ESTÁTICA
CENTRO DE GRAVEDAD
01.- Utilizando la doble integración; localice el centroide (𝑥, 𝑦) del área sombreada. Observación de su
respuesta con cuatro cifras significativas de lo contrario no considerara su respuesta.
Solución
𝑥
𝑦
Hallando el área:
𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦
1 √𝑥
∫ 𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥
0 𝑥2
1
√𝑥
𝐴 = ∫ [ ∫ 𝑑𝑦] 𝑑𝑥
0
𝑥2
1
𝐴 = ∫ [(𝑦|√𝑥2𝑥 )] 𝑑𝑥
0
1
𝐴 = ∫[√𝑥 − 𝑥 2 ]𝑑𝑥
0
1
𝐴 = ∫[𝑥 1⁄2 − 𝑥 2 ]𝑑𝑥
0
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ESTÁTICA
1
1
𝐴 = ∫ 𝑥 1⁄2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥
0
0
1
2
1
𝐴 = (𝑥 3⁄2 |0 ) − (𝑥 3 |10 )
3
3
2
1
𝐴 = 3 (13⁄2 − 03⁄2 ) − 3 (13 − 03 )
2
1
𝐴= 3−3
1
𝐴 = 𝑚2
3
Hallando el 𝑀𝑦 :
𝑑𝑀𝑦 = ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
1 √𝑥
𝑀𝑦 = ∫ ∫ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥
0 𝑥2
1
√𝑥
𝑀𝑦 = ∫0 𝑥 [∫𝑥2 𝑑𝑦] 𝑥𝑑𝑥
1
𝑀𝑦 = ∫0 𝑥[√𝑥 − 𝑥 2 ]𝑥𝑑𝑥
1
𝑀𝑦 = ∫0 [𝑥 3⁄2 − 𝑥 3 ]𝑑𝑥
1
1
𝑀𝑦 = ∫ 𝑥 3⁄2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥
0
0
1
2
1
𝑀𝑦 = 5 (𝑥 5⁄2 |0 ) − 4 (𝑥 4 |10 )
2
1
𝑀𝑦 = 5 (15⁄2 − 05⁄2 ) − 4 (14 − 04 )
2
1
5
4
𝑀𝑦 = −
3
𝑀𝑦 = 20 𝑚3
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ESTÁTICA
Hallando el 𝑀𝑥 :
𝑑𝑀𝑥 = ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
1 √𝑥
𝑀𝑥 = ∫ ∫ 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥
0 𝑥2
1
√𝑥
𝑀𝑥 = ∫0 [∫𝑥2 𝑦𝑑𝑦] 𝑑𝑥
1 𝑦 2 √𝑥
𝑀𝑥 = ∫0 [ 2 | 2 ] 𝑥𝑑𝑥
𝑥
1
1
1
1
2
𝑀𝑥 = 2 ∫0 [(√𝑥) − (𝑥 2 )2 ] 𝑑𝑥
𝑀𝑥 = 2 ∫0 [𝑥 − 𝑥 4 ]𝑑𝑥
1
1
0
0
1
𝑀𝑥 = [∫ 𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 ]
2
1 1
1
𝑀𝑥 = 2 {2 (𝑥 2 |10 ) − 5 (𝑥 5 |10 )}
1 1
1
𝑀𝑥 = 2 {2 (12 − 02 ) − 5 (15 − 05 )}
1
1
𝑀𝑥 = 4 − 10
3
𝑀𝑥 = 20 𝑚3
Hallando el centroide (𝑥̅ , 𝑦̅)
𝑥̅ =
𝑀𝑦
𝐴
3
20
𝑥̅ =
1
3
𝑥̅ =
9
𝑚
20
𝑦̅ =
𝑀𝑥
𝐴
3
20
𝑦̅ =
1
3
𝑦̅ =
9
𝑚
20
𝑥̅ = 0.45 𝑚
𝑦̅ = 0.45 𝑚
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ESTÁTICA
02.- Determine el área y el centroide (𝑥, 𝑦) del área.
Solución
𝑥
𝑦⁄2
𝑑𝑥
Hallando el área:
𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥
3
1
𝐴 = ∫ ( 𝑥 3 ) 𝑑𝑥
0 9
1 3 3
𝐴 = ∫ (𝑥 )𝑑𝑥
9 0
3
1 𝑥4
𝐴= ( | )
9 4 0
𝐴=
1 4
(3 − 04 )
36
𝐴=
9
𝑝𝑖𝑒 2
4
Hallando el 𝑀𝑦 :
𝑑𝑀𝑦 = 𝑥𝑑𝐴
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ESTÁTICA
3
1
𝑀𝑦 = ∫ 𝑥 ( 𝑥 3 ) 𝑑𝑥
9
0
𝑀𝑦 =
1 3 4
∫ (𝑥 )𝑑𝑥
9 0
3
1 𝑥5
𝑀𝑦 = ( | )
9 5 0
𝑀𝑦 =
1 5
(3 − 05 )
45
𝑀𝑦 =
27
𝑝𝑖𝑒 3
5
Hallando el 𝑀𝑥 :
𝑦
𝑑𝐴
2
𝑑𝑀𝑥 =
3
𝑦 1 3
( 𝑥 ) 𝑑𝑥
0 2 9
𝑀𝑥 = ∫
𝑀𝑥 =
1 3 1 3
∫ ( 𝑥 ) (𝑥 3 )𝑑𝑥
18 0 9
𝑀𝑥 =
3
1
∫ 𝑥 6 𝑑𝑥
162 0
3
1 𝑥7
( | )
𝑀𝑥 =
162 7 0
𝑀𝑥 =
1
(37 − 07 )
1 134
𝑀𝑥 = 1.928 571 43 𝑝𝑖𝑒 3
Hallando el centroide (𝑥̅ , 𝑦̅)
𝑀𝑦
𝐴
𝑦̅ =
𝑀𝑥
𝐴
𝑦̅ =
1.930
27
4
12
𝑥̅ =
𝑝𝑖𝑒
5
𝑦̅ =
193
675
𝑥̅ = 2.40 𝑝𝑖𝑒
𝑦̅ ≈ 0.285 9 𝑝𝑖𝑒
𝑥̅ =
81
𝑥̅ = 5
27
4
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ESTÁTICA
03.- En la siguiente figura se muestra la sección transversal de una columna de esquina de concreto que está
cargada uniformemente en compresión. Determine las coordenadas 𝑥̅ y 𝑦̅ .
