MOMENTUM TRANSFER (VISCOSITY)
v x ( y)
y
x
V
Fluida terletak diantara dua plat yang sejajar. Jika fluida mula-mula diam,
kemudian pada pelat bawah (y=0) digerakkan dengan kecepatan v, maka
profil kecepatan fluida sepanjang arah y pada kondisi aliran laminar yang
steady dapat ditunjukkan seperti gambar di atas. Fluks momentum x ke arah
y adalah sama dengan tegangan gesernya yang ditulis sebagai τ yx ,
mempunyai satuan momentum per satuan luas per satuan waktu [
(kg)(m/det)/(m2)(det)] atau
[kg / m det2]. Ini adalah sama dengan satuan
gaya per satuan luas. Besarnya fluks momentum (tegangan geser)
berbanding lurus terhadap pengurangan kecepatan arah x terhadap
perubahan jarak arah y, dan ditulis sebagai Hukum Newton:
τ yx = − µ
dv x
dy
Dimana µ adalah viskositas fluida tersebut.
Tabel harga viskositas untuk berbagai macam fluida, gas dan liquid metals
dapat dilihat pada Table 1.1-2s/d 4. Harga viskositas ini juga fungsi dari
temperatur dan tekanan (terutama untuk gas).
Theory of Viscosity of Gases at Low Density
Kecepatan satu molekul gas ideal:
Mean free path:
λ=
u=
8kT
πm
1
2 π d 2n
Dari profile kecepatan dan mean free path, diturunkan:
µ=
2
3π
3/ 2
mkT
d2
Viskositas gas juga bisa diperkirakan sebagai fungsi dari parameter σ dan ε
di Lennard-Jones potential:
µ = 2.6693 x 10 −5
MT
σ Ωµ
2
Theory of Viscosity of Liquid
~
~
Nh 3.8Tb / T
Nh 0.408 ∆U vap / RT
µ= ~ e
≈ ~ e
V
V
HEAT TRANSFER (THERMAL CONDUCTIVITY)
To
T ( y)
y
x
To
T1
Satu batang material mula-mula mempunyai temperatur To. Jika kemudian
di sisi bawahnya berubah tiba-tiba menjadi T1, maka setelah steady state
profil temperatur menjadi seperti gambar di atas. Heat Flux (laju alir panas
per satuan luas area) dalam arah y ditulis sebagai q y , yang besarnya
proporsional terhadap pengurangan temperatur terhadap perubahan jarak
arah y, dan ditulis sebagai Hukum Fourier:
q y = −k
dT
dy
atau secara umum
q = −k∇T
Dimana k adalah termal koduktifitas dari material tersebut.
Tabel harga termal koduktifitas untuk berbagai macam fluida, gas, liquid
metals dan padatan dapat dilihat pada Table 9.1-2 s/d 5. Harga termal
koduktifitas ini juga fungsi dari temperatur dan tekanan (terutama untuk
gas).
Hubungan dengan Thermal Diffusivity, α :
α=
k
ρC p
Theory of Thermal Conductivity of Gases at Low Density
k=
1 k 3T
d 2 π 3m
k = 1.9891 x 10 − 4
T /M
σ 2Ω µ
Hubungan antara k dengan µ :
k=
15 R
µ
4 M
untuk monatomic gas
5 R⎞
⎛
k = ⎜C p +
⎟µ
4M⎠
⎝
µ
Cpk
untuk polyatomic gas
disebut Prandtl Number
Theory of Viscosity of Liquid
~ 2/3
⎛N⎞
k = 2.80⎜⎜ ~ ⎟⎟ κvs
⎝V ⎠
νs
: sonic velocity
MASS TRANSFER (DIFFUSIVITY)
Hukum Fick Pertama:
Flux
Gradient
Formulation
nA
∇ω A
n A − ω A (n A + n B ) = − ρD AB ∇ω A
NA
∇x A
N A − x A ( N A + N B ) = −cD AB ∇x A
jA
∇ω A
j A = − ρD AB ∇ω A
JA*
∇x A
J A = −cD AB ∇x A
*
Dimana DAB adalah difusifitas komponen A terhadap komponen B.
Tabel harga difusifitas untuk berbagai macam pasangan fluida, gas, liquid
metals dapat dilihat pada Table 17.1-1 s/d 4. Harga difusifitas ini
juga fungsi dari temperatur dan tekanan (terutama untuk gas).
Slattery:
⎛
⎞
T
⎟
= a⎜
1/ 2
⎜ T T ⎟
⎛
⎞
⎝ CA CB ⎠
(PCA PCB )1 / 3 (TCATCB )5 / 12 ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟
⎝ MA MB ⎠
P D AB
a = 2.745 x 10-4
b = 1.823
P = [atm]
T = [K]
Theory of Diffusivity of Gases at Low Density
Chapman-Enskog:
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
+
T 3 ⎜⎜
⎝MA MB ⎠
D AB = 0.0018583
2
Ω D , AB
P σ AB
b
Problem 1
Compute the mean molecular velocity u , cm sec-1, and the mean free path,
λ, cm, in Oxygen at 1 atm and 273.2 K. Assume d = 3 Å. What is the ratio
of the mean free path to the molecular diameter in this situation? What
would be the order of magnitude of the corresponding ratio in the liquid
state?
