فزکس 2: کولمب کا قانون، برقی چارج، برقی میدان

‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫قانون کوملب‬ ‫ابر الکرتیکی‬ ‫واحد ابر الکرتیکی کولن است که اب )𝐶( منایش می دهند‪.‬‬ ‫انواع ابر الکرتیکی‬ ‫انواع ابر الکرتیکی }‬ ‫ابر الکرتیکی مثبت )‪(+‬‬ ‫ابر الکرتیکی منفی )‪(−‬‬ ‫وقتی دو جسم ابهم متاس پیدا میکنند ابر های الکرتیکی میتواند از یکی به دیگری انتقال پیدا کند‪.‬‬ ‫انواع مواد‬ ‫رساان )هادی( ∶ فلزات‬ ‫مواد نیمه رساان )نیمه هادی( ∶ ژرمانیم و سیلیسیم‬ ‫}‬ ‫انرساان )عایق( ∶ دی الکرتیک‬ ‫قانون کوملب‬ ‫نریوی الکرتیکی‬ ‫| ‪|𝑞1 ||𝑞2‬‬ ‫‪𝑟2‬‬ ‫𝑘=𝐹‬ ‫عواملی که نریو به آهنا بستگی دارد‬ ‫| ‪𝐹 ∝ |𝑞1‬‬ ‫| ‪𝐹 ∝ |𝑞2‬‬ ‫{‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐹∝ 2‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪𝑁𝑚2‬‬ ‫‪𝐶2‬‬ ‫‪𝑘 = 9 × 109‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐶2‬‬ ‫‪⟹ 𝜀0 = 8.85 × 10−12‬‬ ‫‪4𝜋𝜀0‬‬ ‫‪𝑁𝑚2‬‬ ‫=𝑘‬ ‫⃗⃗⃗‬ ‫̂𝑘 𝑧‪𝐹1 = 𝐹1𝑥 𝑖̂ + 𝐹1𝑦 𝑗̂ + 𝐹1‬‬ ‫⃗⃗⃗‬ ‫̂𝑘 𝑧‪𝐹2 = 𝐹2𝑥 𝑖̂ + 𝐹2𝑦 𝑗̂ + 𝐹2‬‬ ‫̂𝑘) 𝑧‪ 𝐹 = (𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 )𝑖̂ + (𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 )𝑗̂ + (𝐹1𝑧 + 𝐹2‬برایند ⟹‬ ‫𝑁‬ ‫𝑁‬ ‫𝑁‬ ‫̂𝑘 ) 𝑧𝑖𝐹 ∑( ‪ 𝐹 = (∑ 𝐹𝑖𝑥 ) 𝑖̂ + (∑ 𝐹𝑖𝑦 ) 𝑗̂ +‬برایند ⟹‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪𝑖=0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫میدان الکرتیکی‬ ‫توزیع ابر‬ ‫ابر ها میتوانند به صورت پیوسته در فضا گسرتده ابشند و مهانند یک ابر انحیه ای را اشغال کنند بطوری که ذرات آن قابل جداسازی از یکدیگر نباشد‪ .‬اینگونه گسرتدگی ابر ها را "‬ ‫توزیع ابر حجمی " گوییم ‪ .‬گسرتدگی ابر میتواند به صورت سطحی ابشد در این حالت ابر ها به صورت یک الیه بسیار انزک در روی یک سطح پخش شده اند‪ .‬در صورتی که ابر‬ ‫ها روی یک خط و ای رشته به صورت پیوسته قرار گرفته ابشند توزیع ابر " خطی " ای " رشته ای " انم دارد‪.‬‬ ‫توزیع ابر به هر شکلی که ابشد ( حجمی‪ ،‬سطحی ای رشته ای ) می تواند به صورت یکنواخت ای غری یکنواخت ابشد مثال اگر توزیع ابر حجمی و یکنواخت ابشد به این معنی‬ ‫است که ابر موجود در یک حجم معنی در متام انحیه یکسان است و اصطالحا گوییم "چگالی ابر " در انحیه اثبت است‪.‬‬ ‫چگالی ابر حجمی‬ ‫بنابراین اگر در یک حجم معنی )𝑉( ابر )𝒬( به طور یکنواخت گسرتده شده ابشد و چگالی حجمی ابر را اب )𝜌( نشان دهیم خواهیم داشت ‪:‬‬ ‫𝐶‬ ‫𝒬‬ ‫= ) ‪𝜌 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) ( 3‬‬ ‫𝑚‬ ‫𝑉‬ ‫چگالی ابر سطحی‬ ‫بنابراین چگالی ابر حجمی )𝜌( ابر موجود در واحد حجم می ابشد و واحد آن کوملب بر مرت مکعب است‪ .‬در مورد توزیع ابر سطحی‪ ،‬چگالی ابر واحد سطح تعریف می شود و‬ ‫واحد آن کوملب بر مرت مربع خواهد بود‪ .‬در این حالت اگر چگالی ابر اثبت ابشد کل ابر موجود در سطح )𝐴( برابر خواهد بود اب ‪:‬‬ ‫𝐶‬ ‫𝒬‬ ‫= ) ‪𝛿 (𝑥 , 𝑦)( 2‬‬ ‫𝑚‬ ‫𝐴‬ ‫که در آن )𝛿( چگالی ابر سطحی ( کوملب بر مرت مربع) بوده و اثبت فرض شده است‪.‬‬ ‫چگالی ابر خطی‬ ‫و اگر ابر روی یک خط ای رشته ابشد از رابطه زیر بدست می آید ‪:‬‬ ‫𝐶‬ ‫𝒬‬ ‫= ) ( )𝑥( 𝜆‬ ‫𝑚‬ ‫𝑙‬ ‫✓ چگالی یکنواخت به مکان بستگی ندارد‪.‬‬ ‫✓ چگالی غری یکنواخت به مکان بستگی دارد‪.‬‬ ‫𝐶‬ ‫𝑞𝑑‬ ‫𝒬‬ ‫𝐶‬ ‫𝑞𝑑‬ ‫𝒬‬ ‫𝐶‬ ‫𝑞𝑑‬ ‫𝒬‬ ‫)𝑚( 𝑙𝑑 ⟹ اثبت ⟹ 𝑙 = 𝜆 چگالی ابر خطی‬ ‫توزیع ابر یکنواخت ) ‪ ⟹ 𝑑𝐴 (𝑚2‬اثبت ⟹ 𝐴 = 𝛿 چگالی ابر سطحی‬ ‫} ) ‪ ⟹ 𝑑𝑉 (𝑚3‬اثبت ⟹ 𝑉 = 𝜌 چگالی ابز حجمی‬ ‫𝑞𝑑‬ ‫𝐶‬ ‫𝒬‬ ‫)𝑚( 𝑙𝑑 ⟹ )𝑥(𝜆 ⟹ 𝑙 ≠ 𝜆 چگالی ابر خطی‬ ‫توزیع ابر غری یکنواخت‬ ‫𝐶‬ ‫𝑞𝑑‬ ‫𝐶‬ ‫𝑞𝑑‬ ‫𝒬‬ ‫) ‪ 𝛿 ≠ 𝐴 ⟹ 𝛿 (𝑥 , 𝑦) ⟹ 𝑑𝐴 (𝑚2‬چگالی ابر سطحی‬ ‫𝒬‬ ‫}) ‪ 𝜌 ≠ 𝑉 ⟹ 𝜌 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) ⟹ 𝑑𝑉 (𝑚3‬چگالی ابز حجمی‬ ‫‪2‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫میدان الکرتیکی‬ ‫ابر آزمون کوچک ) ‪( (𝑞0‬برای سهولت عالمت مثبت )‪ (+‬فرض میشود) در نقطه ای از فضا که مورد آزمایش قرار میدهیم‪.‬‬ ‫میدان الکرتیکی نریوی وارد بر واحد ابر است‪.‬‬ ‫𝑁 𝐹‬ ‫) (‬ ‫𝐶 ‪𝑞0‬‬ ‫= ⃗𝐸‬ ‫تعریف میدان الکرتیکی‬ ‫𝐹‬ ‫𝑚𝑖𝑙 = ⃗𝐸‬ ‫‪𝑞0 ⟶ 0 𝑞0‬‬ ‫اگر ابر را در میدان قرار دهیم رابطه زیر نریوی آن بدست می آید‪.‬‬ ‫⃗𝐸𝒬 = 𝐹‬ ‫قانون کوملب برای میدان الکرتیکی‬ ‫‪𝑘𝒬𝑞0‬‬ ‫𝐹‬ ‫𝒬𝑘‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑚𝑖𝑙 = ⃗𝐸‬ ‫‪= 𝑙𝑖𝑚 𝑟 = 2‬‬ ‫‪𝑞0 ⟶ 0 𝑞0‬‬ ‫‪𝑞0 ⟶ 0 𝑞0‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪.I‬‬ ‫‪.II‬‬ ‫‪.III‬‬ ‫‪.IV‬‬ ‫‪.V‬‬ ‫‪.VI‬‬ ‫برای ابر مثبت خطوط میدان به صورت شعاعی (کروی) و به مست خارج است‪.‬‬ ‫برای ابر منفی خطوط میدان به صورت شعاعی (کروی) و به مست داخل است‪.‬‬ ‫خطوط میدان اصال مهدیگر را قطع منی کنند‪.‬‬ ‫خطوط میدان وقتی هبم مریسند ای ابهم ادغام می شوند ای از هم دور می شوند‪.‬‬ ‫مماس به خطوط میدان در هر نقطه راستای أتثریپذیری نریو را نشان میدهد‪.‬‬ ‫تعداد خطوط موجود در واحد سطح مقطع (عمود به خطوط میدان) نسبت مستقیم اب اندازه میدان دارد به عبارت دیگر تعداد خطوطی که از هر ابر گسیل می شود‬ ‫نسبت مستقیم اب قدر مطلق ابر دارد‪.‬‬ ‫دو قطبی الکرتیکی‬ ‫یک جمموعه ابر )𝑞‪ (+‬و )𝑞‪ (−‬را که به فاصله کوچک )𝑑( از یکدیگر قرار گرفته اند دو قطبی الکرتیکی انمیده میشود‪.‬‬ ‫برای هر دو قطبی الکرتیکی برداری به انم لنگر ای گشتاور دو قطبی تعریف میشود که به صورت زیر بیان میشود ‪:‬‬ ‫𝑑𝑞 = )بردار لنگر ای گششتاور دو قطبی(𝑝‬ ‫𝑑 ‪ :‬برداری است اب اندازه )𝑑( و جهت از )𝑞‪ (−‬به )𝑞‪(+‬‬ ‫وقتی دو قطبی در میدان الکرتیکی ) ⃗𝐸( قرار میگرید بر ابر )𝑞‪ (+‬نریوی ) 𝐹( و بر ابر )𝑞‪ (−‬نریوی ) 𝐹‪ (−‬وارد میشود نقط اثر این نریوها یکی نیست و بر دو قطبی یک‬ ‫گشتاور اثر میکند که منجر به چرخش میشود‪.‬‬ ‫𝑑𝑞=𝑝‬ ‫𝑑‬ ‫→ )𝜃(𝑛𝑖𝑠 )𝐸𝑞(𝑑 = )𝜃(𝑛𝑖𝑠 𝐹 ) ( ‪𝜏 = 2‬‬ ‫)𝜃(𝑛𝑖𝑠 𝐸𝑝‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑑‬ ‫در اینجا چون دو نریو ابعث گشتاور میشود ضریب ‪ 2‬در رابطه ابال قرار داده شده است 𝑟 هم فاصله نقطه اثز نریو از حمور چرخش است که برابر ) ‪ (2‬میشود‬ ‫رابطه برداری )𝜏( را میتوان به صورت زیر نوشت‬ ‫⃗𝐸 × 𝑝 = 𝜏‬ ‫‪3‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫این گشتاور اعمالی از طرف میدان ) ⃗𝐸( بر دو قطبی اب لنگر )𝑝( است که تالش میکند دو قطبی را اب میدان ) ⃗𝐸( هم راستا کند‪.‬‬ ‫کار الزم برای چرخاندن دو قطبی از زاویه ) ‪ (𝜃0‬به زاویه )𝜃(‬ ‫𝜃‬ ‫)𝜃 𝑠𝑜𝑐 ‪⟹ 𝑝𝐸(𝑐𝑜𝑠(𝜃0 ) −‬‬ ‫‪𝜃0‬‬ ‫𝜃‬ ‫𝜃‬ ‫| ))𝜃(𝑠𝑜𝑐 ‪𝑊 = ∫ 𝜏𝑑𝜃 = ∫ 𝑝𝐸 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑑𝜃 = 𝑝𝐸(−‬‬ ‫‪𝜃0‬‬ ‫‪𝜃0‬‬ ‫اگر زاویه )‪ (𝜃0 = 90°‬ابشد ‪:‬‬ ‫⃗𝐸 ∙ 𝑝‪𝑊 = −𝑝𝐸 𝑐𝑜𝑠(𝜃0 ) = −‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫قانون گائوس‬ ‫شار الکرتیکی‬ ‫برای پی بردن به مفهوم شار الکرتیکی‪ ،‬سطح بسته ای حول ابر الکرتیکی )𝒬( فرض کنید‪.‬‬ ‫تعداد خطوط نریو که در واحد سطح‪ ،‬به درون سطح بسته فرضی وارد ای از آن خارج میشوند به عنوان چگالی شار الکرتیکی تعریف می شود و اب در دست داشنت چگالی شار‪،‬‬ ‫خود شار به راحتی تعینی میشود‪ .‬تعداد خطوط میدان الکرتیکی که از یک سطح حمدود میگذرد شار الکرتیکی انمیده میشود‪.‬‬ ‫✓ شار الکرتیکی یک کمیت اسکالر است‪.