MATEMÁTICA Y PATRONES
UMSA-FCPN
CARRERA DE MATEMÁTICAS
HEURÍSTICA MATEMÁTICA
MAT 114
M. Sc. Marcelo Machicao Rossi
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M.Sc. Marcelo Machicao R.
MATEMÁTICA Y PATRONES
Hacer matemáticas debiera significar siempre el descubrir patrones y elaborar hermosas y significativas explicaciones.
Paul Lockhart
1.
¿Qué es la matemática?
Es una pregunta simple, pero no tiene una respuesta sencilla. Si se la planteamos a una persona cualquiera en la calle, es probable que nos conteste algo
como:
Es el estudio de los números y sus propiedades
o quizá:
Es la ciencia que estudia las formas y los números
Estas respuestas acaso resultaban apropiadas para describir la matemática
que se hacı́a en Babilonia y Egipto hace 2500 años atrás; pero no describen en
absoluto la matemática de la actualidad. En ese lapso de tiempo la matemática se
ha desarrollado en gran manera, y actualmente abarca numerosas áreas, muchas
de las cuales están ya bien formadas mientras otras están en desarrollo y otras en
proceso de formación.
Se pueden exponer argumentos válidos para considerar la matemática como
una forma de arte, como un lenguaje, como un conjunto organizado de conocimientos, como un instrumento para investigar y describir el mundo fı́sico, como
un desafı́o intelectual o como una actividad mental gratificante. Debido a esta
amplitud y diversidad resulta difı́cil describir la matemática de manera breve. Se
han propuesto varias posibles descripciones sucintas, pero usualmente éstas sólo
se refieren a una parte de la disciplina. Nosotros proponemos la siguiente:
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La matemática es la ciencia que estudia patrones empleando el razonamiento, la abstracción, la creatividad y el simbolismo.
descripción ampliamente aceptada hoy en dı́a entre la comunidad matemática. Comentamos seguidamente algunos términos clave de esta definición.
1.1.
Patrones
La anterior descripción quizá nos mueva a indagar con mayor acuciosidad
acerca de los patrones. En este contexto, un patrón es una sucesión de elementos que se repiten siguiendo una regla o ley. Un patrón es una regularidad. Los
patrones pueden ser de muchos tipos distintos: visuales, auditivos, abstractos...
Vivimos, en un mundo colmado de patrones: todos los dı́as el sol sale al amanecer y se oculta en el crepúsculo. Las estaciones con sus caracterı́sticas climáticas
propias se suceden cı́clicamente, año tras año. El cambio de estaciones a su vez
induce comportamientos previsibles en los animales y las plantas. Con perfecta regularidad, la luna se hace visible en el cielo nocturno con sus tı́picas fases.
Las arañas tejen su red con una forma caracterı́stica. Los seres vivos tienen un
desarrollo biológico y un fin perfectamente previsible. Los esqueletos de todos
los miembros de una especie son iguales. Siempre que arrojamos una piedra hacia arriba, con un cierto ángulo inicial, ésta describe una trayectoria parabólica y
retorna al suelo. No se pone a hacer piruetas siguiendo extraños derroteros. Siempre que sembramos una semilla de eucalipto en el terreno adecuado, obtenemos,
con el tiempo, un árbol de eucalipto, pero no un naranjo.
Estos son algunos ejemplos de regularidades, patrones. El universo presenta por doquier tales patrones, algunos son obvios, otros son sutiles, difı́ciles de
percibir.
La capacidad de detectar patrones es una habilidad de gran valor, pues permite en cierta modo predecir el futuro. Para nuestros ancestros dicha capacidad
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Figura 1: Patrones en el mundo natural
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ha constituido una enorme ventaja en la lucha por la supervivencia. En efecto, el
saber con rapidez si un animal puede atacar o no en determinadas circunstancias,
el distinguir entre una baya comestible y otra venenosa, el reconocer una expresión amistosa u otra hostil en un desconocido, son habilidades que tienen que ver
con la identificación de patrones, y podı́an representar la diferencia entre la vida
y la muerte. La capacidad de reconocer patrones ha sido una indudable ventaja
evolutiva y ha ido mejorando de modo progresivo en el transcurso de milenios.