Answer:
Oxygen (O2), P = 1 atm
a) u =
8kT
πm
k = 1.38 x 10-16 erg molecule-1K-1
molecular weight of O2 is 32 therefore m =
u=
b) λ =
λ=
d = 3 Å = 3 x 10-8 cm
T = 273.2 K
32 gram / mole
6.02 x10 23 molecule / mole
8 x1.38 x10 −16 x 273.2
= 4.25 x 10 4 cm / sec
23
π x 32 / 6.02 x10
1
where n =
2 π d 2n
(
2 π 3 x 10
1
) 6.02 x10 / 22400
−8 2
23
6.02 x 10 23 molecule
22400 cm 3
= 9.3 x 10 −6 cm
9.3 x 10 −6
c) λ / d =
= 310
3 x 10 −8
(λ / d )gas ⟩ (λ / d )liquid
Problem 2
Convert Eq.1.4-9 to the form of Eq. 1.4-18 and compare the two equations
numerically for rigid spherical molecules with d = σ. What percentage of
error is incurred by using the simple kinetic theory for such molecules?
Answer:
Eq. 1.4-9
:
Eq. 1.4-18 :
µ=
2
3π
3/ 2
mkT
d2
µ = 2.6693 x 10 −5
MT
σ Ωµ
2
For rigid spherical molecules with d = 10 −8 σ and m =
Eq. 1.4-9
:
µ=
2
M x 1.38 x 10 −16
T
6.02 x 10 23
3π
σ
3/ 2
For rigid spherical molecules, Ω µ = 1
2
M
6.02 x 10 23
= 1.81 x 10 −5
MT
σ2
µ = 2.6693 x 10 −5
Eq. 1.4-18 :
MT
σ2
Problem 3:
Predict DAB for methane-ethane system at 104 oF and 1 atm using:
a) Slattery equation
b) Chapman-Enskog theoretical equation, using critical pressure and
temperatures to estimate the Lennard-Jones parameters.
Answer:
a) Slattery Equation:
⎛
⎞
T
⎜
⎟
=
a
1/ 2
⎜
⎟
⎞
⎛
⎝ TCATCB ⎠
(PCA PCB )1 / 3 (TCATCB )5 / 12 ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟
⎝ MA MB ⎠
b
P D AB
a = 2.745 x 10-4
b = 1.823
P = 1 atm
T = 104 oF = 313 K
Data:
Component
M
Tc (K)
Pc (atm)
A (Methane)
16.04
190.7
45.8
B (Ethane)
30.07
305.4
48.2
(PCA PCB )1 / 3 = (45.8 x 48.2)1 / 3 = 13.02
(TCATCB )5 / 12 = (190.7 x 305.4)5 / 12 = 96.72
⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
+
⎝ M A MB ⎠
1/ 2
1 ⎞
⎛ 1
=⎜
+
⎟
⎝ 16.04 30.07 ⎠
1/ 2
= 0.309
b
⎞
⎛
⎞
⎛
313
T
⎟ = 2.745 x 10 − 4 ⎜
⎟
a⎜
⎜ 190.7 x 305.4 ⎟
⎜ T T ⎟
⎠
⎝
⎝ CA CB ⎠
1.823
= 4.41 x 10 − 4
D AB = (4.41 x 10 −4 )(13.02)(96.72)(0.309 ) = 0.172 cm 2 sec −1
b) Chapman - Enskog Equation:
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
+
T 3 ⎜⎜
M
M
B ⎠
⎝ A
D AB = 0.0018583
2
P σ AB Ω D , AB
Estimation:
ε
k
= 0.77 TC
⎛T ⎞
σ = 2.44 ⎜⎜ C ⎟⎟
⎝ PC ⎠
1/ 3
⎛ε ⎞
⎜ ⎟ = 0.77 x 190.7 = 146.839 K
⎝ k ⎠A
⎛ε ⎞
⎛ε ⎞ ⎛ε ⎞
==Î ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 185.82 K
⎝ k ⎠ AB
⎝ k ⎠ A⎝ k ⎠B
⎛ε ⎞
⎜ ⎟ = 0.77 x 305.4 = 235.158 K
⎝ k ⎠B
⎛ 190.7 ⎞
⎟
⎝ 45.8 ⎠
1/ 3
σ A = 2.44 ⎜
= 3.925 Å
==Î σ AB =
⎛ 305.4 ⎞
σ B = 2.44 ⎜
⎟
⎝ 48.2 ⎠
kT
ε AB
=
(σ A + σ B )
2
= 4.22 Å
1/ 3
= 4.515 Å
313
= 1.684
185.82
from Table B-2:
1
1 ⎞
+
⎟
⎝ 16.04 13.07 ⎠
Ω D , AB = 1.144
(313)3 ⎛⎜
D AB = 0.0018583
(1)(4.22) (1.144)
2
= 0.156 cm 2 sec −1
Problem 4:
Estimate DAB for acetic acid in dilute aqueous solution at 12.5 oC by using
Eq. 15.5-9. The density of acetic acid at its normal boiling point is 0.973 g
cm-3.
Answer;
7.4 x 10 −8 (ψ B M B ) T
1/ 2
D AB =
µ v A 0.6
T = 12.5 o C = 285.5 K
ψ B (Water ) = 2.6
M B = 18
µ solution ≈ µ water = 1 cp
ρ A = 0.937 g / cm 3
Î
7.4 x 10 −8 (2.6 x 18)
1/ 2
D AB =
(1)(64.03)
0.6
v=
MA
ρA
=
60
= 64.03 cm 3 / gmole
0.937
(285.5) = 1.19 x 10 −5 cm 3 sec −1
Problem 5:
Prove that D AB = DBA
Answer:
Eq. 16.2-1: j A * = −cD AB ∇x A
j B = −cDBA ∇x B
*
In Table 16.1 – 30: j A * = − j B *
Or
− cD AB ∇x A = cDBA ∇x B
But
x A = 1 − x B and ∇x A = ∇(1 − x B ) = −∇x B
So
cD AB ∇x B = cDBA ∇x B
Or
D AB = DBA