Cho tam giác ABCcân tại a, các điểm D,E,F lần lượt nằm trên các cạnh BC,AC,AB
sao cho DE//AB,DF//AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác AEF tại các điểm A,G. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác AEF tại điểm H  H  E  . Đường thẳng qua G vuông góc với GH cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm K  K  G  , đường thẳng qua G vuông góc với GC
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm L  L  G  . Gọi P,Q lần lượt là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác GDK,GDL Khi điểm D thay đổi trên cạnh BC .CMR
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định.
GIẢI
L
A
O'
E'
G
E
Q
M
K
P
H
O
F
B
D
C
a. Gọi O, O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AEF
.Gọi E’là điểm đối xứng với E qua đường thẳngAO.
 EE’//BC (vì cùng vuông góc với AO)  tứ giác BDEE’ là hình bình hành
DE=BE’ mà DE = AF BF = AE ∆OAE’ =∆OBF OE = OF ,mà OA là
phân giác của góc EAF O ∈ (AEF) đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn
đi qua hai điểm cố định A và O (đpcm)
1
1
2
2
b. Dễ thấy ΔFBD cân tại F suy ra FB=FD,góc GBF = góc GOA= góc GFA
 ΔFGB cân tại F suy ra FB=FG. Từ đó suy ra F là tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆DGB. Chứng minh tương tự ta được E là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆
DGC.  EF là trung trực của GD, kết hợp với AG vuông góc với GD suy ra
EF//AG.
Ta có góc FHD=góc AEF=góc EDF  ΔFHD cân tại F 
FH = FD  H ∈ (GBD).
Ta có P là giao điểm của đường thẳng qua O song song với GH và EF,
Q là giao điểm của đường thẳng qua O’ song song với GC và EF
E là tâm đường tròn (GDC) và O là tâm đường tròn ngoại tiếp (AGC)  OE’
mà GC ⊥GL suy ra GL // OE. Do đó OE ⊥ QO’
 QE = QO (1) .Tương tự ta được PO = PF (2)
Mặt khác OE=OF, kết hợp với (1) và (2) ta được ∆QOE = ∆POF OP = OQ
OO’là trung trực của PQ, kết hợp với OO’ là trung trực của GA nên tứ giác
AQPG là hình thang cân hay nó nội tiếp suy ra (GPQ) luôn đi qua điểm A cố
định.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm M thuộc tia đối của tia AC
M khác C Lấy D đối xứng với B qua M,AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E Đường tròn
(ACD) cắt AB tại điểm thứ hai là F
a. Gọi I là giao điểm khác A của (AEF) và (ABD) Chứng minh rằng AI//BD
b. Gọi S là giao điểm khác A của (AEF) và AC đường trung trực của SI cắt DB
tại J
Chứng minh rằng J,E,F thẳng hàng.
GIẢI
a. .Gọi P,Q lần lượt là giao điểm thứ hai của (O) và (ACD) với BD và K,L lần
Lượt
là
tâm
của
(ABD),(AEF)
Ta
có
MB .MP = MA .MC = MD .MQ .
Vì MB = MD (gt) nên MP = MQ  BQ = DP
Từ đó  DA .DE = DB .DP = BD .BQ = BA .BF .
Do đó PB/(AEF) = PD/(AEF)  LB = LD Kết hợp với KD= KB KL⊥BD(1)
Vì {A;I} = giao (AEF) và (ABD)  KL⊥AI (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI// BD
a. Vì AI//BD và M là trung điểm BD nên A(IMBD) = -1
Chiếu lên (AEF) ta thu được IESF là tứ giác điều hòa (3)
Ta có góc SLJ =
1
2
1
SLI = sđ cung IAS = góc IAM = góc SMJ (AI//DB)  tứ
2
giác SLMJ nội tiếp.  góc LSJ = góc LMD = 900
 SJ ,JI là các tiếp tuyến của (AEF)(4)
Từ (3) và (4)  J,E,F thẳng hàng.
F
L
S
A
E
I
C
B
J
M
D
Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến
AM,AN(M,N là tiếp điểm). Trên AO lấy B sao cho AB=AM. Kẻ các dây MC,NC đi qua
B.chứng minh rằng
a) MC là phân giác của OMN.
b) C,O,D thẳng hàng
Ta có: ∆MBH = ∆PDA và ∆QBE = ∆NDC, nên góc MBH = PDA (1) và góc QBE = NDC
(2)
Lại có góc HBE = 360° - HBC - EBA - ABC = 180° - ABC = ADC (3)
Cộng (1),(2),(3), ta có góc QBM = NDP, kết hợp BM = DP và QB = ND
=> ∆QBM = ∆NDP (c.g.c)
=> QM = NP, chứng minh tương tự: MN = PQ, nên MNPQ là hình bình hành
Xét ∆BCJ và ∆LAB, có BC = LA, CJ = AB, góc BCJ = 360° - BCD - DCJ = 90° + 180° BCD = 90° + BAD = LAB
=> ∆BCJ = ∆LAB (c.g.c)
=> JB = BL (*)
Dễ thấy ∆BQP = ∆JNM (c.g.c)
=> JM = BP, kết hợp (*) và LP = BM, ta có: ∆BLP = ∆JBM (c.c.c)
=> Góc BPL = JMB, mà góc BPQ = JMN (do ∆BQP = ∆JNM), nên góc QPL = NMB
Lại có góc DPN = BMQ (do ∆QBM = ∆NDP)
Nên góc NMQ = NMB + BMQ = QPL + DPN = 180° - NPQ, nên hình bình hành MNPQ
là hình chữ nhật (đpcm)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) .Đường tròn (O’) đi qua B,C cắt AB,AC
tại F và E .Gọi H giao điểm BE và CF .AH cắt (O) tại K (K khác A) ,KE
KF cắt (O) tại P,Q (P,Q khác K),M là giao điểm BP và CQ .CMR AO⊥EF
và M trung điểm EF.
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) (I) tiếp xúc với BC tại D
.Đường thẳng qua I vuông góc với AI cắt AB,AC tại E F .Đường tròn
ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) và AI lần lượt tại G và H .Gọi M trung
điểm BC tiếp tuyến tại G của (O) cắt BC tại J.A cắt (O) tạ K (K khác
A).CMR A,M,N thẳng hàng; (DJK) và (GIH) tiếp xúc nhau.