Elektrotehnički fakultet
Univerzitet u Sarajevu
INŽENJERSKA FIZIKA I
-predavanja za 1.sedmicu nastave-
1. FIZIČKE OSNOVE MEHANIKE
1.1 Uvod
Riječ fizika dolazi od grčke riječi ϕυσιζ (fisis), što znači priroda. Fizika je fundamentalna prirodna nauka
koja proučava opšta svojstva i zakone kretanja materije, počevši od kretanja tijela pa sve do strukture i
svojstva fizikalnog polja i prostora. Fizičari nastoje otkriti zakone o ponašanju materije u raznim uslovima i
dobivena saznanja primijeniti u tehnologiji i tehnici.
Tvar (supstanca) je jedan od osnovnih oblika materije od koje su građena sva tijela u prirodi. Fizikalno
polje (npr. gravitacijsko, električno itd.) također je jedan oblik materije. Materija se nalazi u neprestanom
kretanju. Ona prelazi iz jednog oblika u drugi i pri tome ostaje neuništiva i sačuvana. Prostor i vrijeme također
su oblici materije i vezani su uz njeno kretanje jer se sve promjene materije odvijaju u prostoru i vremenu.
Veza fizike i ostalih prirodnih nauka vrlo je velika i ponekad je teško naći granicu između fizike, hemije i
biologije. Moderna fizika i hemija toliko se isprepliću da se danas hemija može gotovo smatrati posebnom
granom fizike. Moderna biologija, posebno njena grana biofizika, također je tijesno povezana s fizikom i
hemijom.
U fizici postoje dvije metode: eksperimentalna i teorijska. Eksperimentalna metoda bazira se na
eksperimentu i mjerenju. Nekad je lakše doći do određenog fizikalnog zakona teoretski, pomoću matematike, a
zatim ga provjeriti eksperimentom. Ako eksperiment potvrdi neku teoretsku pretpostavku, tada se on prihvaća
kao prirodni zakon, ako je obori, tada se ta pretpostavka mora promijeniti tako da bi bila u skladu s mjerenjem.
S obzirom na ove metode fizika se može podijeliti na eksperimentalnu i teoretsku fiziku. Teoretska fizika
matematički razvija i povezuje fizikalne zakone, dok eksperimentalna fizika izvodi rezultate iz iskustva.
Matematika je vrlo važno oruđe fizičara pomoću koje oni prikazuju fizikalne zakone u konciznoj i jasnoj
formi, povezuju ih, te jedan iz drugog izvode.
1.2 Mjerenje u fizici
Mjerenje je osnova svih prirodnih nauka. Engleski fizičar i matematičar W. Thomson, lord Kelvin (18241907), istakao je važnost mjerenja ovim riječima:
"Kad ono o čemu govorite možete izmjeriti i izraziti brojevima, tada znate nešto o tome; kad to ne
možete izmjeriti, tada je vaše znanje oskudno i nedovoljno..."
Pri istraživanju u fizici prvo moramo uočiti neriješeni problem, koji je od naučnog interesa. Zatim vršimo
precizna mjerenja koja ponavljamo više puta, kako bi smo što više smanjili grešku mjerenja. Zatim slijedi analiza
eksperimentalnih podataka, fizikalno objašnjenje eksperimenta i pronalaženje fizikalnih zakona.
Fizikalna veličina opisuje kvalitativno i kvantitativno neko mjerljivo svojstvo fizikalnog stanja ili procesa.
Ona omogućava definisanje fizikalne pojave i njeno opisivanje u matematičkom obliku pomoću odgovarajućih
jednačina. Fizikalne veličine su npr. put, vrijeme, brzina, rad, energija, itd..
Fizikalne veličine označavaju se malim i velikim slovima latinske abecede i grčkog alfabeta. Oznake
fizikalnih veličina dogovorene su na međunarodnom nivou. To su većinom početna slova engleskih i
latinskih naziva. Tako npr. simbol za brzinu je v (velocity, velocitas), vrijeme t (time, tempus), silu F (force)
itd.
Fizikalni zakoni se mogu precizno izraziti i pomoću fizikalnih jednačina, koje povezuju fizikalne veličine u
tom zakonu.
Mjerenje fizikalnih veličina u stvari je upoređivanje fizikalne veličine koju mjerimo s odgovarajućom
standardnom istovrsnom veličinom, tzv. jedinicom. Mjeriti neku veličinu znači odrediti broj, koji
1
pokazuje koliko puta ta veličina sadrži u sebi istovrsnu veličinu dogovorom uzetu za jedinicu. Za neku
fizikalnu veličinu nije dovoljno poznavati samo njenu brojčanu vrijednost, već i njenu jedinicu.
Svaka se fizikalna veličina može izraziti pomoću dva faktora, tj. brojčanom vrijednošću i oznakom
mjerne jedinice.
A = {A }[A ]
(1.1)
gdje su {A } brojna vrijednost i [ A ] mjerna jedinica.
1.3 Međunarodni sistem jedinica - SI
Fizikalne veličine mogu se podijeliti na osnovne i izvedene, a ista podjela važi i za mjerne jedinice.
Osnovne fizikalne veličine su one koje ne možemo jednu iz druge izvesti, već ih moramo definisati. Sve ostale,
tj. izvedene, možemo dobiti iz osnovnih.
Osnovne i izvedene jedinice čine sistem jedinica. Na XI zasjedanju Generalne konferencije za tegove i mjere
(Conference Generale des Poids et Mesures-CGPM) 1960. prihvaćen je Međunarodni sistem mjernih
jedinica, tzv. SI (Systeme International d'Unites) koji je prihvaćen u cijelom svijetu. Dogovorom je odabrano
sedam fizikalnih veličina iz kojih se izvode sve ostale. Osnovne fizikalne veličine i osnovne jedinice
Međunarodnog sistema date su u tabeli 1.1.
Tabela 1.1. Osnovne fizikalne veličine i jedinice
Veličina
Oznaka
Mjerna jedinica (oznaka)
Dužina
metar (m)
l
Masa
kilogram (kg)
m
Vrijeme
sekunda (s)
t
Termodinamička temperatura
kelvin (K)
T
Jačina električne struje
amper (A)
I
Jačina svjetlosti
kandela (cd)
I
Količina tvari
mol (mol)
n
Područje fizike
mehanika
toplota
elektricitet
fotometrija
atomska fizika
Nove definicije osnovnih jedinica odobrene su u novembru 2018.g. na 26. Generalnoj konferenciji za tegove
i mjere (CGPM), a u upotrebi su od maja 2019.g.. Kilogram (kg), amper (A), kelvin (K) i mol, sada su definisani
preko fundamentalnih konstanti iz prirode. Nove definicije se oslanjaju na fiksne brojčane vrijednosti, a to su
Plankova konstanta (h), konstanta elementarnog naboja (e), Boltzmannova konstanta (k) i Avogadrov broj (NA).
Sve jedinice SI sada se definišu u smislu konstanti, koje opisuju prirodni svijet. U nastavku su date stare i nove
definicije osnovnih jedinica (nove definicije su preuzete se web stranice Instituta za mjeriteljstvo BiH) kao i
vrijednosti fundamentalnih konstanti:
• Frekvencija prelaza između dva neperturbovana hiperfina nivoa osnovnog stanja atoma Cezijuma-133
∆νCs = 9 192 631 770 Hz (hertz),
• Brzina svjetlosti u vakuumu c = 299 792 458 m/s (metar u sekundi),
• Planck-ova konstanta h = 6,626 070 15 .10-34 Js (džul sekunda),
• Elementarno naelektrisanje e = 1,602 176 634 .10-19 C (kulon),
• Boltzmann-ova konstanta k = 1,380 649 .10-23 J/K (džul po kelvinu),
• Avogadrova konstanta NA = 6,022 140 76 .10-23 mol-1 (po molu),
• Svjetlosna efikasnost Kcd monohromatskog zračenja frekvencije 540 .1012 Hz je 683 lm/W (lumen po vatu).
1. Vrijeme - sekunda
Ranija definicija: Sekunda je trajanje od 9 192 631 770 perioda zračenja koje nastaje pri prijelazu elektrona
između dvaju hiperfinih nivoa osnovnog stanja atoma Cs133.
Nova definicija: Sekunda se definiše se na osnovu fiksne brojne vrijednosti frekvencije Cezijuma ∆νCs,
frekvencije prelaza između dva neperturbovana hiperfina nivoa osnovnog stanja atoma Cezijuma-133 kao 9 192
631 770, izražene u jedinici Hz, što je jednako s-1
1s = 9 192 631 770/∆νCs
2
2. Dužina - metar
Ranija definicija: Metar je dužina koju u vakuumu pređe svjetlost za vrijeme od
sekunde.
Nova definicija: Metar je definisan na osnovu fiksne brojne vrijednosti brzine svjetlosti u vakuum kao 299
792 458 izražene u jedinici ms-1, gdje je sekunda definisana na osnovu frekvencije cezija ∆νCs:
1m = (c/299 792 458)s = 30,663 318... c/∆νCs
3. Masa - kilogram
Ranija definicija: Kilogram je masa međunarodnog etalona kilograma koji se čuva u Međunarodnom uredu
za utege i mjere u Sevresu kraj Pariza.
Nova definicija: Kilogram se definiše na osnovu fiksne brojčane vrijednosti Planckove konstante h, koja
iznosi 6,626 070 15.10-34 izražena u jedinici Js, koja je jednaka kgm2s-1, pri čemu su metar i sekunda definisani
na osnovu c i ∆νCs:
1kg = (h/6,626 070 15.10-34)m-2s = 1,475 52... .10-40 h∆νCs/c2
4. Termodinamička temperatura - kelvin
Ranija definicija: Kelvin je termodinamička temperatura koja je jednaka 1/273,16 dijelu termodinamičke
temperature trojne tačke vode.
Nova definicija: Kelvin se definiše na osnovu fiksne brojne vrijednosti Boltzmannove konstante k koja
iznosi 1,380 649.10-23 izražena u jedinicama JK-1(džul po kelvinu), odnosno kgm2s-2K-1, gdje su kilogram, metar
i sekunda definisani preko h, c i ∆νCs
1K = (1,380 649.10-23 /k) kgm2s-2 = 2,266 665... ∆νCsh/k
5. Jačina električne struje - amper
Ranija definicija: Jedan amper je struja koja, prolazeći u svakom od dva paralelna, ravna, beskonačno
dugačka provodnika, zanemarivo malog presjeka, razmaknuta jedan metar u vakuumu, uzrokuje između njih
silu od 2 ⋅ 10 −7
N
(njutna po metru dužine).
m
Nova definicija: Amper je definisan na osnovu fiksne vrijednosti elementarnog naboja e od 1,602 176 634
10-19 kad je izražen u kulonima C, što odgovara As, gdje je sekunda s osnovna SI jedinica i definsana s ∆νCs
1A = (e/1,602 176 634 .10-19) .s-1 = 6,789 686.108 ∆νCs
.
6. Jačina svjetlosti - kandela
Ranija definicija: Kandela je jačina svjetlosti koju u okomitom pravcu zrači površina od 1/600 000 m2 crnog
tijela na temperaturi skrućivanja platine pod pritiskom od 101 325 Pa.
Nova definicija: Kandela se definiše na osnovu fiksne brojne vrijednosti svjetlosne efikasnosti
monohromatskog zračenja frekvencije 540 .1012 Hz, Kcd kao 683 izražene u jedinici lmW-1, što je jednako cd sr
W-1 ili cd sr kg-1 m-2 s3 gdje su kilogram, metar i sekunda definisani na osnovu h, c i ∆νCs
1 cd = (Kcd/683) kgm2s-3sr-1 = 2,614 830... .1010 (∆νCs)2 h Kcd
7. Količina tvari - mol
Ranija definicija: Mol je količina tvari koja sadrži toliko jednakih čestica (molekula, atoma, elektrona, iona
i sl.) koliko ima atoma u 0,012 kg izotopa ugljika 6C12 ..
Nova definicija: Jedan mol je ona količina supstance koja sadrži tačno 6,022 140 76 .1023 elementarnih
entiteta. Ovaj broj je fiksna brojna vrijednost Avogadrove konstante, NA, koja se u slučaju izražavanja u jedinici
mol-1 zove Avogadrova konstanta (NA ili L). Količina supstance, sa simbolom n, je mjera za broj specifičnih
elementarnih entiteta. Pomenuti elementarni entiteti mogu biti atomi, molekule, joni, elektroni i druge čestice ili
grupe čestica 1mol = 6,022 140 76 .1023/NA
3
Da bi SI sistem bio pogodan za upotrebu usvojena je i tabela decimalnih dijelova i dekadskih višekratnika
osnovnih jedinica:
prefiksi
faktor
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
prefiks
jota
zeta
eksa
peta
tera
giga
mega
kilo
hekto
deka
oznaka
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
faktor
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
prefiks
deci
centi
mili
mikro
nano
piko
femto
ato
zepto
jokto
oznaka
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
dopunske jedinice
fizička veličina
ugao
prostorni ugao
naziv
radijan
steradijan
oznaka
rad
sr
definicija
m m-1
m2 m-2
1.4 Skalarne i vektorske fizičke veličine
Fizičke veličine prema svojoj prirodi mogu se razvrstati na skalarne, vektorske i tenzorske:
- Skalari su one veličine, koje su potpuno određene brojnom vrijednošću i odgovarajućom
jedinicom. Takve veličine su: masa, vrijeme, temperatura, rad itd.
- Vektori su one fizičke veličine, koje su potpuno određene njihovom veličinom (intenzitetom,
iznosom), pravcem i smjerom (ili veličine koje imaju intenzitet i smjer). Takve veličine su: sila, brzina,
ubrzanje itd.
- Tenzorske veličine su određene s tri vektora. Takve veličine su na primjer: tenzor inercije, tenzor
viskoznosti, tenzor deformacije i dr.. (Tenzor je uopštenje vektora i uključuje vektor kao poseban
slučaj.)
Vektor predstavljamo usmjerenom duži (u odgovarajućem mjerilu), koja daje iznos vektora, dok
smjer strelice pokazuje smjer vektora. Vektorsku fizikalne veličinu označavamo malom strelicom iznad
simbola: dok intenzitet vektora (brojnu vrijednost) označavamo samo slovom bez strelice , a često i kao| |.
Vektore možemo obilježavati i velikim slovima, koja označuju početak i kraj vektora (npr.
na crtežu 1.1).
Uobičajeni naziv za početak vektora je hvatište, a za kraj vektora vrh vektora.
Crtež. 1.1 Prikaz vektora kao usmjerene duži i označavanje vektorskih veličina.
Za dva vektora se kaže da su jednaki (opisuju slične fizičke veličine, npr. sile) ako imaju isti intenzitet i
smjer. Vektori su kolinearni ako su im pravci nosioci paralelni (crtež 1.2). Pri tom vektori mogu biti istog ili
suprotnog smjera. Znači kolinearne vektore jednakog intenziteta i smjera smatramo jednakim. To znači da
vektore smijemo pomicati po pravcu nosiocu i paralelno translatirati, jer im se pri tome ne mijenja niti intenzitet
4
niti smjer. Vektori su suprotni ukoliko imaju isti pravac i intenzitet, ali suprotan smjer, kao što su to vektori
na crtežu 1.2.
i
Crtež. 1.2 Vektori koji leže na istom ili paralelnim pravcima su kolinearni. Vektori
kolinearni oni su i suprotni.
i
osim što su
1.4.1 Razlaganje vektora i prikaz vektora u koordinatnom sistemu
Svaki vektor možemo prikazati kao zbir dva ili više faktora, koje nazivamo njegovim vektorskim
komponentama, a sam postupak se naziva razlaganje vektora na komponente. To je obratan postupak od
sabiranja vektora. Da bi rastavljanje vektora na komponente bilo jednoznačno određeno, potrebno je poznavati
pravce nosioce komponenata (crtež 1.9), a, pored toga, broj komponenata mora biti jednak dimenziji prostora u
kojem se vektori nalaze.
Crtež 1.9 Razlaganje vektora
na komponente i , koje leže na proizvoljnim osama određenim
vektorima i .
Smjer u prostoru najčešće definišemo jediničnim vektorom, čiji je intenzitet jednak jedinici. Tako je
jedinični vektor
u smjeru vektora definisan relacijom:
=
(1.13)
Izborom triju smjerova određenih jediničnim vektorima
,
i
definišemo koordinatni sistem u
trodimenzionalnom prostoru. Izborom koordinatnog sistema možemo svaki vektor jednoznačno rastaviti na
tri komponente ,
i
= + +
=
+
+
gdje su , , skalarne komponente (projekcije) vektora . Najčešće se upotrebljava sistem s tri međusobno
okomita jedinična vektora , , (crtež 1.10), koji se naziva Dekartov ili Kartezijev koordinatni sistem prema
francuskom naučniku René Descartesu (latinizirano Renatus Cartesius). U Dekartovom sistemu proizvoljni
vektor rastavlja se na komponente na sljedeći način:
r
r
r
r
v = v x i + v y j + vz k
(1.14)
5
gdje su vx,vy,vz skalarne komponente vektora (crtež 1.10). Kako su ose x, y, z međusobno okomite, veza između
iznosa vektora i njegovih skalarnih komponenti je:
v = v x2 + v 2y + v z2
(1.15)
Crtež 1.10 Rastavljanje vektora na njegove komponente u Dekartovom koordinatnom sistemu,
određenom jediničnim vektorima ,
U fizikalnim razmatranjima često se pojavljuje vektor položaja (radijus vektor) , koji opisuje položaj
tijela u prostoru. To je vektor koji ima početak (hvatište) u koordinatnom početku, a kraj (vrh) u posmatranoj
tački čije su koordinate (x,y,z) te se može predstaviti pomoću jediničnih vektora kao:
= + +
(1.16)
Skalarne komponente radijus vektora su x, y i z (crtež 1.11), dok mu je iznos:
r = x2 + y2 + z2
(1.17)
T'
Crtež 1.11 Radijus vektor prikazan u Dekartovom koordinatnom sistemu. Njegove skalarne komponente
x i y se određuju tako što se iz tačke T spusti normala na ravan x-y, te se povuku linije okomito na ose x i y.
Njegova skalarna komponenta z se određuje tako da se na z-osi nanese dužina ′ (s obzirom da je ta duž
paralelna sa z-osom).
6
1.4.2 Sabiranje vektora
Zbir dva vektora
"=
+ ! je vektor " koji se dobije geometrijskom konstrukcijom datom na crtežima 1.3 i 1.4:
+!
(1.2)
Grafički (geometrijskom konstrukcijom), vektore sabiramo tako da početak drugog vektora, translacijom
dovedemo na kraj prvog vektora. Rezultujući vektor je vektor, koji ide od početka prvog do kraja drugog vektora,
crtež 1.3. Ako imamo više vektora, grafički ih sabiramo na isti način: kraj jednog dovedemo na početak drugog,
početak trećeg na kraj drugog, itd. Rezultujući vektor je vektor koji spaja početak prvog i kraj posljednjeg
vektora. Tako dobivamo vektorski poligon (mnogougao). Redoslijed crtanja nije bitan. Ovaj postupak se naziva
sabiranje vektora nadovezivanjem.
Crtež 1.3 Sabiranje vektora (grafičko) nadovezivanjem
Vektorski zbir nije isto što i algebarski, jer intenzitet vektora " nije općenito jednak zbiru intenziteta vektora
i ! već vrijedi da je " = + ! samo kad su smjerovi vektora i ! isti, inače je " # + !.
Drugi način sabiranja vektora je pomoću metode paralelograma. Vektori i ! određuju paralelogram (crtež
1.4). Dijagonala paralelograma je rezultujući vektor " = + !.
,
,
!
!
a)
b)
Crtež. 1.4 Sabiranje dva vektora u paralelogram. a) Primjer vektora koji su pod uglom manjim od 90°
jedan u odnosu na drugi. b) Primjer okomitih vektora.
1.4.2 Intenzitet vektora
Intenzitet rezultujućeg vektora " na crtežu 1.4a možemo izračunati upotrebom kosinusne teoreme
"='
+ ! + 2 ! cos ,
gdje je ϕ ugao između vektora
(1.3)
i !. S druge strane, pomoću kosinusne teoreme možemo odrediti i smjer
rezultujućeg vektora određivanjem ugla između vektora ! i " . koji ćemo označiti s -:
= ! + " . 2!" cos -
⇒ cos - =
0 1 23 14 1
03
(1.4)
7
Kad bi vektori bili okomiti kao na crtežu 1.4b, tj. ugao između njih je , = 90°, intenzitet vektora, koji se
dobije njihovim sabiranjem je
" = ' + ! + 2 ! cos 905 ⇒ " = ' + !
što je zapravo Pitagorina teorema.
Ukoliko se sabiraju kolinearni vektori, intenzitet rezultujućeg vektora će zavisiti od njihovog smjera. Ako su
istog smjera ugao između njih je , = 0 pa je intenzitet rezultujućeg vektora
+ ! + 2 ! cos 05 ⇒ " = '
"='
+ ! + 2 ! = '6 + !7 =
+!
jednak zbiru njihovih intenziteta. Kad su vektori suprotnog smjera, ugao između njih je , = 1805 pa je
"='
+ ! + 2 ! cos 1805 ⇒ " = '
+ ! . 2 ! = '6 . !7 =
.!
tj. intenzitet rezultujućeg vektora je jednak razlici njihovih intenziteta.
1.4.3 Oduzimanje vektora
Oduzimanje vektora se svodi na sabiranje. Razlika dva vektora
vektora
"=
i ! je vektor " koji nastaje sabiranjem
i vektora koji je suprotan vektoru ! tj. vektora .!
.!=
+ 6.!7
(1.5)
a grafički prikaz oduzimanja vektora je dat na crtežu 1.5.
Crtež 1.5 Oduzimanje dva vektora se svodi na sabiranje prvog vektora i vektora suprotnog drugom vektoru
Također se može zaključiti sljedeće: da bismo vektor ! oduzeli od vektora , početak oba vektora dovodimo u
istu tačku; razlika . ! je vektor koji ima početak u vrhu vektora ! , a kraj u vrhu vektora .
1.4.4 Množenje vektora skalarom
Vektore možemo množiti sa skalarom ili s drugim vektorom. Ukoliko vektor
skalarom,
"=:
množimo pozitivnim
(1.6)
to radimo tako da mu intenzitet pomnožimo datim skalarom, a smjer rezultujućeg vektora ostavimo isti kao kod
vektora . Pri množenju vektora negativnim skalarom ( α <0), smjer rezultujućeg vektora suprotan je smjeru
vektora . Grafički prikaz dat je na crtežu 1.6.
8
Crtež. 1.6 Množenje vektora brojem 3. Rezultujući vektor ima isti pravac i smjer kao dati vektor, a
intenzitet mu je tri puta veći. Ukoliko se vektor množi negativnim brojem (-3), rezultujući vektor ima tru puta
veći intenzitet od vektora , isti pravac kao i vektor , ali suprotan smjer.
1.4.5 Vektorski proizvod dva vektora
Vektorski proizvod i ! je vektor " i označava se kao " = ; !. To je vektor koji je okomit na ravan u kojem
leže ta dva vektora (crtež 1.7a). Za vektorski proizvod ne vrijedi zakon komutacije, tj.
r r
r r
a × b = −b × a .
(1.7)
Smjer rezultujućeg vektora određuje se pravilom desne ruke. Prstima ruke idemo kraćim putem od prvog do
drugog vektora i palac nam određuje smjer rezultujućeg vektora " (crtež1.7b).
"=
;!
"=!;
a)
b)
Crtež 1.7 a) Grafički prikaz vektorskog proizvoda vektora i !, odnosno ! i . b) Pravilo desne ruke pri
određivanju smjera rezultujućeg vektora vektorskog proizvoda.
Intenzitet vektorskog proizvoda jednak je proizvodu intenziteta jednog i drugog vektora i sinusa ugla
između njih (odnosno površini paralelograma stranica a i b):
" = ! sin ∢? , !@
(1.7)
Da bi izračunali vektorski proizvod u Dekartovom koordinatnom sistemu možemo množiti komponente vektora:
9
r
r
r
r
r
r
r r
a × b = a x i + a y j + a z k × b x i + b y j + bz k
r r
r r
r r
r r
r r
r r
a × b = a x by (i × j ) + a y bz i × k + a y bx j × k + a z bx k × i + a z by k × j ,
(
)(
( )
r r
)
(
r
r
)
r
(
)
(
)
r
gdje smo uzeli u obzir da je i × i = j × j = k × k = 0 . Sad prihvatimo dogovor da ćemo upotrebljavati desni
r r
r r
r
r r
r
r
koordinatni sistem tj. i × j = k , i × k = − j , j × k = i , pa dobivamo da je vektorski proizvod jednak
r
r
r
r r
a × b = (a y bz − a z b y )i + (a z bx − a x bz ) j + (a x b y − a y bx )k
(1.9)
Vektorski proizvod također možemo izračunati koristeći Sarrusovo pravilo:
r
i
r r
a × b = ax
bx
r
j
ay
by
r
k
az
bz
(1.10)
1.4.6 Skalarni proizvod dva vektora
Proizvod dva vektora čiji je rezultat skalarna veličina zove se skalarni proizvod. Skalarni proizvod vektora
i ! označava se simbolom ∙ !, a jednak je proizvodu intenziteta oba vektora i kosinusa ugla između njih:
"=
∙ ! = ! cos ∢? , !@
(1.11)
ili
r r
a ⋅ b = ab b = aba
gdje su ab = a cosθ , ba = b cos θ , projekcije vektora na zadanu osu, crtež 1.8. Znači za skalarni proizvod
vrijedi
zakon komutacije
r r r r
(1.12)
a ⋅b = b ⋅ a
!
-
! "BCCrtež 1.8 Projekcije vektora na dati pravac (u ovom slučaju dati pravac je pravac drugog vektora).
1.5 Materijalna tačka i kruto tijelo
Fizičke pojave se ne javljaju izolovano jedna od druge, nego uvijek zajedno. Pod određenim uslovima neke od
tih pojava intenzitetom se izdvajaju od drugih, koje se mogu smatrati sekundarnim. Kad će se jedna fizikalna
pojava javiti kao primarna ili sekundarna zavisi od uslova pod kojima se odvija.
Proučavanje se pojednostavljuje uvođenjem idealiziranih modela fizikalnih procesa. Na primjer, pri
razmatranju kretanja materijalnog tijela sekundarni su unutrašnji procesi, koji se odigravaju u njemu kao
10
kompleksnom sistemu pa se mogu i izostaviti, a promatrati model tijela, koji je oslobođen tih sekundarnih
procesa. Iz tih razloga se u mehanici uvode modeli materijalnog tijela pod pojmovima:
- materijalna tačka – model tijela čiji se oblik i dimenzije u datom razmatranju mogu zanemariti (npr.
pri proučavanju kretanja planeta oko Sunca one se mogu smatrati kao materijalne tačke, čije su mase
jednake masama planeta, a čije se dimenzije mogu zanemariti u odnosu na veličine rastojanja između
Sunca i odgovarajućih planeta);
- apsolutno kruto tijelo – model tijela koje ni pod kakvim uslovima ne mijenja svoj oblik i dimenzije;
- mehanički sistem – model od više materijalnih tačaka ili tijela, koja u opštem slučaju interagiraju kako
međusobno tako i s tijelima iz drugih mehaničkih sistema. Ukoliko postoje samo međusobne
interakcije onda kažemo da je mehanički sistem izolovan.
11