Ası́, el cerebro humano llegó a convertirse en un instrumento altamente especializado en la percepción de regularidades. Llevamos sobre nuestros hombros el
más portentoso instrumento de detección y procesamiento de patrones.
Nuestro cerebro está constantemente buscando dar sentido a lo que percibe en
el mundo exterior, incluso a aquello que no lo tiene. Recuerde el lector como al
contemplar ciertos objetos comunes, o una formación de nubes, en unos momentos empezaba a percibir formas reconocibles. De modo similar, al observar con
detenimiento cierto conjunto caótico de manchas en una pared, empezaba pronto a discernir rostros extraños, monstruos y figuras de animales ( vea las figuras
siguientes )
Veamos ahora otra pequeña muestra de la capacidad de reconocimiento de
patrones de nuestro cerebro. Intentemos leer el siguiente párrafo, aunque parezca
estar redactado en un idioma extraño:
Nesurtas ieads más ertaxañs a
vcees nos saleñan el cnimao que
cocdnue a la sucloión de un plborema. Por tntao djea a tu mtene iaedr
aglo rrao, no irtompa que se eovquique. Ruedreca: Adrenper es cetemor
eorerrs
Cada palabra de este párrafo contiene su primera y última letra situadas en
el lugar correcto, pero sus demás letras aparezcan en desorden, aún ası́, todavı́a
puede leerse sin mucha dificultad, como habrá podido constatar el lector.
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Figura 2: Pareidolia
En épocas muy lejanas, los hombres concebı́an el universo como algo caótico,
regido por los caprichos de dioses y demonios. Pero, ya en el tiempo de los antiguos griegos, esta visión empezó a cambiar. Hubieron entre ellos pensadores que
percibı́an el universo, como algo ordenado, regido por leyes inmutables y perfectas. De hecho, la misma palabra cosmos de origen griego, significa ordenado.
Surgió el convencimiento de que el hombre, empleando su capacidad de razonar,
podı́a llegar a desentrañar tales leyes y patrones. Esta visión perduró a lo largo
de distintas eras, brindando la motivación para indagar el comportamiento del
universo, procurando predecir el funcionamiento de algunas de sus partes. La
búsqueda sistemática de tales leyes y patrones, ha venido a denominarse ciencia .
Ası́, la ciencia estudia los patrones del mundo fı́sico. La matemática, por su
parte, estudia patrones en el mundo de las ideas abstractas. La totalidad de los resultados matemáticos son enunciados acerca de regularidades, es decir patrones
detectados en los números, en los objetos geométricos, y en otros tipos de abstracciones. El concepto de patrón está presente en cada resultado matemático,
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Figura 3: Patrones geométricos
en cada área de las matemáticas. Hacer matemáticas consiste en buscar y descubrir patrones, luego demostrar que éstos son ciertos empleando el razonamiento
deductivo. En este texto nos centramos en lo primero, esto es, en la búsqueda
y descubrimiento de patrones matemáticos. Mostramos debajo algunos patrones
geométricos y numéricos para que el lector los examine con detenimiento. Algunos son muy simples y su regla de formación se hace explı́cita de manera inmediata, otros son complejos, intrincados. En cualquier caso, todos presentan un
componente estético grato.
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Figura 4: Patrón de formas congruentes
1.2.
Razonamiento
El razonamiento es un componente fundamental, imprescindible, en cada
área de las matemáticas. Desempeña en esta disciplina un rol primordial como
instrumento de indagación y demostración. Es inconcebible la matemática sin el
razonamiento. De hecho, los griegos de la época clásica ( aproximadamente del
600 al 300 a.C. ) crearon el concepto de matemática como ahora la conocemos,
introduciendo el razonamiento como su sello distintivo. El razonamiento es una
forma de pensar especial en la cual, a partir de una o más proposiciones llamadas premisas, se obtiene otra denominada conclusión. Al proceso de obtener la
conclusión a partir de las premisas se le llama inferencia. Hay tres clases principales de razonamiento: por analogı́a, inductivo y deductivo. Hablaremos con más
detalle acerca de estas modalidades de razonamiento en un capı́tulo posterior.
1.3.
Abstracción
La abstracción es un proceso mental mediante el cual formamos una representación de algo, considerando sólo cierta caracterı́stica o propiedad de interés,
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Figura 5: Algunos patrones numéricos
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Figura 6: más patrones numéricos
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excluyendo otros atributos no pertinentes.
Abstraer es básicamente apartar, separar.
Podemos percibir cuatro naranjas, cuatro caballos, cuatro árboles. Hacemos
abstracción cuando nuestra mente deja de lado, los objetos concretos y se queda
solamente con la idea del número cuatro. Ası́ pues, el número cuatro es una idea
abstracta, la cual la representamos con un sı́mbolo, a saber: 4, o bien IV. De modo
análogo, todos los demás números, son también entes abstractos.
Si tenemos ocho naranjas y luego agregamos un grupo de otras seis naranjas,
obtenemos catorce naranjas. Eso mismo puede hacerse con bolı́grafos, piedras,
automóviles o cualesquiera otros objetos homogéneos. En cada caso habremos
realizado una adición con objetos concretos. Sin embargo, como bien sabemos
desde niños, podemos realizar la adición sin hacer referencia a ningún objeto
concreto: ocho más seis es catorce. Al proceder ası́ estamos realizando una operación con entes abstractos. De manera similar, podemos restar, multiplicar, dividir,
o realizar cualquier operación aritmética, sin tener que referirnos a objetos concretos; esto es, operando sólo con abstracciones. Llegamos ası́ al convencimiento
de que ocho más seis es catorce, o bien usando sı́mbolos : 8 + 6 = 14, sin importar
si los números que empleamos representan naranjas, unicornios o galletas.
Una lı́nea recta trazada sobre el papel, utilizando una regla, es una mancha,
aparentemente uniforme y continua, que deja el grafito del lápiz en la hoja. Si
pudiéramos examinar ese trazo con un potente microscopio verı́amos que no es
uniforme y, por el contrario, presenta imperfecciones por doquier. Existe, por otra
parte, la idea de una lı́nea recta perfecta, una lı́nea que no tiene espesor ni anchura, se extiende indefinidamente en ambos sentidos, y es uniforme y continua
en toda su extensión. Esta recta omite las imperfecciones del caso concreto de
la lı́nea trazada sobre el papel. Esta idea es una abstracción. Con esta recta, con
este objeto idealizado, abstracto, trabajan los geómetras y los matemáticos. Y de
modo análogo se conciben otras formas ideales, absolutamente perfectas: punto,
plano, circunferencia, polı́gono, esfera, poliedro, etc. Son todos objetos ideales,
sin realidad fı́sica, no pueden percibirse con los sentidos, son abstracciones. Con
ellos se trabaja en matemáticas. Como dirı́a Platón, “los matemáticos trabajan con
objetos que sólo pueden verse con los ojos de la mente” .
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A partir de ciertas abstracciones se crean otras nuevas. Los números negativos, las matrices, las funciones, los lı́mites, las series, las estructuras algebraicas,
etcétera, son abstracciones surgidas a partir de abstracciones. Hay varios niveles
de abstracción.
Alguien podrı́a pensar que los matemáticos elaboran abstracciones sin motivo, por el mero hecho de hacerlo. En general, no es ası́. Surgen motivadas por
alguna necesidad e inspiradas, en última instancia, en objetos y situaciones del
mundo real. Debido a ello, los resultados obtenidos en base a tales abstracciones, no son proposiciones sin sentido. Por el contrario, poseen significado fı́sico y
potenciales aplicaciones.
