‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫משפט הרוטור של סטוקס (המשך)‪ .‬שדה משמר במרחב‬
‫נזכיר את המשפט‪:‬‬
‫משפט הרוטור של סטוקס‬
‫יהי ‪ ‬משטח חלק שהוא תמונה של פונקציה ווקטורית )‪ , r (u , v‬המוגדרת בקבוצה ‪ D‬חסומה וסגורה‪,‬‬
‫‪ . S (D) = 0‬נסמן ב‪ C -‬את השפה של ‪ ‬שהיא תמונה של ‪ , D‬הכיוון על ‪ C‬והצד של ‪ ‬מתאימים זה‬
‫לזה‪ :‬במהלך התנועה לאורך השפה בכיוון הנבחר‪ ,‬הצד של ‪ ‬נמצא מצד שמאל‪ .‬אם בנוסף לכך‪ ,‬השדה‬
‫‪‬‬
‫הווקטורי ‪ F‬שייך למחלקה ‪ C 1‬בתחום פתוח ‪ ,G‬המכיל את המשטח‪ ,‬אזי‬
‫ˆ‬
‫‪ F  dr =  rotF  ndS‬‬
‫‪C‬‬
‫בדרך כלל משתמשים במשפט כאשר יש לחשב אינטגרל קווי מהסוג השני בקו סגור (צירקולציה)‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫‪‬‬
‫קן ‪ C‬הוא קו החיתוך של שני המשטחים ‪‬‬
‫צירקולציה של שדה וקטורי ) ‪ F ( x, y, z ) = ( x − z , xz + sin y , z‬לאורך הקו בכיוון נגד כיוון השעון במבט‬
‫‪ .  2 = ( x, y, z ) | z = 2 x ,  1 = ( x, y, z ) | z = x 2 + y 2‬מצאו‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מלמטה‪.‬‬
‫קו החיתוך הוא שפה לשני המשטחים הנחתכים‪ .‬משטח ‪  1‬הוא חלק מהפרבולואיד הנמצא מתחת למישור‬
‫‪ ; z = 2 x‬משטח ‪  2‬הוא חלק מהמישור הנמצא מעל הפרבולויד‪ .‬ראו את האיור‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫משני המשטחים נבחר במשטח ‪  2‬כי בדרך כלל יותר קל לחשב אינטגרל משטחי מהסוג השני במישור מאשר‬
‫בכל משטח ריבוע אחר‪ .‬המשטח הוא גרף של פונקציה ‪ z = 2 x‬המוגדרת בעיגול }‪: D = {( x, y ) | x 2 + y 2  2 x‬‬
‫‪z = 2x , z  x2 + y 2  2x  x2 + y 2‬‬
‫ראו את ההיטל של המשטח על מישור ‪: xy‬‬
‫הצד המתאים לכיוון בקן החיתוך הוא הצד התחתון‪ ,‬לכן במשטח ‪  2‬נבחר בנורמל ̂‪ n‬המכוון למטה‪.‬‬
‫השדה הוקטורי ) ‪ F ( x, y, z ) = ( x 2 − z 2 , xz + sin y 2 , z 4‬שייך למחלקה )‬
‫‪3‬‬
‫( ‪ , C1‬לכן לחישוב הצירקולציה‬
‫ניתן ליישם את משפט הרוטור‪:‬‬
‫‪rot F  nˆ dS‬‬
‫‪ F  dr = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫נחשב את רוטור השדה הוקטורי‪:‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪= ( −x , − 2z , z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z4‬‬
‫ˆ‪i‬‬
‫‪‬‬
‫= ) ‪rot F ( x, y, z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x − z2‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪xz + sin y 2‬‬
‫‪( − x , − 2 z , z )  nˆ dS‬‬
‫‪ F  dr = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫לחישוב האינטגרל המשטחי מהסוג השני ניעזר במשפט על חישוב האינטגרל‪:‬‬
‫‪ˆ =   ( P( x, y, z ( x, y ))(− z  ) + Q( x, y, z ( x, y ))(− z  ) + R ( x, y , z ( x, y )) ) dxdy‬‬
‫‪ rot F  ndS‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫כי המשטח הוא גרף של פונקציה ‪ z = 2 x‬אשר גזירה ברציפות בכל המישור ואז גם בתחום‬
‫}‪ . D = {( x, y ) | x 2 + y 2  2 x‬על המשטח נבחר הנורמל התחתון לכן בנוסחה נבחר ב‪."-"-‬‬
‫‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
24 ‫הרצאה מסי‬
2 ‫חדו"א‬
( − x , − 2 z , z )  nˆ dS = −  ( (− x)(−2) + (−4 x)(−0) + 2 x ) dxdy = −  4 xdxdy = −4  xdxdy
 F  dr = 

