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ÁLGEBRA
AUTOR
M. Sc. Rudy Wilfredo Mayta Callisaya
LA PAZ - BOLIVIA
2023
El presente libro está enfocado a estudiantes de Ciencias y Tecnología, debido a que en este libro se tratan los temas de Lógica Elemental en el cual se enfoca la relación que existe de los
teoremas, corolarios, afirmaciones y propiedades que se presentan en el campo de la matemática
cuyos enunciados están compuestos por oraciones denominadas proposiciones y estos resultan ser
equivalentes a enunciados cuya forma se presentan en el lenguaje lógico los cuales se pueden llegar
a analizar según el requerimiento del enunciado bajo las leyes lógicas y el razonamiento deductivo
y así obtener un enunciado en nuestro lenguaje común que llegue a ser más comprensible; El tema
de Conjuntos es otro lenguaje cuyos enunciados son equivalentes a algún enunciado en el lenguaje
lógico y gracias a esta relación se llegan a verificar la veracidad de estos enunciados que se encuentran en términos del lenguaje lógico bajo las leyes lógicas y el razonamiento deductivo; En
el tema de Relaciones y Funciones se estudian las relaciones de equivalencia el cual nos permitirá
comprender la idea de partición de un conjunto y también se estudia la relación de orden que nos
permite relacionar los elementos en un determinado conjunto para llegar a estudiar sus diferentes
propiedades y bajo la idea de relación se define lo que es una función y la biyectividad de una
funciones nos permite realizar el estudio de la cardinalidad de conjuntos que intuitivamente nos
indica si un conjunto tiene la misma cantidad de elementos que otro conjunto; El tema de los números Naturales y Enteros está enfocado al estudio de la inducción matemática y a la divisibilidad
el cual nos permite ver las formas diferentes de determinar el máximo común divisor de números
enteros el cual a su vez nos permite realizar la solución de ecuaciones diofánticas, ecuaciones que
se resuelven en el conjunto de los números enteros; El tema de Estructuras Algebraicas es un tema
introductorio al estudio del Álgebra Abstracta.
Índice general
1. Lógica Elemental
1
1.1. Introducción: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Proposición y Valor de verdad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3. Clasificación de las Proposiciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4. Álgebra de Proposiciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4.1. Leyes Lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4.2. Simplificación de formulas Proposicionales:
. . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.5. Razonamiento Deductivo Valido o Inferencia Lógica: . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.5.1. Reglas de Inferencia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.5.2. Métodos de Demostraciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.6. Cuantificador Universal y Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.7. Ejercicios Propuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2. Conjuntos
63
2.1. Introducción: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.2. La Relación de Inclusión: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.3. La Relación de Igualdad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.4. Complemento de un conjunto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.5. Unión e Intersección de Conjuntos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.5.1. Unión de Conjuntos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
i
Álgebra
2.5.2. Intersección de Conjuntos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.5.3. Leyes Distributivas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2.5.4. Leyes de Morgan: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.6. Diferencia de Conjuntos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.7. Diferencia Simétrica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
2.8. Conjunto de Partes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
2.9. Producto Cartesiano:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.9.1. Par Ordenado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.9.2. Producto Cartesiano: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.10. Familia de Conjuntos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.11. Ejercicios Propuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3. Relaciones y Funciones
100
3.1. Introducción: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2. Relaciones Binarias: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.1. Dominio, Imagen y Relación Inversa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.2. Composición de Relaciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.3. Relación Definida en un Conjunto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.4. Relaciones de Equivalencia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2.4.1. Clase de equivalencia y Conjunto Cociente: . . . . . . . . . . . . 120
3.2.5. Relación de Orden: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3. Funciones:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.3.1. Clasificación de Funciones:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.3.2. Composición de Funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3.3. Imagen e imagen inversa de subconjuntos bajo una función: . . . . . . . . 148
3.3.4. Cardinalidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.3.4.1. Conjuntos Finitos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.4. Ejercicios Propuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4. Los Números Naturales y Enteros
165
4.1. El Conjunto de los números Naturales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.1.1. Inducción Matemática: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
ii
Álgebra
4.1.2. Relación de Orden en el Conjunto de los Números Naturales:
. . . . . . . 175
4.1.2.1. Principio de Buen Orden: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.2. El conjunto de los números Enteros:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.2.1. Divisibilidad de Números Enteros:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.2.2. Máximo Común Divisor: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2.2.1. Calculo del máximo común divisor: . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2.2.2. Generalización del máximo común divisor: . . . . . . . . . . . . . 185
4.2.3. Ecuaciones Diofánticas Lineales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.3. Ejercicios Propuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5. Estructuras Algebraicas
198
5.1. Congruencia en Z y Aritmética Modular: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.1.1. Congruencia en Z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.1.2. Aritmética Modular: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2. Grupos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.2.1. Propiedades de los Grupos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.2.2. Subgrupos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.3. Ejercicios Propuestos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
iii
CAPÍTULO 1
Lógica Elemental
1.1.
Introducción:
La lógica matemática o lógica elemental es un lenguaje formal que tiene su propio alfabeto lógico
que consiste en las proposiciones simples y los conectivos lógicos, con los cuales se llegan a formal
las proposiciones compuestas, que corresponderian a las palabras y oraciones en dicho lenguaje
bajo los axiomas que gobiernan la lógica matemática.
Algunos problemas del lenguaje común bajo un parafraseo adecuado se pueden llegar a transcribir a
un problema equivalente en el cual la estructura del problema estaria compuesto por proposiciones
simples y conectivos lógicos del lenguaje de la lógica matemática, en el cual se podria realizar un
análisis adecuado bajo las leyes y reglas que gobiernan la lógica matemática y este análisis nos
permitiria obtener un problema totalmente equivalente al problema original el cual al transcribirlo
al lenguaje común llegariamos a obtener un enunciado mucho más clara que el problema original
que se planteo en el lenguaje común.
1.2.
Proposición y Valor de verdad:
Definición. (1.1) Una proposición es una oración del cual puede decirse si es verdadero o falso
Ejemplo 1. Cuales de las siguientes oraciones son proposiciones:
1.- Deténgase
1
Álgebra
2.- El calor dilata los cuerpos
3.- 4 es un número impar
4.- Hoy es lunes
5.- ¿Quién soy yo?
Las oraciones 3 y 4 son considerados proposiciones, debido a que de ellas se puede decir si son
verdaderas ó falsas.
A las oraciones que son proposiciones se las llega a simbolizar mediante las letras p, q, r, etc.
Ejemplo 2. A las siguientes proposiciones las llegaremos a sombolizar por:
4 es un número impar := p
Hoy es lunes := q
y estas proposiciones son denominadas proposiciones simples.
Nota: El símbolo := se utiliza para asignar un significado a una proposición.
Gracias a los siguientes conectivos lógicos
Conectivo
Nombre
Significado
∼
negación
no
∧
conjunción
y
∨
disyunción
o (en sentido incluyente)
→
implicación
entonces
↔
bicondicional o doble implicación
si y sólo si
Y
diferencia simétrica
ó (en sentido excluyente)
se pueden llegar a formar proposiciones compuestas como las que se tienen a continuación
[(p → q) ∧ p] → q
(p ∧ q) → p
Como de la proposición simple p pueden llegar a ser verdadera o falsa, es decir v(p) = V ó
v(p) = F , entonces se puede llegar a asignar un valor de verdad a una proposición compuesta
y para lograr esto primero analicemos cada uno de los valores de verdad que se pueden llegar a
obtener mediante el valor de verdad de una proposición simple y un conectivo lógico.
a) Negación (∼)
2
Álgebra
Definición. (1.2) La negación de la proposición p es la proposición ∼ p (que se lee no p) y cuya
tabla de valor de verdad es:
p
∼p
v(p) = V
v(∼ p) = F
v(p) = F
v(∼ p) = V
o equivalentemente
p
∼p
V
F
F
V
Ejemplo 3. Sea
Si p := 4 es un número par, entonces v(p) = V
Si ∼ p :=∼ (4 es un número par) ≡ 4 no es un número par ≡ 4 es un número impar,
entonces v(∼ p) = F
Nota: El símbolo ≡ se utiliza para trabajar con enunciados equivalentes.
Ejemplo 4. Sea
Si p := (3 + 5 = 10), entonces v(p) = F
Si ∼ p := (3 + 5 6= 10), entonces v(∼ p) = V
b) Conjunción (∧)
Definición. (1.3) La conjunción de las proposiciones p, q es la proposición p ∧ q (que se lee p y
q) y cuya tabla de valores de verdad es:
p
q
p∧q
v(p) = V
v(q) = V
v(p ∧ q) = V
v(p) = V
v(q) = F
v(p ∧ q) = F
v(p) = F
v(q) = V
v(p ∧ q) = F
v(p) = F
v(q) = F
v(p ∧ q) = F
o equivalentemente
3
Álgebra
p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Ejemplo 5. Determinar el valor de verdad del enunciado:
2 es un número par y 2 es mayor que 1
el enunciado anterior también es equivalenete a
> 1}
2 = 2 (1) donde 1 es un número entero y 2| {z
{z
}|{z}
|
∧
p
q
este enunciado transcrito al lenguaje lógico tiene la forma
p∧q
y según el significado de las proposiciones p y q se tiene que v(p) = V , v(q) = V , así según la tabla
de verdad de la conjunción se tendrá que v(p ∧ q) = V , por tanto el valor de verdad del enunciado
2 es un número par y 2 es mayor que 1
es verdadero.
Ejemplo 6. Determinar el valor de verdad del enunciado:
3 es un número impar y 3 es múltiplo de 2
el enunciado anterior también es equivalenete a
3 = 2 (1) + 1 donde 1 es un número entero y 3 6= 2 (k) para cualquier entero k
{z
}|{z}|
{z
}
|
∧
p
q
este enunciado transcrito al lenguaje lógico tiene la forma
p∧q
y según el significado de las proposiciones p y q se tiene que v(p) = V , v(q) = F , así según la tabla
de verdad de la conjunción se tendrá que v(p ∧ q) = F , por tanto el valor de verdad del enunciado
4
Álgebra
3 es un número impar y 3 es múltiplo de 2
es falso.
c) Disyunción (∨)
Definición. (1.4) La disyunción de las proposiciones p, q es la proposición p ∨ q (que se lee p o
q) y cuya tabla de valores de verdad es:
p
q
p∨q
v(p) = V
v(q) = V
v(p ∨ q) = V
v(p) = V
v(q) = F
v(p ∨ q) = V
v(p) = F
v(q) = V
v(p ∨ q) = V
v(p) = F
v(q) = F
v(p ∨ q) = F
o equivalentemente
p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Ejemplo 7. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados
i) Un rectángulo es un cuadrado |{z}
o un cuadrado es un rectángulo, así v(p) = F , v(q) = V
|
|
{z
}
{z
}
∨
p
q
por tanto v(p ∨ q) = V .
ii)
Un triángulo equilatero tiene todos sus lados diferentes |{z}
o
|
{z
}
∨
p
un triángulo equilatero tiene dos lados iguales
|
{z
}
q
así v(p) = F , v(q) = F por tanto v(p ∨ q) = F .
d) Implicación o Condicional (→)
Definición. (1.5) La implicación de las proposiciones p, q es la proposición p → q (que se lee p
implica q ó si p, entonces q) y cuya tabla de valores de verdad es:
5
Álgebra
p
q
p→q
v(p) = V
v(q) = V
v(p → q) = V
v(p) = V
v(q) = F
v(p → q) = F
v(p) = F
v(q) = V
v(p → q) = V
v(p) = F
v(q) = F
v(p → q) = V
o equivalentemente
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Ejemplo 8. Determinar el valor de verdad de las proposiciones
i) p → q si
p := Un triángulo isoceles tiene dos lados iguales
q := Un triángulo isoceles tiene dos ángulos iguales
entonces v(p) = V , v(q) = V por tanto v(p → q) = V
ii) p → q si
p := Cero dividido entre cualquier número diferente de cero es cero
q := Cualquier número dividido entre dos es el mismo número
entonces v(p) = V , v(q) = F por tanto v(p → q) = F .
Obs: En la proposición compuesta p → q, a la proposición simple p se la denomina antecedente o
hipótesis y a la proposición simple q se la denomina consecuente o tesis o conclusión.
e) Doble implicación o Bicondicional (↔)
Definición. (1.6) La doble implicación de las proposiciones p, q es la proposición p ↔ q (que
se lee p si y sólo si q) y cuya tabla de valores de verdad es:
6
Álgebra
p
q
p↔q
v(p) = V
v(q) = V
v(p ↔ q) = V
v(p) = V
v(q) = F
v(p ↔ q) = F
v(p) = F
v(q) = V
v(p ↔ q) = F
v(p) = F
v(q) = F
v(p ↔ q) = V
o equivalentemente
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Ejemplo 9. Determinar el valor de verdad de la proposición p ↔ q si
p := Un triángulo es equilatero si tiene tres lados iguales
q := Un tri´sngulo es equilatero si tiene tres ángulos iguales
entonces v(p) = V , v(q) = V por tanto v(p ↔ q) = V .
f ) Diferencia Simétrica (Y)
Definición. (1.7) La diferencia simétrica de las proposiciones p, q es la proposición p Y q (que
se lee p ó q) y cuya tabla de valores de verdad es:
p
q
pYq
v(p) = V
v(q) = V
v(p Y q) = F
v(p) = V
v(q) = F
v(p Y q) = V
v(p) = F
v(q) = V
v(p Y q) = V
v(p) = F
v(q) = F
v(p Y q) = F
o equivalentemente
p
q
pYq
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
7
Álgebra
Ejemplo 10. Determine el valor de verdad de la proposición p Y q si
p := Una circunferencia es el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo
es una constante
q := Un cuadrado es la unión de cuatro segmentos iguales
entonces v(p) = V , v(q) = F por tanto v(p Y q) = V .
Ejemplo 11. Hallar el valor de verdad de la proposición [∼ p ∨ (∼ p ∧ q)] → (∼ q ∧ p) sabiendo
que v(p) = V y v(q) = F
Solución: Según la tabla de verdad de la conjunción
p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
si v(p) = V y v(q) = F se tendrá que










∼ p ∨  ∼ p ∧ q  →  ∼ q ∧ p 

|{z} |{z}
|{z} |{z} 


F
F
|
| V {z V }
{z
}
F
V
y según la tabla de valores de verdad de la disyunción
p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
y como v(p) = V se tendrá que
8
Álgebra















 ∼ p ∨  ∼ p ∧ q  →  ∼ q ∧ p 
|{z} |{z} 
|{z} |{z}
|{z}
 F

F
F

|
{z
}
| V {z V }


V
|
{z F
}
F
y finalmente según la tabla de valores de verdad de la implicación
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
se tiene que
















 ∼ p ∨  ∼ p ∧ q  →  ∼ q ∧ p 
|{z}
|{z}
|{z}
|{z} |{z}


 F

F
F

|
| V {z V }
{z
}


V
{z F
}
|
F
{z
}
|
V
así v ([∼ p ∨ (∼ p ∧ q)] → (∼ q ∧ p)) = V
Ejemplo 12. Determinar si existe una combinación de valores de verdad para que
v ([(p ∨ r) →∼ q] ∧ (q∧ ∼ r)) = V
Solución: Según la tabla de verdad de la conjunción
p
q
p∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
9
Álgebra
el único caso cuando v (p ∧ q) = V es cuando v (p) = V y v (q) = V , por tanto para que la
proposición [(p ∨ r) →∼ q] ∧ (q∧ ∼ r) tenga un valor de verdad verdadera tiene que ocurrir lo
siguiente
V
z
}|
z

V
{
{
V
}|
z
}|
{
∼ r
[(p ∨ r) →∼ q] ∧  q ∧ |{z}
|{z}
V
V
de esta forma se tiene que v(q) = V y v(r) = F , así la proposición [(p ∨ r) →∼ q] ∧ (q∧ ∼ r) ohora
tendria la forma
V
z
z
}|
V
}|
!
 p∨ r
|{z}
F
{
{
V
z
{
}|
→ ∼ q  ∧  q ∧ |{z}
∼ r
|{z}
|{z}
F
V
V
ahora según la tabla de verdad de la implicación
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
se observa que v (p → q) y v (q) = F , entonces v (p) = F , por tanto
V
z
z
V
}|
}|
{
{
V
z
{
!




 p∨ r
 ∧  q ∧ ∼ r
→
∼
q


|{z}
|{z}
|{z} |{z}


F
V
F
V
|
{z
}
F
y finalmente según la tabla de verdad de la disyunción
10
}|
Álgebra
p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
se observa que v (p ∨ q) = F y v (q) = F , entonces v (p) = F así los valores de verdad de p, q y r
para que v ([(p ∨ r) →∼ q] ∧ (q∧ ∼ r)) = V tienen que ser v (p) = F , v (q) = V y v (r) = F .
Ejemplo 13. A partir de una tabla de verdad, determina bajo que condiciones de p y q la
proposición compuesta [(p ↔ q) ∧ ∼ q] → (p∧ ∼ q) es falsa.
Solución: La tabla de verdad para la proposición compuesta [(p ↔ q) ∧ ∼ q] → (p∧ ∼ q) es:
p
q
[(p ↔ q)
∧
∼ q]
→
(p
∧
∼ q)
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
observando esta tabla de valores de verdad según el conectivo principal → la fila en la que
v ([(p ↔ q) ∧ ∼ q] → (p∧ ∼ q)) = F
es
p
q
[(p ↔ q)
∧
∼ q]
→
(p
∧
∼ q)
F
F
V
V
V
F
F
F
V
así v (p) = F y v (q) = F .
1.3.
Clasificación de las Proposiciones:
Gracias a las tablas de valores de verdad se pueden llegar a construir tablas de valores de verdad
de proposiciones compuestas.
Ejemplo 14. Determinar la tabla de valores de verdad de la proposición compuesta
[(p → q) ∧ (∼ p → q)] → q
11
Álgebra
Solución:
p
q
[(p → q)
∧
(∼ p
→
q)]
→
q
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
así v ([(p → q) ∧ (∼ p → q)] → q) = V para cualquier valor de verdad que se asigne a p o q
Ejemplo 15. Determinar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones
a) p∧ ∼ p
b) (p → q) ∧ (q → p)
c) (p → q) ↔ (∼ q →∼ p)
Sol: Para el inciso a)
p
p
∧
∼p
V
V
F
F
F
F
F
V
así v (p∧ ∼ p) = F para cualquier valor de verdad que se asigne a p
para el inciso b)
p
q
(p → q)
∧
(q → p)
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
así el valor de verdad de la proposición compuesta (p → q) ∧ (q → p) depende de los valores de
verdad que se les asigne a las proposiciones simples p y q
para el inciso c)
p
q
(p → q)
↔
(∼ q
→
∼ p)
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
12
Álgebra
así v ((p → q) ↔ (∼ q →∼ p)) = V para cualquier valor de verdad que se asigne a p o q.
Observando el anterior ejemplo vemos que en la construcción de la tabla de verda de la proposición
compuesta de cada inciso se obtienen tres tipos de valores de verdad en la columna de los conectivos
principales, en el inciso a) en la columna del conectivo principal para todas las filas los valores
de verdad son F , en el inciso b) en la columna del conectivo principal para algunas filas el valor
de verdad es V y para otras filas es valor de verdad es F y en el inciso c) en la columna del
conectivo principal para todas las filas los valores de verdad son V . Por el cual se tienen la
siguiente clasificación:
Contradicción: Una contradicción se da cuando se observa que en la columna del conectivo
principal se encuentran los valores de verdad F para cualquier fila de la tabla.
Contingencia: La contingencia se da cuando se observa que en la columna del conectivo
principal existena valores de verdad V y valores de verdad F para algunas filas de la tabla.
Tautología: Una tautología se da cuando se observa que en la columna del conectivo principal se encuentran los valores de verdad V para cualquier fila de la tabla.
Ejemplo 16. En el inciso a) la proposición p∧ ∼ p es una contradicción, en el inciso b) la
proposición (p → q) ∧ (q → p) es una contingencia y en el inciso c) la proposición (∼ q →∼ p) ↔
(p → q) es una tautología.
Ejemplo 17. Clasificar la siguiente proposición compuesta (p → (q → r)) ↔ ((p → q) → (p → r))
Solución: La tabla de verdad para esta proposición compuesta es
p
q
r
(p
→
(q → r))
↔
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
13
((p → q) → (p → r))
Álgebra
y como se observa que en la columna del conectivo principal los valores de verdad son V para cada
fila de la tabla, entonces la proposición compuesta (p → (q → r)) ↔ ((p → q) → (p → r)) es una
tautología.
Ejemplo 18. Clasificar la siguiente proposición compuesta (p ↔ q) ∧ (p →∼ q) ∧ p
Solucición: La tabla de verdad para esta proposición compuesta es
p
q
(p ↔ q)
∧
(p
→
∼ q)
∧
p
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
y como se observa que en la columna del conectivo principal los valores de verdad son F para cada
fila de la tabla, entonces la proposición compuesta (p ↔ q) ∧ (p →∼ q) ∧ p es una “contradicción”
Ejemplo 19. Clasificar la siguiente proposición compuesta [(∼ p∧ ∼ q) → (∼ r)] ↔ [r → (q ∧ p)]
Solución: La tabla de verdad para esta proposición compuesta es
p
q
r
[(∼ p
∧
∼ q)
→
(∼ r)]
↔
[r
→
(q ∧ p)]
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
y como se observa que en la columna del conectivo principal algunos valores de verdad son F y
otros valores de verdad son V para algunas filas de la tabla, entonces la proposición compuesta
[(∼ p∧ ∼ q) → (∼ r)] ↔ [r → (q ∧ p)] es una contingencia.
14
Álgebra
1.4.
Álgebra de Proposiciones
Definición. (1.8) Si la implicación entre dos proposiciones α y β, (α → β) es una tautologia,
entonces se dice que la proposición α implicación lógicamente a la proposición β y en este caso
lo denotaremos por α ⇒ β
Ejemplo 20. Verificar si las proposiciones (p → q) ∧ (q → r) implica lógicamente a la proposición
p→r
Solución: La tabla de verdad en este caso es
h
p q r
(p → q)
∧
(q → r)
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
i
→
(p → r)
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
así observando esta tabla de valores de verdad la proposición [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) es
una tautología, por tanto la proposición (p → q) ∧ (q → r) implica lógicamente a la proposición
p → r, es decir [(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r).
Definición. (1.9) Si la doble implicación entre las proposiciones α y β (α ↔ β) es una tautologia,
entonces se dice que las proposición α es lógicamente equivalentes a la proposición β y en este
caso lo denotamos por α ⇔ β
Ejemplo 21. Verificar si las proposiciones p → q y ∼ q →∼ p son lógicamente equivalentes
Solución: La tabla de verdad en este caso es
p
q
(p → q)
↔
(∼ q
→
∼ p)
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
15
Álgebra
así observando esta tabla de valores de verdad la proposición (p → q) ↔ (∼ q →∼ p) es una tautología, por tanto la proposición (p → q) es lógicamente equivalente a la proposición (∼ q →∼ p),
es decir (p → q) ⇔ (∼ q →∼ p).
Ejemplo 22. Verificar si las proposiciones p → q y ∼ p ∨ q son lógicamente equivalentes
Solución: La tabla de verdad en este caso es
p
q
(p → q)
↔
(∼ p
∨
q)
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
así observando esta tabla de valores de verdad la proposición (p → q) ↔ (∼ p ∨ q) es una tautología, por tanto la proposición (p → q) es lógicamente equivalente a la proposición (∼ p ∨ q), es
decir (p → q) ⇔ (∼ p ∨ q).
Ejemplo 23. Verificar si las proposiciones ∼ (p ↔ q) y p ↔∼ q son lógicamente equivalentes
Solución: La tabla de verdad en este caso es
p
q
∼ (p ↔ q)
↔
(p
↔
∼ q)
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
así observando esta tabla de valores de verdad la proposición [∼ (p ↔ q)] ↔ (p ↔∼ q) es una tautología, por tanto la proposición ∼ (p ↔ q) es lógicamente equivalente a la proposición (p ↔∼ q),
es decir [∼ (p ↔ q)] ⇔ (p ↔∼ q).
Obs. Si las proposiciones α y β son lógicamente equivalentes (α ⇔ β), entonces v(α) = v(β) lo
que significa que la proposición α puede ser remplazada por la proposición β y viseversa.
1.4.1.
Leyes Lógicas
1.- Asociatividad
16
Álgebra
(p ∨ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∨ r)
(p ∧ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∧ r)
2.- Conmutatividad
(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
3.- Distributividad
(p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))
(p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))
4.- Elemento Neutro
(p ∨ F ) ⇔ p
(p ∧ V ) ⇔ p
5.- Condiciones de Negación
(p∨ ∼ p) ⇔ V
(p∧ ∼ p) ⇔ F
6.- Definición de Implicación
(p → q) ⇔ (∼ p ∨ q)
7.- Definición de Equivalencia
(p ↔ q) ⇔ ((p → q) ∧ (q → p))
8.- Ley de Idempotencia
(p ∨ p) ⇔ p
(p ∧ p) ⇔ p
9.- Condición de Tautologia
(p ∨ V ) ⇔ V
10.- Condición de Contradicción
(p ∧ F ) ⇔ F
17
Álgebra
11.- Ley de Absorción
(p ∧ (p ∨ q)) ⇔ p
(p ∨ (p ∧ q)) ⇔ p
12.- Ley de Morgan
(∼ (p ∨ q)) ⇔ (∼ p∧ ∼ q)
(∼ (p ∧ q)) ⇔ (∼ p∨ ∼ q)
13.- Le de la doble Negación
(∼ (∼ p)) ⇔ p
14.- Negación de la Tautologia
(∼ V ) ⇔ F
15.- Negación de la Contradicción
(∼ F ) ⇔ V
Se puede verificar que las leyes lógicas son una tautología construyendo sus tablas de verdad.
Ejemplo 24. Uno de los problemas clásicos en análisis matemático consiste en verificar el enunciado siguiente: Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0
Solución: Apoyándonos en las leyes lógicas el enunciado, Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0 no es
muy complicado de verificarlo
Lenguaje común
lenguaje lógico
= 0} o b| {z
= 0} ≡
Si ab
= 0}, entonces a
| {z
| {z
p
q
p → (q ∨ r)
r
⇔
|{z}
∼ p ∨ (q ∨ r)
⇔
|{z}
(∼ p ∨ q) ∨ r
⇔
|{z}
(∼ p∨ ∼ (∼ q)) ∨ r
⇔
|{z}
∼ (p∧ ∼ q) ∨ r
⇔
|{z}
(p∧ ∼ q) → r
definición
de implicación
por
asociatividad
por la ley de la
doble negación
por la ley de
Morgan
definición
de implicación
Si ab = 0 y a 6= 0 entonces b = 0
≡
(p∧ ∼ q) → r
18
Álgebra
de esta manera el enunciado
Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0
es equivalente al enunciado
Si ab = 0 y a 6= 0 entonces b = 0
Ahora pasemos a la verificación de este enunciado en el conjunto de los numeros reales. Uno de
los axiomas del conjunto de los números reales indica que todo número real diferente de cero tiene
su inverso multiplicativo, y como a 6= 0, entonces existe a−1 = a1 tal que a a1 = 1, así
por hipótesis
ab =
0
multiplicando por a−1 la anterior igualdad
a−1 (ab)
por la propiedad asociativa de los números R
(a−1 a) b =
0
por el axioma del inverso multiplicativo (a−1 a) = 1
1b =
0
por el neutro multiplicativo en los números R
b =
0
= a−1 (0)
por tanto b = 0
1
Ejemplo 25. Determinar el dominio de la función f : D(f ) → R donde f (x) = 2x2 +3x−2
Solución: La definición de dominio de una función indica
D(f ) = {x ∈ R : f (x) sea un número real}
o equivalentemente
D(f ) = x ∈ R :
1
sea un número real
2x2 +3x−2
1
y para que la fracción 2x2 +3x−2
sea un número real se tiene que cumplir que 2x2 + 3x − 2 6= 0,
ahora pasemos a resolver esta relación
19
Álgebra
(2x2 + 3x − 2 6= 0)
∼ (2x2 + 3x − 2 = 0)
≡
|{z}
es equivalente
=
|{z}
√
−3± 32 −4(2)(−2)
∼ x=
2(2)
=
|{z}
∼ x = −3±5
4
=
|{z}
o x2 = −3−5
∼ x1 = −3+5
4
4
=
=
|{z}
∼ x1 = 12 ∨ x2 = −2
∼ x1 = 12 ∧ ∼ (x2 = −2)
=
|{z}
x1 6= 12 ∧ (x2 6= −2)
por la formula de 2do grado
por el álgebra de los R
por el álgebra de los R
por la ley de Morgan
por la negación
de esta forma la relación 2x + 3x − 2 6= 0 es verdadera para todos los números reales a excepción
de 21 y −2, es decir D(f ) = R − 12 , −2
2
Ejemplo 26. Si v (∼ q →∼ t) = F y v (p∨t) = V , determinar el valor de verdad de la siguiente
proposición [p ∨ (∼ q ∧ t)] ↔ [(p → q) ∧ ∼ (q ∧ t)]
Solución: Antes notemos que
(∼ q →∼ t)
⇔
|{z}
(∼∼ q∨ ∼ t)
⇔
|{z}
(q∨ ∼ t)
definición
de implicación
por la ley de la
doble negación
así (∼ q →∼ t) ⇔ (q∨ ∼ t) por tanto v (∼ q →∼ t) = v (q∨ ∼ t), pero como v (∼ q →∼ t) = F
entonces v (q∨ ∼ t) = F y según la tabla de verdad
q
t
q
∨
∼t
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
según esta tabla de verdad se observa que en el único caso cuando v (q∨ ∼ t) = F es cuando
v (q) = F y v (t) = V
Por otro lado (p∨t) ⇔ [∼ (p ↔ t)], pero v (p∨t) = V por tanto v (∼ (p ↔ t)) = V o lo que es lo
mismo v (p ↔ t) = F y según la tabla de verdad
20
Álgebra
p
t
p↔t
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
se observa dos filas en donde el valor de verdad de la proposición p ↔ t es falsa, pero como
v (t) = V entonces según la table anterior v (p) = F . Ahora veamos cual es el valor de verdad de
la proposición [p ∨ (∼ q ∧ t)] ↔ [(p → q) ∧ ∼ (q ∧ t)] si v (p) = F , v (q) = F y v (t) = V .




































p → q
t  ↔ 
∧∼
q ∧ |{z}
t

 p ∨ ∼ q ∧ |{z}
|{z}
|{z}

 |{z}

|{z}  |{z}

V
V



 F
F
F
F
F



| {z }
|
{z
}
|
{z
}




V
V
{z
}
|
{zF
}
|
V
|
{z V
}
|
{z
}
V
V
|
{z
}
V
de esta forma v ([p ∨ (∼ q ∧ t)] ↔ [(p → q) ∧ ∼ (q ∧ t)]) = V
Ejemplo 27. Si v (∼ (r → p)) = V . Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición
[(∼ r ∧ q) ∨ ∼ p] → [∼ (p ∧ s) ∨ ∼ r]
Solución: Antes notemos que
V
=
v (∼ (r → p))
=
|{z}
v (∼ (∼ r ∨ p))
=
|{z}
v ((∼∼ r∧ ∼ p))
=
|{z}
v (r∧ ∼ p)
por la definición
de implicación
por la ley de
Morgan
por la ley de
la doble negación
así v (r∧ ∼ p) = V lo que implica que v (r) = V y v (∼ p) = V o lo que es lo mismo v (r) =
V y v (p) = F . Ahora determinemos el valor de verdad de la proposición [(∼ r ∧ q) ∨ ∼ p] →
[∼ (p ∧ s) ∨ ∼ r] si v (r) = V y v (p) = F , es decir
21
Álgebra


!




 ∼ r ∧ q ∨ ∼ p  → ∼  p ∧ s ∨ ∼ r 
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
F
V
F
F
y según las tablas de verdad







 












 ∼ r ∧ q ∨ ∼ p  → 


p ∧ |{z}
∨ |{z}
∼ r
s
∼

 |{z} |{z}
|{z}
|{z}




F 
V oF
F


 | F {z
{z V o F } V
}
|


F
F
|
{z
}
|
{z
}
V
V
|
{z
}
V
{z
}
|
V
así v ([(∼ r ∧ q) ∨ ∼ p] → [∼ (p ∧ s) ∨ ∼ r]) = V .
1.4.2.
Simplificación de formulas Proposicionales:
Simplificar una proposición significa transformarla a una proposición lógicamente equivalente bajo
las leyes lógicas, en el cuál la nueva proposición contenga un número menor de proposiciones
simples y conectivos lógicos.
Ejemplo 28. Simplificar la proposición ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)
Solución: Según las leyes lógicas se tendrá
∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)
⇔
|{z}
(∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)
⇔
|{z}
∼ p ∧ (∼ q ∨ q)
⇔
|{z}
∼ p ∧ (V )
⇔
|{z}
∼p
por la ley de
Morgan
por la ley
distributiva
por la condición
de negación
por el elemento
neutro
de esta manera la proposición ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) es lógicamente equivalente a la proposición
∼ p, es decir (∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)) ⇔ (∼ p) y v(∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)) = v(∼ p)
22
Álgebra
También el ejemplo anterior se lo puede verificar por medio de las tablas de verdad, es decir la
proposición compuesta ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) tiene que ser lógicamente equivalente a la proposición
∼ p si la proposición [∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ↔ (∼ p) es una tautología, es decir
i
p q [∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)
↔ ∼p
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
de esta forma las proposiciones ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) y ∼ p son lógicamente equivalentes.
Ejemplo 29. Simplificar la proposición ∼ [∼ (∼ p ∨ q) ∨ ∼ p] →∼ [(p ∨ F ) → (r ∨ V )]
Solución: Sea Q :=∼ [∼ (∼ p ∨ q) ∨ ∼ p] →∼ [(p ∨ F ) → (r ∨ V )] así según las leyes lógicas se
tendrá
Q
⇔
|{z}
[∼∼ (∼ p ∨ q) ∧ ∼∼ p] →∼ [p → V ]
⇔
|{z}
[(∼ p ∨ q) ∧ p] →∼ [p → V ]
⇔
|{z}
[(∼ p ∨ q) ∧ p] →∼ [∼ p ∨ V ]
⇔
|{z}
[(∼ p ∨ q) ∧ p] →∼ V
⇔
|{z}
∼ [(∼ p ∨ q) ∧ p] ∨ F
⇔
|{z}
(∼ (∼ p ∨ q) ∨ ∼ p)
por la ley de Morgan,
elemento neutro y la
condición de tautología
por la ley de la
doble negación
por la ley de la
implicación
por la condición
de tautología
por la ley de
la implicación y
negación de la tautología
por la ley de Morgan
y elemento neutro
23
Álgebra
⇔
|{z}
(p∧ ∼ q) ∨ ∼ p
⇔
|{z}
(p∨ ∼ p) ∧ (∼ q∨ ∼ p)
⇔
|{z}
V ∧ (∼ q∨ ∼ p)
⇔
|{z}
∼ (p ∧ q)
por la ley de Morgan y
la ley de la doble negación
por la ley distributiva
por la condición
de negación
por el elemento neutro,
ley de Morgan y la
conmutatividad
así la proposición compuesta ∼ [∼ (∼ p ∨ q) ∨ ∼ p] →∼ [(p ∨ F ) → (r ∨ V )] es lógicamente equivalente a la proposición ∼ (p ∧ q)
Ejemplo 30. Simplificar la proposición p ∧ [(∼ q → r) ∨ ∼ [q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r → s))]]
Solución: Sea Q := p∧[(∼ q → r) ∨ ∼ [q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r → s))]] así según las leyes lógicas se tendrá
Q
⇔
|{z}
p ∧ [(q ∨ r) ∨ ∼ [q ∨ ((r ∧ s) ∨ (∼ r ∨ s))]]
⇔
|{z}
p ∧ [(q ∨ r) ∨ ∼ [q ∨ (s ∨ (s ∧ r)) ∨ ∼ r]]
⇔
|{z}
p ∧ [(q ∨ r) ∨ ∼ [q ∨ s∨ ∼ r]]
⇔
|{z}
p ∧ [(q ∨ r) ∨ [r∧ ∼ (q ∨ s)]]
⇔
|{z}
p ∧ [[(q ∨ r) ∨ r] ∧ [(q ∨ r) ∨ ∼ (q ∨ s)]]
⇔
|{z}
p ∧ [[q ∨ r] ∧ [(q ∨ r) ∨ ∼ (q ∨ s)]]
⇔
|{z}
p ∧ [q ∨ r]
por la ley de la
implicación
por la asociatividad
y conmutatividad
por la ley de la
absorción
por la ley de Morgan,
la asociatividad y
conmutatividad
por la ley distributiva,
la asociatividad y
conmutatividad
por la ley de idempotencia,
la asociatividad y
conmutatividad
por la ley de la
absorción
así la proposición p ∧ [(∼ q → r) ∨ ∼ [q ∨ ((r ∧ s) ∨ (r → s))]] es lógicamente equivalente a la proposición p ∧ [q ∨ r]
24
Álgebra
Ejemplo 31. Simplificar la proposición (∼ p ∧ q) ∨ ∼ (∼ p ∨ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)
Solución: Sea Q := (∼ p ∧ q) ∨ ∼ (∼ p ∨ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) así según las leyes lógicas se tendrá
Q
⇔
|{z}
(∼ p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) ∨ ∼ (∼ p ∨ q)
⇔
|{z}
[(∼ p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)] ∨ ∼ (∼ p ∨ q)
⇔
|{z}
[∼ p ∧ (q∨ ∼ q)] ∨ ∼ (∼ p ∨ q)
⇔
[∼ p ∧ V ] ∨ ∼ (∼ p ∨ q)
por la ley de
la conmutatividad
por la ley de
la asociatividad
por la ley de
la distributividad
v(q∨∼q)=V
⇔
[∼ p] ∨ ∼ (∼ p ∨ q)
(∼p∧V )⇔∼p
⇔
|{z}
[∼ p] ∨ (∼∼ p∧ ∼ q)
⇔
|{z}
∼ p ∨ (p∧ ∼ q)
⇔
|{z}
(∼ p ∨ p) ∧ (∼ p∨ ∼ q)
⇔
V ∧ (∼ p∨ ∼ q)
por la ley de
Morgan
por la ley de
la doble negación
por la ley de
la distributividad
v(∼p∨p)=V
⇔
[V ∧(∼p∨∼q)]⇔(∼p∨∼q)
∼ p∨ ∼ q
así la proposición (∼ p ∧ q) ∨ ∼ (∼ p ∨ q)∨(∼ p∧ ∼ q) es lógicamente equivalente a la proposición
∼ p∨ ∼ q
Ejemplo 32. Simplificar la proposición {(p∧ ∼ q) ∨ ∼ (p ↔ q) ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]
Solución: Sea Q := {{(p∧ ∼ q) ∨ ∼ (p ↔ q) ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]} así según las
leyes lógicas se tendrá
25
Álgebra
Q
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ ∼ (p ↔ q) ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ ∼ [(p → q) ∧ (q → p)] ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ ∼ [(∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ p)] ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ [∼ (∼ p ∨ q) ∨ ∼ (∼ q ∨ p)] ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ [(∼∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼∼ q∧ ∼ p)] ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ [(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)] ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{[(p∧ ∼ q) ∨ (p∧ ∼ q)] ∨ (q∧ ∼ p) ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{[(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)] ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{[(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)] ∨ [(q∧ ∼ p) ∧ ∼ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ {(q∧ ∼ p) ∨ [(q∧ ∼ p) ∧ ∼ (r → s)]}} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)} ∨ [q ∧ (p → q)]
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)} ∨ [q ∧ (∼ p ∨ q)]
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)} ∨ [q ∧ (q∨ ∼ p)]
⇔
{(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)} ∨q
⇔
∼ {[(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)] ↔ q}
⇔
∼ {{[(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)] → q} ∧ {q → [(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)]}}
⇔
∼ {{∼ [(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)] ∨ q} ∧ {∼ q ∨ [(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)]}}
⇔
∼ {{[∼ (p∧ ∼ q) ∧ ∼ (q∧ ∼ p)] ∨ q} ∧ {[∼ q ∨ (∼ q ∧ p)] ∨ (q∧ ∼ p)}}
⇔
∼ {{[∼ (p∧ ∼ q) ∨ q] ∧ [∼ (q∧ ∼ p) ∨ q]} ∧ {∼ q ∨ (q∧ ∼ p)}}
⇔
∼ {{[(q ∨ q) ∨ ∼ p] ∧ [p ∨ (∼ q ∨ q)]} ∧ {∼ q ∨ (q∧ ∼ p)}}
⇔
∼ {{[q∨ ∼ p] ∧ [p ∨ V ]} ∧ {(∼ q ∨ q) ∧ (∼ q∨ ∼ p)}}
⇔
∼ {{[q∨ ∼ p] ∧ V } ∧ {V ∧ (∼ q∨ ∼ p)}}
⇔
∼ {(q∨ ∼ p) ∧ (∼ q∨ ∼ p)}
⇔
∼ {(q∧ ∼ q) ∨ ∼ p}
⇔
∼ {F ∨ ∼ p}
⇔
∼ {∼ p}
⇔
p
así la proposición {(p∧ ∼ q) ∨ ∼ (p ↔ q) ∨ ∼ [(q → p) ∨ (r → s)]} ∨ [q ∧ (p → q)] es lógicamente
equivalente a la proposición p
Ejemplo 33. Verificar que las proposiciones ∼ (p ↔ q) y p ↔∼ q son lógicamente equivalentes.
Solución:
26
Álgebra
∼ (p ↔ q)
⇔
|{z}
∼ [(p → q) ∧ (q → p)]
⇔
|{z}
∼ [(∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ p)]
⇔
|{z}
∼ (∼ p ∨ q) ∨ ∼ (∼ q ∨ p)
⇔
|{z}
(∼∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼∼ q∧ ∼ p)
⇔
|{z}
(p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)
⇔
|{z}
[(p∧ ∼ q) ∨ q] ∧ [(p∧ ∼ q) ∨ ∼ p]
⇔
|{z}
[(p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ q)] ∧ [(p∨ ∼ p) ∧ (∼ q∨ ∼ p)]
⇔
|{z}
[(p ∨ q) ∧ V ] ∧ [V ∧ (∼ q∨ ∼ p)]
⇔
|{z}
(p ∨ q) ∧ (∼ q∨ ∼ p)
⇔
|{z}
(p ∨ q) ∧ (∼ p∨ ∼ q)
⇔
|{z}
(∼ p∨ ∼ q) ∧ (q ∨ p)
⇔
|{z}
(∼ p∨ ∼ q) ∧ (∼∼ q ∨ p)
⇔
|{z}
(p →∼ q) ∧ (∼ q → p)
⇔
|{z}
p ↔∼ q
por la ley de la
doble implicación
por la ley de la
implicación
por la ley de
Morgan
por la ley de
Morgan
por la ley de la
doble negación
por la ley
distributiva
por la ley
distributiva
por la ley de la
negación
por la ley del
elemento neutro
por la ley de la
conmutatividad
por la ley de la
conmutatividad
por la ley de la
doble negación
por la ley de la
implicación
por la ley de la
doble implicación
así la proposición ∼ (p ↔ q) es lógicamente equivalente a la proposición p ↔∼ q
Ejemplo 34. Simplificar la proposición [(p → q) ∧ ∼ q] →∼ p
27
Álgebra
Solución: Sea Q := [(p → q) ∧ ∼ q] →∼ p así según las leyes lógicas se tendrá
Q
⇔
|{z}
[(∼ p ∨ q) ∧ ∼ q] →∼ p
⇔
|{z}
[(∼ p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ q)] →∼ p
⇔
[(∼ p∧ ∼ q) ∨ F ] →∼ p
por la ley de la
implicación
por la ley
distributiva
(q∧∼q)⇔F
⇔
(∼ p∧ ∼ q) →∼ p
(p∨F )⇔p
⇔
|{z}
∼ (p ∨ q) →∼ p
⇔
|{z}
∼ [∼ (p ∨ q)] ∨ ∼ p
⇔
|{z}
(p ∨ q) ∨ ∼ p
⇔
|{z}
(p∨ ∼ p) ∨ q
⇔
V ∨q
por la ley de
Morgan
por la ley de la
implicación
por la ley de la
doble negación
por la asociatividad
y conmutatividad
(p∨∼p)⇔V
⇔
(V ∨q)⇔V
V
así la proposición [(p → q) ∧ ∼ q] →∼ p es logicamente equivalente a V
Ejemplo 35. Simplificar la proposición [q ∧ (q →∼ p)] →∼ (p ∧ q)
Solución: Sea Q := [q ∧ (q →∼ p)] →∼ (p ∧ q) así según las leyes lógicas se tendrá
28
Álgebra
Q
⇔
|{z}
[q ∧ (∼ q∨ ∼ p)] →∼ (p ∧ q)
⇔
|{z}
[(q∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)] →∼ (p ∧ q)
⇔
[F ∨ (q∧ ∼ p)] →∼ (p ∧ q)
por la ley de la
implicación
por la ley de la
distributividad
(q∧∼q)⇔F
⇔
(q∧ ∼ p) →∼ (p ∧ q)
(p∨F )⇔p
⇔
|{z}
∼ (q∧ ∼ p) ∨ ∼ (p ∧ q)
⇔
|{z}
(∼ q∨ ∼∼ p) ∨ (∼ p∨ ∼ q)
⇔
|{z}
(p∨ ∼ q) ∨ (∼ p∨ ∼ q)
⇔
|{z}
(p∨ ∼ p) ∨ ∼ q
⇔
V∨∼q
por la ley de la
implicación
por la ley de
Morgan
por la ley de
la doble negación y
la conmutativida
por la ley de la
distributividad
(p∨∼p)⇔V
⇔
(V ∨p)⇔V
V
así la proposición [q ∧ (q →∼ p)] →∼ (p ∧ q) es logicamente equivalente a V
Ejemplo 36. Simplificar la proposición [(∼ q → r) ∧ ∼ (q∧ ∼ r)] → [(r → p) ∧ (p →∼ r)]
Solución: Sea Q := [(∼ q → r) ∧ ∼ (q∧ ∼ r)] → [(r → p) ∧ (p →∼ r)] así por las leyes lógicas se
tendrá
29
Álgebra
Q
⇔
[(∼ q → r) ∧ ∼ (q∧ ∼ r)] → [(r → p) ∧ (p →∼ r)]
⇔
|{z}
[(∼∼ q ∨ r) ∧ ∼ (q∧ ∼ r)] → [(∼ r ∨ p) ∧ (∼ p∨ ∼ r)]
⇔
|{z}
[(q ∨ r) ∧ ∼ (q∧ ∼ r)] → [(∼ r ∨ p) ∧ (∼ r∨ ∼ p)]
⇔
|{z}
[(q ∨ r) ∧ (∼ q∨ ∼∼ r)] → [∼ r ∨ (p∧ ∼ p)]
⇔
|{z}
[(q ∨ r) ∧ (∼ q ∨ r)] → [∼ r ∨ F ]
⇔
|{z}
[(q∧ ∼ q) ∨ r] →∼ r
⇔
|{z}
∼ [F ∨ r] ∨ ∼ r
⇔
|{z}
∼ r∨ ∼ r
⇔
|{z}
∼r
(p→q)⇔(∼p∨q)
por la ley de la
doble negación
y la ley conmutativa
por la ley de Morgan
y la ley distributiva
por la ley de la doble
negación y (p∧∼p)⇔F
por la ley distributiva
y (p∨F )⇔p
por la ley de la
implicación
por la ley conmutativa
y (p∨F )⇔p
(p∨p)⇔p
así la proposición [(∼ q → r) ∧ ∼ (q∧ ∼ r)] → [(r → p) ∧ (p →∼ r)] es logicamente equivalente a
la proposición ∼ r
Ejemplo 37. Simplificar la proposición [(∼ p ↔ q) ∧ r] ∨ [r ∧ (p∨ ∼ q)]
Solución: Sea Q := [(∼ p ↔ q) ∧ r] ∨ [r ∧ (p∨ ∼ q)] así por las leyes lógicas se tendrá
Q
⇔
[(∼ p ↔ q) ∧ r] ∨ [r ∧ (p∨ ∼ q)]
⇔
|{z}
[(∼ p ↔ q) ∧ r] ∨ [r∧ ∼ (p ↔∼ q)]
⇔
|{z}
r ∧ [(∼ p ↔ q) ∨ ∼ (p ↔∼ q)]
⇔
|{z}
r ∧ [(∼ p ↔ q) ∨ ∼ (∼ p ↔ q)]
⇔
|{z}
r∧V
⇔
|{z}
r
(p∨q)⇔∼(p↔q)
por la ley conmutativa
y la ley distributiva
(p↔∼q)⇔(∼p↔q)
(p∨∼p)⇔V
(p∧V )⇔p
30
Álgebra
así la proposición [(∼ p ↔ q) ∧ r] ∨ [r ∧ (p∨ ∼ q)] es logicamente equivalente a la proposición r
Ejemplo 38. Simplificar la proposición [∼ (r∧ ∼ q) ∧ ∼ (∼ q → p)] → r
Solución: Sea Q := [∼ (r∧ ∼ q) ∧ ∼ (∼ q → p)] → r así por las leyes lógicas se tendrá
Q
⇔
[∼ (r∧ ∼ q) ∧ ∼ (∼ q → p)] → r
⇔
|{z}
[(∼ r∨ ∼∼ q) ∧ ∼ (∼∼ q ∨ p)] → r
⇔
|{z}
[(∼ r ∨ q) ∧ ∼ (q ∨ p)] → r
⇔
|{z}
[(∼ r ∨ q) ∧ (∼ q∧ ∼ p)] → r
⇔
|{z}
[[(∼ r ∨ q) ∧ ∼ q] ∧ ∼ p] → r
⇔
|{z}
[((∼ r∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ q)) ∧ ∼ p] → r
⇔
|{z}
[[(∼ r∧ ∼ q) ∨ F ] ∧ ∼ p] → r
⇔
|{z}
[∼ r∧ ∼ q∧ ∼ p] → r
⇔
|{z}
∼ [∼ r∧ ∼ q∧ ∼ p] ∨ r
⇔
|{z}
[∼∼ r∨ ∼∼ q∨ ∼∼ p] ∨ r
⇔
|{z}
r∨q∨p∨r
⇔
|{z}
q ∨ p ∨ (r ∨ r)
⇔
|{z}
q∨p∨r
por la ley
de Morgan y la ley
de la implicación
por la ley de la
doble negación
por la ley
Morgan
por la ley
asociativa
por la ley
distributiva
(p∧∼p)⇔F
(p∨F )⇔p
por la ley de
la implicación
por la ley de
Morgan
por la ley de la
doble negación
por la conmutatividad
y asociatividad
(p∨p)⇔p
así la proposición [∼ (r∧ ∼ q) ∧ ∼ (∼ q → p)] → r es logicamente equivalente a la proposición
q∨p∨r
31
Álgebra
1.5.
Razonamiento Deductivo Valido o Inferencia Lógica:
Un razonamiento deductivo valido o inferencia lógica es un conjunto de proposiciones, en el cual
una de ellas aparece como conclusión o tesis y las otras como hipótesis. Es decir es una formula
proposicional que tiene la siguiente forma
p
(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) →
|{z}
{z
}
|
conclusión
hipótesis
o equivalentemente

