QDPI Aniq va tabiiy fanlar fakulteti matematika va informatika ta’lim yo’nalishi 302-guruh talabasi Muhayyoxon Rejavaliyevaning algebra va sonlar nazariyasi fanidan tayyorlagan taqdimoti Mavzu: Birinchi darajali taqqoslamalar va Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi Reja: 1. Birinchi darajali taqqoslamalar 2. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi Birinchi darajali taqqoslamalar va Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi Matematikaning muhim qismlaridan biri bo'lgan sonlar nazariyasida birinchi darajali taqqoslamalar va Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi alohida o'rin tutadi. Bu mavzular nafaqat nazariy ahamiyatga ega, balki amaliy qo'llanishlarga ham ega. Ushbu taqdimotda biz birinchi darajali taqqoslamalar tushunchasi, ularning yechimlari va Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasining mohiyati hamda isboti haqida batafsil ma'lumot beramiz. Shuningdek, bu nazariyalarning zamonaviy kriptografiya va kompyuter fanlaridagi ahamiyatini ham ko'rib chiqamiz. ur Birinchi darajali taqqoslamalar: asosiy tushunchalar Taqqoslama tushunchasi Taqqoslama - bu ikki sonning berilgan modulga nisbatan farqi shu modulga bo'linishini ifodalovchi matematik tushuncha. a ≡ b (mod m) ko'rinishida yoziladi. Birinchi darajali taqqoslama ax ≡ b (mod m) ko'rinishidagi taqqoslama, bunda a va m o'zaro tub sonlar. Yechimlar soni Agar a va m o'zaro tub bo'lsa, birinchi darajali taqqoslamaning yagona yechimi mavjud bo'ladi. Amaliy ahamiyati Kriptografiya, xesh-funksiyalar va tasodifiy sonlar generatsiyasida keng qo'llaniladi. Birinchi darajali taqqoslamalar tizimi Tizim tushunchasi Yechimning mavjudligi Amaliy qo'llanishlar Bir nechta birinchi darajali Agar barcha mᵢ lar o'zaro tub Bu tizimlar kriptografiyada, taqqoslamalardan iborat bo'lgan bo'lsa, tizimning yagona yechimi xesh-funktsiyalarda va tizim. Masalan: x ≡ a₁ (mod m₁) mavjud bo'ladi. Bu holat taqsimlangan hisoblash x ≡ a₂ (mod m₂) ... x ≡ aₖ (mod Qoldiqlar haqidagi Xitoy tizimlarida keng qo'llaniladi. mₖ) teoremasining asosini tashkil etadi. Birinchi darajali taqqoslamalarni yechish usullari 1 To'g'ridan-to'g'ri hisoblash Kichik modullar uchun barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni tekshirish orqali yechimni topish mumkin. Bu usul sodda, ammo katta modullar uchun samarasiz. 2 Modulga teskari sonni topish a·x ≡ 1 (mod m) tenglamani yechish orqali a ning m ga nisbatan teskari sonini topish. Bu usul Eyler funksiyasi va Ferma teoremasiga asoslanadi. 3 Kengaytirilgan Evklid algoritmi Bu algoritm orqali nafaqat EKUB(a,m)ni, balki ax + my = 1 tenglamaning butun yechimlarini ham topish mumkin. Bu yechim birinchi darajali taqqoslamani hal qilishga yordam beradi. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasi: ta'rif 1 Teorema ta'rifi 2 Tarixiy ahamiyati 3 Zamonaviy talqini Agar m₁, m₂, ..., mₖ Bu teorema miloddan Hozirgi kunda bu teorema o'zaro tub sonlar bo'lsa, u avvalgi 3-asrda Xitoy ring nazariyasi va holda x ≡ aᵢ (mod mᵢ) matematigi Sun-tszı algebraik strukturalar ko'rinishidagi tomonidan kashf etilgan nuqtai nazaridan ham taqqoslamalar tizimining bo'lib, uning nomi bilan o'rganiladi. yagona yechimi mavjud ataladi. bo'ladi va bu yechim modulo M = m₁·m₂·...·mₖ da aniqlanadi. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasining isboti 1 Mᵢ sonlarini aniqlash Har bir i uchun Mᵢ = M/mᵢ ni hisoblaymiz. 2 yᵢ sonlarini topish Mᵢ·yᵢ ≡ 1 (mod mᵢ) taqqoslamani yechamiz. 3 Umumiy yechimni hisoblash x = Σ(aᵢ·Mᵢ·yᵢ) mod M formulani hisoblaymiz. 4 Yechimni tekshirish Topilgan x ning barcha taqqoslamalarga mos kelishini tekshiramiz. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasining misoli Taqqoslama mᵢ Mᵢ yᵢ aᵢ·Mᵢ·yᵢ x ≡ 2 (mod 3) 3 70 1 140 x ≡ 3 (mod 5) 5 42 3 378 x ≡ 2 (mod 7) 7 30 4 240 Bu misolda M = 3·5·7 = 105. Yechim: x ≡ (140 + 378 + 240) mod 105 ≡ 23 (mod 105). Bu yechim barcha berilgan taqqoslamalarga mos keladi. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasining amaliy qo'llanishlari Kriptografiya RSA kriptotizimida katta sonlarni modulli ko'paytirish va darajalashda qo'llaniladi. Ma'lumotlar bazalari Taqsimlangan ma'lumotlar bazalarida ma'lumotlarni saqlash va qidirish algoritmlarida ishlatiladi. Kalendarlar Turli taqvim tizimlarini muvofiqlashtirish va sanalarni hisoblashda foydalaniladi. Kompyuter arxitekturasi Parallel hisoblash tizimlarida vazifalarni taqsimlash va sinxronlashtirishda qo'llaniladi. Qoldiqlar haqidagi Xitoy teoremasining umumlashtirilishi Klassik holat Modullar o'zaro tub bo'lgan holat. Bu holatda yagona yechim mavjud bo'ladi. Modullar o'zaro tub bo'lmagan holat Bu holatda yechimning mavjudligi va soni modullarning EKUB lari orqali aniqlanadi. Chiziqli bo'lmagan tizimlar Chiziqli bo'lmagan taqqoslamalar tizimlari uchun umumlashtirilgan holat. Algebraik strukturalar Teoremaning halqalar va boshqa algebraik strukturalar uchun umumlashtirilishi. Xulosa va kelajak istiqbollari Nazariy ahamiyati Amaliy qo'llanishlar Kelajak istiqbollari Birinchi darajali Bu nazariyalar Yangi kriptografik taqqoslamalar va zamonaviy protokollar, yuqori Qoldiqlar haqidagi kriptografiya, samarali paralel Xitoy teoremasi sonlar kompyuter arxitekturasi hisoblash algoritmlari nazariyasining muhim va ma'lumotlar bazalari va murakkab tizimlarni qismi bo'lib, algebraik kabi sohalarda keng modellashtirish kabi strukturalar va modulli qo'llanilmoqda. sohalarda bu arifmetika Kelajakda kvant nazariyalarning yanada tushunchalarini hisoblash va sun'iy kengaytirilgan chuqurroq tushunishga intellekt sohalarida qo'llanishlari yordam beradi. yangi qo'llanishlar kutilmoqda. kutilmoqda. E’tiboringiz uchun rahmat.