C
D
2
D
D
:‫ הוא עיגול‬D ‫תחום אינטגרציה‬
:‫לחישוב האינטגרל הכפול בתחום זה ניעזר בקואורדינאטות קוטביות‬


2cos
2
2

2cos
r 
D xdxdy =  d 0 r cos   rdr =  cos   3 
0
−
−
2
3
8
16 2
4
cos

d

=
cos 4  d =
3 
3 0
d =
−
2


2
2

1 + cos 2  16 2 (1 + cos 2 )
42

= cos 2  =
=
d

=
1 + 2 cos 2 + cos 2 2 d =

 3 
2
4
3


0
0
2
(
)



2
4
1 + cos 4
 4     4 3
=  +0+ 
d  =  +  =
=
3 2
2
3
2
4
3
4


0



.
 F  dr = −4 :‫התשובה‬
C
‫דוגמא‬
2 

y
F ( x, y , z ) =  y 3 + z 3 − e x , x 3 + z 3 +
, x3 + y 3 + e z  ‫נחשב את הצירקולציה של השדה הוקטורי‬
4
1+ y



,  2 = ( x, y, z ) | z = 5 − x 2 − y 2
 ,  = ( x, y, z) | x + y − z = −1 :‫לאורך קו החיתוך של המשטחים‬
2
2
2
1
:‫ ראו את האיור‬.‫ בכיוון לפי כיוון השעון במבט מלמטה‬, z  0
3
‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫הקו הוא שפה לכל אחד מהמשטחים הנחתכים‪ :‬חלק מהפרבולואיד וחלק מההיפרבולואיד דו‪-‬יריעתי‪ .‬אם נחליט‬
‫להיעזר במשפט הרוטור‪ ,‬אז שני המשטחים "לא נוחים" לכך‪ .‬נמצא משטח אחר שהקו מהווה את שפת המשטח‪.‬‬
‫קו החיתוך הוא כנראה מעגל הנמצא במישור שמקביל למישור הקואורדינאטות ‪: xy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z = 2 or z = −3‬‬
‫‪ x + y − z = −1 ‬‬
‫‪5 − z − z = −1‬‬
‫‪z + z − 6 = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x + y = 5 − z‬‬
‫‪z = 5 − x − y‬‬
‫‪x + y = 5 − z‬‬
‫‪x + y = 5 − z‬‬
‫קו החיתוך נמצא מעל מישור ‪ , xy‬לכן‬
‫‪z = 2‬‬
‫‪( x, y , z )  C   2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x + y = 3‬‬
‫ז"א קו החיתוך הוא מעגל עם רדיוס ‪3‬‬
‫המונח במישור ‪ z = 2‬ואז הוא גם שפה של משטח‬
‫‪ 3 = ( x, y, z ) | z = 2 , x 2 + y 2  3‬‬
‫ראו את האיור‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫נבחר נורמל על המשטח שמתאים לכיוון הנתון על קו ‪ . C‬הצד המתאים לכיוון הוא הצד העליון כי במבט מלמעלה‬
‫הכיוון על הקו הוא נגד כיוון השעון‪ ,‬לכן )‪ . nˆ = (0, 0,1‬השדה הוקטורי‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪F ( x, y , z ) =  y 3 + z 3 − e x , x 3 + z 3 +‬‬
‫( ‪, x3 + y 3 + e z   C1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1+ y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לכן לפי משפט הרוטור‪:‬‬
‫‪rot F  nˆ dS‬‬
‫‪ F  dr = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3‬‬
‫נחשב את רוטור השדה‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪= 3 y 2 − 3z 2 , 3z 2 − 3x 2 , 3x 2 − 3 y 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫ˆ‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1+ y4‬‬
‫‪x3 + y 3 + e z‬‬
‫= ) ‪rot F ( x, y, z‬‬
‫‪y3 + z3 − e x‬‬
‫‪x3 + z 3 +‬‬
‫ניעזר בנוסחה לחישוב אינטגרל משטחי מהסוג השני כאשר משטח הוא גרף של פונקציה סקלרית ) ‪z ( x, y‬‬
‫הגזירה ברציפות בקבוצה‬
‫‪: D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x, y‬‬
‫‪ˆ =   ( P ( x, y, z ( x, y ))(− z  ) + Q ( x, y, z ( x, y ))(− z  ) + R ( x, y, z ( x, y )) ) dxdy‬‬
