ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
Συνοριακές συνθήκες
µεταξύ περιοχών του χωρόχρονου και
λεπτοί φλοιοί ύλης
του
Γιώργου Παπαγούδη
Φοιτητή του τµήµατος Φυσικής
του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης
Επιβλέπων Αναπλ. Καθηγητής: Χρήστος Γ. Τσάγκας
Θεσσαλονίκη
Ιούλιος 2014
1
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ
Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Χρήστο Γ. Τσάγκα για την πρόταση
ενασχόλησης µου µε το πολύ ενδιαφέρον θέµα της παρούσας πτυχιακής
εργασίας καθώς και για τη βοήθεια που µου παρείχε. Αφιερώνω αυτήν
την προσπάθεια στην Ανδριάνα.
2
3
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Στην παρούσα εργασία αναζητούµε τις συνθήκες που πρέπει να
ικανοποιούνται επί µιας συνοριακής τρισδιάστατης υπερεπιφάνειας η
οποία χωρίζει τον τετραδιάστατο χωρόχρονο σε δύο ποιοτικά διάφορες
περιοχές, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η οµαλότητα στο χωρόχρονο επί
των σηµείων της διαχωριστικής αυτής υπερεπιφάνειας. Επειδή η
γεωµετρία του χωρόχρονου καθορίζεται πλήρως από τον τανυστή
καµπυλότητας αυτού, η ανάλυση µας βασίζεται στην εξασφάλιση αφενός
της µη απροσδιοριστίας και αφετέρου του µη απειρισµού των
συνιστωσών του τανυστή καµπυλότητας επί της διαχωριστικής
υπερεπιφάνειας. Οι παραπάνω απαιτήσεις θα οδηγήσουν στις λεγόµενες
‘συνοριακές συνθήκες’ επί της υπερεπιφάνειας. Οι τελευταίες αποτελούν
τις επιπλέον πληροφορίες που χρειαζόµαστε για την θεωρητική επίλυση
συγκεκριµένων βαρυτικών συστηµάτων, στα οποία ο χωρόχρονος είναι
εκ κατασκευής χωρισµένος σε δύο ποιοτικά διάφορες περιοχές. Από την
άλλη εξετάζοντας τη φυσική σηµασία της ανωµαλίας στο χωρόχρονο επί
µιας διαχωριστικής υπερεπιφάνειας, συµπεραίνουµε πως ενδεχόµενη
απροσδιοριστία του τανυστή καµπυλότητας δεν µπορεί να έχει φυσικό
νόηµα. Εντούτοις, ερµηνεύουµε τον απειρισµό του τανυστή
καµπυλότητας επί της υπερεπιφάνειας ως την παρουσία πεπερασµένης
ποσότητας ύλης επί αυτής- δηλαδή η υπερεπιφάνεια αποτελεί έναν
‘λεπτό φλοιό ύλης’ µε επιφανειακή πυκνότητα, επιφανειακή πίεση και
επιφανειακή ροή ενέργειας. Η µελέτη µας πραγµατοποιήθηκε για
χωροειδείς, για χρονοειδείς και για φωτοειδείς υπερεπιφάνειες.
4
SUMMARY
In this project we are looking for the conditions that must be satisfied on
a three-dimensional hypersurface-border which devides the fourdimensional spacetime into two qualitatively different areas, so that to
ensure that spacetime is regular to all the points belonging to the
hypersurface. Because the geometry of spacetime is fully determined by
Riemann-tensor, we demand that the components of Riemann-tensor on
the hypersurface will not be indefinable or infinite. This requirement will
lead us to the ‘junction conditions’ on the border-hypersurface. The
junctions conditions give us the extra information that we need for the
theoretical solution of gravitational systems, in which spacetime is
divided into two qualitatively different areas. On the other hand,
considering the physical significance of the anomaly of Riemann-tensor
in the hypersurface, we conclude that indeterminacy of Riemann-tensor
in the hypersurface has no physical meaning. However, we interpret the
infinity of Riemann-tensor in the hypersurface as the presence of finite
quantity of matter on the hypersurface. Id est, the border-hypersurface is
a ‘thin shell of matter’ with surface density, surface pressure and surface
energy flow. In this project we dealt with all three kinds of hypersurfaces,
which can be spcelike, timelike or null.
5
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ…………………………………………………………2
ΠΕΡΙΛΗΨΗ…………………………………………………………….4
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ……………………………………………………….6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ……………………………………………………...8
1.1 Στοιχεία τανυστικής ανάλυσης…………………………………….8
1.2 Γεωµετρία Riemann………………………………………………..9
1.3 Παράγωγος Lie-Ισοµετρίες……………………………………….11
1.4 Γενική Θεωρία Σχετικότητας…………………………………….11
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟ……….13
2.1 Ορισµός υπερεπιφάνειας Σ………………………………………..13
2.2 Εσωτερική µετρική της Σ………………………………………....14
2.3 Εφαπτόµενα τανυστικά πεδία επί της Σ………………………….15
2.4 Εσωτερική συναλλοίωτη παράγωγος…………………………….16
2.5 Εξωτερική καµπυλότητα της Σ…………………………………..17
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΠΙ
ΧΩΡΟΕΙ∆ΩΝ/ΧΡΟΝΟΕΙ∆ΩΝ ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ
ΧΩΡΟΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΛΕΠΤΟΙ ΦΛΟΙΟΙ ΥΛΗΣ…………………..18
3.1 Το πρόβληµα……………………………………………………….18
3.2 Ο µετρικός τανυστής σε κλαδωτή µορφή………………………..19
3.3 Συνοριακές συνθήκες επί της Σ………………………………….. 21
3.3.1 Η 1η συνοριακή συνθήκη……………………………………...21
3.3.2 Η 2η συνοριακή συνθήκη……………………………………...22
3.4 Επιφανειακός τανυστής ενέργειας-ορµής………………………..24
6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΠΙ ΧΡΟΝΟΕΙ∆ΩΝ/ΧΩΡΟΕΙ∆ΩΝ
∆ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ………………………………….28
4.1 Κατάρρευση σφαιρικού οµογενούς αστέρα……………………...28
4.2 Κατάρρευση λεπτού σφαιρικού κελύφους……………………… 36
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΠΙ ΦΩΤΟΕΙ∆ΩΝ
ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΛΕΠΤΟΙ
ΦΛΟΙΟΙ ΥΛΗΣ………………………………………………………..39
5.1 Γεωµετρία φωτοειδούς υπερεπιφάνειας………………………….39
5.2 Η 1η συνοριακή συνθήκη…………………………………………..42
5.3 Επιφανειακός τανυστής τάσης-ενέργειας....……………………...43
5.3.1 Εφαπτόµενοι τανυστές Einstein και ενέργειας ορµής…….....43
5.3.2 Τα µ , p, jD υπό εσωτερικούς όρους-Εγκάρσια καµπυλότητα...44
5.3.3 Η 2η και 3η συνοριακή συνθήκη……………………………....47
5.4 Παραµετροποίηση των γεωδαισιακών φωτοειδούς Σ…………..47
5.5 Η απορροφούµενη ενέργεια γίνεται έργο………………………...49
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΠΙ ΦΩΤΟΕΙ∆ΩΝ
∆ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΏΝ ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ…………………………..51
6.1 Κατάρρευση σφαιρικού κελύφους µε ταχύτητα φωτός………....51
6.2 Αλλαγή κοσµολογικής φάσης……………………………………..54
6.2.1 Στοιχεία κοσµολογίας………………………………………….54
6.2.2 Από κυλινδρικό σε σφαιρικό σύµπαν…………………………56
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ………………………………………………………64
7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΤΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
1.1 Στοιχεία τανυστικής ανάλυσης
Θεωρούµε χώρο n-διαστάσεων και ένα σύστηµα συντεταγµένων { x β } µε
β = 1,2,.., n , ως προς το οποίο µπορεί να προσδιοριστεί κάθε σηµείο του
χώρου.
- Το µέγεθος Tαβ ..γδ .. ≡ Ταβ ..γδ .. ( x µ ) καλείται τανυστής (ή τανυστικό πεδίο)
αν, κάτω από αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων x a → x'a ≡ x'a ( x β ) ,
µετασχηµατίζεται ως
T 'κλ..
µν
( x'ρ ) =
∂x a ∂x β ∂x' µ ∂x' ν
γδ ..
...
...Ταβ.. ( x ρ )
∂x'κ ∂x' λ ∂x γ ∂x δ
(1)
- Η συνήθης παράγωγος ( ∂ π ) επεκτείνεται στην έννοια της συναλλοίωτης
παραγώγου τανυστή (ώστε να παραµένει και η ίδια τανυστής) ως
γδ ..
γδ ..
γδ
γδ ..
κδ ..
γκ ..
∇π Tαβ.. ≡ ∂π Tαβ .. − Γκ απ Τκβ.. − Γκ βπ Τακ .. − .. + Γγ κπ Ταβ .. + Γδ κπ Ταβ .. + .. (2)
όπου Γ α βγ καλείται σύνδεση και είναι κατάλληλο µη-τανυστικό µέγεθος
το οποίο ορίζεται έτσι ώστε να µετασχηµατίζεται ως
∂x' a ∂x λ ∂x µ κ
∂x' α ∂ 2 x ν
Γ βγ ' = κ
Γ λµ + ν
∂x ∂x' β ∂x'γ
∂x ∂x'β ∂x' γ
α
(3)
∆ηλαδή, η συναλλοίωτη παράγωγος αποτελεί επέκταση της συνήθους
παραγώγου σε χώρους µε µη µηδενική σύνδεση (ή αλλιώς µε
καµπυλότητα) και δηλώνει το πώς µεταβάλλεται ένας τανυστής στη
κατεύθυνση κάποιας συντεταγµένης x π .
- Θεωρούµε τώρα µια καµπύλη C: x α = x α (λ ) µε α = 1,2,..., n ( λ : τυχαία
βαθµωτή παράµετρος). Ένας τανυστής ορισµένος στο n-χώρο ορίζεται
επίσης
κατά µήκος της C από τη σχέση Tαβ ..γδ .. ≡ Ταβ ..γδ .. ( x µ (λ )) .
Επεκτείνοντας την έννοια της ολικής παραγώγου ( d dλ ) σε καµπύλους
χώρους, ορίζουµε την απόλυτη παράγωγο τανυστή κατά µήκος της C την
(
)
D
dx π
γδ ..
γδ ..
Ταβ..
≡
∇ π Ταβ ..
Dλ
dλ
(4)
η οποία δηλώνει το πως µεταβάλλεται ο τανυστής κατά µήκος της
καµπύλης C (Σηµειώνεται πως δείκτης που επαναλαµβάνεται άνω-κάτω
δηλώνει άθροιση).
Από την άλλη, ένα τανυστικό πεδίο µπορεί να ορισθεί απευθείας µε
8
παράλληλη µεταφορά επί της καµπύλης C µέσα από τη σχέση
(
)
D
γδ ..
Ταβ..
≡0
Dλ
(5)
Η τελευταία επιτρέπει και την γεωµετρική ερµηνεία της απόλυτης
παραγώγου τανυστή Tαβ ..γδ .. κατά την οποία έχουµε σύγκριση, σε κάποιο
σηµείο της C, της τιµής του τανυστή στο σηµείο αυτό µε εκείνη που
προκύπτει από την παράλληλη µεταφορά του τανυστή από απειροστά
διπλανό σηµείο.
- Μια καµπύλη C: x α = x α (λ ) µε α = 1,2,..., n ( λ : τυχαία βαθµωτή
παράµετρος) ονοµάζεται γεωδαισιακή όταν η παράλληλη µεταφορά του
εφαπτόµενου διανύσµατος σε κάθε σηµείο της, u α ≡ dx α dλ , είναι
ανάλογη αυτού, δηλαδή
Du α
≡ f (λ ) u α ⇒
dλ
d2xα
dx β dx γ
dx α
α
f(
+
Γ
=
λ
)
βγ
dλ dλ
dλ
dλ 2
Στην περίπτωση που f (λ ) ≡ 0 η εξίσωση της γεωδαισιακής γίνεται
Du α
≡0 ⇒
dλ
d2xα
dx β dx γ
α
+
Γ
=0
βγ
dλ dλ
dλ 2
(6)
(7)
µε την παράµετρο λ να καλείται αφινική.
Η γεωδαισιακή αποτελεί επέκταση της ευθείας σε καµπύλους χώρους
- Τέλος, αν θεωρήσουµε απειροστό παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε πλευρές
‘µήκους’ dx1 , dx 2 υπολογίζουµε (σε 1η προσέγγιση) πως η παράλληλη
µεταφορά ενός διανύσµατος u α από το Α στο ∆ δίνει διαφορετικό
αποτέλεσµα για τις διαδροµές Α → Β → ∆ ( u α ' ) και Α → Γ → ∆ ( u α ' ' ),
u α '−u a ' ' = R α βγδ ⋅u β dx 1γ dx 2δ . ∆ηλαδή το αποτέλεσµα εξαρτάται από τη
διαδροµή. Λέµε πως ο χώρος είναι καµπύλος και καλούµε το µέγεθος
R a βγδ ≡ −∂ d Γ α βγ + ∂ c Γ α βδ − Γ ε βγ Γ α εδ + Γ ε βδ Γ α εγ
(8)
τανυστή καµπυλότητας ή τανυστή Riemann. Ο τελευταίος ικανοποιεί
για τυχαίο διανυσµατικό πεδίο την ταυτότητα Ricci
∇ γ ∇ β u α − ∇ β ∇ γ u α = − R α δβγ u δ − 2Γ δ [ βγ ]∇ δ u α
(9)
η οποία δηλώνει την µη αντιµεταθετικότητα της συναλλοίωτης
παραγώγου µέσα σε καµπύλους χώρους.
1.2 Γεωµετρία Riemann
Εφοδιάζοντας το χώρο-n µε µια µετρική ds 2 = g αβ dx α dx β µέσω της οποίας
ορίζεται η έννοια της απόστασης µεταξύ σηµείων, ο χώρος καλείται
πλέον χώρος Riemann- R n . Το µέγεθος g αβ = g αβ ( x κ ) καλείται µετρικός
τανυστής είναι συµµετρικός και έχει αντίστροφο τον g αβ : g αβ ⋅ g βγ = δ α γ .
9
Τα g αβ , g αβ έχουν την ιδιότητα αναβίβασης/καταβίβασης δεικτών στους
τανυστές µέσω των σχέσεων Tα β = g γβ Ταγ = g γα Τ γβ , θεωρώντας πλέον τα
β
Ταβ , Τα , Ταβ εκφράσεις ενός και µόνο τανυστή. Ακόµη ορίζουµε το
εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ως u α v α ≡ g αβ u α v β = g αβ u α v β , το οποίο
επεκτείνεται εύκολα για τανυστές ανώτερης τάξης.
Αν επιπλέον υποθέσουµε πως το µέτρο ενός διανύσµατος ( u α u α )
παραµένει σταθερό κατά την παράλληλη µεταφορά του επί τυχαίας
καµπύλης εντός του χώρου Riemann, βρίσκουµε πως ο µετρικός
τανυστής είναι συναλλοίωτα σταθερός
∇ γ g αβ = ∇ γ g αβ ≡ 0
(10)
Η επεξεργασία της τελευταίας µας επιτρέπει να εκφράσουµε τη σύνδεση
και τον τανυστή καµπυλότητας συναρτήσει του µετρικού τανυστή του
χώρου Riemann. Συγκεκριµένα προκύπτει
- Η σύνδεση σε χώρο Riemann παίρνει την έκφραση
Γ α βγ ≡
1 αε
g (∂ γ g εβ + ∂ β g εγ − ∂ ε g βγ )
2
(11)
καλείται σύµβολα Christofell και είναι συµµετρικός τανυστής Γ α [ βγ ] ≡ 0 .
Το τελευταίο καθιστά την ταυτότητα Ricci (9) ως
∇ γ ∇ β u α − ∇ β ∇ γ u α = −R α δβγ u δ
(12)
- Εφαρµόζοντας την (11) στην (8) έχουµε για τον τανυστή καµπυλότητας
Rαβγδ ≡
1
(∂ β ∂ γ g αδ + ∂ α ∂ δ g βγ − ∂ β ∂ δ gαγ − ∂ α ∂ γ g βδ )
2
(13)
Από την παραπάνω έκφραση, πέρα από κάποιες συµµετρίες που
µπορούµε εύκολα να βγάλουµε, µπορούµε να αποδείξουµε και την ισχύ
της λεγόµενης ταυτότητας Bianchi
∇ ε Rαβγδ + ∇ δ Rαβεγ + ∇ γ R αβδε ≡ 0
(14)
Μέσω του τανυστή καµπυλότητας ορίζουµε τα παράγωγα µεγέθη:
Εξαιτίας των συµµετριών του R a βγδ ο µοναδικός τανυστής που παράγεται
µέσω συστολής είναι ο τανυστής Ricci
Rαβ ≡ R γ αγβ = g γδ R δαγβ
(15)
ο οποίος είναι συµµετρικός Rαβ = R βα . Μια επιπλέον συστολή οδηγεί στο
R ≡ R a a = g αβ R βα
(16)
το οποίο καλείται βαθµωτό µέγεθος Ricci. Τώρα, συνδυάζοντας τα δύο
τελευταία ορίζουµε τον τανυστή Einstein ως
1
Gαβ ≡ R αβ - Rg αβ
2
(17)
για τον οποίο αποδεικνύεται µέσω της ταυτότητας Bianchi(14) πως
∇ β G αβ ≡ 0
(18)
10
Τέλος το υπόλοιπο µέρος του τανυστή καµπυλότητας (πέρα του τανυστή
και βαθµωτού Ricci) περιέχεται στον τανυστή Weyl ο οποίος προκύπτει
C αβγδ = R αβγδ -
1
(g αγ Rβδ + g βδ Rαγ − g βγ Rαδ − g αδ Rβγ ) + 1 R( gαγ g βδ − gαδ g βγ ) (19)
2
6
και ικανοποιεί όλες τις συµµετρίες του τανυστή Riemann.
1.3 Παράγωγος Lie-Ισοµετρίες
Σε χώρο Riemann- R n µε σύστηµα συντεταγµένων { x α } ορίζω µια
απεικόνιση του R n στο R n x'α = x α + εξ α , όπου ε << 1 και
ξ α = ξ α ( x β ) τυχόν διανυσµατικό πεδίο, ώστε το σηµείο P(x α ) να
αντιστοιχεί στο P(x'α ) . Ορίζουµε ως Lie-παράγωγο τανυστή Ta β στη
διεύθυνση του ξ α την πράξη
β
β
γ
β
L ξ Τα ≡ ξ γ ∂ γ Τα + Τγ ∂ α ξ γ − Τα ∂ γ ξ β
(20)
Σηµειώνεται πως εξαιτίας της ιδιότητας (10) η Lie-παράγωγος του
µετρικού τανυστή στη διεύθυνση του ξ α µπορεί να γραφτεί ως
L ξ g αβ ≡ ∇ α ξ β + ∇ β ξ α
(21)
Μια απεικόνιση x'α = x α + εξ α καλείται ισοµετρία αν και µόνο αν ισχύει
L ξ g αβ = 0
(22)
α
Το διάνυσµα ξ καλείται τότε διάνυσµα killing µε την ποσότητα
u α ξ α = σταθερή
(23)
κατά µήκος οποιασδήποτε γεωδαισιακής καµπύλης (όπου
u α ≡ εφαπτόµενο διάνυσµα γεωδαισιακής).
1.4 Γενική Θεωρία Σχετικότητας
Θεωρούµε το χωρόχρονο (πολλαπλότητα) ως τετραδιάστατο χώρο
Riemann- R 4 .Μπορούµε να ορίσουµε σε αυτόν ένα σύστηµα
συντεταγµένων {xα } ≡ {x1 , x 2 , x 3 , x 4 } εκ των οποίων η µία θα είναι χρονική
ενώ οι άλλες τρεις χωρικές. Η κίνηση οποιουδήποτε δοκιµαστικού
σωµατιδίου θα περιγράφεται από µια καµπύλη επί του χωρόχρονου.
- Από τη µία η γεωµετρία του χωρόχρονου είναι πλήρως καθορισµένη αν
γνωρίζουµε τον µετρικό τανυστή g aβ = g αβ ( x δ ) και συνεπώς τη µετρική
ds 2 ≡ − dτ 2 = g αβ dx α dx β ως προς ένα σύστηµα συντεταγµένων.
- Από την άλλη θεωρούµε πως ο χωρόχρονος είναι γεµάτος από ύληρευστό µε πυκνότητα ενέργειας- ρ ,ισοτροπική πίεση- P , ροή ενέργειαςq α και ανισοτροπική πίεση- π αβ (ιξώδες) -µεγέθη εξαρτώµενα εν γένει και
11
από τις 4 συντεταγµένες- τα οποία δοµούν τον τανυστή ενέργειας-ορµής
Tαβ ≡ ( ρ + P)u α u β + Pg αβ + (u α q β + q α u β ) + π αβ
(24)
α
α
β
όπου u ≡ u ( x ) : τετραταχύτητα κάθε σηµείου του ρευστού.
Η Γενική Θεωρία Σχετικότητας ορίζει πως το είδος και η κατανοµή της
ύλης ( Tαβ ) καθορίζει την γεωµετρία του χωρόχρονου ( g αβ ), εντός του
οποίου κινείται η ύλη, µέσω των εξισώσεων Einstein:
Gαβ = 8π ⋅ Ταβ
(25)
(Η εξίσωση (25) σε συνδυασµό µε την ιδιότητα(18) οδηγεί φυσικά στη
σχέση ∇ β Ταβ = 0 από την οποία προκύπτουν οι νόµοι διατήρησης. Επίσης
ο συντελεστής ‘4π’ επιλέχθηκε ώστε να έχουµε σωστό αποτέλεσµα στο
νευτώνειο όριο. Τέλος, λήφθηκε µηδενική κοσµολογική σταθερά Λ=0).
Για σωµατίδιο(ή φωτόνιο) κινούµενο εντός του χωρόχρονου έχουµε:
- ∆οκιµαστικό σωµατίδιο που κινείται στο χωρόχρονο διαγράφει
καµπύλη x α = x α ( τ) µε τετραταχύτητα u α = dx α dτ µέτρου u α u α = −1 ,
όπου τ καλείται ιδιόχρονος και είναι ο χρόνος που µετράται από
συνκινούµενο σύστηµα αναφοράς γεωδαισιακό σε κάθε σηµείο. Για
φωτόνιο επειδή ισχύει εξ ορισµού dτ 2 ≡ 0 , η καµπύλη που διαγράφει θα
γράφεται ως προς άλλη παράµετρο x α = x α (σ) και θα έχει τετραταχύτητα
u α = dx α dσ , µέτρου u α u α = 0 .
- Σωµατίδιο ελεύθερο στο χωρόχρονο κινείται κατά µήκος χρονοειδούς
γεωδαισιακής καµπύλης
x α ( τ) ,
d2xα
dx β dx γ
α
+
Γ
=0
βγ
dτ dτ
dτ 2
(26)
Για φωτόνιο η γεωδαισιακή εκφράζεται ως
d2xα
dx β dx γ
α
+
Γ
=0
βγ
dσ dσ
dσ 2
(27)
(θεωρώντας σ: αφινική).
- Σε συµφωνία µε τα εκτεθέντα επί της παραγράφου 1.3 αποδεικνύεται
πως, όταν το g αβ = g αβ ( x δ ) δεν εξαρτάται από µία συγκεκριµένη
συντεταγµένη- x κ τότε υπάρχει διάνυσµα killing ξ α = (0,0,1,0) {το 1
βρίσκεται στην κ-συνιστώσα} ενώ το µέγεθος
uκ ≡ g ακ u α = σταθερά
(28)
αποτελεί διατηρούµενη ποσότητα κατά µήκος της γεωδαισιακής τροχιάς
οποιουδήποτε σωµατιδίου(ή φωτονίου) , όπου u α τετραταχύτητα.
12
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟ
2.1 Ορισµός υπερεπιφάνειας Σ
Στο 4-διάστατο χωρόχρονο(πολλαπλότητα) ορίζουµε ως υπερεπιφάνεια
κάθε 3-διάστατο υπόχωρο αυτού (υποπολλαπλότητα). ∆εδοµένου ενός
συστήµατος συντεταγµένων του χωρόχρονου { x α , α = 1,2,3,4 }, µια
υπερεπιφάνεια-Σ κατασκευάζεται µε την επιβολή µιας σχέσης-δεσµού
µεταξύ των x α
Φ( x α ) = 0
(1)
Ισοδύναµα, η υπερεπιφάνεια µπορεί να ορισθεί µέσα από 4 παραµετρικές
εξισώσεις
x α = x α ( y a ) ,α=1,2,3,4
(2)
όπου
{y a } ≡ y1 , y 2 , y 3
(3)
είναι
αυθαίρετα
ορισµένες
εσωτερικές
συντεταγµένες
της
υπερεπιφάνειας. Με την τελευταία θεώρηση ορίζονται και τα 3
διανύσµατα βάσης της υπερεπιφάνειας-Σ ως
dx a
e ≡ a µε a=1,2,3
dy
a
a
(4)
Τα διανύσµατα eaα έχουν µεν τέσσερις συνιστώσες αλλά ανήκουν εξ
ολοκλήρου στην υπερεπιφάνεια µιας και ορίστηκαν εφαπτόµενα σε αυτή.
∆εδοµένης της υπερεπιφάνειας-Σ αναζητούµε µια έκφραση για το κάθετο
διάνυσµα- k α σε κάθε σηµείο της. Αυτό θα πρέπει να είναι κάθετο στα
διανύσµατα βάσης, δηλαδή kα ⋅ e αb = 0 . Παρατηρώντας πως επί της Σ
ισχύει
Φ = 0 ⇒ ∂Φ ∂y b = 0 ⇒ (∂Φ ∂x α ) (∂x α ∂y b ) = 0 ⇒ (∂Φ ∂x α ) e αb = 0 ,
ορίζουµε ως κάθετο διάνυσµα επί της υπερεπιφάνειας το
k a ≡ ±∂ a Φ
(5)
Το ποιο από τα δύο θα επιλέξουµε είναι θέµα σύµβασης: συνήθως
θεωρούµε πως το k α κατευθύνεται στην κατεύθυνση αύξηση της
συνάρτησης Φ( x α ) , δηλαδή ικανοποιεί τη σχέση k α ⋅ ∂ a Φ > 0 .
Η υπερεπιφάνεια Σ καλείται χρονοειδής/ χωροειδής/ φωτοειδής όταν το
κάθετο διάνυσµα σε κάθε σηµείο της είναι χωροειδές( k α k α > 0 )/
χρονοειδές( k α k α < 0 )/ φωτοειδές( k α k α = 0 ).
(6)
13
Τέλος, για την περίπτωση των χρονοειδών/χωροειδών υπερεπιφανειών
µπορούµε να ορίσουµε το χωροειδές/ χρονοειδές µοναδιαίο κάθετο
διάνυσµα- n α ( n α n α = ε µε ε = ±1 αντίστοιχα). Το τελευταίο σύµφωνα και
µε τη σύµβαση n α ⋅ ∂ a Φ > 0 ορίζεται ως
nα ≡
ε∂ α Φ
g βγ ∂ β Φ∂ γ Φ
12
(7)
Σηµειωτέον πως δεν µπορούµε να ορίσουµε µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα
επί φωτοειδούς υπερεπιφάνειας µιας και το κάθετο επί αυτής διάνυσµα
διαθέτει εξ ορισµού µηδενικό µέτρο.
Σχήµα 1: Υπερεπιφάνεια-Σ εντός του χωρόχρονου
Σηµείωση1: ∆είκτης µε αγγλικό γράµµα θα παίρνει τιµές 1,2,3 ενώ
δείκτης µε ελληνικό γράµµα θα παίρνει τιµές 1,2,3,4.
Σηµείωση2: Σε όσα ακολουθούν θα αναφερόµαστε αποκλειστικά σε
χρονοειδέις/χωροειδείς
υπερεπιφάνειες.
Με
τις
φωτοειδείς
υπερεπιφάνειες θα ασχοληθούµε σε µεταγενέστερο ξεχωριστό κεφάλαιο.
2.2 Εσωτερική µετρική της Σ
∆εδοµένης της υπερεπιφάνειας-Σ, εκφράζουµε το γραµµικό στοιχείο του
χωρόχρονου ds 2 = g αβ dx α dx β για µετατοπίσεις περιορισµένες επί της Σ.
Γίνεται ds Σ 2 = g αβ (∂x α ∂ y a )dy a (∂x β ∂ y b )dy b = (g αβ eaα e βb )dy a dy b . Εποµένως,
θεωρώντας την υπερεπιφάνεια Σ ως αυτόνοµο υποχώρο του χωρόχρονου,
ορίζουµε το γραµµικό στοιχείο της Σ το
2
ds Σ = (g αβ eaα e βb )dy a dy b
(8)
καλώντας εσωτερικό µετρικό τανυστή το µέγεθος
hab = g αβ eaα e βb
(9)
14
Μπορούµε εύκολα να επιβεβαιώσουµε πως το µέγεθος hab είναι βαθµωτό
πεδίο για τον 4-D χωρόχρονο (µιας και η τιµή του σε κάποιο σηµείο επί
της Σ θα παραµείνει ίδια κάτω από µια αλλαγή χωροχρονικών
συντεταγµένων{ x a } → { x' a }). Από την άλλη το hab µετασχηµατίζεται ως
τανυστής κατά την αλλαγή των εσωτερικών συντεταγµένων
{ y a } → { y ' a } του 3-D υποχώρου που ορίζει η Σ. Έτσι το hab καθώς και
κάθε άλλο µέγεθος µε αυτή την ιδιότητα καλείται 3-τανυστής.
Προφανώς εφόσον ο 3-τανυστής hab είναι ο µετρικός τανυστής του
εσωτερικού χώρου Σ, ορίζεται (σε πλήρη αντιστοιχία µε την g αβ ) ο
αντίστροφος εσωτερικός µετρικός 3-τανυστής h ab µέσα από τη σχέση
h ab hbc ≡ δ a c . Τα hab , h ab (όντας τα ακριβώς αντίστοιχα των g αβ , g aβ επί της
Σ) έχουν την ιδιότητα αναβίβασης/καταβίβασης δεικτών των 3τανυστών.
Έχοντας στη διάθεση µας, επί της υπερεπιφάνειας Σ, µια βάση για το
χωρόχρονο e1a , e2a , e3a , n α είµαστε σε θέση να εκφράσουµε τον µετρικό
τανυστή g αβ συναρτήσει των εσωτερικών γινοµένων αυτών. Πράγµατι οι
εκ κατασκευής απαιτήσεις n α n α = ε , kα ⋅ e αb = 0 και hab = g αβ eaα e βb οδηγούν
στη µοναδική µορφή για το g αβ
g αβ = ε ⋅ n α n β + h ab eaα e βb
(10)
µε το ε=+1 να αναφέρεται σε χρονοειδή Σ ενώ το ε=-1 σε χωροειδή Σ.
Έτσι, έχουµε διαχωρισµό του µετρικού τανυστή σε µια εφαπτόµενη
h αβ ≡ h ab eaα ebβ
(11)
α β
και σε µια κάθετη ε ⋅ n n συνιστώσα επί της υπερεπιφάνειας Σ.
2.3 Εφαπτόµενα τανυστικά πεδία επί της Σ
Για να έχουµε ένα εφαπτοµενικό τανυστικό πεδίο επί της υπερεπιφάνειας
Σ (όπου eaα διανύσµατα βάσης της Σ) πρέπει να έχει τη µορφή
T αβ .. ≡ Τ ab.. eaα ⋅ e βb ⋅ ..
(12)
έτσι ώστε να είναι εξ ορισµού κάθετο στο n α (πράγµατι επιβεβαιώνουµε
µέσω της παραπάνω σχέσης πως θα είναι Ταβ .. n α = Ταβ n β = ... = 0 ). Πως θα
ορίσουµε όµως την προβολή ενός τυχαίου τανυστή T αβ .. επί της Σ, ώστε
να λάβουµε την καθαρά εφαπτοµενική συνιστώσα αυτού; Όπως είδαµε η
εφαπτοµενική συνιστώσα του g αβ είναι η h αβ ≡ h ab eaα ebβ . Μπορούµε να
επιβεβαιώσουµε πως καταλήγουµε από την g αβ στην h αβ µέσω της
πράξης h αβ = h α µ h βν g µν . Για το λόγο αυτό το h αβ καλείται τανυστής
15
προβολής επί της Σ και γενικεύουµε τη διαδικασία της προβολής τανυστή
επί της Σ ως
T aβ .. (εφαπτ ) ≡ h α µ h βν Τ µν ..
(13)
Τώρα παρατηρούµε πως κάθε εφαπτοµενικό τανυστικό πεδίο T αβ ..
αντιστοιχεί σε έναν 3-τανυστή Τ ab.. µέσω της σχέσης (12). Πως όµως θα
το εφαπτοµενικό
υπολογίσουµε τον 3-τανυστή Τ ab.. γνωρίζοντας
αβ ..
τανυστικό
πεδίο
T ;
Μετά
από
τις
πράξεις
mn ..
λ
λ
mn..
λκ .. α β
Tab.. = ham hbn ...T
= (eaλ em )(eaλ em )...T
= ( g αλ g βκ ...)Τ e a e b ... έχουµε
Τab... ≡ Tαβ ... e αa e βb ...
(14)
2.4 Εσωτερική συναλλοίωτη παράγωγος
Θεωρούµε ένα εφαπτόµενο επί της Σ διανυσµατικό πεδίο A a ( εξ
ορισµού ισχύει A a na = 0, A a = A a e αa , Α a = Aa e αa ). Αντιστοιχίζουµε στη
συναλλοίωτη παράγωγο ∇ β Α α επί του χωρόχρονου έναν 3-τανυστή, τον
οποίο ονοµάζουµε εσωτερική συναλλοίωτη παράγωγο, µέσω της σχέσης
Db Aa ≡ ∇ β Α α ⋅ eaα ebβ
(15)
Αναπτύσσοντας την προηγούµενη βρίσκουµε πως
Db Aa ≡ ∂ b Aa − Γcab A c
(16)
όπου Γcab ≡ ecγ (∇ β e aγ )e βb .
Συνεχίζοντας βρίσκουµε πως
Dc hab ≡ (∇ γ h αβ )e αa e βb e cγ = ... = 0
(17)
και από αυτή, µε ανάπτυξη της Dc hab στη µορφή της (16) έχουµε
∂ c hab − Γ m ac hmb − Γ m bc ham = 0
(18)
Από τη (18) µε πραγµατοποίηση κυκλικών εναλλαγών έχουµε πως
Γcab ≡
1
(∂ b hca + ∂ a hcb − hab )
2
(19)
Την οποία καλούµε εσωτερική σύνδεση στον υποχώρο της Σ.
Οι σχέσεις (18),(19) και (16) έρχονται να επιβεβαιώσουν πλήρως το ρόλο
που αναθέσαµε στον 3-τανυστή hab ως µετρικού τανυστή του εσωτερικού
υποχώρου της υπερεπιφάνειας Σ (σε πλήρη αναλογία µε τις σχέσεις
(10),(11) και (2) του Κεφαλαίου 1 για τον 4-D χωρόχρονο).
Συµπεραίνουµε: η εσωτερική συναλλοίωτη παράγωγος-(15) ενός
εφαπτόµενου δανειστικού πεδίου T αβ .. επί της Σ ταυτίζεται µε την
απευθείας συναλλοίωτη παράγωγο-(16) του αντίστοιχου 3-τανυστη Τ ab..
στο 3-D αυτόνοµο υποχώρο της υπερεπιφάνειας Σ.
16
2.5 Εξωτερική καµπυλότητα της Σ
Αν θεωρήσουµε το Db Aa ≡ ∇ β Α α eaα ebβ ως την εφαπτοµενική συνιστώσα
του διανύσµατος (∇ β Α a )ebβ (υποθέτουµε κι εδώ πως A a ≡ εφαπτοµενικό),
αναρωτιόµαστε ποια είναι η κάθετη συνιστώσα αυτού. Αναπτύσσοντας
κατάλληλα την (∇ β Α a )ebβ = g a µ (∇ β Α µ )ebβ = ...( Α µ n µ ) = ... έχουµε πως
(∇ β Α a )ebβ ≡ Db A a ⋅ eaα − εΑ a Κ ab n a
(20)
Ο 3-τανυστής K ab καλείται εξωτερική καµπυλότητα της Σ και ορίζεται ως
K ab ≡ (∇ β n a )eaα ebβ
(21)
Ακόµη υπολογίζουµε το ίχνος του K ab ως K ≡ K a b = h ab K ab = g aβ ∇ β n α ⇒
Κ ≡ ∇an α
(22)
a
Επιπλέον, αντικαθιστώντας το διάνυσµα βάσης στη σχέση (20), A ≡ eaα ,
προκύπτει η ταυτοτική σχέση ∇ β ε aα = Γ c ab eaα − εΚ ab n a , ενώ δεχόµενοι
ακόµη ότι τα διανύσµατα βάσης της Σ είναι Lie µεταφερόµενα ,
συνεπάγεται πως (∇ β e αa )e βb = (∇ β e αb )e βa . Εφαρµόζοντας αυτά στη σχέση