Cabe preguntarse, ¿por qué en matemáticas se trabaja con abstracciones? ¿no
es acaso más sencillo y eficaz trabajar sólo con objetos concretos? Una de las ventajas es que se gana en generalidad. Un objeto matemático abstracto, puede representar multitud de casos concretos. Cuando se aprende que 5x6 = 30, este hecho
se aplica a miles de casos particulares. De modo similar, un resultado geométrico
deducido para un cı́rculo abstracto, puede aplicarlo el carpintero que construye
una mesa redonda, el arquitecto que esboza un plano empleando dicha figura, o
el astrónomo que hace cálculos con la fotografı́a de un planeta.
Otra ventaja de la abstracción reside en lo siguiente: dado que en el proceso
de abstraer se prescinde de lo irrelevante y se considera sólo lo esencial, con ello
se libera a la mente de tener que considerar multitud de detalles innecesarios y
engorrosos. El pensamiento se enfoca ası́ en algo simple, ideal y pertinente, incrementando sus posibilidades de descubrir resultados valiosos. La abstracción
permite traducir los problemas de la realidad a términos con los cuales la matemática puede tratar. La abstracción es una especie de puente entre el mundo
fı́sico y el mundo de las ideas. Son esas ventajas las que le confieren su poder.
Sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944) ilustraba el proceso de abstracción
de una manera pintoresca: “Consideremos -decı́a- un elefante de dos toneladas
de peso que rueda por una colina con sesenta grados de pendiente, cubierta de
hierba verde y lozana. ¿Qué nos queda si eliminamos lo superfluo de esta situación? Simplemente una partı́cula rodando por un plano inclinado”
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1.4.
Creatividad
La persona común suele concebir la matemática como ese conjunto de procedimientos rutinarios, áridos y desmotivados que vio en colegio, y por ello no
imagina que en las matemáticas son empleadas – y son de suma importancia– la
creatividad y la imaginación. Desde luego, esa es una concepción errónea. Gran
parte de la actividad en matemática consiste en la resolución de problemas, y esta actividad depende en gran medida del uso de la imaginación y la creatividad
para encontrar una solución. Investigar para descubrir algún resultado nuevo,
también requiere de estas formas de pensamiento. Una vez que se ha descubierto
un resultado, se debe luego dar una demostración deductiva del mismo, y esta
labor exige, a su vez, en gran manera el empleo de la creatividad para hallar dicha demostración, o bien para encontrar otra más breve o elegante. Se requiere
el uso de la imaginación para presentar un resultado de modo atractivo, comprensible; para crear nuevos términos, simbologı́a, estructuras, conceptos; para
visualizar formas ideales, espacios y objetos abstractos o raros (ver figura 7 ). En
fin, imaginación y creatividad son formas de pensar imprescindibles en el quehacer matemático.
1.5.
Simbolismo
Algo caracterı́stico en todas las áreas de las matemáticas es el empleo de
sı́mbolos. Cuando una persona hojea algún texto de matemática, acaso lo primero que advierte es un profuso empleo de sı́mbolos. Esto suele disuadir a muchos
de intentar leer y comprender tales textos. Sin embargo el simbolismo es una
imperiosa necesidad en matemáticas por varias razones. Está en primer lugar la
concisión. Gracias al uso de simbolismo matemático se puede escribir expresiones largas de manera breve, compacta; de tal modo que la vista las percibe con
claridad y la mente las retiene con eficacia. Describir con palabras una expresión
como
a3 + 3a2 b + 3ab2 + a3
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Figura 7: “Agujero a través de un agujero en un agujero” y “teselación en el plano
hiperbólico”, del artista M.C. Escher, son dos objetos que se consideran en áreas
de las matemáticas conocidas como topologı́a y geometrı́a no euclideana, respectivamente.
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no sólo resultarı́a más extenso, sino también difı́cil de comprender.