‫‪ rot F  ndS‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫המשטח הוא גרף של פונקציה ‪ z = 2‬המוגדרת בעיגול ‪ D = ( x, y ) | x 2 + y 2  3‬והנורמל הוא עליון‪ ,‬לכן‬
‫‪ˆ = +  ( (3 y − 12)(−0) + (12 − 3x )(−0) + (3x − 3 y ) ) dxdy = 3 ( x − y )dxdy‬‬
‫‪ rot F  ndS‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫נחשב את האינטגרל באמצעות קואורדינאטות קוטביות‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪ˆ = 3 ( x 2 − y 2 )dxdy = 3  d  (r 2 cos 2  − r 2 sin 2  )rdr‬‬
‫‪ rot F  ndS‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪= 3  (cos 2  − sin 2  )d   r 3 dr = cos 2  − sin 2  = cos 2  = 3  cos 2 d  = 3  0  = 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫מכאן‪,‬‬
‫‪rot F  nˆ dS = 0‬‬
‫‪ F  dr = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪C‬‬
‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫שימו לב‪ :‬השדה ) ‪ F ( x, y, z‬איננו משמר במרחב כי ‪ , rot F  0‬למרות שמצאנו כזה קו סגור כך שלאורכו‬
‫הצירקולציה שווה ל‪ . 0-‬זה יכול לקרות‪ ,‬אך לא לכל הקווים הסגורים‪ .‬ז"א עבור השדה קיים קו סגור אחר שלאורך‬
‫הקוו צירקולציה איננה אפסית‪ .‬נסיים את העניין עם שדה משמר במרחב‪ .‬נזכיר את הדברים‪:‬‬
‫הגדרה‬
‫שדה וקטורי ) ‪ F ( x, y, z‬משמר בקבוצה פתוחה‬
‫‪3‬‬
‫‪ G ‬אם ורק אם קיימת פונקציה סקלרית ) ‪U ( x, y, z‬‬
‫(פוטנציאל השדה) כך שבכל הנקודות ‪ ( x, y, z )  G‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪F ( x, y, z ) = U ( x, y , z‬‬
‫) ‪ P( x, y, z ) = U x ( x, y, z‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪(*) Q( x, y, z ) = U y ( x, y, z‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ R( x, y, z ) = U z ( x, y, z‬‬
‫לשדה משמר יש אינסוף פונקציות פוטנציאל‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫) ‪( x, y , z‬‬
‫הנראה כי שדה ניוטוני‬
‫אכן‪ ,‬פונקציה‬
‫‪3‬‬
‫‪2 2‬‬
‫) ‪(x + y + z‬‬
‫‪+k , k‬‬
‫= ) ‪ F ( x, y, z‬הוא משמר בקבוצה ‪\ (0, 0, 0)‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪. G‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪x2 + y 2 + z 2‬‬
‫= ) ‪ U ( x, y, z‬היא פונקציית פוטנציאל‪:‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪− ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪U x ( x, y, z ) = −1 x + y + z‬‬
‫= ‪ + 0 = (−1)  −  x + y + z 2 2 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2 + y 2 + z 2 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫‪1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪− ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪U y ( x, y, z ) = −1 x + y + z‬‬
‫= ‪ + 0 = (−1)  −  x + y + z 2 2 y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x2 + y 2 + z 2 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫‪1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪− ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪U z ( x, y, z ) = −1 x + y + z 2  + 0 = (−1)  −  x 2 + y 2 + z 2 2 2 z‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪x2 + y 2 + z 2 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫‪6‬‬