‬‬ ‫𝐴 ∙ ⃗𝐸 = 𝜑‬ ‫بردار سطح‬ ‫برداری که اندازه ی آن برابر مساحت سطح است و جهت آن عمود بر سطح است‪.‬‬ ‫بردار عمود بر سطح در سطوح بسته برداریست به مست بریون از حجم آن سطح بسته‬ ‫عواملی که شار به آهنا بستگی دارد‬ ‫𝐸∝𝜑‬ ‫𝐴 ∝ 𝜑{‬ ‫𝜃∝𝜑‬ ‫)𝜃( زاویه بنی بردار شعاع و میدان الکرتیکی‬ ‫سطح احننا داشته ابشد دو حالت دارد 𝐴𝑑 ∙ ⃗𝐸 = 𝜑𝑑‬ ‫→‬ ‫{‬ ‫𝜑𝑑 ∫ = 𝜑‬ ‫میدان غری یکنواخت ابشد‬ ‫قانون گائوس‬ ‫میزان ابر حمصور در یک سطح بسته‬ ‫𝑛𝑖𝑞 = 𝜑 ‪𝜀0‬‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫∮=𝜑‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫حماسبه میدان حاصل از یک توزیع ابر اب استفاده از قانون گائوسی‬ ‫اگر میدان اثبت ابشد‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫)𝐴𝑑‬ ‫)سطح گائوسی(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫=𝐸 ⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫∮( 𝜀‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫‪0‬‬ ‫= 𝐴𝑑‬ ‫∮∙𝐸‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫‪5‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫کاربرد قانون گائوس‬ ‫میدان الکرتیکی در اطراف یک ابر نقطه ای )𝓠(‬ ‫میدان الکرتیکی در اطراف یک ابر خطی طویل اب چگالی ابر یکنواخت )𝝀(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝜀‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح اپیینی استوانه‬ ‫∮ = )سطح جانبی استوانه () ‪) + (𝜑3‬سطح اپیینی استوانه() ‪) + (𝜑2‬سطح ابالیی استوانه() ‪(𝜑1‬‬ ‫سطح ابالیی استوانه‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜆ℎ‬‬ ‫𝜆‬ ‫𝜆𝑘‬ ‫= )‪⟶ 𝐸(2𝜋𝑟ℎ‬‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫=‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝑟‪2𝜋𝜀0 𝑟 2‬‬ ‫∮𝐸‬ ‫= 𝐴𝑑‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫‪𝜑1 ,𝜑2 =0‬‬ ‫→‬ ‫میدان الکرتیکی در اطراف و داخل استوانه طویل اب چگالی ابر سطحی یکنواخت )𝜹(‬ ‫در خارج از استوانه )𝒂 > 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح اپیینی استوانه‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫∮ = )سطح جانبی استوانه () ‪) + (𝜑3‬سطح اپیینی استوانه() ‪) + (𝜑2‬سطح ابالیی استوانه() ‪(𝜑1‬‬ ‫سطح ابالیی استوانه‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝛿2𝜋𝑎ℎ‬‬ ‫𝑎𝛿‬ ‫= )‪⟶ 𝐸(2𝜋𝑟ℎ‬‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝑟 ‪𝜀0‬‬ ‫∮𝐸‬ ‫= 𝐴𝑑‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫‪𝜑1 ,𝜑2 =0‬‬ ‫→‬ ‫در داخل استوانه )𝒂 < 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح اپیینی استوانه‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫∮ = )سطح جانبی استوانه () ‪) + (𝜑3‬سطح اپیینی استوانه() ‪) + (𝜑2‬سطح ابالیی استوانه() ‪(𝜑1‬‬ ‫سطح ابالیی استوانه‬ ‫∮𝐸‬ ‫‪𝑑𝐴 = 0 ⟶ 𝐸(2𝜋𝑟ℎ) = 0 ⟹ 𝐸 = 0‬‬ ‫‪𝜑1 ,𝜑2 ,𝑞𝑖𝑛=0‬‬ ‫→‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫میدان الکرتیکی در اطراف و داخل یک استوانه طویل اب چگالی ابر حجمی یکنواخت )𝝆(‬ ‫در خارج از استوانه )𝒂 > 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح اپیینی استوانه‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫∮ = )سطح جانبی استوانه () ‪) + (𝜑3‬سطح اپیینی استوانه() ‪) + (𝜑2‬سطح ابالیی استوانه() ‪(𝜑1‬‬ ‫سطح ابالیی استوانه‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜌𝜋𝑎2 ℎ‬‬ ‫‪𝜌𝑎2‬‬ ‫= )‪⟶ 𝐸(2𝜋𝑟ℎ‬‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝑟 ‪2𝜀0‬‬ ‫= 𝐴𝑑‬ ‫∮𝐸‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫‪𝜑1 ,𝜑2 =0‬‬ ‫→‬ ‫‪6‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫در داخل استوانه )𝒂 < 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح اپیینی استوانه‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫∮ = )سطح جانبی استوانه () ‪) + (𝜑3‬سطح اپیینی استوانه() ‪) + (𝜑2‬سطح ابالیی استوانه() ‪(𝜑1‬‬ ‫سطح ابالیی استوانه‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜌𝜋𝑟 2 ℎ‬‬ ‫𝑟𝜌‬ ‫= )‪⟶ 𝐸(2𝜋𝑟ℎ‬‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪2𝜀0‬‬ ‫∮𝐸‬ ‫= 𝐴𝑑‬ ‫‪𝜑1 ,𝜑2 =0‬‬ ‫→‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫میدان الکرتیکی در اطراف و داخل یک استوانه طویل اب شعاع داخلی )𝒂( و شعاع خارجی )𝒃( و اب چگالی ابر حجمی یکنواخت )𝝆(‬ ‫در خارج از استوانه )𝒃 > 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح اپیینی استوانه‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫∮ = )سطح جانبی استوانه () ‪) + (𝜑3‬سطح اپیینی استوانه() ‪) + (𝜑2‬سطح ابالیی استوانه() ‪(𝜑1‬‬ ‫سطح ابالیی استوانه‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫)‪𝜌(𝜋𝑏 2 ℎ − 𝜋𝑎2 ℎ‬‬ ‫) ‪𝜌(𝑏 2 − 𝑎2‬‬ ‫= )‪⟶ 𝐸(2𝜋𝑟ℎ‬‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝑟 ‪2𝜀0‬‬ ‫∮𝐸‬ ‫= 𝐴𝑑‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫‪𝜑1 ,𝜑2 =0‬‬ ‫→‬ ‫در داخل پوسته استوانه )𝒃 < 𝒓 < 𝒂(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح اپیینی استوانه‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫∮ = )سطح جانبی استوانه () ‪) + (𝜑3‬سطح اپیینی استوانه() ‪) + (𝜑2‬سطح ابالیی استوانه() ‪(𝜑1‬‬ ‫سطح ابالیی استوانه‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫)‪𝜌(𝜋𝑟 2 ℎ − 𝜋𝑎2 ℎ‬‬ ‫) ‪𝜌(𝑟 2 − 𝑎2‬‬ ‫= )‪⟶ 𝐸(2𝜋𝑟ℎ‬‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝑟 ‪2𝜀0‬‬ ‫∮𝐸‬ ‫= 𝐴𝑑‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫‪𝜑1 ,𝜑2 =0‬‬ ‫→‬ ‫در داخل استوانه )𝒂 < 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝜀‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫∮ ‪𝐸 ∙ 𝑑𝐴 +‬‬ ‫سطح اپیینی استوانه‬ ‫∮ = )سطح جانبی استوانه () ‪) + (𝜑3‬سطح اپیینی استوانه() ‪) + (𝜑2‬سطح ابالیی استوانه() ‪(𝜑1‬‬ ‫سطح ابالیی استوانه‬ ‫‪𝑑𝐴 = 0 ⟶ 𝐸(2𝜋𝑟ℎ) = 0 ⟹ 𝐸 = 0‬‬ ‫∮𝐸‬ ‫سطح جانبی استوانه‬ ‫‪𝜑1 ,𝜑2 ,𝑞𝑖𝑛=0‬‬ ‫→‬ ‫‪7‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫میدان الکرتیکی در اطراف و داخل یک کره ابردار به شعاع )𝒂( و اب چگالی ابر سطحی )𝜹(‬ ‫در خارج از کره )𝒂 > 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫‪𝛿4𝜋𝑎2‬‬ ‫‪𝛿𝑎2‬‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0 𝑟 2‬‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫= ) ‪𝐸(4𝜋𝑟 2‬‬ ‫در داخل کره )𝒂 < 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝜀‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫‪𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = 0 ⟹ 𝐸 = 0‬‬ ‫✓ رفتار یک کره ی ابردار اب چگالی سطحی یکنواخت برای حمیط اطراف کره 𝑎 > 𝑟 مثل رفتار یک ابر نقطه ای در مرکز کره است که میدان ابر آن برابر کل ابر توزیع‬ ‫شده روی سطح کره است‪.