Se han creado, por necesidad, notaciones simbólicas que resultan de gran utilidad. A modo de ejemplo, consideremos la suma:
8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8
obviamente resulta molesto tener que escribir toda esta hilera formada por 20
ochos. Escribimos esto de manera compacta usando el signo de la multiplicación
(un punto ). Como el 8 aparece 20 veces, anotamos simplemente
8 · 20
De modo similar, se presenta a veces la necesidad de escribir un producto que
repite varias veces un mismo número. Por ejemplo:
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10
Dado que el factor 10 aparece 15 veces en esta expresión, introduciendo la
notación de exponentes escribimos esto de modo tan simple como:
1015
Como sabe cualquiera que haya empleado expresiones con exponentes, no
sólo la escritura, sino también los cálculos se facilitan en gran manera.
Una razón adicional para utilizar simbolismo es la claridad. Es más conveniente razonar empleando sı́mbolos que usando palabras. A menudo las palabras
tienen más de una interpretación. Cuando se quiere razonar con exactitud, la ambigüedad es un estorbo. Los sı́mbolos se eligen cuidadosamente para no dar lugar
a confusiones. Las palabras conllevan usualmente matices emocionales que tienden a ofuscar el pensamiento. Se ha dicho con acierto que “la emoción oscurece la
razón” . Los sı́mbolos se hallan desprovistos de tintes emotivos.
El simbolismo apropiado contribuye en gran manera a la eficacia del pensamiento. Facilita a la mente el poder concentrarse en aquellos aspectos de mayor
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importancia de un problema dado. Usando simbolismo la mente consigue manejar ideas complejas con relativa facilidad.
Desde luego, el uso de simbolismo matemático, tiene también sus desventajas.
Resulta poco natural, al menos para quienes se inician en su empleo. Una página llena de sı́mbolos puede resultar intimidante. Puede incluso dar la impresión
de algo esotérico, mı́stico. La idea de usar sı́mbolos no es nueva. Los primeros
matemáticos ya los empleaban, sin embargo se empezó a usar simbolismo de manera profusa sólo a partir de los siglos XVI y XVII. Esto es un indicio de que no
es fácilmente accesible para todos.
Por supuesto, el simbolismo debe usarse con moderación. Hay autores de textos que exageran su uso ( son pocos, gracias al cielo ). Eso hace que lo escrito
resulte innecesariamente fastidioso para muchos. En ciertos casos, uno empieza
a sospechar que introducen exceso de simbolismo sólo para encubrir resultados
intrascendentes y pobreza de ideas.
2.
Heurı́stica
Una historia cuenta que Arquı́medes, matemático griego de la antigüedad,
estuvo en cierta ocasión intentando infructuosamente resolver un problema que
le habı́a encomendado Hierón de Siracusa, el rey de su ciudad. Para resolver el
asunto necesitaba determinar el volumen de una corona de forma irregular. Un
dı́a, cansado ya de trabajar sin éxito en tal problema, decidió apartarlo por completo de su mente e ir a distraerse tomando un baño. En el instante en que entró
a la tina llena de agua y vió derramarse el lı́quido, le vino a la mente la idea para
resolver su problema. Se cuenta que fue tal su alegrı́a que, desnudo como estaba,
salió corriendo por las calles de Siracusa gritando “¡Eureka! ¡Eureka! ”. Ese es un
vocablo griego que significa “lo encontré”. De seguro a nosotros nos resultarı́a
algo inusual, escandaloso, ver a alguien corriendo desnudo por las calles, pero en
la época de Arquı́medes quizá su proceder no llamara tanto la atención, ya que
los griegos solı́an hacer ejercicio desnudos en áreas públicas.
La palabra “heurı́stica” proviene de un vocablo griego que significa descubrir,
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Figura 8: Arquı́medes
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encontrar. Tiene la misma raı́z etimológica que el vocablo “eureka” que, como dijimos, quiere decir “lo encontré”. “Heurı́stica” es una palabra asociada con cuestiones de creatividad, inventiva. Se la ha empleado en ocasiones para designar “el
arte de inventar”. Con la palabra “heurı́stica” hacemos referencia a un conjunto
de sugerencias o técnicas de indagación, empı́ricas pero efectivas, cuyo fin es el
descubrir la solución a un problema.
3.