p1
hipótesis
p2
..
.
hipótesis
..
.
pn
hipótesis
p

conclusión




p  = V y v (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) = V , entonces v  p  =
donde v (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) →
|{z}
|{z}
{z
}
{z
}
|
|
V.
hipótesis
conclusión
hipótesis
conclusión
Obs: Se dice que un razonamiento deductivo es valido sólo si la implicación (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) → p
es una tautología.
1.5.1.
Reglas de Inferencia:
Se tienen el siguiente conjunto de reglas de inferencia:
1. Adición (A)
p
p∨q
o p → (p ∨ q)
¿Es una tautología la proposición p → (p ∨ q)?
R.- La tabla de verdad de la proposición p → (p ∨ q) es:
32
Álgebra
p
q
p
→
∨
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
(p
q)
observando esta tabla de valores de verdad la proposición p → (p ∨ q) es una tautologia, es decir
p implica lógicamente a (p ∨ q) (es decir p ⇒ (p ∨ q)). Otra forma de verificar si es o no una
tautologia la proposición p → (p ∨ q) es la siguiente
p → (p ∨ q)
⇔
|{z}
∼ p ∨ (p ∨ q)
⇔
|{z}
(∼ p ∨ p) ∨ q
⇔
|{z}
V ∨q
⇔
|{z}
V
por la definición
de implicación
por la ley
asociativa
(∼p∨p)⇔V
por la condición
de tautología
así v (p → (p ∨ q)) = v (V ) = V por tanto v (p → (p ∨ q)) = V es decir la proposición p → (p ∨ q)
es una tautología.
2. Simplificación (S)
p∧q
p
o (p ∧ q) → p
también
p∧q
q
o (p ∧ q) → q
¿Es una tautologia la proposición (p ∧ q) → p?
R.- La tabla de verdad de la proposición (p ∧ q) → p es:
→
p
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
p
q
V
V
V
(p
∧
33
q)
Álgebra
observando esta tabla de valores de verdad la proposición (p ∧ q) → p es una tautología, es decir
(p ∧ q) implica lógicamente a p (es decir (p ∧ q) ⇒ p). Otra forma de verificar si es o no una
tautología la proposición (p ∧ q) → p es la siguiente
(p ∧ q) → p
⇔
|{z}
∼ (p ∧ q) ∨ p
⇔
|{z}
(∼ p∨ ∼ q) ∨ p
⇔
|{z}
(p∨ ∼ p) ∨ ∼ q
⇔
|{z}
V∨∼q
⇔
|{z}
V
por la definición
de la implicación
por la ley
de Morgan
por la conmutatividad
y asociatividad
(p∨∼p)⇔V
(p∨V )⇔V
así v ((p ∧ q) → p) = v (V ) = V por tanto v ((p ∧ q) → p) = V es decir la proposición (p ∧ q) → p
es una tautología. De forma similar se puede verificar que la proposición (p ∧ q) → q es una
tautología.
Las siguientes leyes que se citan a continuación se pueden verificar que son una tautología de una
forma similar a las leyes 1 y 2 por esta razón solo se mencionaran estas leyes.
3. Modus Ponens (MP)
p→q
p
o [(p → q) ∧ p] → q
q
4. Conjunción (C)
p
q
o (p ∧ q) → (p ∧ q)
p∧q
5. Modus Tollens (MT)
∼q
p→q
o [∼ q ∧ (p → q)] →∼ p
∼p
34
Álgebra
6. Silogismo Disyuntivo (SD)
p∨q
∼p
o [(p ∨ q) ∧ ∼ p] → q
q
también
p∨q
∼q
o [(p ∨ q) ∧ ∼ q] → p
p
7. Silogismo Hipotetico (SH)
p→q
q→r
o [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
p→r
8. Dilema Constructivo (DC)
p→q
r→s
p∨r
o [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] → (q ∨ s)
q∨s
9. Dilema Destructivo (DD)
p→q
r→s
∼ q∨ ∼ s
o [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (∼ q∨ ∼ s)] → (∼ p∨ ∼ r)
∼ p∨ ∼ r
Nota: En el razonamiento deductivo o inferencias lógicas cualquier proposición de la hipotesis
puede ser remplazada por una proposición que sea lógicamente equivalente a ella, por tanto en un
razonamiento deductivo también se puede utilizar las leyes lógicas.
35
Álgebra
1.5.2.
Métodos de Demostraciones:
En esta sección se estudiaran cuatro métodos de demostraciones que desde mi punto de vista son
las más utilizadas en matemática y estos métodos son: Método de la contrarreciproca, método
directo, método de la contradicción y el método de la implicación.
a) Método por la Contrarreciproca: La proposición p → q es lógicamente equivalente a
la proposición ∼ q →∼ p
Ejemplo 39. Demostrar que: Si n2 es un número par, entonces n es un número par
Solución:
lenguaje común
leguaje lógico
n es un número par
Si n2 es un número par, entonces
{z
} | {z } |
{z
}
|
→
p
≡
p→q
q
(p → q) ⇔ (∼ q →∼ p)
Si n es un número impar, entonces n2 es un número impar ≡
|
{z
}
|
{z
}
∼q
∼ q →∼ p
∼p
Ahora verifiquemos la validez del enunciado
Si n es un número impar, entonces n2 es un número impar
notemos que este enunciado es equivalente al esquema
n es un número impar
hipótesis
n2 es un número impar
conclusión
ahora verifiquemos la valides de este esquema mediante el razonamiento deductivo valido
n es un número impar
hipotesis
n = 2k + 1 donde k es un número entero
por el álgebra en el conjunto de los números R
n2 = (2k + 1)
elevando al cuadrado m/m
2
n2 = (4k 2 + 4k) + 1
por el álgebra en el conjunto de los números R
n2 = 2 (2k 2 + 2k) + 1
!
por la factorización
2
n2 = 2 2k
+ 2k}
| {z
+1
t
n2 = 2t + 1 donde t = 2k 2 + 2k
como k es un número entero, entonces
t = 2k 2 + 2k es un número entero
n2 es impar
conclusión
36
Álgebra
de esta forma se a verificado la validez del enunciado: Si n2 es un número par, entonces n es un
número par
b) Método Directo: En este método atravez del conjunto de hipótesis p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn se
tiene que obtener la conclusión p por medio de las leyes lógicas o las reglas de inferencia.
Ejemplo 40. Demostrar p por medio del conjunto de hipótesis
1) ∼ q → r
2) r → s
3) ∼ q
4) ∼ s∨ ∼ t
5) t ∨ u
6) u → p
Solución: Ahora pasemos a verificar este razonamiento deductivo
1) ∼ q → r
hipótesis
2) r → s
hipótesis
3) ∼ q
hipótesis
4) ∼ s∨ ∼ t
hipótesis
5) t ∨ u
hipótesis
6) u → p
hipótesis
7) r
de 1 y 3 por MP
8) s
de 2 y 7 por MP
9) s →∼ t
de 4 (∼ s∨ ∼ t) ⇔ (s →∼ t)
10) ∼ t
de 8 y 9 por MP
11) ∼ t → u de 5 (t ∨ u) ⇔ (∼ t → u)
12) u
de 10 y 11 por MP
13) p
de 6 y 12 por MP
de esta forma se a verificado el ejemplo
Ejemplo 41. Demostrar que: Si n y m son impares, entonces nm es impar
Solución: El enunciado Si n y m son impares, entonces nm es impar es equivalente al siguiente
esquema
37
Álgebra
n y m son impares
hipótesis
nm es impar
conclusión
ahora pasemos a verificar la valides del esquema
1) n es impar
hipótesis
2) m es impar
hipótesis
3) n = 2k + 1 donde k es un número entero
de 1
4) m = 2t + 1 donde t es un número entero
de 2
5) nm = (2k + 1) (2t + 1)
de 3 y 4 multiplicando
6) nm = 2kt + 2k + 2t + 1
de 5 por la ley distributiva
7) nm = 2 (kt + k + t) + 1
de 6 por la factorización
8) nm = 2r + 1
de 7 si r = (kt + k + t) y como k y t
son números enteros, entonces r es un
número entero
9) nm es impar
de 8
de esta forma se verifica la validez del enunciado: Si n y m son impares, entonces nm es impar
c) Método por Contradicción: En este método se niega la conclusión del razonamiento
deductivo (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) → p y se lo agrega como una nueva hipótesis al conjunto de hipótesis
p1 ∧p2 ∧· · ·∧pn , para verificar la validez del nuevo razonamiento deductivo (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ∧ ∼ p) →
F
Ejemplo 42. Demostrar p →∼ s por medio del conjunto de hipótesis
1) p → (q ∨ r)
2) q →∼ p
3) s →∼ r
Solución: El razonamiento deductivo
1) p → (q ∨ r)
2) q →∼ p
3) s →∼ r
p →∼ s
por el método de la contradicción es equivalente al razonamiento
38
Álgebra
1) p → (q ∨ r)
2) q →∼ p
3) s →∼ r
4) ∼ (p →∼ s)
F
ahora verifiquemos la valides de este razonamiento
1) p → (q ∨ r)
hipótesis
2) q →∼ p
hipótesis
3) s →∼ r
hipótesis
4) ∼ (p →∼ s)
nueva hipótesis
5) p ∧ s
de 4 (∼ (p →∼ s)) ⇔ (p ∧ s)
6) p
de 5 por S
7) s
de 5 por S
8) ∼ r
de 3 y 7 por MP
9) p →∼ q
de 2 (q →∼ p) ⇔ (p →∼ q)
10) ∼ q
de 6 y 9 por MP
11) q ∨ r
de 1 y 6 por MP
12) ∼ q → r
de 11 (q ∨ r) ⇔ (∼ q → r)
13) r
de 10 y 12 por MP
14) ∼ r ∧ r (contradicción)
de 8 y 13 C
así v (∼ r ∧ r) = F para cualquier valor de verdad que se asigne a r, por tanto la proposición
∼ r ∧ r es falsa
Ejemplo 43. Si n es par y m es impar, entonces n + m es impar
Solución:
Si n es par y m es impar, entonces
(n + m) es impar
| {z } |{z} |
{z
} | {z } |
{z
}
p
∧
→
q
r
así el enunciado anterior en el lenguaje lógico se escribe (p ∧ q) → r o equivalentenente
p
hipótesis
q
hipótesis
r
conclusión
39
Álgebra
por el método de demostración por contradicción el razonamiento deductivo anterior es equivalente
al siguiente razonamiento deductivo
p
hipótesis
q
hipótesis
∼r
nueva hipótesis
F
conclusión
y según el significado de cada proposición el razonamiento deductivo anterior será equivalente a
n es par
hipótesis
m es impar
hipótesis
n + m es par
nueva hipótesis
F
conclusión
ahora pasemos a verificar este razonamiento deductivo
1) n es par
hipótesis
2) m es impar
hipótesis
3) n + m es par
nueva hipótesis
4) n = 2k1 para algún entero k1
de 1
5) m = 2k2 + 1 para algún entero k2
de 2
6) (n + m) = 2k3 para algún entero k3
de 3
7) n = 2k3 − m
de 6 por el álgebra de los números enteros
8) n = 2k3 − (2k2 + 1)
de 5 y 7
9) n = 2 (k3 − k2 ) − 1


de 8 por el álgebra de los números enteros
10) n = 2 k3 − k2 − 1 + 1
| {z }
de 8 por el álgebra de los números enteros
11) n = 2t + 1
de 10 donde t = (k3 − k2 − 1) y como k3
t
y k2 son números enteros, entonces t es
un número entero
12) n = 2k1 ∧ n = 2t + 1 (contradicción)
de 4 y 11 por conjunción
así v (n = 2k1 ∧ n = 2t + 1) = F ya que el número entero n o es par o es impar pero no ambos ,
por tanto la proposición n = 2k1 ∧ n = 2t + 1 es falsa
d) Método de la Implicación: Si la conclusión de un razonamiento deductivo valido es de
la forma r → p, entonces se agrega al conjunto de hipótesis p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn la proposición r, con
40
Álgebra
este nuevo conjunto de hipótesis se debe de concluir p. Es decir demostrar (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) →
(r → p) es equivalente a demostrar (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ∧ r) → p
Ejemplo 44. Demostrar la proposición r →∼ q por medio del conjunto de hipótesis
1) ∼ (r ∧ s)
2) ∼ s →∼ q
Solución: El ejemplo indica que hay que verificar el siguiente esquema
1) ∼ (r ∧ s)
hipótesis
2) ∼ s →∼ q
hipótesis
3) r →∼ q
conclusión
y por el método de la implicación este razonamiento deductivo es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
1) ∼ (r ∧ s)
hipotesis
2) ∼ s →∼ q
hipotesis
3) r
nueva hipotesis
5) ∼ q
nueva conclusión
ahora pasemos a verificar este razonamiento deductivo
1) ∼ (r ∧ s)
hipotesis
2) ∼ s →∼ q
hipotesis
3) r
nueva hipotesis
4) ∼ r∨ ∼ s
de 1 (∼ (r ∧ s)) ⇔ (∼ r∨ ∼ s)
5) r →∼ s
de 4 (∼ r∨ ∼ s) ⇔ (r →∼ s)
6) ∼ s
de 3 y 5 por MP
7) ∼ q
de 2 y 6 por MP
de esta forma se a verificado el ejemplo
Ejemplo 45. Demostrar el siguiente enunciado: Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0
Solución: Notemos que
Si ab
= 0}, entonces
= 0} |{z}
o b| {z
= 0}
| {z
| {z } a
| {z
p
→
q
41
∨
r
Álgebra
así este enunciado es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
p
hipotesis
q∨r
conclusión
pero (q ∨ r) ⇔ (∼ q → r) así el razonamiento deductivo anterior es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
p
hipotesis
∼q→r
conclusión
y por el método de la implicación este razonamiento deductivo es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
p
hipótesis
∼q
nueva hipótesis
r
conclusión
y según el significado de cada proposición el razonamiento deductivo anterior será equivalente a
ab = 0 hipótesis
a 6= 0
nueva hipótesis
b=0
conclusión
ahora pasemos a verificar este razonamiento deductivo
1) ab = 0
hipótesis
2) a 6= 0
nueva hipótesis
3) a−1
de 2 como a 6= 0 entonces por el álgebra R existe a−1
4) a−1 (ab) = a−1 (0) multiplicando 3 en 1
5) (a−1 a) b = 0
de 4 por las propiedades del álgebra de los reales
6) (1) b = 0
de 5 por la propiedad a−1 a = 1
7) b = 0
de 6 por el álgebra de los reales (1) b = b
así el enunciado. Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0 es valido en el conjunto de los números reales
Ejemplo 46. Demostrar el siguiente enunciado: La suma de tres enteros consecutivos es un
múltiplo de tres
42
Álgebra
Solución: Sea k un número entero cualquiera, así los tres números enteros consecutivos serian k −1,
k y k + 1 de esta forma el enunciado del ejemplo se parafrasea de la siguinte forma
Si (k − 1) + k + (k + 1) = n entonces n = 3t para algún t ∈ Z
el enunciado anterior es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
n = (k − 1) + k + (k + 1)
hipótesis
n = 3t para algún t ∈ Z
conclusión
ahora verifiquemos este razonamiento deductivo mediante el método de demostración directa
1) n = (k − 1) + k + (k + 1)
hipótesis
2) n = k + k + k
de 1 por álgebra de los números reales
3) n = 3k
de 2 por álgebra de los números reales
así n = 3k donde k es un número entero, es decir n es un multiplo de tres
Ejemplo 47. Si n es un entero. Demostrar por contradicción que: Si 7n + 8 es impar, entonces n
es impar
Solución: El ejemplo es equivalente a
Para cualquier entero n si : 7n + 8 = 2k + 1 entonces n = 2t + 1 para algún k y t enteros
este enunciado también es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
7n + 8 = 2k + 1
hipótesis
n = 2t + 1
conclusión
si trabajamos por el método de demostración por contradicción este razonamiento, entonces el
siguiente razonamiento deductivo seria el equivalente al anterior
7n + 8 = 2k + 1
hipótesis
∼ (n = 2t + 1)
nueva hipótesis
F
conclusión
7n + 8 = 2k + 1
hipótesis
n = 2p
nueva hipótesis
F
conclusión
es decir
43
Álgebra
ahora pasemos a verificar este razonamiento deductivo
1) 7n + 8 = 2k + 1
hipótesis
2) n = 2p
hipótesis
3) 7 (2p) + 8 = 2k + 1


remplazando 2 en 1
4) 2 7p + 4 − k  = 1
| {z }
por el álgebra de los números reales
5) 1 = 2s (contradicción)
para s = (7p + 4 − k) entero
s
la relación 1 = 2s nos indica que el número 1 es un número par y esto es totalmente falso
Ejemplo 48. Demostrar la proposición (p ∨ q) → r mediante el conjunto de hipótesis
1) p → r
2) q → r
Solución: El ejemplo indica que hay que verificar el siguiente razonamiento deductivo
1) p → r
hipótesis
2) q → r
hipótesis
3) (p ∨ q) → r
conclusión
aplicando el método de la implicación el razonamiento anterior es equivalente al siguiente razonamiento
1) p → r
hipótesis
2) q → r
hipótesis
3) p ∨ q
nueva hipótesis
4) r
nueva conclusión
ahora pasemos a verificar este razonamiento deductivo
1) p → r
hipotesis
2) q → r
hipotesis
3) p ∨ q
nueva hipotesis
4) r ∨ r
de 1, 2 y 3 por el dilema constructivo
5) r
de 4 por la ley de idempotencia
Ejemplo 49. Verificar si los siguienetes razonamientos son validos y si es así demostrarlo.
44
Álgebra
a) Marcia o Luisa están con Gabriela. Si hoy es lunes, Marcia esta con Gabriela. Hoy es lunes.
Por lo tanto, Luisa no esta con Gabriela
b) O la lógica es dificil o no le gusta a muchos estudiantes. Si la matemática es facil, entonces
la lógica también. De esta manera, si a muchos estudiantes les gusta la lógica, concluimos que la
matemática no es fácil.
Solución: Para el inciso a)
El enunciado “Marcia o Luisa están con Gabriela. Si hoy es lunes, Marcia esta con Gabriela. Hoy
es lunes. Por lo tanto, Luisa no esta con Gabriela” se lo puede reescribir de la siguiente manera
esta {z
con Gabriela}
Marcia
esta{z
con Gabriela} ∨ Luisa
|
|
q
r
esta{z
con Gabriela}
Si hoy es lunes → Marcia
|
{z
}
|
q
p
Hoy es lunes
|
{z
}
p
Luisa
no esta{zcon Gabriela}
|
∼r
este esquema es quivalente al siguiente esquema
q∨r
p→q
p
∼r
para que este esquema sea un razonamiento deductivo tiene que ser una tautología, es decir
h
i
p q r
→ ∼r
(q ∨ r) ∧ (p → q) ∧ p
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
observando esta tabla de valores de verdad el esquema
45
Álgebra
q∨r
p→q
p
∼r
no es una tautología por tanto no puede ser un razonamiento deductivo, es decir este esquema no
se puede llegar a demostrar.
Para el inciso b)
El enunciado “O la lógica es dificil o no le gusta a muchos estudiantes. Si la matemática es facil,
entonces la lógica también. De esta manera, si a muchos estudiantes les gusta la lógica, concluimos
que la matemática no es fácil” se lo puede reescribir de la siguiente manera.
La lógica no es facil ∨ La lógica no les gusta a muchos estudiantes
{z
} |
{z
}
|
∼p
∼q
Si la
lógica es facil
| matemática
{z es facil} → la
{z
}
|
r
p
La lógica les gusta a muchos estudiantes
|
{z
}
q
La
| matemática
{z no es facil}
∼r
este esquema es quivalente al siguiente esquema
∼ p∨ ∼ q
r→p
q
∼r
para que este esquema sea un razonamiento deductivo tiene que ser una tautología, es decir
h
i
p q r
(∼ p∨ ∼ q) ∧ (r → p) ∧ q
→ ∼r
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
46
Álgebra
observando esta tabla de valores de verdad se concluye que el siguiente esquema es un razonamiento
deductivo
1) ∼ p∨ ∼ q
hipótesis
2) r → p
hipótesis
3) q
hipótesis
4) ∼ r
conclusión
ahora pasemos a la demostración de este razonamiento deductivo
1) ∼ p∨ ∼ q
hipótesis
2) r → p
hipótesis
3) q
hipótesis
4) ∼ q∨ ∼ p
de 1 (∼ p∨ ∼ q) ⇔ (∼ q∨ ∼ p)
5) q →∼ p
de 4 (∼ q∨ ∼ p) ⇔ (q →∼ p)
6) ∼ p
de 3 y 5 por MP
7) ∼ p →∼ r
de 2 (r → p) ⇔ (∼ p →∼ r)
8) ∼ r
de 6 y 7 por MP
Ejemplo 50. Epiménides de Cnosos (siglo VI a. de C.) decia “Todos los cretenses son mentirosos
y yo soy cretense, luego miento”.
Alguien a la vista de ello, razona como sigue.
Si Epiménides mintió en lo que dijo, entonces los cretenses no eran mentirosos, luego Epiménides,
por ser cretense, no era mentiroso y, consecuentemente, no mintió en lo que dijo. Se llega así, pues,
a una contradicción. ¿Este razonamiento es correcto?
Solución: El enunciado de este ejemplo se lo puede reescribir de la siguiente manera
Si Epiménides mintió en lo que dijoentonces
los cretenses no{zeran mentirosos}
|
{z
}| {z }|
→
p
q
Epiménides por ser cretense no era mentiroso y Epiménides no mintio en lo que dijo
|
{z
}|{z}|
{z
}
∧
q
∼p
este esquema es quivalente al siguiente esquema
p→q
hipótesis
q∧ ∼ p
conclusión
para que este esquema sea un razonamiento deductivo tiene que ser una tautología, es decir
47
Álgebra
p
q
(p → q)
→ (q
∧
∼ p)
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
observando esta tabla de valores de verdad el esquema
p→q
hipótesis
q∧ ∼ p
conclusión
no es una tautología por tanto no puede ser un razonamiento deductivo, es decir este esquema no
es correcto.
Ejemplo 51. Demostrar el siguiente enunciado: Si |x| = 0 si y sólo si x = 0
Solución: El enunciado |x| = 0 si y sólo si x
= 0} es equivalente a
| {z
| {z }
q
p
p↔q
pero por la lógica elemental (p ↔ q) ⇔ ((p → q) ∧ (q → p)), así si v (p ↔ q) = V entonces
v ((p → q) ∧ (q → p)) = V y gracias a la tabla de verdad de la conjunción esto secede si v (p → q) =
V y v (q → p) = V lo significa que hay que analizar los siguientes dos casos.
Caso 1: Veamo que (p → q) o verifiquemos la demostración del razonamiento deductivo
p
hipótesis
q
conclusión
remplazando el significado de las proposiciones de este razonamiento deductivo se tiene el siguiente
razonamiento deductivo
|x| = 0 hipótesis
x=0
conclusión
ahora pasemos a la demostración de este razonamiento deductivo mediante el método directo
1) |x| = 0
hipótesis
2) |x|2 = 02
de 1 elevando al cuadrado
3) x2 = 0
de 2 por el álgebra de los números reales
4) (x) (x) = 0
de 3 por la propiedea de los exponentes
5) x = 0 ∨ x = 0 de 4 por: Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0
6) x = 0
de 5 (p ∨ p) ⇔ p
48
Álgebra
así x = 0
Caso 2: Veamo que (q → p) o verifiquemos la demostración del razonamiento deductivo
q
hipótesis
p
conclusión
remplazando el significado de las proposiciones de este razonamiento deductivo se tiene el siguiente
razonamiento deductivo
x=0
hipótesis
|x| = 0 conclusión
ahora pasemos a la demostración de este razonamiento deductivo mediante el método directo
1) x = 0
hipótesis
2) |x| = máx {x, −x}
definición de valor absoluto
3) |0| = máx {0, −0}
remplazando 1 en 2
4) |0| = máx {0} = 0
de 3
5) |0| = 0
de 4 por el álgebra de los números reales
6) |x| = 0
de 1 y 5
así |x| = 0
De los casos 1 y 2 el enunciado; Si |x| = 0 si y sólo si x = 0 es valido en el conjunto de los números
reales
1.6.
Cuantificador Universal y Existencial
Ejemplo 52. Muchas veces se presentan enunciados de la forma
Todo entero tiene un factor primo
o equivalentemente
Para todo x, si x es un número entero, entonces x tiene un factor primo
resulta conveniente representar los predicados mediante letras mayúsculas A, B, ... y los sujetos
mediante minúsculas, con el cual enunciados como de más arriba se simbolizan del modo siguiente
este enunciado se lo puede estructurar de la siguiente forma
49
Álgebra
Para todo x, (E(x) → P (x))
donde E(x) simboliza x es un número entero y P (x) simboliza x tiene un factor primo. Empleando
la letra x como variable, como sujeto indeterminado. Cuando se usa, como más arriba, en enunciados que comienzan con cuantificadores, se denominan variables ligadas. La frase “Para todo
x” se denomina cuantificador universal y se simboliza por (∀x) así la frase anterior puede ahora
escribirse como
(∀x) (E(x) → P (x))
Hay otra clase de cuantificador que parece necesario a primera vista para simbolizar frases castellanas corrientes, concideremos la frase
Algunos cerdos tiene alas
o equivalentemente
Existe al menos un cerdo que tiene alas
o equivalentemente
Existe al menos un objeto x tal que x es un cerdo y x tiene alas
la frase “existe al menos un objeto x tal que” se denomina cuantificador existencial y se simboliza
por (∃x) así la frase anterior puede ahora escribirse como
(∃x) (C(x) ∧ A(x))
donde C(x) y A(x) significan “x es un cerdo” y “x tiene alas” respectivamente.
Más en general, si A es un símbolo que representa un predicado, tiene sentido escribir (∀x) A(x)
y (∃x) A(x), el primero significa “todo objeto tiene la propiedad determinado por A” y lo segundo
significa “existe algún objeto que tiene la propiedad determinada por A”, se tiene una importante
conexión o relación entre los dos cuantificadores, por ejemplo
∼ [(∀x) (A(x) → B(x))]
es equivalente a
∼ [(∀x) (∼ A(x) ∨ B(x))]
50
Álgebra
o equivalentemente a
∼ [(∀x) ∼ (A(x)∧ ∼ B(x))]
así se define (∼ (∀x) ∼) = (∃x), por tanto la relación anterior es equivalente a




∼ (∀x) ∼ (A(x)∧ ∼ B(x))
| {z }
(∃x)
de esta forma se tienen las siguientes relaciones
(∃x) A(x) es una abreviatura de ∼ ((∀x) (∼ A(x)))
A ∧ B es una abreviatura de ∼ (A → (∼ B))
A ∨ B es una abreviatura de (∼ A) → B
gracias a estas relaciones el conjunto {∼, →} es un conjunto adecuado, por que cualquier proposición compuesta se lo puede trabajar bajo los conectivos del conjunto adeciado, por ejemplo la
proposición compuesta
[(∼ p∨ ∼ q) ∧ (r → p) ∧ q] →∼ r
es logicamente equivalente a la proposición compuesta
[∼ (∼ (((∼∼ p) →∼ q) → (∼ (r → p))) → (∼ q))] →∼ r
también el conjunto {∼, ∧, ∨} es un conjunto adecuado, por ejemplo la proposición compuesta
[(∼ p∨ ∼ q) ∧ (r → p) ∧ q] →∼ r
es logicamente equivalente a la proposición compuesta
∼ [(∼ p∨ ∼ q) ∧ (∼ r ∨ p) ∧ q] ∨ ∼ r
Ejemplo 53. Demostrar que 6 > 4 mediante las hipótesis
1) (∀x) (∀y) (∀z) (x > y ∧ y > z → x > z)
2) 5 > 4
3) 6 > 5
51
Álgebra
Solución: Según los conceptos anteriores se tiene
1) (∀x) (∀y) (∀z) (x > y ∧ y > z → x > z)
2) 5 > 4
3) 6 > 5
4) 6 > 5 ∧ 5 > 4 → 6 > 4
de 1 tomando como caso particular x = 6, y = 5 y z = 4
5) 5 > 4 ∧ 6 > 5
de 2 y 3 por Conjunción
6) 6 > 5 ∧ 5 > 4
de 5 por conmutatividad
7) 6 > 4
de 4 y 6 po MP
Ejemplo 54. Determinar si el siguiente argumento “Siempre que un número x es divisible por
10, acaba en cero. El número x no acaba en cero. Luego, x no es divisible por 10” es lógicamente
correcto
Solución: La forma lógica del enunciado
Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en cero. El número x no acaba en cero.
Luego, x no es divisible por 10
es
1) (∀x)[(x = 10c + r ∧ x = 10c) → r = 0] hipótesis
2) x = 10c + r ∧ r 6= 0
hiótesis
3) x 6= 10c
conclusión
de esta forma se tiene
1) (∀x)[(x = 10c + r ∧ x = 10c) → r = 0] hipotesis
2) x = 10c + r ∧ r 6= 0
hipotesis
3) x = 10c
nueva hipotesis
4) x = 10c + r
de 2 por S
5) x = 10c + r ∧ x = 10c
de 3 y 4 por la conjunción
6) (x = 10c + r ∧ x = 10c) → r = 0
de 1 particularizando
7) r = 0
de 5 y 6 por MP
8) r 6= 0
de 2 por S
9) r = 0 ∧ r 6= 0 (contradicción)
de 7 y 8 por conjunción
Ejemplo 55. Si x ∈ Z, x es par si y solo si x2 es par
52
Álgebra
Solución: Sean p(x) := x es par y q(x) := x2 es par, así el enunciado del ejemplo 32 es equivalente
a
(∀x ∈ Z) (p(x) ↔ q(x))
por las leyes lógicas notemos que (p(x) ↔ q(x)) ⇔ ((p(x) → q(x)) ∧ (q(x) → p(x))) así se tienen
que verificar los siguientes casos
Caso 1: (p(x) → q(x))
En este caso hay que verificar la valides del enunciado: x es par, entonces x2 es par, es decir
1) x es par
hipotesis
2) x = 2k para algún k ∈ Z
por algebra basica
3) xx = (2k) (2k)
por algebra basica
4) x2 = 2 (2k 2 )
por algebra basica
5) x2 = 2t para algun t = (2k 2 ) ∈ Z por algebra basica (2k 2 ) ∈ Z
6) x2 es par
por notación
Caso 2: (q(x) → p(x))
La relación lógica (q(x) → p(x)) ⇔ (∼ p(x) →∼ q(x)) así en este caso hay que verificar la valides
del enunciado: x es impar, entonces x2 es impar, es decir
1) x es impar
2) x = 2k + 1 para algún k ∈ Z
por algebra basica
3) xx = (2k + 1) (2k + 1)
por algebra basica
4) x2 = ((4k 2 + 4k) + 1)
por algebra basica
5) x2 = 2 (2k 2 + 2k) + 1 para algun s = (2k 2 + 2k) ∈ Z
por algebra basica (2k 2 + 2k) ∈ Z
6) x2 es impar
por notación
por lo tanto la relación (∀x ∈ Z) (p(x) ↔ q(x)) es verdad, es decir el enunciado: Si x ∈ Z, x es par
si y solo si x2 es par es valido o verdad.
Ejemplo 56. Para todo x > 0, y > 0, x 6= y implica
q
x
+
y
py
x
>2
Solución: El enunciado de este ejemplo se lo puede parafracear del siguiente modo
q
p
Para todo x, y ∈ R, Si x > 0, y > 0, x 6= y entonces xy + xy > 2
53
Álgebra
de esta forma
1) x > 0
hipotesis
2) y > 0
hipotesis
3) x 6= y
hipotesis
4) x > y
de 3) supongamos que x > y (o por Tricotomia)
5) xy − 1 > 0
2
6) xy − 1 > 0
2
x
7) y − 2 xy + 1 > 0
2
x
x
x
8) y − 2 y + 1 + 4 y > 0 + 4 xy
2
x
x
9) y + 2 y + 1 > 4 xy
2
10) xy + 1 > 4 xy
q
11) xy + 1 > 2 xy
√
x
2 x
+1
y
12) √ x > √ xy
de 4 y 2 por el algebra basica
x
y
y
y
13) √ x + x > 2
q y py
14) xy + xy > 2
de 5) elevendo al cuadrado
de 6) por trinomio cuadrado perfecto
de 7) sumando 4 xy
de 8) por el algebra basico
de 9) factorizando
de 10) extraendo la raiz cuadrada
q
de 11) dividiendo entre xy
de 12) por el algebra basica
√1
de 13) por el algebra basica
Ejemplo 57. Para todo x ≥ 0, y ≥ 0, implica
√
xy ≤ x+y
(esta desigualdad es la relación entre
2
la media geometrica y la media aritmetica)
Solución: El parafaceo de este enunciado es el siguiente
Para todo x, y ∈ R: Si x ≥ 0 ∧ y ≥ 0, entonces
√
xy ≤ x+y
2
o equivalentemente
(∀x, y ∈ R): x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 →
de esta forma
54
√
xy ≤ x+y
2
Álgebra
1) x ≥ 0
hipotesis
2) y ≥ 0
hipotesis
2
3) (x − y) ≥ 0
por el algebra basica
4) x2 − 2xy + y 2 ≥ 0
por el algebra basica
5) x2 − 2xy + y 2 + 4xy ≥ 0 + 4xy
sumando 4xy
6) x2 + 2xy + y 2 ≥ 0 + 4xy
por el algebra basica
7) (x + y) ≥ 4xy
√
8) x + y ≥ 2 xy
por el algebra basica
2
de 1, 2 y por el algebra basica
√
2 xy
9) x+y
≥
2
2
√
x+y
10) 2 ≥ xy
multiplicando 8 por 12
por el algebra basica
Ejemplo 58. Demostrar 3 × 7 = 21 bajo las hipótesis
1. (∀x) (∀y) (∀z) (x (y + z) = xy + xz)
2. 3 × 5 = 15
3. 3 × 2 = 6
4. 2 + 5 = 7
5. 6 + 15 = 21
Solución:
1.7.
1) (∀x) (∀y) (∀z) (x (y + z) = xy + xz)
hipótesis
2) 3 × 5 = 15
hipótesis
3) 3 × 2 = 6
hipótesis
4) 2 + 5 = 7
hipótesis
5) 6 + 15 = 21
hipótesis
6) 6 + 3 × 5 = 21
de 2 y 5
7) 3 × 2 + 3 × 5 = 21
de 3 y 6
8) 3 (2 + 5) = 21
de 1 y 7
9) 3 × 7 = 21
de 4 y 8
Ejercicios Propuestos:
1. Introducción a la Lógica:
1. Traduzcanse a forma simbólica los siguientes enunciados compuestos.
55
Álgebra
a) Si la demanda a permanecido constante y los precios han aumentado, entonces el volumen
de transacciones tiene que haber disminuido.
b) Si x es un numero racional e y un entero, entonces z no es real.
c) La suma de dos números es par si y solo si los dos números son pares o los dos números
son impares.
d) Si y es un entero entonces z no es real, supuesto que x sea un número real.
2. Sean p := hace frío y q := está lloviendo. Describa con un enunciado verbal las siguientes
proposiciones:
a) ∼ p
b) p ∨ q
c) q ∧ p
d) p∨q
e) ∼ p ∨ q
f) p → q
g) ∼ q →∼ p
h) p ↔∼ q
2. Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad:
1. Escribir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones:
a) (∼ p) ∧ (∼ q)
b) ∼ ((p → q) → (∼ (q → p)))
c) p → (q → r)
d) (p ∧ q) → r
e) (p ↔ (∼ q)) ∨ q
f ) (p ∧ q) ∨ (r ∧ s)
g) (∼ p ∧ q) → (∼ q ∧ r)
h) (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
2. Si v(p) = V , v(q) = F , v(r) = V y v(s) = V determinar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
a) p∧ ∼ (∼ r ∧ s)
b) ∼ p → (∼ q ↔ s)
c) p∨ ∼ (p∨ ∼ q)
d) [s∨ ∼ (p ∧ q)] → (r ∧ s)
3. Sabiendo que v(q ∨ p) = V y que v(∼ q) = F determinar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones
a) [(p ∨ q) ∧ q] →∼ q
b) [(∼ p∧ ∼ q) ∧ (r → q)] ∧ q
4. Sabiendo que v(∼ (r → p)) = V . Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) (p∧ ∼ q) →∼ (s ∨ r)
b) [(∼ r ∧ q) ∨ ∼ p] → [∼ (p ∧ s) ∨ ∼ r]
c) [(∼ p ∨ s) → (q∨ ∼ r)] ↔ (p →∼ q)
56
Álgebra
5. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados:
a) No es verdad que si 2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 5 o 1 + 1 = 2
b) Si 2 + 2 = 4, entonces no es verdad que 2 + 1 = 3 y 5 + 5 = 8
c) 2 + 7 6= 9 si y solo si 2 + 1 = 5 implica 5 + 5 = 8
d) Si ∼ (2 > 4), entonces o 1 + 1 = 2 o ∼ (2 = 4)
3. Equivalencia Lógica y Álgebra de Proposiciones:
1. Demostrar que:
a) La proposición (∼ p) ∨ q da lugar a la misma tabla de verdad de la proposición p → q
b) La proposición (∼ p) → (q ∨ r) da lugar a la misma tabla de verdad de la proposición
(∼ q) → ((∼ r) → p)
2. ¿Cuáles entre las proposiciones nos da una tautología?
a) p → (q → p)
b) (q ∨ r) → ((∼ r) → q)
c) (p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ r) ∨ (r∧ ∼ p)
d) (p → (q → r)) → ((p∧ ∼ q) ∨ r)
3. Demostrar que los siguientes pares de proposiciones son lógicamente equivalentes
a) (p → q) es lógicamente equivalente a (∼ q) → (∼ p)
b) (p∨ ∼ q) ∧ (p ∨ q) es lógicamente equivalente a p
c) (∼ p ∧ r) ∨ (∼ p∧ ∼ r) es lógicamente equivalente a ∼ p
d) (p ∨ q) ∧ r es lógicamente equivalente a (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
e) [(p ∨ r) → q] ∧ [(∼ p∧ ∼ r) ∨ ∼ q] es lógicamente equivalente a (∼ p∧ ∼ r)
f ) (∼ p∧ ∼ q) → (∼ r) es lógicamente equivalente a r → (q ∧ p)
g) (p ∨ q) ∨ ∼ q es lógicamente equivalente a V
h) (p ∨ q) ∨ p es lógicamente equivalente a V
i) (∼ p ∨ q) → r es lógicamente equivalente a (p∧ ∼ q) ∨ r
j) (p∧ ∼ q) ∧ (∼ q∧ ∼ p) es lógicamente equivalente a F
4. Simplificar las siguientes proposiciones:
a) ∼ (∼ p∨ ∼ q)
b)∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)
c)∼ (∼ p∨ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ∨ ∼ (p ∨ q)
d) ∼ [p ∧ (∼ p → (r∨ ∼ q))] → (∼ p∧ ∼ q)
e) ∼ [p ∧ (q∨ ∼ p)] →∼ (p ↔∼ q)
f ) [p → (∼ p →∼ q)] ∨[∼ q ↔ (p∧ ∼ q)]
57
Álgebra
g) ∼ [(∼ p → r) ∧ ∼ (q∧ ∼ p)]
h) ∼ {∼ (∼ p ∨ q) ∨ ∼ p} →∼ [(p ∨ F ) → (r ∨ V )]
i) [(p ∧ q) ∨ (∼ q∧ ∼ p) ∨ (r → V ) ∨ (q∧ ∼ p)] ∧ [(q∨ ∼ p) ∧ q]
j) [∼ (r∧ ∼ q) ∧ ∼ (∼ q → p)] → r
k) ∼ {∼ [∼ (p ∨ q) → (∼ p∧ ∼ q)]}
l) ∼ {∼ [∼ (p → (r ∨ t)) ↔ (s ∨ r)] ∧ ∼ (∼ t)} → (t → t)
5.- Simplificar los siguientes enunciados
a) No es verdad que, las rosas son rojas implica que las violetas son azules
b) No es verdad que, hace frio y esta lloviendo
c) No es verdad que, hace frio o que esta lloviendo
d) No es verdad que, las rosas son rojas si y solo si las violetas son azules
4. Razonamiento deductivo valido y Reglas de Inferencia:
Problema. 1 Demostrar ∼ p
Problema. 2 Demostrar p ∨ q
1. r →∼ p
1. ∼ r → p
2. s → r
2. F ∨ G →∼ r
3. s
3. G
Problema. 3 Demostrar r ∨ s
Problema. 4 Demostrar A
1. C ∨ D
1. ∼ G → E
2. C ∨ D →∼ F
2. E → K
3. ∼ F → (A∧ ∼ B)
3. ∼ G
4. A∧ ∼ B → r ∧ s
4. ∼ K∨ ∼ L
5. L ∨ M
6. M → A
58
Álgebra
Problema. 5 Demostrar r = 8
Problema. 6 Demostrar x 6= 0
1. r = 10 ∨ r < 5
1. x = y → x = z
2. (r > 5 ∨ t < 2) → (t < r ∨ s = 0)
2. x = z → x = 1
3. r < 5 → t < 2
3. x = 0 → x 6= 1
4. s = 0 →∼ (r > 5 ∨ t < 2)
4. x = y
5. r = 10 → r > 5
6. t < r → r = 8
Problema. 7 Demostrar a = 3
Problema. 8 Demostrar P → Q
1. ∼ (c < 8 ∨ a > b) ∧ b = 5
1. P → S
2. a ≮ b ∨ a = 3
2. R → Q
3. a > c → a > b
3. P → R
4. a ≯ c → a < b
Problema. 9 Demostrar x2 + 1 ≤ 10
1. x = 2 ∧ x2 + 1 ≤ 10 → x 6= y
2. x 6= y → x = 2
3. x2 + 1
10 → x 6= y
√
Problema. 10 Demostrar x ≮ 3 ∧ y < x
√
1. y > x ∨ y < 3
√
√
2. y < 3 → (y < x ∧ x ≮ 3)
√
3. y > x → y = 3
√
4. y 6= 3 ∧ z = 100
Problema. 11 Demostrar (a + c = 5) → (b = 5)
1. (a + b = 7 → b = 5) ∨ a + c = 5
2. c 6= 2 ∨ (a + c = 5 → a + b = 7)
3. a + b 6= 7 ∧ c = 2
Problema. 12 Demostrar ∼ (r = s ∨ s ≯ a)
1. s 6= a ∧ s ≮ a
2. s ≯ a → s < a ∨ s = a
3. r = b ∨ r = b
4. r = b → r 6= s
5. r > b → r 6= s
Problema. 13 Demostrar: m =
√
3 → (m + n = 7 ∧ mn =
59
√
6)
Álgebra
√
6
√
2. m + n 6= 7 → m 6= 3
√
√
√
3. (n = 3 ∨ m = 6) →∼ (m + n = 7 ∧ mn = 6)
1. m =
√
3 → mn =
Problema. 14 Demostrar la inconsistencia de la premisa:
1. a < b → a 6= b
2. b > c → c ≮ b
3. a ≮ b → c < b
4. ∼ (a = b → b ≯ c)
5. Demostraciones:
1. Un número real r es racional si existe números enteros p y q con q 6= 0 tal que r = pq . Por el
método directo demostrar que:
a) Si r y s son racionales, entonces r + s es racional
b) Si r es un numero racional, entonces rs es racional
c) Si r es un numero racional diferente de cero, entonces r−1 es racional
2. Sean m, n números enteros. Por el método directo demostrar que:
a) Si n es impar, entonces n3 es impar
b) Si n es impar, entonces n2 + 3n + 5 es impar
c) Si n y m son pares, entonces nm es par
d) Si a | b y a | (b2 − c), entonces a | c
3. Un entero a divide al entero b, denotado por a | b, si b = ak para algún entero k. Sean a, b, c
números enteros. Demostrar
a) Si a | b y a | c, entonces a | (b + c)
b) Si a | b, entonces a | (3b2 − b2 + 5b)
c) Si n es impar, entonces 8 | (n2 − 2)
4. Si n es un entero. Demostrar por contradicción que, si 7n + 8 es impar, entonces n es impar
5. Demostrar por contradicción los siguientes incisos
a) Si n2 es impar, entonces n es impar
b) Si a - bc, entonces a - b
c) Si 4 - a2 ,entonces a es impar
6. Demostrar:
60
Álgebra
a) Esta ley será aprobada en esta sesión si y solo si es apoyada por la mayoría. Es apoyada
por la mayoría o el gobernador se opone a ella. Si el gobernador se opone a ella, entonces será
pospuesta en las deliberaciones del comité. Por lo tanto, esta ley será aprobada en esta sesión o
será pospuesta en las deliberaciones del comité.
b) Un liquido es un ácido si y solo si colorea azul el papel de tornasol rojo. Un liquido colorea
de azul el papel de tornasol rojo si y solo si contiene iones de hidrógeno libres. Por lo tanto, un
liquido es un ácido si y solo si contiene iones de hidrógeno libres.
c) Si lo intento con ahínco y tengo talento, me convertiré en músico. Si me convirtio en músico,
entonces seré feliz. Luego si no voy a ser feliz, entonces no intentaré con ahínco o no tengo talento.
2
d) Si el triángulo ABC, con lados a y b e hipotenusa c tiene un área de c4 , entonces el triángulo
es isósceles.
e) Si el triángulo rectángulo RST con lados r y s e hipotenusa t, satisface t =
√
2rs, entonces
el triángulo RST es isósceles.
f ) Si n es un número natural y 3n+1 es un cuadrado perfecto n+1 es suma de tres cuadrados
perfectos.
g) Si n es un número natural y 2n + 1 es un cuadrado perfecto, demostrar que n + 1 es suma
de dos cuadrados perfectos.
5. Cuantificadores:
Problema. 1. Para el universo de los enteros, sean p(x), q(x), r(x), s(x) y t(x) las siguientes
proposiciones
p(x) := x > 0
q(x) := x es par
r(x) := x es un cuadrado perfecto
s(x) := x es (exactamente) divisible entre 4
t(x) := x es (exactamente) divisible entre 5
a) Escriba las siguientes proposiciones en forma simbólica
Al menos un entero es par
Existen al menos un entero positivo que es par
Si x es par, entonces x no es divisible entre 5
61
Álgebra
Ningún entero par es divisible entre 5
Existe al menos un entero par divisible entre 5
Si x es par y x es un cuadrado perfecto, entonces x es divisible entre 4
b) Determine si cada una de las seis proposiciones del inciso a) es verdadero o falso. Para
cada proposición falsa, de un contra ejemplo.
c) Exprese en palabras cada una de las siguientes representaciones simbólicas
1) ∀x [r(x) → p(x)]
2) ∀x [s(x) → q(x)]
3) ∀x [s(x) →∼ t(x)]
4) ∃x [s(x)∧ ∼ r(x)]
5) ∀x [∼ r(x)∨ ∼ q(x) ∨ s(x)]
d) Proporcione un contra ejemplo para cada proposición falsa del inciso c)
Problema. 2. Demostrar F (3 + 9) bajo las hipótesis
1. (∀x)(∀y)(Ax ∧ Ay → F (x + y))
2. (∀z)(Az ↔∼ Bz )
3. (∀u)(Au ∨ Fu )
Problema. 3. Demostrar 4 > −4 bajo las hipótesis
1. (∀x)(∀y)(∀z)(x > y ∧ y > z → x > z)
2. 4 > 2 + 1
3. (∀u)(∀v)(Pu ∧ Nv → u > v)
4. P3 ∧ N(−4)
5. 2 + 1 = 3
Problema. 4. Demostrar 3 × 7 = 21 bajo las hipótesis
1. (∀x)(∀y)(∀z)(x(y + z) = xy + xz)
2. 3 × 5 = 15
3. 3 × 2 = 6
4. 2 + 5 = 7
5. 6 + 15 = 21
Problema. 5. Escribir la megación de las proposiciones
a) (∀x ∈ R) ((x − 1)(x − 3) > 0,
entonces x < 1 ∨ x > 3)
b) Si un entero es divisible por 2, entonces es par
62
CAPÍTULO 2
Conjuntos
2.1.
Introducción:
La “Teoría de Conjuntos” existe pero, en este capitulo solo se dará una introducción a la noción
de conjuntos y su lenguaje.
Un conjunto esta formado por elementos. Dado un conjunto A y un objeto cualquiera a (que
incluso puede ser otro conjunto), la pregunta que se puede realizar es la siguiente:
¿a es o no un elemento del conjunto A?
En caso afirmativo, se dice que a pertenece al conjunto A y en este caso lo denotaremos por
a ∈ A, en caso contrario, se dirá que a no pertenece al conjunto A y en esta otra situación lo
denotaremos por a ∈
/ A.
La matemática en algunos casos se ocupa del estudio de los números. Por tanto, los conjuntos más
frecuentes encontrados en la matemática son:
a) El conjunto de los números naturales N
b) El conjunto de los números enteros Z
c) El conjunto de los números racionales Q
d) El conjunto de los números reales R
e) El conjunto de los números complejos C
Los conjuntos sustituyen a las “propiedades” y a las “condiciones”. Así en ves de decir que
“el objeto x gosa de la propiedad P ” o “el objeto y satisface la condición Q” podemos escri63
Álgebra
bir x ∈ A e y ∈ B, donde A es el conjunto de los objetos que gosan de la propiedad P (o
A = {x ∈ U : x gosa de la propiedad P }) y B es el conjunto de los objetos que satisfacen la propiedad Q (o A = {x ∈ U : x satisface la propiedad Q}).
Ejemplo 59. Sea P la propiedad de que los número entero x sea pares (esto es x es divisible entre
2) y Q la condición sobre los número real y que satisface la ecuación y 2 − 3y + 2 = 0 de segundo
grado.
Por otro lado sean A = {..., −4, −2, 0, 2, 4, ...} y B = {1, 2}, entonces da lo mismo decir que:
x gosa la propiedad P como afirmar que x ∈ A
y satisface la condición Q como afirmar que y ∈ B
Existe un conjunto especial el conjunto vació, denotado por ∅. evitando una larga y tediosa mención
de excepciones. Cualquier propiedad contradictoria sirve para definir al conjunto vació, por ejemplo
se tiene ∅ = {x : x 6= x}, es decir el conjunto vació es el conjunto de los objetos x tal que x es
diferente de si mismo. Sea cual fuera el objeto x siempre se tiene que x ∈
/ ∅, es decir v (x ∈ ∅) = F .
En la matemática es importante saber que un determinado conjunto X no es vació y para esto se
debe encontrar un objeto x tal que x ∈ X.
Otro conjunto curioso es el conjunto unitario. Dado un objeto x, cualquiera, el conjunto unitario
{x} tiene un único elemento.
Estrictamente hablando, x y {x} no son lo mismo, por ejemplo ∅ =
6 {∅} pues el conjunto {∅} posee
un elemento (es decir ∅ ∈ {∅}), pero el conjunto ∅ no tiene elementos.
2.2.
La Relación de Inclusión:
Definición. (2.1) Sean A y B dos conjuntos. Si todo elemento de A es también elemento de B,
se dice que A es un subconjunto de B, o que A esta contenido en B, o que A es parte de B.
Para indicar este hecho se utiliza la notación A ⊆ B.
La definición (2.1) también se lo puede simbolizar de la siguiente forma
A⊆B
| {z }
simbolo escrito en el
leguaje de conjunto
si y solo si ∀x
| :x∈A
{z→ x ∈ B} (α)
simbolo en el
lenguaje lógico
Ejemplo 60. Sea T el conjunto de los triángulos rectangulos y P el conjunto de todos los triángulos, entonces todo triángulo rectangulo es un triángulo por tanto T ⊆ P .
64
Álgebra
Nota: El si y solo si en la relación (α) nos permite realizar un trabajo en el contexto de la lógica, si
la parte lógica es verdadera entonces la parte que esta escrito en el lenguaje de conjuntos también
sera verdadera y viceversa.
Ejemplo 61. ¿Cuando un conjunto no esta incluido en otro conjunto?
Solución: Para responder esta pregunta hay que negar la relación (α), es decir
∼ (A ⊆ B)
↔
|{z}
∼ (∀x : x ∈ A → x ∈ B)
↔
|{z}
∼ (∀x :∼ (x ∈ A) ∨ x ∈ B)
↔
|{z}
∼ (∀x : (∼ (x ∈ A) ∨ ∼∼ (x ∈ B)))
↔
|{z}
∼ (∀x :∼ ((x ∈ A) ∧ ∼ (x ∈ B)))
↔
|{z}
(∃x0 ) ((x0 ∈ A) ∧ ∼ (x0 ∈ B))
↔
|{z}
∃x0 # ((x0 ∈ A) ∧ ∼ (x0 ∈ B))
↔
|{z}
∃x0 # (x0 ∈ A ∧ x0 ∈
/ B)
por la
definición (2.1)
por la ley
de la implicación
por la ley de la
doble negación
por la ley de
Morgan
[∼(∀x)∼]⇔(∃x)
por notación
por notación
así la relación ∼ (A ⊆ B) es equivalente a A * B, es decir
A * B si y solo si ∃x0 # (x0 ∈ A ∧ x0 ∈
/ B)
Ejemplo 62. .
1) Sea A el conjunto de los números naturales pares y B el conjunto de los números naturales
múltiplos de 3, entonces A * B pues existe el elemento 2 ∈ A y 2 ∈
/ B.
2) Verificar los siguientes incisos
a) A ⊆ A
b) ∅ ⊆ A
Solución:
Para el inciso a), según la definición (2.1)
A ⊆ A si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∈ A
65
Álgebra
Caso: 1 Supongamos que x esta en el conjunto A, por tanto v (x ∈ A) = V , así
x
∈ A} → x
∈ A}
| {z
| {z
| V {z V }
V
de donde v (x ∈ A → x ∈ A) = V , así de la relación ∀x : x ∈ A → x ∈ A es verdadera, es decir
v (A ⊆ A) = V .
Caso: 2 Supongamos que x no es elemento del conjunto A, entonces v (x ∈ A) = F , así
x
∈ A} → x
∈ A}
| {z
| {z
F
{z F }
|
V
de donde v (x ∈ A → x ∈ A) = V , así de la relación ∀x : x ∈ A → x ∈ A es verdadera, es decir
v (A ⊆ A) = V .
De los casos 1 y 2 se concluye que cualquier conjunto es subconjunto de si mismo, es decir la
relación A ⊆ A es verdadera.
Para el inciso b), según la definición (2.1)
∅ ⊆ A si y solo si ∀x : x ∈ ∅ → x ∈ A
pero v (x ∈ ∅) = F
! y sea cual fuera el valor de verdad de la proposición x ∈ A, implica que
v x
∈ ∅} → x
∈ A}
| {z
| {z
F
= V , así v (∅ ⊆ A) = V , es decir el conjunto vació es subconjunto de
V óF
cualquier conjunto.
La relación de inclusión gosa de las siguientes dos propiedades fundamentales
a) Reflexividad: A ⊆ A
b) Transitividad: Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C
La parte del inciso a) ya se verifico en el ejemplo anterior. Ahora verifiquemos el inciso b), el
enunciado “Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C” es equivalente al razonamiento deductivo
1) A ⊆ B
hipótesis
2) B ⊆ C
hipótesis
A⊆C
Conclusión
por (2.1) se tiene
A ⊆ B si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∈ B
B ⊆ C si y solo si ∀x : x ∈ B → x ∈ C
A ⊆ C si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∈ C
66
Álgebra
así el razonamiento deductivo anterior es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
1) ∀x : x ∈ A → x ∈ B
hipótesis
2) ∀x : x ∈ B → x ∈ C
hipótesis
∀x : x ∈ A → x ∈ C
Conclusión
y para lograr la demostración de este razonamiento deductivo es equivalente verificar la demostración del siguiente razonamiento
1) x ∈ A → x ∈ B
hipótesis
2) x ∈ B → x ∈ C
hipótesis
x∈A→x∈C
Conclusión
y este razonamiento deductivo es conveniente verificarlo mediante el método de la implicación, es
decir
1) x ∈ A → x ∈ B
hipótesis
2) x ∈ B → x ∈ C
hipótesis
3) x ∈ A
nueva hipótesis
4) x ∈ B
de 3 y 1 por MP
5) x ∈ C
de 4 y 2 por MP
así el enunciado del inciso b) es verdadera.
Ejemplo 63. Verificar si la relación es verdad {a, b} ⊆ {a, {a, b}}
Solución: Notemos que a, b ∈ {a, b} pero a ∈ {a, {a, b}} y b ∈
/ {a, {a, b}} según la definición de
inclusión es falso la relación {a, b} ⊆ {a, {a, b}}, es decir {a, b} ⊆ {a, {a, b}}.
Nota: Si a es un elemento de A, la relación a ∈ A puede ser escrita de la siguiente forma {a} ⊆ A.
Ejemplo 64. Cuantos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos
a) {1}
b) {1, 2}
c) {1, 2, 3}
y generalizar.
Solución:
Para el inciso a)
El conjunto {1} tiene los siguientes subconjuntos ∅ y {1}, es decir tiene 2 = 21 subconjuntos
Para el inciso b)
67
Álgebra
El conjunto {1, 2} tiene los siguientes subconjuntos ∅, {1}, {2} y {1, 2}, es decir tiene 4 = 22
subconjuntos
Para el inciso c)
El conjunto {1, 2, 3} tiene los siguientes subconjuntos ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} y
{1, 2, 3}, es decir tiene 8 = 23 subconjuntos
En general los subconjuntos del conjunto {1, 2, 3, ..., n} son:

tiene 1 = 
∅

tiene n = 
{1}, {2},..., {n}
n
0
n
1

 subconjunto

 subconjuntos

{1, 2}, {1, 3}, {2, 3},..., {n − 1, n}
..
.
tiene n(n−1)
=
2
n
2

 subconjuntos
..
.

tiene 1 = 
{1, 2, 3, ..., n}
n
n

 subconjunto
así el conjunto {1, 2, 3, ..., n} tiene

1 + n + n(n−1)
+ ··· + 1
2
=


= 
=
n
0
n
0


+


+
n
1
n
1


+


+
n
2
n
2


 + ··· + 


 + ··· + 
n
n
n
n




2n
subconjuntos, es decir el conjunto {1, 2, 3, ..., n} tiene 2n subconjuntos.
Obs: Según el Binomio de Newton se tiene la relación
 
 
 
 
n
n
n
n
(x + y)n =   x0 y n +   x1 y n−1 +   x2 y n−2 + · · · +   xn y 0
0
1
2
n
si x = 1 e y = 1 entonces la relación anterior es equivalente a la relación
 
 
 
 
n
n
n
n
(1 + 1)n =   10 1n +   11 1n−1 +   12 1n−2 + · · · +   1n 10
1
2
n
0
68
Álgebra

es decir (2)n = 
2.3.
n
0


+
n
1


+
n
2


 + ··· + 
n
n


La Relación de Igualdad:
Definición. (2.2) Los conjuntos A y B son iguales si todo elemento del conjunto A es elemento
del conjunto B y todo elemento del conjunto B es también elemento del conjunto A. Para indicar
este hecho se utiliza la notación A = B.
La definición (2.2) también se lo puede simbolizar de la siguiente forma
A=B
si y solo si A ⊆ B ∧ B ⊆ A
Antes de realizar los ejemplos correspondientes a la igualdad de conjuntos, veamos la siguiente
definición
Definición. (2.3) Si se nombran todos los elementos del conjunto A, entonces se dice que el
conjunto A esta escrito por extensión. Si se dan a conocer los elementos del conjunto A por
medio de una propiedad se dice que el conjunto A esta determinado por comprensión.
Ejemplo 65. .




Z
: |x| < 2
1) El conjunto A = {a, b, c} esta escrito por extensión y el conjunto B = x ∈ |{z}
| {z }



Universo de

P (x) 




trabajo
esta escrito por comprensión.
2) Ver si el siguientes conjunto A = x ∈ R : 21 x2 − 32 x + 32 = 2 es igual al siguiente conjunto
B = {x ∈ R : x2 − 3x − 1 = 0}
Solución: Para ver que los conjuntos A y B sean iguales, según la definición (2.2) ambos conjuntos
tienen que coleccionar los mismos elementos, es decir
A =
x ∈ R : 12 x2 − 32 x + 23 = 2
=
x ∈ R : 12 (x2 − 3x + 3) = 2
= {x ∈ R : (x2 − 3x + 3) = 4}
= {x ∈ R : x2 − 3x + 3 − 4 = 0}
= {x ∈ R : x2 − 3x − 1 = 0}
= B
69
Álgebra
así, se tiene que A = B
Obs.
1.- Para verificar que dos conjuntos A = {x ∈ U : P (x)} y B = {x ∈ U 0 : Q(x)} sean iguales hay
que verificar que los dos conjuntos bajo sus propiedades colecciones los mismos elementos en sus
respectivos universos.
2.- La notación A ⊂ B indica que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B y
esto significa que todo elemento de A es elemento de B y que existe al menos un elemento en B
que no pertenecer al conjunto A. Por ejemplo, el conjunto A = {a} es un subconjunto propio del
conjunto B = {a, b, c} ,es decir A ⊂ B.
La relación de inclusión con esta idea también es equivalente a:
A ⊆ B si y solo si (A ⊂ B) ∨ A = B
2.4.
Complemento de un conjunto:
La noción de complemento de un conjunto solo tiene pleno sentido cuando se fija un conjunto
dentro de un universo de discurso o conjunto universo U .
Una vez fijado el conjunto universo U , todos los elementos que serán considerados pertenecerán
al conjunto universo U . Por ejemplo: En la geometría Plana, el conjunto universo seria el Plano
(U = R2 ) y en la aritmética el conjunto universo será el conjunto de los números enteros (U = Z).
Definición. (2.4) Si A es un subconjunto del conjunto universo U (A ⊆ U ), entonces el complemento del conjunto A esta formado por los elementos del conjunto universo U que no pertenecen
al conjunto A, y en este caso se utilizara la notación Ac .
La definición (2.4) también se lo puede simbolizar de la siguiente forma
x ∈ Ac
si y solo si x ∈
/A
o equivalentemente
x ∈ A si y solo si x ∈
/ Ac
y en notación de conjunto esta relación se lo escribe de la siguiente forma
Ac = {x ∈ U : x ∈
/ A}
70
Álgebra
Ejemplo 66. Si U es el conjunto universo, entonces U c = ∅ y ∅c = U
Solución:
Primero veamos el caso U c = ∅, según la definición de igualdad de conjuntos se tiene
Uc = ∅
si y solo si U c ⊆ ∅ ∧ ∅ ⊆ U c
| {z } | {z }
Caso 1
Caso 2
Caso 1: Por definición de inclusión de conjuntos se tiene
U c ⊆ ∅ si y solo si ∀x : x ∈ U c → x ∈ ∅
la relación
c
x
∈ ∅}
|∈
{zU} → x
| {z
hipótesis
conclusión
según la contrareciproca es equivalente a
x
∈
/ ∅} → x
/{zU}c
|∈
| {z
hipotesis
conclusión
→
|{z}
x∈U
→
|{z}
∼ (∼ (x ∈ U ))
→
|{z}
∼ (x ∈
/ U)
→
|{z}
∼ (x ∈ U c )
→
|{z}
x∈
/ Uc
ahora por hipótesis se tiene
x∈
/∅
por definición de
conjunto ∅
por la ley de la
doble negación
por notación
por definición
de complemento
por notación
así v (x ∈
/∅→x∈
/ U c ) = V , entonces v (x ∈ U c → x ∈ ∅) = V por lo tanto v (∀x : x ∈ U c → x ∈ ∅) =
V así v (U c ⊆ ∅) = V , es decir U c ⊆ ∅ es verdad.
Caso 2:
Es verdad que ∅ ⊆ U c gracias a que el conjunto vacio es subconjunto de cualquier conjunto
Así por los casos 1 y 2 es verdad que U c = ∅
71
Álgebra
Ahora veamos el caso ∅c = U .
Antes verifiquemos la siguiente afirmación: (Ac )c = A
Para verificar esta relación se iniciara del lado izquierdo de la igualdad para así obtener el lado
derecho de la igualdad y viceversa, es decir
x ∈ (Ac )c
↔
|{z}
x∈
/ Ac
↔
∼ (x ∈ Ac )
↔
|{z}
∼ (x ∈
/ A)
↔
∼ (∼ (x ∈ A))
↔
|{z}
x∈A
por la definición de
complemento de conjuntos
por notación
por la definición de
complemento de conjuntos
por notación
por la ley de la
doble negación
así se verifica que(Ac )c = A.
Ahora regresando al ejemplo anterior pasemos a verificar la igualdad ∅c = U
∅c
=
|{z}
(U c )c
=
|{z}
U
recordemos que
∅=U c
por la afirmación
anterior (Ac )c =A
así se verifica que ∅c = U
Propiedades:
a) Para todo conjunto A ⊆ U , se tiene que (Ac )c = A
b) Si A ⊆ B, entonces B c ⊆ Ac
c) A ⊆ B si y solo si B c ⊆ Ac
Ejercicio 67. Verificar el inciso b), es decir; Si A ⊆ B, entonces B c ⊆ Ac
Solución: Para dar validez al siguiente enunciado
B c ⊆ Ac
Si A ⊆ B , entonces
| {z } | {z } | {z }
p hipótesis
→
q conclusión
hay que verificar la conclusión y por definición de inclusión de conjuntos
72
Álgebra
c
c
B c ⊆ Ac si y solo si ∀x : x
| ∈{zB} → x
|∈
{zA}
hipótesis
conclusión
Así por hipótesis
x ∈ Bc
→
|{z}
x∈
/B
→
|{z}
x∈
/A
→
|{z}
x ∈ Ac
por la definición de
complemento de conjuntos
por hipótesis A ⊆ B
por la definición de
complemento de conjuntos
así B c ⊆ Ac .
Otra forma de Verificar el inciso b) es el siguiente: El enunciado; Si A ⊆ B, entonces B c ⊆ Ac es
equivalente al siguiente razonamiento deductivo
A⊆B
hipótesis
B c ⊆ Ac
conclusión
y según la definición de inclusión de conjuntos se tiene
A ⊆ B si y sólo si ∀x : x ∈ A → x ∈ B
B c ⊆ Ac si y sólo si ∀x : x ∈ B c → x ∈ Ac
así el razonamiento deductivo es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
∀x : x ∈ A → x ∈ B
hipótesis
∀x : x ∈ B c → x ∈ Ac
conclusión
y para dar validez a este razonamiento deductivo es suficiente y necesario dar validez al siguiente
razonamiento
x∈A→x∈B
hipótesis
x ∈ B c → x ∈ Ac
conclusión
este razonamiento deductivo a su vez también es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
gracias al método de demostración por implicación
x∈A→x∈B
hipótesis
x ∈ Bc
nueva hipótesis
x ∈ Ac
nueva conclusión
73
Álgebra
ahora pasemos a verificar la validez de este razonamiento deductivo
1) x ∈ A → x ∈ B
hipótesis
2) x ∈ B c
nueva hipótesis
3) ∼ (x ∈ B) →∼ (x ∈ A) de 1 (x ∈ A → x ∈ B) ⇔ (∼ (x ∈ B) →∼ (x ∈ A))
4) x ∈
/B→x∈
/A
de 3 [∼ (x ∈ B) →∼ (x ∈ A)] ⇔ [x ∈
/B→x∈
/ A]
5) x ∈ B c → x ∈ Ac
de 4 (x ∈
/B→x∈
/ A) ⇔ (x ∈ B c → x ∈ Ac )
6) x ∈ Ac
de 2 y 5 por MP
así la relación B c ⊆ Ac es valida bajo la hipótesis A ⊆ B.
2.5.
Unión e Intersección de Conjuntos:
2.5.1.
Unión de Conjuntos:
Definición. (2.5) Dado los conjuntos A y B, la unión A ∪ B es el conjunto formado por los
elementos del conjunto A más los elementos del conjunto B.
La definición (2.5) también se lo puede simbolizar de la siguiente forma
x ∈ (A ∪ B) si y solo si x ∈ A ∨ x ∈ B
y en notación de conjunto esta relación se lo escribe de la siguiente forma
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}
Ejemplo 68. Verificar que A ⊆ (A ∪ B)
Solución: Por definición de inclusión de conjuntos se tiene
A ⊆ (A ∪ B)
si y solo si ∀x : x
∈ A} → x ∈ (A ∪ B)
| {z
|
{z
}
hipótesis
conclusión
por hipótesis
x∈A
→
|{z}
x∈A∨x∈B
→
|{z}
x ∈ (A ∪ B)
por la propiedad
p⇔(p∨q)
por definición
de unión de conjuntos
74
Álgebra
así la relación A ⊆ (A ∪ B) es verdadera.
Propiedades:
a) Idempotencia: (A ∪ A) = A
b) Asociatividad: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
c) Conmutatividad: (A ∪ B) = (B ∪ A)
d) Elemento neutro de la Unión: (A ∪ ∅) = A y (∅ ∪ A) = A
Ejemplo 69. Verificar que (A ∪ B) = (B ∪ A)
Solución:
x ∈ (A ∪ B)
↔
|{z}
x∈A∨x∈B
↔
|{z}
x∈B∨x∈A
↔
|{z}
x ∈ (B ∪ A)
por definición de
unión de conjuntos
(p∨q)⇔(q∨p)
por definición de
unión de conjuntos
así la relación (A ∪ B) = (B ∪ A) es verdadera.
Ejercicio 70. Verificar que el elemento neutro de la unión es el conjunto vacio ∅, es decir (A ∪ ∅) =
A y (∅ ∪ A) = A
Solución:
Caso 1: Verifiquemos que la igualdad (A ∪ ∅) = A es verdadera: Por definición de igualdad de
conjuntos
(A ∪ ∅) = A si y solo si (A ∪ ∅) ⊆ A ∧ A ⊆ (A ∪ ∅)
{z
} |
{z
}
|
subcaso 1
subcaso 2
Subcaso 1: Por definición de inclusión
(A ∪ ∅) ⊆ A si y solo si ∀x : x ∈ (A ∪ ∅) → x
∈ A}
| {z
|
{z
}
hipótesis
conclusión
la relación x ∈ (A ∪ ∅) → x
∈ A} es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
| {z
|
{z
}
hipótesis
conclusión
x ∈ (A ∪ ∅)
hipótesis
x∈A
conclusión
75
Álgebra
verifiquemos la validez de este razonamiento deductivo por medio de la contradicción, es decir hay
que verificar la validez del siguiente razonamiento deductivo
x ∈ (A ∪ ∅) hipótesis
x∈
/A
nueva hipótesis
F
conclusión
ahora pasemos a la verificación de este razonamiento deductivo:
1) x ∈ (A ∪ ∅)
hipótesis
2) x ∈
/A
nueva hipótesis
3) x ∈ A ∨ x ∈ ∅
de 1 por definición de unión
4) ∼ (x ∈
/ A) ∨ x ∈ ∅
de 3 (x ∈ A) ⇔ (∼∼ (x ∈ A)) ⇔ (∼ (x ∈
/ A))
5) x ∈
/A→x∈∅
de 4 (∼ (x ∈
/ A) ∨ x ∈ ∅) ⇔ (x ∈
/ A → x ∈ ∅)
6) x ∈ ∅
de 2 y 5 por MP
7) v (x ∈ ∅) = F (contradicción)
de 6
así la relación A ∪ ∅ ⊆ A es verdadera.
Subcaso 2: Por definición de inclusión
A ⊆ (A ∪ ∅) si y solo si ∀x : x
∈ A} → x ∈ (A ∪ ∅)
| {z
|
{z
}
hipótesis
conclusión
por hipótesis
x∈A
→
|{z}
x∈A∨x∈∅
→
|{z}
x ∈ (A ∪ ∅)
p⇔(p∨q)
por la definición
de unión de conjuntos
así la relación A ⊆ (A ∪ ∅) es valida, de los subcasos 1 y 2 se tiene que la relación A ∪ ∅ = A es
valida.
Caso 2: Verifiquemos que la igualdad (∅ ∪ A) = A es verdadera:
A
=
|{z}
(A ∪ ∅)
=
|{z}
(∅ ∪ A)
por el
caso 1
por la conmutatividad
de la unión
así la relación (∅ ∪ A) = A es valida.
76
Álgebra
2.5.2.
Intersección de Conjuntos:
Definición. (2.6) Dados los conjuntos A y B, la intersección A ∩ B es el conjunto formado por
los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B.
La definición (2.6) también se lo puede simbolizar de la siguiente forma
x ∈ (A ∩ B)
si y solo si x ∈ A ∧ x ∈ B
y en notación de conjunto esta relación se lo escribe de la siguiente forma
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Ejemplo 71. Si A ⊂ B, entonces (A ∩ B) = A
Solución: Por definición de igualdad de conjuntos
(A ∩ B) = A si y solo si (A ∩ B) ⊆ A ∧ A ⊆ (A ∩ B)
{z
} |
{z
}
|
Caso 1
Caso 2
Caso 1: Por definición de inclusión de conjuntos se tiene
(A ∩ B) ⊆ A si y solo si ∀x : x ∈ (A ∩ B) → x
∈ A}
| {z
|
{z
}
hipótesis
conclusión
por hipótesis
x ∈ (A ∩ B)
→
|{z}
x∈A∧x∈B
→
|{z}
x∈A
por definición de
intersección
por la propiedad
(p∧q)⇔p
así la relación (A ∩ B) ⊆ A es valida.
Caso 2: Por definición de inclusión de conjuntos
A ⊆ (A ∩ B)
si y solo si ∀x : x
∈ A} → x ∈ (A ∩ B)
| {z
|
{z
}
hipótesis
por hipótesis
77
conclusión
Álgebra
x∈A
→
|{z}
x∈A∧x∈A
→
|{z}
x∈A∧x∈B
→
|{z}
x ∈ (A ∩ B)
por la propiedad
(p∧p)⇔p
por hipótesis
A⊂B
por definición de
intersección
así la relación A ⊆ (A ∩ B) es valida.
De los casos 1 y 2 se tiene que la relación (A ∩ B) = A es verdad bajo la hipótesis A ⊂ B.
Propiedades:
a) Idempotencia: (A ∩ A) = A
b) Asociatividad: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
c) Conmutatividad: (A ∩ B) = (B ∩ A)
d) Elemento neutro para la Intersección: (A ∩ U ) = A y (U ∩ A) = A
Ejercicio 72. Verificar la propiedad de la conmutatividad para la intersección, es decir (A ∩ B) =
(B ∩ A)
Solución:
x ∈ (A ∩ B)
↔
|{z}
x∈A∧x∈B
↔
|{z}
x∈B∧x∈A
↔
|{z}
x ∈ (B ∩ A)
por definición de
intersección
(p∧q)⇔(q∧p)
por definición de
intersección
así la relación (A ∩ B) = (B ∩ A) es verdadera.
Ejemplo 73. Verificar la igualdad (A ∩ ∅) = ∅
Solución: Por definición de igualdad de conjuntos
(A ∩ ∅) = ∅
si y solo si (A ∩ ∅) ⊆ ∅ ∧ ∅ ⊆ (A ∩ ∅)
{z
} |
{z
}
|
Caso 1
Caso 2
Caso 1: Por definición de inclusión de conjuntos
(A ∩ ∅) ⊆ ∅ si y solo si ∀x : x ∈ (A ∩ ∅) → x ∈ ∅
78
Álgebra
notemos que la relación x ∈ (A ∩ ∅) según la definición de intersección de conjuntos es equivalente
a la proposición x ∈ A ∧ x ∈ ∅, pero v (x ∈ ∅) = F por tanto v (x ∈ A ∧ x ∈ ∅) = F , es decir
v (x ∈ (A ∩ ∅)) = F
así
x ∈ (A ∩ ∅) → x
∈ ∅}
| {z
|
{z
}
F
F
{z
}
|
V
por tanto v (∀x : x ∈ (A ∩ ∅) → x ∈ ∅) = V , es decir v ((A ∩ ∅) ⊆ ∅) = V , así la relación (A ∩ ∅) ⊆
∅ es valida.
Caso 2: La relación ∅ ⊆ (A ∩ ∅) es valida ya que el conjunto vacio es subconjunto de cualquier
conjunto.
De los casos 1 y 2 la relación (A ∩ ∅) = ∅ es valido.
Ejemplo 74. ¿La afirmación [A ∩ (∅ ∪ B)] = A es verdadera ó falsa siempre que A ⊆ B? si es
falsa dar un contra ejemplo.
Solución: Supongamos que la afirmación es verdadera
[A ∩ (∅ ∪ B)]
↔
A∩B
B=∅∪B
↔
pues A⊆B
A
así la afirmación es verdadera.
Gracias a las relaciones de complemento, unión e intersección de conjuntos se tiene las siguientes
leyes
2.5.3.
Leyes Distributivas:
La unión y la intersección de conjuntos nos permiten tener las siguientes relaciones
a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
79
Álgebra
2.5.4.
Leyes de Morgan:
El complemento de un conjunto bajo la unión e intersección de conjuntos nos permiten tener las
siguientes relaciones
a) (A ∪ B)c = (Ac ∩ B c )
b) (A ∩ B)c = (Ac ∪ B c )
Ahora verifiquemos estas dos relaciones:
Para el inciso a)
Por hipótesis
x ∈ (A ∪ B)c
↔
|{z}
x∈
/ (A ∪ B)
↔
|{z}
∼ (x ∈ (A ∪ B))
↔
|{z}
∼ (x ∈ A ∨ x ∈ B)
↔
|{z}
∼ (x ∈ A) ∧ ∼ (x ∈ B)
↔
|{z}
x∈
/ A∧x∈
/B
↔
|{z}
x ∈ Ac ∧ x ∈ B c
↔
|{z}
x ∈ (Ac ∩ B c )
por definición
de complemento
por notación
por definición
de unión
por la ley
de Morgan
por notación
por definición
de complemento
por definición
de intersección
así la relación (A ∪ B)c = (Ac ∩ B c ) es valida.
Para el inciso b)
Por hipótesis
80
Álgebra
x ∈ (A ∩ B)c
↔
|{z}
x∈
/ (A ∩ B)
↔
|{z}
∼ (x ∈ (A ∩ B))
↔
|{z}
∼ (x ∈ A ∧ x ∈ B)
↔
|{z}
∼ (x ∈ A) ∨ ∼ (x ∈ B)
↔
|{z}
x∈
/ A∨x∈
/B
↔
|{z}
x ∈ Ac ∨ x ∈ B c
↔
|{z}
x ∈ (Ac ∪ B c )
por definición
de complemento
por notación
por definición
de intersección
por la ley
de Morgan
por notación
por definición
de complemento
por definición
de unión
así la relación (A ∩ B)c = (Ac ∪ B c ) es verdadera.
Ejemplo 75. Verificar la igualdad (Ac ∩ A) = ∅
Solución: Por definición de igualdad de conjuntos
(Ac ∩ A) = ∅
si y sólo si (Ac ∩ A) ⊆ ∅ ∧ ∅ ⊆ (Ac ∩ A)
{z
} |
{z
}
|
Caso 1
Caso 2
Caso 1: Por definición de inclusión de conjuntos
(Ac ∩ A) ⊆ ∅ si y sólo si ∀x : x ∈ (Ac ∩ A) → x ∈ ∅
notemos que x ∈ (Ac ∩ A) es equivalente a (x ∈
/ A ∧ x ∈ A), pero como v (x ∈
/ A ∧ x ∈ A) = F
entonces v (x ∈ (Ac ∩ A)) = F , por otro lado v (x ∈ ∅) = F así por la tabla de verdad de la
implicación
v (x ∈ (Ac ∩ A) → x ∈ ∅) = V
por tanto v (∀x : x ∈ (Ac ∩ A) → x ∈ ∅) = V así la relación (Ac ∩ A) ⊆ ∅ es verdadera.
Caso 2: La relación ∅ ⊆ (Ac ∩ A) es verdadera, ya que el conjunto vacio es subconjunto de cualquier
conjunto.
Así de los casos 1 y 2 la relación (Ac ∩ A) = ∅ es verdadera.
81
Álgebra
Ejemplo 76. Verificar la igualdad (Ac ∪ A) = U
Solución:
U
=
|{z}
∅c
=
|{z}
(Ac ∩ A)c
=
|{z}
(Ac )c ∪ Ac
=
|{z}
A ∪ Ac
=
|{z}
Ac ∪ A
∅c =U
∅=(Ac ∩A)
por la ley
de Morgan
(Ac )c =A
por la conmutatividad
de la unión
así la igualdad U = (Ac ∪ A) es valida.
2.6.
Diferencia de Conjuntos:
Definición. (2.7) Dados los conjuntos A y B, la diferencia (A − B) es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen al conjunto A, pero que no pertenecen al conjunto B.
La definición (2.7) también se lo puede simbolizar de la siguiente forma
x ∈ (A − B) si y solo si x ∈ A ∧ x ∈
/B
y en notación de conjunto esta relación se lo escribe de la siguiente forma
(A − B) = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
Ejemplo 77. Verificar que (A − B) = (A ∩ B c )
Solución:
Por hipótesis
82
Álgebra
x ∈ (A − B)
↔
|{z}
x∈A∧x∈
/B
↔
|{z}
x ∈ A ∧ x ∈ Bc
↔
|{z}
x ∈ (A ∩ B c )
por definición de
diferencia de conjuntos
por definición de
complemento
por definición de
intersección
así al relación (A − B) = (A ∩ B c ) es verdadera.
Como ya se tienen diferentes propiedades y resultados de la intersección, unión, complemento y
diferencia de conjuntos la verificación de los ejemplos a continuación se los realizaran atravez de
estas propiedades y resultados ya verificados.
Ejemplo 78. Demuestre que para cualesquiera subconjuntos A, B y C del conjunto universo U ,
se verifica la igualdad [(Ac ∪ B) − (A ∪ B)c ] ∪ B c = U
Solución:
[(Ac ∪ B) − (A ∪ B)c ] ∪ B c
c
=
|{z}
[(Ac ∪ B) ∩ ((A ∪ B)c ) ] ∪ B c
=
|{z}
[(Ac ∪ B) ∩ (A ∪ B)] ∪ B c
=
|{z}
[(Ac ∩ A) ∪ B] ∪ B c
=
|{z}
[∅ ∪ B] ∪ B c
=
|{z}
B ∪ Bc
=
|{z}
U
(A−B)=(A∩B c )
(Ac )c =A
por la ley
distributiva
(Ac ∩A)=∅
(A∪∅)=A
(Ac ∪A)=U
así la relación [(Ac ∪ B) − (A ∪ B)c ] ∪ B c = U es verdad.
Ejemplo 79. Demostrar
a) Si B c ∩ Ac = ∅ entonces [(A ∪ C) − (B − C)] − (A − C) = C
c
b) Si A ∪ C = U , con U el conjunto universo, entonces [A − (A ∩ B)c ] − (B ∩ C) = B c
Solución: Para el inciso a)
83
Álgebra
[(A ∪ C) − (B − C)] − (A − C)
=
|{z}
[(A ∪ C) − (B ∩ C c )] − (A ∩ C c )
=
|{z}
[(A ∪ C) ∩ (B ∩ C c )c ] ∩ (A ∩ C c )c
=
|{z}
[(A ∪ C) ∩ (B c ∪ C)] ∩ (Ac ∪ C)
=
|{z}
(A ∪ C) ∩ [(B c ∪ C) ∩ (Ac ∪ C)]
=
|{z}
(A ∪ C) ∩ [(B c ∩ Ac ) ∪ C]
=
|{z}
(A ∪ C) ∩ [∅ ∪ C]
=
|{z}
C ∩ (C ∪ A)
=
|{z}
C
(A−B)=(A∩B c )
(A−B)=(A∩B c )
por la ley
de Morgan
por la asociatividad
y conmutatividad
por la ley
distributiva
(B c ∩Ac )=∅
por el álgebra
de conjuntos
por la ley de
la absorción
así la igualdad [(A ∪ C) − (B − C)] − (A − C) = C es verdadera.
Para el inciso b)
c
[A − (A ∩ B)c ] − (B ∩ C)
c c
=
|{z}
[A ∩ ((A ∩ B)c ) ] − (B ∩ C)
=
|{z}
[A ∩ A ∩ B]c − (B ∩ C)
=
|{z}
[A ∩ B]c − (B ∩ C)
=
|{z}
(A ∩ B)c ∩ (B ∩ C)c
=
|{z}
(Ac ∪ B c ) ∩ (B c ∪ C c )
(A−B)=(A∩B c )
(Ac )c =A
(p∧p)⇔p
(A−B)=(A∩B c )
por la ley
de Morgan
84
Álgebra
=
|{z}
B c ∪ (Ac ∩ C c )
=
|{z}
B c ∪ (A ∪ C)c
=
|{z}
B c ∪ (U )c
=
|{z}
Bc
por el álgebra
de conjuntos
por la ley
de Morgan
por hipotesis
por el álgebra
de conjuntos
c
así la igualdad [A − (A ∩ B)c ] − (B ∩ C) = B c es verdadera.
Ejemplo 80. Simplificar [A − (B ∪ C)] ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Solución:
[A − (B ∪ C)] ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
=
|{z}
[A − (B ∪ C)] ∪ [(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)]
=
|{z}
[A − (B ∪ C)] ∪ [A ∩ (B ∪ C)]
=
|{z}
[A ∩ (B ∪ C)c ] ∪ [A ∩ (B ∪ C)]
=
|{z}
A ∩ ((B ∪ C)c ∪ (B ∪ C))
=
|{z}
A∩U
=
|{z}
A
por la ley
asociativa
por la ley
distributiva
por definición
diferencia
por la ley
distributiva
(A∪Ac )=U
(A∩U )=A
así la simplificación de {[A − (B ∪ C)] ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)} es A.
Ejemplo 81. Simplificar {[(Ac ∪ (B c ∪ C)) ∪ (D ∩ C)]c ∪ (B ∩ A)}
c
Solución: Sea R := {[(Ac ∪ (B c ∪ C)) ∪ (D ∩ C)]c ∪ (B ∩ A)} así
85
c
Álgebra
R
c
=
|{z}
{[(Ac ∪ (B c ∪ C)) ∪ (D ∩ C)]c } ∩ (B ∩ A)c
=
|{z}
[(Ac ∪ (B c ∪ C)) ∪ (D ∩ C)] ∩ (B ∩ A)c
=
|{z}
[(Ac ∪ (B c ∪ C)) ∪ (D ∩ C)] ∩ (B c ∪ Ac )
=
|{z}
[[(Ac ∪ (B c ∪ C)) ∩ (B c ∪ Ac )] ∪ [(D ∩ C) ∩ (B c ∪ Ac )]]
=
|{z}
[[((Ac ∪ B c ) ∪ (Ac ∪ C)) ∩ (B c ∪ Ac )]
(A∪B)c =Ac ∩B c
(Ac )c =A
(A∩B)c =Ac ∪B c
por la ley
distributiva
por la ley
distributiva
∪ [(D ∩ C) ∩ (B c ∪ Ac )]]
=
|{z}
[[(Ac ∪ B c ) ∩ ((Ac ∪ B c ) ∪ (Ac ∪ C))]
por la ley de
la conmutatividad
∪ [(D ∩ C) ∩ (B c ∪ Ac )]]
=
|{z}
(Ac ∪ B c ) ∪ [(D ∩ C) ∩ (B c ∪ Ac )]
=
|{z}
(Ac ∪ B c ) ∪ [(Ac ∪ B c ) ∩ (D ∩ C)]
=
|{z}
Ac ∪ B c
por la ley de
la absorción
por la ley de
la conmutatividad
por la ley de
la absorción
c
así la simplificación de {[(Ac ∪ (B c ∪ C)) ∪ (D ∩ C)]c ∪ (B ∩ A)} es Ac ∪ B c .
Ejemplo 82. Verificar la igualdad [A − (B ∩ C)] = [(A − B) ∪ (A − C)]
Solución:
[(A − B) ∪ (A − C)]
↔
[(A ∩ B c ) ∪ (A ∩ C c )]
↔
|{z}
A ∩ (B c ∪ C c )
↔
|{z}
A ∩ (B ∩ C)c
↔
A − (B ∩ C)
(A−B)=(A∩B c )
por al ley de la
distributividad
por al ley de
Morgan
(A−B)=(A∩B c )
así la igualdad [A − (B ∩ C)] = [(A − B) ∪ (A − C)] es valida.
86
Álgebra
2.7.
Diferencia Simétrica:
Definición. (2.8) Dados los conjuntos A y B, la diferencia simétrica A4B es el conjunto
formado por los elementos del conjunto (A − B) y los elementos del conjunto (B − A), es decir
A4B = (A − B) ∪ (B − A)
Ejemplo 83. Verificar que A4B = [(A ∪ B) − (A ∩ B)]
Solución:
A4B
=
|{z}
(A − B) ∪ (B − A)
=
|{z}
(A ∩ B c ) ∪ (B ∩ Ac )
=
|{z}
[(A ∩ B c ) ∪ B] ∩ [(A ∩ B c ) ∪ Ac ]
=
|{z}
(A ∪ B) ∩ (B c ∪ B) ∩ (A ∪ Ac ) ∩ (B c ∪ Ac )
=
|{z}
(A ∪ B) ∩ U ∩ U ∩ (B c ∪ Ac )
=
|{z}
[(A ∪ B) ∩ U ] ∩ [U ∩ (B c ∪ Ac )]
=
|{z}
(A ∪ B) ∩ (B c ∪ Ac )
=
|{z}
(A ∪ B) ∩ (B ∩ A)c
=
|{z}
(A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c
=
|{z}
(A ∪ B) − (A ∩ B)
por la definición
de diferencia
simetrica
(A−B)=(A∩B c )
por la ley
distributiva
por la ley
distributiva
(A∪Ac )=U
por la
asociatividad
(U ∩A)=A
por la ley
de Morgan
por la
conmutatividad
(A−B)=(A∩B c )
así la igualdad A4B = [(A ∪ B) − (A ∩ B)] es valida.
Propiedades:
a) Asociatividad: A4 (B4C) = (A4B) 4C
b) Conmutatividad: A4B = B4A
87
Álgebra
c) Existencia del Neutro: A4∅ = A y ∅4A = A
d) Existencia del Inverso: A4A = ∅
Ejemplo 84. Verificar la propiedad del inciso c), es decir A4∅ = A y ∅4A = A
Solución:
Para la igualdad A4∅ = A
A4∅
=
|{z}
(A ∪ ∅) − (A ∩ ∅)
=
|{z}
A−∅
=
|{z}
A ∩ ∅c
=
|{z}
A∩U
=
|{z}
A
(A4B)=[(A∪B)−(A∩B)]
(A∪∅)=A y (A∩∅)=∅
(A−B)=(A∩B c )
∅c =U
(A∩U )=A
así la igualdad A4∅ = A es valida.
Para la igualdad ∅4A = A
∅4A
=
|{z}
A4∅
=
|{z}
A
por el inciso
b) de la propiedad
anterior
por el caso 1
así la igualdad ∅4A = A también es valida.
Ejemplo 85. Verifiquemos la propiedad del inciso d), es decir A4A = ∅
Solución:
A4A
=
|{z}
(A − A) ∪ (A − A)
=
|{z}
(A ∩ Ac ) ∪ (A ∩ Ac )
=
|{z}
∅∪∅
=
|{z}
∅
por la definición
de diferencia
simetrica
(A − B)=(A ∩ B c )
(Ac ∩A)=∅
(A∪A)=A
88
Álgebra
así la igualdad A4A = ∅ es valida.
Ejemplo 86. Sabiendo que H = (A 4 B), I = (A 4 C) y J = (B 4 C) simplificar (H 4 I) 4 J
Solución:
[(H 4 I) 4 J]
=
|{z}
((A 4 B) 4 (A 4 C)) 4 (B 4 C)
=
|{z}
(A 4 B 4 A 4 C) 4 (B 4 C)
=
|{z}
(A 4 A 4 B 4 C) 4 (B 4 C)
=
|{z}
((A 4 A) 4 (B 4 C)) 4 (B 4 C)
=
|{z}
(∅ 4 (B 4 C)) 4 (B 4 C)
=
|{z}
(B 4 C) 4 (B 4 C)
=
|{z}
∅
remplazando
por la
asociatividad
por la
conmutatividad
por la
asociatividad
por la existencia
del inverso
por la existencia
del neutro
por la existencia
del inverso
asi la simplificación de (H 4 I) 4 J es ∅.
2.8.
Conjunto de Partes:
Definición. (2.9) Dado el conjunto A, el conjuntos de partes P (A) de A, es el conjuntos cuyos
elementos son todos los subconjuntos del conjunto A.
La definición (2.9) también se lo puede simbolizar de la siguiente forma
X ∈ P (A)
si y solo si X ⊆ A
Ejemplo 87. Hallar el conjunto de partes de A = {1, 2, 3}
Solución: Todos los subconjuntos del conjunto A son:
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} y {1, 2, 3} = A
89
Álgebra
por tanto
P (A) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , A}
Obs: También el conjunto de partes de A se puede representar de la siguiente forma P (A) =
{X : X ⊆ A}
Ejemplo 88. Hallar el conjunto de partes de A = {a, e, i, o, u}
Solución: Todos los subconjuntos del conjunto A son:
∅, {a}, {e}, {i}, {o}, {u}, {a, e}, {a, i}, {a, o}, {a, u}, {e, i}, {e, o}, {e, u}, {i, o}, {i, u}, {o, u},
{a, e, i}, {a, e, o}, {a, e, u}, {a, i, o}, {a, i, u}, {a, o, u}, {e, i, o}, {e, i, u}, {i, o, u}, {e, o, u},
{a, e, i, o}, {a, e, i, u}, {e, i, o, u}, {a, i, o, u}, {a, e, o, u}, {a, e, i, o, u} = A
por tanto
P (A)
= {∅, {a} , {e} , {i} , {o} , {u} , {a, e} , {a, i} , {a, o} ,
{a, u} , {e, i} , {e, o} , {e, u} , {i, o} , {i, u} , {o, u}
{a, e, i} , {a, e, o} , {a, e, u} , {a, i, o} , {a, i, u} , {a, o, u} ,
{e, i, o} , {e, i, u} , {i, o, u} , {e, o, u} , {a, e, i, o} ,
{a, e, i, u} , {e, i, o, u} , {a, i, o, u} , {a, e, o, u} , A}
2.9.
Producto Cartesiano:
2.9.1.
Par Ordenado:
Si a y b son dos objetos cualesquiera, entonces la existencia de los conjuntos {a} y {a, b} esta
garantizado por la teoría de conjuntos
Definición. (2.10) El par ordenado (a, b) es el conjunto cuyos elementos son {a} y {a, b} , es
decir (a, b) = {a, {a, b}}
Obs: 1) En el par ordenado (a, b) el elemento a es denominado primera componente y el
elemento b es denominado segunda componente.
2) El par ordenado (a, a) = {a}
90
Álgebra
2.9.2.
Producto Cartesiano:
Definición. (2.11) Dados los conjuntos A y B, el producto cartesiano A × B es el conjunto
cuyos elementos son todos los pares ordenados de la forma (a, b) donde la primera coordenada a
pertenece al conjunto A y la segunda coordenada pertenece al conjunto B.
La definición (2.11) también se lo puede simbolizar de la siguiente forma
(a, b) ∈ (A × B)
si y solo si a ∈ A ∧ b ∈ B
Ejemplo 89. Determinar el producto cartesiano de A y B si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}
Solución:
A × B = {(1, 1) , (1, 2) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 1) , (3, 2)}
Ejemplo 90. Determinar el producto cartesiano de B y A si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}
Solución:
B × A = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3)}
Nota: Observando los dos ejemplos anteriores se tiene que A × B 6= B × A, así podemos decir
que en general el producto cartesiano no es conmutativo.
Ejemplo 91. Verificar la siguiente igualdad [(A ∪ B) × C] = [(A × C) ∪ (B × C)]
Solución:
(a, b) ∈ [(A ∪ B) × C]
↔
|{z}
a ∈ (A ∪ B) ∧ b ∈ C
↔
|{z}
(a ∈ A ∨ a ∈ B) ∧ b ∈ C
↔
|{z}
(a ∈ A ∧ b ∈ C) ∨ (a ∈ B ∧ b ∈ C)
↔
|{z}
(a, b) ∈ (A × C) ∨ (a, b) ∈ (B × C)
↔
|{z}
(a, b) ∈ (A × C) ∪ (B × C)
por definición de
producto cartesiano
por definición
de unión
por la ley
distributiva
por definición de
producto cartesiano
por definición
de unión
91
Álgebra
así la igualdad [(A ∪ B) × C] = [(A × C) ∪ (B × C)] es valida.
Ejemplo 92. Demostrar
a) Si A ∪ B = U y A ∩ B = ∅ entonces B = Ac
b) Si A × B = ∅ si y solo si A = ∅ ∨ B = ∅
Solución:
Para el inciso a)
Notemos que el enunciado
Si A ∪ B = U y A ∩ B = ∅ entonces B = Ac
es equivalente al enunciado
Si Ac ∩ B c = ∅ y Ac ∪ B c = U entonces B = Ac
y por definición de igualdad de conjuntos
si y solo si B ⊆ Ac ∧ Ac ⊆ B
| {z } | {z }
B = Ac
Caso 1
Caso 2
Caso 1: Por definición de inclusión de conjuntos
B ⊆ Ac
si y solo si ∀x : x ∈ B → x ∈ Ac
por hipotesis
x∈B
→
|{z}
x∈
/A
→
|{z}
x ∈ Ac
por hipótesis
(A∩B)=∅∧(A∪B)=U
por definición
de complemnento
así la inclusión B ⊆ Ac es verdadera.
Caso 2: Por definición de inclusión de conjuntos
Ac ⊆ B
si y solo si ∀x : x ∈ Ac → x ∈ B
por hipótesis
92
Álgebra
x ∈ Ac
→
|{z}
x∈
/ Bc
→
|{z}
x∈B
por hipótesis
(Ac ∩B c )=∅∧(Ac ∪B c )=U
por definición
de complemnenta
así la inclusión Ac ⊆ B es verdadera.
De los casos 1 y 2 el enunciado; Si A ∪ B = U y A ∩ B = ∅ entonces B = Ac es valida.
Para el inciso b) el enunciado
= ∅}
= ∅} ∨ B
Si A
B = ∅} si y solo si A
| {z
| {z
| × {z
q
p
r
es equivalente a la proposición [p ↔ (q ∨ r)] pero
[p ↔ (q ∨ r)] ⇔ {[p → (q ∨ r)] ∧ [(q ∨ r) → p]}
= ∅} consiste en
así verificar el enunciado: Si A
B = ∅} si y solo si A
= ∅} ∨ B
| {z
| {z
| × {z
Caso 1. (p → (q ∨ r))
q
p
r
Por la contrareciproca se tiene que [p → (q ∨ r)] ⇔ [(∼ q∧ ∼ r) →∼ p] de esta manera en este
caso es conveniente verificar el enunciado
Si A 6= ∅ ∧ B 6= ∅ entonces A × B 6= ∅
| {z } | {z }
| {z }
∼q
∼r
∼p
por hipótesis A 6= ∅ y B 6= ∅ entonces existen los elementos a ∈ A y b ∈ B por tanto (a, b) ∈ A × B
es decir A × B 6= ∅
Caso 2. ((q ∨ r) → p)
Por la contrareciproca se tiene que [(q ∨ r) → p] ⇔ [∼ p → (∼ q∧ ∼ r)] de esta manera en este
caso es conveniente verificar el enunciado
Si A × B 6= ∅ entonces A 6= ∅ ∧ B 6= ∅
| {z }
| {z } | {z }
∼p
∼q
∼r
por hipótesis A × B 6= ∅, entonces existe el elemento (a, b) ∈ A × B tal que a ∈ A y b ∈ B es decir
A 6= ∅ y B 6= ∅
Propiedad: El producto cartesiano es asociativo, es decir A × (B × C) = (A × B) × C
Obs: Si A es un conjunto, entonces A × A = A2 , A × A × A = A3 , en general |A × A{z
· · · × A} = An
n−veces
93
Álgebra
2.10.
Familia de Conjuntos:
En esta sección hablaremos de las familias de conjuntos; Una familias de conjuntos tienen como
elementos a conjuntos.
Usualmente se denota a una familia de conjuntos con letras mayúsculas caligráficas, tales como
A, B,C,..., etc.
Definición. (2.12) Si F es una familia no vaciá de conjuntos, entonces
a) La unión de la familia F es el conjunto
∪F = ∪ A = {x : existe A ∈ F ∧ x ∈ A}
A∈F
b) La intersección de la familia F es el conjunto
∩F = ∩ A = {x : para todo A ∈ F ∧ x ∈ A}
A∈F
Ejemplo 93. Sea M = {{x ∈ N : x es par} , {x ∈ N : x es impar}}, entonces M es una familia
de conjuntos cuyos elementos son el conjunto de los números naturales pares y el conjunto de los
números naturales impares, así N = ∪M, pero N 6= M.
Sea F = {A, B} una familia de conjuntos, entonces ∪F = A ∪ B y ∩F = A ∩ B.
Si el conjunto I 6= ∅ y a cada elemento α ∈ I le corresponde un único elemento Aα , entonces al
sistema A = {Aα : α ∈ I} se la denomina familia de conjuntos indexada por el conjunto I el
cuál es denomido conjunto de indices.
En ocaciones a la familia de conjuntos A = {Aα : α ∈ I} lo denatamos por {Aα }α∈I o simplemente
por {Aα }α .
Obs: Cualquier familia no vacia F puede considerarse como una familia indezada de conjuntos,
donde el conjunto de indices es la misma familia de conjuntos F, es decir F = {FA : A ∈ F} donde
FA = A para todo A ∈ F.
Ejemplo 94. Para cualquier x ∈ R2 , se tiene la familia de conjuntos Rx = C(x,r) : r > 0 (donde
C(x,r) es la circunferencia de centro x y radio r del plano cartesiano) y en esta familia observamos
que el conjunto de indices es I = {r ∈ R : r > 0}.
También la familia de conjuntos E = {Rx : x ∈ R2 } esta indezada por el conjunto de indices
I = R2 .
94
Álgebra
Con el concepto de familia indizada de conjuntos, la unión de la familia F = {Aα }α∈I puede
definirse de la siguiente forma
∪F = ∪ {Aα : α ∈ I} = ∪Aα = {x : ∃α ∈ I tal que x ∈ Aα }
α∈I
y la intersección se define
∩F = ∩ {Aα : α ∈ I} = ∩Aα = {x : ∀α ∈ I implica x ∈ Aα }
α∈I
Pero cuando el conjunto de indices es el conjunto de los números naturales N,la unión se denota
∞
∪ An
o
∞
o
n=0
∪ An
n∈N
y la intersección
∩ An
n=0
∩ An
n∈N
∞
Ejemplo 95. Sea Ak = {n ∈ N : n ≥ k} para k = 1, 2, ... así A1 ⊇ A2 ⊇ A3 · · · , pero ∩ Ak = ∅.
k=0
Propiedades:
a) ∪ An ∩ ∪ Bk = ∪ {An ∩ Bk : (n, k) ∈ N × N}
n∈N k∈N b) ∩ An ∪ ∩ Bk = ∩ {An ∪ Bk : (n, k) ∈ N × N}
n∈N
k∈N
c) X − ∪ {An : n ∈ N} = ∩ {X − An : n ∈ N}
d) X − ∩ {A
n :n ∈ N}= ∪ {X − An : n ∈ N}
∪ An × ∪ Bk = ∪ {An × Bk : (n, k) ∈ N × N}
n∈N k∈N f ) ∩ An × ∩ Bk = ∩ {An × Bk : (n, k) ∈ N × N}
e)
n∈N
2.11.
k∈N
Ejercicios Propuestos:
1. Conjuntos:
1. Escribir los siguientes conjuntos por extensión
n
a) A = {x ∈ Z : | x |≤ 3}
b) B = an : an = − n1 + 1 para n = 2, 3, 4, 5
c) C = x ∈ R : | x − 12 |≤ 2
d) D = {x ∈ Z : x = 2m + 3n donde m, n ∈ Z}
e) E = {x ∈ Z : x2 < 7}
f ) F = {x ∈ Z : x = 4m + 6n donde m, n ∈ Z}
g) G = {x ∈ Z : x3 − 1 = 0}
h) H = {x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0}
i) I = {x ∈ R : x2 + 1 = 2}
j) J = {x ∈ Z : 3 < x < 7 y x es primo}
95
Álgebra
2. Escribir los siguiente conjuntos por comprensión
a) A = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2}
b) B = {i, u}
c) C = {−2, 2}
e) E = {a, b, c}
3. Escribir los siguiente conjuntos por comprensión
a) Conjunto de los números Naturales menores que 38 y múltiplos de 4
b) Conjunto de los números primos mayores que 7 y menores que 37
c) Conjunto de las soluciones enteras de la ecuación x2 − 4 = 0
d) Conjunto de los números impares mayores que 6
2. Inclusión e igualdad de conjuntos
1. Verificar si los siguientes incisos son verdaderos o falsos
a) ∅ ∈ {∅}
b) {∅} ⊆ {{∅}}
c) ∅ = {∅}
d) {∅} ∈ {{∅}}
e) ∅ ⊆ {∅}
f ) {∅} = {∅, {∅}}
g) {a, a, b, c} = {a, b, c}
h) {a} = {a, {a}}
i) {a} ∈ {a, {a}}
j) {a} ⊆ {a, {a}}
k) {{a}} ⊆ {a, {a}}
l) {a, b} ⊆ {a, {a, b}}
2. Determine todos los números enteros x para los cuales la función proposicional P (x) es verdadera
donde
a) Existe números enteros m y n tales que x = 2m + 3n
b) Existe números enteros m y n tales que x = 4m + 6n
3. Unión e Intersección
1. Verificar que
0
0
0
a) Si A ⊆ B y A ⊆ B , entonces A ∩ A ⊆ B ∩ B
0
b) A ∩ B = A si y sólo si A ⊆ B
2. Diga si cada uno de los siguientes incisos son falsos o verdaderos, en caso afirmativo verificarlo
y en caso contrario dar un contra ejemplo
a) A ∪ B = A ∪ C entonces B = C
b) A ∩ B = A ∩ C entonces B = C
c) A ∪ B = A ∪ C y A ∩ B = A ∩ C entonces B = C
3. Determinar los siguientes conjuntos
a) Z+ \ Z−
b) Z+ ∩ Z−
96
c) Z+ ∪ Z−
Álgebra
4. Dado que U = {1, 2, 3, ..., 10}, A = {3, 9, 10}, B = {1, 2, 6, 7} y C = {2, 5, 7, 9} tres conjuntos.
Ubicarlos en un diagrama de Venn conveniente.
5. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 6, 8} y C = {2, 4, 5, 7} obtener un conjunto
X tal que X ⊆ A y X = B ∩ C
6. ¿Cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas? ¿Cuales son falsas? Para las que sean falsas
proporciona un contra ejemplo.
a) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, para todo A, B y C
b) A ∪ B ⊆ A ∩ B implica que A = B
c) A ∩ (∅ ∪ B) = A siempre que A ⊆ B
d) A ∪ B = A ∩ B si y solo si A = B
4. Diferencia y Complemento
1. Considera que U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 5} y C = {2, 3, 5}, tres conjuntos.
Determina los elementos de:
a) X = [(A ∩ B)c ∪ (A − C)] ∩ (A − B)
b) Y = (A ∪ B)c ∩ (A ∪ C)
2. Si U = {1, 2, 3, ..., 10}, A = {1, 3, 5, 6}, B = {3, 6, 9, 10} y C = {3, 4, 5, 6}, determinar los
elementos de los siguientes conjuntos:
a) A ∩ (B − C)
b) C − (B − A)
c) (C − B) − A
d) (Ac − B) ∩ C c
3. Verificar que para cualesquiera conjuntos A, B y C vale que
a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
b) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
c) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C
d) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)
4. Suponga que A ∩ B = ∅, verificar que
a) A ∩ (B ∪ C) = A ∩ C
b) A − B = A
c) A = (A ∪ B) − B
5. Verificar que si B ⊆ A, entonces
a) B ∪ CA (B) = A
b) B ∩ CA (B) = ∅
6. Dados los siguientes conjuntos
97
Álgebra
a) A = {x ∈ Z : | x |≤ 5}
2
c) C = B = {x ∈ N : x < 16}
b) B = {x ∈ N : x es divisor de 6}
d) D = {x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0}
calcular
a) A ∪ D
b) (A ∩ B) ∪ C
c) (A − B) ∪ (B − D)
d) (B − A) ∩ C
e) A4B
f ) (A ∩ B) ∩ C
g) (C − A) ∩ (A − C)
h) (A ∩ B) − C
7. Demuestre que para cualesquiera A, B y C subconjuntos de un conjunto universo Z.
a) {B ∩ [(A ∪ B)c ∪ (B ∪ Ac )c ]}c = Z
b) [(Ac ∪ B) − (A ∪ B)c ] ∪ B c = Z
c) (B ∩ C) − [(A ∩ B) ∪ (C ∪ A)] = ∅
8. Sin utilizar diagramas de Venn, demostrar que:
a) A ⊆ B c si y solo si A ∩ B = ∅
b) A ∪ B = U si y solo si Ac ⊆ B
c) A ⊆ B, entonces (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C)
d) A ⊆ B, entonces (A ∪ C) ⊆ (B ∪ C)
9. Sabiendo que H = A 4 B, I = A 4 C y J = B 4 C simplifique (H 4 I) 4 J
10. Sabiendo que {2, 3} = A ⊆ B ⊆ C y que (A ∪ B) 4 X = (B ∩ C) 4 A determinar el conjunto
X
11. Demostrar (A − B) − C ⊆ A − (B − C)
12. Demostrar A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C)
5. Producto Cartesiano
1. Dibujar en el plano cartesiano
a) A = {(m, n) ∈ N2 :
−1 ≤ m − n ≤ 1}
b) B = {(m, n) ∈ N2 :
1 ≤ m − n ≤ 4}
c) C = {(x, y) ∈ R2 :
x2 = y}
d) D = {(x, y) ∈ R2 :
x ≥ 0 e y ≥ 0 y x + y = 1}
2. Demostrar A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅
3. Demostrar A ⊂ B ∧ C ⊂ D ⇔ A × C ⊂ B × D
4. Demostrar (A − B) × C = (A × C) − (B × C)
5. Demuestre que:
98
Álgebra
a) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)
b) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)
c) A × (B − C) = (A × B) − (A × C)
d) A × (B 4 C) = (A × B) 4 (A × C)
6. Sean A, B ⊆ X y C, D ⊆ Y . Demuestre que:
a) (A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) × (C ∩ D)
b) (A × C) ∪ (B × D) ⊆ (A ∪ B) × (C ∪ D) . Muestre que es posible que se de la igualdad.
c) (X × Y ) − (B × C) = ((X − B) × Y ) ∪ (X × (Y − C))
7. Demostrar o refutar
a) A ⊆ B si y solo si P (A) ⊆ P (B)
b) P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B)
c) P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B)
8. Demostrar (A − B) − C = A − (B ∪ C)
99
CAPÍTULO 3
Relaciones y Funciones
3.1.
Introducción:
Los conceptos de relación y función son sin duda alguna de los más importantes dentro de la
matemática moderna, la mayor parte de las investigaciones se centra en el estudio de estos temas.
3.2.
Relaciones Binarias:
Definición. (3.1) Dados los conjuntos A y B, una relación R es un subconjunto del producto
cartesiano A × B.
La definición (3.1) también es equivalente a
R es una relación de A en B
si y solo si R ⊆ (A × B)
Obs: para indicar que el par ordenado (x, y) pertenece a la relación R ((x, y) ∈ R) suele escribirse
xRy y se lee x esta relacionado con y bajo la relación R.
Ejemplo 96. Si A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 5} y B = {3, 4, 5}, se define la relación R ⊆ A × B, de la
siguiente forma
xRy si y solo si x + y ≤ 5
|{z}
(x,y)∈R
representar R por extensión.
100
Álgebra
Solución: Notemos que A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 5} = {1, 2, 3, 4, 5}, así
A×B
= {(1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (3, 3) , (3, 4) ,
(3, 5) , (4, 3) , (4, 4) , (4, 5) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5)}
de este producto cartesiano ahora hay que selecciónar los pares ordenados que cumplen la condición
x + y ≤ 5 es decir aquellos pares ordenados que al sumar las dos coordenadas no sean mayores
que 5
R = {(1, 3) , (1, 4) , (2, 3)}
Ejemplo 97. Si A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 6} y B = {2, 3, 4, 5}, se define la relación R ⊆ A × B, de
la siguiente forma
xRy si y solo si xy − 3 ≤ 12
|{z}
(x,y)∈R
representar R por extensión.
Solución: Notemos que A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, así
A×B
= {(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) , (2, 5) ,
(3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (3, 5) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (4, 5) ,
(5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5)}
de este producto cartesiano ahora hay que selecciónar los pares ordenados que cumplen la condición
xy − 3 ≤ 12 o lo que es lo mismo xy ≤ 15 es decir aquellos pares ordenados que al multiplicar las
dos coordenadas no sean mayores que 15
R
= {(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) , (2, 5) ,
(3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (3, 5) , (4, 2) , (4, 3) , (5, 2) , (5, 3) , (6, 2)}
3.2.1.
Dominio, Imagen y Relación Inversa:
a) Dominio de una Relación:
Definición. (3.2) Dada la relación R de A en B (R ⊆ A × B), el dominio de la relación R es el
conjunto cuyos elementos son las primeras coordenadas de los pares ordenados que pertenecen a
la relación R, es decir
101
Álgebra
D(R) =





x ∈ A : xRy
|{z} 
(x,y)∈R
Ejemplo 98. Determinar el dominio de la relación R = {(1, 3) , (1, 4) , (2, 3)}
Solución: El dominio de la relación R es:
D(R) = {1, 2}
Ejemplo 99. Determinar el dominio de la relación R = {(1, 2) , (2, 2) , (3, 3) , (5,2) , (4, 2)}
Solución: El dominio de la relación R es:
D(R) = {1, 2, 3, 5, 4}
Ejemplo 100. En el conjunto de los números naturales N se considera la siguiente relación
xRy si y solo si x = y o y = −x + 3. Determinar el dominio de la relación
|{z}
(x,y)∈R
Solución: Notemos que:




R = (x, y) ∈ N × N : x = y ∨ x + y = 3
| {z } | {z }

y=x
y=−x+3
graficando esta relación y proyectando de forma perpendicular hacia el eje horizantal
102
Álgebra
se observa que D(R) = N
Ejemplo 101. Sea A = R2 y R la relación en A definida por (x1 , x2 )R(y1 , y2 ) si y solo si x1 = y1 .
{z
}
|
((x1 ,x2 ),(y1 ,y2 ))∈R
Determinar el dominio de la relación.
Solución: Notemos que:
R = ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) ∈ R2 × R2 : x1 = y1
o equivalentemente
R = {((a, x2 ), (a, y2 )) : a, x2 , y2 ∈ R}
analizando este conjunto se tiene que D(R) = R2
b) Imagen de una Relación:
Definición. (3.3) Dada la relación R de A en B (R ⊆ A × B), la imagen de la relación R es el
conjunto cuyos elementos son las segundas coordenadas de los pares ordenados que pertenecen a
la relación R, es decir
103
Álgebra
I(R) =





y ∈ B : xRy
|{z} 
(x,y)∈R
Ejemplo 102. Determinar la imagen de la relación R = {(1, 3) , (1, 4) , (2, 3)}
Solución: La imagen de la relación R es:
I(R) = {3, 4}
Ejemplo 103. En el conjunto de los números naturales N se considera la siguiente relación
xRy si y solo si x = y o x + y = 3. Determinar la imagen de la relación.
|{z}
(x,y)∈R
Solución: Notemos que:




R = (x, y) ∈ N × N : x = y ∨ x + y = 3
| {z } | {z }

y=x
y=−x+3
graficando esta relación y proyectando de forma perpendicular hacia el eje vertical
se observa que I(R) = N
c) Relación Inversa:
104
Álgebra
Definición. (3.4)
de A en B (R ⊆ A × B), la relación inversa R−1 de R se
 Dada la relación R 


define R−1 = (y, x) ∈ B × A : xRy
|{z} 

(x,y)∈R
Ejemplo 104. Determinar la relación inversa de la relación R = {(1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (1, 1)}
Solución: La relación inversa de la relación R es
R−1 = {(3, 1) , (4, 1) , (3, 2) , (1, 1)}
Ejemplo 105. En el conjunto de los números naturales N se define la siguiente relación
xRy si y solo si x = y o x + y = 3
|{z}
(x,y)∈R
Determinar la relación inversa.
Solución: La relación R en este caso esta definida por xRy si y solo si x = y o x + y = 3, es decir
|{z}
(x,y)∈R
R = {(x, y) ∈ N × N : x = y ∨ x + y = 3}
entonces según la definición (3.4) en la propiedad que colecciona los pares ordenados hay que
cambiar x por y e y por x de esta forma la relación inversa será
R−1 = {(y, x) ∈ N × N : y = x ∨ y + x = 3}
es decir R−1 = R
Ejemplo 106. En R se define la siguiente relación
R = {(x, y) ∈ R × R :| x | +2 | y |= 1}
determinar el dominio, la imagen y el gráfico cartesiano de R.
Solución:
Grafico de la relación R: Recordemos que
105
Álgebra
| a |=


 a
si a ≥ 0

 −a
si a < 0
así se tienen que analizar los siguientes casos
Caso 1: Si x ≥ 0 e y ≥ 0
R
= {(x, y) ∈ R × R :| x | +2 | y |= 1}
= {(x, y) ∈ R × R : x + 2y = 1}
=
(x, y) ∈ R × R : y = − 21 x + 12
Caso 2: Si x ≥ 0 e y < 0
R
= {(x, y) ∈ R × R :| x | +2 | y |= 1}
= {(x, y) ∈ R × R : x + 2 (−y) = 1}
=
(x, y) ∈ R × R : y = 12 x − 12
Caso 3: Si x < 0 e y ≥ 0
R
= {(x, y) ∈ R × R :| x | +2 | y |= 1}
= {(x, y) ∈ R × R : −x + 2y = 1}
=
(x, y) ∈ R × R : y = 12 x + 21
Caso 4: Si x < 0 e y < 0
R
= {(x, y) ∈ R × R :| x | +2 | y |= 1}
= {(x, y) ∈ R × R : −x + 2 (−y) = 1}
=
(x, y) ∈ R × R : y = − 12 x − 12
así el grafico de la relación es
106
Álgebra
Dominio de la relación R:
Para determinar el dominio de la relación en el grafico anterior se tiene que proyectar las aristas
de la figura de forma ortogonal al eje horizantal y de esta forma se tendria que
D(R) = [−1, 1]
Para determinar el imagen de la relación en el grafico anterior se tiene que proyectar las aristas
de la figura de forma ortogonal al eje vertical y de esta forma se tendria que
I(R) = − 21 , 12
3.2.2.
Composición de Relaciones:
Definición. (3.5) Dada las relaciones R ⊆ A × B y S ⊆ B × C, la composición de las relaciones
R y S es la relación S ◦ R ⊆ A × C definida
S ◦ R = {(x, z) ∈ A × C : existe y ∈ B para el cual xRy ∧ ySz}
Ejemplo 107. Si A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 4, 6, 16} y C = {2, 3, 8, 10} y las relaciones R ⊆ A×B
y S ⊆ B × C, definidas por
xRy si y solo si y = x2
ySz si y solo si z = y2
determinar la relación S ◦ R por extensión.
Solución: Según la definición de la relación xRy si y solo si y = x2 hay que coleccionar los pares
ordenados del conjunto A × B cuya segunda coordenada sea igual al cuadrado de la primera
coordenada, es decir
R = {(1, 1) , (2, 4) , (4, 16)}
de forma similar según la definición de la relación ySz si y solo si z = y2 hay que coleccionar los
pares ordenados del conjunto B × C cuya segunda coordenada sea igual a la mitad de la primera
coordenada, es decir
S = {(4, 2) , (6, 3) , (16, 8)}
así según la definición (3.5) se tendrá que
107
Álgebra
→
S
(2, 4)
→
(4, 2)
(4, 16)
→
(16, 8)
R
la segunda coordenada de R es
igual a la primera coordenada de S
(1, 1)
(6, 3)
de donde S ◦ R = {(2, 2) , (4, 8)}
Propiedades:
a) Asociatividad: T ◦ (S ◦ R) = (T ◦ S) ◦ R
b) (S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1
Ejemplo 108. Determinar la relación inversa de la relación S ◦ R = {(2, 2) , (4, 8)}
Solución: Por la definición (3.4) la relación inversa de la relación S◦R es: (S ◦ R)−1 = {(2, 2) , (8, 4)}
Otra forma de determinar la relación inversa de S ◦ R es la siguiente:
Según el ejemplo anterior las relaciones R y S son:
R = {(1, 1) , (2, 4) , (4, 16)} y S = {(4, 2) , (6, 3) , (16, 8)}
así las relaciones inversas de R y S son:
R−1 = {(1, 1) , (4, 2) , (16, 4)}
y S −1 = {(2, 4) , (3, 6) , (8, 16)}
así según la definición (3.5) se tendrá que
S −1
→
la segunda coordenada de S −1 es
R−1
igual a la primera coordenada de R−1
(3, 6)
(2, 4)
→
(4, 2)
(8, 16)
→
(16, 4)
(1, 1)
de donde R−1 ◦ S −1 = {(2, 2) , (8, 4)} y según la propiedad anterior inciso b) se tendrá que
(S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1 = {(2, 2) , (8, 4)}
108
Álgebra
3.2.3.
Relación Definida en un Conjunto:
Definición. (3.6) La relación R, es una relación definida en el conjunto A si R ⊆ A × A
Obs: Los conjuntos ∅ y A2 = A × A son relaciones en el conjunto A, puesto que ∅ ⊆ A × A y
A2 ⊆ A × A.
Las relaciones definidas en el conjunto A se clasifican en:
1) Reflexividad:
R es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → xRx
|{z}
(x,x)∈R
2) No Reflexiva:
R es no reflexiva si y solo si ∃x0 # x0 ∈ A ∧ x0 Rx0
| {z }
(x0 ,x0 )∈R
/
3) Arreflexividad:
R es arreflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → x
Rx
|{z}
(x,x)∈R
/
4) Simetría:
R es simétrica si y solo si ∀x∀y : xRy → yRx
|{z}
|{z}
(x,y)∈R
(y,x)∈R
5) No Simetría:
R es no simétrica si y solo si ∃x0 ∃y0 # x0 Ry0 ∧ y0 Rx0
| {z }
| {z }
(y0 ,x0 )∈R
/
(x0 ,y0 )∈R
6) Asimétrica:
R es asimétrica si y solo si ∀x∀y : xRy → y Rx
|{z}
|{z}
(x,y)∈R
(y,x)∈R
/
7) Transitividad:


R es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z :  xRy ∧ yRz  → xRz
|{z}
|{z}
|{z}
(x,y)∈R
8) No Transitividad:
109
(y,z)∈R
(x,z)∈R
Álgebra


R es no transitiva si y solo si ∃x0 ∃y0 ∃z0 #  x0 Ry0 ∧ y0 Rz0  ∧ x0 Rz0
| {z }
| {z }
| {z }
(x0 ,y0 )∈R
(x0 ,z0 )∈R
/
(y0 ,z0 )∈R
9) Atransitividad:


R es atransitiva si y solo si ∀x∀y∀z :  xRy ∧ yRz  → x
Rz
|{z}
|{z}
|{z}
(x,y)∈R
(x,z)∈R
/
(y,z)∈R
10) Antisimétrica:


R es antisimétrica si y solo si ∀x∀y :  xRy ∧ yRx  → x = y
|{z}
|{z}
(x,y)∈R
(y,x)∈R
Ejemplo 109. Clasificar la relación R = {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (2, 1) , (1, 2)}
Solución:
Veamos si la relación R es: Reflexiva, No reflexiva ó Areflexiva. Para esto notemos que A = {1, 2, 3}
y si
1∈A →
(1, 1) ∈ R
2∈A →
(2, 2) ∈ R
3∈A →
(3, 3) ∈ R
observando este comportamiento de los elementos de la relación R con respecto a los elementos
del conjunto A y las definiciones 1), 2) y 3) la relación R es reflexiva.
Veamos si la relación R es: Simetrica, No simetrica ó Asimetrica, es decir
(1, 1) ∈ R
→ (1, 1) ∈ R
(2, 2) ∈ R
→ (1, 1) ∈ R
(3, 3) ∈ R
→ (3, 3) ∈ R
(2, 1) ∈ R
→ (1, 2) ∈ R
(1, 2) ∈ R
→ (2, 1) ∈ R
observando este comportamiento de los elementos de la relación R y según las definiciones 4), 5)
y 6) la relación R es simetrica.
Veamos ahora si la relación R es: Transitiva, No transitiva o Atransitiva
110
Álgebra
(1, 1) ∧ (1, 1) ∈ R
→ (1, 1) ∈ R
(1, 1) ∧ (1, 2) ∈ R
→ (1, 2) ∈ R
(2, 2) ∧ (2, 2) ∈ R
→ (2, 2) ∈ R
(2, 2) ∧ (2, 1) ∈ R
→ (2, 1) ∈ R
(3, 3) ∧ (3, 3) ∈ R
→ (3, 3) ∈ R
(2, 1) ∧ (1, 1) ∈ R
→ (2, 1) ∈ R
(2, 1) ∧ (1, 2) ∈ R
→ (2, 2) ∈ R
(1, 2) ∧ (2, 2) ∈ R
→ (1, 2) ∈ R
(1, 2) ∧ (2, 1) ∈ R
→ (1, 1) ∈ R
observando este comportamiento de los elementos de la relación R y según las definiciones 7), 8)
y 9) la relación R es transitiva.
Veamos si la relación R es: Antisimetrica
(1, 1) ∈ R ∧ (1, 1) ∈ R
→ 1=1
(2, 2) ∈ R ∧ (2, 2) ∈ R
→ 2=2
(3, 3) ∈ R ∧ (3, 3) ∈ R
→ 3=3
(2, 1) ∈ R ∧ (1, 2) ∈ R
→ 1 6= 2
(1, 2) ∈ R ∧ (2, 1) ∈ R
→ 2 6= 1
observando este comportamiento de los elementos de la relación R y según las definiciones 10) la
relación R es no antisimétrica.
Ejemplo 110. Clasificar la siguiente relación
R = (x, y) ∈ A2 : x2 = y 2
en A = [−1, 1].
Solución:
Veamos si la relación R es: Reflexiva, no reflexiva ó arreflexiva, para esto notemos que la relación
R es equivalente
R = (x, y) ∈ A2 : y = x ∨ y = −x
ahora sí x ∈ A, entonces por el álgebra básica x2 = x2 y según la definición de R se tiene que
(x, x) ∈ R para todo x ∈ A, esto implica que la relación R es reflexiva.
111
Álgebra
Veamos si la relación R es: Simétrica, no simétrica ó asimétrica.
Si (x, y) ∈ R, entonces x2 = y 2 lo que implica que y 2 = x2 es decir (y, x) ∈ R, por tanto la relación
R es simétrica.
Veamos si la relación R es: Transitiva, no transitiva ó atransitiva.
Si (x, y) , (y, z) ∈ R, entonces x2 = y 2 e y 2 = z 2 lo que implica que x2 = z 2 es decir (x, z) ∈ R, por
tanto la relación R es transitiva.
Finalmente veamos si la relación R es: Antisimetrica.
Notemos que (−0,2, 0,2) ∈ R y (0,2, −0,2) ∈ R y como −0,2 6= 0,2, entonces la relación R no
cumple con la definición de antisimétrica, es decir la relación R es no antisimetrica.
Ejemplo 111. En el conjunto R − {0}, se define la relación
xRy si y solo si x +
1
1
=y+
x
y
clasificar la relación.
Solución:
Veamos si la relación R es: Reflexiva, no reflexiva ó arreflexiva.
Notemos que la relación R es equivalente a
n
o
R = (x, y) ∈ (R − {0}) × (R − {0}) : x + x1 = y + y1
ahora si x ∈ R − {0}, entonces por el álgebra de los números reales la igualdad x + x1 = x + x1 es
valida, y esto significa que (x, x) ∈ R, por tanto la relación R es reflexiva.
Veamos si la relación R es: Simetrica, no simetrica ó asimetrica.
Si (x, y) ∈ R entonces x + x1 = y + y1 lo que es equivalente a y + y1 = x + x1 y esto implica que
(y, x) ∈ R, por tanto la relación R es simetrica.
Veamos si la relación R es: Transitiva, no transitiva ó atransitiva.
Si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, entonces x + x1 = y + y1 e y + y1 = z + z1 y por la transitividad de la
igualdad se tendrá que x + x1 = z + z1 y esto significa que (x, z) ∈ R, por tanto la relación R es
transitiva.
Veamos si la relación R es: Antisimetrica.
Si (x, y) ∈ R y (y, x) ∈ R, entonces x + x1 = y + y1 e y + y1 = x + x1 es decir la igualdad y + y1 = x + x1 ,
pero si x = 15 e y = 5 la igualdad y + y1 = x + x1 sigue siendo valida (pues 5 + 15 = 15 + 11 ) y en este
caso se tiene que x 6= y, por tanto la relación R no puede ser antisimetrica.
112
5
Álgebra
3.2.4.
Relaciones de Equivalencia:
Definición. (3.7) La relación R definida en el conjunto A, es de equivalencia si, es reflexiva,
simétrica y transitiva.
Para una mejor comprensión y manipulación de una relación de equivalencia en el conjunto A
vez de utilizar el símbolo R se recomienda utiliza el símbolo ∼. De esta forma las propiedades de
reflexividad, simetría y transitividad quedarían expresadas de la siguiente forma:
a) Reflexividad: Todos los elementos del conjunto A están relacionados con sigo mismo, es
decir
∼ es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∼ x
b) Simetría: Si un primer elemento de A esta relacionado con un segundo elemento de A,
entonces este segundo elemento de A tiene que estar relacionado con el primero elemento de A, es
decir
∼ es simétrica si y solo si ∀x∀y : x ∼ y → y ∼ x
c) Transitiviadad: Si un primer elemento de A esta relacionado con un segundo elemento de
A y este segundo elemento de A a su vez esta relacionado con un tercero elemento de A, entonces
el primer elemento de A tiene que estar relacionado con el tercero elemento de A, es decir
∼ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : (x ∼ y ∧ y ∼ z) → x ∼ z
Ejemplo 112. Verificar que la relación ∼ en R definida por
x ∼ y si y solo si (y − x) ∈ Z (α)
es una relación de equivalencia.
Solución: La relación (α) también se lo puede escribir de la siguiente forma
∼= {(x, y) R × R : y − x = k tal que k ∈ Z}
Ahora veamos si esta relación verifica la reflexividad, la simetría y la transitividad.
Para la reflexividad: La definición de reflexividad indica
∼ es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∼ x
113
Álgebra
así para nuestro ejemplo esta definición se modifica de la siguiente manera
conclusión
z }| {
∼ es reflexiva si y solo si ∀x : x
∈ R} → x
∼ x}
| {z
| {z
(x−x)∈Z
hipotesis
Por hipótesis x ∈ R, pero x − x = 0 y por el álgebra básica 0 ∈ Z, entonces (x − x) ∈ Z, es decir
la relación es reflexiva.
Para la simetría: La definición de simetría indica
∼ es simétrica si y solo si ∀x∀y : x ∼ y → y ∼ x
así para nuestro ejemplo esta definición se modifica de la siguiente manera
hipotesis
conclusión
z }| {
z }| {
∼ es simétrica si y solo si ∀x∀y : x ∼ y → y ∼ x
| {z }
| {z }
(y−x)∈Z
(x−y)∈Z
por hipótesis
x∼y
| {z }
hipotesis
↔
|{z}
(y − x) ∈ Z
→
|{z}
− (y − x) ∈ Z
↔
|{z}
(x − y) ∈ Z
↔
|{z}
y∼x
por (α)
por el álgebra
en los enteros
por el álgebra
en los enteros
por (α)
así la relación es simetrica.
Para la transitividad: La definición de transitividad indica
∼ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : (x ∼ y ∧ y ∼ z) → x ∼ z
así para nuestro ejemplo esta definición se modifica de la siguiente manera
hipotesis
conclusión
}|
{
z
z }| {
∼ z}
∼ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : x ∼ y ∧ y ∼ z → x
| {z
| {z }
| {z }
(y−x)∈Z
por hipótesis
114
(z−y)∈Z
(z−x)∈Z
Álgebra
x∼y∧y ∼z
{z
}
|
hipotesis
↔
|{z}
(y − x) ∈ Z ∧ (z − y) ∈ Z
→
|{z}
((y − x) + (z − y)) ∈ Z
→
|{z}
(z − x) ∈ Z
↔
|{z}
x∼z
por (α)
por el álgebra
en los enteros
por el álgebra
en los enteros
por (α)
así la relación es transitiva. De esta forma la relación ∼ es una relación de equivalencia.
Ejemplo 113. Se define la relación ≡ en el conjunto de los números enteros Z, como sigue.
x ≡ y si y solo si y − x es divisible entre 2 (β)
verificar que es una relación de equivalencia.
Solución: Veamos si se verifican las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad.
Para la reflexividad: La definición de reflexividad indica
∼ es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∼ x
así para nuestro ejemplo esta definición se modifica de la siguiente manera
conclusión
≡ es reflexiva si y solo si ∀x : x
∈ Z} →
| {z
hipotesis
z
}|
x
≡ x}
| {z
{
x−x es divisible entre 2
Por hipótesis x ∈ Z, entonces por el álgebra básica 0 = x − x pero 2 | 0 por tanto 0 es divisible
entre 2, o lo que es lo mismo x − x es divisible por 2, es decir x ≡ x.
Para la simetría: La definición de simetría indica
∼ es simétrica si y solo si ∀x∀y : x ∼ y → y ∼ x
así para nuestro ejemplo esta definición se modifica de la siguiente manera
hipotesis
≡ es simétrica si y solo si ∀x∀y :
z
}|
x≡y
| {z }
conclusión
{
y−x es divisible entre 2
así
115
→
z
}|
y≡x
| {z }
{
x−y es divisible entre 2
Álgebra
x≡y
| {z }
↔
|{z}
y − x es divisible entre 2
→
|{z}
− (y − x) es divisible entre 2
→
|{z}
−y + x es divisible entre 2
→
|{z}
x − y es divisible entre 2
↔
|{z}
y≡x
por (β)
hipotesis
por el álgebra
en los enteros
por el álgebra
en los enteros
por el álgebra
en los enteros
por (β)
así la relación es simetrica.
Para la transitividad: La definición de transitividad indica
∼ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : x ∼ y ∧ y ∼ z → x ∼ z
así para nuestro ejemplo esta definición se modifica de la siguiente manera
hipotesis
≡ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z :
z
x≡y
| {z }
y−x es divisible entre 2
}|
∧
conclusión
y≡z
| {z }
{
z−y es divisible entre 2
→
z
}|
x
≡ z}
| {z
z−x es devisible entre 2
de donde
x≡y∧y ≡z
{z
}
|
hipotesis
↔
|{z}
y − x es divisible entre 2 ∧ z − y es divisible entre 2
→
|{z}
((y − x) + (z − y)) es divisible entre 2
→
|{z}
−x + z es divisible entre 2
→
|{z}
z − x es divisible entre 2
↔
|{z}
x≡z
por (β)
por el álgebra
en los enteros
por el álgebra
en los enteros
por el álgebra
en los enteros
por (β)
así la relación es transitiva, de esta manera la relación ≡ es una relación de equivalencia.
Ejemplo 114. En Z se define la siguiente relación
116
{
Álgebra
(x, y) ∈ R si y sólo si 3 | x + y
a) Determinar el dominio y la imagen de la relación
b) Ver si la relación R es una relación de equivalencia
Solución: Para el inciso a)
Para el dominio; la relación
(x, y) ∈ R si y sólo si 3 | x + y
también se puede escribir de la siguiente manera
R=


(x, y) ∈ Z × Z :



