ԲԱԶՄՈՒԹՅԱՆ ՀԶՈՐՈՒԹՅՈՒՆ: ՀԱՇՎԵԼԻ ԵՎ ՈՉ ՀԱՇՎԵԼԻ
ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ:
Ցանկացած վերջավոր (վերջավոր թվով տարրեր ունեցող) բազմության կարելի է համապատասխանեցնել նրա տարրերի քանակը, ընդ որում երկու բազմություններ կու-նենան
միևնույն թվով տարրեր այն և միայն այն դեպքում, եթե նրաց միջև կարելի է ստեղծել
փոխմիարժեք համապատասխանություն: Այս վերջին փաստը թույլ է տալիս դասակարգել
նաև
անվերջ
բազմությունները
ըստ
նրանց
տարրերի
“քանակի”:
Դրա
համար
բազմությունների դասում մտցնենք համարժեքության հարաբերություն:
Սահմանում: Կասենք, որ A և B բազմությունները համարժեք են , եթե նրանց միջև
գոյություն ունի  փոխմիարժեք արտապատկերում: Այսինքն,
 : A  B, s.t. ( A)  B և a1  a2   (a1 )   (a2 )
Ակնհայտ է, որ այս հարաբերությունը իսկապես համարժեքության հարաբերություն է, իրոք,
այն
1. ռեֆլեքսիվ ( A
A (x )  x ),
2. սիմետրիկ ( A
B B
3.տրանզիտիվ ( ( A
A
 : A B
 1 : B  A ) և
B , B C )  A C :  : A  B , : B  C ապա      C ) է:
Այս հարաբերությունը բազմությունների դասը կտրոհի իրար հետ չհատվող ենթադա-սերի:
Այն ինչ ընդհանուր է այդ ենթադասերից յուրաքանչյուրին կանվանենք այդ ենթա-դասի մեջ
մտնող բազմությունների հզորություն (տարրերի “քանակ”):
Այսպիսով եկանք հետևյալին:
Սահմանում: Կասենք, որ երկու բազություններ ունեն միևնույն հզորությունը, եթե նրանք
համարժեք են:
A բազմության հզորությունը կնշանակենք A :
Վերջավոր բազմության հզորությունը միարժեքորեն որոշվում է նրա տարրերի քա-նակով,
դրա համար բնական է վերջավոր բազմության հզորությունը նույնացնել նրա տարրերի
քանակի հետ: Ակնհայտ է, որ ոչ մի վերջավոր բազմուրյուն համարժեք չի իր իսկական
ենթաբազմությանը: Բանը բոլորովին այլ է անվերջ բազմությունների համար:
Օրինակ, բնական թվերի բազմությունը համարժեք է զույգ թվերի բազմությանը` իր իսկական
ենթաբազմությանը (  :
 2n; n 
  (n)  2n ): Հետևյալ սահմանումը համեմատում է
բազմությունների հզորությունները:
Սահմանում: Տրված են A և B բազմությունները՝ A և B հզորություններով: Կասենք, որ
A  B , եթե B
A1  A և A -ն համարժեք չէ B -ին:
Բնական թվերի բազմության հզորությունը կարևոր դեր ունի, կարելի է ասել, մաթեմատիկայի բոլոր բնագավառներում, ուստի այն արժի առանձացնել:
Սահմանում: Կասենք, որ բազությունը հաշվելի է, եթե այն համարժեք է բնական թվերի
բազմությանը:
Այլ խոսքերով ասած A բազմությունը հաշվելի է, եթե նրա տարրերը կարելի է համարակալել,
այսինքն A  a1 , a2 , a3 ,... , ընդ որում ai  a j ,երբ i  j :
Թեորեմ: Ցանկացած A անվերջ բազմություն ունի հաշվելի ենթաբազմություն:
Քանի, որ A -ն անվերջ է, ուրեմն այն դատարկ չի, վերցնենք a1  A և դիտարկենք A
այն դատարկ չի, վերցնենք a2  A
չի, վերցնեն a3  A
a1 -ը,
a1 և դիտարկենք A a1 , a2  -ը, այն նույնպես դատարկ
a1 , a2  : Այս պրոցեսը կշարունակվի անվերջ, քանի որ A -ն անվերջ
բազմություն է: Արդյունքում կստանանք A1  a1 , a2 , a3 ,...  A հաշվելի բազմությունը: 
Այս թեորեմից անմիջապես հետևոմ է, որ անվերջ բազմություններից ամենափոքր
հզորություն ունեն հաշվելի բազմությունները:
Նշենք հաշվելի բազմությունների մի քանի հատկություններ:
Թեորեմ: Վերջավոր կամ հաշվելի թվով հաշվելի բազմությունների միավորմանը հաշվելի է:
Դիտարկենք միայն հաշվելի դեպքը: Դիցուք B 

An ,որտեղ բոլոր
n 1
An -երը հաշվելի են, հետևաբար նրանց տարրերը կարելի է համարկալել, դիցուք
An  an1 , an 2 ,...an3 ,... : Կազմենք հետևյալ աղյուսակը
A1 : a11 , a12 ,...a13 ,...
A2 : a21 , a22 ,...a23 ,...
....................................
An : an1 , an 2 ,...an 3 ,...
....................................
Համարակալենք B բազմության տարրերը հետրևյալ ձևով: Առաջին քայլում համարա-կալենք
աղյուսակի բոլոր այն տարրերը, որոնց ինդեքսներ գումարը երկուս է, այդպիսի միայն մեկ
տարր կա, այն է a11 -ը, երկրորդ քայլում համարակալենք աղյուսակի բոլոր այն իրարից
տարբեր տարրերը, որոնց ինդեքսներ գումարը երեք է, ընդ որում չենք համարակալում այն
տարրերը, որոնք համարակալված են նախորդ քայլում: k -րդ քայլում համարակալենք
աղյուսակի բոլոր այն իրարից տարբեր տարրերը, որոնց ինդեքսներ գումարը (k  1) է,
այդպիսի տարրերը k հատ են a1k , a2( k 1) ,..., ak 1 , ընդ որում չենք համարակալում այն
տարրերը, որոնք համարակալված են նախորդ քայլերից որևէ մեկում: Պարզ է, որ այսպիսով
մենք կհամարակալենք B բազմության բոլոր տարրերը: 
Դիտողություն: Պարզ է, որ հաշվելի կլինի նաև B 

n 1
An բազմությանը, եթե An բազ-
մություններից բոլորը կամ նրանց որոշ մասը լինեն վերջավոր :Պարզ է նաև, որ եթե An -երից
բոլորն են վերջավոր, ապա որպեսզի B -ն լինի հաշվելի պետք է, որ An -երից հաշվելի թվովը
լինի ոչ դատարկ:
Թեորեմ: Վերջավոր թվով հաշվելի բազմությունների դեկարտյան արտադրյալը հաշվելի է:
Ապացուցվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով կրառելով նախորդ թեորե-մը: 
Թեորեմ: Ռացիոնալ թվերի
Իրոք

բազմությունը հաշվելի է:

An , այստեղ An -ը n հյտարարով կոտորակների բազմությունն է և ակնհայտn 1
որեն այն հաշվելի է: Ուրեմն
-ն որպես հաշվելի թվով հաշվելի բազմությունների միա-
վորում հաշվելի է: 
Թեորեմ: [0,1]-ը հաշվելի չէ:
Ենթադրենք [0;1] -ը հաշվելի է` [0;1]  x 1 , x 2 ,..., x n ... : [0,1] բաժանենք երեք հավասար
մասերի` 0,1 3  , 1 3,2 3  , 2 3,1 , նրանցից մեկում x 1 չկա, այն նշանակենք [a1 ,b1 ] -ով:
[a1 ,b1 ] -ը նունպես տրոհենք երեք հավասար մասի: Այդ մասերից որևէ մեկը չի պարունակի
x 2 -ը, այն նշանակենք [a 2 ,b2 ] -ով: Պրոցեսը շարունակելով կստանանք
0,1  a1 ,b1   a2 ,b2   ....  an ,bn   ...
ներդրված հատվածների հաջորդականություն, ընդ որում x n  an ,bn  : Ըստ ներդրված
միջակայքերի լեմմայի
x 0 

n 1
[an ,bn ] :
x 0  [0,1] , բայց x 0 -ն չի համընկնում x 1 , x 2 ,..., x n ,... - ից ոչ մեկի հետ: Ստացանք մի կետ որը
համարակալված չի, ինչը նշանակում է, որ [0,1] հաշվելի չէ: 
Սահմանում: [0,1]-ի հզորությունը կոչվում է կոնտինիում:
Թեորեմ: Երկու սիմվոլներից կազմված բոլոր հնարավոր հաջորդականությունների
բազմությունը ունի կոնտինիում հզորություն:
Առանց ընդհանրությունը խախտելու կարելի է ենթադրել, որ այդ սիմվոլները 0-ն և 1-ն են:
Այդ դեպքում, եթե 0 և 1-երից կազմված հաջորդականությունների բազմությունից հեռացնենք
ինչ որ տեղից հետո միայն 1-եր պարունակող հաշվելի հզորության (ապացուցել)
բազմությունը, ապա կարող ենք փոխմիարժեք համապատասխանություն ստեղծել մնացած
հաջորդականությունների բազմության և [0,1] հատվածի միջև` ամեն թվի
համապատասխանեցնելով նրա 2-ական կոտորակը: Բայց հայտնի է, որ անվերջ բազմությանը հաշվելի բազմություն միավորելուց կամ նրանից (եթե այն հաշվելի չի) հաշվելի
բազմություն հեռացնելուց նրա հզորությունը չի փոխվի (ապացուցել): 
ՀՅՈԼԴԵՐԻ ԵՎ ՄԻՆԿՈՎՍԿՈՒ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ
Ապացուցենք հետագայի համար պետքական մի քանի անհավասարություններ: Նախ
ապացուցենք հետևյալ լեմման:
Լեմմա:(Յունգի անհավասարությունը) Եթե a, b, p, q թվերը բավարարում են a  0, b  0,
p  1, q  1 և 1 p  1 q  1 պայմաններին, ապա ճիշտ է
a p bq
ab 

p q
անհավասարությունը, ընդ որում այստեղ հավասարություն հնարավոր է այն և միայն այն
դեպքում, երբ b  a p 1 կամ, որ նույնն է b q  a p :
Եթե a -ն կամ b -ն զրո են պնդումը ակնհայտ է, ուրեմն ենթադրենք, որ a  0,
b0 և
0;   -ում դիտարկենք f t   at  a p p  t q q ֆունկցիան: Ստանդարտ եղանակով կա-րելի
է տեսնել, որ t  a1 ( q 1) կետում f  t  -ն ունի զրո մեծագույն արժեք և լեմման կլինի
ապացուցված, եթե հաշվի առնենք 1 (q  1)  p  1 հավասարությունը:

Թեորեմ 1: Ցանկացած a1 , a2 ,..., an և b1 , b2 ,..., bn իրական կամ կոմպլեքս թվերի համար ճիշտ
է
1 p
 n
p
a
b


i i
  ai 
i 1
 i 1

n
1q
 n
q
  bi 
 i 1

(Հ)
անհավասարությունը, եթե միայն p  1, q  1 և 1 p  1 q  1 : Ընդ որում, այստեղ հավասարություն հնարավոր է այն և միայն այն դեպքում, եթե գոյություն ունի   0 թիվ այնպես,
որ bi   ai
p 1
 i  1, 2,..., n 
կամ ai  0
:
Նշենք, որ թեորեմում բերված անհավասարությունը կոչվում է Հյոլդերի անհավասրու-թյուն:
1 p
1q
 n
q
, B    bi 
 i 1

 n
p
Նշանակենք A    ai 
 i 1

Մասնավոր դեպքում, երբ A  1 և
:
B  1 ( Հ )-ն համարժեք է

n
i 1
ai bi  1
անհավասրությանը, որը ապացուցելու համար օգտվենք լեմմայից, ըստ որի ցանկացած i -ի
համար կարող ենք գրել , որ
ai
ai bi 
p
p

bi
q
q
:
(ԻՃ)
Գումարելով այս անհավասարությունները, կունենանք
n
n
 ab 
i 1
 ai
n
p

i 1
i i
p
b
q
i
i 1
A p Bq 1 1


  1 :
p
q
p q
q
(ՄԴ)
Ընդհանուր դեպքում, եթե A -ն կամ B -ն զրո են, ապա ( Հ )-ում կլինի հավասարություն,
ուրեմն կարող ենք ենթադրել, որ A  0 , B  0 և նշաանակելով ai 
n
1 p

p
կունենանք A    ai 
 i 1

n

a
i 1
i
Ap
ai
b
և bi  i ,
A
B
p
1q
Ap
 n
q
 p  1 և նմանաձև B    bi 
A
 i 1

 1 , հետևաաբար
n
ըստ մասնավոր դեպքի  aibi  1 : Այս անհավասաևության մեջ տեղա-դրելով ai 
i 1
bi 
n
bi
կստանանք  ai bi  AB : Ստացանք այն ինչ պետք էր ապա-ցուցել:
B
i 1
ai
և
A

Այժմ տեսնենք թե ( Հ )-ում, երբ է հնարավոր հավասարություն: Մի դեպք արդեն քննարկել
ենք, այն է , երբ A  0 ( B  0 ) այսինքն բոլոր ai -երը ( bi -երը) զրո են: Մի կողմ թողնելով այդ
ակնհայտ դեպքերը ենթադրենք,որ A  0 , B  0 : Երբ A  1 ¨ B  1 (ՄԴ)-ում կլինի
հավասարություն այն և միայն այն դպքում, եթե հավասարություն լինի (ԻՃ)-ում ցանկացած
i -ի համար, այսինքն երբ bi  ai
կունենանք bi  ai
p 1
p 1
ցանկացած i -ի համար: Ընդհանուր դեպքի համար
, որտեղից կստանանք bi   ai
Հակադարձ պնդումը, bi   ai
p 1
p 1
, եթե վերցնենք  
B
:
A p 1
կամ ai  0  i  1, 2,..., n  պայմաններից հետևում է, որ
( Հ )-ում կլինի հավասարություն, ակնհայտ է:
Ցույց տալ, որ գոյություն ունի   0 թիվ այնպես, որ bi   ai
p 1
կամ ai  0  i  1, 2,..., n 
պայմանները համարժեք է հետևյալ պայմանին ՝ գոյություն ունեն   0 և   0 ,     0
թվեր այնպես, որ  bi
q
  ai
p
 i  1, 2,..., n  :
Մինկովսկու անհավասարությանը:
Թեորեմ: Ցանկացած a1 , a2 ,..., an ¨ b1 , b2 ,..., bn կոմպլեքս թվերի համար ճիշտ է
1 p
 n
p
  ai  bi 
 i 1

1 p
 n
p
   ai 
 i 1

1 p
 n
p
   bi 
 i 1

( Մ)
անհավասարությունը, եթե միայն p  1 : Ընդ որում, եթե p  1 , այստեղ հավասարություն
հնարավոր է այն և միայն այն դեպքում, եթե գոյություն ունի   0 թիվ այնպես, որ bi   ai ,
ϳ٠ai  0  i  1, 2,..., n  :
p  1 դեպքում անհավասարությունը ակնհայտ է, ընդ որում հավասարություն
հնարավոր է այն և միայն այն դեպքում,երբ ցանկացած i -ի համար ai  bi  ai  bi , այսինքն
ai   i bi , որտեղ  i -երը ոչբացասական թվեր են:
Երբ p  1 , ճիշտ է հետևյալը`
n
trr
 a b
i
i 1
i
p
n
  ai  bi
p 1
i 1
n
( ai  bi )   ai  bi
p 1
i 1
n
ai   ai  bi
p 1
i 1
(ԿՄ):
bi
Եթե վերջին երկու գումարները գնահատենք կիրառելով Հոլդերի անհավասարությունը,
կունենանք`
n
 a b
i 1
i
i
p
1 p
1 p
1q
 n
 n
 n
p
p
q p 1 
    ai     bi     ai  bi
 (ՀՄ):
  i 1
  i 1
i 1






Այժմ, հաշվի առնենլով, որ q  p  1  p , 1  1 q  1 p , կստանանք (Մ)-ն:
( Մ)-ում տեղի կունենա հվասարոթյուն այն և միայն այն դեպքում, եթե հավասարու-թյուն
տեղի ունեն (ԿՄ) և (ՀՄ)-ում: Այսինքն եթե հաշվի չառնենք ai  0  i  1, 2,..., n 
տրիվյալ
դեպքը, ապա գոյություն ունեն  i  0, i  1, 2, ... , n ,   0 ,   0 թվեր այն-պես, որ տեղի
ունենան ai   i bi  i  1, 2, ... , n 
և ai  bi
p 1
  ai
p 1
, ai  bi
p 1
վասարությունները: Ասվածից անմիջապես հետևում է, որ 1   i  bi
  bi
p 1
p 1
  bi
հաp 1
  ai
p 1
:
Եթե   0 , ապա կունենանք bi  0  i  1, 2, ... , n  և որպես  կարող ենք վերցնել զրոն, իսկ
եթե   0 ապա վերցնելով   
1
p 1