Una civilización antigua y prodigiosa
Hace aproximadamente 2500 años atrás, junto al mar Mediterráneo, en una
penı́nsula agreste y en los territorios e islas contiguas, una civilización de las más
impresionantes que ha conocido la humanidad, inició una época de inusitado
desarrollo que duró algo más de un milenio. Hablamos, desde luego, de la civilización griega. En el mundo antiguo hubieron civilizaciones más grandes, más
poderosas y más ricas que la de los griegos; pero no hubo –ni de lejos– ninguna
que dejara un legado de conocimientos tan vasto y diverso como el de los griegos.
Ningún otro pueblo influyó en tal medida en el desarrollo de la humanidad como
los griegos.
Entre el 600 a.C. y el 600 d.C. surgieron entre los griegos multitud de hombres
eminentes que aún en la actualidad evocamos y nos dan mucho en que pensar. En
ese periodo vivieron en Grecia filósofos, geómetras, matemáticos, dramaturgos,
pintores, poetas, literatos, arquitectos, escultores, atletas, polı́ticos y guerreros de
los más notables que ha producido la humanidad. Estos hombres extraordinarios
produjeron filosofı́a perdurable, obras literarias de gran calidad, fábulas encantadoras, mitos fascinantes, poesı́a memorable, edificaciones majestuosas, esculturas espléndidas; establecieron los fundamentos de la astronomı́a y de la ciencia
en general, propiciaron famosas competencias atléticas como las Olimpiadas, inventaron el teatro y el sistema de gobierno democrático, por citar algunos de sus
logros.
Como si lo anterior fuera poco, hicieron otra suprema aportación a la humanidad: las matemáticas. En efecto, fueron los griegos los creadores de la matemática
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MATEMÁTICA Y PATRONES
en la forma en que la conocemos.
En los pueblos de la antigüedad la gente solı́a buscar explicación a fenómenos
naturales como eclipses, tempestades, halos lunares y otros, recurriendo a dioses,
demonios y otros seres fantásticos. Un grupo de pensadores griegos empezó, en
contraste, a buscar explicaciones racionales a dichos fenómenos, sin involucrar a
ningún tipo de causas o seres sobrenaturales. Empezó a crecer entre ellos la convicción de que el mundo y el universo no eran algo caótico, sujeto a los caprichos
y veleidades de seres fantásticos. Por el contrario, estaban regidos por leyes inmutables, leyes matemáticas de hecho, y habı́a un orden subyacente. Creyeron
firmemente, además, que el hombre, mediante las matemáticas y su capacidad
de razonar, podı́a dilucidar tales leyes. Esas convicciones marcaron el inicio de la
ciencia moderna.
Los griegos fueron los primeros en proponer y emplear el razonamiento deductivo como el único método para establecer las verdades matemáticas. Fueron
también los primeros en darse cuenta de la importancia de trabajar en matemáticas con abstracciones y generalidades, desdeñando lo concreto. Estas exigencias
por lo deductivo y lo abstracto han sido desde entonces el sello distintivo de esta disciplina. Con tales caracterı́sticas, y con un cúmulo de elegantes resultados
geométricos y aritméticos, la matemática inició su desarrollo como una ciencia
racional y bien organizada durante la época clásica griega ( 600 a.C. al 300 a.C. )
Hacia el 300 a. C. el famoso geómetra griego Euclides escribió un tratado conocido como “Los Elementos”. En esa obra recopiló una considerable cantidad
de resultados geométricos y aritméticos de su tiempo y de épocas anteriores y
lugares distintos. Lo notable, es la manera en que Euclides seleccionó y organizó
todos esos conocimientos. Presentó, uno tras otro, un conjunto de 467 teoremas,
es decir resultados geométricos y aritméticos cuidadosamente ordenados, cada
uno de ellos con su correspondiente demostración realizada por razonamiento
deductivo. Tales razonamientos se basan en 10 axiomas ( afirmaciones cuya verdad se asume como evidente y por ello se aceptan sin cuestionarlos ) que presenta al principio de su obra. La atinada elección de los pocos axiomas, a partir de
los cuales puede deducirse tal cantidad de teoremas de interés, la pulcra organización lógica de los resultados, los razonamientos irrefutables que prueban la
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verdad de éstos, generan en la mayorı́a de los lectores una impresión de asombro
y maravilla.
