INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA I
PASO A PASO
HERNAN LAIME ZANGA
SANDRA PAMELA IGNACIO GISBERT
LA PAZ - BOLIVIA
Copyright © 2020 Hernan Laime Zanga
Sandra Pamela Ignacio Gisbert
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Art. No xxxxx
ISBN xxx–xx–xxxx–xx–x
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Published by La Paz - Bolivia
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Prefacio
Este libro es resultando de la exigencia estudiantil que he podido apreciar en mi experiencia como docente, más específicamente este libro es para aquellos estudiantes que
están iniciando sus estudios en álgebra, además el contenido de este libro está inspirado en el avance curricular del primer año de estudio de la Facultad de Ciencias Puras y
Naturales de la UMSA.
En el desarrollo del libro el lector podrá apreciar que los diferentes procedimientos
están con detalles paso a paso. Con la finalidad de ser meticuloso y no dejar nada
sin explicar. A continuación exponemos un compendio de técnicas adoptadas para la
resolución a los diferentes problemas:
• En las demostraciones de los teoremas se identifica, la hipótesis y tesis esto es,
para tener bien en claro a estos dos, ya que en algunos teoremas no se los puede
apreciar claramente.
• En el desarrollo de la demostración se procura dar siempre la razón a cada paso y
en ocasiones se pone como referencia otro resultado, enunciando el número de teorema
o definición u otro resultado del libro.
• En los pies de página se encuentra información variada algunas de ellas, son
conceptos básicos, también está historia, pero si omitimos a estos, no hay dificultad
en la lectura del libro.
• Los ejemplos están para aclarar los conceptos, es por esto, que por cada concepto
hay uno o más ejemplos.
• Al final de las secciones se encuentran los ejercicios y están para consolidar lo
aprendido en esa sección.
El lector que se incursione en la lectura de este libro necesita conocimientos básicos
que son adquiridos en el bachillerato.
III
Índice general
1
Lógica Proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1
Proposición
2
1.2
Tipos de proposiciones
3
1.3
Conectivos lógicos y reglas de operación
4
1.4
Tablas de verdad y clases de proposiciones
13
1.5
Relaciones en la colección de proposiciones P
19
1.5.1
Álgebra de proposiciones
24
1.6
Razonamiento deductivo válido
27
1.6.1
Reglas de razonamiento deductivo válido más usuales.
29
1.7
Predicados y cuantificadores
38
1.7.1
Cuantificadores anidados
43
1.8
Métodos de demostración
51
1.8.1
Método progresivo - regresivo
51
1.8.2
Método por vacuidad
55
1.8.3
Método por trivial
56
1.8.4
Método directo
58
1.8.5
Método por construcción
60
IV
1.8.6
Método de la contrarreciproca
62
1.8.7
Método de la bicondicional
64
1.8.8
Método por inducción matemática
66
1.8.9
Método por contradicción
67
1.8.10 Método por casos
71
1.8.11 Método por contraejemplo
72
2
Teoría de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1
Introducción
76
2.1.1
Paradoja de Russell
77
2.2
Determinación de conjuntos
81
2.3
Relaciones entre conjuntos
84
2.4
Propiedades de la inclusión e igualdad
92
2.5
Operaciones en una colección de conjuntos
94
2.5.1
Propiedades del complemento de un conjunto
95
2.5.2
Propiedades de la intersección
99
2.5.3
Propiedades de la unión.
102
2.5.4
Propiedades de la diferencia de conjuntos.
108
2.5.5
Propiedades de la diferencia simétrica.
111
2.6
Operaciones generalizados
115
2.7
Producto cartesiano
122
2.7.1
Propiedades del producto cartesiano.
125
2.8
La operación de contar
127
3
Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.1
¿Qué es una relación binaria?
133
3.2
Caracterización una relación binaria
135
3.3
Composición de relaciones
136
3.4
Relaciones que se definen en A2
138
3.5
Relación de equivalencia
148
3.5.1
Partición de un conjunto no vacío
165
3.5.2
Partición y relación de equivalencia
167
3.6
Relación de orden
176
3.6.1
Conjuntos ordenados
179
3.6.2
Diagrama de Hasse
187
3.7
Elementos distinguidos de un conjunto ordenado
190
4
Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.1
Funciones y sus gráficas
201
4.2
Clasificación de funciones
212
4.3
Composición de funciones
218
4.4
Funciones inversas
222
4.5
Imágenes de subconjuntos del dominio
238
4.6
Imagen inversa o preimagen
243
5
Aritmética Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.1
Principio de inducción finita
250
5.1.1
Mal uso de la inducción matemática
256
5.2
Divisibilidad
259
5.3
Algoritmo de la división
261
5.4
El máximo común divisor
265
5.4.1
Primos relativos
269
5.5
Algoritmo de Euclides
272
5.6
Números primos
277
5.7
Mínimo común múltiplo
284
5.8
Ecuaciones diofánticas lineales
286
5.9
Congruencia
293
5.10
Aritmética en Zm
299
1. Lógica Proposicional
Presentación. La lógica proposicional estudia las relaciones existentes entre proposiciones, nos ayuda a abstraer conceptos del lenguaje común y llevarlo al lenguaje de la
lógica proporcional (símbolos), para poder realizar diferentes operaciones con el fin de
llegar a una conclusión a la cual se le denomina tesis.
En este capítulo hay dos resultados importantes el primero es, la relación que existe
entre tautología y lógicamente equivalentes, el segundo es el teorema que relaciona
el razonamiento deductivo con el conectivo condicional, que es de gran ayuda para la
demostración de las leyes de inferencia lógica, por último en la última sección se da una
gran variedad de métodos de demostración que serán de gran ayuda para demostrar los
teoremas, lemas, corolarios. En los ejemplos se aplican estos métodos de demostración
y además ejercicios presentados en todo el libro.
Objetivo. Abstraer al lenguaje simbólico proposiciones de los cuales se identifican la
hipótesis y tesis, para luego realizar la demostración aplicando los métodos de demostración.
Objetivos especificos.
• Identificar proposiciones simples y compuestas.
• Encontrar los valores de verdad de las proposiciones (tautología, contradicción o
contingencia) mediante tablas.
• Aplicar las reglas de inferencia lógica, en los diferentes ejercicios.
• Conocer los diferentes métodos de demostración y poder aplicar, cualquiera de
ellos según corresponda el ejercicio.
• Comprender los diferentes conceptos mediante ejemplos.
• Consolidar los conceptos, mediante ejercicios propuestos.
1
2
1.1. Proposición
1.1
Proposición
En el lenguaje común hacemos uso de los enunciados, para poder comunicarnos, estos
enunciados pueden ser frases u oraciones que nos transmiten; afirmaciones, negaciones,
ordenes, interrogaciones, exclamaciones, etc. Analicemos los siguientes enunciados:
1. ¿Doce es divisible por seis? (interrogativa)
2. Distribuyase tal operación respecto de la otra (imperativa)
3. ¡Oh, esta ecuación carece de solución real! (admirativa)
4. La UMSA está en La Paz (declarativa)
5. Bolivia se encuentra en Europa. (declarativa)
6. 30-13=17(declarativa)
7. 2x − 3 > 7(declarativa)
De esta lista de enunciados, nos preguntamos. ¿Cuál de ellos es una proposición?, para
responder, si un enunciado es una proposición le asignamos un valor de verdad a estos
enunciados que puede ser verdadero o falso, así observamos que los enunciados 1, 2 y 3 no
se puede decir si son verdaderos o falsos, en cambio, los enunciados 4, 5 y 6 se pueden saber
el valor de verdad, pues es claro que los enunciados 4 y 6 son verdaderos y el enunciado
5 es falso, pero el enunciado 7 no se puede saber si es verdad o falso, pues depende del
valor que tome x, con este análisis. Ahora estamos listos para dar la definición 1 de una
proposición.
Definición 1.1 (Proposición.) Una proposición es un enunciado declarativo siempre
que se pueda asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que son:
verdadera (V ) o falsa (F)
De ahora en adelante haremos referencia a proposiciones, sabiendo que son enunciados
declarativos de las cuales se pueden determinar su valor de verdad, además estas proposiciones tomaran uno y sólo un valor de verdad.
1 En los diccionarios se describe una definición como una aseveración por medio de la cual se dan propieda-
des suficientes para designar de manera unívoca un concepto o idea. En matemática la idea es parecida: una
definición es en realidad un nombre, para un concepto, además toda definición será aceptada como verdadera
sin la necesidad de ser demostrada. Por ejemplo, el conjunto de puntos en un plano tal que se conserva siempre
a una distancia constante de un punto fijo de ese plano, se define como una circunferencia, y solo se hace uso
de la palabra circunferencia.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
1.2
3
Tipos de proposiciones
Existen dos tipos de proposiciones. Proposición simple y Proposición compuesta.
Proposición simple o atómica. Son proposición sin términos de enlace (conectivo lógico),
que comunican un sólo significado.
Ejemplo 1.1 Un número impar es de la forma 2k + 1, con k ∈ Z.
Ejemplo 1.2
√
2 es un número irracional.
Ejemplo 1.3 La mariposa es un insecto.
Ejemplo 1.4 Cualquier triángulo rectángulo en el plano tiene un ángulo recto.
Proposición compuesta o molecular. Son proposición con términos de enlace, aquellas
en las que encontramos dos o más proposiciones simples unidas por conjunciones gramaticales, o aquellas que están afectadas por una negación u otros conectivos lógicos.
Ejemplo 1.5 Daniel baila y Alberto estudia.
Ejemplo 1.6 Si 14 > 6 y 6 > 5, entonces 14 > 5.
Ejemplo 1.7 Juan usa un celular con sistema operativo Android y Mónica con sistema
operativo iSO.
Ejemplo 1.8 Facebook y WhatsApp son dos redes sociales.
En la lógica formal se analiza varias proposiciones a la vez. Escribir estas proposiciones
puede resultar muy laborioso, es por eso que estas proposiciones son denotadas por letras
minúsculas, como en el caso del ejemplo 1.5 podemos asignar con la letra p la proposición
“Daniel baila” y q la proposición “Alberto estudia”, y así podemos coleccionar proposiciones.
Para mayor formalidad, requerimos del siguiente axioma.2
Axioma 1.1 Existe una colección de proposición P = {p, q, r, s, ..., p 1 , p2 , ...}.
2 En los diccionarios un axioma se describe como, una verdad universal que debido a su evidencia no necesita
demostración. El axioma es la primera piedra en la construcción de una teoría. Es de donde se parte, por ello
ha de ser innegable. Suele ser la base de cualquier tipo de teoría o teorema. Por ejemplo, para el diseño de
cualquier aparato volador, el primer axioma es que existe la gravedad y debemos luchar contra ella si queremos
que algo vuele.
4
1.3. Conectivos lógicos y reglas de operación
1.3
Conectivos lógicos y reglas de operación
Conectivos lógicos. Los conectivos lógicos son símbolos o palabras que se utilizan para
conectar dos o más proposiciones, de manera que el valor de verdad de la proposición compuesta dependerá de cada uno de sus componentes. Los conectivos lógicos que usaremos,
se definen en la siguiente tabla:
Conectivo
Símbolo
Operación Lógica
Nombre
...no...
∼
∼p
Negación
o...o...o ambos
∨
p∨q
Disyunción Incluyente
...y...
∧
p∧q
Conjunción
si...entonces...
→
p→q
Condicional (implicación)
...si y sólo si...
↔
p↔q
Bicondicional (doble implicación)
o...o... pero no ambos
⊻
p⊻q
Disyunción Excluyente
Para poder operar estas proposiciones necesitamos conocer las reglas de operación que
cumplen estos conectivos lógicos.
Reglas de operación. Las reglas de operación de los conectivos lógicos, son las normas
a las que están sujetas cada conectivo.
Definición 1.2 (Negación) Si p es falsa en-
p
∼p
tonces ∼ p es verdadero. Si p es verdadero
V
F
F
V
entonces ∼ p es falso.
Su tabla es:
Ejemplo 1.9 La negación de “p = Todo hombre es inmortal”, es:
∼ p = No todo hombre es inmortal
= No es cierto que todo hombre es inmortal
= Hay hombres que no son inmortales
= Existen hombres no inmortales.
Ejemplo 1.10 La negación de la proposición “p = 863 es un número primo” es:
∼ p = 863 no es un número primo
= No es cierto que 863 es un número primo
= 863 es un número compuesto.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
5
Ejemplo 1.11 La negación de la proposición “p = Tres es mayor que dos” es:
∼ p = Tres no es mayor que dos
= No es cierto que tres es mayor que dos
= Tres es menor o igual que dos.
Ejercicio 1.1 Negar la siguientes proposiciones:
(a). “Todas las mujeres son fieles”
(b). “Existen informáticos que son creativos ”
(c). “ El número pi (π) es mayor que el número de Euler (e).”
(Disyunción incluyente.)
p
q
p∨q
p∨q es verdadero, si al menos una de ellas
V
V
V
es verdadero; en caso contrario es falso.
V
F
V
Su tabla es:
F
V
V
F
F
F
Definición
1.3
Este conectivo llamado disyunción incluyente es la representación simple de la expresión
“o”. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.12 Representar simbólicamente el enunciado:
“O 25 es múltiplo de 5 o 225 es múltiplo de 5 o ambos”
Solución.
Sea p la proposición: “25 es múltiplo de 5” y q la proposición: “225 es múltiplo
de 5”. Así esta proposición es incluyente, pues tanto el 25 como el 225 son múltiplos de 5 y
se representa por
p∨q
que se lee “ o p o q o ambos”, generalmente se lee “p o q”.
■
Ejemplo 1.13 Representar simbólicamente el enunciado:
“Estudiaré música o actuación”
6
1.3. Conectivos lógicos y reglas de operación
Solución.
Sea r la proposición: “estudiaré música” y s la proposición: “estudiaré actuación”.
Esta proposición es incluyente, pues, la persona puede estudiar al mismo tiempo música y
actuación, y se simboliza
r ∨s
Se lee “o r o s o ambos”, pero teniendo implícitamente el concepto de disyunción incluyente,
se lee “r o s”.
■
Ejercicio 1.2 Representar simbólicamente los enunciados:
(a). “Está lloviendo o tres es menor que cinco”
(b). “Juan es especialista en TIC o Programación”
Definición 1.4 (Conjunción.) p ∧ q es ver-
p
q
p∧q
dadero, sólo cuando ambos sean verda-
V
V
V
deros, en otro caso es falsa.
V
F
F
Su tabla es:
F
V
F
F
F
F
Esta conjunción es la representación simple de la expresión “y”. Se utiliza para conectar
dos proposiciones, para obtener un resultado verdadero, ambas proposiciones deben ser
verdaderas. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.14 Representar simbólicamente y encontrar su valor de verdad de la pro-
posición:
“Sucre es la capital de Bolivia y Cuba es una isla”
Solución.
Sean p la proposición: “Sucre es la capital de Bolivia” y q es la proposición: “Cuba
es una isla”. Así la conjunción de ambas proposiciones se simboliza
p∧q
que se lee “p y q”. Sabemos que p es verdadero, q es verdadero, luego por la tabla del
conectivo conjunción, el valor de verdad de p ∧ q es verdadero.
■
La expresión “y” tiene expresiones equivalentes estas son: “e”, “pero”, “aunque”, “aun
cuando”, “tanto...como”, “ni...ni”, “sin embargo”, “además”. Algunos ejemplos son:
• Tres es mayor que dos y divide a 6.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
7
• Franco e Israel son vegetarianos.
• El número ocho es par, pero el número siete es impar.
• Ella es inteligente, sin embargo es un tanto floja.
• Tanto el padre como el hijo son alegres.
• La materia ni se crea ni se destruye.
• Juan jugó futbol aunque estaba lesionado
• Ingresaré a la universidad aun cuando no apruebe el examen de adminisión.
De estos ejemplos simbolizaremos los dos últimos, dejando al lector poder identificar las
proposiciones y llevarlo al lenguaje de símbolos los demás ejemplos.
Sean las proposiciones p: Juan jugó futbol, q: Juan estaba lesionado. Así la conjunción
es simbolizada por p ∧ q.
Ahora en el último ejemplo sean las proposiciones, r: ingresaré a la universidad, s: no
aprobé el examen de admisión. Así la conjunción es simbolizada por r ∧ s.
Ejercicio 1.3 Representar simbólicamente los enunciados:
(a). Gael es matemático y Nicolas es médico.
(b). El ajedrez y el cubo rubik ayudan al razonamiento
(c). La cobra e iguana son reptiles.
(d). Pedro estudia en la UMSA; sin embargo, estudia en la NORMAL.
(e). Tanto las nueces como las almendras nos ayudan a combatir enfermedades cardiovasculares.
(f). Trabajo mucho, pero no incrementa mi salario.
(g). Escalaré el Illimani aun cuando esté nevando
Definición 1.5 (Condicional.) p → q es fal-
p
q
p→q
so cuando el antecedente es verdadero y
V
V
V
el consecuente es falso; caso contrario es
V
F
F
verdadero.
F
V
V
Su tabla es:
F
F
V
Si p y q representan proposiciones simples, la fórmula p → q: se lee “si p entonces q”
o, con menos frecuencia, “p implica q”. Se expresa en nuestro lenguaje usual en alguna de
estas formas:
8
1.3. Conectivos lógicos y reglas de operación
•
Si p entonces q
•
q es condición necesaria para p
•
q, si p.
•
p es suficiente para que q
•
p, sólo si q.
•
p es condición suficiente para que q
•
q es necesario para p
Ejemplo 1.15 Consideremos las proposiciones:
p : hoy es miércoles
q : mañana es jueves
Representar p → q en nuestro lenguaje usual, expuestas arriba.
Solución.
La implicación p → q puede ser representada de las siguientes formas:
• Si hoy es miércoles, entonces mañana es jueves
• Mañana es jueves, si hoy es miércoles.
• Hoy es miércoles, sólo si mañana es jueves.
• Es necesario que mañana sea jueves para que hoy sea miércoles.
• Es condición necesaria que mañana sea jueves para que hoy sea miércoles.
• Es suficiente que hoy sea miércoles, para que mañana sea jueves.
• Es condición suficiente que hoy sea miércoles, para que mañana sea jueves.
■
La proposición p se conoce como la hipótesis (o dato) de la implicación, y q como la
tesis (o conclusión). Cuando se combinan las proposiciones de esta forma, no es necesario
que haya una relación causal 3 entre las proposiciones para que la implicación sea verdadera.
Veamos los siguientes dos ejemplos.
Ejemplo 1.16 Verifique que la siguiente proposición es verdadera.
Si el volumen de toda esfera es 5, entonces 3 es impar.
Solución.
Sea p : el volumen de toda esfera es 5 y q : 3 es impar. Es claro que el volumen
de una esfera depende del radio y por ello existen volumenes distintos, entonces p es falso
(F). La proposición q es verdadero (V ). Luego el valor de verdad del conectivo implicación
p → q es verdadero.
■
3 Es la relación entre un evento (la causa) y un segundo evento (el efecto), donde el efecto es una consecuencia
directa de la causa.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
9
Pero que pasaría cuando p y q tengan alguna relación causal, decidir cuál es el valor
de verdad de p → q, cuando p es falso, sabiendo que q depende de p. Veamos el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 1.17 Verifique si la siguiente proposición es verdadera: supongamos que un
candidato dice lo siguiente durante su campaña:
Si llego a la presidencia, bajaré las tarifas de la luz.
Solución.
Sea p: llego a la presidencia y q: bajaré las tarifas de luz. Esta proposición puede
pensarse como un compromiso, condicionado a que se cumpla p. Es fácil convencernos en
el caso de que el candidato sea electo presidente y no baje las tarifas de luz, no cumplió
su compromiso; de manera que cuando p sea verdadero y q sea falso, tenemos que p → q
es falso. También es claro, cuando p es verdadero y q es verdadero, el candidato cumplió
su compromiso, por lo que p → q es verdadero en este caso. Pero ¿qué pasa si p no se
cumple?, es decir, en el caso en que el candidato no gane la presidencia, este candidato
queda liberado del compromiso, así la proposición p es falsa, por consiguiente cualquiera
sea el valor de verdad de q, la implicación p → q es verdadera, según la tabla de verdad de
■
la implicación.
Para el siguiente ejemplo dejamos al lector identifique a las proposiciones p y q.
Ejemplo 1.18 Verifique si la siguiente proposición es verdadera.
Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces el triángulo es rectángulo.
Solución.
Si la hipótesis (p) es verdadero, la tesis (q) es verdadero, por definición de trián-
gulo recto, en consecuencia la implicación p → q es verdad. Ahora, si asumimos que el triángulo no tiene un ángulo recto, la tesis es falsa, en este caso también es verdad la implicación.
Así la implicación es verdadera.
■
En este ejemplo se pudo apreciar que existe una relación causal entre la hipótesis y la
tesis.
Ejercicio 1.4 Representar simbólicamente el enunciado:
Si 2 es factor de 8, entonces 8 es par
Ejercicio 1.5 Simbolizar y analizar, si la siguiente proposición es verdadera:
1
Si a y b son números reales positivos que satisface la ecuación 1a + 1b + 1x = a+b+x
,
entonces todas las soluciones de la ecuación son: x = −a y x = −b
10
1.3. Conectivos lógicos y reglas de operación
Ejercicio 1.6 Simbolizar y analizar, si la siguiente proposición es verdadera:
Si a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d 2 + (c + d)2 para los números reales a, b, c y d, entonces
a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d 4 + (c + d)4 .
Definición 1.6 (Bicondicional.) p ↔ q es
p
q
p↔q
verdadera si ambas proposiciones tienen
V
V
V
el mismo valor de verdad, caso contrario
V
F
F
es falso.
F
V
F
Su tabla es:
F
F
V
Este conectivo bicondicional tiene expresiones en el lenguaje natural tales como:
•
p si y sólo si q
•
p es igual a q
•
p equivale a q
•
p vale por q
•
p es condición necesaria y suficiente para q
•
p es lo mismo que q
•
p implica q y q implica p
•
p significa que q
Ejemplo 1.19 Consideremos las siguientes proposiciones:
p : El triángulo es equilátero.
q : El triángulo es equiángulo.
Representar p ↔ q en nuestro lenguaje natural, expuestas arriba.
Solución.
• El triángulo es equilátero si y sólo si el triángulo es equiángulo.
• Un triángulo es equilátero es equivalente a que el triángulo sea equiángulo.
• Un triángulo es equilátero es condición necesaria y suficiente para que el triángulo sea
equiángulo.
• Un triángulo es equilátero implica que el triángulo es equiángulo y un triángulo equiángulo implica que el triángulo es equilátero
• El triángulo es equilátero es igual a que el triángulo es equiángulo. .
• El triángulo equilátero vale por el triángulo equiángulo.
• El triángulo es equilátero es lo mismo que el triángulo sea equiángulo.
• El triángulo es equilátero significa que el triángulo es equiángulo.
■
Capítulo 1. Lógica Proposicional
11
Ejemplo 1.20 Simbolizar y analizar la siguiente proposición:
P es una parábola si y sólo si los puntos que forman a P están en un plano tal que
su distancia a una recta fija, es siempre igual a su distancia de un punto fijo.
Solución.
Sea p la proposición “P es una parábola”. Sea q la proposición “Los puntos que
forman a P están en un plano tal que su distancia a una recta fija, es siempre igual a su
distancia de un punto fijo”. Entonces la representación simbólica es:
p↔q
Siempre que p es verdadero, entonces q es verdadero y siempre que p es falso, entonces q
es falso. Por tanto, p ↔ q es verdadero.
■
Ejemplo 1.21 Simbolizar y analizar la siguiente proposición:
A es un cuadrado si y sólo si A es un rectángulo.
Solución.
Sea r la proposición “A es un cuadrado” y s la proposición “A es un rectángulo”.
Entonces r ↔ s es la proposición:
A es un cuadrado si y sólo si A es un rectángulo.
En este caso r ↔ s es falso, pues, aunque siempre que A sea un cuadrado, A es un rectángulo, pero no es cierto que todo rectángulo sea un cuadrado, es decir, podría suceder que s
■
fuera verdadero y r falso al mismo tiempo.
Ejemplo 1.22 Analizar y simbolizar la siguiente proposición:
a = b si y sólo si a2 = b2
para todo a y b enteros positivos.
Solución.
Sean a y b enteros positivos con p: a = b y q: a2 = b2 . En símbolo se expresa
p↔q
Si asumimos a = b como verdadero (o falso), esto implica a2 = b2 es verdadero (o falso),
así la proposición p → q es verdadero independiente del valor de verdad. Ahora si a2 = b2
es verdadero (o falso) entonces a = b o a = −b esto implica a = b, pues a y b son enteros
positivos, luego a = b es verdadero (o falso). Así, la proposición q → p es verdadero. Por
tanto, la biconcondicional p ↔ q es verdadera.
■
12
1.3. Conectivos lógicos y reglas de operación
Ejercicio 1.7 Simbolizar y analizar la siguiente proposición:
a b
+ = 2 si y sólo si a = b
b a
Ejercicio 1.8 Simbolizar y analizar, la siguiente proposición:
a, b y c son longitudes de los lados de un triángulo si y sólo si a+b > c, a+c > b, b+c > a
Definición 1.7 (Disyunción excluyente) p⊻
p
q
p⊻q
q es verdadero si p y q tienen distintos va-
V
V
F
lores de verdad (V , F); caso contrario, es
V
F
V
falso. Su tabla es:
F
V
V
F
F
F
Ejemplo 1.23 Representar simbólicamente el enunciado: Para cualquier x ∈ R\{0},
O x > 0 o x < 0 pero no ambos.
Solución.
Sea p la proposición “x > 0” y q la proposición “x < 0 ”, Así en símbolos se tiene
p⊻q
Es decir que un número real diferente de cero, no puede tener signo positivo y negativo al
■
mismo tiempo.
Ejemplo 1.24 Representar simbólicamente el enunciado:
“A las 17:00 horas ire al cine o al partido de fútbol”
Solución.
Sea p la proposición “A las 17:00 horas ire al cine” y q la proposición “A las 17:00
horas ire al partido de fútbol”. Así esta proposición es excluyente, y se representa por: p ⊻ q.
Asumimos que cine y el partido se emiten simultáneamente, asi se excluye una de las dos
opciones, pues es claro que no se puede estar en dos sitios a la vez. Se lee “ o p o q pero
no ambos”, sin embargo si tenemos implicitamente el concepto de disyunción excluyente se
■
lee “p o q”.
Ejemplo 1.25 Representar simbólicamente el enunciado:
“Juan tiene fiebre o hipotermia ”
Capítulo 1. Lógica Proposicional
Solución.
13
Sea r la proposición “Juan tiene fiebre” y s la proposición “Juan tiene hipotermia”.
Así esta proposición es excluyente, y se representa por
r ⊻s
se excluye uno de los dos sintomas, pues es claro que no se puede tener fiebre e hipotermia
al mismo tiempo. Se lee “o r o s pero no ambos”, sin embargo si tenemos implicitamente el
concepto de disyunción excluyente se lee “r o s”.
■
Ejercicio 1.9 Representar simbólicamente el enunciado:
“Hans se encuentra en La Paz o se encuentra en Oruro”
Ejercicio 1.10 Si la proposicón (∼ p ∧ q) → r es falsa, determina el valor de verdad de
la proposición (q ∨ s) →∼ (r ∧ p), sabiendo que s es verdadero.
Ejercicio 1.11 Encuentra el valor de verdad de la proposición p →∼ p ∧ q sabiendo
que el valor de verdad de p es F.
1.4
Tablas de verdad y clases de proposiciones
¿Qué son las tablas de verdad y para qué sirve? Las tablas de verdad es el método más
conocido de la lógica formal, nos sirven, para poder determinar el valor de verdad de proposiciones, que por lo general son proposiciones compuestas, pero al mismo tiempo es un
mecanismo poderoso y claro, el valor de verdad de una proposición puede ser; tautológicas, contradictorias y contingencia. Entender bien las tablas de verdad es, en gran medida,
entender bien a la lógica formal misma.
Construcción de tablas de verdad. La construcción de estas tablas de verdad se hizo
tomando en cuenta los siguientes factores.
1. Se pone una columna por cada proposición simple y compuesta, hasta llegar a la proposición final.
2. Si n es el número de letras de proposiciones distintas que aparecen en la proposición
completa, entonces la tabla consta de 2n filas, que corresponden a todos los posibles
valores de verdad de las letras proposicionales que aparecen.
3. Convenimos adoptar un orden lexicográfico para colocar los valores de verdad de las
letras de proposción, donde el “abecedario” es {V , F} en ese orden.
4. Al utilizar el programa de MATLAB, los valores de verdad, se denotarán por V = 1 y
F = 0.
14
1.4. Tablas de verdad y clases de proposiciones
Ejemplo 1.26 Construir la tabla de verdad para la proposición
p → (∼ q ∧ r)
Solución.
En la proposición p → (∼ q ∧r) tenemos 3 letras p, q y r, entonces la tabla consta
de 23 = 8 filas. Así construimos la siguiente tabla:
p
q
r
∼q
∼ q∧r
p → (∼ q ∧ r)
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
Ahora, vamos a resolver mediante el programa de Matlab. Empezamos colocando el código
en Matlab para p → (∼ q ∧ r).
% Definimos las variables y vectores
2 V=true;
3 F=false;
4 p=[V;V;V;V;F;F;F;F];
5 q=[V;V;F;F;V;V;F;F];
6 r=[V;F;V;F;V;F;V;F];
7 % Imprimir la tabla de verdad de:p->(~q^r)
8 disp(’Tabla de verdad para:
p->(~q^r)’)
9 disp(’
p
q
r
p->(~q^r)’)
10 T=[p,q,r,~p|(~q&r)]
1
Al hacer correr Matlab, se tiene el siguiente resultado:
Tabla de verdad para: p → (∼ q ∧ r)
p
q
r
p → (∼ q ∧ r)
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
T=
donde V = 1 y F = 0
■
Capítulo 1. Lógica Proposicional
15
Ejemplo 1.27 Construir la tabla de verdad, para la proposición
p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Solución.
En la proposición p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) tenemos 3 letras p, q y r, entonces
la tabla consta de 23 = 8 filas. Así construimos la siguiente tabla:
p
q
r
q∧r
p ∨ (q ∧ r)
p∨q
p∨r
(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
Ahora, vamos a resolver mediante el programa de Matlab. Empezamos colocando el código
en Matlab para p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r).
%Definimos las variables y matrices
V=true;
3 F=false;
4 p=[V;V;V;V;F;F;F;F];
5 q=[V;V;F;F;V;V;F;F];
6 r=[V;F;V;F;V;F;V;F];
7 %imprimir la tabla para:pv(q^r) <---> (pvq)^(pvr)
8 disp(’Tabla de verdad para:
pv(q^r)<--->(pvq)^(pvr)’)
9 disp(’
p
q
r
pv(q^r)<--->(pvq)^(pvr)’);
10 T=[p,q,r,(~(p|(q&r))|((p|q)&(p|r)))&((p|(q&r))|~((p|q)&(p|r)))]
1
2
Al hacer correr Matlab, se tiene el siguiente resultado:
Tabla de verdad para: p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p
q
r
p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
T=
■
16
1.4. Tablas de verdad y clases de proposiciones
Llamemos conectivo principal al último conectivo usado en la construcción de una proposición. Por
ejemplo, el conectivo principal de ((∼ p) ∨ q) ∧ r es el ∧. En el caso de que el conectivo principal se
utilice más de una vez en la proposición, se debe identificar cuál es el último. Por ejemplo, el conectivo
principal de ((∼ p) ∧ q) ∧ r es el segundo ∧ escrito.
Ejercicio 1.12 ¿Es posible que la tabla de verdad de una proposición compuesta tenga
48 filas?
Ejercicio 1.13 Si la tabla de verdad de cierta proposición compuesta tiene 64 renglo-
nes, ¿Cuántos componentes distintos tiene?
Ejercicio 1.14 Hallar las tablas de verdad de:
(a). ∼ p∧ ∼ q
(d). (p → q) → [(p ∧ r) → (q ∧ r)]
(b). ∼ (∼ p ↔ q)
(e). ∼ [(∼ p → q)∧ ∼ (p ∧ q)] ∧ q
(c). (p → q)∨ ∼ (p ↔∼ q)
(f). [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
Clases de proposiciones. Estas proposiciones se clasifican en: tautológico, contradictorio
y contingencia.
Definición 1.8 Proposición Tautológica V . Proposición verdadera, para todos los
valores de verdad de sus componentes.
Ejemplo 1.28 p∨ ∼ p es una tautología, porque es verdadera, para todos los valores
de verdad de sus componenetes, es decir:
p
∼p
p ∨ ∼p
V
F
V
F
V
V
Ejemplo 1.29 La proposición del ejemplo 1.27, p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) es una
tautología.
Ejercicio 1.15 Determinar si las siguientes proposiciones son o no tautologías.
(a). (p ∧ q) → (p∨ ∼ r)
(b). ((p → q)∧ ∼ q) →∼ p
(c). (p →∼ q) ∨ (q →∼ r)
Capítulo 1. Lógica Proposicional
17
Definición 1.9 Proposición Contradictoria F . Proposición falsa, para todos los va-
lores de verdad de sus componentes.
Ejemplo 1.30 p∧ ∼ p es una contradicción porque es falsa para todos los valores de
verdad de sus componentes, es decir
p
∼p
p ∧ ∼p
V
F
F
F
V
F
Ejemplo 1.31 Verifique mediante la tabla que la proposición ∼ [(p ∨ q) →∼ (∼ p∧ ∼ q)]
es una contradicción. Luego realice con Matlab.
En la proposición ∼ [(p ∨ q) →∼ (∼ p∧ ∼ q)] tenemos 2 letras p y q, entonces la
Solución.
tabla consta de 22 = 4 filas. Así construimos la siguiente tabla:
p
q
p∨q
∼p
∼q
∼ p∧ ∼ q
∼ (∼ p∧ ∼ q)
(p ∨ q) →∼ (∼ p∧ ∼ q)
∼ [(p ∨ q) →∼ (∼ p∧ ∼ q)]
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
Ahora, vamos a resolver mediante el programa de Matlab.
%Definimos las variables y vectores
2 V=true;
3 F=false;
4 p=[V;V;F;F];
5 q=[V;F;V;F];
6 %Imprimir la tabla de verdad de:
~[(pvq)->~(~p ^ ~q)]
7 disp(’Tabla de verdad para:
~[(pvq)->~(~p ^ ~q)]’)
8 disp(’
p
q
~[(pvq)->~(~p ^ ~q)]’)
9 T=[p,q, ~[~(p|q)|~(~p&~q)]]
1
Al hacer correr Matlab, se tiene el siguiente resultado:
Tabla de verdad para: ∼ [(p ∨ q) →∼ (∼ p∧ ∼ q)
p
q
∼ [(p ∨ q) →∼ (∼ p∧ ∼ q)
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
T=
■
18
1.4. Tablas de verdad y clases de proposiciones
Ejercicio 1.16 Determinar si las siguientes proposiciones son o no contradicciones.
(a). ∼ {p ∨ [p → (q ∧ r)]}
(b). [(p → q)∧ ∼ p)] → p
(c). (p ↔ q) ∧ (q ↔∼ p)
Definición 1.10 Proposición Contingencia. Proposición que no es tautología ni con-
tradicción.
Ejemplo 1.32 La proposición del ejemplo 1.26, p → (∼ q ∧ r) es una contingencia.
Ejemplo 1.33 La proposición p → (p ∧ q) es una contingencia.
Solución.
En la proposición p → (p ∧ q) tenemos 2 letras p y q, entonces la tabla consta de
22 = 4 filas. Así construimos la siguiente tabla:
p
q
p ∧q
p → (p ∧ q)
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
■
Ejemplo 1.34 La proposición (p ↔∼ q)⊻ ∼ (p ∧ q) es una contingencia.
Solución.
En la proposición (p ↔∼ q)⊻ ∼ (p ∧ q) tenemos 2 letras p y q, entonces la tabla
consta de 22 = 4 filas. Así construimos la siguiente tabla:
p
q
∼q
p ↔∼ q
p∧q
(p ↔∼ q) ⊻ (p ∧ q)
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
■
Ejercicio 1.17 Realizar las tablas de verdad de los ejemplos 1.33 y 1.34 con Matlab.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
19
Ejercicio 1.18 Determinar si las siguientes proposiciones son: Tautología, contradic-
ción o contingencia.
(a) (p ∧ q) →∼ q
(c) (∼ p → q) ↔ (∼ p∧ ∼ q)
(b) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
(d) ∼ {[p → (∼ q ∨ r)] ⊻ [∼ (p ∧ q) ∨ r]}
Ejercicio 1.19 ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías?
(a) (p → q) ↔∼ (∼ q ∧ p)
(d) ∼ (p ∧ q) → (∼ p ∨ q)
(b) ((p ∨ q) ∧ (p ∧ q)) → p
(e) ((p ∧ q) ∨ p) → p
(c) ∼ (p → q) ↔∼ (∼ p ∧ q)
1.5
Relaciones en la colección de proposiciones P
Las relaciones que se definen entre dos proposiciones p y q de la colección P es: la
equivalencia y la implicación.
Definición 1.11 Equivalencia lógica. Dos proposiciones p y q son lógicamente equi-
valente o simplemente equivalentes si y sólo si ambas proposiciones tienen tablas de
verdad idénticas.
Sean p, q ∈ P. Si p y q son equivalente, simbolizamos por p ≡ q o p ⇔ q. La definición anterior será:
p ≡ q si y sólo si p y q tienen tablas de verdad idéntica
si y sólo si p ↔ q es una tautología
Ejemplo 1.35 Demuestre la equivalencia de la proposición ∼ (p ∧ q) con ∼ p∨ ∼ q.
Construyamos la tabla para cada proposición. En la proposición ∼ (p ∧ q) tene-
Solución.
mos 2 letras p y q, entonces la tabla consta de 22 = 4 filas. Así la construccion de su tabla
está a la izquierda. Y la proposición ∼ p∨ ∼ q tiene 2 letras p y q, entonces la tabla consta de
22 = 4 filas. Así la construcción de su tabla está a la derecha.
p
q
p∧q
∼ (p ∧ q)
p
q
∼p
∼q
∼ p∨ ∼ q
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
20
1.5. Relaciones en la colección de proposiciones P
Por tanto, las tablas de verdad son idénticas. Esto es: ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q
■
Ejercicio 1.20 Demuestre la equivalencia de las siguientes proposiciones:
(a). p ↔ q es equivalente a (p → q) ∧ (q → p).
(b). p → (q ∨ r) es equivalente a (p → q) ∨ (p → r).
Ejercicio 1.21 Dada las siguientes proposiciones:
(a). ∼ (p → r) ∨ q
(e). ∼ q → (∼ p →∼ r)
(b). (p∧ ∼ r) ∨ q
(f). ∼ q → (∼ p ∨ r)
(c). (∼ p →∼ r) ∨ q
(d). q → (p → r)
(g). ∼ q →∼ (p → r)
¿Cuál de las anteriores proposiciones son equivalentes a ∼ (p → r) →∼ q?
Propiedades de la equivalencia lógica. Sean p, q, r ∈ P :
Reflexiva. p ≡ p o de la forma p ⇔ p
Simétrica. (p ≡ q) → (q ≡ p) o de la forma (p ⇔ q) → (q ⇔ p)
Transitiva. (p ≡ q) ∧ (q ≡ r) → (p ≡ r) o de la forma (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r) → (p ⇔ r)
Estas propiedades de equivalencia lógica están propuestas en el Ejercicio 1.23. El concepto
de equivalencia lógica nos ayuda en una tarea muy importante, saber si dos proposiciones
son equivalentes, como por ejemplo, saber cuál es la negación de una proposición.
Ejemplo 1.36 Sean la proposición p: “Cuido mi salud” y q: “No me enfermo”, la propo-
sición p → q es por tanto:
Si cuido mi salud, entonces no me enfermo.
La negación de la anterior proposición es ∼ (p → q), sería:
No es cierto que si cuido mi salud, entonces no me enfermo.
Negar así una implicación, no da claridad de que sucede realmente cuando se niega
una implicación. La idea es encontrar una proposición en la cual el símbolo de negación
∼ aparezca aplicado en una proposición simple, pues así se clarificara lo expuesto en
la proposición.
¿Cuál de las siguientes proposiciones es lógicamente equivalente a ∼ (p → q)
Capítulo 1. Lógica Proposicional
21
(a) Si no cuido mi salud, entonces me enfermo.
(b) Si me enfermo, entonces no cuido mi salud.
(c) Cuido mi salud y me enfermo.
Solución.
Observemos que ∼ (p → q) es lógicamente equivalente a la última proposición
p∧ ∼ q
p
q
p→q
∼ (p → q)
p
q
∼q
p∧ ∼ q
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
F
Así, la negación de la implicación, “Si cuido mi salud, entonces no me enfermo” es la
proposición, “Cuido mi salud y me enfermo”, que es más comprensible. En símbolos es:
∼ (p → q) ≡ p∧ ∼ q
■
Ejercicio 1.22 Dada la siguiente proposición, “Si vas a la playa este fin de semana,
entonces deberías traer tus libros y estudiar” ¿Cuál de las siguientes proposiciones es
la negación?
(a). Si no vas a la playa este fin de semana, entonces no debes traer tus libros y no
debes estudiar.
(b). Si no vas a la playa este fin de semana, entonces no debes traer tus libros o no
debes estudiar.
(c). Si no vas a la playa este fin de semana, entonces debes traer tus libros y estudiar.
(d). No irás a la playa este fin de semana, y no deberías traer tus libros y no deberías
estudiar.
(e). No irás a la playa este fin de semana, y no deberías traer tus libros o no deberías
estudiar.
(f). Irás a la playa este fin de semana, y no deberías traer tus libros y no deberías
estudiar.
(g). Irás a la playa este fin de semana, y no debes traer tus libros o no debes estudiar.
22
1.5. Relaciones en la colección de proposiciones P
Ejercicio 1.23 Haciendo uso de la tabla demostrar las propiedades de equivalencia
lógica: reflexiva, simétrica y transitiva.
Definición 1.12 Implicación lógica. Una proposición p implica a otra proposición q
si y sólo si la condicional de la primera a la segunda es tautológica.
Sean p, q ∈ P. Si p implica q, simbolizamos por p ⇒ q. La definición anterior será:
p⇒q
si y sólo si p → q es una taulotogía
p ⇒ q es una implicación lógica
si y sólo si p → q es una taulotogía
Ejemplo 1.37 Demuestre que (p ∨ q)∧ ∼ p ⇒ q es una implicación lógica.
Solución.
En la proposición (p ∨ q)∧ ∼ p → q tenemos 2 letras p y q, entonces la tabla
consta de 22 = 4 filas. Así construimos la siguiente tabla:
p
q
p∨q
∼p
(p ∨ q)∧ ∼ p
(p ∨ q)∧ ∼ p → q
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
Así, la condicional (p∨q)∧ ∼ p → q es una tautología, por tanto, la proposición (p∨q)∧ ∼ p ⇒ q
■
es una implicación lógica.
Ejercicio 1.24 Demuestre que las siguientes proposiciones son implicaciones lógicas.
(a). (p → q) ∧ p ⇒ q
(b). (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r)
Propiedades de la implicación lógica
Reflexiva. Sean p ∈ P : p ⇒ p.
Antisimétrica. Sean p, q ∈ P : (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) → (p ⇔ q).
Transitiva. Sean p, q, r ∈ P :(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) → (p ⇒ r).
Estas propiedades de la implicación lógica, están propuestas en el ejercicio 1.25
La proposición condicional p → q es llamada condicional directa, sin embargo existen condicionales
asociadas a esta, las cuales son: q → p recíproca, ∼ p →∼ q contraria y ∼ q →∼ p contrarrecíproca.
Para poder apreciar estas condicionales, veamos el siguiente ejemplo:
Capítulo 1. Lógica Proposicional
23
Ejemplo 1.38 Sean las proposiciones p: es un entero par, q: es divisible por dos.
Determinar las condicionales: directa, recíproca, contraria y contrarrecíproca.
Solución.
• p → q Si un entero es par, entonces es divisible por 2 (proposición directa).
• q → p Si un entero es divisible por 2, entonces es par (proposición recíproca).
• ∼ p →∼ q Si un entero no es par, entonces no es divisible por 2 (proposición contraria).
• ∼ q →∼ p Si un entero no es divisible por 2, entonces no es par (proposición contrarrecíproca).
■
Observación 1.1 Podemos afirmar que: p → q ≡∼ q →∼ p,
q → p ≡∼ p →∼ q.
Ahora podemos expresar: la condicional p → q, bicondicional p ↔ q, conjunción p ∧ q,
disyunción excluyente p ⊻ q en términos de la negación ∼ y de la disyunción incluyente ∨.
• p → q ≡∼ p ∨ q
• p ∧ q ≡∼ (∼ p∨ ∼ q)
• p ↔ q ≡ (q∨ ∼ p) ∧ (p∨ ∼ q)
• p ⊻ q ≡ (∼ q ∧ p) ∨ (∼ p ∧ q)
Las negaciones de las reglas de operación son:
• ∼ (∼ p) ≡ p
• ∼ (p → q) ≡ p∧ ∼ q
• ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q
• ∼ (p ↔ q) ≡ (∼ q ∧ p) ∨ (∼ p ∧ q)
• ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q
• ∼ (p ⊻ q) ≡ (q∨ ∼ p) ∧ (p∨ ∼ q)
Ejercicio 1.25 Demostrar las propiedades de equivalencia lógica: reflexiva, antisimé-
trica, transitiva.
Ejercicio 1.26 Demostrar la observación 1.1
Ejercicio 1.27 Demostrar las siguientes equivalencias lógicas, mediante tabla.
(a). p → q ≡∼ p ∨ q
(d). p ⊻ q ≡ (∼ q ∧ p) ∨ (∼ p ∧ q)
(b). p ↔ q ≡ (q∨ ∼ p) ∧ (p∨ ∼ q)
(e). ∼ (∼ p) ≡ p
(c). p ∧ q ≡∼ (∼ p∨ ∼ q)
(f). ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q
24
1.5. Relaciones en la colección de proposiciones P
(g). ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q
(i). ∼ (p ↔ q) ≡ (∼ q ∧ p) ∨ (∼ p ∧ q)
(h). ∼ (p → q) ≡ p∧ ∼ q
(j). ∼ (p ⊻ q) ≡ (q∨ ∼ p) ∧ (p∨ ∼ q)
Ejercicio 1.28 Dada la proposición:
“Si los tres lados son congruentes, entonces el triángulo es equilátero”
Determinar las condicionales: directa, recíproca, contraria y contrarrecíproca.
Hasta ahora, para poder verificar, si dos proposiciones son equivalentes o si una proposición implica otra proposición, se realizaron mediante tablas, pero si tendríamos 4 letras en
una proposición tendríamos 16 filas, el trabajo se vuelve tedioso y si tendríamos más de 4
letras en una proposición se complica aún más. Es así que surgen las leyes lógicas o Álgebra
de proposiciones que son utilizadas para simplificar este trabajo.
1.5.1 Álgebra de proposiciones
Bajo la equivalencia lógica, son válidas las siguientes proposiciones tautológicas (también conocidas como leyes lógicas). Sean p, q, r ∈ P
• Leyes de idempotencia:
p∨p ≡ p
p∧p ≡ p
• Leyes conmutativas:
p∨q ≡ q∨p
p∧q ≡ q∧p
• Leyes asociativas:
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
• Leyes distributivas:
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
• Leyes de Identidad:
p ∨F ≡p
p∧F ≡ F
p∨V ≡ V
p∧V ≡ p
Capítulo 1. Lógica Proposicional
25
• Leyes de complemento:
p∨ ∼ p ≡ V
∼ (∼ p) ≡ p
p∧ ∼ p ≡ F
∼F ≡V
∼V ≡F
• Leyes de Morgan:
∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q
∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q
Las demostraciones de estas leyes lógicas, se realiza mediante la definición 1.11 y utilizando
las tablas de verdad. Ahora apliquemos estas leyes lógicas en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.39 Usando las leyes del álgebra de proposiciones, simplificar las siguientes
proposiciones.
a). (p ∨ q)∧ ∼ p
Solución.
b). p ∨ (p ∧ q)
c). ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)
Para proceder con la solución, utilizamos las propiedades de las leyes lógicas.
(a) Simplificando:
(p ∨ q)∧ ∼ p
≡
(p∧ ∼ p) ∨ (q∧ ∼ p)
|{z}
distributiva
≡
|{z}
F ∨(q∧ ∼ p)
complemento
≡ (q∧ ∼ p)
|{z}
identidad
Por tanto, la simpificación de (p ∨ q)∧ ∼ p es la proposición q∧ ∼ p.
(b) Simplificando:
p ∨ (p ∧ q)
≡ (p ∧ V ) ∨ (p ∧ q)
≡
p ∧ (V ∨ q) ≡ (p ∧ V ) ≡ p
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
identidad
distributiva
Identidad
identidad
Así, la simplificación de p ∨ (p ∧ q) es la proposición p, que es conocida como ley de
absorción p ∨ (p ∧ q) ≡ p.
(c) Simplificando:
∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ≡ (∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)
≡∼ p ∧ (∼ q ∨ q)
(Morgan)
(Distributiva)
≡∼ p ∧ V
(Complemento)
≡∼ p
(Complemento)
■
26
1.5. Relaciones en la colección de proposiciones P
Ejercicio 1.29 Demostrar algebraicamente las equivalencias:
(a) ((p → r) ∨ (q → r)) ≡ ((p ∧ q) → r)
(b) (p → q) ∧ (p → r) ≡ (q ∧ r)
Ejercicio 1.30 Simplificar las siguientes proposiciones
(a) [(p∧ ∼ q) ∧ (q → p) ∧ r] ∨ p.
(b) [(∼ p ∧ q) → (q → p)] ∧ p.
Ejercicio 1.31 Identificar cuáles de las siguientes proposiciones son equivalentes:
(a) ∼ [(q∨ ∼ p) ∨ (q ∧ (r∨ ∼ p))]
(c) ∼ [∼ q →∼ p] ∧ [q →∼ (p → r)]
(b) (p∧ ∼ q) ∧ [∼ q ∨ (∼ r ∨ p)]
En el siguiente teorema4 , mostraremos la relación que existe entre los conceptos de tautología y equivalencia lógica.
Teorema 1.1 (Tautología - Equivalencia) Sean p y q dos proposiciones cualquiera.
Entonces p ↔ q es tautología si y sólo si p y q son lógicamente equivalente.
Demostración.
Por definición de la bicondicional, se debe demostrar dos implicaciones.
Si p ↔ q es una taulología, entonces p y q son lógicamente equivalentes. Supongamos
que p ↔ q es tautología, entonces su valor de verdad es siempre verdadero. Por la tabla
de verdad del conectivo ↔, esto significa que el valor de verdad de p y q en cada situación
es el mismo (es decir, p y q son verdaderas o ambas son falsas). Luego las tablas de verdad
de p y q necesariamente son las mismas, por lo que p y q son lógicamente equivalentes.
Si p y q son lógicamente equivalentes, entonces p ↔ q es una tautología. Supongamos
que p y q son lógicamente equivalentes, esto significa que sus tablas de verdad son iguales.
Por lo tanto, p y q toman el mismo valor de verdad, cuando se fija el valor de verdad de las
letras de proposición que las componen. Como el valor de verdad del conectivo ↔ es verdadero siempre que las proposiciones que conecta tengan el mismo valor de verdad, y tanto p
como q toman el mismo valor de verdad en cada situación, p ↔ q es siempre verdadera y,
por tanto, p y q es tautología.
■
4 Los teoremas en matemáticas son afirmaciones que se pueden demostrar a partir de las definiciones y
convenciones (o axiomas) acordadas. En general, este tipo de resultados se enumera, en seguida de ellos se
escribe la palabra “DEMOSTRACIÓN” y después se argumenta él por qué dicho teorema es ciertoo verdadero,
utilizando justificaciones matemáticas.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
1.6
27
Razonamiento deductivo válido
En la lógica proposicional, el razonamiento es un proceso por el cual se llega a una
conclusión o tesis, por medio de antecedentes a las que llamaremos premisas o hipótesis. Por
ejemplo asumiendo la hipótesis; “el segmento MN que une los puntos medios de AB y BC
→
←−→ ←
del triángulo ABC” luego por medio de razonamientos se puede llegar a concluir MN k AC.
Estos razonamientos en la lógica formal se llama razonamiento deductivo válido y para poder
desarrollar esto, damos a continuación una secuencia de pasos.
Razonamiento deductivo
Paso 1. Empiece con las condiciones dadas (hipótesis).
Paso 2. Use la lógica, las definiciones, axiomas o los teoremas, para justificar cada uno de los pasos
(cada paso es una proposición), para llegar al resultado deseado.
Paso 3. Afirme el resultado (tesis).
Definición 1.13 Razonamiento Deductivo.
Un razonamiento deductivo es una
colección finita de proposiciones p1 , p2 , p3 , ... , pn llamadas premisas o hipótesis, junto
con una proposición q llamada conclusión.
Un razonamiento deductivo utiliza las premisas o hipótesis, para llegar a la conclusión.
En la siguiente definición describimos un razonamiento deductivo válido.
Definición 1.14 Razonamiento Deductivo Válido. Decimos que un razonamiento
deductivo es válido si y sólo si de la verdad de las premisas se sigue la verdad de la
conclusión.
Un razonamiento es válido si y sólo si no es posible que las premisas sean verdaderas y
la conclusión falsa. Denotamos un razonamiento deductivo cuyas premisas son p1 , p2 , p3 , ...pn
y conclusión es q como:
p1
p2
..
.
pn
o
{p1 , p2 , p3 , ...pn } ` q
———
q
Veamos un ejemplo concreto de un razonamiento deductivo válido.
28
1.6. Razonamiento deductivo válido
Ejemplo 1.40 Diga si el siguiente razonamiento deductivo es válido, justificando su
respuesta.
Si los elefantes vuelan, entonces sus orejas son alas.
Si las orejas de los elefantes son alas, entonces la cola es un timón.
Los elefantes vuelan
———————————————————————————————
La cola de los elefantes es un timón
Solución.
Nos preguntamos, ¿Es este un razonamiento válido?. Pareciera que no lo es,
pero resulta que sí es válido. Lo que nos podría hacer desconfiar su validez son las premisas,
ya que las proposiciones simples al parecer no son verdaderas, pero la definición de un argumento deductivo válido no exige que las premisas sean verdaderas, sino en caso de suponer
la verdad de las premisas se obtenga de manera inevitable la verdad de la conclusión.
Concideremos las proposiciones:
Su razonamiento deductivo será:
p: “los elefantes vuelan”
p→q
q: “ las orejas de los elefantes son alas”
q→r
r: “la cola de los elefantes es un timón”.
p
———
r
Para verificar que el razonamiento deductivo sea válido, supongamos que sus premisas
son verdaderas (V ). Es decir, supongamos que p → q, q → r y p son V . Por la tabla de
verdad del condicional, si p → q es V y p también, se tiene forzosamente q es V . Además,
nuevamente aplicando la tabla de verdad del condicional en la proposicion q → r y como, q es
V , entonces r es V . Luego, de la verdad de las premisas se siguió la verdad de la conclusión,
así es un razonamiento deductivo válido.
■
No es correcto decir que un razonamiento es verdadero o falso, lo correcto es decir, si es válido o no
es válido. Lo que puede ser verdad o falso son las proposiciones que forman parte del razonamiento
y no el razonamiento en sí.
Ejemplo 1.41 El siguiente razonamiento deductivo válido es muy famoso, pues se
utiliza bastante en las demostraciones matemática. Se conoce como la Ley de Modus
Ponendo Ponens.
p
p→q
—————
q
Probar su validez.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
Solución.
29
Asumamos las premisas p, p → q como verdaderas, por la tabla de verdad de
la implicación, q es verdadera, pues no le queda otra opción. Por tanto, la Ley de Modus
Ponendo Ponens es un razonamiento deductivo válido.
■
Ejemplo 1.42 El siguiente razonamiento deductivo es conocido: Ley del Silogismo
Hipotético.
p→q
q→r
—————
p→r
Probar su validez.
Solución.
Asumamos las premisas p → q, q → r como verdaderas. En la primera premisa
asumamos que p sea falso, luego p → r es V , pues por la tabla de la implicación. Ahora
asumamos p verdadero, y como p → q es V , por la Ley de Modus Pones, q es V y por
hipótesis tenemos q → r es V , luego por la Ley de Modus Pones r es V , como p y r son
V , se tiene p → r es V esto por la tabla de la implicación. Por tanto, la Ley del Silogismo
Hipotético, es un razonamiento deductivo válido.
■
Ejercicio 1.32 El siguiente razonamiento es o no válido, justifique su respuesta.
Hoy es martes o es sábado.
Hoy es martes o no es sábado.
———————————
Hoy es martes.
Ejercicio 1.33 Investigue si es o no válido el siguiente razonamiento:
p→q
q
————
p
1.6.1 Reglas de razonamiento deductivo válido más usuales.
Las reglas de razonamiento deductivo son conocidas también, como reglas de inferencia lógica, a continuación damos una lista de ellas, más un ejemplo por cada regla.
30
1.6. Razonamiento deductivo válido
1). Modus Ponendo Ponens (MPP)
p→q
Si está soleado, entonces es de día.
p
Está soleado
————
————————————————
q
Por lo tanto, es de día
2). Modus Tollendo Tollens (MTT)
p→q
Si está soleado, entonces es de día.
∼q
No es de día.
————
————————————————
∼p
Por lo tanto, No está soleado.
3). Silogismo disyuntivo o Modus Tollendo Ponens (MTP)
p∨q
O es de día o es de noche.
∼q
No es de día.
————
————————————
p
Por lo tanto, es de noche.
4). Ley de simplificación (LS)
p∧q
Tengo manzanas y Peras.
p∧q
Tengo manzanas y Peras.
———
——————————
———
————————————
p
Por lo tanto, tengo manzanas.
q
Por lo tanto, tengo peras.
5). Ley de la conjunción (LC)
p
El gato es un felino.
q
La paloma es un ave.
————
————————————
p∧q
El gato es un felino y la paloma es un ave.
6). Ley del silogismo hipotético (LSH)
p→q
Si llueve y estoy en el campo entonces quedaré mojado.
q→r
si quedo mojado entonces me resfrio.
————
————————————————————————
p→r
Por lo tanto, si llueve y estoy en el campo entonces me resfrio.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
31
7). Ley de la adición (LA)
p
He comprado manzanas.
————
————————————————————
p∨q
Por lo tanto, he comprado manzanas o peras.
8). Ley de la Doble Negación (DN)
∼ (∼ p)
No es cierto que no está lloviendo.
————
———————————————
p
Por lo tanto, está lloviendo.
9). Regla de inferencia por casos (IP)
p→q
Si trabajo lo suficiente entonces compraré una casa.
r →q
Si ahorro lo suficiente entonces compraré una casa.
————
——————————————————————
(p ∨ r) → q
Por lo tanto, Si trabajo o ahorro lo suficiente entonces compraré una casa.
10). Ley del silogismo disyuntivo (LSD)
p∨q
O está durmiendo o se está bañando.
p→r
Si está durmiendo no vendrá a la fiesta.
q→s
Si se está bañando, llegará tarde.
————
——————————————
r ∨s
No vendrá a la fiesta o llegará tarde.
Las demostraciones de las reglas de inferencia lógica, se procede mediante la definición
de razonamiento deductivo válido y las tablas de verdad de cada operación lógica, las cuales dejamos al lector se convenza de la validez. Para ver como se aplican estas reglas de
inferencia lógica, veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.43 Investigue la validez o invalidez del siguiente razonamiento:
(1). p → q
(2). ∼ r →∼ q
(3). ∼ (∼ p∧ ∼ t)
(4). t → s
(5). ∼ r
—————————
s
32
1.6. Razonamiento deductivo válido
Solución.
(1). p → q
(2). ∼ r →∼ q
(3). ∼ (∼ p∧ ∼ t)
(4). t → s
(5). ∼ r
—————————————
(6). ∼ q
Modus Ponendo Ponens MPP en (2), (5)
(7). ∼ p
Modus Tollendo Tollens MTT en (1), (6)
(8). p ∨ t
Leyes de Morgan en (3)
(9). t
Modus Tollendo Ponens MTP en (7), (8)
(10). s
Modus Ponendo Ponens MPP en (4), (9)
■
Ejemplo 1.44 Determinar la conclusión que sigue, a partir, de las siguientes premisas.
(1). (p → q) →∼ r
(2). s → (r ∨ t)
(3). t → s
(4). s∧ ∼ v
Solución.
(1). (p → q) →∼ r
(2). s → (r ∨ t)
(3). t → s
(4). s∧ ∼ v
—————————————
(5). s
Ley de simplificación en (4)
(6). ∼ v
Ley de simplificación en (4)
(7). r ∨ t
Modus Ponendo Ponens en (2) y (5)
(8). ∼ t
Modus Tollendo Ponens en (3), (6)
(9). r
Modus Tollendo Pones en (7), (8)
(10). ∼∼ r
Complemento o doble Negación en (9)
(11). ∼ (p → q)
Modus Tollendo Pones en (1), (10)
(12). ∼ (∼ (p∧ ∼ q))
Ley de implicación en (11)
∴ (p∧ ∼ q)
Doble negación en (12)
■
Capítulo 1. Lógica Proposicional
33
Ejercicio 1.34 Investigue la validez o invalidez del siguiente razonamiento:
Si tiene canas, entonces es mayor.
No es mayor.
————————————————
Por lo tanto, no tiene canas.
Ejercicio 1.35 Determinar la conclusión que sigue, a partir de las siguientes premisas.
(1). p → (q ∧ r)
(2). p
(3). t →∼ q
(4). t ∨ s
El siguiente teorema relaciona al razonamiento deductivo con el conectivo condicional.
Teorema 1.2 (Razonamiento deductivo-Conectivo condicional) Un razonamiento
cuyas premisas sean p1 , p2 , p3 , ..., pn y conclusión q es válido si y sólo si la proposición
p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn → q es una tautología.
Demostración.
Por definición de la bicondicional, se debe mostrar dos implicaciones.
Si {p1 , p2 , p3 , ...pn } ` q es válido entonces (p1 ∧ p2 ∧ p ∧ ... ∧ pn ) → q es una tautología.
Supongamos que el razonamiento deductivo {p1 , p2 , p3 , ...pn } ` q es válido. Recordando que
en la lógica matemática sólo hay dos valores de verdad para cualquier proposición, verdad o
falso (nunca ambas a la vez). En particular, p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn es verdad o falso. Veamos
qué sucede en cada caso.
Caso 1. Si p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn es falsa, entonces, por la tabla de verdad del condicional,
obtenemos (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn ) → q es verdadera.
Caso 2. Si p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn es verdadera, entonces, por la tabla de verdad de la conjunción, cada pi es verdadera para 1 ≤ i ≤ n. De aquí que todas las premisas del razonamiento son verdaderas y como el razonamiento es válido, se tiene que q es verdadera,
pues de la verdad de las premisas se llega a obtener la verdad de la conclusión. Como
p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn y q son verdaderas, obtenemos que (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn ) → q es
verdadera.
En cualquiera de los dos casos se llega a que (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn ) → q es verdadera, por
lo que (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn ) → q es una tautología.
Si (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn ) → q sea una tautología, entonces {p1 , p2 , p3 , ...pn } ` q es válido.
Sea (p1 ∧p2 ∧p3 ∧, ..., ∧pn ) → q una tautología, Ahora para ver que el razonamiento deductivo
34
1.6. Razonamiento deductivo válido
es válido, supongamos que las premisas son verdaderas, es decir, que cada pi es verdadera,
para 1 ≤ i ≤ n entonces, según la tabla de verdad de la conjunción, p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn es
verdadera. Por hipótesis (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn ) → q es una tautología, es decir es verdadera
en cualquier caso. Sabiendo que p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn y como (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧, ..., ∧pn ) → q
son verdaderas, se tiene forzosamente que q es verdadera. Es decir, de la verdad de las
premisas del razonamiento se siguió la verdad de la conclusión. Por lo tanto, el razonamiento
■
es efectivamente válido.
A continuación se expone algunas construcciones de pruebas basadas en las reglas de
razonamiento deductivo (reglas de inferencia) usando métodos de demostración, el método
directo y por contradicción será detallados en la sección (1.8)
Ejemplo 1.45 (Demostración Directa) Dado el siguiente razonamiento deductivo.
Si la banda no pudiera tocar rock o las bebidas no llegaran a tiempo, la fiesta de año
nuevo tendría que cancelarse y Alicia se enojaría. Si la fiesta se cancelara, habría que
devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto, la banda pudo tocar rock.
Diga si este razonamiento deductivo es válido, justificando su respuesta.
Solución.
Usemos las siguientes proposiciones:
p: La banda pudo tocar rock
b: Las bebidas llegaron a tiempo
f : Las fiestas de año nuevo se cancelaron
e: Alicia estaba enojada
d: Se devolvió el dinero
De esta forma el razonamiento deductivo queda expresada como:
(1). (∼ p ∨ ∼ b) → (f ∧ e)
(2). f → d
(3). ∼ d
——————————
p
Para demostrar la validez de este razonamiento deductivo, se tiene que utilizar las reglas de
razonamiento deductivo válido.
(1). (∼ p ∨ ∼ b) → (f ∧ e)
(2). f → d
(3). ∼ d
——————————
(4). ∼ f
(5). ∼ f ∨ ∼ e
(6). ∼ (f ∧ e)
(7). ∼ (∼ p∨ ∼ b)
(8). p ∧ b
(9). p
Modus Tollendo Tollens MTT en (2) y (3)
Ley de la adición LA en (4)
Leyes de Morgan en (5)
Modus Tollendo Tollens MTT en (1) y (6)
Leyes de Morgan en (7)
Ley de simplificación LS en (8)
Capítulo 1. Lógica Proposicional
35
De esta manera concluimos que el razonamiento deductivo es válido. Sin embargo, hay
otra manera de verificar, es utilizando el teorema (1.2) conjuntamente con Matlab, podemos
afirmar que la proposición
{((∼ p ∨ ∼ b) → (f ∧ e)) ∧ (f → d) ∧ (∼ d)} → p
es una tautología.
%definir las variables:
V=true;
3 F=false;
4 p=[V;V;V;V;V;V;V;V;V;V;V;V;V;V;V;V;F;F;F;F;F;F;F;F;F;F;F;F;F;F;F;F];
5 b=[V;V;V;V;V;V;V;V;F;F;F;F;F;F;F;F;V;V;V;V;V;V;V;V;F;F;F;F;F;F;F;F];
6 f=[V;V;V;V;F;F;F;F;V;V;V;V;F;F;F;F;V;V;V;V;F;F;F;F;V;V;V;V;F;F;F;F];
7 e=[V;V;F;F;V;V;F;F;V;V;F;F;V;V;F;F;V;V;F;F;V;V;F;F;V;V;F;F;V;V;F;F];
8 d=[V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F;V;F];
9 %imprimir la tabla de verdad para:{(~p v ~b)->(f^e),(f->d),~d}|-- p
10 disp(’Tabla de verdad para: {(~p v ~b)->(f^e),(f->d),~d}|-- p’);
11 disp(’p
b f e d
{(~p v ~b)->(f^e),(f->d),~d}-> p’);
12 T=[p,b,f,e,d,
~((~(~p|~b)|(f&e))&(~f|d)&(~d))|p]
1
2
Tabla de verdad para: {((∼ p ∨ ∼ b) → (f ∧ e)) ∧ (f → d) ∧ (∼ d)} → p
p
b
f
e
d
{((∼ p ∨ ∼ b) → (f ∧ e)) ∧ (f → d) ∧ (∼ d)} → p
T=
1
1
1
1
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0
0
0
1
■
36
1.6. Razonamiento deductivo válido
Ejemplo 1.46 (Demostrar por contradicción) Demostrar el siguiente razonamiento
{(p ∧ q) → r, ∼ r∨ ∼ s, s, q} `∼ p
es válido
Solución.
Para demostrar la validez, desarrollaremos en forma vertical.
(1).
(p ∧ q) → r
(2).
∼ r∨ ∼ s
(3).
s
(4).
q
——————————
(5).
∼ (∼ p)
Premisa adicional, negación de la conclusión
(6).
p
Doble Negación DN (5)
(7).
p∧q
Ley de conjución LC (4) y (6)
(8).
r
Modus Ponendo Pones MPP (1) y (7)
(9).
∼s
Modus Tollendo Ponens MTP (2) y (8)
(10).
∼ s∧s
Ley de Conjunción LC en (3) y (9)
Al incluir la negación de ∼ p como premisa adicional, se llegó a la contradicción ∼ s ∧ s, es
decir, {(p ∧ q) → r, ∼ r∨ ∼ s, s, q, ∼ (∼ p)} ` F; por lo tanto, queda demostrada la validez del
razonamiento deductivo {(p ∧ q) → r, ∼ r∨ ∼ s, s, q} `∼ p.
■
Hay otras maneras que se presenta los problemas de razonamiento deductivo, como se
puede ver el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.47 (Regla de deducción) Establecer la validez de:
{(p ∨ q) → r, r → s} `∼ s →∼ q
Solución.
Este razonamiento es representado de la siguiente manera:
(p ∨ q) → r
r →s
——————
∼ s →∼ q
Por otro lado, notemos que a → (b → c) ≡ (a ∧ b) → c. De acuerdo a esta equivalencia lógica,
((p ∨ q) → r) ∧ (r → s) → (∼ s →∼ q) ≡ ((p ∨ q) → r) ∧ (r → s)∧ ∼ s →∼ q
de la expresión que está en la derecha de la anterior equivalencia, tenemos:
Capítulo 1. Lógica Proposicional
37
(p ∨ q) → r
r →s
∼s
——————
∼q
Ahora, demostraremos este razonamiento.
(1).
(p ∨ q) → r
(2).
r →s
(3).
∼s
——————————
(4).
∼r
Modus Tollendo Tollens MTT en (2) y (3)
(5).
∼ (p ∨ q)
Modus Tollendo Tollens MTT en (1) y (4)
(6).
∼ p∧ ∼ q
Ley de Morgan en (5)
(7).
∼q
Ley de simplificación LS en (6)
■
Este ejemplo nos pedía demostrar {(p ∨ q) → r, r → s} `∼ s →∼ q, pero por medio de una
equivalencia lógica llegamos a este nuevo enunciado {(p ∨ q) → r, r → s, ∼ s} `∼ q el cual es
demostrado por el método directo; sin embargo, podría utilizarse otro método. Este proceso
de demostración se llama regla de deducción el cual incluye una premisa más a nuestro
conjunto de hipótesis, se puede realizar este método siempre que en la tesis este presente
el conectivo condicional “ →00 .
Por ahora, hemos presentado algunas técnicas de demostración, en la sección de métodos de demostración, se presentarán muchos más.
Ejercicio 1.36 Investigue si el siguiente razonamiento es válido o no.
Si Rosa María obtiene el puesto de supervisor y trabaja mucho, entonces, obtendrá un
aumento. Sí obtiene el aumento, entonces comprará un auto nuevo. Ella no ha adquirido un auto nuevo. Por lo tanto, Rosa María no ha obtenido el puesto de supervisor o
no ha trabajado mucho.
Ejercicio 1.37 En cada uno de los ejercicios siguientes, demostrar que la conclusión es
consecuencia de las premisas dadas. Realizar cada dedución con líneas numeradas,
abreviaturas para cada regla utilizada, e indicando además los números de las líneas
empleadas para la deducción de cada paso.
(a). Si Juan es más alto que Pedro, entonces María es más baja que Julia. María no
es más baja que Julia. Si Juan y Luis tienen la misma estatura, entonces Juan
es más alto que Pedro. Por tanto, Juan y Luis no tienen la misma estatura.
(b). Si A ganó la carrera, entonces o B fue el segundo o C fue el segundo. Si B fue el
segundo, entonces A no ganó la carrera. Si D fue el segundo, entonces C no fue
38
1.7. Predicados y cuantificadores
el segundo. A ganó la carrera, entonces D no fue el segundo.
1.7
Predicados y cuantificadores
Analicemos el siguiente razonamiento deductivo:
Todos los profesores de matemáticas han estudiado cálculo.
Rafael es profesor de matemáticas.
Por lo tanto, Rafael ha estudiado cálculo.
Si tratamos de llevar al lenguaje simbólico, se tiene:
p: Todos los profesores de matemáticas
han estudiado cálculo.
p
q
q: Rafael es profesor de matemáticas.
—————
r: Rafael ha estudiado cálculo.
r
Nos preguntamos ¿De qué forma llegamos a la conclusión?, si son tres proposiciones
diferentes, no se puede llegar a esa conclusión con herramientas hasta ahora desarrolladas;
sin embargo, si decimos: x es un profesor de matemáticas, donde x puede ser cualquier
persona, así llamamos a p(x): x es un profesor de matemáticas, donde p(x) será la representación de una propiedad que depende de x, además este x pertenece a un conjunto de
referencia A, donde A en este caso al conjunto de personas, así asignamos c(x): x ha estudiado cálculo. Sin embargo, la proposición dice: Todos los profesores de matemáticas han
estudiado cálculo, que hace referencia a todos los que cumplen p(x), para poder referirnos a
todos que cumplen cierta propiedad, se logra cuantificando el predicado, con el cuantificador
universal simbolizado por ∀. Ahora, si tomamos un elemento del conjunto de referencia R =
Rafael, nuestro razonamiento deductivo se convierte en:
∀x ∈ A [p(x) → c(x)]
p(R)
————————————
c(R)
Ahora, si podemos llegar a la conclusión, tomando x = R tenemos p(R) → c(R), pues como
es para toda persona en particular para Rafael y por hipótesis tenemos p(R), por Modus
Ponendo Ponens, se llega a la conclusión c(R).
De manera análoga, si en el enunciado está presente la existencia de algo que cumple cierta propiedad, el predicado se cuantifica con existe simbolizado por ∃. Para mayor
rigurosidad veamos las siguientes definiciones con sus respectivos ejemplos.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
Definición 1.15 Conjunto de referencia - Predicado. Sea A un conjunto distinto del
vacío. Sea p una proposición sobre el conjunto A. Se denomina predicado a una expresión p(x) tal que x está en A p(x) es verdadera o falsa. A es llamado conjunto de
referencia
Ejemplo 1.48 Sea p(x) : “x es un número par00 sobre A = {2, 3, 4, 5} tal que:
1. p(2) : “2 es un número par00 ; predicado verdadero.
2. p(3) : “3 es un número par00 ; predicado falso.
3. p(4) : “4 es un número par00 ; predicado verdadero.
4. p(5) : “5 es un número par00 ; predicado falso
Ejemplo 1.49 Sea p(x, y) : “x divide a y 00 sobre A = {4, 8, 10, 12, 20} tal que:
1. p(4, 8) : “4 divide a 800 ; predicado verdadero.
2. p(4, 10) : “4 divide a 1000 ; predicado falso.
Definición 1.16 Conjunto de verdad. Sea A el conjunto referencial. El conjunto de
verdad del predicado p(x) sobre el conjunto A es,
A[p(x)] = {x ∈ A : p(x) es verdadero}
Ejemplo 1.50 Determinar el conjunto de verdad del predicado p(x) sobre A, donde:
(a). p(x) : “x es un entero positivo primo00 sobre A = {2, 3, 5, 7}.
(b). p(x) : “x es un natural negativo00 sobre A = N.
(c). p(x) : “x es un entero compuesto00 sobre A = {−5, 3, 10, 13, 17, 19}.
(d). p(x) : “x es un entero positivo primo impar00 sobre A = {−5, −3, −2, 2, 3, 5}.
Solución.
Por definición:
(a). A[p(x)] = {2, 3, 5, 7} = A (todos los elementos de A).
(b). A[p(x)] = ∅ (ningún elemento de A)
(c). A[p(x)] = {10} (un elemento de A)
(d). A[p(x)] = {3, 5} (algunos elementos de A)
39
40
1.7. Predicados y cuantificadores
■
Definición 1.17 Proposición y cuantificador universal Sea p(x) un predicado con
dominio en el conjunto referencial A. Se dice que la afirmación
∀ x ∈ A, p(x)
es una proposición universal que se lee “Para todo x elemento de A se cumple p(x)”.
El símbolo ∀ se llama cuantificador universal, se lee “para todo”, “para cualesquiera”,
“para cada”. Afirmamos:
• ∀ x ∈ A, p(x) es verdadera ⇔ p(x) es verdadera para toda x en A ⇔ A[p(x)] = A.
• ∀ x ∈ A, p(x) es falsa ⇔p(x) es falsa para algún x en A ⇔ A[p(x)] , A.
Ejemplo 1.51 Dado la proposición universal:
∀n ∈ N, n + 2 > 2
Diga si la proposición universal es verdadera o falsa.
Solución.
Notemos que N = {1, 2, 3, 4, ...} y el predicado p(n) : n +2 > 2. Así, para cualquier
n ∈ N siempre cumple el predicado, de donde el conjunto de verdad es N[p(x)] = N. Por tanto,
■
la proposición universal es verdadero.
Ejemplo 1.52 Dado la proposición universal.
∀n ∈ N, n + 3 > 10
Diga si la proposición universal es verdadera o falsa.
Solución.
Notemos que N = {1, 2, 3, 4, ...} y el predicado es definido por p(n) : n + 3 > 10.
Para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 no cumple el predicado. Es decir, P(1) : 1 + 3 > 10 es una proposición
falsa. Así, el conjunto de verdad es N[p(x)] = N − {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, de donde N[p(x)] , N. Por
■
tanto, la proposición universal es falso.
Definición 1.18 Proposición y cuantificador existencial. Sea p(x) un predicado con
dominio en el conjunto referencial A. Se dice que la afirmación
∃ x ∈ A, p(x)
Capítulo 1. Lógica Proposicional
41
es una proposición existencial y se lee “Existe x elemento de A que cumple p(x)”.
El simbolo ∃ se llama cuantificador existencial, se lee “para algunos”, “existe”, “al
menos uno”. Afirmamos:
• ∃ x ∈ A, p(x) es verdadera ⇔ p(x) es verdadera para algún x en A ⇔ A[p(x)] , ∅.
• ∃ x ∈ A, p(x) es falsa ⇔ p(x) es falsa, para todo x en A ⇔ A[p(x)] = ∅.
Ejemplo 1.53 Determinar si la proposición existencial
∃ x ∈ Z, x + 5 < 0
es verdadera o falsa.
Solución.
Sea el predicado p(x) : x + 5 < 0. La proposición es verdad, por que existe x = −6
tal que p(6) : −6 + 5 < 0 es verdad. Así Z[p(x)] , ∅ .
■
Ejemplo 1.54 Determinar si la proposición existencial
∃ x ∈ Z+ 5 + x < 0
es verdadera o falsa.
Solución.
Definimos el predicado p(x) : 5 + x < 0. La proposición existencial es falsa, por
qué para todo x ∈ Z+ , p(x) : 5 + x < 0 es falso, así Z+[p(x)] = ∅.
■
∃!: Cuantificador existencial exclusivo, se lee “existe un único”, “existe uno y sólo uno”. Como por
ejemplo, para cada par de enteros, la suma de este par, es un único entero o sea x + y = z, (∃!z).
Teorema 1.3 Sea p(x) un predicado sobre el conjunto de referencia A.
(a). ∼ [∀x ∈ A, p(x)] ≡ ∃x ∈ A, ∼ p(x).
(b). ∼ [∃x ∈ A, p(x)] ≡ ∀x ∈ A, ∼ p(x).
Demostración.
Supongamos que la proposición ∼ [∀x ∈ A, p(x)] es verdadera. Entonces
la proposición ∀x ∈ A, p(x) es falsa. Por la definición 1.17, la proposición ∀x ∈ A, p(x) es falsa,
cuando p(x) es falsa para algún x del conjunto de referencia A. Sin embargo, como p(x) es
falsa para algún x del conjunto de referencia A, entonces ∼ p(x) es verdadera para algún
x ∈ A. Por definición1.18, la proposición ∃x ∈ A, ∼ p(x) es verdadera. Así como la proposición
42
1.7. Predicados y cuantificadores
∼ [∀x ∈ A, p(x)] es verdadera, la proposición ∃x ∈ A, ∼ p(x) es verdadera, De manera similar,
si la proposición ∼ [∀x ∈ A, p(x)] es falsa, entonces la proposición ∃x ∈ A, ∼ p(x) es falsa. Por
lo tanto, el par de proposiciones del inciso (a), siempre tienen los mismos valores de verdad.
Por tanto,
∼ [∀x ∈ A, p(x)] ≡ ∃x ∈ A, ∼ p(x)
■
El inciso (b) se deja el lector como ejercicio 1.40.
Ahora veremos ejemplos donde se aplique el teorema1.3.
Ejemplo 1.55 Muestre que ∼ [∀x ∈ A, p(x) ∨ ∼ q(x)] ≡ ∃x ∈ A, ∼ p(x) ∧ q(x)
Solución.
Desarrollamos la demostración.
∼ [∀x ∈ A, p(x) ∨ ∼ q(x)] ≡ ∃x ∈ A, ∼ [p(x) ∨ ∼ q(x)]
(Teorema 1.3)
≡ ∃x ∈ A, ∼ p(x) ∧ ∼ (∼ q(x))
(Ley de morgan)
≡ ∃x ∈ A, ∼ p(x) ∧ q(x)
(Doble negación)
■
Ejemplo 1.56 Muestre que ∼ [∃x ∈ A, p(x) → q(x)] ≡ ∀x ∈ A, p(x) ∧ q(x).
Solución.
Desarrollemos la demostración.
∼ [∃x ∈ A, p(x) → q(x)] ≡ ∀x ∈ A, ∼ [p(x) → q(x)]
(Teorema 1.3)
≡ ∀x ∈ A, ∼ [∼ p(x) ∨ q(x)]
(p → q ≡∼ p ∨ q)
≡ ∀x ∈ A, p(x) ∧ q(x)
(Ley de morgan)
■
Ejemplo 1.57 Negar la siguiente proposición:
“Existe un entero x, tal que para todo entero y, se cumple x − y > 0”
Solución.
Vamos a realizar por pasos; simbolizamos, negamos y traducimos verbalmente.
Paso 1. Simbolizamos la proposición:
∃x ∈ Z, ∀y ∈ Z : x − y > 0
Capítulo 1. Lógica Proposicional
43
Paso 2. Negamos la proposición, utilizando el teorema 1.3:
∼ (∃x ∈ Z, ∀y ∈ Z : x − y > 0) ≡ ∀x ∈ Z, ∃y ∈ Z :∼ (x − y > 0)
≡ ∀x ∈ Z, ∃y ∈ Z : x − y ≤ 0
Paso 3. Ahora transcribimos al lenguaje corriente:
“Para todo entero x, existe un entero y tal que, x − y ≤ 0”
■
Ejercicio 1.38 Negar las siguientes proposiciones:
(a). ∀x : p(x)∨ ∼ q(x).
(c). ∀x : p(x) → q(x).
(b). ∃x : p(x)∨ ∼ q(x).
(d). ∃x : p(x) ↔ q(x).
Ejercicio 1.39 Negar la siguiente proposición
∃ϵ > 0, ∀δ, ∃γ : δ > γ ∧ |c| ≥ ϵ
Ejercicio 1.40 Demuestre el inciso (b) del Teorema1.3.
Ejercicio 1.41 Expresar las siguientes proposiciones en forma simbólica, negarlas, y
retraducirlas al lenguaje común (al castellano):
(a). El cuadrado de todo número entero es mayor que 1.
(b). Existen números naturales cuyo cubo aumentado en 1 es igual al cubo del siguiente.
(c). Hay jóvenes que no estudian ni trabajan.
(d). Todo el que estudia triunfa.
1.7.1 Cuantificadores anidados
Hasta el momento hemos visto proposiciones en donde esta depende de una variable,
ahora introducimos proposiciones que dependen de dos o más variables, a estos predicados
se les puede cuantificar con el universal y/o existencial, para cada una de las variables.
Definición 1.19 Cuantificadores anidados. Los cuantificadores anidados se pre-
sentan cuando un predicado depende de dos o mas variables.
44
1.7. Predicados y cuantificadores
Interpretación de enunciados con dos cuantificadores diferentes
• ∀x∃yp(x, y). Este enunciado se puede expresar de la siguiente manera:
∀x(x ∈ D), ∃y(y ∈ E), tal que x e y cumplen el predicado p(x, y).
Para establecer la verdad de este enunciado, se debe elegir cualquier elemento x en D y después se debe encontrar un elemento y en E que cumpla p(x, y) para un x dado.
• ∃x∀yp(x, y). Este enunciado se puede expresar de la siguiente forma:
∃x(x ∈ D) tal que ∀y ∈ E, x e y satisfacen el predicado p(x, y).
Para establecer la verdad de este enunciado, el trabajo es encontrar un x en D que cumpla
p(x, y) sin importar cuál y sea en E.
Ejemplo 1.58 Una línea de cafetería de la escuela cuenta con cuatro quioscos: ensa-
ladas, platos principales, postres y bebidas. El quiosco de ensaladas ofrece ensaladas
verdes o ensaladas de frutas, el quiosco de platos principales ofrece espagueti o pescado, el quiosco de postres ofrece postre pay o pastel y el quiosco de bebidas ofrece la
leche, refresco o café. Tres estudiantes, Ulises, Tom y Yandira, pasan por la cafetería
y toman las siguientes decisiones:
Ulises: ensalada verde, espagueti, pay, leche
Tom: ensalada de frutas, pescado, pay, pastel, leche, café
Yadira: espagueti, pescado, pay, refresco
Escriba cada uno de los siguientes enunciados de manera informal y determine su
valor de verdad.
(a). ∃ un platillo I tal que ∀ estudiante S, S eligió I .
(b). ∃ un estudiante S tal que ∀ platillo I , S eligió I
(c). ∃ un estudiante S tal que ∀ los quioscos Z, ∃ un platillo I en Z tal que S eligió I .
(d). ∀ estudiante S y ∀ quiosco Z, ∃ un platillo I en Z tal que S eligió I .
Solución.
esquema.
Representamos las decisiones de Ulises, Tom y Yandira, mediante el siguiente
Capítulo 1. Lógica Proposicional
45
Ensaladas
ensaladas verde
ensalada de frutas
Platos principales
Ulises
espagueti
pescado
Tom
Postres
pay
pastel
Yandira
Bebidas
leche
refresco
café
(a). Hay un platillo que fue elegido por cada estudiante. Esto es verdadero, todo estudiante
eligió espagueti.
(b). Hay un estudiante que eligió todos los platillos disponibles. Esto es falso, ningún estudiante eligió los nueve platillos.
(c). Hay un estudiante que eligió al menos un platillo de cada quiosco. Esto es cierto, tanto
Ulises como Tom eligieron por lo menos un elemento de cada puesto.
(d). Cada estudiante eligió por lo menos un platillo de cada quiosco. Esto es falso; Yandira
no eligió una ensalada.
■
En un enunciado que contiene tanto a ∀ como a ∃, al cambiar el orden de los cuantificadores generalmente se cambia el significado del enunciado. Sin embargo, curiosamente, si
un cuantificador se encuentra inmediatamente después de otro cuantificador del mismo tipo,
entonces el orden de los cuantificadores no afecta el significado.
Corolario 1.1 Sea p(x, y) un predicado que depende de dos variables.
(1). ∀x∀y, p(x, y) ≡ ∀y∀x, p(x, y)
(2). ∃x∃y, p(x, y) ≡ ∃y∃x, p(x, y)
(3). ∃x∀y, p(x, y) ⇒ ∀y∃x, p(x, y)
46
1.7. Predicados y cuantificadores
Demostración.
Estas equivalencias se demuestra utilizando la definiciones 1.17 y 1.18
■
conjuntamente el teorema 1.3.
Los siguientes tres ejemplos ilustran los incisos del corolario 1.1 respectivamente, que
nos dan más claridad a estos cuantificadores anidados.
Ejemplo 1.59 Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar si son equivalentes.
(a). Todos los niños gustan de todos los payasos.
(b). Todos los payasos gustan de todos los niños.
Solución.
(a). Sea D el conjunto de niños y E el conjunto de payasos y el predicado p(x, y): x le gusta
y. Ahora traducimos al lenguaje simbólico:
∀x ∈ D ∀y ∈ E, p(x, y)
(b). De acuerdo a lo definido D y E en el inciso (a). Traducimos al lenguaje simbólico:
∀y ∈ E ∀x ∈ D, p(x, y)
Ahora, por el corolario 1.1 podemos afirmar que (a) y (b) son equivalentes:
∀x ∈ D ∀y ∈ E, p(x, y) ≡ ∀y ∈ E ∀x ∈ D, p(x, y)
■
Ejemplo 1.60 Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar si son equivalentes.
(a). A algunas personas les gusta un estilo de automóvil.
(b). Algún estilo de un automóvil le gusta a ciertas personas.
Solución.
(a). Sea D el conjunto de personas y E el conjunto de automóviles con p(x, y): x le gusta y.
Ahora traducimos al lenguaje simbólico:
∃x ∈ D ∃y ∈ E, p(x, y)
Capítulo 1. Lógica Proposicional
47
(b). De acuerdo a lo definido D y E en el inciso (a). Traducimos al lenguaje simbólico:
∃y ∈ E ∃x ∈ D, p(x, y)
Por tanto, por el corolario 1.1 podemos afirmar que (a) y (b) son equivalentes:
∃x ∈ D ∃y ∈ E, p(x, y) ≡ ∃y ∈ E ∃x ∈ D, p(x, y)
■
Ejemplo 1.61 Simbolizar las proposiciones y determinar si son equivalentes.
(a). Para todo número real x existe un entero n tal que x es menor que n.
(b). Existe un entero n tal que para todo número real x, n es mayor que x.
Solución.
(a). Traducimos al lenguaje simbólico:
∀x ∈ R ∃n ∈ Z; x < n
Notemos que esta proposición es verdadero, pues es la propiedad arquimediana. Por
ejemplo, si seleccionado cualquier x (digamos x = 5.7) real, el número entero n (digamos n = 6) existe y así x < n (5.7<6).
(b). Traducimos al lenguaje simbólico:
∃n ∈ Z ∀x ∈ R; x < n
la proposición es falsa. Una vez elegido un número entero n (digamos n = 9), el valor
de x queda restringido al intervalo abierto (−∞, 9) y es descartado por ejemplo x = 10,
ya que x puede tomar cualquier valor de R.
Por tanto, el lenguaje simbólico del inciso (a) y (b) no son equivalentes. Pues la siguiente
implicación es falsa
∃n ∈ N ∀x ∈ R; x < n ⇐ ∀x ∈ R ∃n ∈ N; x < n
|
{z
} |
{z
}
|
F
{z
F
V
}
48
1.7. Predicados y cuantificadores
y la otra implicación si es verdadera.
∃n ∈ N ∀x ∈ R; x < n ⇒ ∀x ∈ R ∃n ∈ N; x < n
|
{z
} |
{z
}
F
|
{z
V
}
V
■
Para que el inciso (3) del corolario 1.1 sea una equivalencia, el recíproco tendría que
ser verdad. Sin embargo, en este ejemplo nos indica que no necesariamente el recíproco se
cumple.
Ejemplo 1.62 Expresar en símbolo, la negación del siguiente enunciado:
“Existe algún número entero m, tal que para todo número entero n se cumple que
(m + 7) > n > m”
Solución.
Simbolizando la expresión dada:
“Existe algún número entero m”:
“para todo número entero n”:
∃m ∈ Z
∀n ∈ Z
se obtiene:
∃m ∈ Z, ∀n ∈ Z : m + 7 > n > m ≡ ∃m ∈ Z, ∀n ∈ Z : (m + 7 > n) ∧ (n > m)
Negando la proposición:
∼ [∃m ∈ Z, ∀n ∈ Z : (m + 7 > n) ∧ (n > m)] ≡ ∀m ∈ Z, ∃n ∈ Z : ∼ [(m + 7 > n) ∧ (n > m)]
≡ ∀m ∈ Z, ∃n ∈ Z : (m + 7 ≤ n) ∨ (n ≤ m)
■
Ejemplo 1.63 En el conjunto de los números reales, consideremos las premisas.
(1). ∀x∀y : (x < −1 ∧ y > 1) → xy < x.
(2). ∀z : z < −1 → z2 > 1.
(3). −2 < −1.
Demostrar: −2(−2)2 < −2.
Solución.
Usamos el razonamiento deductivo válido
Capítulo 1. Lógica Proposicional
(1).
∀x∀y : (x < −1 ∧ y > 1) → xy < x.
(2).
∀z : z < −1 → z2 > 1.
(3).
−2 < −1.
49
————————————
(4).
−2 < −1 → (−2)2 > 1
En (2) tomamos z = −2
(5).
(−2)2 > 1
Modus Ponendo Ponens MPP en (4) y (2)
(6).
−2 < −1 ∧ (−2)2 > 1
Ley de conjunción en (3) y (5)
(7).
(−2 < −1 ∧ (−2)2 > 1) → −2(−2)2 < −2
En (1) tomamos x = −2, y = (−2)2
(8).
−2(−2)2 < −2
Modus Ponendo Pones MPP en (6) y (7)
■
Ejercicio 1.42 Sea D = E = {−2, −1, 0, 1, 2}. Explique por qué los siguientes enunciados
son verdaderos
(a). ∀x ∈ D, ∃y ∈ E tal que x + y = 0.
(b). ∃x ∈ D tal que ∀y ∈ E, x + y = 0.
Ejercicio 1.43 Simbolizar las siguientes proposiciones y diga si es verdadera o falsa,
justificando su respuesta.
(a). Para cada entero x, existe un entero y tal que x + y = 36.
(b). Existe un entero y tal que para todos los enteros x, x + y = 36
Ejercicio 1.44 Sea S el conjunto de estudiantes en una escuela, sea M el conjunto
de películas que se han publicado y sea V (s, m) “el estudiante s ha visto la película m”.
Reescriba cada uno de los siguientes enunciados sin necesidad de utilizar el símbolo
∀, el símbolo ∃ o variables.
(a). ∃s ∈ S tal que V (s,Casablanca).
(b). ∀s ∈ S, (s, Guerra de las galaxias).
(c). ∀s ∈ S, ∃m ∈ M tal que V (s, m).
(d). ∃m ∈ M tal que ∀s ∈ S, V (s, m).
(e). ∃s ∈ S, ∃t ∈ S y ∃m ∈ M tal que s , t y
V (s, m) ∧ V (t, m).
(f). ∃s ∈ S, ∃t ∈ S tal que s , t y ∀m ∈ M,
V (s, m) → V (t, m).
Ejercicio 1.45 Sea D = E = {−2, −1, 0, 1, 2} Escriba negaciones para cada uno de los
siguientes enunciados y determine cuál es verdadero, el enunciado dado o su negación.
(a). ∀x ∈ D, ∃y ∈ E tales que x + y = 1.
(c). ∀x ∈ D, ∃y ∈ E tal que xy ≤ y.
(b). ∃x ∈ D tal que ∀y ∈ E, x + y = −y.
(d). ∃x ∈ D tal que ∀y ∈ E, x ≥ y.
50
1.7. Predicados y cuantificadores
Ejercicio 1.46 Determinar la negación del siguiente enunciado:
“Para todo número entero m, existe un número natural s tal que, si m · s es impar, entonces (m + 1)(s − 1) es par”
Ejercicio 1.47 Negar la siguiente proposición:
∀ϵ > 0 ∃ δ > 0: ∀x[0 < |x − a| < δ → |f (x) − L| < ϵ]
Ejercicio 1.48 Demostrar: 3 + 4 < 3 + 7, teniendo como premisas.
(1). ∀x : x < 2 + 6
→
(2). ∀y : y + 4 > 2 + 5
x < 3+7
∨
y +4 < 2+6
(3). 3 + 4 ≯ 2 + 5
Ejercicio 1.49 En cada una de las siguientes ecuaciones, determine cuáles de los
siguientes enunciados son verdaderos:
1. Para todos los números reales x, existe un número real y tal que la ecuación es verdadera.
2. Existe un número real x, tal que para todo número real y, la ecuación es verdadera.
Observe que es posible que ambos enunciados sean verdaderos o falsos.
(a). 2x + y = 7
(d). (x − 5)(y − 1) = 0
(b). y + x = x + y
(e). x2 + y 2 = 1
(c). x2 − 2xy + y 2 = 0
Ejercicio 1.50 Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Sabiendo
que x, y ∈ Z
(a). ∃x∃y(xy = 1)
(d). ∀x∀y(sin2 x + cos2 x = sin2 y + cos2 y)
(b). ∃x∀y(xy = 1)
(e). ∃x∃y(2x + y = 5) ∧ (x − 3y = −8)
(c). ∀x∃y(xy = 1)
(f). ∃x∃y(3x − y = 7) ∧ (2x + 4y = 3)
Ejercicio 1.51 Para un universo dado y cualquier predicado p(x), q(x) en la variable x.
Demostrar la equivalencia e implicaciones lógicas.
(a) ∃x[p(x) ∧ q(x)] ⇒ [∃p(x) ∧ ∃q(x)]
(b) ∃x[p(x) ∨ q(x)] ⇔ [∃p(x) ∨ ∃q(x)]
Capítulo 1. Lógica Proposicional
51
(c) ∀x[p(x) ∧ q(x)] ⇔ [∀p(x) ∧ ∀q(x)]
(d) [∀p(x) ∧ ∀q(x)] ⇒ ∀x[p(x) ∧ q(x)]
1.8
Métodos de demostración
Una demostración es una serie de pasos finitos, donde cada paso se sigue de los anteriores, encontrándose en el último paso justamente con lo que se quiere probar.
¿Cuáles son los métodos de demostración más usuales? Progresivo-Regresivo,
Construcción, Inducción, Contrarreciproca, Contradicción, Contraejemplo a continuación detallamos.
Para una mejor comprensión de los métodos de demostración, se dan una gran variedad
de ejemplos y para esto requerimos de conceptos que se llevaran con más detalles en los
siguientes capítulos y además otros conceptos que no están en este libro, como los axiomas
de los números reales5 los cuales se pide al lector repasar.
1.8.1 Método progresivo - regresivo
Este método de demostración está implícitamente en todas las demostraciones, porque
siempre que se quiera hacer una demostración se debe abstraer información de la tesis q
para saber a dónde se quiere llegar. Una vez realizado este proceso regresivo, partimos de
la hipótesis p de manera progresiva y establecemos una conexión con la tesis usando la
información abstraída anteriormente. Si no se hace este proceso estaríamos perdidos sin
saber cuál es el camino que debemos seguir, para concluir la demostración.
5
Asociativo: ∀a, b, c ∈ R:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Neutro: ∃0 ∈ R ∀a ∈ R:
0+a = a = a+0
∃1 ∈ R, 1 , 0
∀a ∈ R: 1 · a = a · 1 = a
Inverso: ∀a ∈ R, ∃ − a ∈ R:
a + (−a) = 0 = (−a) + a
∀a ∈ R, a , 0, ∃a−1 ∈ R:
a · a−1 = a−1 · a = 1
Conmutativo: ∀a, b ∈ R:
a+b = b+a
a·b = b·a
Distributiva: ∀a, b, c ∈ R:
a · (b + c) = a · b + a · c
(b + c) · a = b · a + c · a
52
1.8. Métodos de demostración
¿Cómo demostrar de manera Progresivo-Regresivo?
Para demostrar p → q por este método se puede empesar por (a) o (b):


(a). p, p → p1 , p1 → p2 , · · · , pi−2 → pi−1 , pi−1 → pi 

 p i → qj

(b). q, q ⇆ q1 , q1 ⇆ q2 , · · · , qj−2 ⇆ qj−1 , qj−1 ⇆ qj 
donde i, j ∈ N. Así, se obtiene la prueba de p → q.
El objetivo de este método es vincular las secuencias (a) y (b) de tal manera que el ciclo
se cierre. En el inciso (b) las implicaciones que indican a la derecha abstrae información
de la tesis q y con esto se busca unir con la hipótesis a este proceso se dice regresivo. Y
las implicaciones que indican a la izquierda conectan el inciso (a) con (b) empezando por
la hipótesis p desarrollando de manera progresiva, para finalmente llegar a la tesis. Veamos
los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.64 Demostrar: Si el triángulo
Y
rectangulo XY Z, con lados x, y e hipo2
tenuza z tiene un área de z4 entonces el
z
x
triángulo es isósceles.
Z
Solución.
y
X
Primeramente, hagamos un análisis previo a la demostración.
Regresivo. En esta demostración se nos pide demostrar que el triángulo XY Z es isósceles, por definición de triángulo isósceles y según la imagen tenemos que demostrar x = y
o x = z o y = z, pero como hipótesis el triángulo XY Z es rectángulo, así descartamos x = z y
y = z, luego tenemos que demostrar:
q1 :
x=y
o de manera equivalente:
q2 :
x−y = 0
Ahora el propósito de la demostración es llegar a demostrar q1 . Nos preguntamos ¿Cómo
puedo demostrar que la diferencia de dos números reales es igual a 0?, estamos en el punto
en que necesitamos de la hipótesis.
Progresivo. la hipótesis nos dice: El triángulo XY Z con lados x y y, e hipotenusa z tiene
un área de z2 /4, como el área de un triángulo rectángulo es la mitad de la base por la altura
tenemos:
p1 :
xy/2 = z2 /4
Capítulo 1. Lógica Proposicional
53
Otra consecuencia de la hipótesis y el teorema de Pitágoras:
(x2 + y 2 ) = z 2
p2 :
Teniendo en cuenta siempre que el propósito es llegar a concluir q2 , y para esto combinamos
las proposiciones p1 y p2 obteniendo:
xy x2 + y 2
=
2
4
p3 :
En esta proposición multiplicamos a ambos miembros de A3 por 4 y substraer 2xy de ambos
lados obtenemos:
(x2 − 2xy + y 2 ) = 0
p4 :
Factorizando tenemos:
p5 :
(x − y)2 = 0
Sacamos la raiz cuadrada positiva de ambos lados de la igualdad en p5 obtenemos la igualdad deseada q2 : x − y = 0 Hasta aquí la demostración está completada. Ahora podemos
realizar la demostración de manera más formal en la siguiente tabla.
Demostración. Identificamos la hipótesis y tesis del problema:
Hipótesis
Tesis
1.
El 4XY Z es rectángulo
El triángulo es isósceles
2.
2
Área de 4XY Z es z4
x = y ⇒ x−y = 0
Afirmaciones
1.
2.
3.
Razones
2
Área de 4XY Z es z4
x·y
z2
2 = 4
x2 + y 2 = z2
Hipótesis
Área= 12 (base)·(altura)
Teorema de Pitágoras
5.
x·y
x2 +y 2
2 = 4
x2 − 2xy + y 2 = 0
6.
(x − y)2 = 0
7.
|x − y| = 0
Factorizando en (6)
p
(x − y)2 = |x − y|
8.
x−y = 0
Propiedad de valor absoluto
9.
x=y
Sumando y a ambos miembros en (8)
10
El triángulo XY Z es isósceles
Definición de triángulo isósceles en (9)
4.
Sustituyendo (3) en (2)
Algebra
■
Recordemos su definición cuando un número entero es par e impar.
(a). Diremos que un número n es par si existe algún entero k, tal que n = 2k.
(b). Diremos que un número m es impar si existe algún entero k, tal que m = 2k ± 1.
54
1.8. Métodos de demostración
Ejemplo 1.65 Probar que el producto de dos enteros impares es un entero impar.
Solución.
Traduciendo lo que tenemos que demostrar:
p→q
Si x e y son enteros impares, entonces x · y es impar.
En primera instancia comencemos de la hipótesis y ver hasta donde se podría llegar.
Sea la proposición p; “x e y, enteros impares”, por definición de número impar tenemos;
x = 2k + 1, y = 2l + 1 para algún k y l enteros. Ahora multiplicando estos dos números x · y =
(2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1, en esta igualdad podría suceder, que para algunos no
este claro que es impar. Así recurrimos a la tesis y desarrollamos de forma regresiva. Sea la
proposición q: “x·y es impar”, es decir existe algún entero t tal que x·y = 2t+1, por definición de
impar, esto nos da información sobre la forma que debe tener el producto, luego regresamos
a x·y = 4kl +2k +2l +1 = 2(2kl +k +l)+1 ahora por la ley de clausura6 , la expresión 2kl +k +l es
un entero, digamos t, es decir t = 2kl +k +l. Con esto podemos llegar a la conclusión y poder
reescribir la demostración de manera más compresiva paso a paso, utilizando la siguiente
tabla.
N
Proposición
Afirmaciones
Razones
1
p
x e y números enteros impares.
Premisa
2
p → p1
x = 2k + 1, k ∈ Z e y = 2l + 1, l ∈ Z,
Definición de impar
3
p1 → p2
x· y = (2k + 1)(2l + 1), k, l ∈ Z
Multiplicar en (2).
4
p2 → p3
x· y = 2k2l + 2k + 2l + 1, k, l ∈ Z
Distributiva en (3).
5
p3 → p4
x· y = 2(k2l + k + l) + 1, k, l ∈ Z
Distributiva en (4).
6
p4 → q
x· y = 2t + 1, t ∈ Z
∴
q
x· y es un entero impar
Clausura en (Z, · ) y (Z, +)
Definición de impar
■
Como se mencionó al inicio, este método de demostración está implícito en todas las
demostraciones; sin embargo, el proceso regresivo no necesariamente se debe abstraer
mucha información (qj ), solo hasta donde se crea necesario para poder llegar a concluir la
tesis mediante el proceso progresivo.
Ejercicio 1.52 Demostrar:
√
Sea r un número real tal que 3 r − √31r = 1, entonces r + 1r = 4 y r 3 + r13 = 76
6 ¿Qué es clausura? Dado un conjunto A y a, b dos elementos de este conjunto, al operar estos dos elementos
mediante una operación ∗ el resulto de esta operación a ∗ b es otro elemento que está en el mismo conjunto, es
decir a ∗ b ∈ A, decimos que estos dos elementos cumplen la ley de clausura en A.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
55
1.8.2 Método por vacuidad
Este método consiste en demostrar que el antecedente de una implicación lógica siempre
es falso, y así la operación lógica de la implicación será verdadera, sin importar el valor de
verdad de la conclusión. Esto lo presentamos de manera detallada en el siguiente cuadro:
¿Cómo demostrar por vacuidad?
Para demostrar p → q por vacuidad:
1. Primero tenemos que demostrar que p es falso.
2. En este caso F → q es (tautología) siempre verdadero, sin importar el valor de
verdad de q.
3. Por tanto, la demostración de p → q, decimos que es una prueba por vacuidad.
Ejemplo 1.66 Demostrar que el conjunto vacío es un conjunto acotado.
Demostración.
Antes enunciemos la definición de conjunto acotado
A ⊆ R es acotado si y sólo si ∃M ∈ R+ tal que ∀x ∈ A: |x| ≤ M.
Notemos por lo anterior:
∅ es acotado si y solo si ∃M ∈ R+ : ∀x(x ∈ ∅ ⇒ |x| ≤ M)
Como el valor de verdad de x ∈ ∅ es falso (pues el vacío no tiene elementos) y cualquiera
sea el valor de verdad de |x| ≤ M (es decir sea falso o verdad) tenemos que la proposición:
x ∈ ∅ ⇒ |x| ≤ M
es verdadero por vacuidad. Así, el conjunto vacío ∅ es un conjunto acotado.
■
Ejemplo 1.67 Sea h(n) el predicado “Si n > 1, entonces n2 > n”. Muestre que la pro-
posición h(0) es verdadera.
Solución.
Por definición del predicado, h(0) es la implicación “Si 0 > 1, entonces 02 > 0”,
donde p es la proposición “0 > 1” y q la proposición 02 > 0. Notemos que la proposición p
es falso, ya que cero no es mayor a uno. En conclusión el predicado h(0) es verdadera por
vacuidad.
■
56
1.8. Métodos de demostración
Ejemplo 1.68 Un montañista sale en busca de su nueva aventura, llega a un anuncio
que dice:
“Si sigue el camino, entonces llegarás a la cima”
Verifique que este enunciado es verdadero.
Solución.
Si aceptamos este anuncio como verdad, el siguiente enunciado es inaceptable:
“Si el montañista sigue el camino, pero no llegá a la cima”. Sin embargo, si el montañista
decide no seguir el camino, podría llegar o no llegar a la meta, por vacuidad el anuncio es
verdad, pues el antecedente es falso.
■
Las demostraciones por vacuidad no son muy utilizadas, ya que no es usual encontrarse
con proposiciones donde la hipótesis sea siempre falsa. En el siguiente capítulo se usará este
método de demostración, para demostrar que el conjunto vacío está contenido en cualquier
conjunto.
Ejercicio 1.53 Demostrar si la siguiente proposición es verdadera o falsa:
“Si 3 es solución de la ecuación log(x−1) (x2 + 3x − 1) = 3, entonces e2 es solución de
5(log3 (2 ln x)) log5 3 + 3(log5 (ln x)) log2 5 = 6
1.8.3 Método por trivial
Este método consiste en demostrar que el consecuente (o tesis) de una implicación lógica
siempre es verdadero, y así la operación lógica de la implicación será verdadera, sin importar
el valor de verdad del antecedente (o hipótesis). Esto lo presentamos en el siguiente cuadro:
¿Cómo demostrar por trivial?
1. Primero tenemos que demostrar que q es verdadero.
2. En este caso p → V es siempre (tautología) verdadero, sin importar el valor de
verdad de p.
3. Por tanto, hemos demostrado que p → q es verdad por trivialidad.
Ejemplo 1.69 Sea n un número natural. Demostrar la veracidad del siguiente enun-
ciado.
Si todo número par n mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números
primos, entonces n es par o impar.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
Solución.
57
Sea p la proposición “todo número par n mayor que 2 puede escribirse como
suma de dos números primos” y q la proposición “n es par o impar”. Afirmamos que todo
número entero es par o impar, pero no ambos, esta afirmación está demostrada en el ejemplo
5.13. Asi podemos afirmar que un número impar es equivalente a decir “no par” y viceversa,
entonces q toma todos los valores posibles del conjunto de referencia N. Así, q es siempre
verdadero. Por tanto, p → q es trivialmente verdadero.
■
Este ejemplo no debe tomarse como verdad la hipótesis p: “Todo número par n mayor
que 2 puede escribirse como suma de dos números primos” es un resultado que aún no está
demostrado. Este enunciado es la conjetura de Christian Goldbach7 .
En el siguiente ejemplo se requiere la definición de límites8 ; sin embargo, no entraremos
en ese asunto.
Ejemplo 1.70 Demostrar que el límite de una función constante es la misma constante,
es decir:
lim k = k
x→a
Solución.
La función f : R → R es definido por f (x) = k donde k es una constante.
lim k = k ⇔ ∀ϵ > 0 ∃ > 0 : ∀x ∈ Df , 0 < |x − a| < δ ⇒ |k − k| < ϵ
x→a
Como |k − k| < ϵ es siempre verdadero (pues por hipótesis ϵ > 0) y cualquiera sea el valor de
verdad de 0 < |x − a| < δ (puede ser falso o verdadero) entonces la proposición.
0 < |x − a| < δ ⇒ |k − k| < ϵ
| {z } | {z }
FoV
V
es verdadero trivialmente.
■
En los ejemplos 1.16 y 1.69 se utilizará la demostración trivial, ya que sin importar el valor
de verdad de la hipótesis (no se utilizó para la demostración de la tesis), la implicación es
(tautología) verdadera, pues la tesis es verdadera.
Ejercicio 1.54 Demostrar si la siguiente proposición es verdadera o falsa:
1
1
x+3 x−1
= e− 4 entonces x = 12 es solución de 6x2 − 5x + 1 = 0.
Si lim 2x+2
x→1
7 En teoría de números, la conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en mate-
máticas. Concretamente, G.H. Hardy, en 1921, en su famoso discurso pronunciado en la Sociedad Matemática
de Copenhague, comentó que probablemente la conjetura de Goldbach no es solo uno de los problemas no
resueltos más difíciles de la teoría de números, sino de todas las matemáticas.
8 Sea f una función y a un punto que no necesariamente pertenece a D , sea L un número real. Se dice que
f
lim f (x) = L si y soló si ∀ϵ > 0 ∃ δ > 0: ∀x ∈ Df , [0 < |x − a| < δ → |f (x) − L| < ϵ]
x→a
58
1.8. Métodos de demostración
1.8.4 Método directo
La demostración directa es exactamente el razonamiento deductivo válido, además de
que este método está presente en la mayoría de las demostraciones en los textos. Presentamos en el siguiente cuadro:
¿Cómo demostrar de manera directa?
Para demostrar p → q de forma directa, escribimos en tres pasos:
1. Partimos de p (hipótesis o premisa) sabiendo que este es verdadero.
2. En el desarrollo de la demostración usar la hipótesis y con la ayuda de axiomas,
definiciones, teoremas u otros resultados, con el fin de llegar a deducir la verdad
de q (tesis o conclusión).
3. Por tanto, p → q es verdadera.
Para aplicar este método, presentamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1.71 Sea R el conjunto de referencia. Demostrar:
Si a + c = b + c, entonces a = b.
Solución.
Sea p la proposición “a + c = b + c” y q la proposición “a = b”. La demostración lo
desarrollamos en la siguiente tabla:
No
Afirmaciones
Razones
1
a+c = b+c
Hipótesis (Verdad)
2
(a + c) + (−c) = (b + c) + (−c)
Sumamos (−c) en (1)
3
a + (c + (−c)) = b + (c + (−c))
Asociativa en (2)
4
a+0 = b+0
Inverso aditivo c + (−c) = 0
5
a=b
Neutro aditivo a + 0 = a
Por tanto, a = b que es verdad, Así terminamos la demostración por el método directo. ■
Ejemplo 1.72 Dados a, b y c números reales positivos que cumple la propiedad abc = 1.
Demuestre que
b+c c+a a+b √ √ √
√ + √ + √ ≥ a+ b+ c+3
a
c
b
Capítulo 1. Lógica Proposicional
Solución.
59
Aplicando la Desigualdad de Medias (Ejercicio 1.63), vemos que:
b+c √
≥ bc
2
⇒
c+a √
≥ ca
2
⇒
a+b √
≥ ab ⇒
2
√
b + c 2 bc
√ ≥ √
a
a
√
c + a 2 ca
√ ≥ √
b
b
√
a + b 2 ab
√ ≥ √
c
c
(1)
(2)
(3)
Sumando (1), (2) y (3) obtenemos
√
√
√
b + c c + a a + b 2 bc 2 ca 2 ab
√ + √ + √ ≥ √ + √ + √
a
c
a
c
b
b
Descomponiendo y asociando, nuevamente aplicamos la Desigualdad de Medias en cada
paréntesis
√
√ !
√
√
√ ! √
√
√ ! √
2 bc 2 ca 2 ab
bc
ca
ca
ab
ab
bc
√ + √ + √ = √ + √ + √ + √ + √ + √
a
c
a
c
c
a
b
b
b
√
√
√
≥ 2 c+2 a+2 b
Ahora utilizamos la Desigualdad de las Medias en
√
Luego sabiendo que
√ √
√
a, b y c, para obtener:
q √
√ √
√
3 √
a+ b+ c ≥3
a b c
√
√
√ √ √
a b c = abc = 1 = 1 (pues por dato se conoce que abc = 1)
q
√
√
√
√ √ √
√ √ √
3 √
2 c+2 a+2 b ≥ c+ a+ b+3
abc = a + b + c + 3
Por tanto, llegamos a demostrar:
b+c c+a a+b √ √ √
√ + √ + √ ≥ a+ b+ c+3
a
c
b
■
Ejercicio 1.55 Demostrar las siguientes proposiciones:
1. Sean a, b y c números reales positivos se cumple:
a
b
c
b+c + a+c + a+b ≥ 1.
2. Sean a, b, c ∈ R con a , 0, las soluciones de la ecuación ax 2 +bx +c = 0, está dado
por:
√
−b ± b2 − 4ac
2a
60
1.8. Métodos de demostración
1.8.5 Método por construcción
Este método consiste en la construcción de un objeto de tal manera que se adapte a
las características que establece la hipótesis y que satisfaga la tesis, llegar a construir este
objeto suele ser por medio de procedimientos; algoritmos, ensayo o error. Es apropiado para
demostrar una proposición en la que interviene el cuantificador existencial.
Forma de la proposición:
∃x ∈ A tal que p(x)
Para realizar una aplicación sobre el método por construcción, proporcionamos la idea
intuitiva de una función: Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada
objeto x en un conjunto denominado dominio A, un solo valor f (x) de un segundo conjunto
denominado conjunto de llegada B. Esta función es denotado por:
f :
A
→
B
x
7→
f (x) = y
Para una mejor compresión veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.73 Demuestre que hay un número infinito de funciones racionales f (x) y
g(x) tales que f (x) + g(x) = f (x)g(x)
Solución.
Empecemos a construir el objeto a partir de las hipotesis. Sabemos que f (x) y
g(x) son funciones racionales, entonces consideremos otras funciones m(x) y n(x) tales que:
f (x) =
m(x)
,
m(x) − n(x)
g(x) =
m(x)
n(x)
con m(x) , n(x) y n(x) , 0. Esto significa que hay infinitas funciones racionales, solo tenemos
que hacer variar las funciones m(x) y n(x).
Por otro lado, sumando las dos funciones f (x) y g(x);
m(x)
m(x)
+
m(x) − n(x) n(x)
m(x)n(x) + m(x)m(x) − m(x)n(x)
=
m(x)n(x) − n(x)n(x)
m2 (x)
=
m(x)n(x) − n2 (x)
f (x) + g(x) =
Ahora haciendo el producto de las funciones f (x) y g(x);
f (x)g(x) =
m(x)
m2 (x)
m(x)
·
=
= f (x) + g(x)
m(x) − n(x) n(x) m(x)n(x) − n2 (x)
Por tanto, f (x) + g(x) = f (x) · g(x). Así concluimos nuestra demostración.
■
Capítulo 1. Lógica Proposicional
61
El siguiente ejemplo se puede demostrar por otros métodos; sin embargo, lo haremos por
el método de construcción, para desarrollar la habilidad de construir.
Ejemplo 1.74 Sea x un número entero. Demostrar:
Si x2 es impar, entonces x es impar
Solución.
Antes notemos que el producto de un entero con su consecutivo es siempre par
x(x + 1) = 2t, para algún t ∈ Z.
x = x(x + 1) − x2
(Construcción)
= 2t − (2k + 1)
(Hipótesis de que x2 es impar)
= 2(t − k) − 1
(Asociativa y factorización en Z)
= 2r − 1
(Haciendo r = (t − k) ∈ Z)
Por tanto x = 2r − 1, esto significa que x es impar.
■
Ejemplo 1.75 Demostrar:
lim (7 − 3x) = −2
x→3
donde x es un número real.
Solución.
Por definición de límite se debe demostrar:
∀ϵ > 0, ∃ δ > 0: ∀x [0 < |x − 3| < δ ⇒ |(7 − 3x) + 2| < ϵ]
Para verificar esta definición, tenemos que realizar dos cosas: Primero tenemos que construir un δ en términos de ϵ y segundo verificar la desigualdad |(7 − 3x) + 2| < ϵ usando el δ
encontrado.
Contrucción del número δ, para esto análicemos |(7 − 3x) + 2| < ϵ, así
1
|(7 − 3x) + 2| < ϵ ⇒ |9 − 3x| < ϵ ⇒ 3|x − 3| < ϵ ⇒ |x − 3| < ϵ
3
Pero como 0 < |x − 3| < δ, esto indica que es adecuado tomar δ = 13 ϵ.
Verifiquemos la desigualdad |(7 − 3x) + 2| < ϵ. Aquí empieza la demostración del límite.
Dado cualquier ϵ > 0 por la construción existe δ = 13 ϵ tal que para todo x
0 < |x − 3| < δ ⇒ 3|x − 3| < 3δ ⇒ |9 − 3x| < 3δ ⇒ |(7 − 3x) + 2| < 3δ ⇒ |(7 − 3x) + 2| < ϵ
Por tanto queda demostrado lim (7x − 3x) = −2.
x→3
■
62
1.8. Métodos de demostración
Ejercicio 1.56 Demostrar que existe tres números enteros consecutivos tal que la
suma es 72
Ejercicio 1.57 Sean m, n ∈ R, y la función f : R → R definida por f (x) = mx + n, con
m , 0. Demuestre que ∀y ∈ R, ∃x ∈ R tal que f (x) = y.
1.8.6 Método de la contrarreciproca
Se puede llegar a recurrir a este método cuando una afirmación se resista a ser demostrado.
Equivalencia lógica
Este método está basado en la siguiente equivalencia lógica: p → q ≡∼ q →∼ p
Por ello, para demostrar p → q, se parte de la negación de la conclusión ∼ q y de ello se
deduce la negación de la hipótesis ∼ p, es decir el objetivo ahora es demostrar la implicación
∼ q →∼ p y para esto se puede utilizar cualquier método de demostración.
Ejemplo 1.76 En el conjunto de los números enteros, demuestre:
Si 3x − 1 es par entonces x es impar.
Sea p la proposición “3x − 1 es par” y q la proposición “x es impar”. Aplicando el
Solución.
método contrarrecíproco:
p → q ≡∼ q →∼ p : Si x es par, entonces 3x − 1 es impar.
para su demostración notemos que la hipótesis es ∼ q y lo que tenemos que llegar a concluir
es la tesis ∼ p, procedemos mediante la siguiente tabla:
No
Afirmaciones
Razones
1
x es par
Hipótesis
2
x = 2t, ∃t ∈ Z
Definición de entero par en (1)
3
3x − 1 = 3(2t) − 1
Sustituyendo (2) en 3x − 1
4
3x − 1 = 2(3t) − 1, t ∈ Z
Conmutativa en (Z, ·)
5
3x − 1 = 2m − 1, m = 2t ∈ Z
Clausura en (Z, ·)
6
3x − 1 es impar
Definición de entero impar en (5)
Por tanto, gracias al método del contrarrecíproco queda demostrado.
■
Capítulo 1. Lógica Proposicional
63
Ejemplo 1.77 Para todo número real positivo p y q (p, q ∈ R+ ), demostrar el siguiente
enunciado:
Si
√
pq ,
p+q
entonces p , q
2
Por la equivalencia lógica de la contrarecíproca r → s ≡∼ s →∼ r. Tomando las
p+q
√
proposiciones de la siguiente manera, r : p = q y s : pq ,
.
2
p+q
√
Si p = q entonces pq =
2
|{z}
| {z }
Solución.
∼s
∼r
De la hipótesis p = q tenemos:
√
√
pq = pp = p
p + q p + p 2p
=
=
=p
2
2
2
(1.1)
(1.2)
Igualando (1.1) y (1.2), tenemos:
√
pq =
p+q
2
■
Ejemplo 1.78 Sea k ∈ N, demostrar que si 2k − 1 es primo entonces k es primo.
Solución.
Por la equivalencia lógica de la contrarecíproca r → s ≡∼ s →∼ r. Tomando las
proposiciones de la siguiente manera, r : 2k − 1 es primo y s : k es primo. El enunciado que
se tiene que demostrar será: Dado k ∈ N
Si k es compuesto, entonces 2k − 1 es compuesto.
Por hipótesis sabemos que k es compuesto y se puede escribir k = ab como producto de dos
números enteros. Luego
2k − 1 = 2ab − 1 = (2a )b − 1 = (2a − 1)((2a )b−1 + (2a )b−2 + · · · + 2a + 1)
de donde la última igualdad se demuestra operando y cancelando términos, y así 2k − 1 es
producto de dos números. (2a −1) y ((2a )b−1 +(2a )b−2 +· · ·+2a +1), es decir, 2k −1 es compuesto.
■
Existen proposiciones que al ser demostradas de manera directa exigen arduo trabajo en el desarrollo
de la demostración. Pero gracias a la contrarrecíproca, la demostración de dicha proposición es más
simple.
64
1.8. Métodos de demostración
Ejercicio 1.58 Demostrar que:
(i) Todos los números primos (definición 5.4) mayores que 2 son impares.
(ii) Sean a, b, c ∈ R. Si a ≥ b y c < 0, entonces ac ≤ bc.
1.8.7 Método de la bicondicional
Para demostrar una proposición por la bicondicional, se usa:
Forma equivalente:
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
| {z } | {z }
Suf iciente
necesaria
El cual se divide en dos implicaciones: p → q y q → p, para llegar a la conclusión de estas
dos implicaciones se puede usar cualquier método de demostración.
Ejemplo 1.79 En el conjunto Z. Probar que a2 es impar si y solo si a es impar
Solución.
Sea p la proposición “a2 es impar”, y q la proposición “a es impar”.
Condición suficiente. Si a2 es impar entonces a es impar.
Como no es posible obtener información inmediata de la hipótesis, entonces cambiaremos de estrategia y utilizaremos la contra recíproca, esto es:
∼ q →∼ p : a es par → a2 es par
Ahora nuestra hipotesis es ∼ q que significa “a es par” y lo que tenemos que demostrar
es ∼ p que significa “a2 es par”. Desarrollamos la demostración en la siguiente tabla.
No
Afirmaciones
Razones
1
a es par
Hipótesis
2
a = 2t, t ∈ Z
Definición de entero par en (1)
3
a2 = (2t)2 = 2t · 2t
Definición de potencia
4
a2 = 2(t · 2t), t ∈ Z
Asociativa en (Z, ·)
5
a2 = 2m, m = t · 2t ∈ Z
Clausura en (Z, ·)
6
a2 es par
Definición de entero par en (4)
Por la equivalencia lógica p → q ≡∼ q →∼ p terminamos la demostración.
Condición necesaria. Si a es impar entonces a2 es impar.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
65
Para su desarrollo de la demostración, procedemos en la siguiente tabla.
No
Afirmaciones
Razones
1
a es impar
Hipótesis
2
a = 2t + 1, t ∈ Z
Por definición de entero impar
3
a2 = (2t + 1)2 , t ∈ Z
Elevando al cuadrado
4
a2 = 4t 2 + 4t + 1
Trinomio cuadrado perfecto
5
a2 = 2(2t 2 + 2t) + 1
Distributiva en Z
6
a2 = 2m + 1, m = 2t 2 + 2t, m ∈ Z
Por clausura en (Z, +) y (Z, ·)
7
a2 es impar
Por definición de impar
Por tanto, de la condición suficiente y necesaria, queda demostrado.
■
Ejemplo 1.80 Si a, b, x son números reales con a , 0, entonces
ax + b = 0 si y sólo si x = (−b)a−1
Solución.
Aplicando p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p). Sean a, b, x ∈ R con a , 0.
1. p → q Si ax + b = 0 entonces x = (−b)a−1 .
No
Afirmaciones
Razones
(1).
ax + b = 0
Hipótesis
(2).
ax + b + (−b) = 0 + (−b)
Sumando (-b) en (1)
(3).
ax + [b + (−b)] = −b
Asociativa y 0 es el neutro aditivo
(4).
ax + 0 = −b
Existencia del inverso aditivo
(5).
ax = −b
Existencia del neutro aditivo
(6).
a−1 ax = a−1 (−b)
Multiplicando (a−1 ) en (5).
(7).
(a−1 a)x = −(a−1 b)
Asociativa
(8).
1 · x = −(a−1 · b)
Inverso multiplicativo
(9).
x = (−b) · a−1
1 es neutro multiplicativo y propiedad de R
2. q → p Si x = (−b) · a−1 entonces ax + b = 0.
Para la demostración se tiene que seguir los pasos anteriores en sentido inverso, esto
se puede hacer, pues cada paso es equivalente al siguiente. Así, podemos concluir la
prueba.
Por tanto, queda demostrada la equivalencia: “ ax + b = 0 si y sólo si x = (−b)a−1 ”.
La solución de la ecuación lineal ax + b = 0 es x = −b/a, y el conjunto de solución está dado por:
{x ∈ R : x = −b/a} = {−b/a}
■
66
1.8. Métodos de demostración
Ejercicio 1.59 Demostrar que, dados dos números reales no negativos a, b, las si-
guientes afirmaciones son equivalentes
(ii) a2 < b 2
(i) a < b
(iii)
√
√
a< b
1.8.8 Método por inducción matemática
La inducción matemática9 es un método de demostración que se utiliza cuando se trata
de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones.
¿Como demostrar por inducción?
Si deseamos demostrar que el predicado p(n) es verdadero para todo n ∈ N, entonces
procedemos en dos pasos:
Paso 1. (Base de la Inducción) Se demuestra que el primer natural (el número 1), la
proposición p(1) es verdadera.
Paso 2. (Paso Inductivo) Partiendo de la suposición (Hipotesis de Inducción) p(k) es
verdadera, para k un número natural cualquiera, entonces procedemos a demostrar (Tesis de Inducción) p(k + 1) es verdadera para el siguientes número natural
de k.
Una vez realizado exitosamente lo anterior, entonces concluimos que el predicado p(n)
es verdadero para todo número natural.
A continuación, veremos cómo funciona el método a través de algunos ejemplos.
Ejemplo 1.81 Pruebe que para todo número natural n
(a · b)n = an · bn
Solución.
Sea p(n) : (a · b)n = an · bn el predicado.
Paso 1. (Base de la Inducción) Procedemos a mostrar que la proposición p(n) es verdadera
para n = 1.
(a · b)1 = a · b = a1 · b1
Paso 2. (Paso Inductivo) Suponemos que el predicado p(n) es verdadera para cualquier
número natural n = k. Esto es
9 En el capítulo 5, en la primera sección, está dedicada a la noción de inducción matemática
Capítulo 1. Lógica Proposicional
67
Hipótesis de Inducción. (a · b)k = ak · bk
Usando la hipótesis de inducción se debe establecer que la proposición p(n) es verdadera, para n = k + 1.
Tesis de Inducción. (a · b)k+1 = ak+1 · bk+1
Empecemos la demostración de tesis de inducción:
(a · b)k+1 = (a · b)k · (a · b)
(Definición de potencia)
= (ak · bk ) · (a · b)
(Hipótesis de inducción)
= (ak · a)(bk · b)
(Asociativa y conmutativa)
= ak+1 · bk+1
(Definición de potencia)
de esta manera podemos concluir que el predicado (a · b)n = an · bn es verdadera para todo
■
número natural n.
Ejercicio 1.60 Demostrar que, para n un número natural cualquiera se cumple.
(a) 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n+1)
2
(b) 13 + 23 + · · · + n3 =
n2 (n+1)2
4
(c) (−1)1 + (−1)2 + (−1)3 + · · · + (−1)n =
(−1)n −1
2
Ejercicio 1.61 Demostrar por inducción
(a) 1 + n ≤ 2n , para todo n ∈ {0, 1, 2, . . .}.
(b) 2n < n! a , para todo n ≥ 4, n ∈ N.
(c) Para todo a ∈ R, a < 0 tenemos a2n > 0 y a2n−1 < 0, ∀n ∈ N.
(d) Sea x ∈ R, x > 0. Entonces (1 + x)2n > 1 + 2nx para todo n ∈ N.
(e) Si a > 0 y x > 0 son números reales, entonces (a + x)n ≥ an + nxan−1 , ∀n ∈ N.
a Factorial se representa con un signo de exclamación “!”, detrás de un número, quiere decir que hay
que multiplicar todos los números enteros positivos que hay entre ese número y el 1. Por ejemplo, 6! =
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720
1.8.9 Método por contradicción
Inicialmente, se quiere demostrar que la implicación p → q es una tautología, una demostración por contradicción consiste en suponer que la implicación p → q es falsa, y luego
68
1.8. Métodos de demostración
llegar a una contradicción interna o externa, así la suposición de la falsedad de la implicación
es errónea, con lo cual se afirma que la implicación p → q es una tautología, Esto se ve, en
el siguiente cuadro.
¿Cómo demostrar por contradicción?
Negando el enunciado: ∼ (p → q) ≡ p∧ ∼ q
(1).
p
Hipótesis
(2).
∼q
Hipótesis adicional de contradicción
(3).
r∧ ∼ r
Contradicción (⇒⇐)
(4).
∼ (p → q)
Es falso
(5).
∼ [∼ (p → q)] ≡ p → q
Es verdad
El objetivo de este método es llegar a la contradicción, después se sigue de forma inmediata los pasos 4 y 5 del cuadro, como se puede observar en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.82 Probar la siguiente proposición:
Para todo número real diferente de cero, su inverso multiplicativo es diferente de cero.
Solución.
Sea p la proposición “x , 000 y q la proposición “x−1 , 0”. En símbolos
p
q
z}|{ z }| {
∀x ∈ R [ x , 0 ⇒ x−1 , 0]
La hipótesis denotado por p: “x , 0”, y la tesis por q: “x−1 , 0”. Para proceder por el método de
contradicción, tenemos que negar ∀x ∈ R [x , 0 ⇒ x−1 , 0] que es equivalente a x , 0∧x−1 =
0 para algún x ∈ R. Es decir:
∼ (∀x ∈ R [x , 0 ⇒ x−1 , 0]) ≡ ∃x ∈ R [x , 0 ∧ x−1 = 0]
No
Afirmaciones
Razones
1
x,0
Hipótesis
2
x−1 = 0
Hipótesis adicional por el método de contradicción
3
x · x−1 = 1
Axioma del inverso multiplicativo
4
x · x−1 =
=
x·0
0
Sustituyendo x−1 = 0 del paso (2)
5
x · x−1 = 0
Transitividad de (4)
6
1 = 0 (⇒⇐)
Transitividad (3) y (5), Contradicción
Capítulo 1. Lógica Proposicional
69
Por tanto, la proposición ∼ (∀x ∈ R [x , 0 ⇒ x−1 , 0]) es falsa. Luego, su negación,
∀x ∈ R[x , 0 ⇒ x−1 , 0] es verdadera y con ello queda demostrada la proposición.
Ejemplo 1.83 Demostrar que el número
Solución.
Asumamos que
√
√
■
2 es irracional.
2 no es irracional, es decir
√
2 es racional, por tanto, existen
dos enteros p, q con q , 0, tales que:
√
2=
p
q
(1.3)
p
Suponemos que q es irreducible, es decir, p, q no tienen factores en común. En consecuencia, p, q no pueden ser ambos pares. Elevamos al cuadrado (2.3), obtenemos
p2
q2
(1.4)
p 2 = 2q2
(1.5)
2=
luego
En consecuencia; p 2 es par, entonces p es par. Esta afirmación dejamos que el lector lo
verifique. Como p y q no son simultáneamente ambos pares, entonces q es impar. Ahora,
como p es par, existe k entero tal que p = 2k, sustituimos en la ecuación (1.5), obtenemos
(2k)2 = 2q2 , así 4k 2 = 2q2 . Luego q2 = 2k 2 , en consecuencia q2 es par, por lo tanto, q es
√
par. Concluimos que q es impar y q es par, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, 2 es
■
irracional.
Ejemplo 1.84 Probar la siguiente proposición:
El producto de un número racional e irracional es irracional.
Solución.
Sean x ∈ Q, y ∈ I y p la proposición “t = x·y”, q la proposición “t ∈ I”. En simbolos
p
q
z}|{
z }| {
∀x ∈ Q ∀y ∈ I [t = x · y ⇒ t ∈ I]
La hipótesis es p: “t = x · y”, y la tesis es q: “t ∈ I”. Para proceder por el método de contradicción, tenemos que negar ∀x ∈ Q ∀y ∈ I [t = x · y ⇒ t ∈ I] que es equivalente t , x · y ∧ t ∈ I
70
1.8. Métodos de demostración
para algún x ∈ Q y algún y ∈ I. Es decir:
∼ (∀x ∈ Q ∀y ∈ I [t = x · y ⇒ t ∈ I]) ≡ ∃x ∈ Q∃y ∈ I[t = x · y ∧ t < I]
No
Afirmaciones
Razones
(1).
t = x · y, con x ∈ Q, y ∈ I
Hipotesis
(2).
t<I
Hipótesis adicional del método de contradicción
(3).
x = ba
Definición de número racional en x ∈ Q
(4).
t∈Q
Pues Q ∪ I = R, Q ∩ I = ∅ y (2)
(5).
t=m
n
Definición de número racional en (4)
(6).
x·y =
a
b ·y =
b a
a · b ·y =
y=
t
Sustituyendo (3) y (5) en (1), luego multiplica-
m
n
b m
a· n
b·m
a·n
mos a la ecuación por ba , para despejar y.
(7).
y = dc
De (6) con c = b · m ∈ Z y d = a · n ∈ Z
(8).
y∈Q
Definición de número racional de (7)
(9).
y ∈ Q ∧ y ∈ I (⇒⇐)
Es contradicción de (1) y (8)
El paso (9) nos afirma que el número y es racional e irracional al mismo tiempo, esto es
una contradicción, ya que el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números
irracionales son disjuntos. Por tanto, la proposición ∼ (∀x ∈ Q ∀y ∈ I [t = x · y ⇒ t ∈ I]) es
falsa. Luego, su negación, ∀x ∈ Q ∀y ∈ I [t = x · y ⇒ t ∈ I] es verdadera y con ello queda
■
demostrado.
Ejercicio 1.62 Demostrar las siguientes afirmaciones:
(i) Para todo a , 0 se tiene a2 > 0
(ii) Si a > 1, entonces a < a2
(iii) Si n, m ∈ Z, son tales que n + n2 + n3 = m + m2 , entonces n es par.
Ejercicio 1.63 Demostrar la siguiente desigualdad. Sean a1 , a2 , . . . an números reales
no negativos. Entonces
a1 + a2 + · + an √n
≥ a1 · a2 · . . . an
n
La igualdad se da si y sólo si a1 = a2 = · · · = an Esta es la Desigualdad de las Medias,
√
Media Aritmética ( a1 +a2n+·+an ) y Media Geométrica ( n a1 · a2 · . . . an ).
Capítulo 1. Lógica Proposicional
1.8.10
71
Método por casos
Este método solamente es posible utilizarlo cuando la hipótesis es una disyunción de
casos, es decir, cuando p = p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ ... ∨ pn .
Equivalencia lógica
Este método está basado en la siguiente equivalencia lógica:
(p1 ∨ p2 ∨ p3 ∨ ... ∨ pn ) → q ≡ (p1 → q) ∧ (p2 → q) ∧ (p3 → q) ∧ ... ∧ (pn → q)
Este método se explica señalando que para demostrar que p → q, es necesario demostrar
que todos los casos de la hipótesis implican la conclusión.
Ejemplo 1.85 En el conjunto de los números reales, demostrar la proposición:
Si a = 0 ∨ b = 0 , entonces a · b = 0
Solución.
Sea p la proposición “a = 0”, q la proposición “‘b = 0” y r la proposición “a · b = 0”.
Note que la proposición tiene la forma, (p ∨ q) → r ≡ (p → r) ∧ (q → r).
Caso 1. [p → r] Por hipótesis tenemos que a = 0, entonces a · b = 0 · b = 0.
Caso 2. [q → r] Por hipótesis tenemos que b = 0, entonces a · b = a · 0 = 0.
Por tanto, se demostró [(a = 0 ∨ b = 0) → a · b = 0] ≡ (a = 0 → a · b = 0) ∧ (b = 0 → a · b = 0). ■
Ejemplo 1.86 Demostrar la proposición: Sea n ∈ Z.
Si n = 4j + 1 para algún j ∈ Z o n = 4i − 1 para algún i ∈ Z, entonces n es impar.
Solución.
Identifiquemos a las proposiciones p: n = 4j + 1 para algún j ∈ Z , q: n = 4i − 1
para algún i ∈ Z y r: n es impar. Por la equivalencia (p ∨ q) → r ≡ (p → r) ∧ (q → r) tenemos
los siguientes casos:
Caso 1. [p → r] Supongamos que n es de forma n = 4j +1 para algún j ∈ Z, luego n podemos
escribir n = 2k + 1, con k = 2j ∈ Z. Así n es impar.
Caso 2. [q → r] De manera similar al caso 1 tenemos n = 4i − 1 = 2(2i) − 1 = 2k − 1 con
k = 2i ∈ Z. Luego n es impar.
Por tanto, n es impar para cualquiera de los casos.
Ejemplo 1.87 Demostrar:
Si x ∈ R, entonces −|x| ≤ x ≤ |x|
■
72
1.8. Métodos de demostración
Solución.
En la hipótesis, aplicamos el axioma de los números reales, cada x ∈ R satisface
una y sóla una de las siguientes condiciones: x > 0
o
x<0
o
x = 0. El enunciado se
redactaría de la siguiente manera:
Si x > 0
o
x<0
o
x = 0, entonces −|x| ≤ x ≤ |x|
Identificando las proposiciones p : x > 0, q : x < 0, r : x = 0 y s : −|x| ≤ x ≤ |x|. Por la
equivalencia lógica (p ∨ q ∨ r) → s ≡ (p → s) ∧ (q → s) ∧ (r → s), tenemos tres casos por
demostrar:
Caso 1. [p → q] Suponemos que x > 0, entonces por definición de valor absoluto |x| = x. Así
la desigualdad verifica −x ≤ x ≤ x, lo que es equivalente −|x| ≤ x ≤ |x|.
Caso 2. [p → r] Supongamos x < 0 entonces por defnición de valor absoluto |x| = −x y además x < −x. Así, la desigualdad verifica x ≤ x ≤ −x lo que es equivalente a −|x| ≤ x ≤ |x|.
Caso 3. [p → s] Supongamos que x = 0, entonces se verifica −|x| ≤ x ≤ |x|.
Por tanto, para cualquier x ∈ R se demostró −|x| ≤ x ≤ |x|.
■
En el método por casos, como ya señalamos, es necesario demostrar que todos los casos de la
hipótesis implican la conclusión. Sin embargo, para la demostración en cada uno de los casos, se
tendrán que aplicar alguno de los métodos de demostración. Puede suceder inclusive que en una
demostración se apliquen varios métodos en diversas partes de la misma.
Ejercicio 1.64 Demostrar los siguientes enunciados:
(a). Sea n ∈ Z entonces n2 conserva la paridad de n.
(b). Si m + n y n + p son pares con m, n, p ∈ Z entonces m + p es par.
(c). Si n es un entero, entonces n ≤ n2 .
(d). Si n es un entero, entonces n2 + 3n + 2 es par.
(e). Si x, y son enteros x · y y x + y son ambos pares, entonces x y y son ambos pares.
1.8.11
Método por contraejemplo
Este método no es usado a menudo, ya que el fin de este método es demostrar la falsedad
de una proposición, en general dichas proposiciones intervienen el cuantificador universal.
Capítulo 1. Lógica Proposicional
73
¿Como demostrar por contraejemplo?
Para demostrar la falsedad de proposiciones universales, basta exhibir un elemento
que satisfaga la hipótesis de la proposición, pero que no satisfaga su conclusión. A
dicho elemento se le conoce con el nombre de contraejemplo.
El uso del contraejemplo, es muy útil cuando uno se encuentra ante una proposición con
cuantificador universal del cual no se sabe si es verdadera o falsa. La primera idea es buscar
un elemento que no cumpla la proposición. Si no se encuentra dicho elemento, se intentará
demostrar su veracidad aplicando los otros métodos de demostración o una combinación de
ellos.
Ejemplo 1.88 ¿Es verdad la siguiente proposición?
∀a, b ∈ R ⇒ |a + b| = |a| + |b|
Solución.
Al utilizar este método por contraejemplo, estamos afirmando que la proposición
∀a, b ∈ R ⇒ |a + b| = |a| + |b| es falsa. Para su demostración sabemos que la proposición tiene
un cuantificador universal, entonces podemos tomar cualquier número real, en particular
tomemos a = 9 y b = −7. Así
(9), (−7) ∈ R ⇒ |9 + (−7)| = |9| + | − 7|
2 = 9+7
2 = 16
esta última igualdad (2 = 6) es falsa. Por tanto, ∀a, b ∈ R ⇒ |a + b| = |a| + |b| es falsa, por el
■
contraejemplo dado.
Ejemplo 1.89 Analizar, si la siguiente proposicion es verdadera o falsa
∀a, b ∈ R : a2 = b2 ⇒ a = b
Solución.
Si tomamos a = −2 y b = 2 se tiene a2 = 4 = b2 , pero a = −2 , 2 = b. Por lo tanto,
la proposición ∀a, b ∈ R a2 = b2 ⇒ a = b es falsa.
El siguiente ejemplo analizaremos si es cierto o no, el recíproco del ejemplo 1.78.
Ejemplo 1.90 En los números enteros:
Si k es primo, entonces 2k − 1 es primo.
Demostrar o dar un contraejemplo
■
74
1.8. Métodos de demostración
Solución.
Para demostrar por contraejemplo debemos hallar un primo que no cumpla con
la tesis, para esto reemplazamos en k los primos 2, 3, 5, 7 obtenemos: 22 − 1 = 3, 23 − 1 = 7,
25 − 1 = 31, 27 − 1 = 127 respectivamente. Todos estos son números primos, aparentemente
la igualdad es cierta, sin embargo haciendo este proceso podemos encontrar k = 11 primo,
pero 211 − 1 = 2047 no es primo, ya que 2047 = 23 · 89 es compuesto. Esto significa que la
proposición. Si k es primo, entonces 2k − 1 es primo, es falsa.
Ejercicio 1.65 Demostrar o dar un contraejemplo: ∀x, y ∈ R se cumple:
(i) ||x| − |y|| = |x + y|
(ii) |x| − |y| = |x − y|
(iii) ||x| − |y|| = |x − y|
Ejercicio 1.66 Demostrar o dar un contraejemplo. Para cualquier n entero positivo, si
n es un número primo, entonces n + 1, n + 2, n + 3 y n + 4 son primos
Ejercicio 1.67 Demostrar o dar un contrajemplo. Si a, b son enteros tal que a2 > b 2 ,
entonces a > b.
■
2. Teoría de Conjuntos
Presentación.
La teoría de conjuntos es una rama de la matemática que estudia la colección de objetos
analizando las propiedades y las relaciones entre los elementos que forman el conjunto.
En este capítulo introduciremos los conceptos de unión, intersección, diferencia, complemento de conjunto y entre otros conceptos. A partir de estos se enuncian teoremas,
los cuales son demostrados con la ayuda de los axiomas, teoremas y los diferentes
métodos de demostración introducida en el anterior capítulo.
Objetivo. El objetivo principal es que un estudiante pueda manipular las operaciones
de conjuntos.
Objetivos especificos.
• Determinar un conjunto por extensión o por compresión.
• Relacionar los conjuntos por medio de la inclusión, igualdad y sus propiedades
• Determinar el conjunto de partes de un conjunto
• Definir las operaciones: Complementación, unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica con sus respectivas propiedades.
• Introducir el concepto de operaciones generalizadas, y sus respectivas Leyes.
• Introducir el concepto de producto cartesiano.
• Desarrollar el concepto de Cardinal de un conjunto.
75
76
2.1. Introducción
2.1
Introducción
En la teoría de conjuntos, existen términos que no tienen definición; sin embargo, se hace
uso de ellos, algunos de estos términos son: conjunto, elemento y pertenencia, por esta razón
intuiremos su significado.
Conjunto. Es una agrupación, reunión, familia o colección de cualquier tipo de objetos
que tienen propiedades comunes. A estos objetos se les denomina elementos.
Axioma 2.1 Existe una colección de conjuntos C = {A, B, C, D, ..., a, b, c, d, ...}.
Elemento. Es miembro de un conjunto.
Pertenencia. Es la relación que vincula a los elementos, con el conjunto al cuál pertenecen. Para indicar la pertenencia de un elemento a un conjunto se utiliza el símbolo ∈, de
manera que la expresión:
a∈b
se lee “a pertenece a b”, o bien “a es un elemento de b”, o bien “a es un miembro de ”.
De manera similar:
a<b
se lee “a no pertenece a b”, o bien “a no es un elemento de b”, o bien “a no es un miembro
de b”. Usando el lenguaje lógico del capítulo anterior, a < b en realidad es una abreviatura de
la expresión ∼ (a ∈ b). Es decir:
a < b :=∼ (a ∈ b)
El siguiente axioma describe la pertenencia.
Axioma 2.2 (Axioma de Extensionalidad) Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen
los mismos elementos.
En símbolos. ∀A∀B (∀z (z ∈ A ↔ z ∈ B) ⇔ A = B)
Con este axioma podemos afirmar: Un conjunto está completamente determinado por sus
elementos. Por ejemplo, los conjuntos A = {r, r, o, m, a} y B = {a, m, o, r } están determinados
por los elementos a, m, o, r . Además, el Axioma 2.2 nos garantiza que A = B, pues todos los
elementos de A son elementos de B y todos los elementos de B son elementos de A. Por
otro lado, si consideramos los conjuntos C = {1, 3, 5, 7} y D = {2, 4, 6, 8} estos no son iguales,
por el axioma 2.2, ya que los elementos de C no son elementos de D y viceversa.
El siguiente axioma enuncia sobre la existencia de un conjunto que no tiene elementos.
Axioma 2.3 (Axioma del Vacío) Existe un conjunto que carece de elementos.
En símbolos. ∃∅ ∀x(x < ∅)
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
77
El conjunto cuya existencia afirma este Axioma del Vacío es único, usando el Axioma de
extensionalidad se puede llegar a demostrar esta afirmación; sin embargo, se presenta una
demostración por el método de contradicción en el Teorema (2.4).
2.1.1 Paradoja de Russell
Primeramente nos preguntamos. ¿Qué es una paradoja? Es un razonamiento que, aunque parezca correcto, genera contradicciones, es decir, como algo que a primera vista parece
ser falso, pero que en realidad es cierto, o que parece ser cierto, pero que en rigor es falso,
un ejemplo podría ser, ´´perseguir la paz con la violencia”.
En la teoría de conjuntos existe una paradoja llamada la Paradoja de Russell, el cual
manifiesta que:
No puede existir un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos.
George Cantor considerado el padre de la teoría de conjuntos manifestó: “Para toda propiedad p(x), existe un conjunto c cuyos elementos son exactamente los conjuntos x que cumplen
la propiedad p(x), esto es c = {x : p(x)}”, sin embargo Russell, a partir de lo anterior, descubre
que al no haber límites para la propiedad p(x), se puede dar la siguiente definición, para la
propiedad p(x) que signifique x < x. De aquí obtendríamos al “conjunto ” {x : p(x)}, es decir,
al “conjunto”
{x : x < x}
Si nombramos a este “conjunto” con la letra c, es razonable preguntarse si c pertenece o
no pertenece a sí mismo. De hecho , según la lógica matemática realizada en el capítulo
anterior, sabemos que o c ∈ c es verdadera o ∼ (c ∈ c) es verdadera y que no puede ser
ambas verdaderas. Así, c ∈ c o c < c y no pueden darse ambas. No obstante, tenemos lo
siguiente:
• Si c ∈ c, entonces es un elemento de sí mismo y , como c = {x : x < x}, obtenemos que
c < c.
• Si c < c, entonces c cumple la propiedad que determina a c, por lo que c ∈ c
Esto contradice lo que líneas atraz discutimos, lo que nos dicta la lógica matemática clásica,
pues sólo alguna de las dos aseveraciones es cierta y sólo una.
Bertrand Russell dio una resolución a la paradoja, con ayuda de Alfred N. Whitehead
exponen la resolución a la contradicción; no obstante, fue poco aceptada en el mundo matemático, pues era un postulado complejo. (Russell & Whitehead, 2010).
Posteriormente, Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel reformularon toda la matemática y crearon una nueva teoría de conjuntos, la cual se compuso de diez axiomas (Hernández H., 2003)
(Universidad de Buenos Aires, 2012) En el cual surge, la siguiente pregunta ¿Qué axiomas
78
2.1. Introducción
resuelven la paradoja de Bertrand Russell? Si la siguiente afirmación permitía la paradoja de
Russell:
“Para toda propiedad p(x), existe un conjunto c cuyos elementos son exactamente los
conjuntos x que cumplen la propiedad p(x)” esto es
c = {x : p(x)}
Es necesario que la propiedad de p(x) se restringiera, de esta forma, se postuló un nuevo
axioma a la nueva teoría de conjuntos, también conocido como “esquema axiomático de
especificación”. Dicho axioma postula que los conjuntos se obtienen de otros conjuntos ya
dados. En otras palabras, todo conjunto tiene un conjunto más grande que lo contiene; por
consiguiente, la fórmula x < x no es posible, ya que un conjunto no se puede extraer de sí
mismo. (Hernández H., 2003). Este nuevo axioma permitió que el postulado se escriba de
una nueva manera:
“Para toda propiedad p(x), y todo conjunto U, existe un conjunto c cuyos elementos
son exactamente los conjuntos x ∈ U que cumplen la propiedad p(x)” esto es
c = {x ∈ U : p(x)}
Por tanto, el conjunto c no es conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí
mismos como elementos, sino que es un conjunto de todos los conjuntos de un sector bien
definido. En resumen, c es un conjunto que contiene todos los elementos a evaluar o estudiar.
∄c(∀u ∈ C(u ∈ c))
Axioma 2.4 (Axioma de Separación) Si A es un conjunto y p(x) es una propiedad,
entonces la colección de los elementos de A que cumplen la propiedad p(x) forman un
conjunto. Más precisamente, si A es un conjunto y p(x) es un predicado, entonces la
colección de los x ∈ A que cumplen p(x) es un conjunto. A este conjunto se le denota
de la siguiente manera:
{x ∈ A : p(x)}
Para que se comprenda mejor el concepto del axioma (2.4), veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.1 Sea U el conjunto de nombres de personas y la propiedad p(x) definido
por “ nombres que comienzan con la letra L”. Mencione algunos elemento del conjunto
que cumplen p(x).
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
Solución.
79
Consideremos con el conjunto A = {x ∈ U : p(x)}, entonces algunos de estos
elementos son A = { Leonel, Lucy, Leydi, Lourdes, Luis,... }.
■
Ejemplo 2.2 Sean A = N el conjunto de los números naturales y p(x) el predicado
definido por “x es un número impar”. Construir un conjunto que cumpla la propiedad
p(x).
Solución.
Como x es un número impar, entonces por definición de número impar, significa
que para algún entero positivo k el número x tiene la forma 2k − 1.
{x ∈ A : p(x)} = {x ∈ N : x es un número impar } = {x ∈ N : ∃k ∈ Z+ , (x = 2k − 1)}
■
Ejemplo 2.3 Sea A conjunto de números naturales impares comprendidos entre el 4
y 16. Determine todos sus elementos.
Solución.
Sus elementos de este conjunto son: A = {5, 7, 9, 11, 13, 15}.
■
Ejemplo 2.4 Sea A el conjunto de letras de la palabra AJEDREZ. Determine sus ele-
mentos.
Solución. Sus elementos de este conjunto son: “A”, “J”, “E”, “D”, “R” y “Z”.
■
En la mayoría de los libros se denota a los conjuntos con letras mayúsculas y se usan
letras minúsculas para denotar a sus elementos. Sin embargo, todos los objetos de los que
se habla en la Teoría de Conjuntos son precisamente conjuntos, por lo que todos los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. En adelante usaremos letras mayúsculas o
minúsculas indistintamente para denotar a los conjuntos.
Conjunto Universal. Es el conjunto de referencia de un tema de estudio. Se denota por U .
Conjunto Vació o Nulo. Es denotado por ∅ = { }
Ejemplo 2.5 Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} el conjunto universo y sea p(x) el predica-
do definido por “x es un número primo”. Determine el conjunto A de todos los elementos
de U que cumplan la propiedad p(x).
Solución.
A = {x ∈ U : p(x)} = {2, 3, 5, 7}
Definición 2.1 Conjunto Unitario. Es el conjunto con un solo elemento, se define por
A = {x ∈ U : x = a} = {a}
■
80
2.1. Introducción
Ejemplo 2.6 Sea A = {4a + 1, 2b + a, 3a + 4} un conjunto unitario. Calcular b − a.
Solución.
Por definición de conjunto unitario, todos los elementos del conjunto A deben
ser iguales. Es decir;
4a + 1 = 2b + a = 3a + 4
De la ecuación 4a + 1 = 3a + 4 se obtiene a = 3. Ahora, sustituyendo a = 3 en la ecuación
2b + a = 3a + 4, tenemos que b = 5. Por tanto, b − a = 5 − 3 = 2.
■
Un conjunto es finito si tiene un número limitado de elementos, en caso contrario, es
infinito.
Ejercicio 2.1 Analizar las siguientes paradojas:
La paradoja del barbero. Esta paradoja fue propuesta por Bertrand Russell.
Yo afeito a todos los hombres de Sevilla que no se afeitan a sí mismos y únicamente a ellos, dice el barbero de Sevilla. ¿Quién afeita al barbero de Sevilla?
La paradoja de Sancho Panza. En “El Quijote” de Cervantes se encuentra el siguiente pasaje (que no lo expreso en forma textual): En una cierta isla, de la cual Sancho Panza se convirtió en soberano, los visitantes debían contestar la pregunta:
¿A qué viene usted? Si el visitante decía la verdad era fusilado y si mentía era
colgado. Un día, un viajero llegó a la isla y respondió a la pregunta: “vengo para
ser colgado”. ¿Qué paso con el viajero?.
La paradoja del mentiroso. Esta paradoja se atribuye al cretense Epiménides que se
supone vivió en el siglo VI antes de nuestra era. Los cretenses son mentirosos,
dice Epiménides. ¿Epiménides dice la verdad o es mentiroso?
Ejercicio 2.2 Sea A = {a + b, a + 2b − 3, 12} un conjunto unitario. Calcular a2 + b 2
Ejercicio 2.3 Cuál o cuales de los siguientes conjuntos son unitarios.
A ={x : x es el presidente de Bolivia }
B ={x : x ∈ N ∧ x2 − x − 12 = 0}
C ={x2 : x ∈ Z ∧ x2 − 25 = 0}
D ={x : x es una raiz entera de, x2 − 7x + 10 = 0}
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
2.2
81
Determinación de conjuntos
Los conjuntos se determinan por extensión o forma tabular y por comprensión o forma constructiva.
Por extensión. Se indican a todos los elementos del conjunto. Por ejemplo:
• A = {a, e, i, o, u }
• B = {1, 2, 3, 4}
Por comprensión. Se especifica la propiedad o el predicado que satisfacen los elementos
del conjunto. Por ejemplo:
• A = {x ∈ L : x es una vocal }
• B = {x ∈ N : x es menor a 5}
donde L es el conjunto de todas las letras del abecedario.
Ejemplo 2.7 Sea A el conjunto de todos los números enteros múltiplo de 7. Determinar
el conjunto A por comprensión y extensión.
Solución.
Por extensión. A = {..., −14, −7, 0, 7, 14, ...} es conjunto infinito.
Por comprensión. A = {x ∈ Z : x = 7k, k ∈ Z}.
■
Ejemplo 2.8 Sea B el conjunto de los números naturales divisores de 48. Determinar
el conjunto B por comprensión y extensión.
Solución.
Por extensión: B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}, es conjunto finito.
Por comprensión: B = {x ∈ N : x|48}, donde la barra “|00 es llamado “divide”.
■
Ejemplo 2.9 Sea C el conjunto de todos los números primos pares. Determinar el
conjunto C por comprensión y extensión.
Solución.
Por extensión: C = {2}, conjunto finito.
Por comprensión: C = {x ∈ N : x es primo par}
■
En el siguiente ejemplo definimos por comprensión a “la parábola”, en el plano cartesiano1 .
1 El plano cartesiano se define como R2 = R × R = {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R}
82
2.2. Determinación de conjuntos
Ejemplo 2.10 En el plano cartesiano, la parábola es el lugar geométrico de todos los
puntos del plano que equidistan de la recta fija (directriz) y de un punto fijo (foco).
Determine por extensión y comprensión.
Solución.
Sean l la directriz, F el foco y P la parábola, entonces:
y
Por extensión, este conjunto tiene infinitos
elementos, además que no es posible enunciar a algunos, de tal forma que estos repre-
5
senten a todos los elementos.
4
Por comprensión.
P
P = {(x, y) ∈ R2 : d((x, y), l) = d((x, y), F)}
(x, y)
F
3
2
1
l
Donde (x, y) representa los puntos en el plano
y d((x, y), l) es la distancia del punto (x, y) a la
0
1
2
3
4
5
6
7
x
recta l.
■
Hasta este momento, aprendimos a determinar un conjunto por extensión y por comprensión. Sin embargo, que pasa cuando se tiene un conjunto determinado por comprensión,
dado un elemento en el conjunto universo, nos preguntamos:
¿Cómo se determina la pertenencia de un elemento a un conjunto?
Haciendo uso del axioma de separación, un elemento pertenece a un determinado conjunto
si este cumple la propiedad de ese conjunto. Sea el conjunto D = {x ∈ N : x2 es par }. De
acuerdo a la definición del conjunto D, dado un número natural, se analiza su cuadrado, si
dicho cuadrado es par, el número pertenece a D, si su cuadrado es impar, no pertenece a
D. Es decir:
a ∈ D ⇔ a2 es par
por ejemplo,
2 ∈ D ⇔ 22 = 4 es par
3 < D ⇔ 32 = 9 no es par
Veamos otro conjunto llamado la parábola, P = {(x, y) ∈ R2 : y − 2 = (x − 5)2 } con vértice
(5, 2). Un elemento (a, b) de P significa que cumple la ecuación b − 2 = (a − 5)2 . Es decir:
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
83
(a, b) ∈ P ⇔ b − 2 = (a − 5)2 . Por ejemplo.
(6, 3) ∈ P ⇔ 3 − 2 = (6 − 5)2
(3, 3) < P ⇔ 3 − 2 , (3 − 5)2
Gráficamente lo podemos apreciar:
y
P
5
4
(3, 3)
3
2
(5, 2)
1
0
1
2
3
4
5
6
x
7
Ejercicio 2.4 Sea U el conjunto de todas letras del abecedario. Determinar los siguien-
tes conjuntos por extensión:
(i) A = {x ∈ U : x es una letra de la palabra, ESTERNOCLEIDOMASTOIDEO }
(i) B = {x ∈ U : x es una consonante de la palabra, DESOXIRRIBONUCLEICO }
Ejercicio 2.5 Determinar por comprensión los siguientes conjuntos.
(i) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
(ii) B = {verano, invierno, primavera, otoño }
(iii) C = { do, re, mi, fa, sol, la, si }
Ejercicio 2.6 Determinar por comprensión las siguientes gráficas:
y
3
y
C
2
2
(1, 1)
1
−1 0
−1
3
1
2
E
(1, 1)
1
3
x
−1 0
−1
1
2
3
x
84
2.3. Relaciones entre conjuntos
2.3
Relaciones entre conjuntos
Las relaciones que se definen entre conjuntos son: Inclusión de conjuntos e Identidad
de conjuntos.
Definición 2.2 Inclusión de conjuntos. Sean A y B dos conjuntos. Si ocurre que todo
elemento de A pertenece a B, diremos que A está incluido en B, o que A es parte de
B, o que A es un subconjunto de B, y escribimos A ⊆ B.
En símbolos: A ⊆ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
El siguiente ejemplo determina la relación de inclusión usando el diagrama de Venn23 .
Ejemplo 2.11 Establecer la relación de inclusión entre los conjuntos N, Z, Q y los R
y representarlos gráficamente con el diagrama de Venn.
Solución.
Recordemos a los conjuntos:
n
o
N = {1, 2, 3, . . .}, Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}, Q = ba : a ∈ Z, b ∈ Z − {0} y R = Q ∪ Qc
Así, podemos afirmar que todo número natural es un entero y que todo número entero puede
ser representado como fracción, y que los números racionales forman parte de los números
reales. Sin embargo, no es posible afirmar que todo número real sea racional, pues existen
√
números reales a los que no es posible llevar como fracción, como por ejemplo 2, también
existen números racionales que no son enteros, por ejemplo 7/2 ∈ Q y 7/2 < Z y el conjunto
de los números enteros no está incluido en el conjunto de los números naturales, pues −2 ∈ Z,
pero −2 < N, así se puede encontrar ejemplos en que la otra inclusión no es posible. Por
tanto, la relación de inclución se cumple de la siguiente forma: N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
R
Q
Z
N
■
Ejemplo 2.12 Sea U el conjunto de figuras geométricas en el plano cartesiano R2 ,
consideremos los siguientes conjuntos:
2 Un diagrama de Venn es un esquema en el que se muestran gráficamente conjuntos en forma de círculos u
óvalos (A, B, C,…), los cuales se solapan entre sí, para ilustrar la relación lógica entre estos conjuntos.
3 Diagrama de Venn
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
85
P={x ∈ U : x es Paralelogramo}, R={x ∈ U : x es Rectángulo} T={x ∈ U : x es Rombo},
S={x ∈ U : x es Cuadrado} y C={x ∈ U : x es Cuadriláteros}
Dibujar la inclusión de P, R, T, S y C, mediante el diagrama de Venn
Solución.
Notemos lo siguiente:
Si x ∈ C entonces x es un polígono de cuatro lados.
Si x ∈ P entonces x es un cuadrilátero de lados paralelos.
Si x ∈ R entonces x es un paralelogramo de lados opuestos congruentes y cuatro ángulos
rectos.
Si x ∈ T entonces x es un paralelogramo de lados congruentes y ángulos opuestos congruentes.
Si x ∈ S entonces x es un paralelogramo de lados y ángulo congruentes. Así, podemos
graficar el diagrama de Venn
C
P
R
T
S
■
Ejemplo 2.13 Sea U = N y los conjuntos A = {x ∈ N : x|6}, B = {x ∈ N : x|8}, y
C = {x ∈ N : x ≤ 2}. Representar mediante diagramas de Venn.
Solución.
Primeramente, determinemos los conjunto A, B y C por extensión.
A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 4, 8}, C = {1, 2}
N
A
3
7
9...
8
C B
11
4
22
6
5
■
86
2.3. Relaciones entre conjuntos
Ejemplo 2.14 Demostrar que el conjunto de los enteros múltiplos de 10 está contenido
en el conjunto de los enteros múltiplos de 5.
Solución.
Sea 5Z el conjunto de los enteros múltiplos de 5 y sea 10Z el conjunto de los
enteros múltiplos de 10, ahora determinando estos conjuntos por comprensión:
• 5Z = {x ∈ Z : x = 5k, k ∈ Z}
• 10Z = {x ∈ Z : x = 10t, t ∈ Z}
Por demostrar que 10Z ⊆ 5Z, esto, significa ∀x : (x ∈ 10Z ⇒ x ∈ 5Z). Para la prueba
utilizamos el método directo, que lo desarrollamos en la siguiente tabla:
No
Afirmaciones
Razones
(1)
x ∈ 10Z
(2)
∃k ∈ Z, x = 10k
(3)
∃k ∈ Z, x = 5(2k)
Factorizando 10 (10 = 5 · 2)
(4)
∃t = 2k ∈ Z, x = 5t
Clausura en (Z, ·)
(5)
x ∈ 5Z
Hipótesis. La definición exige que tomemos
cualquier x en 10Z.
Definición de pertenencia de un elemento al
conjunto 10Z en (1).
Definición de pertenencia de un elemento al
conjunto 5Z en (4).
■
El paso (1) y paso (5), afirma que 10Z es un subconjunto de 5Z.
Si A no es un subconjunto de B, escribimos A ⊈ B; y la negación de la fórmula que define la contención,
es
A ⊈ B es equivalente a ∃x(x ∈ A ∧ x < B);
A
B
∃x
Ejemplo 2.15 Sean A = {n ∈ N : n ≤ 10}, B = {1, 2, 5, 7, 9} y C = {2, 4, 6, 8, 10}. Justifique:
(a). B ⊆ A.
Solución.
(b). C ⊆ A.
(c). B ⊈ C.
(d). C ⊈ B.
Determinemos el conjunto A por extensión A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
(a). B ⊆ A verdadero, pues todos los elementos del conjunto B están en A.
87
N
A
11
B
(b). C ⊆ A verdadero, pues todos los elemen-
3
9
tos del conjunto C están en A.
C
6
del conjunto B que no están en C, por
ejemplo 9 < C.
22
7
8
4
del conjunto C que no están en B, por
5
1
(c). B ⊈ C verdadero, pues hay elementos
(d). C ⊈ B verdadero, pues hay elementos
12
10
13...
ejemplo 8 < B.
■
Ejemplo 2.16 Sea D = {{∅}, {{∅}}}, el conjunto que está formado por dos elementos
unitarios, cuyos elementos son a su vez conjuntos. Justifique que:
1. ∅ < D,
3. {∅} ∈ D,
5. {{∅}} ∈ D,
7. {{{∅}}} < D,
2. ∅ ⊆ D,
4. {∅} ⊈ D,
6. {{∅}} ⊆ D,
8. {{{∅}}} ⊆ D,
Solución.
Los elementos del conjunto D = {{∅}, {{∅}}} son: {∅} y {{∅}}}.
1. ∅ < D, pues el ∅ no es igual a {∅} ni a {{∅}}.
2. ∅ ⊆ D, pues el conjunto vacío ∅ es un subconjunto de cualquier conjunto D.
3. {∅} ∈ D, pues el conjunto {∅} es un elemento de D.
4. {∅} ⊈ D, pues su elemento de {∅} no es elemento de D, (i.e. ∅ ∈ {∅} → ∅ < D).
5. {{∅}} ∈ D, pues el conjunto {{∅}} es un elemento de D.
6. {{∅}} ⊆ D, pues su elemento de {{∅}} es elemento de D, (i.e. {∅} ∈ {{∅}} → {∅} ∈ D).
7. {{{∅}}} < D, pues el conjunto {{{∅}}} no es igual a {∅} ni a {{∅}}.
8. {{{∅}}} ⊆ D, pues el elemento del conjunto {{{∅}}} es un elemento de D, es decir {{∅}} ∈
{{{∅}}} → {{∅}} ∈ D.
■
88
2.3. Relaciones entre conjuntos
Ejercicio 2.7 Dado el conjunto A = {{1}, ∅, {∅}, {2, 3}}. Indicar si las proposiciones:
(1). ∅ ∈ A
(2). {∅} ∈ A
(3). {2, 3} ∈ A
(4). {∅, {∅}} ⊆ A
son verdadero (V) o falso (F).
Ejercicio 2.8 Sean A el conjunto de todos los números enteros múltiplos de 6, B el
conjunto de todos los números múltiplos de 2 y C el conjunto de todos los números
múltiplos de 3. Es decir,
A ={z ∈ Z : ∃x(x ∈ Z ∧ z = 6x)},
B ={z ∈ Z : ∃x(x ∈ Z ∧ z = 2x)},
C ={z ∈ Z : ∃x(x ∈ Z ∧ z = 3x)},
Diga cuáles dé las siguientes relaciones de inclusión son verdaderas o falsas,
(i) A ⊆ B
(iii) B ⊆ A
(v) B ⊆ C
(vii) B ⫋ A
(ix) C ⫋ A
(xi) A = B
(ii) A ⊆ C
(iv) C ⊆ A
(vi) C ⊆ B
(viii) A ⫋ B
(x) A ⫋ C
(xii) A = C
justificando sus respuestas.
Ejercicio
2.9
Establecer todas las po-
sibles relaciones entre los conjuntos representados en el siguiente diagrama de
B
A
C
D
Venn a la derecha.
Ejercicio 2.10 Dados los conjuntos N, Z y Q, simplificar la siguiente expresión:
[(N ∩ Q) ∪ (Z ∩ Q)] ∩ (Q ∪ Z)
De acuerdo al axioma de extensionalidad y la noción de subconjuntos, la igualdad de
conjuntos se define de la siguiente manera.
Definición 2.3 Igualdad de conjuntos Sean A y B dos conjuntos.
A=B ⇔ A⊆B ∧ B⊆A
Normalmente, no se escribe el mismo elemento repetidas veces, aunque repetir a los
elementos en un mismo conjunto no afecta a este conjunto; sin embargo, es más claro cuando
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
89
no se tiene elementos repetidos, veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.17 Dados los conjuntos A = {1, 2, 1, 2, 2, 1, 2} y B = {1, 2}. Diga si A y B son
conjuntos iguales.
Solución.
Todos los elementos del conjunto A están en B, lo cual significa A ⊆ B. Además,
todos los elementos del conjunto B están en A, esto es B ⊆ A. Así, por definición de igualdad
■
de conjuntos A = B.
n
√
o
0
Ejemplo 2.18 Dado los conjuntos A = {1, 2, 4, 8, 16} y B = 2, 23 , 16, 32
2 , 6 . Diga si A
y B son conjuntos iguales.
Solución.
Sabemos que 60 = 1, 32
2 = 16,
√
16 = 4, 23 = 8, entonces el conjunto B tiene los
mismos elementos que el conjunto A. Por lo tanto, A = B
■
Ejemplo 2.19 Dados los conjuntos A = {x ∈ Z : x2 = 1} y B = {x ∈ Z : |x| = 1}. Diga si
A y B son conjuntos iguales.
Solución.
Primeramente, determinemos por extensión los conjuntos A y B. Esto es A =
{−1, 1} (aquí resolvemos la ecuación cuadrática x2 = 1) y B = {−1, 1} (aquí resolvemos la
ecuación valor absoluto |x| = 1). Por tanto, A = B.
■
Ejemplo 2.20 Demostrar que el conjunto de los números naturales impares es igual
al conjunto de números naturales cuyos cuadrados es impar.
Solución.
Sea A es el conjunto todos los números naturales impares y B el conjunto de
todos los números naturales cuyos cuadrados son impares. Por comprensión tenemos, A =
{x ∈ N : x = 2k − 1, k ∈ N} y B = {x ∈ N : x2 = 2t − 1, t ∈ N}. Por demostrar que A = B esto
significa A ⊆ B ∧ B ⊆ A. Empecemos por la primera inclusión:
Primero. A ⊆ B esto significa que ∀x (x ∈ A → x ∈ B). Para la demostración utilizaremos el
método directo que se realizará en la siguiente tabla.
90
2.3. Relaciones entre conjuntos
No Afirmaciones
Razones
Hipótesis. La definición exige que
1
x∈A
2
∃k ∈ N, x = 2k − 1
tomemos cualquier x en A.
Definición de la pertenencia del
conjunto A en (1).
x2 = 4k 2 − 4k + 1
3
∃k ∈ N,
4
∃k ∈ N, x2 = 2(2k 2 − 2k + 1) − 1
Factorizando.
5
∃(t = 2k 2 − 2k + 1) ∈ N, x2 = 2t − 1
Clausura en (N, ·)
6
x∈B
Distributiva en x · x = (2k − 1) · (2k − 1).
Definición de la pertenencia del
conjunto B en (5).
La secuencia de pasos garantizan A ⊆ B. Ahora demostremos la segunda inclusión.
Segundo. B ⊆ A esto significa que ∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A). Para su prueba utilizaremos en
método por construcción que se realizará en la tabla siguiente:
No Afirmaciones
Razones
Hipótesis. La definición exige que tome-
1
x∈B
2
x2 es impar
3
x = x(x + 1) − x2
4
x = x(x + 1) − x2
| {z } |{z}
mos cualquier x en B.
P ar
5
x es impar
6
x∈A
Definición de la pertenencia del conjunto
B en (1).
Método de Construcción para x ∈ N.
El Paso (2) y el producto de dos números
consecutivos es par.
Impar
P ar − Impar = Impar en paso (4)
Definición de la pertenencia del conjunto
A en (5).
Del paso 1 y paso 6, se concluye que B ⊆ A. Por tanto, A = B.
■
Ejemplo 2.21 Si D = {x ∈ R : x2 = 2x} y E = {x ∈ R : (x − 2)x = 0} son conjuntos.
Demuestre que D = E
Solución.
Para demostrar que D = E es equivalente a demostrar que ∀x(x ∈ D ↔ x ∈ E).
∀x : x ∈ D ↔ x ∈ R ∧ x2 = 2x
↔ x ∈ R ∧ x2 − 2x = 0
(Definición del conjunto D)
(Propiedades de R)
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
91
↔ x ∈ R ∧ x(x − 2) = 0
↔ x∈E
(Propiedades de R)
(Definición del conjunto E)
■
Por lo tanto, D = E
Definición 2.4
Conjunto propio. Si A es un subconjunto de B, pero no es igual a B,
escribimos que A ⫋ B y decimos que A está contenido propiamente en B.
A ⫋ B significa que todo elemento de A es un elemento de B, pero existe un elemento de B que no
es un elemento de A. Esto es:
A ⫋ B si y sólo si (∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ∃y(y ∈ B ∧ y < A))
Ejemplo 2.22 Sean (0, 1), [0, 1) y [0, 1] los intervalos de los números reales. Hallar la
inclusión propia de los intervalos.
Solución.
Notemos que:
• (0, 1) ⊆ [0, 1), pues todos los elementos de (0, 1) son elementos de [0, 1).
• [0, 1) ⊆ [0, 1], pues todos los elementos de [0, 1) son elementos de [0, 1].
Así, (0, 1) ⊆ [0, 1) ⊆ [0, 1]. Por otro lado, notemos que:
• [0, 1] ⊈ [0, 1), pues existe 1 ∈ [0, 1] de tal manera que 1 < [0, 1).
• [0, 1) ⊈ (0, 1). pues existe 0 ∈ [0, 1) de tal manera que 0 < (0, 1).
Así [0, 1] ⊈ [0, 1) ⊈ (0, 1). Por tanto, (0, 1) ⫋ [0, 1) ⫋ [0, 1].
■
Ejercicio 2.11 Determine si el conjunto C es igual al conjunto D.
C = {x : x es una carrera de Facultad de Cs. Puras y Naturales de la UMSA}
D = {Física, Química, Biología, Estadística, Matemáticas, Informática }
Ejercicio 2.12 Sean A = {2x2 − 1, 13} y B = {2x2 − 5, 3y + 2} dos conjuntos iguales.
Hallar x + y.
Ejercicio 2.13 Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son iguales al conjunto
de los números naturales N. Justifique su respuesta.
A = {x ∈ Z : −x ≤ 0}
B = {x ∈ N : x < 2Z}
C = {x ∈ N : x , 5}
D = {x ∈ Z : 2x ≥ 1}
92
2.4. Propiedades de la inclusión e igualdad
Ejercicio 2.14 Consideremos los conjuntos A = {x ∈ N : 2 ≤ x ≤ 9}, B = {2, 4, 6, 8},
C = {3, 5, 7}, D = {2, 4} y E = {1, 3}. Indica en cada caso cuál de estos conjuntos puede
ser el conjunto X.
(a) X ⊆ A y X ⊆ B
(c) X ⊈ C y X ⊆ D
(b) X ⊈ B y X ⊈ E
(d) X ⊈ A y X ⊆ E
2.4
(e) X ⊆ A y X ⊆ E
Propiedades de la inclusión e igualdad
Para la inclusión de conjuntos tenemos las siguientes propiedades, enunciados como
teoremas:
Teorema 2.1 Todo conjunto está contenido en si mismo.
En símbolos: ∀ A ⊆ U;
Demostración.
A⊆A
Por definición de inclusión, se exige que ∀ x: x ∈ A ⇒ x ∈ A. Tal implica-
ción es válida porque la implicación lógica es reflexiva.
■
Teorema 2.2 Si un conjunto está contenido en otro y este, en un tercero, entonces el
primero está contenido en el tercero.
En símbolos: A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C
Demostración.
Por definición de inclusión se pide que ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ C. De la hipotesis,
y por definición de inclusión ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B ∧ ∀x : x ∈ B ⇒ x ∈ C. Por la ley del
silogismo hipótetico ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ C.
■
Teorema 2.3 El vacío está contenido en cualquier conjunto.
En símbolos: ∅ ⊆ A
Demostración.
Sea A un conjunto cualquiera. Debemos demostrar que ∅ ⊆ A, es decir,
demostrar que ∀x(x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A). Sin embargo, x ∈ ∅ es falso para todo x, pues ∅ no tiene
elementos. Por lo tanto, por vacuidad el condicional x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A es verdadero para todo x.
Así, tenemos que ∀x(x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A) y que ∅ ⊆ A.
Teorema 2.4 El vacío es único.
■
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
Demostración.
93
Demostraremos por contradicción, asumiendo que el vacío no es único. Es
decir, que existen al menos dos vaciós, ∅1 y ∅2 diferentes. Por el Teorema 2.3 tenemos ∅1 ⊆ ∅2
y ∅2 ⊂ ∅1 . Luego, utilizando la definición 2.3 se tiene ∅1 = ∅2 , esto es una contradicción. Por
■
tanto, el vacío es único.
En la siguiente definición vamos a construir un conjunto cuyos elementos son conjuntos.
Definición 2.5 Conjunto de partes. El conjunto de partes de A es el conjunto formado
por todos los subconjuntos de A. Es decir
P (A) = {X : X ⊆ A}
Ejemplo 2.23 Determinar el conjunto de partes de A = {♣, ♠}.
Solución.
Los elementos de P (A) = {X : X ⊆ A}, se caracterizan de la siguiente manera:
X ∈ P (A) si y sólo si X ⊆ A
Para determinar P (A) se deduce a determinar si dicho elemento es un subconjunto de A.
Esto es:
• ∅ ⊆ A, por el teorema (2.3). Esto significa que ∅ ∈ P (A).
• A ⊆ A, por el teorema (2.1). Esto significa que A ∈ P (A).
• {♣} ⊆ A, por definición de inclusión de conjuntos. Esto significa que {♣} ∈ P (A).
• {♠} ⊆ A, por definición de inclusión de conjuntos. Esto significa que {♠} ∈ P (A).
Por tanto, el conjunto de partes de A es P (A) = {∅, A, {♣}, {♠}}
■
Observación 2.1 Si el conjunto A es finito, digamos que tiene m elementos (|A| = m),
entonces el conjunto de partes tiene |P (A)| = 2m elementos. Por ejemplo si consideramos el conjunto A = {♣, ♠}, tiene dos elementos (|A| = 2), entonces el conjunto P (A)
tiene cuatro elementos (|P (A)| = 22 = 4).
Para la igualdad de conjuntos tenemos las siguientes propiedades, enunciados como
teoremas:
Teorema 2.5 Todo conjunto es idéntico a sí mismo.
Símbolo: ∀A, A = A
94
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
Demostración.
Por definición de igualdad de conjuntos, se exige ∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ A), esta
implicación lógica es verdadera, porque la implicación lógica es reflexiva.
■
Teorema 2.6 Si un conjunto es idéntico a otro, entonces éste es idéntico al otro.
Símbolo: A = B ⇒ B = A.
Demostración.
Por definición de igual de conjuntos, se exige que ∀x(x ∈ B ⇔ x ∈ A), de la
hipótesis, por definición de igual ∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B), por la simetría de la doble implicación
∀x(x ∈ B ⇔ x ∈ A).
■
Teorema 2.7 Si un conjunto es idéntico de otro y éste es idéntico a un tercero, enton-
ces el primero es idéntico al tercero.
Símbolo: A = B ∧ B = C ⇒ A = C.
Demostración.
Por definición de igualdad de conjuntos, se exige que ∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ C), de
la hipótesis, por definición de igual ∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B) y ∀x(x ∈ B ⇔ x ∈ C). Por la transitividad
de la doble implicación tenemos, ∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ C)
■
Ejercicio 2.15 Determinar el conjunto de partes de los siguientes conjuntos.
A = { b,u,z }
B = {3, {4, 5}, 8}
C = {∅, W , X, Z}
D = {P (R), Q, S, T }
Ejercicio 2.16 Determinar el número de elementos de P (A), P (B), P (C) y P (D) donde:
A tiene 64 subconjuntos
C tiene 256 subconjuntos
B tiene 128 subconjuntos
D tiene 4096 subconjuntos
2.5
Operaciones en una colección de conjuntos
Las operaciones que se definen en una colección de conjuntos C son: Complemento,
unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.
Definición 2.6 Complemento de un Conjunto. Sea A subconjunto U. El comple-
mento de A respecto de U es el conjunto formado por todos los elementos que no
están en A.
Ac = {x ∈ U : x < A} = {x ∈ U : ∼ p(x)}
donde p(x) es la propiedad del conjunto A.
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
La pertenencia de un elemento de Ac se
95
U Ac
A
caracteriza de la siguiente manera:
x ∈ Ac
m
x∈U ∧ x<A
Ejemplo 2.24 Considerando el conjunto de los números reales R como el universo, el
complemento del conjunto de los números irracionales, es el conjunto de los números
racionales, es decir, I c = Q
Ejemplo 2.25 En el conjunto de los números enteros Z, consideramos el conjunto
A = {x ∈ Z : x es par }. Determine el conjunto Ac por comprensión y por extensión.
Solución.
Por compresión A = {x ∈ Z : x no es par} = {x ∈ Z : x es impar }, y por extensión.
A = {. . . , −5, −3, −1, 1, 3, 5, . . .}.
■
2.5.1 Propiedades del complemento de un conjunto
Estas propiedades los mencionamos mediante los siguientes teoremas.
Teorema 2.8 El complemento del conjunto vacío es igual al conjunto universo.
En simbólo ∅c = U.
Demostración.
Probaremos que ∅c = U, o sea ∅c ⊆ U y U ⊆ ∅c .
• Primeramente probemos que U ⊆ ∅c . Sea x ∈ U, como x < ∅, pues el vacío no tiene
elementos, se tiene que x ∈ U y x < ∅, es decir x ∈ ∅c . Por lo tanto,U ⊆ ∅c .
• Ahora probemos que ∅c ⊆ U. Por definición ∅c = {x ∈ U : x < ∅}, por lo que todos los
elementos de ∅c , cumplen con ser elementos de U. Así, ∅c ⊆ U.
■
Teorema 2.9 El complemento del conjunto universo es igual al conjunto vacío.
En simbólo U c = ∅.
Demostración.
Probaremos que U c = ∅, es decir que U c ⊆ ∅ y ∅ ⊆ U c .
• (U c ⊆ ∅). Sea x ∈ U c entonces por definición de complemento x ∈ U y x < U. Esta
última afirmación es falsa, entonces cualquier sea el valor de verdad de la conclusión,
podemos afirmar x ∈ ∅.
96
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
• ∅ ⊆ U c . Esta inclusión siempre es verdadera, ya que el conjunto vacío es subconjunto
de cualquier conjunto, esto afirma el teorema (2.3).
■
Teorema 2.10 El complemento del complemento de un conjunto es igual al conjunto.
En simbólo (Ac )c = A.
Demostración.
Para demostrar esta igualdad de conjuntos, procedemos en dos partes.
Parte 1. [(Ac )c ⊆ A]. Por demostrar que ∀x[x ∈ (Ac )c ⇒ x ∈ A].
No
Afirmaciones
(1).
x ∈ (Ac )c
(2).
x ∈ U ∧ x < Ac
Razones
Hipótesis. La definición exige que tomemos
cualquier x en (Ac )c .
Definición del complemento en (1).
(3).
x∈U ∧
∼ (x ∈ Ac )
Notación ∼ (x ∈ Ac ) := x < Ac en (2).
(4).
x ∈ U ∧ ∼ (x ∈ U ∧ x < A)
Definición del complemento en (3)
(5).
x ∈ U ∧ (x < U ∨ x ∈ A)
Morgan de álgebra de proposición en (4)
(6).
(x ∈ U ∧ x < U) ∨ (x ∈ U ∧ x ∈ A)
Distributiva de álgebra de proposición en (5).
(7).
F ∨ (x ∈ U ∧ x ∈ A)
Álgebra de proposición p∧ ∼ p ≡ F en (6).
(8).
x∈U ∧ x∈A
Álgebra de proposición F ∨ p ≡ p en (7).
(9).
x∈A
Ley de la simplificación.
Parte 2. [A ⊆ (Ac )c ]. Por demostrar que ∀x[x ∈ A ⇒ x ∈ (Ac )c ].
No
Afirmaciones
Razones
(1).
x∈A
(2).
∼ (∼ (x ∈ A))
Ley de doble negación en (1).
(3).
∼ (x < A)
Notación ∼ (x ∈ A) := x < A en (2).
(4).
∼ (x ∈ U) ∨ ∼ (x < A)
Ley de la adición en (3).
(5).
∼ (x ∈ U ∧ x < A)
Ley de morgan en (4).
(6).
∼ (x ∈ Ac )
Definición del complemento en (5)
(7).
x < Ac
Notación ∼ (x ∈ Ac ) := x < Ac en (4).
(8).
x ∈ U ∧ x < Ac
Ley de adjunción en (7) y A ⊆ U.
(9).
x ∈ (Ac )c
Definición del complemento en (8).
Hipótesis. La definición exige que
tomemos cualquier x en A.
De la parte 1 y parte 2, concluimos la prueba de (Ac )c = A.
■
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
97
Teorema 2.11 Si un conjunto es subconjunto de otro conjunto, entonces el completo
del otro conjunto es un subconjunto del complemento del primer conjunto.
En simbólo A ⊆ B ⇒ Bc ⊆ Ac .
Demostración.
La prueba lo desarrollamos en la siguiente tabla Afirmaciones-Razones:
No
Afirmaciones
Razones
(1).
x ∈ Bc
Hipotesis. La definición exige que tomemos cualquier x en Bc .
(2).
x∈U ∧ x<B
Definición del complemento en (1).
(3).
x∈U ∧ x<A
A ⊆ B esto es (∀x[x ∈ A ⇒ x ∈ B] ≡ ∀x[x < B ⇒ x < A]).
(4).
x ∈ Ac
Definición del complemento en (3).
Por tanto, se demostró que Bc ⊆ Ac .
■
Teorema 2.12 Dos conjuntos son iguales si y solamente si sus complementos son
iguales. En símbolo A = B ⇔ Ac = Bc .
Demostración.
Primeramente, demostremos la condición suficiente y luego la necesaria
(i) Si A = B entonces Ac = Bc
No
Afirmaciones
Razones
(1).
A=B
Hipótesis.
(2).
Ac = Ac
Teorema 2.5
(3).
Ac = Bc
Sustituyendo (1) en (2)
(ii) Si Ac = Bc entonces A = B
No
Afirmaciones
Razones
(1).
Ac = Bc
Hipótesis.
(2).
(Ac )c = (Ac )c
Teorema 2.5
(3).
(Ac )c = (Bc )c
Sustituyendo (1) en (2)
(4).
A=B
Teorema : (Ac )c = A y (Bc )c = B
Por lo tanto, de (i) y (ii) se demostró que, A = B ⇔ Ac = Bc .
Ejercicio 2.17 Sea U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} el conjunto universo, determine el com-
plemento de los siguientes conjuntos.
■
98
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
(i) A = {0, 7, 9}
(iii) C = {x ∈ U : x es un dígito par }
(ii) B = {x ∈ U : x es múltiplo de 3 }
(iv) D = {x ∈ U : x es un dígito impar }
Ejercicio 2.18 Sea R el universo, determine el complemento de los N, Z, Q y R.
Ejercicio 2.19 Considere el intervalo real (−2, 3] = {x ∈ R : −2 < x ≤ 3}. Para cada uno
de los siguientes conjuntos universales encuentre (−2, 3]c y represéntelo en la recta
real:
(i) U = R
(ii) U = [−3, 3]
(iii) U = (−∞, 5)
(iv) U = [−2, 10]
Definición 2.7 Intersección de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La intersección
de A y B es el conjunto formado por los elementos comunes de A y B.
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B} = {x : p(x) ∧ q(x)}
Donde p(x) y q(x) es la propiedad del conjunto de A y B respectivamente.
La pertenencia de un elemento en la in-
U
tersección del conjunto A y B se caracteriza
A
B
de la siguiente manera:
x ∈ A∩B
m
x∈A ∧ x∈B
Si dos conjuntos no tienen elementos en común, diremos que son disjuntos. Esto significa que la
intersección de estos dos conjuntos es vacío. Es decir:
A y B son disjuntos si solo si, A ∩ B = ∅.
Ejemplo 2.26 En el conjunto de los números reales R. Determinar si son disjuntos, los
números irracionales Qc y los racionales Q .
Como el conjunto de los racionales es: Q = { ba : a ∈ Z, b ∈ Z − {0}} y números
√ √ √
irracionales son: Qc = R − Q = { 2, 3, 5, e, π, . . .}, Así Qc ∩ Q = ∅.
■
Solución.
Ejemplo 2.27 En el conjunto de los números enteros positivos Z+ . Si A, es el conjunto
de los pares y B el conjunto de los números primos. Determinar si A y B son disjuntos.
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
Solución.
99
Determinando a los conjuntos: A = {2, 4, 6, 8, 10, . . .} y B = {x ∈ Z : x es primo},
tenemos que A ∩ B = {2}. Luego A y B no son disjuntos.
■
2.5.2 Propiedades de la intersección
Teorema 2.13 Sean A y B subconjuntos del conjunto universo U.
1. Idempotencia A ∩ A = A.
2. Conmutativa A ∩ B = B ∩ A.
3. Asociativa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
4. Si A ⊆ B entonces A ∩ B = A.
5. El universo es neutro con respecto a la intersección. A ∩ U = A = U ∩ A.
6. Si A ⊆ X y B ⊆ X entonces A ∩ B ⊆ X.
7. P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B).
Demostración.
1. Probaremos dos inclusiones: (i) A ∩ A ⊆ A, y (ii) A ⊆ A ∩ A.
(i) Sea x ∈ A ∩ A, por definición de intersección x ∈ A ∧ x ∈ A, por simplificación x ∈ A.
(ii) Sea x ∈ A, por adjunción se tiene x ∈ A ∧ x ∈ A y por definición de intersección
x ∈ A ∩ A.
Por tanto, A ∩ A = A.
2. Mostraremos su forma equivalente: ∀x[x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ B ∩ A]
x ∈ (A ∩ B) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B
(Def. de intersección)
⇔ (x ∈ B ∧ x ∈ A)
(Conmutativa en álgebra de proposición)
⇔ x ∈ (B ∩ A)
(Definición de intersección)
Por tanto, por definición de igualdad de conjuntos A ∩ B = B ∩ A.
3. Mostraremos su forma equivalente: ∀x[x ∈ A ∩ (A ∩ B) ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∩ C].
x ∈ (A ∩ B) ∩ C ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C
(Definición de intersección)
⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C
(Definición de intersección)
⇔ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
(Asociativa en álgebra de proposiciones)
100
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C)
(Definición de intersección)
⇔ x ∈ A ∩ (B ∩ C)
(Definición de intersección)
Por tanto, por definición de igualdad de conjuntos (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
4. Sea x ∈ (A ∩ B), por definición de intersección x ∈ A ∧ x ∈ B, por ley de simplificación x ∈ A.
Por tanto, A ∩ B ⊆ A. Ahora mostramos la otra contención. Sea x ∈ A, por hipótesis
x ∈ B, por ley de adjunción x ∈ A ∧ x ∈ B, ahora por definición de intersección x ∈ A ∩ B.
En consecuencia, A ⊆ A ∩ B. Así, A ∩ B = A
5. Por ser U el conjunto universo, entonces A ⊆ U ahora aplicando, el anterior inciso 4.
Entonces A ∩ U = A = U ∩ A.
6. Vamos a probar una inclusión de conjuntos; es decir, ∀x[x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ X]. Sea
x ∈ A∩B
⇒
|{z}
x∈A ∧ x∈B
Definición“∩00
⇒ x∈X ∧ x∈X
|{z}
⇒
|{z}
x∈X
hipotesis
ley de idempotencia
(i) P (A ∩ B) ⊆ P (A) ∩ P (B),
(ii) P (A) ∩ P (B) ⊆ P (A ∩ B)
Por tanto, A ∩ B ⊆ X.
7. Debemos mostrar:
(i): X ∈ P (A ∩ B) ⇒ X ⊆ A ∩ B
(Definición de conjunto de partes)
⇒X ⊆A ∧ X ⊆B
(Ley lógica)
⇒ X ∈ P (A) ∧ X ∈ P (B)
(Definición de conjunto de partes)
⇒ X ∈ P (A) ∩ P (B)
(Definición de intersección)
(ii): X ∈ P (A) ∩ P (B) ⇒ X ∈ P (A) ∧ X ∈ P (B)
⇒X ⊆A ∧ X ⊆B
(Definición de intersección)
(Definición de conjunto de partes)
⇒ X ⊆ A∩B
⇒ X ∈ P (A ∩ B)
(Teorema 2.13 (6))
(Definición de conjunto de partes)
Por (i) y (ii) concluimos, P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B).
■
Ejercicio 2.20 Considere el conjunto universal U = {−7, −2, −1, 0, 5, 11, 23, 47, 100} y los
conjuntos A = {−7, 0, 5, 47, 100} y B = {−1, 0, 5, 11, 23}. Encuentre:
(i) A ∩ B
(ii) Ac ∩ B
(iii) A ∩ Bc
(iv) Ac ∩ Bc
(v) (A ∩ B)c
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
101
Ejercicio 2.21 Sea U un conjunto universal, demuestre que para cualesquiera sub-
conjuntos A y B de U:
(i) A ⊆ Bc si y sólo si A ∩ B = ∅
(ii) Si A ∩ B = ∅, entonces A ∩ Bc = A.
Ejercicio 2.22 Justifique con un contraejemplo las siguientes afirmaciones:
(i) No es cierto que A ⊆ (A ∩ B) para cualesquiera conjuntos A y B.
(ii) Para cualesquiera conjuntos A, B y C no siempre es cierto que si (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C),
se tenga que A ⊆ B.
(iii) Para cualesquiera conjuntos A, B y C no siempre es cierto que si (A ∩ B) ⊆ C, se
tenga que A ⊆ C o B ⊆ C.
Definición 2.8 Unión de Conjuntos. Sean A y B conjuntos. La unión de A y B es el
conjunto formado por los elementos comunes y no comunes de A y B.
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B} = {x : p(x) ∨ q(x)}
Donde p(x) y q(x) es la propiedad del conjunto de A y B respectivamente.
La pertenencia de un elemento en la
U
B
A
unión del conjunto A y B se caracteriza de la
siguiente manera:
x ∈ A∪B
m
x∈A ∨ x∈B
Observación 2.2 Todo conjunto está contenido en su unión con cualquier otro.
En símbolos: A ⊆ A ∪ B.
Demostración.
Sea x ∈ A
Por tanto, A ⊆ A ∪ B.
⇒
|{z}
ley de adición
x∈A ∨ x∈B
⇒
|{z}
x ∈ A ∪ B.
definición de Unión
Ejemplo 2.28 Sean A = {x ∈ N : 6 ≤ x < 12} y B = {x ∈ N : x2 −6x+8 = 0} dos conjuntos.
Determinar la unión de A y B
Solución.
Primero determinemos por extensión a los conjuntos A y B
■
102
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
A = {6, 7, 8, 9, 10, 11}
y
B = {2, 4}
Por tanto, A ∪ B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
■
Ejemplo 2.29 San A = {x ∈ U : x juega fútbol } y B = {x ∈ U : x juega baloncesto},
donde U es el conjunto de personas. Determinar la unión de A y B por comprensión.
Solución.
La unión de A y B por comprensión es
A ∪ B = {x ∈ U : x juega fútbol o baloncesto}
■
Ejemplo 2.30 Con respecto al plano cartesiano R2 . ¿Cuál es la unión de dos semipla-
nos opuestos sin borde?.
Solución.
Por definición de unión, la unión
de dos semiplanos opuestos sin borde es TO-
Semiplano
DO EL PLANO, excepto la recta correspon-
Borde abierto
diente al borde abierto.
Semiplano
■
2.5.3 Propiedades de la unión.
Teorema 2.14 Sean A y B subconjuntos del conjunto universo U.
1. Idempotencia. A ∪ A = A.
2. Conmutativa. A ∪ B = B ∪ A.
3. Asociativa. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) .
4. El ∅ es neutro con respecto a la unión. Para todo A; A ∪ ∅ = A = ∅ ∪ A.
5. A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B.
6. Si X ⊆ A y X ⊆ B entonces X ⊆ A ∪ B.
7. P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B).
Demostración.
1. Sea x ∈ A ∪ A ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ A ⇔ x ∈ A, donde la primera bicondicional es por definición
de unión y la segunda por ley de idempotencia. Por tanto A ∪ A = A.
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
103
2. Para cualquier x:
x ∈ A∪B ⇔ x ∈ A∨x ∈ B
(Definición de unión)
⇔ x ∈ B∨x ∈ A
(onmutativa en álgebra de proposiciones)
⇔ x ∈ B∪A
(Definición de unión)
Por tanto, A ∪ B = B ∪ A.
3. Para cualquier x:
x ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∈ C
(Definición de unión)
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C
(Definición de unión)
⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)
(Asociativa en álgebra de operaciones)
⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C)
(Definición de unión)
⇔ x ∈ A ∪ (B ∪ C)
(Definición de unión)
Por tanto, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
4. Para demostrar esta afirmación basta mostrar A ∪ ∅ ⊆ A, ya que la otra contención se
verifica por la anterior observación 5.2.
Sea x ∈ A ∪ ∅
⇒
|{z}
x∈A ∨ x∈∅
⇒
|{z}
x ∈ A. Por tanto, A ∪ ∅ ⊆ A.
ley de identidad
definición de unión
Por definición de igualdad de conjuntos A ∪ ∅ = A. Por el inciso (2) de este teorema,
∅ ∪ A = A. Así, se demostró A ∪ ∅ = A = ∅ ∪ A.
5. Por demostrar:
(a.) A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B
(b.) A ∪ B = B ⇒ A ⊆ B.
(a). Suponemos que A ⊆ B, entonces debemos probar que A ∪ B = B.
Afirmación 1. A ∪ B ⊆ B tomemos un x cualquiera en A ∪ B. Esto es:
x ∈ A∪B ⇒ x ∈ A∨x ∈ B
(Definición de unión)
⇒ x ∈ B∨x ∈ B
(Hipótesis A ⊆ B)
⇒x∈B
(Idempotencia)
Esto significa que A ∪ B ⊆ B
Afirmación 2. B ⊆ A ∪ B. Por la observación 5.2 concluimos que B ⊂ A ∪ B.
(b). Suponemos A∪B = B. Por la observación 5.2 tenemos A ⊆ A∪B, pero por hipótesis
A ∪ B = B. Entonces A ⊆ B.
Así, por (a) y (b) se demostró la equivalencia A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B.
104
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
6. Supongamos que X ⊆ A y X ⊆ B. Por demostrar X ⊆ A ∪ A. Para esto consideremos
cualquier z ∈ X, luego
z ∈ X ⇒ z ∈ X ∨z ∈ X
(Idempotencia)
⇒ z ∈ A∨z ∈ B
(Hipótesis X ⊆ A y X ⊆ B)
⇒ z ∈ A∪B
(Definición de unión)
Así, por definición de inclusión de conjuntos X ⊆ A ∪ B
7. Por demostrar: ∀X[X ∈ P (A) ∪ P (B) ⇒ X ∈ P (A ∪ B)].
X ∈ P (A) ∪ P (B) ⇒ X ∈ P (A) ∨ X ∈ P (B)
⇒X ⊆A ∨ X ⊆B
(Definición de unión)
(Definición de conjunto de partes)
⇒ X ⊆ (A ∪ B)
(Ley lógica)
⇒ X ∈ P (A ∪ B)
(Definición de conjunto de partes)
Por tanto, P (A) ∪ P (B) ⊆ P (A ∪ B).
■
Leyes Distributivas
La relación que hay entre la unión e intersección de conjuntos son conocidas como leyes
distributivas.
Teorema 2.15 (Leyes distributivas) Para cualquier conjunto A, B y C del conjunto
universo U.
D-1 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
D-2 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Demostración.
D-1. Por igualdad de conjuntos: ∀x[x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)].
x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)
⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
(Definición de unión)
(Definición de intersección)
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)
(Leyes distributivas)
⇔ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C)
(Definición de unión)
⇔ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(Definición de intersección)
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
105
Por tanto, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
D-2. Por igualdad de conjuntos:∀x[x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)].
x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C)
(Definición de intersección)
⇔ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)
(Definición de unión)
⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)
(Leyes distributivas)
⇔ x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A ∩ C)
⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(Definición de intersección)
(Definición de unión)
Por tanto, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
■
Leyes de Morgan
La relación que hay, entre la complementación, unión e intersección de conjuntos, son
conocidas como leyes de Morgan.
Teorema 2.16 (Leyes de Morgan) Para cualquier subconjunto A, B y C del conjunto
universo U.
M-1 El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus
complementos. En símbolos: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc .
M-2 El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus
complementos. En símbolos: (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc .
Demostración.
M-1. Por definición de igualdad de conjuntos, tenemos (A ∪ B)c ⊆ Ac ∩ Bc y Ac ∩ Bc ⊆ (A ∪ B)c ,
lo que significa que ∀x[x ∈ (A ∪ B)c ⇔ x ∈ Ac ∩ Bc ].
x ∈ (A ∪ B)c ⇔ x ∈ U ∧ x < (A ∪ B)
⇔ x ∈ U∧ ∼ (x ∈ A ∪ B)
⇔ x ∈ U∧ ∼ (x ∈ A ∨ x ∈ B)
⇔ x ∈ U ∧ (x < A ∧ x < B)
⇔ (x ∈ U ∧ x < A) ∧ (x ∈ U ∧ x < B)
(Definición de complemento)
(Notación)
(Definición de unión)
(Ley de morgan)
(Leyes distributivas)
⇔ x ∈ Ac ∧ x ∈ Bc
(Definición de complemento)
⇔ x ∈ (Ac ∩ Bc )
(Definición de intersección)
Por tanto, (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc .
106
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
M-2. Por definición de igualdad de conjuntos, tenemos (A ∩ B)c ⊆ Ac ∪ Bc y Ac ∪ Bc ⊆ (A ∩ B)c ,
lo que significa que ∀x[x ∈ (A ∩ B)c ⇔ x ∈ Ac ∪ Bc ].
x ∈ (A ∩ B)c ⇔ x ∈ U ∧ x < (A ∩ B)
(Definición de complemento)
⇔ x ∈ U∧ ∼ (x ∈ A ∩ B)
(Notación)
⇔ x ∈ U∧ ∼ (x ∈ A ∧ x ∈ B)
(Definición de intersección)
⇔ x ∈ U ∧ (x < A ∨ x < B)
(Ley de Morgan)
⇔ (x ∈ U ∧ x < A) ∨ (x ∈ U ∧ x < B)
c
⇔ x ∈ A ∨x ∈ B
c
(Leyes distributivas)
c
(Definición de complemento)
c
⇔ x ∈ (A ∪ B )
(Definición de unión)
Por tanto, (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc .
■
Algebra de Conjuntos
A continuación un compendio de las anteriores propiedades.
A-1 Leyes de idempotencia: A ∪ A = A, A ∩ A = A
A-2 Leyes conmutativas: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
A-3 Leyes asociativas: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A-4 Leyes de distributivas:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A-5 Leyes de identidad: A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U, A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A
A-6 Leyes de complementación: A ∪ Ac = U, A ∩ Ac = ∅, (Ac )c = A, ∅c = U, U c = ∅
A-7 Leyes de Morgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ,
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
La mayor parte de estas propiedades están demostradas, el resto lo dejamos para el lector.
Ejercicio 2.23 Sea N el conjunto universal. Sean A = {n ∈ N : n es par } y B = {n ∈ N :
n < 10}. Determine los siguientes conjuntos:
(i) A ∩ B
(ii) A ∪ B
(iii) Ac
(iv) Bc
(v) (A ∩ B)c
(vi) Ac ∪ Bc
Ejercicio 2.24 Justifique, dando un contraejemplo, las siguientes afirmaciones.
(i) Dados cualesquiera conjuntos A, B y C tales que (A∪C) ⊆ (B∪C) no siempre implica
A ⊆ B. Es decir, no es cierto lo siguiente:
(A ∪ C) ⊆ (B ∪ C) ⇒ A ⊆ B
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
107
(ii) Si A y B son subconjuntos de un conjunto universal U. Si, A ∪ B = U no siempre
implica que A ⊆ Bc . Es decir, no es cierto lo siguiente:
A ∪ B = U ⇒ A ⊆ Bc
Ejercicio 2.25 Dados los conjuntos A = {{∅}, ∅}, B = {∅}. Hallar:
(a). P (A) ∪ P (B)
(b). P (A ∪ B)
Ejercicio 2.26 Determine P (P (P (P (∅))))
Definición 2.9 Diferencia de Conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia entre
A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A que no están en B.
A\B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x < B} = {x ∈ U : p(x) ∧ ∼ q(x)}
Donde p(x) y q(x) es la propiedad del conjunto de A y B respectivamente.
La pertenencia de un elemento en la dife-
U
A
rencia de conjuntos A y B se caracteriza de la
B
siguiente manera:
x ∈ A\B
m
x∈A ∧ x<B
Ejemplo 2.31 Sean A el conjunto de los enteros pares y B el de los enteros primos.
Hallar A\B por comprensión.
Determinemos los conjuntos: A = {x ∈ Z : x es par } y B = {x ∈ Z+ : x es primo },
Solución.
así A\B = {x ∈ Z : x ∈ A ∧ x < B} = {x ∈ Z : x es par ∧ x , 2}
■
Ejemplo 2.32 En el conjunto de los números reales R, sean I1 = [2, 20] e I2 = [5, 10].
Hallar I1 \I2 .
Entonces, por definición de diferencia I1 \I2 = [2, 5[∪]10, 20].
Solución.
I2
0
1
2
3
4
5
6
7
I1
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
■
108
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
Ejemplo 2.33 Sea R el conjunto de los reales y sea P = {π}. Hallar R\P y P\R.
Solución.
• R\P = {x ∈ R : x < π ∪ π < x}, es decir, son todos los reales salvo el número π.
• En cambio, P\R = ∅, pues π es un número real. De hecho, siempre que X ⊆ Y , se tiene
que X\Y = ∅.
■
Ejercicio 2.27 Demuestre que para cualquier par de conjuntos A y B,
A ⊆ B si y sólo si A\B = ∅
2.5.4 Propiedades de la diferencia de conjuntos.
Teorema 2.17 Sean A, B y C subconjuntos del conjunto universo U.
1. A\B = A ∩ Bc .
2. A ∩ (B\C) = (A ∩ B)\(A ∩ C).
3. B ⊂ A ⇔ (A\B) ∪ B = A.
4. El ∅ es neutro por la derecha con respecto a la diferencia A\∅ = A.
5. Cada conjunto es inverso de sí mismo con respecto a la diferencia A\A = ∅.
Demostración.
1. Por demostrar A\B = A ∩ Bc , es decir, ∀x(x ∈ A\B ⇔ x ∈ A ∩ Bc ).
x ∈ A\B ⇔ x ∈ A ∧ x < B
(Definición de diferencia de conjuntos)
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ Bc
(Definición de complemento de conjuntos)
⇔ x ∈ A ∩ Bc
(Definición de intersección de conjuntos)
Por tanto, A\B = A ∩ Bc .
2. Sean A, B y C conjuntos cualesquiera.
(A ∩ B)\(A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)c
c
(Teorema 2.17 inciso 1)
c
= (A ∩ B) ∩ (A ∪ C )
c
(Ley de Morgan)
c
= [(A ∩ B) ∩ A ] ∪ [(A ∩ B) ∩ C ]
(Ley distributiva)
= [(A ∩ Ac ) ∩ B] ∪ [(A ∩ B) ∩ C c ]
(Ley asociativa y conmutativa)
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
109
= [∅ ∩ B] ∪ [(A ∩ B) ∩ C c ]
(Leyes de complementación)
= ∅ ∪ [(A ∩ B) ∩ C c ]
(Leyes de identidad)
c
(Leyes de identidad)
= A ∩ (B ∩ C )
(Ley asociativa)
= (A ∩ B) ∩ C
c
= A ∩ (B\C)
(Teorema 2.17 inciso 1)
Por tanto, (A ∩ B)\(A ∩ C) = A ∩ (B\C).
3. Por demostrar:
(a.) B ⊂ A ⇒ (A\B) ∪ B = A.
(a.) Hipótesis: B ⊆ A
(b.) (A\B) ∪ B = A ⇒ B ⊂ A.
Tesis: (A\B) ∪ B = A.
(A\B) ∪ B = (A ∩ Bc ) ∪ B
= (A ∪ B) ∩ (Bc ∪ B)
= (A ∪ B) ∩ U
= A∪B
=A
(Teorema 2.17 inciso 1)
(Propiedad distibutiva)
(Ley de complementación)
(Ley de identidad)
(Hipotesis)
(b.) Se deja a lector como ejercicio 2.28
4. Probaremos una igualdad de conjuntos, o sea;
A\∅ = A ∩ ∅c
(Propiedad 1)
= A∩U
(Ley de complementación)
=A
(Ley de identidad)
5. Propuesto como ejercicio 2.29.
■
Observación
2.3
Sea A un subconjunto de un conjunto universal U. Dado que
Ac = U\A, podemos escribir U\A en lugar de Ac para que en la notación aparezca
claramente cuál es el conjunto universal. Esto recalca que el complemento de un conjunto es relativo al universo con el que estemos trabajando.
Ejercicio 2.28 Supongamos que (A\B) ∪ B = A es verdad. Demostrar que B ⊆ A.
Ejercicio 2.29 Demostrar la siguiente afirmación: Cada conjunto es inverso de sí mis-
mo con respecto a la diferencia. Esto es A\A = ∅.
110
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
Ejercicio 2.30 Para cualquier par de conjuntos A y B, se tiene que
A\B = A si y sólo si A ∩ B = ∅
Ejercicio 2.31 En el diagrama de Veen, se muestran los conjuntos A, B, M y U.
Indicar el valor de verdad de las siguientes
U
proposiciones:
A
a
{e} ⊆ {B ∩ Ac }
3. n(P (A\M)) = 2
2. A ∩ Bc = {a, b}
4. d ∈ [(A\M) ∩ B]
1.
B
M
c d
b
e
Ejercicio 2.32 Si A = {x ∈ U / x|4}, B = {x ∈ U / x es positivo} y C = {x ∈ U / x ≤ 0}
son subconjuntos del conjunto universo U = {x ∈ Z/ − 5 < x ≤ 12 ∧ x es múltiplo de 3}.
Determinar {B\[(C c ∪ A)\B]} ∩ Ac
Definición 2.10 Diferencia Simétrica. Sean A y B conjuntos. La diferencia simétrica
entre A y B es el conjunto formado por todos los elementos o de A o de B, pero no
ambos.
A △ B := {x ∈ U : x ∈ A ⊻ x ∈ B} = {x : p(x) ⊻ q(x)} := (A\B) ∪ (B\A)
La pertenencia de un elemento en la diferencia simétrica de conjuntos A y B se carac-
U
A
B
teriza de la siguiente manera:
x∈A△B
m
x∈A ⊻ x∈B
Ejemplo 2.34 En Z, sean A = {x ∈ Z : x = 2k, k ∈ Z} y B = {x ∈ N : 9 < x ≤ 20}.
Hallar A △ B.
Solución.
Por definición de diferencia simétrica, A △ B es el conjunto formado por los en-
teros pares menores que 10, los enteros impares del conjunto B y los enteros pares mayores que 20. Es decir, como A = {..., −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...} y
B = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, entonces A △ B = (A\B) ∪ (B\A) se observa en la
siguiente gráfica.
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
7
8
9
10
11
12
13
111
14
15
16
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18
19
20
21
22
23
24
A △ B = (A\B) ∪ (B\A) = {..., 8, 11, 13, 15, 17, 19, 22, 24, ...}
■
Ejemplo 2.35 Sean A y B los subconjuntos del conjunto universal Z dados por:
A = {x ∈ Z : |x| ≤ 4}
y
B = {x ∈ Z : x divide a 6}
Hallar: A △ B
Solución.
Por extención A = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y B = {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}. Enton-
ces A △ B = (A\B) ∪ (B\A) = {−4, 0, 4} ∪ {−6, 6} = {−6, −4, 0, 4, 6}
■
Observación 2.4 De la definición 2.10 tenemos: A △ B = (A ∪ B)\(A ∩ B)
Demostración.
Propuesto como ejercicio 2.34
■
2.5.5 Propiedades de la diferencia simétrica.
Las propiedades de la diferencia simétrica se enuncian en el siguiente teorema.
Teorema 2.18 Sean A, B y C subconjuntos del conjunto universo U.
1. Conmutativo. A △ B = B △ A.
2. El ∅ es neutro con respecto de la diferencia. A △ ∅ = A = ∅ △ A.
3. Cada conjunto es inverso de si mismo. A △ A = ∅.
4. Asociativa. A △ (B △ C) = (A △ B) △ C.
5. Distributividad de la intersección con respecto a la diferencia simétrica.
A ∩ (B △ C) = (A ∩ B) △ (A ∩ C).
6. A △ B = A △ C ⇒ B = C.
Demostración.
1. A △ B = (A\B)∪(B\A), por definición de diferencia simétrica; (A\B)∪(B\A) = (B\A)∪(A\B),
por conmutatividad de la unión; (B\A) ∪ (A\B) = B △ A, por definición de deferencia
simétrica.
112
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
2. Por demostrar A △ ∅ = A = ∅ △ A.
A △ ∅ = (A\∅) ∪ (∅\A)
(Definición de diferencia simétrica)
= A ∪ (∅ ∩ Ac )
(Teorema 2.17 (1) y (4))
= A∪∅
(Ley de la identidad A-5(∅ ∩ E = ∅))
=A
(Ley de identidad A-5 (∅ ∪ E = E))
Por la propiedad conmutativa tenemos lo requerido A △ ∅ = A = ∅ △ A
3. Por demostrar: A △ A = ∅
A △ A = (A\A) ∪ (A\A)
(Definición de diferencia simétrica)
= ∅∪∅
(Teorema 2.17)
=∅
(Idempotencia de conjuntos)
4. y 5. Se deja como ejercicio 2.33 inciso (i) inciso (ii) respectivamente.
6. Como hipótesis tenemos A △ B = A △ C y por demostrar la tesis B = C. De la igualdad:
A△B=A△C
(Hipótesis)
A △ (A △ B) = A △ (A △ C)
(Identidad)
(A △ A) △ B = (A △ A) △ C
(Asociativa)
∅△B=∅△C
(Teorema 2.18 (3))
B=C
(Teorema 2.18 (2))
■
Ejemplo 2.36 Demuestre que para cualesquiera conjuntos A, B y C se tiene que
A △ B ⊆ (A △ C) ∪ (C △ B)
Solución.
Para cualesquier A, B y C subconjuntos del conjunto universo U.
A △ B =(A ∪ B)\(A ∩ B)
(Observación 2.4)
=(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c
(Teorema 2.17 (1))
=(A ∪ B) ∩ (Ac ∪ Bc )
(Ley de Morgan)
⊆(A ∪ B ∪ C) ∩ (Ac ∪ Bc ∪ C c )
=[(A ∪ C ∪ C ∪ B) ∩ U ] ∩ [U ∩ (Ac ∪ C c ∪ C c ∪ Bc )]
(U ⊆ W ∧ X ⊆ Y ⇒ U ∩ X ⊆ W ∩ Y )
(Idempotencia, commut., ident.)
={[(A ∪ C) ∪ (C ∪ B)] ∩ U} ∩ {U ∩ [(Ac ∪ C c ) ∪ (C c ∪ Bc )]}
(Asociativa)
={[(A ∪ C) ∪ (C ∪ B)] ∩ [(Ac ∪ C c ) ∪ (C ∪ B)]} ∩ {[(A ∪ C) ∪ (C c ∪ Bc )] ∩ [(Ac ∪ C c ) ∪ (C c ∪ Bc )]}
={[(A ∪ C) ∩ (Ac ∪ C c )] ∪ (C ∪ B)} ∩ {[(A ∪ C) ∩ (Ac ∪ C c )] ∪ (C c ∪ Bc )}
(Ley distributiva)
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
113
=[(A ∪ C) ∩ (Ac ∪ C c )] ∪ [(C ∪ B) ∩ (C c ∪ Bc )]
(Ley distributiva)
=[(A ∪ C) ∩ (A ∩ C)c ] ∪ [(C ∪ B) ∩ (C ∩ B)c ]
(Ley de Morgan)
=[(A ∪ C)\(A ∩ C)] ∪ [(C ∪ B)\(C ∩ B)]
(Teorema 2.17 (1))
=(A △ C) ∪ (C △ B)
(Observación 2.4)
Por tanto A △ B ⊆ (A △ C) ∪ (C △ B)
■
Ejemplo 2.37 Sean A, B y C conjuntos, se tiene que A △ B ⊆ (A △ C) ∪ (C △ B).
Encontrar un ejemplo en el que la contención anterior sea propia y otro donde sé dé la
igualdad.
Solución.
Consideremos los conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 3, 4} y C = {4, 5}. Entonces A △ B =
{1, 3, 4}, A △ C = {1, 2, 4, 5}, C △ B = {2, 3, 5} y (A △ C) ∪ (C △ B) = {1, 2, 3, 4, 5}. Así encontramos
la contención propia de conjuntos
A △ B = {1, 3, 4} ⫋ {1, 2, 3, 4, 5} = (A △ C) ∪ (C △ B)
Por otro lado, consideremos otros conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 3} y C = {1, 2, 3}. Entonces
A △ B = {1, 3}, A △ C = {3}, C △ B = {1} y (A △ C) ∪ (C △ B) = {1, 3}. Así encontramos la
igualdad de conjuntos
A △ B = {1, 3} = (A △ C) ∪ (C △ B)
■
Ejemplo 2.38 Consideremos los conjuntos A, B y C de tal manera que se cumple:
• (C ∪ B) ∩ (C ∩ B)c = {1, 3, 7, 8, 32}.
• (A ∪ C)c = {1, 2, 7, 8, 25}
• (A ∩ B)c = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 25, 32}
• P (C) ⊂ P (A) (“⊂ subconjunto”, “P (·) conjunto de partes” )
• n(B ∪ A) = n(B) + n(A) (“n número de elementos”)
• (A − C) ∪ B = {x, y 3 , y + 2, z y , x + 6}
Determinar el valor de la expresión
Solución.
x+y +z
Las propiedades que cumplen los conjuntos A, B y C son:
(a). (C ∪ B) ∩ (C ∩ B)c = {1, 3, 7, 8, 32}.
(b). (A ∪ C)c = {1, 2, 7, 8, 25}.
114
2.5. Operaciones en una colección de conjuntos
(c). (A ∩ B)c = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 25, 32}.
(d). P (C) ⊂ P (A) esto es equivalente C ⊂ A.
(e). n(B ∪ A) = n(B) + n(A) esto significa que A ∩ B = ∅ .
(f). (A − C) ∪ B = {x, y 3 , y + 2, z y , x + 6}.
Del inciso (e), reemplazamos al inciso (c), tenemos (A ∩ B)c = ∅c = U. Así
U = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 25, 32}
Además, la conclusión del inciso (d), aplicando en el inciso (b), tenemos:
(A ∪ C)c = Ac = {1, 2, 7, 8, 25}
Del inciso (a): (C ∪ B) ∩ (C ∩ B)c = C∆B = {1, 3, 7, 8, 32}. De acuerdo a los datos, expresamos
el diagrama de Venn:
U
M
9
A
1
32 4
3
M
25
8
7
2
De acuerdo al diagrama de Veen, (A − C) ∪ B = {1, 4, 7, 8, 9}. Este resultado comparamos
con el inciso (f):
(A − C) ∪ B = {x, y 3 , y + 2, z y , x + 6} = {1, 4, 7, 8, 9}
Por ensayo y error, los valores de x, y, z son: x = 1, y = 2 y z = 3. Por lo tanto
x+y +z = 1+2+3 = 6
■
Ejercicio 2.33 Sean A, B y C subconjuntos del conjunto universo U. Demostrar:
(i) A △ (B △ C) = (A △ B) △ C.
(ii) A ∩ (B △ C) = (A ∩ B) △ (A ∩ C).
Ejercicio 2.34 Sean A y B subconjuntos del conjunto universo U. Demuestre:
A △ B = (A ∪ B)\(A ∩ B)
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
115
Ejercicio 2.35 Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6} y C = {3, 4, 6, 7} los subconjuntos del
conjunto universal U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Determine los siguientes conjuntos:
(a). A\B
(b). A\C
(c). B\C
(d). A △ B
(e). A △ C
(f). B △ C
Ejercicio 2.36 Sean A = {x ∈ N : 1 < x < 12}, B = {x ∈ N : 3 < x < 17 ∧ x es impar } y
C = {x ∈ N : |x| ≤ 15}. Determine los siguientes conjuntos:
(a). A\B
(b). A\C
(c). B\C
(d). A △ B
(e). A △ C
(f). B △ C
Ejercicio 2.37 Describa la expresión correcta correspondiente al conjunto sombreado
de los siguientes diagramas de Venn:
(i)
(ii)
B
A
C
(iii)
B
A
C
B
A
C
Ejercicio 2.38 Sabiendo que A y B son conjuntos y además se tiene la siguiente infor-
mación: A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, A\B = {1, 2, 10} y A ∩ B = {6, 8, 16}.
Determinar el conjunto B
2.6
Operaciones generalizados
Hasta el momento hemos operado con dos o tres conjuntos, ahora introduciremos una
colección finita o infinita de conjuntos con los cuales podamos operar, la unión e intersección
y otras propiedades asociadas a esta colección de conjuntos.
1. Sean A1 , A2 , A3 , ..., An una colección finita de conjuntos. La representación de la unión
e intersección es:
116
2.6. Operaciones generalizados
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An =
n
[
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ An =
y
Ai
i=1
n
\
Ai
i=1
Si el conjunto de índices es In = {1, 2, 3, ..., n}, entonces
[
Ai =
i∈In
n
[
\
y
Ai
i=1
Ai =
i∈In
n
\
Ai
i=1
2. Sea el conjunto de índices I = N, entonces A1 , A2 , A3 , ..., An , ... es una colección infinita
de conjuntos que se denota por:
{Ai }i∈I
Ejemplo 2.39 Sean A1 = {1, 2, 3, 4}, A2 = {2, 3, 4, 5}, A3 = {3, 4, 5, 6}, A4 = {4, 5, 6, 7}.
Hallar A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 y A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 .
Solución.
Sea I4 = {1, 2, 3, 4}, entonces
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 =
[
Ai = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
y
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 =
i∈I4
\
Ai = {4}
i∈I4
En la unión están todos los elementos de cada conjunto de la colección, en cambio, en la
intersección el 4 es el único elemento que está en todos los conjuntos Ai con i ∈ I4 .
■
Ejemplo 2.40 Sean A1 = {1, 2, 3, 4}, A2 = {2, 3, 4, 5}, A3 = {3, 4, 5, 6}, A4 = {4, 5, 6, 7} y
A5 = {5, 6, 7, 8}. Hallar A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 y A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 .
Solución.
Sea J5 = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 =
\
Ai = ∅
i∈J5
pués no hay ningún elemento que sea común en todos los Aj con j ∈ J5 . Es interesante
observar que a pesar de que esta intersección es vacía, algunos pares de conjuntos, no son
ajenos por pares, por ejemplo A1 y A3 su intersección no es vacía, A1 ∩ A3 = {3, 4}. Luego
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 =
[
Ai = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
i∈J5
■
Dada una colección de conjuntos, la pertenencia de un elemento a la unión e intersección
generalizada, está enunciado en las siguientes dos definiciones.
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
117
Definición 2.11 Unión generalizada de conjuntos. Sea {Ai }i∈I con I = N entonces
∞
S
i=1
Ai = {x ∈ U : ∃i ∈ I (x ∈ Ai )}. Esto podemos expresar de la siguiente manera:
x∈
∞
[
Ai ⇔ ∃i(i ∈ I ∧ x ∈ Ai )
i=1
La proposición existencial ∃i(i ∈ I ∧ x ∈ Ai ) es la traducción de oraciones del español
que afirman que existen objetos que cumplen ciertas propiedades, y estas traducciones
se hace utilizando el conectivo ∧.
Observemos la gráfica a la derecha. Don-
U
de I = {1, 2, 3, 4, 5, 6} es el conjunto de índice,
x∈
A3
A5
entonces:
6
[
A1
A6
A2
A4
Ai ⇐⇒ ∃6(6 ∈ I ∧ x ∈ A6 )
x
i=1
Definición 2.12
entonces
manera:
∞
T
i=1
Intersección generalizada de conjuntos. Sea {Ai }i∈I con I = N
Ai = {x ∈ U : ∀i ∈ I (x ∈ Ai )}. Esto podemos expresar de la siguiente
x∈
∞
\
Ai ⇔ ∀i(i ∈ I ⇒ x ∈ Ai )
i=1
La proposición universal ∀i(i ∈ I ⇒ x ∈ Ai ) es la traducción correcta de oraciones del
español, que afirman que todos los objetos que cumplen ciertas propiedades también
cumplen otras, y estas traducciones se hace utilizando el conectivo ⇒.
Observemos la gráfica a la derecha. Don-
U
A1
de I = {1, 2, 3, 4, 5} es el conjunto de índice,
A3
A5
entonces:
x∈
5
\
i=1
A4
Ai ⇐⇒ ∀i(i ∈ I ⇒ x ∈ Ai )
A2
x
118
2.6. Operaciones generalizados
Ejemplo 2.41 Sabiendo que el conjunto de índice es el conjunto de los números natura-
les I = N. Determinar la unión e intersección generalizada de los siguientes conjuntos:
(a).
S
[i − 1, i[
(b).
i∈I
Th
i∈I
h
− 1i , 1i
i
i
donde [i − 1, i[ y − 1i , 1i son intervalos.
Solución.
S
(a).
[i − 1, i[= [0, 1[ ∪ [1, 2[ ∪ [2, 3[ ∪ [3, 4[ ∪ [4, 5[ ∪ ... = [0, +∞[. Graficando
i∈I
· · · [i − 1, i[
· · · [i − 1, i[
0
1
2
3
5
6
7
8
9
4
S
Por tanto, la unión de todos los intervalos semiabiertos es: [i − 1, i[= [0, +∞[.
(b).
Th
i∈I
i∈I
i
− 1i , 1i = [−1, 1] ∩ [− 21 , 12 ] ∩ [− 13 , 13 ] ∩ [− 14 , 14 ] ∩ [− 15 , 15 ] ∩ ... = {0}
..
.
−1
0
1
−1/2−1/3
1/3 1/2 h
T 1 1i
Por tanto, la intersección de todos los intervalos cerrados es
− i , i = {0}.
■
i∈I
Ejemplo 2.42 Sea L un conjunto de índice. Para todo λ ∈ L, el conjunto Fλ cumple la
propiedad:
Si u, v ∈ Fλ entonces u + v ∈ Fλ
Demostrar que el conjunto F =
T
λ∈L
Solución.
Sean u ∈ F =
T
λ∈L
Fλ cumple la propiedad anterior.
Fλ y v ∈ F =
T
λ∈L
Fλ , por definición de intersección generalizada:
∀λ(λ ∈ L ⇒ u ∈ Fλ ) ∧ ∀λ(λ ∈ L ⇒ v ∈ Fλ )
m
(Ejercicio 1.51)
∀λ[(λ ∈ L ⇒ u ∈ Fλ ) ∧ (λ ∈ L ⇒ v ∈ Fλ )]
m
(Ejercicio 1.29)
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
119
∀λ[λ ∈ L ⇒(u ∈ Fλ ∧ v ∈ Fλ )]
m
(Propiedad que cumple Fλ )
∀λ[λ ∈ L ⇒(u + v ∈ Fλ )]
Luego por definición de intersección generalizada u + v ∈
T
λ∈L Fλ . Por tanto, F cumple la
■
propiedad.
Teorema 2.19 Leyes distributivas generalizadas. Sea I un subconjunto cualquiera
de N y para cada i ∈ I , sea Ai un conjunto.
(i). Sea B un conjunto cualquiera. Entonces
S
i∈I
(ii). Sea B un conjunto cualquiera. Entonces
!
Ai ∩ B =
T
i∈I
!
S
i∈I
Ai ∪ B =
(Ai ∩ B).
T
i∈I
(Ai ∪ B).
Demostración.
(i) Para demostrar la igualdad, primero veamos que
Sea x ∈
S
S
i∈I
!
!
Ai ∩ B ⊆
S
i∈I
(Ai ∩ B).
Ai ∩ B, entonces por la definición de la intersección de dos conjuntos,
!i∈I
S
x∈
Ai y x ∈ B. Ahora, usando la definición de unión generalizada, tenemos que
i∈I
x ∈ Aj para algún j ∈ I y x ∈ B, obtenemos que existe j ∈ I tal que x ∈ Aj ∩ B. Así,
S
x ∈ (Ai ∩ B).
i∈I
Demostremos la otra inclusión que
Sea x ∈
S
i∈I
S
(Ai ∩ B) ⊆
S
i∈I
!
Ai ∩ B.
(Ai ∩ B). Entonces existe j ∈ I tal que x ∈ Aj ∩ B, por lo que existe j ∈ I tal
!
S
S
Ai ∩ B.
que x ∈ Aj y x ∈ B. Así, x ∈ Ai y x ∈ B. Por lo tanto, x ∈
i∈I
i∈I
Así queda demostrada la igualdad (
S
i∈I
(ii). Por demostrar:
T
i∈I
!
Ai ∪ B =
T
i∈I
Ai ) ∩ B =
S
i∈I
i∈I
(Ai ∩ B).
(Ai ∪ B).




\ 
\ 
x ∈  Ai  ∪ B si y sólo si x ∈  Ai  ∨ x ∈ B
i∈I
(definición de unión)
i∈I
si y sólo si ∀i (i ∈ I ⇒ x ∈ Ai ) ∨ x ∈ B
(Intersección generalizada)
120
2.6. Operaciones generalizados
si y sólo si ∀i (∼ (i ∈ I ) ∨ x ∈ Ai ) ∨ x ∈ B
(p → q ≡∼ p ∨ q)
si y sólo si ∀i (∼ (i ∈ I ) ∨ (x ∈ Ai ∨ x ∈ B)
(Asociativa)
si y sólo si ∀i (∼ (i ∈ I ) ∨ x ∈ (Ai ∪ B)
\
si y sólo si x ∈
(Ai ∪ B)
(Definición de unión)
(Intersección generalizada)
i∈I
Por tanto, (
T
Ai ) ∪ B =
i∈I
T
i∈I
(Ai ∪ B).
■
Ahora demostremos que las Leyes de De Morgan vistas anteriormente se pueden generalizar de manera natural.
Teorema 2.20 Leyes de De Morgan. Sea I un subconjunto cualquiera de N y para
cada i ∈ I , sea Ai un conjunto. Supóngase que todos los conjuntos Ai están contenidos
en un conjunto universal U
(i). Se tiene que
S
i∈I
Demostración.
!c
Ai
=
T
i∈I
Aci .
(ii). Se tiene que
T
i∈I
!c
Ai
=
S
i∈I
Aci .
(i) Para todo x.
c

[
[ 
Ai
x ∈  Ai  ⇒ x ∈ U ∧ x <
i∈I
i∈I


[ 

Ai 
⇒ x ∈ U∧ ∼ x ∈
(Def. de complemento)
(Notación x < E :=∼ (x ∈ E))
i∈I
⇒ x ∈ U∧ ∼ (∃i(i ∈ I ∧ x ∈ Ai ))
(Def. de unión generalizada)
⇒ x ∈ U ∧ ∀i(∼ (i ∈ I ) ∨ x < Ai )
(Ley de Morgan)
⇒ x ∈ U ∧ ∀i(i ∈ I ⇒ x ∈ Aci )
⇒ ∀i(i ∈ I ⇒ x ∈ Aci )
\
⇒x∈
Aci
(p → q ≡∼ p ∨ q y Def. Complemento)
(Ley de simplificación)
(Def. intersección generalizada)
i∈I
Por tanto,
S
i∈I
!c
Ai
⊆
T
i∈I
Aci
Ahora demostraremos la otra inclusión:
x∈
\
Aci ⇒ ∀i(i ∈ I ⇒ x ∈ Aci )
(Def. de intersección generalizada)
i∈I
⇒ ∀i(∼ (i ∈ I ) ∨ [x ∈ U ∧ x < Ai ])
(Def. de complemento y p → q ≡∼ p ∨ q)
⇒∼ [∃i(i ∈ I ∧ (x < U ∨ x ∈ Ai ))]
(Negación de cuantificadores)
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
121
⇒∼ [∃i(i ∈ I ∧ (F ∨ x ∈ Ai ))]
⇒∼ [∃i(i ∈ I ∧ x ∈ Ai )]
[
⇒∼ [x ∈
Ai ]
(x < U ⇔ x ∈ ∅)
(p ∨ F ≡ p)
(Def. Unión generalizada)
i∈I
⇒x<
[
(Notación x < A :=∼ (x ∈ A))
Ai
i∈I
⇒ x ∈ U ∧x <
[
(Ley de adjución)
Ai
i∈I
c

[ 
⇒ x ∈  Ai 
(Def. de complemetno)
i∈I
Por lo tanto:
T
i∈I
Aci ⊆
S
i∈I
!c
Ai . En conclusión se ha terminado la demostración
(ii) Dejamos al lector la demostración (ejercicio 2.39).
S
i∈I
!c
Ai
=
T
i∈I
Aci .
Ejercicio 2.39 Sea I ⊆ N para cada i ∈ I , sea Ai un conjunto, tal que todos los con-
juntos Ai están contenidos en un conjunto universal U. Demostrar
c

\  [
 A  =
Aci

i

i∈I
i∈I
Ejercicio 2.40 Sea I un subconjunto cualquiera de N y para toda i ∈ I , sea Ai un
conjunto. Demuestre que
∃j ∈ I,
\
Ai = Aj ⇔ ∃j ∈ I ∀i ∈ I (Aj ⊆ Ai )
i∈I
Ejercicio 2.41 Sea I un subconjunto de N y para todo i ∈ I , consideramos Ai conjuntos
cualesquiera. Demuestre que para toda j ∈ I
Aj ⊆
[
Ai
i∈I
Ejercicio 2.42 Sea I un subconjunto de N y A un conjunto cualquiera. Supongamos
que para alguna i ∈ I , A ⊆ Ai , demuestre
A⊆
[
i∈I
Ai
■
122
2.7. Producto cartesiano
Ejercicio 2.43 Considere la familia de intervalos abiertos Ki = 1, 1 + 1i con i ∈ N.
Calcular:
\
Ki
y
i∈N
[
Ki
i∈N
Ejercicio 2.44 Sea I un subconjunto cualquiera de N y para cada i ∈ I , sea Ai un
conjunto. Sea Y un conjunto cualquiera. Demuestre las siguientes igualdades
!
!
T
T
S
S
(i) Y \
AI = (Y \Ai );
(ii) Y \
AI = (Y \Ai )
i∈I
2.7
i∈I
i∈I
i∈I
Producto cartesiano
Un conjunto está completamente determinado por sus elementos, según el Axioma de
Extensionalidad sin importar el orden en el que se enuncian. Ahora definiremos un conjunto
que dependa de dos elementos a, b y del orden en el que son considerados. La siguiente
definición se debe al matemático Kuratowski4 .
Definición 2.13 Par ordenado. El par ordenado (a, b) es el conjunto cuyos elementos
son {a} y {a, b}. Es decir:
(a, b) = {{a}, {a, b}}
donde a es la primera componente y b es la segunda componentes del par ordenado.
En esta definición el orden es importante, consideremos a , b, entonces
(a, b) = {{a}, {a, b}} , {{b}, {a, b}} = (b, a), pues
a,b
Además si a = b se tiene: (a, a) = {{a}, {a, a}} = {{a}} un conjunto unitario.
Ejemplo 2.43 Sean A = {a, b} y B = {c, d}. Determinar todos los posibles pares ordena-
dos.
Solución.
Primero supongamos que los elementos del conjunto A sean las primeras com-
ponentes y los elementos de B la segunda componente del par ordenado. Esto es:
(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)
4 Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 2 de febrero de 1896 - 18 de junio de 1980) fue un matemático y lógico
polaco. En 1921 ofreció la definición del par ordenado (a, b).
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
123
Ahora suponemos que los elementos de B forman las primeras componentes y los elementos
de A las segundas componentes del par ordenado. Esto es:
(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)
■
Teorema 2.21 Para cualquier a, b, c y d, demostrar que:
(a, b) = (c, d)
Demostración.
si y sólo si
a=c y b=d
Haciendo uso de la equivalencia lógica p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
[p ⇒ q]. Si (a, b) = (c, d) ⇒ a = c y b = d. Supongamos que (a, b) = (c, d), por definición de
par ordenado {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}, como estos conjuntos son iguales, por el Axioma de
Extensionalidad tiene los mismos elementos, entonces (1) {a} = {c} o bien (2) {a} = {c, d}.
(1) Si {a} = {c}, entonces a = c. Como {a, b} ∈ {{c}, {c, d}}, se tiene los siguientes subcasos.
(i) Si {a, b} = {c}, entonces a = b = c, por lo que {{a}, {a, b}} = {{c}}. De aquí {{c}} =
{{c}, {c, d}}, con lo que {c} = {c, d} y obtenemos que c = d. Como c = b, en este
caso a = c y b = d, que es lo que queríamos demostrar.
(ii) Si {a, b} = {c, d}, como a = c, se tiene que b = d. Por lo tanto, en este caso obtenemos
que a = c y b = d
(2) Si {a} = {c, d}, entonces a = c = d. Como {a, b} ∈ {{c}, {c, d}, se tiene los siguientes subcasos.
(i) Si {a, b} = {c}, entonces a = b = c. Como a = d, b = d y así, en este caso también
obtenemos que a = c y b = d.
(ii) Si {a, b} = {c, d}, como a = c = d, {a, b} = {a}, por lo que a = b. Por lo tanto, en este
caso también obtenemos que a = c y b = d.
[q ⇒ p]. Si a = c y b = d ⇒ (a, b) = (c, d). Supongamos que a = c y b = d, entonces por el axioma de Extensionalidad, {a} = {c} y {a, b} = {c, d}. Por lo tanto,
(a, b) = {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} = (c, d)
■
Ejercicio 2.45 Determinar los pares ordenados de A = {1, 2, 3}.
Ejercicio 2.46 Si (m + n, 1) = (3, m − n), encuentre m y n.
124
2.7. Producto cartesiano
Definición 2.14 Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B
es el conjunto cuyos elementos son todos pares ordenados cuya primera componente
pertenece a A y la segunda a B.
En Símbolos: A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
Ejemplo 2.44 Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}, determinar los conjuntos A × B, B × A y B2
Solución.
Los productos cartesianos son:
A × B ={(1, a)(1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
B × A ={(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
B2 = B × B ={(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
■
Ejemplo 2.45 Dados N, Z, R e I = [2, 5] ⊆ R, graficar los productos cartesianos:
(a) N × Z
Solución.
(b) Z × R
(c) I × R
(d) I × I
(e) I × N
Sus gráficas correspondientes son:
Z
R
N×Z
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
N
−2
−1
−1
0
−1
I ×R
R
3
2
1
−1
0
1
2
3
I
4
5
Z×R
1
2
3
Z
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
125
I ×I
R
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
I ×N
R
5
R
0
1
2
3
4
5
R
■
Ejercicio 2.47 Dados los siguientes conjuntos:
(a). A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}
(b). A = [2, 5] y B = [1, 2].
Determinar el producto cartesiano y graficar.
Ejercicio 2.48 Sean a, b, c y d ∈ R, tales que a < b y c < d. Sean A = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
y B = {x ∈ R : c ≤ x ≤ d}. Determinar A × B por compresión y graficar.
2.7.1 Propiedades del producto cartesiano.
Teorema 2.22 Sean A, B y C conjuntos.
1. A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅.
2. No conmutativa A × B , B × A, salvo que A = B.
3. No asociativa A × (B × C) , (A × B) × C.
4. Distributividad del producto cartesiano × con respecto a la unión ∪.
(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
5. Distributividad del producto cartesiano × con respecto a la intersección ∩.
(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
Demostración.
1. Debemos mostrar que A × B = ∅ si y sólo si (A = ∅ ∨ B = ∅), pero esto es equivalente a
mostrar que A × B , ∅ si y sólo si (A , ∅ ∧ B , ∅). Supongamos que A × B , ∅ si y sólo si
existe (x, y) ∈ A × B si y sólo si existe si x ∈ A y existe y ∈ B si y sólo si A , ∅ y B , ∅.
126
2.7. Producto cartesiano
2. Sea a , b, luego se tiene A×B 3 (a, b) = {{a}, {a, b}} , {{b}, {b, a}} = (b, a) ∈ B×A (por definición
de par ordenado). Por tanto, concluimos que A × B , B × A.
3. Para demostrar esta propiedad, vamos a dar un contraejemplo, de tal manera que no se
cumpla la igualdad A × (B × C) = (A × B) × C. Sea (1, (2, 5, )) un elemento de A × (B × C),
es decir (1, (2, 5)) ∈ A × (B × C); sin embargo, (1, (2, 5)) < (A × B) × C, pues 1 < (A × B) y
(2, 5) < C (2 ∈ B y 5 ∈ C).
4. Distributividad del producto cartesiano × con respecto a la unión ∪.
(x, y) ∈ (A ∪ B) × C ⇔ x ∈ A ∪ B ∧ y ∈ C
(Def. de producto cartesiano)
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ y ∈ C
(Definición de unión)
⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ y ∈ C)
⇔ (x, y) ∈ (A × C) ∪ (B × C)
(Distributiva)
(Def. de producto cartesiano y unión)
Por tanto, (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
5. Distributividad del producto cartesiano × con respecto a la intersección ∩.
(x, y) ∈ (A ∩ B) × C ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∧ y ∈ C
(Def. de producto cartesiano)
⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ y ∈ C
(Def. de intersección)
⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ (x ∈ B ∧ y ∈ C)
⇔ (x, y) ∈ A × C ∧ (x, y) ∈ B × C
⇔ (x, y) ∈ (A × C) ∩ (B × C)
(Distributiva)
(Def. de producto cartesiano)
(Def. de intersección)
Por tanto, (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
■
Ejemplo 2.46 Demostrar: (A\B) × C = (A × C)\(B × C).
Solución.
Para demostrar la igualdad, tomemos cualquier par ordenado (x, y)
(x, y) ∈ (A\B) × C ⇔ x ∈ (A\B) ∧ y ∈ C
⇔ (x ∈ A ∧ x < B) ∧ y ∈ C
(Definición de producto cartesiano)
(Definición de diferencia de conjuntos)
⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∧ (x < B ∧ y ∈ C)
⇔ (x, y) ∈ A × C ∧ (x, y) < (B × C)
⇔ (x, y) ∈ (A × C)\(B × C)
Por tanto, (A\B) × C = (A × C)\(B × C).
(Distributiva)
(Definición producto cartesiano)
(Definición diferencia de conjunto)
■
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
127
Ejercicio 2.49 Sean A = {(0, 0), (0, 1)} y B = {a, b}. Determinar los siguientes conjuntos:
(i)
A2 = A × A
(ii)
B2 = B × B
Ejercicio 2.50 Sea A = {x ∈ R : x2 − 1 = 0}. Determine P (A2 )
Ejercicio 2.51 Sean A, B y C conjuntos. Demostrar:
(i)
2.8
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
(ii)
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
La operación de contar
En esta sección nos enfocaremos en la cantidad de elementos que tiene un conjunto, y
solo haremos referencia de conjuntos con un número finito de elementos, más no hablaremos
de los conjuntos infinitos.
Definición 2.15 Cardinal de un conjunto. Cardinal de un conjunto A es el número de
elementos (distintos) del conjunto A y será representado por |A|.
Ejemplo 2.47 Sea el conjunto
A = {Matemática, Física, Química, Estadística, Biología, Informática}
entonces el número de elementos de A es 6. Es decir |A| = 6.
Ejemplo 2.48 Sea A = {2, 3, 4}. Si
(i) Q = {(x, y) ∈ A2 : y ≯ x}
(ii) R = {(x, y) ∈ A2 : y = x2 }
(iii) S = {(x, y) ∈ A2 : y − x = 1}
|Q|
Hallar el valor de la expresión |R|+|S|
.
Solución.
Expresando por extensión los conjuntos Q, R y S , tenemos:
(i) Q = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. Tenemos |Q| = 6
(ii) R = {(2, 4)}. Tenemos |R| = 1
(iii) S = {(2, 3), (3, 4)}. Tenemos |S| = 2.
128
2.8. La operación de contar
Luego
|Q|
6
=
=2
|R| + |S| 1 + 2
■
Definición 2.16 Principio de la adición. Si A y B son dos conjuntos finitos y disjuntos,
el cardinal de A es n (|A| = n) y el de B es m (|B| = m), el principio de la adición permite
calcular el cardinal del conjunto A ∪ B. Es decir
|A ∪ B| = |A| + |B|
Si observamos la unión de los conjuntos A y B del ejemplo 2.28, la unión es disjunta, por
el principio de la adición, tenemos |A ∪ B| = |A| + |B| = 6 + 2 = 8
Una aplicación del principio de la adición lo podemos apreciar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.49 ¿De cuántas maneras se pueden obtener 6 ó 7 puntos, como suma del
lanzamiento de dos dados (uno rojo y el otro azul)?.
Solución.
Si indicamos por X el conjunto de maneras que hay de obtener 6 puntos, po-
demos escribir X = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), donde cada pareja representa el resultado
de un lanzamiento: (dado rojo, dado azul). De la misma manera con el conjunto Y representa las maneras de obtener 7 puntos, Y = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Obviamente, lo
que nos piden es el cardinal de X ∪ Y , y puesto que X e Y son disjuntos, podemos aplicar el
principio de la adición, y así conseguimos: |X ∪ Y | = |X| + |Y | = 5 + 6 = 11 maneras de obtener
■
6 ó 7 puntos.
Teorema 2.23 Si A es un conjunto finito y S un subconjunto de A, entonces
|A\S| = |A| − |S|
Demostración.
Si consideramos los conjuntos X = A\S y Y = S, como X∪Y = A y X∩Y = ∅,
aplicando el principo de la adición obtenemos |X ∪ Y | = |X| + |Y |, o sea |A| = |A\S| + |S| y, por
lo tanto, |A\S| = |X| − |S|.
■
Teorema 2.24 Si A y B son dos conjuntos finitos, entonces
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Demostración.
Para demostrar que |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| sólo es necesario aplicar
reiteradamente el principio de la adición a las uniones disjuntas siguientes:
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
A = (A\B) ∪ (A ∩ B),
129
B = (B\A) ∪ (A ∩ B),
A ∪ B = (A\B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B\A)
donde el conjunto A\B contiene los elementos de A que no pertenece a B. Así, tenemos
|A ∪ B| = |A\B| + |A ∩ B| + |B\A| = |A| + |B| + |B\A| = |A| + |B| − |A ∩ B|
■
Ejemplo 2.50 De 1000 postulantes a la UMSA, 155 aprobaron Matemática , 175 Len-
guaje, 160 Técnicas de estudio, 45 aprobaron Matemática y Técnica de estudio, 55
Lenguaje y Técnica de estudio, 70 Matemática y Lenguaje, 25 sólo Matemática y Técnicas de estudio. ¿Cuántos aprobaron al menos dos materias?
Solución.
De 1000 postulantes a la Universidad.
Consideremos los siguientes conjuntos:
U
M
T
M= Aprobados en Matemática
L= Aprobados en Lenguaje
25
60
T = Aprobados en Técnica
L
Entonces:
|M| = 155,
|L| = 175, |T | = 160,
|M ∩ T | = 45,
|L ∩ T | = 55,
|M ∩ L| = 70,
|(M ∩ T )\L| = 25
20
50
80
35
70
Mediante el diagrama de Ven se analiza los datos colocando las cantidades correspondientes de aprobados en los lugares adecuados. Así la respuesta es:
|(M ∩ L ∩ T ) ∪ ((M ∩ T )\L) ∪ ((M ∩ L)\T ) ∪ ((T ∩ L)\M)|=
= |M ∩ L ∩ T | + |(M ∩ T )\L| + |(M ∩ L)\T | + |(T ∩ L)\M| = 20 + 25 + 50 + 35 = 130
■
Aprobaron 130 al menos dos materias.
Ejemplo 2.51 Sean A y B dos subconjuntos del conjunto universal finito U. Si |U| = n,
n
2n
c
c
|A ∩ B| = 3n
20 , |B| = 2 y |(A \B) | = 3 . Hallar el valor de:
(a). |A|.
Solución.
(b). |(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c |.
Notemos que (Ac \B)c = (Ac ∩ Bc )c = A ∪ B. Así |A ∪ B| = 2n
3 . Utilizando el Teorema
2.24 en los conjuntos A y B:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
2n
n 3n
= |A| + −
3
2 20
2n n 3n
− +
|A| =
3 2 20
19n
|A| =
60
(Sustituyendo |B| = n/2, |A ∩ B| = 3n/20)
(Despejando |A|)
(Sumando fracciones)
130
2.8. La operación de contar
Por tanto, la respuesta del inciso (a) es |A| = 19n/60. Ahora, para determinar|(A∪B)∩(A∩B)c |,
notemos que |(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c | = (A ∪ B)\(A ∩ B), haciendo uso del teorema 2.23 tenemos:
|(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c | = |A ∪ B| − |A ∩ B|
2n 3n
=
−
3 20
31n
=
60
(Sustituyendo |A ∪ B| = 2n/5, |A ∩ B| = 3n/20)
(Sumando fracciones y simplificando)
Por tanto, la respuesta del inciso (b) es |(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c | = 31n/60.
■
El cardinal del producto cartesiano de dos conjuntos es el producto de los cardinales de cada uno de
los conjuntos, es decir:
|A × B| = |A| · |B|
Ejemplo 2.52 Dados los conjuntos
A=
n |x|−1 3
o
∈ Z : 16 ≤ x2 ≤ 625 ,
n
o
p
B = (2y − 3) ∈ Z : 2 ≤ 3y − 2 ≤ 5
Hallar: |A × (B ∩ Ac )|
Solución. Los conjuntos A y B se pueden expresar por extensión, así:
(
!
)
n
o
p
| x | −1
2
B = (2y − 3) ∈ Z : 2 ≤ 3y − 2 ≤ 5
A=
∈ Z : 16 ≤ x ≤ 625
3
(
!
)
= {(2y − 3) ∈ Z : 4 ≤ 3y − 2 ≤ 25}
√
√
√
| x | −1
2
=
∈ Z : 16 ≤ x ≤ 625
3
= {(2y − 3) ∈ Z : 6 ≤ 3y ≤ 27}
(
!
)
| x | −1
= {(2y − 3) ∈ Z : 2 ≤ y ≤ 9}
=
∈ Z : 4 ≤| x |≤ 25
3
= {(2y − 3) ∈ Z : 4 ≤ 2y ≤ 18}
(
!
)
| x | −1
| x | −1
=
∈Z:1≤
≤8
= {(2y − 3) ∈ Z : 1 ≤ 2y − 3 ≤ 15}
3
3
De donde los conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y B = {1, 2, 3, ..., 14, 15}. Además, si A ⊆ Z,
entonces Ac = Z− ∪ {0} ∪ {9, 10, 11, 12, ...}. Luego B ∩ Ac = {9, 10, 11, 12, 14, 15}. Así,
|A × (B ∩ Ac )| = |A| · |B ∩ Ac | = 8 · 7 = 56
■
Ejercicio 2.52 Dados los conjuntos:
√
M=
x+1
√
∈ N : x < 50
x−1
N=
n
2n−1
3
∈ Z : 2 < n < 13
o
Hallar el número de elementos de N \M.
Ejercicio 2.53 Si A, B y C son conjuntos finitos. Demostrar
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Capítulo 2. Teoría de Conjuntos
131
Ejercicio 2.54 Sean A y B dos subconjuntos del conjunto universo U y |U| = n. Si
2
3
|A ∩ B| = n, |(Ac ∩ Bc )c | =
n
5
20
Calcular: |A| y |(A\B) ∪ (B\A)|.
Ejercicio 2.55 Sean A, B y C tres conjuntos contenidos en un universo finito de 60
elementos, si se tiene, además, la siguiente información: |(B\C) ∪ (C\B)| = 40; |A\(B ∪
C)| = 10; |A ∩ B ∩ C| = 5 y |Ac ∩ B ∩ C| = 1. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto Ac ∩
Bc ∩ C c ?
Ejercicio 2.56 Sea “m” el máximo número de elementos de M ∪ N ∪ P y “n” el máximo
número de elementos de R ∩ S ∩ T . Si |M| = 20, |N | = 18, |P| = 14, |R| = 9, |S| = 7,
|T | = 13. Calcular m × n.
Ejercicio 2.57 En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian Alemán; 11 estu-
dian inglés y 11 franceses, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés; 5
estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian
solo inglés?
Ejercicio 2.58 Un club consta de 78 personas, de las cuales 50 juegan al fútbol, 32
al baloncesto y 23 al voleibol; 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte
alguno. ¿Cuántas personas practican solo un deporte?, ¿Cuántas practican solo dos
deportes?, ¿Cuántas practican al menos dos deportes?, ¿Cuántas practican a lo sumo
dos deportes?
Ejercicio 2.59 Una farmacia rebajó el precio de una loción para después de afeitarse,
y el de una pasta de dientes. Se llevó la cuenta de las ventas al finalizar el día, esta
indicaba que 65 personas habían comprado pasta de dientes, 21 loción y 12 ambos
productos.
(a). Cuántas personas aprovecharon la oferta?
(b). Cuánto ha recaudado el dueño de la farmacia si el precio de la oferta de la pasta
de dientes es 3.75Bs. y la loción 27.42Bs.?
3. Relaciones
Presentación. De manera intuitiva hacemos uso de las relaciones, estas nos permiten al menos vincular dos situaciones, por ejemplo entre personas, animales o cosas;
de acuerdo a cualidades, propiedades, condiciones, con expresiones tales como: “es
amigo de”, “es jefe de”, “vive en”, “obtuvo la calificación”, “su salario es”, “se desempeña en”, “su profesión es”, “se alimenta con”, “es novia de”, entre otras. Las relaciones
son fundamentales en matemática, de todas las relaciones descritas en este capítulo
las relaciones de equivalencias son las más usadas. Las relaciones de equivalencia es
la base para definir un plano tangente, toro, esto se ve en variedades diferenciales y
entre otros que se desarrollan en cursos avanzados. Es por esto que en este capítulo
presentamos las nociones básicas del concepto de relaciones como ser: las principales
propiedades de las relaciones, la relación inversa, relación compuesta, relaciones de
equivalencia y de orden. Estos últimos a su vez nos permiten tratar particiones de un
conjunto mediante una relación de equivalencia y además nos permite ordenar para encontrar los elementos distinguidos: Primer elemento, último elemento, máximo, mínimo,
cota superior, cota inferior, supremo e ínfimo, siempre que estos existan, mediante una
relación de orden.
Objetivo. Determinar la partición de un conjunto, dado una relación de equivalencia y
dado una partición del conjunto determinar la relación de equivalencia.
Objetivos Especificos.
• Identificar los elementos de una relación.
• Determinar el dominio, imagen, relación inversa y composición de relaciones.
• Identificar si una relación es reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica, etc.
• Identificar si una relación es de equivalencia.
• Determinar el conjunto cociente inducida por alguna relación de equivalencia.
• Identificar si una relación es de orden amplio o de orden estricto.
• Identificar si una relación es de orden total o de orden parcial.
• Identificar los elementos distinguidos de un conjunto ordenado.
• Gráficar el diagrama de Hasse, para los conjuntos ordenados.
132
Capítulo 3. Relaciones
3.1
133
¿Qué es una relación binaria?
Dados A y B dos conjuntos, se denomina una relación binaria o simplemente una relación
a los pares ordenados de A × B. En cada par ordenado el primer elemento se relaciona con
el segundo por medio de una propiedad, estos pares ordenados formarán un subconjunto de
A × B. Por ejemplo, si consideramos el conjunto universo U está conformada por personas
y los conjuntos A = {x ∈ U : x es un usuario de al menos alguna red social} y B = {y ∈ U : y
es un influencer} y una propiedad que relaciona estos dos conjuntos podria ser: “x es un
seguidor de y ”.
Definición 3.1 Relación binaria. Una relación binaria entre A y B es un subconjunto
R de A × B. En el caso en que A = B, decimos que R es una relación binaria sobre A.
Los elementos de A × B que pertenecen o no a una relación R se denotan:
(x, y) ∈ R o que xRy
⇔ P(x, y) es cierto
(x, y) < R o que x
Ry
⇔ P(x, y) es falso
Ejemplo 3.1 Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 5, 6}. Sea R la relación binaria entre A y B
definido por:
aRb ⇔ a es menor que b
Determinar el número de elementos de R.
Solución.
Hallamos los elementos de A × B que cumplen la relación R, “es menor que”,
para esto analizamos al elemento 1 ∈ A es claro que el 1 no es menor que 1 ∈ B, en cambio,
el 1 es menor que todos los otros elementos de B, así (1, 2), (1, 5), (1, 6) están en R, de la
misma manera analizamos los demás elementos de A. Con eso podemos determinar por
extensión a la relación R = {(1, 2), (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)}. Por tanto, el
■
número de elementos de R es 9.
Ejemplo 3.2 Sean los conjuntos A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 8} y B = {3, 4, 5} y sea R la relación
binaria entre A y B definido por:
xRy ⇔ x + y ≤ 10
(a). Determinar por extensión a la relación R
(b). Represente gráficamente a A × B y R.
134
3.1. ¿Qué es una relación binaria?
Solución.
Haciendo una analogía al procedimiento de la solución del ejemplo anterior, po-
demos determinar por extensión a R.
(a). R = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4),
(5, 5), (6, 3), (6, 4), (7, 3)}
(b). Gráficamente A × B y R son:
A×B
N
N
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
N
0
R
1
2
3
5
4
6
N
7
■
Ejercicio 3.1 Considérense los siguientes conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5} y C = {1, 4, 6, 16}
Se definen las siguientes relaciones:
R ⊆ A × B tal que (x, y) ∈ R si y sólo si x + y ≤ 5
S ⊆ A × C tal que (x, y) ∈ S si y sólo si y = x2
(i). Determine a las relaciones R y S, por extensión
(ii). Represente gráficamente a A × B, R, A × C y S.
Ejercicio 3.2 Sean R1 = {(x, y) ∈ R2 : x < 2 ∨ −1 < y < 2}, R2 = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Z} y
R3 = {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ y ≤ 1} relaciones. Diga cuál de las proposiciones:
(a.) (−2, 1) ∈ (R1 ∩ R2 )\R3
son verdaderas.
(b.) (4, −1) < R2 \R3
(c.)
1 5
2, 2
∈ R1 ∪ R2 ∪ R3
Capítulo 3. Relaciones
3.2
135
Caracterización una relación binaria
Una relación binaria está caracterizada, por su dominio, imagen y su relación inversa.
Definición 3.2 Consideremos una relación R ⊆ A × B:
(i). Dominio. El dominio de una relación R, denotado como DR , es el conjunto de los
elementos x ∈ A que están relacionados con algún y ∈ B, es decir x ∈ A tales que
existe y ∈ B con (x, y) ∈ R:
DR = {x ∈ A : ∃y(y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R)}
(ii). Imagen. La imagen o rango de una relación R, denotada por IR , es el conjunto
de los elementos y ∈ B tales que hay x ∈ A con (x, y) ∈ R, es decir:
ImR = {y ∈ B : ∃x(x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R)}
(iii). Relación inversa. La relación inversa de una relación R, denotada R−1 , es la
relación definida como
R−1 = {(y, x) : (x, y) ∈ R}
Ejemplo 3.3 En el conjunto A = {1, 2, 4, 6, 8} se define la siguiente relación:
(x, y) ∈ R
⇔
3|(x + y)
Hallar:
(a). El dominio de R.
Solución.
(b). La imagen de R.
(c). La relación inversa de R.
Determinemos a R por extensión, para esto un elemento (x, y)
∈
R ⇔ 3|(x + y), así podemos decir que (1, 1) < R ⇔ 3 ∤ (1 + 1) mientras que
(1, 2) ∈ R ⇔ 3|(1 + 2), haciendo este análisis podemos determinar la relación:
R = {(1, 2), (1, 8), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (4, 8), (6, 6), (8, 1), (8, 4)}.
(a.) Dominio de la relación DR = {1, 2, 4, 6, 8}, son todos las primeras componentes de los
elementos de la relación R.
(b.) Imagen de la relación ImR = {1, 2, 4, 6, 8}, son todos las segundas componentes de los
elementos de la relación R.
(c.) Para encontrar la inversa de R debemos permutar el orden de los componentes de los
elementos de R. Así obtenemos
R−1 = {(2, 1), (8, 1), (1, 2), (4, 2), (2, 4), (8, 4), (6, 6), (1, 8), (4, 8)}
■
136
3.3. Composición de relaciones
En el ejemplo anterior podemos observar que el dominio e imagen de la relación R son
iguales. Es decir DR = {1, 2, 4, 6, 8} = ImR . También la relación R es igual a la su relación
inversa R−1 . Sin embargo, esto no siempre sucede, como se puede observar en el ejemplo
3.4 en donde DR , ImR .
Ejercicio 3.3 Sea R una relación binaria definida en A × B. Demostrar
R−1 ⊆ ImR × DR
Ejercicio 3.4 Encuentre una relación para cada uno de los siguientes incisos.
(a). Sea R ⊆ A × B tal que cumple la condición: R−1 = ImR × DR
(b). Sea T ⊆ A × B tal que cumple la condición: T −1 , ImT × DT
3.3
Composición de relaciones
Dados dos relaciones, existe una manera de combinar estas relaciones para formar una
nueva relación, según la siguiente definición.
Definición 3.3 Composición. Sean R y S relaciones binarias. La relación composi-
ción de R en S denotada como S ◦ R, es el conjunto
S ◦ R = {(x, z) : ∃y((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S)}
Ejemplo 3.4 En A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} y C = {0, 1, 2, 3}. Se definen
las siguientes relaciones:
R ⊆ A × B tal que (x, y) ∈ R si y sólo si x = y 2
S ⊆ B × C tal que (x, y) ∈ S si y sólo si x + 3 = y
Hallar:
(a). La relación R, dominio de R e imagen de R.
(b). La relación S, dominio de S e imagen de S.
(c). La relación composición S ◦ R, dominio de S ◦ R e imagen de S ◦ R.
Solución.
Primeramente, graficamos los conjuntos A, B, y C, luego asignamos con una
flecha las relaciones que existen entre conjuntos (ver gráfica)
(a). La relación R = {(0, 0), (1, −1), (1, 1), (4, −2), (4, 2)} es un subconjunto de A×B con dominio
DR = {0, 1, 4} e imagen ImR = {−2, −1, 0, 1, 2}.
Capítulo 3. Relaciones
137
(b). S = {(−3, 0), (−2, 1), (−1, 2), (0, 3)} es un
R
subconjunto de B × C,
S
A
−3
C
0
−2
0
1
−1
1
La relación composición de R con S es
2
0
2
S ◦R = {(0, 3), (1, 2), (4, 1)} un subconjun-
3
1
3
to de A × C, con dominio DS◦R = {0, 1, 4}
4
2
con dominio DS = {−3, −2, −1, 0}
e imagen ImS = {0, 1, 2, 3}.
(c).
B
e imagen ImS◦R = {1, 2, 3}.
3
S ◦R
■
Observación 3.1 Existen ejemplos de relaciones R y S de forma que S ◦ R , R ◦ S, esto
significa que la composición de relaciones es no conmutativa. Ver ejemplo 3.5
Ejemplo 3.5 De acuerdo al ejemplo 3.4. Determine R ◦ S y verifique que S ◦ R , R ◦ S.
Solución.
Notemos que la relación R y S son:
R = {(0, 0), (1, −1), (1, 1), (4, −2), (4, 2)}
y
S = {(−3, 0), (−2, 1), (−1, 2), (0, 3)}
Luego la composición S con R es denotado por R ◦ S = {(−3, 0), (−2, −1), (−2, 1)}. Además, en
el ejemplo 3.5 obtuvimos la composición de S ◦ R = {(0, 3), (1, 2), (4, 1)}. Así
R ◦ S = {(−3, 0), (−2, −1), (−2, 1)} , {(0, 3), (1, 2), (4, 1)} = S ◦ R
Por tanto, R ◦ S , S ◦ R.
■
Teorema 3.1 Si R y S son relaciones binarias, entonces
S ◦ R ⊆ DR × ImS
Demostración.
Sea (x, z) ∈ S ◦R, entonces por definición de composición existe y ∈ ImR de
forma que (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ S. De aquí que x ∈ DR y z ∈ ImS . Por lo tanto, (x, z) ∈ DR × ImS y
así S ◦ R ⊆ DR × ImS .
■
En la gráfica del ejemplo 3.4 inciso (c) se puede apreciar que la composición S ◦ R es
subconjunto de DR × ImS .
3.4. Relaciones que se definen en A2
138
Ejercicio 3.5 Considere los siguientes conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5}, C = {1, 4, 6, 16, 25}, D = {2, 3, 8, 10}, E = {1, 2, 4, 6, 8}
Se definen las siguientes relaciones:
R ⊆ A × B tal que (x, y) ∈ R si y solo si x + y ≤ 5.
S ⊆ A × C tal que (x, y) ∈ S si y sólo si y = x2 .
T ⊆ C × D tal que (x, y) ∈ T si y sólo si y = x/2.
P ⊆ E 2 tal que (x, y) ∈ P si y sólo si 12 divide a x + y.
Determinar:
(i) Las relaciones R, S, T y P, por extensión.
(ii) Gráficamente en el plano cartesiano a A × B, R, A × C, S, C × D, T y E 2 .
(iii) Los dominios e imágenes de las cuatro relaciones
(iv) R−1 y P −1 , por extensión.
(v) La composición T ◦ S, S ◦ T y representar gráficamente.
(vi) R−1 ◦ P −1 por extensión.
3.4
Relaciones que se definen en A2
Algunas relaciones binarias sobre A tienen propiedades que los caracteriza de otras relaciones, estas propiedades pueden ser: reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva, etc.
Aunque no necesariamente tienen porque cumplir todas.
Definición 3.4 Reflexividad. Consideremos A y la diagonal:= D = {(x, x) ∈ A2 : x ∈ A}
dos conjuntos y una relación R definida sobre A, Entonces:
R es ref lexiva en A ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ xRx
⇔ D⊆R
R es no ref lexiva en A ⇔ ∃x : x ∈ A ∧ x
Rx
⇔ D ∩R , D
R es arref lexiva en A ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x
Rx
⇔ D ∩R = ∅
Ejemplo 3.6 Sea A = {1, 2, 3, 4}. Dado las relaciones definidas sobre A:
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 3)}
R2 = {(1, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 1)}
Capítulo 3. Relaciones
139
R3 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (4, 3)}
Diga cuál de las anteriores relaciones son reflexiva, no reflexiva y arreflexiva.
Solución.
Determinando el producto cartesiano A2 = A × A
A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)
= (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 3)} es reflexiva porque cada elemento de A está re-
4
lacionado consigo mismo. Podemos apre-
3
ciar gráficamente la relación R1 con la dia-
2
gonal D = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. Notemos
1
que D ⊆ R1 , esto por definición significa que
R1 es reflexiva.
R2 = {(1, 1), (2, 2), (1, 3), (3, 1)} es no reflexiva, ya que solo algunos elementos de A están
3
ciar gráficamente la relación R2 con la dia-
2
gonal D = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. Notemos
1
que R2 es no reflexiva.
R3 = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (4, 3)} es arreflexiva porque ningún elemento de A está re-
3
ciar gráficamente la relación R3 con la dia-
2
gonal D = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. Notemos
1
que R3 es arreflexiva.
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
4
lacionado consigo mismo. Podemos apre-
que D ∩ R3 = ∅, esto por definición significa
2
4
relacionados consigo mismo. Podemos apre-
que D ∩ R2 , D, esto por definición significa
1
■
Ejemplo 3.7 Dadas las siguientes relaciones: R = {(x, y) ∈ N × N : x = y},
S = {(x, y) ∈ Z+ × Z+ : x + y = 10}
y
T = {(x, y) ∈ R × R : x > y}
Diga cuál de las anteriores relaciones son reflexiva, no reflexiva y arreflexiva.
3.4. Relaciones que se definen en A2
140
Solución.
• En N la relación igualdad xRy ⇔ x = y es una relación reflexiva porque todo número
natural es igual a si mismo.
• En Z la relación xSy ⇔ x + y = 10 es no reflexiva porque existe 1 ∈ Z tal que (1, 1) < S
ya que 1 + 1 , 10, además sólo para x = 5, y = 5 satisface 5 + 5 = 10.
• En R, la relación “mayor que” xT y ⇔ x > y es arreflexiva porque ningún número real
es mayor que si mismo.
■
Ejercicio 3.6 Si R y S son dos relaciones definidas en un mismo conjunto A. Demuestre
o de un contraejemplo a las siguientes proposiciones.
(a). Si R y S son reflexivas, entonces R ∪ S es reflexiva.
(b). Si R y S son reflexivas, entonces R ∩ S es reflexiva.
(c). Si R y S son reflexivas, entonces (R ∪ S)\(R ∩ S) es reflexiva.
Ejercicio 3.7 Sea A = {x, y} un conjunto con x , y. Determinar todas las relaciones po-
sibles que estan contenidas en A2 , y además identificar de estas cuáles son reflexivas,
no reflexivas y arresflexivas.
Definición 3.5 Simetría. Considerando un conjunto A y una relación R definida sobre
A. Entonces
R es simétrica en A ⇔ ∀x ∈ A, ∀y ∈ A : xRy ⇒ yRx
⇔ R = R−1
R es no simétrica en A ⇔ ∃x ∈ A, ∃y ∈ A : xRy ∧ y Rx
⇔ R , R−1
R es asimétrica en A ⇔ ∀x ∈ A, ∀y ∈ A : xRy ⇒ y Rx
⇔ R ∩ R−1 = ∅
Ejemplo 3.8 Sean A = {1, 2, 3} y las relaciones definidas sobre A
R1 = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}
R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3)}
R3 = {(1, 2), (3, 1), (2, 3)}
Establecer cuál de las anteriores relaciones es simétrica, no simétrica y asimétrica.
Capítulo 3. Relaciones
Solución.
141
A2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
R1 = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}, entonces R1 es simétrica en A porque cada par
ordenado en R1 existe su correspondiente
3
2
par ordenado permutado en la misma relación. Además al determinar su relación in-
1
versa R−1
1 = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)} se
concluye que R1 = R−1
1 como se puede ver
1
2
3
1
2
3
1
2
3
gráficamente.
Si R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3)}, entonces
R2 no es simétrica, porque existe un par ordenado (2, 3) el cual no tiene su correspon-
3
2
diente par ordenado permutado en R2 . Además, si determinamos su relación inversa
R−1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 2)},
tar que R2
1
podemos no-
, R−1 como se puede ver gráfica-
mente.
Si R3 = {(1, 2), (3, 1), (2, 3)}, entonces R3
es asimétrica, porque ningún par ordenado tiene su permutado en R3 . Por otro
3
2
lado si determinamos su relación inversa
R−1
3 = {(2, 1), (1, 3), (3, 2)}, podemos notar que
1
R3 ∩ R−1
3 = ∅ como se observa gráficamente.
■
Ejemplo 3.9 Definamos las siguientes relaciones:
(a.) En el plano R2 = R × R la relación del “paralelismo” R definido por:
l1 Rl2 ⇔ l2 kl1
(b.) En el conjunto de los números enteros Z la relación “divisor” S definido por:
xSy ⇔ y|x
3.4. Relaciones que se definen en A2
142
(c.) En el conjunto de los números reales R, la relación “menor que” T definido por:
xT y ⇔ y < x
Diga cuál de las anteriores relaciones es simétrica, no simétrica y asimétrica.
Solución.
Determinemos:
(a). En el plano euclidiano12 el paralelismo de rectas es una relación simétrica, porqué si una
recta es paralela a otra, entonces ésta es paralela a la primera. Veamos la siguiente
gráfica.
l1 kl2 ⇒ l2 kl1
R
l1
R
l2
R
l2
l1
R
(b). La relación de divisor en Z es no simétrica, porque sólo se cumple para x = y. Es decir:
x|y ⇒ y|x
(c). La relación “es menor que ” definida en R es asimétrica, porque ningún caso se verifica:
Para cualquier x, y ∈ R. Si x < y, entonces y ≮ x. Por ejemplo, si 2 < 3 entonces 3 ≮ 2.
■
Ejercicio 3.8 Si R y S son dos relaciones definidas en un mismo conjunto A. Demuestre
o de un contraejemplo a las siguientes proposiciones.
(a). Si R y S son simétricas, entonces R ∪ S es simétrica.
(b). Si R y S son simétricas, entonces R ∩ S es simétrica.
Ejercicio 3.9 Sea A = {x, y} un conjunto con x , y. Determinar todas las relaciones
posibles que están contenidas en A2 , de estas relaciones, identificar cuáles son simétricas, no simétricas y asimétricas.
1 EL plano euclideano se estudia la geometría euclidiana es aquella centrada en el análisis de las propiedades
de los espacios euclídeos: los espacios geométricos que cumplen con los axiomas del pensador griego. Cabe
destacar que Euclides recopiló sus postulados en su obra “Elementos”.
2 Plano euclideano
Capítulo 3. Relaciones
143
Ejercicio 3.10 Siendo R una relación definida en A y R−1 su relación inversa, decir si
es verdadera (V) o falsa (F) cada proposición.
I. R es simétrica, entonces R−1 es simétrica.
II. R es reflexiva, entonces R ∩ R−1 , ∅.
III. R es simétrica, entonces R ◦ R−1 = D. (D es la diagonal sobre A).
Definición 3.6 Transitiva. Consideremos un conjunto A y una relación R definida sobre
A. Entonces
R es transitiva en A ⇔ ∀x ∈ A, ∀y ∈ A, ∀z ∈ A : xRy ∧ yRz ⇒ xRz
R es no transitiva en A ⇔ ∃x ∈ A, ∃y ∈ A, ∃z ∈ A : xRy ∧ yRz ∧ x
Rz
R es atransitiva en A ⇔ ∀x ∈ A, ∀y ∈ A, ∀z ∈ A : xRy ∧ yRz ⇒ x
Rz
Ejemplo 3.10 Sea A = {1, 2, 3}, y las siguientes relaciones:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3)} S = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (1, 3)} T = {(1, 2), (2, 3)}
Determinar si R, S, T es transitiva, no transitiva o atransitiva.
Solución.
Según la definición 3.6 tenemos:
R es transitiva, para todo
S es no transitiva,
T es atransitiva, ya que, para
elemento de A
existen 1, 2, 3 ∈ A:
cualquier elemento de A se
1R1 ∧ 1R1 ⇒ 1R1,
2S1 ∧ 1S3 ⇒ 2
S3
cumple
2R2 ∧ 2R2 ⇒ 2R2,
además
1T 2 ∧ 2T 3 ⇒ 1T 3.
3R3 ∧ 3R3 ⇒ 3R3
1S2 ∧ 2S1 ⇒ 1S1,
2R2 ∧ 2R3 ⇒ 2R3.
1S1 ∧ 1S2 ⇒ 1S2.
■
Ejemplo 3.11 Dadas las siguientes relaciones:
(a). En N, la relación “divide” es definida por: xRy ⇔ x|y
(b). En N la relación R definida por: xRy ⇔ x + y = 10
(c). En el plano R2 , definimos la relación “perpendicular” por: xRy ⇔ x⊥y
Diga cuál de las anteriores relaciones es transitiva, no transitiva y atransitiva.
3.4. Relaciones que se definen en A2
144
Solución.
(a). Para todo a, b, c ∈ N. Supongamos que aRb y bRa por demostrar que aRc.


b = at 



bRc ⇔ b|c ⇔ ∃q ∈ N : c = bq 
aRb ⇔ a|b ⇔ ∃t ∈ N :
(Definición de R y divisibilidad)
⇒ ∃r = t · q ∈ N : c = ar
(Clausura en los N)
⇔ a|c ⇔ aRc
(Definición de divisibilidad y R)
(b). En N la relación R definida por “x + y = 10” es no transitiva, porque existen elementos
de N, de tal manera que la expresión
x + y = 10 ∧ y + z = 10 no siempre implica que x + z = 10
por ejemplo, si hacemos que x = 3, y = 7, z = 3 de tal manera que
3 + 7 = 10 ∧ 7 + 3 = 10 ∧ 3 + 3 , 10
pero para x = y = z = 5 se cumple la transitividad.
(c). En el plano euclidiano, la perpendicularidad de rectas es una relación atransitiva, pués,
para toda recta a, b, c ∈ R2
a⊥b ∧ b⊥c ⇒ a
⊥c
como gráficamente se puede ver:
c
b
a
a
c
b
■
Ejercicio 3.11 Para cada una de las siguientes relaciones sobre el conjunto A =
{1, 2, 3, 4}. Identificar cuál es antisimétrica y/o transitiva.
(a.) R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
(b.) S = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (3, 4)}
(c.) T = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 4)}
Capítulo 3. Relaciones
145
Ejercicio 3.12 Si R y S son dos relaciones definidas en un mismo conjunto A. Demues-
tre o de un contraejemplo a las siguientes proposiciones.
(a). Si R y S son transitivas, entonces R ∪ S es transitiva.
(b). Si R y S son transitivas, entonces R ∩ S es transitiva.
Ejercicio 3.13 Sea A = {x, y} un conjunto con x , y. Determinar todas las relaciones
posibles que están contenidas en A2 , de estas relaciones, identificar cuáles son transitivas, no transitivas y atransitivas.
Definición 3.7 Antisimétrica. Considerando un conjunto A y una relación R definida
sobre A. Entonces
R antisimétrica en A ⇔ ∀x ∈ A, ∀y ∈ A: xRy ∧ yRx ⇒ x = y
Ejemplo 3.12 Sea A = {1, 2, 3}, y las siguientes relaciones:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
S = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3)}
Determinar si R, S es o no antisimétrica.
Solución.
Según la definición 3.7
R es antisimétrica porque:
S es no antisimétrica porque,
1R1 ∧ 1R1 ⇒ 1 = 1,
existen (3, 2), (2, 3) ∈ S tal que:
2R2 ∧ 2R2 ⇒ 2 = 2,
2R2 ∧ 2R3 ⇒ 2 , 3
3R3 ∧ 3R3 ⇒ 3 = 3
■
Ejemplo 3.13 Dada las siguientes relaciones:
(a). En una colección de conjuntos C definimos la relación “inclusión” por:
∀A, B ∈ C (ARB ⇔ A ⊆ B)
(b). En el conjunto de los números enteros Z definimos la relación “divide” por:
∀x, y ∈ Z (xT y ⇔ x|y)
Demuestre o de un contraejemplo, si las anteriores relaciones son antisimétricas.
3.4. Relaciones que se definen en A2
146
Solución.
(a). La relación “inclusión” es antisimétrica, pues si A ⊆ B y B ⊆ A entonces por la definición
de igual de conjuntos tenemos A = B.
(b). La relación divide es “no antisimétrica” pues, si tomamos 2, −2 ∈ Z de manera que se
cumple la hipótesis 2| − 2 y −2|2, pero 2 no es igual a −2 (2 , −2).
■
Ejercicio 3.14 Si R y S son dos relaciones definidas en un mismo conjunto A. Demues-
tre o de un contraejemplo a las siguientes proposiciones.
(a). Si R y S son antisimétricas, entonces R ∪ S es antisimétrica.
(b). Si R ∩ S son antisimétrica, entonces R y S son antisimétrica.
Ejemplo 3.14 Definimos la siguiente relación R sobre Z2 ; es decir, R ⊆ Z2 × Z2 .
(a, b)R(a0 , b 0 ) si y sólo si ab 0 = ba0
Determine si R es reflexiva, simétrica, transitiva y antisimétrica sobre Z2 , justificando
sus respuestas.
Solución.
Reflexiva. Afirmamos que la relación R es reflexiva:
Utilizando la propiedad conmutativa en los enteros Z tenemos ab = ba y por definición
de relación R esto significa que (a, b)R(a, b). Es decir:
ab = ba
⇔
(a, b)R(a, b)
Simetría. Afirmamos que la relación R es simétrica:
∀a, b, x, y ∈ Z
⇒
(a, b)R(x, y)
⇒
ay = bx
(definición de R)
⇒
ya = xb
(conmutativa en Z)
⇒
xb = ya
(simetría de la =)
⇒
(x, y)R(a, b)
(definición de R)
(hipótesis)
Transitiva. Afirmamos que la relación R es transitiva:
∀a, b, x, y, p, q ∈ Z
⇒
(a, b)R(x, y) ∧ (x, y)R(p, q)
⇒
ay = bx ∧ xq = yp
(hipótesis)
(definición de R)
Capítulo 3. Relaciones
147
⇒
(ay)(xq) = (bx)(yp)
⇒
aq(xy) = bp(xy)
⇒
aq = bp
⇒
(a, b)R(p, q)
(multiplicando las ecuaciones)
(propiedades en Z)
(Ley cancelativa en Z)
(definición de R)
Antisimetria. Afirmamos que la relación R es no antisimétrica: por contrajemplo; cumple
las hipotesis (4, 1)R(8, 2) y (8, 2)R(4, 1); sin embargo, no cumple la tesis (4, 1) = (8, 2).
Puesto que 4 , 8 y 1 , 2.
■
Ejemplo 3.15 En el conjunto A = {1, 2, 3} se definen las relaciones:
R = {(1, 1), (2, 3), (a, 2), (3, b)} es reflexiva.
S = {(1, 3), (c, d)} es simétrica.
T = {(3, e), (2, 3)} es transitiva.
Hallar: a + b + c + d + e
Solución.
Sabemos que:
La relación R es reflexiva, todos los elementos de A están relacionados consigo mismos,
por consiguientes el elemento (a, 2) = (2, 2) ∈ R, entonces a = 2, usando el mismo razonamiento para el elemento (3, b), tenemos que b = 3.
La relación S es simétrica, tenemos que (1, 3) ∈ S , entonces (c, d) = (3, 1) ∈ S , así c = 3 y
d = 1.
La relación T es transitiva, para encontrar el valor de e analizaremos dos casos:
Caso 1. Supongamos que (3, e) = (3, 2) ∈ T y (2, 3) ∈ T , entonces por el teorema 2.21 debería
ser e = 2, sin embargo T es transitiva entonces (3, 3) tendría que pertenecer a T , pero
(3, 3) < T
Caso 2. Supongamos que (2, 3) ∈ T y (3, e) = (3, 3) ∈ T entonces por el teorema 2.21 y como
T es transitiva el valor de e debería ser 3, así de este modo (2, 3) ∈ T , como también
(3, 3) ∈ T .
Por tanto, por los dos casos anteriores e = 3, de este modo encontramos lo requerido.
a + b + c + d + e = 2 + 3 + 3 + 1 + 3 = 12
■
148
3.5. Relación de equivalencia
Ejercicio 3.15 Definimos la siguiente relación S sobre Z2 :
(a, b)S(c, d) si y sólo si a = c
Determine si S es reflexiva, simétrica, transitiva y antisimétrica sobre Z2 , justificando
sus respuestas.
Ejercicio 3.16 Se definen en Z2 las siguientes relaciones:
• aRb ⇔ a es divisor de b
• aT b ⇔ a − b es múltiplo de 3
• aSb ⇔ a + b = 4
• aU b ⇔ a2 + b2 = 25
Determine si las anteriores relaciones son: reflexivas, simétricas, transitiva o antisimétrica, justificando sus respuestas.
Ejercicio 3.17 Definimos la relación:
R = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1 ∧ |y| ≤ 1}
Determinar si la relación R es reflexiva, simétrica o transitiva.
Ejercicio 3.18 Sea A un conjunto no vacío tal que P(A) = {X : X ⊆ A}. Se define una
relación R en P(A) así:
X1 RX2 ⇔ X1 ⊆ X2
donde X1 , X2 ∈ P(A). Determinar si la relación R es reflexiva, simétrica o transitiva.
Ejercicio 3.19 Sea el conjunto A = {1, 2, 4, 6, 8}. Definimos la siguiente relación:
R ⊆ A2 tal que (x, y) ∈ R si y sólo si 3 divide a x + y
Determine si, R es reflexiva, simétrica, antisimétrica y/o transitiva, justificando sus respuestas.
3.5
Relación de equivalencia
Las relaciones binarias en sí mismas que cumplen la reflexividad, simetría y transitiva,
nos permite reagrupar dichos elementos, lo cual dividen al conjunto sobre el que están definidas en partes bien diferenciadas llamadas clases de equivalencia, de tal forma que cada
Capítulo 3. Relaciones
149
elemento pertenece a una y sólo una clase . A esta división la llamamos una partición del
conjunto.
Definición 3.8 Relación de equivalencia Sea A distinto del vacío, decimos que una
relación R es una relación de equivalencia sobre A si y sólo si R es reflexiva, simétrica
y transitiva sobre A.
Cuando R es una relación de equivalencia, y aRb se dice que a es equivalente b. Denotaremos con
el símbolo ∼ en lugar de R de tal manera que: (a, b) ∈ R se escribe como a ∼ b
Ejemplo 3.16 Sea A = {1, 2, 3}. Demuestre que la relación
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
es una relación de equivalencia sobre el conjunto A.
Solución.
Por demostrar que R es reflexiva, simétrica y transitiva sobre A.
(a) R es reflexivo en A, porque cada elemento está relacionado consigo mismo.
(b) R es simétrica en A, porque cada elemento de la relación se puede permutar y este es
un elemento de la relación R
(c) R es transitiva en A: ∀x ∈ A, ∀y ∈ A, ∀z ∈ A : xRy ∧ yRz ⇒ xRz
1R1 ∧ 1R1 ⇒ 1R1
3R3 ∧ 3R3 ⇒ 3R3
2R2 ∧ 2R2 ⇒ 2R2
1R2 ∧ 2R1 ⇒ 1R1
2R1 ∧ 1R2 ⇒ 2R2
Estas son todas las posibles combinaciones de los elementos de R, tal que cumplen la definición de transitividad. Así, R es transitiva. Por lo tanto, se demostró que la relación R es de
equivalencia. La relación R lo podemos representar gráficamente de la siguiente manera.
A
1
2
3
■
150
3.5. Relación de equivalencia
Ejemplo 3.17 En el conjunto de los números reales se define
n
o
R = (x, y) ∈ R2 : |x − 1| = |y − 1|
Demostrar que es de equivalencia y representar graficamente.
Solución.
(a) R es reflexiva en R ⇔ ∀x : x ∈ R ⇒ xRx.
∀x : x ∈ R ⇔ |x − 1| = |x − 1|
(La igualdad es reflexiva)
⇔ xRx
(Definición de R)
(b) R es simétrica en R ⇔ ∀x ∈ R, ∀y ∈ R : xRy ⇒ yRx
∀x ∈ R, ∀y ∈ R : xRy ⇔ |x − 1| = |y − 1|
(Definición de R)
⇔ |y − 1| = |x − 1|
(La igualdad es simetría)
⇔ yRx
(Definición de R)
(c) R es transitiva en R: ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, ∀z ∈ R : xRy ∧ yRz ⇒ xRz.
∀x ∈ R, ∀y ∈ R, ∀z ∈ R : xRy ∧ yRz ⇒ |x − 1| = |y − 1| ∧ |y − 1| = |z − 1| (Definición de R)
⇒ |x − 1| = |z − 1|
(la igualdad es transitiva)
⇒ xRz
(Definición de R)
Por lo tanto, por los incisos (a), (b) y (c) la relación R es de equivalencia. Ahora representaremos la relación gráficamente.
y
|x − 1| = |y − 1|
2
1
x
−1
1
2
3
−1
■
Capítulo 3. Relaciones
151
Para realizar el siguiente ejemplo, necesitamos introducir el siguiente apartado.
Apartado
Definición de divisior. El número natural n es divisor del entero x si y sólo si x es igual a n por
un entero, es decir:
n|x ⇔ ∃k ∈ Z : x = n · k
Propiedad 1. Si un número divide a un entero, divide al producto de este por cualquier entero.
Es decir:
n|x ⇒ n|x · y
Prueba. Por definición de divisor. n|x ⇒ x = n · k ⇒ x · y = (n · k) · y ⇒ x · y = n · (k · y) ⇒ n|x · y.
Propiedad 2. Si un número divide a dos números, entonces divide a su suma o diferencia.
n|x
∧
n|y ⇒ n|x ± y
Prueba. Aplicando la definición de divisor a las dos proposiciones:
n|x; ∧ n|y ⇒ x = nk ∧ y = nk 0
⇒ x ± y = nk ± nk 0 ⇒ x ± y = n(k ± k 0 ) ⇒ n|x ± y
Ejemplo 3.18 En el conjunto de los números enteros se define la relación:
R = {(a, b) ∈ Z × Z : 3|(a − b)}
Demostrar que R es una relación de equivalencia
Solución.
Por definición debemos mostrar que R es: reflexividad, simétrica y transitiva.
Notemos que R se puede expresar como:
aRb ⇔
3|(a − b)
(a) Refexividad. Como 3|0, se tiene ∀a : a ∈ Z ⇒ 3|(a − a) luego por definición de relación de
R se tiene aRa.
(b) Simetría. Sean los enteros a y b tales que
aRb ⇒ 3|(a − b)
⇒ 3|(a − b) · (−1)
⇒ 3|(b − a)
⇒ bRa
(Definición de la relación R)
(Propiedad 1 del apartado para y = −1)
((a − b) · (−1) = b − a)
(Definición de la relación R)
152
3.5. Relación de equivalencia
(c) Transitividad. Sean los enteros a, b y c, tales que
aRb ∧ bRc ⇒ 3|(a − b) ∧ 3|(b − c)
⇒ 3|[(a − b) + (b − c)]
(Definición de la relación R)
(Propiedad 2 del apartado)
⇒ 3|(a − c)
⇒ aRc
((a − b) + (b − c) = a − c)
(Definición de la relación R)
■
Por tanto, R es una relación de equivalencia.
Ejemplo 3.19 Demuestre que la relación ∼ definida sobre el conjunto de los números
reales R
x ∼ y si y sólo si x2 − x = y 2 − y
es una relación de equivalencia.
Solución.
Mostraremos que la relación es de equivalencia.
Reflexiva. x ∼ x si y sólo si x2 − x = x2 − x.
Simetría. Sean x, y números reales.
x∼y
⇒ x2 − x = y 2 − y
(Definición de relación ∼)
⇒ y 2 − y = x2 − x
(Simetría de la igualdad =)
⇒ y∼x
(d Definición de relación ∼)
Transitiva. Sean x, y, z números reales.
x ∼ y ∧ y ∼ z ⇒ x2 − x = y 2 − y ∧ y 2 − y = z2 − z
(Definición de relación ∼)
⇒ x2 − x = z2 − z
(Transitiva de la igualdad =)
⇒ x∼z
(Definición de relación ∼)
Por tanto, la relación ∼ es de equivalencia.
Ejemplo 3.20 Demuestre que la relación R definida sobre Z
xRy si y sólo si existe k ∈ Z tal que x − y = 2k
es una relación de equivalencia. Además, representé gráficamente.
Solución.
Por demostrar que R es reflexiva, simétrica y transitiva.
■
Capítulo 3. Relaciones
153
Reflexiva. Para todo x ∈ Z se tiene x − x = 2 · 0 esto significa que xRx.
Simetría. Sean los enteros x e y, tales que xRy
xRy ⇒ ∃k ∈ Z : x − y = 2k
(Definición de R)
⇒ ∃(−k) ∈ Z : y − x = 2(−k)
(Multiplicando por (-1))
⇒ ∃t ∈ Z : y − x = 2t
(Haciendo t = −k)
⇒ yRx
(Definición de R)
Transitiva. Sean los enteros x, y, z, tales que xRy ∧ yRz
xRy ∧ yRz ⇒ (∃k1 ∈ Z : x − y = 2k1 ) ∧ (∃k2 ∈ Z : x − y = 2k2 )
⇒ ∃k1 , k2 ∈ Z : (x − y) + (y − z) = 2k1 + 2k2
(Definición de R)
(Sumando las ecuaciones)
⇒ ∃t ∈ Z : y − z = 2t
(Haciendo t = k1 + k2 )
⇒ xRz
(Definición de R)
Por tanto,la relación R es de equivalencia.
Representación Gráfica
y
k = −1
k=0
3
k=1
2
1
k=2
−2 −1
−1
−2
x
1
2
3
k = −2
Notemos, para k = 0 todos los puntos de la forma (x, y) ∈ Z × Z, donde x es equivalente a y,
lo mismo sucede para otros valores de k.
Ejemplo 3.21 Demuestre que la relación R definida sobre el conjunto de números
reales R
xRy si y sólo si x − y ∈ Z
es una relación de equivalencia. Además, representé gráficamente.
■
154
3.5. Relación de equivalencia
Solución.
Por demostrar que R es reflexiva, simétrica y transitiva.
Reflexiva. Veamos que R es reflexiva sobre R. Dado a ∈ R, a − a = 0 y 0 ∈ Z, por lo que
(a, a) ∈ R. Por lo tanto R es reflexiva.
Simetría. Veamos que R es simétrica. Supongamos que (a, b) ∈ R. Mostraremos que (b, a) ∈
R. Como (a, b) ∈ R, a − b ∈ Z. Ahora, el inverso aditivo de a − b es b − a y b − a ∈ Z. Por
lo tanto (b, a) ∈ R. Así, R es simétrica.
Transitiva. Veamos que R es transitiva. Supongamos que (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R. Justifiquemos
que (a, c) ∈ R. Como (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, a−b ∈ Z y b−c ∈ Z. Entonces (a−b)+(b−c) ∈ Z,
es decir, a − c ∈ Z. Por lo tanto, (a, c) ∈ R. Así, R es transitiva.
Por lo tanto, R es una relación de equivalencia sobre R.
Representación Gráfica
k = −2
y
k=0
3
k = −5
2
k = −4
1
k = −3
−2
k=2
x
−1
1
2
3
−1
k = −1
−2
k=1
k=3
Notemos, para k = 0 todos los puntos de la recta (x, y) ∈ R × R donde sus componentes x e
y son equivalentes, lo mismo sucede para otros valores de k.
Ejercicio 3.20 Sea A el conjunto de rectas en un plano α y sea P un punto fijo de α.
Considere la relación R sobre A definida por:
xRy si, y sólo si P ∈ x ∩ y
R es una relación de equivalencia?
■
Capítulo 3. Relaciones
155
Ejercicio 3.21 Sea A un conjunto no vacio. Dados X, Y ∈ P (A), demostrar que las
relaciones R y S definidas a continuación son de equivalencia en P (A)
(a) XRY si, y sólo si, X ∩ E = Y ∩ E
(b) XSY si, y sólo si, X ∪ E = Y ∪ E
donde E es un subconjunto fijo en A.
Ejercicio 3.22 Sea R una relación reflexiva sobre A con las siguientes propiedades:
1. DR = A
2. (∀a, b, c ∈ A)(si aRc ∧ bRc entonces aRb)
Mostrar que R es una relación de equivalencia.
Ejercicio 3.23 Sea S una relación definida en R2 de la siguiente manera:
(x1 , y1 )S(x2 , y2 ) si y sólo si 4x12 + 9y12 = 4x22 + 9y22
Demostrar que S es una relación de equivalencia.
Definición 3.9 Clase de equivalencia. Sea ∼ una relación de equivalencia sobre un
conjunto no vacío A y sea a ∈ A. La clase de equivalencia de a, denotada por [a] o
por [a]∼ , es el conjunto de todos los elementos de A equivalentes a a. Es decir,
[a] := {x ∈ A : x ∼ a}
Ejemplo 3.22 Sea R = {(x, y) ∈ Z × Z : 3|(x − y)} una relación de equivalencia sobre el
conjunto Z. Determine las clases de equivalencia de 0,1,2 y 3.
Solución.
Primeramente, determinemos la clase del cero:
[0] = {x ∈ Z : x ∼ 0}
= {x ∈ Z : 3|(x − 0)}
= {x ∈ Z : 3|x}
(Definición de clase)
(Definición de relación R)
(El 0 es neutro)
= {x ∈ Z : x = 3k, ∃k ∈ Z}
(Definición de divisibilidad)
= {. . . , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, . . .}
(Expresando por extensión)
156
3.5. Relación de equivalencia
Así, la clase del cero consiste de todos los enteros múltiplos de 3, o lo que es lo mismo, el
conjunto de los enteros que divididos por 3 dan resto nulo.
Luego el lector puede llegar a concluir:
• [1] = {. . . , −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13, . . .}
• [2] = {. . . , −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, . . .}
• [3] = {. . . , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, . . .}
Aquí, podemos observar a la clase del tres,
es exactamente igual a la clase del cero, ya
Z
..
.
..
.
−5
[1]
..
.
7
−2 4
1 8 ···
0
[0] −3 2 5
−1
−6
[2]
..
. −4
..
.
6
3
que al dividir tres, da resto igual a cero.
■
Ejemplo 3.23 Dado la relación de equivalencia ∼ definida sobre Z
x ∼ y si y sólo si existe k ∈ Z tal que x − y = 2k
Determine las clases de equivalencia de 0, y del 1.
Solución.
Veamos cuál es la clase de equivalencia del cero:
[0] = {y ∈ Z : y ∼ 0}
= {y ∈ Z : y − 0 = 2k para algún k ∈ Z}
= {y ∈ Z : y = 2k para algún k ∈ Z}
Es decir, la clase de equivalencia del cero consiste de todos los enteros pares. Así, la clase
de equivalencia del cero es la misma que cualquier clase de equivalencia de un entero par.
Por ejemplo, [0] = [2] = [−24] = [2568]. Además, obsérvese que si y ∼ 0, entonces [0] =
[y]. De hecho más adelante demostraremos que en general para todas las relaciones de
equivalencia de dos elementos relacionados tienen la misma clase de equivalencia.
Es ahora natural explorar la clase de equivalencia del uno, pues 1 < [0]:
[1] = {y ∈ Z : y ∼ 1}
= {y ∈ Z : y − 1 = 2k para alguna k ∈ Z}
= {y ∈ Z : y = 2k + 1 para alguna k ∈ Z}
Entonces la clase de equivalencia del uno consiste de todos los enteros impares.
Capítulo 3. Relaciones
157
Por ejemplo, 1 ∼ −3 ∼ 5533 pues, desde
el punto de vista de su paridad tanto 1, como
[0]
cualquier entero impar y, [1] = [y],aún más
para dos enteros impares cualesquiera y y x
se tiene [x] = [y]. Así, podemos concluir que
. . . −4 −2 0
sólo hay dos clases de equivalencia distintas,
la que tiene a todos los pares y la que tiene a
2 4
−3 1 3
−5
..
.
[1]
..
.
5 ···
todos los impares.
■
Ejemplo 3.24 Sea la relación de equivalencia ∼ definida sobre R definida por:
x ∼ y si y sólo si x2 − x = y 2 − y
Determine las clases de equivalencia de 0, del 1/2, del -1 y de π.
Solución.
Sabiendo que esta relación es de equivalencia (su prueba esta en el ejemplo
(3.19) ) podemos llegar a encontrar las clases de equivalencia. Para cualquier a ∈ R,
[a] ={x ∈ R : x ∼ a}
(Definición de equivalencia)
={x ∈ R : x2 − x = a2 − a}
={x ∈ R : (x − a)(x + a − 1) = 0}
={x ∈ R : x − a = 0 ∨ x + a − 1 = 0}
(Definición de ∼)
(Factorizando)
(a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0)
={x ∈ R : x = a ∨ x = 1 − a}
={a, 1 − a}
Como a es cualquier número real, la clase de equivalencia de a tiene la forma [a] = {a, 1 − a}.
h i n o
Ahora remplazando a por: 0, 1/2, −1 y π. Encontramos sus clases: [0] = {0, 1}, 21 = 21 ,
[−1] = {−1, 2}, [π] = {π, 1 − π}.
■
Ejemplo 3.25 Dado la relación de equivalencia ∼ definida sobre el conjunto de números
reales R.
x ∼ y si y sólo si x − y ∈ Z
Determine todas las clases de equivalencia.
Solución.
Haciendo un breve esbozo utilizando algunos pares de números reales, para ver
si estos cumplen la definición de la relación y así llegar a la forma general de las clases de
158
3.5. Relación de equivalencia
equivalencia.
2
3 ∼
− 13 , pues
2
3−
− 31 = 1 ∈ Z
También
(π − 3) ∼ π, pues (π − 3) − π = −3 ∈ Z
En cambio,
1
2
3 /− 2 ,
pués
2
1
3− 2
= 16 < Z
Ahora, para determinar la clase de equivalencia, tomemos cualquier b ∈ R, de manera que:
[b] ={x ∈ R : x ∼ b}
={x ∈ R : x − b ∈ Z}
={x ∈ R : ∃k ∈ Z (x − b = k)}
={x ∈ R : ∃k ∈ Z (x = k + b)}
Es decir, todos los elementos equivalentes a b se obtienen sumando a b todos los enteros.
h i
Por ejemplo, 35 ∈ 23 , pues 53 − 32 = 33 = 1 ∈ Z, o bien 53 = 23 + 1 y su clase de equivalencia
h i n
o
de 23 es: 23 = . . . , − 43 , − 13 , 32 , 53 , 38 , . . . , de esta manera se puede hallar otras clases, como por
ejemplo π + 2 ∈ [π], pues π − (π + 2) = −2 ∈ Z.
A pesar de que existen reales distintos cuyas clases de equivalencia son la misma (como,
por ejemplo, 53 y 23 ), hay una infinidad de clases de equivalencia distintas inducidas por esta
■
relación.
Ejemplo 3.26 Sean A = {a, b, c} y B = {b, c} ⊆ A se define en P (A) la relación R dada
por:
∀X, Y ∈ P (A) : (XRY ⇔ X ∩ B = Y ∩ B)
Demostrar que R es de equivalencia y determine [{b}], [{b, c}].
Solución.
Primeramente, demostremos que R es reflexiva, simétrica y transitiva:
R es Reflexiva. Para todo X ∈ P (A), tenemos X ∩ B = X ∩ B, entonces XRX .
R es simetría. Para todo X, Y ∈ P (A), si XRY entonces por definición de R tenemos
X ∩B = Y ∩B, luego por la ssimetría de la igualdad Y ∩B = X ∩B, nuevamente aplicando
la definición de R concluimos Y RX.
R es transitiva. Para todo X, Y , Z ∈ P (A). Si XRY y Y RZ entonces por definición de R
tenemos (X ∩ B = Y ∩ B) y (Y ∩ B = Z ∩ B) por transitividad de igualdad X ∩ B = Z ∩ B,
luego por definición de R tenemos lo requerido XRZ .
Por tanto, R es de equivalencia. Ahora para determinar [{b}], [{b, c}], notemos que P (A) =
{∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}.
Capítulo 3. Relaciones
159
[{b, c}] = {X ∈ P (A) : XR{b, c}}
[{b}] = {x ∈ P (A) : XR{b}}
[{b, c}] = {X ∈ P (A) : X ∩ B = {b, c} ∩ B}
[{b}] = {x ∈ P (A) : X ∩ B = {b} ∩ B}
[{b, c}] = {X ∈ P (A) : X ∩ B = B}
[{b}] = {x ∈ P (A) : X ∩ B = {b}}
[{b, c}] = {X ∈ P (A) : B ⊆ X}
[{b}] = {{b}, {a, b}}
[{b, c}] = {B, A}
■
De acuerdo a los anteriores ejemplos, siempre que dos elementos sean equivalentes,
sus clases de equivalencia serán las mismas. En el siguiente teorema afirma todavía más.
Teorema 3.2 Sea A un conjunto no vacío y ∼ una relación de equivalencia definida
en A, sean a, a0 ∈ A. Entonces se cumple lo siguiente:
(i). a ∼ a0 , si y sólo si [a] = [a0 ].
Demostración.
(ii). a / a0 , si y sólo si [a] ∩ [a0 ] = ∅.
Demostraremos (i) y (ii) usando la hipótesis general, de que la relación ∼
es de equivalencia en A.
(i). a ∼ a0 , si y sólo si [a] = [a0 ]. Supongamos a ∼ a0 y sea b ∈ [a]. Como [a] = {x ∈ A : x ∼ a},
tenemos que b ∼ a. Además, por hipótesis, a ∼ a0 y la relación es transitiva, así que
b ∼ a0 . Por lo tanto, b ∈ [a0 ] lo cual implica [a] ⊆ [a0 ]. Hemos probado entonces que si un
elemento está relacionado con otro, la clase de equivalencia del primero está contenida
en la clase de equivalencia del segundo. Para ver la otra contención observemos que,
como a ∼ a0 y la relación es simétrica, a0 ∼ a. Así usando lo que acabamos de probar,
tenemos que [a0 ] ⊆ [a]. Por lo tanto, [a] = [a0 ].
Para demostrar el recíproco, supongamos que [a] = [a0 ]. Como ∼ es reflexiva, a ∼ a,
por lo que a ∈ [a]. Dado que [a] = [a0 ], a ∈ [a0 ] lo que implica que a ∼ a0 .
(ii). Demostremos este inciso a través de la equivalencia lógica p ⇔ q ≡∼ q ⇔∼ p, es decir,
demostremos que [a] ∩ [a0 ] , ∅, si y sólo si a ∼ a0 .
[a] ∩ [a0 ] , ∅, si y sólo si a ∼ a0 . Supongamos que [a]∩[a0 ] , ∅, entonces sea b ∈ [a]∩[a0 ].
Como b ∈ [a], tenemos que b ∼ a y debido a que la relación es simétrica, a ∼ b. Además,
b ∈ [a0 ], por lo que b ∼ a0 . Así, a ∼ b y b ∼ a0 . Usando la relación es transitiva, concluimos
que a ∼ a0 .
Para demostrar el recíproco, supongamos que a ∼ a0 . Por el inciso (i), tenemos que
[a] = [a0 ]. Por ser ∼ reflexiva, a ∈ [a]. Dado que [a] = [a0 ], tenemos que a ∈ [a0 ]. Así,
a ∈ [a] ∩ [a0 ], lo que implica que [a] ∩ [a0 ] , ∅.
■
160
3.5. Relación de equivalencia
Ejemplo 3.27 Sea A = P (R) el conjunto de parte de R. Definimos la relación sobre A:
XRY si y sólo si X ∩ {1, 2, 3} ⊆ Y ∩ {1, 2, 3}
Diga si la relación R es de equivalencia o no, justificando.
Solución.
Para demostrar que R es de equivalencia, tenemos que verificar que R es refle-
xiva, simétrica y transitiva. Y si no cumple uno de estos, entonces R no es de equivalencia.
R es reflexiva. Para todo X ∈ A (es decir X ⊆ R), se cumple que X ∩ {1, 2, 3} = X ∩ {1, 2, 3}.
En particular vale que
X ∩ {1, 2, 3} ⊆ X ∩ {1, 2, 3}
por tanto, el par (X, X) ∈ R, para todo X ∈ A.
R no es simétrica. Consideremos un contraejemplo X = {1}, Y = {1, 2} ∈ A, tenemos
X ∩ {1, 2, 3} = {1} ⊆ {1, 2} = Y ∩ {1, 2, 3}
esto implica que el par (X, Y ) ∈ R, es decir ({1}, {1, 2}) ∈ R. Sin embargo, sucede que:
Y ∩ {1, 2, 3} = {1, 2} ⊈ {1} = X ∩ {1, 2, 3}
entonces el par ordenado (Y , X) < R, es decir ({1, 2}, {1}) < R. Por tanto, la relación no es
simétrica.
R es transitiva. Dado (X, Y ), (Y , Z) ∈ R, entonces por definición de relación se debe cumplir:
X ∩ {1, 2, 3} ⊆ Y ∩ {1, 2, 3},
Y ∩ {1, 2, 3} ⊆ Z ∩ {1, 2, 3}
pero por transitividad de inclusión de subconjuntos de R, se cumple:
X ∩ {1, 2, 3} ⊆ Z ∩ {1, 2, 3}
esto significa que (X, Z) ∈ R. En conclusión, la relación R no es de equivalencia (pues no es
■
simétrica).
De acuerdo al contraejemplo, los conjuntos X = {1} e Y = {1, 2} no son equivalentes con
la relación R definida en el ejemplo 3.27 es decir: X = {1} / {1, 2} = Y .
Ejercicio 3.24 Sean A = {a, b, c} y B = {b, c} ⊆ A se define en P (A) la relación de equi-
valencia R por:
∀X, Y ∈ P (A) : (XRY ⇔ X ∩ B = Y ∩ B)
Determine [{a}], [{c}] y [{a, c}].
Capítulo 3. Relaciones
161
Ejercicio 3.25 En R2 definimos la relacion de equivalencia S dada por:
(x1 , y1 )S(x2 , y2 ) si y sólo si 4x12 + 9y12 = 4x22 + 9y22
Describir geométricamente la clase del [(3, 0)].
Definición 3.10 Representante de clase. Sean A un conjunto no vacío, ∼ una relación
de equivalencia sobre A y a ∈ A. Cualquier elemento b ∈ [a] se llama un representante
de la clase [a].
Ejemplo 3.28 De acuerdo a la relación de equivalencia
∼= {(x, y) ∈ Z × Z : 3|(x − y)}
Diga cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas.
(i) 3 es representante de la clase [5]
(ii) 675 es representante de la clase [2022]
Solución.
(i) Es falso. Suponiendo 3 ∈ [5] es verdadero, esto implica por definición de clase 3 ∼ 5,
luego por definición de relación de equivalencia 3|(3 − 5) lo que es una contradicción.
Así 3 / 5, por tanto 3 no es representante de la clase [5].
(ii) Es verdadero. Pues 3|1347, y esto se puede reescribir como 3|(675 − 2022), lo cual significa 675 ∼ 2022, por definición de clase 675 ∈ [2022]. Por tanto, es un representante
de la clase [2022].
■
Ejemplo 3.29 Sea ∼ la relación de equivalencia definida sobre R por:
x ∼ y ⇔ x−y ∈ Z
Diga cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas
√
√
5+5
5+29
(i) 3 es representante de la clase
3
(ii) 73 es representante de la clase
Solución.
h i
3
2
162
3.5. Relación de equivalencia
(i). Es verdadera, pues
√
√
5+5
5+29
∈
luego por definición de equivalencia:
3
3
√
√
5+5
5 + 29 −24
−
=
= −8 ∈ Z
3
3
3
h i
5
(ii). Es falsa, porque: 73 < 32 esto significa 37 − 32 = 14−9
6 = 6 <Z
■
Definición 3.11 Conjunto cociente. Sea A un conjunto no vacío y ∼ una relación de
equivalencia sobre A. El conjunto cociente de A bajo ∼, denotado por A
∼ es el conjunto
de todas las clases de equivalencia inducidas por ∼. Es decir,
A
= {[a] : a ∈ A}
∼
Ejemplo 3.30 Sean A = {1, 2, 3} y una relación ∼ de equivalencia, definido por:
∼= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
Determine el conjunto cociente.
Solución.
Explorando las clases de equivalencia. Resulta que:
[1] = {x ∈ A : x ∼ 1} = {1, 2}
[2] = {x ∈ A : x ∼ 2} = {1, 2} = [1]
[3] = {x ∈ A : x ∼ 3} = {3}
Así, tenemos dos clases de equivalencia distintas, la clase [1] y la clase [3], ambos son
subconjuntos de A. Además, a pesar de que 1 , 2, observe que [1] = [2]. Por lo tanto, el
conjunto cociente es A
∼ = {[1], [2], [3]} = {[1], [3]} = {[2], [3]} y tiene dos elementos.
■
Ejemplo 3.31 Consideremos la relación de equivalencia definido sobre R por:
x ∼ y si y sólo si x − y ∈ Z
Determine el conjunto cociente.
Solución.
En el ejemplo 3.25, llegamos a encontrar la clase de equivalencia inducida por
∼, que está expresado:
[b] = {x ∈ R : ∃k ∈ Z (x = k + b)}
entonces el conjunto cociente será:
R
= {[b] : b ∈ R}
∼
■
Capítulo 3. Relaciones
163
Ejercicio 3.26 Sea R una relación sobre Z definida por:
xRy
si, y sólo si x|y ∧ y|x
Mostrar que R es una relación de equivalencia y describir el conjunto cociente Z
R.
En la siguiente definición se trabaja con representantes de las clases de equivalencia
tal que, para cada clase de equivalencia exista un único representante y además todas las
clases estén representadas.
Definición 3.12 Conjunto de índices. Si ∼ es una relación de equivalencia sobre A,
se puede elegir un conjunto de índices I de tal manera que el conjunto cociente es
dado por:
A
= {[a] : a ∈ I }
∼
Pero que, además, hace que no se repita una misma clase de equivalencia más de una
vez. Esto se logra eligiendo uno y sólo un representante de cada clase de equivalencia.
Ejemplo
3.32
De acuerdo al ejemplo (3.30) se tiene el conjunto cociente A
∼ =
{[1], [2], [3]} = {[1], [3]} = {[2], [3]}. Exprese este conjunto cociente en términos del conjunto de índice.
Solución.
En este caso nuestro conjunto de índice es el I = {1.3} o puede ser I 0 = {2, 3}.
A
= {[a] : a ∈ I } = {[a] : a ∈ I 0 }
∼
En ambos casos, elegimos como los elementos del conjunto de índices a un y sólo un representante de cada clase de equivalencia.
■
Ejemplo 3.33 Del ejemplo (3.23) se tiene el conjunto cociente Z
∼ = {[0], [1]} = {[−3], [6]}.
Exprese este conjunto cociente en términos del conjunto de índice.
Solución.
En este caso, nuestro conjunto de índice es el I = {0, 1} o puede ser I 0 = {−3, 6}.
Z
= {[a] : a ∈ I } = {[a] : a ∈ I 0 }
∼
En ambos casos, elegimos como los elementos del conjunto de índices a un y sólo un representante de cada clase de equivalencia.
■
164
3.5. Relación de equivalencia
Ejemplo 3.34 Determinar el conjunto cociente de la siguiente relación, definida sobre
R: x ∼ y si y sólo si x2 − x = y 2 − y eligiendo su conjunto de índices.
Solución.
Se tiene conocimiento de las clases de equivalencia, determinadas en el ejemplo
(3.24). De acuerdo a la definición (3.11) el conjunto cociente es el conjunto de todas las
clases de equivalencias: [a] = {a, 1 − a} de manera específica encontramos algunas clases de
equivalencia como: [−1], [0],[ 21 ], [1], [2], [π], ...., entonces nuestro conjunto cociente será:
R
1
= {[a] : a ∈ R} = [−1], [0],
, [1], [2], [π], ...
∼
2
Se puede ver que algunos elementos del conjunto cociente están repetidos. Es por esta razón
que necesitamos del conjunto de índice y así lograr obtener un único representante de cada
clase de equivalencia. Para determinar este conjunto observamos la gráfica,
−3/2
−1
−1/2
0
1/2
1
3/2
2
5/2
3
para a ≥ 12 , corresponde al intervalo de los índices I = [ 12 , ∞[. Entonces el conjunto cociente
expresado con el conjunto de índices es:
1
R
= [a] : a ∈ , ∞
∼
2
■
En el siguiente ejemplo, para determinar el conjunto de índice, vamos a utilizar la definición de parte entera3 .
Ejemplo 3.35 Determinar el conjunto de índice I , para expresar el conjunto cociente
de la relación de equivalencia ∼ definida en el ejemplo (3.25) por:
x ∼ y si y sólo si x − y ∈ Z
Solución.
En el ejemplo (3.31), se encontró el conjunto de todas las clases de equivalencia
R
∼ = {[b] : b ∈ R} donde [b] = {x ∈ R : ∃k ∈ Z (x = k + b)}
Consideremos las clases de equivalencia [a] y [b] inducidas por la relación ∼, para realizar
dos afirmaciones:
Afirmación 1. El conjunto de índice es I = [0, 1[ tal que A = {[b] : b ∈ R} = {[a] : a ∈ [0, 1[} = B.
Demostración. Para cualesquier [b] ∈ A con b ∈ R, entonces por definición de parte
3 Para todo número real a existe un único entero z tal que z ≤ a < z + 1.
Capítulo 3. Relaciones
165
entera, existe un único entero k tal que (b − k) ∈ [0, 1[. Además, [b] = [b − k] (pués
b ∼ (b − k) ⇔ −b − (b − k) = k). Así [b] ∈ {[b − k] : b − k ∈ [0, 1[} = B.
Afirmación 2. Si [a], [b] ∈ B con [a] = [b], a ≤ b, entonces a = b.
Demostración. Aplicando el teorema 3.2 inciso (i) en [a] = [b] tenemos a ∼ b, esto
significa (b − a) ∈ Z. Además, 0 ≤ a < 1 y 0 ≤ b < 1 (pués [a], [b] ∈ B) con 0 ≤ b tenemos
0 ≤ b − a < 1 (pués a ≤ b; 0 ≤ b − a) y (0 ≤ a < 1,0 ≥ −a > 1, b ≥ b − a > b − 1, pero 1 > b),
por tanto, a = b, pués el único entero en el intervalo [0, 1[ es 0.
En conclusión lograremos obtener un único representante (afirmaciones 1 y 2) de cada clase
■
de equivalencia.
Para poder garantizar que siempre es posible elegir uno y sólo un representante de cada
clase de equivalencia para cualquier relación de este tipo, en realidad se necesita un poderoso axioma de la teoría de conjuntos, llamado Axioma de Elección4 5 Este axioma se estudia
en libros avanzados de esta teoria y escapa el alcance de este libro.
Ejercicio 3.27 Sea S una relación definida en R2 de la siguiente manera:
(x1 , y1 )S(x2 , y2 ) si y sólo si 4x12 + 9y12 = 4x22 + 9y22
En el ejercicio (3.23) se demostró que S es de equivalencia, ahora describir el conjunto
cociente RS .
2
3.5.1 Partición de un conjunto no vacío
Podemos decir que una realción de equivalencia “particiona” un conjunto, a través de sus
clases de equivalencia.
Definición 3.13 Partición. Sean A e I dos conjuntos no vacíos tales que para cada
i ∈ I , existe un subconjunto Ai de A. Decimos que el conjunto:
P = {Ai : i ∈ I }
es una partición de A si y sólo si
1. Para todo i ∈ I , Ai , ∅
2. Si i, j ∈ I son tales que Ai , Aj , entonces Ai ∩ Aj = ∅
3. Para toda a ∈ A, hay i ∈ I tales que a ∈ Ai .
4 Friedrich Hartogs (1874–1943). El axioma de elección dice. “En una familia de conjuntos no vacíos y disjuntos
2 a 2, es posible formar un conjunto que contenga un elemento de cada uno de ellos”, o sea que si tenemos
muchas pequeñas cajitas con objetos en su interior, podemos meter en otra caja uno de cada una de ellas.
5 Axioma de elección
166
3.5. Relación de equivalencia
Está definición nos dice que el conjunto A se parte en trozos Ai , no vacíos, ajenos entre
sí y de modo que al unirlos todos recuperamos el conjunto A con el que empezamos.
Ejemplo 3.36 Sea A = {1, 2, 3}. Demuestre que P = {{1, 2}, {3}} es una partición de A.
Solución.
De acuerdo a la afirmación 3.13 se tiene que verificar tres condiciones:
1. Todos los elementos de P son vacíos, pues {1, 2}, {3} tiene al menos un elemento
2. Como el conjunto P tiene dos elementos que cumple {1, 2} , {3} entonces {1, 2}∩{3} = ∅.
3. Para todo a ∈ A, existe un elemento p ∈ P tal que a ∈ p, pues:
Si a = 1, entonces, existe {1, 2} = p ∈ P tal que a = 1 ∈ {1, 2} = p.
Si a = 2, entonces existe {1, 2} = p ∈ P tal que a = 2 ∈ {1, 2} = p
1
2
Si a = 3, entonces existe {3} = p ∈ P tal que a = 3 ∈ {3} = p.
Por tanto, P es una partición de A.
3
■
Ejemplo 3.37 Demostrar que P = {{k ∈ Z : k es par }, {k ∈ Z : k es impar }} es una
partición de Z
Solución.
De acuerdo a la definición 3.13 se tiene que verificar tres condiciones:
1. Todos los elementos de P son no vacios, pues P tiene dos elementos, uno es la clase
del cero [0] = {k ∈ Z : k es par } y el otro la clase del uno [1] = {k ∈ Z : k es impar } tal
que 0 ∈ [0] y 1 ∈ [1].
2. El conjunto de los números enteros pares y el conjunto de los enteros impares no son
iguales, entonces los elementos de P tienen intersección vacía, pues ningún entero es
par e impar al mismo tiempo (justificado en el ejemplo 5.13).
3. Cualquier número entero es impar o par (por el ejemplo 5.13), por lo que [0] ∪ [1] = Z
Por tanto, P es una partición de Z.
■
Ejemplo 3.38 Para cada i ∈ [0, 1[, definimos Ai = {x ∈ R : x − i ∈ Z}. Sea P =
{Ai : i ∈ [0, 1[}. Demostrar que P es una partición del conjunto R.
Solución.
Verificamos las tres condiciones de la definición 3.13, para que P sea una par-
tición de R.
1. Para todo i ∈ [0, 1[, entonces i ∈ R y además 0 ∈ Z. Por definición de pertenencia al
conjunto Ai , tenemos que i ∈ Ai . Por tanto, Ai , ∅
Capítulo 3. Relaciones
167
2. Para mostrar esta condición, usaremos la contrarecíproca (p → q ≡∼ q →∼ p). Sean
i, j ∈ [0, 1[ y supongamos que Ai ∩ Aj , ∅, entonces existe y ∈ Ai ∩ Aj . Luego, por
definición de intersección de conjunto y definición de pertenencia al conjunto Ai y Aj :
y ∈ Ai ∩ Aj ⇔ y ∈ Ai ∧ y ∈ Aj ⇔ (y ∈ R, y − i ∈ Z) ∧ (y ∈ R, y − j ∈ Z)
De i ∈ [0, 1[, y usando las propiedades de números reales tenemos −i ∈ [−1, 0[ y de
aquí y − i ∈]y − 1, y]. De manera similar, como j ∈ [0, 1[ tenemos que y − j ∈ ]y − 1, y].
Pero sabemos que sólo hay un entero en el intervalo ]y − 1, y] y como (y − i), (y − j) ∈ Z
entonces y − i = y − j. Así i = j. Por lo tanto, Ai = Aj .
3. Para todo r ∈ R, por definición de parte entera existe un único entero z tal que r ∈
[z, z + 1[, de aquí r − z ∈ [0, 1[. Por tanto, existe r − z ∈ [0, 1[ tal que r ∈ {x ∈ R : x − (r − z) ∈
Z} = Ar−z (pues r − (r − z) = z ∈ Z.)
Concluimos que el conjunto P es una partición de R.
■
3.5.2 Partición y relación de equivalencia
Ahora veremos que el conjunto de clases de equivalencia de una relación de equivalencia,
es siempre una partición; y que inversamente, dada una partición, existe una relación de
equivalencia cuyo conjunto de clases de equivalencia es la partición.
Teorema 3.3 Sea ∼ una relación de equivalencia definida en un conjunto A , ∅. En-
tonces las clases de equivalencia cumplen lo siguiente:
1. Si a ∈ A, entonces [a] , ∅
2. Para cualesquiera a, a0 ∈ A, si [a] , [a0 ], entonces [a] ∩ [a0 ] = ∅
3. Para toda a ∈ A, existe a0 ∈ A tal que a ∈ [a0 ].
Demostración.
Tengamos siempre presente de la hipótesis general, que ∼ es una relación
de equivalencia.
(1) Nuestra hipótesis es a ∈ A y lo que tenemos que demostrar es [a] , ∅. Por hipótesis
a ∈ A, entonces como ∼ es reflexiva tenemos que a ∼ a. Por definición de clase de
equivalencia a ∈ [a] y esto significa [a] , ∅.
(2) Nuestra hipótesis son a, a0 ∈ A y [a] , [a0 ]. Lo que tenemos que demostrar es la tesis
[a] ∩ [a0 ] = ∅. Por hipótesis[a] , [a0 ] entonces por la contrarecíproca del teorema 3.2
inciso (i) a / a0 . Nuevamente, aplicamos [a] ∩ [a0 ] = ∅.
168
3.5. Relación de equivalencia
(3) Nuestra hipótesis a ∈ A y lo que tenemos que demostrar es la existencia de a0 ∈ A tal
que a ∈ [a0 ]. Por hipótesis a ∈ A, entonces por el desarrollo de la demostración de la
parte (1) de este teorema, tenemos la existencia de a que llamaremos a0 (a0 = a) tal que
a ∈ [a0 ]
■
El siguiente corolario nos afirma que dado una relación de equivalencia, el conjunto en
que se define esta relación se particiona en clases de equivalencia.
Corolario 3.1 Si A , ∅ y ∼ es una relación de equivalencia en A, entonces el conjunto
de clases de equivalencia forma una partición del conjunto A; en otras palabras, el
conjunto cociente A
∼ = {[a] : a ∈ A} es una partición de A y la llamaremos la partición
inducida por ∼.
Demostración.
Para mostrar que el conjunto cociente A
∼ es una partición, debe cumplir las
siguientes condiciones:
1. Para todo a ∈ A, entonces [a] , ∅.
2. Si a, a0 ∈ A tales que [a] = [a0 ], entonces [a] ∩ [a0 ] = ∅
3. Para todo a ∈ A, existe a0 ∈ A tal que a ∈ [a0 ].
Estas condiciones ya están demostradas por el Teorema 3.3. Por lo tanto A
∼ es una partición
■
de A.
Analicemos con un ejemplo geométrico para ilustrar el teorema 3.3 y corolario 3.1.
Ejemplo 3.39 Sea A = R2 el conjunto formado por todos los puntos del plano. Sea ∼
la relación sobre A definida como:
p ∼ q si y sólo si p y q distan lo mismo del origen.
es decir, lo que comúnmente se escribe como k p k=k q k. Determinar la partición inducida por ∼.
Solución.
Las clases de equivalencia de un punto p en el plano está dada por todos aque-
llos puntos cuya distancia al origen es la misma que la de p, es decir:
• [(1, 1)]∼ = {(x, y) ∈ A :k (1, 1) k=k (x, y) k} = {(x, y) ∈ A : 2 = x2 + y 2 }
√
Circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.
• [(3, 4)]∼ = {(x, y) ∈ A :k (3, 4) k=k (x, y) k} = {(x, y) ∈ A : 25 = x2 + y 2 }
Circunferencia de centro (0, 0) y radio 5.
Capítulo 3. Relaciones
169
• [(3, 0)]∼ = {(x, y) ∈ A :k (3, 0) k=k (x, y) k} = {(x, y) ∈ A : 9 = x2 + y 2 }
Circunferencia de centro (0, 0) y radio 3
• [(−2, −3)]∼ = {(x, y) ∈ A :k (−2, −3) k=k (x, y) k} = {(x, y) ∈ A : 13 = x2 + y 2 }
√
Circunferencia de centro (0, 0) y radio 13
[p]∼ = {q ∈ A :k p k=k q k}
La colección de todas las circunferencias con centro en el origen que pasa por el punto p, es
la partición del plano determinada por esta relación de equivalencia (ver gráfica)
y
5
p = (3, 4)
4
3
2
p = (1, 1)
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
p = (3, 0)
1
2
3
4
5
x
−2
p = (−2, −3)
−3
−4
−5
Por lo tanto, la partición inducida por ∼ es,
o
R2 n
= [p]∼ : p ∈ R2
∼
■
El siguiente teorema, nos dice que dado una partición, podemos llegar a determinar una
relación de equivalencia, que se llamara relación inducida por la partición.
Teorema 3.4 Sean A un conjunto no vacío y P = {Ai : i ∈ I } una partición de A. La
relación ∼P definida por:
“Dos elementos de A están relacionados si y sólo si pertenecen al mismo miembro de la
partición”
es una relación de equivalencia. Se dice entonces que ∼p es la relación inducida por
la partición P.
170
3.5. Relación de equivalencia
Demostración.
Identifiquemos:
Hipótesis
Tesis
•
A,∅
•
•
P = {Ai : i ∈ I } es una partición de A
•
La relación ∼p definido por:
∼p es una relación
de equivalencia.
x ∼p y ⇔ ∃i ∈ I : x ∈ Ai ∧ y ∈ Ai
1. La relación ∼p es reflexiva. Sea a ∈ A Tomemos cualquier x ∈ A. Además, por hipótesis P = {Ai : i ∈ I }es una partición de A, entonces existe i ∈ I tal que x ∈ Ai ∧ x ∈ Ai .
Luego por definición de relación ∼p tenemos x ∼p x. Así, ∼p es reflexiva.
2. La relación ∼p es simétrica. Tomemos dos elementos x e y de A tales que x ∼p
y, entonces por definición de relación ∼p , existe i ∈ I tal que x ∈ Ai e y ∈ Ai . Por la
conmutatividad, existe i ∈ I tal que y ∈ Ai y x ∈ Ai . Esto significa que y ∼p x. Así ∼p es
simétrica.
3. La relación ∼p es transitiva. Tomemos tres elementos cualesquiera a, b, c ∈ A con la
propiedad a ∼p b y b ∼p c.
• De a ∼p b significa que existe i ∈ I tal que a ∈ Ai y b ∈ Ai .
• De b ∼p c significa que existe j ∈ I tal que b ∈ Aj y c ∈ Aj .
Como b ∈ Ai ∩ Aj entonces Ai ∩ Aj , ∅. Por la contrarecíproca del teorema 3.2 inciso
(ii) tenemos Ai ∼ Aj . Ahora, por el inciso (i) del teorema 3.2 concluimos que Ai = Aj .
Ahora por el inciso (i) tal que a ∈ Ai y c ∈ Ai . Asó a ∼p c, lo cual significa que ∼p es
transitiva.
■
Ejemplo 3.40 Sea A el conjunto de todos los puntos del plano. Sea P la participación
del plano en rectas horizontales, es decir:
P = {Ay : y ∈ R} donde Ay = {(x, y) : x ∈ R}
Determinar la relación de equivalencia inducida por la partición P.
Solución.
Graficando la partición (ver la gráfica de abajo) . La relación de equivalencia
inducida por la partición está dada por:
Capítulo 3. Relaciones
171
y
3
A2
A3
2
A1.5
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
A−2
1
−2
−3
A−3
2
3
A1
4 5
A−1
x
A−2.5
(x1 , y1 ) ∼P (x2 , y2 ) si y sólo si y1 = y2
pues (x1 , y1 ) ∼P (x2 , y2 ) si y sólo si (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ Ay para algún y ∈ R, por lo que y1 = y2 = y.
■
Ejemplo 3.41 Ilustremos el corolario (3.1) y el Teorema (3.4).
(a). Demostrar que la relación ∼ definida sobre Z como: x ∼ y si y sólo si x − y es
par, induce la partición:
P = {{k ∈ Z : k es par}, {k ∈ Z : k es impar}}
(b). Demostrar que la partición P = {{k ∈ Z : k es par}, {k ∈ Z : k es impar}} induce la
relación de equivalencia ∼ definida por:
x∼y
Solución.
si y sólo si
x − y es par
Se puede observar que el inciso (b) es el recíproco de (a).
(a). Según vimos en el ejemplo (3.23), la clase de equivalencia del 0 la componen todos los
pares y la clase de equivalencia del 1 es el conjunto de todos los impares; pues si x es
par, entonces 0 ∼ x y si x es impar, entonces 1 ∼ x. Así, efectivamente tenemos que:
{[a] : a ∈ Z} = {[0], [1]} = {{k ∈ Z : k es par }, {k ∈ Z : k es impar }}
172
3.5. Relación de equivalencia
(b). Veamos que la partición P induce a la relación de equivalencia: x − y es par.
x ∼P y ⇔ ∃p ∈ P = {{k ∈ Z : k es par }, {k ∈ Z : k es impar }} : x ∈ p ∧ y ∈ p
⇔ (x ∈ {k ∈ Z : k es par} ∧ y ∈ {k ∈ Z : k es par})
∨ (x ∈ {k ∈ Z : k es impar} ∧ y ∈ {k ∈ Z : k es impar})
⇔ (∃k(x = 2k) ∧ ∃t(y = 2t)) ∨ (∃k(x = 2k + 1) ∧ ∃t(y = 2t + 1))
⇔ (∃k, t(x − y = 2(k − t))) ∨ (∃k, t(x − y = 2(k − t)))
⇔ x − y es par
Por lo cual tenemos que ∼P =∼.
■
Ejemplo 3.42 Aplicación del corolario (3.1) y el Teorema (3.4).
(a). Demostrar que la relación ∼= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} definida sobre A =
{1, 2, 3} induce la partición
P = {{1, 2}, {3}}
(b). Demostrar que la partición P = {{1, 2}, {3}} induce la relación de equivalencia:
∼= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
Solución.
(a). En el ejemplo 3.30, encontramos las clases de equivalencia del conjunto A, estos son
[1] = [2] = {1, 2} y [3] = {3}. Así por el Corolario 3.1 el conjunto cociente P = {{1, 2}, {3}}
es la partición inducida por ∼.
(b). De acuerdo a la hipótesis del Teorema 3.4. Si
x ∼p y ⇔ ∃p ∈ P = {{1, 2}, {3}} : x ∈ p ∧ y ∈ p
⇔ (x ∈ {1, 2} ∧ y ∈ {1, 2}) ∨ (x ∈ {3} ∧ y ∈ {3})
⇔ (x = 1 ∧ y = 1) ∨ (x = 1 ∧ y = 2) ∨ (x = 2 ∧ y = 1) ∨ (x = 2 ∧ y = 2) ∨ (x = 3 ∧ y = 3)
⇔ (x, y) ∈ {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
De aquí tenemos que ∼P =∼. Así, la partición P = {{1, 2}, {3}} induce la relación de equivalencia
∼= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}.
■
Capítulo 3. Relaciones
173
Ejemplo 3.43 Dado la siguiente partición:
P = {{n ∈ Z : ∃m ∈ Z (n = 3m)}, {n ∈ Z : ∃m ∈ Z (n = 3m+1)}, {n ∈ Z : ∃m ∈ Z (n = 3m+2)}}
Determinar la relación de equivalencia asociada a esta partición.
Solución.
Sean los conjuntos:
A = {n ∈ Z : ∃m ∈ Z(n = 3m)}, B = {n ∈ Z : ∃m ∈ Z (n = 3m+1)}, C = {n ∈ Z : ∃m ∈ Z (n = 3m+2)}
Así P = {A, B, C}, utilizando el teorema 3.4:
x ∼p y ⇔ ∃p ∈ P : x ∈ p ∧ y ∈ p
⇔ (x ∈ A ∧ y ∈ A) ∨ (x ∈ B ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ C ∧ y ∈ C)
⇔ ((∃m ∈ Z : x = 3m) ∧ (∃t ∈ Z : y = 3t) ∨ (∃m ∈ Z : x = 3m + 1)
∧ (∃t ∈ Z : y = 3t + 1) ∨ (∃m ∈ Z : x = 3m + 2) ∧ (∃t ∈ Z : y = 3m + 2))
⇔ (∃m, t ∈ Z : x − y = 3(m − t)) ∨ (∃m, t ∈ Z : x − y = 3(m − t))
∨ (∃m, t ∈ Z : x − y = 3(m − t))
⇔ x − y es múltiplo de 3
Por lo tanto, la partición P induce la relación de equivalencia:
x ∼P y
si y sólo si
x − y es multiplo de 3
■
El siguiente teorema afirma que para cada partición, existe una única relación de equivalencia que la induce.
Teorema 3.5 Sea A , ∅. Sean ∼1 y ∼2 relaciones de equivalencia definidas sobre A de
tal manera que inducen la misma partición en A (es decir, ∼A = ∼A ). Entonces ∼1 =∼2
1
Demostración.
Hipótesis
A
A
∼1 = ∼2
2
Tesis ∼1 =∼2
Por hipótesis,∼1 y ∼2 son relaciones de equivalencia sobre A, tal que ∼A = ∼A esto significa:
1
n
2
o n
o
[z]∼1 : z ∈ A = [z]∼2 : z ∈ A
Para demostrar que ∼1 =∼2 debemos mostrar que: ∀x, y ∈ A(x ∼1 y ⇔ x ∼2 y)
(a). x ∼1 y ⇒ x ∼2 y. Si x ∼1 y, entonces x ∈ [y]∼1 . Como [y]∼1 ∈ {[z]∼1 : z ∈ A} = {[z]∼2 : z ∈ A},
tenemos [y]∼1 ∈ {[z]∼2 : z ∈ A}. Así [y]∼1 = [z]∼2 , para algún z ∈ A. Además, sabemos
174
3.5. Relación de equivalencia
que x, y ∈ [y]∼1 entonces x, y ∈ [z]∼2 , luego x ∼2 z ∧ y ∼2 z, por simétrica x ∼2 z ∧ z ∼2 y,
por transitiva x ∼2 y. Por tanto, ∼1 ⊆∼2 .
(b). x ∼2 y ⇒ x ∼1 y. La prueba de esta expresión es de manera similar al anterior, podemos
concluir ∼2 ⊆∼1 .
Por tanto, del inciso (a) y (b) concluimos ∼1 =∼2 .
■
Observación 3.2 Sea P = {Ai : i ∈ I } una partición del conjunto A , ∅ y sea ∼p la
relación de equivalencia que P induce. Si Ai ∈ P y a ∈ Ai entonces [a]p = Ai
Demostración.
Por definición de clase de equivalencia [a]∼p = {x ∈ A : x ∼p a} y por hipóte-
sis ∼p es la relación de equivalencia inducida por P, se tiene:
[a]∼p = {x ∈ A : x ∼p a}
(Definición de clase)
= {x ∈ A : x, a ∈ Aj para algún j ∈ I }
(Definición de partición)
Además, por hipótesis a ∈ Ai y como a ∈ Aj entonces Ai ∩ Aj , ∅. Luego, como P es una
partición (contrareciproca del inciso 2 de la definición 3.13) Ai = Aj . Así
[a]∼p = {x ∈ A : x ∼p a} = {x ∈ A : x ∈ Ai } = Ai
■
Teorema 3.6 Sean P1 y P2 particiones sobre el conjutno A , ∅. Sean ∼p1 y ∼p2 las
relaciones de equivalencia inducidas por P1 y P2 respectivamente. Si ∼p1 =∼p2 entonces
P1 = P2 .
Demostración.
∼p1 =∼p2
Hipótesis
Tesis
P1 = P2
Sean P1 = {Ai : i ∈ I } y P2 = {Aj : j ∈ J} particiones de A. Por demostrar P1 ⊆ P2 y P2 ⊆ P1 .
(a). P1 ⊆ P2 . Tomemos cualquier Ai ∈ P1 , entonces como P1 es una partición Ai , ∅. Dado
cualquier x ∈ Ai , aplicando la observación 3.2 tenemos [x]∼p = Ai . Por otro lado, debido a
1
que x ∈ A y P2 es una partición de A, existe j ∈ J tales que x ∈ Aj . Nuevamente aplicando la
observación 3.2, obtenemos [x]∼P = Aj . Además, por hipótesis ∼p1 =∼p2 , de donde:
2
Ai = [x]∼P = [x]∼P = Aj ∈ P2
1
2
Así concluimos Ai ∈ P2 . Por tanto, P1 ⊆ P2 .
(b). P2 ⊆ P1 . La prueba es de manera similar que la anterior contención. Así podemos
concluir P2 ⊆ P1 . Por tanto, por los incisos (a) y (b) concluimos que P1 = P2
■
Capítulo 3. Relaciones
175
El siguiente teorema afirma, dado una partición de un conjunto y la relación de equivalencia que induce esa partición, tal partición son las clases de equivalencia del conjunto.
Teorema 3.7 Sea P = {Ai : i ∈ I } una partición del conjunto A , ∅ y sea ∼p la relación
de equivalencia que P induce. Entonces
n
o
P = [x]∼P : x ∈ A
Demostración.
Identifiquemos:
Hipótesis
Tesis
•
•
P es una partición del conjunto A
n
o
P = [x]∼P : x ∈ A
• ∼P la relación de equivalencia inducida por P
Primero veamos que P ⊆ {[x]∼P : x ∈ A}. Sea Ai ∈ P, entonces como P es una partición,
Ai , ∅. Tomemos un z ∈ Ai , luego por observación 3.2 tenemos Ai = [z]∼p y así
Ai ∈ {[x]∼P : x ∈ A}
Segundo veamos que {[x]∼P : x ∈ A} ⊆ P. Sea [z]∼P ∈ {[x]∼P : x ∈ A}, entonces z ∈ A y como P es una partición, existe i ∈ I tal que z ∈ Ai . Ahora, aplicando la observación 3.2, tenemos
Ai = [z]∼P . Por tanto, [z]∼P ∈ P.
En conclusión P = {[x]∼P : x ∈ A}.
Ejercicio 3.28 Dado la siguiente partición:
P = {{n ∈ Z : ∃m ∈ Z (n = 2m)}, {n ∈ Z : ∃m ∈ Z (n = 2m + 1)}}
Determinar la relación de equivalencia asociada a esta partición.
Ejercicio 3.29 ¿Cuál es la relación de equivalencia asociada a cada una de las si-
guientes particiones?
(a). R1 = {{a, b}, (c, d)}
(b). R2 = {{a}, {b}, {c, d}}
(c). R3 = {{0, ±2, ±4, ...}, {±1, ±3, ±5, ...}}
Ejercicio 3.30 Sea A = {x, y} un conjunto con x , y. Determinar todas las relaciones
de equivalencia en A2 .
■
176
3.6. Relación de orden
Ejercicio 3.31 Sea A = {x, y, z} un conjunto. Determinar todas las relaciones de equi-
valencia en A2 .
Ejercicio 3.32 ¿Cuántas relaciones de equivalencia se pueden establecer sobre un
conjunto de 4 elementos?
3.6
Relación de orden
En esta sección vamos a estudiar aquellos conjuntos que son ordenados mediante una
relación, identificaremos a los elementos: primero, último, máximo, mínimo, supremo, ínfimo,
cota superior y cota inferior, si estos existen en el conjunto, además se representará a estos
elementos en el diagrama de Hasse.
Definición 3.14 Relación de orden. R es una relación de orden amplio o simplemente
orden en A si y sólo si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Ejemplo 3.44 Sea A = {1, 2, 3} un conjunto y R una relación sobre A definida por
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}
Demuestre que R es de orden amplio.
Solución.
Para demostrar que R es de orden amplio, tenemos que mostrar que R es refle-
xiva, antisimétrica y reflexiva.
Reflexiva. Todos los electos del conjunto A están relacionados consigo mismo. Es decir:
1R1, 2R2 y 3R3. Asi R es reflexiva.
Antisimétrica. Tomados dos elementos de la relación, cumplen con la definición antisimétrica. Solo tenemos: 1R1, 2R2 y 3R3. Asi R es antisimétrica.
Transitiva. Para cualesquiera dos pares de elementos de la relación, cumplen con la
definición de transitividad. Tenemos las siguientes posibilidades:
1R1 ∧ 1R2 ⇒ 1R2
2R2 ∧ 2R3 ⇒ 2R3
1R3 ∧ 3R3 ⇒ 1R3
1R1 ∧ 1R3 ⇒ 1R3
2R3 ∧ 3R3 ⇒ 2R3
1R2 ∧ 2R2 ⇒ 1R2
■
Ejemplo 3.45 En el conjunto de los números reales R, se define la relación:
xRy ⇔ ∃n ∈ Z+ ∪ {0} : y − x = 2n
Analizar si R es relación de orden.
Capítulo 3. Relaciones
Solución.
177
Para que R sea una relación de orden, debemos mostrar que R es reflexiva,
antisimétrica y transitiva.
Reflexiva. Para que sea reflexiva verificamos xRx entonces, ∀x ∈ R : ∃n ∈ Z+ ∪ {0} :
x − x = 2n, entonces 0 = 2(0), cuando n = 0, Así 0 = 0. Por lo tanto, la relación es reflexiva.
Antisimétrica. Para demostrar que R es antisimétrica, asumimos la hipótesis xRy ∧ yRx
lo que tenemos que mostrar es la tesis x = y.


y − x = 2n 

 ⇒ (y − x) + (x − y) = 2n + 2m ⇒ 0 = 2(n + m)
+

∀y, x ∈ R : ∃m ∈ Z ∪ {0} : x − y = 2m 
∀x, y ∈ R : ∃n ∈ Z+ ∪ {0} :
La igualdad 2(n + m) = 0 implica que n + m = 0, Ahora bien, como n, m son enteros no
negativos, así se tiene que n = m = 0 y por tanto, x = y.
Transitiva. Para mostrar que R es transitiva, asumimos la hipótesis xRy ∧ yRz, lo que
tenemos que mostrar es xRz.


y − x = 2n 

 ⇒ (y − x) + (z − y) = 2n + 2m
+

∀y, z ∈ R : yRz ⇒ ∃m ∈ Z0 : z − y = 2m 
∀x, y ∈ R : xRy ⇒ ∃n ∈ Z+0 :
⇒ z − x = 2(n + m)
Dado que n + m es un entero no negativo, se verifica que xRz. Concluimos que R es una
■
relación de orden.
Ejemplo 3.46 Probar que la relación “menor o igual” definida en el conjunto Z de los
números enteros es de orden amplio.
Solución.
Antes determinemos a la relación “menor o igual” de manera explícita. Sean a y
b dos enteros cualesquiera. Entonces a ≤ b ⇔ b − a ≥ 0, lo que es igual a ≤ b ⇔ b − a ∈
Z+ ∪ {0} es decir,
a ≤ b ⇔ ∃k ∈ (Z+ ∪ {0}) : b − a = k
Veamos si esta relación cumple las condiciones exigidas.
Reflexividad. Sea a elegido arbitrariamente en el conjunto de los enteros. Entonces,
a = a ⇒ a − a = 0; 0 ∈ Z+0 ⇒ a ≤ a
Antisimetría. Sean a y b dos enteros cualesquiera. Entonces,

a ≤ b ⇔ ∃k1 ∈ Z+ ∪ {0} : b − a = k1 




=⇒ k1 = −k2 , con k1 , k2 ∈ Z+ ∪ {0} ⇔ k1 = k2 = 0
y




b ≤ a ⇔ ∃k2 ∈ Z+ ∪ {0} : a − b = k2 
178
3.6. Relación de orden
por lo tanto, b − a = 0 y a − b = 0, es decir, a = b y consecuentemente, la relación es antisimétrica.
Transitividad. Sean a, b y c tres enteros cualesquiera. Entonces,

a ≤ b ⇔ ∃k1 ∈ Z+ ∪ {0} : b − a = k1 




=⇒ b − a + c − b = k1 + k2 , con k1 , k2 ∈ Z+ ∪ {0}
y




b ≤ c ⇔ ∃k2 ∈ Z+ ∪ {0} : c − b = k2 
=⇒ c − a = k, k = k1 + k2 ∈ Z+ ∪ {0}
=⇒ a ≤ c
Así, la relación es transitiva. Por tanto, la relación “menor o igual” es de orden amplio o
■
simplemente de orden.
Veamos un ejemplo, donde la una relación no es de equivalencia ni de orden.
Ejemplo 3.47 Sea A = P (R) el conjunto de parte de R. Definimos la relación sobre A:
XRY si y sólo si X ∩ {1, 2, 3} ⊆ Y ∩ {1, 2, 3}
Verificar si la relación R es de orden o no.
Solución.
En el ejemplo 3.27, se demostró que R es reflexiva y transitiva. Solo faltaría
verificar si R es antisimétrica o no, dando un contraejemplo.
R no es antisimétrica. Consideremos un contraejemplo X = {1} e Y = {0, 1} tenemos:
X ∩ {1, 2, 3} ⊆ Y ∩ {1, 2, 3}
|
{z
}
y
Y ∩ {1, 2, 3} ⊆ X ∩ {1, 2, 3}
|
{z
}
{1}⊆{1}
{1}⊆{1}
Pero {1} = X , Y = {0, 1}. Por tanto R no es antisimétrica. En conclusión, la relación R no es
■
de orden, (pues no es antisimétrica).
Definición 3.15 Orden estricto. Una relación R sobre un conjunto A se dice que es
de orden estricto si es asimétrica y transitiva.
Ejemplo 3.48 Probar que la relación “menor que ” es una relación de orden estricto
en Z.
Solución.
Sean a y b dos enteros cualquiera. Entonces, a < b
igual
a < b ⇔ b − a ∈ Z+
es decir,
a < b ⇔ ∃k ∈ Z+ : b − a = k
⇔
b − a > 0 o lo que es
Capítulo 3. Relaciones
179
Veamos si esta relación cumple las condiciones exigidas para el orden estricto.
Asimetría. En efecto, si a y b son dos enteros cualesquiera.
a < b ⇔ ∃k ∈ Z+ : b − a = k
⇔ ∃k ∈ Z+ : a − b = −k
⇔ a − b < Z+
⇔ a − b , k; ∀ ∈ Z+
⇒b≮a
Por lo tanto, la relación propuesta es asimétrica.
Transitividad. En efecto, a, b y c son tres números enteros cualesquiera, Entonces


a < b ⇔ ∃k1 ∈ Z+ : b − a = k1 



⇒ b − a + c − b = k1 + k2 , con k1 , k2 ∈ Z+
y




b < c ⇔ ∃k2 ∈ Z+ : c − b = k2 
⇒ c − a = k, k = k1 + k2 ∈ Z+
⇒a<c
Por lo tanto, la relación es transitiva.
■
Si ≼ es una relación de orden sobre un conjunto A, entonces
• a ≼ b se lee “a precede a b” o “ a es anterior a b”.
• Si a ≼ b y a , b, emplearemos a ≺ b y diremos que “a precede estrictamente a b” o “a es estrictamente anterior a b”.
• a ≽ b se lee “a sucede a b” o “a es posterior a b”.
• a b se lee “a sucede estrictamente a b” o “a es estrictamente posterior a b”.
3.6.1 Conjuntos ordenados
A los elementos de un conjunto ordenado, ya sea de orden amplio o de orden estricto los
podemos comparar unos con otros o puede también que existan elementos a los cuales no
se les pueda comparar.
Definición 3.16 Elementos comparables. Dados dos elementos a y b de un conjunto
A sobre el que se ha definido una relación de orden ≼, diremos que son comparables si uno de ellos es anterior al otro. En caso contrario, se dice que a y b son “no
comparables”.
180
3.6. Relación de orden
Sean a y b dos elementos de un conjunto con la relación ≼ :
a y b son comparables ⇔ a ≼ b ∨ b ≼ a
a y b no son comparables ⇔ a ⪯̸ b ∧ b ⪯̸ a
Definición 3.17 Orden parcial y total. Una relación de orden se dice que es total
cuando todos los elementos del conjunto sobre el que está definida son comparables
por dicha relación. En caso contrario, si existen elementos no comparables, diremos
que la relación definida es de orden parcial. Así pues, dada la relación de orden ≼,
diremos
≼ es de orden total ⇔ ∀a, b ∈ A(a ≼ b ∨ b ≼ a)
≼ es de orden parcial ⇔ ∃a, b ∈ A : (a ⪯̸ b ∧ b ⪯̸ a)
Ejemplo 3.49 Probar que la relación de orden “menor o igual” definida en el conjunto
Z de los números enteros es de orden total.
Solución.
En el ejemplo 3.46, se demostró que es de orden amplio (Reflexividad, Antisi-
metría y transitiva). Demostraremos que todos sus elementos son comparables. Sean a y b
dos enteros cualesquiera, veamos que a ≤ b o b ≤ a, es decir, todos los números enteros son
comparables, como a y b están arbitrariamente elegidos, puede ocurrir que sean iguales o
distintos.
(a = b) ∨ (a , b) ⇔ (a = b) ∨ (b − a , 0) ⇔ (a = b) ∨ (b − a ∈ Z \ {0}) ⇔ (a = b) ∨ (b − a ∈ Z− ∪ Z+ )


− : b−a = k


a − b = −k, con − k ∈ Z+
∃k
∈
Z








⇔ a = b∨
⇔ a = b∨
∨
∨






 b−a = t
 ∃t ∈ Z+ : b − a = t
con t ∈ Z+




b < a
a=b ∨ b<a








⇔ a = b∨
⇔ 
∨
∨








a < b
a=b ∨ a<b


b ≤ a




⇔
∨



 a ≤ b
Por lo tanto, la relación de orden ”menor o igual” definida en el conjunto de los números
enteros es total.
■
Capítulo 3. Relaciones
181
Ejemplo 3.50 En el conjunto Z+ de los números enteros positivos, se considera la
relación de divisibilidad, es decir, para cada par de enteros a y b.
a ≼ b ⇔ a|b
Probar que es una relación ≼ de orden parcial.
Solución.
Recordemos que si a y b son dos enteros no negativos cualesquiera, entonces
a|b ⇔ ∃k ∈ Z+ : b = ak
Luego la relación propuesta puede caracterizarse de la siguiente manera:
a ≼ b ⇔ ∃k ∈ Z+ : b = ak
Veamos que la relación ≼ es de orden.
Reflexiva. Para cada elemento a de Z+ , se verifica que a = a· 1, luego, para k = 1,
∃k ∈ Z+ : a = a · k
de aquí: ∀a(a ∈ Z+ ⇒ a ≼ a), es decir, la relación de divisibilidad, es reflexiva.
Antisimétrica. Sean a y b dos elementos cualesquiera de Z+ , entonces



∃k1 ∈ Z+ : b = a · k1
a≼b 








⇔ 
∧
∧







 ∃k ∈ Z+ : a = b · k
b≼a 
2
2
Si ahora sustituimos la segunda ecuación en la primera, tendremos
b = b · k1 · k2 ⇔ k1 · k2 = 1 ⇔ k1 = k2 = 1
consecuentemente, a = b. De aquí que
∀a, b ∈ Z(a ≼ b ∧ b ≼ a ⇔ a = b)
es decir, la relación propuesta es antisimétrica
Transitiva. Sean a, b y c tres números enteros arbitrarios.



a≼b 
∃k1 ∈ Z+ : b = a · k1








⇔ 
∧
∧









∃k2 ∈ Z+ : c = b · k2
b≼c
182
3.6. Relación de orden
Sustituyendo en la segunda ecuación la primera, tendremos que
c = a · k1 · k2 ,
Luego,
k1 · k2 ∈ Z
a ≤ c. Es decir
∀a, b, c ∈ Z(a ≼ b ∧ b ≼ c ⇒ a ≼ c)
la relación, por tanto, es transitiva. Así, la relación es de orden.
Para demostrar que la relación es de orden parcial consideremos un par de números
enteros en particular podrían ser el 2 y 3 tenemos:
2 , 3k; ∀k ∈ Z y 3 , 2k; ∀k ∈ Z
consecuentemente,
∃a, b ∈ Z : a ⪯̸ b ∧ b ⪯̸ a
es decir, existen elementos no comparables, de aquí que la relación de orden es parcial. ■
Ejemplo 3.51 Demostrar si la relación inclusión definida en el conjunto A = P (S), donde
S es un conjunto cualquiera, es una relación de orden parcial.
Solución.
La relación propuesta se caracteriza por:
∀A, B ∈ P (S)(A ≼ B ⇔ A ⊆ B)
≼ es reflexiva. Está demostrado en el teorema 2.1 del capítulo de conjuntos.
≼ es antisimétrica. De la definición 2.3 del capítulo de conjuntos queda demostrado.
≼ es transitiva. Esto es demostrado en el teorema 2.3 del capítulo de conjuntos.
Por lo tanto, la relación ≼ es de orden.
≼ es de orden parcial. Para demostrar que existen elementos en P (S), tal que estos no sean
comparables, consideremos el conjunto S = { a, b, c} y el conjunto de partes:
P (S) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a.c}, {a, b, c}}
se observa que hay elementos en este conjunto que no son comparables con la relación por
ejemplo {a} no está contenido en {b} ni {b} en {a}. En conclusión, la relación de inclusión, es
de orden parcial.
■
Capítulo 3. Relaciones
183
Ejemplo 3.52 Determinar si las siguientes relaciones son de orden parcial o de orden
total en el conjunto Z.
aRb ↔ a = 2b
aT b ↔ ∃k ∈ Z+ : a = bk
aS b ↔ a2 |2b
aU b ↔ |a − b| = 2
Solución.
Notemos que todas las relaciones se definen en el conjunto de los números
enteros.
aRb ↔ a = 2b.
Reflexiva. Consideremos el 1, número entero, entonces “1 , 2 · 1”, luego 1R1, de aquí que
“ ∃a : a ∈ Z ∧ aRa ”. Por tanto, la relación propuesta no es, reflexiva y, consecuentemente, no
es de orden.
aS b ↔ a2 |2b.
Reflexiva. Consideremos el número entero 3, entonces “ 32 no divide a 2 · 3 ” de aquí que
3R3, es decir, “ ∃a : a ∈ Z∧aRa ” La relación propuesta no es, reflexiva y, consecuentemente,
no es de orden.
aT b ↔ ∃k ∈ Z+ : a = bk .
Reflexiva. Dado cualquier número entero a, se verifica que “ a = a · 1 ”, luego “ ∃k : a ∈ Z+ (k =
1) : a = ak ”, de aquí que ∀a(a ∈ Z ⇒ aT a). Por tanto, T es reflexiva.
Antisimética. Sean a y b dos enteros cualesquiera, entonces
aT b ⇔ ∃k1 ∈ Z+ : a = bk1
∧
bT a ⇔ ∃k2 ∈ Z+ : b = ak2
sustituyendo la segunda ecuación en la primera, tendremos:
a = (ak2 )k1 ⇔ a = ak1 k2 ⇔ k1 · k2 = 1 ⇔ k1 = k2 = 1
de aquí que a sea igual a b, por tanto, T es antisimétrica.
Transitiva. Sean a, b y c tres números enteros cualesquiera, entonces
aT b ⇔ ∃k1 ∈ Z+ : a = bk1
∧
bT c ⇔ ∃k2 ∈ Z+ : b = ck2
sustituyendo la segunda ecuación en la primera, tendremos:
a = (ck2 )k1 ⇔ a = ck1 ·k2 : k1 · k2 ∈ Z+ ⇔ aT c
Por tanto, T es transitiva. Hasta aquí, la relación es de orden. Veamos de qué tipo es. Tomando los enteros 2 y 3, se verifica que: 2 , 3k , ∀k 0 inZ+ y 3 , 2k , ∀k 0 inZ+ , esto significa que
existen en Z elementos no comparables. Así T es de ORDEN PARCIAL.
aU b ↔ |a − b| = 2.
Esta relación es no reflexiva (aU a ⇔ |a − a| , 2).
■
184
3.6. Relación de orden
Ejercicio 3.33 Sea C el conjunto de los números complejos y sean x = a+bi e y = c+di
dos elementos de C. Considere la relación R definida por:
xRy si,y sólo si a ≤ c ∧ b ≤ d
(a). Muestre que R es una relación de orden parcial sobre C.
(b). Indicar en el plano de Argand-Gaussab el conjunto A de los complejos z tal que
zR(1 + 2i) y el conjunto B de los complejos z tales que (1 + 2i)Rz.
(c). ¿C es totalmente ordenado por R?
a El plano complejo, también conocido como plano de Argand-Gauss, no es más que un plano carte-
siano para números complejos. Un número complejo representado en su forma algebraica es z = a + bi,
donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Por tanto, los números complejos se representan como
un punto (a, b). En el plano de Argand -Gauss , el eje horizontal es el eje de la parte real y el eje vertical
es el eje de la parte imaginaria”.
b Plano complejo
Ejercicio 3.34 Probar que, Si R es una relación de orden parcial sobre E, entonces
R−1 es también una relación de orden parcial.
Ejercicio 3.35 Sea C el conjunto de números complejos y sean x = a + bi, y = c + di
dos elementos de C. Considere la relación S sobre C definida por:
xSy si, sólo si, a < c o (a = c ∧ b ≤ d)
(a). Mostrar que S es una relación de orden parcial sobre C.
(b). Indicar en el plano de Argand-Gauss el conjunto A de los complejos z tales que
zS(1 + 2i) y el conjunto B de los complejos z tales que (1 + 2i)Sz.
(c). ¿C es totalmente ordenado por S?
Ejercicio 3.36 Probar que la relación S sobre N × N tal que (a, b)S(c, d) si sólo si, a|c y
b|d es una relación de orden. ¿La relación S ordena totalmente N × N?
Definición 3.18 Conjunto ordenado. Dado un conjunto A diremos que está ordenado
si en él hay definida una relación de orden. Dicho conjunto estará parcial o totalmente
ordenado, según que la relación definida sea parcial o total.
Denotemos al par (A, ) como un conjunto ordenado, donde A es el conjunto y es la relación de
orden.
Capítulo 3. Relaciones
185
Ejemplo 3.53 Sean S un conjunto cualquiera. La relación definida en P (S) es:
∀A, B ∈ P (S) (A B ⇔ A ⊆ B)
Demostrar que (P (A), ) es un conjunto de orden parcial.
Solución.
De acuerdo al ejemplo (3.51), se demostró que la relación de inclusión es una
relación de orden parcial, entonces de acuerdo a la definición (3.18) el par (P (A), ) es un
conjunto de orden parcial.
■
Ejemplo 3.54 Sea el par (Z, ≤) donde es la relación ≤ “menor o igual que”. Demostrar
que (Z, ≤) es un conjunto totalmente ordenado.
Solución.
Del ejemplo 3.49, la relación “≤” es de orden total, Así (Z, ≤) es un conjunto
totalmente ordenado (o un conjunto de orden total).
■
Ejemplo 3.55 La relación <, “menor que ” está definida en Z, Demostrar, si el conjunto
(Z, <), es ordenado.
Solución.
La relación < no es reflexiva, pues para cualquier x ∈ Z: x ≮ x, es decir, cualquier
entero no es menor a sí mismo. Así, el conjunto (Z, <) no es un conjunto ordenado.
■
Definición 3.19 Conjunto ordenado estricto. Dado un conjunto A diremos que está
estrictamente ordenado si en él hay definida una relación de orden estricto. Dicho conjunto estará parcial o totalmente ordenado, según que la relación definida sea parcial
o total.
Ejemplo 3.56 Sea A = {a, b, c}. Demuestre que la relación R = {(a, b), (a, c), (b, c)} es de
orden estricto total.
Solución.
Debemos mostrar que R, es asimétrica y transitiva
Asimétrica. Para todos los elementos de R se tiene aRb ⇒ b
Ra, aRc ⇒ c
Ra, bRc ⇒ c
Rb
Transitiva. Según R el único par que cumple la hipótesis de transitividad es (a, b) y (b, c), para
este par existe (a, c) ∈ R, por lo tanto, R es transitiva. En consecuencia, la relación R es de
orden estricto.
Los elementos de A son comparables Para todos los elementos de A = {a, b, c} están relacionados, pues aRb, aRc, bRc. En conclusión la relación R es de orden estricto total.
■
186
3.6. Relación de orden
Ejemplo 3.57 Sea S cualquier conjunto. La relación definida en P (S)
∀A, B ∈ P (S) (A ≺ B ⇔ A ⊆ B ∧ A , B)
Demostrar que (P (S), ≺) es un conjunto de orden estricto parcial.
Solución.
Antes afirmamos, ∀A, B ∈ P (S) se tiene:
(i). A ⊆ B ∧ A , B ⇒ B ⊈ A
(3.1)
(ii). A ⊆ B ∧ B ⊆ C ∧ A , B ∧ B , C ⇒ A , C
(3.2)
(i). Supongamos que B ⊆ A, además por hipótesis tenemos A ⊆ B, asi por definición de
igualdad de conjuntos tenemos A = B esto es una contradicción, pues A , B, luego B ⊈ A.
(ii). Supongamos que A = C, además por hipótesis tenemos A ⊆ B ∧ B ⊆ C, lo cual implica
que B = C, pero esto es una contradicción a la hipótesis B , C.
Ahora demostraremos que ≺ es asimétrica. Dado cualesquier A, B ∈ P (S),
A ≺ B ⇔ A ⊆ B∧A , B
(Definición de relación)
⇒B⊈A
(por 3.1)
⇒ B ⊈ A∨B = A
⇔B⊀A
(Ley de Adjución)
(Negación de la definición ≺)
Por tanto, la relación ≺ es asimétrica. Ahora demostremos que ≺ es transitiva. Por demostrar:
∀A, B, C ∈ P (S)(A ≺ B ∧ B ≺ C ⇒ A ≺ C).
A ≺ B ∧ B ≺ C ⇔ (A ⊆ B ∧ A , B) ∧ (B ⊆ C ∧ B , C)
(Definición de relación)
⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ∧ (A , B ∧ B , C)
(Asociativa y conmutativa)
⇔ A ⊆ C ∧A , C
(Ley de simplificación)
⇔A≺C
(Definición de relación)
Así, la relación ≺ es transitiva. Por tanto, la relación ≺ es de orden estricto.
≺ es de orden estricto parcial. Por demostrar, que los elementos no son comparables, Como
A es un conjunto arbitrario, podemos elegir a S = {a, b, c}, entonces
P (S) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, S}
Notemos que dos elementos de P (S) no son comparables, digamos A = {a} y B = {b} con la
relación ≺, el conjunto A no está contenido estrictamente en B ni B está contenido estrictamente en A. Por tanto, (P (S), ≺) es un conjunto de orden parcial estricto.
■
Capítulo 3. Relaciones
187
3.6.2 Diagrama de Hasse
Antes de presentar el diagrama de Hasse, analicemos el concepto de Grafo dirigido.
Definición 3.20 Grafo dirigido. Un grafo dirigido es un par (A, R), en el que A es un
conjunto cuyos elementos son vértices, y R una familia de pares ordenados de vértices
que son llamados arcos o aristas.
Ejemplo 3.58 Sea (A, R) donde: A = {a, b, c} y R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (b, c)}.
Representar gráficamente el grafo dirigido (A, R)
Solución.
• Como todos los elementos de A están
c
relacionados consigo mismo, esto es
representado por un bucle (arista que
conecta un vértice consigo mismo).
b
• Todos los elementos relacionados (a, b)
están representados por una arista que
a
parte desde a a b y se dibuja una flecha
que indica la dirección hacia b.
■
Definición 3.21 Diagrama de Hasse. Dada una relación de orden ≼, sobre un conjunto
A, un diagrama de Hasse es un grafo dirigido con los siguientes criterios de simplificación:
1. Dado que toda relación de orden es reflexiva, en cada punto de su grafo dirigido
habrá un bucle, reemplazaremos todos los bucles por puntos.
2. Sabiendo que toda relación de orden es una la relación antisimétrica, este hecho
nos garantiza que, si a ≼ b no puede suceder que b ≼ a, es por eso que para
representar a ≼ b la arista parte de a y llega a b con una flecha.
3. Como toda relación de orden es transitiva, suprimiremos todos los arcos del grafo
dirigido que se obtenga al hallar el cierre transitivo. Es decir, si a ≼ b y b ≼ c, se
sigue que a ≼ c. En este caso omitiremos la arista que va desde a hasta c y
mantendremos las que van desde a hasta b y desde b a c.
Ejemplo 3.59 Hacer la representación del diagrama de Hasse del ejemplo 3.58.
188
3.6. Relación de orden
Solución.
c
b
a
■
Ejemplo 3.60 Dado el conjunto A = {a, b, c} dibujar el diagrama de Hasse del conjunto
parcialmente ordenado (P (A), ⊆).
Solución.
Para dibujar el diagrama de Hasse, apliquemos la definición 3.21.
Si A = {a, b, c}, entonces el conjunto P (A)
{a, b, c}
de las partes de A, es:
P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
y el diagrama de Hasse del conjunto parcial-
{b, c}
{a, b}
{a, c}
{b}
{c}
{a}
mente ordenado {P (A), ⊆} es la representa-
∅
ción gráfica del lado derecho:
■
Ejemplo 3.61 Determinar el diagrama de Hasse de las siguientes relaciones:
(a). A = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 4), (1, 4), (4, 4)}.
(b). A = {a, b, c, d } y
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, d), (c.e), (a, d), (d, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (e, e)}
Solución.
Representación gráfica.
(a).
(b).
4
e
d
c
2
3
a
1
b
Capítulo 3. Relaciones
189
■
Ejemplo 3.62 Describir las parejas orde-
(b)
(a)
nadas de la relación determinada por el si-
4
4
guiente diagrama de Hasse del conjunto
A = {1, 2, 3, 4}.
3
3
2
Solución.
2
1
1
Las parejas ordenadas son:
(a). R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
(b). R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
■
Ejemplo 3.63 Dado los conjuntos ordenados por la relación de divisibilidad:
(a). A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
(c). D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60}
(b). B = {2, 4, 8, 16, 32}
(d). C = {3, 6, 12, 36, 72}
¿Cuál o cuáles de los anteriores conjuntos son parcialmente ordenados?, y dibuje
los diagramas de Hasse para cada uno de los conjuntos ordenados.
Solución.
El conjunto ordenado A, es un conjunto parcialmente ordenado, porque existe
elementos de A que no son comparables. Por ejemplo, el 3 y 10 no son comparables, es
decir, 3 no divide a 10.
El conjunto ordenado B, es un conjunto totalmente ordenado, porque todos elementos de
B son comparables.
El conjunto ordenado C, es un conjunto parcialmente ordenado, porque existe elementos
de D que no son comparables. Por ejemplo, el 4 y 15 no son comparables, es decir, 4 no
divide a 15.
El conjunto ordenado D, es un conjunto totalmente ordenado, porque todos elementos
de C son comparables.
Por tanto, los conjuntos A y C son parcialmente ordenados. Ahora dibujemos los
diagramas de Hasser:
190
3.7. Elementos distinguidos de un conjunto ordenado
30
60
32
6
15
10
16
3
2
5
8
4
1
2
(a)
12
6
72
36
30
4
15
3
2
12
10
6
5
3
1
(c)
(d)
(b)
■
Ejercicio 3.37 Determinar el diagrama de Hasse correspondiente al conjunto A =
{2, 3, 6, 9, 12, 36} con la relación divisor.
Ejercicio 3.38 Describir las parejas orde-
nadas de la relación determinada por el siguiente diagrama de Hasse del conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
7
8
6
1
2
5
3
3.7
4
Elementos distinguidos de un conjunto ordenado
Ciertos elementos en un conjunto ordenado son de especial importancia para muchas de
las aplicaciones de esos conjuntos. Estos elementos son llamados elementos distinguidos:
elemento maximal, elemento minimal, elemento máximo, elemento mínimo, supremo, ínfimo,
cota superior, cota inferior.
En las siguientes definiciones de esta sección, vamos a considerar que (A, ≼) un conjunto
ordenado y B un subconjunto de A (B ⊆ A).
Definición 3.22
Elemento maximal. Un elemento b de B se dice que es maximal
de B, respecto de la relación ≼, si no hay en B elemento alguno que sea estrictamente
posterior a él. Es decir,
b es maximal ⇔ ∀x ∈ B, b ≼ x ⇒ x = b
Capítulo 3. Relaciones
Definición 3.23
191
Elemento minimal. Un elemento b de B se dice que es minimal de
B, respecto de la relación ≼, si no hay en B elemento alguno que sea estrictamente
anterior a él. Es decir,
b es minimal ⇔ ∀x ∈ B, x ≼ b ⇒ x = b
Ejemplo 3.64 Sea A = {1, 2, 7, 14, 49, 98} y
98
el diagrama de Hasse del conjunto (A, )
donde “” es la relación de divisibilidad.
14
49
2
7
Determine los elementos maximales y minimales de los siguientes conjuntos.
1
(a) B1 = {14}
(d) B4 = {2, 14, 49}
(g) B7 = {1, 2, 7, 14, 49}
(b) B2 = {14, 49}
(e) B5 = {2, 7, 14, 49}
(h) B8 = A
(c) B3 = {7, 14, 49}
(f) B6 = {7, 14}
Solución.
Los elementos maximales y minimales de cada conjunto son representados en
la siguiente tabla.
Conjunto
Maximal
Minimal
B1 = {14}
14
14
B2 = {14, 49}
14, 49
14, 49
B3 = {7, 14, 49}
14,49
7
B4 = {2, 14, 49}
14, 49
2
B5 = {2, 7, 14, 49}
14, 49
2, 7
B6 = {7, 14}
14
7
B7 = {1, 2, 7, 14, 49}
14,49
1
B8 = A
98
1
■
Ejemplo 3.65 Sea A = {a, b, c} y el diagra-
ma de Hasse del conunto (A, ) donde “”
es la relación inclusión. Determine los ele-
{a, b, c}
{a, b}
mentos maximales y minimales de los siguientes conjuntos.
(a) B1 = {{b}, {c}, {a, b}}
(b) B2 = {∅, {b}, {c}, {a, b}}
{b}
{c}
∅
192
Solución.
3.7. Elementos distinguidos de un conjunto ordenado
Los elementos maximales y minimales de cada conjunto son presentamos en la
siguiente tabla.
Conjunto
Maximal
Minimal
B1 = {{b}, {c}, {a, b}}
{a, b}, {c}
{b}, {c}
B2 = {∅, {b}, {c}, {a, b}}
{a, b}, {c}
∅
■
Definición 3.24
Elemento máximo o último. Un elemento b perteneciente al sub-
conjunto B se dice que es máximo de B, respecto de la relación ≼, si es posterior a
todos los elementos de B. Es decir,
b es máximo ⇔ ∀x, x ∈ B ⇒ x ≼ b
Ejemplo 3.66 Sea el intervalo abierto (−1, 1) ⊆ R, donde se define la relación de menor
o igual (≤). Determine el último elemento si en caso existe.
Solución.
No tiene último elemento, ya que 1 no pertenece al intervalo abierto (−1, 1).
■
Ejemplo 3.67 Sea el conjunto A = {2, 3, 6, 9, 12, 36} ordenado por la relación de divisi-
bilidad (“|00 ). Determinar el último elemento si en caso existe.
Solución.
El último elemento es 36, ya que todos los elementos de A divide a 36.
■
Definición 3.25 Elemento mínimo o primero. El elemento b ∈ B se llama mínimo de
B, respecto de la relación ≼, si es anterior a todos los elementos de B. Es decir,
b es mínimo
⇔ ∀x, x ∈ B ⇒ b ≼ x
Ejemplo 3.68 Sea el intervalo abierto (−1, 1) ⊆ R, donde se define la relación de menor
o igual (≤). Determine el primer elemento si en caso existe.
Solución.
No tiene primer elemento, ya que −1 no pertenece al intervalo abierto.
■
Ejemplo 3.69 Sea el conjunto A = {2, 3, 6, 9, 12, 36} ordenado por la relación de divisi-
bilidad (“|00 ). Determinar el primer elemento si en caso existe.
Solución.
El primer elemento no existe, pues ningún elemento de A es divisor de todos los
demás. Por ejemplo, 2 no divide a 3, ni 3 divide a 2.
■
Capítulo 3. Relaciones
193
Definición 3.26 Cota superior. El elemento a de A se dice que es cota superior de
B, subconjunto de A, si es posterior a todos los elementos de B; es decir,
a es cota superior de B ⊆ A ↔ ∀x, x ∈ B ⇒ x ≼ a
Definición 3.27 Cota inferior. El elemento a de A se dice que es cota inferior de B,
subconjunto de A, si es anterior a todos los elementos de B; es decir,
a es cota inferior de B ⊆ A ↔ ∀x, x ∈ B ⇒ a ≼ x
Ejemplo 3.70 Sea A = {a, b, c, d, e, f , g, h } y el diagrama de Hasse del conjunto ordenado
{A, ≼}.
Encontrar todas las cotas superiores
e inferiores de los subconjuntos de A.
h
f
g
e
d
(a). B1 = {a, b}
(b). B2 = {c, d, e}
c
a
b
Solución.
(a). B1 = {a, b}, No tiene cotas inferiores y las cotas superiores son c, d, e, f , g y h.
(b). B2 = {c, d, e}. Las cotas inferiores son a, b y c y las cotas superiores son f , g y h
■
Obsérvese que un subconjunto B de un conjunto ordenado A puede tener o no cotas
superiores o inferiores en A. Además, una cota superior o inferior de B podrá o no pertenecer
a B.
Definición 3.28 Supremo. Sea B un subconjunto de A. El elemento a ∈ A se dice que
es el supremo o cota superior mínima de B en A si se verifica:
1. a es una cota superior de B en A
2. Si a0 es otra cota superior de B en A, entonces a ≼ a0 .
194
3.7. Elementos distinguidos de un conjunto ordenado
Definición 3.29 Ínfimo. Sea B un subconjunto de A. El elemento a ∈ A se dice que es
el ínfimo o cota inferior máxima de B en A si se verifica:
1. a es una cota inferior de B en A
2. Si a0 es otra cota inferior de B en A, entonces a0 ≼ a.
Ejemplo 3.71 Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} un conjunto ordenado cuyo diagrama
de Hasse está en la figura. Encontrar el supremo y el ínfimo de B = {6, 7, 10}.
11
9
5
10
6
7
3
2
8
4
1
Solución.
Siguiendo una trayectoria ascendente desde los vértices 6, 7 y 10, el primer
vértice que se encuentra es el 10, luego el supremo es el 10.
De la misma forma, explorando todas las trayectorias descendentes desde 6, 7 y 10,
■
encontramos que el ínfimo es el 4.
A continuación realizamos algunos ejemplos, donde tengamos que encontrar los elementos distinguidos.
Ejemplo 3.72 En el conjunto Z+ se define la relación: aRb
⇔
a divide a b.
(a). Demostrar que es de orden. ¿Es de orden total?
(b). Dibujar un diagrama de Hasse para los conjuntos.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
(c). Encontrar los elementos distinguidos de los conjuntos A y B ordenados por esta
relación.
Solución.
La relación de divisibilidad se expresa de la siguiente forma.
aRb ⇔ a divide b ⇔ ∃k ∈ Z+ : b = a · k
Observese que a|b equivale a decir que a es un divisor de b o que b es múltiplo de a.
Capítulo 3. Relaciones
195
(a). La relación de divisibilidad es de orden y también es de orden parcial (demostrado en el
Ejemplo 3.49). Esto significa que no es de orden total.
(b). Los diagramas de Hasse se muestran en la figura
8
9
6
5
36
7
12
18
4
2
9
6
4
3
2
1
3
1
(b). Determinamos los elementos distinguidos de A y B.
Elementos maximales. Recordemos que a ∈ A es maximal si no existe en A ningún elemento que lo suceda. En este caso podemos decir, por tanto, que a ∈ A es
maximal si no es divisor de ningún elemento de A, luego los maximales son 5,6,7,8 y 9.
Elementos minimales. El elemento a ∈ A es minimal si no existe en A ningún elemento
que lo preceda. En este caso podemos decir, por tanto, que a ∈ A es minimal si no es
múltiplo de ningún elemento de A, luego el único minimal es el 1.
Máximo. Un elemento a ∈ A es máximo si sucede a todos los elementos de A. Por
tanto, en este caso a ∈ A es máximo si es múltiplo de todos los elementos de A. En el
conjunto propuesto, obviamente, no hay máximo.
Mínimo. Un element a ∈ A es mínimo si precede a todos los elementos de A. Por tanto,
en este caso, a ∈ A es mínimo si es divisor de todos los elementos de A. El mínimo es,
consecuentemente, el 1.
Cotas superiores. Un elemento a ∈ Z+ es cota superior del conjunto A si sucede a
todos los elementos de A. Por consiguiente, en este caso, a ∈ Z+ es cota superior si es
múltiplo de todos los elementos de A. Por lo tanto, son cotas superiores de A el mínimo
común múltiplo de 5,6,7,8 y 9 y todos sus mútiplos. Es decir,
Cotas superiores = {x ∈ Z+ : x = 2520 · k, k ∈ Z+ }
196
3.7. Elementos distinguidos de un conjunto ordenado
Cotas inferiores. Un elemento a ∈ Z+ es cota inferior del conjunto A si precede a todos
los elemlentos de A. Por consiguiente, en este caso, a ∈ Z+ , es cota inferior si es divisor de todos los elementos de A. Por lo tanto, la única cota inferior del conjunto A es el 1.
Supremo. El elemento a ∈ Z+ es el supremo del conjunto A si es cota superior y
precede a todas las demás cotas superiores. En este caso, podemos decir que a ∈ Z+
es el supremo de A si divide a todas las cotas superiores, luego es el mínimo común
múltiplo de 5,6,7,8 y 9, es decir, 2520.
Infimo. El elemento a ∈ Z+ es el ínfimo del conjunto A si es cota inferior y sucede a
todas las demás cotas inferiores. En este caso, podemos decir que a ∈ Z+ es el ínfimo
de A si es múltiplo de todas las cotas inferiores. Dado que sólo hay una cota inferior,
ella será el ínfimo, es decir, el 1.
Veamos ahora los elementos distingidos de:
B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Elementos maximales: 36
Elementos minimales: 1
Máximo: 36
Mínimo: 1
Cotas superiores: {x ∈ Z+ : x = 36 · k, k ∈ Z+ }
Cotas inferiores: 1
Supremo: 36
Infimo: 1
■
Ejemplo 3.73 Sea A = R, A = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1} =]0, 1] con la relación de orden “menor
o igual que” (≤). Determine los elementos distinguidos del conjunto ordenado (A, ≤).
Es decir, determine:
(a). Maximal
(d). Mínimo.
(g). Supremo.
(b). Minimal
(e). Costa superiores.
(h). Infimo.
(b). Máximo.
(f). Cotas inferiores.
Capítulo 3. Relaciones
Solución.
197
Antes graficamos al conjunto A.
supremo y máximo
Infimo
A
Cotas inferiores
0
1 Cotas superiores
Ahora, de acuerdo a la definición de cada elemento distinguido, tenemos:
(a). Maximal. 1 es el único elemento maximal de A, pués no hay en A, un elemento estrictamente posterior a 1.
(b). Minimal. El conjunto A no tiene elementos minimales, pues cero “000 no es elemento
minimal, porque 0 < A. Si suponemos que “0.1100 fuera el elemento minimal, lo cual es
falso. Pues es claro que 0.11 ∈ A, pero en A existen elementos estrictamente anterior
a 0.11, como por ejemplo 0.01, 0.001, ..., etc.
(b). Máximo. El máximo de A es 1. Pués 1 ∈ A y además 1 es posterior a todos los elementos
del conjunto A.
(d). Mínimo. El conjunto A no tiene minimo, porque 0 < A.
(e). Costa superiores. Las cotas superiores de A, son todos los números reales x con la
propiedad x ≥ 1.
(f). Cotas inferiores. Las cotas inferiores de A, son todos los números reales x con la propiedad x ≤ 0.
(g). Supremo. El supremo de A es 1, porque 1 es el mínimo (ó el más pequeño) de todas
las cotas superiores.
(h). Infimo. El ínfimo de A es 0, porque 0 es el máximo (o el más grande) de todas las cotas
inferiores.
■
198
3.7. Elementos distinguidos de un conjunto ordenado
Ejemplo 3.74 En el siguiente diagrama de
f
Hasse representa un conjunto parcialmente ordenado. Determinar:
c
(a) Los elementos maximales y minima-
i
les, si los hay
e
b
(b) Los elementos máximos y mínimos, si
h
los hay.
d
(c) Sea B = {e, g, h}, determinar el supre-
a
mo de B, si lo hay.
g
Solución.
(a) Los elementos máximales son: c, f , i y los elementos minimales son: a, d, g .
(b) No tiene ni maxímo, ni minímo
(c) El conjunto B, no tiene supremo
■
Ejercicio 3.39 En el diagrama se repre-
i
h
f
senta una relación de orden R sobre
g
j
E = {a, b, c, d, e, f , g, h, i, j }
d
Determine: cota superior, cota inferior, su-
a
premo, ínfimo, máximo y el mínimo de A =
e
b
c
{d, e}.
Ejercicio 3.40 Sea A = {x ∈ Q : 0 ≤ x2 ≤ 2} un subconjunto de Q en el que se considera
la relación de orden. Determine las cotas superiores e inferiores, supremo e ínfimo, el
máximo y el mínimo de A.
Ejercicio 3.41 Hacer el diagrama de Hasse de la relación de orden por divisibilidad
sobre el conjunto E = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Determinar las cotas superiores e inferiores,
supremo e ínfimo, el máximo y mínimo de A = {6, 10}
Ejercicio 3.42 Hacer el diagrama Hasse de la relación de orden por inclusión del con-
junto E = {{a}, {b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d }, {a, b, c, d, e}}. Determinar las cotas superiores
e inferiores, supremo e ínfimo, el máximo y mínimo de A = {{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d }}
Capítulo 3. Relaciones
199
Ejercicio 3.43 Considere la relación R definida en N×N definida de la siguiente forma
(a, b)R(c, d) si, y solamente si, a|c ∧ b ≤ d
(i) Demostrar que R es una relación de orden parcial.
(ii) Determine las cotas superiores e inferiores, el supremo e ínfimo, el máximo y mínimo de A = {(1, 2), (2, 1)}
Ejercicio 3.44 Sean E y F dos conjuntos totalmente ordenados por la relación ≤. Sean
α = (x, y) y β = (x0 , y 0 ) elementos de E × F, en que está definida la relación R de la
siguiente forma:
αRβ si, y solamente si, (x ≤ x0 o(x = x0 y y ≤ y 0 ))
Demostrar que R es una relación de orden total en E × F.
Ejercicio 3.45 Hacer el diagrama Hasse de relación de inclusión sobre P (E) en E =
{a, b, c}, con a , b , c , a.
4. Funciones
Presentación. Las funciones son las herramientas más utilizadas en toda el área de
las matemáticas, aún más nos preguntamos. ¿En qué área de la matemática no se ve
involucrada las funciones? De manera informal podemos decir que una función es un
mecanismo o regla que nos permite hacer una conexión de elementos de un conjunto
a otro. Un ejemplo podría ser la ganancia que genera un influencer al promocionar un
producto, es decir, si tomamos al conjunto de productos y el otro conjunto de ganancias
en moneda Boliviana, por cada artículo que promociona este influencer obtiene una
única ganancia.
En el desarrollo del capítulo se introducen los conceptos básicos como la definición de
funciones, gráficas de funciones, clasificación de funciones, composición de funciones,
funciones inversas, imágenes de subconjuntos del dominio y pre imágenes del conjunto
de llegada.
Objetivo. Desarrollar las definiciones y propiedades que tiene una función con sus respectivos ejemplos, para una mejor comprensión.
Objetivos específicos.
• Identificar cuando una relación es o no una función
• Identificar Dominio, Imagen de las funciones
• Clasificar las funciones.
• Desarrollar composiciones de funciones
• Identificar la imagen de un subconjunto del dominio
• Identificar la imagen inversa de un subconjunto de la imagen
200
Capítulo 4. Funciones
4.1
201
Funciones y sus gráficas
Sin duda las funciones juegan un rol muy importante en el área del álgebra, más aún en
todas las ramas de las matemáticas, y para poder introducir este concepto veamos algunos
ejemplos en donde las funciones nos ayuda a solucionar problemas.
Con una función podemos determinar:
• El número de clientes de una empresa, para un determinado producto.
• La utilidad de una empresa con relación al precio de venta de algún producto.
• La tasa de crecimiento poblacional de una determinada región.
• El volumen, área y perímetros de determinadas superficies.
• El número de goles de un determinado equipo en un campeonato.
Así, nuestra definición rigurosa, lo presentamos de la siguiente manera.
Definición 4.1 Función. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Una función f de A
en B es una relación f ⊆ A × B que cumple:
(i). Para toda x ∈ A, existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f , es decir:
∀x(x ∈ A ⇒ (∃y(y ∈ B ∧ (x, y) ∈ f )))
(ii). Cada elemento de A tiene asociado sólo un elemento de B es decir,
∀x ∈ A ∀y1 , y2 ∈ B [((x, y1 ) ∈ f ∧ (x, y2 ) ∈ f ) ⇒ y1 = y2 ]
El hecho de que f sea una función de A en B es denotado por f : A → B, con su regla de
correspondencia f (x) = y o de manera equivalente:
f = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}
Donde:
• A es el conjunto de partida, B es el conjunto de llegada.
• x es la preimagen de y según f , y es la imagen de x según f .
• x es la variable independiente, y es la variable dependiente.
Ejemplo 4.1 Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}. ¿Cuál de las siguientes relaciones f son
funciones?
202
4.1. Funciones y sus gráficas
(a). f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}
(d). f = {(a, 1), (b, 2)}
(b). f = {(a, 1), (b, 1), (c, 4)}
(e). f = {(a, 1), (a, 2), (b, 3).(c, 4)}
(c). f = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)}
Solución.
A continuación representamos las relaciones gráficamente:
(a) Es función
f
A
(b) Es función
f
A
B
1
a
a
2
b
b
3
c
c
4
(d) No es función
f
A
a
b
c
(c) Es función
f
A
B
1
1
a
2
2
b
3
3
c
4
4
(e) No es función
f
A
B
1
2
3
B
a
b
c
4
B
1
2
3
4
■
Ejemplo 4.2 Sean A = {−1, 0, 1, 2} y B = {0, 1, 4}, consideremos las siguientes relaciones
(i). F ⊆ A × B con su regla de correspondencia
(x, y) ∈ F ⇔ y = x2 .
(ii). R ⊆ A × B con su regla de correspondencia (x, y) ∈ R ⇔ x = y 2
Determinar si F y R son funciones o no.
Solución.
(i). F = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)} es una función, pues a todos los elementos de A les corresponde uno y sólo uno de B.
(ii). R = {(1, −1), (0, 0), (1, 1), (4, 2)}. Aquí podemos ver que el elemento 1 del conjunto de partida tiene como imagen dos valores en el conjunto de llegada, por esta razón R no es
una función.
■
Capítulo 4. Funciones
203
Ejemplo 4.3 De un cierto producto cartesiano A × B se ha tomado el conjunto:
F = {(3, a + 2b), (1, 4), (2, 6), (1, 2a + b), (3, 11), (4, 1)}
Hallar los valores de a y b para que F sea una función.
Solución.
Los elementos (3, a+2b), (3, 11) ∈ F tienen la primera componente igual, para que
F sea una función las segundas componentes deben ser iguales, es decir: a + 2b = 11, de la
misma manera, para los elementos (1, 4) y (1, 2a + b), se tiene que 2a + b = 4. Así, tenemos
que resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
a + 2b = 11
2a + b = 4
Resolviendo el sistema se tiene: a = −1, b = 6. Por tanto, de esta manera la relación F es una
■
función.
Observación 4.1 Consideremos las siguientes proposiciones:
(a). Toda relación es una función.
(b). Toda función es una relación.
Afirmamos que el inciso (a) es falso, y el inciso (b) es verdadero.
Demostración. Para verificar el inciso (a) tomemos la relación R del ejemplo 4.2, donde R
es una relación, pero no es función. El inciso (b) es verdadero, por definición de función. ■
De acuerdo al inciso (ii) de la definición de función, podemos realizar interpretación geométrica de
una función. Sea A y B conjuntos no vacíos y A ⊆ R, B ⊆ R, entonces:
f : A → B es
función
⇔
Toda recta vertical corta a la gráfica de f
a lo más en un punto
Observemos las siguientes gráficas, la función f es una función porque, para cualquier línea
vertical, esta corta a la gráfica de f en un punto, en cambio, la función g no es una función
porque existe una recta vertical que corta a la gráfica g en dos puntos.
204
4.1. Funciones y sus gráficas
y
2
1
y
2
1
g(y) = 1+y
2
1
f (x) = 1+x
2
1
x
−2 −1 0
−1
1
−2 −1 0
−1
2
−2
x
1
2
−2
n
o
1
1
1
1
+ bc
+ ca
Ejemplo 4.4 Si F = (1, 1), 2, 1a + 1b + 1c , 1, abc
, 2, ab
, (2, 3) , representa una
función. Determine ab 2 c3 .
1
1
Como (1, 1), 1, abc
∈ F y F es función, entonces abc
= 1, implica que abc = 1.
1
1
1
1
1
1
Además, como 2, a + b + c , 2, ab + bc + ac , (2, 3) ∈ F, y se sabe que F es función, entonces
Solución.
1
1
1
1
1
1
a + b + c = ab + bc + ac = 3, esto implica:
ab + bc + ac = a + b + c = 3
Así tenemos el sistema de ecuaciones:
a+b+c = 3
ab + bc + ac = 3
abc = 1
y podrá darse cuenta de que el sistema anterior satisface para: a = 1, b = 1 y c = 1. Por
tanto,
ab 2 c3 = 1
■
Ejercicio 4.1 Sea la función F definida en Z, así:
F = {(2, 5), (3, a2 ), (2, a + b), (3, 4), (b, 5)}
Hallar a · b
Ejercicio 4.2 ¿Cuáles de las siguientes relaciones representan funciones?
Capítulo 4. Funciones
205
(a) f = {(2, −2), (−3, 3), (4, −4), (−5, 5)}
(c) h = {(x, y) ∈ Z : |x + 4| − y = 0}
(b) g = {(x, y) ∈ R : (y − 1)2 + (x + 7)2 = 8}
(d) k = {(5, 2), (1, 3), (5, 4)}
Ejercicio 4.3 En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} se definen las funciones F y G mediante:
F ={(2, 4), (1, 5), (3, r), (2, s), (4, 3), (5, t)}
G ={(x, y) ∈ A × A : y = rx + t}
tal que G(2) = F(1), F(2) = G(1). Calcular: 3r + 2s + t
Ejercicio 4.4 ¿Cuáles de las siguientes gráficas representan funciones?
(a)
(b)
(c)
(d)
Ahora definiremos, los tres elementos importantes de una función.
Definición 4.2 Dominio, Imagen y Gráfica de una función.
Dada una función f : A → B tal que y = f (x), se define:
• Dominio de la función f : Df = {x ∈ A : ∃y ∈ B, (x, y) ∈ f } ⊆ A
• Imagen de la función f : Imf = {y ∈ B : ∃x ∈ A, (x, y) ∈ f } ⊆ B
• Gráfica de la función f : Gf = {(x, y) : x ∈ Df ∧ y = f (x) ∈ Imf } ⊆ A × B
Cuando f : A → B es una función, el inciso (i) de la definición de función es equivalente a decir
Df = A. Ahora la imagen de la función f podemos escribir de una manera más sencilla:
Imf ={y ∈ B : ∃x ∈ A, (x, y) ∈ f }
={y ∈ B : ∃x ∈ A, f (x) = y}
={f (x) : x ∈ A}
Con la definición anterior resolvamos los siguientes ejemplos.
206
4.1. Funciones y sus gráficas
Ejemplo 4.5 Sea la función f : Z → R dada por f (x) = 21 x. Hallar el dominio, Imagen
y hacer la representación gráfica de la función.
Solución.
Comencemos a calcular alguna de las imágenes:
3
1
1
3
. . . , f (−3) = − , f (−2) = −1, f (−1) = − , f (0) = 0, f (1) = , f (2) = 1, f (3) = , . . .
2
2
2
2
• El dominio es: Df = {x ∈ Z : ∃y ∈ R, (x, y) ∈ f } = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} = Z
• La imagen es: Imf = {y ∈ R : ∃x ∈ Z, (x, y) ∈ f } = {. . . , − 32 , −1, − 12 , 0, 12 , 1, 32 , . . .} ⊂ R
• La gráfica de la función f es: Gf = {(x, y) / x ∈ Df ∧ y = f (x) ∈ Imf }
y
Gf
1
Df
−3
−2
x
−1
0
1
2
3
−1
Imf
■
Ejemplo 4.6 Observemos la gráfica cartesiana de la función f .
f
y
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
10
Determinar el dominio y su imagen de f .
Solución.
Según la gráfica, para hallar el dominio de esta función, una manera podría ser,
imaginarse una proyección de la gráfica de arriba hacia el eje x esto provocaría un reflejo
Capítulo 4. Funciones
207
en el eje x, como si se pusiera una luz en la parte superior de la gráfica. Haciendo este
procedimiento el dominio de la función es:
Df = {x ∈ R : 1 < x < 7 ∧ 7 < x ≤ 9} = [1, 9] − {7}
Para hallar la imagen de la función podemos hacer el mismo procedimiento, pero en este
caso, la proyección seria de la parte derecha de la gráfica hacia el eje y. Así obtenemos la
imagen de la función:
Imf = {y ∈ R : 1 < y ≤ 6} =]1, 6]
■
Otra manera de representar a los elementos del dominio e imagen de una función es como
se muestra en la siguiente notación, esta notación es usada en Grupo de Permutaciones. 1
Cuando el dominio de una función f : A → B es un conjunto formado por n elementos, digamos a1 , a2 , ..., an , podemos describirla mediante un arreglo de dos renglones, colocando en
el primer renglón los distintos elementos del dominio y debajo de ellos sus correspondientes
imágenes:




a1
a2
···
an
f (a1 ) f (a2 ) · · · f (an )




Ejemplo 4.7 Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {−2, −1, 0, 9} y f : A → B la función dada por
f (1) = f (3) = f (5) = 0, f (2) = f (6) = −1, f (4) = f (7) = 9. Su regla de correspondencia
se puede describir con el arreglo:


 1 2 3 4 5 6 7 



0 −1 0 9 0 −1 9
En este caso If = {−1, 0, 9}.
Ahora daremos un compendio de funciones con sus respectivas gráficas y a partir de
estas funciones se pueden generar muchas más funciones.
1. Función identidad: f = i : R → R esta función asigna a cada x de R, el mismo x, es
decir:
i: R → R
x
y
7→ i(x) = x
Donde:
i(x) = x
x
Di = R =] − ∞, +∞[
Imi = R =] − ∞, +∞[
1 También conocidos como grupos simétricos. Su importancia se hace notar en el teorema de Cayley, el cual
establece que cualquier grupo finito es isomorfo a un subgrupo de cierto grupo de permutaciones.
208
4.1. Funciones y sus gráficas
2. Función Constante: f : R → R es una función que asigna a cada elemento x de R un
único elemento c en R, es decir:
f : R → R
x
y
7→ f (x) = c
f (x) = c
Donde:
Df = R
x
Imf = {c}
3. Función Lineal: Esta función tiene la forma:
y
f : R → R
x
7→ f (x) = m · x + b
f (x) = m · x + b
Donde:
b
x
Df = R
Imf = R
4. Función Valor Absoluto:
Esta función tiene la forma: f : R → R


y

x,
si x ≥ 0;

x 7→ f (x) = 

 −x, si x < 0
f (x)
Donde:
x
Df = R
Imf = [0, +∞[
5. Función Parte Entera: Esta función tiene la forma: |[ ]| : R → R
 .

..







2,





 1,



x 7→ |[x]| = 
0,





−1,





−2,





 ...
Donde:
y
si 2 ≤ x < 3;
|[ ]|
si 1 ≤ x < 2;
si 0 ≤ x < 1;
si −1 ≤ x < 0;
si −2 ≤ x < −1
D|[ ]| = R
Im|[ ]| = Z
x
Capítulo 4. Funciones
209
6. Función Signo . La función signo de un número está dada por sgn : R → R
y


1,
si
x
>
0




sgn(x) = 
 0, si x = 0


 −1, si x < 0
1
Donde:
−2 −1 0
−1
x
1
2
Dsgn = R
Imsgn = {1, 0, −1}
7. Función Cúbica. Esta función tiene la forma:
f : R → R
y
7→ f (x) = x3
x
f (x) = x3
2
1
Donde:
−2 −1 0
−1
Df = R
x
1
2
−2
Imf = R
Ejemplo 4.8 Determinar la imagen de la función dada por:
f (x) =
x2 + 1
|[sgn(x2 − x − 6)]| − 1
Solución.
Antes determinemos el dominio de la función:






x2 + 1
 n

Df = 
x
∈
R
:
f
(x)
=
= x∈R:



|[sgn(x2 − x − 6)]| − 1 
o
|[sgn(x2 − x − 6)]| , 1
Pero:
|[sgn(x2 − x − 6)]| , 1 ⇔ |[sgn(x2 − x − 6)]| , 1 ∧ |[sgn(x2 − x − 6)]| , −1
⇔ sgn(x2 − x − 6) = 0
(Por definición de sgn y parte entera)
⇔ x2 − x − 6 = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = −2
Así Df = {−2, 3}. Ahora, evaluando la función para cada valor del dominio:
(−2)2 +1
• x = −2: f (−2) = |[0]|−1 entonces f (−2) = −5
2
+1
entonces f (3) = −10
• x = 3: f (3) = |[30]|−1
Luego: Imf = {−10, −5}
■
210
4.1. Funciones y sus gráficas
Ejemplo 4.9 Dada la función f definido por f (x) = −x2 + 2x + 3. Hallar el dominio,
imagen y graficar.
Solución.
Esta es una función cuadrática, su dominio es todos los números reales, ya que
para cualquier valor de x ∈ R la función f está bien definida.
y
Para realizar la gráfica cartesiana de Gf =
{(x, y) / x ∈ Df ∧
y = −x2 + 2x + 3 ∈ Im
f}
notemos que la función es cuadrática (pa-
4
rábola) f (x) = −x2 + 2x + 3 = y, completan-
3
do cuadrados obtenemos −(x − 1)2 = y − 4
2
de aquí la parábola tiene vértice en el pun-
(1, 4)
f (x)
1
to (1,4). La intersección de la parabola al eje
−1 0
y es cuando x = 0, y la imagen del punto 0 es
1
2
3
x
f (0) = −02 + 2 · 0 + 3 = 3, por tanto, la función
corta al eje y en el punto (0, 3).
Para determinar donde la función interseca al eje x hacemos f (x) = 0, entonces esto
ocurre cuando x1 = −1 o x2 = 3. Por lo tanto, la función corta al eje x en los puntos (−1, 0)
y (3, 0). Ahora encontramos la imagen de la función, vemos que la función no toma valores
superiores a 4; sin embargo,la función continua indefinidamente hacia los valores negativos,
por lo tanto:
Imf = {y ∈ R/ y ≤ 4}
con
Df = R
■
Ejemplo 4.10 La longitud del perímetro de un rectángulo es de a unidades. Hallar una
función f tal que f (x) sea el área del rectángulo de base x y encontrar su dominio e
imagen.
Solución.
Observando el gráfico podemos
determinar el área del rectángulo está dada
por la función:
f (x) = x
a
−x
2
donde x > 0. De aquí, podemos em-
a−2x
2
f (x)
x
pezar a determinar el dominio de f :
x
a
ax
a2
a 2
a 2 a2
−x > 0 ⇔
− x2 > 0 ⇔
− x−
>0⇔ x−
<
2
2
16
4
4
16
a
a a
a
⇔− <x− < ⇔0<x<
4
4 4
2
Capítulo 4. Funciones
211
i 2h
a
a
Luego x ∈ Df = 0, . En consecuencia la imagen está dado por f (x) ∈ 0, 16
.
2
n
■
o
Ejemplo 4.11 Sea F : Z → Z tal que F(x + 1) = x2 y A = x ∈ Z : x2 ≤ 50 se afirma que:
(a). ∃x ∈ A tal que F(x) = 64.
(b). F(2 + F(0)) = 4.
Señale si es verdad (V) o falso (F) los anteriores incisos.
Solución.
Haciendo la traslación de F(x + 1) = x2 , tenemos F(x) = (x − 1)2 y además el
conjunto A = {x ∈ Z : −7 ≤ x ≤ 7}.
(a). De F(x) = 64 tenemos (x − 1)2 = 64, de aquí x = 9 o x = −7. Como −7 ∈ A entonces
podemos afirmar que existe x = −7 ∈ A, de tal manera que cumple F(−7) = (−7−1)2 = 64.
Por lo tanto el inciso (a) es verdadero.
(b). De F(0) = (0 − 1)2 , implica F(0) = 1. Luego, F(2 + F(0)) = F(3) = (3 − 1)2 = 4. Por lo tanto
el inciso (b) también es verdadero.
■
Ejercicio 4.5 Hallar el dominio e imagen de la siguiente función:
f (x) =
x| x − |x| |
p
(1 − x − |[x]|)(1 + |[x]| − x)
p
Ejercicio 4.6 Sea f una función definida en R por la regla de correspondencia:
f (x) = 8x
2x − 5
5x − 15
+ x2
x−4
x+2
Determine su dominio e imagen.
Ejercicio 4.7 Determine cuál es el dominio e imagen de las siguientes relaciones y
posteriormente diga si son funciones en ese dominio, justificando su respuesta.
(i). Sea A = {1, 2, 3} y sea S = {(x, y) ∈ A2 : x + 1 = y}.
(ii). Sean A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} y S ⊆ P(A)×P(B), donde S = {(X, B − A) : X ∈ P(A)}
Ejercicio 4.8 Calcular el dominio, imagen y sus respectivas gráficas de las siguientes
funciones.
(a) f (x) = −4x2 + 1
2
(b) g(x) = x−1
√
(c) h(x) = x + 3
(d) r(x) = √ 1
x+2
212
4.2
4.2. Clasificación de funciones
Clasificación de funciones
Las funciones se pueden clasificar por la manera que se relacionan los elementos del
dominio con los de la imagen.
Definición 4.3 f : A → B es Inyectiva ⇔ ∀x1 ∀x2 ∈ A : x1 , x2 ⇒ f (x1 ) , f (x2 ).
La siguiente observación es la contrarecíproca de la definición de función inyectiva.
Observación 4.2 Esta afirmación es la más usada, cuando se desea demostrar la
inyectividad de una función.
f : A → B es inyectiva ⇔ ∀x1 ∀x2 ∈ A : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Ejemplo 4.12 Demostrar que la función:
f : N → N
x
7→ f (x) = 2x
es inyectiva.
Solución.
Para demostrar hacemos uso de la observación 4.2.
∀x1 ∈ N, ∀x2 ∈ N : f (x1 ) = f (x2 )
∀x1 ∈ N, ∀x2 ∈ N : 2x1 = 2x1
∀x1 ∈ N, ∀x2 ∈ N : x1 = x2
Por lo tanto, la función f (x) = 2x es inyectiva.
(Hipótesis)
(Definición de f )
(Ley de cancelación)
■
Ejemplo 4.13 Demostrar que no es inyectiva la función
g: R → R
x
Solución.
7→ g(x) = x4 − x
Para demostrar que g no es inyectiva, tenemos que tener un contraejemplo.
Notemos que g(0) = g(1), pero 0 , 1, esto significa que no cumple la definición de inyectiva.
■
Geometricamente podemos decir, cuando una función es inyectiva o no.
f : A → B es una función inyectiva ⇔ Toda recta horizontal corta a la gráfica f a lo más en un punto.
Capítulo 4. Funciones
213
y
y
g(x) = sen(x)
f (x) = ln(x)
1
2
1
−π − π
x
−1
1
2
3
π
2
2
x
π
4
−1
−1
La función f (x) es una función inyectiva y la función g(x) no es inyectiva.
Definición 4.4 f : A → B es sobreyectiva⇔ ∀y ∈ B, ∃x ∈ A : y = f (x).
La siguiente observación se puede demostrar usando la definición de imagen de una
función.
Observación 4.3 Sí la función es sobreyectiva es equivalente a mostrar lo siguiente:
f : A → B es sobreyectiva ⇔ Imf = B
donde Imf = B se lee como el conjunto de las imágenes que se identifica con B.
Ejemplo 4.14 Sean A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}. Demostrar que es sobreyectiva la función
f : P (A) → P (B)
X
Solución.
7→ f (X) = X ∩ B
Evaluando cada elemento de
P (A) por la regla de correspondencia de f en
un elemento de P (B).
X 7−→ f (X) = X ∩ B
∅ 7−→ f (∅) = ∅ ∩ B = ∅
{1} 7−→ f ({1}) = {1} ∩ B = {1}
{2} 7−→ f ({2}) = {2} ∩ B = {2}
P (A)
.
f
∅
{1}
{2}
{3}
{1, 2}
{1, 3}
{2, 3}
A
P (B)
∅
{1}
{2}
B
{3} 7−→ f ({3}) = {3} ∩ B = {3}
Como se puede observar en la gráfica, f : P (A) → P (B) es sobreyectiva, pues, para
214
4.2. Clasificación de funciones
cada elemento de P (B), hay por lo menos un elemento en P (A), así cumple la regla de
correspondencia (f (X) = X ∩ B), es decir Imf = P (B).
■
Ejemplo 4.15 Demostrar que siguiente función es sobreyectiva
f : Z → Z
x
Solución.
7→ f (x) = 3x + 1
La negación de la definición de sobreyectiva es:
f : Z → Z no es sobreyectiva ⇔ ∃y ∈ Z, ∀x ∈ Z : f (x) , y
f : Z → Z no es sobreyectiva ⇔ ∃0 ∈ Z, ∀x ∈ Z : 3x + 1 , 0
|
{z
}
α
La expresión de (α) nos dice que no hay un x ∈ Z que cumpla 3x + 1 = 0. Por la equivalencia
■
f es no sobreyectiva.
Definición 4.5 f : A → B es biyectiva ⇔ f es inyectiva y f es sobreyectiva.
Es importante mencionar que en algunos libros se llama correspondencia 1 − 1 (uno a uno), a
una función biyectiva, pero generalmente si sólo se dice función 1-1 (y no se menciona la palabra
correspondencia) se está considerando que la función es inyectiva.
Ejemplo 4.16 Clasificar la correspondencia de las siguientes funciones.
f
Solución.
g
h
t
Las funciones f y g son inyectivas porque cada uno de los elementos del dominio
tienen exactamente una única imagen, f es además sobreyectiva porque todos los elementos
de la imagen tiene su correspondiente pre imagen en el dominio, también observamos que
g no es sobreyectiva, pues existe un elemento en el conjunto de llegada, que no tiene su
preimagen. Siendo f inyectiva y sobreyectiva, f es biyectiva.
Capítulo 4. Funciones
215
La función h y t no son inyectivas porque hay dos elementos distinto en el dominio que
tiene como correspondencia un solo elemento en la imagen, además se puede observar que
■
h es sobreyectiva y t no es sobreyectiva.
Ejemplo 4.17 Demostrar que la siguiente función
f : R → R
x
7→ f (x) = x3
es biyectiva.
Solución.
Para demostrar que la función es biyectiva, primero mostramos que f es inyec-
tiva, luego f es sobreyectiva.
• f : R → R definido por f (x) = x3 es inyectiva. Para todo x, y ∈ R:
(Hipótesis)
f (x) = f (y)
x3 = y 3
2
(Definición de función)
2
(x − y)(x + xy + y ) = 0
(factorizando)
x=y
(x2 + xy + y 2 , 0)
√
• f : R → R definido por f (x) = x3 es sobreyectiva. Para todo y ∈ R: existe x = 3 y ∈ R tal
que f (x) = y. Esto justifica:
f (x)
x3
=
|{z}
definición de f
√
( 3 y)3
=
|{z}
√
sustituyendo x = 3 y
=
|{z}
y
simplificando
■
Por tanto, f es biyectiva.
Para encontrar la existencia de x tenemos que despejar la variable x de la ecuación f (x) = y, como
√
en el anterior ejemplo f (x) = x3 = y de donde se obtiene x = 3 y.
Teorema 4.1 Sea A un conjunto no vacío cualquiera. Sean
R = {R : R es realción de equivalencia sobre A}
y
P = {P : P es partición de A}
Entonces existe una función biyectiva F : R → P definida por F(R) = A
R , donde
A
= {[a]R : a ∈ A}
R
es el conjunto cociente de la relación de equivalencia R.
216
4.2. Clasificación de funciones
Demostración.
Mostraremos que la relación F ⊂ R × P definido por:
(R, P) ∈ F ⇔ P =
A
R
(4.1)
es una función
Existencia. Para cualquier R ∈ R (R es una relación de equivalencia sobre A), entonces por
A
A
A
el corolario 3.1 existe A
∈
P
,
tal
que
R,
∈
F
pues
=
R
R
R
R .
Unicidad. Para cualquier R ∈ R y para todo P1 , P2 ∈ P de tal manera (R, P1 ) ∈ F y (R, P2 ) ∈ F,
A
entonces por definición (1.1) tenemos P1 = A
R y P2 = R de aquí observamos que P1 = P2
Por tanto, la relación F, es una función, F : R → P , definido por F(R) = A
R
Para mostrar que F : R → P es biyectiva, tenemos que mostrar que F es sobreyectiva y
F es inyectiva.
Mostraremos que F es sobreyectiva (∀ P ∈ P ∃ R ∈ R : F(R) = P)
Sea cualquier partición P = {Ai : i ∈ I } de A, entonces existe una relación R inducida por
P definida por:
(a, b) ∈ R ⇔ ∃i ∈ I : a ∈ Ai y b ∈ Ai
Esta relación R es de equivalencia (por Teorema 3.4). Ahora verifiquemos que F(R) = P, es
decir, A/R = P. Por definición de conjunto cociente A/R = {[a]R : a ∈ A}, pero por el Teorema
3.7 tenemos {[a]R : a ∈ A} = P, por tanto, F(R) = P, así F es sobreyectiva.
Mostraremos que F es inyectiva. (∀R1 , R2 ∈ R : F(R1 ) = F(R2 ) ⇒ R1 = R2 ) Sean R1 y R2
elementos de R tales que F(R1 ) = F(R2 ) es decir RA = RA , luego por el teorema 3.5 R1 = R2 .
1
2
Así F es inyectiva.
En conclusión, existe una función biyectiva F entre el conjunto de relaciones de equivalencia sobre A y el conjunto de particiones de A.
■
Ejemplo 4.18 (Función Canónica) Sean A , ∅ y una función φ : A → A
∼ definido por
φ(x) = [x]. Justifique si la función φ es o no sobreyectiva e inyectiva.
Solución.
La función φ es sobreyectiva, pero no es inyectiva.
φ es sobreyectiva. (∀y ∈ A
∼ ∃x ∈ A : φ(x) = y)
Para cualquier y ∈ A
∼ = {[z] : z ∈ A}, existe x ∈ A tal que y = [x], por definición de φ(x) = [x],
entonces φ(x) = y. Así φ es sobreyectiva.
φ no es inyectiva. Supongamos que φ es inyectiva, es decir: ∀x, z ∈ A : x , z ⇒ φ(x) , φ(z).
Para cualquier x, z ∈ A con x , z, tal que existe a ∈ A, con x ∈ [a] y z ∈ [a] ([a] tiene más de un
elemento, pues si [a] tiene un solo elemento x = y lo que contradice la hipótesis), entonces
x ∼ a ∧ z ∼ a, por ser una relación de equivalencia x ∼ z lo que implica por el Teorema 3.2
sus clases de equivalencia son iguales, es decir [x] = [z]. Así φ(x) = φ(z). Por tanto, φ no es
inyectiva.
Capítulo 4. Funciones
217
■
Ejemplo 4.19 Sea Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} el conjunto cociente inducido por la relación
de equivalencia: x ∼ z ⇔ x − z = 5t. ¿La función f : Z → Z5 definido por f (x) = [z] es
biyectva? Donde z es el resto de la división de x entre 5.
Solución.
Por el ejemplo anterior (Ejemplo 4.18), podemos afirmar que f es sobreyectiva
y no es inyectiva.
f es sobreyectiva. Para todos los elemen-
Z
tos de Z5 existe un número entero (una clase
de equivalencia es siempre diferente de va-
4
cío, por Teorema 3.3). Por tanto f es sobre-
3
yectiva.
2
f no es inyectiva. Sean 12, 7 ∈ Z, sabiendo
1
que 12 , 7, tenemos [12] = [7]. Esto mues-
0
tra que f no es inyectiva.
−1
f (x)
Z
∼
[4]
[3]
[2]
[1]
[0]
■
El conjunto de las funciones reales de variable real, es definida por:
FR = {f : R → R : f es una función}
estas funciones se clasifican en: Funciones Algebraicas y Funciones Trascendentes.
Funciones Algebraicas. Funciones polinomiales, funciones racionales, funciones
con radicales, etc.
Funciones Trascendentes Funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, funciones hiperbólicas,
hiperbólicas inversas.
Ejemplo 4.20 Sea f ∈ FR definida por: f (x) = sin(x). ¿Es biyectiva esta función?
Solución.
La función f no es inyectiva, ni sobreyectiva. Sin embargo, si restringimos el
dominio y la imagen de la función f , tenemos:
π π
f [− π2 , π2 ] : − ,
→ [−1, 1]
2 2
donde Df = [− π2 , π2 ] y Imf = [−1, 1], la función f [− π2 , π2 ] : [− π2 , π2 ] → [−1, 1] es biyectiva.
218
4.3. Composición de funciones
y
1
−π − π
π
2
2
x
π
−1
■
Ejercicio 4.9 Determinar bajo qué dominio las funciones son inyectivas, sobreyectivas
y biyectivas, sabiendo que estas funciones están en FR .
(a) f (x) = 10
(b) f (x) = 3x2
√
(d) f (x) = x + 3
(c) f (x) = x21−x
(e) f (x) = 2x2 − x + 7x3
(f) f (x) = 2 − log2 (4 − 2x)
(g) f (x) = x25−4
2x−7
(h) f (x) = 7x+3
(i) f (x) = √ 1
4.3
|x|−1
+1
Composición de funciones
Sean f y g funciones dadas por f : A → B y g : B → C. Bajos ciertas condiciones, es
posible definir una nueva función g ◦ f : A → C denominada función compuesta de f con g.
Nótese que para construir esta nueva función, la imagen de f debe coincidir con el dominio de g o la imagen de f , debe estar contenido en el dominio de g, es decir, f (A) ⊆ Dg .
Definición 4.6 Composición. Sean f : A → B y g : B → C funciones. La función
g ◦ f : A → C es la composición de f y g definida por:
g ◦ f (x) = g(f (x)) para cada x ∈ A
A
x
f
B
f (x)
(g ◦ f )(x)
g
C
g(f (x))
Capítulo 4. Funciones
219
Ejemplo 4.21 Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d }, C = {5, 6}. Definimos la función f : A → B
con la relación f = {(1, a), (2, b), (3, c)} y definimos la función g : B → C con la relación
g = {(a, 5), (b, 5), (c, 5), (d, 6)}. Hallar la composición g ◦ f .
Solución.
Desarrollando la composición, mediante el siguiente diagrama:
f
A
B
g
C
a
1
b
2
c
3
5
6
d
tenemos g◦f = {(1, 5), (2, 5), (3, 5)}. Además nótese que f ◦g = {(a, ?), (b, ?), (c, ?), (d, ?)} no existe.
Nos preguntamos:
¿Cuál es la condición para f ◦ g exista?
En este caso particular la condición es que el conjunto A sea igual al conjunto C.
■
Ejemplo 4.22 Sean f : R → R dada por f (x) = x2 +2 y g : R → R dada por g(x) = 2x+3.
Hallar (g ◦ f )(x) =? y (f ◦ g)(x) =?.
Solución.
Para cada x ∈ Df = R,
(g ◦ f )(x) =g(f (x))
(Definición de composición)
=g(x2 + 2)
(Definición de f )
=2(x2 + 2) + 3
(Definición de g)
=2x2 + 7
Para cada x ∈ Dg = R,
(f ◦ g)(x) =f (g(x))
(Definición de composición)
=f (2x + 3)
(Definición de g)
=(2x + 3)2 + 2
(Definición de f )
=4x2 + 12x + 11
En conclusión, podemos generalizar que f ◦ g , g ◦ f .
■
220
4.3. Composición de funciones
Antes de mencionar las propiedades de funciones, definimos la igualdad de funciones.
Definición 4.7 Igualdad de funciones. Dos funciones f : A → B y g : A → B son
iguales, si sólo si,
∀x ∈ A; f (x) = g(x)
es denotada por f = g.
Teorema 4.2 (Propiedades de la composición de funciones) Sean f , g y h funciónes.
1. Si f : A → B, g : B → C y h : C → D, entonces (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
2. Si f : A → B y g : B → C son inyectivas, entonces g ◦ f : A → C es inyectiva.
3. Si f : A → B y g : B → C son sobreyectivas, entonces g ◦ f : A → C es sobreyectiva.
4. Si f : A → B y g : B → C son biyectivas, entonces g ◦ f : A → C es biyectiva.
Demostración.
1. Si f : A → B, g : B → C y h : C → D son funciones. Para todo x ∈ A,
[(h ◦ g) ◦ f ](x) = (h ◦ g)(f (x))
(Definición de composición de (h ◦ g) y f )
= h(g(f (x)))
(Definición de composición de h y g)
= h((g ◦ f )(x))
(Definición de composición de g y f )
= [h ◦ (g ◦ f )](x)
(Definición de composición de h y (g ◦ f ))
Luego por definición de igualdad de funciones: (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
2. Supongamos que f : A → B y g : B → C son inyectivas. Para todo x, y ∈ A,
(g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(y)
g(f (x)) = g(f (y))
(Hipótesis)
(Definición de composición)
f (x) = f (y)
(Pues g es inyectiva)
x=y
(Pués f es inyectiva)
3. Como g es sobreyectiva, entonces ∀z ∈ C, ∃y ∈ B tal que g(y) = z y además sabiendo que f
es sobreyectiva, para y ∈ B ∃x ∈ A tal que f (x) = y . Luego (g ◦f )(x) = g(f (x)) = g(y) = z,
Por tanto, g ◦ f es sobreyectiva.
4. Por hipótesis f y g son biyectivas, entonces f y g son inyectivas y sobreyectivas. Por las
propiedades 2 y 3, se concluye que g ◦ f es inyectiva y sobreyectiva. Por tanto, g ◦ f es
biyectiva.
Capítulo 4. Funciones
221
■
Ejemplo 4.23 Si f : A → B y g : B → C son tales que g ◦ f : A → C es inyectiva,
entonces f es inyectiva.
Solución.
Para todo x, y ∈ A,
(Hipótesis de inyectiva)
f (x) = f (y)
(Evaluando g)
g(f (x)) = g(f (y))
(g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(y)
(Definición de composición)
(g ◦ f es inyectiva)
x=y
■
Ejemplo 4.24 Si f : A → B y g : B → C son tales que g ◦ f : A → C es sobreyectiva,
entonces g es sobreyectiva.
Solución.
Sabiendo que (g ◦ f ) es sobreyectiva, entonces ∀z ∈ C, ∃x ∈ A: (g ◦ f )(x) = z, de
aquí ∀z ∈ C, ∃f (x) ∈ B: g(f (x)) = z, Por lo tanto, g es sobreyectiva.
1
Ejercicio 4.10 Sea f (x) = 1+x
. Analizar el dominio de las siguientes funciones.
(i). f (f (x))
(ii). f 1x
(iii). f (cx)
(iv). f (x + y)
Ejercicio 4.11 Sean las funciones: f (x) =
√
25 − x,
p
g(t) = t 2 + 9 y h(z) = y − 5
1. Calcular los dominios de f , g y h.
2. Hallar (h ◦ g), (g ◦ h), (g ◦ f ), (f ◦ g), (h ◦ f ) y (f ◦ h).
Ejercicio 4.12 Considere las funciones f : R → R dada por f (x) = 2x+7 y f ◦g : R → R
dada por (f ◦ g)(x) = 4x2 − 2x + 3. Determine la función g.
1
Ejercicio 4.13 Si f (x) = 2x − 3 y g(x) = 2x−1
. Hallar el valor de “a” (si es posible) de
modo que:
(g ◦ f )(2) =
1
(g ◦ f )(2 + a)
■
222
4.4. Funciones inversas
Ejercicio 4.14 Sean f y g dos funciones en FR definidas por:



 x + 1, si x ≥ 0
f (x) = 

 −x + 1, si x < 0
y g(x) = 3x − 2
Determine f ◦ g y g ◦ f .
Ejercicio 4.15 Supóngase que F es una función. Si y es un número tal que H(H(y)) = y.
(a). ¿Cuál es el valor de H(H(H(. . . (H(y)) . . .)))?
|
{z
}
80−veces
(b). La misma pregunta sustituyendo 80 por 81
(c). La misma pregunta si H(H(y)) = H(y).
Ejercicio 4.16 Encontrar funciones f : A → B y g : B → C, para cada uno de los
siguientes incisos:
(i). f es inyectiva y g ◦ f no lo es.
(ii). g es sobreyectiva y g ◦ f no lo es.
(iii). f es inyectiva, g sobreyectiva y g ◦ f no es inyectiva ni sobreyectiva.
(iv). f no es sobreyectiva, g no es inyectiva y g ◦ f es biyectiva.
4.4
Funciones inversas
Las funciones inversas son el reflejo de la función original, con respecto a la función
identidad. Sin embargo, no toda función tiene su inversa, esto va a depender si la función es
biyectiva o no.
Ejemplo 4.25 Sea f : A → B con A = {−1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} definida por f (x) = x2 .
Verifique si la inversa de f es función.
Solución.
Notemos que la relación f = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)} es una función, pero su
relación inversa f −1 = {(1, −1), (0, 0), (1, 1), (4, 2)} no es una función porque hay dos pares ordenados con la misma primera componente.
■
Capítulo 4. Funciones
223
Definición 4.8 Función identidad. Sea A cualquier conjunto. La función identidad
en A, denotada por idA y definida como idA : A → A, por idA (a) = a, para toda a ∈ A.
Teorema 4.3 Sean A y B conjuntos cualesquiera. Si f : A → B es una función,
idB ◦ f = f
Demostración.
y
f ◦ idA = f
Primeramente demostraremos: idB ◦ f = f ⇔ ∀x ∈ A: (idB ◦ f )(x) = f (x)
(idB ◦ f )(x) = idB (f (x))
= f (x)
(Definición de composición)
(Definición de identidad. idB )
Por tanto, (idB ◦f )(x) = f (x). Lo cual significa idB ◦f = f . Ahora demostraremos que f ◦idA = f ,
tomemos cualquier x ∈ A tal que:
(f ◦ idA )(x) = f (idA (x))
= f (x)
(Definición de composición)
(Definición de idA )
Por tanto, (f ◦ idA )(x) = f (x), esto significa que f ◦ idA = f .
■
Definición 4.9 Inversa a izquierda y derecha. Sea f : A → B una función.
Una inversa a izquierda de f es una función g : B → A tal que g ◦ f = idA .
Una inversa a derecha de f es una función g : B → A tal que f ◦ g = idB .
Resulta que no toda función tiene inversos; más aún, puede suceder que una función no
tenga ni inversa a derecha ni inversa a izquierda, o sólo tenga uno de estos inversos o que
tenga ambos.
Ejemplo 4.26 Sean f : R → [0, +∞[ con f (x) = x2 y g : [0, ∞[→ R con g(x) =
√
x.
Determinar, si g es inversa a izquierda o derecha de f .
Solución.
√
√
Por definición de composición: (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = ( x)2 = x. Por tanto,
f ◦ g = id[0,+∞) . Esto significa que la función “g” es inversa a derecha de “f ”.
Por otro lado, por definición de composición (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) =
√
x2 = |x|. Por
tanto, (g ◦ f )(x) = |x|. Esto significa que la función “g” no es inversa a izquierda de “f ”.
■
Observemos en el siguiente ejemplo que cuando una función tiene inversa a derecha,
este inverso no es necesariamente el único.
224
4.4. Funciones inversas
Ejemplo 4.27 Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {5, 6, 7} y f : A → B dada por f (1) = f (2) = 5,
f (3) = 6 y f (4) = 7.
(i). Demostrar que la función g : B → A tal que g(5) = 1, g(6) = 3, g(7) = 4 es inversa a
derecha de f . Es decir:
f ◦ g = idB
(ii). Demostrar que la función h : B → A dada por h(5) = 2, h(6) = 3, h(7) = 4 es inversa
a derecha de f . Es decir:
f ◦ h = idB
(iii). Demostrar que la función h y g no son inversas a izquierda. Es decir:
g ◦ f , idA y h ◦ f , idA
Solución.
Utilizando la definición de composición de funciones
(i)

(f ◦ g)(5) = f (g(5)) = f (1) = 5 




⇒ (f ◦ g)(x) = idB (x)
(f ◦ g)(6) = f (g(6)) = f (3) = 6 




(f ◦ g)(7) = f (g(7)) = f (4) = 7
Así, g es la inversa a derecha de la función “f ”
(ii)

(f ◦ h)(5) = f (h(5)) = f (2) = 5 




⇒ (f ◦ h)(x) = idB (x)
(f ◦ h)(6) = f (h(6)) = f (3) = 6 




(f ◦ h)(7) = f (h(7)) = f (4) = 7
Así, h es la inversa a derecha de la función “f ”.
(iii)
(g ◦ f )(1) = g(f (1)) = g(5) = 1
(g ◦ f )(2) = g(f (2)) = g(5) = 1
Esta última expresión (g ◦ f )(2) = 1, implica que (g ◦ f )(x) , idA (x). Por tanto, g no es
inversa a izquierda de “f 00 .
■
Ejemplo 4.28 Sean A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6, 7} y f : A → B dada por f (1) = 4, = f (2) = 5
y f (3) = 6.
(i). Demostrar que la función g : B → A tal que g(4) = g(7) = 1, g(5) = 2, g(6) = 3 es
inversa a izquierda de f . Es decir:
g ◦ f = idA
Capítulo 4. Funciones
225
(ii). Demostrar que la función h : B → A dada por h(4) = 1, h(5) = h(7) = 2, h(6) = 3 es
inversa a izquierda de f . Es decir:
h ◦ f = idA
(iii). Demostrar que la función h y g no son inversas a derecha de f . Es decir:
f ◦ g , idB y f ◦ h , idB
Solución.
Utilizando la definición de composición de funciones
(i)

(g ◦ f )(1) = g(f (1)) = g(4) = 1 




⇒ (g ◦ f )(x) = idA (x)
(g ◦ f )(2) = g(f (2)) = g(5) = 2 



(g ◦ f )(3) = g(f (3)) = g(6) = 3 
Así, g es la inversa a izquierda de la función “f ”
(ii)

(h ◦ f )(1) = h(f (1)) = h(4) = 1 




⇒ (h ◦ f )(x) = idA (x)
(h ◦ f )(2) = h(f (2)) = h(5) = 2 




(h ◦ f )(3) = h(f (3)) = h(6) = 3
Así, h es la inversa a izquierda de la función “f ”.
(iii) La expresión (f ◦ g)(7) = f (g(7)) = f (1) = 4 y la expresión (f ◦ h)(7) = f (h(7)) = f (2) = 5
nos dice que g y h no son inversa a derecha de f
■
Teorema 4.4 Sean A y B conjuntos cualesquiera y sea f : A → B una función.
(i). Si A , ∅, entonces f es inyectiva si y sólo si f tiene inversa a izquierda.
(ii). La función f es sobreyectiva si y sólo si f tiene inversa a derecha.
Demostración.
(i) Identificamos hipótesis y tesis:
Hipótesis. A , ∅
Tesis. f es inyectiva ⇔ tiene inversa a izquierda.
Mediante la equivalencia lógica p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) demostraremos la tesis, para
esto asignamos a p: f es inyectiva y q: f tiene inversa a la izquierda.
(a). (p → q). Si f es inyectiva, entonces f tiene inversa a izquierda.
Hipótesis. f es inyectiva.
Tesis. f tiene inversa a la izquierda.
226
4.4. Funciones inversas
Para demostrar, utilizamos el método por construcción. Supongamos que f es
inyectiva (es por hipótesis de caso 1). Además, por hipótesis del inciso (i) A , ∅,
de aquí tomemos a0 . Así construimos una función g : B → A de la siguiente forma:



 a sí b = f (a)
g(b) = 

 a0 sí b < f (A)
g está bien definida. Tenemos que mostrar que g es una función en B = f (A)∪(B\f (A)).
(Existencia.) ∀b[b ∈ B → (∃a[a ∈ A ∧ (b, a) ∈ g])]
Tomemos cualquier b ∈ f (A), entonces como f es función, existe un a ∈ A tal que
f (a) = b. Entonces por definición de g tenemos g(b) = a para algún a ∈ A.
Ahora, tomemos b < f (A), que es lo mismo b ∈ B\f (A), entonces por definición de g,
g(b) = a0 que elegimos en A.
(Unididad.) ∀b ∈ B ∀a1 , a2 ∈ A[((b, a1 ) ∈ g ∧ (b, a2 ) ∈ g) ⇒ a1 = a2 ]
Tomemos cualquier b ∈ f (A), y cualquier a1 , a2 ∈ A tal que g(b) = a1 y g(b) = a2 . Esto
por definición de g sucede cuando f (a1 ) = b y f (a2 ) = b. De quí f (a1 ) = f (a2 ), luego
aplicando de que f es inyectiva a1 = a2 .
Por tanto, de (i) y (ii) g es una función.
g es inversa a izquierda de f . Por demostrar (g ◦ f )(a) = idA (a) para todo a ∈ A.
Por la definición de composición, g ◦ f : A → A y idA : A → A tienen el mismo dominio e
imagen. Sea a ∈ A, entonces f (a) ∈ f (A). Así, por definición de g, g(f (a)) = a = idA (a).
Por tanto, g ◦ f = idA y f tiene inversa a izquierda.
(b). (q → p). Si f tiene inverso izquierdo, entonces f es inyectiva
Hipótesis. f tiene inverso.
Tesis. f es inyectiva.
Para cualquier x, y ∈ A tal que f (x) = f (y). Por hipótesis de f , tiene inversa a izquierda,
existe g : B → A tal que g ◦ f = idA . Como g es una función g(f (x)) = g(f (y)), entonces
(g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(y). Así idA (x) = idA (y) y x = y. Concluimos que f es inyectiva.
(ii) Al igual que el anterior inciso se demostraran dos incisos.
(a). Supongamos que f es sobreyectiva, entonces f tiene inversa a derecha.
Sea el conjunto Ω = {a ∈ A : f (a) = b}, afirmamos que Ω , ∅
Ω , ∅. Como f es sobreyectiva, esto significa ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f (a) = b, de aquí a ∈ Ω,
así el conjunto Ω es distinto del vacío.
Ahora para cualquier b ∈ B, aplicando el Axioma de Elección23 , podemos elegir uno y
2 El axioma de elección dice. “En una familia de conjuntos no vacíos y disjuntos 2 a 2, es posible formar un
conjunto que contenga un elemento de cada uno de ellos”, o sea que si tenemos muchas pequeñas cajitas con
objetos en su interior, podemos meter en otra caja uno de cada una de ellas. Este axioma se estudia en libros
más avanzados.
3 Axioma de elección
Capítulo 4. Funciones
227
sólo unelemento ab de Ω. De esta manera, para cada b ∈ B, tenemos un sólo ab ∈ A tal
que f (ab ) = b. Así podemos definir g : B → A por:
g(b) = ab
∀b ∈ B
g es función. Por demostrar la existencia y la unicidad de g.
Existencia. ∀b[b ∈ B → (∃a[a ∈ A∧(b, a) ∈ g])]. Para cualquier b ∈ B, se eligió uno y sólo
uno ab ∈ A de tal manera que (b, ab ) ∈ g (esto es g(b) = ab ).
Unicidad. ∀b ∈ B, ∀a1 , a2 ∈ A[((b, a1 ) ∈ g ∧ (b, a2 ) ∈ g) → a1 = a2 ]. Supongamos que
(b, a1 ) ∈ g y (b, a2 ) ∈ g entonces por definión de g, g(b) = a1 y g(b) = a2 de aquí a1 = a2 .
Por demostrar que f ◦ g = idB . Nótese que f ◦ g : B → B y idB tienen el mismo dominio e imagen. Para todo b ∈ B, entonces f (g(b)) = f (ab ) = b luego por definición de
composición:
(f ◦ g)(b) = b = idB (b)
Por tanto, f ◦ g = idB , esto significa que f tiene inversa a derecha.
(b). Supongamos que f tiene inversa a derecha, entonces f es sobreyectiva.
Consideremos b ∈ B, por definición de inversa a derecha, ∃ g : B → A tal que f ◦g = idB .
Como b ∈ B entonces g(b) ∈ A,
f (g(b)) = idB (b) = b
De aquí existe a ∈ A (haciendo a = g(b)) tal que f (a) = b. Así concluimos que f es
sobreyectiva.
■
Ejemplo 4.29 Sean f y g definidas como en el ejemplo 4.26. Determinar si f es so-
breyectiva.
Solución.
En el ejemplo 4.26 se demostró que g es inversa a derecha de f , por el teorema
■
4.4 f es sobreyectiva.
Ejemplo 4.30 Sean f : Z → Z y g : Z → Z dadas por f (n) = 2n y g(n) = |[ n2 ]|. Demostrar
que g es inversa a izquierda de f , pero no a derecha.
Solución.
Veamos primero que g ◦ f = idZ . Para todo n ∈ Z, tenemos:
2n
= |[n]| = n
(g ◦ f )(n) = g(f (n)) = g(2n) =
2
228
4.4. Funciones inversas
esto significa que g es inversa a izquierda de f . Por otro lado, para todo n
n
n
(f ◦ g)(n) = f (g(n)) = f
=2
2
2
en particular para n = 1, tenemos (f ◦ g)(1) = 0. Por tanto, f ◦ g , idZ , así g no es inversa a
■
derecha de f .
En el ejemplo anterior se demostró que la función f (n) = 2n tiene inversa a izquierda,
pero haciendo uso del teorema 4.4 (i), la función f es inyectiva, además se mostró que g
no es inversa a derecha de f así mismo por el teorema 4.4 (ii) podemos afirmar f no es
sobreyectiva.
Teorema 4.5 Si f : A → B tiene inversa a izquierda g1 y también tiene una inversa a
derecha g2 , entonces g1 = g2 .
Demostración.
Como g1 es un inverso izquierdo de f , entonces g1 ◦ f = idA . Como g2 es
un inverso derecho de f , entonces f ◦ g2 = idB . Entonces
g1 =g1 ◦ idB
(por el teorema 4.3)
=g1 ◦ (f ◦ g2 )
(pues g2 es inverso derecho)
=(g1 ◦ f ) ◦ g2
(la composición es asociativa)
=idA ◦ g2
(pues g1 es inverso izquierdo)
=g2
(por el teorema 4.3)
■
Por tanto, g1 = g2 .
Definición 4.10 Función inversa. Una función f : A → B admite inversa (también se
dice f invertible), si y sólo si existe g : B → A tal que g ◦ f = idA y f ◦ g = idB .
Ejemplo 4.31 Sean f : (0, +∞) → R definida por f (x) = ln(x) y g(y) : R → (0, +∞)
definido por g(y) = ey . Demostrar que g es inversa de f y representar gráficamente.
Solución.
Por la definición de función inversa tenemos que verificar que g es inversa a
izquierda y a derecha de f .
Inversa a izquierda. Para la función g ◦f : (0, +∞) → (0+∞) y para todo x ∈ (0, +∞) tenemos;
(g ◦ f )(x) = g(ln(x)) = eln(x) = x = id(0,+∞) (x)
Inversa a derecha. Para la función f ◦ g : R → R y para todo x ∈ R, tenemos;
(f ◦ g)(y) = f (ey ) = ln(ey ) = y = idR (y)
Capítulo 4. Funciones
229
Por tanto, g es inversa de f .
y
g(y) = ex
4
id(x) = x
3
f (x) = ln(x)
2
1
x
−2 −1 0
−1
1
2
3
4
−2
■
Ejemplo 4.32 Dada f : R → R por f (x) = x3 + 1, determinar su inversa, si existe repre-
sentar gráficamente.
Sea f : R → R definido por f (x) = x3 + 1. Se propone como inversa a g : R → R
p
por x = g(y) = 3 y − 1.
p
• Para cada x ∈ Df = R, tenemos (g ◦f )(x) = g(f (x)) = g(x3 +1) = 3 (x3 + 1) − 1 = x = iR (x).
Solución.
Por definición de igualdad de funciones: g ◦ f = iR .
p
p
• Para cada y ∈ Dg = R, (f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f ( 3 y − 1) = ( 3 y − 1)3 + 1 = y = iR (y). Por
definición de igualdad de funciones: f ◦ g = iR
y
f (x) = x3 + 1
4
idR (x) = x
3
√
g(x) = 3 x − 1
2
1
−2 −1 0
−1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2
■
230
4.4. Funciones inversas
Nótese que las gráficas de las funciones y su inversa en los ejemplos anteriores son
simétricas con respecto a la función identidad del plano cartesiano, R2 .
¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que una función tenga inversa?
Teorema 4.6 Una función tiene inversa si y sólo si es biyectiva.
Demostración.
Por demostrar dos implicaciones: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p).
(p → q) Si una función admite inversa, entonces es biyectiva.
Hipótesis. Para la función f : A → B existe una función g : B → A tal que g ◦f = iA y f ◦g = iB .
Tesis. f es biyectiva.
(a) Demostremos que f es inyectiva.
Sean x e y en A tales que f (x) = f (y) ∈ B, luego aplicando g tenemos g (f (x)) = g (f (y)).
Por definición de composición, esto se traduce en (g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(y). Y por hipótesis
g ◦ f = idA , se tiene idA (x) = idA (y). Es decir, x = y, lo cual se demuestra que f es 1-1.
(b) Demostremos que f es sobreyectiva.
Por definición de sobreyectiva ( ∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f (x) = y), debemos mostrar que dado
cualquier y ∈ B debe existir un x ∈ A, que cumpla f (x) = y.
Sea y ∈ B, por definición de función identidad en B se tiene y = idB (y), y por hipótesis idB = f ◦ g, tenemos y = (f ◦ g)(y), por definición de composición y = f [g(y)]. De
aquí, como y ∈ B, hemos determinado x = g(y) en A, tal que f (x) = y. Por tanto, f es
sobreyectiva.
En conclusión, como f es inyectiva y sobreyectiva, entonces f es biyectiva.
(q → p) Si una función es biyectiva, entonces admite inversa.
Hipótesis. f : A → B es biyectiva
Tesis. ∃g : B → A tal que g ◦ f = idA y f ◦ g = idB
Para demostrar procederemos en tres etapas.
(a) Primero se trata de definir una función g : B → A, de modo que se verifiquen las restantes
proposiciones de la tesis. En este sentido, definimos:
g : B → A mediante g(y) = x si f (x) = y
(4.2)
tenemos que ver que g definido en (4.2) es una función. En efecto:
(i) Todo elemento y del dominio B tiene correspondiente x de A, ya que, por ser f
sobreyectiva, todo y ∈ B proviene de algún x ∈ A.
(ii) El correspondiente x asociado a y es único, por ser f inyectiva. Pues si x y y fueran
antecedentes distintos de z por f se tendría x , y ∧ f (x) = f (y) = z, lo que es absurdo
por la inyectividad de f . Así, de (i) y (ii) concluimos que g es función.
Capítulo 4. Funciones
231
(b) Por demostrar que g ◦ f = idA . Cualquiera que sea x en A se tiene, por definición de
composición, por (4.2) y por definición de identidad en A, se tiene:
(g ◦ f )(x) = g[f (x)] = g(y) = x = iA (x)
Así, aplicando la definición de igualdad de funciones g ◦ f = idA .
(c) Por demostrar que f ◦g = idB . Como f ◦g : B → B, para todo y ∈ B, tenemos, por definición
de composición, por (4.2) y por identidad en B,
(f ◦ g)(y) = f [g(y)] = f (x) = y = idB (y)
así, f ◦ g = idB .
■
Por tanto, la función f admite inversa y esta inversa es g.
A continuación mostramos una técnica para encontrar la inversa de una función.
(1ro.) Igualamos la función a la variable y, es decir: f (x) = y
(2do.) Despejamos la variable x en términos de la variable y, se tiene f −1 (y) = x
Ejemplo 4.33 Demostrar que la función f : (−1, 1) → R definido por:
f (x) =
x
1 − x2
es biyectiva.
Solución.
Para demostrar que f es biyectiva, vamos a utilizar la definición 4.10, para eso
debemos encontrar g : R → (−1, 1) tal que g ◦ f = id(−1,1) y f ◦ g = idR . Sea y = f (x), entonces
x
y = 1−x
2 , de aquí despejamos la variable x, en términos de la variable y.
p
p
−1 + 1 + 4y 2
−1 − 1 + 4y 2
x
2
2
y=
∧ x2 =
⇒ y − x y = x ⇒ x y + x − y = 0 ⇒ x1 =
2y
2y
1 − x2
Como x ∈ (−1, 1), entonces x1 < (−1, 1), pero x2 ∈ (−1, 1), y de esto, tenemos un candidato
para la inversa de la función f , digamos que sea g : R → (−1, 1) definido por:
2y
g(y) =
p
1 + 1 + 4y 2

p

−1
+
1 + 4y 2
pues x2 = g(y) =
=

2y


2y

p

1 + 1 + 4y 2
232
4.4. Funciones inversas
Por demostrar (g ◦ f ) = id(−1,1) .
x
(g ◦ f )(x) = g
=
1 − x2
2x
1−x2
1+
2x
1−x2
q
q
=
1−2x2 +x4
4x2
x 2
1
+
1 + 4 1−x
2
(1−x)2
(1−x2 )2
2x
1−x2
2x
2x
1−x2
=x
=
=
=
q
2)
2
2
2
(1+x
1 − x + 1 + x2
(1+x )
1 + (1−x2 )2 1 + (1−x2 )
Por tanto, (g ◦ f )(x) = id(−1,1) (x), luego por definición de igualdad de función g ◦ f = id(−1,1) .
Por demostrar (f ◦ g) = idR .
√2y
1+ 1+4y 2
(f ◦ g)(x) =
1−
2y
√2y
!2 =
√
1+ 1+4y 2
1−
1+ 1+4y 2
4y 2
√
=
2+4y 2 +2 1+4y 2
√2y
√2y
1+ 1+4y 2
=
√
√
2+2 1+4y 2
2+2 1+4y 2
√
√
2
2
2 2
1+ 1+4y 2
2+4y +2 1+4y
(1+ 1+4y )
q
2y
2y
=
(1 + 1 + 4y 2 ) =
=y
p
y
2 + 2 1 + 4y 2
Por tanto, (f ◦ g)(x) = idR (x), luego por definición de igualdad de función f ◦ g = idR . Ahora,
■
por el teorema 4.6, podemos concluir que f es biyectiva.
Veamos la representación gráfica de las funciones f y g del ejemplo 4.33 observamos
que son simétricas respecto a la función identidad (id).
2
y
x
f (x) = 1−x
2
1
g(y) =
−3
−2
√2y
1+ 1+4y 2
x
−1
0
1
2
3
−1
id( x) = x
−2
x
Ejemplo 4.34 Probar que la función f : (−1, ∞) → (−∞, 1) definida por f (x) = 1+x
admite
inversa.
Solución.
Basta con probar que la función f es biyectiva.
Inyectiva. Sean x1 , x2 ∈ (−1, ∞) tal que f (x1 ) = f (x2 ) se tiene entonces que:
x1
x1
1+x2 = 1+x2
⇒ x1 + x1 · x2 = x2 · x1 + x2 ⇒ x1 = x2
Por lo tanto, f es inyectiva.
Sobreyectiva. Sea y ∈ (−∞, 1). Por demostrar que existe x en el intervalo (−1, ∞) de tal manera
Capítulo 4. Funciones
233
x
que f (x) = y. De la definición de f en f (x) = y tenemos 1+x
= y, despejando x obtenemos:
y
x
= y entonces x =
1+x
1−y
y
Por lo tanto, para y ∈ (−∞, 1) existe x = 1−y ∈ Df tal que f (x) = y. Luego f es biyectiva, ahora
x
aplicando el teorema 4.6, concluimos que f (x) = 1+x
tiene inversa.
■
Cuando una función f es sobreyectiva, la inversa de f es denotado por f −1 , en el ejemplo 4.34 la
x
.
inversa de f es f −1 (x) = 1−x
Ejemplo 4.35 Sea f : R → R definida por f (x) =
p
5
√
2 − 3 x. Demostrar que la inversa de
f , existe y representar gráficamente.
Solución.
Por demostrar que f es inyectiva y sobreyectiva.
f es inyectiva. ∀x ∀y ∈ R : f (x) = f (y) ⇒ x = y. Tomando cualquier x, y ∈ R. Si f (x) = f (y)
entonces
f (x) = f (y)
q
q
√3
√
5
2− x = 5 2− 3y
√
√
2− 3x = 2− 3y
√
√
− 3x =− 3y
x=y
f es sobreyectiva. ∀y ∈ R, ∃x ∈ R+ : f (x) = y
Para demostrar que la función f es sobreyectiva se tiene que verificar dos cosas:
(1). Encontrar x en función de y.
(2). Verificar f (x) = y
p
√
Empezamos encontrando x, utilizando la relación f (x) = y, de aquí 5 2 − 3 x = y, luego
√
elevando al exponente 5 tenemos 2 − 3 x = y 5 y así despejando x = (2 − y 5 )3 . Ahora con este
x encontrado, verificamos la igualdad f (x) = y, de la siguiente manera:
r
q
q
√3
5
5
f (x) = 2 − x = 2 − 3 (2 − y 5 )3 = y
Así de este manera ∃x = (2 − y 5 )3 ∈ R tal que y = f (x). Esto significa que demostramos que
p
√
f es sobreyectiva. Por tanto, f (x) = 5 2 − 3 x es biyectiva y por el teorema 4.6 la función f
tiene inversa.
234
4.4. Funciones inversas
y
id(x) = x
p
√
f (x) = 5 2 − 3 x
x
g(y) = (2 − y 5 )3
■
h i
Ejemplo 4.36 Sea f : N → Z definida por f (n) = (−1)n n2 . Demuestre que la función
f tiene inversa.
Solución.
En el siguiente capítulo ejemplo 5.13 se demuestra N = {par} ∪ {impar }
f es inyectiva. Supongamos que n es par; entonces n = 2k con k ∈ N. Así
"
f (n) = (−1)
2k
#
2k
n
= |[k]| = k =
2
2
de aquí f es inyectiva. Supongamos que n es impar, entonces n = 2k + 1 con k ∈ N. Así
"
f (n) = (−1)
2k+1
#
2k + 1
1
= −k
=− k+
2
2
de aquí cuando “n” es impar, también f es inyectiva.
f es sobreyectiva. ∀z ∈ Z, ∃n ∈ N tal que f (n) = z. Definamos a n ∈ N de la siguiente manera:



si z > 0
 2z
n=

 1 − 2z si z ≤ 0
de tal manera que para los enteros positivos Z se tiene
n
n
=
= |[z]| = z
f (n) = f (2z) = (−1)
2
2
n
Capítulo 4. Funciones
235
y para los enteros negativos
1−2z
f (n) = f (1 − 2z) = (−1)
por lo tanto,
1 − 2z
1
= (−1)
− z = (−1)|[−z]| = (−1)(−z) = z
2
2



si z > 0
 2z
∀z ∈ Z ∃nN, n = 
tal quef (n) = z

 1 − 2z si z ≤ 0
de esa manera f es sobreyectiva.
y
idR (x) = x
g
4
3
2
1
−2 −1 0
−1
1
2
3
4
5
6
x
7
−2
f
■
Corolario 4.1 Si f : A → B es biyectiva, entonces la inversa de f es única y además,
es biyectiva.
Demostración.
Hipotesis.
Identificamos:
f :→ B es biyectiva
Tesis.
•
La inversa de f existe
•
La inversa de f es único
• La inversa de f es biyectiva
La inversa de f existe. Como f : A → B es biyectiva, entonces por el teorema 4.6 la función
f tiene inversa, digamos que es la función g.
La inversa de f es único. Supongamos que la inversa de g no es único, es decir que hay
otra inversa, digamos g 0 tal que:
f ◦ g = idB o
g‘ ◦ f = idA
Luego se tendría:
g‘ = g‘ ◦ idB = g‘ ◦ (f ◦ g) = (g 0 ◦ f ) ◦ g = idA ◦ g = g
Luego g 0 = g. En consecuencia, g es única.
236
4.4. Funciones inversas
g es biyectiva. Como g : B → A tiene la propiedad f ◦ g = idB y g ◦ f = idA , esto significa que
g tiene inversa y su inversa es f . Luego por el teorema 4.6 afirmamos que g es biyectiva. ■
La función g se llama la inversa de f y se denota con el símbolo f −1 es decir:
g = f −1
1
Ejemplo 4.37 Sea f : (R − {2}) → (R − {0}), donde f (x) = 2−x
. Determinar si la función
es invertible.
Solución.
Veamos si la función es invertible.
f es inyectiva. ∀x, y ∈ R − {2}, asumimos que
1
1
=
⇔ 2 − y = 2 − x ⇔ −y = −x ⇔ x = y
2−x 2−y
f (x) = f (y) ⇔
f es sobreyectiva. ∀y ∈ R − {0}, ∃x =
2y−1
y ∈ (R − {2}) tal que:
!
2y − 1
y
1
f (x) = f
=y
=
2y−1 =
y
2y − 2y + 1
2− y
Por lo tanto, f es biyectiva.
Ahora determinemos la función inversa de f . Haciendo y = f (x).
f (x) =
2y − 1
1
1
⇔y=
⇔ 2y − yx = 1 ⇔ 2y − 1 = xy ⇔ x =
2−x
2−x
y
Así definimos f −1 : (R − {0}) → (R − {2}) por f −1 (x) = 2x−1
x la inversa de f .
■
Ejemplo 4.38 Demostrar que las siguientes funciones son biyectivas.
(a). Sea g1 : R → (−1, 1) definido por:
g1 (y) =
1+
√2y
g2 (x) =
Solución.
g3 (x) = (2 − x5 )3
1+4y 2
(b). Sea g2 : (−∞, 1) → (−1, ∞) definido
por:
(c). Sea g3 : R → R definido por:
x
1−x
(d). Sea g4 : Z → N definido por:



si z > 0
 2z
g4 (z) = 

 1 − 2z si z ≤ 0
Las funciones definidas en los incisos (a), (b), (c) y (d), son funciones inversas
de las funciones definidas en los ejemplos (4.33), (4.34), (4.35) y (4.36) respectivamente y
Capítulo 4. Funciones
237
por el teorema 4.6 las funciones g1 , g2 , g3 y g4 son biyectivas, además por el corolario 4.1
estas funciones inversas son únicas para cada una de las funciones dadas.
■
Ejemplo 4.39 Sean A, B, C y D conjuntos cualesquiera y sean f : A → B, g : B → C y
h : C → D funciones. Si g ◦ f y h ◦ g son biyectivas. Clasificar las funciones f , g y h.
Solución.
Si g ◦f es biyectiva entonces por el ejemplo 4.23 y el ejemplo 4.24 f es inyectiva
y g es sobreyectiva respectivamente. De la misma manera, si h ◦ g es biyectiva entonces g
es inyectiva y h es sobreyectiva. Por lo tanto, g es biyectiva.
Por la biyectividad de g, la inversa existe y también es biyectiva. Luego, para idB (función
identidad en B) y idC (función identidad en C), expresamos f y h como composición de
funciones biyecitvas
g −1 ◦ (g ◦ f ) = (g −1 ◦ g) ◦ f = idB ◦ f = f
(h ◦ g) ◦ g −1 = h ◦ (g ◦ g −1 ) = h ◦ idC = h
■
Por lo tanto, f y h también son biyectivas.
Ejercicio 4.17 Sea f : (R − {3}) → (R − {3}), donde f (x) = 3x+b
x−3 con b , −9. Determinar
si la función es invertible y hallar su inversa si existe.
Ejercicio 4.18 Sea f (x) = x3 + 1 una función. Hallar la función inversa de f
x
Ejercicio 4.19 Probar que la función f : R → (−1, 1) definida por f (x) = 1+|x|
admite
inversa.
Ejercicio 4.20 Determinar si la función seno hiperbólico tienen inversa o no.
Ejercicio 4.21 Hallar la función inversa de f : R → R definida por f (x) = ax + b, con a
y b constantes reales y a , 0.
n o
n o
ax−b
Ejercicio 4.22 Describa la función inversa de f : R− dc → R− ac dada por f (x) = cx−d
,
con a, b, c y d constantes reales, c , 0 y ad − bc , 0.
Ejercicio 4.23 Hallar la función inversa de f : Z2 → Z2 definida por f (x, y) = (x+3, 2−y)
238
4.5. Imágenes de subconjuntos del dominio
Ejercicio 4.24 Sea [a] un elemento fijo de Zn . Demuestre A[a] : Zn → Zn definido por
A[a] ([x]) = [a] + [x]
es biyectiva encontrando el inverso de A[a] .
Ejercicio 4.25 Suponga f : A → A es una función y f ◦ f es biyectiva. ¿Es f necesa-
riamente biyectiva? Justifique su respuesta.
Ejercicio 4.26 Demostrar que existe una biyección f : N → Z. (Sugerencia: defina f
por separado en los números enteros pares e impares).
4.5
Imágenes de subconjuntos del dominio
Sea f : X → Y y A un subconjunto de X. Las imágenes de todos los elementos de A
determinan un subconjunto de Y , llamado imagen de A por f .
Definición 4.11 Imagen de un conjunto. Sea f : X → Y una función y A ⊆ X, entonces
la imagen de A bajo f , es denotada por:
f (A) = {f (x) : x ∈ A}
X
f
Y
f (A)
A
De manera equivalente podemos reescribir la definición de imagen de un conjunto.
f (A) = {y ∈ Y ∃x ∈ A ∧ f (x) = y}
y ∈ f (A)
⇔ ∃x : (x ∈ A ∧
y = f (x) )
Para ilustrar, la anterior definición veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.40 Sean A = {0, −1, 1, 2} y B = {0, 1, 2, 3, 4}. La función f : A → B definido por
f (x) = x2 . Determine la imagen de C = {−1, 1} bajo f .
Capítulo 4. Funciones
Solución.
239
Notemos que C ⊂ A.
Luego, por definición de imagen
f
A
f (C) = {f (−1), f (1)}
C
= {1, 1}
1 −1
= {1}
2
B
f (C)
0
0
1
2
3
4
Así, la imagen de C bajo f es: f (C) = {1}.
■
Ejemplo 4.41 Dadas las funciones f , g en FR definidas por f (x − 5) = 3x − 23 y g(x) =
x3 + 1. Hallar:
(a). g ◦ f −1
Solución.
(b). f ([−1, 1]) y f −1 ([0, 1])
Primeramente, encontramos f (x) y f −1 , para esto sea u = x−5 entonces x = u+5
f (x − 5) = 3x − 23 ⇔ f (u) = 3(u + 5) − 23 ⇔ f (u) = 3u − 8
Así f (x) = 3x − 8 Como f es biyectiva, existe f −1 (x),
y = 3x − 8 ↔ x =
y +8
x+8
→y=
3
3
Así f −1 (x) = x+8
3
(a). Ahora encontramos g ◦ f −1
(g ◦ f −1 )(x) = g(f −1 (x)) = g
(b). Así (g ◦ f −1 )(x) =
x+8 3
x+8
=
+1
3
3
x+8 3
+ 1.
3
x ∈ f −1 ([0, 1]) ⇔ f (x) ∈ [0, 1]
⇔ 3x − 8 ∈ [0, 1]
⇔ 0 ≤ 3x − 8 ≤ 1
8
⇔ ≤x≤3
3
Así f −1 ([0, 1]) =
8
3,3
Ahora f (−1) = −11 y f (1) = −5, luego f ([−1, 1]) = [−11, −5]
240
4.5. Imágenes de subconjuntos del dominio
■
Teorema 4.7 Propiedades de las imágenes
P-1 La imagen del conjunto vacío bajo una función es un conjunto vacío
P-2 Si un subconjunto del dominio es parte de otro, entonces la misma relación es
válida para sus imágenes.
P-3 La imagen de la unión de dos subconjuntos del dominio es la unión de sus imágenes.
P-4 La intersección de imágenes de dos subconjuntos del dominio contiene a la imagen de la intersección de los mismos.
Demostración.
Antes de hacer las demostraciones simbolizaremos cada propiedad.
P-1 Sea f : X → Y es una función. Si A = ∅ entonces f (A) = ∅.
Supongamos que f (∅) , ∅, entonces existe y ∈ f (∅), entonces existe x tal que x ∈ ∅ y
f (x) = y, pero esto es una contradicción, pues sabemos que x < ∅. Por tanto, f (∅) = ∅.
P-2 Sean f : X → Y , A ⊆ X y B ⊆ X. Si A ⊆ B entonces f (A) ⊆ f (B).
Sea z ∈ f (A), entonces existe x tal que x ∈ A y f (x) = z. Por hipótesis sabemos que
A ⊆ B, entonces x ∈ B y f (x) = z. Así z ∈ f (B).
X
f
Y
B
f (B)
A
f (A)
P-3 Sean f : X → Y , A ⊆ X y B ⊆ X, entonces f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
y ∈ f (A ∪ B) ⇔ ∃x(x ∈ A ∪ B ∧ f (x) = y)
⇔ ∃((x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ f (x) = y)
⇔ ∃((x ∈ A ∧ f (x) = y) ∨ (c ∈ B ∧ f (x) = y))
⇔ ∃x(x ∈ A ∧ f (x) = y) ∨ ∃x(x ∈ B ∧ f (x) = y)
⇔ y ∈ f (A) ∨ y ∈ f (B)
⇔ y ∈ f (A) ∪ f (B)
(Definición de imagen)
(Definición de unión)
(Distributiva)
(Ejercicio 1.51 del cap. I)
(Definición de imagen)
(Definición de unión)
Capítulo 4. Funciones
241
Por tanto f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
P-4 Sean f : X → Y , A ⊆ X y B ⊆ X, entonces f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B)
y ∈ f (A ∩ B) ⇒ ∃x(x ∈ A ∩ B ∧ f (x) = y)
⇒ ∃x((x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ f (x) = y)
(Definición de imagen)
(Definición de intersección)
⇒ ∃x((x ∈ A ∧ f (x) = y) ∧ (x ∈ B ∧ f (x) = y))
(Distributiva)
⇒ ∃x(x ∈ A ∧ f (x) = y) ∧ ∃x(x ∈ B ∧ f (x) = y)
(Ejercicio 1.51 del cap. I)
⇒ y ∈ f (A) ∧ y ∈ f (B)
(Definición de imagen)
Por tanto, f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B).
■
Ejemplo 4.42 Sea f : Z → N definida por f (x) = x2 con A = {−2, −3, 4} y B = {2, 3, 4, 5},
con estos datos verifique
f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B)
Solución.
Notemos que A ∩ B = {−2, −3, 4} ∩ {2, 3, 4, 5} = {4}, entonces
f (A ∩ B) = f ({4}) = {f (4)} = {16}, f (A) = {f (−2), f (−3), f (4)} = {4, 9, 16}
f (B) = {f (2), f (3), f (4), f (5)} = {4, 9, 16, 25}
Así f (A) ∩ f (B) = {4, 9, 16}. Por tanto f (A ∩ B) = {4} ⊂ {4, 9, 16} = f (A) ∩ f (B)
■
En el teorema 4.7 (P-4), dice: La intersección de imágenes de dos subconjuntos del dominio contiene a la imagen de la intersección de los mismos, para que sé dé la igualdad,
basta que la función sea inyectiva. Esto lo enunciamos en el siguiente teorema.
Teorema 4.8 Sean X y Y conjuntos cualesquiera y sea f : X → Y una función.
Entonces f es inyectiva si y sólo si para cualesquier subconjuntos A y B de X,
f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
Demostración.
Utilizando la bicondicional p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
f es 1-1 ⇒ ∀ A, B ⊆ X : f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B). Supongamos que la función f : X → Y es
inyectiva. Por la propiedad (P-3) del anterior teorema 4.7 tenemos f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B).
Para verificar la otra contención, tomemos cualquier z ∈ f (A) ∩ f (B), entonces z ∈ f (A) y
z ∈ f (B). Ahora por definición 4.11 de imagen de conjuntos, existe a ∈ A tal que f (a) = z y
existe b ∈ B tal que f (b) = z, entonces f (a) = f (b) y por hipótesis f es inyectiva tenemos a = b.
Esto significa que a ∈ A ∩ B y f (a) = z ∈ f (A ∩ B). Por tanto, f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
242
4.5. Imágenes de subconjuntos del dominio
∀ A ⊆ X, ∀ B ⊆ X : f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) ⇒ f es 1-1. Supongamos que para cualesquier
subconjuntos A y B de X tal que f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B). Para verificar que f sea inyectiva,
tomemos cualquier x, y ∈ X tal que f (x) = f (y). Como A y B son subconjuntos cualesquiera,
definimos A := {x} y B := {y} de manera que:
f (A) ∩ f (B) = f ({x}) ∩ f ({y}) = {f (x)} ∩ {f (y)} como f (x) = f (y), tenemos f (A) ∩ f (B) =
{f (x)}. Por hipótesis f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B). Así f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) = {f (x)} y en particular
f (A ∩ B) , ∅. Usando la propiedad (P-1) del teorema 4.7 tenemos que A ∩ B , ∅. Esto es
{x} ∩ {y} , ∅ entonces x = y.
■
Este teorema nos ayuda a decidir si f (A ∩ B) y f (A) ∩ f (B), son iguales bajo ciertas condiciones mencionadas en el teorema, sin la necesidad de calcular cada una de estas dos
expresiones, ya que este proceso puede resultar tedioso, a no ser que se requiera estos
datos. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.43 Sea una función f : [−π, π] → [1, 3] definida por f (x) = sin 2x + 2 con
n
n
o
o
2π
π π 2π
A = − π3 , − π2 , 0, π2 , 2π
3 y B = − 3 , − 2 , 2 , 3 , Analice la igualdad
f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)
Solución.
Notemos que la función trigonometría seno es inyectiva en [−π, π]. Por el teore-
ma 4.8 se verifica f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
n
o
Ahora verifiquemos sin utilizar el teorema 4.8, sabemos que A ∩ B = − π2 , π2 , 2π
, entonces
3
√
√
f (A ∩ B) = 4−2 2 , 4+2 2 , 52 . Además
√
√
√
)
(
4− 3 4− 2 4+ 2 5
π
π
π
2π
f (A) = f − , f − , f (0), f
,f
=
,
, 0,
,
3
2
2
3
2
2
2
2
√
√
)
(
2π
π
π
2π
3 4− 2 4+ 2 5
f (B) = f −
,f − ,f
,f
=
,
,
,
3
2
2
3
2
2
2
2
Luego, f (A) ∩ f (B) =
√
√
4− 2 4+ 2 5
,
,
2
2
2 . Por tanto, se verifica
√
√
)
4− 2 4+ 2 5
,
,
= f (A) ∩ f (B)
f (A ∩ B) =
2
2
2
(
■
Ejercicio 4.27 Sea g : R → R dada por g(x) = x2 . Hallar:
(a). g(R)
(b). g(Z)
(c). g(A) donde A = [−2, 1]
Capítulo 4. Funciones
243
Ejercicio 4.28 Sea f : R → R definida como f (x) = x2 + 1. Determine las imágenes de
los siguientes subconjuntos del dominio bajo f .
(i). [−1, 1]
(iii). (−∞, 12 ]
(ii). [0, 3]
(iv). [0, 3)
(v). [1, 10]
Ejercicio 4.29 Sea X y Y conjuntos y sea f : X → Y Demuestre lo siguiente.
(i). Sea I un subconjunto no vacío de los naturales, y para cada i ∈ I , sea Ai ⊆ X.
S
S
Entonces, f ( i∈I Ai ) = i∈I f (Ai )
(ii). Sea I un subconjunto no vacío de los naturales, y para cada i ∈ I , sea Ai ⊆ X.
T
T
Entonces f ( i∈I Ai ) ⊆ i∈I f (Ai )
4.6
Imagen inversa o preimagen
Sea f : X → Y una función, con A ⊆ Y .
¿Cómo determinamos los elementos del dominio X cuyas imágenes pertenecen a A?
Los elementos del dominio cuyas imágenes pertenecen a A determinan un subconjunto
de X, denominado imagen inversa o preimagen de A por f .
Definición 4.12 Imagen inversa. Sea f : X → Y una función, y sea A ⊆ Y . La imagen
inversa o preimagen de A bajo f es el conjunto
f −1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A}
Un elemento pertenece a la preimagen de un conjunto, si y soló si, la imagen de este elemento
pertenece al conjunto, es decir:
x ∈ f −1 (A)
⇔
f (x) ∈ A
X
f −1(A)
f
Y
A
244
4.6. Imagen inversa o preimagen
Para ilustrar la anterior definición, veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 4.44 Sean A = {1, 2, 3} y B = {1, 2} Demostrar que es sobreyectiva la función
f : P (A) → P (B)
X
7→ f (X) = X ∩ B
.
Si C = {{1}, {1, 2}}, determinar f −1 (C) =?.
Solución.
Como C ⊆ P (B), resulta que:
f −1 (C) = {{1}, {1, 3}, {1, 2}, {1, 2, 3}}
pues f ({1}) = {1}, f ({1, 3}) = {1}, f ({1, 2}) = {1, 2} y f ({1, 2, 3}) = {1, 2}.
■
Ejemplo 4.45 Justifique la falsedad de la siguiente proposición con un contraejemplo.
Sea f : A → B una función tal que, para todo C, D ⊆ B, se tiene:
C , D ⇒ f −1 (C) , f −1 (D)
Solución.
Sea f : A → B definido por f (x) = x2 , donde A = {−1, 0, 1, 2} y B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Sean C = {0, 4} ⊆ B y D = {0, 3, 4} ⊆ B de tal manera que C , D. Entonces f −1 (C) = {0, 2},
pués f (0) = 02 = 0, f (2) = 22 = 4. Ahora f (D) = {0, 2}, pues f (0) = 02 = 0 y no hay un a ∈ A
tal que f (a) = 3. Por tanto f −1 (C) = f −1 (D).
■
Teorema 4.9 Propiedades de imágenes inversas.
P-1 La imagen inversa del conjunto vacío bajo una función es un conjunto vacío.
P-2 La preimagen de la unión de dos subconjuntos del conjunto de llegada es la unión
de sus preimágenes.
P-3 La preimagen de la intersección de dos subconjuntos del dominio es la intersección de sus preimágenes.
P-4 La preimagen del complemento de un subconjunto del conjunto de llegada es el
complemento de su preimagen.
Demostración.
Para demostrar estas propiedades, cada uno será simbolizado.
P-1. Sea f : X → Y una función. Si A = ∅ ⇒ f −1 (A) = ∅ o equivalente a f −1 (∅) = ∅.
Supongamos que f −1 (∅) , ∅, entonces existe x ∈ f −1 (∅). Así, por definición de imagen
inversa f (x) ∈ ∅, esto es falso, porque f (x) < ∅ (el conjunto vacío no tiene elemento). Por
tanto, f −1 (∅) = ∅.
Capítulo 4. Funciones
245
P-2. Si f : X → Y con A ⊆ Y y B ⊆ Y ⇒ f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B).
x ∈ f −1 (A ∪ B) ⇔ f (x) ∈ A ∪ B
(Definición de imagen inversa)
⇔ f (x) ∈ A ∨ f (x) ∈ B
(Definición de unión)
⇔ x ∈ f −1 (A) ∨ x ∈ f −1 (B)
(Definición de imagen inversa)
⇔ x ∈ f −1 (A) ∪ f −1 (B)
(Definición de unión)
Por tanto, f −1 (A ∪ A) = f −1 (A) ∪ f −1 (B).
P-3. Si f : X → Y con A ⊆ Y y B ⊆ Y ⇒ f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
x ∈ f −1 (A ∩ B) ⇔ f (x) ∈ A ∩ B
(Definición de imagen inversa)
⇔ f (x) ∈ A ∧ f (x) ∈ B
⇔x∈f
−1
(A) ∧ x ∈ f
−1
(Definición de intersección)
(Definición de imagen inversa)
(B)
⇔ x ∈ f −1 (A) ∩ f −1 (B)
(Definición de intersección)
Por tanto, f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
P-4. Si f : X → Y con A ⊆ Y , ⇒ f −1 (Ac ) = [f −1 (A)]c
x ∈ f −1 (Ac ) ⇔ f (x) ∈ (Ac )
(Definición de imagen inversa)
⇔ f (x) ∈ Y ∧ f (x) < A
⇔ f (x) ∈ Y ∧ ∼ (f (x) ∈ A)
(Definición de complemento)
(Notación ∼ (f (x) ∈ A) = f (x) < A)
⇔ x ∈ f −1 (Y )∧ ∼ (x ∈ f −1 (A))
⇔ x ∈ f −1 (Y ) ∧ x < f −1 (A)
⇔ x ∈ X ∧x < f
−1
(Definición de imagen inversa)
(Notación ∼ (x ∈ A) = x < A)
(f −1 (Y ) ⊂ X)
(A)
⇔ x ∈ [f −1 (A)]c
(Definición de complemento)
■
Lema 4.1 Sean X y Y conjuntos y sea f : X → Y . Se tiene lo siguiente.
(i). Para cualquier A ⊆ X, entonces A ⊆ f −1 (f (A)).
(ii). Para cualquier B ⊆ Y , entonces f (f −1 (B)) ⊆ B.
(ii). Para cualquier A ⊆ X, entonces f (X)\f (A) ⊆ f (X\A).
Demostración.
(i) Sea x ∈ A, por definición de imagen f (x) ∈ f (A), luego por definición de imagen inversa
x ∈ f −1 (f (A)). Por tanto, A ⊆ f −1 (f (A)).
246
4.6. Imagen inversa o preimagen
(ii) Sea y ∈ f (f −1 (B)), entonces por definición de imagen existe x ∈ f −1 (B) tal que f (x) = y.
Luego por definición de preimagen f (x) ∈ B tal que f (x) = y ∈ B. Por tanto, f (f −1 (B)) ⊆
B.
(iii) Sea z ∈ f (X)\f (A), entonces z ∈ f (X) y z < f (A). Luego existe x ∈ X tal que f (x) = z
y como z < f (A) entonces x < A. Por lo cual z = f (x) con x ∈ X\A, esto significa por
definición de imagen z ∈ f (X\A). Por tanto, f (X)\f (A) ⊆ f (X\A).
■
Ejemplo 4.46 Sea f : X → Y una función. Encontrar un ejemplo de una función f y un
subconjunto A ⊆ Df tal que:
Solución.
A ⫋ f −1 (f (A))
Consideremos la función f : [−π, π] → R definido por f (x) = − cos(x) + 1 y sea
A = [0, π2 ], observamos que f (A) = [0, 1], entonces f −1 (f (A)) = [− π2 , π2 ]. Así A ⫋ f −1 (f (A))
■
Ejemplo 4.47 Encontrar un ejemplo de función f y un subconjunto B ⊆ Imf tal que:
f (f −1 (B)) ⫋ B
Solución.
Sea f : R → R una función definida por f (x) = x2 y B = [−1, 1] ⊆ Imf , entonces
f −1 (B) = [−1, 1], pero f (f −1 (B)) = [0, 1], así f (f −1 (B)) ⫋ B
■
Para que las contenciones recíprocas del anterior lema se verifique, es necesario y suficiente que las funciones cumplan ciertas condiciones, como ser inyectividad o sobreyectividad (o ambas), Pues por lo general las contenciones recíprocas no se cumplen.
Teorema 4.10 Sean X e Y conjuntos cualesquiera y sea f : X → Y función.
(i). La función f es inyectiva si y sólo si para cualquier subconjunto A de X,
A = f −1 (f (A))
(ii). La función f es sobreyectiva si y sólo si para cualquier subconjunto B de Y ,
f (f −1 (B)) = B
(iii). La función f es biyectiva si y sólo si para cualquier subconjunto A de X,
Y \f (A) = f (X\A)
Capítulo 4. Funciones
247
Demostración.
(i). Si f es 1-1 ⇒ ∀A ⊆ X : A = f −1 (f (A)). Supongamos que f es inyectiva, por el Lema
4.1 inciso (i) tenemos A ⊆ f −1 (f (A)). Ahora falta verificar la otra inclusión. Sea x ∈
f −1 (f (A)), por definición de preimagen f (x) ∈ f (A), luego por definición de imagen,
existe z ∈ A tal que f (z) = f (x). Como f es inyectiva z = x, así x ∈ A. Por tanto,
f −1 (f (A)) ⊆ A. En conclusión A = f −1 (f (A)).
∀A ⊆ X : A = f −1 (f (A)) ⇒ f es 1-1. Supongamos que para todo subconjunto A de X
tal que A = f −1 (f (A)). En particular, se cumple: {x} = f −1 (f ({x})) y {y} = f −1 (f ({y})).
Ahora, para verificar que f es inyectiva, supongamos para cualquier x, y ∈ X tal que
f (x) = f (y). De aquí:
{x} = f −1 (f ({x})) = f −1 ({f (x)}) = f −1 ({f (y)}) = f −1 (f ({y})) = {y}
Así x = y. Por tanto, f es inyectiva.
(ii). Si f es sobreyectiva → ∀B ⊆ Y : f (f −1 (B)) = B. Supongamos que f es sobreyectiva. Por
el Lema 4.1 inciso (ii) se tiene f (f −1 (B)) ⊆ B. Ahora falta verificar la otra inclusión. Sea
z ∈ B y como f es sobreyectiva, existe x ∈ X tal que f (x) = z, así f (x) ∈ B y de aquí
aplicando la definición de imagen inversa x ∈ f −1 (B). Luego, como sabemos que existe
x ∈ X, con x ∈ f −1 (B) y z = f (x), entonces z ∈ f (f −1 (B)) por definición de imagen de
f −1 (B) bajo f . Por tano B ⊆ f (f −1 (B)). En conclusión, f (f −1 (B)) = B.
∀B ⊆ Y : f (f −1 (B)) = B ⇒ f es sobreyectiva. Supongamos que todo subconjunto B de
Y tal que f (f −1 (B)) = B. En particular,f (f −1 (Y )) = Y Por definición de preimagen
f −1 (Y ) = {x ∈ X : f (x) ∈ Y } y como f : X → Y tenemos X = {x ∈ X : f (x) ∈ Y }. Así
f −1 (Y ) = X y de aquí tenemos f (X) = Y . Esto significa que f es sobreyectiva.
(iii). Si f es biyectiva ⇒ ∀A ⊆ X : Y \f (A) = f (X\A). Como f es sobreyectiva tenemos que
f (X) = Y entonces f (X)\f (A) ⊆ f (X\A) por el lema 4.1. Ahora verifiquemos la otra
inclusión f (X\A) ⊆ Y \f (A). Sea z ∈ f (X\A) entonces existe x ∈ X\A tal que f (x) = z.
Luego f (x) = z con x ∈ X y x < A. Supongamos que z ∈ f (A), de aquí existe a ∈ A tal que
f (a) = z, de donde se obtiene f (a) = f (x), pero como f es inyectiva a = x, esto es una
contradicción que x < A. Luego z < f (A), así por definición de complemento z ∈ Y \f (A).
En conclusión, Y \f (A) = f (X\A).
∀A ⊆ X : Y \f (A) = f (X\A) ⇒ f es biyectiva. Supongamos que cualquier A ⊆ X tal que
Y \f (A) = f (X\A). Primero verifiquemos que f es inyectiva. Consideremos u, v ∈ X tal
que u , v. Con A := {u} y de aquí tenemos v ∈ X\A, pues v < {u}. Así f (v) ∈ f (X\A).
Además, por hipótesis Y \f (A) = f (X\A), de donde f (v) ∈ Y \f (A) esto implica f (v) ∈ Y
y f (v) < f (A) = f ({u}) = {f (u)}, esto significa que f (u) , f (v).
Veamos ahora la sobreyectividad de f . Haciendo A = X en la hipótesis, Y \f (X) =
f (X\X), luego Y \f (X) = f (∅), pues X\X = ∅. Por la propiedad (P-1) del teorema 4.7
248
4.6. Imagen inversa o preimagen
tenemos Y \f (X) = ∅, ahora por el ejercicio 2.27 se tiene Y ⊆ f (X). Como f : X → Y es
función, tenemos que f (X) ⊆ Y . Por tanto, f (X) = Y , así concluimos que f es sobreyectiva.
■
Ejercicio 4.30 De un ejemplo, para los conjuntos X, Y y un subconjunto A de X y una
función f : X → Y de forma que:
(Y \f (A)) ∩ f (X\A) = ∅
Ejercicio 4.31 Sean f : X → Y una función, y los subconjuntos A ⊆ X y B ⊆ Y . De-
mostrar las siguientes relaciones:
(a). f −1 (Y \B) = X\f −1 (B)
(b). f (A ∩ f −1 (B)) = f (A) ∩ B
Ejercicio 4.32 Sea f : X → Y . Demostrar la equivalencia de las siguientes proposicio-
nes, para cualesquiera que sean A ⊆ X y B ⊆ X.
(a). f −1 [f (A)] = A
(c). A ∩ B = ∅ ⇒ f (A) ∩ f (B) = ∅
(b). B ⊆ A ⇒ f (A\B) = f (A)\f (B)
Ejercicio 4.33 Sea f : A → B una función, y sea X, Y ⊆ B. Demostrar la siguiente
propiedad.
X ⊆ Y ⇒ f −1 (X) ⊆ f 1 (Y )
Ejercicio 4.34 Sea f : R → R definida como f (x) = x2 + 1. Determine las preimagenes
de los siguientes subconjuntos de la imagen de f .
(i). [−1, 1]
(iii). (−∞, 12 ]
(ii). [0, 3]
(iv). [0, 3)
(v). [1, 10]
Ejercicio 4.35 Sea X y Y conjuntos y sea f : X → Y Demuestre lo siguiente:
(i). Sea I un subconjunto no vacio de los naturales, y para cada i ∈ I , sea Bi ⊆ Y .
S
S
Entonces, f −1 ( i∈I Bi ) = i∈I f −1 (Bi )
(ii). Sea I un subconjunto no vacio de los naturales, y para cada i ∈ I, sea Bi ⊆ Y .
T
T
Entonces f −1 ( i∈I Bi ) = i∈I f −1 (Bi )
5. Aritmética Modular
Presentación. En la primera sección de este capítulo demostramos el teorema llamado principio de inducción matemática, este es un resultado muy importante, ya que es usado para validar
conjeturas y otros resultados. Posteriormente, introducimos el concepto de divisibilidad (donde el
resto es cero) y el algoritmo de Euclides (donde el resto no necesariamente es cero). El algoritmo
de Euclides juega un rol importante, por ejemplo nos sirve para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros, y encontrar las soluciones de una ecuación diofántica, entre otras
más. Luego se demuestra el teorema fundamental de la aritmética, el cual afirma que cualquier
número entero puede ser representado como producto de números primos. Finalmente, las dos
últimas secciones; congruencias y aritmética en Zn , están conectadas, ya que en congruencia se
define la suma, producto, y otras propiedades, con estas propiedades introducimos las operaciones en aritmética Zn y así llegar a introducir el concepto de anillo y este es un punto inicial, para
comprender el álgebra abstracta.
Objetivo. Desarrollar conceptos básicos de la aritmética modular, para incentivar al lector a continuar con estudios superiores como por ejemplo Teoría de Números, Criptografía y el Álgebra
Abstracta.
Objetivos específicos.
• Desarrollar el principio de inducción finita e identificar cuando se debe usar.
• Demostrar las propiedades de divisibilidad y el teorema del algoritmo de Euclides.
• Demostrar la identidad de Bézout y la caracterización de máximo común divisor
• Demostración del teorema caracterización de los números primos y demostrar el teorema
fundamental de la aritmética.
• Demostrar el algoritmo de Euclides.
• Demostrar la caracterización de mínimo común múltiplo, identificar si una ecuación diofántica tiene solución y como encontrarlas.
• Determinar el resto de la división de dos números, con la ayuda de teoremas y propiedades
de congruencias.
• Analizar la estructura Zn (conjunto de clases de equivalencias de los enteros), para poder
obtener otras estructuras (grupo, anillo, campo).
249
250
5.1
5.1. Principio de inducción finita
Principio de inducción finita
La inducción es el proceso que parte de la observación de hechos o casos particulares
y de los cuales se llega a una conclusión general, y en matemáticas muchos resultados
son establecidos con este proceso, como por ejemplo la suma de los n primeros números
naturales1 que es igual a:
1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) + n =
n(n + 1)
2
(5.1)
Podemos llegar a confirmar que esta igualdad es cierta para n = 1, 2, 3, 4, · · · , pero no cabe
duda que en algún momento nos llegaremos a cansar de verificar; sin embargo, hacer esto
no quiere decir que sea cierto para cualquier n. Es por eso que para poder validar 5.1 surge
el Principio de Inducción Finita.
Axioma 5.1 (Principio de Buen Orden) Todo conjunto no vacío de enteros positivos
contiene un elemento mínimo.
El Principio de Buen Orden también es conocido como Principio del entero más pequeño.
Ejemplo 5.1 En el conjunto {36, 38, 40, 42, . . .} de los números pares mayores que 34,
tenemos que 36 es el menor elemento.
Ejemplo 5.2 El conjunto de los números enteros Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .} no tiene ele-
mento menor, pues si x ∈ Z fuera el elemento menor, entonces (x − 1) ∈ Z, es decir Z
no está acotado inferiormente.
Ejemplo 5.3 Consideremos el conjunto de los números racionales positivos:
Q+ =
m
: m, n ∈ N
n
Demuestre que:
1 «J. B. Büttner, maestro de un colegio alemán, castigó a todos los niños a sumar los 100 primeros números
naturales para tenerlos entretenidos y callados un buen rato. Carl Friedrich Gauss obtuvo la respuesta casi de
inmediato: 1 + 2 + 3 + · · · + 99 + 100 = 5050.» Una historia mil veces contada. Todos los profesores de primaria y
secundaria se la cuentan a sus alumnos. ¿Ocurrió de verdad? ¿Hay alguna evidencia histórica? Sigue la historia
contando que «Gauss, el niño prodigio, se dio cuenta de que 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc., todos suman 101,
y que hay 50 de estos pares, resultando 50 × 101 = 5050. La fórmula más general para la suma aritmética de
1 al n es n(n + 1)/2.» ¿Cómo verificó el profesor la respuesta de Gauss? ¿Conocía el maestro de escuela la
fórmula para sumar una serie aritmética? ¿El maestro sumó uno a uno los números del 1 al 100 alguna vez en
su vida? ¿Esta historia pertenece al mismo género que la historia de Newton y la manzana, o de Arquímedes y
la bañera? Nos cuenta todo lo que se sabe de verdad (históricamente) sobre esta historia Brian Hayes, «Gauss’s
Day of Reckoning. A famous story about the boy wonder of mathematics has taken on a life of its own,» American
Scientitst, 94: 200, May-June 2006
Capítulo 5. Aritmética Modular
251
(a). 0 es cota inferior de Q+ (o también se dice que Q+ está acotado inferiormente).
(b). Q+ no tiene elemento mínimo.
Solución.
(a). Notemos que para todo x ∈ Q+ se tiene 0 < x. De acuerdo a la definición ??, esto significa
que 0 es cota inferior de Q+ .
(b). Demostraremos por contradicción. Supongamos que a ∈ Q+ sea el elemento mínimo de
Q+ . Por clausura de Q+ tenemos a · 21 ∈ Q+ y como 2a < a, llegamos a una contradicción.
Por tanto, Q+ no tiene elemento mínimo.
■
Ejemplo 5.4 Usando el Axioma del principio de Buen Orden, demuestre que:
Sn =
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
1·2 2·3 3·4
n(n + 1) n + 1
Para todo natural n ≥ 1.
Solución.
n
Sea H = {n ∈ N : Sn , n+1
}, ahora necesitamos verificar que H = ∅. Supongamos
que H , ∅, entonces por el axioma 5.1 existe a ∈ H tal que a el elemento mínimo de H. Como
1
a
con a > 1, pues S1 = 21 = 1+1
lo cual implica que 1 < H.
a ∈ H esto significa que Sa , a+1
Sabiendo que a es el menor elemento de H entondes (a − 1) < H, esto implica que:
Sa−1 =
1
1
1
1
a−1
+
+
+ ... +
=
1·2 2·3 3·4
(a − 1)a
a
luego tenemos
Sa = Sa−1 +
1
a−1
1
a2 − 1 + 1
a
=
+
=
=
a(a + 1)
a
a(a + 1)
a(a + 1)
a+1
a
(pues a ∈ H). Por tanto, H = ∅ de esta manera conEsto es una contradicción a Sa , a+1
n
n
cluimos que no existe n ∈ N tal que Sn , n+1
. Es decir, Sn = n+1
para todo natural n ≥ 1.
■
Teorema 5.1 (Principio de Inducción Finita) Si un subconjunto S de enteros positivos
es tal que:
(i). 1 ∈ S
(ii).
h∈S
|{z}
Hipótesis de inducción
Entonces S = N.
⇒
(h + 1) ∈ S
| {z }
Tesis de inducción
252
5.1. Principio de inducción finita
Demostración.
Hipótesis
•
S ⊆ N.
•
(i) 1 ∈ S
Identifiquemos:
Tesis
•
S =N
(ii) h ∈ S ⇒ h + 1 ∈ N
Para mostrar la igualdad de conjuntos S = N, tenemos que mostrar dos inclusiones. La
inclusión S ⊆ N, no es necesario mostrar, ya que es nuestra hipótesis, sólo es suficiente ver
que N ⊆ S. Es decir S contiene a todos los enteros positivos. Para demostrar vamos a utilizar
el método por contradicción. Supongamos que S no contiene a todos los enteros positivos.
Sea un subconjunto A de enteros positivos que no pertenece a S. Por el axioma 5.1 (Principio
de Buen Orden), A posee un elemento mínimo, digamos m tal que m ∈ A.
Por hipótesis (i), 1 ∈ S, y como los elementos de A no pertenecen a S, entonces m , 1.
Pero como m es un entero positivo, tenemos m > 1 y de aquí m − 1 > 0. Además, sabemos
que m − 1 < m, por ser m el mínimo de A, resulta m − 1 ∈ S.
Por hipótesis (ii), si m − 1 ∈ S ⇒ (m − 1) + 1 ∈ S, esto es m ∈ S. Esta proposición es una
contradicción con m ∈ A. Luego N ⊆ S, y por hipótesis S ⊆ N, resulta S = N.
■
Teorema 5.2 (Principio de Inducción Matemática) Sea P(n) un enunciado, con n ∈ N.
Si ocurre que P(1) es verdadero, además, de la verdad de P(k) se deduce la verdad
de P(k + 1), entonces P(n) es verdadera para todo n.
Demostración.
Hipótesis
•
Identifiquemos:
P(1) es Verdadero
Tesis
•
∀n ∈ N : P(n) es Verdadero
• ∀k(P(k) ⇒ P(k + 1))
Sea S = {n ∈ N : P(n) es verdadero }, este es el conjunto de números naturales para los
cuales P(n) es verdadero, que contiene al 1, y además al siguiente de k siempre que contenga
a k. Luego por el teorema 5.1, S = N. Esto significa que P(n) es verdadero para todo n ∈ N.
■
El Principio de Inducción matemática comúnmente es nombrado como inducción matemática.
Observación 5.1 Sea P(n) un enunciado. Una demostración por inducción matemática
de P(n) sea válida para todo entero positivo n comprende de dos pasos:
(i). P(1) es verdadero.
(ii). Si P(k) es verdadero, entonces P(k + 1) es verdadero, cuando k ∈ Z+ .
Entonces, por el principio inducción matemática, P(n) es verdadero para todo ente-
Capítulo 5. Aritmética Modular
253
ro positivo n; esto es, el conjunto S de los enteros positivos, para los cuales P(n) es
verdadero en el conjunto de todos los enteros positivos.
Ejemplo 5.5 Demostrar que la suma de los primeros n enteros positivos impares es
n2 . Es decir;
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
Solución.
Sea P(n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
(i) P(1) = 1 = 12 Verdadero.
(ii) Hipótesis de inducción. Se verifica para todo k entero positivo impar n = k,
P(k) = 1 + 3 + 5 · · · + (2k − 1) = k 2
. Tesis de inducción. Tenemos que demostrar, para n = k + 1, se cumple:
P(k + 1) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2
En efecto se tiene:
1 + 3 + 5 + · · · + (2(k + 1) − 1) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2k + 1) + (2k + 1)
= k 2 + (2k + 1)
= (k + 1)
2
(hipótesis de inducción)
(Trinomio cuadrado perfecto)
Por tanto, el predicado P(n) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 se cumple para todo n ∈ N
Ejemplo 5.6 Demostrar que la suma de los n primero números naturales es
n(n+1)
2 .
Solución.
(i) P(1) = 1 =
1·(1+1)
es verdadero.
2
(ii) Hipótesis de inducción. ∀ n = k ∈ N se verifica P(k) : 1 + 2 + 3 + · · · + k =
k(k+1)
2
Tesis de inducción. Por demostrar, para todo n = k + 1 se cumple:
P(k + 1) = 1 + 2 + 3 + · · · + (k + 1) =
(k + 1)((k + 1) + 1) (k + 1)(k + 2)
=
2
a
■
254
5.1. Principio de inducción finita
En efecto se tiene:
1 + 2 + 3 + · · · + (k + 1) = 1 + 2 + 3 + · · · + k + (k + 1)
k(k + 1)
+ (k + 1)
2
k(k + 1) + 2(k + 1)
=
2
(k + 1)(k + 2)
=
2
(Hipótesis de inducción)
=
Por tanto, el predicado P(n) = 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n+2)
se cumple para todo n ∈ N.
2
■
Ejemplo 5.7 Demostrar 1 + x + x2 + · · · + xn = x x−1−1 , para todo x ∈ R y para todo n ∈ N.
n+1
Solución.
−1
(i) P(1) = 1 + x = xx−1
es verdadero, pues (1 + x)(x − 1) = x2 − 1.
2
(ii) Hipótesis de inducción. ∀n (n = k ∈ N) se verifica P(k) = 1 + x + x2 + · · · + xk = x x−1−1
k+1
Tesis de inducción. Por demostrar, para todo n = k + 1 se cumple:
P(k + 1) = 1 + x + x2 + · · · + xk+1 =
xk+2 − 1
x−1
En efecto se tiene:
1 + x + x2 + · · · + xk + xk+1 = 1 + x + x2 + · · · + xk + xk+1
xk+1 − 1
+ xk+1
x−1
xk+1 − 1 xk+2 − xk+1
=
+
x−1
x−1
xk+2 − 1
=
x−1
=
(Hipótesis de inducción)
Por tanto, el predicado P(n) = 1 + x + x2 + · · · + xn = x x−1−1 se cumple para todo n ∈ N.
n+1
Ejemplo 5.8 Demostrar:
√
√
1
1
2( n + 1 − 1) < 1 + √ + · · · + √ < 2 n
n
2
para todo n ∈ N.
■
Capítulo 5. Aritmética Modular
255
Solución.
Notesé que hay dos desigualdades, para esto reescribimos estas desigualdades
√
√
de la siguiente manera: Sean S(n) = 2( n + 1 − 1), M(n) = 1 + √1 + · · · + √1n y R(n) = 2 n. Así
2
tenemos que probar:
P(n) : S(n) < M(n) y Q(n) : M(n) < R(n)
| {z }
| {z }
(α)
(β)
Prueba (α) Para todo n ∈ N, S(n) < M(n). Vamos a aplicar inducción matemática sobre n.
(i) P(1) : S(1) < M(1).
√
√
2( 2 − 1)( 2 + 1)
2
2
S(1) = 2( 2 − 1) =
=√
<
= 1 = M(1)
√
2+1
2+1 1+1
√
Así P(1) es verdadero.
(ii) Hipótesis de inducción. Para todo n = k ∈ N se verifica P(k) : S(k) < M(k).
Tesis de inducción. Para todo n = k + 1 tenemos que demostrar
P(k + 1) : S(k + 1) < M(k + 1)
1
1
1
M(k + 1) = 1 + √ + · · · + √ + √
2
k
k +1
1
= M(k) + √
k +1
1
> S(k) + √
(Hipótesis de Iducción)
k +1
√
1
= 2( k + 1 − 1) + √
k +1
√
√
√
1
= 2( k + 2 − 1) − 2( k + 2 − k + 1) + √
k +1
√
√
√
√
√
2( k + 2 − k + 1)( k + 2 + k + 1)
1
= 2( k + 2 − 1) −
+√
√
√
k +2+ k +1
k +1
√
2
1
+√
= 2( k + 2 − 1) − √
√
k +2+ k +1
k +1
√
2
1
> 2( k + 2 − 1) − √
+√
√
k +1+ k +1
k +1
√
2
1
= 2( k + 2 − 1) − √
+√
2 k +1
k +1
√
= 2( k + 2 − 1)
= S(k + 1)
Así, S(k + 1) < M(k + 1). Por tanto, se verifica S(n) < M(n) para todo n ∈ N.
256
5.1. Principio de inducción finita
Prueba (β) Para todo n ∈ N, M(n) < R(n). Vamos a aplicar inducción matemática sobre n.
(i) Q(1) : M(1) < R(1).
√
M(1) = 1 < 2 1 = R(1)
Así Q(1) es verdadero.
(ii) Hipótesis de inducción. Para todo n = k ∈ N se verifica Q(k): M(k) < R(k).
Tesis de inducción. Para todo n = k + 1 tenemos que demostrar:
Q(k + 1) : M(k + 1) < R(k + 1)
1
1
1
M(k + 1) = 1 + √ + · · · + √ + √
2
k
k +1
1
= M(k) + √
k +1
1
< R(k) + √
(Hipótesis de Inducción)
k +1
√
1
=2 k+√
k +1
√
√
√
1
= 2 k + 1 − 2( k + 1 − k) + √
k +1
√
√ √
√
√
2( k + 1 − k)( k + 1 + k)
1
= 2 k +1−
+√
√
√
k +1+ k
k +1
√
2
1
= 2 k +1− √
√ +√
k +1+ k
k +1
√
2
1
< 2 k +1− √
+√
√
k +1+ k +1
k +1
√
2
1
= 2 k +1− √
+√
2 k +1
k +1
√
= 2 k +1
= R(k + 1)
Así, Q(k +1) : M(k +1) < R(K +1) es verdadero. Por tanto, M(n) < R(n) para todo n ∈ N.
√
√
En conclusión, el enunciado 2( n + 1−1) < 1+ √1 +· · ·+ √1n < 2 n se cumple para todo n ∈ N.
2
■
5.1.1 Mal uso de la inducción matemática
¿Cuándo se debe usar Inducción Matemática?
Analicemos el siguiente ejemplo
Capítulo 5. Aritmética Modular
257
Ejemplo 5.9 Diga cuál es el error de la siguiente “demostración” por inducción mate-
mática: Sea n ≥ 1. Demuestre que para cualquier “n” rectas en el plano euclidiano R2 ,
estas son paralelas.
Demostración.
Lo realizamos por inducción sobre el número n ≥ 1 de rectas en R2 .
Sea la proposición P(n) : “ Si L1 , L2 , L3 , ..., Ln son rectas en R2 , entonces todas son
paralelas”.
(i). Si n = 1, entonces P(1) es verdadera, pues toda recta es paralela a sí misma.
(ii). Hipótesis de inducción. Supongamos que la afirmación es verdadera para n = k.
P(k) : “ Si L1 , L2 , L3 , ..., Lk son rectas en R2 , entonces todas son paralelas”. Es
decir, cualquier k rectas en R2 son paralelas.
Tesis de inducción. Lo que tenemos que demostrar es para n = k + 1. P(k + 1) :
“ Si L1 , L2 , L3 , ..., Lk , Lk+1 son rectas en R2 , entonces todas son paralelas”.
Sean L1 , L2 , L3 , ..., Lk , Lk+1 rectas en R2 . Denotando con L k M el hecho de que
las líneas L y M sean paralelas, por hipótesis de inducción tenemos L1 k L2 , k
L3 k, ..., k Lk . También por hipótesis de inducción L2 k L3 , k L4 k, ..., k Lk+1 , entonces,
como la relación de ser paralela es transitiva L1 , L2 , L3 , ..., Lk , Lk+1 son paralelas.
Por lo tanto, cualquier k + 1 rectas en R2 son paralelas.
¡Por lo tanto, para todo n ≥ 1, rectas en R2 son paralelas!
Solución.
■
El error ocurre cuando n = 2. Más específicamente, al suponer cuando k + 1 = 2.
Es decir, en la hipótesis de inducción L1 es paralelo consigo mismo, mientras en la tesis
de inducción L2 es paralelo consigo mismo. Pero no podemos afirmar de que L1 y L2 son
paralelos.
■
Respondiendo a la pregunta formulada antes de este ejemplo. No todo enunciado en
donde se afirma que es cierto para n términos, es verdad. Es claro que este ejemplo no paso
por un proceso de inducción. Para poder hacer uso de la inducción matemática, se debe
verificar que el enunciado es la conclusión de un proceso de inducción, es decir, verificar si
es verdad, para n = 1, 2, 3, 4, 5 o si piensa que necesita hacer más debe hacerlo, esto se debe
hacer en otra hoja (fuera de la demostración formal). Una vez convencido que este enunciado
es resultado de un proceso de inducción, se debe proceder con la demostración. Hacer este
proceso cada vez que se requiera utilizar el método de inducción en una demostración puede
ser muy moroso o tedioso, pero siempre que se sospeche de la veracidad del enunciado es
mejor verificar o caeremos en conclusiones erróneas.
Ejercicio 5.1 Utilice el principio de buen orden para demostrar que cualquier subcon-
junto de enteros acotados superiores no vacíos tiene un elemento mayor.
258
5.1. Principio de inducción finita
Ejercicio 5.2 Si a y b son dos enteros positivos cualesquiera, demuestre que existe
un entero positivo n tal que na ≥ b. (Use el Principio del Buen Orden)
Ejercicio 5.3 Demostrar:
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
=
1·2 2·3 3·4
n · (n + 1) n + 1
Haciendo uso del principio de inducción matemática.
Ejercicio 5.4 Demostrar que 22n − 1 es un múltiplo de 3 para todo entero positivo n.
Ejercicio 5.5 Demostrar el teorema de Moivre [R(cos t + i sin t)]n = Rn (cos nt + i sin nt),
para todo n ∈ N
Ejercicio 5.6 Demostrar que, si sin x , 0 y n es un número natural, entonces:
cos x · cos 2x · · · cos 2n−1 x =
sin 2n x
2n sin x
Ejercicio 5.7 Demostrar que para cualquier número natural n ≥ 2,
1
1
1
2
(1 − √ )(1 − √ ) · · · (1 − √ ) < 2
n
n
2
3


 1 1 


Ejercicio 5.8 Sea A = 
0 1 
(a). Calcule A2 y A3 par determinar una fórmula posible para An , n ∈ {1, 2, 3, . . .}.
(b). Demuestre por inducción el resultado obtenido por el enciso (a).
Ejercicio 5.9 Diga cuál es el error en la siguiente “demostración” por inducción:
En todo conjunto de n ≥ 1 círculos en R2 , todos los círculos tienen el mismo radio.
(I). Si n = 1, todo círculo en el conjunto tiene el mismo radio, por lo que la afirmación
es cierta para n = 1.
(II). Hipótesis de inducción. Supongamos que la afirmación es cierta para n, es decir, que cualesquiera n círculos en R2 tienen el mismo radio.
Tesis de Inducción. Sean C1 , C2 , . . . , Cn , Cn+1 círculos cualesquiera en R2 .
Por hipótesis de inducción, tenemos que C1 , C2 , . . . , Cn tienen el mismo radio. Tam-
Capítulo 5. Aritmética Modular
259
bién por la hipótesis de inducción, tenemos que C2 , C3 . . . , Cn , Cn+1 tienen el mismo
radio, entonces todos los círculos C1 , C2 , . . . , Cn , Cn+1 tienen el mismo radio.
Por lo tanto, cualesquiera n+1 círculos en R2 tienen el mismo radio. ¡Por lo tanto,
para todo n ≥ 1, cualesquiera n círculos en R2 tienen el mismo radio!
5.2
Divisibilidad
En esta sección presentamos importantes y básicos resultados, como, por ejemplo, el
teorema 5.7, sobre la existencia, unicidad del cociente y resto en la división de enteros.
Definición 5.1 Divisibilidad. Si a y b son enteros, decimos que a divide a b, denotando
por a|b, si existe un entero c tal que b = a · c. Si a no divide a b escribimos a ∤ b.
Si a divide b también decimos que:
• a es divisor de b.
• a es un factor de b.
• b es múltiplo de a.
• b es divisible por a.
Teorema 5.3 Sean a, b y c números enteros. Si a|b y b|c, entonces a|c.
Demostración.
Identifiquemos:
Hipótesis
Tesis
•
•
a|b y b|c.
a|c.
Aplicando la definición 5.1 en a|b y b|c, existen c1 , c2 ∈ Z, tal que b = ac1 y c = bc2 . Luego
c =ac1 c2
c =ak
(Sustituyendo b = ac1 en c = bc2 )
(Clausura en Z, k = c1 c2 )
de la definición de divisibilidad, tenemos a|c.
Ejemplo 5.10 Notesé que si 3|12 y 12|48, entonces por el teorema 5.3 afirmamos 3|48.
Por otro lado, para la ecuación 15 = 4c no existe un entero c que satisface tal ecuación,
esto significa que 4 no divide a 15, es decir, 4 ∤ 15.
Teorema 5.4 Sean a, b, c, m y n números enteros. Si c|a y c|b entonces c|(ma + nb).
■
260
5.2. Divisibilidad
Demostración.
Identifiquemos:
Hipótesis
Tesis
•
•
c|a y c|b.
c|(ma + nb).
Por definición de divisibilidad en c|a y c|b existen constantes k1 , k2 ∈ Z, tal que a = k1 c . . . (1) y
b = k2 · c . . . (2). Multiplicando por m y n a las ecuaciones (1) y (2) respectivamente, tenemos
ma = mk1 c y nb = nk2 c. Luego sumando estas dos últimas ecuaciones: ma+nb = (mk1 +nk2 )·c.
■
Así concluimos la prueba c|(ma + nb).
Ejemplo 5.11 Notemos que 3|15 y 3|42, entonces por el teorema 5.4 podemos afirma-
mos 3|(8 · 15 − 7 · 42).
En el siguiente teorema se enuncian un compendio de propiedades de divisibilidad.
Teorema 5.5 (Propiedades de divisibilidad) Demostrar las siguientes afirmaciones:
1. n|n.
5. n|0.
2. d|n ⇒ ad|an.
6. d|n y n , 0 ⇒ |d| ≤ |n|.
3. ad|an y a , 0 ⇒ d|n.
7. d|n y n|d ⇒ |d| = |n|.
8. d|n y d , 0 ⇒ dn n.
4. 1|n.
Demostración.
Vamos a empezar por la primera proposición.
1. Partimos de la identidad n = 1 · n, esto significa que n|n.
2. Por hipótesis d|n, entonces existe k ∈ Z tal que n = dk. Ahora, multiplicando por cualquier
entero a ∈ Z tenemos, an = a(dk) = (ad)k, de aquí ad|an.
3. Por hipótesis ad|an, entonces existe k ∈ Z tal que an = (ad)k y sabiendo a , 0 aplicamos
la ley de cancelación para obtener n = dk. Por tanto, d|n.
4. Por la siguiente identidad n = 1 · n, esto significa que 1|n.
5. Partiendo de la siguiente relación 0 = 0 · n, esto significa que n|0.
6. Por hipótesis d|n, entonces existe k ∈ Z tal que n = dk. Tomando valor absoluto se tiene
|d| · |k| = |n|. Como n , 0, luego |k| ≥ 1. Por tanto, |d| ≤ |n|.
7. Por hipóteis d|n y n|d, entonces por (6) |d| ≤ |n| y |n| ≤ |d|. Sabemos que la relación menor
o igual es antisimétrica, entonces |d| = |n|.
8. Por hipótesis d|n, entonces existe k ∈ Z tal que n = d · k Además, como d , 0, entonces
n
n
n
=
k.
Así
n
=
d
esto
por
definición
de
divisibilidad
significa
que
d
d
d n.
■
Capítulo 5. Aritmética Modular
261
Ejercicio 5.10 Decida si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, dando
una demostración o un contraejemplo. Sean a, b y c enteros.
(a). Si a|b, entonces (a + c)|(b + c).
(e). Si a|(b + c), entonces a|b o a|c.
(b). Si a|c y b|c, entonces (a + b)|c.
(f). Si a|bc, entonces a|b o a|c.
(c). Si ac|bc, entonces a|b.
(d). Si a|b, entonces a|bx, para todo x ∈ Z. (g). Si a|c y b|c, entonces ab|c.
Ejercicio 5.11 Sea a un entero. Demostrar que uno de los enteros a, a + 2, a + 4 es
dividible por 3.
Ejercicio 5.12 Sea a un número entero cualquiera. Demostrar que:
(a). 2|a(a + 1)
(b). 3|a(a + 1)(a + 2)
Ejercicio 5.13 Demostrar que, si a|(2x − 3y) y a|(4x − 5y), entonces a|y, donde a, x e y
son enteros.
Ejercicio 5.14 Para todo entero a, demostrar que 4|(a2 + 2).
Ejercicio 5.15 Demostrar que si a y b son enteros impares, entonces a2 −b 2 es divisible
por 8.
5.3
Algoritmo de la división
El algoritmo de la división 2 nos dice que siempre que intentemos dividir dos enteros, la
división será exacta o en otro caso, existirá un residuo. También nos dice que siempre vamos
a poder hacer esta operación para cualesquiera dos enteros y el resultado será único. Para
poder demostrar el algoritmo de la división demostraremos el Teorema de Eudoxius.
Teorema 5.6 (Teorema de Eudoxius) Dados a y b enteros con b , 0 entonces a es un
múltiplo de b o se encuentra entre los múltiplos consecutivos de b.
En Símbolos. ∀a, b ∈ Z con b , 0, existe un entero q tal que:
• Para b > 0, se tiene qb ≤ a < (q + 1)b.
• Para b < 0, se tiene qb ≤ a < (q − 1)b.
2 El algoritmo de la división aparece en el libro V II de los “Elementos” de Euclides escrito al rededor del año
300 a.C.
262
5.3. Algoritmo de la división
Demostración.
Identifiquemos:
Hipótesis
Tesis
•
•
∀a, b ∈ Z con b , 0



 b > 0 ⇒ qb ≤ a < (q + 1)b
∃q ∈ Z : 

 b < 0 ⇒ qb ≤ a < (q − 1)b
CASO 1 (b > 0) La demostración lo realizamos por construcción. Consideremos el siguiente
conjunto
S = {(n + 1)b − a : n ∈ Z ∧ (n + 1)b − a > 0}
Afirmación 1. S , ∅. Para la prueba consideremos los siguientes casos
• Si a > 0, Tomamos n = 2a − 1. De aquí tenemos que
(n + 1)b − a = ((2a − 1) + 1)b − a = 2ab − a ≥ 2a − a = a > 0 así S , ∅
• Si a < 0, tomamos n = −1. De aquí tenemos que:
(n + 1)b − a = (−1 + 1)b − a = 0 − a = −a > 0,
así S , ∅
• Si a = 0, tomamos n = 0. De aquí tenemos que:
(n + 1)b − a = (0 + 1)b − 0 = b > 0 así S , ∅
Así, S ⊆ N es no vacío. Además, por el principio del buen orden S tiene un elemento
mínimo, digamos (n0 + 1)b − a ∈ S. Esto es (n0 + 1)b − a > 0.
Afirmación 2. n0 b ≤ a. Para la demostración utilizaremos el método por contradicción. Suponemos que n0 b > a. Luego n0 b −a > 0. Por tanto n0 b −a ∈ S esto es una contradicción,
porque n0 b −a < (n0 +1)b −a. De aquí concluimos que n0 b ≤ a. Para llegar a la desigualdad de la tesis, hacemos que q = n0 , así qb ≤ a < (q + 1)b
CASO 2. (b < 0). La prueba es similar al CASO 1. Dejamos al lector, ver el ejercicio 5.16.
Del caso 1 y 2 concluimos la prueba del teorema de Eudoxius.
Ejemplo 5.12 Sean a, b enteros, encontrar un entero q tal que satisfaga el teorema de
Eudoxius:
• Si a = 11 y b = 4, debemos tomar q = 2, de tal manera que 2 · 4 ≤ 11 < 3 · 4.
• Si a = −11 y b = 4, debemos tomar q = −3, de tal manera que
−3 · 4 ≤ (−11) < (−3 + 1) · 4.
• Si a = 11 y b = −4, debemos tomar q = −2, tal que (−2) · (−4) ≤ 11 < (−2 − 1) · (−4).
• Si a = −11 y b = −4, debemos tomar q = 3, de tal manera que
■
Capítulo 5. Aritmética Modular
263
3 · (−4) ≤ (−11) < (3 − 1) · 4.
Como se mencionó al principio de esta sección, el algoritmo de la división afirma que
siempre que intentemos dividir dos enteros, la división será exacta o en otro caso existirá un
residuo o resto. Comúnmente la división es conocido, es la siguiente forma:
Partes de la división
Dividendo
Resto
Divisor
7504 12
30 625
64
4
Cociente
Esta división también es representado por 7504 = 625·12 + 4. El siguiente teorema afirma
la existencia y unicidad del cociente y el resto de la división entre dos números enteros cualesquiera.
Teorema 5.7 (Algoritmo de la división) Dados dos enteros a y b, b > 0, existe un único
par de enteros q y r tales que
a = bq + r,
con 0 ≤ r < b (r = 0 ⇔ b|a)
(q es llamado cociente y r resto de la división de a por b).
Demostración.
Identifiquemos:
Hipótesis
Tesis
•
• Existencia
∃q, r ∈ Z : a = bq + r con 0 ≤ r < b
• Unicidad
∃!q, r ∈ Z : a = bq + r con 0 ≤ r < b
∀a, b ∈ Z con b > 0.
Por el Teorema (5.6), como b > 0, existe un entero q que satisface:
qb ≤ a < (q + 1)b
lo que implica 0 ≤ a − qb y a − qb < b. De esta forma, si definimos r = a − qb, tenemos la
garantia de la existencia de q y r.
Para mostrar la unicidad de q y r vamos a suponer que existen otro q1 y r1 que verifica:
a = bq1 + r1 ,
con 0 ≤ r1 < b
De aquí, tenemos (qb + r) − (q1 b + r1 ) = 0 ⇒ b(q − q1 ) = r1 − r, lo que implica b|(r1 − r). Además,
como r1 < b y r < b, entonces r1 < b + r y r < b + r1 , luego −b < r − r1 y r − r1 < b, así tenemos
264
5.3. Algoritmo de la división
|r1 − r| < b y, por tanto, como b|(r1 − r) debemos tener r1 − r = 0 lo que implica r = r1 . Luego
q1 b = qb ⇒ q1 = q, ya que b , 0.
■
Ejemplo 5.13 Todo número entero es par o impar, pero no ambos.
Solución.
Supongamos que n es el número entero cualquiera. Por el teorema del algoritmo
de la división, existe un único par de enteros q y r, con 0 ≤ r < 2 tal que n = 2q + r. Hay dos
casos: r = 0 o r , 0.
Caso 1: Si r = 0 entonces n = 2q, esto significa que n es par.
Caso 2: Si r , 0, entonces r es un entero tal que 0 < r < 2, de aquí el único entero entre 0 y
2 es 1. Así r = 1, por tanto, n = 2q + 1, lo que significa que n es impar.
Ahora mostramos que n no puede ser par o impar al mismo tiempo. Usemos el método de
contradicción, para eso suponemos que n es par e impar a la vez. Asi existe un entero q1 tal
que n = 2q1 y existe otro entero q2 tal que n = 2q2 + 1. Luego podemos reescribir estas dos
últimas ecuaciones como:
n = 2q1 + r1 y n = 2q2 + r2 con r1 = 0 y r2 = 1
Lo cual es una contradicción a la afirmación de unicidad del teorema del algoritmo de división.
■
Ejercicio 5.16 ∀a, b ∈ Z con b , 0, existe un entero q tal que para b < 0, se tiene
qb ≤ a < (q − 1)b
Ejercicio 5.17 Encuentre q y r en la división de a por b tal que satisfacen las condicio-
nes del algoritmo de la división. Donde:
(i). a = 59, b = −14
(ii). a = −79, b = −11
(iii). a = −59, b = −7
Ejercicio 5.18 Demostrar que el cuadrado de un entero cualquiera es de forma 3k o
3k + 1, con k ∈ Z.
Ejercicio 5.19 Demuestre que todo entero impar es de la forma 4k + 1 o 4k + 3, con
k ∈ Z.
Ejercicio 5.20 Demostrar que el cuadrado de cualquier entero impar es de la forma
8k + 1, con k ∈ Z.
Capítulo 5. Aritmética Modular
265
Ejercicio 5.21 Determinar los enteros positivos que divididos por 17 dejan un resto
igual al cuadrado del cociente.
Ejercicio 5.22 Demostrar que, si a y b son enteros con b > 0, entonces existen enteros
únicos q y r tales que a = br + r con 2b ≤ r < 3.
Ejercicio 5.23 Al dividir dos números enteros positivos el cociente es 16 y el resto es
lo más grande posible. Encuentra los dos números enteros, sabiendo que su suma es
341.
Ejercicio 5.24 .
(a). Demuestre que todo cuadrado perfecto es de la forma 5k o 5k ± 1.
(b). Como aplicación, indique en qué dígitos puede terminar un cuadrado perfecto.
(c). Demuestre que si tres enteros positivos a, b, c verifican la condición a2 = b2 + c 2
entonces entre ellos hay un múltiplo de 5 y un múltiplo de 2.
5.4
El máximo común divisor
El máximo común divisor de dos enteros a y b (a o b diferente de cero), es el mayor entero
que divide a y b. Lo definimos de manera explícita.
Definición 5.2 Máximo común divisor. Sean a y b dos enteros no simultaneamente
distintos de cero, es decir, a , 0 o b , 0. Se llama máximo común divisor de a y b el
entero positivo d que satisface las condiciones:
(1) . d|a y d|b (d es un divisor común de a y b).
(2). Si c es un entero tal que c|a y c|b, entonces c ≤ d. (d es el mayor de los divisores
comunes de a y b).
Denotemos al máximo común divisor de a y b por d = mcd(a, b) o simplemente d = (a, b).
Ejemplo 5.14 Encontrar el máximo común divisor de 36 y 84.
Solución.
Los divisores comunes a 36 y 84 son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. De estos divisores
el máximo es el 12, pues que no existe otro divisor más grande que 12 que sea divisor común
266
5.4. El máximo común divisor
■
de 36 y 84. Por tanto, (36, 84) = 12.
Teorema 5.8 (La identidad de Bézout o Lema de Bézout) Sea d el máximo común
divisor de a y b, entonces existen enteros x e y tales que d = xa + yb.
Demostración.
Hipótesis
Tesis
•
•
d = (a, b).
∃x, y ∈ Z : d = xa + yb.
Sea B = {z ∈ Z+ : z = x0 a + y0 b, x0 , y0 ∈ Z} el conjunto de enteros positivos. Es evidente que
B , ∅, pues existen x0 = a, y0 = b, de manera que a2 + b2 > 0. Por el Axioma de Buen Orden,
en el conjunto B, hay un elemento mínimo c ∈ B, de la forma:
c = xa + yb, para algún x, y ∈ Z
Afirmación (1). a , 0 y b , 0, entonces c | a y c | b.
Supongamos que c ∤ a, entonces por el algoritmo de la división, existe q, r ∈ Z tal que
a = qc + r. Luego
r = a − qc = a − q(xa + yb) = (1 − qx) a + (−qy) b
| {z }
|{z}
x0
y0
Esta ultima expresión muestra que para los enteros (1 − qx) y (−qy), tenemos r ∈ B . Sin
embargo, esto es una contradicción, ya que c es el elemento mínimo de B (ver r < c). Así c | a
y de manera similar se prueba que c | b.
Afirmación (2). Sea k cualquier otro divisor común de a y b. Supongamos que existen t1 , t2 ∈ Z
tal que a = kt1 y b = kt2 . Entonces
c = xa + yb = x(kt1 ) + y(kt2 ) = k(xt1 + yt2 )
y esto implica que k | c.
Por la afirmación (1) y (2) concluimos que c es el máximo divisor común de a y b. Es decir
que c = (a, b), pero por hipótesis d = (a, b). Por tanto,
d = xa + yb
■
El teorema de Bézout afirma que existen dos enteros x e y que puede ser representado
como combinación lineal de a y b; sin embargo, esta representación no es única, además, si
existen, no necesariamente es el máximo común divisor, es decir:
1ro. La representación (a, b) = xa + yb no es única, porque (a, b) = (x − bt)a + (y + at)b para
todo t ∈ Z.
Capítulo 5. Aritmética Modular
267
2do. Si c = ra + sb para algún par de enteros r y s, entonces c no es necesariamente es el
máximo común divisor. Por ejemplo, 4 = 6 · 2 + 4 · (−2) y 4 , (6, 4).
Teorema 5.9 (Caracterización de máximo común divisor) El máximo común divisor
d = (a, b) es el divisor positivo de a y b que es divisible por todo divisor común.
En Símbolos. Sean a, b ∈ Z\{0} con d = (a, b) y d1 un entero positivo que tiene la
propiedad (i) y (ii). Entonces



 (i) d1 |a y d1 |b.
(a, b) = d ⇔ 

 (ii) ∀c(c ∈ Z : c|a y c|b, ⇒ c|d1 ).
Demostración.
Entonces
d = d1 .
Por mostrar dos implicaciones.
(⇒) Supongamos d = (a, b), entonces por Teorema 5.8 existen x0 e y0 enteros tal que:
d = x0 a + y0 b
Luego haciendo uso del teorema 5.4 conjuntamente con el inciso (i) tenemos que d1 |d. Por
otro lado, como d es un divisor común de a y b, entonces por (ii) se tiene d|d1 . Ahora por el
teorema 5.5 (7) tenemos |d| = |d1 |. Por tanto, sabemos que d1 es positivo, con lo cual d es
positivo, llegamos a obtener d = d1 .
(⇐) Sea d1 un entero positivo que satisface (i) y (ii). Deseamos mostrar d = (a, b) o sea:
(1). d|a y d|b.
(2). Si c es un entero tal que c|a y c|b, entonces c ≤ d.
Como d1 satisface (i) y (ii), entonces d1 = d. La condición (1) de la definición 5.2 es satisfecha
por (i). De la condición (ii) c|a y c|b, entonces c|d, por teorema 5.5 (6) tenemos |c| ≤ |d|, pero
como d > 0 y c ≤ |c|, concluimos c ≤ d. De esta forma la condición (2) también es satisfecha.
■
Ejemplo 5.15 Calcular el máximo común divisor de 24 y 78.
Solución.
Los divisores de 24 son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12 y ±24. Y los divisores de
78 son: ±1, ±2, ±3, ±6, ±13, ±26, ±39 y ±78. Luego los divisores comunes de 24 y 78 son
±1, ±2, ±3, ±6. Por tanto, el máximo común divisor de 24 y 78 es 6. Es decir (24, 78) = 6.
■
El cálculo de los máximos comunes divisores de los siguientes pares de enteros
(−24, 78), (24, −78), (−24, −78) es lo mismo que calcular el máximo común de 24 y 78, así
(−24, 78) = (24, −78) = (−24, −78) = (24, 78) = 6.
268
5.4. El máximo común divisor
Observación 5.2 Sean a y b enteros, no simultáneamente nulos.
1. Sea el conjunto D(a, b) de todos los divisores comunes de a y b. Entonces
(a). El conjunto D(a, b) es no vacio, pues 1 ∈ D(a, b).
(b). El conjunto D(a, b) es acotado superiormente, pues si a , 0 o b , 0, entonces,
para todo elemento c ∈ D(a, b), tenemos c ≤ |a| o c ≤ |b|.
En consecuencia de (a) y (b) el conjunto D(a, b) tiene un elemento más grande
que los demás y (a, b) siempre existe y es único.
2. En la definición 5.2, de máximo común divisor exigimos a y b no simultáneamentenulos, porque caso contrario, cualquier entero c sería divisor común de a y b,
lo que haría imposible tomar el mayor de estos números.
En la práctica, cuando se quiere demostrar el máximo común divisor de dos números, de
acuerdo al Teorema 5.9 se puede escribir de la siguiente manera:
Sean a, b ∈ Z − {0} con d un entero positivo.



 (i) d|a y d|b.
(a, b) = d ⇔ 

 (ii) Si k|a y k|b,
entonces k|d.
Ejemplo 5.16 Si (a, b) = d y si a = k1 d y b = k2 d, entonces (k1 , k2 ) = 1
Solución.
Para demostrar que (k1 , k2 ) = 1, aplicamos el cuadro anterior.
(i). 1|k1 ∧ 1|k2 , lo cual se verifica por el teorema 5.5 (4).
(ii). Si c|k1 ∧ c|k2 ⇒ c|1. Consideremos c|k1 ∧ c|k2 entonces exiten p y q enteros tales que
k1 = c·p y k2 = c·q, multiplicando por “d” a dos últimas ecuaciones; dk1 = dcp y dk2 = dcq.
Pero por hipótesis a = dk1 y b = dk2 . Asi a = dcp y b = dcq. Por otro lado, sabemos que
d = (a, b). Por el teorema 5.8 (identidad de Bézout) existen x e y enteros tales que:
d = x · a + y · b = x(dcp) + y(dcq) ⇒ (xp + yq)c = 1
esto significa que c|1.
Por tanto (k1 , k2 ) = 1.
■
Capítulo 5. Aritmética Modular
269
5.4.1 Primos relativos
Definición 5.3 Primos relativos. Los enteros a y b son primos relativos cuando
(a, b) = 1.
El concepto de primos relativos se los conoce también como: coprimos, relativamente
primos o primos entre si.
Ejemplo 5.17 Los enteros 2 y 5 son primos relativos, porque (2, 5) = 1. También los
enteros 9 y −16 son primos relativos, pues (9, −16) = 1.
Observación 5.3 Dos enteros a y b primos relativos, tienen como únicos divisores
comunes 1 y −1.
Teorema 5.10 Dos enteros a y b no simultáneamente nulos son primos relativos si y
sólo si, existen enteros x e y tal que ax + by = 1.
Demostración.
Para la demostración asumamos que los enteros a y b son no simultánea-
mente distinto de cero.
Si (a, b) = 1 entonces existen enteros x e y tales que ax + by = 1. Supongamos que (a, b) = 1
por el teorema 5.8, existen enteros x e y tal que ax + by = 1.
Si existen enteros x e y tal que ax + by = 1, entonces (a, b) = 1. Supongamos que (a, b) , 1,
digamos que (a, b) = d con d un entero positivo tal que d , 1. Entonces d|a y d|b, luego
aplicando el teorema 5.4 tenemos d|(ax + by). Por hipótesis sabemos que existen enteros x
e y tal que ax + by = 1. Por tanto, d|1, y además 1|d, ahora aplicando el teorema 5.5 (8), se
tiene d = 1 (esto es una contradicción, del hecho d , 1). Así concluimos que (a, b) = 1
■
Ejemplo 5.18 Sean a, b, c ∈ Z tales que b|c y (a, c) = 1. Demuestre que (a, b) = 1.
Solución.
Antes de comenzar la demostración identifiquemos la hipótesis y tesis.
Hipótesis.
Tesis.
b|c
(a, b) = 1
(a, c) = 1
Ahora comenzamosla demostración. Por hipótesis, b|c entonces existe k ∈ Z tal que:
c =bk
(5.2)
270
5.4. El máximo común divisor
Aplicando el Lema de Bezout en (a, c) = 1, tenemos que existe x0 , y0 ∈ Z tal que:
(5.3)
ax0 + cy0 = 1
Sustituyendo (5.2) en (5.3) tenemos: ax0 + bky0 = 1. Haciendo z0 = ky0 , así z0 ∈ Z, de aquí
tenemos ax0 + bz0 = 1. Ahora por el teorema 5.10 tenemos lo requerido
(a, b) = 1
■
Teorema 5.11 Para a, b y x enteros, tenemos (a, b) = (a, b + ax).
Demostración.
Identifiquemos:
Hipótesis
Tesis
•
•
∀a, b, x ∈ Z
(a, b) = (a, b + ax)
Sean d = (a, b) y f = (a, b + ax), Lo que tenemos que mostrar es d = f .
Aplicando el teorema 5.8 (Identidad de Bézout) en d = (a, b) existen enteros x0 e y0 tales
qué d = x0 a + y0 b. Esto se puede escribir:
d = x0 a − xy0 a + xy0 a + yb0
d = (x − xy0 )a + (xa + b)y0
d = m0 a + y0 (b + ax)
Como f = (a, b + ax), entonces f es un divisor de d. Es decir:
f |d
(5.4)
Por otro lado, aplicando el teorema 5.4 en d = (a, b) tenemos d|(b + ax). Además, sabemos
que f = (a, b + ax), y como todo divisor común d de los enteros a y b + ax, concluimos que d
es un divisor de f . Es decir:
d|f
(5.5)
Por el teorema 5.9, d y f son positivos. Entonces, por el teorema 5.5 inciso (7) en (5.4) y
(5.5) concluimos que d = f .
■
Ejemplo 5.19 (3, 15) = (3, 15 + 4 · 3) = (3, 15 + 7 · 3) = (3, 15 − 8 · 3) = ....
Ejercicio 5.25 Sean a, b y c enteros con a , 0. Verificar la verdad o falsedad de las
siguientes afirmaciones, dando una demostración o un contraejemplo:
Capítulo 5. Aritmética Modular
271
(a). ((a, b), c) = (b, (a, c))
(d). (a, a) = |a|
(b). (a, b + c) = (a, b) + (a, c)
(e). (a, b · c) = b · (a, c)
(c). (a, b · c) = (a, b) · (a, c)
Ejercicio 5.26 Sabiendo que (a, 0) = 13, encuentre los valores del entero a.
Ejercicio 5.27 Encuentre el menor entero positivo c de la forma c = 22x + 55y, donde
x e y son enteros.
Ejercicio 5.28 Siendo n un entero cualquiera, calcule (n, n + 1).
Ejercicio 5.29 Calcule:
(a). (n, n + 2), siendo n un entero par;
(b). (n, n + 2), siendo n un entero impar.
Ejercicio 5.30 Siendo n un entero, encuentre los posibles valores de (n, n + 10)
Ejercicio 5.31 Siendo n un entero, caulcule (n − 1, n2 + n + 1)
Ejercicio 5.32 Calcule (a + b, a − b), sabiendo que a y b son enteros primos entre si.
Ejercicio 5.33 El máximo común divisor de dos enteros positivos es 10 el mayor de
estos enteros es 120. Determine el otro entero.
Ejercicio 5.34 Determine los enteros positivos a y b sabiendo que:
(a). a + b = 63 y (a, b) = 9;
(b). ab = 756 y (a, b) = 6
Ejercicio 5.35 Sean a, b y c enteros. Demostrar que:
(a). (a, b) = 1 = (a, c) si solamente si, (a, bc) = 1
(b). Si (a, b) = 1, entonces (ac, b) = (b, c)
(c). Si (a, b) = 1 y si c|a + b, entonces (a, c) = 1 = (b, c)
(d). Si b|c, entonces (a, b) = (a + c, b)
(e). Si (a, b) = 1, entonces (am , b n ) = 1 donde m y n son enteros positivos.
272
5.5. Algoritmo de Euclides
Ejercicio 5.36 Si (a, 4) = 2 = (b, 4), demostrar que (a + b, 4) = 4.
Ejercicio 5.37 Si (n, 6) = 1, demostrar que 12|(n2 − 1)
Ejercicio 5.38 Sabiendo que (a, b) = 1 Demostrar que:
(a). (2a + b, a + 2b) = 1 o 3
(b). (a + b, a2 + b2 ) = 1 o 2
(b). (a + b, a2 − ab + b2 ) = 1 o 3
Ejercicio 5.39 Sean a y b enteros no simultáneamente nulos y d = (a, b). Dado un
entero c tal que a|c y b|c. Demostrar que
ab
d
|c .
Ejercicio 5.40 Demostrar que si d = xa + yb, entonces (a, b) | d.
Ejercicio 5.41 Si d = (a, b), entonces da , db = 1
5.5
Algoritmo de Euclides
Teorema 5.12 (Teorema de Euclides) Si a|bc y (a, b) = 1, entonces a|c.
Demostración.
Identifiquemos:
Hipótesis
Tesis
•
•
a|bc y (a, b) = 1
a|c
Aplicando la definición 5.1 de divisibilidad en a|bc, entonces existe k0 ∈ Z tal que
bc = ak0
(5.6)
Ahora, aplicando el teorema 5.8 (Identidad de Bézout) en (a, b) = 1, entonces existen x0 , y0 ∈
Z tal que ax0 + by0 = 1 multiplicando por c tenemos:
acx0 + bcy0 = c
(5.7)
Capítulo 5. Aritmética Modular
273
Sustituyendo la ecuación 5.7 en 5.6
acx0 + ax0 y0 = c
a(cx0 + k0 y0 ) = c
■
Esta última igualdad significa que a|c
Ejemplo 5.20 Con los valores a = 4, b = 27 y c = 20, Diga si se verifica el teorema 5.12
Solución.
Nótese que 4 y 27 son primos relativos, además 4|27 · 20, entonces 4 divide a
20, es decir:
Si 4|(27 · 20) y (4, 27) = 1 entonces 4|20
■
Por tanto, si verifica.
Ejemplo 5.21 Con los valores a = 4, b = 6 y c = 18, Diga si se verifica el teorema 5.12.
Solución.
Notesé que 4 y 6 no son primos relativos, pero 4|6 · 18, entonces 4 no divide a
18, es decir:
Si 4|(6 · 18) y (4, 18) = 2, pero 4 ∤ 6.
■
Por lo tanto, no verifica.
Teorema 5.13 Si a y b son enteros y a = qb + r donde q (cociente) y r (resto) son
enteros, entonces (a, b) = (b, r).
Demostración.
Identifiquemos:
Hipótesis
Tesis
•
•
a = bq + r
(a, b) = (b, r)
Sea m = (a, b) y n = (b, r), por demostrar que m = n Aplicando el teorema 5.4 en n = (b, r)
y a = bq + r concluimos n|a. Luego por el inciso (ii) de máximo común divisor
n|m
(5.8)
Nuevamente aplicando el teorema 5.4 en m = (a, b) y r = a − bq concluimos m|r, así por
definición del inciso (ii) del máximo común divisor
m|n
(5.9)
274
5.5. Algoritmo de Euclides
■
por tanto, de 5.8 y 5.9 se tiene m = n.
Ejemplo 5.22 Hallar el máximo común divisor de 1126 y 522.
Solución.
Utilizamos el teorema 5.7 (algoritmo de la división) para dividir 1126 y 522, luego
dividimos 522 por el resto 82, después dividimos 82 por el resto 30 y así sucesivamente, hasta
llegar a obtener el resto igual a cero:
a=r0
q1
b=r1
r2
r1
q2
r2
r3
r2
q3
r3
r4
z}|{ z}|{ z}|{ z}|{
1126 = 2 · 522 + 82
z}|{ z}|{ z}|{ z}|{
522 = 6 · 82 + 30
z}|{ z}|{ z}|{ z}|{
82 = 2 · 30 + 22
30 =1 · 22 + 8
22 =2 · 8 + 6
8 =1 · 6 + 2
6 =3 · 2 + 0
De esta última ecuación tenemos (6, 2) = 2 y ahora aplicando el teorema 5.13 en la ecuación
8 = 1 · 6 + 2, tenemos (8, 6) = (6, 2), de la ecuación 22 = 2 · 8 + 6 tenemos (22, 8) = (8, 6)
y así sucesivamente aplicamos el teorema 5.13, se construye la sucesión de igualdades
(2, 6) = (6, 8) = (8, 22) = (22, 30) = (30, 82) = (82, 522) = (522, 1126). Por tanto, el máximo
común divisor de 1126 y 522 es el 2 último resto no nulo de la sucesión de igualdades.
■
Este proceso realizado en el anterior ejemplo (sucesión de igualdades), para encontrar
el máximo común divisor, se generaliza en el siguiente teorema.
Teorema 5.14 [El algoritmo de Euclides] Sean r0 = a y r1 = b enteros no negativos
con b , 0. Si el algoritmo de la división es aplicado sucesivamente para obtener
rj = qj+1 rj+1 + rj+2 ,
0 ≤ rj+2 < rj+1
para j = 0, 1, 2, ..., n − 1 y rn+1 entonces (a, b) = rn , el último resto no nulo.
Demostración.
Primero apliquemos el teorema 5.7 para dividir r0 = a por r1 = b, entonces
existe q1 y r2 enteros tales que: r0 = q1 r1 +r2 con r2 < r1 . Luego dividimos r1 por r2 , así existen
enteros q2 y r3 tal que r1 = q1 r2 + r3 con r3 < r2 , y así sucesivamente hasta la obtención del
Capítulo 5. Aritmética Modular
275
resto rn+1 = 0. La razón es porque en cada paso el resto siempre es menor que el anterior y
estamos tratando con números enteros positivos, es claro que después de un número finito
de aplicaciones del teorema 5.7, tendremos resto nulo. Así tenemos la siguiente sucesión de
ecuaciones:
r0 = q1 r1 + r2
0 < r2 < r1
r1 = q2 r2 + r3
0 < r3 < r2
r2 = q3 r3 + r4
..
.
0 < r4 < r3
rn−2 = qn−1 rn−1 + rn
0 < rn < rn−1
rn−1 = qn rn + 0
■
Ejemplo 5.23 Encontrar (10672, 4147).
Solución.
Usemos el algoritmo de Euclides:
10672 = 2 · 4147 + 2378
4147 = 1 · 2378 + 1769
2378 = 1 · 1729 + 609
1769 = 2 · 609 + 551
609 = 1 · 551 + 58
551 = 9 · 58 + 29
58 = 2 · 29 + 0
Por tanto, el máximo común divisor de 10672 y 4147 es 29. Es decir (10672, 4147) = 29.
■
Ejemplo 5.24 Encontrar un par de enteros x e y tal que cumpla la ecuación.
(252, −180) = 252x + 180y
Solución.
Haciendo uso del algoritmo de Euclides:
252 =(1) · 180 + 72
(1)
180 =(2) · 72 + 36
(2)
72 =(2) · 36 + 0
276
5.5. Algoritmo de Euclides
Así el maximo común divisor de 252 y −180 es 36. Es decir (252, −180) = 36. De la ecuación
(1) tenemos 72 = 252 + (−1)180 esto reemplazando a la ecuación 36 = 180 + (−2)72 que se
obtiene de la ecuación (2), así tenemos:
36 =180 + (−2)(252 + (−1)180)
36 =180 + (−2)252 + (2)180
36 =252(−2) + 180(3)
36 =252(−2) + (−180)(−3)
Ahora, comparando la ecuación 36 = 252x + (−180)y con 36 = 252(−2) + (−180)(−3) tenemos
x = −2 e y = −3. Por tanto, el par de enteros que cumple con la ecuación es x = −2 e y = −3.
■
Ejemplo 5.25 Sean p, q ∈ Z, cuando p se divide entre d se obtiene de residuo 18 y
cuando q se divide entre d se obtiene un resto de 4, sabiendo que d divide a 72 y para
n ∈ N. Determinar el resto de dividir p n · qn entre d.
Solución.
Por los datos, sabemos que:
p =dk1 + 18
q =dk2 + 4
72 =dk3 .
Luego, p n · qn = (p · q)n . Reemplazando:
(p · q)n =((dk1 + 18)(dk2 + 4))n
=(dk4 + 72)n
(k4 = d 2 k1 k2 + 4dk1 + 18dk2 )
=(dk4 + dk3 )n
=dk5
■
Por lo tanto, el residuo es 0.
Ejercicio 5.42 Encontrar el máximo común divisor de los siguientes pares de números:
(a) 542 y 234
(d) 4276 y 1234
(g) 8374 y 24517
(b) 9652 y 252
(e) 48762 y 176
(h) 35262 y 12753
(c) 24576 y 1287
(f) 42516 y 97421
Ejercicio 5.43 Demostrar que para todo n ∈ N, 32n+1 + 2n+2 es múltiplo de 7 y que
32n+2 + 26n+1 es múltiplo de 11
Capítulo 5. Aritmética Modular
277
Ejercicio 5.44 Demostrar o dar un contraejemplo de la afirmación:
Si a|bc y a ∤ c entonces a|b
Ejercicio 5.45 Demostrar que si d|a y d|(a + 1) entonces |d| = 1.
Ejercicio 5.46 Demostrar: Sean d, n ∈ Z. Si d no divide a n entonces ningún múltiplo
de d divide a n
Ejercicio 5.47 Demostrar: Si a|t, a|m y si t = mq + r, entonces a|r.
Ejercicio 5.48 ¿Cuántos enteros positivos ≤ 3000 son divisibles por 3, 5 o 7?.
Ayuda: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |C ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|
Ejercicio 5.49 Sea n ∈ N. Hallar el resto al dividir 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 + 2 por 23.
5.6
Números primos
Definición 5.4 Número primo. Sea n ∈ N, con n > 1. Decimos n es un número primo
si sus únicos divisores positivos son la unidad y el mismo. Caso contrario, decimos que
n es compuesto.
En otras palabras:
Un número natural n > 1 es primo si siempre que escribamos n = a · b con a, b ∈ N , necesariamente
tenemos a = 1, b = n o a = n, b = 1. Por tanto, un número natural n > 1 es compuesto si existen
a, b ∈ N, con 1 < a < n y 1 < b < n tal que n = ab.
Ejemplo 5.26 Los números 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son primos. Pero los números 4, 6, 8, 9, 10
y 12 son compuestos.
Observación 5.4 .
1. El número 1 no es primo ni compuesto.
2. Si a ∈ Z, con a > 0 entonces o a es primo, o a es compuesto, o a = 1.
3. El número 2 es único natural par que es primo.
278
5.6. Números primos
Teorema 5.15 Si un número primo p no divide a un entero a, entonces a y p son primos
relativos.
Demostración.
Identifiquemos: Hipótesis
p∤a
Tesis
(a, p) = 1
La demostración lo realizamos por contradicción. Supongamos que (a, p) , 1, es decir
(a, p) = d con d > 1, entonces a|p. Luego existe un entero k tal que p = d · k, pero además
sabemos que p es primo, entonces o d = 1 o d = |p|. De la hipótesis p ∤ a entonces d , |p|,
pues d|a. Luego d = 1, esto es una contradicción al hecho d > 1. Por tanto, (a, p) = 1
■
Teorema 5.16 (Caracterización de los números primos) Sea a, b ∈ Z. Si p|ab, con p
primo, entonces p|a o p|b.
Demostración.
Primeramente identifiquemos la hipótesis y tesis.
Hipótesis.
Tesis.
• p|ab con p número primo
• p|a o p|b.
Este teorema en símbolos es de la forma s → (t ∨ u) donde la proposición s es “p|ab con
p primo”, t es “p|a” y u es “p|b”. Por la equivalencia lógica:
s → (t ∨ v) ≡ (s∧ ∼ t) → s
Por hipótesis (−t) tenemos p ∤ a, esto implica que los enteros p y a son primos relativos que los
enteros p y a son primos relativos. Es decir (a, b) = 1. y como p|ab, entonces por el Teorema
5.12, tenemos p|b.
■
Ejemplo 5.27 Si p = 5, a = 21, b = 20 con estos datos, diga si cumple el teorema 5.16.
Solución.
Nótese que 3|(21·20) por qué 21 es múltiplo de 3. Entonces por el teorema 5.16,
tenemos 3|21 o 3|20, es decir:
Si 3|(21 · 20) entonces 3|21 o 3|20.
Por tanto, si verifica.
Ejemplo 5.28 Si p = 9, a = 21, b = 6 con estos valores, diga si verifica el teorema 5.16.
■
Capítulo 5. Aritmética Modular
Solución.
279
Notese que si 9|21 · 6, pero 9 = p no es un número primo. Por tanto, no verifica.
Es decir:
Si 9|21 · 6, pero 9 ∤ 21 ni 9 ∤ 6
■
Teorema 5.17 Sean n ∈ N con n ≥ 2. Entonces n admite por lo menos un divisor
primo.
Demostración.
Identifiquemos:
Hipótesis. ∀n ∈ N, n ≥ 2
Tesis. ∃p primo tal que p|n
La demostración lo realizaremos por construcción. Definamos el conjunto S = {x ∈
N : x ≥ 2 ∧ x|n}. Notemos que por definición de S, S ⊆ N y S , ∅, pues n ∈ S. Luego por el principio de Buen Orden el conjunto S tiene un elemento mínimo, digamos “p”.
Afirmamos que “p” es primo. Supongamos que p no es primo (compuesto) y con p ≥ 2, entonces por definición 5.4 existen naturales a y b tales que p = a ·b, donde 1 < a < p y 1 < b < p.
Nótese que a|p y p|n entonces a|n. Además, a ∈ N y a ≥ 2, luego por definición de S tenemos
a ∈ S, pero esta última afirmación es una contradicción al hecho de que p es mínimo, pues
a < p. Por tanto, p es primo.
■
Teorema 5.18 (Teorema Fundamental de la Aritmética) Todo entero mayor que 1,
puede ser representado de manera única (excepto el orden) como un producto de
factores primos.
Demostración.
La demostración se divide en dos partes:
Existencia. Por demostrar que existe una representación como producto de números primos, para cualquier número natural mayor o igual a 2.
Sea P(n) el predicado. “n” es un número primo o puede ser escrito como producto de
números primos.
• P(2) es verdadero, pues 2 es un primo
• Hipótesis de Inducción. Supongamos que el predicado es verdadero para todo número natural m con 2 ≤ m ≤ k
Tesis de inducción. Por demostrar que P(k + 1) es verdadero
Si k + 1 es primo, entonces P(k + 1) es verdadero.
Si k + 1 no es primo (compuesto), entonces k + 1 puede ser escrito como k + 1 = a · b,
donde a, b ∈ N, 2 ≤ a ≤ k y 2 ≤ b ≤ k. Por la hipótesis de inducción, a y b son primos o
280
5.6. Números primos
pueden ser escritos como producto de primos. Luego k+1 = a·b es también un producto
de números primos, o sea P(k + 1) es verdad.
Unicidad. Por demostrar que la representación es única salvo el orden de sus factores.
Sea S = {n ∈ N : n tiene dos representaciones distintas como producto de primos }, entonces
S = ∅. Supongamos que S , ∅, luego por el axioma del Principio de Buen Orden, S tiene un
elemento mínimo, digamos m. Así m = p1 p2 · · · pr y m = q1 q2 · · · qs , donde pi , qj son primos,
para i = 1, 2, . . . , r y j = 1, 2, . . . , s más aún p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ pr y q1 ≤ q2 ≤ · · · ≤ qs . De aquí
tenemos:
p1 |m ⇒ p1 |q1 q2 · · · qs ⇒ p1 = qk para algún k ∈ {1, 2, . . . , s} ⇒ p1 ≥ q1
q1 |m ⇒ q1 |p1 p2 · · · pr ⇒ q1 = ph para algún h ∈ {1, 2, . . . , r} ⇒ q1 ≥ p1
Por tanto, p1 = q1 y así p2 p3 · · · pr = q2 q3 · · · qs son dos representaciones diferentes como
producto de números primos para un número natural menor que m, contradiciendo al hecho
de que m es el elemento mínimo de S. En conclusión S = ∅.
■
Ejemplo 5.29 Representar 252 y 180 como un producto de factores primos.
Solución.
Descomponemos los números 252 y 180 .
252
2
180
2
Por tanto, la representación de 252 y 180 en
126
2
90
2
factores primos es:
63
3
45
2
21
3
15
3
7
7
5
5
1
252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7 y 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5.
1
■
¿ Cómo se comprueba que un número m es primo?
A primera vista, lo que tenemos que hacer es probar que p no tiene divisores propios,
es decir, si ninguno de los números 2, 3, 4, . . . , p − 1 divide a p. En realidad no se tienen que
comprobar tantos números, por el siguiente teorema.
Teorema 5.19 (Identificación de un número primo) Si un número natural m no es primo,
entonces existe un primo p menor o igual que
√
m tal que p | m
Capítulo 5. Aritmética Modular
281
Demostración.
Como m no es primo, entonces existen dos números naturales r y s tal que
√
m = r · s con 1 < r, s < m. Entonces algunos de los números r o s es menor o igual que m,
√
√
de lo contrario, r > m y s > m, haciendo el producto de estas dos expresiones:
√ √
r ·s > m· m
r · s > m (es absurdo)
√
De esta manera podemos suponer que r ≤ m. Como r > 1 por el Teorema Fundamental de
la Aritmética, debe haber algún primo, digamos p que divida a r. Entonces p ≤ r ≤ m y como
p | r y r | m, entonces p | m, lo que termina la prueba del teorema.
■
Observación 5.5 Contrarreciproco del Teorema 5.19. Si n no tiene divisores primos
menores o iguales a
√
n, entonces n es primo.
El teorema 5.19 y la observación 5.5 son equivalentes, así por la observación podemos
verificar si un número es primo o no. Veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 5.30 Diga si el siguiente número n = 103 es primo o compuesto.
Solución.
√
n = 103 es primo, pues no es divisible por ningún primo inferior a 103 ≈ 10.1 En
efecto, los primos inferiores a 10 son 2, 3, 5 y 7. Para probar que n no es divisible por alguno
de estos números, calculamos el resto de la división de los siguientes números: 103 con 2
da un resto de 1, 103 con 3 da un resto de 1, 103 con 5 da un resto de 3 y 103 con 7 da un
resto de 5. Como ningún resto es nulo, afirmamos que n = 103 es un número primo.
■
Ejemplo 5.31 Diga si el siguiente número n = 2311 es primo o compuesto.
Solución.
El número n = 2311 es primo. En efecto, si no fuera primo, n = 2311
√
tendría un divisor primo p con p ≤ 2311 ≈ 48.07.... Los primos inferiores a 48 son
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}, pero ninguno de ellos divide a 2311.
■
En este ejemplo observamos que el 48 tiene 15 divisores propios y se tiene que comprobar que el 2311 no es divisor de ninguno de ellos, si bien es moroso comprobar cada uno
de ellos, no se compara con el trabajo que se tendría que hacer el verificar con todos los
“posibles” divisores de 2311.
Ejemplo 5.32 ¿Puede un número n compuesto tener factores primos más grandes
que
√
n?
Solución.
En otras palabras, si n = p1 p2 con p1 y p2 primos distintos, no podrían ser ambos
282
5.6. Números primos
√
n. Podemos dar un contraejemplo, sea 206 = 2 · 103 y 103 > 206 ≈
√
14.35. Hay casos como 16 = 2 · 2 · 2 · 2 y 2 < 16.
■
menores estricto que
√
En el ejemplo 5.31 se dio una lista de números primos menores a 48, entonces por esto
es conveniente tener a nuestra disposición una lista de números primos.
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
En la tabla mostramos los números primos del 2 hasta 240. embargo, existen varias tablas
de números primos, hasta cierto punto. El cálculo de estas tablas se basa en un algoritmo
desarrollado por Eratóstenes (276 − 194 a.C.).
¿Criba de Eratóstenes?
Consta de lo siguiente: escribimos en orden natural todos los números naturales del 2 al n y
luego eliminamos todos los enteros compuestos que son múltiplos de los primos p tales que
√
p ≤ n, es decir, 2p, 3p, 4p,... hasta n. Los números que sobran en la tabla son todos los
primos entre 2 y n.
Ejemplo 5.33 Encontrar todos los números primos del 2 hasta el 15 usando los criterios
de la Criba de Eratóstenes
Solución. Según la criba de Eratóstenes tenemos:
Lista inicial
2 3 4 5 6 7 8
9
10
9
10
11
12
11
12
13
14
15
13
14
15
Eliminar múltiplos de 2
2
3
Resultado
2
3
5
7
9
11
13
15
Eliminar múltiplos de 3
2
3
5
7
9
11
13
15
11
13
4
5
6
7
8
Resultado
2
3
5
7
Luego los números primos entre 2 y el 15 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
■
El siguiente teorema nos ayuda a determinar el máximo común divisor haciendo uso el
teorema fundamental de la aritmética.
Teorema 5.20 (Máximo común divisor) Si a y b son enteros positivos que tienen las
factorizaciones:
a
a
a
b
b
b
a = p11 · p22 · · · pk k y b = p11 · p22 · · · pk k
entonces el máximo común divisor de a y b es igual a:
min{a1 ,b1 }
(a, b) = p1
min{a2 ,b2 }
· p2
min{ak ,bk }
· · · pk
Capítulo 5. Aritmética Modular
Demostración.
283
Para que un producto de factores primos sea un divisor común de a y b,
ningún exponente {ai , bi } de pi puede superar a ai ni bi . Como estamos interesados en el
mayor de los divisores positivos, simplemente tomamos el menor de estos dos para {ai , bi },
min{a1 ,b1 }
así tenemos (a, b) = p1
min{a2 ,b2 }
· p2
min{ak ,bk }
· · · pk
.
Ejercicio 5.50 Encuentre todos los pares de primos p y q tales que p − q = 3.
Ejercicio 5.51 Encuentra todos los números primos que son iguales a un cuadrado
perfecto menos 1.
Ejercicio 5.52 Encuentra todos los números primos que son iguales a un cubo perfecto
menos 1.
Ejercicio 5.53 Demuestre que la suma de dos enteros positivos impares consecutivos
es siempre un entero compuesto.
Ejercicio 5.54 Demuestre que si n ∈ Z, n , ±1, n2 + 2 es primo, entonces 3|n.
Ejercicio 5.55 Demuestre que si p > 1 divide a (p − 1)! + 1, entonces p es primo.
Ejercicio 5.56 Demuestre que:
(a).
√
2 es irracional.
(b). Si p es primo, entonces
√
p es irracional.
Ejercicio 5.57 Demuestre que todo primo, excepto el 2 y 3, es de la forma 6k − 1 o
6k + 1 donde k es un entero positivo.
Ejercicio 5.58 Demuestre que todo entero de la forma n4 +4, con n > 1, es compuesto.
Ejercicio 5.59 Demuestre que todo entero de la forma 8n +1, con n ≥ 1, es compuesto.
Ejercicio 5.60 Mostrar que, si n > 4 es compuesto, entonces n divide (n − 1)!
(Sugerencia: Haga n = ab y estudie separadamente los casos a , b y a = b. Si a = b.
Demuestre que 2 ≤ 2a < n).
Ejercicio 5.61 Demuestre que existen infinitos primos de la forma 6n + 5
■
284
5.7. Mínimo común múltiplo
Ejercicio 5.62 Encontrar todos los números primos del 240 hasta el 350 usando los
criterios de la Criba de Eratóstenes.
5.7
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos enteros positivos de a y b es el entero más pequeño
positivo que es divisible por a y b. Más específicamente, se tiene.
Definición 5.5 Mínimo común múltiplo. Sean a y b números enteros distintos de
cero. Un entero positivo m es el mínimo común múltiplo de a y b si y sólo si cumple
las siguientes condiciones:
(1). a|m y b|m; (m es un múltiplo común de a y b).
(2). Si c es un entero positivo tal que a|c y b|c, entonces m ≤ c. (m es el múltiplo común
positivo más pequeño de a y b)
Denotemos al mínimo común múltiplo de a y b por m = mcm(a, b) o simplemente por m = [a, b].
Ejemplo 5.34 Encontrar el mínimo común múltiplo de 12 y −18.
Solución.
El
conjunto
de
todos
los
múltiplos
del
entero
12
son:
{0, ±12, ±24, ±36, ±48, ±60, ±72, . . .} y el conjunto de todos los múltiplos del entero −18
son: {0, ±18, ±36, ±52, ±72, ±90, . . .}. Por tanto, el conjunto de todos los múltiplos comunes
de 12 y −18 es {0, ±36, ±72, . . .}. Así, el mínimo común múltiplo de 12 y −18 es 36. Esto es
[12, −18] = 36
■
Teorema 5.21 (Caracterización del mínimo común múltiplo) Sean a y b enteros no nu-
los. El entero positivo m es el mínimo común múltiplo si y solo si satisface las siguientes
afirmaciones.
(i). a|m y b|m.
(ii). ∀k ∈ Z : a|k ∧ b|k ⇒ m|k.
Demostración.
Utilizamos la bicondicional p ⇔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p).
Si m = [a, b] ⇒ m satisface (i) y (ii). Supongamos que m = [a, b], entonces por definición
m satisface (i). Ahora demostremos inciso (ii), supongamos que a|k y b|k pero m ∤ k (hipótesis
Capítulo 5. Aritmética Modular
285
adicional por contradicción). Luego, por el Teorema 5.7 (algoritmo de la división) existe un
único par de enteros q y r tal que k = mq + r con 0 ≤ r < m. Como a|k, b|k, a|m y b|m tenemos
que a|(qm +r) y b|(qm +r). De aquí, aplicando el ejercicio 5.47, tenemos a|r y b|r esto nos dice
que r es el común múltiplo de a y b. Pero por hipótesis m es el entero más pequeño positivo
que es divisible por a y b. Sin embargo, r < m, esto es una contradicción. Por tanto, m|k.
Si m satisface (i) y (ii) ⇒ m = [a, b]. Supongamos que m satisface (i) y (ii). Tenemos que
demostrar que m = [a, b] esto significa que:
(1). a|b ∧ b|m
(2). Si k es un entero positivo tal que a|k ∧ b|k entonces m ≤ k.
La condición (1) es satisfecha por (i). Ahora, si k es un entero positivo tal que a|k y b|k,
entonces m|k por (ii). Luego por el teorema 5.5 (6) |m| ≤ |k|. Pero m y k son enteros positivos
m ≤ k, indica que cumple la condición (2). Asi m = [a, b].
■
En la práctica, cuando se quiere demostrar que un entero positivo m es el mínimo común
múltiplo de a y b no ambos cero de acuerdo al Teorema 5.21 se puede escribir de la siguiente
manera:
Sean a, b ∈ Z − {0} con m un entero positivo.



 (i) a|m y b|m.
[a, b] = m ⇔ 

 (ii) Si ∀k ∈ Z a|k
y b|k,
entonces m|k.
El siguiente teorema nos ayuda a determinar el mínimo común múltiplo haciendo uso el
teorema fundamental de la aritmética.
a
a
b
a
b
b
Teorema 5.22 (Mínimo común múltiplo) Si a = p11 · p22 · · · pnn y b = p11 · p22 · · · pnn donde
p1 , p2 , ..., pn son los primos en las factorizaciones de a y b, entonces
max {a1 ,b1 }
mcm(a, b) = [a, b] =p1
Demostración.
max {a2 ,b2 }
· p2
max {an ,bn }
· ... · pn
De la definición de mínimo común divisor múltiplo, ningún factor primo pi
puede tener un exponente que sea menor que ai o bi . Pero, si tomamos el mayor de {ai , bi }
como exponente de pi , no solo tenemos un múltiplo común, sino el menor posible de todos
max {a1 ,b1 }
los múltiplos comunes, por lo tanto, mcm(a, b) = [a, b] = p1
max {a2 ,b2 }
· p2
max {an ,bn }
· ... · pn
Ejemplo 5.35 Utilizando el teorema fundamental de la aritmética, para determinar el
(36, 84) y [36, 84].
.■
286
5.8. Ecuaciones diofánticas lineales
Solución.
Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, representamos a los números 36
y 84 como producto de factores primos:
36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32
y
84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 22 · 3 · 7
[36, 84] =2max{2,2} · 3max {2,1} · 7max {0,1} = 22 · 32 · 7 = 252
(36, 84) =2min {2,2} · 3min {2,1} · 7min {0,1} = 22 · 31 = 12
■
Ejemplo 5.36 Determinar el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 252
y 180.
Solución.
Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, representamos a los números 252
y 180 como producto de factores primos:
252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 22 32 7
y
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 32 5
[252, 180] =2max{2,2} · 3max {2,2} · 5max {0,1} · 7max {1,0} = 22 · 32 · 5 · 7 = 1260
(252, 180) =2min {2,2} · 3min {2,2} · 5min {0,1} · 7min {1,0} = 22 · 32 = 36
■
Ejercicio 5.63 Encuentra el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de núme-
ros, descomponiendo estos números en factores primos.
(a). 234 y 456
(b). 456 y 780
(c). 200 y 480
Ejercicio 5.64 Encuentra todos los números primos que se pueden expresar en la
forma p = n2 − 1.
Sugerencia: suponga que p = n2 −1 es un número primo y factorice el segundo miembro
de esta igualdad.
Ejercicio 5.65 Encuentre el entero positivo más pequeño n para el cual la expresión
h(n) = n2 + n + 17 es un número compuesto.
5.8
Ecuaciones diofánticas lineales
Consideremos el problema de resolver ax + by = cla ecuación. aquí a, b, c son enteros
dados y se debe determinar x, y ∈ Z. Las condiciones de existencia de soluciones y el método
Capítulo 5. Aritmética Modular
287
para obtenerlas se basa en el algoritmo extendido de Euclides.
Definición 5.6 Ecuación diofántica. Si a, b y c son enteros y ab , 0, toda ecuación
lineal de la forma
ax + by = c
es una ecuación diofántica lineal.
Ejemplo 5.37 Diga si las siguientes ecuaciones lineales:
(a). 2x + 3y = 0
(b). 8x = 16
son o no ecuaciones diofánticas lineales.
Solución.
De acuerdo a la definición 5.6, la ecuación lineal:
(a). 2x + 3y = 0 es una ecuación diofántica lineal, pues a · b = 2 · 3 = 6 , 0.
(b). 8x = 3, no es ecuación diofántica, pues reescribiendo 8x+0y = 3 y de aqui, a·b = 8·0 = 0.
■
Las soluciones de una ecuación diofántica lineal están restringidos al conjunto de números enteros.
Así, una solución de una ecuación diofántica lineal ax + by = c es un par de enteros (x0 , y0 ) tal que
ax0 + by0 = c
Ejemplo 5.38 Encuentre algunas soluciones de las siguientes ecuaciones lineales:
(a). 2x + 3y = 5.
(b). 8x − 2y = 7.
y si no tiene solución diga el porqué.
Solución.
Notemos que ambas ecuaciones son ecuaciones diofánticas lineales.
(a). La ecuación diofántica lineal 2x + 3y = 5 tiene solución. Notemos que 2 · 1 + 3 · 1 = 5 y
2 · 4 + 3 · (−1) = 5, entonces los pares de enteros (1, 1) y (4, −1) son soluciones de la
ecuación 2x + 3y = 5.
(b). La ecuación diofántica lineal 8x − 2y = 7, no tiene solución, pues 8x − 2y es par, para
cualquier entero x e y. Pero el 7 es un número impar.
■
El siguiente teorema nos dice cuando una ecuación diofántica lineal tiene solución; sin
embargo, no dice específicamente cuál es la solución.
288
5.8. Ecuaciones diofánticas lineales
Teorema 5.23 (Existencia de solución de una ecuación diofántica lineal) .
La ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene soluciones x, y ∈ Z si y sólo si (a, b)|c.
Demostración.
Si la ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene solución, entonces (a, b)|c.
Si g = (a, b), entonces g | a y g | b, entonces a = tg y b = kg. Reemplazando estas dos últimas
expresiones a la ecuación ax + by = c tenemos:
(tg)x + (kg)y =c
g(tx + ky) =c
esto implica que g | c.
Si (a, b)|c entonces la ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene solución. Como g | c, tenemos c = qg para algún q entero. Además, aplicando la Identidad de Bezout en g = (a, b),
existen x1 , y1 ∈ Z tal que ax1 + by1 = g, multiplicando por q se tiene:
a(x1 q) + b(y1 q) =qg
a (x1 q) +b (y1 q) =c
|{z} |{z}
x0
y0
donde x0 = x1 q y y0 = y1 q son enteros. De aquí que la ecuación diofántica lineal ax + by = c
tiene una solución particular x0 e y0 .
■
Ejemplo 5.39 Determine una solución de la ecuación diofántica 6x + 4y = 8 si existe.
Solución.
Notemos que (6, 4) = 2, entonces 2|8. Por el teorema 5.23 la ecuación diofántica
6x + 4y = 8 tiene solución. Ahora, para encontrar la solución vamos a aplicar el teorema 5.14
(algoritmo de Euclides).
6 = 4 · 1 + 2 ⇒ 2 = 6 · 1 + 4(−1) ⇒ 6 · 4 + 4(−4) = 8
De la expresión 6(+4) + 4(−4) = 8 comparando con 6x + 4y = 8 tenemos una solución x0 = +4
y y0 = −4. Así, el par de enteros (4, −4) es solución de 6x + 4y = 8.
Ejemplo 5.40 Determine una solución de la ecuación diofántica 2x + 3y = 2 si existe.
■
Capítulo 5. Aritmética Modular
Solución.
289
Sabemos que (2, 3) = 1 y 1|2. Entonces, por el teorema 5.23 la ecuación tiene
solución. Ahora para encontrar la solución utilizamos el algoritmo de Euclides.
3 =2 · 1 + 1
2 =1 · 2 + 0
Luego despejamos el número 1 de la primera ecuación:
1 =3 − 2 · 1
=2 · (−1) + 3 · (1)
multiplicando por 2, tenemos
2 = 2 · (−2) + 3 · (2)
Así, una solución de la ecuación diofántica es x = −2 y y = 2.
■
Ejemplo 5.41 Determine una solución de la ecuación diofántica 6x − 3y = 1 si existe.
Solución.
No tiene solución, por que (6, −1) = 3 y 3 ∤ 1.
■
Analicemos gráficamente las ecuaciones de los tres ejemplos anteriores.
y
6x − 3y = 1
2x + 3y = 2
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1
−1
x
1
2
3
4
5
−2
−3
−4
6x + 4y = 8
Notemos que la recta 6x + 4y = 8 pasa por los pares de enteros (0, 2), (2, 1) y (4, 4) en el
plano cartesiano, al menos eso podemos apreciar en el gráfico, sin embargo, si se extiende
la recta indefinidamente a ambos extremos, esta recta pasa por infinitos pares de enteros,
estos pares son las soluciones enteras de la ecuación y para la recta 2x + 3y = 2 que pasa
por los pares de enteros (−2, 2), (1, 0) y (4, 2) tiene también infinitas soluciones enteras. Lo
290
5.8. Ecuaciones diofánticas lineales
que no sucede con la recta 6x − 3y = 1, pues no pasa por ningún par de enteros, es decir, la
ecuación no tiene soluciones enteras.
Teorema 5.24 (Solución de una ecuación diofántica homogénea) .
Sea d = (a, b). Las soluciones de la ecuación diofántica lineal homogénea ax + by = 0
son de la forma,
x=
Demostración.
b
a
t, ; y = − t con t ∈ Z
d
d
Primeramente, identifiquemos la hipótesis y tesis.
Hipótesis
Tesis
• d = (a, b) y ax + by = 0
• x = ba t, y = − da t con t ∈ Z
De la hipótesis d = (a, b), tenemos que da y db son enteros. Ahora veamos si realmente
x = db t e y = − da t son soluciones de ax + by = 0. Entonces sustituimos:
ax + by = 0
b
a
a t +b − t = 0
d
d
!
0=0
Por último tenemos que mostrar que cualquier otra solución digamos u y w ∈ Z de la ecuación
ax + by = 0 tiene la forma u = ba t y w = − da t. Sea a = k1 d y b = k2 d. Entonces
au + bw =0
(u y w son soluciones de ax + by = 0)
k1 du + k2 dw =0
(Sustituyendo a = k1 d y b = k2 d)
k1 u = −k2 w
(5.10)
De esta última ecuación tenemos k1 |(+k2 )(−w) pero (k1 , k2 ) = 1, entonces por el teorema
(5.12) k1 |(−w). De aquí existe t ∈ Z tal que −w = k1 t = da t,así w = − da t. De la ecuación (5.10)
k2 |k1 u, pero (k1 , k2 ) = 1. Por el teorema (5.12), k2 |u. Luego existe t ∈ Z tal que u = k2 t. Así
■
u = db t
Teorema 5.25 (Solución general de una ecuación diofántica no homogénea) .
Sea d = (a, b). Si la ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene una solución x = x0 ,
y = y0 , entonces la solución general es:
b
x = x0 + t,
d
a
y = y0 − t con t ∈ Z
d
Capítulo 5. Aritmética Modular
Demostración.
291
Primeramente, identifiquemos la hipótesis y tesis.
Hipótesis
Tesis
• d = (a, b) y ax + by = c
• x = x0 + db t, con t ∈ Z.
• x0 , y0 soluciones particulares.
• y = y0 − da t con t ∈ Z.
Primero mostramos que las expresiones dadas es solución de la ecuación ax + by = c.
(ecuación general)
ax + by = c
a
b
a x0 + t + b y0 + t = c
d
d
ab
ab
ax0 + t + by0 − t = c
d
d
ax0 + by0 = c
!
(Sustituyendo x e y)
(Propiedad distributiva)
La última ecuación indica que x0 e y0 es solución de la ecuación ax + by = c, digamos u y w
tienen la forma x0 + ba t y y0 − da t respectivamente. Luego por hipótesis tenemos: au + bw = c
y ax0 + by0 = c. De aquí:
au + bw = ax0 + by0
a(u − x0 ) = b(y0 − w)
a
b
(u − x0 ) = (y0 − w)
d
d
De la última ecuación indica que:
b a
(u − x0 )
d d
y
a b
(y − w)
d d 0
Además, por el ejercicio 5.41, si d = (a, b) entonces 1 =
a b
d, d
(5.11)
. De aquí, por el teorema 5.12
(llamado teorema de Euclides), la expresión (5.11) se puede expresar:
b
(u − x0 )
d
y
a
(y − w)
d 0
u − x0 = db t
y
y0 − w = da t
u = x0 + db t
y
Luego por definición de divisibilidad:
w = y0 − da t
donde t es un entero.
Ejemplo 5.42 Hallar la solución general de la ecuación diofántica 26x + 31y = 2.
■
292
5.8. Ecuaciones diofánticas lineales
Solución.
Notemos que 1 = (26, 31), entonces la ecuación diofántica tiene solución. Usare-
mos el método de las divisiones sucesivas para expresar el mayor divisor de 26 y 31 mediante
la identidad de Bezout.
31 = 26 · 1 + 5
26 = 5 · 5 + 1
5 = 1·5+0
Así,
1 = 26 − 5 · 5 = 26 − (31 − 26 · 1) · 5 = 26 · 6 + 31 · (−5) ⇒ 2 = 26 · 12 + 31 · (−10)
Entonces la solución particular es (x0 , y0 ) = (12, −10) y además a = 26, b = 31
x = 12 +
31
t,
1
y = −10 −
26
t con t ∈ Z
1
Por tanto,
x = 12 + 31t,
y = −10 − 26t con t ∈ Z
■
es la solución general de la ecuación 26x + 31y = 2.
Ejercicio 5.66 Determine una solución de la ecuación diofántica 11x+27y = 4 si existe.
Ejercicio 5.67 Determine la solución general, si existen de las siguientes ecuaciones
diofánticas
(a). 56x + 72y = 40
(c). 57x − 99y = 77
(b). 84x − 438y = 156
(d). 17x + 54y = 8
(e). 11x + 27y = 4.
Ejercicio 5.68 Resolver las siguientes ecuaciones diofánticas lineales:
(a). 3x + 4y = 20
(c). 18x − 20y = −8
(b). 5x − 2y = 2
(d). 24x + 138y = 18
Ejercicio 5.69 Encuentre las soluciones enteras y negativas de las ecuaciones:
(a). 6x − 15y = 51
(b). 6x + 15 = 51
Ejercicio 5.70 Demuestre que, si a y b son enteros positivos primos entre sí, entonces
la ecuación diofántica lineal ax − by = c tiene un número infinito de soluciones enteras
Capítulo 5. Aritmética Modular
293
positivas.
Ejercicio 5.71 Expresar 100 como la suma de dos enteros positivos, tales que el pri-
mero sea divisible por 7 y el segundo es divisible por 11.
Ejercicio 5.72 Encuentra las dos fracciones positivas más pequeñas que tienen 13 y
17 como denominadores y cuya suma sea igual a 305
221
Ejercicio 5.73 Descomponer el número 100 en dos partes positivas tal que una sea
múltiplo de 7 y la otra de 11. (Problema del matemático L. Euler [1707-1783].)
Ejercicio 5.74 Encuentre todos los enteros estrictamente positivos con la siguiente
propiedad: con resto 6 cuando se divide por 11 y resto 3 cuando se divide por 7.
Ejercicio 5.75 Al entrar en un bosque, algunos viajeros ven 37 montones de manza-
nas. Después de retirar 17 frutas, el resto se dividió en partes iguales entre 79 personas.
¿Qué parte se da a cada persona? (Problema de Mahaviracarya, matemático hindú).
5.9
Congruencia
La congruencia entre dos números enteros es una relación. Se estudió por primera vez
como una estructura, por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss al final del siglo XV III
y se presentó al público en su libro titulado Disquisitiones Arithmeticae en 1801.
Para dar una idea de congruencia, consideremos el ejemplo, ”La aritmética del reloj” que
se refiere a la ”suma” de las horas indicadas por la manecilla de un reloj: concretamente, si
empezamos a las 9 en punto y sumamos 4 horas, entonces estamos a 1 hora. O si a las
8 horas le sumamos 9 horas estamos, a las 5 horas. Básicamente, cuando llegamos a 12,
comenzamos de cero; estamos trabajando módulo 12. Decimos que 9 y 21 son congruentes
módulo 12. Los números 9, 21, 33, 45, etc. se consideran iguales cuando se trabaja en
módulo 12.
Definición 5.7 Congruencia. Si a y b son enteros, decimos que a es congruente a b
módulo m (m > 0) si y sólo si m|(a − b). Denotamos esto por a ≡ b (mod m).
Si sucede que m ∤ (a − b) decimos que a es incongruente a b módulo m y es denotado
por a . b (mod m).
294
5.9. Congruencia
Ejemplo 5.43 Determinar si los siguientes pares de números enteros son congruentes
o incongruentes.
(a). 11 y 3 con el módulo 2
Solución.
(b). 17 y 5 con el módulo 5
Según la definición de congruencia tenemos.
(a). 11 ≡ 3 (mod 2), pues 2|(11 − 3).
(b). Como 5 ∤ 6 y 6 = 17 − 11 tenemos que 17 . 11 (mod 5).
■
Ejemplo 5.44 Muestre que si n ≡ 7 (mod 12), entonces n ≡ 3 (mod 4), ∀n ∈ Z.
Solución.
Como n ≡ 7 (mod 12), por definición de congruencia tenemos 12|(n − 7), luego
por definición de divisibilidad n − 7 = 12k, con k ∈ Z, de aquí tenemos n − 3 = 4(3k + 1) con
(3k + 1) ∈ Z. Por tanto, n ≡ 3 (mod 4).
■
Ejemplo 5.45 Muestre que si n ∈ Z, entonces n2 ≡ 0 (mod 4) o n2 ≡ 1 (mod 4).
Solución.
Sea n ∈ Z, entonces por el ejemplo 5.13 n es par o impar. Si n es par n = 2k
con k ∈ Z, entonces n2 = 4k 2 con k 2 ∈ Z de aquí por definición de divisibilidad 4|(n2 − 0).
Luego por definición de congruencia n2 ≡ 0 (mod 4). Ahora, si n es impar n = 2k + 1 con
k ∈ Z, entonces n2 = 4t 2 + 4t + 1 = 1 + 4(t 2 + t) ⇒ n2 − 1 = 4(t 2 + t) de aquí por definición de
divisibilidad 4|(n2 − 1). Luego por definición de congruencia n2 ≡ 1 (mod 4).
■
Teorema 5.26 Si a, b, m y d son enteros, con m > 0, entonces
1. a ≡ a (mod m).
2. a ≡ b (mod m), entonces b ≡ a (mod m).
3. a ≡ b (mod m) y b ≡ d (mod m) entonces a ≡ d (mod m).
Demostración.
1. Sabemos que m|(a − a), entonces por definición de congruencia a ≡ a (mod m).
2. Por hipótesis a ≡ b (mod m), de aquí tenemos m|(a − b). Ahora por el teorema(5.4),
m|(b − a) y esto significa que b ≡ a (mod m).
Capítulo 5. Aritmética Modular
295
3. Por hipótesis a ≡ b (mod m) y b ≡ c (mod m), entonces aplicando la definición
de conguencia m|(a − b) y m|(b − c), de aquí utilizando el teorema (5.4) tenemos
m| [(a − b) + (b − c)]. Esto es m|(a − c), lo cual significa a ≡ c (mod m).
■
Observación 5.6 Del anterior Teorema 5.26, la relación de congruencia es una relación
de equivalencia, definido por:
a∼b ⇔ a≡b
(mod m)
Esta relación de equivalencia nos permite definir, su clase de equivalencia de a ∈ Z.
[a]m = {x ∈ Z : x ≡ a
(mod m)}
y el conjunto cociente es Z
∼ definido por:
Zm = {[a]m : a ∈ Z} = {[0]m , [1]m , [2]m , [3]m , ..., [m − 1]m , }
En el ejemplo 3.22 se puede apreciar la equivalencia y el conjunto cociente, para m = 3,
de la observación 5.6
Observación 5.7 De la observación 5.6 y el teorema 3.2 inciso (i), nos dice la relación
que hay entre la congruencia y la clase de equivalencia.
[a]m = [b]m ⇔ a ≡ b
(mod m)
Se lee: dos clases de Zm son iguales, significa que los representantes de la clase son
congruentes módulo m.
Teorema 5.27 Si a, b, c y m > 0 son enteros, tales que a ≡ b (mod m), entonces
1. a + c ≡ b + c (mod m).
2. a − c ≡ b − c (mod m).
3. ac ≡ bc (mod m).
Demostración.
1. Por hipóteis a ≡ b (mod m), esto significa m|(b − a). Pero b − a = (b + c) − (a + c). Así
m |[(b + c) − (a + c)] y de aquí por definición de congruencia b + c ≡ a + c (mod m).
2. Por hipótesis a ≡ b (mod m), entonces por definición de congruencia m|(a−b). Además,
(a − b) = (a − c) − (b − c) Así m |[(a − c) − (b − c)] y de aquí por definición de congruencia
a − c ≡ b − c (mod m).
296
5.9. Congruencia
3. Por hipótesis a ≡ b (mod m), esto significa por definición de congruencia m|(a −b). Luego aplicando el teorema (5.4) tenemos m|(ac − bc), esto implica que ac ≡ bc (mod m).
■
De acuerdo a la observación 5.6 y del teorema 5.27 podemos definir lo siguiente: Para todo a, b, c ∈ Z;
[a]m − c := [a − c]m ,
[a]m + c := [a + c]m ,
[a]m · c := [a · c]m
Teorema 5.28 Si a, b, c, d y m son enteros, tales que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m),
entonces
1. a + c ≡ b + d (mod m).
2. a − c ≡ b − d (mod m).
3. ac ≡ bd (mod m).
Demostración.
Hipótesis
• a ≡ b (mod m)
•
Tesis.
c ≡ d (mod m)
1.
a + c ≡ b + d (mod m)
2. a − c ≡ b − d (mod m)
3.
ac ≡ bd (mod m)
1. Por hipótesis a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m), esto por definición de congruencia m|(a−b) y
m|(c−d). Ahora, aplicando la definición de divisibilidad, existen r y s tales que a−b = m·r
y c − d = m · s. Sumando estas dos ecuaciones: (a − b) + (c − d) = m · r + m · s, entonces
(a + c) − (b + d) = m(r + s), esta última ecuación significa que m|[(a − c) − (b + d)]. Por tanto
a + c ≡ b + d (mod m).
2. La demostración es de manera similar que 1. Se deja como ejercicio para el lector.
3. De la hipótesis a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m), se llega a obtener las siguientes ecuaciones; a = m · r + b y c = m · s + d para algún r, s ∈ Z. Luego:
a · c = (mr + b)(ms + d)
a · c = m2 rs + mrd + msb + bd
ac − bd = m[mrs + rd + sb]
Esta última ecuación se puede expresar m|(ac − bd) y de aquí ac ≡ bd (mod m).
Del anterior Teorema 5.28, podemos definir las siguientes expresiones: Para todo a, b ∈ Z
[a]m + [b]m := [a + b]m ,
[a]m − [b]m := [a − b]m ,
[a]m · [b]m := [a · b]m
■
Capítulo 5. Aritmética Modular
297
Teorema 5.29 Si a, b, c y m son enteros y ac ≡ bc (mod m), entonces a ≡ b (mod m
d)
donde d = (c, m).
Demostración.
Hipótesis
•
ac ≡ bc (mod m)
Tesis.
• d = (c, m)
• a ≡ b (mod m
d)
De la hipótesis ac ≡ bc (mod m) tenemos m|(ac − bc) esto es m|c(a − c). Además, también de
la hipótesis d = (c, m) tenemos c = dk1 y m = dk2 para algún par de enteros k1 y k2 . Ahora
bien, dk2 |dk1 (a−c), así tenemos por el teorema (5.5) inciso 3 k2 |k1 (a−c). Como d = (dk1 , dk2 ),
entonces por el ejrecicio (5.41) 1 = (k1 , k2 ). Por lo tanto, k2 |(a − b). Esto significa que a ≡ b
(mod k2 ) esto es a ≡ b (mod m
d)
■
Del teorema 5.29, podemos definir la siguiente expresión:
[a]m · [c]m = [b]m · [c]m ⇒ [a]d = [b]d
con
d = (c, m)
Teorema 5.30 Si a ≡ b (mod m) y n es un entero positivo, entonces an ≡ b n (mod m)
Demostración.
Idenficando:
Hipótesis.
Tesis.
• n ∈ Z+ y a ≡ b (mod m)
• an ≡ bn (mod m)
Para la demostración utilizaremos el método de inducción matemática
(i) Para n = 1, tenemos a1 = b1 (mod m) esto es verdadero, ya que es hipótesis.
(ii) Hipótesis de Inducción. Para n = k la siguiente expresión ak ≡ bk (mod m)
Tesis de Inducción. Lo que tenemos que probar para n = k + 1: ak+1 ≡ bk+1 (mod m).
Prueba Aplicando el teorema (5.28) inciso (3) en la hipótesis a ≡ b (mod m) y ak ≡ bk
(mod m) tenemos a · ak ≡ b · bk (mod m) esto es ak+1 ≡ bk+1 (mod m). Por tanto, an ≡ bn
(mod m), para todo n natural.
■
Ejemplo 5.46 Calcular el resto de dividir 15196 por 13.
Solución.
Para hallar el resto, definimos lo siguiente: Si h y k son dos enteros con h ≡ k
(mod m), decimos que k es un residuo de h módulo m. La idea es descomponer 15196 en
potencias más pequeñas. Si r es él resto buscado, 15196 ≡ r (mod 13).
298
5.9. Congruencia
15196 ≡2196
(mod 13)
(pues 15 ≡ 2 (mod 13))
≡(22·2 )7·7 (mod 13)
(pues 196 = 2 · 2 · 7 · 7)
≡(37 )7
(mod 13)
≡(3)7
(mod 13)
(pues 24 = 16 ≡ 3 (mod 13))
(pues 37 = (33 )2 · 3 ≡ 12 · 3 ≡
≡3 (mod 13)
(mod 13))
(pues 37 ≡ 3 (mod 13))
■
Así, el resto de dividir 15196 por 13 es 3.
Ejemplo 5.47 ¿Cuál es el resto de dividir 34n+2 + 2 · 43n+1 + 2 entre 17?
Solución.
Como 34 ≡ 43 (mod 17), entonces por el teorema (5.30), 34n ≡ 43n (mod 17) y
además 32 ≡ −4 · 2 (mod 17). Luego, aplicando el teorema (5.28), tenemos:
34n · 32 ≡ −2 · 43n+1
(mod 17)
(5.12)
Luego aplicando el teorema (5.28) en 2 · 43n+1 ≡ 2 · 43n+1 (mod 17) y (5.12), tenemos:
34n+2 + 2 · 43n+1 ≡ 0 (mod 17)
(5.13)
Nuevamente aplicando el teorema (5.28) en 2 ≡ 2 (mod 17) con (5.13) tenemos:
34n+2 + 2 · 43n+1 + 2 ≡ 2 (mod 17)
■
Por lo tanto, el resto buscado es 2.
Ejercicio 5.76 Sabiendo que 1066 ≡ 1776 (mod m), encuentre todos los posibles va-
lores de m.
Ejercicio 5.77 Enuncie, de tres maneras distintas, la definición de número impar.
Ejercicio 5.78 Encontrar todos los enteros x tales que:
(a). 0 ≤ x ≤ 15 y 3x ≡ 6 (mod 15).
(b). 1 ≤ x ≤ 100 y x ≡ 7 (mod 17)
Ejercicio 5.79 Sabiendo que k ≡ 1 (mod 4). Demostrar 6k + 5 ≡ 3 (mod 4).
Ejercicio 5.80 Demuestre o de un contraejemplo. a2 ≡ b 2 (mod m) entonces a ≡ b
(mod m).
Capítulo 5. Aritmética Modular
299
Ejercicio 5.81 Demostrar que todo número primo k excepto el 2, es congruente con 3
o 1 módulo 4.
Ejercicio 5.82 Demostrar que todo número primo k excepto el 2 y 3, es congruente
con 1 o 5 módulo 6.
Ejercicio 5.83 Demostrar que 1110 ≡ 1 (mod 100).
Ejercicio 5.84 Demostrar que 41 divide a 220 − 1.
Ejercicio 5.85 Encontrar el resto de la división 250 por 7 y 465 por 7.
Ejercicio 5.86 Demostrar:
(a). 89|(244 − 1)
(b). 97|(248 − 1)
Ejercicio 5.87 Demostrar que si a ≡ b (mod m), entonces (a, m) = (b, m)
Ejercicio 5.88 Demuestre con un contraejemplo, si ak ≡ b k (mod m) y k ≡ j (mod m)
no implica aj ≡ bj (mod m).
Ejercicio 5.89 Demuestre las siguientes proposiciones:
(a). Si a es un entero impar, entonces a2 ≡ 1 (mod 8)
(b). Si a es un entero cualquiera, entonces a3 es congruente con 0 o 1 o 8 módulo 9.
(c). Si a es un entero cualquiera, entonces a3 ≡ a (mod 6).
Ejercicio 5.90
Demostrar que si a ≡ b (mod r) y a ≡ b (mod s), entonces a ≡ b
(mod m), donde m = [r, s]
5.10
Aritmética en Zm
La aritmética en Zn conocido como aritmética modular (Congruencias) juega un rol clave
dentro de la Teoría de Números, Criptografía y el Álgebra Abstracta. En esta sección; estudiaremos sus propiedades elementales, comenzaremos dotándoles de dos operaciones en
Zn como ser: suma y producto, haciendo énfasis en la noción de elemento invertible.
5.10. Aritmética en Zm
300
Definición 5.8 Suma y producto en congruencia. Se define la suma y producto en
congruencias sobre Zm .
(A). Suma en congruencias sobre Zm .
Zm × Zm
+:
→ Zm
([a]m , [b]m ) 7→ [a]m + [b]m = [a + b]m
(B). Producto en congruencias sobre Zm .
•:
Zm × Zm
→ Zm
([a]m , [b]m ) 7→ [a]m · [b]m = [a · b]m
La definición [a]m +[b]m deberá entenderse en el sentido siguiente: Escoger representantes arbitrarios a1 ∈ [a]m y b1 ∈ [b]m , para calcular a1 +b1 en Zm y poner la clase de congruencia
[a1 + b2 ]m como resultado de la suma; si elegimos otros representantes, digamos a2 ∈ [a]m
y b2 ∈ [b]m se calcula a2 + b2 en Zm , y se obtendría la clase [a2 + b2 ]m . El teorema 5.28 nos
afirma que [a1 + b1 ]m = [a2 + b2 ]m . De la misma manera, para la definición de producto en
congruencias [a]m [b]m .
Ejemplo 5.48 Construir las tablas de adición y multiplicación para
(a). Z7
(b). Z8
Solución.
(a). Notemos que el conjunto Z7 = {[0]7 , [1]7 , [2]7 , [3]7 , [4]7 , [5]7 , [6]7 }. Luego las
operaciones adición y multiplicación está dado en la siguiente tabla.
+
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
•
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[0]7
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[0]7
[0]7
[0]7
[0]7
[0]7
[0]7
[0]7
[0]7
[1]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[0]7
[1]7
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[2]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[0]7
[1]7
[2]7
[0]7
[2]7
[4]7
[6]7
[1]7
[3]7
[5]7
[3]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[0]7
[3]7
[6]7
[2]7
[5]7
[1]7
[4]7
[4]7
[4]7
[5]7
[6]7
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[0]7
[4]7
[1]7
[5]7
[2]7
[6]7
[3]7
[5]7
[5]7
[6]7
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[0]7
[5]7
[3]7
[1]7
[6]7
[4]7
[2]7
[6]7
[6]7
[0]7
[1]7
[2]7
[3]7
[4]7
[5]7
[6]7
[0]7
[6]7
[5]7
[4]7
[3]7
[2]7
[1]7
(b). Notemos que el conjunto Z8 = {[0]8 , [1]8 , [2]8 , [3]8 , [4]8 , [5]8 , [6]8 , [7]8 }, entonces las
operaciones adición y multiplicación está dado en la siguiente tabla.
+
[0]8
[1]8
[2]8
[3]8
[4]8
[5]8
[6]8
[7]8
•
[0]8
[1]8
[2]8
[3]8
[4]8
[5]8
[6]8
[7]8
[0]8
[0]8
[1]8
[2]8
[3]8
[4]8
[5]8
[6]8
[7]8
[0]8
[0]8
[0]8
[0]8
[0]8
[0]8
[0]8
[0]8
[0]8
[1]8
[1]8
[2]8
[3]8
[4]8
[5]8
[6]8
[7]8
[8]8
[1]8
[0]8
[1]8
[2]8
[3]8
[4]8
[5]8
[6]8
[7]8
[2]8
[2]8
[3]8
[4]8
[5]8
[6]8
[7]8
[0]8
[1]8
[2]8
[0]8
[2]8
[4]8
[6]8
[0]8
[2]8
[4]8
[6]8
[3]8
[3]8
[4]8
[5]8
[6]8
[7]8
[0]8
[1]8
[2]8
[3]8
[0]8
[3]8
[6]8
[1]8
[4]8
[7]8
[2]8
[5]8
[4]8
[4]8
[5]8
[6]8
[7]8
[0]8
[1]8
[2]8
[3]8
[4]8
[0]8
[4]8
[0]8
[4]8
[0]8
[4]8
[0]8
[4]8
[5]8
[5]8
[6]8
[7]8
[0]8
[1]8
[2]8
[3]8
[4]8
[5]8
[0]8
[5]8
[2]8
[7]8
[4]8
[1]8
[6]8
[3]8
[6]8
[6]8
[7]8
[0]8
[1]8
[2]8
[3]8
[4]8
[5]8
[6]8
[0]8
[6]8
[4]8
[2]8
[0]8
[6]8
[4]8
[2]8
[7]8
[7]8
[0]8
[1]8
[2]8
[3]8
[4]8
[5]8
[6]8
[7]8
[0]8
[7]8
[6]8
[4]8
[4]8
[3]8
[2]8
[1]8
Capítulo 5. Aritmética Modular
301
■
Ejemplo 5.49 El conjunto Zn contiene sólo n elementos. Para resolver una ecuación
en Zn basta con reemplazar estos n elementos en la ecuación y ver cuál satisface a la
ecuación. Resolver las ecuaciones:
(a). x2 = 1 en Z8
Solución.
(b). x2 + 3x + 2 = 0 en Z6
(c). x2 + 1 = 0 en Z12
Resolvamos estas ecuaciones.
(a). De acuerdo a la tabla de multiplicación para Z8 (se encuentra ahí arriba) los elementos que satisface la ecuación x2 = 1 son [1]8 , [3]8 , [5]8 y [7]8 .
(b) A continuación buscamos las soluciones para la ecuación: x2 + 3x + 2 = 0 en Z6
Para x = [0]6 se tiene: [0]26 + 3[0]6 + 2 = 0, entonces 2 = 0. Así [0]6 no es solución.
Para x = [1]6 se tiene:
[1]26 + 3[1]6 + 2 = 0 ⇒ [1]6 + 3[1]6 + 2 = 0 ⇒ [6]6 = 0
Así x = [1]6 es solución.
Para x = [2]6 se tiene
[2]26 + 3[2]6 + 2 = 0 ⇒ [4]6 + [0]6 + [2]6 = 0 ⇒ [6]6 = 0
Así x = [2]6 es solución.
Para x = [3]6 tenemos:
[3]26 + 3[3]6 + 2 = 0 ⇒ [3]6 + [3]6 + [2]6 = 0 ⇒ [2]6 = 0
Así x = [3]6 es solución.
Para x = [4]6 tenemos:
[4]26 + 3[4]6 + 2 = 0 ⇒ [4]6 + [0]6 + [2]6 = 0 ⇒ [6]6 = 0
Esto significa que x = [4]6 es solución de la ecuación.
Para x = [5]6 tenemos:
[5]26 + 3[5]6 + 2 = 0 ⇒ [1]6 + [3]6 + [2]6 = 0 ⇒ [5]6 = 0
Así x = [5]6 es solución de la ecuación.
(c) Para cada uno de los elementos en Z12 = {[0]12 , [1]12 , [2]12 , . . . , [9]12 , [10]12 , [11]12 }, no
satisface la ecuación x2 + 1 = 0 en Z12 , porque [x]212 + 1 , 0. Por lo tanto, la ecuación no tiene
solución en Z12 .
■
5.10. Aritmética en Zm
302
Teorema 5.31 ( Propiedades de la suma y el producto) Sean [x]n , [y]n , [z]n ∈ Zn .
[x]n [y]n ∈ Zn .
Ley interna. [x]n + [y]n ,
Asociativa. [x]n + ([y]n + [z]n ) = ([x]n + [y]n ) + [z]n ,
Conmutativa. [x]n + [y]n = [y]n + [x]n ,
([x]n [y]n )[z]n = [x]n ([y]n [z]n ).
[x]n [y]n = [y]n [x]n .
Distributiva. [x]n ([y]n +[z]n ) = [x]n [y]n +[x]n [z]n ,
([x]n +[y]n )[z]n = [x]n [z]n +[y]n [z]n .
Elementos neutros únicos. Existen únicos elementos [0]n y [1]n en Zn tal que
[x]n + [0]n = [0]n + [x]n = [x]n
y
[x]n · [1]n = [1]n · [x]n = [x]n
para todo [x]n ∈ Zn .
Elementos opuestos. Para todo [x]n ∈ Zn existe un único elemento, que denotaremos por [−x] ∈ Zn tal que
[x]n + ([−x]n ) = ([−x]n ) + [x]n = [0]n
Demostración.
Sean [x]n , [y]n , [z]n ∈ Zn .
Ley interna. Por la definición de la operación adición y multiplicación en el conjunto Zn : [x]n +
[y]n = [x + y]n ∈ Zn y [x]n · [y]n = [x · y]n ∈ Zn .
Asociativa. Para la suma: Utilizamos la definición 5.8 (A) y asociativa en Z con la adición.
[x]n + ([y]n + [z]n ) = [x]n + [y + z]n
= [x + (y + z)]n
= [(x + y) + z]n
= [x + y]n + [z]n
= ([x]n + [y]n ) + [z]n
Ahora, para la multiplicación. Nuevamente, utilizamos la definición 5.8 (B) y propiedad asociativa en Z con la operación multiplicación.
[x]n · ([y]n · [z]n ) = [x]n ([y · z]n )
= [x · (y · z)]n
= [(x · y) · z]n
= [x · y]n [z]n
= ([x]n · [y]n ) · [z]n
Capítulo 5. Aritmética Modular
303
Conmutativa. Para la suma utilizamos la definición 5.8 y conmutativa en Z con la operación
adición.
[x]n + [y]n = [x + y]n = [y + x]n = [y]n + [x]n
Ahora, para la multiplicación utilizamos la definición 5.8 y conmutatividad en Z con la operación multiplicación.
[x]n · [y]n = [x · y]n = [y · x]n = [y]n · [x]n
Distributiva. Se utilizará, la defición 5.8 y distributiva en Z.
[x]n · ([y]n + [z]n ) = [x]n [y + z]n = [x(y + z)]n = [xy + xz]n = [xy]n + [xz]n = [x]n [y]n + [x]n + [z]n
Elementos neutros únicos. Para demostrar la existencia, notemos que, todo número entero
n es par o impar (es por el ejemplo 5.13). Si n es par, luego dividiendo por 2, el resto es
cero. Así existe [0] ∈ Zn . Ahora, si n es impar, luego dividimos por 2, el resto es uno. Asi
existe [1] ∈ Zn . Para la unicidad, supongamos que no es único. Empecemos con el elemento
neutro para la adición. Sean [0]n , [0]n en Zn diferentes tales que:
[x]n + [0]n = [x]n ∧ [x]n + [0]n = [x]n
|
{z
}
|
{z
}
1
Para todo [x]n ∈ Zn
2
[0]n = [0]n + [0] = [0]n
(de 1 y 2)
Sean [1]n , [1] ∈ Zn diferentes tales que
[x]n [1]n = [x]n ∧ [x]n [1]n = [x]n
|
{z
}
|
{z
}
3
Para todo [x]n ∈ Zn
4
[1]n = [1]n · [1]n = [1]n
(de 3 y 4)
Elementos opuestos. Para cualesquier w ∈ Z, existe su opuesto tal que w +(−w) = 0. De aquí
[w + (−w)]n = [w]n + [(−w)]n = [0]n . Así existe [−w] ∈ Zn . Para la unicidad, supongamos que
existen [y]n y [z]n en Zn tales que
[x]n + [y]n = [0]n ∧ [x]n + [z]n = [0]n
|
{z
}
|
{z
}
5
Para todo [x]n ∈ Zn .
[y]n = [0]n + [y]n
(Existencia del neutro)
= [x]n + [z]n + [y]n
(por 6)
= ([x]n + [y]n ) + [z]n
(Conmutativa y asociativa)
= [0]n + [z]n
= [z]n
Por tanto, [y]n = [z]n .
6
(Por 5)
(Existencia del Neutro)
■
5.10. Aritmética en Zm
304
Definición 5.9 Divisores de cero. Un elemento no nulo de Zn multiplicado con otro
elemento no nulo produce un resultado nulo, se dice que es un divisor de cero.
En símbolo. Si [a]n , 0 y [b]n , 0 dos elementos distintos de Zn tal que [a]n · [b]n = 0.
Los elementos [a]n y [b]n se denominan divisores de cero.
Ejemplo 5.50 Sean [2]12 , [6]12 , [3]12 , [8]12 , [9]12 elementos de Z12 . Demuestre que:
(a). [2]12 y [6]12 .
(b). [3]12 y [8]12 .
(c). [8]12 y [9]12 .
son divisores de cero.
Solución.
De acuerdo a la definición 5.9, el resultado tiene que ser nulo.
(a). [2]12 · [6]12 = [2 · 6]12 = [12]12 = [0]12 . Esto significa [2]12 y [6]12 son divisores de cero.
(b). [3]12 · [8]12 = [3 · 8]12 = [24]12 = [0]12 . Esto significa [3]12 y [8]12 son divisores de cero.
(c). [8]12 · [9]12 = [8 · 9]12 = [72]12 = [0]12 . Esto significa [8]12 y [9]12 son divisores de cero.
■
Sin embargo, existen elementos [x]12 ∈ Z12 tal que [x]12 [y]12 = [0]12 sólo si [y]12 = [0]12 .
Como por ejemplo, el lector puede comprobar que
[5]12 [y]12 = [0]12 sólo si [y]12 = [0]12
Ejemplo 5.51 Demuestre que:
(a). [2]4 y [2]4 .
(b). [2]6 y [3]6 .
(c). [2]8 y [4]8 .
son divisores de cero.
Solución.
De acuerdo a la definición 5.9, el resultado tiene que ser nulo.
(a). [2]4 · [2]4 = [2 · 2]4 = [4]4 = [0]4 . Esto significa que [2]4 es un divisor de cero en Z4 .
(b). [2]6 · [3]6 = [2 · 3]6 = [6]6 = [0]6 . Esto significa que [2]6 y [3]6 son divisores de cero.
(c). [2]8 · [4]8 = [2 · 4]8 = [8]8 = [0]8 . Esto significa que [2]8 y [4]8 son divisores de cero.
■
Sin embargo, para Z2 , Z3 , Z5 o Z7 se tiene
[a]m [b]m = [0]m si, y sólo si, [a]m = [0]m o [b]m = [0]m
donde m = 2, 3, 5, 7.
Capítulo 5. Aritmética Modular
305
Teorema 5.32 En el conjunto Zn los divisores de cero son aquellos números que no
son primos relativos con n.
Símbolos. Sea [m]n ∈ Zn , m , 0. “ (m, n) = g , 1 si y sólo si [m]n es un divisor de cero”
Demostración.
Para la prueba usamos la equivalencia lógica p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p).
Si (m, n) = g , 1 ⇒ [m]n es un divisor de cero. Supongamos que (m, n) = g , 1 entonces
existen enteros r, s ∈ Z tal que m = gr y n = gs con 1 ≤ r ≤ n − 1 y 1 ≤ s ≤ n − 1. Luego
"
#
"
#
n
m
[m]n · s = [m · s]n = m
= n
= [nr]n = [0]n
g n
g n
Por ser nr un múltiplo de n. Entonces [m]n ·s = [0]n , indicando que [m]n es un divisor de cero.
Si [m]n es un divisor de cero ⇒ (m, n) , 1 . Procedemos por contradicción, supongamos
que existen [m]n , [s]n en Zn tales que [m]n [s]n = [0]n con (m, n) = 1. Si [m]n [s]n = [0]n , entonces ms es un múltiplo de n, esto es, ms = nt, para 1 ≤ t ≤ n − 1 de donde se deduce que n
divide a ms, pero m y n son primos relativos entonces la única posibilidad es que n divide a
■
s, y dado que s es menor que n, entonces [s]n = [0]n .
Ejemplo 5.52 Demuestre que para todo primo p Zp , no tiene divisores de cero.
Solución.
Se tiene conocimiento que para todo [m]p en Zp tal que (m, p) = 1. Si existe [s]n
en Zp tal que [m]n · [s]n = [0]n , por el teorema 5.32 necesariamente [s]n = [0]n indicando que
■
s no es divisor de cero.
Observación 5.8 La existencia de divisores de cero hace que en Zn , no se verifique
la propiedad cancelativa del producto. Esto es:
Propiedad cancelativa
Para todo [a]n , [b]n , [c]n ∈ Zn , si [a]n · [c]n = [b]n · [c]n , entonces [a]n = [b]n .
Demostración.
Para la prueba tenemos que tener un contraejemplo. Sí construimos las
tablas de la suma y el producto en Z4
+
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
×
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[0]4
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[0]4
[0]4
[0]4
[0]4
[0]4
[1]4
[1]4
[2]4
[3]4
[0]4
[1]4
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[2]4
[2]4
[3]4
[0]4
[1]4
[2]4
[0]4
[2]4
[0]4
[2]4
[3]4
[3]4
[0]4
[1]4
[2]4
[3]4
[0]4
[3]4
[2]4
[1]4
5.10. Aritmética en Zm
306
Observamos que [2]4 · [1]n = [2]4 · [3]4 y esto no implica la igualdad de [1]4 y [3]4 . Por
tanto, en Z4 no se verifica la propiedad cancelativa del producto.
■
Observando la tabla del producto de Z4 nos damos cuenta de que aunque el producto
no tiene elementos inversos, existen elementos que sí lo tienen, por ejemplo el [3]4 tal que
[3]4 [3]4 = [1]4 . Cabe entonces hacer la siguiente pregunta.
¿Cuándo a va tener inverso un elemento de Zn ?
Definición 5.10 Unidades de Zn . Un elemento [a]n de Zn decimos que es una unidad
si existe otro elemento [b]n ∈ Zn tal que [a]n [b]n = [b]n [a]n = [1]n y es denotado por
[b]n = [a]−1
n .
Ejemplo 5.53 En Z12 . Determinar si los siguientes elementos son unidades:
[1]12 , [5]12 , [7]12 , [11]12
Solución.
[7]12 [7]12 = [1]12 ,
[11]12 [11]12 = [1]12 .
Por tanto, todos los elementos [1]12 , [5]12 , [7]12 , [11]12 son unidades.
■
[1]12 [1]12 = [1]12 ,
[5]12 [5]12 = [1]12 ,
Al elemento unidad [a]n se denomina inversible o invertible y al otro elemento [b]n inverso de [a]n .
En el ejemplo 5.53 los elementos [1]12 , [5]12 , [7]12 , [11]12 de Z12 son invertibles e inversos a la vez.
Teorema 5.33 El inverso de un elemento unidad es único.
Demostración.
Supongamos que existen dos elementos inversos de [a]n , digamos [b]n y
[c]n . Tenemos que demostrar [b]n = [c]n . En efecto,
[b]n = [b]n · [1]n = [b]n ([a]n [c]n ) = ([b]n [a]n )[c]n = [1]n · [c]n = [c]n
Por tanto, el inverso es único.
■
Teorema 5.34 Un elemento [r]n ∈ Zn es inversible si, y sólo si, r y n son primos
relativos.
Demostración.
Para la prueba usamos la equivalencia lógica p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p).
Si [r]n ∈ Zn es inversible, entonces r y n son primos relativos. Supongamos que [r]n es
−1 ≡ 1 (mod n), luego
−1
una unidad, entonces existe [r]−1
n ∈ Zn tal que [r]n [r]n = 1. De aquí rr
rr −1 − 1 = kn con k ∈ Z, así rr −1 − kn = 1. Por el teorema (5.10) tenemos (r, n) = 1.
Capítulo 5. Aritmética Modular
307
Si r y n son primos relativos, entonces [r]n ∈ Zn es inversible. Supongamos (r, n) = 1,
entonces existen enteros a y b tales que (ver el teorema 5.10)
ar + bm = 1 ⇒ ar − 1 = −bn ⇒ ar ≡ 1 (mod n)
o lo que es lo mismo, [a]n [r]n = [1]n . Por tanto, r es una unidad de Zn .
■
Ejemplo 5.54 Calcular el inverso de [1278]1768 en el conjunto Z1768 .
Solución.
Aplicando el algoritmo de Euclides al par (1287, 1768) tenemos:
1768 = 1 · 1287 + 481
1287 = 2 · 481 + 325
481 = 1 · 325 + 156
325 = 2 · 156 + 13
156 = 12 · 13 + 0
Así, (1287, 1768) = 13. Por el teorema 5.34 la clase [1287]1768 no es invertible
■
El algoritmo extendido de Euclides nos proporciona el inverso de los elementos unitarios
de Zn .
Ejemplo 5.55 Calcular el inverso multiplicativo de [7]12 en el conjunto Z12 .
Solución.
Supongamos que [x]12 es el inverso de [7]12 , entonces [7]12 [x]12 = [1]12 . Ahora
nos queda encontrar el valor de x.
[7]12 [x]12 = [1]12 ⇔ [7x]12 = [1]12 ⇔ 1 ≡ 7x
(mod 12)
⇔ 12|(1 − 7x) ⇔ 7x − 12k = 1
(k ∈ Z)
Luego una de las soluciones de la última ecuación diofántica es x = 7, y k = 4. Así el inverso
de [7]12 es el mismo [7]12 , pues [7]12 [7]12 = [1]12 .
■
Ejemplo 5.56 Verifique que las unidades de Z8 son: [1]8 , [3]8 , [7]8 .
Solución.
De acuerdo a la tabla de multiplicación, en el ejemplo 5.48 realizado para Z8 se
tiene:
El inverso de [1]8 es el mismo [1]8 , pues [1]8 [1]8 = [1]8
El inverso de [3]8 es el mismo [3]8 , pues [3]8 [3]8 = [1]8
5.10. Aritmética en Zm
308
El inverso de [5]8 es el mismo [5]8 , pues [5]8 [5]8 = [1]8
El inverso de [7]8 es el mismo [7]8 , pues [7]8 [7]8 = [1]8
■
Por tanto, [1]8 , [3]8 , [7]8
Ejemplo 5.57 Verificar que las unidades de Z9 son: [1]9 ,[2]9 , [4]9 , [5]9 , [7]9 y [8]9 .
Solución.
De acuerdo a la definición de unidad.
[1]9 · [1]9 = [1]9 [2]9 · [5]9 = [1]9 [4]9 · [7]9 = [1]9 [8]9 · [8]9 = [1]9
■
La estructura de [Zn , +, ·]
Observación 5.9 Zn posee estructura de anillo. Un anillo es una estructura algebraica
con dos operaciones que satisfacen ciertas propiedades.
(1). Conmutativa de la suma
(4). Inverso aditivo
(2). Asociativa de la suma
(5). Asociatividad de la multiplicación.
(3). Identidad aditiva.
(6). Leyes distributivas.
De acuerdo al teorema 5.31, cumple las anteriores propiedades. Por tanto, Zn es un
anillo, que se denota por [Zn , +, ·].
Hay varios tipos de anillos, que se estudian en temas superiores, que no se realizará en
este texto, pero mencionaremos dos tipos de acuerdo a divisores de cero y unidad en Zn :
• Si n es compuesto n = ab con 1 < a, b < n por lo que en Zn las clases definidas por dichos
elementos verificarán que ab = 0 es decir, Zn posee divisores de cero y la estructura
de [Zn , +, ·] es de un anillo con divisores de cero
• Si p es primo, cualquier elemento no nulo de Zp = {0, 1, . . . , p − 1} es coprimo con p y posse
inverso, por lo que todos los elementos no nulos de Zp tiene inverso, resultando que
[Zp , +, ·] tiene estructura de cuerpo (anillo conmutativo con división).
Teorema 5.35 Los únicos elementos que son inversos de sí mismos de Zp con p
primo son [1]p y [p − 1]p .
Capítulo 5. Aritmética Modular
Demostración.
309
Decir que s es inverso de sí mismo en Zp , significa [s]p [s]p = [1]p .
Hipótesis.
Tesis.
• p es un número primo.
• Existen [1]p y [p − 1]p que son
• Zp = {[1]p , [2]p , . . . , [p − 1]p }
inversos en sí mismos en Zp .
• Unicidad de [1]p y [p − 1]p .
Existencia. Supongamos que s es inverso de si mismo, entonces
s 2 ≡ 1 (mod p) ⇒ s2 − 1 = (s − 1)(s + 1) ≡ 0 (mod p)
Al ser p primo, Zp no tiene divisores de 0, y de acuerdo al teorema 5.16 tenemos:


s − 1 ≡ 0 (mod p) ⇒ s ≡ 1 (mod p)
s = 1 en Zp




o




 s + 1 ≡ 0 (mod p) ⇒ s ≡ −1 (mod p) s = p − 1 en Z
p
Por tanto, [1]p y [p − 1]p son inversos de sí mismo.
Unicidad. Supongamos que k (1 < k < p − 1) es un inverso de sí mismo en Zp , diferente a
[1]p y [p−1]p . Entonces [k]p [k]p = [1]p , y así k 2 ≡ 1 (mod p). Luego p|(k 2 −1) = (k−1)(k+1), por
el teorema 5.16 tenemos p|(k−1) o p|(k+1). Si k ∈ {[2]p , [3]p , [4]p , ..., [p−2]p }, entonces [k+1]p ∈
{[3]p , [4]p , [5]p , ..., [p − 1]p } y [k − 1]p ∈ {[1]p , [2]p , [3]p , ..., [p − 3]p }. Sabemos que p es primo, por
lo tanto, solo puede dividir sus múltiplos, y ninguno de {[1], [2]p , [3]p , [4]p , ..., [p − 2]p , [p − 1]p }.
Por tanto, no existe [k]p . Así, [1]p y [p − 1]p son los únicos inversos de si mismo en Zp .
■
En el caso p = 2 los elementos 1 y 2 − 1 = 1 coinciden, existiendo un único inverso en Z2
es el [1]2 .
Observación 5.10 El conjunto de los elementos de Zn que tienen inverso multiplicativo
será denotado por U(n) = {[a]n ∈ Zn : (a, n) = 1}. Donde U(n) es llamado el conjunto de
todas las unidades de Zn .
Cuando p es un número primo el conjunto de todas las unidades U(p) es por definición
todas las unidades de Zp = {[0]p , [1]p , ..., [p − 1]p } es decir: U(p) = {[a]p ∈ Zp : (a, p) = 1} =
{[1]p , ..., [p − 1]p }.
Ejemplo 5.58 Determinar el conjunto U(n) de todas las unidades de Zn .
(a). U(4).
(b). U(8).
(c). U(7).
Solución.
(a). U(4) = {[a]4 ∈ Z4 : (a, 4) = 1} = {[1]4 , [3]4 }.
(b). U(8) = {[a]8 ∈ Z8 : (a, 8) = 1} = {[1]8 , [3]8 , [5]8 , [7]8 }.
(d). U(10).
5.10. Aritmética en Zm
310
(c). U(7) = {[a]7 ∈ Z7 : (a, 7) = 1} = {[1]7 , [2]7 , [3]7 , [4]7 , [5]7 , [6]7 }.
(d). U(10) = {[a]10 ∈ Z10 : (a, 10) = 1} = {[1]10 , [3]10 , [7]10 , [9]10 }.
■
Ejemplo 5.59 En el ejercicio 5.98 se encuentra la definición de grupo. ¿Cuál (es) de
las siguientes tablas de multiplicación definidas en el conjunto G = {a, b, c, d } forma(n)
un grupo?
(1) .
(3) .
◦
a
b
c
d
◦
a
b
c
d
a
a
c
d
a
a
a
b
c
d
b
b
b
c
d
b
b
c
d
a
c
c
d
a
b
c
c
d
a
b
d
d
a
b
c
d
d
a
b
c
(2) .
(4) .
◦
a
b
c
d
◦
a
b
c
d
a
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
d
c
b
b
a
c
d
c
c
d
a
b
c
c
b
a
d
d
d
c
b
a
d
d
d
b
c
Solución.
(1). No es grupo, porque al menos no cumple la propiedad asociativa. Por ejemplo;
a ◦ (b ◦ c) ,(a ◦ b) ◦ c
a ◦ c ,c ◦ c
d ,a
(2). Es grupo, ya que cumple todas las propiedades de grupo: ley interna, asociativa, cada
elemento tiene inverso siendo el inverso el mismo elemento, con elemento neutro e = a.
(3). Es grupo, porque cumple todas las propiedades de grupo: ley interna, asociativa, cada
elemento tiene inverso (su inverso de a es a, su invers de b es d, su inverso c es c y su
inverso de d es b), con elemento neutro e = a.
(4). No es grupo, pues el elemento d no tiene inverso, como el neutro es a, para cualquier
x ∈ G = {a, b, c, d } se tiene d ◦ x , a.
■
Capítulo 5. Aritmética Modular
311
Ejercicio 5.91 Si p > 1 es un número entero, entonces las siguientes propiedades son
equivalentes.
(1) p es primo.
(2) Para cualquier [a]p , [0]p en Zp , la ecuación [a]p X = [1]p tiene una solución en Zp .
(3) Siempre que [a]p [b]p = [0]p en Zp , entonces [a]p = [0]p o [b]p = [0]p .
Ejercicio 5.92 Sea p un primo positivo. Para cualquier [a]p , [0]p y cualquier [b]p , Zp ,
la ecuación [a]p X = [b]p tiene solución única en Zp .
Ejercicio 5.93 Sean a y n enteros con n > 1. Entonces (a, n) = 1 si y solo si la ecuación
[a]n X = [1]n en Zn tiene solución.
Ejercicio 5.94 Sea n un entero positivo. Si [a]n ∈ Zn , entonces a es una unidad o un
divisor de cero.
Ejercicio 5.95 Probar que si a y a0 son representantes de una misma clase [a]m módulo
m, entonces (a, m) = (a0 , m)
Ejercicio 5.96 Construir las tablas de Z4 y Z5 con la operación suma y multiplicación.
Ejercicio 5.97 Determine todos los elementos invertibles de Z25 y encuentre sus res-
pectivos inversos multiplicativos.
Ejercicio 5.98 Sea A un anillo, U = {u ∈ A : u es una unidad de A}. Demostrar que U
con el producto es un grupo ( tiene que verificar algunas propiedades del Teorema 5.31
Ley interna, Asociativa, Elemento neutro, Elemento opuesto). Primero demuestre
que el producto está bien definido(Ley interna).
Ejercicio 5.99 Demostrar que la propiedad cancelativa se verifica en un anillo A si y
solo si en A no existen divisores de cero
Ejercicio 5.100 Describa todas las unidades en los siguientes anillos,
(a). Z.
(b). Z + Z.
(c). Z5 .
(d). Q.
(e). Z + Q + Z.
5.10. Aritmética en Zm
312
Ejercicio 5.101 Sea A un conjunto. Considere la estructura (A, +, ·) tal que:
(a). (A, +) es un grupo.
(b). (A∗ , ·) es un grupo, donde A∗ es el conjunto de los elementos de A diferentes del
elemento identidad para la suma.
(c). a(b + c) = ab + ac y (a + b)c = ac + ab para todo a, b, c elementos de A.
Demostrar que (A, +, ·) es un anillo con división.
Ejercicio 5.102 Demostrar que un anillo finito A con elemento unitario y que no con-
tienen divisores de cero es un anillo con división.
Índice alfabético
Algoritmo de Euclides, 274
Conjunto de índices, 163
Algoritmo de la división, 263
Conjunto ordenado, 184
Axioma, 3
Conjunto ordenado estricto, 185
Axioma de extensionalidad, 76
Conjunto propio, 91
Axioma de separación, 78
Conjunto unitario, 80
Axioma del vacío, 76
Cota inferior, 193
Cota superior, 192
Bicondicional, 10
Cuantificador existencial, 40
Caracterización mínimo común múltiplo, 284
Cuantificador universal, 40
Caracterización de máximo común, 267
Cuantificadores anidados, 43
Cardinal de un conjunto, 127
Clase de equivalencia, 155
Clases de proposiciones, 16
Clausura, 54
Complemento de un conjunto, 94
Composición de funciones, 218
Composición de relaciones, 136
Condicional, 7
Conectivos lógicos, 4
Congruencia, 293
Conjetura de Chistian Goldbach, 57
Conjunción, 6
Conjunto cociente, 162
Definición, 2
Definición de límete, 57
Determinación de conjuntos, 81
Diagrama de Hasse, 187
Diferencia de conjuntos, 107
Diferencia simétrica, 110
Disyunción excluyente, 12
Disyunción incluyente, 5
Divisibilidad, 259
Divisores de cero, 304
Dominio de función, 205
Dominio de una relación, 135
Conjunto de partes, 93
Ecuación diofántica, 287
Conjunto de referencia, 39
Elemento maximal, 190
Conjunto de verdad, 39
Elemento maximo o ultimo, 192
313
314
Índice alfabético
Elemento mínimo o primero, 192
Ley de la adición, 31
Elementos Comparables, 179
Ley de la conjunción, 30
Equivalencia lógica, 19
Ley de la doble negación, 31
Existencia de solución de ecuación diofánti- Ley de simplificación, 30
ca, 288
Ley del silogismo disyuntivo, 31
Factorial, 67
Funciones y sus gráficas, 201
Función, 201
Función biyectiva, 214
Función constante, 208
Función cúbica, 209
Función identidad, 207, 223
Función inversa, 228
Función inyectiva, 212
Función lineal, 208
Función parte entera, 208
Función signo, 209
Función sobreyectiva, 213
Función valor absoluto, 208
Ley del silogismo hipotético, 30
Leyes asociativas, 24
Leyes conmutativas, 24
Leyes de complemento, 25
Leyes de idempotencia, 24
Leyes de identidad, 25
Leyes de Morgan, 25, 105
Leyes de Morgan generalizadas, 120
Leyes distributivas, 24, 104
Leyes distributivas generalizadas, 119
Leyes Lógicas, 24
Máximo común divisor, 265
Mínimo común múltiplo, 284
Modus Ponendo Ponens, 29
Grafo dirigido, 187
Modus Tollendo Ponens, 30
Gráfica de función, 205
Modus Tollendo Tollens, 30
Método por contrajemplo, 72
Identidad de Bézout, 266
Método de contrarreciproca, 62
Identificación de un primo, 280
Método de la bicondicional, 64
Igualdad de conjuntos, 88
Método directo, 58
Igualdad de funciones, 220
Método por casos, 71
Imagen de función, 205
Método por construcción, 60
Imagen de un conjunto bajo una función, 238 Método por contradicción, 67
Imagen de una relación, 135
Método por inducción matemática, 66
Imagen inversa de un conjunto, 243
Método por trivial, 56
Implicación lógica, 22
Método por vacuidad, 55
Inclusión de conjuntos, 84
Método progresivo-regresivo, 51
Incongruencia, 293
Métodos de demostración, 51
Inferencia por casos, 31
Intersección de conjuntos, 98
Negación., 4
Intersección generalizada de conjuntos, 117
Número primo, 277
Inversa de una relación, 135
Inversa derecha de una función, 223
Orden estricto, 178
Inversa izquierda de una función, 223
Orden parcial y total, 180
Índice alfabético
315
Par ordenado, 122
Reglas operatorias, 4
Paradoja de Russell, 77
Relaciones en P, 19
Partición de un conjunto, 165
Relación antisimétrica, 145
Plano cartesiano , 81
Relación arreflexiva, 138
Predicado, 39
Relación asimétrica, 140
Primos relativos, 269
Relación atransitiva, 143
Principio de buen orden, 250
Relación binaria, 133
Principio de inducción finita, 251
Relación causal, 8
Principio de inducción matemática, 252
Relación de equivalencia, 149
Principio de la adición, 128
Relación de orden, 176
Producto de congruencias, 300
Relación no reflexiva, 138
Propiedades de divisibilidad, 260
Relación no simétrica, 140
Propiedades de imágenes inversas, 244
Relación no transitiva, 143
Propiedades de composición de funciones, Relación reflexiva, 138
Relación simétrica, 140
220
Propiedades de diferencia de conjuntos, 108 Relación transitiva, 143
Representante de clase, 161
Propiedades de diferencia simétrica, 111
Propiedades de implicación, 22
Propiedades de imágenes, 240
Propiedades de la equivalencia, 20
Propiedades de la intersección, 99
Solución de una ecuación diofántica, 290
Suma de congruencias, 300
Supremo, 193
Propiedades de la suma y el producto de Zn , Tablas de verdad, 13
302
Teorema de Euclides, 272
Propiedades de la unión, 102
Teorema de Eudoxius, 261
Propiedades del complemento, 95
Teorema fundamental de la aritmética, 279
Propiedades del producto cartesiano, 125
Teorema máximo común divisor, 282
Proposición, 2
Teorema mínimo común múltiplo, 285
Proposición compuesta, 3
Teorema Tautología - Equivalencia, 26
Proposición contingencia, 18
Teoremas, 26
Proposición contradictoria, 17
Proposición simple, 3
Proposición tautológica, 16
Proposición existencial, 40
Proposición universal, 40
Razonamiento deductivo, 27
Razonamiento deductivo válido., 27
Razonamiento deductivo-conectivo condicional, 33
Reglas de razonamiento, 29
Unidad en Zm , 306
Unión de conjuntos, 101
Unión generalizada de conjuntos., 117
Ínfimo, 193
316
Índice alfabético