‬‬ ‫میدان الکرتیکی در اطراف و داخل یک کره ابردار به شعاع )𝒂( و اب چگالی ابر حجمی )𝝆(‬ ‫در خارج از کره )𝒂 > 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝜀‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫‪4‬‬ ‫) ‪𝜌 ( 𝜋𝑎3‬‬ ‫‪𝜌𝑎3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪3𝜀0 𝑟 2‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫𝑟𝜋‪𝐸(4‬‬ ‫در داخل کره )𝒂 < 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫‪4‬‬ ‫) ‪𝜌 ( 𝜋𝑟 3‬‬ ‫𝑟𝜌‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪3𝜀0‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫𝑟𝜋‪𝐸(4‬‬ ‫میدان الکرتیکی در اطراف و داخل یک پوسته کروی ابردار به شعاع داخلی )𝒂( و شعاع خارجی )𝒃( اب چگالی ابر حجمی )𝝆(‬ ‫در خارج از پوسته کروی )𝒃 > 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝜀‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫‪4‬‬ ‫) ‪𝜌 𝜋(𝑏 3 − 𝑎3‬‬ ‫) ‪𝜌(𝑏 3 − 𝑎3‬‬ ‫‪= 3‬‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪3𝜀0 𝑟 2‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫𝑟𝜋‪𝐸(4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫در داخل پوسته کروی )𝒃 < 𝒓 < 𝒂(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫‪4‬‬ ‫) ‪𝜌 𝜋(𝑟 3 − 𝑎3‬‬ ‫) ‪𝜌(𝑟 3 − 𝑎3‬‬ ‫‪= 3‬‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪3𝜀0 𝑟 2‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫𝑟𝜋‪𝐸(4‬‬ ‫در داخل پوسته کروی )𝒂 < 𝒓(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝜀‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫‪𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = 0 ⟹ 𝐸 = 0‬‬ ‫میدان الکرتیکی در اطراف یک صفحه ی بینهایت مسطح از جنس فلز اب چگالی ابر )𝜹(‬ ‫)داخل )سطح بسته( گائوسی() 𝑛𝑖𝑞(‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫∮ ⟶‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∮ ⟹‬ ‫= 𝐴𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫روی سطح )بسته( گائوسی‬ ‫= )سطح بسته(𝜑‬ ‫𝑆𝛿‪2‬‬ ‫𝛿‬ ‫=𝐸⟹‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫= )𝑆‪𝐸(2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫پتانسیل الکرتیکی‬ ‫فرض میکنیم که در فضایی میدان الکرتیکی )𝐸( موجود ابشد‪ .‬اگر ابر آزمون مثبت ) 𝑡𝑞( را در این فضا قرار دهیم بر آن ابر از طرف میدان نریویی وارد میشود که برابر )𝐸 𝑡𝑞(‬ ‫است‪ .‬بنابراین اگر خبواهیم این ابر را در فضا حرکت بدهیم الزم است بر آن نریویی وارد کنیم ات نریوی حاصل از میدان را خنثی کند و در نتیجه حرکت دادن اب از نقطه ای مانند‬ ‫)𝐴( به نقطه دیگری مانند )𝐵( اب اجنام کار مهرا خواهد بود‪ .‬اگر کار الزم برای انتقال ابر ) 𝑡𝑞( کوملبی را از نقطه )𝐴( به نقطه )𝐵( اب ) 𝐵𝐴𝑊( نشان دهیم در این صورت‬ ‫کار الزم برای انتقال ابر یک کوملبی از نقطه )𝐴( به نقطه )𝐵( برابر است اب ‪:‬‬ ‫𝐴‬ ‫𝐴‬ ‫𝐴‬ ‫𝑙𝑑 ∙ ‪ =𝐹𝐸 =−𝐸𝑞0 − ∫𝐵 −𝐸𝑞0‬وارده𝐹 𝑙𝑑 ∙ 𝐹 ∫‬ ‫𝐵𝐴𝑊‬ ‫⃗⃗⃗‬ ‫𝐵 ⟶‬ ‫→‬ ‫𝑙𝑑 ∙ ⃗𝐸 ∫ ‪⟹ −‬‬ ‫𝑡𝑞‬ ‫‪𝑞0‬‬ ‫‪𝑞0‬‬ ‫𝐵‬ ‫= 𝐴𝐵𝑉‬ ‫حال اگر ابر )𝐵( را در بی هنایت )∞‪ (+‬در نظر بگریمی پتانسیل به شکل زیر است ‪:‬‬ ‫𝐴‬ ‫𝐴‬ ‫𝑟𝑑=)𝜃(𝑠𝑜𝑐∙𝑙𝑑‬ ‫𝑞𝑘‬ ‫𝑞𝑘‬ ‫𝐴 𝑞𝑘‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 𝑅𝐵 =0‬‬ ‫𝑞𝑘‬ ‫∙‬ ‫𝑙𝑑‬ ‫→‬ ‫‪−‬‬ ‫∫‬ ‫= 𝑟𝑑 ∙‬ ‫→ ) ‪| = 𝑘𝑞 ( −‬‬ ‫= 𝐴𝑉‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫𝐵‬ ‫𝑅‬ ‫𝑅‬ ‫𝑟‬ ‫𝐴‬ ‫𝐵‬ ‫𝐵‬ ‫𝐵‬ ‫∫‪−‬‬ ‫✓‬ ‫𝑞𝑘‬ ‫‪𝐸= 2‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝐴‬ ‫→ 𝑙𝑑 ∙ 𝐸‬ ‫∫‪−‬‬ ‫‪𝑉𝐵 =0‬‬ ‫→ 𝐵𝑉 ‪𝑉𝐴 −‬‬ ‫∞⟶𝐵‬ ‫در جهت میدان پتانسیل کاهش و در خالف جهت میدان پتانسیل افزایش میابد و پتانسیل ربطی به ابر ندارد‪.‬‬ ‫پتانسیل الکرتیکی در میدان الکرتیکی یکنواخت‬ ‫𝐶‬ ‫𝐴‬ ‫𝐴‬ ‫𝐴‬ ‫𝐵‬ ‫𝐵‬ ‫⃗⃗⃗ ∙ ⃗𝐸 ∫ ‪𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = −‬‬ ‫⃗⃗⃗ ∙ ⃗𝐸 ∫ ‪𝑑𝑙 = ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐸𝑑 , 𝑉𝐶 − 𝑉𝐴 = −‬‬ ‫𝐴𝑉 = 𝐶𝑉 ⟹ ‪𝑑𝑙 = 0‬‬ ‫𝑑𝐸‬ ‫𝐶‬ ‫𝑑=)𝜃(𝑠𝑜𝑐 𝑙‬ ‫⃗⃗⃗ ∙ ⃗𝐸 ∫ ‪𝑉𝐶 − 𝑉𝐵 = −‬‬ ‫→ )𝜃(𝑠𝑜𝑐 𝑙𝐸 = )𝜃(𝑠𝑜𝑐 𝑙𝑑‬ ‫𝐵‬ ‫✓ اختالف پتانسیل دو نقطه )𝐴( و )𝐵( فقط به مکان دو نقطه ی )𝐴( و )𝐵( بستگی دارد‪.‬‬ ‫پتانسیل چند ابر نقطه ای‬ ‫𝑞𝑑𝑘‬ ‫𝑛‬ ‫𝑟 =𝑉𝑑 𝑖𝑞𝑘‬ ‫𝑞𝑑𝑘‬ ‫∑=𝑉‬ ‫→‬ ‫∫ = 𝑉𝑑 ∫ = 𝑉𝑑 ∑ = 𝑉‬ ‫𝑖𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫‪𝑖=1‬‬ ‫حماسبه میدان اب استفاده از میدان الکرتیکی‬ ‫⃗⃗⃗ ∙ ⃗𝐸‬ ‫𝑙𝑑‬ ‫نقطه مورد نظر‬ ‫∫ ‪) = −‬تقطه مورد نظر(𝑉‬ ‫مرجع پتانسیل‬ ‫𝑉𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑉𝜕‬ ‫𝑉𝜕 𝑉𝜕 𝑉𝜕‬ ‫‪ ⟶ 𝑉 = − ∫ 𝐸𝑦 𝑑𝑥 ⟶ 𝐸𝑦 = −‬هر دو در جهت 𝑦 ها‬ ‫⃗⃗⃗⃗ = ⃗𝐸 ⟹‬ ‫⃗⃗⃗⃗ ‪𝐸𝑥 𝑖̂ +‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗ ‪𝐸𝑦 𝑗̂ +‬‬ ‫‪𝐸𝑧 𝑘̂ ⟶ 𝐸⃗ = −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑧𝜕 𝑦𝜕 𝑥𝜕‬ ‫𝑉𝜕‬ ‫‪ ⟶ 𝑉 = − ∫ 𝐸𝑧 𝑑𝑧 ⟶ 𝐸𝑧 = −‬هر دو در جهت 𝑧 ها‬ ‫{‬ ‫𝑧𝜕‬ ‫‪ ⟶ 𝑉 = − ∫ 𝐸𝑥 𝑑𝑥 ⟶ 𝐸𝑥 = −‬هر دو در جهت 𝑥 ها‬ ‫⃗‬ ‫𝑉𝛻‪𝐸 = −‬‬ ‫‪10‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫خازن ها و عایق ها‬ ‫وسیله ای که بتواند ابر الکرتیکی را در خود ذخریه کند خازن انم دارد‪ .‬اغلب از دو صفحه تشکیل می شوند که به ترتیب حامل ابر های مساوی و خمالف هم )𝑞‪ (+‬و )𝑞‪(−‬‬ ‫هستند و )𝑉( اختالف پتانسیل بنی دو رساان است‪.‬‬ ‫✓ )𝑞( ابر خالص خازن نیست‪ ،‬ابر خالص آن صفر است‪.‬‬ ‫✓ )𝑉( پتانسیل هر یک از رساانها که احتماال در بی هنایت )∞‪ (+‬به صفر میل می کند‪ ،‬نیست‪ .‬بلکه اختالف پتانسیل میان آهناست‪.‬‬ ‫انواع خازن ها‬ ‫خازن ختت‬ ‫خازن کروی‬ ‫خازن استوانه ای‬ ‫انواع خازن‬ ‫خازن متغری‬ ‫}خازن تک صفحه ای‬ ‫خازن ختت‬ ‫صفحه ختتی که ابر را ذخریه می کند‪.‬‬ ‫خازن کروی‬ ‫سطح ذخریه کننده ابر کروی است‪.‬‬ ‫خازن استوانه ای‬ ‫سطح ذخریه کننده ابر استوانه ای است‪.‬‬ ‫خازن متغری‬ ‫از ترکیب خازن های ابال برای اجیاد خازن هایی اب ظرفیت متغری استفاده می کنند‪.‬‬ ‫خازن تک صفحه ای‬ ‫صفحه دوم آن را در بینهایت فرض می کنند‪.‬‬ ‫✓ در خازن مقدار )𝑞( و )𝑉( اب هم تناسب دارند یعنی ‪:‬‬ ‫𝑉𝐶 = 𝑞‬ ‫یکای ظرفیت خازن کولن بر ولت است که در دستگاه ‪ ،SI‬به آن فاراد می گویند‪.‬‬ ‫)کولن()𝐶(‬ ‫)ولت()𝑉(‬ ‫= )فاراد()𝐹(‬ ‫)𝐶( به مقدار )𝑉( و )𝑞( وابسته نیست و فقط به شکل هندسی خازن و حمل رساانها خازن است به هم بستگی دارد )𝐶( به حمیطی که رساانها در آن قرار دارند نیز بستگی‬ ‫دارد‪ .‬ظرفیت خازنی (عدد اثبت) فقط و فقط به ساختار فیزیکی خازن مربوط است‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫کاربرد های خازن‬ ‫‪.I‬‬ ‫‪.II‬‬ ‫‪.III‬‬ ‫برای اجیاد میدان های الکرتیکی به منظور های خمتلف می توان از خازن استفاده کرد‪.‬‬ ‫چون خازن ها می توانند میدان های الکرتیکی قوی را در حجم های کوچک نگهدارند‪ ،‬می توان از آن به عنوان وسایل مفیدی برای ذخریه انرژی استفاده کرد‪ .‬در واقع‬ ‫انرژی الکرتیکی را به صورت انرژی ذخریه شده در میدان الکرتیکی ظاهر می کند‪.‬‬ ‫خازن ها مهراه اب وسایلی دیگر برای کاهش افت و خری های ولتاژ در منابع تغذیه الکرتونیکی‪ ،‬تولید ای آشکار سازی نوسان های الکرتومغناطیسی در فرکانس های‬ ‫رادیوی‪ ،‬اجیاد ‪ delay‬های زمانی الکرتونیکی به کار رود‪.‬‬ ‫ظرفیت خازن‬ ‫اگر در صفحه فلزی را به دو سر یک ابتری وصل کنیم روی یکی از صفحات ابر حقیقی )𝑞( اجیاد می شود‪ .‬میدان الکرتیکی )𝐸( در بنی صفحات اجیاد می کند‪ ،‬این میدان‬ ‫ابعث اجیاد ابر جمازی )𝑞‪ (−‬در صفحه مقابل می شود و خطوط میدان بنی دو صفحه موازی و هم فاصله اند‪ .