‫(‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪U ( x , y , z ) = ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x +y +z 2 x +y +z 2 x +y +z 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪( x, y , z‬‬
‫=‬
‫= ) ‪( x, y , z‬‬
‫) ‪= F ( x, y , z‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪x +y +z‬‬
‫‪x +y +z‬‬
‫)‬
‫( )‬
‫( )‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫טענות שקולות‬
‫‪‬‬
‫עבור שדה וקטורי ‪ F‬רציף בתחום ‪ G‬פתוח וקשיר שלוש הטענות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .1‬שדה ‪ F‬משמר ב‪ : G -‬ו‪. F ( x, y, z ) = U ( x, y, z ) -‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ .2‬צירקולציה בכל קו סגור ב‪ G -‬שווה ל‪  dr = 0 : 0 -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ .3‬אינטגרל קווי מהסוג השני לא תלוי במסלול אינטגרציה ב‪: G -‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪ F  dr = U ( B) − U ( A‬‬
‫‪A‬‬
‫במקרה זה ניתן למצוא את הפוטנציאל באמצעות הנוסחה‪:‬‬
‫) ‪( x, y, z‬‬
‫‪ F  dr + k , k ‬‬
‫= ) ‪U ( x, y , z‬‬
‫‪M0‬‬
‫או לפתור את המערכת (*)‪.‬‬
‫התנאי ההכרחי‬
‫אם שדה משמר ) ‪ F ( x, y, z‬שייך למחלקה ) ‪ , C1 (G‬אז ‪. rot F = 0‬‬
‫ז"א‪ ,‬אם לשדה ממחלקה ) ‪ C1 (G‬מתקיים‪ , rot F  0 :‬אז השדה אינו משמר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מצד אחר‪ ,‬מהשוויון ‪ rot F = 0‬בתחום ‪ G‬לא נובע שהשדה ‪ F‬הוא משמר בתחום זה‪ .‬ראינו דוגמאות עבור‬
‫שדה במישור‪ .‬נביא דוגמא במרחב‪:‬‬
‫דוגמא‬
‫‪z‬‬
‫‪−x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪, y4 , 2‬‬
‫נראה כי עבור שדה ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x + 4z 2 ‬‬
‫‪ x + 4z‬‬
‫‪ F ( x, y, z ) = ‬המוגדר בכל המרחב פרט לציר ה‪ y -‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ rot F = 0‬אך השדה איננו משמר בתחום הגדרתו‪.‬‬
‫נעשה קודם את הנגזרות ‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ ( x + 4 z ) − z8 z ( x − 4 z‬‬
‫‪‬‬
‫‪Pz =  2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ x + 4z  z‬‬
‫‪x2 + 4z 2‬‬
‫‪x2 + 4z 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫‪( x2 + 4 z 2 ) − x2 x‬‬
‫) ‪(− x 2 + 4 z 2 ) ( x 2 − 4 z 2‬‬
‫‪ − x ‬‬
‫‪Rx =  2‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x + 4z  x‬‬
‫‪x + 4z‬‬
‫‪x + 4z‬‬
‫‪x2 + 4z 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪= ( 0 , Pz − Rx , 0 ) = (0, 0, 0) = 0‬‬
‫‪z‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x + 4z 2‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y4‬‬
‫ˆ‪i‬‬
‫‪‬‬
‫= ) ‪rot F ( x, y, z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x + 4z2‬‬
‫‪ x2 + 4 z 2 = 1‬‬
‫‪. ( x, y , z )  C  ‬‬
‫‪y = 0‬‬
‫נתבונן בקן שהוא אליפסה הנמצאת במישור ‪: xz‬‬
‫ראו את האיור‪:‬‬
‫נמצא צירקולציה של השדה הווקטורי לאורך הקוו‪ .‬לכך ניעזר בפרמטריזציה של הקו‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r (t ) =  cos t , 0 , sin t  , t : 0 → 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪− xdz‬‬