3|x+y
| {z }

y=−x+3k para k ∈ Z
así si se proyecta la recta y = −x + 3k para k ∈ Z en el plano cartesiano de forma ortogonal con
respecto a los ejes x e y se observa que D(R) = Z y Im(R) = Z
Para el inciso b)
1.- Veamos si la relación es reflexiva; La definición de reflexividad indica
(x,x)∈R
z}|{
R es reflexiva si y solo si ∀x : x
∈
Z
→
|xRx
{z }
| {z }
hipotesis
conclusión
por hipótesis x ∈ Z, en particular si x = 5 entonces (5, 5) ∈
/ R pues no existe ningún número
entero k tal que 5 = −5 + 3k. Así la relación no es reflexiva por tanto no es una relación de
equivalencia.
Ejemplo 115. Verificar si el siguiente conjunto R = {(x, y) ∈ N × N : x − y es divisible por 5}
es una relación de equivalencia.
Solución: Notemos
x − y es divisible por 5 es equivalente a 5 | (x − y)
es equivalente a x − y = 5k para algún entero k
así la relación R tanbién es equivalente a siguiente conjunto
R = {(x, y) ∈ N × N : x − y = 5k para algún entero k}
117
Álgebra
Ahora veamos si la relación R es reflexiva, simetrica y transitiva.
Para la reflexividad: La definición de reflexividad indica
∼ es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∼ x
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
conclusión
R es reflexiva si y solo si ∀x : x
∈ N} →
| {z
hipótesis
z }| {
(x, x) ∈ R
| {z }
x−x=5k para algún entero k
por hipótesis
x∈N
→
|{z}
x−x=0
→
|{z}
x − x = 5 (0) para 0 ∈ Z
→
|{z}
(x, x) ∈ R
por el álgebra
basica
0=5(0)
por definición
de R
así la relación R es reflexiva.
Para la simetria: La definición de simetria indica
∼ es simétrica si y solo si ∀x∀y : x ∼ y → y ∼ x
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
R es simétrica si y solo si ∀x∀y :
hipótesis
conclusión
z }| {
(x, y) ∈ R
| {z }
z }| {
(y, x) ∈ R
| {z }
x−y=5k1 para algún k1 ∈Z
→
y−x=5k2 para algún k2 ∈Z
por hipótesis
(x, y) ∈ R
→
|{z}
x − y = 5k1 para algún k1 ∈ Z
↔
|{z}
− (x − y) = −5k1 para algún k1 ∈ Z
↔
|{z}
y − x = 5(−k1 ) para algún k2 ∈ Z
| {z }
por definición
de R
por el álgebra
basica
por el álgebra
basica
→
|{z}
k2
(y, x) ∈ R
por definición
de R
118
Álgebra
así la relación es simetrica.
Para la transitividad: La definición de simetria indica
∼ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : x ∼ y ∧ y ∼ z → x ∼ z
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
hipótesis
hipótesis
conclusión
z }| {
z }| {
z }| {
R es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R
| {z }
| {z }
| {z }
x−y=5k1
para algún k1 ∈Z
y−z=5k2
para algún k2 ∈Z
x−z=5k3
para algún k3 ∈Z
por hipótesis
(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
↔
|{z}
x − y = 5k1 y y − z = 5k2 para algún k1 , k2 ∈ Z
→
|{z}
(x − y) + (y − z) = 5k1 + 5k2 para algún k1 , k2 ∈ Z
↔
|{z}
x − z = 5(k1 + k2 ) para algún k3 ∈ Z
| {z }
por la
definición de R
por el álgebra
basica
por el álgebra
basica
↔
|{z}
k3
(x, z) ∈ R
por la
definición de R
así la relación R es transitiva. En resumen la relación R es una relación de equivalencia.
Ejemplo 116. Verificar si la siguiente relación R = (x, y) ∈ [1, 3] × [1, 3] : (x − 2)2 + (y − 2)2 = 1
es una relación de equivalencia.
Solución: Veamos si la relación R es reflexiva, simetrica y transitiva.
Para la reflexividad: La definición de reflexividad indica
∼ es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∼ x
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
conclusión
R es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ [1, 3] →
| {z }
hipótesis
por hipótesis
119
z }| {
(x, x) ∈ R
| {z }
(x−2)2 +(x−2)2 =1
Álgebra
!2
x ∈ [1, 3]
2 −2
|{z}
→
|{z}
+
x
Sea x=2∈[1,3]
→
|{z}
!2
2 −2
|{z}
x
0
por el álgebra
basica
así la relación es no reflexiva, pues para el punto x = 2 ∈ [1, 3] la propiedad (x − 2)2 +(x − 2)2 = 1
no se verifica y para x = √12 + 2 ∈ [1, 3] la propiedad si se verifica (x − 2)2 + (x − 2)2 = 1. De
esta forma la relación planteado en este ejemplo no puede ser una relación de equivalencia.
3.2.4.1.
Clase de equivalencia y Conjunto Cociente:
Definición. (3.8) Si ∼ es una relación de equivalencia en A y para cualquier a ∈ A. La clase de
equivalencia de a modulo ∼ es el conjunto
[a] = {x ∈ A : x ∼ a}
Ejemplo 117. En la anterior sección se verifico que las relaciones
a) x ∼ y si y solo si (y − x) ∈ Z en R
b) x ≡ y si y solo si y − x es divisible entre 2 en Z
son relaciones de equivalencia. Determinar las clases de equivalencia
Solución: Para el inciso a)
Según la definición (3.8), para cualquier a ∈ R
[a]
= {x ∈ R : x ∼ a}
por definición de clase de equivalencia
= {x ∈ R : a ∼ x}
por simetria
= {x ∈ R : (x − a) ∈ Z}
por definición de relación
= {x ∈ R : x − a = k para k ∈ Z} por el álgebra en los enteros
= {x ∈ R : x = a + k para k ∈ Z}
por el álgebra en los enteros
así m
[a] = {x ∈ R : x = a + k para k ∈ Z}
Para el inciso b)
Según la definición (3.8), para cualquier a ∈ Z
120
Álgebra
[a]
= {x ∈ Z : x ≡ a}
por definición de clase
= {x ∈ Z : a ≡ x}
por simetria
= {x ∈ Z : x − a es divisible entre 2}
por definición de relación
= {x ∈ Z : 2 | (x − a)}
por definición de divisibilidad
= {x ∈ Z : x − a = 2k para algún k ∈ Z}
por definición de divisibilidad
= {x ∈ Z : x = 2k + a para algun k ∈ Z}
por el álgebra en los enteros
así
[a] = {x ∈ Z : x = 2k + a para algun k ∈ Z}
la relación x = 2k + a indica que x se esta dividiendo entre 2 y que el resto es a, pero por el
algoritmo de la división 0 ≤ a < 2 por tanto a = 0 o a = 1, así para la relación ≡ hay dos clases
de equivalencia que son:
[0] = {x ∈ Z : x = 2k + 0 para algún k ∈ Z} = {..., −4, −2, 0, 2, 4, ...}
[1] = {x ∈ Z : x = 2k + 1 para algún k ∈ Z} = {..., −3, −1, 1, 3, 5, ...}
Ejemplo 118. En el ejemplo 109 se verifico que la relación
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (1, 2)}
es Reflexiva, Simetrica y Transitiva por tanto es una relación de equivalecia, entonces las clases
de equivalencia [1], [2] y [3] serán
Para la clase [1] segunla definición
[1]
= {x ∈ A : xR1}
= {x ∈ A : (x, 1) ∈ R}
= {1, 2}
Para la clase [2] segunla definición
[2]
= {x ∈ A : xR2}
= {x ∈ A : (x, 2) ∈ R}
= {1, 2}
121
Álgebra
Para la clase [3] segunla definición
[3]
= {x ∈ A : xR3}
= {x ∈ A : (x, 3) ∈ R}
= {3}
Asi se observa que la relación R tiene las siguientes clases de equivalencia [1] = [2] y [3] de esta
forma el conjunto cociente es
A
= {[1], [3]}
R
Teorema. (3.1) Sea ∼ una relación de equivalencia en A y a, b ∈ A, entonces
a) a es equivalente a b modulo ∼ si y solo si [a] = [b]
b) a no es equivalente a b modulo ∼ si y solo si [a] ∩ [b] = ∅
Demostración. Para el inciso a), el enunciado
a es equivalenete a b modulo ∼si y solo si[a] = [b]
|
{z
}| {z }| {z }
↔
p
q
es equivalente a (p ↔ q) que a su vez es lógicamente equivalente a (p → q) ∧ (q → p)
| {z } | {z }
Caso 1
Caso 2
Caso 1: Verifiquemos la proposición (p → q) o equivalentemente verifiquemos el enunciado
[a] = [b]
a es equivalenete a b modulo ∼entonces
{z
}| {z }| {z }
|
→
p
q
en este enunciado la conclusión es una igualdad de conjuntos, así por la definición de igualdad de
conjuntos se tiene
[a] = [b] si y solo si [a] ⊆ [b] ∧ [b] ⊆ [a]
| {z } | {z }
subcaso 1
subcaso 2
Subcaso 1: Verifiquemos ([a] ⊆ [b]), por definición de inclusión de conjuntos se tiene
[a] ⊆ [b] si y solo si ∀x : x ∈ [a] → x ∈ [b]
| {z }
| {z }
hipótesis
122
conclusión
Álgebra
así por hipótesis
x ∈ [a]
↔
|{z}
x ∈ {y ∈ A : y ∼ a}
↔
|{z}
x∼a
→
|{z}
x∼b
↔
|{z}
x ∈ {y ∈ A : y ∼ b}
↔
x ∈ [b]
por definición
de clase
por definición
de conjunto
por hipótesis
a∼b y comox∼a
entonces x∼b
por definición
de clase
por notación
así [a] ⊆ [b].
Subcaso 2: Verifiquemos ([b] ⊆ [a]), este subcaso es análogo al subcaso 1.
Así de los subcasos 1 y 2 se verifica la igualdad [a] = [b].
Caso 2: Ahora verifiquemos la proposición (q → p), o equivalentemente verifiquemos el enunciado
[a] = [b]entonces
a es equivalenete a b modulo ∼
{z
}
| {z }| {z }|
p
→
q
Si a ∈ A así a ∈ [a], entonces por hipotesis [a] = [b] lo que implica que a ∈ [b] = {x ∈ A : x ∼ b}
lo que implica que a ∼ b, por tanto a es equivalente a b modulo ∼.
Para el inciso b), según el teorema se tiene
a no es equivalenete a b modulo ∼si y solo si[a] ∩ [b] = ∅
|
{z
}| {z }|
{z
}
↔
p
q
la proposición (p ↔ q) es logicamente equivalente a la proposición (p → q) ∧(q → p) así analicemos
| {z } | {z }
Caso 1
los casos
Caso 2
Caso 1: Verifiquemos la proposición (p → q), o equivalentemente hay que verificar el enunciado
a no es equivalenete a b modulo ∼entonces
[a] ∩ [b] = ∅
|
{z
}| {z }|
{z
}
→
p
123
q
Álgebra
y este enunciado también es equivalente al siguiente enunciado
∼
a
∩ [b] = ∅
b entonces
| {z }[a]
|{z}
{z
}
|
→
p
q
pero este enunciado es mejor verificarlo por el método de la contrarrecíproca ya que (p → q) ⇔
(∼ q →∼ p) por tanto el nuevo enunciado a verificar será
[a] ∩ [b] 6= ∅entonces
a∼b
|
{z
}| {z }| {z }
→
∼q
∼p
Por hipotesis [a] ∩ [b] 6= ∅, entonces existe almenos un x ∈ A tal que x ∈ [a] ∩ [b] y por intersección
de conjuntos x ∈ [a] ∧ x ∈ [b] lo que implica que x ∼ a ∧ x ∼ b pero como la relación ∼ es
una relación de equivalencia, entonces x ∼ a ∧ x ∼ b es equivalente a a ∼ x ∧ x ∼ b y por la
transitividad se tendrá que a ∼ b, es decir a es equivalente a b modulo ∼.
Caso 2: Verifiquemos la proposición (q → p), o equivalentemente hay que verificar el enunciado
a no es equivalenete a b modulo ∼
[a] ∩ [b] = ∅entonces
{z
}
{z
}| {z }|
|
→
q
p
y este enunciado también es equivalente al enunciado
[a] ∩ [b] = ∅entonces
a
∼
b
|
{z
}| {z }|{z}
→
q
p
pero este enunciado es mejor verificarlo por el método de la contradicción, es decir hay que verificar
el siguiente enunciado
∼ bentonces F
[a] ∩ [b] = ∅ ∧ a
|
{z
} | {z }
q
∼p
Por hipotesis [a] ∩ [b] = ∅ y a ∼ b, así la relación a ∼ b indica que a ∈ [b] por otro lado a ∈ [a],
entonces a ∈ [a] ∩ [b] lo que implica que [a] ∩ [b] 6= ∅ y esto contradice la hipotesis [a] ∩ [b] = ∅.
Definición. (3.9) Si ∼ es una relación de equivalencia en A, entonces la familia de todas las clases
de equivalencia modulo ∼ se define
124
Álgebra
A
= {[a] : a ∈ A}
∼
A
y al conjunto ∼
se lo denomina conjunto cociente de A por la relación ∼.
Ejemplo 119. Determinar el conjunto cociente de las siguientes relaciones de equivalencia
a) x ∼ y si y solo si (y − x) ∈ Z en R
b) x ≡ y si y solo si y − x es divisible entre 2 en Z
Solución: Para el inciso a)
Para cualquier a ∈ R la clase de equivalencia de la relación ∼ es [a] = {x ∈ R : x = a + k para k ∈ Z},
R
= {[a] : a ∈ R} .
por tanto ∼
Para el inciso b)
Según la realación ≡ de equivalencia se tiene las dos clases [0] y [1], así por la definición (3.9) el
conjunto cociente será ∼Z = {[0], [1]}.
A
Teorema. (3.2) Si ∼ es una relación de equivalencia en A, entonces el conjunto cociente ∼
es
una partición de A.
A
Demostración. Para que el conjunto cociente ∼
sea una partición del conjunto A, las clases de
A
equivalencia del conjunto cociente ∼
tienen que verificar los siguientes incisos
A
a) Si [a], [b] ∈ ∼
entonces [a] ∩ [b] = ∅
A
b) La unión de todas las clases de equivalencia del conjunto cociente ∼
tiene que ser el conjunto
A
A
, entonces a no es equivalente a b modulo ∼ así según el
Para el inciso a), por hipotesis [a], [b] ∈ ∼
teorema (3.1) e inciso
b) se tiene
que [a] ∩ [b] = ∅
Para el inciso b)
∪ [x] = A
x∈A
Ejemplo 120. En el conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se considera la relación.
xRy si y solo si x − y es multiplo de 3
probar que es de equivalencia, hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
Solución. Notemos que
125
Álgebra
A×A
= {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (0, 7), (0, 8), (0, 9)
(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9)
(2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9)
(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9)
(4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9)
(5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9)
(6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (6, 7), (6, 8), (6, 9)
(7, 0), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (7, 7), (7, 8), (7, 9)
(8, 0), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 7), (8, 8), (8, 9)
(9, 0), (9, 1), (9, 2), (9, 3), (9, 4), (9, 5), (9, 6), (9, 7), (9, 8), (9, 9)}
pero (x, y) ∈ R si y solo si x − y = 3k para algún entero k, entonces
R
= {(0, 0), (0, 3), (0, 6), (0, 9), (1, 1), (1, 4),
(1, 7), (2, 2), (2, 5), (2, 8), (3, 0), (3, 3),
(3, 6), (3, 9), (4, 1), (4, 4), (4, 7), (5, 2),
(5, 5), (5, 8), (6, 0), (6, 3), (6, 6), (6, 9),
(7, 1), (7, 4), (7, 7), (8, 2), (8, 5), (8, 8),
(9, 0), (9, 3), (9, 6), (9, 9)}
Ahora veamos si la relación R es una relación de equivalencia en el conjunto A.
a) Reflexividad: La definición de reflexividad indica
R es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → (x, x) ∈ R
ahora veamos si los elementos de la relación R verifican la propiedad x ∈ A → (x, x) ∈ R para
todos los elementos del conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, es decir
126
Álgebra
0∈A →
(0, 0) ∈ R
1∈A →
(1, 1) ∈ R
2∈A →
(2, 2) ∈ R
3∈A →
(3, 3) ∈ R
4∈A →
(4, 4) ∈ R
5∈A →
(5, 5) ∈ R
6∈A →
(6, 6) ∈ R
7∈A →
(7, 7) ∈ R
8∈A →
(8, 8) ∈ R
9∈A →
(9, 9) ∈ R
así la relación R es reflexiva
b) Simetria: La definición de simetria indica
R es simétrica si y solo si ∀x∀y : (x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R
ahora veamos si los elementos de la relación R verifican la propiedad (x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R para
todos los elementos de la relación R
(0, 0) ∈ R
→ (0, 0) ∈ R
(0, 3) ∈ R
→ (3, 0) ∈ R
..
.
(9, 9) ∈ R
→ (9, 9) ∈ R
así la relación es simetrica
c) Transitividad: La definición de transitividad indica
R es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R
ahora veamos si los elementos de la relación R verifican la propiedad (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R →
(x, z) ∈ R para todos los elementos de la relación R
(0, 0) ∈ R ∧ (0, 0) ∈ R
→
(0, 0) ∈ R
(0, 0) ∈ R ∧ (0, 3) ∈ R
→
..
.
(0, 3) ∈ R
(9, 9) ∈ R ∧ (9, 0) ∈ R
→
(9, 0) ∈ R
127
Álgebra
así la relación R es transitiva.
Por tanto de los incisos a), b) y c) la relación (x, y) ∈ R si y solo si x − y = 3k para algun entero k
es una relación de equivalencia.
Ahora determinemos las clases de equivalencia de la relación de equivalencia, para esto si a ∈ A,
entonces
[a]
= {x ∈ A : (x, a) ∈ R}
= {x ∈ A : x − a = 3k para algún entero k}
= {x ∈ A : x = 3k + a para algún entero k}
en la igualdad x = 3k + a se observa que a es el resto de dividir x entre 3 así por el algoritmo de la
división 0 ≤ a < 3, pero como a ∈ A, entonces a = 0, 1, 2, así se tienen las clases de equivalencia
[0]
= {x ∈ A : x = 3k para algún entero k}
= {0, 3, 6, 9}
[1]
= {x ∈ A : x = 3k + 1 para algún entero k}
= {1, 4, 7}
[2]
= {x ∈ A : x = 3k + 2 para algún entero k}
= {2, 5, 8}
A
= {[0], [1], [2]}
así las clases de equivalencia son: [0], [1] y [2], por tanto el conjunto cociente es R
Ejemplo 121. Para (x, y) , (u, v) ∈ R2 se define la relación (x, y) ∼ (u, v) si y sólo si x2 − y 2 =
u2 − v 2 . Probar que ∼ es una relación de equivalencia en R2 . Describir geometricamente la clase
de equivalencia de [(0, 0)] y [(1, 0)]
Solución: Primero veamos si la relación (x, y) ∼ (u, v) si y sólo si x2 − y 2 = u2 − v 2 es una relación
de equivalencia, es decir
Reflexividad:
x2 −y 2 =x2 −y 2
z
}|
{
∼ es reflexiva si y solo si ∀ (x, y) : (x, y) ∈ R2 → (x, y) ∼ (x, y)
| {z }
{z
}
|
hiporesis
128
conclusión
Álgebra
Por hipótesis (x, y) ∈ R2 entonces x, y ∈ R así por el álgebra de los números reales es verdad que
x2 − y 2 = x2 − y 2 y esto significa que (x, y) ∼ (x, y), es decir la relación ∼ es reflexiva.
Simetria:
x2 −y 2 =u2 −v 2
u2 −v 2 =x2 −y 2
z
}|
{
}|
{
z
∼ es simetrica si y solo si ∀ (x, y) , (u, v) : (x, y) ∼ (u, v) → (u, v) ∼ (x, y)
{z
}
{z
}
|
|
hipotesis
conclisión
Por hipotesis (x, y) ∼ (u, v), entonces x2 − y 2 = u2 − v 2 y por la simetria de la igualdad u2 − v 2 =
x2 − y 2 y esto significa que (u, v) ∼ (x, y), es decir la relación ∼ es simetrica
Transitividad:
x2 −y 2 =u2 −v 2
u2 −v 2 =t2 −s2
x2 −y 2 =t2 −s2
}|
{ z
}|
{
}|
{
z
z
∼ es transitiva si y solo si ∀ (x, y) , (u, v) , (t, s) : (x, y) ∼ (u, v) ∧ (u, v) ∼ (t, s) → (x, y) ∼ (t, s)
|
{z
}
|
{z
}
hipotesis
conclusión
Por hipotesis
(x, y) ∼ (u, v) si y solo si x2 − y 2 = u2 − v 2 (1)
(u, v) ∼ (t, s) si y solo si u2 − v 2 = t2 − s2 (2)
de las ecuaciones (1) y (2) por la transitividad de la igualdad se tendrá que
x2 − y 2 = t2 − s2
y esto significa que (x, y) ∼ (t, s), es decir la relación ∼ es transitiva, así nuestra relación es de
equivalencia.
Ahora determinemos las clases de equivalencia [(0, 0)] y [(1, 0)], por definición de clase
[(0, 0)]
= {(x, y) ∈ R2 : (x, y) ∼ (0, 0)}
= {(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 = 02 − 02 }
= {(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 = 0}
= {(x, y) ∈ R2 : (x + y) (x − y) = 0}
= {(x, y) ∈ R2 : (x + y) = 0 ∨ (x − y) = 0}
= {(x, y) ∈ R2 : y = −x ∨ y = x}
por otro lado
[(1, 0)]
= {(x, y) ∈ R2 : (x, y) ∼ (1, 0)}
= {(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 = 12 − 02 }
= {(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 = 1}
n
o
2
2
=
(x, y) ∈ R2 : x12 − y12 = 1
129
Álgebra
3.2.5.
Relación de Orden:
Definición. (3.10) La relación en A, que es reflexiva, antisimetrica y transitiva es denomina relación de orden parcial en A. Al par (A, ) se la denomina conjunto parcialmente
ordenado.
Ejemplo 122. La relación menor o igual que (≤) definida por
n ≤ m si y solo si, existe s ∈ N ∪ {0} tal que m = n + s
para cualesquiera n, m ∈ Z, es una relación de orden parcial en el conjunto de los números enteros.
Solución: Según la definición (3.10) veamos si la relación ≤ es: Reflexiva, antisimetrica y transitiva.
Para la Reflexividad: La definición de reflexividad indica
∼ es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∼ x
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
conclusión
≤ es reflexiva si y solo si ∀n : n
∈ Z} →
| {z
hipotesis
}|
n≤n
| {z }
z
{
existe s∈N∪{0} tal que n = n + s
Por hipótesis n ∈ Z, entonces por el álgebra básica n = n + 0 para 0 ∈ N ∪ {0} lo que significa
que n ≤ n.
Para la antisimetria: La definición de antisimetria indica
∼ es antisimetrica si y solo si ∀x∀y : x ∼ y ∧ y ∼ x → x = y
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
hipotesis
≤ es antisimetrica si y solo si ∀n∀m :
z
n≤m
| {z }
existe s∈N∪{0}
tal que m=n+s
}|
∧
conclusión
m≤n
| {z }
{
z }| {
→ n=m
existe t∈N∪{0}
tal que n=m+t
por hipotesis
n ≤ m si y solo si, existe s ∈ N ∪ {0} tal que m = n + s (1)
m ≤ n si y solo si, existe t ∈ N ∪ {0} tal que n = m + t (2)
130
Álgebra
remplazando (2) en (1) se tiene
m = n + s |{z}
= (m + t) + s = m + (t + s)
n=m+t
es decir m = m + (t + s) lo que implica que t + s = 0 pero como t ∈ N ∪ {0} y s ∈ N ∪ {0} por
tanto t = 0 y s = 0, así de (1) o (2) se tiene que n = m.
Para la transitividad: La definición de transitividad indica
∼ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : x ∼ y ∧ y ∼ z → x ∼ z
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
existe s∈N∪{0} tal que t = n + s
≤ es transitiva si y solo si ∀n∀m∀t : n ≤ m ∧ m ≤ t →
{z
}
|
|
hipotesis
z }| {
n≤t
{z
}
conclusión
por hipótesis
n ≤ m si y solo si, existe s1 ∈ N ∪ {0} tal que m = n + s1 (1)
m ≤ t si y solo si, existe s2 ∈ N ∪ {0} tal que t = m + s2 (2)
remplazando (1) en (2) se tiene
t = m + s2 |{z}
= (n + s1 ) + s2 = n + (s1 + s2 )
m=n+s1
de donde t = n + (s1 + s2 ) pero como s1 ∈ N ∪ {0} y s2 ∈ N ∪ {0}, entonces s1 + s2 ∈ N ∪ {0}.
| {z }
s
Así n ≤ t.
por tanto la relación
n ≤ m si y solo si, existe s ∈ N ∪ {0} tal que m = n + s
es una relación de orden parcial.
Definición. (3.11) La relación ≺ en A, que es asimetrica y transitiva se denomina relación de
orden estricto en A. Al par (A, ≺) se la denomina conjunto estrictamente ordenado.
Ejemplo 123. Dados los conjuntos A y B la relación A ⊂ B de inclusión es una relación de orden
estricto.
131
Álgebra
Solución: Según la definición (3.11) hay que verificar que la relación ⊂ cumpla con las propiedades
de asimetria y transitividad.
Para la asimetria: La definición de asimetria indica
∼
∼ es asimetrica si y solo si ∀x∀y : x ∼ y → y
x
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
⊂ es asimetrica si y solo si ∀A∀B : A
⊂ B} → |B{z
⊂
A
| {z
}
hipotesis
conclusión
Por hipótesis A ⊂ B, es decir A es un subconjunto propio de B por tanto existe b0 ∈ B tal que
b0 ∈
/ A, lo cual implica que B
⊂
A.
Para la transitividad: La definición de transitividad indica
∼ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : x ∼ y ∧ y ∼ z → x ∼ z
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
⊂ C}
⊂ es transitiva si y solo si ∀A∀B∀C : A
∧ B ⊂ C} → A
| {z
| ⊂ B {z
hipotesis
conclusión
por el álgebra de conjuntos esta propiedad es verdadera.
por tanto la relación ⊂ es un orden estricto.
Ejemplo 124. En el conjunto (R − {0}) × R se define la relación (x, y) R (z, t) si y solo si x ≤ z,
y
= zt . Indicar que tipo de relación de orden es.
x
Solución: Veamos si la relación del ejemplo verifica las propiedades de reflexividad, antisimetrica
y transitiva.
Para la reflexividad: La definición de reflexividad indica
∼ es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∼ x
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
conclusión
z
}|
{
R es reflexiva si y solo si ∀ (x, y) : (x, y) ∈ (R − {0}) × R → (x, y) R (x, y)
|
{z
}
|
{z
}
hipótesis
132
y
y
x≤x∧ x
=x
Álgebra
Por hipótesis sea (x, y) ∈ (R − {0}) × R, entonces x ∈ (R − {0}) e y ∈ R y por la relación de
orden menor o igual que en el conjunto de los números reales es verdad que x ≤ x como también
es verdad que xy = xy por tanto en verdad que (x, y) R (x, y), esto indica que la relación es reflexiva.
Para la antisimetria: La definición de antisimetria indica
R es antisimetrica si y solo si ∀x∀y : xRy ∧ yRx → x = y
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
hipótesis
}|
{
z
R es antisimetrica si y solo si ∀ (x, y) ∀ (z, t) : (x, y) R (z, t) ∧ (z, t) R (x, y) → (x, y) = (z, t)
|
{z
} |
{z
}
{z
}
|
y
x≤z∧ x
= zt
y
z≤x∧ zt = x
conclusión
Por hipótesis
(x, y) R (z, t) si y solo si x ≤ z ∧ xy = zt (1)
(z, t) R (x, y) si y solo si z ≤ x ∧ zt = xy (2)
en las ecuaciones (1) y (2) se observa que x ≤ z y z ≤ x, entonces por el álgebra de los números
reales se tiene que x = z. Por otro lado en las ecuaciones (1) y (2) se tiene la relación xy = zt pero
como x = z entonces la relación xy = zt es equivalente a
t
y
=
x
x
y gracias al álgebra de los números reales y = t. En resumen gracias a las ecuaciones (1) y (2) se
obtiene que x = z e y = t por tanto (x, y) = (z, t) lo que implica que la relación es antisimetrica.
Para la transitividad: La definición de transitividad indica
∼ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : x ∼ y ∧ y ∼ z → x ∼ z
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
R es transitiva si y solo si
hipótesis
conclusión
z
z
}|
{
}|
{
∀ (x1 , y1 ) ∀ (x2 , y2 ) ∀ (x3 , y3 ) : (x1 , y1 ) R (x2 , y2 ) ∧ (x2 , y2 ) R (x3 , y3 ) → (x1 , y1 ) R (x3 , y3 )
|
{z
} |
{z
}
|
{z
}
y
y
x1 ≤x2 ∧ x1 = x2
1
2
y
y
x2 ≤x3 ∧ x2 = x3
2
3
Por hipótesis
(x1 , y1 ) R (x2 , y2 ) si y solo si x1 ≤ x2 ∧ xy11 = xy22 (1)
(x2 , y2 ) R (x3 , y3 ) si y solo si x2 ≤ x3 ∧ xy22 = xy33 (2)
133
y
y
x1 ≤x3 ∧ x1 = x3
1
3
Álgebra
en las ecuaciones (1) y (2) se observa que x1 ≤ x2 y x2 ≤ x3 y por la transitivadad de la relación
menor o igual que de los números reales se tendrá que x1 ≤ x3 . También de las relaciones xy11 = xy22
y xy22 = xy33 se tendrá que xy11 = xy33 . En resumen la relación x1 ≤ x3 ∧ xy11 = xy33 es verdadera, es decir
se verifica que (x1 , y1 ) R (x3 , y3 ) por tanto la relación es transitivo.
De esta forma se verifica que la relación (x, y) R (z, t) si y solo si x ≤ z, xy = zt en (R − {0}) × R
es una relación de orden parcial.
Definición. (3.12) Sean a, b ∈ A y ≤ una relación de orden parcial en A. Se dirá que a y b son
comparables en el orden parcial ≤ (o que son ≤-comparables) si:
o
a≤b
b≤a
y diremos que a y b son ≤-incomparables si no son ≤-comparables. De forma similar se define
para la relación de orden estricto < la noción de <-comparable e <-incomparable; por ejemplo, a
y b son <-comparables si:
a<b
o
a=b
o
b<a
Definición. (3.13) La relación de orden (o ≺) es denominada lineal o total si cualesquiera
dos elementos de A son comparables. El par (A, ) (o (A, ≺)) es entonces denominado conjunto
linealmente o tatalmente ordenado.
Ejemplo 125. La relación de orden menor o igual que (≤) en el conjunto de los números enteros
Z es lineal.
Definición. (3.14) Sea una relación de orden parcial en A y B ⊆ A, entonces
a) b ∈ B es el elemento mínimo de B en el orden , si para todo x ∈ B implica b x
b) b ∈ B es un elemento minimal de B en el orden , si no existe x ∈ B tal que x b y
x 6= b
c) b ∈ B es el elemento máximo de B en el orden , si para todo x ∈ B implica x b
d) b ∈ B es un elemento maximal de B en el orden , si no existe x ∈ B tal que b x y
x 6= b
Ejemplo 126. Sea Z+ el conjunto de todos los enteros positivos ordenados por n |?, entonces 1
es el elemento mínimo de Z+ , pero Z+ no tiene elemento máximo.
134
Álgebra
Definición. (3.15) Sea una relación de orden en A y B ⊆ A, entonces
a) a ∈ A es una cota inferior de B en el conjunto ordenado (A, ), si a x para todo x ∈ B
b) a ∈ A es denominado ínfimo de B en (A, ) (o máxima cota inferior), si es el elemento
máximo del conjunto de todas las cotas inferiores de B en (A, )
c) a ∈ A es una cota superior de B en el conjunto ordenado (A, ), si x a para todo x ∈ B
d) a ∈ A es denominado supremo de B en (A, ) (o mínima cota superior), si es el elemento
mínimo del conjunto de todas las cotas superiores de B en (A, ).
Ejemplo 127. Sea A = Z2 . Para a = (a1 , a2 ) y b = (b1 , b2 ) en A,se define
a b si y sólo si a1 ≤ b1 y a1 + a2 ≤ b1 + b2
Probar que es una relación de orden parcial en A ¿Será esta relación de orden parcial una
relación de orden total? Justifica tu respuesta con una demostración o un contra ejemplo.
Solución: Recordemos que la relación va a ser de orden parcial si es: reflexiva, antisimetrica y
transitiva
Para la Reflexividad: La definición de reflexividad indica
∼ es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∼ x
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
a1 ≤a1 y a1 +a2 ≤a1 +a2
}|
{
z
es reflexiva si y solo si ∀ (a1 , a2 ) : (a1 , a2 ) ∈ Z → (a1 , a2 ) (a1 , a2 )
{z
}
|
{z
}
|
2
hipótesis
conclusión
Por hipótesis (a1 , a2 ) ∈ Z2 y por el álgebra de los enteros a1 ≤ a1 y a1 + a2 ≤ a1 + a2 entonces
(a1 , a2 ) (a1 , a2 ) y esto implica que la relación es reflexiva.
Para la Antisimétrica: La definición de antisimétrica indica
∼ es antisimetrica si y solo si ∀x∀y : x ∼ y ∧ y ∼ x → x = y
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
es antisimétrica si y solo si
∀ (a1 , a2 ) ∀ (b1 , b2 ) : (a1 , a2 ) (b1 , b2 ) ∧ (b1 , b2 ) (a1 , a2 ) → (a1 , a2 ) = (b1 , b2 )
|
{z
}
|
{z
}
hipótesis
Por hipótesis
135
conclusión
Álgebra
(a1 , a2 ) (b1 , b2 ) si y sólo si a1 ≤ b1 y a1 + a2 ≤ b1 + b2
(b1 , b2 ) (a1 , a2 ) si y sólo si b1 ≤ a1 y b1 + b2 ≤ a1 + a2
de las relaciones a1 ≤ b1 y b1 ≤ a1 se concluye que a1 = b1 .
Por otro lado como a1 = b1 y a1 + a2 ≤ b1 + b2 y b1 + b2 ≤ a1 + a2 , entonces a2 ≤ b2 y b2 ≤ a2 es
decir a2 = b2 por tanto (a1 , a2 ) = (b1 , b2 ) y esto implica que la relación es antisimétrica.
Para la Transitividad: La definición de transitividad indica
∼ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : x ∼ y ∧ y ∼ z → x ∼ z
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
es transitiva si y solo si
∀ (a1 , a2 ) ∀ (b1 , b2 ) ∀ (c1 , c2 ) : (a1 , a2 ) (b1 , b2 ) ∧ (b1 , b2 ) (c1 , c2 ) → (a1 , a2 ) (c1 , c2 )
{z
}
|
{z
}
|
hipótesis
conclusión
por hipótesis
(a1 , a2 ) (b1 , b2 ) si y sólo si a1 ≤ b1 y a1 + a2 ≤ b1 + b2 (1)
(b1 , b2 ) (c1 , c2 ) si y sólo si b1 ≤ c1 y b1 + b2 ≤ c1 + c2 (2)
de las relaciones (1) y (2) se tiene que a1 ≤ b1 y b1 ≤ c1 asi por la transitividad de la relación de
orden menor o igual en los reales se tiene que a1 ≤ c1 (4).
Por otro lado de (1) y (2) a1 + a2 ≤ b1 + b2 y b1 + b2 ≤ c1 + c2 asi por la transitividad de la relación
de orden menor o igual que en los números reales se tiene que a1 + a2 ≤ c1 + c2 (5)
Por tanto de (4) y (5) se tiene que a1 ≤ c1 y a1 + a2 ≤ c1 + c2 es decir (a1 , a2 ) (c1 , c2 ) así la
relación es transitiva. En conclusión la relación de orden es una relación de orden parcial.
Ahora respondamos a la pregunta ¿Será esta relación de orden parcial una relación de orden total?
R.- Si es de orden total, pues si a = (a1 , a2 ) y b = (b1 , b2 ) son dos elementos de A = Z2 , entonces
a) Si los pares ordenados a y b se encuentran en una nisma linea vertical del conjunto Z2
entonces el par que esta en la parte inferior de la linea vertical estará relacionado con el par que
se encunetra en la parte superior de la misma linea vertical.
b) Pero si los pares ordenados a y b se encuentran en lineas verticales paralelas y diferentes,
entonces el par que se encuentra en la linea vertical del lado izquierdo de la otra linea vertical
estara relacionado con el otro par que se determina en la otra linea vertical.
136
Álgebra
3.3.
Funciones:
La palabra función fue introducida a las matemáticas por Leibniz, quien originalmente utilizo este
término para referirse a cierta clase de “formulas” matemáticas.
Definición. (3.16) La relación f de A en B es una función o aplicación si y solo si la relación
f es un subconjunto de A × B que verifica las siguientes condiciones de existencia y unicidad:
a) Para todo x ∈ A, existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f
b) Si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f , entonces y = z
En la notación (x, y) ∈ f , se dice que y es el correspondiente o imagen de x mediante f , y
suele denotarselo de la forma f (x) = y (es decir, y es el cambio de x atravez de la función f ).
El conjunto A es denominado dominio de la función y es denotado por D(f ) (o A = D(f )), el
conjunto B es denominado codominio de la función y lo denotamos por C(f ) (o B = C(f )).
El esquema que hoy en día se utiliza para representar una función es el siguiente:
f = {(x, f (x)) : x ∈ A}
o equivalentemente
Codominio
Dominio
z }| {
z }| {
f : D(f ) = A → C(f ) = B
x
7→
f (x)
Obs: Si x ∈
/ A = D(f ), entonces la expresión f (x) carece de sentido.
Ejemplo 128. Si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}, entonces la relación
f = {(1, 1) , (1, 2) , (2, 2) , (3, 1)}
no es una función, pues no se verifica el inciso b) de la definición (3.16) ya que (1, 1) ∈ f y (1, 2) ∈ f
pero 1 6= 2.
Ejemplo 129. Si X es un conjunto no vacio y A un subconjunto de X, se define χA : X → {0, 1}
por la regla
137
Álgebra
χA (x) =


 1
si x ∈ A

 0
si x ∈
/A
para todo x ∈ X, esta relación es una función denominada función característica de A.
Ejemplo 130. Si X es un conjunto no vació, la relación f = {(x, x) ∈ X 2 : x = x} es una función
denominada función identidad en X y es denotada por f = IdX .
Ejemplo 131. Encuentre el dominio, Imagen y codominio de la función f : D(f ) → C(f ) donde
D(f ), C(f ) ⊆ R y f (x) = x |x|
Solución:
Para el dominio: Según la definición de dominio
D(f )
= {x ∈ R : f (x) es un númro real}
= {x ∈ R : x |x| es un númro real}
así según lo anterior se observa que D(f ) = R
Para la imagen: Según la definición
Im(f )
= {y ∈ R : existe x ∈ D(f ) tal que f (x) = y}
= {y ∈ R : existe x ∈ R tal que x |x| = y}
para determinar la imagen de una función lo recomendable es despejar la variable x de la ecuación
x |x| = y
Caso 1: Si x ≥ 0, entonces por el álgebra de los números reales se tendrá
x |x| = y
xx
= y
x2
= y
√
x = ± y
para y ≥ 0
Caso 2: Si x < 0, entonces por el álgebra de los números reales se tendrá
138
Álgebra
x |x|
= y
x (−x)
= y
−x2
= y
x2
= −y
√
x = ± −y
para y ≤ 0
Así según estos casos se observa que Im(f ) = R
Para el codominio: La definición de codominio indica que Im(f ) ⊆ C(f ), pero en el ejemplo se
tiene que Im(f ) = R y como C(f ) ⊆ R por tanto
Im(f ) ⊆ C(f ) ⊆ R
o equivalentemente
R ⊆ C(f ) ⊆ R
y gracias a esta relación se tiene que C(f ) = R.
3.3.1.
Clasificación de Funciones:
Definición. (3.17)
f : A → B es inyectiva si y solo si ∀x∀x0 ∈ A : x 6= x0 → f (x) 6= f (x0 )
si en esta relación se aplica la contrareciproca, entonces se tiene la siguiente relación equivalente
f : A → B es inyectiva si y solo si ∀x∀x0 ∈ A : f (x) = f (x0 ) → x = x0
Obs: Para que la función f sea inyectiva no puede ocurrir que elementos distintos del domino A
den la misma imagen.
Definición. (3.18)
f : A → B es sobreyectiva si y solo si ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que f (x) = y
Obs: El conjunto Im(f ) = {y ∈ B : f (x) = y} es denominado imagen de la función f , así para
que la función f sea sobreyectiva es necesario y suficiente que Im(f ) = B.
139
Álgebra
Definición. (3.19)
f : A → B es biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva
Ejemplo 132. Ver si la función f : Z → Q definida por f (x) = x−1
es: Inyectiva, sobreyectiva o
2
biyectiva
Solución:
Para la inyectividad: La definición de inyectividad indica
f : A → B es inyectiva si y solo si ∀x∀x0 ∈ A : f (x) = f (x0 ) → x = x0
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
f : Z → Q es inyectiva si y solo si ∀n∀m ∈ Z : f (n) = f (m) → n
| =
{z m}
{z
}
|
hipotesis
conclusión
Por hipótesis
f (n) = f (m)
n−1
= m−1
2
2
Por hipotesis
por definición de la función f
n − 1 = m − 1 por el álgebra en los racionales
n=m
por el álgebra en los racionales
así la función f : Z → Q es inyectiva.
Para la sobreyectividad: La definición de sobreyectividad indica
f : A → B es sobreyectiva si y solo si ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que f (x) = y
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
f : Z → Q es sobreyectiva si y solo si ∀y ∈ Q, ∃n ∈ Z tal que f (n) = y
en este enunciado hay que determinar n en función de y (n(y)) y para lograr esto se asume que
la relación f (n) = y es valida o verdadera y luego se despeja de esta relación n respetando el
conjunto universo de trabajo, que en este caso es el conjunto de los números racionales, es decir
f (n) = y
supongamos que es verdad
n−1
=y
2
por definición de función
n − 1 = 2y
por el álgebra en los racionales
n = 2y + 1
por el álgebra en los racionales
140
Álgebra
según la definición de sobreyectividad y ∈ Q, si y = 13 entonces n = 2
1
3
+ 1 = 53 es decir n = 53 ,
/ Z así n ∈
/ Z, por tanto f no puede ser sobreyactiva.
pero 53 ∈
Para la biyectividad: Como la función f no es sobreyectiva por la definición (3.19), la función f
no puede ser biyectiva.
Definición. (3.20) Si la función f : A → B es biyectiva, entonces la función f −1 : B → A existe
y esta función es denominada función inversa de la función f : A → B.
es biyectiva, en caso afirmativo determinar la función
Ejemplo 133. Ver si la función f (x) = 2x+3
x−1
inversa.
Solución: Para que la función f sea biyectiva según la definición (3.19) f tiene que ser inyectiva y
sobreyectiva.
Para la inyectividad: Según este ejemplo la función f esta representado solo por su regla de
asignación, pero para verificar la inyectividad se requiere conocer el dominio de la función f , es
decir
D(f ) = {x ∈ R : f (x) sea un número}
así para que la fracción 2x+3
sea un número el denominador debe de ser diferente de cero, es decir
x−1
(x − 1) 6= 0 así
(x − 1) 6= 0 es equivalente a ∼ (x − 1 = 0)
es equivalente a ∼ (x = 1)
es equivalente a x 6= 1
por tanto D(f ) = R − {1}. Por otro lado la definición de inyectividad indica
f : A → B es inyectiva si y solo si ∀x∀x0 ∈ A : f (x) = f (x0 ) → x = x0
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
0
f : R − {1} → R es inyectiva si y solo si ∀x∀x0 ∈ R − {1} : f (x) = f (x0 ) → x
|=
{z x}
{z
}
|
hipótesis
por hipótesis
141
conclusión
Álgebra
f (x) = f (x0 )
por hiótesis
0 +3
2x+3
= 2x
x−1
x0 −1
0
por la definición de función
(x0 − 1) (2x + 3) = (2x + 3) (x − 1)
por el álgebra en los reales
2xx0 + 3x0 − 2x − 3 = 2xx0 + 3x − 2x0 − 3 por el álgebra en los reales
3x0 − 2x = 3x − 2x0
por el álgebra en los reales
3x0 + 2x0 = 3x + 2x
por el álgebra en los reales
5x0 = 5x
por el álgebra en los reales
x = x0
por el álgebra en los reales
así la función f : R − {1} → R es inyectiva.
Para la sobreyectividad: Para la sobreyectividad se requiere conocer la imagen de la función
f : R − {1} → R, es decir
Im(f ) = {y ∈ R : existe x ∈ R − {1} tal que f (x) = y}
pero la definición de sobreyectividad indica
f : R − {1} → Im(f ) es sobreyectiva si y solo si ∀y ∈ Im(f ), ∃x ∈ R − {1} tal que f (x) = y
así para ambos casos se va a asumir que existe x ∈ R − {1} tal que f (x) = y, ahora despejemos x
de esta relación, es decir
f (x) = y
supongamos que es verdad
2x+3
=y
x−1
por definición de función
2x + 3 = y (x − 1)
por el álgebra en los reales
2x + 3 = xy − y
por el álgebra en los reales
2x − xy = −y − 3
por el álgebra en los reales
x (2 − y) = −y − 3 por el álgebra en los reales
x = y+3
y−2
por el álgebra en los reales
por tanto la fracción y+3
es un número si (y − 2) 6= 0, pero
y−2
(y − 2) 6= 0 es equivalente a ∼ (y − 2 = 0)
es equivalente a ∼ (y = 2)
es equivalente a y 6= 2
142
Álgebra
y+3
es decir Im(f ) = R − {2} y para cualquier y ∈ Im(f ) = R − {2} existe x = y−2
∈ D(f ) = R − {1},
tal que
f (x)
=
|{z}
f y+3
y−2
y+3
2( y−2
)+3
y+3
( y−2
)−1
=
|{z}
2y+6+3y−6
y−2
y+3−y+2
y−2
=
por definición de f
por el álgebra en
los números reales
=
|{z}
5y
5
=
|{z}
y
por el álgebra en
los números reales
por el álgebra en
los números reales
por tanto la función f es sobreyectiva.
es inyectiva y sobreyectiva, entonces
Así la función f : R−{1} → R−{2} definida por f (x) = 2x+3
x−1
la función f tiene que ser biyectiva, es decir existe la función inversa f −1 : R − {2} → R − {1}
definida por f −1 (x) = x+3
x−2
Ejemplo 134. Sea f una función de R en R definida por


 x+2
si x ≤ 2
f (x) =

 2x
si x > 2
verificar que f es inversible
Solución: Para que la función f sea inversible, la función f tiene que ser inyectiva y sobreyectiva.
Para la inyectividad: La definición de inyectividad indica
f : A → B es inyectiva si y solo si ∀x∀x0 ∈ A : f (x) = f (x0 ) → x = x0
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
f : R → R es inyectiva si y solo si ∀x∀x0 ∈ R : f (x) = f (x0 ) → x
=
x}0
|
{z
|
{z
}
hipótesis
conclusión
como x es mayor que 2 y es menor o igual que 2, entonces hay que analizar los siguientes casos
Caso 1: Si x ≤ 2, entonces
143
Álgebra
por hipótesis
f (x) = f (x0 )
por la regla de f
x + 2 = x0 + 2
por el álgebra en los números reales
x = x0
así en este caso la función f es inyectiva.
Caso 2: Si x > 2, entonces
por hipótesis
f (x) = f (x0 )
por la regla de f
2x = 2x0
por el álgebra en los números reales
x = x0
así en este caso la función también es inyectiva.
Así de los casos 1 y 2 la función f es inyectiva en el conjunto R
Para la sobreyectividad: La definición de sobreyectividad indica
f : A → B es sobreyectiva si y solo si ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que f (x) = y
para nuestro ejemplo la relación anterior es equivalente a
f : R → R es sobreyectiva si y solo si ∀y ∈ R, ∃x ∈ R tal que f (x) = y
para verificar esta propiedad de la función es conveniente suponer que la relación f (x) = y es
valida y luego despejar la variable x, es decir
supongamos que es valido la relación
f (x) = y
como x es mayor que 2 y es menor o igual que 2, entonces hay que analizar los siguientes dos casos
Caso 1: Si x ≤ 2, entonces
supongamos que es valido la relación
f (x) = y
por la regla de la función f
x+2=y
despejando x
x=y−2
pero como x ≤ 2, entonces y − 2 ≤ 2, lo que implica que y ≤ 4 de esta forma para cualquier
y ∈ (−∞, 4] existe x = y − 2 tal que f (x) = f (y − 2) = y − 2 + 2 = y.
Caso 2: Si x > 2, entonces
supongamos que es valido la relación
f (x) = y
por la regla de la función f
2x = y
despejando x
x = y2
144
Álgebra
pero como x > 2, entonces y2 > 2 lo que implica que y > 4 de esta forma para cualquier y ∈ (4, +∞)
existe x = y2 tal que f (x) = f ( y2 ) = 2 y2 = y.
Así de los casos 1 y 2 la función f es sobreyactiva en el conjunto (−∞, 4] ∪ (4, +∞) = R.
De esta manera la función f : R → R es inyectiva y sobreyectiva, entonces la función f es inversible,
es decir existe la función inversa f −1 : R → R definida por