Los Elementos se constituyó en una obra de referencia y estudio durante muchos siglos. Fue el modelo a seguir para presentar resultados o teorı́as matemáticas. Ningún otro escrito influyó de manera tan decisiva en el desarrollo de esa
disciplina. Ha sido además el libro más veces impreso, sólo después de la Biblia.
Puede contarse sin duda entre las obras fundamentales de la razón humana.
Afirma el matemático e historiador Morris Kline: El supremo legado de los griegos fue el de llamar la atención hacia el razonamiento, emplearlo y poner de relieve su
poder. Este descubrimiento del poder del raciocinio es el más importante hecho por el
hombre .
¿ Cómo es posible que en aquella pequeña región junto al Mediterráneo haya
surgido una cultura y civilización tan brillante ? ¿ Qué hizo posible la aparición
de hombres como Platón, Aristóteles, Homero, Pitágoras, Eudoxo, Euclides y Arquı́medes ? ¿ Cómo explicar la aparición de tantos sabios y pensadores insignes
en esa época ? ¿ Por qué no ocurrió algo similar en otros lugares del planeta ? Son
interrogantes que aún esperan respuestas concluyentes por parte de historiadores
y analistas.
Hemos considerado pertinente esta nota en relación a la antigua civilización
griega por que en matemática se requiere hacer numerosas referencias a obras y
resultados establecidos por ellos, sus fundadores. Se dice que “en las matemáticas
todos los caminos conducen a Grecia” . Veremos que, incluso, muchos de los nombres que se emplean en matemáticas provienen del idioma griego. A propósito, la
palabra matemáticas procede del vocablo griego matema que significa “lo que se
aprende” o, como señala algún estudioso, con una interpretación algo más libre
puede entenderse como: “lo que es digno de ser aprendido” .
Ejercicios
1. Se ha separado el conjunto de las primeras letras mayúsculas en dos grupos:
el que está encima de la lı́nea horizontal y el que está debajo. ¿Cuál es el
criterio que se uso para realizar esta partición?
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A
E
B
C
D
F
H
G
I
J
2. Las letras de la siguiente sucesión fueron ordenadas según un patrón. Descubre el mismo y anota las dos que siguen.
U, D, T, C, C, S, S, . . .
1
1
3. Expresa en forma decimal las fracciones: 27
y 37
¿ Qué observas?
1
. ¿Cuál es el patrón que observas
4. Expresa en forma decimal la fracción 243
en sus decimales?
5. Expresa la fracción 10
81 con una cantidad considerable de decimales. ¿Cuál
es el patrón que observas ?
6. Supongamos que * denota un nuevo tipo de operación con los números naturales. Si
2 ∗ 3 = 10
7 ∗ 2 = 63
6 ∗ 5 = 66
8 ∗ 4 = 96
..
.
entonces, ¿cuánto es 9 ∗ 7 ?
7. Calcula las siguientes expresiones, observa el patrón subyacente y anota las
siguientes tres hileras.
1 × 9 + 2 = ...
12 × 9 + 3 = . . .
123 × 9 + 4 = . . .
1234 × 9 + 5 = . . .
..
.
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M.Sc. Marcelo Machicao R.
8. Comprueba que las igualdades mostradas son correctas; analiza el patrón
presente en ellas y anota luego las dos hileras siguientes.
1×2−1 = 1
37 × 2 − 1 = 73
397 × 2 − 1 = 793
3997 × 2 − 1 = 7993
39997 × 2 − 1 = 79993
..
.
9. Anota el resultado de los productos siguientes:
142857 × 1 = . . .
142857 × 2 = . . .
142857 × 3 = . . .
142857 × 4 = . . .
142857 × 5 = . . .
142857 × 6 = . . .