‫‪zdx‬‬
‫= ‪ F  dr =  x + 4 z + y dy + x + 4 z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0.5sin t (− sin t ) 4 (− cos t )0.5cos t ) ‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪+0 0+‬‬
‫‪ dt = −  1dt = −  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫מצאנו קן סגור מונח בתחום הגדרתו של השדה הוקטורי כך שהצרקולציה שונה מ‪ .0-‬ז"א השדה איננו משמר‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫כדי לנסח את התנאי המספיק לשדה משמר במרחב‪ ,‬נכיר מושג של תחום פשוט קשר במרחב‪.‬‬
‫הגדרה‬
‫קבוצה ‪ G‬פתוחה נקראת תחום פשוט קשר‪ ,‬אם היא קשירה וכל קו סגור‪ ,‬הנמצא בה‪ ,‬ניתן לכווץ באופן רציף‬
‫לנקודה‪ ,‬ותוך כדי כיווץ הקו נשאר בקבוצה‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬על כל קו סגור ניתן לבנות משטח רציף‪ ,‬הנמצא‬
‫בתחום והקו הוא שפתו‪.‬‬
‫יש לציין‪ ,‬כי תחום פשוט קשר במישור ותחום פשוט קשר במרחב הם מושגים שונים‪ .‬למשל‪ ,‬מישור ללא נקודה‬
‫אינו תחום פשוט קשר‪ ,‬ומרחב ללא נקודה הינו תחום פשוט קשר‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬טבעת ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ D = ( x, y ) | a 2  x 2 + y 2  b 2‬אינה תחום פשוט קשר במישור‪.‬‬
‫שיכבה כדורית } ‪ G = {( x, y, z ) | a 2  x 2 + y 2 + z 2  b2‬הינה תחום פשוט קשר במרחב‪.‬‬
‫דוגמה קלאסית לתחום‪ ,‬שאינו תחום פשוט קשר‪ ,‬היא קבוצה החסומה ע"י טורוס‪.‬‬
‫משפט התנאי המספיק לשדה משמר במרחב‬
‫אם‬
‫‪ )1‬שדה וקטורי ) ‪ F ( x, y, z‬שייך למחלקה ) ‪; C1 (G‬‬
‫‪ )2‬קבוצה ‪ G‬היא תחום פשוט קשר;‬
‫‪, rot F = 0 )3‬‬
‫אזי השדה הוקטורי הוא משמר בקבוצה ‪. G‬‬
‫‪9‬‬
‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫הוכחת המשפט מסתמכת על משפט סטוקס‪ :‬על כל קו ‪ C‬סגור וחלק למקוטעין ניתן לבנות משטח ‪ ‬שכולו‬
‫נמצא בתחום ‪ G‬שעליו מתקיימים התנאים של המשפט ‪ ,‬אזי‬
‫‪ˆ =0‬‬
‫‪ F  dr =  rot F  ndS‬‬
‫‪C‬‬
‫דוגמא‬
‫נראה כי השדה ) ‪ F ( x, y, z ) = ( y cos xy, x cos xy + z 2 , 2 yz‬משמר במרחב‪ ,‬ונמצא את הפוטנציאל‪.‬‬
‫השדה שייך למחלקה ‪ C 1‬בכל המרחב שהוא תחום פשוט קשר‪ .‬רוטור השדה‪:‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪= ( 2 z − 2 z , 0 − 0, (cos xy − xy sin xy ) − (cos xy − xy sin xy ) ) = 0‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2 yz‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x cos xy + z 2‬‬
‫ˆ‪i‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪rotF‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y cos xy‬‬
‫לפי המשפט‪ ,‬השדה הוא משמר במרחב‪ .‬נמצא את הפוטנציאל באמצעות הנוסחה‪:‬‬
‫) ‪M ( x, y, z‬‬
‫‪‬‬
‫‪F  dr + k , k ‬‬
‫= ) ‪U ( x, y , z‬‬
‫)‪(0,0,0‬‬
‫האינטגרל לא תלוי במסלול אינטגרציה‪ ,‬לכן נבחר קו שבור המורכב מהקטעים המקבילים לצירי הקואורדינאטות‪.‬‬
‫לשם נוחות נמצא את הפוטנציאל בנקודה שרירותית )‪: (t , u , v‬‬
‫) ‪( t ,u , v‬‬
‫)‪( t ,0,0‬‬