 x−2
si y ≤ 4
−1
f (x) =

 x
si y > 4
2
3.3.2.
Composición de Funciones:
A partir de las funciones f y g, bajo ciertas condiciones se puede definir una nueva función
denominada composición.
Definición. (3.21) Dada las funciones f : A → B y g : D → C con Im(f ) ⊆ D, entonces la
función g ◦ f : A → C definida por (g ◦ f ) (x) = g(f (x)) para todo x ∈ A será denominada la
composición de f con g ó f compuesta con g.
Ejemplo 135. Determinar el dominio de la función g ◦ f si
f=
yg=
x, x2 : x ∈ R
x,
√ x :x∈Ryx≥0
Solución: Notemos que:
f: R →
x
Im(f ) ⊆ R
7→
x2
y
g : R+ ∪ {0}
x
→
R
√
7
→
x
para que la función g ◦ f exista según la definición (3.21) primero hay que verificar que Im(f ) ⊆
R+ ∪ {0}, es decir
Im(f ) = {y ∈ R : existe x ∈ R tal que f (x) = y}
supongamos que para cualquier y ∈ R existe x ∈ R tal que f (x) = y, entonces
145
Álgebra
supongamos que es verdad
f (x)
= y
2
= y
por la definición de la función f
x
√
supongamos que y ≥ 0 entonces
x = ± y
√
así para que la relación x = ± y sea un número es necesario y suficiente que y ≥ 0, por tanto
Im(f ) = R+ ∪ {0}. Así se tendrá que
R+ ∪ {0}
{z
}
|
f: R →
Im(f )
x
x2
7→
y
g:
R+ ∪ {0} →
|
{z
}
Im(f )
7→
x
R
√
x
de estos dos esquemas se observa que f : R → R+ ∪ {0} y g : R+ ∪ {0} → R, por lo tanto
| {z }
| {z }
Im(f )
D(g)
Im(f ) ⊆ D(g), así la composición de la función f con g existe y además:
(g ◦ f ) (x)
=
|{z}
g(f (x))
=
|{z}
g(x2 )
por la definición (3.21)
f (x)=x2
=
|{z}
√
√
x2
g(x)= x
=
|{z}
|x|
√
x2 =|x|
así (g ◦ f ) (x) = |x| y el dominio de esta función será:
D(g ◦ f )
= {x ∈ R : (g ◦ f ) (x) sea un número}
= {x ∈ R : |x| sea un número}
= R
por tanto D(g ◦ f ) = R.
Ejemplo 136. Si f (x) =
√
2
x2 + 1 y g(x) = x 3−2 determinar las composiciones g ◦ f y f ◦ g
Solución: Notemos que f : R → R y g : R → R
Para la composición g ◦ f , notemos que Im(f ) ⊆ R por tanto la función g ◦ f existe y esta definida
por
146
Álgebra
por definición de composición
√
por la regla f (x) = x2 + 1
(g ◦ f )(x)
= g(f (x))
=
2
por la regla g(x) = x 3−2
=
por el álgebra de los números reales
=
por el álgebra de los números reales
=
g(√x2 +1)
√
2
( x2 +1) −2
3
x2 +1−2
3
x2 −1
3
2
así (g ◦ f )(x) = x 3−1
Para la composición f ◦ g, notemos Im(g) ⊆ D(f ) = R por tanto la función f ◦ g existe y esta
definida por
por definición de composición
por la regla g(x) =
por la regla f (x) =
(f ◦ g)(x)
x2 −2
3
√
x2 + 1
por el álgebra de los números reales
= f(g(x))
= f x2 −2 q 3 x2 −2 2
=
+1
3
√
1
= 3 x4 − 4x2 + 13
√
así (f ◦ g)(x) = 31 x4 − 4x2 + 13
Obs: Según el anterior ejemplo en general la composición de funciones no es conmutativo (es decir
g ◦ f 6= f ◦ g)
Ejemplo 137. Si f : A → B, g : B → C y h : C → D, entonces (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
Solución: Notemos que Im(f ) ⊆ D(h ◦ g) = B y Im(g) ⊆ D(h) = C, por otro lado In(f ) ⊆
D(g) = B y Im(g ◦ f ) ⊆ D(h) = C, así las composiciones están definidas y además por definición
de composición se tiene
((h ◦ g) ◦ f ) (x) = (h ◦ g) (f (x)) = h(g(f (x))) (1)
por otro lado
(h ◦ (g ◦ f )) (x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g(f (x))) (2)
así de las relaciones (1) y (2) se tiene que (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ). Este ejemplo nos dice que la
composición de funciones es asociativa.
147
Álgebra
3.3.3.
Imagen e imagen inversa de subconjuntos bajo una función:
Definición. (3.22) (Imagen de subconjuntos del dominio de una función) Dada la función f :
A → B y A1 ⊆ A, entonces la imagen de A1 bajo la función f es el conjunto
f (A1 ) = {y ∈ B : f (x) = y para todo x ∈ A1 }
Ejemplo 138. Dada la función f : A → B y A1 ⊆ A, entonces si A1 = ∅ si y solo si f (A1 ) = ∅
Solución: El ejemplo indica que hay que verificar el enunciado
Si A1 = ∅ si y solo si f (A1 ) = ∅
| {z } | {z } | {z }
p
↔
q
este enunciado es equivalente a la proposición (p ↔ q) pero esta proposición es logicamente equivalente a la proposición (p → q) ∧ (q → p), así para dar validez al enunciado hay que verificar que
la proposición (p → q) ∧ (q → p) sea verdadera y para este efecto tanto la proposición (p → q)
como la proposición (q → p) tienen que ser verdaderas así estudiemos los siguientes casos:
Caso 1: (p → q) en este caso el enunciado será
f (A1 ) = ∅
Si A1 = ∅ entonces
| {z } | {z } | {z
}
→
p
q
Por hipótesis A1 = ∅ y por la definición (3.22)
f (A1 )
= {y ∈ B : f (x) = y para x ∈ A1 }
= {y ∈ B : f (x) = y para x ∈ ∅}
= ∅
así f (A1 ) = ∅
Caso 2: (q → p) en este caso el enunciado será
Si f (A1 ) = ∅ entonces
A =∅
| {z } | {z } | 1{z }
→
q
p
Por hipótesis f (A1 ) = ∅ así por la definición (3.22)
f (A1 )
= {y ∈ B : f (x) = y para x ∈ A1 }
∅
= {y ∈ B : f (x) = y para x ∈ A1 }
y para que esta igualdad ocurra es necesario y suficiente que A1 = ∅
148
Álgebra
Ejemplo 139. Si f : A → B es una función y A1 , A2 ⊆ A, entonces f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 )
Solución: Por la definición (3.22) se tiene
f (A1 ∪ A2 )
=
{y ∈ B : f (x) = y para todo x ∈ (A1 ∪ A2 )}
=
|{z}
{y ∈ B : f (x) = y para todo x ∈ A1 ∨ x ∈ A2 }
=
|{z}
{y ∈ B : f (x) = y para todo x ∈ A1 }
por definición
de unión
equivalentemente
∨ {y ∈ B : f (x) = y para todo x ∈ A2 }
=
|{z}
{y ∈ B : f (x) = y para todo x ∈ A1 }
por definición
de unión
∪ {y ∈ B : f (x) = y para todo x ∈ A2 }
=
|{z}
f (A1 ) ∪ f (A2 )
por la
definición (3.22)
así f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 )
Este resultado también puede ser generalizado de la siguiente forma
f ∪ An = ∪ f (An )
n∈N
n∈N
Definición. (3.23) (Imágenes inversas de subconjuntos de la imagen de una función) Dada la
función f : A → B y B1 ⊆ B, entonces la imagen inversa de B1 bajo la función f es el conjunto
f −1 (B1 ) = {x ∈ A : f (x) = y para algún y ∈ B1 }
Ejemplo 140. Si f : A → B es una función y B1 ⊆ B2 ⊆ B, entonces f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 )
Solución: Según la definición de inclusión de conjuntos
f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ) si y solo si ∀x : x ∈ f −1 (B1 ) → x ∈ f −1 (B2 )
{z
}
|
{z
}
|
hipótesis
por hipótesis
149
conclusión
Álgebra
x ∈ f −1 (B1 )
=
|{z}
f (x) = y para algún y ∈ B1
→
|{z}
f (x) = y para algún y ∈ B1 ⊆ B2
→
f (x) = y para algún y ∈ B2
=
|{z}
x ∈ f −1 (B2 )
por la
definición (3.23)
por hipótesis
B1 ⊆B2
por la
definición (3.23)
así f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 )
Ejemplo. Sea f : R → R definida por f (x) = x2 , entonces determinar f −1 ({y ∈ R : y ≥ 0})
Solución: Por definición de imagen inversa
f −1 ({y ∈ R : y ≥ 0})
=
|{z}
{x ∈ R : f (x) = y para algún y ∈ {y ∈ R : y ≥ 0}}
=
|{z}
{x ∈ R : x2 = y para algún y ≥ 0}
=
|{z}
√
x ∈ R : x = ± y para algún y ≥ 0
=
|{z}
x∈R:x=
por la
definición (3.23)
f (x)=x2
por el álgebra
de los números R
por el álgebra
de los números R
√
y para algún y ≥ 0 ∨
√
x ∈ R : x = − y para algún y ≥ 0
=
|{z}
[0, +∞) ∨ (−∞, 0]
=
|{z}
R
por el álgebra
de los números R
por definición
de unión
así f −1 ({y ∈ R : y ≥ 0}) = R
Ejemplo. Sea f : A → B una función y X ⊆ A, Y ⊆ B verificar que X ⊆ f −1 (f (X)) y
f (f −1 (Y )) ⊆ Y
Solución:
Para:X ⊆ f −1 (f (X)), según la definición de inclusión de conjuntos
150
Álgebra
X ⊆ f −1 (f (X)) si y sólo si ∀x ∈ A : x
∈ f −1 (f (X))
|∈
{zX} → x
{z
}
|
hipótesis
conclusión
por hipótesis
x∈X
→
|{z}
x∈A
→
|{z}
f (x) = y para algún y ∈ B
→
|{z}
y ∈ {y ∈ B : f (x) = y para todo x ∈ X}
→
|{z}
y ∈ f (X)
→
|{z}
f (x) = y para y ∈ f (X)
→
|{z}
{x ∈ A : f (x) = y para algún y ∈ f (X)}
→
|{z}
x ∈ f −1 (f (X))
X⊆A
como f
es función
x∈X
por la
definición (3.22)
por notación
por notación
por la
definición (3.22)
así X ⊆ f −1 (f (X))
Operación Auxiliar:
x ∈ f −1 (f (X))
= {x ∈ A : f (x) = y para algún y ∈ f (X)}
= {x ∈ A : f (x) = y para algún y ∈ {y ∈ B : f (x) = y para x ∈ X}}
Para: f (f −1 (Y )) ⊆ Y , según la definición de inclusión de conjuntos
f (f −1 (Y )) ⊆ Y si y sólo si ∀y ∈ B : y ∈ f f −1 (Y ) → y ∈ Y
| {z }
|
{z
}
hipotesis
conclusión
por hipotesis
y ∈ f (f −1 (Y ))
→
|{z}
f (x) = y para todo x ∈ f −1 (Y )
→
|{z}
f (x) = y para todo, f (x) = y para algún y ∈ Y
→
|{z}
f (x) = y para algún y ∈ Y
→
y∈Y
por la imagen
de una función
por la imagen
inversa de función
por notación
asi f (f −1 (Y )) ⊆ Y
151
Álgebra
3.3.4.
Cardinalidad:
El físico Galileo Galilei, que vivió hace cuatrocientos años, encontró un ejemplo particularmente
curioso de una función biyectiva que es el siguiente:
Si P = {2, 4, 6, 8, 10, ...}, entonces la función f : N → P definida por f (n) = 2n es biyectiva
no es difícil verificar que esta función en biyectiva, pero lo interesante de este ejemplo es que el
conjunto P es un subconjunto propio de N (es decir, P ⊂ N).
Definición. (3.24) Si A y B son conjuntos no vacíos , entonces A y B tienen el mismo número
cardinal (o el conjunto A tiene el mismo número de elementos que el conjunto B) si existe una
función biyectiva de A en B.
Obs: Para indicar que el conjunto A tiene el mismo número cardinal que B (o el conjunto A tiene
el mismo número de elementos que el conjunto B) se utilizara la notación |A| = |B|.
Ejemplo 141. La función f : N → P definida por f (n) = 2n donde P = {2, 4, 6, ...} es biyectiva,
así según la definición (3.24) |N| = |P | , es decir los conjuntos N y P tienen la misma cantidad de
elemento.
Definición. (3.25) El conjunto formado por los n primeros números naturales se define In =
{p ∈ N : p ≤ n}
Ejemplo 142. Escribir por extensión el conjunto I10
Solución: Según la definición (3.25)
I10 = {p ∈ N : p ≤ 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
3.3.4.1.
Conjuntos Finitos:
Definición. (3.26) El conjunto no vacio A es finito si existe una función biyectiva de A en In ,
para algún n ∈ N, y en este caso se tendrá |A| = n
Ejemplo 143. El conjunto A = {a, e, i, o, u} es finito, pues existe la función f : A → I5 definida
por
f (a) = 1, f (e) = 2, f (i) = 3, f (o) = 4 y f (u) = 5
152
Álgebra
que es biyectiva por tanto |A| = 5
Teorema. (3.3) Si A y B son conjuntos finitos, entonces A ∪ B es finito. Más aun |A ∪ B| ≤
|A| + |B|, Si A ∩ B = ∅. entonces |A ∪ B| = |A| + |B|
Demostración. Por hipótesis
A es finito si y solo si existe una función f : A → In biyectiva, para algún n ∈ N (1)
B es finito si y solo si existe una función g : B → Im biyectiva, para algún m ∈ N (2)
ahora definamos la función h de la siguiente forma
h : Im → I = {n + 1, n + 2, ..., n + m} definida por h(k) = n + k
así esta función es biyectiva por tanto |I| = |Im | = m y como la composición de dos funciones
biyectivas es biyectiva, entonces la función h ◦ g : B → I es biyectiva.
Caso 1: Si A ∩ B = ∅, entonces la función f1 : A ∪ B → In ∪ I definida por
f1 (t) =


 f (t)
si t ∈ A

 h(g(t))
si t ∈ B
es biyectiva por tanto |A ∪ B| = |In ∪ I| = n + m, por otro lado de (1) y (2) se tiene que
|A| = |In | = n y |B| = |Im | = m, así
|A ∪ B| = |In ∪ I| = n + m = |In | + |Im | = |A| + |B|
es decir |A ∪ B| = |A| + |B|
Caso 2: Si A ∩ B 6= ∅, entonces |A ∩ B| =
6 0.
Por el álgebra de conjuntos A ∩ B ⊆ A, por (1) la función
f : A → In es biyectiva
así la función restricción
f |A−(A∩B) : A − (A ∩ B) → I 0 ⊆ In
153
Álgebra
es biyectiva, por tanto |A − (A ∩ B)| = |I 0 |, pero como I 0 ⊆ In entonces |I 0 | ≤ |In | es decir
|A − (A ∩ B)| ≤ |In |(3).
También por el álgebra de conjuntos A ∩ B ⊆ B, por (2) la función
g : B → Im es biyectiva
así la función restricción
g |A∩B : B − (A ∩ B) → I 00 ⊆ Im
es biyectiva, por tanto |B − (A ∩ B)| = |I 00 |, pero como I 00 ⊆ Im entonces |I 00 | ≤ |Im | es decir
|B − (A ∩ B)| ≤ |Im | (4).
Por otro lado según el álgebra de conjuntos
A ∪ B = [(A − (A ∩ B)) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − (A ∩ B))]
pero los conjuntos A − (A ∩ B), A ∩ B y B − (A ∩ B) son disjuntos de a pares, así por el caso 1
se tendrá que
|A ∪ B| = |(A − (A ∩ B)) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − (A ∩ B))|
= |A − (A ∩ B)| + |A ∩ B| + |B − (A ∩ B)|
y de (3) y (4)
|A ∪ B| = |A − (A ∩ B)| + |A ∩ B| + |B − (A ∩ B)|
≤ |In | + |A ∩ B| + |Im |
≤ |In | + |Im |
o lo que es lo mismo |A ∪ B| ≤ |In | + |Im |, pero de (1) y (2) |A| = |In | y |B| = |Im | así
|A ∪ B| ≤ |A| + |B|
Teorema. (3.4) Si A y B son conjuntos finitos, entonces |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Demostración. Por hipótesis
154
Álgebra
A es finito si y solo si existe una función f : A → In biyectiva, para algún n ∈ N (1)
B es finito si y solo si existe una función g : B → Im biyectiva, para algún m ∈ N (2)
por otro lado por el álgebra de conjuntos
A ∪ B = [(A − (A ∩ B)) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − (A ∩ B))]
pero como los conjuntos A − (A ∩ B), A ∩ B y B − (A ∩ B) son disjuntos de a pares y por el caso
1 del teorema (3.3) se tendrá que
|A ∪ B| = |A − (A ∩ B)| + |A ∩ B| + |B − (A ∩ B)|
y sumando y restando |A ∩ B| a esta igualdad se tendrá que
|A ∪ B| = (|A − (A ∩ B)| + |A ∩ B|) + (|B − (A ∩ B)| + |A ∩ B|) − |A ∩ B| (3)
También por el álgebra de conjuntos
A = (A − (A ∩ B)) ∪ (A ∩ B)
con (A − (A ∩ B)) ∩ (A ∩ B) = ∅ así por el caso 1 del teorema (3.3) |A| = |A − (A ∩ B)| + |A ∩ B|
(4) análogamente se tiene que |B| = |B − (A ∩ B)| + |A ∩ B| (5).
ahora remplazando (4) y (5) en la relación (3) se tendrá que
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Teorema. (3.5) Si A es un conjunto finito, entonces |A| + |Ac | = |U |
Demostración. Por el álgebra de conjuntos U = A ∪ Ac y A ∩ Ac = ∅ así por el caso 1 del teorema
(3.3) se tiene que
|U | = |A| + |Ac |
155
Álgebra
Teorema. (3.6) Si A y B son conjuntos finitos, entonces |A − B| = |A| − |A ∩ B|
Demostración. Por el álgebra de conjuntos A = (A − B) ∪ (A ∩ B) con (A − B) ∩ (A ∩ B) = ∅
así por el caso 1 del teorema (3.3) se tiene que
|A| = |A − B| + |A ∩ B|
o equivalentemente
|A − B| = |A| − |A ∩ B|
Ejemplo 144. Se encuesta a 100 personas sobre sus preferencias en relación a dos programas
municipales contra la delincuencia. Los programas recibieron los nombres A y B, los resultados
fueron los siguientes.
65 no prefieren el programa A
45 no prefieren el programa B
50 prefieren los programas A o B, pero no ambos
se pide determinar el número de encuestados que prefieren ambos programas, es decir calcular
|A ∩ B|
Solución: Según el ejemplo el conjunto universo esta formado por 100 personas, así |U | = 100 y
además |A − B| + |B − A| = 50, |Ac | = 65 y |B c | = 45.
Pero |U | = |A| + |Ac |, entonces |A| = |U | − |Ac | = 100 − 65 = 35, de la misma manera se tiene
que |B| = |U | − |B c | = 100 − 45 = 55
por otro lado |A − B| = |A| − |A ∩ B| también |B − A| = |B| − |B ∩ A| y sumando se tiene
|A − B| + |B − A| = |A| − |A ∩ B| + |B| − |B ∩ A|
es decir 50 = 35 − |A ∩ B| + 55 − |B ∩ A|, así −2 |A ∩ B| + 90 = 50 entonces |A ∩ B| = 20
Ejemplo 145. En un aula hay un cierto número de alumnos que hemos de determinar. Se sabe
que cada uno de los alumnos presentes en el aula estudia, al menos, una de las tres asignaturas:
Matemática, Física, Quimica. Pues bién, en sucesivas veces se piden que levanten la mano los que
estudian:
156
Álgebra
a) Matemática y lo hacen 48
b) Física y lo hacen 45
c) Química y lo hacen 49
d) Matemática y Física y lo hacen 28
e) Matemática y Química y lo hacen 26
f ) Física y Química y lo hacen 28
g) Las tres asignaturas y lo hacen 18
Se pregunta: ¿Cuántos alumnos hay en el aula?, ¿Cuántos estudian Matemática y Física, pero no
Quimica? y ¿Cuántos estudian nada más que Quimica?
Solución: Sean M :=Matemática, F :=Física y Q :=Química así según el problema se tienen las
siguientes informaciones
|M | = 48, |F | = 45 y |Q| = 49
|M ∩ F | = 28, |M ∩ Q| = 26 y |F ∩ Q| = 28
|M ∩ F ∩ Q| = 18
Para la pregunta ¿Cuántos alumnos hay en el aula?
|U |
=
|M ∪ F ∪ Q|
=
|{z}
|(M ∪ F ) ∪ Q|
=
|{z}
|M ∪ F | + |Q| − |(M ∪ F ) ∩ Q|
=
|{z}
|M ∪ F | + |Q| − |(M ∩ Q) ∪ (F ∩ Q)|
=
|{z}
|M | + |F | − |M ∩ F | + |Q| − (|M ∩ Q| + |F ∩ Q| − |(M ∩ Q) ∩ (F ∩ Q)|)
=
|{z}
|M | + |F | − |M ∩ F | + |Q| − |M ∩ Q| − |F ∩ Q| + |M ∩ F ∩ Q|
=
|{z}
48 + 45 − 28 + 49 − 26 − 28 + 18
=
|{z}
78
por la
asociatividad
de la unión
por el
teorema 3.4
por la
distributividad
por el
teorema 3.4
por el álgebra
de conjuntos
remplazando
valores
por la
aritmética
157
Álgebra
así |U | = 78
Para la pregunta ¿Cuántos estudian Matemática y Física, pero no Quimica?
Según el álgebra de conjuntos se tiene que U = Q ∪ Qc por tanto
=
|Q ∪ Qc |
=
|{z}
|Qc | + |Q|
|U |
por el
teorema 3.5
de donde |U | = |Qc | + |Q| o lo que es lo mismo |Qc | = |U | − |Q| y remplazando valores se tiene
que
|Qc | = |U | − |Q| = 78 − 49 = 29
de forma similar se tiene que
|(Q ∪ F )c |
=
|U | − |Q ∪ F |
=
|{z}
|U | − (|Q| + |F | − |Q ∩ F |)
=
|{z}
|U | − |Q| − |F | + |Q ∩ F |
=
|{z}
78 − 49 − 45 + 28
=
|{z}
12
=
|U | − |M ∪ Q|
=
|{z}
|U | − (|M | + |Q| − |M ∩ Q|)
=
|{z}
|U | − |M | − |Q| + |M ∩ Q|
=
|{z}
78 − 48 − 49 + 26
=
|{z}
7
por el
teorema 3.4
por el
álgebra
remplazando
valores
por la
aritmética
así |(Q ∪ F )c | = 12, también
|(M ∪ Q)c |
por el
teorema 3.4
por el
álgebra
remplazando
valores
por la
aritmética
158
Álgebra
así |(M ∪ Q)c | = 7, de esta forma
¿Cuántos estudian
=
|Qc | − |(Q ∪ F )c | − |(M ∪ Q)c |
=
|{z}
29 − 12 − 7
=
|{z}
10
Matemática y Física,
pero no Quimica?
remplazando
valores
por la
aritmética
así 10 estudian Matemática y Física, pero no Química.
Para la pregunta ¿Cuántos estudian nada más que Quimica?
|(M ∪ F )c |
=
|U | − |M ∪ F |
=
|{z}
|U | − (|M | + |F | − |M ∩ F |)
=
|{z}
|U | − |M | − |F | + |M ∩ F |
=
|{z}
78 − 48 − 45 + 28
=
|{z}
13
por el
teorema 3.4
por el
álgebra
remplazando
valores
por la
aritmética
así 13 estudian nada más que Química.
3.4.
Ejercicios Propuestos:
1. Relaciones:
1. Sean A = {x ∈ N : 1 ⩽ x ⩽ 5} y B = {3, 4, 5}. Se define R ⊂ A × B mediante
(x, y) ∈ R ⇔ x + y ⩽ 5
a) Definir R por extensión
b) Representar A × B y R.
c) Determinar R−1 .
2. Obtener los gráficos cartesianos de las siguientes relaciones definidas en R:
159
Álgebra
a)
(x, y) ∈ R ⇔ y = 3
b)
(x, y) ∈ R ⇔ x + y = 1
c)
(x, y) ∈ R ⇔ x + y < 1
3. En A = {1, 2, 4, 6, 8} se define la siguiente relación
(x, y) ∈ R ⇔ 3 | x + y
a) Definir R por extensión
b) Formar el diagrama de R.
4. En A = {1, 2, 3, 4} se define la siguiente relación
R = (x, y) ∈ A2 :| x − 1 |=| y − 1 |
obtener el dominio, la imagen y el gráfico cartesiano de R.
6. Obtener el dominio, la imagen y representar la relación R ⊂ R2 definida por
(x, y) ∈ R ⇔ x − y ∈ Ru
7. En A = [−1, 1] se define la siguiente relación
R = (x, y) ∈ A2 : x2 = y 2
a) Representar R.
b)Obtener la representación de A
8. Obtener el dominio, la imagen y representar la relación R definida en R mediante
(x, y) ∈ R ⇔| x + y |= 2
9. Sean A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8} y las relaciones
R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)}
R3 = {(x, y) ∈ A × B :
R2 = {(x, y) ∈ A × B :
x − y = 7}
x + y ≤ 7}
R4 = {(3, 6), (1, 4), (5, 8), (2, 1)}
a) ¿Es alguna de estas relaciones una función de A en B?. Justifique su respuesta
b) ¿Es alguna de estas relaciones una función de B en A?. Justifique su respuesta
10.
160
Álgebra
11. En el conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se considera la relación.
xRy si y solo si x − y es multiplo de 3
probar que es de equivalencia, hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.
2. Funciones:
1. Determine el dominio y la imagen de las siguientes funciones definidas sobre los reales
1
b) f (x) = |x|−1
1
a) f (x) = √x−2−2
2
−2x
c) f (x) = x4−x
2
4
d) f (x) = 2−|x+1|
2. Determine f y la constante a de modo que
f (x − a)f (x + a) = x2 − 2x − 1,5a
donde f es una función polinomica de grado 1
3. Dados a, b, c y d constantes reales, donde f (x) = ax + b, g(x) = cx + d. Encuentre la condición
necesaria y suficiente para tales constantes de modo que f ◦ g = g ◦ f
4. Sean las funciones f y g tales que f (x) = x2 − 2x − 2 y g(x) = ax + b. Determine a y b de modo
que f ◦ g = g ◦ f para todo numero real x
3. Funciones Inversas:
1. Sea f : R − {−2} → R − {−2} una función definida por f (x) = 2x−1
. Demuestre que existe f −1
x+2
y encuentre una formula para ella
2. Demostrar que si f : A → B y g : B → C tienen inversa, entonces (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
3. Sean f y g funciones de R en R definida por


 x+2
si x ≤ 2
f (x) =

 2x
si x > 2
y g(x) =


 1
si x > 1

 0
si x ≤ 1
a) Hallar una formula para f −1
b) Grafique f y f −1 en un solo sistema de ejes coordenados
c) Determine una formula para g ◦ f −1
4. Dada f (x) = ax−b
, determine las condiciones necesarias y suficientes entre las constantes a, b, c
cx−d
y d para que se verifique (f ◦ f −1 ) (x) = x, indicando ademas el dominio e imagen de f
4. Cardinalidad:
161
Álgebra
1. Pruebe que si X, Y son conjuntos finitos, entonces X × Y es un conjunto finito y |X × Y | =
|X| |Y |
2. Pruebe que si X tiene n elementos, entonces P (X) tiene 2n elementos.
3. Muestre que
a) Si |X| = |Y | y |Y | ≤ |Z|, entonces |X| ≤ |Z|
b) Si |X| ≤ |Y | y |Y | < |Z|, entonces |X| < |Z|
4. El conjunto X tiene 20 elementos, X ∩ Y tiene 12 elementos y X ∪ Y tiene 60 elementos. ¿Cual
es el numero de elementos del conjunto Y ?
5. En un universo de 26 elementos se tiene 3 conjuntos X, Y y Z. Se sabe que: |X ∩ Y ∩ Z| = 6,
|X − Y | = 8, |X ∩ Z| = 8, |X ∩ Z| = 7, |Z| = 13, |X ∩ Y | = 8 y |Y c | = 15. Determinar |X|,
|Z − Y |, |X − Z|
6. Al preguntar a un curso de 45 alumnos sobre el uso de redes sociales se tuvo la siguiente
información:
- 34 utilizan facebook
- 30 usan whatsapp
- 19 usan twiter
- 12 utilizan whatsapp y twiter
- 11 utilizan facebook y twiter
- 6 alumnos utilizan facebook, whatsapp y twiter
a) ¿Cuantos utilizan facebook y whatsapp, si se sabe que todos utilizan por lo menos uno?
b) ¿Cuantos utilizan solo dos de estos medios?
7. En un congreso de medio ambiente participan 82 especialistas, de los cuales:
- 64 han trabajado en estudios de contaminación de agua
- 33 en estudios de contaminación Atmosferica
- 24 en contaminacion acustica
- 25 han trabajado en contaminacion de agua y atmosferas
- 14 han trabajado en proyectos de contaminacion atmosferica y acustica
- 23 en trabajos de contaminacion de agua y acustica
- 14 han trabajado en las tres areas
8. El comité ejecutivo de un centro de estudiantes está formado por: Aníbal, Carlos, Gerardo y
Alma. Cada miembro tiene exactamente un voto (no se admiten abstenciones) y se necesita una
162
Álgebra
mayoría simple para aprobar o rechazar una cierta noción. Si una cierta noción no se aprueba
ni se rechaza, se considera bloqueada y debe considerarse de nuevo en el futuro. Determina el
número de modos en que los miembros pueden votar de forma que una noción sea a) aprobada,
b) rechazada y c) bloqueada.
9. En un grupo de 165 estudiantes, 8 toman Cálculo, Física y Programación; 33 toman Calculo y
Programación; 20 toman Calculo y Física; 24 toman Física y Programación; 79 están en Calculo;
83 están en Física; y 63 toman Programación.
a) ¿Cuántos toman sólo Física?
b) ¿Cuántos toman sólo dos materias?
c) ¿Cuántos toman Cálculo y Programación?
d) ¿Cuántos toman al menos una de las tres materias?
e) ¿Cuántos no toman ninguna de estas tres asignaturas?
10. En una encuesta realiza a 120 pasajeros, una línea aérea descubrió que a 48 les gustaba el vino
con sus alimentos, a 78 les gustaba las bebidas preparadas, y a 66 el té helado.Además a 36 le
gustaba cualquier par de estas bebidas, y a 24 les gustaba todas.
a) ¿A cuántos pasajeros les gusta sólo el té?
b) ¿A cuántos sólo el vino con sus alimentos?
c) ¿A cuántos sólo las bebidas preparadas?
d) ¿A cuántos les gusta el menos dos de estas bebidas para acompañar sus alimentos?
e) ¿Cuántos pasajeros no beben ni vino, ni té, ni bebidas preparadas?
11. Un grupo de 100 extraterrestres llegan en la nave PikaChu para invadir la tierra. Se distinguen
por dos caracteristicas: sus ojos y sus colas. Algunos tiene lo uno o lo otro, y algunos tienen los
dos. Si hay 75 extraterrestres que tienen ojos, y 50 que tienen ojos y cola, ¿Cuántos de ellos tienen
ojos pero no cola? ¿Cuántos tienen solamente cola?
12. Un grupo de 30 estudiantes decide ir de paseo al zoo, donde hay dos exhibiciones principales
abiertas para visitas: la pajarera y la cueva del león. Ocho estudiantes visitan la pajarera, de los
cuales seis visitan también la cueva del león. ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la cueva del
león? ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la pajarera?
13. Hay 70 niños en el pueblo, y todos van a asistir a una fiesta en la que habrá dos actividades: un
baile y un concurso de disfraces. Si 30 niños fueron tanto al baile como al concurso de disfraces,
y sólo 24 fueron únicamente al baile, ¿Cuántos niños en total participaron en el concurso de
163
Álgebra
disfraces? ¿Cuántos fueron únicamente al concurso de disfraces?
14. Actualmente se están exhibiendo dos películas en un teatro de la ciudad: “Ficción increible 3” y
“Las matemáticas en las estrellas”. Hoy 68 personas asistieron al teatro. Si 35 personas vieron “Las
matemáticas en las estrellas” y 10 vieron las dos películas, ¿Cuántas personas vieron únicamente
“Ficción increible 3”? ¿Cuántas entradas se vendieron en total?
164
CAPÍTULO 4
Los Números Naturales y Enteros
4.1.
El Conjunto de los números Naturales:
Los números son entes abstractos, desarrollados por el hombre como modelos que nos permite
contar o medir.
Lentamente a medida que la civilización humana iva evolucionando, la humanidad se apodero de
este modelo abstracto de conteo (uno, dos, tres, etc.). Pasado muchos miles de años, podemos hoy
en día describir que el conjunto de los números naturales (N), valiendonos de la notable síntesis
hecha por el matemático Italiano Giuseppe Peano en los albores del siglo XX.
El conjunto de los números naturales es el conjunto cuyos elementos se denominan números naturales. La esencia de la caracterización de N reside en la palabra “sucesor”, intuitivamente si n
y m son números naturales decir que m es sucesor de n significa que m viene justo después de n,
sin que haya otro número natural entre n y m.
El término sucesor enunciado anteriormente no es una definición, pero en cambio el uso y propiedades de la palabra sucesor son rígidas atravez de las reglas enunciadas a continuación.
a) Todo número natural tiene un único sucesor
b) Dos o más números naturales diferentes tienen sucesores diferentes
c) Existe un único número natural, denominado uno y denotado por el simbolo 1, que no es
sucesor de ningún otro número natural
d) Si X es el conjunto de los números naturales tal que 1 pertenece al conjunto X y además
de esto, el sucesor de todo elemento de X aun pertenece a X, entonces X será igual al conjunto
165
Álgebra
de los números naturales (X = N).
o equivalentemente
a) Para todo n ∈ N existe el número natura (n + 1) denominado sucesor de n
b) Si n 6= m, entonces n + 1 6= m + 1
c) Existe un único número natural 1 denominado uno, que no es sucesor de ningún otro
número natural
d) Si X ⊆ N tal que 1 ∈ X y para todo n ∈ X implica (n + 1) ∈ X, entonces X = N.
estos incisos son conocidos como los axiomas de Peano. El inciso d) es denominado el Método de
Demostración por Inducción Matemática.
El inciso d) también se lo puede escribir en forma horizontal de la siguiente manera:
1∈X
hipótesis
Si para todo n ∈ X implica (n + 1) ∈ X
hipótesis
X=N
conclusión
o equivalentemente
1) 1| ∈
{zX}
hipótesis
p


+ 1) ∈ X 
2) (∀n) n
{zX} → (n
| ∈
|
{z
}
hipótesis
X
= N}
| {z
conclusión
q
r
s
Obs: Debe quedar claro que el conjunto N = {1, 2, 3, 4, ...} de los números naturales es una
sucesión de objetos abstractos.
4.1.1.
Inducción Matemática:
El enunciado
Si X ⊆ N tal que 1 ∈ X y si, para todo n ∈ X implica (n + 1) ∈ X, entonces X = N
es equivalente a
Si P (n) es una función proposicional correspondiente al número natural n y
i) P (1) es verdad
166
Álgebra
ii) Para todo n ∈ N, la validez de P (n) implica la validez de P (n + 1), entonces P (n) es
valido para cualquier número natural n.
Este proceso es conocido como el Método de Inducción Matemática.
Ejemplo 146. Demostrar por Inducción Matemática los siguientes ejercicios:
1.- 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n+1)
2
Solución: Sea P (n) la función proposicional
P (n) := 1 + 2 + 3 + · · · + n =
n (n + 1)
2
así por el método de Inducción Matemática
1 (1 + 1)
, es decir P (1) es verdadero para n = 1
i) P (1) := 1 =
2 }
| {z
1
ahora veamos el otro paso de Inducción Matemática
ii) Si P (n) es valido, entonces veamos si P (n+1) es valido, en el lenguaje lógico este enunciado
es equivalente a
P (n) := 1 + 2 + · · · + n =
{z
|
hipótesis
n (n + 1)
(n + 1) ((n + 1) + 1)
→ P (n + 1) := 1 + 2 + · · · + (n + 1) =
2 }
2
{z
}
|
conclusión
ahora pasemos a la demostración.
1 + 2 + · · · + (n + 1)
=
|{z}
1 + 2 + · · · + n + (n + 1)
=
|{z}
(1 + 2 + · · · + n) + (n + 1)
=
|{z}
n(n+1)
+ (n + 1)
2
por el álgebra
basica
por la
asociatividad
por hipótesis
1+2+···+n=
n(n+1)
2
=
|{z}
n(n+1)+2(n+1)
2
=
|{z}
(n+1)(n+2)
2
=
|{z}
(n+1)((n+1)+1)
2
por el álgebra
basica
por el álgebra
basica
por el álgebra
basica
167
Álgebra
así la función proposicional P (n) := 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
es valido para cualquier n ∈ N.
2
√
2.- √11 + √12 + √13 + · · · + √1n > n para todo número natural n ≥ 2
Solución: Sea P (n) la función proposicional
√
1
1
1
1
P (n) := √ + √ + √ + · · · + √ > n
n
1
2
3
notemos que esta función proposicional inicia en n = 2, así por el método de Inducción Matemática
√
1
1
i) P (2) := √ + √ > 2, es decir P (2) es verdadero para n = 2
1
2
| {z√ }
2+ 2
2
ahora veamos el otro paso de Inducción Matemática
ii) Si P (n) es valido , entonces veamos si P (n+1) es valido, en el lenguaje lógico este enunciado
se escribe.
√
1
1
1
1
P (n) := √ + √ + √ + · · · + √ > n
n
1
2
3
|
{z
}
hipótesis
√
1
1
1
1
→ P (n + 1) := √ + √ + √ + · · · + √
> n+1
n+1
1
2
3
{z
}
|
conclusión
ahora pasemos a la demostración.
√1 + √1 + √1 + · · · + √ 1
n+1
1
2
3
√1 + √1 + √1 + · · · + √1 + √ 1
n
n+1
1
2
3
=
|{z}
por el álgebra
basica
=
|{z}
por la
asociatividad
>
|{z}
√1 + √1 + √1 + · · · + √1
n
1
2
3
√
1
n + √n+1
por hipótesis
√
1
√
+ √1 +···+ √1n > n
1
2
1
así por el momento se tiene que √11 + √12 + √13 + · · · + √n+1
>
√
√
1
Afirmación: n + √n+1
> n+1
Prueba: Como n ≥ 2 entonces n > 0, por tanto
168
√
1
n + √n+1
(α)
1
+ √n+1
Álgebra
n>0
sumando n
2
n2 + n > n2
factorizando n
√
sacando la m/m
√
propiedad de la y sumando 1 m/m
q
(n + 1) = (n + 1)2 pues n > 0
√
dividiendo entre n + 1
por el álgebra basica
n (n + 1) > n2
√
p
n (n + 1) > n2
√ √
n n+1+1>n+1
q
√ √
n n + 1 + 1 > (n + 1)2
√ √
√
n n+1+1
√
> n+1
n+1
√
√
1
n + √n+1
> n+1
√
n + 1 para todo número natural.
√
1
1
En (α) se tiene que √11 + √12 + √13 + · · · + √n+1
> n + √n+1
, pero por la afirmación anterior
√
√
√
1
1
> n + 1 así por la transitividad de la desigualdad √11 + √12 + √13 +· · ·+ √n+1
> n + 1,
n+ √n+1
por tanto
√
1
n + √n+1
>
para todo número natural mayor o igual que 2. Por tanto la función proposición
√
1
1
1
1
P (n) := √ + √ + √ + · · · + √ > n
n
1
2
3
es verdadera para cualquier número natural mayor que 2.
3.- 22n − 1 es múltiplo de 3
Solución: Sea P (n) la función proposicional
P (n) := 22n − 1 = 3k para algún k ∈ Z
por el método de Inducción Matemática
i) P (1) := 2| 2(1){z− 1} = 3 (1) para 1 ∈ Z, así P (1) es verdadera para n = 1
3
ahora veamos el otro paso de Inducción Matemática
ii) Si P (n) es valido, entonces veamos si P (n+1) es valido, en el lenguaje lógico este enunciado
se escribe.
P (n) := 22n − 1 = 3k para algún k ∈ Z → P (n + 1) := 22(n+1) − 1 = 3t para algún t ∈ Z
|
{z
}
|
{z
}
hipótesis
conclusión
ahora pasemos a la demostración.
169
Álgebra
22(n+1) − 1
=
|{z}
22n+2 − 1
=
|{z}
22n 22 − 1
=
|{z}
22n (3 + 1) − 1
=
|{z}
22n (3) + (22n − 1)
=
|{z}
22n (3) + (3k)
por el álgebra
basica
por las propiedades
de los exponentes
por la aritmética
de los números enteros
por la ley
distributiva
22n −1=3k
para algún k∈Z
!
=
|{z}
3 2| 2n{z+ k}
=
|{z}
3t para t ∈ Z
por la ley
distributiva
t
t es un número Z
por tanto 22(n+1) − 1 = 3t para t ∈ Z. Así P (n) := 22n − 1 = 3k para algún k ∈ Z es valido para
todo n ∈ N.
4.- x2n − y 2n es divisible por x − y para todo x, y ∈ Z
Solución: Sea P (n) la función proposicional
P (n) := x2n − y 2n = k (x − y) para algún k ∈ Z
así por el método de Inducción Matemática
i) P (1) := x2(1) −y 2(1) = (x + y) (x − y) para (x + y) ∈ Z, es decir P (1) es valido para n = 1
ahora veamos el otro paso de Inducción Matemática
ii) Si P (n) es valido, entonces veamos si P (n+1) es valido, en el lenguaje lógico este enunciado
se escribe.
P (n+1)
P (n)
z
}|
{
z
}|
{
2n
2n
2(n+1)
2(n+1)
x − y = k (x − y) para algún k ∈ Z → x
−y
= t (x − y) para algún t ∈ Z
|
{z
}
|
{z
}
hipótesis
conclusión
ahora pasemos a la demostración.
170
Álgebra
x2(n+1) − y 2(n+1)
=
|{z}
x2n+2 − y 2n+2
=
|{z}
x2n x2 − y 2n+2
=
|{z}
(k (x − y) + y 2n ) x2 − y 2n y 2
=
|{z}
k (x − y) x2 + y 2n x2 − y 2n y 2
=
|{z}
k (x − y) x2 + y 2n (x2 − y 2 )
=
|{z}
k (x − y) x2 + y 2n (x + y) (x − y)
por el álgebra
basica
por las propiedades
de los exponentes
por hipótesis de
inducción
por la ley
distributiva
por la ley
distributiva
por la diferencia
de cuadrados
=
|{z}
por la ley
distributiva
=