(21) βρίσκουµε πως η εξωτερική καµπυλότητα είναι συµµετρική
K ab = K ba
(23)
Εκµεταλλευόµενοι τη συµµετρία γράφουµε την K ab ως K ab = ( K ab + K ba ) / 2
= ∇ ( β n α) e αa e βb , η οποία σε αντιπαραβολή µε την (21) του Κεφαλαίου 1 δίνει
µια εναλλακτική έκφραση για την εξωτερική καµπυλότητα της Σ
K ab ≡
1
( Ln g αβ )eaα ebβ
2
(24)
Παρατηρούµε πως η εξωτερική καµπυλότητα της Σ σχετίζεται άµεσα µε
την Lie παράγωγο, του µετρικού τανυστή του χωρόχρονου επί των
σηµείων της υπερεπιφάνειας Σ, σε διεύθυνση κάθετη στην
υπερεπιφάνεια. Σχετίζεται δηλαδή µε την εγκάρσια παράγωγο του g aβ
πάνω στην υπερεπιφάνεια Σ. Μπορούµε να πούµε πως η εξωτερική
καµπυλότητα της Σ εκφράζει ποιοτικά τη µεταβολή της γεωµετρίας του
χωρόχρονου καθώς µεταβαίνουµε από την µία περιοχή στην άλλη
διαµέσου της διαχωριστικής υπερεπιφάνειας Σ.
Καταληκτικά, η K ab εκφράζει το πώς είναι προσαρµοσµένη η 3-D
υπερεπιφάνεια εντός του 4-D χωρόχρονου που την περιβάλλει.
Από την άλλη υπενθυµίζουµε πως το hαβ παίζει το ρόλο του µετρικού
τανυστή για τον αυτόνοµο 3-D υποχώρο που ορίζει η υπερεπιφάνεια Σ
και συνεπώς καθορίζει πλήρως την εσωτερική γεωµετρία της Σ.
17
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΠΙ
ΧΩΡΟΕΙ∆ΩΝ/ΧΡΟΝΟΕΙ∆ΩΝ ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ
ΧΩΡΟΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΛΕΠΤΟΙ ΦΛΟΙΟΙ ΥΛΗΣ
3.1 Το πρόβληµα
Θεωρούµε το χωρόχρονο χωρισµένο σε δύο περιοχές V − και V + , µε µια
υπερεπιφάνεια-Σ να αποτελεί το σύνορο µεταξύ τους. Προφανώς ο
χωρόχρονος θα διαθέτει ένα µετρικό τανυστή g αβ ορισµένο σε κάθε
−
−
σηµείο αυτού. Ο µετρικός τανυστής θα ισούται µε g αβ
≡ g αβ
( x δ- ) εντός της
περιοχής V − (όπου { x −δ } ένα σύστηµα συντεταγµένων της περιοχή V − )
ενώ µε g αβ+ ≡ g αβ+ ( x δ+ ) εντός της περιοχής V + (όπου { x +δ } ένα σύστηµα
συντεταγµένων της περιοχή V + ). Εν γένει δεν γίνεται να εφοδιάσουµε
όλο το χωρόχρονο µε ένα κοινό σύστηµα συντεταγµένων(µιας και οι
περιοχές V − , V + µπορεί να έχουν εκ κατασκευής διαφορετική γεωµετρία),
έτσι ισχύει { x −δ } ≠ { x +δ }.
Από την άλλη το g αβ , όντας λύση των εξισώσεων Einstein, έχει την
υποχρέωση να αποτελεί µια έγκυρη λύση αυτών µε την έννοια ότι η g αβ
(καθώς και οποιοδήποτε άλλο παράγωγο αυτής τανυστικό µέγεθος) δεν
εµφανίζει ανωµαλία σε κανένα σηµείο του χωρόχρονου. Ανωµαλία
σηµαίνει είτε απροσδιοριστία είτε απειρισµό του εκάστοτε µεγέθους.
Αναφερόµενοι λοιπόν στα σηµεία της διαχωριστικής υπερεπιφάνειας-Σ:
- Θα αναζητήσουµε τις συνθήκες που πρέπει να πληροί το g αβ (ή
παράγωγο µέγεθος) επί της Σ ώστε να µην εµφανίζεται ανωµαλία εκεί
(συνοριακές συνθήκες).
- Σε περίπτωση που εκ κατασκευής εµφανίζεται ανωµαλία επί της Σ, θα
επιχειρήσουµε να της προσδώσουµε κάποιο φυσικό νόηµα (λεπτός
φλοιός ύλης).
+
Μάλιστα, εφόσον οι µετρικοί τανυστές g αβ− , g αβ
δεν µπορούν να
συγκριθούν ευθέως επί των σηµείων της Σ (αφού εν γένει { x −δ } ≠ { x +δ }),
θα επιδιώξουµε να εκφράσουµε τα αποτελέσµατα µας σε όρους που
έχουν να κάνουν µε τον εσωτερικό 3-D υποχώρο της υπερεπιφάνειας
δηλαδή µε 3-τανυστές επί της Σ.
18
3.2 Ο µετρικός τανυστής σε κλαδωτή µορφή
Για τη δεδοµένη διαχωριστική υπερεπιφάνεια-Σ:
- Θεωρούµε ένα αυθαίρετο σύστηµα εσωτερικών συντεταγµένων{ y a }, το
οποίο δεχόµαστε πως είναι το ίδιο και από τις δύο ‘πλευρές’ της Σ, και
θεωρούµε κατά σύµβαση το κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα µε κατεύθυνση
από την περιοχή V − προς την V + .
- Αρχικά υποθέτουµε πως υπάρχει ένα κοινό σύστηµα συντεταγµένων
{ x α }( ≠ { x ±α }) του χωρόχρονου για µια ‘µικρή’ περιοχή αυτού
εκατέρωθεν της υπερεπιφάνειας-γειτονιά της Σ (η υπόθεση αυτή θα
αγνοηθεί στη πορεία).
Τώρα προκειµένου να µπορούµε να εντοπίσουµε κάθε σηµείο της
υπερεπιφάνειας µέσα στο χωρόχρονο, θεωρούµε µια οικογένεια µη
τεµνόµενων γεωδαισιακών καµπυλών οι οποίες περνώντας διαµέσου της
Σ την τέµνουν κάθετα. Κάθε µια περνά από µοναδικό σηµείο της Σ και
περιγράφεται µε µοναδικό τρόπο (στη γειτονιά της Σ) από τέσσερις
παραµετρικές εξισώσεις x α = x α (ℓ) . Ως ℓ διαλέγουµε τη φυσική
παράµετρο της γεωδαισιακής , ρυθµίζοντας την έτσι ώστε για ℓ = 0
κάθε καµπύλη να τέµνει την υπερεπιφάνεια Σ ενώ για ℓ < 0 ( ℓ > 0 ) να
βρισκόµαστε στην περιοχή V − ( V + ). Ουσιαστικά µπορούµε να
θεωρήσουµε το ℓ = ℓ( x α ) ως ένα βαθµωτό πεδίο ορισµένο στη γειτονιά
της Σ, η τιµή του οποίου καθορίζει προς ποια περιοχή και πόσο ‘µακριά’
βρίσκεται ένα σηµείο από την Σ µέσω της µοναδικής γεωδαισιακής
καµπύλης που το ενώνει µε αυτή.
Άµεση συνέπεια είναι πως το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα επί της Σ
ταυτίζεται µε το µοναδιαίο εφαπτόµενο διάνυσµα των γεωδαισιακών εκεί
dx α
dx α
n ≡
=
dℓ ℓ =0
dℓ
α
(1)
ενώ για να ισχύει η n α n α = ε προκύπτει για τις συναλλοίωτες συνιστώσες
nα ≡ ε
∂ℓ
∂ℓ
=ε α
α
∂x Σ
∂x
(2)
όπου το ε = ±1 αναφέρεται σε χρονοειδή/χωροειδή υπερεπιφάνεια Σ.
Σηµειώνουµε ακόµη πως στην περίπτωση χωροειδούς Σ οι γεωδαιτικές
είναι χρονοειδείς και αντιπροσωπεύουν τις κοσµικές γραµµές µιας
οικογένειας εν δυνάµει παρατηρητών οι οποίοι διασχίζουν την Σ, το ℓ
στην περίπτωση αυτή είναι ο ιδιόχρονος του κάθε παρατηρητή. Για
χρονοειδή Σ οι γεωδαιτικές είναι χωροειδείς και δεν µπορούν να
εκφράζουν τις κοσµικές γραµµές παρατηρητών, εδώ το ℓ εκφράζει το
ίδιον µήκος των γεωδαιτικών.
19
Σχήµα 2: ∆ιαχωρισµός του χωρόχρονου σε δύο περιοχές
Είµαστε τώρα σε θέση να εκφράσουµε το g αβ στη γειτονιά της Σ (ως
προς κοινές συντεταγµένες { x α }) σε µορφή κλαδωτού τανυστή
+
g αβ = Θ(−ℓ) ⋅ g -αβ + Θ(ℓ) ⋅ g αβ
(3)
όπου Θ(ℓ) η βηµατική συνάρτηση
Θ(ℓ) ≡ 1(ℓ > 0),−1(ℓ < 0), απροσδιορι στο (ℓ = 0)
(4)
µε τις γνωστές ιδιότητες Θ 2 (ℓ) = Θ(ℓ) , Θ(ℓ)Θ(−ℓ) = 0 , dΘ dℓ = δ (ℓ) και
δ (ℓ) η επίσης γνωστή συνάρτηση-δ.
Προτού συνεχίσουµε θα πρέπει να ορίσουµε ως κλαδωτό τανυστή, κάθε
τανυστή
ο οποίος γράφεται ως άθροισµα όρων που περιέχουν
συναρτήσεις Θ(ℓ) ή δ (ℓ) .Επιπλέον ένας κλαδωτός τανυστής-Τ καλείται
έγκυρα κλαδωτός όταν
lim ℓ→ 0 T = (πεπερασµένο/ ± ∞ ) και lim ℓ→ 0 T = (πεπερασµένο/ ± ∞ )
(5)
∆ηλαδή δεν πρέπει να έχουµε απροσδιοριστία του Τ για ℓ = 0 . Για
παράδειγµα αν ένας τανυστής περιέχει όρο µε το γινόµενο Θ(ℓ) δ (ℓ) ,
τότε δεν είναι έγκυρα κλαδωτός αφού εµφανίζει απροσδιοριστία για ℓ = 0
−
+
Επιστρέφοντας στην έκφραση (3) παρατηρούµε πως ο µετρικός τανυστής
-παίρνει διαφορετική τιµή επί της Σ και οριακά εκατέρωθεν αυτής (αφού
εν γένει lim ℓ→ 0 g aβ ≠ lim ℓ→ 0 g αβ ).
-είναι έγκυρα κλαδωτός µιας και τα επιµέρους όρια δεν είναι
απροσδιόριστα.
−
+
20
Επειδή παρακάτω θα χρειαστεί να συγκρίνουµε τις τιµές τανυστών
εκατέρωθεν της Σ είναι χρήσιµο να ορίσουµε το άλµα του τανυστή-Τ ως
[T ] ≡ T (ℓ → 0 + ) − T (ℓ → 0 − )
(6)
a
α
α
Έτσι, για παράδειγµα, επειδή n ≡ dx dℓ (µε x και ℓ συνεχή δια µέσου
της Σ) και eaα ≡ ∂x α ∂y a (µε x a συνεχή και y a κοινές στις δυο πλευρές της
Σ), έχουµε εκ κατασκευής πως
[n a ] = [eaα ] = 0
(7)
3.3 Συνοριακές συνθήκες επί της Σ
Επειδή όλες οι πληροφορίες για το χωρόχρονο περιλαµβάνονται στον
τανυστή καµπυλότητας R αβγδ , συµπεραίνουµε πως προκειµένου να
εξασφαλίσουµε την οµαλότητα του χωρόχρονου επί της Σ αρκεί να
απαιτήσουµε ο R αβγδ να είναι τέτοιος ώστε καταρχήν να µην εµφανίζει
απροσδιοριστία (έγκυρα κλαδωτός) και σε δεύτερη φάση να µην
απειρίζεται επί της Σ. Ξεκινώντας λοιπόν από την έκφραση (3) για το
g αβ θα κατασκευάσουµε σταδιακά τον R αβγδ µε την απαίτηση να είναι
οµαλός, κάτι που θα µας οδηγήσει σε κατάλληλες συνοριακές συνθήκες
επί της Σ.
3.3.1 Η 1η συνοριακή συνθήκη
Από
την
παραγώγιση
(3) βρίσκουµε πως
∂ γ g αβ = Θ(ℓ)∂ γ g + Θ(-ℓ)∂ γ g + ∂ γ ℓ(g − g )δ (ℓ) , και µέσω της (2) γίνεται
+
−
∂ γ g αβ = Θ(ℓ)∂ γ g αβ
+ Θ(-ℓ)∂ γ g αβ
+ δ (ℓ) ⋅ ε ⋅ n γ [g αβ ]
(8)
Το µέγεθος αυτό εµφανίζει απειρισµό στην Σ (για ℓ = 0 ), παρόλα αυτά
είναι έγκυρα κλαδωτό και µπορούµε να το αποδεχθούµε. Όταν όµως στη
συνέχεια το χρησιµοποιήσουµε για να εκφράσουµε τα σύµβολα
Christofell- Γα βγ µέσα από τον τύπο (11) του Κεφ-1, θα προκύψουν στην
κλαδωτή της έκφραση όροι που περιέχουν και το γινόµενο Θ(ℓ) ⋅ δ (ℓ) .
Κάτι τέτοιο θα καθιστούσε το Γα βγ και κατόπιν το R αβγδ απροσδιόριστο
επί της Σ. Για το λόγο αυτό, θα εξαλείψουµε το απειρίζοντα όρο της
σχέσης (8) απαιτώντας
[gαβ ] ≡ 0
(9)
α
(πάντα ως προς το κοινό σύστηµα συντεταγµένων {x } ).
Τώρα για να απαλλάξουµε τη συνθήκη από το κοινό σύστηµα {x α } , τη
µεταφράζουµε σε όρους σχετικούς µε τις εσωτερικές συντεταγµένες της
Σ ως [g αβ ] = 0 ⇔ [g αβ ]eaα e βb = 0 ⇔ [g αβ eaα e βb ] = 0 µέσω της σχέσης (7).
+
αβ
−
αβ
της
σχέσης
+
αβ
αβ
21
Έχουµε λοιπόν την 1η συνοριακή συνθήκη που ισχύει πάντα επί της Σ
[hab ] ≡ 0
(10)
η οποία δηλώνει πως η εσωτερική µετρική πρέπει να είναι ίδια και επί
των δύο πλευρών της διαχωριστικής υπερεπιφάνειας Σ.
* Αν υπάρχει όντως κοινό σύστηµα συντεταγµένων στη γειτονιά της Σ, η
παραπάνω συνθήκη εκφράζει (σχέση (9)) την απαίτηση της συνέχειας
του µετρικού τανυστή- g αβ περνώντας από τη µία περιοχή στην άλλη.
3.3.2 Η 2η συνοριακή συνθήκη
Με την επιβολή της 1ης συνθήκης η σχέση (8) χάνει τον δ (ℓ) -όρο της.
Έτσι, µε εφαρµογή στον τύπο (11) του Κεφ-1 , υπολογίζουµε το Γα βγ ως
+
−
Γ α βγ = Θ(ℓ) ⋅ Γ α βγ + Θ(ℓ) ⋅ Γ α βγ
(11)
+
−
όπου Γ α βγ ( x α ), Γ α βγ ( x α ) τα σύµβολα Christofell όπως υπολογίζονται στις
+
−
, g αβ
.
περιοχές V + , V - µε χρήση του αντίστοιχου µετρικού τανυστή g αβ
Παραγωγίζοντας ακόµη µια φορά και χρησιµοποιώντας την (2) έχουµε
+
−
∂ δ Γ α βγ = Θ(ℓ) ⋅ ∂ δ Γ α βγ + Θ(ℓ) ⋅ ∂ δ Γ α βγ + εδ (ℓ)[Γ α βγ ]n δ
(12)
a
Τέλος, εφαρµόζοντας τις (11) και (12) στον ορισµό του R βγδ (σχέση (8)
Κεφ-1) και µετά από τετριµµένες πράξεις και ανακατατάξεις όρων
βρίσκουµε τον τανυστή καµπυλότητας σε κλαδωτή µορφή
+
−
R a βγδ ≡ Θ(ℓ) ⋅ R a αβγ + Θ(−ℓ) ⋅ R a αβγ + δ (ℓ) ⋅ Αα βγδ
(13)
+
−
όπου R a αβγ , R a αβγ οι τανυστές καµπυλότητας όπως υπολογίζονται στις
+
−
περιοχές V + , V - µε χρήση του αντίστοιχου µετρικού τανυστή g αβ
, g αβ
, ενώ
A a βγδ ≡ ε ([Γ α βδ ]⋅ n γ − [Γ α βγ ]⋅ n δ )
(14)
όντας τανυστής καθώς η διαφορά 2 συµβόλων Christofell είναι τανυστής.
Παρατηρούµε πως ο τανυστής καµπυλότητας που προέκυψε απειρίζεται
επί της Σ εξαιτίας του δ-όρου που διαθέτει. Για να εξαλείψουµε τον
απειρίζοντα όρο επιβάλουµε τη συνοριακή συνθήκη
A a βγδ ≡ 0
(15)
Από την άλλη γνωρίζουµε πως ο R a βγδ περιγράφεται πλήρως µέσω δύο
ανεξάρτητων µεταξύ τους τανυστές:
- τον τανυστή Ricci- Raβ (σχέση (15) Κεφ-1), ο οποίος µπορεί να
1
2
εκπροσωπηθεί ισοδύναµα και από τον τανυστή Einstein Gαβ ≡ R αβ - Rg αβ
- τον τανυστή Weil- Cαβγδ (σχέση (19) Κεφ-1)
22
Αντικαθιστώντας το R a βγδ της (13) στις δύο προαναφερθείσες βρίσκουµε
-τον τανυστή Einstein σε κλαδωτή µορφή
+
Σ
Gaβ = Θ(ℓ) ⋅ G αβ
+ Θ(−ℓ) ⋅ G -αβ + δ (ℓ) ⋅ G αβ
(16)
Σ
όπου
G αβ
≡ Α αβ − (1 2) ⋅ Α ⋅ g αβ
(17)
µε τα Aaβ , Α να δίνονται από τις συστολές του τανυστή της σχέσης (14).
- Μια αντίστοιχη (πολύ πιο µακροσκελής) κλαδωτή έκφραση του
τανυστή Weyl.
Με τον παραπάνω διαχωρισµό η µία συνθήκη εξάλειψης του απειρισµού
της R a βγδ (σχέση (15)), θα αναχθεί σε δύο επιµέρους συνθήκες εξάλειψης
των δ-όρων που εµφανίζουν οι Gaβ και Cαβγδ . Αποδεικνύεται όµως πως ο
κλαδωτός Cαβγδ δεν διαθέτει δ-όρο και συνεπώς δεν επιφέρει επιβολή
κάποιας επιµέρους συνοριακής συνθήκης επί της υπερεπιφάνειας Σ.
Τελικά η συνθήκη εξάλειψης του απειρισµού της R a βγδ ισοδυναµεί µε τη
συνθήκη εξάλειψης του απειρισµού της Gaβ , δηλαδή
Σ
G αβ
≡ Α αβ − (1 2) ⋅ Α ⋅ g αβ = 0
(18)
α
(πάντα ως προς το κοινό σύστηµα συντεταγµένων {x } ).
Τώρα για να απαλλάξουµε και τη 2η συνθήκη από το κοινό σύστηµα
{x α } , θα τη µεταφράσουµε σε όρους σχετικούς µε τις εσωτερικές
συντεταγµένες της Σ. Αυτό θα γίνει ως εξής:
Ξεκινάµε µε την παρατήρηση ότι η ισχύς της 1ης συνθήκης [gαβ ] ≡ 0 ,
επιβάλλει πως, µιλώντας για µετατοπίσεις εντός της Σ, η g aβ
µεταβάλλεται µε τον ίδιο τρόπο επάνω στις δυο ‘πλευρές’ της Σ. Αυτό
σηµαίνει πως η προβολή επί της Σ οποιασδήποτε παραγώγου της
g aβ πρέπει να µην παρουσιάζει ασυνέχεια εκατέρωθεν της Σ. Κατά
συνέπεια, το άλµα της ∂ γ g αβ µπορεί να είναι παράλληλο µόνο στο nγ
[∂ γ g αβ ] ≡ λ αβ ⋅ n γ
(19)
από το οποίο προκύπτει πως
α
λ αβ ≡ ε ⋅ [∂ γ g αβ ]⋅ n γ µε λ ≡ λα
(20)
Στη συνέχεια αντικαθιστώντας την (19) στις εκφράσεις για το άλµα των
συµβόλων Christofell, πραγµατοποιώντας τις κατάλληλες συστολές για
να παράγουµε τα Aαβ , Α και αντικαθιστώντας στον τύπο (17) έχουµε πως
Σ
Gαβ
≡ (ε 2 ){λ µα n µ n β + λ µβ n µ n α - λn α n β - ελ αβ - (λ µν n µ n ν - ελ )g αβ }
(21)
Σ
Εύκολα συµπεραίνουµε πως το G αβ
είναι κάθετο στο n α , πράγµα που
σηµαίνει πως είναι εφαπτόµενο επί της Σ και γράφεται ως
ab
α β
G αβ
(22)
Σ ≡ G Σ ⋅ ea e b
Με τον 3-τανυστή στον οποίο αντιστοιχεί να ορίζεται από τον τύπο
Σ
Σ
G ab
≡ G αβ
⋅ eaα eβb
(23)
23
Αντικαθιστώντας λοιπόν την (21) στην (23) έχουµε
(
)
1
- λ αβ e αa e βb + h mn λ µν e µm e nν h ab
(24)
2
Από την άλλη έχουµε πως ∇ β n α ≡ − Γ γ αβ ⋅ n γ που µε αντικατάσταση της
GaΣb ≡
] [
[
]
[∇ β n α ] = (1 2) {ε ⋅ λαβ − λγα n β n γ − λγβ n α n γ }. Αντικαθιστώντας
(20) γίνεται
αυτή στον ορισµό της εξωτερικής καµπυλότητας(σχέση (21) Κεφ-2) της
Σ καταλήγουµε σε µια έκφραση για το άλµα αυτής επί της Σ
[K ab ] ≡ ε ⋅ λαβ ⋅ eαa eβb
2
(25)
Τελικά εφαρµόζοντας την (25) στην (24) είναι εύκολο να δει κανείς πως
το G abΣ εκφράζεται συναρτήσει εσωτερικών 3-τανυστών ως
GabΣ ≡ −ε ⋅ ([Κ ab ] − [K ] ⋅ hab )
(26)
όπου προφανώς το K υπολογίζεται ως K ≡ K b b = h ab K ab .
Σ
≡ 0 επί της Σ ισοδυναµεί µε τη συνθήκη
Τώρα η συνθήκη G αβ
Σ
G ab
≡ 0 .Ακόµη εφαρµόζοντας σε αυτή τη σχέση (26) καταλήγουµε στην
η
2 συνοριακή συνθήκη που ισχύει επί της Σ
[K ab ] ≡ 0
(27)
η οποία δηλώνει πως η εξωτερική καµπυλότητα πρέπει να είναι ίδια και
επί των δύο πλευρών της διαχωριστικής υπερεπιφάνειας Σ.
* Αν υπάρχει όντως κοινό σύστηµα συντεταγµένων στη γειτονιά της Σ, η
παραπάνω συνθήκη εκφράζει (σχέσεις (25) ⇒ (19)) την απαίτηση της
συνέχειας των πρώτων µερικών παραγώγων του µετρικού τανυστή- ∂ γ g αβ
περνώντας από τη µία περιοχή στην άλλη.
3.4 Επιφανειακός τανυστής ενέργειας-ορµής
Βρήκαµε παραπάνω ποιες δύο συνθήκες πρέπει να ικανοποιούνται ώστε
να εξασφαλίζεται η οµαλότητα του τανυστή καµπυλότητας επί της
διαχωριστικής επιφάνειας Σ µέσα στον 4-D χωρόχρονο. Τώρα θα
εξετάσουµε αν µπορεί να δοθεί κάποιο φυσικό νόηµα στην περίπτωση
ανωµαλίας του τανυστή καµπυλότητας επί της Σ.
Κατ’ αρχήν, στην ανωµαλία απροσδιοριστίας του Rαβγδ επί της Σ δεν
µπορούµε να δώσουµε φυσικό περιεχόµενο για το λόγο ότι είναι αδύνατο
να διαχειριστούµε µαθηµατικά ένα µέγεθος το οποίο έχει απροσδιόριστη
τιµή. Έτσι, συµπεραίνουµε πως
Η απροσδιοριστία του Rαβγδ επί της Σ δεν έχει φυσικό νόηµα, έτσι η 1η
συνοριακή συνθήκη πρέπει να ισχύει σε κάθε περίπτωση.
(28)
24
Από την άλλη ας αποδεχθούµε τον απειρισµό του Rαβγδ επί της Σ, δηλαδή
την παρουσία του δ-όρου στη κλαδωτή µορφή αυτού. Ισοδύναµα θα
έχουµε και την παρουσία του δ-όρου στην κλαδωτή µορφή του τανυστή
Einstein (σχέση(16)).
Η απαίτηση όµως της ισχύος των εξισώσεων Einstein, Gαβ = 8π ⋅ Ταβ , σε
κάθε σηµείο του χωρόχρονου µας υποχρεώνει να αποδεχθούµε για τον
τανυστή ενέργειας-ορµής µια αντίστοιχη κλαδωτή µορφή
Taβ = Θ(ℓ) ⋅ Tαβ+ + Θ(−ℓ) ⋅ Tαβ- + δ (ℓ) ⋅ S αβ
(29)
όπου Tαβ± οι αντίστοιχοι τανυστές ενέργειας-ορµής των περιοχών V ± , ενώ
ο τανυστής ενέργειας-ορµής του 4-D χωρόχρονου επί των σηµείων της
διαχωριστικής υπερεπιφάνειας Σ θα είναι ο
TαβΣ ≡ δ (ℓ) ⋅ S αβ
(30)
ενώ οι εξισώσεις Einstein εφαρµοσµένες επί της Σ δίνουν
Σ
Gαβ
= 8π ⋅ Sαβ
(31)
γεγονός που µας επιτρέπει να συµπεράνουµε πως (εξαιτίας της (22) )
S αβ ≡ S ab ⋅ eaα e βb
(32)
είναι δηλαδή εφαπτοµενικός επί της Σ. Τέλος εφαρµόζοντας την
(31) στην (26) προκύπτει ακόµη
S ab ≡ −
ε
⋅ ([Κ ab ] − [K ] ⋅ hab )
8π
(33)
Βλέπουµε πως ο τανυστής ενέργειας-ορµής του χωρόχρονου επί των
σηµείων της Σ απειρίζεται. Ο απειρισµός αυτός συνεπάγεται τον
απειρισµό της πυκνότητας ύλης (µε την ευρεία έννοια) του ρευστού στο
χωρόχρονο επί των σηµείων της Σ. Άπειρη πυκνότητα όµως σηµαίνει
πως υπάρχει πεπερασµένη-(όχι απειροστή) ποσότητα ύλης εντός µιας
απειροστής περιοχής του χωρόχρονου η οποία δεν είναι άλλη από την 3D υπερεπιφάνεια Σ. Συµπεραίνουµε,
Ο απειρισµός του Rαβγδ επί της διαχωριστικής υπερεπιφάνειας Σ (που
συνεπάγεται απειρισµό του τανυστή ενέργειας-ορµής και συνεπώς της
πυκνότητας ύλης εκεί) ερµηνεύεται φυσικά ως η παρουσία πεπερασµένης
ποσότητας ύλης επί της απειροστής(ως προς το χωρόχρονο)
υπερεπιφάνειας Σ. Πρόκειται λοιπόν για ένα λεπτό φλοιό ύλης.
(34)
Θεωρούµε πλέον την Σ όχι απλώς ως µια περιοχή του 4-D χωρόχρονου,
αλλά ως έναν αυτόνοµο 3-D υποχώρο µε καθορισµένη εσωτερική
γεωµετρία µέσω του εσωτερικού µετρικού τανυστή- hab . Η ύλη-ρευστό
που περιέχεται στην Σ θα χαρακτηρίζεται από επιφανειακή πυκνότητα
και επιφανειακη πίεση (υποθέτοντας ιδανικό ρευστό) και αναµένουµε να
25
περιγράφεται από κάποιον 3-τανυστή ενέργειας-ορµής. Αυτός βρίσκεται
ως εξής:
Εξ ορισµού ο τανυστής ενέργειας-ορµής του χωρόχρονου επί της Σ είναι
TΣαβ ≡ ρ Σ u α u β + PΣ h αβ = (δ(ℓ) ⋅ σ )u α u β + (δ(ℓ) ⋅ p )h αβ
(35)
α
α
όπου u ≡ dx dτ η 4-ταχύτητα και τ ο ιδιόχρονος των σηµείων του
ρευστού στο χωρόχρονο. Σύγκριση της (35) µε την (30) οδηγεί στην
S αβ = σ ⋅ u α u β + p ⋅ h αβ
(36)
- Για χρονοειδή υπερεπιφάνεια Σ
Ορίζουµε εσωτερικές συντεταγµένες {y 1 , y 2 , y 3 } ≡ {τ ' , y 2 , y 3 }, όπου τ ' ιδιόχρονος των σηµείων του ρευστού επί της Σ, το οποίο θεωρούµε πως
κινείται αποκλειστικά εντός της Σ µε 3-ταχύτητα v a ≡ dy a dτ ' . Ακόµη
ορίζονται τα διανύσµατα βάσης της Σ eaα ≡ ∂x α ∂y a . Τώρα, επειδή επί της
Σ ισχύουν οι παραµετρικές εξισώσεις x α = x α ( y a ) η u α γράφεται ως
u α = (∂x α ∂y a )(dy a dτ ) που επειδή εκ κατασκευής είναι τ ≡ τ ' γίνεται
uα ≡
dx α
= e αa ⋅ v a
dτ
(36)
Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (32),(36) και τον ορισµό h αβ ≡ h ab eaα ebβ
στη σχέση (35) βρίσκουµε για τον 3-τανυστή που αντιστοιχεί στον S αβ ,
S ab = σ ⋅ v a v b + p ⋅ h ab
(37)
Πρόκειται για το επιφανειακό τανυστή ενέργειας-ορµής που περιγράφει
ρευστό κινούµενο αποκλειστικά επί της Σ µε επιφανειακή πυκνότητα-σ
και επιφανειακή πίεση-p ( v a -3ταχύτητα).
Τέλος, χρησιµοποιώντας τη σχέση (33) για ε = +1 , συµπεραίνουµε πως
Ενδεχόµενη ασυνέχεια της εξωτερικής καµπυλότητας- K ab εκατέρωθεν
επί της Σ υποδηλώνει την παρουσία ενός λεπτού φλοιού πεπερασµένης
ύλης επί της Σ, επιφανειακής πυκνότητας-σ και επιφανειακής πίεσης-p,
µε επιφανειακό τανυστή ενέργειας-ορµής που υπολογίζεται ως
S ab ≡ −
1
⋅ ([Κ ab ] − [K ] ⋅ hab )
8π
(38)
Μια χρονοειδής υπερεπιφάνεια ύλης αντιστοιχεί στα σηµεία µιας 2-D
επιφάνειας του ‘κλασσικού’ 3-D χώρου για όλες τις χρονικές στιγµές.
- Για χωροειδή υπερεπιφάνεια Σ
Μια χωροειδής υπερεπιφάνεια αντιστοιχεί σε όλα τα σηµεία του
‘κλασσικού’ 3-D χώρου για µια µονάχα στιγµή. Συνεπώς, αν πρόκειται
για χωροειδή υπερεπιφάνεια που περιέχει ύλη, τότε αντιστοιχεί σε
ακαριαία εµφάνιση επιπλέον ποσότητας ύλης σε όλο τον ‘κλασσικό’ 3-D
26
χώρο για δεδοµένη χρονική στιγµή, η οποία (επιπλέον ύλη) υπάρχει για
απειροστό χρονικό διάστηµα και έπειτα ακαριαία εξαφανίζεται.
Με την εικόνα αυτού κατά νου, δεχόµαστε πως κατά το απειροστό
χρονικό διάστηµα που υπάρχει η ‘επιπλέον ύλη’, αυτή θα έχει 4-ταχύτητα
εξ ορισµού κάθετη µε τη χωροειδή υπερεπιφάνεια Σ, δηλαδή u α ≡ n α .
Εποµένως η σχέση (36) γίνεται
S αβ = σ ⋅ n α n β + p ⋅ h αβ
(39)
αβ
Για να συνάδει όµως η παραπάνω µε την (32) ( S εφαπτόµενη στην Σ
⇒ S αβ κάθετη στο n γ ), απαιτείται να ισχύει σ ≡ 0 . Έτσι, η S αβ γίνεται
S αβ = p ⋅ h αβ
(40)
Χρησιµοποιώντας κι εδώ την (32) και τον ορισµό h αβ ≡ h ab eaα ebβ έχουµε
τον επιφανειακό τανυστή ενέργειας-ορµής επί της χωροειδούς Σ
S ab = p ⋅ h ab
(41)
που περιγράφει ρευστό επί της υπερεπιφάνειας Σ µε επιφανειακή πίεση-p
και εξ ορισµού µηδενική επιφανειακή πυκνότητα-σ (που εκφράζεται ως
προς αυθαίρετο σύστηµα εσωτερικών συντεταγµένων {y 1 , y 2 , y 3 } που είναι
και οι τρεις χωρικές).
Τέλος, χρησιµοποιώντας τη σχέση (33) για ε = −1 , συµπεραίνουµε πως
Ενδεχόµενη ασυνέχεια της εξωτερικής καµπυλότητας- K ab εκατέρωθεν
επί της Σ υποδηλώνει την παρουσία ενός ‘λεπτού φλοιού’ πεπερασµένης
ύλης επί της Σ, µηδενικής επιφανειακής πυκνότητας-σ και επιφανειακής
πίεσης-p, µε επιφανειακό τανυστή ενέργειας-ορµής που υπολογίζεται ως
S ab ≡
1
⋅ ([Κ ab ] − [K ] ⋅ hab )
8π
(38)
Η χωροειδής υπερεπιφάνεια ύλης αντιστοιχεί σε όλα τα σηµεία του
‘κλασσικού’ 3-D χώρου για µια µονάχα στιγµή, ενώ το φαινόµενο
περιγράφεται ως η στιγµιαία εµφάνιση και εξαφάνιση επιπλέον
ποσότητας ύλης σε όλο το ‘κλασσικο’ 3-D χώρο.
27
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΠΙ ΧΡΟΝΟΕΙ∆ΩΝ/ΧΩΡΟΕΙ∆ΩΝ
∆ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ
4.1 Κατάρρευση σφαιρικού οµογενούς αστέρα
Μας ενδιαφέρει το φαινόµενο της βαρυτικής κατάρρευσης ενός άστρου
σε µελανή οπή. Στο σύστηµα µας ο χωρόχρονος χωρίζεται φυσικά σε δύο
επιµέρους περιοχές,
- V − : το σύνολο των σηµείων του χωρόχρονου που αντιστοιχούν στο
εσωτερικό (γεµάτο ύλης) του αστέρα για κάθε χρονική στιγµή.
- V + : το σύνολο των σηµείων του χωρόχρονου που αντιστοιχούν στο
εξωτερικό (κενό ύλης) του αστέρα για κάθε χρονική στιγµή.
µε διαχωριστική υπερεπιφάνεια
- Σ : το σύνολο των σηµείων του χωρόχρονου που αντιστοιχούν στην
φυσική επιφάνεια του αστέρα για κάθε χρονική στιγµή (χρονοειδής).
Για απλότητα θα µοντελοποιήσουµε το καταρρέον άστρο θεωρώντας το
ως οµογενή σφαίρα αποτελούµενη αποκλειστικά από σκόνη. Αυτό
σηµαίνει πως ο χωρόχρονος του συστήµατος θα είναι σφαιρικά
συµµετρικός ενώ στο εσωτερικό του άστρου δεν θα υπάρχει πίεση αλλά
µόνο πυκνότητα- ρ , η οποία µάλιστα θα είναι ίδια σε όλο το εσωτερικό
του άστρου οπότε και θα έχει αποκλειστική εξάρτηση.
Σχήµα 3: ∆ιαχωρισµός χωρόχρονου για σύστηµα καταρρέοντος αστέρα
28
Για τον τανυστή ενέργειας-ορµής σε κάθε περιοχή θα ισχύει
- V − : T−αβ = ρ ⋅ u α u β , όπου u α η 4-ταχύτητα του ρευστού στο εσωτερικό
- V + : T+αβ = 0
Έτσι, αναµένουµε να προκύψουν (µέσω της επίλυσης των εξισώσεων
Einstein) διαφορετικοί µετρικοί τανυστές στις δύο περιοχές.
Εντός του αστέρα( V − )
Εξαιτίας της οµοιογένειας και ισοτροπίας εντός του αστέρα η µετρική θα
είναι µια FRW λύση, δηλαδή
−1
ds −2 = − dτ 2 + α 2 (τ ) ⋅ {(1 − K ⋅ r~ ) ⋅ d~
r 2 + r~ 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )}
(1)
όπου τ -ιδιόχρονος του συνκινούµενου µε τη βαρυτική κατάρρευση
παρατηρητή εντός του αστέρα (για τον οποίο ισχύει ~r , θ , φ = σταθ ), ενώ
το χωρικό σύστηµα σφαιρικών συντεταγµένων καθορίζει τη θέση ενός
σηµείου στο 3-D χώρο ως προς το συνκινούµενο. Τώρα εφόσον έχουµε
κατάρρευση είναι προφανές πως έχουµε συστολή της περιοχής V − ,
πράγµα που σηµαίνει για το συντελεστή κλίµακας πως dα dτ < 0 . Το
τελευταίο συνεπάγεται ακόµη πως η γεωµετρία του 3-D χώρου είναι
σφαιρική και συνεπώς η καµπυλότητα παίρνει τιµή Κ = +1 . Έτσι γίνεται
−1
ds −2 = − dτ 2 + α 2 (τ ) ⋅ {(1 − ~
r ) ⋅ dr~ 2 + r~ 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )}
(2)
−
Τώρα επειδή ο 3-D χώρος του V είναι περιορισµένος ( φτάνει µέχρι την
τιµή ~r = ~ro η οποία αντιπροσωπεύει την εξωτερική επιφάνεια του αστέρα)
πραγµατοποιούµε µια αλλαγή του χωρικού συστήµατος συντεταγµένων
ως {~r ,θ , φ} → {χ,θ , φ} όπου ~r ≡ sinχ (µετρώντας το ~r σε τέτοιες µονάδες
ώστε ~ro < π 2 ), µε την οποία η µετρική και ο µετρικός τανυστής της V −
γίνεται
ds −2 = − dτ 2 + α 2 (τ ) ⋅ {dχ 2 + sin 2 χ (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )}
(3)
−
2
2
2
2
2
2
g aβ = diag(- 1, α , α sin χ , α sin χ ⋅ sin φ )
(4)
ως προς σύστηµα συντεταγµένων
{x−α } ≡ {τ, χ, θ, φ}
(5)
Το ρευστό εντός του αστέρα είναι ακίνητο ως προς το συνκινούµενο
σύστηµα που σηµαίνει πως έχει 4-ταχύτητα (u τ , u χ , u θ , u φ ) = (1,0,0,0) , οπότε
η µόνη µη µηδενική συνιστώσα του τανυστή ενέργειας ορµής είναι η
Tττ− = ρ . Εφαρµόζοντας αυτόν και την έκφραση του µετρικού τανυστή (4)
στις εξισώσεις Einstein καταλήγουµε στην εξίσωση κίνησης
2
8π
 dα 
ρα 2
(6)

 +1 =
3
 dτ 
Από την άλλη ο νόµος διατήρησης ∇ β Ταβ− ⋅ u α ≡ 0 θα δώσει την εξίσωση
συνέχειας
29
dα dτ
dρ
= −3 ρ
(7)
dτ
α
Η τελευταία συνεπάγεται πως ρα 3 = σταθ . . Οπότε αν θεωρήσουµε πως
το αστέρι ξεκινά την κατάρρευση από µια αρχική κατάσταση
σταθερότητας ( α = α max , da dτ = 0 , ρ = ρ min ) οδηγούµαστε (µέσω της (6))
2
στο (8π 3) ρ min α max
= 1 και τελικά η εξίσωση συνέχειας γίνεται
ρα 3 =
3
α max
8π
(8)
Από τις (6) και (8) προκύπτει η εξέλιξη των παραµέτρων α = α (τ ) και
ρ = ρ (τ ) υπό παραµετρική µορφή
1
2
1
(9)
2
3
1
ρ (η ) = α max α −3 (η ) και τ (η ) = α max (η + sinη )
(10)
8π
2
µε την κατάρρευση να ξεκινά για η = 0 και να ολοκληρώνεται για η = π .
α (η ) = α max (1 + cosη ) και τ (η ) = α max (η + sinη )
Τέλος, η διαχωριστική υπερεπιφάνεια Σ ,που αντιστοιχεί στην επιφάνεια
του αστέρα καθόλη τη διάρκεια της κατάρρευσης, ιδωµένη από την
περιοχή V − περιγράφεται από την εξίσωση
Φ ≡ χ − χο = 0
(11)
ή ισοδύναµα αν επιλέξουµε σύστηµα εσωτερικών συντεταγµένων για την
Σ το { y 1 , y 2 , y 3 } ≡ {τ ,θ , φ} δίνεται υπό παραµετρική µορφή ως
τ = τ , χ = χο , θ = θ , φ = φ
(12)
Αφού ως προς συνκινούµενο µε τη κατάρρευση παρατηρητή η επιφάνεια
του αστέρα έχει σταθερή ακτίνα ~ro ≡ sin χ ο .
Συµπεραίνουµε πως έχουµε πλήρη γνώση της περιοχής V − αφού
-γνωρίζουµε την ακριβή εξέλιξη των µοναδικών παραµέτρων α και ρ
(µε δεδοµένες αρχικές συνθήκες α max , ρ min ).
-γνωρίζουµε την εξίσωση της διαχωριστικής υπερεπιφάνειας Σ
συναρτήσει των συντεταγµένων {x +α } ≡ {τ, χ, θ, φ} .
Εκτός του αστέρα( V + )
Θεωρώντας πως ο αστέρας διαθέτει βαρυτική µάζα- M , η οποία
καµπυλώνει τον χωρόχρονο εκτός του αστέρα (περιοχή V + ),
αποδεικνύεται πως (εξαιτίας της σφαιρικής συµµετρίας του συστήµατος)
µοναδική έκφραση για την µετρική είναι η λύση Schwarzchild,
−1
 2M  2  2M 
2
2
2
2
2
ds = −1 −
dt + 1 −
 dr + r (dθ + sin θ ⋅ dφ )
r
r




2
+
(13)
ενώ ο µετρικός τανυστής είναι
30
  2 M   2 M  −1 2 2 2 
g αβ = diag − 1 −
, 1 −
 , r , r sin θ 
r 
r 
 

+
(14)
ως προς σύστηµα συντεταγµένων
{x+α } ≡ {t, r, θ, φ}
(15)
Σηµειώνουµε πως οι συντεταγµένες θ , φ ταυτίζονται εξ ορισµού µε αυτές
που ορίσαµε για την περιοχή V − , ενώ η χρονική συντεταγµένη t
προφανώς διαφέρει από την τ που ορίσαµε εντός της V − .
Πλήρης γνώση της περιοχής V + θα σήµαινε πως
-γνωρίζουµε την εξίσωση της διαχωριστικής υπερεπιφάνειας Σ
συναρτήσει των συντεταγµένων {x −α } ≡ {t, r, θ, φ} , η οποία λόγω σφαιρικής
συµµετρίας αναµένεται να είναι σχέση της µορφής r = r (t ) ≡ ακτίνα αστέρα.
-γνωρίζουµε τη σχέση που συνδέει τις παραµέτρους της περιοχής V + ( M ,
ακτίνα αστέρα) µε τις παραµέτρους της περιοχής V + ( ρ , α ).
Τις πληροφορίες αυτές θα µας τις παρέχουν η 1η και 2η συνοριακή
συνθήκη τις οποίες θα επιβάλλουµε στο σύστηµα έτσι ώστε να
εξασφαλίσουµε την οµαλή µετάβαση από την µία περιοχή του
χωρόχρονου στην άλλη. Και αυτό διότι, εξ ορισµού, επί της
διαχωριστικής υπερεπιφάνειας Σ του συστήµατος δεν υπάρχει λεπτός
φλοιός πεπερασµένης ύλης.
Για να εφαρµόσουµε όµως τις συνοριακές συνθήκες [hab ] ≡ 0 και [K ab ] ≡ 0 ,
πρέπει πρώτα να υπολογίσουµε τα hab− , hab+ και K ab− , K ab+ εκατέρωθεν επί της
Σ για το συγκεκριµένο σύστηµα, πράγµα που θα γίνει αµέσως παρακάτω.
● η Σ από την πλευρά V −
Το σύστηµα συντεταγµένων της V − είναι το {x +α } ≡ {τ, χ, θ, φ} . ∆ιαλέγουµε
ως σύστηµα εσωτερικών συντεταγµένων επί της Σ το
{ y 1 , y 2 , y 3 } ≡ {τ ' , θ , φ }
(16)
όπου τ ' είναι ο ιδιόχρονος παρατηρητή συνκινούµενου µε την επιφάνεια
του αστέρα που καταρρέει. Επειδή η επιφάνεια του αστέρα θεωρείται
οριακή περίπτωση του εσωτερικού του έχουµε ουσιαστικά ταύτιση των
τ '≡ τ
(17)
∆ηλαδή το σύστηµα εσωτερικών συντεταγµένων της Σ γράφεται
{ y 1 , y 2 , y 3 } ≡ {τ , θ , φ}
(18)
Όπως είδαµε η υπερεπιφάνεια Σ ιδωµένη από την περιοχή V −
περιγράφεται από την εξίσωση
Φ ≡ χ − χο = 0
(19)
31
ή ισοδύναµα ως προς το σύστηµα εσωτερικών συντεταγµένων για την Σ,
{ y 1 , y 2 , y 3 } ≡ {τ , θ , φ} , δίνεται υπό παραµετρική µορφή ως
x1− ≡ τ = τ , x −2 ≡ χ = χ ο , x −3 ≡ θ = θ , x −4 ≡ φ = φ
(20)
Με εφαρµογή των (20) στη σχέση ορισµού eaa ≡ dx α- dy a (για a = 1,2,3,4
και a = 1,2,3 ) υπολογίζουµε τα 3 διανύσµατα βάσης του υποχώρου Σ :
e ατ ≡ dx α- dτ ≡ (eττ , eτχ , eτθ , eτφ ) = (1,0,0,0)
e θα ≡ dx α- dθ ≡ (eθτ , eθχ , eθθ , eθφ ) = (0,0,1,0)
(21)
e αφ ≡ dx α- dφ ≡ (eφτ , eφχ , eφθ , eφφ ) = (0,0,0,1)
Παρατηρούµε πως eτα ≡ u α- : 4-ταχύτητα παρατηρητή συνκινούµενο µε την
επιφάνεια του καταρρέοντα αστέρα.
Στη συνέχεια µε εφαρµογή των δεδοµένων (4) και (21) στη σχέση
−
ορισµού hab− ≡ g αβ
e αa e βb (*όπου g a−β ≡ g -αβ [επί της Σ]) βρίσκουµε την
έκφραση της εσωτερικής µετρικής της Σ από την πλευρά V −
ds Σ2− = − dτ 2 + α 2 (τ )sin 2 χ ο (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )
(22)
Από την άλλη εφόσον η Σ είναι χρονοειδής, το κάθετο διάνυσµα- n α
αυτής θα είναι χωροειδές ( n α n α = +1 ) και θα δίνεται από τη σχέση
ορισµού n α ≡ ∂ α Φ ∂ α Φ . Χρησιµοποιώντας την εξίσωση (19) και µε τη
βοήθεια της έκφρασης του g αβ− (4) βρίσκουµε (µετά από απλές πράξεις)
το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα επί της Σ ως προς την πλευρά V −
(nτ , n x , nθ , nφ ) ≡ (0, α ,0,0)
(n τ , n χ , n θ , n φ ) ≡ (0,1 α ,0,0)
(23)
χ
σε συναλλοίωτη και ανταλλοίωτη µορφή. Το γεγονός ότι n > 0
συµφωνεί µε τη σύµβαση περί της φοράς του n α προς την περιοχή V + .
Μπορούµε τώρα να υπολογίσουµε την εξωτερική καµπυλότητα µέσα από
τον τύπο ορισµό
K ab ≡ (∇ β n α )e αa e βb = (∂ β n α − Γ γ αβ n γ )e αa e βb
(24)
Κατ’ αρχήν, λόγω σφαιρικής συµµετρίας, µπορούµε να επιβεβαιώσουµε
πως οι µόνες µη µηδενικές συνιστώσες αυτής είναι οι Kττ , Κ θθ , Κ φφ .
Αντικαθιστώντας λοιπόν τα δεδοµένα των (4), (21),(23) έχουµε
- Kττ− = (∇ β n α )e ατ e βτ = (∇ β n α )u α u β = ∇ β (n α u α )u β − n α (∇ β u α )u β ≡ 0 (αφού u α ≡ 4ταχύτητα των σηµείων της επιφάνειας ⇒ (n α u α ) = 0 και (∇ β u α )u β ≡ du α dτ = 0 .
- Κ θ− θ = h dθ Κ d−θ = h θθ Κ θθ− = h θθ ∇ θ n θ = h θθ ⋅ (∂ θ n θ − Γ−γ θθ n γ ) = −α ⋅ h θθ ⋅ Γ−χ θθ =
= − (1 2αsin 2 χ ο )⋅ g -χε ⋅ (∂ θ g - εθ + ∂ θ g - εθ + ∂ ε g - θθ ) = (1 2αsin 2 χ ο )⋅ g -χχ ∂ χ g θθ- = =
(
)(
)
= 1 2α 3 sin 2 χ ο 2sinχ ο ⋅ cosχ ο ⋅ α 2 ⇒ Κ θ−θ = cotχ ο α
- Κ θ− θ = h dφ Κ d−φ = h φφ Κ φφ− = −h θθ ∇ θ n θ = h θθ ⋅ (∂ θ n θ − Γ−γ θθ n γ ) = −α ⋅ h φφ ⋅ Γ−χ φφ =
= (1 2αsin 2 χ ο ) ⋅ g -χχ ∂ χ g -αφ ⇒ Κ φ−φ = cotχ ο / α (* όπου g a−β ≡ g -αβ [επί της Σ])
32
Συνοψίζοντας, για τις συνιστώσες της εξωτερικής καµπυλότητας της Σ
ως προς την πλευρά V − έχουµε
Κ θ−θ = K −φφ =
cotχ ο
α
και (κάθε άλλη) ≡ 0
(25)
● η Σ από την πλευρά V +
Όπως είδη αναφέραµε η αναµενόµενη µορφή της εξίσωσης που
περιγράφει την υπερεπιφάνεια Σ ιδωµένη από την περιοχή V + είναι
r = r (t ) ή αλλιώς Φ ≡ r - r(t) = 0 . Εναλλακτικά η Σ θα περιγράφεται σε
παραµετρική µορφή ως προς το σύστηµα εσωτερικών της συντεταγµένων
{ y 1 , y 2 , y 3 } ≡ {τ , θ , φ} από 4-σχέσεις ως
x1+ ≡ t = T (τ ) , x +2 ≡ r = R(τ ) , x +3 ≡ θ = θ , x +4 ≡ φ = φ
(26)
Με εφαρµογή των (26) στη σχέση ορισµού eaa ≡ dx α+ dya (για a = 1,2,3,4
και a = 1,2,3 ) υπολογίζουµε τα 3 διανύσµατα βάσης του υποχώρου Σ :
e ατ ≡ dx α+ dτ ≡ (eτt , eτr , eτθ , eτφ ) = (dT dτ , dR dτ ,0,0)
e θα ≡ dx α+ dθ ≡ (eθt , eθr , eθθ , eθφ ) = (0,0,1,0)
e ≡ dx
α
φ
α
+
θ
φ
(27)
φ
φ
dφ ≡ (eφ , eφ , e , e ) = (0,0,0,1)
t
t
Όπου κι εδώ eτ ≡ u : 4-ταχύτητα παρατηρητή συνκινούµενο µε την
επιφάνεια του καταρρέοντα αστέρα.
Στη συνέχεια µε εφαρµογή των δεδοµένων (14) και (27) στη σχέση
+
+
e αa e βb (*όπου g a+β ≡ g αβ
[επί της Σ]) βρίσκουµε την
ορισµού hab+ ≡ g αβ
έκφραση της εσωτερικής µετρικής της Σ από την πλευρά V − . Λόγω
σφαιρικής συµµετρίας η τελευταία θα έχει µόνο διαγώνιους όρους µε
2
−1
hττ+ = g +tt ⋅ eτt eτt + g rr+ ⋅ eτr eτr = −(1 − 2 M R )(dT dτ ) + (1 − 2M R ) ⋅ R 2 ενώ
+
+
hθθ+ = g θθ
⋅ eθθ eθθ = R 2
και hφφ+ = g φφ
⋅ eφφ eφ = R 2 sin 2 θ . Οπότε συµπεραίνουµε
για την εσωτερική µετρική της Σ από την πλευρά V +
α
α
+
2
  dT  2
 2
-1  dR  
ds Σ2+ = − F ⋅ 
−
F
⋅
dτ + R 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )



  dτ 

 dτ  

(28)
όπου θέσαµε
F ≡ F(τ) ≡ 1 -
2Μ
R
(29)
Από την άλλη, όσο αφορά στο κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα- n α επί της Σ.
Αυτό θα είναι χωροειδές ( n α n α = +1 ) και ακόµη όντας κάθετο στην Σ θα
ικανοποιεί τις τρεις σχέσεις nα e ατ = 0 , n α e θα = 0 , n α e αφ = 0 . Επιλύοντας
λοιπόν το σύστηµα των τεσσάρων αυτών εξισώσεων (µε τα δεδοµένα
33
των (14) και (27)), προκύπτει πως το κάθετο µοναδιαίο διάνυσµα της Σ
από πλευρά της V − είναι

(30)
(nt , nr , nθ , nφ ) =  −  dR dτ  F  F −  (dR dτ )
  , F  F −  (dR dτ )
  ,0,0 






2
 

Τ
2



2
(dT dτ ) 

2


(dT dτ ) 



σε συναλλοίωτη µορφή, ενώ µέσω της n a ≡ g +aβ n β = g +aβ n α βρίσκουµε και

(31)
( n t , n r , n θ , n φ ) =  −  dR dτ  F  F −  (dR dτ )
  , F  F −  (dR dτ )
  ,0,0 






2
 

Τ

2



(dT dτ ) 
2


2

(dT dτ ) 


τις ανταλλοίωτες συνιστώσες της.
Το γεγονός ότι n r > 0 , επιβεβαιώνει πως το µοναδιαίο διάνυσµα
κατασκευάστηκε και από αυτή την πλευρά ώστε να βλέπει προς την στην
V+.
Μπορούµε τώρα να υπολογίσουµε την εξωτερική καµπυλότητα και πάλι
µέσα από τον τύπο ορισµό (24). Επειδή όµως εδώ οι πράξεις που
απαιτούνται είναι µεν τετριµµένες αλλά είναι και πάρα πολλές,
αρκούµαστε στο να περιγράψουµε απλώς αναλυτικότερα τη διαδικασία
του υπολογισµού µιας εκ των συνιστωσών της K ab . Θα είναι
K ab ≡ (∇ β n α )e αa e βb = (∂ β n α − Γ γ αβ n γ )e αa e βb
1


=  ∂ β n α − g γε (∂ β g εα + ∂ α g εβ − ∂ ε g αβ )n γ e αa e βb
2


1
= e βb ⋅ ∂ β n α e aα − g γε (∂ β g εα + ∂ α g εβ − ∂ ε g αβ )n γ e αa e βb ⇒
2
1
K ab ≡ (∂ b n α )e aα − g γε (∂ β g εα + ∂ α g εβ − ∂ ε g αβ )n γ e αa e βb
(24*)
2
Τονίζουµε πως το g aβ δηλώνει τις συνιστώσες του µετρικού τανυστή της
(
)
περιοχής V + - g αβ+ ( x δ+ ) ( που δίνεται από τη σχέση (14)), τις οποίες πρώτα
παραγωγίζουµε (ως προς την εκάστοτε συντεταγµένη x +α ) και έπειτα
επιλέγουµε την τιµή του αποτελέσµατος για σηµεία επί της Σ, µέσω της
αντικατάστασης (26). Τα παραπάνω ισχύουν τελείως αντίστοιχα και για
την περιοχή V − .
Στην περίπτωση µας , λόγω σφαιρικής συµµετρίας, µπορούµε να
επιβεβαιώσουµε πως οι µόνες µη µηδενικές συνιστώσες αυτής θα είναι
και πάλι οι Kττ , Κ θθ , Κ φφ . Έτσι µε εφαρµογή στη σχέση (24*) βρίσκουµε
για τις συνιστώσες της εξωτερικής καµπυλότητας της Σ ως προς την
πλευρά V +
K +ττ =
K +θθ = Κ φ+φ =
όπου θέσαµε
β
R
(dβ dτ )
(dR dτ )
(32)
και (κάθε άλλη = 0 )
(33)
β ≡ F ⋅ (dT dτ )
(34)
34
Είµαστε τώρα σε θέση να εφαρµόσουµε την 1η και 2η συνοριακή
συνθήκη για το σύστηµα του καταρρέοντα αστέρα.
Από τη 1η συνθήκη έχουµε [hab ] ≡ 0 ⇒ hab- ≡ hab- ⇒ dsΣ2− ≡ ds 2Σ- . Με εφαρµογή
στην τελευταία των εκφράσεων (22) και (28) συµπεραίνουµε πως πρέπει
R(τ ) ≡ α (τ ) ⋅ sin χ o
(35)
2
2
F (dT dτ ) − (dR dτ ) F ≡ 1
(36)
Αν ακόµη αντικαταστήσουµε την (35) στην (36) και λύσουµε την
δεύτερη ως προς T (ολοκληρώνοντας και ως προς τ ) θα προκύψει µια
συγκεκριµένη εξίσωση t = T (τ ) . Έχουµε πλέον στη διάθεση µας τις
παραµετρικές εξισώσεις της υπερεπιφάνειας Σ ιδωµένη από την πλευρά
V + , οι οποίες είναι
2
 dR 
x ≡ t ≡ T (τ ) = ∫ F + F 
 dτ + C
 dτ 
x +2 ≡ r ≡ R (τ ) = α (τ ) ⋅ sinχ ο
−1
1
+
−2
(37)
x ≡θ =θ
3
+
4
+
x ≡φ =φ
•Η ισχύς της συνέχειας του εσωτερικού µετρικού τανυστή επί της Σ
οδηγεί φυσικά στον υπολογισµό της εξέλιξης της επιφάνειας του αστέρα
ιδωµένη από την εξωτερική πλευρά αυτού (περιοχή V + στο χωρόχρονο).
Επιβάλλοντας τη 2η συνθήκη, έχουµε [K ab ] ≡ 0 ⇒ K ab- ≡ K ab- ⇒ K −ba ≡ K +ba .
Αντιπαραβάλλοντας λοιπόν τα αποτελέσµατα µας ((25) µε (32) και (33))
οδηγούµαστε στην ισχύ των σχέσεων
dβ / dτ ≡ 0
(38)
β
≡
cot χ o
R
α
Ισοδύναµα η (38) γίνεται dβ / dτ = 0 ⇒ β = σταθ ⇒ F ⋅ (dT/dτ) = σταθ
αντικαθιστώντας το dT/dτ µε το dR/dτ µέσω της (36) καταλήγει στην
(39)
και
2
 dR 
2
  + F = β ≡ σταθ
τ
d
 
(40)
Ενώ αντικαθιστώντας την (35) στην (39) η τελευταία γίνεται
β = cosχ ο
(41)
Η (40) αποτελεί ουσιαστικά την εξίσωση κίνησης τυχαίου σηµείου της
επιφάνειας αστέρα (θ,φ=σταθ) (ιδωµένο από την εξωτερική πλευρά) το
οποίο κινείται ακτινικά κατά την κατάρρευση του αστέρα. Συνεπώς το
~
β ≡ Ε δεν είναι άλλο παρά η ανά µονάδα µάζας-ηρεµίας ενέργεια ενός
δοκιµαστικού σωµατιδίου επί της επιφάνειας του αστέρα που ακολουθεί
την κατάρρευση.
35
Τέλος, ξεκινώντας από την εξίσωση κίνησης του αστέρα (6) έχουµε
2
( 35 )
8π
(dR / dτ ) 2
8π
R2
(dR / dτ ) 2
8π
R2
 dα 
2
ρα
ρ
+
1
=
⇒
+
1
=
⇒
+
1
=
ρ


3
3 sin 2 χ ο
3 1 − cos 2 χ ο
sin 2 χ ο
1 - cos 2 χ ο
 dτ 
2
( 40 )
( 29 )
(dR / dτ ) 2
8π R 2
8π
8π
 dR 
2
2
2
⇒
+
1
=
⇒
+
1
−
=
R
⇒
1
−
F
=
R
⇒
ρ
β
ρ
ρ


3 β2
3
3
1- β2
 dτ 
( 41)
Τελικά βρίσκουµε πως
M (τ ) =
4π
ρ (τ ) ⋅ R 3 (τ)
3
(42)
∆ηλαδή, η βαρυτική µάζα του αστέρα ισούται καθόλη τη διάρκεια της
κατάρρευσης του µε το γινόµενο της πυκνότητας αυτού επί τον όγκο του.
(ένα αποτέλεσµα αναµενόµενο από µια νευτώνεια ανάλυση του
προβλήµατος)
4.2 Κατάρρευση λεπτού σφαιρικού κελύφους
Ως εφαρµογή του φορµαλισµού του λεπτού κελύφους θα θεωρήσουµε
ένα βαρυτικά καταρρέον λεπτό σφαιρικό κέλυφος το οποίο υποθέτουµε
για απλότητα πως αποτελείται από σκόνη, δηλαδή έχει µόνο επιφανειακή
πυκνότητα σ και όχι επιφανειακή πίεση p = 0, και επιπλέον η ύλη επί της
επιφάνειας είναι ακίνητη. Ο φορµαλισµός του κεφαλαίου 3 θα µας δώσει
τον τρόπο εξέλιξης του συστήµατος.
Ο χωρόχρονος του παραπάνω συστήµατος θα χωρίζεται µέσω µιας
υπερεπιφάνειας Σ σε δυο περιοχές (η Σ είναι η επιφάνεια ύλης για κάθε
χρονική στιγµή) και αποτελεί ένα λεπτό κέλυφος ύλης το οποίο
περιγράφεται από έναν επιφανειακό τανυστή τάσης – ενέργειας
S ab = σ u a u b , όπου u a ≡ dy a dτ η τριταχύτητα του ρευστού (ως προς
αυθαίρετο σύστηµα εσωτερικών συντεταγµένων y α και τ : ιδιόχρονος
συνκινούµενου παρατηρητή µε την επιφάνεια):
- Την περιοχή V - που εκφράζει τον χώρο εντός του κελύφους, η οποία
εφόσον είναι κενή ύλης και δεδοµένης της σφαιρικής συµµετρίας που
υποθέτουµε, θα έχει µετρική
2
2
2
dS − = − dt −2 + dr− + r− (dθ 2 + sin 2θ dφ 2 )
(43)
όπου r-, θ, φ σφαιρικό χωρικό σύστηµα συντεταγµένων και t − : ιδιόχρονος
οποιουδήποτε συνκινούµενου παρατηρητή εντός της V − .
- Την περιοχή V + που εκφράζει το χώρο εκτός του κελύφους και της
οποίας η µετρική θα περιγράφεται από τη σφαιρική συµµετρική λύση
Schwarchild δηλαδή:
−1
(
 2 M  2  2M 
2
2
2
2
2
2
dS + = −1 −
dt + + 1 −
 dr+ + r+ dθ + sin θ dφ
r 
r 


)
(44)
όπου Μ η βαρυτική µάζα που κατέχει το λεπτό κέλυφος εξαιτίας της
36
παρουσίας ύλης επί αυτού, ενώ τα r+, θ, φ σφαιρικό χωρικό σύστηµα
συντεταγµένων.
∆ιαλέγοντας ως εσωτερικές συντεταγµένες τις {τ, θ, φ} για την
τριταχύτητα του ακίνητου ρευστού προκύπτει πως u t ≡ dτ dτ = 1 ενώ
u θ = u φ = 0 κάτι που τελικά ορίζει πως θα είναι
S ττ = σ ενώ κάθε άλλη είναι µηδέν
(45)
Με αντίστοιχη ανάλυση όπως στον σφαιρικό αστέρα (επειδή η V − είναι
σαν την V + µε M ≡ 0 !) βρίσκουµε:
2
2

 2
 dT− 
-1  dR−  
2
2
2
2

ds = − F− ⋅ 
(46)
 − F- ⋅ 
 dτ + R - (dθ + sin θdφ )

 dτ 
 dτ  

2M
η εξέλιξη της Σ ως προς την V −
όπου r− = R− (τ ) , τ − = Τ− (τ ) και F- ≡ 1 R2
Σ−
2
2

 2
 dT+ 
-1  dR+  
2
2
2
2

ds = − F+ ⋅ 
(47)
 − F+ ⋅ 
 dτ + R + (dθ + sin θdφ )