¿Qué patrón observas en los resultados? ¿Qué ocurre si multiplicas 142857
por 7?
10. ¿Cuáles son los siguientes trés sı́mbolos de la secuencia mostrada en la figura 9 ?
11. Determine la regla según la cual se obtienen los términos sucesivos de la
siguiente secuencia numérica:
11,
31,
41,
61,
71,
101,
131, ...
12. Los primeros tres términos de la secuencia 5, 15, 25, ... (números terminados
en 5 ) son divisibles por 5. ¿Son también divisibles por 5 los términos siguientes? Los primeros tres términos de la secuencia 3, 13, 23 . . . (números
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MATEMÁTICA Y PATRONES
Figura 9: ¿ Qué sı́mbolos continúan la secuencia ?
terminados en 3 ) son primos. ¿ Son también primos los términos siguientes?
13. Si tomas un número natural cualquiera, no es muy probable que se divida exactamente entre 7. Es aún menos probable que ese número se divida
exactamente entre 7 y entre 11, y muchı́simo más improbable que tal número se divida entre 7, entre 11 y entre 13. Ahora bien, toma un número, no
tan aleatorio, sino uno que presente el esquema abcabc en sus dı́gitos. Por
ejemplo 372372, o bien 641641. Divide culquier número de este tipo entre
7, luego entre 11 y después entre 13. Haz varios experimentos con números
ası́. ¿Qué observas?
14. Todos los números de la siguiente sucesión son primos:
3
31
331
3331
33331
333331
3333331
33333331
¿ Serán primos también los números subsiguientes?
15. Observando el patrón sugerido por los casos que se muestran, anota las
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M.Sc. Marcelo Machicao R.
siguientes cuatro filas. ¿Son correctas las igualdades que has anotado? Verifica.
16 = 42
1156 = 342
111556 = 3342
11115556 = 33342
..
.
16. A partir de la observación de los casos particulares, formula una conjetura
para la ley general.
1 = 1
1 − 4 = −(1 + 2)
1−4+9 = 1+2+3
1 − 4 + 9 − 16 = −(1 + 2 + 3 + 4)
..
.
17. Observando el patrón mostrado en las siguientes igualdades, plantea una
conjetura para la ley general:
1 = 1
2+3+4 = 9
3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25
4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49
..
.
18. El Algoritmo de Siracusa. Toma un número natural n cualquiera y efectúa
el siguiente proceso: si n es par, lo divides entre 2; si n es impar, lo multiplicas por 3 y sumas 1 al resultado. Repite el proceso con el resultado que
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MATEMÁTICA Y PATRONES
obtengas, luego con el siguiente resultado y ası́ sucesivamente. Por ejemplo,
si empiezas con el 12, obtendrás la sucesión de números:
12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
luego, como el último valor es 1, y es impar, el siguiente valor es 4, después
2 y otra vez 1 y el ciclo 4, 2, 1 se repite indefinidamente. ¿ Se llega siempre
al ciclo 4, 2, 1 empezando con cualquier número natural ? Investiga; haz
varios experimentos con distintos números.
19. El Algoritmo de Kaprekar Toma un número natural de tres dı́gitos, cuyo
primer y último dı́gitos sean distintos, ( por ejemplo, 487 ). Reordena sus
dı́gitos en orden decreciente formando un segundo número; luego, forma
también un tercer némero escribiendo los dı́gitos en orden creciente ( 874
y 478, en nuestro caso). Resta el menor del mayor para obtener un primer
resultado ( 874-478 = 396 ). Repite el proceso con el resultado obtenido,
luego con el nuevo resultado, y ası́ sucesivamente, varias veces. Experimenta con diferentes números iniciales. ¿Qué ocurre? ¿algún patrón de interés?
Investiga después que sucede aplicando el algoritmo a números de cuatro
dı́gitos.
20. Un patrón nada fácil de descubrir. Analiza la secuencia de números mostrada en columna. ¿Puedes descubrir el patrón que rige la formación de ellos
y anotar los dos siguientes valores ?
1
11
21
1211
111221
312211
13112221
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