kx2 + y 2n (x + y) (x − y)
{z
}
|
t
t (x − y) para t ∈ Z
por tanto x2(n+1) − y 2(n+1) = t (x − y) para t ∈ Z, así la función proposicional P (n) := x2n − y 2n =
k (x − y) para algún k ∈ Z es valido para todo n ∈ N.
5.- 52n − 1 es un múltiplo de 24
Solución: Sea P (n) la función proposicional
P (n) := 52n − 1 = 24k para algún k ∈ Z
por el método de Inducción
! Matemática
i) P (0) :=
5| 2(0){z− 1}
= 24 (0) para algún 0 ∈ Z
0
ahora veamos el otro paso de Inducción Matemática
ii) Si P (n) es valido, entonces veamos si P (n+1) es valido, en el lenguaje lógico este enunciado
se escribe.
?
P (n) := 52n − 1 = 24k para algun k ∈ Z → P (n + 1) := 52(n+1) − 1 = 24k para algun k ∈ Z
|
{z
}
|
{z
}
hipótesis
conclusión
171
Álgebra
ahora pasemos a la demostración.
52(n+1) − 1
=
|{z}
52(n+1) − 1
=
|{z}
(52n 52 − 1)
=
|{z}
(52n (24 + 1) − 1)
=
|{z}
52n (24) + [52n − 1]
=
|{z}
52n (24) + [24k]
=
|{z}
(24) {52n + [k]}
por
hipótesis
por las propiedades
de los exponentes
por el álgebra
basica
por la ley
distributiva
por hipótesis
de inducción
(52n −1)=24k
por la ley
distributiva
por tanto 52(n+1) − 1 = (24) {52n + [k]} pero como {52n + [k]} ∈ Z entonces P (n + 1) es valido,
así la función proposicional P (n) es valido para todo n = 0, 1, 2, 3, ...
6.- 1 + 14 + 19 + · · · + n12 ≤ 2 − n1
Solución: Sea P (n) la función proposicional
P (n) := 1 +
1
1
1 1
+ + ··· + 2 ≤ 2 −
4 9
n
n
por el método de Inducción Matemática
1
i) P (1) := 1 = 2 − , es decir P (1) es valido para n = 1
| {z 1}
1
ahora veamos el otro paso de Inducción Matemática
ii) Si P (n) es valido, entonces veamos si P (n+1) es valido, en el lenguaje lógico este enunciado
se escribe.
1 1
1
1
1 1
1
1
P (n) := 1 + + + · · · + 2 ≤ 2 − → P (n + 1) := 1 + + + · · · +
2 ≤ 2−
4 9{z
n
n}
4 9
n+1
(n + 1)
|
|
{z
}
hipótesis
conclusión
ahora pasemos a la demostración
172
Álgebra
1
1 + 14 + 19 + · · · + (n+1)
2
=
|{z}
1
1 + 41 + 19 + · · · + n12 + (n+1)
2
=
|{z}
1
1 + 14 + 91 + · · · + n12 + (n+1)
2
≤
|{z}
1
2 − n1 + (n+1)
2
por el álgebra
basica
por la
asociatividad
por hipótesis
de inducción
1
1
1
por tanto 1 + 14 + 19 + · · · + (n+1)
(β)
2 ≤ 2 − n +
(n+1)2
1
1
Afirmación: 2 − n1 + (n+1)
2 ≤ 2 − n+1
Prueba:
es verdad que:
n≤n+1
como n > 0, entonces
1
≤ n1
n+1
n+1
≤ n1
(n+1)2
1
1
≤ n(n+1)
(n+1)2
como n + 1 > 0 entonces
como n + 1 > 0 entonces
1
1
= n1 − n+1
como n(n+1)
por el álgebra en los R
sumando 2 m/m
1
1
≤ n1 − n+1
(n+1)2
1
1
− n1 + (n+1)
2 ≤ − n+1
1
1
2 − n1 + (n+1)
2 ≤ 2 − n+1
1
1
por tanto 2 − n1 + (n+1)
2 ≤ 2 − n+1 para todo n ∈ N.
1
1
1
1
1
La relación (β) indica 1+ 41 + 91 +· · ·+ (n+1)
y por la afirmación 2− n1 + (n+1)
2 ≤ 2− n +
2 ≤ 2− n+1
(n+1)2
así por la transitividad de la relación menor o igual que se tendrá que
1+
1 1
1
1
+ + ··· +
2 ≤ 2−
4 9
n+1
(n + 1)
es decir la función proposicional P (n) := 1 + 41 + 19 + · · · + n12 ≤ 2 − n1 es valido para cualquier
número natural.
7. 10n+1 − 9n − 10 es múltiplo de 81
Solución: Sea P (n) la función proposicional
P (n) := 10n+1 − 9n − 10 es múltuplo de 81
por el método de Inducción Matemática
i) P (1) := (101+1 − 9 (1) − 10) = 81 (1), así P (1) es valido para n = 1
173
Álgebra
ahora veamos el otro paso de Inducción Matemática
ii) Si P (n) es valido, entonces veamos si P (n+1) es valido, en el lenguaje lógico este enunciado
se escribe.
P (n) := 10n+1 − 9n − 10 es múltuplo de 81
|
{z
}
hipótesis
→ P (n + 1) := 10(n+1)+1 − 9 (n + 1) − 10 es múltuplo de 81
|
{z
}
conclusión
ahora pasemos a la demostración
10(n+1)+1 − 9 (n + 1) − 10
=
|{z}
10(n+1) (10) − 9n − 9 − 10
=
|{z}
10(n+1) (1 + 9) − 9n − 9 − 10
=
|{z}
10(n+1) + 9 10(n+1) − 9n − 9 − 10
=
|{z}
(n+1)
10
− 9n − 10 + 9 10(n+1) − 9
=
|{z}
81 (k) + 9 10(n+1) − 9
por la propiedad
de los exponentes
y la ley distributiva
10=1+9
por la ley
distributiva
por la
conmutatividad
y la ley
asociativa
por hipótesis
de inducción
[10(n+1) −9n−10]=81(k)
donde k∈Z
=
|{z}
81 (k) + 9 (10n (10)) − 9
=
|{z}
81 (k) + 9 (10) (10n ) − 9
=
|{z}
81 (k) + 9 (1 + 9) (10n ) − 9
=
|{z}
81 (k) + 81 (10n ) + 9 (10n − 1)
por la propiedad
de los exponentes
por el álgebra
en los R
por el álgebra
en los R
por el álgebra
en los R
174
Álgebra
!
=
|{z}
por el álgebra
en los R
=
|{z}
por el álgebra
en los R
=
|{z}
por el álgebra
en los R
=
|{z}
81 (k) + 81 (10n ) + 9 |999{z
· · · 9}
n−veces
!
81 (k) + 81 (10n ) + 9 (9) 111
· · · 1}
| {z
n−veces
!
81 (k) + 81 (10n ) + 81 |111{z
· · · 1}
n−veces
"
!#
81 k + 10n +
111
· · · 1}
| {z
n−veces
por el álgebra
en los R
"
por tanto 10(n+1)+1 − 9 (n + 1) − 10 = 81 k + 10n +
!#
· · · 1}
|111{z
y como k ∈ Z, entonces
n−veces
"
!#
k + 10n +
· · · 1}
|111{z
∈ Z así 10(n+1)+1 − 9 (n + 1) − 10 es múltiplo de 81, es decir P (n + 1)
n−veces
es verdadera, por tanto la función proposicional P (n) := (10n+1 − 9n − 10) es múltuplo de 81 es
valido para todo número natural n.
Obs:
1.- Si llamamos X al conjunto de los números naturales n para los cuales P (n) es verdad, entonces
si 1 ∈ X en virtud del inciso i) y que si n ∈ X → (n + 1) ∈ X en virtud del inciso ii), gracias al
inciso d) se concluye que X = N.
2.- La observación 1 es equivalente también a los siguientes enunciados:
a) Si llamamos X al conjunto de los números naturales n para los cuales P (n) es verdad,
entonces si k ∈ X y si n ∈ X → (n + 1) ∈ X en virtud al inciso ii), podemos concluir que P (n)
es valido para todo X = N − {1, 2, ..., k − 1}.
b) Si llamamos X al conjunto de los números naturales n para los cuales P (n) es valido,
entonces si k ∈ X y si (n − 1) ∈ X → n ∈ X en virtud del inciso ii), podemos concluir que P (n)
es valido para todo X = N − {1, 2, ..., k − 1}.
4.1.2.
Relación de Orden en el Conjunto de los Números Naturales:
Definición. (4.1) Dado los números naturales n y m, entonces n es menor que m (n < m) si
existe un número natural t tal que m = n + t.
175
Álgebra
Ejemplo 147. Verificar si los siguienetes incisos son verdaderos o falsos a) 2 < 7 b) 7 < 2
Solución:
Para el inciso a) Según la definición (4.1)
n < m si y solo si existe t ∈ N tal que m = n + t
para nuestro ejemplo este enunciado es equivalente a
2 < 7 si y solo si existe 5 ∈ N tal que 7 = 2 + 5
así es verdad que 2 < 7
Para el inciso b) Según la definición (4.1)
n < m si y solo si existe t ∈ N tal que m = n + t
para nuestro ejemplo este enunciado es equivalente a
7 < 2 si y solo si existe ? ∈ N tal que 2 = 7+?
pero lamentablemente si se suma cualquier número natural a 7 el resultado siempre será diferente
de siete por tanto no existe ningún número natural tal que sumado a siete de dos, así la relación
7 < 2 es falsa, es decir 7
<
2
La relación n < m tiene las siguientes propiedades
a) Transitividad: Si n < m y m < s, entonces n < s
b) Tricotomia: Si n y m son números naturales, entonces vale una y solamente una de las
afirmaciones
n=món<móm<n
c) Monotonicidad: Si n < m, entonces para cualquier número natural p, se tiene
n + p < m + p y np < mp
Nota: Si n y m son dos números naturales, entonces n ≤ m si y solo si n = m o n < m
176
Álgebra
4.1.2.1.
Principio de Buen Orden:
Una de las propiedades más importantes de la relación de orden estricto n < m entre números
naturales es el denominado Principio de Buen Orden, que se enuncia a continuación
Teorema. (4.1) Si A ⊆ N no vació, entonces existe n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A
Demostración. Caso 1: Si 1 ∈ A entonces 1 es el menor elemento de A.
Caso 2: Si 1 ∈
/ A y X = {n ∈ N : In ⊂ N − A}, entonces 1 ∈ X (1).
Por otro lado como el conjunto A es diferente de vacio, entonces X 6= N (2), recordemos que el
método de inducción matemáticaindica indica
[(1 ∈ X) ∧ (∀n) (n ∈ X → (n + 1) ∈ X)] → (X = N)
y aplicando la contra reciproca a esta proposición se tendrá la siguiente proposición equivalente
∼ (X = N) →∼ [(1 ∈ X) ∧ (∀n) (n ∈ X → (n + 1) ∈ X)]
pero esta proposición escrita en su forma vertical tendriá la forma
(X 6= N)
∼ (1 ∈ X) ∨ (∃n0 ) (n0 ∈ X ∧ (n0 + 1) ∈
/ X)
o equivalentemente
(X 6= N)
(1 ∈ X) → (∃n0 ) (n0 ∈ X ∧ (n0 + 1) ∈
/ X)
y por el método de implicación este razonamiento es equivalente a
(X 6= N)
(1 ∈ X)
(∃n0 ) (n0 ∈ X ∧ (n0 + 1) ∈
/ X)
y de (1) y (2) se concluye que existe n0 ∈ N tal que n0 ∈ X y (n0 + 1) ∈
/ X así
In0 = {1, 2, 3, ..., n0 } ⊂ N − A
177
Álgebra
y
In0 +1 = {1, 2, 3, ..., n0 , n0 + 1} ⊂
N − A
lo que implica que (n0 + 1) ∈
/ N − A y por el álgebra de conjuntos (n0 + 1) ∈ A por tanto n0 es el
nemor elemento que pertenece al conjunto A.
Teorema. (4.2) Dados dos números naturales a y b, existen un único par de números naturales
q y r, denominados cociente y resto de la división de b por a respectivamente, que satisface las
siguientes condiciones.
i) b = aq + r
ii) 0 ≤ r < a
Demostración. La sucesión de número naturales que son múltiplos de a es: 0, a, 2a, 3a, ... y resulta
que esta sucesión es creciente, por tanto existiran término en la sucesión que serán mayores que
b, es decir b es una cota inferior del conjunto
A = {ka : b < ka para k ∈ N}
así este conjunto es no vacio y por el principia de buen orden este conjunto A tiene un elemento
mínimo, digamos (q + 1) a tal que b < (q + 1) a.
Y como b es un número natural entonces
qa ≤ b < (q + 1) a
y esta desigualdad es equivalente a la siguiente desigualdad
0 ≤ b − qa < a
| {z }
r
sea b − qa = r, entonces r ≥ 0 también r < a, pues
b < (q + 1) a
b < qa + a
b − qa < a
r < a
178
Álgebra
así b = qa + r con 0 ≤ r < a.
Para finalizar la demostración del teorema veamos que q y r sean únicos, para esto supongamos
que existe los números naturales p y s tal que b = pa + s con 0 ≤ s < a.
Caso 1: Si p > q
Restando la relación b = qa + r a la relación b = pa + s se tiene que 0 = (p − q) a + (s − r) de
donde (p − q) a = r − s es decir r − s es un multiplico de a y r − s > 0.
Por otro lado como r es un número natural y 0 ≤ r < a, entonces r − s ≤ r < a es decir r − s < a
pero (p − q) a = r −s, entonces (p − q) a < a y esta relación va a ser totalmente valida si p−q = 0.
es decir p = q y como (p − q) a = r − s entonces r = s.
Caso 2: Si p < q, es similar al primer caso.
Caso 3: Si p = q en este caso no hay nada que verificar.
De esta manera se tiene que en la relación b = aq + r con 0 ≤ r < a los números naturales q y r
serán únicos.
Ejemplo 148. Un número natural n excede en 35 unidades a un cierto múltiplo de 24. ¿Cual es
el resto de dividirlo por 8?
Solución: Según el problema n − 35 = 24a, entonces
n = 24a + 35 = 8 (3a) + 8 (4) + 3 = 8(3a + 4) + 3
| {z }
q
así n = 8q + 3 con q = (3a + 4) y como 0 ≤ 3 < 8, entonces el resto de dividir n entre 8 es 3.
Ejemplo 149. Supongamos que n es un número impar y no divisible por 3. ¿Cual es el resto de
dividir n2 por 24?
Solución: Como n es un numero impar, entonces no es divisible entre 2, y por hipótesis también
no es divisible entre 3. Ahora dividamos n entre 6, y por el algoritmo de la división se tendrá que
n = 6q + r con 0 ≤ r < 6
pero como 0 ≤ r < 6, entonces r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, así
179
Álgebra
Si r = 0 entonces n = 6q + 0, es decir n es par
Si r = 1 entonces n = 6q + 1
Si r = 2 entonces n = 6q + 2, es decir n es par
Si r = 3 entonces n = 6q + 3, es decir n es múltiplo de 3
Si r = 4 entonces n = 6q + 4, es decir n es par
Si r = 5 entonces n = 6q + 5
por tanto r = 1 o r = 5.
Si r = 5, entonces n = 6q + 5 = 6q + 5 + 1 − 1 = 6 (q + 1) − 1, es decir n = 6 (q + 1) − 1
Si r = 1, entonces n = 6q + 1, en resumen
n = 6k ± 1 para k = q + 1 ó k = q
y elevando al cuadrado esta relación se tendrá que
n2 = (6k ± 1)2
= 36k 2 ± 12k + 1
= 12k (3k ± 1) + 1
así n2 = 12 [k (3k ± 1)] + 1, se puede verificar por Inducción Matemática que el número k (3k ± 1)
es par, es decir k (3k ± 1) = 2t por tanto n2 = 12 (2t) + 1 = 24t + 1 es decir el resto de dividir n2
entre 24 es 1.
4.2.
El conjunto de los números Enteros:
El conjunto de los números enteros se define
Z = {..., −3, −2. − 1, 0, 1, 2, 3, ...}
este conjunto es cerrado para la adición y multiplicación y para el inverso aditivo. Construye el
objeto de estudio de la “Teoría de Números” ó Aritmética, su punto de partida es la divisibilidad
que se estudiara a continuación.
180
Álgebra
4.2.1.
Divisibilidad de Números Enteros:
Definición. (4.2) Si a y b son dos números enteros, entonces a divide a b si existe un número
entero c tal que b = ac. En este caso utilizaremos la notación a | b.
Ejemplo 150. 12 | 252 pues existe el número entero c = 21 tal que 252 = 12 (21)
.
Ejemplo 151. ¿Es verdad que 5 | 33?.
Solución: Según la definición (4.2) 5 no divide a 33, pues no existe ningún número entero c tal que
33 = 5c en este caso se utilizará la notación 5|33
Obs:
1.- La relación b = ac indica por definición que a divide a b, también esta relación nos indica que
b es un múltiplo de a
2.- Cualquier número entero divide a cero
3.- Si a | b entonces a | −b, −a | b y −a | −b
Ejemplo 152. Si a | b y b | c, entonces a | c
Solución: Por hipótesis
a | b si y sólo si existe un entero k1 tal que b = ak1 (1)
b | c si y sólo si existe un entero k2 tal que c = bk2 (2)
remplazando la relación (1) en la relación (2) se tiene
c = bk2 = (ak1 ) k2 = a (k1 k2 )
y como k1 y k2 son números enteros entonces k1 k2 es un número entero por tanto a | c
Ejemplo 153. Si a | b y a | c, entonces a | (b ± c)
Solución: Por hipótesis
a | b si y sólo si existe un entero k1 tal que b = ak1 (1)
a | c si y sólo si existe un entero k2 tal que c = ak2 (2)
181
Álgebra
sumando y restando las relaciones (1) y (2) se tiene
b ± c = ak1 ± ak2 = a (k1 ± k2 )
y como k1 y k2 son números enteros entonces k1 ± k2 es un número entero, por tanto a | (b ± c)
4.2.2.
Máximo Común Divisor:
Definición. (4.2) Si a y b son números naturales, entonces el mayor de sus divisores positivos en
común será denominado el máximo común divisor (mcd) de a y b. Que lo denotaremos por
(a : b)
Ejemplo 154. Hallar (120 : 84)
Solución: Según la definición (4.2) los divisores de 120 y 84 son:
120 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 60, 120
84 son: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
así los divisores en común de 120 y 84 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y el mayor de estos divisores en común
es 12 por tanto (120 : 84) = 12
Ejemplo 155. Hallar (270 : 1575)
Solución: Según la definición (4.2) los divisores de 270 y 1575 son:
270 son: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, ... , 30, 45, 50, 270
1575 son: 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, ... , 45, ... , 225, 315, 525, 1575
observando este listado de divisores de 270 y 1575 se tiene que el mayor divisor en común es 45
por tanto (270 : 1575) = 45
4.2.2.1.
Calculo del máximo común divisor:
En esta sección desarrollaremos algúnos métodos que nos permitiran determinar el mcd de dos
números.
1. Método de las Restas Sucesivas: Para determinar el (a : b) se define por recurrencia una
sucesión de pares de números enteros, en el que cada término se obtiene del anterior aplicando la
siguiente regla
182
Álgebra
(a : b) = (a − b : b) si a > b
(a : b) = (a : b − a) si a < b
y este algoritmo se detiene cuando se determina una relación de la forma (c : c) y además (c : c) = c
Ejemplo 156. Hallar (120 : 84)
Solución: Según el método de las restas sucesivas se tiene
(120 : 84) |{z}
= (120 − 84 : 84) = (36 : 84) |{z}
= (36 : 84 − 36) = (36 : 48) |{z}
= (36 : 48 − 36)
120>84
84>36
48>36
= (36 : 12) |{z}
= (36 − 12 : 12) = (24 : 12) |{z}
= (24 − 12 : 12) = (12 : 12) = 12
36>12
24>12
por tanto (120 : 84) = 12
2.- Método del Algoritmo de la División: Para determinar el (a : b) primero se analiza cuál
de los dos números a o b es el mayor. Si a > b, entonces se aplica la siguiente regla
a = b (q1 ) + r1 con 0 ≤ r1 < b
b = r1 (q2 ) + r2 con 0 ≤ r2 < r1
r1 = r2 (q3 ) + r3 con 0 ≤ r3 < r2
..
.
rn−1 = rn (qn+1 ) + rn+1 con 0 ≤ rn+1 < rn
rn = rn+1 (qn+2 ) + 0
así (a : b) = rn+1
Obs: En la regla anterior las sucesiones rn an de ser finitas ya que el resto es una sucesión
decreciente y acotado inferiormente, es decir 0 < rn+1 < rn < · · · < r2 < r1 < b
Ejemplo 157. Hallar (270 : 1575)
Solución: Como 1575 > 270, entonces por método del algoritmo de la división se tiene
1575 = 270 (5) + 225 con 0 ≤ 225 < 270
270 = 225 (1) + 45 con 0 ≤ 45 < 225
225 = 45 (5) + 0 con 0 ≤ 0 < 45
así (270 : 1575) = 45
3.- Método de la Factorización Prima: Para determinar el (a : b) primero se factorizan a y b
como producto de números primos, es decir
183
Álgebra
a
p1
a1
p2
..
.
a2
..
.
y
q1
b1
q2
..
.
b2
..
.
pn
qm
1
1
de donde a =
b
Q αi
Q
pj y b = qkαt .
Se estraen de las factorizaciones a =
Q αi
Q αt
pj y b =
qk los factores en común con su menor
exponente y luego se multiplican estos factores para obtener el mcd de a y b.
Ejemplo 158. Hallar (120 : 84)
Solución: Según el método de la factorización prima se tiene
120
2
60
y
84
2
2
42
2
30
2
21
3
15
3
7
7
5
5
1
1
de donde 120 = 23 (3) (5) y 84 = 22 (3) (7), así (120 : 84) = 22 (3) = 12
4.- Método de la Divisibilidad: Si (a : b) = g, entonces
i) g | a y g | b
ii) Si k | a y k | b, entonces k | g
Ejemplo 159. Hallar (270 : 1575)
Solución: Afirmamos que (270 : 1575) = 45, pues
i) 45 | 270 y 45 | 1575
ii) Si k | 270 y k | 1575, entonces k | 45 (o 45 = k () donde k = 3, 5, 9, 15) es decir
Si 3 | 270 y 3 | 1575, entonces 3 | 45
Si 5 | 270 y 5 | 1575, entonces 5 | 45
Si 9 | 270 y 9 | 1575, entonces 9 | 45
Si 15 | 270 y 15 | 1575, entonces 15 | 45
184
Álgebra
Nota: La definición de máximo común divisor se extiende naturalmente a cualquier par de números
enteros, es decir
(a : 0) = |a|para todo a ∈ Z
(a : b) = (|a| : |b|) Si a y b son números enteros diferentes de cero
Ejemplo 160. Hallar el (−36 : 20)
Solución: Según la nota anterior
(−36 : 20) = (|−36| : |20|) = (36 : 20) = (36 − 20 : 20) = (16 : 20) = (16 : 20 − 16)
= (16 : 4) = (16 − 4 (4) : 4) = (0 : 4) = |4| = 4
así (−36 : 20) = 4
Propiedades:
a) Si (a : b) = g entonces
a
: gb
g
=1
b) Si (a : b) = 1 y (a : c) = 1 entonces (a : bc) = 1
c) Si (a : bi ) = 1 para i = 1, 2, ..., n entonces (a : b1 b2 · · · bn ) = 1
d) Si a | bc y (a : b) = 1 entonces a | c
4.2.2.2.
Generalización del máximo común divisor:
Teorema. (4.3) Si a y b son dos números enteros, no ambos ceros, entonces el (a : b) es el menor
entero positivo que puede ser expresado como una función lineal homogénea de a y b, es decir
(a : b) = xa + yb tal que x, y ∈ Z.
Demostración. Sea S = {xa + yb : x, y ∈ Z} y como a2 +b2 > 0, entonces S 6= ∅ así por el teorema
(4.1) existe un elemento mínimo de S digamos g tal que
g = x1 a + y1 b para algunos x1 , y1 ∈ Z (1)
Caso 1: Si a ó b es cero entonces a =(a : 0) o b = (0 : b), es decir
(a : 0) = (1) a + (0) b
(0 : b) = (0) a + (1) b
Caso 2: Supongamos que a 6= 0 y b 6= 0, así por el teorema (4.2) existen los enteros q y r tal que
185
Álgebra
a = gq + r donde 0 ≤ r < g
entonces r = a − qg y por la relación (1) se tiene que
r = a − q (x1 a + y1 b) = (1 − qx1 ) a + (−qy1 ) b
Así r es una combinación lineal de a y b, pero r ∈
/ S ya que 0 ≤ r < g y g es el mínimo de los
elementos de S por tanto r = 0 así a = gq es decir g | a. De la misma forma se puede verificar que
g | b así g divide a a y b.
Si k | a y k | b entonces a = a0 k y b = b0 k para a0 , b0 ∈ Z y remplazando estas igualdades en la
relación (1) se tendrá que
g = x1 a + y1 b = x1 (a0 k) + y1 (b0 k) = k (x1 a0 + y1 b0 )
es decir k | g por lo tanto g es el mcd de a y b.
Teorema. (4.4) Si a1 , a2 ,...,an son números enteros distintos de cero con n ≥ 3, entonces
(a1 , a2 , ..., an−1 , an ) = ((a1 , a2 , ..., an−1 ) , an )
Demostración. Supongamos que (a1 , a2 , ..., an ) = g y (a1 , a2 , ..., an−1 ) = g 0 así verifiquemos que
(g 0 , an ) = g.
Como (a1 , a2 , ..., an ) = g entonces g | ai para i = 1, 2, ..., n en particular g | ai para i = 1, 2, ..., n−1
y g | an
Afirmación: Si g | a y g | b entonces g | (a : b)
Prueba: Por el teorema (4.3) existen los enteros x e y tal que (a : b) = xa + yb, pero por hipótesis
g | a y g | b es decir a = gk1 y b = gk2 para k1 , k2 ∈ Z y remplazando estas igualdades en la
relación (a : b) = xa + yb se tendrá que
(a : b) = x (gk1 ) + y (gk2 )
o lo que es lo mismo (a : b) = g (xk1 + yk2 ) pero como k1 , k2 , x e y son números enteros entonces
(xk1 + yk2 ) ∈ Z por tanto g | (a : b).
186
Álgebra
Retornando al teorema como g | ai para i = 1, 2, ..., n − 1 entonces por la afirmación anterior y
por inducción matemática g | (a1 , a2 , ..., an−1 ) es decir g | g 0 y g | an .
Ahora supongamos que k | g 0 y k | an , como (a1 , a2 , ..., an−1 ) = g 0 entonces g 0 | ai para i =
1, 2, ..., n − 1 es decir (1) ai = g 0 ti para i = 1, 2, ..., n − 1, por hipótesis k | g 0 entonces existe el
número entero t tal que g 0 = kt y remplazando esta igualdad en la relación (1) se tendrá que
ai = (kt) ti para i = 1, 2, ..., n − 1
o equivalentemente
k | ai para i = 1, 2, ..., n − 1
y como k | an entonces por la anterior afirmación y por inducción matemática k | (a1 , a2 , ..., an )
es decir k | g, por tanto g es el mcd de g 0 y an es decir
(g 0 , an ) = g
o equivalentemente
(a1 , a2 , ..., an−1 , an ) = ((a1 , a2 , ..., an−1 ) , an )
Ejemplo 161. Hallar (570 : 810 : 495 : 125)
Solución: Por el teorema (4.3) se tiene:
(570 : 810 : 495 : 125) = ((570 : 810 : 495) : 125) = (((570 : 810) : 495) : 125)
= ((30 : 495) : 125) = (15 : 125) = 5
Definición. (4.2) Si (a : b) = 1 entonces diremos que a y b son coprimos entre si
Ejemplo 162. Si (84 : n) = 14 ¿Cuál es el resto de dividir n por 84?
Solución: Por el teorema (4.2) existen los enteros q y r tal que n = 84q + r donde 0 ≤ r < 84,
así por el método del algoritmo de la división 14 = (84 : n) = (84 : r) por tanto 14 | r es decir
r| ={z14k} pero como 0 ≤ r < 84 entonces k = 1, 2, 3, 4, 5.
r
k= 14
187
Álgebra
Por otro lado como 14 = (84 : r) entonces por el inciso a) de la propiedad se tiene que
84
r
: 14
14
=1
o equivalentemente (6 : k) = 1 y como k = 1, 2, 3, 4, 5 entonces los únicos valores que k puede tomar
son 1 o 5 por tanto r = 14 o r = 70.
4.2.3.
Ecuaciones Diofánticas Lineales:
Definición. (4.3) Dados los números enteros a, b y c, la ecuación diofántica lineal ax + by = c
admite soluciones entera si y solo si el máximo común divisor de a y b divide a c.
En el caso de que la definición (4.3) se verifique, se cuenta con un método para determinar la
solución de la ecuación diofantica lineal. En efecto si g = (a : b) y g | c por el método del algoritmo
de la división podemos expresar g como combinación lineal de a y b, es decir g = au + bv (1) y
como g | c entonces existe el número entero k tal que c = gk ahora multiplicando por k la igualdad
(1) se tendrá que gk = auk + bvk lo cuál es equivalente a c = a (uk) + b (vk) donde
x = uk e y = vk
Ejemplo 163. Resolver la ecuación diofantica lineal 900x + 378y = 72
Solución: Mediante el método del algoritmo de la división se tiene
900 = 378 (2) + 144 con 0 ≤ 144 < 378
378 = 144 (2) + 90 con 0 ≤ 90 < 144
144 = 90 (1) + 54 con 0 ≤ 54 < 90
90 = 54 (1) + 36 con 0 ≤ 36 < 54
54 = 36 (1) + 18 con 0 ≤ 18 < 36
36 = 18 (2) + 0 con 0 ≤ 0 < 18
así (900 : 378) = 18 y por el teorema (4.3) existen los enteros u e v tal que 18 = 900u + 378v.
Los enteros u e v se determinar trabajando el método del algoritmo de la división de abajo hacia
arriba, es decir
188
Álgebra
18
=
54 (1) + 36 (−1)
=
|{z}
54 (1) + (90 + 54 (−1)) (−1)
=
54 (1) + 90 (−1) + 54 (1)
=
54 (2) + 90 (−1)
=
|{z}
(144 + 90 (−1)) (2) + 90 (−1)
=
144 (2) + 90 (−2) + 90 (−1)
=
144 (2) + 90 (−3)
=
|{z}
144 (2) + (378 + 144 (−2)) (−3)
=
144 (2) + 378 (−3) + 144 (6)
=
144 (8) + 378 (−3)
=
|{z}
(900 + 378 (−2)) (8) + 378 (−3)
=
900 (8) + 378 (−16) + 378 (−3)
=
900 (8) + 378 (−19)
90+54(−1)=36
144+90(−1)=54
378+144(−2)=90
900+378(−2)=144
así 18 = 900 (8) + 378 (−19) de donde u = 8 e v = −19.
!
Finalmente como 18 | 72 existe el número entero k = 4 tal que 72 = 18 |{z}
4
así la ecuación
k
diofántica lineal 900x + 378y = 72 admite soluciones enteras y sus soluciones serán x = uk =
8 (4) = 32 e y = vk = −19 (4) = −76.
Si la ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene solución enteras, entonces (a : b) = g divide a c
es decir g | c. Por otro lado como (a : b) = g, entonces ag : gb = 1 así la solución de la ecuación
diofantica lineal ax + by = c es la misma que la de la ecuación diofántica lineal ag x + gb y = gc por
esta razón y el hecho de que ag : gb = 1 no se pierde generalidad al asumir que (a : b) = 1, si x0
e y0 son las soluciones particular de la ecuación diofantica lineal ax + by = c, entonces la ecuación
diofantica lineal ax0 + by0 = c se satisface y restando las ecuaciones diofánticas lineales ax + by = c
y ax0 + by0 = c se tendrá que
a (x − x0 ) = b (y0 − y) (1)
lo que implica que a | b (y0 − y) y como (a : b) = 1, entonces a | (y0 − y) es decir y0 − y = ak (2)
con k ∈ Z análogamente se tiene que x − x0 = bk 0 (3) para k 0 ∈ Z y remplazando en ecuación (1)
189
Álgebra
se tiene que abk 0 = abk y por la ley de la cancelación en el conjunto de los números enteros se
tendrá que k 0 = k. Así de las relaciones (2) y (3) se tendrá que
x = x0 + gb k e y = y0 − ag k para k ∈ Z
que son las soluciones general de la ecuación diofántica lineal ax + by = c.
Ejemplo 164. Determinar la solución general de la ecuación diofántica lineal 900x + 378y = 72
Solución: Según el ejemplo anterior las soluciones particulares de la ecuación diofantica lineal
900x + 378y = 72 son x0 = 32 e y0 = −76 así las soluciones generales son:
k
x = x0 + gb k = 32 + 378
18
y
= y0 − ag k = −76 − 900
k
18
para k ∈ Z.
Ejemplo 165. Determine las soluciones enteras y positivas de la ecuación Diofántica lineal 18x +
5y = 48
Solución: Por el método del algoritmo de la división
18 = 5 (3) + 3 con 0 ≤ 3 < 5
5 = 3 (1) + 2 con 0 ≤ 2 < 3
3 = 2 (1) + 1 con 0 ≤ 1 < 2
2 = 1 (2) + 0 con 0 ≤ 0 < 1
así (18 : 5) = 1 y como 1 | 48, entonces la ecuación Diofantica lineal 18x + 5y = 48 tiene solución.
Ahora determinemos una solución particular trabajando el anterior algoritmo de la división de
abajo hacia arriba, es decir
1
=
3 (1) + 2 (−1)
=
|{z}
3 (1) + (5 (1) + 3 (−1)) (−1)
=
3 (1) + 5 (−1) + 3 (1)
=
3 (2) + 5 (−1)
=
|{z}
(18 (1) + 5 (−3)) (2) + 5 (−1)
=
18 (2) + 5 (−6) + 5 (−1)
=
18 (2) + 5 (−7)
2=5(1)+3(−1)
3=18(1)+5(−3)
190
Álgebra
así 1 = 18 (2) + 5 (−7) y multiplicando por 48 esta igualdad se tendrá que 48 = 18 (96) + 5 (−336)
por tanto una solución particular de la ecuación diofántica lineal 18x + 5y = 48 es x0 = 96 e
y0 = −336. Y las soluciones generales serán
x = x0 + gb k
e
y = y0 − ag k
x = 96 + 15 k
e
y = −336 − 18
k
1
x = 96 + 5k
e
y = −336 − 18k
96 + 5k > 0 e
−336 − 18k > 0
pero como x > 0 e y > 0 entonces
k > −20
e
−18 > k
de donde −20 < k < −18 y como k es un número entero, entonces k = −19 así las soluciones
positivas son: x = 1 e y = 6
Ejemplo 166. Para adquirir ejemplares de dos libros, cuyos respectivos precios son 12 y 17,50
bolivianos, una universidad dispone de 1680 bolivianos ¿De cuántas maneras puede hacerse la
operación, si debe comprarse por lo menos un ejemplar de cada libro y debe de gastarse todo el
dinero?
Solución: Según el enuciado del ejemplo la ecuación a resolver es: 12x+17,5y = 1680 para x, y ∈ Z+ .
Para poder resolver esta ecuación mediante el método de ecuaciones diofánticas lineales es prudente
multiplicar la ecuación por 2, es decir
24x + 35y = 3360 para x, y ∈ Z+
Ahora veamos si la ecuación diofántica lineal tiene solución:
35 = 24 (1) + 11 con 0 ≤ 11 < 24
24 = 11 (2) + 2 con 0 ≤ 2 < 11
11 = 2 (5) + 1 con 0 ≤ 1 < 2
2 = |{z}
1 (2) + 0
mcd
así (24 : 35) = 1 y como 1 | 3360 entonces la ecuación diofántica lineal tiene solución. Ahora
trabajemos el anterior algoritmo de la división de abajo hacia arriba para determinar una solución
particular de la ecuación diofántica lineal, es decir
191
Álgebra
1
=
11 + 2 (−5)
=
|{z}
11 + (24 + 11 (−2)) (−5)
=
11 + 24 (−5) + 11 (10)
=
11 (11) + 24 (−5)
=
|{z}
(35 + 24 (−1)) (11) + 24 (−5)
=
35 (11) + 24 (−11) + 24 (−5)
=
35 (11) + 24 (−16)
2=24+11(−2)
11=35+24(−1)
así 1 = 35 (11) + 24 (−16) o lo que es equivalente a 24 (−16) + 35 (11) = 1 (1). Por otro lado
1 | 3360 es decir 3360 = 1 (3360) así multipliquemos la relación (1) por 3360, es decir
(24 (−16) + 35 (11)) 3360 = 1 (3360)
o lo que es equivalente a







24 −53760
| {z } = 3360
| {z } + 35 36960
y0
x0
así x0 = −53760 e y0 = 36960 es una solución particular de la ecuación diofántica lineal y las
soluciones generales serán
x = x0 + gb k
e y = y0 − ag k
x = −53760 + 35k
e y = 36960 − 24k para k ∈ Z
pero como x, y ∈ Z+ , entonces
−53760 + 35k > 0
e 36960 − 24k > 0
k > 53760
= 1536
35
e 1540 = 36960
>k
24
de donde 1536 < k < 1540 y como k tiene que ser un número entero, entonces k = 1537, 1538, 1539
es decir
x = −53760 + 35 (1537) = 35
e
y = 36960 − 24 (1537) = 72
x = −53760 + 35 (1538) = 70
e
y = 36960 − 24 (1538) = 48
x = −53760 + 35 (1539) = 105
e
y = 36960 − 24 (1539) = 24
así las soluciones positivas para la ecuación 12x + 17,5y = 1680 son:
192
Álgebra
x = 35
e y = 72
x = 70
e y = 48
x = 105 e y = 24
lo que significa que
Del primer ejemplar 35 y del segundo 72
Del primer ejemplar 70 y del segundo 48
Del primer ejemplar 105 y del segundo 24
Ejemplo 167. ¿De cuántas maneras puede descomponerse a 834 como suma de dos números
pares positivos, uno múltiplo de 15 y otro múltiplo de 21?
Solución: Según el ejemplo hay que resolver la ecuación 834 = 15x + 21y para x par positivo e y
par positivo.
Ahora determinemos el mcd de 15 y 21 mediante el algoritmo de la división, es decir
21 = 15 (1) + 6
15 = 6 (2) + 3
6 = |{z}
3 (2) + 0
mcd
así (15 : 21) = 3 y además es verdad que 3 | 834 es decir la ecuación diafántica lineal 834 =
15x + 21y tiene solución
Ahora determinemos una solución particular trabajando el anterior algoritmo de la división de
abajo hacia arriba, es decir
3
=
15 (1) + 6 (−2)
=
|{z}
15 (1) + (21 + 15 (−1)) (−2)
=
15 (1) + 21 (−2) + 15 (2)
=
15 (3) + 21 (−2)
6=21+15(−1)
así 3 = 15 (3) + 21 (−2) (1) pero como 3 | 834, entonces existe el entero 278 tal que 834 = 3 (278),
ahora multipliquemos la relación (1) por 278 se tendrá
3 (278) = 15 (3 (278)) + 21 (−2 (278))
193
Álgebra
o lo que es equivalente
834 = 15 (834) + 21 (−556)
por tanto una solución particular de la ecuación diofántica 834 = 15x + 21y es: x0 = 834 e
y0 = −556 y las soluciones generales serián
x = x0 + gb k
e
y = y0 − ag k
x = 834 + 7k
e
y = −556 − 5k
x = 2 (417) + 7k
e
y = −556 − 5k
2 (417) + 7k > 0 e
−556 − 5k > 0
pero x, y > 0 entonces
2 (417) > −7k
e
−556 > 5k
<k
− 2(417)
7
e
− 556
>k
5
− 2(417)
<k
7
e
− 556
>k
5
y como k tiene que ser un número entero, entonces
−119 < k
e −111 > k
de donde k = −112, −113, −114, −115, −116, −117 y −118, por otro lado
x = 2 (417) + 7k
e
y = 2 (−278) − 5k
así para que x e y sean pares k tiene que ser par, por tanto k = −112, −114, −116 y −118 de
donde
x = 50 e
y=4
x = 36 e
y = 14
x = 22 e
y = 24
e
y = 34
x=8
por tanto
834 = 15 (50) + 21 (4)
834 = 15 (36) + 21 (14)
834 = 15 (22) + 21 (24)
834 = 15 (8) + 21 (34)
194
Álgebra
4.3.
Ejercicios Propuestos:
1. Inducción Matemática:
1. Demostrar los siguientes ejercicios por inducción matemática:
a) 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n+1)
2
2
b) 1 + 2 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1
2
c) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = n (n+1)
4
d) 1 + 5 + 9 + · · · + (4n − 3) = n(2n − 1)
1
1
1
n
1
+ 2·3
+ 3·4
+ · · · + n(n+1)
= n+1
e) 1·2
2n
f ) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n+1)(2n+1)
6
i) 22n − 1 es múltiplo de 3
j) 34n+2 + 52n+1 es un múltiplo de 14 (revisar)
k) 11n+2 + 122n+1 es divisible por 133
l) x2n − y 2n es divisible por x + y
m) x2n − y 2n es divisible por x − y
o) 2n > n
n) x2n−1 − y 2n−1 es divisible por x + y
n
p) 1 + 31 ≥ 1 + n3
q) 2n+4 > (n + 4)2
r) n − 2 < n 12−n
s) 1 + 14 + 19 + · · · + n12 ≤ 2 − n1
t) 2n > n2 + 4n + 5 para todo natural n ≥ 7
g) 5
− 1 es un múltiplo de 24
h) 10n+1 − 9n − 10 es un múltiplo de 81
2
2. Demostrar que para todo numero natural n: (2n)! < 22n (n!)2
2
3
3. Demuestre que para todo n ∈ N, n3 + n2 + n6 ∈ N
4. Demostrar que para todo n natural
3 + 33 + 333 + · · · + 333
· · · 33} =
| {z
n−veces
10n+1 − 9n − 10
27
5. Considere el predicado P (n) := ”n2 + 5n + 1 es par”
a) Demuestre que la veracidad de P (n) implica la veracidad de P (n) para todo n ∈ N
b) ¿Para que valores de n es P (n) realmente verdadera? ¿Cual es la moraleja de este ejercicio?
2. Divisibilidad de los números Enteros:
1. En cada uno de los siguientes casos, decida si lo que se afirma es verdadero o falso
a) Si a | b + c, entonces a | b o a | c
b) a | b si y solo si ac | bc
c) Si a | bc, entonces a | b o a | c
d) Si a | b y c | b, entonces ac | b
e) Si a | b y c | b, entonces ac | bd
f ) Si a | b, entonces an | bn
2. En cada uno de los siguientes casos, determine los números naturales n que satisfacen la relación
planteada:
a) n | n + 1
b) n − 2 | n + 2
195
c) n − 3 | n2 + 1
Álgebra
3. Demuestre las siguientes propiedades:
a) La suma de dos números impares consecutivos es múltiplo de 4
b) La suma de tres números impares consecutivos es divisible por 3 pero no por 6
c) El producto de dos números pares consecutivos es divisible por 8
4. Determine el cociente y el resto de dividir por 96 y por -96 a cada uno de los siguientes números:
527, -714, 29, 0 y -14
5. Las edades de tres personas son números consecutivos. Si se dividen dichos números por 9, dos
de ellos tiene cociente 6 y el restante 7. ¿Que edades tienen?
6. Halle el mayor numero natural con la propiedad de tener el mismo cociente al ser dividido por
120 que al ser dividido por 144
7. Sabiendo que el resto de la división de un numero entero a por 7 es 5, calcule el resto de la
división por 7 de los siguientes números:
b) 99 − a
a) a + 86
8. Calcular el resto de dividir
100
P
c) a2 + 3a − 1
d) a30 + 1
2i por 7 ¿El cociente es par o impar?
i=0
3. Máximo Común Divisor:
1. En cada uno de los incisos calcular (a : b) y escribirlo como una combinación lineal, es decir
(a : b) = ax + by tal que |x + y| sea mínimo.
a) a = 210 y b = 567
b) a = 480 y b = −176
c) a = 15 (36) y b = 15 (22)
d) a = −26 y b = 0
e) a = 28 y b = 756
f ) a = 318 + 1 y b = 318 − 1
2. El mcd de 84 y un cierto numero natural n es 14. ¿Cual puede ser el resto de dividir n por 84?
3. Si se toma al azar un numero natural n entre1 y 100. ¿Cual es el valor mas probable del mcd
de n y 12?
4. Si a es un numero entero determinar el mcd de a y a + 1; a − 1 y a + 1; 4a y 2a + 3
5. Demostrar que el mcd de a2 + 3 y a2 − 2 es igual a 1, para cualquier entero a
6. La suma de dos números naturales m y n es 300 y su mcd es 25. Halle los posibles valores de
m y n (m < n). Resuelva un problema similar, sabiendo ahora que el mcd es 6 y que el producto
de los números es 648.
7. Si el mcd de a y b es igual a 1, entonces el mcd de a + b y a − b es igual a 1 o el mcd de a + b y
a − b es igual a 2
196
Álgebra
8. Si el mcd de a y bc es igual a 1, entonces el mcd de a y b es igual a 1 y el mcd de a y c es igual
a1
4. Ecuaciones Diofanticas Lineales:
1. Resolver las siguientes ecuaciones diofanticas lineales
a) 30x + 36y = 24
b) 30x + 36y = 4
c) 41x − 19y = 8
2. Hallar la solución general de la ecuación diofantica lineal 14x + 22y = 50
3. ¿De cuántas maneras puede descomponerse a 834 como suma de dos números pares positivos,
uno múltiplo de 15 y otro múltiplo de 21?
4. Dado un número natural n se sabe que en la recta de ecuación 9x + 14y = n hay exactamente
un punto de coordenada entera y positiva ¿Cuál es el mayor valor posible de n?
5. Una compañía compro cierto número de reliquias falsas a 17 bolivianos cada una, y vendió
algunas de ellas a 49 bolivianos cada una. Si la cantidad comprada originalmente es mayor que
50 y menor que 100 y la compañía tuvo una ganancia total de 245 bolivianos ¿Cuántas reliquias
faltan por vender? revisar.
6. Un hombre recibió un cheque por una cierta cantidad de dinero. El hombre compro un articulo
en 0,68 bolivianos y pago con cheque. El cajero tomo equivocadamente el número de bolivianos
por el número de centavos y el número de centavos por el número de bolivianos y le dio como
vuelto dos veces la cantidad del cheque ¿Cuál es el menor valor posible del cheque?
197
CAPÍTULO 5
Estructuras Algebraicas
5.1.
Congruencia en Z y Aritmética Modular:
5.1.1.
Congruencia en Z:
En la sección 3.2.4 del capitulo 3 se verifico que la relación ≡ definida en el conjunto de los números
enteros Z, como
x ≡ y si y solo si y − x es divisible entre 2
es una relación de equivalencia.
Esta relación se puede generalizar de la siguiente forma: La relación ≡ definida en el conjunto de
los números Z, como
x ≡ y si y solo si y − x es divisible entre n
esta relación es denominada relación de congruencia modulo n y es una relación de equivalencia,
ya que se verifican la:
Reflexividad: La definición de reflexividad indica
∼ es reflexiva si y solo si ∀x : x ∈ A → x ∼ x
así para muestro caso esta definición se modifica de la siguiente manera
conclusion
≡ es reflexiva si y solo si ∀x : x
∈ Z} →
| {z
hipotesis
198
z
}|
x
≡ x}
| {z
{
x−x es divisible entre n
Álgebra
Por hipótesis x ∈ Z, entonces por el álgebra básica 0 = x − x pero como n | 0 entonces n | (x − x)
lo que implica que x − x es divisible entre n, es decir x ≡ x. Así la relación ≡ es reflexiva.
Simetría: La definición de simetría indica
∼ es simétrica si y solo si ∀x∀y : x ∼ y → y ∼ x
así para muestro caso esta definición se modifica de la siguiente manera
hipotesis
≡ es simétrica si y solo si ∀x∀y :
conclusion
}|
x≡y
| {z }
z
{
y−x es dibisible entre n
→
}|
y≡x
| {z }
z
{
x−y es dibisible entre n
así
x≡y
| {z }
hipotesis
↔
|{z}
y − x es divisible entre n
→
|{z}
− (y − x) es divisible entre n
→
|{z}
−y + x es divisible entre n
→
|{z}
x − y es divisible entre n
↔
|{z}
y≡x
por definición
por el álgebra
en los enteros
por la ley
de los signos
por la ley
conmutativa
por definición
así la relación ≡ es simétrica.
Transitividad: La definición de transitividad indica
∼ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z : x ∼ y ∧ y ∼ z → x ∼ z
así para muestro caso esta definición se modifica de la siguiente manera
hipótesis
≡ es transitiva si y solo si ∀x∀y∀z :
z
x≡y
| {z }
y−x es divisible
entre n
así
199
}|
∧
conclusión
y≡z
| {z }
{
z−y es divisible
entre n
→
z
}|
{
x
≡ z}
| {z
z−x es divisible
entre n
Álgebra
x≡y∧y ≡z
{z
}
|
hipótesis
↔
|{z}
y − x es dibisible entre n ∧ z − y es dibisible entre n
→
|{z}
((y − x) + (z − y)) es divisible entre n
→
|{z}
−x + z es divisible entre n
→
|{z}
z − x es divisible entre n
↔
|{z}
x≡z
por definición
por el álgebra
en los enteros
por el álgebra
en los enteros
por la ley
conmutativa
por definición
así la relación ≡ es transitiva, de esta manera la relación ≡ es una relación de equivalencia.
La relación
x ≡ y si y solo si y − x es divisible entre n
también se lo puede escribir de la siguiente forma x ≡n y para x, y ∈ Z y n ∈ N. Y como esta
relación es de equivalencia sus clases de equivalencias serán
[z] = {x ∈ Z : x ≡n z}
o equivalentemente
[z]
= {x ∈ Z : z ≡n x}
= {x ∈ Z : x − z = nk para k ∈ Z}
= {x = nk + z : k ∈ Z}
y por el algoritmo de la división la relación x = nk + z nos indica que z es el resto de dividir x
entre n así 0 ≤ z < n es decir z = 0, 1, 2, ..., n − 1 así las clases de equivalencia serán: [0], [1], ...,
[n − 1] por tanto el conjunto cociente es
Zn = {[0], [1], ..., [n − 1]}
Ejercicio 168. Si x ≡n y y z ≡n t entonces (x + z) ≡n (y + t) y xz ≡n yt
Solución:
Para (x + z) ≡n (y + t).
Por hipótesis
200
Álgebra
x ≡n y si y solo si y − x = nk1 para k1 ∈ Z (1)
z ≡n t si y solo si t − z = nk2 para k2 ∈ Z (2)
sumando las relaciones (1) y (2) se tiene que
(y − x) + (t − z) = n (k1 + k2 ) para (k1 + k2 ) ∈ Z
o equivalentemente
(y + t) − (x + z) = n (k1 + k2 ) para (k1 + k2 ) ∈ Z
lo que significa que (y + t) ≡n (x + z) y por la simetría de la relación ≡ se verifica que (x + z) ≡n
(y + t).
Para xz ≡n yt
Por hipótesis
x ≡n y si y solo si y − x = nk1 para k1 ∈ Z (1)
z ≡n t si y solo si t − z = nk2 para k2 ∈ Z (2)
multiplicando la relación (1) por t y la relación (2) por x se tendrá
x ≡n y si y solo si yt − xt = nk1 t para k1 ∈ Z
z ≡n t si y solo si xt − xz = xnk2 para k2 ∈ Z
y sumando las dos relaciones anteriores se tiene
(yt − xt) + (xt − xz) = n (k1 t + xk2 ) para (k1 t + xk2 ) ∈ Z
o equivalentemente
yt − xz = n (k1 t + xk2 ) para (k1 t + xk2 ) ∈ Z
lo que implica que xz ≡n yt.
Ejercicio 169. x ≡n y si y solo si [x] = [y]
Solución: Notemos que x ≡n y si y solo si [x] = [y] así la proposición (p ↔ q) es lógicamente
| {z }
| {z }
p
q
equivalente a ((p → q) ∧ (q → p)) portanto analicemos los siguientes casos
Caso 1: (p → q)
201
Álgebra
a ∈ [x]
↔
|{z}
a ≡n x
↔
|{z}
a ≡n y
↔
|{z}
a ∈ [y]
por definición
de clses
x≡n y y por
transitividad
por definición
de clses
de esta forma se tiene que [x] = [y]
Caso 2: (q → p)
Si a ∈ [x] y como [x] = [y] entonces a ∈ [y], así
a ∈ [x]
↔
|{z}
a ≡n x (1)
↔
|{z}
a ≡n y (2)
por definición
de clses
a ∈ [y]
por definición
de clses
así de (1) y (2) por transitividad se tiene que x ≡n y.
Ejercicio 170. Si [x] y [y] pertenecen a Zn , entonces [x] ∩ [y] = ∅ o [x] = [y]
Solución: El enunciado anterior es equivalente a
Si [x], [y] ∈ Zn entonces[x] ∩ [y] = ∅ o [x] = [y]
|
{z
}
|
{z
} | {z }
p
q
r
el enunciado anterior es equivalente a la proposición p → (q ∨ r) o al razonamiento deductivo
p
q∨r
pero la proposición q ∨ r es lógicamente equivalente a la proposición ∼ q → r así el esquema
anterior es equivalente al razonamiento deductivo
p
∼q→r
y por el método de la implicación este razonamiento deductivo es equivalente al siguiente razonamiento deductivo
202
Álgebra
p
∼q
r
que a su vez es equivalente a la proposición (p∧ ∼ q) → r y esta proposición es equivalente al
siguiente enunciado