‬در لبه ها خطوط میدان کمی از هم ابز میشوند و از حالت موازی‬ ‫خارج می شوند‪ .‬اگر 𝑑 به اندازه کافی کوچک ابشد می توان از این ابزشدگی در حماسبات صرف نظر کرد‪.‬‬ ‫ظرفیت خازن صفحه ای‬ ‫ظرفیت خازن را به سادگی اب استفاده از قانون گائوس می توان بدست آورد‪.‬‬ ‫𝑞‬ ‫𝑞‬ ‫𝑞‬ ‫𝑞 ‪𝑞 𝐸𝐴=𝜀0 ⟶ 𝐸=𝐴𝜀0‬‬ ‫‪𝐴𝜀0‬‬ ‫= =𝐶‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫𝑞‬ ‫𝑑𝐸 𝑉‬ ‫𝑑‬ ‫𝑑‬ ‫‪𝐴𝜀0‬‬ ‫ظرفیت خازن کروی‬ ‫‪𝑅2‬‬ ‫𝑞𝑘‬ ‫‪𝑘𝑞 𝑅2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= 𝑟𝑑‬ ‫) ‪| = 𝑘𝑞 ( −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫𝑅‬ ‫𝑅‬ ‫𝑅‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑅1‬‬ ‫∫ ‪𝑉 = − ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑟 = −‬‬ ‫✓ ظرفیت مقداری مثبت است پس مقادیر قدر مطلق در نظر گرفته می شود‪.‬‬ ‫𝑞‬ ‫‪4𝜋𝜀0 𝑅1 𝑅2‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑅2 − 𝑅1‬‬ ‫‪𝑅2 − 𝑅1‬‬ ‫( 𝑞𝑘‬ ‫)‬ ‫‪𝑅1 𝑅2‬‬ ‫=𝐶‬ ‫ظرفیت خازن کروی تک صفحه‬ ‫‪𝐶 = 4𝜋𝜀0 𝑅1‬‬ ‫∞ ⟶ ‪𝑅2‬‬ ‫→‬ ‫ظرفیت خازن استوانه ای‬ ‫‪𝑅2‬‬ ‫𝑞‬ ‫𝑟𝑑‬ ‫𝑞‬ ‫‪𝑅2‬‬ ‫𝑞‬ ‫𝑙 ‪2𝜋𝜀0‬‬ ‫∫‬ ‫(=‬ ‫= = 𝐶 ⟹ )) ( 𝑛𝑙( )‬ ‫𝑟 ‪2𝜋𝜀0 𝑟𝑙 𝑅1‬‬ ‫𝑙 ‪2𝜋𝜀0‬‬ ‫‪𝑅1‬‬ ‫) ‪𝑉 𝑙𝑛 (𝑅2‬‬ ‫‪𝑅1‬‬ ‫‪𝑉=−‬‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑛𝑖𝑞‬ ‫𝑞‬ ‫=𝐴𝑑 ∮ 𝐸‬ ‫=)𝑙𝑟𝜋‪⟶𝐸(2‬‬ ‫=𝐸⟶‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫‪𝜀0‬‬ ‫𝑙𝑟 ‪2𝜋𝜀0‬‬ ‫→ 𝑟𝑑 ∙ 𝐸 ∫ ‪𝑉 = −‬‬ ‫به هم بسنت خازن ها‬ ‫به هم موازی بسنت خازن ها‬ ‫در به هم بسنت موازی‪ ،‬اختالف پتانسیل دو سر متام خازن ها اب هم برابر است و ابر کلی به صورت زیر است ‪:‬‬ ‫𝑛𝑞 = ⋯ = ‪𝑞 = 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3‬‬ ‫𝑛𝑉 ‪𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + ⋯ +‬‬ ‫𝑛𝐶 ‪𝐶𝑉 = 𝐶1 𝑉1 + 𝐶2 𝑉2 + 𝐶3 𝑉3 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑉𝑛 = 𝑉(𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + ⋯ + 𝐶𝑛 ) ⟹ 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + ⋯ +‬‬ ‫‪12‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫به هم سری بسنت خازن ها‬ ‫در خازن ای )𝑛( خازنی که به طور سری به هم وصل شده اند در این حالت ابر روی متام خازن ها یکسان است‪.‬‬ ‫𝑛𝑞 = ⋯ = ‪𝑞 = 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3‬‬ ‫𝑛𝑉 ‪𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + ⋯ +‬‬ ‫‪𝑞 𝑞1 𝑞2 𝑞3‬‬ ‫𝑛𝑞‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= + + + ⋯+‬‬ ‫⟹ ) ‪= 𝑞( + + + ⋯+‬‬ ‫‪= + + + ⋯+‬‬ ‫‪𝐶 𝐶1 𝐶2 𝐶3‬‬ ‫𝑛𝐶‬ ‫‪𝐶1 𝐶2 𝐶3‬‬ ‫𝑛𝐶‬ ‫‪𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 𝐶3‬‬ ‫𝑛𝐶‬ ‫𝑞‬ ‫=𝑉‬ ‫𝐶‬ ‫→‬ ‫✓ در انتها کسر به دست آمده را معکوس می کنیم‪.‬‬ ‫به هم بسنت ستاره‬ ‫به هم بسنت مثلث‬ ‫تشخیص سری ای موازی بودن‬ ‫تشخیص دو کمیت سری‬ ‫اگر در حمل اتصالشان هیچ انشعابی وجود نداشته ابشد‬ ‫تشخیص دو کمیت موازی‬ ‫اگر در یک حلقه بسته قرار گریند و در آن حلقه فقط خود آن ها قرار داشته ابشند آنگاه موازیند‬ ‫خازن اب دی الکرتیک‬ ‫شرایط پتانسیل اثبت‬ ‫𝑑𝐶‬ ‫𝑎𝑞‬ ‫𝑑𝑞 𝑎𝑞 𝑉=𝑉 𝑑𝑞‬ ‫𝑎𝐶=𝜅 𝑎𝑞 ∙ 𝑑𝐶‬ ‫= 𝑎𝐶‬ ‫= 𝑑𝐶 ‪,‬‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫= 𝑑𝑞 ⟶‬ ‫→‬ ‫𝑎𝑞𝜅 = 𝑑𝑞‬ ‫𝑉‬ ‫𝑉‬ ‫𝑑𝐶 𝑎𝐶‬ ‫𝑎𝐶‬ ‫شرایط ابر اثبت‬ ‫𝑎𝑉‬ ‫𝑞‬ ‫𝑞=𝑞 𝑞‬ ‫𝑑𝑉=𝜅 𝑎𝑉 𝑎𝐶‬ ‫= 𝑎𝐶‬ ‫= 𝑑𝐶 ‪,‬‬ ‫= 𝑑𝐶 ⟶ 𝑑𝑉 𝑑𝐶 = 𝑎𝑉 𝑎𝐶 →‬ ‫→‬ ‫𝑎𝐶𝜅 = 𝑑𝐶‬ ‫𝐴𝑉‬ ‫𝑑𝑉‬ ‫𝑑𝑉‬ ‫آزمایش فاراده اب دو خازن مشابه یکی شامل دی الکرتیک و دیگری بدون دی الکرتیک‬ ‫𝑞‬ ‫وقتی هر دو خازن ات اختالف پتانسیل مساوی پر شوند‪ ،‬ابر روی خازنی که شامل دی الکرتیک است بیشرت از دیگری است‪ .‬اب استفاده از رابطه )𝑉 = 𝐶(‪ ،‬ظرفیت به ظرفیت آن‬ ‫بدون دی الکرتیک اثبت دی الکرتیک ماده گفته می شود‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫به جای اعمال اختالف پتانسیل به خازن ها‪ ،‬می توان به آن ها ابر مساوی اعمال کرد‪ ،‬در این صورت‪ ،‬اختالف پتانسیل )𝑉( بنی صفحات به نسبت )𝜅(‪ ،‬کمی از خازن بدون‬ ‫دی الکرتیک است‪ .‬که ابز هم ظرفیت )𝐶(‪ (𝜅) ،‬برابر می شود‪.‬‬ ‫مواد ما بنی صفحات خازن (دی الکرتیک)‬ ‫یک نوع دی الکرتیک‬ ‫𝑟𝜀 ‪𝜀 = 𝜀0‬‬ ‫ظرفیت خازن ختت اب یک نوع دی الکرتیک‬ ‫𝜀𝐴 𝑟𝜀 ‪𝐴𝜀0 𝜅=𝜀𝑟 ,𝜀=𝜀0‬‬ ‫(𝜅 = 𝐶‬ ‫→ )‬ ‫𝑑‬ ‫𝑑‬ ‫‪13‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫ظرفیت خازن استوانه ای اب یک نوع دی الکرتیک‬ ‫𝑙𝜀𝜋‪2𝜋𝜀0 𝑟𝑙 𝜅=𝜀𝑟 ,𝜀=𝜀0 𝜀𝑟 2‬‬ ‫→)‬ ‫𝑅‬ ‫𝑅‬ ‫) ‪𝑙𝑛 ( 2‬‬ ‫) ‪𝑙𝑛 ( 2‬‬ ‫‪𝑅1‬‬ ‫‪𝑅1‬‬ ‫(𝜅 = 𝐶‬ ‫ظرفیت خازن کروی اب یک نوع دی الکرتیک‬ ‫‪4𝜋𝜀0 𝑅1 𝑅2 𝜅=𝜀𝑟 ,𝜀=𝜀0 𝜀𝑟 4𝜋𝜀𝑅1 𝑅2‬‬ ‫(𝜅 = 𝐶‬ ‫→)‬ ‫‪𝑅2 − 𝑅1‬‬ ‫‪𝑅2 − 𝑅1‬‬ ‫دی الکرتیک ترکیبی‬ ‫اگر دی الکرتیک از دو ای چند نوع دی الکرتیک تشکیل شده ابشد به شکل زیر است‬ ‫سری‬ ‫موازی‬ ‫منظم‬ ‫دی الکرتیک‬ ‫ترکیبی از سری و موازی‬ ‫}‬ ‫}‬ ‫انمنظم‬ ‫ترکیب سری دی الکرتیک ها‬ ‫اگر در یک حرکت از یک صفحه به صفحه دیگر از فصل مشرتک مواد عبور کنیم‪ ،‬ترکیب سری است‪.‬‬ ‫‪𝐴𝜀1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑑1 𝑑=𝑑1 +𝑑2 1‬‬ ‫→‬ ‫‪= +‬‬ ‫‪𝐴𝜀2‬‬ ‫‪𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2‬‬ ‫= 𝐶‬ ‫‪{ 2‬‬ ‫‪𝑑2‬‬ ‫= ‪𝐶1‬‬ ‫ترکیب موازی دی الکرتیک ها‬ ‫اگر فصل مشرتک دو دی الکرتیک عمود اب تک تک صفحات خازن ابشد آن ترکیب موازی است‪.‬‬ ‫‪𝜀𝐴1‬‬ ‫‪1 +𝐴2‬‬ ‫𝐴=𝐴 𝑑‬ ‫{‬ ‫→‬ ‫‪𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2‬‬ ‫‪𝜀𝐴2‬‬ ‫= ‪𝐶2‬‬ ‫𝑑‬ ‫= ‪𝐶1‬‬ ‫ترکیب ترکیبی از سری و موازی‬ ‫‪𝜀𝐴1‬‬ ‫‪𝑑1‬‬ ‫‪𝜀𝐴2 𝐴=𝐴1+𝐴2 ,𝑑=𝑑1 +𝑑2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪𝐶2‬‬ ‫→‬ ‫‪𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑑2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝐶2 𝐶3‬‬ ‫‪𝜀𝐴3‬‬ ‫= 𝐶‬ ‫‪{ 3‬‬ ‫‪𝑑3‬‬ ‫= ‪𝐶1‬‬ ‫مهانطور که گفتیم اب قرار دادن ری الکرتیک داخل خازن ظرفیت را می توان چند برابر کرد‪.‬‬ ‫دی الکرتیک میدان داخل صفحات خازن را کاهش می دهد‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫انرژی ذخریه شده در خازن‬ ‫به سادگی اثبات می شود که کار الزم برای انتقال ابر 𝑞 از یک صفحه خازن به صفحه دیگر به صورت زیر است که به صورت انرژی در خازن ذخریه می شود‪.‬‬ ‫𝑉𝐶=𝑞 ‪1 𝑞 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∙‬ ‫→‬ ‫𝑉𝑞 = ‪𝑊 = 𝐶𝑉 2‬‬ ‫𝐶 ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=𝑊=𝑈‬ ‫پس چگالی انرژی ذخریه شده در خازن‬ ‫‪1 2 𝜀𝐴 1 𝐴𝜀 2‬‬ ‫𝑉 ∙ 𝑑 ∙ ‪𝑈 2 𝐶𝑉 𝐶= 𝑑 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= =𝑢‬ ‫→‬ ‫‪= 𝜀𝐸 2‬‬ ‫𝑉‬ ‫𝑑𝐴‬ ‫𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫جراین الکرتیکی و مقاومت‬ ‫هر گاه دو انتهای سیم فلزی (مسی) به ابتری وصل شود‪ ،‬میدان الکرتیکی داخل سیم برقرار می شود‪ .‬این میدان بر الکرتون های آزاد اثر می کند و حرکتی در جهت )𝐸‪ (−‬به آن‬ ‫ها می دهد‪ .‬در این صورت می گوییم جراین الکرتیکی برقرار شده است‪ .‬اگر در مدت زمان )𝑡(‪ ،‬از هر مقطع رساان ابر خالص )𝑞( در مدت زمان )𝑡( بگذرد‪ ،‬جراین الکرتیکی‬ ‫عبارت خواهد بود از ‪:‬‬ ‫)کولن()𝐶(‬ ‫𝑞‬ ‫= )آمپر()𝐴( ⟶ = 𝐼‬ ‫)اثنیه()𝑠(‬ ‫𝑡‬ ‫اگر آهنگ شارش ابر نسبت به زمان اثبت نباشد‪ ،‬جراین اب زمان تغیری می کند و به صورت زیر بیان می شود ‪:‬‬ ‫𝑞𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫=𝐼‬ ‫جهت جراین به صورت قراردادی تعینی می شود زیرا در یک میدان ابر های اب عالمت خمالف خالف جهت هم حرکت می کنند‪ .