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Uploaded by Amina Messaoudi

Chapitre I

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CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES NOMBRES
COMPLEXES
I.1. Introduction :
L’ensemble des nombres complexes a été introduit pour compléter l’ensemble des
nombres réels dans le but de disposer des solutions à l’équation π‘₯ 2 + 1 = 0 .
Dans l’ensemble des nombres complexes C, cette équation du second degré possède
deux solutions ‘’racines’’ : i et -i. avec 𝑖 2 =-1.
Remarque : On préfère, en électricité, utiliser la notation de 𝑗 à la place de 𝑖 pour ne pas
confondre avec l’intensité du courant.
Exemple : L’équation π‘₯ 2 + 9 = 0 ne possède pas de solutions réelles, mais par contre
π‘₯ = +3𝑗
deux solutions dites imaginaires : { 1
π‘₯2 = −3𝑗
I.2. Représentation algébrique d’un nombre complexe :
On appelle un nombre complexe 𝑧 toute expression de la forme :
𝑧 = π‘Ž + 𝑗. 𝑏
Où a et b sont des nombres réels, appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire
de 𝑧 (dénotée respectivement 𝑅𝑒(𝑧) et πΌπ‘š(𝑧)).
𝑗 est un nombre imaginaire tel que 𝑗 = √−1 (𝑗 2 = −1).
On peut prendre ces deux valeurs (a et b) comme coordonnées dans le plan cartésien (voir
la figure1).
Figure 1 : Représentation cartésienne d’un nombre complexe (𝑧).
I.3. Représentation graphique d’un nombre complexe :
Tout nombre complexe peut être représenté de manière biunivoque (unique sans qu’il y
soit de chevauchement) par un point dans un plan appelé plan complexe (ou parfois plan
𝑧). En introduisant dans ce plan un système d’axes rectangulaires (𝑂, 𝑒
βƒ— , 𝑣) ayant les
mêmes échelles, le nombre complexe 𝑧 = π‘Ž + 𝑗. 𝑏 correspond au point 𝑃(π‘Ž, 𝑏) d’abscisse
π‘Ž et d’ordonnées 𝑏.
1
CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES NOMBRES
COMPLEXES
Le point 𝑃(π‘Ž, 𝑏) est l’image du nombre complexe 𝑧 = π‘Ž + 𝑗. 𝑏 et 𝑧 est l’affixe du vecteur
βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— = π‘Ž. 𝑒
βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ— est le vecteur image du nombre complexe 𝑧.
𝑂𝑃
βƒ— + 𝑏. 𝑣 . Autrement dit 𝑂𝑃
I.4. Différentes formes d’un nombre complexe :
I.4.1. Représentation trigonométrique d’un nombre complexe :
Soit 𝑃 l’image de de 𝑧 = π‘Ž + 𝑗. 𝑏 dans le plan rapporté au repère (𝑂, 𝑒
βƒ— , 𝑣 ).
ο‚·
ο‚·
Module ou la norme de 𝒛 est le réel positif 𝑍 = |𝑧| = √π‘Ž2 + 𝑏2
Argument de 𝒛 est le nombre θ défini à 2π‘˜πœ‹, avec π‘˜ entier, tel que :
𝑏
𝑏
πœƒ = tan−1 ( ) = arctan( )
π‘Ž
π‘Ž
Géométriquement, l’argument θ, l’angle (𝑒
βƒ— , βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—βƒ—
𝑂𝑃) et défini à 2π‘˜πœ‹ prés. Alors :
𝑏
𝑍
{
𝑏
sin πœƒ =
𝑍
sin πœƒ =
Ainsi, la forme trigonométrique de 𝑧 s’écrit comme suit :
𝑧 = π‘Ž + 𝑗. 𝑏 = 𝑍(cos πœƒ + 𝑗. sin πœƒ)
Z
Figure 2 : Représentation trigonométrique d’un nombre complexe (𝑧).
I.4.2. Représentation polaire d’un nombre complexe :
Soit un nombre complexe 𝑧 (𝑧 ≠ 0), avec 𝑍, πœƒ sont respectivement le module et
l’argument. La représentation polaire de 𝑧 est donnée sous la forme suivante :
𝑧 = [ 𝑍, πœƒ]
I.4.3. Représentation exponentielle d’un nombre complexe :
2
CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES NOMBRES
COMPLEXES
Tout nombre complexe peut s’écrire sous la forme exponentielle, représentée sur la
figure (I.3) :
𝑧 = 𝑍𝑒 π‘—πœƒ
Figure 3 : Représentation exponentielle d’un nombre complexe (𝑧).
I.5. Opérations arithmétiques sur les nombres complexes :
I.5.1. Complexe conjugué :
Deux nombres complexes sont conjugués lorsqu’ils ne différent que par le signe de la
partie imaginaire.
Si 𝑧 = π‘Ž + 𝑗. 𝑏 = 𝑍𝑒 π‘—πœƒ , on dénotera son conjugué complexe par 𝑧 ∗ = π‘Ž − 𝑗. 𝑏 = 𝑍𝑒 −π‘—πœƒ .
Figure 4 : Complexe conjugué.
I.5.2. Addition et soustraction :
L’addition [soustraction] de deux nombres complexes revient additionner [soustraire]
séparément les parties réelles et les parties imaginaires.
𝑧1 = π‘Ž1 + 𝑗. 𝑏1 =𝑍1 𝑒 π‘—πœƒ1
3
CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES NOMBRES
COMPLEXES
𝑧2 = π‘Ž2 + 𝑗. 𝑏2 =𝑍2 𝑒 π‘—πœƒ2
Si 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2
Alors : 𝑧 = (π‘Ž1 + π‘Ž2 ) + 𝑗. ( 𝑏1 + 𝑏2 )
Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, on utilise de
préférence la notation cartésienne.
I.5.3. Produit :
Le produit de deux nombres complexes 𝑧1 et 𝑧2 est :
𝑧 = 𝑧1 ∗ 𝑧2 = (π‘Ž1 + 𝑗. 𝑏1 ) ∗ (π‘Ž2 + 𝑗. 𝑏2 )
𝑧 = (π‘Ž1 π‘Ž2 − 𝑏1 𝑏2 ) + 𝑗(π‘Ž1 𝑏2 + π‘Ž2 𝑏1 )
Pour calculer le produit de deux nombres complexes, il est souvent plus
intéressant d’utiliser la forme polaire ou exponentielle, tel que, le module du
produit est égal au produit des modules et l’argument du produit est égal à la
somme des arguments.
Si : 𝑧 = 𝑧1 ∗ 𝑧2 Alors :
𝑧 = 𝑍1 𝑒 π‘—πœƒ1 ∗ 𝑍2 𝑒 π‘—πœƒ2 =𝑍1 . 𝑍2 . 𝑒 𝑗(πœƒ1 +πœƒ2 )
I.5.4. Division :
𝑧
Le calcul de la division de deux nombres complexes 𝑧 = 𝑧1 sous la forme algébrique fait
2
appel au conjugué du dénominateur.
𝑧=
π‘Ž1 + 𝑗. 𝑏1 (π‘Ž1 + 𝑗. 𝑏1 ) ∗ (π‘Ž2 − 𝑗. 𝑏2 ) (π‘Ž1 π‘Ž2 + 𝑏1 𝑏2 ) + 𝑗(π‘Ž2 𝑏1 − π‘Ž1 𝑏2 )
=
=
π‘Ž2 + 𝑗. 𝑏2 (π‘Ž2 + 𝑗. 𝑏2 ) ∗ (π‘Ž2 − 𝑗. 𝑏2 )
π‘Ž2 2 + 𝑏2 2
Pour calculer la division de deux nombres complexes, il est souvent plus
intéressant d’utiliser la forme polaire ou exponentielle, tel que, le module du
quotient est égal au rapport des modules et l’argument du quotient est égal à
la différence des arguments.
𝑧
Si : 𝑧 = 𝑧1 Alors :
2
𝑧=
𝑍1 𝑒 π‘—πœƒ1 𝑍1 𝑗(πœƒ −πœƒ )
= .𝑒 1 2
𝑍2 𝑒 π‘—πœƒ2 𝑍2
Remarque :
(𝑧1 + 𝑧2 )∗ = 𝑧1 ∗ + 𝑧2 ∗
(𝑧1 − 𝑧2 )∗ = 𝑧1 ∗ − 𝑧2 ∗
(𝑧1 . 𝑧2 )∗ = 𝑧1 ∗ . 𝑧2 ∗
4
CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES NOMBRES
COMPLEXES
𝑧
𝑧 ∗
2
2
(𝑧1 )∗=𝑧1∗
I.6. Racine carrée d’un nombre complexe :
Soit un nombre complexe donné 𝑍 = π‘Ž + 𝑗𝑏. La racine carrée de ce nombre est le nombre
complexe tel que 𝑧 = π‘₯ + 𝑗𝑦 qui est déterminé par la résolution d’un système d’équations
à deux inconnues tel que :
𝑍 = 𝑧2
π‘Ž + 𝑗𝑏 = (π‘₯ + 𝑗𝑦 )2
π‘Ž + 𝑗𝑏 = π‘₯ 2 − 𝑦 2 + 2𝑗π‘₯𝑦
π‘Ž = π‘₯2 − 𝑦2
Alors : {
𝑏 = 2π‘₯𝑦
I.7. Formule d’Euler et formule de Moivre :
ο‚·
La formule d’Euler :
La formule d’Euler relie l’exponentielle complexe avec le cosinus et le sinus dans le plan
complexe :
β±―θπœ–R, 𝑒 π‘—πœƒ = cos πœƒ + 𝑗. sin πœƒ
Théorème:
Soit θ un nombre réel, la formule d’Euler est exprimée :
𝑒 π‘—πœƒ + 𝑒 −π‘—πœƒ
cos πœƒ =
2
𝑒 π‘—πœƒ − 𝑒 −π‘—πœƒ
sin πœƒ =
2𝑗
{
Démonstration :
𝑒 π‘—πœƒ = cos πœƒ + 𝑗. sin πœƒ et 𝑒 −π‘—πœƒ = cos(−πœƒ) + 𝑗. sin(−πœƒ) = cos πœƒ − 𝑗. sin πœƒ
𝑒 π‘—πœƒ = cos πœƒ + 𝑗. sin πœƒ
Alors : { −π‘—πœƒ
𝑒
= cos πœƒ − 𝑗. sin πœƒ
En additionnant, puis en soustrayant les deux égalités membres à membres, on obtient
les formules d’Euler.
ο‚·
La formule de Moivre :
Théorème:
5
CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES NOMBRES
COMPLEXES
Soit 𝑍 = π‘Ž + 𝑗𝑏 = 𝑍𝑒 π‘—πœƒ . La nième puissance de ce nombre complexe est alors donnée par
la formule de Moivre, tel que :
(𝑧)𝑛 = [𝑍(𝑒 π‘—πœƒ )]𝑛 = [𝑍(cos πœƒ + 𝑗. sin πœƒ)]𝑛 = 𝑍 𝑛 (cos(π‘›πœƒ) + 𝑗. sin(π‘›πœƒ))
I.8. Application des nombres complexes en électricité :
I.8.1. Loi d'Ohm
𝑒 =𝑧∗𝑖
𝑒 = π‘ˆπ‘’ π‘—πœƒπ‘’
Soit : {
𝑖 = 𝐼𝑒 π‘—πœƒπ‘–
𝑒
π‘ˆπ‘’ π‘—πœƒπ‘’
π‘ˆ
Alors : 𝑧 = 𝑖 = 𝐼𝑒 π‘—πœƒπ‘– = 𝐼 𝑒 𝑗(πœƒπ‘’−πœƒπ‘– ) =𝑍𝑒 π‘—πœ‘
𝑧 est l’impédance complexe du dipôle électrique
𝑍 est le module de l’impédance en ohms (Ω)
πœ‘ est l’angle de déphasage entre le courant 𝑖 qui traverse le dipôle et la tension 𝑒 aux
bornes du dipôle. Tel que : πœ‘ = πœƒπ‘’ − πœƒπ‘–
On peut aussi écrire la forme cartésienne de 𝑧 :
𝑧 = 𝑍𝑒 π‘—πœ‘ = 𝑍(cos πœ‘ + 𝑗. sin πœ‘) = 𝑅𝑍 + 𝑗. 𝑋𝑍
𝑅 = 𝑍 cos πœ‘ ∢ 𝑒𝑠𝑑 𝑒𝑛𝑒 π‘Ÿéπ‘ π‘–π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘π‘’ (Ω)
Avec : { 𝑍
𝑋𝑍 = 𝑍 sin πœ‘ : 𝑒𝑠𝑑 𝑒𝑛𝑒 π‘Ÿéπ‘Žπ‘π‘‘π‘Žπ‘›π‘π‘’ (Ω)
I.8.1.1. Loi d'Ohm pour un conducteur ohmique
𝑒𝑅 = 𝑍𝑅 ∗ 𝑖
π‘ˆπ‘’ π‘—πœƒπ‘’ = 𝑅 ∗ 𝐼𝑒 π‘—πœƒπ‘–
Ce qui permet d’écrire : π‘ˆ = 𝑅 ∗ 𝐼 et πœƒπ‘’ = πœƒπ‘–
𝑍𝑅 = 𝑅
{
πœ‘=0
L’impédance 𝐙𝐑 est un réel pur
I.8.1.2. Loi d'Ohm pour une inductance
6
CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES NOMBRES
COMPLEXES
𝑑𝑖
𝑑𝑖(𝑑)
𝑒 = 𝐿 𝑑𝑑 ⟹ 𝑒𝐿 = 𝐿 𝑑𝑑
Dans cette relation, le courant 𝑖 est variable en fonction du temps. Nous devons donc
écrire l’expression complexe complète du courant, à savoir : 𝑖 = 𝐼𝑒 𝑗(πœ”π‘‘+πœƒπ‘–)
𝑑𝑖
𝑒𝐿 = 𝐿 𝑑𝑑 = 𝐿
𝑑(𝐼𝑒 𝑗(πœ”π‘‘+πœƒπ‘–))
𝑑𝑑
= 𝐿𝐼
𝑑(𝑒 𝑗(πœ”π‘‘+πœƒπ‘–))
𝑑𝑑
= 𝐿𝐼(π‘—πœ”)𝑒 𝑗(πœ”π‘‘+πœƒπ‘–) =π‘—πΏπœ”πΌπ‘’ 𝑗(πœ”π‘‘+πœƒπ‘–)
𝑒𝐿 = π‘—πΏπœ” ∗ 𝑖
πœ‹
Sachant que : 𝑒𝐿 = 𝑍𝐿 ∗ 𝑖 ⟹ 𝑍𝐿 = π‘—πΏπœ” = πΏπœ” ∗ 𝑒 𝑗 2
⟹{
𝑍𝐿 = 𝑋𝐿 = πΏπœ”
πœ‹
πœ‘π‘ =
2
L’impédance 𝒁𝑳 est un imaginaire positif pur.
I.8.1.3. Loi d'Ohm pour un condensateur
1
Nous avons : 𝑒𝑐 = ∫ 𝑖(𝑑) 𝑑𝑑
𝐢
𝑒𝑐 =
1
1
𝐼
𝐼 𝑗(πœ”π‘‘+πœƒπ‘–)
∫ 𝑖 𝑑𝑑 = ∫ 𝐼𝑒𝑗(πœ”π‘‘+πœƒπ‘–) 𝑑𝑑 = ∫ 𝑒𝑗(πœ”π‘‘+πœƒπ‘–) 𝑑𝑑 =
𝑒
𝐢
𝐢
𝐢
π‘—πΆπœ”
𝑒𝑐 =
1
𝑖
π‘—πΆπœ”
⟹ 𝑍𝑐 =
πœ‹
1
1
−𝑗
=
∗𝑒 2
π‘—πΆπœ” πΆπœ”
1
𝑍𝐢 = 𝑋𝐢 =
π‘—πœ”πΆ
{
πœ‹
πœ‘π‘ = −
2
L’impédance 𝒁π‘ͺ est un imaginaire négatif pur.
Remarque :
La dérivation d’une grandeur (sinusoïdale) complexe revient à la multiplier
par π’‹πŽ
7
CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES NOMBRES
COMPLEXES
L’intégration d’une grandeur (sinusoïdale) complexe revient à la diviser par
π’‹πŽ
I.8.2. Association des dipôles – Impédances équivalentes
I.8.2.1. Association série :
D’après la loi des mailles : 𝑒 = 𝑒1 + 𝑒2
Avec : 𝑒1 = 𝑍1 ∗ 𝑖 et 𝑒2 = 𝑍2 ∗ 𝑖
⟹ 𝑒 = 𝑍1 ∗ 𝑖 + 𝑍2 ∗ 𝑖 = (𝑍1 + 𝑍2 ) ∗ 𝑖 = 𝑍 ∗ 𝑖
⟹ 𝑍 = 𝑍1 + 𝑍2 = 𝑍éπ‘žπ‘’π‘–π‘£π‘Žπ‘™π‘’π‘›π‘‘π‘’
De la même manière, nous pouvons démontrer aisément que pour 𝑛 dipôles en série :
𝑛
𝑍éπ‘ž = ∑ 𝑍𝑖
𝑖=1
L'impédance équivalente de plusieurs dipôles en série est la somme des
impédances de tous ces dipôles
I.8.2.2. Association parallèle :
𝑒
D’après la loi des nœuds : 𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 + β‹― + 𝑖𝑛 , avec : 𝑖𝑖 = 𝑍
8
𝑖
CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES NOMBRES
COMPLEXES
βŸΉπ‘–=
𝑒
𝑒
𝑒
1
1
1
1
+ + β‹―+
= ( + + β‹―+ )𝑒 =
𝑒
𝑍1 𝑍2
𝑍𝑛
𝑍1 𝑍2
𝑍𝑛
𝑍éπ‘ž
𝑛
1
1
1
1
1
⟹
= + +β‹―+
=∑
𝑍éπ‘ž 𝑍1 𝑍2
𝑍𝑛
𝑍𝑖
𝑖=1
Ou bien : 𝛾éπ‘ž = 𝛾1 + 𝛾2 + β‹― + 𝛾𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝛾𝑛
L'admittance équivalente de plusieurs dipôles en parallèle est la somme des
admittances de tous ces dipôles.
I.8.3. Exemples d’application :
I.8.3.1. Dipôle R, L série (Bobine réelle)
𝑍éπ‘ž = 𝑍𝑅 + 𝑍𝐿 = 𝑅 + π‘—πΏπœ” = 𝑍𝑒 π‘—πœ‘
𝑍 = √𝑅2 + (πΏπœ”)2
Avec : {
πΌπ‘š(𝑍éπ‘ž )
πΏπœ”
π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘‘π‘”πœ‘ = 𝑅𝑒(𝑍 ) = 𝑅
éπ‘ž
I.8.3.2. Dipôle R, L, C série
𝑍éπ‘ž = 𝑍𝑅 + 𝑍𝐿 + 𝑍𝐢 = 𝑅 + π‘—πΏπœ” +
1
1
= 𝑅 + 𝑗(πΏπœ” +
) = 𝑍𝑒 π‘—πœ‘
π‘—πœ”πΆ
π‘—πœ”πΆ
1
Avec :
𝑍 = √𝑅2 + (πΏπœ” − πΆπœ” )2
πΌπ‘š(𝑍éπ‘ž )
π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘‘π‘”πœ‘ = 𝑅𝑒(𝑍 ) =
éπ‘ž
{
1
πΆπœ”
πΏπœ”−
𝑅
9
CHAPITRE I : RAPPELS MATHEMATIQUES SUR LES NOMBRES
COMPLEXES
I.8.3.3. Dipôle R, L, C parallèle
1
1
1
1
1
1
1
=
+ +
= +
+
1
𝑍éπ‘ž 𝑍𝑅 𝑍𝐿 𝑍𝐢 𝑅 π‘—πΏπœ”
π‘—πΆπœ”
Il est plus aisé de calculer l’admittance réelle puis déduire l’impédance réelle ;
𝛾éπ‘ž = 𝛾𝑅 + 𝛾𝐿 + 𝛾𝐢 =
1
1
1
1
−𝑗
+ π‘—πΆπœ” = + 𝑗(πΆπœ” −
)
𝑅
πΏπœ”
𝑅
πΏπœ”
1
1
1
𝛾 = |𝛾éπ‘ž | = √𝑅2 + (πΆπœ” − πΏπœ” )2 ⟹ 𝑍 = 𝛾 =
πœ‘π‘ = −πœ‘π›Ύ = −π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘‘π‘”
(πΆπœ” −
1
1
1
√ 2 +(πΆπœ”− )2
πΏπœ”
𝑅
1
)
πΏπœ”
1
𝑅
10
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