Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica de Cabo de Santo Agostinho
Curso de Graduação em Engenharia Civil
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ESTADO DE TENSÕES
Prof. Dr. Weslley Imperiano Gomes de Melo
2021.2
1. Estado de Tensões
2. Transf. de Tensões
3. Tensões Principais
1.3. Estado Bidimensional de Tensões
(2D)
4. Círculo de MOHR
Análise
Fig. 1.11: EPT - Vigas
Também defominado de Estado
Plano de Tensão (EPT). Conforme Fig1.11.
Caracterizado para elemento em
que: (L >> b, h). A exemplificar, problemas
de vigas.
Fig. 1.12: Tensões no EPT
Para o EPT, Fig. 1.12:
𝜎𝑧 = 0
𝜏𝑧𝑥 = 𝜏𝑧𝑦 = 0
Para Material Isotrópico todos os
planos são simétricos e possuem as mesmas
propriedades ao longo de todas as direções.
2
FONTE: Adapatado de (POPOV, 2000)
1. Estado de Tensões
2. Transf. de Tensões
3. Tensões Principais
4. Círculo de MOHR
Análise
2.2. No Plano (2D)
Para determinar as tensões normais 𝜎𝑥 ′ e 𝜎𝑦 ′ , além da tensão cisalhante 𝜏𝑥 ′ 𝑦 ′ no
plano inclinado, efetua-se:
σ 𝐹(𝑥 ′ ) = 0
σ 𝐹(𝑦 ′ ) = 0
⟹ 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝜎𝑥 ′
⟹ 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒 𝜏𝑥 ′𝑦 ′
➢ Para Obter 𝜎𝑦 ′ aplica-se o ângulo (𝜃 + 900 ).
Fig. 2.2: Tensões no Plano Inclinado
3
FONTE: (HIBBELER, 2010)
1. Estado de Tensões
2. Transf. de Tensões
3. Tensões Principais
4. Círculo de MOHR
Análise
Fig. 2.3: Plano Inclinado
σ 𝐹(𝑥 ′ ) = 0
𝜎𝑥 ′ = 𝜎𝑥 . cos 𝜃 2 + 𝜎𝑦 . se𝑛 𝜃 2 + 2. 𝜏𝑥𝑦 . cos 𝜃 . sen 𝜃
1+ cos(2𝜃)
2
1− cos(2𝜃)
(se𝑛 𝜃)2 =
2
sin(2𝜃)
sin 𝜃 . cos 𝜃 =
2
Relações Trigonométricas: (cos 𝜃)2 =
Por Fim:
𝝈 𝒙′ =
(𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 ) (𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 )
+
. 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜽) + 𝝉𝒙𝒚 . 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽)
𝟐
𝟐
σ 𝐹(𝑦 ′ ) = 0
FONTE: (HIBBELER, 2010)
𝜏𝑥 ′ 𝑦 ′ = (𝜎𝑥 −𝜎𝑦 ). cos 𝜃 . sen 𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 . cos 𝜃 2 − se𝑛 𝜃 2
Relações Trigonométricas: sin 𝜃 . cos 𝜃 =
sin(2𝜃)
2
cos 𝜃 2 − se𝑛 𝜃 2 = cos(2𝜃)
4
Por Fim:
𝝉𝒙′ 𝒚′ = −
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 )
. 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽) + 𝝉𝒙𝒚 . 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽)
𝟐
1. Estado de Tensões
2. Transf. de Tensões
3. Tensões Principais
4. Círculo de MOHR
0
➢ Para Obter 𝜎𝑦 ′ aplica-se o ângulo (𝜃 + 90 ). Fig 2.4
(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )
𝜎𝑦 ′ =
+
. cos 2. 𝜃 + 900
2
2
Análise
Fig. 2.3: Plano Inclinado a (𝜃 + 900 )
+
+ 𝜏𝑥𝑦 . sen 2. 𝜃 + 900
Relações Trigonométricas:
cos 2. 𝜃 + 900
= cos 2𝜃 . cos 1800 − sen 2𝜃 . sen 1800
𝒄𝒐𝒔 𝟐. 𝜽 + 𝟗𝟎𝟎
sen 2. 𝜃 + 900
= − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝜽
FONTE: (HIBBELER, 2010)
= sen 2𝜃 . cos 1800 + cos 2𝜃 . sen 1800
𝒔𝒆𝒏 𝟐. 𝜽 + 𝟗𝟎𝟎
= − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽
Por Fim:
5
𝝈
𝒚′
(𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 )
𝝈𝒙 − 𝝈𝒚
=
−
. 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 − 𝝉𝒙𝒚 . 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽)
𝟐
𝟐
1. Estado de Tensões
2. Transf. de Tensões
3. Tensões Principais
4. Círculo de MOHR
Fig. 2.3: Plano Inclinado a (𝜃 + 900 )
➢ PROPRIEDADE:
Somando
inclinado:
as
Análise
tensões
normais,
no
plano
𝜎𝑥 ′ =
(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )
+
. cos(2𝜃) + 𝜏𝑥𝑦 . sen(2𝜃)
2
2
𝜎𝑦 ′ =
(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
−
. cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 . sen(2𝜃)
2
2
FONTE: (HIBBELER, 2010)
Chega-se:
𝜎
𝑥′
+𝜎
𝑦′
(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )
=
+
= 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
2
Por Fim:
𝝈𝒙′ + 𝝈𝒚′ = 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
6
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2. Transf. de Tensões
3. Tensões Principais
4. Círculo de MOHR
Análise
3.3. Tensões e Direções Principais no Plano (2D)
As tensões principais (𝜎1 𝑒 𝜎2 ) ocorrem no plano onde a tensão cisalhante
(𝜏𝑥 ′ 𝑦 ′ = 0) for nula.
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )
. 𝑠𝑒𝑛(2𝜃𝑝 ) + 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠(2𝜃𝑝 )
2
Logo a inclinação será:
0 = 𝜏𝑥 ′ 𝑦 ′ = −
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )
. 𝑠𝑒𝑛(2𝜃𝑝 ) = 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠(2𝜃𝑝 )
2
𝑠𝑒𝑛 2𝜃𝑝
⟹
𝑐𝑜𝑠 2𝜃𝑝
Conforme Fig. 3.3, tem-se:
𝟐. 𝝉𝒙𝒚
𝒕𝒈 𝟐𝜽𝒑 =
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 )
2. 𝜏𝑥𝑦
=
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )
Fig. 3.3: Tensões principais
𝜏
Ainda: 𝑠𝑒𝑛(2𝜃𝑝 ) = 𝑅𝑥𝑦 ;
𝑐𝑜𝑠(2𝜃𝑝 ) =
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )
2. 𝑅
Aplicando as propredades geométricas nas
tensões normais, após aimplificações, obtem-se:
(𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 )
𝝈𝟏,𝟐 =
±
𝟐
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 )
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
7
𝟐
FONTE: (HIBBELER, 2010)
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2. Transf. de Tensões
3. Tensões Principais
4. Círculo de MOHR
Análise
3.4. Tensão de Cisalhante Máxima (2D)
As tensão cisalhante:
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )
𝜏𝑥 ′ 𝑦 ′ = −
. 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) + 𝜏𝑥𝑦 . 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)
2
A tensão máxima ocorrerá no ponto onde a derivada da função, em relação ao
ângulo 𝜃, seja nula:
𝑑𝜏𝑥 ′ 𝑦 ′
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 )
=0
⟹
𝒕𝒈 𝟐𝜽𝒔 = −
𝑑𝜃
𝟐. 𝝉𝒙𝒚
Aplicando-se o ângulo de cisalhante máxima, conforme Fig. 3.4, na equação do
plano inclinado, tem-se:
Fig. 3.4: Tensões cisalhante máxima
𝝉𝒎á𝒙 =
(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 )
𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒙𝒚
𝟐
8
FONTE: (HIBBELER, 2010)
1. Estado de Tensões
2. Transf. de Tensões
3. Tensões Principais
4. Círculo de MOHR
Análise
5. Análise de Pontos Críticos
Fig. 4.5: Pontos Críticos em vigas
9
FONTE: (HIBBELER, 2010) e (BEER; JOHNSTON JR , 1995)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• BEER, F.P; JOHNSTON JR, E.R. Resistência dos Materiais. 3.ed. São Paulo:
Pearson Makron, 1995.
• FERNANDES FILHO, P. Resistência dos Materiais. João Pessoa: Universidade
Federal da Paraíba, 2008. 238f. Apostila.
• HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7.ed. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2010.
• PARREIRA, A.B. Teoria da Elasticidade. São Carlos: USP, 2015. Notas de aula.
• POPOV, E.P. Mecânica de Sólidos. 2. ed. México: Pearson Educación, 2000.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
• JUDICE, F.M.S.; PERLINGEIRO, M.S.P.L. Resistência dos Materiais IX. UFF,
2005.
• SADD, M.H. Elasticity: Theory, Aplications, and Numerics. New York: Elsevier,
2005.
• TIMOSHENKO, S.P.; GERE, J.E. Mecânica dos Sólidos. Vol I. Rio de Janeiro:
LTC, 1984
10