‬ابر مثبتی که در یک جهت حرکت می کند‪ ،‬برای‬ ‫متامی اثر های خارجی اب یک ابر منفی که در جهت خمالف حرکت می کند تقریبا هم ارز است‪ .‬بنابراین برای سهولت و سازگاری حماسبات جربی‪ ،‬فرض می کنیم که متام حامل های‬ ‫ابر مثبت هستند و پیکان های جراین را در جهت حرکت این ابر رسم می کنیم‪.‬‬ ‫اگر حامل ها منفی ابشند‪ ،‬جهت جراین را در خالف جهت حرکت حامل ها در نظر میگریمی‪.‬‬ ‫مقاومت‬ ‫اگر سر های هر یک از دو میله مسی و چوبی که از حلاظ هندسی مشابه هستند به اختالف پتانسیل یکسانی وصل کنیم‪ ،‬جراین های حاصل در آن ها بسیار متفاوت خواهد بود‪.‬‬ ‫در اینجا مشخصه مقاومت هر یک از میله هاست که تفاوت اجیاد می کند‪.‬‬ ‫مقاومت به صورت )‬ ‫)𝑉(𝑉‬ ‫)𝐴(‬ ‫𝐼 = )‪ (𝑅(Ω‬حماسبه می شود‪ .‬اگر در رساانیی منودار )𝑉( برحسب )𝐼( خطی ابشد رساانی اهم انمیده می شود‪.‬‬ ‫به این ترتیب مقاومت یک رساان مهواره اثبت ا ست و به ولتاژی که برای اندازه گریی آن اعمال می کنیم بستگی ندارد‪ .‬مقاومت یک ماده نیز مثل ظرفیت یک خازن به ساختار‬ ‫هندسی و جنس مواد سازنده آن بستگی دارد و به صورت زیر برای یک سیم حماسبه می شود ‪:‬‬ ‫)طول سیم()𝑙( ∙ )مقاومت ویژه()𝜌(‬ ‫)سیم مقطع سیم()𝐴(‬ ‫𝑙𝑑𝜌‬ ‫𝐴‬ ‫=𝑅‬ ‫= 𝑅𝑑‬ ‫انتقال انرژی در یک مدار الکرتیکی‬ ‫فرض کنیم جعبه شامل یک قطعه الکرتیکی دخلواه ابشد اب اعمال ) 𝑏𝑎𝑉( به دو سر آن اب فرض آینکه ابر )𝑞𝑑( از نقطه )𝑎( به )𝑏( برود‪ ،‬انرژی پتانسیل الکرتیکی جعبه به‬ ‫اندازه ) 𝑏𝑎𝑉𝑞𝑑( کاهش می ایبد و به شکل دیگری از انرژی (گرمایی‪ ،‬مکانیکی و ‪ ...‬بسته به قطعه داخل جعبه) تبدیل می شود‪.‬‬ ‫𝑡𝑑𝐼 𝑏𝑎𝑉‬ ‫𝑞𝑑‬ ‫𝑡𝑑𝐼=𝑞𝑑⟶ =𝐼‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫→ 𝑏𝑎𝑉𝑞𝑑 = 𝑈𝑑‬ ‫توان‬ ‫آهنگ انتقال انرژی ای توان )𝑃( از مدار به جعبه و تبدیل آن به نوع دیگر انرژی به صورت زیر حماسبه می شود ‪:‬‬ ‫𝑈𝑑‬ ‫𝐼 𝑏𝑎𝑉 =‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫=𝑃‬ ‫‪16‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫اگر داخل جعبه مقاومت داشته ابشیم )𝑹𝑰 = 𝑽(‬ ‫آهنگ تبدیل انرژی الکرتیکی به انرژی حرارتی اجیاد شده در مقاومت )𝑅(‬ ‫‪𝑃 = 𝑅𝐼 2‬‬ ‫‪𝑉2‬‬ ‫=𝑃‬ ‫𝑅‬ ‫{‬ ‫این دو رابطه به قانون ژول معروف هستند‪.‬‬ ‫پس رابطه )𝐼𝑉 = 𝑃( یک رابطه کلی برای حماسبه آهنگ تبدیل انرژی الکرتیکی به هر نوع انرژی دخلواه است‪.‬‬ ‫‪𝑉2‬‬ ‫ولی رابطه ) ‪ (𝑃 = 𝑅𝐼2‬و ) 𝑅 = 𝑃( فقط در مورد تبدیل انرژی الکرتیکی به انرژی گرمایی در مقاومت است صدق می کند‪.‬‬ ‫یکای توان ولت آمپر ای وات )𝑊( است‪.‬‬ ‫𝐽‬ ‫)𝐴 ∙ 𝑉( = )𝑊( = ) (‬ ‫𝑆‬ ‫‪17‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫مدار های الکرتیکی‬ ‫نریوی حمرکه‬ ‫در طبیعت وسایلی مثل ابتری ها و مولد های الکرتیکی وجود دارند که قادرند برای هر دو قطعه که به آن ها وصل می شوند‪ ،‬اختالف پتانسیل برقرار کنند‪ .‬چننی وسایلی را منبع‬ ‫نریوی حمرکه الکرتیکی )𝑓𝑚𝑒 )‪ ((ℰ‬می انمند‪.‬‬ ‫یکای نریوی حمرکه الکرتیکی ولت است‪ .‬پس در واقع از جنس نریو نیست و منی توان آن را برحسب نیوتن اندازه گریی کرد‪.‬‬ ‫منبع نریوی حمرکه الکرتیکی در واقع وسیله ای است که در آن انرژی های شیمیایی‪ ،‬مکانیکی و ای شکل های دیگر انرژی‪ ،‬به انرژی الکرتیکی تبدیل می شوند‪.‬‬ ‫مدار های الکرتیکی‬ ‫مدارهای الکرتیکی بسته به اینکه از چه املان هایی ساخته شدند می توانند کاربرد های خمتلفی داشته ابشند‪.‬‬ ‫انواع مدار های الکرتیکی‬ ‫مدار هایی شامل مقاومت و منبع انرژی‬ ‫مدار هایی شامل سلف و منبع انرژی‬ ‫انواع مدار های الکرتیکی‬ ‫}‬ ‫مدار هایی شامل خازن و منبع انرژی‬ ‫مدار هایی شامل مقاومت و منبع انرژی‬ ‫وظیفه تقسیم انرژی و رساندن آن به قسمت های خمتلف به مقدار مورد نیاز و تبدیل انرژی الکرتیکی به انرژی گرمایی در قسمت های خمتلف‬ ‫مدار هایی شامل سلف و منبع انرژی‬ ‫وظیفه ذخریه انرژی ای تبدیل آن به میدان مغناطیسی‬ ‫مدار هایی شامل خازن و منبع انرژی‬ ‫وظیفه انرژی الکرتیکی در میدان الکرتیکی بنی صفحات خازن‬ ‫✓ بررسی مدار های الکرتیکی یعنی پیدا کردن جراین هر شاخه مدار و ای بررسی علت قطعی جراین در قسمتی از مدار‪.‬‬ ‫قواننی کریشهف‬ ‫حتلیل مدارات بر اساس یک سری قواننی صورت می گرید‪ .‬در حتلیل مدارات الکرتیکی قواننی کریشهف بسیار کاربرد دارند ‪:‬‬ ‫قانون ولتاژ کریشهف )قانون حلقه کریشهف(‬ ‫}‬ ‫قانون جراین کریشهف )قانون گره کریشهف(‬ ‫قانون ولتاژ کریشهف‬ ‫در یک مدار الکرتیکی فشرده در هر حلقه ای هر مسری بسته‪ ،‬جمموع جربی اختالف پتانسیل در املان های مدار‪ ،‬برابر صفر است و به ماهیت اجزای مدار بستگی ندارد‪ .‬این قانون به‬ ‫)𝐿𝑉𝐾( نیز معروف است‪ .‬این قانون از اپیستار بودن میدان الکرتیکی ساکن نتیجه می شود‪ .‬در قواننی کریشهف ابید جهات فرضی برای جراین ها در نظر گرفت‪ .‬پس از تعینی‬ ‫عالمت جراین ها ابید قانون گره را درابره جراین نوشت‪ .‬برای این کار در جهت جراین فرضی در مدار پیش می رومی‪ .‬اب استفاده از قانون اهم اگر در جهت جراین پیش برومی‬ ‫)𝑅𝐼‪ (−‬افت ولتاژ و اگر در خالف جهت پیش برومی )𝑅𝐼‪ (+‬افزایش ولتاژ دارمی‬ ‫‪∑ 𝑉𝑖 = 0‬‬ ‫روی حلقه𝑖‬ ‫‪18‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫قانون جراین کریشهف‬ ‫در یک مدار الکرتیکی فشرده مجع جربی جراین های که به یک گره وارد می شود ای از آن خارج می شود در هر حلظه برابر صفر است‪ .‬به عبارت دیگر جمموع جراین های ورودی اب‬ ‫جمموع جراین های خروجی ابهم برابر هستند‪ .‬این قانون به )𝐿𝐶𝐾( معروف است و به ماهیت اجزای مدار بستگی ندارد و از قانون اپیسنگی ابر نتیجه می شود‪ .‬این قانون برای‬ ‫هر گره ای سطح بسته برقرار است‪.‬‬ ‫𝑓𝐼 ∑ = 𝑖𝐼 ∑‬ ‫خروجی‬ ‫ورودی‬ ‫حنوه استفاده از قواننی کریشهف‬ ‫اگر 𝑛 تعداد حلقه های ظاهری مدار ابشد برای تعینی جمهوالت ‪:‬‬ ‫به تعداد )𝑛( قانون ولتاژ نوشته می شود‪(𝐾𝑉𝐿) .‬‬ ‫به تعداد )‪ (𝑛 − 1‬قانون جراین نوشته می شود‪(𝐾𝐶𝐿).‬‬ ‫✓ هر گاه مقاومتی در جهت جراین طی شود‪ ،‬تغیری پتانسیل آن )𝑅𝐼‪ ،(−‬و در جهت خمالف‪ (+𝐼𝑅) ،‬خواهد بود‪.‬‬ ‫✓ اگر یک منبع نریوی حمرکه الکرتیکی در جهت نریوی حمرکه طی شود‪ ،‬تغیری پتانسیل آن )‪ ،(+ℰ‬و در جهت خمالف‪ (−ℰ) ،‬است‪.‬‬ ‫اتصال کواته‬ ‫وقتی یک حلقه بسته طوری در مدار قرار گرید که فقط یک کمیت (املان) در آن قرار گرید می گوییم آن املان اتصال کواته شده است یعنی دو سر آن املان توسط سیم هایی به هم‬ ‫وصل شده اند و بنی دو سر آن اختالف پتانسیل صفر است‪.‬‬ ‫حلقه منزوی‬ ‫زمانی که یک حلقه اتصالش اب قسمت های خمتلف مدار به وسیله یک تک سیم صورت گرید اصطالحا گویند منزوی است‪ .‬بود و نبود این املان در حتلیل بقیه قسمت های مدار‬ ‫اتثریی ندارد‪.‬‬ ‫به هم بسنت مقاومت ها‬ ‫به هم بسنت مقاومت ها به صورت سری‬ ‫در این حالت مقاومت ها به گونه ای به هم وصل می شوند که جراین فقط در یک مسری هدایت شود‪.‬‬ ‫مقاومت معادل )𝑅( مقاومتی است که اگر به جای ترکیب متوالی مقاومت ها بنی دو سر )𝑎( و)𝑏( قرار گرید تغیری در جراین )𝐼( اجیاد نشود‪.