Cours 1 Profitez de chaque journée et de chaque congé !!! Cours 28525 Mathématiques À TOUS !!! 1 Cours 1 Cours 28525 Mathématiques Bienvenue au cours ! 2 Cours 1 Cours 28525 Mathématiques Comment avoir accès à votre portail étudiant Connectez-vous: nom d'utilisateur + votre mot de passe. 3 Cours 1 Cours 28525 Mathématiques Exigence obligatoire: calculatrice 4 Cours 1 Fractions et nombres fractionnaires. Opérations Étude des notions Numbres décimaux. Opérations. Mesure de longueurs/distance Conversion entre les différents systèmes de mesures Mesure de surfaces et de volumes Conversion entre les différents systèmes de mesures 5 Cours 1 Étude des notions Calcul de pression Algèbre Règle de trois Algèbre Équation et inconnue Unités couramment employées dans le domaine HVAC (volumes, débit, température, pression 6 Cours 1 Unités couramment employées dans le domaine HVAC (quantité de chaleur, puissance thermique et électrique) Étude des notions CALCUL DE CHARGE Détermination du rendement des appareils de chauffage et de refroidissement 7 Cours 1 Cours 28525 Mathématiques Évaluation somative ( 3 tests) - donne lieu a une note Évaluation formative ( devoirs) - pas de note 8 Cours 1 Cours 28525 Mathématiques - Devoirs Pour remettre le devoir, vous avez une semaine complète. Vous pouvez envoyer en avance par courriel vos fichiers de travail (pdf, photos, docx) Utilisez le courriel de la Cité noméroétudiant@lacitec.on.ca 9 Cours 1 Cours 28525 Mathématiques Réussir le cours 10 Cours 1 Cours 28525 Mathématiques Practical Problems for Heating And Cooling Technicians, 6th Edition Russell B DeVore 11 Cours 1 Objectifs du cours Rappel sur les notions de fractions et de nombres décimaux Opérations Addition Soustraction Multiplication Division 12 Cours 1 Rappel des notions VOIR LES LIENS ET PRATIQUEZ https://ressources.lacitec.on.ca/maths_v3/electricien.1.html Lecture et exercices des capsules mathématiques (Électricien). Section Opérations mathématiques de base Évaluation 2 des capsules mathématiques (Électricien) https://ressources.lacitec.on.ca/maths_v3/electricien/operati ons-mathematiques-de-base/operations-mathematiquesde-base-evaluation/index.html 13 Cours 1 Les fractions 14 Cours 1 Situer une fraction sur une droite numérique (ligne divisée en parties égales) Pour placer une fraction sur une droite numérique, on doit subdiviser l’unité en parties égales selon le dénominateur. (Une unité) L’unité est divisée en 4 parties égales. 15 Cours 1 Situer une fraction sur une droite numérique Exemple Prenons 5 6 16 Cours 1 Exemple Les fractions L’unité divisée en 32 parties égales. 17 Cours 1 Fraction impropre Nombre mixte Fraction Fractionimpropre impropre = nombre supérieur à 1 Le numérateur est plus grand que le dénominateur . 18 Cours 1 Situer une fraction impropre sur une droite numérique Si .on a une fraction impropre, on va subdivisera en autant mixte que nécessaire sur la droite numérique. d'unités Nombreimpropre mixte Fraction Comme le dénominateur est 4, on Exemple Prenons -2 subdivise chaque unité en 4 parties égales. On place ensuite la fraction selon le numérateur. re mixte 5 4 -1 0 1 2 19 Cours 2 Fractions décimales Fraction décimale 65 , 12 , 10 100 1 456 , 1000 10000 20 Cours 1 Nombre fractionnaire Nombre fractionnaire un entier suivi d’une fraction partie entière 7 8 partie fractionnaire 21 Cours 1 Nombre fractionnaire C’est l’addition entre un entier et une fraction. On lit 1 et un tiers 22 Cours 1 Situer un nombre fractionnaire sur une droite numérique On procède de la même façon que les fractions. La différence est qu'au lieu de partir de 0, on partira de la partie entière du nombre fractionnaire. Exemple Prenons 1 3 2 On subdivise l'espace entre 3 et 4 en deux parties égales. (comme le dénominatéur de la fraction est 2, on divise l’unité en 2 parties égales). 23 Cours 1 Nombre fractionnaire Nombre fractionnaire et fraction impropre Tout nombre fractionnaire peut s’écrire sous forme de fraction impropre et vice versa. 24 Cours 1 Comment transformer un nombre fractionnaire en fraction impropre Exemple Pour transformer un nombre fractionnaire en fraction impropre, Solution 21 = 2 +1= 2 +1 = 2x 3+1 3 3 1 3 1 3 3 2= 2 1 il faut additionner la partie entière avec la fraction. = 2 x 3+ 1 = 2 x 3 + 1 = 7 3 3 3 3 25 Cours 1 Comment transformer un nombre fractionnaire en fraction impropre Exemple Solution 31 = 3 +1= 3 +1 = 3x 2+1 2 2 1 2 1 2 2 3= 3 1 = 3 x 2+ 1 = 3 x 2 + 1 = 7 2 2 2 2 26 Comment transformer un nombre fractionnaire en fraction impropre Cours 1 Astuce Exemple 3 + 1 = 3x2+1= 7 x 2 2 2 27 Cours 1 Exemple Comment transformer une fraction impropre en nombre fractionnaire 16 = 3 16 3 -15 5 1 1 =5 3 28 28 Cours 1 Exemple Transformer une fraction impropre en nombre fractionnare Exprimer 27 en nombre fractionnaire 8 Solution 27 =3+ 3 8 8 3 3 8 29 Cours 1 Situer une fraction impropre ou un nombre fractionnaire sur une droite numérique Exemple Pour situer une fraction impropre ou un nombre fractionnaire sur une droite numérique, on divise les espaces qui représentent une unité en parties egales, en se basant sur le dénominateur. 30 Cours 1 Fractions équivalentes Fractions équivalentes fractions de même valeur Fraction amplifiée Fraction simplifiée 31 Cours 1 Exemple Fraction équivalente sont-elles des fractions équivalentes ? Pour trouver une fraction équivalente à une fraction donnée, il faut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le même nombre. 32 Cours 1 Fraction irréductible La fraction est réduite à son expression la plus simple. Fraction irréductible 5 7 3 11 15 19 ; ; ; ; ; 9 8 4 12 32 21 Fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun facteur commun. 33 Cours 1 Simplifier les fractions Exemple 3 Simplifier la fraction 9 Solution Le plus grand commun diviseur (PGCD) de 3 et de 9 est 3. 3 9 3:3 = 9:3 1 = 3 La fraction a été réduite à son expression la plus simple. 34 Cours 1 Exemple Fraction simplifiée Simplifier la fraction 30 45 Pour trouver le plus grand commun diviseur (PGCD), il suffit de trouver tous les facteurs premiers constituant le numérateur, ainsi que ceux du dénominateur, retenir tous ceux qui sont communs à ces deux nombres, et les multiplier. 30 45 = 2 x 3 x 5 = 3 x 3 x 5 : 15 30 45 : 15 Le plus grand commun diviseur de 30 et de 45 est 15, donc, on va diviser par 15. La fraction a été réduite à 2 son expression la plus = simple. 3 35 Cours 1 Addition (ou soustraction) des fractions Les fractions peuvent être (+) ou ( -) 36 Cours 1 Addition (ou soustraction) des fractions Exemples Lorsqu’on effectue des opérations, il faut tenir compte des signes des fractions, comme on le fait avec des nombres entiers. 37 Addition (ou soustraction) des fractions Cours 1 Règle d’addition (soustraction) des fractions Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur, appelé dénominateur commun. Nous avons 2 cas : 1+7 9 9 2+1 5 3 38 Cours 1 Addition (ou soustraction) des fractions A. Dénominateurs identiques 1+7 = 9 9 ? 1. Additionner (soustraire) les numérateurs entre eux. Écrire le résultat sur le même dénominateur. (si tel est le cas) 39 Cours 1 Addition (ou soustraction) des fractions B. Dénominateurs différents Il faut trouver un moyen de rendre les dénominateurs égaux, sinon on ne pourra pas faire le calcul ! 3 + 2 = 5 7 ? On doit trouver le dénominateur commun! 40 Cours 1 Dénominateur commun Addition (ou soustraction) des fractions Le dénominateur commun de plusieurs dénominateurs est le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs. 41 Cours 1 Exemple Addition (ou soustraction) des fractions 1 + 1 = 2 3 ? Quel est le dénominateur commun entre 2 et 3? 1 1x 3 = 3 → 2x 3 6 2 x2 1 1 2 = → 3x 2 6 3 Le dénominateur commun des nombres 2 et 3 est 6, puisque c’est le plus petit nombre divisible par 2 et 3. 42 Cours 1 Exemple Addition (ou soustraction) des fractions + Solution + + 43 Cours 1 Addition (ou soustraction) des fractions Exemple Démarche PPCM(4,5,8) = 40 Le dénominateur commun de plusieurs dénominateurs est le plus petit nombre divisible par chacun des dénominateurs. 44 Cours 1 Addition (ou soustraction) des fractions (si tel est le cas) 45 Cours 1 Addition (ou soustraction) des fractions Autre méthode: On peut trouver le dénominateur commun, si on cherche le PPCM à l’aide de la factorisation. PPCM(4,5,8) = ? 4 = 2 x 2 = 2² 5=1x5 8 = 2 x 4 = 2 x 2 x 2 = 2³ PPCM(4,5,8) = 2³ x 5 = 40 Ensuite, on applique la même démarche pour résoudre l’addition. 46 . Addition (ou soustraction) des nombres fractionaires Cours 1 ? 2 méthodes Méthode 1 ou Méthode 2 47 . Cours 1 Méthode 1 Addition (ou soustraction) des nombres fractionnaires ? Donner la réponse en nombre fractionnaire Transformez les nombres fractionnaires en fractions impropres et additionner 48 Cours 1 Addition (ou soustraction) des nombres fractionnaires (si tel est le cas) 49 Cours 1 Addition (ou soustraction) des nombres fractionnaires Méthode 2 Solution ? 3 5+5 3+ 4 6 Donner la réponse en nombre fractionnaire 50 Cours 1 ? Addition (ou soustraction) des nombres entiers et des fractions Pour additionner (ou soustraire) un nombre entier avec une fraction, on met le nombre entier sur 1. Puis, on fait l’addition (ou la soustraction) des fractions. 51 Cours 1 Exemple Addition (ou soustraction) de fractions, nombres fractionnaires, nombres entiers la réponse en =? Donner nombre fractionnaire Solution 52 Multiplication des fractions Cours 1 Multiplication : ( ) ∙ ( ) = ( ) ( ) = ( ) x ( ) ab = a x b On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. 53 Cours 1 Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. Multiplication des fractions Lorsqu’on effectue des opérations, il faut tenir compte des signes des fractions, comme on le fait avec des nombres entiers. 54 Cours 1 Multiplication des fractions Règle des signes 55 Cours 1 Note Multiplication des fractions On peut simplifier le dénominateur d'une fraction avec le numérateur d’une autre si les deux possèdent des facteurs communs. Exemple ? 56 Cours 1 Multiplication des fractions Autre méthode d’écriture : 57 Cours 1 Il faut d’abord transformer les nombres fractionnaires en fractions, puis multiplier Multiplication des nombres fractionnaires ? 2 3 58 Cours 1 Multiplication des nombres fractionnaires Pour multiplier un nombre entier avec une fraction, on met le nombre entier sur 1. Puis, on fait la multiplication des fractions. 59 Cours 1 La puissance d’une fraction Pour trouver la puissance d’une fraction, il faut multiplier la fraction par elle-même autant de fois que l’indique l’exposant. 60 Cours 1 La division des fractions Deux nombres sont inverses si leur produit donne 1. 4 et 1 sont inverses car 4 x 1 = 1 4 4 L’inverse d’une fraction s’obtient en inversant le dénominateur et le numérateur. L’inverse de 5 est 17 17 5 61 Cours 1 Division des fractions 1. On inverse le numérateur et le dénominateur de la fraction de droite. 2. On change le signe de division contre le signe de multiplication. 3. On fait la multiplication des fractions. 62 Cours 1 Division des fractions Lorsqu’on effectue des opérations, il faut tenir compte de leur signe, comme on le fait avec des nombres entiers. Règle des signes Exemple ? 63 Cours 1 Division des fractions Exemple 3 5 ÷ = 8 7 3 5 3 7 x ÷ = = 8 7 8 5 21 40 fraction inversée 64 Cours 1 Division d’une fraction par un nombre entier Transformez le nombre entier en une fraction ayant un dénominateur qui vaut 1. 65 Cours 1 Il faut d’abord transformer les nombres fractionnaires en fractions, puis diviser Division des nombres fractionnaires ? 66 Cours 1 Exemple Division des nombres fractionnaires ? Solution 67 Cours 1 Priorité des operations Le fait de travailer avec des fractions ne modifie en rien la priorité des opérations: Souvenez-vous de ce mot : PEDMAS. 68 Cours 1 Exemple Solution Rappel de notions Priorité des calcules ? On commence par travailler les parenthèses. 69 Cours 1 Nombres décimaux Nombres décimaux 1. Relations entre fractions et nombres décimaux 2. L’arrondissement et l’approximation d’un nombre 3. Opérations: addition, soustraction multiplication division 70 Cours 1 La notation décimale Les fractions et les nombres fractionnaires peuvent s’écrire à l’aide de la notation décimale. 71 Cours 1 Écriture Nombre décimal composé d'une partie entière et d'une partie décimale Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale. 72 Cours 1 La notation décimale 742.38 742,38 le point pour le système de mesure impérial la virgule pour le système de mesure métrique 73 Cours 1 La notation décimale Position Valeur de position 74 Cours 1 La notation décimale 75 Cours 1 La notation décimale Exemple 76 Cours 1 Partie décimale d’un nombre Les nombres décimaux sont formés de tous les nombres dont la partie décimale est finie. Nombre décimal la partie décimale est finie Nombre périodique n’ est pas un nombre décimal puisque la partie décimale est infnie. 77 Cours 1 Partie décimale d’un nombre La partie décimale d’un nombre peut être : a) Fini: 0,345 678 b) Infinie périodique: 5,344 444 c) Infinie non périodique: ∏ = 3,141 592 653… 78 Cours 1 Situer les nombres décimaux sur une droite numérique 79 Cours 1 Situer les nombres décimaux sur une droite numérique Exemple Les nombres suivants sont représentés sur la droite numérique. 80 Cours 1 Exemple Situer les nombres décimaux sur une droite numérique Pour ordonner des nombres décimaux, il faut comparer la valeur des chiffres selon leur position, de gauche à droite 132,25 123,52 411,32 411,6 81 Cours 1 L'écart entre deux nombres décimaux 1. Pour trouver l’écart entre deux nombres, il faut calculer leur différence. 2. L’écart entre deux nombres n‘est jamais négatif. 3. Afin d’obtenir une différence positive, il faut soustraire le plus petit nombre du plus grand. Exemple Quel est l’ecart entre 56,7 et −89,2 ? 56,7 > −89,2 L’écart = 56,7– (−89,2) = 145,9 82 Cours 1 L’écart entre deux nombres décimaux L’écart entre deux nombres représente le nombre d’unités qui les séparent sur une droite numérique. Exemple On cherche l’écart entre 0,2 et – 2,1 83 Cours 1 Transformer une fraction ordinaire en nombre décimal On divise le numérateur par le dénominteur 84 Cours 1 Transformer une fraction décimale en nombre décimal On divise le numérateur par le dénominteur 85 Cours 1 Transformer un nombre décimal en fraction décimale Écrivez la partie décimale du nombre décimal sur 10, 100, 1000, etc., selon le cas 86 Cours 1 ≈ 0.047 Arrondir un nombre décimal à une précision demandée Arrondir une réponse signifie que l’on connaît la reponse exacte mais qu’on doit donner la réponse selon la précision demandée. Ici, la répose est arrondie au millième près(3 chiffres après la virgule) 87 Cours 1 Tout dépend de la précision à laquelle on doit arrondir le nombre. Arrondir un nombre décimal à une précision demandée Exemples Arrondir à l‘unité près. Arrondir au dixième près (signifie 1 chiffre après la virgule. Arrondir au centième près (signifie 2 chiffres après la virgule. ≈ ≈ 0.047 Arrondir au millième près (signifie 3 chiffres après la virgule. 88 Cours 1 Exemple Règle pour arrondir un nombre décimal à une précision demandée 89 Cours 1 Exemple Arrondir une réponse L’arrondi au dixième près de 387,4377 = ? (un chiffre après la virgule) 387,4377 On observe le chiffre 4 qui est la position des dixièmes Le chiffre 4 reste inchangé car il est suivi de 3. Les chiffres à la droite des dixièmes sont suppimés. L’arrondi au dixième près de 387,4377 = 387,4 90 Cours 1 Exemple Arrondir une réponse L’arrondi au centièmes près de 54,6789 = ? (deux chiffres après la virgule) 54,6789 On observe le chiffe 7 qui est la position des centièmes. Le chiffre 7 augmentera de 1 car il est suivi de 8 (On sait que si le chiffre suivant se situe entre 5 et 9, on augmente de 1). Les chiffres à la droite des centièmes sont supprimés. L’arrondi au centièmes près de 54,6789 = 54,68 91 Arrondir une réponse Cours 1 Exemple 128,47 Arrondir à l’unité près. 92 Cours 1 Exemple Approximer une réponse par estimation On fait un calcul mental. Signifie que l’on ignore la réponse exacte, mais qu’on doit en trouver une toute proche. 93 Cours 1 Exemple Approximer une réponse par estimation Réponse calculatrice 94 Cours 1 Approximer une réponse par estimation par excès On obtient une meilleure estimation si on situe le résultat estimé par rapport au résultat reel. 249,7 x 17,9 = 4469,63 Estimation par excès 250 x 20 = 5 000 Les arrondis sont plus grands que les nombres initiaux. Lorsque la valeur estimée est plus grande que la valeur rélle, on a estimé par excès. 95 Cours 1 Approximer une réponse par estimation par défault 301,49 x 10,23 = 3 084,2427 300 Estimation par défault x 10 = 3 000 Les arrondis sont plus petits que les nombres initiaux et la valeur estimée est plus petite que la valeur réelle. Lorsque la valeur estimée est plus petite que la valeur rélle, on a estimé par défault. 96 Cours 1 On additionne une position à la fois, en commençant par la droite. Astuce Addition Pour les additions, n’oubliez pas d’aligner les chiffres en tenant compte de leur position. Tous les chiffres seront bien alignés, les dizaines sous les dizaines, les centièmes sous les centièmes,etc. Pour faciliter le travail, on ajoute des zéros afin d’avoir le même nombre de chiffres dans la partie décimale. 97 Addition Cours 1 La retenue = chiffre reporté et ajouté dans la colonne suivante 0 00 98 Soustraction Cours 1 Soustraction On soustrait une position à la fois, en commençant par la droite. 0 On doit aligner la virgule =? 99 Cours 1 Exemple L’addition et la soustraction de nombres décimaux de signes différents ? 100 Cours 1 Multiplication Les termes d’une multiplication s’appelent FACTEURS. Multiplicateur Multiplier les nombres comme s’il s’agissait de nombres entiers Produit Multiplicande 101 Cours 1 Exemple Comptez les chiffres après la virgule dans les deux facteurs et mettez autant dans la partie décimale du produit Multiplication +1 +1 +1 +2 51.3 1 décimale x 0.469 +3 décimales 4617 4 décimales 3078 2052 24.0597 4 décimales Comme il y a 4 chiffres en tout dans la partie décimale des facteurs, il y aura 4 chiffres dans la partie décimale du produit. 102 Cours 1 Multiplication Exemple Comme il y a 6 chiffres en tout dans la partie décimale des facteurs, il y aura 6 chiffres dans la partie décimale du produit. Pour cela, on doit ajouter 3 zéros à gauche de la virgule pour avoir les 6 chiffres dans la partie décimale. 103 Cours 1 Multiplication avec une puissance de 10 Exemples x 10, x 100, x 1000 3,42 x 100 = 342 On déplace la virgule de 2 2 positions vers la droite 10 → 100 → 1000 → 1 10 10² 10³ 165,972 × 1000 = 165 972 On déplace la virgule de 2 3 positions vers la droite L’exposant de 10 indique le déplacement. 104 Division Cours 1 Dividende Il faut toujours éliminer la virgule au diviseur. Diviseur 5,7420 ÷ 1,65 X 100 Quotient = 3,48 X 100 574,20 ÷ 165 Pour diviser par un nombre décimal, il faut multiplier le dividende et le diviseur par la même quantité (une puissance de 10) pour avoir un nombre entier comme diviseur. 105 Cours 1 Exemple Division L’objectif est d’éliminer la virgule au diviseur je multiplie par 10 partout (je déplace la virgule de 1 position vers la droite) Procéder ensuite à leur division 106 Cours 1 Exemple Division L’objectif est d’éliminer la virgule au diviseur je multiplie par 1000 partout (je déplace la virgule de 3 positions vers la droite) Procéder ensuite à leur division 107 Cours 1 Exemple Division 14,35 ‚ 3,5 = ? → J‘ai terminé dans la partie ENTIERS. 108 Cours 1 - Division Je vaIs utiliser maintenant la partie DÈCIMALE. Je vais mettre la virgule dans ma réponse, après 4. Ensuite, je vais abaisser la décimale, ici 5. Ensuite, je vais terminer la division en ignorant la virgule du dividende. Combien de fois le diviseur 35 peut entrer dans le dividende 35? Une fois! On fait la multiplication: 1 x 35 = 35 Le reste = 0 14,35 ‚ 3,5 = 4,1 109 Cours 1 Division Exemple 56,115 ‚ 8,7 = ? 56,115 ‚ 8,7 = ? X 10 X 10 56,115 ‚ 8,7 = 6,45 110 Cours 1 Division Exemple 78,5 ‚ 4,5 = ? 78,5 ‚ 4,5 = X 10 X 10 785 ‚ 45 = 17,4 111 Cours 1 ÷ 10, ÷ 100, ÷1000 Division avec une puissance de 10 Exemples 789 ÷ 100 = 7,89 On déplace la virgule de 2 2 positions vers la gauche. 10 → 100 → 1000 → 1 10 10² 10³ 9,78 ÷ 1000 = 0,00987 On déplace la virgule de 2 3 positions vers la gauche. L’exposant de 10 indique le déplacement. 112 Cours 1 Les nombres décimaux peuvent être positifs ou négatifs. On doit tenir compte de la règle des signes, comme on le fait avec les nombres entiers. La multiplication et la division de nombres décimaux de signes différents Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif. (-1,14) ‚ (-0,6) = 1,9 113 Cours 1 La multiplication et la division de nombres décimaux de signes différents Le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. 2,34 ‚ (-0,04) = - 58,5 114 Cours 1 Les chaines d’opérations avec les nombres décimaux 115 Cours 1 Fractions et nombres décimaux Merci à tous et bonne rentrée !!! 116