1
p 1
և հաշվի առնելով, որ ai - ն և bi - ն ունեն նույն
արգումենտը կունենանք bi   ai  i  1, 2, ... , n  :

Բերենք նաև Հոլդերի և Մինկովսկու անհավասարությունները ինտեգրալային տեսքով:
Ներքևում բերվող թեորեմներում
 f նշանակված է f ֆունկցիայի ինտեգրալը 

բազմությամբ: Ընդ որում ինտեգրալը կարելի հասկանալ տարբեր իմաստներով: Օրինակ, այն
կարող է լինել  a; b  հատվածով Ռիմանի սովորական ինտեգրալ, երբ
   a; b և f -ը
Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի է  a; b  -ում, կամ կարող է լինել Ռիմանի բազմապատիկ
ինտեգրալ, եթե  -ն  a; b  -ում որևէ տիրույթ է, իսկ f -ը n փոփոխականից կախված
ֆունկցիա : Այն կարող է լինել նաև կամայական այլ ին-տեգրալ, որը օժտված է
մոնոտոնության հատկությամբ , օրինակ, Լեբեգի ինտեգրալ որևէ դրական չափով
տարածությունում:
 -ում ինտեգրելի ֆունկցիաների համար ճիշտ է
Թեորեմ 11: Ցանկացած f ( x ) և g ( x)
1 p

p
 fg    f 
1q

q
 g 


(Հ)
անհավասարությունը, եթե միայն p  1, q  1 և 1 p  1 q  1 : Ընդ որում այստեղ հավասարություն հնարավոր է այն և միայն այն դեպքում, եթե գոյություն ունեն   0 և   0 ,
    0 թվեր այնպես, որ  g ( x)   f ( x) :
q
p
Այս թեորեմի ապացուցույցը Թեորեմ1-ի ապացույցից տարբերվում է միայն նրանով,որ
գումարման գործողությունը պետք է փոխարինել ինտեգրումով, այսինքն (Իճ)
անհավսարությունը կիրառելով f ( x ) և g ( x) ֆունկցիաների համար կունենանք
f ( x) g ( x) 
f ( x)
p
p

g ( x)
q
q
Եվ այս անհավասարությունը ինտեգրելով, կստանանք Թեորեմ11- ի ապացույցը,
այնպես, ինչպես (Իճ) անհավասարությունները գումարելով ստացանք Թեորեմ1-ի
1 p

p
ապացույցը, միայն այստեղ պետք է վերցնել A    f 


Թեորեմ22: Ցանկացած f ( x ) և g ( x)
1q

q
¨ B  g  :


 -ում ինտեգրելի ֆունկցիաների համար

p
 f  g 


1 p
1 p

p
 f 


1 p

p
  f 


(Հ)
անհավասարությունը, եթե միայն p  1 : Ընդ որում, եթե p  1 , այստեղ հավասարու-թյուն
հնարավոր է այն և միայն այն դեպքում, եթե գոյություն ունեն   0 և   0 ,     0 թվեր
այնպես, որ  g ( x)   f ( x) :
ՄԵՏՐԻԿԱԿԱՆ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ
Դիցուք X -ը որևէ բազմություն է, իսկ  -ն X  X դեկարտյան արտադրյալը արտապատկերում է R  0;   -ի մեջ:
Սահմանում: Կասենք, որ  -ն մետրիկա է, եթե այն բավարարում է հետևյալ պայմաններին ( մետրիկայի աքսիոմներին)`
1.  ( x, y )  0  x  y
2.  ( x, y )   ( y, x)
3.  ( x, y )   ( x, z )   ( z , y )
Սահմանում: X բազմությունը  արտապատկերման (մետրիկայի) հետ կան-վանենք
մետրիկական տարածություն և կնշանակենք`  X ,   :
Այլ կերպ ասած X բազմությունը դառնում է մետրիկական տարածություն, եթե նրա
ցանկացած երկու տարրերի համապատասխանեցված է ոչ բացասական  թիվ, որը
բավարարում է նշված երեք պայմաններին: Դժվար չի տեսնել, որ  մեծությունը
համապատասխանում է հեռավորության մասին մեր ունեցած ինտիուտիվ պատկերացումներին, այդ պատճառով բնական է X բազմության տարրերը անվանել կետեր, իսկ
 ( x, y) -ը` x և y կետերի հեռավորություն: Այդ տրամաբանությամբ էլ նշված աքսիոմներից
երրորդը անվանում են եռանկյան անհավասարություն:
Բերենք մետրիկական տարածությունների օրինակներ:
1. Դիցուք X -ը կամայական բազմություն է, իսկ  ( x, y)  0 , երբ x  y և  ( x, y )  1 , երբ
x  y : Հեշտությամբ ստուգվում է , որ այսպես սահմանված  ( x, y )  ն բավարարում է
մետրիկայի աքսիոմներին: Այսպիսով ցանկացած բազմություն կարելի է դարձնել
մետրիկական տարածություն: Այսպիսի տարածությունը կոչվում է դիսկրետ մետրի-կական
տարածություն:
2. Եթե X -ը իրական թվերի բազմությունն է, ապա  ( x, y )  x  y -ը մետրիկա է
ում: Այդ մետրիկական տարածությունը նշանակում են
X-
-ով:
ցույց տալ, որ  f ( x, y)  f ( x)  f ( y) մետրիկա է իրական թվերի բազմություն մեջ այն և
միայն այն դեպքում եթե f ( x)  f ( y )  x  y :
3. Կոմպլեքս թվերի բազմությունը  ( z1 , z2 )  z1  z2 մետրիկայով կոմպլեքս հարթությունն է, որի համար ընդունված նշանակումն է
-ն:
4. Դիցուք xˆ  ( x1 , x2 ,..., xn ) -ը և yˆ  ( y1 , y2 ,..., yn ) n -չափանի վեկտորներ են: Ցանկացած
1
p  (0; ) համար սահմանենք
 n
p p
 p  xˆ, yˆ     xi  yi  ,
 i 1

իսկ p   դեպքում ընդունենք   xˆ, yˆ   max xi  yi :
1i  n
Օգտվելով Մինկովսկու անհավասարությունից հեշտությամբ ապացուցվում է, որ 1  p  
դեպքում  p  xˆ, yˆ  -ը մետրիկա է: Եթե դիտարկում ենք իրական n -չափանի տարածություն
այդ մետրիկայով, ապա այն կնշանակենք
n
p -ով, իսկ կոմպլեքս դեպ-քում
n
p -ով: Երբ
p  2 այդ տարածությունները համապտասխանաբար սովորական Էվկլիդեսյան իրական և
n
կոմպլեքս n -չափանի տարածություններն են, որոնց ընդուն-ված նշանակումներն են
և
n
-ը
-ը :
5. l p -ով կնշանկենք xˆ  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) իրական կամ կոմպլեքս անդամներով այն
հաջորդականությունների բազմությունը, որոնց համար զուգամետ է


p
x
i 1 i
շարքը:
1
 
p p
Դիցուք xˆ  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) և yˆ  ( y1 , y2 ,..., yn ,...) l p -ից են և  p  xˆ , yˆ     xi  yi 
 i 1

:
Այստեղ ևս Մինկովսկու անհավասարությունից օգտվելով հեշտությամբ ապացուցվում է, որ
p  1 դեպքում  p  xˆ, yˆ  -ը մետրիկա է l p -ում: (l p ,  p ) մետրիկական տարածու-թյունը
կնշանակենք պարզապես l p -ով:
6. l -ով կնշանկենք xˆ  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) իրական կամ կոմպլեքս անդամներով սահմանափակ հաջորդականությունների բազմությունը հետևյալ մետրիկայով
  xˆ, yˆ   sup xi  yi : Ակնհայտ է, որ  -ը մետրիկա է :
i 1
7. s0 -ով նշանակենք l - ի այն հաջորդականություններ բազմությունը որանք
զուգամիտում են զրոյի l - ի մետրիկայով:
8. Դիցուք X -ը բոլոր հնարավոր հաջորդականությունների բազմությունն է:
X -ի երկու xˆ  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) և yˆ  ( y1 , y2 ,..., yn ,...) տարերին համապատասխանե-ցնենք

 ( xˆ, yˆ )   i
i 1
xi  yi
2 (1  xi  yi )
թիվը:
t
ֆունկցիան աճող է, հետևաբար ճիշտ են
1 t
ab
1 a  b

ab
1 a  b

a
1 a  b

b
1 a  b

a

1 a
b
1 b
(9)
անհավասարությունները, որից հետևում է, որ  -ն մետրիկա է: Ստացված մետրիկա-կան
տարածությունը նշանակում են s -ով:
9. C  a; b  -ով կնշանակենք  a; b  հատվածում անընդհատ ֆունկցիաների տարածությունը, որտեղ մետրիկան տրվում է  ( x(t ), y(t ))  max x( t)  y(t) բանաձևով:
a t b
10. Ցանկացած p  1 թվի համար C p  a; b  -ով նշանակենք  a; b  հատվածում
անընդհատ ֆունկցիաների տարածությունը, որտեղ x(t ), y(t )  C  a; b ֆունկցիաների
1
p
 b
p
հեռավորությունը տրվում է  p  x, y     x(t )  y (t ) dt  բանաձրով:
 a

11. Դիցուք  -ն բաց բազմություն է
n
-ում, իսկ k -ն ոչբացասական ամբողջ թիվ է, կամ
 : C ( k )  -ով նշանակենք  -ում մինչև k -րդ կարգը ներառյալ անընդհատ մասնական
ածանցյալներ ունեցող ( k    դեպքում անվերջ դիֆերենցելի) ֆունկցի-աների դասը:
Թող K1  K 2  ...  K n  ...

այնպես, որ K n   և
n
- ում կոմպակտ բազմությունների հաջորդականու-թյուն է
K n   : Նշանակենք
n 1
pK n , m ( f ) 
sup
  m , xK n
D f  x  ,
որտեղ x  ( x1 , x2 ,..., xn ) , իսկ   1 ,  2 ,...,  n   i -երը ոչ բացասական ամբողջ թվեր են,
  1   2 
  n , իսկ D f ( x1 , x2 ,..., xn ) 
Եթե d Kn  f , g  
k
pK n , m ( f  g )
 2 1 p
m 0
m

Kn ,m
( f  g)



1
x1 x22
xnn
f ( x1 , x2 ,..., xn ) :
ապա օգտվելով 9-ից դժվար չի տեսնել, որ

  f , g  
n 1

d Kn  f , g 
2 1  d Kn  f , g 
n

կլինի մետրիկա C ( k )  -ում:
Եթե ունենք  X ,   մետրիկական տարածություն, ապա նրանում կարելի է մտցնել կետի
շրջակայքի, հաջորդականության զուգամիտության, արտապատկերման ան-ընդհատության
և այլ տոպոլոգիոկան հասկացություններ:
 X ,   մետրիկական տարածությունում, r  0 շառավղով և x0 կենտրոնով բաց գունդ կամ
ուղղակի գունդ կանվանենք B  x0 , r   x : x  X ,   x, x0   r բազմությունը, իսկ
B  x0 , r   x : x  X ,   x, x0   r բազմությունը` x0 կենտրոնով և r շառավղով փակ գունդ:
Միանգամից նշենք, որ մետրիկական տարածությունում գունդի տեսքը կարող է շատ հեռու
լինել մեր պատկերացրած սովորական գնդից: Դիցուք  X ,   -ն 1-ին օրինակում դետարկված
դիսկրետ տարածությունն է, այդ դեպքում B  x0 , r    x0  , երբ 0  r  1 և B  x0 , r   X , երբ
r  1 կամ, եթե  X ,   -ն 4-րդ օրինանում դետարկված
n
 -ն է, ապա
B  x0 , r  -ը կլինի
x0 կենտրոնով կորդինատական առանցքներին զուգահեռ 2r երկարության կողերով n չափանի խորանարդը:
Սահմանում: x0   X ,   կետի 
  0  շրջակայք կանվանենք B  x0 ,   գունդը:
Դիցուք xk k 1   X ,   մետրիկական տարածության որևէ հաջորդականություն է:

Սահմանում: Կասենք, որ  xk k 1 հաջորդականության սահմանը x0   X ,   կետն է

կամ  xk k 1 հաջորդականությունը զուգամիտում է x0 -ին և կգրենք lim xk  x0 կամ

k 
lim xk  x0 կամ xk  x0 , եթե lim   xk , x0   0 :
k 
n
-ի
Ակնհայտ է, որ այս սահմանումը համարժեք է հետևյալին` xk  x0 այն և միայն այն դեպքում,
եթե ցանկացած  դրական թվի համար գոյություն որնի k    թիվ, այնպես
որ   xk , x0    հենց, որ k  k    : Այլ խոսքով ասած ինչ որ համարից սկսած բոլոր
xk -երը ընկած են x0 -ի ցանկացած  շրջակայքում:
Սահմանում: Կասենք, որ  xk k 1 հաջորդականությունը զուգամետ է  X ,   մետրի-կական

տարածությունում, եթե այն  X ,   -ում ունի սահման:
Պնդում:  X ,   մետրիկական տարածությունում զուգամետ հաջորդականության սահմանը
միակն է :
Իրոք, եթե ենթադրենք, որ  xk k 1 հաջորդականությունը ունի մեկից ավելի սահման:




օրինակ , x0 , x0' , , ապա  x0 , x0'    xk , x0    xk , x0'



անհավասարությունում անցնելով սահմանի, երբ k   կստանանք  x0 , x0'  0 , այսինքն
x0  x0' :
Պարզենք, թե ինչ զուգամիտություն են ծնում վերը բերված օրինակներում նշված
մետրիկաները:
1. Հեշտությամբ ստուգվում է, որ դիսկրետ մետրիկական տարածությունում զուգա-մետ են
միայն ստացիոնար` այն է, ինչ որ տեղից սկսած հաստատուն հաջորդականու-թյունները:
2. և 3. օրինակներում ունենք իրական կամ կոմպլեքս թվային հաջորդականու-թյունների
սովորական զուգամիտություն:
4.
n
p -ում և
n
p -ում
xˆk k 1 -չափանի վեկտորների հաջորդականության զուգա
միտությունը  p մետրիկայով ցանկացած p  1;  համար համարժեք է ըստ կորդինատների զուգամիտության:
5-ում և 6-ում, այսինքն l p -ում p  0;  , զուգամիտությունից հետևում է ըստ
կորդինատների զուգամիտություն, բայց հակադարձը ընդհանրապես ասած ճիշտ չէ:
(Բերել համապատասխան օրինակ:)
7. s տարածությունում

xi  yi
i 1
2 (1  xi  yi )
 ( xˆ, yˆ )   i
մետրիկայով զուգամիտությունը համարժեք է ըստ կորդինատների զուգամիտության:
Իրոք, եթե xˆk  ( x1( k ) , x2( k ) ,..., xn(k ) ,...) հաջորդականությունը  մետրիկայով զուգամիտում է
xˆ0  ( x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) ,...) -ի, ապա ըստ սահմանման  ( xˆk , xˆ0 )  0, երբ k   , բայց
xi( k )  xi(0)
2i (1  xi( k )  xi(0) )
  ( xˆk , xˆ0 ) որտեղից անմիջապես կհետևի, որ xi( k )  xi(0)  0, երբ k  
ցանկացած i -ի համար:
Ապացուցենք հակադարձը, որ եթե xi( k )  xi(0)  0, երբ k   ցանկացած i -ի համար,
ապա  ( xˆk , xˆ0 )  0, երբ k   : Ընտրենք n -ը այնպես, որ


1 2i   2 , այդ դեպքում
i  n 1
կունենանք`
n
 ( xˆk , xˆ0 )   i
i 1
xi( k )  xi(0)
2 (1  x
(k )
i
xi( k )  xi(0)

x
(0)
i
)

i  n 1
2 (1  x
i
(k )
i
n
x
(0)
i
xi( k )  xi(0)