Si [x], [y] ∈ Zn  y [x] ∩ [y] 6= ∅entonces [x] = [y]
{z
}
|
{z
}
| {z }
|
∼q
p
r
Por hipótesis [x] ∩ [y] 6= ∅ entonces existe algún entero a tal que a ∈ ([x] ∩ [y]) lo que implica que
a ∈ [x] y a ∈ [y] es decir
a ≡n x y a ≡n y
así por la transitividad de la relación ≡ se tiene que x ≡n y lo cual implica que [x] = [y] por el
ejercicio 167.
5.1.2.
Aritmética Modular:
En el conjunto
Zn = {[0], [1], ..., , [n − 1]}
se definen la adición y multiplicación de clases del siguiente modo.
Si [x] y [y] pertenecen a Zn , entonces
a) [x] ⊕ [y] = [x + y] para la adición
b) [x] ⊗ [y] = [xy] para la multiplicación
y estas operaciones están bien definidas, ya que son funciones es decir.
Si [x] ⊕ [y] = [x + y], [a] ⊕ [b] = [a + b], [x] = [a] y [y] = [b] entonces [x + y] = [a + b]
Prueba:
Por hipótesis [x] = [a] y [y] = [b], entonces x ≡n a e y ≡n b y por el ejercicio 166 (x + y) ≡n (a + b)
y por el ejercicio 167 [x + y] = [a + b].
Si [x] ⊗ [y] = [xy] y [a] ⊗ [b] = [ab], [x] = [a] y [y] = [b] entonces [xy] = [ab]
Prueba:
Por hipótesis [x] = [a] y [y] = [b], entonces x ≡n a y y ≡n b y por el ejercicio 166 xy ≡n ab y por
el ejercicio 167 [xy] = [ab].
203
Álgebra
Ejemplo 171. Hallar [3] ⊕ [5] y [4] ⊗ [4] en Z6
Solución:
[3] ⊕ [5]
=
|{z}
[3 + 5] = [8] |{z}
= [2]
=
|{z}
[4 (4)] = [16] |{z}
= [4]
por definición
de adición
8=6(1)+2
y
[4] ⊗ [4]
por definición
de multiplicación
16=6(2)+4
Obs: [a] |{z}
= [r]
a=6(c)+r
Propiedades de Zn :
a) Para la adición: Si [x], [y] y [z] pertenecen a Zn , entonces
1.- Asociatividad: ([x] ⊕ [y]) ⊕ [z] = [x] ⊕ ([y] ⊕ [z])
2.- Conmutatividad: [x] ⊕ [y] = [y] ⊕ [x]
3.- Existencia del neutro aditivo: Para todo [x] ∈ Zn existe [0] ∈ Zn tal que [x] ⊕ [0] = [x]
4.- Existencia del inverso aditivo: Para todo [x] ∈ Zn existe [−x] ∈ Zn tal que [x] ⊕ [−x] = [0]
b) Para la multiplicación: Si [x], [y] y [z] pertenecen a Zn , entonces
1.- Asociatividad: ([x] ⊗ [y]) ⊗ [z] = [x] ⊗ ([y] ⊗ [z])
2.- Conmutatividad: [x] ⊗ [y] = [y] ⊗ [x]
3.- Existencia del neutro multiplicativo: Para todo [x] ∈ Zn existe [1] ∈ Zn tal que [x] ⊗ [1] = [x]
c) Ley distributiva: Si [x], [y] y [z] pertenecen a Zn , entonces [x] ⊗ ([y] ⊕ [z]) = ([x] ⊗ [y]) ⊕
([x] ⊗ [z])
Teorema. (5.1) Si p es un entero mayor o igual que 1, entonces las siguientes afirmaciones son
equivalentes
i) p es primo
ii) Para [a], [0] ∈ Zp y [a] 6= [0], entonces la ecuación [a] ⊗ x = [1] tiene solución
iii) Para todo [a], [b] ∈ Zp . Si [a] ⊗ [b] = [0], entonces [a] = [0] o [b] = [0]
Demostración. Veamos i) → ii)
204
Álgebra
Por hipótesis [a] 6= [0], entonces [a] ∩ [0] = ∅, lo que implica que a no es congruente con 0 modulo
p, es decir a − 0 6= pk para todo k ∈ Z o lo que es lo mismo p - a lo que implica que (a : p) = 1 y
esto significa que existen enteros x0 e y0 tal que
1 = ax0 + py0
o equivalentemente
1 − ax0 = py0 para y0 ∈ Z
o [ax0 ] = [1] es decir [a] ⊗ [x0 ] = [1], por tanto la ecuación [a] ⊗ x = [1] tiene solución y la solución
es x = [x0 ]
Veamos ii) → iii)
El enunciado del inciso iii) indica
Si [a] ⊗ [b] = [0], entonces [a] = [0] o [b] = [0]
|
{z
}
| {z } | {z }
p
q
r
y este enunciado es equivalente a la proposición p → (q ∨ r) y esta proposición es lógicamente
equivalente a la proposición (p∧ ∼ q) → r cuyo enunciado es el siguiente
Si [a] ⊗ [b] = [0]y [a] 6= [0], entonces [b] = [0]
| {z }
|
{z
} | {z }
p
q
r
ahora pasemos a verificar este enunciado
Por hipótesis [a] 6= [0] entonces por el inciso ii) la ecuación [a] ⊗ x = [1] (1) tiene solución en Zp ,
supongamos que la solución es x = [n] para n ∈ Z, y como la multiplicación en Zp es cerrada
entonces multipliquemos por [b] la ecuación (1), es decir
[b] ⊗ ([a] ⊗ [n]) = [b] ⊗ [1]
y por la propiedad de la asociatividad y el neutro aditivo en Zp se tiene ([a] ⊗ [b]) ⊗ [n] = [b]
pero por hipótesis [a] ⊗ [b] = [0], entonces de la relación ([a] ⊗ [b]) ⊗ [n] = [b] es equivalente a
[0] ⊗ [n] = [b], es decir [b] = [0 (n)] por tanto [b] = [0]
Veamos iii) → i) (Por contradicción)
205
Álgebra
Supongamos que p = ab (con a | p y b | p), así [p] = [ab] o equivalentemente [p] = [a] ⊗ [b] pero
como [p] ∈ Zp , entonces [p] = [0] por tanto [a] ⊗ [b] = [0] así por hipótesis [a] = [0] o [b] = [0] lo
que implica que a ≡p 0 o b ≡p 0 lo que implica que p | a o p | b.
Caso 1: Supongamos que p | a, entonces a = pk para algún k ∈ Z pero como p = ab se tendrá que
a = abk y como a, b, k ∈ Z, entonces por la ley de la cancelación bk = 1 lo que implica que b = ±1
y como p = ab entonces p es primo
Caso 2: Supongamos que p | b, este caso es análogo al caso 1.
Así de los casos 1 y 2 se tiene que p tiene que ser un número primo.
Si p es un número primo, entonces las propiedades de Zp son:
a) Para la adición: Si [x], [y] y [z] pertenecen a Zp , entonces
1.- Asociatividad: ([x] ⊕ [y]) ⊕ [z] = [x] ⊕ ([y] ⊕ [z])
2.- Conmutatividad: [x] ⊕ [y] = [y] ⊕ [x]
3.- Existencia del neutro aditivo: Para todo [x] ∈ Zp existe [0] ∈ Zp tal que [x] ⊕ [0] = [x]
4.- Existencia del inverso aditivo: Para todo [x] ∈ Zp existe [−x] ∈ Zp tal que [x] ⊕ [−x] = [0]
b) Para la multiplicación: Si [x], [y] y [z] pertenecen a Zp , entonces
1.- Asociatividad: ([x] ⊗ [y]) ⊗ [z] = [x] ⊗ ([y] ⊗ [z])
2.- Conmutatividad: [x] ⊗ [y] = [y] ⊗ [x]
3.- Existencia del neutro multiplicativo: Para todo [x] ∈ Zp existe [1] ∈ Zp tal que [x] ⊗ [1] = [x]
c) Ley distributiva: Si [x], [y] y [z] pertenecen a Zp , entonces [x]⊗([y] ⊕ [z]) = [x]⊗[y]⊕[x]⊗[z]
se le adiciona la siguiente propiedad:
d) Existencia del inverso multiplicativo: Para todo [x] ∈ Zp . Si [x]6= [0], entonces existe
[y] ∈ Zp tal que [x] ⊗ [y] = [1].
Ejemplo 172. Resolver la ecuación [4] ⊗ x = [3] en Z5
Solución:
Primera Forma:
Notemos que Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} así la tabla correspondiente a la multiplicación es:
206
Álgebra
⊗
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[2]
[0]
[2]
[4]
[1]
[3]
[3]
[0]
[3]
[1]
[4]
[2]
[4]
[0]
[4]
[3]
[2]
[1]
según la tabla se observa la relación [4] ⊗ [2] = [3] en la sexta fila y cuarta columna por tanto la
solución de la ecuación [4] ⊗ x = [3] es x = [2].
Segunda Forma:
Supongamos que x = [y] entonces
[4] ⊗ x
=
[3]
[4] ⊗ [y]
=
|{z}
[3]
=
|{z}
[3]
x=[y]
[4y]
por
definición
así [4y] = [3] y por definición 4y ≡5 3 es decir 4y − 3 = 5k para algún k ∈ Z o equivalentemente
4y − 5k = 3 para algún k ∈ Z, ahora resolvamos esta ecuación diofántica.
Por el algoritmo de la división
5 = 4 (1) + 1 con 0 ≤ 1 < 4
4 = |{z}
1 (4) + 0 con 0 ≤ 0 < 1
mcd
así (4 : −5) = (4 : 5) = 1 y como 1 | 3 la ecuación diofántica tiene solución y esta solución es:
1 = 5 (1) + 4 (−1)
ahora multiplicando la anterior relación por 3 se tendrá que: 3 = 5 (3) + 4 (−3) o equivalentemente
4 (−3) − 5 (−3) = 3 así la solución particular es: y0 = −3 y k0 = −3 y la solución general será
t y k = k0 − 14 t para t ∈ Z
y = y0 + −5
1
y = −3 − 5t
y k = −3 − 4t para t ∈ Z
pero como y = 0, 1, 2, 3 o 4 entonces esta situación se da en la relación y = −3 − 5t solo cuando
t = −1 por tanto y = −3 − 5 (−1) = 2, es decir la solución de la ecuación [4] ⊗ x = [3] es
x = [y] = [2]
207
Álgebra
5.2.
Grupos:
Definición. (5.1) (Grupo) Sea G un conjunto no vació. El conjunto G es denominado grupo si
1. Para todo a, b ∈ G implica ab ∈ G
2. Para todo a, b, c ∈ G implica a (bc) = (ab) c
3. Para todo a ∈ G, existe e ∈ G tal que ae = a y ea = a
4. Para todo a ∈ G existe a−1 ∈ G tal que aa−1 = e y a−1 a = e
Ejemplo 173. Los números enteros con la adición usual es grupo, pues:
1. Para todo n, m ∈ Z implica (n + m) ∈ Z
2. Para todo n, m, s ∈ Z implica n + (m + s) = (n + m) + s
3. Para todo n ∈ Z, existe 0 ∈ Z tal que n + 0 = n y 0 + n = n
4. Para todo n ∈ Z existe −n ∈ Z tal que n + (−n) = 0 y (−n) + n = 0
asi el conjunto de los números enteros con la adición (+) usual es un grupo.
Ejemplo 174. Los números racionales positivos (Q+ ) con la multiplicación usual es grupo, pues:
1. Para todo p, q ∈ Q+ implica pq ∈ Q+
2. Para todo p, q, r ∈ Q+ implica p (qr) = (pq) r
3. Para todo p ∈ Q+ , existe 1 = 11 ∈ Q+ tal que p1 = p y 1p = p
4. Para todo p ∈ Q+ existe p1 ∈ Q+ tal que p p1 = 1 y p1 p = 1
asi el conjunto de los números racionales positivos con la multiplicación (.) usual es un grupo.
Ejemplo 175. El conjunto Zn con la adición definida por [a] ⊕ [b] = [a + b] es un grupo.
Solución: Veamos si verifica las propiedades de la definición (5.1), es decir
1. Para todo [a], [b] ∈ Zn por definición [a] ⊕ [b] = [a + b] y como a, b ∈ Z entonces [a + b] ∈ Zn
por tanto [a] ⊕ [b] ∈ Zn .
2. Si [a], [b] y [c] ∈ Zn , entonces
208
Álgebra
[a] ⊕ ([b] ⊕ [c])
=
|{z}
[a] ⊕ ([b + c])
=
|{z}
[a + (b + c)]
=
|{z}
[(a + b) + c]
=
|{z}
[a + b] ⊕ [c]
=
|{z}
([a] ⊕ [b]) ⊕ [c]
por
definición
por
definición
por la
asociatividad
en Z
por
definición
por
definición
3. Para todo [a] ∈ Zn existe [0] ∈ Zn tal que [a] ⊕ [0] = [a + 0] = [a] y [0] ⊕ [a] = [0 + a] = [a]
4. Para todo [a] ∈ Zn existe [−a] ∈ Zn tal que [a] ⊕ [−a] = [a − a] = [0] y [−a] ⊕ [a] = [−a + a] = [0]
así el par (Zn , ⊕) es un grupo.
Ejemplo 176. El conjunto Zp , donde p es primo con la multiplicación definida por [a] ⊗ [b] = [ab]
es un grupo.
Solución: Veamos si verifica las propiedades de la definición (5.1), es decir
1. Para todo [a], [b] ∈ Zp por definición [a] ⊗ [b] = [ab] y como a, b ∈ Z entonces [ab] ∈ Zp por
tanto [a] ⊗ [b] ∈ Zp .
2. Si [a], [b] y [c] ∈ Zp , entonces
[a] ⊗ ([b] ⊗ [c])
=
|{z}
[a] ⊗ ([bc])
=
|{z}
[a (bc)]
=
|{z}
[(ab) c]
=
|{z}
[ab] ⊗ [c]
=
|{z}
([a] ⊗ [b]) ⊗ [c]
por
definición
por
definición
por la
asociatividad
en Z
por
definición
por
definición
209
Álgebra
3. Para todo [a] ∈ Zp existe [1] ∈ Zp tal que [a] ⊗ [1] = [a1] = [a] y [1] ⊗ [a] = [1a] = [a]
4. Para todo [a] ∈ Zp las ecuación [a] ⊗ x = [1] y x ⊗ [a] = [1] tienen soluciones por el teorema
(5.1) lo que significa que [a] tiene inverso multiplicativo.
así el par (Zp , ⊗) es un grupo.




a b


Ejemplo 177. El conjunto GL2 (R) = A =
: det (A) 6= 0 para a, b, c, d ∈ R con la


c d
multiplicación de matrices forma un grupo.


Solución: Veamos si verifica las propiedades de la definición (5.1), es decir
1. Para todo A, B ∈ GL2 (R) implica por definición que det (A) 6= 0 y det (B) 6= 0, por otro lado
según las propiedades de las determinantes
det (AB) = det (A) det (B)
así det (AB) 6= 0, es decir AB ∈ GL2 (R)
2. Como la multiplicación de matrices es asociativo, entonces para cualesquiera matrices A, B y
C se verifica que
A (BC) = (AB) C
y en particular esta relación se verifica para A, B, C ∈ GL2 (R)


3. Para cualquier matriz A ∈ GL2 (R) existe la matriz I = 
 ∈ GL2 (R) (pues det (I) =
1 0
0 1
1 6= 0) tal que AI = A y IA = A
4. Si A ∈ GL2 (R), entonces por definición det (A) 6= 0 por tanto la matriz A es inversible, es decir
existe la matriz A−1 tal que AA−1 = I y A−1 A = I. Ahora veamos que det (A−1 ) 6= 0
det (AA−1 )
det (A) det (A−1 )
= det (I)
=
1
1
y como det (A) 6= 0 entonces det (A−1 ) = det(A)
, es decir det (A−1 ) 6= 0 por tanto A−1 ∈ GL2 (R).
Ejemplo 178. Sea A = {a, b, c} y ∗ una operación definida en A según la siguiente tabla
∗
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
c
c
c
b
a
210
Álgebra
a) Indicar cual es el elemento neutro
b) Hallar, si existe el inverso de cada elemento de A
c) Ver si la operación ∗ es conmutativo en A
d) Ver si la ecuación a ∗ x ∗ c = b y la ecuación b ∗ x = a tienen solución
Solución:
Para el inciso a) Según la definición del neutro en un grupo tiene que existir un elemento e en el
conjunto A tal que para todo s del conjunto A implique que s ∗ e = s y e ∗ s = s
Caso 1: Para la relación s ∗ e = s se verifica
para a ∈ A implica a ∗ a = a
para b ∈ A implica b ∗ a = b
para c ∈ A implica c ∗ a = c
Caso 2: Para la relación e ∗ s = s se verifica
para a ∈ A implica a ∗ a = a
para b ∈ A implica a ∗ b = b
para c ∈ A implica a ∗ c = c
así de los casos 1 y 2 se tiene que e = a
Para el inciso b) Segun la definición de grupo en este caso se tiene que cumplir que para todo s
del conjunto A tiene que existir el elemento s−1 del conjunto A tal que s ∗ s−1 = a y s−1 ∗ s = a,
así de esta forma analicemos los elementos del conjunto A
Caso 1: para s ∗ s−1 = a
para a ∈ A implica a ∗ a = a así a−1 = a
para b ∈ A implica b ∗ s−1 = a segun la tabla no existe el s−1
para c ∈ A implica c ∗ c = a así c−1 = c
Caso 2: para s−1 ∗ s = a
para a ∈ A implica a ∗ a = a así a−1 = a
para b ∈ A implica s−1 ∗ b = a segun la tabla no existe el s−1
para c ∈ A implica c ∗ c = a así c−1 = c
observando estos dos casos el elemento b del conjunto A no tiene inverso
Para el inciso c) Para que se verifique la conmutatividad tiene que cumplirce la siguiente propiedad
211
Álgebra
s ∗ t = t ∗ s para cualesquiera s, t ∈ A
veamos
a∗a=a=a∗a
b∗a=b=a∗b
c∗a=c=a∗c
a∗b=b=b∗a
b∗b=c=b∗b
c∗b=b
a∗c=c=c∗a
b∗c=c
c∗c=a=c∗c
o equivalentemente
a∗a=a∗a
b∗a=a∗b
c∗a=a∗c
a∗b=b∗a
b∗b=b∗b
c ∗ b 6= b ∗ c
a∗c=c∗a
b ∗ c 6= c ∗ b
c∗c=c∗c
según esta table se tiene los resultados b ∗ c 6= c ∗ b y c ∗ b 6= b ∗ c por tanto la operación ∗ no es
conmutativo en A
Para el imciso d)
Caso 1: para la ecuación a ∗ x ∗ c = b
a∗x∗c = b
(a ∗ x) ∗ c = b
x∗c = b
x ∗ (c ∗ c)
agrupando
segun el inciso a) el neutro del conjunto A es a
= b ∗ c componiendo con c
x ∗ a = b ∗ c como c ∗ c = a
x = b ∗ c segun el inciso a) el neutro del conjunto A es a
así la solución de la ecuación es x = b ∗ c
Prueba:
a∗x∗c = b
a ∗ (b ∗ c) ∗ c = b remplazando x = b ∗ c
(a ∗ b) ∗ (c ∗ c)
(b) ∗ (a)
= b asociando
= b por a ∗ b = b y c ∗ c = a
b = b segun el inciso a) el neutro del conjunto A es a
Caso 2: para la ecuación b ∗ x = a. Según la tabla
212
Álgebra
∗
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
c
c
c
b
a
se observa que b no tiene inverso, por tanto la ecuación b ∗ x = a no tiene solución en el conjunto
A con la operación ∗
Lema. (5.1) Sea G un grupo. Si a, b, c ∈ G y ac = bc entonces a = b
Prueba: Por hipótesis
multiplicando por c−1 ∈ G
ac = bc
=
a (cc−1 )
= b (cc−1 ) por la definición 5.1 y la propiedad 4
ae
(bc) c−1
por asociatividad
(ac) c−1
por la definición 5.1 y la propiedad 3
= be
a = b
Teorema. (5.2) (Unicidad del inverso) Sea G un grupo. Si a−1 es el inverso de a, entonces a−1
es único
Demostración. Supongamos que el inverso de a ∈ G es a−1 y b−1 entonces aa−1 = a−1 a = e (1) y
ab−1 = b−1 a = e (2) por tanto
a−1
=
|{z}
a−1 e
=
|{z}
a−1 (ab−1 )
=
|{z}
(a−1 a) b−1
=
|{z}
eb−1
=
|{z}
b−1
e es
neutro de G
por (2)
por la
asociatividad
por (1)
e es
neutro de G
así a−1 = b−1
Teorema. (5.3) (Unicidad de la identidad) Sea G un grupo. Si e ∈ G es la identidad en G,
entonces e es único
213
Álgebra
Demostración. Supongamos que e y e0 son los elementos neutros del grupo G así por la definición
(5.1) ea = ae = a y e0 a = ae0 = a para todo a ∈ G, en particular si a = e0 se tendrá que
ee0 = e0 e = e0 (1) y si a = e se tendrá que e0 e = ee0 = e (2), entonces
e |{z}
= ee0 |{z}
= e0
por (2)
por (1)
por tanto e = e0
5.2.1.
Propiedades de los Grupos:
1. Si G es un grupo y a, b ∈ G, entonces
i) G tiene un único elemento neutro
ii) La ley de cancelación es valido en G, es decir
ab = ac, entonces b = c
ba = ca, entonces b = c
iii) G tiene un único elemento inverso
2. Si a, b ∈ G y G es un grupo, entonces
i) (ab)−1 = b−1 a−1
ii) (a−1 )
−1
=a
−1 −1
−1
3. Si a ∈ G y G es un grupo, se define an = aa
· · · a}, a0 = e y a−n = a
| {z
| a {z· · · a }para n ∈ N,
n−veces
entonces
n−veces
i) am an = am+n
ii) (am )n = amn
4. Si a ∈ G y G es un grupo, se dice que a es de orden n si an = e, entonces
i) Si a es de orden finito, entonces los elementos ak , con k ∈ Z son todos distintos
ii) Si a tiene orden n, entonces
a) ak = e si y solo si n | k
b) ai = aj si y solo si i ≡n j
iii) Si a tiene orden n y n = td con d > 0, entonces at tiene orden d
Ejemplo 179. Si a, b ∈ G y G es un grupo, entonces (ab)−1 = b−1 a−1
214
Álgebra
Solución: Por hipótesis a, b ∈ G, entonces ab ∈ G y como G es un grupo para este elemento existe
el elemento (ab)−1 ∈ G ta que (ab) (ab)−1 = e y (ab)−1 (ab) = e.
Por otro lado
ab (b−1 a−1 )
=
|{z}
a (bb−1 ) a−1
=
|{z}
aea−1
=
|{z}
aa−1
=
|{z}
e
=
|{z}
b−1 (a−1 a) b
=
|{z}
b−1 eb
=
|{z}
b−1 b
=
|{z}
e
por la
asociatividad
b−1 b=e
ec=c
a−1 a=e
también
(b−1 a−1 ) ab
por la
asociatividad
a−1 a=e
ec=c
b−1 b=e
esto significa que el elemento b−1 a−1 es también el inverso de ab, pero como el inverso es único,
entonces b−1 a−1 = (ab)−1
Teorema. (5.4) Si G1 y G2 son grupos, entonces G1 × G2 es un grupo bajo las operaciones
0 0
0
(g1 , g2 ) g1 , g2’ = g1 g1 , g2 g2
Demostración. Veamos si se verifican las propiedades de la definición (5.1)
0
0
0
0
1. Para todo (g1 , g2 ) , g1 , g2’ ∈ G1 ×G2 según la definición del teorema (g1 , g2 ) g1 , g2’ = g1 g1 , g2 g2
0
0
0
pero g1 g1 , g2 g2 ∈ G1 × G2 , entonces (g1 , g2 ) g1 , g2’ ∈ G1 × G2
0
00
0 2. Para todo (g1 , g2 ) , g1 , g2’ , g1 , g2’ ∈ G1 × G2 se tiene que
215
Álgebra
(g1 , g2 )
0
g1 , g2’
00
0
g1 , g2’
=
|{z}
(g1 , g2 )
0
0
00
g1 g1 , g2’ g2’
por
definición
=
|{z}
0 0 00 g1 g1 g1 , g2 g2’ g2’
por
definición
=
|{z}
0
0 00
g1 g1 g1 , g2 g2’ g2’
=
|{z}
g1 g1 , g2 g2’
=
|{z}
00 0 ’ 0
g1 , g2
(g1 , g2 ) g1 , g2’
como G1 y G2
son grupos
0
00
0
g1 , g2’
por
definición
por
definición
así (g1 , g2 )
0
g1 , g2’
00
0
g1 , g2’
00 0 ’ 0
g1 , g2
= (g1 , g2 ) g1 , g2’
3. Para todo (g1 , g2 ) ∈ G1 × G2 existe (e1 , e2 ) ∈ G1 × G2 tal que
(g1 , g2 ) (e1 , e2 )
=
|{z}
(g1 e1 , g2 e2 )
=
|{z}
(g1 , g2 )
=
|{z}
(e1 g1 , e2 g2 )
=
|{z}
(g1 , g2 )
por
definición
e1 es neutro de G1
y e2 es neutro de G2
también
(e1 , e2 ) (g1 , g2 )
por
definición
e1 es neutro de G1
y e2 es neutro de G2
así (e1 , e2 ) es el elemento neutro de G1 × G2
4. Para todo (g1 , g2 ) ∈ G1 × G2 existe g1−1 , g2−1 ∈ G1 × G2 tal que
(g1 , g2 ) g1−1 , g2−1
=
|{z}
g1 g1−1 , g2 g2−1
=
|{z}
(e1 , e2 )
por
definición
g1−1 es inverso de G1
y g2−1 es inverso de G2
216
Álgebra
también
g1−1 , g2−1 (g1 , g2 )
=
|{z}
g1−1 g1 , g2−1 g2
=
|{z}
(e1 , e2 )
por
definición
g1−1 es inverso de G1
y g2−1 es inverso de G2
así g1−1 , g2−1 es el elemento inverso de G1 × G2 . Por tanto G1 × G2 es un grupo.
Ejemplo 180. Si G es un grupo y x, y ∈ G tal que x5 = e, y 4 = e y xy = yx3 , entonces a que es
igual la relación x2 y
Solución:
x2 y
=
|{z}
xxy
=
|{z}
x (xy)
=
|{z}
x (yx3 )
=
|{z}
(xy) x3
=
|{z}
(yx3 ) x3
=
|{z}
yx3 x3
=
|{z}
yx (x5 )
=
|{z}
yx (e)
=
|{z}
yx
por definición
de exponentes
por la
asociatividad
xy=yx3
por la
asociatividad
xy=yx3
por la
asociatividad
por
exponentes
x5 =e
por propiedades
de grupos
así x2 y = yx
Definición. (5.2) Si G es un grupo tal que |G| = n, entonces G es denominado grupo finita de
orden n y lo denotamos por |G| o o (G). Si G tiene infinitos elementos, se dice que G es de orden
infinito.
217
Álgebra
Ejemplo 181. El grupo (Z2 , ⊕) es de orden dos, es decir |Z2 | = 2 y el grupo (Z, +) es un grupo
de orden infinito
Definición. (5.3) (Grupo Abeliano) Sea G un conjunto no vació. El conjunto G es denominado
grupo abeliano o conmutativo si
1. Para todo a, b ∈ G implica ab ∈ G
2. Para todo a, b, c ∈ G implica a (bc) = (ab) c
3. Para todo a ∈ G, existe e ∈ G tal que ae = a y ea = a
4. Para todo a ∈ G existe a−1 ∈ G tal que aa−1 = e y a−1 a = e
5. Para todo a, b ∈ G implica ab = ba
Ejemplo 182. El par (Zn , ⊕) es un grupo abeliano.
Solución: Según la definición (5.1) y el ejemplo 173 las propiedades 1, 2, 3 y 4 se verifican, ahora
veamos si se verifica la propiedad 5 de la definición (5.3)
Para todo [a], [b] ∈ Zn se tiene
[a] ⊕ [b]
=
|{z}
[a + b]
=
|{z}
[b + a]
=
|{z}
[b] ⊕ [a]
por
definición
por la
conmutatividad en Z
por
definición
así [a] ⊕ [b] = [b] ⊕ [a]. Por tanto el par (Zn , ⊕) es un grupo abeliano.
Ejemplo 183. El par (Zp , ⊗) también es un grupo abeliano
Solución: Según el ejemplo 174 el par (Zp , ⊗) es un grupo, ahora veamos si se verifica la propiedad
5 de la definición (5.3)
Para todo [a], [b] ∈ Zp se tiene
[a] ⊗ [b]
=
|{z}
[ab]
=
|{z}
[ba]
=
|{z}
[b] ⊗ [a]
por
definición
por la
conmutatividad en Z
por
definición
218
Álgebra
así [a] ⊗ [b] = [b] ⊗ [a]. Por tanto el par (Zp , ⊗) es un grupo abeliano.
Ejemplo 184. La función ∗ : R2 → R es una ley de composición interna en R definida por
a ∗ b = a + b2 ¿Indicar que propiedades de un grupo abeliano verifica el par (R, ∗)?
Solución: Veamos que propiedades de la definición (5.3) verifica el par (R, ∗), es decir
1. Si a, b ∈ R, entonces a ∗ b = (a + b2 ) ∈ R
2. Si a, b, c ∈ R entonces
a ∗ (b ∗ c)
=
|{z}
a ∗ (b + c2 )
=
|{z}
a + (b + c2 )
=
|{z}
a + b2 + 2bc2 + c4
por definición
de ∗
2
por definición
de ∗
por el álgebra
en R
por otro lado
(a ∗ b) ∗ c
=
|{z}
(a + b2 ) ∗ c
=
|{z}
(a + b2 ) + c2
=
|{z}
a + b2 + c 2
por definición
de ∗
por definición
de ∗
por el álgebra
en R
pero como a + b2 + 2bc2 + c4 6= a + b2 + c2 entonces a ∗ (b ∗ c) 6= (a ∗ b) ∗ c esto significa que no se
cumple la asociatividad
3. Si a ∈ R,entonces existe e =? tal que a ∗ e = a y e ∗ a = a
Caso 1:
a
=
a∗e
=
|{z}
a + e2
por definición
de ∗
asi se tiene la ecuación en los reales a = a + e2 cuya solución es e = 0
Caso 2:
219
Álgebra
e∗a
=
|{z}
e + a2
=
|{z}
0 + a2
=
a2
por definición
de ∗
e=0
así e ∗ a = a2 y esto significa que no existe el neutro
4. Como no existe el neutro, entonces no existe el inverso
5. Si a, b ∈ R entonces a ∗ b = b ∗ a
a∗b
=
|{z}
a + b2
=
|{z}
b + a2
por definición
de ∗
por otro lado
b∗a
por definición
de ∗
de donde a + b2 6= b + a2 esto significa que no es conmutativo
Así el par (R, ∗) solo verifica la propiedad 1 de la definición (5.3)
5.2.2.
Subgrupos:
Definición. (5.4) (Subgrupo) Si el par (G, ·) es un grupo y H ⊆ G, entonces H se denomina
subgrupo de G si el par (H, ·) es un grupo. En este caso se utiliza la notación H ≤ G
Obs: 1. Si (G, ·) es un grupo, por el álgebra de conjuntos G ⊆ G y {e} ⊆ G entonces los pares
(G, ·) y ({e} , ·) son subgrupos de G y se los denomina subgrupos triviales.
2. Si (H, ·) es un subgrupo del grupo (G, ·) tal que H 6= G y H 6= {e}, entonces (H, ·) es denominado
subgrupo propio del grupo (G, ·) y en este caso se utiliza la notación H < G.
Teorema. (5.5) Si (G, ·) es un grupo y H ⊆ G con H 6= ∅, entonces H ≤ G si y solo si, para
todo a, b ∈ H implica ab ∈ H y a−1 ∈ H
Demostración. (→) Supongamos que H ≤ G, entonces por la definición (5.4) H verifica las
siguientes propiedades
220
Álgebra
1. Para todo a, b ∈ H implica ab ∈ H
2. Para todo a, b, c ∈ H implica a (bc) = (ab) c
3. Para todo a ∈ H existe e ∈ H tal que ae = e y ea = a
4. Para todo a ∈ H existe a−1 ∈ H tal que aa−1 e y a−1 a = e
así por 1 se verifica que ab ∈ H y por la propiedad 4 a−1 ∈ H.
(←) Supongamos que para todo a, b ∈ H implica ab ∈ H y a−1 ∈ H, ahora veamos si H verifica
la cuatro propiedades de la definición (5.1)
1. Si a, b ∈ H, entonces por hipótesis ab ∈ H
2. Si a, b, c ∈ H y como H ⊆ G, entonces a, b, c ∈ G y como G es grupo se verifica que a (bc) = (ab) c
3. Si a ∈ H, entonces por hipótesis a−1 ∈ H y por hipótesis también aa−1 ∈ H lo que significa
que e ∈ H y como G es grupo entonces ae = a y ea = a.
4. Si a ∈ H, entonces por hipótesis a−1 ∈ H y ademas aa−1 = e y a−1 a = e ya que G es grupo.
Ejemplo 185. Sea X un conjunto con n elementos y sea Sx = {f : X → X : f es inyectiva }.
Demuestre que el conjunto Sx junto con la composición de funciones forma un subgrupo.
Solución: Según el teorema (5.5)
Si f, g ∈ Sx entonces las funciones f y g son inyectivas y por el álgebra de funciones f ◦ g es
inyectiva, por tanto f ◦ g ∈ Sx , también g ◦ f es inyectiva así g ◦ f ∈ Sx
Por otro lado, si f ∈ Sx entonces la función f : X → X es inyectiva pero como |X| = n entonces por
el álgebra de funciones f es sobreyectiva, es decir biyectiva por tanto existe la función f −1 : X → X
biyectiva, en particular es inyectiva es decir f −1 ∈ Sx . Así Sx es un subgrupo.
Teorema. (5.6) Si (G, ·) es un grupo y H ⊆ G con H 6= ∅, entonces H ≤ G si y solo si, para
todo a, b ∈ H implica ab−1 ∈ H
Demostración. Por el teorema (5.5) se verifica que
H ≤ G si y solo si ab ∈ H y a−1 ∈ H para todo a, b ∈ H
ahora verifiquemos que la proposición es verdadera
ab ∈ H y a−1 ∈ H para todo a, b ∈ H si y solo si ab−1 ∈ H para todo a, b ∈ H
221
Álgebra
(→) Supongamos que, para todo a, b ∈ H implica ab ∈ H y a−1 ∈ H.
Por hipótesis si b ∈ H, entonces b−1 ∈ H así si a ∈ H y b−1 ∈ H, entonces por hipótesis ab−1 ∈ H
(←) Supongamos que, para todo a, b ∈ H implica ab−1 ∈ H.
Por hipótesis para todo a ∈ H implica aa−1 ∈ H, es decir e ∈ H. Ahora como a ∈ H y e ∈ H
entonces por hipótesis ea−1 ∈ H es decir a−1 ∈ H
Por otro lado, si b ∈ H entonces por lo anterior b−1 ∈ H y para a ∈ H implica a (b−1 )
−1
∈ H o lo
que es lo mismo ab ∈ H para todo a, b ∈ H.
Ejemplo 186. Sea (G, ◦) un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Demostrar que H =
{x ∈ G : x ◦ a = a ◦ x} es un subgrupo de G
Solución: Según el teorema (5.5) solo hay que probar que para todo x, y ∈ H implica x ◦ y ∈ H y
x−1 ∈ H
Primero veamos si x ◦ y ∈ H. Por hipótesis
x, y ∈ H, entonces x ◦ a = a ◦ x e y ◦ a = a ◦ y
notemos que
(x ◦ y ◦ a) ◦ (a ◦ x ◦ y)−1
=
(x ◦ y ◦ a) ◦ (x ◦ y)−1 ◦ a−1
=
(x ◦ y ◦ a) ◦ (y −1 ◦ x−1 ◦ a−1 )
= x ◦ y ◦ (a ◦ y −1 ) ◦ x−1 ◦ a−1
= x ◦ y ◦ (y −1 ◦ a) ◦ x−1 ◦ a−1
= x ◦ (y ◦ y −1 ) ◦ a ◦ x−1 ◦ a−1
= x ◦ (e) ◦ a ◦ x−1 ◦ a−1
= x ◦ (a ◦ x−1 ) ◦ a−1
= x ◦ (x−1 ◦ a) ◦ a−1
=
(x ◦ x−1 ) ◦ (a ◦ a−1 )
= e◦e
= e
de donde (x ◦ y ◦ a)◦(a ◦ x ◦ y)−1 = e o equivalentemente (x ◦ y)◦a = a◦(x ◦ y) es decir x◦y ∈ H.
Segundo veamos si x−1 ∈ H.
222
Álgebra
(x−1 ◦ a) ◦ (a ◦ x−1 )
−1
−1
(x−1 ◦ a) ◦ (a ◦ x−1 )
−1
−1 −1
−1
= (x ◦ a) ◦ (x ) ◦ a
=
(x−1 ◦ a) ◦ (x ◦ a−1 )
=
= x−1 ◦ (a ◦ x) ◦ a−1
= x−1 ◦ (x ◦ a) ◦ a−1
(x−1 ◦ x) ◦ (a ◦ a−1 )
=
= e◦e
= e
de donde (x−1 ◦ a) (a ◦ x−1 )
−1
= e o equivalentemente x−1 ◦ a = a ◦ x−1 y esto significa que
x−1 ∈ H. Así H < G.
Definición. (5.5) (Grupo Cíclico) Si (G, ·) es un grupo y a ∈ G, entonces se define al conjunto
(
< a >=
)
..., a−2 , a−1 , |{z}
a0 , a1 , |{z}
a2 , ...
e
= ak : k ∈ Z
aa
como grupo cíclico.
Obs: La anterior definición se esta trabajando con la “multiplicación” y el equivalente de esta
definición para la adición es:
Si (G, +) es un grupo y a ∈ G, entonces se define al conjunto
)
(
< a >=
..., (−2) a, (−1) a, |{z}
0a , 1a, |{z}
2a , ...
e
= {ka : k ∈ Z}
a+a
como grupo cíclico.
Ejemplo 187. El conjunto de los enteros Z con la adición usual es un grupo cíclico ((Z, +))
Solución: Notemos que 1 ∈ Z así
< 1 >= {..., (−2) 1, (−1) 1, (0) 1, (1) 1, (2) 1, ...} = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} = Z
Definición. (5.6) (Orden de un elemento) Sea G un grupo y a ∈ G. El orden de a es el orden del
grupo < a > y lo denotamos por |a|


0 1
 entonces
Ejemplo 188. Sea A = 
1 0
223
Álgebra

0 1
A2 = AA = 
1 0

A3 = A2 A = 


1 0
0 1



0 1

1 0
=
1 0
0 1
1 0


=I
0 1

=
0 1
1 0

=A
A4 = A2 A2 = II = I
A5 = A
de donde < A >= {A, I} así |< A >| = 2 y por la definición (5.6) se tiene que |A| = 2
Ejemplo 189. Sea G un grupo abeliano, resolver en el la siguiente ecuación abx2 c = cxa. Por
otro lado, si todos los elementos de G, excepto el elemento unidad, son de orden 3, demostrar que
se verifica:
a x−1 ax = x−1 ax a
siendo a un elemento de G y para todo x perteneciente a G
Solución:
Primero: Resolvamos la ecuación abx2 c = cxa en el grupo abeliano G
por hipótesis
abx2 c = cxa
como G es abeliano
x2 bac = xac
componiendo m/m por x−1
x−1 (x2 bac)
asociatividad
(x−1 x2 ) (bac)
= x−1 (xac)
=
(x−1 x) (ac)
por x−1 x = e y x2 = xx
((x−1 x) x) (bac)
por x−1 x = e y ae = a
(ex) (bac)
= ac
x (bac)
= ac
por ae = a
componiendo m/m (bac)−1
x (bac) (bac)−1
= e (ac)
= ac (bac)−1
por aa−1 = e
xe = ac (bac)−1
por ae = a
x = ac (bac)−1
por (ab)−1 = b−1 a−1 y conmutatividad
x = acc−1 a−1 b−1
por a−1 a = e y ae = a
x = b−1
así x = b−1
Segundo: Si a ∈ G − {e} y como todos los elementos de G son de orden tres, entonces a3 = e
ahora veamos si la igualdad a (x−1 ax) = (x−1 ax) a es valido
224
Álgebra
es verdad la igualdad
(x−1 ax)
=
por eb = b
e (x−1 ax)
= e (x−1 ax)
por a3 = e
a3 (x−1 ax)
= a3 (x−1 ax)
por a3 = a2 a
a2 a (x−1 ax)
= a2 a (x−1 ax)
componiendo m/m por a−2
(x−1 ax)
(a−2 a2 ) a (x−1 ax)
=
(a−2 a2 ) a (x−1 ax)
por b−2 b2 = e
(e) a (x−1 ax)
=
(e) a (x−1 ax)
por be = b
a (x−1 ax)
= a (x−1 ax)
por conmutatividad
a (x−1 ax)
=
(x−1 ax) a
así a (x−1 ax) = (x−1 ax) a
Teorema. (5.7) Sea G =< a > un grupo cíclico. Si H ≤ G, entonces H es cíclico
Demostración. Si H = {e} entonces H es cíclico.
Ahora supongamos que H 6= {e} y como G =< a >. Sea N = k ∈ Z : ak ∈ H ∩N así el conjunto
N 6= ∅ pues como H 6= {e} entonces existe r ∈ Z − {0} tal que ar ∈ H.
Caso 1: Si r > 0 no hay nada que probar.
Caso 2: Si r < 0 y como ar ∈ H, entonces por ser H es un subgrupo implica (ar )−1 ∈ H es decir
a−r ∈ H para −r > 0 así −r ∈ N .
Como N 6= ∅ y N ⊆ N, entonces por el principio de buen orden existe n0 ∈ N tal que n0 es el
elemento nimino de N .
Afirmamos que < an0 >= H.
Primero veamos si < an0 >⊆ H, si b ∈< an0 > entonces existe s talque b = (an0 )s , por otro lado
como n0 es el elemento mínimo de N entonces an0 ∈ H y como H es un subgrupo implica que
(an0 )s ∈ H es decir b ∈ H, por tanto < an0 >⊆ H.
Ahora veamos si H ⊆< an0 >, si b ∈ H y como H ≤ G con G =< a > entonces existe s tal que
b = as , sin perdida de generalidad podemos asumir que s > 0 así por el algoritmo de la división
existen los enteros q y r tal que
s = n0 q + r con 0 ≤ r < n0
por tanto as = an0 q+r = an0 q ar lo que implica que a−n0 q as = ar . Por otro lado notemos que a−n0 q =
(an0 )−q ∈ H, pues n0 es el elemento mínimo de N , como as ∈ H y por ser H es subgrupo, entonces
a−n0 q as ∈ H, es decir ar ∈ H para 0 ≤ r < n0 lo cual es una contradicción al hecho de que n0 es
225
Álgebra
el elemento mínimo de N por tanto r = 0 así s = n0 q por tanto b = as = an0 q = (an0 )q ∈< an0 >,
es decir H ⊆< an0 >. Por tanto < an0 >= H es decir H es cíclico.
Definición. (5.7) (Clase Lateral) Sea G en grupo, H ≤ G y a ∈ G. El conjunto
Ha = {ha ∈ G : h ∈ H}
es denominado clase lateral derecha de H en G que contiene a a. Y el conjunto
aH = {ah ∈ G : h ∈ H}
es denominada clase lateral izquierda de H en G que contiene a a.
Lema. (5.2) Sea G un grupo, H ≤ G y a, b ∈ G, entonces aH = bH si y sólo si a ∈ bH si y sólo
si b−1 a ∈ H
Prueba:
Caso 1: ((aH = bH) → a ∈ bH)
Como H es un subgrupo de G entonces e ∈ H asi, para todo a ∈ G implica a = ae ∈ aH y por
hipotesis aH = bH por tanto a ∈ bH
Caso 2: (a ∈ bH → b−1 a ∈ H)
Por hipotesis a ∈ bH, entonces existe h ∈ H tal que a = bh, multiplicando esta relación por b−1 se
tiene
b−1 a = b−1 (bh)
b−1 a = (b−1 b) h
b−1 a = (e) h
b−1 a = h
pero como h ∈ H entonces b−1 a ∈ H.
Caso 3: (b−1 a ∈ H → aH = bH)
Primero veamos que aH ⊆ bH, Si ah ∈ aH, para algún h ∈ H, entonces
ah = (e) ah
ah = (bb−1 ) ah
ah = b (b−1 ah)
226
Álgebra
por hipotesis b−1 a ∈ H y h ∈ H entonces (b−1 ah) ∈ H y por la definición (5.7) b (b−1 ah) ∈ bH lo
que implica que ah ∈ bH
Ahora veamos que bH ⊆ aH, por hipotesis b−1 a ∈ H y H es un subgrupo de G, entonces
−1
(b−1 a)
∈ H es decir a−1 b ∈ H asi la demostración de este caso es similar a la demostración de
aH ⊆ bH, por tanto bH ⊆ aH asi aH = bH
Obs: El eninciado paralelo al lema (5.2) indica
Sea G un grupo, H ≤ G y a, b ∈ G, entonces Ha = Hb si y sólo si a ∈ Hb si y sólo si ba−1 ∈ H
y su demostración es similar a la demostración del lema (5.2)
Lema. (5.3) Si H ≤ G, entonces G = ∪ aH
a∈G
Prueba:
Primero veamos que G ⊆ ∪ aH, Si a ∈ G entonces a = ae ∈ aH para e ∈ H asi a ∈ aH en
particular a ∈ ∪ aH
a∈G
a∈G
Ahora veamos si ∪ aH ⊆ G, Si b ∈ ∪ aH, entonces existe algún a ∈ G tal que b ∈ aH asi b = ah
a∈G
a∈G
para algún h ∈ H, en resumen se tiene que
b = ah para a ∈ G y h ∈ H
pero como H ⊆ G entonces h ∈ G por tanto
b = ah para a ∈ G y h ∈ G
y como G es grupo, entonces b ∈ G.
Asi se verifica la igualdad G = ∪ aH
a∈G
Lema. (5.4) Sean a, b ∈ G y H ≤ G. Si aH 6= bH entonces aH ∩ bH = ∅
Prueba: (Por la contra reciproca) Demostrar el enunciado anterior es equivalente a demostrar el
siguiente enunciado
Sean a, b ∈ G y H ≤ G. Si aH ∩ bH 6= ∅ entonces aH = bH
Por hipotesis aH ∩ bH 6= ∅ entonces existe algún x tal que x ∈ aH y x ∈ bH asi por el lema (5.2)
se tiene que
227
Álgebra
xH = aH y xH = bH
lo cual implica que aH = bH
Lema. (5.5) Si H ≤ G, entonces |H| = |aH| = |Ha| para todo a ∈ G
Prueba: Definamos f : H → aH mediante f (h) = ah, para cualquier a ∈ G, así f es función,
ahora veamos si la función f es biyectiva.
Inyectividad: Si f (h1 ) = f (h2 ), entonces ah1 = ah2 y por la ley de la cancelación h1 = h2
Sobreyectividad: Si b ∈ aH, entonces existe h ∈ H tal que b = ah pero f (h) = ah así f (h) = b
Así la función f es diyectiva por tanto |H| = |aH| . Analogamente se verifica que |H| = |Ha| de
esta forma se verifica la relación |H| = |aH| = |Ha|
Lema. (5.6) Si H ≤ G el número de clases laterales dechas es igual al número de clases laterales
izquierda
Prueba: Sea f : {aH : a ∈ G} → {Ha−1 : a ∈ G} definida por f (aH) = Ha−1 ahora veamos si f
es biyectiva
−1
Inyectividad: Si f (aH) = f (bH) entonces Ha−1 = Hb−1 así por la obs. del lema (5.2) b−1 (a−1 )
∈
H o lo que es lo mismo b−1 a ∈ H y por el lema (5.2) implica que aH = bH
Sobreyectividad: Como la función esta definido de la forma f (aH) = Ha−1 entonces f ya es
sobreyectiva.
Así |{aH : a ∈ G}| = |{Ha−1 : a ∈ G}| = |{Hb : a ∈ G}|
Definición. (5.8) (Índice) Sea H ≤ G. El número de clases laterales de H en G es denominado
el índice de H en G y lo denotamos por [G : H]
Ejemplo 190. Si H =< [3] > {[0] , [3] , [6] , [9]} es un subgrupo del grupo Z12 = {[0] , [1] , [2] , ..., [10] , [11]}
aditivo, entonces las clases laterales izquierda son:
[0] + H = [3] + H = [6] + H = [9] + H = {[0] , [3] , [6] , [9]}
[1] + H = [4] + H = [7] + H = [10] + H = {[1] , [4] , [7] , [10]}
[2] + H = [5] + H = [8] + H = [11] + H = {[2] , [5] , [8] , [11]}
así [G : H] = 3
228
Álgebra
Teorema. (5.8) (Teorema de Lagrange) Si H ≤ G entonces |G| = |H| [G : H]
Demostración. Por el lema (5.3) y el lema (5.4) el grupo G es la unión disjunta de sus clases
laterales, también por el lema (5.5) todas las clases laterales tienen el mismo número de elementos,
por tanto el orden del grupo G tiene que ser igual al tamaño de las clases laterales (es decir |H|)
por el número de clases laterales, es decir |G| = |H| [G : H]
Corolario. (5.1) Si H ≤ G, entonces |H| | |G|
Demostración. Por el teorema (5.9) |G| = |H| [G : H] entonces |H| | |G|
Corolario. (5.2) Si a ∈ G, entonces |a| | |G|
Demostración. Sea a ∈ G entonces < a > es un subgrupo de G y por el carolario (5.1) |< a >| | |G|,
por la definición (5.6) |a| = |< a >| por tanto |a| | |G|
5.3.
Ejercicios Propuestos:
1. Congruencia en Z y Aritmética Modular:
1. Escriba la tabla de la adición para Z7
2. Escriba la tabla de la multiplicación para Z7
3. ¿Qué elementos de Zn − {[0]} tienen inverso multiplicativo?
4. Resolver x ⊕ x ⊕ x ⊕ x ⊕ x = [0] en Z5
5. Resolver x ⊕ x ⊕ x = [0] en Z3
6. Resolver la ecuación [15] ⊗ x = [9] en Z18
7. Resolver la ecuación [25] ⊗ x = [10]
en Z65

 [2] ⊗ x ⊕ [1] ⊗ y = [2]
8. Resolver el sistema de ecuaciones

 [3] ⊗ x ⊕ [4] ⊗ y = 3
2. Grupos:
en (Z5 , ⊕, ⊗)
1. Sea A = {a, b, c} y ∗ una operación definida en A, expresada en la siguiente tabla
∗
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
c
c
c
b
a
229
Álgebra
a) Indicar cual es el elemento neutro
b) Hallar, si existe el inverso de cada elemento de A
c) Ver si la operación ∗ es conmutativo en A
2. Sea G = {x ∈ Z : |2x| = 2} y «·» el producto habitual en Z. Probar que (G, ·) tiene estructura
de Grupo Abeliano.
3. En el conjunto R se define la operación x ∗ y = 2xy − 3x − 3y + 3. Estudiar la estructura de
(R, ∗)
4. En el conjunto Z se define la operación a ∗ b = a + b + 3. Estudiar la estructura de (Z, ∗)
5. En el conjunto Z se define la operación a ∗ b = a + b2 . Estudiar la estructura de (Z, ∗)
6. En el conjunto Z se define la operación a ∗ b = (a + b)2 . Estudiar la estructura de (Z, ∗)
. Estudiar la estructura de (Q, ∗)
7. En el conjunto Q se define la operación a ∗ b = a+b−2
3
8. Demostrar que G = {2k : k ∈ Z} con la operación a ∗ b = ab para a, b ∈ G es un grupo
9. Sea (G, ◦) un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Demostrar que H = {x ∈ G : x ◦ a =
a ◦ x} es un subgrupo de G
10. Defina una operación ∗ sobre G = {e, a, b, c, d} de forma tal que (G, ∗) sea un grupo. Y
encuentre todos los subgrupos.
11. Demostrer las propiedades de la sección 5.2.1
12. Sea G un grupo y a ∈ G. Demostrar que < a > es un grupo de G
13. Demostrar que el conjunto de números enteros pares es un subgrupo de Z
14. Determinar el orden de Z6 y el orden de cada uno de sus elementos. Haz lo mismo para Z8 .
¿Esto contradice el teorema de Lagrange?
15. Sea p ∈ Z un número primo. Demostrar que cualquier grupo de orden p es cíclico
16. Demostrar que todo grupo cíclico es abeliano
17. Sea G un grupo con |G| = n. Demostrar que an = e para todo a ∈ G
230
Bibliografía
[1] Pedro A. Gutiérrez F.. (1990). Álgebra. Santa Cruz - Bolivia: La Hoguera.
[2] María Elena Becker, Norma Pietrocola, Carlos Sanchez. (2001). Aritmética. Buenos Aires,
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