Solución
𝐴1
𝐴3
𝐴2
Σ
𝐴4
𝐴𝑖 (𝑝𝑢𝑙𝑔 2 )
𝑥𝑖 (𝑝𝑢𝑙𝑔)
𝑦𝑖 (𝑝𝑢𝑙𝑔 )
𝑥𝑖 𝐴𝑖 (𝑝𝑢𝑙𝑔 3 )
𝑦𝑖 𝐴𝑖 (𝑝𝑢𝑙𝑔3 )
480
528
−18
440
12
12
2
34
32
11
2
11
5 760
6 336
−36
14 960
15 360
5 808
−36
4 840
27 020
25 972
1 430
Hallando los centroides:
𝑥̅ =
𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝐴𝑖
∑ 𝐴𝑖
27 020
1 430
𝑦̅ =
∑ 𝑦𝑖 ∙ 𝐴𝑖
∑ 𝐴𝑖
𝑦̅ =
25 972
1 430
𝑥̅ = 18. 895 104 9𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑦̅ = 18.162 237 76𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑥̅ ≈ 18.90 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑦̅ ≈ 18.16 𝑝𝑢𝑙𝑔
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Pág. 6
ESTÁTICA
04.- El brazo 𝐴𝐵𝐶 con forma de “𝐿” que se muestra en la figura se encuentra en un plano vertical y tiene una
articulación que gira con respecto a un pasador horizontal en 𝐴. El brazo tiene un área de sección
transversal constante y un peso total 𝑊. Un resorte vertical con rigidez 𝑘 soporta el brazo en el punto
𝐵. Obtenga el centro de gravedad.
Solución
𝑦
𝑥
𝐿𝑖 (𝑢 )
2𝑏
𝑏 ⁄2
Σ
𝑥𝑖 (𝑢)
𝑏
2𝑏
𝑦𝑖 (𝑢)
𝑏⁄2
𝑏⁄4
𝑥𝑖 𝐿𝑖 (𝑢2 )
2𝑏2
𝑏2
3𝑏2
1 430
𝑦𝑖 𝐿𝑖 (𝑢2 )
𝑏2
𝑏2 ⁄8
9𝑏2 ⁄8
Halando los centroides:
𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝐿𝑖
∑ 𝐿𝑖
3𝑏2
𝑥̅ =
5𝑏⁄2
𝑥̅ =
6
𝑏
5
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𝑦̅ =
∑ 𝑦𝑖 ∙ 𝐿𝑖
∑ 𝐿𝑖
9𝑏2 ⁄8
𝑦̅ =
5𝑏⁄2
𝑦̅ =
9
𝑏
20
Pág. 7
ESTÁTICA
05.- La figura de abajo muestra la sección transversal de una pilastra de concreto que se carga
uniformemente en compresión. Determine las coordenadas 𝑥̅ y 𝑦̅ .
Solución
𝐴1
𝐴2
16⁄3
16⁄3
16⁄3
𝐴3
16⁄3
𝐴4
Σ
𝑨𝒊 (𝒊𝒏𝟐 )
𝒙𝒊 (𝒊𝒏)
𝒚𝒊 (𝒊𝒏)
𝒙𝒊 ∙ 𝑨𝒊 (𝒊𝒏𝟑 )
𝒚𝒊 ∙ 𝑨𝒊 (𝒊𝒏𝟑 )
960
10
24
9 600
23 040
128
76⁄3
112⁄3
9 728⁄3
14 336⁄3
256
28
24
7 168
6 144
128
76⁄3
32⁄3
9 728⁄3
4 096⁄3
69 760⁄3
35 328
1 472
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Pág. 8
ESTÁTICA
Halando los centroides:
𝑥̅ =
∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝐴𝑖
∑ 𝐴𝑖
𝑥̅ =
69 760⁄3
1 472
𝑥̅ ≈ 15.80 𝑝𝑢𝑙𝑔
𝑦̅ =
∑ 𝑦𝑖 ∙ 𝐴𝑖
∑ 𝐴𝑖
𝑦̅ =
35 328
1 472
𝑦̅ = 24 𝑝𝑢𝑙𝑔
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