EXERCICES – Limites de fonctions. (feuille 1 sur 4)
– AVEC LES DÉFINITIONS –
Exercice n° 1 :
par f ( x) = 3 x 2 + 1.
Soit f la fonction définie sur
Démontrer, à l’aide de la définition du cours, que :
a) lim f ( x) = +∞ ;
x →+∞
b) lim f ( x) = +∞.
x →−∞
Exercice n° 2 :
2
.
x2
1) Démontrer, à l’aide de la définition du cours, que lim f ( x) = 0.
Soit f la fonction définie sur ]0 ; + ∞[ par f ( x) =
x →+∞
2) Donner l’équation de l’asymptote en +∞ à la courbe représentative de f .
Exercice n° 3 :
2
.
x −1
1) Conjecturer à l’aide de la calculatrice la limite de la fonction f en 1.
2) Démontrer cette conjecture en utilisant la définition du cours.
3) Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Soit f la fonction définie sur ]1 ; + ∞[ par f ( x) =
– LECTURES GRAPHIQUES –
Exercice n° 4 :
Dans chaque cas, la courbe tracée ci-dessous représente une fonction f .
Pour chaque dessin, déterminer par lecture graphique la limite de f en +∞ et −∞ et donner une
équation des asymptotes horizontales éventuelles à en +∞ et −∞ .
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3
Courbe 4
Courbe 5
Courbe 6
Exercice n° 5 :
Construire une courbe qui peut correspondre au tableau proposé après avoir signalé les asymptotes
éventuelles.
−∞
x
0
+∞
2
2
−∞
X
0
0
+∞
2
1
Variations
de f
2
Variations
de f
−2
−1
−∞
−1
Exercice n° 6 :
Dresser le tableau de variation de la fonction f dont on donne la courbe représentative ci-dessous.
Exercice n° 7 :
Voici le tableau de variation d’une fonction f définie et dérivable sur
On appelle
sa courbe représentative.
X
Signe de f '( x )
Variations
de f
−∞
–
1
0
4
+
+
+∞
3
\ {4}.
7
0
+∞
0
+∞
–
3
−1
Répondre par oui ou par non pour chaque affirmation.
1) La droite d’équation x = 4 est asymptote à la courbe .
2) La droite d’équation x = 3 est asymptote à la courbe .
en deux points.
3) La droite d’équation y = 3 coupe la courbe
– CALCULS DE LIMITES –
Exercice n° 8 :
Calculer les limites suivantes :
1) lim (3x 2 − x + 1)
x →+∞
2) lim (4 x 3 − 5 x 2 − 12)
x →−∞
3x 3 − 2 x 2 + 1
x →+∞
7
3) lim
2 x2 + x + 1
x →+∞
3x + 2
4x + 1
5) lim 3
x →−∞ x + x + 1
2 x 2 − 5x + 1
6) lim
x →+∞
4 x2 + 3
4) lim
3x 2 + 1
x →+∞ 4 x 3 + 5 x − 1
8 x 6 + 3x 2 − 1
8) lim 6
x →+∞ 2 x − 5 x 4 + 2
1 + 2 x + 4 x3
9) lim
x →−∞ 2 − 4 x + 2 x 2
7) lim
EXERCICES – Limites de fonctions. (feuille 2 sur 4)
Exercice n° 9 :
Calculer les limites suivantes :
1
1) lim (2 x − 1 + )
x →+∞
x
1
2) lim ( −2 x + 1 + 2 )
x →+∞
x
4
3) lim (3 x + 2 +
)
x →−∞
x +1
Exercice n° 10 :
Calculer les limites suivantes :
1
1) lim+
x →5 x − 5
2
x →0,5 2 x − 1
2) lim −
3x + 2
)
x2 + 1
4) lim ( x 2 + 1) x
7) lim (3 x +
1
5) lim+ (2 x + 3 + )
x →0
x
2
x +1
6) lim+
x →0
x
2
8) lim ( − x )
x →+∞ x
2
9) lim+ ( − x )
x →0 x
x →+∞
x →+∞
4x +1
x→2 x − 2
9
2
x →3 (6 − 2 x )
5) lim+
2x + 3
x →4 x − 4
6) lim+
3) lim+
2 x 2 + 3x − 1
x →−1
(4 x + 4) 2
4) lim−
Exercice n° 11 :
Calculer les limites suivantes :
ex + 6
1) lim (e− x + 2)
2) lim x
x →+∞
x →+∞ e + 2
ex + 6
x →−∞ e x + 2
3) lim
4) lim (e x + x 2 − x − 2)
x →+∞
Exercice n° 12 :
On souhaite étudier la fonction f : x
x 2 − 3x
.
18 − 2 x 2
1) Peut-on calculer f (3) ? Pourquoi ?
En tapant dans un logiciel de calcul formel la commande :
factoriser(18-2x^2,x)
on obtient le résultat :
-2(x-3)(x+3).
1) Vérifier le résultat donné par l’ordinateur.
2) Que faut-il taper pour factoriser le numérateur de f ? Qu’obtiendrait-on alors ?
3) Déduire des résultats donnés par l’ordinateur la limite de f en 3.
Exercice n° 13 :
x
.
x + x−6
1) Pour quelles valeurs réelles de x cette fonction peut-elle être définie ? On note J cet ensemble de
définition.
2) Déterminer les limites de f au bornes de son ensemble de définition J.
x +1
3) À faire seul : Soit f la fonction définie sur \ {1 ; 2} par f ( x) =
.
( x − 2) 2 ( x − 1)
Déterminer les limites de f au bornes de son ensemble de définition.
Soit f la fonction définie par f ( x) =
2
Exercice n° 14 :
Soit f une fonction définie sur
dont on donne le tableau de variation ci-dessous.
−∞
+∞
x
Variations
de f
3
4
+∞
0
0
−2
1) Quelles sont les limites de f en −∞ et en +∞ ?
1
Soit g la fonction telle que g ( x) =
. On note g la courbe représentative de g.
f ( x)
2) a) Déterminer l’ensemble de définition de g.
2) b) Déterminer les limites de g en −∞, en 3 (à gauche et à droite) et en +∞.
2) c) Donner les équations des asymptotes à g .
Exercice n° 15 :
Donner deux fonctions f et g telles que :
a) lim f ( x) = lim g ( x) = +∞ et lim [ f ( x) − g ( x)] = 0.
x →+∞
x →+∞
x →+∞
b) lim f ( x) = lim g ( x) = +∞ et lim [ f ( x) − g ( x)] = +∞.
x →+∞
x →+∞
x →+∞
c) lim f ( x) = lim g ( x) = +∞ et lim [ f ( x) − g ( x)] = −∞.
x →+∞
x →+∞
x →+∞
d) lim f ( x) = +∞, lim g ( x) = 0 et lim [ f ( x) × g ( x)] = 0.
x →+∞
x →+∞
x →+∞
e) lim f ( x) = +∞, lim g ( x) = 0 et lim [ f ( x) × g ( x)] = +∞.
x →+∞
x →+∞
x →+∞
f) lim f ( x) = +∞, lim g ( x) = 0 et lim [ f ( x) × g ( x)] = 2.
x →+∞
x →+∞
x →+∞
Exercice n° 16 : Catastrophe !
( x 20 + 100) 2 − 10 000
.
x 20
1) Donner, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de f ( x) pour les valeurs de x suivantes : 0,5 ; 0,3 ; 0,1 ; 0,05 et 0,01.
2) Simplifier l’expression de f ( x) et en déduire la limite à droite de f en 0.
Remarque : Ce genre de problème d’approximations difficilement contrôlables touche à ce qu’on
appelle la « théorie des catastrophes » ou « théorie du chaos », une théorie développée par René
Thom (1923-2002), médaillé Fields en 1958.
Soit f la fonction définie sur
*
par f ( x) =
– LIMITES ET FONCTIONS COMPOSÉES –
Exercice n° 17 :
Dans chaque cas, donner la limite de f en a.
a) f ( x) = 2 x − 3 ; a = +∞
b) f ( x) = 2 x −
c) f ( x) =
1
; a = +∞
x
−3
; a = −2
x+2
d) f ( x) = 4 x 2 − 1 ; a = −∞
1
e) f ( x) = (2 x − 1 + )3 ; a = −∞ ; a = 0+
x
3 x2 − 2
f) f ( x) = e 2 x −3 ; a = +∞
2