T.A.SARIMSOQOV
FUNKSIONAL
ANALIZ
KURSI
Toshkent 2015
1
Funksional analiz kursi.
Ushbu kitobda funksional analiz kursining asoslari bayon ilingan.
Kitobning birinchi qismida asosiy fazolar, ikkinchi qismida operatorlar
nazariyasi bayon qilinadi. Murakkab funksional fazolar metrika, norma va
skalyar ko‘paytma yordamida soddaroq fazolarga qo‘lay tarzda aks ettirilib
o‘rganiladi.
Mazkur kitob universitetlar va pedagogika institutlarining matematika,
fizika-matematika va amaliy matematika fakultetlari talabalariga mo‘ljallangan.
Курс функционального анализа.
В данной книге изложена основные положения функционального
анализа. В первой части книги изложена основные пространства, во второй
части - теория операторов. Сложные функциональные пространства
изучается с помощью приведения их к метрическим, нормированным и
пространствам со скалярным произведением.
Данная книга предназначена студентам математикам.
The course of functional analysis.
This book outlines the basic provisions of functional analysis. In the first
part of the book outlines the main space, the second part - the theory of
operators. Complex functional space is studied by means of bringing them to the
metric, normalized and space with scalar product.
This book is intended for students mathematicians.
Taqrizchilar: fizika-matematika fanlari doktori, professor R.N.G‘anixo‘jayev
fizika-matematika fanlari doktori, professor A.A.Raximov
2
SO‘Z BOSHI
Respublikamiz o‘rta va oliy ta’lim tizimida o‘qish va yozishning lotin
grafikasiga o‘tishi munosabati bilan yangi darsliklar yozila boshlandi.
shuningdek, bahzi mavjud darslik va o‘quv qo‘llanmalar qaytadan lotin
grafikasida nashr qilindi.
Toshmuhammad Aliyevich Sarimsoqovning ushbu «Funksional analiz
kursi» darsligi ham universitetlarning hozirgi zamon matematik bakalavrlar
tayyorlash dasturiga mos kelgani uchun uni lotin grafikasi asosida qayta nashrga
tayyorladik.
Ushbu ezgu ish akademik Ayupov Shavkat Abdullayevich rahbarligida,
dotsentlar M.A.Berdiqulov va R.M.Turgunbayevlar tomonidan amalga oshirildi.
«Funksional analiz kursi» darligi bakalavrlar tayyorlash dasturiga mos
keladi va unda mavjud dasturga qaraganda ko‘proq mavzular berilgan. Shuning
uchun kitobni bir oz qisqartirish bilan nashr qilish taklifi o‘rtaga tashlandi.
Ammo, universitetlarning matematika bo‘yicha magistratura bo‘limida qator
maxsus kurslar o‘qish nazarda tutilgan bo‘lib, bu sohada ham «Funksional
analiz kursi» darsligidan foydalanish maqsadga muvofiq kelar ekan. Shu sababli
darslik, hech bir qisqartirishsiz nashrga tayyorlandi.
2015 yilda Toshmuhammad Aliyevich Sarimsoqov tavalludiga 100 yil
to‘ldi. Bu kitobning qayta nashr qilinishi, biz shogirdlarning ulug‘ ustozimiz
xotirasiga katta ehtiromidir.
3
BIRINCHI NASHRIGA SUZ BOSHI
Funksional analiz hozirgi zamon matematikasining muhim sohalaridan
biridir. U matematikaning bir necha sohalari (jumladan, matematik analiz,
funksiyalar nazariyasi, integral va differensial tenglamalar nazariyasi, variatsion
hisob) chegarasida, ularning tushunchalari va metodlarini umumlashtirilishi
natijasida XX asr boshlarida yangi va mustaqil soha sifatida vujudga keldi.
So’nggi, taxminan, yarim asr mobaynida funksional analiz g‘oyat chuqur
va keng rivoj topdi. Bu rivojlanish ayni vaqtda ham davom etmoqda. Hozirgi
kunda funksional analiz matematikaning ko’p tarmoqli sohalaridan biriga
aylanib, matematika va fizikaning turli bo’limlarida keng tatbiq qilinmoqda.
Funksional analizning muhim xislatlaridan biri murakkab funksional
fazolarni (nuqtalari funksiyalardan iborat fazolarni) metrika, norma va skalyar
ku’aytma yordamida soddaroq, yaxshi o’rganilgan fazolarga, masalan, to’g‘ri
chiziqqa qo’lay tarzda aks ettirib olib, o’rganishdan iboratdir. Bu g‘oya
asrimizning boshlarida amalga oshirilib, kelgusida keng rivoj topdi. Bu g‘oyaga
biz ham mazkur kitobda yetarli darajada e’tibor berdik. Funksional analizda,
odatda, funksional fazolar bir necha o’zaro uzviy bog‘langan turli matematik
strukturalar (masalan, algebraik amallar, metrika, norma, skalyar ko’paytma,
qisman tartib) kiritilgan holda quriladi. Funksional fazolarning bu tarzda
qurilishi funksional analizda turli metodlarni, ayniqsa, analitik va topologik
metodlarni qo’llanish imkonini beradi.
Funksional analizning asosiy mazmuni funksional fazolarni va ularda
aniqlangan operatorlarni o’rganishdir.
Bunga ko’ra biz kitobni kuyidagi ikki qismga bo’lishni lozim topdik:
I qism. Asosiy fazolar.
II qism. Operatorlar nazariyasi.
Birinchi qismni funksional analizning asosiy poydevori, ikkinchi qismni
esa bu poydevorga kurilgan inshoot deb qarash mumkin.
Mazkur kitob universitetlar va pedagogika institutlarining matematika,
fizika-matematika, mexanika-matematika va amaliy matematika fakultetlariga
4
mo’ljallangan bo’lib, bunda biz mavjud programmalarni nazarda tutgan holda
funksional analizning eng asosiy va muhim boblarini yoritish bilan
chegaralandik.
Kitobda maxsus kurslarga mo’ljallangan paragraflar ham o’z o’rnini
topdi.
Haqiqiy o’zgaruvchining funksiyalari nazariyasiga oid mahlumotlar bu
kitobda keltirilmadi. Bunday ma’lumotlar avtorning 1968 yilda nashr etilgan
„Haqiqiy o’zgaruvchining funksiyalari nazariyasi" kitobida keltirilgan bo’lib, bu
kitobni tekstda qisqacha [HUFN] bilan belgiladik.
Kitobni
yozishda
biz
rus
tilidagi
darsliklar,
qo’llanmalar
va
monografiyalardan foydalandik, ularning ro’yxati kitobning oxirida keltirilgan.
Kitobda
teoremalardan
foydalanish
tartibi
quyidagicha:
mazkur
paragrafdagi teoremalarning faqat nomeri ko’rsatiladi; boshqa paragrafdagi
teoremalardan foydalanilganda paragrafning nomeri ham ko’rsatiladi (masalan,
9.1-§, 4- teorema).
Kitobning qo’lyozmasini tayyorlashda ToshDU funksional analiz
kafedrasining xodimlari, ayniqsa, prof. J.Hojiev, dots. Sh.A.Ayupov va
R.N.G‘anixo’jaev o’rtoqlar yaqindan yordam berdilar. Ularning hammalariga
samimiy tashakkur bildiraman.
Avtor
IKKINCHI NASHRIGA SUZ BOSHI
Mazkur kitobning birinchi nashri 1980 yilda chiqqan edi. Bu orada kitob
tarqalib, uning qayta chop etilishiga ehtiyoj vujudga keldi. Shuni nazarda tutib,
kitobga deyarli o’zgartishlar kiritmay, birgina „Variatsion hisob elementlari"
bobini qo’shdik, chunki matematikaning bu sohasi muhimligidan tashqari, ko’p
sohalarda tatbiqiy ahamiyatga egadir. Shuni ham aytish kerakki, variatsion hisob
5
universitetlarda ko’p yillar mobaynida alohida kurs sifatida o’qiladi. Bundan
tashqari birinchi nashrda yo’l qo’yilgan ba’zi kamchiliklar tuzatildi.
Darslikning birinchi nashrida avtorning “Haqiqiy o’zgaruvchining
funksiyalari nazariyasi» kitobidagi ma’lumotlarga tayanilgan edi. Bu kitobning
yangi tuzatilgan va qayta ishlangan nashri 1982 yilda chiqdi. Shuning uchun
mazkur darslikda kitobning yangi nashridagi ma’lumotlarga murojaat qilindi.
Kitobni nashrga tayyorlashda dots.R.G‘anixo’jaev faol qatnashdi. Unga
uz minnatdorchiligimni bildiraman.
Avtor
6
I QISM. ASOSIY FAZOLAR
I B O B . VEKTOR FAZOLAR
1.1-§. n o‘lchamli vektor fazo
Geometriya, mexanika va fizikada shunday ob’ektlar uchraydiki, ular bir
yoki bir necha haqiqiy sonning tartiblangan sistemasi bilan aniqlanadi. Masalan,
tekislikdagi har qanday nuqta o‘zining ikki koordinatasi bilan, har qanday vektor
o‘zining ikki komponentasi bilan aniqlanadi. Tekislikdagi vektorning eng sodda
umumlashtirilishi n o‘lchamli vektor tushunchasidir.
Ta’rif. Tartib bilan yozilgan n ta haqiqiy son sistemasi, ya’ni
a = (a1, a2, . . . , an)
n o‘lchamli vektor deyiladi. Bunda a1, a2, . . . , an sonlar vektorning
koordinatalari deyiladi.
n o‘lchamli a=(a1, a2 . . . , an) va b= (b1, b2, . . . , bn) vektorlarning mos
koordinatalari teng, ya’ni a1=b1, a2=b2, . . . , an=bn bo‘lsa, bu vektorlar teng deb
hisoblanadi. Bundan yana bir bor ko‘rinib turibdiki, vektor bu n ta haqiqiy son
to‘plami bo‘libgina qolmay, balki elementlari tartiblangan sistema hamdir. Ya’ni
berilgan vektorlarning koordinatalarini boshqa tartibda yozsak, umumiy holda biz
boshqa vektorni hosil qilamiz. Masalan, uch o‘lchamli fazoda a=(1, 2, 3) va
b=(2, 1, 3) vektorlar bir-biriga teng emas.
Misollar. 1. Tekislikdagi vektorlar ikki o‘lchamli vektorga, real fizik
fazodagi vektorlar (kuch, tezlik kabilar) uch o‘lchamli vektorga misol bo‘ladi.
2. Bir o‘zgaruvchili (n-1)-darajali f  x   a0  a1x  ...  an1x n1 ko‘phadni
n o‘lchamli a   a0 , a1,..., an1  vektor sifatida qarash mumkin.
Endi biz n o‘lchamli vektorlar ustida amallar kiritamiz. Ikki
a   a1, a2 ,. . ., an  va b   b1, b2 , . . . , bn 
vektorning yig‘indisi quyidagicha aniqlanadi:
7
a  b   a1  b1, a2  b2 , ... , an  bn  .
Sonlarni qo‘shish amali kommutativ va assotsiativ bo‘lgani uchun vektorlarning
yig‘indisi ham shu xossalarga ega, ya’ni
1) a+b = b+ a (kommutativlik xossasi);
2) a+(b+c)=(a + b)+c (assotsiativlik xossasi).
Hamma koordinatalari noldan iborat vektor nol vektor deyiladi va =(0, 0,
. . . , 0) orqali yoziladi. Nol vektor vektorlar orasida sonlar to‘plamidagi nol rolini
o‘ynaydi.
Darhaqiqat, ixtiyoriy a=(a1, a2, ... , an) vektor uchun
a     a1  0, a2  0, ... , an  0    a1, a2 , ...., an   a .
Ushbu
a   a1, a2 , ... ,  an 
vektor a vektorga qarama-qarshi vektor deyiladi.
Ravshanki, a  (a)   . Demak, kiritilgan qo‘shish amaliga nisbatan n
o‘lchamli vektorlar kommutativ gruppa hosil qiladi.
Vektorlar ustida yana bir amal kiritamiz. a vektorning  haqiqiy songa
ko‘paytmasini quyidagicha aniqlaymiz:
a   a1, a2 ,... , an  .
Haqiqiy sonlarni ko‘paytirish amalining xossalaridan kiritilgan amalning
quyidagi xossalari kelib chiqadi:
3)   a  b    a  b;
4)      a   a   a;
5)    a     a  ;
6) 0  a   ;
7) 1  a  a.
Bu yerda a, b,  —vektorlar,  ,  , 0, 1 - haqiqiy sonlar.
Berilgan n natural son uchun hamma n o‘lchamli vektorlar to‘plami
(kiritilgan amallar bilan birgalikda) n o‘lchamli vektor fazo deyiladi va Rn bilan
8
belgilanadi. Xususan, n=2 va n=3 bo‘lganda yuqorida kiritilgan qo‘shish amali
vektorlarning “parallelogramm” qoidasi bo‘yicha geometrik qo‘shish bilan
ustma-ust tushadi. a vektorning  songa ko‘paytirish amali esa quyidagi
ma’noga ega. Agar  >0 bo‘lsa, bu amal vektorning uzunligini  marta
orttiradi. Agar <0 bo‘lsa, bu amal vektorning uzunligini |  | marta orttirib,
yo‘nalishini teskarisiga almashtiradi.
Agar n=1 bo‘lsa, vektor bir koordinata bilan aniqlanadi va bunda vektorlar
ustida amallar haqiqiy sonlar ustidagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari bilan mos
tushadi. Shuning uchun R1 fazoni aynan haqiqiy sonlar fazosi deb hisoblaymiz.
Agar biz n o‘lchamli vektorning ta’ifida a1, a2, ... , an sonlarni haqiqiy
emas, balki kompleks sonlar deb olsak, n o‘lchamli kompleks fazo tushunchasiga
kelamiz. Bu fazo Cn bilan belgilanadi.
1.2-§. Vektor fazoning ta’rifi va misollar
Endi vektor va vektor fazo tushunchasini yanada umumlashtiramiz.
Bu yerdan boshlab  ,  ,  , ....,  ,  harflari bilan haqiqiy yoki kompleks
sonlarni, K orqali esa R yoki C sonlar maydonini belgilaymiz.
Ta’rif. Biror V to‘plamning ixtiyoriy ikki x va y elementi uchun yig‘indi
amali berilgan bo‘lib, unga nisbatan V kommutativ gruppa hosil qilsin, ya’ni
ushbu to‘rtta shart bajarilsin:
1°. x+y = y+x;
2°. x + (y+z) = (x+y)+z;
3°. V ning barcha x elementlari uchun x+ =x shartni qanoatlantiruvchi va
nol deb ataluvchi  element mavjud bo‘lsin.
4°.
V
dagi
har
qanday
x
element
uchun
x+(-x)=
shartni
qanoatlantiruvchi -x V element mavjud bo‘lsin. Bu elementni x elementga
qarama-qarshi element deymiz.
Bundan tashqari, har qanday   K son va x V element uchun ularning
ko‘paytmasi deb ataladigan  x V element aniqlanib, quyidagi aksiomalar
9
bajarilsin:
5°.    x     x ;
6°. 1  x  x;
7°     x   x   x ;
8°.   x  y    x   y.
Agar V dagi
bu
ikkala
uchun 1°-8°
amal
shartlar bajarilsa, V
to‘plam K maydon ustida vektor fazo deyiladi. Shuni aytib o‘tish kerakki, har bir
kompleks vektor fazoni haqiqiy vektor fazo sifatida ham qarash mumkin (chunki
R  C bo‘lgani uchun ixtiyoriy x ning haqiqiy songa ko‘paytmasi ham
aniqlangan).
Misollar.
1. C kompleks sonlar to‘plamida qo‘shish va haqiqiy songa ko‘paytirish
amallarini qarasak, bu to‘plam haqiqiy vektor fazo bo‘ladi.
2. n o‘lchamli vektor fazolar (haqiqiy yoki kompleks), 1.1-§ da
ko‘rsatilganidek, vektor fazo bo‘ladi.
Xususan, darajasi
n-1 dan
katta
bo‘lmagan bir argumentli ko‘phadlar to‘plami P n1  x  ham vektor fazo hosil
qiladi.
3. Darajasi n-1 ga teng bo‘lgan ko‘phadlar to‘plami vektor fazo hosil
qilmaydi. Chunki bunday ikki ko‘phad yig‘indisining darajasi n-1 dan kichik
bo‘lishi mumkin. Masalan,
f1  x   1  x n1, f 2  x   1  x n2  x n1
n-1 darajali ko‘phadlar, lekin ular yig‘indisining darajasi n-2 ga teng.
4. n satrli va m ustunli matritsa nm o‘lchamli vektor sifatida qaralishi
mumkin; buning uchun matritsaning elementlarini satrma-satr o‘qib chiqish kifoya.
Bunday matritsalar to‘plami mos elementlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish
amallariga nisbatan vektor fazo hosil qiladi.
4. R to‘g‘ri chiziqdagi musbat sonlar haqiqiy vektor fazo hosil qilmaydi,
chunki  musbat son uchun qarama-qarshi - element bu to‘plamga kirmaydi.
Elementlari funksiyalar yoki sonli ketma-ketliklar bo‘lgan vektor fazolar
10
funksional fazolar deyiladi. Shunday fazolarga ham misollar keltiramiz.
6.
l2 haqiqiy fazo. Uning elementlari ushbu

x
n 1
n
2

(1)
shartni qanoatlantiruvchi sonlarning x   x1, x2 ,..., xn ,... ketma-ketliklaridir. Bu
fazoda amallar quyidagicha kiritiladi:
 x1, x2 , ... , xn , ...   y1, y2 , ... yn , ...   x1  y1, x2  y2 ,..., xn  yn ,...,
  x1 , x2 , ... , xn , ....   x1, x2 ,...,  xn ,....
(1)
shartni qanoatlantiruvchi ikki ketma-ketlikning yig‘indisi ham shu
shartni qanoatlantirishi quyidagi sodda tengsizlikdan kelib chiqadi:
 a1  a2   2a12  2a22 .
2
Shunga o‘xshash l2 kompleks fazoni kiritish mumkin.
7.
m
fazo.
Uning
elementlari
chegaralangan
sonli
ketma-ketliklardir. Bu fazoda qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari 6misoldagidek kiritiladi.
8. s fazo. Ixtiyoriy haqiqiy sonli ketma-ketliklar to‘plami 6, 7misollardagi amallar bilan olinsa, u s vektor fazo hosil qiladi.
9. C[a, b] vektor fazo.  a, b oraliqda aniqlangan uzluksiz haqiqiy (yoki
kompleks) funksiyalar to‘plami funksiyalarni odatdagi qo‘shish va songa
ko‘paytirish amallariga nisbatan C[a, b] vektor fazo hosil qiladi. Bu funksional
fazo matematik analizda katta ahamiyatga ega.
1.3-§. Chiziqli bog‘lanish. O‘lcham
Ta’rif. V vektor fazoda x, y, . . . ,  elementlar berilgan bo‘lsin. Agar
shunday  ,  ,  ,...,  sonlar topilsaki, ularning kamida biri noldan farqli bo‘lib,
ushbu
 x   y  ...    0
11
(1)
munosabat bajarilsa, x, y, . . . ,  elementlar chiziqli bog‘liq deyiladi. Aks holda
bu elementlar chiziqli erkli deyiladi, ya’ni x, y, . . .,  elementlar uchun (1)
munosabat faqat     ...    0 sonlar uchungina bajarilsa, x, y, . . . , 
elementlar chiziqli erkli bo‘ladi.
Masalan, C  a, b  fazoda quyidagi
x t   t 2 ,
y  t   2t ,
z  t   2t 2  4t .
funksiyalar chiziqli bog‘liq, chunki
2  x  t   2  y t   1 z t   0 .
Aksincha, shu fazoda ixtiyoriy n uchun ushbu
x0  t   1, x1  t   t , x2  t   t 2 , ..., xn  t   t n
funksiyalar chiziqli erkli. Haqiqatan,
0 x0  t   ...   n xn  t   0, ya’ni 0  ...   nt n  0
munosabatlarni qanoatlantiruvchi  0 , ...,  n sonlar mavjud deb faraz qilaylik.
Demak,  a, b dagi ixtiyoriy t son bu ko‘phadning ildizi. Algebraning asosiy
teoremasiga binoan n-darajali ko‘phadning ildizlari soni n tadan ko‘p emas.
Shuning uchun  0  1t  ...   nt n ko‘phadning hamma koeffitsientlari nolga
teng, ya’ni 0  1  ...   n  0 . Demak, ta’rifga asosan x0  t  , x1  t  , ..., xn  t 
funksiyalar chiziqli erkli.
V vektor fazoda elementlarining soni cheksiz bo‘lgan sistemaning har
qanday chekli sondagi elementlari chiziqli erkli bo‘lsa, u holda berilgan sistema
chizikli erkli deyiladi.
Masalan, C  a, b fazoda
x0  1, x1  t , x2  t 2 , ..., xn  t n , . . .
cheksiz sistema chiziqli erkli. Bu ham, yuqoridagiga o‘xshash, algebraning
asosiy teoremasidan kelib chiqadi.
Ta’rif.
Agar V vektor fazoda n ta chiziqli erkli element topilib, har
qanday n+1 ta element chiziqli bog‘liq bo‘lsa, V fazo n o‘lchamli vektor fazo
deyiladi.
12
Elementlarining soni ixtiyoriy bo‘lgan chiziqli erkli sistema mavjud bo‘lsa,
vektor fazo cheksiz o‘lchamli, aks holda chekli o‘lchamli deyiladi. Masalan, 1.2§ dagi 1-, 2-, 4-misollardagi fazolar chekli o‘lchamli, 6-9-misollardagi
funksional fazolar esa cheksiz o‘lchamli. Xususan, 9-misoldagi C  a, b fazoning
cheksiz o‘lchamliligi 1, t , t 2 , ... , t n ,... cheksiz sistemaning chiziqli erkli
ekanligidan kelib chiqadi.
Ta’rif. n o‘lchamli vektor fazoda n ta elementdan iborat bo‘lgan har
qanday chiziqli erkli sistema bazis deyiladi.
Funksional analizda o‘rganiladigan vektor fazolar asosan funksional
fazolar bo‘lib, ular odatda cheksiz o‘lchamlidir.
Ixtiyoriy vektor fazoda ham bazis tushunchasini kiritish mumkin.
V vektor fazoda ={xa} chiziqli erkli sistema berilgan bo‘lsin. Agar
ixtiyoriy x V element uchun shunday x1 , x2 ,..., xn  vektorlar va 1, 2 ,..., n
sonlar topilsaki, x ushbu
x  1x1  ...  n xn
ko‘rinishda yozilsa,  to‘plam V vektor fazoning Xamel bazisi deyiladi. Ixtiyoriy
vektor fazo Xamel bazisiga ega ekanligini ko‘rsatish mumkin.
1.4-§. Vektor qism fazo. Qavariq to‘plamlar
Ta’rif. V vektor fazoning L qism to‘plamining o‘zi ham V da aniqlangan
vektorlarni qo‘shish va vektorni songa ko‘paytirish amallariga nisbatan vektor
fazo bo‘lsa, L fazo V vektor fazoning vektor qism fazosi (ba’zan esa chiziqli
ko‘pxillik) deyiladi.
Endi V ning A va B qism to‘plamlari hamda K maydon uchun
A  B  a  b : a  A, b  B ,
K  A   a :   K , a  A.
belgilashlarni kiritamiz.
A+B to‘plam A va B to‘plamlarning vektor yig‘indisi deyiladi. Bunday
13
belgilar yordamida V dagi L to‘plamning vektor qism fazo bo‘lish shartlari
quyidagicha yoziladi:
a) L  L  L,
b) KL  L .
Darhaqiqat, bu shartga ko‘ra L to‘plam nol vektorga ega bo‘ladi, chunki
agar a vektor L ga tegishli bo‘lsa, u holda L ga 0  a   vektor ham tegishli
bo‘ladi. So‘ngra L o‘zining ixtiyoriy a vektori bilan birga yana b) shartga: ko‘ra
unga qarama-qarshi bo‘lgan a   1  a vektorga ham ega bo‘ladi. So‘ng a)
va b) shartlarga ko‘ra har qanday ikki vektorning yig‘indisi ham, har qanday
vektorning ixtiyoriy songa ko‘paytmasi ham L ga tegishli bo‘ladi.
Eng kichik vektor qism fazo nol elementdan iborat bo‘lgan   fazodir.
Bevosita ko‘rish mumkinki, ixtiyoriy vektor qism fazolar sistemasining
kesishmasi (ko‘paytmasi) ham vektor qism fazodir.
V vektor fazoda ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan S to‘plam berilgan bo‘lsin. S
to‘plamni o‘z ichiga olgan eng kichik vektor qism fazo S to‘plamdan hosil
qilingan vektor qism fazo deyiladi. Bunday vektor qism fazo S to‘plamni o‘z
ichiga oluvchi hamma vektor qism fazolarning kesishmasiga tengdir. S dan hosil
qilingan L vektor qism fazo aynan quyidagi ko‘rinishdagi elementlardan iboratdir:
n
x   i ai
i 1
bu yerda i  K , ai  S , 1  i  n n—ixtiyoriy (x ga bog‘liq) natural son. Ba’zan,
S to‘plamdan vujudga keltirilgan L vektor qism S ning chiziqli qobig‘i deyiladi,
yoki S to‘plam L ni vujudga keltiruvchi sistema deyiladi va L=[S] ko‘rinishda
belgilanadi.
Misollar. 1. V vektor fazo, x uning noldan farqli elementi bo‘lsin.
 x,   K elemenlar to‘plami bir o‘lchamli fazo hosil qiladi. Bu fazo V ning
vektor qism fazosidir. Agar V
ning o‘lchami birdan katta bo‘lsa,
 x,   K  V .
2. C [ a, b ] vektor fazoda hamma ko‘phadlar to‘plami P[ a, b ] ni olaylik.
Ravshanki, P[ a, b ] to‘plam C [ a, b ] da vektor qism fazo hosil qiladi. C [ a, b ]
14
kabi P[ a, b ] ham cheksiz o‘lchamdir. O‘z navbatida, C [ a, b ] fazoni [ a, b ]
oraliqda aniqlangan barcha (uzluksiz va uziluvchi) funksiyalar vektor fazosining
qism fazosi sifatida qarash mumkin.
3. 1.2-§ dagi l2 , m, s vektor fazolarga qaytsak (6-8-misollar), bu yerda l2
fazo m fazoning vektor qism fazosi , m esa o‘z navbatida s ning qism fazosidir.
Ta’rif. V vektor fazoda ixtiyoriy A to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar
    1 ,   0,   0 , shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy  , 
sonlar
uchun ushbu
A A  A
(1)
munosabat o‘rinli bo‘lsa, A qavariq to‘plam deyiladi. Agar   1
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy

uchun
shartni
 A  A munosabat bajarilsa, A
muvozanatdagi to‘plam deyiladi. Qavariq va muvozanatdagi to‘plam absolyut
qavariq to‘plam deyiladi.
Ravshanki, agar A qavariq to‘plam bo‘lsa, ixtiyoriy x V va   K
uchun x   A ham qavariq to‘plamdir. Absolyut qavariq A, B to‘plamlar uchun
A+B va  A to‘plamlar ham absolyut qavariqdir.
1- lemma. A absolyut qavariq to‘plam bo‘lsin. U holda K dan olingan
ixtiyoriy  , 
(   1 ) , 1, 2 , ... , ï
sonlar uchun ushbu munosabatlar
o‘rinlidir:
1)  A   A,
2)
 ( A)  ( 
1 i  n
i
1 i  n
Isboti. 1) agar
  0 va x  A
i ) A .
  0 bo‘lsa, u holda  A   A    . Agar
bo‘lsa, A ning muvozanatdaligidan    1  x  A , ya’ni
 õ   À , demak,  A   A, munosabat kelib chiqadi.
2) n  2 bo‘lgan hol uchun , ya’ni ushbu
A  A  (    )A
munosabatni isbotlaymiz.     0
bo‘lsa, hammasi ravshan.  yoki 
15
noldan farqli bo‘lsa, u holda


A


A  A,
ya’ni  A   A  (    ) A munosabat o‘rinli. Ammo
(    )A   A   A   A   A .
Demak,
 A   A  (    ) A.
Umumiy hol induksiya yordamida isbotlanadi.
2-lemma. Ixtiyoriy qavariq (absolyut qavariq) to‘plamlar sistemasining
kesishmasi ham qavariqdir (absolyut qavariqdir).
Isboti.  ixtiyoriy to‘plam,
bo‘lsin. A 

 A ,   qavariq to‘plamlar sistemasi

A to‘plamning ixtiyoriy a1 , a2 elementlarini olamiz. Ixtiyoriy 
uchun a1, a2  A , demak,     1 ,   0,   0 sonlar uchun a1   a2  A ;
 ixtiyoriy bo‘lgani uchun  a1   a2 

A  A , ya’ni  A   A  A .
Absolyut qavariq to‘plamlar olingan holda ham isbot shunga o‘xshash
bo‘ladi.
A to‘plamni o‘z ichiga olgan barcha qavariq (absolyut qavariq) to‘plamlar
kesishmasi ham qavariq (absolyut qavariq) to‘plam bo‘lib, u A ning qavariq
n
(absolyut qavariq) qobig‘i deyiladi. Qavariq (absolyut qavariq) qobiq  i xi
i 1
n
n
i 1
i 1
ko‘rinio‘dagi elementlardan iborat, bu yerda xi  A, i  0 ,    1 (  | i | 1,
n  ixtiyoriy son).
Agar ixtiyoriy x V element uchun shunday   0 son mavjud bo‘lsaki,
x   A munosabat ixtiyoriy  (    ) son uchun o‘rinli bo‘lsa, A to‘plam
yutuvchi deyiladi. Ravshanki, ixtiyoriy yutuvchi to‘plamlar chekli sistemaning
kesishmasi ham yutuvchidir.
16
1.5-§. Faktor fazolar va fazolarning ko‘paytmasi
V
vektor fazo, V  uning vektor qism fazosi bo‘lsin. Agar x, y V
elementlar uchun x  y element V  ga tegishli bo‘lsa, x va y ni ekvivalent
deymiz va buni x~y ko‘rinishda yozamiz, bu munosabat (ya’ni ekvivalentlik)
quyidagi xossalarga ega:
a) refleksivlik xossasi: har qanday a element o‘z-o‘ziga ekvivalent;
b) simmetriklik xossasi: agar a ~ b bo‘lsa, u holda b ~ a ;
c) tranzitivlik xossasi: a ~ b , b ~ c bo‘lsa, u holda a ~ c .
Shuning uchun bu munosabat V to‘plamni sinflarga bo‘ladi ([HO‘FN], 1
bob). Bunday sinflar to‘plamini V ning V  bo‘yicha faktor fazosi deb ataladi va
V / V  ko‘rinishda yoziladi. Har qanday faktor fazoda qo‘shish va songa
ko‘paytirish amallari quyidagicha kiritiladi.
 va  sinflar V / V  ning elementlari bo‘lgan ikki sinf bo‘lsin. Har bir
sinfdan bittadan x va y vakil tanlab olinib, 
va  sinflar yig‘indisi deb
x  y elementni o‘z ichiga olgan sinfni aytamiz.  sinfning  songa
ko‘paytmasi deb,  x elementni o‘z ichiga olgan sinfga aytamiz. Ravshanki, bu
amallar natijasi 
va  sinflardagi vakillarga bog‘liq emas. Masalan,
x  , y  boshqa bir vakillar bo‘lsa, u holda
( x  y)  ( x  y)  ( x  x)  ( y  y) V  ,
ya’ni x  y va x  y elementlar bir sinfga tegishli. Shunday qilib, biz V /V 
faktor fazoning elementlari ustida amallar kiritdik. Bu amallar vektor fazodagi
amallar shartlarini qanoatlantirishi osonlikcha tekshiriladi. Shunday qilib, har
qanday faktor fazo vektor fazodir.
Ta’rif. V/V faktor fazoning o‘lchami V fazoning koo‘lchami (qo‘shimcha
o‘lchami) deyiladi va codimV orqali belgilanadi.
Misollar. 1. V=R2 da, ya’ni tekislikda V deb y=0 to‘g‘ri chiziqni (ya’ni x
o‘qini) olamiz. Agar a  (a1, a2 ) , b  (b1, b2 ) elementlarni olsak, a  b V 
17
bo‘lishi uchun a2  b2 shart zarur va kifoyadir. Demak, a  (a1, a2 ) vektor V/V
fazoning qaysi sinfiga tegishli bo‘lishi faqat a2 ga bog‘liq. Ya’ni y  y0 to‘g‘ri
chiziqning hamma elementlari bir sinfga tegishlidir va, aksincha, har bir sinf R2
tekislikda biror y  y0 to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi. Shuning uchun V/V fazoning
elementlarini Ox o‘qqa parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar deb qarash mumkin.
Bevosita ko‘rinib turibdiki, codimV  =1.
2. V  C [ a, b ] fazoni ko‘raylik. Qiymatlari a va b nuqtalarda nolga
teng bo‘lgan uzluksiz funksiyalar to‘plami V  bu fazoda vektor qism fazodir.
Endi shu vektor qism fazoga nisbatan ekvivalentlik munosabatini kiritamiz.
Bunda f va g funksiyalar ekvivalent bo‘lishi uchun f (a)  g (a), f (b)  g (b)
bo‘lishi zarur va kifoyadir. Demak, ekvivalentlik sinflari, ya’ni V /V  fazoning
elementlarini a va b nuqtalardagi qiymatlari bilan aniqlanadi. Shuning uchun V
/V  fazoning elementlarini R 2 fazoning elementlari sifatida qarash mumkin.
Xususan, codimV  =2.
Biror V vektor fazoda V1 , V2 qism fazolarni olamiz. Agar ixtiyoriy x V
vektorni yagona ravishda
x  x1  x2 , x1 V1, x2 V2
ko‘rinishda yoyish mumkin bo‘lsa, u holda V fazo V1 va V2 qism fazolarning
to‘g‘ri yig‘indisi deyiladi va V  V1  V2 ko‘rinishida belgilanadi.
Masalan, V  R 2 vektor fazo o‘zining
V1  (0,  ),   R va V2  ( ,0);   R
qism fazolarning to‘g‘ri yig‘indisidir.
Endi vektor fazolarning to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasini kiritamiz.
Buning uchun vektor fazolar sistemasi Vi iI ni olamiz, bu yerda I  ixtiyoriy
quvvatli to‘plam. Bu fazolarning Dekart (to‘g‘ri) ko‘paytmasi ([HO‘FN], 1 bob)
bo‘lgan V  Vi
to‘plamda vektor fazolarga xos bo‘lgan operatsiyalar
iI
kiritamiz. Agar x  ( xi )iI ,
y  ( yi )iI V ning ikki elementi bo‘lsa, u holda
18
qo‘shish amali ushbu
x  y  ( xi  yi )iI
ko‘rinishda   K songa ko‘paytirish amali esa
 x  ( xi )iI
ko‘rinishda aniqlanadi. Har bir Vi vektor fazo bo‘lganidan foydalanib, kiritilgan
amallar V to‘plamni vektor fazoga aylantirishi osonlikcha isbotlanadi. Hosil
bo‘lgan V vektor fazo Vi fazolarning to‘g‘ri ko‘paytmasi deyiladi va Vi
iI
yoki
 Vi ko‘rinishlarda yoziladi. Xususan, hamma Vi  F
iI
bo‘lsa (F-
tayinlangan vektor fazo), u holda hosil bo‘lgan to‘g‘ri ko‘paytma F I bilan
belgilanadi.
Agar I to‘plam chekli bo‘lib, n ta elementdan iborat bo‘lsa, FI o‘rniga Fn
yoziladi.
Masalan, Rn fazoni RI vektor fazolarning to‘g‘ri ko‘paytmasi sifatida qarash
mumkin. 1.2-§ dagi s fazoni (8-misol) RN sifatida qarash mumkin (bunda N —
natural sonlar to‘plami).
1.6-§. Chiziqli aks ettirishlar
E vektor fazoni F vektor fazoga biror u : E  F aks ettirishi berilgan
bo‘lsin.
Ta’rif. Agar har qanday x, y E va  ,   K uchun
u  x   y    u  x    u  y 
munosabat o‘rinli bo‘lsa, u chiziqli aks ettirish yoki chiziqli operator deyiladi.
Xususan, F fazo sifatida K maydon olinsa, bunday aks ettirish chiziqli forma yoki
chiziqli funksional deyiladi.
Ravshanki, har qanday u chiziqli operator E ning biror E0 qism fazosini F
ning qism fazosiga aks ettiradi, ya’ni u(E0) to‘plam F ning qism fazosidir. Agar
F0 to‘plam F ning qism fazosi bo‘lsa, u holda F0 ning asli bo‘lgan u 1  F0 
19
to‘plam E ning vektor qism fazosi bo‘ladi.
Darhaqiqat,
agar,
x , y  u 1  F0 
ya’ni u  x  , u  y   F0 bo‘lsa, u holda F0 vektor qism fazo bo‘lgani uchun
u  x   u  y   F0 . Ammo u  x   u  y   u  x  y   F0 , ya’ni x  y  u 1  F0  .
Shunga o‘xshash  x  u 1  F0  ham isbotlanadi. Xususan, agar F0   
bo‘lsa, u 1   qism fazo chiziqli aks ettirishning yadrosi deyiladi va keru bilan
belgilanadi.
Turli vektorlarni turli vektorlarga akslantiruvchi ya’ni x  y uchun
u  x   u  y  bo‘lgan aks ettirish monomorfizm deyiladi.
1-teorema . u : E  F chiziqli aks ettirish monomorfizm bo‘lishi uchun
keru = { } bo‘lishi zarur va kifoyadir.
I s b o t i . Zarurligi. Agar x keru bo‘lsa, u holda u(x)==u(). Ikkinchi
tomondan, u monomorfizm bo‘lgani uchun x=, ya’ni keru ={}.
K i f o y a l i g i . keru ={ } bo‘lsin. Agar u(x)= u(y) munosabat bajarilsa,
ya’ni u(x - y) = 0 bo‘lsa, u holda x-y keru . Demak, x-y=  , ya’ni x=y.
Agar u:E  F chiziqli aks ettirish uchun i(E) = F bo‘lsa, bu aks ettirish
epimorfizm deyiladi. u chiziqli operator bir vaqtda monomorfizm hamda
epimorfizm bo‘lsa, u holda izomorfizm yoki chiziqli izomorfizm deyiladi. Bu
holda E va F fazolar izomorf fazolar deyiladi va bu munosabat E  F ko‘rinishda
yoziladi.
Misollar.
1.Rn (n>1) fazoning x   x1, x2 ,..., xn  elementiga u aks ettirish x1 sonni
mos qo‘ysa, ya’ni u(x)=x1 bo‘lsa, u holda u : Rn  R1 chiziqli operatordir
(aniqrog‘i, chiziqli funksional). Ravshanki, u-epimorfizm. Ammo u monomorfizm
emas.
Darhaqiqat,
bu
operator
uchun
keru=
=
x   0, x , x ,..., x  : x  R, i  2,..., n    . Demak, 1-teoremaga asosan u
2
3
n
i
monomorfizm emas.
2. Ixtiyoriy V vektor fazoning V0 qism fazosini olib, u : V0  V aks
20
ettirishni u  x   x kabi aniqlasak, ravshanki, chiziqli operator hosil bo‘ladi.
Uning yadrosi  elementdan iborat, ya’ni u-monomorfizm. Lekin V0  V holda u
epimorfizm emas.
3. E  Rn , F  P n1  x  darajasi n-1 dan katta bo‘lmagan ko‘phadlar
fazosi) bo‘lsa, u : E  F operatorni quyidagicha aniqlaymiz:
u   a1, a2 ,..., an    a1  a2 x  ...  an x n1.
u chiziqli operatordir.
Darhaqiqat, a   a1, a2 ,..., an  , b   b1, b2 ,..., bn  ixtiyoriy vektorlar bo‘lsa,
u holda
u  a  b   u (a1  b1 , a2  b2 , ... , an  bn )  a1  b1   a2  b2  x  ...   an  bn  x n1 
 a  a x  ...  a x   b  b x  ...  b x   u  a   u b 
n 1
1
2
n
n 1
1
2
n
Shunga o‘xshash
u   a   u  a  .
Bu yerda u epimorfizmdir. Haqiqatan, P n1  x  fazoda ixtiyoriy
f  x   a1  a2 x  ...  an x n1
ko‘phadni olsak, u ushbu
 a1, a2 ,..., an  Rn
vektorning tasviri, ya’ni
u  a1, a2 ,..., an  =f(x) ga teng bo‘ladi.
Shu bilan birga u monomorfizmdir, chunki u  a   u   a1, a2 ,..., an     ,
ya’ni a1  a2 x  ...  an x n1 aynan nolga teng ko‘phad bo‘lsa, algebraning asosiy
teoremasiga
binoan
uning
hamma
koeffitsientlari
nolga
teng:
a1  a2  ...  an  0 . Demak, keru=. Shunday qilib, u izomorfizmdir.
Har qanday ikki chiziqli u va v operator uchun ularning yig‘indisi deb
ataladigan u + v operator va u operatorni  songa ko‘paytmasi deb ataluvchi
operator quyidagicha aniqlanadi:
u  v  x   u  x   v  x  ,  u  x   u  x  .
Shunday qilib, E ni F ga aks ettiruvchi operatorlar to‘plami bu amallarga
21
nisbatan vektor fazo hosil qiladi. Bu vektor fazo Z(E, F) bilan belgilanadi. Agar
F=K bo‘lsa, Z(E, K) fazo E* ko‘rinishda yoziladi va uni E ga algebraik qo‘shma
fazo deyiladi.
Endi u chiziqli aks ettirishni butun E fazoda emas, balki uning L vektor
qism fazosida aniqlangan deb faraz qilaylik. Unda L to‘plam u chiziqli aks
ettirishning aniqlanish sohasi deyiladi va domu bilan belgilanadi. u chiziqli aks
ettirishning u(L) qiymatlari sohasini Imu bilan belgilaymiz va u chiziqli aks
ettirishning tasviri yoki aksi deymiz.
Endi biz u aks ettirishning grafigi tushunchasini kiritamiz. E  F
ko‘paytmaning (x, u(x)) (bu yerda x element domu to‘plamda o‘zgaradi)
ko‘rinishdagi nuqtalar to‘plamini u ning grafigi deymiz va gru bilan
belgilaymiz. Ravshanki, agar u chiziqli aks ettirish bo‘lsa, u holda gru to‘plam E
 F vektor fazoning vektor qism fazosi bo‘ladi.
E  F ko‘paytmada G to‘plam berilgan bo‘lsin. O‘z-o‘zidan bunday savol
tug‘iladi: qanday shartlar bajarilsa, G to‘plam E ning biror qism fazosida
aniqlangan va qiymatlari F da bo‘lgan biror u aks ettirishning grafigi bo‘ladi?
Ravshanki, agar G biror u aks ettirishning grafigi bo‘lsa, u holda quyidagi shart
bajariladi: har qanday x  E element uchun ko‘pi bilan bitta y  F element
mavjudki,  x, y   G
Aksincha, G  E  F to‘plam uchun yuqorida yozilgan shart bajarilsa, u
holda G biror u aks ettirishning grafigi bo‘ladi. Bu aks ettirishning aniqlanish
sohasi bo‘lgan domu to‘plam shunday x  E elementlardan iboratki, x uchun
kamida bitta (demak, shartga binoan faqat bitta) y  F element mavjudki,
 x, y   G . Bu holda y = u(x) bo‘ladi.
Agar G ga qo‘shimcha shart qo‘yib, G to‘plamni E  F ning vektor qism
fazosi desak, u holda hosil bo‘lgan u aks ettirish chiziqli bo‘ladi. Bu
mulohazalardan quyidagi teorema kelib chiqadi.
2-t e o r e m a . E  F vektor fazoda berilgan G to‘plam E da aniqlangan,
qiymatlari F ga tegishli biror u chiziqli aks ettirishning grafigi bo‘lishi uchun
22
quyidagi ikki shart zarur va kifoyadir:
(1) G to‘plam E  F vektor fazoning qism fazosi;
(2) agar (, u) element G to‘plamga tegishli bo‘lsa, u holda y=.
Endi bichiziqli aks ettirish va bichiziqli forma tushunchalariga o‘tamiz.
E, F, G vektor fazolar bo‘lib, u : E  F  G biror aks ettirish bo‘lsin.
Agar ixtiyoriy tayin e  E element va  ,   K , f1, f 2  F uchun
u  e,  f1   f 2   u  e, f1   u  e, f 2 
hamda o‘zgarmas f uchun va  ,   K , e1, e2  E uchun
u  e1  e2 , f   u  e1, f   u  e2 , f 
munosabatlar bajarilsa, u holda u bichiziqli aks ettirish deyiladi. Boshqacha qilib
aytganda, u(e,f) aks ettirish bir o‘zgaruvchini tayinlab olganda, ikkinchi
o‘zgaruvchiga nisbatan chiziqli aks ettirish bo‘ladi.
Shunday qilib, u : E  F  G bichiziqli aks ettirish bo‘lsa, u holda
ixtiyoriy e0  E uchun
u  e0 ,. : F  G
va ixtiyoriy f0  F uchun
u , f0  : E  G
chiziqli aks ettirishlar bo‘ladi. Xususiy G = K holda
u:EF K
bichiziqli aks ettirish bichiziqli forma yoki bichiziqli funksional deyiladi.
Misollar. 1. V  C  a, b bo‘lsin. u :V V V aks ettirishni quyidagicha
aniqlaymiz
u  f , g   fg , f , g  C a, b .
u bichiziqli aks ettirish, chunki
u   f1   f 2 , g     f1   f 2  g   f1g   f 2 g  u  f1, g   u  f 2 , g .
Shunga o‘xshash
u  f ,  g1   g2   u  f , g1   u  f , g2 .
2. V = Rn bo‘lsin va u : V  V  R1 aks ettirish quyidagicha aniqlansin:
23
n
u  a, b    aibi ,
i 1
bu yerda a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn)
u bichiziqli ekanligi osonlikcha isbotlanadi (tekshirib ko‘ring).
Mashq uchun misollar
1. Q ratsional sonlar maydoni bo‘lsin. Ixtiyoriy r ratsional sonning 
haqiqiy songa ko‘paytmasi odatdagidek bo‘lsin. R fazo Q maydon ustida vektor
fazo bo‘ladimi?
2. Ixtiyoriy kompleks vektor fazo haqiqiy vektor fazo sifatida qaralishi
mumkinligini isbotlang.
3. C kompleks sonlar maydonini haqiqiy vektor fazo sifatida olamiz. Bu
fazoda 1 va i elementlar chiziqli erkli ekanligini ko‘rsating. Bu fazoning
o‘lchamini toping.
4. n o‘lchamli kompleks vektor fazoni haqiqiy vektor fazo sifatida qaralsa,
uning o‘lchami nimaga teng bo‘ladi?
5. C  a, b vektor fazoning o‘lchami cheksiz ekanligini isbotlang.
6. Rn vektor fazoda ushbu
V  x   a1, a2 , ... , an  : a1  a2 
to‘plam vektor qism fazo ekanligini isbotlang, uning o‘lchamini toping.
7. C  a, b fazoda 1, x, x2, : . . , xn, . . . funksiyalar to‘plamini olamiz. Bu
to‘plamning chiziqli qobig‘ini toping.
8. l2 fazoda  xn n1 elementlar sistemasini quyidagicha aniqlaymiz:



xn   0,0,...,0,1,0,0,... 


 n1

Bu to‘plamning chiziqli qobig‘ini toping. U l2 ga tengmi?
9. Ushbu     1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ,  sonlar
24
uchun
A A  A
munosabatning bajarilishi A to‘plamning absolyut qavariq bo‘lishi uchun zarur
va kifoyadir. Isbotlang.
10. Quyidagi teoremani isbotlang: V vektor fazoda absolyut qavariq
bo‘lgan A to‘plam yutuvchi bo‘lishi uchun, ushbu
V

nA
n 1
munosabat zarur va kifoyadir.
11. Rn fazoda birinchi koordinatalari nolga teng bo‘lgan vektorlardan iborat
V0 qism fazoni olamiz. R n / V0 faktor fazoni aniqlang.
12.
Mos ravishda n v a m o‘lchamli bo‘lgan Rn va Rm fazolarni olamiz.
T   aij  , i  1, n; j  1, m
n satrli, m ustunli matritsa bo‘lsin. Rn fazoning x   x1, x2 , ... xn 
elementiga Tx   y1, y2 , ... ym   R m vektorni quyidagicha mos qo‘yamiz:
n
y j   aij xi j  1, m
i 1
T ning chiziqli operator ekanligini isbotlang. Aksincha, ixtiyoriy
T : Rn  Rm chiziqli operator shunday ko‘rinishda, ya’ni matritsa yordamida
yozilishini ko‘rsating.
13.
V
vektor
fazoda
ixtiyoriy
V0
vektor
qism
fazoni
olib, quyidagi izomorfizmni isbotlang:
V / V0  V0  V
14.
u : E  F chiziqli operator bo‘lsa,
E / ker u  Im u
izomorfizmni isbotlang.
15.
ning
V
to‘g‘ri
vektor
fazo
yig‘indisi
o‘zining
V1
bo‘lsin,
ya’ni
izomorfizmni isbotlang:
25
va
V2
qism
V  V1  V2 .
fazolariQuyidagi
V1  V / V2 .
26
II BOB. METRIK FAZOLAR
2.1-§. Metrik fazolar
Matematik
analizning
asosiy
amallaridan
biri
limitga
o‘tish
tushunchasidir. Bu amalni to‘g‘ri chiziq nuqtalaridan iborat to‘plamda joriy
etishda biz ikki nuqta orasidagi masofa tushunchasidan doimo foydalanib kelgan
edik. Ammo limitga o‘tish masalasi kengroq qaraladigan bo‘lsa, asosiy mazmun
olingan to‘plam elementlarining tabiiy tuzilishida emas, balki uning ikki
elementi orasida masofa tushunchasini kirita bilishdadir. Bu mulohaza fransuz
matematigi M. Fresheni 1906 yilda metrik fazo tushunchasiga olib keldi.
Ta’rif. Agar biror X to‘plamning o‘zini o‘ziga to‘g‘ri (Dekart)
ko‘paytmasi X  X ni R+ = [0,  ] to‘plamga aks ettiruvchi (x,y) funksiya
berilgan bo‘lib, u quyidagi shartlarni (metrika aksiomalarini) qanoatlantirsa, X
to‘plam metrik fazo deyiladi:
1°. (x,y)  0; (x,y)=0 munosabat faqat x=y bo‘lgandagina bajariladi;
2°.  (x,y)= (y, x) (simmetriklik aksiomasi);
3°.  (x, y)   (x,z) +  (z, y) (uchburchak aksiomasi).
 (x,y) funksiya metrika deyiladi. Odatda,  metrikali X metrik fazo (X,
 ) bilan belgilanadi.
Misollar. 1. X ixtiyoriy to‘plam bo‘lsin. Ushbu
1, agar x  y bo ' lsa,
0, agar x  y bo ' lsa,
  x, y   
funksiya metrik fazo aksiomalarini qanoatlantiradi.
Hayotdan bunday metrikaga misol keltiramiz. X to‘plam sifatida biror
tramvay marshrutining bekatlari to‘plamini olamiz. (x, y) orqali x bekatdan y
bekatgacha borish uchun to‘lanadigan haqni belgilaymiz. U holda
1000 so ' m , agar x  y bo ' lsa,
0 so ' m, x  y bo ' lsa
  x, y   
27
2. n o‘lchamli Rn vektor fazoda ikki x   x1, x2 ,...., xn  va y   y1, y2 ,..., yn 
vektor orasidagi masofa ushbu

n

  x, y      xi  yi  
2
 i 1
1
2

ko‘rinishda kiritilsa, u holda R n metrik fazoni tashkil etadi. 1° va 2°
aksiomalarning bajarilishi o‘z-o‘zidan ravshan. Biz bu masofa uchun
uchburchak aksiomasini isbotlaymiz. Bu aksiomadagi tengsizlik
x   x1, x2 ,..., xn  , y   y1, y2 , ... , yn  , z   z1, z2 ,..., zn 
elementlar uchun quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
n
n
n
 x  y    x  z    z  y  .
2
i
i 1
i
2
i
i 1
i
2
i
i 1
(1)
i
Ushbu belgilashlarni kiritamiz:
xi  zi  ai , zi  yi  bi , bundan xi  yi  ai  bi
U holda (1) tengsizlik quyidagi tengsizlikka keltiriladi:
n
n
n
  ai  bi    ai2   bi2 .
2
i 1
i 1
(2)
i 1
Ushbu
2
n
n
2
1 n n
 n

2
2
a
b

a

b

  i i   i  i 2   aib j  bi a j 
i 1
i 1
i 1 j 1
 i 1

ayniyatdan quyidagi Koshi - Bunyakovskiy tengsizligi kelib chiqadi:
2
n
n
 n

2
2
  aibi    ai  bi
i 1
i 1
 i 1

Bu tengsizlikdan:
n
n
n
n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
  ai  bi    ai2  2 aibi   bi2   ai2  2  ai2  bi2   bi2 
2
i 1




i 1
n
a 
i 1
2
i
2

2
b
.

i 

i 1

n
Bundan esa kerak bo‘lgan (2) tengsizlik, demak, (1) tengsizlik kelib
28
chiqadi.
3. l2 haqiqiy fazo. l2 fazoning elementlari

x
n 1
2
n

shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonli ketma-ketliklardan iborat. Bu fazoda
masofa quyidagicha kiritiladi:
1/ 2

2
  x, y     xi  yi   .
 i 1

Metrikaning birinchi va ikkinchi aksiomalarining o‘rinliligi ravshan,
uchburchak aksiomasining bajarilishini ko‘rsatamiz. Darhaqiqat, ixtiyoriy n
natural son va
ai   l2 , {bi } l2 uchun
1/ 2
 n
2
  ak  bk  
 k 1

1/ 2
 n 2
   ak 
 k 1 
1/ 2
 n 2
   bk 
 k 1 
tengsizlik o‘rinlidir [2-misoldagi (2) tengsizlik]. Bu tengsizlikning o‘ng
tomonidagi
hadlarning
ai   l2 va bi   l2
har
n 
biri
da
limitga
ega,
chunki
Demak, chap tomondagi ifoda kamaymaydigan va
chegaralangan bo‘lgani uchun limitga ega va
1
2
1
2
1
 
  2    2 2
2
a

b

   k k     bk     ak  .
 k 1
  k 1   k 1 
(3)
Endi l2 fazodan uchta
x   x1, x2 ,..., xn ,... , y   y1, y2 ..., yn ,... , z   z1, z2 ,..., zn ,...
nuqtalarni olamiz va 2-misoldagi kabi quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
ak  xk  zk , bk  zk  yk ;
ravshanki,
xk  yk  ak  bk .
Yuqoridagi (3) tengsizlikdan foydalanib, quyidagi tengsizlikni keltirib
chiqaramiz:
29
1
2
1
2
1
2
1


     2
2
2
  x, y      xk  yk       ak  bk      ak2     bk2  
 k 1

 k 1
  k 1   k 1 
1
2
1
2


2
2
    xk  zk       zk  yk      x, z     z , y  .
 k 1
  k 1


4.

m fazo. Bu fazo hamma chegaralangan haqiqiy sonli ketma-
ketliklardan
iborat
edi.
Agar
uning
ikkita
x   a1, a2 ,..., an ,... , y  b1, b2 ,..., bn ,... , nuqtasi uchun masofa
  x, y   sup ai  bi
i
tenglik bilan aniqlansa, m fazo metrik fazoga aylanadi. Darhaqiqat, uchburchak
aksiomasi quyidagicha tekshiriladi.
ai  ci  ai  bi  bi  ci  sup ai  bi  sup bi  ci    x, y     y, z 
i
i
bu yerda z   c1, c2 ,.... Bundan
sup ai  ci    x, z     x, y     y, z 
i
Qolgan aksiomalarning o‘rinliligi ravshan.
5.
X to‘plam hamma yaqinlashuvchi sonli ketma-ketliklardan iborat
bo‘lsin, ya’ni


X  x : x   a1 , a2 ,... ; lim an .
n
Ravshanki, X  m , ya’ni X ning har bir elementi m uchun ham element.
Demak, X da m dagi masofa kiritilsa, u ham metrik fazoni hosil etadi. Bu fazo c
bilan belgilanadi.
6.
s fazo. X elementlari haqiqiy sonli ketma-ketliklardan iborat
to‘plam bo‘lsin, ya’ni
X  x : x   a1, a2 ,....
Bu to‘plamda ikki x = (a1, a2, . . .) va u = (b1, b2, . . .) nuqta orasidagi
masofani quyidagicha kiritamiz:
1 | ak  bk |
2 1 | ak  bk |
 ( x, y )   k 
30
(4)
Uchburchak aksiomasi ushbu
ab
a
b


1 a  b 1 a 1 b
(5)
tengsizlikdan kelib chiqadi, shuning uchun (5) ni isbot etamiz. a va b ning
ishoralari bir xil deb faraz qilaylik, masalan, a>0, b>0 bo‘lsin, u holda
ab
ab
a
b
a
b





.
1 a  b 1 a  b 1 a  b 1 a  b 1 a 1 b
Endi a bilan b ning ishoralari turlicha, a  b bo‘lsin. U holda a  b  a .
Endi f  x  
f  x  
x
 x  1 funksiyani qarasak, u o‘suvchi bo‘ladi, chunki
1 x
1
1  x 
2
0
Demak,
ab
a
a
b



.
1 a  b 1 a 1 a 1 b
Yana bir z   c1, c2 ,..., cn ,... elementni olsak, (5) ga muvofiq,

ak  ck
1
1 ak  bk  bk  ck
 k

2
1

a

c
2
1

a

b

b

c
k 1
k 1
k
k
k
k
k
k

  x, z    k 

a b
b c
1
1
  k  k k   k  k k    x, y     y , z 
1  ak  bk ki 1 2 1  bk  ck
k 1 2

,
ya’ni uchburchak aksiomasi isbotlandi.
7. C[a,b] fazo. [a,b] oraliqda aniqlangan uzluksiz haqiqiy funksiyalar
to‘plami C[a,b] da metrikani quyidagicha kiritamiz:
  x, y   max x  t   y  t  .
at b
Metrika aksiomalarining bajarilishini ko‘rsatish qiyin emas. Masalan,
uchburchak aksiomasini isbotlaylik. Ixtiyoriy t   a, b nuqta va x  t  , y  t  , z  t 
funksiyalar uchun ushbu munosabat bajariladi:
31
x  t   y  t    x  t   z  t     z  t   y  t    x  t   z  t   z  t   y  t  
 max x  t   z  t   max z  t   y  t     x, z     z , y  .
a t b
a t b
Bundan
  x, y     x, z     z, y .
8. X to‘plam  a, b segmentda aniqlangan hamma o‘lchovli funksiyalardan
iborat bo‘lsin. Agar ikki funksiya farq qiladigan nuqtalardan iborat to‘plamning
o‘lchovi nolga teng bo‘lsa, bu funksiyalar teng hisoblanadi.
Ikki x(t) va y(t) funksiya orasidagi masofani ushbu formula bilan
aniqlaymiz:
b
  x, y   
a
x t   y t 
1  x t   y t 
dt
(6)
Bu hol uchun ham uchburchak aksiomasining bajarilishi 6-misoldagi kabi
isbotlanadi; qolgan ikki aksiomaning o‘rinliligi ravshan. Bu fazo S  a, b orqali
belgilanadi.
Shuni ham aytish kerakki, berilgan to‘plamda metrikani turlicha kiritish
mumkin.
Masalan, (X,) metrik fazo bo‘lsin. X to‘plamda quyidagi funksiyalar ham
metrikani aniqlaydi:
a) 1  x, y   min 1,   x, y ;
1, agar   x, y   0 bo ' lsa,
b) 2  x, y   
0, agar  ( x, y )  0 bo ' lsa
c) 3  x, y   f    x, y   , bu yerda
f : 0,    0,   - uzluksiz qavariq va f(a)=0  a=0 shartni
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya;
d) 4  x, y      x  ,   y   , bu yerda  : X  X -biektiv akslantirish.
32
2.2-§. Metrik fazoda yaqinlashish tushunchasi
Ta’rif. (X, ) metrik fazoda biror {xn} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Agar
n   da   xn , x   0 bo‘lsa, bu ketma-ketlik X fazoning x elementiga
yaqinlashuvchi deyiladi va xn  x yoki lim xn  x orqali belgilanadi.
n
Bu x nuqta {xn} ketma-ketlikning limiti deyiladi.
1-teorema. Har bir yaqanlashuvsh ketma-ketlik birgina limitga ega.
Isboti. Darhaqiqat, xn  x
va xn  y bo‘lsin. U holda uchburchak
aksiomasiga muvofiq,
0    x, y     x, xn     xn , y 
Ammo bu tengsizlikning o‘ng tomoni n   da nolga intiladi, demak,
(x,y)=0, ya’ni x=y.
2-teorema. (x, y) masofa x va y elementlarning uzluksiz funksiyasi, ya’ni
agar xn  x va yn  y bo‘lsa, u holda
  xn , yn     x, y 
Isboti. Ixtiyoriy to‘rtta x, y, z, u  X nuqta uchun
  x, y     z, u     x, z     y, u 
(1)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham, uchburchak aksiomasidan foydalanib,
  x, y     x, z     z, y     x, z     z, u     u, y 
(2)
tengsizliklarni yozishimiz mumkin. Bundan
  x, y     z, u     x, z     y, u  .
Bu tengsizlikda x, y bilan mos ravishda z, u ning o‘rinlari almashtirilsa,
  z, u     x, y     x, z     y, u 
(3)
tengsizlik hosil bo‘ladi. (2) va (3) dan (1) kelib chiqadi. (1) dan z va u ni mos
33
ravishda xn va yn bilan almashtirilsa, teoremaning shartiga ko‘ra
  xn , yn     x, y     xn , x     yn , y   0
Bundan
 ( xn , yn )   ( x, y) .
Quyidagi da’vo o‘z-o‘zidan ravshan.
3-teorema. Agar {xn} ketma-ketlik x nuqtaga yaqinlashsa, u holda bu
ketma-ketlikning ixtiyoriy {xnk } qism ketma-ketligi ham shu nuqtaga
yaqinlashadi.
4-teorema. {xn} ketma-ketlik x nuqtaga yaqinlashsa, va x0X aniq bir
nuqta bo‘lsa, u holda {(xn,x0)} sonlar to‘plami chegaralangan bo‘ladi.
Isboti. {(xn, x)} yaqinlashuvchi sonli ketma-ketlik bo‘lganligi uchun u
chegaralangan bo‘ladi; uning yuqori chegarasini M bilan belgilasak, u holda
uchburchak aksiomasiga ko‘ra
  xn , x0     xn , x     x, x0   M    x, x0   M1 .
Endi ba’zi metrik fazolarda yaqinlashish tushunchasining ma’nosini
ko‘rib chiqamiz.
1.
1-misoldagi fazodan olingan biror ketma-ketlik yaqinlashuvchi
bo‘lishi uchun biror nomerdan boshlab bu ketma-ketlikning hamma elementlari
bir-biriga teng bo‘lishi kerak.
2.
Rn
fazodan
olingan
{xn}
ketma-ketlikning
x
elementga
yaqinlashishi uchun xn vektor koordinatalarining mos ravishda x vektor
koordinatalariga yaqinlashishi zarur va kifoya.
Darhaqiqat, agar Rn da

n

 
1
2
  xk , x     ai k   ai   0  k   
 i 1
2
bo‘lsa, u holda a(ki )  ai va aksincha.
3.
x  t  ketma-ketlik C a, b fazoning elementlaridan tuzilgan va
n
34
xn  t   x  t   C  a, b bo‘lsin, ya’ni
  xn , x   max xn  t   x  t   0, n  
at b
Bundan, ixtiyoriy >0 uchun shunday n0=n0() natural son mavjudki,
t   a, b bo‘lganda
max xn  t   x  t   
a t b
Demak, t   a, b ning hamma qiymatlari uchun n>n0 bo‘lganda
xn  t   x  t   
Bu esa {xn(t)} ketma-ketlikning x(t) ga tekis yaqinlashishining xuddi o‘zi.
Ravshanki, aksincha, {xn(t)} ketma-ketlik [a,b] segmentda x(t) ga tekis
yaqinlashsa, u holda   xn , x   0 . Demak, C[a,b] fazoda metrika ma’nosida
yaqinlashish ma’lum tekis yaqinlashish tushunchasi bilan ustma-ust tushadi.
4.
Lp  a, b fazoda ([HO‘FN], VIII bob) yaqinlashishni p-darajali o‘rta
ma’noda yaqinlashish deyiladi, ya’ni
b
1
p
  xn , x   (  xn  t   x  t  ) dt  0  n    , p  1
p
a
p=2 bo‘lganda kvadratik o‘rta ma’noda yaqinlashish deb gapiriladi.
5.
{xk}
ketma-ketlik
m
fazoning
elementlaridan
tuzilgan
va
xk  x  m  k    bo‘lsin, ya’ni   xk , x   sup ai   ai  0 bu yerda
k


xk  a1  , a2  ,..., an  ... , x   a1, a2 ,...,....
k
k
k
Demak, har qanday >0 uchun shunday n0 = n0() natural son mavjudki,
k>n0 bo‘lganda   xk , x   sup ai   ai   Bundan, i ning hamma qiymatlari
k
uchun k>n0 bo‘lganda ai   ai   . Aksincha, k  n0 bo‘lganda i ning hamma
k
qiymatlari uchun
ai   ai  
k
bo‘lsa, u holda ravshanki, k   da   xk , x   0 . Demak, m fazoda metrika
35
ma’nosida yaqinlashish koordinatalar bo‘yicha tekis yaqinlashishni beradi.
6. s fazoda metrika ma’nosida yaqinlashish koordinatalar bo‘yicha
yaqinlashishni

beradi
(umuman
aytganda,
tekis
emas!)
Darhaqiqat,

xk  a1  , a2  ,... , x   a1, a2 ,...  va xk  x  k    bo‘lsin.
k
k
U holda
ai   ai
1

  , k  n0   .

i
k 
 ai
i 1 2 1  ai
k

Bundan har qanday i uchun ham k  n0   bo‘lganda
ai   ai
1

 .
2i 1  ai k   ai
k
Lekin bu tengsizlikning chap tomonida i ni tayinlab qo‘yib, k bo‘yicha
limitga o‘tilsa, quyidagi munosabat hosil bo‘ladi:
ai   ai  0, k  
k
Aksincha, i ning har bir qiymati uchun k   da ai   ai  0 bo‘lsin.
k
>0 ni ixtiyoriy qilib olib, k natural sonni shunday tanlab olamizki,

1

2 2
i  k 1
i
bo‘lsin. U holda
k
ai   ai
ai   ai
1
1
  xn , x    i 
 i 

n
n
 ai i 1 2 1  ai   ai
i 1 2 1  ai
n

n
k
ai   ai
ai   ai
1
1

 i 




i
n
n
 
 ai i 1 2 1  ai   ai 2
i  k 1 2 1  ai

n
n
O‘ng tomondagi yig‘indida hadlarning soni chekli bo‘lganligi uchun k ni
tayinlab qo‘yib, n0=n0() ni shu qadar katta qilib olamizki, n>n0 bo‘lganda
ai   ai
1




i
 n
 ai 2
i 1 2 1  ai
n
k
36
tengsizlik bajarilsin. Natijada n>n0 bo‘lganda
  xn , x   
2.3-§. Metrik fazolarda uzluksiz aks ettirishlar va funksionallar
Matematik analizda funksiyalarning uzluksizligidan keng foydalaniladi.
Endi biz uzluksizlik tushunchasini ixtiyoriy metrik fazolarning aks ettirishlari
uchun kiritamiz.
Ta’rif. X, Y metrik fazolar bo‘lib, X ning D qism to‘plamini Y ga aks
ettiruvchi T operator berilgan bo‘lsin.
Agar D to‘plamdagi x0 nuqtaga yaqinlashuvchi bo‘lgan ixtiyoriy
xn   D ketma-ketlik uchun ushbu
Txn  Tx0
munosabat bajarilsa, u holda T operator x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Agar T o‘zining aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, u
holda T uzluksiz operator deyiladi.
Biz T aks ettirishning uzluksizlik ta’rifini ketma-ketliklar tilida berdik. Bu
ta’rifni „    " tilida ham berish mumkin. Agar ixtiyoriy >0 uchun shunday
>0 mavjud bo‘lsaki, 1  x, x0    shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x uchun
2 Tx,Tx0   
munosabat bajarilsa, T operator x0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
Bu ikki ta’rif teng kuchli ekanligi matematik analizda funksiyalar uchun
isbotlanishiga o‘xshash ko‘rsatiladi.
Ta’rif. Xususiy Y = R1 bo‘lgan holda uzluksiz operator uzluksiz
funksional deyiladi.
Misollar. 1 Uzluksiz aks ettirishning muhim xususiy holi bo‘lgan
izometriya tushunchasini kiritamiz.
 X , 1  , Y , 2  metrik fazolar bo‘lib, X ni Y ning ustiga akslantiruvchi
o‘zaro bir qiymatli  aks ettirish berilgan bo‘lsin. Agar ushbu
37
2   x1  ,   x2    1  x1, x2 
munosabat X fazoning ixtiyoriy x1 , x2 elementlari uchun bajarilsa,  izometriya
deyiladi.
Bevosita ko‘rinib turibdiki, agar  izometriya bo‘lsa, u holda  ham,  -1
ham uzluksiz bo‘ladi.
2.
X fazoda 1 va 2 metrikalar berilgan bo‘lsin. Agar shunday , 
musbat sonlar topilsaki, ushbu
1  x, y   2  x, y   1  x, y 
munosabat hamma x, yX elementlar uchun o‘rinli bo‘lsa, 1 va 2 ekvivalent
metrikalar deyiladi.
Endi 1, 2 ekvivalent metrikalar bo‘lsin.  X , 1  metrik fazoni  X , 2 
metrik fazoga quyidagicha aks ettiramiz:
Tx = x.
Ravshanki, T o‘zaro bir qiymatli aks ettirish. Ekvivalentlik ta’rifiga
asosan
2 Tx,Ty   1  x, y 
demak, T-uzluksiz aks ettirish. Ushbu
1 Tx1,Ty1   2  x, y 
tengsizlikdan T-1 aks ettirishning uzluksizligi kelib chiqadi.
Agar 1 va 2 metrikalar har xil bo‘lsa, T aks ettirish izometriya
bo‘lmaydi.
3. Agar X 2.1-§ ning 1-misolidagi metrik fazo bo‘lsa, u holda X ni ixtiyoriy Y
metrik fazoga aks ettiruvchi ixtiyoriy T operator uzluksiz bo‘ladi. Bu xossa shu
metrik fazodagi yaqinlashish ma’nosidan bevosita kelib chiqadi.
4. l2 fazoni R1 fazoga quyidagicha aks ettiramiz:
x  ai i 1 , elementga f  x  


 a sonni mos qo‘yamiz. Bu aks ettirish
i 1
2
i
(funksional) l2 fazoning metrikasiga nisbatan uzluksiz.
38
Darhaqiqat, agar x = (a1 , a2, ...), y = (b1 , b2, ...) bo‘lsa, u holda 2.1-§ dagi
(2) tengsizlikka ko‘ra
f  x  f  y 



 a   b    a  b     x, y  .
2
i
i 1
i 1
2
i
i 1
2
i
i
Bu munosabatdan f ning uzluksizligi ko‘rinib turibdi. Ammo l2 fazoda s
fazoning metrikasini ko‘rsak, f uzluksiz bo‘lmaydi. Haqiqatan, s fazodagi
metrika bo‘yicha yaqinlashish ma’nosiga asosan (2.2-§), ushbu


xn   0,0,...,1,0,... 




ketma-ketlik
nolga
yaqinlashuvchi
bo‘ladi.
Ammo
f(xn)=1
nolga
yaqinlashmaydi, demak, shu metrikada f uzluklidir.
2.4- §. Metrik fazoda ochiq va yopiq to‘plamlar
Endi (X,) metrik fazoda ba’zi bir geometrik tushunchalar kiritamiz. Biror
x0 X nuqta va r>0 son berilgan bo‘lsin. Ushbu
S  x0 , r   x  X :   x, x0   r
to‘plam X fazodagi ochiq shar va
S  x0 ,    x  X :   x, x0   r
to‘plam yopiq shar deyiladi. x0 nuqta sharning markazi, r son sharning radiusi
deyiladi. Ushbu  x  X :   x, x0   r to‘plam markazi x0 nuqtada, radiusi r
bo‘lgan sfera deyiladi. S(x0,) ochiq shar x0 nuqtaning atrofi (aniqrog‘i, - atrofi)
deyiladi.
(X,) metrik fazodagi M to‘plam biror shar ichida joylashgan bo‘lsa, bu
to‘plam chegaralangan deyiladi.
Ta’rif. (X,) metrik fazoda biror M to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar x0X
nuqtaning
ixtiyoriy atrofida M to‘plamning kamida bitta elementi mavjud
bo‘lsa, ya’ni har qanday >0 uchun
39
S  x0 ,  
M 
o‘rinli bo‘lsa, x0 nuqta M ning urinish nuqtasi deyiladi. Bu tushunchaga yaqin
bo‘lgan limit nuqta tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif. Agar x0X nuqtaning ixtiyoriy atrofida M to‘plamning x0 dan
farqli elementi mavjud bo‘lsa, x0 nuqta M ning limit nuqtasi deyiladi.
Ta’riflardan bevosita ko‘rinib turibdiki, ixtiyoriy limit nuqta urinish
nuqtasi ham bo‘ladi. Ammo urinish nuqtasi limit nuqta bo‘lishi shart emas.
Masalan, haqiqiy sonlar (R, ), (a,b)= a  b metrik fazosida (0,1) oraliq va „2”
nuqtadan hosil bo‘lgan to‘plam uchun „2” nuqta urinish nuqtasi, ammo limit
nuqta emas. Shu to‘plam uchun [0,1] segmentning har bir nuqtasi limit nuqtadir.
M to‘plamning urinish nuqtalari to‘plami M bilan belgilanadi va M ning
yopilmasi deyiladi.
1-teorema. Ixtiyoriy M, M1 va M2 to‘plamlar uchun quyidagi
munosabatlar o‘rinlidir:
1) M  M ,
2) M  M
3) agar M1  M 2 bo‘lsa, u holda M1  M 2
4) M1
M 2  M1
M2
Isboti. Birinchi xossa ravshan. Ikkinchi
xossani isbotlaymiz. Birinchi
xossaga asosan M  M . Shuning uchun M  M
munosabatni isbotlash
yetarlidir. x  M bo‘lsin. U holda bu nuqtaning ixtiyoriy -atrofida M ga
tegishln x1 nuqta topiladi; so‘ng x1 nuqtaning 1      x, x1   0 bo‘lgan 1 atrofini olamiz. Agar z  S  x1 , 1  bo‘lsa, ya’ni   z, x1   1 bajarilsa, u holda
  z, x     z, x1     x1, x   1    1   
ya’ni
z  S  x,  
Shunday qilib, S  x1, 1   S  x,   . Ammo x1  M demak x1 ning 140
atrofida M ga tegishli x2 nuqta mavjud. Shuning uchun x2  S  x1, 1   S  x,   .
Lekin S(x,) shar x nuqtaning ixtiyoriy -atrofi bo‘lgani uchun x  M . Uchinchi
xossa o‘z-o‘zidan ravshan.
To‘rtinchi xossani isbotlaymiz x  M1
ixtiyoriy S  x,   atrofida M1
x  M1
M 2 bo‘lsin, u holda x nuqtaning
M 2 ga tegishli x1 element mavjud. Agar
va x  M 2 bo‘lsa, u holda x ning shunday S  x, 1  va S  x,  2 
atroflari mavjudki, bu atroflar mos ravishda M1 va M2 to‘plamlar bilan
kesishmaydi, ya’ni S  x, 1 
M1   va S  x,  2 
M 2   . Endi  sonni
  min 1,  2  qilib olsak, u holda x nuqtaning S(x,) atrofi M1
M 2 to‘plam
bilan kesishmaydigan bo‘lib, ziddiyat hosil bo‘ladi. Demak, bundan kelib
chiqadiki, x nuqta M1 yoki M 2 to‘plamlardan kamida bittasiga tegishli, ya’ni
M1
Teskari
munosabatning
M 2  M1
o‘rinliligi
M2
M1  M1
M 2 va M 2  M1
M2
munosabatlardan hamda uchinchi xossadan kelib chiqadi.
Ta’rif. (X,) metrik fazoda M to‘plam o‘z yopilmasiga teng (ya’ni M= M
) bo‘lsa, u holda M yopiq to‘plam deyiladi.
1-teoremadagi uchinchi xossaga binoan M to‘plamning yopilmasi M ni
o‘z ichiga oluvchi eng kichik yopiq to‘plamdir.
Misollar.
1. (R, ), (a,b) = |a-b| to‘g‘ri chiziqda ixtiyoriy
 a, b segment yopiq
to‘plamdir.
2. (X,) metrik fazoda ixtiyoriy S  x0 , r  yopiq shar yopiq to‘plamdir. Xususan,
C  a, b metrik fazoda
f  t   K  t   a, b tengsizlikni qanoatlantiruvchi
funksiyalar to‘plami yopiqdir.
3. C  a, b fazoda f  t   K  t   a, b tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalar
to‘plami
(ochiq
shar)
yopiq
41
emas.
Uning
yopilmasi
 f  C[a, b]: f t   K , t a, b to‘plamdir.
4. Ixtiyoriy (X,) metrik fazoda X va Ø to‘plamlar yopiqdir.
5. Metrik fazoda har qanday chekli to‘plam yopiqdir.
2-teorema. a) soni chekli yopiq to‘plamlarning yig‘indisi yana yopiqdir;
b) soni ixtiyoriy bo‘lgan yopiq to‘plamlarning ko‘paytmasi yopiqdir.
Isboti. a) bu xossani ikki yopiq to‘plam uchun isbot qilinishi kifoya. F1,
F2 yopiq to‘plamlar bo‘lsin, ya’ni
F1  F1, F2  F2
u holda 1-teoremadagi 4) xossaga binoan
F1
F2  F1
F  F1
Ta’rifga asosan F1
F2
F2 yopiqdir.
b) F   A yopiq to‘plamlar sistemasi va x ular ko‘paytmasining, ya’ni
F to‘plamning urinish nuqtasi bo‘lsin. U holda x ning ixtiyoriy -
F

atrofida F ning kamida bitta, masalan, x1 elementi mavjud va, demak,  ning
hamma
qiymatlari
uchun
x1  F .
Demak,
ixtiyoriy

uchun
x  F  F ya'ni x  F  F . Demak, F yopiq to‘plam.
Ta’rif. Agar x nuqtaning M to‘plamda butunlay joylashgan atrofi mavjud
bo‘lsa, x nuqta M to‘plamning ichki nuqtasi deyiladi. Agar M to‘plamning
hamma nuqtalari ichki bo‘lsa, u ochiq to‘plam deyiladi. Bo‘sh to‘plam ham
ochiq deb hisoblanadi.
Misollar.
6.
R to‘g‘ri chiziqda (a,b) interval ochiq to‘plamdir, haqiqatan x(a,b)
bo‘lsa, u holda =min(x-a, b-x) uchun S  x,     a, b  .
7.
Haqiqatan,
(X,) metrik fazoda ixtiyoriy S  x, r  ochiq shar ochiq to‘plamdir.
agar
S  y,    S  x, r 
y  S  x, r 
Xususan,
bo‘lsa,
3-misoldagi
42
u
holda
  r    x, y 
uchun
 f  C a, b : f t   K , t a, b
to‘plam C  a, b metrik fazoda ochiq to‘plamdir.
G  X 
3-teorema.
to‘plamning
ochiq
bo‘lishi
uchun
uning
to‘ldiruvchisi F  X \ G to‘plamning yopiq bo‘lishi zarur va kifoyadir.
Isboti. a) zarurligi. G ochiq bo‘lsin, u holda har bir xG nuqta butunlay G
da joylashgan atrofga ega. Demak, bu atrof F bilan kesishmaydi. Bundan,
ravshanki, F ning birorta ham urinish nuqtasi G ga kirmaydi, ya’ni F yopiq
to‘plam.
b) kifoyaligi. F = X\G yopiq bo‘lsin, u holda G dan olingan ixtiyoriy
nuqta F bilan kesishmaydigan, demak G da butunlay joylashgan atrofga ega,
ya’ni G - ochiq to‘plam.
Natija. Ø bo‘sh to‘plam va X fazo ham ochiq, ham yopiq to‘plamlardir.
Shuni ham aytib o‘tish kerakki, metrik fazoda ochiq ham bo‘lmagan,
yopiq ham bo‘lmagan to‘plamlar mavjud bo‘lishi mumkin. Masalan,
 R ,     x, y   x  y haqiqiy sonlar metrik fazosida A=[a,b) to‘plamni
1
olamiz. Ravshanki, A yopiq to‘plam emas, chunki A   a, b  A. A to‘plam
ochiq ham emas. Darhaqiqat, a nuqtaning hech qanday  -atrofi (a-, a+) A
to‘plamda butunlay joylasha olmaydi. Demak, A to‘plam ochiq ham emas, yopiq
ham emas.
4-teorema. Soni ixtiyoriy bo‘lgan ochiq to‘plamlarning yig‘indisi va soni
chekli bo‘lgan ochiq to‘plamlarning ko‘paytmasi ochiq to‘plamlar bo‘ladi.
Teoremaning isboti quyidagi


 n
 n 
G ,  X \ Gi   X \  Gi 

 i 1
 i 1 
 X \ G   X \ 
tengliklarni nazarda tutsak, 2-va 3-teoremalardan osonlikcha kelib chiqadi.
2.5-§. Separabel metrik fazolar
Ta’rif. (X,) metrik fazoda M, N to‘plamlar uchun M  N bo‘lsa, M
to‘plam N to‘plamda zich deyiladi. Xususan, M to‘plam X da zich bo‘lsa, u
43
holda M to‘plam hamma yerda zich to‘plam deyiladi.
Ta’rif. Agar M to‘plam hech bir sharda zich bo‘lmasa, u holda M to‘plam
hech qayerda zich emas deyiladi. Ya’ni, agar ixtiyoriy S sharning ichida M
to‘plam bilan kesishmaydigan S1 shar topilsa, M to‘plam hech qayerda zich
emas.
Ta’rif. Agar (X,) metrik fazoning hamma yerida zich bo‘lgan sanoqli
yoki chekli to‘plam mavjud bo‘lsa, u holda X separabel fazo deyiladi.
Separabellik xossasi nuqtai nazaridan 2.1-§ dagi misollarimizga qaytamiz.
Masalan, 2-misoldagi Rn separabel fazodir. Darhaqiaqat, Rn fazoda
koordinatalari ratsional sonlardan iborat bo‘lgan nuqtalar to‘plami sanoqli
bo‘lib, Rn ning hamma yerida zich.
C  a, b fazo ham separabeldir. Darhaqiqat koeffitsientlari ratsional
sonlardan iborat hamma ko‘phadlar to‘plami Pr sanoqli bo‘lib, u hamma
ko‘phadlar to‘plami P da zich, P esa matematik analizdagi ma’lum Veyershtrass
teoremasiga asosan C  a, b ning hamma yerida zich bo‘ladi. Demak,
Pr  C  a, b .
m fazo separabel emas. Bu fazoda quyidagi to‘plamni olamiz:
Q  x : x   a1, a2 ,..., an ,..., ai  0 yoki 1 .
Ravshanki, Q kontinuum quvvatga ega ([HO‘FN], I bob).
Agar Q dan ikkita turli x va y element olinsa, ular orasidagi masofa
  x, y   sup ai  bi  1
Bundan foydalanib, m separabel emasligini isbot etamiz. Buning uchun
teskarisini, ya’ni m ning hamma yerida zich bo‘lgan sanoqli A to‘plam mavjud
deb faraz qilamiz. A ning har bir elementi atrofida radiusi  
1
ga teng sharni
3
olamiz. U holda bu sharlarning yig‘indisida m fazoning hamma elementlari
joylashgan bo‘ladi. Ammo sharlarning soni ko‘pi bilan sanoqli bo‘lgani uchun
ularning hech bo‘lmaganda bittasining ichida Q ning kamida ikkita turli x, y
elementi joylashgan bo‘ladi. Shu ikki x va y element kirgan sharning markazi x0
44
nuqtada bo‘lsin. Bundan ushbu
1 1 2
1    x. y     x, x0     x0 , y    
3 3 3
ziddiyat kelib chiqadi. Bu ziddiyat esa qilgan farazimiz natijasida hosil bo‘ldi.
Demak, m separabel fazo emas.
1-teorema. (X,) separabel metrik fazoning ixtiyoriy X0 qism to‘plami
ham  metrikaga nisbatan separabel metrik fazodir.
Isboti. Ushbu
1, 2 , ..., n , ...
(1)
sanoqli to‘plam X fazoning hamma yerida zich bo‘lsin. Ushbu belgilashni
kiritamiz;
an  inf  n , x  , n  1,2,3,...
xX 0
Ixtiyoriy n, m natural sonlar uchun inf ning xossalariga asosan shunday
xn,m  X 0 nuqta topiladiki,  n , xn,m   an 
va m son
1
bo‘ladi. Biror >0 sonni olaylik
m
1 
 shartni qanoatlantirsin. (1) to‘plam X ning hamma yerida zich
m 3
bo‘lgani sababli ixtiyoriy x0  X 0 uchun shunday n topiladiki,

  n , x0   .
3
Demak,
 n , xn,m   an 
1
1   2
   n , x0     
m
m 3 3 3
U holda
  x0 , xn,m     x0 ,n   p n , xn,m  

3

2

3
Shunday qilib, ixtiyoriy x  X 0 nuqtaning ixtiyoriy  atrofida
xn,m  X 0
ko‘rinishdagi nuqta mavjud, ya’ni  xn,m n,m to‘plam X0 fazoning hamma yerida
zich va ravshanki, sanoqli to‘plam. Demak, X0 separabel metrik fazodir.
45
2.6- §. To‘la metrik fazolar
Matematik analizning umumiy kursidan ma’lumki, sonli ketma-ketlik
yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun Koshi shartini qanoatlantirishi zarur va kifoya. Bu
xossa matematik analizda katta ahamiyatga ega bo‘lib, haqiqiy sonlar
to‘plamining “to‘laligini” ko‘rsatadi.
Endi haqiqiy sonlar to‘plamining bu xossasi har qanday metrik fazo uchun
ham o‘rinlimi degan savol qo‘yish mumkin. Masalani aniqroq ifoda qilish uchun
quyidagi ta’rifni kiritamiz.
Ta’rif. Agar (X,) metrik fazodan olingan {xn} ketma-ketlik Koshi
shartini qanoatlantirsa, ya’ni ixtiyoriy >0 uchun shunday n natural son mavjud
bo‘lib,   xn , xm    tengsizlik n va m sonlarning n dan katta bo‘lgan hamma
qiymatlari uchun bajarilsa, u holda {xn} fundamental ketma-ketlik deyiladi.
Agar X fazoda har qanday fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi
bo‘lsa, u fazo to‘la deyiladi.
Ravshanki, har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik fundamental.
Yuqoridagi savolni endi quyidagicha ifoda qilish mumkin: har qanday metrik
fazo to‘lami? Bu savolga beriladigan javob har doim ijobiy emas.
Misollar.
1.
Hamma
ratsional
sonlardan
iborat
X
to‘plamda
masofa
  r1, r2   r1  r2 formula bilan aniqlansin. Ravshanki, X metrik fazo; ammo bu
fazo to‘la emas, chunki, masalan,
n

 1  
rn  1    ratsional sonlar ketma-ketligi fundamental bo‘lib, shu X fazoda
 n  

yaqinlashuvchi emas, ya’ni u hech qanday ratsional songa yaqinlashmaydi.
2.
 a, b 
segmentda
aniqlangan
hamma
uzluksiz
haqiqiy
funksiyalardan iborat to‘plamni olib, unda masofani quyidagicha aniqlaymiz:
46
1/ 2
b

2
  x, y      x  t   y  t   dt 
a

Bu metrik fazoni C 2  a, b bilan belgilaymiz. Koshi-Bunyakovskiy
tengsizligidan foydalanib, bu masofa uchun uchburchak aksiomasining
o‘rinliligini ko‘rsatish qiyin emas. Metrikaning qolgan ikki aksiomasi o‘zo‘zidan ravshan. Demak, bu metrik fazo. Bu fazo to‘la emas, chunki, bu
metrikada uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi yana uzluksiz funksiyaga
yaqinlashishi shart emas. Aniq misol keltiramiz. Masalan,
t n , 0  t  1,
n  t   
1, 1  t  2
ketma-ketlik C2 [0,2] fazoda fundameltal. Haqiqatan, ixtiyoriy n, m natural
sonlar uchun
2
1
 n ,m    n  t   m  t   dt    t n  t m  dt 
2
2
0

2
0
1
2
1


0
2n  1 m  n  1 2m  1
Ammo bu ketma-ketlik hech qanday uzluksiz funksiyaga yaqinlashmaydi.
Buni isbotlash uchun quyidagi uzlukli funksiyani ko‘ramiz:
0, 0  t  1,
.
f t   
1,
1

t

2.

Ixtiyoriy   C 2 0,2 funksiya uchun ravshanki,
1/ 2
2


  f ,      f  t     t   dt 
0

 0.
Demak,
0    f ,     f ,n    n ,  .
Shu bilan birga
1/ 2
2

2
  f ,n      f  t   n  t   dt 
0

47
1/ 2
 1 2n 
   t dt 
0


1
0.
2n  1
Shuning uchun
 n ,  hech qanday   C 2 0,2 uchun nolga
intilmaydi.
2. 1- § da misol sifatida keltirilgan hamma metrik fazolar to‘la. Ularning
ba’zilarining to‘laligini quyida ko‘rsatamiz.
3. C  a, b fazoning to‘laligi. Bu fazoda  xn  t  fundamental ketma-ketlik
bo‘lsin, ya’ni   xn , xm   0, n, m   . 2.2-§ da C  a, b fazodagi yaqinlashish
funksiyalarning tekis yaqinlashishiga ekvivalent ekanligini ko‘rsatgan edik.
Har bir berilgan ixtiyoriy t   a, b nuqtada ushbu sonli  xn  t  ketmaketlik Koshi shartini qanoatlantirgani uchun bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi
bo‘ladi. Uning
limitini x0(t) bilan belgilaymiz.  xn  t  ketma-ketlik x0(t)
funksiyaga tekis yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun x0(t) funksiya uzluksiz bo‘ladi.
Natijada
  xn , x0   0, x0  t   C  a, b
va, demak, C[a,b] fazo to‘la.
4.
l2 fazoning to‘laligi. Bu fazodan olingan {xn }

  



 n n
 n
 n 2
x

a
,
a
,...,
a
...
,
a
 

1
2
k
i
 n
i 1


ketma-ketlik fundamental bo‘lsin. Ixtiyoriy >0 uchun shunday n0 natural son
mavjudki, ular uchun


  xn , xm    ai n  ai m
2
i 1
   , n, m  n
2
0
(1)
Bundan, har qanday k uchun
 a   a     , n, m  n
n
k
ya’ni har bir k uchun
m
2
k
0
a  sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi. Bu ketma(n)
k
ketlikning limitini ak bilan belgilab, x   a1, a2 ,... elementni hosil qilamiz. Agar
p
 a    va
i 1
2
i
48
lim  ( xn , x)  0
n
munosabatlarning o‘rinliligi ko‘rsatilsa, l2 fazoning to‘laligi isbot etilgan
bo‘ladi.
(1) tengsizlikni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
  a  a     a  a     a   a    

i 1
 n
 m 2
i
i
p
i 1
n
 m 2
i
i

i  p 1
n
i
m
2
i
bu yerda p - ixtiyoriy natural son. Bundan ixtiyoriy p uchun:
p

 ai   ai 
i 1
n
m
 
2
yoki p bilan m ni tayinlab qo‘yib, n bo‘yicha limitga o‘tilsa, ushbu
  a  a    
p
m
i 1
i
2
i
tengsizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlik ixtiyoriy p uchun o‘rinli; shuning uchun
bunda p bo‘yicha limitga o‘tish mumkin, u holda
  a  a     .

m
i
i 1

 
Bundan va  ai 
i 1
m
2
2
(2)
i
 
  hamda ai2  2 ai m
2


 2 ai  ai  ,  i  1,2,...
m
2
munosabatdan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi:

 a  
i 1
2
i
Demak, x   a1, a2 ,..., an ,...  l2 So‘ngra >0 ixtiyoriy bo‘lganligi uchun
(2) dan
lim   xm , x   0 .
m
5. m fazoning to‘laligi. {xn} ketma-ketlik fundamental bo‘lsin.


xn  a1  , a2  ,.....  m bo‘lganligi tufayli shunday {Mn} ketma-ketlik mavjudki,
n
n
uning uchun ai   M n  i  1,2,... o‘rinli va ixtiyoriy >0 uchun shunday n0
n
natural son mavjudki,
49
  xn , x p    , n, p  n0
yoki
sup ai   ai    ; n, p  n0
n
p
Bundan
ai   ai    ,
n
n, p  n0
p
(3)
munosabatning i ga nisbatan tekis bajarilishi kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy i
  ketma-ketlik n bo‘yicha yaqinlashuvchi bo‘ladi; uning limitini a
uchun ai 
n
i
bilan belgilab, x   a1, a2 ,... elementni hosil qilamiz.
Endi ushbu x  m va   xn , x   0 munosabatlarni isbotlaymiz. (3) da n
ga nisbatan limitga o‘tilsa, hamma i lar uchun o‘rinli bo‘lgan
ai   ai   , n  n0
n
(4)
tengsizlik kelib chiqadi. Bundan
ai  ai
n 1
 ai  ai
n 1
   M n0 1
tengsizlikni hamma i lar uchun hosil qilish mumkin, ya’ni x   a1, a2 ,...  m
munosabat kelib chiqadi. (4) dan
sup ai   ai   , n  n0
n
i
yoki   xn , x    , n  n0 ixtiyoriy bo‘lganigi uchun bundan
  xn , x   0 yoki xn  x  n   
munosabat kelib chiqadi. Demak, m - to‘la fazo.
Endi metrik fazolarning to‘laligiga oid ba’zi xossalarni keltiramiz.
1-teorema. (X, ) to‘la metrik fazoda S  Sn  an ,  n  yopiq sharlar
ketma-ketligi berilgan bo‘lib, bular uchun quyidagi shartlar bajarilsin:
Sn1  Sn  n  1,2,... va n   da  n  0 .
U holda bu sharlarning umumiy qismi birgina nuqtadan iborat bo‘ladi.
50
Isboti. Si sharlarning markazlaridan iborat bo‘lgan quyidagi ketmaketlikni tuzamiz:
(5)
a1, a2 ,... an ,....
Teorema shartiga ko‘ra an p  Sn  p  1,2,... Shuning uchun
  an p , an    n yoki   an p , an   0, n  
Demak, (5) ketma-ketlik fundamental. X to‘la fazo bo‘lganligi uchun bu
ketma-ketlik biror a  X elementga yaqinlashuvchi bo‘ladi.
So‘ngra, ixtiyoriy Sm yopiq sharni olamiz (m - tayin natural son). U holda
a  Sm , chunki am , am1 ,... nuqtalar ketma-ketligi (5) ning qism ketma-ketligi
bo‘lgani uchun a ga yaqinlashuvchi, bu ketma-ketlikning har bir elementi S m ga
kiradi va Sm yopiq bo‘lganligi uchun
a  Sm , m  1,2,....
Demak, a 

Sm .
m 1

Endi
S m ga a nuqtadan boshqa yana biror b element ham tegishli
m 1
bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda, bir tomondan, har qanday n uchun
0    a, b     a, an     an , b   2 n
munosabat o‘rinli, ikkinchi tomondan, n   da  n  0 bo‘lgani uchun
(a,b)=0, ya’ni a =b.
2-teorema.
Agar
(X,)
metrik
fazoda
1-teoremaning
shartlarini
qanoatlantiradigan har qanday yopiq sharlar ketma-ketligi bo‘sh bo‘lmagan
umumiy qismga ega bo‘lsa, u holda X fazo to‘la bo‘ladi.
Isboti.  xn  fundamental ketma-ketlikni olib, nk natural sonni shunday
tanlab olamizki, ixtiyoriy k natural son uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘lsin:

 21k ushbu S  S  x , 21  yopiq sharlarni ko‘ramiz. Agar
 xn , xn 
k p
k
k
nk
k 1
x  Sk 1 bo‘lsa, u holda
51
  x, xn     x, xn
k 1
k
    x , x   21  21  21 ,
nk 1
nk
k
k 1
k
ya’ni x  Sk . Demak, Sk 1  Sk . Teorema shartiga ko‘ra bu yopiq sharlar
ularning hammasiga tegishli x0 elementga ega. Agar {xn} ketma-ketlikning x0 ga
yaqinlashishi ko‘rsatilsa, tasdig‘imiz isbot etilgan bo‘ladi.
x  qism ketmank
ketlik x0 ga yaqinlashadi, chunki
  xn , x0  
k
1
 0.
2k 1
u holda butun  xn  ketma-ketlik ham x0 ga yaqinlashadi, chunki ushbu
  xn , x0     xn , xn     xn , x0 
k
k
tengsizlikning o‘ng tomoni n va nk yetarlicha katta bo‘lganda istalgancha kichik
qilinishi mumkin.
To‘la metrik fazolar nazariyasida quyidagi teorema katta ahamiyatga
ega.
3-teorema. (Ber teoremasi). (X,) to‘la metrik fazoni hadlarining soni
sanoqli va hech qayerda zich bo‘lmagan to‘plamlarning yig‘indisi ko‘rinishida
ifodalab bo‘lmaydi.
Isboti. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni X 

M n va Mn lar hech qayerda
n 1
zich bo‘lmagan to‘plamlar bo‘lsin. S0 radiusi 1 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy yopiq
shar bo‘lsin. M1 hech qayerda zich emas, xususan S0 da ham zich bo‘lmagani
uchun radiusi
1
dan kichik S1 yopiq shar topiladiki, S1  S0 va S1
2
M1   .
M2 to‘plam S1 sharda zich bo‘lmagani uchun S1 ning ichida shunday S2 shar
topiladiki uning radiusi
1
dan kichik va S2
3
M2=Ø va hokazo.
Shu tarzda davom etib, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi {S n} yopiq
sharlar sistemasini hosil qilamiz:
1) S0  S1 ...  Sn .,...
52
Mn  
1) Sn
2) Sn ning radiusi n   da nolga intiladi.

1- teoremaga binoan
S n ga tegishli x X nuqta mavjuddir. Sn larning
n 1
2) xossasiga ko‘ra x  M n , n  1,2,..., ya’ni
x

M n  X . Bu ziddiyatdan
n 1
X

M n kelib chiqadi.
n 1
2.7-§. To‘ldiruvchi fazo haqidagi teorema
Bu paragrafda funksional analizdagi muhim teoremalardan biri bo‘lgan
to‘ldiruvchi fazo haqidagi teoremani isbotlaymiz.
Ta’rif. Agar X metrik fazo uchun shunday X* metrik fazo mavjud
bo‘lsaki, X fazo X* ning hamma yerida zich bo‘lib, X* fazo to‘la bo‘lsa, u holda
X* metrik faza X fazoning to‘ldiruvchisi deyiladi.
Teorema. Ixtiyoriy X metrik fazo to‘ldiruvchiga ega. To‘ldiruvchi fazo X
ning elementlarini o‘z o‘rnida qoldiruvchi izometriya aniqligi bilan yagonadir,
ya’ni har qanday ikki to‘ldiruvchi fazoning birini ikkinchisiga aks ettiruvchi va
X fazoning har bir nuqtasini o‘z o‘rnida qoldiruvchi izometriya doim mavjuddir.
Isboti. Dastavval, agar to‘ldiruvchi fazo mavjud bo‘lsa, uning
yagonaligini isbotlaymiz. (X*, 1) va (X**, 2) fazolar (X,) fazoning
to‘ldiruvchilari bo‘lsin deb faraz qilaylik. Bizning maqsadimiz uchun quyidagi
xossalarga ega bo‘lgan  : X *  X ** aks ettirishning mavjudligini ko‘rsatish
kifoya:
1)  - izometriya;
2) ixtiyoriy x X uchun  (x) = x.
Bunday  izometriyani quyidagicha aniqlaymiz. x* X* ixtiyoriy nuqta
bo‘lsin. To‘ldiruvchi fazoning ta’rifiga asosan x* ga yaqinlashuvchi va X ning
53
elementlaridan tuzilgan {xn} ketma-ketlik mavjud. Bu ketma-ketlik X** fazoga
ham tegishlidir. X** to‘la bo‘lganligi uchun {xn} biror x**X** nuqtaga
yaqinlashuvchi bo‘ladi. O‘z-o‘zidan ravshanki, x** nuqta {xn} ketma-ketlikni
tanlashga bog‘liq emas, ya’ni agar  xn  ketma-ketlik x* ga yaqinlashuvchi
boshqa bir ketma-ketlik bo‘lsa, u holda X** fazoda  xn 
ham x** ga
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Aks ettirishni   x *  x ** ko‘rinishda aniqlaymiz.
Ravshanki, ixtiyoriy x X uchun  (x)=x. Endi faraz qilaylik, {xn} va {yn} lar X
fazodagi fundamental ketma-ketliklar bo‘lib, ular X* fazoda mos ravishda x* va
y* nuqtalarga, X** fazoda esa x** va y** nuqtalarga yaqinlashuvchi bo‘lsin. U
holda
1  x*, y *  lim 1  xn , yn   lim   xn , yn 
n
n
2  x **, y **  lim 2  xn , yn   lim   xn , yn 
n
n
ya’ni
1  x*, y *  2  x **, y **.
Shunday qilib,  biz izlagan izometriya bo‘ladi.
Endi to‘ldiruvchining mavjudligini isbot qilamiz. X metrik fazoda {xn} va
{x'n} fundamental ketma-ketliklar uchun lim   xn , xn   0 bajarilsa, biz ularni
n
ekvivalent deymiz va  xn 
 xn  ko‘rinishda belgilaymiz.
O‘z-o‘zidan ravshanki, bu munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitivdir,
ya’ni ekvivalentlik munosabatidir. Demak, X fazodagi fundamental ketmaketliklar to‘plami o‘zaro ekvivalent bo‘lgan ketma-ketliklar sinflariga ajraladi.
Endi biz (X*, ) fazoni aniqlaymiz. X* ning elementlari deb o‘zaro ekvivalent
bo‘lgan fundamental ketma-ketliklar sinflariga aytamiz. Agar x*, y*X* ikki
sinf bo‘lsa, biz ularning har biridan mos ravishda bittadan {xn} va {yn}
fundamental ketma-ketliklarni olamiz va X* fazoda metrikani
  x*, y *  lim   xn , yn 
(1)
n
ko‘rinishda aniqlash mumkin ekanligini isbotlaymiz, ya’ni (1) ning o‘ng
54
tomonidagi limit mavjud va {xn}x*,  yn   y * vakillarga bog‘liq emasligini
ko‘rsatamiz. 2.2-§ dagi (1) tengsizlikka asosan
  xn , yn     xm , ym     xn , xm     yn , ym 
(2)
Endi {xn}, {yn} ketma-ketliklarning fundamental ekanligini hisobga olsak,
yetarli darajada katta bo‘lgan n, m natural sonlar uchun
  xn , yn     xm , ym   
munosabat kelib chiqadi. Ya’ni sn    xn , yn  haqiqiy sonlar ketma-ketligi
uchun Koshi sharti bajariladi, va demak, lim sn mavjud. Bu limit x* va y* ning
n
vakillariga bog‘liq emas. Darhaqiqat, x* sinfdan {xn},  xn  vakillarni, y*
sinfdan {yn}, {y'n} vakillarni olib, ular uchun (2) tengsizlikka o‘xshash ushbu
  xn , yn     xn , yn     xn , xn     yn , yn 
tengsizlikni yozishimiz mumkin. So‘ng  xn  ~  xn  ,  yn  ~  yn  bo‘lgani uchun
lim   xn , yn   lim   xn , yn .
n
n
Demak, (x*,y*) son mavjud va x*, y* sinflarning vakillariga bog‘liq
emas. Endi biz (x*,y*) uchun metrika aksiomalarini tekshirib chiqamiz.
1) aksioma  (x*,y*) ning ta’rifidan kelib chiqadi;
2) aksioma o‘z-o‘zidan ravshan.
Uchburchak aksiomasini isbotlaymiz. X fazoda bu aksioma o‘rinli
ekanligidan foydalanib,
  xn , yn     xn , zn     zn , yn 
tengsizlikni yozamiz. So‘ngra n bo‘yicha limitga o‘tsak,
lim   xn , yn   lim   xn , zn   lim   zn , yn 
n
n
n
ya’ni
  x*, y *    x*, z *    z*, y *
tengsizlik kelib chiqadi.
Endi X ni X* ning qism fazosi deb hisoblash mumkinligini ko‘rsatamiz.
55
Ixtiyoriy xX elementga shu elementga yaqinlashuvchi bo‘lgan fundamental
ketma-ketliklar sinfini mos qo‘yamiz. Bu sinf bo‘sh emas, chunki u statsionar
bo‘lgan (ya’ni hamma xn elementlari x ga teng bo‘lgan)
ketma-ketlikni o‘z
ichiga oladi. Agar x  lim xn , y  lim yn bo‘lsa, u holda
n
n
  x, y   lim   xn , yn 
n
Shu tarzda har bir xX elementga yuqorida aytilgan sinfni mos qo‘ysak, X
ni X* ga izometrik aks ettirish hosil bo‘ladi. Shuning uchun X ni uning X* dagi
tasviri bilan aynan bir deb hisoblaymiz.
X ni X* ning hamma yerida zich ekanligini isbotlaymiz. x*X* ixtiyoriy
element va >0 bo‘lsin. x* sinfga tegishli bo‘lgan biror {xn}x* fundamental
ketma-ketlikni olamiz. N natural son shunday bo‘lsinki, ushbu
  xn , xm   
tengsizlik ixtiyoriy m, n>N, sonlar uchun bajarilsin. U holda m bo‘yicha limitga
o‘tsak,   xn , x *  lim   xn , xm    tengsizlik ixtiyoriy n>N uchun bajariladi.
m
Demak, x* nuqtaning ixtiyoriy atrofida X ning elementi mavjud, ya’ni X ning
yopilmasi X* ga teng.
Nihoyat, X* ning to‘la ekanligini isbotlaymiz. Avval shuni aytish kerakki,
X* ning ta’rifiga ko‘ra X ning elementlaridan hosil bo‘lgan ixtiyoriy
x1, x2 ,..., xn ,... fundamental
ketma-ketlik
X*
ni biror x* elementiga
yaqinlashadi, aniqrog‘i, shu ketma-ketlikni o‘z ichiga oluvchi sinf bilan
aniqlangan x* elementga yaqinlashadi. X fazo X* fazoda zich bo‘lgani tufayli
X* elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy
x1*, x2 *,... xn *,...
fundamental ketma-ketlik uchun unga ekvivalent bo‘lgan va X ning
elementlaridan tuzilgan
x1, x2 ,..., xn ,...
ketma-ketlik mavjud. Buni ko‘rsatish uchun xn sifatida X ning ushbu
56
  xn , xn * 
1
n
tengsizlikni qanoatlantiradigan ixtiyoriy elementini olish mumkin. Hosil bo‘lgan
{xn} ketma-ketlik X da fundamental, va demak, biror x* elementga
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Lekin bu holda {x*n} ketma-ketlik ham x* ga
yaqinlashadi.
Misollar. 1. Ratsional sonlar fazosi   x, y   x  y metrikada to‘la emas.
Matematik analizdan ma’lumki, bu fazoning to‘ldiruvchisi haqiqiy sonlar
fazosidir.
2. 2.6- § da ko‘rsatilganidek, C2[0, 2] fazo to‘la emas. Bu fazoning
to‘ldiruvchisi L2[0, 2] fazodir. Haqiqattan, Fisher teoremasiga asosan ([HO‘FN],
VIII bob) L2[0, 2] fazo to‘la. C2[0, 2] fazoning L2 [0, 2] fezoda zichligi Luzin
teoremasidan ([HO‘FN], VI bob) osonlikcha kelib chiqadi.
2.8-§. Metrik fazoda kompakt to‘plamlar
To‘g‘ri chiziqning ajoyib xossalaridan biri shuki, undagi chegaralangan
har qanday cheksiz to‘plam kamida bitta limit nuqtaga ega. Bu fakt Bolsano Veyershtrass teoremasida o‘z ifodasini topgan. Lekin ixtiyoriy metrik fazoda
bunday sodda natija, umuman aytganda, o‘rinli emas. Shuning uchun quyidagi
savolning qo‘yilishi tabiiy. Metrik fazoda qanday to‘plamlar sinfi uchun
Bolsano - Veyershtrass teoremasining mazmuni saqlanadi? Mana shu savol
munosabati bilan quyidagi muhim ta’rifni kiritamiz.
Ta’rif. X metrik fazodagi M to‘plamning elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy
ketma-ketlikdan biror x  X  elementga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikni
ajratib olish mumkin bo‘lsa, M to‘plam X da nisbiy kompakt deyiladi; yopiq
nisbiy kompakt to‘plam kompakt deyiladi.
Bolsano - Veyershtrass teoremasiga asosan to‘g‘ri chiziqda har qanday
chegaralangan
(yopiq
va
chegaralangan)
(kompaktdir).
57
to‘plam
nisbiy
kompaktdir
Ravshanki, nisbiy kompakt to‘plamning ixtiyoriy qism to‘plami yana
nisbiy kompakt to‘plamdir.
1-teorema. Nisbiy kompakt to‘plam chegaralangan bo‘ladi.
Isboti. A(  X) nisbiy kompakt to‘plam bo‘lib, chegaralangan bo‘lmasin
deb faraz qilamiz. A dan ixtiyoriy x1 nuqtani olib, radiusi r1=1 ga teng S  x1 , r1 
sharni ko‘ramiz. A chegaralanmaganligi uchun u bu sharda to‘lasicha joylashgan
bo‘lmaydi. A to‘plamning S  x1 , r1  sharga kirmagan biror x2 elementni olamiz.
U holda   x1, x2   r1 . So‘ng radiusi r2    x1, x2   1 ga teng S ( x1, r2 ) sharni
qurib, A to‘plamning bu sharga kirmagan biror x3 elementini olamiz; bunday
element mavjud, chunki A chegaralanmagan to‘plam va   x1, x3   r2 . So‘ngra
radiusi r3    x1, x3   1 ga teng S  x1 , r3  sharni quramiz. Bu jarayonni, A
to‘plam chegaralanmaganligi uchun cheksiz davom ettirishimiz mumkin.
Natijada xn  xn  A ketma-ketlik va o‘sib boruvchi rn  sonli ketma-ketlik
hosil bo‘lib, ushbu
  x1, xn   1  rn  rn1  n  2,3,...
tengsizliklar bajariladi.
Endi ixtiyoriy n  m  2 natural sonlar uchun
  x1, xn   1  rn  rn1  rm ;   x1, xm   1  rm
munosabatlar o‘rinli. Bulardan quyidagi
  x1, xn     x1, xm     xm , xn 
tengsizliklarga asosan ushbu
rn  rm    xm , xn  demak,   xm , xn   1
munosabat kelib chiqadi.
So‘nggi munosabat ko‘rsatadiki, na {xn} ketma-ketlikning o‘zi va na
uning biror qismi fundamental bo‘la olmaydi, demak, yaqinlashuvchi ham
bo‘lishi mumkin emas. Bu esa ziddiyatga olib keladi, chunki {xn} ketmaketlikning elementlari A nisbiy kompakt to‘plamdan olingan.
Bu teoremaning teskarisi, umuman aytganda, o‘rinli emas, ya’ni to‘plam
58
chegaralangan bo‘lsa, u nisbiy kompakt bo‘lishi shart emas. Bunga l2 fazodan
aniq misol keltiramiz. l2 fazodan ushbu
e1  1,0,0,... , e2   0,1,0,... , e3   0,0,1,0,... , ...
elementlardan iborat chegaralangan to‘plamni tuzamiz. Bu elementlarning
2  m  n  ga teng. Shuning
ixtiyoriy ikkitasi orasidagi masofa ( å m, å n)=
uchun bu ketma-ketlik va uning hech qanday qismi yaqinlashuvchi bo‘lmaydi,
demak, tuzilgan to‘plam nisbiy kompakt emas.
Metrik
fazoda
nisbiy
kompaktlik
tushunchasiga
yaqin
bo‘lgan
tushunchani kiritamiz.
Ta’rif. A, B lar (X, ) metrik fazodan olingan to‘plamlar va >0 biror son
bo‘lsin. Agar A dan olingan ixtiyoriy x element uchun B da ushbu (x,y)<
tengsizlikni qanoatlantiradigan y element mavjud bo‘lsa, B to‘plam A to‘plamga
nisbatan -to‘r deyiladi. Agar ixtiyoriy >0 uchun A to‘plam chekli -to‘rga ega
bo‘lsa, u holda A to‘la chegaralangan deyiladi.
Misollar. 1. Tekislikda koordinatalari butun sonlardan iborat to‘plam 1to‘rni tashkil etadi.
2. Rn fazoda har qanday chegaralangan A to‘plam chekli -to‘rga ega, ya’ni A
to‘la chegaralangan.
3. l2 fazoda A to‘plamni quyidagicha aniqlaymiz:
1
1
x   a1, a2 ,..., an ,...  A, bu yerda a1  1, a2  ,..., an  n1 ,...
2
2
Bu to‘plam ixtiyoriy >0 uchun chekli -to‘rga ega. Daraqiqat, berilgan
>0 uchun n natural sonni shunday tanlab olamizki;
1 
 bo‘lsin.
2n 4
A dan olingan har bir x  (a1, a2 ,... an ,...) nuqtaga shu to‘plamning o‘zidan
olingan
x*   a1, a2 ,..., an ,0,0,...
nuqtani mos qo‘yamiz. U holda
59
(1)
1/ 2
 

  x, x *    ak2 
 k n1 
1/ 2
  1 
   k 1 
 k n1 4 

 .
2
(1) ko‘rinishdagi nuqtalardan iborat B to‘plam Rn fazoda chegaralangan;
demak, B to‘plam ixtiyoriy >0 uchun chekli

-to‘rga ega, natijada A to‘plam
2
chekli -to‘rga ega bo‘lib, to‘la chegaralangan bo‘ladi.
4. Yuqoridagi { ån } ketma-ketlikdan iborat to‘plam chegaralangan bo‘lib,
to‘la chegaralangan
2
, bo‘lganda chekli -to‘rni qurib
2
emas. Chunki  
bo‘lmaydi.
Kompaktlik, to‘lalik va to‘la chegaralanganlik tushunchalari orasida
qanday bog‘lanish borligini quyidagi teoremadan ko‘rish mumkin.
2-teorema. X to‘la metrik fazoda joylashgan A to‘plamning nisbiy
kompakt bo‘lishi uchun uning to‘la chegaralangan bo‘lishi zarur va kifoya.
Isboti. Zarurligi. Nisbiy kompakt A to‘plamni to‘la chegaralanmagan,
ya’ni biror >0 uchun A da chekli -to‘r yo‘q deb faraz qilaylik. U holda A dan
olingan ixtiyoriy x1 nuqta uchun shunday x2 nuqta mavjudki, (x1,x2)  . So‘ng
shunday x3 nuqta mavjudki, (x1,x3)  , (x2,x3)   bo‘ladi va hokazo. Bu
protsessni davom ettirib, quyidagi tengsizliklarni qanoatlantiradigan {xn} ketmaketlikni tuzamiz:   xn , xm    , m  n
Ravshanki, bunday ketma-ketlikdan hech qanday yaqinlashuvchi qism
ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Bu esa A ning nisbiy kompaktligiga
zid.
Kifoyaligi. Endi X to‘la fazo bo‘lib, A unda to‘la chegaralangan to‘plam
bo‘lsin. A ning nisbiy kompaktligini ko‘rsatamiz. A ning elementlaridan tuzilgan
ixtiyoriy {xn} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Har bir  k 
da mos ravishda chekli  k - to‘rni quramiz:
a1  , a2  ,..., apk  .
k
k
60
k
1
 k  1,2,... uchun A
k
Markazlari 1  to‘rni tashkil etuvchi nuqtalarda joylashgan va radiuslari 1
ga teng sharlarni quramiz. Soni chekli bu sharlar A to‘plamni to‘lasicha
qoplaydi. Ulardan kamida bittasi {xn} ketma-ketlikning cheksiz  xn  qism
ketma-ketligini o‘z ichiga oladi, uni masalan, S1 bilan belgilaylik. So‘ng
markazlari 2 =
1
1
to‘rni tashkil etuvchi nuqtalarda joylashgan va radiuslari
2
2
teng sharlarni quramiz. Bu sharlarning soni chekli bo‘lganligi uchun ularning
kamida bittasi {x'n} ketma-ketlikning cheksiz {x'n} qism ketma-ketligini o‘z
ichiga oladi, uni masalan, S2 bilan belgilaylik, va hokazo. Bu jarayonni davom
ettiramiz. Endi quyidagi
x1, x2 ,..., xn ,...
x1, x2,..., xn,...
ketma-ketliklarning diagonalida joylashgan elementlardan ushbu ketma-ketlikni
tuzamiz:
n
x1 , x2,... xn  ,...
(2)
Bu ketma-ketlik fundamental bo‘ladi, chunki uning xn n  elementdan
boshlab keyingi hamma elementlari Sn sharda (uning radiusi
1
ga teng)
n
joylashgan bo‘ladi. X metrik fazo to‘la bo‘lganligi uchun (2) ketma-ketlik
limitga ega. Ya’ni A to‘plamdan olingan ixtiyoriy {xn} ketma-ketlikdan
yaqinlashuvchi
x  ketma-ketlikni hosil qildik, demak, A nisbiy kompakt
n
n
to‘plam.
Natija. X to‘la metrik fazodagi A to‘plam kompakt bo‘lishi uchun uning
yopiq va to‘la chegaralangan bo‘lishi zarur va kifoya.
2-teoremada zarur va kifoya shart berilgan bo‘lsada, undan aniq metrik
fazolarda foydalanish oson emas. Maxsus metrik fazolarda joylashgan
to‘plamlarning nisbiy kompaktligini (kompaktligini) aniqlash uchun odatda
maxsus kompaktlik belgilari izlanadi.
Biz bu masala bilan s va C  a, b fazolarda shug‘ullanamiz.
61
3-teorema (s fazoda kompaktlik belgisi). A to‘plam s fazodan olingan
bo‘lib, Ai to‘plam A ning i-nomerli (i = 1, 2, . . .) koordinatalaridan tuzilgan
to‘plam bo‘lsin. A ning nisbiy kompakt bo‘lishi uchun Ai to‘plamlar
chegaralangan bo‘lishi zarur va kifoya. Ai to‘plamning yuqori chegarasi i ga
bog‘liq bo‘lishi ham mumkin.
Isboti. Zarurligi. 2.2-§ dagi 6-misoldan ma’lumki, s fazoda yaqinlashish
koordinatalar bo‘yicha yaqinlashishdir. Demak, A nisbiy kompakt bo‘lganligi
uchun Ai lar ham nisbiy kompakt va, demak, chegaralangan bo‘ladi, chunki Ai
to‘g‘ri chiziqda joylashgan to‘plam.
Kifoyaligi. A shunday to‘plam bo‘lsinki, uning uchun yuqorida tuzilgan Ai
-to‘plamlarning har biri chegaralangan bo‘lsin. Ixtiyoriy  > 0 ni olib p natural

sonni shunday tanlab olamizki, uning uchun
k  p 1
har bir
x   a1, a2 ,... , a p , a p1, ...   s
1
1
 2  2 p   bo‘lsin. So‘ng
elementga
k
y   a1, a2 , ... , a p ,0, ....  s
elementni mos qo‘yamiz. Bu ko‘rinishda tuzilgan y
elementlardan iborat
to‘plamni Bp bilan belgilaymiz. Ravshanki,


ak
1
1




k
1  ak k  p1 2k
k  p 1 2
  x, y   
ya’ni Bp to‘plam A ga nisbatan -to‘rni tashkil etar ekan. Ammo Bp esa,
tuzilishiga ko‘ra, Rp fazoda to‘lasicha joylashgan chegaralangan to‘plam.
Demak, Bp chekli -to‘rga ega, natijada A to‘plam ham chekli 2-to‘rga ega,
ya’ni A to‘la chegaralangan. 2-teoremaning kifoyalik shartiga va s ning
to‘laligiga muvofiq A nisbiy kompakt to‘plam.
Endi C  a, b fazoda nisbiy kompaktlik belgisini beramiz. Bu belgini ifoda
qilish uchun quyidagi ikki tushunchani keltiramiz.
 a, b segmentda aniqlangan biror   t  = funksiyalar sistemasi berilgan
bo‘lsin. Agar t ning hamma qiymatlari va  sistemaning hamma elementlari
uchun
62
  t   K  t  a, b,   
tengsizlikni qanoatlantiradigan K son mavjud bo‘lsa, =   t  funksiyalar
sistemasi tekis chegaralangan deyiladi. Agar ixtiyoriy >0 uchun shunday  >0
son mavjud bo‘lsaki,
t1  t2  
tengsizlik bajarilganda  sistemaga tegishli ixtiyoriy   t  funksiya uchun
  t1     t2   
bo‘lsa,  sistema tekis darajada uzluksiz deyiladi.
4-teorema
(Arsela teoremasi).  a, b segmentda aniqlangan uzluksiz
funksiyalardan iborat  to‘plam C  a, b fazoda nisbiy kompakt bo‘lishi uchun
bu funksiyalar sistemasining tekis chegaralangan hamda tekis darajada uzluksiz
bo‘lishi zarur va kifoya.
Isboti. Zarurligi. Aytaylik  to‘plam C  a, b fazoda nisbiy kompakt
bo‘lsin. U holda 2- teoremaga muvofiq, ixtiyoriy >0 uchun  da chekli

3
to‘rni tashkil etuvchi
1, 2 , ...,  p
(3)
funksiyalar mavjud bo‘ladi. Bu funksiyalarning har biri  a, b da uzluksiz
bo‘lganligi sababli chegaralangandir, ya’ni
i  Ki , i  1,2, ... p
Chekli

 to‘rning ta’rifiga ko‘ra  dan olingan har qanday  element
3
uchun (3) dagi soni chekli funksiyalar orasida shunday i - funksiya topiladiki,
uning uchun
  , i   max   t   i  t  
a t b

3
tengsizlik o‘rinli. Natijada
63
  i 

3
 Ki 


 K , K  max Ki  ,
1i  p
3
3
ya’ni  sistema tekis chegaralangan. So‘ngra (3) ketma-ketlikdagi chekli

3
to‘rni tashkil etuvchi funksiyalarning har biri uzluksiz va ularning soni chekli,
demak, ular  a, b da tekis uzluksiz; demak, berilgan

uchun shunday  i son
3
mavjudki, buning uchun quyidagilarni yozishimiz mumkin: agar t1  t2   i
bo‘lsa, i  t1   i  t2  

3


. Agar t1  t2   bo‘lsa   min  i ,
1i  p
u holda ixtiyoriy   Ô uchun i ning (3) funksiyalar orasida   ,i  

3
tengsizlikni qanoatlantiradiganini olib, ushbu munosabatni yoza olamiz:
  t1     t2     t1   i  t1   i  t1   i  t2   i  t2     t2  
   t1   i  t1   i  t1   i  t2   i  t2     t2  

3


3


3
 .
Shuning bilan  sistemaning tekis darajada uzluksizligi ham ko‘rsatildi,
ya’ni teoremaning zarurlik qismi isbot etildi.
Kifoyaligi. Aytaylik  sistema tekis chegaralangan va tekis darajada
uzluksiz bo‘lsin. Agar ixtiyoriy >0 uchun unga nisbatan C  a, b da chekli to‘r mavjud bo‘lsa, bu sistemaning
C  a, b fazoda nisbiy kompaktligi
ko‘rsatilgan bo‘ladi.
K va  quyidagi munosabatlarni qanoatlantiradigan sonlar bo‘lsin:
  K (hamma   uchun); agar t1  t2   bo‘lsa,   t1     t2  

5
(hamma
  uchun).
Endi  a, b segmentni
t0  a  t1 ... tn  b
nuqtalar bilan har birining uzunligi  dan kichik bo‘lgan n ta qismga bo‘lib, bu
64
nuqtalarning har biridan vertikal to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Ordinatalar o‘qida
  K , K  segmentni
y0   K  y1  y2 ... ym  K
nuqtalar bilan har birining uzunligi

dan
5
kichik
m ta qismga bo‘lib, bu
nuqtalarning har birida gorizontal to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazamiz. Natijada ushbu
a  t  b,  K  y  K  to‘g‘ri to‘rtburchak qismlarga bo‘linib, bu qismlarning
gorizontal tomonlari  va vertikal
tomonlari

dan kichik bo‘ladi, ya’ni
5
to‘g‘ri to‘rtburchakda to‘r tuzildi. Endi har bir   Ô  funksiyaga uchlari
 tk , yt   y1    tk  


 nuqtada joylashgan   t  siniq funksiyani mos
5
qo‘yamiz (agar funksiyaning grafigi tutashgan kesmalardan iborat bo‘lsa, bu
funksiyani siniq deymiz). Tuzilgan to‘rining uchlarida tuzilishiga ko‘ra
  tk     tk  

5
 k  1,2,..., n 
tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlik va


  tk 1    tk 1   ,   tk     tk 1  
5
5
tengsizliklardan
  tk    tk 1  

5
tengsizlik kelib chiqadi.
tk , tk 1  segmentda   t  chiziqli funksiya bo‘lganligi uchun
  tk     t  

5
tengsizlik t ning tk , tk 1  segmentdagi hamma qiymatlari uchun bajariladi.
Endi  a, b segmentning ixtiyoriy t nuqtasini olib chapdan unga eng
yaqin turgan tk nuqtani olamiz (bu bo‘lish nuqtasi).
U holda
65
  t     t     t     tk     tk     tk     tk    t   
tengsizlik o‘rinlidir. Demak, soni chekli  (t) siniq funksiyalar  sistemaga
nisbatan chekli -to‘rni tashkil etadi ya’ni  sistema to‘la chegaralangan
sistemadir.
Endi metrik fazodagi funksionallarning kompaktlik bilan bog‘liq bo‘lgan
xossalarini keltiramiz.
Quyidagi teorema matematik analizdan ma’lum bo‘lgan Veyershtrass
teoremasining umumlashtirilishidir.
5-teorema. X metrik fazoda f uzluksiz funksional bo‘lsin. Ixtiyoriy
D  X kompakt to‘plamda f chegaralangan va o‘zining eng katta va eng kichik
qiymatlarini qabul qiladi.
Isboti. F funksional D to‘plamda quyidan
chegaralanganligini
va
o‘zining eng kichik qiymatini qabul qilishini isbotlash bilan chegaralanamiz.
Agar f quyidan chegaralanmagan deb faraz qilsak u holda ixtiyoriy n
natural son uchun f  xn   n shartni qanoatlantiradigan xn  D nuqta topiladi.
Demak lim f  xn    . Hosil bo‘lgan {xn} ketma-ketlikdan D kompakt
n
bo‘lgani tufayli biron x0  D nuqtaga yaqinlashuvchi {xni } qism ketma-ketlik
 
ajratish mumkin. f uzluksiz bo‘lgani uchun lim f xni  f  x0  . Shu bilan birga
i 
 
lim f xni   . Bu esa
i 
f  x0  chekli son ekanligiga zid. Demak, f(x)
funksional D to‘plamda quyidan chegaralangan.
Endi m bilan ushbu f  D    f  x  : x  D  R to‘plamning aniq quyi
chegarasini belgilaymiz va f  x0   m shartni qanoatlantiruvchi x0  D nuqta
mavjudligini isbotlaymiz. Ixtiyoriy n natural son uchun m 
to‘plamning
quyi
qanoatlantiruvchi
chegarasi
xn  D
bo‘lmaydi,
nuqta
mavjud.
66
ya’ni
Bu
 
1
son f  D 
n
f xni  m 
{xn}
1
n
shartni
ketma-ketlikdan
yaqinlashuvchi xni  x0  D qism ketma-ketlik ajratib olishimiz mumkin.
Endi ushbu m  f  xi   m 
1
tengsizlikdan limitga o‘tsak,
ni
 
lim f xni  m
i 
tenglik hosil bo‘ladi. f uzluksiz bo‘lgani sababli
 
f  x0   lim f xni  m
i 
Ko‘rinib
turibdiki,
bu
teoremaning
isboti
matematik
analizdagi
Veyershtrass teoremasining isbotiga o‘xshaydi. Uzluksiz funksiyalarning ba’zi
boshqa xossalari ham shunga o‘xshash osonlikcha metrik fazolardagi
funksionallar uchun isbotlanadi. Misol uchun Kantor teoremasini keltiramiz.
Ta’rif. (X, ) metrik fazoda f funksional berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy
>0 uchun shunday  >0 topilsaki,   x, x    shartni qanoatlantiruvchi har
qanday x', x" X uchun ushbu
f  x  f  x   
tengsizlik bajarilsa, f(x) funksional tekis uzluksiz deyiladi.
6-teorema (Kantor teoremasi). X metrik fazodagi f funksional D  X
kompakt to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, u holda f shu to‘plamda tekis uzluksizdir.
Bu teoremaning ham isboti sonli funksiyalar uchun keltirilgan isbotdan
farq qilmaydi.
2.9-§. Qisqartirib aks ettirish prinsipi va uning tatbiqlari
To‘la metrik fazolarda berilgan turli tenglamalarning yechimlari
mavjudligi va yagonaligini isbotlashda qisqartirib aks ettirish prinsipi muhim va
foydali metod sifatida ishlatilishi mumkin. Hozir mana shu prinsip bilan
o‘quvchini qisqacha tanishtiramiz.
T aks ettirish X metrik fazoni o‘zini-o‘ziga aks ettirish bo‘lsin. Agar X
67
fazodan olingan ixtiyoriy x va y elementlar uchun
 Tx,Ty       x, y 
(1)
tengsizlikni qanoatlantiradigan  (0<  <1) son mavjud bo‘lsa, u holda T ni
qisqartirib aks ettirish deyiladi. (1) ga muvofiq, agar n   da xn  x0 bo‘lsa,
u holda Txn  Tx0 , ya’ni T aks ettirish uzluksiz bo‘ladi.
Teorema. (qisqartirib aks ettirish prinsipi). X to‘la metrik fazoda
aniqlangan har qanday qisqartirib aks ettirsh birgina qo‘zg‘almas nuqtaga ega,
ya’ni Tx=x tenglamaning birgina yechimi mavjuddir.
Isboti.
X
metrik
fazodan
ixtiyoriy
x0
nuqtani
x1  Tx0 , x2  Tx1  T 2 x0 , x3  Tx2  T 3 x0 , ... , xn  Txn1  T n x0 ,...
olib,
ushbu
ketma-ketlikni
tuzamiz va bu ketma-ketlikning fundamentalligini ko‘rsatamiz. Darhaqiqat, (1)
va uchburchak aksiomasiga muvofiq har qanday m va n (m> n) natural sonlar
uchun
  xn , xm    T n x0 ,T m x0    T n x0 ,T n xmn    n   x0 , xmn  
  n   x0 , x1     x1 , x2   ...    xmn1 , xmn  
  n   x0 , x1 1     2  ...   mn1 
n
  x0 , x1 
1
n yetarli katta bo‘lganda bu tengsizlikniig o‘ng tomoni istalgancha kichik
qilinishi mumkin, chunki  <1. Demak,  xn  ketma-ketlik fundamentaldir. X
fazo to‘la bo‘lganligi uchun  xn  ketma-ketlikning yaqinlashuvchiligi kelib
chiqadi, ya’ni
lim xn  x .
n
T uzluksiz aks ettirish bo‘lganligi uchun


Tx  T lim xn  lim Txn  lim xn1  x .
n
n
n
Demak, x-qo‘zg‘almas nuqta.
Endi qo‘zg‘almas nuqtaning yagonaligini isbot qilamiz.
Darhaqiqat, Tx=x va Ty=y, ya’ni qo‘zg‘almas nuqta ikkita bo‘lsin. U
holda,
68
  x, y    Tx,Ty       x, y    1 ,
bundan
 (x, y)=0 yoki x=y kelib chiqadi.
Bir necha misol keltiramiz.
1.
x=  (x) tenglamadagi  funksiya
 a, b segmentda aniqlangan
bo‘lib, ushbu Lipshits sharti
  x2     x1    x2  x1
 0    1
ni qanoatlantirsin va  a, b segmentni o‘zini-o‘ziga aks ettirsin, u holda
x0 , x1    x0  , x2    x1  ,...
ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti 
aks ettirishning yagona
qo‘zg‘almas nuqtasi bo‘ladi.
2.
Quyidagi tenglamani tekshiramiz:
n
xi   aik xk  bi  i  1,2,..., n .
(2)
k 1
Bu tenglamani n o‘lchamli vektor fazodagi x   x1, x2 ,..., xn  vektor
yordamida ifoda qilsak, uni x=Tx ko‘rinishda ham yozish mumkin. Qisqartirib
aks ettirish prinsipini bu tenglamaga tatbiq qilish uchun tegishli shartlarni
aniqlashimiz kerak, ya’ni qanday shartlar bajarilganda bu aks ettirish (1)
tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu shartlarni aniqlash esa berilgan fazoda
metrikaning kiritilishiga bog‘liqdir. Masalan,
a)   x, y   max i  i , x  1, 2 ,..., n  ,
1i n
y  ( 1,  2 ,...,  n ) .
Bu holda ixtiyoriy ikkita
x   , 2 ,..., n  , x  1, 2,..., n 
nuqta uchun
 Tx.Tx     y1, y2   max i  i  max  aik   ak   k   max  aik  ak  ak 
i
i
k
 max  aik  max ak  ak    x, x   max  aik .
i
k
k
i
Bundan (1) shart bajarilishi uchun
69
k
i
k
n
 a    1, i  1,2,..., n
(3)
ik
k 1
tengsizliklar o‘rinli bo‘lishi yetarli. Demak, (3) munosabat bu xususiy hol uchun
qisqartirib aks ettirish shartini beradi.
n
b)   x, y     i  i .
i 1
Bu holda
n
 Tx, Tx     y, y    i  i    aik  k   k  
i 1
i
k
  aik   k   k   ( x, x)  max  aik
i
k
k
i
Demak, qisqartirib aks ettirish shartini quyidagicha olish mumkin:
 a    1, k  1,2, ..., n .
(4)
ik
i
1/ 2
 n
2
  x, y      i  i   .
 i 1

c)
Bu
holda
Koshi-Bunyakovskiy
tengsizligiga binoan
2


  y, y      aik  ak  ak     aik2  2  x, x .
i  k
i
k

2
Bu holda qisqartirib aks ettirish sharti quyidagicha bo‘ladi:
a   1
2
ik
(5)
i ,k
Yuqorida ko‘rilgan uch hol uchun topilgan qisqartirib aks ettirish
shartlarining hammasi kifoyaviy shartlardir. (3), (4) va (5) shartlarning birortasi
bajarilganda, (2) tenglamaning birgina yechimga egaligi kelib chiqadi.
3. Oxirgi misol sifatida ushbu
dy
 f  x, y  ,
dx
(6)
y  x0   y0 (7) (boshlang‘ich shart) differensial tenglamani ko‘rib chiqamiz.
Tenglamaning o‘ng tomonidagi f(x,y) funksiya, tekislikdagi (x0, y0) nuqtani o‘z
ichiga olgan biror G sohada aniqlangan, uzluksiz va
70
f  x, y1   f  x, y2   K y1  y2
Lipshits shartini qanoatlantiradi, deb faraz qilamiz (K- o‘zgarmas son).
Endi (6) tenglamani biror  x0  c, x0  c  segmentda (7) boshlang‘ich
shartni qanoatlantiradigan birgina y= (x) yechimga egaligini isbot etamiz (bu
esa Pikarning ma’lum teoremasidir).
Avvalo (6) tenglama (7) shart bajarilganda quyidagi sodda integral
tenglama shaklida yozilishi mumkin:
x
  x   y0   f  t ,  t  dt.
(8)
x0
f(x, y) funksiya G sohada uzluksiz bo‘lganligi uchun (x0, y0) nuqtani o‘z
ichiga olgan biror G  G sohada chegaralangan bo‘ladi, ya’ni f ( x, y)  d .
Endi c sonni shunday tanlab olamizki, uning uchun quyidagi shartlar bajarilsin:
a)
agar x0  x  c, y  y0  c  d bo‘lsa, u holda  x, y   G ;
b) K  c  1 .
 x0  c, x0  c segmentda aniqlangan va   x   y0  c  d tengsizlikni
qanoatlantiradigan { } uzluksiz funksiyalar sistemasini  bilan belgilaymiz va
bu sistemada metrikani quyidagicha kiritamiz:
  1, 2   max  1  x   2  x  .
xo c x x0 c
 metrik fazo to‘la, chunki u C  x0  c, x0  c  to‘la fazoning yopiq
qismidir. Ushbu
x
  x   y0   f  t ,  t  dt
(9)
x0
aks ettirishda x  x0  c, x0  c  bo‘lsin. U holda bu aks ettirish  fazoni o‘zinio‘ziga qisqartirnb aks ettiradi. Darhaqiqat,   va x  x0  c, x0  c  bo‘lsin.
U holda
x
  x   y0   f  t ,  t   dt  c  d . munosabat o‘rinli va, demak, (9) aks
x0
71
ettirish  fazoni o‘zini o‘ziga aks ettiradi. Endi
x
 1  x   2  x    f  t ,1  t    f  t , 2  t   dt  Kc max 1  t   2  t   Kc 1 ,2 .
x0 c t  x0 c
x0
Bundan Kc  1 bo‘lganligi uchun (9) aks ettirishning qisqartiruvchi aks
ettirish ekanligi kelib chiqadi. Demak, shu paragrafdagi teoremaga ko‘ra (8)
tenglama  fazoda boshlang‘ich (7) shartni qanoatlantiradigan birgina yechimga
ega.
Mashq uchun masalalar
1.
R haqiqiy sonlar to‘plamida
  x, y   x 2  y 2 funksiyani kiritamiz. (R,) metrik fazo bo‘ladimi?
2.
Rn vektor fazoda quyidagicha uch xil metrika kiritamiz:
  x, y  
 x1  y1    x2  y2   ...   xn  yn  ;
2
2
2
1  x, y   max xi  yi ;
1i  n
2 ( x, y)  x1  y1  x2  y2  ...  xn  yn .
Shu uch metrika bir-biriga ekvivalent ekanligini isbotlang.
3.
Qanday  va  uchun ushbu
p  x, y   x  y

funksiya to‘g‘ri chiziqda metrikani beradi?
4.
X, Y, Z metrik fazolar bo‘lib, T1, T2 mos ravishda X ni Y ga, Y ni Z
ga aks ettiruvchi uzluksiz operatorlar bo‘lsa, u holda X ni Z ga aks ettiruvchi
ushbu
z  T2 (T1x)
operator ham uzluksiz bo‘lishini isbotlang.
5. 2.1- § dagi Rn metrik fazoni o‘zini o‘ziga aks ettiruvchi ixtiyoriy chiziqli
operator uzluksiz ekanligini isbotlang.
6. Haqiqiy sonlar to‘plami R da metrikani   x, y   x  y ko‘rinishda olamiz.
72
Bu metrik fazoda ratsional sonlar to‘plami ochiq ham emas, yopiq
ham
emasligini isbotlang. Bu fazoda natural sonlar to‘plami N yopiqmi?
7. Shunday (X, ) metrik fazoga misol keltiringki, bu fazoda ikki shar S  x1 , r1 
va S  x2 , r2  topilib, r1  r2 va S  x1, r1   S  x2 , r2  munosabatlar o‘rinli bo‘lsin.
8. l2 metrik fazo separabel ekanligini isbotlang.
9. (X,) metrik fazoda zich bo‘lgan separabel qism fazo mavjud bo‘lsa, u holda
X fazo ham separabel ekanligini isbotlang.
10. R haqiqiy sonlar to‘plamida shunday  metrika kiritingki, (R, ) separabel
metrik fazo bo‘lmasin.
11. Ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik chegaralangan ekanligini isbotlang.
12. Haqiqiy sonlar to‘plamida chegaralangan, ammo fundamental
bo‘lmagan ketma-ketlikka misol keltiring.
13.
Shunday (X,) to‘la metrik fazoga misol keltiringki, bu fazoda
S1  S2  ...  Sn  ... yopiq sharlar ketma-ketligi mavjud bo‘lsin va

ularning umumiy qismi bo‘sh bo‘lsin, ya’ni
Sn  Ø.
n 1
14. s fazo to‘laligini isbotlang.
15.
X fazoda 1 va 2 ekvivalent metrikalar bo‘lsin. (X, 1) fazo
to‘la bo‘lishi uchun (X, 2) fazo to‘la bo‘lishi zarur va kifoyadir.
Isbotlang.
16. X metrik fazo bo‘lib, X* uning to‘ldiruvchisi bo‘lsin. X* metrik fazo
separabel bo‘lishi uchun X metrik fazo separabel bo‘lishi zarur va kifoyadir.
Isbotlang.
17. Barcha bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar to‘plami P ni olib, ixtiyoriy ikkita
f  x   a0  a1x  ...  an x n ,
g  x   b0  b1 x  ...  bm x m
ko‘phad uchun quyidagi funksiyani tuzamiz:
73
 f ,g 

 a b ,
i 1
2
i
i
bu yerda i>n bo‘lsa ai =0, i>m bo‘lsa, bi=0. (f,g) funksiya P da metrika
ekanligini isbotlang va bu metrikaga nisbatan P ning to‘ldiruvchisini toping.
Shu masalani
  f , g   max ai  bi
0i 
funksiya uchun ham yeching.
18. Kompakt metrik fazo to‘la va separabel ekanligini isbotlang.
19. m metrik fazoda chegaralangan, lekin kompakt bo‘lmagan to‘plamga misol
keltiring.
20.   Ax, Ay     x, y 
 x  y  shartni qanoatlantiruvchi shunday A aks
ettirishga misol keltiringki, ushbu Ax=x tenglama yechimga ega bo‘lmasin.
21.
X to‘la metrik fazo, T : X  X uzluksiz aks ettirishning biror
darajasi Tm qisqartiruvchi bo‘lsin, yani
T m x  T T ...Tx ...
 T m x,T m y     x, y  , 0    1.
U holda T yagona qo‘zg‘almas nuqtaga ega bo‘lishini isbotlang.
22. f akslantirish [0,1] segmentni [0,1] segmentga o‘zaro bir qiymatli
uzluksiz akslantirish bo‘lsin. U holda bu akslantirishning hech bo‘lmaganda
bitta qo‘zg‘almas nuqtasi mavjudligini ko‘rsating.
74
III BOB. TOPOLOGIK FAZOLAR
3.1-§. Topologik fazolarning ta’rifi va misollar
Metrik fazolarning asosiy tushunchalari (limit nuqta, to‘plamning
yopilmasi va hokazo) atrof hamda ochiq to‘plam tushunchalari yordamida
kiritilgan edi. Bunda atrof va ochiq to‘plamlar ko‘rilayotgan fazoda berilgan
metrika bilan aniqlangan edi. Umuman, berilgan to‘plamda ochiq to‘plamlar
sistemasini aksiomalar yordamida bevosita kiritish mumkin.
Ta’rif. T to‘plamdagi topologiya deb, X ning qism to‘plamlaridan iborat
va quyidagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi  sistemaga aytiladi:
1°. X  , Ø  ;
2°. Agar G    bo‘lsa, u holda
I
G  ,
bu yerda indekslar to‘plami I ixtiyoriy;
3°. G1, G2 , .... , Gn  va n ixtiyoriy natural son bo‘lsa, u holda
n
Gk  .
k 1
 X   juftlik topologik fazo deb ataladi. X ning  sistemaga tegishli
bo‘lgan qism to‘plamlari ochiq to‘plamlar deb ataladi. Shunday qilib, topologik
fazoni berish - bu biror X to‘plamni olib, unda  topologiyani kiritish, ya’ni X
ning ochiq to‘plam deyiladigan qism to‘plamlarini aniqlash, demakdir.
Topologik fazoning elementlari uning nuqtalari deb ham ataladi.
Bitta X to‘plamda turli xil topologiyalar kiritish mumkin bo‘lib, bunda
turli topologik fazolar hosil bo‘ladi.
1 va 2 sistemalar X dagi ikkita topologiya bo‘lsin. Agar 1   2
munosabat o‘rinli bo‘lsa, 2 topologiya 1 topologiyaga nisbatan kuchliroq
topologiya deyiladi va 1   2 ko‘rinishda yoziladi. Bu holda 1 topologiyani 2
topologiyaga nisbatan kuchsizroq (sustroq) ham deyiladi.
Misollar.
75
1. Har qanday metrik fazodagi ochiq to‘plamlar sistemasi topologiyaning
1°, 2° va 3° aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, ixtiyoriy metrik fazo tabiiy
ravishda topologik fazo hamdir.
2. X ixtiyoriy to‘plam va  uning barcha qism to‘plamlari sistemasi bo‘lsin, deb
faraz qilaylik. Unda (X, ) topologik fazodir. X dagi bunday topologiya diskret
topologiya deyiladi.
3. X to‘plamda faqat Ø bilan X dan iborat sistema ham topologiya hosil qiladi
(antidiskret topologiya).
Yuqorida keltirilgan 2-misoldagi topologiya X to‘plamdagi barcha
topologiyalarning eng kuchlisidir, 3-misoldagi topologiya esa bular orasida eng
kuchsizidir.
4. Ikki elementdan iborat X  a, b to‘plamda hammasi bo‘lib to‘rtta
topologiya mavjud. Ular quyidagilardir:
1  {a, b},  ,  2  {a, b}, {a}, 
 3  {a, b}, {b},  ,  4  {a, b}, {a},{b},  .
3.2- §. Atroflar. Yopiq to‘plamlar
Ta’rif. Agar topologik fazoda biror A va U to‘plamlar uchun A  G  U
munosabatni qanoatlantiruvchi G ochiq to‘plam mavjud bo‘lsa, U to‘plam A
to‘plamning atrofi deyiladi. Xususan, A   x0  bo‘lsa, u holda U to‘plam x0
nuqtaning atrofi deyiladi.
1-teorema. Topologik fazoda A to‘plam ochiq bo‘lishi uchun u o‘zining
har bir nuqtasining atrofi bo‘lishi zarur va kifoya.
Isboti. Ravshanki, agar A ochiq to‘plam bo‘lsa, u o‘zining har bir
nuqtasining atrofidir.
Aksincha, agar ixtiyoriy x  A uchun shunday Ux ochiq to‘plam mavjud
bo‘lib, x U x  A munosabat bajarilsa, u holda A 
U x . Demak, A to‘plam
xA
76
ochiq to‘plamlarning yig‘indisi sifatida topologiyaning 2° aksiomasiga asosan
ochiqdir.
Topologik fazodagi x nuqtaning barcha atroflari sistemasini V(x) bilan
belgilaymiz.
Algebraik sistemalarda (masalan, gruppa, halqa, vektor fazolarda) odatda
topologiya nuqtalarning atroflari sistemasi orqali kiritiladi. Bunday kiritilishning
qonuniyligini quyidagi teoremadan kelib chiqadi.
2-teorema. V(x) sistema quyidagi xossalarga ega:
1) Ixtiyoriy U  B  x  uchun x U
2) agar U  V va U  B  x  bo 'lsa, u holda V  B  x 
3) agar U , V  B  x  bo ' lsa U
V  B  x ;
4) har bir V  B( x) uchun shunday W  B  x  mavjudki, barcha y W lar
uchun V  B  y  munosabat o‘rinli.
Aksincha, agar X to‘plamning har bir x elementiga X ning qism
to‘plamlaridan iborat va 1)-4) shartlarni qanoatlantiruvchi V(x) sistema mos
ko‘yilgan bo‘lsa, u holda X to‘plamda shunday yagona topologiya mavjudki, bu
topologiyada har bir x elementning barcha atroflari sistemasi V(x) dan
iboratdir.
Isboti. Agar V(x) sistema x nuqtaning barcha atroflari sistemasi bo‘lsa, u
holda 1)-3) xossalar osongina ko‘rsatiladi. 4) xossani isbotlaymiz. V  B  x 
to‘plam uchun ushbu x W  V munosabatni qanoatlantiruvchi W ochiq qism
to‘plam mavjuddir. W ochiq to‘plam bo‘lgani uchun u o‘zidagi har bir nuqtaning
atrofidir. Demak, barcha y W uchun W  B  y  . Bundan esa 2) xossaga ko‘ra
ixtiyoriy y W uchun ushbu V  B  y  munosabat o‘rinli, ya’ni 4) xossa
isbotlandi.
Aksincha, V(x) sistema 1)-4) shartlarni qanoatlantirsin. X da 
topologiyani quyidagicha kiritamiz: agar ixtiyoriy x  A uchun A  B  x 
munosabat o‘rinli bo‘lsa, A to‘plamni ochiq deymiz va bo‘sh to‘plamni ham
77
ochiq deb hisoblaymiz. Demak.
 A    x  A,
A  B  x  yoki A   
Ravshanki, X  ,  . Agar G    I  bo‘lsa,
 I
G ham  ga
tegishli bo‘ladi.
Ixtiyoriy G1, G2 , to‘plamlarni olamiz. Agar G1
ravshanki G1
Endi G1
G2  .
G2   holni ko‘ramiz. Ixtiyoriy x  G1
 ning ta’rifiga asosan
G1
G2   bo‘lsa,
G2 elementni olamiz.
G1  B  x  , G2  B  x  , demak, 3) ga asosan
G2  B  x  . Agar G1, G2 ,..., Gn  bo‘lsa, matematik induksiya metodini
n
qo‘llab,
Gk  ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Shunday qilib,  sistema X
k 1
dagi topologiyadir.
Endi har bir x  X uchun V(x) sistema x elementning  topodogiyadagi
barcha atroflari sistemasidan iborat ekanligini ko‘rsatamiz.
U to‘plam x elementning  topologiyadagi biror atrofi bo‘lsin. U holda
shunday A ochiq to‘plam mavjudki x  A  U . Ravshanki, A  B  x  va, demak,
2) ga asosan U  B  x  . Endi har bir V  B  x  to‘plam x nuqtaning 
topologiyadagi atrofi ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun x U  V shartni
qanoatlantiruvchi va  topoloiyada ochiq bo‘lgan U to‘plam mavjudligini
ko‘rsatish kerak. U ni quyidagicha kiritamiz:
U   y  X : V  B  y  .
Ravshanki, x U . Endi U  V va U  ekanligini ko‘rsatamiz. 1)
shartdan har bir y U element V ga tegishli ekanligi kelib chiqadi, ya’ni U  V .
Ixtiyoriy y U olamiz. 4) shartga asosan shunday W  B( y) mavjudki,
V  B  z  munosabat barcha z W lar uchun o‘rinlidir. V  B  z  munosabat
esa z ning U ga tegishli ekanligini ko‘rsatadi, demak, W  U . 2) shartga binoan
U  B  y  , ya’ni U 
va shuning uchun V
78
to‘plam x nuqtaning 
topologiyadagi atrofidir.
Shunday qilib, kiritilgan  topologiya uchun V(x) sistema x nuqtaning
barcha atroflari sistemasidir.
Endi biror 1, topologiya uchun ham V(x) sistema x nuqtaning 1
topologiyadagi atroflari sistemasi bo‘lsin. 1- teoremaga asosan
 A     x  A : A  B  x  yoki A   
.
 A 1    x  A : A  B  x  yoki A   
demak,    1
Ta’rif. X topologik fazoning har ikkita turli x va y nuqtalarining o‘zaro
kesishmaydigan mos ravishda Ux va Uy atroflari mavjud bo‘lsa, bunday
topologik fazo Xausdorf fazosi deyiladi; uning topologiyasi esa ajratishning T2
aksiomasini qanoatlantiruvchi topologiya deyiladi.
Masalan, ixtiyoriy (X,  ) metrik fazo Xausdorf fazosidir.
Bunda
Ux,
1


Uy atroflar sifatida mos ravishda S  x, r  , S  y, r   r  p  x, y   sharlarni
3


olish mumkin.
Xausdorf fazosi bo‘lmagan fazoga misol sifatida elementlari ikkitadan
ko‘p bo‘lgan antidiskret topologiyali fazoni olish mumkin.
2- teoremadan ko‘rinadiki, X to‘plamda topologiyani uning har bir nuqtasi
atroflari sistemasi V(x) ni berish orqali kiritish mumkin.
Ta’rif. x nuqtaning V(x) atroflari sistemasidan biror W  x  qismini olamiz.
Agar x nuqtaning har bir V  B  x  atrofi uchun U  V
munosabatni
qanoatlantiruvchi U W  x  to‘plam mavjud bo‘lsa, u holda W(x) shu nuqta
atroflari sistemasining bazisi deyiladi.
Misol. Metrik fazoda barcha S(x,r), r>0, sharlar to‘plami x nuqtaning
atroflari sistemasi uchun bazis tashkil etadi, xususan, to‘g‘ri chiziqdagi barcha
 x   , x    ,   0 intervallar sistemasi x nuqtaning atroflari sistemasi uchun
bazisdir.
79
Ta’rif. (X,) topologik fazo bo‘lsin. Agar M  X to‘plam uchun X\M
ochiq to‘plam bo‘lsa (ya’ni X \ M  ), M yopiq to‘plam deyiladi.
Topologiya ta’rifidan yopiq to‘plamlarning quyidagi xossalari kelib
chiqadi:
1) Ø, X-yopiq to‘plamlar;
2) soni ixtiyoriy F yopiq to‘plamlar kesishmasi
3)
soni
chekli
yopiq
to‘plamlar
F yopiq to‘plamdir;
yig‘indisi
ham
yopiqdir.
Bu xossalar quyidagi duallik prinsiplarining natijasidir:
X\

X\

F 
F 


 X \ F  ;
 X \ F 
Ixtiyoriy M to‘plam berilgan bo‘lib, biror x  X nuqtaning har bir U
atrofi M to‘plam bilan bo‘sh bo‘lmagan umumiy qismga ega bo‘lsa, u holda x
nuqta M ning urinish nuqtasi deyiladi.
Ta’rif. M to‘plamning barcha urinish nuqtalaridan iborat to‘plam M bilan
belgilanadi va M ning yopilmasi deyiladi.
Misollar. 1. Metrik fazolar uchun to‘plamning yopilmasi tushunchasi 2.4§ da kiritilgan yopilma tushunchasi bilan mos tushadi.
2. 3.1-§, 3-misoldagi topologik fazoda bo‘sh bo‘lmagan ixtiyoriy
to‘plamning yopilmasi X ga teng.
Ta’rif. A to‘plamdagi barcha ochiq qism to‘plamlar yig‘indisi A ning ichi
deyiladi va IntA bilan belgilanadi.
Ravshanki, IntA to‘plam A ning ochiq qism to‘plamlari orasida eng
kattasidir.
Misollar. 1. Diskret topologik fazoda ixtiyoriy to‘plamning ichi shu
to‘plamning o‘ziga teng.
2. Antidiskret topologik fazoda X dan farqli har bir to‘plamning ichi bo‘sh
to‘plam.
3. (X,  ) metrik fazoda A to‘plamning ichi A ning ichki nuqtalar
80
to‘plamidir (2.4- §).
To‘plam yopilmasining xossalarini o‘rganishdan avval quyidagi muhim
munosabatni isbotlaymiz:
X \ M  Int  X \ M 
(1)
Darhaqiqat, agar x  X \ M bo‘lsa, u holda x nuqta M ning urinish nuqtasi
emas, ya’ni uning M bilan kesishmaydigan, va demak, X\M to‘plamda
joylashgan Ux atrofi mavjud. Demak, x  Int  X \ M  , ya’ni
X \ M  Int  X \ M  .
Endi x  Int  X \ M  bo‘lsin. Int  X \ M  to‘plam ochiq bo‘lgani sababli,
u x nuqtaning M bilan kesishmaydigan atrofidir, ya’ni x  M .
Demak, x  X \ M , ya’ni
X \ M  Int  X \ M  .
(1) munosabat isbotlandi.
Isbotlangan munosabatga asosan
M  X \ Int  X \ M  .
Demak, M yopiq to‘plamdir. Endi F to‘plam M ni o‘z ichiga olgan ixtiyoriy
yopiq to‘plam bo‘lsin. U holda X\F ochiq to‘plam va X \ F  X \ M . Shuning
uchun X \ F  Int  X / M  , bundan F  X \ Int  X \ M   M . Shunday qilib,
M to‘plam M ni o‘z ichiga olgan yopiq to‘plamlar orasida eng kichigidir.
Metrik fazolardagidek (2.4-§, 1-teorema), to‘plamning yopilmasi quyidagi
xossalarga ega:
1) M  M ;
2) agar M1  M 2 bo‘lsa, M1  M 2
3) M1
M 2  M1
M2
4) M  M , bu yerda M to‘plam M ning yopilmasi.
Ta’rif. Agar M =X tenglik o‘rinli bo‘lsa, M to‘plam X ning hamma yerida
zich deyiladi.
81
Masalan, R1 to‘g‘ri chiziqda barcha ratsional sonlar to‘plami uning
hamma yerida zich, shuningdek, Rn fazoda hamma koordinatalari ratsional
sonlar bo‘lgan barcha nuqtalar to‘plami uning hamma yerida zichdir.
Agar (X, ) topologik fazoning hamma yerida zich sanoqli qism to‘plam
mavjud bo‘lsa, bu topologik fazo separabel topologik fazo deyiladi.
Misollar. 1.2.5-§ da keltirilgan separabel metrik fazolar separabel
topologik fazolarga misol bo‘ladi.
2. Antidiskret topologik fazo doim separabel fazodir.
(X,) fazoning biror Y qismini olib, ushbu
 Y  G Y : G  
sistemasini tuzamiz. Ravshanki, ( Y , Y ) topologik fazodir. Bu topologik fazo
(X,) topologik fazoning qism fazosi deyiladi. Bu holda  Y topologiyani 
topologiyaning Y qism to‘plamga ko‘chirilgani deyiladi.
Quyidagi tasdiqlar osongina isbotlanadi:
1) W  Y to‘plam y Y nuqtaning  Y topologiyadagi atrofi bo‘lishi uchun y
nuqtaning  topologiyada W  Y
U shartni qanoatlantiruvchi U atrofi mavjud
bo‘lishi zarur va kifoyadir;
2) (Y , Y ) fazodagi har bir yopiq to‘plam X dagi biror yopiq to‘plamning Y bilan
kesishmasidan iborat;
3) Y dagi M to‘plamning  Y topologiyadagi yopilmasi M ning  topologiyadagi
yopilmasi bilan Y ning kesishmasidan iborat.
3. 3- §. Topologik fazolarni uzluksiz aks ettirish
Ta’rif. (X,), ( Y ,t) topologik fazolar, f : X  Y aks ettirish va x0  X
bo‘lsin. Agar f(x0)=y0 nuqtaning har bir U atrofi uchun x0 ning f V   U shartni
qanoatlantiruvchi V atrofi mavjud bo‘lsa, f aks ettirish x0 nuqtada uzluksiz
deyiladi. Agar f aks ettirish X ning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, u X da
uzluksiz yoki, qisqacha, uzluksiz deyiladi. Xususan, X topologik fazoni to‘g‘ri
82
chiziqqa uzluksiz aks ettirish X fazodagi uzluksiz funksiya deyiladi.
Biror topologik fazoni ikkinchi bir topologik fazoga aks ettirishning
uzluksizdigini ochiq to‘plamlar yordamida ham ta’riflash mumkin.
1- teorema. (X,) topologik fazoni ( Y , t) topologik fazoga aks ettirish
uzluksiz bo‘lishi uchun Y fazodagi har bir ochiq to‘plamning X dagi asli ochiq
bo‘lishi zarur va kifoyadir.
Isboti. f : X  Y uzluksiz aks ettirish va G  Y biror ochiq to‘plam
bo‘lsin.
f 1  G 
to‘plamning X da ochiqligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy
x0  f 1  G  elementni olamiz. U holda f  x0   G va G to‘plam ochiq bo‘lgani
uchun u o‘zining f (x0) nuqtasining atrofi hamdir. Shuning uchun f aks
ettirishning uzluksizligidan x0 ning f U   G shartni qanoatlantiruvchi U atrofi
mavjudligi kelib chiqadi. Bundan U  f 1  G  ekanligi va demak, f 1  G  ning
ochiq to‘plamligi kelib chiqadi.
Endi f aks ettirish uchun Y dagi har bir ochiq to‘plamning asli X da ochiq
bo‘lsa, u holda f ning uzluksizligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy x0 X nuqtani olib,
f(x0) ning biror G atrofini olaylik. Umumiyatlikni buzmagan holda G ni ochiq
to‘plam deb faraz qilishimiz mumkin. Agar
f 1  G  to‘plamni U bilan
belgilasak, u holda x0 U va U ochiq to‘plam, demak, u x0 ning atrofi va
f U   G .
To‘plam to‘ldiruvchisining asli shu to‘plam aslining to‘ldiruvchisiga teng
bo‘lgani uchun 1-teoremadan quyidagi teorema bevosita kelib chiqadi.
2-teorema. (X, ) topologik fazoni (Y, t) topologik fazoga aks ettirish
uzluksiz bo‘lishi uchun Y dagi har bir yopiq to‘plamning X dagi asli yopiq
bo‘lishi zarur va kifoyadir.
Matematik
analizdan
ma’lum
superpozitsiyalari uzluksiz bo‘lishi
bo‘lgan
uzluksiz
funksiyalarning
haqidagi teorema topologik fazolarni
uzluksiz aks ettirishlari uchun quyidagicha umumlashtiriladi.
3-teorema. X, Y, Z topologik fazolar va f : X  Y , g : Y  Z uzluksiz
83
aks ettirishlar bo‘lsin. U Holda  g f  : X  Z aks ettirish ham uzluksizdir
 bu yerda  g f  x   g  f  x  .
Teoremaning isboti 2-teoremadan bevosita kelib chiqadi.
Ta’rif. X topologik fazoni Y topologik fazoga f aks ettirish quyidagi ikki
shartni qanoatlantirsa, u gomeomorf aks ettirish yoki gomeomorfizm deyiladi:
1) f o‘zaro bir qiymatli aks ettirish va f(X) =Y.
2) f va f-1 -uzluksiz aks ettirishlar.
Bu holda X va Y fazolar o‘zaro gomeomorf topologik fazolar deyiladi.
  
Misol. R va   ,  topologik fazolar gomeomorf fazolar, bunda
 2 2
  
f :   ,   R gomeomorfizmni quyidagicha aniqlash mumkin:
 2 2
f  x   tgx
3.4- §. Kompaktlik
(X,) topologik fazo bo‘lsin. Agar A to‘plam va biror G    I
to‘plamlar sistemasi uchun A 

G munosabat bajarilsa, G    I sistema
A uchun qoplama deyiladi. Agar bu sistemaning biror qismi ham A uchun
qoplama bo‘lsa, u qism qoplama deyiladi.
Agar G    I qoplamaga kiruvchi har bir G to‘plam ochiq bo‘lsa,
bu qoplama A uchun ochiq qoplama deyiladi.
Ta’rif. Agar A to‘plamning ixtiyoriy ochiq qoplamasidan chekli qism
qoplama ajratib olish mumkin bo‘lsa, A kompakt to‘plam deyiladi.
F :  
qism to‘plamlar sistemasi berilgan bo‘lsin. Agar bu
sistemaning ixtiyoriy chekli qism sistemasining kesishmasi bo‘sh bo‘lmasa,
bunday sistema markazlangan sistema deyiladi.
1-teorema. (X,) topologik fazo kompakt bo‘lishi uchun undagi yopiq
to‘plamlardan iborat har qanday markazlangan sistemaning kesishmasi bo‘sh
84
bo‘lmasligi zarur va kifoyadir.
Isboti. Agar G    I ochiq to‘plamlardan iborat sistema bo‘lsa, u
holda F  X \ G    I sistema yopiq to‘plamlardan iborat. Teoremaning
isboti quyidagi duallik prinsipidan bevosita kelib chiqadi: ixtiyoriy I 0  I uchun
X\
I 0
G 
I 0
F
2-teorema. Kompakt fazoning yopiq qism to‘plami kompakt to‘plamdir.
Isboti. F to‘plam X kompakt fazoning yopiq qism to‘plami va F :   I 
sistema F ning yopiq qism to‘plamlaridan iborat ixtiyoriy markazlangan sistema
bo‘lsin. U holda har bir F ,   I to‘plam X da ham yopiq bo‘ladi va demak,
F :   I  sistema X dagi uning yopiq to‘plam-laridan iborat markazlangan
sistemadir. Bundan
 I
F   ekanligi kelib chiqadi. 1-teoremadan F ning
kompakt ekanligi kelib chiqadi.
3-teorema. Xausdorf fazosining kompakt qism to‘plami yopiqdir.
Isboti. X Xausdorf fazosi, K esa uning kompakt qism to‘plami bo‘lsin.
Ixtiyoriy y  K nuqtani olamiz; unda har bir x  K nuqta uchun x va y larning
mos ravishda shunday ochiq bo‘lgan Vx
Vx
va U y( x )
atroflari mavjudki,
U y( x )  . Vx : x  K  sistema K uchun ochiq qoplama, demak, uning
chekli
Vx1 ,Vx2 ,...., Vxn
qism
qoplamasi
V  Vx1
Vx2
mavjud.
Endi
U  U y( x1 )  U y( x2 )  ...  U y( xn )
va
... Vxn ochiq to‘plamlarni olsak, u holda U y to‘plam y nuqtaning
ochiq atrofi bo‘lib, U y
V   ; bundan U y
K   ekanligi, ya’ni y  K
munosabat kelib chiqadi. Shunday qilib, K  K munosabat isbotlandi. To‘plam
yopilmasining xossalariga ko‘ra K =K tenglik kelib chiqadi.
Kompakt fazolarning uzluksiz aks ettirishlari qator muhim xossalarga ega.
85
4-teorema. Kompakt fazoning uzluksiz aks ettirishdagi tasviri kompakt
fazodir.
Isboti. X kompakt fazo, f esa X ni biror Y fazoga uzluksiz aks ettirish
bo‘lsin. f(X) fazoning ixtiyoriy G :   ochiq qoplamasini olamiz, ya’ni
 
G  f  X  . So‘nggi munosabatdan X 
Bundan va f ning uzluksizligidan
Ã
f 1  G  tenglik kelib chiqadi.
 f G  :   sistema X ning ochiq
1

qoplamasi ekanlish kelib chiqadi va, demak, undan chekli qism qoplamani
m
ajratib olish mumkin, ya’ni ushbu
k 1


f 1 G k  X
tenglikni yozishimiz
m
mumkin. Bundan
f(X)=
k 1
G k tenglik kelib chiqadi, ya’ni G1 , G2 ,..., Gm
sistema f(X) ni qoplaydi, demak, f(X) kompaktdir.
5–teorema. X kompakt fazoni Y Xausdorf fazosiga o‘zaro bir qiymatli va
uzluksiz aks ettirish gomeomorfizm bo‘ladi.
Isboti. Teoremani isbotlash uchun f-1 ning uzluksizligini ko‘rsatish kifoya.
F to‘plam X ning yopiq qism to‘plami bo‘lsin. 2- teoremaga ko‘ra F kompaktdir.
Endi 4-teoremani qo‘llab, f(F) ning kompakt ekanligini ko‘ramiz, va, nihoyat, 3teoremaga ko‘ra f(F) yopiqdir. Demak, ixtiyoriy F  X yopiq to‘plam uchun
 f   F   f  F  yopiqdir. 3.3-§ dagi 2-teoremaga asosan f-1 uzluksiz.
1 1
6–teorema. X kompakt fazoda f uzluksiz funsiya berilgan bo‘lsin. U holda
f fuksiya X fazoda chegaralangan bo‘lib, o‘zining aniq yuqori va quyi
chegaralariga ega.
Isboti. X kompakt fazoda aniqlangan f uzluksiz funksiya X ni Xausdorf
fazosi bo‘lmish R ga uzluksiz aks ettirish demakdir. 4- teoremaga ko‘ra f(X)
kompakt. Bundan f(X) ning R da chegaralangan va yopiq to‘plam ekanligi kelib
chiqadi, va demak, f funksiya X da o‘zining aniq yuqori chegarasiga va aniq quyi
chegarasiga erishadi.
86
3.5-§. Fazolarning topologik ko‘paytmalari
X va Y topologik fazolar bo‘lib, X  Y esa ularning to‘g‘ri ko‘paytmasi
bo‘lsin, ya’ni
X  Y   x, y  : x  X , y Y  .
Ixtiyoriy ( x, y)  X  Y ni olib, V(x) va V(y) orqali mos ravishda x va y
larning barcha atroflari sistemasini belgilaymiz.
Endi X  Y to‘plamdagi (x,y) nuqtaning V(x,y) atroflari sistemasini
quyidagicha
kiritamiz.
A  X Y
Agar
to‘plam
biror
U x  U y (U x  B( x), U y  B( y)) to‘plamni o‘z ichiga olsa, A ni V(x,y) ning
elementi deb hisoblaymiz. Hosil bo‘lgan V(x,y) sistema 3.2-§, 2- teoremadagi
1)- 4) xossalarga ega. Bunda 1)-2) xossalar ravshan. 3) - 4) xossalar esa V(x),
V(y) sistemalarning mos xossalaridan kelib chiqadi.
Demak, 3.2- § dagi 2-teoremaga ko‘ra X  Y to‘plamda shunday yagona
 topologiya mavjudki, bu topologiyada V(x,y) sistema (x,y) nuqtaning
atroflarini tashkil qiladi.
( X  Y , ) topologik fazoni X va Y topologik fazolarning topologik
ko‘paytmasi deyiladi.  topologiya esa X va Y dagi topologiyalarning
ko‘paytmasi deyiladi.
Topologik ko‘paytma tushunchasini soni cheksiz topologik fazolar uchun
ham aniqlash mumkin.  X  :   A topologik fazolar sistemasi bo‘lsin.  X 
 A
orqali X    A fazolarning to‘g‘ri ko‘paytmasini belgilaymiz, ya’ni  X 
 A
barcha shunday x   x  sistemalar to‘plamiki, x ning
 
x koordinatasi X 
fazoga tegishlidir. Biror x0  x0   X  elementni olamiz. A to‘plamdan
 A
ixtiyoriy soni chekli 1, 2 ,..., n indekslarni va x0 elementning x01 , x02 ,...., x0n
koordinatalarini olamiz. U x0 ,...,U x0 to‘plamlar mos ravishda x01 , x02 ,...., x0n ,
1
1
87
nuqtalarning atroflari bo‘lsin; quyidagi to‘plamni aniqlaqmiz:


U x0   x  : xk U x0 , k  1, n
X


k
to‘plamdagi (1) ko‘rinishga ega bo‘lgan qism to‘plamlar
A
sistemasini F  x 0  bilan belgilaymiz. Endi V(x0) sistemani quyidagicha
aniqlaymiz. Agar W to‘plam va biror U x0  F  x0  uchun W  U x0 munosabat
o‘rinli bo‘lsa, W  B  x0  deb hisoblaymiz. V(x0) sistema 3.2-§, 2-teoremadagi
1)-4) xossalarga ega. Haqiqatan, 1), 2) xossalar ravshan. 3) xossani isbotlaymiz.
Agar U , V  B  x0  bo‘lsa, u holda


U  U x0   x  : x U x0 , k  1, n 
k
k




V  Vx0   x  : xl Vx0 , i  1, m
i
Demak,
U
V  U x0
Ravshanki, U x0


Vx0  x  : xik Ux0k , xi Vx0i , k  1, n, i  1, m
Vx0  F  x0  demak, U
V  B  x0  , 3) xossa ham
shunga o‘xshash isbotlanadi.
3.2-§, 2-teoremaga ko‘ra  X  to‘plamda shunday yagona  topologiya
 A
mavjudki, unda ixtiyoriy
x   X  nuqtaning barcha atroflari sistemasi
 A
vazifasini V (x) bajaradi. F (x) esa V (x) uchun bazis bo‘ladi.


Ta’rif.   X  ,  topologik fazo X  ,   A
  A

topologik fazolarning
topologik yoki Tixonov ko‘paytmasi deyiladi,  topologiya esa Tixonov
topologiyasi deyiladi.
1-teorema. Agar har bir   A uchun X  Xausdorf fazosi bo‘lsa, u holda
ularning topologik ko‘paytmasi ham Xausdorf fazosidir.
88
Isboti. Agar x, y   X  va x  y bo‘lsa, u holda shunday  0  A
 A
mavjudki, x0  y0 bo‘ladi.
X 0 Xausdorf fazosi bo‘lgani uchun xa0 va y 0 , nuqtalarning mos
ravishda shunday U x va Vy atroflari mavjudki, ular uchun U x
0
0
0
Vy   .
0
Ushbu



U x   z  : z0 U x , Vy  z  : z0 Vy
0
0

to‘plamlar mos ravishda x va y nuqtalarning Tixonov topologiyasidagi atroflari
bo‘lib, U x


Vy   shartnn qanoatlantiradi. Demak,   X  ,  -Xausdorf
  A

fazosi
Endi umumiy topologiyadagi eng muhim teoremalardan biri bo‘lgan A. N.
Tixonov teoremasini isbotsiz keltiramiz.
2-teorema (A.N.Tixonov teoremasi). Agar har bir   A uchun X 
kompakt topologik fazo bo‘lsa,  X  ham kompakt fazodir.
 A
Mashq uchun masalalar
1. Uch elementdan iborat bo‘lgan X to‘plamdagi hamma topologiyalarni toping.
2. Chekli to‘plamdagi T2 topologiya diskret bo‘lishini isbotlang.
N=(1, 2, 3, . . .) to‘plamdachi?
3. (X,) topologik fazo, {xn} esa X dagi ketma-ketlik bo‘lsin. à  X ning
ixtiyoriy U atrofi uchun n  N bo‘lganda xn U bo‘ladigan N sonlar topilsa, a
nuqta {xn} ning limiti deyiladi.
Xausdorf fazosida ketma-ketlikning limiti bittadan ortiq bo‘lmasligini
ko‘rsating. Fazo Xausdorf aksiomasini qanoatlantirmasachi?
4.
Agar
(Y,t)
topologik
X to‘plamni Y fazoga akslantirsa, u holda
89
fazo
bo‘lib,
f
aks
ettirish
f 1  t    f 1  G  : G  t
sistema X da topologiya bo‘lishini ko‘rsating. Bu topologiya t topologiyaning X
dagi “asli” deb ham yuritiladi.
5.  X ,  topologik fazo, Y  X , i : Y  X esa i(y)=y bo‘lgan akslantirish
deylik. i 1   topologiya  ning Y ga ko‘chirilgani ekanligini isbotlang.
6. (X,) topologik fazoni (Y, t) topologik fazoga f aks ettirish uzluksiz bo‘lishi
uchun
f 1  t  topologiya  topologiyadan kuchsizroq bo‘lishi zarur va
kifoyaligini ko‘rsating.
7. (X,) va (Y, t) topologik fazolarning topologiyalari metrikalar bilan aniqlangan
bo‘lsin. Berilgan
f : X Y
aks ettirishning uzluksizlik ta’rifi 2-bobda
keltirilgan metrik fazolardagi uzluksizlik ta’rifi bilan teng kuchli ekanligini
isbotlang.
8. R da shunday 1, 2 , 3 T2 - topologiyalar kiritingki, natijada hosil bo‘lgan
topologik fazolar gomeomorf bo‘lmasin.
9. R dagi tabiiy topologiyani X=[0,1] [2,3] va Y=[0,2] qism to‘plamlarga
ko‘chiraylik. X ni Y ga akslantiruvchi o‘zaro bir qiymatli, uzluksiz, lekin
gomeomorfizm bo‘lmagan akslantirish quring.
10. Rn fazoda biror qism to‘plam kompakt bo‘lishi uchun u chegaralangan
hamda yopiq bo‘lishi zarur va kifoya ekanligini isbotlang.
11.Metrik fazolar uchun 2-bobda kiritilgan kompaktlik tushunchasi shu bobdagi
kompaktlik tushunchasi bilan ustma-ust tushishini ko‘rsating.
12.  X1,1  ,  X 2 , 2  -topologik
fazolar,
 i : X1  X 2  X i
akslantirish
 i  x1, x2   xi  i  1,2  kabi aniqlansin (proeksiyalar), X1  X 2 dagi Tixonov
topologiyasi  1 va  2 uzluksiz bo‘lgan eng kuchsiz topologiya bo‘lishini
ko‘rsating.
13.Agar topologik fazoda har bir nuqtaning atroflari sistemasining sanoqli bazisi
mavjud
bo‘lsa,
topologik
fazo
sanoqlilikning
birinchi
aksiomasini
qanoatlanshiruvchi fazo deyiladi.  X  ,  topologik fazolar sistemasi bo‘lib,
90
har bir X  fazo R fazoga gomeomorf bo‘lsin. U holda  X  topologik fazoni
 
R  bilan belgilaymiz. R  topologik fazo sanoqlilikning birinchi aksiomasini
qanoatlantirishi uchun  to‘plam sanoqli bo‘lishi zarur va kifoyaligini
isbotlang.
91
IV BOB. NORMALANGAN FAZOLAR
4.1- §. Normalangan fazo ta’rifi va uning ba’zi xossalari
Ta’rif. V vektor fazo bo‘lib, p funksional V ni to‘g‘ri chiziqqa aks ettirsin. p
funksional ushbu shartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi:
1) p  x   0 ; faqat x= uchun p(x) = 0;
2) p(x + y)  p(x)+p(y);
3) p   x    p  x  ,   son.
Norma kiritilgan vektor fazo normalangan fazo deyiladi, x elementning p(x)
x
normasi odatda
bilan belgilanadi. Agar  (x,y) bilan
x y
sonni
belgilasak,  (x,y) metrika ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi. Demak, har qanday
normalangan fazo metrik fazodir.
Misollar.
1.  haqiqiy son uchun    deb olsak, u holda R, ya’ni to‘g‘ri chiziq
normalangan fazo bo‘ladi.
2. n o‘lchamli Rn haqiqiy fazoda x   x1 , x2 ,..., xn  element uchun Yevklid
normasini quyidagicha kiritamiz:
x 
n
x
k 1
k
2
.
(1)
Bunda normaning 1) va 3) shartlari bajarilishi ravshan, 2) shart esa 2.1-§ dagi
(2) tengsizlikdan kelib chiqadi.
Shu Rn fazoning o‘zida quyidagi normalarni ham kiritish mumkin:
n
x 1   xk .
(2)
k 1
x   max xk .
(3)
1 k  n
n o‘lchamli Cn kompleks fazoda ham (1), (2), (3) kabi normalarni ko‘rish
mumkin.
92
3.
C  a, b fazoda normani quyidagicha aniqlaymiz:
f  max f  t  .
a t b
Ravshanki, bu norma uchun ham 1) va 3) shartlar bevosita bajariladi. 2)
shartning bajarilishini ko‘rsatamiz. Har qanday t   a, b nuqta va f, g
funksiyalar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinlidir:
 f  g  t   f  t   g  t   f  t   g t  
 max f  t   max g  t   f  g
a t b
a t b
t ixtiyoriy bo‘lgani uchun
f  g  max  f  g  t   f  g .
a  t b
4. m vektor fazoda x   x1 , x2 ,..., xn ,... elementning normasi deb ushbu
x  sup xn
1 n 
songa aytamiz. Normaning aksiomalari bevosita tekshiriladi.
Normalangan V fazoning V0 vektor qism fazosi yopiq bo‘lsa, u holda V0 ni
normalangan V fazoning qism fazosi deyiladi.
Uchinchi misoldagi C  a, b fazoda P(x) ko‘phadlar to‘plami yopiq bo‘lmagan
vektor qism fazodir, demak, normalangan fazo ma’nosida P(x) fazo C  a, b ning
qism fazosi emas.
Normalangan V fazoda A to‘plamning chiziqli qobig‘i bo‘lgan L  A vektor
qism fazoni olamiz. L  A ning yopilmasi A to‘plamning chiziqli yopilmasi
deyiladi va L  A bilan belgilanadi. Agar {x } sistemaning chiziqli yopilmasi V
fazoga teng bo‘lsa, u holda {x } to‘la sistema deyiladi.
Yuqorida aytib o‘tganimizdek, normalangan fazolar metrik fazolarning xususiy
holidir. Demak, bunday fazolarning to‘la yoki to‘la emasligi haqida gap yuritish
mumkin. Norma yordamida fazoning to‘laligi quyidagicha ifodalanadi:
93
Ushbu xn  xm  0  n, m    shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ketma-ketlik
uchun shunday x0  E element mavjudki, xn  x0 munosabat bajariladi.
To‘la normalangan fazo Banax fazosi yoki B-fazo deyiladi va normalangan
fazolar ichida muhim rol o‘ynaydi. Yuqoridagi R, Rn, C  a, b  , m fazolarning
to‘laligi II bobda ko‘rsatilgan edi, demak, ular Banax fazolaridir. Yana misollar
ko‘ramiz.
5) C 2  a, b fazoda (2.6-§) normani quyidagicha kiritamiz:
1/ 2
b 2

x    x  t  dt  .
a

Norma aksiomalari bevosita tekshiriladi. (Faqat uchburchak aksiomasini
keyinchalik umumiy holda isbotlaymiz (Koshi—Bunyakovskiy tengsizligi). 2.6§ da bu fazoning to‘la emasligi ko‘rsatilgan.
6)
l2 fazoda normani
x 

 a , x   a , a ,..., a ,...
i 1
2
i
1
2
n
ko‘rinishda kiritsak, l2 fazo B fazoga misol bo‘ladi.

V normalangan fazo bo‘lib, V fazo V ni o‘z ichiga oluvchi B fazo bo‘lsin. Agar


V fazo V ning hamma yerida zich bo‘lsa, u holda V fazo V ning to‘ldiruvchisi
deyiladi.
1-teorema. Ixtiyoriy normalangan fazo yagona to‘ldiruvchiga ega.
Isboti. Metrik fazolarning to‘ldiruvchi fazosi haqidagi teoremaga asosan V ning

to‘ldiruvchisi bo‘lgan V metrik fazo mavjud. Biz shu metrik fazoga V dagi

algebraik
amallarni davom ettirishimiz kerak. V ning x, y elementlariga
yaqinlashuvchi bo‘lgan va V fazoning elementlaridan iborat {xn} va {yn} ketmaketliklarni olamiz va zn = xn+yn elementlarni tuzamiz, n= 1,2, . . .
zn  zm  xn  xm  yn  ym  0
n , m
94
Ushbu
munosabatdan  zn  ketma-ketlikning fundamental ekanligi ko‘rinib turibdi.

Demak, {zn} ketma-ketlik V fazodagi biror z elementga yaqinlashuvchidir, ya’ni
lim
z  z . Bu z elementni x va y elementlarning yig‘indisi deymiz, ya’ni z=x+y.
n  n
Aniqlangan z element {xn} va  yn  ketma-ketliklarga bog‘liq emas. Darhaqiqat,
agar  xn  ,  yn  mos ravishda x va y elementlarga yaqinlashuvchi boshqa ketmaketliklar bo‘lsa, u holda zn  xn  yn uchun
zn  zn  xn  xn  yn  yn  0  n   
z  lim
z .
demak, lim
n  n
n n

Shunga o‘xshash V metrik fazoda songa ko‘paytirish amalini kiritish mumkin.
Bevosita ko‘rinib turibdiki, V fazoda kiritilgan algebraik amallar V fazoda

ko‘rilsa, undagi berilgan amallar bilan ustma-ust tushadi. Shunday qilib, V

vektor fazoga aylantirildi. Endi x V element uchun normani ushbu
x  p  x,0   lim
  xn ,0   lim
xn
n
n
( xn  x, xn V )


ko‘rinishda aniqlasak, V normalangan fazo bo‘ladi. V fazo V ning vektor qism
fazosini hosil qiladi.


Kiritilgan norma V fazoda metrikani hosil qilgani uchun V fazo B-fazodir va V

ning hamma yerida zichdir, ya’ni V fazo normalangan V fazoning to‘ldiruvchisi.


To‘ldiruvchi V metrik fazoning yagonaligi 2.7- § da isbotlangan. Demak, V
fazodagi algebraik amallarning yagonaligini isbotlasak bas. Bu esa amallarning
uzluksizligidan kelib chiqadi. Darhaqiqat, yig‘indi z  x 1 y va z  x  2 y
ko‘rinishlarda
aniqlangan
bo‘lsin.
U
holda
xn  x, yn  y  xn , yn V 
munosabatdan xn  yn  x 1 y va xn  yn  x  2 y. Yaqinlashuvchi ketmaketlik yagona limitga ega bo‘lgani uchun x 1 y  x  2 y .
Shunga o‘xshash, songa ko‘paytirish amalining yagonaligi ko‘rsatiladi.
95
Banax fazosiga muhim bir misol ko‘ramiz. X kompakt topologik fazo bo‘lib,
C(X) fazo X da aniqlangan uzluksiz kompleks funksiyalar fazosi bo‘lsin.
Ravshanki, C(X) vektor fazodir. Bu fazoda normani quyidagicha kiritamiz:
f  sup f  x  .
xX
Bu sonning chekli ekanligi 3.4-§ dagi 6-teoremadan kelib chiqadi. Normaning
xossalari esa bevosita tekshiriladi.
2–teorema. C(X) fazo kiritilgan normada Banax fazosidir.
Isboti. Aytaylik,  f n  x  fundamental ketma-ketlik bo‘lsin. Ya’ni ixtiyoriy
  0 uchun shunday N natural son topiladiki ixtiyoriy m, n  N uchun ushbu
fn  x   fm  x   
(4)
tengsizlik hamma x nuqtalarda bajariladi. x  X nuqta tayinlansa,  f n  x  sonli
ketma-ketlik fundamentaldir, demak,  f n  x  biror f(x) songa yaqinlashadi.
Yuqoridagi (4) tengsizlikda m bo‘yicha limitga o‘tsak,
f n  x   f  x    , ya’ni f n  f  
munosabat hosil bo‘ladi. Demak,
 f  x 

n
n 1
ketma-ketlik f(x) funksiyaga
yaqinlashadi. f(x) ning uzluksizligini isbotlash kifoya. Ixtiyoriy   0 uchun
f  fm 
shunday m son topiladiki,
tayinlab olsak,
nuqtaning
3
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. m sonni
f m ( x) funksiya ixtiyoriy x0 nuqtada uzluksiz bo‘ladi, x0
shunday
f m  x   f m  x0  


3
atrofi
Ux
0
topiladiki,
ixtiyoriy
x U x
nuqtada
0
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy x U x nuqtada
0
quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:
f  x   f  x0   f  x   f m  x   f m  x   f m  x0   f m  x0   f  x0  
 f  fm 

3
 f  fm 

3


3


3

Ya’ni f(x) uzluksiz funksiya.
Endi C(X) fazodagi to‘plamlarning nisbiy kompaktlik belgisini beramiz.
96
3-teorema (Askoli teoremasi).   C  X  funksiyalar to‘plami uchun quyidagi
shartlar bajarilsin:


a) ixtiyoriy x  X uchun sup f  x  : f    ;
b) ixtiyoriy >0 uchun har bir x  X nuqtaning shunday V atrofi topiladiki,
ushbu
f  y  f  x  
tengsizlik istalgan y V va f  uchun bajariladi, ya’ni  tekis darajada
uzluksiz.
U holda  to‘plam C(X) Banax fazosida nisbiy kompakt to‘plam bo‘ladi.
Isboti. C(X) to‘la bo‘lganligi uchun 2.8- § dagi 2-teoremaga asosan  ning to‘la
chegaralanganligini ko‘rsatish kifoya.
Ixtiyoriy   0 olamiz. X fazo kompakt bo‘lgani uchun shunday x1 , x2 ,.., xn  X
nuqtalar mavjudki, ularning b) xossadagi V1 ,V2 ,...,Vn atroflarining yig‘indisi X ga
teng, ya’ni X 
n
i 1
Vi va
f  x   f  xi   
 f , x V , 1  i  n  .
(5)
i
Bu tengsizlikdan va a) shartdan  to‘plamning tekis chegaralanganligi, ya’ni


sup f  x  : x  X , f   M  
(6)
kelib chiqadi.
D to‘plamni quyidagicha aniqlaymiz:
D    C :   M  .
Har bir f  funksiyaga p  f   Dn  C n nuqtani mos qo‘yamiz, bu yerda
p  f    f  x1  , f  x2  ,..., f  xn   .
Dn to‘plam Cn fazoda chegaralangan, demak, u to‘la chegaralangan. Ya’ni
shunday
f1 , f 2 ,,..., f m 
funksiyalar topiladiki, har bir p(f) biror p(fk)
97
nuqtadan  dan kichik masofada joylashgan. Demak, ixtiyoriy f  uchun
shunday k topiladiki 1  k  m  ,
f  xi   f k  xi    .
X fazoning har bir x nuqtasi biror Vi ichida joylashgan, demak, shu i uchun
f  x   f  xi    va f k  x   f k  xi    .
Bulardan
f  x   f k  x   f  x   f  xi   f  xi   f k  xi   f k  xi   f k  x   3 .
Demak, ixtiyoriy  uchun chekli 3-to‘r mavjud, ya’ni  to‘la chegaralangan.
Mazkur paragrafni chekli o‘lchamli normalangan fazolarni o‘rganish bilan
yakunlaymiz.
Ta’rif. Aytaylik V1 , V2 normalangan fazolar orasida u : V1  V2 chiziqli
izomorfizm mavjud bo‘lsin. Agar fazolardagi normalarga nisbatan u va u-1
uzluksiz bo‘lsa, U holda u normalangan fazolarning izomorfizmi deyiladi, V1 va
V2 fazolar esa izomorf normalangan fazolar deyiladi.
4-teorema. Ixtiyoriy haqiqiy (kompleks) n o‘lchamli normalangan fazo Evklid
normali Rn (Cn) fazoga izomorfdir.
Isboti. Teoremani haqiqiy fazolar uchun isbotlaymiz (kompleks holda isboti
shunga o‘xshash). V normalangan fazo n o‘lchamli bo‘lib, x1 , x2 ,..., xn undagi
bazis bo‘lsin. Bu fazoning ixtiyoriy x elementi ushbu
x  1 x1  2 x2  ...  n xn
ko‘rinishga ega; i  R, i  1,2,.., n . Bunday x elementga Rn fazodagi
u  x   x  1 ,2 ,...,n 
elementni mos qo‘yamiz. Natijada hosil bo‘lgan u : V  Rn moslik chiziqli
izomorfizm ekanligi ravshan. Demak u va u-1 uzluksiz ekanligini isbotlash
kerak.
Ixtiyoriy x V uchun
n
n
i 1
i 1
x  i xi   i
1/ 2
1/ 2
n
n
2
xi    xi    i 2 
 i 1
  i 1 
98
  u  x ,
1/ 2
n
2

bu yerda     xi  . Xususan, ixtiyoriy x, y V uchun
 i 1

x  y   u  x  u  y ,
ya’ni
u 1  x   u 1  y    x  y .
Demak, u 1 : Rn  V uzluksiz aks ettirish. Endi R n fazodagi


n
S  1 , 2 ,...,  n   R n : i2  1
i 1
birlik sferada ushbu
f  x   f 1 ,2 ...,n   x  1 x1  2 x2  ...  n xn
funksiyani ko‘ramiz. S sferada i  i  1,2, ... , n  sonlarning hammasi bir vaqtda
nolga teng bo‘lmagani va {xi} vektorlar chiziqli erkli bo‘lgani sababli ixtiyoriy
x  1 ,2 ,...,n   S uchun
f 1 ,2 ,...,n   0 .
Ushbu
f  x   f  y   f 1 ,2 ,..,n   f 1 ,2 ,...,n   x  y  x  y   x  y
tengsizlikdan f uzluksiz funksiya ekanligi ko‘rinib turibdi.
S kompakt bo‘lgani uchun 2-8-§, 5-teoremaga asosan bu funksiya S to‘plamda
o‘zining minimumiga erishadi. Ravshanki,   min f  x   0 .
Demak, x  S uchun
f x  x  ,
ya’ni ixtiyoriy x  R n uchun
f x  x  x
n
i xi
i 1
n

 x ,

k 1
2
k
ya’ni
u  x  x 
99
1

x ..
Bundan ko‘rinib turibdiki,
u  x  u  y  
1

x y ,
ya’ni u uzluksizdir.*
1- natija. Barcha haqiqiy (kompleks) n o‘lchamli normalangan fazolar o‘zaro
izomorfdir.
2- natija. Ixtiyoriy chekli o‘lchamli normalangan fazo to‘ladir.
Isboti. Teoremada biz aslida ixtiyoriy chekli o‘lchamli normalangan fazonyng
normasi Rn (Cn) dagi normaga ekvivalent ekanligini ko‘rsatdik. Bundan va Rn
(Cn) fazoning to‘laligidan ixtiyoriy chekli o‘lchamli fazoning to‘laligi kelib
chiqadi.
3-natija. Normalangan fazoning har bir chekli o‘lchamli vektor qism fazosi
yopiqdir.
Isboti.
V
normalangan
yaqinlashuvchi
chekli
o‘lchamli
V1 qism fazosida
ketma-ketlik
berilgan
bo‘lsin.
fazoning
xn  x V
Ixtiyoriy
yaqinlashuvchi ketma-ketlik fundamental bo‘lgani sababli {xn} ketma-ketlik
ham V1 fazoda fundamental. 2-natijaga asosan V1 to‘la, demak,  xn  ketmaketlik biron x0 V1 nuqtaga yaqinlashuvchi bo‘ladi. Limitning yagonaligidan
x  x0 V1 ya’ni V yopiq.
4.2-§ Evklid fazolari
Endi biz normalangan fazoning xususiy holi bo‘lgan va funksional analizda
keng qo‘llaniladigan Evklid fazosini o‘rganamiz.
Haqiqiy E vektor fazoning {x,y} juft elementlarida aniqlangan, (x,y) ko‘rinishda
belgilanuvchi va quyidagi to‘rt shartni (aksiomalarni) qanoatlantiruvchi haqiqiy
funksiya skalyar ko‘paytma deyiladi:
1) (x,y) = (y, x);
2)  x1  x2 , y    x1 , y   ( x2 , y) ;
100
3)   x, y     x, y  ,   R ;
4)  x, x   0;  x, x   0  x   .
Skalyar ko‘paytma kiritilgan vektor fazo Evklid fazosi deyiladi. Skalyar
ko‘paytma yordami bilan Evklid fazosida norma quyidagicha kiritiladi:
 x, x  ,
x 
bu yerda arifmetik ildiz nazarda tutiladi. Normaning birinchi sharti skalyar
ko‘paytmaning to‘rtinchi aksiomasidan bevosita kelib chiqadi. Normaning
uchinchi sharti skalyar ko‘paytmaning uchinchi aksiomasining natijasidir.
Haqiqatan,
x 
  x,  x     x, x    x .
2
Normaning ikkinchi shartini isbotlash uchun biz oldin quyidagi KoshiBunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz:
 x, y   x
y .
(1)
Buning uchun ixtiyoriy  son olib, quyidagi ifodani tuzamiz:
       x  y,  x  y    2  x, x   2  x, y    y, y  
 x  2  2  x, y    y
2
2
.
Ushbu       x  y  0 munosabaga ko‘ra     kvadrat uchhadning
2
diskriminanti  x, y   x  y musbat emas, ya’ni
2
2
2
 x, y   x
2
2
2
y .
Bu tengsizlikdan kerak bo‘lgan (1) tengsizlik kelib chiqadi.
Shunday qilib,
x  y   1  x  2  x, y   y 
2
2
2
 x 2 x y  y  x  y 
2
2
Ya’ni normaning ikkinchi aksiomasi
x y  x  y
isbotlandi.
101
2
.
Skalyar ko‘paytma yordami bilan Evklid fazosida ikki element orasidagi
burchak tushunchasini quyidagicha kiritish mumkin:
cos 
Bu
tenglikning
o‘ng
 x, y  , 0     .
x  y
tomonidagi
ifodaning
absolyut
qiymati
Koshi-
Bunyakovskiy tengsizligiga binoan birdan katta emas, ya’ni har qanday noldan
farqli x va y uchun  aniqlangan. Agar (x, y)=0 bo‘lsa,  

2
. Bu holda x va y
ortogonal vektorlar deb ataladi.
Agar x element A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lsa, x element A
to‘plamga ortogonal deyiladi va x  A bilan belgilanadi.
A1 to‘plamning har bir elementi A2 to‘plamning ixtiyoriy elementiga ortogonal
bo‘lsa, A1 va A2 to‘plamlar ortogonal deyiladi va A1  A2 bilan belgilanadi.
Evklid fazosining ayrim xossalarini keltiramiz.
1.
xn  x, yn  y
Agar
norma
ma’nosida
yaqinlashsa,
u
holda
 x , y    x, y  (skalyar ko‘paytmaning uzluksizligi).
n
n
Isboti. Koshi — Bunyakovskiy tengsizligiga asosan
 x, y    x , y    x , y  y    x  x , y  
n
n
n
 x y  yn  x  xn
n
n
yn .
Yaqinlashuvchi {yn} ketma-ketlikning normasi chegaralangan bo‘lgani uchun
oxirgi ifoda nolga intiladi.
2. Evklid fazosining ixtiyoriy x, y elementlari uchun

x y  x y 2 x  y
2
2
2
tenglik o‘rinlidir (parallelogramm formulasi).
Haqiqatan,
x  y  x  y  ( x  y, x  y )   x  y, x  y  
2
2
  x, x    x , y    y , x    y , y    x , x    x , y   .

  y, x    y, y   2 x  y
2
2

102
2

3.
x  y1
a)
va
x  y2
munosabatlardan
x    y1   y2 
munosabat kelib chiqadi (  ,  — haqiqiy sonlar).
 n  1,2,... bo‘lib, yn ketma-ketlik y elementga yaqinlashsa, u holda
b) x  yn
x  y.
Darhaqiqat, x  yn bo‘lgani uchun  x, yn   0, yn  y dan 1-xossaga asosan
 x, y    x, y  demak, (x,y)=0, ya’ni x  y .
n
c)
x  A bo‘lsa, u holda x  L  A .
d)
A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lgan barcha elementlar
to‘plamini A bilan belgilaymiz. 3 a) xossaga asosan A to‘plam E ning vektor
qism fazosidir. 3 b) ga asosan A yopiqdir. Demak, A to‘plam normalangan E
fazoning qism fazosidir. Noldan farqli bo‘lgan vektorlarning  x  sistemasi
ushbu
 x , x   0    


shartni qanoatlantirsa, bu sistema ortogonal sistema deyiladi.
Har qanday ortogonal sistema chiziqli erklidir.
Haqiqatan, agar
a1 x  a2 x  ...  an x  0
1
bo‘lsa,
u
holda
har
2
qanday
n

x i  1, n
i
 x , a x  a x  ...  a x   a  x , x 
i
1 2
2 2
n n
i
i
i
va

uchun
x ,x   0
i
i
ushbu
munosabat
bo‘lgani
uchun
ai  0  i  1,2,..., n  tenglik kelib chiqadi.
To‘la ortogonal sistema (4.1-§) ortogonal bazis deyiladi. Agar shu sistemada har
bir elementning normasi birga teng bo‘lsa, bu sistema ortonormalangan bazis
yoki qisqacha ortonormal bazis deyiladi.
Misollar. 1. n o‘lchamli Rn fazoda
x   x1 , x2 ,..., xn  va y   y1 , y2 ,..., yn 
elementlarning skalyar ko‘paytmasini ushbu
103
n
 x, y    x y
i 1
i
i
ko‘rinishda olsak, Rn Evklid fazosiga aylanadi.
Bu fazoda quyidagi elementlar ortonormal bazis hosil qiladi:
e1  1,0,0,...,0  ,
e2   0,1,0,...,0  ,
. . . . . ... . . . . . ... .
en   0,0,0,...,0,1 .
2. l2 fazoning elementlari ushbu

x  
i 1
2
i
shartni qanoatlantiruvchi x   x1 , x2 ,..., xn ,... ketma-ketliklardir.
Bu fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha aniqlanadi:

 x, y    xi yi .
i 1
O‘ng tomondagi ifodaning chekliligi ushbu
2 xi yi  xi2  yi2
elementar tengsizlikdan kelib chiqadi.
Skalyar ko‘paytmaning xossalari osonlikcha tekshiriladi. Bu Evklid fazosida
quyidagi vektorlar ortonormal bazis tashkil etadi:
e1  1,0,0 ... ,
e2   0,1,0...  ,
e3   0,0,1... .
......................
Ravshanki, bu sistema ortonormal. Biz uning to‘la ekanligini isbotlaymiz.
x   x1 , x2 ,..., xn , ...  l2 ixtiyoriy element va
x n   x1 , x2 ,..., xn ,0,0,...
bo‘lsin. Bu holda x(n) ushbu e1 , e2 ,..., en vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidir
va
104
x  x n  0, n   .
Ya’ni {en} sistemaning chiziqli yopilmasi l2 ga tengdir.
Yuqoridagi misollarda biz ortogonal bazislar mavjudligini ko‘rsatib o‘tdik.
Quyidagi ikki teorema Evklid fazosida ortogonal bazisning mavjudligiga
doirdir.
1-teorema. (ortogonallashtirish teoremasi). E Evklid fazosida
(2)
f1 , f 2 ,..., f n ,...
chiziqli erkli sistema berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvi
1 ,2 ,...,n ,...
(3)
sistema mavjud:
1) (3) sistema ortonormal,
2) har bir n element f1 , f 2 ,.., f n elementlarning
chiziqli kombinatsiyasidir, ya’ni
n  an1 f1  an 2 f 2  ...ann f n ;
3) har bir fn element 1 ,2 ,...,n elementlarning chiziqli kombinatsiyasidir, ya’ni
f n  bn11  bn 22  ...  bnnn âà bnn  0 .
(3) sistemaning har bir elementi 1)—3) shartlar bilan bir qiymatli aniqlanadi (±1
koeffitsientini hisobga olmaganda).
Isboti. 1 elementni ushbu 1  a11 f1 ko‘rinishda olamiz. Bu ko‘rinishdagi a11
koeffitsient quyidagi munosabatlardan topiladi:
(1 ,1 )  1  a112 ( f1 , f1 )  1.
2
Bundan
a11 
1

b11
1
f,f 
1
1
, 1 
 f1
.
f1 , f1
Shunday qilib, 1 elementning ishorasi hisobga olinmasa, u bir qiymatli
aniqlanadi.
105
Endi 1 ,2 ,...,n1 elementlar topildi deb faraz qilaylik. U holda fn elementni
ushbu
f n  bn11  ...  bnn1n1  hn
ko‘rinishda olamiz; bu yerda k<n bo‘lganda
 h ,   0 .
n
k
Haqiqatan, bnk koeffitsentlar va demak, hn element ham quyidagi shartlardan bir
qiymatli aniqlanadi:
 h ,    f  b   ...  b  ,  
  f ,   b  ,   0
n
k
n
n
k
nn 1 n 1
n1 1
nk
k
k
k
Ravshanki,  hn , hn   0 (aks holda (2) sistema chiziqli bog‘liq bo‘lar edi). Endi
n elementni quyidagicha aniqlaymiz:
hn
n 
h ,h 
n
n
Natijada hn va n ham induksiya yordami bilan f1 , f 2 ,... f n orqali ifodalanadi,
ya’ni
n  an1 f1  ...  ann f n ,
bu yerda ann 
1
h ,h 
n
. Bundan tashqari,
n
 ,   1,  ,   0 (k  n) va
n
n
n
k

f n  bn11  ...  bnnn , bnn 
 h , h   0 .
n
n
(2) sistemadan (3) sistemaga o‘tish amali ortogonallashtirish protsessi deyiladi.
Ta’rif. E Evklid fazosi metrik fazo sifatida separabel bo‘lsa, E separabel Evklid
fazosi deyiladi.
2-teorema. Har qanday cheksiz o‘lchamli separabel Evklid fazosida sanoqli
ortonormal bazis mavjud.
Isboti.
 1 , 2 ,..., n ,...
106
sanoqli, hamma yerda zich to‘plam bo‘lsin, deb faraz qilaylik. Bu sistemadan
to‘la chiziqli erkli {fn} sistemani tanlab olamiz. Buning uchun, agar { n }
sistemadagi  k element  1 , 2 ,..., k 1 elementlarning chiziqli kombinatsiyasi
bo‘lsa, uni bu sistemadan chiqarib tashlaymiz. Har bir k uchun shunday
operatsiyani bajarsak, qolgan elementlar chiziqli erkli bo‘lib, sistema
to‘laligicha qoladi. Endi shu to‘la chiziqli erkli sistemaga ortogonallashtirish
protsessini qo‘llasak, ortonormal bazis hosil bo‘ladi.*
E Evklid fazosida
 1 , 2 ,..., n ,...
(3)
ortonormal sistema bo‘lsin. E fazoning ixtiyoriy f elementiga quyidagi sonli
ketma-ketlikni mos qo‘yamiz:
ck   f , k  , k  1,2,...
Bu sonlarni f elementning { k } sistemaga nisbatan koordinatalari yoki Furye
koeffitsientlari deymiz. Ushbu
c 
k
(4)
k
k
qatorni f elementning Furye qatori deymiz.
Endi biz shu (4) qatorning yaqinlashishi haqidagi masalani o‘rganamiz. Buning
n
uchun Sn   k k yig‘indining  i , koeffitsientlari qanday bo‘lganda f  Sn
k 1
masofa minimal bo‘lishini tekshiramiz. (3) sistema ortonormal ekanligini
hisobga olsak, ushbu
f  Sn
2
n
n

  f  Sn , f  Sn    f   k k , f   k k  
k 1
k 1


n
n
 n

  f , f   2  f ,  k k     k k ,  j j  
j 1
 k 1
  k 1

 f
2
n
n
k 1
k 1
 2 k ck    k2  f
2
n
n
k 1
k 1
  ck2    k  ck 
2
tengliklar kelib chiqadi. Ravshanki, bu ifoda o‘zining minimal qiymatiga oxirgi
yig‘indi nolga teng bo‘lgandagina ega bo‘ladi. Demak, ushbu
 k  ck , k  1,2,..., n .
107
tenglik bajarilsa, quyidagi
f  Sn  f
2
2
n
  ck2
(5)
k 1
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib, Sn yig‘indilar orasida f elementga norma ma’nosida eng yaqini bu
Furye qatorining xususiy yig‘indisidir.
f  Sn  0 bo‘lgani uchun (5)
formuladan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi:
n
c  f
k 1
2
k
2
.
(6)

Bu yerda n ixtiyoriy bo‘lgani va f son n ga bog‘liq bo‘lmagani uchun  ck2
k 1
qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Yuqoridagi tengsizlikda limitga o‘tsak, quyidagi
Bessel tengsizligi kelib chiqadi:

c  f
k 1
2
k
2
(7)
Ta’rif. Agar har qanday f  E element uchun quyidagi Parseval tengligi

c  f
k 1
2
k
2
(8)
bajarilsa, (3) sistema yopiq sistema deyiladi.
Agar (3) sistema yopiq bo‘lsa, u holda (5) ayniyatdan ko‘rinib turibdiki, har
qanday f element Furye qatorining xususiy yig‘indilari f ga yaqinlashadi, ya’ni
n
lim f   ck k  0 .
n 
k 1
3-teorema. Separabel Evklid fazosida har qanday to‘la ortonormal sistema
yopiqdir, va aksincha, har bir yopiq ortonormal sistema to‘ladir.
Isboti. Separabel E Evklid fazosida { n } yopiq sistema berilgan bo‘lsin. Har
qanday
f  E uchun uning Furye qatorining xususiy yig‘indilari f ga
yaqinlashadi, ya’ni { n } sistemaning elementlarining chiziqli kombinatsiyalari
E da zichdir, demak, { n } - to‘la sistema.
108
n
Aksincha, { n } to‘la sistema bo‘lsin, demak, ixtiyoriy elementga ushbu  kk
k 1
chiziqli kombinatsiyalar yordamida istalgan darajada yaqinlashish mumkin.
Endi ushbu
n
n
k 1
k 1
f   ckk  f   kk

tengsizlikdan  ckk qatorning f ga yaqinlashishi, ya’ni (8) Parseval tengligi
k 1
kelib chiqadi.
4.3- §. Gilbert fazolari
E Evklid fazosini normalangan fazo siratida qarasak E to‘la bo‘lishi yoki
bo‘lmasligi mumkin. Agar E to‘la bo‘lmasa, uning to‘ldiruvchisi bo‘lgan Banax

fazosini E bilan belgilaymiz.
1-teorema. Evklid fazosining to‘ldiruvchisi ham Evklid fazosidir.
Isboti: Bu teoremaning isboti metrik fazolarning to‘ldiruvchisi haqidagi
teoremaga o‘xshashdir. E ning x va y elementlarini olamiz. {xn} va (yn} E
fazoning elementlaridan tuzilgan va mos ravishda x va y ga yaqinlashuvchi
ketma-ketliklar bo‘lsin. ( xn , yn ) sonli ketma-ketlikni ko‘ramiz. Ushbu
x , y  x , y   x , y  y  x  x , y  
n
 xn
n
m
m
n
n
m
y n  ym  xn  xm
ym
n
m
m
tengsizlikdan {(xn,yn)} ketma-ketlikning fundamental ketma-ketlik ekanligi
ko‘rinib turibdi. Demak, lim
 xn , yn  mavjud. Bu limit {xn}, {yn} ketman 
ketliklarga emas, balki faqat x va y elementlargagina bog‘liqligi bevosita

tekshiriladi. Endi E da skalyar ko‘paytmani quyidagicha aniqlaymiz:
 x, y   lim  x , y  .
n
n
n
Bu ifodaning skalyar ko‘paytma ekanligi E dagi skalyar ko‘paytmaning 1) - 4)
shartlaridan limitga o‘tish natijasida kelib chiqadi. Masalan, 1) shart
109
 x, y   lim  x , y   lim  y , x    y, x  .
n
n
n
n
n
n
Shunga o‘xshash
x  lim
xn  lim
( xn , xn )  ( x, x)
n
n

Demak, E Evklid fazosidir.
Ta’rif. To‘la Evklid fazosi Gilbert fazosi deyiladi.
H Gilbert fazosida {  n } ortonormal sistema berilgan bo‘lsin. Bessel
f H
tengsizligiga asosan s1,s2,…,sn,... sonlar biror
elementning Furye

kozffitsientlari bo‘lishi uchun  ck2 qator yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur.
k 1
Gilbert fazosida bu shart shu bilan birga kifoyadir. Boshqacha aytganda,
quyidagi teorema o‘rinli.
2-teorema (Riss—Fisher teoremasi). N Gilbert fazosida ixtiyoriy { n }

ortonormal sistema va  ck2   shartni qanoatlantiruvchi cn  ketma-ketlik
k 1
berilgan bo‘lsin. U holda shunday f  H element mavjudki, ck sonlar f ning
Furye koeffitsientlaridir, ya’ni ck   f ,k  va

c   f , f   f
k 1
2
k
2
n
Isboti. f n   ckk deb olamiz. Bu holda
k 1
n p
f n p  f n  cn1n1  ...  cn pn p   ck2 .
2
2
k  n 1

c
k 1
2
k
qator yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun {fn} fundamental ketma-ketlikdir.
Demak, H to‘la bo‘lgani uchun {fn} biror f  H elementga yaqinlashuvchi
bo‘ladi. Ushbu
 f ,    f ,    f  f , 
i
n
i
n
(1)
i
110
tenglikda n  i bo‘lsa, ( f n ,n )  ci va
 f  f ,   f  f   0  n   
n
i
n
i
Demak, (1) tenglikning chap tomonidagi ifoda n ga bog‘liq bo‘lmagani uchun
n   da limigga o‘tsak, 4.2-§, (5) tenglikka asosan quyidagi munosabat kelib
chiqadi:
f
2
n
n
n
2
  ck2   f   ckk , f   ckk   f  f  0 ,
k 1
k 1
k 1



ya’ni (f, f) =  ck2 .*
k 1
Ko‘p hollarda quyidagi teorema foydalidir.
3-teorema. Separabel H Gilbert fazosida ortonormal n  sistema to‘la bo‘lishi
uchun H da n  sistemaning har bir elementiga ortogonal bo‘lgan noldan
farqli elgmentning mavjud emasligi zarur va kifoya.
Isboti. n  to‘la va, demak, 4.2-§ dagi 3-teoremaga asosan yopiq sistema
bo‘lsin deb faraz qilaylik. Agar f har bir n  ga ortogonal bo‘lsa, uning hamma
Furye koeffitsientlari nolga tengdir. Parseval tengligiga asosan

 f , f    c  0 yoki f   .
k 1
2
k
Aksincha, agar n  to‘la bo‘lmasa, shunday g  0. topiladiki,

 g , g    ck2  ck   g ,k   .
k 1
Riss-Fisher teoremasiga asosan
 f ,   c
k
k

 f , f   c
va
k 1
qanoatlantiruvchi f element topiladi. By holda har qanday n uchun
 f  g ,    f ,    g ,   c  c  0 ,
n
n
n
k
k
ya’ni f - g har bir k ga ortogonal va

f   f , f    ck2   g , g   g .
k 1
Demak, f  g  0 .*
111
2
k
shartlarni
H1, H2 Evklid fazolari bo‘lib, x  y  x  H1 , y  H 2  ular orasidagi chiziqli
izomorfizm bo‘lsin (1.6- §). Bu izomorfizm ushbu
 x , x    y , y , x , x  H , y , y  H
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
xossaga ham ega bo‘lsa, u holda unga H1 va H2 Gilbert fazolari orasidagi
izometrik izomorfizm deyiladi.
4-teorema. Ixtiyoriy ikki cheksiz o‘lchamli separabel Gilbert fazosi o‘zaro
izometrik izomorfdir.
Isboti. Ravshanki, teoremani isbotlash uchun har qanday cheksiz o‘lchamli
separabel Gilbert fazosining 4.2-§ 2- misoldagi l2 fazoga izometrik izomorfligini
ko‘rsatish kifoya. 4.2- § dagi 2-teoremaga asosan cheksiz o‘lchamli separabel H
Gilbert fazosida n  to‘la ortonormal sistema mavjud.
H ning har bir f elementiga shu elementning
  ga nisbatan Furye
n
koeffiiientlari c1 , c2 ,..., cn ,... to‘plamini mos qo‘yamiz. So‘ngra

c   f , f   
k 1
2
k
bo‘lgani uchun (c1 , c2 ,..., cn ,....) ketma-ketlik l2 fazoning elementidir.
Aksincha, l2 dagi ixtiyoriy (c1 , c2 ,..., cn ,....) elementga Riss-Fisher teoremasiga
asosan biror f  H element mos keladi va f ning Furye koeffitsientlari
c1 , c2 ,..., cn ... ga teng.
Bu moslik o‘zaro bir qiymatlidir.
Agar
f   c1 , c2 ,..., cn ,... , g   d1 , d2 ,..., d n ,...
mos qo‘yilsa, u holda, ravshanki,
f  g   c1  d1 , c2  d2 ,..., cn  d n ,...
va
 f   c1 , c2 ,..., cn ,...
Nihoyat, Parseval tengligidan quyidagi tenglik kelib chiqadi:
112

 f , g   c d
n 1
n
n
Haqiqatan,


 f , f    c ,  g, g    d
n 1
2
n
n 1
2
n
va
 f  g, f  g    f , f   2 f , g    g, g  




n 1
n 1
n 1
   cn  d n    cn2  2 cn d n   d n2
2
n 1
ya’ni

 f , f   2  f , g    g , g    f , f   2 c d   g , g 
n 1
n
n
va

 f , g   c d .
n 1
n
n
4.4- §. Qism fazolar. Ortogonal to‘ldiruvchilar
Ravshanki, har qanday Gilbert fazosi normalangan fazodir. Gilbert fazosida ham
qism fazo tushunchasi normalangan fazoning qism fazo tushunchasi kabi
kiritiladi. Ya’ni Gilbert fazosida yopiq bo‘lgan vektor qism fazo Gilbert
fazosining qism fazosi deyiladi.
Misollar.
1. H Gilbert fazosida h elementni olamiz. Shu elementga ortogonal
bo‘lgan elementlar H ning qism fazosini tashkil qiladi. Bunday elementlar
to‘plami vektor fazo hosil qilishi skalyar ko‘paytmaning 2), 3) shartlaridan,
yopiqligi esa skalyar ko‘paytmaning uzluksizligidan kelib chiqadi.

2. l2
Gilbert
fazosining
elementlari
x  
i 1
2
i
shartni
qanoatlantiruvchi  x1 , x2 ,..., xn ,... ketma-ketliklardan iborat. Bu fazoda x1=0
shartni qanoatlantiruvchi ketma-ketliklar qism fazo tashkil qiladi. Yoki,
113
masalan, toq koordinatalari nolga teng bo‘lgan elementlar to‘plami ham l2 ning
qism fazosidir.
Gilbert fazosining ixtiyoriy M qism fazosi ham Gilbert fazosidir. Agar H
separabel bo‘lsa, u holda (2.5-§, 1-teoremaga asosan) M ham separabel Gilbert
fazosidir. Xususan, M da ham to‘la ortonormal sistema mavjud.
Quyidagi teorema Gilbert fazolari nazariyasida katta ahamiyatga ega.
1-teorema. H1 to‘plam H Gilbert fazosining qism fazosi bo‘lsin. Ixtiyoriy x
element
x  x  x  x  H1 , x  H1 
(1)
ko‘rinishda bir qiymatli yoziladi. Bu yerda x' element quyidaga xossaga ega:
x  x    x, x    x, H1   inf   x, x1  : x1  H1
(2)
Isboti. H1 to‘plamdan x elementgacha bo‘lgan masofani d bilan belgilaymiz,
ya’ni
d    x, H1 
(3)
Ixtiyoriy n son uchun ushbu
x  xn  d 2 
2
1
n2
(4)
tengsizlikni qanoatlantiradigan xn  H1 elementni olamiz. 4.2- § dagi 2) xossaga
binoan (parallelogramm formulasi):
xn  xm   x  xn    x  xm  
2
2
(5)
2
2
 2  x  xn  xn  xm  .


So‘ngra
xn  xm
element H1 ga tegishli bo‘lgani uchun
2
x  x   x  x 
n
m
2
x  xm
4 x n
2
2
 4d 2 .
Bu munosabatdan, (4) va (5) munosabatlarni hisobga olsak, ushbu
1
1 
2
2
2

xn  xm  2  d 2  2  d 2  2   4d 2  2  2
n
m 
n m

tengsizlik o‘rinli ekanligi ko‘rinadi, ya’ni {xn} - fundamental ketma-ketlik.
114
x element mavjud. H1 yopiq, demak, x  H1 .
H to‘la bo‘lgani uchun x  lim
n  n
(4) tengsizlikda limitga o‘tsak, x  x  d 2 , ya’ni x  x  d kelib chiqadi.
2
Demak, x  x  d .
Endi y element H1 ga tegishli bo‘lsin. Ixtiyoriy  son uchun x   y  H1
demak,
x  x   y  x   x   y   d 2 ya’ni, agar x  x  x belgilash kiritsak,
2
2
  x, y     y, x     y, y   0
2
Xususan    x, y  /  y, y  bo‘lganda
2
 x, y   x, y 
x, y



0
 y, y   y, y 
 y, y 
2
2
ya’ni |(x", y)|2  0. Demak, (x", y)=0 va x  y , ya’ni x  H1 . Shu bilan (1)
isbotlanadi. Nihoyat, (1) ko‘rinishda ifodalash yagonaligini isbotlaymiz. Agar
x  x1  x1  x1  H1 , x1 H 1 
bo‘lsa, u holda x  x1  x1  x . Ya’ni H1 ning elementi bo‘lmish x  x1 element
H1 ning x1  x elementiga teng, demak, u o‘z-o‘ziga ortogonal, ya’ni
x  x1  x1  x  0 .*
Isbotlangan 1-teoremadagi x' va x" elementlar x elementning mos ravishda H1 va
H1 fazolarga proeksiyalari deyiladi. x elementga x' elementni mos qo‘yuvchi
PH : H  H1 aks ettirish H1 ga proektor deyiladi (ya’ni PH  x   x1 ). Ravshanki,
1
1
PH — chiziqli operator.
1
1-natija. Ixtiyoriy M qism fazoning ortogonal to‘ldiruvchisi ortogonal
to‘ldiruvchisi M ning o‘ziga teng, ya’ni
M   M .


Shunday qilib, M va M  o‘zaro ortogonal to‘ldiruvchi qism fazolardir.
Agar { n } ketma-ketlik M dagi to‘la ortogonal sistema, { n } esa M  dagi to‘la
ortogonal sistema bo‘lsa, u holda bu to‘plamlarning yig‘indisi H da to‘la
115
ortogonal sistema hosil qiladi. Demak, M dagi ixtiyoriy ortogonal sistema H da
to‘la bo‘lgan ortogonal sistemagacha kengaytirilishi mumkin.
Agar ixtiyoriy
f H
element
f  h1  h2  h1  M , h2  M  
ko‘rinishda
yozilishi mumkin bo‘lsa, u holda H o‘zaro ortogonal bo‘lgan M va M  qism
fazolarning to‘g‘ri yig‘indisi deyilib,
H  M M
(6)
ko‘rinishda yoziladi.
To‘g‘ri yig‘indi tushunchasi ixtiyoriy chekli yoki soni sanoqli qism fazolar
uchun ham kiritilishi mumkin.
Ta’rif. H Gilbert fazosining
M1 , M 2 ,..., M n ,...
qism fazolari berilgan bo‘lib, ular quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) Har qanday Mi va M j  j  i  fazolar o‘zaro ortogonal, ya’ni Mi ning
ixtiyoriy elementi Mj ning ixtiyoriy elementiga ortogonal;
2) H ning ixtiyoriy f elementi ushbu
f  h1  h2  ...  hn  ..., hn  M n
(7)

ko‘rinishda yoyiladi (agar Mn larning soni cheksiz bo‘lsa,  hn   shart talab
2
n 1
qilinadi). Bu holda H o‘zining M1 , M 2 ,..., M n ,... qism fazolarining to‘g‘ri

yig‘indisi deyiladi va H   M i ko‘rinishda yoziladi.
i 1
f elementning (7) ko‘rinishda yoyilishi yagonadir.
Darhaqiqat, agar f  h1  h2  ...  hn  ... ning boshqa bir yoyilishi bo‘lsa, u
holda
0  f  f   h1  h1   h2  h2   ...   hn  h n  ...
Ixtiyoriy n uchun hn  hn element Mn ga tegishli. Shuning uchun yuqoridagi
tenglikni hn  hn ga skalyar ko‘paytirsak, ushbu
0   hn  hn , hn  hn 
tenglik hosil bo‘ladi, bundan hn  hn  0 , ya’ni ixtiyoriy n uchun
116
hn  hn .
To‘g‘ri yig‘indining xocsalaridan
f
2

  hn
2
tenglik ham osonlikcha kelib
n 1
chiqadi.
Shunga o‘xshash, sonli chekli yoki sanoqli Gilbert fazolarning to‘g‘ri yig‘indisi
tushunchasini kiritish mumkin.
H1, h2 Gilbert fazolari bo‘lsin. Ularning to‘g‘ri yig‘indisi bo‘lgan H Gilbert
fazosi quyidagicha kiritiladi.
H ning elementlari  h1 , h2  ko‘rinishdagi juftliklardan iborat (h1  H1 , h2  H 2 ) .
H da skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi:
 h , h  ,  h, h    h , h   h , h  .
1
2
1
2
1
1
2
2
Bunday aniqlangan H fazo Gilbert fazosini hosil qilishi bevosita tekshiriladi.
Agar
H1   h1 ,0  : h1  H1, H 2   0, h2  : h2  H 2 
ko‘rinishda olinsa, u holda H1 va H 2 o‘zaro ortogonal bo‘lgan H ning qism
fazolari
bo‘lib,
H1  H1 , H 2  H 2
izometrik
izomorfizmlar
o‘rinlidir.
Ravshanki,
H  H1  H 2
Shunga o‘xshash, soni chekli yoki soni sanoqli H1 , H 2 ,..., H n ,... Gilbert
fazolarining to‘g‘ri yig‘idisi aniqlanadi:

H   Hn
n 1
H ning elementlari deb

h
n 1
n
2
 , hn  H n
shartni qanoatlantiruvchi  h1 , h2 , ..., hn ,... ketma-ketliklarga aytiladi. So‘ngra
h   h1 , h2 ,..., hn ,... , hn  H n
va
g   g1 , g2 ,..., gn ,... , gn  H n
117
elementlarning skalyar ko‘paytmasi ushbu

 h, g     h , g 
n
n 1
n
ko‘rinishda kiritiladi.
4.5- §. Kompleks Evklid fazolari
Haqiqiy Evklid fazolari bilan bir qatorda kompleks Evklid fazolarini ham (ya’ni
skalyar ko‘paytmasi kompleks son bo‘lgan vektor fazolarni) qarash mumkin.
Ta’rif. E kompleks vektor fazoda quyidagi to‘rt shartni qanoatlantiruvchi
kompleks qiymatli (x, y) funksiya kiritilgan bo‘lsa, E kompleks Evklid fazosi
deyiladi:
 
1) (x, y) = y, x ,;
2)   x, y     x, y  , bu yerda  son  ga qo‘shma kompleks son;
3)  x1  x2 , y    x1 , y    x2 , y  ;
4)  x, x   0 va x   bo‘lsa, (x,x)>0.
Yuqoridagi 1) va 2) xossalardan
 x,  y     x, y 
kelib chiqadi. Haqiqatan
 x,  y     y, x     y, x     x, y  .
Misollar.
1. n o‘lchamli Cn kompleks fazoda
x   x1 , x2 ,..., xn  va y   y1 , y2 ,..., yn  elementlarning skalyar ko‘paytmasini
n
( x, y)   xk y k
k 1
ko‘rinishda kiritsak, Cn Evklid fazosi bo‘ladi.
2. l2 kompleks fazo. Uning elementlari ushbu

 x  
n 1
2
n
118
shartni qanoatlantiruvchi kompleks sonlar ketma-ketliklaridan iborat.
x   x1 , x2 ,..., xn ,... va y   y1, y2 ,..., yn ,...
elementlarning skalyar ko‘paytmasi ushbu

( x, y)   xn yn
n 1
ifoda bilan aniqlanadi.
3. L2[a,b] kompleks fazo [a,b] oraliqda kvadrati bilan jamlanuvchi kompleks
funksiyalar fazosi. Bu fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha olinadi:
b
 f , g    f t g t dt.
a
4. L2 ( D) kompleks fazo.
D  [a, b]  [a, b] to‘plamda kvadrati bilan jamlanuvchi
ikki haqiqiy o‘zgaruvchili kompleks qiymatli funksiyalar fazosini L2 ( D) bilan
belgilaymiz, ya’ni


b b

 f t , s   L2 D      f t , s 2 dtds   .
a a

Bu fazoda skalyar ko‘paytma 3- misoldagidek kiritiladi:
b b
 f , g     f t , s g t , s dtds.
a a
L2 [a, b] va L2 ( D) fazolarda to‘la ortonormal sistemalarni o‘rganadigan bo‘lsak,
ular orasida quyidagi bog‘lanish bor.
Agar
 (t ) sistema
n
L2 [a, b] fazoda to‘la ortonormal bo‘lsa, u holda
{n,m (t , s)}  { n (t ) m (s)} sistema L2 ( D) fazoda to‘la va ortonormal bo‘ladi.
Darhaqiqat,
119
b b
    t , s    t , s dtds 
n ,m
k ,l
a a
b b
   n  t  m  s  k  t  l  s dtds 
a a
b
b
a
a
  n  t  k  t dt  m  s  i  s ds 
1, agar k  n, m  l bo'lsa,

0, aks holda,
ya’ni n ,m  t , s  - ortonormal sistema.
Biror f  t , s   L2  D  funksiya hamma n ,m  t , s  funksiyalarga ortogonal bo‘lsa,
u holda ixtiyoriy m, n uchun
b b
  f  t , s   t   s dtds  0
n
m
a a
ya’ni
b
a
b


 m  s    f  t , s  n  t dt  ds  0
a
Demak,
b
f 0  s    f  t , s n  t dt  L2  a, b 
a
funksiya hamma  m  s  funksiyalarga ortogonal. Bu sistema to‘la bo‘lgani
sababli f 0  s   0 , ya’ni deyarli barcha s0   a, b uchun
b
 f  t , s   t dt  0
0
n
a
Yana
  t  sistemaning to‘la ekanligidan foydalansak, deyarli barcha
n
s0   a, b uchun f  t , s   0 funksiya t ga nisbatan deyarli hamma yerda aynan
nolga teng ekanligi kelib chiqadi. Demak, f  t , s0   0 . Bu esa n ,m  t , s 
sistemaning to‘laligini bildiradi.
Kompleks Evklid fazosida elementning normasi haqiqiy Evklid fazosidagi kabi
kiritiladi:
120
 x, x 
x 
Elementlarning ortogonalligi tushunchasi ham odatdagidek kiritiladi, ya’ni (x, y)
=0 bo‘lsa, x va y o‘zaro ortogonal elementlar deyiladi.
E kompleks Evklid fazosida {  n } ketma-ketlik ortonormal sistema bo‘lsin, ya’ni
1) i , j   0 i  j ,
2)  i  1, i  1,2,...
Agar f  Ei ixtiyoriy element bo‘lsa, u holda
cn   f ,n 
lar f elementning { n } sistemaga nisbatan Furye koeffitsientlari deyiladi va

c 
n 1
n n
ifoda f elementning Furye qatori deyiladi. Haqiqiy fazolarga o‘xshash,
kompleks fazolar uchun ham Bessel tengsizligi o‘rinlidir, ya’ni

c
n 1
n
2
  f , f .
To‘la kompleks Evklid fazosi kompleks Gilbert fazosi deyiladi.
Quyidagi teorema 4.3- § dagi 4-teoremaga o‘xshash isbotlanadi.
1-teorema. Ixtiyoriy ikki cheksiz o‘lchamli separabel kompleks Gilbert fazosi
izometrik izomorfdir.
Mashq uchun masalalar
1. Normaning quyidagi xossalarini isbotlang:
1) x  y  x  y ;
2)
x  xn  0 bo‘lsa (ya’ni xn ketma-ketlik x elementga norma bo‘yicha
yaqinlashsa),
xn  x
munosabatni isbotlang.
121
2.
V Banax fazosida M qism fazo berilgan bo‘lsin (ya’ni M yopiq vektor qism
fazo). V0  V / M faktor fazoda normani quyidagicha aniqlaymiz:
  inf
x ,  -ekvivalentlik sinfi.
x
Bu formula bilan aniqlangan funksionalning norma ekanligini va V0 fazo shu
normaga nisbatan to‘la ekanligini isbotlang.
3. Haqiqiy funksiyalarning L2[0,1] sinfi deb, [0,1] segmentda kvadrati bilan
jamlanuvchi funksiyalar to‘plamiga aytiladi.
a) Ushbu Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligini isbotlang:
1
2
2
 1
 1
 2
0 f  x  g  x  dx   0 f  x  dx   0 g  x  dx   ;


1
b) L2[0,1] fazoda odatdagi algebraik amallarni va ushbu
1
 f , g    f  x  g  x  dx
0
skalyar ko‘paytmani kiritsak, bu fazo Evklid fazosiga aylanishini isbotlang;
c) L2[0,1] Evklid fazosida ortogonal bo‘lgan ikki elementga misol keltiring;
d) Ushbu f  x   x funksiya  sonning qanday qiymatlarida L2[0,1] fazoga
tegishli bo‘ladi?
4. Normalangan V haqiqiy fazoda ushbu tenglik bajarilsin:
2
2
2
2
x  y  x  y  2 x  y ,


Quyidagicha aniqlangan funksiyani skalyar ko‘paytma ekanligini isbotlang:
 x, y  


1
2
2
x y  x y .
4
5. Separabel bo‘lmagan Gilbert fazosiga misol keltiring.
6. Separabel bo‘lmagan Gilbert fazosida ham to‘la ortonormal sistema
mavjudligini isbotlang.
7. H Gilbert fazosida {α} to‘la ortonormal sistema bo‘lsin. Ixtiyoriy
f  H element uchun ushbu
122
f    f ,  ,
f
2

   f , 
2

tengliklar o‘rinli ekanligini isbotlang (bu yerdagi yig‘indilarda noldan farqli
elementlarning soni chekli yoki sanoqlidir).
8. l2 Gilbert fazosida quyidagi qism fazoni olamiz:
M k  x   a1 , a2 ,..., an ,... : a1  a2  ...  ak .
M k -qism fazoni toping.
9. L2[0,1] Gilbert fazosida o‘zgarmas funksiyalardan hosil bo‘lgan qism
fazoning ortogonal to‘ldiruvchisini toping.
10. Gilbert fazosida uzluksiz chiziqli f funksionalni olib, quyidagi to‘plamni
tuzamiz:
V0  x V : f  x   0.
a) V0 Gilbert fazosi ma’nosida qism fazo ekanligini isbotlang;
b) V0 -qism fazoning o‘lchamini toping.
11. L2[a,b] kompleks fazoda skalyar ko‘paytmani quyidagicha aniqlaymiz:
b
 f , g    f  t  g t dt
a
a) skalyar ko‘paytmaning xossalarini isbotlang.
b) C2  a, b Evklid fazosi L2[a,b] fazoning yopiq bo‘lmagan qism fazosi
ekanligini isbotlang.
12. Separabel Gilbert fazosi bir o‘lchamli qism fazolarining to‘g‘ri
yig‘indisi bo‘lishini ko‘rsating.
13. Separabel Gilbert fazosida sanoqli, lekin to‘la bo‘lmagan ortogonal
sistema quring.
14. Separabel Gilbert fazosida M ham, M  ham cheksiz o‘lchamli bo‘lgan
qism fazo mavjudligini isbotlang.
15. C[a,b] fazoda uning normasini hosil qiluvchi skalyar ko‘paytma
mavjud emasligini isbotlang.
123
V BOB. TOPOLOGIK VEKTOR FAZOLAR
5.1-§. Topologik vektor fazoning ta’rifi va ba’zi xossalari
E kompleks yoki haqiqiy sonlar maydoni K ustidagi vektor fazo va 
undagi topologiya bo‘lsin.
Ta’rif. (E,  ) juftlik topologak vektor fazo deyiladi, agar x+y va   x
algebraik amallar
x, y  E,   K
o‘zgaruvchilar bo‘yicha birgalikda 
topologiyaga nisbatan uzluksiz bo‘lsa, ya’ni ixtiyoriy x, y  E va   K uchun:
1) x+y nuqtaning har bir U(x+y) atrofi uchun x va y ning mos ravishda shunday
U(x) va U(y) atroflari mavjudki, ular uchun U  x   U  y   U  x  y 
munosabat o‘rinli;
2)  x nuqtaning ixtiyoriy U   x  atrofi uchun x ning shunday U(x) atrofi va
shunday r>0 son mavjudki,     r shartni qanoatlantiruvchi barcha 
sonlar uchun U  x   U   x  munosabat o‘rinli.
Topologik vektor fazoning topologiyasi vektor topologiya deyiladi.  E , 
topologik vektor fazo bo‘lsin. Har bir a  E va   K ,   0 uchun
f a  x   x  a va g  x    x ko‘rinishda aniqlangan f a : E  E va g : E  E
aks ettirishlarni olamiz.
1-teorema. f a va g  aks ettirishlar (E,  ) ni o‘zini o‘ziga gomeomorf aks
ettiradi.
Isboti. Vektor fazoning ta’rifiga ko‘ra, fa va g  aks ettirishlar o‘zaro bir
qiymatlidir. So‘ngra fa uchun teskari aks ettirish f  a , g uchun esa g 1 teskari

aks ettirish bo‘ladi.
Topologik
vektor
fazoda
algebraik
amallarning
uzluksizligidan
f a , g , f  a , g 1 aks ettirishlarning uzluksizligi kelib chiqadi. Demak, f a ham,

g  ham gomeomorfizmdir.
124
Bu tasdiqdan kelib chiqadiki, agar
vektor
fazodagi
nolning
atroflari
  U  sistema (E,) topologik
sistemasi
bazisi
bo‘lsa,
u
holda
  a  U : U  sistema (E,  ) fazodagi a nuqtaning atroflari sistemasi
a
uchun bazis bo‘ladi. Demak, topologik vektor fazoning topologiyasi 3.2-§ dagi
2-teoremaga asosan nolning atroflari sistemasining bazisi bilan to‘la aniqlanar
ekan.
2-teorema. Agar (E,  ) topologik vektor fazodagi   U  nolning
atroflari sistemasi uchun bazis bo‘lsa, u holda
1) har bir U yutuvchi to‘plam;
2) har bir U  uchun shunday V  mavjudki, V  V  U ;
3) nolning shunday muvozanatlashgan W atrofi mavjudki, W  U bo‘ladi.
Isboti. 1) a  E va f      a,   K bo‘lsin. U holda f : K  E aks
ettirish  =0 nuqtada uzluksiz bo‘lgani tufayli ixtiyoriy U  uchun 0  K
ning shunday  :     atrofi mavjudki, uning f aks ettirishdagi tasviri U ning
qismi bo‘ladi, ya’ni agar    bo‘lsa, a U bo‘ladi.
Bundan, agar  
2)
1

tengsizlik bajarilsa, a  U ekanligi kelib chiqadi;
g  x, y   x  y;  g : E  E  E  aks ettirish  x, y    ,  nuqtada
uzluksiz bo‘lgani tufayli ixtiyoriy U 
uchun nolning shunday V1 va V2
atroflari mavjudki, agar x V1 va y V2 bo‘lsa, u holda
x  y U .
3.2-§, 2-teoremaga asosan nolning shunday V  atrofi mavjudki,
V  V1 V2 bo‘ladi, bundan esa V  V  U ekanligi kelib chiqadi;
3)
Ushbu h   , x    x  h : K  E  E  aks ettirish (0, ) nuqtada
uzluksiz bo‘lgani uchun nolning shunday V  atrofi va  >0 son mavjudki,
   va x V shartlarni qanoatlantiruvchi  va x uchun  x U , ya’ni
V  U . So‘ngra W sifatida ushbu W   V to‘plamni olamiz. Ravshanki, W
nolning atrofi va W  V .
125
Ixtiyoriy x W uchun shunday  (    ) topiladiki, x  V . Bundan
ixtiyoriy t  E uchun tx  tV . Endi, agar t  1 bo‘lsa, u holda t   , va
demak, tx  V , bu yerda    . Shunday qilib, tx   V  W , ya’ni W
 
to‘plam nolning W  U shartni qanoatlantiruvchi muvozanatlashgan atrofi
ekan.
Natija. Har bir topologik vektor fazoda nolning atroflari sistemasining
muvozanatlashgan atroflardan iborat bazisi mavjuddir.
Ta’rif. Agar topologik vektor fazoda nolning atroflari sistemasining
qavariq atroflardan iborat bazisi mavjud bo‘lsa, bunday topologik vektor fazo
lokal qavariq fazo deyiladi.
3-teorema. Lokal qavariq fazoda nolning atroflari sistemasining quyidagi
xossalarga ega bo‘lgan  bazisi mavjuddir:
1) ixtiyoriy U  va V  uchun shunday W  mavjudki, W  U  V ;
2) agar U  bo‘lsa, barcha   0 uchun U  ;
3) har bir U  absolyut qavariq va yutuvchi to‘plamdir.
Aksincha, agar E vektor fazoda uning qism to‘plamlaridan iborat va 1)
—3) shartlarni qanoatlantiruvchi bo‘sh bo‘lmagan  sistema berilgan bo‘lsa,
u holda E da shunday topologiya mavjudki, bu topologiyada E lokal qavariq
fazo bo‘lib,  esa undagi nolning atroflari
sistemasi uchun bazisni tashkil
etadi.
Isboti. E lokal qavariq fazo bo‘lgani uchun unda nolning qavariq
atroflaridan iborat  bazis mavjud. Faraz qilaylik, U  ana shunday
U  U to‘plam nolning absolyut
atroflardan biri bo‘lsin. Ushbu W 
 1
qavariq atrofi ekanligini isbotlaymiz.
2-teoremadan har bir U  uchun nolning muvozanatlashgan V  U
atrofi mavjudligi kelib chiqadi. Bundan V  U munosabat barcha   1
uchun o‘rinli. Ammo V muvozanatlashgan atrof bo‘lgani uchun V  V .
U  W va demak, W nolning atrofi ekan. Har bir U qavariq
Demak, V 
 1
126
to‘plam ekanligidan W ning ham qavariqligi kelib chiqadi. Endi W ning
muvozanatlashgan to‘plam ekanligini ko‘rsatamiz, ya’ni barcha  (   1) uchun
W  W munosabatni isbotlaymiz. Ixtiyoriy x V element va  (  )  1)
sonni olamiz. Ma’lumki, bunday kompleks sonni   rt (0  r  1, t  1)
ko‘rinishda
yozish
mumkin.
U
holda
W
qavariq
bo‘lgani
uchun
rx  rx  (1  r ) W  U , ya’ni ixtiyoriy  (   1) son uchun rx   U .
Endi t 1  1 munosabatni hisobga olsak, rx  t 1U , bundan  x  t  r  x  U .
Olingan  (   1) ixtiyoriy bo‘lgani sababli  x 
U  W .
 1
Shunday qilib, W to‘plam U ning ichida joylashgan nolning bir vaqtda
ham qavariq, ham muvozanatlashgan, ya’ni absolyut qavariq atrofi ekan.
Bundan lokal qavariq fazolarda nolning absolyut qavariq atroflaridan iborat 
bazisi mavjud ekanligi kelib chiqadi. Ushbu   {V :   0, V } sistemani
olsak, u ham nolning atroflari sistemasi uchun absolyut qavariq atroflardan
iborat va 2) shartni qanoatlantiruvchi bazis bo‘ladi.  bazis bo‘lgani sababli 1)
shart o‘rinlidir.  ning tuzilishidan uning 3) shartni ham qanoatlantirishi kelib
chiqadi.
Aksincha, endi sistema 1)-3) shartlarni qanoatlantirsin deb faraz qilaylik.
Ushbu   {V  E : biror U  uchun U  V } sistemani olamiz. U holda
a  {a  V : V  E} sistema a  E nuqtaning atroflari sistemasining 1) - 4)
xossalarini qanoatlantiradi (3.2-§). Haqiqatan ham 1) - 3) shartlarning bajarilishi
ravshan. 4) shartning bajarilishini tekshiramiz. Agar a  V a bo‘lsa, u holda
1
shunday U  , mavjudki, U  V o‘rinli, bundan esa barcha b  a  U uchun
2
1
a  V b ekanligi kelib chiqadi, chunki b  U  a  U  a  V . Demak, 4)
2
xossa isbotlandi. Shunday qilib, E fazoda a  E nuqtaning  a atroflari sistemasi
bilan aniqlangan  topologiya mavjuddir. Nihoyat, shu topologiyaning vektor
topologiya ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy
127
1  
1 

U , x, y  E uchun  x  U    y  U   x  y  U
2  
2 

munosabat o‘rinli ekanligidan qo‘shish amalining uzluksizligi kelib chiqadi.
Endi
x
ko‘paytmaning
uzluksizligini
ko‘rsatamiz.
Ixtiyoriy
a  E,   K va U  ni olamiz. U yutuvchi to‘plam bo‘lgani uchun shunday
  0 mavjudki, a   U bo‘ladi. So‘ng 0  2 
va 0  2 
1

shartni qanoatlantiruvchi 
1
shartni qanoatlantiruvchi  sonlarni tanlaymiz. Ushbu
 
     va x  a  U shartlarni qanoatlantiruvchi  son va x  E uchun
 x   a   ( x  a)  (   )a  (    )U  U  U
ya’ni skalyarga ko‘paytirish amali ham uzluksizdir.*
4-teorema. Topologik vektor fazoda qavariq to‘plamning yopilmasi
qavariq, muvozanatlashgan to‘plamning yopilmasi esa muvozanatlashgan
bo‘ladi.
Isboti. A qavariq to‘plam bo‘lsin. Nolning har bir U atrofi uchun 2teoremaga asosan muvozanatlashgan shunday V atrofi mavjudki, V  V  U .
Biror a, b  A nuqtalarni olsak, u holda x  A (a  V ) va y  A (b  V )
nuqtalar mavjud. A to‘plam qavariq bo‘lgani tufayli ixtiyoriy r (0< r <1) son
uchun
rx  (1  r ) y [rA  (1  r ) A] [ra  (1  r )b  rV 
(1  r )V ]  A [ra  (1  r )b  V  V ]  A (ra  (1  r )b  U )
.
Demak, ixtiyoriy U uchun
(r  a  (1  r )b  U )
A  ,
ya’ni ra  (1  r )b  A . Muvozanatlashgan to‘plam uchun ham isbot shunga
o‘xshash bo‘ladi.*
1-natija. Topologik vektor fazoda abvolyut qavariq to‘plamning
yopilmasi ham absolyut qavariqdir.
2-natija. Topologik vektor fazoda nolning atroflari sistemasining yopiq
128
muvozanatlashgan atroflardan iborat bazisi mavjuddir; lokal qavariq fazolarda
esa nolning atroflari sistemasining yopiq absolyut qavariq atroflardan iborat
bazisi mavjuddir.
Isboti.  nolning muvozanatlashgant atroflaridan tashkil topgan bazis
bo‘lsin.   {U : U } sistemani olamiz. 4-teoremadan  nolning yopiq,
muvozanatlashgan atroflari sistemasi ekanligi kelib chiqadi. Endi  nolning
barcha atroflari sistemasi uchun bazis tashkil etishini isbotlaymiz. U nolning
ixtiyoriy atrofi bo‘lsin. U holda shunday V  mavjudki, V  V  U bo‘ladi.
Endi, agar x V bo‘lsa, unda ( x  V ) V   munosabat o‘rinli va shuning
uchun x V  V  V  V  U , ya’ni V  U . Demak,  nol atroflarining
bazisidir. Fazo lokal qavariq bo‘lgani holda  sifatida 3-teoremadagi bazisni
olsak, 4-teoremaning 1-natijasiga ko‘ra har bir U  uchun U absolyut
qavariqdir; qolgan xossalar esa osonlikcha ko‘rsatiladi.*
5-teorema.  sistema E topologsh vektor fazodagi nolning atroflari
sistemasining bazisi bo‘lsin. E ning Xausdorf fazosi bo‘lishi uchun
U 
U   
shart bajarilishi zarur va kifoyadir.
Isboti. Agar E Xausdorf fazosi va x   bo‘lsa, shunday U  mavjudki,
x bo‘ladi, ya’ni
U 
U    shart bajariladi. Aksincha,
U 
U    bo‘lsin.
Ixtiyoriy x  y uchun x  y   demak, shunday U  mavjudki, x  yU
munosabat qanoatlantiriladi. So‘ng V  V  U
shartni qanoatlantiruvchi
muvozanatlashgan V  atrofni olamiz. U holda ( x  V ) ( y  V )   .
Darhaqiqat, agar z  ( x  V ) ( y  V ) element mavjud bo‘lsa edi, u holda
x  y  ( z  y)  ( z  x) V  V  V  V  U
bo‘lar edi. Bu esa
munosabatga zid. Shunday qilib, E Xausdorf fazosidir.*
129
x  yU
5.2-§. Yarimnormalar
E vektor fazodagi yarimnorma deb, E da aniqlangan va quyidagi ikki
shartni qanoatlantiruvchi p : E  R haqiqiy funksiyaga aytiladi:
(1) p( x)   p( x) barcha   K va x  E uchun;
(2) p( x  y)  p( x)  p( y) barcha x, y  E uchun (yarim additivlik).
Agar ixtiyoriy x   uchun (x)>0 bo‘lsa, ravshanki, p - normadir.
1-teorema. p funksiya E vektor fazodagi yarimnorma bo‘lsin. U holda
1) p (  ) = 0;
2) p( x)  p( y)  p( x  y) barcha x, y  E uchun;
3) p(x)  0 barcha x  E uchun;
4) {x:p(x) = 0} to‘plam E ning vektor qism fazosi bo‘ladi;
5) V = {x : p (x) < 1} to‘plam absolyut qavariq va yutuvchidir.
Isboti. 1) xossa p(αx) = |α|p(x) shartdan α = 0 bo‘lganda kelib chiqadi;
2) p ning yarimnorma ekanligidan p( x)  p( x  y  y)  p( x  y)  p( y) ,
ya’ni
p ( x)  p ( y )  p ( x  y ) .
Shunga
o‘xshash,
p ( y  x)  p ( y )  p ( x)
tengsizlik ham o‘rinli. p( x  y)  p( y  x) bo‘lgani uchun yuqoridagilardan
p( x)  p( y)  p( x  y) tengsizlik kelib chiqadi;
3) agar 2) xossada y= deb olsak, p( x)  p( x)  0 tengsizlik kelib chiqadi,
ya’ni x  E uchun p(x)  0 ;
4) endi p( x)  p( y)  0 va  ,   K bo‘lsa,
0  p( x   y)   p( x)   p( y)  0
munosabatdan p( x + βy) = 0 tenglik kelib chiqadi, ya’ni {x: p(x)= 0} to‘plam
E ning vektor qism fazosi ekan;
5) ushbu V  {x : p( x)  1} to‘plamni olaylik. Ravshanki, V muvozanatlashgan.
Agar x, y V va 0  t  1 bo‘lsa,
p(tx  (1  t ) y)  tp( x)  (1  t ) p( y)  t  1  t  1
130
o‘rinli bo‘ladi. Shuning uchun V qavariqdir, demak, V absolyut qavariq to‘plam
1  1
ekan. x  E va t  p( x) bo‘lsa, u holda p  x   p( x)  1 , yani t 1 x  B .
t  t
Shunday qilib, x  tB . Demak V - yutuvchi to‘plam.*
Ta’rif. Absolyut qavariq va yutuvchi A to‘plam berilgan bo‘lsin. Ushbu
pA ( x)  inf{t  0 : x  tA} funksiya A to‘plamning Minkovskiy funksionali
deyiladi. A to‘plam yutuvchi bo‘lgani sababli barcha x  E uchun pA ( x)   .
2-teorema. A to‘plam E vektor fazodagi absolyut qavariq va yutuvchi
to‘plam bo‘lsin. U holda
1) pA ( x) funksional E da yarimnorma bo‘ladi;
2) B  {x : pA ( x)  1} va C  {x : pA ( x)  1} to‘plamlar uchun B  A  C va
pB  pA  pC munosabatlar o‘rinlidir.
Isboti. Har bir x  B uchun H A ( x)  {t  0 : x  tA}  R to‘plamni tuzamiz.
t  H A ( x) va s>t bo‘lsin. A to‘plam qavariq va   A bo‘lgani sababli ixtiyoriy
t
 t
x  A uchun 1    x  A bo‘ladi, ya’ni t x  sA munosabat o‘rinlidir.
s
 s
Bundan tA  sA munosabat va NA(x) to‘plamning yarim to‘g‘ri chiziqdan iborat
ekanligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy x, y  E uchun ushbu
pA ( x)  s va pA ( y)  t
(1)
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy s va t sonlarni olamiz. U holda x  s A
va y  t A bo‘ladi; bundan esa A absolyut qavariq to‘plam bo‘lganligi uchun
x  y  sA  tA  (s  t ) A
munosabat
kelib
chiqadi.
Shunga
ko‘ra
pA ( x  y)  s  t . Bundan (1) tengsizliklardagi s va t sonlar ixtiyoriy bo‘lgani
uchun pA ( x  y)  pA ( x)  pA ( y) kelib chiqadi. pA ( x)   pA ( x) munosabat
shunga o‘xshash ko‘rsatiladi.
Agar pA ( x)  1 bo‘lsa, 1 H A ( x) , ya’ni x  A . Ravshanki, agar x  A
bo‘lsa, pA ( x)  1. Shularga ko‘ra B  A  C . Bundan ixtiyoriy x uchun
H B ( x)  H A ( x)  H C ( x) ya’ni
131
pC ( x)  pA ( x)  pB ( x) .
(2)
Endi ushbu
pC ( x)  s  t
(3)
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy s, t sonlarni olamiz. U holda
x
 C va
s
x
x
 x s
demak, p A    1 , shunga ko‘ra p A     1. Demak,
 B , bundan
t
s
t t
x
pB    1 ya’ni pB ( x)  t .
t
Yuqoridagi (3) tengsizlikda s, t ixtiyoriy bo‘lgani sababli pB ( x)  pC ( x) .
Bundan va (2) munosabatdan pC ( x)  pB ( x) tenglik kelib chiqadi.*
E vektor fazoda yarimnormalarning biror P sistemasi berilgan bo‘lsin.
Agar har bir x  0 uchun shunday p  P mavjud bo‘lsaki, uning uchun p ( x)  0
shart bajarilsa, P sistema E vektor fazoning nuqtalarini ajratuvchi sistema
deyiladi.
3-teorema. Lokal qavariq E Xausdorf fazosida nol atroflari sistemasining
absolyut qavariq atroflardan iborat bo‘lgan  bazisini olamiz, pU esa U 
atrofning Minkovskiy funksionali bo‘lsin. U holda { pU , U } sistema E ning
nuqtalarini ajratuvchi uzluksiz yarimnormalar sistemasini hosil qiladi.
Isboti. Agar x  E va x  0 bo‘lsa, shunday U  mavjudki, xU , ya’ni
2-teoremaga asosan pU ( x)  1 . Shunday qilib, { pU , U } sistema E ning
nuqtalarini ajratuvchi yarimnormalar sistemasidir.
Endi ixtiyoriy V  va   0 olamiz. U holda barcha x  V uchun
V ( x)   ; bundan, agar x- y  V
bo‘lsa,
pV ( x)  p ( y)  pV ( x  y)  
V
ekanligi, ya’ni yarimnormaning uzluksizligi kelib chiqadi.*
4-teorema. E vektor fazoda P yarimnormalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
Har bir   0 va p  P uchun V ( p,  )  {x : p( x)   } to‘plamni tuzamiz. 
sistema V ( p,  ) to‘plamlarning barcha chekli kesishmalaridan iborat bo‘lsin. U
holda E da shunday  vektor topologiya mavjudki, bu topologiyada:
132
1) E lokal qavariq fazo va har bir p  P uzluksiz;
2)  nolning barcha atroflari sistemasi uchun bazisdir;
3) agar P sistema E ning nuqtalarini ajratuvchi bo‘lsa, (E,  ) Xausdorf fazosi
bo‘ladi.
Isboti. Har bir V(r,  ) to‘plam absolyut qavariq va yutuvchi bo‘lgani
uchun  ning elementlari ham absolyut qavariq va yutuvchi bo‘ladi. Ixtiyoriy 
>0 uchun V ( p,  )  V ( p,  ) munosabat o‘rinli bo‘lganligidan, har bir U 
va  >0 uchun U  ekanligi kelib chiqadi.
Endi agar U1 va U 2  bo‘lsa, shunday U  topiladiki, U  U1 U 2
munosabat bajariladi. Shunday qilib, 5.1-§ dagi 3-teoremaning barcha shartlari
bajarildi, demak E da teoremamizning 1 va 2-xossalarini qanoatlantiruvchi 
topologiya mavjuddir. Endi V ( p,  ) to‘plamlarning aniqlanishiga ko‘ra har bir
pP
yarimnormaning
uzluksizligi
kelib
chiqadi.
Nihoyat,
R
yarimnormalarning ajratuvchi sistemasi bo‘lsin deb faraz qilaylik. U holda
V (  ,  )  { } bo‘ladi, shunday qilib, 5.1- §; ning 5-teoremasiga
U
U 
pP ,  0
ko‘ra (E,) lokal qavariq Xausdorf fazosidir.*
Misollar. 1. Chekli o‘lchamli fazolar. Agar n o‘lchamli Evklid fazosida
x 
topologiya
n
x
i 1
2
i
norma yordamida aniqlansa, bu fazo lokal qavariq
Xausdorf fazosi bo‘ladi. Bunda nolning barcha atroflari sistemasining bazisi
sifatida ushbu V  {x : x   }(  0) to‘plamlarni olish mumkin.
2. Uzluksiz funksiyalar fazosi. a) [a,b] segmentdagi barcha uzluksiz
haqiqiy (yoki kompleks) funksiyalarning C[a, b] to‘plamida topologiya
x  max x(t ) norma bo‘yicha aniqlansa C[a, b] ham lokal qavariq fazoni
a t b
tashkil etadi;
b)
uzluksiz
M
kompakt,
haqiqiy
C(M)
(yoki
to‘plam
kompleks)
bu
kompaktdagi
barcha
funksiyalardan
iborat
bo‘lsin. Ushbu x  max x(t ) norma yordamida kiritilgan topologiyada C(M)
tM
133
lokal qavariq fazo bo‘ladi;
c)
C(R)
to‘g‘ri
chiziqdagi
barcha
uzluksiz
haqiqiy
(yoki kompleks) funksiyalar to‘plami bo‘lsin. Har bir n  N uchun ushbu
pn ( x)  max x(t ) yarimnormani aniqlaymiz.
 n t  n
C(R) fazo {n : 1,2,...} yarimnormalar sistemasi bilan aniqlangan
topologiyada lokal qavariq Xausdorf fazosidir.
3. Har bir normalangan chiziqli fazo o‘zining normasi orqali kiritilgan
topologiyada lokal qavariq Xausdorf fazosi bo‘ladi, bunda nol atroflarining
bazisi vazifasini {x : x   ,   0} sistema bajaradi.
4. Cheksiz differensiallanuvchi funksiyalar fazosi.
a) C  [a, b] fazo [a, b] segmentdagi cheksiz differensiallanuvchi haqiqiy
(yoki
kompleks)
funksiyalarning
vektor
fazosi
bo‘lsin.
Ushbu
pm ( x)  max x( m ) (t ) , (m  N , x  C [a, b]) belgilashni kiritamiz.
a  t b
U holda { pm : m  N} sistema C  [a, b] fazoning nuqtalarini ajratuvchi
yarimnormalar sistemasini tashkil etadi va bu sistema yordamida kiritilgan
topologiyada C  [a, b] lokal qavariq Xausdorf fazosi bo‘ladi;
b) C  ( R) to‘g‘ri chiziqdagi barcha cheksiz differentsiallanuvchi haqiqiy
(yoki kompleks) funksiyalar to‘plami bo‘lsin.
pmn ( x)  max x( m ) (t )
 n t  n
ifoda
yarimnormani aniqlaydi, bu yerda m, n  N , x  C  ( R) .
Bu holda ham { pmn : m, n  N} yarimnormalar sistemasi C  ( R) fazoning
nuqtalarini ajratib, unda lokal qavariq Xausdorf topologiyasini aniqlaydi.

5. Biror p musbat son uchun l p fazo ushbu  x   munosabatni
p
n 1
qanoatlantiruvchi barcha ketma-ketliklardan iborat bo‘lsin. Har qanday
a  0, b  0, 0    1 uchun (a  b) p  a p  b p tengsizlik

sababli d ( x, y )   xn  yn
n 1

o‘rinli bo‘lgani
funksiya l p da metrika bo‘ladi. Bu metrika l p da 
vektor topologiyani aniqlashini, ya’ni (l p ,  ) topologik vektor fazo ekanligini
134
ko‘rsatamiz.
Metrikaning ko‘rinishidan ravshanki,
d ( x  z, y  z )  d ( x, y ),
(4)
d (  x,  y )   d ( x , y )
p
bu yerda x, y, z  l p ,   R .
Topologik vektor fazo ta’rifidagi 1) va 2) aksiomalarni tekshiramiz.
Ma’lumki,
X
metrik
fazoda
x
nuqtaning
atroflari
U ( x,  )  {z  X :  ( x, z)   } ko‘rinishda olinadi. Demak, 1) aksiomaning
bajarilishini isbotlash uchun
U ( x,  / 2)  U ( y,  / 2)  U ( x  y,  )
(5)
munosabatni isbotlash kifoya. Ixtiyoriy z1 U ( x,  / 2) va z2 U ( y,  / 2)
nuqtalar uchun d ( x, z1 )   / 2, d ( y, z2 )   / 2 , Demak, (4) munosabatlarning
birinchisiga asosan
d ( x  y, z1  z2 )  d ( x  y  z1 , z2 )  d ( x  z1 , z2  y )  d ( x  z1 ,  ) 
 d ( , z2  y )  d ( x, z1 )  d ( y, z2 )  
,
ya’ni z1  z2 U ( x  y,  ) ; shu bilan (5) isbotlandi.
Endi 2) aksiomaning bajarilishini isbotlaymiz. Ixtiyoriy x  l p elementni
va
  R sonni olamiz. U ( x,  ) atrof  x elementning ixtiyoriy  -atrofi
bo‘lsin. Endi 1  0 va r>0 sonlarni quyidagi tengsizliklarni qanoatlantiradigan
qilib olamiz:
1

p

r 
 ,
 2 d ( x, ) 
z U ( x, 1 )
U holda ixtiyoriy
1 
va

2(   r ) p
  R(     r )
uchun (4)
munosabatlarga asosan
d ( x,  z )  d ( x   x,  z   x)  d ( x   x,  )  d ( ,  z   x) 
    d ( x, )   d ( x, z )  r p d ( x, )  (   r ) p d ( x, z ) 
p
p
Demak,  z U ( x,  ) , ya’ni 2) aksioma ham bajariladi.
135

2


2

Shunday qilib, (l p , ) - topologik vektor fazo. Ammo, (l p , ) lokal qavariq
fazo emas. Shuni ko‘rsatamiz. Agar (l p , ) lokal qavariq fazo bo‘lganida edi,
nolning {x : d ( x, )  1} atrofida joylashgan har bir V atrof uchun uning shunday
qavariq atrofi U va W  {x : d ( x,   )} atrofi mavjudki, ular ushbu W  U  V
munosabatlarni qanoatlantirar edi. Quyidagi ketma-ketlikni tuzamiz:
1, agar r  n bo ' lsa,
(r )
x( r )  {xn ( r ) } , bu yerda xn  
0, agar r  n bo ' lsa
1
p
U holda barcha r=1, 2, uchun  x( r ) W  U . Endi U qavariqligidan har
bir n  N uchun
p
y
 n
 x U  V
n
(r )
r 1
munosabat kelib chiqadi. Ammo d ( y, )   n1  masofa uchun p yetarlicha katta
bo‘lganda d ( y, )  1 . Ya’ni yV . Bu ziddiyat (l p ,  ) fazoning lokal qavariq
emasligini ko‘rsatadi.
5.3-§. Xan-Banax teoremasi
E vektor fazo bo‘lsin. Mazkur paragrafda biz E ning biror vektor qism
fazosida aniqlangan chiziqli funksionalni uning ayrim xossalarini saqlagan holda
butun E fazoga davom ettirish masalasini ko‘ramiz. Quyida keltiriladigan
teoremalar topologik vektor fazolar nazariyasining eng muhim teoremalaridan
hisoblanadi.
1-teorema (Xan-Banax teoremasi) E haqiqiy vektor fazo, p unda
aniqlangan yarimnorma bo‘lib, f0 esa E ning E0 qism fazosida aniqlangan va
f0 ( x)  p( x) ( x  E0 )
(1)
shartni qanoatlantiruvchi chiiziqli funksional bo‘lsin. U holda E fazoda shunday
f chiziqli funksional mavjudki, u f0 ning davomi bo‘ladi (ya’ni f / E0  f 0 )
f ( x)  p ( x ) ( x  E )
(2)
136
Isboti. Agar E0  E munosabat o‘rinli bo‘lsa, f0 funksionalni (2) shartni
qanoatlantiradigan qilib biror E1  E0 vektor qism fazoga davom ettirish
mumkinligini ko‘rsatamiz. Biror z  E / E0 elementni olib, E0 va z bilan hosil
qilingan E1  E0  Rz vektor qism fazoni ko‘ramiz. Ta’rifga asosan, E1 fazoning
elementlari ushbu
tz  x, x  E0 , t  R
ko‘rinishga ega. f1 funksional f0 funksionalning E fazoga biror davomi bo‘lsa,
ravshanki,
f1 (tz  x)  tf1 ( z )  f0 ( x) .
Agar c  f1 ( z ) belgilash kiritsak, u holda ixtiyoriy c uchun f1 chiziqli
funksional f0 funksionalning davomi bo‘ladi. Biz c sonni (2) shartni nazarda
tutib tanlaymiz, ya’ni bu son ushbu
f0 ( x)  tc  p( x  tz )
tengsizlikni ixtiyoriy x va t uchun qanoatlantirsin. Musbat t uchun bu tengsizlik
quyidagi tengsizlikka ekvivalent:
 x
x

f0    c  p   z 
t
t

ya’ni
x

 x
c  p   z   f0  
t

t
(3)
Manfiy t uchun esa ushbu
 x

 x
c   p    z   f0  
 t

t
(4)
tengsizlik hosil bo‘ladi. Demak, (3) va (4) shartlarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi
c son mavjudligini isbotlash kerak.
E0 dan olingan ixtiyoriy y', y" elementlar uchun (2) shartga asosan
f 0 ( y)  f 0 ( y)  f 0 ( y  y)  p( y  y)  p(( y  z )  ( y  z )) 
 p( y  z )  p( y  z )
ya’ni
137
 f0 ( y)  p( y  z )   f 0 ( y)  p( y  z )
Bu yerda u' va u" ixtiyoriy bo‘lgani sababli
c  inf
( f0 ( y))  p( y  z ))  c  sup( f 0 ( y)  p( y  z))

y E0
yE0
Agar c  c  c tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror c sonni olsak, u holda
ixtiyoriy y, y  E0 uchun
 f0 ( y)  p( y  z )  c   f 0 ( y)  p( y  z )
Xususan y  y 
x
bo‘lganda, (3) va (4) tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi.
t
Shunday qilib, f0 funksionalni (2) shartni qanoatlantiradigan qilib E1
vektor qism fazoga davom ettirish mumkin.
Endi teoremaning isbotini Sorn lemmasi (6.1-§) yordamida yakunlaymiz.
Buning
uchun
( L, g )
juftliklardan
iborat bo‘lgan  to‘plamni ko‘ramiz, bu yerda:
1) L to‘plam E0  L  E munosabatni qanoatlantiruvchi vektor
qism fazo;
2)
g chiziqli funksional bo‘lib, f0 ning
L vektor qism fazoga davomi;
ixtiyoriy x  L uchun g ( x)  p( x) .
3)
 to‘plam bo‘sh emas, chunki ( E0 , f0 )  . Endi  to‘plamda qisman
tartib kiritamiz: agar L1  L2 bo‘lib, g2 funksional g1 funksionalning davomi
bo‘lsa, u holda ( L1 , g1 )  ( L2 , g 2 ) deb hisoblaymiz. Qisman tartiblangan 
to‘plamda Sorn lemmasining shartlari bajariladi. Haqiqatan 0   ixtiyoriy
chiziqli tartiblangan to‘plam bo‘lsin.
L0 
{L : ( L, g ) 0}
to‘plam E ning vektor qism fazosidir. Darhaqiqat x, y  L0 elementlarni olsak,
shunday L1, L2 fazolar topiladiki, x  L1 , y  L2 bo‘ladi va (L1,g1), ( L2 , g2 ) 0 .
0
chiziqli
tartiblangan
bo‘lgani
sababli
( L1 , g1 )  ( L2 , g1 )
yoki
( L2 , g2 )  ( L1 , g1 ) . Masalan, ( L1 , g1 )  ( L2 , g 2 ) deb faraz qilaylik, u holda L1  L2
138
va demak, x, y  L1 ya’ni ixtiyoriy  ,  haqiqiy sonlar uchun  x   y  L1  L0
.
L0 ning ixtiyoriy x elementi biror L(( L, g ) ) ga tegishli; g0 ( x)  g ( x)
deb olsak, L0 vektor qism fazoda biror g0 chiziqli funksional aniqlangan bo‘ladi.
Ravshanki, ( L0 , g0 )  va ( L0 , g0 ) element  0 to‘plam uchun yuqori
chegaradir. Sorn lemmasiga asosan  to‘plamda maksimal element (Lmax, fmax)
mavjud. Agar biz Lmax=E tenglikni isbotlasak, u holda fmax kerakli funksional
bo‘ladi. Agar
Lmax  E, Lmax  E
bo‘lganda edi, biz isbotning boshida
ko‘rsatilgan yo‘l bilan fmax funksionalni biror E1  Emax vektor qism-fazoga
davom ettirgan bo‘lar edik, bu esa (Lmax, fmax) maksimal element ekanligiga zid.
Demak, Lmax =E va fmax =f kerak bo‘lgan funksional.*
Endi
Xan-Banax
teoremasini
kompleks
vektor
fazolar
uchun
isbotlaymiz.
2-teorema. E kompleks vektor fazoda p biron yarimnorma bo‘lib, E ning
biror E0 vektor qism fazosida aniqlangan f0 chiziqli funksional
f0 ( x)  p( x) ( x  E0 )
shartni qanoatlantirsin. U holda E da aniqlangan shunday f funksional
mavjudki, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
f ( x)  p( x), x  E ,
(5)
f ( x)  f0 ( x), x  E0
Isboti. Ma’lumki, ixtiyoriy kompleks fazoni haqiqiy vektor fazo sifatida
qarash mumkin. ER va EoR bilan mos ravishda haqiqiy fazo sifatida olingan E va
E0 fazolarni belgilaymiz. Ravshanki, p yarimnorma ER fazoda ham
yarimnormadir va f0 R ( x)  Re f0 ( x) funksional (f0 ning haqiqiy qismi) E0R
fazoda ushbu
f 0 R ( x)  p ( x)
shartni qanoatlantiruvchi haqiqiy funksionaldir. Demak, EoR fazoda f0R
funksional
139
f 0 R ( x)  p ( x)
tengsizlikni qanoatlantiradi, ya’ni ER, EoR , foR lar uchun 1-teoremaning shartlari
o‘rinli. Shu teoremaga asosan ER fazoda aniqlangan ushbu
f R ( x)  p( x), x  ER
(6)
f R ( x)  f 0 R ( x), x  E0 R
xossalarga ega haqiqiy funksional mavjud. Ushbu
 f R ( x)  f R (  x)  p (  x)  p ( x )
tengsizlikka asosan quyidagi tengsizlikka egamiz:
f R ( x)  p( x), x  ER .
Endi f funksionalni E fazoda quyidagicha aniqlaymiz:
f ( x)  f R ( x)  if R (ix) .
Bu f (x) kompleks chiziqli funksional ekanligi bevosita tekshiriladi. f uchun
ushbu
f ( x)  f 0 ( x), x  E0 .
Re f ( x)  f R ( x), x  E
munosabatlar o‘rinli. Darhaqiqat, x0  E0 uchun
f ( x0 )  f R ( x0 )  if R (ix0 )  f 0 R ( x0 )  if 0 R (ix) 
 Re f 0 ( x0 )  i Re f 0 (ix0 )  Re f 0 ( x0 )  i Re(if 0 ( x0 )) 
 Re f 0 ( x0 )  iImf 0 ( x0 )  f 0 ( x0 )
Ikkinchi munosabat ixtiyoriy x  E uchun f R ( x) haqiqiy son ekanligidan kelib
chiqadi.
Nihoyat, f ( x)  p( x) tengsizlikni isbotlash kerak. Aksini faraz qilsak,
biror x0  E uchun ushbu f ( x0 )  p( x0 ) tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. Ma’lumki,
ixtiyoriy  kompleks sonni   rei (r  0, 0    2 ) ko‘rinishda yozish
mumkin. Xususan, f ( x0 )   ei . Agar y0  ei x0 elementni olsak, u holda
f R ( y0 )  Re f ( y0 )  Re[ei f ( x0 )]     ( x0 )   ( y0 )
Bu esa (6) munosabatga zid. Demak, ixtiyoriy x  E uchun f ( x)  p( x)
.*
140
5.4-§. Topologik vektor fazolarni metrikalashtirish va normalashtirish
(E,  ) topologik vektor fazo bo‘lsin. Agar E da shunday  ( x, y) metrika
mavjud bo‘lsaki, bu metrika yordamida kiritilgan topologiya  topologiya bilan
ustma-ust tushsa, bu fazoni metrikalashtirish mumkin deyiladi.
Agar ixtiyoriy x, y, z elementlar uchun  ( x  z, y  z )   ( x, y) tenglik
bajarilsa,  invariant metrika deyiladi. Agar (E, ) topologik vektor fazoda
topologiya biror bir invariant metrika bilan aniqlangan bo‘lib, bu metrikada E
to‘la fazo bo‘lsa, u  fazo deyiladi. Lokal qavariq  fazo Freshe fazosi deyiladi.
Ravshanki, agar (E, ) metrikalangan topologik vektor fazo bo‘lsa, u holda nol
atroflarining sanoqli bazisi mavjud bo‘ladi. Bunga teskari bo‘lgan quyidagi
tasdiq ham o‘rinli.
1-teorema. Agar (E, ) Xausdorf
topologik vektor fazosida
nolning
atroflari sistemasi uchun sanoqli bazis mavjud bo‘lsa, u holda E da shunday d
metrika mavjudki:
a) d metrika yordamida kiritilgan topologiya E ning  topologiyasi bilan
ustma-ust tushadi;
b) markazi nolda bo‘lgan ixtiyoriy ochiq shar muvozanatlashgandir;
c) d invariant, ya’ni barcha x, y, z  E uchun
d ( x  z, y  z )  d ( x, y)
Agar E fazo lokal qavariq ham bo‘lsa, d metrikani shunday tanlash
mumkinki, u a)-c) shartlardan tashqari quyidagi shartni ham qanoatlantiradi;
d) barcha ochiq sharlar qavariqdir.
Isboti. Teoremaning shartiga ko‘ra E fazoda nol atroflari sistemasining
Vn1  Vn1  Vn (n  1, 2, ...)
(1)

munosabatlarni qanoatlantiruvchi sanoqli bazisi {Vn }n1 mavjuddir. Agar E
lokal qavariq fazo bo‘lsa, Vp larni absolyut qavariq qilib tanlash
141
mumkin. D
bilan quyidagi ikki shartni qanoatlantiruvchi barcha ratsional sonlar to‘plamini
belgilaymiz:
1) har bir r  D ni ushbu

r   cn (r ) 2 n
(2)
n 1
ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda cn(r) =0 yoki 1;
2) yuqoridagi (2) qatorda ko‘pi bilan soni chekli cn(r) koeffitsientlar
noldan farqli.
Shunday qilib, har bir r  D uchun 0  r  1 tengsizlik o‘rinli. Ixtiyoriy
r  D son uchun quyidagi to‘plamni kiritamiz:
A(r )  c1 (r )V1  c2 (r )V2  c3 (r )V3  ...
(3)
2) shartga ko‘ra (3) tenglikning o‘ng tomonidagi noldan farqli hadlarning
soni chekli. Ixtiyoriy r  1 uchun A(r) =E deb qabul qilamiz. Har bir Vi to‘plam
ochiq bo‘lgani uchun A(r ) (r  0) ham ochiq.
So‘ng
f ( x)  inf{r : x  A(r )} ( x  E )
funksiyani
tuzamiz
va
d ( x, y)  f ( x  y)( x  E, y  E ) belgilashni kiritamiz.
d ning kerakli xossalarga ega bo‘lishi ushbu
A(r )  A(s)  A(r  s) (r, s  D)
(4)
munosabatga asoslanadi.
Bu munosabatni isbotlashdan oldin, qanday qilib bu munosabatdan
teoremaning o‘rinli ekanligi kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Har bir A(s), s  D
uchun   A( s) va (4) munosabatdan kelib chiqadiki, agar r<t bo‘lsa, u holda
A(r )  A(r )  A(t  r )  A(t )
(5)
Shunday qilib, {A(r)} to‘plamlar oilasi «  » munosabatga nisbatan
chiziqli tartiblangandir. Endi barcha x  E va y  E uchun
f ( x  y )  f ( x)  f ( y )
tengsizlikni isbotlaymiz. Buning
(6)
uchun
umumiyatlikni chegaralamasdan (6)
ning o‘ng tomonini 1 dan kichik deb faraz qilishimiz mumkin. Ixtiyoriy   0
son olamiz. D to‘plamda shunday r va s sonlar
142
topiladiki, ular
uchun
f ( x)  r , f ( y )  s
va
r  s  f ( x)  f ( y )  
x  A(r ), y  A(s) bo‘lsa, (4) dan
munosabatlar o‘rinli. Endi
ushbu x  y  A(r  s) munosabat kelib
chiqadi. Bundan f ( x  y)  r  s  f ( x)  f ( y)   tengsizliklar o‘rinlidir.   0
ixtiyoriy bo‘lgani uchun bundan o‘z navbatida (6) tengsizlik kelib chiqadi. Har
bir A(r) muvozanatlashgan bo‘lgani uchun f(x)=f(-x) bo‘ladi. Ravshanki,
f ( )  0 . Agar x  
bo‘lsa, shunday n  N
mavjudki, xVn  A(2 n )
munosabat bajariladi, ya’ni f ( x)  2 n  0 .
f(x) funksiyaning bu xossalaridan va d ( x, y)  f ( x  y) munosabatdan d
ning invariant metrika ekanligi kelib chiqadi.
Markazi nolda bo‘lgan ochiq sharlar E ning topologiyasyada ochiq
bo‘lishi ushbu
B (0)  {x : f ( x)   } 
A(r )
r 
tenglikdan kelib chiqadi. Endi agar   2 n bo‘lsa, B (0)  Vn bo‘ladi, ya’ni har
bir Vn to‘plam E dagi d metrika orqali kiritilgan topologiyada nolning atrofi
bo‘ladi. Bu mulohazalar a) ning o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
Har
bir
A(r)
muvozanatlashgan
bo‘lgani
uchun
B (0)
ham
muvozanatlashgan. Agar har bir Vn qavariq bo‘lsa, ixtiyoriy r  D uchun A(r)
ham qavariqdir; bundan (5) munosabatga ko‘ra har bir B (0) sharning
qavariqligi kelib chiqadi.
Endi (4) formulani induksiyani qo‘llab isbotlaymiz. PN quyidagi tasdiqni
bildirsin: agar r+s<1 bo‘lib, barcha n  N lar uchun cn(r)=cn(s)=0 bo‘lsa, u
holda
A(r )  A(s)  A(r  s)
(7)
P1 tasdiq bevosita ko‘rsatiladi. PN -1 tasdiq biror bir N > 1 uchun o‘rinli
bo‘lsin deb faraz qilaylik. Biror r  D, s  D, r  s  1 sonlar uchun n >N
bo‘lganda cn (r) = cn(s)=0 bo‘lsin. Biz r' va s' sonlarni quyidagicha aniqlaymiz:
r  r  cN (r )2 N , s  s  cN (s)2 N ,
(8)
u holda, ravshanki, r  s  r  s  1, cn (r)  cn (s)  cn (r  s)  0 (n  N  1) va
143
A(r )  A(r)  cN (r )VN ,
A(s)  A(s)  cN (s)VN
(9)
PN-1 tasdiq o‘rinli bo‘lgani sababli A(r)  A(s)  A(r  s) . Shunday
qilib,
A(r )  A(s)  A(r  s)  cN (r )VN  cN (s)VN
(10)
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Agar cN (r)= cN (s)=0 bo‘lsa, u holda r=r' va s=s' bo‘lib, (10) munosabat
(7) munosabatga keltiriladi. Endi agar cN(r)=0 va cN(s)=1 bo‘lsa, (10) ning o‘ng
tomoni quyidagi ko‘rinishga ega:
A(r  s)  VN  A(r  s  2 N )  A(r  s)
va, demak, yana (7) munosabat o‘rinlidir.
cn (r) =1 va cn(s)=0 bo‘lgan hol shunga o‘xshash talqin qilinadi. Endi agar
cN (r )  cN (s)  1 bo‘lsa, u holda (10) ning o‘ng tomoni quyidagicha
A(r  s)  VN  VN  A(r   s)  VN 1  A(r   s) 
 A(2 N 1 )  A(r  s  2 N 1 )  A(r  s)
bo‘ladi. (Bu yerda PN 1 tasdiqdan foydalanildi). Shunday qilib, PN 1 tasdiqdan
PN tasdiq kelib chiqar ekan.
Ta’rif. ( E, ) topologik vektor fazoda A to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar
nolning har bir V atrofi uchun shunday r  0 son topilsaki, ushbu A  tV
munosabat ixtiyoriy t  r son uchun bajarilsa, u holda A chegaralangan to‘plam
deyiladi.
Ravshanki, chegaralangan to‘plamning ta’rifidagi shartni nolning atroflari
sistemasining biror bazisi uchun talab etish kifoyadir.
2-teorema. a) agar A chegaralangan to‘plam bo‘lib, B  A bo‘lsa, B
ham chegaralangadir;
b) agar A chegaralangan to‘plam bo‘lsa, u holda har bir   K uchun
 A ham chegaralangandir;
c) agar A, B chegaralangan to‘plamlar bo‘lsa, A  B va A+B ham
chegaralangan to‘plamdir.
Isboti. a) ning isboti o‘z-o‘zidan ma’lum.
144
b) V nolning ixtiyoriy atrofi bo‘lsin. Umumiyatlikni chegaralamagan
holda V ni muvozanatlashgan deb olishimiz mumkin.
A to‘plam chegaralangan bo‘lgani uchun shunday c  0 son topiladiki,
A  tV munosabat barcha t  c lar uchun bajariladi.
Agar   0 bo‘lsa,  A to‘plam chegaralanganligi ravshan. Agar   0
bo‘lsa,   r   deb yozib olsak, bunda r  0,   1 va barcha t  s lar uchun
 A  tV  tr  V  t  rV , chunki V muvozanatlashgan to‘plam bo‘lganligidan
 (   1) son uchun ushbu V  V tenglik o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, agar
t  rs bo‘lsa,  A  tV ya’ni  A ham chegaralangandir.
c) V
nolning ixtiyoriy atrofi bo‘lsin. Nolning U  U  V shartni
qanoatlantiruvchi U atrofini olamiz. A chegaralangan bo‘lgani uchun shunday
s1  0 son topiladiki, A  tU shart t  s1 uchun bajariladi; shunga o‘xshash
shunday
s2  0
son topiladiki, t  s2
bo‘lganda
B  tU ; bundan esa
A  B  tU  tU  tV , t  s , ya’ni A  B ning chegaralanganligi kelib chiqadi.
A  B ning ham chegaralangaligi shunga o‘xshash ko‘rsatiladi.
Agar ( E, ) topologik vektor fazoda shunday norma mavjud bo‘lsaki, bu
norma yordamida kiritilgan topologiya  topologiya bilan ustma-ust tushsa, E
fazo normallanuvchi deyiladi.
3-teorema. (A.N.Kolmogorov teoremasi). Xausdorf topologik vektor
fazosi normallanuvchi bo‘lishi uchun bu fazoda nolning chegaralangan qavariq
atrofi mavjud bo‘lishi zarur va kifoyadir.
Isboti. Zarurligi. Agar ( E, )
normallangan fazo bo‘lsa, nolning
V1  {x : x  1} atrofi qavariq va chegaralangandir.
Kifoyaligi. ( E, ) topologik vektor fazoda V nolning qavariq va
chegaralangan atrofi bo‘lsin. 5.1-§ dagi 3-teoremaning isbotidagi kabi
U  1 V to‘plam nolning absolyut qavariq atrofi bo‘ladi. Endi p funksional U
atrofning Minkovskiy funksionali bo‘lsin. p ning norma ekanligini isbotlaymiz.
_
Agar x   bo‘lsa, nolning shunday W atrofi mavjudki, xW bo‘ladi. U
145
atrof chegaralangan bo‘lgani uchun U  tW munosabat biror t  0 uchun o‘rinli
bo‘ladi, ya’ni
1
U  W . Bundan
t
_
1
x U yoki, boshqacha qilib aytganda,
t
1
p( x)   0 tengsizlik kelib chiqadi. Demak, p( x) norma ekan. U atrof
t
chegaralangan bo‘lgani uchun nolning har bir W atrofi uchun shunday n  N
mavjudki,
1
U  W , ya’ni E dagi norma bo‘yicha kiritilgan topologiya  bilan
n
ustma-ust tushadi.
Mashq uchun masalalar
1.
Haqiqiy sonlar fazosi R ni o‘zi ustida vektor fazo sifatida
olamiz. Bu fazoda vektor topologiya bo‘lmagan topologiyaga misol
keltiring.
2.
Agar topologik vektor fazoda biror ochiq va chegaralangan
to‘plam mavjud bo‘lsa, u lokal chegaralangan fazo deyiladi. Ixtiyoriy
normalangan fazo lokal chegaralangan fazoligini isbotlang.
3.
Lokal chegaralangan bo‘lmagan topologik vektor fazoga
misol keltiring.
4.
Topologik vektor fazoda quyidagi tasdiqlar teng kuchli
ekanligini isbotlang:
a) M to‘plam chegaralangan bo‘lishi uchun ixtiyoriy {xn }  M ketmaketlik va nolga intiluvchi { n } musbat sonlar ketma-ketligi uchun { n xn } ketmaketlik nolga intilishi zarur va kifoyadir.
b) ixtiyoriy yaqinlashuvchi {xn} ketma-ketlik chegaralangandir.
5. Lokal chegaralangan fazoda bir-birini yutuvchi to‘plamlardan iborat
nolning atroflari bazisi mavjudligini isbotlang.
6. Topologik vektor fazoda U ochiq to‘plam qavariq bo‘lishi uchun
U  U  2U tenglik zarur va kifoyaligini isbotlang.
146
7. Vektor fazodagi A qavariq to‘plam yutuvchi bo‘lishi uchun uning
Minkovskiy funksionali chekli bo‘lishi zarur va kifoyaligini isbotlang.
147
VI BOB. QISMAN TARTIBLANGAN FAZOLAR
6.1-§. Qisman tartiblangan to‘plamlar
Ma’lumki, haqiqiy sonlarning asosiy xususiyatlaridan biri ularni
solishtirish mumkinligi edi, ya’ni har qanday ikki haqiqiy sonning birini
ikkinchisidan katta, teng yoki kichikligini aniqlash mumkin. Shu ma’noda
haqiqiy sonlar tuplami chiziqli tartiblangan, ya’ni har qanday ikki x va y haqiqiy
son uchun quyidagi uch munosabatdan biri o‘rinlidir:
x  y, x  y, x  y.
Ammo matematikaning turli sohalarida odatda shunday ob’ektlar
uchraydiki, ularning orasida chiziqli tartib o‘rnatilmagan. Ularning ba’zi bir juft
elementlarinigina solishtirish mumkin. Masalan, F to‘plam [0, 1] oraliqda
aniqlangan barcha haqiqiy funksiyalardan iborat bo‘lsin. Agar F dan olingan f va
g funksiyalar uchun har qanday x [0,1] nuqtada f(x) son g(x) sondan kichik
bo‘lmasa, f(x) ni g(x) dan katta yoki teng deymiz. F to‘plamni shu ma’noda
qisman tartiblangan deymiz. Bu misol shuni ko‘rsatadiki, F to‘plamda ixtiyoriy
ikki funksiyani emas, balki ba’zi bir juft funksiyalarnigina solishtirish mumkin.
Haqiqatdan ham, agar biror nuqtada f funksiya g funksiyadan katta bo‘lib,
boshqa bir nuqtada
f
funksiya g funksiyadan kichik bo‘lsa, biz bunday
funksiyalarni solishtira olmaymiz.
Ta’rif. Agar biror X to‘plamning ba’zi juft x va y elementlari uchun biron
qoidaga muvofiq x  y munosabat berilgan bo‘lib, u quyidagi uchta aksiomani
qanoatlantirsa, u holda X to‘plam qisman tartiblangan, “  ” munosabat esa qisman
tartib yoki tengsizlik deyiladi:
1) x  x ;
2) agar x  y va y  x bo‘lsa, u holda x = y;
3) agar x  y va y  z bo‘lsa, u holda x  z .
Kelgusida x  y munosabatni ba’zan y  x ko‘rinishda ham yozamiz.
148
Bu holda x katta yoki teng y (y kichik yoki teng x) deb o‘qiladi. Agar
qisman tartiblangan to‘plamda x va y elementlar uchun ushbu x  y, x  y
munosabatlarning biri o‘rinli bo‘lsa, u holda bu elementlarni solishtirish mumkin
deyiladi.
Misollar. 1) Rn vektor fazoda x = (x1 , x2, . . . , xn) va y = (y1, y2 ,…,yn)
vektorlar uchun xi  yi munosabat ixtiyoriy i- koordinatada bajarilsa, x  y
deymiz. Yuqoridagi 1) - 3) aksiomalarning bajarilishi bevosita tekshiriladi.
2) m, s, l2 fazolarda ham qisman tartib koordinatalar yordamida birinchi
misoldagidek aniqlanadi.
3) N natural sonlar to‘plami bo‘lsin. Agar m son n songa bo‘linsa, m  n
deymiz. Masalan, 8  4, 9  3 . Lekin 9 va 6 sonlarini bu ma’noda solishtirib
bo‘lmaydi. Demak, N to‘plam bu ma’noda qisman tartiblangan.
4) M ixtiyoriy to‘plam bo‘lib,  sistema M ning barcha qism
to‘plamlaridan iborat bo‘lsin. A, B  elementlar uchun A  B munosabat
bajarilsa, A  B deymiz. Bu holda (, ) juftlik qisman tartiblangan to‘plam
bo‘ladi.
Ixtiyoriy to‘plamda qisman tartibni turlicha kiritish mumkin. Masalan,
natural sonlar to‘plamida qisman tartibni odatdagicha (bunda N chiziqli
tartiblangan bo‘ladi) va yuqoridagi 3) misoldagidek ham kiritish mumkin bo‘lib,
bu ikki qisman tartib turlidir.
Shuning uchun qisman tartiblangan to‘plam ko‘rilganda to‘plam bilan
birga qanday tartib kiritilganligini aniqlab qo‘yish zarur.
Ta’rif. Agar qisman tartiblangan to‘plamning har qanday ikki elementini
solishtirish mumkin bo‘lsa, bu to‘plam zanjir yoki chiziqli
tartiblangan
deyiladi.
Masalan, R haqiqiy sonlar to‘plami chiziqli tartiblangandir.
Ta’rif. Qisman tartiblangan X to‘plamning har qanday
elementlari uchun ushbu
z  x, z  y ( z  x, z  y)
149
x, y  X
munosabatlarni qanoatlantiradigan z  X element mavjud bo‘lsa, u holda X
to‘plam yuqoriga (pastga) yo‘nalgan deyiladi.
Ravshanki, har qanday zanjir ham yuqoriga, ham pastga yo‘nalgandir.
Yo‘nalgan
umumlashtirishda
to‘plam
tushunchasi
foydalidir.
Har
qanday
ketma-ketlik
{xn }n1
tushunchasini
ketma-ketlikni
natural
argumentning funksiyasi deb hisoblash mumkin, ya’ni xn  x(n) : N  X .
Biror x  f ( ) funksiya qisman tartiblangan A to‘plamda aniqlangan va
uning qiymatlari biror X to‘plamdan bo‘lsin deb faraz qilaylik. Quyidagi ta’rifni
berish uchun biz  argumentni indeks ko‘rinishida, funksiyani esa {x }A
ko‘rinishda yozamiz.
Ta’rif. Agar A yuqoriga yoki pastga yo‘nalgan to‘plam bo‘lsa, {x } A
funksiya to‘r, x elementlar esa to‘rning hadlari deyiladi.
Misollar. 5) odatdagi {xn }  X ketma-ketlik to‘rdir. Bu yerda xn=x(n)
natural sonlar to‘plamida aniqlangan funksiya. Natural sonlar to‘plami esa
yuqoriga yo‘nalgan to‘plamdir.
6) 4-misoldagi  to‘plam ixtiyoriy A va B elementlar bilan birga ularning
A  B kesishmasini ham o‘z ichiga oladi. Demak,  pastga yo‘nalgan to‘plam
bo‘ladi. Endi har qanday A uchun A ning biror elementini tanlab olib, uni
x( A)  xA deb belgilasak, {xA}A to‘r hosil qiladi.
To‘r tushunchasi ayniqsa topologiyada muhim rol o‘ynaydi.
X qisman tartiblangan to‘plam bo‘lsin. E to‘plam X ning qismi bo‘lib,
y  X shunday element bo‘lsaki, har qanday x  E uchun y  x ( y  x)
tengsizlik bajarilsa, u holda y element E to‘plamning yuqori chegarasi (quyi
chegarasi) deyiladi. Agar E to‘plamning yuqori (quyi) chegarasi mavjud bo‘lsa,
E to‘plam yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi. Yuqoridan hamda
quyidan chegaralangan to‘plam chegaralangan to‘plam deyiladi. Agar y  X
shunday element bo‘lsaki, X to‘plamda undan katta (kichik) element mavjud
bo‘lmasa, u holda y maksimal (minimal) element deyiladi. Shuni aytish kerakki,
X to‘plamda maksimal element bilan solishtirib bo‘lmaydigan elementlar
150
mavjud bo‘lishi mumkin.
Misol. 7) Uch x, y, z elementdan iborat bo‘lgan X to‘plamda qisman
tartibni quyidagicha
kiritamiz:
x  y , x  z; y
va z o‘zaro solishtirib
bo‘lmaydigan elementlar. Bu to‘plamda y va z maksimal elementlar, x esa
minimal element.
Quyida isbotsiz keltirilgan lemma matematikada katta rol o‘ynaydi.
Sorn lemmasi. Agar qisman tartiblangan X to‘plamda har qanday zanjir
yuqori chegaraga ega bo‘lsa, u holda har qanday x0  X element uchun undan
katta yoki teng bo‘lgan maksimal element mavjud.
Ta’rif. X qisman tartiblangan to‘plam bo‘lsin. Agar E  X to‘plam uchun
eng kichik yuqori chegara mavjud bo‘lsa, bu element supremum yoki aniq
yuqori chegara deyiladi va sup E (yoki VE) bilan belgilanadi. Ya’ni sup E
shunday elementki:
(1) har qanday x  E element uchun sup E  x ;
(2) agar har qanday x  E uchun y  x bo‘lsa, bu holda y  sup E .
Shunga o‘xshash, infimum yoki aniq, quyi chegara tushunchasi kiritiladi,
ya’ni infE (yoki)  E shunday elementki:
(1) har qanday x  E element uchun inf E  x ;
(2) agar har qanday x  E element uchun y  x bo‘lsa, u
holda
y  inf E
Agar indekslarga bog‘liq { y }Ã sistema berilgan bo‘lsa, bu sistemaning
supremumi (infimumi) sup y yoki  y ( inf y yoki  y ) bilan belgilanadi.
 Г
 Ã
 Ã
 Ã
Shuni aytib o‘tish kerakki, har qanday to‘plam supremumga yoki
151
infimumga ega bo‘lishi shart emas.
8) Masalan, to‘rt elementli {a, b, c, d} to‘plamda qisman tartibni
quyidagicha kiritamiz (1-rasm):
a  c, a  d , b  c, b  d ,
a va b, c va d solishtirib bo‘lmaydigan elementlar. Bu misolda {a, b} va
{c, d} to‘plamlar supremumga ham, infimumga ham ega emas.
sup va inf tushunchalarining ta’riflaridan ularning quyidagi xossalari
bevosita kelib chiqadi:
a)
agar E to‘plam uchun supE (infE) mavjud bo‘lsa, u yagonadir;
b)
agar sup E va inf E mavjud bo‘lsa, u holda supE  inf E ;
v)
agar
E1  E2
bo‘lsa,
va
supE1,
supE2,
(infE1,
infE2)
mavjud bo‘lsa, bu holda sup E1  sup E2 (inf E1  inf E2 ) );
g)
agar har qanday x  E1 va y  E2 elementlar uchun x  y tengsizlik
bajarilib, supE1 va InfE2 mavjud bo‘lsa, u holda
sup E1  inf E2 .
1-teorema (assotsiativlik qonuni). E   E bo‘lib, har qanday  
 
uchun sup E  y va y  sup y mavjud bo‘lsa u holda y = sup E ya’ni
 Ã
sup E =sup (supE ) .
 
Isboti. Har qanday x  E uchun shunday   mavjudki, x  E va
x  y  y . Demak, y element E to‘plamning yuqori chegarasi. Yana biror z
elementni E to‘plamning yuqori chegarasi deb faraz qilaylik. E  E bo‘lgani
uchun z har qanday E to‘plamning ham yuqori chegarasi, ya’ni y  z .
Shuning uchun y=sup y  z . Demak, y = supE.*
Assotsiativlik qonuni inf uchun ham o‘rinli.
6.2-§. Panjaralar
152
Qisman tartiblangan X to‘plamda chekli {x1, x2, . . . , xn} to‘plam uchun
supremum (infimum) mavjud bo‘lsa, uni ushbu
x1  x2  ... xn ( x1  x2  ...  xn )
ko‘rinishda yozamiz, ya’ni
sup{x1, x2 ,..., xn }=x1 \/x2 \/ ... \/xn ,
inf{x1, x2 ,..., xn }=x1  x2  ...  xn
Ta‘rif. Qisman tartiblangan X to‘plamda har qanday ikki x1, x2  X
element uchun supremum x1  x2 va infimum x1  x2 mavjud
panjara
bo‘lsa,
X
deyiladi (matematik adabiyotda panjara termini o‘rniga struktura
termini ham ishlatiladi).
Matematik induksiyadan foydalanib, quyidagi teoremani osonlikcha isbot
qilish mumkin.
1-teorema. Har qanday panjarada ixtiyoriy chekli to‘plam chegaralangan
bo‘lib, supremum bilan infimumga ega.
Misollar. 1) Har qanday zanjir panjaradir;
2) 6.1-§ dagi 1) -4) misollar ham panjaraga misoldir. Masalan, 4) misolda
A, B elementlar uchun
A B = A
B, A  B = A
1) misolda esa,
agar
B
x  ( x1 ,x 2 , x. n. . , y  ) y, 1y
( yn , bo‘lsa,
, ...,
2
x  y  ( z1, z2 ,..., zn ), x  y  (1,  2 ,...,  n ) , bu yerda
 xi , agar xi  yi bo ' lsa,
zi  
 yi , agar xi  yi bo ' lsa,
 x , agar xi  yi bo ' lsa,
 yi , agar xi  yi bo ' lsa
i   i
Shunga o‘xshash 3) misoldagi to‘plamning ham panjaraligi ko‘rsatiladi.
Masalan, n  m son n va m sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi, n\/m esa
eng kichik umumiy bo‘linuvchisidir.
6.1- § dagi 8) misol panjara emas, chunki masalan, a  b va c  d
mavjud emas.
Ta‘rif. Agar panjaradagi har qanday bo‘sh bo‘lmagan to‘plam supremum
va infimumga ega bo‘lsa, bu panjara to‘la deyiladi.
153
)
Agar panjaradagi har qanday bo‘sh bo‘lmagan yuqoridan chegaralangan
to‘plam supremumga va quyidan chegaralangan to‘plam infimumga ega bo‘lsa,
panjara shartli to‘la deyiladi.
6.1- § dagi 1)-3) misollardagi panjaralar to‘la emas, lekin shartli to‘la. 4)
misoldagi panjara to‘la panjaradir. Shartli to‘la bo‘lmagan panjaraga misol 6.3§ ning 3) misolida keltiriladi.
Har qanday to‘la panjarada eng katta va eng kichik elementlarning
mavjudligi ta’rifdan bevosita kelib chiqadi.
2-t e o r e m a . Agar X panjarada har qanday yuqoridan chegaralangan
to‘plam supremumga ega bo‘lsa, bu panjara shartli to‘la.
Isboti. Teoremani isbotlash uchun har qanday quyidan chegaralangan
to‘plamning infimumga egaligini ko‘rsatish kerak. E  X bo‘sh bo‘lmagan,
quyidan chegaralangan to‘plam bo‘lsin. Bu holda E ning quyi chegaralaridan
iborat I to‘plam bo‘sh bo‘lmaydi va yuqoridan E ning har bir elementi bilan
chegaralangan
bo‘ladi.
Teoremaning
shartiga
asosan
y=supI
mavjud.
Supremumning ta’rifiga binoan har qanday x  E uchun y  x , ya’ni y element
E to‘plamning quyi chegaralaridan biri, demak, y  I . Shuning uchun va y=supI
bo‘lgani tufayli bu element E to‘plamning eng katta quyi chegarasidir, ya’ni y
=infE
Ta’rif. Har qanday x, y, z  X elementlar uchun ushbu
( x  y)  z  ( x  z )  ( y  z )
(1)
munosabat o‘rinli bo‘lgan panjara distributiv panjara deyiladi.
3-t e o r e m a . Distributiv panjarada har qanday x, y, z elementlar uchun
quyidagi munosabat o‘rinlidir:
( x  y)  z  ( x  z )  ( y  z )
(2)
(ya’ni (1) formulada  va  belgilarni o‘zaro almashtirish mumkin).
Isboti. (2) formulaning o‘ng tomonini (1) formulaga asosan quyidagi
ko‘rinishda yozish mumkin:
( x  z)  ( y  z)  [ x  ( y  z)]  [ z  ( y  z)]  [ x  ( y  z)]  z
154
Kvadrat qavs ichidagi ifodaga yana (1) munosabatni va assotsiativlik
qonunini (6.1- §, 1-teorema) qo‘llaymiz:
[ x  ( y  z)]  z  [( x  y)  ( x  z)]  z  ( x  y)  [( x  z)  z]  ( x  y)]  z
Bu yerda biz ( x  z )  z  z tenglikdan foydalandik.*
Misollar. 1) Har qanday zanjir distributiv panjaraga misoldir.
2) 6.1-§ dagi 1), 2) va 4) misollar ham distributiv panjaraga misollardir.
Masalan, 4) misolda distributiv qonun to‘plamlar nazariyasidan ma’lum quyidagi
tasdiqdan kelib chiqadi: M to‘plamning har qanday A, B, C qism to‘plamlari
uchun quyidagi munosabat o‘rinlidir:
(A
B) C  ( A C )
( B C) .
Quyidagi panjara distributiv emas (2- rasm).
X  {a, b, c, d , e},
e  a  d, e  b  d, e  c  d
.
Haqiqatan
( a  b )  c  d  c  c,
(a  c)  (b  c)  e  e  e
.
Endi biz panjaralarda tartib bo‘yicha
yaqinlashish tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif. X panjaraning {xn} elementlari
ketma-ketligi
uchun
shunday
ikki
{ yn }; y1  y2  ...  yn  ...
(monoton
o‘suvchi),
{zn }; z1  z2  ...  zn  ...
(monoton kamayuvchi) ketma-ketlik mavjud bo‘lsaki, bular uchun ushbu
1) x  sup yn  inf zn ;
2) yn  xn  zn
shartlar bajarilsa, {xn} ketma-ketlik x elementga (o)-yaqinlashuvchi (tartib
(0)
bo‘yicha yaqinlashuvchi) deyiladi va
xn  x yoki
x  (0) lim xn
bilan
belgilanadi, x element esa {xn } ketma-ketlikning (o)-limiti deyiladi. Masalan,
155
to‘g‘ri chiziqda (o)-yaqinlashish oddiy yaqinlashish bilan teng kuchli.
4-teorema. Monoton o‘suvchi (kamayuvchi) {xn} ketma-ketlik berilgan
bo‘lsin.
Bu
ketma-ketlikning
x
elementga
(o)-
yaqinlashishi
uchun
x  sup xn ( x  inf xn ) shart zarur va kifoyadir.
(0)
Isboti. Zarurligi. xn  x va {xn} monoton o‘suvchi bo‘lsin. Ta’rifdagi
{yn} va {zn} ketma-ketliklarni olamiz. Bunda x  inf zn va har qanday m va n
sonlar uchun zm  xn bo‘lgani tufayli har qanday n uchun x  xn .
Bundan tashqari, agar biron i element va har qanday natural n uchun
u  xn bo‘lsa, bu holda har qanday
n
uchun u  yn ya’ni u  sup yn  x .
Supremumning ta’rifiga asosan, x=sup xn.
Kifoyaligi. {xn} monoton o‘suvchi bo‘lib, x = supxn bo‘lsin. Bu holda har
qanday n natural son uchun zn=x va yn= xn ketma-ketliklar ta’rifdagi ketmaketliklar vazifasini bajaradi.*
Shuni aytib o‘tish kerakki, (o)-yaqinlashuvchi {xn} ketma-ketlik
chegaralangandir, chunki har qanday n uchun z1  xn  y1 .
5 -teo re ma . {xn} va {x'n} ketma-ketliklar berilgan bo‘lib, har qanday n
natural son uchun xn < x'n bo‘lsin. Agar x  (0)lim xn va x  (0)lim xn mavjud
bo‘lsa, u holda x  x .
I s b o t i . Limitning ta’rifiga asosan shunday {z'n}, {yn} ketma-ketliklar
mavjudki, z'n monoton kamayuvchi bo‘lib, inf z'n=x'; yn esa monoton o‘suvchi
bo‘lib, sup yn = x va yn  xn, x'n  z'n. Bu holda har qanday m va n natural sonlar
uchun
yn  zm .
6.1- § dagi g) xossaga asosan
x  sup yn  inf zm  x .*
Natija. Berilgan yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqatgina bitta (o)- limitga
ega bo‘lishi mumkin.
156
6.3- §. Bul algebralari
Agar panjarada eng katta (eng kichik) element mavjud bulsa, bu element
bir (nol) deyiladi va 1 (0) bir (nol) elementi bilan belgilanadi. Distributiv panjaralarning muhim sinfi Bul algebralaridir.
Ta’rif. Bir va nol (0  1) elementlarga ega bo‘lgan distributiv E
panjaraning har bir x elementi uchun x  Cx  1 va x  Cx  0 tengliklarni
qanoatlantiruvchi Cx element mavjud bo‘lsa, E
Bul algebrasi deyiladi. Cx
element x ga nisbatan to‘ldiruvchi element deyiladi.
1-teorema. Bul algebrasining har bir x elementi yagona to‘ldiruvchi
elementga ega.
Isboti. y va z elementlar x elementning to‘ldiruvchilari deb faraz qilaylik,
ya’ni x  y  x  z  0, x  y  x  z  1, u holda 6.2- §, 3- teoremaga muvofiq,
y  y  0  y  ( x  z )  ( y  x)  ( y  z )  1  ( y  z )  y  z ,
z  z  0  z  ( x  y )  ( z  x)  ( z  y )  1  ( z  y )  z  y
,
ya’ni y=z.*
2-teorema. To‘ldiruvchi Cx element quyidagi xossalarga ega:
a)
har qanday x  E uchun C(Cx)=x;
b)
agar x  y  0 bo‘lsa, u holda x  Cy ;
c)
x  y va Cx  Cy ekvivalent tengsizliklardir;
d) M  E to‘plam uchun  M
(yoki  M ) mavjud bo‘lsa, u holda
C ( M )  CM (C (M )  CM ), bu yerda CM  {Cm : m  M } .
Isboti. a) xossa to‘ldiruvchining ta’rifiga binoan 1-teoremadan kelib
chiqadi;
b)
x  Cy elementni a bilan belgilaymiz. So‘ngra
a  y  ( x  Cy )  y  x  (Cy  y )  x  1  1,
a  y  ( x  Cy )  y  ( x  y )  (Cy  y )  0  0  0
Ko‘rinib turibdiki, a = Cy, demak, Cy = x  Cy, ya’ni x  Cy ;
c)
agar
x y
bo‘lsa,
bu
157
holda
x  Cy  ( x  y)  Cy 
 x  ( y  Cy)  x  0  0; b) xossaga binoan x  Cy  0 dan Cy  Cx kelib
chiqadi. Shunga o‘xshash, Cy  Cx dan x  y kelib chiqadi;
m  M bo‘lsa, u holda m   M , ya’ni Cm  C ( M ) yoki C ( M )
d)
element CM to‘plam uchun quyi chegara.
Agar z element CM to‘plam uchun quyi chegara, ya’ni har qanday m  M
uchun z  Cm bo‘lsa, u holda Cz  m va Cz   M . e) ga binoan z  C ( M ) .
Bu tengsizlik ixtiyoriy quyi chegara uchun o‘rinli bo‘lgani tufayli,
CM  C ( M ) kelib chiqadi. Shunga o‘xshash, CM  C ( M ) tenglik ham
isbotlanadi.*
3-teorema. M  E to‘plam uchun  M (yoki  M ) mavjud bo‘lsin deb
faraz qilaylik. U holda har qanday e  E element uchun quyidagi tengliklar
o‘rinlidir:
e  ( M )   (e  m) (e  ( M )   (e  m))
mM
mM
(umumlashgan distributiv qonunlar).
Isboti.
Har
qanday
m M
uchun
M  m
bo‘lgani
tufayli
e  ( M )  e  m ya’ni e  ( M ) element {e  m, m  M } to‘plam
uchun
chegaradir. Endi z  E shu to‘plam uchun ixtiyoriy yuqori chegara
yuqori
bo‘lsin, ya’ni z  e  m, m  M . U holda har bir m  M uchun
z  Ce  (e  m)  Ce  (e  Ce)  (m  Ce)  1  (m  Ce)  m  Ce  m
ya’ni z  Ce   M . Bundan
z  z  0  z  (e  Ce)  ( z  e)  ( z  Ce)  ( z  e)  ( M )  e  ( M )
Shunday qilib, ixtiyoriy z yuqori chegara uchun z  e  ( M ) o‘rinli,
demak, e  ( M ) -aniq yuqori chegara, ya’ni
 (e  m)  e  ( M )
mM
Shunga o‘xshash, e  ( M )  (e  m) tenglik ham isbotlanadi.*
mM
Misollar. 1. 
ixtiyoriy to‘plam bo‘lib, E uning barcha qism
to‘plamlaridan iborat sistema bo‘lsin. Ikki A, B  E to‘plam uchun A  B
bo‘lsa, u holda A  B deyiladi. 6.1-§ dagi 4-misolda E ning distributiv
158
panjaraligi 142- betda ko‘rsatilgan edi. Bu panjarada 1 element  to‘plamning
o‘zi, 0 element esa bo‘sh to‘plamdan iborat. A  E elementning to‘ldiruvchisi
CA   / A to‘plamdir. Hosil bo‘lgan E Bul algebrasi 2 bilan belgilanadi;
2) Z to‘plam I=[0,1] segmentning Lebeg ma’nosida o‘lchovli qism
to‘plamlaridan iborat bo‘lsin. Demak, Z  2I . Ma’lumki, ( 0), I ( 1)  Z va
a, b  Z bo‘lsa, a
b va a b ham Z ning elementlari bo‘ladi. Demak, Z
distributiv panjara va 1, 0 ga ega. Lebeg ma’nosida o‘lchovli a to‘plamning
to‘ldiruvchisi Ca  I / a ham o‘lchovli bo‘lgani uchun Z Bul algebrasidir;
3)  ixtiyoriy cheksiz to‘plam bo‘lsin. E orqali  ning chekli yoki
to‘ldiruvchisi chekli bo‘lgan qism to‘plamlari sistemasini belgilasak, bu sistema
1) misoldagi 2 Bul algebrasining qismi bo‘ladi va o‘zi ham 2 dagi qisman
tartibga nisbatan Bul algebrasini tashkil qiladi.
Ta’rif. E Bul algebrasining ixtiyoriy qism to‘plami (ixtiyoriy sanoqli qism
to‘plami) supremumga ega bo‘lsa, E to‘la (  - to‘la) deyiladi.
2- teoremadagi d) xossadan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. To‘la ( -to‘la) Bul algebrasida har qanday to‘plam (har qanday sanoqli
to‘plam) infimumga ega.
Misollar. 1) 2 Bul algebrasi to‘ladir; 2) misoldagi Z Bul algebrasi to‘la
emas, lekin  -to‘ladir; 3) misoldagi E Bul algebrasi xatto  -to‘la emas. Buni
ko‘rsatish uchun  to‘plamni har biri cheksiz bo‘lgan  1, va  2 to‘plamlarga
ajratamiz. So‘ng M  1 , sanoqli to‘plam va Vt={t}, (m  M ) bir nuqtadan iborat
bo‘lgan to‘plamlar bo‘lsin. E ning ta’rifiga binoan Bm  E . Ammo  BmE
mM
chunki M to‘plamning o‘zi ham, to‘ldiruvchisi ham cheksiz.
6.4-§. Vektor panjaralar
Ta’rif. X to‘plam bir vaqtda vektor fazo va panjara bo‘lsin. Quyidagi
shartlar bajarilsa, X vektor panjara deyiladi:
159
1) agar x  y bo‘lsa, har qanday z  X element uchun x  y  y  z ;
2) agar x  y bo‘lsa, har qanday   0 haqiqiy son uchun  x   y .
Misollar . 1) Rn vektor fazoda qisman tartibni quyidagicha kiritamiz:
x  ( x1, x2 ,..., xn )  y  ( y1, y2 ,..., yn ) ,
agar
x1  y1, x2  y2 ,..., xn  yn
bo‘lsa.
Ravshanki, bunday qisman tartibga nisbatan Rn vektor panjara hosil qiladi;
2) s fazo ham ilgari kiritilgan algebraik amallar hamda qisman tartibga nisbatan
vektor panjaraga misoldir;
3) l p fazo, p>0. Bu fazo quyidagi shartni qanoatlantiruvchi {xn} haqiqiy sonlar
ketma-ketliklari fazosi:

x
n 1
n
p

Bu fazoda ham algebraik amallar va qisman tartib koordinatalar bo‘yicha
kiritiladi. Agar x, y  l p bo‘lsa, u holda x+y va   0,   0 ham lp ning elementlari
bo‘lishini isbotlash kerak.
Har qanday   0,   0 haqiqiy sonlar uchun     2 yoki     2
, ya’ni (   ) p  2 p  p yoki (   ) p  2 p  p bo‘ladi.
Har ikki holda ham:
(   ) p  2 p ( p   p ) .
Bu tengsizlikni x va y elementlarning mos koordinatalariga qo‘llasak,
quyidagi tengsizlik hosil bo‘ladi:
xn  yn  ( xn  yn ) p  2 p ( xn  yn ) .
p
p
p
Bu tengsizliklarning n ga nisbatan yig‘indisi olinsa, ushbu

x y
n 1
n
n
p

 
p
p
 2   xn   yn   
n 1
 n1

p
tengsizlik kelib chiqadi, ya’ni x  y  l p .
Har qanday n = 1,2, ... uchun
xn  yn  xn  yn  xn  yn
160
ya’ni


 xn  yn   ( xn  yn ) p  
p
n 1
n 1
Shuning uchun x  y  l p .
Vektor panjaralarning ba’zi elementar xossalarini keltiramiz.
a)
x y
va
x  y 
tengsizliklar
teng
kuchlidir.
Haqiqatan, x  y bo‘lsa, u holda 1) ga asosan x  ( y)  y  ( y) ,
ya’ni
x  y   . Aksincha x  y   bo‘lsa, yana 1) ga asosan x  y  y    y , ya’ni
x  y.
b)
agar x  y bo‘lsa,  x   y . Darhaqiqat, x  y bo‘lsa, u holda
x  y   , ya’ni ( y)  ( x)   . Demak,  y   x .
c) agar x  y , z  u bo‘lsa, x  z  y  u . Haqiqatan, x  y va z  u
bo‘lgani
uchun
x  y 
va
z  u  .
1)
aksiomaga
asosan
( x  y)  ( z  u)    z  u  z  u   . Tengsizlikning tranzitivlik xossasiga binoan
( x  y)  ( z  u)   ; ya’ni
( x  z )  ( y  u)  ( x  y)  ( z  u)   .
Demak, x  z  y  u .
d) agar x  y va   0 bo‘lsa,  x   y . Darhaqiqat,   0 bo‘lsa,   0 ;
1) ga asosan  x   y ; b) ga asosan  x   y .
1-teorema. X vektor panjara, x ( ) uning elementlari bo‘lib,
y  sup( x ) mavjud bo‘lsa, u holda  y  inf ( x ) bo‘ladi.
 Ã
 Ã
Isboti. y   x bo‘lgani uchun b) ga ko‘ra  y  x ,   Г . Endi z  X
har qanday x dan kichik element bo‘lsa, u holda  z   x va z   y ya’ni
z   y . Bundan infimumning ta’rifiga asosan  y  inf x .*
2-teorema. X vektor panjara va x ( ) uning elementlari bo‘lsin.
Agar sup x mavjud bo‘lsa, u holda quyidagi tengliklar o‘rinlidir:
161
1)
y  sup x  sup( y  x ), y  X ;
2)
 sup x  sup( x ),   0,   R ;
3)
 sup x  inf ( x ),   0,   R .
 Ã
 Ã
 Ã
 Ã
 Ã
 Ã
Isboti. sup x elementni x bilan belgilaymiz. Ravshanki, y  x  y  x
tengsizlik har qanday   Г va y  X uchun o‘rinlidir. Agar z  X shunday
element bo‘lsaki, y  x  z tengsizlik har qanday   Г uchun bajarilsa, u
holda x  z  y . Shuning uchun x  z  y yoki x  y  z .
Bundan x  y  sup( y  x ) , ya’ni 1) tenglik o‘rinli.
 
Agar   0 bo‘lsa, 2) tenglik o‘z-o‘zidan ravshan. Shuning uchun   0
deb hisoblaymiz. Vektor panjaraning ta’rifidagi 2) shartga binoan har qanday
  Г uchun  x   x tengsizlik bajariladi. Agar z  X shunday element
bo‘lsaki, har qanday z  X uchun  x  z tengsizlik bajarilsa, u holda x 
bundan x 
1

1

z,
z yoki  x  z . Shunday qilib,  x  sup( x ) , ya’ni 2) tenglik
 Ã
isbotlandi.
So‘ng yuqoridagi 2) tenglikka binoan sup{  x }   x .
 
1- teoremaga asosan   0 bo‘lsa,
inf{ x }   sup{  x }    x   x   sup x .*
 Ã
 Ã
 Ã
Natija. X vektor fazoda qisman tartib kiritilgan bo‘lib, vektor panjara
ta’rifidagi 1) va 2) shartlar bajarilsa va har qanday x  X uchun x   mavjud
bo‘lsa, u holda X vektor panjaradir.
Bu natija quyidagi munosabatlardan kelib chiqadi:
[( x  y)   ]  y  x  y, x  y  [( x)  ( y)] .*
3-teorema. Har qanday x, y  X uchun ushbu tenglik o‘rinlidir:
( x  y)  ( x  y)  x  y .
162
(1)
Isboti. 2-teoremaning natijasidagi (1) formulaga va 2 teoremaning 1)
tasdig‘iga ko‘ra
x  y  [( x  y)   ]  y  [( y)  ( x)]  x  y . 1-teoremaga ko‘ra
( y)  ( x)  ( x  y) .
Shuning uchun x  y  x  y  ( x  y) , ya’ni
( x  y)  ( x  y)  x  y .
Ta’rif. X vektor panjara va x uning biror elementi bo‘lsin. x  x  
element x ning musbat qismi, x  ( x)  
element x ning manfiy qismi,
x  x  x , x element esa x ning moduli deyiladi.
Agar x   bo‘lsa, x musbat element deyiladi.
Ta’rifdan ravshanki, har qanday x  X element uchun x , x , x musbat
elementlardir. Agar x   bo‘lsa, u holda x  x, x   , ya’ni |x|=x.
Misol.
4)
s fazoda x  {xn }n1 element
berilgan bo‘lsin. Bu holda
x  {xn }n1, x  {xn}n1 bu yerda:
 xn , agar xn  0 bo ' lsa,
xn  
0, agar xn  0 bo ' lsa,
Rn, lp fazolarda
ham
0, agar xn  0 bo ' lsa,
xn  
 xn , agar xn  0 bo ' lsa.
x , x va x elementlar
shunga o‘xshash
aniqlanadi.
4-teorema. X vektor panjaradagi har qanday x element uchun
x  x  x .
Isboti. 3- teoremaga asosan
x  x    ( x   )  ( x   )  x  [( x)   ]  x  x .*
5-teorema. Vektor panjarada quyidagi munosabatlar o‘rinli:
a)
( x  y)  x  y , ( x  y)  x  y ;
b)
agar  >0 bo‘lsa, (  x)+=  x+, ( x)   x ;
c)
agar  <0 bo‘lsa, ( x)   x , ( x)   x ;
163
d)
x y  x  y ;
e)
x    x ;
f)
x   x  ;
Isboti. a) x  x, y  y bo‘lgani uchun x  y  x  y va x  y  
bo‘lgani uchun x  y  ( x  y)    ( x  y) .
Shunga o‘xshash ( x  y)  x  y tengsizlik ham isbotlanadi.
b) va c) xossalar 2-teoremadan kelib chiqadi.
d)
Isbotlangan a) xossaga ko‘ra
x  y  x  y va ( x  y)  x  y ,
demak,
x  y  ( x  y)  ( x  y)  x  y  x  y  x  y
e)
xossa b) va c) xossalardan kelib chiqadi.
f)
x   bo‘lsa, bu holda x  y   , ya’ni x   .*
Endi har qanday vektor panjaraning distributiv panjara ekanligini
isbotlaymiz.
6-teorema. Har qanday X vektor panjarada umumlashgan distributiv
qonunlar o‘rinlidir, ya’ni mos pavishda sup y va inf y mavjud bo‘lsa, u holda
 
 
a)
x  (sup y )  sup( x  y ) ;
b)
x  (inf y )  inf ( x  y )
 
 
 
 
Bu teoremani isbotlashni quyidagi lemmadan boshlaymiz.
Lemma. {x }   vektor
panjara
elementlari
bo‘lib, x  sup x
mavjud bo‘lsin. Bu holda ushbu
x  sup x , x  inf x
 
 
tengliklar o‘rinlidir.
Isbot. Assotsiativlik qonuniga asosan (6.1- §, 1-teorema)
x  x    (sup x )    sup( x   )  sup x
 
 
 
164
Endi ikkinchi tenglikni isbotlaymiz, ya’ni
x  inf x
 
x  x bo‘lgani sababli x  x tengsizlik bajariladi. Agar y  X shunday
element bo‘lsaki, y har qanday x elementdan kichik, ya’ni y  x ( )
 y   x  x  x
bo‘lsa, u holda
ya’ni
x  y  x . Bu tengsizlikda
supremumga o‘tsak va yuqorida isbot qilingan birinchi tenglikdan foydalansak,
quyidagi tenglik hosil bo‘ladi:
x  y  x  x  x ,

ya’ni  y   x yoki y  x . Shuning uchun inf ning ta’rifiga asosan x  inf x .
 

Lemma isbotlandi.
Teoremaniig isbotiga o‘tamiz.
a) y  sup y mavjud deb faraz qilaylik. Bu holda 2- teoremaga asosan
 
y  x  sup( y  x) . Lemmaga ko‘ra ( y  x)  inf[( y  x) ] .
 
 
1- teoremaga asosan, ( y  x)  sup[( y  x) ] ,
 
ya’ni
( y  x)    sup[( y  x)   ]
 
Bu tenglikning ikki tomoniga x element qo‘shilsa, ushbu
y  x  sup( y  x)
 
tenglik hosil bo‘ladi. Demak, a) isbotlandi.
3) Isbotlangan a) formulada x o‘rniga  x, y o‘rniga  y ni olsak,
quyidagi formula hosil bo‘ladi:
y  ( x)  sup[( y )  ( x)] (bu yerda y  sup( y ) )
 
 
yoki
( y  x)  sup[ y  x]   inf( y  x) yoki  y  x  inf ( y  x) .
 
 
165
Ammo bu yerda 2- teoremadagi 3) ga asosan
y  sup( y )   inf y .
 
 
Demak,  y  inf y . Shuning uchun
 
(inf y )  x  inf ( y  x) .*
 
 
Bu paragrafni «bir» li vektor panjaralarni o‘rganish bilan yakunlaymiz.
Ta’rif. X vektor panjaraning «bir» elementi deb, har qanday x musbat
element uchun ushbu x  1   munosabatni qanoatlantiradigan musbat 1
elementga aytiladi.
Har qanday vektor panjara ham birga ega bo‘lavermaydi. Masalan, X
shunday haqiqiy sonlar ketma-ketliklaridan iborat bo‘lsinki, bu ketmaketliklarning noldan farqli koordinatalarining soni chekli bo‘lsin. Bu holda X
vektor panjara, ammo birga ega bo‘lmaydi.
Shuni ham aytib o‘tish kerakki, agar 1 bir bo‘lsa, bu holda, masalan, 1
ham bir bo‘ladi (  >0 - haqiqiy son), ya’ni agar X vektor panjarada bir mavjud
bo‘lsa, bu birlarning soni cheksizdir. Shuning uchun birli vektor panjara
ko‘rilganda, bir tayinlanib qo‘yilgan deb faraz qilamiz va uni 1 bilan belgilaymiz.
Ta’rif. X birli vektor panjara bo‘lib, e uning biror elementi bo‘lsin. Agar
e  (1  e)   bo‘lsa, u holda e birlik element deyiladi. Birlik elementlar
to‘plamini X ning bazasi deymiz va ( X ) bilan belgilaymiz.
Ravshanki, e   va 1  e   , ya’ni har qanday e birlik element uchun
  e  1 tengsizlik o‘rinlidir.  va 1 ham bazaning elementlaridir.
Misollar. Rn va s fazolarda bazaning elementlari koordinatalari 0 va 1 dan
iborat bo‘lgan elementlardir.
Bu fazolarda bir sifatida mos ravishda (1, 1, ..., 1) va (1, 1, ..., 1, ...)
elementlar olinadi. Bazisning ta’rifidan ko‘rinib turibdiki, e bazaning elementi
bo‘lsa, 1-e ham bazaning elementidir.
7-teorema. X birli vektor panjara bo‘lib,  ( X ) uning bazasi bo‘lsin. Bu
holda  ( X ) panjara hosil qiladi. Agar {e } birlik elementlar to‘plami bo‘lib,
166
e  sup e , (e  inf e ) mavjud bo‘lsa, e (e) ham birlik elementdir. Bundan
 
tashqari,  ( X ) o‘zidagi qisman tartibga nisbatan Bul algebrasini hosil qiladi
va e ( X ) element uchun 1-e element uning to‘ldiruvchisidir.
Isboti. e  sup e mavjud deb faraz qilaylik. Ushbu   1  e  1  e
 
munosabatlar har bir indeks uchun o‘rinli va e  (1  e )   bo‘lgani uchun
e  (1  e)   ham o‘rinlidir. Distributivlik qonuniga asosan
e  (1  e)  (sup e )  (1  e)sup[e  (1  e)]  
 
 
e  inf e
mavjud bo‘lsa,
ya’ni e ( X ) .
Agarda
1  e  sup(1  e ) .
 
 
So‘ngra
1  e ( X )
u holda
bo‘lgani
e  sup(e )
 
uchun,
va
yuqorida
ko‘rsatganimizga asosan, 1  e ' ( X ) , ya’ni e ( X ) .
 ( X ) to‘plam X panjaraning qismi bo‘lib, X da distributivlik qonunlari
o‘rinli bo‘lgani uchun  ( X ) ham distributiv panjaradir. Bundan tashqari, 0   va 1
elementlar  ( X ) dagi eng kichik va eng katta elementlardir, chunki yuqorida
aytilganidek, har bir e birlik element uchun   e  1 munosabat o‘rinlidir. Ta’rifga
binoan e  (1  e)   . 3-teoremaga asosan
[e  (1  e)]  [e  (1  e)]  e  (1  e) .
Demak,
e  (1  e)  1
Ya’ni 1-e element e elementning to‘ldiruvchisining xossalariga ega, shuning
uchun Ce=1-e. Shunday qilib,  ( X ) Bul algebrasidir.*
6.5- §. Qisman tartiblangan topologik vektor fazolar
E haqiqiy vektor fazo bo‘lib, unda biror qisman tartib kiritilgan bo‘lsin.
167
Ta’rif. Agar E da quyidagi ikki shart bajarilsa, u qisman tartiblangan vektor
fazo deyiladi.
1) agar x  y bo‘lsa, u holda ixtiyoriy z  E uchun x  z  y  z ;
2) agar x  y bo‘lsa, u holda ixtiyoriy musbat son   R uchun  x   y .
Ravshanki, har bir vektor panjara qisman tartiblangan vektor fazodir.
Qisman tartiblangan vektor fazodagi tartibni konus yordamida ham kiritsa
bo‘ladi.
Vektor fazoning K qismi 1)
K
KK K
2)
 K  K (  0) , 3)
( K )  { } shartlarni qanoatlantirsa, K konus deyiladi.
Ravshanki, qisman tartiblangan E vektor fazoning musbat elementlari to‘plami
E  {x  E : x   } konusdir. Darhaqiqat, ixtiyoriy, x, y  E uchun 1) shartga
asosan x  y  x   , ya’ni E  E  E va 2) shartga asosan ixtiyoriy x  E va
  0 uchun  x  E , ya’ni  E  E 3) shart ravshan.
Aksincha, E vektor fazoda biror K konus berilgan bo‘lsin. E da qisman
tartibni quyidagicha kiritamiz:
( x  y)  x  y  K .
Bunda E qisman tartiblangan vektor fazo va E+=K ekanligi bevosita
tekshiriladi.
E qisman tartiblangan vektor fazo, E+ esa uning musbat elementlaridan
iborat konus bo‘lsin. Ushbu [ x, y]  ( x  E ) ( y  E ) belgilashni kiritamiz.
Bunda [ x, y]  {z  E : x  z  y] bo‘lib, bu to‘plam E dagi interval deyiladi.
Agar E fazoning A qism to‘plami biror intervalda yotsa, A to‘plam tartiban
chegaralangan, qisqacha, (o)-chegaralangan deyiladi.
A to‘plamning qisman tartiblangan fazoda (o)-chegaralangan bo‘lishi barcha
x  A uchun x  a tengsizlikni qanoatlantiruvchi a  A element mavjudligiga
teng kuchli.
Agar ixtiyoriy x, y  A elementlar uchun, x  y ekanligidan [ x, y]  A
bo‘lishi kelib chiqsa, A to‘plam (o)-qavariq deb ataladi. Masalan, har bir interval
168
(0)-qavariqdir.
E ning ixtiyoriy A qism to‘plami bo‘yicha
[ A]  ( A  E ) ( A  E ) 
[ x, y]
x , yA
to‘plam tuzaylik. U A to‘plamni o‘z ichiga olgan eng kichik (o)- qavariq to‘plam
ekanligini payqash oson. Shuning uchun [A] to‘plam A ning (o)- qavariq qobig‘i
deyiladi. Doim A  [ A] munosabat o‘rinli. A  [ A] tenglik bajarilganda va faqat
shu holda A to‘plam (o)-qavariq bo‘ladi.
Agar ixtiyoriy x  A, y  E elementlar uchun y  x tengsizlikdan y  A
munosabat kelib chiqsa, A to‘plam jismoniy to‘plam deyiladi. Har bir jismoniy to‘plam
muvozanatlangan ekanligi ravshan. Jismoniy to‘plamning qavariq qobig‘i yana
jismoniy to‘plam bo‘lishini ko‘rsatish mumkin.
Misol. s vektor panjarada juft nomerli koordinatalari nolga teng vektorlardan
iborat to‘plam jismoniydir. Haqiqatan, y  { yi } s, x  {xi } s vektorlar uchun
y  x tengsizlik bajarilib x2n  0 (n  1, 2, ...,) bo‘lsa, u holda y2 n  0 .
E qisman tartiblangan vektor fazo bo‘lsin. ( x, y)  x  y, ( x, y)  x  y
amallardan iborat EE ning E ga akslantirishlari hamda x  x , x  x , x  x
mosliklardan iborat E ning o‘z-o‘ziga akslantirishlari (o)-operatsiyalar [(o)- amallar]
deyiladi.
1-teorema. Faraz kilaylik E, bir tomondan topologik vektor fazo, ikkinchi
tomondan,
qisman
tartiblangan
vektor
fazo
bo‘lsin.
U
holda
(o)-
operatsiyalardan ixtiyoriy birining uzluksizligidan boshqalarining uzluksizligi
kelib chiqadi.
Teoremaning o‘rinliligi x  y,  x amallarning uzluksizligidan va ushbu
x  y  {( x)  ( y )}, x  ( x)  , x  x  2 x ,
1
x  y   { x  y  ( x  y )}  y
2
munosabatlardan bevosita kelib chiqadi.*
E qisman tartiblangan topologik vektor fazo bo‘lsin. Agar E da nol
elementning (o)- qavariq atroflari bazisi mavjud bo‘lsa, E+ konus normal konus
169
deyiladi. Normal konusli E fazoda nolning muvozanatlangan atroflari bazisi
topiladi. Buning ustiga E lokal qavariq fazo bo‘lsa, unda bir vaqtda ham qavariq,
ham (o)-qavariq atroflari bazisini qurish mumkin.
Ta’rif. Agar E topologik vektor fazo bir vaqtda vektor panjara hosil qilib,
nolning jismoniy atroflari bazisiga ega bo‘lsa, u topologik vektor panjara
deyiladi. Agar shu bilan birga E ning topologiyasi lokal qavariq bo‘lsa, E lokal
qavariq vektor panjara deb ataladi. To‘la metrikalanuvchi lokal qavariq vektor
panjara qisqacha Freshe panjarasi deb yuritiladi. Masalan, Rn va s Freshe
panjaralaridir. E normalangan fazo va shu bilan birga vektor panjara bo‘lsa, va
x  y tengsizlikdan x  y kelib chiqsa, E normalangan panjara deyiladi.
To‘la normalangan panjara qisqacha Banax panjarasi deb yuritiladi.
Misol. C [a, b] Banax fazosida qisman tartibni quyidagicha kiritamiz:
( f  g )  f (t )  g (t ), t [a, b] f , g  C[a, b] .
Ravshanki, bunda C[a,b] vektor panjara va
f (t ) | f (t ) | . Demak,
f  g bo‘lsa, u holda
f  max f (t )  max g (t )  g ,
t[ a , b ]
t[ a , b ]
ya’ni C[a, b]-Banax panjarasi.
Quyidagi teorema berilgan fazoning topologik vektor panjara ekanligini
amalda tekshirishda qulaylik yaratadi.
2-t e o r e m a . E topologik vektor fazo hamda vektor panjara bo‘lsin. E
topologik vektor panjara bo‘lishi uchun uning E+ konusi normal va (o)operatsiyalar uzluksiz bo‘lishi zarur ham kifoya.
Isboti. E topologik vektor fazo,   {U } nol elementning jismoniy
atroflari bazisi bo‘lsin. U  atrofning jismoniyligi tufayli 0  x  y va y U
shartlardan x U kelib chiqadi. Nolning ixtiyoriy V atrofiga ko‘ra, U  U  V
bo‘lgan
U 
atrof
topamiz.
Endi
qanoatlantiruvchi W atrofini topib, V *  U
nolning
W W  U
shartni
W to‘plamni qaraymiz. Agar
V *  V ekanligini ko‘rsatsak, bundan E fazoda nolning (o)-qavariq atroflari
170
bazisi mavjudligi kelib chiqadi. Shu maqsadda x V * deb faraz qilaylik, bu
holda x  x  x shartni qanoatlantiruvchi x, x U
W elementlar topiladi.
x  x W  W  U bo‘lgani uchun 0  x  x  x  x U demak, x  x U .
Shunday qilib, x  ( x  x)  x U  U  V . Bundan E fazoning E+ konusi
normal ekanligi kelib chiqadi.
Endi (o)-amallarning uzluksizligini ko‘rsatamiz. 1-teoremaga asoslanib,
ulardan birining, masalan, x  x amalning uzluksizligini ko‘rsatish yetarli:
U  va x  x0 U bo‘lsin. x  ( x0 )  x  x0 tengsizlikdan va U atrofning
jismoniyligidan x  ( x0 ) U kelib chiqadi.
Shu bilan teoremaning zaruriylik qismi isbotlandi. Aksincha, E fazoning E+
konusi normal va (o)-amallar uzluksiz bo‘lsin, E topologik vektor fazoda
nolning jismoniy atroflari bazisini quramiz. Buning uchun nolning (o)-qavariq
muvozanatlangan atroflari bazisi   {V } ni olamiz. Har bir V  uchun
U  U  V bo‘lgan U  atrof mavjud. Bunga ko‘ra x W dan x U kelib
chiqadigan W  atrof tanlaymiz. x  x ning uzluksizligiga asosan bunday W
atrof mavjud.
Shunday qilib, x W bo‘lsa,  x W , demak, x U , x  ( x) U .
Bundan
x  x  x U  U  V .
Nihoyat,
y  x , x W
bo‘lsa,
y  
 x , x   V kelib chiqadi. Bu esa W atrofning jismoniy qobig‘i bo‘lgan
{ y  E : biror x W uchun y  x } to‘plam V atrofda yotadi, ya’ni har bir
V  atrofga nolning jismoniy atrofini joylashtirish mumkin, demakdir. Talab
qilingan bazis qurildi.*
3-t e o r e m a . E topologik vektor panjarada uning musbat elementlari
konusi E+ yopiq to‘plamdir.
Isboti.
E  {x  E : x   } tenglikdan E+ konus
x  x
uzluksiz
akslantirishda  ning proobrazi, shu sababli yopiq to‘plam bo‘lishi kelib
chiqadi.*
4-t e o r e m a . E normal konusli topologik vektor fazo bo‘lsin. Bu holda
171
har bir (o)-chegaralangan qism to‘plam topologik ma’noda chegaralangan
bo‘ladi.
  {U } nolning (o)-qavariq muvozanatlangan atroflari bazisi
Isboti.
deylik. Agar A  [a, b]  E bo‘lsa, berilgan U atrof uchun a U , b U
bo‘ladigan  musbat sonni tanlaymiz, U ning (o)-qavariqligidan [a, b]  U .
Bundan [a, b] intervalning va demak, uning qismi bo‘lgan A to‘plamning
topologik ma’noda chegaralanganligi kelib chiqadi.*
Mashq uchun masalalar
1. R to‘g‘ri chiziqdagi x va y elementlar uchun x-y ayirma ratsional son
bo‘lsa, biz x>y deylik. Bu munosabat qisman tartib bo‘ladimi?
2. Rn fazodagi qisman tartibda (6.1-§, 1-misol) qanday to‘plamlar
chegaralangan bo‘ladi?
3. Tekislikda (2-masala, n=2) markazi nol nuqtada, radiusi birga teng
bo‘lgan yopiq sharni olamiz. Bu to‘plamning supremumini, infimumini, maksimal
va minimal elementlarini toping.
4. Tekislikda shunday qisman tartib kiritingki, bunda u chiziqli
tartiblangan (ya’ni zanjir) bo‘lsin.
5. s, m fazolar koordinatalar bo‘yicha kiritilgan qisman tartibga nisbatan
panjara ekanligini isbotlang.
6. Panjara bo‘lmagan qisman tartiblangan to‘plamga misollar keltiring.
7. Biror M to‘plamning chekli qism to‘plamlaridan iborat bo‘lgan X
to‘plamda odatdagi qisman tartibni olamiz ( A  B  A  B) .
a)
X ning panjara ekanligini isbotlang;
b)
X
panjara
shartli
to‘lami?
Qanday
M
algebrasi
bo‘lsin.
x y
to‘plamlar
uchun X to‘la panjara bo‘ladi?
8.
X
ixtiyoriy
Bul
orqali
( x  Cy)  (Cx  y) elementni belgilaymiz. Quyidagi munosabatlarni isbotlang.
172
a)
x y x y ;
b)
x yx z  yz ;
c)
x yxz  yz ;
d)
x y  x yx y.
Bu yerda x  y  x  Cy .
9.
6.3- §, 3- misoldagi Bul algebrasi to‘la ham emas,  -to‘la ham
emasligini ko‘rsatgan edik. Shu Bul algebrasini o‘z ichiga oluvchi to‘la (  to‘la) Bul algebrasini toping.
10. C[a,b] vektor panjarada bir mavjudmi?
11. C[a b] vektor panjaraning hamma birlik elementlarini toping.
12. S[a,b] orqali [a,b] oraliqda Lebeg ma’nosida o‘lchovli funksiyalar
fazosini belgilaymiz va S[a,b] da qisman tartibni C[a,b] fazodagidek aniqlaymiz.
S [a,b] vektor panjara ekanligini isbotlang.
13. Yuqoridagi 10, 11- masalalarni S[a,b] vektor panjara uchun yeching.
173
II QISM. OPERATORLAR NAZARIYASI
VII BOB. TOPOLOGIK VEKTOR FAZOLARDA UZLUKSIZ
OPERATORLAR
7.1- §. Uzluksiz chiziqli operatorlar
E va F topologik vektor fazolarning birini ikkinchisiga aks ettiruvchi T
chiziqli operator berilgan bo‘lsin (1.6-§).
Agar E va F dagi topologiyalarga nisbatan T operator uzluksiz bo‘lsa, u
uzluksiz chiziqli operator deyiladi.
1-teorema. E topologik vektor fazoni F topologik vektor fazoga aks
ettiruvchi T chiziqli operator uzluksiz bo‘lishi uchun u nol nuqtada uzluksiz
bo‘lishi zarur va kifoyadir.
Isboti. Zaruruligi o‘z-o‘zidan ravshan.
Kifoyaligi. T   1 munosabatdan va T operatoring nol nuqtada
uzluksizligidan F fazodagi  elementning ixtiyoriy V atrofi uchun E fazoda 
elementning shunday U atrofi mavjudligi kelib chiqadiki, ular uchun ushbu
T (U )  V
munosabat o‘rinli bo‘ladi. Agar   {U } -nolning atroflari bazasi va x  E
ixtiyoriy element bo‘lsa, u holda x ning atroflari bazasi {x+U} ko‘rinishga ega
bo‘ladi.
Demak,
T ( x  U )  Tx  T (U )  Tx  V .
Bu munosabatdan operatorning ixtiyoriy x nuqtada uzluksiz ekanligi bevosita
ko‘rinib turibdi.*
1-natija. Agar T chiziqli operator biror x0  E nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u
holda T uzluksiz chiziqli operatordir.
1
1) Qulaylik maqsadida, E va F fazolarning nol elementlarini bitta  harfi bilan belgilaymiz.
174
2-natija. Agar E va F metrikalangan topologik vektor fazolar bo‘lsa, u
holda T chizikli operator uzluksiz bulishi uchun ushbu
xn    Txn  
munosabat bajarilishi zarur va kifoyadir.
Misollar. 1. Rn fazoni o‘ziga aks ettiruvchi chiziqli operator Yevklid
normasida uzluksizdir. Ma’lumki, E=Rn fazoni o‘ziga aks ettiruvchi ixtiyoriy T
chiziqli operator ushbu
T  (aij )1i , j n
ko‘rinishdagi matritsa yordamida aniqlanadi. Bu holda biror
y  Tx  ( y1, y2 , ... yn )
elementning tasviri bo‘lgan
x  R n
element quyidagicha
aniqlanadi:
n
yi   aik xk .
k 1
Demak,
 n

Tx  Tx  T ( x  x)     (aik ( xk  xk ) 
i 1  k 1

n
2
Koshi - Bunyakovskiy tengsizligiga binoan
Tx  Tx 
n
n
 a   ( x  x )  M x  x .
2
2
ik
i ,k 1
k 1
k
k
M o‘zgarmas son bo‘lgani uchun x  x munosabatdan Tx  Tx
munosabat kelib chiqadi. Ya’ni T - uzluksiz operator.
Rn fazodagi ixtiyoriy chiziqli funksionalning uzluksizligi ham shunga
o‘xshash isbotlanadi.
2. E  F  C[0,1] topologik vektor fazoda T operatorni quyidagicha
aniqlaymiz:
1
y  Tx   K (t , s) x( s)ds .
0
Bu yerda K(t,s) funksiyani [0,1]  [0,1] to‘plamda uzluksiz deb faraz qilamiz.
175
Bevosita ko‘rinib turibdiki, T operator C[0,1] fazoni C[0,1] fazoga aks
ettiruvchi chiziqli operatordir. Endi biz T ning uzluksiz ekanligini isbotlaymiz.
C[0,1] metrikalangan topologik vektor fazo bo‘lgani uchun 2- natijaga
ko‘ra xn    Txn  
munosabat o‘rinli ekanligini ko‘rsatish kifoya.
[0,1]  [0,1] to‘plam kompakt bo‘lgani uchun K(t,s) funksiya chegaralangan:
| K (t , s) | M .
U holda
1
 (Txn , )  max  K (t , s) xn ( s)ds  M  max xn ( s)  M   ( xn , )
0t 1
0 s 1
0
Demak, xn   ekanligidan Txn   kelib chiqadi.
2-teorema. E, F haqiqiy topologik vektor fazolar bo‘lib, T additiv (ya’ni
T ( x  y)  Tx  Ty xossaga ega bo‘lgan) va uzluksiz aks ettirish bo‘lsin. U holda
T chiziqli operatordir.
Isboti. T operatorning chiziqliligini isbotlash uchun uning bir jinsliligini,
ya’ni ixtiyoriy  haqiqiy son va x  E uchun T ( x)  T ( x) munosabat o‘rinli
ekanligini ko‘rsatish kifoya.
Agar   n natural son bo‘lsa, u holda T operatorning additivligidan
ushbu:
T (nx)  T ( x  x  x...  x)  Tx  Tx  ...  Tx  nTx
munosabat kelib
chiqadi. Ushbu T ( )  T (   )  T ( )  T ( )  2T ( ) tenglikdan T ( )  
tenglik kelib chiqadi. Bundan
T ( x)  T ( x)  T ( x  x)  T ( )   , ya’ni
T ( x)  T ( x) munosabat kelib chiqadi. m manfiy butun son bo‘lsa, u holda
(m) - natural son. Shuning uchun T (mx)  T (mx)  (m)Tx  mTx , ya’ni
T (mx)  mTx munosabat ixtiyoriy m butun son uchun bajariladi. Endi p/q -
ixtiyoriy ratsional son bo‘lsin, p, q - butun sonlar; u holda
p 
 1 
 x
T  x   T  p  x   pT  
q 
 q 
q
x
q
  -belgilash kiritsak, u holda
176
x
T    T ( ) va T ( x)  T (  q)  qT ( )
q
yoki
 x
1
T    T ( )  T ( x) .
q
q
Demak,
p  p
T  x   T ( x) .
q  q
Nihoyat  ixtiyoriy haqiqiy son va {n }
ketma-ketlik  songa
yaqinlashuvchi ratsional sonlar ketma-ketligi bo‘lsin. U holda T uzluksiz
bo‘lgani uchun
T ( x)  T (lim n x)  limT (n x)  lim nTx  Tx
n
n
n
Bu yerda biz topologik vektor fazoda haqiqiy songa ko‘paytirish
amalining uzluksizligidan foydalandik.*
E topologik vektor fazoni F topologik vektor fazoga aks ettiruvchi barcha
uzluksiz chiziqli operatorlar to‘plamini L(E,F) bilan belgilaymiz.
Bu to‘plam 1.6-§ da kiritilgan operatorlar ustidagi amallarga nisbatan
vektor fazodir.
Ikki uzluksiz operatorning yig‘indisi va uzluksiz operatorning songa
ko‘paytmasi uzluksiz operatorligi topologik vektor fazodagi amallarning
uzluksizligidan bevosita kelib chiqadi.
Demak, L(E,F) vektor fazo Z(E,F) fazoning (1.6-§) vektor qism fazosidir.
Agar E=F bo‘lsa, L(E,F) o‘rniga L(E) yozamiz. Agar F = K sonlar
maydoni bo‘lsa, L (E, K) fazoni E' bilan belgilaymiz va E ga qo‘shma fazo
deymiz. Ya’ni E' qo‘shma fazo E da aniqlangan uzluksiz chiziqli
funksionallardan tashkil topgan.
E = F bo‘lgan holda Z(E) va L(E) fazolarda ko‘paytirish amali kiritib,
ularni halqaga aylantirish mumkin. Z(E) fazoni halqaga aylantirish uchun
ko‘paytma sifatida operatorlarning kompozitsiyasi A B ni olamiz:
177
A  B  A B , ya’ni (AB)x = A(Bx).
Agar ixtiyoriy x  E uchun Ax  Bx bo‘lsa, A va B operatorlar bir-biriga teng
deyiladi. Ravshanki,
1) A(BC) = (AB)C;
2) A(B + C) = AB + AC
3) (B+C)A = BA + CA
ya’ni Z (E) halqa; bu halqa chiziqli operatorlar halqasi deyiladi. Uzluksiz
operatorlar
ko‘paytmasining
uzluksizligi
uzluksiz
aks
ettirishlarning
kompozitsiyasi uzluksiz ekanligidan kelib chiqadi. Demak, shu amallarga
nisbatan L(E) to‘plam ham halqadir. Z(E) va L(E) halqada birlik element
mavjud. Bu element birlik operator deb ataladi va quyidagicha ta’riflanadi: ixtiyoriy x  E uchun Ix  x . Har bir A  Z ( E ) uchun AI  IA  A munosabat
bevosita kelib chiqadi. Agar dim E  1 bulsa, Z(E) halqa kommutativ emas.
Bunga misollar keltiramiz. 1. L(R2) ikki o‘lchamli fazodagi chiziqli
operatorlar halqasi bo‘lsin. Ma’lumki, bu halqa ikkinchi tartibli kvadrat
matritsalar halqasidir. Algebra kursidan ma’lumki, umumiy holda A va B
matritsalar uchun AB matritsa BA matritsaga teng emas. Masalan,
0 1 
0 0
A
, B

 matritsalarni qarasak,
0
0
0
1




0 1 
0 0
AB  
,
BA


0 0.
0
0




Demak, AB  BA .
2. L(C[a,b]) operatorlar halqasida
b
Ax   tsx( s )ds ,
a
Bx  tx(t )
deb olsak,
b
b
a
a
ABx  A( Bx)   ts(sx(s ))ds  t  s 2 x(s )ds, ,
178
b
b
BAx  B( Ax)  t  tsx( s)ds  t  sx( s)ds
2
a
a
ya’ni AB  BA .
I E va I F operatorlar mos ravishda E va F dagi birlik operatorlar bo‘lsin.
A  Z ( E, F ), B  Z ( F , E ) operatorlar uchun ushbu
BA  I E ( AB  I F )
munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda B operator A operatorga chapdan (o‘ngdan)
teskari operator deyiladi.
Agar A operator uchun chapdan teskari bo‘lgan B operator va o‘ngdan
teskari bo‘lgan C operator mavjud bo‘lsa, u holda B=C.
Darhaqiqat,
B  BI F  B( AC )  ( BA)C  I EC  C .
B=C operator A1 bilan belgilanadi va A ga teskari operator deyiladi.
Agar A operator uzluksiz bo‘lib, uning teskari operatori A1 mavjud
bo‘lsa, A1 operator umumiy holda uzluksiz bo‘lmasligi ham mumkin.
Bunga misol keltiramiz. Noldan farqli hadlarining soni ko‘pi bilan chekli
bo‘lgan x={xn} ketma-ketliklar fazosi X da normani quyidagicha kiritamiz:
x  max xn
n 1,2,...
Bu normalangan fazoda T : X  X chiziqli operatorni ushbu
x 
Tx   n 
n
tenglik bilan aniqlaymiz. Ravshanki,
Tx  x
demak,
x   da Tx   , ya’ni T -uzluksiz chiziqli operator. Bu operator
uchun teskari operator mavjud va
T 1x  {nxn }
Ammo T-1 uzluksiz emas. Darhaqiqat,
179
x ( k )  (0,0,...,0,
k 1
1
,0,0,...), k  1,2,...
k
elementlardan tuzilgan ketma-ketlikni olsak,
x(k ) 
1
0
k k 
Lekin
T 1x( k )  (0,0,...,0,1,0,...)
ya’ni
T 1x( k )  1 
 0.
Demak, T-1 uzluksiz emas. Qanday hollarda A  L( E, F ) dan A1  L( E, F )
kelib chiqishi keyingi paragraflarning birida ko‘riladi.
Endi E, F lokal qavariq fazolar bo‘lib, {p} va {q} mos ravishda E va F
dagi topologiyalarni aniqlovchi yarim normalar sistemasi bo‘lsin.
3-teorema. T : E  F chiziqli operator uzluksiz bo‘lishi uchun quyidagi
shart zarur va kifoyadir, ixtiyoriy q {q} yarimnorma uchun shunday p { p}
yarimnorma va musbat  son topiladiki, ushbu
q(Tx)   p( x)
(1)
munosabat ixtiyoriy x  E element uchun bajariladi.
Isboti. Kifoyaligi. F fazoda nolning atroflari bazisidan ixtiyoriy
____
V  { y  F : qi ( y)   i , i  1, n}
atrofni olamiz. (1) shartga ko‘ra, shunday pi { p} yarimnormalar va  i sonlar
mavjudki,
____
qi (Tx)  i pi ( x), i  1, n .
Endi E fazoda ushbu
____ 


U   x  E : pi ( x)  i , i  1, n 
i


atrofini olsak, u holda ixtiyoriy x U uchun
180
qi (Tx)  i pi ( x)  i 
i
 i ,
i
ya’ni Tx V . Demak, T (U )  V . Bu T ning  nuqtada uzluksizligini ko‘rsatadi.
1- teoremaga asosan T uzluksiz operatordir.
Zarurligi. T operator  nuqtada uzluksiz. Ta’rifga binoan ixtiyoriy
q {q} yarimnorma va   0 son uchun shunday p { p} yarimnorma va   0
son topiladiki, ushbu
p ( x)  
tengsizlikdan q(Tx)   tengsizlik kelib chiqadi.
Ushbu  p( x)   shartni qanoatlantiruvchi   0 sonni tanlab olamiz. U
holda p( x)   , demak, q(T ( x)   , ya’ni q(Tx) 

. Agar p(x)=0 bo‘lsa, 

sonni ixtiyoriy ravishda katta qilib olish mumkin, demak, q(Tx)  0 . Agar
p( x)  0 bo‘lsa, u holda  
q(Tx) 

p( x)
deb olish mumkin. Bunda
 


 p( x)   p( x)     .*
 


Natija. Lokal qavariq E fazodagi f chiziqli funksional uzluksiz bo‘lishi
uchun quyidagi shart zarur va kifoyadir: shunday p { p} yarimnorma va   0
son mavjudki,
f ( x)   p ( x)
(2)
tengsizlik ixtiyoriy x  E uchun bajariladi.
Ta’rif. E, F topologik vektor fazolar bo‘lsin. Agar T : E  F chiziqli
operator E dagi ixtiyoriy chegaralangan to‘plamni F dagi chegaralangan
to‘plamga aks ettirsa, u chegaralangan deyiladi.
Ixtiyoriy uzluksiz chiziqli operator chegaralangandir. Darhaqiqat, T
uzluksiz bo‘lsa, F dagi nolning ixtiyoriy V atrofining asli T 1 (V ) to‘plam E dagi
nolning atrofidir. E dan biron chegaralangan V to‘plam olsak, chegaralanganlik
181
ta’rifiga asosan shunday   0 son topiladiki, ixtiyoriy  (    ) son uchun
 B  T 1 (V ) , demak, TB  V , ya’ni TV to‘plam F fazoda chegaralangan.
4-teorema. E va F lokal qavariq fazolar bo‘lib, E metrikalangan bo‘lsin. U
holda ixtiyoriy chegaralangan T : E  F chiziqli operator uzluksizdir.
Isboti. Dastavval E fazoda biror absolyut qavariq A to‘plam ixtiyoriy
chegaralangan to‘plamni yutuvchi bo‘lsa, u nolning atrofi ekanligini
isbotlaymiz. Agar E dagi metrikani  bilan belgilasak, u holda
1

Vn   x  E :  ( , x)   , n  1,2,...
n

to‘plamlar E da nol atroflarining sanoqli bazisini tashkil qiladi. Agar ixtiyoriy
_
n  1,2,... uchun Vn  nA bo‘lmasa, u holda xn Vn , xn nA shartlarni
qanoatlantiruvchi {xn} ketma-ketlik mavjud. Demak, xn   , bundan {xn} chegaralangan to‘plam. Ixtiyoriy n = 1, 2, . . . uchun xn  nA bo‘lgani sababli
A to‘plam {xn} chegaralangan to‘plamni yuta olmaydi.
Bu ziddiyat biror n0
uchun Vn0  n0 A munosabat bajarilishini ko‘rsatadi, ya’ni
1
Vn  A . Demak, A
n0 0
nolning atrofi.
Endi T : E  F chegaralangan chiziqli operator bo‘lsin. F dagi nolning
ixtiyoriy absolyut qavariq V atrofini olamiz. Agar
BE
ixtiyoriy
chegaralangan to‘plam bo‘lsa, u holda V to‘plam chegaralangan TV to‘plamni
yutuvchidir, ya’ni biror n0 natural son uchun TB  n0V , bundan B  n0T 1 (V ) .
Demak, T 1 (V )  E to‘plam E dagi har qanday chegaralangan to‘plamni
yutuvchi to‘plamdir. Yuqoridagi mulohazalarga asosan T 1 (V ) nolning atrofidir,
ya’ni T operator nolda va demak, har bir nuqtada uzluksiz.*
7.2- §. Tekis chegaralanganlik prinsipi. Ochiq aks ettirish va yopiq grafik
haqidagi teoremalar
182
Bu paragrafda ko‘riladigan fazolarni F fazo (ya’ni to‘la metrikalangan
vektor fazo) deb faraz qilamiz.  metrika F fazodagi biror metrika bo‘lsa,
x   ( , x) belgilashni kiritamiz.
1. Tekis chegaralanganlik prinsipi.
  { } indekslar to‘plami bo‘lib, {T } sistema E fazoni F fazoga aks
ettiruvchi uzluksiz chiziqli operatorlar sistemasi bo‘lsin.
1-teorema. Ixtiyoriy x  E element uchun {T x, } to‘plam F
fazoning chegaralangan qismi bo‘lsin. U holda
lim T x  
x
munosabat  ga nisbatan tekis bajariladi, ya’ni ixtiyoriy   0 uchun shunday
  0 mavjudki, ushbu T x   munosabat ixtiyoriy x( x   ) element va
ixtiyoriy   uchun o‘rinli.
Isboti. Ushbu belgilashni kiritamiz:

1
1


Ek   x  E : T ( x)  T ( x)    ,
k
k
2


bu yerda k  1, 2, ...,   0. T operatorlar uzluksiz bo‘lgani sababli har bir Ek
yopiq to‘plamdir. Teoremaning shartiga binoan ixtiyoriy x uchun {T x,  }
tuplam chegaralangan bo‘lgani sababli shunday k topiladiki, x  Ek , demak,
E

k 1
Ek
E fazo to‘la metrik fazo bo‘lgani uchun Ber teoremasiga binoan (2.6-§, 3teorema) shunday k0 natural son topiladiki, Ek0 to‘plam F ning biror qismida
zich bo‘ladi, ya’ni shunday B  B( x0 ,  ) shar topiladiki, ixtiyoriy y  B
elementning ixtiyoriy Uy atrofi uchun U y
Ek   (ya’ni Ek0
to‘plam B
sharning hamma yerida zich). Shuning uchun B  Ek0  Ek0 (chunki Ek0 yopiq
to‘plam). Bu munosabatni quyidagicha yozsa ham bo‘ladi:
x0  x  Ek0 ( x0  Ek0 , x   )
Demak, ixtiyoriy   uchun ushbu
183
1
 1

T ( x  x0 )  , T ( x0 ) 
k0
2 k0
2
tengsizlik o‘rinlidir. Demak,
1
1
1
T ( x)  T ( x  x0 )  T ( x0 )   ,
k0
k0
k0
ya’ni x   munosabatdan ixtiyoriy   uchun ushbu
 x
T    
 k0 
munosabat kelib chiqadi.
Ushbu y 
x
belgilashni kiritsak, yuqoridagi xossa quyidagicha yoziladi:
k0
ixtiyoriy y  E uchun y 

k0
munosabatdan T ( y)  
tengsizlik  ga nisbatan tekis bajarilishi kelib chiqadi, ya’ni
lim T y   .*
y 
2-teorema (Banax - Shteynxaus teoremasi). E
fazoni F fazoga
akslantiruvchi {Tn} uzluksiz chiziqli operatorlar ketma-ketligi har bir nuqtada
fundametal bo‘lsin, ya’ni ixtiyoriy x  E element uchun {Tn x}n1 ketma-ketlik F
fazoda fundamental bo‘lsin. U holda ushbu
lim Tn x  
x
limit n ga nisbatan tekisdir.
Isboti.   N  {1,2,...} deb olamiz. Ixtiyoriy x element uchun {Tn x}n1
ketma-ketlik fundamental, demak chegaralangan. Shularni hisobga olsak, 2teoremaning isboti 1-teoremadan bevosita kelib chiqadi.*
3-teorema. Agar {Tn }n1  L( E, F )
ketma-ketlik har bir nuqtada
fundamental bo‘lsa, u holda shunday T  L( E, F ) operator topiladiki, berilgan
ketma-ketlik T operatorga har bir nuqtada yaqinlashuvchi bo‘ladi.
184
Isboti. Teoremaning shartiga ko‘ra ixtiyoriy x  E element uchun {Tn x}n1
kema-ketlik F fazoda fundamentaldir.
F fazo to‘la bo‘lgani uchun {Tn x}n1 kema-ketlik biror yx  F elementga
yaqinlashuvchi bo‘ladi. T operatorni quyidagicha aniqlaymiz:
Tx  yx
Ravshanki, T operator E fazoni F fazoga aks ettiradi. T chiziqli operatordir,
chunki
T ( x1   x2 )  lim Tn ( x1   x2 ) 
n
 lim [Tn x1   Tn x2 ]   Tx1   T x2
.
n
Nihoyat, T uzluksiz operator hamdir. Haqiqatdan, Banax-Shteynxaus
teoremasini {Tn} ketma-ketlikka qo‘llasak,
  0   0 : x    Tn x   , n  N
munosabat kelib chiqadi. Bu yerda n bo‘yicha limitga o‘tsak, quyidagi
munosabat hosil bo‘ladi:
  0   0 : x    Tx   ,
ya’ni T uzluksiz operatordir.*
2. Ochiq aks ettirish haqidagi teorema.
Ta’rif. Agar T operator ochiq to‘plamni ochiq to‘plamga akslantirsa u
ochiq akslantirish deyiladi.
4-teorema. T : E  F uzluksiz chiziqli operator bo‘lib, T(E)=F tenglik
bajarilsin. Bu holda T ochiq operatordir, ya’ni E dagi ixtiyoriy G ochiq
to‘plamning tasviri TG to‘plam F fazoda ochiqdir.
Isboti. Qulaylik uchun isbotini 3 qismga bo‘lamiz:
a) G to‘plam F fazodagi  nuqtaning ochiq atrofi bo‘lsin. Bu yerda biz
TG to‘plam F fazoda  nuqtaning atrofi ekanligini isbotlaymiz. Topologik
vektor fazoda ayirish amali uzluksiz bo‘lgani uchun  nuqtaning ushbu
U U  G
185
1 
shartni qanoatlantiradigan muvozanatdagi U atrofi mavjud.   ketma-ketlik
n
nolga intilgani sababli ixtiyoriy x  E element uchun shunday n topiladiki,
x
n
element U atrofga tegishli bo‘ladi, ya’ni x  nU . Demak,
E

n 1
nU ,
va
F  T (E) 

n 1
nTU .
F to‘la bo‘lgani uchun Ber teoremasiga asosan shunday n0 natural son
mavjudki, n0TU to‘plam F ning biror qismida zich bo‘ladi, ya’ni  ning V
ochiq atrofi topiladiki, ushbu
V  n0 TU
yoki
1
V  TU
n0
munosabat bajariladi. Songa ko‘paytirish amali uzluksiz bo‘lgani uchun
W
1
V to‘plam x  E elementning ochiq atrofidir va
n0
W  TU .
Demak,
TG  TU  TU  TU  TU  W  W  
va W  W 
W
{  W } ochiq to‘plam. Shuning uchun W-W to‘plam 
elementning atrofi, ya’ni T G to‘plam  elementning ochiq atrofini o‘z ichiga
oladi.
b) B  E va C  F orqali markazi  da va radiusi  ga teng bo‘lgan
sharlarni belgilaymiz. Ixtiyoriy  0  0 son uchun shunday  i  0 sonlar

topiladiki,
  
i 1
i
0
tengsizlik bajariladi. Yuqoridagi a) punktga binoan
shunday i  0(i  0) sonlar topiladiki, ushbu
TBi  Ci , i  0, 1, 2, ...
(1)
186
munosabat bajariladi.
Endi quyidagini isbotlaymiz:
TB2  C0 ,
0
ya’ni
y  C0 x  B2 0 : y  Tx
Yuqoridagi (1) munosabatda i=0 deb, ixtiyoriy y  C0  TB 0 elementni olamiz.
Demak, B 0 da
y  Tx1  1
shartni qanoatlantiruvchi x1 element mavjud. Bundan y  Tx1  C1 . Yuqoridagi
(1) munosabatni i=0 uchun qo‘llasak, ushbu
( y  Tx1 )  Tx2  2
tengsizlikni
qanoatlantiruvchi
x2  B1
element
topiladiki,
ya’ni
y  T ( x1  x2 )  2 va xokozo. Shu tarzda davom ettirib har bir B n 1 sharda
ushbu
 n 
y  T   xi   n
 i 1 
(2)
n
shartni qanoatlantiruvchi xn element topamiz. Endi  xi elementni zn bilan
i 1
belgilaymiz. Hosil bo‘lgan {zn }n1
ketma-ketlik fundamental ekanligini
isbotlaymiz. Ixtiyoriy m, n (m<n) natural sonlar uchun ushbu
zn  zm  xm1  xm2  ...  xn  xm1 
 ...  xn   m   m1  ...   n1

munosabatlar o‘rinli. Yuqorida kiritilgan   n qator yaqinlashuvchi bo‘lgani
n 1
uchun
zn  zm  0, n, m   . Bu munosabatdan {zn} ning fundamental
ekanligi kelib chiqadi. Bundan E to‘la bo‘lgani uchun {zn} ketma-ketlik biror x
elementga yaqinlashadi, ya’ni
187
n
x  lim zn  lim  xi .
n
n
i 1
Endi i  0 shartni va T ning uzluksizligini hisobga olsak, yuqoridagi
munosabatdan ushbu
y  Tx
tenglik kelib chiqadi. Metrik fazoda metrikaning uzluksizligidan foydalanib,
quyidagi munosabatlarni yozishimiz mumkin:
 ( , x)  x  lim zn  lim( x1  ...  xn ) .
n
Ma’lumki, xi  Bi 1 , ya’ni
n
xi   i 1 . Bu tengsizlikdan foydalanib ushbu
tengsizlikni hosil qilamiz:
x   ( , x)  lim( 0  1  ...   n1 )   0   0  2 0 .
n
Demak,
x  B2 0 , yoki TB2 0  C .
0
Shunday qilib, E fazodagi  elementning ixtiyoriy atrofining tasviri F fazoda 
elementning atrofidir.
c) G to‘plam E fazoda ixtiyoriy ochiq to‘plam bo‘lsin. U holda ixtiyoriy
x  G element uchun  elementning ushbu
xM G
shartni qanoatlantiruvchi M atorofi topiladi. b) ga asosan  elementning TM
to‘plam ichida butunlay joylashgan U atrofi mavjud. Demak,
TG  T ( x  M )  Tx  TM  Tx  U
ya’ni TG –ochiq to‘plam.*
Quyidagi teorema funksional analizning eng muhim teoremalaridan
biridir.
5-teorema. (teskari operator haqidagi teorema). T : E  F chiziqli
izomorfizm bo‘lsin. (1.6-§). Agar T uzluksiz bo‘lsa, u holda T-1 ham uzluksiz
chiziqli operatordir.
188
Isboti. T-1 ning mavjudligi teoremaning shartlaridan bevosita ko‘rinib
turibdi. T-1 chiziqli operator ekanligini isbotlash uchun x1, x2  E elementlarni
va   K sonni olamiz. Tx1  y1, Tx2  y2 bo‘lsin, u holda
T ( x1  x2 ) Tx1  Tx2  y1  y2 ,
demak,
T 1 ( y1  y2 )  x1  x2  T 1 y1  T 1 y2 .
So‘ng T ( x1 )   Tx1   y1 , bundan T 1 ( y1 )   x1  T 1 y1 , ya’ni T-1 chiziqli
operator. Endi E fazoda ixtiyoriy G ochiq to‘plamni olsak, bu to‘plamning T-1
operatorga nisbatan olingan asli (T 1 )1 (G)  TG ga teng. 4-teoremaga asosan
TG-ochiq to‘plam, ya’ni T-1 –uzluksiz operator.*
3. Yopiq grafik haqidagi teorema.
T : E  F chiziqli operator E fazoning D(T)=domT vektor qism fazosida
aniqlangan bo‘lsin, ya’ni D(T) to‘plam T operatorning aniqlanish sohasi bo‘lsin.
Ma’lumki (1.6-§), ushbu
grT  {( x, Tx) : x  D(T )}  E  F
to‘plam T operatorning grafigi deyiladi. Agar grT to‘plam E  F fazoda yopiq
bo‘lsa, T operator yopiq deyiladi. E, F fazolar F-fazolar bo‘lsa, E  F fazo ham
F-fazo bo‘ladi: bu fazoda    ( x, y)  E  F
va    ( x, y)  E  F
elementlar orasidagi masofa quyidagicha aniqlandi:
 ( ,  )  x  x  y  y .
T operatorning yopiqligi quyidagicha ifodalanadi: agar ( xn , Txn )  grT va
xn  x, Txn  y bo‘lsa, u holda
x  D(T ) va y=Tx.
6-teorema. (yopiq grafik haqidagi teorema). E fazoni F fazoga aks
ettiruvchi yopiq, chiziqli T operator uzluksizdir.
Isboti. T chiziqli operator bo‘lgani uchun grT to‘plam E  F fazoning
vektor qism fazosidir (1.6-§, 2-teorema). gr T to‘plam E  F fazoning yopiq
189
qism fazosi bo‘lgani uchun gr T ning o‘zi F-fazo hosil qiladi. gr T fazoni E
fazoga aks ettiruvchi prE operatorni quyidagicha aniqlaymiz:
prE ( x, Tx)  x, ( x, Tx)  gr T .
Ravshanki, prE uzluksiz chiziqli operator bo‘lib, gr T fazoni E fazoga o‘zaro bir
qiymatli aks ettiradi va uning qiymatlar sohasi E fazoga tengdir. 5-teoremaga
muvofiq uzluksiz chiziqli prE-1 operator mavjud. Ushbu
prE 1 ( x)  ( x, Tx), prF ( x, Tx)  Tx
munosabatlardan T  prF prE1 kelib chiqadi, ya’ni T operator uzluksiz
operatorlarning kompozitsiyasiga teng, demak, T ham uzluksiz.*
7.3-§. Normalangan fazoda chiziqli operatorning normasi
E va F normalangan fazolar, T : E  F bo‘lsin.
Ta’rif. T chiziqli operator uchun ushbu
Tx  M  x , x  E
tengsizlikni qanoatlantiruvchi M>0 son mavjud bo‘lsa, u holda T operator
chegaralangan deyiladi. Bu ta’rif 7.1-§ da kiritilgan chegaralanganlik ta’rifiga
ekvivalent.
1-teorema. T : E  F chiziqli operator uzluksiz bo‘lishi uchun uning
chegaralangan bo‘lishi zarur va kifoyadir.
Isboti. Zarurligi. T uzluksiz, ammo cheragaralanmagan bo‘lsin deb faraz
qilaylik. Bu holda ixtiyoriy n natural son uchun shunday xn  E element
mavjudki, ushbu
Txn  n xn
tengsizlik bajariladi. Ravshanki, xn   . Ushbu yn 
bevosita ko‘rinib turibdiki, yn 
xn
n xn
elementni olsak,
1
 0 , ya’ni yn   . T uzluksiz bo‘lgani
n
uchun Tyn   . Ammo
190
Tyn 
1
1
 Txn 
 n  xn  1 .
n xn
n xn
Demak, Tyn  1 ; ziddiyat hosil bo‘ladi.
Kifoyaligi. T chegaralangan chiziqli operator bo‘lsa, u holda ta’rifga
asosan
Tx  M x
(M  0) .
Agar xn ketma-ketlik  ga intilsa, u holda xn  0 .
Demak,
Txn  M xn  0 ,
ya’ni Txn  
bundan T operatorning  nuqtada uzluksizligi va demak, har bir elementda
uzluksizligi kelib chiqadi.*
Isbotlangan teoremadan L(E,F) fazo chegaralangan chiziqli operatorlar
to‘plamiga tengligi kelib chiqadi.
Ta’rif. T  L( E, F ) operatorning normasi deb quyidagi songa aytiladi:
T  inf M  0 : Tx  M ( x), x  E .
Normaning teng kuchli ta’riflari quyidagi lemmadan kelib chiqadi.
Lemma.
T  sup Tx  sup Tx .
x 1
x 1
Isboti. Ixtiyoriy M ( M  T ) son va x ( x  1) element uchun Tx  M
o‘rinli, bundan
sup Tx  M .
x 1
Demak,
sup Tx  T ,
x 1
ya’ni
191
sup Tx  sup Tx  T
x 1
(1)
x 1
bundan T  0 bo‘lganda lemma ravshan. Agar T  0 bo‘lsa, ushbu
0b T
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy b sonni olamiz.
Ta’rifga asosan quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradigan x0 element
mavjud.
Tx0  b x0 , x0   .
Demak, y0 
x0
x0
bundan sup  Ty  b .
y 1
elementni olsak, u holda y0  1 va Ty0 
Olingan b son T
Tx0
 b,
x0
dan kichik ixtiyoriy son bo‘lgani
uchun oxirgi tengsizlikdan ushbu
sup Tx  T
x 1
tengsizlik hosil bo‘ladi. Bu tengsizlikni yuqoridagi (1) tengsizlik bilan
solishtirsak, isbotlanayotgan tenglik kelib chiqadi.*
Operator
normasining
quyidagi
xossalari
yuqoridagi
lemmadan
osonlikcha kelib chiqadi:
1) T  0  T  0 ;
2) T    T ,   K , T  L( E, F ) ;
3) T1  T2  T1  T2 , T1, T2 L( E, F );
4) T1 T2  T1 T2
Masalan, 3) xossani isbotlaymiz:
T1  T2  sup (T1  T2 )( x)  sup T1 x  T2 x  sup( T1x)  T2 x ) 
x 1
x 1
x 1
 sup T1 x  sup T2 x  T1  T2
x 1
x 1
Demak, L( E, F ) fazo normalangan fazodir.
Xususan,
FK
bo‘lganda, uzluksiz chiziqli funksionallar fazosi
normalangan bo‘lib, bu fazodagi norma ushbu ko‘rinishda aniqlanadi:
192
f  sup f ( x)  sup f ( x)
x 1
x 1
Misollar. 1. Nol operator Ox   ( x  E ) tenglik bilan aniqlanadi.
Ravshanki, O  0 .
2. I birlik operatorni olamiz. Ixtiyoriy x  E element uchun Ix  x
bo‘lgani sababli ushbu
I  sup Ix  sup x  1
x 1
x 1
tenglik, ya’ni I  1 o‘rinlidir.
3. Normalangan E fazoda T chiziqli operatorni quyidagicha aniqlaymiz:
Tx   x,   K
U holda
T  sup Tx  sup  x  sup   x  
x 1
x 1
x 1
,
ya’ni
T 
4. n o‘lchamli E vektor fazoda {e1, e2 ,..., en } bazisni, m o‘lchamli F fazoda
esa {e1, e2 ,...em } bazisni olamiz.
Ravshanki, T : E  F chiziqli operatorni {ei }in1 bazis elementlarida
aniqlash kifoyadir. Buning uchun o‘z navbatida gi  Tei elementlarning {ei}im1
bazis bo‘yicha koordinatalarini bilish yetarlidir, ya’ni
m
gi  Tei   aik ek , aik  K
k 1
n
Agar x   i ei  E ixtiyoriy vektor bo‘lsa, u holda
i 1
m
m
m
 n
 n
 n

y  Tx  T  i ei   i  aik ek     aiki  ek  k ek ,
k 1  i 1
k 1
 i 1
 i 1 k 1

n
bu yerda k   aiki (k  1,2,..., m)
i 1
193
Demak, T operator (aij ) matritsa yordamida aniqlanib, u x  (1, 2 ,...,n )
vektorga ushbu ko‘rinishda qo‘llanilar ekan:
1 
 1   a11 a21 ... an1   1 
 
 
  
   Tx  T     a12 a22 ... an 2   
 
    a a ... a    
 m
 m   1m m 2
nm   n 
E va F fazolarda Yevklid normasini olamiz. Koshi-Bunyakovskiy
tengsizligidan ushbu
2
n
 n
2
2
Tx    aiki     aik  i  
k 1 i 1
k 1  i 1
i 1

n

 m n
2 
2
2
2
   aik   i     aik  x
 k 1 i 1
 i 1
  i, k

m
2
n
m
munosabat, ya’ni ushbu
Tx 
a
ik
2
x
i, k
tengsizlik kelib chiqadi. Demak, T chegaralangan chiziqli operator va
T 
a
2
ik
.
i, k
Xususan, agar E va F chekli o‘lchamli fazolar Yevklid normasi bilan
qaralsa, u holda ixtiyoriy T : E  F chiziqli operator uzluksizdir.
5. E  R n va F  Rm fazolarda ushbu
x  max i ,
y  max k
i
k
normalarini olib, T  (aik ) chiziqli operatorning normasini hisoblaymiz. Ushbu
n
n
y  Tx max k  max  aik  i  x max  aik
k
k
i 1
k
i 1
munosabatdan
n
T  max  aik
(2)
i 1
tengsizlik kelib chiqadi. Faraz qilaylik,
194
n
n
 aik0  max  aik .
k
i 1
i 1
bo‘lsin. U holda x  (10 ,..., n0 ) vektorni quyidagicha aniqlaymiz:
 1, aik0  0 bo ' lsa,

i0  sgn aik0  1, aik0  0 bo ' lsa,

 0, aik0  0 bo ' lsa.
bundan ravshanki, x0  1 va
n
n
T  Tx0  max  aiki0   aik0 sgn aik0 
k
i 1
i 1
n
.
n
  aik0  max  aik
k
i 1
i 1
Bundan va (2) tengsizlikdan
n
T  max  aik .
k
i 1
6. E separabel Gilbert fazosida e1, e2 ,..., en ,... ortonormal bazis bo‘lsin. U
holda (4.3-§) ixtiyoriy x  E element ushbu

x   i ei
i 1
ko‘rinishga ega. Biror C  0 son va {n }( n  C ) sonli ketma-ketlikni olib,
operatorni quyidagicha aniqlaymiz:

Tx   (ii )ei .
(3)
i 1
Tx elementning mavjudligi ushbu


   C    
i 1
2
i i
2
2
i 1
i
tengsizlikdan va Riss-Fisher teoremasidan bevosita kelib chiqadi (4.3-§).
T ning chiziqli operator ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi. (3) tenglikdan
Tei  i ei tenglik kelib chiqadi. Ushbu   sup n belgilashni kiritamiz. U holda
n
195
2

Tx  (Tx, Tx)   ii   2 x ,
2
2
i 1
bundan
T .
Har bir ei vektor birlik sharga tegishli (ya’ni ei  1) bo‘lgani uchun
T  sup Tx  sup Ten  sup n  
x 1
n
n
Demak,
T    sup 
n
7. L2[a, b] fazoda Fredgolm operatori.
D orqali ushbu to‘plamni belgilaymiz:
D  [a, b]  [a, b]  {(t , s) : t [a, b], s [a, b]} .
Biror K (t , s) funksiya L2 ( D) fazoga tegishli, ya’ni ushbu
b b
 K (t , s) dsdt  K  
2
2
(4)
a a
munosabat o‘rinli bo‘lsin. K (t , s) funksiya yordamida L2 (a, b) Gilbert fazosida
chiziqli operatorni quyidagicha aniqlaymiz: ixtiyoriy x(t )  L2[a, b] element
uchun
b
Tx   K (t , s) x( s)ds  y (t ) .
(5)
a
Dastavval,
y(t)
L2 (a, b)
funksiya
fazoning
elementi
ekanligini
ko‘rsatamiz. Fubini teoremasiga asosan deyarli hamma t [a, b] nuqtalar uchun
K (t , s)
2
funksiya s argumentga nisbatan Lebeg ma’nosida jamlanuvchidir.
Demak, deyarli hamma t
uchun y(t) funksiya ikki elementning skalyar
ko‘paytmasiga teng ya’ni chekli. Ushbu
b
K (t )   K (t , s) ds
2
2
a
funksiya jamlanuvchidir, chunki
196
b
b b
 K (t ) dt   K (t ) dsdt  K   .
2
2
a
2
a a
Demak, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan
2
b
 b

2
2
2
y (t )   K (t , s)x( s)ds    K (t , s) ds   x( s) ds   K (t ) 2 x
a
a
 a

b
2
Shuning uchun ushbu
b
b
 y(t ) dt   K (t ) dt  x  K x
2
a
2
2
2
2
(6)
a
integral mavjud, ya’ni y(t )  L2[a, b] . Demak, (5) formula L2 (a, b) fazoda
operatorni aniqlaydi.
Bu T operator Fredgolm operatori, K (t , s) funksiya esa uning o‘zagi
deyiladi. Yuqoridagi (6) munosabatdan
b b
T K
 K (t , s) dsdt
2
a a
tengsizlik va T uzluksiz operatorligi bevosita kelib chiqadi.
7.4-§. Normalangan fazolarda funksional analizning asosiy prinsiplari
I. Banax-Shteynxaus teoremasi.
1-teorema. E va F Banax fazolari bo‘lib, Tn   L  E, F  operatorlar
ketma-ketligi har bir nuqtada fundamental bo‘lsin. U holda ularning normalari
ketma-ketligi { Tn }chegaralangandir.
Isboti. Banax fazosi F- fazo bo‘lgani uchun 7.2-§ dagi 2-teoremaning
shartlari bajariladi. Shu teoremaga asosan ushbu
lim Tn x  0
x0
munosabat n ga nisbatan tekis bajariladi, ya’ni ixtiyoriy  >0 uchun shunday
  0 mavjudki, Tn x   munosabat ixtiyoriy n natural son va normasi  dan
197
kichik bo‘lgan x element uchun bajariladi. Demak, ixtiyoriy x  1 element
uchun (  x   munosabatni nazarda tutsak) ushbu
 Tn x  Tn  x    ,
ya’ni
Tn x 


tengsizlik kelib chiqadi. Operator normasining ta’rifiga asosan, ushbu
Tn x 


tengsizlik ixtiyoriy n uchun o‘rinlidir.
II.
Xan -Banax teoremasi.
2-teorema. Normalangan E fazoning E0 vektor qism fazosida uzluksiz f0
chziqli funksional berilgan bo‘lsin. U holda E fazoda quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvchi uzluksiz f chiziqli funksional mavjud:
1) f E  f 0
0
2)
f  f0
Isboti. E fazoda ushbu p  x   f0  x yarimnormani kiritamiz (aslida
p(x)-normadir).
Bu
holda
x  E0
ixtiyoriy
element
uchun
f0  x   f 0  x  p  x  5.3-§ dagi Xan-Banax teoremasiga asosan quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi f chiziqli funksional mavjud:
1) f E  f 0 ;
0
2) ixtiyoriy x  E element uchun f  x   p  x  .
Demak,
f  sup f  x   sup p  x   sup f 0  x  f 0 ,
x 1
x 1
x 1
ya’ni
f  f0 .
198
Bu munosabatdan f funksionalning chegaralanganligi va, demak, uzluksizligi
kelib chiqadi va nihoyat,
f  sup f  x   sup f  x   sup f 0  x   f 0
x 1
x 1
xE0
x 1
xE0
Demak, f  f0 * .
III. L(E,F)fazoning to‘laligi.
3-teorema. E normalangan fazo, F Banax fazosi bo‘lsa, u holda L(E, F)
fazo operatorning normasiga nisbatan Banax fazosidir.
Isboti. L(E, F) fazoning normalangan fazoligi ko‘rsatilgan edi.
Bu fazo to‘la ekanligini isbotlaymiz. {Tn} ketma-ketlik fundamental bo‘lsin,
ya’ni ixtiyoriy   0 son uchun shunday N natural son mavjudki, ixtiyoriy n,
m>N natural sonlar uchun ushbu tengsizlik o‘rinlidir:
Tn  Tm   .
Ixtiyoriy x  x  1 element uchun ushbu
Tn x  Tm x  Tn  Tm  x  
(1)
tengsizlikdan {Tnx} ketma-ketlikning F fazoda fundamental ekanligi kelib
chiqadi. F fazo to‘la bo‘lgani uchun Tx  lim Tn x mavjud. Ixtiyoriy z  E
n
elementni ushbu z   x0  x0  1 ko‘rinishda yozish mumkin.
Demak,
Tn z  Tn x0  Tn x0  Tx0 .
Bu z uchun Tz  Tx0 deb olamiz. Bu bilan T : E  F operatorni aniqladik.
Ravshanki, T-chiziqli operator. Endi T operatorning uzluksizligini ko‘rsatamiz.
Buning uchun T ning chegaralangan ekanligini isbotlash kifoyadir. (1)
tengsizlikda m bo‘yicha limitga o‘tsak, ushbu
Tn x  Tx  
(2)
munosabat kelib chiqadi. Demak,
Tx  Tn x  Tn x  Tx   Tn x  Tn x  Tx  Tn x    Tn   .
199
{Tn}
ketma-ketlik
fundamental
bo‘lgani
uchun
( Tn )
ketma-ketlik
chegaralangan, ya’ni shunday M son mavjudki, ixtiyoriy n uchun Tn  M .
Demak, ixtiyoriy x  x  1 element uchun
Tx  M   .
bundan
T  sup Tx  M   .
x1
Shunday qilib, T- chegaralangan.
Endi yuqoridagi (2) tengsizlik ixtiyoriy x  x  1 element uchun o‘rinli
ekanligini hisobga olsak, n  N bo‘lganda ushbu
Tn  T  sup Tn x  Tx  
x 1
munosabat kelib chiqadi. Demak,
lim Tn  T  0 ,
n
ya’ni Tn ketma-ketlik norma bo‘yicha T operatorga yaqinlashuvchi ekan.
Natija. Ixtiyoriy normalangan E fazo uchun E  L  E, K  qo‘shma fazo
funksionalning normasiga nisbatan Banax fazosidir.
Bu natija K=(R yoki C) fazoning to‘laligidan bevosita kelib chiqadi.
IV. Teskari operator haqidagi teorema.
4-teorema. E va F Banax fazolara bo‘lib. T : E  F , chiziqli izomorfizm
bo‘lsin. Agar T uzluksiz operator bo‘lsa, u holda T 1 ham uzluksiz chiziqli
operatordir.
Isboti. B-fazolar F-fazolarning xususiy holi bo‘lgani uchun bu teorema
7.2-§ dagi 5-teoremadan bevosita kelib chiqadi.
1-natija. T0 operator E Banax fazosini F Banax fazosiga akslantiruvchi
chegaralangan chiziqli operator bo‘lib, T01 unga teskari operator
200
bo‘lsin.
T : E  F biron chegaralangan operator bo‘lib,
T 
1
T01
tengsizlik
bajarilsin. U holda T0  T  operator mavjud va chegaralangan.
1
Isboti. Ixtiyoriy y  F elementni olamiz va ushbu
Bx  T01 y  T01Tx
formula bilan aniqlangan B : E  E aks ettirishni ko‘ramiz.
Ixtiyoriy x1, x2  E uchun
Bx1  Bx2  T01Tx2  T01Tx1  T01T  x1  x2 .
T 
1
tengsizlikdan B aks ettirish qisqartirib aks ettirish ekanligi bevosita
T01
kelib chiqadi. Qisqartirib aks ettirish prinsipiga asosan ushbu
x= Bx
shartni qanoatlantiruvchi yagona nuqta topiladi (2.9- §), ya’ni
x  Bx  T01 y  T01Tx ,
demak,
T0 x  Tx  y .
Shunday qilib, ixtiyoriy y  F uchun T0 x  Tx  y tenglama yagona yechimga
ega, ya’ni T0  T 
T0  T 
1
1
mavjud. Teskari operator haqidagi teoremaga asosan
- chegaralangan operator.
2-natija. E Banax fazosida I birlik operator, T : E  F chegaralangan va
T  1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi operator bo‘lsin. U holda
I T 
1
operator mavjud bo‘lib, u chegaralangan va ushbu ko‘rinishga ega:

 I  T   T k
1
k 0
Isboti.  I  T 
1
mavjudligi va chegaralanganligi 1-natijadan bevosita

kelib chiqadi:
T  I , T  T  . T  1 tengsizlikdan  T
k 0
201

k
 T
k 0
k
 . E


k 0
k 0
fazo to‘la bo‘lgani uchun  T k qatorning yaqinlashuvchi ekanligidan  T k
qatorning yig‘indisi ham chegaralangan operatorligi kelib chiqadi, chunki bu
holda 3- teoremaga asosan L  E, E   L  E  -Banax fazosi. Ixtiyoriy n uchun
ushbu
n
n
k 0
k 0
 I  T  T k  T k  I  T   I  T n1
tenglik o‘rinli. Endi T n1  T
n 1
 0 munosabatdan
n


k 0
k 0
 I  T  T k  T k  I  T   I
ya’ni

 I  T   T k
1
k 0
kelib chiqadi.
Teskari operator haqidagi yana bir iborani keltirishdan oldin quyidagi
lemmani isbotlaymiz.
Lemma. E normalangan fazo, F Banax fazosi bo‘lsin, E fazoning hamma
yerida zich E0 vektor qism fazoda aniqlangan ixtiyoriy chegaralangan
T0 : E0  F chiziqli operatorni uning normasini saqlagan holda butun E fazoga
yagona ravishda davom ettirish mumkin.
Isboti. Ixtiyoriy x  E uchun unga yaqinlashuvchi  xn   E0 ketma-ketlik
mavjud. F fazoda T0 xn n1 ketma-ketlikni ko‘ramiz. Ushbu

T0 xn  T0 xm  T0  xn  xm
tengsizlikka asosan T0 xn n1 ketma-ketlik fundamentaldir va F to‘la bo‘lgani

sababli u biror lim T0 xn  F limitga ega. Bu limit x elementga yaqinlashuvchi
n
ketma-ketlikka bog‘liq emas, chunki agar xn  x boshqa bir ketma-ketlik
bo‘lsa, u holda
T0 xn  T0 xn  T0  xn  xn  0, ,
202
ya’ni
lim T0 xn  lim T0 xn .
n
n
Endi biz Tx  lim T0 xn deb olsak, u
n
holda T operator x elementda
aniqlangan bo‘lib, u shu tarzda butun E fazoga davom ettiriladi. Ravshanki, bu
operator chiziqli. Ushbu
T0 xn  T0  xn
tengsizlikda n bo‘yicha limitga o‘tsak, Tx  T0  x tengsizlik, ya’ni T  T0
munosabat kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan, T operator T0 ning davomi
bo‘lgani uchun T  T0 ya’ni T  T0 . Nihoyat, T operatorning yagonaligini
isbotlaymiz. Agar T  operator T0 ning boshqa bir davomi bo‘lsa, u holda
T xn  T0 xn  Txn .
Bu yerda n bo‘yicha limitga o‘tsak, T x  Txn , ya’ni T   T kelib chiqadi.
Natija. Agar E normalangan fazoni F Banax fazosiga akslantiruvchi T
chiziqli operator E ning hamma yerida zich to‘plamda nolga teng bo‘lsa, u holda
ixtiyoriy x  E uchun Tx   . Endi isbotlangan lemmadan foydalanib, teskari
operator haqidagi quyidagi teoremani isbotlaymiz.
5-teorema. E, F Banax fazolari bo‘lib, T : E  F chiziqli operator
bo‘lsin. T operator chegaralangan teskari operatorga ega bo‘lishi uchun quyidagi
ikki shart zarur va kifoyadir:
1) ImT  Tx : x  E to‘plam F ning hamma yerida zich;
2) biror C>0 son va ixtiyoriy x  E uchun
Tx  C x .
Isboti. Zarurligi. Agar T 1 : F  E chegaralangan bo‘lsa, ravshanki,
T  E   ImT  F va T 1 y  M  y , y  F , M  0 . Bu holda ixtiyoriy x  E
uchun
T 1 Tx   M Tx ,
ya’ni x  M Tx , bundan
203
Tx 
1
1


x  C x C 
 0 .
M
M


Kifoyaligi. Teoremaning shartlari bajarilgan bo‘lsa, T- monomorfizmdir,
ya’ni kerT    . Darhaqiqat agar Tx   bo‘lsa, u holda 2) shartga asosan
Tx  C x , demak x  0 , ya’ni x   . Shuning uchun ImT  F to‘plamda
T 1 operator aniqlangan. Bu operator chegaralangan. Haqiqatan, ixtiyoriy
y  Tx  ImT uchun shartga asosan
T 1 y  x 
1
1
Tx 
y.
C
C
Lemmaga asosan bu operatorning normasini saqlagan holda butun F fazoga
davom ettirish mumkin. Hosil bo‘lgan operator T operator uchun teskari
operatordir.
7. 5-§. Chiziqli operatorlar fazosida topologiyalar
E va F lokal qavariq fazolar bo‘lib, ulardagi topologiyalarni aniqlovchi
yarimnormalar sistemasi mos ravishda {p} va {q} bo‘lsin.
1. Oddiy yaqinlashish topologiyasi (nuqtalarda yaqinlashish topologiyasi,
s-topologiya). L(E,F) fazodagi oddiy yaqinlashish topologiyasi deb, ushbu
p T   p T , x1 , x2 ,..., xn , q   sup q Txk 
1k n
yarimnormalar bilan aniqlangan lokal qavariq topologiyaga aytiladi, bu yerda
T  L  E, F  , q q , xk k 1  E
n
L(E,F) fazo oddiy yaqinlashish topologiyasi bilan ko‘rilganda bu fazo LS(E,F)
bilan belgilanadi. Agar
Tn   L  E, F 
ketma-ketlik T operatorga shu
topologiya bo‘yicha yaqinlashsa, buni ushbu ko‘rinishda belgilaymiz:
s
Tn T
Quyidagi teorema ta’rifdan bevosita kelib chiqadi.
1-teorema. Quyidagi ikki ibora ekvivalentdir:
204
n
1) Tn T , Tn , T  L  E , F 
2) ixtiyoriy x E element uchun Tnx ketma-ketlik F fazoda Tx elementga
yaqinlashadi.
II. Tekis yaqinlashish topologiyasi. (b- topologiya). Endi L(E,F) fazoda
lokal qavariq topologiyani boshqacharoq kiritamiz.   B sistema E fazodagi
chegaralangan
to‘plamlar
sistemasi
bo‘lsin.
T
chiziqli
operatorning
yarimnormasini ushbu formula bilan aniqlaymiz.
r T   r T , B, q   sup q Tx  ,
xB
bu yerda T  L( E, F ) , q {q} , B  . Kiritilgan {p} yarimnormalar sistemasi
lokal qavariq topologiyani aniqlaydi. Bu topologiya
b-topologiya
yoki
chegaralangan yaqinlashish topologiyasi (yoki tekis yaqinlashish topologiyasi)
deyiladi. L(E, F) fazo b-topologiya bilan olinganda uni Lb (E, F) bilan
belgilaymiz.
Ta’rifdan bevosita quyidagi teorema kelib chiqadi.
2-teorema. Quyidagi ikki ibora ekvivalentdir:
b
1) Tn T ,Tn ,T  L( E , F ) ;
2) F fazodagi  elementning ixtiyoriy U atrofi va ixtiyoriy B  to‘plam
uchun shunday N  N (U , B) natural son mavjudki, ushbu
Tn x  Tx U
munosabat ixtiyoriy x  B element va n  N natural son uchun bajariladi.
Agar E va F normalangan fazolar bo‘lsa, oddiy yaqinlashish topologiyasi
operatorlarning kuchli topologiyasi deyiladi, chegaralangan yaqinlashish
topologiyasi esa operatorlarning tekis topologiyasi deyiladi.
Ixtiyoriy chekli to‘plam chegaralangan bo‘lgani uchun b-topologiya stopologiyadan kuchliroqdir.
Ta’rif. E topologik vektor fazoda  xn  ketma-ketlik va x  E berilgan
bo‘lsin. Agar nolning ixtiyoriy U atrofi uchun shunday
N(U) natural son
topiladiki, barcha n  N (U ) (n,m  N (U ) ) uchun x  xn U ( xm  xn U )
205
munosabat bajarilsa, xn ketma ketlik x elementga yaqinlashuvchi (fundamental)
deyiladi.
Ta’rif. Agar topologik vektor fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik
yaqinlashuvchi bo‘lsa, u sekvensial to‘la fazo deyiladi.
3-teorema. E va F Banax fazolari bo‘lsa, Ls (E, F) sekvensial to‘la
fazodir.
Isboti. Banax fazolari F-fazolarning xususiy holi bo‘lgani uchun bu
teorema 7.2-§ dagi 3-teoremaning natijasidir. *
4-teorema. E va F normalangan fazolar bo‘lsin. Bu holda L (E, F)
fazodagi operatorlarning tekis topologiyasi L(E,F) fazoda operatorlarning
normasi bilan aniqlangan topologiyaga teng kuchli.
Isboti. Ravshanki, normalangan E fazoda B to‘plam chegaralangan
bo‘lishi uchun ushbu
  sup{ x : x  B}  
munosabat
zarur
va
kifoyadir.
Demak,
B 
to‘plam
sifatida
B1   x  E : x  1 sharni olsak, quyidagi tenglik kelib chiqadi:
p T , B1 ,    sup Tx  T .
xB1
Demak,
operatorlarning
tekis
topologiyasi
normaning
topologiyasidan
kuchliroqdir.
Endi tekis topologiyada  elementning U atrofini olamiz, ya’ni
 



U  T : p T , B,      T : sup Tx    T : sup Tx     T :  T    
xB
 x 



 T : T  



Bundan ko‘rinib turibdiki, normaning topologiyasi tekis topologiyadan
kuchliroqdir. Demak, bu topologiyalar teng kuchli.
Normalangan fazolarda operatorlarning s-topologiyada (ya’ni kuchli
topologiyada) yaqinlashish shartini tekshirishda quyidagi teorema foydalidir.
206
5-teorema. E Banax fazosini F Banax fazosiga aks ettiruvchi
chegaralangan chizikli operatorlarning {Tn} ketma-ketligi berilgan bo‘lsin {Tn}
ketma-ketlik biron T operatorga s-topologiyada yaqinlashishi uchun quyidagi
ikki shart zarur va kifoyadir:
1)  Tn 
sonlar ketma-ketligi chegaralangan (ya’ni biror M>0 uchun
Tn  M , n  1,2,... );
2) E fazoda to‘la bo‘lgan (4.1-§) biror  to‘plamning ixtiyoriy x elementi
uchun n   da Tn x  Tx .
Isboti. Zarurligi. 1) shart 7.4- § dagi Banax-Shteynxaus teoremasidan, 2)
shart esa ta’rifdan bevosita kelib chiqadi.
Kifoyaligi.  to‘plamning E fazoda to‘laligi uning chiziqli qobig‘i
bo‘lgan L    to‘plamning E fazoda zichligidan iboratligini eslaylik. 1) va 2)
shartlar bajarilgan bo‘lsin. U holda {Tn} operatorlar chiziqli bo‘lgani tufayli
ushbu
Tn x  Tx
munosabat L    to‘plamning har bir x elementi uchun ham bajariladi. Endi x0
element E fazoning ixtiyoriy elementi bo‘lsin. L    to‘plam E fazoda zich
bo‘lgani uchun x0 elementga yaqinlashuvchi xn   L   ketma-ketlik mavjud.
1) shartga asosan ushbu
Tn  M
tengsizlikni qanoatlantiruvchi M son mavjud. M 0  max  M , T 
belgilash
kiritamiz.
{xk } ketma-ketlik x0 ga yaqinlashuvchi bo‘lgani sababli ixtiyoriy >0 son
uchun shunday N natural son topiladiki, ushbu
xk  x0  
tengsizlik ixtiyoriy k>N natural son uchun bajariladi. Demak, ushbu
munosabatlar o‘rinlidir:
207
Tn x0  Tx0  Tn x0  Txk  Tn xk  Txk  Txk  Tx0 
 Tn  x0  xk  Tn xk  Txk  T  xk  x0  M 0  .
 Tn xk  Txk  M 0  2M 0  T0 xk  Txk
Ammo har bir xk element L[  ] ga tegishli bo‘lgani uchun n   da ushbu
Tn xk  Txk  0
munosabat kelib chiqadi, bundan
lim Tn x0  Tx0  2M 0
n
-ixtiyoriy kichik son bo‘lgani uchun
lim Tn x0  Tx0  0 ,
n
s
ya’ni Tn T
Endi yuqorida kiritilgan L(E,F) fazodagi topologiyalarni L  E, K   E
fazoda ko‘ramiz. E fazo L  E, F  fazoning xususiy holi bo‘lsada, b-topologiya
va s-topologiya bu fazoda boshqa nomlarga egadir.
E lokal qavariq fazo bo‘lib, E  L  E, K  uning qo‘shma fazosi bo‘lsin.
E fazoda oddiy yaqinlashish topologiyasi sust topologiya deyiladi va
  E, E  bilan belgilanadi. E' fazo   E, E  topologiya bilan olinsa, uni biz Ew
bilan belgilaymiz. Qulaylik uchun f funksionalning x elementdagi qiymati f(x)
ni <x,f> bilan belgilaymiz. Ta’rifga binoan   E, E  topologiya quyidagi
ko‘rinishdagi yarimnormalar bilan aniqlanadi:
p  f   p  fx1 , x2 ,..., xn   sup f  xi   sup  xl , f  ,
1l n
1i n
bu yerda f  E, xi  E, i  1,2,..., n. Demak, E fazoda  elementning atroflari
bazisini ushbu
U  , x1, x2 ,,..., xn    f  E :  xi , f  1   , i  1,2,..., n ,
ko‘rinishdagi to‘plamlar hosil qiladi.
208
E' fazoda chegaralangan yaqinlashish topologiyasi kuchli topologiya
deyiladi va b bilan belgilanadi. E' fazo b-topologiya bilan olinganda, uni
( E, b)  Eb bilan belgilaymiz. Bu topologiya ushbu
p  f , B   sup  x, f 
xB
ko‘rinishdagi yarimnormalar yordamida aniqlanadi, bu yerda b- chegaralangan
to‘plam, f  E . Nol elementning atroflari bazisini quyidagicha yozamiz:


U   , B   f  E : sup  x, f    ,   0, B  .
xB
Yuqorida chiziqli operatorlar uchun isbotlangan teoremalardan quyidagi
natijalar kelib chiqadi.
1) E' fazoda  f n  ketma-ketlik f  E elementga sust yaqinlashishi uchun
ushbu
fn  x   f  x 
munosabat ixtiyoriy x  E da bajarilishi zarur va kifoyadir.
2) b-topologiya   E, E  topologiyadan kuchliroq.
3) E normalangan fazo bo‘lsa, u holda E` fazodagi b-topologiya shu fazodagi
normaning (funksionalning normasi) topologiyasi bilan teng kuchlidir. Xususan,
 E, b    E,   Banax fazosidir (7.4-§.dagi 3-teoremaning natijasi).
4) E Banax fazosi bo‘lsin.  f n   E ketma-ketlik, f  E elementga sust
yaqinlashishi uchun quyidagi ikki shart zarur va kifoyadir:
a)
{||fn||} -chegaralangan ketma-ketlik;
b)
E fazoda to‘la bo‘lgan biror A to‘plamning ixtiyoriy x elementi
uchun ushbu
fn  x   f  x 
munosabat o‘rinli.
Tekis chegaralanganlik prinsipidan va 3-teoremadan quyidagi teoremalar
mos ravishda kelib chiqadi.
209
6-teorema. E Banax fazosi bo‘lib, ixtiyoriy x  E uchun
ketma-ketlik chegaralangan bo‘lsa, u holda
 fn x n 1
  

f
n
x
n 1
ketma-ketlik ham
chegaralangandir.
7-teorema. E Banax fazosi bo‘lsa, E*   E,  E, E   fazo sekvensial
to‘ladir, ya’ni E fazoda sust topologiyadagi har qanday fundamental ketmaketlik sust yaqinlashuvchidir.
Misollar. 1. Separabel Gilbert fazosida 7.3-§, 6-misoldagi T operatorni

ko‘ramiz. Bunda x   i ei element uchun
i 1

Tx    ii  ei ,  i  C , i  1,2,...  .
i 1
Endi Tn operatorni ushbu

i 

Tn x    i 
 i ei
ni
i 1 
ko‘rinishda aniqlaymiz. Operatorlarning
Tn 
ketma-ketligi T ga
s-
topologiyada yaqinlashadi. Darhaqiqat, 7.3-§ dagi 6-misolga binoan
Tn  sup i 
i
i
 sup i 1 T 1 ,
ni
ya’ni  Tn  ketma-ketlik chegaralangan. Ixtiyoriy ei uchun n   da

i 
i
Tnei  Tei   i 
 0.
 ei  i ei 
n

i
n

i


Ortonormal ei  bazis E fazoda to‘la to‘plam bo‘lgani sababli 5-teoremaga
asosan Tn  T . Ammo
Tn  ketma-ketlik T ga b-topologiyada (ya’ni, 4-
teoremaga asosan norma bo‘yicha) yaqinlashmaydi. Haqiqatan, ixtiyoriy n
uchun

i 
i
Tn  T  sup  i 
1  0 .
  i  sup
ni 
i 
i ni
210
2. Agar 1-misolda Tn operatorni ushbu
1

Tn x    i   i ei
n

ko‘rinishda olsak, u holda

1
1
Tn  T  sup  i    i   0 ,
n
n
i 
b
ya’ni Tn 
T .
3. E  C  1,1 uzluksiz funksiyalarning normalangan fazosi bo‘lsin. Bu
fazoda  chiziqli funksionalni quyidagicha kiritamiz:
  x   x  0 , x C  1,1
Ravshanki,   E . Bu fazoda olingan n  t  ketma-ketlik ushbu shartlarni
qanoatlantirsin:
1) n  t   0 , t 
1
uchun; n  t   0 , t  1, 1 uchun;
n
1
2)  n  t  dt 1 .
1
 n funksiyalar yordamida f n chiziqli funksionalni quyidagicha kiritamiz:
1
f n  x    n  t  x  t  dt .
1
Ravshanki, f n  E . Matematik analizdan
ma’lum
bo‘lgan o‘rta qiymat
haqidagi teoremaga asosan ixtiyoriy x  C  1,1 uchun
1
n
1
1
n
f n  x    n  t  x  t  dt   n  t  x  t   x  tn   n  t  dt  x  tn  ,
1

1
n

1
n
1
1
bu yerda   tn  . Demak,
n
n
lim f n  x   lim x  tn   x  0     x  .
n
n
211
Shuning uchun
 fn
ketma-ketlik 
funksionalga sust topologiyada
yaqinlashadi.
Mashq uchun masalalar
1.
H Gilbert fazosida H1 qism fazoni olamiz. Ma’lumki, ixtiyoriy h  H
element yagona usulda ushbu ko‘rinishda tasvirlanadi:
h  h1  h2  h1 H1 , h2 H1 
P proektorni ushbu
P h  h1
tenglik bilan aniqlaymiz. P ning uzluksizligini isbotlang.
2.
C  a, b  fazoda T operatorni quyidagicha aniqlaymiz:
b
T  t    k  t , s   s  ds ,
a
bu yerda k  t , s  - ikki o‘zgaruvchining uzluksiz funksiyasi.
a)
T operator L  C  a, b ning elementi ekanligini isbotlang;
b)
C  a, b  fazoda ikki xil norma kiritamiz:
1)   max   t  ;
t a , b
1
b 2
 2
2)       t  dt  .
a

Yuqoridagi T operator ikkala normada ham uzluksizligini isbotlang.
3.
a) E, F, L topologik vektor fazolar. A : E  F , B : F  L uzluksiz chiziqli
operatorlar bo‘lsin. U holda C x  B  A x   B A x  operator ham uzluksiz
chiziqli operator ekanligini isbotlang;
b)
agar A operator dom A  E to‘plamda, B operator dom B  F to‘plamda
aniqlangan bo‘lsa,
212
domC  domA
A1  dom B 
munosabatni isbotlang;
c)
agar dom A va dom B vektor qism fazolar bo‘lsa, u holda dom C ham E
ning vektor qism fazosi ekanligini isbotlang.
4. E, F normalangan fazolar bo‘lib, A: E  F uzluksiz operator bo‘lsa, u holda
uning grafigi bo‘lgan grA to‘plam E  F ning yopiq qismi ekanligini isbotlang.
5. E va F fazolar sifatida C  a, b  fazoni olamiz. D x  t E : x  t  E
belgilash kiritamiz. D to‘plamda T chiziqli operatorni ushbu formula bilan
aniqlaymiz:
Tx  x
T operator yopiq, ammo uzlukli ekanligini isbotlang.
6. T : E  F yopiq operator bo‘lib, T 1 teskari operator mavjud bo‘lsin. T 1
operatorning ham yopiqligini isbotlang,
7. X vektor fazoda  1 va  2 topologiyalar berilgan bo‘lib, X ularning har biriga
nisbatan F-fazo bo‘lsin. Agar  1 topologiya  2 topologiyadan kuchliroq bo‘lsa, u
holda  1 va  2 topologiyalar teng kuchlidir, ya’ni 1   2 . Isbotlang.
8. E, F, L normalangan fazolar bo‘lib, A: E  F , B : F  L chegaralangan
chiziqli operatorlar bo‘lsin. Ushbu tengsizlikni isbotlang:
B A B  A.
9.
E  Rn va F  Rm fazolarda mos ravishda quyidagi normalar berilgan
bo‘lsin:
n
x   i ,
i 1
m
y   i , x  R n , y  R m .
i 1
A  (aij ) : E  F chiziqli operatorning normasini hisoblang.
10.
E, F Banax fazolari, A0 : E  F uzluksiz chiziqli operator bo‘lib, uning
uzluksiz A01 teskari operatori mavjud bo‘lsin. Agar A  L  E, F  operator
213
A 
1
A0 1
shartni qanoatlantirsa, u holda A0  A operator ham uzluksiz
teskari operatorga ega ekanligini isbotlang.
11.
H Gilbert fazosida H 0 qism fazoni olib, H 0 ga proektorni P bilan
belgilaymiz. Proektorning quyidagi xossalarini isbotlang:
a)
ixtiyoriy
xH
element uchun
Px
va
x  Px
o‘zaro ortogonal
elementlardir;
b)
Px  x tenglik bajarilishi uchun x  H 0 munosabat zarur va kifoya;
c)
Px   tenglik bajarilishi uchun x  H 0 munosabat zarur va kifoya;
d)
agar H 0 fazo   dan farqli bo‘lsa, P ning normasi birga teng.
12. H Gilbert fazosida chegaralangan P : H  H chiziqli operator berilgan
bo‘lsin. P proektor bo‘lishi uchun ushbu shartlar zarur va kifoyadir:
a) P 2  P ; b) P  1 .
13.
E, F lokal qavariq fazolar bo‘lib, B to‘plam E fazoning chegaralangan
qismi, q esa F fazoda yarim norma bo‘lsin. Ixtiyoriy A  L  E, F  uchun ushbu
p  A  p  A, B, q   sup q  Ax 
xB
chekli son bo‘lib, uning yarim norma ekanligini isbotlang.
214
VIII BOB. CHIZIQLI FUNKSIONALLAR VA QO‘SHMA FAZO
8.1 -§. Normalangan fazolarda chiziqli funksionallar va gipertekisliklar
1. Chiziqli funksionallar va gipertekisliklar orasida bog‘lanish. E normalangan
fazo bo‘lib, f : E  K chiziqli funksional va H  ker f  f 1  0  uning yadrosi
bo‘lsin. Ravshanki, H to‘plam E ning vektor qism fazosi, a vektor H ga tegishli
bo‘lmagan ixtiyoriy vektor bo‘lsin, ya’ni f  a   0 . U holda ixtiyoriy x  E
element uchun ushbu
yx
f  x
a
f a
vektor H ning elementidir, chunki f  y   0 . Demak, ixtiyoriy x  E vektor
ushbu
x   a  y ( 
f  x
, yH)
f a
ko‘rinishda yoziladi. Bunday tasvirlash bir qiymatlidir.
Haqiqatan, x boshqa bir
x   a  y1 (  K , y1  H )
ko‘rinishda ham tasvirlansa, u holda
f  x   f a   f a ,
bundan f  a   0 bo‘lgani uchun    va demak, y1  y . Shuning uchun E
fazo quyidagi to‘g‘ri yig‘indi (1,5-§) ko‘rinishida tasvirlanadi:
E  Ka  H .
Xususan, E H  Ka , ya’ni codim H=1 ( 1.5- §).
Ta’rif. E vektor fazoning H qism fazosi uchun codim H=1 bo‘lsa, H
gipertekislik deyiladi.
Demak, yuqoridagi mulohazalarga binoan noldan farqli ixtiyoriy chiziqli
funksional uchun H  ker f qism fazo E dagi gipertekislikdir.
215
Aksincha,
E
fazoda
ixtiyoriy
H
gipertekislik
f 1  0   H
shartni
qanoatlantiruvchi biror chiziqli funksionalni aniqlaydi.
Darhaqiqat, codim H=1 bo‘lgani tufayli ixtiyoriy a  H uchun
E  Ka  H
tenglik o‘rinlidir, ya’ni ixtiyoriy x  E quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
x  a  h , h  H ,   K .
Funksionalni bu elementda quyidagicha aniqlaymiz:
f  x   .
Bevosita ko‘rinib turibdiki f chiziqli funksional va f 1  0   H .
Agar boshqa bir g chiziqli funksional uchun ham H  g 1  0  bo‘lsa u holda
shunday   K mavjudki, g   f bo‘ladi. Haqiqatan,
g  x   g  a  h    g  a   f  x  g  a    f  x  ,
bu yerda   g  a  .
Ushbu f  x   0 tenglama H gipertekislikning tenglamasi deyiladi.
E topologik vektor fazoda ixtiyoriy H gipertekislik yoki yopiq, yoki E ning
hamma yerida zich. Darhaqiqat, topologik vektor fazoda qo‘shish va songa
ko‘paytirish amallari uzluksiz bo‘lgani sababli E ning vektor qism fazosining
yopilmasi ham vektor qism fazodir. Demak, H ning yopilmasi H ham E ning
qism fazosi. H gipertekislik bo‘lgani sababli uni o‘z ichiga oluvchi E dan farqli
qism fazo mavjud emas. Bundan
H  H yoki H  E .
1-teorema. E normalangan fazo bo‘lsin. f  x   0 tenglama H gipertekislikning
tenglamasi bo‘lsin. f chiziqli funksional uzluksiz bo‘lishi uchun H yopiq bo‘lishi
zarur va kifoyadir.
Isboti. Zarurligi. f uzluksiz chiziqli funksional va {0} to‘plam K maydonning
yopiq qismi bo‘lgani uchun f 1  0   H yopiqdir.
Kifoyaligi. H yopiq gipertekislik bo‘lib, f  x   0 uning tenglamasi bo‘lsin.
Ushbu
216
f a  1
shartni qanoatlantiruvchi a  E elementni olsak, ravshanki, a + H ham yopiq
to‘plamdir va   a  H , chunki ixtiyoriy z  a  h
f  z   f  a   1. Demak, 
 h  H  element uchun
elementning a + H bilan kesishmaydigan
B   x : x    atrofi mavjud, ya’ni
B
a  H    .
Ixtiyoriy x  B uchun
(1)
f  x   1 , chunki, agar f  x   1 bo‘lsa edi, u holda
f  x  a   f  x   f  a   0 , ya’ni x  a  H ; bu esa (1) ga zid.
B
sharning ixtiyoriy x elementi uchun ushbu
f  x   1 tengsizlikni
isbotlaymiz. Aksincha, biror x0  B element uchun f  x0     1 tengsizlik
x
x
x 
bajarilsin deb faraz qilaylik. U holda f  0   1 va 0  0  x0   , ya’ni


 
1

x0  B bu esa yuqorida ko‘rsatilgan f  x   1  x  B  munosabatga zid.
Demak,
B
sharning ixtiyoriy x elementi uchun
f  x   1 , ya’ni
f
chegaralangan ya’ni (uzluksiz) funksional.
2. Chiziqli funksional normasining geometrik ma’nosi. Normalangan E fazoda
uzluksiz f chiziqli funksionalni olamiz. c  K son uchun ushbu
H c  x  E : f  x   c  f 1  c 
belgilash kiritamiz. Bevosita ko‘rinib turibdiki, a element f  a   c tenglikni
qanoatlantirsa, u holda
H c  a  H , H  f 1  0  .
d orqali H1 to‘plam bilan  nuqta orasidagi masofani belgilaymiz, ya’ni
d  inf x .
f  x 1
Ixtiyoriy x  H1 element uchun
f  x  1  f  x ,
217
ya’ni
1
f
x 
Bundan
1
.
f
d
(2)
Funksional normasining ta’rifiga asosan ixtiyoriy   0 uchun shunday x  E
element mavjudki, ushbu
f  x    f    x
tengsizlik bajariladi, ya’ni
1
Agar a 
a 
x
f  x 
1
x
.
f    x   f   

f  x 
f  x 
kiritsak, u holda a  H1 va 1   f    a , ya’ni
1
. Bundan
f 
1
.
f 
d  inf a 
aH1
Bu tengsizlikda  ixtiyoriy bo‘lgani uchun
d
1
.
f
(3)
Yuqoridagi (2) va (3) tengsizliklardan ushbu
d
1
f
yoki
f 
1
d
tenglik kelib chiqadi. Natijada quyidagi teorema isbotlandi.
218
2-teorema. Uzluksiz f chiziqli funksionalning normasi H1  x  E : f  x   1
to‘plam bilan  nuqta orasidagi masofaning teskari qiymatiga teng.
7.4-§ da isbotlangan Xan - Banax teoremasidan quyidagi natija kelib chiqadi.
3-teorema. Normalangan E fazoning ixtiyoriy x0   elementi uchun quyidagi
shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz f chiziqli funksional mavjud.
1) f  x0   1 ;
2) f  x0
1
.
Isboti. E fazoning ushbu
L   t x0 , t  K 
qism fazosini olamiz. L fazoda f 0 funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:
f0  tx0   t .
Ravshanki, f0  x0   1 va
f 0  sup f 0  tx0   sup t  x0
tx0 1
1
.
1
t
x0
Xan - Banax teoremasiga asosan f 0 funksionalni E fazoga normasini saqlagan
holda davom ettirish mumkin. Hosil bo‘lgan funksional 1) va 2) shartlarni
qanoatlantiruvchi funksionaldir.*
Misollar. 1) R n fazoda ixtiyoriy f funksional ushbu
n
 f  f e 
f  x    i f i
i
i 1
n
ko‘rinishda ifodalanadi, bu yerda x  i ei ,
i 1
i
f   f1 , f 2 ,..., f n  . (Bu misol
7.3-§ dagi 4-misolning xususiy n=1 holi.)
Chiziqli funksionalning normasi R n fazodagi normaga bog‘liq. Bunga ikkita
misol keltiramiz.
1
 n
 2
a) R fazoda x    i2  normani olamiz. U holda
 i 1 
n
219
1
 n 2 2
f    fi  .
 i 1 
Isboti. Koshi - Bunyakovskiy tengsizligiga asosan ixtiyoriy x  R n element
uchun ushbu
n
f  x    i f i 
i 1
n
n
 i 
 fi 
2
i 1
2
i 1
n
f
i 1
2
i
x
tengsizlik o‘rinlidir, ya’ni ushbu
f 
n
f
i 1
2
(4)
i
munosabatga egamiz. Endi x0  10 ,20 ,...,n0  elementni
fi
i0 
, i 1, n
n
f
i 1
2
i
ko‘rinishda olsak, u holda x0  1 va
n
f  x0    f  
i 1
n
1
0
i i
n
f
i 1
n

f
i 1
2
i 1
i
2
i
f
n
f

n
i 1
2
  fi 
i 1
2
2
i
i
Bundan
f  sup f  x   f  x0  
x 1
n
f
i 1
2
i
.
Bu munosabatni yuqoridagi (4) tengsizlik bilan solishtirsak, ushbu
f 
n
f
i 1
tenglik kelib chiqadi.
b) R n fazoda normani ushbu
220
2
i
x  max i
1i n
ko‘rinishda olsak, bu misol 7.3-§ dagi 5-misolning xususiy holi (n =1) bo‘ladi.
Demak,
n
f   fi
i 1
n
Agar R n fazoda
x   xi
f  max fi
norma olinsa,
1i n
i 1
ekanligi shunga
o‘xshash kelib chiqadi.
2) Normalangan C  0,1  fazoda ushbu
n
f  x    ck x  tk 
k 1
funksionalni

olamiz,
bu
yerda
t1, t2 ,..., tn 0,1
ixtiyoriy
nuqtalar,

ck  R k  1, n . f -chiziqli funksional. Darhaqiqat,
n
f   x1   x2    ck  x1  tk    x2  tk   
k 1
n
n
k 1
k 1
  ck  x1  tk    ck x2  tk    f  x1    f  x2 
Bu funksionalning normasini hisoblaymiz. Ushbu
n
n
n
k 1
k 1
f  x    ck x  tk   max x  t   ck   ck x
k 1
0t 1
tengsizlikdan f funksionalning uzluksizligi va quyidagi tengsizlik kelib chiqadi:
n
f   ck .
k 1
Endi [0,1] oraliqda uzluksiz x0 funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
x0  tk   sgn ck ,  k  1,2,..., n 
va tk , tk 1 , k  1, n  1 oraliqlarda x0  t  ni chiziqli funksiya,  0,t1  va tn ,1
oraliqda x0  t  ni o‘zgarmas deb olamiz. Ravshanki, x0  1 va
221
f  sup f  x   f  x0  
x 1
n
n
n
k 1
k 1
k 1
  ck x0  tk    ck sgn ck   ck
ya’ni
n
f   ck .
k 1
Demak,
n
f   ck .
k 1
3) Haqiqiy sonlarning nolga yaqinlashuvi ketma-ketliklari fazosini c0 bilan
belgilab, bu fazoda x  n  elementning normasini quyidagicha kiritamiz:
x  sup  n .
n
Bu normalangan fazoga qo‘shma bo‘lgan fazoni topamiz. Agar ushbu
e   (0,0,...0,1,0,...)  c0
k
k 1
elementlarini olsak, ravshanki, ixtiyoriy x  n  elementga ushbu
x
 n
n
  k e   1 , 2 ,..., n ,0,0,...
k
k 1
elementlardan tuzilgan ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi. Haqiqatan,
n
lim x  x   lim  0,0,...,0,n1 ,n2 ,...  lim  sup k   0
n
n
n  k 1 n


Endi ixtiyoriy f   c0  funksionalga ushbu
tk    f  e k   sonli ketma-

ketlikni mos qo‘yib,  f k qator yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz. Agar
k 1
k
y      sgn fi  e   c0 elementni olsak, ravshanki y    1 . Demak,
k
k
i
i 1
 

k
f  sup f  x   sup f y    sup  fi   fi
k
x 1
k
k
i 1
i 1
222
(5)
ya’ni

f
i 1
 fk   f
i
absolyut yaqinlashuvchi qator. Shunday xossaga ega bo‘lgan
 fk   l1
sonli ketma-ketliklar fazosi l1 bilan belgilanadi va

elementning normasi deb f   f k olinadi. Shunday qilib, har bir f   c0 

k 1
funksionalga l1 fazoning  f k   f elementi mos qo‘yildi. Ixtiyoriy x  c0 uchun
 
f  x   lim f x
n
n
 
n
 n
k
k  
 lim f    k e   lim   k f e  
n
 k 1
 n k 1
n

k 1
k 1
 lim   k f k    k f k ,
n
ya’ni f funksionalning x elementdagi qiymati f  l1 element yordamida
quyidagicha hisoblanadi:

f  x   k f k
(6)
k 1
Aksincha, l1 fazoning ixtiyoriy  f k  elementi (6) formula bo‘yicha c0 fazoda
chiziqli funksionalni aniqlaydi. Uning chekliligi va chegaralanganligi ushbu
tengsizlikdan kelib chiqadi:


f  x   k fk   k fk 
k 1
k 1


k 1
k 1
(7)
 sup  k  f k  x  f k .
k
Shu bilan birga

f  sup f  x    f k  f .
x 1
k 1
Bu tengsizlikni (5) tengsizlik bilan solishtirsak f  f tenglik kelib chiqadi.
Demak,
f f
moslik

 c0  fazoni

izomorfizm, ya’ni  c1   l1 .
223
l1
fazoga akslantiruvchi izometrik
4) Endi 3- misolda kiritilgan l1 fazoga qo‘shma fazo m fazo ekanligini
isbotlaymiz. l1 fazoda ushbu
g k  (0,0,...,0,1,0,0,...)
k 1
elementni olsak, ixtiyoriy f   f k   l1 uchun
n
f     f k g k   f1 , f 2 ,..., f n ,0,0,...  l1
n
k 1
elementlardan tuzilgan
 f   ketma-ketlik f elementga norma bo‘yicha
n

yaqinlashadi. Darhaqiqat,  f k qator yaqinlashuvchi bo‘lgani sababli
k 1
f f
 n

  0,0,..., f n1 , f n2 ,...   f k  0 .
k n 1
n

Ixtiyoriy F   l1  funksionalga F  Fk   F g k
   ketma-ketlikni mos qo‘yib,
uning chegaralanganligini isbotlaymiz. Haqiqatan,
F  sup F  f   sup F  g k   sup Fk ,
f 1
k
(8)
k

demak, F  Fk   m . Shunday qilib, har bir F   l1  funksionalga m fazoning
F elementi mos qo‘yildi. Ixtiyoriy f  l1 uchun
 
F  f   lim F f
n
n
n
 n
k 
 lim F   f k g   lim  f k Fk 
n
 k 1
 n k 1

  f k Fk ,
k 1
ya’ni F funksionalning f elementdagi qiymati ushbu formula yordamida
hisoblanadi:

F  f    f k Fk
(9)
k 1
224
Aksincha, m fazoning ixtiyoriy F  Fk  elementi (9) formula orqali l1 fazoda
chiziqli funksionalni aniqlaydi. Uning chekliligi va chegaralanganligi quyidagi
tengsizlikdan kelib chiqadi:


k 1
k 1

F  f    f k Fk   f k Fk  sup Fk  f k 
k 1
k
(10)
 sup Fk  f .
k
Endi m fazoda F  Fk  elementning normasi sup Fk ekanligini eslasak, (10)
k
tengsizlikka binoan
F  sup F  f   sup Fk  F .
f 1
Buni (8) bilan solishtirsak, F  F
k
tenglik kelib chiqadi. Demak, F  F

izometrik izomorfizmdir, ya’ni  l1   m .
3. Gilbert fazosida chiziqli funksionallar. Endi Gilbert fazosida chiziqli
funksionalning umumiy ko‘rinishini topamiz. E Gilbert fazosidan biror y
elementni tanlab olsak, ushbu
f  x    x, y 
(11)
formula E fazoda uzluksiz chiziqli funksionalni aniqlaydi. Darhaqiqat, f ning
chiziqli ekanligi skalyar ko‘paytma aksiomalaridan, chegaralanganligi esa ushbu
f  x    x, y   x y
Koshi - Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi. Xususan,
f  y
(12)
munosabat o‘rinlidir.
Ammo eng muhimi shundaki, Gilbert fazosida har bir uzluksiz chiziqli
funksional (11) ko‘rinishga ega. Aniqrog‘i, quyidagi teorema o‘rinlidir.
4-teorema. (Riss teoremasi). E Gilbert fazosida ixtiyoriy uzluksiz f chiziqli
funksional uchun (11) tenglikni qanoatlantiruvsh yagona y f element mavjud va
shu y f element uchun ushbu munosabat o‘rinlidir:
225
f  yf
(13)
Isboti. Yuqoridagi 1-teoremaga asosan H  f 1  0  to‘plam E ning yopiq qism
fazosidir. Agar f  0 , ya’ni H=E bo‘lsa, y f   deb olishimiz mumkin. H  E
holni ko‘raylik, ya’ni H to‘plam E ning xos qism fazosi bo‘lsin. Ixtiyoriy
y0  H element ushbu
y0  y  y  y  H , y  H  
ko‘rinishda yoziladi (4.4-§, 1-teorema).
Ravshanki y  0 va f  y   0 . Demak, f  y   1 deb hisoblash mumkin.
Ixtiyoriy x  E elementni olib, f  x  sonni  bilan belgilaymiz. U holda
x  x   y element H ning elementidir, chunki
f  x  f  x    f  y      0
Demak,  x, y   0 va
 x, y   x   y, y    y, y
ya’ni

y 
f  x      x,
   x, y f  ,


y
,
y




bu yerda
yf 
y
.
 y, y
Shunday qilib, (11) tenglikni qanoatlantiruvchi y f element topiladi. Bu
elementning yagonaligi bevosita kelib chiqadi. Darhaqiqat, agar ixtiyoriy x  E
element uchun ushbu
 x, y    x, y 
f
f
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda  x, y f  yf   0 , ya’ni y f  yf  E , demak,
y f  yf  0 .
Ushbu
226
 y
f  f f
 yf

  yf , yf 

 yf

y
f

tengsizlikni yuqoridagi (12) tengsizlik bilan solishtirsak, (13) tenglik hosil
bo‘ladi.
E Gilbert fazosining har bir elementiga ushbu
 y   x    x, y 
formula bo‘yicha  y chiziqli funksionalni mos qo‘ysak, hosil bo‘lgan
 : E  E
(14)
operator qo‘shma chiziqlidir, ya’ni
  y1   y2    y1   y2 .
Haqiqatan,
  y1   y2    x    x, y1   y2    x, y1    x,  y2  
   x, y1     x, y2    y1   y2   x 
Endi  : E  E monomorfizm ekanligini isbotlaymiz.
Agar  y  0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy x  E element uchun
 x, y    y  x   0 ,
ya’ni y  E . Demak, y   .
Yuqorida isbotlangan 4-teoremaga asosan  epimorfizm va
  y  y ,
ya’ni  : E  E - izometrik izomorfizm (agar E kompleks Gilbert fazosi
bo‘lsa,  - qo‘shma chiziqli izometrik izomorfizm).
Misollar. 1) L2  a, b Gilbert fazosida chiziqli funksionalning umumiy ko‘rinishi
quyidagicha bo‘ladi:
b
f  x    x, y    x  t  y  t dt , x, y  L2  a, b 
a
2) l2 Gilbert fazosida chiziqli funksionalning umumiy ko‘rinishi quyidagicha
bo‘ladi:
227

f  x    x, y    kk ,
k 1
x  1,...,n ,...  l2 ,
y  1,...,n ,...  l2 .
8.2-§ Ikkinchi qo‘shma fazo va refleksivlik
E biron normalangan fazo va E’ unga qo‘shma fazo bo‘lsin. Ma’lumki, E’ ham
vektor fazo va funksionalning normasiga nisbatan Banax fazosi (7.4-§). Shu
sababli E’ fazoda aniqlangan uzluksiz chiziqli funksionallarni ko‘rishimiz
mumkin. Ravshanki, bu funksionallar ham biror E’’ Banax fazosini hosil qiladi;
bu fazo E ga ikkinchi qo‘shma fazo deyiladi.
E fazodan biron x0 elementni olib, ushbu
 x  f   f  x0  , f  E
(1)
0
formula yordamida E’ fazoda  x0 funksionalni aniqlash mumkin.
1-teorema. Yuqoridagi (1) formula orqali aniqlangan  x0 funksional E’ fazoda
chiziqli uzluksiz funksionaldir, ya’ni  x0  E .
Isboti. Ravshanki, (1) formula har bir f  E funksionalga biror sonni mos
qo‘yadi, ya’ni  x0 funksionaldir. Ixtiyoriy f1, f 2  E va  ,  haqiqiy sonlar
uchun  x0 ning ta’rifiga asosan
 x  f1   f 2    f1  x0    f 2  x0    x  f1    x  f 2  ,
0
0
0
ya’ni  x0 chiziqli funksionaldir. Uning uzluksizligi esa ushbu
 x  f   f  x0   x0  f
(2)
0
tengsizlikdan bevosita ko‘rinib turibdi.
Bu teoremaga asosan E fazoning har bir x0 elementiga E’’ fazoning biror  x0
elementi mos qo‘yiladi. Bu moslikni  bilan belgilaymiz, ya’ni
  x0    x ,  : E  E .
0
228
Bu moslik E fazoni E’’ fazoga tabiiy aks ettirish deyiladi.
2-teorema.  : E  E aks ettirish monomorfizmdir.
Isboti.  chiziqli aks ettirish ekanligi quyidagi tengliklardan kelib chiqadi:
  x1   x2  f     x   x  f   f  x1   x2    f  x1    f  x2  
1
2
  x1  f    x2  f     x1  f     x2  f     x1     x2    f 
Bu yerda f  E ixtiyoriy bo‘lgani sababli
  x1   x2     x1     x2  .
Endi 
ning monomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy x1, x2  E
elementlar uchun x1  x2 bo‘lsa, u holda
x0  x1  x2   .
8.1-§ dagi 3-teoremaga asosan shunday f  E funksional mavjudki, unda
ushbu
f  x0   1
tenglik bajariladi, ya’ni
f  x1  x2   f  x1   f  x2   0 .
Demak, topilgan f  E uchun
  x1  f    x  f   f  x1   f  x2    x  f     x2  f  .
0
2
Demak,   x1     x2  , ya’ni  monomorfizmdir.
3-teorema.  : E  E aks ettirish izometriyadir, ya’ni
  x  x , x  E ,
bu yerda   x  ifoda E’’ fazodagi norma.
Isboti. Ushbu
  x  f    x  f   f  x   x f
munosabatga asosan funksional normasining ta’rifiga ko‘ra
  x  x
(3)
Ixtiyoriy x  E  x    uchun 8.1-§ dagi 3- teoremaga asosan ushbu
229
f0  x   1  f0  x
tenglikni qanoatlantiruvchi f0  E funksional mavjud.
Demak,
  x   sup
  x  f 
f
f E 

 sup
x f 
f E 
f0  x 
f0

f
 sup
f E 
f  x
f

f0 x
 x ,
f0
ya’ni   x   x . Bundan va (3) tengsizlikdan kerak bo‘lgan ushbu
  x  x
tenglik kelib chiqadi.
Natija. Ixtiyoriy normalangan E fazo ikkinchi qo‘shma fazoning biror
  E   E vektor qism fazosiga izometrik izomorfdir.
E ni   E  ga aynan teng deb hisoblab, E  E munosabatga ega bo‘lamiz.
Ta’rif. Agar  aks ettirish E ni butun E’’ ga aks ettirsa, ya’ni   E   E bo‘lsa,
u holda normalangan E fazo refleksiv fazo deyiladi.
Ixtiyoriy normalangan fazoga qo‘shma fazo to‘la bo‘lgani sababli ixtiyoriy
refleksiv normalangan fazo to‘ladir.
Misollar. 1) Ixtiyoriy E Gilbert fazosi refleksivdir. Chunki E fazo E’ fazoga
qo‘shma izomorf (8.1- §, 4-teoremaga asosan), E’ esa o‘z navbatida E’’ fazoga
qo‘shma izomorf. Demak, E fazo E’’ fazoga izomorfdir.
2) O‘zi-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan refleksiv normalangan fazoga misol
keltiramiz. R n fazoda normani quyidagicha kiritamiz:
n
x   i .
i 1
Bu fazoni R1n bilan belgilaymiz. Agar norma ushbu
x  max i
1i n
230
ko‘rinishda olinsa, buni Rn bilan belgilaymiz, 8.1-§, 1, b) misolga binoan




 R   R ,  R   R . Demak,  R   R ,  R   R , ya’ni R
n
1
n

n

n
1
n
1
n
1
n

n

n
1
va Rn
refleksiv fazolardir.
3) Haqiqiy sonlarning nolga yaqinlashuvchi ketma-ketliklari fazosi s0 refleksiv


emas. Chunki 8.1- § dagi 3-misolga binoan  c0   l1 , 4-misolga binoan  l1   m

, ya’ni  c0   m  c0 .
4) Har qanday refleksiv fazo to‘la bo‘lgani sababli ixtiyoriy to‘la bo‘lmagan
normalangan fazo refleksiv emas.
8.3-§. Sust topologiya va sust yaqinlashish
E va E mos ravishda topologik vektor fazo va uning qo‘shma fazosi bo‘lsin.
Soni chekli f1, f 2 ,..., f n  E funksionallar va   0 son uchun ushbu


U  f1 , f 2 ,..., f n ,    x  E : fi  x    ; i  1, n
(1)
to‘plam  nuqtani o‘z ichiga oluvchi ochiq to‘plamdir, ya’ni nolning atrofidir.
(1) ko‘rinishdagi chekli sondagi to‘plamlarning kesishmasi shu ko‘rinishdagi
biror to‘plamni o‘z ichiga oladi. Masalan,
U  f1 , f 2 ,..., f n ,   U  g1 , g 2 ,..., g k ,   
 U  f1 , f 2 ,..., f n , g1 , g 2 ,..., g k ,min   ,    .
Demak, E fazoda shunday topologiya kiritish mumkinki, unda nol atroflarining
bazisi (1) ko‘rinishdagi to‘plamlardan iborat bo‘ladi. Bu topologiya   E, E 
bilan belgilanadi va sust topologiya deb ataladi. Chunki bu topologiya E dan
olingan har bir funksionalning E da uzluksiz bo‘lishini ta’minlovchi
topologiyalarning ichida eng sustidir. Ravshanki, bu topologiya E fazoning
o‘zidagi topologiyadan sustroqdir.
Nol atroflarining ta’rifiga asosan, agar E da yetarli darajada ko‘p uzluksiz
chiziqli funksionallar mavjud bo‘lsa, ya’ni  x    f  E : f  x   0 shart
231
bajarilsa, u holda sust topologiya Xausdorf topologiyasidir. Sust topologiyada
yaqinlashish sust yaqinlashish deyiladi. Xususan,  xk   E ketma-ketlik x0  E
nuqtaga sust yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun ushbu
f  xk   f  x0  ,  f  E
(2)
munosabat bajarilishi zarur va kifoyadir.
Darhaqiqat, masalan, x0   bo‘lgan holni ko‘ramiz. Agar ixtiyoriy f  E
uchun f  xk   0 bo‘lsa, u holda nolning ixtiyoriy
U  f1, f 2 ,... , f n ,    U


atrofini aniqlovchi har bir fi i  1, n uchun shunday N i natural son topiladiki,
fi  xk   
tengsizlik ixtiyoriy k  Ni uchun bajariladi. Demak, N  max Ni deb olsak, u
i 1, n
holda k  N bo‘lganda ixtiyoriy i  1, n uchun fi  xk    , ya’ni xk U .
Aksincha, ixtiyoriy U uchun shunday N son mavjud bo‘lsinki, xk U
munosabat ixtiyoriy k  N uchun bajarilsin. U holda har bir f  E uchun
f  xk   0, k   .
Sust yaqinlashishdan farq qilish uchun E fazoning o‘z topologiyasidagi
yaqinlashishni kuchli yaqinlashish deyiladi. Har bir f  E ning uzluksizligiga
va (2) munosabatga asosan kuchli yaqinlashishdan sust yaqinlashish kelib
chiqadi. Xususan, agar E normalangan fazo bo‘lsa, norma bo‘yicha
yaqinlashishdan sust yaqinlashish kelib chiqadi.
Normalangan fazolarda sust yaqinlashishni tekshirish uchun quyidagi teorema
foydalidir.
1-teorema. Normalangan E fazoda  xn  ketma-ketlik x0  E
nuqtaga sust
yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun quyidagi ikki shart
kifoyadir: 1)
zarur va
xn  M biror M > 0 son va ixtiyoriy n natural son uchun o‘rinli;
232
2) E’ fazoda to‘la bo‘lgan biror  to‘plamning ixtiyoriy f elementi uchun
ushbu munosabat o‘rinli
f  xn   f  x0  .
Bu teorema 7.5-§ dagi 5- teoremaga o‘xshash isbotlanadi.
Sust yaqinlashishning mohiyatini quyidagi misollarda ko‘ramiz.
1. Chekli o‘lchamli R n fazoda sust va kuchli yaqinlashishlar ekvivalent. R n
fazoda e1, e2 ,..., en ortonormal bazis olamiz. Ushbu  xk  ketma-ketlik biror
x  R n elementga sust yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda ushbu
xk  xk e1  ...  xk en ,
1
n
x  x e1  ...  x en
1
n
tengliklardan foydalanib, quyidagi munosabatlarni yozishimiz mumkin:
xk    xk , e1    x, e1   x   ,
1
1
. . . . . . . . . . . .
xk    xk , en    x, en   x   ,
n
ya’ni
n
 xk  ketma-ketlik x elementga koordinatalar bo‘yicha yaqinlashadi.
Demak, k   da


1
2


i
i
xk  x    xx   x    0 ,
 i 1

n
2
ya’ni  xk  ketma-ketlik x ga kuchli yaqinlashadi. Bundan ko‘rinib turibdiki, sust
yaqinlashishdan kuchli yaqinlashish kelib chiqadi. Bunga teskari ibora doim
o‘rinli bo‘lgani sababli bu yaqinlashishlar ekvivalent.
2. H Gilbert fazosida ixtiyoriy uzluksiz chiziqli funksional skalyar ko‘paytma
ko‘rinishida ifodalanishi sababli,  xk  ketma-ketlik H da biror x elementga sust
yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun ixtiyoriy y  H elementga nisbatan ushbu
 xk , y    x, y 
munosabat bajarilishi zarur va kifoyadir.
233
3. l2 fazoda sust yaqinlashish. Ma’lumki, l2 fazoda ortonormal bazis sifatida
ushbu
e1  1,0,0,... , e2   0,1,0,0,... , . . .
vektorlar sistemasini olish mumkin. 2 - misoldagi y sifatida ei larni olsak, biror
 xk  ketma-ketlikni x ga sust yaqinlashishidan quyidagi munosabatlar kelib
chiqadi:
 xk , ei   xki  xi   x, ei  , i  1,2, ...
(3)
ya’ni sust yaqinlashuvchi ketma-ketlik koordinatalar bo‘yicha ham shu
elementga yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar
 xk  ketma-ketlik chegaralangan
bo‘lsa, u holda (3) shart kifoya ham bo‘ladi. Darhaqiqat, bunda 1- teoremaning
shartlari qanoatlantirilishi uchun  to‘plam sifatida ei  sistemani olish kerak
   l2  l2  .
Shunday qilib, chegaralangan ketma-ketliklar uchun l2 fazoda sust yaqinlashish
koordinatalar bo‘yicha yaqinlashish bilan teng kuchlidir.
Shuni ham aytib o‘tish kerakki,
l2
fazoda sust yaqinlashish kuchli
yaqinlashishdan farq qiladi. Masalan, e1, e2 , ..., en , ... ketma-ketlik l2 fazoda 
vektorga sust yaqinlashadi, chunki ixtiyoriy y   y1, y2 , ..., yn , ...  l2 element
uchun
 y, en   yn  0, n   .
Ammo ixtiyoriy n uchun en  1   0 , ya’ni en  ketma-ketlik  ga kuchli
yaqinlashmaydi.
4. c0 fazoda sust yaqinlashish. Bu fazoda ham chegaralangan ketma-ketliklar
uchun sust yaqinlashish koordinatalar bo‘yicha yaqinlashish bilan mos tushishini
ko‘rsatamiz. Har bir x  1,2 , ...,n , ...  c0 elementga uning  k koordinatasini

mos qo‘yuvchi funksionalni g k bilan belgilaymiz. Ravshanki, g k   c0   l1
(8.1- §, 3, 4-misollar). Demak, agar biror  xn   c0 ketma-ketlik x elementga
234
sust yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda 1-teoremaga asosan u norma bo‘yicha
chegaralangan va ixtiyoriy k uchun
k n  g k  xn   g k  x   k , n   .
Aksincha, agar
 xn 
ketma-ketlik x elementga koordinatalar bo‘yicha
yaqinlashib, norma bo‘yicha chegaralangan bo‘lsa, u holda ixtiyoriy k uchun
g k  xn   g k  x  .
8.1-§
dagi
4-misolda
ko‘rsatilganidek,
ixtiyoriy

f   f1, f 2 , ..., f k , ...  l1   c0  uchun
n
lim f   f k g k  0 ,
n
ya’ni  g k 

k 1
k 1
to‘plam l1  (c0 ) fazoda to‘la. 1-teoremaga asosan  xn  ketma-
ketlik x elementga sust yaqinlashuvchi. Xususan, bu fazoda ham sust
yaqinlashishdan kuchli yaqinlashish kelib chiqmaydi. Masalan 8.1-§, 3misoldagi e k  ketma-ketlik nolga sust yaqinlashuvchi, ammo ixtiyoriy k uchun
ek  1 .
8.4-§. Qo‘shma fazoda sust topologiya va chegaralangan to‘plamlar
E topologik vektor fazo, E uning qo‘shma fazosi bo‘lsin. 7.5-§ da qo‘shma
fazoda   E, E  topologiya, ya’ni sust topologiya tushunchasi kiritilib, uning
ayrim xossalari
o‘rganilgan
edi.
Bu
topologiyani
E
fazodagi
sust
topologiyadan, ya’ni   E, E  topologiyadan ajratish maqsadida uni *- sust
topologiya deymiz.
Ushbu paragrafda E ni separabel normalangan fazo deb olamiz va shu fazoga
qo‘shma bo‘lgan
E
fazodagi chegaralangan
(funksionalning normasi
ma’nosida) to‘plamlarning muhim xossalarini keltiramiz.
S* orqali E fazodagi yopiq birlik sharni belgilaymiz, ya’ni
S*   f  E : f  1 .
235
1-teorema.
*-sust
topologiyani
S*
sharda
qaralsa,
bu
topologiyani
metrikalashtirish mumkin.
Isboti. E fazoning birlik sharida zich bo‘lgan sanoqli  xn  to‘plamni olamiz. S*
fazoda metrikani ushbu

  f , g    2 n  f  g , xn 
(1)
n 1
formula yordamida kiritamiz. Bu yerda ushbu  f , x  f  x  , f  E, x  E
belgilashdan foydalandik. Kiritilgan   f , g  funksiya haqiqatan ham metrika
ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi. Undan tashqari, bu metrika siljitishga nisbatan
invariant, ya’ni
  f  h, g  h     f , g  ,  h  E .
Endi S* to‘plamda   E, E  topologiyadagi nolning atroflari sistemasi shu
to‘plamda  metrika yordamida aniqlangan atroflar sistemasi bilan teng kuchli
ekanligini ko‘rsatilishi kifoya. Boshqacha qilib aytganda, quyidagi ikki xossa
isbotlanishi kerak:
S   f  E :   f ,    
1) ixtiyoriy
shar S* bilan nolning *- sust
topologiyadagi biror atrofining kesishmasini o‘z ichiga oladi;
2) E’ dagi nolning   E, E  topologiyadagi ixtiyoriy atrofi S* sharning biror
S shar bilan kesishmasini o‘z ichiga oladi.
Ushbu 2 N 

2
tengsizlikni qanoatlantiruvchi N sonni tanlab, nolning *-sust
topologiyadagi quyidagi atrofini olamiz:



V  Vx1 ,..., xN ,  2   f :  f , xk   , k  1,2,..., N  .
2


Ixtiyoriy f  S * V uchun

N
  f ,    2 n  f , xn    2 n  f , xn  
n 1
n  N 1

  
   2 n   2 n     
2  n1
n  N 1
 2 2
N

236
ya’ni S * V  S .1) xossa isbotlandi.
Nolning *-sust topologiyadagi biror
U  U y1 , y2 ,..., yn ;    f :  yk , f    , k  1,2,..., m
atrofini olamiz  yk  1, k  1,..., m  . Olingan  xn  to‘plam S ning hamma
yerida zich bo‘lgani sababli shunday n1 ,..., nm natural sonlar topiladiki, har bir k
= 1, 2, . . . , m uchun ushbu yk  xnk 

2
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Agar
N  max  n1,..., nm  ,   2 N 1  deb olsak, u holda f  S * S uchun

2  x , f    .
n
n
n 1
Bu tengsizlikdan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi:
 xn , f   2n 
va xususan,  xnk , f  2n k  2 N 

2
Demak, ixtiyoriy k = 1, 2,. . . , m uchun
 yk , f    xnk , f   yk  xnk , f  

2
 f
yk  xnk   ,
ya’ni S * S  U .
2-teorema. Senarabel normalangan fazoning qo‘shma fazosidagi yopiq shar
  E, E  topologiyada kompaktdir.
Isboti. Ravshanki, bu teoremani S* birlik shar uchun isbotlash kifoya. 1teoremaga asosan *-sust topologiya S* sharda metrika yordamida aniqlanadi.
Demak, S* shar 2.8-§ dagi ta’rif ma’nosida *-sust topologiyada nisbiy kompakt
va yopiq ekanligini isbotlash kerak.
a) S* sharning nisbiy kompaktligi. E fazoda zich bo‘lgan biror  xn  sanoqli
to‘plamni olamiz. S* shardagi ixtiyoriy n  ketma-ketlik uchun ushbu
1  x1  ,2  x1  ,...,n  x1  ,...
sonli ketma-ketlik chegaralangan, chunki
237
n  x1   n x1  x1 ; n  1,2,...
Demak, n  ketma-ketlikdan shunday
11 ,21 ,...,n1 ,...
(2)
qismiy ketma-ketligi tanlash mumkinki, ushbu
11  x1  ,21  x1  ,...,n1  x1  ,...
sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi. Shunga o‘xshash, (2) ketmaketlikning shunday
1 2 ,2 2 ,...,n 2 ,...
qism ketma-ketligi topiladiki,
1 2  x2  ,2 2  x2  ,...,n 2  x2  ,...
sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi va hokazo. Shu tarzda davom ettirib,
har biri oldingisining qismiy ketma-ketligi bo‘lgan
11 ,21 ,...,n1 ,...
1 2 ,2 2 ,...,n 2 ,...
. . . . . . .
 
ketma-ketliklar sistemasini hosil qilamiz. Bunda n  ketma-ketlik x1, x2 ,..., xk
1
nuqtalarda yaqinlashuvchi bo‘ladi. Endi
11 ,2 2 ,...,n n ,...
„diagonal” ketma-ketlikni olsak, u holda ixtiyoriy xk element uchun
11  xk  ,2 2  xk  ,...,n n  xk  ,...
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi. Chunki bu ketma-ketlik yuqoridagi ketmaketliklarning har birining biron yerdan boshlab qism ketma-ketligi bo‘ladi.  xn 
to‘plam E da zich bo‘lgani sababli 7.5- § dagi 5- teoremaning 4) natijasidan
   ketma-ketlikning *- sust yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni S*
n
n
to‘plam *-sust topologiyada nisbiy kompaktdir.
238
b) S* sharning *-sust topologiyada yopiqligi. Ixtiyoriy f0  S * uzluksiz chiziqli
funksionalni olamiz, ya’ni
f0  1. Funksionalning normasi ta’rifiga asosan
x  1 tenglikni qanoatlantiruvchi shunday
xE
element
topiladiki,
  1

f0  x     1 o‘rinli bo‘ladi. Ushbu U   f  E : f  x  
 to‘plam *-sust
2 

topologiyada f 0 elementning atrofi bo‘ladi (7.5-§) va S* shar bilan kesishmaydi,
ya’ni S* - yopiq.
Ravshanki, yuqorida isbotlangan teorema faqat birlik shar uchun emas, balki
radiusi ixtiyoriy bo‘lgan shar uchun ham o‘rinlidir. Bundan quyidagi natija kelib
chiqadi.
Natija. Separabel normalangan fazoga qo‘shma bo‘lgan fazoda ixtiyoriy
chegaralangan to‘plam *-sust topologiyada nisbiy kompaktdir.
8.5-§. Qo‘shma operatorlar
1. Topologik vektor fazolarda qo‘shma operatorlar. E va F topologik vektor
fazolar, E' va F' mos ravishda ularning topologik qo‘shma fazolari bo‘lib,
T : E  F uzluksiz chiziqli operator bo‘lsin. F fazoda aniqlangan uzluksiz g
chiziqli funksionalni olamiz. Endi g ni Tx elementga qo‘llasak, ushbu
g T  : E  K aks ettirish E da aniqlangan uzluksiz chiziqli funksionaldir.
Darhaqiqat,
g T  x1   x2    g Tx1  Tx2    g Tx1    g Tx2  ,
ya’ni g Tx  - chiziqli funksional. Uning uzluksizligi g va T ning uzluksiz
ekanligidan kelib chiqadi. Demak,
g Tx   f  x  , f  E .
Shunday qilib, F' dagi ixtiyoriy g elementga E' dagi f element ushbu
 x, f  Tx, g 
239
formula bo‘yicha mos qo‘yildi. Bu moslikni biz T* bilan belgilaymiz, ya’ni
f  T * g , demak, T *: F   E aks ettirish quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:
 Tx, g  x,T * g  .
(1)
1-teorema. a) T *  F   E - chiziqli operator;
b) T1  T2 *  T1 * T2 *;
c)  T *  T *,   K .
Isboti. a) ixtiyoriy  ,   K va g1, g2  F  uchun (1) formulaga asosan
 x,T *  g1   g 2   Tx, g1   g 2    Tx, g1     Tx, g 2 
   x,T * g1     x,T * g 2  x,T * g1   T * g 2 
.
ya’ni
T *  g1   g2   T * g1  T * g2 .
b)
 x, T1  T2  * g  T1  T2  x, g  T1x  T2 x, g  T1x, g    T2 x, g 
 x, T1 * g    x, T2 * g  x, T1 * g  T2 * g 
ya’ni
T1  T2 *  T1 * T2 * ;
c)
 x,  T  * g  Tx, g  T   x  , g   x, T * g  x, T * g  ,
ya’ni
 T *  T * .
Yuqorida kiritilgan T * chiziqli operator T ga qo‘shma operator deyiladi.
1-misol. T : Rn  Rm chiziqli operator  aij  matritsa yordamida berilgan bo‘lsin.
Demak, y  Tx, y   y1, y2 , ..., ym  , x   x1, x2 ,..., xn  bo‘lsa, u holda
n
yi   aij x j , i  1,2, ..., m .
j 1
Ma’lumki, f chiziqli funksional
n
f  x   f j x j
j 1
240
ko‘rinishda yozilishi mumkin. Ushbu
m
m
n
n
m
i 1
i 1 j 1
j 1
i 1
f  x   g Tx    gi yi   gi aij x j   x j  gi aij
tenglikdan quyidagi munosabat bevosita kelib chiqadi.
m
fi   gi aij .
i 1
Ammo f  T * g . Shunday qilib, T * operator  aij  matritsaga qo‘shma bo‘lgan
 a  matritsa bilan aniqlanadi.
ji
Agar E va F normalangan fazolar bo‘lsa, u holda E' va F' ham normalangan
fazolar bo‘ladi. Demak, T va T * operatorlarning normalari haqida gapirish
mumkin.
2-teorema. Agar E va F Banax fazolari bo‘lib. T : E  F chegaralangan chiziqli
operator bo‘lsa, u holda
T*  T .
Isboti. Funksional va operator normasi ta’rifiga asosan ixtiyoriy g  F  va
x  E elementlar uchun ushbu
T * g  x    x, T * g    Tx, g   g Tx   g Tx  g T x
tengsizlik, ya’ni ushbu
T *g  T
g
tengsizlik o‘rinlidir. Demak,
T*  T
munosabatga egamiz. Endi x  E Tx    elementni olib, y 
Tx
, elementni
Tx
qaraymiz. Ravshanki y  1 .8.1-§ dagi 3-teoremaga asosan ushbu:
1) g  y   y, g  1;
2) g  y
1
1
shartlarni qanoatlantiruvchi g  F  funksional mavjud. Demak,
241
1  y, g 
Tx
, g  , ya’ni  Tx, g  Tx .
Tx
Ushbu
Tx   Tx, g    x, T * g   T * g  x   T * g x 
 T* g x  T* x
tengsizlikdan T  T * munosabat kelib chiqadi. Endi (2) ni hisobga olsak,
T  T* .
2. Gilbert fazosida qo‘shma operator. N Gilbert fazosi va T : H  H
chegaralangan chiziqli operator bo‘lsin. Endi  : H  H  8.1-§ dagi 3- punktda
keltirilgan izometrik qo‘shma chiziqli izomorfizm bo‘lsin.  quyidagicha
aniqlanganligini eslatib o‘tamiz:
 y  x    x, y  .
So‘ng T *: H   H  operator T : H  H operatorga qo‘shma operator bo‘lsin.
Ushbu
T *   01T0 * : H  H
aks ettirish chegaralangan chiziqli operator ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi.
Ravshanki, T * operator ushbu
Tx, y    x, T * y 
(3)
xossaga ega. (3) formulani T * operatorning ta’rifi deb olish ham mumkin.
T *  T va  , 1 izometriyalar bo‘lgani uchun
T*  T
T * operator T operator uchun Ermit qo‘shma operatori deyiladi.
Qulaylik uchun Gilbert fazolari ko‘rilgandagina, T * operatorni T ga qo‘shma
operator deymiz va T * bilan belgilaymiz. Boshqacha qilib aytganda, H Gilbert
fazosidagi T operator uchun qo‘shma T * operator ushbu
Tx, y    x, T * y 
(4)
formula yordamida aniqlanadi.
242
Ta’rif. Agar T *  T tenglik bajarilsa, T : H  H operator o‘z-o‘ziga qo‘shma
deyiladi.
Demak, T : H  H chiziqli operator o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishi uchun ushbu
Tx, y    x, Ty 
tenglik ixtiyoriy x, y  H elementlar uchun bajarilishi kerak.
Agar H haqiqiy Gilbert fazosi bo‘lsa, o‘z-o‘ziga qo‘shma operator simmetrik
operator deyiladi. Agar H kompleks Gilbert fazosi bo‘lsa, o‘z-o‘ziga qo‘shma
operator Ermit operatori deyiladi.
Ta’rif. O‘z-o‘ziga qo‘shma T operator ixtiyoriy x  H uchun ushbu Tx, x   0
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda T musbat operator deyiladi.
2-misol. H Gilbert fazosi, H 0  H esa uning qism fazosi bo‘lsin. P  PH0
proektorni olamiz (4.4-§). P o‘z-o‘ziga qo‘shma va musbat operatorligini
ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy y  H uchun y  Py  H 0 , ixtiyoriy x  H uchun,
0   Px, y  Py    Px, y    Px, Py  , ya’ni
 Px, y    Px, Py  .
Shunga o‘xshash,  x, Py    Px, Py  , demak,
 Px, y    x, Py 
va
 Px, x    Px, Px   Px  0 ,
2
ya’ni P- musbat operatordir.
Ixtiyoriy T  L  H  operatorning T * qo‘shma operatori ham chiziqli va
uzluksiz bo‘lgani uchun T operatorga T * operatorni mos qo‘yish amali
*: L  H   L  H  aks ettirishdir (bu amal involyutsiya deyiladi). Endi H
kompleks Gilbert fazosi bo‘lsin.
3-teorema. *: L  H   L  H  amali quyidagi xossalarga ega:
1) T **  T ;
2) T1   T2 *   T1 *   T2 * ;
243
3) TT
1 2  *  T2 * T1 * ;
4) T * T - musbat operator, T  T * va i T  T * - Ermit operatorlari;
5) T * T  TT *  T *  T ;
2
2
6) I *  I , I : H  H birlik operator;
7) agar T 1 operator mavjud bo‘lsa, u holda T 1 *  T * .
1
Isboti. 1) Ixtiyoriy
x, y  H
elementlar uchun (4) formulaga binoan
Tx, y    x, T * y   T * y, x     y, T * * x    T * * x, y  ,
ya’ni
T * * x  Tx, y   0 .
Demak, T * * x  Tx, T **  T ;
2)
 x, T  T  * y   T  T  x, y   T x, y    T x, y   T  x  , y  
1
2
1
2
1
2
1
 T2   x  , y    x, T1 * y     x, T2 * y    x, T1 * y    x,  T2 * y  


 x,  T1 *   T2 * y ; ya’ni T1   T2 *   T1 *   T2 * .
3)  x, TT
1 2  * y   TT
1 2 x, y   T1 T2 x  , y   T2 x, T1 * y  
  x, T2 * T1 * y     x, T2 * T1 * y  , ya’ni TT
1 2  *  T2 * T1 * .
4) Ixtiyoriy x, y  H elementlar uchun
T * Tx, y    x, T * T  * y    x, T * T * * y    x, T * Ty  , ya’ni T*T - Ermit
operatori va T * Tx, x   Tx, Tx   Tx  0 , ya’ni T*T - musbat operator.
2
 T  T * x, y    x, T  T * * y  
,
  x, T * T ** y    x, T * T  y    x, T  T * y 
ya’ni T  T * - Ermit operatori.
So‘ng
 i T  T * x, y    T  T *ix  , y   ix, T  T * * y   ix, T * T  y  
  x, i T * T  y    x, i T  T * y 
244
demak, i T  T * - Ermit operatori.
5) Ma’lumki, ixtiyoriy T1,T2  L  H  operatorlar uchun TT
1 2  T1 T2 . Demak,
T *T  T * T  T .
2
Ammo Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan ushbu tengsizlik kelib chiqadi:
T
2
 sup Tx  sup Tx, Tx   sup  x, T * Tx   sup x T * Tx 
2
x 1
x 1
x 1
x 1
 sup T * Tx  T * T .
x 1
Demak, T
2
 T * T . Endi T o‘rnida T* operatorni olsak, ushbu
TT *  T *  T
2
2
tenglik hosil bo‘ladi, ya’ni TT *  T * T  T *  T .
2
2
6) O‘z-o‘zidan ravshan.
7) Agar T 1T  TT 1  I bo‘lsa, u holda
T T *  TT *  I *  I , ya’ni
1
1
T * T 1 *  T 1  * T *  I . Demak, T 1 *  T * .
1
Misollar. 3. T chiziqli operator C n fazoni C n fazoga aks ettiruvchi bo‘lib,
T   aij  matritsa yordamida berilgan bo‘lsin.
x   x1, x2 ,..., xn   C n , y  Tx   y1, y2 ,..., yn   C n bo‘lsa, u holda
n
yi   aij x j .
j 1
Xuddi 1-misoldagidek, T* operator  a ji  matritsa bilan ifodalanishini ko‘rsatish
mumkin. Demak, T operator Ermit operatori bo‘lishi uchun ushbu
aij  a ji
munosabat zarur va kifoyadir.
4. L2  a, b kompleks Gilbert fazosida Fredgolm operatorini ko‘ramiz;
b
Tx  t    K  t , s  x  s  ds ,
a
245
(5)
b b
bu yerda x  t   L2  a, b ,  K 2  t , s  dsdt  K 2   .
a a
Shu operator uchun qo‘shma operatorni topamiz. L2  a, b fazoda skalyar
ko‘paytma ushbu
 x, y    x  t  y  t  dt
ko‘rinishda bo‘lgani uchun
b

Tx, y    y  t    K  t , s  x  s  ds  dt .
a
a

b
Fubini teoremasiga asosan
b

Tx, y    K  t , s  x  s  y t  dtds   x  s    K t , s  y t  dt  ds   x, z  ,
a a
a
a

b b
b
bu yerda
b
z  s    K  t , s  y  t  dt ,
a
ya’ni
b
z  t    K  s, t  y  s  ds .
a
Demak,
b
T * y   K  s, t  y  s  ds .
a
Natijada quyidagi teorema isbotlandi.
4-teorema. Agar L2  a, b fazoda T Fredgolm operatori K  t , s  o‘zak bilan
aniqlansa, u holda T* operator K  s, t  o‘zak bilan aniqlanadi.
Natija. (5) formula bilan aniqlangan Fredgolm operatori Ermit
bo‘lishi uchun ushbu
K  t , s   K  s, t 
tenglikning o‘rinli bo‘lishi zarur va kifoyadir.
246
operatori
5. Haqiqiy L2  a, b fazoda (5) formula yordamida aniqlangan Fredgolm
operatoriga qo‘shma operator K  s, t  yadro bilan aniqlanadi va T simmetrik
operator bo‘lishi uchun ushbu
K  t , s   K  s, t 
munosabat zarur va kifoyadir.
Mashq uchun masalalar
1. C  a, b fazoda ushbu
b
f  x    x  t  dt , x  C  a, b 
a
tenglik bilgn aniqlangan funksional uzluksiz va chiziqli ekanligini isbotlab,
uning normasini toping.
2. Yuqoridagi masalani ushbu
b
F  x    x  t  y0  t  dt , x  C  a, b 
a
funksional uchun yeching, bu yerda y0  t   C  a, b - biror tayinlangan
funksiya.
3. C  a, b fazoda  t0 funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:
 t  x   x  t0 
0
Uning uzluksiz va normasi birga teng ekanligini isbotlang.
4. Refleksiv normalangan fazoning ixtiyoriy yopiq qism fazosi ham
refleksiv ekanligini isbotlang.
5. Banax fazosi refleksiv bo‘lishi uchun uning qo‘shma fazosi refleksiv
bo‘lishi zarur va kifoyaligini isbotlang.
6. C 2  a, b fazo refleksiv emasligini isbotlang.
247
7. Biror H Gilbert fazosida
 xn 
ketma-ketlik x elementga sust
yaqinlashib, xn  x , n   munosabat bajarilsin. Bu holda xn ketma-ketlik
x elementga kuchli yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang.
8. Yuqoridagi masalani
xn  x
shart o‘rniga
xn  x (n  1,2,...) shart
olinganda isbotlang.
9. Biror Banax fazosida yopiq bo‘lgan, ammo sust topologiyada yopiq
bo‘lmagan to‘plamga misol keltiring.
10. Normalangan fazoda biror to‘plam sust topologiyada chegaralangan
bo‘lishi uchun u norma bo‘yicha chegaralangan bo‘lishi zarur va kifoyaligini
isbotlang.
11. C  a, b fazoda  xn  ketma-ketlik x elementga sust yaqinlashuvchi
bo‘lsa, u holda ixtiyoriy t   a, b uchun xn  t   x  t  ekanligini ko‘rsating.
12. C  a, b fazo sust topologiyada to‘la emasligini ko‘rsating.
13. Normalangan E fazo uchun E fazodagi   E, E  topologiya
  E, E  topologiyadan kuchliroq ekanligini isbotlang.
14. Agar E refleksiv Banax fazosi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy T  L  E 
uchun T **  T tenglikni isbotlang.
15. T chiziqli operator H Gilbert fazosida berilgan bo‘lsin. Agar biror
H 0  H qism fazoning ixtiyoriy h0 elementi uchun Th0  H 0 bo‘lsa, H 0 qism
fazo T operatorga nisbatan invariant deyiladi. Agar H 0 qism fazo T operatorga
nisbatan invariant bo‘lsa, u holda H o qism fazo T ga Ermit qo‘shma bo‘lgan
T* operatorga nisbatan invariant ekanligini ko‘rsating.
16. H Gilbert fazosida chegaralangan P : H  H operator biror H 0 qism
fazoga proektor bo‘lishi uchun u quyidagi shartlarni qanoatlantirishi zarur va
kifoya ekanligini isbotlang:
a) P 2  P ; b) P*  P .
248
IX BOB. SPEKTRAL ANALIZ ELEMENTLARI
Mazkur bob davomida uchraydigan barcha vektor fazolarni C kompleks
sonlar maydoni ustida ko‘ramiz. Bu talab kompleks sonlar maydonining
algebraik yopiqligi bilan bog‘liq.
9.1-§. Spektr va rezolventa
E kompleks Banax fazosida aniqlangan va qiymatlari ham E da bo‘lgan
chegaralangan chiziqli T operator berilgan bo‘lsin.  kompleks parametrga
bog‘liq bo‘lgan T   I  operatorlar sistemasini olamiz. Ravshanki, har bir 
uchun T   I chegaralangan chiziqli operator.
Ta’rif. Agar
0  C
uchun
T   I 
0
1
operator mavjud bo‘lib,
chegaralangan bo‘lsa, 0 son T operator uchun regulyar qiymat deyiladi.
Regulyar qiymat bo‘lmagan kompleks sonlar to‘plami T operatoriing spektri
deyiladi va  T  bilan belgilanadi.
Demak, 0  T  bo‘lsa, T  0 I 
1
mavjud emas, yoki T  0 I 
1
chegaralanmagan operatordir. Agar E chekli o‘lchamli normalangan fazo bo‘lsa,
 T  spektr faqat shunday  lardan iboratki, ular uchun T   I 
1
mavjud
emas, chunki chekli o‘lchamli normalangan fazoda har qanday chiziqli operator
chegaralangan. Bu holda chiziqli algebra kursidan ma’lumki,   T  uchun
Tx   x tenglama noldan farqli x0 yechimga ega, ya’ni
Tx0   x0 , x0  
Demak, chekli o‘lchamli fazoda chiziqli operatorning spektri faqat xos
qiymatlardan iborat va ularning soni ko‘pi bilan dim E ga teng.
Cheksiz o‘lchamli fazolarda masala murakkabroq. VII bobdan bizga
ma’lumki, chiziqli chegaralangan A : E  E operatorning teskarisi mavjud va
chegaralangan bo‘lishi uchun quyidagi 2 shartning bajarilishi zarur va kifoya:
249
1) A-quyidan chegaralangan, ya’ni shunday m>0 mavjudki,
Ax  m x , x  E;
2) A operatorning qiymatlaridan iborat to‘plam E da zich:
ImA  E .
Shunday qilib, 0  T  bo‘lsa, A  T  0 I operator uchun yuqoridagi
ikki shartning kamida biri o‘rinli emas.
Birinchi shartni qanoatlantirmaydigan  lar to‘plamini  T  , ikkinchi
shartni qanoatlantirmaydigan  lar to‘plamini esa  (T) bilan belgilaymiz.
Demak,
  T    T    T  .
Ta’rif. Chiziqli
operatorning
diskret
operatorning xos qiymatlaridan iborat to‘plam
spektri
 T  \  0 T    qold T 
deyiladi;
to‘plam
uni
 0 (T)
operatorning
bilan
qoldiq
 T  \  T    0 T    uzl T  to‘plam esa operatorning
belgilaymiz.
spektri,
uzluksiz spektri
deyiladi.
Tuzilishiga ko‘ra  0 T  , qold T  va  uzl T  to‘plamlarning ixtiyori
ikkitasi o‘zyaro kesshmaydi va
 T    0 T    qold T   uzl T  .
Yuqorida ko‘rdikki, chekli o‘lchamli fazolarda
 T    0 T  . Demak,
 qold (T )   va  uzl (T )   . Cheksiz o‘lchamli fazolarda, umuman aytganda,
qoldiq spektr va uzluksiz spektr bo‘sh bo‘lmasligi mumkin. Buni tasdiqlovchi
bir necha misol keltiramiz.
1) C[0,1] kompleks fazoda, ya’ni [0,1] da aniqlangan uzluksiz kompleks
funksiyalar fazosida quyidagi operatorni olamiz:
Tx  t   t  x  t  .
Ravshanki, T : C 0,1  C 0,1 operator chiziqli va chegaralangan. Agar
0 kompleks son uchun 00,1 bo‘lsa, operatorning teskarisi mavjud va
250
chegaralangan.
Haqiqatan,
T   I  x  t  
1
0
x t 
.
t  0
t [0, 1] va 0  0,1 bo‘lgani uchun t  0  0 va
chegaralangan. Demak,
1
yuqoridan
t  0
C \ 0,1 to‘plam regulyar nuqtalardan iborat. Endi
0  0,1 bo‘lsin. U holda T  0 I operator quyidan chegaralanmagan, ya’ni
T   I  x  m  x x  C 0,1
0
tengsizlikni qanoatlantiruvchi musbat m>0 mavjud emas. Darhaqiqat, quyidagi
funksiyalar ketma-ketligini olamiz:

1
1 

0, agar t  0  n , 0  n  bo ' lsa



oraliqda chiziqli funksiya.
xn (t )  1, agar t  0 bo ' lsa,

 0  1 , 0  va 0 , 0  1 



n
n 
 
Ravshanki, xn  C 0,1 va xn  1 . Shu bilan birga
T   I  x  max
t    x t  
 
0
n
t 0,1
0
n
1
,
n
ya’ni T  0 I operator quyidan chegaralanmagan. Demak, 0  (T ) . Ikkinchi
tomondan, T  0 I operatorning qiymatlaridan iborat to‘plam t  0 nuqtada 0
ga aylanuvchi funksiyalardan tashkil topgan. U holda C[0,1] da norma bo‘yicha
yaqinlashishdan har bir t  0,1 nuqtada yaqinlashish kelib chiqishi tufayli
Im  A  0 I   C 0,1 . Belgilashimizga ko‘ra 0   T  . Shunday qilib,
 T    T    T   0,1 .
Nihoyat,
tx  t    x  t  , t 0,1
tenglama (x(t) ga nisbatan) noldan farqli yechimga ega emas. Demak,
251
 0 T    va shuning uchun Tx  t   t  x  t  operatorning diskret va uzluksiz
spektrlari bo‘sh to‘plamlar ekan. Natijada
 T    qold T   0,1;  uzl T    0 T    .
2. l2 kompleks Gilbert fazosida diagonal operator quyidagi formula bilan
aniqlanadi:
T 1 ,2 ,...  1 ,1 , 2 ,2 ,... , bu yerda 1 ,2 ,...  x  l2 , i  C, i  1,2,...
T ning diagonal operator deyilishiga sabab, bu operator l2 ning kanonik
bazisida cheksiz diagonal matritsa ko‘rinishida yoziladi:
 1 0 0 ... 
0 
0 ... 
2

T
.
 0 0  3 ... 


 .. .. .. .. 
Agar sup  i   bo‘lsa, T -chegaralangan operator (7,3-§, 6-misol).
M  1 , 2 ,... belgilash kiritib quyidagi tengliklarni isbot qilamiz:
a)  0 T   M ;
b)  uzl T   M \ M ;
c)  T   M ,  qold   .
M   0 T 
a)
munosabat o‘rinli ekanligi ravshan.
 0 T   M
munosabatni ko‘rsatamiz. Agar    0 T  bo‘lsa, shunday x0   mavjudki,
T   I  x   , Demak,
0
    ,         ,...   0,0,0,... .
1
1
2
2,
3
3
x0  0 bo‘lgani uchun biror  k  0 . U holda    k  M
Endi b) va c) tengliklarni isbotlaymiz. Avval  T   M va  T    0 T 
tengliklarni ko‘rsataylik. Agar   C \ M bo‘lsa,  regulyar qiymat ekanligi
ravshan. Shuning uchun  T   M . Agar   M bo‘lsa,  ga yaqinlashuvchi
   M qism ketma-ketlik mavjud.
nk
U holda barcha n lar uchun ushbu
252
  n    0
tengsizlikni qanoatlantiruvchi  mavjud emas. Demak, T   I operator quyidan
chegaralamagan, ya’ni    T  . Shunday qilib,  T   M .
Endi  T    0 T  tenglikni isbotlaymiz. Agar    0 T  bo‘lsa, a) ga
ko‘ra biror k uchun    k . U holda Im T   I  to‘plam k-koordinatasi 0 ga
teng bo‘lgan vektorlardan iborat. Demak, Im T   I   l2 , ya’ni  0 T    T .
Aksincha,    T  bo‘lsin. U holda
Im T   I   l2 .

Shunday qilib, Im T   I     . Ikkinchi tomondan, itiyoriy H Gilbert
fazosida chegaralangan B chiziqli operator uchun

 Im B   ker B
*
tenglik o‘rinli; bu yerda ker B* to‘plam B* qo‘shma operatorning yadrosi.
Darhaqiqat, ixtiyoriy
x  ker B* va y  ImB uchun B*x=0 va y=Bz. Demak,
 x, y    x, Bz    B * x, z    , z   0 , ya’ni x  ImR . Bundan x  ImB , ya’ni



ker B*  ImB .

Aksincha ixtiyoriy, z  ImB
 va x  l uchun Bx  ImB , va demak,

2
( B * z, x)  ( z, Bx)  0 .
Bu yerda x ixtiyoriy bo‘lgani sababli B * z   , ya’ni z  ker B *.



Bundan ker B*  I mB . Demak, shunday x0  l2  x0    mavjudki,
T   I  * x   .
(1)
0
T diagonal operator bo‘lgani uchun T*T = TT*.
Quyidagi
Tx  Tx,Tx   T * Tx, x   TT * x, x   T * x,T * x   T * x
2
tenglikdan Tx  T * x , x  l2 kelib chiqadi. Demak, (1) ga ko‘ra
253
2
T   I  x  T   I ) * x  0 ,
0
0
ya’ni Tx0   x0 . Bundan esa    0 T  kelib chiqadi.
Shunday qilib,  0 T    T   M . U holda, aniqlanishiga ko‘ra
 uzl T   M \ M ,  T   M ,  qold T    .
Yuqorida biz spektrning ichki tuzilishini misollarda ko‘rdik. Endi
spektrning asosiy xossalari bilan tanishamiz.
1-teorema. Spektr yopiq to‘plamdir.
Isboti.
Ta’rifga
ko‘ra,
spektr
-
regulyar
nuqtalar
to‘plamining
to‘ldiruvchisi. Demak, regulyar nuqtalar to‘plamining ochiqligini ko‘rsatish
kifoya. Haqiqatan, 0 regulyar nuqta bo‘lsin. U holda T  0 I 
1
operator
mavjud va chegaralangan. Ushbu
  0 
1
(2)
(T  0 I ) 1
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
 C
uchun T   I
operatorni
ko‘raylik. Ravshanki,
B  T  0 I  T   I   T  0 I 
1
ifoda ma’noga ega va B : E  E . Ikkinchi tomondan esa
B  T  0 I  [(T  )  (T  0)]  T  0 I 
1
1
   0 .
(2) ga ko‘ra ||B||<1. Modomiki || B || < 1 ekan, 7.4-§ dan ma’lumki,
 I  B  mavjud va chegaralangan. Agar B ni quyidagi
1
B  T  0 I  T   I   T  0 I  T  0 I   T  0 I  T   I   I
1
1
1
ko‘rinishda yozib olsak,
I  B  T  0 I  T   I 
1
bo‘ladi.
Demak,
T   I  T   I 
1
0
operator
chegaralangan teskari operatorga ega. U holda
T   I  T  0T   T  0 I  T   I 
1
254
teskarilanuvchi,
ya’ni
ayniyatga
ko‘ra
T  I
T   I  T   I 
1
operator
teskarilanuvchi,
teskarilanuvchi.
0
Shunday
qanoatlantiruvchi barcha  lar uchun T   I 
chunki
qilib,
1
T  0 I
(2)
va
tengsizlikni
mavjud va chegaralangan
operator, ya’ni 0 regulyar qiymatlar to‘plamining ichki nuqtasi. Demak, spektr
yopiq to‘plamdir.*
2-teorema.
Har
qanday
chegaralangan
T
operatorning
spektri
chegaralangan to‘plam va radiusi T ga teng doira ichida joylashgan.
Isboti. Agar
 T
1
bo‘lsa,

T  1 tengsizlik o‘rinli. Demak,
1
1

 T  I  mavjud va chegaralangan. U holda


1

T  I    T  I 


ham teskarilanuvchi. Shunday qilib,   T
tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha  lar T operator uchun regulyar qiymatdir, ya’ni quyidagi munosabat
o‘rinli
 T     C :   T  .*
Spektrning yana ham chuqurroq xossalarini o‘rganish uchun bir necha
tushunchalar kiritamiz.
Ta’rif.  regulyar qiymat uchun
R     T   I 
1
operator rezolventa (aniqrog‘i, T operatorning rezolventasi) deyiladi.
Ta’rifga ko‘ra R    kompleks argument  ning funksiyasi bo‘lib,
qiymatlari esa E ni E ga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorlardan
iborat. Demak,
R   : C \  T   L  E  ,
bu yerda L  E   chegaralangan operatorlar fazosi.
Ta’rif. Kompleks tekislikdagi G ochiq sohada aniqlangan va qiymatlari F
255
Banax fazosiga tegishli bo‘lgan g    funksiya berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy
f  F  uchun ushbu
     f  g    ,  : G  C
kompleks funksiya G da analitik bo‘lsa, u holda g    bu sohada sust analitik
funksiya deyiladi.
3-teorema. R    rezolventa C \  T  ochiq sohada va  nuqtada sust
analitik funksiya hamda R     0 .
Isboti. Haqiqatan, 0  C \  T  va f Banax fazosi L  E  da aniqlangan
chiziqli uzluksiz funksional bo‘lsin. Yuqoridagi 1- teoremaning isbotida
ko‘rganimizdek, yetarli kichik   0 uchun R     T   I  mavjud va
1
1
T   I   I  T  0 I     0  T  0 I 


tenglikka ko‘ra
R     R  0   I  R  0    0 
ayniyat o‘rinli. Demak,   0 
1
1
(3)
bo‘lsa,  I  R(0 )(  0 )
1
R  0 
ifodani
quyidagi qatorga yoyishimiz mumkin:

 I  R  0    0     R  0    0 
n 0
1
n
U holda (3) ga ko‘ra f uzluksiz bo‘lgani sababli

f  R       an    0 
n
n 0

tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda an  f  R  0 

an  f  R  0  
n 1
 . Ravshanki,
  f R   .
n 1
Shunday qilib,   0 
n 1
0

1
tengsizlikdan
R  0 
 a    
n 0
n
n
0
qatorning absolyut yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Demak, f  R    
256
analitik funksiya, ya’ni R    -sust analitik funksiya.
Endi  nuqtaning atrofini ko‘raylik. Agar   0 bo‘lsa ushbu
T
1

I 
1

 I  T 
munosabatdan
1
1 
1
1 
R     T  I     I  T 
 
 
kelib chiqadi, ya’ni
1
R      I  T   2T 2  ... .

(4)
Demak,   0 da R     0 tenglik o‘rinli va (4) ga muvofiq R   
funksiya    nuqtada sust analitik bo‘ladi.
4-teorema. Har qanday chegaralangan chiziqli operatorning spektri bo‘sh
bo‘lmagan to‘plamdir.
Isboti.  (T )   deb faraz qilaylik. 3-teoremada isbot qilinganiga ko‘ra
R    funksiya S kompleks tekislikda va  nuqtada sust analitik. Demak,
L  E  da aniqlangan f uzluksiz chiziqli funksional uchun f  R     komleks
funksiya analitik bo‘ladi. Agar f  R     funksiyaning  nuqtada analitik
ekanligini va f  R      0 tenglikni hisobga olsak, f  R     funksiya 
nuqtaning atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi. Ya’ni shunday M1  0 va
r  0 mavjudki,     r  uchun ushbu
f  R      M1
tengsizlik
o‘rinli.
Demak,
f  R   
funksiya
kompleks
tekislikda
chegaralangan. Liuvill teoremasiga ko‘ra f  R     o‘zgarmas funksiya:
f  R      const .
Agar
f  R      0 tenglikni inobatga olsak, ushbu
f  R     0
ayniyatni hosil qilamiz. Bu yerda f ixtiyoriy uzluksiz funksional bo‘lgani uchun
257
Xan-Banax teoremasining natijasiga ko‘ra
R    0 .
Ikkinchi tomondan esa
R     T   I   I ,
demak, R     0 . Shunday qilib,  T    farazimiz ziddiyatga olib keldi.
Chiziqli operatorlarni o‘rganishda spektrni lokalizatsiyalash (ajratish)
masalasi
muhim ahamiyatga
ega.
Yuqoridagi
2-teoremada
spektrning
chegaralangan to‘plam ekanligini ko‘rsatdik.
Ushbu
 T   sup 
 T 
son T operatorning spektral radiusi deyiladi.
n Tn
5-teorema. Ixtiyoriy chegaralangan chiziqli T operator uchun lim
n 
mavjud va
lim n T n   T  .
(5)
n 
Isboti. Agar ushbu
lim n T n   T  ,
(6)
n 
lim n T n   T 
(7)
n 
tengsizliklarni ko‘rsatsak, teorema isbot qilingan bo‘ladi.
a) (6) tengsizlikning isboti. Ixtiyoriy n natural son uchun
 T n   sup   sup     T  
n
 
 T n
n
(8)
 T 
munosabat o‘rinli ekanligini tekshirish qiyin emas. 2-teoremada isbot
qilganimizga ko‘ra
 T n   T n .
(9)
(8) va (9) dan ixtiyoriy n uchun
 T   n T n
258
tengsizlikni hosil qilamiz. Demak, xususan
 T   lim n T n
n 
va (6) tengsizlik o‘rinli.
b) (7) tengsizlikning isboti. Agar 0
tengsizlikni qanoatlantirsa,
rezolventa
1
0
1
kompleks son
0 
1
 T 
regulyar qiymat bo‘ladi. Demak, R   
0
nuqtada sust analitik. U holda ixtiyoriy f   L  E   uchun (4) ga
asosan

  1 
f  R        n f  T n  .
n 0
   

Bu Teylor qatori
( 10 )
1
 T 
bo‘lganda Koshi alomatiga ko‘ra
yaqinlashuvchi. Qatorning yaqinlashuvchiligidan esa
 n f T n  sonlarning
nolga yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy f   L  E   uchun n  
da
f   nT n   0 ,
ya’ni
 T   L  E 
n
n
ketma-ketlik
nolga
yaqinlashuvchidir (8.3- §).
8.3-§ dagi 1-teoremaga asosan shunday c>0 son mavjudki,
 nT n  c, n  1,2,3,...
ya’ni
n  T n  c .
Oxirgi munosabatdan esa
 n Tn  n c .
n
c  1 ekanligini hisobga olsak,
Endi lim
n 
n Tn 
lim
n 
1

.
(11)
259
sust
Shunday qilib, (11) munosabat  
1
tengsizlikni qanoatlantiruvchi
 T 
1
da limitiga o‘tilsa,
 T 
barcha  lar uchun o‘rinli. Demak. (11) da  
lim n T n   (T )
n 
kelib chiqadi, ya’ni (7) tengsizlik o‘rinli.
Misol sifatida Volterra operatorini ko‘raylik. Volterra operatori C[a, b]
fazoda quyidagi formula orqali aniqlanadi:
Tx  t    K (t , s) x(s)ds ,
t
a
bu yerda K(t, s) o‘zak bo‘lib,   {(t , s) : a  t  b; a  s  b} to‘plamda
aniqlangan uzluksiz funksiya. Ravshanki, T : C[a, b]  C [a, b] , chegaralangan
chiziqli operator. Volterra operatorining spektral radiusini topish uchun ushbu
belgilashni kiritamiz:
max K (t , s)  M
( t , s )
Operatorning tuzilishiga ko‘ra
T 2 x(t )  T (Tx(t ))  a [ K (t , s1 ) a K  s1 , s2  x  s2  ds2 ]ds1
t
s1
yoki umumiy holda
t
T n x  t    [ K  t , s1  a [ K  s1 , s2 ......a K  sn1 , sn  x  sn  dsn ]...]ds1
s1
sn1
a
Agar K  t , s   M tengsizlikni hisobga olsak,
t
s
s
T n x  t   M n  a  a ....a dsn dsn1  dsn1 .... ds1  max x  t  .
a t b


n1
1
Matematik analiz kursidan ma’lumki,
  ....
t
s1
a a
sn1
t  a 
ds ds ...ds 
n
a
n 1
1
n!
Demak,
M n b  a 
,

n!
n
T
n
ya’ni
260
n
n
Tn 
M  b  a 
n
n!
0.
Shunday qilib, Volterra operatorining spektral radiusi 0 ga teng.
Yuqorida biz spektr va rezolventa tushunchasini faqat kompleks fazoda
aniqlangan operator uchun kiritdik va teoremalarni isbot qilishda bu talabdan
foydalandik. Lekin amalda esa (ba’zan matematik fizika masalalarida) to‘la
bo‘lmagan yoki faqat haqiqiy sonlar maydoni ustida qurilgan normalangan
fazolarda aniqlangan operatorlarning spektrini topish masalalari uchraydi.
Quyidagi ikkita izoh yordamida bu masalalar o‘rganilgan holga keltiriladi.
1-izoh. E to‘la bo‘lmagan kompleks normalangan fazo va T : E  E
chiziqli chegaralangan operator bo‘lsin. Ma’lumki, E ni to‘ldirish mumkin (4.1§, 1-teorema). Hosil bo‘lgan kompleks Banax fazosini E bilan belgilaymiz. E
fazo E da zich bo‘lganligi va T : E  E chegaralangan bo‘lganligi uchun T
operatorni E fazoga normasini saqlagan holda davom ettirishimiz mumkin (7.4§ dagi lemma). Natijada hosil bo‘lgan operatorni T bilan belgilab, T
operatorning spektrini quyidagicha kiritamiz:
 (T )   (T )
2-izoh. E haqiqiy Banax fazosi bo‘lsin. Chiziqli algebra kursidan ma’lum
bo‘lgan tenzor ko‘paytma tushunchasidan foydalanib, yangi
E
fazoni
quyidagicha kiritamiz:
E CE.
Kiritilgan fazo E fazoning kompleksifikatsiyasi deyiladi (tenzor
ko‘paytma bilan tanish bo‘lmagan o‘quvchilar E ni formal ravishda E  iE deb
tushunishlari mumkin).
Ravshanki, E kompleks Banax fazosi va ixtiyoriy x  E elementni
quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
x  y  iz, y, z  E .
O‘z navbatida, bu tenglikdan foydalanib, T operatorni E ga davom
ettirishimiz mumkin:
261
Tx  Ty  iTz .
Tabiiy ravishda T operatorning spektri quyidagi formula orqali kiritiladi:
 T    T  .
9.2-§. Proeksion operatorlar
Quyida biz Gilbert fazosida aniqlangan operatorlarning maxsus sinflarini
o‘rganamiz.
Ta’rif. H Gilbert fazosida aniqlangan P chiziqli operator
1) P2=P,
2) P* =P
shartlarni qanoatlantirsa, u ortogonal proeksiyalash operatori deyiladi.
Ixchamlik maqsadida, bu bobda ortogonal proeksiyalash operatori iborasi
o‘rnida proektor so‘zini ishlatamiz.
1-teorema. Har qanday proektor chegaralangan operator va P  0 bo‘lsa,
P  1.
Isboti. Ushbu
Px   Px, Px    P * Px, x    P 2 x, x    Px, x 
2
munosabatdan Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra
Px  Px  x . Demak, Px  x , ya’ni P chegaralangan va P  1.
2
Ikkinchi tomondan, P  P  P , ya’ni P  0 bo‘lsa P  1 . Shunday qilib,
2
2
P  1. *
Misol. L to‘plam H ning yopiq qism fazosi, L esa uning ortogonal
to‘ldiruvchisi bo‘lsin. U holda, ma’lumki,
H  L  L ,
ya’ni ixtiyoriy x  H vektorni yagona usul bilan quyidagi ko‘rinishda yozish
mumkin:
x  y  z, y  L, z  L
(1)
262
P operatorni
Px=y
tenglik orqali aniqlaymiz, ya’ni P operator har bir x  H ga uning L dagi
proeksiyasini mos qo‘yadi. Kiritilgan operator proektor ekanligini ko‘rsatamiz.
a) P chiziqli operator. Haqiqatan, x1 , x2  H va
x1  y1  z, y1  L, z  L
x2  y2  z2 , y2  L, z2  L
(2)
bo‘lsin. U holda ixtiyoriy  ,   C uchun
 x1   x2   y1   y2    z1   z2 . ,
bu yerda  y1   y2  L,  z1   z2  L . Agar (1) yoyilmada y va z yagona usul
bilan aniqlanishini hisobga olsak,
P  x1   x2    y1   y2   Px1   Px2
ya’ni P - chiziqli operator.
b) P*=P. Yuqoridagi (2) tengliklarda y1  z2 va y2  z1 bo‘lgani uchun
 Px , x    y , y  z    y , y    y  z, y    x , Px 
1
2
1
1
2
1
2
1
2
Shunday qilib, ixtiyoriy x1 , x2  H uchun
1
2
 P x, x  
1
2
,x1 P
 2x,ya’ni
P=P*.
c) P2=P. Agar x  L bo‘lsa, (1) yoyilmada z   Shuning uchun Rx=x.
Ixtiyoriy x  H uchun Px  L . Demak, P2 x  P  Px  Px , ya’ni P 2  P .
a), b) va c) ga asosan P -proektor.
Yuqorida ko‘rgan misolimiz umumiy xarakterga ega. Aniqrog‘i, ushbu
teorema o‘rinli.
2-teorema. Har qanday P proektor uchun N ning shunday yopiq L qism
fazosi mavjudki, Px vektor x vektorning L dagi proeksiyasiga teng.
Isboti. Px=x tenglamaning yechimlaridan iborat bo‘lgan to‘plamni L
orqali belgilaylik. P chiziqli operator bo‘lgani uchun L chiziqli qism fazoni
tashkil
qiladi.
L
ning
yopiq
ekanligini
ko‘rsatamiz.
Faraz
x   L va x  x bo‘lsin. U holda Px  x , n  1,2,... . Demak,
n
n
0
n
263
n
qilaylik,
Px0  xn  Px0  Pxn  P  x0  xn 
Agar P  1 munosabatni hisobga olsak,
Px0  xn  x0  xn
ya’ni n   da
Px0  x0  0, Px0  x0
ni hosil qilamiz. Demak, L - yopiq qism fazo. P2 =P shartga ko‘ra ixtiyoriy
x  H uchun P 2 x  P Px  Pxtenglik o‘rinli. Bundan Px  L . Teoremaning
isbotini yakunlash uchun z=x-Px vektorning L ga ortogonal ekanligini ko‘rsatish
kifoya. Haqiqatan, ixtiyoriy y  L uchun y  Py , demak,
 x  Px, y    x  Px, Py    P *  I  P  x, y  
  P  I  P  x, y     P  P  x, y    , y   0
2
Shunday qilib, ixtiyoriy x  H uchun Px  L va x  Px  L , ya’ni P
operator L ga ortogonal proeksiyalash operatori.
Endi proektorlar ustida amallarni ko‘ramiz. Umuman aytganda,
proektorlarning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasi proektor bo‘lishi shart emas.
3-teorema. Agar P proektor bo‘lsa, 1-P ham proektor.
Isboti. Haqiqatan,  I  P   I  2P  P 2  I  P va
2
 I  P *  I * P*  I  P .
Demak, I-P - proektor.
Agar P proektor L qism fazoga proeksiyalash bo‘lsa, uni PL ko‘rinishida
yozamiz.
4-teorema. Ikkita PL va PL proektorning ko‘paytmasi proektor bo‘lishi
1
2
uchun
PL PL  PL PL
1
2
2
(3)
1
tenglikning bajariliish zarur va kifoya. Agar (3) shart bajarilsa, u holda
PL PL  PL ,
1
(4)
2
bu yerda L  L1
L2 .
264
Isboti. 1) agar PL PL proektor bo‘lsa,
1
2
PL PL   PL PL *  P *L P *L  PL PL ,
1
2
1
2
2
1
2
1
ya’ni (3) o‘rinli. Endi (4) ni tekshiramiz. Ushbu
PL x  PL  PL x   L1 , PL x  PL  PL x   L2 munosabatlardan PL x  L1
1
2
2
chiqadi, ya’ni L  L1
1
L2 kelib
L2 .


L2 bo‘lsa, PL x  PL PL x  x, ya’ni
Ikkinchi tomondan, agar x  L1
1
2
L2  L .
L1
Demak, L  L1
L2 .
2) (3) o‘rinli bo‘lsin. U holda
 P P    P P  P P   P P  P P
2
L1
L2
L1
L2
L1
2
L1
L2
2
L2
L1
L2
va
 P P *  P P *  P P  P P .
L1
*
L2
L2
L1
L2
Shunday qilib,
PL PL
1
L1
2
L1
L2
proektor. Yuqorida ko‘rganimizdek, bundan
PL PL  PL tenglik kelib chiqadi.
1
2
5-teorema. Chekli sondagi
PL , PL ,..., PL
1
2
n
proektorlarning yig‘indisi
proektor bo‘lishi uchun L1, L2, … , Ln qism fazolarning ixtiyoriy ikkitasi o‘zaro
ortogonal bo‘lishi zarur va kifoya. Bu shart bajarilganda,
PL  ...  PL  PL
1
n
bo‘ladi, bu yerda L  L1  ...  Ln - to‘g‘ri yig‘indi.
Isboti. 1) L1  LJ , i  j, i, j  1, n bo‘lsin. U holda 4-teoremaga asosan
PL PL  PLj PL  0 .
i
j
i
Demak,
 P  ...  P   P  ...  P  P  ...  P .
2
L1
Ln
2
L2
2
Ln
L1
So‘ngra
 P  ...  P *  P  ...  P
L1
Ln
L1
Ln
265
Ln
Shunday qilib, PL  ...  PL  PL - proektor.
1
n
Endi PL  ...  PL  PL tenglikni tekshiraylik.
1
n
n
Agar x  Li bo‘lsa, x  x1  ...  xn va xi  x j  i  j  xi  Li .
i 1
U holda
PL x   PL  ...  PL   x1  ...  xn   PL x1  ...  PL xn , xn  x ,
1
n
n
n
i 1
i 1
1
n
ya’ni Li  L. L   Li deb faraz qilaylik. U holda
n
shunday z   mavjudki, z  L va z  Li . Endi z  L dan
i 1
PL z  z  
(5)
n
z  Li munosabatga asosan
i 1
z  Li , i  1, n
yoki
PL z  PL z  ...  PL z  
1
n
n
kelib chiqadi. Bu esa (5) ga zid. Shunday qilib, L   Li , ya’ni PL  ...  PL  PL
1
i 1
n
.
2) PL  ...  PL proektor bo‘lsin. Ixtiyoriy x  H uchun
1
n

 

x   PL  ...  PL  x   PL  ...  PL  x,  PL  ...  PL  x   PL  ...  PL  x, x 
2
2
1
n
1
n
1
  PL x, x   ...   PL x, x   PL x  ...  PL x
2
1
n
1
Ixtiyoriy i va j  i  j  indekslar uchun
2
2
PL x  PL x  x
i

Bu tengsizlikda x ning o‘rniga PL y ni qo‘ysak,
i
2
2
PL2 y  PL PL y  PL y ,
i
j
i
1
n
2
n
(6)
j
2
n
i
266
ya’ni PL PL y  0 kelib chiqadi.
i
j
Bu yerda y ixtiyoriy bo‘lgani uchun PL PL  0 .
j
i
Agar (6) tengsizlikda x o‘rniga PL y ni qo‘ysak,
j
2
2
2
PL PL y  PL2 y  PL y .
i
j
j
j
Bundan PL PL  0 . Natijada PLj PL  PL PL  0 bo‘lgani uchun Li  L j kelib
i
j
i
i
j
chiqadi. Haqiqatan, ixtiyoriy x  Li , y  L j uchun
 x, y    P x, P y    P P x, y    , y   0 .*
Li
Lj
Lj
Li
6-teorema. PL va PL proektorlarning ayirmasi proektor bo‘lishi uchun
1
2
L2  L1 , bo‘lishi zarur va kifoya. Bu shart bajarilganda
PL  PL  PL
1
2
bo‘ladi, bu yerda L  L1L2 ( L2 ning L1 gacha ortogonal to‘ldiruvchisi.)
Bu teoremaning isboti yuqoridagi teoremalarning isbotiga o‘xshash.
H Gilbert fazosidagi barcha proektorlardan iborat to‘plamni P(H) orqali
belgilaymiz. P(H) to‘plamda qisman tartibni quyidagi usul bilan kiritamiz: agar
L1  L2 munosabat o‘rinli bo‘lsa PL  PL . Bu bilan P(H) qisman tartiblangan
1
2
to‘plamga aylanadi.
Lemma. PL  PL bo‘lishi uchun PL x  PL x tengsizlikning ixtiyoriy
1
1
2
2
x  H uchun bajarilishi zarur va kifoya.
Isboti. 1) PL  PL bo‘lsin. U holda L1  L2 munosabatdan PL  PL PL
1
2
1
1
2
kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy x  H uchun PL x  PL PL x . Bundan
1
1
2
PL x  PL  PL x  PL x .
1
2
2
2
2) aksincha, ya’ni ixtiyoriy x  H uchun
PL x  PL x
1
(7)
2
bajarilgan bo‘lsin. PL proektor bo‘lgani uchun
2
PL  I  PL  x   , x  H .
2
2
267
Agar (7) tengsizlikni hisobga olsak,
PL  I  PL  x  PL  I  PL  x  0
1
2
2
2
Demak, PL  I  PL  x   , x  H , ya’ni PL  PL PL .
1
2
1
1
2
L2 , ya’ni L1  L2 .
U holda 4- teoremaga ko‘ra, L1  L1
7-teorema. Har qanday monoton o‘suvchi proektorlar ketma-ketligi
P 

Lk
k 1
biror P proektorga kuchli yaqinlashadi.
Isboti. Yuqoridagi lemmaga ko‘ra, PL  PL  ... munosabatdan ixtiyoriy
1
x  H uchun
2
 P x  sonli ketma-ketlikning monoton o‘suvchi ekanligi kelib

Lk
k 1
chiqadi. Ikkinchi tomondan, PL ning proektorligidan
k
PL x  x .
k
P x

Demak,
Lk
k 1
yaqinlashuvchi ketma-ketlik. Bu faktdan foydalanib,
ketma-ketlikning H da yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan,
PL x  PL x   PL x  PL x, PL x  PL x  
2
n
m
n
m
n
m
  PL x, PL x    PL x, PL x    PL x, PL x    PL x, PL x    PL x, PL x 
n
n
n
m
m
n
m
n
m
m
Agar m < n bo‘lsa, u holda
 P x, P x    P P x, x    P x, x    P x, P x   P x .
2
Ln
Lm
Lm
Ln
Lm
Lm
Lm
Lm
Shunday qilib,
2
2
2
PL x  PL x  PL x  PL x  0 .
n
m
n
m
Demak, PL xk 1 fundamental ketma-ketlik. Agar H ning to‘laligini

k
hisobga olsak, PL x ning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Har bir x  H
k
P x  H elementni mos qo‘yuvchi akslantirishni P orqali belgilaymiz. U
ga lim
n  L
n
holda skalyar ko‘paytmaning uzluksizligidan P ning proektor ekanligi kelib
chiqadi, haqiqatan,
a) P(ax   y)  lim
P  x   y    Px   Py ,
n L
n
268
ya’ni P chiziqli akslantirish;
b)  Px, y   lim
 PL x, y   lim
 x, PL y    x, Py  ,
n
n
n
n
ya’ni P  P * ;
c)  Px, y   lim
 PL x, y   lim
 PL2 x, y    P2 x, y  ,
n
n
n
n
yoki P  P 2 Teorema isbot qilindi.*
Endi
 ,   biror chekli yoki cheksiz oraliq, E  esa t  ,  
t
parametrga bog‘liq proektorlar oilasi bo‘lsin.
Ta’rif. Birning yoyilmasi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
E     proektorlar oilasiga aytiladi:
t
t
,
1) E  0, E  I ;
2) Es Et  Emint ,s  ;
3)  s   lim Et  Et   t0    .
t t 0
0
0
Izoh. Bu ta’rifda 2) shart Et  proektorlar oilasi t parametrning funksiyasi
sifatida monoton o‘suvchi ekanligini anglatadi. 3) shartga kelsak, 3- teoremaga
ko‘ra  ,   oraliqning ixtiyoriy to ichki nuqtasida  s   lim Et mavjud (kuchli
t t0 0
yaqinlashish ma’nosida). Shunday qilib, ta’rifdagi
3) shart Et funksiyaning
chapdan uzluksizligiga ekvivalent. Nihoyat, agar    yoki    bo‘lsa
E  tlim
E,
 t
E  tlim
E
 t
deb olamiz. Bu limitlarning mavjudligi yana yuqoridagi 7- teoremadan kelib
chiqadi.
Matematik
analiz
umumiy
kursidan
ma’lum
Stiltes
integrali
tushunchasidan foydalanib, quyidagi tenglikni yoza olamiz:

x  Ix   E  E  x   dEt x, x  H ,
(8)


bu yerda  dEt x ifoda
Et x funksiya uchun  ,   oraliqda tuzilgan Stiltes
a
integral yig‘indisining H fazodagi kuchli limitiga teng. Limitning mavjudligi
269
proektorlarning yuqorida isbot qilingan xossalaridan bevosita kelib chiqadi.
Shunday qilib, birlik operatorni birning yoyilmasi bo‘yicha Stiltes
integrali ko‘rinishida ifodaladik:

I   dEt .

Umuman, chiziqli operatorni Stiltes integrali ko‘rinishida ifodalash
masalasi spektral teoremaning mazmunini tashkil qiladi. Bu masala ustida
keyingi paragraflarda batafsilroq to‘xtab o‘tamiz.
9.3-§. Chekli o‘lchamli Evklid fazosida o‘z-o‘ziga qo‘shma operator uchun
spektral teorema
Ushbu paragraf ko‘proq metodik ahamiyatga ega.
1- teorema. Chekli o‘lchamli Evklid fazosida har qanday o‘z-o‘ziga
qo‘shma A operator uchun quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi 1 ,..., r
haqiqiy sonlar va P1 ,..., Pr proektorlar mavjud:
1)  i lar bir-biridan farqli;
2) Pi  0 va Pi lar o‘zaro ortogonal, ya’ni PP
 0 i  j  ;
i j
3) P1  ...  Pr  I ;
4) 1P1  ...   r Pr  A .
Isboti. Fazo chekli o‘lchamli bo‘lgani uchun A operatorning spektri chekli
va faqat xos qiymatlardan iborat. A operatorning xos qiymatlarini, karraligini
e’tiborga olmay, 1 , 2 ,..., r orqali belgilaylik. Pi proektor sifatida
Ax  i x
tenglamaning yechimlaridan iborat bo‘lgan
Li
qism fazoga ortogonal
proeksiyalash operatorini olamiz. Kiritilgan 1 , 2 ,..., r sonlar va P1 , P2 ...., Pr
proektorlar teoremaning shartlarini qanoatlantirishini ko‘rsatamiz.
270
1) Aniqlanishiga ko‘ra  i lar bir-biridan farqli. Agar A operatorning o‘zo‘ziga qo‘shma ekanligini hisobga olsak, ushbu
i ( xi , xi )  (i xi , xi )  ( Axi , xi )  ( xi , Axi )   ( xi , xi )
tengliklardan (bu yerda xi vektor  i ga mos keluvchi xos
vektor) xi  
bo‘lgani uchun  i   i munosabat kelib chiqadi. Demak,  i lar haqiqiy sonlar,
2) ni ko‘rsatish uchun har xil xos qiymatlarga mos keluvchi xos
vektorlarning o‘zaro ortogonal ekanligini ko‘rsatish kifoya. Haqiqatan, agar xi
va x j mos ravishda turli  i hamda  j xos qiymatlarga mos keluvchi xos
vektorlar bo‘lsa,
0   Axi , x j    xi , Ax j   i   j  xi , x j  , i  j .
Demak,  xi , x j   0 , chunki  i   j . Shunday qilib, Li  L j , i  j
3) Li  L j  i  j  bo‘lgani uchun PP
 Pj Pi  0  i  j  .
i j
Demak, 9.2- § dagi 5- teoremaga asosan
P1  ...  Pr - proektor.
P  P1  ...  Pr  I deb faraz qilaylik. U holda L  L1  ...  Lr  C n . Ravshanki,
L qism fazo A operatorga nisbatan invariant, ya’ni x  L munosabatdan Ax  L
kelib chiqadi. Haqiqatan, agar x  L bo‘lsa, shunday 1 ,..., r sonlar mavjudki,
r
x   i xi
i 1
bu yerda xi  Li operatorning  i ga mos keluvchi xos vektori. U holda
r
r
i 1
i 1
Ax   i Axi   
x L.
i i i
L     . Ikkinchi tomondan, L
Farazimizga ko‘ra L  C n . Bundan
fazo A operatorning invariant qism fazosi, chunki ixtiyoriy y  L va x  L lar
uchun
 Ax, y    x, Ay   0 , ya’ni Ax  L .

U holda A : L  L ekanligidan A operatorning 1 , ....,  r lardan farqli
bo‘lgan xos qiymatining mavjudligi kelib chiqadi. Bu esa 1 , ....,  r larning
tanlab olinishiga zid.
271
Shunday qilib, P1  ...  Pr  I .
4) Ixtiyoriy x  C n uchun Px
 xi deb belgilaylik. Ravshanki, xi  Li U
i


holda Axi   i xi i  1, r . Agar P1  ...  Pr  I tenglikni hisobga olsak,
r
r
t
i 1
i 1
i 1
Ax  A  Px
 ...  Pr x    Axi   i x i  i Px
,
1
i
ya’ni
A  i P1  ...   r Pr .
(1)
Teoremaning 1)-3) shartlarini qanoatlantiruvchi 1 ,..., r sonlar va
P1 ,..., Pr proektorlar uchun
A  1P1  ...   r Pr
formula A operatorning spektral yoyilmasi deyiladi. Shunday qilib, isbot
qilingan 1-teorema o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning spektral yoyilmasining
mavjudligi haqidagi teoremadir. Navbatdagi masala spektral yoyilmaning
yagonaligini isbot qilishdan iborat.


Agar A operator va pn  t    0  1t  ...   nt n ,  i  C , i  1, n ko‘phad
bo‘lsa, u holda
pn  A  0 I  1 A  ...   n An
ifoda operator funksiya (aniqrog‘i, operator ko‘phad) deyiladi. Ravshanki, agar
A chiziqli bo‘lsa, pn(A) ham chiziqli. Shu bilan birga pn(A) koeffitsientlari
haqiqiy bo‘lgan ko‘phad va A  A bo‘lsa,
pn(A) o‘z-o‘ziga qo‘shma
operatordir.
r
2-teorema. Agar   i Pi o‘z-o‘ziga qo‘shma A operatorning spektral
i 1
yoyilmasi bo‘lsa, u holda:
1) 1 ,...., r  to‘plam A operatorning barcha xos qiymatlaridan iborat;
2) koeffitsientlari haqiqiy bo‘lgan shunday p1  t  ,..., pr  t  ko‘phadlar
mavjudki, ular uchun:
a) pk i    ki ( ki -Kroneker simvoli);
272
b) pk  A  Pk , k  1,..., r .
r
Isboti. 1)
 P spektral yoyilma bo‘lgani uchun 
i 1
i
i
i
sonlar va Pi
proektorlar 1-teoremaning 1) -4) shartlarini qanoatlantiradi. U holda Pk  0 ,
ya’ni Lk    bo‘lgani uchun, ixtiyoriy x  Lk ,. x  0 vektor A operatorning  i
ga mos keluvchi xos vektori, chunki
r
Ax   i Px
  k Pk x  k x .
i
i 1
Agar A operatorning 1 ,..., r sonlardan farqli xos qiymati yo‘q ekanligini
ko‘rsatsak, 1) isbotlangan bo‘ladi. Faraz qilaylik,  son A operatorning xos
qiymati va x   unga mos keluvchi xos vektor bo‘lsin:
r
Ax   x    Pi x .
i 1
Spektral yoyilmaga ko‘ra,
r
Ax   i Px
i .
i 1
Oxirgi ikki tenglikdan
r
      Px   .
i 1
i
i
P1 ,..., Pr proektorlar o‘zaro ortogonal bo‘lgani uchun
2
r
r
      Px        Px  0 .
i 1
i
i
i 1
2
i
i
r
(2)
Agar x   va  Pi  I ekanligini hisobga olsak biror k 1  k  r  uchun
i 1
Pk x   , (2) ga asosan shu k uchun    k .
2) P1 ,..., Pr proektorlarning o‘zaro ortogonalligidan foydalansak,
r
r
r
r
r



A    ai Pi   i Pi    i j PP
  i2 Pi
i j
i 1
 i 1
 i 1
 i 1 j 1
2
va, umuman,
273
r
An   in Pi  n  1, 2,....
i 1
ni hosil qilamiz. Demak, har qanday pn  t  ko‘phad uchun
r
pn  A   pn  i Pi .
(3)
i 1
Agar
t  i
, k  1,2,..., r
ik  k  i
pk  t   
deb olsak,
pk  j    kj
va (3) ga ko‘ra pk  A  Pk
Natija. O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning spektral yoyilmasi yagona usul
bilan aniqlanadi.
Ixtiyoriy Gilbert fazosida aniqlangan o‘z-o‘ziga qo‘shma operator uchun
spektral teoremani keltirish maqsadida, chekli o‘lchamli fazoda isbot qilingan
r
A   i Pi
i 1
spektral yoyilmani umumlashtirish uchun qulay bo‘lgan formada yozamiz. Shu
maqsadda quyidagi belgilash kiritaylik:
Ek  P1  ...  Pk , k  1,2,..., r .
P1 ,..., Pr proektorlar o‘zaro ortogonal bo‘lgani uchun E1 ,..., Er lar ham
proektorlar bo‘ladi. Agar E0= 0 deb qabul qilsak,
0  E0  E1  ...  Er  I
va
Pi  Ei  Ei 1 , i  1, r .
U holda A operatoryaing spektral yoyilmasini ushbu
A   i  Ei  Ei 1 
r
i 1
ko‘rinishda yoki Ei  Ei 1  i E ( ) belgilashdan so‘ng,
274
r
A   i E  
(4)
i 1
ko‘rinishda yozish mumkin.
Oxirgi tenglikka quyidagicha talqin berish mumkin. 1,2,...,r chekli
to‘plamda qiymatlari proektorlardan iborat bo‘lgan monoton o‘suvchi Ei
funksiya berilgan, Ei funksiya yordamida
X  1 , 2 ,..., r 
to‘plamning bir elementli qism to‘plamlarida
 i   i E    Ei  Ei 1
tenglik orqali aniqlangan funksiyani additivlik bo‘yicha X dagi qiymatlari
operator bo‘lgan o‘lchovgacha davom ettiramiz. U holda (4) tenglikni Stiltes
integrali ko‘rinishida quyidagicha yozish mumkin:
A    dE  
X
yoki X    A ekanligini hisobga olsak,
A    dE  
(5)
  A
ko‘rinishda yoza olamiz. Demak, chekli o‘lchamli fazoda har qanday o‘z-o‘ziga
qo‘shma A operator uchun birning shunday yoyilmasi mavjudki, (5) tenglik
o‘rinli. (5) ko‘rinishdagi spektral yoyilmani ixtiyoriy Gilbert fazosida ham
o‘rinli ekanligini 9.4- § da isbot qilamiz.
9.4-§. Spektral teorema
1-teorema. O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorning spektri haqiqiy sonlardan
iborat.
Isboti. Agar   0 bo‘lsa,     i kompleks sonning (  ,  - haqiqiy
sonlar) A operator uchun regulyar nuqta ekanligini ko‘rsatish kifoya.
A operatorning o‘z- o‘ziga qo‘shma ekanligiga asosan:
275
( A   I ) x  ( A   I  i I ) x, ( A   I  i I ) x)  A   I ) x   x   2 x
2
2
2
Demak,  A   I  operator quyidan chegaralangan:
 A  I  x    x
A  I
(1)
operatorning butun H da aniqlangan
mavjudligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, L fazo
 A  I 
A  I
1
teskarisi
operatorning
qiymatlaridan iborat qism fazo bo‘lsin. Agar L qism fazo H ning hamma yerida
zich bo‘lsa, (1) tengsizlikka ko‘ra  A   I 
1
mavjud bo‘lib, u butun H da
aniqlangan va chegaralangan operator, ya’ni  regulyar nuqtadir.
Endi L  H deb faraz qilaylik. Ravshanki, L fazo A   I operator uchun
inzariant qism fazo. U holda ixtiyoriy x  L va y  L uchun o‘rinli bo‘lgan
ushbu
 A   I  x, y    Ax, y     x, y    x, Ay    x, Ay     x, y    x,  A   I  y   0
tenglikdan L ham A   I operator uchun invariant qism fazo ekanligi kelib
chiqadi. Farazimizga ko‘ra L  H , ya’ni L    . Agar, z  L va z  
bo‘lsa, u holda
 A  I  z  L

L    .
Hosil bo‘lgan  A   I  z   tenglik (1) ga zid. Demak, L  H bo‘lishi
mumkin emas. Shunday qilib, o‘z-o‘ziga qo‘shma A operator uchun   A  R .
Faraz qilaylik, E  biror [a,b] segmentda aniqlangan birning yoyilmasi
bo‘lsin. Ma’lumki, [a,b] segmentda joylashgan  ,   ko‘rinishdagi barcha
oraliqlar to‘plami R yarim halqani (Kolmogorov, Fomin, [2], I bob, 5-§) tashkil
qiladi. Agar    ,    R bo‘lsa ushbu
E     E  E
tenglik bilan R yarim halqada aniqlangan operator qiymatli funksiyani hosil
qilamiz. Kiritilgan funksiya quyidagi xossalarga ega:
1) ixtiyoriy   R uchun E    proektor;
276
2
2) E     0 ;
3) agar 1 ,...,  k  R,  
k
i 1
i  R va i
i  
k
bo‘lsa, E      E  i  , ya’ni E    funksiya additiv.
i 1
Haqiqatan,
E *   E 
1)
E2   E  ,
va
chunki
E E  E E  E ;
2) E     E [ , )   0 ;
3)
1  1 , 1  , 2   2 , 2  va
1
2  
bo‘lsin (k=2 holni
qarayapmiz). Aniqlik uchun, 1 oraliq  2 dan chapda yotsin, ya’ni 1   2 .
Ravshanki, 1
 2  R bo‘lishi uchun 1   2 tenglikning bajarilishi zaruriy
shart.
U holda
E  1
2   E  E  E  E  E  E  E  1   E   2  .
2
1
2
1
1
1
Demak, R da aniqlangan E    funksiya additiv.
Hozirgacha biz E  birning yoyilmasi  parametr bo‘yicha chapdan
uzluksiz ekanligidan foydalanmadik. Quyida shundan foydalanib, E   
funksiya uchun 3) xossaning kengroq formada o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz.
1-lemma. E    sanoqli additiv (  -additiv) funksiya.
Isboti.
i  i , i  , i 1,2,...
Darhaqiqat
kesishmaydigan oraliqlar sistemasi va    ,   
n
natural son uchun
ixtiyoriy

i 1
ikkitasi
o‘zaro
i  R bo‘lsin. Ixtiyoriy n
 i   munosabatdan
i1
 E       E  E   E  E  E   
n
i 1
n
i
i 1
i
(2)
i
n
kelib chiqadi (umuman aytganda,
i 1
 i  R ya’ni
277
n
E   i 
 i 1 
ifoda hozircha
ma’noga ega emas). i i 1 oraliqlar o‘zaro kesishmaydi, demak, E  i i 1


proektorlarning ixtiyoriy ikkitasi o‘zaro ortogonal. U holda proektorlarning
n
xossasiga ko‘ra (9.3- § dagi 5-teorema)  E   i  ham proektor. Shunday qilib,
i 1
n
n   da  E  i  monoton o‘suvchi proektorlar ketma-ketligi va, demak, u
i 1
yaqinlashuvchidir.
Agar (2) tengsizlikda limitga (n  ) o‘tsak,

 E    E 
(3)
i
i 1
ni hosil qilamiz.
Agar teskari tengsizlik

 E    E 
(4)
i
i 1
o‘rinli ekanligini ko‘rsatsak, lemma isbotlangan bo‘ladi.
Ravshanki,    bo‘lsa, E     0 va (4) tengsizlik bajariladi.   
holni ko‘raylik. Agar    ,     bo‘lsa,    va       tengsizlikni
qanoatlantiruvchi   son topiladi. Ixtiyoriy   0 berilgan bo‘lsin. H Gilbert
fazosidan tayinlangan x0 vektorni olamiz. E birning yoyilmasi  n nuqtada
chapdan uzluksiz bo‘lgani uchun    n   n tengsizlikni qanoatlantiruvchi
shunday  n mavjudki,
 E  E  x  2 , n  1,2,...
n
 n
0
(5)
n
tengsizlik bajariladi. Agar ba’zi n lar uchun  n  a bo‘lsa,  n  a deb olamiz va
bu holda ham (5) tengsizlik saqlanib qoladi. n orqali  n  a bo‘lgan holda
  ,   intervalni va    a bo‘lgan holda [a,  ) oraliqni belgilaylik. U holda
n
n
 

n
n 1
n
oraliqlar
n
 a, b segmentga nisbatan ochiq to‘plamlar sistemasi va
tuzilishiga ko‘ra ular  ,   segmentni qoplaydi. Demak, n n1 sistemadan

278
 ,   ni qoplovchi  ,...,  ,chekli qism qoplama ajratib olishimiz mumkin.
n1
nk
Ravshanki,  n ,  n  , i  1, k oraliqlar  ,    oraliqni qoplaydi. Har bir i  1, k
1
i
uchun shunday  n ,  n    n ,  n 
i
i
i
i
 i  1, k  oraliqlar sistemasi ham
oraliqlar tanlashimiz mumkinki,  n ,  n
i
i
 ,   ni qoplaydi va ularning ixtiyoriy ikkitasi o‘zaro kesishmaydi. E   
funksiyaning chekli additivligi va monotonligini hisobga olsak,

E  ,        n ,  n 
k
i 1
i
i

(6)
tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan,  n ,  n    n ,  n  munosabatdan
i


i
i
i


E    ,      E    ,   
E  n  n  va E  n ,  n  proektorlar uchun
i
i
i
ni
i
ni
tengsizlikni
ni
hosil

(7)
ni
qilamiz.
(diqqat:
(7)
tengsizlikdan

 E ( n , n )    n , n  ) tengsizlik kelib chiqmaydi.
k
k
i
i 1
i
i 1
i
i
Chunki,  n ,  n  oraliqlar o‘zaro kesishishi mumkin bo‘lgani uchun
i
 E    ,   
k
ni
i 1
ni
ifoda proektor bo‘lmasligi mumkin. Biz „  “ munosabatni faqat proektorlar
uchun aniqlagan edik.
Agar ixtiyoriy ikkita P1 va P2 proektor uchun P1  P2 ekanligidan barcha
x  H uchun
Px
 P2 x
1
tengsizlik kelib chiqishini eslasak, (6) va (7)
tengsizliklardan ushbu natijani hosil qilamiz:


2
E  ,     x0   E  n ,  n  x0 
k
2
i 1


i
i


  E  n ,  n  x0   E  ni ,  n  x0
k
i 1
i
i
2
k
i 1
i
Demak,
279
2
 E   E  x0   ( E  E  ) x0    E  E   x0
2
k
2
ni
i 1
ni

n
k 1
2
n
Endi (5) tengsizlikdan foydalansak,
2
( E   E ) x0    E  E  E  E   x0 

2
n
n`
n
n
n
   E  E  x0    M

2
n
n 1
n
Bu yerda M - o‘zgarmas son, 
ixtiyoriy bo‘lgani uchun bu
munosabatdan
E  E x


2
0
   E  E  x0

n
n 1
2
(8)
n
kelib chiqadi. Agar (8) tengsizlikda     (chapdan) bo‘lsa, E ning chapdan
uzluksizligiga ko‘ra
E  E  x  E  E x .
2


r

0

0
  oraliqlar o‘zaro kesishmagani uchun E    proektorlar bir-biriga
i
i
ortogonal. Shuning uchun

 E   x
i 1
i
2
0

2
  E  i  x0 .
i 1
Bundan va (8) dan

E    x.0   E   n  x0 .
n 1

x0  H ixtiyoriy bo‘lgani uchun oxirgi tengsizlikdan E    va  E   i 
i 1
proektorlar orasida quyidagi munosabat o‘rinli:

E      E  n  .
(9)
n 1
(3) va (9) dan

E      E  n 
n 1
kelib chiqadi.
280
Natija. E    funksiya R yarim halqada aniqlangan va qiymatlari
proektorlardan iborat bo‘lgan  -additiv o‘lchovdir. R yarim halqani o‘z ichiga
olgan minimal  -halqani V orqali belgilaylik. Haqiqiy o‘zgaruvchining
funksiyalari nazariyasi kursidan ma’lumki, V halqa  a, b segmentda joylashgan
barcha Borel to‘plamlaridan iborat bo‘lib, Borel algebrasini hosil qiladi.
O‘quvchiga ma’lum bo‘lgan usul bilan R yarim halqada aniqlangan  -additiv
E    o‘lchovni V dagi  -additiv o‘lchovgacha davom ettirish mumkin. Mana
shu davom ettirish natijasida hosil bo‘lgan E    o‘lchov E a ,b birning
yoyilmasiga mos keluvchi spektral o‘lchov deyiladi.
Modomiki, spektral o‘lchov tushunchasi kiritilgan ekan, tabiiy ravishda
shu spektral o‘lchov bo‘yicha integral tushunchasini aniqlash mumkin.
Darhaqihat, f    funksiya  a, b cegmentda chegaralangan va Borel sinfiga
tegishli bo‘lsin. Masalan,  c, d  segment funksiyaning o‘zgarish sohasini o‘z
ichiga olsin: c  f     d . c, d  segmentni c  c0  c1  ...  cn  d nuqtalar
yordamida bo‘lakchalarga bo‘lamiz. f    Borel sinfiga tegishli funksiya
bo‘lgani uchun
   : ci 1  f     ci   B, i  1, n  1
va
 n   : cn1  f     cn   B .
Endi [c0 , c1 ], [c1 , c2 ), ..., [cn1 , cn ] bo‘lakchalarning har biridan bittadan
c1 , c2 , ..., cn nuqtalarni olib, quyidagi
n
Sn   ci E (i )
(10)
i 1
yig‘indini tuzamiz.
Ta’rif. Agar max ci 1  ci  0 bo‘lganda Sn operatorlar ketma-ketligi ci
1i  n
nuqtalarning bog‘liq bo‘lmagan holda biror S operatorga kuchli yaqinlashsa, S
operator f ( ) funksiyadan spektral o‘lchov bo‘yicha integral deyiladi va
281
quyidagicha belgilanadi:
b
S   f ( )dE .
a
1-ibora. Tayinlangan x, y  H uchun ( E x, y) skalyar ko‘paytma 
ning [a, b] segmentda aniqlangan va o‘zgarishi chegaralangan (umuman
b
aytganda, kompleks) funksiyasidir va V ( E x, y )  x  y .
a
Isboti. [a, b] segmentni chekli sondagi bo‘lakchalarga bo‘lib, hosil
bo‘lgan o‘zaro kesishmaydigan oraliqlarni 1 ,  2 ,...,  n orqali belgilaymiz. U
holda ( E x, y) funksiyaning  i oraliqdagi tebranishi ( E (i ) x, y) ga teng.
Demak,
b
n
n
a
i 1
i 1
V ( E x, y)  sup  ( E (i ) x, y)  sup  ( E (i ) x  y ,
bu yerda superemum barcha chekli bo‘linishlar bo‘yicha olinadi {E (i )}
proektorlar o‘zaro ortogonal bo‘lgani uchun
n
n
 E ( ) x   E ( ) x
i 1
2
i
i 1
i
2
 x .
2
Shunday qilib,
b
V ( E x, y)  x  y .*
a
 a, b segmentda uzluksiz
Natija.
f ( ) funksiya va { E } birning
yoyilmasi uchun barcha tayinlangan x, y  H larda ushbu
b
 f    d  E x, y 
a
integral mavjud.
b
Darhaqiqat,  f    d  E x, y  Stiltes integrali bo‘lib, uning mavjudligi
a
o‘quvchiga haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasi kursidan ma’lum
([HO‘FN], XI bob, 39- §).
b
Aslida  f    d  E x, y  integralning mavjud bo‘lishi uchun funksiyaga
a
282
yuqorida qo‘yilgan talabni susaytirish mumkin, lekin bizning maqsadimiz uchun
yuqoridagi natijaning o‘zi kifoya.
b
Endi  f    d  E x, y  ifodani x  H va y  H larning funksiyasi sifatida
a
qaraymiz, ya’ni quyidagi
b
 f    d  E .,. : H  H  C
a
b
akslantirishni o‘rganamiz. Agar B(x,y) =  f    d  E x, y  belgilash kiritsak,
a
quyidagi munosabatlarning o‘rinli ekanligi Stiltes integralining xossalaridan
bevosita kelib chiqadi:
1) B  x1  x2 , y   B  x1 , y   B  x2 , y  ;
2) B  x, y    B  x, y  ;
3) B  y, x   B  x, y  ;
4) shunday M > 0 mavjudki, B  x, y   M  x  y , x, y  H .
Misol uchun 4) ni tekshiraylik. f ( ) funksiya  a, b da uzluksiz bo‘lgani
uchun albatta chegaralangan:
f    M .
U holda
b
 f    d  E x, y   M V  E x, y  ,
a
b
a
demak, 1- iboraga ko‘ra
B  x, y   M  x  y .
Ta’rif. 1) -4) shartlarni qanoatlantiruvchi ikki o‘zgaruvchili V(x, u)
funksional Ermit formasi deyiladi.
2-ibora. Ixtiyoriy Ermit formasi uchun shunday yagona T o‘z-o‘ziga
qo‘shma chegaralangan operator topiladiki, barcha x, y  H lar uchun
B(x, y) = (Tx, y)
(11)
283
tenglik bajariladi.
Isboti.Tayinlangan y  H uchun B(x,y) ifoda x ga nisbatan chegaralangan
chiziqli funksional. Chiziqli funksionalning umumiy ko‘rinishi haqidagi Riss
teoremasiga ko‘ra yagona z  H topiladiki,
B  x, y    x, z  , x  H .
Har bir y  H uchun mos qo‘yilgan yagona z  H elementni z  Ty
orqali belgilaymiz. Ravshanki, T : H  H chiziqli operator. Agar
B  x, y    x,Ty   M  x  y
tengsizlikda x  Ty deb olsak,
Ty  M  Ty  y ,
2
ya’ni
Ty  M  y ,
demak, T- chegaralangan operator.
3) shartga ko‘ra
 x, ty   B  x, y   B  y, x    y,Tx   Tx, y    x,T * y  , x, y  H ,
ya’ni T- o‘z-o‘ziga qo‘shma operator.
Nihoyat, (11) tenglikni qanoatlantiruvchi T operatorning yagonaligini
ko‘rsatish uchun teskarisini faraz qilaylik:
B  x, y   T2 x, y   T1x, y  , x, y  H .
Demak,
T  T  x, y   0 .
1
2
Agar y  T1  T2  x deb olsak, barcha x  H uchun
T1  T2 x  0 ,
yani T1  T2
3-ibora. Ixtiyoriy f    haqiqiy uzluksiz funksiya
b
uchun  f  dE chegaralangan chiziqli va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator.
a
284
Isboti. Stiltes integralining mavjudligi haqidagi teoremaning isbotidan
farq qilmaydi.
b
Natija.   dE o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan chiziqli operatordir.
a
2-teorema
(spektral
teorema).
Har
qanday
o‘z-o‘ziga
qo‘shma
 a, b segmentda
chegaralangan T : H  H chiziqli operator uchun biror
aniqlangan birning shunday E  yoyilmasi mavjudki,
b
T    dE
a
tenglik o‘rinli.
Isboti. 1-teorema va 9.1-§ dagi 1 va 2-teoremalarga ko‘ra  T  haqiqiy
sonlar o‘qida joylashgan kompakt to‘plam. C  T   orqali  T  to‘plamda
aniqlangan haqiqiy uzluksiz funksiyalar fazosini belgilaylik. Q esa barcha
ko‘phadlar to‘plami bo‘lsin. Ixtiyoriy pt   Q uchun p(T) operator ko‘phadni
tuzib, ushbu  p T  x, y  skalyar ko‘paytmani ko‘ramiz. Agar
p T   max p  t 
(12)
t T 
formuladan (6-mashqqa qarang) foydalansak, tayinlangan x, y  H lar uchun
(p(T)x,y) ifoda Q da chiziqli chegaralangan funksional ekanligi kelib chiqadi.
Veyershtrass teoremasiga ko‘ra Q to‘plam C  T   fazoning hamma yerida
zich. Demak, Q to‘plamda aniqlangan
f  p    p  T  x, y 
chiziqli chegaralangan f funksionalni yagona usul bilan C  T   fazodagi
chiziqli chegaralangan funksionalgacha davom ettirish mumkin. Shunday qilib,
C  T   fazodagi chiziqli chegaralangan funksionalning umumiy ko‘rinishi
haqidagi
Riss-Markov-Kakutani
teoremasiga
ko‘ra,
(ushbu
teoremani
Kantorovich, Akilov [1] kitobining VI bob, 3-§ dan qarang)  T  to‘plamning
barcha Borel qism to‘plamlarida aniqlangan shunday  .; x, y  o‘lchov
285
mavjudki,
 p T  x, y    p    d   ; x, y 
 T 
tenglik o‘rinli. Agar p     1 deb olsak, oxirgi tenglikdan
d    ; x, y     T  ; x, y   x  y


T 
tengsizlik kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy M   T  Borel to‘plami uchun
  M ; x, y   x  y ;
(13)
tengsizlik o‘rinli (|  | o‘lchovning monotonligiga asosan).
Endi M to‘plamni tayinlangan, x, y  H elementlarni esa o‘zgaruvchi
hisoblab, ushbu   M ; x, y  ifodani qaraymiz.   M ; x, y   Ermit formasi.
1)  p    d    ; x1  x2 y  
Haqiqatan,
 T 
  p T  x1  x2  , y    p T  x1 , y    p T  x2 , y  
  p    d    ; x1 , y      ; x2 , y 
 T 
tenglikdan
  ; x1  x2 , y     ; x1 , y     ; x2, , y  ,
ya’ni
  M ; x1  x2 , y     M ; x1 , y     M ; x2 , y 
kelib chiqadi.
2)   M ; x, y     M ; x, y  tenglik ham shunday tekshiriladi.
3)   M ; x, y     M ; y, x  munosabat esa ushbu
 p T  x, y    x, p T  y  tenglikning natijasidir.
4) (13) tengsizlikka ko‘ra   M ; x, y  chegaralangan. Demak, 2- iboraga
ko‘ra Ermit formasini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
  M ; x, y    E  M  x, y  .
Bu yerda E(M)-o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operator. Agar
286
p     1 deb olsak,
 x, y    d   ; x, y     T  ; x, y    E  T   x, y  ,
 T 
ya’ni
E  T    1 .
Endi E(M) ning proektor ekanligini ko‘rsatamiz. Shu maqsadda ixtiyoriy
q  haqiqiy ko‘phadni olib, quyidagi yordamchi o‘lchov tuzamiz:
  M    q    d   ; x, y  .
M
U holda. p(T) va q(T) operatorlarning o‘zaro kommutativligidan
 p   d       p    q    d    ; x, y  
 T 
T 
  p  T  q  T  x, y    q  T  p T  x , y  
  p  T  x, q  T  y    p    d    ; x , q  T  y 
 T 
kelib chiqadi. Agar, E     E   ,    T   belgitash kiritsak,
 p    d       p    d  E    x, q T  y  .
 T 
O‘lchov
T 
nazariyasidagi
davom
ettirish
konstruksiyasidan
oxirgi
tenglikning faqat q  ko‘phadlar uchungina emas, balki ixtiyoriy haqiqiy
chegaralangan o‘lchovli funksiyalar uchun o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Xususan,  M   funksiya M to‘plamning xarakteristik funksiyasi bo‘lsa,
  M    q     M    d  E    x, y    E  M  x , q T  y  
 T 
  q T  E  M  x, y    q    d  E    E  M  x, y .
 T 
Demak, ixtiyoriy M, N Borel to‘plamlari uchun
EM
N  x, y    d  E    x , y  
M N
   M    d  E    x, y    E  N  E  M  x , y 
N
ya’ni
EM  N   EN EM  .
287
.
Agar M=N bo‘lsa, E(M)=(E(M))2. Shunday qilib, E(M) proektor. Ushbu
 E  M  x, y     M ; x, y 
o‘lchovning sanoqli additivligi va proektorlarning

tenglikdan
xossalariga ko‘ra E(M) ning sanoqli additivligi kelib chiqadi.
Nixoyat, E   operator funksiya  T  to‘plamda birning yoyilmasi
ekanligini ko‘rsatsak, spektral teorema isbot qilingan bo‘ladi, chunki
Tx, y    d   ; x, y    d  E    x, y  .
 t 
 T 
Bu tenglikdan E    birning yoyilmasi va f      uzluksiz bo‘lgani
  dE    mavjud va
uchun
 T 
T    dE   
 T 
tenglik o‘rinli.
E   birning yoyilmasi ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun E    ning
chapdan uzluksiz ekanligini ko‘rsatish kifoya. Ixtiyoriy 0  T  nuqtada
E  0  0  mavjud, chunki E   monoton o‘suvchi.
Agar 1  2  ... ketma-ketlik 0 ga chapdan yaqinlashsa va п  T 
bo‘lsa,
1 , 0  

i 2
 ,   .
1
i
E(M) ning sanoqli additivligiga ko‘ra
E  0   lim
E  n   E  0  0  .
n
Mashq uchun masalalar
(barcha operatorlar Gilbert fazosida aniqlangan).
1. Agar A va B operatorlarning kamida bittasi teskarilanuvchi bo‘lsa,
  AB     BA ekanligini ko‘rsating.
288
2. T operatorning spektri  T  bo‘lsa, T 2 operatorling spektrini toping.
3. T 1  T  munosabatni qanoatlantiruvchi T operator unitar operator
deyiladi. Unitar operatorning spektri kompleks tekislikdagi {z : z  1} birlik
aylanada yotishini ko‘rsating.
4. Proeksion operatorning spektrini toping.
5. O‘z-o‘ziga qo‘shma T operator uchun
T  sup    T 
 T 
tenglik o‘rinly ekanligini isbot qiling.
6. Agar n    haqiqiy koeffitsientli ko‘phad va T o‘z-o‘ziga qo‘shma
operator bo‘lsa,
pn T   sup pn   
 T 
munosabatni isbot qiling.
289
X BOB. TO‘LA UZLUKSIZ OPERATORLAR VA INTEGRAL
TENGLAMALAR
10.1-§. Banax fazolarida to‘la uzluksiz operatorlar
Banax fazolaridagi chiziqli operatorlarning eng muhim sinflaridan biri
to‘la uzluksiz operatorlardir. Bunday operatorlarning xossalari chekli o‘lchamli
fazolardagi chiziqli operatorlarning xossalariga yaqin bo‘lgani sababli ular
yaxshi o‘rganilgan sinfdir. Shu bilan birga to‘la uzluksiz operatorlar nazariyasi
juda muhim tatbiqlarga ega. Bu bobda to‘la uzluksiz operatorlar nazariyasini
o‘rganish bilan birga uning integral tenglamalarga tatbiqlarini ham keltiramiz.
Ta’rif. E Banax fazosini E1 Banax fazosiga akslantiruvchi T chiziqli
operator E dagi birlik sharni E1 dagi nisbiy kompakt to‘plamga aks ettirsa, u
holda T to‘la uzluksiz (yoki kompakt) operator deyiladi.
Demak, U1   x  E : x  1 bo‘lsa, u holda T U1  to‘plam E1 fazoning
kompakt qismi bo‘ladi.
Banax fazosida chegaralangan to‘plamning ta’rifidan quyidagi natija
bevosita kelib chiqadi:
T : E  E1 chiziqli operator to‘la uzluksiz bo‘lishi uchun ixtiyoriy
chegaralangan M  E to‘plamning tasviri T(M) nisbiy kompakt bo‘lishi zarur
va kifoya.
Misollar.
1. Chekli o‘lchamli Banax fazosida ixtiyoriy chiziqli operator to‘la
uzluksizdir. Darhaqiqat, bu operator chegaralangan bo‘lgani uchun u ixtiyoriy
chegaralangan to‘plamni chegaralangan to‘plamga aks ettiradi. Chekli o‘lchamli
fazoda esa ixtiyoriy chegaralangan to‘plam nisbiy kompaktdir.
2. Banax fazosi cheksiz o‘lchamli bo‘lsa, uzluksiz chiziqli operator to‘la
uzluksiz bo‘lmasligi ham mumkin. Masalan, l2 Gilbert fazosida Ix  x birlik
operatorni olamiz. Ravshanki, I- uzluksiz operator. Ammo I to‘la uzluksiz emas.
290
Haqiqatan, I operator U1 birlik sharni o‘zini-o‘ziga aks ettiradi, U1 esa nisbiy
kompakt emas. Buni isbotlash uchun l2 fazoda ortonormal bazis hosil qiluvchi
en n1 sistemani olamiz. Bu ketma-ketlik U1 sharda joylashgan va i  j uchun

ei  e j
Demak,
2
  ei  e j , ei  e j   ei
2
 ej
2
2
en n1 ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik

ajratib bo‘lmaydi, ya’ni U1 - nisbiy kompakt to‘plam emas.
3. Chiziqli uzluksiz T operator E Banax fazosini uning chekli o‘lchamli E0
qism fazosiga aks ettirsa, u holda bunday operator to‘la uzluksiz operatordir.
Haqiqatan, T operator E ning ixtiyoriy chegaralangan M qism to‘plamini E0 ning
chegaralangan va, demak, nisbiy kompakt (chunki E0 chekli o‘lchamli) qism
to‘plamiga aks ettiradi.
H Gilbert fazosida biron H0 qism fazoga proektor to‘la uzluksiz bo‘lishi
uchun H0 ning chekli o‘lchamli bo‘lishi zarur va kifoya.
4. C  a, b Banax fazosida quyidagi chiziqli operatorni olamiz:
b
Tx  y  s    K  s, t  x  t  dt
a
Agar K(s,t) funksiya  a, b   a, b   s, t  : a  s  b, a  t  b kvadratda
chegaralangan va uning uzilish nuqtalari ushbu
t  k  s  , k  1,2,..., n
egri chiziqlarda joylashgan bo‘lib, k uzluksiz funksiyalar bo‘lsa, u holda T
operator to‘la uzluksiz bo‘ladi.
Bu tasdiqni isbotlaymiz. Yuqoridagi T operatorning ta’rifidan integralning
mavjudligi, ya’ni y(s) funksiyaning aniqlanganligi bevosita kelib chiqadi. K(s,t)
ning chegaralanganligiga asosan
M  sup K  s, t   
a t , s b
[a,b][a,b] kvadratda G to‘plamni quyidagicha aniqlaymiz: agar (s,t) nuqta
uchun
291
t  k  s  

12Mn
tengsizlik kamida bitta k =1, 2, . . . , n uchun bajarilsa, (s,t) nuqtani G ning
elementi deymiz. Ravshanki, G-ochiq to‘plam. Endi ushbu
Gs 
 

t : t  k  s  
   a, b 
12Mn 
k 1 
n
to‘plamni olamiz.
G to‘plamning [a, b][a, b] kvadratdagi to‘ldiruvchisini F bilan
belgilaymiz, ya’ni
F   a, b   a, b \ G .
F to‘plam yopiq (chunki G-ochiq to‘plam) va chegaralangan, ya’ni F kompakt
to‘plam. K  s, t  funksiya F to‘plamda uzluksiz bo‘lgani uchun K  s, t  tekis
uzluksiz (II-bobdagi Kantor teoremasiga asosan). Demak, shunday   0
mavjudki,
s  s  t  t  
tengsizlikni qanoatlantiruvchi
 s, t ,  s, t  F
nuqtalar uchun quyidagi
tengsizlik o‘rinli:
K  s, t    K  s, t   

3 b  a 
.
So‘ng s  s   munosabat bajarilganda ushbu y  s   y  s  qiymatni
baholaymiz:
b
b
a
a
y  s   y  s    K  s, t  x  t  dt   K  s, t  x t  dt 
b
  K  s, t   K  s, t   x  t  dt .
a
Endi P orqali G  s G  s  to‘plamni belgilaymiz. U holda
y  s   y  s    K  s, t   K  s, t   x  t  dt 
P
292
 K  s, t   K  s, t   x t  dt
 a ,b \ P
P to‘plam G  s  va G  s  to‘plamlarning yig‘indisi bo‘lgani uchun P ning
o‘lchovi G  s  va G  s  to‘plamlarning o‘lchovlarining yigindisidan katta
emas. G(s) to‘plamning aniqlanishidan ko‘rinib turibdiki, uning o‘lchovi l(G(s))
uchun ushbu
l G  s   n  2 

12Mn

tengsizlik o‘rinli. Demak, P ning o‘lchovi
3M


6M
sondan katta emas. Shuning
uchun

2
x  t   2M 

 x   a, b  \ P
 K  s, t   K  s, t   x(t ) dt  max
 
3M
3
t a ,b
P
to‘plamda esa K  s, t   K  s, t  

 a ,b\ P


3 b  a 
K  s, t   K  s, t   x  t  dt 

3 b  a 
 b  a  

3
munosabat o‘rinli, demak,

3  b  a  a ,b\ P
x  t  dt  max x  t  
t a ,b
.
 x
Shunday qilib, s  s   tengsizlikdai
y  s   y  s    x
(1)
munosabat kelib chiqadi, ya’ni y(s) funksiya uzluksiz. Demak, T operator C[a,b]
fazoni o‘zini-o‘ziga aks ettiradi. So‘ng (1) tengsizlikdan ko‘rinib turibdiki,
C[a,b] fazoda
U1   x  t  : x  1
birlik sharni olsak, u holda ixtiyoriy x U1 uchun s  s   bo‘lganda ushbu
Tx  s   Tx  s   
tengsizlik o‘rinli, ya’ni TxxU tekis darajada uzluksiz funksiyalar sistemasi.
1
Nihoyat, x U1 uchun
293
b
y  sup y  s   sup  K  s, t   x  t  dt  M   b  a 
s a ,b
s a ,b a
ya’ni TxxU - tekis chegaralangan funksiyalar sistemasidir.
1
2.8-§ dagi Arsela teoremasiga asosan
TxxU -
nisbiy kompakt
1
to‘plamdir.
5. Yuqoridagi 4-misolda ko‘rilgan T operatorga qaytib, K(s,t) funksiyani
t>s bo‘lganda nolga teng deb olamiz, t<s bo‘lganda esa K(s,t) uzluksiz deb
hisoblaymiz. U holda 4-misolning shartlari K(s,t) funksiya uchun bajariladi,
chunki K(s,t) ning uzilish nuqtalari faqat birgina t=s to‘g‘ri chiziqda joylashgan
bo‘lishi mumkin.
t>s bo‘lganda K(s,t)=0 munosabatni hisobga olsak,
s
Tx  y  s    K  s, t  x  t  dt .
a
Bu operator chiziqli Volterra operatori deyiladi.
10.2- §. To‘la uzluksiz operatorlarning xossalari
E Banax fazosi bo‘lib, {Tn} ketma-ketlik E ni o‘zini-o‘ziga aks ettiruvchi
chiziqli operatorlar ketma-ketligi bo‘lsin.
1-teorema. Agar to‘la uzluksiz operatorlarning {Tn} ketma-ketligi biror T
operatorga norma bo‘yicha yaqinlashsa, u holda, T ham to‘la uzluksiz
operatordir.
Isboti. E fazodagi birlik shardan ixtiyoriy  xn n1 ketma-ketlikni olamiz. T

operatorning to‘la uzluksizligini ko‘rsatish uchun Txn n1 ketma-ketlikdan

yaqinlashuvchi bo‘lgan qism ketma-ketlik ajratib olish mumkinligini ko‘rsatish
kifoya.
T1
operator
to‘la
uzluksiz,
yaqinlashuvchi
294
demak
T1xn n1

ketma-ketlikdan
T1x1  ,T1x2  ,...,T1xn  ,...
1
2
1
x  ketma-ketlik x 
1
n
qism ketma-ketlikni ajratib olish mumkin, bu yerda

ketma-ketlikning qism ketma-ketligidir. Endi T2 xn1

n

n 1
ketma-ketlikni olamiz.
  ketma-ketlikdan shunday x  qism
T2 to‘la uzluksiz bo‘lgani sababli xn 
1
2
n
ketma-ketlik ajratish mumkinki, ushbu
T2 x1  ,T2 x2  ,...,T2 xn  ,...
2
2
2
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Shu tarzda davom ettirib, quyidagi ketma-ketliklar sistemasini hosil
qilamiz:
x1  , x2  ,..., xn  ,...
1
1
1
x1  , x2  ,...,, xn  ,....
2
2
2
.............................
................................
x1  , x2  , x3  ,..., xn  ,...
k
k
k
k
..............................
Bu yerda har bir ketma-ketlik o‘zidan oldingi ketma-ketlikning qism

 yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir.

ketma-ketligidir va ixtiyoriy k uchun Tk xn k 
n 1
Yuqoridagi ketma-ketliklar sistemasidan diagonal elementlarni olib, ushbu
x1  , x2  , 3 , ..., xn  ,...
1
2
3
n
ketma-ketlikni hosil qilamiz. Ixtiyoriy m natural son uchun yangi hosil bo‘lgan
ketma-ketlik birinchi m ta hadni hisobga olmaganda
x1  , x2  ,..., xn  ,...
m
m
m

ketma-ketlikning qism ketma-ketligidir. Demak, ixtiyoriy m uchun Tm xn n 
ketma-ketlik yaqinlashuvchi. Endi
 
ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun
 
Txn 
n
Txn 
n
295


n 1

n 1
ketma-ketlik yaqinlashuvchi

n 1
ketma-ketlikning fundamental
ekanligini isbotlash kifoya (chunki E-to‘la fazo).
{xn} ketma-ketlik birlik shardan olinganligi tufayli xn  1 munosabat
ixtiyoriy n uchun o‘rinli. {Tk} ketma-ketlik T operatorga norma bo‘yicha
yaqinlashgani uchun shunday k0 natural son mavjudki, ushbu T  Tk 


3
tengsizlik barcha k>k0 uchun o‘rinli. Tk xn  }  ketma-ketlik yaqinlashuvchi
n
n 1
bo‘lgani tufayli, u fundamentaldir, ya’ni shunday N son mavjudki, ushbu
Tk xn   Tk xm( m ) 
n

3
tengsizlik ixtiyoriy n>N va m>N sonlar uchun bajariladi.
Demak, m, n>N uchun
Txn   Txm   Txn   Tk xn   Tk xn   Tk xm  
n
m
 m
n
 m
 T  Tk  xn
Tx 
n
n
n
n
 Tk xm  Txm
Shunday qilib,
n

n 1


3
m
m
 T  Tk  xm

.
yaqinlashuvchi ketma-ketlik, ya’ni T-to‘la
uzluksiz.
Natija. Normalangan L(E) fazoda to‘la uzluksiz operatorlar yopiq qism
fazo hosil qiladi.
Darhaqiqat, to‘la uzluksiz operatorlarning chiziqli kombinatsiyasi ham
to‘la uzluksizligi bevosita tekshiriladi. Chunki, agar
A, B  E1 kompakt
to‘plamlar bo‘lsa, u holda  x, y    x   y   ,   R  aks ettirish uzluksiz
bo‘lgani sababli,  A   B to‘plam ham kompaktdir. Bu qism fazoning operator
normasiga nisbatan yopiqligi 1-teoremadan kelib chiqadi.
2-teorema. T operator E Banax fazosida to‘la uzluksiz, B esa shu fazoda
chegaralangan operator bo‘lsa, u holda TB va BT operatorlar to‘la uzluksizdir.
Isboti. U1  E birlik shar bo‘lsa, u holda B U1  chegaralangan to‘plamdir
(chunki B- chegaralangan operator). Demak, TB U1  -nisbiy kompakt to‘plam,
ya’ni TB-to‘la uzluksiz. T to‘la uzluksiz bo‘lgani uchun T U1  -nisbiy kompakt
to‘plam. B operator uzluksiz bo‘lgani uchun ham BT U1  nisbiy kompaktdir,
296
ya’ni BT to‘la uzluksiz operator.
Natija. Cheksiz o‘lchamli normalangan fazoda to‘la uzluksiz T operator
chegaralangan teckari operatorga ega emas.
Darhaqiqat, aks holda birlik operator I  T 1T to‘la uzluksiz bo‘lar edi.
Demak, cheksiz o‘lchamli fazoda birlik shar nisbiy kompakt to‘plam bo‘lar edi.
Bu esa quyidagi lemmaga zid.
Lemma. (F. Riss lemmasi). Normalangan cheksiz o‘lchamli E fazoda
chiziqli erkli
x1, x2 ,..., xn ,...
elementlarni olib, En orqali
x1, x2 ,..., xn
elementlarning chiziqli qobig‘ini belgilaymiz. U holda quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvchi y1, y2 ,..., yn ,... ketma-ketlik mavjud:
1)
yn  1
yn  En
2)
  yn , En1  
3)
1
2
bu
yerda
 ( yn , En1 )  inf yn  x .
xEn 1
Isboti. u1 sifatida
x1
x1
vektorni olamiz;  xn  sistema chiziqli erkli
bo‘lgani uchun xn  En1 Ixtiyoriy chekli o‘lchamli qism fazo yopiq bo‘lgani
tufayli   xn , En1     0 .
En1 fazodan xn  x0  2   shartni qanoatlantiruvchi x0 vektorni tanlab
olamiz (inf ning xossalariga asosan). Endi yn 
xn  x0
 En vektorni olamiz.
xn  x0
Uning uchun 1) va 2) shartlarning bajarilishi ravshan. Ushbu
    xn , En1   inf xn  x  inf ( xn  x0 )   x  x0  
xEn 1
xEn 1
   xn  x0 , En1  x0     xn  x0 , En1 
munosabatga asosan
   xn  x0 , En1   1
, En1  

 .
x

x
x

x
2

2
n
0
n
0


 xn  x0
  yn , En1    
Demak, yn vektor uchun 3) shart ham bajariladi.*
Lemmadan ko‘rinib turibdiki, cheksiz o‘lchamli normalangan fazaning birlik
297
sharida
  yn1, yn   yn1  yn 
1
2
tengsizlikni qanoatlantiradigan
 yn n1

ketma-ketlik mavjud, ya’ni birlik shar nisbiy kompakt to‘plam emas.
3-teorema. E, F Banax fazolari bo‘lsin. T : E  F chiziqli operator to‘la
uzluksiz bo‘lishi uchun uning qo‘shma operatori T *: F   E to‘la uzluksiz
bo‘lishi zarur va kifoyadir.
Isboti. T : E  F to‘la uzluksiz operator bo‘lsin. F' fazoning birlik
sharidan biror {yn} ketma-ketlikni olamiz. F fazoda fn chiziqli funksionalni
quyidagicha aniqlaymiz:
f n  x   x, yn , x  F
 fn
Ravshanki,
to‘plam har bir
x f
nuqtada chegaralangan:
fn  x   x .
Ushbu
f n  x   f n  x0   x  x0
tengsizlikdan  f n  sistemaning tekis
darajada uzluksizligi kelib chiqadi.
U1 to‘plam E fazodagi birlik shar bo‘lsa, T U1  to‘plam F fazoda nisbiy
kompaktdir. Demak,  f n  funksionallar sistemasi T U1  kompakt to‘plamda
tekis darajada uzluksiz va uning har bir nuqtasida bu sistema birgalikda
chegaralangan. Askoli teoremasiga (4.1- §, 3-teorema) asosan T U1  to‘plamda
 
tekis yaqinlashuvchi bo‘lgan f ni qism ketma-ketlik mavjud. Ushbu

T * yn j  T * yri  T * yni  yni
  sup  x,T *  y  y   
nj
xU1
ni
 sup  Tx, yn j  yni   sup f ni (Tx)  f ni Tx   0
xU1
xU1
i , j 

 ketma-ketlikning fundamentalligi kelib chiqadi. E'
to‘la bo‘lgani uchun T * y  yaqinlashuvchi, ya’ni T*-to‘la uzluksiz.
munosabatlardan T * yni
ni
T* to‘la uzluksiz bo‘lsa, T ham to‘la uzluksiz bo‘lishi shunga o‘xshash
isbotlanadi.
Paragrafni to‘la uzluksiz operatorlarning xos qiymatlarini o‘rganish bilan
298
yakunlaymiz. Tx   x tenglamani olamiz.
4-teorema. E Banax fazosida aniqlangan to‘la o‘zluksiz T operator va
ixtiyoriy musbat  son berilgan bo‘lsin. T operatorning absolyut qiymati 
dan katta bo‘lgan xos qiymatlaridan iborat to‘plamni  bilan belgilaymiz. U
holda  ning elgmentlariga mos keluvchi chiziqli erkli xos vektorlarning soni
cheklidir.
Isboti.  to‘plamdan biror 1, 2 ,..., n ,... ketma-ketlik tanlab olamiz
(ular orasida tenglari ham bo‘lishi mumkin), ya’ni har bir n son T ning xos
qiymati va n   . Endi ularga mos keluvchi x1, x2 ,..., xn xos vektorlarning
chiziqli erklilarining soni cheksiz deb faraz qilaylik. En orqali x1, x2 ,..., xn
vektorlarning chiziqli qobig‘ini belgilaymiz. Yuqoridagi F. Riss lemmasiga
asosan ushbu
1) yn  1, 2) yn  En , 3)   yn , En1   inf yn  x 
xEn 1
1
2
shartlarni qanoatlantiruvchi  yn n1 ketma-ketlik mavjud. Ixtiyoriy n natural son

uchun ushbu
yn
n

yn
n

1
n

1

y 
munosabatlar o‘rinli, ya’ni  n  chegaralangan ketma-ketlik. T to‘la uzluksiz
 n 


  y 

bo‘lgani uchun T  n  
ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma


  n  n1
ketlikni ajratib olish mumkin.
n


So‘ngra yn  En bo‘lgani uchun  yn   k xk  . Bundan
k 1


n
n
 y  n  Tx
x

T  n    k k   k k k   k k xk   n xn  yn  zn .
n
k 1
k 1 n
 n  k 1 n
Bu yerda
299


zn   k  k  1xk  En1
k 1
 n

n 1
Demak, ixtiyoriy p, q  p  q  natural sonlar uchun ushbu
y 
y 
1
T  p   T  q   y p  z p   yq  z q   y p   y q  z q  z p  
 
 
2
 p
 q
  y  
tengsizlik o‘rinli (chunki yq  zq  z p  E p1 ). Ya’ni T  n   ketma-ketlikdan
  n  
hech qanday yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikni ajratib olish mumkin emas. Bu
esa ziddiyatga olib keladi. Shuning uchun x1, x2 ,..., xn ,... vektorlar sistemasining
faqat chekli qismigina chiziqli erkli bo‘lishi mumkin.
1-natija. Banax fazosidagi to‘la uzluksiz operatorning noldan farqli xos
qiymatiga mos keluvchi chiziqli erkli xos vektorlarining soni cheklidir.
2-natija. Ixtiyoriy to‘la uzluksiz operator uchun  to‘plam cheklidir.
Xususan, Banax fazosidagi to‘la uzluksiz operatorning xos qiymatlarining
soni ko‘pi bilan sanoqlidir va ularning modullarini kamayish tartibida yozish
mumkin:
1  2  ...  n  ...
Agar bu ketma-ketlik cheksiz bo‘lsa, u nolga intiladi.
10.3- §. Gilbert fazosida to‘la uzluksiz operatorlar
Gilbert fazosidagi to‘la uzluksiz operatorlar ko‘pgina qo‘shimcha
xossalarga egadir. Bunda Gilbert fazosi o‘z-o‘ziga qo‘shma fazo ekanligi katta
rol o‘ynaydi. Quyidagi teoremadan Gilbert fazosida to‘la uzluksiz operatorning
boshqa teng kuchli ta’rifi kelib chiqadi. Bu paragrafda H separabel Gilbert
fazosi deb faraz qilamiz.
1-teorema. H Gilbert fazosidagi T operator to‘la uzluksiz bo‘lishi uchun
u ixtiyoriy sust yaqinlashuvchi ketma-ketlikni kuchli yaqinlashuvchi ketma300
ketlikka aks ettirishi zarur va kifoyadir.
Isboti. Zarurligi. T : H  H to‘la uzluksiz operator bo‘lib, {xn} ketmaketlik x  H elementga sust yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda {xn} ketma-ketlik
norma bo‘yicha chegaralangan (8.3-§, 1- teorema), demak, {Txn} ketma-ketlik
nisbiy kompaktdir, ya’ni uning ixtiyoriy cheksiz qismidan kuchli yaqinlashuvchi
qism ketma-ketlik tanlab olish mumkin.
T uzluksiz bo‘lgani uchun {Txn} ketma-ketlnk Tx elementga sust
yaqinlashuvchidir, ya’ni
Txn  ketma-ketlik faqatgina yagona limit nuqtaga
ega. Demak, {Txn} ketma-ketlik Tx elementga kuchli yaqinlashuvchidir, aks
holda Tx dan farqli nuqtaga kuchli (va demak, sust) yaqinlashuvchi qism ketmaketlik tanlab olish mumkin bo‘lar edi.
Kifoyaligi. T operator ixtiyoriy sust yaqinlashuvchi ketma-ketlikni kuchli
yaqinlashuvchi ketma-ketlikka aks ettirsin deb faraz qilaylik. Biror cheksiz M
to‘plam H fazoda chegaralangan bo‘lsa, 8.4-§ dagi 2-teoremaning natijasiga
asosan undagi ixtiyoriy cheksiz to‘plamdan sust yaqinlashuvchi ketma-ketlik
ajratish mumkin. Farazimizga asosan bu sust yaqinlashuvchi ketma-ketlikni T
operator kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka aks ettiradi, ya’ni T(M)-nisbiy
kompakt to‘plam.
Natija. T : H  H operator to‘la uzluksiz, {xn} ketma-ketlik x elementga
sust yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda
Txn , xn  n
Tx, x  .

Isboti. Ixtiyoriy n natural son uchun
Txn , xn   Tx, x   Txn , xn   Tx, xn   Tx, xn   Tx, x   Txn  Tx, xn  
 Tx, xn  x   xn  Txn  Tx  Tx, xn  x 
1-teoremaga asosan {xn} ketma-ketlik x ga sust yaqinlashgani uchun {Txn}
ketma-ketlik Tx ga kuchli yaqinlashadi, ya’ni Txn  Tx  0 va 8.3-§ dagi 1teoremaga asosan
xn
chegaralanganligi sababli
xn  Txn  Tx  0 ketma-
ketlik x ga sust yaqinlashishini hisobga olsak, ixtiyoriy
301
yH
uchun
 y, xn  x   0 xususan, Tx, xn  x  0 .
Demak,
Txn , xn   Tx, x   0 .*
Endi biz o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lgan to‘la uzluksiz operatorlarni
batafsilroq o‘rganamiz. Xususan, bunday operatorlar uchun chiziqli algebra
kursidan
ma’lum
bo‘lgan
matritsalarni
diagonal
ko‘rinishga
keltirish
teoremasiga o‘xshash teoremani isbotlaymiz. Avval quyidagi ikki lemmani
keltiramiz.
1-lemma. H kompleks Gilbert fazosi bo‘lib, T undagi o‘z-o‘ziga qo‘shma
operator bo‘lsin. U holda bu operatorning xos qiymatlari haqiqiy bo‘lib, har xil
xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlar ortogonaldir.
Isboti.   C son T operator uchun xos qiymat bo‘lsa, u holda
Tx   x, x  0 ,
demak,
  x, x   Tx, x    x,Tx    x,  x     x, x 
bu yerda  x, x   x  0 bo‘lgani uchun    , ya’ni  - haqiqiy son.
2
Endi  ,       sonlar T operatorning xos qiymatlari bo‘lib, x va y mos
ravishda ularning xos vektorlari bo‘lsin. Bu holda
  x, y   Tx, y    x,Ty    x,  y     x, y 
   bo‘lgani uchun (x, y)= 0, ya’ni x  y.
2-lemma. T o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan chiziqli operator va
Q  x   Tx, x  bo‘lsin. Agar ushbu
Q  x   Tx, x 
funksional birlik sharning x0 nuqtasida maksimumga ega bo‘lsa, u holda
 x0 , x   0
munosabatdan Tx0 , x    x0 ,Tx   0 tenglik kelib chiqadi.
Isboti. Ravshanki, x0  1 . Darhaqiqat, agar x0  1 bo‘lsa, u holda
302
 x   x
x 
1
Q  0    T 0 , 0   2  T0 , x0    Tx0 , x0   Q  x0 
x0
 x0   x0 x0 
munosabat Q  x0  maksimal qiymat ekanligiga zid bo‘lar edi
(chunki
x0
 1).
x0
a-ixtiyoriy haqiqiy son bo‘lsin. Ushbu
y
x0  ax
1  a2 x
2
elementni olsak, x0  1 va  x0 , x   0 bo‘lgani sababli y  1. Endi
Q y 
1
1 a
2
x
2
Q  x0   2a Re Tx0 , x   a 2Q  x  
ekanligini hisoblash oson, bu yerda Re Tx0 , x  son Tx0 , x  ning haqiqiy qismi.
Olingan a son cheksiz kichik bo‘lganda
Q  y   Q  x0  2a Re Tx0 , x    O  a 2  .
Bu munosabatdan ko‘rinib turibdiki, agar Tx0 , x   0 bo‘lsa, u holda a
sonning modulini o‘zgartirmagan holda ishorasini shunday tanlash mumkinki,
Q  y   Q  x0  tengsizlik bajariladi. Bu esa Q  x0  ning maksimal ekanligiga
zid. Demak, Tx0 , x   0 .*
2-teorema. (Gilbert-Shmidt teoremasi) H Gil’bert fazosida to‘la uzluksiz
o‘z-o‘ziga qo‘shma chizikli T operator berilgan bo‘lib, n  uning barcha xos
qiymatlari bo‘lsin. H fazoda shu xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlardan
iborat shunday ortonormal n  sistema mavjudki, ixtiyoriy x  H element
ushbu
x   ckk  x
(1)
k
ko‘rinishda yagona usulda yoyiladi, bu yerda x  ker T , ya’ni Tx  0 .
Agar shu bilan birga n  cheksiz sistema bo‘lsa, u holda lim n  0 .
n
303
Isboti. Xos qiymatlardan iborat n  ketma-ketlikni absolyut qiymati
kamayishi tartibida yozib: 1  2  ...  n  ... , bularga mos ravishda n 
sistemani induksiya bo‘yicha quyidagicha tuzamiz.
2- lemmadagi
Q  x   Tx, x 
funksionalni olib, uni birlik sharda maksimumga erishishini isbotlaymiz. Ushbu
  sup Tx, x 
x 1
belgilashni kiritsak, u holda supremumning xossasiga asosan shunday
x1, x2 ,..., xn ,..., xn  1, n  1,2,3,...
ketma-ketlik mavjudki,
lim Txn , xn    .
n
Birlik shar sust kompakt bo‘lgani sababli (8.4-§ dagi 2- teorema)  xn 
  qism ketma-
ketma-ketlikdan biror y  H elementga sust yaqinlashuvchi xnk
ketlikni ajratish mumkin. 8.4-§, 2-teorema isbotining b) qismiga asosan y  1 .
1-teoremaning natijasiga asosan


lim Txnk , xnk  Ty, y  ,
k 
demak, Ty, y    .
Ko‘rinib turibdiki,
y  1 , aks holda (ya’ni
y  1 bo‘lsa) y 
y
,
y
element birlik sharning elementi bo‘lib, Ty, y    ziddiyat hosil bo‘lar edi.
Endi 1 , sifatida shu u elementni olib, uning T operator uchun xos vektor
ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun T1 , elementning
1  c fazolar bo‘yicha ortogonal yoyilmasini olamiz, ya’ni

T1  1  1 ;
bu yerda 1  1 , 2- lemmaga asosan 1  T1 , demak, 1   .
304
1   C
va
Bundan
T1  1
va
T1,1   1 ,1    1  
2
bo‘lgani sababli    ; absolyut qiymat bo‘yicha eng katta xos qiymat 1
bo‘lgani uchun   1 . Shunday qilib, T1  
1 1 va 1   .
Endi 1, 2 ,..., n xos qiymatlarga mos keluvchi 1,2 ,...,n vektorlar
topilgan deb faraz qilaylik. Bu vektorlarning chiziqli qobig‘ini M n bilan
belgilaymiz. Ushbu
Tx, x  funksionalni M n qism fazoning birlik sharida
ko‘ramiz. M n qism fazo o‘z-o‘ziga ko‘shma T operatorga nisbatan invariant
bo‘lgani uchun M n qism fazo ham invariantdir. Yuqoridagi mulohazani M n
qism fazoga qo‘llasak, M n qism fazoda T operatorning n1 xos vektori topiladi.
Endi ikki hol bo‘lishi mumkin:
1) biror n0 qadamdan so‘ng hosil bo‘lgan M n0 qism fazodagi ixtiyoriy x
uchun
Tx, x   0 ;
2) ixtiyoriy n uchun Tx, x   0 shartni qanoatlantiruvchi x  M n element
mavjud.
Birinchi holda 2-lemmaga asosan (Tx,x)=0 munosabatdan (Tx,Tx)=0
tenglik kelib chiqadi (chunki bu holda lemmadagi x0 sifatida ixtiyoriy x  M n0
elementni olish mumkin). Demak, ixtiyoriy x  M n uchun Tx   , ya’ni M n0
qism fazo   0 xos qiymatga mos keluvchi xos vektorlardan iborat, ya’ni n
sistema cheklidir.
Ikkinchi holda cheksiz n  sistema hosil bo‘lib, ularga mos keluvchi n
sonlar noldan farqlidir. Endi ushbu lim n  0 munosabatni isbotlaymiz.
n
Ixtiyoriy x element uchun cn   x,n  sonlar x elementning n  ortonormal
305

sistemasi bo‘yicha Fure koeffitsientlari bo‘lgani sababli
 c yaqinlashuvchi
n 1
2
n
qatordir. Xususan, ixtiyoriy x element uchun  x,n   0 . Demak, n  ketmaketlik  elementga sust yaqinlashuvchidir. 1-teoremaga asosan Tn  ketmaketlik  elementga norma bo‘yicha yaqinlashadi, ya’ni Tn  nn  n  0 .
n
Nihoyat, (1) yoyilmani isbotlaymiz.
M orqali 1,2 ,...,n ,... vektorlarning chiziqli qobig‘ining yopilmasini


belgilaymiz. Bunda M 
M n .
n 1
Ravshanki,
har
qanday
n
uchun
M   M n . Demak,
ixtiyoriy
x  M   x  0  va n uchun
 x x 
2
2
2
(Tx, x)   T
,
Ty, y   x  n1 x .

  x  max
y 1
 x x 
yM n
Bunda n ixtiyoriy bo‘lgani va n  0 tufayli
Tx,Tx  0 .
So‘ng 2-lemmani M  qism fazoga qo‘llasak, yuqoridagi munosabatdan
Tx,Tx  0 tenglik, ya’ni Tx'=0 kelib chiqadi. Demak, M   ker T .
Bundan, bevosita ko‘rinib turibdiki, ixtiyoriy x vektor ushbu

x   ckk  x, x  ker T
k 1
ko‘rinishga egadir. Bu yerda ck koeffitsientlar yagona ravishda topilishi k 
sistemaning M fazoda ortogonal bazisligidan kelib chiqadi, bundan esa x' ham
yagonaligi ko‘rinib turibdi.
Isbotlangan
teorema
keyingi
paragraflarda
tenglamalar nazariyasida juda muhim rol o‘ynaydi.
306
ko‘riladigan
integral
10.4-§. Chiziqli integral tenglamalar
Funksional fazoda (masalan, C[a,b,], L2[a, b,], C2[a,b]) tenglama berilgan
bo‘lib, noma’lum element funksiyadan iborat bo‘lsa, bunday tenglama
funksional tenglama deyiladi. Agar funksional tenglamada noma’lum funksiya
integral ostida bo‘lsa, u holda tenglama integral tenglama deyiladi. Masalan,
ushbu
b
  s    K  s, t  g   t  , t dt
a
tenglama  ga nisbatan integral tenglamadir, bu yerda K  s, t  , g  s, t  -berilgan
funksiyalar.
Integral tenglamadagi ifoda noma’lum funksiyaga nisbatan chiziqli
bo‘lgan holda tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi.
Quyidagi tenglamalar chiziqli integral tenglamalarga misoldir:
b
 K  s, t  t  dt  f  s   0 ,
(1)
a
b
  s    K  s, t   t  dt  f  s  ,
(2)
a
bu yerda  -noma’lum funksiya, K  s, t  va f  s  -ma’lum funksiyalar, (1) va
(2) tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur Fredgolm tenglamalari
deyiladi.
Xususan, K  s, t  funksiya t  s qiymatlar uchun ushbu
K  s, t   0
shartni qanoatlantirsa, u holda (1) va (2) tenglamalar mos ravishda ushbu
s
 K  s, t  t  dt  f  s   0 ,
(3)
a
s
  s    K  s, t   t  dt  f  s 
a
307
(4)
ko‘rinishlarga ega bo‘ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volterra
tenglamalari deyiladi. Volterra tenglamalari Fredgolm tenglamalarining xususiy
holi bo‘lsa-da, ular alohida o‘rganiladi, chunki Volterra tenglamalari o‘ziga xos
bo‘lgan xossalarga ega.
Agar (1), (2), (3), (4) tenglamalarda f funksiya nolga teng bo‘lsa, bu
tenglamalar bir jinsli deyiladi.
Misol. Ushbu
s
f s  
 t 
0 s  t

dt  0    1, f  0   0 
tenglama Abel tenglamasi deyiladi.
Bu tenglama Volterra tenglamasining xususiy holi bo‘lib, 1823 yilda N.
Abel tomonidan ko‘rilgan.
Birinchi tur Fredgolm tenglamalarini o‘rganish ikkinchi tur tenglamalarga
qaraganda ancha qiyinroq. Masalan, bunday tenglamalar har doim yechimga ega
bo‘lavermaydi.
Misol sifatida ushbu
s
f  s      t  dt
0
tenglamani C  a, b fazoda ko‘rsak, bu tenglama birinchi tur Fredgolm
tenglamasi bo‘lib, unda
1, t  s uchun
.
K  s, t   
0, t  s uchun
Agar f funksiya hosilaga ega bo‘lsa, u holda, ravshanki,   s   f   s 
funksiya tenglamaning yechimidir. Aks holda bu tenglama yechimga ega emas.
Ikkinchi tur Fredgolm tenglamalari kengroq o‘rganilgan.
Biz quyida Fredgolm tenglamalarini tekshirishga hozirgacha bayon
qilingan funksional analiz elementlarini, xususan Gilbert-Shmidt nazariyasini
tatbiq qilamiz.
L2  a, b kompleks fazoda ikkinchi tur Fredgolm tenglamasi, ya’ni (2)
308
f  s  ma’lum va   s  noma’lum
tenglamani olamiz. Bu tenglamada
funksiyalar bo‘lib, ular L2  a, b fazoning elementlaridir.
Bu tenglamaga L2  a, b fazoda aniqlangan
b
  T   K  s, t   t  dt
(5)
a
Fredgolm operatorini mos qo‘yamiz (7.3- §).
Agar K  s, t  funksiya  a, b   a, b to‘plamda kvadrati bilan jamlanuvchi,
ya’ni
b b
 K  s, t  dsdt  
2
(6)
a a
bo‘lsa, u Gilbert-Shmidt o‘zagi, unga mos T operator esa Gilbert-Shmidt
operatori deyiladi.
1-teorema. Gilbert-Shmidt operatori L2  a, b fazoda to‘la uzluksiz bo‘lib,
uning normasi quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:
b b
T 
 K  s, t  dsdt .
2
(7)
a a
Isboti. T operator L2  a, b fazoda chegaralangan va uning normasi (7)
shartni qanoatlantirishi 7.3- § dagi 7-misolda ko‘rsatilgan edi. Endi faqat uning
to‘la uzluksiz ekanligini isbotlasak kifoya.
Biror  n  sistema L2  a, b fazoda to‘la ortogonal bo‘lsin. U holda (4.5§ dagi 4-misolga asosan)  m  s   n  t  ko‘paytmalar sistemasi L2 ( D) fazoda
ortogonal sistema tashkil qiladi (eslatamiz: D   a, b   a, b ) Demak, ushbu

K  s, t    amn  m  s  n  t  .
n ,m1
yoyilma o‘rinlidir. Quyidagi funksiyalar ketma-ketligini qaraylik:
N
K n  s, t    amn  m  s   n  t 
m ,n 1
309
Bu o‘zakka mos Fredgolm operatorini TN bilan belgilaymiz. Ravshanki,
L2  a, b fazoni chekli o‘lchamli qism
TN operator to‘la uzluksiz, chunki u
fazoga aks ettiradi.
Haqiqatan, ixtiyoriy   L2  a, b uchun
b
N
b
a
m ,n 1
a
TN   K N  s, t   t  dt   amn  m  s     t   n  t  dt 
N
N
m 1
n 1
 m  s  amnbn ,
b
bu yerda bn     t   n  t  dt .
a
Demak, TN operator L2  a, b fazoni 1,  2 ,...,  N funksiyalarning
chiziqli qobig‘i bo‘lgan chekli o‘lchamli fazoga aks ettiradi.
Ta’rifga
K N  s, t 
asosan,
K  s, t 
funksiyalar
funksiyaning
  s   t  sistema bo‘yicha Fure qatorining xususiy yig‘indilaridan iborat.
m
n
Shu tufayli N   da
b b
 K  s, t   K  s, t  dsdt  0 .
2
N
a a
Endi (7) tengsizlikni T-T N operatorga qo‘llasak,
b b
T  TN 
 K  s, t   K N  s, t  dsdt  0
2
a a
munosabatga kelamiz. Shunday qilib, Tn n1 to‘la uzluksiz operatorlar ketma
ketligi norma bo‘yicha T operatorga yaqinlashadi. 10.2-§ dagi 1-teoremaga
asosan T ham to‘la uzluksiz.
Natija.
Ixtiyoriy
Gilbert-Shmidt
operatori
chekli
o‘lchamli
operatorlarning norma bo‘yicha limitidir.
Gilbert fazosida qo‘shma operatorlarni o‘rganganimizda K  t , s  o‘zakli
Fredgolm operatori uchun qo‘shma operatorning o‘zagi K  s, t  bo‘lishini
ko‘rsatgan edik. Xususan (5) formula bilan aniqlangan T operator o‘z-o‘ziga
310
qo‘shma bo‘lishi uchun
K  s, t   K  t , s 
(8)
tenglik zarur va kifoyadir. (8) shartni qanoatlantiruvchi o‘zaklar simmetrik
o‘zaklar deyiladi.
Endi (8) shartni qanoatlantiruvchi o‘zakli tenglamani o‘rganamiz.
Yuqorida aytilganidek, bu holda
b
T   K  s, t   t  dt
a
operator o‘z-o‘ziga qo‘shma to‘la uzluksiz operator. Demak, bu operatorga 10.3§ dagi Gilbert-Shmidt teoremasini (2- teorema) qo‘llash mumkin. (2) tenglamani
qisqacha ushbu
  T  f
(9)
ko‘rinishda yozamiz. Gilbert-Shmidt teoremasiga asosan {n } xos qiymatlarga
mos keluvchi xos vektorlardan iborat bo‘lgan shunday ortonormal n  sistema
mavjudki, ixtiyoriy   L2  a, b elementni

   ann   
n 1
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda    kerT , ya’ni T   0 . Xususan,

f   bnn  f , f   ker T
.
(10)
n 1
(9) tenglamaning yechimini ushbu

   xnn   ,   ker T
(11)
n 1
ko‘rinishda izlaymiz. (9) tenglamada f va  funksiyalarning (10), (11)
yoyilmalarini yozib, ushbu



 x      x    b   f 
n 1
n n
n 1
tenglamaga kelamiz, ya’ni
311
n n n
n 1
n n


n 1
n 1
 xn 1  n n      bnn  f  .
Bunday yoyilma Gilbert-Shmidt teoremasiga asosan yagona bo‘lgani
sababli
xn 1  n   bn ,
  f  ;
bundan n  1 bo‘lsa, xn 
bn
va n  1 bo‘lsa, bn  0 .
1  n
Ko‘rinib turibdiki, n  1 holda bn  0 shart (9) tenglamaning yechimga
ega bo‘lishi uchun zarur va kifoyadir. Bunday n  1 uchun xn ixtiyoriy.
Shuning bilan quyidagi teorema isbotlandi.
2-teorema. Agar 1 soni T operator uchun xos qiymat bo‘lmasa, u holda
(9) tenglama ixtiyoriy f uchun yagona yechimga ega. Agar 1 soni T operator
uchun xos qiymat bo‘lsa, u holda (9) tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun f
funksiya 1 soniga mos keluvchi hamma xos funksiyalarga ortogonal bo‘lishi
zarur va kifoyadir. Bu holda (9) tenglama yechimlarining soni cheksizdir.
10.5- §. Fredgolm teoremalari
Bu yerda ham yuqorida ko‘rilgan ushbu
  T  f
(1)
tenglamani o‘rganishni davom ettiramiz. Navbatdagi mulohazalarda T
operatorning integral ko‘rinishi emas, balki faqat uning to‘la uzluksizligi rol
o‘ynaydi. Shuning uchun H Gilbert fazosida biron T to‘la uzluksiz operatorni
olib, (1) ko‘rinishdagi tenglamani
o‘rganamiz. Buning uchun A  I  T
operatorni kiritgan holda (I-birlik operator) (1) tenglamani ushbu
A  f
(2)
ko‘rinishda yozamiz. (2) tenglama bilan bir qatorda bir jinsli bo‘lgan
A0  0
(3)
312
tenglamani va bularga qo‘shma bo‘lgan ushbu
A*   g ,
(2')
A * 0  
(3')
tenglamalarni ko‘ramiz (bu yerda A* operator A operatorga qo‘shma, ya’ni
A*   I  T *  I  T * .
Quyida isbotlanadigan Fredgolm teoremalari shu to‘rt tenglamaning
yechimlari orasidagi bog‘lanishni ko‘rsatadi.
1-teorema. (2) tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun f vektor (3')
tenglamaning har bir yechimiga ortogonal bo‘lishi zarur va kifoyadir,
Isboti. kerA va ImA lar A operatorning mos ravishda yadrosi va qiymatlari
sohasi, ya’ni
ker A   x  H : Ax     A1   ,
Im A   Ax : x  H   A  H 
ekanligini eslatamiz. Ma’lumki, A uzluksiz bo‘lgani uchun kerA to‘plam H ning
yopiq qism fazosi. ImA ham H ning yopiq qism fazosi ekanligini isbotlaymiz.
 yn   Im A ketma-ketlik biron y  H elementga yaqinlashuvchi bo‘lsin,
deb faraz qilaylik. Demak, ushbu
yn  Axn  xn  Txn  y
(4)
shartni qanoatlantiruvchi  xn  ketma-ketlik mavjud. xn vektorlarni kerA fazoga
ortogonal deb hisoblash mumkin, aks holda xn o‘rniga xn  xn  prxn vektorlarni
olish mumkin; bu yerda prxn element xn vektorning kerA qism fazoga
proeksiyasi. Bundan tashqari, {xn} ketma-ketlik chegaralangandir. Darhaqiqat,
aks holda xn   deb hisoblash mumkin, demak, (4) ga asosan
 x  y
xn
 T  n   n  0
xn
 xn  xn
(5)
munosabat o‘rinli.
 x 
So‘ng  n  ketma-ketlik birlik sharga tegishli bo‘lgani va T to‘la
 xn 
313
 
uzluksiz ekanligi tufayli biror xnk
 xn 
qism ketma-ketlik uchun T  k  biror z
 xn 
 k 
xnk
elementga yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan (5) ga asosan
xnk
ketma-ketlik ham
shu z limitga yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Ravshanki, z  1 (chunki
Az  z  Tz  lim
k 
xnk
xnk
xnk
 1) va
xnk
 x  
 xn 
 xn 
k
  lim  nk    T  k   
 lim T 
k   x
 k   xn  
 xn 
 nk 
 k 
 k  
ya’ni z  ker A . Ammo har bir xn element kerA ga ortogonal edi, demak,
z  ker A bundan va z  ker A dan z=θ kelib chiqadi, bu esa ||z||=1 tenglikka
zid. Bu ziddiyat {xn} ketma-ketlikning chegaralanganligini ko‘rsatadi.
T operator to‘la uzluksiz bo‘lgani uchun {Txn} ketma-ketlikdan
yaqinlashuvchi bo‘lgan {Txni} qism ketma-ketlik ajratish mumkin. (4) ga asosan
{xni} ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu limitni x bilan belgilasak, u
holda


y  lim Axn  lim Axni  A lim xni  Ax ,
n
i 
i 
ya’ni y  Im A , demak, ImA yopiqdir. 10.2-§, 3-teoremaga asosan T* operator
ham T bilan bir qatorda to‘la uzluksiz bo‘lgani sababli ImA* ham H ning yopiq
qism fazosi.
Endi biz quyidagi munosabatlarni isbotlaymiz
ker A  Im A*  H ,
(6)
ker A *  Im A  H .
(7)
Ravshanki, kerA va ImA* o‘zaro ortogonal qism fazolar. Haqiqatan,
ixtiyoriy h  ker A va x  H uchun
 h, A * x    Ah, x    , x   0 .
Demak, hech qanday (  ) vektor bir vaqtda kerA va ImA* qism
314
fazolarga ortogonal emasligini ko‘rsatsak bas. Agar biror z vektor ImA* ga
ortogonal bo‘lsa, u holda ixtiyoriy x  H uchun
 Az, x    z, A * x   0 , ya’ni Az=θ,
demak, z  ker A .
Shunga o‘xshash (7) tenglik ham isbotlanadi. (7) munosabatdan 1-teorema
bevosita kelib chiqadi, ya’ni f  Im A bo‘lishi uchun f  ker A * zarur va
kifoyadir.
2-teorema. (Fredgolm alternativasi). Yoki (2) tenglama ixtiyoriy f  H
uchun yagona yechimga ega, yoki (3) tenglamaning noldan farqli yechimi
mavjud.
Isboti. k natural son uchun H k orqali Im(Ak) fazoni belgilaymiz, xususan
H 1  Im A ning tuzilishidan ravshanki, A  H k   H k 1 va
H  H 1  H 2 ... .
1-teoremani isbotlash davomida ko‘rsatilganidek, har bir Hk yopiqdir.
Lemma. Shunday j natural son madjudki, ushbu
hk 1  H k
tenglik ixtiyoriy k  j uchun bajariladi.
Lemmaning isboti. Aksini faraz qilsak, hamma H k fazolar har xil bo‘ladi.
Bu holda shunday {xk} ortonormal sistema mavjudki, xk  H k va xk  H k 1 .
Demak, ixtiyoriy l , k  l  k  sonlar uchun
Txl  Txk   xk  ( xl  Axk  Axl ) .
Bu yerda xl  Axe  Axl  H k 1 bo‘lgani uchun
Txl  Txk
2
 xk
2
 xl  Axk  Axl
2
 1,
ya’ni {Txk} ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi bo‘lgan qism ketma-ketlikni ajratish
mumkin emas. Bu esa T operatorning to‘la uzluksizligiga zid.*
Teoremaning isbotini davom ettiramiz. Agar kegA ={ } bo‘lsa (ya’ni (3)
tenglama noldan farqli yechimga ega bo‘lmasa), u holda A monomorfizmdir.
Shuning
uchun,
agar
H 1  Im A  H
315
deb
faraz
qilsak,
u
holda
H 2  H 1,..., H kH  H k munosabatlar ixtiyoriy k uchun o‘rinlidir.
Bu esa lemmaga zid. Demak, Im A  H , ya’ni (2) tenglama ixtiyoriy f
uchun yagona yechimga egadir.
Agar (2) tenglama ixtiyoriy f uchun yechimga ega bo‘lsa, u holda
Im A  H
va 1- teoremadagi (7) munosabatga asosan kerA*={ }. Bu
tenglikdan, yuqoridagidek Im A*  H munosabat kelib chiqadi. Endi (6)
munosabatdan foydalansak, kerA={ }, ya’ni (3) tenglama faqat nolga teng
yechimga ega ekanligi kelib chiqadi.*
3-teorema. (3) va (3') tenglamalarning chiziqli erkli bo‘lgan yechimlari
soni chekli va o‘zaro tengdir. Boshqacha qilib aytganda,
dim  ker A  dim  ker A *   .
Isboti. kerA fazoning o‘lchami cheksiz deb faraz qilaylik. Bu holda kerA
da cheksiz ortonormal {xn} sistema mavjud. xn  ker A , ya’ni Axn  xn  Txn  
Txë  Txl  2 . Ya’ni {Tn} ketma-
bo‘lgani sababli xn  Txn va demak,
ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Bu esa T
ning to‘la uzluksizligiga zid. Shunday qilib, dimker A   (shunga o‘xshash
dimker A*   ). Ushbu
dim  ker A   , dim  ker A *  
belgilash kiritamiz. Faraz qilaylik,
 
tengsizlik bajarilsin. So‘ng kerA va kerA* fazolarda mos ravishda
 , ,...,  âà  ,  ,...,  
1
2

1
2

ortonormal bazislar tanlab olamiz va ushbu

Sx  Ax    x, j  j ,
j 1
operatorni ko‘ramiz. S operator A operatorga chekli o‘lchamli operatorni
qo‘shish natijasida hosil bo‘lgani sababli S operator uchun hamma yuqorida
isbotlangan faktlar o‘rinlidir. Bu operator uchun
316
Sx  
tenglama faqat nol yechimga ega. Haqiqatan,

Sx  Ax    x, j  j  
j 1
bo‘lsa, 1-teoremadagi (7) munosabatga asosan Ax   j ; (ixtiyoriy j uchun)
demak,
Ax   va  x, j   0
 j  1,   .
Shunday qilib, bir tomondan x  ker A , ya’ni x vektor i  vektorlarning
chiziqli kombinatsiyasidir, ikkinchi tomondan, x bu vektorlarga ortogonal,
bundan x   . Demak ker S    2-teoremani S operatorga qo‘llagan holda
f    1 deb olsak, ushbu

Ay    y, j   j    1
i 1
tenglama biror u yechimga ega. Bu tenglikni   1 vektorga skalyar ko‘paytirsak,
ushbu 0=1 ziddiyat hosil bo‘ladi.
(chunki ImA  ker A * va Ay  Im A,   1  ker A * ). Demak,    deb faraz
qilganimiz ziddiyatga keltiradi, ya’ni    . Shunga o‘xshash, A o‘rniga A*
operator olinsa,    tengsizlik isbotlanadi. Demak,    .*
Yuqoridagi teoremalarda T-I operatorning teskari operatori mavjudlik
shartlarini ko‘rdik. Ravshanki, bu teoremalar T   I    0  operatorlar uchun
ham o‘rinlidir. Fredgolm teoremalaridan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. To‘la uzluksiz operatorning spektridan olingan ixtiyoriy noldan
farqli son bu operator uchun chekli karrali xos qiymatdir.
Misol sifatida o‘zagi “ajralgan” integral tenglamalarni ko‘ramiz. Ushbu
b
  s    K  s, t   t  dt  f  s 
(8)
a
Fredgolm integral tenglamasining o‘zagi
317
n
K  s, t    Pi  s  Qi  t 
(9)
i 1
ko‘rinishga ega bo‘lsa, u holda K(s,t) ajralgan o‘zak deyiladi. Bu yerda Pi , Qi ;
funksiyalar L2  a, b fazodan olingan. Ravshanki, P1, P2 ,..., Pn funksiyalarni
chiziqli erkli deb hisoblasak bo‘ladi, aks holda K(s,t) o‘zakni chiziqli erkli
bo‘lgan P1,..., Pi  i  n  lar orqali ifodalash mumkin. (9) tenglikdan foydalanib,
(8) tenglamani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz:
n
b
i 1
a
  s    Pi  s  Qi  t   t  dt  f  s 
va ushbu
b
 Q  t   t  dt  q ,
i
i  1, n
i
a
belgilashlarni kiritamiz. Natijada (8) tenglama ushbu
n
  s    qi Pi  s   f  s 
(10)
i 1
ko‘rinishga keladi.  funksiyaning bu ifodasini berilgan integral tenglamaga
qo‘ysak, ushbu
 n

q
P
s

f
(
s
)

P
s
Q
t








 q j Pj  t   f  t   dt  f  s 
i i
i
i

i 1
i 1
 j 1

a
n
n
b
ya’ni
 n

qi Pi  s    Pi  s   aij q j  b j 

i 1
i 1
 j 1

n
n
(11)
ko‘rinishdagi tenglikka kelamiz; bu yerda
aij   Qi  t  Pj  t  dt , bi   Qi  t  f  t  dt
b
b
a
a
Biz Pi  s  funksiyalar chiziqli erkli deb faraz qilganimizni esga olsak, (11)
munosabatdan quyidagi tengliklar kelib chiqadi:
n
qi   aij q j  bi , i  1,2,..., n
(12)
j 1
318
Agar biz bu chiziqli tenglamalar sistemasini qi larga nisbatan yechsak, u
holda (10) tenglikdan   s  funksiya ham topiladi. Shunday qilib, ajralgan
o‘zakli integral tenglamani yechish masalasi (12) chiziqli tenglamalar
sistemasini yechish masalasiga teng kuchli. Bunday tenglamalar yechimlarining
xossalari bizga chiziqli algebra kursidan ma’lum. Ularni eslatamiz.
1. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasi
Ax  y A   aij  i  1, n; j  1, n
x   x1,..., xn  , y   y1, y2 ,..., yn 
yechimga ega bo‘lishi uchun u vektor qo‘shma bir jinsli ushbu

A * z  0 A*   a ji 

sistemaning har bir yechimiga ortogonal bo‘lishi zarur va kifoyadir.
2. Yoki Ax=y sistema ixtiyoriy y uchun yagona yechimga ega yoki (aij )
matritsaning determinanti nolga teng (ya’ni Ax=0 sistemaning noldan farqli
yechimi mavjud).
3. A   aij  va A*   aij  matritsalarning ranglari o‘zaro teng, ya’ni Ax=θ
va A * z   sistemalarning chiziqli erkli yechimlari soni o‘zaro teng.
Ko‘rinib turibdiki, ajralgan yadroli Fredgolm tenglamalari uchun
Fredgolm teoremalari yuqoridagi 1-3 iboralardan ham kelib chiqadi.
319
Mashq uchun masalalar
1. Agar E normalangan fazo va ixtiyoriy T  L  E  to‘la uzluksiz operator
bo‘lsa, dim E   ekanligini isbot qiling.

2. T   tij 
i , j 1,2,...
matritsa  tij2   shartni
i , j 1
qanoatlantirsa, T : l2  l2 operatorning to‘la uzluksizligini ko‘rsating.
3.
Agar
{Tn}
to‘la
uzluksiz
operatorlar
ketma-ketligi
T operatorga kuchli yaqinlashsa, ya’ni
Tn x  Tx, x  E
bo‘lsa, u holda T operatorning to‘la uzluksiz bo‘lishi shart emas. Misol keltiring.
4. f : E  R chiziqli funksional to‘la uzluksiz operator bo‘ladimi?
5. Quyidagi integral tenglamalar yechilsin:
a)   x   x  0 xt  t  dt
x
(Ko‘rsatma: differensial tenglamaga keltiring);
2  cos x
  t  dt ;
0 2  cos t
b)   x   e x sin x  
c)   x   4
 /2
0
d)   x    
sin 2 x  t  dt  2 x   ;
 /2
0
x
sin x cos t  t  dt  sin x ;
e)   x     K  x, t   t  dt  cos  x ;
1
0

 x  1 t , 0  x  t
bu yerda K  x, t   
.
t

1
x
t

x

1




320
XI BOB. BANAX ALGEBRALARI
11.1- §. Banax algebralarining ta’rifi
C kompleks sonlar maydoni ustida X vektor fazo berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. Agar X vektor fazoda yana bir amal - elementlarni ko‘paytirish
amali kiritilgan bo‘lib, u quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa, X fazo kompleks
algebra deyiladi:
1)  xy  z  x  yz  ,
2) x  y  z   xy  xz ,
3)   xy    x  y  x  y  ,
bu yerda x, y, z  X ,   C .
Ushbu bobda faqat kompleks algebralar ko‘rilgani sababli kompleks
algebralarni, qisqacha, algebralar deymiz.
Agar ixtiyoriy x, y  X uchun xy=yx tenglik bajarilsa, X kommutativ
algebra deyiladi.
Agar X algebraning shunday e elementi mavjud bo‘lsaki, ex = xe = x
tenglik ixtiyoriy x  X uchun o‘rinli bo‘lsa, e element birlik element, yoki
qisqacha birlik, X esa birli algebra deyiladi. Ravshanki, algebrada birlik
yagonadir, chunki e' ham birlik bo‘lsa, u holda e' = ee' = e.
Agar X algebraning biror A  X qism to‘plami X dagi amallarga nisbatan
algebra hosil qilsa, u holda A qism algebra deyiladi.
Ta’rif. X birli algebrada norma kiritilib, bu normada X Banax fazosi bo‘lsa
va ushbu
4) xy  x y
x, y  X
5) e  1
munosabatlar bajarilsa, X Banax algebrasi deyiladi.
Ba’zan Banax algebrasining ta’rifida birlik element mavjud ekanligi
321
hamda 5) aksiomaning bajarilishi talab qilinmaydi. Bu holda algebrani
kengaytirib birlik elementli algebra hosil qilish mumkin.
Darhaqiqat, X algebra 1) -4) shartlarni qanoatlantirsin va birlikka ega
bo‘lmasin. X1 sifatida  x,  x  X ,  C  juftliklar to‘plamini olamiz va X1 da
algebraik amallar va normani quyidagicha kiritamiz:
 x ,     y ,     x  y ,     ,   x, a     x ,  a  ,
 x,    y,    ( xy   y   x, ),  x,   x  
,
Ravshanki, X1 algebra va e=(0,1) element undagi birlik elementdir. Normaning
5) xossasi o‘z-o‘zidan ravshan 4) xossa esa ushbu munosabatlardan ko‘rinib
turibdi:
 x, a  y,     xy   y    x,  xy   y   x   
 xy   y   x    x y   y   x      x   
 y     ( x, )  y,   .
Nihoyat X1 algebraning to‘laligi X ning va C ning to‘laligidan kelib chiqadi.
Demak, X1 - Banax algebrasi. Ravshanki, X algebrani X1 algebraning (x, 0)
ko‘rinishdagi elementlaridan iborat qismi sifatida qarash mumkin.
X, Y algebralar, F : X  Y chiziqli aks ettirish bo‘lsin. Agar ixtiyoriy
x, y  X uchun F  xy   F  x  F  y  munosabat bajarilsa, F gomomorfizm
deyiladi. O‘zaro bir qiymatli gomomorfizm izomorfizm deyiladi.
Agar F izomorfizm ixtiyoriy x  X uchun F  x   x tenglikni qanoatlantirsa,
u izometrik izomorfizm deyiladi.
Banax algebrasiniag 4) aksiomasidan ko‘paytirish amalining uzluksizligi kelib
chiqadi, ya’ni xn  x va yn  y bo‘lsa, u holda xn yn  xy .
Darhaqiqat,
xn yn  yx   xn  x  yn  x  yn  y  
 yn xn  x  x yn  y  0
n 
chunki yn chegaralangan ketma-ketlik. Xususan, ko‘paytirish amali o‘ngdan
322
va chapdan uzluksiz, ya’ni xn  x, yn  y uchun
xyn  xy, xn y  xy .
1-teorema. X kompleks Banax fazosi va shu bilan birga birli algebra
bo‘lib, undagi ko‘paytirish amali o‘ngdan va chapdan uzluksiz bo‘lsin. U holda
X dagi normaga ekvivalent bo‘lgan shunday norma mavjudki, bu normada X
Banax algebrasidir.
Isboti. X ning har bir x elementiga ushbu M x  z   xz  z  X  tenglik
yordamida Mx operatorni mos qo‘yamiz. X to‘plam X fazoda shu ko‘rinishdagi
operatorlar to‘plami bo‘lsin.
X
dagi
ko‘paytirish
amali
o‘ngdan
uzluksiz
bo‘lgani
uchun
X  L( X ) ( L ( X ) fazo X dagi chegaralangan operatorlarning Banax fazosi, 7.1§). Ravshanki, x  Mx moslik chiziqli va ta’rifdagi 1) xossaga asosan
M xy  M x M y Agar x  y bo‘lsa, u holda M xe  xe  x  y  ye  M ye , ya’ni
M x  M y . Demak, x  M x moslik X ni X ga aks ettiruvchi izomorfizmdir.
X qism fazo L  X  da yopiqligini va demak, to‘la ekanligini ko‘rsatamiz.
T   X âà T  T  L  X 
n
n
bo‘lsin
deb
faraz
qilaylik,
bu
yerda
Tn y  xn y, xn  X , n  1,2,... Bundan
Tn y  xn y   xne  y  Tn  e  y, y  X .
X dagi ko‘paytirish amalining chapdan uzluksizligidan foydalansak, yuqoridagi
tenglikdan n   da
Ty  T (e) y
tenglik hosil bo‘ladi. Endi x  T  e  belgilash kiritamiz.
U holda Ty = xy, ya’ni T  X . Shunday qilib, X - Banax fazosidir. Ushbu
x  xe  M xe  M x e
tengsizlikka asosan M x  x teskari moslik uzluksizdir. 7.4-§ dagi teskari
operator haqidagi teoremaga asosan x  M x moslik ham uzluksiz. Demak,
shunday S > 0 son mavjudki, M x  C x ya’ni
323
1
x  Mx  C x .
e
(1)
Agar X da normani x 1  M x tenglik bilan aniqlasak, (1) ga asosan bu norma X
dagi asl normaga ekvivalent. Bu normada esa X Banax algebrasidir, chunki
operator normasining xossalariga asosan
xy 1  M xy  M x M y  M x M y  x 1 y 1
e 1  Me  I 1
.*
Misollar. 1. C kompleks sonlar maydoni Banax algebrasiga eng sodda
misoldir, bunda
z  z  x2  y 2
 z  x  iy  .
2. Cn fazoda algebraik amallarni koordinatalar bo‘yicha, normani esa
x  max xi  x   x1 , x2 ,..., xn  
j i  n
ko‘rinishda olsak, ravshanki, C Banax algebrasidir.
Bunda birlik e  1,1,...,1 .
3. K kompakt Xausdorf topologik fazosida aniqlangan uzluksiz
funksiyalar to‘plami C(K) da algebraik amallarni odatdagidek kiritib, normani
esa ushbu
x  max x  t  , x  C  K 
tK
ko‘rinishda olamiz. C(K) Banax algebrasi ekanligini ko‘rsatish oson. Bu
algebrada birlik element aynan birga teng funksiyadir.
4. l1 algebra. Bu algebraning elementlari absolyut jamlanuvchi ikki
tomonga cheksiz x  ..., x n ..., x1 , x0 , x1 ,...,.xn ,... ketma-ketliklar bo‘lib, norma
quyidagichadir:

x   xk
(2)
k 
Elementlarning yig‘indisi va songa ko‘paytirish amallari har bir koordinata
bo‘yicha aniqlanadi, x va y elementlarning z   x  y  ko‘paytmasining
koordinatalari esa quyidagicha aniqlanadi:
324

zn   x  y n   xnk yk
(3)
k 
Agar l1 algebraning har bir x elementiga ushbu

x  t    xk eikt 0  t  2
(4)
k 
trigonometrik qatorni mos qo‘ysak, u holda (3) tenglik bilan aniqlangan zn
ketma-ketlik x(t) va y(t) funksiyalarning ko‘paytmasiga mos keladi. Absolyut
yaqinlashuvchi (4) Fure qatoriga yoyiluvchi funksiyalar algebrasini W bilan
belgilab, bu algebrada normani (2) formula yordamida kiritamiz. Bunda l1 va W
Banax algebralari ekanligi osonlikcha tekshiriladi. Masalan, 4) aksiomani
tekshiramiz:



n 
n  k 
x  y   zn    xnk yk 

   xnk yk     xn k  yk  x y
n  k 
k   n 




.
Kiritilgan W va l1 Banax algebralari o‘zaro izometrik izomorf
algebralardir. W algebrada birlik element bu aynan birga teng e(t)=1 funksiyadir.

Demak, l1 algebrada e  ek k 
0, k  0
ek  
1, k  0
birlik element.
Keltirilgan
1-4
misollardagi
algebralar
kommutativ
algebralarga
misollardir. Endi kommutativ bo‘lmagan Banax algebrasiga misol keltiramiz.
5. Biror E Banax fazosida chegaralangan operatorlarning L(E) fazosini
olamiz. 7.1 §-da ko‘rsatilganidek, bu fazoda ko‘paytirish amalini kiritish
mumkin. Norma ushbu
A  sup Ax , A  L  E 
x 1
tenglik bilan aniqlangan edi. Bu norma 4), 5) aksiomalarni qanoatlantirishi va
L(E) ning bu normaga nisbatan to‘la ekanligi 7.3-§ da ko‘rsatilgan.
325
11.2- §. Spektr va rezolventa
X Banax algebrasi bo‘lsin. Agar biror x  X uchun ushbu
xx1  x 1 x  e
tenglikni qanoatlantiruvchi x-1 element mavjud bo‘lsa, x-1 element x ga teskari
element, x esa teskarilanuvchi deyiladi.
Agar  kompleks son uchun e  x element teskari elementga ega bo‘lsa,
 son x element uchun regulyar nuqta deyiladi. Regulyar bo‘lmagan nuqtalar
to‘plami x elementning spektri deyiladi va   x  bilan belgilanadi. Demak,
  x  shunday  sonlar to‘plamiki, e  x element teskari elementga ega emas.
Regulyar nuqtalarda ushbu
R x  x      e  x 
1
tenglik bilan aniqlangan
R : C \   x   X
aks ettirish x elementning
rezolventasi deyiladi. x elementning spektral radiusi deb quyidagi songa
aytiladi:
r  x   sup 
  x 
Misollar. 1. X=S Banax algebrasida noldan farqli har bir element
teskarisiga ega. Demak,   C uchun       .
2. X=С(K) Banax algebrasida (11.1-§, 3-misol) x  X teskari elementga
ega bo‘lishi uchun x  t  funksiya hamma yerda noldan farqli bo‘lishi zarur va
kifoyadir. Demak,   x  to‘plam x(t) funksiyaning qiymatlari to‘plami bilan
ustma-ust tushadi, rezolventa va spektral radius esa quyidagicha:
R x 
1
,
  x t 
r  x   x  max x  t 
.
tK
3. X=L(E) Banax algebrasida (11.1-§. 5-misol) spektr, rezolventa va
boshqa tushunchalar operatorlar uchun IX bobda kiritilgan mos tushunchalar
bilan ustma-ust tushadi. Aniqrog‘i, Banax algebralari uchun kiritilgan
326
tushunchalar operatorlar algebralaridagi mos tushunchalarni abstrakt holda
umumlashtirilishidir. Bu izoh quyida keltiriladigan teoremalarga ham taalluqli.
1-teorema. Banax algebrasidagi x elementning normasi birdan kichik
bo‘lsa, u holda e-x element teskari elementga ega va
 e  x   e  x  ...  x  ...
1
n
Isboti. Ushbu sn  e  x  ...  x n ko‘rinishdagi elementlarni olamiz.
Ravshanki,
k
sn  sn k  x n1  ...  x n k   x
n i

i k

x
n 1
 x
1 x
n  k 1
n 1
x

 0, n  
1 x
Demak, sn  ketma-ketlik X da fundamentaldir. X to‘la bo‘lgan sababli bu
ketma-ketlik biror s  X elemenga yaqinlashadi, va
s  e  x   lim sn  e  x   lim  e  x n1   e .
n
n
Shunga o‘xshash (e  x)s  e .*
Natija. Agar x  0 bo‘lsa  e  x   e .
1
Darhaqiqat,


k 1
k 1
 e  x   e  s  e   xk   x 
1
k
x
0
1 x
2-teorema. X Banax algebrasidagi biror x0 element uchun x01 mavjud
bo‘lsa, u holda x  x0 1
1
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x element
uchun x1  x0  x elementning teskarisi mavjud va x11   e  x01x  x01 .
1
Isboti. x01x  x01 x  x01 x01
asosan
 e  x x 
1
0
1
ning
1
1
tengsizlikdan
mavjudligi
kelib
1-teoremaga
chiqadi.
 e  x x  x x   e  x x  x  x  x    e  x x e  x x   e
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
va x1  e  x01x  x01   x0  x   e  x01x  x01 
1
1
327
1
0
So‘ngra
  x0  x   x0  e  x01x    x0  x  x0  x   e .
1
1
Demak, x01   e   x01x  x01 .*
1
1–natija. Banax algebrasining teskarilanuvchi elementlari to‘plami
ochiqdir.
2-natija. x    rezolventa C \   x  to‘plamda  ga nisbatan uzluksizdir.
Darhaqiqat, 2- teoremada x    e, x0  0e  x deb olsak,
x  0      0e  x  e    e  x  0    x  0 
1
1
Yuqoridagi 1-teoremaning natijasiga asosan,   0 bo‘lsa,
 e  x       e ,
1
0
ya’ni
lim x  0     x  0 
 0
3-teorema. Agar  ,  , 0  C \   x  bo‘lsa, u holda
a) R x  R x  R x  R x ,
b) R x  R x       R x  R x
c) x  0   lim
 
0
x     x  0 
  x 2 (0 ) .
  0
Isboti. a) R x  R x   e  x   e  x    e  x  e  x  
1
1
1
  e  x  e  x   R x  R x .
1
b) R x   e  x  e  x  R x   e  x  R xR x   e  x  R xR x  a  ga
1
asosan.
Shunga o‘xshash
R x   e  z  R xR x .
Demak,
R x   R xR x  xR xR x,
R x   R xR x  xR xR x
bundan
328
,
R x  R x       R xR x ,
b) xossaga asosan
x  0   lim
x    x  0    x 2  0  .*
 
0
Quyidagi teoremada spektrning asosiy xossalari keltirilgan.
4-teorema. 1. X Banax algebrasidagi ixtiyoriy uzluksiz chiziqli f
funksional uchun F     f  x     funksiya C \   x  sohada analitikdir va
lim
F    0 .
 
2. X dagi ixtiyoriy x elementning spektri bo‘sh bo‘lmagan kompakt
to‘plamdir va r  x   x .
Isboti. 1. Ixtiyoriy f  X  uchun F     f  R  x   deb olsak, u holda 3teoremaga asosan har bir 0 regulyar nuqtada
F     F  0 
 x     x  0  
 lim f 

 
 
  0



0


F   0   lim
0
0

x     x  0  
2
 f  lim
   f  x  0  
 
  0


0
mavjud va, demak, f    shu 0 nuqtada analitik.
So‘ngra
F     f  x     f x    f
 e  x 
1
f 
x

e  
  
1
0
 
chunki
x

lim  e  
 


1
 e  1.
2.   x    deb faraz qilaylik. U holda ixtiyoriy
f  X  uchun
F     f  x     funksiya C \   x   C da analitik va
lim F     0 .
 
Liuvill teoremasiga asosan F     0 . Bu yerda f  X  ixtiyoriy bo‘lgani
329
sababli Xan-Banax teoremasiga asosan x      . Bu esa  e  x  x     e
tenglikka zid. Demak,   x    .
Endi   x  ning kompakt ekanligini isbotlaymiz. Agar   x bo‘lsa, u
x

holda 1-teoremaga asosan e  x    e   element uchun teskari element


x
mavjud, chunki


x

 1 . Bundan     x  , ya’ni
  x     C :   x 
xususan,
r  x   x . Spektrning yopiqligi 2-teoremadan kelib chiqadi.
Haqiqatan, 0 son x uchun regulyar nuqta bo‘lsa, u holda, ixtiyoriy

   x     uchun    ham regulyardir, chunki
1
0
0
     e  x   e  x  e
0
0
va
e    x  0 
1
  0e  x 
1 1
Regulyar nuqtalar to‘plami ochiq bo‘lgani sababli
  x
yopiq (va
chegaralangan), demak, kompaktdir.*
1-natija. (Gelfand-Mazur teoremasi). Banax algebrasida noldan farqli har
bir elementning teskarisi mavjud bo‘lsa, bu algebra C maydonga izometrik
izomorfdir.
Isboti. Ixtiyoriy x elementni olaylik. 4-teoremaga asosan   x    , ya’ni
shunday   C mavjudki, e  x element uchun teskari element mavjud emas.
Shartga asosan e  x   , ya’ni x  e . Agar x elementga xuddi shu  sonni
mos qo‘ysak, x   moslik izomorfizmdir. So‘ngra e  1 bo‘lgani uchun
x  e   , ya’ni x   izometrik izomorfizmdir.
2-natija. Ixtiyoriy T  L  E  operatorning spektri bo‘sh emas.
5-teorema (spektral radius haqidagi teorema). Banax algebrasida
330
ixtiyoriy x elementning spektral radiusi uchun quyidagi formula o‘rinli:
r  x   lim n x n
(1)
n 
Isboti. X fazodagi ixtiyoriy f uzluksiz chiziqli funksional uchun
F     f  x     funksiya 4-teoremaga asosan C \   x  sohada, xususan
 :   r ( x) sohada analitik. Demak, 1-teoremaga asosan   x bo‘lganda
x      e  x 
1

1
x
xn
 e     n
,
 
n 0   1
1
bundan

f  xn 
n 0
 n1
F     f  x     
.
Analitik funksiyalarning yagonalik xossasiga asosan, bu yoyilma ixtiyoriy
 xn 
 xn 
  r  x  uchun ham o‘rinli, demak, lim
f  n1   0 , ya’ni  n 1  ketman 
 
 
ketlik nolga sust yaqinlashadi, demak, u norma bo‘yicha chegaralangan (8.3- §),
ya’ni
xn
 n1
 C   ,
bu yerda C    -musbat son. Bundan
lim
x
n 
1
n n
n
 lim

n 
n 1
n  C    .
C      lim
 
n 
Bu tengsizlik ixtiyoriy   x  r  x   uchun o‘rinli bo‘lgani sababli
lim
x
n 
1
n n
 r  x .
(2)
Agar    x  bo‘lsa, u olda  n   x n  . Darhaqiqat, agar   ne  x n  mavjud
1
bo‘lsa edi, u holda
  e  x     e  x    e   x  ...  x 
n
n
1
n
n
1
n 1
n2
n 1
bo‘lar edi, bu esa    x  munosabatga zid. Ixtiyoriy    x  uchun 4teoremaga asosan   x . Endi    n deb olsak,    x  munosabatdan
331
 n   x n  , ya’ni   x n
õ
kelib chiqadi, demak,
  n x n Bundan n
ixtiyoriy bo‘lgani sababli
n xn
r  x   sup   lim
n 
  x 
Bu tengsizlikni (2) tengsizlik bilan solishtirsak, lim n x n limitning mavjudligi
n 
va (1) munosabat kelib chiqadi.*
11.3-§. Ideallar, faktor-algebralar va kompleks gomomorfizmlar
Ushbu paragrafda X kommutativ Banax algebrasidir.
Ta’rif. I to‘plam X ning vektor qism-fazosi bo‘lsin. Agar ixtiyoriy x  X
va y  I uchun xy  I bo‘lsa, I to‘plam ideal deyiladi.
Ravshanki, faqat  elementdan yoki butun X dan iborat to‘plamlar ideallardir.
Bunday ideallar trivial ideallar deyiladi. Biz trivial bo‘lmagan ideallarni
o‘rganamiz.
Agar I0 ideal X ning o‘zidan boshqa idealning xos qismi bo‘lmasa, I0 maksimal
ideal deyiladi.
1-teorema. a) idealning hech bir elementi teskari elementga ega emas;
b) idealning yopilmasi ham trivial bo‘lmagan idealdir.
Isboti. a) agar biror a  I uchun a 1 mavjud bo‘lsa, u holda e  aa 1  I ,
demak, ixtiyoriy x  X uchun x  xe  I , ya’ni X  I . Bu esa I ning trivial
emasligiga zid;
b) I ideal bo‘lsa, ma’lumki, uning yopilmasi I
qism fazodir. Endi
ixtiyoriy x  X va y  I elementlarni olamiz. Agar { yn }  I va yn  y bo‘lsa,
u holda xn  I va X da ko‘paytirish amali uzluksiz bo‘lgani sababli xyn  xy .
Demak, xy  I , ya’ni I ideal. Endi faqat I  X ekanligini ko‘rsatish qoldi.
11.2-§ dagi 2-teoremaning 1-natijasiga asosan teskari elementga ega bo‘lgan
elementlardan iborat G to‘plam ochiq va a) ga asosan I
332
G   . Demak,
I
G   , ya’ni I  X
2-teorema. a) Banax algebrasining har qanday ideali biror maksimal
idealning qismidir; b) ixtiyoriy maksimal ideal yopiqdir.
Isboti. a) I0 biror ideal bo‘lsin. Uni o‘z ichiga oluvchi ideallar to‘plamini
Q bilan belgilayliz. Q sistema “  ” munosabat yordamida qisman tartiblangan.
Agar P  Q biror chiziqli tartiblangan qismi bo‘lsa, ravshanki, M  I
Ip
idealdir. Ixtiyoriy I  P uchun e  I
bo‘lgani sababli e  M , ya’ni M  X . Demak, har qanday chiziqli
tartiblangan sistema yuqori chegaraga ega.
Sorn lemmasiga asosan (6. 1-§) Q da I1
maksimal element mavjud.
Demak, I1 maksimal ideal va I 0  I1 ;
b) agar I maksimal ideal bo‘lsa, u holda 1-teoremadagi b) ga asosan I
ham ideal va I  I  X . Demak, I  I .
Natija. Banax algebrasida teskari elementga ega bo‘lmagan har bir
element biror maksimal idealda joylashgan. Xususan, agar X maydon bo‘lmasa,
maksimal ideallar to‘plami bo‘sh emas.
Darhaqiqat, agar
x0  X
uchun
x0 1
mavjud bo‘lmasa, u holda
I  x0 X  x0 x, x  X  to‘plam idealdir.
x0   bo‘lgani uchun I    ; so‘ngra e  I bo‘lgani sababli I  X .
2-teoremaga asosan shunday I1, maksimal ideal mavjudki,
I1  I  x0 .*
X Banax algebrasida biror I idealni olib, X/I faktor-fazoni ko‘ramiz (1. 5

§). Bu faktor-fazoda ko‘paytmani quyidagicha kiritamiz. x va y sinflardan x va


y vakillar tanlab x y ko‘paytma deb xy elementni o‘z ichiga oluvchi sinfni
aytamiz. Bu ko‘paytma x va y vakillarga bog‘liq emas. Darhaqiqat, agar x1 , y1 ,
boshqa
vakillar,
ya’ni
x  x1  I , y  y1  I
bo‘lsa,
xy  x1 y1  xy  x1 y  x1 y  x1 y1  x1  y  y1    x  x1  y  I ,
333
chunki
u
holda
I-ideal.
Ravshanki, kiritilgan amallarga nisbatan X / I kommutativ algebra. Bu algebra
X ning I ga nisbatan faktor-algebrasi deyiladi.
3-teorema. X Banax algebrasida I yopiq ideal bo‘lsa, u holda X/I faktoralgebra ham Banax algebrasidir.
Isboti. Faktor-algebrada normani quyidagicha kiritamiz.

x  inf x  inf x0  y

(1)
yI
xx

bu yerda x0  x .
Dastavval (1) formula normani aniqlashini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy



x  X / I uchun x  0 . Agar x  0 bo‘lsa, u holda inf x0  y  0 . Demak,
yI
shunday  yn   I ketma-ketlik mavjudki, x0  yn  0 , ya’ni  yn  x0 . I yopiq




bo‘lgani sababli x0  I , ya’ni x̂  ˆ . Shunday qilib, x  0 va x  0  x   .
Agar   C,   0 bo‘lsa, u holda

 x  inf
 x0  y  yI inf x0 
yI

y


 x

agar   0 bo‘lsa,  x   x ekanligi o‘z-o‘zidan ravshan.


Ixtiyoriy x, y  X / I uchun


x  y  inf x0  y0  z  inf x0  u  y0  v 
zI
u ,vI


 inf x0  u  inf y0  v  x  y
uI
vI
va


x y  inf x0 y0  z  inf ( x0  u )( y0   ) 
u ,I
zI

.

 inf x0  u  inf  y0    x y
uI
I

Endi
e 1

ekanligini
ko‘rsatamiz,
334
eeI
bo‘lgani
sababli

2
 2

2




e  e  I  e . Demak, e  e  e , ya’ni e  1 . Agar e  1 bo‘lganda edi,
2
 n

n

e  e  e  0 bo‘lgani sababli
u holda ixtiyoriy n natural son uchun


e  0 tenglik hosil bo‘lar edi, bu esa e  I munosabatga zid. Demak, e  1 .



Nihoyat, X/I to‘la ekanligini isbotlaymiz. x1 , x2 ,..., xn ,... ketma-ketlik shu
fazoda fundamental bo‘lsin. Ixtiyoriy k natural son uchun shunday nk topiladiki,
1
2k
xn  xn 
k m
k

tengsizlik ixtiyoriy t natural son uchun bajariladi. Xususan,
demak, shunday xn , xn
1
vakillar mavjudki,
2

xn  xn 
2
1
1
2
xn  xn  1. Shunga o‘xshash
2
1
shunday xn , xn ,..., xn ,... vakillar topiladiki,
3
4
k
xn  xn
k 1
k

1
.
2k  2
Demak,  xn  ketma-ketlik X fazoda fundamental. Chunki ixtiyoriy k, t uchun
k
xn  xn  xn  xn
k m

k m
k
1
2
 ... 
k  m2
k m 1
 ...  xn  xn 
k 1
k
.
1
1

2k 1 2k 2
X to‘la bo‘lgani sababli
x0  lim
x
k  n
k
mavjud va


x n  x 0  inf xn  x0  y  xn  x0  0
k


yI
k
k
k 

ya’ni x n  x 0 . Olingan {x n } ketma-ketlik fundamental bo‘lgani sababli
k
ixtiyoriy   0 uchun shunday p natural son topiladiki, har qanday nk  n uchun
xn  xnk   .
335
Demak, xn  x0  x  xn  xn  x0    xn  x0 . Bundan xn  x0 bo‘lgani
k

k
k
k

uchun x n  x 0 . Demak, X/I to‘la.*
X Banax algebrasini kompleks sonlarning C Banax algebrasiga aks ettiruvchi
noldan farqli gomomorfizm kompleks gomomorfizm deyiladi.
4-teorema. Agar  : Õ  Ñ kompleks gomomorfizm bo‘lsa, u holda
a)   e   1 va x-1 mavjud bo‘lsa,   x   0 .
b) agar
x  1 bo‘lsa, u holda   x   1, xususan, ixtiyoriy kompleks
gomomorfizm uzluksizdir va;   1.
Isboti. a) Biror y  X uchun   y   0 bo‘lgani sababli
  y     ye     y   e  ,
demak,   e   1. Agar x  X uchun x 1 mavjud bo‘lsa, u holda
  x   x 1     xx 1     e   1 ,
ya’ni   x   0 ;
b) ixtiyoriy x  X  x  1 elementni olamiz. Agar   1 bo‘lsa, u holda
x

 1. 11.2-§, 1-teoremaga asosan  e  



x
1
element mavjud, a) ga asosan
x
1

  e    0 , ya’ni 1   ( x)  0 va   x    olingan     1 ixtiyoriy



bo‘lgani
sababli   x   1 . Demak,   1;   e   1 bo‘lgani uchun   1
xususan,  chegaralangan, ya’ni uzluksiz.
Izoh. 4-teoremaning isbotidan ravshanki, bu teoremada X kommutativ
bo‘lishi shart emas.
Quyidagi teoremada kompleks gomomorfizmlar va maksimal ideallar
orasidagi bog‘lanish ko‘rsatiladi.
5-teorema. X kommutativ Banax algebrasi,  undagi barcha kompleks
gomomorfizmlar to‘plami bo‘lsin.
a) har bir M maksimal ideal biror h kompleks gomomorfizmning
336
yadrosidir;
b) har bir kompleks gvmomorfizmning yadrosi maksimal idealdir;
c)
x X
elementning teskarisi mavjud bo‘lishi uchun, ixtiyoriy
h  da h  x   0 . bo‘lishi zarur va kifoya;
d) x  X elementning teskarisi mavjud bo‘lishi uchun x hech qanday
idealga tegishli emasligi zarur va kifoya;
e)    x  bo‘lishi uchun   h (x) tenglik biror h uchun bajarilishi
zarur va kifoya.
Isboti. a) M biror maksimal ideal bo‘lsin. M yopiq bo‘lgani sababli X/M
Banax algebrasidir (3-teorema). Biror x  X \ M elementni olamiz. Ravshanki,
ushbu
I  ax  y : a  X , y  M 
to‘plam idealdir va I  M . Demak, I=X. Xususan, biror a  X va y  M
uchun ax  y  e , ya’ni ax  e  y  M . Faktor algebraning ta’rifiga asosan
 



a x  e , ya’ni a  x 1 . Olingan x  M ixtiyoriy bo‘lgani sababli X/M faktor
algebrada har bir noldan farqli elementning teskarisi mavjud. Gelfand-Mazur
teoremasiga asosan X/M=C (aniqrog‘i izometrik izomorf).
Endi X dan olingan x elementga x sinf bilan aniqlanuvchi h(x) kompleks
sonni mos qo‘ysak, ravshanki, h : X  C kompleks gomomorfizm bo‘ladi va
h1  0     M ;
b) agar h bo‘lsa, ravshanki, h 1  0  ideal va uning o‘lchami birga
teng, demak, h 1  0  maksimal idealdir;
c) agar x 1 mavjud bo‘lsa, u holda 4-teoremaning a) qismiga asosan
ixtiyoriy
h
uchun
h x  0 .
Aksincha
x01
mavjud
bo‘lmasa,
I  x0 X  x0 x : x  X  to‘plam idealdir va e  I , demak, I  X 2-teoremaga
asosan, I biror M maksimal idealning qismi. Demak, x0  M . a) ga asosan
shunday h mavjudki, M= h 1  0  , ya’ni h  x0   0 ;
337
d) Ravshanki, teskarisi mavjud bo‘lgan har qanday element hech bir
idealga tegishli bo‘la olmaydi. Aksincha, agar x01 mavjud bo‘lmasa, x0 biron
idealning elementi ekanligi v) da ko‘rsatildi;
e) agar biror h uchun   h  x  bo‘lsa, u holda h  e  x   0 , demak,
v) ga asosan  e  x 
bo‘lsa,  e  x 
1
1
mavjud emas, ya’ni    x  . Aksincha,    x 
mavjud emas. Demak, yana c) ga asosan biror h uchun
h  e  x   0 , ya’ni h  x    .
Misollar. 1. Kompakt Xausdorf K topologik fazosida uzluksiz
funksiyalarning C(K) Banax algebrasini ko‘ramiz (11. 1-§, 3-misol) va shu
algebradagi maksimal ideallarni o‘rganamiz. K fazoning biron F qismini olsak,
ravshanki, F to‘plamning har bir nuqtasida nolga teng funksiyalardan iborat
M F  x  t   C  K  : x  t   0t  F   C ( K )
to‘plam idealdir.
Biz quyidagi tasdiqni isbotlaymiz: C(K) algebrada biror to‘plam
maksimal ideal bo‘lishi uchun, u biron tayinlangan  0  K nuqtada nolga
aylanuvchi barcha funksiyalardan iborat bo‘lishi zarur va kifoya.
a) M  x  t   C  K  : x  0   0 to‘plam ideal ekanligi ravshan. Uning
maksimal ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy y  t   C  K  uchun
z  t   y  t   y  0 
funksiya
M
0
ning
elementidir,
chunki
z  0   0 .
Demak,
ixtiyoriy
y  t   C  K  ushbu
y  t   z  t    ,, z  t   M ,   C
0
ko‘rinishda yoyilar ekan, ya’ni codim M  1. Demak, M  -maksimal ideal;
0
0
b) aksincha, M  C  K  biror maksimal ideal bo‘lsin. Shu idealga tegishli
bo‘lgan barcha funksiyalar biror tayinlangan nuqtada nolga teng ekanligini
ko‘rsatamiz. Agar bunday emas deb faraz qilsak, u holda ixtiyoriy   K uchun
338
shunday x  t   M mavjudki, x  t   0 . Bu funksiya uzluksiz bo‘lgani sababli
 nuqtaning shunday U  -atrofi mavjudki, x  t   0 munosabat ixtiyoriy
t U uchun o‘rinli. K fazoning {U }  K ochiq qoplamasidan, K kompakt
bo‘lgani uchun chekli U ,...,U
1
qism qoplama ajratish mumkin. M ideal
n
ekanligini hisobga olsak,
n
x0  t   x  t  x  t   ..  x  t  x  t    x  t   M
1
1
n
n
2
k
k 1
Ravshanki, ixtiyoriy t  K uchun x0  t   0 , demak,
1
uzluksiz, ya’ni
x0  t 
1
x0  t 
mavjud va
 C  K  . Bu esa 1-teoremaning a) qismiga zid. Demak,
shunday  0  K mavjudki, M  M . Shartga ko‘ra M maksimal bo‘lgani
0
sababli M  M .
0
2. Endi W (11. 1-§, 4-misol) algebradagi maksimal ideallarning umumiy
ko‘rinishini topamiz. Buning uchun 5-teoremaga asosan W algebradagi
kompleks
gomomorfizmlarning
Ravshanki,
t0  0,2 
son
umumiy
ko‘rinishini
  x  t    x  t0 
formula
aniqlash
kifoya.
orqali
kompleks
gomomorfizmni aniqlaydi. Aksincha ixtiyoriy kompleks gomomorfizm shu
ko‘rinishga ega ekanligini ko‘rsatamiz.
Har bir  :W  C gomomorfizm o‘zining eit funksiyadagi qiymati bilan
to‘la aniqlanadi (chunki   uchun   ekit    (eit ) 
k
va  chiziqli va
uzluksiz bo‘lgani sababli, u butun W ga yagona ravishda davom ettiriladi).
  eit    bo‘lsa,   eit     eit     1 . Demak,
1


4-teoremaning b) qismiga asosan
    eit   eit  1 ,
 1    eit   eit  1 .
Bundan   1 , ya’ni   eit , 0  t0  2 .
0
339


Shunday qilib,  (eit )  eit  0  t0  2  , bundan    xkikt    xk eikt .
 k   k 
0
0
Shunday qilib, har bir kompleks gomomorfizm va, demak, 5-teoremaga
asosan har bir maksimal ideal 0,2  oralig‘idagi biror t0 son bilan aniqlanadi.
Bunda M maksimal ideal shu t0 nuqtada nolga aylanuvchi barcha x  t  W
funksiyalardan iborat.
Endi biz olingan natijani quyidagi teoremani isbotlashga tatbiq qilamiz:
Viner teoremasi.
x  t  funksiya absolyut yaqinlashuvchi bo‘lgan

x  t    xk eikt Fure qatoriga yoyilib, hech bir nuqtada nolga teng bo‘lmasin. U
k 
holda y (t ) 
1
funksiya ham absolyut yaqinlashuvchi bo‘lgan Fure qatoriga
x(t )
yoyiladi.
Isboti. Teoremaning shartiga ko‘ra x  t  W Ixtiyoriy t  0,2  uchun
x  t   0 bo‘lgani sababli har bir   uchun   x   0 . 5-teoremaning c)
iborasiga asosan y  x 1 W mavjud. Demak,

1
 y  t    y eikt W
x t 
k 
11.4-§. Kommutativ Banax algebralarini ifodalash
Ushbu paragrafda ba’zi kommutativ Banax algebralari biror kompakt
Xausdorf
topologik
fazosidagi
uzluksiz
funksiyalar
algebrasi
sifatida
ifodalanishi mumkin ekanligini ko‘rsatamiz.
X kommutativ Banax algebrasi,  undagi kompleks gomomorfizmlar to‘plami
bo‘lsin. X ning har bir x elementi  to‘plamda ushbu

x  h  h  x
 h  
(1)

formula yordamida x :   C funksiyani aniqlaydi.
340

Barcha x

 x  X  funksiyalar to‘plamini X bilan belgilaymiz.
11.3§, dagi 4-teoremaning b) iborasiga asosan ixtiyoriy   uchun   X  va
  1 (X  fazo X ga qo‘shma fazo). Agar X' dagi birlik sharni S bilan
belgilasak, ravshanki,   S .
Endi  to‘plamda topologiya kiritamiz. Buning uchun X' fazodagi *-sust
topologiyani, ya’ni   X , X  topologiyani (8.4- §)  -to‘plamda ko‘ramiz. Bu
topologiyada f0  X  elementning atroflari sistemasi quyidagi ko‘rinishga ega
edi:


U  x1 ,..., xm , ; f 0   f  X  : f  xk   f 0  xk    , k  1,2,..., m . (2)
1-teorema.  to‘plam   X , X  topologiyada kompaktdir va (1) formula

bilan aniqlangan har bir x  h  funksiya  to‘plamda shu topologiyaga nisbatan
uzluksizdir.
Isboti. 8.4-§ da isbotlaganimizdek, agar X Banax fazosi separabel bo‘lsa,
X' dagi S birlik shar   X , X  topologiyada kompaktdir. Bu ibora ixtiyoriy X
Banax fazosi uchun ham o‘rinli (bu yerda biz buning isbotiga to‘xtalmaymiz).
Demak,  to‘plam kompakt S to‘plamning qism to‘plamidir. Shuning uchun 
to‘plam  (X', X) topologiyada yopiq ekanligini ko‘rsatish kifoya. f 0   deb
faraz qilaylik. Demak, f0 ning (2) ko‘rinishdagi ixtiyoriy atrofida h
kompleks gomomorfizm mavjud. f0 ning atrofini U  x, y, xy, ; f 0  ko‘rinishda
olsak  x1  x, x2  y, x3  xy, m  3 , u holda
h  x   f0  x    ,
h  y   f0  y    ,
h  xy   f 0  xy    .
Demak, h  xy   h  x  h  y  munosabatni nazarda tutgan holda quyidagini hosil
qilamiz:
341
f 0  xy   f 0  x  f 0  y    f 0  xy   h  xy   
  h  x  h  y   f 0  x  f 0  y    f 0  xy   h  xy  
 h  y   f 0  y  h  x   h( x )  f 0  x  f 0  y  
.
    h x   f 0 y   1  x  f 0 y 
Bundan  ixtiyoriy kichik bo‘lgani sababli
f0  xy   f 0  x  f 0  y  .
Endi fo ning U  e, ; f 0  atrofini olsak,
h  e   f 0  e    , ya’ni 1  f 0  e    .
Bundan f 0  e   1 , ya’ni f 0   . Shunday qilib,  yopiq va, demak,
kompakt.

Endi x(h) funksiya  da uzluksiz ekanligini ko‘rsatamiz. h0 
elementning U  x,  ; h0  atrofini olsak, bu atrofda


x(h)  x  h0   h  x   h0  x    ,

ya’ni x funksiya h0 nuqtada uzluksiz.


x  X elementga x funksiyani mos qo‘ysak, natijada X  X  C () aks
ettirish hosil bo‘ladi. Bu yerda C    Banax algebrasi kompakt Xausdorf
topologik fazosidagi uzluksiz funksiyalar algebrasidir (11.1-§, 3- misol).

2-teorema. x  x moslik gomomorfizmdir va

x  x .
(3)
Isboti. Ixtiyoriy x1 , x2  X uchun


 x1  x2  h   h  x1  x2   h  x1   h  x2   x1  h   x 2  h  ,






ya’ni ( x1  x2 )  x1  x 2 . Shunga o‘xshash x1 x2  x1 x 2 ,
 x   x Demak, x  x gomomorfizm.
 
 
342
Endi (3) tengsizlikni isbotlaymiz. 11.3-§ dagi 5-teoremaning d) iborasiga

ko‘ra    x  bo‘lishi uchun   h  x   x  h  tenglik biror h uchun
bajarilishi zarur va kifoya. Demak,   x  to‘plam x funksiyaning qiymatlar
to‘plami bilan mos tushadi. Bundan va 11.2-§ dagi 4-teoremadan


x  sup x  h   sup   r  x   x .*
h
 ( x )
Ta’rif. Banax algebrasining barcha maksimal ideallari kesishmasi
R  M radikal deyiladi.
Ixtiyoriy M maksimal ideal uchun   M bo‘lgani sababli   R . Agar radikal
faqat  elementdangina iborat bo‘lsa, algebra yarimsodda algebra deyiladi.
Ta’rif. Agar kommutativ X Banax algebrasida ixtiyoriy x  X uchun
x2  x
2
tenglik o‘rinli bo‘lsa, X regulyar algebra deyiladi.
11.2-§ dagi 1, 3-misollardagi C va C(K) algebralar yarimsodda va regulyar
algebraga misol bo‘ladi. Bu 11.3-§, 1-misoldagi iboradan bevosita kelib chiqadi.

3-teorema. a) x  x moslik monomorfizm bo‘lishi uchun X yarimsodda
algebra bo‘lishi zarur va kifoya;
b) agar X regulyar algebra bo‘lsa, u holda X o‘zining C (  ) algebradagi aksi,

ya’ni X bilan izometrik izomorf, xususan, X yarimsodda algebradir.

Isboti. a) X yarimsodda algebra bo‘lsin. Agar x  X uchun x  0 bo‘lsa,

u holda ixtiyoriy h uchun h( x)  x(h)  0 , ya’ni x har bir maksimal
idealga tegishli, va demak, x  R . X yarimsodda algebra bo‘lgani uchun x   .

Aksincha, x  x moslik monomorfizm bo‘lsin. Agar x  R elementni
olsak, u har bir maksimal idealga

tegishli. Demak, ixtiyoriy h uchun


b) X regulyar algebra bo‘lsin. x 2  x
2
h  x   x  h   0 , ya’ni x  0 . Bundan x  x monomorfizm bo‘lgani uchun
x   , ya’ni R    ;
343
tenglikdan bevosita x 2  x
n
2n
tenglik kelib chiqadi, ya’ni lim 2 x 2  x . Spektral radius haqidagi teoremaga
n 
n
n
asosan (11.2-§, 5-teorema)
r  x  x .
(4)
Agar x  R bo‘lsa, u holda ixtiyoriy h uchun h  x   0 , demak,
  x   0 , ya’ni r  x   sup   0 . (4)
  x 
tenglikka asosan x  r  x   0 va
demak, x   , ya’ni X-yarimsodda algebra. a) ga asosan X o‘zining C    dagi

X aksi bilan izomorf. So‘ng 11.3-§ dagi 5- teoremaga asosan


x  max x  h   max h  x   max   r  x   x .
h
h
  x 

Demak, x  x izometrik izomorfizm.
11.3-§ da ko‘rsatilganidek, kompleks gomomorfizmlar va maksimal
ideallar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud. Demak,  to‘plam sifatida
kompleks gomomorfizmlar to‘plamini emas, balki maksimal ideallar to‘plamini
olish ham mumkin. Shuni nazarda tutib, yuqoridagi teoremalarni quyidagicha
ifodalash ham mumkin.
4-teorema. X Banax algebrasi,  undagi maksimal ideallar to‘plami
bo‘lsin.
a)  to‘plam kompakt Xausdorf topologik fazosidir;

b) x  x moslik X algebrani C(  ) algebraning biror X qismiga aks
ettiruvchi gomomorfizmdir; bu gomomorfizmning yadrosi X algebraning
radikaliga teng. Xususan, bu moslik monomorfizm bo‘lishi uchun X yarimsodda
algebra bo‘lishi zarur va kifoya,

c) ixtiyoriy x  X uchun x  x . Agar X regulyar algebra bo‘lsa,


x  x moslik X bilan uning C(  ) dagi X
aksi orasidagi izometrik
izomorfizmdir.
Paragrafni yarimsodda algebralarning ba’zi xossalarini keltirish bilan
344
yakunlaymiz.
5-teorema. X, Y kommutativ Banax algebralari,  : X  Y ixtiyoriy
gomomorfizm bo‘lsin. Agar Y yarimsodda algebra bo‘lsa,  uzluksizdir.
Isboti. X, Y Banax fazolari bo‘lgani sababli 7.2-§ dagi yopiq grafik
haqidagi teoremaga asosan  ning grafigi yopiqligini ko‘rsatish kifoya.
x   X ketma-ketlik uchun x  x  X va   x   y Y bo‘lsa, y   x 
n
n
n
ekanligini isbotlash kerak.  x ,  y mos ravishda X va Y dagi kompleks
gomomorfizmlar to‘plamlari bo‘lsin. Ixtiyoriy h   y ni olib,   h0 
murakkab aks ettirishni ko‘ramiz. Ravshanki,   x
11.3-§ dagi 4-teoremaga asosan  va h uzluksiz. Demak,
h  y   lim h    xn    lim  xn     x   h   x  
n
n
ya’ni h  y    x    0 . Bu yerda h   y ixtiyoriy bo‘lgani uchun y    x   R .
Endi Y yarimsodda ekanligini nazarga olsak, y    x  .
Natija. Yarimsodda kommutativ Banax algebralari orasidagi har bir
izomorfizm gomomorfizmdir.
11.5-§. Involyutiv algebralar
X biror kompleks algebra bo‘lsin (kommutativ bo‘lishi shart emas).
Ta’rif. X ning har bir x elementiga biror x* X elementni mos qo‘yuvchi
aks ettirish quyidagi to‘rt shartni qanoatlantirsa, u involyutsiya deyiladi:
1)  x  y *  x *  y * ,
2)   x *   x * ,
3)  xy *  y * x * ,
4) x **  x * ,
bu yerda x, y  X ,   C .
Involyutsiya bilan ta’minlangan algebra involyutiv algebra deyiladi.
345
Masalan, C(K) algbebrada
f f
aks ettirish involyutsiyadir ( f
funksiya f ga kompleks qo‘shma funksiya). Involyutsiyaga eng muhim
misollardan biri bu Gilbert fazosidagi chegaralangan operatordan unga qo‘shma
operatorga o‘tish amalidir.
Agar x  X element uchun x*=x tenglik o‘rinli bo‘lsa, x o‘z-o‘ziga
qo‘shma yoki Ermit elementi deyiladi.
1-teorema. X involyutiv Banax algebrasi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy x  X
uchun:
a) x  x*, i  x  x * , xx * elementlar Ermit elementlaridir;
b) x yagona ravishda x  u  iv ko‘rinishda tasvirlanadi, bu yerda u, v
Ermit elementlari;
c) e-Ermit elementi;
d) x 1 element mavjud bo‘lishi uchun  x *
1
mavjud bo‘lishi zarur va
kifoya; bu holda  x *   x 1  * ;
1
e)    x  bo‘lishi uchun    x * bo‘lishi zarur va kifoya.
Isboti.
a)
 x  x *  x *  x **  x *  x  x  x *
Shunga
o‘xshash
i  x  x *  i  x  x * va  xx *  xx * ;
b) ravshanki, u, v sifatida mos ravishda
x  x*
x  x*
va
elementlarni
2
2i
olish mumkin.
Endi x boshqa usul bilan yoyilgan bo‘lsin x  u  iv . Agar     
elementni
olsak,
i  ( x  u)  ( x  u)  u  u
bo‘lgani
uchun
(i )*  (u  u)  i . Ikkinchi tomondan, (i )*  i *  i , demak, i  i .
Bu tenglikdan    ,     , u  u kelib chiqadi;
c) e*  ee* bo‘lgani uchun a) ga asosan (e* )*  e* ya’ni e  e* ;
d)
x 1 mavjud bo‘lsa, u holda
 x *   x * .
1
1
Aksincha,
x *  x 1 *   x 1 x *  e*  e , ya’ni
 x * mavjud
1
346
bo‘lsa,
u
holda
x[( x*)1 ]*  [( x*)1 x* ]*  e*  e, ya’ni x 1 mavjud;
 e  x 
e)    x  uchun
 e  x  *    e  x *
1
1
1
mavjud emas. Demak, c) ga asosan
mavjud emas, ya’ni    x * . Shunga o‘xshash
   x * bo‘lsa, bu holda    x  .
2-teorema. Agar X yarimsodda Banax algebrasi bo‘lsa, u holda X dagi
har qanday involyutsiya uzluksizdir.
Isboti. X dagi ixtiyoriy h ompleks gomomorfizmni olamiz. Ravshanki,
  x   h  x * ham X da kompleks gomomorfizmdir. Darhaqiqat,
  x  y   h  x *  y *  h x *  h  y *  h  x *  h  y *    x     y 
   x   h   x *   h  x *   h  x *    x  ,
.
  xy   h  y * x *  h  y *  h  x *    y   x     x   y 
Demak, 11.3-§ dagi 4-teoremadagi asosan  uzluksiz.
Endi xn  x, xn *  y bo‘lsin. U holda
h  x *    x   lim  xn   lim h  xn*   h  y 
n
n
ya’ni h  x *  y   0 . h ixtiyoriy bo‘lgani sababli x *  y  R
X yarimsodda algebra bo‘lgani uchun x*  y . Demak, x  x * aks
ettirishning grafigi yopiq. Yopiq grafik haqidagi teoremaga asosan (bu
teoremaning isboti qo‘shma chiziqli operatorlar uchun ham o‘zgarishsiz o‘tadi)
bu aks ettirish uzluksizdir.
Ta’rif. X involyutiv Banax algebrasida ixtiyoriy x  X uchun
xx *  x
2
(1)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, X algebra B*-algebra (yoki C*-algebra) deyiladi.
Ushbu
x  xx *  x x *
2
tengsizlikdan ravshanki,
x  x * . Shu
bilan birga x *  x **  x , demak,
x*  x
(2)
va
347
xx *  x x * .
(3)
Aksincha, agar (2) va (3) tengliklar o‘rinli bo‘lsa, ravshanki,
xx *  x .
2
Quyidagi
teorema
B*-algebralar
nazariyasining
eng
muhim
teoremalaridan biri.
3-teorema. (Gelfand-Naymark teoremasi). X ixtiyoriy kommutativ B*algebra,  undagi maksimal ideallardan iborat kompakt Xausdorf topologik

fazosi bo‘lsin. Bu holda, x  x moslik (11. 4- §, 4-teorema) X ni butun C(  ) ga
aks ettiruvchi izometrik izomorfizmdir va ixtiyoriy x  X uchun
 x *   x .
 
 
(4)

Xususan x Ermit elementi bo‘lshii uchun xC    haqiqiy funksiya
bo‘lishi zarur va kifoya.
Isboti. Agar u  X Ermit elementi bo‘lsa, ixtiyoriy h uchun h  u 
haqiqiy son ekanligini ko‘rsatamiz. t haqiqiy son uchun ushbu z  u  ite
ko‘rinishdagi elementlarni olamiz.
Agar h(u)    i ( ,   haqiqiy sonlar) bo‘lsa, u holda
h  z     i    t  , zz*  u 2  t 2e .
Demak,
 2     t   h z   h
2
2
2
z  z  zz *  u  t 2 ,
2
2
2
ya’ni ixtiyoriy t haqiqiy son uchun
 2   2  2 t  u .
2
Bu yerda u
2
chekli, t ixtiyoriy bo‘lgani sababli   0 , ya’ni h (u ) 
haqiqiy son. Shunday qilib, agar u Ermit elementi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy h


uchun u  h   h  u  - haqiqiy son, ya’ni u haqiqiy funksiya. Endi x  X
ixtiyoriy bo‘lsa, u holda x  u  iv va u  u*, v  v * . Demak,
348

 



 x *   u  iv *  u * iv *  u  i v  uˆ  ivˆ  x ,
 
 
shu bilan (4) isbotlandi.
Biror x  X elementni olsak, y  xx * element Ermit elementidir, demak,
y 2  y . Induksiya bo‘yicha y 2  y
2
n
2n
tenglik isbotlanadi. Spektral radius
haqidagi teoremaga asosan


y  max y  h   max h  y   max   r  y   lim m y m  lim 2 y 2  y
b
h
  x 
h
m
n
n
,


 2
ya’ni y  y . Endi y  xx * tenglikdan va (4) munosabatdan y  x tenglikni
hosil qilamiz. Demak,
 2

x  y  y  xx *  x ,

2


ya’ni x  x . Shunday qilib, x  x moslik X ni X ga aks ettiruvchi izometrik

izomorfizmdir. X fazo to‘la bo‘lgani sababli X algebra C    algebrada yopiq


X  C    tenglikni isbotlash uchun X to‘plam C    da zich ekanligini
isbotlash kifoya. Buning uchun quyidagi isbotsiz keltirilgan teoremadan
foydalanamiz.
Stoun-Veyershtrass teoremasi. C(K) algebraning (11.1-§, 3-misol.) A
qism algebrasi quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:;
a) birlik funksiya  e  t   1 A ga tegishli;
b) ixtiyoriy t1 , t2  K  t1  t2 
uchun shunday
x t   A
mavjudki,
x  t1   x  t2  ;
c) ixtiyoriy x  t   A uchun x  t   A .
U holda A qism algebra C(K) ning hamma yerida zich.

Endi 3-teoremaning isbotini yakunlash uchun X  C    qism algebra
349
uchun a)-c) shartlar bajarilishini tekshirish kerak. a) o‘z-o‘zidan ravshan, chunki


e  X va e  h   X ;
b)
h1 , h2   h1  h2 
ixtiyoriy
uchun shunday
x X
mavjudki
h1  x   h2  x  , ya’ni x  h1   x  h2  ;






c) ixtiyoriy x  X uchun (4) ga asosan x  x* , ya’ni x  X .
Stoun-Veyershtrass teoremasining hamma shartlari bajariladi. Demak,

X  C    .*
Mashq uchun masalalar
1. K   z : z  1  C birlik doirada uzluksiz va K ning ichki nuqtalarida
analitik bo‘lgan funksiyalardan iborat to‘plamni A bilan belgilaymiz. A da
algebraik amallarni odatdagidek, normani esa quyidagicha kiritamiz:
x  max x  z  , x  A
z 1
A kommutativ Banax algebrasi ekanligini isbotlang.
2. A Banax algebrasining maksimal ideallari bilan K   z : z  1 birlik
doira nuqtalari orasida o‘zaro bir qiymatli moslik borligini ko‘rsating.
3. A algebra regulyar va yarimsodda ekanligini isbotlang.
4. [a,b] oraliqda n-tartibli hosilasi mavjud va uzluksiz kompleks
funksiyalar fazosini C n  a, b bilan belgilaymiz. Algebraik amallar odatdagidek,
norma esa ushbu
1
max x k   t  , x  C n  a, b 
a t b
k 0 k !
n
x 
formula bilan kiritiladi. C n  a, b Banax algebrasi ekanligini isbotlang.
5. C n  a, b algebraning barcha maksimal ideallarini toping.
6. C n  a, b algebrada involyutsiyani x *  t   x  t  deb olsak, C n  a, b 350
yarimsodda B * -algebra ekanligini isbotlang.
7. C n  a, b Banax algebrasining barcha yopiq ideallarini toping.
8. Yarimsodda bo‘lmagan Banax algebrasiga misol keltiring.
9. H Gilbert fazosidagi chegaralangan operatorlarning L  H  algebrasini
olamiz. Bu algebradagi biror o‘z-o‘ziga qo‘shma T0 operatorning barcha
darajalarining chiziqli yopilmasini B(T0) bilan belgilaymiz. B(T0) yarimsodda
B*- algebra ekanligini isbotlang.
10. L(N) algebra B* - algebra ekanligini isbotlang.
11. X Banax algebrasining x elementi uchun x2 =x tenglik bajarilsa, x
idempotent deyiladi. Agar x, y  X  x  y  idempotentlar uchun xy=yx tenglik
o‘rinli bo‘lsa, || x - y || > 1 ekanligini isbotlang.
12. X Banax algebrasining x, y elementlari uchun xy = yx bo‘lsa, u holda
r  x  y   r  x   r  y  , r  xy   r  x  r  y 
tengsizliklar o‘rinli ekanligini ko‘rsating.
13. X Banax algebrasi, x, y uning elementlari bo‘lsin.
a) x 1 va  xy  elementlar mavjud bo‘lsa, y-1 element ham mavjudligini
1
isbotlang;
b)  xy  va  yx  mavjud bo‘lsa, x 1 va y-1 elementlar ham mavjudligini
1
1
c) agar
 e  xy 
isbotlang;
1
mavjud bo‘lsa,
 e  yx 
1
element ham mavjud
bo‘lishini ko‘rsating.
14. Umumiy holda xy  e  yx munosabat o‘rinli bo‘lishi mumkinligini
misolda ko‘rsating.
15. Agar xy = e bo‘lsa, yx element noldan farqli idempotent ekanligini
isbotlang.
16. Agar
x 1
mavjud
bo‘lsa,
u
holda
ixtiyoriy
y X
uchun
  xy     yx  tenglikni isbotlang.
17. Banax algebrasida ixtiyoriy x, y elementlar uchun r  xy   r  yx 
351
tenglikni isbotlang
 xy   x  yx  y  tenglikdan foydalaning).
n
n 1
352
XII BOB. UMUMLASHGAN FUNKSIYALAR.
FURYE ALMASHTIRISHLARI
12.1-§. Umumlashgan funksiya tushunchasi
1. Umumlashgan funksiyalar dastlab fizikaga doir ilmiy ishlarda
uchragan. Mashhur fizik P.Dirak delta-funksiya deb ataluvchi va quyidagicha
ta’riflanuvchi  ( x  x0 ) funksiyani kiritgan: butun to‘g‘ri chiziqda aniqlangan
 ( x  x0 ) funksiya x0 dan boshqa har bir nuqtada nolga teng va x0 nuqtada esa
qiymati cheksiz bo‘lib, butun to‘g‘ri chiziq bo‘yicha integrali mavjud va birga
teng, ya’ni
0, x  x0
, x  x0
 ( x  x0 )  
va

  ( x  x ) dx  1 .
0

Ravshanki, matematik analiz kursida ko‘rilgan funksiya va integral
ta’riflari nuqtai nazaridan delta-funksiyaning xossalari o‘zaro ziddir.
Matematikada umumlashgan funksiyalarni birinchi marta mashhur rus
matematigi S.L.Sobolev 1936 yilda kiritgan. Fransuz matematigi L.Shvarts
1950-1951
yillarda
“Taqsimotlar
nazariyasi”
kitobida
umumlashgan
funksiyalarni o‘rganishga topologik vektor fazolar nazariyasini tatbiq qilib,
qator muhim natijalar oldi. Hozirgi kunda umumlashgan funksiyalar nazariyasi
matematikaning tez sur’atlar bilan rivojlanayotgan sohalaridan biri bo‘lib,
matematikaning boshqa sohalarida va fizikada ko‘pgina muhim tatbiqlarga ega.
Ma’lumki, uzluksiz funksiya differensiallanuvchi bo‘lmasligi mumkin.
Birorta ham nuqtada hosilaga ega bo‘lmagan uzluksiz funksiyalarni birinchi
marta K.Veyershtrass tuzgan. Bunday funksiyalarga doir misol, masalan,
[HO‘FN] kitobining 25-§ ida keltirilgan.
353
Umumlashgan funksiyalar tushunchasi funksiya tushunchasining shunday
kengaytirilishiki, bunda har qanday uzluksiz funksiya differensiallanuvchi va
uning hosilasi umumlashgan funksiya bo‘ladi. Shu bilan bir qatorda har qanday
umumlashgan funksiyaning o‘zi ham differensiallanuvchi bo‘lib, uning hosilasi
ham umumlashgan funksiyadir. Undan tashqari, umumlashgan funksiyalar
sohasida klassik matematik analizda faqat og‘ir shartlarda bajariladigan boshqa
ko‘p amallarni ham bajarish mumkin (masalan, umumlashgan funksiyalarning
yaqinlashuvchi qatorini hadma-had differensiallash mumkin).
2. Asosiy funksiyalar. Finit funksiya deb, R  (, ) oraliqda aniqlangan
va biror segmentdan tashqarida nolga teng bo‘lgan funksiyaga aytiladi.
Asosiy funksiya deb R  (, ) oraliqda hamma hosilalari mavjud
bo‘lgan finit funksiyaga aytiladi, asosiy funksiyaga misol keltiramiz.
  2a 2
 a t , agar t  a bo ' lsa,
 (t , a)  e
 0,
agar t  a bo ' lsa.
3
Ravshanki, barcha asosiy funksiyalar to‘plami funksiyalarning qo‘shish
va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazodir.
Endi bu fazoda yaqinlashish tushunchasini kiritamiz.
Agar asosiy funksiyalardan iborat {n (t )} ketma-ketlik quyidagi ikki
shartni qanoatlantirsa, u  (t ) asosiy funksiyaga yaqinlashuvchi deyiladi:
1) shunday a>0 son mavjudki, har bir n natural son va t ( t  a) uchun
n (t )  0 .
2) {n (t )} ketma-ketlik  (t ) funksiyaga va har bir m natural son uchun
{n (t )} ketma-ketlikning m-tartibli hosilalaridan iborat {n( m) (t )} ketma-ketlik
 ( m ) (t ) funksiyaga R  (, ) oraliqda tekis yaqinlashadi.
Asosiy funksiyalarning vektor fazosini kiritilgan yaqinlashish bilan birga
ko‘rilganda E bilan belgilaymiz.
Misollar.
1. Yuqorida ko‘rilgan  (t , a)
354
asosiy funksiyani olib,
1
n
n (t )   (t , a) ketma-ketlikni ko‘ramiz.
Ravshanki, bu ketma-ketlikning o‘zi va har qanday m natural son uchun
{n( m) (t )} ketma-ketlik aynan nolga teng funksiyaga (, ) oraliqda tekis
yaqinlashadi. Demak, {n } ketma-ketlik E fazoda nolga yaqinlashadi.
2. Endi yana o‘sha  (t , a)
1
t
asosiy funksiya yordamida tuzilgan

n (t )    , a  funksiyalardan iborat {n (t )} ketma-ketlikni olsak, bu
n n 
ketma-ketlik va har bir m natural son uchun uning m-tartibli hosilalaridan iborat
{n( m) (t )} ketma-ketlik (, ) oraliqda aynan nolga teng funksiyaga tekis
yaqinlashadi.
Ammo {n } ketma-ketlik aynan nolga teng funksiyaga E fazoda
yaqinlashmaydi, chunki bu ketma-ketlik uchun E fazoda yaqinlashishning
birinchi sharti bajarilmaydi.
E fazoda aniqlangan haqiqiy chiziqli f funksionalni olamiz. Agar E fazoda
 ga yaqinlashuvchi har qanday {n } ketma-ketlik uchun f (n ) sonlar ketmaketligi f ( ) songa yaqinlashsa, bu funksional uzluksiz chizikli funksional
deyiladi.
Qulaylik maqsadida f funksionalning 
dagi (  E )
qiymatini
( f (t ),  (t )) bilan belgilaymiz.
E dagi uzluksiz chiziqli funksionallarga misollar keltiramiz.
1) R  (,  ) oraliqda aniqlangan va bu oraliqning har qanday chekli
oralig‘ida Lebeg integrali mavjud bo‘lgan biror funksiyani qaraylik (bunday
funksiyalar lokal integrallanuvchi deyiladi). U holda har qanday   E uchun

 f (t )  (t )dt
(1)

integral mavjud, chunki  (t ) aslida finit funksiya bo‘lgani sababli integral
chekli
oraliq
bo‘yicha
olingan.
Integral
355
ostidagi
funksiyalar
tekis
yaqinlashganda integral ostida limitga o‘tish mumkinligi uchun ko‘rilayotgan
funksional E da uzluksizdir.
Bu bobda barcha integrallar (,  ) oraliq bo‘yicha olingani uchun
bundan buyon integrallash chegaralarini ko‘pincha yozmaymiz.
2) E fazoda ushbu
( (t ),  (t ))   (0)
chiziqli funksionalni ko‘ramiz. Bu funksionalning uzluksizligi ravshan.
Shunisi qiziqki, bu funksionalni (1) ko‘rinishda ifodalab bo‘lmaydi.
Haqiqatan, biror lokal integrallanuvchi f (t ) funksiya uchun
 f (t ) (t )dt   (0)
o‘rinli bo‘lsin. Xususan, yuqorida ko‘rilgan  (t , a) asosiy funksiya uchun
 f (t )  (t, a) dt   (0, a)  e
1
(2)
Ammo a  0 da chapdagi integral nolga intiladi, bu esa (2) tenglikka zid.
Bu funksionalni delta-funksiya deb atash va  (t ) orqali belgilash qabul
qilingan (vaholanki, hozir ko‘rganimizdek, (1) tenglikni qanoatlantiruvchi
funksiya mavjud emas).
Ta’rif. E fazodagi uzluksiz chiziqli funksional umumlashgan funksiya
deb ataladi.
Umumlashgan funksiyalar fazosini E bilan belgilaymiz.
(1)
ko‘rinishdagi
umumlashgan
funksiyalar
regulyar
funksiyalar,
qolganlari esa singulyar funksiyalar deb ataladi.
Ushbu
( f (t ),  (t )  c   (t ) dt   c (t ) dt
tenglik bilan aniqlangan umumlashgan funksiyani qiymati c ga teng o‘zgarmas
umumlashgan funksiya deyiladi. Xususan,
(1,  (t ))    (t )dt
3. Endi har bir lokal integrallanuvchi f (t ) funksiyaga (1) formula bilan
aniqlangan umumlashgan funksiyani mos qo‘yamiz. Bu moslikda turli lokal
356
integrallanuvchi f (t ) va g(t) funksiyalarga turli funksionallarning mos kelishini
ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik. U holda har qanday   E uchun
 f (t )  (t ) dt   g (t ) (t ) dt
yoki
 ( f (t )  g (t )) (t ) dt  0 .
So‘ng f (t )  g (t )  h (t ) belgilash kiritamiz va har qanday   E uchun
o‘rinli bo‘lgan
 h(t ) (t ) dt  0
(3)
tenglikdan foydalanib, h(t) ning deyarli hamma nuqtalarda nol ekanligini
ko‘rsatamiz.
 finit funksiya bo‘lgani sababli shunday [a, b] oraliq mavjudki, t ning
t  a va t  b qiymatlarida  (t )  0 . Shunga binoan
b
 h (t ) (t ) dt   h(t ) (t ) dt
(4)
a
Ushbu
t
 h(s)ds  H (t )
a
belgilash kiritib, (4) integralni bo‘laklab integrallaymiz:
b
b
 h(t ) (t ) dt  H (t )   (t )  H (t )  (t ) dt
b
a
a
(5)
a
Bundan  (a)  0 va  (b)  0 ekanligini hisobga olgan holda (3) ga
asosan quyidagini hosil qilamiz:
b
 H (t )  (t ) dt  0
a
Endi  (t ) funksiya ham [a,b] dan tashqarida nol ekanligini hisobga olsak,
har bir   E uchun
 H (t ) (t ) dt 0
(6)
357
Agar bu munosabatdan H(t) funksiyaning o‘zgarmas ekanligi kelib
chiqishini ko‘rsatsak ibora isbotlanadi. Chunki bu holda H(t) funksiya
jamlanuvchi funksiyaning aniqmas integrali sifatida [HO‘FN] kitobining 43.6natijasiga binoan deyarli har bir t  (,  ) uchun hosilaga ega va
H (t )  h (t )  0 .
Shunday qilib, tasdiqni isbotlash uchun quyidagi lemmani isbotlash
kifoya.
Lemma (Dyu-Bua-Reymon lemmasi). Agar biror uzluksiz H(t) funksiya
va  (a)   (b)  0 shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy   E uchun
b
 H (t )  (t ) dt  0
(7)
a
bo‘lsa, H(t) funksiya [a,b] da o‘zgarmasdir.
Isboti. [a,b] funksiya o‘zgarmas bo‘lmasin. Bu holda E fazoda (7) tenglik
bajarilmasligini ko‘rsatamiz.
H(t) o‘zgarmas bo‘lmagani uchun shunday
t1, t2 [a, b]
nuqtalar
mavjudki, H (t1 )  H (t2 ) . Aniqlik uchun, masalan, H (t1 )  H (t2 ) bo‘lsin. Bu
sonlar orasidagi biror C sonni olamiz. H(t) uzluksiz bo‘lgani uchun o‘zaro
kesishmaydigan shunday (a1, b1 ) va (a2 , b2 ) oraliqlar mavjudki, har qanday
t [a1, b1 ], t [a2 , b2 ] nuqtalar uchun
H (t)  C  H (t) .
Endi  (t ) sifatida quyidagi to‘rtta shartni qanoatlantiruvchi barcha
hosilalari mavjud bo‘lgan funksiyani olamiz;
1) (a1 , b1 ) da musbat;
2) (a2 , b2 ) da manfiy;
3) (a1 , b1 ) va (a2 , b2 ) oraliqlardan tashqarida nol;
4) ushbu
b
b1
b2
a
a1
a2
  (t )dt    (t )dt    (t )dt  0
358
tenglik o‘rinli.
Bunday  (t ) funksiyani, masalan, yuqorida ko‘rilgan  (t , a) asosiy
funksiya yordamida ham tuzish mumkin.
Ushbu
t
 (t )    ( s) ds
a
funksiyani olsak, ravshanki,   E va  (a)   (b)  0 .
Endi
b
b1
b2
a
a1
a2
 ( H (t )  C )(t )dt   ( H (t )  C )(t )dt   ( H (t )  C )(t )dt  0
chunki ikkala had ham manfiy. Bundan 4) shartga binoan
b
b
b
b
a
a
a
a
 H (t )(t )dt  ( H (t )  C )(t )dt  C  (t )dt   ( H (t )  C )(t )dt  0 .
Demak, topilgan   E uchun (7) tenglik o‘rinli emas. Lemma isbotlandi.
Shunday qilib, har bir lokal integrallanuvchi f (t ) funksiyaga (1) formula
bilan aniqlangan umumlashgan funksiya mos qo‘yildi. Bu moslikda, yuqorida
ko‘rsatilganidek, turli lokal integrallanuvchi funksiyalarga turli umumlashgan
funksiyalar mos keladi. Demak, barcha lokal integrallanuvchi funksiyalar
to‘plamini barcha umumlashgan funksiyalar to‘plamining qismi deb qarash
mumkin. Shu sababli umumlashgan funksiyalar uchun ham f (t ) belgini
ishlatish qulay. Ammo bunda
f (t )
umumlashgan funksiyaning ayrim
nuqtalardagi
ega
emas.
qiymati
ma’noga
Undan
tashqari,
ba’zan
( f , )  ( f (t ),  (t )) belgining o‘rniga
 f (t ) (t )dt
belgini ham ishlatamiz, vaholanki, klassik analiz nuqtai nazaridan bu integral
ma’noga ega emas.
359
12.2-§. Umumlashgan funksiyalar ustida amallar
1. f (t ) umumlashgan funksiyaning  songa ko‘paytmasi deb ushbu
( f , )   ( f , )  ( f , )
uzluksiz chiziqli funksionalga aytiladi. Regulyar f funksional uchun bu amal
lokal integrallanuvchi f (t ) funksiyani  songa ko‘paytirishdan iborat.
2. Ikki f(t) va g(t) umumlashgan funksiyaning yig‘indisi deb, ushbu
( f  g , )  ( f , )  ( g ,  )
tenglik bilan aniqlangan f  g funksionalga aytiladi. Agar f va g lar regulyar
bo‘lsa, u holda ularning yig‘indisi ham regulyar bo‘lib, lokal integrallanuvchi
f(t) va g (t} funksiyalarning yig‘indisiga teng.
3. f umumlashgan funksiya va umumlashgan funksiyalarning {fn} ketmaketligi berilgan bo‘lsin. Agar har bir   E uchun ( f n ,  ) sonlar ketma-ketligi
n   da ( f ,  ) songa intilsa, {fn} ketma-ketlik f ga yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar fn funksiyalar uzluksiz funksiyalar bo‘lib, {fn} ketma-ketlik f
uzluksiz funksiyaga tekis yaqinlashsa, u holda bu { f n } ketma-ketlik
umumlashgan funksiyalar ketma-ketligi sifatida ham f ga yaqinlashadi.
Haqiqatan, { f n } ketma-ketlik sifatida f ga tekis yaqinlashgani sababli har qanday
  E uchun ushbu
 f (t ) (t )dt
n
integral ostida limitga o‘tish mumkin.
Kiritilgan yaqinlashish ma’lum yaqinlashishlarga nisbatan kengroq
ma’noda yaqinlashish ekanligini misolda ko‘ramiz.
Ushbu f n (t )  sin nt funksiyalar ketma-ketligi biror funksiyaga na tekis
yaqinlashadi va na har bir nuqtada yaqinlashadi. Ammo bu ketma-ketlik
umumlashgan funksiyalar sifatida esa nolga yaqinlashadi. Haqiqatdan, ushbu

(sin nt , )   sin nt  (t )dt

360
son  funksiyaning Furye koeffitsenti sifatida n   da nolga yaqinlashishi
matematik analiz kursidan ma’lum.
4. f (t ) umumlashgan funksiya hosilasining ta’rifini berishdan oldin f (t )
regulyar, uning hosilasi mavjud va f (t ) uzluksiz bo‘lgan holni ko‘raylik. Bu
holda ushbu
( f , )   f (t ) (t )dt
funksionalni olishimiz mumkin. Bu integralni bo‘laklab integrallab,  (t )
funksiyaning biror [a,b] oraliqning tashqarisida nol ekanligini hisobga olsak,
 
( f , )  f (t ) (t )   f (t )   (t )dt  ( f ,   )
(1)
 
Bu tenglikni umumlashgan funksiya hosilasining ta’rifi sifatida qabul
qilamiz. Shunday qilib, ushbu
( g , )  ( f ,  )
(2)
tenglik bilan aniqlangan g umumlashgan funksiya f ning hosilasi deb ataladi va
f  yoki
df
kabi belgilanadi.
dt
1-teorema. Har qanday umumlashgan funksiyaning hosilasi mavjud.
Isboti. Har bir   E uchun    E bo‘lgani sababli g funksional butun E
da aniqlangan. Uning chiziqli ekanligi ravshan. Uzluksizligini ko‘rsatamiz.
E da nolga yaqinlashuvchi biror {n } ketma-ketlik olamiz. E dagi
yaqinlashish ta’rifiga muvofiq, bu holda {n } ketma-ketlik ham nolga intiladi.
Bundan va f funksionalning uzluksizligidan
( g , n )  ( f , n )  0
ya’ni g ham uzluksiz.*
Natija. Har qanday umumlashgan funksiyaning hamma tartibli hosilalari
mavjud.
Ushbu
( f1  f 2 )  f1  f 2 ,
( f )   f 
361
qoidalar o‘rinli ekanligi ravshan.
Agar f (t ) funksiya uzluksiz bo‘lib, soni chekli nuqtalardan boshqa
barcha nuqtalarda oddiy ma’nodagi hosilasi mavjud va f (t ) integrallanuvchi
bo‘lsa, f (t ) funksiyaning umumlashgan ma’nodagi hosilasi oddiy ma’nodagi
f (t )
funksiyaga mos keluvchi regulyar funksiyaga tengligi bevosita
ko‘rsatiladi.
5. Ixtiyoriy ikkita umumlashgan funksiyaning ko‘paytmasi tushunchasi
umumiy holda kiritilmagan.
Ammo ixtiyoriy umumlashgan funksiyaning barcha hosilalari mavjud h(t)
funksiyaga ko‘paytmasini ta’riflash mumkin. Barcha hosilalari mavjud h(t)
funksiyaning f(t) umumlashgan funksiyaga ko‘paytmasi deb, ushbu
(h  f ,  )  ( f , h )
tenglik bilan aniqlangan h  f
funksionalga aytiladi. Bu tenglikning o‘ng
tomonidagi funksional ma’noga ega, chunki har qanday  (t ) finit funksiyaning
h(t) funksiyaga ko‘paytmasi yana finit funksiyadir. Undan tashqari, E fazoda  n
ketma-ketlik nolga intilsa, shu fazoda hn ham nolga intiladi. Bundan ta’rifdagi
f(t) funksionalning uzluksizligi kelib chiqadi. Demak, barcha tartibli hosilalari
mavjud bo‘lgan h(t ) funksiyaning f(t) umumlashgan funksiyaga ko‘paytmasi
aniqlandi. Agar f(t) regulyar bo‘lsa, uning
h(t )
ga ko‘paytmasi bu
funksiyalarning odatdagi ko‘paytmasiga teng. Ushbu
(h  f )  hf   hf
qoida o‘rinli ekanligi oson tekshiriladi.
Misollar. 1. Ushbu Xevisayd funksiyasi
1, agar t  0,
0, agar t  0
 (t )  
ning hosilasini hisoblaymiz. Hosilaning ta’rifiga ko‘ra



0
( (t ), (t ))  ( (t ),  (t ))     (t ) (t )dt     (t ) dt   (0)
362
12.1-§ da berilgan delta-funksiyaning ta’rifiga muvofiq
 (t )   (t ) .
Endi  (t ) ni hisoblaymiz:
 (t )   (t ),( ,  )  ( ,)  (0) .
Shunga o‘xshash
( ( m) , )  (1)m ( ,  ( m) )  (1)m ( m) (0)
munosabatlar isbotlanadi.
Tayinlangan t0 uchun  (t  t0 ) funksiyaning hosilasi yuqoridagiga
o‘xshash hisoblanadi:
 (t  t0 )   (t  t0 )
2. Endi biror f(t) funksiya birgina t0 nuqtada uzilishga ega bo‘lib, bu
uzilish birinchi turdagi uzilish bo‘lsin. Qolgan barcha nuqtalarda uning odatdagi
f (t ) hosilasi mavjud bo‘lsin. f(t) funksiyaning t0 nuqtadagi sakrashini p0 bilan
belgilaymiz,
bunda
p0
sonning
ishorasi
quyidagicha
olinadi:
agar
lim f (t )  lim f (t ) bo‘lsa, p0 musbat va aks holda manfiy, ya’ni
t t0 0
t t0 0
p0  lim f (t )  lim f (t ) .
t t0 0
t t0 0
Ushbu
g (t )  f (t )  p0 (t  t0 )
funksiyani olsak, u hamma yerda uzluksiz bo‘lib, t0 dan boshqa barcha
nuqtalarda hosilasi mavjud. Bu holda
g (t )  f (t )  p0 (t  t0 ) ,
ya’ni
g (t )  f (t )  p0 (t  t0 )
yoki
f  (t )  g (t )  p0 (t  t0 )
Agar f (t ) ning uzilishlari bitta emas, balki bir nechta t1, t2 ,..., tn
nuqtalarda bo‘lsa, u holda
363
n
f (t )  g (t )   pi (t  ti ) .
i 1
6. Har bir umumlashgan funksiyaga uning hosilasini mos qo‘yuvchi aks
ettirish E' fazoni o‘zini o‘ziga akslantiruvchi chiziqli operator ekanligi ravshan.
Bu operator differensiallash operatori deyiladi.
2-teorema. E' fazoda differensiallash operatori uzluksizdir.
Isboti. Umumlashgan funksiyalar ketma-ketligi { f n } umumlashgan f
funksiyaga yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy   E uchun
( f n,  )  ( f n , )  ( f , )  ( f ,  )
ya’ni f n  f  .*
Matematik analiz kursidan ma’lumki, oddiy funksiyalardan tuzilgan tekis
yaqinlashuvchi
ketma-ketliklar
bunday
xossaga
ega
emas.
Masalan,
1
f n (t )  sin nt ketma-ketlik nolga tekis yaqinlashadi-yu, ammo f n (t )  cos nt
n
hosilalardan iborat ketma-ketlik hech qanday funksiyaga tekis yaqinlashmaydi.
Umumlashgan funksiyalar fazosida esa 2-teoremaga asosan f n(t ) ketma-ketlik
nolga yaqinlashadi; buni bevosita hisoblab ko‘rish mumkin:
b
b
1
( f n, )   cos nt (t )dt    sin nt (t )dt  0
na
a
bunda [a,b] shunday oraliqki, undan tashqarida  (t ) aynan nolga teng.
Bu teoremadan bevosita quyidagi natija olinadi.
Natija.
Agar
gn
umumlashgan
funksiyalardan
tuzilgan
g1  g2  ...  gn  ... qator g umumlashgan funksiyaga yaqinlashsa, u holda
g1  g2  ...  gn  ...  g .
Demak, umumlashgan funksiyalardan iborat yaqinlashuvchi qatorni
hadma-had differensiallash mumkin.
2-teoremaning tatbiqiga bir nechta misol ko‘ramiz. Davri 2 bo‘lgan
lokal integrallanuvchi f (t ) funksiyani olib, uning
364
2
1
an 
f (t )e int dt

2 0
Furye koeffitsientlari yordamida tuzilgan

ae
n 
int
(3)
n
Furye qatorini ko‘ramiz.
Matematik analiz kursidan ma’lumki, (3) qator f (t ) funksiyaga tekis yoki
har bir nuqtada yaqinlashmasligi ham mumkin. Ammo umumlashgan
funksiyalar uchun ahvol boshqacha.
3-teorema.
(3) qator umumlashgan funksiyalar fazosida
f (t ) ga
yaqinlashadi.
Isboti. Ushbu
t
f1 (t )   [ f (t )  a0 ]dt
0
funksiyani olib, uning uchun f1 (2 ) ni hisoblaymiz:
2
2
1
f1 (2 )   f (t )dt  2 
f (t )dt  0
2 0
0
f ning davri 2 bo‘lgani uchun f1 (t ) ham davri 2 bo‘lgan funksiya. Bu
funksiyaning Furye koeffitsientlarini ko‘ramiz:
2
1
bn 
e int f1 (t )dt .

2 0
Endi
u  f1 (t ), e
 int
e int
dt  dv, v 
in
deb, oxirgi integralni bo‘laklab integrallasak,
2
1
bn 
[ f (t )  a0 ]e int dt ,

2 in 0
ya’ni b0  0 va n  0 da
365
bn 
an
in
(4)
Endi ushbu
t
f 2 (t )   f1 (t )dt
0
funksiyani olsak, u ham davriy bo‘lib, differensiallanuvchi funksiyadir, chunki
f1 (t ) funksiya jamlanuvchi
f (t ) funksiyaning aniqmas integrali sifatida
uzluksizdir. So‘ng f 2 (t ) ning Furye koeffitsientlarini cn bilan belgilab, f1 (t )
ning koeffitsientlari orqali (4) formula yordamida ifodalasak,
cn 
bn
in
bo‘ladi. Bu yerga (4) dan bn ning qiymatlarini qo‘ysak,
cn 
an
.
n 2
(5)
Endi f 2 (t ) differensiallanuvchi bo‘lgani uchun matematik analiz kursidan
ma’lumki, uning

ce
n 
int
n
Furye qatori f 2 (t ) funksiyaga tekis yaqinlashadi:

f 2 (t )   cneint .
n 
U holda bu qator f2 ga umumlashgan funksiyalar fazosida ham
yaqinlashadi.
Bu qatorni umumlashgan funksiyalar qatori sifatida qarab, uni
differensiallaymiz:

f 2(t )   cn (eint )
n 
Bundan

f1 (t )   incneint .
n 
366
Bu
qatorni
yana
umumlashgan
funksiyalar
qatori
sifatida
differensiallasak,

f1 (t )   (in) 2 cneint .
n 

Bundan va (5) dan f (t )   aneint .*
n 
7. Umumlashgan funksiyalar uchun yuqorida kiritilgan amallar har bir
umumlashgan y (t ) funksiya uchun ushbu
b(t )  a0 (t ) y(t )  ...  an (t ) y ( n) (t )
ko‘rinishdagi ifodalarni qarashga imkon beradi. Agar bunday ifodani nolga
tenglasak, umumlashgan funksiyalar fazosidagi ushbu
a0 (t ) y(t )  ...  an (t ) y ( n) (t )  b(t )
differensial tenglamaga kelamiz. Dastlab eng sodda ko‘rinishdagi ushbu
dy
0
dt
(6)
tenglamani umumlashgan funksiyalar fazosida yechamiz.
4-teorema. (6) tenglamaning umumlashgan funksiyalar fazosidagi
umumiy yechimi y  C ( const ) , ya’ni ( y, )   C (t )dt bo‘ladi.
Isboti. (6) tenglama ushbu
( y, )  ( y,  )  0
(7)
tenglamaga ekvivalent. Bu yerda   E ixtiyoriy bo‘lgani sababli y(t)
umumlashgan funksiya biror asosiy funksiyaning hosilasiga teng bo‘lgan har bir
 (t ) funksiyada nolga teng. Bunday  (t ) funksiyalar to‘plamini E0 bilan
belgilaymiz. Endi y(t) funksionalni E0 qism fazodan butun E fazoga qanday
davom ettirish mumkinligini tekshiramiz. Buning uchun biror asosiy  (t )
funksiyaning boshqa bir  (t ) asosiy funksiyaning hosilasi bo‘lishi shartlarini
topamiz. Biror   E uchun  (t )   (t ) faraz qilaylik. Bundan va  ning
finitligidan
367






  (t )dt    (t )dt   (t )  0 ,
ya’ni

  (t ) dt  0
(8)

Aksincha, biror   E uchun (8) shart bajarilsa, u holda ushbu
t
 (t )    ( s)ds

funksiya finit va  (t )   (t ) . Endi ushbu

  (t ) dt  1
1

shartni qanoatlantiruvchi biror 1  E funksiyani olamiz. Ixtiyoriy   E
funksiyani ushbu
  1  0 , 0  E0
(9)
ko‘rinishda ifodalash mumkin. Darhaqiqat,

    (t )dt
(10)

deb olsak, u holda   1  E0 va 0 sifatida   1 funksiyani olish kifoya.
Endi bevosita (6) tenglamani yechishga o‘tamiz. f umumlashgan funksiya
(6) tenglamaning ixtiyoriy yechimi bo‘lsin. U holda (9) dan foydalansak,
( f , )  ( f ,1  0 )   ( f ,1 )  ( f ,0 )   ( f ,1 )
bo‘ladi, chunki ( f ,0 )  0 . Bu yerda ( f ,  ) -o‘zgarmas.Uni S bilan belgilasak,
(10) ga binoan
( f , )   C (t )dt .
Ko‘ramizki, (6) tenglamaning umumlashgan funksiyalar fazosidagi har bir
yechimi oddiy ma’nodagi funksiyadir, ya’ni regulyardir.*
Yechimi singulyar funksiya bo‘lgan tenglamaga misol keltiramiz.
Ushbu
368
t
dy
0
dt
tenglamani ko‘ramiz. Ravshanki, bu tenglamaning ikkita chiziqli erkli yechimi
mavjud:
y1  1, y2   (t ) ,
bu yerda  (t ) funksiya 1-misolda ko‘rilgan Xevisayd funksiyasi. Umumiy
yechim bu yechimlarning chiziqli kombinatsiyasi ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Endi bir jinsli bo‘lmagan eng sodda ushbu
dy
 f
dt
(11)
tenglamani ko‘ramiz.
5-teorema. Har qanday f umumlashgan funksiya uchun (11) tenglama
umumlashgan funksiyalar fazosida yechimga ega.
Bu
teoremaning
isboti
4-teoremaning
isbotiga
o‘xshash.
Agar
umumlashgan u0 funksiya (11) tenglamaning biror yechimi bo‘lsa, u holda 4teoremaga asosan bu tenglamaning umumiy yechimi u=u0+S bo‘ladi.
12.3-§. Furye almashtirishi
1. Matematik analiz kursida davri 2 bo‘lgan funksiyalarni ushbu

f (t )   aneint
(1)
n 
ko‘rinishda tasvirlash, ya’ni Furye qatoriga yoyish masalasi ko‘rilgan edi, bunda

1
an 
f ( s) eins ds

2 
(2)
Agar f (t) funksiyaning davri boshqacha, masalan, 2 l bo‘lsa, u holda (1)
va (2) formulalar mos ravishda ushbu

f (t )   ane
n
i t
l
,
(3)
n 
369
l
n
i s
1
an 
f ( s) e l ds

2 l  l
(4)
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Qulaylik uchun (3) ifodada e
n
i t
l
funksiya oldidagi an koeffitsient o‘rniga
a n yozamiz:
l

f (t )   a n e
n 
n
i t
l
(5)
l
u holda (4) ifoda
l
n
 in
1
an 
f ( s)e l ds

2 l  l
l
(6)
ko‘rinishga ega bo‘ladi. (5) va (6) dan

l
n
i (t s )
1
f (t )  
f ( s)e l ds .

n  2 l  l
(7)
Bundan
l
n
i (t s )

n  (n  1)  1
l
f (t )  
f
(
s
)
e
ds



l
n 
 2  l


Endi  n 
(8)
n
n n 1
va  n  
belgilashlarni kiritsak, (8) dan ushbu
l
l
l
 1 l

 n (t s )
f (t )    n 
f
(
s
)
e
ds


2

n 
 l



(9)
ifodaga kelamiz. (9) da l ni cheksizga intiltirsak va undagi mos ifodalarning
limiti mavjud deb faraz qilsak, u holda (9) ko‘rinishdagi integral yig‘indilar
 1 

f (t )   d 
f ( s)ei n (t s ) ds 


 2 


(10)
integralga yaqinlashadi.
Shunga o‘xshash, (3) va (4) ifodalar mos ravishda quyidagi ifodalarga
intiladi:
370

1
f (t ) 
 ( )ei t d ,

2 
(11)

 ( )   f (t )ei t dt
(12)

Oxirgi ifoda bilan aniqlangan  ( ) funksiya f(t) funksiyaning Furye
almashtirishi (Furye integrali) deyiladi. (11) formula Furye almashtirishning
teskarilash formulasi yoki Furyening teskari almashtirishi deyiladi. Qulaylik


uchun f(t) funksiyaning Furye almashtirishini f ( ) bilan va f  f aks
ettirishni F bilan belgilaymiz. Demak,

f  Ff .
F aks ettirish Furye almashtirishi deb ataladi.
2. Endi (10), (11) va (12) integrallarning mavjudligi va F aks ettirishning
xossalariga to‘xtalamiz.
Dastavval, ikki yordamchi normalangan fazoni kiritamiz. L1 (, ) fazo
butun (, ) oraliqda integrallanuvchi funksiyalardan iborat bo‘lib, undagi
norma

f   f (t ) dt

ga teng.
C0 (,  ) fazo butun (, ) oraliqda uzluksiz va    da nolga
intiluvchi  ( ) funksiyalardan iborat bo‘lib, undagi norma
  max  ( ) .
 
Agar f (t ) funksiyani integrallanuvchi deb faraz qilsak, u holda har bir
  (, ) uchun (12) integral mavjud. Bunga asosan
F akslantirishni
L1 (, ) fazoda aniqlangan deb hisoblaymiz.
Bevosita ko‘rinadiki, F akslantirish L1 (, ) da aniqlangan chiziqli
operatordir.
371
1-teorema. F Furye almashtirishi
L1 (, )
normalangan fazoni
C0 (, ) normalangan fazoga aks ettiruvchi uzluksiz chiziqli operatordir.
Isboti.
f  L1 (, )
Dastavval, har bir
uchun
F (t )  C0 (, )
ekanligini ko‘rsatamiz. f(t) funksiyaning integrallanuvchanligidan va (12) dan
ushbu


f ( )   f (t ) dt
(13)


tengsizlikni olamiz. (13) tengsizlikdan f ( ) fuknsiyaning chegaralanganligi
hamda

sup f ( )  f
(14)
 
tengsizlik kelib chiqadi.

Endi f ( ) funksiyaning uzluksizligini va    da nolga intilishini
dastavval pog‘onali funksiyalar uchun ko‘rsatamiz.
Agar f(t) funksiya (a,b) intervalning xarakteristik funksiyasi, ya’ni
1, t  (a, b)
f (t )  
_
0, t (a, b)
bo‘lsa, uning uchun

b
f ( )   e
 i t
a
ei a  ei t
.
dt 
i

Bu ifodadan f ( ) funksiyaning butun (, ) oraliqda uzluksizligi va
   da nolga intilishi kelib chiqadi.
Ixtiyoriy f(t) pog‘onali funksiya xarakteristik funksiyalarning chiziqli
kombinatsiyasidan iborat bo‘lganligi sababli, F aks ettirishning chiziqli

operatorligidan f ( ) funksiyaning butun (, ) oraliqda uzluksizligi hamda
   da nolga intilishi kelib chiqadi.
Endi ixtiyoriy
f (t )  L1 (, )
372
funksiyani olsak, u holda norma
ma’nosida f(t) funksiyaga yaqinlashuvchi pog‘onali funksiyalarning { f n (t )}
ketma-ketligi mavjud.
(14) tengsizlikdan foydalanib, bu { f n } ketma-ketlik uchun ushbu


sup f ( )  f n ( )  f  f n
(15)
 

tengsizlikni hosil qilamiz. (15) dan ko‘rinadiki, f n ( ) funksiyalar ketma-ketligi


butun (, ) oraliqda f ( ) funksiyaga tekis yaqinlashadi. Bundan f ( )
funksiyaning (, ) oraliqda uzluksizligi va    da nolga intilishi kelib
chiqadi. Demak, agar f  L1 (, ) bo‘lsa, F (t )  C0 (, ) .
Nihoyat, F chiziqli operatorning uzluksizligi (15) tengsizlikdan kelib
chiqadi.*
(1) qator f(t) funksiyaga yaqinlashmasligi mumkin bo‘lganidek, (11)
munosabat ham o‘rinli bo‘lmasligi mumkin. Furye qatorlari nazariyasida (1)
qatorning f(t) ga yaqinlashish sharti (Dini sharti) ko‘rilgan. Bu shartga o‘xshash
shart Furye integrallari uchun ham mavjud.
Dastlab yordamchi tushunchalar kiritamiz. Agar biror   0 uchun

f (t  s)  f ( s)
ds  

s

o‘rinli bo‘lsa, u holda f(t) funksiya uchun t nuqtada Dini sharti bajarilgan
deyiladi.
Har bir f  L1 (, ) uchun fˆ ( )  C0 (, ) bo‘lgani tufayli, har
qanday N uchun ushbu
N

1
f ( )ei t dt

2  N
(16)
integral mavjud. Bu integralni f N (t ) orqali belgilaymiz. Agar
lim f N (t )
N 
mavjud bo‘lsa, uni
373


1
f ( )ei t dt

2 
bilan belgilaymiz.
f  L1 (, )
2-teorema. Agar
funksiya t nuqtada Dini shartini
qanoatlantirsa, u holda
lim f N (t )
N 
mavjud va


1
f (t )  lim f N (t ) 
f ( )ei t dt

N 
2 
bo‘ladi.
Isboti. Dastlab (16) integralni f(t) funksiya orqali ifodalaymiz:
N 



1
1 
i t
i ( t  s )
f N (t ) 
f
(

)
e
dt

f
(
s
)
e
ds

 d
 
2 N
2 

(17)
Qavs ichidagi integral  parametrga nisbatan tekis yaqinlashuvchiligidan
(17) ifoda  va s bo‘yicha integrallarning o‘rnini almashtirish mumkin:

 N i (t  s ) 
1
f N (t ) 
 f (s) N e d  ds 
2 

1
eiN (t  s )  e iN (t  s )
 f (s) i(t  s)  ds  .
2 

1

 f (s)
 
sin N (t  s)
ds
ts
Oxirgi integralda t  s  h almashtirish bajarilib ushbu

1
sin Nh
f N (t ) 
f (t  h)
dh

2 
h
(18)
integralga kelamiz.
(18) integralni baholashda ixtiyoriy N uchun ushbu
1

sin Nh
dh  1
h

 
tenglikdan foydalanamiz (bu tenglik, masalan, Fixtengolts G.M. “Matematik
374
analiz asoslari”, 2-tom, XVII bob. 3-§, 132-betda isbotlangan).
Endi f N (t )  f (t ) ayirmani quyidagicha yozib olamiz.
f N (t )  f (t ) 
1

[ f (t  h)  f (t )]
 

sin Nh
dt
h
Biror tayin h1  0 son olib, bu integralni quyidagi ikki integralning
yig‘indisi ko‘rinishida yozamiz:
f N (t )  f (t )   [ f (t  h)  f (t )]
h h1
sin Nh
sin Nh
dh   [ f (t  h)  f (t )]
dh .
h
h
h h1
(19)
Endi ikkinchi integralni quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz:

f (t  h)
h h1
sin Nh
sin Nh
dh  f (t ) 
dh .
h
h
h  h1
f integrallanuvchi bo‘lgani uchun berilgan t da va yetarli katta h1 da oxirgi
ifoda N  1 ning qandayligidan qat’iy nazar istalgancha kichik qilinishi
mumkin.
(19) ifodaning birinchi hadi ushbu
f (t  h)  f (t )
sin Nh dh
h
 h1
h1

(20)
ko‘rinishga ega.
1-teoremada (12) ko‘rinishdagi integralning    da nolga intilishini
ko‘rsatgan edik. Shunga o‘xshash, har bir integrallanuvchi g (t ) funksiya uchun
ushbu

 g (h)sin Nh dh

integralning N   da nolga intilishi ko‘rsatiladi.
Xususan, (20) integral ham nolga intiladi, chunki,
g ( h) 
f (t  h)  f (h)
h
funksiya integrallanuvchi (Dini sharti).
375
Shunday qilib, (19) ifodaning ikkala hadi ham nolga intiladi. Demak,
lim f N (t )  f (t ) .*
N 
Misol. Ushbu
f (t )  e at (a  0)
2
funksiyaning Furye almashtirishini topamiz. Ta’rifga muvofiq


f ( )   e at ei t dt .
2
(21)

Bu ifodani e az i z , z  x  iy analitik funksiyadan Ox o‘q bo‘yicha
2
olingan integral deb qarash mumkin. Ushbu
e a ( xty ) i ( xiy )  e ax ay  y
2
2
2
tenglikka muvofiq har bir Ay0  { y : y  y0} to‘plamda ushbu
e az i z
2
(22)
funksiya x   da y ga nisbatan tekis nolga intiladi. Shuning uchun analitik
funksiyalar nazariyasidagi Koshi teoremasiga asosan hisoblanayotgan (21)
integral Ox o‘qqa parallel bo‘lgan ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq bo‘yicha (22)
funksiyadan olingan integralga teng:


f ( )   e  a ( x iy ) e i ( x iy ) dx 
2


  e  ax  ay  y 2 aixy i x dx 
2
2
.

e
 ay 2  y

 ax ix ( a 2 y  )
dx
e
2

Endi y  

2a
deb olamiz. U holda ay   y  
2


2 
f ( )  e 4 a  e ax dx .

Matematik analiz kursidan Ushbu
376
2
2
4a
va

 ax
 e dx 
2

a

tenglik ma’lum. Bunga asosan


2
f ( )  e 4 a

a
.
3. Endi Furye almashtirishlarining differensiallash operatori bilan
bog‘lanishini o‘rganamiz. f(t) funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

 f (t ) dt  
1)

2) f(t) funksiya ( : ) oraliqning har bir nuqtasi atrofida absolyut
uzluksiz;
3) f(t) funksiyaning f (t ) hosilasi mavjud va

 f (t ) dt   .

Oxirgi shartga muvofiq ushbu
t
f (t )  f (0)   f (t )dt
0
funksiyaning t   da limiti mavjud. Bu limit nolga teng, chunki aks holda f(t)
funksiya integrallanuvchi bo‘lmas edi. Xuddi shunday holat t   da ham
o‘rinli.
Endi f (t ) funksiyaning Furye almashtirishini hisoblaymiz:

F ( f )   f (t )e
 i t
dt  f (t )e
 it 



i  f (t )e it dt
(23)

bu yerda bo‘laklab integrallash qo‘llaniladi. (23) ifodadagi birinchi had yuqorida
ko‘rsatilganiga binoan nolga teng. Bunga asosan (23) dan
F ( f )  i F ( f )
(24)

Shunday qilib, f(t) funksiyadan hosila olishga f (t ) funksiyani i ga
ko‘paytirish mos kelar ekan. Agar f(t) funksiyaning m-tartibgacha hosilalari
377
mavjud bo‘lsa, u holda (24) ga binoan
F ( f ( k ) )  (i )k F ( f ) .
(25)
Umuman, agar P(x) bir argumentli biror ko‘phad bo‘lsa va bu argument
d
d
differensiallash operatorini qo‘ysak, u holda P( ) ko‘rinishdagi
dt
dt
o‘rniga
operator hosil bo‘ladi. (25) formuladan foydalanib, ushbu
F ( P(
d
) f )  P(i ) F ( f )
dt
umumiy formulani topamiz.
4. Endi Furye almashtirishi bilan o‘rama amali orasidagi munosabatni
topamiz.
Absolyut integrallanuvchi f1 (t ) va f 2 (t ) funksiyalar berilgan bo‘lsin.




Ushbu f 1 ( )  f 2 ( ) ko‘paytmaning shaklini o‘zgartiramiz:

f 1 ( )  f 2 ( )   f1 (t )e
 i t


dt   f 2 ( s)e

 i t
 
ds    f1 (t ) f 2 ( s)e i (t  s )dtds ,
 
bu yerda, oxirgi karrali integral Fubini teoremasiga ([HO‘FN], 61-§) asosan
yaqinlashuvchi. Oxirgi integralda s=h-t almashtirish bajarsak,





 i h
 t h
f 1 ( )  f 2 ( )   f1 (t )   f 2 (h  t )e dh  dt   e   f1 (t ) f 2 (h  t )dt  dh









(25′)
bu yerdan Fubini teoremasiga asosan integrallarning o‘rnini almashtirish
mumkin. Oxirgi ifodada qavs ichidagi integral, ya’ni

f (t )   f1 (h) f 2 (t  h)dh
(26)

Fubini
teoremasining
tasdig‘iga
asosan
mavjud
bo‘lib,
Fubini
teoremasining boshqa tasdig‘iga asosan absolyut integrallanuvchi. (26) ifoda
bilan aniqlangan f(t) funksiya f1 va f 2 funksiyalarning o‘ramasi deyiladi. (25′)


formula ko‘rsatadiki, f 1 ( )  f 2 ( ) ko‘paytma f1 (t ) va f 2 (t ) funksiyalar
378
o‘ramasining Furye almashtirishiga teng ekan.
f1 va f 2 funksiyalarning o‘ramasi odatda f1 * f 2 orqali belgilanadi.
Hozirgina olingan natijani ushbu
F ( f1 * f 2 )  F ( f1 )  F ( f 2 )
ko‘rinishda yozish mumkin.
Bundan, xususan, o‘rama amalining kommutativ va assotsiativ ekanligi
kelib chiqadi.
5. Endi Furye almashtirishini issiqlik o‘tkazish tenglamasini yechishga
qo‘llaymiz. u ( x, t ) funksiya (  x  , t  0) sohada aniqlangan bo‘lsin.
Ushbu
u ( x, t )  2u ( x, t )

,
t
x 2
ya’ni
ut ( x, t )  uxx ( x, t )
(27)
differensial tenglama issiqlik o‘tkazish tenglamasi deyiladi. Odatda (27)
tenglamaning t=0 da berilgan u0 ( x) funksiyaga teng bo‘lgan yechimi izlanadi.
Bu masalaning ma’nosi quyidagicha: bir jinsli cheksiz uzun sterjenning t=0
vaqtdagi temperaturasini bilgan holda ixtiyoriy t>0 vaqtdagi temperaturasi
topilsin. Bu masalani yechishda u ( x, t ) funksiyaga quyidagi shartlarni qo‘yamiz:
a) u( x, t ), ux ( x, t ), uxx ( x, t ) funksiyalar har bir t  0 nuqtada x ga nisbatan
( : ) oraliq bo‘yicha integrallanuvchi;
b) shunday (x) funksiya mavjudki, har bir 0  t  T oraliqda

ut ( x, t )  ( x),
 ( x)dx  

Endi (27) tenglamaning ikki tomoniga x ga nisbatan Furye almashtirishini
tatbiq qilamiz. U holda b) shartga asosan ushbu


u ( x, t )

F(
)   ut ( x, t )  ei x dx 
u ( x, t )ei x dx

t
x 

tenglikni hosil qilamiz. Agar u ( x, t ) ning x ga nisbatan Furye almashtirishini
379
v( , t ) bilan belgilasak,
F(
u ( x, t )

)  F (u ( x, t ))  vt ( x, t )
t
t
Endi a) shartga muvofiq
F (uxx ( x, t ))  (i )2 F (u( x, t ))   2 F (u( x, t ))   2v( , t ) .
Natijada (27) tenglama ushbu
1 ( , t )   2 ( , t )
(28)
oddiy differensial tenglamaga keladi.
(27) tenglama uchun masalaning qo‘yilishiga muvofiq (28) tenglamaning
shunday yechimi topilishi kerakki, u t=0 da ushbu

0 ( )  F (u0 ( x))   u0 ( x)ei x dx

funksiyaga teng bo‘lishi kerak. Ravshanki, bunday yechim ushbu
 ( , t )  e t0 ( )
2
ko‘rinishga ega. Yuqorida ko‘rgan misolimizga muvofiq
 1 x 
 F
e 4t  .
 2 t



2
e
 2t
1
ga teng deb olish
4t
(2-teoremadan keyin ko‘rilgan misolda a parametrni
kerak).
O‘rama amali formulasiga muvofiq,
 1 x 
 1 x

4t
 ( , t )  F 
e  F (u0 )  F 
e 4t * u0 ( x)  .
 2 t

 2 t





2
2
Endi  ( , t )  F (u( x, t )) ekanligini eslasak,
u ( x, t ) 
1
2 t
e

x2
4t
* u0 ( x ) 
1


2  t 

s2
4t
e u0 ( x  s)ds .
Topilgan bu yechim Puasson integrali deyiladi.
6. Endi L2 (, ) fazoda Furye almashtirishi bilan shug‘ullanamiz.
380
Kvadrati (, ) oraliqda integrallanuvchi bo‘lgan funksiyalar to‘plamini
L2 (, ) bilan belgilaymiz. Bu fazoni ushbu

 f (t ) dt
f 
2

norma bilan birga ko‘ramiz.
Agar (, ) oraliqda aniqlangan f(t) funksiyaning kvadrati bu oraliqda
integrallanuvchi bo‘lsa ham, lekin uning o‘zi bu oraliqda integrallanuvchi
bo‘lishi shart bo‘lib, o‘zi esa integrallanuvchi emas.
Masalan,
f (t ) 
1
1 t
2
funksiyaning
kvadrati
(, )
oraliqda
integrallanuvchi bo‘lib, o‘zi esa integralanuvchi emas.
Shuning uchun f  L2 (, ) funksiyaning shu vaqtgacha ko‘rilgan
ma’nodagi Furye almashtirishi mavjud bo‘lmasligi mumkin.
Quyidagi isbotsiz berilgan teorema L2 (, ) fazoda ham Furye
almashtirishi kiritish mumkinligini ko‘rsatadi.
Teorema. (Plansherel teoremasi). Har bir f (t )  L2 (, ) funksiya
uchun ushbu
N
 N ( )   f (t )eit dt
N
integral  argumentga nisbatan L2 (, ) fazoning elementi bo‘lib, N  
da L2 (, ) metrikasida biror  ( )  L2 (, ) funksiyaga intiladi. Bunda


  ( ) d  2  f (t ) dt .
2
2



Agar f (t )  L2 (, ) L1 (, ) bo‘lsa, u holda  ( )  f ( ) .
Mashq uchun masalalar
381
1. Agar har qanday  (t ) asosiy funksiya uchun ( f , )  ( g , ) bo‘lsa, f(t)
va g(t) umumlashgan funksiyalar teng deyiladi. Xususan, agar har qanday  (t )
asosiy funksiya uchun
( f , )  0
bo‘lsa, f(t) umulashgan funksiya nolga teng deyiladi.
a) Ushbu
0, agar t  1,2, t  R bo ' lsa,

f (t )  1, agar t  1 bo ' lsa,
2, agar t  2 bo ' lsa

funksiya nolga teng umumlashgan funksiya ekanini ko‘rsating.
b) Ushbu
0, agar t  0 bo ' lsa,
1, agar t  0 bo ' lsa,
 (t )  
va
0, agar t  0 bo ' lsa,

1 (t )  2, agar t  1 bo ' lsa,
1, agar t  0 bo ' lsa

funksiyalar umumlashgan funksiya sifatida o‘zaro teng ekanligini ko‘rsating.
2. Ushbu

( f , )   (n)   (0)   (1)   (2)  ...
n 0
3. Agar har qanday manfiy bo‘lmagan  (t ) asosiy funksiya uchun
( f , )  0
bo‘lsa, f(t) umumlashgan funksiya musbat deyiladi.
Agar har qanday manfiy bo‘lmagan  (t ) asosiy funksiya uchun
( f  g,  )  0
bo‘lsa, f umumlashgan funksiya g umumlashgan funksiyadan katta deyiladi va
f  g kabi yoziladi.
a)  (t ) funksiyaning musbat ekanligini ko‘rsating.
382
b) Ushbu
 (t )   (2t )
tengsizlikni isbotlang.
4. Quyidagi funksiyalarning Furye integralini toping:
a) f (t ) 
1
,
a2  t 2
b) f (t ) 
sin 2 at
.
t2
5. Biror f(t) funksiyaning Furye almashtirishi  ( ) 
1
   0  i 0
bo‘lsa,
funksiyaning o‘zini toping.
6. Quyidagi funksiyalar uchun Furyening teskari almashtirishini toping.
a)  ( ) 
sin a

b)  ( ) 
,
sin 2 a

.
7. To‘g‘ri chiziqdagi (0, a) integralning xarakteristik funksiyasini  a
bilan belgilaymiz, ya’ni
1, x  (0, a) uchun,
 a ( x)  
0, x(0, a) uchun
.
Quyidagi o‘ramani hisoblang:
b ( x)*
 a  h ( x)   a ( x)
h
.
8. Ixtiyoriy  ( x)  L1 (, ) funksiya uchun quyidagi munosabatni
isbotlang:
lim ( x)*
h0
 a  h ( x)   a ( x)
h
  ( x  a)
(bu yerda yaqinlashish L1 (, ) dagi norma ma’nosida).
9. L1 (, ) fazoning biron E yopiq qism fazosi har bir  ( x) funksiya
bilan birga ixtiyoriy h  R uchun  ( x  h) funksiyani ham o‘z ichiga olsin. Bu
holda har qanday   E va   L1 (, ) uchun *  E munosabatni
isbotlang.
383
XIII BOB. NORMALANGAN FAZOLARDA DIFFERENSIAL VA
INTEGRAL HISOB ELEMENTLARI
13.1-§. Kuchli va sust differensiallar
Biror normalangan X fazoning U ochiq to‘plamida aniqlangan va
qiymatlari normalangan Y fazoga tegishli bo‘lgan F : X  Y aks ettirish
berilgan bo‘lsin.
Ta’rif. U to‘plamning biron x nuqtasi uchun quyidagi ikki shartni
qanoatlantiruvchi chegaralangan Lx  L( X ,Y ) chiziqli operator mavjud bo‘lsa, u
holda F aks ettirish x U nuqtada differensiallanuvchi deyiladi:
F ( x  h)  F ( x)  Lx h   ( x, h),
|| h || 0 da
x, h  X ,  ( x, h) Y ;
(1)
|| a( x, h) ||
0.
|| h ||
(2)
Har bir h  X uchun Lx h element F aks ettirishning x nuqtadagi kuchli
differensiali yoki Freshe differensiali deyiladi. Lx chiziqli operator esa F aks
ettirishning x nuqtadagi kuchli hosilasi yoki Freshe hosilasi deyiladi va F'(x)
bilan belgilanadi.
1-teorema.
Agar
F : X Y
aks
ettirish
biror
x
nuqtada
differensiallanuvchi bo‘lsa, u yagona kuchli hosilaga egadir.
(2)
Isboti. L(1)
x va Lx chiziqli operatorlar F ning x nuqtadagi kuchli hosilalari
bo‘lsin. U holda
(2)
F ( x  h)  F ( x)  L(1)
x h  1 ( x, h)  Lx h   2 ( x, h),
ya’ni
(2)
L(1)
x h  Lx h   2 ( x, h)  1 ( x, h).
Ta’rifdagi (2) shartga asosan
|| h || 0 da
(2)
|| L(1)
x h  Lx h ||
 0.
|| h ||
(2)
Agar L(1)
x  Lx bo‘lsa, u holda biron h0  X uchun
384
(3)
(2)
|| L(1)
x h0  Lx h0 ||
   0.
|| h0 ||
Demak, ixtiyoriy   0 uchun
(2)
|| L(1)
x ( h0 )  Lx ( h0 ) ||

||  h0 ||
Olingan  sonni ixtiyoriy kichik qilish mumkin bo‘lgani sababli (3)
(2)
munosabat o‘rinli bo‘lmaydi. Demak, L(1)
x  Lx *
Hosilaning ta’rifidan uning quyidagi xossalari bevosita kelib chiqadi.
10. Agar F(x)=y0=const bo‘lsa, u holda F’(x)  0 (nol operator).
20. Agar F(x) uzluksiz chiziqli operator bo‘lsa, uning hosilasi o‘ziga teng.
Darhaqiqat,
F ( x  h)  F ( x)  F (h).
2-teorema (murakkab funksiyaning hosilasi). X, Y, Z normalangan
fazolar bo‘lib, U(x0) to‘plam biror x0  X nuqtaning atrofi, F : U ( x0 )  Y
uzluksiz aks ettirish bo‘lsin. So‘ng y0=F(x0) va V(y0) to‘plam y0  Y nuqtaning
atrofi, G : V ( y0 )  Z ham uzluksiz aks ettirish bo‘lsin. Agar F' aks ettirish x0
nuqtada, G aks ettirish y0 nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda x0
nuqtaning
biror
atrofida
aniqlangan
H=GF
funksiya
x0
nuqtada
differensiallanuvchidir va
H '( x0 )  G '( y0 ) F '( x0 ) .
(4)
Isboti. Normalangan Y fazoning elementi bo‘lgan  (h) (h  X ) ifoda
ushbu
|| a(h) ||
0
h0 || h ||
lim
shartni qanoatlantirsa, uni 0(h) bilan belgilaymiz. Shuni nazarda tutgan holda
quyidagilarni yozamiz:
F ( x0   )  F ( x0 )  F '( x0 )  0( ),   X
F ( y0   )  G( y0 )  G '( y0 )  0( ),  Y
385
Endi F'(x0) va G'(u0) chegaralangan chiziqli operatorlar ekanligidan
foydalansak,
H ( x0   )  G ( F ( x0   ))  G ( y0  F '( x0 )   ( ))  G( y0 )  G '( y0 )( F '( x0 )   ( ))
( F '( x0 )   ( ))  G( y0 )  G '( y0 ) F '( x0 )  [G '( y0 )(0( ))   ( F '( x0 )   ( ))] 
 G ( y0 )  G '( y0 ) F '( x0 )   ( ).
Chunki
|| G '( y0 )( ( ))   ( F '( x0 )   ( )) ||
||  ( ) ||
|| G '( y0 ) ||

||  ||
||  ||
||  ( F '( x0 ))   ( )) || || F '( x)   ( ) |
||  ( ) ||


|| G '( y0 ) ||

|| F '( x0 )   ( ) ||
||  ||
||  ||

||  ( ) ||  ||  ( F '( x0 )   ( )) ||
  || F '( x0 ) || 
0
||  ||  || F '( x0 )   ( ) || ||
 ||0

(bu
yerda
biz
|| F '( x0 )   ( ) |||| F '( x0 ) || ||  ||  ||  ( ) || 0
munosabatdan foydalandik). Demak, H '( x0 )  G '( y0 ) F '( x0 ) .
3-teorema. X fazoni Y fazoga akslantiruvchi F va G uzluksiz aks
ettirishlar
berilgan
bo‘lsin.
Agar
F
va
G
biron
x0  X
nuqtada
differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda F+G va aF (a - son) aks ettirishlar ham shu
nuqtada.differensiallanuvchi va
( F  G)'( x0 )  F '( x0 )  G '( x0 )
(aF )'( x0 )  aF '( x0 ) .
Isboti.Aks ettirishlarning yig‘indisi va songa ko‘paytmasining ta’rifiga
binoan
( F  G)( x0  h)  F ( x0  h)  G ( x0  h)  F ( x0 ) 
G ( x0 )  F '( x0 )h  G '( x0 )h  1 (h)
va
aF ( x0  h)  aF ( x0 )  aF '( x0 )h  2 (h).
Endi sust differensial tushunchasiga o‘tamiz. X fazoni Y fazoga
akslantiruvchi F : X  Y aks ettirish berilgan bo‘lsin. Norma ma’nosida ushbu
DF ( x, h) 
d
F ( x  th)  F ( x)
F ( x  th)  lim
t 0
dt
t
t 0
386
limit mavjud bo‘lsa, bu limit F aks ettirishning sust differensiali yoki Gato
differensiali deyiladi.
Umumiy holda, DF(x,h) sust differensial h ga nisbatan chiziqli bo‘lishi
shart emas. Agar u chiziqli bo‘lsa, ya’ni biror T chegaralangan chiziqli operator
uchun
DF(x,h)=Th
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda T sust hosila yoki Gato hosilasi deyiladi va Fc' ( x)
bilan belgilanadi. Sust va kuchli hosilalar orasidagi bog‘lanishni o‘rganadigan
bo‘lsak, bu tushunchalar hatto chekli o‘lchamli fazolarda ham turli
tushunchalardir.
4-teorema. Agar F aks ettirish kuchli hosilaga ega bo‘lsa, u sust hosilaga
ham ega va bu hosilalar o‘zaro tengdir.
Isboti. F aks ettirish kuchli hosilaga ega bo‘lgani sababli
F ( x  th)  F ( x)  F '( x)(th)   (th)  tF '( x)h   (th)
Demak,
F ( x  th)  F ( x)
 (th)
 F '( x)h 
F '( x)h
t
t 
t 0
ya’ni bu limit mavjud va h ga nisbatan chiziqli. Demak, kuchli hosila bir vaqtda
sust hosila hamdir.
Umumiy holda bu teoremaning aksi o‘rinli emas, ya’ni sust hosila
mavjudligidan kuchli hosilaning mavjudligi kelib chiqmaydi.
Misol. Ikki o‘lchamli R2 fazoni R to‘g‘ri chiziqqa aks ettiruvchi ushbu
 x13 x2
, agar (x1 ,x 2 )  (0,0)   bo ' lsa

f ( x1 , x2 )   x14  x22
 0, agar (x ,x )  (0,0)   bo ' lsa

1 2
funksiyani olamiz. Bu funksiya R2 fazoning hamma yerida uzluksiz.
(0, 0)  R 2 nuqtada uning sust differensiali mavjud va nolga teng. Darhaqiqat,
h  (h1, h2 ) uchun
387
f (  th)  f ( )
t 4h13h2
th13h2
lim
 lim 5 4 3 2  lim 2 4
0
t 0
t 0 t h  t h
t 0 t h  h 2
t
1
2
1
2
Demak, aks ettirishning (0, 0) nuqtada sust hosilasi nolga teng.
Kuchli hosila esa mavjud emas. Haqiqatan agar (0,0)-nuqtada kuchli
f '( ) hosila mavjud bo‘lsa, 4- teoremaga asosan f '( )  0 , ya’ni
f (h)  f ( )  f '( )h   ( h)   ( , h)
Bundan
|| f (h) ||
0
h
|| h ||
lim
Ammo h  (h1, h2 ) vektorni h  (h1 , h12 ) ko‘rinishda olsak,
|| f (h) ||
h12
1
lim
 lim
 0
h
h
|| h ||
2h14 h12  h14 2
Bu ziddiyat f aks ettirish (0,0) nuqtada kuchli hosilaga ega emasligini
ko‘rsatadi.
Sust hosila mavjudligidan kuchli hosila mavjudligi kelib chiqishi uchun
qo‘shimcha shartlar talab qilinadi.
5-teorema. Agar F aks ettirishning Fc' ( x) sust hosilasi x0 nuqtaning biror
U atrofida mavjud bo‘lib, x ga nisbatan x0 nuqtada uzluksiz bo‘lsa (operator
qiymatli funksiya sifatida), u holda x0 nuqtada F'(x0) kuchli hosila mavjud va
sust hosilaga teng.
Isboti. F aks ettirish sust hosilaga ega bo‘lgani sababli
DF ( x0 , h)  Fc' ( x0 )h
Umumiyatni chegaralamagan holda
U  x  X :|| x  x0 ||   
deb hisoblash mumkin. Agar || h ||  bo‘lsa, u holda, ravshanki, ixtiyoriy
t [0,1] uchun x0  th U . Shunday h ni olib, quyidagi ifodani ko‘ramiz:
 ( x0 , h)  F ( x0  h)  F ( x0 )  Fc' ( x0 )h
388
(5)
Y fazoga qo‘shma bo‘lgan Y’ fazodan biror y' element olinsa, u holda (5)
ga asosan
  ( x0 , h), y '  F ( x0  h)  F ( x0 ), y '    Fc' ( x0 )h, y '  .
(6)
t son argumentli ushbu
f (t )  F ( x0  th), y ' 
funksiya t ra nisbatan differensiallanuvchi va
df
F ( x0  th  th)  F ( x0  th)
 lim 
y  Fc' ( x0  th) h, y ' 

t

0
dt
t
Demak, f(t) sonli funksiyaga matematik analizdan ma’lum bo‘lgan chekli
orttirmalar formulasini qo‘llasak,
 F ( x0  h)  F ( x0 ), y '  f (1)  f (0) 
df
'
t   1  Fc ( x0   h)h, y '  ,
dt
bu yerda 0    1. Bunga asosan (6) formulani quyidagi ko‘rinishda tasvirlash
mumkin:
  ( x0 , h), y '  [ Fc' ( x0   h)  Fc' ( x0 )]h, y '  .
(7)
8.2-§ dan ma’lumki, ixtiyoriy y  Y uchun
|| y || sup | y, y ' | ,
y 1
xususan
||  ( x0 , h) || sup |  ( x0 , h), y ' | .
y 1
Demak, shunday y  Y ( y  1) mavjudki,
1
||  ( x0 , h) ||  |   ( x0 , h), y ' 
2
Bu tengsizlikdan va (7) munosabatdan
|  ( x0 , h) || 2 | ( x0 , h), y ' | 2  Fc' ( x0   h)  Fc' ( x0 )]h, y ' | 2 || Fc' ( x0   h)  F '( x0 )
Teoremaning shartiga ko‘ra Fc' ( x) hosila x ra nisbatan x0 nuqtada uzluksiz
bundan
lim || Fc' ( x0  th)  Fc' ( x0 ) || 0 .
h
Demak,  ( x0 , h)   (h) va
389
F ( x0  h)  F ( x0 )  Fc' ( x0 )h   (h) ,
ya’ni
Fc' ( x0 )  F '( x0 ).
Agar ko‘rilayotgan normalangan fazolarning ikkinchisi, ya’ni Y sonlar
maydoni bo‘lsa, u holda F : X  Y funksional bo‘lib, biz differensiallanuvchi
funksional tushunchasiga kelamiz. Bunda F ning x0 nuqtadagi hosilasi F'(x0)chiziqli funksionaldir, ya’ni F '( x0 )  X ' .
Misol. H haqiqiy Gilbert fazosida F(x)=||x||2 funksionalni olamiz va uning
Freshe hosilasini topamiz. Ravshanki,
|| x  h ||2  || x ||2  2( x, h) || h ||2  (2 x, h)   (h) .
Demak,
F '( x)  Fc' ( x)  2 x , ya’ni Fc' ( x)(h)  (2 x, h) .
Chekli orttirmalar formulasi.
X vektor fazoda ushbu
[ x1, x2 ]  x : x  x1  t ( x2  x1 ), 0  t  1
to‘plam kesma deyiladi.
Biror [x0,x] kesmani o‘z ichiga oluvchi U ochiq to‘plamda aniqlangan va
[x0,x] kesmaning har bir nuqtasida Fc' sust hosilaga ega bo‘lgan F : U  Y aks
ettirish berilgan bo‘lsin. So‘ng x  x  x0 belgilash kiritib, ixtiyoriy   Y '
uchun quyidagi sonli funksiyani tuzamiz:
f (t )   ( F ( x0  t x)), 0  t  1 .
Bu funksiya [0,1] oraliqda differensiallanuvchi. Darhaqiqat, u chiziqli
bo‘lgani sababli
f (t  t )  f (t )
 F ( x0  t x  t x)  F ( x0  t x) 

.
t
t


Endi  ning uzluksizligini hisobga olgan holda t  0 da limitga o‘tsak,
f '(t )   ( Fc' ( x0  t x)x) .
390
Endi f funksiyaga [0,1] oraliqda chekli orttirmalar formulasini qo‘llasak,
f (t )  f (0)  f '( ), 0    1 ,
ya’ni
 ( F ( x)  F ( x0 ))   ( Fc' ( x0   ' x)x)
(8)
tenglikka ega bo‘lamiz, bu yerda  son  ra bog‘liq. Shunday qilib, (8) tenglik
ixtiyoriy   Y ' uchun o‘rinli. Bundan
|  ( F ( x)  F ( x0 )) |||  || sup Fc' ( x0  x) || || x |
0 1
(9)
Xan - Banax teoremasiga asosan quyidagi tenglikni qanoatlantiruvchi
noldan farqli 0  Y ' funksional mavjud:
| 0 ( F ( x)  F ( x0 )) ||| 0 || || F ( x)  F ( x0 ) || .
Bu munosabatni (9) ga qo‘llasak, ushbu
|| F ( x)  F ( x0 ) ||
| 0 ( F ( x)  F ( x0 )) |
 sup || Fc' ( x0  x) ||  || x ||
|| 0 ||
0 1
tengsizlik, ya’ni
|| F ( x)  F ( x0 ) || sup || Fc' ( x0  x) ||  || x  x0 ||
0 1
(10)
munosabat kelib chiqadi. (10) munosabatga chekli orttirmalar formulasi deb
qarash mumkin. Agar (10) formulada F(x) aks ettirish o‘rniga F ( x)  Fc' ( x0 )x
aks ettirishni olsak, quyidagi tengsizlikka ega bo‘lamiz:
|| F ( x)  F ( x0 )  Fc' ( x0 )x) || sup || Fc' ( x0  x)  Fc' ( x0 ) || || x || .
0 1
(11)
Bu munosabat bizga keyinchalik kerak bo‘ladi.
13. 2-§. Vektor funksiyalardan olingan integral
Haqiqiy sonlardan iborat biror X to‘plamda aniqlangan va qiymatlari Y
Banax fazosiga tegishli bo‘lgan F : X  Y aks ettirish vektor funksiya deyiladi.
391
Agar F vektor funksiya biror [a,b] oraliqda aniqlangan bo‘lsa, u xolda F
funksiyaning [a,b] oraliq bo‘yicha olingan integrali tushunchasini kiritish
mumkin. Bu integral sonli funksiyadan olingan integralga o‘xshash kiritiladi.
[a,b] oraliqni
a  t0  t1  t2  ...  tn  b
nuqtalar bilan bo‘lib, har bir [tk , tk 1 ] oraliqdan biror  son tanlaymiz va ushbu
n 1
 F   F ( k )(tk 1  tk )  Y
k 0
integral
yig‘indini
hosil
qilamiz.
Agar
bu
integral
yig‘indilarning
  max[(tk 1  tk )] nolga intilganda [a,b] ni bo‘lishga va  k larni tanlashga
bog‘liq bo‘lmagan limiti mavjud bo‘lsa, u F funksiyaning [a,b] oraliqdagi
b
integrali deyiladi va  F (t )dt bilan belgilanadi, ya’ni
a
b
n 1
a
0 k 0
 F ( )(t
 F (t )dt  lim

k
k 1
 tk )
Bunda F(t) funksiya [a,b] oraliqda integrallanuvchi deyiladi. Ravshanki,
b
 F (t )dt integral Y fazoning elementi. Ko‘rinib turibdiki, bu ta’rifning sonli
a
funksiyalardan olingan Riman integrali ta’rifidan deyarli farqi yo‘q. Xususan,
b
arap F(t) uzluksiz vektor funksiya bo‘lsa, u holda  F (t )dt doim mavjud. Bu
a
tasdiq xuddi sonli funksiyalarnikiga o‘xshash isbotlanadi.
Bu
integralning xossalari
Riman
integrali xossalariga
o‘xshash.
Integralning ba’zi xossalarini keltiramiz.
1-teorema. Agar Z biror Banax fazosi, T : Y  Z uzluksiz chiziqli
b
operator bo‘lsa, hamda F: [a,b]  Y vektor funksiya uchun  F (t )dt mavjud
a
bo‘lsa, u holda
392
b

a T ( F (t ))dt  T  a F (t )dt  .
b
Isboti. T operatorning chiziqli ekanligiga asosan
 n1

 TF  T ( F (k ))(tk 1  tk )  T  T ( F (k ))(tk 1  tk )   T ( F ) .
k 0
 k 0

n 1
Bu tenglikda
  max[(tk 1  tk )]  0 da limitga o‘tsak, T ning
b

uzluksizligi tufayli lim T ( F )  T   F (t )dt  mavjud, va demak, lim TF ham
 0
a

mavjud va ushbu
b

T
(
F
(
t
))
dt

T
F
(
t
)
dt


a
a

b
tenglik o‘rinli.
2-teorema. Agar F(t) vektor funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz bo‘lsa, u
holda
b
b
a
a
 F (t )dt   F (t ) dt .
Isboti. F(t) funksiya uzluksiz bo‘lgani sababli || F (t ) || uzluksiz sonli
funksiyadir, va demak, teoremadagi ikkala integral ham mavjud. Shu bilan birga
n 1
n 1
k 0
k 0
||  F ||||  F (k )(tk 1  tk ) || || F (k ) || (tk 1  tk )   ||F || .
Bu tengsizlikda   0 da limitga o‘tsak, talab qilingan tengsizlik hosil
bo‘ladi.
Ta’rif. X, Y normalangan fazolar, F : X  Y biror aks ettirish bo‘lsin.
Agar X fazoda ixtiyoriy chegaralangan M to‘plam uchun F(M) to‘plam Y fazoda
chegaralangan bo‘lsa, u holda F aks ettirish chegaralangan deyiladi.
Chiziqli bo‘lmagan chegaralangan, aks ettirish uzluksiz bo‘lishi shart
emas, buni sonli funksiyalar misolida ham ko‘rish mumkin. Masalan,
sgn : R  R .
393
X fazoni Y fazoga akslantiruvchi chegaralangan aks ettirishlar to‘plamini
A(X,Y) bilan belgilaymiz. Aks ettirishlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish
amallariga nisbatan A(X,Y) vektor fazodir. Bu fazoda nolning atroflari bazisi
sifatida ushbu


U n,   F : sup || F ( x) ||   
x n


to‘plamlarni olib, topologiya kiritamiz. Ravshanki, bu topologiya A(X,Y) ning
L(X,Y) qism fazosida ko‘rilsa, u operatorning normasi bilan aniqlangan
topologiyaga teng.
X fazodagi biron I  [ x0 , x0  x] kesmada aniqlangan va qiymatlari
A(X,Y) fazoda bo‘lgan uzluksiz F aks ettirish berilgan bo‘lsin. Ya’ni har bir
x  I nuqtaga biror Fx  F ( x) : X  Y aks ettirish mos qo‘yilib, bu moslik x
parametrga nisbatan uzluksiz bo‘lsin. Ravshanki, F ( x0  t x)  A( X ,Y ) aks
ettirishning
x  X
F ( x0  t x)x
elementdagi
qiymati
Y
fazoning
elementidir, ya’ni t ga nisbatan F ( x0  t x)x funksiya qiymatlari Y ga tegishli
vektor funksiyadir. Bundan foydalanib, F(x) ning kesma bo‘yicha olingan
integralini quyidagi formula bilan aniqalash mumkin:
x0 x
1
 F ( x)dx   F ( x  tx)xdt
(1)
0
x0
Bu
0
integralning
F ( x0  t x)x
mavjudligi
vektor
funksiyaning
uzluksizligidan kelib chiqadi, va ravshanki, bu integral Y fazoning elementidir.
Endi aks ettirishni uning hosilasi yordamida tiklash masalasini ko‘ramiz.
3-teorema. (Nyuton-Leybnits formulasi).
F : X  Y aks ettpirish [ x0 , x0  x] kesmada x ga nisbatan uzluksiz
kuchli F'(x) hosilaga ega bo‘lsin. U holda quyidagi formula o‘rinli:
x0 x
 F '( x)dx  F ( x  x)  F ( x ) . (2)
0
0
x0
Isboti. Integralning ta’rifiga asosan
394
x0 x

n 1
n 1
F '( x)dx  lim  F '( x0  tk x)x(tk 1  tk )  lim  F '( xk )(xk ),
 0
x0
 0
k 0
k 0
bu yerda xk  x0  tk x, xk  (tk 1  tk )x,   max(tk 1  tk ) .
k
Shu bilan birga, ravshanki,
n 1
n 1
k 0
k 0
F ( x0  x)  F ( x0 )  [ F ( x0  tk 1x)  F ( x0  tk x)]  [ F ( xk 1 )  F ( xk )] .
Demak, 13.1- § dagi (11) tengsizlikka asosan
n 1
n 1
[ F ( x )  F ( x )  F '( x )x ] || x ||  (t
k 1
k 0
k
k
k
k 0
k 1
 tk ) sup F '( xk   xk )  F '( xk )
0 1
Teoremaning shartiga ko‘ra F '( x) aks ettirish [ x0 , x0  x] kesmada
uzluksiz, va demak, tekis uzluksiz. Bundan   0 da (3) tengsizlikning o‘ng
tomonidagi ifoda nolga intiladi, chunki
n 1
 (t
k 0
k 1
 tk ) sup F '( xk   xk )  F '( xk )  max sup || F '( xk   xk )  F '( xk ) || 0,   0 .
0 k  n 1 0 1
0 1
Demak,
n 1
n 1
lim || F ( x0  x)  F ( x0 )   F ( xk )xk || lim || [ F ( xk 1 )  F ( xk )  F '( xk )xk ]|| 0
 0
 0
k 0
k 0
ya’ni
n 1
x0 x
k 0
x0
F ( x0  x)  F ( x0 )  lim  F '( xk )xk 
 0
 F ( x)dx .
13.3- §. Yuqori tartibli hosilalar
Normalangan X fazoni normalangan Y fazoga akslantiruvchi F : X  Y
aks ettirish har bir x  X nuqtada F '( x) kuchli hosilaga ega bo‘lsin. Ma’lumki,
F '( x) har bir x uchun X fazoni Y fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan
operatordir, ya’ni F '( x)  L( X ,Y ) . Demak, F' aks ettirish X fazoning x
elementiga L (X, Y) fazoning biror F'(x) elementini mos qo‘yadi. Natijada
395
F ': X  L( X ,Y ) aks ettirish hosil bo‘ladi. Agar F' aks ettirish ham
differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning hosilasi F aks ettirishning inkinchi
hosilasi deyiladi va F" bilan belgilanadi. Bunda, ravshanki, F"(x) operator L(X,
L(X,Y)) fazoning elementidir.
Ikkinchi hosila tushunchasini boshqa yo‘l bilan, bichiziqli aks ettirishlar
orqali ham kiritish mumkin. Shu masalaga to‘xtalib o‘tamiz.
Ta’rif. X fazoning tartib bilan olingan har bir juft (x, x') elementiga Y
fazoning biron V(x,x') elementi mos qo‘yilgan bo‘lib, quyidagi ikki shart
bajarilsa, V(x, x') bichiziqli aks ettirish deyiladi:
1) ixtiyoriy x1, x2 , x1' , x2'  X va  ,  sonlar uchun
B( x1   x2 , x1)   B ( x1, x1' )   B ( x2 , x1' ) ;
B( x1, x1'   x2' )   B ( x1, x1' )   B ( x1, x2' ) .
2) shunday M musbat son mavjudki, ixtiyoriy x, x  X uchun
|| B( x, x ') || M || x ||  || x ' || .
(1)
Demak, 1.6-§ dan ma’lum bo‘lgan 1) shartdan tashqari V(x, x') aks
ettirishning har bir argumenti bo‘yicha chegaralangan bo‘lishi talab qilinadi.
Xususan, (1) tengsizlikdan, ravshanki, B : X  X  Y aks ettirish ikkala
argumentga nisbatan birgalikda uzluksiz. V(x,x') bichiziqli aks ettirishning
normasi quyidagicha kiritiladi:
|| B || inf{M :|| B( x, x ') || M || x ||  || x ' ||}
Bichiziqli aks ettirishlarning yig‘indisi va songa ko‘paytmasi ham
bichiziqli ekanligi bevosita ko‘rinib turibdi. Demak, bichizikli aks ettirishlar
normalangan vektor fazo hosil qiladi. By fazo B( X 2 ,Y ) bilan belgilanadi.
Ravshanki, Y Banax fazosi bo‘lsa, B( X 2 ,Y ) ham Banax fazosidir.
L(X, L(X,Y)) fazoning har bir A elementiga ushbu
V(x, x') =(Ax)(x')
tenglik yordamida V(X2,Y) fazoning biror V elementini mos qo‘yamiz.
Ravshanki, A  B aks ettirish chiziqlidir. Aksincha, V(X2,Y) fazoning har bir
396
V elementi uchun V(x, x') aks ettirish x element tayinlab olinganda x' ga
nisbatan chegaralangan chiziqli operatordir: (Ax) (x') = V(x, x'). Demak, A  B
moslik L(X, L(X,Y)) va V(X2,Y) fazolar orasidagi chiziqli izomorfizmdir. Biz
uning izometrik izomorfizm ekanligini isbotlaymiz. Ixtiyoriy x, x '  X uchun
|| B( x, x ') |||| ( Ax)( x ') |||| Ax || || x ' |||| A || || x || || x ' || ,
demak, || B |||| A || . Shu bilan birga
|| Ax || sup || ( Ax)( x ') || sup || B( x, x ') |||| B ||  || x || ,
|| x '||1
|| x '||1
ya’ni || A |||| B || . Bundan || A |||| B || .
Shunday qilib, V(X2, Y) va L(X, L(X, Y)) o‘zaro izometrik izomorf
normalangan fazolardir. Demak, F : X  Y aks ettirishning ikkinchi hosilasini
V(X2,Y) fazoning elementi deb hisoblash mumkin.
Shunga o‘xshash, F : X  Y aks ettirishning uchinchi, to‘rtinchi va
hokazo tartibli hosilalari tushunchasini kiritish mumkin, Bunda n-tartibli hosila
(n-1)- tartibli hosilaning hosilasi deb olinadi. Ravshanki, n- hosila
L (X, L (X, ..., L (X, Y) ...)
fazoning elementi bo‘ladi. Bu hosilaga n- chiziqli aks ettirish deb qaralsa
bo‘ladi.
Ta’rif. X fazoning elementlaridan tuzilgan tartib bilan yozilgan har bir n
elementli ( x1, x2 , ..., xn ) sistemaga Y fazoning N ( x1, x2 , ..., xn ) elementi mos
qo‘yilib, quyidagi ikki shart bajarilsa, N aks ettirish n- chiziqli deyiladi.
1) N ( x1, x2 , ..., xn ) har bir argumentga nisbatan chiziqli;
2) shunday M musbat son mavjudki, ixtiyoriy x1, x2 , ..., xn  X uchun
|| N ( x1, x2 , ..., xn ) ||  M || x1 || || x2 || ...|| xn || .
Shunday qilib, F aks ettirishning n-hosilasini n-chiziqli aks ettirishlar
B( X n ,Y ) fazosining elementi deb olish mumkin.
Misol. X  Rm , Y  R n chekli o‘lchamli Yevklid fazolari uchun har bir
chiziqli T : X  Y operator (n  m) matritsadir. Demak, F : X  Y
397
aks
ettirishning x  X nuqtadagi F'(x) hosilasi x ga bog‘liq bo‘lgan T matritsadir.
Agar X va Y fazolarda mos ravishda
e1, e2 , ..., em va f1, f 2 , ..., f n
bazislar bo‘lsa, u holda x  X , y  Y uchun
x  x1e1,  x2 e2  ...  xm em ,
y  y1 f1,  y2 f 2  ...  yn f n
Demak, y  F ( x) aks ettirishni ushbu
y1  F1 ( x1 , x2 ,..., xm )
y2  F2 ( x1 , x2 ,..., xm )
..................................
yn  Fn ( x1 , x2 ,..., xm )
ko‘rinishda yozish mumkin, Bunda
y1 y1
x1 x2
...
y1
xm
y2 y2
F '( x)  x1 x2
...
y2
xm
..............................
yn yn
yn
...
x1 x2
xm
F" (x) ikkinchi hosila esa quyidagi n  m  m ta son bilan aniqlanadi:
 2 yk
ak , i , j 
xi x j
Bu sonlar yordamida ushbu
n
bk , j   ak ,i , j xi
i 1
formula orqali X  L( X ,Y ) chiziqli aks ettirishni
m
yk   ak ,i , j xi x j
i , j 1
formula orqali esa X  X  Y bichiziqli aks ettirishni aniqlash mumkin.
398
13.1-§ da F : X  Y aks ettirishning x nuqtadagi kuchli differensiali deb
F'(x) chiziqli operatorning h  X elementdagi dF=F'(x)h qiymatiga aytgan edik.
F aks ettirishning ikkinchi tartibli differensiali deb F ''( x)  B( X 2 ,Y ) bichiziqli
aks ettirishning (h, h) elementdagi qiymatiga aytiladi, ya’ni d 2 F  F ''( x)(h, h) .
Shunga o‘xshash n-tartibli differensial deb ushbu
d n F  F ( n) ( x)(h, h,..., h) Y
elementga aytamiz ( F ( n) ( x)  B( X n ,Y )) .
Endi 13.1-§ dagi (1) tenglikni umumlashtiradigan Teylor formulasini
keltiramiz.
1-teorema. X fazoning U ochiq to‘plamida aniqlangan F : U  Y aks
ettirishning n-tartibli F ( n ) ( x) hosilasi ixtiyoriy x U uchun mavjud bo‘lsin.
Agar F ( n ) ( x) aks ettirish U to‘plamda x ga nisbatan tekis uzluksiz bo‘lsa, u
holda quyidagi tenglik o‘rinli:
F ( x  h)  F ( x)  F '( x)h 
1
1
F ''( x)(h, h)  ...  F ( n ) ( x)(h, h,..., h)   ( x, h)
2!
n!
(2)
bu yerda ||  ( x, h) ||  (|| h ||n ) .
Isboti. Teoremani induksiya yordamida isbotlaymiz n=1 uchun (2) tenglik
13. 1-§ dagi (1) munosabat bilan ustma-ust tushadi. Endi (n-1) uchun (2) tenglik
o‘rinli deb faraz qilaylik. U holda (2) tenglikni F' aks ettirishga (n-1) uchun
qo‘llasak, ushbu
F '( x  h)  F '( x)  F ''( x)h 
1
1
F '''( x)(h, h)  ... 
F ( n ) ( x)(h, h,..., h)  1( x, h)
2!
(n  1)!
(3)
tenglik kelib chiqadi, bu yerda || 1 ( x, h) ||  (|| h ||n1 ) . Hosil bo‘lgan (3)
munosabatni
[ x, x  h]
kesma
bo‘yicha
integrallab,
formulasidan foydalansak (13.2-§ 3- teorema), u holda
399
Nyuton-Leybnits
1
1
0
0
F ( x  h)  F ( x)   F '( x  th)hdt  {F '( x)  tF ''( x)(h) 

1 2
t F '''( x)(h, h)  ... 
2!
1
t n1F ( n ) ( x)(h, h,..., h)}hdt  Rn
(n  1)!
1
bu yerda Rn   1 ( x, th)hdt . Bundan
0
F ( x  h)  F ( x)  F '( x)h 
1
1
F '''( x)(h, h)  ...  F ( n ) ( x)(h, h,..., h)  Rn
2!
n!
Shu bilan birga
1
|| Rn ||  || 1 ( x, th) ||  || h || dt   (|| h ||n ). *
0
Teoremadagi (2) tenglik Teylor formulasi deyiladi.
Mashq uchun masalalar
1.
Sust hosilalar uchun murakkab funksiyani differensiallash qoidasi
o‘rinli emasligini ko‘rsatuvchi misol keltiring.
2.
Gilbert fazosida x funksionalning hosilasini toping.
3.
Vektor funksiya sust differerensiyallanuvchi bo‘lsa, u kuchli
differensiallanuvchi bo‘lishini isbotlang.
b
4.
 a, b oraliqda uzluksiz bo‘lgan F vektor funksiya uchun  F (t )dt
a
integral doim mavjudligini isbotlang.
5.
 a, b oraliqdagi F vektor funksiya uchun F (t ) integrallanuvchi
bo‘lsa, quyidagi tengsizlikni isbotlang:
b
b
a
a
 F (t )dt   F (t ) dt
6.
Chegaralangan, ammo uzlukli aks ettirishga misol keltiring.
400
7.
Agar Y Banax fazosi bo‘lsa, B( X 2 ,Y ) fazo to‘la ekanligini
isbotlang.
401
XIV BOB. VARIATSION HISOB ELEMENTLARI
14.1- §. Ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari
Variatsion hisobning asosiy masalasi - funksionallarning ekstremumlarini
topishdir. Bu paragrafda variatsion hisobning boshlang‘ich masalalariga
to‘xtalib o‘tamiz.
1. Ekstremumning zaruriy shartlari.
F haqiqiy funksional X Banax fazosida aniqlangan bo‘lsin. Agar x0  X
nuqtaning biror atrofidagi ixtiyoriy x uchun F ( x)  F ( x0 )  0 ( 0) tengsizlik
bajarilsa, F funksional x0 nuqtada minimumga (maksimumga) ega deyiladi, x0
nuqta esa minimum (maksimum) nuqtasi deyiladi. Maksimum va minimum
nuqtalari F uchun ekstremum nuqtalari deyiladi.
Matematik
analizdan
ma’lumki,
n
o‘zgaruvchili
f
funksiya
x0  ( x10 , x20 , ..., xn0 ) nuqtada ekstremumga ega bo‘lib, differensiallanuvchi bo‘lsa,
u holda df=0, ya’ni
f
f
f

 ... 
 0.
x1 x2
xn
Ekstremumning bu zaruriy sharti ixtiyoriy normalangan fazolar uchun
ham o‘rinli.
1-teorema. Differensiallanuvchi F funksional x0 nuqtada ekstremumga
ega bo‘lishi uchun uning x0 nuqtadagi differensiali har bir h da nolga teng
bo‘lishi zarur, yani
F '( x0 )h  0 .
Isboti. F differensiallanuvchi bo‘lgani sababli
F ( x0  h)  F ( x0 )  F '( x0 )h   (h) .
Agar F'(x0)h biror h  X uchun noldan farqli bo‘lsa, yetarli darajada
kichik  haqiqiy son uchun F '( x0 )(h)   ( h) ifodaning ishorasi F '( x0 )( h)
ning ishorasi bilan bir xil. F'(x0) chiziqli funksional bo‘lgani sababli
402
F '( x0 )(h)   F '( x0 )h . Demak, agar F '( x0 )h  0 bo‘lsa, F ( x0  h)  F ( x0 )
ayirma h yetarli kichik bo‘lganda musbat ham, manfiy ham bo‘lishi mumkin,
ya’ni x0 nuqtada F ekstremumga ega emas.
Misollar. 1. C[a, b] fazoda ushbu
b
F ( x)   f (t , x(t ))dt
a
funksionalni ko‘ramiz. Agar f funksiya birinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega
bo‘lsa, F funksional C[a, b] fazoda differensiallanuvchi. Haqiqatan,
b
b
a
a
F ( x  h)  F ( x)   [ f (t , x  h)  f (t , x)]dt   f ' x (t , x)h(t )dt   (h) .
Bundan
b
dF   f 'x (t , x(t ))h(t )dt
a
Agar ixtiyoriy h  C[a, b] uchun dF=0 bo‘lsa, u holda fx'(t,x)=0.
Haqiqatan, ixtiyoriy x(t )  C[a, b] uchun fx'(t,x) funksiya t ga nisbatan uzluksiz.
Agar u biror t0 [a, b]
uchun noldan farqli bo‘lsa, ya’ni masalan,
f 'x (t , x(t0 ))  0 bo‘lsa, u holda t0 ning biror ( ,  ) atrofining har bir t nuqtasida
ham f (t , x(t ))  0 .
Demak, ushbu
 (t   )(   t ),   t   ,
h(t )  
0, qolgan t [a,b] uchun
funksiyani olsak, u holda
b
 f ' (t, x(t ))h(t )dt  0 .
x
a
Bu ziddiyat f 'x (t , x)  0 ekanligini ko‘rsatadi. Demak, f 'x (t , x(t ))  0
tenglama F funksional ekstremumga ega bo‘lishi mumkin bo‘lgan x(t) egri
chiziqning tenglamasidir.
2. C[a, b] fazoda boshqa funksionalni olamiz:
403
b b
F ( x)   K (1,  2 )x(1 ) x( 2 )d1d 2 ,
a a
bu yerda K (1,2 ) funksiya K (1,2 )  K (2 ,1 ) shartni qanoatlantiruvchi
uzluksiz funksiya. So‘ngra
b b
F ( x  h)  F ( x)   K (1 ,  2 )[(x(1 )  h(1 ))( x( 2 )  h( 2 ))  x(1 ) x( 2 )]d1d 2 
a a
b b
b b
  K (1 ,  2 )[x(1 )h( 2 )  x( 2 )h(1 )]d1d 2   K (1 ,  2 )h(1 )h( 2 )d1d 2 
a a
a a
b b
b b
a a
a a
b b
b b
a a
a a
  K (1 ,  2 )x(1 )h( 2 )d1d 2   K (1 ,  2 )x( 2 )h(1 )d1d 2 
  K (1 ,  2 )h(1 )h( 2 )d1d 2  2  K (1 ,  2 )x(1 )h( 2 )d1d 2 
b b
  K (1 ,  2 )h(1 )h( 2 )d1d 2 ,
a a
b b
bundan dF  2 K (1,  2 )x(1 )h( 2 )d1d 2 .
a a
Demak,
x  C[a, b] ekstremum nuqtasi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy
h  C[a, b] uchun
b b
 K ( , )x( )h( )d d  0
1
2
1
2
1
2
a a
Bundan 1-misoldagidek, ixtiyoriy 2 [a, b] uchun
b
 K ( , )x( )d  0
1
2
1
1
a
tenglik kelib chiqadi.
x ga nisbatan bu tenglamaning yechimlaridan biri x=0. Boshqa yechimlar
bor-yo‘qligi K (1,2 ) funksiyaga bog‘liq va u qo‘shimcha tekshirishlarni talab
qiladi.
2. Ekstremumning yetarli shartlari.
404
Yana
n
o‘zgaruvchili
funksiyalarga
qaytsak,
df=0
shartni
qanoatlantnruvchi ( x10 , x20 , ..., xn0 ) nuqtada ekstremum mavjudligi ikkinchi
differensialga bog‘liq. Aniqrog‘i, quyidagi iboralar o‘rinli:
1. Agar f ( x1, x2 , ..., xn ) funksiya ( x10 , x20 , ..., xn0 ) nuqtada minimumga
(maksimumga) ega bo‘lsa va d 2 f mavjud bo‘lsa, u holda bu nuqtada
d 2 f  0 (d 2 f  0) .
2. Agar ( x10 , x20 , ..., xn0 ) nuqtada ushbu df=0,
2 f
d f 
dxi dxk  0 ( 0) (': dxi  0)
i ,k 1 dxi dxk
n
2
munosabatlar o‘rinli bo‘lsa, u holda f(x) funksiya bu nuqtada minimumga
(maksimumga) ega.
Boshqacha qilib aytganda, df=0 shartni qanoatlantiruvchi nuqtada
minimum (maksimum) bo‘lishi uchun d 2 f  0 ( 0) bo‘lishi zaruriy shart,
d 2 f  0 ( 0) bo‘lishi esa yetarli shart.
Endi shu masalalarni ixtiyoriy Banax fazosidagi funksionallar uchun
ko‘ramiz.
2-teorema. X Banax fazosida aniqlangan F haqiqiy funksional x0  X
nuqtaning biron atrofida uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin. Agar shu
funksional x0 nuqtada minimumga ega bo‘lsa, u holda ixtiyoriy h  X uchun
F ''( x0 )(h, h)  0 .
Isboti. 13.3- § dagi Teylor formulasiga asosan
F ( x0  h)  F ( x0 )  F '( x0 )h 
1
F ''( x0 )(h, h)   (|| h ||2 ) .
2!
Funksional x0 nuqtada minimumga ega bo‘lgani sababli 1-teoremaga
asosan F ( x0 )h  0 , ya’ni
1
F ( x0  h)  F ( x0 )  F ''( x0 )(h, h)   (|| h ||2 ) .
2
405
(1)
Agar
biror
h X
F ''( x0 )(h, h)  0
uchun
F ''( x0 )( h,  h)   2 F ''( x0 )(h, h)
tenglikka
asosan
bo‘lsa,
u
holda
F ''( x0 )(h, h)  0
shartni
qanoatlantiruvchi h vektorning normasini ixtiyoriy kichik qilib tanlash mumkin.
Ammo || h || kichik bo‘lganda
1
F ''( x0 )(h, h)   (|| h ||2 ) ifodaning ishorasi
2
F ''( x0 )(h, h) ning ishorasiga teng, ya’ni
F ( x0  h)  F ( x0 )  0 .
Bu esa x0 ning minimum nuqtasi ekanligiga zid.
Maksimum nuqtasi uchun ham shunga o‘xshash teorema o‘rinli.
Ekstremum mavjudligining yetarli shartini Banax fazolariga to‘g‘ridanto‘g‘ri o‘tkazish mumkin emas. Ya’ni agar F ''( x0 )(h, h)  0 (h  0) bo‘lsa, x0
nuqtada minimum bo‘lishi shart emas.
Misol. l2 fazoda funksionalni quyidagicha kiritamiz:

xn2  4
F ( x)   3   xn ,
n 1 n
n 1
x  ( x1, ..., xn , ...)  l2 .
 nuqtada birinchi diffrerensial nolga teng, chunki

hn2  4
F (  h)  F ( )   3   hn
n 1 n
n 1
va

hn2  4
  hn

3
|| h ||2  || h ||4
n 1 n
n 1
 lim
0
lim
|| h ||
|| h ||
||h||0
||h||0

hn2
Ikkinchi differensial esa 2 3
n 1 n
qatorga teng, ya’ni ixtiyoriy h uchun
musbat.
Ammo  nuqtada funksional minimumga ega emas.
Haqiqatan,
1
1 1
F ( )  0, F (0,0,...,0, ,0,...)  5  4  0 ,
n
n n
ya’ni nolning ixtiyoriy atrofida shunday x nuqta mavjudki,
406
F ( x)  F ( ) .
Keltirilgan misoldan ravshanki, funksional biror nuqtada ekstremumga
ega bo‘lishi uchun kuchliroq shartlar kerak.
Agar B(x,y) bichiziqli funksional bo‘lsa, B(x,x) funksional x ra nisbatan
kvadratik funksional deyiladi. Agar shunday s>0 son mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy
x  X uchun B( x, x)  c || x ||2 tengsizlik bajarilsa, B(x,x) kvadratik funksional
kuchli musbat deyiladi.
3-teorema. X fazodagi F funksional x0 nuqtada minimumga ega bo‘lishi
uchun quyidagi shartlar kifoyadir:
1) dF(x0)=0;
2) d2F(x0) kuchli musbat kvadratik funksional.
Isboti. Haqiqatan, d 2 F ( x0 )(h, h)  c h
2
va c  0 bo‘lsin.  musbat sonni
shunday tanlaymizki, || h ||  bo‘lganda (1) formuladagi  (|| h ||2 ) son uchun
c
4
 (|| h ||2 )  || h ||2 tengsizlik bajarilsin. Bu holda (1) formulaga asosan || h || 
uchun
1
1
1
1
F ( x0  h)  F ( x0 )  F ''( x0 )(h, h)   (|| h ||2 )  c || h ||2  c || h ||2  c || h ||2  0
2
2
4
4
,
ya’ni x0, minimum nuqtasi.
b
14. 2-§.  f (t , x(t ), x '(t ))dt ko‘rinishdagi funksionallarni
a
eksteremumga tekshirish
Matematika va mexanikaning turli masalalari
b
F ( x(t ))   f (t , x(t ), x '(t ))dt
a
407
(1)
funksionalning C1[a, b] Banax fazosida ekstremumini hisoblashga keltiriladi.
Agar integral ostidagi f(t,x,y) funksiyaning xususiy hosilalari mavjud va uzluksiz
deb hisoblasak, F(x(t)) funksional Freshe ma’nosida differensiallanuvchi
bo‘ladi. Avvalgi paragrafdagi ekstremumning zaruriy shartiga binoan F(x(t))
funksionalning ekstremumi (agar u mavjud bo‘lsa)
F '( x0 (t ))  0
(2)
tenglamani qanoatlantiradi. Demak, funksionalning ekstremal qiymatini
beruvchi x0 (t ) funksiyani faqat (2) tenglamaning yechimlari orasida izlashimiz
kerak. Xususan, agar (2) tenglama yechimga ega bo‘lmasa, ekstremum mavjud
emas.
F(x(t)) funksionalning kuchli differensialini hisoblab, ushbu ifodani hosil
qilamiz:
b
F '( x(t ))h(t )   [ f x h(t )  f x' h '(t )]dt ,
a
bu yerda f x 
f
f
va f x ' 
.
x '
x
Demak, (2) ga ko‘ra ixtiyoriy h(t )  C1[a, b] uchun
b
 [ f h(t )  f h '(t )]dt  0
x ''
x
(3)
a
munosabat bajarilishi zarur. Arap
d
f x ' mavjud va uzluksiz deb faraz qilsak
dt
(aslida bu talab ortiqcha ekanligini keyinroq ko‘rsatamiz), bo‘laklab integrallash
yordamida ushbu
b
b bd
a [ f x 'h '(t )dt  f x '' h(t ) a  a dt f x '' h(t )dt
tenglikka ega bo‘lamiz. Demak, (3) quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
d 

f

x
a  dt f x ' h(t )dt  f x ' (b, x(b), x '(b))h(b)  f x ' (a, x(a), x '(a))h(a)  0 .
b
Bu yerda h(t )  C[a, b] ixtiyoriy bo‘lgani uchun:
408
f x ' (a, x(a), x '(a))  0; f x ' (b, x(b), x '(b))  0 ,
b
[ f x 
a
d
f x ' ]h(t )dt  0
dt
(4)
(5)
shartlarni hosil qilamiz.
Lemma ( Lagranj lemmasi) Agar  (t ) uzluksiz funksiya bo‘lib, ixtiyoriy
h(t )  C1[a, b] funksiya uchun
b
  (t )h(t )dt  0
a
tenglik bajarilsa,  (t )  0 bo‘ladi.
Lemmaning isboti sodda bo‘lgani uchun buni o‘quvchining o‘ziga havola
qilamiz.
Demak, lemmaga ko‘ra (5) shartni quyidagicha yozish mumkin:
fx 
d
fx'  0 .
dt
(6)
Shunday qilib, x(t) funksiya (1) funksionalning ekstremumini berishi
uchun (4) va (6) shartlar bajarilishi zarur. Ravshanki, (6) shart x(t) ra nisbatan
ikkinchi tartibli differensial tenglama. Odatda (6) tenglama Eyler tenglamasi
deyiladi, tenglamaning har qanday yechimi F funksionalning ekstremali
deyiladi.
Misol.
F ( x(t ))  {x 2 (t )  2tx(t )  [ x '(t )]2  2 x '(t )  t}dt
funksionalni ekstremumga tekshiraylik.
Bu yerda
f (t , x(t ), x '(t ))  x 2 (t )  2tx(t )  [ x '(t )]2  2 x '(t )  t .
Eyler tenglamasi (6) quyidagi ko‘rinishga ega:
2 x(t )  2t 
d
[2 x '(t )  2]  0 ,
dt
ya’ni x" (t)- x(t)+ t =0.
409
Bu tenglamaning umumiy yechimi
x(t )  t  c1et  c2et .
O‘zgarmas c1 va c2 larni topish uchun (4) shartlardan foydalanamiz:
f x '  2 x '(t )  2 ,
ya’ni
2  x '(0)  2  2 x '(1)  2  0 ,
demak,
x '(0)  x '(1)  0; c1  c2  0 .
Shunday
qilib,
F(x(t))
funksional
faqat
x(t)=t
funksiyadagina
ekstremumga erishishi mumkin. Topilgan yechim haqiqatan ham F(x(t))
funksionalning minimumini berishi ushbu tengsizlikdan kelib chiqadi:
1
F ( x(t ))  {[ x(t )  t ]2  [ x '(t )  1]2  t  t 2  1}dt 
0
1
  (t  t 2  1)dt  F (t ); x(t )  C1[0,1]
0
Yuqorida biz (1) funksionalni C1[a,b] fazoda hech qanday qo‘shimcha
shartlar qo‘ymagan holda ekstremumini topish masalasini ko‘rdik. Lekin
ko‘pgina amaliy masalalar ekstremumni butun C1[a, b] fazoda emas, balki ba’zi
qo‘shimcha shartlarni qanoatlantiruvchi to‘plam ostida izlashni taqozo qiladi.
Masalan, (1) funksionalning ekstremumini
M  {x(t )  C1[a, b]: x(a)  A; x(b)  B}
funksiyalar sinfida topish masalasi variatsion hisobning asosiy masalasi
deyiladi. Bu holda h(t) orttirmani shunday tanlashimiz kerakki, natijada
x(t )  M 6o‘lsa, x(t )  h(t )  M bajarilishi zarur. Demak, h(a)  h(b)  0 . Bu
tenglikni hisobga olsak (3) dan
b
F '( x(t ))h(t )   [ f x 
a
d
f x ' ]h(t )dt
dt
ni hosil qilamiz. Ya’ni asosiy masala uchun ekstremumning zaruriy sharti (Eyler
tenglamasi) quyidagidan iborat:
410
fx 
d
f x '  0; x(a)  A; x(b)  B . (7)
dt
Misol. Tekislikda (a,A) va (b,B) nuqtalarni birlashtiruvchi va uzunligi eng
qisqa bo‘lgan silliq chiziqni toping. Ravshanki, analitik formada masala
quyidagicha yoziladi:
b
x(a)  A; x(b)  B, x(t )  C [a, b]
1
funksiyalar ichida  1  [ x '(t )]2 dt
a
integralning eng kichik qiymatini beruvchi funksiyani toping. Bu yerda
f (t , x(t ), x '(t ))  1  [ x '(t )]2 . Demak, (7) ra ko‘ra:


d
x '(t )

  0; x(a)  A,
dt  1  [ x '(t )]2 
x(b)  B,
ya’ni
x '(t )
1  [ x '(t )]2
 c,

c 
x '(t )  c1  c1  
.
1  c2 

Demak, x(t )  c1t  c2 . O‘zgarmas c1 va c2 larni x(a)=A va x(b)=B
shartlardan topamiz. Javob:
x(t ) 
A B
aB  bA
.
t
a b
a b
Yuqorida Eyler tenglamasini keltirib chiqarishda biz
d
f x ' ni mavjud va
dt
uzluksiz deb hisoblagan edik.
Ravshanki,
d
f x ' mavjud bo‘lishi uchun x"(t) mavjud bo‘lishi zarur, ya’ni
dt
izlanayotgan yechim x(t )  C 2[a, b] bo‘lishi kerak. Haqiqatan, agar f (t , x, y)
funksiya t,x,y lar bo‘yicha yetarlicha silliq bo‘lsa (masalan f  C 2 ), yechim,
x(t )  C 2[a, b] ekanligini isbotlaylik.
411
Lemma (Dyubua-Reymon lemmasi.) Agar  (t ),  (t )  C[a, b] bo‘lsa va
x(a)=x(b)=0 shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x(t )  C[a, b] funksiya uchun
b
  (t ) x(t )  (t ) x(t ) dt  0
(8)
a
tenglik bajarilsa, u holda  (t )  C1[a, b] va  (t )   (t ) bo‘ladi.
Isboti. (8) tenglikning chap tomonidagi integral ostidagi ikkinchi
qo‘shiluvchini bo‘laklab integrallasak:
b
t
t
a
a
a
 [ (t )   (s)ds]x '(t )dt  x(t ) (s)ds
b
t
a
a
b
a
.
  [ (t )    ( s)ds]x '(t )dt  0
t
Endi g (t )   (t )    ( s)ds belgilash kiritib, g (t )  const ekanligini
a
ko‘rsatamiz. Haqiqatan, aks holda shunday  ,  [a; b] topiladiki, u holda
g ( )  g ( ) . Aniqlik uchun g ( )  g ( ) bo‘lsin. Shartga ko‘ra, g (t ) uzluksiz
funksiya bo‘lgani uchun  va  ni [a,b] segmentning ichki nuqtalari deb
hisoblashimiz mumkin. So‘ngra   0 sonni shunday tanlab olaylikki, natijada
[   ,    ]  [a, b]; [   ,    ]  [a, b] va ixtiyoriy | s |  uchun
g (s   )  g (s   )    0 shartlar bajarilsin.
Endi x0(t) funksiyani quyidagicha olamiz:
(t     )(t     ), agar t  [ - ,   ]

x0' (t )   (t     )(t     ), agar t  [ - ,   ]

0, t ning boshqa qiymatlarida

(10)
hamda x0(t) funksiya x0(a)=0 shartni qanoatlantirsin. Tuzilishiga ko‘ra
x0 (t )  C1[a, b] va
b
x0 (b)   x0' (t )dt  0 ,
a
demak, x0(t) funksiya lemmaning shartlarini qanoatlantiradi.
412
Lekin,
 
b 
b
 g (t ) x (t )dt   g (t ) x (t )dt   g (t ) x (t )dt 
'
0
'
0
'
0
a
a


  [ g (  s)  g (   s)](  s)(  s)ds 


   (  s )(  s )ds  0

Oxirgi munosabat esa (9) ga zid. Demak, g (t )  const ziddiyatga olib
keladi. Shunday qilib:
t
g (t )   (t )   ( s)ds  const ,
a
ya’ni
t
g (t )   ( s)ds  const  C1[a, b] ,
a
va  '(t )   (t ) . Lemma isbotlandi.*
1-teorema. (Gilbert teoremasi). Agar x0 (t) funksiya Eyler tenglamasi (7)
ning yechimi bo‘lib, x0 (t) bo‘ylab
 2 f (t , x, y )
 0; x  x0 (t );
y 2
y  x '0 (t ); t [a, b]
shart bajarilsa, x0 (t ) funksiya C1[a,b] ga tegishli bo‘ladi.
Isboti. Oshkormas funksiyani differensiallash haqidagi teoremaga ko‘ra:
d
 2 f (t , x, x ')
 2 f (t , x, x ')
 2 f (t , x, x ')
fx  fx'  fx 
 x ''
 x '
 0,
dt
x '2
xx '
tx
ya’ni
2 f
2 f
 2 f f
 x ''
 x '

0
x '2
xx '
tx x
Bu yerda
(11)
2 f
 0 va f (t , x, y) funksiya C2 sinfga tegishli bo‘lgani uchun
2
x '
(11) tenglamaning yechimi x0 (t )  C 2[a, b] bo‘ladi.
413
Asosiy masala uchun ekstremumning qo‘shimcha zaruriy shartlaridan
yana biri quyidagi teoremada keltirilgan.
2–teorema. (Lejandr teoremasi). Eyler tenglamasi (7) ning yechimi x0 (t )
funksiya (1) funksionalning minimumini berishi uchun ixtiyoriy t [a, b] da
f x ' x ' (t , x0 (t ), x0' (t ))  0
(12)
tengsizlikning bajarilishi zaruriy shart.
funksionalning
Isboti.(1)
Freshe
ma’nosidagi
ikkinchi
tartibli
differensialini hisoblab ushbu ifodani hosil qilamiz:
b
1
d F   [ f xx h2 (t )  2 f xx '  h(t )h '(t )  f x ' x ' (h '(t )) 2 ]dt .
2a
2
O‘rtadagi qo‘shiluvchini h(a)=h(b)=0 ekanligini hisobga olgan holda
bo‘laklab integrallasak:
b
b
b
2 f xx 'h(t )h (t )dt   f xx 'dh (t )    h 2 (t ) 
'
2
a
a
a
d
f xx 'dt .
dt
Demak,
b
d F   [ P(t )h 2 (t ) 
2
a
1
f x ' x ' (h '(t ))2 ]dt ,
2
1
d

bu yerda P(t )   f xx  f xx ' 
2
dt

Endi x0 (t ) - Eyler tenglamasining yechimi bo‘lib, (12) shart bajarilmagan
deb faraz qilaylik. Demak, biror t0 [a, b] uchun f x ' x ' (t0 , x0 (t0 ), x '(t0 ))  0
bo‘lsin. U holda t0 ning yetarli kichik atrofi U da ham f x ' x ' (t , x0 (t ), x0 '(t ))  0
bo‘ladi. Tanlab olingan U atrofning tashqarisida nolga teng bo‘lgan
h0 (t )  C '[a, b] funksiyani shunday olaylikki, bunda
b
1
 [ P(t )h (t )  2 f
2
0
x'x'
(h0 (t )) 2 ]dt  0
a
tengsizlik bajarilsin. U holda hn (t ) 
1
 h0 (t ), n  2,3,... orttirma uchun Teylor
n
formulasiga ko‘ra:
414
F ( x0 (t )  hn (t ))  F ( x0 (t ))  F '( x0 (t ))hn (t ) 
1
F ''( x0 (t ))(hn (t ), hn (t )  R2
2!
bu yerda || R2 || 0 (|| hn ||2 ) . Ikkinchi tomondan || hn (t ) ||
1
|| h0 (t ) || 0 va x0 (t ) n
Eyler tenglamasining yechimi bo‘lgani uchun F '( x0 (t ))hn (t )  0 . Demak, yetarli
katta n natural son uchun
F ( x0 (t )  hn (t ))  F ( x0 (t ) 
1 2
d F  R2  0 ,
2!
ya’ni x0 (t ) funksiya F (x (t)) funksionalning minimum nuqtasi bo‘la olmaydi.
Yuqoridagi (12) tengsizlik Lejandr - Klebsh sharti deyiladi. Ravshanki,
maksimum nuqtasi uchun Lejandr-Klebsh sharti quyidagicha yoziladi:
f x ' x ' (t , x0 (t ), x0' (t ))  0, t [a, b] .
Adabiyotlarda (1) funksionaldagi integral ostidagi f (t , x(t ), x' (t ) funksiya
lagranjian deyiladi. Lagranjianning ba’zi xususiy hollari uchun Eyler
tenglamasining birinchi integrali osonlikcha topiladi. Misol tariqasida quyidagi
ikki holni ko‘raylik.
1) Lagranjian faqat t va x'(t) ra bog‘liq, ya’ni f(t,x'(t)) ko‘rinishda bo‘lsin.
U holda Eyler tenglamasiga ko‘ra:
fx 
d
d
fx'   fx'  0 ,
dt
dt
ya’ni birinchi tartibli
f x '  const
(13)
differensial tenglamani hosil qilamiz. Mexanikada f x ' impuls integrali deyiladi
va p(t) orqali belgilanadi.
2) Lagranjian faqat x(t) va x'(t) ga bog‘liq, ya’ni f(x(t), x'(t)) ko‘rinishda
bo‘lsin. U holda Eyler tenglamasining birinchi integrali quyidagicha yoziladi:
x ' f x '  f  const
Haqiqatan, H (t )  x ' f x '  f belgilash kiritib
dH
hosilani hisoblaylik.
dt
Murakkab funksiyani differensiallash formulasiga ko‘ra:
415
dH
d
d

 x '' f x '  x ' f x '  f x  x ' f x '  x ''   f x '  f x   x ' .
dt
dt
 dt

Eyler tenglamasiga binoan f x 
d
f x '  0 . Demak,
dt
dH
 0,
dt
ya’ni
H (t )  x ' f x '  f  const
Mexanikada H (t `) funksiya energiya integrali deyiladi.
14.3- §. Izoperimetrik masala. Shartli ekstremum
b
C [a, b] fazoda F0 ( x(t ))   f 0 (t , x(t ),( x '(t ))dt funksionalning
1
a
b
Fi ( x(t ))   fi (t , x(t ), x '(t ))dt   i , i  1,2,..., m va x(a)  A; x(b)  B
a
shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyalar sinfida ekstremumini topish masalasi
izoperimetrik
masala
deyiladi.
Odatda
izoperimetrik
masala
quyidagi
ko‘rinishda yoziladi:
b
F0 ( x(t ))   f 0 (t , x(t ), x '(t ))dt  extr
a
b
Fi ( x(t ))   fi (t , x(t ), x '(t ))dt   i , i  1,2,..., m ,
(1)
a
x(a)  A; x(b)  B
(2)
Integrallar ostidagi f0 (t , x, y), f1 (t , x, y),..., f m (t , x, y) funksiyalarni t,x,y
argumentlar bo‘yicha birgalikda yetarlicha silliq (masalan, C' sinfga tegishli)
deb hisoblaymiz.
Ravshanki, C1[a,b] fazoda (1) va (2) shartlarni qanoatlantiruvchi birorta
ham funksiya topilmasa, izoperimetrik masala ma’noga ega emas (xususan,
416
yechimi mavjud emas). Agar (1) va (2) shartlarni faqat birgina x0 (t )  C1[a, b]
funksiya qanoatlantirsa, shu x0 (t ) funksiya izoperimetrik masalaning yechimi
bo‘ladi. Tegishli misollarni keltiraylik.
1

f 0 (t , x(t ), x '(t ))dt  extr



0
1.  1
masala f0 funksiya qanday
 1  [ x '(t )]2 dt  2; x(0)  0, x(1)  2

0
bo‘lishidan qat’iy nazar yechimga ega emas. Haqiqatan, x(0)= 0; x(1)= 2 va
x(t )  C1[0,1] bo‘lgani uchun x(t) funksiyaning grafigi (0,0) va (1,2) nuqtalarni
birlashtiruvchi yoydan iborat. Demak, yoy uzunligi
1
 1  [ x '(t )] dt  1  2  5  2 ,
2
2
2
0
ya’ni
1
 1  [ x '(t )] dt  2; x(0)  0
2
0
va
x(1)  2
shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya mavjud emas.
1

f 0 (t , x(t ), x '(t ))dt  extr



0
2.  1
masalaning yechimi x0 (t )  2t
 1  [ x '(t )]2 dt  5; x(0)  0, x(1)  2

0
bo‘lib, f 0 funksiyaning ko‘rinishiga bog‘liq emas. Chunki, C1 [0, 1] fazoda
1
 1  [ x '(t )] dt  5; x(0)  0; x(1)  2
2
0
shartlarni faqatgina bitta funksiya qanoatlantiradi.
Yuqoridagi (1) va (2) shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyalar cheksiz
ko‘p bo‘lgan holi izoperimetrik masalaning qo‘yilishi uchun xarakterli hol
bo‘lib, mazmunli nazariyaga olib keladi.
417
Endi izoperimetrik masala uchun ekstremumning zaruriy shartini hosil
qilish bilan shug‘ullanamiz. Soddalik uchun m  1 hol bilan cheklanamiz. Bu
holda masalaning qo‘yilishi quyidagicha bo‘ladi:
b

 F0 ( x(t ))   f 0 (t , x(t ), x '(t ))dt  extr
a

b

 F0 ( x(t ))   f1 (t , x(t ), x '(t ))dt  1
a

 x(a)  A, x(b)  B


(3)
(4)
(5)
1-teorema. (Ekstremumning zaruriy sharti). Biror x0 (t ) funksiya (3)–(5)
masalaning C1[a,b] fazodagi yechimi bo‘lishi uchun shunday 0 va 1
sonlarning topilishi zarurki:
1) 0 va 1 larning kamida bittasi noldan farqli;
2)
Lx 
1 f0 (t , x0 (t ), x0 (t ))  1 f1 (t , x0 (t ), x0 (t ))  L(t , x0 (t ), x0 (t ))
funksiya
d
Lx  0 Eyler tenglamasini qanoatlantiradi.
dt
Isboti. F0 ( x(t )) va F1 ( x(t )) funksionallarning x0 (t ) nuqtadagi birinchi
tartibli kuchli differensialini hisoblaylik:
b
dF0 ( x0 (t ))   [ f 0 x (t , x0 (t ), x0 (t ))h(t )  f 0 x ' (t , x0 (t ), x0 (t ))h '(t )]dt ,
a
b
dF1 ( x0 (t ))   [ f1x (t , x0 (t ), x0 (t ))h(t )  f1x ' (t , x0 (t ), x0 (t ))h '(t )]dt ,
a
bu yerda h(t) orttirma C1[a,b] sinfga tegishli va h(a)=h(b)=0 shartni
qanoatlantiruvchi funksiya.
Quyidagi ikki holni ko‘raylik:
1) Barcha h(t )  C[a, b] va h(a)= h(b)=0 bo‘lgan funksiyalar uchun
dF1 ( x0 (t ))  0 bo‘lsin. U holda 0  0 va 1  1 deb olsak, teoremada keltirilgan
1) va 2) shartlar bajariladi. Demak, bu holda teorema isbot qilindi.
418
2) Bironta
h0 (t )  C[a, b]
va h0(a)= h0(b)= 0 funksiya uchun
dF1 ( x0 (t ))  0 bo‘lsin. Ikkita yordamchi funksiya kiritamiz:
0 ( ,  )  F0 ( x0 (t )   h(t ))   h0 (t ) ,
1 ( ,  )  F1 ( x0 (t )   h(t ))   h0 (t ) ,
so‘ngra ushbu akslantirishni ko‘ramiz:
( ,  )  (0 ( ,  ), 1 ( ,  )) .(6)
Ravshanki,
(6)
akslantirish
(0,0)
nuqtaning
atrofida
uzluksiz
differensiallanuvchi va quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
0 (0,0)
 (0,0)
 F0' ( x0 (t ))h(t ), 0
 F0' ( x0 (t ))h0 (t ) ,


1 (0,0)
 (0,0)
 F1' ( x0 (t ))h(t ), 1
 F1' ( x0 (t ))h0 (t ) .


Endi ixtiyoriy h(t )  C1[a, b] va h(a)  h(b)  0 funksiya uchun
0 (0,0)


1 (0,0)

0 (0,0)

0
1 (0,0)

ekanligini isbotlaylik. Haqiqatan, agar   0 bo‘lsa, teskari akslantirish haqidagi
teoremaga ko‘ra (0,0) nuqtaning yetarli kichik atrofida (6) akslantirishning
teskarisi mavjud. Xususan, yetarli kichik   0 uchun shunday  va 
topiladiki:
0 ( ,  )  F0 ( x0 (t ))   h(t )   h0 (t )  F0 ( x0 (t )   ,
1 ( ,  )  1 (0,0)  F1 ( x0 (t ))  1
,
ya’ni x0(t) funksiya F0 ( x(t )) funksional uchun (4) va (5) shartlar bajarilganda
minimum nuqtasi bo‘lishi mumkin emas. Xuddi shunday, agar   0 deb tanlab
olsak, x0(t) maksimum nuqtasi ham bo‘la olmasligi kelib chiqadi.
Demak, x0(t) ekstremum nuqtasi bo‘lsa, albatta   0 bo‘ladi. Ya’ni:
F0' ( x0 (t ))h(t ) F0' ( x0 (t ))h0 (t )
 0.
F1' ( x0 (t ))h(t ) F1' ( x0 (t ))h0 (t )
419
(7)
Agar F1' ( x0 (t ))h(t )  0 ekanligini hisobga olsak, (7) dan
F0' ( x0 (t ))h0 (t ) '
F ( x0 (t ))h(t )  '
F1 ( x0 (t ))h(t )  0
F1 ( x0 (t ))h0 (t )
'
0
F0' ( x0 (t ))h0 (t )
kelib chiqadi. Demak, 0  1 va 1   '
deb olsak:
F1 ( x0 (t ))h0 (t )
0 F0' ( x0 (t ))h(t )  1F1' ( x0 (t ))h(t )  0
(8)
tenglikni hosil qilamiz. (8) tenglik ixtiyoriy h(t )  C1 [a, b] va h(a)  h(b)  0
funksiya uchun bajarilishidan
0 f0' (t , x0 (t ), x0' (t ))  1 f1' (t , x0 (t ), x0' (t ))
funksiya Eyler tenglamasini qanoatlantirishi kelib chiqadi. Demak, teoremadagi
1) va 2) shartlar bajarilgan.*
14.4-§. Ekstremumni topishga doir misollar
1. Didona masalasi. Qadimgi yunon afsonalaridan biriga ko‘ra Finikiya
malikasi Didona o‘z qo‘shinlari bilan kemada dushmandan qochib kelayotib
O‘rtayer dengizining g‘arbiy qirg‘og‘ida to‘xtaydi. Malika qirg‘oqda shahar
qurish niyatida mahalliy aholidan yer berishni so‘raydi. Mahalliy aholi
Didonaga faqat bitta buqa terisi bilan chegaralay oladigan yer berishga rozi
bo‘ladi. Ayyor Didona esa buqa terisidan ingichka tasmalar qirqib, ulardan uzun
arqon yasaydi va bu arqon bilan qirg‘oqda juda katta territoriyani chegaralab
olib, Karfagen shahriga asos soladi.
Matematik tilga ko‘chirsak, Didona masalasi quyidagicha bayon qilinadi.
Tekislikda (-1,0) va (1,0) nuqtalarni birlashtiruvchi hamda uzunligi  ra teng
bo‘lgan barcha silliq chiziqlar ichida shu chiziq va abssissa o‘qi bilan
chegaralangan figura yuzasining eng katta qiymatini beruvchi chiziqni toping.
Yechimi.
Matematik analiz kursidan ma’lumki, agar izlanayotgan
1
chiziqning
tenglamasi
x(t )
bo‘lsa,
yuza
s   x(t )dt
1
420
va
uzunlik
1
l   1  [ x '(t )]2 dt formulalar yordamida hisoblanadi. Demak, biz quyidagi
1
variatsion masalani yechishimiz kerak:
1


1 x(t )dt  max

1

2

1 1  [ x '(t )] dt  

 x(1)  0, x(1)  0, x(t )  C 1[a, b]


Biror x0 (t )  C1[a, b] funksiya masalaning yechimi deb faraz qilaylik. U
holda:
1
dF0 ( x0 (t ))   x0 (t )htdt  0 ,
1
chunki x0 (t )  0 . Demak, 14. 3-§ dagi teoremaga ko‘ra 0  1 deb olishimiz
mumkin va x0 (t )  1  1  [ x '(t )]2 funksiya Eyler tenglamasini qanoatlantirishi
kerak. 14. 2-§ dagi (14) formulaga asosan Eyler tenglamasining birinchi
integrali mavjud:
1
[ x0 '(t )]2
 x0 (t )  1  1  [ x0 (t )]2  c (const ) .
1  [ x0 (t )]
Shu differensial tenglamani x0 (t ) ga nisbatan yechamiz:
1[ x0 '(t )]2  x0 (t ) 1  [ x0 (t )]2  1  1[ x0 (t )]2 
 c 1  [ x(t )]2 1  [ x(t )]2  (c  x0 (t ))  1
bu yerda c  x0 (t )  y(t `) deb belgilasak:
y'  
12  y 2
y2
differensial tenglamani hosil qilamiz. O‘zgaruvchilarni ajratib:
ydy
   y  t  c
2
1
421
2
1
yoki
12  y 2  (c1  t )2
ni hosil qilamiz. Demak,
y(t )   12  (c1  t )2 ,
ya’ni
x0 (t )   12  (c1  t )2  c .
O‘zgarmas c1 va c larni x0 (1)  x0 (1)  0 shartdan topamiz:
c1  0; c   12  1
Demak,
x0 (t )   12  t 2
12  1 .
Agar x0 (t )  0 ekanligini hisobga olsak:
x0 (t )  12  t 2  12  1 .
Endi
1
 1  [ x(t )] dt  
2
1
shartdan noma’lum 1 ni hisoblaymiz:
1
12
   t dt  
1
2
1
2
yoki
2arcsin | 1 |  .
bu yerdan
arcsin | 1 |

2
,
yoki
| 1 | sin
Demak 12  1 va
422

2
 1.
x0 (t )  1  t 2 ,
ya’ni Didona masalasining yechimi yarim doira bo‘ladi.
2. Braxistoxrona haqida masala (I. Bernulli masalasi).
Vertikal joylashgan tekislikda berilgan M va N nuqtalarni birlashtiruvchi
barcha silliq chiziqlar orasida shunday chiziqni topingki, shu chiziq bo‘ylab
moddiy nuqta og‘irlik kuchi ta’sirida eng qisqa vaqtda M nuqtatadan N nuqtaga
yetib kelsin (albatta, masalaning mohiyatiga ko‘ra M nuqta N nuqtadan
yuqoriroqda joylashgan).
Masalani yechish uchun uni matematik tilga ko‘chiraylik. Tekislikda
koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz: koordinata boshi M nuqtada, t abstsissa o‘qi odatdagicha, x - ordinata o‘qi esa vertikal ravishda pastga
yo‘nalgan bo‘lsin (3-rasm).
Endi M (0,0) va N(b, B) nuqtalarni birlashtiruvchi birorta x (t) silliq chiziq
olib, shu chiziq bo‘ylab moddiy nuqtaning M (0,0) dan N (b, B) gacha yetib
kelishi uchun ketgan vaqtni hisoblaylik. Agar boshlang‘ich tezlik 0  0
ekanligini hisobga olsak, elementar fizika kursidan ma’lumki, moddiy nuqtaning
(t , x(t )) nuqtadagi tezligi
  2 gx(t ) (  2 gh , h  x(t ))
formuladan topiladi. Bu yerda g=9,8m/sek2-erkin tushish tezlanishi.
Vaqtni  orqali belgilasak,
423
d 
ds

tenglikni hosil qilamiz, ya’ni moddiy nuqtaning ds  1  [ x '(t )]2 dt yoy
differensialini bosib o‘tish uchun ketgan vaqtni topamiz. Demak,
1  [ x '(t )]2
d 
dt .
2 gx(t )
Oxirgi tenglikni integrallab izlanayotgan vaqtni topamiz:
1  [ x '(t )]2
dt .
2 gx(t )
b
 
0
Shunday qilib, braxistoxrona haqidagi masala
b
  F ( x(t ))  
0
funksionalning
x(0)=0
va
x(b)=B
1  [ x '(t )]2
dt
2 g  x(t )
shartni
qanoatlantiruvchi
uzluksiz
differensiallanuvchi funksiyalar sinfida minimumini topishga keltiriladi. Agar
1
2g
o‘zgarmas koeffitsient ekanligini hisobga olsak, masala quyidagi
ko‘rinishda yoziladi:
b

0
1  [ x '(t )]2
dt  min; x(0)  0 va
x(t )
b
Bu yerda x(0)=0 bo‘lgani uchun

0
x(b)  B .
1  [ x '(t )]2
dt xosmas integral
x(t )
ekanligiga e’tibor qiling.
Integral ostidagi ifoda t ga oshkor holda bog‘liq bo‘lmagani uchun Eyler
tenglamasining birinchi integrali quyidagicha bo‘ladi:
1  [ x '(t )]2
[ x '(t )]2
f  x ' fx' 

C
x(t )
x(t ) 1  [ x '(t )]2
Bu yerdan x(t) ni topsak:
424
C2
x(t ) 
.
1  [ x '(t )]2
Oxirgi differensial tenglamaning umumiy yechimi parametrik ko‘rinishda
t  c1 (  sin  )  c2

 x  c1 (1  cos  )
bo‘lib, tsikloidalar oilasini tashkil qilishini tekshirishni o‘quvchining o‘ziga
havola qilamiz. x(0)=0 va x(b)=B shartdan c1 va c2 o‘zgarmaslarni topamiz.
Demak, Braxistoxrona haqidagi masalaning yechimi faqatgina sikloida
(aniqrog‘i sikloidaning bir qismi) bo‘lishi mumkin.
3. Minimal aylanma sirt haqidagi masala. Tekislikda (a,A) va (b,B)
nuqtalarni birlashtiruvchi shunday silliq chiziq topingki, shu chiziqni abssissa
o‘qi atrofida aylanishi natijasida hosil bo‘lgan jismning sirti eng kichik bo‘lsin.
Ma’lumki, x(t) chiziqning abssissa o‘qi atrofida aylanishi natijasida hosil
bo‘lgan jismning sirti
b
F ( x(t ))  2  x(t ) 1  [ x '(t )]2 dt
a
formula yordamida hisoblanadi. Demak, yuqorida qo‘yilgan masala ushbu
ko‘rinishda yoziladi:
b
2  x(t ) 1  [ x '(t )]2 dt  min; x(a)  A; x(b)  B .
a
Eyler tenglamasining birinchi integrali quyidagicha:
f  x ' f x '  x(t ) 1  [ x '(t )] 
2
x(t )[ x '(t )]2
1  [ x '(t )]2
Sodda almashtirishlardan so‘ng:
2
 x(t ) 
x '(t )  
 1 .
 c 
Bu differensial tenglamaning yechimi:
t

x(t )  c  ch   c1  .
c

425
c
et  e  t
bu yerda cht 
giperbolik kosinus.
2
s va c1 o‘zgarmaslarni x(a)=A va x(b)=B shartdan topamiz. Odatda
t

x(t )  c  ch   c1  funksiyaning grafigi zanjir chiziq deyiladi. Demak, minimal
c

sirt haqidagi masalaning yechimi faqatgina zanjir chiziq bo‘lishi mumkin.
Mashq uchun masalalar
1 . Geodezik chiziq haqidagi masala (xususiy holi) z  x 2  y 2 sirtda
joylashgan va (0, 0, 0) nuqta bilan (1, 0, 1) nuqtani birlashtiruvchi eng qisqa
silliq chiziqni toping.
2. Quyidagi masalani yeching:
1  [ x(t )]2
a [ x(t )]2 dt  min : x (a)  A; x (b)  B .
b
3. Ushbu ekstremal masala  -parametrning qaysi qiymatlarida yagona
yechimga ega:
1
 x(t )(1  [ x(t )] )dt  min; x(1)  x(1)    0 .
2
1
4. Uzunligi l ga teng bo‘lgan bir jinsli elektr simi vertikal tekislikning M
N nuqtalarida mahkamlangan. Shu simning og‘irlik kuchi ta’sirida olgan
formasini toping.
Ko‘rsatma. Agar sim formasining tenglamasini x(t) va M (a, A); N (b, B)
deb olsak, simning potensial energiyasi
b
b
a
a
V ( x(t ))   mgx(t ) ds  mg  x(t ) 1  [ x(t )]2 dt
formula bo‘yicha hisoblanadi. Sim muvozanatda bo‘lgani uchun uning potensial
energiyasi minimal qiymatni qabul qiladi. Demak, ushbu variatsion masalani
yechish kerak:
426
b
b
 x(t ) 1  [ x(t )] dt  min;  1  [ x(t )] dt  l ,
2
2
a
a
x (a)  A, x (b)  B va x (t )  C1 [a, b] .
5. Ushbu masala:
b
B ( x (t ))   f (t , x(t ), x(t )) dt   ( x(a), x(b))  min
a
Bolsa masalasi deyiladi. Berilgan f (t , x, y) va  ( x, y) funksiyalar C1
sinfga tegishli bo‘lsa, Bolsa masalasi uchun minimumning zaruriy shartini
toping.
6.
b
 f (t, x (t ), x(t ), x (t )) dt  min; x(a)  A , x (a)  A , x (b)  B ; x(b)  B .
0
1
0
1
a
masala uchun ekstremumning zaruriy shartini toping.
1
7.  ( x(t )  [ x(t )]2 )dt  min; x(0)  0; x(1)  1 variatsion masalani yeching.
0
2
8.
 (t[ x(t )]  x(t ))dt  min; x(1)  0; x(2)  1
2
variatsion
masalani
1
yeching.
2
9.
 x(t )  [1  t x(t )]dt  min, x(1)  3; x(2)  1
2
variatsion masalani
1
yeching.
1
10.  x(t )dt  min; x(0)  0; x(1)  1 variatsion masalani yeching.
0
427
ADABIYOT
ASOSIY ADABIYOT
1. Канторович Л. В., Акилов Г.П., Функциональный анализ. М.
«Наука», 177.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и
функционального анализа. М. «Наука», 1968.
3. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Элементы функционального
анализа. М. «Наука», 1965.
4. Рудин У. Функциональный анализ. М. «Мир», 1975.
5. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М. «Мир», 1969.
6. Саримсоқов
Т.А.,
Ҳақиқий
ўзгарувчининг
функциялари
назарияси. Т. “Ўқитувчи”, 1982.
7. Қобулов В.Қ. Функционал анализ ва ҳисоблаш математикаси. Т.
“Ўқитувчи”, 1976.
QO‘SHIMCHA ADABIYOT
1. Александров П.С., Введение в общую теорию множеств и
функций. М. Гостехиздат. 1948.
2. Антоновский
М.Я.,
Болтянский
В.Г.,
Саримсаков
Т.А.,
Топологические алгебры Буля. Т. Фан. 1963.
3. Ахиезер Н.И., Глазман И.М., Теория
линейных операторов в
гильбертовом пространстве. М. «Наука». 1966.
4. Биркгоф Г., Теория решеток. М. «Наука». 1984.
5. Бурбаки Н., Теория множеств. М. «Мир». 1965.
6. Бурбаки Н., Общая топология, Основные структуры. «Наука», М.,
1968.
428
7. Бурбаки
Н.,
Интегрирование.
Меры,
интегрирование
мер.
«Наука», М., 1967
8. Бурбаки Н., Спектральная теория. М. «Мир», 1972.
9. Владимиров Д.А., Булевы алгебры. М. «Наука», 1969.
10. Вулих Б.З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств.
М. Физматгиз. 1961.
11. Вулих Б.З., Введение в функциональный анализ. М. «Наука»
1967.
12. Вулих Б.З., Краткий курс теории функций веществен ой
переменной. М. «Наука». 1973.
13. Гельфанд И.М., Райков Д. А., Шилов Г.Е. Коммутативные
нормировочные кольца. М. Физматгиз. 1960.
14. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Обобщенные функции. Вып.1.
обобщенные функции и действия над ними. М.1958.
15. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып. 2.
Пространства основных и обобщенных функций.
16. Глазман И.М., Любич Ю И. Конечномерный линейный анализ.
М. «Наука», 1969.
17. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория,
М. ИЛ, , 1962.
18. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная
теория. М. «Мир», 1966.
19. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная
теория. «Мир», М., 1974.
20. Дьедоннне Ж. Основы современного анализа. М. Мир. 1964.
21.Дэй М.М. Линейные нормированные пространства. М. ИЛ. 1961.
22.Иосида К. Функциональный анализ. М. «Мир», 1967.
23.Канторович Л. В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный
анализ в полуупорядоченных пространствах. Гостехиздат, М.-Л.,
1950.
429
24.Келли Дж. Л. Общая топология. М. «Наука», 1968.
25.Наймарк М.А. Нормированные кольца. М. «Наука», 1968.
26.Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.Гостехиздат.
1949.
27. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной, М.
«Наука», 1974.
28. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному
анализу. М. ИЛ, 1954.
29. Робертсон А. П., Робертсон В. Топологические векторные
пространства. М. «Мир», 1967.
30. Халмош П. Теория меры. М. «Мир», 1953.
31. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М. Гостехиздат, 1937.
32. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.
ИЛ, 1962.
430
ASOSIY BELGILASHLAR
K – skalyarlar maydoni
 A  A - to‘plamning xarakteristik
R – haqiqiy sonlar to‘plami
funksiyasi
C – kompleks sonlar to‘plami
  -tartib (qisman tartib) belgisi
 - umumiylik kvantori
sup,  - supremum
 -mavjudlik kvantori
inf,  - infimum
a  A -a element A to‘plamga
{xn } - ketma-ketlik
tegishli
 - vektor fazoning nol elementi
a  A -a element A to‘plamga
L [ A] , - A to‘plamning chiziqli
tegishli emas
B  A  B to‘plam A to‘plamning
qobig‘i
qism to‘plami
E / E0 - faktor fazo
 - bo‘sh to‘plam
Z ( E, F ) - chiziqli operatorlar fazosi
-
to‘plamlarning
yig‘indisi
L ( E, F )
(birlashmasi)
E - topologik qo‘shma vektor fazo
to‘plamlarning
 -to‘g‘ri yig‘indi ortogonal to‘g‘ri
to‘g‘ri
yig‘indi
(Dekart) ko‘paytmasi
A\ B A
chiziqli
E* -algebraik qo‘shma vektor fazo
(kesishmasi)
-
uzluksiz
operatorlar
- to‘plamlarning ko‘paytmasi

-
-
to‘plamdan
f : A  B -aks ettirish
B
to‘plamning ayirmasi
f 1 - teskari aks ettirish
 - ekvivalentlik belgisi
* - teorema isbotining tugaganligi
 - mantiqiy xulosa
431
MUNDARIJA
SO‘Z BOSHI .................................................................................................................................................. 3
BIRINCHI NASHRIGA SUZ BOSHI ............................................................................................ 4
IKKINCHI NASHRIGA SUZ BOSHI ........................................................................................... 5
I QISM. ASOSIY FAZOLAR ............................................................................................................. 7
I B O B . VEKTOR FAZOLAR ........................................................................................................ 7
1.1-§. n o‘lchamli vektor fazo ............................................................................................................. 7
1.2-§. Vektor fazoning ta’rifi va misollar ...................................................................................... 9
1.3-§. Chiziqli bog‘lanish. O‘lcham ............................................................................................... 11
1.4-§. Vektor qism fazo. Qavariq to‘plamlar............................................................................. 13
1.5-§. Faktor fazolar va fazolarning ko‘paytmasi ................................................................... 17
1.6-§. Chiziqli aks ettirishlar ............................................................................................................... 19
Mashq uchun misollar ............................................................................................................................. 24
II BOB. METRIK FAZOLAR .......................................................................................................... 27
2.1-§. Metrik fazolar ................................................................................................................................ 27
2.2-§. Metrik fazoda yaqinlashish tushunchasi ........................................................................ 33
2.3-§. Metrik fazolarda uzluksiz aks ettirishlar va funksionallar................................... 37
2.4- §. Metrik fazoda ochiq va yopiq to‘plamlar ..................................................................... 39
2.5-§. Separabel metrik fazolar .......................................................................................................... 43
2.6- §. To‘la metrik fazolar .................................................................................................................. 46
2.7-§. To‘ldiruvchi fazo haqidagi teorema.................................................................................. 53
2.8-§. Metrik fazoda kompakt to‘plamlar .................................................................................... 57
2.9-§. Qisqartirib aks ettirish prinsipi va uning tatbiqlari .................................................. 67
Mashq uchun masalalar .......................................................................................................................... 72
III BOB. TOPOLOGIK FAZOLAR ............................................................................................. 75
3.1-§. Topologik fazolarning ta’rifi va misollar ...................................................................... 75
3.2- §. Atroflar. Yopiq to‘plamlar .................................................................................................... 76
3. 3- §. Topologik fazolarni uzluksiz aks ettirish .................................................................... 82
3.4- §. Kompaktlik .................................................................................................................................... 84
3.5-§. Fazolarning topologik ko‘paytmalari............................................................................... 87
432
Mashq uchun masalalar ................................................................................................................... 89
IV BOB. NORMALANGAN FAZOLAR ............................................................................... 92
4.1- §. Normalangan fazo ta’rifi va uning ba’zi xossalari ................................................. 92
4.2-§ Evklid fazolari............................................................................................................................... 100
4.3- §. Gilbert fazolari ........................................................................................................................... 109
4.4- §. Qism fazolar. Ortogonal to‘ldiruvchilar ..................................................................... 113
4.5- §. Kompleks Evklid fazolari.................................................................................................... 118
Mashq uchun masalalar ..................................................................................................................... 121
V BOB. TOPOLOGIK VEKTOR FAZOLAR .................................................................... 124
5.1-§. Topologik vektor fazoning ta’rifi va ba’zi xossalari............................................. 124
5.2-§. Yarimnormalar ........................................................................................................................... 130
5.3-§. Xan-Banax teoremasi .............................................................................................................. 136
5.4-§. Topologik vektor fazolarni metrikalashtirish va normalashtirish ................. 141
Mashq uchun masalalar ........................................................................................................................ 146
VI BOB. QISMAN TARTIBLANGAN FAZOLAR ....................................................... 148
6.1-§. Qisman tartiblangan to‘plamlar......................................................................................... 148
6.2-§. Panjaralar ..................................................................................................................................... 152
6.3- §. Bul algebralari ............................................................................................................................ 157
6.4-§. Vektor panjaralar ....................................................................................................................... 159
6.5- §. Qisman tartiblangan topologik vektor fazolar ......................................................... 167
Mashq uchun masalalar ................................................................................................................. 172
II QISM. OPERATORLAR NAZARIYASI ........................................................................ 174
VII BOB. TOPOLOGIK VEKTOR FAZOLARDA UZLUKSIZ
OPERATORLAR .................................................................................................................................... 174
7.1- §. Uzluksiz chiziqli operatorlar ............................................................................................. 174
7.2- §. Tekis chegaralanganlik prinsipi. Ochiq aks ettirish va yopiq grafik
haqidagi teoremalar ................................................................................................................................ 182
7.3-§. Normalangan fazoda chiziqli operatorning normasi ............................................. 190
7.4-§. Normalangan fazolarda funksional analizning asosiy prinsiplari ................ 197
7. 5-§. Chiziqli operatorlar fazosida topologiyalar .............................................................. 204
433
Mashq uchun masalalar .................................................................................................................. 212
VIII BOB. CHIZIQLI FUNKSIONALLAR VA QO‘SHMA FAZO ................ 215
8.1 -§. Normalangan fazolarda chiziqli funksionallar va gipertekisliklar .............. 215
8.2-§ Ikkinchi qo‘shma fazo va refleksivlik............................................................................. 228
8.3-§. Sust topologiya va sust yaqinlashish .............................................................................. 231
8.5-§. Qo‘shma operatorlar ................................................................................................................ 239
Mashq uchun masalalar ........................................................................................................................ 247
IX BOB. SPEKTRAL ANALIZ ELEMENTLARI ........................................................... 249
9.1-§. Spektr va rezolventa ................................................................................................................. 249
9.2-§. Proeksion operatorlar .............................................................................................................. 262
9.3-§. Chekli o‘lchamli Evklid fazosida o‘z-o‘ziga qo‘shma operator uchun
spektral teorema ........................................................................................................................................ 270
9.4-§. Spektral teorema......................................................................................................................... 275
Mashq uchun masalalar ........................................................................................................................ 288
X BOB. TO‘LA UZLUKSIZ OPERATORLAR VA INTEGRAL
TENGLAMALAR .................................................................................................................................. 290
10.1-§. Banax fazolarida to‘la uzluksiz operatorlar............................................................. 290
10.2- §. To‘la uzluksiz operatorlarning xossalari.................................................................. 294
10.3- §. Gilbert fazosida to‘la uzluksiz operatorlar ............................................................. 300
10.4-§. Chiziqli integral tenglamalar ............................................................................................ 307
10.5- §. Fredgolm teoremalari .......................................................................................................... 312
Mashq uchun masalalar ........................................................................................................................ 320
XI BOB. BANAX ALGEBRALARI.......................................................................................... 321
11.1- §. Banax algebralarining ta’rifi ........................................................................................... 321
11.2- §. Spektr va rezolventa............................................................................................................. 326
11.3-§. Ideallar, faktor-algebralar va kompleks gomomorfizmlar .............................. 332
11.4-§. Kommutativ Banax algebralarini ifodalash ............................................................. 340
11.5-§. Involyutiv algebralar ............................................................................................................. 345
Mashq uchun masalalar ........................................................................................................................ 350
XII BOB. UMUMLASHGAN FUNKSIYALAR............................................................... 353
434
FURYE ALMASHTIRISHLARI ................................................................................................... 353
12.1-§. Umumlashgan funksiya tushunchasi ........................................................................... 353
12.2-§. Umumlashgan funksiyalar ustida amallar ................................................................ 360
12.3-§. Furye almashtirishi................................................................................................................. 369
Mashq uchun masalalar ........................................................................................................................ 381
XIII BOB. NORMALANGAN FAZOLARDA DIFFERENSIAL VA
INTEGRAL HISOB ELEMENTLARI....................................................................................... 384
13.1-§. Kuchli va sust differensiallar ........................................................................................... 384
13. 2-§. Vektor funksiyalardan olingan integral .................................................................... 391
13.3- §. Yuqori tartibli hosilalar ...................................................................................................... 395
Mashq uchun masalalar ........................................................................................................................ 400
XIV BOB. VARIATSION HISOB ELEMENTLARI ...................................................... 402
14.1- §. Ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari ............................................................ 402
b
14. 2-§.  f (t , x(t ), x '(t ))dt ko‘rinishdagi funksionallarni eksteremumga
a
tekshirish ....................................................................................................................................................... 407
14.3- §. Izoperimetrik masala. Shartli ekstremum................................................................ 416
14.4-§. Ekstremumni topishga doir misollar............................................................................ 420
Mashq uchun masalalar ........................................................................................................................ 426
ADABIYOT ................................................................................................................................................ 428
ASOSIY ADABIYOT .......................................................................................................................... 428
QO‘SHIMCHA ADABIYOT ........................................................................................................... 428
ASOSIY BELGILASHLAR ............................................................................................................ 431
435