) i 1 2i (1  xi( k )  xi(0) ) 2
և քանի որ n -ը ֆիքսած է, իսկ xi( k )  xi(0)  0, երբ k   ցանկացած i -ի համար, ապա
պարզ է, որ  ( xˆk , xˆ0 )  0, երբ k   :
8. Ակնհայտ է, որ C  a; b  -ում  ( xn (t ), x0 (t ))  max xn (t )  x0 (t )  0 համարժեք է  a; b 
a t b
հատվածում
 x  t 
n

n 1
հաջորդականության հավասարաչափ զուգամիտության x0  t  -ին:
9-րդ օրինակում  a; b  հատվածում
 x  t 
n

n 1
հաջորդականության հավասարա-չափ
զուգամիտությունից x0  t  -ին հետևում է այդ հաջորդականության զուգամի-տություն x0  t 
-ին C p  a; b  -ում, բայց հակադարձը ընդհանրապես ասած ճիշտ չէ: (Բերել համապատասխան
օրինակ:)
10.Դժվար չի տեսնել, որ C ( k )  -ում  f n ( x)n1 հաջորդականության զուգամիտու-թյունը



f 0 ( x ) -ին նշված մետրիկայով համարժեք D f n ( x)

n 1
հաջորդականության հավասարաչափ
զուգամիտությանը D  f 0 ( x ) -ին կամայական K   կոմպակտի վրա ցանկացած   k
մուլտիինդեքսի համար:
Մետրիկական տարածությունում կետի շրջակայքի գոյությունը թույլ է տալիս սահ- մանել
այդ տարածության մեջ ընկած որևէ բազմության ներքին, սահմանային, եզրա- յին,
մեկուսացված կետերի գաղափարները: Բերենք համապատասխան սահմանում-ները:
Կարճության համար մենք  X ,   մետրիկական տարածության փոխարեն կգրենք ուղղակի
X , եթե, իհարկե, այն շփոթմունք չի առաջացնի:
Դիցուք X -ը մետրիկական տարածություն է և E  X :
Սահմանում: x0  E կետը կանվանենք E բազմության ներքին կետ ,եթե գոյություն ունի այդ
կետի E -ում ընկած B  x0 ,   շրջակայք: Այսինքն   0 այնպես, որ B  x0 ,    E : E
բազմության ներքին կետերի բազմությունը կնշանակենք E  -ով:
Սահմանում: x0  X կետը կանվանենք E բազմության սահմանային կետ, եթե այդ կետի
ցանկացած շրջակայքում կան x0 -ից տարբեր E -ի կետեր: Այսինքն`   0 համար
 B  x ,    x  E   , E բազմության սահմանային կետերի բազմությունը կնշանակենք
0
E  -ով:
0
Պնդում: Ապացուցենք նաև, որ որպեսի x0 կետը լինի E բազմության սահմանային կետ
անհրաժեշտ է և բավարար, որ գոյություն ունենա xk k 1  E, xk  x0 հաջորդականու-թյուն

այնպես, որ lim xk  x0 :
Այս պնդման բավարարության մասը ակնհայտ է, ապացուցենք անհրաժեշտու-թյունը:
Ենթադրենք x0 կետը E բազմության սահմանային կետ է և վերցնենք դրական թվերի զրոյի
ձգտող  k k 1 հաջորդականություն: Քանի որ x0 -ն E բազմության սահ-մանային կետ է,

ապա B  x0 ,  k  գնդում կգտնվի xk  E , xk  x0 կետ: Ստացված  xk k 1

հաջորդականությունը կլինի պահանջվածը, քանի որ xk  B  x0 ,  k  կհետևի   xk , x0    k և
ունենալով  k  0 , կստանանք lim xk  x0 :

Ցույց տալ, որ այս պնդման մեջ  xk k 1 հաջորդականության կետերը կարելի է վեր-ցնել

իրարից տարբեր:
Դժվար չի տեսնել, որ x0 կետը E բազմության սահմանային կետ է այն և միայն այն
դեպքում, եթե նրա ցանկացած շրջակայքում կան անվերջ թվով կետեր E -ից:
Սահմանում: x0  X կետը կանվանենք E բազմության եզրային կետ, եթե այդ կետի
ցանկացած շրջակայքում կան կետեր և' E -ից, և' E -ի լրացումից` E c -ից : Այսինքն   0
B  x0 ,   E   և B  x0 ,   E c   :
E բազմության եզրային կետերի բազմությունը կնշանակենք E -ով:
Սահմանում: x0  E կետը կանվանենք E բազմության մեկուսացված կետ, եթե գո-յություն
ունի այդ կետի B  x0 ,   շրջակայք, որում բացի x0 -ից E բազմության այլ կետեր չկան:
Այսինքն   0 այնպես, որ B  x0 ,  
E  x0  :
E բազմության մեկուսացված կետերի բազմությունը կնշանակենք E -ով:
Դիտարկենք հետևյալ օրինակը, թող X -ը լինի
-ն, իսկ E -ն զրո կենտրոնով և մեկ


շառավղով բաց շրջանը և իրական առանցքի ամբողջ կետերը, այսիքն E  z : z  1






դեպքում դժվար չի տեսնել, որ , E   z : z  1 , E  z : z  1 , E  z : z  1
E 
: Այս
¨
1; 0;1 :
Ճիշտ են հետևյալ առընչությունները. E   E ' , E E  E ' , (Ապացուցել ինքնուրյուն):
Սահմանում: E բազմությունը կանվանեք բաց բազմություն, եթե այն բաղկացած է միայն
ներքին կետերից: Այսինքն E -ն բաց բազմություն է, եթե E  E :
Ապացուցենք, որ B  x0 , r  -ը բաց բազմություն է, իրոք ցանկացած x1  B  x0 , r  կետ
նրա համար ներքին կետ է, քանի որ նրա B  x1 ,   շրջակայքը ընկած է B  x0 , r  -ի մեջ, եթե
միայն 0    r    x0 , x1  : Իսկապես, եթե x2  B  x1 ,   , ապա
  x0 , x2     x0 , x1     x1 , x2     x0 , x1     r , այսինքն x2  B  x0 , r  :
Սահմանում: E բազմությունը կանվանեք փակ բազմություն, եթե այն պարունակում է իր
բոլոր սահմանային կետերը: Այսինքն E -ն փակ բազմություն է, եթե E '  E :
Թեորեմ: E բազմությունը բաց է այն և միայն այն դեպքում, եթե նրա լրացումը` E c  X
փակ է:
E -ն
Դիցուք E -ն բաց է և x0  E , այդ դեպքում գոյություն ունի x0 - ի շրջակայք B  x0 ,    E ,
ուրեմն B  x0 ,  
E c   , հետևաբար x0 -ն չի կարող լինել E c -ի համար սահմանային կետ,
 
'
ուստի E c -ի սահմանային կետերը E -ից չեն, այսինքն E c -ից են` E c  E c : E c -ին փակ է:
Ապացուցենք հակադարձը, դիցուք E c -ն փակ է, ցույց տանք, որ E -ն բաց է: Քանի որ
 E   E , ուրեմն x  E կետը չի կարող լինել E -ի համար սհմանային կետ, այսի-նքն
c
'
c
c
0
գոյություն ունի այդ կետի B  x0 ,   շրջակայք որում չկան կետեր E c -ից հետևաբար
B  x0 ,    E : Ստացանք E -ի ցանկացած կետ նրա ներքին կետ է, ուրեմն E -ն բաց է:

Թեորեմ: Կամայական թվով բաց բազմությունների միավորումը բաց է:Վերջավոր թվով բաց
բազմությունների հատումը բաց է:
Դիցուք Gi , i  I բաց բազմությունների ընտանիք է: Ցույց տանք, որ G 
Gi բաց է: Եթե
iI
x0  G , ապա  i0  I , որ x0  Gi0 և քանի որ Gi0 -ն բաց է, ուրեմն կա x0 - ի շրջակայք
B  x0 ,    Gi0  G : Այսինքն G -ն բաց է:
Այժմ ենթադրենք G 
n
Gi և Gi -երը բաց են: Համոզվենք, որ G -ն բաց է: Եթե x0  G ,
i 1
ապա x0  Gi , i  1, 2, ... , n և քանի որ Gi -երը բաց են, ուրեմն կան x0 - ի շրջակայքեր
B  x0 ,  i   Gi , i  1, 2, ... , n : Եթե վերցնենք   min 1 ,  2 ,...,  n  , ապա B  x0 ,   ընկած
կլինի բոլոր Gi -երի մեջ և հետևաբար G -ի մեջ, ուրեմն G -ն բաց է: 
Օգտագործելով Դ’Մորգանի բանաձևերը`  Ai   Aic ,
c
 Ai   Aic , հեշտությամբ
c
ապացուցվում է, որ կամայական թվով փակ բազմությունների հատումը փակ է:Վերջավոր
թվով փակ բազմությունների միավորումը փակ է:
Սահմանում: E բազմությունը իր բոլոր սահմանային կետերի հետ միասին կանվանեք E
բազմության փակում և կնշանակենք E : Այսինքն E  E
E' :
Նշենք, որ x0  E այն և միայն այն դեպքում, եթե այն ունի B  x0 ,   շրջակայք, որում չկան
կետեր E բազմությունից: Այդ հատկությամբ օժտված կետերը անվանում են բազմության
արտաքին կետեր:
Սահմանում: x0  X կետը կանվանենք E բազմության հպման կետ ,եթե այդ կետի
ցանկացած շրջակայքում կան E -ի կետեր: Այսինքն B  x0 ,  
E :
Ապացուցել, որ որպեսի x0 կետը լինի E բազմության հպման կետ անհրաժեշտ է և
բավարար, որ գոյություն ունենա  xk k 1  E, հաջորդականություն այնպես, որ lim xk  x0 :

Ապացուցել, որ E բազմության հպման կետը այդ բազմության համար կամ մեկուսացած կետ
է, կամ էլ սահմանային:
E -ին նրա փակումը` E -ն, համապատասխանեցնող գործողությունը կանվանենք
փակման գործողություն: Այն օժտված է հետևյալ հատկություններով.
1. E  E  E - ն փակ բազմություն է:
2. E  E
3. E1  E2  E1  E2
4. E  E
5. E1
E2  E1
E2
1-ից 3-ը ակնհայտ են, ապացուցենք 4-ը: Քանի որ, E  E , ապա ըստ 3-ի E  E , ցույց
տանք, որ E  E : Եթե x0  E , ապա x0  E
 
Եթե x0  E
'
 E  : Այժմ, եթե x  E , ապա ամեն ինչ պարզ է:
'
0
E , ապա x0 -ի ցանկացած B  x0 ,   շրջակայքում կա գոնե մեկ կետ E -ից:
Դիցուք այն x1 -ն է: Ընտրենք x1 կետի B  x1 ,   շրջակայքը այնպես,որ
Քանի որ, x1  E  E
B  x1 ,    B  x0 ,   :
E ' , ուրեմն կամ x1  E , կամ էլ x1  E ' E , երկու դեպքում էլ գոյություն
կունենա գոնե մեկ կետ x2  E
B  x1 ,   : Այսպիսով ստացանք, որ x0 կետի ցանկացած
շրջակայքում կա x0 -ից տարբեր գոնե մեկ կետ E -ից, այսինքն x0  E ' , հետևաբար x0  E :
Ապացուցվեց, որ E  E և քանի որ, ունեինք նաև E  E , ուրեմն E  E :
Ապացուցենք 5-րդ պնդումը: Եթե x0  E1
E2 , ապա x0  E1
E2 : Հակառակ դեպքում
կստանայինք, որ կա x0 -ի շրջակայք որում չկան կետեր ոչ E1 -ից և ոչ էլ E2 -ից, ուրեմն նաև
E1
E2 -ից, ուրեմն E1
որ E1  E1
նաև E1
E2  E1
E2 և E2  E1
E2  E1
E2 : Հակառակ ներդրումը ապացուցելու համար նկատենք,
E2 , հետևաբար ըստ 3-ի E1  E1
E2 և E2  E1
E2 , ուրեմն
E2 :
E   X ,   բազմության տրամագիծ ասելով հասկանում են d  E   sup   x, y 
x , yE
մեծությունը:
Սահմանում: Բազմությունը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն ունի վերջավոր տրա-մագիծ:
Ապացուցել, որ բազմությունը սահմանափակ է այն և միայն այն դեպքում, եթե այն ընկած է
որևէ գնդում:
Ցույց տալ,որ եթե բազմությունը սահմանափակ է , ապա այն ընկած է ցանկացած
կենտրոնով որևէ գնդի մեջ:
Ապացուցել, որ վերջավոր թվով սահմանփակ բազմությունների միավորումը
սահմանափակ է:
ԼՐԻՎ ՄԵՏՐԻԿԱԿԱՆ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ
ՏԱՐԱԾՈՒԹՅԱՆ ԼՐԻՎԱՑՈՒՄ
Ներմուծենք անլիզում համարյա ամեն քայլափոխի կիրառվող գաղափարներից մեկը, այն է`
տարածության լրիվության գաղափարը:
Դիցուք  X ,   մետրիկական տարածություն է և  xk k 1 այդ տարածության հաջորդա
կանություն :
Սահմանում: Կասենք, որ  xk k 1 հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է, եթե ցան-կացած

 դրական թվի համար գոյություն ունի K    թիվ, այնպես որ   xk , xl    հենց, որ
k  K   , l  K   :
Կամ կասենք, որ  xk k 1 հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է, եթե ցանկացած 



դրական թվի համար գոյություն ունի K    թիվ, այնպես որ  xk  p , xk   հենց, որ
k  K    , իսկ p 
ցանկացած է:
Այլ խոսքով ասած, ինչ որ համարից սկսած բոլոր xk -երը իրարից հեռացված են ավելի քիչ
քան նախօրոք տված կամայական դրական թիվ:
Պարզվում է, որ ցանկացած զուգամետ հաջորդականություն ֆունդամենտալ է: Իրոք, եթե
lim xk  x0 , ապա տված   0 թվի համար կգտնենք K    թիվ այնպես, որ   xk , x0    2
բոլոր k  K    համար: Այժմ, եթե վերցնենք k  K   , l  K   և օգ-տվենք եռանկյան
անհավասարությունից կունենանք`
  xk , xl     xk , x0     xl , x0    2   2   :
Հակադարձը, ընդհանրապես ասած, սխալ է: Իրոք, եթե  X ,   -ն  0; 1 միջակայքն է
սովորական   x, y   x  y հեռավորությամբ, ապա ցանկացած  0; 1 -ում ընկած զրոյի
կամ մեկի ձգտող հաջորդականություն կլինի ֆունդամենտալ  X ,   -ում, բայց չի լինի
զուգամետ այնտեղ : Ավելի հետաքիքիր օրինակ է  ,   -ն, որտեղ
-ն ռացիոնալ թվերի
բազմությունն է, նախորդ օրինակի  մետրիկայով: Ցանկացած իռացիոնալ սահման ունեցող
ռացիոնալ թվերի հաջորդականություն ֆունդամենտալ է  ,   -ում, բայց զուգամետ չի
այնտեղ:
Ապացուցել, որ ֆունդամենտալ հաջորդականություն կլինի զուգամետ այն և միայն այն
դեպքում, եթե այն ունի զուգամետ ենթահաջորդականություն:
Սահմանում: Կասենք, որ  X ,   տարածությունը լրիվ է, եթե այնտեղ ցանկացած ֆունդամենտալ հաջորդականություն զուգամետ է:
Այսինքն լրիվ տարածություններում հաջորդականության զուգամիտությունը և ֆունդամենտալությունը համարժեք են:
Տեսնենք, թե վերը բերված օրինակներից որոնք են լրիվ և որոնք ոչ:
1. Դժվար չի տեսնել, որ դիսկրետ մետրիկական տարածությունը լրիվ է:
2.
-ի լրիվությունը Կոշիի զուգամիտության սկզբունքն է:
3.
-ն լրիվ է:
4.
n
p -ն
կամ
և
n
p -ն լրիվ են: Դա հետևում է
-ի և
-ի լրիվությունից ու այն բանից, որ
n
p -ում ինչպես զուգամիտությունը, այնպես ֆունդամենտալությունը
կորդինատների զուգամիտությանը կամ ֆունդամենտալությանը
n
p -ում
համարժեք է ըստ
-ում կամ
-ում:
5. Ապացուցենք l p տարածության լրիվությունը: Դիցուք xˆk  ( x1( k ) , x2( k ) ,..., xn( k ) ,...) k  1, 2, ...
ֆունդամենտալ հաջորդականություն է
l p -ում, այսինքն
1
p p
 
lim  p  xˆk , xˆl   lim   xi( k )  xi(l )   0 :
k  ,l 
k  ,l 
 i 1

Կիրառելով
(88)
1
x
(k )
i
(l )
i
x
p p
 
   xi( k )  xi(l ) 
 i 1

անհավասարոթյունը կստանանք, որ
-ում կամ
ֆունդամենտալ են
x 

(k )
i
k 1
i  1, 2, ... հաջորդականությունները
-ում և հետևաբար զուգամետ են այնտեղ:
(k )
Դիցուք lim xi  xi և xˆ  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) : Ցույց տանք, որ xˆ  l p և lim  p  xˆk , xˆ   0 : Տված
k 
k 
  0 թվի համար ընտրենք K   այնպես, որ բոլոր n -երի և k  K   , l  K   համար
տեղի ունենա
1
1
p
p
 n (k )
  (k )
(l ) p 
(l ) p 
  xi  xi    p  xˆk , yˆl     xi  xi   
 i 1

 i 1

անհավասարությունը: Այդ բանը հնարավոր է, քանի որ ճիշտ է (88): Այս անհավասա-րության
մեջ անցնենք սահմանի, երբ l   : Բոլոր n -երի համար, եթե k  K    կու-նենանք
1
p p
 n (k )
x

x
i
 i
  :
 i 1

(Ջջ)
Մինկովսկու անհավասարությունը թույլ է տալիս պնդել, որ
1
1
1
1
p p
 n
 n (k ) p  p  n (k )
 n (k ) p  p
p p
x

x

x

x

i
 i 
 i
  i

  xi
   , (99)
 i 1

 i 1
  i 1

 i 1

եթե k  K    : Ընտրենք այս պայմանին բավարարող որևէ k0 և նշանակենք
1
  ( k0 ) p  p
  xi
 M :
 i 1

