PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE
EMPRÉSTIMOS E
FINANCIAMENTOS
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
A amortização é um processo financeiro pelo qual
uma dívida ou obrigação é paga progressivamente
por meio de parcelas, de modo que ao término do
prazo estipulado o débito seja liquidado. Essas
parcelas ou prestações são a soma de duas partes: a
amortização ou devolução do principal emprestado
e os juros correspondentes aos saldos do
empréstimo ainda não amortizado.
Prestação = amortização + juros
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
 Sistema de Amortização Francês;
 Sistema de Amortização Constante;
 Sistema de Amortização Misto;
 Sistema de Amortização Americano.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS
(TABELA PRICE)
A denominação Sistema de amortização francês
origina-se pelo fato desse sistema ter sido utilizado
inicialmente na França, no século XIX. O sistema
caracteriza-se por pagamentos do principal em
prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais
utilizado pelas instituições financeiras e pelo
comércio em geral. Como os juros incidem sobre o
saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida
em que as prestações são pagas, eles são
decrescentes e, consequentemente, as amortizações
do principal são crescentes. Ele tem esse nome em
homenagem ao economista inglês Richard Price.
EXEMPLO 1:
Uma dívida de R$ 200.000,00 reais é paga em
quatro prestações mensais postecipadas pelo
sistema de amortização francês. A juros efetivos de
10% a.m., construir a planilha de amortização.
𝑃
200.000
𝑅𝑡 =
=
= 63.094,00
4
(1 + 𝑖)𝑛 −1
(1,10) −1
(1 + 𝑖)𝑛 𝑖
(1,10)4 . 0,10
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO 1:
Mês
(t)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
Amortização
(At = Rt – Jt)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Prestação
(Rt)
0
200.000,00
-----
-----
-----
1
156.906,00
43.094,00
20.000,00
63.094,00
2
109.502,60
47.403,40
15.690,60
63.094,00
3
57.358,86
52.143,74
10.950,26
63.094,00
4
-----
57.358,86
5.735,89
63.094,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
(SAC)
Pelo sistema de amortizações constantes (SAC), o
principal é reembolsado em cotas de amortizações
iguais. Dessa maneira, diferentemente da Tabela
Price, em que as prestações são iguais, no Sistema
SAC as prestações são decrescentes, já que os juros
diminuem a cada prestação.
EXEMPLO 2:
Uma dívida de R$ 200.000,00 reais é paga em
quatro prestações mensais postecipadas pelo
sistema de amortização constante. A juros efetivos
de 10% a.m., construir a planilha de amortização.
𝑃 200.000
𝐴𝑡 = =
= 50.000,00
𝑛
4
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO 2:
Mês
(t)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
Amortização
(At)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Prestação
(Rt = At + Jt)
0
200.000,00
-----
-----
-----
1
150.000,00
50.000,00
20.000,00
70.000,00
2
100.000,00
50.000,00
15.000,00
65.000,00
3
50.000,00
50.000,00
10.000,00
60.000,00
4
-----
50.000,00
5.000,00
55.000,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)
O Sistema de Amortização Misto (SAM) se baseia
no SAC e no Sistema Price, já que a prestação é a
média aritmética calculada entre as prestações
desses dois sistemas, nas mesmas condições de
juros e prazos.
Uma das desvantagens do SAM é que suas
prestações iniciais são ligeiramente mais altas que
as da Price. Contudo após a metade do período, o
mutuário sentirá uma queda substancial no
comprometimento de sua renda com o pagamento
das prestações.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)
No Sistema Misto, as prestações decrescem de
acordo com determinada progressão aritmética e
podem ser calculadas usando as seguintes
expressões:
Valor da primeira prestação:
𝑃(1 − 𝑞)
1
𝑅1 =
+𝑞
+𝑖 𝑃
(1 + 𝑖)𝑛 −1
𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 𝑖
Valor da razão da progressão aritmética
(corresponde ao decréscimo das prestações):
𝑖. 𝑃
𝑟=𝑞.
𝑛
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)
Valor da primeira prestação:
𝑃(1 − 𝑞)
1
𝑅1 =
+𝑞
+𝑖 𝑃
(1 + 𝑖)𝑛 −1
𝑛
𝑛
(1 + 𝑖) 𝑖
Valor da razão da progressão aritmética (corresponde
ao decréscimo das prestações):
𝑖. 𝑃
𝑟=𝑞.
𝑛
Valor das prestações no período t (t > 1):
Rt+1 = Rt – r
Onde:
P = valor do principal;
R1 = valor da primeira prestação;
q = coeficiente variável por tipo de plano;
r = razão da progressão.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)
Dependendo do valor de q, o sistema de reembolso
pode resultar no sistema Price (q = 0) ou no sistema
SAC (q =1). O denominado Sistema Misto é um
caso particular em que q = 0,5.
Nesse sistema, devido a ponderação 0,5, o valor das
prestações, amortização, juros e saldos devedores
corresponde a média aritmética dos valores do
Sistema Price e SAC.
EXEMPLO 3:
Calcular as prestações de um empréstimo de R$
200.000,00 a ser pago em quatro prestações
mensais a juros efetivos de 10% a.m., fazendo a
variável q assumir os valores 0 (Sistema Price), 0,5
(Sistema Misto) e 1(Sistema SAC). Apresentar
também a planilha completa do Sistema Misto.
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO 3:
Para q = 0 (Sistema Price)
Primeira prestação:
𝑃(1 − 𝑞)
1
200000
𝑅1 =
+𝑞
+𝑖 𝑃 =
= 63.094
𝑛
4
(1 + 𝑖) −1
(1,1) −1
𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 𝑖
(1,1)4 . 0,1
Razão do decréscimo das prestações:
𝑖.𝑃
𝑟 = 𝑞 . = 0 → as prestações são constantes
𝑛
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO 3:
Para q = 0,5 (Sistema Misto)
Primeira prestação:
𝑃(1 − 𝑞)
1
𝑅1 =
+𝑞
+𝑖 𝑃 =
𝑛
(1 + 𝑖) −1
𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 𝑖
200000 . (1 − 0,5)
1
+ 0,5 .
+ 0,1 . 200000 = 66.547
4
(1,1) −1
4
(1,1)4 . 0,1
Razão do decréscimo das prestações:
𝑖.𝑃
0,1 .200000
𝑟 = 𝑞 . = 0,5 .
= 2.500 →
𝑛
4
diminuem R$ 2.500,00 ao mês
as prestações
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO 3:
Para q = 1 (Sistema SAC)
Primeira prestação:
𝑃(1 − 𝑞)
1
𝑅1 =
+𝑞
+𝑖 𝑃 =
𝑛
(1 + 𝑖) −1
𝑛
(1 + 𝑖)𝑛 𝑖
1
1,0 .
+ 0,10 . 200000 = 70.000
4
Razão do decréscimo das prestações:
𝑖.𝑃
0,10 .200000
𝑟 = 𝑞 . = 1,0 .
= 5.000,00 → as
𝑛
4
prestações diminuem R$ 5.000,00 ao mês.
CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 3:
Mês
Sistema Price
Sistema SAM
Sistema SAC
1
63.094,00
66.547,00
70.000,00
2
63.094,00
64.047,00
65.000,00
3
63.094,00
61.547,00
60.000,00
4
63.094,00
59.047,00
55.000,00
CONTINUAÇÃO DO EXERCÍCIO 3:
Mês
(t)
Saldo devedor
(SDt = SDt-1 – At)
Amortização
(At = Rt – Jt)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Prestação
(Rt)
0
200.000,00
-----
-----
-----
1
153.453,00
46.547,00
20.000,00
66.547,00
2
104.751,30
48.701,70
15.345,30
64.047,00
3
53.679,43
51.071,87
10.475,13
61.547,00
4
-----
53.679,43
5.367,94
59.047,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO
No esquema de amortização americano, o principal
é restituído por meio de uma parcela única ao fim
da operação. Os juros podem ser pagos
periodicamente (mais comum) ou capitalizados e
pagos juntamente com o principal no fim do prazo
acertado.
Pode ser aberto um fundo de amortização de
empréstimos (sinking fund), no qual o devedor
deposita, periodicamente as cotas de amortização.
Essas cotas, por sua vez, devem render juros de tal
modo que, na data de pagamento do principal, o
saldo desse fundo de amortização seja igual ao
capital a pagar, liquidando dessa forma o
empréstimo.
EXEMPLO 4:
Nos três casos seguintes, elaborar a planilha de
amortização de um empréstimo que será reembolsado
de acordo com o Sistema de Amortização Americano:
a-) os juros são pagos periodicamente e não é aberto o
fundo de amortização do empréstimo (sinking fund);
b-) os juros são capitalizados e pagos no fim da operação
juntamente com o principal, e não é aberto o sinking
fund;
c-) pagamento periódico de juros e criação de sinking
fund.
Dados: Valor da operação = R$ 200.000,00; taxa de juros
contratada no financiamento (i) = 10% a.m.; prazo da
operação = 3 meses; taxa de juros obtida pelo fundo de
amortização (i) = 8% a.m.
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO 4:
a-) Juros pagos periodicamente:
Mês
(t)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
Amortização
(At)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Prestação
(Rt = At + Jt)
0
200.000,00
-----
-----
-----
1
200.000,00
-----
20.000,00
20.000,00
2
200.000,00
-----
20.000,00
20.000,00
3
-----
200.000,00
20.000,00
220.000,00
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO 4:
b-) Juros capitalizados e pagos no fim da operação:
Mês
(t)
Saldo Devedor
(SDt = SDt-1 – At)
Amortização
(At)
Juros
(Jt = i x SDt-1)
Prestação
(Rt = At + Jt)
0
200.000,00
-----
-----
-----
1
220.000,00
-----
-----
-----
2
242.000,00
-----
-----
-----
3
-----
200.000,00
66.200,00
266.200,00
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO 4:
c-) Juros pagos periodicamente e com a criação do
fundo de amortização do empréstimo (sinking
fund):
Mês
(t)
Juros pagos
(J = i x P)
Cota do fundo
de amortização
(QFA)
Desencaixe
total
(D = J + QFA)
Saldo Devedor
Valor do
Sinking fund
0
-----
-----
-----
200.000,00
-----
1
20.000,00
61.606,70
81.606,70
200.000,00
-----
2
20.000,00
61.606,70
81.606,70
200.000,00
-----
3
20.000,00
61.606,70
81.606,70
-----
200.000,00