MUNDARIJA
Kirish………………………………………………………………………………...3
1.1-БОБ. FURE QATORLAR TUSHUNCHASI……………………………….3
1.2 Fure almashtirishning matematik asoslari……………………………,,…..11
1.3 Eyler – furye formulalari…………………………………………………….16
2.1.БОБ FURYE ALMASHTIRISH TURLARI…………………………….....22
2.2. Tezkor furye almashtirish…………………………………………………..13
2.3. Veyvlet almashtirishi………………………………………………………..24
3.1.БОБ TRIGONOMETRIK FUNKTSIYALAR SISTEMASINING
ORTOGONALLIGI……………………………………………………………..33
3.2. EYLER – FURYE FORMULALARI……………………………………...35
3.3. Ixtiyoriy davrli trigonometrik qator……………………………………….38
XULOSA…………………………………………………………………………39
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………………………..40
Kirish
Ushbu maqolada matematikaning eng muhim mavzularidan biri bo’lgan
Furye qatori. Funksiyani Furye qatoriga yoyish tog’risida malumot keltirildi va
mavjud muanmolar xal etildi. Agar f (x) funksiya [a;b]kesmada monoton bo‘lsa
yoki [a;b] kesmani chekli sondagi qismiy kesmalarga bo‘lish mumkin bo‘lsa va bu
kesmalarning har birida f (x) funksiya monoton (faqat o‘ssa yoki faqat kamaysa)
yoki o‘zgarmas bo‘lsa, f (x) funksiyaga [a;b] kesmada bo‘laklimonoton funksiya
deyiladi. Agar f (x) funksiya [a;b] kesmada chekli sondagi birinchi tur uzilish
nuqtalariga ega bo‘lsa, f (x) funksiyaga [a;b] kesmada bo‘lakli-uzluksiz funksiya
deyiladi. Agar f (x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz yoki bo‘lakli-uzluksiz
bo‘lib, bo‘lakli-monoton bo‘lsa f (x) funksiya [a;b] kesmada Dirixle shartlarini
qanoatlantiradi deyiladi.
1.1-БОБ. Fure qatorlar tushunchasi
Bizga davri T = 2π bo'lgan funksiya berilgan bo`lsin, ya'ni f (x + 2π) f (x).
Berilgan funksiyaning Furye qatori va koeffitsiyentlari quyidagicha edi:
a0 
f ( x) 
  ( an cos nx  bn sin nx)
2 n 1
a0 

1
f ( x ) dx

 

an 
1

f ( x )  cos nxdx

 

bn 
1

 
f ( x )  sin nxdx
Quyida biz juft va toq funksiyalarning Furye qatori
Agar f (x) funksiya [–a; a] da integrallanuvchi bo`lsa, u holda
a
0
a
a
a
0
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x )dx
Ikkinchi integralda x ni -x ga almashtirish bajarib, (5) ga qo`yamiz:
0
0
0
a
a
a
a
0
 f ( x)dx   f ( x)d ( x)    f ( x)dx   f ( x)dx ,
a
a
a
0
 f ( x)dx   [ f ( x)  f (  x)]d ( x),
f(x) funksiya toq bo’lsa, f   x    f  x 
a
a
a
0
 f ( x)dx   [ f ( x)  f ( x)]d ( x)  0,
f (x) funksiya juft bolsa, ya'ni f   x   f  x 
a
a
a
a
0
0
 f ( x)dx   [ f ( x)  f ( x)]d ( x)  2   f ( x)d ( x)
Ikkita juft funksiyalarning yoki ikkita toq funksiyalarning ko`paytmasi juft funksiya,
juft va toq funksiyalarning ko`paytmasi toq funksiya ekanligini va (7) ni e'tiborga
olgan holda juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblaymiz.
1) f (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini
qanoatlantiradigan juft funksiya bo lsin.
1

a0 
 
ak 
1
 
bk 
1
f ( x ) dx  a0 
2

 0

f ( x )  cos kxdx 
2
 

 0

f ( x )  sin kxdx  0
f ( x ) dx
f ( x )  cos kxdx
a0 
f ( x) 
  ak  cos kx
2 n 1
Juft funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslardan iborat, bk = 0.
2) f (x) funksiya davri T = 2π bolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini
qanoatlantiradigan toq funksiya bo lsin.
1

a0 
 
ak 
1
 
bk 
1
f ( x ) dx  0

f ( x )  cos kxdx  0

 
f ( x )  sin kxdx 
2

 0
f ( x )  sin kxdx

a0
f ( x) 
  bk  sin kx
2 n 1
2. Ixtiyoriy davrli funksiya uchun Furye qatori.
Endi ixtiyoriy 2l davrli, Dirixle shartlarini qanoatlantiruvchi f(x) funksiyani
qaraymiz.
x
1

t o'rniga qo'yish bizni
funksiyaga olib keladi, bu funksiyani Furye qatoriga
yoyamiz:
 1  a0 
f  t     ( ak  cos kx  bk  sin kx )
   2 k 1
bu yerda
a0 
ak 
1

1
f
(
 t )dt
 0
1


1
f
(
t )  cos ktdt ,

 

bk 
1

1
f
(
t )  sin ktdt ,

 

Qatorda va Furye koeffitsentlari formulalarida yangi t o'zgaruvchidan eski
x
o'zgaruvchiga qaytib va t 

l
x , dt 

dx ekanini hisobga olib, quyidagiga ega
l
bo'lamiz:

a0
k x
k x
f  x 
  ( an  cos
 bn  sin
)
2 n 1
l
l
(1)
bu yerda
l
1
a0   f ( x ) dx
l l
1
k x
ak   f ( x ) c o s dx
l l
l
l
1
k x
bk   f ( x ) s i n dx
l l
l
l
(2)
Koeffitsentlari (2) formulalari bilan aniqlanadigan (1) gator ixtiyoriy 2l davrli
f(x) funksiya uchun Furye qatori deyiladi.
2l davrli juft funksiya uchun hamma b k = 0 bo'ladi, demak Furye qatori
faqat kosinuslarni o'z ichiga oladi:
a0 
k x
f  x     an  cos
2 n 1
l
bu yerda
l
1
a0   f ( x ) dx
l l
1
k x
ak   f ( x )  cos
dx
l l
l
l
2l davrli toq funksiya uchun esa hamma ak = 0 va a0 = 0 bo'ladi, demak, Furye
qatori faqat sinuslarni o'z ichiga oladi:
a0 
k x
f  x 
  bn  sin
)
2 n 1
l
bu yerda
1
k x
bk   f ( x )  sin
dx
l l
l
l
Ko'pincha [0,l] kesmada (yarim davrda) berilgan f(x) funksiyani sinuslar
bo'yicha yoki kosinuslar bo'yicha yoyish masalasi talab etiladi.
f(x) funksiyani kosinuslar . bo'yicha qatorga yoyish uchun funksiya
juftligicha
kesmadan [-1,0] kesmaga davom ettiriladi. U holda «davom ettirilgan» juft
funksiya uchun Furye qatori faqat kosinuslarni o'z ichiga oladi. Agar f(x)
funksiyani qatoriga sinuslar bo'yicha yoyishni istasak, u holda funksiyani
toqligicha [0,l] kesmadan [-l,0] kesmagacha davom
ettiramiz, bunda f (x) = 0 deb olishimiz kerak. «Davom ettirilgan»
toq funksiya uchun Furye qatori faqat sinuslarni o'z ichiga oladi.
Aslida kesmadan-kesmaga davom ettirishni amalga oshirmasa ham
bo'ladi, chunki Furye koeffisentlarini hisoblash formulalaridan juft yoki
toq funksiya holida f (x) funksiyaning [0,l] kesmadagi qiymatlari
qatnashadi.
Furye yaqinida(-p; p) oraliqdagi f (x) funksiyalar quyidagi ko‘rinishdagi
trigonometrik qator deyiladi: , qayerda . f (x) funksiyaning (-l; l) oraliqdagi Furye
qatori quyidagi ko‘rinishdagi trigonometrik qator deyiladi: , qayerda . Uchrashuv.
Onlayn kalkulyator Furye qatoridagi f(x) funksiyani kengaytirish uchun
mo‘ljallangan. Modul funktsiyalari uchun (masalan, |x|) foydalaning kosinus
kengayishi. Funktsiyani kiritish qoidalari: Modul funktsiyalari uchun kosinus
kengayishidan foydalaning. Masalan, |x| uchun modulsiz funktsiyani kiritish kerak,
ya'ni. x. Furye seriyasi bo'lak-uzluksiz, parcha-parcha-monoton va intervalda
chegaralangan (- l;l) funktsiya butun real o'q bo'ylab yaqinlashadi. Furye
seriyasining yig'indisi S(x): davriy funktsiya 2 davrga ega l. Agar u(x) funksiya R
sohasining barcha x uchun u(x+T)=u(x) davri T (yoki T-davriy) bilan davriy
deyiladi. intervalda (- l;l) funksiya bilan mos keladi f(x), uzilish nuqtalaridan
tashqari funksiyaning uzilish nuqtalarida (birinchi turdagi, chunki funksiya
cheklangan). f(x) va interval oxirida o'rtacha qiymatlarni oladi: . Aytishlaricha,
funktsiya oraliqda Furye qatoriga kengayadi (- l;l): . Agar f(x) juft funksiya bo‘lsa,
uning kengayishida faqat juft funksiyalar ishtirok etadi, ya’ni b n=0. Agar f(x) toq
funksiya bo‘lsa, uning kengayishida faqat toq funksiyalar ishtirok etadi, ya’ni, a n=0
Furye yaqinida funktsiyalari f(x) oraliqda (0; l) bir nechta yoylarning kosinuslari
bilan qator deyiladi: , qayerda . Furye yaqinida funktsiyalari f(x) oraliqda (0; l) bir
nechta yoylarning sinuslari bilan qator deyiladi: , qayerda . Ko'p yoylarning
kosinuslari bo'yicha Furye qatorining yig'indisi 2-davrli teng davriy funktsiyadir. l,
bilan mos keladi f(x) oraliqda (0; l) uzluksizlik nuqtalarida. Ko‘p yoylarning
sinuslari bo‘yicha Furye qatorining yig‘indisi davri 2 bo‘lgan toq davriy funksiyadir.
l, bilan mos keladi f(x) oraliqda (0; l) uzluksizlik nuqtalarida. Berilgan oraliqda
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar
f(x) funktsiya uchun

 f  x  dx

integral mavjud bo`lsa, u holda, (1) qatorning koeffisiyentlari uchun quyidagi Eyler
– Furye formulalari o`rinli bo`ladi:

1
a0 
 
a1 
1
f  x dx ;

 f  x  cos xdx ,
f  x  cos 2 xdx ,
b2 
1
 
 f  x  cos 3 xdx,
b3 
1

a2 
 
a3 
1

 
. . . . . . . . . . . . .,
an 

1

 
 
1
1
b1 
 
f  x  cos nxdx ,

f  x  sin xdx ;
f  x  sin 2 xdx ;

f  x  sin 3 xdx;
 
. . . . . . . . . . . . .;
bn 
1

 
f  x  sin nxdx ;
(2)
Isboti: Ma`lumki,
f x 
a0
 a 1 cos x  b1 sin x  ...  a n cos nx  bn sin nx  ... .
2
(3)
Ushbu tenglikni –  va  oraliqda integrallaymiz:




a0
dx  a 1  cos xdx  b1  sin xdx  ...
2



 f  x dx  

(4)
Oldingi paragrafdagi (2) formulaga asosan (4) tenglikning o`ng tomonidagi
integralning birinchisidan tashqari, barcha integrallar nolga teng. U holda,
quyidagiga ega bo`lamiz:


 f  x dx  a , ya`ni a    f  x dx .
1
0

0

Demak, n=0 bo`lganda (2)–Eyler–Furye formulalarining birinchisini hosil
qildik. Qolganlari ham shu yo`l bilan topiladi. Bunda (3) tenglik cosnx yoki sinnx
ga ko`paytiriladi, so`ngra, integrallanadi. (3) tenglikni cos2x ga hadma – had
ko`paytirib, integrallash natijasida quyidagini hosil qilamiz:





a0
2
 f  x  cos 2 xdx  2  cos 2 xdx  a1  cos 2 xdx  b1  sin x cos 2 xdx  a2  cos 2 xdx 

(5)
 b2  sin 2 x cos 2 xdx  ...

Buning o`ng tomonidagi, to`rtinchisidan tashqari barcha integrallar oldingi
paragrafdagi (2), (3) va (4) larga asosan nolga teng. (6) formulaga asosan beshinchi
integral  ga teng. U holda,
a2 
1

 
f  x  cos 2 xdx .
3. Ixtiyoriy davrli trigonometrik qator
Davri 2 dan iborat bo`lgan quyidagi
a0
x
x
x
x
x
x
 a1 cos
 b1 sin
 a2 cos 2
 b2 sin 2
 ...  an cos n
 bn sin n
 ... (6)
2
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar
 f  x  dx integral mavjud bo`lsa, u holda, (6) qatorning koeffisentlari uchun

quyidagi Eyler–Furye formulalari o`rinli bo`ladi:
an 
1
 f  x  cos n
x
dx (bunda n=0,1,2,3,…)

bn 
1
 f  x  sin n
x
dx (bunda n=1,2,3,…)
(7)

Oldingi paragrafdagi (2) formulalar
=  bo`lganda (7) dan kelib chiqadi.
4. FURYE QATORI
Davri 2  dan iborat bo`lgan f(x) funktsiya berilgan bo`lsin. Yig`indisi f(x)
bo`lgan quyidagi yaqinlashuvchi trigonometrik qatorni topish talab qilinsin:
a0
 a 1 cos x  b1 sin x  ...  a n cos nx  bn sin nx  ...
2
(1)
Agar bu masalaning yechimi mavjud bo`lsa, bu yechim yagona bo`lib, (1)
qatorning koeffisiyenti Eyler – Furye formulalari yordamida topiladi:
an 
1

 f  x  cos nxdx va bn 
 
1

 
f  x  sin nxdx
(2)
Hosil bo`lgan (2) qatorga f (x) funktsiya uchun Furye qatori deyiladi.
5. UZLUKSIZ FUNKTSIYA UCHUN FURYE QATORI
f(x) funktsiya (-  ,  ) yopiq oraliqda uzluksiz va shu oraliqda ekstremumga
ega bo`lmasin. U holda, f(x) funktsiya uchun Furye qatori oraliqning barcha
nuqtalarida uzluksiz va x ning (-  ,  ) oraliqdagi barcha qiymatlari uchun qator
yig`indisi f(x) dan iborat bo`ladi.
Oraliqning chetki ikkala nuqtalarida yig`indi
1
 f     f   ,
2
ya`ni f (-  ) va f (+  ) larning o`rta arifmetigiga teng bo`ladi.
Misol. f (x)= x funktsiya berilgan bo`lsin. Bu funktsiya (-  ,  ) yopiq
oraliqda uzluksiz va ekstremumlarga ega bo`lmasin.
Yechilishi:
Funktsiyaning Furye qatordagi a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ,... koeffisiyentlar nollardan
iboratdir. Xakikatdan ham
an 
1

 
x cos nxdx 
1
0
 
x cos nxdx 
1

 0
(1)
x cos nxdx
Bundagi birinchi qo`shiluvchi x=-x* almashtirishdan so`ng
1

 
x * cos nx * dx *
ko`rinishga kelib, ikkinchi qo`shiluvchi bilan yig`indisi nolga teng bo`ladi, ya`ni:
an=0 (bunda n=0,1,2,…).
(2)
bn koeffitsiyentlar bo`laklab integrallash yordamida topiladi:
1



1
1
bn   x sin nxdx  
x cos nx 
cos nxdx ...
 
n
n 

(3)

yoki
2 cos  n
n 1 1
 2  1 
n
n
(4)
U holda, x uchun Furye qatori quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
n 1
1

 1
1
1
1
2  sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  ... 
sin nx  ... 
2
3
4
n
1

5)
Teoremaga asosan oxirgi qator uzluksizdir. -  < x <  da uning yig`indisi
quyidagiga teng bo`ladi:
n 1 sin nx
 sin x sin 2 x sin 3 x

2


 ...   1 
 ...  x,    x   .
2
3
n
 1

1
      0 . Qatorning barcha hadlari nolga aylanadi.
2
x=±  da yig`indi
x

2
(6)
da (6) formula Leybnits qatoridan iborat bo`ladi, ya`ni:
1 1 1 1

    ... 
1 3 5 7
4
(7)
6. JUFT VA TOQ FUNKTSIYALAR UCHUN FURYE QATORI[[[[[[[[
f(x) funktsiya biror (- , ) oraliqda aniqlangan bo`lsin. Bu funktsiya
argument ishorasining o`zgarishi bilan o`z ishorasini o`zgartirmasa, ya`ni:
f  x   f  x 
(1)
bo`lsa, f (x) toq funktsiya; agar o`z ishorasini o`zgartirsa, ya`ni f  x    f  x 
bo`lsa, juft funktsiya deb nomlanadi.
0
Quyidagi
 f  x  dx va  f  x  dx integrallar juft funktsiyalar bo`lganda

0
o`zaro teng, toq bo`lganda esa ishoralari bilan farqlanadi. Shuning uchun juft
funktsiyalar uchun
 f  x  dx  2 f  x  dx,

toq funktsiyalar uchun esa
0
 f  x  dx  0

interallar o`rinlidir.
(3)
(4)
Juft funktsiyalar uchun Furye qatorida sinuslar ishtirok etmaydi. U holda,
Furye koeffisiyenti quyidagicha bo`ladi:
an 
2

 0
f  x  cos nxdx,
bn  0.
(5)
Toq funktsiyalar uchun Furye qatorida kosinuslar va ozod hadlar ishtirok
etmaydi. U holda, Furye koeffisiyenti
an  0,
bn 
2

 0
f  x  sin xdx
(6)
ko`rinishga ega bo`ladi.
1-misol. f(x)=x funktsiya toqdir. Uning Furye qatorida kosinus va ozod had
ishtirok etmaydi. bn koeffisiyentlari quyidagicha bo`ladi:
bn 

x sin nxdx  2  1 

2
n 1
0
1
 .
n
2-misol. f (x)=‫׀‬x‫ ׀‬funktsiya juft. U holda, uning Furye qatorida sinuslar
ishtirok etmaydi. a0 koeffisiyent quyidagiga teng bo`ladi:
a0 
2

 x dx 
 0
2

 0
хdx
(7)
n≠0 bo`lganda an koeffisiyent quyidagidan iborat bo`ladi:
an 
ya`ni
2

 x cos nxdx 
 0
a2k  0 ,


2 sin nx
2
cos n  1


sin nxdx  2
,


n 0 n 0
n 2
a 2 k 1  
4
2 k  1  2 
(bunda k=1,2,3,…).
(8)
(9)
f(x)  x funktsiya uchun Furye qatori quyidagidan iborat:

2


4  cos x cos 3 x
cos 2 n  1 x
 2 


...


...
2
2

  1
3
2 n  1 

(10)
2.1.-БОБ FURYE ALMASHTIRISH TURLARI
Signal va funksiyalarni odatdagicha, ularning qiymatlarini ma’lum
argumentlar (vaqt, chiziqli yoki fazoviy koordinatalar va shunga o‘xshashlar)dan
tashqari, ma’lumotlarga ishlov berish va ularni tahlil etishda signallarni argumenti
dinamik shaklda ifodalashdagiga teskari bo‘lgan argumentli matematik ifodalardan
ham keng foydalaniladi. Misol uchun, vaqtga teskari bo‘lgan argument bu
chastotadir. Bu shaklda ifodalash ushbu signal o‘zining berilgan vaqt oralig‘ida
cheksiz ko‘p bo‘lmagan qiymatlarga ega bo‘lsa, har qanday murakkab ko‘rinishdagi
signalni nisbatan sodda, oddiy elementar signallar yig‘indisi orqali ifodalash
mumkin, va xususiy holda oddiy garmonik tebranishlar yig‘indisi ko‘rinishida, ya’ni
Fure almashtirishi orqali bajarilishi mumkin. Yuqoridagidan kelib chiqqan holda
signalni elementar garmonik tashkil etuvchilarga yoyish uzluksiz yoki boshlang‘ich
fazasi qiymatlari orqali ifodalanadi. Uzluksiz yoki diskret vaqt argumentlari ularga
teskari bo‘lgan ifodalashga mos keladi. Signal yoyilgan garmonik tashkil
etuvchilarning majmuasi ushbu signalning amplituda spektri deb ataladi va
boshlang‘ich fazalar majmuasi faza spektri deb ataladi. Ushbu ikki spektr signalning
to‘liq spektrini tashkil etadi va bu matematik ifoda o‘z aniqligi bilan signalni
dinamik ko‘rinishda ifodalashga to‘liq mos keladi.
Fure garmonik qatoridan tashqari signalni yana boshqa ko‘rinishdagi
elementar tashkil etuvchilarga yoyishlardan ham foydalaniladi, bular Uolsh,
Adamar, Veyvlet va boshqalardir. Bundan tashqari Chebishev, Lagger, Lejandr
polinomlari va boshqalarga yoyish usullari ham mavjud. Signallarga raqamli ishlov
berishda Fure diskret almashtirishi (FDA) va uni tezkor hisoblash usuli – Fure tez
almashtirishi (FTA) dan keng foydalaniladi. Bunga bir necha sabablar bor: ular
chastotalar koordinatasida eng qisqa vaqt davom etadigan signallardan (  1 s)
tashqari signallarni to‘liq – aniq ifodalaydilar; chastota bo‘yicha qisqartirilgan Fure
tashkil etuvchilari ma’lumotlarni boshqa darajali qatorlarga nisbatan aniqroq
ifodalaydi. Uning alohida tashkil etuvchilari sinusoida ko‘rinishida bo‘lib, chiziqli
tizimlar orqali uzatilganda buzilmaydi (o‘z shakllarini o‘zgartirmaydilar), shu
sababli ulardan yaxshi sinov signallari sifatida foydalanish mumkin.
Signallarni elementar tashkil etuvchilarga yoyishda asosiy shart bir qiymatlik
va matematik ifodaning to‘liq mosligi – yoyilayotgan elementar funksiyalar o‘zaro
ortogonal bo‘lishlari kerak. Ammo signal sifatli tahlil etilgan taqdirda ularning
foydali fizik ma’lumotlarini aks ettirish uchun kerakli, o‘ziga xos xususiyatlarini
ko‘rsatuvchi noortogonal funksiyalardan ham foydalanish mumkin. Signallarga
raqamli ishlov berishda eng ko‘p qo‘llaniladigan signallarni yoyish usullarini ko‘rib
chiqamiz.
2.2.- Tezkor furye almashtirish
Fure diskret almashtirishi (FDA) va teskari FDA
Amalda signal Fure tashkil etuvchilari, unga analog ishlov berish natijasida
emas, raqamli hisoblashlar natijasi orqali aniqlanadi. Analog signal cheksiz ko‘p birbiriga yaqin nuqtalardan iborat bo‘lganligi uchun, uning hamma qiymatlarini
ifodalash mumkin emas. Shuning uchun raqamli tizimlardan foydalanish uchun
analog signalni bir xil vaqt oraliqlarida diskretlash kerak bo‘ladi va bu oniy
qiymat(o‘lchov)larni ikkilik raqamli signal shakliga keltirish kerak bo‘ladi. Bu oniy
qiymatni o‘lchash xotirada saqlash konturi yordamida amalga oshiriladi, so‘ngra
analog-raqamli o‘zgartirish amalga oshiriladi. Analog signalni yuqori aniqlik bilan
tiklash uchun bu bir sekund davomida olingan oniy qiymat(o‘lchash)lar soni yetarli
darajada. Nazariy nuqtai nazardan diskretlash kerakli tezligi Naykvist chastotasi deb
ataladi va 2 f ю ga teng, f ю – signalning amplitudasi sezilarli darajada katta eng
yuqori chastotali sinusoidal ko‘rinishdagi tashkil etuvchisi chastotasi.
Shunday qilib, o‘zgartirilishi kerak bo‘lgan hamma ma’lumotlar endi diskret
va nodavriy ham bo‘lishi mumkin. Shuning uchun Fure almashtirishidan
foydalanish mumkin emas, chunki u uzluksiz ma’lumotlar uchun mo‘ljallangan.
Ammo, shunday analog almashtirish borki, uni diskret ma’lumotlarga ham qo‘llash
mumkin – bu Fure diskret almashtirishi (FDA).
Faraz qilaylik, analog signalni bir xil vaqt T oraliqlarida diskretlash natijasida
N ta oniy qiymat(o‘lchash)ga ega bo‘lgan quyidagi diskret ketma-ketlik olingan
bo‘lsin xnT   x0 , xt ,..., x N  1T , bunda n – olingan oniy qiymat tartib
raqami bo‘lib, n  0 dan n  N  1 gacha qiymatlarni qabul qiladi. xnT  qiymati
faqat kuchlanish spektriga tegishli vaqt qatoriga tegishli qiymatlarni ifodalaganda
haqiqiy kattalik bo‘ladi.
Shuning uchun signalning vaqt bo‘yicha haqiqiy bo‘lgan N ta qiymatlari
FDAning chastota bo‘yicha N ta kompleks qiymatlariga aylanadi
(9.8)
bunda FD orqali Fure diskret almashtirishi belgilangan.
Teskari Fure diskret almashtirishi (TFDA) quyidagicha aniqlanadi
(9.9)
1
bunda FD orqali teskari Fure diskret almashtirishi belgilangan.
2.3.- Veyvlet almashtirishi
Geyzenberg noma’lumlik (noaniqlik) fizik prinsipiga asosan, bir vaqtning
o‘zida x zarrachaning holati va uning impulsi p ni aniq bilish mumkin emas.
Amalda
xp  h  6.626  10 34 , J  s
(9.26)
bunda h – Plank doimiysi. Eynshteynning E  mc 2 tenglamasi asosida bu prinsipni
signallarga ishlov berish sohasida ham qo‘llash mumkin. Bunda Geyzenberg
prinsipi quyidagicha ta’riflanadi: bir vaqtning o‘zida har qanday aniqlik bilan vaqt
va chastotani aniqlash mumkin emas, ya’ni
(9.27)
bunda f va T chastota va vaqt bo‘yicha farqlanishni ifodalaydi. Agar chastota
qiymati yuqori aniqlik bilan farqlansa (aniqlansa), u holda chastota nisbatan kam
aniqlik bilan baholanadi va aksincha.
Natijada bir vaqtning o‘zida signal tashkil etuvchilari chastotasini va uning
paydo bo‘lish vaqtini yoki signal turli chastotali tashkil etuvchilarini vaqt bo‘yicha
ajratish talab darajasidagi yuqori aniqlik bilan o‘lchash yetarli darajada murakkab
bo‘lishi mumkin. Bu holat agar signal yuqori chastotali tashkil etuvchilardan iborat
bo‘lsa va ular vaqt sohasida uzoq davomiyli tashkil etuvchilarga juda ham yaqin
joylashgan bo‘lsa va ular ham o‘z vaqtida chastota sohasida yaqin joylashgan bo‘lsa,
hamda turli onlar (vaqtlar)da hosil bo‘lsa yuz berishi mumkin.
Bunday signallar davriy bo‘lmaydi. Bu chastota-vaqt tahlili umumiy
muammosini yechish uchun Veyvlet almashtirishdan foydalaniladi (wavelet
transform), u nostasionar signallarni tahlil etish vositasi hisoblanadi. Veyvlet
almashtirishdan signallarni filtrlashda, shovqinlarni yo‘qotishda, sinulyarlik joyini
topish va ularning taqsimlanishini aniqlash kabi masalalarni yechishda foydalanish
mumkin.
Fure almashtirishida signal qiymati darajasi ko‘rsatkichida mavhum bo‘lgan
hissa (vesovoy) koeffitsienti bo‘lsa va argument garmonik shaklda bo‘lib chastotaga
bog‘liq bo‘lsa, ya’ni sinusoidal tashkil etuvchi bo‘lsa, Veyvlet almashtirishda
xususiy hissa koeffitsientlari qiymati sifatida Veyvlet funksiyalardan foydalaniladi.
Hamma Veyvlet funksiyalar asosiy (bazaviy) Veyvlet funksiyasidan olinadi.
Ba’zi hissalar bo‘lishini ta’minlash uchun bir qator asosiy (bazaviy) funksiyalardan
foydalaniladi. Talab etiladigan xossalarga ega bo‘lish uchun Veyvlet funksiya
tebranishlar shaklida bo‘lib, doimiy tashkil etuvchisi bo‘lmasligi kerak, spektri
ma’lum bir kichik polosada joylashgan bo‘lishi, kichik vaqt ichida nolga teng
qiymatgacha kichiklashishi va aksincha, kichik vaqt oralig‘ida o‘zining eng katta
qiymatiga ega bo‘lishi kerak. Bu xususiyat Veyvlet almashtirish bir qiymatli
bo‘lishiga kafolat beradi. Asosiy funksiyani  t  ko‘rinishida yozish mumkin.
Misol uchun, Morlet yoki Gauss modifikatsiyalangan asosiy funksiyasi (Morle
veyvleti) quyidagicha ifodalanadi
(9.28)
Uning Fure ko‘rinishi
(9.29)
Bu ikki signal 6.8-rasmda keltirilgan bo‘lib, bundan ko‘rinadiki  t 
funksiya yuqorida keltirilgan talablarga javob beradi, ya’ni tebranuvchan va
nolgacha kichiklashadi.
9.8-rasm.Modifikatsiyalashtirilgan Gauss yoki Morlet,  t  ona (asosiy)
veyvlet funksiyasi va uning Fure ko‘rinishi H 
Qolgan (qiz, ikkilamchi) funksiyalar birlamchi asosiy funksiyalar masshtabini
o‘zgartirish natijasida olinadi, bular funksiyalar oilasini tashkil etadilar. Har bir
ikkilamchi (qiz) funksiyani quyidagicha ifodalash mumkin
bunda a – masshtabni o‘zgartirish o‘zgaruvchan koeffitsienti, τ – olib o‘tish
o‘zgarmas koeffitsienti. Agar a
ning masshtabi kattalashsa funksiyaning
amplitudasi
va
argumenti
kichiklashadi.
Amplituda
berilgan
qiymatida
argumentning kichiklashishi chastotaning kichiklashishini anglatadi.
Masshtabni o‘zgartirish koeffitsienti a va olib o‘tish o‘zgarmas koeffitsienti
τ yordamida katta va kichik (turli) amplitudali, yuqori va past (turli) chastotali
funksiyalarni yaratish mumkin va ularni vaqtning turli onlariga joylashtirish
mumkin.
Shunday qilib turli vaqt oralig‘iga joylashgan turli chastotali tashkil
etuvchilarga ega nostasionar signallarni turli veyvlet funksiyalar yig‘indisi orqali
ifodalash mumkin. Veyvlet funksiyasidan shu maqsadlarda foydalaniladi.
Uzluksiz veyvlet almashtirishni (UVA) ( a, ) quyidagicha ifodalash mumkin
UVA
(9.30)
Bu tenglama paramterlarini diskretlash natijasida diskret parametrli veyvlet
almashtirishi (DPVA) ( m, n ) ni olish mumkin, u quyidagicha aniqlanadi
DPVA
m
bunda quyidagi almashtirishlar amalga oshirilgan: a  a 0 ,
(9.31)
  n 0 a0m . Bu
almashtirishlarda a 0 va  0 lar a va  lar uchun diskretizatsiyalash oralig‘i; m va
n lar esa butun sonlar.
Ko‘p hollarda a0  2a , 0  1 ga teng deb olinadi. Yuqoridagilarni e’tiborga
olinsa
DPVA
Bu vaqt o‘qini 2  m marotaba kengaytiradi, natijada veyvlet funksiya vaqt
bo‘yicha musbat tomonga 2 m n kattalikka suriladi.
Veyvlet funksiyani vaqt bo‘yicha diskretizatsiyalash, diskret vaqtli veyvlet
almashtirishi (DVVA)ni beradi, u quyidagicha aniqlanadi
DVVA
(9.32)
Agar qaytadan a0  2a va 0  1 deb hisoblasak u holda DVMI quyidagicha
aniqlanadi
DVVA
(9.33)
(9.33) ifoda veyvlet diskret almashtirishi hisoblanadi.
Shunday qilib, veyvlet diskret almashtirishi uzluksiz veyvlet almashtirishidan
masshtab parametri a ni, olib o‘tish o‘zgarmas koeffitsienti  va vaqtli
diskretizatsiyalash, so‘ngra diskretlash oralig‘i qiymatlari
a0  2 va 0  1 deb
hisoblash natijasida olinadi.
Veyvlet almashtirishlardan signallar chastota-vaqt tarkiblarini o‘rganishda
foydalanishdan tashqari, ulardan signallarni filtrlash, ya’ni shovqinning qandaydir
qismini olib tashlashda ham foydalanish mumkin. Buning uchun signal tashkil
etuvchilarga ajratilishi kerak. So‘ngra taqqoslash asosida shovqin tashkil etuvchilari
olib tashlanadi. Va nihoyat shovqinlardan tozalangan signal tashkil etuvchilari
veyvlet funksiyalari orqali qayta tiklanadi. Uzluksiz veyvlet almashtirishidan
foydalanilganda signalni qayta tiklash (teskari almashtirishi) ifodasi quyidagi
ko‘rinishda bo‘ladi
1 
 1 
 1 
s t  
UVA a ,   t    / a 2 dadt ,


C  a 0
 a
 a 
bunda
(9.34)
va H  – asosiy impuls  t  ning Fure ko‘rinishi.
Aloqa kanallari orqali uzatiladigan signallar vaqtning haqiqiy funksiyasi
bo‘ladi. Ammo bir qator signallar uzatish muammolariga tegishli masalalarni
yechishda signalni vaqt funksiyasi bo‘lgan elementar kompleks tashkil etuvchilar
yig‘indisi sifatida qarashni taqazo etadi yoki signalning o‘zini to‘liq kompleks
funksiya deb tadqiq etishga ehtiyoj tug‘iladi, ya’ni
s(t )  s (t )  js  (t )  u (t )e j ( t )
(9.35)
bunda, u (t ) va  (t ) - signal o‘rovchisi va fazasi. Bu holda haqiqiy signal kompleks
signal orqali quyidagicha aniqlanadi:
s (t )  Rc s(t )  Rc u (t )e j ( t )  u (t ) cos (t )
(9.36)
Signalni bu shaklda ifodalashdan tor polosali signallarni tadqiq qilishda keng
foydalaniladi.

Agar s(t ) va s (t ) Gilbert o‘zgartirish juftligi orqali bir-biriga bog‘liq bo‘lsa,
s (t ) signal analitik signal deb ataladi, ya’ni
1  s ( )

s (t )  
d 

  t  
 
1 s ( ) 
s (t )   
d 

  t  


(9.37)
shaklida bog‘langan bo‘lsa, bunday signal analitik signal hisoblanadi. (9.27)

ifodalardagi integrallar Koshining asosiy qiymati sifatida qabul qilinadi. s (t )

funksiya bilan Gilbert bo‘yicha moslashgan hisoblanadi. s (t ) va s (t ) ni Gilbert
sharti asosida tanlangan bo‘lsa, u holda signal o‘rovchisi va fazasi quyidagicha
aniqlanadi:
u (t ) 
s(t )  s (t ) ,
2
2

(9.38)
s  (t )
 (t )  arctg
.
s (t )
(9.39)
Agar s (t ) signal spektri kengligi o‘zining o‘rtacha chastotasi 0 dan kichik
bo‘lsa, u holda bu signalning amplitudasi va fazasi signal s (t ) ning o‘ziga nisbatan
sekin o‘zgaradi. Gilbert to‘g‘ri va teskari bir juft o‘zgartirishlari asosida
s (t )  cos t
s  (t )  sin t
signalga
signal
va
s(t )  sin 0t
signalga
s  (t )   cos 0t sigal kompleks moslashganligini tasdiqlash mumkin. Xuddi shunga
s (t )   ( ak cos k0t  bk sin k0t )
o‘xshash
signal
bilan
k
s  (t )   ( ak sin k0t  bk cos k0t ) signal kompleks moslashgan bo‘ladi.
k
Shunday
qilib
s (t )  A cos t
oddiy
garmonik
tebranish
s  (t )  A cos t  jA sin t  Ae jt analitik signal mos keladi.
Agar signal Fure integrali ko‘rinishida bo‘lsa:
1 
s (t ) 
S ( j  ) e jt d 

2  
(9.40)
Uning chastota spektri quyidagicha ifodalanadi:

s ( j )   s (t )e  jt dt  Г s (t )
(9.41)

s (t ) va s  (t ) sigallarning spektri o‘zaro quyidagi bog‘lanishga ega:
Г s(t )   j sgn(  )S ( j ) ,
(9.42)
signalga
 1,

bunda sgn(  )   0,
  1,

agar
agar
agar
  0;
  0;
  0.
Shunday qilib, Gilbert o‘zgarishini s (t ) signalning hamma spektral tashkil
etuvchilarini 

ga suruvchi elektr zanjiridan o‘tishi deb hisoblash kerak. Ushbu
2
elektr zanjirining chastota va faza tavsiflari quyidagicha bo‘ladi:
K ( j )   j sgn(  ),
h(t ) 
1
.
t
(9.42) ifodani (9.35) ifodaga kiritish natijasi S  (t ) signalning spektri S ( j )
ning “bir tomonlama” ekanini ko‘rsatadi:
 2 S ( j ),

S ( j )   S (0),
0,

agar
agar
agar
  0;
  0;
  0.
(9.43)
Bu analitik sigalning juda muhim hossasi hisoblanadi.
Davriy signal s (t ) ning Gilbert sharti bo‘yicha moslashgan s  (t ) funksiyasi

ham s (t ) signal davriga teng bo‘ladi. s (t ) va s (t ) sigallar ularning davri T
oralig‘ida o‘zaro ortogonal bo‘ladi, ya’ni
T
 s (t ) s (t )dt  0 .

0
Agar si (t ) va s j (t ) ortogonal signallardan birini uning Gilbert o‘zlashtirishi
sharti asosida moslashtirilganiga almashtirilganda ham ortogonallik hususiyati
saqlansa, bunday signallar kuchaytirilgan ma’noda ortogonal signallar deb
ataladilar, ya’ni
T
1 2
si (t )  s j (t )   si (t )  s j (t ) dt  0;
T T 2
T
s i (t )  s  j ( t ) 
(9.44)
2
1
si (t )  s  j (t ) dt  0,

T T 2
agar
i j
Bundan tashqari bunday signallardan birini uning
s * (t )
kompleks
moslashganiga almashtirilganda ham o‘zaro ortogonallik hususiyati saqlanib qiladi,
ya’ni
T
1 2
si (t )  s j (t )   si (t )  s * j (t )dt  0;
T T 2
agar
i j
(9.45)
Analitik signal tushunchasi har qanday signalni kompleks shaklga keltirish va
uning o‘rovchisini hamda fazasini aniq aniqlash imkoniyatini beradi. Determinant
(o‘zgarish qonuniyati ma’lum funksiya) va tasodifiy signallar analitik shaklga
keltirilishi mumkin. Signalni analitik shaklga keltirish natijasida, uning o‘rovchisi
va fazasi o‘zgarishini alohida-alohida tadqiq qilish mumkin bo‘ladi. Masalan,
tasodifiy jarayon tadqiq etilganda uning oniy qiymatlari bilan shug‘ullanish o‘rniga,
uning o‘rovchisi yoki fazasini tadqiq etish bilan chegaralanish mumkin.

Umuman olganda x(t ) va x (t ) jarayonlarning spektrlari va korrelyatsion
funksiyalari
bir
hil:
G x ( )  G x ( ),
Bx ( )  Bx ( ) .


x(t )
va
x  (t )
jarayonlarning o‘zaro energetik spektrlari G x ( )  jGx ( ) o‘zaro korrelyatsiya


funksiyasi quyidagi ifoda orqali aniqlanadi:
Bx ( )   Bx ( ) 


1
 0
G x ( ) sin d .
(9.46)
Tasodifiy jarayon taqsimot qonuni bilan uning o‘rovchisi s(t ) va fazasi  (t )
taqsimot qonunlari bir-birlariga bog‘liq, tasodifiy jarayonning ehtimollik zichligi
taqsimot qonuni P (x) orqali, uning o‘rovchisi va fazasi ehtimolligi zichligi
taqsimoti qonuni P(s ) va P ( ) ni aniqlash mumkin.
3.1.БОБ TRIGONOMETRIK FUNKTSIYALAR SISTEMASINING
ORTOGONALLIGI
Biz quyida cos nx va sin nx funktsiyalar sistemasining ortogonalligini
qaraymiz.
Tarif: Agar ikkita f(x) va   x  funktsiyalar ko`paytmasining chegaralari a
va b dan iborat bo`lgan integrali nolga teng bo`lsa, bu funktsiyalar (a, b) oraliqda
ortogonal deyiladi.
Teorema. Quyidagi
1, cos x , cos 2x, cos 3x,…, sin x, sin 2x, sin 3x,…
(1)
sistemadan olingan ixtiyoriy ikkita har xil funktsiyalar (-  ,  ) oraliqda ortogonal
bo`ladi, ya`ni:



1
 1  cos mx dx  0,  m  0  ,  1  sin mxdx  0;
(2)

 1  cos mx  cos nx dx  0,
(3)


 sin mx  cos nx dx  0 .
(4)


Shuningdek,
 sin mx  cos nx dx  0 .
(5)

Bunda m va n lar ixtiyoriy natural sonlar bo`lib, m ≠ n dir.
Agar (1) sistemadagi ikkita har xil funktsiyalar o`rniga bir xil funktsiyalar
olinsa, u holda, birinchi funktsiyadan tashqari barcha funktsiyalarning –  va 
oraliqda olingan integrali  dan iborat bo`ladi. Birinchi funktsiyaning integrali esa
2  dir, ya`ni:

 1  1 dx   1dx  2 ,

(6)

 cos nx dx  ,
2
(7)


 sin nx dx  .
2
(8)

Bunda
n = 1, 2, 3,… dir.
(7) va (8) formulalar
cos 2  xdx 
1
1  cos 2 nx 
2
va
sin 2  x 
1
1  sin 2nx 
2
almashtirishlar yordamida hosil qilinadi. Yuqoridagi (2)-(8) formulalar o`zunligi 2
 dan iborat bo`lgan ixtiyoriy oraliqlar uchun o`rinlidir.
Agar berilgan biror funktsiyalar sistemasida har bir juft funktsiya ortogonal
bo`lsa, u holda, shu sistemaning o`zi ham ortogonal sistema bo`ladi.
1-misol. (-  ,  ) oraliqda f(x)=sin5x va  (x)=cos2x funktsiyalarning
ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi:
Berilgan
funktsiyalar
(-  ,  )
ko`paytmasini
oraliqda
integrallaymiz:



1
1
1
 1

 cos 2 x  sin 5 xdx  2   sin 7 x  sin 3 x  dx    14 cos 7 x  6 cos 3 x    14  cos 7   cos 7 ) 


1
 cos 3  cos 3   0  0  0.
6
Bunda cos x funktsiyaning juft ekanligi hisobga olindi.
2-misol. (-  ,  ) oraliqda f (x) =sin2x va f (x) =sin4x funktsiyalarning
ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi:

 sin 2 x  sin 4 xdx 


1
cos 2 x  cos 6 x dx  0.
2 
Demak, berilgan funktsiyalar ortogonal.
7 
 
3-misol.   ,   oraliqda f(x)=sin2x va  (x)=sin4x funktsiyalarning
4 4


ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi:
7

4
2

0
 sin 2  sin 4 хdx   sin 2  sin 4 dx  0.
4
4-misol. (-2  , 0) oraliqda ikkita bir xil funktsiyalar ko`paytmasi cos23x ning
ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi:
5
0
2

 cos 3 xdx   cos 3 xdx   .
2
2
 2
2
3.2. EYLER – FURYE FORMULALARI
Faraz qilaylik, f(x) funktsiya davriy bo`lib, uning davri 2  bo`lsin.
Teorema. Quyidagi
a0
 a 1 cos x  b1 sin x  a 2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...  a n cos nx  bn sin nx  ...
2
(1)
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar
f(x) funktsiya uchun

 f  x  dx

integral mavjud bo`lsa, u holda, (1) qatorning koeffisiyentlari uchun quyidagi Eyler
– Furye formulalari o`rinli bo`ladi:
1

a0 
 
a1 
1
 
a2 
1
a3 

f  x dx ;
b1 
 
 f  x  cos 2 xdx ,
b2 
1
 
b3 
1

 

1
 
f  x  cos 3 xdx,
. . . . . . . . . . . . .,
an 

f  x  sin xdx ;
f  x  sin 2 xdx ;

f  x  sin 3 xdx;
 
. . . . . . . . . . . . .;

 f  x  cos nxdx ,
1

f  x  cos xdx ,
1
 
bn 
1

 
f  x  sin nxdx ;
(2)
Isboti: Ma`lumki,
f x 
a0
 a 1 cos x  b1 sin x  ...  a n cos nx  bn sin nx  ... .
2
(3)
Ushbu tenglikni –  va  oraliqda integrallaymiz:




a0
 f  x dx   2 dx  a 1  cos xdx  b1  sin xdx  ...




(4)
Oldingi paragrafdagi (2) formulaga asosan (4) tenglikning o`ng tomonidagi
integralning birinchisidan tashqari, barcha integrallar nolga teng. U holda,
quyidagiga ega bo`lamiz:

 f  x dx  a 0 , ya`ni a 0 

1

 
f  x dx .
Demak, n=0 bo`lganda (2)–Eyler–Furye formulalarining birinchisini hosil
qildik. Qolganlari ham shu yo`l bilan topiladi. Bunda (3) tenglik cosnx yoki sinnx
ga ko`paytiriladi, so`ngra, integrallanadi. (3) tenglikni cos2x ga hadma – had
ko`paytirib, integrallash natijasida quyidagini hosil qilamiz:





a0
2
 f  x  cos 2 xdx  2  cos 2 xdx  a1  cos 2 xdx  b1  sin x cos 2 xdx  a2  cos 2 xdx 

(5)
 b2  sin 2 x cos 2 xdx  ...

Buning o`ng tomonidagi, to`rtinchisidan tashqari barcha integrallar oldingi
paragrafdagi (2), (3) va (4) larga asosan nolga teng. (6) formulaga asosan beshinchi
integral  ga teng. U holda,
a2 
1

 
f  x  cos 2 xdx .
3.3. Ixtiyoriy davrli trigonometrik qator
Davri 2 dan iborat bo`lgan quyidagi
a0
x
x
x
x
x
x
 a1 cos
 b1 sin
 a2 cos 2
 b2 sin 2
 ...  an cos n
 bn sin n
 ... (6)
2
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar
 f  x  dx integral mavjud bo`lsa, u holda, (6) qatorning koeffisentlari uchun

quyidagi Eyler–Furye formulalari o`rinli bo`ladi:
an 
1
 f  x  cos n
x
 f  x  sin n
x
dx (bunda n=0,1,2,3,…)

bn 
1
dx (bunda n=1,2,3,…)
(7)

Oldingi paragrafdagi (2) formulalar
=  bo`lganda (7) dan kelib chiqadi.
Xulosa
Bizning zamonaviy asrimizda raqamli axborot vositalarida ma'lumotlarni saqlash
shunchaki zaruratdir. Axborotni yo'qotish juda jiddiy oqibatlarga olib kelishi
mumkin. Raqamli vosita axborotni juda yaxshi saqlash vazifasini bajaradi.
Texnologiyani rivojlantirish jarayonida raqamli ommaviy axborot vositalarining
barcha yangi turlari paydo bo'ladi. Ularning asosiy fazilatlari yaxshilanadi, chunki
ixchamlik, chidamlilik, axborotni saqlash hajmi. Flash media va disklar endi keng
tarqalgan.
Butun kompyuter sifatida xizmat qiluvchi ommaviy axborot vositalari mavjud katta hajmdagi ma'lumotlarni saqlaydigan server. Agar kompyuter ushbu serverga
kirish imkoniga ega bo'lsa, u ma'lumotni osongina olishi yoki joylashtirishi mumkin.
Axborotni bunday saqlash axborotni bulutli saqlash deb ataladi.
Barcha tashuvchilar yordamida ma'lumotlar takrorlanadi va nashr etiladi. Elektron
ommaviy axborot vositalaridan nusxa ko'chirish va nashr qilishning eng keng
tarqalgan namunasi, masalan, DVD disklarida musiqa nashr etishdir.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
Asosiy adabiyotlar
1. “C# dasturlash asoslari”, Muallif: Dilmurod Rahmatullayev.
2. “Ma'lumotlar bazasi va SQL asoslari”, Muallif: Xurshidbek Abdurahmonov.
3. “MATERIALLAR TOʻPLAMI” , Muallif: Raxmonjonovich.
Internet saytlari
1. https://learn.microsoft.com/ru-ru/ef/core/
2. https://medium.com/syncfusion/sql-a-complete-guide-for-beginners5861b376b8c4
3. https://www.w3schools.com/
4. https://stackoverflow.com/
5. https://themewagon.com/
6. https://www.free-css.com/free-css-templates
7. https://www.sql-practice.com/
8. https://learn.microsoft.com/ru-ru/sql/ssms/download-sql-servermanagement-studio-ssms?view=sql-server-ver16