‫‪ ( y cos xydx + ( x cos xy + z )dy + 2 yzdz ) +‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪( y cos xydx + ( x cos xy + z 2 )dy + 2 yzdz ) + k‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪U (t , u , v‬‬
‫)‪(0,0,0‬‬
‫)‪(0,0,0‬‬
‫) ‪( t ,u , v‬‬
‫= ‪ ( y cos xydx + ( x cos xy + z )dy + 2 yzdz ) + k‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( t ,u ,0‬‬
‫‪+  ( y cos xydx + ( x cos xy + z 2 )dy + 2 yzdz ) +‬‬
‫)‪( t ,0,0‬‬
‫)‪( t ,u ,0‬‬
‫‪v‬‬
‫‪t‬‬
‫‪u‬‬
‫‪=  0 cos( x0)dx +  (t cos ty + 02 )dy +  2uzdz + k = 0 + ( sin ty )0 + uv 2 + k = sin tu + uv 2 + k‬‬
‫‪u‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫הפוטנציאל‪:‬‬
‫‪U ( x, y, z ) = sin( xy) + yz 2 + k , k ‬‬
‫באמצעות הפוטנציאל ניתן למצוא אינטגרל קווי מהסוג השני‪ ,‬למשל‬
‫‪  ‬‬
‫‪ −1, ,2 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪−  ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪F  dr = U  −1, , 2  − U (1, 0, −1) =  sin‬‬
‫‪+ 4  − ( sin 0 + 0 ) = −1 + 2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(1,0, −1‬‬
‫‪‬‬
‫ראו את השדה באיור הבא (קובץ ‪:)Lec_24_Ex_1.dpg‬‬
‫‪10‬‬
‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫שימו לב‪ :‬ניתן לחשב את הפוטנציאל ע"י פתירת המערכת‪:‬‬
‫) ‪ P( x, y, z ) = U x ( x, y, z‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪(*) Q( x, y, z ) = U y ( x, y, z‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ R( x, y, z ) = U z ( x, y, z‬‬
‫כאשר שדה וקטורי מוגדר בקבוצה קמורה (למשל‪ ,‬במרחב)‪ .‬רק הפתרון הוא יותר מסובך מאשר לשדה במישור‪.‬‬
‫נמצא את הפוטנציאל עבור השדה ) ‪ F ( x, y, z ) = ( y cos xy, x cos xy + z 2 , 2 yz‬בדרך אחרת‪:‬‬
‫‪U x ( x, y, z ) = y cos xy‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪U y ( x, y, z ) = x cos xy + z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪U z ( x, y, z ) = 2 yz‬‬
‫מהמשוואה הראשונה‪:‬‬
‫) ‪U ( x, y, z ) =  y cos xydx + k ( y, z ) = sin xy + k ( y, z‬‬
‫נציב את הפונקציה במשוואה השנייה‪:‬‬
‫‪U y ( x, y, z ) = (sin xy + k ( y, z ))y = x cos xy + z 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x cos xy + k y ( y, z ) = x cos xy + z 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪11‬‬
‫חדו"א ‪2‬‬
‫לודמילה שוורצמן‬
‫הרצאה מסי ‪24‬‬
‫‪k y ( y, z ) = z 2‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪k ( y, z ) =  z 2 dy + k ( z ) = yz 2 + k ( z‬‬
‫ואז‬
‫) ‪U ( x, y, z ) = sin xy + yz 2 + k ( z‬‬
‫נציב במשוואה השלישית‪:‬‬
‫‪U z ( x, y, z ) = sin xy + yz 2 + k ( z )  = 2 yz + k ( z ) = 2 yz‬‬
‫‪z‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪k ( z ) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪k ( z) = k , k ‬‬
‫התשובה הסופית‪:‬‬
‫‪U ( x, y, z ) = sin xy + yz 2 + k , k ‬‬
‫סיימנו ללמוד את החומר התיאורטי בקורס של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ .2‬בהרצאה הבאה נעשה‬
‫השלמות ותגבורים‪ ...‬אתם מוזמנים לשלוח אלי את השאלות והבקשות‪...‬‬
‫בהרצאה האחרונה נעביר תגבור לתרגול בנושא של אינטגרל משטחי מהסוג השני‪.‬‬
‫‪12‬‬