关于 C-W 损伤模型的进一步讨论
我们知道，连续介质损伤力学领域有众多的弹-塑性损伤的各向
异性理论。这些理论，大多数是基于有效应力与损伤影响假设，即
 = M ( D) :  ；剪应力损伤效应假设，最后在弹塑性理性力学与热力学
理论框架下进行研究的。下面我们通过通俗易懂的方法来推导这个热
力学框架并简述其原理。
由热力学第一定律，有：
d 1
( v  v + e)  dV =  f  vdV +  F  vdA +  rdV −  q  ndA
dt  2
（0.1）
由理性力学运动方程：
d 1
v  v  dV +   :  dV =  f  vdV +  F  vdA
dt  2
（0.2）
由（0.1）与（0.2）可知：
 e =  :  + r − divq
（0.3）
其中，e 为单位质量的内能，r 为单位时间单位体积内外热源供应的
热量，q 为单位时间通过单位面积的热流量，遵循傅里叶定律，ρ为
密度。
再由热力学第二定律即孤立系统熵增定律，有类似的表达式：
d
r
q
S  dV   dV −   ndA

dt
T
T
（0.4）
其中 S 是单位质量的熵，T 为绝对温度。
综上，结合（0.3）与（0.4）式，有：
S −
r
q
+ div( )  0
T
T
（0.5）
再进一步简化，得到表达式：
 :  −  ( + ST ) + g  q  0
式中， g =
− gradT
；  = e − TS
T
（0.6）
，称为单位质量自由能。也可记作
 =  ( e , vk , T ) ，称为热力学势函数，与弹性应变、自然内变量与绝对
温度有关。
根据此和全微分定理，可以给出微分关系：
=
 e 

: +
: vk +
:T
e

vk
T
（0.7）
代入（0.6）至（0.7）式，最终得出：

 e

S =−
T
 =
（0.8）
从（0.8）式可见推论的合理性，与熵的定义相契合。
我们再定义与内变量 vk 耦合的广义热力学力 Ak ：
Ak = 

vk
（0.9）
同理，通过定义耗散势函数，再经过勒让德变换，可得形式相似的表
达式：
e = 
S=

T


Ak = − 
（0.10）

vk
 =
g=

 e

q
Ak = −
p =
q=
（0.11）

vk
 

 
g
vk = −
（0.12）
 
Ak
其中，  为对偶单位质量余能， 为耗散型势函数，  为对偶耗散型
势函数。
至此我们构建出了热力学框架下的弹塑性损伤本构方程，内变量
演变方程，广义傅里叶定律。
1 Chow-Wang 损伤模型原理
此模型假设塑性与损伤间的耦合作用和弹性与损伤间的耦合作
用具有相同性，即我们可以假设在塑性耗散势函数中，用有效应力张
量代替了原来的应力张量，得到：
Fp ( , D, R) = Fp ( , R) =  p − [ R0 + R( p)] = 0
（1.1）
1
1
式中， p = (  : H :  ) 2
2
（1.2）
称为有效塑性应力不变量；H 为四阶对称张量，且由于材料的不可压
缩性， H 的矩阵表达形式为半正定矩阵（若针对正交各向异性材料，
； p 为累积塑性应变， R0 为应变硬化阈
H 张量分量有 6 个独立分量）
值初值， R 为其增量，且 R 满足 R = Kp n ， k 为材料参数。
由式（0.10）
、（0.11）
、（0.12）可得出：
 p = p
p = p
Fp

p
H :
2 p
（1.3a）
= p
（1.3b）
=
Fp
 (− R)
其中， H = M T ( D) : H : M ( D) ，且拉格朗日乘子  p 为：
Fp
 Fp

  :  + D : D

Fp
Fp

0;
若
F
=
0
且
:

+
:
D

0


p
2

D
  Fp  R

p =  


    p



F
F
0; 若Fp  0且 p :  + p : D  0


D


综上，由（1.1）
（1.2）（1.3）式，可导出累积塑性应变率：
1
1
p = 2[  p : H −1 :  p ] 2
2
（1.4）
其中， H −1 为广义逆矩阵。
再定义有效塑性应变率张量
 p = M T ,−1 :  p
（1.5a）
也可以写成
p =
p
H :
2 p
（1.5b）
上述（1.3）与（1.5）为 C-W 损伤模型的主要内容，可见若有效应力
增大，则有累积塑性应变率成正比增大；在比例加载的情况下，更有
推论：
1
1
p = 2[  p : H −1 :  p ] 2
2
（1.6）
此表达式与物理事实相同，且已经通过实验验证。
在此基础上，我们可以继续发现一些进一步的推论。
针对此塑性势（凸）函数 Fp ( , D, Y ) ，有结论：
p =
p=
D=
Fp

Fp
（1.7）
 (− R)
Fp
Y
其中， D 为损伤变量， Y 为损伤应变能释放率。
我们可以发现，上述塑性应变率皆与临界损伤面（屈服面）的外法线
方向相同，累积塑性应变率与损伤率皆与外法线方向相反。这一点，
正好与耗散率不等式
 ij p
 − Rp − YD  0 相吻合并证实 C-W 模型中对
 ij
Fp 假设的有效性的合理性。我们可以称之为 C-W 模型的正交性。
2
基于广义力的 C-W 模型的推广
已知损伤应变能释放率 Y ，我们将其置于先前制定好的热力学框
架之中，有：
Y =
 W e ( e , D) 1 e C e
M
=
=  :
:  = − e : ( M −1 :
: C )S :  e
D
D
2
D
D
（2.1）
也可由：
Y = −

W e ( , D)
M S
=−
= − : (C −1 : M −1 :
) :
D
D
D
（2.2）
式中上标表示的是取括号中张量的对称部分，此为作者的简化举措，
可以避免繁杂的张量表示。
可以察觉到，表征广义力的损伤应变能释放率随损伤值的增加而
增加，正如屈服应力与应变的关系。因此我们假设存在所谓损伤加强
现象。我们选用损伤张量的一个不变量，称之为狭义损伤值 w ，再为
其匹配一个热力学广义力 B 来描述这一所谓损伤加强现象。不过这一
现象仍需可行性方法来使得实验可证实，我们后续会讨论。
书接上文，接着有广义力表达式：
B=


= −
w
w
（2.3）
需要说明，此处我们正是利用了基于上述假设的我们重构的自由能方
程：  ( e , D, p, w) = W e ( e , D) + p ( p) + w ( w) ，其中 p ( p) 为塑性硬化自
由能， w ( w) 为加强损伤自由能。
于是可设损伤能耗散势函数：
Fw (Y , B) = Yw − [ B0 + B ( w)] = 0
1
1
Yw = ( Y : J : Y ) 2
2
（2.4）
我们可以把 B0 视作初始损伤加强阈值，B 为增量，J 为损伤强化张量，
表征损伤对损伤应变能释放率的影响，与 H 张量有相同的对称性。
综上，有加强损伤方程：
D = w
Fw

= − w J :Y
 (−Y )
2Yw
w = w
Fw
= w
 (− B)
（2.5）
其拉格朗日乘子 w 为:
 Fw

 Y : Y

Fw
 0; 若Fw = 0且
: Y  0

2
Y
  F  B

w =   w 

  B  w



Fw
:Y  0
0; 若Fw  0且

Y


(2.6)
1
2
1
综上，由（2.4）
（2.5）
（2.6）
，狭义总损伤率 w 为： w = 2( D : J −1 : D) 2 ，
J −1 为广义逆矩阵。
同时我们可以假设存在有效损伤演化张量表达式：
J = MT :J :M
至于它的物理意义，仍需进一步研究。
（2.7）