coefficienten dieser Terme zufällig Null sind , was von dem
Anfangszustande des Systems abhängt , so werden die Kreisbogen fortfallen
und das Gleichgewicht kann noch als stabil angesehen werden , wenigstens
in Bezug auf diesen besonderen Fall.
11. Wenn alle Werte von √x reell und ungleich sind, und wenn folglich das Gleichgewicht stabil ist, so sind die Ausdrücke aller Variabeln aus
so vielen Gliedern von der Form des Terms
E sin(t /x + ε)
zusammengesetzt, als es Variabele giebt.
Abschn. VI, § 1. Theorie kleiner Schwingungen.
299
Dieser Term stellt die sehr kleinen und isochronen Oscillationen eines
g
einfachen Pendels von der Länge
x dar, wo g die Schwerkraft bezeichnet.
Die Oscillationen der verschiedenen Körper des Systems können also angesehen werden als aus einfachen Oscillationen bestehend , welche denen
g
g
...
"
von Pendeln analog sind, denen die Längen ,
zugehören.
x"
Da aber die Coefficienten E', E" etc. willkürlich und allein vom Anfangszustand des Systems abhängig sind , so kann man diesen Zustand stets so
annehmen , dass alle diese Coefficienten mit Ausnahme irgend eines gleich
Null sind ; dann werden alle Körper des Systems einfache Oscillationen ausführen , welche denen eines einzigen Pendels analog sind , und man sieht,
dass ein und dasselbe System ebenso vieler verschiedenen einfachen
Oscillationen fähig ist , als es bewegliche Körper enthält.*) Im allgemeinen
werden also die Oscillationen irgend eines Systems nur aus allen einfachen
Oscillationen zusammengesetzt sein , welche nach der Natur des Systems
stattfinden können .
Daniel Bernoulli hatte diese Zusammensetzung einfacher isochroner
Oscillationen bei der Bewegung einer schwingenden Saite bemerkt , welche
mit mehreren kleinen Gewichten belastet ist , und er hatte sie als ein
allgemeines Gesetz aller kleinen reciproken Bewegungen angesehen, die bei
irgend einem Systeme von Körpern stattfinden können . Ein einziger Fall,
wie der der vibrierenden Saiten genügte nicht, um ein derartiges Gesetz als
allgemein giltig hinzustellen ; die Analyse aber, welche wir soeben gegeben
haben, begründet dieses Gesetz auf eine sichere und allgemeine Weise und
zeigt, dass, wie unregelmässig auch die kleinen Oscillationen uns erscheinen
mögen , welche wir in der Natur bemerken , sie sich doch immer auf
einfache Oscillationen reducieren lassen , deren Zahl gleich derjenigen der
oscillierenden Körper des Systems ist.
Es ist dies eine Folgerung aus der Natur der linearen Gleichungen, auf
welche sich die Bewegungen der Körper , aus denen ein System besteht,
zurückführen lassen, wenn diese Bewegungen sehr klein sind.
12. Wenn die Werte der Grössen
" , √x" , ... incommen, √x
surabel sind , so ist klar , dass die Zeiten dieser Oscillationen auch incommensurabel sein werden , und dass folglich das System niemals seine
ursprüngliche Lage wieder annehmen kann.
Wenn aber diese Grössen sich wie rationale Zahlen zu einander verhalten, und wenn ihr grösstes gemeinschaftliches Maass u ist, so sieht man
2π
leicht, dass das System immer nach einer Zeit 0 =
2 WO π der Winkel
μ
von 180 ° ist , in dieselbe Lage zurückkehren wird. Es stellt dann also
die Dauer der zusammengesetzten Oscillation des ganzen Systems dar.
*) Die Zahl der einfachen Oscillationen ist nicht gleich der Zahl der beweglichen
Körper , sondern gleich der Zahl der unabhängigen Variabeln. Dies sagt übrigens
Lagrange selbst am Anfang des Paragraphen (Bertrand).
300
Abschn. VI. Oscillationsbewegungen.
13. Die soeben gegebene Lösung erfordert , dass die gegebenen Coordinaten durch Funktionen ausgedrückt werden können , die sich in Reihen
nach Potenzen sehr kleiner Variabeln entwickeln lassen und im Gleichgewichtszustande Null sind, wie wir es im Art. 3 vorausgesetzt haben.
Dies ist aber nur möglich, wie wir gesehen haben, wenn die in Reihen
verwandelten Bedingungsgleichungen die ersten Potenzen der als sehr klein
angenommenen Variabeln enthalten ; dann erst geben diese Terme rational
auflösbare Gleichungen und dann kann man nach der Reihentheorie mehr
und mehr genaue rationale Lösungen erhalten .
Dessen ungeachtet kann doch der Fall vorkommen, dass die Terme der
ersten Dimension in einer oder in mehreren Bedingungsgleichungen fehlen ;
dies tritt z. B. ein , wenn in der Gleichung L = 0 die Werte der Coordinaten für das Gleichgewicht so beschaffen sind, dass dieselben nicht allein
L, sondern auch jedes der ersten Differentiale von L gleich Null machen.
Denn man hat dann
да
да
= 0,
= 0, ...
дъ
да
und die Gleichung L:= O enthält nur die zweiten und höheren Potenzen von
a, ß, r, a', ... (Art. 1 ) . Drückt man also in diesem Falle die Coordinaten
als Funktionen von unabhängigen Variabeln aus, so können diese Funktionen
nicht mehr rational sein , und die Differentialgleichungen werden weder
linear noch rational. Die Voraussetzung der sehr kleinen Bewegungen
des Systems dient dann also nicht mehr dazu, die Auflösung der Aufgabe zu
vereinfachen oder sie wenigstens durch die vorgetragene allgemeine Methode
lösbar zu machen.
Um nun diese Arten von Gleichungen auf die einfachste Art zu lösen,
sieht man zuerst von den Bedingungsgleichungen , in denen die ersten
Dimensionen der Variabeln nicht vorkommen, ab, und gelangt hierdurch zu
Ausdrücken für T und V von der Form derjenigen des Art . 2. Zu diesem
Werte von V addiert man dann die ersten Glieder der Bedingungsgleichungen ,
auf welche man noch nicht Rücksicht genommen hat, jede mit einem
unbestimmten Coefficienten multipliciert, den man bei der Ausführung der
durch
bezeichneten Operation als constant anzusehen hat. Es genügt
dann, in diesen von den Bedingungsgleichungen herrührenden Termen den
niedrigsten Dimensionen der sehr kleinen Variabeln Rechnung zu tragen.
Hieraus findet man die Differentialgleichung wie gewöhnlich , und man hat
dann nur die unbestimmten Coefficienten zu eliminieren.
Wären die Bedingungsgleichungen vom zweiten Grade und könnte man
die unbestimmten Coefficienten als constant ansehen , so würde der Wert
von V noch von derselben Form wie in der allgemeinen Lösung sein, man
könnte letztere also auch auf diesen Fall anwenden und hätte nur noch
die Coefficienten so zu bestimmen, dass den Bedingungsgleichungen genügt
würde. Man kann also immer damit beginnen, von dieser Voraussetzung
Abschn. VI, § 2. Schwingungen e. Systems linear angeordn. Körper.
1301
auszugehen, und wird dann zusehen, ob die für die Variabeln sich ergebenden
Werte den Bedingungsgleichungen angepasst werden können, oder nicht ;
im ersten Falle ist die Voraussetzung berechtigt und die Lösung genau, im
zweiten Fall muss man die Differentialgleichungen durch besondere Methoden
zu integrieren suchen.
§ 2.
Ueber die Oscillationen eines Systems linear angeordneter Körper.
14. Wenn die Körper, aus denen das gegebene System besteht, auf eine
gleichförmige und reguläre Weise gegen einander verteilt sind, so lässt sich
die Rechnung vereinfachen , und man kann zu allgemeinen und symmetrischen
Formeln gelangen, wenn man die Bezeichnung und den Algorithmus endlicher Differenzen anwendet. Wir geben davon ein Beispiel, indem wir den
Fall untersuchen, wo eine beliebige Anzahl von Körpern, die in einer geraden
oder krummen Linie sich an einander reihen, in Folge von irgend welchen
mit ihrer gegenseitigen Wirkung combinierten Kräften oscillieren .
Es seien x, y, z die rechtwinkligen Coordinaten eines der Körper des
Systems, welchen wir mit Dm bezeichnen wollen, indem wir den grossen
Buchstaben D anwenden , um endliche Differenzen zu bezeichnen (Art. 17,
Abschn. IV) . Man hat zuerst
T= S
dx² + dy² + dz²
Dm,
2dt2
wenn S die auf das ganze System bezüglichen Summen darstellt.
Die Funktion V muss die von den beschleunigenden Kräften P, Q, R, ...
herrührende Summe SII Dm enthalten , wenn man annimmt, dass diese Kräfte
so beschaffen sind, dass
+ Qdq + Rdr +
Scrap +
ist.
•) = []
Diese Funktion muss auch die Sumine s
SSød(Ds) enthalten, wenn man
annimmt , dass
die Kraft ist , mit welcher sich zwei benachbarte Körper
in der Entfernung Ds gegenseitig anziehen, und dass diese Kraft eine Funktion derselben Entfernung Ds ist , so dass also
dDs ein ausführbares
SoаD
Integral darstellt, dessen Variation nach
gleich Do(Ds) ist. Diese Kraft
, die wir als Funktion von Ds annehmen , kann also von einem Körper
zum andern variieren und wird folglich auch eine Funktion der Zahl oder
Grösse sein, welche die Stelle jedes Körpers in der Reihe aller Körper darstellt und auf welche sich das Summenzeichen S bezieht. Wenn die Körper
anstatt sich anzuziehen , sich abstossen würden , so müsste man
nehmen.
negativ
Abschn. VI.
302
Oscillationsbewegungen .
Man hat nunmehr
V = SIDm + S(ød(Ds),
folglich
¿V = SòПDm + SØò(Ds).
Es ist gut zu bemerken , dass dieser Ausdruck von SV auch noch bestehen bleibt, wenn die Körper unter einander so verbunden sind, dass ihre
gegenseitige Entfernung unveränderlich bleibt ; denn man hat in diesem
Falle die Bedingungsgleichung 8Ds = 0 , welche in dem Ausdruck von V
den Term S8 (Ds) an Stelle von S8 (Ds) geben würde. (a. a. O.)
15. Drückt man das Element Ds durch die endlichen Differentiale von
x, y, z aus, so hat man
Ds = √Dx² + Dy² + Dz²,
durch Differentiation nach 8 ergiebt sich also
Dx ô (Dx) + Dyò (Dy) + Dzô (De)
d (Ds) =
=
Ds
Substituiert man diesen Wert in den Ausdruck von 8V und setzt zur
Φ
Abkürzung Ds = (Funktion von Ds), so folgt
εV= SεП Dm + S (Dx ô (Dx) + Dy ô (Dy) + De ô (De)) ♣.
Da die Zeichen D und & von einander unabhängig sind, so kann man
SD in Do verwandeln und hat
ôV = SI! Dm + S ( DwD (ô )+ DyD (ôy) + D: D (ôz )) .
Durch partielle Integration der endlichen Differenzen kann man auch D
vor
verschwinden lassen.
16. Man hat in der That allgemein
D(xy) = xDy + y Dx + Dx Dy
= (x + Dx) Dy + y Dx = x₁ Dy + y Dx,
wenn x₁ den Term bezeichnet , welcher auf x in der Reihe der Terme,
x, (x + Dx),
folgt. Geht man also von den Differenzen zu den Summen
über, so ergiebt sich
...
Sy Dx = xy - Sx₁Dy.
Auf dieselbe Weise findet man
Sy D²x =
— y Dx — x₁ Dy + Sx₁₁ D²у
etc. , wo x, x1, X11 , ... die Terme sind, welche in der bezeichneten Reihe
auf einander folgen.
Abschn. VI, § 2. Schwingungen e. Systems linear angeordn. Körper.
Um diese Summationen zu vervollständigen ,
303
muss man die Terme
ausserhalb des Zeichens S auf den Endpunkt des endlichen Integrals Sy Dx
beziehen und dieselben Glieder auf den Anfangspunkt bezogen davon abziehen. Bezeichnet man durch eine unten angehängte Null beziehungsweise
den Index i die Glieder , welche sich auf den ersten und letzten Punkt beziehen, so hat man folgende vollständige Summationsformeln
Sy Dx = x; Y; — x。ÿ。— Sx¸Dy,
Sy D²x = y; Dx; - xi+1 Dyi
→ Yo Dx₁ + x₁ Dy₂ + Sx11 Dy
Wenn das Zeichen S vollständige Summen einer gegebenen Zahl von
Gliedern anzeigt , so ist klar , dass man an Stelle der Terme x₁Dy, x11 Dy
unter dem Zeichen S die voraufgehenden Glieder nehmen kann, welche wir
mit xD ( y), xD (119) etc. bezeichnen wollen, wenn wir mit einem, zwei, etc.
links angebrachten Strichen die Terme 119, 19 bezeichnen , welche y in der
unendlichen Reihe ... 11y, 1Y, Y, Y1 , Y11 ... voraufgehen.
17. Nachdem dies festgesetzt ist, wollen wir in den vorigen Formeln dx
an die Stelle von x und Dx an die Stelle von y setzen , man hat dann
folgende Transformationen
S& DxD (ôx) = (4 Dx dx); — (4 Dx ôx)。
- SôxD ( (& Dx)),
ferner
Sy Dy Doy = (& Dyoy); — (4 Dy ôy)
- Soy D ( (& Dy))',
Dz Ddz = ( Dz dz);
S& De
ôx); — (4 Dz ôz),
- Söz D (1(4 Dz)),
und diese Substitutionen hat man in dem Ausdruck für 8 zu machen .
Wenn der erste und letzte Körper als fest gemacht angenommen
i welche sich
werden, so sind die Variationen dx。 , dy。 , ôz。 , ôx;, dy;, dz;,
auf diese beiden Körper beziehen, Null. Wir wollen zuerst diese Hypothese,
welche die Formeln vereinfacht, annehmen, und erhalten dann
8V = S εпDm
−8 % D (,( D )) —SôyD ( ( Dy ) )− SôD (,( D ) )
Im allgemeinen Fall , wenn der erste oder letzte Körper oder beide
nicht fest gelegt sind, muss man , da die Variationen immer verschwinden
Abschn. VI.
304
müssen, den Wert von
Man hätte also , weil
=
Oscillationsbewegungen.
am Beginn oder Ende gleich Null annehmen .
Φ
ist, die Bedingung zu erfüllen 0, =0, oder
Ds
Q;i = 0, wenn der erste oder der letzte Körper beweglich ist und wenn
beide beweglich sind , so hätte man die beiden Bedingungen
= 0,
= = 0.
| Q; =
18. Nachdem wir so die Variation V auf diese einfache Form gebracht haben , geben die auf die Variabeln x, y, z jedes der Körper des
Systems bezogenen allgemeinen Gleichungen des Abschn. IV (Art. 10) für
diese Variabeln die drei folgenden Gleichungen, in denen ich wieder
an
Stelle von Ds setze,
ап
Dx
d2x
Dm +
Dm —
= 0,
dt2
Ds
дх
=0
D [ (9DF)]
ап
Du
d2y
Dm +
Dm dt2
Ds
ду
= 0,
D [ (DDY)]
d2z
ӘП
Dm +
= 0.
Dm ·D
dt2
dz
[, ( DF)]
Diese Gleichungen sind streng richtig, welches auch die Bewegungen der
Körper sein mögen ; aber wenn diese Bewegungen sehr klein sind, so vereinfachen sich die Gleichungen und werden linear, wie wir es oben gesehen
haben (§ 1).
19. Wir wollen annehmen , dass im Zustande des Gleichgewichts des
Systems die Coordinaten x, y, z irgend eines der Körper gleich a, b, c sind
und dass diese Coordinaten bei der Bewegung in (a
), (b + n), (c + b)
übergehen, wo , n,
sehr klein sind. Aus der Funktion II wird dann
ап
all
ап
Π+
§+
до . Betrachten wir künftig II als eine einfache Funktion
да
von a, b, c, so können hiernach die drei partiellen Differentialquotienten
ӘП ӘП ӘГІ
,
"
folgendermassen ausgedrückt werden
дх ду д
all
all
0211
a211
=
- +
+
дх
да (응da²
дадь
әп
0211
даде
dy
ӘП
a2n
ǝ211
ӘРП
+
дъ
дадь·§ + ab2 7+ дъдс
Әп
Əz
0211
all
ӘРП
მ II
+
даде + доде η + ac² -*).
до
Durch dieselben Substitutionen von a + , b + n, c +
x, y, z wird aus den Differenzen Dx, Dy, Dz
Da + D5, Db + Dŋ; Dc + D'.
an Stelle von
Abschn. VI, § 2. Schwingungen e. Systems linear angeordn. Körper.
Aus diesen Grössen haben wir Ds zusammenzusetzen .
305
Macht man
zur Abkürzung
√ Da² + Db² + Dc²
= Df,
so wird
Da
Ds = Df +
Df
Nun sollte noch
Dc
Db
DC.
DE + DfDn+
Df
eine Funktion von Ds sein ; bezeichnet man den
Wert von 9, wenn in seinem Ausdruck Ds in Df verwandelt wird , mit F,
OF
F'
lung
(D )=
— Dr so hat man durch Entwicke
und setzt
Db Dn
Da D
Q = F + F'
Df Dƒ
Dc D
+
+
DfDf
Df Df
und folglich mit demselben Grade der Annäherung
Db Dr
F
Φ
Dc D
F
".― -F ( Da De
=
+
+
+
Ds
Df
Df
Df Df
Df Df
Df Df
Diese Substitutionen mache man in die drei oben gefundenen
allgemeinen Gleichungen . Im Gleichgewichtszustande sind aber die Variabeln
,, gleich Null, und da diese Gleichungen auch dann noch gelten müssen ,
so müssen sich die constanten Glieder aufheben , und man erhält zunächst
die drei Bedingungsgleichungen
20.
ӘП
FDa
Dm да
D [ (PD
Df )] = 0,
FDb
all
Dm მს
D [ (PD )] = 0,
ӘП
Dm
де
FDc
= 0.
D [ ( Df
DC)] = 0
1
Diese Gleichungen ergeben die Werte , welche die Coordinaten a, b, c.
in der Gleichgewichtslage haben müssen, und man sieht leicht, dass sie in
allgemeiner Form die Gleichungen darstellen , die wir im Abschn . V, Teil I
für das Gleichgewicht mehrerer durch einen ausdehnbaren oder unausdehnbaren Faden verbundenen Körper gefunden haben.
21. Nach Aufstellung dieser Gleichgewichtsgleichungen hat man nunmehr zwischen den Variabeln , n ,
und
drei Bewegungsgleichungen ,
denen ich unter Benutzung der Abkürzungen
G=F- F
"
Da
a' = fi
D
Lagrange , Analytische Mechanik.
Db
Dc
Df
Df
b=
20
Abschn. VI .
306
Oscillationsbewegungen.
die Form gebe
0211
a211
ӘРП
d2
-Dm +
Dm
§ +дадь nt
даде 5)
dt2
(да?
FD
― D
c'D
b'Dn
a'DE
- 0,
+
+
Df )]
Df
(aDf
Ga'
[ Df
2211
Ə⁹11
262n + дъде
a211
d²n
Dm +
dt2
дадъ
FD
-D
1
Gb'
Df
Dm
c'DC
b'Dn
a'De
+
+
Df
Df
( Df
== 0,
da
0211
a211
a211
·Dm +
Dm
& + дъде η+
dt2
даде
дег 5)
FD
c'D'
a'De
b'Dn
-D
= 0.
+
+
Gc'
Df
Df
Df )]
Df
Das sind die Gleichungen, welche dazu dienen, die sehr klein angenommenen Oscillationen des Systems zu bestimmen ; sie sind von der Art
derjenigen, welche man Gleichungen mit endlichen und sehr kleinen
Differenzen nennt, und da sie constante Coefficienten haben, so kann auf
sie die allgemeine im vorigen Paragraphen auseinandergesetzte Methode.
angewendet werden.
22. Die Gleichungen des Art. 20, welche die Bedingungen des Gleichgewichts enthalten , geben , wenn man von den Differenzen zu Summen
übergeht,
FDa Df
FDb
Df
FDc
all
Dm + A,
да
ап
S дъ Dm + B,
S
=S
Df
all
Dm + C,
де
wo A, B, C drei willkürliche Constanten sind ; aus ihnen folgt sofort
2
2
S on Dm + A
On
де Dm + C)".
дъ Dm + B)² + (8 =an!
8 ob
1) + ((So
F = √ ( 8 да
Wenn die Grösse F eine gegebene Funktion von Df ist , was der Fall ist,
wenn man annimmt, dass die Körper sich anziehen oder abstossen mit einer
Kraft , welche eine Funktion ihrer Entfernungen Ds ist, so wird der vorstehende Wert von F den Wert von Df ergeben , der im Gleichgewichtszustande gelten muss.
Wenn aber die Entfernungen Ds als gegeben und unveränderlich angenommen werden , so ist die Grösse , welche die Stelle des Multiplicators λ
7
77
77
Abschn. VI, § 2. Schwingungen e. Systems linear angeordn. Körper.
307
(Art. 14) innehält , unbekannt , und man muss sie aus der vorigen Formel
bestimmen. In diesem Falle aber hat man
Ds = Df
und folglich (Art. 19)
Da
DE +
Df
Db
Dc
Df Dn + De
Df Dr = 0,
wodurch sich die Gleichungen des vorigen Artikels vereinfachen.
23. Der Sinn der Methode des Art. 4 besteht darin, dass man annimmt,
dass sich jede Variable durch eine und dieselbe Funktion von t, multipliciert
mit einer für jede Variable verschiedenen Grösse, ausdrücken lässt.
Bezeichnet man diese Funktion mit 0 , so macht man also
= 0X, n = OY, ( = OZ,
und nachdem man diese Werte in die Gleichungen des Art. 24 substituiert
hat, sieht man leicht, dass es , um diese Gleichungen zu erfüllen , notwendig
ist, dass die Variable ✪ durch eine Gleichung von der Form
dao
dt2
хө
d20
bestimmt sei ; denn setzt man für dt2 diesen seinen Wert - x und dividiert
alle Glieder durch , so hat man folgende drei Gleichungen mit endlichen
Differenzen
2211
0211
a211
X+
xXDm
Y+
Z Dm
= da2
даде z )
дадь
UDY c'DZ
a'DX
FDx
- Ꭰ
Ga'
+
9
+
Df
( Df
Df
1 [ Df
211
a211
a211
X+
Y+
Z Dm
XY Dm =
дъде z).
дадь
дъг
b'DY c'DZ
'a'DX
FDy
Gb'
D
+
+
Df
Df
D²)],
( Df
[ Df
0211
0211
a211
Y+
X+
Z Dm
xZDm =
до Z)
дъдс
даде
FD2
-D
1 [ Df
'a'DX
Gc'
b'DY
+
;
(aD
Df
c'DZ
+
Df
Df
aus denen die Grössen X, Y, Z abzuleiten sind.
24. Die Integration der Gleichung für
ist leicht, sie ergiebt
Esin (tx + ɛ) ,
wo E und
zwei willkürliche Constanten sind.
20*
308
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen .
Dagegen sind die Gleichungen in X, Y, Z allgemein nach bekannten
Methoden in geschlossenen Ausdrücken nur dann integrirbar, wenn die in
ihnen vertretenen Coefficienten constant sind ; wenn man aber die endlichen
mit D bezeichneten Differenzen entwickelt, so erhalten sie folgende allgemeine
Form
AX₁ + BY₁1 + CZ₁ + A'X + B' Y + C'Z + A " X + B'Y + C " Z = 0,
und hierin sind die Coefficienten A, B, C, A' , B' , ... constant oder variabel,
jedenfalls aber unabhängig von t , und die Grösse x kommt nur in den
Werten von A', B' , C' und nur in der ersten Dimension vor.
Bezeichnet man jetzt mit Xo , X1, X2, X3, ... die aufeinanderfolgenden
Werte von X, indem man mit dem ersten Wert beginnt, welcher zum
ersten Körper des Systems gehört, und mit Yo, Y1 , Y2, Y3, ... , Zo, Z1 , Z2,
Z3, ... die entsprechenden aufeinanderfolgenden Werte von Y und Z und
substituiert man nach einander diese Werte in die drei auf die vorige Form
gebrachten Gleichungen, so sieht man leicht, dass die drei ersten die Werte
von X , Y , Z als lineare Funktionen von Xo, Yo, Zo, X , Y , Z, die drei
folgenden X , Y , Z , als lineare Funktionen von X2, Y₂, Z2, X₁, Y₁, Z₁
ergeben werden , welche durch Substitution der Werte von X2, Y₂, Zą
ebenfalls lineare Funktionen von Xo, Yo, Zo, X1, Y₁ , Z₁ sein werden , etc.
Im allgemeinen also werden die Werte von Xn+1' Yn+1 Z₂+1 von der
n+
Form sein
AX + BY + CZ₂ + A'X₁ + B'Y₁ + C'Z₁
und man kann sich leicht durch Rechnung überzeugen, dass die Grössen A,
B, C rationale und ganze Funktionen der (n - 2) ten Dimension von x sind ,
und dass die Grössen A' , B' , C' ähnliche Funktionen von der (n − 1 ) ten
Dimension von x sind.
Wir haben angenommen (Art. 17) , dass der erste und letzte Körper
des Systems fest seien ; der erste Körper gehört zum Index 0, und bezeichnet
man die Zahl der beweglichen Körper mit n , so gehört der letzte Körper,
welcher fest sein muss, zum Index (n + 1). Es muss also sein
X = 0; Y = 0; Z = 0;
Xn+1 = 0 ;
Y₂+1 = 0; Zn+1 = 0,
wodurch man zwischen X₁ , Y₁ , Z₁ drei lineare Gleichungen von der Form
A'X₁ + B'Y₁ + C'Z₁ = 0 erhält , in welchen die Coefficienten A' , B' , C'
rationale und ganze Funktionen von X von der nten Ordnung sind .
Eliminiert man die Grössen X₁ , Y₁ , Z₁ , so hat man eine Gleichung in x
vom Grade 3n , das ist die Anzahl der Unbekannten X, Y, Z, und diese
Gleichung hat folglich 3n Wurzeln .
Dieselben Gleichungen werden auch die Beziehungen zwischen den
drei Grössen X₁ı , Y₁, Z₁ geben, so dass man nach Belieben den Wert einer
dieser Grössen nehmen kann. Da diese Beziehungen durch rationale
Funktionen von x ausgedrückt sind , so kann man die Werte der drei
Abschn. VI, § 2. Schwingungen e. Systems linear angeordn . Körper.
Grössen X₁ , Y₁ , Z₁
309
durch rationale und ganze Funktionen von x aus-
drücken, und so werden auch überhaupt die Unbekannten X, Y, Z allgemein
durch bekannte rationale und ganze Funktionen von x ihre Darstellung
finden.
25. Wir wollen die verschiedenen Wurzeln der Gleichung in x , deren
Lösung als bekannt angenommen werden muss, mit x' , x' , x''', ... (3 ),9 und
ähnlich mit X', X" , X " ,
. ; Y' , Y" , Y"" ,
.; Z' , Z" , Z'' , ... die entsprechenden Werte der Grössen X, Y, Z bezeichnen , welche aus der
Substitution dieser verschiedenen Wurzeln für x resultieren.
In Art. 23 , 24 haben wir gefunden
= XE sin (tv/x + ε),
7 = YE sin(ty/x + ε) ,
( = ZE sin(t√/x + ε).
Substituiert man successive die verschiedenen Werte von x und nimmt
verschiedene willkürliche Constanten E und e an , so hat man ebenso viele
besondere Werte von E, n,, deren Summe entsprechend der Natur linearer
Gleichungen die vollständigen Werte dieser Variabeln sind. Diese besonderen
Werte von E, n,
sind denen analog, welche die kleinen Oscillationen eines
Pendels von der Längedarstellen
(Art . 11 ) , vorausgesetzt , dass x eine
x
reelle positive Grösse ist; die Bewegung jedes Körpers besteht aus ebenso
vielen ähnlichen Oscillationen , als es verschiedene Werte von x giebt , so
dass , wenn alle diese Werte unter einander incommensurabel sind , es unmöglich ist, dass das System jemals seine ursprüngliche Lage wieder annimmt, es sei denn , dass die Werte von , n ,
sich auf besondere Werte
bringen lassen , welche nur zu einer der Wurzeln x gehören. Setzt man
in diesem Falle t = 0 in die vorigen Gleichungen , so hat man XEsinɛ,
YE sine, ZE sine als die Werte von § , n, und XE cose, YE cose, ZE cose
de dn dr •
als die Werte von
Damit also dieser Fall eintreten kann ,
dt' dt' dt
müssen die ursprünglichen Verrückungen § , 7 , 5 , ebenso wie die Anfangsđể ăn đo
geschwindigkeiten at
dt' atat
dt' dt proportional mit X, Y, Z sein , und es wird
eben so viele Arten diesen Gleichungen zu genügen geben, als es verschiedene
Werte von x giebt.
26. Bezeichnet man mit oberhalb angebrachten Strichen verschiedene
beliebige Constanten, so hat man in vollständiger Lösung
= X'E'sin (t√x' + ε ') + X" E" sin (t√/z" + ɛ'') + X"" E"" sin (†V
√
/x""' + ɛ''') +
7 = Y'E'sin (ty/x' + e' ) + Y" E" sin (t√
/ x" + ɛ'') + Y''E''' sin ( t√/x'" + ɛ''') +
【 = Z'E'sin (t√√x' + e' ) + Z" E" sin (t√/x" + e" ) + Z'" E""' sin (t√/ x''' +e''') +
310
Abschn . VI.
Oscillationsbewegungen .
für die Werte der Variabeln E, n,, welche die Oscillationen jedes der Körper
des gegebenen Systems darstellen, welches auch ihr Anfangszustand sei.
Man kann diese Werte auf eine einfachere Weise darstellen, wenn man
anwendet , um die Summe aller den verschiedenen Werten
das Zeichen
von x entsprechenden Werte auszudrücken. Man hat dann
§ = Σ [ XE sin (t√√x + €)] ,
n== Σ
/x + ε)] ,
' [ YE sin (t√
' [ZE sin (t√x + 8)] .
?=Y
Die besonderen Ausdrücke der Variabeln 1 , 1 , 51 ; 2, N2, 2, ... für
jeden der Körper des Systems erhält man , indem man in den vorigen allgemeinen X, Y, Z, in X , Y , Z1 ; X2, Y2, Z2, ... verwandelt und für E
und & verschiedene willkürliche Constanten E₁ , E2, E3, ... ; E1 , E2, E3, ...
einführt, welche vom Anfangszustand des Systems abhängen.
27. Um diese Constanten auf die einfachste Weise zu bestimmen, nehme
ich die Gleichungen in έ, 7,
des Art. 21 wieder auf, addiere sie, nachdem
die erste mit X, die zweite mit Y, die dritte mit Z multipliciert ist; dann
nehme ich die Summe aller dieser so zusammengesetzten Gleichungen in
Bezug auf alle Körper des Systems und bezeichne diese Summe mit dem
Zeichen S; beachtet man , dass dieses Zeichen von dem Zeichen d der auf
t bezüglichen Differentiale unabhängig ist, so hat man die Gleichung
d² S (X§ + Yn + Z6) Dm
dt2
aan
მ II
0211
X+
Y+
ZDm
+ $ ( да?
дадь
дадо Z)
+S
a211
0211
a²
X+
Y+
ZDm
дадь
ab2
дъде z),
021
0211
+
X+
Y+
ZDm
S даде
дъдо
дег 7)
(a' De
FDE
-SXD
Ga'
Df
FDη
-SYD
FD
(.
– SZD (
Df
b' Dn c'D
+
Df
Df)])
+
Ꭰ
b'Dn d'Dr\
+
Df
Df
祭 )1 )
(a'DE
Gb'
Df
+
Df
Df
- Gc' 'a'DE + b'Dn + c'D
Df
Df
=
= 0.
In dieser Gleichung sind die Glieder , welche die mit D bezeichneten
Differentiale unter dem Summenzeichen S enthalten , Reductionen fähig,
Abschn. VI, § 2. Schwingungen e. Systems linear angeordn. Körper.
311
welche denen der partiellen Integrationen analog sind und deren Typus wir
im Art. 16 gegeben haben. Dazu wollen wir allgemein irgend einen
Term von der Form SXD( VDE) betrachten. Nach den Reductionsformeln
des angegebenen Artikels haben wir, wenn wirbeachten, dass die Grössen X und
am Beginn und Ende der mit D bezeichneten Integrationen Null sind
(Art. 24) ,
SXD(₁ (VDE)) ==
= — SVDĘDX = SE , D(VDX).
Nun ist SD(VDX) dasselbe wie SED( (VDX)) , wo an die Stelle des
D(VDX ) dasjenige Glied gesetzt ist , welches ihm vorhergeht.
Gliedes
Man hat also allgemein
SXD(,(VDE)) = S&D(₁( VDX))
und ähnliche Gleichungen werden für die anderen Glieder stattfinden.
vorige Gleichung erhält hiernach die Form
Die
d²S (X§ + Yn + Z§) Dm
dt2
+ S [(X) ; + (Y)n + (Z) §] = 0 .
Hierin enthalten die mit (X), ( Y), ( Z) bezeichneten Grössen dieselben Glieder,
aus denen die zweiten Glieder der Gleichungen des Art. 23 bestehen ; nach
diesen Gleichungen wird also
(X) = xXDm,
(Y) = xYDm,
(Z) = xZDm,
so dass die obige Gleichung wird
d'S (XE + Yn + ZČ) Dm
+ xS(X + Yn + Z ) Dm = 0,
dt2
und hieraus bekommen wir durch Integration
S(XE + Yn + ZC) Dm = L sin (t√/x + λ),
wo L und λ zwei willkürliche Constanten sind.
28. Man sieht leicht aus der Natur der Rechnung, dass, wenn man in
dieser Gleichung für x eine der Wurzeln der Gleichung in x setzt , welche
wir mit x' , x" , x"" , ... bezeichnet haben (Art. 25), man ein mit den Ausdrücken von έ, n, % , (Art. 26) identisches Resultat haben muss, substituiert
man also die particulären Ausdrücke der E, n,
in die vorige Gleichung, so
muss dieselbe absolut identisch für alle Werte von x erfüllt werden. Man
hat also die Gleichung
+ ε) ] } Dm
S{X2[XEsin(t√x+ e) ] + YΣ [ YEsin(† √√x + e) ] + ZΣ [ ZEsin ( t√z[+
= L sin (t√/x + λ)
312
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen.
Hier sollen beide Seiten für jeden der Werte x' , x' , x''';.... von x identisch
sein , und da diese Identität unabhängig von dem Werte von t bestehen
muss , so wird es nicht schwierig sein, sich zu überzeugen, dass immer die
Glieder der linken Seite der Gleichung, die denselben Bogen t√x enthalten,
identisch sein müssen mit den entsprechenden der rechten Seite der Gleichung ;
daraus folgt, dass - für alle Werte von λ unde ist.
Beachtet man die Bedeutung der Summenzeichen S und E, deren erstes,
S, die Summe der zu allen Körpern des Systems gehörigen Grössen , deren Symbol
unter dem Zeichen S steht, darstellt, also die Summe von Grössen, welche
wir durch an den Fuss der Buchstaben in Form von Indices gesetzte Zahlen
auf die einzelnen Körper bezogen haben, während das zweite, E, die Summe
analytisch ähnlicher Grössen, welche sich auf alle Wurzeln x', x'" , X"" " ... x(3n)
beziehen, darstellt, und welche wir mit oben angehängten Strichen bezeichnet
haben (Art. 25) , so findet man durch Vergleichung der mit denselben Sinus
behafteten Glieder die Gleichung
ES( X² + Y² + Z²) Dm = L.
Man hat also allgemein
L sin(tv/x + 2)
E sin (ty/x + ε)
´S (X² + Y² + Z²) Dm
und folglich nach Art. 27
S(X§ + Yn + Z5) Dm
Esin (ty/x + ε)==
S (x² + Y² + Z²) Dm
welche Gleichung für alle Werte von x gelten muss , also eigentlich 3n
Gleichungen repräsentiert.
29. Es seien jetzt für t:= 0
dn
ας
= a, n = B, C = γ und αξ = ά,
= B₂ dt =
dt
dt
Diese sechs Grössen α, ß , Y, ά , B , † werden durch den Anfangszustand
des Systems gegeben sein ; führt man sie in die vorige Gleichung und in
die aus dieser durch Differentiation nacht gewonnene ein, und setzt t = 0,
so hat man die folgenden Gleichungen für die willkürlichen Constanten
S (Xa + YB + Zr) Dm
E sin & =
"
S (X² + Y² + Z2) Dm
S (Xȧ + Yẞ + ZŸ) Dm
E cos &
√xS ( X² + y² + Z³) Dm
2
Abschn. VI, §3. Schwingungen von mit Gewichten belasteten Saiten.
und damit bekommt man durch Substitution in die Ausdrücke von
des Art. 26
313
, n,
XS (Xa + Yẞ + Z†) Dm
=
cos t
S (X² + Y² + Z2) Dm
x
)
-
XS (Xá + YB + Zi) Dm
sint 1/x
+
).
√ïS ( X² + Y² + Z²) Dm
YS ( Xa + Yẞ + Zy) Dm
7=
cos t
Σ
)
S (x² + Y² + Z²) Dm
YS (X& + Yẞ + ZŸ) Dm
+
sint √x ) ,
√˜S (X² + Y² + Z²) Dm
ZS (Xα + YB + Zy) Dm
cost 1/x
<=
2
S (X² + Y² + Z²) Dm
ZS (Xå + Yẞ + Z†) Dm
sin t
+
√ïS (X² + Y² + Z³) Dm
Diese Formeln, welche ebenso durch ihre Allgemeinheit wie durch ihre
Einfachheit bemerkenswert sind, enthalten die Lösung mehrerer Probleme ,
deren Analyse nach anderen Methoden grosse Schwierigkeiten bieten
würde. Wir wollen eine Anwendung auf zwei schon in verschiedenen
Werken , aber auf eine mehr oder weniger unvollständige Art gelöste
Aufgaben machen.
§ 3. Anwendung der Formeln auf die Schwingungen einer gespannten
und mit mehreren Körpern belasteten Saite, und auf die Schwingungen
eines unausdehnbaren Fadens , welcher mit einer beliebigen Zahl von
Gewichten belastet und an seinen beiden Enden oder nur an einem Ende
befestigt ist.
30. Die Ausdrücke für die Variabeln , 7, % , die wir gefunden haben ,
vereinfachen sich sehr, wenn die in den Differentialgleichungen des Art. 21
genannten Variabeln getrennt sind. Dann sind nämlich auch die Variabeln
X, Y, Z in den Gleichungen des Art. 23 getrennt und jede dieser Gleichungen
giebt, genau so wie in den Entwicklungen des Art. 24, eine besondere Gleichung
in x vom nten Grade. Bezeichnet man mit x, x1 , x2 die Werte der x, welche
zu den durch diese drei Gleichungen gegebenen Grössen X, Y, Z gehören
Abschn. VI.
314
Oscillationsbewegungen .
und behält man die Bezeichnungen des vorigen Artikels bei , so reducieren
sich die Ausdrücke von § , ŋ , 5 in dem gegenwärtigen Falle auf
XS Xa Dm
=
SX2 Dm
XS Xȧ Dm
cos t√x
Σ(
x ) + Σ
cos t√x1
+ ΣΟ SY2 Dm √
SY2 Dm
ZS ZY Dm
*=
sin tv/x
:)
,
YSYẞ Dm
YSYẞ Dm
"= Σ
SX2 Dm √x
sint
).
ZS Zj Dm
cos tv
/x2
sin tv/x2
+
SZ2 Dm
SZ2 Dm √xz
31. Dieser Fall findet vor allen Dingen statt , wenn die Körper im
Gleichgewichtszustande in gerader Linie angeordnet sind ; denn nimmt man diese
Linie als xAxe an, so werden b und c gleich Null , ebenso wie die Differentiale
Db, Dc, und die Bedingungsgleichungen des Art. 20 erfordern, dass man hat
ап
Әп
- 0, d. h. dass die zur Axe senkrechten Kräfte gleich Null
= 0,
дъ
де
0211
a211
= 0,
= O etc., und die Gleichungen des
seien. Man hat also auch
, да де
дадь
Art. 21 werden, weil a' = 1 , b' = 0, c' = 0 und GF - F ist ,
მ II
dt
Dm +
dt2
да?
F'DE
=
D
1
Df
d²n
FDn
Dm - D
= 0,
dt2
1 Df
FD
dr
Dm - D
= 0..
dt2
Df =
( PDC)
Damit gehen die Gleichungen des Art. 23 über in
a211
'F'DX
=0,
(x - да?3) XDm + D (FD
Df
FDY
xYDm + D
( Df
FDZ
xZDm + D
(FD
Df
=0,
=:0
und in diesen sind , wie man sieht , die Variabeln X, Y, Z von einander
getrennt, so dass man jede für sich besonders bestimmen kanu.
Die unbestimmte Constante x kann in diesen drei Gleichungen verschiedene Werte haben und jede dieser Gleichungen wird eine Gleichung nten
Grades zur Bestimmung dieser Constante geben. Dadurch sind die Formeln
des vorigen Artikels gerechtfertigt.
Abschn. VI, §3. Schwingungen von mit Gewichten belasteten Saiten.
Df
315
32. Da man , in dem genannten Falle , Db = 0 ; Dc = 0 hat , so ist
Da (Art. 19) und die Gleichungen des Gleichgewichts (Art. 22) geben
F= S
эп
Dm + A.
да
Um aber den Wert der Grösse F' zu erhalten , muss man den Wert
von F als Funktion von Df oder Da kennen , denn aus F bekommt man
den Wert von F' als Funktion von F durch Differentiation.
Wenn man z. B. annimmt
mK(Df)" = mF.
= K(Ds) , so hat man F = K(Df)” und
daraus F"
all
In dem Falle, wo man von jeder fremden Kraft absieht, ist да -= 0,
woraus folgt : F= À und folglich ist dann F für alle Körper constant. Aber
der Wert von F' kann von einem Körper zum anderen variieren , wenn
der Abstand Da zwischen den aufeinanderfolgenden Körpern nicht überall
von gleicher Grösse ist. Ist dies der Fall , so werden die Grössen F und
F' zwei Constanten sein , welche man a posteriori bestimmen kann , ohne
das Gesetz der Funktion
zu kennen .
Dieser Fall ist derjenige eines gespannten Fadens oder einer gespannten
Saite, deren beide Enden fest gemacht sind, und welche mit einer beliebigen
Zahl von Körpern belastet ist, die in unter sich gleichen Entfernungen angebracht sind. Die Grösse F drückt dann die Spannung der Saite oder
das Gewicht , welches diese Spannung hervorbringen kann , aus ; aber die
Grösse F' kann man nicht aus F herleiten, ohne das Gesetz der Elasticität
der Saite zu kennen.
Das Problem , die Schwingungen einer solchen gespannten Saite zu
bestimmen, welches unter dem Namen : „ Problem der schwingenden
Saiten " bekannt ist , verdient eine besondere Untersuchung , sowohl
weil es einer allgemeinen Lösung fähig ist , als auch weil es auf das
innigste mit dem berühmten Problem der Schwingungen tönender Saiten
verbunden ist.
33. Wir wollen annehmen, dass alle Körper Dm, mit denen der Faden
belastet ist, unter sich gleich und ohne Schwere sind, und dass die Intervalle Df oder Da , welche sie trennen , im Zustande des Gleichgewichts
auch alle gleich sind.
Dan die Zahl der beweglichen Körper ist , so ist klar , dass , wenn M
die ganze Masse oder die Summe aller Massen Dm , die letzte als festgedachte Masse mitgezählt , und 7 die Länge der Saite im Gleichgewichtszustande bezeichnet, man hat
M
Dm = n + 1 ; Df = Da =
•
n+ 1
Abschn. VI.
316
Oscillationsbewegungen .
Die Gleichungen in X, Y, Z des Art. 31 werden also
IMT.
·X + D² ( X) = 0,
(n + 1 )² F"
IMx
Y + D² ( , Y) = 0,
(n + 1)² F
1Mx
Z + D² (, Z) = 0
(n + 1 )² F
und da sie unter sich ähnlich sind , so genügt es, die erste aufzulösen , denn
man braucht nur F
'
"
' in F zu verwandeln , um auch die Lösung der beiden
anderen zu erhalten.
34. Es sei
der Exponent oder Index des Ranges , den irgend ein
Glied X in der Reihe der X inne hat; wir wollen dieses Glied allgemein
mit X, bezeichnen , das vorhergehende 1 X wird sein X,
Gleichung wird also
IMx
D²X₁
X, −1
₁ = 0.
(n + 1)²Ƒ
” X + D²
F"
Die
erste
Um diese Gleichung zu lösen, setzen wir
XHsin(r + e),
wo Hund e zwei willkürliche Constanten sind.
Man hat nun zunächst entsprechend der Definition der zweiten Differenzen
D2X,-1 = Xr+1—
X +1 - X,
X, — (X, — X,-1 ) = X, + 1 − 2X, + X,−1 '
also nach den Regeln für die Multiplication von Winkeln
D2X,-1 =
4Hsin (ro + e) sin³½ — — 4X, sin²
.
Substituiert man diesen Wert in die vorige Gleichung , so wird aus
ihr nach Division mit X,
2
IMx
=
(n + 1 ) ³µ³ " — 4 (sin ?)
3) ² -0,
woraus folgt
F' si 오.
n
Es sind nun (Art. 24) die beiden Bedingungen zu erfüllen : X = 0,
Xn + 1 = O, die erste giebt e = 0, die zweite sin (n + 1 ) = 0, woraus sich
ergiebt (n + 1 ) = р , wо л der Winkel von 180 ° und p eine beliebige
рп
ganze Zahl ist . Man hat also ? = (n + 1 ) ; folglich , wenn H = 1 gesetzt
wird, was erlaubt ist ,
X = sinr
рп
n+ 1
Abschn. VI, §3. Schwingungen von mit Gewichten belasteten Saiten.
317
Denselben Ausdruck hat man für Y, und Z,, und damit sind die Grössen
bestimmt, welche man an die Stelle von X, Y, Z in die Ausdrücke von
,,
des Art. 30 einzusetzen hat.
Substituiert man denselben Wert von
druck vonyx, so wird derselbe
in den oben gefundenen Aus-
ρπ
DV F sin
TM
√x = 2 (n + 1 ) √TM
2 (n + 1)
worin man für p alle ganzen Zahlen von 0 bis n inclusive setzen muss ;
denn p = n + 1 ergiebt X, Y, Z gleich Null , und über (n + 1 ) hinaus
nehmen die Sinus dieselben Werte wieder an , die sie schon für p < n + 1
hatten.
Man hat also ebenso viele Werte von x, als es bewegliche Körper giebt ;
und diese Werte sind die Wurzeln der Gleichung in x.
Verwandelt man F in F, so bekommt man die Werte der Wurzeln
X1, X2 der beiden andern Gleichungen in x.
Die Werte für § , 7 ,
erhalten wir durch Substitution der vorstehend
erlangten Ausdrücke in die allgemeinen Formeln des Art. 30. Dabei ist aber
zu bemerken, dass das Summenzeichen S sich nur auf die Exponenten oder
Indices vom Ranger zu erstrecken hat , und zwar von r = 1 bis r = n,
wogegen das Summenzeichen Σ sich auf die Indices
der verschiedenen
Wurzeln bezieht, von p1 bis p = n.
Da nun SX'Dm = Dm SX2 ist , weil alle Dm einander gleich sein
sollten, so hat man zunächst
SX2 = sin²
=
122 12
-
2
also, weil
=
+ sin22
+ sin237 + ...
··· + sin²ng
n=
1
... + cos 2n)
2 (cos 24+ cos 44 + cos6? +
n-
1 (cos 2ng2 (1
coscos
=2 (n
2
24)+ 1 ) 4 - 12)
ρπ
ist und
2(n + 1)
eine ganze Zahl 1 , 2, 3 ,
SX2
n bedeutet,
n+1
2
Ebenso ist auch
n+
= SZ
SY =" +1.
2
35. Da die Werte von x unter sich incommensurabel sind, so wird die
Saite niemals ihre ursprüngliche Lage wieder annehmen können, wenn nicht
die Ausdrücke von E, n,
sich auf einen einzigen Term reducieren (Art. 25) .
Findet das letztere statt, so hat man, wenn man in den Formeln des ange-
318
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen .
gebenen Artikels für X, Y, Z und x die soeben gefundenen Werte setzt
und der Abkürzung halber
F
h'=•VIM h =
F
IM
macht , folgende Ausdrücke , in welchen ich den Winkel P an Stelle von
рп
beibehalten habe
n+ 1
§ = E sin ro sin (n't sing + e) ,
7 = E sinry sinht sin
(
+e
< = E sinry sinht sip
ε),
+ε
aber die Anfangswerte von a , ß, y, ά , B, Ÿ , welche für t - O gelten, müssen
proportional mit sinr sein . Dies ist die bekannte Lösung , bei welcher
man voraussetzt, dass die Körper nur einfache und isochrone Schwingungen
machen.
36. Um allgemeine Formeln zu erhalten , welche auf jeden beliebigen
Anfangszustand anwendbar sind , muss man die Formeln des Art. 30 anwenden, und darin die oben (Art. 34) gefundenen Werte substituieren . Der
Klarheit halber wollen wir auf die Variabeln , n,
den Exponenten oder
Index r am Fusse dieser Buchstaben anwenden, um den Rang des Körpers,
auf welchen sie sich beziehen , zu bezeichnen , hinsichtlich der Grössen
a, ß, y, α, ß, Ÿ, X, Y, Z, welche unter dem Summenzeichen S stehen, wollen
wir für
den Exponenten s setzen, weil dieser Exponent sich allein auf das
Zeichen S bezieht , welches anzeigt , dass man die Summe aller Glieder
bilden muss, die zu den Werten von S, von 0 bis n, gehören .
Man hat so folgende allgemeine Formel
2sinro
n+ 1
Sa, sin sq cos3 [ 2 (n + 1 ) ' t sin
sin 2 (n + 1) h'tsin
"
+ Så, sin sq
2(n + 1) h'sin
und um die Werte der Ausdrücke von 1 , 5,T zu erhalten, braucht man nur
h' in h und a, å in ß , ß und in Ÿ, y zu verwandeln .
Die Variabeln , stellen die longitudinalen Ausschläge der Körper in
der geraden Linie oder Achse , welche durch die beiden Enden der Saite
Abschn. VI, §3. Schwingungen von mitGewichten belasteten Saiten.
319
geht, dar, die Variabeln 1,,, geben ihre transversalen oder lateralen Ausschläge in der zur Axe senkrechten Richtung, die einzigen , welche man
bisher bei der Lösung des Problems der schwingenden Saiten betrachtet hat.
Das Zeichen Σ drückt, wie man sich erinnert, die Summe aller Grössen
unter diesem Zeichen aus , welche den Werten p = 1, 2, 3, ... bis n entsprechen, woraus folgt , dass die Ausschläge jedes der Körper , sowohl die
longitudinalen als die transversalen, allgemein aus eben so vielen besonderen
Ausschlägen zusammengesetzt sind, welche denen verschiedener Pendel von
den Längen
g
g
2 9 oder
4(n + 1 ) h'
sin
)³ *
}}
4(n + 1 )2h2 sin 2
wo g die Schwerkraft bezeichnet, analog sind, als es bewegliche Körper giebt.
Damit die Werte von h und h' reell seien, müssen die Grössen Fund F
"
positiv sein (Art. 35) . So muss nach der Hypothese des Art. 32 der Exponent m positiv sein, wenn die Körper sich anziehen . Wenn die Körper sich
abstossen, wird Feine negative Grösse sein, und der Exponent m muss also
auch negativ sein, in diesem Falle muss man ẞ = 0 , B = 0, y = 0, y = 0
haben , damit die transversalen Ausschläge
und
Null werden .
von
37. Hier ist eine wichtige Bemerkung über den allgemeinen Ausdruck
, den wir soeben gefunden haben , zu machen. Obgleich wir voraus-
gesetzt haben , dass die Zahl n der beweglichen Körper gegeben und dass
die Saite, deren Länge auch gegeben ist, an beiden Enden fest sei, so wird
doch die Rechnung durch diese Annahmen nicht beschränkt und der Ausdruck , um den es sich handelt , giebt den Wert von §, für jeden Körper
auf der geraden Linie , dessen Rang durch irgend eine ganze Zahlr , die
positiv oder negativ ist , ausgedrückt wird. Denn da diese Zahl
nur
in sinre vorkommt , so ist klar , dass man ihr jeden Wert geben kann ,
ρπ
welchen man will, und man sieht zugleich, dass, da =
ist, dieser
(n + 1 )
Sinus den Wert nicht ändern wird , wenn man darin 21 (n + 1 ) + r an die
Stelle von
setzt, und einfach negativ wird , wenn man r in 2λ (n + 1 ) — ro
verwandelt, wo λ eine beliebige positive oder negative ganze Zahl ist. Daraus
folgt , dass wenn man sich , dem Geist der Rechnung gemäss , die Saite
unbegrenzt nach beiden Seiten ausgedehnt und in ihrer ganzen Länge mit
gleichen und gleich weit von einander entfernten Gewichten belastet denkt,
die Bewegungen dieser Körper so beschaffen sein werden, dass stets
€22 (n +1) ±r = ± §,
ist.
Man sieht aber leicht , dass die Grösse 21 (n + 1 ) ± r alle positiven
oder negativen ganzen Zahlen darstellen kann , wenn r zwischen O und
(n + 1 ) liegt; denn teilt man eine beliebige ganze Zahl durch 2 (n + 1 )
so lange, bis der Rest, positiv oder negativ, kleiner als (n + 1 ) ist, was stets
320
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen.
möglich ist, und nimmt man als Quotienten und
r als Rest an, so wird
diese Zahl durch 2λ (n + 1 ) ± r dargestellt. Der Wert von §, in Bezug auf
irgend einen der auf derselben Linie in beliebiger Entfernung vom Ursprung
der Axe 7 befindlichen Körper , wird sich also auf den Wert von § für einen
der auf dieser Axe sich befindenden Körper reducieren .
Da die Relation , die wir zwischen den verschiedenen Werten von
gefunden haben , allgemein gilt , welches auch die Zahlr sei , so wird
sie , wenn man λ (n + 1 ) + r an die Stelle von r setzt und die unteren
Zeichen nimmt ,
Ex (n + 1) − r = − Ex (n + 1) +r •
Daraus kann man leicht schliessen , dass , wenn man sich die ganze
unbegrenzte Länge der Saite in Teile geteilt denkt , die der Axe
der
gegebenen Saite gleich sind , die Werte von § , die in einem dieser Teile
gelten, in allen andern wiederkehren, und zwar so , dass sie in zwei benachbarten Teilen Punkten angehören, die in diesen Teilen symmetrisch zu den
Endpunkten gelegen sind, und dass sie in solchen benachbarten Teilen entgegengesetzten Vorzeichens sind. Stellt man die Werte von
für alle auf
der Axe 7 befindlichen Körper durch die Ordinaten der Ecken eines über
dieser Axe beschriebenen Polygons dar, so braucht man nur dieses Polygon
abwechselnd und symmetrisch unter und über die nach beiden Seiten ins
Unendliche verlängerte Axe zu übertragen , so dass die Seiten , welche an
die Teilpunkte grenzen, die gleichen, aber im entgegengesetzten Sinne und in
derselben Geraden gerichtet sind ; man bekommt so für jeden Augenblick
die Werte von
für alle Körper , welche sich auf derselben geraden nach
beiden Seiten ins Unendliche verlaufend gedachten Linie befinden, als Ordinaten der Ecken des aus unendlich vielen Teilen zusammengesetzten Polygons. Diese Werte sind in jedem der Teilpunkte gleich Null, die in diesen
Punkten angebrachten Körper verharren daher von selbst unbeweglich ; auf
diese Weise genügt die Rechnung der Bedingung, dass die beiden Enden
der gegebenen Saite fest gemacht sind.
Was wir soeben in Bezug auf die Variabeln & gesagt, gilt in gleicher
αξ
Weise für die Differentialquotienten- ; denu, differentiiert man den Ausdruck
defo
r
von , nach t, so bekommt man einen Ausdruck für dt , auf welchen man
dieselben Ueberlegungen anwenden kann .
und αξ im ersten
Die Werte von a und , welche diejenigen von
dt
Augenblick der Bewegung darstellen und für alle auf der Axe / angebrachten
Körper willkürlich sind, werden also durch eine ähnliche Construction in
der Ausdehnung der Saite von unbegrenzter Länge dargestellt werden.
Da die Ausdrücke für die beiden anderen Variabeln
und
von jenem
für
nur durch die Anfangswerte ß, ß und y, † sich unterscheiden, welche
an Stelle von a, á stehen, so gelten dieselben Resultate auch in Bezug auf
diese andern Variabeln.
Abschn. VI, §3. Schwingungen von mit Gewichten belasteten Saiten .
321
38. Man schliesst also allgemein, dass, wenn eine gespannte Saite von
beliebiger Länge, die in gleichen Abständen mit gleichen Körpern belastet
ist, in mehrere gleiche Teile geteilt ist , die jedesmal von zwei Körpern begrenzt sind, und man alle Körper mit Ausnahme derjenigen, welche in den
Teilungspunkten liegen, zu gleicher Zeit und in der Weise erschüttert, dass
die Erschütterung für diejenigen Körper, welche in gleichen Entfernungen
beiderseits von jedem Teilungspunkte sich befinden , gleich gross , aber
entgegengesetzt gerichtet ist, dass also dann die in den Teilungspunkten befindlichen Körper von selbst auch weiter unbeweglich bleiben,
und jeder Teil der Saite sich so bewegt, als ob er für sich allein existirte
und seine beiden Enden absolut fest gemacht wären.
Daraus folgt, dass eine gespannte Saite von der Länge 7, welche an ihren
beiden Enden befestigt, mit n Körpern belastet und in
Teile geteilt ist,
wo v ein Divisor von (n + 1 ) ist, wenn der Anfangszustand so beschaffen
ist, dass die in den Teilungspunkten befindlichen Körper keine Erschütterung
erleiden, und dass diejenigen Körper, welche diesseits und jenseits eines
Teilungspunktes in gleichen Entfernungen von demselben liegen, immer gleiche,
aber entgegengesetzt gerichtete Erschütterungen erlitten haben, so schwingen
wird, als ob die Teilungspunkte fest wären und die Saite nur die Länge ソ
hätte.
39. Die Trennung der Variabeln in den Gleichungen für έ , ŋ ,
kann
auch eintreten, ohne dass man sich die Körper im Gleichgewichtszustande
auf einer geraden Linie verteilt zu denken braucht, wenn man annehmen
darf, dass die gegenseitigen Entfernungen der Körper bei der Bewegung
nicht variieren . Wir haben in Art. 14 bemerkt , dass dieser Fall von
denselben allgemeinen Formeln abhängt , nur hat man die Grösse
und
folglich auch die Grösse F als unbestimmt anzusehen , und ausserdem ist
nach Art. 22 noch die besondere Bedingungsgleichung zu berücksichtigen
Da
De +
Df
Dc
Db
·Dn +
. D¢ = 0,
Df
Df
vermöge welcher in den allgemeinen Gleichungen des Art. 21 alle mit G
multiplicierten Glieder verschwinden.
Beachtet man nur die Schwere der Körper und nimmt die Axe der
Abscissen
und a vertical und von unten nach oben gerichtet an, so wird
all
ди gleich der beschleunigenden Kraft der Schwere, die wir mit g bezeichnen
wollen , und ferner wird
all
db
Lagrange , Analytische Mechanik.
all
0,, де
0.
21
322
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen.
Die Gleichungen des angegebenen Artikels gehen also über in
d2
= 0,
D
Dm
dt2
)]
[(
d²n
FD
= 0,
Dm - D
dt
Df
Dm - D
dt2
FD
= 0,
Df
und hier sind die Variabeln in der That getrennt.
Der Wert von F wird (Art. 22)
F = √(gS Dm + A)² + B² + C²
Die Gleichungen in X, Y, Z sind also (Art. 23)
===0,
xX Dm + D
•[. (FDX)]
= 0,
xYDm + D
Df
[ (FDX)]
xZ Dm + D•[ (FD )] = 0.
Df
welche , wie man sieht , einander vollständig entsprechen , so dass man
X = Y = Z setzen kann , weil die willkürlichen Constanten , durch welche
diese Grössen sich unterscheiden könnten, da sie durch dieselben Bedingungen
bestimmt werden müssen , auch gleiche Werte bekommen. Die Werte von
,,, welche durch die allgemeinen Formeln des Art. 30 gegeben sind,
werden sich nur durch die Anfangswerte a , B , 7 , a , B , * unterscheiden ,
welche willkürlich gegeben sein können .
Die ganze Schwierigkeit reduciert sich also darauf, den allgemeinen
Ausdruck von X zu finden ; dazu aber kann man nicht durch die bekannten
Methoden gelangen.
Dieser Fall betrifft aber die Bewegung eines unausdehnbaren mit
mehreren Gewichten belasteten Fadens , der an seinen beiden Enden befestigt ist.
40. Wenn der Faden von oben nach unten läuft und nur an einem
seiner Enden , dem obersten, festgemacht ist , so muss, da der unterste
Körper frei sein soll, nach Art. 17 der Wert von
oder der von g freie Teil
von F am unteren Ende Null sein . Nimmt man dieses Ende als Ursprung
der Abscissen , und rechnet diese von unten nach oben und bildet SDm,
ebenfalls vom untersten Ende anfangend und nach dem oberen Ende fortschreitend , so wird der bezeichnete Teil von F in dem unteren Ende
gleich Null sein , wenn A = 0, B = 0 , C = 0 ist, und demnächst überhaupt
F = gS Dm.
Abschn. VI, §3. Schwingungen von mit Gewichten belasteten Saiten.
323
Da nun zugleich bei den gemachten Voraussetzungen über den Lauf
des Fadens
ап
ап
all
=
= 0;
=0,
де
да =g; дь
so geben die Gleichungen des Art. 22
Da = Df; Db - 0; Dc = 0,
d . h. die Ordinaten b und c sind constant , im Gleichgewichtszustand bildet
also der Faden eine zur verticalen Abscissenaxe der a parallele gerade
Linie. Man kann daher auch b == 0; c = O machen, wenn man zur Axe der
a die Verticale nimmt, welche durch den Aufhängungspunkt des Fadens geht.
Dieser Fall , welcher sehr kleine Oscillationen eines an einem fixen
Punkte befestigten und mit einer beliebigen Zahl von Gewichten belasteten
Fadens betrifft, ist auch einer allgemeinen Lösung fähig, wenn die Gewichte
alle unter einander gleich und in gleichen Entfernungen von einander angebracht sind.
41. Nennt man unter den letztbezeichneten Bedingungen n die Zahl
der Körper , M die Summe ihrer Massen Dm und 7 die Länge des Fadens,
so hat man
M
Dm = ; Df= Da = n
n
Ist ferner
die Zahl der Körper , welche vom unteren Ende an bis zu
demjenigen Körper, zu welchem die Variabeln E, 7, gehören, sich befinden ,
so wird
SDm = (r− 1 ) Dm =
1) M
n
und daraus folgt
F_9
g(r — 1) M
n
Die Gleichung in X des Art. 39 geht, wenn man sie mit
multigM
pliciert , für X aber X, setzt und beachtet, dass aus 1 X wird X -1 , und
X, in X+1 zu verwandeln ist, über in
lx
gn· X, + D [ (r − 1 ) DX,_1 ] = 0 .
Wenn man die durch D angezeigten Differentiationen ausführt, so hat
man nach der Formel des Art. 16
Ix
X¸ )) + (r − 1 ) ( X, — ,1 — 2X
, + Xr+ 1 ) = 0 .
gn X, + (X,+1 - X,
Diese Gleichung kann wegen des variablen Coefficienten
nicht wie
diejenigen Gleichungen behandelt werden, welche die gewöhnlichen recurrenten
21"
324
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen .
Reihen ergeben , man kann aber aus derselben successive die Werte von
X2, X, etc. herleiten.
Dazu braucht man ihr nur eine besondere Form zu geben ; man setzt
lx
= h, dann ist
n
1
1
2r - h
XX
Xr+1
2°
Macht man nun successive r = 1 , 2, 3 etc., so hat man
X₂ = (1
h) X1,
3 -h
X3= 2 X2 -
X1,
h
5
X4
h2
-·
X₁ = ( 1 − 2h + 2
3
X3 =
-
X3
3 X2
4h +
6h2
2
(1
1
3h +
区
+ 342-13 )X₁
ht
4h3
+
2.3.4 X₁₂
2.3
allgemein bekommt man so
rh
r(r− 1) h2
12 + 12.22
Xr+1 = (1 − 171
r (r — 1 ) (r — 2) 123
12.22.32
1) (r
(v — 2) (2
(†' — 3 ) 74
π — ...) X1,
+ r (r — 12.22.32.42
eine Reihe, deren allgemeines Glied ist
(−11 )v ¹ (r — 1) ... (v — p + 1) h² X₁.
(− )
12.22.32 ...
...p2
Da das obere Ende des Fadens fest sein muss, so kann man annehmen,
dass dieses Ende dem Körper entspricht, dessen Rang (n + 1 ) sein würde,
= 0 haben, woraus, wenn man für h seinen Wert
man muss dann Xn + 1 =
setzt, folgende Gleichung
lx
1-
+
g
(n - 1 ) 7²x²
4 ng²
- 1 ) (n - 2) 1³×³
(n −
+
4.9.n2g3
0
resultiert, welche in Bezug auf x vom nten Grade ist und folglich die
geben wird, die wir allgemein mit x( ) bezeichnen wollen.
nWerte von
42. Man braucht also nur in den Formeln des Art. 30 den vorigen
Ausdruck von X, an die Stelle von X, Y, Z, und denjenigen von x(e) an
angedeuteten
die Stelle von x zu setzen und dann die durch Sund
angedeuteten Summationen auszuführen. Man muss aber beachten , dass in diesem Falle , wo
Db = 0, Dc = 0 ist (Art. 40), die Bedingungsgleichung des Art. 39 D§ —0
ergiebt, d. h . dass
für alle Körper einen und denselben Wert besitzt,
einen Wert freilich , der mit der Zeit variieren , also eine Funktion von
325
Abschn. VI, §3. Schwingungen von mit Gewichten belasteten Saiten.
t sein kann. Hier haben also auch die für den Anfang der Bewegung
geltenden Beträge von § und έ , nämlich a und ä , längs des ganzen Fadens
denselben Betrag. Da diese Grössen aber beim obersten Körper, weil dieser
fest sein sollte, auch im Anfangszustande gleich Null sein müssen , so werden
sie überhaupt für alle Körper gleich Null sein. Der allgemeine Ausdruck
der Variabeln
wird folglich gleich Null.
Zu einem solchen Resultat gelangt man, wenn man, wie wir es gethan haben, die Quadrate und
höheren Potenzen der Variabeln έ , n , % , die sehr klein sein sollten , vernachlässigt. In der That die Gleichung Ds = Df des Art. 19 giebt , weil
Ds² = Dx² + Dy² + Dz² und Db = 0, Dc := 0 ist,
Da² = (Da + D§) ² + Dŋ² + DL²,
woraus folgt
DE=
und hieraus erhellt , dass
Bezug auf
und
ist.
Dn²+ Dr²
2Da
für alle Körper von der zweiten Ordnung in
Wir wollen jetzt, um zu den Werten für die anderen Variabeln zu gelangen, mit
(r) die Grösse
(x(P)
(r − 1)(r - 2) [ Zx(?)·72 (r - 1)(r - 2) (r — 3) [ lx ) ·73
+
+
1 - ( - 1) [ gn
x ]² _
g
4.9
gn
3) n
als Funktion von r bezeichnen . Ferner wollen wir in dem allgemeinen ,
in Art. 30 gegebenen Ausdruck, für die Variabeln η mit Nachahmung dessen,
was wir im Art. 36 gethan haben, 7, an die Stelle von n, und in den Gliedern,
die ausserhalb des Zeichens S stehen ,
(r) an die Stelle von Y, dagegen
in denen, welche unter diesem Zeichen S sich befanden,
in s verwandeln
ß , B, an die Stelle von ß und B
und dementsprechend
(s) für Y und B.
setzen. So bekommen wir für einen beliebigen Körper, dessen Rang r ist,
=
[
(r) S(ß,
S(
P (r) S(³¸ • (s))
(s))
(8))*
cost√ (P)
sint
+
()
S($ (s))² √x(P)
wo das Zeichen S die Summe der Glieder bezeichnet, welche zu s = 1.2.3 ... n
gehören , und das Zeichen Σ die Summe der Glieder darstellt , welche zu
p = 1 , 2 , 3 , ..., n gehören, wenn man annimmt, dass x(1) , x(2) , (3),99 x( ) die
(p).
Wurzeln der durch (n + 1 ) = 0 dargestellten Gleichung in x ) sind ; einen
ganz ähnlichen Ausdruck bekommt man für die Variabele . ,་ indem man
einfach ß,, B, in 7,, 7, verwandelt.
Das Problem der unendlich kleinen Oscillationen eines mit einer beliebigen Zahl von gleichen Gewichten belasteten Fadens ist also vollständig
gelöst ; es bleibt nur übrig die Wurzeln der Gleichung in x ) zu bestimmen,
was allgemein nicht möglich scheint.
326
Oscillationsbewegungen.
Abschn. VI.
43. Obgleich man diese Wurzeln nicht zu bestimmen vermag, so kann man
nichts desto weniger sicher sein , dass sie alle reell , positiv und ungleich
sein müssen ; andernfalls würden die Werte von , n ,
Glieder enthalten,
welche mit der Zeit wachsen , was nicht sein kann , da schon aus der
Natur des Problems selbst erhellt, dass die Oscillationen des Fadens immer
von geringer Ausdehnung sein müssen , wenn die Anfangswerte von § , 7 ,
sehr klein sind.
Das Gegenteil würde eintreten , wenn man die Grösse g , welche die
Schwerkraft bezeichnet, negativ, d . h . als im entgegengesetzten Sinne wirkend
annähme ; denn dies wäre der Fall , wenn der Befestigungspunkt des verticalen Fadens an sein unteres Ende verlegt würde , der Faden würde
umschlagen , wie wenig er auch aus seiner verticalen Lage verrückt
würde. Denn nimmt man g in der Gleichung für x negativ an, so werden
alle Glieder positiv , und die Gleichung kann nur imaginäre oder negative
reelle Wurzeln haben.
Man kann diese Resultate auch a priori vermittelst der im Art. 8 aufgestellten Prinzipien finden, was dazu dienen kann , die Stichhaltigkeit dieser
Prinzipien zu beweisen. Beachtet man in der That die Bedingung, der zufolge der Faden unausdehnbar sein sollte, so wird nach Art. 14
V= SIIDm,
II ist aber gleich gx = g (a + §) , und da nach dem voraufgehenden Artikel,
wenn man die Summation vom untersten Körper beginnt,
Dr²
E= & - S
S Dn²+
2Da
ist, so bekommt man
a + 5₁ —
Dn² + D²²
-§
S
2Da
V= Sg (a + 5,
Dm.
Nun ist aber der höchste Körper , derjenige , zu dem (n + 1 ) als
Ordnungszahl gehört , als fest angenommen , hier wird also der Wert von
gleich Null und man hat demzufolge
Dn² + D5²
ૐ, =·(SD 2Da
wenn
man festsetzt,
dass die zwischen den Klammern eingeschlossene
Summe alle Körper betreffen soll.
D2
(8 Dn²
+D²²
2Da
S
Setzt man also
Dn² + Dr² =S₁ Dn² + Dn²
"
2Da
2Da
so hat man
5 = 8, Dn² + Dra
= S'
2Da
Abschn. VI, § 4.
Schwingung tōnender Saiten.
327
und S' bedeutet eine Summe , die von dem höchsten Körper aus beginnt
und die sich als die Differenz der vollständigen Summe und der durch
S bezeichneten partiellen Summen , welche bei dem untersten Körper beginnt, wo der Ursprung der Abscissen ist, darstellt.
Man bekommt aber nunmehr
Dn²+ Dr²
V= g Sa Dm + g SDm S ': 2Da
woraus man sieht , dass der Teil von V, welcher die zweiten Dimensionen
der Variabeln
und enthält , die jetzt von einander unabhängige Grössen.
sind, stets notwendig positiv ist ; und dass folglich die Wurzeln der Gleichung
in x alle reell , positiv und ungleich sind. Das Gegenteil würde der Fall
sein, wenn g einen negativen Wert hätte..
§ 4. Ueber die Schwingungen tönender Saiten, wenn diese als gespannte,
mit einer unendlichen Menge kleiner und unendlich naher Gewichte belastete Saiten betrachtet werden, und über die Discontinuität willkürlicher
Funktionen.
44. Die allgemeine Lösung , welche wir vom Problem schwingender
Saiten gegeben haben, gilt auch , welches auch die Zahl n der beweglichen
Körper, und welches auch der Anfangszustand dieser Körper ist ; man kann sie
folglich auch auf den Fall anwenden , wo n unendlich gross und die Intervalle zwischen den Körpern unendlich klein werden, so dass die Länge der
Saite erhalten bleibt ; dann wird die Bewegung jedes Körpers durch eine
unendliche Reihe von Gliedern dargestellt, deren Summe gleich einer endlichen
Funktion ist, die mit derjenigen Funktion , die ihre einzelnen Glieder darstellt, nicht übereinzustimmen braucht. Dieser Fall betrifft die Schwingungen
einer tönenden , überall gleich dicken Saite , und man hat sich daran gewöhnt , seine Lösung direct aus den Differentialgleichungen abzuleiten ; indessen kann es für die Analyse interessant sein , zu zeigen , wie man dieselbe auch aus der allgemeinen Lösung zu finden vermag, besonders weil
man auf diese Weise sich leicht überzeugt , dass man zu einer Lösung gelangt , die jeder beliebigen Gestalt der Saite am Beginn ihrer Bewegung
angepasst werden kann.
45. Wir wollen zuerst bemerken , dass, wenn n unendlich ist, der Wert
F
von √ (Art . 34) gleich √
wird , weil der Grenzbetrag der Grösse
рп
gleich р ist. Hiernach werden die Wurzeln der
2 (n + 1 ) sin
2(n + 1)
Gleichung in x, welche , sobald die Zahl n der beweglichen Körper endlich
ist, alle unter sich incommensurabel sind, alle sofort commensurabel , wenn
n unendlich gross wird ; ihr gemeinschaftliches Maass ist für die longiF
"
F
tudinalen Ausschläge , π IM " dagegen π ᏓᏆ für die transversalen Ausund .
schläge
328
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen .
IM
Daraus folgt, dass die Saite nach Verlauf der Zeit 21
immer wieder
21 F
ihre erste Gestalt in Bezug auf die x Axe annimmt, von welcher Form sie
auch im Beginn der Bewegung ausgehen mag. Es ist wahr , dass da die
Zahl
auch zu unendlichen Beträgen gelangt , es Fälle geben kann , wo
Pπ
= ρr setzen darf; da dies aber erst
man nicht mehr 2 (n + 1 ) sin
2 (n + 1)
nach einer unendlichen Anzahl von Gliedern in den unendlichen mit Σ bezeichneten Reihen eintritt, so folgt aus der bekannten Theorie dieser Reihen,
dass diese besonderen Fälle keine Ausnahme von dem allgemeinen Resultat
machen.
Man kann sich übrigens direct davon überzeugen ; denn in dem Fall,
won unendlich ist , werden die mit D bezeichneten endlichen Differenzen
unendlich klein und die Gleichung in X des Art. 33 geht, wenn man D in
d verwandelt und für (n + 1 ) seinen Wert
setzt , über in
da
Mt.
X+
IF
"
d2X
=0.
da2
Die Integration ergiebt
X = I sin(a√
MY (+ ).
/
IF
Es muss für a = 0 und a = auch X gleich Null sein, weil die beiden
Enden der Saite fest sind ; die erste Bedingung giebt
= 0 , die zweite
Mr.
F
prM
/z = pr√.
= p ; daraus folgt wie oben √
V
Hier hat man also nicht mehr nötig , damit die Saite immer wieder
in ihren ersten Zustand zurückkehre , anzunehmen , dass sie nur einfache
und denen eines Pendels ähnliche Oscillationen ausführt, wie im Art. 35 ;
denn von welchem Anfangszustand die Saite auch zu schwingen beginnt,
man ist doch sicher, dass ihre Schwingungen immer unter sich isochron
g
und denen eines einfachen Pendels von der Länge
synchron sein werden ;
x
aber das Gesetz dieser Oscillationen wird von dem der Pendeloscillationen
verschieden sein und von dem Anfangszustand der Saite abhängen .
Um dieses Gesetz kennen zu lernen , muss man sehen , was aus den
allgemeinen Ausdrücken von § , 7,
für n gleich unendlich wird , und dies
wollen wir jetzt untersuchen.
46. Wir wollen in der allgemeinen Formel des Art. 36 den Bruch
PT.
р
an die Stelle von ę , und weil hier n unendlich sein soll,
n+ 1
2 (n + 1 )
an die Stelle von sinsetzen; an die Stelle der Indices r und S, welche
den Rang der Körper bezeichnen, zu denen die Variabeln
und a gehören,
wollen wir, was einfacher ist, die Teile der Axe selbst oder die Abscissen,
Abschn. VI, § 4.
Schwingung tönender Saiten.
329
welche diesen Körpern entsprechen , anwenden , indem wir mit x die auf
bezügliche und mit à die auf
und & bezügliche Abscisse bezeichnen . Da
die totale Länge der Saite gleich sein soll , so hat man
↑
X
S
=
n+ 1
n+ 1
-
a
7
n + 1=
ī
Da
und die Formel , um welche es sich handelt, wird folgenden allgemeinen
Ausdruck für die longitudinalen Ausschläge geben
=2
sin
РПх { 4º) cos ( xl't) + ¿ (
?) sin (pñl't) |
7
ρπλ
wenn man setzt
Da
A(P) =
ρπα
sin
ȧDa
A
Das Zeichen
= S(
ρπα
sin
bezeichnet hier eine unendliche Reihe von Gliedern ,
∞ gehören, und das Zeichen S bewelche zu den Werten p:= 1 , 2, 3,
zeichnet andere unendliche Reihen von Gliedern , welche zu allen Werten
von a, Da, 2 Da, 3 Da ... ∞ gehören, da Da unendlich klein ist.
Aehnliche Ausdrücke erhält man für die transversalen Ausschläge ʼn und
, wenn man h' in h und a, ¿ in ß, B und in 7,
verwandelt.
47. Als Daniel Bernoulli die Lösung des Problems schwingender
Saiten, welche Taylor gegeben hatte, verallgemeinerte, gelangte er zu einer
der vorigen ähnlichen Formel , in welcher aber die Coefficienten A
Null
waren, und die Coefficienten A
einfach willkürliche, von der Anfangsgestalt der Saite abhängende Constanten bezeichneten (Mémoires de Berlin
1753), und er glaubte durch die verschiedenen Terme seiner Formel die
harmonischen Töne , welche eine Saite zugleich mit dem Hauptton ertönen
lässt, erklären zu können . Unsere Formel, in welcher diese Coefficienten
durch die Anfangswerte a, & ausgedrückt sind, setzt uns in den Stand , diese
Darlegung, welche von mehreren Autoren nach ihm angenommen worden
ist, zu vervollständigen .
Man sieht in der That leicht, dass der Hauptton der Saite durch den
ersten oder die beiden ersten Terme der Reihe, welche zu p = 1 gehören,
gegeben sein wird, und dass die aufeinanderfolgenden harmonischen Töne,
d. h. die Octave, die Duodezime, die doppelte Octave etc., durch die folgenden Terme gegeben werden, welche zu p = 2, 3 , 4, ... gehören . Damit
also der Hauptton durch alle andern dominiere und nur die ersten harmonischen Töne sich zur selben Zeit hören lassen, muss man annehmen, dass
die Coefficienten A(1) , A (¹) viel grösser als alle andern zusammengenommen
sind und dass die folgenden Coefficienten
A‹² ) , A‹³) , A(¹) ……., ¿‹²) , ¿ ‹³) , Å‹¹) ,
330
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen .
ausserordentlich stark convergierende Reihen bilden. Aber aus der Art,
wie diese Coefficienten von den Anfangswerten a und
abhängen , sieht
man , dass diese Annahme unzulässig ist , wenn man den Anfangszustand
der Saite als beliebig ansieht ; man sieht sogar, dass in den meisten Fällen
diese Coefficienten divergierende Reihen bilden werden , was nicht verhindern
wird, dass die Saite isochrone oder gleiche Zeit erfordernde Schwingungen
macht, die einzige Bedingung, welche zur Bildung eines Tones nötig ist.
48. Obgleich die Formeln des Art. 46 die Bewegung der Saite nach
Verlauf einer beliebigen Zeit t streng angeben, so lassen doch die unendlichen Reihen , welche in diesen Formeln vorkommen, eine klare, sich von
selbst aufdrängende Deutung dieser Bewegung nicht zu. Fasst man aber
die allgemeine Formel des Art. 36 unter einem anderen Gesichtspunkt auf,
so kann man daraus eine einfache und gleichförmige Construction ableiten.
um den Zustand der Saite in jedem Augenblick zu bestimmen , welches auch
ihr Anfangszustand gewesen sein mag.
Kehren wir zu dieser Formel zurück und vertauschen, was , weil die
Zeichen S und
unabhängig von einander sind, erlaubt ist , die Opera-
tionen S und
mit einander und bringen sie dadurch auf die Form
=
=
Sas
+ Säs
2 sin re
sin s cos [2(n
2 (n + 1 ) h'tsin 2 ]}
n + 1
1 ) n'tsin
2sinro
sins
n+ 1
sin 2 (n + 1 ) ' t sin 2
(n + 1 )h'sin 94
so können wir daraus eine Folgerung ziehen, welche uns sehr nützlich sein
wird. Da a der Anfangswert von
sein sollte (Art. 29), so muss , wenn
man in dem vorigen Ausdruck von §, das t = 0 setzt, derselbe sich auf
reducieren, und man hat folgende identische Gleichung
r
2 sin esin sq.
= S ",
n + 1
Es ist aber klar , dass das zweite Glied dieser Gleichung sich nicht
unter allen Umständen auf a, reducieren kann, wenn nicht
2 sin ro
sins = 0
n+ 1
ist, sobald s von r verschieden ist, und zugleich, wenn sr ist,
2 sin re
sinr = 1
n+ 1
рп
sich auf die aufeinanderist und das Zeichen
n + 1
folgenden Werte 1 , 2, 3, ..., n von p bezieht, so sieht man , dass eine aus
wird ; da
=
Abschn. VI, § 4.
331
Schwingung tönender Saiten.
ST
gen+1
n+ 1
bildete Reihe , im ersten Falle stets gleich Null, im zweiten gleich
2
Υπ
und
Produkten der Sinus von Vielfachen der Winkel
n+1
ist , ein Ergebnis , welches auch durch die bekannten Formeln für die Summierung solcher Arten von Reihen abgeleitet zu werden vermag.
In diesen Formeln sollten r und s beliebige ganze zwischen O und (n + 1)
ρπ
liegende Zahlen sein ; weil aber P
n + 1 ist, wo p auch eine ganze Zahl
ist, so hat man, wenn 2λ (n + 1 ) ± r für r gesetzt wird, wo
eine beliebige
positive oder negative ganze Zahl angiebt,
=
sin[2λ (n + 1 ) ± r]
= ± sinry .
Folglich ist allgemein
= + 1 oder = 0,
2 sin [2) n
(n ++11 ) = r ] 4 sinsp }:
je nachdem s dem r gleich ist oder nicht. Die Grösse 22 (n + 1 ) ± r kann,
wie wir in Art. 37 gesehen haben , alle positiven oder negativen ganzen
Zahlen darstellen ; hat man also eine beliebige ganze Zahl N, so kann man
setzen N = 2 (n + 1 ) ± r, woraus dann folgt r
± [ N — 2λ (n + 1 ) ] , und
man hat allgemein , welche ganze Zahl auch N angeben mag,
sin No. sinso = ±11
/ oder = 0,
2
n+ 1
je nachdem s = ± [N— 2λ (n + 1 ) ] ist oder nicht , und wo s eine ganze
zwischen O und (n + 1 ) gelegene Zahl ist.
aus 2 Teilen besteht, deren erster die
49. Da der Ausdruck von
Anfangswerte a der Variabeln
und deren zweiter die Anfangswerte & der
de
Differentiale
enthält , so wollen wir diese beiden Teile getrennt bedt
trachten und den ersten mit E , den zweiten mit
bezeichnen , so dass
= +
ist.
= РП
unendlich klein, und
Ist n unendlich , so wird der Winkel
n + 1
P
(Art. 46) . Substituiert man dies in den Aussin 2 reduciert sich auf
druck von §,, so hat man (Art. 48)
2
Ε =S , Σ
sin re sin so cos [(n + 1 ) h't❤]
n+1
und indem man das Produkt sinry cos [ ( n + 1 ) h'te ] entwickelt , resultiert
sin [r + (n + 1) h't] ?
sinsq }
n+ 1
sin [r — (n + 1 ) h't] 4 sin se
+ Sa, Σ
sin s }.
n+ 1
Ε =S , Σ
332
Oscillationsbewegungen .
Abschn. VI.
Dan eine unendlich grosse Zahl sein sollte , so kann man stets die Zahl
(n + 1 ) ' t als eine ganze Zahl ansehen , welches auch die durch h't ausgedrückte Zahl sein möge.
Setzt man aber in der letzten Formel des vorigen Artikels
N = r + (n + 1) h't,
so ergiebt jene Formel
sin [r + (n + 1 ) h't]q
=
sins? } = +
n+ 1
Sas
wo s =
[r + (n + 1 ) h ' t — 2λ (n + 1 )] ist.
Macht man dann
Nr - (n + 1) h't,
so hat man ähnlich
St
—
( sin [r — (n + 1 ) l't] ? sins'? } = ± 1 % .
sins'e}
n+1
WO
s'=
[r
(n + 1 ) h't — 2 ' (n + 1 )]
ist, und λ, X' beliebige ganze Zahlen oder Null sind.
Hieraus ergiebt sich sofort durch Vereinigung beider Werte
1
=
wo die doppelten Zeichen von a, unda, denjenigen der Werte von s und s'
entsprechen.
50. Es ist aber bequemer , an die Stelle der Exponenten oder Indices
r und s , welche den Rang der Körper bezeichnen , zu denen die Variabeln
und a gehören, die Teile der Saite selbst zu gebrauchen, welche zwischen
dem ersten festen Ende und eben diesen Körpern enthalten sind.
Wir wollen, wie im Art. 46, mit x den Teil der Axe oder die Abscisse,
welche zu
gehört und mit a diejenige , welche zu a gehört , bezeichnen .
Da die Länge der Seite 7 ist, so wird
j
X
=
し
n+ 1
S
n+ 1
a
l
und ferner
a'
=
n+ 1
Daraus folgt
r=
und an Stelle von
(n + 1 ) x
し
(n + 1)a
, a , a, kann man einfach
(n + 1) a'
, αɑ da schreiben .
Sub-
stituiert man aber die vorstehend gegebenen Werte von r, s , s ' in die
Abschn. VI, § 4.
Schwingung tönender Saiten.
333
Formeln des vorigen Artikels, multipliciert mit 7 und dividiert mit (n + 1 ),
so hat man
a = ± (x + lh't — 221),
a' =
(x - lh't— 2X'l),
€ = 1 (±± a
α )
wo die zweifachen Zeichen von ɑɑ und
denen von a und a' entsprechen,
bei diesen aber so zu bestimmen sind , dass die Werte von a und a'
positiv und kleiner als 7 sind.
aa und ± a be51. Wir wollen mit A und A' die Werte von
zeichnen, es wird dann
A + A'
2
Für A und A' gelten aber folgende Bestimmungen :
1. Wenn x + lh't zwischen O und 7 liegt, so nimmt man
a = x + l't und A = + ɑɑ·
2. Wenn x + l't zwischen 7 und 27 liegt, so nimmt man
a == (x + ln't — 21) und A =- da·
3. Wenn x + lh't zwischen 27 und 37 liegt, so nimmt man
a = x + lh't— 21 und A = + ɑɑ
a
u. s . f.
Ferner
1. Wenn x - lh't zwischen
und O liegt, so nimmt man
a'=
' = x - lh't und A' = + " .
2. Wenn x - th't zwischen 0 und -7 liegt, so nimmt man
= ―— (x — lh't) und A' = a' =
3. Wenn x - Th't zwischen - 7 und -- 27 liegt , so nimmt man
a'== X - Th't + 27 und A':= a
u. s . f.
Man sieht , dass diese verschiedenen Fälle darauf hinauskommen , die
Abscissen a und a' zu bestimmen , indem man zu der Abscisse x die Linie
h't addiert oder von ihr subtrahiert, so dass, wenn sie das eine oder andere
Ende der Axe 7 überschreitet, sie nach rückwärts so zurückzuführen ist, als
ob sie an den beiden Enden durch irgend welche daselbst angebrachten
Hindernisse reflectiert würde, und dabei ist die entsprechende Ordinate a oder
a positiv zu nehmen , wenn die Zahl der Reflexionen gerade, und negativ,
wenn diese Zahl ungerade ist.
52. Es ist aber noch einfacher, die Curve der « auf derselben nach
beiden Seiten verlängerten Axe 7 fortzusetzen , so dass man direct die Ordinaten d.a und aa's welche den Abscissen x + lht und x — Th't entsprechen ,
unmittelbar erhält.
Zu dem Behufe construiert man erst auf der Axe 7 das Polygon von
unendlich vielen Seiten , oder die Curve, deren Ordinaten für die auf 7 zu
334
Abschn . VI.
Oscillationsbewegungen .
rechnenden Abscissen z gleich a sind, und welche durch die Anfangswerte
der Ausschläge , aller Punkte der Saite gegeben sind , man braucht dann
nur diese Curve abwechselnd nach unten und oben von derselben nach
beiden Seiten ins Unbegrenzte verlängerten Axe so zu übertragen, dass eine
continuierliche Curve entsteht, welche von gleichen und symmetrisch um die
Axe gelegenen Zweigen gebildet wird , die sich mit ihren Enden vereinigen ;
in dieser Curve sind die Ordinaten in Punkten, welche gleich weit von dem
einen und dem andern Ende der Axe 7 entfernt sind , stets in der Länge
gleich, aber in der Richtung entgegengesetzt.
Nimmt man in dieser Curve die Ordinaten , welche zu den Abscissen
x + ' t und x -- lh't gehören , so hat man die Werte von A und A' , und
die Variabele x wird nach Verlauf einer Zeit t durch die Formel
1
2 ¹x + M' t + αx - li't)
dargestellt.
Man hätte diese Fortsetzung der Curve , welche die Werte der a darstellt , sogleich aus dem herleiten können , was wir im Art. 37 allgemein
bewiesen haben , man darf nur annehmen , dass die Saite, anstatt in zwei
festen Punkten zu endigen, sich nach beiden Seiten ins Unendliche erstreckt ;
das hier erwähnte Polygon wird dann eine continuierliche Curve, welche für
den ersten Augenblick der Bewegung die ins Unendliche verlängerte Curve
zur Darstellung der Werte von a sein wird .
53. Wir wollen jetzt den zweiten Teil von
betrachten, den wir mit
bezeichnet haben, und welcher dargestellt wird durch die Formel
2 sinry
sin s
n+ 1
9-2
sin | 2 (n + 1 ) I'tsin
=S
2 (n + 1 )h'sin ?
2
Um diese Formel derjenigen von
ähnlich und derselben Reductionen
? zu befähig zu machen, muss man damit beginnen, sie vom Nenner sin
freien.
Dazu bilde ich die Differenz D ( ) , und da der Exponent r nur in
sinre vorkommt , so gelange ich zu derselben , indem ich einfach diesem
Sinus das Zeichen D vorsetze.
Nach den bekannten Theoremen hat man nun
Dsinre = sin ( + 1 ) ? -— siurę = 2sin
cos ( +2) .
Substituiert man diesen Wert in den Ausdruck von D (E ) , so resultiert
1
DE =
Sis
(n + 1 ) h'
2cos (r + 1)?
n+ 1
sinso sin 2 (n + 1) h't sin
[ 2(n + 1) ^ t sin
Abschn. VI, § 4.
Schwingung tōnender Saiten .
und indem man hierin für n = ∞ ,
=
sin
335
setzt und das Produkt
2
h'te
sin (n + 1 ) ' to entwickelt , hat man
1
sin[r + (n + 1) h' t + }] ? sins
DE =
Så¸8
(n + 1) h''
(n + 1 )
1
sin[r
(n + 1) ' t + ] & sins .
s
(n + 1)h Så
n+ 1
y
cos ( r +
)
Dieser Ausdruck von D besteht aus zwei Teilen , die denen von 5,
(Art. 49) ähnlich sind ; man kann also auf ihn dieselben Ueberlegungen anwenden und ihn auf eine ähnliche Construction zurückführen .
Hat man also auf der Axel das Polygon von unendlich vielen Seiten
gezeichnet , oder die Curve , deren Ordinaten für jede Abscisse x gleich
sind und welche durch die Anfangsgeschwindigkeiten , gegeben ist, so
wird man sie abwechselnd nach oben und unten von derselben, nach
beiden Seiten beliebig verlängerten Axe abtragen , so dass man eine
continuierliche Curve erhält, die derjenigen des vorigen Artikels ähnlich ist.
oder
an die Stelle vou (n + 1 ) und vernach1
so findet man
lässigt als unbeträchtlich gegen x die Grösse
2 (n + 1)
Dx
DE = 2lh' (äx + th' t - ġ.x – l't )
Setzt man dann
Da
Dx
und hieraus, indem man von den Differenzen zu den Summen übergeht,
1
=
t ' t ) Dx.
2th' S (4x + thi - x x
-t't
54. Diese Summen oder Integrale stellen, wie man sieht, Flächen der
Curve dar, deren Ordinaten die & sein sollten . Diese Flächen sind erst
von den Punkten zu rechnen , wo x = 0 ist und wo die Abscissen
' t bez.
-th't sind, es ist aber bequemer, sie im gemeinschaftlichen Ursprung der
Abscissen beginnen zu lassen, welcher der vorhergehende Endpunkt der
Axe 7 ist. Dazu muss man von der Fläche , welche in diesem Punkte beginnt, und welche zu der Abscisse x + ' t gehört, die Fläche, welche der
Abscisse l't entspricht, subtrahieren , damit die übrig bleibende Fläche erst
im Punkte x = O beginnt ; was aber die Fläche betrifft, welche zur Abscisse
x - lh't gehört, so muss man die auf - lh't bezügliche Fläche dazu addieren ,
um den Beginn auf denselben Ursprung der Abscissen zu beziehen .
Wir wollen allgemein mitada ) , jede Fläche bezeichnen , welche in
diesem Ursprung beginnt, und an irgend einer Abscisse x endet ;
dem, was wir gesagt haben , hat man in dem Ausdruck von
Dx
dx x
$ 42+ we Dz = (
Jadz); + w + − Jada)
, we '
– th't
W +
Stx - ut Dx = Jada)x-
h
Jade)_n .
nach
Abschn. VI.
336
Oscillationsbewegungen .
Bei der Substitution dieser Werte ist aber zu bemerken, dass allgemein
-t't
Sadx)wr + Sada)_
==0,
da nach der Natur der Curve der à die Ordinaten , welche zu gleichen Abscissen
von entgegengesetzten Vorzeichen gehören , ebenfalls gleich, aber von verschiedenem Vorzeichen sind , man hat also einfach (vorig. Art. ) beständig
- 0 . Hiernach ist
¿m' t + ¿_in't =
1
=
) , - wi ];
(
Sada) , + wi- Sada
-21 [(
55. Vereinigt man
endlich die Werte von
und E ,
so resultiert
nach Verlauf einer beliebigen Zeit t
folgender allgemeine Ausdruck für
vom Beginn der Bewegung
1
1
dx
live + a;
2
&₂ = }{ (^2 + we + 2 = are) + 211; [(
Sada), +we−(
Jadi).– we]
Aehnliche Ausdrücke bekommt man für die Variabeln
x,
? wenn
man nur h' in h und a , & in ß , B bez . y , ŕ verwandelt , und wenn man
annimmt, dass man die den Anfangswerten ß , ß und 7 ,
entsprechenden
Curven auf dieselbe Weise gezeichnet hat.
Hat man so die longitudinalen Ausschläge
und die lateralen x" 5x
jedes Punktes der Saite , welcher zu der in der Axe angenommenen Abscisse x
gehört, so kennt man den Zustand der Saite nach Verlauf jeder Zeit t,
welche seit dem Beginn der Bewegung verflossen ist , und da die Anfangswerte a , ẞ , y ebenso wie & , B, y absolut willkürlich sind, so sieht man , dass
diese Lösung durch nichts beschränkt ist , wenigstens sobald die nach
diesen Werten gebildeten Curven eine continuierliche Krümmung haben und
keine endlichen Winkel bilden , wodurch in den Ausdrücken für die Geschwindigkeiten und beschleunigenden Kräfte Sprünge entstehen würden.
h und h' sind nach Art. 35 definiert durch
F
"
h=√
F
1' = √ iM '
wo 7 die Länge der Saite und M die Masse aller Gewichte ist , mit denen
sie belastet ist (Art. 33) , M wird also die Masse oder das Gewicht der ganzen
Saite sein. Wir haben aber die Saite als gleichmässig dick angenommen,
wenn also P das Gewicht einer Längeneinheit derselben angiebt , welches
Gewicht von der Dichtigkeit und Dicke abhängt , so hat man M = IP,
und folglich ist
1
F
P
*-WE
F
P
- WE
1
Abschn. VI, § 4.
337
Schwingungen tönender Saiten.
" sind , wie wir gesehen haben, zwei Constanten ,
Die Grössen F und F
deren eine F die Spannung der Saite ausdrückt und folglich proportional
dem spannenden Gewichte ist , deren andere F' aber , gemäss der Formel
dF
F'Df= a(Df)9 durch das Gesetz bestimmt ist, nach welchem diese Spannung
in Bezug auf die Ausdehnung der Saite abhängt (Art. 32) .
56. Wie wenig man auch die Natur der Curven untersucht , welche die
Werte von a und ȧ darstellen, so ist doch leicht zu sehen, dass solche Ordinaten ,
die um das Intervall 27 von einander entfernt sind , immer gleich und von
demselben Zeichen sein werden , und dass die Flächen , welche in diesen
Ordinaten endigen , ebenfalls unter einander gleich sein werden , weil jede
Fläche , welche einem Intervalle 27 entspricht , und an einem beliebigen
Orte der ins Unendliche verlängerten Axe angenommen ist, immer algebraisch
Null ist, da sie aus zwei unter sich gleichen Teilen von entgegengesetztem
Vorzeichen besteht.
Es folgt daraus , dass der Wert von 20 derselbe bleibt , wenn man die
2
oder um ein Vielfaches dieser Grösse vermehrt ;
π
'
die longitudinalen Ausschläge der Saite werden also nach Verlauf der Zeit
2
P
oder 271
wieder dieselben ; dies ist die Dauer der longitudinalen
h'
F'
Schwingungen.
Dasselbe gilt von den Werten von 7, und , wenn man l' in h , d. h .
F
" in F verwandelt; die Dauer der transversalen Schwingungen ist also
Р
•
217. F
Alle Schriftsteller, welche bisher über die Schwingungen tönender Saiten
geschrieben haben , haben nur die transversalen Schwingungen betrachtet
und für ihre Dauer dieselbe Formel gefunden wie wir.
Chladni ist, soviel ich weiss, der einzige, welcher in seinem berühmten
Zeitt um die Grösse
Werke „Abhandlungen zur Akustik", § 43, der longitudinalen Schwingungen
Erwähnung thut ; er giebt das Mittel an, sie auf einer Violinsaite zu erzeugen und er bemerkt, dass der Ton, welchen sie geben, nicht derselbe ist,
wie derjenige der transversalen Schwingungen , woraus folgt , dass F" von
F verschieden ist ; bei der sehr wahrscheinlichen Hypothese , dass die
elastische Kraft , mit welcher jedes Element der Saite ihrer Verlängerung
oder Verkürzung widerstrebt , proportional einer Potenz m der Länge des
Elementes ist, d. h., dass
= K(Ds)" ist (Art. 14), muss m hiernach von
der Einheit verschieden sein (Art. 32) und wenn, wie Chladni zu glauben
scheint, der longitudinale Ton immer höher als der transversale ist, so muss
FF und folglich m >1 sein.
57. Wir haben im Art. 36 gesehen, dass eine gespannte Saite von der
Länge und mit n Körpern belastet, sich so bewegen kann, als ob sie nur eine
7
Länge
ein Teiler von (n + 1 ) ist. Wenn n eine unendlich
V hätte , wo
Lagrange, Analytische Mechanik.
22
338
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen.
grosse Zahl ist, kann v jede beliebige ganze Zahl sein ; eine tönende Saite
7
von der Länge 7 kann also oscillieren, wie eine Saite, deren Länge , d. h.
ein aliquoter Teil von 7 ist, und die Dauer ihrer Oscillationen reduciert sich
27 P
P
dann auf 22V
für die transverfür die longitudinalen, und auf V
F
salen Schwingungen.
In der That, wenn die Anfangswerte a und & so beschaffen sind , dass
die Curven oder Oerter dieser Werte auf der Axe 7 diese Axe in zwei oder
mehr, etwa in v gleiche Teile zerschneiden , und dass die Zweige, welche zu
diesen Teilen gehören , gleichgestaltet sind , aber abwechselnd ober- und
unterhalb der Axe liegen, so dass in gleichen Entfernungen beiderseits von
irgend einem der Schnittpunkte die Ordinaten gleich und von entgegengesetztem Vorzeichen sind , so bekommt die ganze Curve , die man erhält,
indem man diese Curven nach der Construction des Art. 49 ins Unendliche
fortsetzt,
dieselbe Form ,
wie wenn sie aus der Construction
für eine
Saite von der Länge V resultiert wäre, und der allgemeine Ausdruck für §
(Art. 52) zeigt, dass die Werte von , welche zu den Schnittpunkten gehören,
immer Null sind, so dass sich die Saite bei den longitudinalen Schwingungen
von selbst in die betreffende Anzahl gleicher Teile teilt, welche so schwingen,
als ob ihre Enden fest wären .
Dasselbe gilt für die durch die Variabeln
versalen Schwingungen.
und
dargestellten trans-
58. Da der Ton, welchen eine tönende Saite giebt, nur von der Dauer
ihrer isochronen Schwingungen abhängt, diese aber für eine gespannte Saite
der Länge dieser Saite proportional ist, so folgt, dass eine Saite, indem sie
sich von selbst in aliquote Teile teilt , Töne giebt , welche zum Hauptton,
bei welchem die Schwingung eine ganze ist, sich verhalten wie die Brüche,
welche diese Teile ausdrücken, zur Einheit. Wenn also die Saite sich in
2 , 3 , 4 , ... gleiche Teile teilt , so werden diese Töne durch die Brüche
1 1 1 1
9
2 ... ausgedrückt, und sind folglich die Octave, die Duodezime,
2 3 4 5
die doppelte Octave etc. des Haupttones.
Man nennt diese Töne , welche eine Saite von selbst geben kann,
harmonische Töne , und man weiss, dass man sie nach Belieben erzeugen
kann , wenn man die Saite während ihres Schwingens leicht in einem der
Teilpunkte berührt, welche man Knotenpunkte der Schwingung nennt,
ein Name, der von Sauveur herrührt, der durch die Existenz dieser Knoten
zuerst die harmonischen Töne der Trompete und anderer Instrumente in
den Mémoires de l'Académie des Sciences von 1701 erklärt hat. Wallis
hatte sie schon bei Saiten beobachtet, welche unter einer Saite, welche man
ertönen lässt , nach der Octave , der Duodezime , der doppelten Octave ge-
zwungen mitschwingen, indem sie sich auf natürliche Weise in 2, 3 , 4, ...
Abschn. VI, § 4.
339
Schwingungen tönender Saiten.
gleiche Teile teilen , deren jeder denselben Ton wie die Saite , welche man
tönen lässt, geben würde. Man sehe Capitel 107 seiner Algebra.
59. Theorie und Erfahrung stimmen hinsichtlich der Erzeugung harmonischer Töne überein, aber es ist nicht ebenso leicht, den Grund von dem zu
finden , was Rameau , der es zur Basis seines Systems gemacht hat,
Resonanz des tönenden Körpers nennt, womit das Zusammenklingen
der harmonischen Töne mit dem Hauptton bei jeder Saite, die man in irgend
welcher Art schwingen lässt, gemeint ist.
Wenn diese harmonischen Töne in der That durch dieselbe Saite zu
gleicher Zeit mit dem Hauptton erzeugt werden, so muss man annehmen, dass
die Saite zu gleicher Zeit ganze und partielle Schwingungen macht und
dass ihre effectiven Schwingungen aus diesen verschiedenen Schwingungen
bestehen, wie jede Bewegung aus mehreren anderen Bewegungen wirklich
zusammengesetzt ist, oder als zusammengesetzt gedacht werden kann.
Wir haben oben ( Art. 47) gesehen, dass aus der Formel von Bernoulli
die Coexistenz der harmonischen Töne nicht genügend klar abgeleitet werden
kann ; ich darf noch hinzufügen, dass die Reihen, welche diese verschiedenen
Töne geben könnten, aus der Formel verschwinden, wenn man die Zahl der
Körper als unendlich gross annimmt , unter dieser Annahme ergiebt sich
für jeden Punkt der Saite ein einfaches und gleichförmiges Gesetz des
Isochronismus , welches direct und auf einfache Weise vom Anfangszustand
abhängt, wie wir soeben bewiesen haben.
Wenn man übrigens die vielfache Resonanz der Saiten durchaus durch
die zusammengesetzten Vibrationen erklären will , so muss man etwa die
Anfangsgestalt der Saite als aus verschiedenen über einander gelegten Curven
gebildet ansehen , von denen jede immer als Axe für die folgende dient ;
die erste bildet dann nur einen Zweig in der ganzen Ausdehnung der
Saite, die zweite bildet zwei gleiche und symmetrisch gelegene Zweige, welche
die Axe in zwei gleiche Teile teilen ; die dritte bildet drei gleiche Zweige,
welche die Axe in drei gleiche Teile teilen, etc.
Die Schwingungen der Saite können dann angesehen werden als
zusammengesetzt aus ganzen Schwingungen in der ganzen Länge der Saite
und aus Schwingungen, welche nur zur halben Saite, zum dritten Teil,
zum vierten Teil etc. der Saite gehören . Da diese Zusammensetzung von
Curven und Schwingungen nur hypothetisch ist, so werden die Folgerungen ,
welche man daraus in Bezug auf die Coexistenz harmonischer Töne herleiten könnte, auch nur unsicher sein.
60. Wir wollen nun zur allgemeinen Formel des Art. 55 zurückkehren.
Da die Grössen
+ l't und α- ih't die Coordinaten einer gegebenen Curve
sind, welche zu den Abscissen x + lh't und x -- lh't gehören, so kann man
sie durch Funktionen dieser Abscissen darstellen, und diese Funktionen
werden für beide a von derselben Form sein. Bezeichnet man also durch
F eine unbestimmte Funktion, so hat man
- l't).
ax+ 11't
(x +
li't = F(x —
F(x
+ lh't) ;; αx w₁
llit = F
22*
340
Abschn. VI.
Oscillationsbewegungen .
Entsprechend kann man unter Benutzung eines andern durch f bezeichneten Funktionszeichens setzen
x -lh't = f(x - Th't).
Sudx)=_
Jade) + Wi = f(x + M't) ; (
Der Ausdruck von §
( Art. 55) erhält also nunmehr die Form
' (x — lh't) + f(x + l't) + f(x — lh't)
= F(x + lh't) + F
"
2
2th
worin die mit F und f bezeichneten Funktionen ganz willkürlich sind , da
sie vom Anfangszustand der Saite abhängen.
Man kann sogar diesen Ausdruck auf eine einfache Form bringen ,
F(x + lh't)
f(x + lh't)
wenn man bemerkt, dass
+
eigentlich nur eine
271
2
F(x - Th't)
f(x - Th't)
nur eine
Funktion von (x + lh't), und ebenso
2
21h'
einzige Funktion von (x - lh't ) darstellt, die aber von der vorigen verschieden ist. Bezeichnen wir die erste mit , die zweite mit ч, so ist der
allgemeine Ausdruck von
einfach
§ = Q (x + l't) + Y (x — lh't) .
61.
Zu diesem Ausdruck kann man auch direkt von der Differential-
gleichung aus gelangen, welche die Variabeln & bestimmt (Art. 31 ) . Diese
ап
Gleichung wird , wenn man да = O und F' = Const. setzt, wie im Art. 32,
und D in d verwandelt,
d2
dm dt2
Fd ( f)= 0.
Mdx
F'
Wenn man jetzt df = dx, dm =
und 7′ =√ IM setzt, so geht diese
Gleichung über in
gk
6
=0,
12h'2
dx2
dt2
das ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung zwischen den
drei Variabeln , x und t, deren vollständiges Integral
§ = Q(x + lh't) + Y (x — Th't)
ist, wo die Zeichen
und
wie oben willkürliche Funktionen bezeichnen .
Diese Funktionen müssen durch den Anfangszustand der Saite und durch
die Bedingungen , dass die beiden Enden der Saite fest sind , bestimmt
werden. Wenn man sie in zwei andere mit Fund f bezeichnete Funktionen
F
F
f
f
=
ist, so hat man
so zerlegt, dass
= 2 + 21h' und
2
21h'
f(x + lh't)
f(x - Th't)
F(x + Th't) + F(x — lh't)
+
2th'
2
Abschn. VI , § 4.
Schwingungen tönender Saiten.
341
wie wir oben aus unserer Construction abgeleitet haben ; die erste Bedingung
giebt, für t = 0
αξ
= F(x) = a; und dt = f' (x)= ¿ ,
woraus folgt
f(x)
1(2) =Sadr,
wodurch die Werte der Funktionen F(x) und f(x) sofort in der ganzen
Ausdehnung der Saite, vermöge der Anfangswerte a und à, bestimmt sind.
Die Bedingungen der Unbeweglichkeit der Enden der Saite geben = 0,
für x = 0 und für x = 7, welches auch der Wert von t sei. Unterwirft
man, was erlaubt ist, die beiden Funktionen F und f getrennt diesen beiden
Bedingungen, so hat man für die erste
F(
=lh't) = -· F(lh't) ; F(l + h't) =
— — · F(l — Th't)
und für die zweite
f(
lh't) = f(lh't) ; f(l + lh't) = f(l — lh't).
Daraus folgt durch Differentiation
- f'(― th't) = f' (lh't) ; f' (l + lh't) — — f' (l — lh't),
woraus man sieht, dass die Bedingungen, denen die Funktion ƒ zu genügen
hat, dieselben sind, wie diejenigen von F.
Diese Bedingungen bestimmen die Werte der Funktionen F(x), f'(x)
für die Abscissen x, welche negativ oder grösser als
sind, gemäss den
Werten dieser Funktionen für die Abscissen zwischen O und 7, und man
sieht leicht, dass daraus die in den Art. 52, 53 gegebenen Construktionen
resultieren.
Wenn man an Stelle der longitudinalen Ausschläge
die transversalen
oder betrachtet, so hat man dieselbe Differentialgleichung und folglich
auch dasselbe Integral und dieselben Constructionen, nur ist h' in h und ά ,
a in B, ß oder in † , † zu verwandeln.
Diese Constructionen sind denen ähnlich , die Euler angegeben hatte,
um die Gestalt der Saite in einem beliebigen Augenblicke ihrer Anfangsfigur gemäss zu bestimmen, wenn man von den im Anfang der Bewegung
erteilten Geschwindigkeiten absieht. Man muss aber bemerken , dass, da
Euler's Constructionen nur auf Funktionen gegründet sind, welche die Integrale der partiellen Differentialgleichungen darstellen, sie keine ausgedehntere
Bedeutung haben können, als die Natur der Funktionen , mögen sie nun
algebraische oder transcendente sein , zulässt. Da nun die Differentialgleichung für alle Punkte der Saite und für alle Augenblicke ihrer Bewegung
dieselbe ist, so muss die Relation, welche sie darstellt, beständig und gleichförmig zwischen den Variabeln herrschen, welche Ausdehnung man ihr
342
Abschn. VI. Oscillationsbewegungen .
auch geben mag ; daraus folgt, dass , obgleich die willkürlichen Funktionen
an sich selbst von unbestimmter Form sind, nichtsdestoweniger, wenn diese
Form in einer gewissen Ausdehnung durch den Anfangszustand der Saite
gegeben ist, daraus naturgemäss geschlossen werden muss, dass diese Form
immer in der ganzen Ausdehnung der Funktion dieselbe sein muss , es ist
also eigentlich nicht erlaubt, sie zu ändern, um sie unter die Bedingungen,
welche von der angenommenen Unbeweglichkeit der Enden der Saite abhängen, zu beugen.
So hat auch d'Alembert , dem man die Entdeckung dieses Integrals
in willkürlichen Funktionen verdankt, immer betont , dass die Construction,
welche daraus resultiert , nur berechtigt ist, wenn die Anfangscurve so beschaffen ist , dass sie vermöge ihrer Natur abwechselnd gleiche und ähnliche
Zweige hat , die alle in derselben Gleichung enthalten sind , damit dieselbe Funktion diese Curve mit allen ihren Zweigen ins Unendliche
darstellen kann. Euler dagegen hat geglaubt , als er die analytische
Lösung von d'Alembert adoptierte , dass es genügte , die Anfangscurve
abwechselnd oberhalb oder unterhalb der unendlichen Axe abzutragen , um
eine continuierliche Curve zu bilden , ohne sich weiter darum zu kümmern ,
ob auch die verschiedenen Zweige durch dieselbe Gleichung verbunden und
dem Gesetze der Continuität analytischer Funktionen unterworfen werden
könnten. Man sehe die Abhandlungen der Berliner Akademie von 1747 und
1748 und die Bände I u . IV der Opuscules von d'Alembert.
62. Da die Formeln , welche die Bewegung- einer gespannten und mit
einer bestimmten, wenn auch beliebigen Zahl von gleichen Körpern belasteten
Saite keiner Schwierigkeit unterworfen sind , weil für jeden Körper seine
Bewegung durch eine besondere Gleichung bestimmt ist, so ist offenbar,
dass , wenn man dieselben Formeln auf die Bewegung einer gleichmässig
dicken Saite anwenden kann , indem man die Zahl der Körper unendlich
gross und ihre gegenseitigen Entfernungen unendlich klein annimmt , das
Gesetz, welches daraus für die Schwingungen der Saite resultiert , gänzlich
vom Anfangszustand unabhängig sein wird ; und wenn dieses Gesetz dasselbe
ist wie dasjenige, welches aus der Betrachtung der willkürlichen Funktionen
folgt , so ist auch bewiesen , dass diese Funktionen von einer beliebigen,
continuierlichen oder discontinuierlichen Form sein können , vorausgesetzt,
dass sie den Anfangszustand der Saite darstellen . Auf diese Weise habe
ich im ersten Bande der Mémoires de Turin die Richtigkeit der Construction
von Euler bewiesen , welche bis dahin nur auf ungenügende Beweise gegründet war. Die Analyse , welche ich dort anwendete , ist , bis auf einige
Vereinfachungen , welche ich seither angebracht habe , dieselbe, wie ich sie
soeben gegeben habe , und ich habe geglaubt , dass sie in diesem Werke
nicht fehlen dürfte , weil sie direct auf die strenge Lösung eines der interessantesten Probleme der Mechanik führt.
Die Allgemeinheit der willkürlichen Funktionen und ihre Unabhängigkeit
vom Gesetze der Continuität , welche wir für das Integral der auf die
Abschn. VI, § 4.
Schwingungen tönender Saiten.
343
tönenden Saiten bezüglichen Gleichung gezeigt haben , begründet es , dass
man diese Funktionen auch auf dieselbe Weise bei den Integralen anderer
partiellen Differentialgleichungen anwenden darf ; ich habe selbst im zweiten
Bande der angeführten Mémoires gezeigt, wie man mehrere dieser Gleichungen
ohne die Untersuchung dieser willkürlichen Funktionen integrieren kann, und
wie man dabei zu denselben Lösungen gelangt , welche man vermittelst
dieser in ihrer ganzen Ausdehnung erforschten Funktionen findet.
Jetzt ist das Prinzip der Discontinuität der Funktionen allgemein für
die Integrale aller partiellen Differentialgleichungen angenommen , und die
Constructionen , welche Monge von einer grossen Zahl dieser Gleichungen
gegeben hat, verbunden mit der Theorie der Erzeugung von Flächen durch
willkürliche Funktionen, lassen keine Unsicherheit mehr über den Gebrauch
discontinuierlicher Funktionen bei den Problemen , welche von Gleichungen
dieser Art abhängen, zurück.
63.
Bemerkenswert ist es, dass dieselbe Formel
{= 0 ( + x) + (
− xt),
welche der partiellen Differentialgleichung
d2
dt2
x2
o
=0
მემ
genügt, auch derselben Gleichung in endlichen Differenzen entspricht,
welche man durch
D2( E)
D2(1 ) =
x2
0
Dx2
Dt2
darstellen kann, vorausgesetzt, dass Dx = xDt ist und man Dt als constant
betrachtet. Man hat in der That, wenn man nur x variieren lässt,
D² (‚ ¤(x + xt)) = Þ (x + Dx + xt) — 20 (x + xt) +
(x — Dx + xt)
und lässt man nur t variieren,
D² (1Þ (x + xt)) = • (x + xt + xDt) — 2® (x + xt) + Q (x + xt — xDt) ,
welche Ausdrücke einander gleich werden , wenn DxxDt ist ; dasselbe
findet man für die Funktion
(x -·xt).
Beim Unendlichkleinen fällt die Bedingung, dass dx = xdt sein soll,
fort, und das Integral gilt immer ; der Grund dafür ist, dass dann der
de
dividiert
, welcher anscheinend das zweite Differential von
Ausdruck
dt2
durch das Quadrat des Differentials vont darstellt, nichts weiter als ein
Symbol für eine einfache Funktion von t ist, die aus der ursprünglichen
abgeleitet und von dieser Funktion , die ja von dt garnicht abFunktion
02
hängt, verschieden ist. Dasselbe gilt von dem Ausdruck მემ in Bezug aufx ;
in dieser Verwandlung der Funktionen besteht wirklich der Uebergang vom
Endlichen zum Unendlichkleinen und die Quintessenz der Differentialrechnung.
344
Abschn. VI, § 4. Interpolation durch periodische Reihen.
64. Ich will noch eine Bemerkung hinzufügen, welche vielleicht bei
mehreren Gelegenheiten nützlich sein kann ; sie hat eine neue Methode der
Interpolation zum Gegenstande, welche aus den Formeln des Artikel 48
resultiert.
Wir haben gesehen, dass die Grösse
2
α
[ sin (n + 1 ) S'sin (n#+ 1
n + 1 ΣΤ
1)
]
n ist. Wenn man also eine Reihe von
gleich a, wird, wenn r = 1 , 2, 3,
Grössen a , 2 , 3 , ... , a n hat, deren Zahl n ist, so kaun durch die vorige
Formel ein beliebiges dazwischen liegendes Glied , dessen Rang durch eine
beliebige, ganze oder gebrochene Zahl bezeichnet ist, dargestellt werden ,
wenn man successive r = 1 , 2 , 3,
n macht, so giebt die Formel
a1, a2, az, ... an.
Das Zeichen S bezeichnet die Summe aller Glieder, die zu s = 1 , 2, 3,
n
die Summe aller Glieder, die zu p = 1 , 2, 3 , ...,' n gehören,
gehören, und
bezeichnet den Winkel von 180º.
und
Wir wollen annehmen, dass nur ein Glied a , gegeben sei, und setzen
n = 1 , s = 1 , p = 1 , und es wird dann der allgemeine Ausdruck von ɑ,
Υπ
•
α, sin
a=
2
23
2 und es seien α , α, gegeben ; setzt man s = 1 , 2, p = 1 , 2,
Es sei n
so bekommt man
2rn
I'π
=
+ A" sin
3
(4' sin 3
woselbst
π
2π
A' = a₁ sin 3 + a, sin 3 9
Απ
2π
A" = a, sin
3 + a₂sin 3
Es sei n = 3 und a , a , a, gegeben ; man setzt s = 1 , 2 , 3 und
p = 1 , 2, 3 und bekommt
2
A′ sin
+ 4″ sin ²
4
3r
+A
" " sin 3FT),
4
wo A' , A" , A"" durch folgende Formeln bestimmt sind
π
2π
3π
9
+ asin
+ asin
4
4
4
2π
Απ
σπ
+ ɑsin
A" = a₁sin
4
4 + a, sin 4
Зг
σπ
9π
= α, sin
A" =
+
sin
4
4 + α, sin 4
A'
u. s. f.
a₁sin
Abschn. VI, § 4.
Interpolation durch periodische Reihen.
345
Bei der gewöhnlichen Interpolationsmethode nimmt man an, dass man
durch die Enden der Coordinaten, welche die gegebenen Glieder darstellen ,
eine parabolische Curve gehen lässt von der Form
y = a + bx + cx² + dx³ +
In der vorigen Methode setzt man an die Stelle einer parabolischen
Curve eine Curve von der Form
y = 4' sin( ™ ) + 4" sin (2
) + 4 " sin (3
) + ...
und es giebt sehr viele Fälle, wo diese Annahme, als der Natur des Problems
mehr entsprechend, vorzuziehen ist.
Abschnitt VII.
Die Bewegung eines Systems von freien Körpern, die
als Punkte gedacht werden, und durch Attractionskräfte bewegt werden.
*
Man kann alle Systeme von Körpern , welche auf einander wirken , und
deren Bewegung man durch die Gesetze der Mechanik zu bestimmen vermag,
in drei Klassen teilen ; denn soweit uns bekannt , können Körper auf einander auf drei verschiedene Arten wirken , entweder durch Anziehungskräfte , wenn die Körper von einander getrennt sind , oder durch Bänder,
welche sie verbinden , oder endlich durch unmittelbaren Stoss. Unser
Planetensystem gehört zu der ersteren Klasse , und aus diesem Grunde
nehmen die Probleme , welche sich auf diese beziehen , den ersten Rang
unter allen Problemen der Dynamik ein . Sie sollen daher Gegenstand dieses
besonderen Abschnittes sein.
Obgleich sich bei den Systemen dieser Klasse , wo die Körper als sich
frei bewegend gedacht werden , die Gleichungen für ihre Bewegung leicht
finden lassen , da es sich nur darum handelt , alle Kräfte auf drei unter
sich rechtwinklige Richtungen zu bringen und vermöge des Prinzips der
beschleunigenden Kräfte die Kraft in jeder dieser Richtungen dem Element
der Geschwindigkeit in Bezug auf dieselbe Richtung , dividiert durch das
Zeitelement, gleich zu setzen , so ist nichtsdestoweniger die Anwendung
der in dem Abschnitt IV gegebenen Formeln stets vorzuziehen , weil sie
direct und ohne jede vorgängige Zerlegung der Kräfte die einfachsten
Differentialgleichungen liefern, welche Coordinaten man auch zur Bestimmung
der Lage des Körpers anwendet , und weil sie selbst dann bestehen , wenn
die Körper , anstatt gänzlich frei zu sein , gezwungen sind , sich auf gegebenen Flächen oder Linien zu bewegen.
Wir beginnen damit , uns die Formeln ins Gedächtnis zurückzurufen,
von denen wir Gebrauch machen wollen .
1. Es seien m , m ', m" etc. die Massen der verschiedenen als Punkte
betrachteten Körper, x, y, z die rechtwinkligen Coordinaten des Körpers m,
x', y' ,
diejenigen von m' u. s. f. , wo alle diese Coordinaten auf die
nämlichen Axen im Raume bezogen sind.
Abschn. VII.
Die allgemeinen Gleichungen.
347
Man setze
T:= m dx² + dy² + dz² + m'
2dt2
dx'2 + dy 2+ dz's
+
2dt2
Will man an Stelle der rechtwinkligen Coordinaten x , y , z beliebige
andere ,,
anwenden , so braucht man nur die Werte von x, y , z, ausgedrückt in , n ,
in den Ausdruck (dx² + dy² + dz²) zu substituieren ;
cbenso wird man für x', y' , z' ihre Werte ausgedrückt in ' , n' , l' substituieren , wenn man die rechtwinkligen Coordinaten x' , y', '′ in §' , n' , l'
transformieren will , u . s . f. Die Grösse T wird dadurch zu einer Funktion
der Variabeln §, n, 5 , §' , n' , l' u . s. f. und ihrer ersten Differentiale . Es
seien nun P, Q, R u. s. f. die Kräfte, mit denen jeder Punkt der Masse m
nach festen oder beweglichen Centren strebt, deren Entfernungen p, q, r u. s . f.
sind und welche , da sie in x , y , z gegeben sind , auch Funktionen von
,,
sein werden ; man setze
dПl = Ròr + Qòq + Pòp + ·· · ,
wo I je nach der Art der Kräfte ein vollständiges Differential ist oder
nicht, und setze ferner, indem man durch dieselben aber mit einem, zwei ,
u. s. f. Strichen versehenen Buchstaben , die analogen Grössen in Bezug
auf die Körper m' , m" u. s. f. bezeichnet,
¿ V= môll + m'òll ' + m'¿II” + ···
Wenn es ausser diesen nach gegebenen Centren gerichteten Kräften
noch Anziehungskräfte zwischen allen Molekülen der Körper m und m'
giebt, so muss man , wenn noch mit
die Entfernung dieser als Punkte
betrachteten Körper und mit R die von der Entfernung abhängige oder
unabhängige Attractionskraft bezeichnet wird , zu V das Glied mm'Ròr
addieren , und das Gleiche für alle anderen Körper thun , die sich gegenseitig anziehen.
Da nun alle Körper frei sein sollen , so sind die Coordinaten , welche
ihre Lage im Raum bestimmen, unabhängig und jede von ihnen, wie z. B. §,
liefert eine Gleichung von der Form
эт
d
ode
эт
av
- 0.
+
Οξ
οξ
2. Wenn die Grössen oll, dll' , etc. vollständige Differentiale sind , was
stets der Fall ist , wenn die Kräfte irgend welchen Funktionen ihrer Entfernungen von den Attractionscentren proportional sind, und dies gilt immer
in der Natur, so ist es einfacher, von den Integralen II, II' etc. auszugehen ;
diese werden
11 - SR dr + SQ da + SPdp + ...,
R'dr' +
'dq'+ P'dp' +
I=SRar -Sqaq
' Sp
u. s. f.
348
Abschn. VII, Cap . I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
Für die Grösse V gilt also die Gleichung
V = m [] + m'Il' + m" Il'" +
Wenn diese als Funktion der Variabeln
, n , s, E ' , n' , l' u. s. f. gefunden ist, ist es leicht daraus durch Differentiation die partiellen Differentiale
av av
2
" etc. herzuleiten. Enthalten ferner in diesem Falle die Funktionen
T und
die Zeit t nicht, so hat man stets das Integral
T + V= H,
wo H eine willkürliche Constante ist ; diese Gleichung spricht das Prinzip
der lebendigen Kräfte aus .
Capitel I.
Ueber die Bewegung eines als Punkt gedachten Körpers , der
durch Kräfte, die einer Funktion der Entfernung proportional
sind, nach einem festen Centrum hin gezogen wird , und insbesondere über die Bewegung der Planeten und Cometen um
die Sonne.
3. Betrachtet man nur die Bewegung eines einzelnen Körpers, so kann
man seine Masse m gleich der Einheit ansetzen und hat einfach
T=
dx² + dy² + de2
"
2dt2
und
¿ V= Ròr + Qòg + Pòp +
In diesem Falle geben die Coordinaten , welche den Ort des Körpers im
Raume bestimmen, wie sie auch beschaffen sein mögen , da sie unabhängig
sind, drei Differentialgleichungen von der Form
d
от
ade
av
дт
=0,
+
૦૬
zu denen man noch die Gleichung erster Ordnung
T+ V= H
hinzufügen kann, welche an die Stelle einer von ihnen treten wird. Sollte
die Bewegung in einem widerstehenden Mittel erfolgen , so braucht mau,
wenn R den Widerstand des Mittels bezeichnet, zu dem Werte von V nur
die Glieder (Abschn. II, Art. 8)
R
dx
dz
dy
·6x +
ds by +de
ds
dy
ds oz)
zu addieren, aber die Gleichung T + V= H würde nicht mehr gelten.
Abschn. VII, Cap. I.
Die Differentialgleichungen .
349
4. Wir nehmen an, dass der Körper m gegen ein festes Centrum durch
eine Kraft R gezogen wird , welche eine Funktion der Entfernungr des
Körpers von diesem Centrum ist, es ist dann einfach
v=SRdr.
Benutzen wir r als eine der Coordinaten des Körpers , wählen als die beiden
andern Coordinaten den Winkel 4, welchen der Radiusvector mit der xyEbene,
und den Winkel 9, den die Projection von r auf diese Ebene mit der x Axe
bildet, und legen den Ursprung der Coordinaten x , y, z in das Centrum
von r, so dass
·= √x² + y² + 2²
ist, so findet sich leicht
x = rcos y cosy , y == rcossing, z = rsiny,
und daraus
T=
r2 (cos2d2 + d¥³) + dr²
" V
2dt2
=SRar.
Die drei Differentialgleichungen in Bezug auf r, 4,
d
от
a dr
от av
+
др
др
от
от
d
day
от
d
дар
lauten nun
0,
ат
== 0,
+
ду
მს
от
av
+
= 0.
да
деф
Man bekommt also zufolge der Werte von T und V
d2r
dt2
2
r(cos²↓ dy² + dy²)
+ R = 0,
dt2
d
r2sin cos do²
r²dy
= 0,
+
dt2
dt2
09
r² cos² & do =
dt2
und die Gleichung T + V = H giebt sofort folgendes erste Integral
r2(cos24d42 + d¥2) + dr²
2H,
+2
dt2
+ 25Rdr =
worin H eine willkürliche Constante bezeichnet.
5. Die letzte der drei Differentialgleichungen ist unmittelbar integrabel ;
ihr Integral ist
r²cos24 dp =
C,
dt
350
Abschn. VII, Cap . I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
wo C eine willkürliche Constante ist ; die zweite wird integrabel, wenn man
C
do
setzt und
seinen aus der letzten Gleichung gefundenen Wert
dt
r²cos24
mit 2r2d multipliciert. Ihr Integral ist
für
r4d2
C2
= E2 .
+
cos24
dt2
wo E eine neue willkürliche Constante ist.
Ich ziehe zunächst aus diesem Integral eine besondere Folgerung,
do
nämlich die, dass wenn & und dt in einem Augenblick zugleich Null sind,
sie immer gleich Null sein werden ; in der That setzt man für einen Augendy =
blick
= 0 und
0, so giebt die letzte Gleichung C² = E² ; aus ihr
dt
wird durch die Substitution von C² an Stelle von E²
14d42
C2tg²4 = 0,
dt2 +
welche Gleichung , da sie nur aus Quadraten zusammengesetzt ist , nur bestehen kann, wenn
dy
= 0; dt = 0
ist. Die genannte Voraussetzung läuft nun darauf hinaus, dass der Körper
sich in einem Augenblick in der xyEbene bewegt; man kann diese Voraussetzung aber stets erfüllen, da die Lage dieser Ebene eine willkürliche ist;
daraus folgt, dass der Körper sich beständig in derselben Ebene bewegt
und notwendig eine ebene Bahn beschreibt, d. h. eine Linie einfacher
Man kann dies auch direct durch Integration derselben
Krümmung.
Gleichung beweisen .
Denn substituiert man in diese Gleichung für dt seinen Wert aus dem
ersten Integral, so wird sie
C2
C2d42
= E2.
+
cos2
cos¹y do2
dy
=tgi sei, so hat man
do
C2
C2 + C2tgai =
cos2i
Nimmt man an, dass für
= 0,
E2
und die letzte Gleichung verwandelt sich in
dy2
cos+ do
1
cos2i
1
cos2
= tg²i — tg² 4,
aus welcher
do =
dy
cos² / tg²i — tg³
Abschn. VII, Cap . I.
Die Integration.
351
sich ergiebt, eine Gleichung, deren Integral
❤ — h=
arc sin = tg
tgi
(
oder auch
tgtgisin(p − h)
ist, wo h der Betrag von
für 40 angiebt.
die beiden Seiten eines
h) und
Diese Gleichung zeigt, dass (
rechtwinkligen sphärischen Dreiecks sind, in welchem i der der Seite
h) in der xyEbene
gegenüberliegende Winkel ist. Da also der Bogen (
angenommen ist, und der Bogen & immer senkrecht auf dieser Ebene steht,
so folgt, dass der Bogen , welcher diese beiden verbindet , und welcher die
h) den constanten
Hypotenuse des Dreiecks bildet , mit der Basis (
Winkel i bildet ; dieser Bogen wird folglich durch die Enden aller Bogen &
gehen , und alle Radien r werden sich in der Ebene desselben Bogens befinden, welcher folglich die Ebene der Bahn des Körpers sein wird , deren
ist , und deren Schnitt mit
Neigung zur xy Ebene der constante Winkel
derselben Ebene den Winkel h mit der x Axe bildet.
Nimmt man, um einen bestimmten Fall im Auge zu haben, die xyEbene
zur Ekliptik, so wird
die Länge auf der Ekliptik ,
die Breite , h die
Länge des Knotens der Bahn und die Neigung derselben sein.
6. Betrachten wir jetzt das Integral
r²(cos2& dq² + d¥ ²) + dr²
+2 Rdr = 2H
dt2
S
und substituieren für dy seinen oben gefundenen Wert in de, so wird
daraus
dr2
r²cos¹&dq²
+
+2 Rdr = 2H.
dt2
cos2idt2
Dieses Integral hat man mit dem anderen
r2cos24do =
C
dt
zu combinieren .
Substituiert man dort den Wert von de aus dieser letzten
C
= D, so hat man die Gleichung
Gleichung und setzt
COS2
dr2
D2
+2 Rdr = 2H,
dt2 + r2
SRd
aus welcher
dr
dt:
2H -2 Rdr -
D2
2.2
352
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum.
sich ergiebt. Integriert man diese Gleichung, so erhält man den Ausdruck.
von in
ausgedrückt, und umgekehrt den von r, ausgedrückt in t.
7. Der Winkel
resultirt dann aus der Gleichung
Dcosidt
do - 1-2cos²
Da nun die Ebene der Winkel P beliebig gewählt werden darf, so hat man,
wenn man sie mit der Bahnebene zusammenfallen lässt, indem man nämlich i = 0
Ddt
in diesem Falle wird der Winkel
setzt, auch = 0 ( Art.5) , folglich do =
de der Winkel sein , welchen der Radius r in der Bahnebene beschreibt.
Bezeichnet man diesen in der Bahnebene gerechneten Winkel allgemein mit
do, so hat man
Ddt
do
7.2
und indem man den Wert von dt ausgedrückt in dr substituiert, erhält man
Ddr
Φ=
D2
2H2
r2√2
H_2
Rdr
eine Gleichung , deren Integral den Wert von
ausgedrückt in r , und
umgekehrt den von
in
ausgedrückt geben wird.
durch die Gleichung
aus
Man findet dann
cos2d
do:
cosi
aus welcher man, wenn man für cosy seinen aus der Gleichung
tgtgi sin ( — )
sich ergebenden Wert setzt,
do =
do
— h)]
cosi [ 1 + tgi sin² (❤ -
cosid [tg(ph)]
cos2i + tg² (4 - h)
erhält.
Durch Integration folgt daraus
❤ +k
arc tg =tg(q — h)
)],
"
cosi·
wo k eine willkürliche Constante ist, und daraus folgt
tg(ph) = cositg(
+ k).
Diese Gleichung zeigt , dass ( + k) die Hypotenuse desselben rechtwinkligen sphärischen Dreiecks ist , dessen Basis (ph) , dessen dieser
anliegender Winkel i (Art. 5) und dessen dem Winkel i gegenüberliegende
Seite
ist.
Abschn. VII, Cap. I.
353
Die Integration .
Man sieht daraus , dass ( + k) der Winkel ist, den der Radius
in
der Bahnebene beschreibt, und dessen Ursprung in der Schnittkante dieser
Ebene mit der xyEbene liegt , dass ( — ) der Winkel ist , den die
Projection dieses Radius auf dieselbe Ebene beschreibt, und dass i die
Neigung der Bahnebene gegen die feste xyEbene bedeutet.
8. Das Problem ist also gelöst , denn es hängt nur noch von der
Integration der beiden getrennten Gleichungen zwischen t,
und r ab ; die
sechs willkürlichen Constanten , die zur vollständigen Integration der
3 Differentialgleichungen in r,
und
nötig sind, werden i, h, D, H und
zwei andere sein , welche die Integration in die Werte von t und
einführt.
Bei der Lösung , die wir soeben gegeben haben , haben wir als
Coordinaten den Radiusvector nebst der Länge und der Breite angenommen,
um mit dem astronomischen Gebrauche übereinzustimmen ; diese Lösung hat
aber auch den Vorteil , dass sie direct die Lösung der meisten Theoreme
darbietet, die man gewöhnlich nur durch die sphärische Trigonometrie
findet. Fasst man sie aber von der analytischen Seite auf, so ist sie weniger
einfach , als wenn man die ursprünglichen rechtwinkligen Coordinaten beibehalten hätte. Es ist vorteilhaft , dies zu zeigen , um so mehr als daraus
neue Formeln sich ergeben werden , welche in der Folge nützlich sein können .
9. Wir nehmen die rechtwinkligen Coordinaten x , y , z als die drei
unabhängigen Variabeln an , die allgemeinen Formeln des Art. 3 geben
dann sogleich die drei Differentialgleichungen
d2x
+ R -0,
r
dt2
day + RY =
dt2
d³z
2
+R =0
dt2
ጥ
und das Integral
dx² + dy² + de²
+ Rdr =
= H.
2dt2
-SRo
Schafft man R aus den drei Differentialgleichungen fort, so erhält man
sofort drei integrable Gleichungen, deren Integrale
xdy - y dx =
C,
dt
zdx - xdz
== B,
dt
ydz - zdy
dt
23
Lagrange , Analytische Mechanik.
=A
23
354
Abschn . VII, Cap.I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
sind, wo C, B, A willkürliche Constanten angeben, deren erste dieselbe ist
r2 cos²& do =
wie diejenige der Gleichung
C des Art. 5 , weil in der That
dt
xdy - ydx
= C ist , die man
jene nur eine Transformation der Gleichung
dt
durch die Substitutionen der in Art. 4 gegebenen Werte von x, y, z findet.
Diese drei Integrale entsprechen denen, die wir im Art. 9,· Abschn. III
für ein System von Körpern gegeben haben , von wo wir sie auch sofort
hätten entnehmen können.
10. Addiert man die Quadrate der drei letzten Gleichungen und wendet
die bekannte Reduction
(xdy — y dx)² + (e dx − x de)² + (yde — ødy)²
— (x dx + ydy + zde)²
= (x² + y² + x²) (dx² + dy² + de²) an, so hat man die Gleichung
r² (dx² + dy² + de²) — r² dr²
= A² + B² + C²,
dta
welche , wenn man für (dx² + dy² + dz²) seinen Wert aus dem ersten
Integral substituiert und zur Abkürzung
A2 + B2 + C² = D2
setzt, in
r2 dr2
= D2
2r²(H—SRdr) —***
dt2
übergeht, woraus sogleich
dr
dt =
√2(H-SRdr)-D
wie im Art. 6 sich ergiebt.
Addiert man dieselben Gleichungen, nachdem man die erste mit ɛ, die
zweite mit y, die dritte mit x multipliciert hat, so folgt
Ce + By + Ax = 0.
Dies ist die Gleichung einer Ebene, welche durch den Ursprung geht,
und sie zeigt, dass die durch den Körper beschriebene Bahn eine ebene um
den Mittelpunkt der Kraftwirkung beschriebene Curve ist.
die rechtwinkligen Coordinaten dieser Curve, wenn
11. Nennen wir E,
in der Schnittlinie der Bahnebene mit der xyEbene genommen
die Axe der
ist, nennen wir ferner, wie im Art. 5, i den Winkel, den die Bahnebene und
die Ebene der xy mit einander bilden, und h den Winkel, den die zur Axe
Abschn. VII, Cap. I.
Die Integration.
355
genommene Schnittlinie mit der Axe einschliesst, so erhält man durch
die bekannten Formeln für die Transformation der Coordinaten
X = Ecosh - n cosisinh ,
y = sinh + η cosicosh,
z = nsini.
und hierin sind die beiden Grössen i und h constant.
Substituiert man diese Werte in die Gleichungen des Art. 9, so ergeben sie
ξαη - ηαξ
cosi = C,
dt
ηαξ - ξαη sini cosh =
B,
dt
ξάη - ηαξ
sini sinh = d.
dt
Addiert man ihre Quadrate und zieht dann die Wurzel, so erhält man
Edn — nde
=
dt
A2 + B² + C2 =
C
Cosi = D (Art. 6),
so dass die Werte der Constanten A, B, C durch folgende Ausdrücke bestimmt sind
CD cosi, B-- Dsinicosh, A = Dsinisinh.
Bezeichnet man nun mit (❤ + k) , wie im Art. 7, den Winkel , welchen
der Radius r mit der Schnittlinie der Bahnebene und der festen xyEbene
bildet, so ist offenbar
= rcos(
+ k) ; n = r sin (❤ + k),
und aus der letzten der vorigen Gleichungen wird
r²d
= Ddt,
welche Gleichung das bekannte Theorem ergiebt, dass die Sectoren , deren
Inhalt eben rad ist, den Zeiten t proportional sind.
Sras
Substituiert man in die letzte Gleichung den Wert von dt, so erhält man
Ddr
do
r²√2H - 2 Rdr
SRO
2
D2
2
wie im Art. 7.
Das Problem ist also von neuem auf die Integration zweier getrennten
Gleichungen in t,
und r zurückgeführt , was wir schon oben im Art. 6
und 7 gefunden haben ; diese Integration aber hängt von dem Ausdruck
der centralen Kraft R als Funktion des Radius rab.
23*
356
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
12. Man sieht aus diesen Gleichungen , dass dieser Radius seinen
grössten oder kleinsten Wert erhält , sei es in Bezug auf die Zeit oder in
Bezug auf den Winkel P, wenn er aus der Gleichung
D2
2H - 2 Rdr·
SRar-D²
2
- 21
0
bestimmt wird. Wir wollen nun annehmen , dass man bei der Integration
dieser Gleichungen die untere Grenze des Integrals in Bezug auf r in dem
Punkte annimmt , wo r ein Minimum ist, und dass auch der Winkel
von dieser Richtung aus gemessen wird ; der Winkel k ist dann der Winkel,
welchen der durch denselben Punkt gehende Radius mit der Schnittlinie
der Bahnebene und der festen Ebene (Art. 7) bildet ; fügt man diese Constante k zu derjenigen, welche die Integration nacht noch ergiebt und zu
den Constanten A, B, C, H oder D, i, h, H hinzu , so wird die Zahl der
sechs willkürlichen Constanten, welche die Integration der drei Differentialgleichungen in x, y, z, t ergeben muss , vollzählig.
13. Wir setzen jetzt
X = rcos
; Y = rsin Q,
so sind X und Y offenbar die rechtwinkligen Coordinaten der Curve in der
Ebene derselben, wenn ihr Anfangspunkt mit dem von r zusammenfällt ; die
Abscissen X sind nach dem Punkte hin gerichtet, für welchen ein Minimum
ist. Substituiert man diese Grössen in die Ausdrücke für
und
des
Art. 11 , so hat man
·
ૐ = X cosk ― Y sink;
= Y cosk + X sink.
Substituiert man wieder diese Werte in die von x, y, z desselben Artikels,
und setzt zur Abkürzung
α=
cosk cosh - sink sinh cosi,
В = - sink cosh - cosh sinh cost,
α1 =
B1:=
cosk sinh + sink cosh cosi,
a2 =
sink sinh
sink sini,
B₂ =
cosk sini,
cosk cosh cosi,
so erhält man
x = aX + ẞY = r (a cos
+ ẞ sin ) ,
y = a₁X + ß₁Y = r (a, cos
+ ẞ,
ß₁ sin ),
≈ = α₂X + ẞ₂Y = r (a, cos & + ẞ₂ sin D).
Diese Ausdrücke haben den Vorteil, dass die von der Bewegung in der
Bahn abhängigen Grössen von den von der Lage der Bahn gegen die feste
xyEbene allein abhängigen Grössen getrennt sind.
Abschn. VII, Cap . I, § 1.
Bewegung der Planeten und Kometen.
357
Es sind diese Ausdrücke von x, y, z der im Art. 10, Abschn. II auseinandergesetzten allgemeinen Theorie conform , und man könnte sie aus derselben
unmittelbar herleiten.
Denn wenn man von vornherein die Bewegung in ihrer Bahn betrachtet,
so hat man es nur mit den Coordinaten X, Y zu thun , da Z gleich Null
ist ; dieselben enthalten nur drei willkürliche Constanten und können daher
als besondere Werte der allgemeinen Coordinaten x, y, z angesehen werden ;
mit Hülfe der Coefficienten a , ß , a₁ , ß₁ u. s. f. , welche die drei anderen
Constanten enthalten, wird man dann die allgemeinen Werte der Coordinaten
erhalten.
14. Wenn man anstatt die Bewegung in der Bahn des Körpers selbst
zu betrachten , diese Bewegung durch die drei Coordinaten X, Y, Z auf
eine beliebige Ebene beziehen würde , so würden dieselben auch nur drei
willkürliche Constanten enthalten , man hätte dann durch dieselbe Theorie
die allgemeinen Ausdrücke
x = aX + ẞY + yZ,
y = a₁X + ẞ₁Y + %₁Z,
2=
= a₂X + B₂Y + 1½Z
≈
und da nach Art. 10, Abschn. III
r = a₁ß₂ - B₁α2 ;
1 = Bα₂-
aß2; r₂ = aß₁ - Bα1
ist, so wären
Y = sinh sini; T₁cosh sini ; 12 = cosi.
Diese Werte von a , ß , Y , α, u. s. f. , welche die drei willkürlichen
Grössen k, h, i enthalten , genügen allgemein den sechs im Art. 10,
Abschn. III, Teil I gegebenen Bedingungsgleichungen
a²+ a₁² + a₂² = 1 ; ẞ² + B₁² + ẞ₂² = 1 ; 72+ 71² + 72²= 1 ;
aß + a₁ß₁ + ɑ2ß2 = 0 ; ay + α171 + a272 = 0 ; By + B171 + B₂72 = 0.
Nachdem wir jetzt die allgemeinen Formeln für die Bewegung eines
gegen einen festen Punkt gezogenen Körpers aufgestellt haben , bleibt uns
nur noch übrig, sie auf die Bewegung der Planeten und Kometen anzuwenden
und dies soll der Gegenstand der folgenden Paragraphen sein.
§ 1.
Ueber die Bewegung der Planeten und Kometen um die als unbeweglich angenommene Sonne.
15.
Da bei dem Weltsystem die Attractionskraft umgekehrt proportional
g
dem Quadrate der Entfernungen ist, so hat man R = 2 zu setzen , wo g
die Attractionskraft eines Planeten gegen die Sonne in der Entfernung (= 1
9
ist, es wird also Rdr:
r
Sno
358
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum.
Substituiert man diesen Wert in die Gleichung zwischen
und r
(Art. 11 ) , so sieht man , dass nun die Grösse unter dem Wurzelzeichen in
2H +
2g
r
D2
übergeht, welche man auf die Form
2H +
g2 D2
(
一
)
bringen kann ; die rechte Seite jener Gleichung drückt dann das Differential
des Winkels aus, dessen Cosinus die Grösse
D
r
음
Ꭰ
2H +
ist,
sodass
man ,
wenn
g2
D2
man integriert , zur Grösse
die willkürliche
Constante K addiert und von den Bogen zu ihren Cosinus übergeht,
D
- 2H + g2 • cos
D =√24 + 55
2-3
r
D2 · 05 (
+ x)
erhält. Man sieht daraus , dass
seinen kleinsten Wert erhält , wenn der
Winkel ( + K) gleich Null ist , so dass , da wir im Art. 12 angenommen
haben, dass der Winkel
von dem Punkte aus, für welchen r ein Minimum
ist, gemessen werden soll, K = 0 sein muss.
Setzt man zur Abkürzung
D2
2HD2
/1 +
g = b und √
ga
e,
so erhält man
b
1+ ecos
Dies ist die Polargleichung eines Kegelschnitts , dessen Parameter b
und dessen Excentricität, nämlich das Verhältnis des Abstandes der Brennpunkte zur grossen Axe, e, dessen von einem der Brennpunkte ausgehender
Radiusvector
ist und wo
der Winkel ist , den r mit dem Teil der
grossen Axe bildet, welcher zu dem diesem Brennpunkte nächsten Scheitel
gehört.
b
b
, die halbe
Der grösste und kleinste Wert von r ist bez.
und
e
1 +e
b
Summe beider Werte 1
2 dies ist die mittlere Entfernung ; bezeichnet
man dieselbe mit a, so hat man
b = a(1 - e²);
Abschn. VII, Cap. I, § 1.
Bewegung der Planeten und Kometen.
ihre Werte , ausgedrückt in D und H,
und indem man hierin für b und
substituiert, erhält man
--
1
a
359
2H
=
b
g
woraus man sieht, dass die Constante H negativ sein muss, wenn die Bahn
eine Ellipse sein soll ; wäre sie Null , so wäre die Axe 2a unendlich gross,
und die Bahn würde eine Parabel ; wäre sie positiv , so wäre 2a negativ,
und die Bahn würde eine Hyperbel. Im ersten Falle wird der Wert der
Excentricität e kleiner als 1 sein , er wird == 1 im zweiten Falle , und > 1
im dritten Falle.
Es giebt noch eine andere Hypothese über die Anziehungskraft, welche
ebenfalls eine elliptische Bahn ergiebt , nämlich die , dass die Anziehung
direct proportional den Entfernungen ist ; da sie aber auf die Planeten
nicht anwendbar ist , so wollen wir uns bei ihr nicht länger aufhalten .
Man vergleiche darüber die Principien von Newton und die Werke , in
denen man seine Theorien in die Analyse übersetzt hat.
16. Wir wollen jetzt zu der Gleichung , welche tin
ausgedrückt
g
an die Stelle von
Rdr,
giebt (Art. 10), zurückkehren und darin
r
S
gbga (1e2) an die Stelle von D2, und -
g an
α
die
Stelle von 2H
setzen , sie geht dann über in
rdr
dt
VgaVe².
(1
Setzen wir (1-2) = ecoso, so dass
r = a ( 1 — ecos )
ist, so folgt
dt =
=
(1 — ecos 0) d0.
/0
10
Integriert man und bezeichnet eine willkürliche Constante mit c, so
ergiebt sich
3
-α =
(0 — esin0).
von
Diese Gleichung giebt 0 als Funktion von t, und da man als Funktion
hat, so erhält man durch Substitution also auch
als Funktion von t.
360
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
Macht man dieselbe Substitution in die Gleichung zwischen
des Art. 11 , so erhält man
do 1/1
und r
e2
do =
>
1
ecos0
deren Integral
—
== arcssin - sin07/1
1.- ecos 0
ist.
Man kann aber auch den Wert von
+ const
als Funktion von 0 ohne neue
Integration erhalten, wenn man einfach die Werte von r mit einander vergleicht; man bekommt dann die Gleichung
b
1+ ecos
= a(1 - ecose) .
Da nun ba(1 - e ) ist, so folgt hieraus
cos
=
cos0
e
; sin
1 - ecos 0
=
sin 0
1 - ecos 0
e2
und daraus wieder
Φ
tg 2 -
tg 2
Aus diesen Formeln sieht man , dass , wenn der Winkel
um 360°
wächst, der Radius r seinen Wert wieder erhält und dass dann auch der
Winkel
um 360° gewachsen ist. Der Planet kehrt also nach einer ganzen
Revolution an denselben Punkt des Raumes zurück. Wächst aber 0 um
la³
-, und diese Zeit gebraucht der Planet,
9
um an denselben Punkt seiner Bahn zurückzukehren ; man nennt sie die
Zeitperiode. Diese Zeit hängt also nur von der grossen Axe der Bahn
ab, und sie ist dieselbe, als wenn der Planet einen Kreis beschriebe, dessen
360°, so wächst die Zeit um 360° .
Radius gleich der mittleren Entfernung a ist.
e = 0;
t - C = 01
/
In diesem Falle hätte man
Φ,
und 6 = 0,
die Zeit wäre also den von dem Radiusvector durchlaufenen Winkeln proportional. Setzt man g = 1 , und nimmt die mittlere Entfernung a der Erde
von der Sonne als Einheit der Entfernungen, so werden die Zeiten durch die
Winkel selbst dargestellt, welche die Erde beschreiben würde , wenn sie sich
in einem Kreise, dessen Radius die mittlere Entfernung wäre, mit einer Geschwindigkeit gleich der Einheit bewegte . Die Bewegung in einer Kreisbahn
ist nun diejenige , welche die Astronomen die mittlere Bewegung der
Erde oder der Sonne nennen, und auf welche sie gewöhnlich die Bewegungen
der anderen Planeten beziehen.
Abschn. VII, Cap. I, § 1.
Bewegung der Planeten ' und Kometen.
361
17. Ist die Bahn eine Hyperbel, so wird der Wert für die grosse Axe
negativ und der Winkel 0 imaginär. Um die vorhergehenden Formeln auf
diesen Fall anzuwenden, setzen wir
α = — A und 0 =
Bezeichnet e die Zahl, deren hyperbolischer Logarithmus 1 ist , so hat
man bekanntlich
Ꮎ
ete
e
е
sin 0 =
cos0 2
2
und die Gleichungen des vorigen Artikels gehen über in
е
8
t- c=
e
e
2
1
8
e
e+ 1
=
tg 2
weil e
1
1
-1
2
+e
?
1 ist.
18.
Die in Art. 15 gefundene Gleichung r(1 + e cos ) = b giebt, wenn
man X für r cos
(Art. 13) setzt,
r
b
X=
e
a( 1 — e²) ·
e
Substituiert man für r seinen Wert als Funktion von 0, nämlich a ( 1 — e cos 0),
so hat man
X:= a(cos 0 — e)
und da Y:= Vr2-X2 , so ist
Y = a √1 — · e² . sin 0 .
Dies sind sehr einfache Ausdrücke , welche man in die allgemeinen
Ausdrücke für x, y, z desselben Artikels substituieren kann.
Es wird sich also nur noch darum handeln, den Wert von 0 als Funktion
von t zu substituieren , der aus der im Art. 16 gegebenen Gleichung folgt,
um die drei Coordinaten als Funktionen der Zeit zu erhalten.
19. Der Winkel 0, welchen wir soeben an Stelle von t eingeführt haben ,
wird in der Astronomie die excentrische Anomalie genannt, im Gegen-
und zur wahren Anoa3
satz zur mittleren Anomalie (t − c) Va
; aber die Astronomen haben die Gewohnheit, diese Winkel von
malie
362
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum ,
dem Scheitel der Ellipse an zu rechnen , der am weitesten von dem Brenupunkte entfernt ist, in welchem die Sonne angenommen wird, und den man
Aphelium oder oberen Apsidenpunkt nennt , während man in den vorhergehenden Formeln angenommen hat, dass sie von dem demselben Brennpunkt nächsten Scheitel , den man Perihel oder unteren Apsidenpunkt
nennt , gezählt werden. Um sie auf das Aphel zu beziehen , braucht man
nur den Winkel von 180 ° zu addieren, oder , was auf dasselbe hinauskommt,
das Zeichen der Grösse e in das entgegengesetzte zu verwandeln . Legt
man aber den Ursprung der Anomalien in das Perihel, so hat man den Vorteil,
Formeln zu erhalten , die sich gleichmässig auf die Planeten , deren Excentricität ziemlich klein ist , und auf die Kometen anwenden lassen , deren
Excentricität, da ihre grosse Axe sehr gross ist , während der Parameter
einen endlichen Wert behält, nahe gleich 1 ist.
20. Es ist nun noch
als Funktion von t, d. h. die excentrische
Anomalie durch die mittlere Anomalie zu bestimmen ; es ist dies das Problem,
welches man als Kepler'sches Problem bezeichnet, weil Kepler es zuerst
aufgestellt und zu lösen versucht hat. Da die Gleichung zwischen t und
transcendent ist , so ist es im Allgemeinen unmöglich , den Wert von 0 als
Funktion von t durch einen endlichen Ausdruck zu erhalten , nimmt man
aber die Excentricität e sehr klein an , so kann man ihn durch eine mehr
oder weniger convergente Reihe darstellen. Um dazu auf die einfachste Weise
zu gelangen, wollen wir von der allgemeinen Formel , die wir an einer
andern Stelle *) für die Entwicklung einer beliebigen Funktion in eine Reihe
gegeben haben, ausgehen.
Es sei eine Gleichung von der Form
u = 0 -f(0)
gegeben, wo f(0) eine beliebige Funktion von 0 bezeichnet.
umgekehrt
• = u + f(u) +
Man hat dann
d[f(u)]²
d²[f(u)]³
+
+
2du
2.3.du2
Ist nicht selbst, sondern allgemein der Wert einer beliebigen Funktion
von 0, die mit F(0) bezeichnet ist, zu entwickeln , und setzt man
dF(0)
do = F' (0),
so hat man
" (u) +
F(0) = F(u) + f(u) .F
d[[f(u)]³. F' (u)] , d²[[f(u)]³ . F' (u) ]
+
+
2du
2.3.du2
*) Vgl. Mémoires de Berlin von 1768–69 ; Théorie des fonctions, Teil I, Cap. XVI ;
Traité de Résolution des équations, Note 11.
Abschn. VII, Cap. 1, § 1.
Bewegung der Planeten und Kometen.
363
21. Um diese Formeln auf die Gleichung des Art. 16 anzuwenden,
setze man
f(0) = c sin 0, und u =
9
a3
-
und man hat sofort
d sinu
d2sin³u
+ c3
0 = ue sinu + e² .
2du
2.3.du2
wo nur noch die angedeuteten Differentiationen auszuführen sind ; um aber
einfachere Ausdrücke zu erhalten, wird man zunächst die Potenzen von sinu
in sinus und cosinus der Vielfachen des Winkels u entwickeln . Aus derselben
Reihenentwickelung folgt ferner
sin 0 = sinu + e sinu cosu + e²
cos
d sin³u
2du
cosu -e sin²u
e2
sinu
d
tg0 = tgue
+ e²
cos2u
d² (sin³u cosu )
d(sin²u cos u)
+ e3.
+
2.3 du2
2du
d2 sin¹ u
e3.
2.3.du2
sin2 u
sin³ u
d2
cos2u
cos2u
+ e³
2.3.du2 +
2du
Also erhält man aus den Formeln der Art. 16 und 17
r= a
(1
:
e cosu + e² sin2u + e³
d2 sintu
d sin³ u
+ et
2du
2.3.du2
ne³d.sin³u (1 -ecosu)"-1
' — a * {( 1 — ecosu )" + ne²sin³u ( 1 — e cos u)”— ¹ +
2du
- e (1 + sin2u) - e²
X=
= a [cosu
d.sin³u
2du
d2 sintu
23 .
2.3.du2
d(sin³u cosu)
sinu + esinu cosu +e² ·
/ 1 — e² {sinu
Y = a√
2du
+ e³
Φ
tg =
18
2
d³ (sin³u cosu ) +···} ›
2.3.du2
sin2u
d
sin2u
e21
И
+ cosu
tg + 2e sin2. •
+2
2du
2
21+ cosu
da
+ e³
sin³u
1 + cosu
2.3.du2
22. Daraus könnte man den Wert des Winkels
durch die Reihe,
welche den Winkel durch die Tangente ausdrückt , erhalten , man gelangt
aber auf diese Weise nicht zu einer Reihe , deren Gesetz sich erkennen
364
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum.
liesse. Um eine solche Reihe zu erhalten, muss man zuerst den Wert von
aus der Gleichung
(
0
1+e
tg 2 =
tg
e
bestimmen , was man auf sehr elegante Weise thun kann , wenn man die
imaginären Exponentialgrössen anwendet. Man hat zunächst folgende Transformation (wenn e die Zahl bezeichnet, deren hyperbolischer Logarithmus
gleich 1 ist),
ዕ
V
V
2·
- e 2
e
e2
=
e
-Φ V
+e
+e
und nach einfacher Reduction
-1
е V
V -1
Ꮎ Ꮴ -1
1 + ee
e o V- 1
=
+1
+1
Daraus erhält man, wenn
1+
gesetzt wird,
e®V=1 =
_ (1 + €) e®V= ¹ + 1 − e
1
( 1 − e ) e® V = ¹ + 1 + ɛ
oder auch, wenn man
1
E
e
=
ε+ 1
e2
1 + 1/1 - e²
macht,
OV1 - Ee
e® V =1 = e®
1- Ee ᎾV-1
Nimmt man jetzt die Logarithmen der beiden Glieder und dividiert mit
- 1 , so erhält man
1
Φ = 0+
1
1 (1— Ec¬®V−1) .
5 7( 1 — Ee®V=1) .
Ich verwandele die Logarithmen der rechten Seite in eine Reihe und
substituiere dann für die imaginären Exponentialgrössen die reellen Sinus,
die ihnen entsprechen , so erhalte ich die Reihe *)
2E2
2E3
Φ =0 + 2E sin0 +
sin30+
sin 20+
2
3
*) Vergl. in den Abh. der Berl. Acad. von 1776 mehrere Anwendungen dieser
Methode.
Abschn. VII, Cap. I, § 1.
Bewegung der Planeten und Kometen.
365
Man braucht also nur noch für 0 seinen Wert als Funktion von u zu
substituieren. Thut man das und setzt zur Abkürzung
U=
cosu + E cos 2u + E2 cos 3u +
"
so erhält man
=
u + 2E sinu +
2E3
2E2
sin 3u +
sin 2u +
2
3
+ 2e EU sinu + 2e² E
d(Usin2u)
d² (U sin³u)
+ 2e³E
+
2du
2.3 du2
U ist eine Reihe, die nach den Cosinus des u fortschreitet , man kann
aber den Wert von U auf eine endliche Form bringen und findet
U=
1
cos u -E
2 E cosu + E²
(1
√/ 1 + E²) cosu
2(1
e cosu)
e
Diese Formeln haben den Vorteil , dass sie das Gesetz der Reihen und
unmittelbar erkennen lassen, welches bisher nicht bekannt war.
23. Da, wenn man die xyEbene in die als unveränderlich angenommene
Ekliptik verlegt und die Axe als gegen den Frühlingspunkt gerichtet vordie Länge des Planeten, der Winkel die Länge des
aussetzt, der Winkel
die Breite angiebt , so ist klar , dass der
Knotens , und der Winkel
Winkel ( + k), dessen Projection auf die Ekliptik (❤ — h) ist , die Länge
in der Bahn vom Knoten aus gezählt oder, wie man auch sagt, das Argument der Breite ist. Dieses Argument ist aber bestimmt durch die
Gleichung
tg(ph) = cosi tg (Þ + k),
welche den Winkel စု als Funktion von
giebt, und kann, wenn die Neigung
genügend klein ist, nach der oben angewendeten Methode der imaginären
Exponentialgrössen in eine Reihe entwickelt werden. Man braucht nur
in dem Ausdruck von Q, als Funktion von 0, ( —h) an die Stelle von
0
Φ
zu setzen.
k) an die Stelle von 2 und cosi an die Stelle von
2' (
Es geht dann E über in
i 2
sin
cosi - 1
2
=
=
E:
tg2
2
cosi + 1
COS
und man erhält
1
tg
−
k) + ½ (
?—1 =
− (Q + k) ·—
− (tg²
❤+
) * sin 4(❤ + x)
(ts૪; )
+ *)
(tg² 5)), sin 2 ((0
6
sin 6 (
tg
- 13(181)
+ ) + ...
366
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e..Attractionscentrum.
Die Gleichung für
als Funktion von
(Art . 5) , nämlich
tgtg i sin ( − h),
kann ebenso entwickelt werden , aber es ergiebt sich daraus eine weniger
elegante Reihe. Man hat zuerst die Gleichung in imaginären Exponentialgrössen
e
e V
+
e -V-1
= tgi
Ꮴ -1
( - )V-1
(
h) V-1
2
wenn e die Zahl bezeichnet, deren hyperbolischer Logarithmus gleich 1 ist,
und man erhält daraus
е 24 V-1 =
―
1+ tgi [ e (9 — h)
») V —¹ — e − (♥ — *) V =¹]
2
1
tgi
е — (9 − h) V
2 [e (9− 1) V =1_
Nimmt man die Logarithmen und ersetzt dieselben durch Striche, so folgt
-
tgi
&
—li) |
е
[e
2√
tg3i
+
-
-1
e −(9—1) VV=1]³
3.87-1
+
tg5i
1
V = ¹ — e − (9—») V = ¹ ]° +··
5.32.1 - · [@ (9 −h)
Entwickelt man endlich die Potenzen der imaginären Exponentialgrössen
und substituiert dafür die ihnen entsprechenden Sinus , so hat man
- tgi sin ( -1) + tg3i [sin 3 (
3.4
h) - 3 sin (ph)]
tg5i
+ 5.16 [sin
— h ) + 10 sin (p −
[sin55((ph) — 5 sin 3 ( q −
h)]
Die eben angegebenen Reihen sind nur convergent, wenn die Excentricitäte oder die Neigung i klein ist, und sind folglich nur auf elliptische vom
Kreise wenig differierende und wenig geneigte Bahnen anwendbar; das ist
bei den Planeten und ihren Satelliten der Fall ; eine Ausnahme bildet
nur Pallas, einer der kleinen Planeten , bei dieser ist die Neigung gegen
2 2
tg
nicht aber für (tgi)2
die Ekliptik ungefähr 34° , was zwar für
2 ?
einen noch genügend kleinen Bruch ergiebt , so dass zwar die Reihe des
Wertes von
als Funktion von
sehr convergent sein wird , während die
Reihe für
als Funktion von
es weit weniger ist.
Abschn. VII, Cap. I, § 1.
367
Bewegung der Planeten und Kometen.
24. Ausser für den Fall , wo die Excentricität e sehr klein ist , ist das
Kepler'sche Problem noch in dem Fall analytisch lösbar , wo die Excentricität sich nur wenig von 1 unterscheidet, was für die nahezu parabolischen
Bahnen der Kometen zutrifft. In diesem Falle wird die halbe grosse Axe
sehr gross, und die Gleichung des Art. 15
e2
1 -1
b
a
in welcher b der halbe Parameter ist, giebt dann
b
2a
b
=1
a
1
b2
8a2 +
Die Gleichung zwischen t und 0 (Art. 16) zeigt, wenn man sie auf die
Form
g
-
== 0 -esin 0
bringt , dass , wenn a sehr gross ist ,
sehr klein wird , so dass man sine
05
03
entwickeln kann.
in die Reihe 0
+
2.3
2.3.4.5
Macht man diese Substitutionen in der vorigen Gleichung, so hat man
05
·
+
2.3.4.5
g = 03
2.3
a³
b2
+ 8a2 (0
+
b
03
+
2a - 2.3
za (0
)
··) + ...
1
ist.
Setzt
woraus man sieht, dass die Grösse
von der Ordnung von
Va
Ꮎ
man also =
und führt die Annäherung nur bis zu den Gliedern von
Va
1
der Ordnung
aus, so erhält man
a
1
1 /b2
03+
(t − c) √g = 1/2 • + 2.3
a8
034.3
2.3.4.5) + ...
Durch dieselben Reductionen findet man
1
b2
04 +
Ꮎb2
r = 1 (0 + 0 5 + 4a
1/2 ( 2)² - 02² .- 2.3
2 530 リ
) +
tg
=
Ꮎ
0+
2
4a (
X=
(649) + 8a ( 1 +
x=
√002.3
36 02) ,
b2
a 03.
04
8 ).
368
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
Es sei nun T der Wert von ✪ für a∞ , was für die Parabel gilt ;
man hat dann , um T als Funktion von t zu bestimmen , die Gleichung
dritten Grades
T³ + 3b T = 6 (t — c)√g,
welche
f
―
T
r=√/3(t − e) √
/9 + √
/9 (t − c)³g + b³ + √
√3 (t − e) √
/I − /
√9 ( t −c)³g + 6³
ergiebt. Führt man diesen Wert in den mit
multiplicierten Teil der
Reihe für (t — c) √g an Stelle von
ein und setzt
T'
b2T bT3
T5
+
+
4
3
3.4.5 "
T3
b+
3
so hat man
0 =T+
T'
+
a
und daraus
r= {
} @ + 1) + a (3
T
tg
― 1
a
Ty/ b
+
4
T4
T2
12
4 - 1+
TT)
T3
T'
12/
vb
b2T4
X
T²) + a
} (b
24 - TT )
1 (8 + 2
( − T)
x= {
T
T√b + a
Y=
6
x
= T√
1 ( 7 ²√6
— I √5 ).
Die Irrationalität des Ausdrucks von T wird aber verhindern, dass
diese Formeln bei der analytischen Berechnung parabolischer oder nahezu
parabolischer Bahnen häufige Anwendung finden werden.
25. In Bezug auf die parabolische Bewegung ist aber noch hervorzuheben, dass man die zum Durchlaufen eines beliebigen Bogenstücks verwendete Zeit durch eine ziemlich einfache Formel bestimmen kann, welche nur
die Summe der zu beiden Enden des Bogens gehörigen Radienvectoren
und die zum Bogen gehörige Sehne enthält.
Setzt man nämlich a∞ und 0 = T
so geben die vorigen Formeln
Φ
6(t −c) √g = b√
/b(3x + t³) ; tg ==
c,
2
2r = b ( 1 + r²) ; 2X = b ( 1 — t²) ; Y = bt.
Abschn. VII, Cap. I, § 1.
Bewegung der Planeten und Kometen.
369
Bezeichnen wir mit einem Strich dieselben Grössen für einen andern
Punkt des Parabelbogens, so wird die Zeit t —t, oder die zum Durchlaufen
eines zwischen zwei gegebenen Punkten enthaltenen Parabelbogens verwendete Zeit durch die Formel
✔
6 (ť— t) √g = b √b (37′ + t³ — 3 t — t³)
oder nach leichter Umformung durch
6(ť−t) √√g = b √
/b (3 + t² + tt' + t'²) (t'— c)
ausgedrückt.
Man hat nun
--b2
X = b — r; Y = √
/2br
und ferner, wenn man
die Sehne nennt,
Radien
und r' verbindet,
welche die beiden Enden der
v² = (X ' — X)² + (Y'— Y) ² — (s'— r) ² + ( √
/ 2br' — b² — √
/2br — b²)².
Es werde zur Abkürzung gesetzt
U2
U² — y² — (r' — r)²,
so wird
-•
U= √
/2br — b² — √
/2br — b²,
und diese Gleichung dient zur Berechnung des Werts von b.
Schafft man die Wurzeln fort , und ordnet die Glieder in Bezug auf b,
so hat man zunächst
U4
b² [(r'— r) ² + U²] — bU ² (r' + r) + 4
0,
also durch Auflösung
b = U² (r' + r + √ Arr' — U²) 2
2 [( ' —r)² + U²]
oder besser , wenn man mit ( +
tipliciert,
-√4r'r —U²) Zähler und Neuner mulU2
b==
2 (1 + r― √4ry — U²)
Nun ist aber
2br -b2
also
T=
24
Lagrange , Analytische Mechanik.
U
b
24
370
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
und
3 (r + r) - ―
3
T² + T²² + TT':=
U2
262 ;
somit
U
6(t− t) √g =
·[6b (r' + r) — U²] •
26 √
/b
Substituiert man den obigen Wert von b , so wird aus der rechtsstehenden
Grösse
[2 (r + r') + √4rr'— U³] √/ 2 (r' + r) —- 2√
2 /4ry' — U².
Ersetzt man jetzt wieder U2 durch seinen Wert, und macht r + r' = s,
so hat man
2
(2s + √/s² — v²) 1/ 2s
21/ s2
v2
6√
/9
welcher Ausdruck sich auf folgende einfachere Form bringen lässt
3
3
2t_t = (s + v) ³ — (s — v) ³¸
67/9
wie man sich leicht durch Quadrieren überzeugen kann.
26. Diese elegante Formel wurde zuerst von Euler im 7. Bande
der Berliner Miscellen gegeben. Man könnte sie auch aus Lemma X des
III. Buches der Principia mathematica von Newton ableiten, wenn man die
Construction , durch welche Newton die Geschwindigkeit bestimmt , mit
welcher ein Komet die Sehne eines parabolischen Bogens gleichförmig in derselben Zeit durchlaufen wird , die er gebraucht , um den Bogen zu durchlaufen, in die Analysis übersetzt und dabei beachtet, dass bei der Parabel die
halbe Summe der nach den Enden eines beliebigen Bogens gezogenen Radienvectoren immer gleich ist dem Radiusvector, welcher im Scheitel des durch
die Mitte der Sehne parallel zur Axe gelegten Diameters endigt , vermehrt
um den Teil dieses Diameters , der zwischen dem Bogen und der Sehne
liegt. Hieraus und aus dem Lemma IX erhält man den Wert dieses
letzteren Radius, ausgedrückt durch die Sehne und die Summe der Radienvectoren, welche zu den beiden Enden dieser Sehne gehören.
Wir werden weiter unten sehen, wie sich diese Formel auf die elliptische
oder hyperbolische Bewegung ausdehnen lässt.
und t ist immer durch Annäherung
27. Die Gleichung zwischen
lösbar , wenn man die Zeit als sehr klein ansehen darf; man bekommt
durch eine solche Annäherungsrechnung für 0 , und folglich auch für alle
Variabeln, welche von dieser Grösse abhängen , Reihen , die nach Potenzen
von t fortschreiten , und die um so mehr convergent sind , je kleiner der
Abschn. VII, Cap. I, § 1.
Bewegung der Planeten und Kometen.
371
Wert von t ist. In diesem Falle aber ist es einfacher , direct die Lösung
der Differentialgleichungen in x, y, z, t des Art. 9 zu bilden, nachdem man
g
in denselben R = r2 gesetzt hat.
Betrachtet man die Variabeln x, y, z als Funktionen von t, und nimmt
an, dass aus ihnen (x + x') , (y + y') , (≈ + z ') wird , wenn t in (t + ť)
übergeht, so hat man allgemein nach einem bekannten Theorem zunächst
dx
d³x t3
d2x t'a
ť+
+
dt3 2.3
dt2 2
dt
d³y t's
dy
day 12
+
ť+
y=
+
dt
dt2 2
dt3 2.3
dz
d2z ť2
d³z t'3
C
ť+
2=
+
+
dt
dt2 2
dt3 2.3
x
'=
"
und diese Gleichungen führen zu den gesuchten Werten x' , y', z' , wenn man
in dieselben die Werte der Differentiale von x , y, z, welche aus den drei
Gleichungen
d2z
92
d2x
gx
d2y
gy =
+
+ доз = 0;
0; dt + 2.3 - 0
dt2
dt2
23
2
sich ergeben , substituiert. Es ist aber vorteilhaft zu den letzteren drei
Gleichungen , um die Rechnung zu vereinfachen , die Gleichung in r des
Art. 10 hinzuzufügen, nämlich
r2dr2 D2.
2Hr² + 2gr·
dt2
Indem man diese differentiiert und mit 2rdr dividiert, ergiebt sich
2H +
g
r
d.rdr
=0
dt2
woraus , wenn man noch einmal differentiiert und zur Abkürzung
rdr
=s
dt
setzt, die Gleichung
gs
d2s
=0
+
3
dt2
folgt, die den vorigen drei Gleichungen ganz ähnlich ist.
Nunmehr bekommt man durch successive Differentiationen und Substitutionen
gx d³x 3gs
9 dx
d2x
20
;
9
доб
dt3
2.3
r3 dt
dt2
d4x
3g ds
2.3gs dx
3.5gs2 92
=
"
+ 2.6 x +
27
дой dt'
dt
(rs dt
გაეც
dts
3.5.7.gs
3.5.g's)
3.3.5.g sds
+
3.5.925) a
dt
дод
2.9
g2 \ dx
3.3g ds
+ (3,39 de
dt - 3.3.5.9.89 +20) de
dt
u. s. f.
24*
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
372
Und ähnliche Ausdrücke resultieren für die Differentiale von y und z,
wenn man einfach x in y und z verwandelt.
28. Man mache diese Substitutionen in die Gleichungen für x', y' , z'
und wende diese Formeln für t = 0 an. In diesem Fall beziehen sich nun
die Grössen x, y, e und ihre Differentiale, weil sie dem Anfang der Zeit t'
die Werte von
angehören, auf t = 0 ; bezeichnet man also mit x, y, z, r,
x, y, z, r, s für t = 0 , ersetzt t' durch t und x', y' , ' durch x, y, z
und schreibt zur Abkürzung
T= 1 -
3g ds
g t2 3gs2 t3
+
+
r5 2.3
r3 2
r5 dt
+
(
V= t-
3.5gs2
r7 + r6
3.5.7.gs3
3.3.5.g sds
+
rī
r9
dt
2.3gs t
3.3g ds
g 13
+
r3 2.3 + r5 2.3.4
r5 dt
A
2.3.4
to
3.5.g2s
-5.92%) 2.3.4.5 +
3.3.5gs2
g2
+ r6
r7
t³
+·
2.3.4.5
so bekommt man
= xT +
dz
dx
dy
V, y = yT +
z V.
dt
dt V, & = zT + dt
ds
betrifft , welche diese Ausdrücke entdt
halten , so muss man beachten , dass sie sich sofort auf die Constanten D
Was die Constanten s und
und H, von denen, wie wir im Art. 8 gesehen haben, die Elemente a, b, c
der elliptischen Bahn abhängen , reducieren. Denn bezieht man die beiden
Gleichungen des vorigen Artikels in r auf den Anfang der Zeit t, so hat man
g
rdr
(rdr)2
- == 2H,
dt2 - 2gr = 2Hr²- D², d dt2
r
d. h.
ds
s2 = 2gr + 2Hr² — D², dt = 2H + 9.
Substituiert man für H und D2 ihre Werte
so hat man
ds
dt
-
,
s²=g (
g
2a und gb (Artikel 15),
r2
2r - a -ε),
woraus folgt
a
ds
1
b = 2r
r + gdt'
r2
a
s2
g
Daraus sieht man, dass die Grössen T und V nur von der Gestalt der
Bahn abhängen können, nicht aber von der Lage ihrer Ebene.
rdr
29. Da die Grösse
oder s durch eine Differentialgleichung bestimmt
dt
ist, die den Gleichungen ähnlich ist, welche x bestimmen , so hat man für
Abschn. VII, Cap. I, § 2.
Bestimmung der Bahnelemente.
373
dx
" in s
diese Grösse einen ähnlichen Ausdruck wie für x, nur dass x und
dt
ds
verwandelt werden muss. Man hat also
und
dt
ds
rdr
V.
ST +
s=
dt
dt
Daraus folgt, wenn man integriert und die Constante r² addiert,
ds
Vdt,
r² = r² + 2s Tdt +
dt
2 + 28ST
2deSv
worin die Integrale so genommen werden müssen, dass sie für t = O gleich
Null sind. Substituiert man in dieser letzten Gleichung die Werte von T
und V und ordnet die Glieder nach Potenzen von t, so erhält man
r² = r² + 2st +
ds
gs t³
3gs2
12 +
r² 3
dt
( r5
9g /sds
+ r5
dt
9 ds
14
r3 dt 3.4
15
15 gs3
+
+
r7
978
r6 ). 3.4.5
Dieser Ausdruck von r2 muss mit dem, welchen die Werte von x, y, z
ergeben, identisch sein; denn da r² = x² + y² + 2 ist, so hat man auch
r²= (x² + y² + z³) T² + 2 ·
dx² + dy² + dz2
xdx + y dy + z dz
TV +
V2.
dt2
dt
Nun ist aber
x²+ y²+ z²= r² ;
xdx + ydy + z dz
dt
rdr
= S,
dt
und
ds
d.rdr
2g
g
dx² + dy²2 + dz2 =
+ "
:2H + 2º (Art. 9) =
r
dt2
dt +2 (Art. 27) = dt
also wird
r² = r²¿¹² + 2s TV +
ds
dt + 2) v²,
und dieser Wert stimmt in der That mit dem vorigen , wie man sich leicht
überzeugt, überein .
§ 2. Bestimmung der Elemente einer elliptischen oder parabolischen
Bewegung.
30. In der Theorie der Planeten nennt man Elemente die sechs
constanten Grössen , welche zur Bestimmung der Gestalt der Bahn , ihrer
Lage in Bezug auf eine feste Ebene, als welche man die Ebene der Ekliptik
nimmt, und der Epoche oder des Augenblicks des Durchgangs des Planeten
durch das Aphelium oder Perihelium dienen.
374
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
Es bezeichne , wie im vorigen Paragraphen , a die halbe grosse Axe
oder die mittlere Entfernung , und
den halben Parameter ; diese beiden
Elemente bestimmen die Gestalt der Bahn, und nennt man e die Excentricität
oder besser das Verhältnis der Entfernung der beiden Brennpunkte zur
grossen Axe, so hat man
b = a (1 — e²)
und folglich
b
=
•
Es sei ferner c der Zeitpunkt , in welchem der Planet durch das Perihel
durchgeht; dieses Element wird im Verein mit den beiden vorhergehenden
zur Bestimmung der elliptischen Bewegung dienen , ganz unabhängig von
der Lage der Bahn im Raume.
Um auch noch diese Lage zu bestimmen, sei k die Länge des Perihels,
gezählt von der Knotenlinie aus , d. h. es sei der Winkel , welchen der
Teil der grossen Axe, der zum Perihel führt, mit der Schnittlinie der Bahnebene und einer festen Ebene bildet. Dieses Element bestimmt die Orientirung der Ellipse in der Bahnebene.
Es sei endlich
die Neigung dieser Ebene gegen die feste Ebene , auf
welche man sie bezieht, und als welche man in der Astronomie gewöhnlich
die Ebene der Ekliptik nimmt ; wir wollen in unseren Formeln die Ekliptik
zur xyEbene machen, das letzte Element ist dann h, die Länge des Knotens,
d. h. der Winkel , den die Schnittlinie der beiden Ebenen mit einer festen
Linie bildet, welche die Astronomen als gegen den Frühlingspunkt gerichtet
annehmen , und die wir als x Axe ansehen wollen.
Diese sechs Grössen a, b, c, h, i, k sind die Elemente, welche aus den
Beobachtungen an der gegebenen elliptischen Bewegung bestimmt werden
müssen.
31. Der einfachste Fall dieses Problems ist derjenige , wo man die
Lage des beweglichen Körpers , seine Geschwindigkeit und seine Richtung
in einem gegebenen Augenblicke kennt. In diesem Falle sind die Werte
dx dy dz
von x, y, z, at' at
dt at
dt für einen gegebenen Augenblick gegeben. Das
sind sechs Werte, und durch diese sechs Grössen müssen die sechs Elemente
a, b, c, k, h, i sich ausdrücken lassen.
Wir bezeichnen diese Anfangswerte der Coordinaten und Geschwindigdx
dy dz
->
keiten mit den Antiqua-Buchstaben x, y, z,
9
Der Art. 9 giebt
dt dt dt
dx
Rdr setzt und x, y, z, at ,
an die Stelle von
zuerst, wenn man
SI
dz
dy
dx
dy
dz
9
in X, Y, Z, at ' dt "
dt
dt
dt verwandelt, die Gleichungen
Abschn. VII, Cap. I, § 2.
Bestimmung der Bahnelemente.
A=z
dy
dt
dz
y dt >
B= 2
dx
dt
X
dy
C = X dt
2H=
375
dz
?
dt
dx
y dt
dz
dx
2g
dy
dt — 2º,
r
dt + (ar)²
dt + (de)²
(dz)²
dazu kommen noch die in Art. 11 und 15 abgeleiteten Gleichungen
A = D sini sinh ,
B = D sini cosh,
C = D cosi,
D = √√gb,
g
2a
H:
Durch diese neun Formeln erhält man sofort die Werte der halben Axe a,
b
1 —— berechnet,
a
und die Winkel h und i, und es bleibt nur noch übrig , die Grössen c und
k zu bestimmen.
32. Man beachte dabei , dass die Formeln für a und b auf
des halben Parameters b, woraus man die Excentricität e =
eine einfache Gestalt gebracht werden können. Denn x' " + y'² + z'² ist
offenbar das Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit, und bezeichnet man diese
Geschwindigkeit mit u, so bekommt man aus der vierten und neunten Gleichung
2
1
u2
=
a
"
9
woraus man sicht, dass die grosse Axe des Kegelschnittes und folglich auch
die Zeitperiode (Art. 16) nur von der ursprünglichen Entfernung des Körpers
vom anziehenden Brennpunkt und von der Anfangsgeschwindigkeit abhängt.
Was nun den Parameter 26 betrifft, so hängt dieser nach der achten
r²do
Gleichung von D ab , D aber hat man im Art. 11 auf die Form dt
gebracht, wo do der von dem Radius r in dem Zeitelement dt beschriebene
Winkel ist, woselbst rd den kleinen durch denselben Radius in dem Zeitrdo
element dt beschriebenen Bogen und folglich
die zu diesem Radius
dt
senkrechte Geschwindigkeit angiebt, welche der Körper besitzt, indem er sich
um den Brennpunkt bewegt.
376
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
Bezeichnet man diese Revolutionsgeschwindigkeit mit v , so hätte man
hiernach
r²do
==
Vgb,
dt
und folglich
r2v2
g
Der Parameter 26 hängt also nur vom Radius r und dem Teil der Geschwindigkeit u ab, mit welchem der Körper sich um den Brennpunkt, gegen
welchen er hingezogen wird, herum zu bewegen strebt.
33. Um den Wert des Elementes c zu finden , welches die Durchgangszeit durch das Perihel bestimmt , beachte man , dass diese Constante nur
durch die Integration, welche den Wert von r als Funktion von t (Art. 16)
ergeben hat, in die Rechnung eingeführt worden ist.
Bezeichnet man also mit 9 den Wert von 0 für t = 0, so hat man durch
die Formel des angegebenen Artikels, wenn man darin t =
= O setzt, wodurch
r in r und
in
übergeht,
e sind) ; r = a (1 -e cos d).
- =
Durch Elimination von 9 aus diesen beiden Gleichungen erhält man dann den
Wert von c als Funktion von r ausgedrückt, da a und schon bekannt sind.
Um endlich das letzte Element k zu bestimmen , welches ebenfalls aus
der Integration der Gleichung zwischen r und
resultiert , beachte man
auf den
zuerst, dass, wenn man x, y in x, y verwandelt und den Winkel
Anfang von t bezieht, die Gleichung
y=
tgy
X
besteht.
Der Art. 7 giebt dann
tg
=
tg(q - h)
cosi
schon bekannt sind , so berechnet sich der
Wenn also h und
als Function von x und y, und daraus erhält
Winkel
durch den Winkel
man k durch die Gleichung des Art. 15
== ( − 1)·
cos( ―·~
)) k
e
−1) ,
wenn man diese auf den Zeitpunkt t =:0 bezieht.
34. Es giebt auch noch andere Methoden die Elemente zu bestimmen .
Kennt man zwei Orte des bewegten Körpers in seiner Bahn und die Zeit,
die zwischen den Augenblicken , wo er diese beiden Orte passiert hat,
verflossen ist, so hätte man auch 6 Daten durch die Coordinaten , welche zu
den beiden gegebenen Punkten der Bahn gehören , und die 6 Elemente
Abschn. VII, Cap. 1 , § 2.
Bestimmung der Bahnelemente.
377
wären ebenfalls durch diese Coordinaten bestimmt. Aber der transcendente
Ausdruck für die Zeit hindert eine allgemeine und algebraische Lösung des
Problems. Man kann die Aufgabe durch Annäherung auflösen , wenn das
Zeitintervall zwischen den beiden Orten hinreichend klein ist , indem man
von den Formeln des Art. 19 Gebrauch macht.
Es seien x, y, z die drei Coordinaten des ersten Ortes in der Bahn,
und x' , y' , z' diejenigen des zweiten Ortes ; bezeichnet t die Zeit , welche
zwischen dem Durchgang durch diese beiden Orte verflossen ist, so hat man
allgemein (Art. 28)
x = x7 +
dx
dz
V.
V; z =zT +
' = yT +
V; y
dt
dt
dt
Wollen wir die Genauigkeit nur bis zu den dritten Potenzen von
treiben, so hat man
T= 1 -
3gs tз
g t2
V = t+
r3 2
r5 65
g t3 •
r3 6
Da der Ausdruck von T die Constante
S=
rdr
dt
xdx + ydy + z z
dt
enthält , so kann man damit beginnen , die drei vorigen Gleichungen zu
addieren , nachdem man die erste mit x, die zweite mit y, die dritte mit z
multipliciert hat. Man hat dann die Gleichung
xx'+ yy' + zz'= r²T + sV,
woraus man den Wert von s finden kann, den man dann in den Ausdruck
von T zu substituieren hat.
Wenn die Werte von T und V bekannt sind , so werden dieselben
dx dy dz
Gleichungen die Werte der Differentiale dt ' dt' at ergeben ; das Problem
ist also dann auf den vorigen Fall zurückgeführt.
35. Kennt man endlich nur die drei Radienvectoren r, r' , r" mit den
Zeiten
und ť, die zwischen den Durchgängen durch die Endpunkte von
r und
und durch diejenigen von rund r" verflossen sind, so könnte man
die Bahn wieder durch die Formeln des Art. 29 bestimmen, wenn man annimmt, dass die Zeiten t und
hinreichend klein sind.
Denn setzt man in dem Wert für r² das t = 0 und geht in den Reihen
für ' 2 und ''2 nur bis 3 und 3, so hat man
ds
gt3
r² = r² ; p2 = r² + 2t - 3 8 + 12 t
3r
d ;
ds
gt's
2== r² + | 2 ″ 8 +12
3
3r
dt
(2
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
378
ds
erhalten kann.
dt
Die beiden letzteren ergeben sogleich durch die Formeln des Art. 28
aus welchen Gleichungen man die Werte von r , s und
r2
ds
1 - 1
b = 2r +
a
a
gdt ;
$2
•
g
Den Winkel Пl zwischen dem Radius r und dem nach dem Perihel gerichteten Radius erhält man dann durch die Formel
cos II =
b -r
"
re
b
—— ist.
a
Wäre die Bahn eine Parabel , so hätte man a∞
= , und folglich
g, es wäre dann hinreichend, zwei Entfernungen
und
zu
r
Wo e =
ds
dt
kennen ; die erste würde den Wert von r , und die zweite den Wert von s
aus der Gleichung
gta
+
r'² = r² r
2t -
gt3 S
3r3
ergeben.
36. Die Elemente der Planeten sind hinreichend bekannt, denn durch
Beobachtungen von Längen und Breiten hat man sie bestimmt, und die
Kleinheit ihrer Excentricitäten und ihrer Neigungen gegen die Ebene der
Ekliptik haben viel zur Erleichterung dieser Bestimmungen beigetragen.
Nimmt man diese Ebene zur xyEbene , so stellen die Winkel
und
(Art. 4), der eine die Länge des Körpers, der andere seine Breite dar, und
wir haben in den Art. 22, 23 für die Werte von
und
als Funktionen
von t Reihen angegeben, welche um so mehr convergent sind, je kleiner die
Excentricität e und die Neigung
ist. Nimmt man sechs Beobachtungen,
drei der Längen und drei der entsprechenden Breiten, oder im Allgemeinen
der Länge oder der Breite in gegebenen Augenblicken , so hat man sechs
Gleichungen , durch welche man die sechs Elemente bestimmen kann,
wenigstens für die Sonne und den Mond , welche sich unmittelbar um die
Erde drehen.
Für die andern Planeten , welche sich um die Sonne drehen , ist die
Rechnung ein wenig complicierter , weil die Beobachtung unmittelbar nur
Längen und Breiten, wie sie von der Erde gesehen werden, ergiebt, welche
man geocentrische nennt. Nimmt man aber die Bewegung der Sonne
als bekannt an , so kann man stets aus jeder Beobachtung eine Gleichung
herleiten , so dass sechs Beobachtungen hinreichend sind , um die sechs
Elemente in aller Strenge zu bestimmen.
Dieses Problem ist besonders für die Kometen wichtig, deren Elemente,
wenn sie erscheinen, gänzlich unbekannt sind ; seit Newton , welcher dieses
Abschn. VII, Cap. I, § 3.
Bestimmung von Kometenbahnen.
379
Problem zuerst zu lösen versuchte, giebt es wenige Geometer und Astronomen ,
die sich nicht damit beschäftigt hätten. Da sie die Annäherung nicht auf
die Kleinheit der Excentricität und Neigung gründen konnten wie bei den
Planeten, so haben sie Alle die Zeitintervalle zwischen den einzelnen Beobachtungen sehr klein angenommen, und haben mehr oder weniger genäherte
Methoden angegeben, um die Elemente der Kometen aus drei Längen- und
ebenso vielen Breitenbeobachtungen abzuleiten. Da die Auflösung, welche
ich in den Berliner Abhandlungen 1783 gegeben habe , mir die directeste
und allgemeinste für das Kometenproblem zu sein scheint, so glaube ich sie
hier ein wenig vereinfacht und mit neuen Bemerkungen versehen wiederholen zu dürfen ; sie giebt eine wichtige Anwendung der Hauptformeln ,
die wir im vorigen Paragraphen entwickelt haben.
§ 3. Ueber die Bestimmung der Kometenbahnen.
37. Es bezeichne für einen beliebigen Augenblick R die Entfernung
des Kometen von der Erde und 7, m, n die Cosinus der Winkel, welche die
Gesichtslinie oder der scheinbare Radius R mit drei zu einander senkrechten
und im Raume festen Axen bildet ; es sind dann Rl, Rm, Rn die drei rechtwinkligen Coordinaten des Kometen , die parallel zu diesen Axen sind und
ihren Ursprung im Mittelpunkt der Erde haben. Die Grösse R ist unbekannt, aber die drei Grössen l, m, n sind durch die Beobachtung des
Kometen bekannt und so beschaffen, dass stets
12+ m² + n² =: 1
ist, weil nach der Hypothese
R² = (RI)² + (Rm)² + (Rn)²
sein muss.
Es seien ferner p, λ, μ, v die entsprechenden Grössen in Bezug auf die
Sonne, so dass pλ, pu, pv die rechtwinkligen Coordinaten des Sonnenortes
in Bezug auf die Erde und parallel zu denselben Axen sind. Diese Grössen
müssen als durch Berechnung des Sonnenortes für die Beobachtungszeit
des Kometen bekannt angenommen werden , und man hat auch hier die
Bedingung
λ² + μ² + v² = 1 .
Es seien endlich x, y, z die rechtwinkligen Coordinaten des Kometen
in Bezug auf die Sonne , parallel zu denselben Axen, und r der Radiusvector seiner Bahn um die Sonne ; man hat dann zunächst folgende drei
Gleichungen
— pλ; y = Rm -·pµ ; z = Rn — pv,
x = Rl r2 = x² + y² + 22 ist, so ist auch
und da r²
r =
R
+ p? – 2Rp (D + me + n).
380
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum.
Man weiss nun , dass der Ausdruck ( + mu + nv) den Cosinus des
Winkels angiebt, welcher durch die beiden Radien R und p gebildet wird,
die vom gemeinsamen Mittelpunkt der Erde ausgehen, und von denen der eine
nach dem Kometen , der andere nach der Sonne gerichtet ist. Bezeichnet
man diesen Winkel mit σ, so hat man
r² = R2-2Rpcosa + p².
Hat man also drei Beobachtungen desselben Kometen, die in bekannten
Zeitintervallen gemacht sind , so hat man drei ähnliche Gleichungssysteme,
von denen jedes eine neue Unbekannte p enthält, und aus den Eigenschaften
der Parabel ergeben sich noch drei andere Gleichungen.
38. Am einfachsten für diesen Gegenstand ist es, die im Art. 25 gegebene
Formel anzuwenden , durch welche man die Zeit erhält , welche der Komet
gebraucht, um einen beliebigen Bogen zu beschreiben , ausgedrückt durch
die Sehne dieses Bogens und durch die Summe der Radienvectoren, welche
nach seinen Endpunkten gehen. Diese Formel ist von allen Elementen der
Bahn frei ; denn die drei Zeitintervalle zwischen den drei Beobachtungen,
zwei und zwei genommen, geben die drei verlangten Gleichungen.
Wir wollen mit einem Strich an den Buchstaben die analogen Grössen
für die zweite Beobachtung bezeichnen, es ist dann
=
№2 =
— R'2 — 2R'p' cos o'+ p'²,
und
s= r+ r.
Für die Sehne u des durch den Kometen im Intervalle der beiden
Beobachtungen durchlaufenen Bogens hat man, wie leicht zu sehen ist,
u² = (x' — x)² + (y' — y) ² + (2
′ —2)²
= p2 + p² - 2 (xx′ + yy′ + zz') ,
substituiert man für x, y, z und für x' , y', ' ihre Werte, so ist
xx' + yy + zz
'=
RR' (ll' + mm' + nn')
+ pp' (λλ' + µµ ' + vv' ) — Rp' (IX' + mµ' + nv' )
- R'p ( l'λ + m'µ + n'v) .
Nach den bekannten Theoremen muss der Ausdruck (ll ' + mm' + nn' )
den Cosinus des Winkels zwischen den beiden Radien R und R' , die vom
Erdmittelpunkt ausgehen und nach den beiden Kometenörtern bei den beiden
Beobachtungen gerichtet sind , darstellen ; ebenso ist ( ' + up + v') der
Cosinus des Winkels, der am Mittelpunkt der Erde von den beiden Radien
p und
nach den beiden Sonnenörtern gebildet wird , und ähnlich sind
die Bedeutungen der andern entsprechenden Ausdrücke.
Wenn man sich also der grösseren Klarheit wegen denkt , dass die
beiden scheinbaren Kometenörter auf der Kugeloberfläche durch die Buch-
Abschn. VII, Cap. I, § 3.
Bestimmung von Kometenbahnen.
381
staben C, C' und diejenigen der Sonne mit S, S' bezeichnet seien, und
wenn man die vier Punkte C, C ' , S, S' durch grösste Kreise verbindet, so
stellen offenbar die Bogen CS, C'S ' die Winkel dar, welche wir mit
und
bezeichnet haben . Die Bogen CC' und SS' stellen ferner die Winkel
dar, deren Cosinus
ll '+ mm'+ nn' und
' + µµ' + vv'
sind, und die Bogen CS' und C'S endlich stellen die Winkel dar, deren
Cosinus
Tλ + mµ' + nv' und l'λ + m'µ + n'v
sind. Betrachtet man nun das sphärische Viereck CC'SS' , welches man als
durch die beiden Beobachtungen des Kometen und durch die beiden berechneten Sonnenörter gegeben ansieht, so hat man
72 = R2-2Rpcos ( CS) + p²,
'2 = R'2-2R'p' cos ( C'S') + p'²,
u² = p² + pº2 — 2RR' cos (CC') - 2pp' cos (SS ') ,
+ 2Rp' cos (CS') + 2R'p cos (C'S),
dazu kommt die Formel des Art. 25
-- ·
t
' ― t = (r + r' + u)# − (r + r'— u)³
6√9
Da die Differenz (t' - t) der Zeiten t und t' , welche zu den beiden
Beobachtungen gehören, d . h . ihr Zeitabstand, als bekannt angesehen wird,
so sind in dieser letzten Formel nur die beiden Entfernungen R und R'
als unbekannt anzusehen.
Hat man eine dritte Beobachtung, für welche die analogen Grössen
durch dieselben Buchstaben mit zwei Strichen bezeichnet seien, so hat man
durch Vergleichung der ersten Beobachtung mit dieser eine zweite ganz
ähnliche Gleichung, in welcher die in der vorigen mit einem Strich versehenen
Grössen mit zwei Strichen versehen sind, und welche nur die beiden Unbekannten R und R" enthält.
Man erhält ferner eine dritte ähnliche Gleichung aus der Vergleichung
der zweiten Beobachtung mit der dritten, wenn man nur alle Buchstaben
mit einem Strich versieht , welche in der ersten Gleichung keinen solchen
hatten , und mit zwei Strichen alle diejenigen , welche vorher nur
einen Strich hatten ; diese dritte Gleichung wird also nur dieselben Unbekannten R' und R" enthalten, so dass die drei Gleichungen nur die drei
Unbekannten R, R
', R
'' enthalten, und zu deren Bestimmung ausreichend sind .
Obgleich aber diese Gleichungen sich unter ziemlich einfacher Form darstellen , so bietet doch ihre Lösung fast unüberwindliche Schwierigkeiten,
weil die Unbekannten darin nicht getrennt sind und unter verschiedenen
Wurzeln vorkommen.
382
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
39. Wenn man übrigens auf irgend eine Art dazu gelangen könnte,
die Werte der Radien R, R' zu finden , so hätte man sofort den halben
Parameter b, welcher in der Parabel gleich der doppelten Periheldistanz ist,
durch die Formel (Art. 25)
u² — (r'.— p.)2
b==
2 [r + r
' −√ (r + r'′) ² — u²]
Ferner ist allgemein
Cz + Ax + By = 0,
B
also weil
= sinh tgi ; C == cosh tgi (Art. 11 ) ist, durch Anwendung auf
4=
2 Oerter.
- (x sinh + y cosh)tgi = 0,
-(x'sinh + y'cosh)tgi = 0,
woraus man leicht die Werte von tgi und tgh erhält , was die Lage der
Parabelebene gegen die zur xyEbene gewählte Ebene ergiebt.
Man kann sogar bemerken, dass man mittels dieser Gleichungen, welche
von der Annahme abhängen , dass die Bahn des Kometen in einer durch
die Sonne gehenden Ebene liegt , die drei Unbekannten auf nur zwei zu
reducieren vermag.
Denn setzt man zur Abkürzung
L - tgi sinh, Mtgi cosh,
so hat man, wenn man die Werte von x, y, z in die erste der vorstehenden
Gleichungen substituiert, die Gleichung
Rn — pv =
— L (Rl — pλ) + M(Rm — pµ),
woraus sich ergiebt
R=P
v - λL - µM
n - IL - mM
Entsprechend sind die Ausdrücke von R' , R", wenn man mit Ausnahme von L und M, welche für alle Beobachtungen die nämlichen sind,
alle Buchstaben mit einem resp . zwei Strichen versieht.
Auf diese Weise werden die drei Unbekannten R, R', R" auf die
beiden L und M reduciert, so dass man zu ihrer Bestimmung nur zwei
Gleichungen nötig hat, was die Lösung des Problems etwas vereinfacht.
40. Um sie noch mehr zu vereinfachen, scheint es nur das eine Mittel
zu geben, die Zeitintervalle zwischen den Beobachtungen hinlänglich klein
anzunehmen, damit man mehrere Glieder als unmerklich vernachlässigen
kann , wodurch man nur eine genäherte Lösung erhält, die man dann durch
neue Korrektionen noch genauer machen kann. Dies hat man auch bisher
bei allen Lösungen, welche man von diesem Problem gegeben hat, gethan .
Abschn. VII, Cap. I, § 3.
Bestimmung von Kometenbahnen.
383
Wendet man diese Hypothese auf die vorige Lösung an , so wird die
Sehne u sehr klein , behält man dann nur die beiden ersten Terme der
Wurzeln bei , welche in dem Ausdruck der Zeit t - t, welche zwischen
den beiden ersten Beobachtungen verflossen ist vorkommen, so hat man
u √r + r
ť_t =
2√g
woraus
u² (r + r') = 4g (ť
' —t)²
folgt, und es giebt in dieser Gleichung keine anderen Wurzeln als diejenigen,
welche in den Ausdrücken von r und
vorkommen ; aber die Gleichungen
zwischen den Unbekannten R, R' , R' , in welchen L und M vorkommen,
werden noch zu compliciert sein, als dass man sie mit Erfolg anwenden
könnte.
Man kann daraus schliessen, dass diese Unbekannten nicht diejenigen
sind, deren Verwendung für die gegenwärtige Frage am vorteilhaftesten ist,
und verlangt man nur eine genäherte Lösung , so ist es einfacher , von
den Formeln Gebrauch zu machen , die wir im Art. 28 für den Fall , WO
man die Zeit t als sehr klein annimmt, gegeben haben .
41. Um diese Formeln auf die Bestimmung der Kometenbahnen anzuwenden, braucht man darin nur an die Stelle von x, y, e die in Art. 37
gegebenen Ausdrücke zu setzen ; man hat also allgemein
dx
Ripλ
ρλ = xT + dt
dy
Rm — pµ = yT + dt V,
Rn
dz
= zT +
V₁
· ρν =
dt
dz
dx
dy
"
2
dt
dt dem Anfang der Zeit t entsprechen
dt
und als constant angesehen werden, und wo 7 und V rationale Funktionen
dr d2r
von t und der Constanten r,
sind.
dt ' dt2
Da der Beginn der Zeit t willkürlich ist, so kann man ihn in den
Augenblick der ersten Beobachtung verlegen ; setzt man t = 0, so hat man
wo die Grössen x, y, z,
T - 1 und V = 0.
Man hat also für die erste Beobachtung folgendes erste Gleichungssystem
ᎡᏓ - pλ = x,
Rm
ρμ = 9,
Rn ― pv
2.
384
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum.
Für die zweite Beobachtung, welche von der ersten um die Zeit t entfernt ist, hat man , wenn man die Buchstaben R, l, m, n, p, λ, μ , v mit
einem Strich versieht, das folgende zweite Gleichungssystem
dx
V₁
R'l' — p'X' = xT +
dt "
R'm'— q'p'— yT + dy
dt V,
Rn'p'v'
zT+
dz
V.
dt
Aehnliche Gleichungen wird man für die dritte Beobachtung haben ,
welche von der ersten um die Zeit
entfernt ist , wenn man die in den
letzten Gleichungen mit einem Strich behafteten Buchstaben mit zwei
Strichen versieht und den Buchstaben T und V einen Strich giebt , um
anzuzeigen, dass die Zeit t, von der sie Funktionen sind , in ť verwandelt
werden muss ; das dritte System von Gleichungen wird also
dx
R'l" -p"λ" = x7
" + dt √',
R'm " — p″ µ " — yT" + dy
dt V' ,
dz
R'n" -p" v" = zT' + dt √' .
Aus den ersten Gleichungen jedes der drei Systeme kann man die
dx
eliminieren, setzt man zur Abkürzung
dt
TV'
VT' = V " ,
beiden Constanten x und
so bekommt man durch diese Elimination
(Rl — pλ) V'' — (R'l' — p'l')
p′X′) V' + (R " l'"' — p″ \"″ ) V = 0 .
Eliminiert man ebenso die beiden Constanten y, dy aus den zweiten Gleidt
chungen derselben Systeme, so hat man
(Rm — pµ) V” — (R'm' — p'µ') V' + (R " m" — p″ µ " ) V = 0,
dz
und die Elimination der Constanten z , at aus den letzten Gleichungen
dieser Systeme giebt
(Rn — pv) V" — (R'n'— p'v') V ' + ( R " n " — p" v" ) V = 0.
Aus diesen drei Gleichungen folgt
R
pгV” — p'T'V'— p″T" V
GV"
- R'
pг¸1 V " — p'T';1 V' + p'T" V
GV'
R":
pг'½2 V" — p'T'½2 V' + p"T"
2V
9
GV
Abschn. VII, Cap. I, § 3.
385
Bestimmung von Kometenbahnen.
wenn man zur Abkürzung
G == lm'n" + mn'l' ' + nl'm'"' -
In'm" — ml'n'-
nm'l'
setzt, und mit г, г' , г " bezeichnet was aus G wird, wenn man darin l, m, n
in λ, µ, v, in X' , u' , v' und in X". µ" , v" verwandelt ; I , I , I und F2,
I'₂,
29 2 bezeichnet das, was aus G wird, wenn man mit l' , m' , n' bez. l' ' , m" , n"
dieselben Verwandlungen vornimmt.
Die drei Beobachtungen geben aber auch (Art. 37, 38) die Gleichungen
R22Rp
cos (CS)
+ p² = r²,
R'22R'p' cos ( C'S') + p'² = r²,
R" 2-2R"' p'' cos ( C " S" ) + p" ² = y''2.
Substituiert man hierin die vorigen Werte von R, R', R" , so erhält man
drei Endgleichungen , welche nur bekannte Grössen enthalten , nebst den
Grössen V, V' , V" , und r, r' , r" , welche als Funktionen der Zeit und der
ds
drei Constanten r, s,
gegeben sind , von denen die Bahnelemente abdt
hängen (Art. 28 , 29) ; auf diese Weise kann man diese drei Constanten
bestimmen.
42. Geht man bei der Näherung nur bis zu den vierten Potenzen
von t, so hat man
14
t3
V =t - g
+ gs
+
4r5
6r3
ebenso
ť'4
t'3
y'
t- g
+ gs 4r5 +
6r3
und da
= TV'— VT'
V" —
ist, so findet man
V"= t- t - g
- t)³ (t' + t)5
(t' — t)3
(t −
+
+g
4r5
6r3
Setzt man dies in die Werte von R, R', R" ein, und macht '
mt, wo der
Coefficient m durch das Verhältnis der beiden Intervalle zwischen den drei
Beobachtungen gegeben ist , so verschwindet die vierte Dimension von t
durch Division, und es genügt also, in den Werten von
und " nur auf
die dritte Dimension Rücksicht zu nehmen . Man hat nun allgemein
p2 = r² + 2st +
ds
t2
dt
gs
t3 +·
3r3
Wir haben aber vorausgesetzt , dass die erste Beobachtung zur Zeit t = 0
gehört, und dass die beiden folgenden zu den Zeiten t und t'mt gehören ;
es wird also
ds
gs
t3
p2 = r² ; №2 = r² + 2st +· dt 12.
3r3 "
ds
gs 3
1
m3
'2 = r² + 2mst + m². dt 12
3r3
Lagrange, Analytische Mechanik.
25
386
Abschn. VII, Cap . I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum.
Diese Substitutionen hat man in den 3 letzten Gleichungen des vorigen
Artikels vorzunehmen und dabei sind die Glieder, welche höhere als die dritte
Potenz von t enthalten , zu vernachlässigen ; man erhält dann 3 Gleichungen
ds
, von denen die beiden letzten nur
zwischen den drei Unbekannten r, s,
dt
in linearer Form erscheinen , so dass man sie leicht eliminieren und das
Problem auf eine einzige Gleichung in r reducieren kann. Dies ist der
Hauptvorteil der von uns angegebenen Methode.
Wollte man die Näherung noch weiter treiben und eine grössere Zahl
von Gliedern in den Werten von V, V' , V " , '2, '' 2 in Betracht ziehen, so
ds
würde man Gleichungen erhalten, in denen die Unbekannten s und
nicht
dt
mehr linear wären , sondern successive zu höheren Dimensionen anstiegen,
wodurch ihre Elimination schwieriger und die Endgleichung noch complicierter
würde.
43. Um darüber einen Rechnungsversuch zu machen , wollen wir uns
damit begnügen , in den Werten von V, V' , V" die dritten Dimensionen
von t und
zu berücksichtigen, wodurch die mit der Unbekannten s behafteten Glieder verschwinden ; wir setzen der Einfachheit halber g = 1 ,
indem wir die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne als Einheit der
Entfernungen ansehen und die Zeiten durch die mittleren Bewegungen der
Sonne darstellen (Art. 23) ; machen wir noch t = mt, so haben wir
V= t-
t3
6r3
√ " = (m
V' = mt
m3t3
6r3
(m - 1 )313
1) t-6r3
Die Werte von R, R', R" nehmen dann die Form an
6 Pr³ - Qt2
'
[6 (m − 1) r³ —— (m − 1)³ t³] G
6Pr³- Q₁t2
R' =
− 1)³ t³] G
[6 (m1 ) r³ .- - (m
(m—
R =
R":
6 P₂r³- Q₂t2
[6 (m — 1 ) r³ — (m — 1) ³t³] G '
wenn zur Abkürzung
P = (m − 1 ) pг — mp'T ' + p″ T ” ,
Q = (m − 1 )³ pг — m³p'T ' + p″T "
gesetzt wird und P1 , Q1 , P2 , Q2 aus diesen Grössen dadurch hervorgehen
lässt, dass man darin г, г' ' , г ” in г₁ , г'₁ , г “ bezw. in г₂ , г½ , I'½ verwandelt .
Diese Werte von R, R, R', die Entfernungen des Kometen von der
Erde in den drei Beobachtungszeiten, enthalten, wie man sieht, nur die einzige
Abschn. VII, Cap. I, § 3.
Bestimmung von Kometenbahnen .
387
Unbekannte r , den Radiusvector des Kometen bei der ersten Beobachtung.
Substituiert man also den Wert von R in der Gleichung
R2-2Rp cos (CS) + p² = r²,
so erhält man eine Endgleichung in r vom achten Grade , und das ganze
Problem des Art. 25 ist auf die Lösung dieser Gleichung zurückgeführt.
Hat man den Wert von r gefunden , so erhält man nach den vorigen
Formeln auch diejenigen von R' und R" ; aus diesen wieder bekommt man
vermittelst der Formeln des Art. 42 die Werte der drei Radienvectoren r, r' , "" ,
ebenso wie diejenigen der Coordinaten x, y , z und ihrer Differentiale
dx 9 dy dz
dt' dt ' dt , und man kann nunmehr die Bahn durch die Formeln des § 2,
oder wenn man lieber will, nach den bekannten trigonometrischen Formeln
gemäss den drei Entfernungen R, R' , R'' des Kometen von der Erde, bestimmen .
44. Die Ausdrücke für die Entfernungen R, R' , R" lassen sich durch
die folgende Betrachtung vereinfachen. Da die Erde und der Komet sich
um die Sonne durch dieselbe attractive Kraft dieses Himmelskörpers bewegen , so hat man , wenn man έ , n ,
die rechtwinkligen Coordinaten der
Erde gegen die Sonne für t = 0 nennt, mit 0, Y die Werte der Funktionen
T und V bezeichnet , wenn man darin die Bahnelemente des Kometen in
diejenigen der Erde verwandelt, wie im Art. 28 die drei Gleichungen
de
λ = 50+ dt Y,
-p
-pλ
- ре = no + dn Y,
dt
ας
- py = 30+ dt Y.
Weil wir im Art. 24 mit på, pu, pv die rechtwinkligen Coordinaten des
Sonnenortes in Bezug auf die Erde bezeichnet haben , so sind
på, -Pμly
-pv diejenigen der Erde in Bezug auf die Sonne.
Da sich diese Gleichungen von denen des Art. 28 nur dadurch unterscheiden, dass x , y , z , T, V in E, n, C , O , Y verwandelt sind und R darin
gleich Null ist, so ist klar, dass man den früheren analoge Resultate erhält,
wenn man dieselben Verwandlungen in den Gleichungen vornimmt, die wir
im vorigen Artikel gefunden haben. Die Ausdrücke von R, R', R' , die
wir am Ende dieses Artikels gegeben haben , enthalten keine andere von
den Bahnelementen abhängige Grösse als r, wir haben also r in p , den
Radiusvector der Erdbahn, zu verwandeln und
R = 0, R = 0, R'' = 0 ,
zu setzen ; so bekommen wir
6P:
Qt2
=
6P₁
pi
pi
6P2:
Qatz
på
25*
388
Abschn. VII, Cap.I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum.
Substituiert man jetzt diese Werte von P, P1, P2 in die allgemeinen
Ausdrücke von R, R' , R' , und vernachlässigt im Nenner den sehr kleinen
Term von der zweiten Ordnung (m − 1) ³ť² gegenüber dem endlichen Term
6(m1 ) r³ , so erhält man folgende einfachere Ausdrücke
R=
Qt2
= 1 ) G (23
6(m Q₁t2
1
R'
6(m1)
G(3
DG
Qat2
R':
F = 6(m² DG (3-4).
Indem wir dann den Wert von R in die Gleichung
R2-2Rp cos (CS) + p² — r² = 0
einsetzen und zur Abkürzung
Qt2
=K
6(m - 1) G
machen, welche Grösse durch die Beobachtungen vollkommen bekannt ist,
und mit p6r6 multiplicieren, resultiert die Gleichung
K²(r³ — p³)2 — 2Kp4r3 (r³— p³) cos ( CS) + p6r6 (p²— r²) =
— 0,
in welcher Gleichung r bis zum achten Grade steigt, die aber, da sie durch
(r— p) teilbar ist, nach der Division nur noch vom siebenten Grade ist.
Diese Erniedrigung des Grades der Gleichung in r rührt daher , dass
wir die Bewegung der Erde, wie diejenige des Kometen durch angenäherte
Formeln dargestellt haben , in denen wir die höheren als dritten Potenzen
von t vernachlässigten ; sie würde nicht eingetreten sein , wenn wir den
Wert von R aus dem vorigen Artikel angewendet hätten , in welchem
die Sonnenörter genau angenommen sind , wie sie den Tafeln gemäss sich
ergeben.
45. Man kann aus der vorigen Gleichung eine ziemlich einfache Construction ableiten. Zieht man von einem gegebenen Punkte zwei gerade
Linien , welche einen Winkel einschliessen , der gleich dem Bogen CS, der
scheinbaren Entfernung des Kometen von der Sonne bei der ersten BeobK
achtung ist, und von denen die erstere die Länge 03 die zweite die Länge p
hat, so handelt es sich darum, in der ersten Linie einen solchen Punkt zu finden,
dass der zwischen diesem Punkt und dem Endpunkt derselben Geraden gelegene Teil sich zu der ganzen Geraden verhält, wie der Cubus der zweiten
Geraden sich zum Cubus der Geraden verhält , welche das Ende dieser mit
dem gesuchten Punkte verbindet ; hat man diesen Punkt gefunden , so ist
diese letztere Gerade dann gleich r, und der Teil der ersten Geraden
zwischen dem gegebenen und dem gesuchten Punkte giebt die Grösse R.
Abschn. VII, Cap. I, § 3. Bestimmung von Kometenbahnen.
389
Denn man hat nach dieser Construction die Proportion
K
K
R :
(3-2): 5 = p² : r²,
daraus ergiebt sich
R = K ( -3),
und folglich
r = √/p2-2pRcos (CS) + R²,
woraus die oben genannte Gleichung in r resultiert.
Lambert ist, soviel ich weiss, der erste, welcher das Kometenproblem
auf eine angenäherte , aber exacte Weise auf die Auflösung einer einzigen
Gleichung mit nur einer Unbekannten reduciert hat. Er ist dazu durch eine
geistreiche Betrachtung gelangt, die sich darauf stützt, dass der scheinbare
Ort des Kometen bei der zweiten Beobachtung von dem grössten Kreise, der
durch die scheinbaren Oerter in der ersten und dritten Beobachtung gelegt
ist, abweicht ; die Bestimmung dieser Abweichung hat ihn direct auf eine
Construction geführt , die der unserigen analog ist , und welche auf eine
Man sehe die
Gleichung vom siebenten Grade in r zurückkommt.
Abhandlungen der Berliner Akademie vom Jahre 1771 .
Kennt man so die Werte von r und R, so hat man
R = 21 R, R" :=
R,
Q
und die beiden Gleichungen Art. 40, 41 , nämlich
t3
R'2
R′² — 2R′ p' cos ( C' S′ ) + p′² = y'² = r² + ( 2t — 3r3
R" " —2R''p''cos ( C " S " ) + p″ ² = r''2 = r² + | 2mt-
+12 .
ds
dt'
ds
m3t3
s + m²t2 .
3r3
dt'
ds
und daraus wieder erhält man
dt'
die Werte der Bahnelemente a und b mit Hilfe der Formeln des Art. 28 ,
wenn 2a die grosse Axe, 2b den Parameter bezeichnet .
geben die Werte der Constanten s und
46. Nimmt man die Bahn als Parabel an, so ist a unendlich gross, alsds
9
= • In diesem Falle werden die beiden letzten Gleichungen
dann wird
I
dt
nur die Unbekannte s enthalten , und ist diese eliminiert , so hat man eine
neue Gleichung in R, welche mit derjenigen , die man schon gefunden hat,
eine gemeinschaftliche Wurzel haben muss, was dazu dienen wird, die Aufsuchung dieser Wurzel zu vereinfachen .
In diesem Falle , wo also die Bahn der Kometen als eine Parabel angesehen wird , ist es vorzuziehen , die Lösung allein von dieser letzteren
Gleichung abhängig zu machen , weil sie den Vorteil hat, von der Grösse G
390
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
frei zu sein , die unendlich klein von der dritten Ordnung ist, wenn die Zeitintervalle t und t' oder mt sehr klein von erster Ordnung sind , wie wir
weiter unten sehen werden , so dass die Fehler der Beobachtungen , von
denen diese Grösse abhängt, darauf einen sehr grossen Einfluss haben können .
Setzen wir zur Abkürzung
mQp'cos(C'S')- Q₂p" cos(C" S ") =
— (Q2)²
m(Q₁ )² = M.
N,
Q2
Q
und vernachlässigen die mit t³ behafteten Coefficienten von p , so giebt die
Elimination der genannten Grösse die Gleichung in R
—
== 0.
·MRª — 2NR + mp'² — p″ 2 — (m — 1) x² + m(m − 1 ) (115) —
Combiniert man diese mit der Gleichung
R2-2Rp cos (CS) + p²— r² = 0 ,
so erhält man durch Elimination von R eine Gleichung in r vom sechsten
Grade, und vernachlässigt man bei der Combination der beiden Gleichungen
das Quadrat des Gliedes m (m - 19t⁹ , welches von der vierten Ordnung sein
r
würde, so steigt die Endgleichung nur bis zum fünften Grade. Man könnte
sogar in erster Annäherung auch noch das Glied vernachlässigen , welches
nur von der zweiten Ordnung ist ; dann würde die Endgleichung nur noch
vom vierten Grade sein und wäre nach bekannten Methoden direct lösbar.
Der Wert von r giebt die Werte von R, R', R'' , diese wieder geben
durch die Formeln des vorigen Artikels den Wert von s , und da man a als
unendlich gross angenommen hat, so ist
b = 2r - s²,
womit auch der halbe Parameter b der Bahn des Kometen bestimmt ist.
47. Nachdem so das Kometenproblem auf Endgleichungen mit einer
einzigen Unbekannten gebracht ist , so bleiben nur noch die Grössen zu
untersuchen, die als bekannt angenommen werden müssen .
1. Die drei Radien p, p' , p' , welche die Entfernungen der Sonne von der
Erde in den drei Beobachtungszeiten darstellen , müssen aus den Sonnentafeln berechnet werden.
2. Die Grössen G , г , г' , г” , г₁ , F₁ , I'ï' , F2 , F2 , F
' , von denen die
Werte von P, Q, P1 , Q1 , P2, Q2 (Art. 41 und 43) abhängen , sind aus den
drei Beobachtungen des Kometen und den aus den Sonnentafeln entnommenen
Sonnenörtern zu bestimmen ; die Formeln, die dazu dienen , kann man aber
auf einfachere Ausdrücke bringen , welche die Rechnung noch wesentlich
erleichtern.
Wir wollen mit der Grösse G, von welcher die anderen Grössen nur
abgeleitet sind, beginnen. Man hat (Art. 41 )
G = lm'n'" + mn'l " + nl'm" - In'm" - ml'n" - nm'l".
Abschn. VII, Cap. I, § 3.
Bestimmung von Kometenbahnen.
391
Das Quadrat dieses Ausdrucks kann auf die Form gebracht werden
G² = (1² + m² + n²) ( l'² + m²² + n'²) ( l'² + m'² + n" ²)
+ 2 (ll ' + mm' + nn' ) (ll " + mm" + nn'' ) ( l'l " + m'm" + n'n'" )
-'(l² +'m² + n²) (l'l " + m'm" + n'n" )²
— (l'² + m²² + n'²) (ll " + mm" + nn" )²
-·(1 ″ ² + m" ² + n'²) ( ll ' + mm' + nn')²,
von deren Richtigkeit man sich leicht durch Entwicklung überzeugen kann .
Vermöge der Natur der Grössen l, m, n, l' , m' , n', 1″ , m' , n" (Art. 37 )
bestehen aber die Gleichungen
(1² + m² + n²) = · 1 ; (l'² + m²² + n'²) = 1 ; ( l''² + m" ² + n'²) = 1 .
Setzt man also zur Abkürzung
L = ll' + mm' + nn' ,
L
':=· ll " + mm" + nn' ,
L' = l'l'' + m'm" + n'n'" ,
so hat man
G² = 1 + 2 LL'L' — L² - L'² - L2 .
Wir haben nun schon ( Art. 38) bemerkt, dass die Grösse ( ' + mm' + nn')
der Cosinus des Winkels ist, der zwischen den beiden Radien R und R'
liegt, die nach dem Kometen in den beiden Beobachtungen gerichtet sind ;
wir haben diesen Winkel durch die Seite CC' des sphärischen Dreiecks CC' C "
bezeichnet, welches wir uns auf der Kugel gedacht haben , indem wir die
drei scheinbaren Oerter des Kometen in den drei Beobachtungen durch
grösste Kreise verbunden haben.
Dieses Dreieck ist durch die Beobachtungen des Kometen vollständig gegeben, auf welche Art dieselben auch
gemacht seien ; wir können seine drei Seiten CC' , CC", C'C" ebenso wie
die diesen Seiten C'C" , CC" und CC' gegenüberliegenden Winkel C, C' , C"
als bekannt ansehen .
Man hat also
L = cos (CC')
und ebenso
L= cos (CC"); L" = cos ( CC")
und der Ausdruck für die Grösse G2 wird
G²= 1 +2cos (CC') cos ( CC" ) cos ( C'C " ) — cos²( CC ' ) — cos² (C'C' ) — cos² ( C'C" ) .
Dieser Ausdruck von G2 lässt sich noch auf eine einfachere Form
bringen ; denn es ist leicht, sich durch die Entwicklung der Glieder zu
überzeugen, dass die rechtsstehenden Glieder auch gleich sind dem Product
— cos ( CC'— CC " )] ,
[cos ( CC' + CC" ) - cos ( C'C " ) ] [ cos ( C'C' ) -
392
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
und durch bekannte Transformationen bekommt man
G2 =—4sin
CC + CC".- C' C"
CC' + CC" + C'C"
2
2
(
·
) sin(
-
X sin
CC'— CC" + C'C"
2
sin
C'C" + CC" — CC'
2
eine Formel, die für die logarithmische Rechnung sehr bequem ist.
Will man statt der Seiten die Winkel desselben Dreiecks anwenden, so
kann man noch einen einfacheren Ausdruck für die Grösse G erhalten; man
hat nach bekannten Formeln
cos (C'C" ) = cos ( CC′) cos ( CC″ ) + sin ( CC ') sin ( CC " ) cos C.
Wenn man diese Substitution in dem ersten Ausdruck von G² macht,
so resultiert nach einigen Reductionen
= sin² ( CC') sin² (CC" ) sin² C.
und demnach durch Radicieren
G = sin (CC') sin (CC") sin C.
Auf dieselbe Weise kann man finden
G = sin (C'C") sin (C' C) sin C'
sin ( C" C) sin ( C'C") sin C " .
Es ist leicht zu zeigen , dass die Grösse G nichts anderes ist als der
sechsfache Inhalt der dreiseitigen Pyramide, deren Scheitel im Centrum der .
Kugel liegt, deren Radius gleich der Einheit angenommen ist, und welche sich
auf das sphärische Dreieck CC'C ' stützt, d . h. die zur Basis das durch die
Sehnen der drei Bogen CC , CC" , C'C" gebildete gradlinige Dreieck hat.
Denn wenn man eine der Seiten dieser Pyramide, z. B. diejenige, welche
1
zur Basis die Sehne des Bogens CC' hat, heraushebt, so hat man 2 sin (CC' )
zur Fläche des auf diese Seite sich stützenden gleichschenkligen Dreiecks.
Betrachtet man dann die anliegende Fläche, welche die Sehne des Bogens
CC" zur Basis hat , so ist klar , dass die Neigung dieser Fläche gegen
die voraufgehend hervorgehobene gleich dem Winkel C des sphärischen
Dreiecks ist , 1 folglich wird das vom Winkelpunkt C" auf die erste
Fläche gefüllte Lot gleich sin ( CC") · sin C sein. Dieses Lot wird die
Höhe der Pyramide , wenn man dieselben sich auf der ersten Fläche,
1
welche gleichsin ( CC') ist, stehend denkt. Der Inhalt der Pyramide wird also
1
sin(CC' ) sin (CC") sin C
6
G
und folglich gleich
Abschn. VII, Cap. I, § 3.
Bestimmung von Kometenbahnen.
393
48. Wir wollen allgemein durch das Symbol (CC'C" ) die Funktion der
Seiten und Winkel jedes sphärischen Dreiecks CC'C" bezeichnen, durch
welche wir die Grösse G ausgedrückt haben.
Hat man also auf einem Globus die drei scheinbaren Oerter des Kometen
C, C', C" , welche durch die drei Beobachtungen gegeben sind und das
sphärische Dreieck CC'C" bilden, verzeichnet, so hat man sogleich
G = (CC'C ").
Stellt man dann auf demselben Globus die drei Sonnenörter S, S' , S"
in den drei Beobachtungen fest, und verbindet diese Oerter und diejenigen
des Kometen durch grösste Kreisbögen, so lassen sich verschiedene sphärische
Dreiecke SCC" , S'C' C" etc. bilden und nach dem, was wir im Art. 40 in Bezug
auf die Grössen г
' , I'', г" , I₁ , г
';, F , F2 , F2, F½
2 gesagt haben , erkennt
man leicht , dass die drei ersten durch ähnliche Funktionen der Dreiecke
SC'C", S'C'C" , S" C'C", die drei anderen durch ähnliche Funktionen
der Dreiecke CSC" , CS'C" , CS" C" , und die drei letzten durch ähnliche Funktionen der Dreiecke CC'S, CC'S', CC'S" gegeben werden .
Man hat also mit derselben symbolischen Bezeichnung
T = (SC'C" ) ; I' = ( S'C'C" ) ; r" = (S" C'C").
T₁ = (CSC") ; г'₁1 = ( CS' C" ) ; I " = (CS" C" ).
T₂ = ( CC'S) ; ' = ( CC'S' ) ; I
' = ( CC'S" ).
Diese Grössen hängen, wie man sieht, nur von der gegenseitigen Lage
der scheinbaren Oerter des Kometen und der Sonne ab , und da sie die
einzigen sind , die in den Gleichungen vorkommen , welche die absoluten.
Elemente der Bahn bestimmen , so hat unsere Analyse den Vorteil , die
Bestimmung dieser Elemente von derjenigen der andern Elemente, die man
relative nennen kann, weil sie sich auf die Lage der Bahn im Raume
beziehen, zu trennen.
49. Man kann noch bemerken , dass die Ausdrücke, die wir eben gegeben haben, gelten, welches auch die Lagen der scheinbaren Kometen- und
Sonnenörter sein mögen. Da aber, wie wir angenommen haben , die Oerter
des Kometen in geringen Abständen von einander liegen , so werden die
Bögen CC' , C'C" sehr klein sein , und der zwischen diesen Bögen liegende
Winkel C' wird also nur wenig von zwei Rechten verschieden sein ; er würde
gleich zwei Rechten sein, wenn die Erde und der Komet in dem Zeitintervalle
von der ersten zur dritten Beobachtung gerade Linien beschreiben würden ,
weil dann die drei scheinbaren Kometenörter in demselben grössten Kreise
lägen. Die Sinus von CC' , C'C" und von C' werden also sehr klein sein,
und darnach ist die Grösse
G = sin(CC' ) sin (CC" ) sin C'
394
Abschn. VII, Cap. I. Bewegung e. Punktes um e. Attractionscentrum .
sehr klein von dritter Ordnung die Grössen
I = sin (SC') sin (SC") sin S,
I'
sin ( S'C') sin ( S'C') sin S"
sind dagegen nur von der ersten Ordnung klein. In dem Werte von G kommen
nur Grössen vor , welche von den scheinbaren Kometenörtern abhängen,
während die Grössen г , I'' etc. zum Teil von den Sonnenörtern abhängen ;
letztere können nun, da sie durch die Tafeln gegeben sind , als genau angesehen werden, also folgt daraus, dass der Wert von G immer viel mehr
Fehlern unterworfen sein wird , als die Werte der Grössen г, г' etc. , man
muss deshalb diese Grösse soviel als möglich vermeiden , wie wir im Art. 46
schon bemerkt haben.
50. Da die Beobachtung eines Kometen gewöhnlich seine Rectascension
und seine Deklination angiebt, so braucht man, wenn man diese gegebenen
Grössen sofort bei unseren Formeln anwenden will , nur anzunehmen , dass
die drei Axen, auf welche wir die nach dem Kometen gerichteten Radien
R, R, R' , sowie die nach der Sonne gerichteten Radien p , p' , p" bezogen
haben , so verlaufen , dass die erste nach dem Frühlingspunkt , die zweite
rechtwinklig gegen diese in der Aequatorebene und in der Ordnung der
Zeichen, und die dritte gegen den Nordpol des Aequators hinweist. Nennt
man dann a die Rectascension des Kometen , d seine Deklination bei der
ersten Beobachtung, a die Rectascension der Sonne, d ihre Deklination in
demselben Augenblicke, so sieht man leicht, dass man hat
l = sina cosa; m = cosa cosd; n == sind,
λ - sin a cosò; μ = cosa coso ; v = sind .
Daraus erhält man
— a ) cos d cos ô + sind sin ô
cos (CS ) = D + me + n = cos (a und ähnlich
cos (C' S' ) = cos (a'a' ) cos d' coso' + sind' sino' ,
cos (C" S") = cos(a" -a" ) cos d'coso" + sind " sino" ,
wenn man, wie wir es gethan haben, mit einem und zwei Strichen die
analogen Grüssen bezeichnet , welche zur zweiten und dritten Beobachtung
gehören.
Auf dieselbe Weise resultiert
cos (CC') == cos (aa ) cos d cos d' + sind sin d',
cos(SS' ) = cos (aa ) cos è cos o' + sin o sin d',
cos (CS') = cos (aa ) cosd coso' + sind sino',
und ebenso für die anderen Cosinus.
74
74
Abschn. VII, Cap. I, § 3.
Bestimmung von Kometenbahnen.
395
Substituiert man dann diese Werte von l, m, n, l' , m' , n' , l " , m" , n"
in den Ausdruck für G, so hat man
G=
cos dcos d' sind" sin (a' - a)
- cosdcos d'sind' sin (a" -a) + cos d' cos d" sind sin (a" - a)
oder
G=
′ + sin (a" — a') tg d]
' cosd" [sin (a'— a) tg d″ — sin ( a” —a) tg ď
cos dcos d
und daraus kann man die Werte von F , I' , I " ableiten, wenn man a und
d in a und ô, a' und ' , a" und " verwandelt ; diejenigen von I , I , M1 ,‫י‬
wenn man dieselben Verwandlungen mit a' und d' macht, und diejenigen von
T₂ , 2 , 2, wenn man dieselben Verwandlungen mit a" und d" macht.
Man hat also zunächst
Г = cos o ços d
' cos d' [ sin (a'— a) tg d″ — sin (a” — a. ) tg '
d + sin (a” — a') tgô],
= cosd coso cos d" [sin ( a — a) tgd" — sin (a" — a) tgò + sin (a" — a ) tgd],
[ sin (a'— a) tgò — sin (a —· a) tgď
′ + sin ( a — a') tgò],
2 = cosd cosď cos
und um die Werte von I
' ' , '' , I'₂ und von I" , I , I 2 zu erhalten , braucht
man nur in den Ausdrücken von I, l'1, F2 den Buchstabend und ò einen,
respective zwei Striche zu geben.
Wir brauchen wohl nicht zu bemerken , dass , wenn an Stelle der
Rectascensionen und Deklinationen die Längen und Breiten gegeben wären,
man nur diese Grössen an die Stelle jener in denselben Formeln zu setzen
hätte, die Bahn wäre dann aber auf die Ekliptik, anstatt auf den Aequator
bezogen.
51. Hat man diese Werte berechnet , so berechne man diejenigen der
Grössen 2, Q1, Q2 durch die Formeln des Art. 42 , will man dann die Methode
des Art. 44 als die kürzeste anwenden , so hat man sogleich die Endgleichung in r , deren Lösung nicht schwierig sein wird, indem man sie
in erster Annäherung auf den vierten Grad bringt.
Wenn die Intervalle zwischen den Beobachtungen gleich sind, so hat man
t'= 2t und folglich m == 2, so dass
Q = pl― 8p'T' + p″ T" = — 6p′T + A²(pl')
ist , wenn man mit A2 die zweite Differenz der Grössen pl' , p'T' , p'T" bezeichnet , in welchen als Variable nur auf die Sonne sich beziehende
Grössen vorkommen. Da nun die Beobachtungen unter sich nur kleine
Abstände haben sollten, so werden die Differenzen dieser Grössen sehr klein
sein, folglich wird die zweite Differenz A2.pl' von der zweiten Ordnung unendlich klein sein, und also gegen die endliche Grösse - 6p'T" vernachlässigt
werden können. Dadurch reduciert sich der Wert von Q auf diese einzige
396
Abschn. VII, Cap. II.
Die Störungen.
Grösse . Indem man dann dieselben Reductionen für die analogen Grössen Q1,
Q2 macht, hat man also einfach
Q = - 6p'T' ;
Q₁ = — 6p'T'₁ ;
Q₂ = — 6p′T½27
wodurch die Berechnung der ersten Annäherung noch mehr vereinfacht wird .
Was übrigens die numerische Darstellung der Zeitintervalle anbetrifft,
so ist folgendes zu bemerken : Da die Zeit , wenn man sie in mittleren
Tagen ausdrücken will , durch die mittlere Sonnenbewegung dargestellt
werden muss , so genügt es die Zahl der Tage und ihrer Decimalstellen
mit dem Winkel der mittleren Bewegung der Sonne in einem Tage, ausgedrückt in Teilen des Radius , zu multiplicieren. Dieser Winkel beträgt
59', S " , 3""' und giebt in Teilen des Radius der Zahl 0,0172021 . Mit dieser
Zahl muss man also die auf mittlere Tage gebrachten Zeitintervalle t
multiplicieren.
Capitel II.
Ueber die Variation der Elemente elliptischer Bahnen, welche
durch eine Impulsionskraft oder durch beschleunigende Kräfte
hervorgerufen wird.
52.
Eines der ersten und schönsten Resultate der Newton'schen
Theorie über das Weltsystem besteht darin, dass alle Bahnen der Himmelskörper von derselben Art sind , und die Verschiedenheit in Lage und
Grösse nur in der Verschiedenheit der Wurfkraft begründet ist, die bei
der Entstehung der Welt auf alle Körper nach unserer Annahme gewirkt
haben muss . Es folgt daraus, dass, wenn auf einen Planeten oder Kometen
irgend ein fremder Impuls einwirkt , seine Bahn dadurch gestört oder
verändert wird ; es können sich aber nur die Elemente der Bahn,
welche die willkürlichen Constanten der Gleichungen sind , verändern ,
und es kann auf diese Weise aus einer Kreisbahn oder elliptischen Bahn
eines Planeten eine parabolische oder sogar hyperbolische werden , so dass
aus einem Planeten ein Komet würde.
Aehnliches gilt für alle mechanischen Probleme. Da die durch die
Integrationen eingeführten willkürlichen Constanten vom Anfangszustand
des Systems abhängig sind, dieser aber in jeden beliebigen Augenblick verlegt
werden kann , so können , wenn man annimmt , dass die Körper während
ihrer Bewegung beliebige Impulse erhalten haben, die durch diese Impulse
erzeugten Geschwindigkeiten, nachdem man sie mit den vorher schon durch die
Körper erlangten Geschwindigkeiten zusammengesetzt hat, als Anfangsgeschwindigkeiten betrachtet werden, durch deren Einführung die Constanten
ihre Werte zu ändern vermögen.
Nimmt man an Stelle der endlichen Impulse , die nur für einen
Augenblick wirken , unendlich kleine Impulse von continuirlicher Wirkung,
Abschn. VII, Cap. II, § 1.
Störungen durch einen Impuls.
397
so werden dadurch dieselben Constanten in gänzlich variable Grössen verwandelt, und sie werden dazu dienen , die Wirkung dieser Art von Kräften zu
bestimmen , die man als störende Kräfte anzusehen hat. Man hat es
dann mit demselben Problem zu thun , dessen allgemeine Lösung wir im
Abschn. V angegeben haben, und welches wir hier auf die Planetenbahnen
anwenden wollen.
§ 1.
Von der Veränderung in den Bahnelementen eines Planeten, wenn
derselbe einen beliebigen Impuls erleidet.
53. Wir haben im § 2 des vorigen Capitels gesehen , wie man alle
Elemente der elliptischen Bahn eines Planeten durch Funktionen der
dx dy dz
Coordinaten x , y, z und ihrer Differentiale dt , dt' dt " welche die Geschwindigkeiten nach diesen Coordinatenaxen angeben , ausdrücken kann.
Nimmt man an , dass ein Planet , während er sich bewegt , an einem beliebigen Orte seiner Bahn einen Impuls erleidet, welcher ihm die Geschwindigkeiten x , y , z in der Richtung derselben Coordinaten erteilt , und
dass diese Geschwindigkeiten seine ursprüngliche Geschwindigkeit zu
vergrössern streben , so braucht man nur in denselben Funktionen
dz
dx
dx dy dz
dy
zu setzen , und
an die Stelle von
?
+ x, dt + ÿ, at +
dt ' dt
dt
dt
dt
man erhält die Elemente der neuen Bahn , welche der Körper infolge des
Impulses beschreiben wird.
Wenn man an Stelle der rechtwinkligen Coordinaten x , y , z , wie im
Art. 5 , den Radiusvector r mit den Winkeln
und
nimmt, von denen der
erste ,, die Neigung von r gegen die feste xy Ebene , und der zweite , ? ,
den Winkel der Projection von r auf diese Ebene mit der festen x Axe
angiebt, so werden die Ausdrücke für die Bahn einfacher.
Denn setzt man r cosy cosy , r cosy sing und r sin an die Stelle von
x, y, z, so findet man für die Elemente a, b, h, i die Ausdrücke
2
1
=
a
r
r²(cos2& dq² + dŸ²) + dr²
"
gdt2
r4 (cos² 4 dp² + d↓²)
b — ¹¹
"
gdt2
sinde
cosed?
sin de
tgh
sin cos
cos y de - sin cos
tgi =
/dy² + sin² cos2dq2
cos2de
dr
rdo
rdy
"
dt
dt'
dt
die Geschwindigkeiten in der Richtung des Radius r , bezw. in einer
senkrechten und zur Projectionsebene parallelen Richtung, und in
gegen
einer zu derselben Ebene senkrechten Richtung dar.
In diesen Formeln stellen die Differentialausdrücke
398
Abschn. VII, Cap. II.
Die Störungen.
54. Wir wollen der Einfachheit halber die Projectionsebene in der
Bahnebene annehmen und voraussetzen, dass die durch den Impuls erlangte
Geschwindigkeit in drei Geschwindigkeiten zerlegt sei , von denen die eine
in der Richtung von r, die zweite senkrecht zu diesem Radius in der Bahnebene , und die dritte senkrecht zu dieser Ebene ist. Bezeichnet man die
erste mit r, die zweite mit r , die dritte mit ry, so erhält man die Elemente
der neuen Bahn nach dem Impuls , wenn man in den vorigen Ausdrücken
(dr + rdt), (dp + ¿ dt), (dy + dt) an die Stelle von dr, de, dy und = 0,
dy = O setzt ; die Lage der neuen Bahn wird dann auf die ursprüngliche
Bahnebene bezogen sein.
Es mögen A, B, H, I für die neue Bahn dasselbe bezeichnen , was
a, b, h, i für die alte Bahn thaten , so erhält man
1
A
I'
r²[ (d? + ÿdt)² + ¿²dt] + (dr + idt)²
gdt2
B:
1ª [(dp + &dt)² + ¿² At²] "
gdf2
tgI =
↓ dt
do + ¿ dt
tgH=
sing
= tgp,
Cos
zunächst folgt hieraus H
; es ist in der That klar, dass der Schnittpunkt
der neuen Bahn mit der ursprünglichen Bahn an dem Orte sich befinden
muss, wo der Impuls erfolgt.
Setzt man auch in den Ausdrücken der ursprünglichen Elemente a und
dy
das & = 0 und dt = 0, so hat man
1
2
=
a
r²dq² + dr²
;
gdt2
= 4do2
gdt2
und daraus folgt
do
√gdt
=
Vo
dr
=
2.2 ; √gdt
2
r
1
α
1.2
Substituiert man diese Werte , so erhält man die Elemente der neuen
Bahn , ausgedrückt durch diejenigen der alten Bahn und die durch den
Impuls erzeugten Geschwindigkeiten i, rė , rį.
55. Wir wollen jetzt annehmen , dass man den Impuls kennen lernen
will, der nötig ist , um die ursprünglichen Elemente a, b in A, B zu verwandeln und der neuen Bahn eine Neigung I gegen die alte Bahn zu
geben ; es handelt sich nur darum , die Ausdrücke
, 4,
als Funktionen
Abschn. VII, Cap. II, §1 .
Störungen durch einen Impuls.
399
von A, B, I und a, b, r zu erhalten. Die Formeln , die wir soeben gefunden
haben, ergeben
&=
VgB.sin I
"
1.2
&
√gB cos I -√gb
7.2
j=
g
2
B
1.2
1
A
2
r
1
a
ს
7.2
Es sei nun u die durch den Impuls erteilte ganze Geschwindigkeit, und es
seien a, ß, y die Winkel , welche die Richtung des Impulses mit drei Axenbildet, deren erste der verlängerte Radius r, deren zweite senkrecht zu
diesem Radius in der ursprünglichen Bahnebene liegt und im Sinne der
Bewegung des Planeten gerichtet ist , und deren Dritte senkrecht zu derselben Ebene ist. Man erhält dann nach dem Princip der Zerlegung ucosa,
ucosß, ucosy als die drei Geschwindigkeiten nach diesen Axen. Da wir diese
Geschwindigkeiten auch mit r , r ,
bezeichnet haben , so hat man also
u cosa == i, ucosß = r¿, ucos; = rį
und weil
cos²a + cos²ß + cos²y = 1
ist, wird
u = √ j² + r²¿² + r²¿½.
Führt man die Werte von r, rẻ, rį ein und setzt zur Abkürzung
2
1
A
B
=
2.2
2
2'
V
a
= 1,
so folgt also
u=
g r
F-
1
A
2
a
VBU
2.2 cosI—2Ff):
cos α =
U
cosẞ —
COSY
B cos I- √
ur
• VI,
VBsinI
√9.
ur
Will man aber die Richtung des Impulses auf zwei andere Axen in der
ursprünglichen Bahnebene beziehen, deren eine senkrecht und deren andere
400
Abschn. VII, Cap. II.
Die Störungen.
tangential zu dieser Bahn ist, so nenne man e den Winkel , den die Normale
dr
der Bahn mit dem Radiusvector r bildet, und dessen Tangente durch
rd?
ausgedrückt wird, " es werden dann die erteilten Geschwindigkeiten nach diesen
beiden Axen
*coserosine und sine + ricose
sein , während die Geschwindigkeit nach der dritten zur Bahnebene senkrechten Axe die nämliche bleibt. Bezeichnet man also mit a' , ß' die Winkel,
welche die Richtung des Impulses mit diesen neuen Axen bildet, so hat man
u cos a':= rcosε - rysine ,
ucosẞ'rsine
rocose.
Nun ist aber
dr
fr
tge =
rdq
Võ
substituiert man den Wert von f, so folgt also daraus
sin & =
;
COSE
1
a
1
a
ጥ
r
und daraus erhält man
cos a ' -F√b - f√B cos I •
1
2
ur 2V
α
j'
r2Ff + Bb cos I
cosẞ'
2
1
1
a
2
2°
И
V9.
ur²
V
2
Dabei ist, wie man sieht,
g·
1
die Geschwindigkeit des Planeten
a
in der ursprünglichen Bahn.
Was die doppelten Vorzeichen der in diesen Formeln vorkommenden
Wurzeln betrifft, so bemerke man :
dr
1. Da f der Wert von
ist, so drückt es die Geschwindigkeit nach
gdt
dem Radius in der ursprünglichen Bahn aus, entsprechend drückt F die Geschwindigkeit nach diesem Radius in der neuen Bahn aus ; man muss also diese
Grössen positiv oder negativ nehmen , je nachdem die Geschwindigkeiten ,
welche sie darstellen , den Radius r zu vergrössern oder zu verkleinern
streben, d . h. je nachdem sie den Körper vom Brennpunkte zu entfernen oder
dem Brennpunkt zu nähern suchen.
401
Abschn. VII, Cap. II, § 1. Störungen durch einen Impuls.
√brado
ist , so , stellt dieser Ausdruck die Dreh- Ge2. Da
gdt
r
schwindigkeit um den Brennpunkt in der ursprünglichen Bahn dar , und
VB
VB stellt dieselbe Geschwindigk
eit in der neuen Bahn dar ;
cos I ist
1°
r
dann diese Dreh - Geschwindigkeit, bezogen auf die ursprüngliche Bahnebene. Nimmt man für
seinen positiven Betrag , so hat man demnach B positiv oder negativ anzusetzen , je nachdem die Bewegung in
der neuen Bahn gegenüber derjenigen in der Ebene der ursprünglichen.
Bahn eine gleich- oder eine entgegengesetzt gerichtete ist, d . h . je nachdem
die Bewegung in der neuen Bahn in Bezug auf die in der ursprünglichen
eine directe oder eine retrograde ist.
56. Will man diese Formeln auf die Planeten und Kometen anwenden,
so hat man g == 1 zu setzen, indem man die mittlere Entfernung der Erde
von der Sonne als Einheit der Entfernungen und die mittlere Geschwindigkeit der Erde in ihrer Bahn als Einheit der Geschwindigkeiten ansieht.
Diese Geschwindigkeit beträgt ungefähr 7 Meilen (von denen 25 auf einen Grad
gehen) in der Secunde. Die Geschwindigkeit einer Kugel eines 24 pfünders beträgt
beim Verlassen der Kanone ungefähr 1400 Fuss oder 233 Toisen in der
Secunde, und dies ist auch ungefähr diejenige eines Punktes am Aequator
bei der täglichen Bewegung der Erde , die 238 Toisen in der Secunde
Wenn wir also , um unsere Schätzungen leichter fasslich zu
beträgt.
machen, als Einheit die Geschwindigkeit einer Kanonenkugel eines 24 pfünders
annehmen, welche ungefähr eine zehntel Meile beträgt, so wird die Geschwindigkeit der Erde in ihrer Bahn durch die Zahl 70 ausgedrückt, man muss also
den Wert u der Impulsgeschwindigkeit mit 70 multiplicieren .
Wir wollen nun sehen, welches der grösste Wert von u sein kann.
die
Nennt man e die Excentricität der ursprünglichen Bahn und
wahre Anomalie, welche zum Radius r gehört, so hat man (Art. 15)
b
r=
1 + ecos ¢
= a (1 — e²) 9,
1 + ecos
also
1
1 - e²
=
α
r (1 + ecos )
1
1
e
wird also
sein , und ebenso wird der
a
j
E
1
1
kleinste Wert von A'
sein , wenn E die Excentricität der neuen
Α
4
wird also
Bahn bezeichnet. Der grösste Wert der Glieder
A - 1/4)
a
(1 - 11
2+ E + e
sein, und dieser Ausdruck wird auch für die hyperbolischen
r
Der kleinste Wert vou
Bahnen gelten, bei denen E und e die Einheit überschreiten .
Lagrange, Analytische Mechanik.
26
402
Abschn. VII, Cap. II. Die Störungen.
b
1 + e cosy , dessen grösster
j'
B
Wert (1e) ist ; der grösste Wert von 2° wird ebenso ( 1+ E) und der
V Bb
√ (1 + E) ( 1 + e)
wird also
sein. Es ist aber leicht
grösste Wert von
r2
r
E +e
ist ; denn die Differenz
zu beweisen, dass √ ( 1 + E ) ( 1 + e) < 1+
2
1
ihrer Quadrate ist 4 (E— e) ² , man hat also stets
Aus denselben Formeln erhält man
/Bb
21
22
2 +E+ e
r
Ebenso muss man noch die grössten Werte von f und F bestimmen.
1
e
b
1
und
gleich
sind, so wird der
a
r2
J'
2E
·
grösste Wert von f gleiche
r sein und ebenso der von F gleich V2r
Da nun die kleinsten Werte von
Da man in den Ausdrücken von u, √ō, √B den Grössen ƒ und F sowohl das positive als das negative Vorzeichen geben kann, so erhält man
also, wenn man die Glieder, welche diese Wurzeln enthalten , positiv nimmt
und zugleich auch cos I seinen grössten Wert 1 giebt,
И
4 + 2 (E + e) + 4 V
√Ee
r
Diese Grenze reduciert sich auf'
6
, wenn die ursprüngliche Bahn eine
r
Kreisbahn oder doch nahezu kreisförmig war , wie die der Planeten, und
wenn die neue Bahn, wie bei den Kometen, eine Parabel ist.
57. Die hauptsächlichsten Erscheinungen in der Planetenbewegung
um die Sonne lassen darauf schliessen, dass sie alle einen gemeinsamen
Ursprung haben. Das Gegenteil aber ist bei den Kometen der Fall ; sie
haben unter einander nur die parabolische Bewegung gemein, oder allgemein
die Bewegung in einem Kegelschnitte, und sie scheinen wie zufällig in den
Raum hineingeworfen zu sein.
Kann man nun nicht annehmen , dass die Ursache , welche unsere Planeten erzeugt hat , zugleich eine noch grössere Zahl anderer erzeugt hat,
welche sich jenseits des Saturn befanden, und ähnliche Bahnen beschrieben,
wie Uranus, von denen aber mehrere durch eine in ihrem Innern stattgefundene Explosion zersprengt und zu Kometen geworden sind? Denn
wenn ein Planet durch die Kraft der Explosion in zwei oder mehrere Stücke
zersprengt ist, so erhält jedes dieser Stücke einen Impuls, vermöge dessen
es eine von derjenigen des ganzen Planeten verschiedene Bahn beschreibt,
und damit diese Bahn parabolisch sei , braucht die durch die Explosion
227
Abschn. VII, Cap. II, § 1.
403
Störungen durch einen Impuls .
b
erteilte Geschwindigkeit das 70.√fache derjenigen einer Kanonenkugel nicht
zu überschreiten . Für Saturn hat man r = 9, für Uranus r = 19 ; nimmt man
r = 24 an, so wird eine Geschwindigkeit genügen, die kleiner als das 35 fache
der Geschwindigkeit einer Kanonenkugel ist, die durch eine Hand voll Pulver
erzeugt wird .
Die Hypothese eines durch eine innere Explosion zerborstenen Planeten
ist schon von Olbers gemacht worden , um die fast völlige Gleichheit der
Elemente der vier neuen Planeten zu erklären, und was sie noch befestigen
könnte , sind die Variationen der Helligkeit, die man bei diesen Planeten
beobachtet , und welche , indem sie eine Rotationsbewegung anzeigen , zu
gleicher Zeit darthun, dass diese kleinen Planeten keine Umdrehungskörper
sind, wie die anderen Planeten, dass sie folglich nicht flüssig sein konnten ,
sondern schon erhärtet waren, als sie zu solchen Planeten wurden , wie sie
es im gegenwärtigen Zustande sind .
Setzt man die ursprüngliche Bahn als kreisförmig voraus und nimmt
die durch Explosion geänderte als elliptische, aber vom Kreise wenig verschiedene und zur ursprünglichen Bahnebene wenig geneigte Bahn an, und
berücksichtigt nur die ersten Dimensionen der Excentricität E und des Sinus
der Neigung I, so hat man
E2(sin2
+ cos2
) + sin²I
И
√r
Esin
COSC =
Ecos
;
u vr
cosß =
sin I
; COSY =
2u Vr
u√r ?
wo
der Winkel ist, den der Radius r mit dem nach dem Perihel führenden
Radius bildet.
Da nun die Excentricitäten und Neigungen der Planeten unter einander
kein Gesetz befolgen und nur das mit einander gemein haben , dass sie
klein sind, so könnte man hiernach annehmen, dass die Bahnen der Planeten
bei deren Bildung kreisförmig gewesen seien und dass aus ihnen später durch
kleine innere Explosionen elliptische und geneigte Bahnen geworden sind .
In der That, wenn ein kleines Massenstück m von der Masse M eines Planeten abgerissen und mit einer Geschwindigkeit V fortgeschleudert worden.
ist, welche im Stande war , einen Kometen daraus zu machen , so hat der
Planet nur eine kleine im entgegengesetzten Sinne gerichtete Geschwindigkeit
mv
M - m erhalten, welche seine Kreisbahn in eine elliptische und geneigte
Bahn, wie wir sie jetzt bei unseren Planeten beobachten, verwandeln könnte,
und derselbe Impuls hat auch eine Aenderung in der Rotation hervorbringen
können, wie wir weiter unten sehen werden.
26*
404
Abschn. VII, Cap. II.
Die Störungen.
§ 2. Variationen der Bahnelemente der Planeten, welche durch störende
Kräfte erzeugt werden.
58. Wir wollen jetzt aunehmen, dass die Impulse, welche die willkürlichen Constanten verändern , unendlich klein und continuirlich wirkend
seien ; diese willkürlichen Constanten werden in diesem Falle variabel , und
man kann demnach die Wirkung der störenden Kräfte der Planeten auf die
Variation der Elemente ihrer Bahnen zurückführen .
Es seien X, Y, Z die nach den drei Coordinatenaxen der x, y, z zerlegten
störenden Kräfte, in dem Sinne gerechnet, dass sie diese Coordinaten zu
vergrössern streben ; diese Kräfte erzeugen während der Zeit dt die
kleinen Geschwindigkeiten Xdt, Ydt, Zdt, die man zu den Geschwindigkeiten
dx dy dz
2
"
dt
dt
dt in dem Ausdruck für jedes der Elemente a, b, c, etc. addieren
muss, wie im Art. 52. Da aber diese hinzuzufügenden Geschwindigkeiten
unendlich klein sind , so werden sie in den Elementen nur unendlich
kleine Variationen hervorbringen , die man nach den Regeln der Differentialrechnung bestimmen kann.
Wir wollen jetzt zur Abkürzung setzen
du
= x' ; dy
dt
dt
y';
dz
= 2'.
dt
Jedes der Elemente wird durch eine gegebene Funktion von x, y , z,
x' , y' , ', dargestellt. Es sei a eines dieser Elemente, so ist seine Variation
da, wenn man x' , y', z' um die unendlich kleinen Grössen Xdt, Ydt, Zdt,
vermehrt; mau hat also
да
да
да
X+
Y +
da =
дх
Əz z) at.
dy'
=(2
Aehnliche Gleichungen bekommt man für die andern Elemente b, c, h, i, k
der Bahn.
Um von diesen Gleichungen Gebrauch zu machen , muss man an die
Stelle der Variabeln x, y, z, x' , y' , ' ihre Werte in t und in a, b, c etc.,
welche durch die im ersten Capitel gefundenen Formeln gegeben sind,
setzen ; man erhält so ebenso viele Gleichungen erster Ordnung zwischen
der Zeit t und den Elementen a, b, c etc., die nun variabel sind , als es
Elemente giebt , und es handelt sich nur darum, diese Gleichungen zu
integrieren.
Wollte man direct die störenden Kräfte in die Gleichungen der ursprünglichen Bahn , Art. 4, einführen, so brauchte man nur respective die
дг
дг
др
dieser Gleichungen zu
Roy· R
Grössen X, Y, Z zu den Termen R
Ох
addieren. Man kann so die vorigen Gleichungen zwischen den neuen
Variabeln a, b, c etc. als transformierte der Gleichungen in x, y, z betrachten; diese Transformationen würden für die allgemeine Lösung des
Abschn. VII, Cap. II, §2. Variation d. Bahnelemente durch Störungen.
405
Problems wenig nützlich sein. Von grossem Nutzen aber sind sie, wenn
die strenge Lösung unmöglich ist und wenn die störenden Kräfte sehr klein
sind ; sie liefern dann ein Nährungsverfahren , welches wir auf eine allgemeine Art im Abschn. V auseinandergesetzt haben.
59. Diese Annäherung, gegründet auf die Variation der Elemente , ist
besonders auf die elliptischen Bahnen der Planeten anwendbar, insofern sie
durch die Wirkung der anderen Planeten gestört werden, und die Geometer
haben sie oft in der Theorie der Planeten und Kometen angewendet ; man
kann sagen, dass die Beobachtungen es selbst sind, welche sie kennen
lehrten, ehe man durch die Rechnung darauf geführt worden ist ; sie hat
den Vorteil, die elliptische Gestalt der Bahuen beizubehalten und sogar die
Ellipse während einer unendlich kleinen Zeit als invariabel anzunehmen, so
dass nicht allein der Ort des Planeten, sondern auch die Ausdrücke für seine
Geschwindigkeit und Richtung von der augenblicklichen Variation der
Elemente unbeeinflusst sind.
In der That , betrachtet man die Coordinaten x, y, z als Funktionen
der Zeit und der Elemente a, b, c etc. , die jetzt variabel sind, so hat man
durch Differentiation
dx =
dx
дх
дх
дх
db +
da +
dc +
dt +
до
да
дъ
at
und es ist leicht zu beweisen , dass der Teil , welcher die Variationen da,
db etc. enthält , durch die Substitution des oben gegebenen Wertes von
da und der ähnlichen Werte von db, dc etc. gleich Null wird. Denn
дх
дх
macht man in den Gliedern
db + ... diese Substitutionen und
da +
дъ
да
ordnet in Bezug auf die Grössen X, Y, Z, so hat man
дх дь
дх до
дх да
Xdt
+
+
+
дъ дх
де дх
да дх
..)
дх дъ
дх де
дх да
Ydt
+
+
+
+
ob dy'
до ду
да ду
дх дъ
дх до
Ох да
Zdt.
+
+
+
+
da dz'
ab Əz'
до д
·)
Es ist leicht zu beweisen , dass die Klammerglieder gleich Null sein
müssen .
Betrachtet man nämlich zuerst x, y, z, x' , y' , z' als Funktionen von a, b,
c, h, i, k, und dann a, b, c etc. als Funktionen von x , y, z , x' etc. , SO
erhält man
dx =
дх
дх
дх
дх
dh +
da +
db +
de +
да
до
Οι
дь
dy
dy
dy
ду
dy = да da + ab db + до dc + дп dh +
406
Abschn. VII, Cap. II.
Die Störungen.
da =
да
да
да
да
dx +
dz +
dx' +
дх
ду dy + Əz
дх
db =
дъ
дъ
дъ
дъ
dx +
dz +
・ dx' +·
dy +
дх
Əz
Əx'
dy
Substituiert man in den Ausdrücken von dx , dy, dz etc. die zuletzt
hingeschriebenen Werte von da, db , dc etc. , so muss man identische
Gleichungen erhalten ; die mit dx', dy' , dz' behafteten Grössen in den Ausdrücken von dx, dy, dz werden folglich gleich Null, wodurch man in Bezug
auf de die Gleichungen erhält
дх да
дх дъ
дх до
+
+
+
да дх
до дх
де дх
дх дъ
дх де
+
+
+
ab dy'
да ду
до ду
дх дь
дх да
дх де
+
+
+
да д
მს მა
де д
0,
дх да
= 0,
= 0.
дх
Man hat also einfach dx =
at dt, und auf dieselbe Weise würde man
Əz
dy
finden dy =
dt, dz
dt
at dt, gerade so , als wenn die Constanten a, b, c,
h etc. sich nicht änderten.
60. Wenn die störenden Kräfte von den Attractionen der anderen festen
oder beweglichen Körper herrühren, und wenn diese Attractionen Funktionen
der Entfernungen proportional sind, so sind die Kräfte X, Y, Z, wenn man
wie im Art. 8 des Abschn. V mit — 2 die Summe der Integrale über jede
Kraft multipliciert mit dem Element der Entfernung vom anziehenden
Centrum bezeichnet und die Grösse 2 als Funktion von x, y, z betrachtet,
von der Form
ΘΩ
ΘΩ
ΘΩ
X=
: Z==
Y=
дх
Əz
dy
Ich gebe hier der Grösse 2 das positive Vorzeichen, weil ich angenommen habe, dass die Kräfte X, Y, Z die Entfernungen x, y, z zu vergrössern streben , während in den früheren Funktionen - Ω die störenden
Kräfte die Entfernungen der Körper von den Centren , nach denen sie gerichtet sind , verkleinern sollten .
In diesem Falle, welcher der Natur entspricht, können die Variationen
der Elemente a, b, c auf eine einfachere Art ausgedrückt werden , wenn man
an Stelle der partiellen Differentiale von 2 nach x, y, z die partiellen
Differentiale dieser Funktion nach a , b , c etc. setzt , und zwar nachdem
man in 2 die Werte von x, y, z durch ihre Ausdrücke in t und a, b, c etc.
ersetzt hat; gerade aus dieser Betrachtung ist die neue Theorie der Variation
willkürlicher Constanten entstanden .
Abschn. VII, Cap. II , § 2. Variation d . Bahnelemente durch Störungen.
407
Betrachtet man x, y, z als Funktionen von a , b , c etc. , so hat man
до дъ
дода
де до
+.
+
+
дъ дх
де дх
да дх
δε θα
де дъ
де де
+
+
+
де ду
дъ ду
да ду
ΘΩ
де до
Θα θα
де дъ
=
+
+
+
да
да д
дь д
де д
ΘΩ
дх
ΘΩ
Substituiert man diese Werte in dem Ausdruck von da des Art. 58 an
die Stelle von X, Y, Z, so wird darnach
da =
да да
да да
да даде
dt
+
+
dz dz:)da
дхдх
дуду
да до
да дод
да дъ
+
dt
+
+ дх
дх
ду
ду
02
дг д
(
да де
да де
да дед
+
dt
+
+
dz dz:) Oc
дхдх
ΘΩ
multiplicierten Glieder zum
да
Verschwinden bringen. Beachtet man nämlich, dass die Variabeln x', y', 2'
nicht enthält, so hat man
In diesem Ausdruck kann man die mit
ΘΩ
дх
ΘΩ
ду
ΘΩ
д
до де
де да
де до
+
+
+
дъ дх
да дх
де дх
до де
де да
де дъ
+
+
+
да ду
де ду
ΘΩ ΟΙ
де до
Θα θα
+
+
да д + до д
де д
= 0,
= 0,
= 0.
да да да
,
und
Multipliciert man diese drei Gleichungen mit bezw.
дх ду д
zieht von dem Werte für da den Betrag für die Grösse
Θα θα
де да
δε θα
+
+
ддг dt,
дх дх
welche der obigen zufolge gleich Null ist, ab, so hat man
da =
+
да до
да дъ
да дь
+
+
дхдх
дд
да дь
дх дх
да до
да до
да ос
+
+
дхдх
dz' Əz
да де
дх дх
да до
ду ду
да де
ду ду
да дод
dt
дддь
)
да до д
dt
ддс
:)
Dieser Ausdruck von da ist scheinbar complicierter als die ursprüngliche
Formel, von welcher wir ausgegangen sind ; sie hat aber andererseits den
408
Abschn. VII, Cap. II.
Die Störungen.
ΘΩ
გი
etc.
die Coefficienten der partiellen Differentiale дь
до
unabhängig von der Zeit werden , sobald man die Werte von x, y , z , x',
y', z' in t und a, b , c etc. , welche Grössen durch die elliptische Bewegung des
Planeten gegeben sind , substituiert hat, wie man sich leicht durch
Vorteil ,
dass
Differentiation , bei welcher man in den Coefficienten nur die Zeit t als
variabel ansieht, überzeugen kann .
61. Da in der That a als Funktion von t, x, y, z, x' , y' , z
′ gedacht
wird , und da x , y , z, x' , y' , z
′ auch mit t variieren, so hat man zunächst
да
λ Jx ←
d2a dy
d2a dx
d2a dz
да
+
+
+
дубх at
dx² dt
otox
Əzəx dt
+
02a dz'
d2a dy'
²a dx'
dt.
+
+
d'Ox dt
Ox'Ox dt
dy'ox dt
Es ist aber nach den Differentialgleichungen des Problems (Art. 4)
dx
av dy'
ат
dz'
ΟΙ
dx'
dz
ат
dy =
y', dt = z' und dt
d
dt
dt
;
t
Əz
dx
dt
dy
also folgt
d
да Їдга
дга
дра
дра
=
y'+
x²+
2
+
дхду
дх ldx dt dx²
дхд
да от
Dx dx dx
дга от
dt.
dx dz dz
дра ат
дхду ду
Da aber a eine der willkürlichen durch die Integration derselben
Gleichungen eingeführten Constanten ist, so muss auch sein Differential nach t
dx'
dy'
de'
durch dieselben Werte von
"
"
Null werden ; man hat also auch
dt
dt
dt
да
да
ди
да
z'
+ ·x²+
y'+
dy
Dz
де
дх
да ду
дх дх
да ду
dy'dy
да ду
Əz Əz
0.
Dies ist eine identische Gleichung , und sie besteht folglich auch , wenn
man getrennt x, y, z, x', y' , ' variieren lässt.
Lässt man x variieren, so resultiert aus derselben
да
дга
дга
да
+ x² x²+
y'+ Əx əz
dxdt
əxət
дхду
да ду
dx' dx²
da dev
ду дхду
да ат
dxdx' Иx
дга ат
дхду ду
да ду
Əxəz Əz
да д
= 0.
Oz' Əx Dz
да
reduciert sich also unter Benutzung
Der Wert des Differentials von
дх
dieser Gleichung auf
d
da d2V
да
да дет
da dev
+
дх · ( Ox' Ox²
ду даду + az xəz) dt.
Abschn. VII, Cap. II, §2 . Variation d . Bahuelemente durch Störungen .
409
Auf dieselbe Weise erhält man auch
да
da d²V да ду
da d² V
dt,
+
+
dz' dy d z
ду =( dx' dxdy
' by²
dy
да
da d² V
да дет
да агу
=
d
dt.
+
Əz (dx' Əxəz + dy' dxdz
Oz' Oz"
α
Weiter hat man
d
да
да
d'a
да
=I d²a
Z'
ǝx² x² + дудх '+ Əzəx'
dx'
{ d x dt + √ x dx'
два от
да ду
dx dx
да д
dt.
дх'ду' ду
—əx'dy
ǝyǝx'dz' dzÌ
Lässt man aber
in der vorhin niedergeschriebenen identischen
Gleichung da = 0 variieren und beachtet, dass die Funktion V die Variabeln
x' , y' ,
nicht enthalten sollte, so hat man
Ə²a
d'a
дга
да
да
x'+ Əydx'Y' +
+
+
дедх
дхда
dx'at дх
дга от
дра ат
ога от
= 0.
0х20х
Əx' Öz' Əz
dx'dy' dy
Also folgt einfach
α
да
Oix'
да
dt,
дх
und auf dieselbe Weise findet man
да
d
ду
да
d
да
dt,
dy
да
- dt.
მს
მს
" d
Aehnliche Ausdrücke hat man für die Differentiale d
дх
ду
дъ
მხ
მს
მს
d- " d dx ' day , day' wenn man nur a in b verwandelt, und ähnliche
dz
Gleichungen für die anderen Grössen.
ΘΩ
Differentiiert man jetzt den Coefficienten von
dt in dem Ausdruck von da
дъ
des Art. 60 nacht und substituiert darin die Werte, welche man soeben für die
да
да да да
да
да
Differentiale von dx ' dy
Dz 2 Ox
y
z gefunden hat, so sieht man,
да
Əx' ' Əy'' Əz да
дъ
да дъ
Differentiale
dass die Glieder , welche die
von x " Əx' ' Əy' ' Əy' ' Əz "
дъ
enthalten , sich gegenseitig aufheben werden , und dass die Glieder,
да
дъ
welche die Differentiale von
9
дх дх etc. enthalten und in Bezug auf die
partiellen Differentiale von V geordnet sind , sich ebenfalls gegenseitig in
jedem der Coefficienten dieser partiellen Differentiale aufheben.
410
Abschn. VII, Cap . II.
Die Störungen .
ΘΩ
Daraus kann man schliessen, dass der Coefficient von дъ im Ausdruck
von da in Bezug auf die Zeit t constant ist und nur eine Funktion von
a, b, c etc. sein kann , wenn man die Werte von x, y, z, x' , y' , z
'
′ in a, b,
c etc. und t ausdrückt. Es verschwindet also nach dieser Substitution die
Variabel t von selbst, und darum ist es auch hinreichend , in jenem Coefficienten die Werte von x, y, z, x' , y', z′ für t = 0 oder für irgend einen
beliebigen Wert von t zu substituieren .
Man kann auf dieselbe Art beweisen, dass t auch aus den anderen Coefficienten der partiellen Differentiale von 2 in demselben Ausdruck von da verschwindet. Die Variation von a wird also durch eine Formel dargestellt,
welche nur die partiellen Differentiale von 2 nach b , c etc. enthält, von
denen jedes mit einer Funktion von a , b , c etc. , ohne t, multipliciert ist.
Dasselbe gilt in Betreff der Variationen der anderen willkürlichen Constanten b, c, h etc.
Dieses wichtige Resultat , das wir soeben a posteriori gefunden haben,
ist nur ein besonderer Fall der allgemeinen Theorie der Variation der
willkürlichen Constanten , die wir im § 2 des Abschn. V auseinandergesetzt
haben, und wir hätten es unmittelbar aus ihr herleiten können ; wir hielten
es aber nicht für unnütz zu zeigen , wie man dazu gelangen kann , wenn
man von den Formeln ausgeht , die direct die von den störenden Kräften
herrührenden Variationen der Elemente geben , und besonders wie diese
Variationen durch die Reduction der störenden Kräfte auf die partiellen
Differentiale einer und derselben Funktion nach denselben als variabel
gedachten Elementen eine einfache und elegante Gestalt annehmen.
62. Wir haben im Art. 60 angenommen, dass die Kräfte X, Y, Z sich
durch partielle Differentiale einer und derselben Funktion 2 nach x, y, 2
darstellen lassen. Die Hypothese vereinfacht die Rechnung , ist aber für
ihre Richtigkeit nicht absolut notwendig , da die Differentialgleichungen
immer von der Natur der beschleunigenden Kräfte des beweglichen Körpers
unabhängig sind ; es handelt sich nur darum , zu wissen , was man an die
Stelle der partiellen Differentiale von 2 nach den willkürlichen Constanten
a, b, c etc. setzen muss. Diese Constanten treten aber in der Funktion
nur auf, weil sie in den Ausdrücken der Variabeln x , y , z , von denen
eine Funktion ist, vorkommen ; man hat also
ΘΩ
да
გიმყ
an ax
Ən az
;
+
+
да да
ду да
дх да
ΘΩ
setzt man also wieder X, Y, Z an die Stelle von
dx
მყ
Əz
дх
ΘΩ
=X
+2
+Y
да
да
да
ôa
ΘΩ
ΘΩ
, so hat man
"
"
dy
dz
wie auch die Werte von X, Y, Z beschaffen sein mögen. Aehnliche Gleichungen
ΘΩ ΘΩ
bekommt man für
etc. , wenn man a in b und c etc. verwandelt.
до до
Abschn. VII, Cap.II, §2 . Variation d . Bahnelemente durch Störungen .
411
Bezeichnet man allgemein mit
die Variationen von 2 in Bezug auf
die willkürlichen Constanten a, b, c etc., so ist
6L = Xox + Yoy + Z8%.
Hiernach hat man, wenn die störenden Kräfte die Beträge R, Q, P etc.
haben und nach Centren gerichtet sind , deren respective Entfernungen r,
P, q etc. sind,
-- do = Rdr + Qdy + Pdp + ·
somit ist auch in Bezug auf die willkürlichen Constanten
- 62
Ròr + Qoq + Pop + ...
Ich gebe hier dem do das negative Vorzeichen, weil die Kräfte R, Q,
P etc. die Entfernungen r, 4, p etc. zu verkleinern streben sollten, während
die Kräfte X, Y, Z die Linien x, y, z vergrössern sollten, wie wir schon
im Art. 60 bemerkt haben.
63. Um die allgemeinen Formeln des Art. 18 des vorigen Abschnittes
auf die Elemente eines Planeten anzuwenden, braucht man nur zu beachten,
dass die unabhängigen Coordinaten x , y , z für die Variabeln , 4,
genommen werden müssen , und dass es sich nur um einen einzigen beweglichen Körper handelt , dessen Masse m gleich der Einheit gesetzt werden
darf. Man hat nun einfach, wie im Art. 3 ,
+ dy² + dz²x²² + y² + 22
T:= dx²
"
2
2dt2
also
эт
дт
от
= 2.
= x' ;
= y' ;
Oz'
dx'
dy
'
Die Constanten a, ß , y und λ, u, v, welche die Werte von x, y, z und
von x' , y', ' für t = 0 darstellen (Art. 12, Abschn. V) , werden hier also
x, y, z, x' , y' , z' sein (Art. 31 ) , und die Variationen der Elemente a, b, c etc.
bekommen die Form
ΘΩ
ΘΩ
+ (a, c) до +
[ ( a, b) მს
ΘΩ
ΘΩ
db =
(a, b) да + (b, c) до +
da =
dt,
dt,
Die durch die Symbole (a, b), (a, c) etc. dargestellten Coefficienten sind dabei
да дь
да до
да дь
+
(a, b) =дх дх +
Əz' Əz
ду ду
да де
да де
да де
+
(a, c) = ox' ox +
Əz' Əz
dy'oy
да до
дх дх
да де
дх дх
да до
ду ду
да де
ду ду
да дь
Əz Əz
да до
Əz Əz'
Abschn. VII , Cap. II.
412
Die Störungen.
Man sieht, dass diese Ausdrücke von da, db etc. mit denen zusammenfallen, welche wir in Art. 60 gefunden haben ; nur dass an Stelle der Buchstaben x, y, z die Buchstaben x, y, z stehen, welche die Werte von x, y, z
für t - 0 oder, da der Anfang der Zeit t willkürlich ist, für einen beliebigen
Wert von t darstellen. Für welchen Wert von t wir x, Y, ... nehmen, ist
gleichgiltig , da die Coefficienten ( a , b) , (a , c) etc. von t unabhängig sind
und demnach die Grössen a, b, c etc. dieselben Funktionen von x, y, z, X′,
y' , z' , wie von x, y, z, x' , y' , z′ sein müssen .
64. Da die Grössen x, y, z, x' , y' , z' ebenfalls willkürliche Constanten
sind , so kann man sie an die Stelle der sechs Constanten a, b, c, h, i, k
setzen. Verwandelt man also a in x, b in x', c in y, h in y' , so hat man
(x, x') = −1 ;
(y, y') = — 1;
-— 1
( z, z′) —
und alle anderen Coefficienten (x, y) , ( x, z), (x , y) etc. werden gleich Null.
Die Variationen von x, ' y, z, x' , y' , z' selbst werden also durch folgende
sehr einfache Formeln dargestellt
dx
ΘΩ
dt; dy =
dx'
dx' =
ΘΩ
дх dt;
ΘΩ
dt;
dz -
ΘΩ
dt;
Əz
dt;
dz':
ΘΩ
dt;
Əz
ду
ΘΩ
dy' =
dy
welche auch aus denen folgen , zu denen wir direct im Art. 14 des
Abschn. V gelangt sind ; man hätte also einen Vorteil , wenn man diese
Constanten an Stelle der anderen Constanten a, b , c etc. anwenden würde .
Wie aber auch die Constanten a, b, c u. s. f. beschaffen seien, so können
sie doch nur Funktionen der Constanten x, y, z, x′ u . s . f. sein; man kann
also umgekehrt diese als Funktionen jener betrachten. Thut man das, so folgt
ΘΩ
да
ΘΩ Ογ'
ΘΩ ΟΧ
ΘΩ ΟΖ'
ΘΩ ΟΥ
ΘΩ δι
ΘΩ ΕΧ'
+
+
"
+
+
+
Əz' da
ох да
дх да
ду да
ди да
ду да
ΘΩ
und indem man hierin die Werte von
dx
tuiert, resultiert
ΘΩ
да
ΘΩ
dy des vorigen Artikels substi-
дх
dy
Oz
dx'
dz' dt = ·dx' + ĉ ·dy' +:
dx
a
да
да
да
dy'
dy
да
дл
dz.
да
Da nun aber x, y, z, x' etc. Funktionen von a, b, c u. s. f. sind , SO
hat man auch
dx =
дх
дх
дх
dc +
db +
da +
дс
да
дъ
dx' =
dx'
dx'
dx'
da +
db +
dc +
дъ
да
де
Abschn. VII, Cap.II, §2. Variation d. Bahnelemente durch Störungen.
413
Substituiert man diese Werte und ordnet die Glieder in Bezug auf die
Variationen da, db, dc etc., so folgt hieraus
ΘΩ
да dt = [a, b] db + [a, c] dc + [a, h] dh + ...,
wo die Symbole [a, b], [a, c] etc. durch folgende Formeln ausgedrückt werden
əz Əz'
dx dx'
ду ду
[a, b] = да дь + да дь + да до
дх дх
да дь
Əz Əz'
дх дх
ду ду
[a, c] = да де + да де + да де
дх дх - ду ду - Oz' Əz
,
да де
да де
да де
ду ду
да ди
Əz' Əz
2
da ob
Da nun [b, a] =-- [a, b] ist, so hat man ferner
ΘΩ
dt = -·[a, b ] da + [b, c] dc + [b , h] dh +
ის
dz dz
ÔX ÔX
ox' ox
dy' oy
ду ду
[b, c] = ის მო + ab ac + дь до
дь де
дь де
Oz' oz
ab oc
In ähnlicher Weise bekommt man die anderen Differentialquotienten
von 2, wenn man einfach die Grössen a, b, c, h, i, k zwei und zwei unter
sich vertauscht und beachtet, dass man allgemein für zwei derselben , etwa
a, b hat
[b, a] = — [a, b] ,
so dass der Wert der Symbole durch Permutation der beiden Grössen, welche
sie enthalten, nur sein Zeichen ändert.
Vergleicht man die Werte dieser durch eckige Klammern bezeichneten
Symbole mit den analogen durch runde Klammern bezeichneten (Art. 63),
so bemerkt man dabei eine besondere Analogie , welche darin besteht, dass
die einen auf dieselbe Weise in partiellen Differentialen von a, b, c etc. nach
x, x' , y etc., wie die anderen in solchen von x, x', y nach a, b, c etc. ausgedrückt sind.
65. Diese letzten Formeln sind diejenigen , die ich in meiner ersten
Abhandlung über die Variation willkürlicher Constanten direct abgeleitet
habe*), und sie resultieren auch unmittelbar aus der Formel des Art. 121 ,
Abschn. V, welche sich , wenn man die oben (Art. 61 ) angegebenen Substitutionen macht, auf
A ( 9dt) = Axôx + Ayôy + Azôz — Ax ′ ôx — Ay ôy — Az ôz
reduciert. In dieser Formel müssen sich die mit & bezeichneten Differentiale
auf die Variationen aller willkürlichen Constanten a, b, c etc. beziehen ; dagegen können sich die mit ▲ bezeichneten auf die Variation jeder der einzelnen
*) Vergl. die Abhandlungen der ersten Klasse des Instituts für 1808.
414
Abschn. VII, Cap . II.
Die Störungen.
Constanten beziehen (Art. 10, Abschn. V) .
successive auf a, b, c etc. bezieht,
ΘΩ
дх
ду
dt =
ox' +
да
да
да
Man hat also, wenn man A
дл
Əx'
ox - ду dy
öz' да
да
да
δι'
oz
да
und ähnliche Formeln für die übrigen Constanten , wenn man a in b, c,
u. s . f. verwandelt.
Es ist aber
дх
dx
дх
da +
ox =
de +
db +
да
Эс
дъ
ox'=
dx'
Ox'
dx'
da +
db +
dc +
да
дъ
де
und ähnliche Formeln gelten für oy, oy', ôz , òz' ; macht man diese SubΘΩ ΘΩ
stitutionen , so bekommt man für da " ab etc. dieselben oben gefundenen
Formeln.
Es ist aber eine wichtige Folge , welche aus diesen Formeln resultiert,
dass die Variation der Funktion 2, insofern sie von derjenigen der Elemente
a, b, c etc. abhängt , immer Null ist. In der That findet man, wenn man
in dem Differential
ΘΩ
ΘΩ
ΘΩ
da +
db +
de +..
да
де
дъ
ΘΩ ΘΩ
da db
"
ausgedrückt in dt " dt etc. substituiert , dass
да дъ etc.
alle Glieder sich gegenseitig aufheben , und dies ist ein sehr bemerkenswertes Resultat.
die Werte von
66. Da die Lösung des Hauptproblems , bei welcher man auf die
störenden Kräfte keine Rücksicht nimmt , die Werte der Variabeln x, y, z
als Funktionen von t und den willkürlichen Constanten a , b , c etc. geben
muss , so braucht man zuerst in diesen Werten und in denen ihrer
Differentiale nach t, nur t = 0 zu setzen, und dann ihre partiellen Differentiale
nach a , b , c zu bilden . Man bekommt so leicht die Coefficienten der
ΘΩ
ΘΩ
dt etc. und es
Differentiale da, db, dc etc. in den Werten von
dt,
дъ
да
handelt sich nur darum, seine Differentiale da, db, ... selbst durch lineare
Eliminationen zu bestimmen , wie ich dies in der angegebenen Abhandlung
mit Bezug auf die Elemente der Planeten ausgeführt habe.
In dieser Hinsicht scheinen die Formeln des Art. 63 den Vorteil zu
haben , dass sie gerade diese nämlichen Differentiale direct ergeben ; sie
verlangen aber , dass man zuerst die Ausdrücke für die willkürlichen
Constanten a, b, c etc. durch x, y, z und ihre Differentiale bilde, was in
mehreren Fällen nur durch Eliminationen höheren als ersten Grades geschehen
kann.
Sind die Umkehrungen ausgeführt und hat man dann ihre partiellen
Abschn. VII, Cap . II, §2. Variation d. Bahnelemente durch Störungen.
415
Differentiale nach x, y, z, x' , y' , ' genommen, so muss man in diesen die
Werte dieser Variabeln durch a , b , c etc. ersetzen , da bei der letzteren
Analyse die Coefficienten (a , b) , (a , c) etc. Funktionen von a , b, c etc.
ohne t werden müssen ; denn darin besteht gerade das Wesen und der Wert
dieser Analyse .
Nachdem wir im § 1 sehr einfache Ausdrücke für die Coordinaten x,
y, z in t und a, b, c, h, i, k angegeben haben, wollen wir die Formeln des
letzten Artikels anwenden, um daraus die Variation der Elemente a, b, c
etc. herzuleiten, wie wir es in der angegebenen Abhandlung gethan haben,
weil die Berechnung dieser Formeln eine Einfachheit und Eleganz erhält,
wie sie durch die anderen Formeln kaum zu erreichen ist.
67. Wir nehmen wieder die Ausdrücke von x, y, ≈ des Art. 13
x = aX + ẞY; y =
ẞ₁Y; ≈ = α₂X + ẞ₂Y,
= a₁X +
+ ß₁Y;
in welchen
X = a (cose) ; Y = αγι
a√1 — e² sine,
sind und wo
durch die Gleichung (Art. 16)
a3
(0 - esine)
=3—
bestimmt ist.
Diese Formeln haben den Vorteil , dass die drei Elemente a, b, c der
Bahn nur in den variablen Grössen X, Y vorkommen , und folglich
getrennt sind von den drei andern Elementen h, i, k, welche von der Lage
der Bahn abhängen, und von denen die Coefficienten a, ß, a' etc. (Art. 13)
Funktionen sind.
Wir wollen zuerst die Grösse
Əx dx'
Əz Əz'
дуду
+
да бъ + да дь
да дь
дх дх
да дь
dy' by
да до
Oz' Əz
да дь
betrachten und wollen darin die oben gegebenen Werte von x, y, z substituieren . Setzen wir
dX
';
X
dt =
dY
= Y',
dt
so hat man für x', y' , z' dieselben Ausdrücke wie für x , y , z , nur dass in
ihnen die Grössen X, Y mit einem Strich bezeichnet sein werden. Es ist nun,
da die Constanten a, b nur in X und Y vorkommen,
дх
ах
ду дх
;
= 0.
+B
да
да
да
да
OX'
ду
;
+B
да
да
OY'
ax'
дх
ах
ду дох
=α
+ß
Ξα
;
+ß
;
მს
дь
дъ
дъ
ის
ab
416
Abschn. VII, Cap . II.
Die Störungen.
und verwandelt man a, ẞ respective in 1, ß, und in a2, B2, so hat man die
by dy'
"
etc.
да да
Substituiert man diese verschiedenen Werte in den vorigen Ausdruck
und nimmt auf die Bedingungsgleichungen
entsprechenden Werte für
2
2
2
a² + α₁² + α,² = 1 ; ß² + ß‚² + ß₂² = 1 ; άß + α₁ß₁ + a2ß2 = 0
Rücksicht, welche zwischen den Coefficienten a , ß , x, etc. (Art. 14) bestehen ,
so reduciert sich dieser Ausdruck auf
ΟΧ' ΟΧ
да до
ах ах
ΟΥ ΟΥ
+
да дъ
да до
ay' or
"
да до
in welchem Ausdruck, wie man sieht, die Grössen a, ß , a' etc. , welche von
der Lage der Bahn abhängen , verschwunden sind .
Ein ähnliches Resultat erhält man in Bezug auf die partiellen Differentiale
nach c, und man braucht, um die entsprechenden Ausdrücke zu bekommen,
in der vorigen Formel nur a und b in c zu verwandeln. Substituiert man
also in X, Y, X' , Y' ihre Werte in t, setzt dann t = 0 oder gleich
einer bestimmten Grösse und bezeichnet mit X, Y, X', Y', was dann aus
X, Y, X' , Y' wird , so erhält man (Art. 64)
ΟΙ ΟΥ
ƏX ƏX'
[a, b] = да до + да до
ax
' ax
ay' or
да до
да дъ
Ebenso erhält man die Werte von [a, c] [ b, c], wenn man in den partiellen
Differentialen b in c und a in b verwandelt.
68. Nun ist
— e) ; Y = a√
/ 1 — e²sine .
X = a (cos
Da X
'=
dX
dt
Y'=
dY
sein sollte, so hat man demnach
dt
' = -asin
X
ᏧᎾ
dt-
de
Y' = a √
/ 1 — e² cose dt
Die Gleichung
g -
0 - esine
2280
giebt aber durch Differentiation
g
ᏧᎾ
=
dt
ecos
Man hat also
X'=
sin
cos
e²)
g
; Y' =' 9(1
al
e cos U
a
1 -e cos U
417
Abschn. VII, Cap. II, § 2. Variation d. Bahnelemente durch Störungen.
Diese Formeln muss man jetzt differentiieren , indem man die drei
Constanten a, e , c variieren lässt ; wir wollen die Variationen nach diesen
bezeichnen. Man erhält zuerst
Constanten durch
(t—
60
g
+ sinode -Vas de
c) a (
V
/2
1- ecos
dann
— asin 0 60 + cos da -- d (ae),
6X=
ôY = a√/1 - e² cos 080 + sine d (a √1 — e²),
sino cos
Cos - e
6X':
o
-√
- ecose)² de
a (1 - ecos 0)2 se V a (1
1
sin
Y' =-
"
d
a√a
cos 20
80+
e2
sin
e cos
de
α
( 1 - ecos 0)2
+
( 1 - ecos )2
cos
1 - ecos
d
- e²)·
Man kann hier t = 0 setzen, es ist aber einfacher t == c zu setzen , SO
dass auch
= 0 wird ; man erhält dann , wenn man für diesen Fall X, Y
in X, Y verwandelt,
g dc
e
a³ 1
60 =
¿X =
( 1 - e) da — ade,
6Y =
a√
/1 — e² 60 — —
9 Vi
a 1
6X '=
dc
g se = g
a 1-e
a² (1 − e) ² '
Y'=
g
a
de
e2
(1 -e)2
+
- e2
dc,
e
alva
1
1
de
g
g Ꮴ
=
? a√² + √ ( 1 - 0) √₁ =
_ da (√a √1 = ec ) = √ =e"
—0
a
e)
69.
Wir haben hier die Grösse e ,
welche
die
halbe Excentricität
ist, beibehalten , setzt man aber an ihre Stelle den halben Parameter
b = a ( 1 — e²), so erhält man durch Differentiation
de =
(1 - e)2 da- db
2ae
Lagrange , Analytische Mechanik.
27
418
Abschn. VII, Cap. II.
Die Störungen.
und die Ausdrücke von 8X, ¿Y' , welche de enthalten, werden
− e)² da + db
(1 2e
8X =
SY'=
gV
a
2ae
db
da — √a Zae (1 -− e) √ 1 — e2
Daraus erhalten wir die partiellen Differentiale
ах
да
(1 −- e)2
9
2e
ах
1
=
9
მს
2e
ах
де
ΟΥ
=
да
ΟΥ
= 0,
მს
ах
= 0,
да
Əx '
= 0,
მს
ΟΥ
- gV
до
a 1 -e
Əx '
1
=g
де
a² (1 − e)²
ƏY'
=
да
g
a
-e² OY'
=
მს
2ae
g
0,
ay'
-е? де
1
a 2ae (1 - e) V
0.
Durch Substitution dieser Werte in die Ausdrücke für die Symbole
[a, b], [a, c], [b, c] des Art. 67 findet man
g
g(1 - e²) = g
"
[a, b] = 0 ; [a, c] =
— — 2a2e + 2a2e(1 - e)
2a2
2
1
g
− e)²
[b, c] = 2a²e [ (1 —
= 0.
(1 -・ e)² V
Dieselben Resultate würde man erhalten, wenn man b in e verwandelt,
falls man die Excentricität an Stelle des Parameters beibehalten wollte.
70. Wir wollen dann den Ausdruck betrachten
Əz Əz'
Oy oy
дх дх
+
+
да дһ
да ди
да ди
Əx' Əx
dy' by
да дп
да д
Əz' Əz
да дл
Da die Grösse h nur in den Coefficienten a , ß , a₁
welche a nicht enthalten, so bekommt man
etc. vorkommt,
дх
ав
да
да
дх
ав
Y
=
X+
Y;
=
X+
oh
дп
дп
Əh ' ,
dh
und durch Verwandlung von a, ẞ in α1, ß, und in a2, ß2 erhält man die Werte
de de ·
Oy oy'
"
von
"
9
Oh Oh Oh Oh Die partiellen Differentiale nach a werden dieselben
sein, wie im vorigen Artikel.
Abschn. VII, Cap. II, §2. Variation d. Bahnelemente durch Störungen.
419
Macht man diese Substitutionen , bemerkt , dass durch Differentiation
der früher angegebenen Bedingungsgleichungen sich ergiebt
ada + α₁da₁ + a2da2 = 0 ; ßdß + ß₁ dß₁ + ß₂ dß₂ = 0 ;
a dß + α₁dß₁ + a2dß2 = - βα --·ẞ₁ da₁ — ẞdag ,
und setzt zur Abkürzung
ẞda + B₁ da₂ + ß₂ dɑ₂ = dx,
(ich gebrauche das Differentialzeichen dy, obgleich der Wert von dy kein
vollständiges Differential ist), so nimmt der Ausdruck
дх дх
Əz Əz
dy dy'
+
+
да дһ
да д
да дһ
die Form an
X'
axax
ΟΥ
- Y'
да
дадк
und der Ausdruck
дх дх
dy dy
Oz' Əz
+
+
да д
да дп
да дп
nimmt die ähnliche Form an
X
ar'
- YLax '\ əx
да
Oh Oh
Subtrahiert man nun die zweite dieser Grössen von der ersten und
beachtet, dass
X'dY + YdX' = d (X'Y) und Y'dX + XdY' = d (XY')
ist, so erhält man als Transformation des genannten Ausdrucks , welche die
partiellen Differentiale nach a und h enthält,
Ə (YX'— XY') ax.
да
дп
analoge Transformationen ergeben sich, wenn man a in b und c und h in
i und k verwandelt.
71. Es bleibt uns nur noch übrig, die Formeln zu betrachten, in denen
nur partielle Differentiale nach h, i, k vorkommen, so dass, da diese Grössen
nur in den Coefficienten a, ß, a₁ etc. vorkommen , nur diese Coefficienten
variabel werden.
Die Differentiale dieser Coefficienten nehmen eine sehr einfache Form
an, wenn man die analogen Coefficienten Y, Y' , 7" gebraucht und auf die
Bedingungsgleichungen zwischen diesen verschiedenen Coefficienten Rücksicht nimmt (Art. 14).
Denn setzt man
rda + 1₁ da₁ + 1½ dа, = dî,
rdß + r₁dß₁ + 1½dß₂ = do,
27*
420
Abschn. VII, Cap. II.
Die Störungen.
so geben die drei Gleichungen
ada + α₁da₁ + a2 dɑ2 = 0 ,
ẞda + ẞ₁ da₁ + B₂dɑ₂ = dx,
ɣda + Y₁ da₁ + 1½dα₂ = dî,
wenn man die erste mit a, die zweite mit ß , die dritte mit y multipliciert
und alle addiert,
da = ẞdx + ¡ da.
Multipliciert man sie mit a1 , B1, Y1 und α2, B2, 12 und addiert jedesmal ,
so erhält man ähnlich
= 1
dx2 = ẞ₂ dx + 1½dл.
Ebenso geben die drei Gleichungen
- ― dx,
α
ac tai đợi ta d
0,
Bdß + B₁dẞ₁ + B₂ dB₂ =
=
do,
rdß + Y₁dẞ₁ + 1½dß₂ =
die Gleichungen
dß =- a dx + y do,
dẞ₁ = - a₁dx + Y₁do,
- ɑ2dx + 1½do.
Die drei Gleichungen
— dã,
ady + a₁dy₁ + α₂ dɣ₂ = Bay + B₁dy₁ + B₂dy₂ = -- do,
rdy + Y₁dy₁ + 72d72 = 0
geben ähnlich
dy =- αλπ - ßdo,
dyi =
αγαπ - B₁do ,
— В₂ds.
=
αγ
dy2
dπα, απ
аɣ₂
72.
Mit Hilfe dieser Formeln erhält man
Οπ
Οσ
дв
dx
дх
θα
=·(BX -- aY)
+Y
=X
+Y
+7 X
Oh
дп
dh
дп
Οι
дп
1
Giebt man den Grössen a, ß, y einen oder zwei Striche, so erhält man die
дх
dx
dy'
de'
dy de
"
;
Werte von
Oh. zu erhalten, braucht
Oh
Əh ' Əh ; um diejenigen von дп
man nur die Grössen X, Y mit einem Strich zu versehen. Dasselbe wird bei den
partiellen Differentialen nach i und k gelten , wenn man nur h in i und k
verwandelt.
Abschn. VII, Cap. II, §2. Variation d. Bahnelemente durch Störungen.
421
Macht man diese Substitutionen und berücksichtigt dieselben Bedingungsgleichungen, so reduciert sich der Ausdruck
by dy
Əz dz
дх дх
+
+
дп ді
дп ді
дп ді
дхдх
дп ді
ду ду
дп ді
Əz' Əz
дп ді
auf folgenden
03
Οπ
Οσ
Οπ
+Y
X'
+ Y'
Oh)(
ді
(x Oh
δι
do
Οπ
Οσ
Οπ
X
+ Y
X'
+ Y'
dh:)
ді
дп
ді
ότι θα
= (XY'— YX') (0%
дп ді
ότι όσ
ді дп
Dasselbe gilt für die ähnlichen Ausdrücke, wenn man h in i und k verwandelt.
Da die Coefficienten a , ß , Y, a' etc. Funktionen der drei Elemente h,
i, k sind (Art. 13 und 14) , so müssen auch die drei Grössen dỵ , dл , do,
die wir in die vorigen Formeln eingeführt haben , Funktionen derselben
Elemente sein, und substituiert man in den Werten dieser drei Grössen die
Ausdrücke von a , ẞ etc. der angegebenen Artikel , so findet man nach
einigen sehr einfachen Reductionen
dy = dk + cosi dh,
απ
cosk sini dh + sink di,
do = sink sini dh + cosk di.
-=
Diese Grössen dienen nicht allein dazu, die Rechnung zu vereinfachen,
sie stellen auch auf eine sehr einfache Weise die momentanen Variationen
der Lage der Bahn dar. Denn da die xyEbene , auf welche wir die
und die Länge h des Knotens bezogen haben , beliebig ist , so
Neigung
kann man sie in einem Augenblicke mit der Ebene der Bahn zusammenfallen lassen, wenn man i = O setzt; man erhält dann
dx = dk + dh, dr
cosk di.
sink di, do
In diesem Falle ist (h + k) der Winkel, den die grosse Axe der Ellipse
mit einer festen Linie bildet ; dh + dk oder dy ist dann also das Element der
Drehung der grossen Axe der Bahn in ihrer Ebene .
Das Winkelelement di ist die Neigung zwischen zwei auf einander
folgenden Lagen der beweglich gewordenen Bahnebene , und der Winkel h
ist die Länge des Knotens , der durch diese beiden Lagen gebildet wird ,
in derselben Ebene gemessen ; bezeichnet man mit di und h' diese beiden
Elemente, so hat man
di' = √ dn² + do² ; tgh ':
απ
do
422
Abschn. VII , Cap. II.
Die Störungen.
Die Variation der Lage der Bahn ist also durch die drei Elemente dx,
dã, do auf eine von jeder Projectionsebene unabhängige Weise bestimmt.
73. Jetzt ist es leicht , die Werte der anderen durch die Symbole
[a , h] , [b , h] etc. dargestellten Coefficienten zu finden ; man braucht nur
XdY– YdX
für XY'— YX ' , d . h. für
seinen Wert, der nach Art. 11
dt
gleich D, also nach Art. 15 gleich 1gb ist, und für dỵ, da, de ihre Werte
in h, i, k des vorigen Artikels zu substituieren ; aber an Stelle des Elementes
k wollen wir das Element x beibehalten , welches den Winkel angiebt,
den die grosse Axe der Bahn beschreibt, indem sie sich in ihrer beweglichen Ebene dreht : es ist dies geradezu die Bewegung des Aphels oder
Perihels in der Bahnebene selbst. Wir haben nun
x = k + cosi dh ,
-So
also ist
=
kx
cosi dh,
-So
dann
Οπ
0% 1;
Oh
0%
cosk sini ;
Οπ
ді
sink;
до
= cosk.
= sink sini ;
дп
ді
Alle anderen partiellen Differentiale werden Null, so dass
Οι θσ
дп ді
ist.
ότι όσ
ді дп
sini
Daraus erhält man
[a, h] = 0 , [a, i] = 0, [a, %] = 0 ,
2
[b, h] = 0, [b , i] = 0, [b , x] = — {√
[c, h] = 0, [c, i] = 0, [c, x] = 0,
[h, i] = —√
/gb sini, [h , x] = 0, [i, x] = 0.
74. Diese Werte , verbunden mit denen , welche wir schon (Art. 69)
gefunden haben, ergeben endlich
ΘΩ
g c
dt:=2a3d :
да
ΘΩ
1
dt =дъ
ΘΩ
dt
до
ΘΩ
dt
Oh
g
2ar da:
dx,
Vgb sin idi.
ΘΩ
1
dt
db,
/gb sinidh; 62
di dt = √
at
=
√ ab
όχ
2 //
Abschn. VII, Cap . II, §2. Variation d. Bahnelemente durch Störungen.
423
und daraus ergeben sich folgende sehr einfache Ausdrücke für die Variationen
der elliptischen Elemente
da =
2a2 ƏQ
dt,
9 де
db ==
2yb გ2
dt,
2b მ 2
dt,
дъ
V9
aq
1
αχ
√g ox
1
ΘΩ
Vgb sini di dt,
dh =
2a2 Q
dt,
9 да
dc =
di-
Vgb sini oh
75. Die Formeln würden sich etwas weniger einfach gestalten, wenn
man an Stelle des halben Parameters b die halbe Excentricität e beibehalten
wollte. Da b = a ( 1 — e²) ist, so hätte man dann
XY'— YX'= √
/ga (1 — e²),
woraus
ga
/
ev
√g (1 — e²)
[a, x] =
[e, x] =
2γα
ΘΩ
ΘΩ
ΤΩ
folgt, und die Werte von да dt, де dt, όχ dt werden nun
1
ΘΩ
g
dc
dt да
2a2
√g (1 - e²)
d%,
2√a
ΘΩ
dt де
ev
/
ga
dx,
e2
√g (1 - e²)
ΘΩ
da -
dt =
дх
ev
/ga
de.
21/a
Substituiert man den oben gegebenen Wert von da, so folgt daraus
202 ΘΩ
dc =
dt + a (1
д да
- e²) an
g
e² an
de
αχ =
dt
√ga edx
- e² a
dt.
еде
Vga
еде dt,
a (1 - e²) an
dt,
до
ge
Diese Ausdrücke wären für die Beträge von dc, db, dy des vorigen
Artikels einzusetzen , während die Variationen der anderen Elemente die
nämlichen bleiben .
424
Abschn. VII , Cap. II.
Die Störungen .
Durch diese Formeln kann man also die Wirkung der störenden Kräfte
auf die Bewegung eines Planeten bestimmen , indem man nämlich die
Grössen , welche ohne diese Kräfte constant wären , variabel werden lässt ;
obgleich man aber auf diese Weise alle von den Störungen herrührenden
Ungleichheiten bestimmen kann , so sind diese Formeln doch besonders für
die Ungleichheiten , welche man säkulare nennt, nützlich, weil diese von den
Perioden der Planetenbewegungen unabhängigen Ungleichheiten hauptsächlich
auf ihre Elemente wirken und in diesen entweder mit der Zeit wachsende
oder periodische, mit eigenen Perioden und zwar solchen von langer Dauer
behaftete Variationen erzeugen .
76.
Um die säkularen Variationen zu bestimmen, braucht man nur
den nicht periodischen Teil dieser Funktion zu substituieren , d . h.
den ersten Term der Entwicklung von 2 in Reihen nach Sinus und Cosinus
von Winkeln , die von den mittleren Bewegungen des gestörten und der
störenden Planeten abhängen. Denn da 2 nur eine Funktion der elliptischen
Coordinaten dieser Planeten ist , diese aber , wenigstens dann , wenn die
Excentricitäten und Neigungen nicht sehr beträchtlich sind, in Reihen nach
Sinus und Cosinus von Winkeln , die proportional den mittleren Anomalien
und Längen sind , entwickelt werden können , so kann man auch die
Funktion 2 in eine Reihe derselben Art entwickeln , und der erste nicht
mit Sinus und Cosinus behaftete Term wird der einzige sein , der säkulare
Gleichungen ergeben kann.
Wir wollen diesen ersten Term von 2 mit (2) bezeichnen, dann ist dieser
eine einfache Funktion der Elemente a , b, c, e, h, i des gestörten Planeten
und der ähnlichen Elemente der störenden Planeten ; es ist nun klar , dass
für
das Element c, welches immer mit der Zeit t verbunden auftritt, darin nicht
vorkommt; substituiert man also (2) an die Stelle von 2, so erhält man für
die säkularen Variationen die Formeln
da == 0,
dc =
2a² ô (9)
dt + a(1 — e²) 6 (2) dt.
9
да
де
ge
e² 0 (0)
V
dt,
de
Vga
еди
=e²a (2)
αχ =
dt,
еде
Vga
1
dh =
di =
wo b = a ( 1 — e²) ist.
a (2)
dt,
Vgb sinidi
1
a (2)
Vgbsinish dt,
Abschn. VII , Cap. II, §2. Variation d . Bahnelemente durch Störungen.
425
77. Die Gleichung da = 0 zeigt , dass die halbe grosse Axe oder die
mittlere Entfernung a keiner säkularen Variation unterworfen ist , was nur
ein besonderer Fall des allgemeinen Theorems ist , welches wir im Art. 23 des
Abschn. V bewiesen haben ; denn die Grösse H dieses Artikels ist die
nämliche, wie die Grösse H des Art. 3 sqq. des vorigen Abschnittes, und man
ga
ist. Man muss also auf die mittlere
sieht nach Art. 15, dass H
2
Entfernung der Planeten die Resultate, die wir für den Wert der lebendigen
Kraft eines beliebigen Systems (Abschn. V, § 3) gefunden haben, anwenden.
Die Variation de erzeugt eine Aenderung in der mittleren Bewegung ;
― c) 9 die mittlere Anomalie ist , d . h. der Winkel der
denn da u = (t −
аз
mittleren Bewegung vom Perihel aus gezählt (Art. 19) , so wird diese mittlere
g
Anomalie eine Variation erleiden , die durch -√ a3 de ausgedrückt ist,
weil da = 0 ist. Fügt man dazu die Variation d des Perihelortes in der
Bahn, so hat man ferner (dy —
de) als säkulare Variation der mittleren
Länge, die wir mit dλ bezeichnen wollen.
Indem man aber dy und dc durch ihre Werte ersetzt, wird
αλ = (dx -
g
la
21√
dt +
dc) == -2
/a
2)
да
g 8(
e2
√ga
e
a (2)
dt,
де
1 + √1 - es
weil
e2
1 -
-
1+ √1 - e²
ist.
78.
Wenn die Excentricität sehr klein ist , haben die Werte von
de und dy den Nachteil, dass im Nenner die sehr kleine Grösse e vorkommt.
Es ist aber leicht dem abzuhelfen , wenn man an Stelle von e und x die
transformierten Grössen esinx und ecosy einführt.
Denn setzt man
m = esinx , n = ecosx,
so erhält man
dm =sinxde + ecosx
ecosxdx
dx,, dn = cosy deesinx dx.
Substituiert man die Werte von de und dỵ, so ist also
dm =
COSX
a (9)
де
(s)
sinx a
eo
x
ед(2
и)] at,
Vga
1
dn
Vga
a (Q)
sin X ad(2)
e + cos x e
x
еd
ди
dt.
426
Abschn. VII, Cap. II.
Die Störungen.
Sieht man nun (2) als Funktion von e und x und dann als Funktion von m
und n an, so ist
a (2)
a (2)
a (2)
a (2)
dx + де de = дт dm + дп dn.
де
Diese identische Gleichung giebt durch Substitution der Werte von dm
und dn die folgenden zwei Gleichungen
a (9)
όχ
a (2)
де
a (2)
дт ecosx-
a (2) es
inx,
дп
a (2)
sin%
от
a(2)
cos .
дп
Macht man diese Substitutionen in den obigen Gleichungen, so folgt
e²
1
dm
(2)
дп dt;
dn
Vga
- e2
a (L)
dt,
От
√ga
welche Gleichungen man an Stelle derer , welche die Werte von de und dy
geben (Art. 75), anwenden kann.
Aehnliche Transformationen kann man bei den letzten .Gleichungen
machen, welche die Werte von dh und di ergeben .
Man setzt
sini sin h = p, sini cosh = q,
und findet durch ein analoges Verfahren
cosi
(2)
Vgb
dq
dp
dt ;
cosi
(9)
√gb
op
dt.
dq =
79. Die störenden Kräfte, welche man in der Planetentheorie betrachtet,
rühren von der Attraction der übrigen Planeten her, und wir werden weiter
unten den Wert von 2 aufstellen, der aus dieser Attraction sich ergiebt;
man könnte aber auch den Widerstand , den sie von Seiten eines sehr feinen
Fluidums , in welchem sie etwa schwimmen sollten , erleiden können , als
störende Kraft ansehen .
Nimmt man in diesem Falle R als den Widerstand an , und setzt , wie
wir im Art. 8, Abschn. II,
or =
dx
dz
dy
ox +
ds by + ds
ds
was die Annahme involviert , dass das widerstehende Fluidum in Ruhe sein
soll, so wird also der Wert von 2 ausser den andern in Art. 62 angeführten
Termen auch noch den Term
- Ròr :== R
enthalten.
được tay ông + được
ds
Abschn. VII, Cap . II, § 2. Variation d. Bahnelemente durch Störungen.
427
Man setzt gewöhnlich den Widerstand proportional dem Quadrate der
ds
Geschwindigkeit, welche durch dt dargestellt wird , und proportional der
Dichtigkeit des Mittels , welche wir mit П bezeichnen wollen ; die vom
Widerstand herrührenden Terme in dem Ausdruck von 62 werden also sein
Tds ( dxô
+ dy ông + được )
dt2
Um die Grösse (dxòx + dy òy + dz òz) auszurechnen , braucht man nur
die Formeln des Art. 67 und 71 anzuwenden. Dabei ist zu beachten , dass
das Zeichen d sich auf die Zeit t bezieht , welche nur in den Werten von
X und Y vorkommt , und dass das Zeichen
sich auf die willkürlichen
Constanten a, b etc. beziehen muss , welche in X und Y und in den
Coefficienten a, ß, a₁ etc. vorkommen.
Man hat so , wenn man in den Ausdrücken von da , dß etc. d in o
verwandelt,
dx = adX + ẞdY; dy = a₁dX + ß₁dY ; dz = a₂dX + ß₂ dY,
6x = aôX + ßòY + X(ß òx + y ôñ) + Y( + 100 )
= α (ôX — Yòx) + ß (ôY + Xôµ) + y ( Xôñ + Yòs),
бу
ông = a ( X − Yoz ) + Bí(ôY + Xôn)+ (Xôn + Yoo ),
öz - a₂ (6X - Yôx) + ẞ₂ (ôY + Xôx) + ½ ( Xôñ + Yoo).
Nimmt man auf die Bedingungsgleichungen zwischen den Coefficienten
a, ß, y, a₁ etc. Rücksicht (Art. 14), so erhält man hieraus
đọc ôn + đông +đôi = dXX + dYòY + (XdY — Y & X ) ột ,
und substituiert man darin für X und Y ihre Werte
(Art. 13), so hat man
cos❤ , r sino
dxôX + dYoY = drôr + r² dÞ ¿ V,
XdY- YdX = r² dQ,
ds = V
√
/dx² + dy² = √dr² + r²dز.
Die Glieder, welche des Widerstandes des Mittels wegen zu 62 addiert
werden müssen, werden also dargestellt werden durch
[ √dr² + r² dÞ² (dr òr + r²dÞ¿P + r²dÞôx)
;
dt2
und hierin braucht man nur für r und
ihre Werte in t zu substituieren,
welche durch die Formeln der Art. 21 , 22 gegeben sind , und dabei zu
beachten , dass das Zeichen d sich auf die Variable t und
auf die
willkürlichen Constanten bezieht.
428
Abschn . VII, Cap . III.
Bewegung um zwei Centren .
Capitel III.
Ueber die Bewegung eines Körpers, der durch Kräfte, welche
umgekehrt proportional dem Quadrate der Entfernungen sind,
gegen zwei feste Centren gezogen wird.
80. Obgleich dieses Problem keine Anwendung auf das Weltsystem
haben kann , wo alle Attractionscentren in Bewegung sind , so ist es doch
nichtsdestoweniger von Seiten der Analyse interessant genug, um gesondert
mit einigem Detail behandelt zu werden.
Wir wollen annehmen , dass ein einzelner Körper zugleich gegen zwei
feste Centren durch Kräfte, welche beliebigen Funktionen der Entfernungen
proportional sind, gezogen werde .
Es bilde, wie im Art. 4, das eine der Centren den Coordinatenursprung ;
für das andere Centrum wollen wir annehmen , dass seine Lage durch die
Coordinaten a , b , c , welche x , y , z parallel sind , bestimmt sei. Mit R
bezeichne ich die Attractionskraft des ersten, mit Q die des zweiten Centrums.
Ferner nenne ich q die Entfernung des Körpers , um dessen Bewegung es
sich handelt, von diesem zweiten Centrum, dann ist klar, dass
q = √ (x − a)² + (y — b) ² + (z — c)²
ist, oder, wenn man für x, y, z ihre Werte in r, Y, y (Art. 4) setzt,
q = √(r² — 2r [(a cosy + b sino ) cos ↓ + c sin 4] + h³ ,
WO
h = √a² + b² + c²
die Entfernung der beiden Centren von einander angiebt.
Es ist klar , dass der Wert von T derselbe ist , wie im Probleme des
Qda vergrössert , und
Sear
da Q eine Funktion von q , und q eine Funktion von r,,
ist , so wird
av av av
да
да
"
dieser Term in den Differentialen
"
ду дф
dr die Glieder Q ay ,Q de
да
Q
geben , welche folglich zu den entsprechenden linken Seiten der
др
des angeführten Artikels addiert werden müssen .
Differentialgleichung
en
gegen
Man hat also für die Bewegung des durch die Kräfte R und
zwei Centren gezogenen Körpers die drei folgenden Gleichungen
Cap. I , aber der Wert von V wird um den Term
(1)
(2)
(3)
2
да
r(cos24 do² + d↓²)
+ R + Q Dr = 0,
dt2
да
dr²dy) , r²sin cos dq2
=
+
+ Qa4 0,
dt2
dt2
д
d(r²cos2d ) +2 а = 0.
54
dt2
d2r
dt2
Abschn. VII, Cap. III.
429
Bewegung um zwei Centren .
Wenn der Körper zu gleicher Zeit noch gegen andere Centren gezogen
würde , so würde man zu diesen Gleichungen für jedes dieser Centren
ähnliche Terme addieren müssen.
Die Gleichung T + V= H giebt noch folgende vierte . Gleichung,
= 2H,
r² (cos³4 dẹ² + d4³) + dr² + √ Rår +√Qaq
Qdq =
2dt2
-Si
die ein Integral der vorhergehenden ist, denn es ist offenbar, dass die drei
vorigen Gleichungen, wenn man sie respective mit dy, de , dr multipliciert
und addiert, eine integrable Gleichung ergeben , deren Integral eben das
dargestellte ist.
Aus dieser Gleichung erhält man
dr2
r2(cos2dp² + d¥²)
=4H dt2
25Rdr - 2SQda- dt2
Setzt man diesen Wert in die erste mit r multiplicierte Gleichung ein,
so reduciert sie sich auf
d2r2
да
=
+ Rr +
Dr + 2
2dt2
2SBdr + Qr a2
SQda = 4H
Da nun aber
q² = r² + h²— 2r [(acos
+ bsin ) cos
+ csin ]
ist, so hat man, wenn man r variieren lässt,
dq
9 Dr = r— (a cosy + bsin ) cos
- csin& = r
Substituiert man diesen Wert von
p2+ 12-92
2r
2
p² + q² - h²
2r
Օզ
, so erhält man endlich
др
d2r2
q² —
+ Rr +2 Rdr
+2 Qdq:= 4H.
2dt2
2q— ¹³² + 25
+ 2
SBar + Q²² + q2
Diese Gleichung hat den Vorteil , dass sie nur die beiden Variabeln r
und q enthält, und sie zeigt zu gleicher Zeit an, dass eine ähnliche Gleichung
zwischen q und r existieren muss, wenn man einfach r und q und gleichzeitig
R und
unter einander vertauscht; denn es ist gleichgiltig, ob man die
Bewegung des Körpers auf das eine oder andere der beiden festen Centren
bezieht. Es ist auch klar, dass, wenn man sie auf das Centrum der Kraft Q
bezieht, man durch eine der vorigen ähnliche Analyse erhalten würde
d2q2
2dt2 +Q
2218
q² - h²
R
2r
2 - 2 + 2 Rdr = 4H
+ 2√Qdq + n²² +q
Durch diese beiden Gleichungen kann man also direct die beiden
Radien rund q bestimmen.
430
Abschn. VII, Cap. III.
Bewegung um zwei Centren .
Ich bemerke jetzt, dass man , ohne der Allgemeinheit zu schaden , die
Coordinaten a und b des Centrums der Kräfte Q Null setzen kann , was
darauf hinauskommt , die zAxe in die Linie zu legen, welche die beiden
Centren verbindet. Durch diese Annahme bekommt man ch und aus
der Grösse q wird
q = Vr2_
Da dieselbe
2hr sin
+ h².
nicht mehr enthält, so hat man also
да
= 0,
მო
die dritte Differentialgleichung reduciert sich also auf
d(r² cos2dx) =
0,
dt2
deren Integral
r2 cos²& de
=B
dt
ist, wo B eine willkürliche Constante ist.
Daraus folgt
B
de =
dt
r²cos2
Es ist aber
h²— q²,
sin = r²+
2hr
also
cosy =
√4h2r2 — (r² + h² — q³)²
2hr
Substituiert man diesen Wert, so hat man
4Bh2
de =
dt ·4h²p² — (p²² + h² — q²)2 '
so dass , wenn man r und q in t ausgedrückt kennt, auch
als Funktion
von t bekannt ist.
do schon in r und q gegeben sind, so ist klar, dass
Da nun sin und
dt
man die vierte Gleichung so umformen kann, dass sie nur r und 9 enthält,
und sie wird dann notwendig , weil sie ausser der Constante H noch die
Constante B enthält, ein vollständiges Integral der beiden obigen Gleichungen
in r und q sein.
Man hat in der That
[(x² + q² — h²) dr - 2xqdq]2
r2d42 =
- q²)2 >
4h2r2— (p² + h2—
addiert man dr2 und reduciert gehörig, so erhält man
r2d2 + dr2 = 4
q²r² dr² + r² q² dq² — (r² + q² — h²) rqdrdq
·4h² µ·2 — (p² + h² - q²)2
Abschn. VII, Cap . III.
Bewegung um zwei Centren.
431
Man hat ferner
2
r2cos24 dp²
dt2
4B2h2
4h2p2- ( 2+ h² — q²)²
Macht man diese Substitutionen in der vierten Gleichung und schafft
den Nenner fort, so erhält man folgendes Integral
2.
q² r² dr² + r²q² dq² — (r² + q² — h²) rq dr dq + 2B2
dt2
(a).
—
—
—
+ [4h²r²— (r² + h² — q²)²] (
SRar +Sqaq — 211) = 0.
Man sieht jetzt leicht aus der Form dieser Gleichung , dass sie aus den
beiden Gleichungen in r und q resultiert, wenn diese mit
2q²d(r²) — (r² + q² — h²) d(q²) ,
2r² d(q²) — (r² + q² — h²) d(r²)
multipliciert, dann addiert und endlich integriert sind ; es wäre aber ziemlich
schwer, dieses Integral von vornherein zu finden.
81. Um die Lösung vollständig zu machen, muss man noch ein ferneres
Integral der nämlichen Gleichungen suchen ; dazu aber kann man nur
für besondere Werte von R und
gelangen.
Nimmt man an, was in der Natur der Fall ist, dass
α
R:=r.2
В
Q
=
q2
ist, so findet man dann , dass diese Gleichungen , wenn man die eine mit
d(q²), die andere mit d(r2) multipliciert, eine integrable Summe geben, deren
Integral
(b)
d(r²) d(q²) ____ α (3r² + q² — h²)
2dt2
r
B (3q2 + 2 - h²)
·= 4H (y² + q²) + 20
q
ist, wo C eine neue willkürliche Constante ist.
Multipliciert man diese Gleichung mit (r² + q² — h²) und addiert sie
zu dem vorher gefundenen Integral (a) , so giebt sie bei der gegenwärtigen
Annahme eine Gleichung von der Form
(c)
q² [d (r²)]² + r² [d(q²) ]² 2ar(r² + 3q2 —h²) — 2ẞq ( q² + 3r² — 71²)
2dt2
= 2H(r4 + g¹ + 6r²q² — h¹) + 2C (r² + q² — h²) — 2B².
Multipliciert man dieselbe Gleichung mit 2rq und addiert sie zu oder subtrahiert sie von jener, so ergiebt sie die Doppel- Gleichung
(d)
[qd (r²) ± rd (q³)]²
4dt2
a [(r ± q)³— I²(r ± q) ] — ẞ [(q ± r·)3 — h² (q ± r) ]
= H[(rq)+
1³] + C (r ± q) " — B².
432
Abschn . VII , Cap. III.
Bewegung um zwei Centren .
Setzt man (r + q) =·s, (r− q): = u, so hat man also folgende beiden
Gleichungen
(s² — u²)² ds²·
B) s := H(s¹ — h¹) + Cs² — B²,
·—· (a + 3)
³) s³ + h² (a + ẞ)
16 dt2
(e)
(s² — u²)²du²
- (a — ß) u³ + 71² (a — ẞ) u =
— H(u¹ — h¹) + Cu² — B²,
16 dt2
woraus man folgende Gleichung erhält, in welcher die Variabeln getrennt sind,
ds
Hs4 + (a + ẞ) s³ + Cs² — h² (a + B)s - Hh - B²
(f)
du
Ꮴ Hu¹ + (a — ẞ) u³ + Cu² — h² (a — ẞ) u — Hh¹ — B²
Alsdann folgt aus einer der Gleichungen unter (e) unter Benutzung
der Gleichung (f)
s2 ds
dt ==
4√
/Hs4 + (a + B) s³ + Cs²- h² (a + B) s — Hh — B²
u2 du
(g)
-4√/Hu¹ + (a - ẞ) u³ + Cu² — h² (a — 3) u — Hh+ — B
Macht man dieselben Substitutionen in dem oben gefundenen Ausdruck
de
von
" so erhält man
dt
do
dt
4Bh2
=
(s² —h²) (u² — h²)
4Bh2
s2— u²
1
- h²
s²—
1
h2 .
u²- h²)
und nach Substitution des Werts von dt folgt
Bh2ds
do =
(h)
(s² — h²) √ Hs¹ + (a + 3) s³ + Cs² — h² (a + ß) s — Hhª— B²
Bh2du
(u² — h²) √/Hu* + (a — ẞ) u³ + Cu² — h² (x — ẞ) u — Hh¹ — B²
Könnte man jedes dieser Differentiale integrieren , so hätte man zuerst
eine Gleichung zwischen s und u , dann hätte man t und
als Funktion
von s und u; man hätte also q und daraus t und
als Funktion von r,
und da
p2 + h² — q²
sin =
2hr
ist, so hätte man auch
in r.
Da diese Differentiale aber mit den
entsprechenden für die Rectification der Kegelschnitte zusammenhängen,
so kann man sie nur durch Annäherung integrieren, und die beste Methode
Abschn. VII, Cap. III.
433
Bewegung um zwei Centren.
dazu scheint mir diejenige zu sein , die ich an anderer Stelle*) für die
Integration aller Differentialgleichungen gegeben habe, welche eine Quadratwurzel enthalten , in welcher die Variable unter dem Wurzelzeichen bis zur
vierten Dimension steigt.
α
β
82. Wenn ausser den beiden Kräften
und
welche den Körper
r2
q2'
gegen die beiden festen Centren ziehen , noch eine dritte Kraft vorhanden
wäre , die proportional der Entfernung ist , und welche den Körper gegen
den Punkt zöge, der in der Mitte der Verbindungslinie der beiden Centren
liegt, so ist klar, dass diese Kraft in zwei zerlegt werden könnte, die nach
denselben Punkten gerichtet und ebenfalls den Entfernungen proportional
wären. In diesem Falle hätte man also
α
==
R=
2 + 2yr ;
Q=
β
+ 27g
92
und man fände , dass das Integral (b) auch für diesen Fall gelten würde ;
man müsste aber zu seinem ersten Gliede die Terme
γ
* [ 5r°q² + 2 (2-4 + q4) —
— Ir² (r² + q²)
addieren ; dann müsste man zu dem ersten Gliede der Gleichung (c) die
Terme
γ
1
~
/
2 [r© + q© + 15r²q² (r² + q²) — h² (p¹ + q¹ + 6r²q²)],
und folglich zum ersten Glied der Gleichung (d) die Terme
{ [(r ± g)® — h² (r ± q) ¹]
addieren , so dass man die Polynome in s und u unter dem Wurzelzeichen
in den Gleichungen (e), (f), (g) nur respective um die Terme
- γ (s6 — h² s¹) und - γ
— 1/1
4 (uε — h² u¹)
4
zu vermehren hätte, was die Lösung kaum noch complicierter machen würde .
83. Obgleich es unmöglich ist, die gefundene Gleichung (f) zwischen
s und u allgemein zu integrieren und damit eine geschlossene Relation
zwischen diesen beiden Variabeln zu erhalten , so kann man nichtsdestoweniger zwei besondere Integrale erhalten , welche durch s = const. ,
u
const. dargestellt sind.
Denn stellt man diese Gleichung allgemein durch
ds
du
VS
VU
*) Vgl. den vierten Band der früheren Mémoires de Turin.
28
28
Lagrange , Analytische Mechanik.
434
Abschn. VII, Cap. III.
Bewegung um zwei Centren.
dar, so ist klar, dass sie auch gelten wird , wenn man ds oder du gleich
Null setzt , vorausgesetzt , dass die Nenner √S oder √U zu gleicher Zeit
zu Null von derselben Ordnung werden.
Um die notwendigen Bedingungen für diesen Fall zu bestimmen,
setze man
s = f + w,
wo feine Constante und wo eine unendlich kleine Grösse ist ; bezeichnet
man mit F, was aus S wird , wenn man s in f verwandelt , so wird das
ds
Glied
dw
VS
dF
d2 F
F+
w +
w2 +
2df2
df
damit dieselbe Zahl von Dimensionen in w im Zähler und im Nenner vorhanden sei, muss also
dF
=0
F = 0 und
df
sein, und da w unendlich klein ist, so wird sich das genannte Differential auf
dw
w
d²F
√ zap
reducieren, dessen Integral
1
W
7
d2Fk
2df2
ist , wo k eine willkürliche Constante ist.
Setzt man also w = O und zu
gleicher Zeit auch k = 0, so wird der Wert von 12
7 k unbestimmt, und die
Gleichung wird stets bestehen können , welches auch der Wert des anderen
du
Gliedes
sein mag. Man weiss nun, und es ist an sich klar, dass
U
dF
=0
F = 0;
df
die Bedingungen sind , welche f zu einer doppelten Wurzel der Gleichung
F0 machen. Daraus folgt allgemein , dass wenn das Polynom S eine
oder mehrere doppelte Wurzeln hat , jede dieser Wurzeln einen besonderen
Wert von s liefern wird ; dasselbe wird von dem Polynom U gelten.
Nun ist klar, dass die Gleichung s = f, das heisst r + q = f eine Ellipse
darstellt, deren beide Brennpunkte in den beiden Centren der Radien r und q
liegen und deren grosse Axe gleich fist. Ferner stellt die Gleichung
u = g oder r -q = g eine Hyperbel dar, deren Brennpunkte in denselben
Centren liegen und deren Haupt-Axe gleich g ist.
Abschn. VII, Cap. III.
435
Bewegung um zwei Centren.´
Es geben also die besonderen Lösungen , von denen wir soeben gesprochen haben , Ellipsen oder Hyperbeln , die um die Centren der Kräfte
α В
die als Brennpunkte genommen sind, beschrieben sind. Und da die
r²' q²'
Polynome S und U die drei willkürlichen Constanten A, B, C enthalten,
die von der Richtung und der Anfangsgeschwindigkeit des Körpers abhängig sind , so ist klar , dass man immer diese Elemente so annehmen
kann, dass der Körper eine Ellipse oder Hyperbel um die gegebenen Brennpunkte beschreibt. Derselbe Kegelschnitt also, welcher in Folge einer nach
einem der Brennpunkte gerichteten und umgekehrt proportional dem Quadrate
der Entfernungen wirkenden Kraft, oder einer nach dem Centrum strebenden
und direct proportional den Entfernungen wirkenden Kraft beschrieben
werden kann , kann es auch noch in Folge dreier ähnlicher Kräfte , welche
nach den beiden Brennpunkten und dem dazwischen liegenden Mittelpunkte ihrer Verbindungslinie streben. Dies ist sehr bemerkenswert.
84. Wenn nur ein einziges Centrum vorhanden wäre , gegen welches
α
der Körper durch die Kraft r2 gezogen würde , so hätte man den Fall der
elliptischen Bahn , den wir im Capitel I behandelt haben. In diesem Fall
wäre ẞ0 , y = 0 und die beiden Polynome S und U würden ähnlich
werden und nicht den vierten Grad überschreiten ; die Gleichungen (f), (g),
(h) des Art. 81 würden also durch die bekannten Methoden integrierbar sein,
und die Bewegung des Körpers würde durch Formeln in s und u bestimmt
sein , d. h. durch die Entfernungen von den beiden Centren , deren eines ,
dessen Attraction Null ist , an jeden beliebigen Ort verlegt werden könnte ;
die Formeln hätten keinen praktischen Wert und man hätte sie nur der
reinen Merkwürdigkeit wegen aufgestellt. Es giebt aber einen Fall, wo sie
sich vereinfachen und zu einem bemerkenswerten Resultat führen , es ist
derjenige , wo das Centrum, dessen Anziehung Null ist , auf dem Umfange
der Ellipse selbst liegt.
Um diesen Fall zu erhalten , bestimme man die Constanten B und C
so, dass der Radius q gleich Null, der andere Radius r aber gleich , gleich
der Entfernung der beiden Centren ist. Die Variabeln s = r + q und
u = r --q müssen also zugleich gleich h werden. Die Gleichungen (e) des
Art. 81 sind für diese Bestimmung sehr geeignet.
Setzt man su = h, so giebt die erste dieser Gleichungen
B²- Ch².
ividiert man die Differenz eben der nämlichen Gleichungen mit (s — u),
und setzt dann suh, so folgt, weil ẞ = 0 ist,
-— 3ah² + ah²— 4Hh³ + 2Ch,
und daraus
Cal― 2Hh².
28*
436
Abschn. VII , Cap. III.
Bewegung um zwei Centren.
Durch Substitution dieser Werte wird aus dem Polynom
Hs4 + as³ + Cs² — ah²s — Hh¹ — B²
jetzt
H(s4— 2s²h² + h4) + a (s³ — s²h — sh² + h³).
welcher Ausdruck die Form
H(s + h)² (s — h) ² + a (s + h) (s — h)²
annimmt ; dasselbe wird von dem Polynom in u gelten.
Man hat nun nach Art. 15 in diesem Falle
g
92/6
2a
a = g, H:
wo a die halbe grosse Axe der Ellipse ist ; die Gleichungen (f) und (g)
werden also
ds
du
(s − h) √g (s + h) -- 2a
24 (s + h)²
g
(u− h)√g (u + h) — Za ( u + h)²
s'ds
u2du
g
g(s
´4(s − 1) √ 9
(8 + 1) — 2a
24 (8 + 1)²
4(u − h)
h) √
/ g(u + 1) − Z2a (u + 1)²
dt
zieht man von der letzten die mit h2 multiplicierte erste ab und dividiert
hierauf die Zähler und Nenner respective mit (sh) und (uh) , so
erhält man
dt =
(u + h) du
(s + h) ds
+ √9 √ s + h − (s +
2ah)?
/g
4√
u+ h
(u + h)2
2a
welcher Ausdruck den Vorteil hat , dass er kein anderes Element als die
grosse Axe 2a enthält.
85. Setzt man
zdz
= f(z),
22
2a
und nimmt das Integral so , dass seine untere Grenze zu einem beliebigen
gegebenen Werte von gehört, und ersetzt s und u durch ihre Werte (p + q),
(p - q), so hat man durch Integration
/g = f(h + p + q) − f(h + p − q),
4tv
woraus man sieht, dass t = 0 ist, wenn q = 0 ist, wie auch das Integral
genommen werde.
Abschn. VII, Cap. III.
Bewegung um zwei Centren.
437
Da nun p der Radiusvector ist, welcher vom Brennpunkte ausgeht und
q den Radiusvector angiebt, welcher vom andern Centrum ausgeht , das
sich in einem Punkte der Ellipse befindet und vom Brennpunkte um h absteht, so ist klar, dass h und p zwei Radienvectoren sein werden, q also die
Sehne des zwischen diesen beiden Radien enthaltenen Bogens bedeutet;
der vorhergehende Ausdruck von t wird hiernach die Zeit angeben, die der
bewegliche Körper gebraucht hat , um diesen Bogen in der Ellipse zu beschreiben , und diese Zeit ist also durch die Summe (hp) der Radienvectoren, durch die Sehne q und durch die grosse Axe 2a bestimmt.
Das Integral , welches wir durch die Funktion f(e) bezeichnet haben,
hängt von Kreisbögen oder Logarithmen ab, je nachdem a positiv oder negativ ist; wenn aber die Axe 2a sehr gross ist , so reduciert sich diese
Funktion auf eine sehr convergente Reihe. Man hat dann
2
f(x) = 3
+
32+
+
5.2a + 4.7.4a2
;
der erste Term giebt den Ausdruck für die bezeichnete Zeit bei parabolischer
Bahn, und man hat
4t √g = 3
2 (h + p + q)* − 23 (n + p − q) ª
welcher Ausdruck mit demjenigen zusammenfällt , den wir im Art. 25 gefunden haben. Der Rest der Reihe giebt die Differenz der Zeit , die
gebraucht wird, um einen Parabelbogen zu beschreiben, gegen die, welche
der Körper nötig hat, einen Ellipsen- oder Hyperbelbogen zu durchlaufen,
der dieselbe Sehne u und dieselbe Summe s der Radienvectoren hat.
Diese schöne Eigenschaft der Bewegung in Kegelschnitten ist von
Lambert gefunden worden , der dafür einen geistreichen Beweis in seiner
Abhandlung Insigniores orbitae cometarum proprietates gegeben hat. (Man
vergleiche auch die Abhandlungen der Berliner Akademie für 1778.)
Das allgemeine Problem, dessen Lösung wir soeben gegeben haben,
ist zuerst von Euler gelöst worden für den Fall , wo es nur zwei
feste Centren giebt, die umgekehrt proportional dem Quadrate der
Entfernungen anziehen, und wo der Körper sich in einer Ebene bewegt, die durch die beiden Centren geht (Abh . von Berlin 1760) ; seine
Lösung ist besonders bemerkenswert durch die Kunst, mit welcher er es
verstanden hat , verschiedene Substitutionen anzuwenden, um die Differentialgleichungen . auf die erste Ordnung und auf Quadraturen zu bringen,
die sonst ihrer Compliciertheit wegen allen anderen bekannten Methoden
widerstanden.
Indem ich diesen Gleichungen eine andere Form gab , bin ich direct
zu denselben Resultaten gelangt, und habe sie sogar auf den Fall ausdehnen
können, wo die Curve nicht in einer und derselben Ebene liegt , und wo es
ferner eine Kraft, giebt, die proportional der Entfernung ist und nach einem
438
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
festen Centrum gerichtet ist , das sich in der Mitte zwischen den beiden
anderen Centren befindet. Man sehe Bd . IV der alten Turiner Abhandlungen,
aus denen die vorige Analyse herausgezogen ist und in welchem man auch
die Untersuchung des Falles findet , wo das eine der Centren sich ins
Unendliche entfernt, so dass die Kraft, welche nach diesem Centrum strebt,
gleichförmig würde und nach parallelen Linien wirkte. Es ist bemerkenswert, dass in diesem Falle die Lösung sich kaum vereinfacht ; nur dass die
Wurzeln , welche die Nenner der getrennten Gleichungen bilden , statt der
vierten Potenzen der Variabeln die dritten Potenzen enthalten , so dass
ihre Integration demnach ebenso wie im allgemeinen Falle von der Rectification der Kegelschnitte abhängt.
Capitel IV.
Ueber die Bewegung zweier oder mehrerer freier Körper, die
sich gegenseitig anziehen , und besonders über die Bewegung
der Planeten um die Sonne und über die säkularen Störungen
ihrer Elemente.
86. Wenn mehrere Körper sich wechselseitig mit Kräften anziehen, die
proportional den Massen und gewissen Funktionen der Entfernungen sind,
so hat man für ihre Bewegungen die allgemeinen Formeln der Art. 1 , 2,
indem man die Körper selbst als Attractionscentren annimmt.
Es seien m , m' , m " etc. die Massen der Körper, x, y, z, x', y' , z
' , x' ,
y' ,
etc. ihre rechtwinkligen Coordinaten, bezogen auf im Raume feste
Axen; die Grösse T wird dann wie im Art. 1
T= m dx² + dy²
2 dt2
+ dz²
+ m'
dx'² + dy'² + dz′2
dx" 2+ dy" 2+ dz" 2
+ m"
2dt2
2dt2
Es seien p' , p' , p"" etc. die Entfernungen der Körper m', m" , m'" etc.
von dem Körper m, und R' , R" , R"" die Funktionen dieser Entfernungen,
denen die Attraction dieses Körpers auf die andern Körper proportional ist.
Es seien ferner p", p"·" etc. die Entfernungen der Körper m" , m" etc.
von dem Körper m' , und R" , R" etc. die Funktionen dieser Entfernungen,
proportional ist.
denen die Attraction dieses
IVKörpers auf die andern Körper
"I
""
et
Es seien ebenso p , pl etc. die Entfernungen der Körper m 9 MIV
mIV c.
"
"
von dem Körper m " , und " R"
" etc. die Funktionen dieser Entfernungen,
" , RV
denen die Attraction dieses dritten Körpers auf die folgenden Körper proportional ist , u . s. f.
Man hat dann zunächst
p' = ·
√ (x − x )² + (y — y )² + (*' — ≈ )²
p" =
·x ) ² + (y '' — y ) ² + (~
(≈
'' — ≈ )²
=
x′)² + (y'' — y')² + (≈'' — ≈′)²
== √ (x" " — x' )² + (y' " — y')² + (¿'"' — * ) ²
Abschn. VII, Cap. IV, § 1.
Relative Bewegung der Planeten .
439
und die Grösse V (Art. 2) wird
√=
m (m' Sre
| R'do' + m" SI'
R" dp" + m
' " Sre"
| R'"' dp " + ···)
R
Rdp"
+ m²• (m " Sx
de" + m" SX
" de " + ..)
""
"
R" do +
+ m (m
"1 "I
Wie nun auch die unabhängigen Coordinaten, die man annehmen will,
beschaffen sein mögen, so hat man doch stets in Bezug auf jede von ihnen
z. B. , eine Gleichung von der kanonischen Form
d
T
δαξ
ат
дт
-0.
+
Οξ
Οξ
Da in dem System , welches wir betrachten , kein Punkt fest ist , SO
kann man den Coordinatenursprung überall annehmen, wo man will , und
man erhält immer , wie wir im Abschn. III gesehen haben , die drei endlichen Integrale in Bezug auf den Schwerpunkt , ebenso die drei Integrale
erster Ordnung in Bezug auf die Flächen und endlich das Integral der
lebendigen Kräfte 7+ V = H.
So bekommt man die Gleichungen für die absolute Bewegung der
Körper im Raum ; da aber die Lösung dieses Problems nur für die Planeten
wichtig ist, und da hier nur die relativen Bewegungen um die als
unbeweglich gedachte Sonne die Astronomie interessieren , so bleibt uns
nur übrig zu untersuchen, wie man die allgemeine Gleichung der absoluten
Bewegungen der Körper des Systems auf die relativen Bewegungen übertragen kann.
§ 1.
Allgemeine Gleichungen für die relative Bewegung von Körpern,
die sich gegenseitig anziehen.
87. Wir wollen annehmen , dass man die relativen Bewegungen der
Körper m', m' etc. in Bezug auf den Körper m zu kennen verlange ; wir
wollen mit ' , ' , ' die rechtwinkligen Coordinaten des Körpers m', bezogen
auf m, bezeichnen, indem wir in diesen letzteren Körper den Coordinatenursprung verlegen ; es seien ferner " , " , " die rechtwinkligen Coordinaten
des Körpers m" in Bezug auf m etc.; die Aufgabe besteht nunmehr darin,
eine allgemeine Formel zu finden, welche nur diese Coordinaten enthält.
Es ist zuerst offenbar, dass
x' = x + ' ; y' = y + n' ; ≈' = 2 + 5' ,
x" = x + ¿" ; y'' = y + n" ; z' = 2 + ( " ,
440
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
also
2
-
/ 5″ ² + n''² + ( ''?,
p" = √
"
P
"
P
' ( ૬'' - §' )² + ('n '' — n' ) ² + (5'' — 5′ ) ²,
§' )² + ('n''' — n' )² + ((''' — (′ ) ²,
P" =
'(§''' — §'') ² + (n''' — n'')² + (5''' — ('')²,
ist, und die Grösse T wird nun
T= (m + m' + m" + ···)
dx² + dy² + dz²
2dt2
dx(m'de̱' +m'dë” + · · ·) + dy(m'dŋ' + m'dŋ' + · · · ) + dz (m'd¿' + m" d " + · · ·)
dt2
112
2
2
112
‚ de" ² + dn'² + ďĽ" 2
de¹² + dŋ'² + d'a
+ m'
+ m"
+
2dt2
2dt2
+
Da die Variabeln x, y, z nach diesen Substitutionen nicht mehr in
der Grösse V vorkommen , und da diese Variabeln in T überhaupt nicht
unter endlicher Form auftreten, so gehen in Bezug auf diese Variabeln die
Bewegungsgleichungen über in
эт
от
от
da
= o, dǝdy = 0, d
Odz = 0,
Odx
woraus sich
от
Odx
от
= B,
Ody
от
Odz
γ
ergiebt, wo a, ß, y willkürliche Constanten sind.
Führt man den Wert von T ein , so folgen also die drei Gleichungen
dx
de"
αξ'
(m + m' + m" + · · ·) dt + m' dt + m" dt +
dy
dn"
dn'
(m + m' + m" + ·· ·) dt + m' dt + m" dt +
= B,
dz
dy"
αζ'
+ m'
+
+ m"
dt
dt
dt
= 7,
(m + m' + m" + ···)
wo a, ß, y Constanten sind.
Substituiert man jetzt in dem vorigen Ausdruck von T die Werte von
dx dy dz
dt ' dt dt " die sich aus diesen Gleichungen ergeben , und setzt zur Ab-
kürzung
Abschn. VII, Cap. IV, § 1.
Relative Bewegung der Planeten.
441
X = m'&' + m''E"' + m ''' E""' +
Y = m'n' + m " n"' + m'"' n'"' + ·
Z = m'"' + m''("' + m '"' !""' +
M= m + m' + m" + · · · ,
so hat man
T:
dx²+ dy² + dZ²
d§¹² + dŋ'² + d'²
+ m'
2dt2
2Mdt2
2
de" ² + dn'² + dĽ" 2
+'m"
+
2dt2
a² + B² + y²
2M
88. Da die Variabeln έ' , n' , ' , ' etc. von einander nicht abhängen und
die Grösse T diese Variabeln nicht in endlicher Form enthält , so hat man
sofort in Bezug auf jede von ihnen die Gleichungen
m'
d?'
( dt2
d2X
av
- 0,
+
Mdt2
DE
m"
d2 "
dt2
m'
d²n
'
dt2
m"
(d²n"
dt2
m'
day'
( dt2
d2X
av
+
0,
૦૬′ ″
Mdt2
d2Y
ат
+
= 0,
Mdt2
an
av
d2Y
+
0,
an"
Mdt2
av
d2Z
-0,
+
or
Mdt2
ат
d'Z
-= 0,
+
Mdt2
ay"
d2 "
m"
( dt2
u. s. f.
Addiert man die ersten auf , " etc. bezüglichen Gleichungen , so
resultiert infolge der Bedeutung von X und M
m d²x
ат ду
+
+
+
M dt2
૦૬′0 ″
0,
also
d2X
dt2
M (OV
av
+
m
+
d
૬′'
Ebenso findet man durch Addition der zweiten Gleichungen und diejenige der dritten
d2Y
av
M (ƏV
+ ...
+
dt2
·
)
,
man'
Ən"
d2Z
ат
M (OV
+
ô×
m
dt2
a
+...),
welcher Werte man sich bei den ursprünglichen Gleichungen bedienen kann.
442
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
Man hat also für die Bewegung des Körpers m ' um m die drei Gleichungen
m'
d2
ат
m' (av
ат
+
+
+
+
de'′
o
m
૦૬
dt2
ат
m' fav
дт
d²n'
+
+
+
+
dt2
'
man
an'
on"
d2Y
ат
m' av
эт
m'
+
+
+
+
dt2
ay'
m (ogr
==0,
= 0
m'
= 0.
·
)=
Aehnliche Gleichungen erhält man für die Bewegung der Körper
m", m" etc. um m , wenn man nur die mit zwei , drei etc. Strichen versehenen Grössen unter einander vertauscht.
Nunmehr hat man nur noch den Wert von V zu substituieren und die
partiellen Differentiale nach den verschiedenen Variabeln zu nehmen . Diese
Operation vereinfacht sich aber durch folgende Betrachtung.
89. Wir wollen mit U die Summe aller Glieder der Grösse V bezeichnen,
"
!!!
welche die Entfernungen p , p, etc., p etc. enthalten, und wollen bemerken,
dass die Ausdrücke für diese Entfernungen so beschaffen sind , dass sie die
nämlichen bleiben , wenn man die Coordinaten έ' , '' , ''' etc. , welche darin
vorkommen, um eine und dieselbe beliebige Grösse vermehrt ; daraus folgt,
dass, wenn man diese nämlichen Coordinaten um eine und dieselbe unendlich
kleine Grösse variieren lässt , die Variation von U Null sein wird , man hat
also die Gleichung
au
au
+
05'
au
+
+
dž' '
=0.
d"
Auf dieselbe Weise findet man , weil dieselbe Eigenschaft auch in Bezug
auf die Coordinaten n', n' , n'" etc., und auf die Coordinaten '', ' , ''' etc.
besteht,
au
au
au
+
+
+
0,
an"
an""
on'
au
au
au
+
+
" + ...= 0.
ayı
ay
Da nun
V=
R'do'' + m" I'"' dp" + . . .) + U
Sreaq
= m (m²Sœdq' + m²Sre"
"
ag'" +·
ist , wo p' nur l' , n' , ''; p'' nur §" , " , " etc. enthält , wird also aus der
ersten Gleichung durch diese Substitutionen, wenn man sie mit m' dividiert,
d2
Op"
Op'
+ (m + m') R' ♂ + m" R"
+
dt2
DE"
au
=0.
+
m'd '
" ""
Nun kommen in der Grösse U nur die Glieder vor, die p,, P, etc. ent-
Abschn. VII, Cap . IV, § 1.
Relative Bewegung der Planeten.
443
halten , welche von den Variabeln ' , ', ' (Art. 86) abhängen ; so kann
man den Wert von U auf die Form bringen
"
m'
U = m'( m"
..).
"U = m " ( m " S
["I do", + m² ( x," de " +.
+ ··)
до
Substituiert man den daraus folgenden Wert von
in die vorige
૦૬
Gleichung, so wird aus derselben
d='
Op
"10 др
+ m" R' ÷ + m " R"
+
dt2 ·+ (m + m ') R' δξ'
aç
δε
+ m" R"
Op" + m"" R"" Op"
+
δξ"
DE"
0.
Auf dieselbe Weise erhält man
d2n
Op
dt2
до"
др
+ m R"
+ m" R"
+ (m + m ')R'
an
δη
θη
p
+ m" R"" O " + m'" R" @p"" +
0,
on'
"
on"
"
d2
др
др
θρ'
+ m" R" "
÷ + m " R""
+
+ (m + m')R'
/
dt2
‫عة‬
ar
ô×
др
,
+ m" R"
+ m'"' R'"'
Op""
+
ਰ
0.
90. Man kann diese Gleichungen auf die allgemeine kanonische Form
bringen , welche den Vorteil hat, dass sie sich gleichmässig auf beliebige
Coordinaten anwenden lässt.
Multipliciert man die erste mit ' , die zweite mit on' , die dritte mit
o ' und addiert sie alle, so erhält man zuerst den differentialen Teil
d2
d2
d2n'
84',
Æ' +
on' +
dt2
dt2
dt2
welcher, wenn man die Coordinaten ' , ',2 in andere unabhängige Coordinaten,
,,
transformiert, für die mit o multiplicierten Glieder den Ausdruck ergiebt (Art. 7 , Abschn. IV)
эт
эт"
dod
ૐ,
e
( δαξ
Οξ
wenn
12 + dĽ¹²
d2 + dn'²
T
'=
2dt2
ist.
Die Terme , welche die Kräfte R', R" etc. enthalten , sind alle , weun
man
in d verwandelt, integrabel in Bezug auf die Variabeln E' , n' ,
'.
444
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
Das Integral wird zuerst die Glieder enthalten
"
R" dp"," + m"
(m + m') R'do' + m" | "
S
R"
dann besitzt es noch die Terme
Əp"
+ m"" R"" Əp"" +
m" R'
',
..)5
DE"
("
m"
ਰ
+ m" R"
ap"
Op"
...
+ m" R"
an"
On"" + -)n',
Op"
Op"
+ m" R"
+ m" R "
+
ay"
ar
...)5.
(m"
Man hat nun aber
Op"
{"
=
de"
ốp on"
p"
ốp =
ay"
und da
P,
(§" — §') ² + (n'— n')² + (?" — ( ')²
Əp"
a"
+ Op" n'+ Əp" १'
OY!!
an"
Op"
aş"
+
ist, so hat man
12
"2
2
p²+
p -- P,
2p"
und ebenso
1112
"2
p²+p --- P
Əp""
"
Op"
an"" n'+ ay
2p"
"
und ebensolche Form nehmen die andern ähnlichen Ausdrücke an.
Nennt
man also V' das vollständige Integral, so resultiert
"
R" do" + m"
SR
"12
P +P
+ m" R"
2p"
V' = (m + m') R'do' + m"
R""de"," + ···
112
p² + p
#2
"
+
+ m'" R""
2p""
Nach der Transformation der Coordinaten reducieren sich also die mit
ay'
, und da man die neuen Coordinaten
multiplicierten Terme auf
૦૬
als unabhängig annimmt, so wird jede von ihnen , z. B. ' , eine Gleichung
von der Form
эт
эт
ат
0
d
+
δαξι
૦૬
de
ergeben.
91. Sind nur zwei Körper vorhanden, m und m' , so wird der Ausdruck
von v'
V' = (m + m') | R'de' .
n')
SK
Abschn. VII, Cap. IV, § 2.
Säkulare Variationen d. Bahnelemente.
445
Die Werte von T' und V' sind also in diesem Falle dieselben wie für
einen Körper , der gegen ein festes Centrum mit einer Kraft (m + m') R,
die proportional einer Funktion der Entfernung p' ist, angezogen wird. Die
relative Bewegung des Körpers m' um den Körper m geht hiernach so vor
sich , als wenn dieser letztere Körper fest wäre , und die anziehende Masse
die Summe der beiden Massen wäre ; dies ist schon seit Newton bekannt.
Wenn die Masse m des Körpers, um welchen die andern sich bewegen
sollen, viel grösser als die Summe der Massen m' , m" etc. ist, was bei der
Sonne den Planeten gegenüber der Fall ist, so hat man nahezu
V' = (m + m'
R'de'.
Die Bewegung des Körpers m' um den Körper m wird also in diesem Falle
nahezu dieselbe sein , als wenn dieser fest und die Summe der Massen
(m + m') in ihm vereinigt wäre. Betrachtet man die anderen Kräfte m" R" ,
m" R" etc. als störende Kräfte , so kann man die Theorie der Variationen
willkürlicher Constanten anwenden , um die Wirkung dieser Kräfte zu bestimmen ; es handelt sich also nur darum , dem Art. 9, Abschn . V gemäss ,
- 2 gleich der Summe aller anderen Terme des oben gegebenen Wertes
von V' anzunehmen.
Man setze also, indem man dem Buchstaben 2 einen Accent giebt, um
ihn auf den Planeten m' zu beziehen,
"
R
- m² Sx dp - m² SX, de, ...
"2
2
"2
"""2
p²²+p
P
—m" R"
m""
""" R""
2p
2p"
Ω'.
"
und man erhält dann durch die allgemeinen Formeln des Art . 14 desselben
Abschnittes die Variationen der Elemente der Bewegung des Körpers m'
um den als fest betrachteten Körper m.
§ 2.
Allgemeine Formeln für die säkularen Variationen der Elemente
der Planetenbahnen.
92. Um diese Formeln auf die Bewegung der Planeten um die Sonne
anzuwenden, nehme man die Masse m als diejenige der Sonne, die Masse m'
als diejenige des Planeten , dessen Störungen man sucht, und die Massen
m", m"" etc. als die Massen der störenden Planeten an, und setze
1
1
R:= " R" := " "
p2
P
p2
Der Ausdruck für
Q' = m"
"
1
R" =
"2
·
P
wird also
"2 - "12
Р.
+ m""
"3
2p 3
1
"I
12
P +p
—P"2
"3
2p
+
446
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
Substituiert man dann in der Funktion Q'an Stelle der Coordinaten
§', n', c', §'' , n'' , " etc. dieser Körper, deren Anfangspunkt in m liegt, ihre
als Funktion von t ausgedrückten Werte , gemäss den Formeln , die wir im
Cap. I für die Ausdrücke der Coordinaten x, y, z gegeben haben , indem
wir darin
g = (m + m '),
oder einfach g' setzen , um es auf den Körper m ' zu beziehen , so erhält
man mit Hilfe der Entwickelungen im Art. 69 sqq . die Variationen der
sechs Bahnelemente des Planeten um die Sonne.
Wir wollen uns hier damit begnügen , die säkularen Variationen der
Elemente zu bestimmen , welche die wichtigsten sind und welche nur von
dem ersten vollkommen constanten Term der Entwicklung von 2 abhängen.
93. Wir wollen mit der Entwicklung der Grösse
p'' = √/ (§'' — §′ ) ² + (n'' — n')² + (5 ″ — 5′)²
beginnen und zuerst darin für die έ , n ,
die Ausdrücke von x , y, z des
Art. 13 setzen , indem wir mit einem oder zwei Strichen die Grössen bezeichnen, welche zu den Massen m' bezw. m" gehören. Man erhält
12
112
112
P" 2 = p²² + p"″ 2 — 2p'p" (a' cos d' + ẞ'sin ') (a" cos " + B''sin ")
- 2p'p " (a, cos ' + ẞsin D') (a cos " + ẞsin ")
"
· 2p'p ” ( a, cos Þ′ + ß₂ sin D′) ( a, cos " + ß2sin ” ) .
Führt man die einzelnen Multiplicationen aus , entwickelt die Produkte
der Sinus und Cosinus und setzt zur Abkürzung
"
"
সল + áján,
A = x'a” + a₁
"
B = a'ß" + a₁ ß'₁ + aß
A₁ = a'ß' + a₁ ß'₁₂ + a2ß2,
B₂ = ß'ß'' + ß'₁ß'" + B2B
so folgt
=
p " ? — p′² + p″ ²— (A + B₁ ) p′p″ cos (Þ'— D″ ) — ( A — B₁ ) p'p'cos ( Þ' + Q″)
- (A - B) p'p'sin ( ' - ") - (A₁ + B) p'p" sin ( ' + Q") .
Die Grössen a' , ẞ ' , a, etc. sind Funktionen der Elemente h' , ' , ' der
Bahn des Planeten m' , welche durch die Formeln des Art. 13 gegeben sind,
wenn man" alle Buchstaben mit einem Strich versieht, und die Grössen
a", B", a etc. sind ähnliche Funktionen der Elemente der Bahn des
Planeten m' , wenn man allen Buchstaben zwei Striche giebt ; die Grössen
A, B, A1, B1 sind also Funktionen der nämlichen Elemente, aber durch die
folgende Betrachtung kann man sehen, was sie bedeuten.
94. Um die ursprünglichen , auf eine gegebene Ebene bezogenen
Coordinaten x, y, z in die auf die Bahnebene von m' sich beziehenden
Abschn. VII, Cap. IV, § 2.
Coordinaten x , y , z′
Formeln des Art. 14
Säkulare Variationen d . Bahnelemente.
447
zu verwandeln , hat man nach den allgemeinen
x = x' x' + ß'y' + y' z' ,
y = α₁ x' + B'₁₂ y' +
•
2=
"
wo die Coefficienten a' , B' etc. von den Constanten h' , ' , ' abhängen ,
welche die Lage der neuen Axen gegen die ursprünglichen bestimmen ,
und wo
die Neigung der beiden Ebenen gegen einander ist.
Wollte man ferner dieselben Coordinaten in die Coordinaten x" , y' , z" ,
bezogen auf die Bahnebene von m" , verwandeln , so hätte man
x = a″ x'' + ẞ" y" + y"~"
"
y = a₁x'' + ß ; y″ + √₁2" ,
"
2 = a²2x" + B₂y" + √22",
wo die Coefficienten a", ẞ" etc. ähnliche Funktionen der Constanten h" , 2"" ,
k" sein würden, welche die Lage dieser neuen Ebene in Bezug auf die ursprüngliche bestimmen , und wo " die Neigung dieser beiden Ebenen gegen
einander ist. Vergleicht man jetzt diese Ausdrücke, so erhält man
x' x' + B'y' + y' z' = a" x" + ẞ " y" +1" s" ,
"
á₁ x² + B'₁ y' + '
%'; x' = aj x'' + B'₁₂ y" + √₁ =",9
á₂ x² + B'₁₂ y' + 722' = α2x" + B₂y" + 72 ?" .
Da die Coefficienten a ' , B', ', a etc. denselben Bedingungsgleichungen
unterworfen sind, wie die Coefficienten a, ß , y, a, etc. des Art. 14, so erhält
man, wenn man die drei vorigen Gleichungen respective mit a', a₁ , a ; B' ,
, 1 , 1 multipliciert und sie dann alle addiert,
B1 ,9 B2
x' = A x'' + B y' + C z" ,
y' = A₁x" + B₁y" + C₁ê" ,
z' = A¿x" + B₂y" + C₂ê" ,
wenn zur Abkürzung
"
A = a'a" + a₁ α₁ + α₂ α2;
B =
" "
/ "
C = a'7" + a, %; + %282;
"
"
A₁ = ß'a' ' + B'₁ α; + B202,
"
B₁ = ß'ß"' + ß'₁ ß'₁ +ß³₂ ß“ .
"1
C₁ = B' "' + B'₁1 r₁ + 128₂,
"
A₂ = 7'a'" + 7₁ a₁+
•
·
B₂2 = y'ß"' + '%, B'₁ + √₂ ß³2,
"
"
C₂ = 7′ 7″ + J₁ N₁ + 72 82 •
gesetzt wird.
448
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
Da nun hiernach durch diese Formeln die Coordinaten x', y' , z' in die
Coordinaten x" , y" , " transformiert sind , so werden die Coefficienten
A, B, C, Á₁ , B₁ etc. auf eine den Coefficienten a' , B' , y ', ai , B'₁ etc. analoge Weise ausgedrückt werden können , setzt man also die Constanten
H, I , K an die Stelle von h' , i' , k', so erhält man nach den allgemeinen
Formeln des Art. 13
A =
B =
C =
cos K cos H — sin H sin Icos K
sin K cos I - cos K sin H cos I,
A₁ ==
B₁ =
cos K sin H + sin K cos H cos I,
sin K sinH + cos K cos H cos 1,
C₁
cos H sin I,
sin K sin I,
A2 =
B2=
C2 =
sin H sinI,
cos K sin I,
cos I.
Die Constante I wird den Neigungswinkel darstellen , den die beiden
Ebenen , in denen die Bahnen der Planeten m' und m" liegen, mit einander
bilden, wir wollen sie deshalb mit I" bezeichnen, um anzudeuten, dass sie sich
auf die Bahnen von m ' und m" bezieht. Substituiert man in dem Ausdruck
von C in y', '', Y, etc. die Werte dieser Coefficienten , ausgedrückt in h' ,
k', i' , h' , k', i" (Art. 13 ) , so hat man
cos I'" = cosi' cosi'" + cos (h'— h'') sini' sini" .
Man sieht aus alledem, dass die Grössen , die wir mit A , B, A₁ , B₁
bezeichnet haben, dieselben Funktionen von a', a" , ẞ' etc. sind , wie diejenigen,
die wir mit denselben Buchstaben im Art. 93 bezeichnet haben. Man hat
so in den Formeln dieses Artikels , wenn man darin für diese Grössen die
soeben gefundenen Werte setzt,
1
=2
A + B₁ =
2 cos (H + K) (cos — I')²,
1
A - B₁1 = 2 cos (H — K) (sin — I″ )²,
A¸ — B = 2 sin ( H + K) (cos — I
'/ ′) ²,
1
A¸ + B = 2sin (H — K) (sin 2 1 )².
95. Macht man diese Substitutionen in dem Ausdruck von p "2 des Art. 93
so findet man
1
P '— p′² + p″ 2 — 2p′p″ cos (Q'— Q ″ — H — K) (cos 2
— I'″)²
1
―
— 2p′p'cos (V′ + Q" — H + K) (sin ½½ 1')².
Abschn. VII, Cap. IV, § 2.
449
Säkulare Variationen d . Bahnelemente.
Wir wollen für einen Augenblick setzen
= cos (Þ' + P″ — H + K) ―— cos (Q' — Q″ — H — K),
und bekommen
1
"
P
1
112
√p'² + p" " - 2p'p''cos (Þ'— Q″ — H — K) — 2p′p″ ▲ ( sin §I")²
Führt man diesen Wert in dem Ausdruck von 2 des Art. 92 ein, so erhält
man
- "2
p'cos ( ' - " - H— K)
p'▲ (sin ')²
p'² + p" ² — p²
+
‫פוו‬
2p"3
Man braucht nur den Buchstaben , welche mit zwei Strichen versehen sind,
drei Striche zu verleihen , so erhält man die mit m" multiplicierten Glieder
in 2, u. s. f.
Hierin sind noch für p', p" etc. und für Þ' , Q" etc. ihre durch die mittleren
Anomalien u' , u' etc. nach den Formeln der Art. 21 und 22 ausgedrückten
Werte zu substituieren ; bei der Entwicklung wollen wir uns begnügen,
auf die zweiten Dimensionen der Excentricitäten e' , e" etc. und der Neigungen
I', I" der Bahnen von m" , m "" etc. gegen die Bahn von m' Rücksicht zu
nehmen , indem wir diese Grössen als sehr klein von derselben Ordnung
annehmen , und indem wir die Terme , in denen sie Producte von mehr
als zwei Dimensionen bilden, vernachlässigen.
Wir schreiben also zunächst
1
1
"/
cos (P' +
p'² + p" 2-2p'p" cos ( ' -
" - H - K)
"' — H + K)
" — H— K)
cos ( ' —
2
1
sin
- p'p"
I
[p'2 + p" 2-2p'p" cos (Q'- " - H- K)]*
96. Man weiss, dass die Potenzen einer Funktion von der Form
p'2 + p" 2-2p'p''cos q
sich in Reihen nach Cosinus der Vielfachen des Winkels
man kann also setzen
entwickeln lassen ;
(p'2 + p" 2-2p'p" cos q) ¯¹ = (p', p″ ) + (p' , p'') , cosy + (p' , p''), cos 24
+ (p' , p'), cos3q4 + ...,
(p′² + p″ 2 — 2p'p''cos q) − ª = [p ' , p' ] + [p' , p' ] , cos y + [p ' , p' ], cos 24
Lagrange , Analytische Mechanik.
+ [p' , p' ], cos 34 +
29
450
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
wo (p' , p''), (p', p'') , etc. , [p' , p "], [p' , p" ] , etc. Funktionen von p' , p" sind ,
die in Reihen oder in endlichen Integralen ausgedrückt sind , in welchen
die Grössen p', p" in gleicher Weise vertreten sind und homogene Funktionen
- 3 bilden.
von den Dimensionen - 1 beziehungsweise Setzt man also
'—
" — H — K = 9,
so erhält man
1
= (p', p'') + (p' , p'') , cos q + ( p' , p'')½ cos 24 +
+ p′p'' [ [p' , p″ ] + [p ' , p″ ] , cos y + [p', p' ], cos 24 + ...]
1
2
•
> [cos (4 + 20" + 2K) — cosy
2
s ] (sin ' I') .
Ausgedrückt durch die mittlere Anomalie und die Excentricität ist nun
(Art. 21 und 22)
e'2
e'2
cos Qu' ,
'p' = a' ( 1 —· e' cosu') + 2
2
p"
e"2
a" (1 — e''cosu" ) + 2
¹2
e"
cos 2u" ,
2
5e'2
sin 2u' ,
4
5e"2
sin 2u" ,
u" + 2e''sinu" +
4
Q' = u' + 2e' sinu' +
"
folglich wird
5
= u' — u ' — L + 2 (e′sinu' — e'sinu'" ) + (e' sin 2u'— e'² sin 2u ” ) ,
q —
4
WO
L= H+ K
gesetzt ist.
I
Da wir in den mit sin? 2 multiplicierten Termen die Grössen höherer
als zweiter Ordnung vernachlässigen, so kann man in diesen Termen sogleich
a' und a" an die Stelle von p', p' , ferner u' , u' an die Stelle von O′ , Q" ,
und u' -- u". L an die Stelle von
setzen ; entwickelt man nun die Producte der Cosinus, so sieht man leicht, dass die mit p'p" multiplicierte Funktion
kein anderes von den Winkeln u' und u" unabhängiges Glied giebt als
-
2
1
a'a" (a ' , a' ), (sin 2 x ) .
Wir wollen jetzt die Funktionen (p' , p''), (p', p" ) , etc. betrachten ; macht
man darin die vorstehend angegebenen Substitutionen an Stelle von p' und p"
und behält die zweiten Dimensionen von e' und e" bei, so erhält man
Abschn. VII, Cap. IV, § 2.
Säkulare Variationen d. Bahnelemente.
(p' , p' ) = (a' , a″ ) +
a'e'2
(a', a") - a'e'cosu' +
(
-
+
Ə²(a' , a" ) a'²e'²
cos 2u')
20d2
2 (1+
+
+
+
451
a'e'2
cos Qu'
2
u
')
a"e"2
ǝ(a',a') a"e" cosu" +
да" (2
a" e"2
cos 2u"
2
u")
Ə²(a', a") a" e"2
2 (1 + cos 2u")
20a"2
²(a' , a" ) a'a'e'e"
2 · [cos (u' - u" ) — cos (u' + u'')] .
дада"
Aehnliche Formeln gelten für die übrigen ähnlichen Funktionen. Ferner
ist entsprechend
5e2
2e'sin u' +
sin 2u'
4
sin(u'- u" - L)
cos (uu" - L)
cos
• 5e"2
2e'sin u"
sin 2u"
4
e' cos 2u' + e''2
e'2 cos 2u"
cos (u'— u'— L) {C- 2e'e" [cos (u' - u' ) - cos (u' +[W ]}
Man entwickle auf dieselbe Weise die Cosinus der Vielfachen des
Winkels Ф und multipliciere die Ausdrücke dieser Cosinus mit den für die
Coefficienten (p' , p' ); (p', p' ), etc. gegebenen Ausdrücken.
Da wir nur die von jeder Periode unabhängigen Terme suchen, so sind
alle diejenigen Terme fortzulassen, welche mit Cosinus der Vielfachen von u
und u" multipliciert sind, die die Winkel der mittleren Bewegungen von m '
und m" darstellen .
1
Das Glied (p' , p' ) des Ausdrucks von " giebt also nur folgende Glieder
"Ə(a' ,
( (a', a")
(a', a″)
) a'"' ²) e'² .
a" + ə²(a' , a' "'"
,a
'"'") a² + ³³4da2
(a' , a
'"') +(³(a'
(0,0 ") a'²) e² + (0(a
2', a'"'),
20a
40a'2
Das Glied (p' , p"), cosy giebt folgende Glieder
((a' , a'"'
), +
d(a', a' )¹ a' + ə(a' , a'')ı a'' + o²(a' , a" ) a'a" e'e'cos L.
4da'da"
2da'
2da"
e" ) e'e "
Das Glied (p' , p' ), cos 24 und die folgenden werden nur Glieder ergeben,
in denen e' , e" , " , " mehr als zwei Dimensionen bilden , die wir also
vernachlässigen .
Es bleibt nur noch übrig, die Grösse
2
p" + p″² — p” ²
p'cos q
2p"3
p"2
p'A(sin¨´ ) ²
+
(Art. 93, 94)
29*
452
Abschn. VII , Cap . IV.
Bewegung der Planeten.
zu entwickeln . Man mache hier für p' , p" dieselben Substitutionen wie
oben; man erhält zuerst
p'
e'2
a
- cos 2u')
—
= a"2 ( 1 − e' cosu ') + 2e' cosu" + 2 (1
e'2
+
2 ·( 1 + 5 cos 2u'') + e'e'' [ cos (u'— u'' ) + cos ( u' + u' ')] ;
I
aber in dem Gliede , welches sin 2 enthält ,
und welches
schon von der
a'
p'
zu setzen, und da
p"2
- K)
" - H + K) — cos (Þ'— Þ" — H—
zweiten Ordnung ist, genügt es,
an die Stelle von
a"2
A = cos ( ' +
ist, so ist klar , dass dieses Glied keine constanten Grössen ergeben wird.
p'
Multipliciert man den vorigen Ausdruck von
mit dem von cosy des
p''2
vorigen Artikels und behält nur die constanten Glieder bei , in denen e
und e' die zweite Dimension nicht überschreiten , so findet man leicht
e'e"
e'e" α
+ e'e" cos L = 0,
- e'e" + ée" +
c'e
'" )
2
2".
a²" (-de
so dass in der Grösse , um welche es sich handelt, die constanten Terme
sich aufheben .
97. Die Summe aller Terme, die wir soeben gefunden haben, multipli-
ciert mit m' wird der constante Teil der Funktion 2' sein , welcher von
der Wirkung des Planeten m' herrührt , und man wird einen ähnlichen
Ausdruck für den Teil , welcher von der Wirkung des Planeten m ''' herrührt ,
erhalten , wenn man auf diesen die auf den Planeten m" bezüglichen
Grössen bezieht.
Wir haben diesen nicht-periodischen Teil der Funktion 2 mit (2) bezeichnet ; setzt man also zur Abkürzung
((a', a'')) =
d² (a' , a")
ə(a' , a' )
·a' +
a'2
2da'
40a'2
und folglich , da a' und a" auf dieselbe Weise in der Funktion (a', a″ )
vorkommen,
a²(a', u')
(a', a")
a"+
a"2:=
= ((a" ; a'))
2da"
4da"2
und
(a', a"), +
ə(a' , a' )ı a' + (a', a"),
a²(a', a"),
a" +
2da'
2да"
4da'da" a' a" = [(a', a'"')] ,
so erhält man
- (9) = m'
(a'',, a'') + ((a ', a' ) ) e'² + ((a" , a')) e''2
[(a
1
1
e'e'
' cos L
+ [(a', a")] e'e
2 a'a" [a'a' ] , ( sin 1"
Abschn. VII, Cap . IV, § 2.
Säkulare Variationen d . Bahnelemente.
453
Dieser Wert ist genau bis auf Grössen dritter Ordnung, wenn man die
Excentricitäten e
' und e" der Bahnen von m' und m" ebenso wie ihre
gegenseitige Neigung I als sehr kleine Grössen von erster Ordnung ansieht,
welches auch im übrigen die Neigungen dieser Bahnen gegen die feste
Projectionsebene sein mögen.
98. Man kann die Ausdrücke der Funktionen ((a' , a'')) und [ (a' , a"
durch die bekannten Eigenschaften der Coefficienten der Reihen in cos ,
cos 24 etc. sehr vereinfachen.
Denn differentiiert man die identische
Gleichung
— (a' , a'') + (a' , a'') , cos q + (a' , a ' ') , cos 24 +···,
- a''2)
(a'? — 2a' a' cosç
cos + a"
?)-*
nachdem man auf beiden Seiten die Logarithmen genommen hat, nach
und dann nach a' und vergleicht, nachdem man über Kreuz multipliciert
hat , die mit denselben Cosinus multiplicierten Glieder, so erhält man zuerst
3a' a" (a' , a" )2 = -2a' a " (a' , a" ) + 2 (a'² + a'¹²) (a', a" )₁ ;
die Differentiale nach a' und a" geben dann
a' (a', a'') — a'' (a' , a'')ı ,
12
(a'¹² — a'²)
d(a', a'') , ___a' a" (a' , a'') — a'² (a' , a' )1 ,
2
да
a' (a"¹² — a'²)
ǝ(a', a")
да
Ə²(a', a") = 4a′³(a' , a'') + a" (a" ² — 3 a′²) (a' , a' ) ,
da'2
a' (a" -a' )
a²(a', a")
да да"
·2 (a'² + a''²) + 2a' a'' (a' , a'')ı .
(a'² — a'²)²
Substituiert man diese Werte, so erhält man
((a', a'')) =
4a′²a''² (a', a'') — a' a" (a'² + a''²) (a', a'')ı ,
8(a' — a'²)2
- a'a" (a'² + a'' ) (a' , a" ) + (a'* + a″ * — a'²a" ") (a' , a" ) ,.
'"')] = = "
[(a', a
2(a" 2- a'²)2
Man kann aber einfachere Ausdrücke für diese Funktionen erhalten,
wenn man die Coefficienten der Reihe
(a'2—2a' a" cosy + a''²)
-} =
[a' , a" ] + [a' , a" ], cosy + ...
anwendet; denn differentiiert man auch hier logarithmisch und multipliciert
dann über Kreuz , so findet man zuerst wie oben
2
a' a" [a' , a " ]½ = 2 (a'² + a''²) [a' , a " ]ı — ɓa' a" [ a′, a ″ ] .
(a'2
Substituiert man diesen Wert von [a' , a' ], und vergleicht die mit
2a' a' cosy + a″ 2) multiplicierte Reihe mit der Reihe (a' , a' )
454
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
+ (a', a''), cosy + ... " mit welcher sie identisch sein muss , so lassen sich
daraus leicht folgende Relationen herleiten
a″ ] (a' , a" ) = · (a'² + a'"' ") [a', a'"'
— a' a" [a' , a" ] ,
2
(a' , a' ) = 4a' a" [a' , a" ] — (a'² + a' ' ) [ a' , a" ]..
Durch Substitution dieser Werte folgt
1
((a', a' ')) = —, a
' a " [a' , a' "'] , = ((a" , a')) ,
1
3
[(a', a' " '")] = 2
{ a' a' [a' , a' "] — 2
{} (a'² + a ″ ²) [ a' , a ″ ], = —— d'a " [a' , a ″ k ,
welchen Ausdruck man in den Ausdruck von (2′) des vorigen Artikels zu
substituieren hat.
Die Werte der Coefficienten (a' , a" ), (a' , a″ ), etc. [a', a″ ], [a' , a″ ]₁ etc.
als Funktionen von a' , a" kann man durch Entwicklung der Wurzeln nach
Potenzen von cosy finden und durch Entwicklung dieser Potenzen in
Cosinus der Vielfachen von , wie Euler dies zuerst bei seinen Untersuchungen über Jupiter und Saturn gethan hat; ich habe aber schon lange
gefunden , dass man sie auf eine einfachere Weise erhalten kann , indem
man das Binom (a'2-2a' a" cosa" ) in seine beiden imaginären Faktoren
ዋ
(a'— a″ eº V— ¹) (a' — a″ e− 9 V—¹)
zerlegt und nach dem binomischen Satze die -te und jedes dieser Faktoren entwickelt.
Setzt man zur Abkürzung
n' =
n (n + 1)
2
n":
te Potenz
n(n + 1 ) (n + 2) , ... ,
2.3
so erhält man allgemein
-n
− 1'a" et V=1
V— ¹) — ” — a' — " + na'— " (a'— a'"' e ® V=1)
-n- 2 a"¹2 24 V=1
+ n'a'
+
n
Bildet man die entsprechende Reihe für (a— a'e- V-¹) — " , multipliciert
dieselbe mit der obigen Reihe, und ersetzt die imaginären Exponentialgrössen
wieder durch Cosinus vielfacher Winkel, so erhält man
(a¹² — 2a' a" cos y + a″ ² ) — " = A + B cosy + C cos 24+
worin gesetzt ist
1
a"\2
a"\4
a" 6
+ n'2
an
')" +···
- a''²= [
( 1 + m² (
(27
~—' )
)² + n'² ( a
~'"') " + "' " '( a
~"'
]},
3
5
2
a'
B=
a
' +···
a'2
„ ²nn [n (~") + nn' ('a'
)
² + n'n " (C
')
]·
2
a"12
a"\4
C - n n'
12
a
α'
-a
¸²
= [(~' ( ~
'")² + πn
'" ( “
C')'" + "'~
'” ( ~") + ···] ·
A-
Abschn. VII, Cap . IV, § 2.
Säkulare Variationen d. Bahnelemente.
455
Diese Ausdrücke für die Coefficienten A , B, C , ... bilden stets convergente Reihen, wenn a' > a" ist; sollte aber a" > a' sein , so braucht man
nur a' in a" und a" in a' zu verwandeln , da in der nicht entwickelten
Funktion die Grössen a' und a" in gleicher Weise vorkommen.
Eine Folge , welche aus der Form dieser Reihen sich ergiebt , ist , dass
wenn n eine positive Zahl ist, alle Coefficienten A, B, C etc. stets positive
Werte haben.
1
Setzt man n =
so sind diese Coefficienten die von uns mit (a' , a' ),
2
3
(a', a'')1 , (a', a''), bezeichneten Grössen, ist aber n = 2- so werden sie gleich
. ..
[a, a' ], [a', a'']₁ , [a' , a″ ]2 ...
99. Es bleibt nun noch übrig, den Winkel L zu bestimmen. Da wir
die Grössen dritter Ordnung vernachlässigen, und da in dem Ausdruck von A,
cos L schon mit e'e" multipliciert ist, so kann man bei der Bestimmung des
Winkels L von den unendlich kleinen Grössen erster Ordnung absehen und
folglich darin I
″ := 0 setzen. Nun ist (nach Art. ´96) L = H + K; setzt man
in den Formeln des Art. 94
= 0, so hat man
A = cos(H + K) , A₁ —— B = sin (H + K), A, = 0.
Gemäss den Formeln dieses Artikels hat man aber auch
"
A = a'a" + α₁α₁₂ + azaz = cos L.
Differentiieren wir diesen Wert von cos L, indem wir die Grössen
"
a', a" , a₁ , d₁ etc. variieren lassen , substituieren an Stelle der Differentiale
dieser Grössen die im Art. 67 gegebenen Ausdrücke , indem wir den entsprechenden Grössen Accente geben , und setzen an Stelle ihrer Werte in
a' , a" , ẞ' etc. wieder die Grössen A₁ , A, etc., so finden wir leicht
-sinLdL =
A₁dy' + Аîdî' + Вdy" + Саî" .
Es ist aber
Asin L, 40, B
sin L, C = 0.
Dividiert man mit sin L, so erhält man also
= y" - dx',
dLd
und durch Integration
L = x'' — X'•
Hier ist es nicht nötig noch Constanten hinzuzufügen, da der Ursprung
der Winkel x' , x" willkürlich ist. Der Winkel x ist im Allgemeinen der
Winkel, den die Bahn beschreibt, indem sie sich in ihrer Ebene dreht, und
den wir für die Länge k des Perihels eingeführt haben .
100. Die Funktion (2') ist jetzt auf die einfachste und zur Berechnung
der säkularen Störungen geeignetste Form gebracht ; man braucht sie nur
in die Formeln des Art. 71 zu substituieren ; versieht man die Buchstaben
456
Abschn. VII, Cap . IV.
Bewegung der Planeten.
dieser Formeln mit einem Strich, so beziehen sie sich auf den Planeten m',
dessen Variationen wir suchen , und vertauscht man einfach unter einander
die mit einem und zwei Strichen versehenen Grössen, so erhält man ähnliche
Formeln für die Variationen des Planeten m" und ebenso für die andern
störenden Planeten .
Man sieht, dass diese Funktion aus zwei gesonderten Funktionen besteht,
die eine enthält nur die Excentricitäten und die Oerter der Aphele in den
Bahnen, die andere nur die Neigungen der Bahnen gegen eine feste Ebene
nebst den Oertern ihrer Knoten. Bezeichnet man die erste mit (2′)1 , die
zweite mit (9')2, so dass
(9') = (2′), + ( ')2
ist, so hat man
1
(9')1
m" [8 (a', a" ) + a'a'" [a' , a" ] , [e' + e'2)|
[
e=
a', cos (x'
+, a" ], [
{8( 2a'a" [a'
e'e''
—+o
x' '
')
1
+ m'" J 8 (a', a'"') + a'a'"' [ a' , a'"' ] , (e'² + e'¹¹²)
8
-2a'a"" [a' , a'"" ] e'e"" cos (x - x" )
1
44m" a'a" [a' , a" ] ( 1 — cos ")
(2′)2
- m "' a'a
-1
" ' "'[a' , a'"'] , ( 1 — cos I")
4'
WO
cos I"
cosi' cosi'' + cos (h' - h" ) sini' sini" ,
cos I' = cosi
' cosi'" + cos (h'— h'"') sini' sini" " ,
ist.
Hierin sind I", I" etc. die Neigungen der Bahn des Planeten m' gegen
die Bahnen der Planeten m" , m"" etc.
Wir substituieren jetzt (2′) , + (2′), an Stelle von ( 2′) in den Gleichungen
der säkularen Variationen (Art. 76) und geben den Buchstaben Accente,
um sie auf den Planeten m' zu beziehen , dessen Variationen man sucht,
wir bekommen dann , wenn man die e'2 vernachlässigt und einfach in den
Coefficienten der Funktionen (2) , und (2),, welche schon von der zweiten
Ordnung sind, a' für b setzt,
de'
1
dt
Vg'a'
e'ox
dy' = 1
6 (9')1 ,
dt
Vg'a' e'de'
di'
1
a (9')2
dh'
Vg'a' sini'oh'
dt
dt
(9')1 .
1
a ( ')2
Vg'a' sini' di
Aehnlich gestalten sich die Gleichungen für die Variationen der
Elemente des Planeten m" in seiner Bahn um m; um dieselben zu erhalten,
braucht man nur die Buchstaben , welche nur mit einem Strich versehen
Abschn. VII, Cap . IV, § 2.
Säkulare Variationen d . Bahnelemente.
457
sind , mit zwei Strichen zu versehen und dagegen denen einen Strich zu
geben, welche dort zwei Striche haben u. s . f.
Beachtet man ferner, dass die Funktionen von a' und a" , welche durch
Parenthesen dargestellt sind , sich nicht ändern , wenn man in ihnen die
Grössen a' , a" vertauscht, so erhält man zur Anwendung auf den Planeten m'
S(a', a" ) + a'a" [ a' , a' ] , (e'² + e" ?)
1
(9″)1 = ・m'
· 2 [(a' , a'' )] 2, e'e'' cos (x '— 7″ )
8(a" , a''') + a" a""' [ a" , a' "' ] , (e''² + e'''²) |
1
+ 3m" {
- 2 [ (a" , a' "') ] ₂e"'e' "' cos (x" —x''')
1
'm' a' a" [a', a″ ], (1 - cos I')
4
1
m"" a" a"" [a" , a""'] [1 - cosI")
(Q″)2
WO
cos I = cos I',
und
cos I' — cosi'cos¿""' + sin (h" — h'"' ) sin "'' sin "' "'
"
ist, die Gleichungen der Variationen werden aber
1
de"
dt
dy"
dt
1
a (9")
Vg"a"
e" de"
a (9")2
dh'
1
a (2")2
√g"a" sini" oh"
dt
a(2")
Vg"a" e" ox"
di"
1
dt
,
Vg"a" sini" di"
u. s. f. für die Variationen der Elemente der Bahnen von m'" , m''"' etc.
bei den Bewegungen um m.
101. Wir wollen noch bemerken , dass man die verschiedenen Funktionen
( ') , ( ') etc. , ebenso wie die Funktionen (2 )2, (2"), etc. auf eine einzige
Funktion reducieren kann, wodurch die Formeln für die Variationen einfacher
und gleichförmiger werden ; setzt man nämlich
m'm" a'a"
8
[8 (a', a'') + [a', a'']1 (e'² + e''²)
— 2 [a', a ''], e'e'' cos (x - x")]
m'm"" a'a""
[8 (a' , a''') + [a', a'''] 1 (e'² + e''' ²)
8
12 e'e'' cos (x' — x''')]
2 [a' , a''']½
m" m""' a" a""
+
- [ 8 (a'', a''') + [a'' , a'" '] , (e''² + e'''²)
8
2 [a'' , a'''] ½e' "' e''' cos (x ″ – 7″ )]
+
458
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
und bildet alle Combinationen der Massen m', m' , m'"' etc. und der darauf
sich beziehenden Funktionen zu zweien , so sieht man leicht , dass in den
partiellen Differentialen von (2') , ( ' ) ; etc. diese Funktionen in ☀ verwandelt werden können , falls man noch die partiellen Differentiale nach e
und x' durch m', die nach e' , x" mit m" dividiert etc.
Die Gleichungen für die Variationen der Excentricitäten und Aphele
werden dann
de'
1
ad
dy'
1
ӘФ
2
dt
m' √g'a' e'x'
1
ΟΦ
de"
m" √g"a" e" dy."
dt
m'√g'a' c'de'
1
ӘФ
dy" =
dt
m" √
/g"a" e"de"
Diese Gleichungen geben
ӘФ
ΟΦ
ӘФ
ΟΦ
de' = 0 ,
dx" + de " de" = 0.
dx dy'+ de'
Əx"
u. s. f.
Da nun
eine Funktion der Variabeln e' , x', e" , x" etc. ohne t ist,
so erhält man hieraus d = 0, und folglich ❤ = const. Diese Gleichung
bildet eine allgemeine Relation zwischen den Excentricitäten und den
Oertern der Perihele der Planeten , die stets bestehen muss , welchen
Variationen die Excentricitäten und die Oerter der Aphele im Laufe der Zeit
auch unterworfen seien, vorausgesetzt nur, dass sie sehr klein sind .
102. Die Natur der Funktion
liefert aber auch noch andere allgemeine
Relationen zwischen diesen Elementen.
Offenbar besteht, wie man sich aus dem Bau der Funktion
die Gleichung
ΟΦ
ΟΦ
ӘФ
+
+
+
0,
дх
ox
ox"
όχ"
überzeugt,
substituiert man an Stelle der hier vertretenen partiellen Differentiale ihre
e' de'
e" de"
dt -› m" √g"a": dt etc., die durch die Gleichungen des
Werte m'yg'a'
vorigen Artikels gegeben sind , so erhält man durch Integration nacht die
endliche Gleichung
m' √g'a' e'² + m" √9″ a" e" ² + m"" V
√9″" a""' e'""'? +
K2,
wo K² eine Constante ist, die dem Werte der linken Seite dieser Gleichung
für einen beliebigen Augenblick gleich zu setzen ist.
Diese Gleichung zeigt , dass für die Excentricitäten e' , e'" , e'" etc. notwendig Grenzen vorhanden sind , die sie nicht überschreiten können ; denn
da sie notwendig reell sind, sobald die Bahnen Kegelschnitte sind , so wird
Abschn. VII, Cap. IV, § 2.
Säkulare Variationen d. Bahnelemente.
459
jeder Term, wie z. B. m'yg'a' e'², stets positiv sein, und folglich als grössten
Wert nur den der Constante K2 erreichen können.
Es folgt daraus, dass, wenn die Excentricitäten der Bahnen, welche von
sehr grossen Massen beschrieben werden, zu einer gewissen Zeit sehr klein
sind , sie es auch stets sein werden , was für Jupiter und Saturn der Fall
ist; bei Bahnen jedoch, welche von sehr kleinen Massen durchlaufen werden,
können die Excentricitäten bis zur Einheit und darüber wachsen , und man
kann dann ihre wirklichen Grenzen nur durch Integration von Differentialgleichungen bestimmen, wie wir dies später sehen werden.
Da ferner die Grösse Q, als Funktion von e' , e' , e'" etc. betrachtet, eine
homogene Funktion von zwei Dimensionen ist , so erhält man vermöge der
bekannten Eigenschaft solcher Funktionen
ӘФ
ad
ӘФ
де e +"
de"
ie
"+ de'" e"" +
= 20.
Substituiert man in dieser Gleichung die aus den Gleichungen des
vorigen Artikels resultierenden Werte der partiellen Differentiale von
nach
e' , e' , e'" etc. , so erhält man
m'√g'a'
-e'"'2dy""
-e'2dx'
e" dx"
+
+ m"" √
/g"" a""
dt
dt + m" √g" a"
dt
= 2F,
in einem beliebigen Augenblicke ist.
dy' dy"
In dieser Gleichung drücken die Grössen dt , dt etc. die Winkelge-
wo F der Wert von
schwindigkeiten der Bewegungen der Aphele aus, und sie giebt folglich eine
unveränderliche Relation zwischen diesen Geschwindigkeiten, aus welcher
man sieht, dass auch für diese notwendig Grenzen bestehen müssen, sobald
sie alle das nämliche Zeichen haben.
103. Wendet man die Transformationen des Art. 78 an , indem man
auch hier Grössen m', n', m" , n' ... einführt, die definiert sind durch
m'e' sinx' ; n'e' cosy.' ; m" =
-e" sinx" ;
"
e" cos %" ...
so erhält man
m' m' a' a"
2
([a', a' ], (m'² + n'² + m″ ² + n″ ²)
8
— 2 [a' , a″ ]½ (m'm” + n'n''))
m' m''' a' a'''
2
+
· ([a', a'"'] , (m²² + n'² + m''' ' + n''' ')
8
12 (m'm'"' + n'n'"'))
· 2 [a′ , a''']½
m" m""' a" a""
+
([a'', a' "'] , (m" ² + n''² + m'"'² + n''' ²)
8
— 2 [a'' , a' '']; (m'm'"' + n″ n""'))
+
460
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
und die Gleichungen für die Variationen werden nunmehr
dm'
dt
mu
d
u
1
ӘФ
m'
m".
Vg'a' on'
m
1
ӘФ
m"
dt
Vg"a" on"
dn'
dt
dn"
dt
1
ӘФ
Vg'a' om'
1
ӘФ
Əm"
Vg"a"
Substituiert man in diesen Gleichungen den Wert von 0 , und führt
die partiellen Differentiationen aus , so erhält man lineare Gleichungen in
m', n', m", n" etc., die leicht zu integrieren sind , und diese Gleichungen
werden völlig mit denen identisch sein , die ich auf einem andern Wege
in den Berliner Abhandlungen von 1781 pag. 262 gefunden habe ; man
kann sich leicht davon überzeugen, wenn man die verschiedenen Benennungen
derselben Grössen unter einander vergleicht.
In den Abhandlungen von 1782 habe ich diese Gleichungen auf die
sechs Hauptplaneten angewendet, indem ich für ihre Massen die wahrscheinlichsten Werte angenommen habe , und ich habe daraus durch Integration allgemeine Formeln für die Variationen ihrer Excentricitäten und für
die Oerter ihrer Aphele abgeleitet, welche die Werte dieser Elemente sowohl
für die Erde als die übrigen Planeten nach Verlauf einer beliebigen unbestimmten Zeit, sowohl vor als nach der Epoche 1700, ergeben. Da nun
nach diesen Formeln die Excentricitäten sehr klein bleiben, wie wir dies
auch in der Rechnung vorausgesetzt haben, so ist man für alle vergangenen
und künftigen Zeiten über die Genauigkeit der Formeln versichert. Man findet
dann in dem Bande derselben Abhandlungen für 1786-87, gedruckt 1792 , ein
Supplement zu dieser Theorie , welches den neuen Planeten Herschel
(Uranus) betrifft, und in welchem auf dieselbe Weise und durch allgemeine
Formeln die säkularen Variationen der Excentricität und des Ortes des
Aphels dieses Planeten bestimmt werden , welche aus den Wirkungen des
Jupiter und Saturn sich ergeben ; dabei ist nur die Wirkung des Herschel
(Uranus) auf diese beiden Planeten sowie auf die anderen unteren Planeten
vernachlässigt , weil seine Masse nur klein , seine Entfernung aber sehr
gross ist.
104. Auf dieselbe Weise kann man die Gleichungen für die Variationen
der Knoten und Neigungen auf eine einfachere Form bringen.
Es sei
1
4 m'm" a' a" [a', a" ] , (1— cos I' )
1
'm' m'"' a' a'"' [a', a' "'], ( 1 — cos I" )
1
m
'"' m'"' a''a'"' [a'', a'''] (1 - cos I" )
Abschn. VII , Cap. IV, § 2.
Säkulare Variationen d . Bahnelemente.
461
gesetzt, wo alle Combinationen der Massen m', m" , m" etc. , die auf
einander wirken sollen , zu zweien , nebst den entsprechenden Funktionen
a', a" , a"" etc. und den Neigungen I , I· , I"I etc. , welche allgemein durch
die Formel
— h(n) ) sin ¿(m) sin¿(”)
cos I(n)= cos ¿(m) cos ¿(n) + cos (h(m) Man erhält durch Substitution
bestimmt sind , zu bilden sind.
ΟΨ
ΟΨ
7 (N)2 7 (N)2.
etc. an Stelle von
etc.
m'di' ' m'əh'
Oh'
ді
1
ay
di'
dt
m'√g'a' sini' dh'
di"
dt
m" Vg"a" sini" oh"
;
1
dh'
dt
m'g'a' sini' di
1
dl"
dt
m" √g" a" sini" di"
1
von
ay
ΟΨ
Diese Gleichungen ergeben zunächst
ΟΨ
ΟΨ
di" - 0,
dh" +
ch"
oi
ΟΨ
ΟΨ
di
dh' +
dh'
δι
u. s. f.
und da ч eine Funktion von h' , i' , h", i" u. s. f. ohne jede andere Variabele
ist, so ist folglich d =
― 0 und
y = Const.
Es ist ferner aus der Form der Funktion T ersichtlich , dass man
folgende Gleichung hat
ay
ay
ΟΨ
+
+
+
Oh"
all"
Oh'
= 0.
Substituiert man für die Differentiale von V nach ' , " , " etc. ihre
durch die vorigen Gleichungen gegebenen Werte , so erhält man eine
Differentialgleichung in ", " ,
" u. s . f., deren Integral
cosi"" + ... = const.
a """ cosi""
/g""a
√
m'√g'a' cosi' + m" √g" a" cosi" + m"'√g""
sein wird, welches sich auf die Form
2
m'√g'a' (sin ")" + "
2
+
" a" (sin "2 ) +
H2
bringen lässt, wo H2 der Wert der linken Seite für einen beliebigen Augenblick ist. Man kann aus dieser Gleichung in Bezug auf die Grenzen der
"/
Grössen sin , sin 2 etc. Folgerungen ziehen, die denen analog sind, die wir
aus der ähnlichen Gleichung in e', e" etc. des Art. 101 abgeleitet haben.
462
Abschn . VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten .
105. In dem Falle, wo man nur die Wirkung zweier Planeten m' und
m" betrachtet, reduciert sich der Ausdruck von V auf das einzige mit m', m'
multiplicierte Glied, und die Neigung I der beiden Bahnen wird dann
constant. Dies ist nahezu der Fall bei Jupiter und Saturn.
In diesem Falle wollen wir noch bemerken , dass , wenn man annimmt,
dass die Ebene des störenden Planeten m" mit der festen Ebene in einem
Augenblick zusammenfällt, man " = 0 , und folglich cos " = cosi' erhält,
woraus sich
1
y =- m'm" a'a" [a', a" ]₁ (1 - cosi')
ergiebt.
Daraus folgt dann
dh'
dt
m" a'a" [a', a″ ]₁ .
4 √ga
Dies ist der Ausdruck für die Geschwindigkeit der retrograden Bewegung
des Knotens der Bahn von m' auf der Ebene der Bahn von m" , während
die gegenseitige Neigung der beiden Bahnen constant bleibt; man sieht
daraus , dass die Wirkung des Planeten m" auf den Planeten m' , um die
Lage der Bahu zu verändern, sich darauf reduciert, dem Knoten seiner Bahn
auf derjenigen des störenden Planeten m" eine retrograde Bewegung zu
geben, die ausgedrückt ist durch
m" a'a" [a' , a″ ]ı dt,
4 √g'a'
ohne dabei die gegenseitige Neigung der beiden Bahnen zu beeinflussen.
Auf dieselbe Weise giebt die Wirkung des Planeten m' auf m ", welche die
Lage der Bahn ändern will, dem Knoten dieses Planeten auf der Bahnebene
von m' eine retrograde Bewegung, deren Ausdruck
m' a'a" [a', a" ]₁
dt
4√g"a"
ist, u. s. f. für die anderen Planeten.
Combiniert man so alle Planeten zu zweien, so kann man die Variationen
ihrer Knoten und Neigungen finden, da vermöge der Natur der Differentialrechnung die Summe der particularen Werte eines Differentials dessen vollständigen Wert bildet. Auf diese Weise hatte man die jährlichen Veränderungen der Knoten und Neigungen der Planeten bestimmt, die aus den
gegenseitigen Attractionen herrühren , als man eine directe und allgemeine
Theorie der säkularen Variationen noch nicht besass.
106. Um ein Beispiel dieser Methode zu geben, wollen wir drei Planeten
m', m" , m'"' betrachten , deren Bahnen sich schneiden ; I" , I" seien die
Neigungen der zweiten bezw. dritten Bahn gegen die erste, und ' I"
" sei die
Abschn. VII, Cap. IV, § 2.
Säkulare Variationen d. Bahnelemente.
463
Neigung der zweiten gegen die dritte Bahn ; man sieht leicht , dass die
Bahnen auf der Kugel ein sphärisches Dreieck ausschneiden , dessen drei
Winkel , wenn man die Neigungen von m" und m"" nach derselben Seite
annimmt, I" , 180° -I•" und I"" sein werden, die wir der Einfachheit halber
mit a, ẞ, y bezeichnen wollen.
Der Planet m' giebt also auf seiner Bahn dem Planeten m " eine
retrograde Bewegung um das Grössenelement
m' a'a'" [a' , a″ ]₁
dt,
4 √g" a"
und derselbe Planet lässt zu gleicher Zeit auf seiner Bahn den Knoten der
Bahn des Planeten m" um das Grössenelement
m' a' a'"' [a' , a"" ]1
dt
4 √g"" a""
zurückgehen , während die Neigungen I
" und I" constant bleiben.
In dem von den Schnittpunkten der drei Bahnen gebildeten Dreieck
wird also der Teil der Bahn von m ' , welcher zwischen den Bahnen von m"
und m' liegt , d. h. die den Winkeln a und ẞ anliegende Seite , um die
Grösse Adt wachsen, wenn man zur Abkürzung
a"" [a',
A=m
'(
'a' a
'" [a' , a'" }, __ a' a'""[a", a'"'" )
V9"" a""
4
Vg" a"
setzt; die Winkel a, ẞ bleiben constant.
Nun gilt in einem sphärischen Dreieck , dessen Winkel a , ß, y sind,
und dessen den Winkeln a und ẞ anliegende , folglich dem Winkel
gegenüberliegende Seite c ist, die Gleichung
cosy
sina sin ẞ cosc - cosa cosẞ.
Lässt man also cum Adt variieren, so erhält man
d cosy = - sina sinẞ sincAdt,
dieselbe Gleichung giebt aber
Cosy + cosa cos?
sina sin ß
COS C =
woraus
sinc
√sin²a sin²ß
- (cosy + cosa cos ẞ)2
sin a sinß
cos2afolgt.
cos2B
cos2y - 2 cosa cosß cosy
sina sin ẞ
464
Abschn. VII. Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
Setzen wir zur Abkürzung
cosa - cos²ẞ — cos²y — 2 cos a cosẞ cosy = sina sinẞ sinc = u,
so erhält man
d cosy =
Audt.
Auf dieselbe Weise findet man, wenn man das Zurückgehen der Bahnen
von m' und m" auf derjenigen von m" betrachtet, welche die den Winkeln a
und yanliegenden , folglich dem Winkel ß gegenüberliegende Seite um die
Grösse Bdt vergrössert, wo
B=
m" (a' a" [a', a" ],
4
Vg'a'
a" a'" [a" , a"" ]₁
Vg'""' a"
gesetzt ist, während die Winkel a und y constant bleiben,
d cosẞ
Budt,
weil die Grösse u eine symmetrische Funktion der drei Cosinus ist.
Das Zurückgehen der Bahnen von m' und m" auf derjenigen von m'"
giebt ebenso
d cos a = - Cu dt,
WO
C=
m'
4
'""' [a' , a""' \ı
a' a
a" a" [a" , a"" ],
Vg'a'
V9"a"
ist.
In diesen Gleichungen sind die drei Coefficienten A , B , C constant;
es ist also nur u variabel, welches eine Funktion der drei Cosinus a , ß, ,
%
d . h. der Neigungen I , I" , I"
der
entsprechenden
Bahnen
ist.
Man
kann
"
also ihre Werte als Funktion von t bestimmen.
Multipliciert man die erste der drei Gleichungen mit m" m""' a" a'" [a" , a'” ]1,
-die zweite mit
m'm'" ' a' a""' [a' , a""'] , die dritte mit m'm" a' a" [a', a" ] , und
addiert, so erhält man
m" m"" a" a"" [a", a"" ] , d cosy - m'm "" a' a"" [a', a""], d cosẞ
+ m'm' a' a" [a' , a″ ]₁d cos a
= (m'm"" a" a"" [a" , a"" ] , A - m' m"" a' a""
[a', a"" ] B
+ m'm" a' a" [a' , a″ ] , C) udt.
Indem man aber die Werte von A, B, C einsetzt, sieht man, dass die
rechte Seite sich auf Null reduciert , da alle Glieder sich aufheben , und
dass die linke Seite integrabel wird. Setzt man für a , ß , y wieder ihre
Werte 1 , (180° -I"),
I",
"/ so erhält man also
/
m'' m'"' a" a'"' [a'"' , a"" ] 1, cos I"
"I + m'm""' a ' a " [a', a""'], cos I'
+ m'm" a' a" [a', a" ] , cosI
' = Const. ,
Abschn. VII, Cap. IV, § 2. Säkulare Variationen d. Bahnelemente.
465
welche Gleichung für den Fall dreier Planeten mit dem oben (Art. 104)
gefundenen Integral
Const. übereinstimmt.
Setzt man der Einfachheit halber
cosa = x; cosẞy; cosy = 2,
so nehmen die früheren Gleichungen die Gestalt an
dx = - Budt, dz = - Audt,
- Cudt, dy ——
u = √1 — x² — y² — z² — 2xyz,
die erste, combiniert mit der zweiten und dritten, ergiebt durch Elimination
von u
B
A
dy:= C dx, dz = 4d
C x,
und daraus
Bx + a
Ax + b
2=
У
C
C
Substituiert man diese Werte in den Ausdruck von u, so steigt die
Variable x unter der Wurzel bis zum dritten Grade , und die Gleichung
dx
dx =- Cudt giebt dt =
Cu in welcher Gleichung die Variabeln getrennt sind, deren zweites Glied allgemein jedoch nur durch Rectification
der Kegelschnitte integrierbar sein wird.
Da aber die gegenseitigen Neigungen der Bahnen stets sehr klein angenommen werden müssen, so werden, wenn man
x= 1 — ;, y = 1 - 7,2 = 1 -१
setzt, so dass
I
η
= (2x) ,
(2
*
) ,
"
(21)
ist, die Grössen , 7,
sehr klein sein müssen, und man kann in dem Ausdruck von u ihre dritten Dimensionen gegen die zweiten vernachlässigen .
Man erhält so
u² = 2 (5n + & + n§) — §² — n² — C² — 4,
und
Cudt, dn =- Budt, d =- Audt.
αξ
-=
Differentiiert man diesen Wert von u2 und dividiert nach Substitution
der Werte von dɛ, dŋ, d mit udt, differentiiert man dann wieder und macht
darin wieder dieselben Substitutionen , so erhält man, da dt constant ist,
d2u
- C²] u,
= [2 (AC + AB + BC) - A²- Bª—
dt2
welche Gleichung durch Exponentialgrössen oder durch Sinus integrabel ist,
je nachdem der Coefficient von u positiv oder negativ ist. Nun ist auch
u = sina sin ẞ sinc, also ist klar, dass der Wert von u in t keine Exponential30
Lagrange , Analytische Mechanik.
466
Abschn. VII, Cap. IV.
Bewegung der Planeten.
grössen enthalten kann; bezeichnet man also mit
von u in der vorigen Gleichung, so erhält man
-2 den Coefficienten
u = K cos (ut + k),
wo K und k zwei willkürliche Constanten sind, die man aus dem Anfangszustand bestimmen muss , und da nach der Hypothese sina und sinẞ sehr
kleine Grössen sind, so wird auch K einen sehr kleinen Wert erhalten.
Durch weitere Integration erhält man daraus die Werte von §, n, 5, welche
t nur in sin (µt + k) enthalten , und welche , da sie einmal sehr klein sind,
es notwendig stets sein werden, so dass die Lösung immer genau sein wird.
Man lernt also auf diese Weise die Neigungen der Bahnen für eine
beliebige Zeit wirklich kennen, aber man wird daraus noch nicht ihre absoluten
Lagen im Raume erschliessen, welche von den Winkeln h' , h" etc., i' , i" etc.
abhängen ; es ist deshalb einfacher , diese Winkel direct durch Integration
der Formeln des Art. 104 zu bestimmen.
107. Anstatt aber diese Gleichungen in der Form , unter der sie sich
bieten, zu gebrauchen, ist es vorteilhafter , sie durch die Substitutionen des
Art. 73 zu transformieren, indem man setzt
p = sin sinh , ph = sinsinh ” etc.,
q= sini' cosh', q" = sini" cosh" etc.
Man erhält so, indem man den Buchstaben p, q Accente giebt, um sie
y
successive auf die Planeten m' , m" etc. zu beziehen, und indem man m
an die Stelle von (2) setzt (Art. 104),
dp'
dq'
·p′2.
·p′2.
'2 ay
"
Oq'
dt
dp"
m'√g'a'
-2012
dt
'
m " √g" a"
dt
dq"
og'
dt
Əp!
m'√g'a'
1/2
1 ·
q''2 Օվ
P
m" √g" a"
Op"
ist, wie im angegebenen Artikel,
Die Funktion
1
'′)
4 m'm" a'a" [a', a″ ]ı (1 — cos I
1
m'm'"' a'a''' [a', a''']₁ ( 1 -cos I")
Y
"
aber die Werte cos I" , cosI", cos I" u . s. f. werden durch dieselben Substitutionen
cos I" = 7/1 ― p's — g'a
-p " ² - ·´q''" + p' p " + q' q″ ,
1
- 1112 - q'"' ² + p' p'"' + q' q″" ,
cos I" =
p'a — q'a
cos I":=
"
1
-
--
· q''' ² + p" p'"' + q″ q"" ,
Abschn. VII, Cap. IV, § 2. Säkulare Variationen d. Bahnelemente.
467
Macht man diese Substitutionen und führt die partiellen Differentiationen
von ч nach p' , q', p' , q″ etc. aus, so folgt
m" a'a" [a', a″]₁
dp'
dt
112
·(q′ √/1 — p″¹² — q″ ² — q″ √/ 1 — p′²— q′²)
41
/g'a'
m'"' a'a""' [a', a''' ],
―
@ y/ 1
· p'"'"'2 — q″ ″ ³ — q″"' √/1 — p′² — q′²)
4√g'a'
dq' =
dt
m" a'a" [a', a″]₁
·(p' √/ 1 — p″ ² — q″¹² — p″ √1 — p′² — q′²)
4√g'a'
m
' "' a''a "' [a' , a' " ']'ı (p' √ I
'
+
(p′ √ 1 — p''' ² — q'"'² — p'"' √1 — p′² — qʻ²)
4√g'a'
m'a'a" [a', a″ ]₁
dp"
dt
--p'2
q'² — q' √1 — p''” — q″' ²)
4√9" a"
m'"' a'a'"' [a' , a'"']
(a" VI ·p'''2 —· q"
q' "'' "2 .— q"" y/ 1 -— p "" " — q'"' ")
4√g"a"
dq"
dt
m'a'a" [a' , a" ],
112
·(p'' √1 — p'² — q′² — p′ √1 — p""" — q″ ²)
4√g" a"
m""'a" a""'[a" , a"" ] ,
+
- 1/122 — q'"112
-- 112
' ""'" √
V
·q'"'2.
'" — p
q"' ")
/ 1 — p" " — '
4√9"a"
u. s. f.
108. Diese Gleichungen gelten stets , welches auch die Werte der
Variabeln p', q' , p' , q" etc. sein mögen, weil unsere Formeln nicht voraussetzen , dass die Neigungen " , " etc. der Bahnen gegen die feste Ebene
sehr klein seien , wie wir es bisher bei allen Formeln gesehen haben , die
wir für die Bewegung der Knoten und die Variationen der Neigungen
gegeben haben , sie vielmehr allein die Kleinheit der gegenseitigen
Neigungen der Bahnen voraussetzen.
Was ihre Integration betrifft, so scheint sie allgemein sehr schwer zu
sein , und es ist vielleicht nur der Fall zweier Bahnen , wo sie sich ausführen lässt.
Wir setzen in diesem Falle zur Abkürzung
m'a'a" [a' , a"]₁
m" a'a" [a', a" ],
= N,
= M;
4 √g'a'
/g"a"
4√
-p′² — q′2 := x; √/ 1 — p″ ²— q″’ 2 := y
30*
Abschn. VII, Cap. IV.
468
Bewegung der Planeten.
und haben die Gleichungen
dp'
(q'y ·M(q'y
— q″ x);
dt ——M
dq' =
— p'x) ,
M (p'y dt
dp"
dt
dq" =
N(p'x — p'y).
dt
N (q" x - q'y);
Diese geben zuerst
dp" =
dp'
Ndy
0,
dt + M dt
N
dq' + M dq" =
0,
dt
dt
woraus
Np' + Mp" = b;
Nq' + Mq" = c
folgt, wo b und c Constanten sind .
12
72 und substituiert
q'²
— p'²—
Differentiiert man jetzt die Gleichung x² = 1 darin die Werte von dp', dq', so erhält man nach Division mit xdt
dx
dt( ——M (p'q" — q'p" ),
ebenso findet man
dy =dt ➖➖N (q'p" -p'q″ ),
und daraus
N
dx
dy + M
0;
dt
dt
Nx + My = f,
wo feine Constante ist.
Die Integrale, die wir soeben gefunden haben , geben
Mp" -b - Np' ; Mq" -c- Ng' ; My = f— Nx.
Substituiert man diese Werte in den drei Gleichungen
dq'
dp'
+ M (g'y - q'x) = 0 ; dt -M(p'y - p'x) = 0;
dt
dx
dt + M (p'q" -q'p" ) = 0,
so erhält man die folgenden Gleichungen
dp'
dt ·+ fg' - cx = 0 ;
da'
dt ·-fp' + bx = 0;
dx
dt + cp' - bq'= 0,
welche , da sie
integrabel sind .
linear sind und
constante Coefficienten
haben ,
stets
Abschn. VII, Cap. IV, § 2. Säkulare Variationen d. Bahnelemente.
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Aehnliche Gleichungen bekommt man, wenn man p', q', x in p'', q″ , y
verwandelt; wenn man aber die drei ersten dieser Grössen kennt, so erhält
man die drei letzten schon durch die drei vorigen Integrale.
Die Ausdrücke von y' , q', x in t werden drei willkürliche Constanten
enthalten, und da die Constanten b, c, f ebenfalls willkürlich sind , so hat
man also sechs willkürliche Constanten , die sich aber auf vier reducieren,
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weil man den Gleichungen p'² + q'² + x² = 1 , p ″ ² + q″’ 2+ y²— 1 zu genügen
hat. Man erhält so die vollständigen Werte der vier Variabeln p' , q', p" , q″ ,
welche die Lage der beiden Bahnen im Raume bestimmen.
Aber unsere Analyse ist auf die Voraussetzung gegründet, dass die
gegenseitige Neigung der beiden Bahnen sehr klein sei ; der Cosinus dieser
Neigung ist ausgedrückt durch (Art. 107)
xy + p'p" + q'q",
das Differential dieser Grösse ist aber nach den obigen Differentialgleichungen
gleich Null.
Diese Grösse wird also constant sein, wie wir schon im Art. 105
gefunden haben , und die sie darstellende Constante muss, wenn die vorige
Lösung genau sein soll, als sehr klein vorausgesetzt werden.
Es wäre schwierig, vielleicht unmöglich, auf dieselbe Weise den Fall dreier
oder einer grösseren Zahl von Bahnen aufzulösen ; wir wollen aber bemerken,
dass , da die Lage der Projectionsebene willkürlich ist, man diese Ebene
stets so annehmen kann, dass die Neigungen der Bahnen gegen dieselbe sehr
klein sind, da ihre gegenseitigen Neigungen sehr klein sein müssen. Wenn
nun die Neigungen, welche in einem beliebigen Augenblicke sehr klein
sind, stets sehr klein bleiben , so wird die auf diese Hypothese begründete
Lösung zulässig sein.
109. Macht man nun von dieser Annahme, dass die Neigungen i' , i" etc.
der Bahnen gegen die feste Ebene sehr klein sind, Gebrauch , so werden auch
die Variabeln p', q' , p' , q″ sehr klein sein, und man kann in den Gleichungen
des Art. 107 zwischen diesen Variabeln einfach 1 an die Stelle der Wurzeln
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√1 — p'" — q′², √1 -p" -q″ 2 etc. setzen , wodurch sie auf eine lineare
Form gebracht werden, deren Integration leicht ist.
Man wird so Gleichungen erhalten, die denen vollkommen ähnlich sind,
welche ich durch eine andere Methode in den Abhandlungen der Berliner
Akademie von 1782 gefunden hatte, und von denen ich auch eine Anwendung
auf die sechs Hauptplaneten gemacht habe, indem ich die endlichen Ausdrücke
der Variabeln für eine