(99)-ից կունենանք
n
x
i 1
i
p
 (M   ) p :

Քանի, որ n -ը կամայական է, ուրեմն  xi
i 1
p
շարքը զուգամետ է, այսինքն xˆ  l p , իսկ (Ջջ)-ից
կունենանք lim  p  xˆk , xˆ   0 :
k 
6. l -ի լրիվության ապացույցը համարյա ոչինչով չի տարբերվում վերևում բերված
ապացույցից:
7. s տարածության լրիվությունը հետևում է նրանից, որ  ( xˆ, yˆ ) 
xi  yi

 2 (1  x  y )
i 1
i
i
i
մետրիկայով զուգամիտությունը համարժեք է ըստ կորդինատների զուգամիտության:
8. C  a; b  -ի լրվությունը հետևում է ֆունկցիոնալ հաջորդականությունների համար Կոշիի
զուգամիտության սկզբունքից և այն բանից, որ անըդհատ ֆունկցիաների հավա-սարաչափ
սահմանը անընդհատ ֆունկցիա է:
9. C p  a; b  -ն լրիվ չի: Իրոք, եթե նշանակենք c 
a b
, ապա դժվար չի ստուգել, որ
2
0, »ñµ t  a ; c -1 n 

x n t  = · Í ³ Û
ÇÝ ¿, »ñµ t  c -1 n ; c +1 n 

»ñµ t  c +1 n ; b 
1,
հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է C p  a; b  -ում, բայց այնտեղ զուգամետ չի:
10.Ապացուցենք, որ C
(k )
 -ն լրիվ տարածություն է:
Ինչպես արդեն ասվել է C

(k )
 -ում  fn ( x)n1 հաջորդականության զուգամիտությունը

f 0 ( x ) -ին համարժեք է D f n ( x)

n 1
հաջորդականության հավասարաչափ զուգամիտու-
թյանը D  f 0 ( x ) -ին կամայական K   կոմպակտի վրա ցանկացած   k մուլտիինդեքսի համար: Կրկնելով նույն դատողությունները C
հաջորդականության համար կարող ենք պնդել, որ
(k )
 -ում ֆունդամենտալ  fn ( x)n1
D f ( x)


n
n 1
հաջորդա-կանությունը
կլինի ֆունդամենտալ C  K  -ում կամայական K   կոմպակտի և ցանկացած   k
մուլտիինդեքսի համար: Այստեղ C  K  -ն K -ի վրա անընդհատ ֆունկցիաների բազմությունն
է, հավասարաչափ մետրիկայով: Հետևաբար C ( k )  -ում կա մի f 0 ( x ) ֆունկցիա, այնպես,
որ D  f n ( x ) հավասարաչափ զուգամիտում է կամա-յական K   կոմպակտի վրա
D  f 0 ( x ) -ին: Այսինքն C ( k )  -ն լրիվ է:
Դիցուք  X ,   մետրիկական տարածությունը լրիվ չի, ինչպես օրինակ  ,   -ն:
Հետաքրքիր է հետևյալ հարցը, կա արդյոք մի ուրիշ ավելի լայն տարածություն, որը ինչ որ
իմաստով պարունակի  X ,   -ն և լինի լրիվ: Այդ հարցի պատասխանը ռացիոնալ թվերի
դեպքում լուծվում է իրական թվերի ներմուծմամբ: Պարզվում է, որ այդ մասնա-վոր դեպքը
բացառություն չի, նման բան հնարավոր է անել նաև ընդհանուր դեպքում:
Այդ պնդումը ամենայն խստությամբ ձևակերպելու համար մեզ պետք են գալու մի քանի
սահմանումներ:Նախ մտցնենք մետրիկական տարածությունների իզոմետրիկու-թյան
գաղափարը:
 X ,   և  X1 , 1  տարածությունները իզոմետրիկ են, եթե
գոյություն ունի անպիսի  փոխմիարժեք արտապատկերում  X ,   -ն  X 1 , 1  -ի վրա, որը
պահպանում է հեռավորությունները, այսինքն 1   x1  ,   x2      x1 , x2  :
Սահմանում: Կասենք, որ
Ցույց տալ, որ այս սահմանման մեջ կարելի է փոխմիարժեք բառը բաց թողնել:
Այս սահմանման մեջ հանդես եկող  արտապատկերումը կոչվում է իզոմետրիկ արտապատկերում կամ ուղղակի իզոմետրիա:
Սահմանում: Կասենք, որ E   X ,   բազմությունը ամենուրեք խիտ է  X ,   -ում, եթե
 X ,   -ի ցանկացած գնդում կա գոնե մեկ կետ E -ից:

Սահմանում: Կասենք, որ X , 
 մետրիկական տարածությունը  X ,   մետրիկական
տարածության լրիվացում է, եթե
1.
 X ,   լրիվ մետրիկական տարածություն է,
2.  X ,   -ն իզոմետրիկ է
 X ,   -ում ամենուրեք խիտ X ենթաբազմությանը:
1
Թեորեմ: Ցանկացած մետրիկական տարածություն ունի լրիվացում, ընդ որում այդ
լրիվացումը միակն է իզոմետրիայի ճշտությամբ, այսինքն նույն տարածության ցան-կացած
երկու լրիվացում իզոմետրիկ են:
Գոյությունը: Եթե տարածությունը լրիվ է, ապա հենց ինքն էլ կլինի իր լրիվացումը:
Դիցուք
 X ,   -ն ոչ լրիվ մետրիկական տարածություն է: Դիտարկենք այդ տարածու-թյան
բոլոր ֆունդամենտալ հաջորդականությունների բազմությունը: Այդ բազմության մեջ մտցնենք
հետևյալ հարաբերությունը` կասենք, որ
x 

(1)
և
k
k 1
x 

(2)
ֆունդամեն-տալ
k
k 1
հաջորդականությունները հարաբերվում են, եթե


lim  xk(1) , xk(2)  0 :
k 
Հեշտությամբ ստուգվում է, որ այս հարաբերությունը համարժեքության հարաբերու-թյուն է,
հետևաբար այն ֆունդամենտալ հաջորդականությունների բազմությունը տրո-հում է
համարժեքության դասերի: Այդ դասերի բազմությունը նշանակենք X -ով, իսկ նրա
տարրերը` x : X  X -ում մտցնենք  ֆունկցիան հետևյալ բանաձևով`
  x1 , x2   lim   xk(1) , xk(2) 
k 
որտեղ
x   x , իսկ x   x : Ապացուցենք, որ այս սահմանումը կոռեկտ է: Դրա

(1)
k
k 1
1

(2)
k
k 1
2
համար պետք է ապացուցել, որ նախ նշված սահմանը գոյություն ունի, վերջավոր է և նույնն է
x1 ու x2 դասերից ընտրված  xk(1) k 1 ,  xk(2) k 1 բոլոր հաջորդականությունների համար:

Դիցուք

x   x , իսկ x   x , եռանկյան անհավասարությունից կունե-նանք`

(1)
k
k 1
1

(2)
k
k 1
2
  xk(1) , xk(2)     xl(1) , xl(2)     xk(1) , xl(1)     xk(2) , xl(2)  :
 
(1)
Օգտվելով xk
 

(2)
և xk
k 1

k 1
հաջորդականությունների  X ,   -ում ֆունդամենտալ լի-
նելուց կարող ենք պնդել, որ ցանկացած   0 թվի համար գոյություն ունի K    թիվ




այնպես, որ k  K   , l  K   հետևում է  xk(1) , xk(2)   xl(1) , xl(2)   Այսինքն
ցանկացած
x   x , իսկ x   x հաջորդականությունների համար   x , x 

(1)
k
k 1

(2)
k
k 1
1
(1)
k
2
(2)
k
թվային հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է, հետևաբար ունի վերջավոր սահման: Այժմ
x   x , x   x , իսկ  x   x , x   x : Ցույց տանք, որ
lim   x , x   lim   x , x  : Իրոք, նորից օգտվելով եռանկյան անհավասարությունը,

(1)
k
k 1
ենթադրենք, որ
k 
(1)
k
(2)
k
k 
1
(1)
k

(1)
k
k 1

(2)
k
k 1
1
2

(2)
k
k 1
2
(2)
k
կստանանք`
  xk(1) , xk(2)     xk(1) , xk(2)     xk(1) , xk(1)     xk(2) , xk(2)  :
Այս անհավասրության աջ մասը ձգտում է զրոյի, քանի որ
x 
x 

(1)
k
k 1
 x  , իսկ

(1)
k
k 1
x  : Այսպիսով  ֆունկցիան լավ որոշված է: Օգտվելով վերը ասվածից և այն

(2)
k
k 1
(2)
k

k 1
բանից, որ  -ն մետրիկա է X -ում, հեշտությամբ ստուգվում է, որ  -ը մետրիկա է X -ում:
Այսպիսով
 X ,   -ը մետրիկական տարածություն է:
Ցույց տանք, որ այն




 X ,   -ի լրիվացումն է: Դրա համար պետք է ապացուցել, որ
ա. X ,  -ը լրիվ մետրիկական տարածություն է:
բ. X ,  -ում կա ամենուրեք խիտ X1 ենթաբազմություն, որը իզոմետրիկ է  X ,  
Դիցուք  x1 , x2 , ... , xn , ...  X ֆունդամենտալ հաջորդականություն է
 X ,   -ում, ցույց տանք,
 X ,   -ում : x , x , ... , x , .. . համարժեքության դասերից յուրաքանչյուրում ընտրենք մեկական ներկայացուցիչ` x  , x  , ... ,x  , .. . Վերցնենք
առաջին  x  հաջորդականությունը, քանի որ այն ֆունդամենտալ է  X ,   -ում, ուրեմն
կարող ենք գտնել k թիվ այնպես, որ   x , x   1 , հենց, որ p  k : Նուն ձևով  x 
հաջորդականության համար կգտնենք k թիվ այնպես, որ   x , x   1 2 , հենց, որ p  k :
որ այն զուգամետ է
1
2
n
(1)
k
(2)
k
(n )
k

(1)
k
k 1
(1)
p
1
2
(1)
k1
1
(2)
p
(2)
k2

(2)
k
k 1
2
Շարունակելով այսպես, յուրաքանչյուր n -ի համար ընտրենք kn այն-պես, որ
  x(pn) , xk( n)   1 n , հենց, որ p  kn : Դիտարկենք  xk(1) , xk(2) , ... , xk( n) , ... հաջորդա-կանությունը:
n
1
2
n
Ցույց տանք, որ այդ հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է  X ,   -ում:
  xk( m) , xk(l )     xk( m) , x(pm)     x(pm) , x(pl )     x(pl ) , xk(l )  :
m
l
m
l
Դիցուք   0 , քանի որ  x1 , x2 , ... , xn , ...  X ֆունդամենտալ հաջորդականություն է
X, -
ում, ուրեմն կարող ենք գտնել N1 ( ) թիվ այնպես, որ
  xm , xl   lim   x(pm) , x(pl )    2
p 


հենց, որ m, l  N1 ( ) : Հետևաբար կգտնվի P թիվ այնպես  x(pm) , x(pl )   2 հենց, որ
p  P և m, l  N1 ( ) : Մյուս կողմից, եթե վերցնենք p  km , p  kl , կունենանք`
  xk( m ) , xk(l )  
m
l
1  1
 
m 2 l
եթե միայն նաև p  P : Այժմ ընտրենք N2 ( ) այնպես, որ m, l  N2 ( ) հետևի, որ



1 1 
  :
m l 2
Եթե m, l  max  N1 ( ), N 2 ( ) կունենանք  xk(mm) , xk(ll )   , այսպիսով xk(1)
, xk(2)
, ... , xk(nn) , ...
1
2

հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է  X ,   -ում: x -ով նշանակենք այն
 x , x , ... , x , ... հաջորդականությունը և
(1)
k1
համարժեքության դասը, որը պարունակում է
(2)
k2
( n)
kn
ցույց տանք, որ lim   xn , x   0 :
n 

Գիտենք, որ   xn , x   lim  x p , xk p
p 


( n)
( p)
:

 1n    x , x  ,եթե p  k :
 x (pn ) , xk( p )    x (pn ) , xk( n )    xk( n ) , xk( p ) 
Բայց
p
n
n
p
( n)
kn
( p)
kp
n
 x , x , ... , x , ... հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է, ուրեմն կարող ենք ասել,
(1)
k1
(2)
k2
( n)
kn
որ այս անհավասրության աջ մասը կարելի է դարձնել ցանկացած չափով փոքր, եթե վերցնենք
n -ը և p -ն բավականաչափ մեծ: Այսպիսով ապացուցվեց
Կառուցենք
 X ,   -ի լի-վությունը:
 X ,   -ում ամենուրեք խիտ ենթաբազմություն, որը իզոմետրիկ է  X ,   -ին:
Դիցուք ցանկացած x  X համար   x   x , որտեղ x -ը  x, x, ... , x, ... ստացիոնար
հաջորդականությունը պարունակող համարժեքության դասն է: Ակնհայտ է, որ  -ն X -ը
արտապատկերում է X1 -ի վրա, որտեղ X1 -ը X -ի բոլոր ստացիոնար հաջորդականություններով ծնված համարժեքության դասերի բազմությունն է:


Ցույց տանք, որ X1 -ը ամենուրեք խիտ է X ,  -ում և  -ն էլ իզոմետրա է  X ,   և  X 1 ,   -


ի միջև: Նախ ակնհայտ է, որ    x1  ,   x2   lim   x1 , x2     x1 , x2  : Ցույց տանք, որ
p 
ցանկացած B  x,    X գնդում կա կետ X1 -ից: Վերցնենք  xk k 1  x և k0 -ն ընտրենք

այնպես, որ  ( x p , xk0 )   2 , երբ p  k0 :
Այժմ, եթե վերցնենք xk0  ( xk0 , xk0 , ... , xk0 , ...)  X 1 , կստանանք, որ
 ( x, xk )  lim  ( x p , xk ) 
0
p 
0

2
 :
 X ,   -ից բացի կա  X ,   -ի մի ուրիշ
լրիվացում`  X ,   : Կառուցենք  իզոմետրա  X ,   -ի և  X ,   -ի միջև:
Ապացուցենք, որ լրիվացումը միակն է: Ենթադրենք
 X ,   -ում վերցնենք  X ,   -ին իզոմետրիկ ամենուրեք խիտ ենթաբազմություն` X : Քանի,
1
որ X 1 -ը և X 1 -ը իզոմետրիկ են  X ,   -ին, ապա նրանք իզոմետրիկ են նաև միմյանց:


Վերցնենք x  X ,  , քանի որ X 1 -ը ամենուրեք խիտ է
 X ,   -ում, ուրեմն կա
( x1 , x2 , ... , xn , ...)  X 1 հաջորդականություն, որի սահմանը x -ն է: Բայց X1 -ը և X 1 -ը
իզոմետրիկ են, ուրեմն ( x1 , x2 , ... , xn , ...)  X 1 հաջորդականությանը այդ իզոմետրիան
իրագործող արտապատկերման դեպքում կհամապատասխանի ( x1 , x2 , ... , xn , ...)  X1
հաջորդականություն, ընդ որում  ( xm , xn )   ( xm , xn ) : ( x1 , x2 , ... , xn , ...)  X1 հաջորդականությունը կլինի ֆունդամենտալ
իզոմետրիկ պատկեր: Բայց