‬‬ ‫𝑛𝐼 = ⋯ = ‪𝐼 = 𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼3‬‬ ‫𝑛𝑉 ‪{ 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + ⋯ +‬‬ ‫𝑛𝑅 ‪𝑅𝑒𝑞 + 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + ⋯ +‬‬ ‫اختالف پتانسیل بنی دو نقطه در مدار‬ ‫برای پیدا کردن اختالف پتانسیل بنی دو نقطه در مدار‪ ،‬از یک نقطه شروع می کنیم و مدار را در مسریی ات نقطه دیگر طی می کنیم؛ تغیریات پتانسیل موجود را به طور جربی اب هم‬ ‫مجع می کنی م‪ .‬این مجع جربی اختالف پتانسیل دو نقطه را خواهد داد‪ .‬اختالف پتانسیل میان دو نقطه‪ ،‬فقط می تواند یک مقدار داشته ابشد‪ ،‬از این رو برای متام مسری هایی که در‬ ‫این نقاط را به جسم وصل می کند ابید جواب یکسانی بدست آورمی‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫به هم بسنت مقاومت ها به صورت موازی‬ ‫مقاومت ه ایی که به دو سر آن ها اختالف پتانسیل یکسان اعمال شود‪ ،‬موازی خوانده می شود‪ .‬مقاومت معادل‪ ،‬تک مقاومتی است که اگر جبای ترکیب موازی میان سر های‬ ‫)𝑎( و )𝑏( بسته شود‪ ،‬جراین )𝐼( تغیری نکند‪.‬‬ ‫𝑛𝐼 ‪𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + ⋯ +‬‬ ‫𝑛𝑉 = ⋯ = ‪𝑉 = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ⋯+‬‬ ‫𝑛𝑅‬ ‫‪{𝑅𝑒𝑞 𝑅1 𝑅2 𝑅3‬‬ ‫✓ مقاومت معادل یک ترکیب موازی‪ ،‬کمرت از هر یک از مقاومت های موجود در ترکیب است‪.‬‬ ‫تبدیل اتصال ستاره و مثلث به هم‬ ‫تبدیل مثلث به ستاره‬ ‫) 𝑏𝑅() 𝑎𝑅(‬ ‫𝑐𝑅 ‪𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 +‬‬ ‫) 𝑐𝑅() 𝑏𝑅(‬ ‫= ‪𝑅2‬‬ ‫𝑐𝑅 ‪𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 +‬‬ ‫) 𝑐𝑅() 𝑎𝑅(‬ ‫= 𝑅‬ ‫𝑐𝑅 ‪{ 3 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 +‬‬ ‫= ‪𝑅1‬‬ ‫تبدیل ستاره به مثلث‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) () (‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑅1 𝑅3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑎𝑅‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑅1 𝑅2 𝑅3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) () (‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑅1 𝑅2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑏𝑅‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑅1 𝑅2 𝑅3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) () (‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑅2 𝑅3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑐𝑅‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫{‬ ‫‪𝑅1 𝑅2 𝑅3‬‬ ‫مدار های 𝑪𝑹‬ ‫مدار هایی که حداقل شامل خازن و مقاومت ابشند‪.‬‬ ‫مدار های )𝐶𝑅( }‬ ‫شارژ خازن‬ ‫دشارژ خازن‬ ‫✓ حداقل کمیت الزم برای مدار شارژ خازن شامل خازن مقاومت و نریوی حمرکه است‪.‬‬ ‫✓ حداقل کمیت الزم برای مدار دشارژ خازن شامل خازن شارژ شده و مقاومت است‪.‬‬ ‫✓ در عمل این دو مدار در کنار هم و اب مهدیگر قرار دارند‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫مدار شارژ خازن‬ ‫𝑡‪−‬‬ ‫معادله دیفرانسیل‬ ‫𝑞 𝑞𝑑‬ ‫→ ‪− =0‬‬ ‫) 𝐶𝑅 𝑒 ‪𝑞(𝑡) = 𝐶ℰ (1 −‬‬ ‫𝐶 𝑡𝑑‬ ‫𝑅‪ℰ−‬‬ ‫𝑞𝑑‬ ‫=𝐼‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫→ )معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول غری مهگن( ‪𝐾𝑉𝐿 ∶ ℰ − 𝐼𝑅 − 𝑉𝑐 = 0‬‬ ‫شرط اولیه معادله‬ ‫حلظه بسته شدن کلید؛ وقتی به ازای )‪ (𝑡 = 0‬مقدار )‪ (𝑞 = 0‬است‪.‬‬ ‫𝑡‪−‬‬ ‫𝑞𝑑‬ ‫‪ℰ‬‬ ‫) (=‬ ‫) 𝐶𝑅 𝑒(‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫)آمپر( 𝑅‬ ‫)عدد اثبت(‬ ‫‪ℰ‬‬ ‫𝑅‬ ‫= ‪𝐼0‬‬ ‫= )آمپر(𝐼 ⟹ ‪𝑞 = 0‬‬ ‫‪𝑡=0‬‬ ‫{‬ ‫پس از مدت زمان زاید )∞ ⟶ 𝑡(‬ ‫مطمئنیم که خازن شارژ شده است ‪𝑡 ⟶ ∞ ⟹ .‬‬ ‫∞𝑞 = ‪𝑞 = 𝐶ℰ‬‬ ‫‪𝐼∞ = 0‬‬ ‫✓‬ ‫✓‬ ‫✓‬ ‫✓‬ ‫{‬ ‫خازن پس از مدت زمان طوالنی که در مدار قرار گرفت و شارژ کامل شد مثل مدار ابز عمل می کند و جراین مدار صفر می شود و ابر خازن به مقدار متعادل به‬ ‫) ∞𝑞( می رسد‪.‬‬ ‫مقدار )𝐶𝑅( از جنس زمان است و اثبت زمانی انمیده می شود که اب )𝜏( منایش داده می شود‪.‬‬ ‫خازن مدار شارژ در حلظه )‪ (𝑡 = 0‬مثل اتصال کواته عمل می کند‪.‬‬ ‫خازن مدار شارژ در )∞ ⟶ 𝑡( مثل مدار ابز عمل می کند‪.‬‬ ‫مدار دشارژ خازن‬ ‫𝑡‪−‬‬ ‫معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول مهگن‬ ‫𝑞 𝑞𝑑‬ ‫→ ‪+ =0‬‬ ‫) ‪𝑞(𝑡) = 𝐶ℰ𝑒 𝑅𝐶 (𝐶ℰ = 𝑞0‬‬ ‫𝐶 𝑡𝑑‬ ‫𝑅 ⟶ ‪𝐾𝑉𝐿 ∶ 𝑉𝐶 + 𝐼𝑅 = 0‬‬ ‫اگر خازن در مدار شارژ کامل پر شود ‪(𝐶ℰ) .‬‬ ‫) ‪} (𝑞0‬‬ ‫𝑡‪−‬‬ ‫اگر خازن در مدار شارژ کامل پر نشده بود ابید از رابطه مقدار ابر هنایی ذخریه شده در خازن را حساب کرد ‪(𝑞(𝑡) = 𝐶ℰ𝑒 𝑅𝐶 ) .‬‬ ‫𝑡‪𝑑𝑞 −𝑞0 −𝑡 −𝐶ℰ −𝑡 −ℰ −‬‬ ‫=‬ ‫= 𝐶𝑅 𝑒‬ ‫= 𝐶𝑅 𝑒‬ ‫𝐶𝑅 𝑒‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫𝐶𝑅‬ ‫𝐶𝑅‬ ‫𝑅‬ ‫= )𝑡(𝐼‬ ‫‪21‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫میدان مغناطیسی‬ ‫اگر یک ابر آزمون ) ‪ (𝑞0‬ساکن را نزدیک ک آهنرابی دائمی قرار دهیم می بینیم هیچ نریویی بر ) ‪ (𝑞0‬اثر منی کند‪ .‬ولی اگر ابر آزمون ) ‪ (𝑞0‬را اب سرعت )𝑣( حرکت دهیم می‬ ‫بینیم یک نریوی جانبی )𝐹( بر آن ابر اثر می کند‪ .‬منظور از نریوی جانبی‪ ،‬نریوی عمود بر )𝑣( است‪ .‬بر این اساس میدان مغناطیسی به صورت زیر تعریف می شود ‪:‬‬ ‫اگر ابر آزمون مثبت ) ‪ (𝑞0‬را اب سرعت )𝑣( از نقطه )𝑝( بگذرانیم و نریوی )𝐹( بر آن اثر کند‪ ،‬می گوییم در نقطه )𝑝( میدان مغناطیسی )𝐵( وجود دارد و )𝐵( برداری‬ ‫است که در رابطه زیر صدق می کند ‪:‬‬ ‫)𝜃(𝑛𝑖𝑠 𝐵𝑣 ‪𝐹 = 𝑞0 𝑣 × 𝐵 = 𝑞0‬‬ ‫)𝑣( و ) ‪ (𝑞0‬و )𝐹( کمیت هایی هستند که اندازه گریی می شوند و )𝜃( زاویه میان بردار )𝑣( و )𝐵( است‪.‬‬ ‫اب استفاده از رابطه ابال یکای میدان مغناطیسی‪ ،‬نیوتن اثنیه بر کولن مرت است که در 𝐼𝑆 اب تسال و ای اب وبر بر مرت مربع نشان می دهند‪.‬‬ ‫)𝑁()𝐹(‬ ‫=‬ ‫𝑏𝑊‬ ‫𝑠𝑁‬ ‫𝑞(‬ ‫)‬ ‫(=)‬ ‫))‬ ‫) 𝑚()𝑣( )𝐶( ‪0‬‬ ‫𝑚𝐶‬ ‫‪𝑚2‬‬ ‫𝑠‬ ‫(=)𝑇((‬ ‫)𝐵(‬ ‫✓ یکای قدمیی میدان مغناطیسی که هنوز هم به کار می رود‪ ،‬گائوس است و رابطه آن اب تسال به صورت زیر است ‪:‬‬ ‫𝑏𝑊‬ ‫𝑠𝑁‬ ‫))𝐺 ‪((𝑇) = ( 2 ) = ( ) = (104‬‬ ‫𝑚‬ ‫𝑚𝐶‬ ‫✓‬ ‫اب توجه به اینکه نریوی مغناطیسی مهیشه بر راستای حرکت عمود است‪ ،‬کار اجنام شده توسط این نریو بر روی ذره صفر است‪ .‬البته این نریو قادر به تغیری جهت است‬ ‫ولی انرژی جنبشی ذره ابردار اثبت می ابشد‪.‬‬ ‫اگر میدان الکرتیکی و مغناطیسی هر دو مهزمان بر ابر ) ‪ (𝑞0‬متحرک اب سرعت 𝑣 اثر گذارند معادله زیر را خواهیم داشت که به معادله لورنتس معروف است ‪:‬‬ ‫⃗‬ ‫𝐵 × 𝑣 ‪𝐹 = 𝑞0 ∙ 𝐸⃗ + 𝑞0‬‬ ‫اتثری میدان مغناطیسی بر روی سیم های حامل جراین الکرتیکی‬ ‫جراین جمموعه ای از ابر های متحرک است پس انتظار دارمی میدان مغناطیسی بر روی تک تک ابر های متحرک و در نتیجه بر روی سیم حامل جراین نریوی جانبی اعمال می کند‪.‬‬ ‫آزمایش ها نشان داده است که اگر سیمی به طول )𝑙( حامل جراین )𝐼( در میدان مغناطیسی )𝐵( قرار گرید‪ ،‬نریویی که بر آن وارد می شود از رابطه زیر به دست می آید ‪:‬‬ ‫⃗‬ ‫𝐵 × 𝑙𝐼 = 𝐹‬ ‫اگر یک جز دیفرانسیلی از رساانیی به طول )𝑙𝑑( را در نظر بگریمی‪ ،‬نریوی )𝐹𝑑( وارد بر آن به این صورت خواهد بود ‪:‬‬ ‫𝐵 × ⃗⃗⃗‬ ‫⃗‬ ‫𝑙𝑑𝐼 = 𝐹𝑑‬ ‫✓ اب انتگرال گریی از فرمول ابال‪ ،‬می توان نریوی )𝐹( وارد بر رساانیی را که مستقیم نیست به دست آورد‪.‬‬ ‫گشتاور نریوی وارد بر حلقه جراین‬ ‫حلقه ای در داخل یک میدان مغناطیسی قرار داده شده است‪ .‬میدان مماس اب صفحه این حلقه می ابشد‪.‬‬ ‫‪|𝐹2 | = |𝐹4 | = 0‬‬ ‫𝐵𝑎𝐼 = | ‪|𝐹1 | = |𝐹3‬‬ ‫جهت این دو نریو در خالف جهت هم است پس منی توانند کل حلقه را داده و جاجبا کنند ولی چون خط اثر این دو نریو یکسان نیست هر کدام گشتاور نریویی به حلقه وارد‬ ‫میکنند‪.‬‬ ‫‪22‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫𝑏‬ ‫𝑏𝑎‬ ‫𝐵 𝐼 = 𝑏𝑎𝐼‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪𝜏1 = 𝑟1 × 𝐹1 = 𝑟1 𝐹1 𝑠𝑖𝑛(90) = 𝑟1 𝐹1‬‬ ‫𝑏‬ ‫𝑏𝑎‬ ‫𝐵 𝐼 = 𝑏𝑎𝐼‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪𝜏2 = 𝑟2 × 𝐹2 = 𝑟2 𝐹2 𝑠𝑖𝑛(90) = 𝑟2 𝐹2‬‬ ‫𝐵𝐴𝐼 = 𝐵 )مساحت حلقه()𝑏𝑎(𝐼 = ‪𝜏 = 𝜏1 + 𝜏2‬‬ ‫اگر تعداد دور های حلقه )𝑁( ابشد گشتاور نریوی وارده بر کل پیچه برابر است اب ‪:‬‬ ‫|𝐵||𝑀| = 𝐵𝐴𝐼𝑁 = |𝜏|‬ ‫این گشتاور در متایل دارد که بردار )𝑛( عمود بر صفحه حلقه را موازی اب میدان )𝐵( کند روابط به دست آمده برای حالتی خاص بود که )𝑛( بر )𝐵( عمود ابشد‪ .‬اب تعریف‬ ‫اپرامرت برداری )⃗𝑛𝐴𝐼𝑁 = 𝜇( به انم گشتاور دو قطبی مغناطیسی‪ ،‬رابطه کلی برای گشتاور به صورت زیر است‪:‬‬ ‫)𝜃(𝑛𝑖𝑠 𝐵𝜇 = ⃗‬ ‫𝐵×𝜇= 𝜏‬ ‫)𝜃( زاویه بنی بردار )⃗𝑛( و ) ⃗‬ ‫𝐵( است‪.‬‬ ‫✓ می توان اثبات کرد که این معادله برای متام حلقه های ختت به مساحت )𝐴(‪ ،‬مستقل از شکل حلقه‪ ،‬صادق است‪.‬‬ ‫گشتاور نریوی وارد بر حلقه اساس کار اغلب دستگاه های اندازه گریی الکرتیکی و نیز اساس کار موتور الکرتیکی است‪.‬‬ ‫کاری که یک عامل خارجی ابید اجنام دهد ات دو قطبی از وضعیت )‪ (𝜃 = 90‬ات )𝜃( معنی بچرخد به صورت زیر حماسبه می شود ()‪ (𝜃 = 90‬به عنوان مبدا انرژی در نظر‬ ‫گرفته شده است‪).‬‬ ‫𝜃‬ ‫𝜃‬ ‫𝜃‬ ‫‪90‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪90‬‬ ‫𝐵 ‪ = ∫ 𝜏𝑑𝜃 = ∫ 𝜇𝐵 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑑𝜃 = 𝜇𝐵 ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑑𝜃 = −𝜇𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ⟹ 𝑈 = −𝜇0‬کار)𝑊( = 𝑈 تغیریات انرژی‬ ‫پدیده هال‬ ‫نوار سیم هپن حامل جراین )𝐼( قرار گرفته در میدان مغناطیسی )𝐵( به صورت شکل میدان )𝐵( نریوی )𝐵 × 𝑙𝐼 = 𝐹( را که جهتش به مست راست است به نوار وارد می‬ ‫کند‪ .‬می دانیم این نریو جمموع نریوی وارد بر حامل های ابر است که به صورت جراین در نوار حرکت دارند نریوی وارد به هر حامل نیز ) ⃗‬ ‫𝐵 × 𝑣𝑞( است‪ .‬پس این حامل ها چه‬ ‫مثبت )‪ (+‬و چه منفی ) –( در اثر این نریوی به مست راست سوق پیدا می کنند اگر حامل ها مثبت )‪ (+‬ابشند اب حرکت آن ها به مست راست میدانی الکرتیکی در جهت‬ ‫راست به چپ )⟵( در نوار اجیاد می شود و بنابراین اختالف پتانسیل )𝑦( از پتانسیل )𝑥( بیشرت است‪ .‬اگر حامل ها منفی )‪ (−‬ابشند پتانسیل )𝑥( بیشرت از )𝑦(‬ ‫خواهد بود‪( .‬اب آزمایش می توان فهمید حامل های ابر در فلز است منفی اند‪ ).‬این میدان الکرتیکی های اجیاد شده از حرکت حامل های بیشرت به مست راست جلوگریی می کند ات‬ ‫اینکه تعادلی بنی نریوی الکرتیک ی و مغناطیسی وارد بر حامل های ابر اجیاد شود و در واقع مهدیگر را خنثی کنند‪.‬‬ ‫𝑑 ∙ 𝐻𝐸 = 𝑦𝑥𝑣 و اختالف پتانسیل هال 𝐵 × 𝑑𝑣‪𝑞𝐸𝐻 + 𝑞𝑣𝑑 × 𝐵 = 0 ⟹ 𝐸𝐻 = −‬‬ ‫از طرفی میدانیم ‪:‬‬ ‫𝐼‬ ‫𝑒𝐴𝑛‬ ‫= 𝑑𝑣 ⟹ 𝑑𝑣𝑒𝐴𝑛 = 𝐼 ⟶ 𝐵 × 𝑑𝑣‬ ‫) )ابر یک الکرتون()𝑞( )حجم()𝑙𝐴( )تعداد ابر ها در واحد حجم()𝑛(( = 𝐵 × 𝑙𝐼 = )مغناطیسی()𝐹(‬ ‫))𝑞( تعداد کل ابر ها(‬ ‫‪23‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫منابع میدان مغناطیسی‬ ‫قانون آمپر‬ ‫آزمایش اورستد ‪ :‬تعدادی آهنراب حول یک سیم جراین در نظر بگریمی ات وقتی جراینی از سیم عبور منی کند‪ ،‬متام آهنراب ها در جهتش متناسب‪ ،‬میدان مغناطیسی زمنی قرار گرفته اند‪.‬‬ ‫وقتی جراین نسبتا قوی ا ز سیم عبور منی کند‪ ،‬آهنراب ها تغیری جهت داده و به صورت مدور حول سیم حامل جراین قرار می گریند‪ .‬نتیجه اینکه سیم حامل جراین در اطراف خود‬ ‫میدان مغناطیسی اجیاد می کند که خطوط این میدان به صورت دایره های مدور حول سیم جراین است‪ .‬مطالعات بیشرت در مورد میدان مغناطیسی اجیاد شده توسط سیم حامل جراین‬ ‫به رابطه زیر منجر شد ‪:‬‬ ‫𝐼 ‪∮ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0‬‬ ‫این رابطه به قانون آمپر معروف است و بیان می کند که انتگرال )𝐵( روی یک حلقه بسته متقارن حول سیم حامل جراین برابر کل جراین عبوری از داخل حلقه ضرب در ضریب‬ ‫اثبت ) ‪( (𝜇0‬اثبت ترقوایی خال) است‪.‬‬ ‫𝑚∙𝑇‬ ‫( ‪𝜇0 = 2𝜋 × 10−7‬‬ ‫)‬ ‫𝐴‬ ‫برای تعینی جهت )𝐵( در اطراف سیم حامل جراین از قاعده دست راست استفاده می شود‪ .‬اگر انگشت شصت در جهت جراین ابشد‪ ،‬چهار انگشت دیگر جهت ) ⃗‬ ‫𝐵( در‬ ‫اطراف سیم را نشان خواهد داد‪.‬‬ ‫کاربرد قانون آمپر‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی میله انزک و کامال طویل‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی میله ضخیم و کامال طویل‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی پوسته استوانه ای کامال طویل‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی سیم پیچ کامال طویل‬ ‫}‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی چنربه‬ ‫✓ چگالی جراین حجمی‬ ‫𝐼‬ ‫𝐴‬ ‫=𝐽‬ ‫واحد چگالی جراین حجمی ب صورت زیر است ‪:‬‬ ‫)جراین الکرتیکی()𝐴(‬ ‫سطح مقطع) ‪(𝑚2‬‬ ‫= چگالی جراین حجمی‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی میله انزک و کامال طویل‬ ‫𝐼 ‪𝜇0‬‬ ‫𝑟𝜋‪2‬‬ ‫= 𝐵 ⟹ 𝐼 ‪∮ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵 ∮ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0‬‬ ‫‪24‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی میله ضخیم و کامال طویل‬ ‫در خارج از میله )𝒂 > 𝒓(‬ ‫𝐼 ‪𝜇0‬‬ ‫𝑟𝜋‪2‬‬ ‫= 𝐵 ⟹ 𝐼 ‪∮ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵 ∮ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0‬‬ ‫در داخل میله )𝒂 < 𝒓(‬ ‫𝐼‬ ‫𝑟𝐼 ‪𝜇0‬‬ ‫= 𝐵 ⟹ ) ‪∮ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵 ∮ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0 ( 2 ) (𝜇𝑟 2‬‬ ‫𝑎𝜋‬ ‫‪2𝜋𝑎2‬‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی پوسته استوانه ای کامال طویل اب شعاع داخلی )𝒂( و شعاع خارجی )𝒃(‬ ‫در خارج از استوانه )𝒃 > 𝒓(‬ ‫𝐼 ‪𝜇0‬‬ ‫= 𝐵 ⟹ 𝐼 ‪∮ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵 ∮ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0‬‬ ‫𝑟𝜋‪2‬‬ ‫در داخل پوسته استوانه )𝒃 < 𝒓 < 𝒂(‬ ‫𝐼‬ ‫) ‪𝜇0 𝐼(𝑟 2 − 𝑎2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)) ‪2‬‬ ‫( ‪∮ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵 ∮ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0‬‬ ‫)‬ ‫𝑟(𝜋(‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑎‬ ‫⟹‬ ‫𝐵‬ ‫=‬ ‫) ‪𝜋(𝑏 2 − 𝑎2‬‬ ‫) ‪2𝜋𝑟(𝑏 2 − 𝑎2‬‬ ‫در داخل استوانه )𝒂 < 𝒓(‬ ‫‪∮ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵 ∮ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵(2𝜋𝑟) = 0 ⟹ 𝐵 = 0‬‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی سیم لوله‬ ‫سیم پیچی دراز که به صورت مار پیچ پیچیده شده و حامل جراین )𝐼( است‪ .‬معموال طول این سیم پیچ در مقایسه اب قطر آن بسیار زاید است‪.‬‬ ‫مجع برداری میدان انشی از متام تک دور ها‪ ،‬در این سیم لوله را تشکیل می دهد‪ .‬اثبات می شود که هر چه سیم لوله ایده آل تر ابشد‪ ،‬یعنی هرچه اب آرایش یک ورقه استوانه ای دراز‬ ‫و انحمدود جراین نزدیک تر شود (و طول آن بسیار بزرگرت از قطرش ابشد)‪ ،‬میدان )𝐵( در خارج از سیم لوله به صفر میل می کند و در داخل آن مقدار اثبتی دارد‪.‬‬ ‫یک سیم پیچ کامال طویل اب شعاع )𝑅( مفروض است‪ .‬اب توجه به جراین سیم پیچ شدت میدان مغناطیسی را در نقطه داخل این سیم پیچ و نقطه ای خارج از آن به صفر میل می‬ ‫کند‪.‬‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی در داخل سیم پیچ‬ ‫از قانون آمپر استفاده می کنیم‪ .‬در مسری بریون )𝑙𝑑 ∙ 𝐵( صفر است چون )𝐵( صفر است‪ .‬در مسری اطراف صفر است چون )𝐵( به هر یک از این مسری ها عمود است پس‬ ‫دارمی ‪:‬‬ ‫𝐼𝑛 ‪) 𝑙𝐼 ⟹ 𝐵 = 𝜇0‬تعداد دور در واحد طول()𝑛( ‪𝐵𝑙 = 𝜇0‬‬ ‫)𝐵( داخل سیم لوله به قطر سیم لوله بستگی ندارد و بنابراین در سطح مقطع سیم لوله مقدار اثبتی دارد‪.‬‬ ‫✓‬ ‫مثل خازن‪ ،‬که روش برای اجیاد میدان الکرتیکی یکنواخت بود‪ ،‬سیم لوله نیز راهی برای تولید میدان مغناطیسی یکنواخت است‪.‬‬ ‫فالکس مغناطیسی ای شار مغناطیسی ) 𝑩𝝋(‬ ‫تعداد خطوط میدان مغناطیسی که از واحد سطح می گذرد ‪:‬‬ ‫𝐴𝑑 ∙ 𝐵 ∫ = 𝐵𝜑‬ ‫✓ واحد شار وبر )𝑏𝑤( است‪.‬‬ ‫‪25‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫حماسبه میدان مغناطیسی چنربه‬ ‫چنربه را می توان به صورت یک سیم لوله مخیده به شکل دایره توصیف کرد‪.‬‬ ‫بنابر تقارن خطوط میدان )𝐵( داخل چنربه دایره ای هم مرکز اند‪ .‬طبق قانون آمپر دارمی ‪:‬‬ ‫𝐼𝑁 ‪𝜇0‬‬ ‫𝑟𝜋‪2‬‬ ‫= 𝐵 ⟹ 𝐼 )تعداد کل دور های چنربه()𝑁( ‪∮ 𝐵 ∙ 𝑑𝑙 = 𝜇0 𝐼 ⟶ 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇0‬‬ ‫پس بر خالف سیم لوله‪ (𝐵) ،‬در سطح مقطع چنربه متغری اثبت نیست‪.‬‬ ‫اثبات می شود که )𝐵( در نقاط خارجی چنربه نیز صفر است‪.‬‬ ‫قانون بیوساوار‬ ‫از قانون آمپر فقط می توان برای حماسبه میدان های مغناطیسی ای استفاده کرد که مکان توزیع جراین به گونه ای ابشد که حماسبه انتگرال )𝑙𝑑 ∙ 𝐵 ∮( آسان ابشد‪ .‬در غری این‬ ‫صورت اب مسئله مشکلی مواجه خواهیم بود‪ .‬دقیقا مثل قانون گائوس در الکرتوستاتیک برای حماسبه )𝐵( در چننی مسائلی ابید توزیع جراین را به عناصر کوچک جراین تقسیم کنیم و‬ ‫𝐵𝑑 را اب استفاده از قانون بیوساوار به دست آورد‪ ،‬و برای کل جراین انتگرال گریی کنیم ات 𝐵 کامل حاصل شود‪.‬‬ ‫بنابر قانون بیوساوار )𝐵𝑑( حاصل از عنصر کوچک جراین به طول )𝑙𝑑( در نقطه )𝑝( به صورت زیر است ‪:‬‬ ‫⃗⃗⃗ 𝐼 ‪𝜇0‬‬ ‫)𝜃(𝑛𝑖𝑠 𝑙𝑑 𝐼 ‪𝑑𝑙 × 𝑟̂ 𝜇0‬‬ ‫∙‬ ‫=‬ ‫∙‬ ‫𝜋‪4‬‬ ‫‪𝑟2‬‬ ‫𝜋‪4‬‬ ‫‪𝑟2‬‬ ‫= 𝐵𝑑‬ ‫‪26‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫القای الکرتومغناطیسی‬ ‫قانون القای فاراده‬ ‫این قانون از آزمایش هایی که توسط فاراده و هانری اجنام شد نتیجه شده است که می گوید اب دور کردن ای نزدیک کردن آهنراب عقربه گالوانومرت منحرف می شود یعنی جراینی در پیچه‬ ‫اجیاد می شود ولی وقتی آهنراب را نسبت به پیچه ساکن نگه دارمی عقربه گالوانومرت صفر است (احنراف منی ایبد) این جراین‪ ،‬جراین القایی انم دارد و در اثر یک نریوی حمرکه القایی‬ ‫اجیاد می شود‪.‬‬ ‫آزمایش مشابه دیگر‬ ‫اب ابز کردن ای بسنت کلید ها‪ ،‬عقربه گالوانومرت منحرف می شود‪.‬‬ ‫در اینجا نیز نریوی حمرکه القایی ابعث اجیاد جراین القایی در پیچه می شود واضح است که این نریوی حمرکه القایی به آهنگ تغیری جراین بستگی دارد نه به اندازه جراین و مهچننی‬ ‫واضح است که عامل مهم در این آزمایش ها تغیری شار ) 𝐵𝜑( است‪.‬‬ ‫قانون القای فاراده‬ ‫نریوی حمرکه القایی )‪ (ℰ‬در هر مدار‪ ،‬برابر آهنگ تغیری شار در مدار (اب عالمت خمالف) است‪ .‬اگر آهنگ تغیری شار وبر بر اثنیه ابشد نریو حمرکه الکرتیکی )‪ (ℰ‬برحسب ولت‬ ‫خواهد بود‪.‬‬ ‫اگر پیچه )𝑁( دور سیم داشته ابشد 𝐵𝜑𝑑‬ ‫𝐵𝜑𝑑‬ ‫→‬ ‫𝑁‪ℰ = −‬‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫‪ℰ=−‬‬ ‫عالمت منفی نشانگر جهت نریوی حمرکه الکرتیکی القایی است‪.‬‬ ‫𝐵𝜑𝑑 ∝ ‪ℰ‬‬ ‫𝐵∝‪{ ℰ‬‬ ‫𝐴∝‪ℰ‬‬ ‫قانون لنز‬ ‫جراین القایی در جهتی برقرار می شود که اب عامل به وجود آورنده خود خمالفت کند‪ .‬عالمت منفی ) –( در قانون فاراده بیانگر خمالفت است‪ .‬مثال اگر مثل آزمایش اول عامل به‬ ‫وجود آمدن نریوی حمرکه الکرتیکی در پیچه نزدیک شدن میدان مغناطیسی انشی از آن در خالف جهت میدان مغناطیسی نزدیک شونده ابشد‪ .‬اگر نریوی حمرکه انشی از دور شدن‬ ‫میدان مغناطیسی از پیچه بود‪ ،‬جراین القایی پیچه به گونه ای خواهد بود که میدان مغناطیسی هم جهت اب میدان دور شوند‪ ،‬اجیاد کند‪.‬‬ ‫میدان الکرتیکی القایی‬ ‫اگر حلقه ای در میدان مغناطیسی متغری اب زمان قرار گرید شاری که از حلقه می گذرد اب زمان تغیری می کند و نریوی حمرکه الکرتیکی خواهیم داشتو این نریوی حمرکه حامل های ابر را‬ ‫به حرکت در می آورد‪ .‬در این حالت می توان فرض کرد تغیریات شار )𝐵( یک میدان الکرتیکی )𝐸( در نقاط خمتلف حلقه تولید می کند و این میدان نریویی به ابر ها وارد می‬ ‫کند که ابعث حرکت ابر ها و اجیاد جراین می شود پس این میدان ابید مماس بر حلقه ابشد‪.‬‬ ‫قانون فاراده اب بیانی نه چندان دقیق ولی آموزنده‬ ‫میدان مغناطیسی متغری میدان الکرتیکی اجیاد می کند اگر ابر ) ‪ (𝑞0‬حول دایره بچرخد‪ ،‬کار اجنام شده طبق تعریف نریوی حمرکه الکرتیکی ) ‪ (ℰ𝑞0‬خواهد بود از طرف دیگر مقدار‬ ‫این کار ))𝑟𝜋‪ (∫ 𝑞0 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = 𝑞0 𝐸(2‬است‪ .‬اب مساوی قرار دادن این دو مقدار ‪:‬‬ ‫‪ℰ‬‬ ‫𝑟𝜋‪2‬‬ ‫= 𝐸 ⟹ )𝑟𝜋‪ℰ = 𝐸(2‬‬ ‫‪27‬‬ ‫مهدیه بزرگی‬ ‫فیزیک ‪2‬‬ ‫نریوی حمرکه خود القایی‬ ‫اگر جراین یک پیچه تغیری کند شار عبوری از داخل مهان پیچه تغیری می کند و ابعث اجیاد نریوی حمرکه القایی در مهان پیچه می شود‪ .‬این پدیده را خود القایی و نریوی حمرکه تولید‬ ‫شده را نریوی حمرکه خود القایی می گویند که آن نیز از قانون القای فاراده و جهت آن از قانون لنز تبعیت می کند‪ .‬کل شار داخل پیچه اب جراین آن متناسب است‪.‬‬ ‫𝐼 )اثبت تناسب که ضریب القای پیچه انم دارد()𝐿( = 𝜑𝑁‬ ‫𝜑𝑑𝑁‬ ‫𝐼𝑑‬ ‫‪ℰ‬‬ ‫𝐿‪= −‬‬ ‫‪⟹𝐿=−‬‬ ‫𝐼𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫‪ℰ=−‬‬ ‫)𝐿( ای ضریب خود القایی به ابعاد هندسی پیچه و مواد داخل پیچه بستگی دارد‪.‬‬ ‫یکای 𝐼𝑆‪ (𝐿) ،‬ولت در اثنیه بر آمپر است که به هانری )𝐻( معروف است‪.‬‬ ‫)اثنیه()𝑠( ∙ )ولت()𝑉(‬ ‫)آمپر(𝐴‬ ‫= )هانری()𝐻(‬ ‫حماسبه ضریب خود القایی یک پیچه (سیم لوله به طول )𝒍( و تعداد دور های )𝒏( در واحد طول) بدون هسته آهنی و تعداد دور های )𝑵(‬ ‫𝐵𝜑𝑁‬ ‫) )میدان مغناطیسی داخل پیچه()𝐵( )مساحت سطح مقطع()𝐴(( )𝐿 )تعداد دور ها در واحد طول()𝑛(( = 𝐵𝜑𝑁 ⟶‬ ‫𝐴𝑎𝐼𝑛 ‪𝑛𝑙𝜇0‬‬ ‫𝐼‬ ‫=𝐿⟹ }‬ ‫𝐴 ‪= 𝑛2 𝑙𝜇0‬‬ ‫𝐼‬ ‫𝐼𝑛 ‪) = 𝜇0‬یچه(پ)𝐵(‬ ‫= 𝐿 ⟶ 𝐼𝐿 = 𝐵𝜑𝑁‬ ‫حماسبه ضریب خود القایی چنربه‬ ‫میدان مغناطیسی داخل چنربه را اب استفاده از قانون آمپر به صورت زیر به دست می آورمی ‪:‬‬ ‫𝑁𝐼 ‪𝜇0‬‬ ‫𝑟𝜋‪2‬‬ ‫=𝐵‬ ‫شار ) 𝐵𝜑( برای مقطع چنربه‬ ‫𝐵𝜑𝑁‬ ‫𝑁𝐼 ‪𝜇0 𝐼𝑁 𝑑𝑟 𝜇0‬‬ ‫𝑏 ‪𝑏 𝜇0 𝐼𝑁 𝑏 𝐿= 𝐼 𝜇0 𝑁 2 ℎ‬‬ ‫= | ))𝑟(𝑛𝑙(‬ ‫( ∫ ‪𝜑𝐵 = ∫ 𝐵𝑑𝑠 = ℎ‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫→ 𝑛𝑙‬ ‫𝑛𝑙‬ ‫𝑑 𝜋‪2‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝑎‬ ‫𝑏‬ ‫‪28‬‬

فزکس 2: کولمب کا قانون، برقی چارج، برقی میدان

Products

Support

فزکس 2: کولمب کا قانون، برقی چارج، برقی میدان

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib