TD Statistiques des valeurs extrêmes
Exercices Chapitre 2
2
1. On considère la fonction f (x) = kexp( −x2 ), x ∈ R et k est une constante. Pour quelle
valeur de k, f défénit-elle la densité de probabilité d’une v.a. X?
Solution: On a deux conditions à verifier:
2
1. ∀x ∈ R, f (x) ≥ 0 =⇒ k ≥ 0, car∀x ∈ R, exp −x2 > 0, donc il faut que K ≥ 0.
R +∞
2. −∞ f (x)dx = 1 =⇒ pour résoudre cette intégrale on utilise la méthode des
intégrales doubles et la transformation en coordonnées polaires (pour résoudre
l’intégrale gaussienne).
Considérons l’intégrale suivante :
2
Z ∞
x
I=
exp −
dx
2
−∞
On peut transformer cette intégrale en une intégrale double en la multipliant
par elle-même, on obtient :
2
2
Z ∞
Z ∞
y
x
2
dx
exp −
dy
I =
exp −
2
2
−∞
−∞
En passant en coordonnées polaires avec x = r cos(θ) et y = r sin(θ). De plus,
dxdy = rdrdθ. La zone d’intégration devient alors tout le plan, et l’intégrale
devient:
2
Z 2π Z ∞
r
2
I =
r exp −
dr dθ
2
0
0
L’intégrale radiale peut être résolue assez facilement :
2
Z ∞
r
r2
r exp −
dr = − exp − |∞
=1
2
2 0
0
Ainsi, l’intégrale I 2 devient :
2
Z 2π
I =
1 dθ = 2π
0
En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient :
I=
√
2π
En revenant à l’integrale
Z +∞
√
1
f (x)dx = 1 =⇒ K 2π = 1 =⇒ K = √
2π
−∞
2
D’où: f (x) = √12π exp ( −x2 ) est une densité de la loi normale centrée réduite.
2. On suppose que la durée de vie d’un individu dans une population donnée est modélisée
par une(v.a. X dont la fonction densité de probabilité est donnée par:
kx2 (100 − x)2 si 0 ≤ x ≤ 100
f (x) =
où k est une contante positive.
0
sinon
Déterminer la valeur de k pour que f soit une densité.
Solution:
3. Soit F définie par
(
x
1 − e− 2 (1 + x2 ) si x > 0
F (x) =
0
si x ≤ 0
1-Montrer que F est la fonction de répartition d’une loi de probabilitée dont on déterminera
la densitée si elle existe.
2-Calculer sa fonction de survie. 3-Calculer xF
Solution: 1/Pour montrer que F est une fonction de répartition, nous devons vérifier
deux conditions :
a/F est continue à droite et:
b/ lim F (x) = 0, lim F (x) = 1.
x→−∞
x→+∞
Page 2
x
Si x > 0, alors F (x) = 1 − e− 2 (1 + x2 ).
x
Dans cette expression, la fonction exponentielle e− 2 est continue sur (0, ∞). La multiplication par (1 + x2 ) et la soustraction de l’ensemble sont également des opérations
continues. Par conséquent, F (x) est continue à droite pour x > 0.
b/
lim F (x) = lim 0 = 0
x→−∞
Et:
x→−∞
x
x x −2
lim F (x) = lim 1 − e (1 + ) = 1 − lim e (1 + )
x→+∞
x→+∞
x→+∞
2
2
x
x
x
x
x
Comme lim e− 2 (1 + ) = lim e− 2 − lim − e− 2 = 0, d’où:
x→+∞
x→+∞
x→+∞
2
2
− x2
lim F (x) = 1 − 0 = 1
x→+∞
Donc F est une fonction de répartition.
Sa densité est donné par:
′
f (x) = F (x)1R+ (x) =
x −x
e 2 1R+ (x)
4
2/
( x
e− 2 (1 + x2 ) si x > 0
F (x) = P (X > x) = 1 − P (X ≤ x) = 1 − F (x) =
1
si x ≤ 0
3/ On sait que xF = sup{x ∈ R, F (x) ≤ 1} et lim F (x) = 1 donc le point terminal
x→+∞
de F est +∞.
Exercices Chapitre 3
4. Soit X(1) , ..., X(n) n-variables aléatoires i.i.d, d’une fonction de répartition F continue,
et soient
Xn,n = Mn = max(X1 , X2 , ..., Xn ).
et
X1,n = mn = min(X1 , X2 , ..., Xn ).
Donner la fonction de répartition de Mn et mn .
Page 3
5. On considère la fonction F : R → R définie pour θ > 0 et λ > 0 par
F (x) = (1 − (1 + xθ )−λ )1{x>0}
1) Montrer que F est une fonction de répartition et donner son point terminal.
2) Montrer que F appartient au domaine d’attraction de Fréchet. Donner en fonction
de θ et λ, l’indice des valeurs extrêmes γ associé.
1
3) On pose L : [0, +∞[→ [0, +∞[ la fonction définie par L(x) = x γ (1 − F (x)) pour tout
x > 0. Montrer que L(x) est une fonction à variations lentes.
′ (x)
4) On pose ∆ : [0, +∞[→ [0, +∞[ la fonction définie par ∆(x) = x LL(x)
pour tout x > 0
′
où L (x) désigne la dérivée de la fonction L(x). Montrer que ∆(x) est une fonction à
variations régulières dont vous préciserez l’indice.
On considère n variables aléatoires indépendantes X1 , ..., Xn de même fonction de répartition
F et on pose an = F ← (1 − a1 ).
1
, ..., Xann }.
5) Déterminer la loi limite de la variable aléatoire Yn = max{ X
an
Page 4