 X ,   -ում, որպես զուգամետ հաջորդակա-նության
 X ,   -ն լրիվ է, հետևաբար ( x , x , ... , x , ...) ունի սահման`
1
2
n

x  X ,  : x -ը համարենք x -ի պատկեր  արտապատկերման դեպքում`   x   x :
Հեշտությամբ ստուգվում է, որ  -ն իզոմետրիա է:

ԼՐԻՎ ՄԵՏՐԻԿԱԿԱՆ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ
Լրիվ մետրիկական տարածություններում ճիշտ է ներդրված միջակայքերի մասին թեորեմը:
Այն նույնիսկ մետրիկական տարածությունների լրիվության բնութագրիչ հատկություն է:
Ձևակերպենք այն:
Թեորեմ: Դիցուք B  x1 , r1   B  x2 , r2  
 B  xn , rn  
ներդրված փակ գնդերի կա-
մայական հաջորդականություն է  X ,   մետրիկական տարածությունում որոնց
շառավիղների հաջորդականությունը` rn n1 -ը, ձգտում է զրոյի: Որպեսզի  X ,   -ն լինի

լրիվ մետրիկական տարածություն անհրաժեշտ է և բավարար, որ այդ գնդերի
հաջորդականությունը ունենա ոչ դատարկ հատում:
Անհրաժեշտությունը: Դիցուք

n 1
 X ,   -ն լրիվ մետրիկական տարածություն է, տեսնենք, որ
B  xn , rn    : Դիտարկենք այդ գնդերի կենտրոնների  xn n1 հաջորդականությունը:

Ցանկացած p 


համար xn p  B  xn p , rn p   B  xn , rn  , ուստի  xn p , xn  rn և քանի որ
rn  0 , կարող ենք պնդել, որ  xn n1 հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է, հետ-ևաբար

զուգամետ է: Դիցուք lim xn  x0 : x0 -ն պատկանում է բոլոր գնդերին, քանի որ
x 

p
p n
 B  xn , rn  և B  xn , rn  -ը փակ է:
Բավարարությունը: Ենթադրենք  X ,   -ում ներդրված փակ գնդերի կամայական
հաջորդականություն ունի ոչ դատարկ հատում, ցույց տանք որ  X ,   -ն լրիվ է:
Դիցուք  xn n1   X ,   ֆունդամենտալ հաջորդականություն է, տեսնենք, որ այն զուգամետ է:



 p   և kn  kn1 ,
1 2 n թվի համար kn թիվը ընտրենք այնպես, որ  xkn  p , xkn  1 2n ,
n  1, 2,
: Դիտարկենք B  xkn ,1 2n 1  n  1, 2,
գնդերի հաջոր-դականությունը, այն կլինի
ներդրված հաջորդականություն: Իրոք, եթե x  B  xkn1 ,1 2n  , ապա x  B  xkn ,1 2n1  , քանի
որ
  x, xk     x, xk
n
    x , x   1 2  1 2 1 2
n
n 1
kn1
n
n 1
kn

:

x0 -ն թող պատկանի բոլոր այս գնդերին, ուրեմն  x0 , xkn  1 2n 1 , հետևաբար lim xkn  x0 :
xn n1 կլինի զուգամետ որպես զուգամետ ենթահաջորդականություն ունեցող

ֆունդամենտալ հաջորդականություն:

Դիտողություն 1: Նշենք, որ այս թեորեմի անհրաժեշտությունը ապացուցուլիս մենք էապես
օգտվեցինք այն փաստից, որ ներդրված փակ գնդերի շառավիղների հաջորդա-կանությունը
ձգտում է զրոյի: Ցույց տալ, որ այդ պայմանի խախտման դեպքում թեորեմի
անհրաժեշտության մասը ճիշտ չի լինի:
Դիտողություն 2: Ցույց տալ, որ թեորեմում գնդերի հատումը մի կետ է:
Դիտողություն 3: Թեորեմի ապացույցը մնում է ուժի մեջ, եթե թեորեմում փակ գնդերի
փոխարեն վերցնենք ներդրված փակ սահմանափակ բազմությունների հաջորդականու-թյուն,
որոնց տրամագծերի հաջորդականություը ձգտում է զրոյի:
ԲԵՐՐԻ ԹԵՈՐԵՄԻ ԿԱՏԵԳՈՐԻԱՆՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ
Սահմանում: Կասենք, որ E   X ,   բազմությունը ամենուրեք նոսր է  X ,   -ում, եթե
 X ,   -ի ցանկացած գնդում կա մի ուրիշ գունդ որում չկան կետեր E -ից:
Բերենք ամենուրեք նոսր բազմությունների օրինակներ: Այդպիսին է ամբողջ թվերի
բազմությունը
-ում կամ
-ում: Այդպիսին է նաև ցանկացած վերջավոր բազմություն l p -
ում  p  1 : Սակայն դիսկրետ մետրիկական տարածությունում նույնիսկ միայն մեկ կետ
պարունակող բազմությունը ամենուրեք նոսր չի:
Սահմանում: Կասենք, որ E   X ,   բազմությունը առաջին կատեգորիայի բազմու-թյուն է,
եթե այն կարելի է ներկայացնել վերջավոր կամ հաշվելի թվով ամենուրեք նոսր
բազմությունների միավորման տեսքով, հակառակ դեպքում այն կանվանենք երկրորդ
կատեգորիայի բազմություն:
Որպես առաջին կատեգորիաի բազմության օրինակ կարող է ծառայել ռացիոնալ
կորդինատներով կետերի բազմությունը
n
-ում, իսկ օրինակ իռացիոնալ կետերի
բազմությունը արդեն երկրորդ կատեգորիայի բազմություն է
-ում: (Ստուգել):
Լրիվ մետրիկական տարածությունների կարևոր հատկություններից է, վարը բերվող թեորեմը,
որը անվանում են Բերրի թեորեմ կատեգորիաների մասին և որը ունի շատ հեռուն գնացող
հետևանքներ:
Թեորեմ: Ցանկացած լրիվ մետրիկական տարածություն երկրորդ կատեգորիայի բազմություն
Է:
Ենթադրենք հակադարձը` դիցուք  X ,   լրիվ մետրիկական տարածություն է և X 

k 1
որտեղ բոլոր Ek -ները ամենուրեք նոսր են: Վերցնենք որևէ B  x0 , r0  գունդ: Քանի, որ E1 -ը
ամենուրեք նոսր է, ապա B  x0 , r0  գնդում կգտնվի մի ուիշ գունդ` B  x1 , r1  , որում չեն լինի
Ek ,
կետեր E1 -ից , ընդ որում կարող ենք համարել, որ այդ գնդի շառավիղը` r1  1 2 : Նմանապես,
քանի, որ E2 -ը ամենուրեք նոսր է, ապա B  x1 , r1  գնդում կգտնվի մի ուրիշ գունդ B  x2 , r2  ,
որում չեն լինի կետեր E2 -ից և կա-րող ենք համարել, որ այդ գնդի շառավիղը` r2  1 4 :
Այսպես շարունակելով k -րդ քայլում կգտնենք B  xk , rk   B  xk 1 , rk 1  , rk  1 2 k գունդ,
որում չեն լինի կետեր Ek -ից: Այս պրոցեսը շարունակեկով անվերջ կստանանք ներդրված
գնդերի հաջորդականություն, որոնց շառավիղների հաջորդականությունը ձգտում է զրոյի և
քանի, որ  X ,   -ն լրիվ է, ուրեմն կա a  X կետ, որը ընկած է բոլոր գնդերի մեջ: Ակնհայտ է,
որ այդ կետը չի պատկանում ոչ մի Ek -ի, բայց X 

k 1
Ek , ստացվեց հակասություն, որը
ապացուցում է թեորեմը:

ՍԵՊԱՐԱԲԵԼ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ
Մետրիկական տարածությունների կարևոր դաս են հանդիսանում սեպարաբել տարածությունները:
Սահմանում: Կասենք, որ  X ,   մետրիկական տարածությունը սեպարաբել է,
եթե նրանում կա հաշվելի ամենուրեք խիտ բազմություն:
Տեսնենք, որ մետրիկական տարածություններն են սեպարաբել և որոնք ոչ սեպարաբել:
1. X դիսկրետ մետրիկական տարածությունը սեպարաբելէ այն և միայն այն դեպքում, եթե
X -ը հաշվելի է: Դա հետվում է այն բանից, որ դիսկրետ մետրիկական տարածությունում
տարբեր կենտրոններով և 1 3 շառավիղով ցանկացած երկու գունդ չեն հատվում:
2.
-ը սեպարաբել է, քանի որ ռացիոնալ թվերի
խիտ է
-ում:
բազմությունը հաշվելի է և ամենուրեք
կոմպլեքս թվերի բազմությունը սեպարաբել է, այնտեղ ամենուրեք խիտ է p  iq ,
3.
p, q 
հաշվելի բազմությունը:
n
p -ում և
4.
ri 
n
p -ում
 p  1 ամենուրեք խիտ են համապատասխանաբար rˆ  (r1 , r2 ,..., rn )
և rˆ  ( p1  iq1 , p2  iq2 ,..., pn  iqn ) , pi , qi 
n
p -ն և
n
p -ն
հաշվելի բազմութ-յունները, հետևաբար
սեպարաբել են:
5. Ապացուցենք, որ l p -ն 1  p    սեպարաբել է: Դրա համար ցույց տանք, որ այնտեղ

 ի վերջո զրոյական վեկտորների
ամենուրեք խիտ է E  rˆ   r1 , r2 ,..., rn ,0,0,... ; ri 
բազմությունը: Իրոք, դիցուք B  xˆ ,   -ը xˆ  ( x1 , x2 ,..., xn ,...) կենտրոնով գունդ է, նախ ընտրենք
1 p
p

n( ) -ը այնպիսի, որ   i  n ( ) 1 xi 



  2 , ապա xˆn( )  ( x1 , x2 ,..., xn ( ) ,0,0,...) վեկտորի



համար գտնենք rˆ  r1 , r2 ,..., rn ( ) ,0,0,...  E վեկտոր, որ տեղի ունենա  p xˆn ( ) , rˆ   2 :




Քանի որ  p  xˆ , rˆ    p xˆ , xˆn ( )   p xˆn ( ) , rˆ  
1 p
p
x 

i  n (  ) 1 i



  p  xˆn ( ) , rˆ    2   2  
ուրեմն rˆ  B  xˆ,   , այսինքն E -ն ամեուրեք խիտ է l p -ում, բայց E -ն նաև հաշվելի է:
6. l -ը սեպարաբել չէ: Իրոք, դիտարկենք զրոներից և մեկերից կազմված բոլոր հաջորդականությունների E բազմությունը, այն ընկած է l -ում, այդ բազմության ցանկա-ցած
երկու տարրերի հեռավորությունը հավասար է մեկի և ինչպես հայտնի է, նրա հզո-րությունը
կոնտինում է: Ասածից հետևում է, որ B  xˆ,1 3 ; xˆ  E կոնտինիում թվով գնդերը չեն հատվում,
բայց l -ում ամենուրեք խիտ ցանկացած բազմություն այդ գնդե-րից յուրաքանչյուրում պետք
է ունենա գոնե մեկ կետ, հետևաբար նրա հզորությունը չի կարող լինել կոնտինումից փոքր:
7. Բոլոր հնարավոր հաջորդականությունների բազմությունը` s -ը սեպարաբել է:
Ապացույցը նման է l p -ի 1  p    համար վերը բերված ապացույցին:
8. C  a; b  -ն սեպարաբել է, քանի որ այնտեղ աենուրեք խիտ են ռացիոնալ գործակիցներով
բազմանդամների հաշվելի բազմությունը: Դա հետվում է Վայերշտ-րասի հայտնի թեորեմից,
այն է, C  a; b  -ի ցանկացած ֆունկցիայի կարելի է  a; b  -ի վրա հավասարաչափ մոտարկել
բազմանդամներով: Վայերշտրասի թեորեմը գրել հավելվածում:
9. C p  a; b  -ն 1  p    սեպարաբել է 8 կետում բերված հիմնավորմամբ:
ԿՈՄՊԱԿՏ ԲԱԶ ՄՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՄԵՏՐԻԿԱԿԱՆ
ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐՈՒՄ
Մեծ է կոմպակտ բազմությունների (բազմություններ որոնց ցանկացած հաջորդականությունից կարելի է անջատել զուգամետ ենթահաջորդականություն, որի սահմանը
այդ բազմությունից է կամ օժտված է Հայնե-Բորելի հատկությամբ) դերը անալիզի շատ
հարցերում, հատկապես անընդհատ ֆունկցիաների հատկությունները ուսումնասիրելիս:
n
-ում կոմպակտ բազմությունները փակ և սահմանափակ բազմություններն են:
Բայց կամայական մետրիկական տարածությունում ամեն մի սահմանափակ և փակ
բազմություն չէ, որ օժտված է վերը նշված հատկությամբ: Օրինակ, եթե l p -ում վեր-ցնենք
սահմանափակ և փակ B[0, 1] միավոր գունդը, ապա ek k 1 հաջորդականութ-յունը, որտեղ

ek   0, 0,..., 0,1, 0,... ( մեկը գրված է k -րդ տեղում) ընկած է B[0, 1] -ում, սակայն այն չի
կարող ունենալ զուգամետ ենթահաջորդականություն, քանի որ նրա կամայական երկու
իրարից տարբեր անդամների հեռավորությունը 21 p դրական հաստատուն է:
Մետրիկական տարածություներում կոմպակտ բազմությունների ուսումնասիրությունը
սկսենք համապատասխան սահմանումներից:
Դիցուք  X ,   մետրիկական տարածություն է, իսկ E և G   X ,   ցանկացած   I
համար:
Սահմանում: Կասենք, որ G  I ընտանիքը E –ի համար ծածկույթ է, եթե Е 
 G :
I
G  I ծածկույթը կանվանենք բաց, եթե բոլոր G-ները բաց են: Եթե I   I և Е 
I 
G ,
ապա G I  կանվանենք G  I ծածկույթի ենթածածկույթ: Ենթածածկույթը կանվա-նենք
վերջավոր, եթե I  -ը վերջավոր բազմություն է:
Սահմանում: Կասենք, որ K   X ,   կոմպակտ է, եթե նրա ցանկացած բաց ծածկույ-թից
կարելի է անջատել վերջավոր ենթածածկույթ:
Սահմանում: Կասենք, որ K   X ,   բազմությունը սեկվենցիալ կոմպակտ է, եթե նրա
ցանկացած հաջորդականությունից կարելի է անջատել զուգամետ ենթահաջորդականություն, որի սահմանը պատկանում է K -ին:
Կան տարածություններ որտեղ այս սահմանւմները համարժեք չեն: Մեր նպատակն է
ապացուցել նրանց համարժեքությունը մետրիկական տարածություններում:
Նախ ապացուցենք կոմպակտ բազմությունների մի քանի հատկություններ:
Թեորեմ: Կոմպակտ բազմությունը փակ է և սահմանափակ:
Դիցուք K -ն կոմպակտ է, այդ դեպքում B( x;1)xK բաց գնդերի ընտանիքը նրա համար բաց
ծածկույթ է, ուրեմն նրանից կարելի է անջատել B( xi ;1)i 1 վերջավոր ենթածած-կույթ,
n
այսինքն K -ն ընկած է վերջավոր թվով միավոր շառավղով գնդերի մեջ, հետևա-բար
սահմանափակ է:
Ցույց տանք, որ K -ն փակ է, այսինքն K   K : Դրա համար բավական է ցույց տալ, որ
a  K -ից հետևում է a  K  : Դիցուք a  K , այդ դեպքում rx   ( x, a)  0 x  K համար:
B  x,rx 3 = և  B  x,rx 3 
Ուստի B  a,rx 3 

B  a,r0 3 
K

n
ունի B xi ,rxi 3

i 1
xK
բաց ծածկույթ է K –ի համար: Ուստի այն
վերջավոր ենթածածկույթ: Այժմ, եթե վերցնենք r0  min rxi , ապա
1 i  n

B xi ,rxi 3   , i  1,2,...,n , ուստի B  a,r0   K   , քանի որ
n
i 1
B ( xi , rxi 3) : Ուստի a –ն չի կարող լինել սահմանային կետ K –ի համար, այսիքն
a  K : 
Ինչպես նշվեց վերևում կան մետրիկական տարածություններ որտեղ ոչ բոլոր փակ
սահմանափակ բազմություններն են կոմպակտ:
Մտցնենք մի նոր գաղափար:
Սահմանում: Կասենք, որ K   X ,   հարաբերական կոմպակտ է (հարաբերական
սեկվենցիալ կոմպակտ է), եթե նրա ցանկացած հաջորդականությունից կարելի է անջատել
զուգամետ ենթահաջորդականություն:
Բոլցանո- Վայերշտրասի լեմմաից հետևում է, որ K բազմությունը
n
-ում կլինի
հարաբերական կոմպակտ այն և միայն այն դեպքում, եթե այն սահմանափակ է:
Ակնհայտ է, որ եթե E–ն փակ է և հարաբերական կոմպակտ է, ապա սեկվենցիալ կոմ-պակտ է:
( E  X հարաբերական կոմպակտ է, այն և միայն այն դեպքում, եթե E–ի փակումը
սեկվենցիալ կոմպակտ է ):
Սահմանում: N  X բազմությունը կանվանենք M  X բազմության համար  –ցանց, եթե
x  M
y  N այնպես, որ  ( x , y )  
B (x ,  ) :
կամ, որ նույն է, M 
–
x N
ցանցը կանվանենք վերջավոր  –ցանցը, եթե այն բաղկացած է վերջավոր թվով կետերից:
Սահմանում: Կասենք, որ M բազմությունը լիովին սահմանափակ է, եթե ցանկացած  -ի
համար այն ունի վերջավոր  -ցանց:
Ապացուցել, որ ցանկացած լիովին սահմանափակ բազմություն սահմանափակ է: Բերել
մետրիկական տարածության օրինակ որում հակառակը ճիշտ չէ:
Հետևյալ թեորեմը բնութագրում է հարաբերական կոմպակտ բազմությունները, նոր
մտցրած լիովին սահմանափակ հասկացության տերմիններով:
Թեորեմ (Հաոզդորֆ): Որպեսզի K   X ,   բազմությունը լինի հարաբերական կոմ-պակտ
 X ,   մետրիկական տարածությունում անհրաժեշտ է և  X ,   լրիվության դեպքում նաև
բավարար, որպեսզի K –ն լինի լիովին սահմանափակ:
Անհրաժեշտությունը: Դիցուք K  X և K -ն հարաբերական կոմպակտ է : ε >0 դիտարկենք
x   K , եթե x  K  ( x  , x )   , ապա մեկ կետանի  x1 բազմություն K -ի համար


վերջավոր ε –ցանց է : Եթե x   K և  ( x  , x  )   , ապա դիտարկենք x  , x  բազմությունը


եթե x  K  ( x  , x )   կամ  ( x  , x )   , ապա x  , x  երկու կետանի բազմությունը
կլինի K –ի համար վերջավոր ε –ցանց:
Այս պրոցեսը չի կարող անվերջ շարունակվել, քանի որ հակառակ դեպքում կստա-նայինք
K -ում ընկած { x  , x  , ..., x n ,...} հաջորդականություն  ( x i , x j )   i  j հատկու-թյամբ
օժտված, որից հնարավոր չէր լինի անջատել զուգամետ ենթահաջորդականու-թյուն, ի
հեճուկս K -ի հարաբերական կոմպակտության:
Ուրեմն վերջավոր, ասենք n քայլերից հետո կստանանք { x , x  , ..., x n } կետերից կազմված
K -ի վերջավոր ε –ցանց:
Բավարարությունը: Դիցուք K –ն լիովին սահմանափակ է, իսկ  X ,   -ն լրիվ է, ցույց տանք,
որ K –ն հարաբերական կոմպակտ է:
Դիտարկենք T   xn n1  K հաջորդականությունը և ցույց տանք, որ նրանից կարելի է

ընտրել զուգամետ ենթահաջորդականություն:


Վերցնենք  n   և թող x ( n ) , x ( n ) ,..., x k( nn ) -ը լինի K -ի համար  n -վերջավոր ցանց:
k1
k1
K  B  xi1 , 1  , ուրեմն T  B  xi1 , 1  և հետևաբար այս փակ գնդերից գոնե մեկը,
i 1
i 1
, 1 ] -ը, կպարունակի անվերջ թվով անդամներ այդ հաջորդականությունից: Թող
ասենք B[ xi(1)
1
T1 -ը լինի T -ի այն անդամները, որոնք ընկած են B[ xi(1)
, 1 ] -ում:
1
k2
Նույն ձևով K 
i 1
B  xi 2 ,  2  , ուրեմն T1 
k2
i 1
B  xi 2 ,  2  և հետևաբար այս փակ գնդերից
,  2 ] -ը, կպարունակի անվերջ թվով անդամներ T1 հաջորգոնե մեկը, ասենք B[ xi(2)
2
,  2 ] -ում:
դականությունից: Թող T2 -ը լինի T1 -ի այն անդամները, որոնք ընկած են B[ xi(2)
2
Շարոնակելով այս պրոցեսը կստանանք T  T1  T2  ...  Tn  ... հաջորդականություն, ընդ,
n
որում Tn  B  xin ,  n  :




Ընտրենք xn1 , xn2 ,..., xnk ,... ենթահաջորդականությունը հետևյալ ձևով` թող xn1 T1 , xn2 -ը
ընտրենք այնպես, որ n2  n1 և xn2  T2 , եթե xnk -ն ընտրված է, xnk 1 ընտրենք այնպես, որ
nk 1  nk և xnk 1  Tk 1 : Դա հնարավոր է անել, քանի որ բոլոր Tk -երը պարունակում են ինչքան
ասես մեծ համարներով T հաջորդականության անդամներ :


Ցույց տանք, որ xn1 , xn2 ,..., xnk ,... ենթահաջորդականությունը զուգամետ է: Քանի որ,
 X ,   -ն լրիվ է, բավական է ցույց տալ, որ այն ֆունդամենտալ է: Պարզ է, որ ցանկացած
k 
համար xnk և xnk  p ընկած են Tk -ի մեջ, հետևաբար B  xik ,  k  -ի մեջ, ուստի
p


 ( xn , xn )   ( xn , x( k ) )   ( x( k ) , xn )  2 k 
k p
k p
k
ik
ik
k
Թեորեմ : Որպեսզի K   X ,   բազմությունը լինի կոմպակտ  X ,   մետրիկական
տարածությունում անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի K –ն լինի սեկվենցիալ կոմ-պակտ:
Անհրաժեշտությունը: Դիցուք K –ն կոմպակտ է, ցույց տանք, որ այն սեկվենցիալ
կոմպակտ է: Դիցուք  xn n 1 -ը K –ի որևէ հաջորդականություն է, եթե նրա արժեքների

բազմությունը վերջավոր է, ապա նրա անդամներից մեկը կկրկնվի անվերջ անգամ և
ընտրելով այդ անդամից կազմված ենթահաջորդականությունը կստանանք K –ում սահման
ունեցով ենթահաջորդականություն, ուստի կարող ենք ենթադրել, որ  xn n 1

հաջորդականությունը ունի անվերջ թվով իրարից տարբեր անդամներ: Այժմ, եթե ենթադրենք, որ  xn n 1 -ը չունի K –ում սահման ունեցող ենթահաջորդականություն, ապա կա-րող

ենք պնդել, որ ցանկացած x  K համար կա B  x, rx  շրջակայք, որում կարող է լինել


ամենաշատը մեկ կետ  xn n 1 -ից: Ակնհայտ է, որ B  x, rx 

xK
ընտանիքը K -ի բաց ծած-կույթ
է, որից չի կարելի անջատել վերջավոր ենթածածկույթ, որը ծածկի  xn n 1 -ը, հետե-վաբար

նաև K -ն: Ստացանք, որ K -ն կոմպակ չի, հակասություն:
Բավարարությունը: Ենթադրենք, որ K –ն սեկվենցիալ կոմպակտ է, ցույց տանք, որ այն
կոմպակտ է: Դիցուք ունենք G I K -ի բաց ծածկույթ է: Նախ ցույց տանք, որ   0
այնպես, որ x  K G x  B( x,  ) : Ենթադրենք հակառակը   0 x  K այնպես, որ
B( x ,  ) -ը լրիվությամբ ընկած չէ ոչ մի G -ի մեջ : Որպես  վերցնելով 1 n -ը կունենանք
xn  K կետ և B( xn ,1 n) գունդ, որը ոչ մի   I համար լրիվությամբ ընկած չի G -ի մեջ:
 
Դիտարկենք x n n=1  K հաջորդականությունը, այն պարունակում է x nk


k=1
զուգամետ
ենթահաջորդականություն, որի սահմանը` x0  K , քանի որ K –ն սեկվենցիալ կոմպակտ էր:
Ուրեմն G 0 , որը պարունակում է x0 -ն: Բայց G 0 -ն բաց է, ուրեմն կա B ( x  ,  )  G (    ):

Քանի որ x n  x  , ուրեմն  ( x n , x  )   և հետևաբար  ( x n , x  ) 
k
k
k
կունենանք, որ կա մի K  այնպես, որ k  K  համար  ( x n , x  ) 
k

B  x nk ,


  , որտեղից
nk

  : Այսպիսով
nk

 
 
  B ( x  ,  ) , իրոք եթե x   B  x nk ,  ապա
nk 
nk 


 ( x , x  )   ( x , x nk )   ( x nk , x  ) 
  ( x nk , x  )  
nk

Ստացանք, որ B  x nk ,

եկանք հակասության ,
K
x0
G 0
 
  B ( x  ,  )  G , այսինքն
nk 
  0 այնպես, որ x  K Gx  B( x,  )
Դիցուք   0 ընտրված է այնպես, որ x  K G x  B( x,  ) : Քանի, որ K -ն սեկվենցիալ
կոմպակտ է, ապա նա լիովին սահմանափակ է, հետևաբար ունի վերջավոր ε –ցանց, որի
կետերը առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ընտրել K -ից: Թող այն լինի
x , x  ,..., x n   K , ուրեմն
K
n
k 
B (x k ,  ) 
n
k 
 
G x , այսիքն G x
k
n
k
k 
K -ի վերջավոր ենթածածկույթ է: 
Կանտորի Թեորեմ:
Վերևում, որպես ներդրված հատվածների լեմմայի նմանակ մետրիկական տարածություններում, մենք համարեցինք ներդրված գնդերի մասին թեորեմը: Սակայն, որպես
հատվածի նմանակ կարելի է համարել մետրիկական տարածության կոմպակտ բազմությունները և այս դեպքում ներդրված հատվածների լեմմայի նմանակը կլինի հետևյալ
թեորեմը:
Թեորեմ: Դիցուք X մետրիկական տարածության մեջ ունենք ներդրված ոչ դատարկ
կոմպակտ բազմությունների հաջորդականություն` K1  K 2 … K n … : Այդ դեպ-քում

Kn   :
n 1
Վերցնենք x1  K1 , x2  K 2 ,..., xn  K n ,... ( K n - դատարկ չէ): Ակնհայտ է, որ ստացված
{ xn }n 1
հաջորդականությունը K1 -ից է, ավելին x n , x n  ...  K p ցանկացած n  p համար: Քանի,
որ K1 -ը կոմպակտ է, ապա կա {xnk }k 1 ենթահաջորդականություն, որը ունի x   K 
սահման: Բայց պարզ է, որ x   K n ցանկացած n -ի համար: Իրոք, եթե ընտրենք k -ն այնպես,


որ nk  n , ապա կունենանք x nk , x nk  ...  K n և քանի, որ K n կոմպակտ է, ապա x   K n :

Ապացուցենք կոմպակտ բազմությունների ևս մի հատկություն:
Թեորեմ: Դիցուք K   X ,   , եթե K -ն կոմպակտ է  X ,   -ում, ապա  K ,   -ն սեպարա-բել
է:
Դիցուք  n n 1 զրոյի ձգտող դրական թվերի հաջորդականություն է:  n  0 համար կառուցենք



(n)
(n)
(n)
վերջավոր  n ցանց՝ x1 , x2 ,...xkn  K : Դժվար չի ստուգել, որ

 x , x ,...x 
(n)
1
n 1
բազմությունը հաշվելի ամենուրեք խիտ բազմություն է  K ,   -ում: 
(n)
2
(n)
kn
Արցելայի թեորեմը
Դիցուք K -ն ( X ,  ) մետրիկական տարածության որևէ կոմպակտ է : C ( K ) -ով
նշանակենք K -ի վրա անընդհատ իրական կամ կոմպլեքսարժեք ֆունկցիաների
տարածությունը ( x1 (t ), x2 (t ))  max x1 (t )  x2 (t ) մաքսիմում մետրիկայով:
tK
Բերենք կոմպակտության հայտանիշ C ( K ) տարածության համար: Դիցուք տրված է
F  C (K ) :
Սահմանում: Կասենք, որ F–ը հավասարաչափ սահմանափակ է, եթե  M թիվ այնպես, որ
x(t )  F
x(t )  M t  K :
Սահմանում: Կասենք, որ F–ը հավասարաստիճան անընդհատ է K -ում, եթե
  0 ( )  0 այնպես, որ x(t ) F և  t1 , t2  K x(t1 )  x(t2 )   հենց, որ  (t1 , t2 )   :
Թեորեմ(Արցելա): Որպեսզի F  C ( K ) լինի հարաբերական կոմպակտ անհրաժեշտ է և
բավարար, որ F -ն լինի հավասարաչափ սահմանափակ և հավասարաստիճան անընդհատ:
Անհրաժեշտությունը: Դիցուք F –ը հարաբերական կոմպակտ է, ցույց տանք F –ը կլինի
հավասարաչափ սահմանափակ և հավասարաստիճան անընդհատ:
Դիտարկենք

3
 0 և նրա համար կառուցենք վերջավոր

–ցանց (որը  ունի, քանի որ F –ն
3
որպես հարաբերական կոմպակտ լիովին սահմանափակ է): Դիցուք այդ ցանցը
x(t )  x p (t ) 
x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ) –ն է: Ուրեմն x(t )  F p ( x, x p )  max
tK

3
:
x p (t ) -անընդհատ է K կոմպակտի վրա, ուրեմն ըստ Վայերշտրասի թեորեմի սահմանափակ
է, այսիքն գոյություն ունի M p թիվ այնպես, որ x p (t )  M p p  1, 2,..., n :
Վերցնելով M  max{M 1 ,..., M n } , կունենանք` x(t )  x p (t ) 

3
M 

3
, այսիքն F -ը
հավասարաչափ սահմանափակ է:
Ցույց տանք, որ F -ը հավասարաստիճան անընդհատ է: Քանի, որ x p (t ) -անընդհատ է K
կոմպակտի վրա, ուրեմն ըստ Կանտորի թեորեմի այն հավասարաչափ անընդհատ է K-ի
վրա , այսիքն գոյություն ունի  p  0 թիվ այնպես, որ t1 , t2  K համար
 (t1 , t2 )   p  x p (t1 )  x p (t2 ) 

3
:
Ընտրելով   min{1 , 2 ,...n }  0 , կունենանք` t1 , t2  K համար  (t1 , t2 )   կբխի
x p (t1 )  x p (t2 ) 

3
բոլոր p  1, 2,..., n համար: Այժմ վերցնենք կամայական x(t )  F
ընտրենք x p (t ) -ն այնպես, որ max x(t )  x p (t ) 
tK

3
: Ենթադրելով  (t1 , t2 )   գնահատենք
x(t1 )  x(t2 ) -ը:
x(t1 )  x(t2 )  x(t1 )  x p (t2 )  x p (t1 )  x p (t2 )  x p (t1 )  x(t2 ) 

3


3


3
 :
Այսինքն, F -ը հավասարաստիճան անընդհատ է:
Բավարարությունը: Դիցուք xk (t )k 1  F : Ցույց տանք, որ  xk (t )k 1 հաջորդականու-թյունը


պարունակում է զուգամետ ենթահաջորդականություն: K -ն լինելով կոմպակտ սեպարաբել է:
Դիցուք ti i 1  K ամենուրեք խիտ է K -ում:

xk (t1 )k 1 թվային հաջորդականությունը սահմանափակ է, ուրեմն ըստ Բոլցանո
Վայերշտրասի լեմմայի նրանից կարելի է անջատել զուգամետ ենթահաջորդականու-թյուն,

 -ն: Այն գրենք աղյուսակի առաջին տողում:

այն թող լինի xk p (t1 )

p 1
 հաջորդականությունը: Այն նույնպես սահմանափակ է, ուրեմն
Այժմ դիտարկենք xk p (t2 )

p 1
նրանից էլ կարելի է առանձնցնել զուգամետ ենթահաջորդականություն: Այդ նոր
ենթահաջորդականությունը գրենք աղյուսակի երկրորդ տողում:
Այդ նոր ենթահաջորդականության արժեքները t3 կետում նորից կլինի սահմանփակ
հաջորդականություն, որից էլի կառանձնացնենք զուգամետ ենթահաջորդականություն:
Նրան գրենք աղյուսակի երրորդ տողում: Շարունակելով այս պրոցեսը կստանանք անվերջ
թվով հաջորդականություներց կազմված մի աղյուսակ, որի ցանկացած տողում գրված
հաջորդականությունը նախորդ տողի ենթահաջորդականություն է և i - րդ տողում գրված
հաջորդականություը զուգամետ է t i կետում: Այժմ եթե վերցնենք այդ աղյուսակի
անկյունագծի վրա գրված անդամերը կստանանք xk (t )k 1  F հաջորդականության

ենթահաջորդականություն, որը կլին զուգամետ ti i 1  K հաջորդականության ցանկացած

կետում: Նոր նշանակումերից խուսափելու համար այդ ենթահաջորդականությունը նորից
նշանակենք  xk (t )k 1 : Այսպիսով, ունենք  xk (ti )k 1 հաջորդականությունները զուգամետ են


ցանկացած i  1, 2,... համար:
Ցույց տանք, որ  xk (t )k 1 ենթահաջորդականությունը ֆունդամենտալ է C ( K ) - ում: Դիցուք

  0 որևէ դրական թիվ է:   0 ընտրենք այնպես, որ  t1 , t2  K և  (t1 , t2 )   հետևի
x(t1 )  x(t2 )   3 անհավասարությունը x(t ) F : Դա հնարավոր է, քանի որ որ F–ը
հավասարաստիճան անընդհատ է K -ում: Այժմ   0 համար ընտրենք K կոմպակ-տի
համար վերջավոր  - ցանց ti i 1  K բազմությունից, դա հնարավոր է անել ti i 1


բազմության K -ում ամենուրեք խիտ լինելու շնորհիվ: Դիցուք t1 , t2 ,..., t p -ը այդ  - ցանցի
կետերն են: Քանի որ  xk (ti )k 1 i  1, 2,..., p վերջավոր թվով հաջորդականությունները

զուգամետ են, ապա դժվար չի տեսնել, որ  3  0 թվի համար կարելի է ընտրել միայն  -ից
կախված N  թիվ այնպես, որ xn (ti )  xm (ti )   3 հենց, որ n, m  N ցանկացած
i  1, 2,..., p - ի համար: Վերցնենք կամայական t կետ K -ից և ընտրենք t j կետը  - ցանցից
այնպես, որ  (t , t j )   : Այսպիսի ընտրության դեպքում կունենանք
xn (t )  xm (t )  xn (t )  xn (t j )  xn (t j )  xm (t j )  xm (t j )  xm (t )   3   3   3   :
Ստացանք, որ մեր ընտրած ենթահաջորդականությունը ֆունդամենտալ է C ( K ) - ում,
հետևաբար նաև զուգամետ է, քանի որ C ( K ) -ն լրիվ մետրիկական տարածությւոն է: 
Բերենք կոմպակտության հայտանիշներ (առանց ապացույցի ) ևս երկու շատ հայտնի
տարածություներում:
Թեորեմ: Որպեսզի K  l p
(1  p   ) լինի հարաբերական կոմպակտ անհրաժեշտ է և
բավարար, որ

1. գոյություն ունենա C դրական թիվ այնպես, որ
x
k 1
p
k
 C  x  ( x1 , x2 ,...)  K համար:
2.    0 գոյություն ունի N ( ) համար այնպես, որ  x  ( x1 , x2 ,...)  K համար

x
kN
p
k
 :
Թեորեմ: Որպեսզի K  Lp [a; b] (1  p  ) լինի հարաբերական կոմպակտ անհրաժեշտ է և
բավարար, որ
b
1. գոյություն ունենա C դրական թիվ այնպես, որ
 x(t ) dt  C  x(t )  K համար:
p
a
2.    0 գոյություն ունի  ( )  0 թիվ այնպես, որ x(t )  K և s   ( ) համար
b
 x(t  s)  x(t ) dt   :
p
a
ԱՆԸՆԴՀԱՏ ՕՊԵՐԱՏՈՐՆԵՐ ԵՎ ՆՐԱՆՑ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ
Դիցուք  X  ,   և  X  ,   մետրիկական տարածություններ են, իսկ D   X  ,   որևէ
բազմություն է: D -ի վրա որոշված ֆունկցիան, որի արժեքները  X  ,   -ից են կանվանենք
D որոշման տիրույթով օպերատոր, կամ D -ից  X  ,   գործող օպերա-տոր: Ընդունված է
օպերատորները նշանակել լատինական այբուբենի մեծատառերով, օրինակ` A օպերատոր,
B օպերատոր և այլն, իսկ օպերատորի արժեքը D -ից որևէ x-ի
վրա` Ax , Bx : Այն փաստը, որ A օպերատոր գործում է D -ից  X  ,   կարճ կգրենք
այսպես` A : D   X  ,   :
Եթե E  D , իսկ F   X  ,   , ապա A(E )  Ax  X  ; x  E  E բազմության պատ-կերն
է A արտապատկերման ժամանակ, իսկ A  (F )  x  D ; Ax  F  F բազմության՝
նախապատկերը:
Դիցուք A -ն D -ից  X  ,   գործող օպերատոր է` A : D   X  ,   :
Սահմանում: Կասենք, որ A օպերատորը անընդհատ է x   D կետում , եթե
       s .t . x  D համար   x , x      -ից հետևում է   Ax , Ax     :
Դժվար չի տեսնել, որ այս սահմանումը համարժեք է հետևյալին` A օպերատորը անընդհատ
է x   D կետում, եթե  x n n   D և x n  x 0  X  ,   -ում հետևում է Ax n  Ax

 X  ,   -ում:
Սահմանում: Կասենք, որ A օպերատորը անընդհատ է D բազմության վրա, եթե այն
անընդհատ է D -ի ցանկացած կետում:
Բերենք մի քանի օրնակներ:
1.Դիցուք X   X   C  ;  
 Ax  (t )  tx (t ) ակնհայտ է, որ այն անընդհատ է C  ;   :
2. X   X   C  ;   D  C ( )  ;    X   Dx  (t )  x (t ) հեշտ է տեսնել, որ այս օպերատորը անընդհատ չէ C ( )  ;   -ի ոչ մի կետում:
Դիցուք D   X ,   : Անընդհատությունը մի նոր ձևով սահմանելու համար մեզ պետք կլինի
D -ում բաց բազմության հասկացողությունը:
Սահմանում: Կասենք, որ E -ն D -ում բաց բազմության է, եթե E  G
D , որտեղ G -ն բաց
է  X ,   -ում:
Խնդիր: Ապացուցել, որ E  D բազմությունը բաց է D -ում այն և միայն այն դեպում, եթե
ցանկացած x  E համար գոյություն ունի B ( x,  ) գունդ այնպես, որ D
B ( x,  )  E :
Թեորեմ: Որպեսի A : D   X  ,   լինի անընդհատ D -ում, անհրաժեշտ է և բավա- րար,
որպեսի  X  ,   -ի ցանկացած բաց բազմության նախապատկերը լինի D -ում բաց:
Անհրաժեշտությունը: Դիցուք A -ն անընդհատ է D -ում, իսկ V -ն բաց բազմություն է
 X  ,   -ում, ցույց տանք, որ A  (V ) -ն բաց է D -ում: Եթե x  A  (V ) , ապա x  D , իսկ
Ax V և քանի որ V -ն բաց է, ուրեմն կա B ( Ax ,  ) V : Մյուս կողմից, քանի որ A -ն
անընդհատ է x կետում , ուրեմն գոյություն ունի B ( x ,  )  ( X  ,  ) ,այնպես,որ
A(D
B ( x ,  ))  B ( Ax ,  x ) , այսինքն D
B (x , x )  A (B (Ax ,  x ))  A (V ) , ըստ վերը
նշված խնդրի A  (V ) -ն բաց է:
Բավարարությունը: Դիցուք x   D և  կամայական դրական թիվ է: Վերցնենք
B ( Ax  ,  )   X  ,   գունդը, այն բաց է, հետևաբար A (B (Ax  ,  ))  G
D , որտեղ G -ն
բաց է  X  ,   -ում և պարունակում է x  կետը: Ուստի գոյություն ունի   0 ,այնպես,
որ A(B ( x  ,  )
D )  B ( Ax  ,  ) : 
Մասնավորապես, եթե A օպերատորը որոշված է ամբողջ տարածության վրա, ապա որպեսի
այն լինի անընդհատ անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսի ցանկացած բաց բազմության
նախապատկերը լինի բաց:
Հավասարաչափ անընդհատություն, անընդհատ օպերատորի շարունակություն:
Կոմպակտի վրա անընդհատ օպերատորների հատկությունները:
Դիցուք A -ն D   X  ,   -ից  X  ,   գործող օպերատոր է, իսկ E  D :
Սահմանում: Կասենք, որ A -ն հավասարաչափ անընդհատ է E -ի վրա, եթե կամայա-կան
   համար կա այնպիսի  ( ) կախված միայն  -ից դրական թիվ այպես, որ ցան-կացած
x  , x   E համար   ( Ax  , Ax  )   հենց, որ  ( x  , x  )   ( ) :
Ակնհայտ է, որ E -ի վրա հավասարաչափ անընդհատ օպերատորը անընհատ է այն-տեղ:
Ինչպես հայտնի է հակառակը, ընդհանրապես ասած, ճիշտ չէ, բայց երբ E -ն կոմպակտ է
ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը:
Թեորեմ: K  ( X ,  ) կոմպակտի վրա անընդհատ A օպերատորը հավսարաչափ
անընդհատ է K -ի վրա:
Ապացուցենք հակասող ընդունելության եղանակով, դիցուք A -ն հավսարաչափ անընդ-հատ
չէ K -ի վրա: Այդ դեպքում կա    թիվ այպես, որ ցանկացած    համար K -ում կգտվեն
x  , x   K կետեր որոնք կբավարորեն  ( x  , x  )   և  ( Ax  , Ax  )   պայման-ներին:
Վերցնելով որպես  - ներ, որևէ զրոյի ձգտող  n  հաջորդականության անդամ-ները
կստանանք x n  , x n  K հաջորդականություներ, որոնք կբավարարեն
 ( x n , x n )   n ,  ( Ax n , Ax n )  
  x  K ձգտող
պայմաններին: Օգտվելով K -ի կոմպակտությունից ընտրենք x n K

ենթահաջորդականություն: Այդ դեպքում
 ( x  , x nk )   ( x  , x n k )   ( x , x nk )   ( x  , x n k )   nk
 
անհավասարությունից կհետևի, որ x nk նույնպես կունենա x  սահման: Մյուս կողմից
օգտվելով մետրիկայի և A օպերատորի x  կետում անընդհատությունից ու անցնելով
սահմանի  ( Ax n , Ax n )   անհավասարությունում սահմանի երբ n   կունենանք
k
k
   ( Ax  , Ax  )   , որը հակասում է    պայմանին: 
Հաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում E -ի վրա տված անընդհատ օպերատորը
շարունակել E -ի փակման վրա, մասնավորաբար մետրիկական տարածության ամե-նուրեք
խիտ բազմության վրա անընդհատ օպերատորը շարունակել ամբողջ տարածու-թյան վրա:
Հեշտ է տեսնել, որ այդ խնդիրը միշտ չէ, որ լուծելի է, օրինակ f ( x)  sin
1
x
0 -ի վրա
-ի վրա մնալով անընդհատ:
անընդհատ ֆունկցիան չի շարունակվում ամբորջ
Բերենք բավարար պայման այդ խնդրի լուծման գոյության համար:
Թեորեմ: Եթե A : D   X  ,     X  ,   օպերատորը հավասաչափ անընդհատ է D -ի
վրա, իսկ  X  ,   -ը լրիվ է, ապա A -ն անընդհատ շարունակվում է D -ի փակման վրա,
ընդ որում այդ շարունակությունը միակն է ու հավասաչափ անընդհատ է D -ի փակ-ման
վրա:
Դիցուք x   D ,  x n n   D և x n  x  , ապացուցենք, որ  Ax n n  -ը ֆունդամենտալ է


 X  ,   -ում: Իրոք, տված    թվի համար ընտրենք    այնպես, որ  ( x , x )   և
x , x   D հետևի  ( Ax , Ax )   : Այդ բանը հնարավոր է անել, քանի որ A - ն հավասրաչափ անընդհատ է D -ի վրա: Այժմ N  -ը թող լինի այն համարը որտեղից սկսած
 ( x n , x m )   , այս բանն էլ կարելի է անել, քանի որ  x n n  հաջորդականությունը որպես

զուգամետ հաջորդականություն ֆունդամենտալ է: Բայց  ( x n , x m )   հետևում է, որ
 ( Ax n , Ax m )   , երբ n , m  N  : Այսինքն Ax n n  -ը ֆունդամենտալ է, ուստի զուգամետ է:

lim Ax n -ը նշանակենք y  : Ցույց տանք, որ այն կախված չէ x n n   D հաջորդականության

ընտրությունից, իրոք դիցուք  x n n   D մի ուրիշ հաջորդակա-նություն է, որի սահմանը

x  -ն է, ապա ցույց տանք, որ Ax n  y  : Դա այդպես է, քանի որ հակառակ դեպքում
x  , x  , x  , x  , x  , x  ,... հաջորդականությունը կզուգամիտի x  -ին, իսկ
Ax  , Ax  , Ax  , Ax  , Ax  , Ax  ,... հաջորդականությունը սահման չի ունենա, բայց մենք
ապացուցել էինք, որ ցանկացած x n  x  դեպքում  Ax n n  -ը ունի սահման: Ուրեմն y  -ն

կախված է միայն x  -ից, նշանակենք այն Ax  -ով: Այսպիսով A -ն շարունակվեց D -ի
փակման վրա, այն նորից նշանակենք A -ով:
Շարունակության միակությունը ակնհայտ է, ցույց տանք, որ այդ շարունակությունը
հավասարաչափ անընդհատ է D -ի վրա: Իրոք, տված    թվի համար ընտրենք   
այնպես, որ  ( x , x )   և x , x   D հետևի   ( Ax , Ax )    և ցույց տանք, որ այդ   
պիտանի է նաև D համար: Եթե x , x   D և  ( x , x )   , ապա ընտրելով  x n n  և

x n n   D հաջորդականությունները այնպես, որ x n  x , իսկ x n  x  , կունենանք

lim  ( x n , x n )   ( x , x )   , ուստի սկսած ինչ որ համարից  ( x n , x n )   , ուրեմն
 ( Ax , Ax n )    : Անցնելով սահմանի վերջին անհավասրությունում, երբ n  
կստանանք  ( Ax , Ax )      : 
Հետևանք: Եթե A : D   X  ,     X  ,   օպերատորը հավասաչափ անընդհատ է
D -ի վրա, D - ն ամենուրեք խիտ է  X  ,   -ում, իսկ  X  ,   -ը լրիվ է, ապա A -ն
անընդհատ շարունակվում է ամբողջ  X  ,   -ի վրա, ընդ որում այդ շարունակությունը
միակն է ու հավասաչափ անընդհատ է  X  ,   -ի վրա:
Ակնհայտ է, քանի D - ն ամենուրեք խիտ է  X  ,   -ում,հենց նշանակում է, որ D  X  : 
Թեորեմ: Եթե A : K   X  ,   օպերատորը անընդհատ է K -ի վրա և K -ն կոմպ-պակտ է
 X  ,   -ում, ապա A(K ) -ն կոմպակտ է  X  ,   -ում:
Բավական է ցույց տալ, որ A(K ) -ն սեկվենցիալ կոմպակտ է: Դիցուք
y n n   A(K ) , այսինքն y n  Ax n , x n  K , բայց K -ն կոմպակտ է, հետևաբար սեկվեն
ցիալ կոմպակտ է, ուրեմն կա զուգամետ
x 

nk
k 
ենթահաջորդականություն, որի սահ-
մանը` x   K : A օպերատորի անընդհատությունից անմիջապես կհետևի, որ
=> y n  Ax n  Ax   y   A(K ) : 
k
k
Այն օպերատորը, որի փոփոխման բազմությունը իրական կամ կոմպլեքս թվերի բազմությունն է ընդունված է անվանել ֆունկցիոնալ: Եթե այդ ֆունկցիոնալը f - ն է, ապա նրա
արժեքը x կետում նշանակում են սովորական ձևով` f ( x ) : Վերը ապացուցած թեորեմից
անմիջապես կստանանք հետևյալ պնդումը:
Հետևանք1. : Եթե A : K   X  ,   օպերատորը անընդհատ է K -ի վրա և K -ն կոմպպակտ է  X  ,   -ում, ապա A(K ) -ն փակ է և սահմանփակ:
Հետևանք2. (Թեորեմ Վայերշտրաս): Եթե f : K 
ֆունկցիոնալը անընդհատ է K -ի վրա և
K -ն կոմպակտ է X -ում, ապա f -ը սահմանափակ է K -ի վրա և ընդունում է իր ճշգրիտ
վերին և ստորին եզրերը:
Ըստ նախորդի f ( K ) -ն փակ է և ահմանափակ, ինչից անմիջապես հետևում է թեորեմի
պնդումը: 
1

Օրինակ. C [0,1]-ում դիտարկենք հետևյալ ֆունկցիոնալը f ( x)  x 2 (t )dt : Պարզ է, որ այն
0
անընդհատ է C [0,1]-ում, քանի որ եթե xn (t ) [0,1] -ում հավասարաչափ զուգամիտում է x (t ) 1
ին, ապա
1
 x (t )dt   x (t )dt : Հաշվենք այդ ֆունկցիոնալի ճշգրիտ ստորին եզրը
2
n
0
2
0
D  x(t )  C[0,1]; max x(t )  1, x(0)  1, x(1)  0 փակ, սահմանափակ բազմության վրա:
Քանի, որ x  D համար f ( x)  0 , իսկ f ( xn )  0 , երբ n   , ուրեմն այդ ֆունկցիոնալի
ճշգրիտ ստորին եզրը զրոն է, որը նրա արժեք չի D -ում: Այստեղ xn (t ) մեկ է, երբ t [0,1 2n] ,
գծային է [1 2n,1 n] հատվածում և զրո է [1 n,0] -ում:
Այսպիսով կառուցեինք D փակ, սահմանափակ բազմության վրա անընդհատ ֆունկցիոնալի օրինակ, որը այդ բազմության վրա չի ընդունում իր ճշգրիտ ստորին եզրը: Ակնհայտ
է, որ դրա պատճառը D -ի կոմպատ չլինելն է:
Խնդիր։ Ապացուցել, որ եթե երկու անընդհատ օպերատորներ համընկնում են ամենուրեք
խիտ բազմության վրա, ապա նրանք համընկնում եմ ամենուրեք։
ՍԵՂՄՈՂ ԱՐՏԱՊԱՏԿԵՐՈՒՄՆԵՐԻ ՍԿԶԲՈՒՆՔԸ
(Բանախի թեորեմը անշարժ կետի մասին)
Դիցուք ( X ,  )  X -ը մետրիկական տարածություն է և A : X  X նրանում գործող
օպերատոր է:
Սահմանում: Կասենք, որ A : X  X օպերատորը սեղմող օպերատոր է X -ում, եթե
գոյություն ունի    0;1 թիվ այնպես, որ ցանկացած x1 , x2  X համար տեղի ունի
 ( Ax1 , Ax2 )   ( x1 , x2 )
անհավասարությունը:
Այլ խոսքերով ասած A : X  X օպերատորը սեղմող է X -ում, եթե
 ( Ax1 , Ax2 )
1
 ( x1 , x2 )
x x
sup
1
2
Ապացուցել, որ X -ում ցանկացած սեղմող օպերատոր անընընդհատ է այնտեղ:
Եթե A : X  X , n
և n  2 , ապա An x -ը կսահմանենք հետևյալ ինդուկտիվ բանաձևով
An x  A( An1 x) :
Սահմանում: Կասենք, որ A : X  X օպերատորի համար x0 -ն անշարժ կետ է, եթե
Ax0  x0 :
Թեորեմ: Եթե ( X ,  ) -ն լրիվ մետրիկական տարածություն է , A : X  X օպերատորը սեղմող
 ( Ax1 , Ax2 )
   1 , ապա A -ն ունի միակ անշարժ կետ x0 , որը
 ( x1 , x2 )
x x
է X -ում, ընդ որում sup
1
2
կարելի է գտնել x0  lim An x բանաձևով, այստեղ x -ը որևէ կետ է ( X ,  ) -ից:
n 
Դիցուք x -ը կամայական կետ է ( X ,  ) -ից: Դիտարկենք xn  An x, n  1, 2,...
հաջորդականությունը, ցույց տանք, որ այն զուգամետ է: Քանի որ ( X ,  ) -ն լրիվ է, բավական
է ցույց տալ, որ այդ հաջորդականությունը ֆունդամենտալ է: Գնահատենք  ( xn p , xn ) -ը:
 ( xn  p , xn )   ( An  p x, An x)   ( An  p 1 x, An 1 x)   2  ( An  p  2 x, An  2 x) 
 n  ( A p x, x)   n (  ( A p x, A p 1 x)   ( A p 1 x, A p  2 x) 
 n ( p 1   p  2 
 1)  ( Ax, x) 

n
1
  ( Ax, x)) 
 ( Ax, x)
Այս գնահատականից անմիջապես կստանանք, որ  xn n 1 հաջորդականությունը ֆուն
դամենտալ է, հետևաբար ունի սահման, այդ սահմանը նշանակենք x0 -ով: Մյուս կողմից
պարզ է, որ xn  Axn 1 և քանի, որ A -ն անընդհատ է, ուրեմն անցնելով սահմանի վերջին
հավասարությունում կստանանք Ax0  x0 : Այսինքն x0 -ն անշարժ կետ է: Այժմ ցույց տանք, որ
այն միակն է: Եթե x0 -ն և x1 -ը A -ի համար անշարժ կետեր են, ապա
 ( x0 , x1 )   ( Ax0 , Ax1 )   ( x0 , x1 ) , այսինքն (1   )  ( x0 , x1 )  0 , բայց   1, ուրեմն
 ( x0 , x1 )  0 կամ, որ նույնն է x0  x1 : 
Դիտողություններ:
Ա. Նախ նշենք, որ ինչպես տարածության լրիվությունը, այնպես էլ օպրատորի սեղմող լինելը
չնայած այն բանին, որ անհրաժեշտ չեն թեորեմի պնդման ստույգության համար,
այնուամենայնիվ էական պայմաններ են այն իմաստով, որ նրանցից յուրաքանչյուրի
բացակայության դեպքում թեորեմի ճշմարտացիությունը կխախտվի: Բերենք համապատասխան օրինակներ:
Եթե X  (0;1] սովորական մետրիկայով, իսկ Ax  x 2 , ապա պարզ է, որ
 ( Ax1 , Ax2 )  x1 2  x2 2  1 2 x1  x2  1 2  ( x1 , x2 ) , այսպիսով A -ն սեղմող է (0;1] -ում, բայց
այնտեղ անշարժ կետ չունի, պատճառը` (0;1] -ը լրիվ մետրիկական տարածություն չի:
Դիտարկենք X  [0; ) նորից սովորական մետրիկայով, այն լրիվ մետրիկական տարածություն է: Ax  x  e  x -ը [0;  ) -ը տանում է [0;  ) -ի մեջ, բայց սեղմող չի, չնայած, որ
 ( Ax1 , Ax2 )
1:
 ( x1 , x2 )
x x
 ( Ax1 , Ax2 )   ( x1 , x2 ) և չունի անշարժ կետ: Այստեղ sup
1
2
Բ. Ax  x հավասարման լուծման թեորեմի ապացուցման մեջ բերված եղնակը կոչվում է
լուծման իտերացիոն մեթոդ:
Գ .Եթե xn  An xˆ -ը դիտենք, որպես Ax  x հավասարման x0 ճշգրիտ լուծման մոտավոր
արժեք n -րդ իտերացիայից հետո, ապա կատարած սխալի համար կունենանք
n
 ( x0 , xn ) 
 ( Axˆ, xˆ )
1
գնահատականը:
Բերենք սեղմող արտապատկերումների սկզբունքի մի քանի կիրառություններ:
1.Դիցուք պահանջվում է լուծել f ( x)  0 հավասարումը:
Այստեղ f -ը
-ը
-ի տանող ֆունկցիա է: Այդ հավասարումը կարելի է փոխարինել իրեն
համարժեք x  f ( x )  x հավասարումով: Այժմ, եթե մտցնանք
-ում գործող Ax  x  f ( x)
օպերատորը, ապա նախնական հավասարումը կդառնա Ax  x , այսինքն պետք է գտնել A
օպերատորի անշարժ կետը: Տեսնենք, երբ A -ն կլինի սեղմող
-ում:
 ( Ax1 , Ax2 )  f ( x1 )  x1  f ( x2 )  x2  f ' ( )  1 x1  x2  f ' ( )  1  ( x1, x2 ) :
Ուստի, եթե ցանկացած կետում f -ը ունի ածանցյալ և   sup f ' ( x)  1  1 , ապա A -ն
x
սեղմող է, հետևաբար այն ունի անշարժ կետ, որը կարելի գտնել, որպես հետևյալ իտերացիոն պրոցեսի սահման` xn 1  Axn  xn  f ( xn ),
n  0,1,... , իսկ x0 -ն կամայական կետ է
-ից: Սխալանքի համար ճիշտ է հետևյալ գնահատականը
xn  xˆ   n (1   )1 f ( x0 ) :
2.Ինտեգրալ հավասարումների լուծում:
Դիցուք F (t , u , v) -ը երեք փոփոխակնի անընդհատ ֆունկցիա է որոշված G  [a; b]  [a; b] 
բազմության վրա: Դիտարկենք
b
( Au )(t )   F (t , s, u ( s))ds
a
օպերատորը, գործող C[a; b] -ից C[a; b] : Այն անվանում են ինտեգրալ օպերատոր, իսկ
b
u (t )   ( Au )(t )  f (t )    F (t , s, u ( s))ds  f (t )
(kk)
a
հավասարումը` ( f -ը տված է, փնտրվում է u -ն) ինտեգրալ հավասարում: Եթե նշանա-կենք
Bu   ( Au )(t )  f (t ) , ապա այս ինտեգրալ հավասարումը կգրվի u  Bu տեսքով, այսինքն
մենք փնտրում ենք B օպերատորի համար անշարժ կետ, եթե այն լինի սեղմող C[a; b] -ում,
ապա կարող ենք կիրառել սեղմող արտապատկերումների սկզբունքը, ուստի պարզենք, թե
ինչ պայմանների դեպքում է B -ն սեղմող C[a; b] -ում:
b
b
a
a
 ( Bu1 , Bu2 )  max   F (t , s, u1 ( s))ds  f (t )    F (t , s, u2 ( s))ds  f (t )
a t b
b
b
 max   F (t , s, u1 ( s))  F (t , s, u2 ( s)) ds  max   Fv' (t , s,  )(u1 ( s)  u2 ( s)) ds   L(b  a)  (u1, u 2 )
a t b
a t b
a
a
'
Այս ամենը կոռեկտ կլինի, եթե ենթադրենք, որ F (t , u , v) ֆունկցիան ունի Fv (t , u , v ) մասնական ածանցիալ, որը G -ում սահմանափակ է L -ով` Fv' (t , u, v)  L :
Այժմ, եթե  L(b  a )  1 , ապա B -ն սեղմող C[a; b] -ում: Այսպիսով կարող ենք պնդել, որ
ճիշտ է հետևյալ պնդումը:
Թեորեմ: Դիցուք F (t , u , v) -ն անընդհատ ֆունկցիա է որոշված G  [a; b]  [a; b] 
'
բազմության վրա, ունի Fv (t , u , v ) մասնական ածանցիալ, որը G -ում բավարարում է
Fv' (t , u, v)  L պայմանին, այս պայմանների դեպքում, եթե    L(b  a )  1 , ապա (kk)
հավասարումը ունի միակ լուծում ցանկացած f  C[a; b] համար, ընդ որում այդ լու-ծումը u
-ն կարելի է գտնել հետևյալ իտերացիոն մեթոդով
b
un 1 (t )   F (t , s, un ( s))ds  f (t ), a  t  b, n  0,1,...; u0 (t )  0 ,
a
որը հավսարաչափ զուգամիտում է u (t ) -ին [ a; b] հատվածում:
Սխալանքի համար ճիշտ է հետևյալ գնահատականը
max un (t )  u (t )   n (1   ) 1 max u1 (t ) :
a t b
a t b
3.Դիֆերենցիալ հավասարումներ:
Դիցուք f (t , x ) անընդհատ է t0   ; t0      x0  h ; x0  h  ուղղանկյայն վրա: Դիտարկենք
հետևյալ Կոշիի խնդիրը`
 x  f (t , x)

 x(t0 )  x0
(KX)
Դժվար չի տեսնել, որ այս խնդիրը համարժեք է հետևյալ ինտեգրալ հավասարմանը`
t
x (t )  x0   f ( s, x ( s ))ds :
(In)
t0
Դիտարկենք
t
 Ax  (t )  x0   f ( s, x( s))ds
( IN!)
t0
օպերատորը [t0   ; t0   ] հատվածում անընդհատ այն ֆունկցիաների տարածություն- ում,
որոնց գրաֆիկները ընկած են t0   ; t0      x0  h ; x0  h ուղղանկյան մեջ: Ֆունկ-ցիաների
այդ տարածությունը նշանակենք D ( , h) -ով, այսինքն
x(t )  D( , h)  x(t )  C[t0   , t0   ]; x(t )  x0  h, t [t0   , t0   ]
Ակնհայտ է, որ D ( , h) -ը  ( x1 , x2 ) 
max
t0  t t0 
x1 (t )  x2 (t ) մետրիկաով լրիվ մետրիկական
տարածություն է :
Այժմ  -ն ընտրենք այնպես, որ A -ն լինի սեղմող օպերատոր D ( , h) -ում: Նախ
ապահովենք այն բանը, որ x(t )  D( , h)   Ax  (t )  D( , h) : Ակնհայտ է, որ  Ax  (t ) -ն
անընդհատ է: Պահանջենք, որ տեղի ունենա նաև  Ax  (t )  x0  h անհավասարությունը:
t
 Ax  (t )  x0   f (s, x(s))ds  M t  t0  M  :
t0
Ուրեմն, եթե վերցնենք   h M , ապա այս պահանջը կբավարարվի: Այստեղ
M
max
tt0  ;t0  
x x0  h ; x0  h 
f (t , x)   ,
քանի որ f (t , x ) -ը անընդհատ է, t0   ; t0      x0  h ; x0  h  ուղղանկյունում:
Այժմ, ենթադրենք, որ f ֆունկցիան ըստ x փոփոխականի բավարարում է Լիպշիցի
պայմանին , այսինքն t0   ; t0      x0  h ; x0  h  ողղանկյան ցանկցած (t , x1 ) և (t , x2 )
կետերի համար
f (t , x1 )  f (t , x2 )  L x1  x2 և գնահատենք  ( Ax1 , Ax2 ) -ը:
t
t
t0
t0
 Ax1  (t )   Ax2  (t )   f (s, x1 (s))ds   f ( s, x2 ( s))ds 
t
 f (s, x (s)  f (s, x (s) ds  L t  t  ( x , x )  L ( x , x ) :
1
2
0
1
2
1
2
t0
Որտեղից  ( Ax1 , Ax2 )  L ( x1 , x2 ) ուստի, եթե  -ն ընտրենք այնպես, որ L  1 , ապա
A -ն կլինի սեղմող D ( , h) -ում, հետևաբար կունենա միակ անշարժ կետ, որը կլինի (In)-ի և
ուրեմն նաև Կոշիի խնդրի լուծում: Այսպիսով մենք կարող ենք պնդել, որ ճիշտ է հետևյալ
թեորեմը:
Թեորեմ: Դիցուք f (t , x ) ֆունկցիան անընդհատ է t0   ; t0      x0  h ; x0  h  ուղղան-կյան
վրա և այնտեղ ըստ x փոփոխականի բավարարում է Լիպշիցի պայմանին` այդ ուղղանկյան
ցանկցած (t , x1 ) և (t , x2 ) կետերի համար
f (t , x1 )  f (t , x2 )  L x1  x2 :
Այդ դեպքում, եթե M 
max
tt0  ;t0  
x x0  h ; x0  h 
f (t , x) և 0    min ; h M ;1 L , ապա հետևյալ Կոշիի
խնդիրը`
 x  f (t , x)

 x(t0 )  x0
Ունի միակ լուծում, որը որոշված է t0   ; t0    հատվածում, ընդ որում այն կարելի է գտնել
t
xn 1 (t )  x0   f ( s, xn ( s ))ds , n  0,1,... x0 (t )  x0 , t  t0   ; t0   
t0
իտերացիոն պրոցեսով: