O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALARI VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALRI UNIVERSITETI
FARG’ONA FILIALI
Kompyuter injinering fakulteti
710-21 guruh talabasi Zakirov Biloljonning
“Algoritmlarni loyihalash” fanidan bajargan
MUSTAQIL ISHI
Topshirdi:
Qabul qildi:
Zakirov B.
Xalilov D.
Mavzu: Matritsa normasi va uning aniqlash usullari
Reja:
1.
Matritsa normasi
2.
Operator normalari
3.
Frobenius normasi
4.
Norm Shatten
Matritsa normasi bu matritsaga tayinlangan haqiqiy sonni ||A|| deb ataymiz Shunday qilib,
haqiqiy son sifatida u har bir matritsaga n o'lchovli fazodan tayinlanadi va 4 ta aksiomani
qanoatlantiradi:
1. ||A||³0 va ||A||=0 faqat agar A nol matritsa bo'lsa;
2. ||aA||=|a|·||A||, bu yerda a R;
3. ||A+B||£||A||+||B||;
4. ||A·B||£||A||·||B||. (ko'plik xususiyati)
Matritsa normasi turli usullar bilan kiritilishi mumkin. A matritsasi sifatida ko'rish mumkin n 2
- o'lchovli vektor.
Bu norma matritsaning Evklid normasi deyiladi.
Agar har qanday kvadrat A matrisa va o'lchami matritsa tartibiga teng bo'lgan har qanday x
vektor uchun ||Ax||£||A||·||x||
u holda A matritsaning normasi vektor normasiga mos keladi deymiz. E'tibor bering, vektor
normasi oxirgi holatda chap tomonda (Ax - vektor).
Turli matritsa normalari berilgan vektor normasiga mos keladi. Ulardan eng kichigini tanlaymiz.
Shunday bo'ladi
Bu matritsa normasi berilgan vektor normasiga bo'ysunadi. Bu ifodada maksimalning mavjudligi
normaning uzluksizligidan kelib chiqadi, chunki har doim vektor x -> ||x||=1 va ||Ax||=||A||
mavjud.
N(A) normasi xech qanday vektor normasiga bo'ysunmasligini ko'rsatamiz. Ilgari kiritilgan
vektor normalariga bo'ysunadigan matritsa normalari quyidagicha ifodalanadi:
1. ||A|| ¥ = |a ij | (norma-maksimal)
2. ||A|| 1 = |a ij | (norma-sum)
3. ||A|| 2 = , (spektral norma)
bu erda s 1 - A¢A nosimmetrik matritsaning eng katta xos qiymati, u transpozitsiya qilingan va
asl matritsalarning mahsulotidir. Agar A¢A matritsasi nosimmetrik bo'lsa, uning barcha xos
qiymatlari haqiqiy va ijobiydir. l soni xos qiymat, nolga teng bo'lmagan vektor x esa A
matritsaning xos vektori (agar ular Ax=lx munosabati bilan bog'langan bo'lsa). Agar A
matritsaning o'zi simmetrik bo'lsa, A¢ = A, u holda A¢A = A 2 va keyin s 1 = , bu erda eng katta
mutlaq qiymatga ega A matritsaning xos qiymati.Demak, bu holda bizda = .
Matritsaning o'ziga xos qiymatlari uning kelishilgan normalaridan oshmaydi. Xususiy
qiymatlarni aniqlovchi munosabatni normallashtirib, biz ||lx||=||Ax||, |l|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, | l|
£||A||
beri ||A|| 2 £||A|| e , bu erda Evklid normasini oddiygina hisoblash mumkin, spektral norma
o'rniga, matritsaning Evklid normasi taxminlarda ishlatilishi mumkin.
Matritsaning faqat uchta normasi mavjud.
Birinchi matritsa normasi= modul bo'yicha olingan har bir ustunning barcha elementlarini
qo'shish orqali olingan raqamlarning maksimali.
Misol: 3x2 A matritsa berilsin (10-rasm). Birinchi ustunda elementlar mavjud: 8, 3, 8. Barcha
elementlar ijobiydir. Ularning yig‘indisini topamiz: 8+3+8=19. Ikkinchi ustun quyidagi
elementlarni o'z ichiga oladi: 8, -2, -8. Ikki element salbiy, shuning uchun bu raqamlarni
qo'shganda, bu raqamlarning modulini (ya'ni minus belgilarisiz) almashtirish kerak. Ularning
yig‘indisini topamiz: 8+2+8=18. Ushbu ikkita raqamning maksimali 19 ga teng. Shunday qilib,
matritsaning birinchi normasi 19 dir.
10-rasm.
Ikkinchi matritsa normasi barcha matritsa elementlari kvadratlari yig'indisining kvadrat
ildizidir. Va bu degani, biz matritsaning barcha elementlarini kvadratga aylantiramiz, keyin
olingan qiymatlarni qo'shamiz va natijadan kvadrat ildizni chiqaramiz.
Bizning holatda, matritsaning 2 normasi 269 ning kvadrat ildiziga teng bo'lib chiqdi.
Diagrammada men taxminan 269 ning kvadrat ildizini oldim va natija taxminan 16,401 edi.
Ildizni chiqarmaslik to'g'riroq bo'lsa-da.
Uchinchi norma matritsasi moduli olingan har bir satrning barcha elementlarini qo'shish orqali
olingan raqamlarning maksimali.
Bizning misolimizda: birinchi qatorda elementlar mavjud: 8, 8. Barcha elementlar musbat.
Ularning yig‘indisini topamiz: 8+8=16. Ikkinchi qatorda elementlar mavjud: 3, -2.
Elementlardan biri manfiy, shuning uchun bu raqamlarni qo'shganda siz ushbu raqamning
modulini almashtirishingiz kerak. Ularning yig‘indisini topamiz: 3+2=5. Uchinchi qatorda 8 va 8 elementlari mavjud. Elementlardan biri manfiy, shuning uchun bu raqamlarni qo'shganda siz
ushbu raqamning modulini almashtirishingiz kerak. Ularning yig‘indisini topamiz: 8+8=16.
Ushbu uchta raqamning maksimali 16 ga teng. Shunday qilib, matritsaning uchinchi normasi 16
ga teng.
Ta'rif
K asosiy maydon bo'lsin (odatda K = R yoki K = C ) va K ning elementlaridan tashkil topgan m
satr va n ta ustunli barcha matritsalarning chiziqli fazosi. Agar har bir matritsa manfiy bo'lmagan
haqiqiy son bilan bog'langan bo'lsa, matritsalar bo'shlig'iga norma beriladi. ‖ A ‖ (\displaystyle
\|A\|), uning normasi deb ataladi, shuning uchun
Kvadrat matritsalar holatida (ya'ni. m = n), matritsalar bo'sh joy qoldirmasdan ko'paytirilishi
mumkin va shuning uchun bu bo'shliqlardagi normalar odatda xususiyatni ham
qondiradi. submultiplikativlik :
Submultiplikativlik kvadrat bo'lmagan matritsalar normalari uchun ham bajarilishi mumkin,
lekin bir vaqtning o'zida bir nechta talab qilinadigan o'lchamlar uchun aniqlanadi. Ya'ni, agar A
matritsa bo'lsa ℓ × m, B esa matritsadir m × n, keyin A B- matritsa ℓ × n .
Operator normalari
Matritsa me'yorlarining muhim sinfi operator normalari, deb ham
ataladi bo'ysunuvchilar yoki qo'zg'atilgan . Operator normasi har qanday matritsaning
mavjudligiga asoslanib, va da belgilangan ikkita normaga muvofiq yagona tarzda tuzilgan. m ×
n dan chiziqli operator bilan ifodalanadi K n (\displaystyle K^(n)) ichida K m (\displaystyle
K^(m)). Xususan,
‖ A ‖ = sup (‖ A x ‖: x ∈ K n, ‖ x ‖ = 1) = sup (‖ A x ‖ ‖ x ‖: x ∈ K n, x ≠ 0). (\displaystyle
(\begin(hizalangan)\|A\|&=\sup\(\|Ax\|:x\in K ^(n),\ \|x\|=1\)\\&=\ sup \left\((\frac
(\|Ax\|)(\|x\|)):x\in K^(n),\ x\neq 0\right\).\end(hizalangan)))
Vektor bo'shliqlari bo'yicha me'yorlar izchil ko'rsatilgan holda, bunday norma submultiplikativ
hisoblanadi (qarang).
Operator normalariga misollar
Spektral normaning xususiyatlari:
1.
Operatorning spektral normasi ushbu operatorning maksimal singulyar qiymatiga teng.
2.
Oddiy operatorning spektral normasi ushbu operatorning maksimal modul o'z
qiymatining mutlaq qiymatiga teng.
3.
Matritsa ortogonal (unitar) matritsaga ko'paytirilganda spektral norma o'zgarmaydi.
Matritsalarning operator bo'lmagan normalari
Operator normalari bo'lmagan matritsa normalari mavjud. Matritsalarning operator bo'lmagan
normalari tushunchasini Yu.I.Lyubich kiritgan va G.R.Belitskiy tomonidan o'rganilgan.
Operator bo'lmagan normaga misol
Misol uchun, ikki xil operator normalarini ko'rib chiqing ‖ A ‖ 1 (\displaystyle \|A\|_(1)) va ‖ A ‖
2 (\displaystyle \|A\|_(2)) qator va ustun normalari kabi. Yangi normani shakllantirish ‖ A ‖ = m a
x (‖ A ‖ 1 , ‖ A ‖ 2) (\displaystyle \|A\|=max(\|A\|_(1),\|A\|_(2)). Yangi norma halqali xususiyatga
ega ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|), birlikni saqlaydi ‖ I ‖ = 1 (\displaystyle
\|I\|=1) va operator emas.
Normlarga misollar
Vektor p (\displaystyle p)-norma
Ko'rib chiqish mumkin m × n (\displaystyle m\times n) matritsa o'lcham vektori sifatida m n
(\displaystyle mn) va standart vektor normalaridan foydalaning:
‖ A ‖ p = ‖ v e c (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | a i j | p) 1 / p (\displaystyle \|A\|_(p)=\|\mathrm (
vec) (A)\|_(p)=\left(\sum _(i=1)^(m)\sum _(j=1)^(n)|a_(ij)|^(p)\ o'ng)^(1/p))
Frobenius normasi
Frobenius normasi, yoki evklid normasi uchun p-normasining alohida holatidir p = 2 : ‖ A ‖ F
= ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 (\displaystyle \|A\|_(F)=(\sqrt (\sum _(i=1)^(m)\sum _(j)
=1)^(n)a_(ij)^(2)))).
Frobenius normasini hisoblash oson (masalan, spektral norma bilan solishtirganda). U quyidagi
xususiyatlarga ega:
‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑
j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2 . (\displaystyle \|Ax\|_(2)^(2)=\sum
_(i=1)^(m)\chap|\sum _(j=1)^(n)a_(ij)x_( j)\right|^(2)\leq \sum _(i=1)^(m)\left(\sum
_(j=1)^(n)|a_(ij)|^(2)\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\o'ng)=\sum _(j=1)^(n)|x_(j)|^(2)\|A\
|_(F)^(2)=\|A\|_(F)^(2)\|x\|_(2)^(2).)

Submultiplikativlik: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\displaystyle \|AB\|_(F)\leq
\|A\|_(F)\|B\|_(F)), kabi ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i, j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | | b k j |)
2 ≤ ∑ i , j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i , k | a i k | 2 ∑ k , j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖
F 2 (\displaystyle \|AB\|_(F)^(2)=\sum _(i,j)\left|\sum _(k)a_(ik) b_(kj)\right|^(2)\leq
\sum _(i,j)\left(\sum _(k)|a_(ik)||b_(kj)|\right)^(2)\ leq \sum _(i,j)\left(\sum
_(k)|a_(ik)|^(2)\sum _(k)|b_(kj)|^(2)\o'ng)=\sum _(i,k)|a_(ik)|^(2)\sum
_(k,j)|b_(kj)|^(2)=\|A\|_(F)^(2)\| B\|_(F)^(2)).

‖ A ‖ F 2 = t r ⁡ A ∗ A = t r ⁡ A A ∗ (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\mathop (\rm (tr))
A^(*)A=\ mathop (\rm (tr)) AA^(*)), qayerda t r ⁡ A (\displaystyle \mathop (\rm (tr))
A)- matritsa izi A (\displaystyle A), A ∗ (\displaystyle A^(*)) Hermit konjugati
matritsasidir.

‖ A ‖ F 2 = r 1 2 + r 2 2 + ⋯ + r n 2 (\displaystyle \|A\|_(F)^(2)=\rho _(1)^(2)+\rho _
(2)^(2)+\nuqtalar +\rho _(n)^(2)), qayerda r 1 , r 2 , … , r n (\displaystyle \rho _(1),\rho
_(2),\nuqtalar,\rho _(n))- matritsaning yagona qiymatlari A (\displaystyle A).

‖ A ‖ F (\displaystyle \|A\|_(F)) matritsani ko'paytirishda o'zgarmaydi A (\displaystyle
A) ortogonal (unitar) matritsalarga chapga yoki o'ngga.
Maksimal modul
Maksimal modul normasi p-normasining yana bir maxsus holatidir p = ∞ .
‖ A ‖ max = max ( | a i j |). (\ displaystyle \ | A \ | _ (\ matn (maks)) = \ max \ (| a_ (ij) | \).)
Norm Shatten
Matritsa va vektor me'yorlarining izchilligi
Matritsa normasi ‖ ⋅ ‖ a b (\displaystyle \|\cdot \|_(ab)) ustida K m × n (\displaystyle K^(m\times
n)) chaqirdi kelishilgan normalar bilan ‖ ⋅ ‖ a (\displaystyle \|\cdot \|_(a)) ustida K n (\displaystyle
K^(n)) va ‖ ⋅ ‖ b (\displaystyle \|\cdot \|_(b)) ustida K m (\displaystyle K^(m)), agar:
‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\displaystyle \|Ax\|_(b)\leq \|A\|_(ab)\|x\|_(a))
har qanday uchun A ∈ K m × n , x ∈ K n (\displaystyle A\in K^(m\times n),x\in K^(n)). Qurilish
bo'yicha operator normasi dastlabki vektor normasiga mos keladi.
Izchil, lekin bo'ysunmaydigan matritsa normalariga misollar:
Normlarning ekvivalentligi
Kosmosdagi barcha normalar K m × n (\displaystyle K^(m\times n)) ekvivalentdir, ya'ni har
qanday ikkita norma uchun ‖ . a (\displaystyle \|.\|_(\alfa )) va ‖ . ‖ b (\displaystyle \|.\|_(\beta )) va
har qanday matritsa uchun A ∈ K m × n (\displaystyle A\K^(m\times n)) qo'shaloq tengsizlik
to'g'ri.
Xulosa.
Men, KIF-710-21 guruh talabasi Zakirov Biloljon, Algoritmlarni loyihalash fanidan "Matritsa
normasi va uning aniqlash usullari" mavzusida bajargan mustaqil ish jarayonida ushbu mavzuga
aloqador koʻplab maʼlumotlarga ega boʻldim. Egallagan bilimlarimni amaliyotda tadbiq etaman.