τ
τ
d
d






2M
όπου r+ = R+ (τ ) , t + = Τ+ (τ ) και F+ ≡ 1 η εξέλιξη της Σ ως προς την V +
R+
2
Σ+
Απαιτώντας την ισχύ της 1ης συνθετικής (η οποία πρέπει να ισχύει
πάντα!) βρίσκουµε πως
R ' (τ ) ≡ R(τ)
(48)
(dT+ dτ )2 − (dR dτ )2 = F (dT+ dτ )2 − (dR dτ )2 F
(49)
η οποία (48) υπονοεί πως η ακτίνα του κελύφους βρίσκεται πάντα ίδια
και για τα δύο συστήµατα που σηµαίνει πως r ' ≡ r .Η σχέση (49) συνδέει
τον τρόπο εξέλιξης της Σ όπως φαίνεται από τις δυο περιοχές
Όσον αφορά στην εξωτερική καµπυλότητα επί των δυο πλευρών της Σ:
K ±ττ =
K ±θθ = Κ φ± φ =
(dβ ± dτ )
(dR dτ )
(50)
και (κάθε άλλη = 0 )
(51)
β±
R
όπου β + = (dR dt )2 + 1 − (2 M R ) και β − = (dR dt )2 + 1 .
Αντικαθιστώντας λοιπόν αυτά στη ((38) Κεφ3) για τον επιφανειακό
τανυστή ενέργειας-ορµής, βρίσκουµε τις µόνες µη µηδενικές συνιστώσες:
β+ − β−
4π ⋅ R
β − β − (dβ + dτ ) − (d β − dτ )
Sθθ = Sφφ = +
+
8π ⋅ R
8π (dR dτ )
Sττ =
(52)
(53)
37
Συγκρίνουµε τώρα τα παραπάνω αποτελέσµατα (52),(53) µε την (45) και
έχουµε
β+ − β−
= −σ
4π ⋅ R
και
β + − β − (dβ + dτ ) − (d β − dτ )
+
=0
8π ⋅ R
8π (dR dτ )
Από αυτές η δεύτερη γίνεται ( β + − β − ) ⋅ R = m ≡ σταθ ,
αντικαθιστώντας στην πρώτη έχουµε ένα νέο ζεύγος σχέσεων
4π ⋅ R 2 ⋅ σ = m
και
M = m 1 + (dR dτ ) −
2
m2
2R
(54)
οπότε
(55)
Η 1η υποδεικνύει πως η µάζα ηρεµίας του επιφανειακού ρευστού ισούται
µε το γινόµενο του εµβαδού της πραγµατικής επιφάνειας του κελύφους
επί την σταθερή επιφανειακή πυκνότητα αυτού ( ένα αναµενόµενο και
κλασσικά αποτέλεσµα).
Η 2η ορίζει τον τρόπο εξέλιξης της ακτίνας του λεπτού κελύφους, µε
παραµέτρους την µάζα ηρεµίας-m και την βαρυτική µάζα-Μ του
ρευστού. Εναλλακτικά µας δίνει την βαρυτική µάζα του σφαιρικού
φλοιού συναρτήσει της µάζας ηρεµίας ,της ακτίνας και της ακτινικής του
σφαιρικού κελύφους καθώς αυτό διαστέλλεται ή καταρρέει. Με αυτή την
οπτική η βαρυτική µάζα-Μ του ρευστού ισούται µε το άθροισµα της
ενέργειας µάζας ηρεµίας συν την κινητική και την δυναµική ενέργεια
αυτού. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα θεωρώντας την µη σχετικιστική
περίπτωση (όπου dR dτ << 1 ) για την οποία η σχέση γίνεται
M ≈ m + (1 2 )mR 2 − m 2 2 R .
Βλέπουµε πως όλες οι µορφές ενέργειας συµµετέχουν στην καµπύλωση
του χωρόχρονου (βαρυτική µάζα-Μ).
38
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5
ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΠΙ ΦΩΤΟΕΙ∆ΩΝ
ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΛΕΠΤΟΙ
ΦΛΟΙΟΙ ΥΛΗΣ
Θεωρούµε τώρα την περίπτωση όπου µια φωτοειδής υπερεπιφάνεια
χωρίζει το χωρόχρονο σε δύο περιοχές V − , V + . Μας ενδιαφέρει και πάλι
ποιες συνοριακές συνθήκες πρέπει να πληρούνται ώστε να έχουµε οµαλή
µετάβαση από την µία περιοχή στην άλλη, κάτι που σηµαίνει µηανωµαλία του τανυστή καµπυλότητας επί της Σ. Με λίγη εκ των
προτέρων γνώση σηµειώνουµε: Χρησιµοποιώντας κι εδώ τη γλώσσα των
κλαδωτών τανυστών και επιχειρώντας να εξαλείψουµε την ανωµαλίααπροσδιοριστίας για το Rαβγδ , θα καταλήξουµε στην 1η συνοριακή
συνθήκη (τελείως αντίστοιχη µε Κεφ-4) και σε ένα κλαδωτό Rαβγδ µε δόρο (ανωµαλία απειρισµού). Η ανωµαλία του Rαβγδ συνεπάγεται
ανωµαλία του τανυστή Ricci και ανωµαλία του τανυστή Weyl-σε
αντίθεση µε ότι σχολιάσθηκε στην περίπτωση των µη-φωτοειδών
υπερεπιφανειών (όπου ο τανυστής Weyl δεν παρουσιάζει ανωµαλία
ανεξάρτητα από ενδεχόµενη ανωµαλία του Ricci).Έτσι, για την
εξασφάλιση της οµαλότητας της Rαβγδ απαιτούνται δύο επιπλέον της 1ης
συνθήκες: η 2η (από εξάλειψη απειρισµού του Ricci ) και η 3η (από
εξάλειψη απειρισµού Weyl).
Στα παρακάτω θα αγνοήσουµε τελείως την µελέτη του τανυστή Weyl και
θα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε την µελέτη του τανυστή Ricci καθώς
και µε την φυσική ερµηνεία απειρισµού του τελευταίου επί της
διαχωριστικής υπερεπιφάνειας-Σ.
5.1 Γεωµετρία φωτοειδούς υπερεπιφάνειας
Θεωρούµε την φωτοειδή υπερεπιφάνεια Σ η οποία χωρίζει το χωρόχρονο
στις περιοχές V − , V + και οι οποίες περιγράφονται από τα, εν γένει
διάφορα, σύστηµα συντεταγµένων {x −α } {x +α } . Ακόµη υποθέτουµε, για την
ώρα, πως στη γειτονιά της Σ εκατέρωθεν αυτής υπάρχει ένα κοινό
σύστηµα συντεταγµένων {x α } . Ως προς το τελευταίο, η υπερεπιφάνεια θα
περιγράφεται είτα από µια εξίσωση Φ( x α ) = 0 είτε ισοδύναµα από
τέσσερις παραµετρικές εξισώσεις x α = x α ( y b ) , όπου { y b } αυθαίρετο
σύστηµα συντεταγµένων του εσωτερικού χώρου της Σ. Προφανώς το
39
κάθετο διάνυσµα σε κάθε σηµείο της Σ είναι το ∂ α Φ . Ακόµη, εφόσον η Σ
είναι φωτοειδής σηµαίνει πως το κάθετο διάνυσµα έχει µηδενικό
µέτρο: ∂ a Φ ⋅ ∂ α Φ ≡ 0 . Το τελευταίο καθιστά αδύνατη την κατασκευή
µοναδιαίου κάθετου διανύσµατος- n α . Τώρα θεωρούµε πως η περιοχή
που ονοµάσθηκε V − αποτελεί το παρελθόν ενώ η V + το µέλλον ως προς
την Σ (µε την έννοια ότι για κάθε χρονοειδή γεωδαισιακή 4-ταχύτητας
u α ≡ dx α dτ η οποία διαπερνά την Σ, ο ιδιόχρονος-τ αυξάνεται στην
κατεύθυνση από V − στην V + ). Επιλέγοντας την συνάρτηση Φ έτσι ώστε
Φ < 0 εντός της V − και Φ > 0 εντός της V + , το κάθετο διάνυσµα επί της Σ
ορίζεται
k α ≡ −∂ α Φ
(1)
(αφού ως προς σύστηµα συντεταγµένων συνκινούµενου
µε τον
a
παρατηρητή u , ε 1 , ε 2 , ε 3 είναι k = Au + Β i ε i ⇒ A = −k ⋅ u = −k a u = dΦ dτ > 0 ).
Στη συνέχεια, επειδή το k α είναι κάθετο στον εαυτό του ( k α k α = 0 )
συµπεραίνουµε παραδόξως πως το
k α και εφαπτόµενο στην Σ
(2)
Η ιδιοτροπία αυτή είναι που απαιτεί την ξεχωριστή µελέτη των
φωτοειδών διαχωριστικών υπερεπιφανειών.
Υπολογίζουµε πως (∇ β k α )k β = (1 2)∇ α (∂ β Φ∂ β Φ) . Όµως το γεγονός ότι
∂ β Φ∂ β Φ ≡ 0 επί της Σ απαιτεί να ισχύει Dc (∂ β Φ∂ β Φ ) = ∂ c (∂ β Φ∂ β Φ ) = 0 .
Και επειδή όπως έχουµε δείξει η εσωτερική συναλλοίωτη παράγωγος
ταυτίζεται µε την προβολή της συναλλοίωτης παραγώγου επί της Σ η
τελευταία δίνει ∇ a (∂ β Φ∂ β Φ ) ⋅ e αa = 0 . Έτσι, στη γενικότερη περίπτωση θα
είναι ∇ a (∂ β Φ∂ β Φ ) ≡ 2κ ⋅ k α (για κάποιο βαθµωτό-κ). Καταλήγουµε λοιπόν
στην ισχύ της
k β∇ a k β ≡ κ ⋅ k α
(3)
α
∆ηλαδή το k ικανοποιεί την εξίσωση της γεωδαισιακής (κάθετη στην Σ)
ενώ είναι την ίδια στιγµή και εφαπτόµενο στην Σ. Συµπεραίνουµε πως η
φωτοειδής υπερεπιφάνεια Σ γεννάται από φωτοειδής γεωδαιτικές
x α = x α (λ ) µε το κάθετο διάνυσµα k α να ταυτίζεται µε την εφαπτόµενη
τετραταχύτητα επί της γεωδαιτικής
kα ≡
dx α
dλ
(4)
Συνεχίζοντας είναι βολικό να επιλέξουµε ως εσωτερικές συντεταγµένες
{ y a } ≡ λ , θ Α ,θ Β
(5)
όπου προφανώς µεταβολή του λ σηµαίνει µετατόπιση κατά µήκος της
ίδιας γεωδαισιακής ενώ µεταβολή των θ Α ,θ Β δηλώνει µετακίνηση από
σηµείο µιας γεωδαισιακής σε σηµείο άλλης. Τα διανύσµατα βάσης της Σ
e1a =
dx α
≡ kα
dλ
e2a =
dx α
dθ Α
e3a =
dx α
dθ Β
(6)
40
Η εσωτερική µετρική της Σ hab ≡ g αβ e αa e βb αποκτά 4 µηδενικές συνιστώσες
{αφού h 11 = g αβ k α k β ≡ 0 , h 1D = g αβ k α e βD ≡ 0 }, ώστε για µετατόπιση επί της
Σ έχουµε
ds Σ2 = σ ΑΒ dθ Α dθ Β
µε
2-τανυστή σ αβ ≡ g αβ e αΑ e βΒ
(7)
Ακόµη για να συµπληρώσουµε τη βάση του χωρόχρονου επί της Σ,
ορίζουµε συµπληρωµατικά ένα, γραµµικώς ανεξάρτητο των e Aa , e Ba , k a ,
βοηθητικό φωτοειδές διάνυσµα- N a , µέσα από τις σχέσεις
N a Na = 0
N a k α = −1
N α e αA = Ν α e αB = 0
(8)
Τώρα οποιοσδήποτε τανυστής του χωρόχρονου µπορεί να γραφεί ως
γραµµικός συνδυασµός των εσωτερικών γινοµένων των e Aa , e Ba , k a , N a .
Συγκεκριµένα επιβεβαιώνουµε πως, προκειµένου να ισχύουν τα
εσωτερικά γινόµενα αυτών, πρέπει ο µετρικός τανυστής να γράφεται ως
g αβ = -k α N β - N α N β + σ ΑΒ e αΑ e βΒ
(9)
Επιθυµώντας τώρα να εφοδιάσουµε το χωρόχρονο µε µια οικογένεια
άπειρων γεωδαισιακών καµπυλών οι οποίες τέµνουν κάθετα την Σ,
συνειδητοποιούµε πως κάτι τέτοιο είναι αδύνατο µιας και όπως είδαµε οι
φωτοειδείς γεωδαισιακές την ίδια στιγµή εξ ολοκλήρου εντός της
φωτοειδούς Σ. Αυτό που αποµένει είναι να θεωρήσουµε αντί αυτού µια
οικογένεια χρονοειδών γεωδαισιακών (παρατηρητές) x α = x α (τ ) οι οποίες
τέµνουν την Σ όχι κάθετα, αλλά υπό τυχαία γωνία η κάθε µίαρυθµίζοντας τον ιδιόχρονο-τ κάθε µίας έτσι ώστε για τ < 0 να
βρισκόµαστε στην περιοχή V − ενώ για τ > 0 στην V + .
Μπορούµε να αντιµετωπίσουµε την παράµετρο-τ ως βαθµωτό πεδίο στη
γειτονιά της Σ τ = τ ( x α ) . Έτσι, η εξίσωση της υπερεπιφάνειας Σ θα είναι
τ ( x α ) = 0 και τελικά το κάθετο διάνυσµα γίνεται
k a = − ( −u ν k ν )
∂τ
∂x α
(10)
έκφραση που επιλέχθηκε ώστε να επιβεβαιώνει τον ορισµό της 4ταχύτητας του παρατηρητή u α ≡ dx α dτ . Σηµειώνουµε τα εξής:
- Η αυθαίρετη επιλογή οικογένειας χρονοειδών γεωδαισιακών
ερµηνεύεται ως επιλογή αυθαίρετων παρατηρητών, τετραταχύτητας u α ,
οι οποίοι προσπίπτοντας στην Σ (κάθε ένας σε άλλο σηµείο)
πραγµατοποιούν τις δικές τους µετρήσεις. Η αυθαιρεσία της επιλογής της
τετραταχύτητας του παρατηρητή ο οποίος συναντά την Σ συνεπάγεται
και την υποκειµενικότητα στην µέτρηση. Κατά συνέπεια η
υποκειµενικότητα του παρατηρητή θα συνεχίσει να είναι παρούσα
u ⋅ k ≡ ( −u ν k ν )
(11)
σε όλη την ανάλυση που θα ακολουθήσει.
41
- Προκειµένου να εξασφαλίσουµε πως οι χρονοειδέις γεωδαισιακές θα
είναι οµαλές κατά την µετάβαση τους µέσω της Σ, απαιτούµε η 4ταχύτητα των παρατηρητών u ±α να είναι ίδια επί της Σ και από τις δύο
πλευρές. Αυτό σηµαίνει πως το άλµα της προβολής της u α πάνω στην Σ
είναι µηδενικό, δηλαδή ισχύει
[u α k α ] = [u α e αΑ ] = [u α e αB ] ≡ 0
(12)
5.2 Η 1η συνοριακή συνθήκη
Με βάση την παραπάνω θεώρηση και υποθέτοντας για την ώρα πως
υπάρχει ένα κοινό σύστηµα συντεταγµένων { x α } στη γειτονιά
εκατέρωθεν της Σ, εκφράζουµε τον µετρικό τανυστή σε κλαδωτή µορφή
+
g αβ = Θ(−ℓ) ⋅ g -αβ + Θ(ℓ) ⋅ g αβ
(13)
όπου Θ(ℓ) η βηµατική συνάρτηση και τ -ιδιόχρονος των αυθαίρετων
χρονοειδών που επιλέξαµε. Όπως και στην περίπτωση των
χρονοειδών/χωροειδών Σ, οι συνοριακές συνθήκες επί της Σ θα
προκύψουν από την απαίτηση µη ανωµαλίας του τανυστή καµπυλότητας.
Υπολογίζοντας
την
πρώτη
παράγωγο
της
(13)
έχουµε
+
ν −1
∂ γ g αβ = Θ(τ ) ⋅ ∂ γ g αβ + Θ(−τ ) ⋅ ∂ γ g αβ − (− k ν u ) [g αβ ]⋅ δ (τ ) . Το µέγεθος αυτό
εµφανίζει απειρισµό για τ = 0 άλλα είναι έγκυρα κλαδωτό αφού δεν
γίνεται απροσδιόριστο εκεί. Αν όµως το δεχθούµε τότε κατά τον
υπολογισµό της σύνδεσης θα προκύψουν όροι που περιέχουν το γινόµενο
δ (τ ) ⋅ Θ(τ ) , οι οποίοι θα οδηγήσουν σε ανωµαλία απροσδιοριστίας τη
σύνδεση και κατά συνέπεια τον τανυστή καµπυλότητας επί της Σ. Έτσι,
απαιτούµε να ισχύει [g αβ ] ≡ 0 , ώστε να εξαλείψουµε τον δ-όρο της
πρώτης παραγώγου. Αυτή είναι η 1η συνοριακή συνθήκη η οποία όµως
εκφράζεται ως προς το κοινό σύστηµα { x α }. Επιδιώκοντας να
απαλλαχθούµε από αυτή την εξάρτηση εκφράζουµε τη συνθήκη υπο
εσωτερικούς όρους της Σ. Έτσι, γίνεται [g αβ ] ≡ 0 ⇔ [g αβ ]eaα ebβ ≡ 0 ⇔ [h ab ] ≡ 0
{µε eaα = k α ήe αA , e αB ενώ ισχύει [k α ] = [e αC ] = 0, C = A, B }. Τέλος όπως είδαµε
προκύπτει εξ ορισµού πως h11 = h1C = 0 , οπότε
Έχουµε λοιπόν την 1η συνοριακή συνθήκη που ισχύει πάντα επί της Σ
[σ ab ] ≡ 0
(14)
η οποία δηλώνει πως η εσωτερική µετρική πρέπει να είναι ίδια και επί
των δύο πλευρών της διαχωριστικής υπερεπιφάνειας Σ.
* Αν υπάρχει όντως κοινό σύστηµα συντεταγµένων στη γειτονιά της Σ, η
παραπάνω συνθήκη εκφράζει (σχέση (9)) την απαίτηση της συνέχειας
του µετρικού τανυστή- g αβ περνώντας από τη µία περιοχή στην άλλη.
42
5.3 Επιφανειακός τανυστής τάσης-ενέργειας
5.3.1 Εφαπτόµενοι τανυστές Einstein και ενέργειας ορµής
Με την επιβολή της 1ης συνθήκης η σύνδεση Γα βγ υπολογίζεται ως
+
−
Γ α βγ = Θ(ℓ) ⋅ Γ α βγ + Θ(ℓ) ⋅ Γ α βγ
(15)
όπου Γ βγ ( x α ), Γ βγ ( x α ) τα σύµβολα Christofell όπως υπολογίζονται στις
+
−
περιοχές V + , V - µε χρήση του αντίστοιχου µετρικού τανυστή g αβ
, g αβ
.
Παραγωγίζοντας ακόµη µια φορά και χρησιµοποιώντας την (10) έχουµε
+
−
∂ δ Γ α βγ = Θ(ℓ) ⋅ ∂ δ Γ α βγ + Θ(ℓ) ⋅ ∂ δ Γ α βγ − (−kν u ν ) −1 δ (ℓ)[Γ α βγ ]k δ
(16)
Τέλος, εφαρµόζοντας τις (15) και (16) στον ορισµό του R a βγδ (σχέση (8)
Κεφ-1) και µετά από τετριµµένες πράξεις και ανακατατάξεις όρων
βρίσκουµε τον τανυστή καµπυλότητας σε κλαδωτή µορφή
+
−
R a βγδ ≡ Θ(ℓ) ⋅ R a αβγ + Θ(−ℓ) ⋅ R a αβγ + (kν u ν )δ (ℓ) ⋅ Αα βγδ
(17)
α+
+
α−
−
όπου R a αβγ , R a αβγ οι τανυστές καµπυλότητας όπως υπολογίζονται στις
+
−
περιοχές V + , V - µε χρήση του αντίστοιχου µετρικού τανυστή g αβ
, g αβ
, ενώ
A a βγδ ≡ −([Γ α βδ ]⋅ k γ − [Γ α βγ ]⋅ k δ )
(18)
όντας τανυστής καθώς η διαφορά 2 συµβόλων Christofell είναι τανυστής.
Προέκυψε λοιπόν ένας τανυστής καµπυλότητας ο οποίος είναι έγκυρα
κλαδωτός (µε την έννοια ότι δεν είναι απροσδιόριστος επί της Σ ) αλλά
απειρίζεται επί της Σ εξαιτίας του δ-όρου που κατέχει. Επιδιώκοντας τη
φυσική ερµηνεία του απειρισµού υπολογίζουµε τον τανυστή και το
βαθµωτό µέγεθος Ricci ώστε να καταλήξουµε σε µια έκφραση για τον
τανυστή Einstein. Ο τανυστής Einstein σε κλαδωτή µορφή βρίσκεται
+
Σ
Gaβ = Θ(ℓ) ⋅ G αβ
+ Θ(−ℓ) ⋅ G -αβ + (− kν u ν ) −1 δ (ℓ) ⋅ G αβ
(19)
Σ
όπου
G αβ
≡ Α αβ − (1 2) ⋅ Α ⋅ g αβ
(20)
µε τα Aaβ , Α να δίνονται από τις συστολές του τανυστή της σχέσης (18).
Η απαίτηση όµως της ισχύος των εξισώσεων Einstein, Gαβ = 8π ⋅ Ταβ , σε
κάθε σηµείο του χωρόχρονου µας υποχρεώνει να αποδεχθούµε για τον
τανυστή ενέργειας-ορµής µια αντίστοιχη κλαδωτή µορφή
Taβ = Θ(ℓ) ⋅ Tαβ+ + Θ(−ℓ) ⋅ Tαβ- + (− kν u ν )δ (ℓ) ⋅ S αβ
(21)
±
±
όπου Tαβ οι αντίστοιχοι τανυστές ενέργειας-ορµής των περιοχών V .
Σ
Ο όρος (−kν u ν ) −1 δ (τ ) ⋅ G αβ
στην έκφραση του τανυστή Einstein (που
συνεπάγεται απειρισµό επί της Σ) ερµηνεύεται ως η παρουσία ενός
λεπτού στρώµατος ύλης (λεπτός φλοιός) το οποίο βρίσκεται επί της
υπερεπιφάνειας Σ. Το λεπτό κέλυφος περιγράφεται από έναν εφαπτόµενο
43
τανυστή ενέργειας-ορµής (−kν u ν ) −1 δ (τ ) ⋅ Sαβ . Παρατηρώντας την
εξάρτηση των εκφράσεων από το (−kν u ν ) συµπεραίνουµε πως ο τανυστής
Einstein και ο τανυστής ενέργειας-ορµής στα σηµεία της Σ εξαρτάται από
την αυθαίρετη οικογένεια παρατηρητών που επιλέχθηκε να κάνει
‘µετρήσεις’ επί της υπερεπιφάνειας. Συµπεραίνουµε:
Μια δεδοµένη φωτοειδής υπερεπιφάνεια Σ (που περιέχει πεπερασµένη
Σ
και
ύλη) θα χαρακτηρίζεται από τον εφαπτόµενο τανυστή Einstein G αβ
τον εφαπτόµενο τανυστή τάσης ενέργειας S αβ , ο οποίος συνδέεται µε τον
πρώτο µέσω των εξισώσεων Einstein. Από την άλλη, τα µεγέθη
Σ
(− kν u ν ) −1 ⋅ G αβ
και (−kν u ν ) −1 δ (τ ) ⋅ Sαβ ερµηνεύονται ως ο εφαπτόµενος
τανυστής-παρατηρητή και επφαπτόµενος τανυστής-παρατηρητή.
Τώρα, εφόσον ο S αβ είναι τανυστής ενέργειας-ορµής θα έχει τη µορφή
S αβ = µu α u β + q α u β + q α u β + ph αβ
(22)
α
(εφόσον δεν παρουσιάζει ιξώδες), όπου µ-πυκνότητα, p-πίεση, q -ροή
ενέργειας του ρευστού ενώ u α :4-ταχύτητα και h αβ :τανυστής προβολής
του ρευστού. Εφόσον όµως υποθέτουµε πως το ρευστό κινείται
αποκλειστικά επί της Σ (υπόθεση που θα επιβεβαιωθεί όταν παρακάτω
δείξουµε πως το S αβ είναι όντως εφαπτόµενος στην Σ ), θα πρέπει να
ισχύει u α ≡ k α (το ρευστό κινείται επί φωτοειδών), h αβ ≡ σ ΑΒ e αΑ e βB
(εφαπτοµενική συνιστώσα του g αβ επί της Σ) και q α ≡ jb ebα µε e αb : e αΑ , e αΒ , k α
(ροή ενέργειας εφαπτόµενη στην Σ). Αντικαθιστώντας αυτά στην (22)
βρίσκουµε για τον εφαπτοµενικό τανυστή ενέργειας-ορµής
S αβ = µk α k β + jC (e Cα k β + k α e βC ) + pσ ΑΒ e αΑ e βΒ
(23)
όπου τώρα
µ-επιφανειακή πυκνότητα, p-επιφανειακή πίεση, jαεπιφανειακή ροή ενέργειας του ρευστού.
5.3.2 Τα µ , p, jD υπό εσωτερικούς όρους-Εγκάρσια καµπυλότητα
Σκοπός µας είναι να εκφράσουµε το S aβ ≡ (1 8π )[ Ααβ − (1 2)Αg αβ )] ως προς
την εσωτερική βάση k α , e αΑ , e βΒ ώστε να τη συγκρίνουµε µε την (23).
Ξεκινάµε µε την παρατήρηση ότι η ισχύς της 1ης συνθήκης [gαβ ] ≡ 0 ,
επιβάλλει πως, µιλώντας για µετατοπίσεις εντός της Σ, η g aβ
µεταβάλλεται µε τον ίδιο τρόπο επάνω στις δυο ‘πλευρές’ της Σ. Αυτό
σηµαίνει πως η προβολή επί της Σ οποιασδήποτε παραγώγου της
g aβ πρέπει να µην παρουσιάζει ασυνέχεια εκατέρωθεν της Σ. Κατά
44
συνέπεια, το άλµα της ∂ γ g αβ µπορεί να είναι παράλληλο µόνο στο
βοηθητικό διάνυσµα N α , και θα γράφεται
[∂ ε g αβ ] ≡ −γ αβ ⋅ N ε
(24)
από το οποίο προκύπτει πως
γ αβ ≡ [∂ ε g αβ ]⋅ Ν ε
(25)
Στη συνέχεια αντικαθιστώντας την (24) στις εκφράσεις για το άλµα των
συµβόλων Christofell, βρίσκουµε πως
[Γ ] = − 12 (γ k + γ k + γ k )
α
βγ
a
β
α
γ
γ
β
βγ
α
(26)
Έτσι µε τη χρήση της τελευταίας στην έκφραση (18) έχουµε
A a βγδ =
(
1 a
γ δ k β k γ − γ βδ k α k γ − γ α γ k β k δ + γ βγ k α k δ
2
)
(27)
Η αντικατάσταση της (27) (µε κατάλληλες συστολές) στον ορισµό της
S αβ δίνει τελικά
S αβ =
(
1
k α γ β µ k µ + k β γ α µ k µ - γ µ µ k α k β - γ µν k µ k ν g αβ
16π
)
(28)
Στη συνέχεια αφού ορίσουµε τις προβολές
γ C ≡ γ αβ e Cα k β και γ ΑΒ ≡ γ αβ e αΑ e βB
(29)
αναλύουµε(µε χρήση της (9)) τον όρο γ α µ k µ της (28) ως προς την
εσωτερική βάση k α , e αΑ , e βΒ ως
1
1
1
S αβ = ( −
σ ΑΒ γ ΑΒ ) k α k β + (
σ CD γ D )( k a e Cβ + e Cα k β ) + ( −
γ αβ k α k β )σ ΑΒ e αΑ e βB (30)
16 π
16 π
16 π
Η σχέση (30) αποδεικνύει την εφαπτοµενικότητα του S αβ επί της Σ.
Τελικά συγκρίνοντας την (23) µε την (30) λαµβάνουµε πως
µ≡−
1 ΑΒ
1 CD
1
σ γ ΑΒ , jC ≡
σ γD , p ≡ −
γ αβ k α k β
16 π
16π
16 π
(31)
Μέχρι στιγµής φέραµε το S αβ στη µορφή S αβ ≡ S ab eαa eβb . Το επόµενο βήµα
είναι να εκφράσουµε τις συνιστώσες του επιφανειακόυ τανυστή
ενέργειας-ορµής S ab - οι οποίες δεν είναι άλλες από τα µ , p, jD - ως προς
εσωτερικούς 3-τανυστές, που δεν εξαρτώνται από το κοινό σύστηµα
συντεταγµένων { x α }. Από τις εκφράσεις (31) παρατηρούµε πως το
προβληµατικό µέρος είναι ο όρος γ αβ , οπότε αυτόν θα επιχειρήσουµε να
εκφράσουµε συναρτήσει 3-τανυστών της Σ. Είναι φυσικό να αναµένουµε
τη συµµετοχή της εσωτερικής µετρικής- σ ab όπως και της εξωτερικής
καµπυλότητας K ab ≡ ∇ β k α eaα ebβ ≡ (1 2)( Ln g αβ )eaα ebβ . Παρόλα αυτά , µε λίγη
σκέψη, συµπεραίνουµε πως το K ab δεν είναι κατάλληλη επιλογή µιας και
αναφερόµενοι σε φωτοειδή υπερεπιφάνεια Σ, το K ab δεν έχει τίποτα το
εγκάρσιο. Πράγµατι, επειδή το κάθετο διάνυσµα k α της Σ είναι και
εφαπτόµενο, τότε το Lk g αβ ≡ ∇ α k β + ∇ β k α είναι στην ουσία µια
45
εφαπτοµενική παράγωγος. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα ότι το άλµα του K ab
είναι εξ ορισµού µηδέν αναφερόµενοι σε φωτοειδή υπερεπιφάνεια
[K ab ] ≡ 0 (φωτοειδής Σ)
(32)
Έτσι το [K ab ] δεν µπορεί να σχετίζεται µε το γ αβ . Το µόνο διάνυσµα που
δεν ανήκει στην Σ είναι το βοηθητικό N a . Οπότε αν κάποιο µέγεθος
αντιπροσωπεύει την εγκάρσια παραγώγιση της µετρικής, αυτό θα είναι το
L N g αβ . Για το λόγο αυτό ορίζουµε την εγκάρσια καµπυλότητα- C ab ως
C ab ≡
1
( LN g αβ )e αa ebβ
2
(33)
Η τελευταία µπορεί γραφτεί ισοδύναµα ως
(
)
C ab ≡ − N a ⋅ ∇ β e αa ⋅ e βb
(34)
µε το C ab συµµετρικό 3-τανυστή
{ C ab ≡ (1 2)( L N g αβ )e αa ebβ = (1 2)(∇ β N α + ∇ α N β )e αa ebβ = (1 2)(− N α (∇ β e αa )e βb − N β (∇ α e βb )e αa )
= −(1 2)(N α (∇ β e αb )eβa + N β (∇ α e βa e) αb ) = C ab ≡ − N a ⋅ (∇ β e αa )⋅ e βb }.
Από τη σχέση (34) βρίσκουµε την έκφραση για το άλµα της εγκάρσιας
καµπυλότητας
[Cab ] ≡ 1 γ αβ e αa e βb
(35)
2
[C ab ] = − N a ⋅ [∇ β e αa ]⋅ e βb = −[Γ α δβ ]e αa e βb = −[Γ γ αβ ]N γ e αa e βb = (1 2)γ αβ e αa e βb }.
{αφού
και για τις επιµέρους συνιστώσες αυτού έχουµε
( 26 )
[C λλ ] ≡ 1 γ αβ k α k β
2
[C AB ] ≡ 1 γ αβ e αA e βB
2
[C Cλ ] ≡ 1 γ αβ e αC k βb = 1 γ C
2
2
(36)
Τώρα είµαστε σε θέση να εκφράσουµε τα µ , p, jD της υπερεπιφάνειας ως
προς εσωτερικούς 3-τανυστές (ανεξάρτητοι του κοινοί συστήµατος
συντεταγµένων). Με αντικατάσταση των σχέσεων (36) στις (31) έχουµε:
H µ-επιφανειακή πυκνότητα, p-επιφανειακή πίεση, jα-επιφανειακή ροή
ενέργειας του ρευστού µιας φωτοειδούς υπερεπιφάνειας Σ σχετίζεται µε
το άλµα της εγκάρσιας καµπυλότητας- C ab ως
µ=−
1 ΑΒ
σ ⋅ [C AB ]
8π
jD =
1 CD
σ ⋅ [C λC ]
8π
p=−
1
[C λλ ]
8π
(37)
Σηµείωση: Ο επιφανειακός τανυστής ενέργειας-ορµής ενός παρατηρητή
που τέµνει την επιφάνεια µε 4-ταχύτητα u α θα ισούται µε (−u ν k ν ) ⋅ Sab .
Έτσι, τα µεγέθη που θα µετρήσει στην πραγµατικότητα θα είναι
µ παρ = (−u ν k ν ) −1 ⋅ µ
j D παρ = (− u ν k ν ) −1 ⋅ j D
pπαρ = (−u ν k ν ) −1 ⋅ p (38)
46
5.3.3 Η 2η και 3η συνοριακή συνθήκη
Προκειµένου να εξασφαλίσουµε πως ο τανυστης Einstein δεν θα
απειρίζεται επί της υπερεπιφάνειας Σ, θα πρέπει να ισχύει S aβ ≡ 0 στο
κοινό σύστηµα { x α }. Το τελευταίο ισοδυναµεί µε µηδενισµό του S ab και
αυτό µε τη σειρά του οδηγεί στην 2η συνοριακή συνθήκη επί της Σ
[C ab ] ≡ 0
(39)
η οποία δηλώνει πως το άλµα της εγκάρσιας καµπυλότητας επί της Σ
πρέπει να είναι µηδέν. Αυτό όµως δεν είναι αρκετό για να
εξασφαλίσουµε την οµαλότητα του τανυστή καµπυλότητας επί της Σ,
αφού, όπως σχολιάσθηκε, η οµαλότητα του τανυστή Weyl είναι
ανεξάρτητη από αυτή του Ricci. Έτσι, θα πρέπει να ισχύει και µια 3η
συνθήκη (η οποία θα προκύψει από τον υπολογισµό και την απαίτηση
µηδενισµού του δ-όρου του κλαδωτού τανυστή Weyl) η οποία θα
εξασφαλίζει πως ο τανυστής Weyl δεν απειρίζεται επί της Σ. Παρόλα
αυτά, στην παρούσα εργασία δε θα ασχοληθούµε µε την 3η συνθήκη ούτε
και µε τη διερεύνηση για τη φυσική ερµηνεία της µη ισχύς αυτής.
5.4 Παραµετροποίηση των γεωδαισιακών φωτοειδούς Σ
Έστω ότι έχουµε επιλέξει ως εσωτερικές συντεταγµένες για την Σ τις
λ ,θ Α ,θ Β (όπου θ Α ,θ Β αναφέρονται σε γεωδιασική της οικογένειας που
γεννά την Σ ενώ η λ είναι η παράµετρος που καθορίζει σε ποιο σηµείο
της φωτοειδούς γεωδαισιακής βρισκόµαστε). Είδαµε πως κάθε
γεωδαισιακή ικανοποιεί την εξίσωση
k β ∇ a k β ≡ κ(λ) ⋅ k α
(40)
Η εξίσωση θα ισχύει και για τις δύο πλευρές της Σ µε το κ = κ (λ ) να
υπολογίζεται σε κάθε µία ως
κ = C λλ
(41)
a
β
α
β
{ κ ≡ − N α (∇ β k )k = − N α (∇ β e λ )e λ ≡ C λλ }. Έτσι µια ενδεχόµενη ασυνέχεια
που θα προκύψει µεταξύ των συναρτήσεων κ + (λ ), κ − (λ ) ως [κ ] ≡ κ + − κ − ,
θα ταυτίζεται µε ασυνέχεια του εγκάρσιου τανυστή [κ ] ≡ [C λλ ] . Τελικά
δεδοµένου ότι δείξαµε πως p = −(1 8π )[C λλ ] καταλήγουµε στην έκφραση
[κ ] = −8π ⋅ p
(42)
Εποµένως, για δεδοµένη επιλογή παραµέτρου-λ, το κ (λ ) της
γεωδαισιακής εξίσωσης παρουσιάζει ασυνέχεια εκατέρωθεν της Σ αν και
µόνο αν η Σ έχει µη µηδενική επιφανειακή πίεση. Συνεπώς:
Στην περίπτωση φωτοειδούς διαχωριστικής υπερεπιφάνειας µε µη
µηδενική επιφανειακή πίεση, επιλέγοντας την παράµετρο-λ έτσι ώστε να
είναι αφινική επί µιας πλευράς της Σ τότε αυτή καθίσταται µη αφινική
στην άλλη πλευρά.
47
Μας ενδιαφέρει ακόµη το ερώτηµα: Η επιλογή µιας διαφορετικής
παραµετροποίησης για τις φωτοειδείς γεωδαισιακές ( λ → λ ) θα οδηγήσει
σε διαφορετικά συµπεράσµατα για τις ιδιότητες της υπερεπιφάνειας,
δηλαδή για τον S αβ και κατά συνέπεια για τα µ , p, jD ;
Από το σύστηµα εσωτερικών συντεταγµένων { λ ,θ Α ,θ Β } µεταβαίνουµε
στο { λ ,θ Α ,θ Β } θεωρώντας πως λ = λ (λ ,θ Α ,θ Β ) - που υποδηλώνει πως η
νέα παραµετροποίηση µπορεί να είναι διαφορετική για κάθε γεννήτρια
γεωδαισιακή. Η τελευταία εκφράζεται σε διαφορική µορφή ως
dλ = E ⋅ dλ + C D ⋅ dθ D
µε
 dλ 
 dλ 
 και C D ≡  D 
E ≡ 
 dλ θ D
 dθ  λ
(43)
Έτσι η στοιχειώδης µετατόπιση γράφεται σε κάθε σύστηµα ως
 ∂x α 
 ∂x α 
 και eαD ≡  D 
 ∂λ θ D
 ∂θ  λ
(44)
 ∂x α 
 ∂x α 
 και e Dα ≡  D 
 ∂λ  θ D
 ∂θ  λ
(45)
dx α = k α dλ + e αD dθ D
µε k α ≡ 
dx α = k α dλ + e Dα dθ D
µε k α ≡ 
Η αντικατάσταση του dλ στη (45) και ακολούθως η ταύτιση των (44)(45) δίνει τον µετασχηµατισµό των βάσεων των δύο συστηµάτων
k α = Ε ⋅ k α , e Dα = e αD − E ⋅ C D ⋅ k a µε D = A, B
(46)
Μπορούµε να επιβεβαιώσουµε την ισχύ ορθογωνιότητας µεταξύ των
νέων βάσεων, όπως επίσης και το αναλλοίωτο της εσωτερικής µετρικής
δηλαδή σ ΑΒ ≡ g αβ e Aα e Bβ = g αβ e αA e βB ≡ σ ΑΒ .
Ακόµη ορίζουµε το βοηθητικό διάνυσµα N a µέσα από τις σχέσεις
N a N a = 0 , N a e Aa = 0 , N a e Ba = 0 και µε την πρόσθετη απαίτηση να
ικανοποιείται και σε αυτή τη βάση η εξίσωση g αβ = -k α N β - N α N β + σ ΑΒ e Αα e Ββ
από τις οποίες προκύπτει πως
Na = E⋅Na +
1 ΑΒ
(σ C A C B ) ⋅ E −1 ⋅ k a − (σ ΑΒ C B )e Aa
2
(47)
Τώρα µπορούµε να βρούµε πως µετασχηµατίζεται η εγκάρσια
καµπυλότητα C ab κάτω από την αλλαγή παραµέτρου λ → λ , και συνεπώς
(µέσω των σχέσεων (37)) τον µετασχηµατισµό των µ , p, jD . Αναµένουµε
πως τα τελευταία ως προς τη νέα παραµετροποίηση θα είναι συναρτήσεις
των παλαιών µ , p, jD καθώς και των E , C A , C B . Συγκεκριµένα βρίσκουµε
µ = Ε ⋅ µ + 2C A ⋅ j A + (σ ΑΒ C A C B ) E ⋅ p
(48)
D
D
ΑΒ
−1
j = j + (σ C B ) E p
(49)
−1
p=E p
(50)
Το αποτέλεσµα αυτό µαζί µε τον µετασχηµατισµό των διανυσµάτων
βάσης (46) οδηγεί στο ότι
S αβ = Ε −1S αβ
(51)
ν −1
ν
Ακόµη είναι προφανές πως (−k ν u ) = Ε ⋅ (−k ν u ) .
48
Από τα δύο τελευταία συµπεραίνουµε πως ο επιφανειακός τανυστής
ενέργειας-ορµής παρατηρητή παραµένει αναλλοίωτος κάτω από το
µετασχηµατισµό παραµετροποίησης.
Τέλος µε πολλαπλασιασµό των σχέσεων (48),(49),(50) επί τον
παράγοντα (−k ν u ν ) καταλήγουµε στους τύπους µετασχηµατισµού των
φυσικά µετρούµενων επιφανειακών ποσοτήτων
Α
µ παρ = Ε 2 ⋅ µ παρ + 2C A ⋅ jπαρ
+ (σ ΑΒ C A C B ) ⋅ pπαρ
(48)
D
D
ΑΒ
j παρ = Ε ⋅ j παρ + (σ C B ) ⋅ p
(49)
pπαρ = pπαρ
(50)
Βλέπουµε πως ο ίδιος παρατηρητής θα µετρήσει διαφορετικά την
επιφανειακή πυκνότητα και το ρεύµα επί της Σ ανάλογα µε το ποια
παραµετροποίηση θα επιβάλλει στις φωτοειδείς. Αντίθετα η επιφανειακή
πίεση µετριέται ίδια κάτω από οποιαδήποτε παραµετροποίηση.
5.5 Η απορροφούµενη ενέργεια γίνεται έργο
Ως γνωστόν η εγκάρσια εξέλιξη µιας δέσµης φωτοειδών γεωδαισιακών
που ‘τέµνουν’ την φωτοειδή Σ (επειδή k α εφαπτόµενο στην Σ,
ουσιαστικά οι γεωδαισιακές εφάπτονται στην Σ) περιγράφεται από την
εξίσωση Raychaudhuri
dθ 1 2
+ θ + σ αβσ αβ = κ (λ ) ⋅ θ − 8π ⋅ Ταβ k α k β
dλ 2
(51)
όπου θ -βαθµωτό µέγεθος διαστολής και σ αβ - τανυστής διάτµισης ενώ
θεωρούµε µηδενικό τανυστή περιστροφής ( ω αβ = 0 ).
Ακόµη µπορούµε να δείξουµε πως το θ ουσιαστικά ταυτίζεται µε τον
ανά µονάδα εµβαδού(υπερεπιφάνειας) ρυθµό επέκτασης της
υπερεπιφάνειας καθώς οι φωτοειδείς γεωδαισιακές την ‘διαπερνούν’.
Έτσι θα ισχύει
θ=
1 d
⋅
(dS)
dS dλ
(52)
όπου dS ≡ σ dθ Α dθ Β το στοιχείο εµβαδού της υπερεπιφάνειας.
Το Tαβ k α k β είναι το εσωτερικό γινόµενο του τανυστή τάσης ενέργειας του
ρευστού (που αναφέρεται σε κάθε σηµείο του χωρόχρονου V − ,V + , Σ ) επί
το κάθετο διάνυσµα k α . Έτσι εφόσον Taβ = Θ(ℓ) ⋅ Tαβ+ + Θ(−ℓ) ⋅ Tαβ- + (−kν u ν )δ (ℓ) ⋅ Sαβ ,
-όπου θεωρούµε ως διανυσµατικό πεδίο uν την 4-ταχύτητα του ρευστού
που υπάρχει στο χωρόχρονο- τότε η τιµή του Tαβ k α k β σε σηµεία οριακά
εκατέρωθεν της Σ θα είναι (Tαβ k α k β ) = Ta±β k α k β {αφού Sαβ k α k β ≡ 0 }. Για να
καταλάβουµε τι δηλώνει το τελευταίο θεωρούµε την περίπτωση ιδανικού
ρευστού εκατέρωθεν της Σ οπότε και θα έχουµε πως
±
49
(
Tab± ≡ ( ρ ± + P ± )u a u β + P ± g aβ ⇒ Tαβ k α k β
) = ( ρ + P )(u k ) .
±
±
ν 2
±
ν
∆ηλαδή
το
(T k k ) εκφράζει την πυκνότητα ενέργειας {επί έναν παράγοντα
(u k ) } σε σηµεία οριακά εκατέρωθεν της Σ και εντός της περιοχής V .
α
β ±
αβ
ν 2
±
ν
Τώρα βρίσκουµε πως εφόσον το αριστερό τµήµα της εξίσωσης (51) είναι
εξ ορισµού συνεχές κατά την µετάβαση από το V − στο V + , τότε θα
πρέπει να ισχύει
[κ ] ⋅ θ = 8π [Ταβ k α k β ]
(53)
∆ηλαδή, το κ (λ ) είναι ασυνεχές( p ≠ 0 ) επί της Σ αν και µόνο αν υπάρχει
ασυνέχεια στην πυκνότητα ενέργειας του ρευστού οριακά εκατέρωθεν
της διαχωριστικής υπερεπιφάνειας Σ.
Πως ερµηνεύεται αυτή η απώλεια ενέργειας κατά την µετάβαση από την
µία περιοχή στην άλλη;
Για να απαντήσουµε αντικαθιστούµε την (53) στην (52), έτσι που έχουµε
P⋅
[
]
d
(dS) + Taβ k α k β ⋅ dS = 0
dλ
(54)
Ο πρώτος όρος µπορεί να ερµηνευτεί ως το έργο που παράγεται σε
στοιχειώδες ‘εµβαδό’ της υπερεπιφάνειας κατά την µεγέθυνση ή
συρρίκνωση αυτού. Ο δεύτερος ερµηνεύεται ως η διαφορά ενέργειας του
ρευστού που αντιστοιχεί σε στοιχειώδη ‘όγκο’ του χωρόχρονου (µε βάση
τη στοιχειώδη υπερεπιφάνεια dS ) περνώντας από το V − στο V + µέσω της
+
−
Σ. Ο τύπος (54) δηλώνει πως {πχ για (Tαβ k α k β ) > (Tαβ k α k β ) } η περίσσεια
ενέργειας που αποκτά το ρευστό κατά τη µετάβαση του από την περιοχή
V − στην V + , προέρχεται από το αρνητικό έργο (απώλεια ενέργειας) που
παράχθηκε επί της Σ κατά τη συρρίκνωση/µεγέθυνση αυτής. Αντίθετα
+
−
{για (Tαβ k α k β ) < (Tαβ k α k β ) } η απώλεια ενέργειας του ρευστού κατά τη
µετάβαση από το V − στο V + οφείλεται στην απορρόφηση ενέργειας από
τη διαχωριστική υπερεπιφάνεια Σ για την παραγωγή θετικού έργου κατά
τη µεγέθυνση/συρρίκνωση αυτής.
50
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΠΙ ΦΩΤΟΕΙ∆ΩΝ
∆ΙΑΧΩΡΙΣΤΙΚΏΝ ΥΠΕΡΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ
6.1 Κατάρρευση σφαιρικού κελύφους µε ταχύτητα φωτός
Θα µελετήσουµε και πάλι την κατάρρευση σφαιρικού κελύφους-ύλης µε
τη διαφορά ότι τώρα υποθέτουµε πως η κατάρρευση πραγµατοποιείται µε
την ταχύτητα του φωτός. Προφανώς η υπερεπιφάνεια Σ-η οποία
αντιστοιχεί στην 2-D χωρική επιφάνεια του κελύφους για όλες τις
χρονικές στιγµές και χωρίζει το χωρόχρονο σε εντός ( V − ) και εκτός ( V + )
του κελύφους- αποτελεί τώρα µια φωτοειδή υπερεπιφάνεια.
Και πάλι θεωρούµε το χωρόχρονο εντός του αστέρα επίπεδο, οπότε η
µετρική στην περιοχή V − θα είναι λύση Minkovsky
2
2
2
dS − = − dt −2 + dr + r (dθ 2 + sin 2θ dφ 2 )
(1)
όπου r, θ, φ σφαιρικό χωρικό σύστηµα συντεταγµένων και t − : ιδιόχρονος
οποιουδήποτε ακίνητου παρατηρητή εντός του κελύφους. Από την άλλη,
εξ αιτίας της σφαιρικής χωρικής συµµετρίας του συστήµατος, η µετρική
στην περιοχή V + θα είναι λύση Schwarchild
−1
dS +
2
(
 2M  2  2M 
2
2
2
2
2
= − 1 −
dt + + 1 −
 dr+ + r+ dθ + sin θ dφ
r 
r 


)
(2)
όπου Μ η βαρυτική µάζα που κατέχει το λεπτό κέλυφος εξαιτίας της
παρουσίας ύλης επί αυτού, ενώ τα r+, θ, φ σφαιρικό χωρικό σύστηµα
συντεταγµένων. Εν γένει ισχύει t − ≠ t + και r+ ≠ r .
Εφόσον το κέλυφος συρρικνώνεται µε ταχύτητα φωτός, είναι προφανές
πως οποιαδήποτε χρονοειδής γραµµή παρατηρητή που τέµνει την Σ θα
έχει κατεύθυνση από το V − προς το V + . Η βάπτιση λοιπόν των περιοχών
V − , V + είναι συµβατή µε το θεωρητικό του Κεφαλαίου 5.
- Από την πλευρά V −
Το κέλυφος πλησιάζει κεντρικά µε ταχύτητα φωτός ( c ≡ 1 ),οπότε
συµπεραίνουµε πως η υπερεπιφάνεια Σ θα έχει εξίσωση
Φ − ≡ t - + r − σταθ = 0
(3)
Έτσι ώστε να ισχύει dr dt − = −1 .
Από την (3) ορίζουµε το κάθετο διάνυσµα kα ≡ −∂ a Φ − και τις
ανταλλοίωτες συνιστώσες αυτού k α ≡ g αβ_ k α ως
(k t , k r , kθ , k φ ) = (−1,−1,0,0) και (k t , k r , k θ , k φ ) = (1,−1,0,0)
(4)
{ορίσαµε το Φ έτσι ώστε για Φ > 0 να βρισκόµαστε στην περιοχή V + }.
Ακόµη ορίζοντας τις εσωτερικές συντεταγµένες της Σ ως
-
-
51
{λ , θ Α , θ Β } ≡ {− r, θ, φ}
(5)
η παραµετρικές εξισώσεις της υπερεπιφάνειας Σ θα γράφονται σε
x1− ≡ t - = − r + σταθ , x −2 ≡ r = -(-r) , x −3 ≡ θ = θ , x −4 ≡ φ = φ
(6)
α
α
a
Έτσι υπολογίζουµε τα διανύσµατα βάσης από τον τύπο ea ≡ dx - dy ως
(e−t -r , e−r r , e−θ r , e−φr ) = (1,−1,0,0) ≡ k α
(eθt - , eθr , eθθ , eθφ ) = (0,0,1,0)
(7)
(e , eφr , eφθ , eφφ ) = (0,0,0,1)
tφ
−
Τώρα, µέσα από τον ορισµό σ AB
≡ g -αβ e αA e βB , µπορούµε να υπολογίσουµε
την έκφραση για την εσωτερική µετρική της Σ
ds Σ2− = (−r ) 2 (dθ 2 + sin 2θdφ 2 )
(8)
α
α
α
α
Τέλος, µε επίλυση του συστήµατος N N α = 0, N k α = −1, Ν α e θ = 0, N α e φ = 0
υπολογίζουµε και το βοηθητικό διάνυσµα- N α ως
( N t , N r , N θ , N φ ) = (1 2 ,1 2 ,0,0) και ( N t , N r , N θ , N φ ) = (− 1 2 ,1 2 ,0,0)
(9)
-
-
- Από την πλευρά V +
Η υπερεπιφάνεια Σ (εξαιτίας της σφαιρικής συµµετρίας)
θα
περιγράφεται από τις παραµετρικές εξισώσεις
x1+ ≡ t + = T (τ ) , x +2 ≡ r+ = R(r ) , x +3 ≡ θ = θ , x +4 ≡ φ = φ
(10)
ως προς το εσωτερικό σύστηµα συντεταγµένων {−r ,θ , φ} .
Έτσι υπολογίζουµε τα διανύσµατα βάσης από τον τύπο eaα ≡ dx α+ dy a ως
(e−t +r , e−r+r , e−θ r , e−φr ) = (− dT dr , − dR dr ,0,0) ≡ k a
(eθt + , eθr+ , eθθ , eθφ ) = (0,0,1,0)
(11)
(eφt + , eφr+ , eφθ , eφφ ) = (0,0,0,1)
Τώρα µπορούµε να υπολογίσουµε την εσωτερική µετρική µέσα από το
+
+ α β
γενικό τύπο h αβ
≡ g αβ
e a e b ως
2
  dT  2

2
−1  dR  

ds = − F ⋅ 
− F ⋅
⋅ d (− r ) 2 + (− R(r) ) (dθ 2 + sin 2θdφ 2 )


  dr 

 dr  

όπου ορίσαµε το βοηθητικό µέγεθος F ≡ 1 − 2M R(r ) .
2
Σ+
(12)
Καταρχήν επειδή η Σ είναι εξορισµού φωτοειδής θα πρέπει να ισχύει
+
h λλ
≡ h -+r -r = 0 , κάτι που επιβάλλει από την (12) την ισχύ της σχέσης
2
  dT  2

−1  dR  
F⋅
− F ⋅
=0


  dr 
 dr  

Ακόµη, επιβάλλοντας την 1η συνοριακή ( ds 2Σ = 0 ) προκύπτει πως
(13)
[ ]
R(r ) = r
(14)
κάτι που σηµαίνει πως r+ ≡ r , δηλαδή οι ακτινικές συντεταγµένες των
δύο περιοχών V − , V + δηλώνουν το ίδιο πράγµα. Αντικαθιστώντας την
52
στην
(14)
έχουµε
(12)
F >0
F ⋅ (dT dr ) − 1 F = 0 ⇒ F 2 ⋅ (dT dr ) = 1 ⇒ dT dr = − F ⇒
2
2
Τ≡ t +
−1
T = − ∫ F −1 dr ⇒ t + = − ∫ (1 − 2 M r ) dr + σταθ
. Τελικά υπολογίζουµε την
εξίσωση της υπερεπιφάνειας Σ ως προς την περιοχή V + ως
Φ + ≡ t + + r+ - 2M ⋅ ln(r+ 2M − 1) − σταθ = 0
(15)
όπου r+ ≡ r επί της Σ. Ισοδύναµα η Σ γράφεται σε παραµετρική µορφή
ως προς το εσωτερικό σύστηµα συντεταγµένων ως
x1+ ≡ t + = −r + 2M ⋅ ln (r 2 M − 1) + σταθ
x +2 ≡ r+ = r
(16)
x +3 ≡ θ = θ
x +4 ≡ φ = φ
Οπότε εκτός των eθα , e αφ της (11) υπολογίζουµε και το κάθετο διάνυσµα
k a ≡ (e−t r , e−r r , e−θ r , e−φr ) = ( f −1 ,1,0,0)
(17)
όπου ορίσαµε το βοηθητικό µέγεθος f ≡ 1 − 2M r .
Τέλος, µε επίλυση του συστήµατος N α N α = 0, N α k α = −1, Ν α e θα = 0, N α e αφ = 0
(µε χρήση των (11),(17)) υπολογίζουµε και το βοηθητικό διάνυσµα- N α
+
+
( N t + , N r+ , N θ , N φ ) = (−(1 2 ) ⋅ f ,1 2 ,0,0)
Με την επιβολή της 1η συνοριακής συνθήκης καταφέραµε να βρούµε τις
εξισώσεις που περιγράφουν την Σ ως προς την περιοχή V + . Σε δεύτερη
φάση µπορούµε να υπολογίσουµε την εγκάρσια καµπυλότητα και από τις
δύο πλευρές της Σ. Αυτό θα γίνει µε την αντικατάσταση επί της
C ab ≡ − N a ⋅ (∇ β e αa ) ⋅ e βb των αντίστοιχων µεγεθών που βρήκαµε για κάθε
πλευρά της Σ. Πιο αναλυτικά, ο τελευταίος τύπος γίνεται
(
)
1


C ab = − N α ∂ β e αa − Γ α γβ ⋅ eaγ e βb = − N α  ∂ β e αa − g αδ (∂ β g δγ + ∂ γ g δβ − ∂ δ g γβ )e aγ e βb =
2


1


= − N α  ∂ b e αa − g αα (∂ b g αγ )e aγ ⋅ + (∂ a g αβ )e βb − (∂ a g γβ )e aγ e βb  ⇒
2


1


(18)
C ab = − N α  ∂ b e αa − g αα (∂ b g αα )e αa ⋅ + (∂ a g αα )e αb − (∂ a g γγ )e aγ e bγ 
2


(
)
(
)
Τα υπόλοιπα είναι θέµα στοιχειωδών αλλά πολλών αντικαταστάσεων.
Τελικά υπολογίζουµε πως
- Από την πλευρά V −
Οι µόνες µη µηδενικές συνιστώσες του C -ab είναι οι
1
σ ΑΒ
(19)
2r
Εφόσον προέκυψε C λλ− ≡ C -_r -r = 0 , συµπεραίνουµε πως η παράµετρος
−
C AB
=
53
λ ≡ −r είναι αφινική για τις φωτοειδείς γεωδαισιακές της Σ από την
πλευρά της V − (αφού ισχύει κ - (λ) ≡ C λλ− ).
- Από την πλευρά V +
Οι µόνες µη µηδενικές συνιστώσες του C ab+ είναι οι
+
C AB
=
f
σ ΑΒ
2r
(20)
Συµπεραίνουµε πως και από την πλευρά της V + η παράµετρος λ ≡ −r
είναι αφινική για τις φωτοειδείς γεωδαισιακές της Σ (αφού ισχύει
+
κ + (λ) ≡ C λλ
).
Τώρα από τις (19), (20) προκύπτει πως
[C AB ] = − M2 σ ΑΒ ενώ [C λλ ] = [C λD ] = 0
r
(21)
Οπότε συµπεραίνουµε πως η φωτοειδής διαχωριστική υπερεπιφάνεια Σ
είναι ένας λεπτός φλοιός ύλης µε µηδενική επιφανειακή πίεση και ροή
ενέργειας αλλά µε µη µηδενική επιφανειακή πυκνότητα. Συγκεκριµένα,
µε εφαρµογή στους τύπους (37) του Κεφ-5 βρίσκουµε πως
µ=−
1 ΑΒ  − Μ 
Μ
Μ
, p = 0 , j D = 0 . Συνεπώς, για
σ  2 σ ΑΒ =
δ ΑΑ =
2
2
8π
8π ⋅ r
4π ⋅ r
 r 
(
)
το φωτοειδές ρευστό επί της Σ ισχύει
µ (r ) =
Μ
4π ⋅ r 2
,
p=0 ,
jD = 0
(22)
∆ηλαδή η βαρυτική µάζα του φωτοειδούς λεπτού φλοιού ισούται µε το
γινόµενο της επιφανειακής του πυκνότητας επί το εµβαδό της σφαιρικής
χωρικής επιφάνειας του κελύφους για κάθε χρονική στιγµή.
Έχουµε λοιπόν περιγράψει πλήρως το σύστηµα αφού αφενός γνωρίζουµε
την εξέλιξη του υλικού κελύφους (εξίσωση της Σ) ως προς και τις δύο
περιοχές του χωρόχρονου ( V − , V + ), αφετέρου έχουµε καταφέρει να
εκφράσουµε τη βαρυτική µάζα του κελύφους συναρτήσει της
επιφανειακής του πυκνότητας και της ακτίνας αυτού.
6.2 Αλλαγή κοσµολογικής φάσης
6.2.1 Στοιχεία κοσµολογίας
Θεωρούµε πως το σύµπαν αποτελείται από ιδανικό ρευστό µε τανυστή
ενέργειας-ορµής
T αβ = ( ρ + P)u α u β + Pg αβ
(23)
α
α
όπου u ≡ dx dt : 4-ταχύτητα των σηµείων του ρευστού. Γνωρίζουµε πώς
54
εξελίσσεται το σύµπαν σηµαίνει γνωρίζουµε τη κοσµική γραµµή κάθε
σηµείου του ρευστού. Συνεπώς µας ενδιαφέρει ο τρόπος µεταβολής της
4-ταχύτητας κάθε σηµείου του ρευστού- ∇ β u α . Η τελευταία µπορεί να
γραφτεί ως
1
∇ β u α = σ αβ + ωαβ + Θh αβ − Αα u β
3
(24)
µε
σ αβ ≡ D < β u α > : τανυστής διάτµησης
ωαβ ≡ D [β u α] : τανυστής περιστροφής
Αα ≡ du α dt : 4-επιτάχυνση
Θ ≡ ∇ α u α : βαθµωτό µέγεθος διαστολής/συστολής
(25)
Αποδεικνύεται πως τα µεγέθη αυτά περιγράφουν αντίστοιχα µεταβολή
στο σχήµα µιας περιοχής (υπό σταθερό όγκο), περιστροφή µιας περιοχής
(υπό σταθερό όγκο και σχήµα), µεταβολές λόγω εξωτερικών δυνάµεων
και µεταβολή του όγκου του ρευστού.
Στη συνέχεια θεωρούµε ρευστό µε ωαβ = Αα ≡ 0 , µιας και µε τέτοια
κοσµολογικά µοντέλα θα ασχοληθούµε.
- Προβάλλοντας την ταυτοτική σχέση ∇ β Ταβ ≡ 0 µια φορά στην 4ταχύτητα και µία στο επίπεδο ηρεµίας του ρευστού βρίσκουµε αντίστοιχα
dρ
= −Θ ⋅ ( ρ + P)
δt
(26)
που είναι η εξίσωση συνέχειας του ρευστού, και
( ρ + P) ⋅ Aa = − Da P
(27)
η οποία δικαιολογεί την ονοµασία αδρανειακή µάζα ρευστού για την
ποσότητα- ( ρ + P) .
- Χρησιµοποιώντας την εξίσωση Einstein ( G αβ = κΤαβ ) και υπολογίζοντας
την προβολή του τανυστή Riemann στο επίπεδο ηρεµίας του ρευστού
καταλήγουµε (θεωρώντας επίπεδο σύµπαν µε µηδενική κοσµολογική
σταθερά) στην εξίσωση Friedmann
Θ2
= κ ⋅ ρ +σ 2
3
(28)
Επιπλέον το είδος της ύλης που υπάρχει (ή κυριαρχεί) στο σύµπαν
καθορίζει την καταστατική συνάρτηση
P = P( ρ )
(29)
Τέλος να σηµειωθεί πως αναφερόµενοι σε οµογενή 3-D χώρο,
αναµένουµε όλα τα µεγέθη να είναι αποκλειστικά συναρτήσεις του
ιδιόχρονου του ρευστού-t.
Σχολιάζουµε δύο συγκεκριµένα
χρησιµοποιήσουµε):
µοντέλα
(τα
οποία
και
θα
55
- Σφαιρικό (ισότροπο), οµογενές, επίπεδο σύµπαν
Η µετρική αποτελεί µια λύση FRW ώστε
(
ds 2 = − dt 2 + α 2 (t ) dx 2 + dy 2 + dz 2
)
(30)
όπου α ( t ) : κοσµολογικός συντελεστής κλίµακας. Υπολογίζουµε πως
σ aβ ≡ 0
και
Θ=3
(31)
dα dt
(32)
α
Ενώ οι εξισώσεις συνέχειας και Friedmann γίνονται
dα dt
dρ
= −3
⋅ ( ρ + P)
dt
α
(33)
και
2
 dα dt 
3
 =κ ⋅ρ
 α 
- Κυλινδρικό, οµογενές, επίπεδο σύµπαν
Η µετρική ισούται µε
(
)
ds 2 = − dt 2 + α 2 (t ) dx 2 + dy 2 + dz 2
(34)
(35)
και υπολογίζουµε πως
1  dα dt 
σ = 

3 α 
2
2
και
Θ=2
dα dt
α
(36)
(37)
Οι εξισώσεις συνέχειας και Friedmann για εδώ γίνονται
dα dt
dρ
= −2
⋅ ( ρ + P)
dt
α
(38)
και
2
 dα dt 

 =κ ⋅ρ
 α 
(39)
6.2.2 Από κυλινδρικό σε σφαιρικό σύµπαν
Ας υποθέσουµε πως αρχικά έχουµε ένα επίπεδο, οµογενές , µε ιδανικό
ρευστό διαστελλόµενο σύµπαν το οποίο διαστέλλεται κυλινδρικά γύρω
από τον άξονα z − , ενός συστήµατος συντεταγµένων { t , x, y, z − }. Η
µετρική του χωρόχρονου θα είναι
2
ds 2 = − dt 2 + α~ 2 (t )(dx 2 + dy 2 ) + dz −
(40)
όπου t-ιδιόχρονος χρονοειδών ρευστού. Κάποια στιγµή (ας πούµε για
t = 0 ) πραγµατοποιείται µια έκρηξη επάνω σε µία επιφάνεια του 3-D
56
χώρου (ας πούµε στην z − = 0 ) τέτοια ώστε η διαταραχή που προκάλεσε
να εξαπλώνεται αξονικά (κατά τη διεύθυνση z − ) προς τα θετικά και τα
αρνητικά του z − µε την µέγιστη δυνατή ταχύτητα διάδοσης-ταχύτητα
φωτός. Ουσιαστικά πρόκειται για δύο διαταραχές µε αντίθετη
κατεύθυνση, όπου η µία σαρώνει το χώρο µε θετικό z − εντοπισµένη κάθε
στιγµή t στο επίπεδο z − = t (ώστε dz − dt = +1 ) ενώ η άλλη σαρώνει τον
χώρο µε αρνητικό z − εντοπισµένη κάθε στιγµή t στο επίπεδο z − = −t
(ώστε dz − dt = −1 ). Αντίστοιχα ορίζουµε τη φωτοειδή υπερεπιφάνεια Σ η
οποία περιλαµβάνει όλα τα σηµεία-( t , x, y, z − ) του χωρόχρονου (µε z − > 0 )
τα οποία αντιστοιχούν στη θετική διαταραχή και ορίζεται ως
Φ ≡ t - z- = 0
(41)
Φυσικά ορίζεται και η φωτοειδής υπερεπιφάνεια Σ’ η οποία
περιλαµβάνει όλα τα σηµεία του χωρόχρονου (µε z − < 0 ) τα οποία
αντιστοιχούν στη αρνητική διαταραχή και ορίζεται ως Φ ≡ t + z - = 0 .
Συνεπώς, ο χωρόχρονος διαχωρίζεται σε δύο περιοχές
- V − : περιλαµβάνει όλα τα σηµεία του χωρόχρονου τα οποία αντιστοιχούν
στην περιοχή του 3-D χώρου που δεν έχει σαρωθεί ακόµη.
- V + : περιλαµβάνει όλα τα σηµεία του χωρόχρονου τα οποία αντιστοιχούν
σε περιοχή του 3-D χώρου που έχει ήδη σαρωθεί.
Σχήµα 4: Αλλαγή κοσµολογικής φάσης (λόγω έκρηξης)
Η περιγραφή µας δεν έχει συγκεκριµένο φυσικό περιεχόµενο µέχρι να
κάνουµε την εξής υπόθεση:
Το σύνολο των σηµείων του χωρόχρονου που αντιστοιχούν στην περιοχή
του χώρου που έχει σαρωθεί ανήκουν σε περιοχή του χωρόχρονου ( V + )
στην οποία το σύµπαν παραµένει οµογενές και διαστέλλεται πλέον µε
σφαιρική συµµετρία. Έτσι η µετρική στην περιοχή V + θα είναι
2
ds 2 = − dt 2 + α 2 (t )(dx 2 + dy 2 + dz + )
(42)
57
Ο t είναι ο ιδιόχρονος των χρονοειδών του ρευστού συνεπώς ταυτίζεται
µε τη χρονική συντεταγµένη της V − . Ακόµη τα x, y επίσης ταυτίζονται
στις δύο περιοχές ενώ εν γένει περιµένουµε z − ≠ z + . Προφανώς η µετρική
της V − (που εκφράζει την περιοχή του χωρόχρονου στην οποία το σύµπαν
διαστέλλεται κυλινδρικά) είναι η (40) ενώ η Σ περιγράφεται από την (41)
Προκύπτει το ερώτηµα: Αν γνωρίζουµε τον ακριβή τρόπο εξέλιξης του
σύµπαντος σε µία από τις δυο περιοχές (πχ στην V + ), που σηµαίνει
γνώση της συνάρτησης α ( t ) και κατά επέκταση των ρ + , P + , τότε
µπορούµε να γνωρίζουµε
α) τον ακριβή τρόπο εξέλιξης του σύµπαντος στην περιοχή V −
( α~( t ), ρ − , P - );
β) την εξίσωση των υπερεπιφανειών Σ,Σ’ ως προς την περιοχή V + ;
γ) τα εσωτερικά χαρακτηριστικά των Σ,Σ’ ( µ , jD , p ) ώστε να ερµηνεύεται
η αλλαγή κοσµολογικής φάσης.
Στην ανάλυση που ακολουθεί θα ασχοληθούµε µόνο µε την
υπερεπιφάνεια Σ ( z − > 0 ) ενώ τα συµπεράσµατα µας θα είναι τελείως
αντίστοιχα για την Σ’.
Το δεδοµένο µας θα είναι η παράµετρος κλίµακας κατά την φάση της
ισοτροπικής(σφαιρικής) διαστολής ( V + ). Υποθέτουµε δηλαδή πως ισχύει
α (t) = t 1/ 2
(43)
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Friedmann (34) βρίσκουµε πως η
πυκνότητα ενέργειας στην περιοχή V + είναι
ρ+ =
3 1
4κ t 2
(44)
Ακόµη εφαρµόζοντας τις (43) και (44) στην εξίσωση συνέχειας (33)
βρίσκουµε για την ισοτροπική πίεση του ρευστού στη φάση V +
P+ =
1 1
4κ t 2
(45)
Η καταστατική εξίσωση του ρευστού διαµορφώνεται ως
P+ =
ρ+
3
(46)
γεγονός που υποδεικνύει πως το ρευστό αποτελείται από ακτινοβολία
στη φάση της σφαιρικής διαστολής V + .
- Από τη πλευρά V −
Η υπερεπιφάνεια Σ περιγράφεται από την εξίσωση
Φ− ≡ t - z- = 0
ή αλλιώς ισοδύναµα από τις παραµετρικές εξισώσεις
x1− ≡ t = t , x −2 ≡ x = x , x −3 ≡ y = y , x +4 ≡ z − = t
(47)
(48)
58
όπου επιλέξαµε εσωτερικό σύστηµα συντεταγµένων {λ , θ Α ,θ Β } ≡ {t, x, y} .
−
Για το κάθετο φωτοειδές διάνυσµα k a = −∂ a Φ − και k a = g αβ
k β βρίσκουµε
πως
(k t , k x , k y , k z ) = (−1,0,0,1) και (k t , k x , k y , k z ) = (1,0,0,1)
(49)
ενώ για τα διανύσµατα βάσης από eαA ≡ ∂x α- ∂θ Α έχουµε
-
-
(e tx , e xx , e xy , e zx- ) = (0,1,0,0)
(e ty , e xy , e yy , e zy- ) = (0,0,1,0)
(50)
−
Τώρα, µέσα από τον ορισµό σ AB
≡ g αβ
e αA e βB , είµαστε σε θέση να
υπολογίσουµε την εσωτερική µετρική της Σ ως
ds Σ2− = α 2 ( t ) ⋅ (dx 2 + dy 2 )
(51)
α
α
α
α
Ακόµη επιλύοντας το σύστηµα N N α = 0, N k α = −1, Ν α e x = 0, N α e y = 0
υπολογίζουµε το φωτοειδές βοηθητικό διάνυσµα- N α
( N t , N x , N y , N z ) = (− 1 2 ,0,0,− 1 2)
(52)
-
-Από τη πλευρά V +
Εξαιτίας της κυλινδρικής συµµετρίας η υπερεπιφάνεια Σ αναµένεται να
περιγράφεται από παραµετρικές εξισώσεις της µορφής
x1+ ≡ t = t , x +2 ≡ x = x , x +3 ≡ y = y , x +4 ≡ z + = Z (t )
(53)
ως προς το εσωτερικό σύστηµα συντεταγµένων {t, x, y} .
Εδώ το κάθετο διάνυσµα προκύπτει από τη σχέση k α ≡ ∂x α ∂t ως
(k t , k x , k y , k z + ) = (1,0,0, dZ dt )
(54)
α
α
Α
Ενώ υα διανύσµατα βάσεις e A ≡ ∂x + ∂θ βρίσκονται
(e tx , e xx , e yx , e zx+ ) = (0,1,0,0)
(e ty , e xy , e yy , e zy+ ) = (0,0,1,0)
Καταρχήν, εφόσον το k α επιβάλλεται να είναι φωτοειδές διάνυσµα θα
2
+
πρέπει
να
ισχύει
k α k α ≡ g αβ
k α k β = 0 ⇒ − 1 + α 2 ( t ) ⋅ (dZ dt ) = 0
⇒ (dZ dt ) = 1 α ( t ) . Έτσι το κάθετο διάνυσµα γίνεται
(k t , k x , k y , k z + ) = (1,0,0,1 α )
(55)
και οι παραµετρικές εξισώσεις της Σ βρίσκονται συγκεκριµένα
x1+ ≡ t = t , x +2 ≡ x = x , x +3 ≡ y = y , x +4 ≡ z + = ∫
1
dt + σταθ
α (t)
(56)
+
+ α β
Τώρα υπολογίζοντας τα στοιχεία σ AB
≡ g αβ
e A e B βρίσκουµε για την
εσωτερική µετρική πως
ds Σ2+ = α 2 ( t ) ⋅ (dx 2 + dy 2 )
(57)
η
Στο σηµείο αυτό επιβάλλουµε την 1 συνοριακή συνθήκη απαιτώντας
[σ ΑΒ ] = 0 . Η απαίτηση αυτή οδηγεί στον προσδιορισµό της παραµέτρου
κλίµακας του σύµπαντος στην περιοχή V − . Συγκεκριµένα έχουµε
α~( t ) ≡ α ( t ) = t 1 / 2
(58)
59
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Friedmann (39) βρίσκουµε πως η
πυκνότητα ενέργειας στην περιοχή V − είναι
ρ− =
1 1
4κ t 2
(59)
Ακόµη εφαρµόζοντας τις (58) και (59) στην εξίσωση συνέχειας (33)
βρίσκουµε για την ισοτροπική πίεση του ρευστού στη φάση V −
P− =
1 1
4κ t 2
(60)
Η καταστατική εξίσωση του ρευστού διαµορφώνεται ως
P− = ρ −
(61)
γεγονός που υποδεικνύει πως το ρευστό αποτελείται από σκόνη στη φάση
της κυλινδρικής διαστολής V − .
Μέχρι στιγµής απαντήθηκαν τα δύο πρώτα ερωτήµατα που θέσαµε. Στη
συνέχεια υπολογίζουµε την εγκάρσια καµπυλότητα της Σ από κάθε
πλευρά C ab± , µέσα από τη σχέση (18) χρησιµοποιώντας τα αντίστοιχα
g αβ , k α , e αx , e αy , N α που υπολογίσαµε για κάθε πλευρά. Επιπλέον
υπολογίζουµε για κάθε πλευρά τη ‘αποµάκρυνση των φωτοειδών
γεωδαισιακών’ θ ≡ ∇ β k α = (∂ α k α + Γ α γα k γ ) , καθώς και το µέγεθος Ταβ k α k β .
Μετά από στοιχειώδεις αλλά αρκετές αντικαταστάσεις υπολογίζουµε:
-Από την πλευρά V −
Για την εγκάρσια καµπυλότητα
1
σ ΑΒ και (κάθε άλλη µηδέν)
(62)
4t
Από το τελευταίο συµπεραίνουµε πως επειδή Ctt = 0 , η παράµετρος t
−
C AB
=
είναι αφινική για τις φωτοειδείς γεωδαισιακές από την πλευρά αυτή.
Για την αποµάκρυνση των φωτοειδών επί της Σ
1
t
θ− = >0
(63)
γεγονός που δηλώνει πως οι φωτοειδείς γεωδαισιακές ‘διασχίζοντας’ την
Σ από την V − προς την V + , τείνουν να αποµακρυνθούν. Κάτι που
σηµαίνει πως η Σ διαστέλλεται ή καλύτερα τεντώνεται.
−
2
Τέλος βρίσκουµε (Tαβ k α k β ) = ( ρ − + P − )(uν k ν ) = ρ − + P - ⇒
(Τ k k ) = 21κ 1
α
αβ
β −
t2
(64)
που δηλώνει τη µάζα ηρεµίας του ρευστού όπως την αντιλαµβάνεται
παρατηρητής συνκινούµενος µε το ρευστό ευρισκόµενο οριακά
παραπλεύρως της Σ από την πλευρά V − .
60
-Από την πλευρά V +
Για την εγκάρσια καµπυλότητα
1
1
σ ΑΒ και C tt+ =
(κάθε άλλη µηδέν)
(65)
4t
2t
Συµπεραίνουµε πως επειδή Ctt ≠ 0 , η παράµετρος t δεν είναι αφινική για
+
C AB
=
τις φωτοειδείς γεωδαισιακές από την πλευρά αυτή.
Για την αποµάκρυνση των φωτοειδών επί της Σ
1
t
θ+ = >0
(66)
γεγονός που δηλώνει πως οι φωτοειδείς γεωδαισιακές ‘διασχίζοντας’ την
Σ από την V − προς την V + , τείνουν να αποµακρυνθούν. Κάτι που
σηµαίνει πως η Σ διαστέλλεται ή καλύτερα τεντώνεται (προέκυψε όπως
αναµέναµε πως θ + = θ − )
−
2
Τέλος βρίσκουµε (Tαβ k α k β ) = ( ρ − + P − )(uν k ν ) = ρ − + P - ⇒
(Τ k k ) = κ1 1
α
β −
αβ
(67)
t2
που δηλώνει τη µάζα ηρεµίας του ρευστού όπως την αντιλαµβάνεται
παρατηρητής συνκινούµενος µε το ρευστό ευρισκόµενο οριακά
παραπλεύρως της Σ από την πλευρά V + .
Εφαρµόζουµε τώρα το φορµαλισµό που αναπτύξαµε σχετικά µε την
συσχέτιση της υπερεπιφάνειας Σ µε ένα λεπτό φλοιό ύλης ο οποίος
χαρακτηρίζεται από επιφανειακή πυκνότητα- µ ,επιφανειακή ροή- j D και
επιφανειακή πίεση- p . Εφόσον η µόνη συνιστώσα της C ab που
παρουσιάζει άλµα επί της Σ είναι η C tt ≡ C λλ , συµπεραίνουµε πως η
υπερεπιφάνεια Σ έχει µηδενική επιφανειακή πυκνότητα και ροή
ενέργειας, αλλά παρουσιάζει µη µηδενική επιφανειακή πίεση.
Συγκεκριµένα µε εφαρµογή στις (37) έχουµε
p=−
1 1
,
2κ t
jD = 0 ,
µ=0
(68)
∆εδοµένου ότι η πίεση σε ένα ρευστό τείνει να το διογκώσει
αντιλαµβανόµαστε πως το αρνητικό πρόσηµο (68) καθιστά την p µια
πίεση συρρίκνωσης της Σ, δηλαδή η p < 0 ερµηνεύεται σωστότερα ως
επιφανειακή τάση επί της Σ.
Σηµειώνουµε όµως πως ως προς συνκινούµενο µε το µέσο παρατηρητή
{ u α : (1,0,0,0) ως προς V + ή V − } η παρατηρούµενη πίεση επί της Σ είναι
pπαρ ≡ (-u ν k ν )p = − p
(69)
η οποία µετρείται θετική.
Ακόµη από τις (64), (67) παρατηρούµε πως
[Τ k k ] ≡ ( ρ + P ) − ( ρ + P ) = 31κ t1 > 0
α
αβ
β
+
+
−
−
2
(70)
61
∆ηλαδή, το σύµπαν µεταβαίνοντας από τη φάση της κυλινδρικής
διαστολής στη φάση της σφαιρικής διαστολής , λαµβάνει επιπλέον
ενέργεια- αφού η µάζα ηρεµίας του ρευστού σε δεδοµένο σηµείο του
χώρου είναι µεγαλύτερη στη φάση της σφαιρικής διαστολής.
Εναλλακτικά µπορούµε να πούµε πως για να µεταβεί κάποιο σηµείο του
χώρου από την κυλινδρική φάση στην σφαιρική πρέπει να του δοθεί
επιπλέον ενέργεια 1 (2κ ⋅ t 2 ) . Από πού λήφθηκε αυτή η ενέργεια;
Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα θα χρησιµοποιήσουµε τον τύπο
p ⋅ θ = −[Ταβ k α k β ]
(71)
ο οποίος βέβαια επιβεβαιώνεται από τα αποτελέσµατα µας. Η τελευταία
2
σχέση γίνεται p ⋅ θ = −((ρ + + P + ) − ( ρ − + P - ) ) ⋅ (− u a k α ) ⇒
(
)(
)
⇒ p ⋅ (−u a k α ) −1 = − (ρ + + P + ) − ( ρ − + P - ) ⋅ − u a k α ⇒
p παρ ⋅ θ = ( ρ + + P + ) − ( ρ − + P - )
(72)
{µε u α : 4-ταχύτητα συνκινούµενου µε το ρευστό παρατηρητή κατά την
µετάβαση του από τη φάση V − στη V + µέσω της Σ}. Χάριν
οπτικοποίησης, φανταζόµαστε έναν στοιχειώδη υπερόγκο ρευστού που
διασχίζει την Σ µε 4-ταχύτητα u α και σαρώνει επί αυτής ένα στοιχειώδες
υπερεµβαδό. Τότε η ποσότητα ∆Ε ≡ (ρ + + P + ) − ( ρ − + P - ) δηλώνει το
πλεόνασµα ενέργειας(ανά µονάδα όγκου του ρευστού) που αποκτά το
ρευστό κατά τη µετάβαση του από τη φάση V − στη φάση V + µέσω της Σ.
Από την άλλη η ποσότητα ∆W ≡ p παρ ⋅ θ δηλώνει το έργο που παράγει το
εσωτερικό ρευστό της Σ, ανά µονάδα εµβαδού αυτής, κατά την ελεύθερη
διαστολή της( θ > 0 )-όπως βέβαια την αντιλαµβάνεται παρατηρητής
συνκινούµενος µε το ρευστό του σύµπαντος ( p παρ > 0 ). Φαντάζοντας την
υπερεπιφάνεια Σ ως τυπικό θερµοδυναµικό σύστηµα, συµπεραίνουµε
πως εφόσον το επιφανειακό ρευστό εκτονώθηκε ελεύθερα τότε
ελαττώθηκε η ενέργεια της υπερεπιφάνειας Σ. ∆ηλαδή η ποσότητα
∆Ε Σ ≡ −∆W < 0 είναι η ανά ‘επιφάνειας’ απώλεια ενέργειας της
υπερεπιφάνειας Σ. Εποµένως, συµπεραίνουµε πως το πλεόνασµα της
ενέργειας που αποκτά το συµπαντικό ρευστό κατά τη διέλευση του από
την κοσµολογική φάση V − στην κοσµολογική φάση V + , προέρχεται από
την ενέργεια που χάνει το επιφανειακό ρευστό επί της διαχωριστικής
υπερεπιφάνειας Σ εξαιτίας της ολοένα διαστολής (τεντώµατος) εκείνης.
62
63
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[1] Eric Poisson, An advanced course in Genera Relativity, University
of Guelph (2002)
[2] Edmund J Copeland and David Wands, Cosmological matching
conditions, JCAP 06 014 (2007)
[3] Nathalie Deruelle and V.F. Mukhanov, Matching conditions for
cosmological perturbations, Physical Review D 52 10 (1995)
[4] C. Barrabes and W.Israel, Thin shells in general relativity and
cosmology:The lightlike limit, Phys.Rev.D 43 1129 (1991)
[5] K. Lake, Precursory singularities in spherical gravitational collaps,
Phys.Rev.Lett. 68 3129 (1992)
[6] V. Mukhanov, H. Feldman, R. Brandenberger, Phys.Rep. 215,
203 (1992)
[7] L. Grishchuk, Phys.Rev. D 50 7154 (1994)
[8] Spregel D N et al, Preprint (astro-ph/0603449) (2006)
[9] Martin J and Schwarz J, Phys.Rev. D 57 3302 (1998)
[10] Durrer R and Vernizzi F, Phys.Rev D 66 083503 (2002)
[11] W. Israel, Singular hypersurfaces and thin shells in general
relativity, Nuovo Cimento (1966)
[12] G. Szekeres, On the singularities of a Riemannian manifold,
Publ.Mat.Debrecen (1960)
[13] Bernard F Schutz, A first course in General Relativity,
Cambridge University Press (2009)
[14] Hartle B James, Gravity, Addison-Wesley (2003)
64
65
66
67