ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ Наманган давлат университети Физика-математика факультети Амалий математика ва АТ кафедраси А. Имомов Ҳисоблаш усуллари ва MATHCAD АМАЛИЙ ИШЛАРНИ БАЖАРИШ НАМУНАЛАРИ Университетларнинг математика, амалий математика ва информатика, математика ва информатика, касб таълими (информатика ва ахборот технологиялари) бакалавр йўналишлари учун мўлжалланган услубий қўлланма Наманган -2013 1 Аннотация Ҳозир математик масалаларни дастур тузмасдан ечиш имконияти туғилди. Бунга сабаб математик тизимларни-математик дастурларни ишлаб чиқилганлигидар. ОЎЮда қуйидаги математик дастурлар кўп ишлатилмоқда: MathCAD, MATLAB, Maple, Mathematika [1-3]. Уларда масалалар кетма-кет, мулоқат тарзида, кўргазмали-тасвирли ҳолатда ечилади. Дарс жараёни талабалар учун қизиқарли ташкил этилади ва талаба дарс мазмунини тез, кенг тушунади ва мисоллар ечиб мавзуни мустаҳкамлаш учун кўп вақти қолади. MathCAD нинг ажойиб хусусияти шундаки, масала уч хил ечилиши мумкин: 1) MathCAD нинг ички тилида ёзилган дастур асосида, 2) стандарт ички функциялар асосида, 3) табиий математик тилда ёзилган усулнинг алгоритми ёрдамида. Ҳисоблаш усуллари алгоритмларини ўрганиш учун учинчи йўл энг муҳим роль ўйнайди. Ички функцияларда олинган натижалар олинган жавобни текшириб кўриш учун зарур бўлади. Услубий қўлланма университетларнинг математика, амалий математика ва информатика, математика ва информатика, касб таълими (информатика ва ахборот технологиялари) бакалавр йўналишлари учун мўлжалланган. 2 Мундарижа 1. Хатоликлар назарияси масалаларини тақрибий ечиш (2 c.) 2.Ночизиқ тенгламаларни тақрибий ечиш (2 c.) 3. Ночизиқ тенгламалар системасини тақрибий ечиш (2 c.) 4. ЧАТС масалаларини тақрибий ечиш. (2 c.) 5. Интерполяция масалаларини ечиш. (2 c.) 6. Тақрибий интеграллаш (2 c.) 7. Оддий дифференциал тенглама (ОДТ) учун Коши масаласи. (2 c.) 8. ОДТ учун чегара масала (4 с.) 8.1.Чекли айирмали схемалар -ЧАС (2 c.) 8.2.Галёркин усуллари группаси (2 с.) 9. Чизиқли дастурлаш ва транспорт масаласи (2 с.) 10. Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар –ХҲДТ (6 с.) 10.1.Параболик дифференциал тенглама (2 с.) 10.2.Гиперболик дифференциал тенглама (2 с.) 10.3.Эллиптик дифференциал тенглама (2 с.) 11. Интеграл тенгламалар-ИТ. (4 c.) 11.1.ИТ учун ЧАС (2 с.) 11.2. ИТ учун ядрони аппроксимация қилиш усули (2 с) 3 1. ХАТОЛИКЛАР НАЗАРИЯСИ 1.1. Асосий формулалар. 1) a A , a A a -абслют хато, a a / a -нисбий хато, a a -лимит абсолют хато, a a - лимит нисбий хато. A a a -келишув. 2) Функция ва аргумент хатоликлари: u f ( x) f ( x1,..., xn ) , X i xi x . i f ( x) f ( x) ), i 1..n ,-аргумент хатолиги. xi -функция , xi u /(n xi xi i 1 n u 1.2. 1-масала. A 30 5.44722557505..., a 5.447, a ?, a ? . a A a 5.44722557505 5.447 0.000225... 0.00023 a , a a 0.00023 0.00004222507 0.00004223 a 0.004223% . a 5.447 A 30 5.44722 0.00023 . 1.3. 2-масала. Функция кўриниши ва аргументларнинг қиймати ва хатоликлари берилган, Функциянинг йўл қўйилиши мумкин бўлган хатоси топилсин. u(m, n, k ) m2 n3 / k m 28.3 0.02 n 7.45 0.01 k 0.678 0.003 . Топиш керак: m, n, k , u ? . u(m, n, k ) : m2 n3 / k u 4.022E5 > m : m n n : m n k : k k u : u (m, n, k ) u (m, n, k ) u (m, n, k ) m n k m n k > m 7.067E 4 n 1.342E 3 k 4.425E 3 u 7.653E 3 1.4. 3-масала. Олдинги мисолда функция берилган ва унинг хатолиги берилган, аргументларнинг мумкин бўлган хатоликлари топилсин. u 0.001, m, n, k ? . m : u f ( x) 3 m n : u f ( x) 3 n k : u f ( x) 3 k m 0.036 n 6.335E 5 k 3.459E 3 . 4 1.3. ИНДИВИДУАЛ ТОПШИРИҚЛАР. 1.3.1. Функция, нуқтанинг(аргумент) коорднаталари, аргументнинг абсолют ёки нисбий хатолиги берилган. Функция (аргумент) хатолиги топилсин. 1. A a1 3.14, a2 3.1425, a3 3.1416, a4 3.14159 (3,141592653589793238462643383) 2. A 2 a1 1.41, a2 1.414, a3 1.4142, a4 1.41421 (1,414213562373095048801688724) 3. A 3 a1 1,73, a2 1.730, a3 1.73205, a4 1.732051 (1,732050807568877293527446341) 4. A e a1 2.71, a2 2.718, a3 2.7182, a4 2.71828 (2,718281828459045235360287471) 5. A 5 a1 0, 23, a2 0.336, a3 0.3360, a4 0.3361 (2,236067977499789696409173668) 6. A 6 a1 2.44, a2 2.449, a3 2.4494, a4 2.44948 (2,44948974278317809819728407) 7. A 7 a1 2.64, a2 2.645, a3 2.6457, a4 2.64575 (2,6457513110645905905016156) 8. A 8 a1 2.82, a2 2.828, a3 2.8284, a4 2.82842 ( 2,828427124746190097603377448) 9. A 3 9 a1 2.08, a2 2.080, a3 2.0801, a4 2.0800838230519 (2.0800838230519) 10. A 10 a1 3.16, a2 3.162, a3 3.1622, a4 3.16227 (3,16227766016837933199889354) 11. y k ( x m)n , x 1, k , m, n 1,..., x 0.001 x 0.01 . 12. y sin k ( x m)n , x 1, k , m, n 1,..., x 0.001 x 0.01 13. y cosk ( x m)n , x 1, k , m, n 1,..., x 0.001 x 0.01 14. y tg k ( x m)n , x 1, k , m, n 1,..., x 0.001 x 0.01 15. y ln k ( x m)n , x 1, k , m, n 1,..., x 0.001 x 0.01 1.4.2. Функция ( u , ε=0.01), аргументларнинг коорднаталари, абсолют ёки нисбий хатоликлари берилган. Функция (аргументлар) хатоликлари топилсин. xk y m , x, y, z 1, k , m, n 1,..., x, y, z 0.001 x, y, z 0.01 . n z 17. u sin( xk y n ) / z m , x, y, z 1, k , m, n 1,..., x, y, z 0.001 x, y, z 0.01. 18. u cos( xk y n ) / z m , x, y, z 1, k , m, n 1,..., x, y, z 0.001 x, y, z 0.01 . 19. u tg ( xk y n ) / z m , x, y, z 1, k , m, n 1,..., x, y, z 0.001 x, y, z 0.01 . 20. u ln( xk y n ) / z m , x, y, z 1, k , m, n 1,..., x, y, z 0.001 x, y, z 0.01 . 16. u xk y m , x, y, z 1, k , m, n 1,..., x, y, z 0.0001 x, y, z 0.001 . z 22. u sin( xk yn ) / z m , x, y, z 1, k, m, n 1,..., x, y, z 0.0001 x, y, z 0.001. 23. u cos( xk yn ) / z m , x, y, z 1, k , m, n 1,..., x, y, z 0.0001 x, y, z 0.001. 24. u tg ( xk yn ) / z m , x, y, z 1, k , m, n 1,..., x, y, z 0.0001 x, y, z 0.001 . 25. u ln( xk yn ) / z m , x, y, z 1, k , m, n 1,..., x, y, z 0.0001 x, y, z 0.001 . 21. u n Назарий саволлар ва топшириқлар 1. Абсалют хато, чегаравий абсолют нима? 2. Нисбий хато, чегаравий нисбий хато нима? 3. Нисбий ва абсалют хато орасида қандай муносабат мавжуд? 4. Функция ва аргументлар хатоликлари орасида қандай муносбат мавжуд? 5. Хатоликлар назариясининг тўғри ва тескари масаласига доир элементар геометриядан мисоллар келтиринг. 5 2. БИР НОЪМАЛУМЛИ НОЧИЗИҚ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ MathCAD дастурида бир ноъмалумли ночизиқ тенгламаларни тақрибий ечиш учун стандарт ички функциялар мавжуд, улар root(f(x),x) ) , given ..find, minimize(f(x),x) -ихтиёрий f(x)=0 тенглама учун, polyroots(v) -кўпҳадли тенглама f(x)=a 0 +a1x+...+a n x n учун, бу ерда v=[ a 0 ,a1 ,...,a n ]T -коэффицентлар. Қуйидаги келишувни қабул қиламиз: > белги MathCAD даги командани, // белги изоҳни билдирсин. (аслида улар MathCAD да ишлатилмайди). Мисол 1. f(x)=x-cos(x)=0 тенгламани тақрибий ечиш қуйидагича: > x:=0 // Бошланғич итерация тенглама f(x):=x-cos(x) > r:=root(f(x),x)T r=0.7398 // Ички функцияга мурожаат ва илдизни чиқариш Графикни келтирамиз ( f(x)=x-cos(x),-10 x 10 ). 20 10 f( x) 0 10 10 0 10 x Мисол 2. f ( x) x3 3x2 x 3 0 тенгламанинг барча илдизларини топиш > v:=[3 -1 -3 1]T > r=(-1, 3, 1 )T s:=root(f(x),x) // Коэффицентлар ва ички функция r:=polyroots(v) // Илдизларни чиқариш s (-1, 3, 1 ) T Графикни келтирамиз ( f(x)=x3 -3x2 -x+3,-10 x 10 ). 48 100 0 f( x) 100 192 200 5 0 5 5 x 5 Энди итерация ва Ньютон усулларини ташкил этувчи ҳисоблаш жараёнларини тузамиз, бу усулларни ўргатишда жуда муҳим аҳамиятга эга. Мисол 3. Итерация усули. f ( x) x cos( x) 0 тенгламани қараймиз. 6 x 5 5 5 cos( x) 0 x 5 5 0 x > x0 : 0 k : 0..10 5 // Бошланғич итерация ва итерациялар сонини бериш > xk 1 : cos( xk ) // f(x)=0 ни x=g(x) кўринишга келтириб итерациялар қуриш // Натижани чиқариш > xT =(1, 0.5403, 0.8576,..., 0.7314) Мисол 4. Ньютон усули. f ( x) x cos( x) 0 тенгламани қараймиз. > x0 : 0 k : 0..10 // Бошланғич итерация ва итерациялар сонини бериш > xk 1 : xk ( xk cos( xk )) /(1 sin( xk )) // Ньютон усули x(k 1) x( k ) f ( x( k ) ) / f ( x( k ) ) // Натижани чиқариш > xT (1, 0.75036, 0.73911,..., 0.73909) Мисол 5. Кесмани 2 га бўлиш усули. 5.Кесмани 2 га бўлиш усули. f ( x) : x 2 0.7 x 0 . f ( x) : x 2 0.7 x x0 : 1 k : 0..10 a : 1 b : 2 // тенглама // параметрлар ba //кесмани 2 га бўлиш усули 2k 1 xT {1 1.5 1.125 1.188 1.242 1.246 1.244 1.243} //натижа xk 1 : xk sign( f ( x0 )) sign( f ( xk )) 7 2.4.Индивидуал топшириқлар Тенгламалар итерация, Ньютон усуллари билан ечилсин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ёрдамида ва алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин. Графиклар чизилсин. Т.р 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Топшириклар f(x)=0 тенгламанинг энг кичик нолдан фарқли мусбат ечими топилсин f(x)=tg (ax)-bx f(x)=0 тенгламанинг энг катта мусбат ечими топилсин f(x)=ln (ax)+bx-c f(x)=0 тенгламанинг энг кичик нолдан фарқли мусбат ечими топилсин f(x)=asin(bx)-cx f(x)=0 тенглама ечилсин f(x)=a exp(-bx)-x f(x)=0 тенглама ечилсин 3 2 f(x)=ax +bx +cx+d 8 a 0,6319 9,4637 0,9464 8,5174 1,8927 4,4164 0,3049 9,1464 0,6098 8,5366 0,9146 7,9268 0,33 10 1 6,3 1,67 8 b 0,9217 13,8249 1,3825 12,4424 2,7650 6,4516 0,3436 10,3081 0,6872 9,6209 1,0308 8,9337 2,3 7,375 2,2 5,189 2,5 6,18 c 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0,5 7,75 1 5 1,5 6,25 d - 0,312 0,893 0,0385 0,944 0,25 0,67 0,5 0,6857 0,982 0,8896 0,107 1,2755 0,7586 0,52 0,963 0,51 0,8 0,6 0,667 0,56 0,503 -2,813 -0,4613 -3,601 - - 3,6929 2,3738 -1,37 11,2 5,44 6,76 3. НОЧИЗИҚ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАЛАРИНИ ЕЧИШ MathCAD дастурида ночизиқ тенгламалар системасини тақрибий ечиш учун стандарт ички функциялар мавжуд, улар given ..find блоки, minimize (f(x),x) ички функцияси. Мисол сифатида ушбу системаларни оламиз: f1 ( x1 , x2 ) x12 x22 1 , f 2 ( x1 , x2 ) x12 x2 0 , 1) given ..find блоки // бошланғич итерацияни бериш (x:=-1 y:=0) > x:=1 y:=0 // тенгламаларни бериш, баробар йўғон >Given x2 y2 1 x2 y 0 // илдизни ўзгарувчига бериш > r : Find ( x, y) > r T 0.7861 0.6181 //илдизни чиқариш, ( r T 0.7861 0.6181 ) Итерация ва Ньютон усулларини ташкил этувчи жараёнлар тузамиз. 2) итерация усули. x1 0.5cos x2 1,sin( x1 1) x2 1.2 системани қараймиз. > g ( x) : 1 0.5*cos( x2 ) sin( x1 1) 1.2 T x 1 : 0.4 0.5 T // бошланғич итерация ни бериш x1 : 0.6 0.1 T // итерацияларни ҳисоблаш xk 1 : g ( xk ) k : 0..5 // итерация функциясини бериш, 0.4 0.562 0.515 0.510 0.511 0.511 0.6 0.502 0.655 0.510 0.510 0.510 x // x 0.1 0.811 0.202 0.203 0.202 0.202 0.5 0.215 0.20 0.202 0.219 0.219 k 1 k k 1 k 3) Ньютон итерация усулини ташкил этиш: x : x ( J ( x )) f ( x ) . // индекснинг бошланғич қиймати > ORIGIN :=1 // итерацияловчи функцияларни бериш > g ( x)T : x12 x22 1, x12 x 0 2 x1 2 x2 2 x1 1 // Якоби матрицасини қуриш > J ( x) : > x1 : 1 0 T > k:=0..5 // бошланғич итерацияни бериш ( x1 : 1 0 ) T xk 1 : xk ( J ( xk ))1 f ( xk ) //Ньютон итерацияларини қуриш 1 1 0.833 0.788 0.786 0.786 0 1 0.667 0.619 0.618 0.618 1 1 0.8333 0.7881 0.7861 0.7861 0 1 0.6667 0.6190 0.6180 0.6180 >x // x xk 1 : xk ( J ( xk ))1 f ( xk ) формула ҳозирча фақат MathCAD да ишлаяпти. 4) Минимизация усули. f ( x) : ( x12 x22 1)2 ( x2 x12 )2 min масалани қараймиз. Равшанки, Minimize f(x)=0, яъни f(x)=0. Шунинг учун, топамиз: 9 > x1 : 1 x2 : 0 // бошланғич қиймат ( x1 : 1 x2 : 0 ) f ( x) : [ x12 x2 2 1]2 [ x12 x2 ]2 // мақсад функция s : Minimize( f , x1 , x2 ) sT (0.786 0.618) //натижалар rT (0.787 0.618) 3.4.Индивидуал топшириқлар. Тенгламалар итерация, Ньютон усуллари билан ечилсин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ёрдамида ва алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин. Графиклар чизилсин. N 1 sin( x 1) y 1.2, 2 x cos y 2 2 cos( x 1) y 0.5, x cos y 3 3 5 sin x 2 y 2,cos( y 1) x 0.7 4 6 cos x y 1.5, 2 x sin( y 0,5) 1 sin( x y) 1,6x 0, x2 y2 1 7 9 cos x y 1.5, 2 x sin( y 0.5) 1 11 cos( x 0.5) y 0.8 sin y 2 x 1.6 12 13 cos( y 0.5) x 0.8 sin x 2 y 1.6 14 tg ( xy 0,1) x 2 ; 15 2 x cos( y 1) 0; y sin x 0, 4 cos( y 0,5) x 2 sin x 2 y 1 sin( y 2) x 1,5 y cos( x 2) 0,5 sin( x 1) y 1 2 x cos y 2 16 sin( x y) 1,1x 0,1; cos( x 1) y 0,8 x cos y 2 sin x 2 y 1, 6 cos( y 1) x 1 cox y 1, 2 2 x sin( y 0,5) 2 24 sin( x y) 1, 2 x 0, 2 2 2 x y 1 30 17 19 21 23 25 27 29 tg ( xy 0.4) x2 ,0.6x2 2 y 2 1 sin( x 0,5) y 1,2 x sin( y 0,5) 1 8 sin( x y) 1, 2x 0.2, x2 y 2 1 10 tg ( xy 0.3) x 2 ,0.9 x 2 2 y 2 1 sin( x y) 1,3x 0, x y 1 2 2 2 2 0,5 x 2 y 1 18 20 2 2 x y 1 tg ( x y) xy 0 2 2 x 2 y 1 3 2 2 sin( x y ) xy 1, x y 4 22 tg ( xy 0, 2) x 2 ; 26 2 2 x 2 y 1 sin( x y) 1,5 x 0; 2 2 x y 1 tgxy x2 , 0,5x2 2 y 2 1 28 sin( x y) 1, 2 x 0, 2 10 2 2 x y 1 sin( x y) 1, 2 x 0, 2 2 2 x y 1 4. ЧИЗИҚЛИ АЛГЕБРА МАСАЛАЛАРИНИ ЕЧИШ. MathCAD да жуда кўп чизиқли алгебра масалалари ечилиши мумкин ва бу жараён табиий математика тилида олиб борилади.У нақадар содда ва тушунарлики, биз айрим асосий командаларни санаб ўтиш билан чекланамиз. 3 4 7 A : b : d : A B : A1 x : Bb r : eigenvals( A) s : eigenvecs ( A) // 5 6 11 2 3 0.217 0.779 0.541 r s 2.5 1.5 9.217 0.627 0.841 > d 2 B 3 4 7 1 0 1 rref (C ) 5 6 11 0 1 1 > C augment ( A b) C : 1 x 1 1 x 1 // натижалар // Поғонасимон С 4.1. Тескари матрица усули 40 2 A : 2 1 x : A1b 1 43 45 40 2 1 b : 46 2 2 2 1 2 40 44 xT 1 1 1 1 // ечим 1 1 // матрица ва ўнг томон 4.2. Ички функция lsolve(A,b) ёрдамида ечиш r : lsolve( A, b) r T 1 1 1 1 4.3. Гаусс усулининг ички функцияси rref(A) ёрдамида ечиш 40 1 1 1 43 2 40 2 1 45 // кенгайтирилган матрица B : augment ( A, b) B 2 2 40 2 46 1 1 2 40 44 1 0 s : rref ( B) s 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 x // ички функция ва ечим 1 1 4.4. Тескари матрица C : A1 0.0251 0.0006 0.0006 0.0006 0.0012 0.0251 0.0012 0.0005 C 0.0012 0.0012 0.0251 0.0012 0.0005 0.0006 0.0012 0.0251 1 0 0 0 0 1 0 0 C A 0 0 1 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 1 0 0 AC 0 0 1 0 0 0 0 1 4.5. Dетерминант d : A d1: C d * d1 1 d=2538588 d1=0.00000039 4.6. Хос сонлар r : eigenvals( A) rT [44.49 38.866 39.37 37.644] 4.7.Хос векторлар 0 0.0958 0.3582 0.1852 0.5338 0.7658 0.7071 0.5129 s 0.606 0.5878 0 0.7295 0.4686 0.6132 0.7071 0.4423 s : eigenvals( A) 4.8. Итерация усули 40 1 1 1 43 1 2 40 2 1 b : 45 E : identity (4) E 0 A : 2 2 40 2 46 0 1 1 2 40 44 0 0 0 0 0 0 1 0 0 x : 0 0 1 0 0 0 1 0 : 0.005 B : E A d : b k : 0..30 xk 1 : d Bxk 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0 0.989 0.992 0.993 0.995 0.996 0.997 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 x 1 0.992 0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 0.999 2 0.994 0.995 0.997 0.997 0.998 0.999 0.999 0.999 0.999 1 1 1 1 3 0.991 0.993 0.994 0.996 0.997 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 0.999 4.2.Индивидуал топшириқлар. Тенгламалар системаси Гаусс, итерация, тескари матрица усуллари билан ечилсин. Хос сонлар ва хос векторлар топилсин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ёрдамида ва алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин. 8.30 2.62 3.92 8.45 A 1) 3.77 7.21 2.21 3.65 k 1 2) A 1 1 4.10 7.78 8.04 1.69 1.90 16.92 22.61 2.46 , 0.2k , k 0,..., n. ,b , 21.3 2.28 6.99 14.54 1 1 1 n 3 n 3 k 1 1 , n 1, 2,.... , k n 3, n 4, n 5,...., b n 3 1 k 1 1 1 k n 3 12 5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФОРМУЛАЛАРИНИ ҚУРИШ n n x xj i 0 j 0, j i xi x j 5.1. Лагранж интерполяция кўпҳади: Ln ( x) f ( xi )li ( x), li ( x) . MathCAD ойнасида қуйидаги командаларни терамиз: n : 4 f ( x) : x *sin( x) a : 0 b : 4 h : (b a) / n // интерполяция шартлари i : 0..n vxi : a ih vyi f (vxi ) vx : 0 1 2 3 4 T vy 0 0.8415 1.8186 0.4234 3.0272 T n i 0 j 0 // қийматлар // индексларнинг ўзгариш соҳаси i : 0..n j : 0..n n // тугун нуқталар, функция Ln( x) : vyi if (i j ,1, ( x vx j ) /(vxi vx j )) // Лагранж интерполяция кўпҳади // қийматлар. Ln(2.3) 1.689 f (2.3) 1.715 Ln(1) 0.841 Ln(2) 1.8186 n i 1 i 1 j 0 5.2.Ньютоннинг интерполяция кўпҳади. N n ( x) f ( x0 ) f [ x0 ,..., xi ] ( x x j ) MathCAD ойнасида қуйидаги командаларни терамиз: n : 4 f ( x) : x *sin( x) a : 0 b : 4 h : (b a) / n // интерполяция шартлари i : 0..n vxi : a ih vyi f (vxi ) vx : 0 1 2 3 4 T > k:=0..n // тугун нуқталар, функция vy 0 0.8415 1.8186 0.4234 3.0272 T k k i 0 j 0 a0 : f (vx0 ) ak : vyi if (i j ,1,1/(vxi vx j )) n i 1 i 1 j 0 Nn( x) : a0 ai ( x vx j ) // қийматлар // бўлинган айирмалар // Ньютон кўпҳади // натижалар > Nn(2.3) 1.6893 Nn(2) 1.8186 Nn(3) 0.4234 5.3. Сплайнлар билан интерполяциялаш: s1 ( x) f ( xi ) f [ xi , xi1 ]( x xi ), xi x xi 1 . Чизиқли s1 , кубик s3 сплайнлар қуйидагича қурилади: n : 4 f ( x) : x *sin( x) a : 0 b : 4 h : (b a) / n // интерполяция шартлари i : 0..n vxi : a ih vyi f (vxi ) vx : 0 1 2 3 4 T // тугун нуқталар, функция vy 0 0.8415 1.8186 0.4234 3.0272 T // қийматлар s1( x) : l int erp(vx, vy, x) M : cspline(vx, vy ) s3( x) : int erp(M , vx, vy, x) //сплайнлар // қийматлар s1(1.5) 0.868 s3(1.5) 0.98 f (1.5) 0.997 13 5.4. Индивидуал топшириқлар. Берилган функция учун Ньютон, Лагранж интерполяция кўпҳадлари, чизиқли, кубик интерполяция сплайнлари қурилсин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ёрдамида ва алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин. Тўр нуқталари {xi a ih, i 0..n} дан фарқли учта x1,x 2 ,x3 нуқталарда интерполяция формулалари ва функциянинг қийматлари ҳисобланиб, қийматлар солиштирилсин. Графиклар чизилсин. Т.р Топшириқлар 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 f(x)=tg (ax)-bx f(x)=ln (ax)+bx-c f(x)=asin(bx)-cx f(x)=a exp(-bx)-x 3 2 f(x)=a x +bx +cx+d a b 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 c d [a,b] Нукталар Функция сони ҳисобланадиган. нуқталар x1 ,x 2 ,x3 10 [0,2] 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 x1 ,x 2 ,x3 10 x1 ,x 2 ,x3 10 x1 ,x 2 ,x3 10 x1 ,x 2 ,x3 [3,4] [1,4] [3,5] 1 2 3 1 2 3 14 [2.5] 6. КВАДРАТУРА ФОРМУЛАЛАРНИ ҚУРИШ. n 0 i 0 J sin( x)dx интегрални ҳисоблайлик, J h : ci f (i ) Rh : J J h . 6.1. Тўғри тўртбурчаклар формуласи. n 1 J hTT : h f ( xi h / 2) , RhTT i 0 h 2 (b a ) f (c) . 24 f ( x) : sin( x) a : 0 b : n : 20 // функция, оралиқ, бўлинишлар сони b J : f ( x)dx // ҳисобланадиган интеграл J 2 a // қадам, тугун нуқталар h : (b a) / n i : 0..n xi : a ih n JTT (n) : h f ( xi h / 2) JJT (n) 1.99 // ТТ формуласи ва қиймати i 0 6.2.Tрапеция формуласи: n 1 h (b a) f (a ) f (b) J hT : h h f ( xi ) , RhT f (c) . 2 12 i 1 2 f ( x) : sin( x) a : 0 b : n : 20 // функция, оралиқ, бўлинишлар сони b J : f ( x)dx // ҳисобланадиган интеграл J 2 a // қадам, тугун нуқталар h : (b a) / n i : 0..n xi : a ih n 1 f (a ) f (b) JT (n) : h h f ( xi ) 2 i 1 JT (n) 1.996 // Трапеция формуласи 6.3.Симпсон формуласи: m m 1 h h 4 (b a) (4) J hC : [ f (a ) f (b) 4 f ( x2i 1 ) 2 f ( x2i )] , RhTT f (c ) . 3 180 i 1 i 1 f ( x) : sin( x) a : 0 b : n : 20 b J : f ( x)dx // функция, оралиқ, бўлинишлар сони // ҳисобланадиган интеграл a // қадам, тугун нуқталар h : (b a) / n i : 0..n xi : a ih m m 1 h JS (m) : [ f (a) f (b) 4 f ( x2i 1 ) 2 f ( x2i )] 3 i 1 i 1 J 2 JS (10) 2.0000067844 // Симпсон формуласи // интегралнинг аниқ ва тақрибий қиймати 15 6.4. Гаусс квадратура формуласи. Ушбу Гаусс квадратура формуласи мавжуд: J hG h n (5 f (a h(k p1 )) 8 f (a h(k 0.5)) 5 f (a h(k p2 ))) , 18 k 1 1 3 1 3 p1 (1 ), p2 (1 ) , 2 5 2 5 1 b a 7 (6) RhG ( ) f (c ) . 15750 2 6.5. Қодиқни баҳолашнинг Рунге қоидаси. z -бирор аниқ миқдор, zh -унинг бирор тақрибий қиймати бўлсин, z zh .Фараз қилайлик, улар орасида асимптотик ушбу муносабат ўринли бўлсин: z zh chk O(hk m ), c const . Масалан, агар f ( x) C 4[a, b] ва f ( x) C6[a, b] бўлса, J J hT c1h2 O(h4 ) , J J hTT c2h2 O(h4 ) , J J hS c3h4 O(h6 ) , асимптотик формулалар ўринли. Рунге қоидаси қолдиқ ҳадни амалий баҳолашга ёрдам беради ва қуйидагидан иборат: rh / 2 J J h / 2 zh / 2 zh . 2k 1 6.7. Тақрибий қийматларни яхшилашнинг Ричардсон экстраполяция формуласи. z учун zh* янги тақрибий миқдорни Ричардсон экстраполяция формуласи асосида қуйидагича киритамиз: zh* 2 k zh / 2 zh . 2k 1 У ҳолда янги тақрибий формуоа хатолиги қуйидагича бўлади: rh* z zh* O(hk m ) , яъни z zh* O(hk m ) . 6.8. Монте Карло усули. Монте Карло усулида интеграллар қуйидагича ҳисобланади: 1 f ( x)dx n 0 1 1 1 n f (i ) , n i 1 f ( x, y)dxdy n 0 0 1 n f (i ,i ) . n i 1 Бу ерда i ,i миқдорлар тасодифий [0,1] кесмада компьютер ёрдамида яратиладиган ўзаро боғлиқ бўлмаган псевдотасодифий миқдорлар. Хатоликлар J n лар 0.997 эҳтимоллик билан ушбу баҳо ёрдамида аниқланади: 1 n p ( J n 3 ) 0.997 , J n 3 , (i n )2 . n n n 1 i 1 16 6.4. Индивидуал топшириқлар. Интеграллар тўғри тўртбурчаклар, трапеция, Симпсон, Гаусс усуллари билан топилсин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ва алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин. N f ( x) [a,b] F ( x), F ( x) f ( x) 1 ln x /( x 1 ln x ) 1,3,5 2(ln x 1)3/ 2 / 3 2(ln x 1)1/ 2 4 / 3 2 tg 2 x ctg 2 x / 6, / 3 tgx ctgx 2x tg ( / 6) ctg ( / 6) / 3 3 1/ x / ln x 4 ln 2 x / x 5 ex 1 6 xe x sin x 7 xshx 8 1/ 9 x 2 9 x2 sin(1/ x) xarctgx 2,3 1, 4 0, ln 2 0,1 0, 2 0, 2 1, 2.5 10 11 arcsin x /(1 x) 12 x x (1 ln x) 13 1/ 1 3x 2 x 2 14 ( x 2 0.16) / x 15 23 x 16 xarctgx / 1 x 2 17 (e2 x 1) /(ex 1) 18 sin 2 x 19 x2 4 x2 20 e x cos2 x 21 22 23 0, 3 0,3 2.3026(ln ln x ln ln 2) ln 3 x / 3 2 e x 1 2arctg e x 1 ( xex (sin x cos x) ex cos x 1) / 2 xchx shx ln( x x 2 9) ln 3 cos(1/ x) cos1 x2arctgx / 2 x / 2 1/ arctgx x arcsin x /(1 x) x _ arctg x xx 1 1,3 0,1 ln(( x 0.75 ( x 0.75)2 0.0625)/(0.75 0.5)))/ 2 1, 2 ( x 2 0.16) 0.4arccos(0.4 / x) 0.84 0.4arccos(0.4 / x) (23x 1) / 3/ ln 2 0,1 0,1 1 x2 arctgx ln( x 1 x2 ) e2 x / 2 e x x 0.5 0, 2 0, / 2 x / 2 sin 2 x / 4 0,1.9999 2arcsin( x / 2) sin(4arcsin( x / 2)) / 2 0, 2 ( x ln x) 1, e 0,1 arcsin( x /(1 x )) ( x2 1) /( x2 1) / 1 x2 0,1 ex (1 (2sin 2x cos 2x) / 5) / 2 0.6 1,1.5 0,1.5 ln(tg ( x / 2)) cos x ln(tgx) ln tg 0.5... 24 sin x ln(tgx) 25 ex (1 sin x) /(1 cos x) 26 1/(3sin x 2cos x) 27 (ln x / x)2 28 x2 /(3 x) 0,1 1, 2 1, 2 x3 (9ln 2 x 6ln x 2) / 27 2 / 9 x arcsin( x /(1 x )) x arctg x 2 arcsin(sin(2arctgx / 2) / 2 e xtg ( x / 2) 3/ 26 (3cos x 2sin x) /(13(2cos x 3sin x)) - (ln x 3ln 3 2 x / 2 3ln x 3/ 4) / 2 x2 9x 3x2 / 2 x3 / 3 27ln(3 x) 47 / 6 27 17 7. ОДТ УЧУН КОШИ МАСАЛАСИНИ ТАҚРИБИЙ ЕЧИШ ОДТ учун Коши масаласини тақрибий ечишни ушбу мисолда кўрамиз: y 2.2 /( x2 y 2 2.6), y(0) 0 Усуллар сифатида Эйлер (E) yi1 yi hf ( xi , yi ) , такомиллашган Эйлер (TE) yi0.5 yi hf ( xi , yi ) / 2, yi1 yi hf ( xi0.5 , yi0.5 ) / 2 , прогноз-коррекция (PK) yi 1 yi hf ( xi , yi ), yi 1 yi hf ( xi 1 , yi 1 ) , Рунге-Кутта (RK) усулларини yi 1 yi (k1 2k2 2k3 k4 ) / 6 , k1 hf ( xi , yi ) , k2 hf ( xi h / 2 , k3 hf ( xi h / 2, yi hk2 ) , k4 hf ( xi 1, yi hk3 ) ,қараймиз. Тушунтиришларни // белгидан сўнг келтирамиз. Биз кенг кўламдаги ички функцияларни ишлатмаймиз: Bulstoer, bulstoer, bvalfit, Odesolve, Radau, radau, Rkadapt, rkadapt, rkfixed, Sbval, Stiifb, stiffb, Stiffr, stiffr. Уларнинг кўпчилиги асосида юқоридаги усуллар ётади. // оралиқ, нуқталар a : 0 b : 0 n : 10 h : (b a) / n Origin : 0 i : 0..n xi : a ih f ( x, y) : 2.2 /( x 2 y 2 2.6) y0 : 0 //ОДТ да ўнг томони, бошланғич шарт yi 1 : yi hf ( xi , yi ) // E усул y12i 1 : yi h h f ( xi , yi ) yTEi 1 : yi hf ( xi , y12i ) 2 2 // TE усул // PK усул yPKi 1 : yi hf ( xi h, yi 1 ) // RK усул коэффицентлари k1i : hf ( xi , yi ) k 2i : hf ( xi h / 2, yi hk1i / 2) k 3i : hf ( xi h / 2, yi hk 2i / 2) k 4i : hf ( xi h, yi hk 3i ) // RK усул коэффицентлари 1 yRKi 1 : yi (k1i 2k 2i 2k 3i k 4i ) 6 // RK усул Ҳисоблашларни бажариб ушбу натижага келамиз: 0 1 2 3 4 E 0.085 0.169 0.251 0.331 0.408 0.481 0.55 TE 0.085 0.168 0.251 0.331 0.407 0.48 PK 0.084 0.167 0.249 0.328 0.404 0.477 0.545 0.61 RK 0.085 0.168 0.25 0.33 5 6 7 8 9 10 0.614 0.675 0.732 0.549 0.614 0.675 0.731 0.671 0.728 0.406 0.479 0.548 0.613 0.674 0.731 18 7.4. Индивидуал топшириқлар. Коши масаласининг тақрибий ечими Эйлер, Рунге-Кутта усуллари ҳисоблансин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ва алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин. ОДТ [a,b] N 1 y xy x2 sin x h=(b-a)/n Аниқ ечим [0, 0.5] y(0) 1 0.1 cos x x sin x 2 (1 x) y y 2 2ln(1 x) [0, 0.5] y(0) 1 0.05 1 x 2ln(1 x) 3 y y e x (cos x sin x) [0, 0.5] y(0) 1 0.05 e x (cos x sin x) 4 y 2 y e2 x y 2 y 4cos 2 x [0,1] 0.1 [0,0.2] y(0) 1 y(0) 1 0.02 (1 x)e2 x cos 2 x sin 2 x [0, 2] y(0) 2 0.2 e x e x [0,0.2] y(0) 2 0.02 e5 x e3 x y 2 y 4cos 2 x y y 6e3x [0,1] 0.1 cos 2 x sin 2 x [0,1] y(0) 1 y(0) 2 0.1 e3 x e3x y y e x y y 5e2 x [0,1] y(0) 1 0.1 [0,1] y(0) 0 0.1 y (3/ 4) y (5/ 4)ex / 2 xy y x2 x 1 y 3 y 0 [0,1] y(0) 2 0.1 [1, 2] y(0) 0 0.1 e x (1 x) e2 x e3 x ex / 2 e3x / 4 x2 x [0, 0.5] y(0) 1 0.05 e3x (cos x sin x) y(0) 0 0.02 e2 x 0.5e3x 0.5e x 16 [0,1] y 2 y 2.5e3x 1.5ex y y 0.1e2 x 0.5x2 2x [0,1.5] 1 y(0) 5.1 0.1 e x 0.1e2 x 0.5x2 3x 4 17 y y 2cos x 1 ex [1,1.5] y(0) 2.5 0.1 cos x sin x 1 e x / 2 18 [1,1.5] y(0) 4 0.05 19 x2 y xy 2 xy y 5ln x 1 [1,1.5] 0.05 20 y y ex x2ex / 3 [0, 0.5] y(1) 5 y(0) 1 2 x 1/ x x 2 5 ln x 0.05 (1 x)ex x3ex / 6 21 y 2 y 2e3x 2xy y 4x2 [0,1] y(0) 2 0.1 e x e2 x [1, 2] y(0) 2 0.1 3 x x2 23 2 x y y 2cos x [1, 2] y(0) 1 0.1 sin x cos x 24 10 y 3 y 20x 0.3x 1 [1, 2] y(0) 1/ 3 0.1 x2 0.1x3 1/ 3 25 y y 2ex [0,1] y(0) 2 0.1 e x e x 26 y 2 y 4cos 2 x [0, 0.5] y(0) 1 0.05 sin 2 x cos 2 x 27 y 0.5 y 1.5ex y y xe2 x 2(1 x) [0,1] y(0) 1 0.1 e x e x / 2 [0, 0.5] y(0) 1 0.05 (1 x)e2 x 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 28 y y 2e x y 5 y 2e3x 3 БШ 19 8. ОДТ УЧУН ЧЕГАРА МАСАЛАЛАРНИ ТАҚРИБИЙ ЕЧИШ Бу ерда коллокация, Галёркин, энг кичик квадратлар, чекли айирмалар усуллари билан тақрибий ечиш MathCAD дастурида ташкил этилган. Биз кенг кўламдаги ички функцияларни ишлатмаймиз. 1. ОДТ учун чегара масала қуйидагича қўйилади: Lu u p( x)u q( x)u f ( x), a x b, (дифференциал тенглама-ДТ), l0u 0u(a) 1u(a) 0 , l1u 0u(b) 1u(b) 1 .(чегара шартлар-ЧШ). ДТ ва ЧШ қаноатлантирувчи u u( x) C 2[a, b] функцияни топиш керак. Проекцион усулларда тақрибий ечим un ( x) u( x) қуйидагича изланади: n u n ( x) 0 ( x) c j j ( x) , c j -?. j 1 Бу ерда {i ( x)} лар базис функциялар, улар махсус усул билан танланади. Коллокация усулида коэффицентлар қуйидагича топилади: n c L ( x ) f ( x ) L ( x ) , i=0,1,...,n. j 1 j j j i i 0 i Энг кичик квадратлар усулида коэффицентлар қуйидагича топилади: a n c ( L , L ) ( f L , L ), ( f , g ) f ( x) g ( x)dx, j j 1 j i 0 i, j 1,...n i b Галеркин-Ритц усулида коэффицентлар қуйидагича топилади: a n c ( L , ) ( f L , ), ( f , g ) f ( x) g ( x)dx, j 1 j j i 0 i i, j 1,...n b Ритц усулида коэффицентлар қуйидагича топилади: b b n a a j 1 F (u ) ( Lu, u ) 2(u, f ) u ( x) Lu ( x) dx 2 u ( x) f ( x) dx min , c j ( L j , i ) ( f L0 , i ), Базис фунцияларни танлаш: 1-тур чегара шартлар: u (a)=A, u(b)=B , 01 ( x) A ( B A) ( x a) /(b a) , а) i ( x) ( x a)i (b x), i 1 ;б) i ( x) sin( i( x a) ), ba i 1. 2-тур чегара шартлар: u (a)=A, u(b)=B , 02 ( x) 01 ( x)dx Ax ( B A)( x a)2 /(2(b a)) C , i( x a) ), ba 3-тур чегара шартлар: 0u(a) 1u(a) A, 0u(b) 1u(b) B , а) i ( x) ( x a)i 1 (b x)2 , i 1 ; б) i ( x) Cos( 0 ( x) ( x a) 0 1 A, 0 (0 (b a) 1 ) B, a) i ( x) ( x a)i 1 (b x)2 , i 1 ; b) i ( x) ( x a)i 1[ i ( x a)], i 1. 2. Масаланинг Маткадда ечишни ташкил этиш А.Коллокация усули 20 i 1 p(t ) : sin(t ) q(t ) : cos(t ) f (t ) : 6t 3t 2 sin(t ) t 3 cos(t ) // u(t ) p(t )u(t ) q(t )u(t ) f (t ) > :=3.14 0 (t)=1 n:=5 i:=1..n j:=1..5 t0 :=0 t n :=1 // оралиқ, параметрлар > h:=(t n -t 0 )/n (j,t):=sin(j* *t) i:=1..n Origin:=0 // қадам, базис функция > ( j, t ) : ( j, t ) p(t )(t ) q(t )(t ) (t ) : f (t ) 0 (t ) p(t )0 (t ) q(t )0 (t ) > ai , j : ( j, ti ) bi : (tt ) // ЧАТС элементлари a1,1 a 2,1 > A : a3,1 a4,1 a 5,1 a1,2 a1,3 a1,4 a2,2 a2,3 a2,4 a3,2 a3,3 a3,4 a4,2 a4,3 a4,4 a5,2 a5,3 a5,4 a1,5 b1 b a2,5 2 a3,5 b : b3 a4,5 b4 b5 a5,5 //A=матрица b=ўнг томон c : 0.381 0.058 0.011 0.0004666 0.0000987 // коэф-р c : A1b T 5 > u(t ) : 0 (t ) c j ( j, t ) // ечим j 1 u(0.2) 0.013 u(0.4) 0.056 u(0.6) 0.067 u(0.8) 0.034 //қийматлар В.Галёркин усули p(t ) : sin(t ) q(t ) : cos(t ) f (t ) : 6t 3t 2 sin(t ) t 3 cos(t ) // u(t ) p(t )u(t ) q(t )u(t ) f (t ) > :=3.14 0 (t)=1 n:=5 i:=1..n j:=1..5 t0 :=0 t n :=1 // оралиқ, параметрлар > h:=(t n -t 0 )/n (j,t):=sin(j* *t) i:=1..n Origin:=0 // қадам, базис функция > ( j, t ) : ( j, t ) p(t )(t ) q(t )(t ) (t ) : f (t ) 0 (t ) p(t )0 (t ) q(t )0 (t ) 1 ai , j : (i, t ) ( j , t )dt 0 a1,1 a 2,1 > A : a3,1 a4,1 a 5,1 c : A1b 1 bi : (t ) (i, t )dt // ЧАТС элементлари 0 a1,2 a1,3 a1,4 a2,2 a2,3 a2,4 a3,2 a3,3 a3,4 a4,2 a4,3 a4,4 a5,2 a5,3 a5,4 a1,5 b1 b a2,5 2 a3,5 b : b3 a4,5 b4 b5 a5,5 //A=матрица b=ўнг томон c : 0.381 0.058 0.011 0.0004666 0.0000987 // коэф. -р T 5 > u(t ) : 0 (t ) c j ( j, t ) // ечим j 1 u(0.2) 0.013 u(0.4) 0.062 u(0.6) 0.073 u(0.8) 0.042 //қийматлар С. Энг кичик квадратлар усули p(t ) : sin(t ) q(t ) : cos(t ) f (t ) : 6t 3t 2 sin(t ) t 3 cos(t ) // u(t ) p(t )u(t ) q(t )u(t ) f (t ) > :=3.14 0 (t)=1 n:=5 i:=1..n j:=1..5 t0 :=0 t n :=1 // оралиқ, параметрлар > h:=(t n -t 0 )/n (j,t):=sin(j* *t) i:=1..n Origin:=0 // қадам, базис функция > ( j, t ) : ( j, t ) p(t )(t ) q(t )(t ) (t ) : f (t ) 0 (t ) p(t )0 (t ) q(t )0 (t ) 21 1 ai , j : (i, t ) ( j , t )dt 0 a1,1 a 2,1 > A : a3,1 a4,1 a 5,1 c : A1b 1 bi : (t ) (i, t )dt // ЧАТС элементлари 0 a1,2 a1,3 a1,4 a2,2 a2,3 a2,4 a3,2 a3,3 a3,4 a4,2 a4,3 a4,4 a5,2 a5,3 a5,4 a1,5 a2,5 a3,5 a4,5 a5,5 b1 b 2 b : b3 b4 b5 //A=матрица b=ўнг томон c : 0.381 0.058 0.011 0.0004666 0.0000987 // коэф. -р T 5 > u(t ) : 0 (t ) c j ( j, t ) // ечим j 1 u(0.2) 0.013 u(0.4) 0.063 u(0.6) 0.074 u(0.8) 0.043 //қийматлар Усулларнинг қийматларини нуқталарда солиштирамиз: Усуллар/Нуқталар 0.1 -10Е-3 Коллокация -10Е-3 Галёркин -10Е-3 ЭКК усули 0.2 0.013 0.013 0.013 0.3 0.035 0.038 0.039 0.4 0.056 0.062 0.063 0.5 0.056 0.074 0.075 0.6 0.067 0.073 0.074 0.7 0.054 0.061 0.062 0.8 0.034 0.042 0.043 0.9 0.015 0.021 0.022 3. ОДТ учун ЧАС ни ечишни ташкил қилиш. ОДТ учун чекли айирмали схема (ЧАС) қуйидаги кўринишга эга: u ui 1 ui 1 2ui ui 1 h pi i 1 qi ui f i , i 0,..., n 1, f h Lh u 2 2h h (1) u u u u l u h {l u h , l u h } { u 1 0 n 1 , 0 un 1 n } g h { 0 , 1 }. 0h 1h 0 0 1 h h h Ноъмалумларни гуруҳлаб уч диогналли тенгламалар системасига келамиз: u0 ( 0 h 1 ) 1u1 0 h, 2 2 (1 pi h / 2)ui 1 (qi h 2)ui (1 pi h / 2)ui 1 fi h , u ( h )u h 0 1 n 1 1 n 1 i 1,..., n 1 Уни прогонка (ҳайдаш) усули билан ечиш мумкин. Ушбу b0 0 h 1 , c0 1 , d 0 0 h, ai 1 pi h / 2, bi qi h2 2, ci 1 pi h / 2, di fi h2 , i=1,..,n-1 , an 1, bn 0h 1 dn 1h белгилашларни киритиб стандарт шаклга келамиз: b0u0 c0u1 d 0 ai ui 1 bi ui ci ui 1 d i , i 1,..., n 1 a u b u d n n n 1 n n Прогонка усулига асосан ечим ui vi 1ui 1 wi 1 кўринишда изланади, бу ерда: 22 v c / a v b , w [d a w ]/ a v b , i 1,...n 1 , v w 0, (2) un [d n an wn ]/ an vn bn , ui vi 1ui 1 wi 1 , i n 1, n 2,..., 0. (3) i 1 i i i i i 1 i i i i i i 0 0 ( 1) прогонка коэффициентларни , (2) эса ноъмалумларни аниқлайди. Ҳисоблашлар ушбу жадвал асосида олиб борилади. x k bk ak ↓ k ck dk a kh 0 1 … n-1 n 0 wi 1 di ai wi ai vi bi 0 vi 1 ci ai vi bi ui vi 1ui 1 wi 1 0 0 un d n an wn an vn bn Масалани Маткадда ечиш p(t ) : sin(t ) q(t ) : cos(t ) f (t ) : 6t 3t 2 sin(t ) t 3 cos(t ) // u(t ) p(t )u(t ) q(t )u(t ) f (t ) > :=3.14 n:=10 i:=0..n t 0:=0 t n :=1 h:=(t n -t 0 )/n ti : t0 ih // оралиқ, параметрлар > 0 : 1 1 : 0 0 : // ЧШ коэффицентлари > 0 : 1 1 : 0 1 : // ЧШ коэффицентлари > b0 0 h 1 , c0 1 , d 0 0 h, // ЧАТС да 0- тенглама коэффицентлари > an 1, bn 0h 1 dn : 1h // ЧАТС да n- тенглама коэффицентлари > i=1,..,n-1 , ai 1 pi h / 2, bi qi h2 2, ci 1 pi h / 2, di fi h2 // i-тенглама коэф. 3 // аниқ ечим z : x T 0 z( x) 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1·10 -3 8·10 -3 0.027 0.064 0.125 0.216 0.343 0.512 0.729 > m0,0 := 0 h-1 m0,1 : 1 d0 : 0 h 10 1 // Маткадда 0- тенглама коэффицентлари h h mi ,i : bi mi ,i 1 : 1 p( xl ) di : f ( xi ) hi 2 // i-тенг. коэф. 2 2 mn,n1 : 1 mn,n : 0 h 1 dn : 1h // Маткадда n- тенглама коэффицентлари. i : 1..n 1 mi ,i 1 : 1 p( xl ) 23 Назорат учун Маткад ойнасида ЧАТС матрицаси ва ўнг томонни экранга чиқарамиз: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.95 -1.999 1.05 0 0 0 0 0 0 0 1 6.301·10 -3 0.95 -1.998 1.05 0 0 0 0 0 0 2 0.013 0.95 -1.997 1.05 0 0 0 0 0 3 0.021 0.95 -1.996 1.05 0 0 0 0 d 4 0.029 0.95 -1.995 1.05 0 0 0 5 0.038 0.95 -1.994 1.05 0 0 6 0.048 0.95 -1.993 1.05 0 7 0.059 0.95 -1.992 1.05 8 0.071 0.95 -1.991 9 0.085 10 0.1 2 0 3 0 0 m 4 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ечимнинг тўр нуқталардаги қийматларини чиқарамиз: u : m1d 0 1 0 0 0.526E-3 uT 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.907E-3 0.028 0.065 0.126 0.217 0.344 0.513 0.729 1 24 8.4. Индивидуал топшириқлар Иккинчи тартибли чизиқли ОДТ учун чегаравий масала чекли айирмали схема тузилиб Галеркин усуллари ва прогонка усули билан ечилсин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ва алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин. y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), 0 y(a)+1y' (a)= 0 , 0 y(b)+1y' (b)= 1 № Тенгламалар 1 y+2xy+3y=1.5, 2 3 4 5 6 7 8 9 y(0,6)=1.1,0.4y(1)+y (1)=2 y-xy+3y=x+1 y(0.8)-0.5y (0.8)=1,y(1.8)=1 y+y/3+xy=2 y(0.6)=1.4, 2y(1.6)-1.5y(1.6)=1.8 y-0.6y/x=x y(0)=1, y(1)-0.5y(1)=1.8 y+xy-y/(2x)=1, y(2)+2y(2)=1, y(2.8)=2.5 y+0.4xy-2yx=4x, y(0.2)-1.5y(0.2)=1, y(1.2)-0.5y(1.2)=2 y+(1.5)y-(3x+0.5)y=4 y(0.6)=1.4, 2y(1.6)-1.5y(1.6)=1.8 y+sinxy+2yx=1.2 y(0)=1.4, y( / 2 )-2y'( / 2 )=2.2 y-sinxy+(x+1)y=2x+1 № Тенгламалар 16 y+ctgxy-y=3 17 18 19 20 21 22 23 24 y(0.1)=1.4 10 y(1.1)-2.3y (1.1)=2.3 y+cosxy+(3x 2 +1)y=-2.2x y(0)=0.5, y(1)=2.4 11 y-3xy-1.5y=x+1 1.2y(1.1)+0.6y(1.1)+2=1.4 12 y(1.2)-0.5y(1.2)=2.1 y-(x+1)y+3xy=2x 2 y(1.4)=1, y(2.4)-3.2y(2.4)=1.2 13 y-(2x+1)y-3xy=x 1.1y(0)-0.2y(0)=1.1,y(1)+0.5y(1)=2 14 y-(x+3)y-(4x+1)y=2x y(0)=1.4 , y(1)=2.4 15 y+(2x+0.5)y+xy=1.7, y(0)=1, 2y(1)+0.5y(1)=1.4 y(0)=1,y( /2)=1.6 y+(0.1+2x)y-(5x+1)y=1.2 y(0)=2.2 y(1)+0.4y(1)=1.8 y+sinxy-2y=3x+1 y(0)=1.2, y( /4)=1.8 y+(0.3+1)y-1.8xy=1.4 y(0)=2, y(1)+0.8y(1)=2.6 y+(0.2x+1)y-4y=3x, y(1.1)=1.7, y(2.1)+2.4y(2.1)=3.6 y+(0.4x+1)y-1.4y=2x+1 y(0)+1.4y(0)=1.6, y(0.6)=4.2 y-(3x+1)y+cosxy=3xsinx y(0)+1.2y(0)=3.3, y( /2)-1.4y( /2)=4.2 y+(2.3x+4)y-6xy=4x y(0)-1.2y(0)=1.2, y(0.8)=1.4 y+(3x+1)y-cosxy=sinx y(1.1)-1.4y=1 25 y(2.1)-2.1y(2.1)=2 y-(3x+1)y-4x=2 y(0)+1.4y-4x=2, y(0.4)=2.5 26 y+y/(3x)-y=3/x y(0.6)=1.3 27 28 29 30 25 0.5y(1.6)-1.2y(1.6)=2.4 y-3xy-y/(2x)=0.7 y(0.4)=1.4, y(0.7)+1.4y(0.7)=2.1 y+2x 2 y+y=x+1 y(0.7)-2y(0.7)=1,y(1.7)-3y(1.7)=2.3 y-y/2+2y/x=x/4 1.1y(1.1)-y?(1.1)=0.9,3y(1.6)+0.5y(1.6)=1.8 y+3y-y/x=x+1, y(0.5)=1, y(0.8)-2y(0.8)=1.4 9. Функцияларнинг энг катта ва кичик қийматларини топиш 1. Масала 1. F(x1,x 2 )=60x1 +40x 2 функциянинг 2x1 x2 400 , 3x1 4x2 900 , x1 3x2 600 , x1 0, x2 0 шартларда энг катта қиймати топилсин. > Origin : 1 2 1 400 60 1 > C : A : 3 4 b : 900 x : F ( x) : C * x 40 1 1 3 600 > Given > A * x b x 0 x : Maximize( F , x) 400 x1 140 > F ( x) 13200 A * x 900 x2 120 500 2.Масала 2. 3 та омбордан 5 та магазинга юк олиб борилади. Юкнинг бир бирлиги Ai таъминотчидан B j истемолчига олиб бориш нархи ушбу жадвалда келтирилган. Оптимал таъминлаш режаси топилсин. Таъминотчи Истеъмолчи B2 B1 Юк ҳажми B4 B3 B5 A1 4 11 6 5 15 200 A2 8 7 9 13 10 200 A3 Юкка эҳтиёж 10 5 12 7 20 100 70 80 150 110 90 500 500 > Origin : 1 4 11 6 5 15 200 1 1 1 1 1 > C : 8 7 9 13 10 A : 200 BT : [70 80 150 110 90] z : 1 1 1 1 1 10 5 12 7 20 100 1 1 1 1 1 > F ( x) : tr (C * xT ) e1 : [1 1 1 1 1]T e2 : [1 1 1]T >Given > x * e1 A xT * e2 B // Чекланишлар x11 x12 x13 x14 x15 200 .. x11 x21 x31 70 .. > x : Minimize( F , x) x1,1 > x21 x3,1 x1,2 x2,2 x3,2 x1,3 x1,4 x1,5 70 0 40 90 0 x2,3 x2,4 x2,5 0 110 0 0 90 x3,3 x3,4 x3,5 0 80 0 20 0 F ( x) 3400 3. Масала 3. f ( x) : [ x2 ( x1 1)]2 [( x1 )2 ( x2 )2 1]2 min топилсин. 2 x : 2 1.71667236082328 > x : Minimize( f , x) x 1.39533754939537 > f ( x) : [ x2 ( x1 1)]2 [( x1 )2 ( x2 )2 1]2 > f ( x) 8.329*1012 . 26 10. ХҲДТ НИ ТАҚРИБИЙ ЕЧИШ 1.MathCadда дифференциал тенгламаларни тақрибий ечиш усули. Узлуксиз дифференциал чегара масала Lu f берилган бўлсин. Унга бирор дискрет масала Lhuh fh ни мос қўямиз, бу ерда h дискретлаштириш параметри, uh uh , масалан, uh -аниқ ечим, uh -тақрибий ечим жадвали.Одатда, дискрет масала сифатида чекли айирмали схема (ЧАС), яъни чизиқли алгебраик тенгламалар системси (ЧАТС) қаралади. MathCadда дискрет масала Lhuh fh ни ечиш ғояси жудда оддий ва табиий: uh Lh1 f h . Бу ғоя uh , f h матрица бўлса ҳам ўринли, яъни Au b ва AU B ,бу ерда u, b Rm ;U , B - матрицалар, бўлиши мумкин, R m -m-ўлчовли Евклид фазоси. Биз кенг кўламдаги ички функцияларни ишлатмаймиз: multigrid, numol, Pdesolve, relax. multigrid, relax- Пуаcсон u ( x, y) тенгламаси учун мўлжалланган, numol, Pdesolve-вақтга боғлиқ ДТ лар учун мўлжалланган: Pdesolve(u, x, xrange, t, trange, [xpts], [tpts]), Multigrid(ρ,ncycle), relax(a,b,c,d,e, ρ,u,r), numol(xrange, rows,trange, colomns,num_e, num_a,F,init,bc_F). 2. Дифференциал чегара масалалар ва улар учун ЧАСлар. Параболик тенглама учун дифференциал чегара масалани қараймиз: Lu ut u xx f x, t , ( 1) l0u u( x,0) g0 (t ), l1u u(a, t ) g0 (t ), l2u u(b, t ) g1 (t ), a x b,0 t T . (2) Бу ерда u u( x, t ) , f f ( x, t ) , g g ( x, t ) . (1), (2) масала параболик дифференциал чегара масала (ПДМ) дейилади. ПДМни қаноатлантирувчи u u ( x, t ) функция унинг аниқ ечими дейилади Lu F . . Гиперболик тенглама учун дифференциал масалани қараймиз: Lu utt u xx f x, t , ( 3) lu( x,0) u0( x), ut' ( x,0) u1(t ), u(a, t ) g1 (t ), u(b, t ) g 2 (t ), a x b,0 t T . (4) Бу ерда u u( x, t ) , f f ( x, t ) , g g ( x, t ) . (3), (4) масала гиперболик дифференциал чегара масала (ГДМ) дейилади. ГДМ қаноатлантирувчи u u ( x, t ) функция унинг аниқ ечими дейилади Lu F . 27 ПДТ учун ошкормас ЧАС Lhuh fh , lhuh gh нинг кўриниши қуйидагича: 1 (uij 1 uij ) h2 (uij11 2uij 1 uij11 ) fi j 1 0, i 1,..., m 1, j 0,..., n 1. ui0 u 0 ( xi ), i 0,..., m. , u0j 1 g 0 (t j 1 ), umj 1 g1 (t j 1 ), j 0,..., n 1. ПДТ учун ошкормас ЧАС қуйидагича ечилади ruij11 (1 2r )uij 1 ruij11 uij fi j 1 , i 1,..., m 1; j 0,..., n 1, r / h2 ui0 u 0 ( xi ), i 0,..., m. , u0j 1 g 0 (t j 1 ), umj 1 g1 (t j 1 ), j 0,..., n 1. ГДТ учун ошкормас ЧАС Lhuh fh , lhuh gh нинг кўриниши қуйидагича: t uij xuij 1 2 (uij 1 2uij uij 1 ) h2 (uij11 2uij 1 uij11 ) fi j 1 0, i 1,..., m 1, j 0,..., n 1. ui0 u 0 ( xi ), ui1 ui0 u 0 ( xi ), i 0,..., m , u0j 1 0 (t j 1 ), umj 1 1 (t j 1 ), j 0,..., n 1. ГДТ учун ошкормас ЧАС қуйидагича ечилади: uk 0k , k 0,..., m , uk1 uk 0 1k 2 0.5 2{ f k 0 xx 0k }, k 1,..., m 1,(uk1 uk 0 1k ) 0 rukj11 (1 2r )ukj 1 rukj11 f k j 2ukj ukj 1 , j 1,...m 1, r ( / h)2 . 3. ПДТ учун ошкормас ЧАСни MathCadда ечишни ташкил этиш. Келишув: > белги MathCadда буйруқни, // белги эса изоҳни билдирсин. Улар MathCadда ишлатилмайди. > ut pt u xx f ( xt ) ua( xt) e > x0 0 xk 1 u0( x) sin( x) m 10 h ( tk t0) > t0 0 tk 0.25 n 8 n > g1( t) 0 g2( t) 0 p : 3 p t sin( x) f(xt) ua i j e ( xk x0) 2 h p tj u ( 1 t) i 0 m x x0 i h //Бошланғич шарт i m j 0 n t t0 j r j e u ( 0 t ) g2( 1 t ) sin( x) p g1( t ) i 0.031 // Қадамлар 2 //Чегара шарт, параметр, аниқ ечим sin x i mm 1 i 0 m 1 Ami 0 i 1 m 1 2 p t sin x A r A r A 1 2 r i 0 m j 0 n f p e i i j i i1 i i 1 i i > h 0.1 r 3.125 A 0 0 1 i 1 m A 0 i 0 u u0 x A i j // ЧАТС > i 1 m 1 j 0 n 1 d0 j g1tj 1 dmj g2tj 1 dij fij 1 j 1 > j 0 n 1 u j j d u 1 A // Ўнг томон //Ошкормас схемани қатламлар бўйича ечиш // Бошланғич қийматлар векторини ва ЧАТС матрицасини чиқарамиз: 0 T u 0 0 1 2 3 4 0.309 0.588 0.809 0.951 5 1 28 6 7 8 9 0.951 0.809 0.588 0.309 10 0 0 0 1 2 1 1 -3.125 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 7.25 -3.125 0 0 0 0 0 0 0 0 7.25 -3.125 0 0 0 0 0 0 0 7.25 -3.125 0 0 0 0 0 0 7.25 -3.125 0 0 0 0 0 7.25 -3.125 0 0 0 0 7.25 -3.125 0 0 0 7.25 -3.125 0 0 7.25 -3.125 0 2 0 -3.125 3 0 0 -3.125 4 0 0 0 -3.125 5 0 0 0 0 -3.125 6 0 0 0 0 0 -3.125 7 0 0 0 0 0 0 -3.125 8 0 0 0 0 0 0 0 -3.125 9 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.125 10 0 0 0 0 0 0 0 0 A 10 0 7.25 -3.125 0 0 1 // Тақрибий ечим ва анақ ечим жадвалларини чиқарамиз: 0 T u 1 2 3 4 6 7 8 9 0 0 0.309 0.588 0.809 0.951 1 0.951 0.809 0.588 0.309 0 1 0 0.283 0.538 0.741 0.871 0.915 0.871 0.741 0.538 0.283 0 2 0 0.259 0.492 0.677 0.796 0.837 0.796 0.677 0.492 0.259 0 3 0 0.236 0.45 0.619 0.728 0.765 0.728 0.619 0.45 0.236 0 4 0 0.216 0.411 0.565 0.665 0.699 0.665 0.565 0.411 0.216 0 5 0 0.197 0.375 0.516 0.607 0.638 0.607 0.516 0.375 0.197 0 6 0 0.18 0.342 0.471 0.554 0.582 0.554 0.471 0.342 0.18 0 7 0 0.164 0.312 0.43 0.505 0.531 0.505 0.43 0.312 0.164 0 8 0 0.15 0.285 0.392 0.461 0.484 0.461 0.392 0.285 0.15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.309 0.588 0.809 0.951 1 0.951 0.809 0.588 0.309 0 1 0 0.281 0.535 0.737 0.866 0.911 0.866 0.737 0.535 0.281 0 2 0 0.256 0.487 0.671 0.788 0.829 0.788 0.671 0.487 0.256 0 3 0 0.233 0.444 0.611 0.718 0.755 0.718 0.611 0.444 0.233 0 4 0 0.212 0.404 0.556 0.654 0.687 0.654 0.556 0.404 0.212 0 5 0 0.193 0.368 0.506 0.595 0.626 0.595 0.506 0.368 0.193 0 6 0 0.176 0.335 0.461 0.542 0.57 0.542 0.461 0.335 0.176 0 7 0 0.16 0.305 0.42 0.493 0.519 0.493 0.42 0.305 0.16 0 8 0 0.146 0.278 0.382 0.449 0.472 0.449 0.382 0.278 0.146 0 0 T ua T u 5 T ua 29 10 10 4.ГДТ учун ошкормас ЧАСни MathCadда ечишни ташкил этиш. u u f(xt) ГДТ ни ошкормас схема билан ечиш 0 x 1 0 t T T 0 25 > tt xx 3 3 3 3 > u(x0) c x u(0t) d t u(1t) c dt c 7 d 10 ua(xt) c x d t > x0 0 xk 1 m 10 h xk x0 k 0 m xk x0 k h h 0.1 3 // Берилганлар //Стержень m > t0 0 T 0.25 tk 0.2 n 10 tk t0 j 0 n tj t0 j r n 3 > c 7 d 10 u0(x) c x u > 0 j u1(xt) 3 d t h 2 k uk1 u1xk0 //Бошланғич шарт k 0 3 3 u c t u c d t 0 j j mj j j3 c t 3 > f ( xt) 6 d t 6 c x ua(xt) cx d t 3 f k j //Вақт 0.02 2 3 c x u 2 //Чегара шарт k j uakj uaxktj //Ўнг томон f x t // Оддий ошкормас айирмали схема: > k 0 m uk 0 c xk uk 1 uk0 u1xk 0 k 1 m 1 > h 0.1 r 0.04 A0 0 1 i 1 m A0 i 0 i 1 m 1 Aii1 r Aii 1 r Aii (1 2r) //ЧАТС ни шакллантириш i 0 m 1 A 0 A 1 mi mm 3 // ЧАТС матрицаси 0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -0.04 1.08 -0.04 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 -0.04 1.08 -0.04 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 -0.04 1.08 -0.04 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 -0.04 1.08 -0.04 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 -0.04 1.08 -0.04 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 -0.04 1.08 -0.04 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 -0.04 1.08 -0.04 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 -0.04 1.08 -0.04 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.04 1.08 -0.04 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 0 0.007 0.056 0.189 0.448 0.8751.512 2.4013.584 5.103 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > u 1T 0 0.007 0.056 0.189 0.448 0.8751.512 2.4013.584 5.103 7 >u 10 0 0 T j 1 > j 1 n 1 u j 1 j 2 j 1 u f 2 u 1 A 30 // 0-қатлам //1-қатлам // ЧАС ни қатламларда ечиш 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.007 0.056 0.189 0.448 0.875 1.512 2.401 3.584 5.103 1 0 0.007 0.056 0.189 0.448 0.875 1.512 2.401 3.584 5.103 7 2 0.001 0.008 0.057 0.19 0.449 0.876 1.513 2.402 3.5849 5.1033 6.9842 3 0.0034 0.0104 0.0594 0.1924 0.4514 0.8784 1.5154 2.4044 3.5872 5.1033 6.953 4 0.0077 0.0147 0.0637 0.1967 0.4557 0.8827 1.5197 2.4086 3.5911 5.1019 6.9069 5 0.0144 0.0214 0.0704 0.2034 0.4624 0.8894 1.5264 2.4153 3.5967 5.0977 6.8464 6 0.024 0.031 0.08 0.213 0.472 0.899 1.536 2.4247 3.604 5.0891 6.772 7 0.037 0.044 0.093 0.226 0.485 0.912 1.5489 2.4371 3.6127 5.0747 6.6842 8 0.0538 0.0608 0.1098 0.2428 0.5018 0.9287 1.5656 2.453 3.6222 5.0529 6.5834 9 0.0749 0.0819 0.1309 0.2639 0.5229 0.9498 1.5865 2.4723 3.6319 5.0227 6.4701 10 0.1008 0.1078 0.1568 0.2898 0.5488 0.9757 1.612 2.4952 3.6407 4.9829 6.3448 0 T u 10 7 //Тақрибий ва аниқ ечим графиги 5. ЭДТ учун ЧАСни MathCadда ечишни ташкил этиш. Пуассон тенгламаси u f ( x, y), 0( y) : ua(0, y) m( y) : ua(1, y) , 0( x) : ua( x,0) n( x) : ua( x,1) учун вектор –матрицали прогонкани қараймиз.[2]. ЧАС қуйидагича ёзилади: ui 1 Aui ui 1 fi , i 1..n 1, ui [ui1 ,..., uin1 ]T , i 0..n, u0 0 , um m . A [ Ai , j ], Ai ,i 2(1 ), Ai 1,i Ai ,i 1 . f 1i : h2 fi1 i 0 h2 fi 2 h2 fi 3 h2 fi 4 h2 fi 5 h2 fi 6 h2 fi 7 0 : 01 02 03 04 05 06 07 08 0 n 1 T , h2 fi 8 h2 fin 1 in 1 T , m : m1 m 2 m3 m 4 m5 m 6 m 7 m8 mn 1 T . Вектор –матрицали прогонкани қуйидаги кўринишга эга: 1) R1 [0ij ]in,j11 , k 1..m 1 Rk 1 ( A Rk ) 1 2) s1: 0 k 1..m 1 sk 1 : Rk 1 (sk fk ) 3) um : m k : m, m 1..1 uk 1 : Ruk sk Ушбу масалани қараймиз: uxx u yy 4 ua( x, y ) : x 2 y 2 u (0, y ) y 2 u (1, y ) 1 y 2 u ( x, 0) x 2 u ( x,1) 1 x 2 > 0( y) : ua(0, y) m( y) : ua(1, y) 0( x) : ua( x,0) n( x) : ua( x,1) ua( x, y) : x2 y 2 > m : 10 n : 10 h1: 1/ m h2 : 1/ n : (h1/ h2)2 > i : 0..m j : 0..n xi : i * h1 y j : j * h2 > j : 1..n 1 a j , j 1 : a j 1, j : a j , j : 2(1 ) 31 > A : submatrix(a,1,9,1,9) > i : 1..n 1 fi , j : f ( xi , y j ) 0i : 0( xi ) ni : n( xi ) > f 1i : h2 fi1 i 0 h2 fi 2 h2 fi 3 h2 fi 4 h2 fi 5 h2 fi 6 h2 fi 7 h2 fi 8 > 0 : 01 02 03 04 05 06 07 08 0 n 1 T h2 fin 1 in 1 T > m : m1 m 2 m3 m 4 m5 m 6 m 7 m8 mn 1 T > n : 9 R1: identity(9) R1i ,i : 0 R : submatrix( R1,1,9,1,9) > s1: 0 um : m > k : 1..m 1 Q : ( A R)1 sk 1 : Q(sk f k ) R : Q > p : m, m 1..1 uk 1 : Ruk sk > k : 1..m uk Жавоб: 0.0.467 0..638 0.691 0.751 0.826 0.929 1.79 1.33 1.81 0.239 0.356 0.393 0.434 0.49 0.579 0.734 1.031 1.64 0.132 0.209 0.235 0.265 0.312 0.394 0.549 0.858 1.49 0.092 0.139 0.158 0.184 0.225 0.302 0.452 0.753 1.36 u 0.072 0.108 0.124 0.147 0.186 0.258 0.4 0.683 1.25 0.013 0.096 0.112 0.135 0.172 0.241 0.375 0.637 1.16 0.059 0.094 0.113 0.138 0.178 0.247 0.372 0.613 1.09 0.054 0.097 0.123 0.158 0.207 0.281 0.403 0.621 1.04 0.043 0.1 0.143 0.198 0.269 0.361 0.489 0.682 1.01 Изоҳ. 1.Функция Pdesolve(u, x, xrange, t, trange, [xpts], [tpts]) x ва t ўзгарувчиларга боғлиқ параболик ва гиперболик типдаги дифференциал тенглама ёки тенгламалар системасини функция ёки вектор функция кўринишдаги ечимни излайди. Бу ерда xrange, trange-икки элементли вектор устун кўринишдаги x ва t ўзгарувчларнинг ўзгариш оралиқлари; xpts, tpts - x ва t ўзгарувчиларнинг ўзгариш оралиқларини бутун сонли бўлиниш сонлари. Тенглама ва қўшимча шартлар Given .. Pdesolve блокида берилади. Мисол 1. ut ( x, t ) uxx ( x, t ) x2 2t 6 x, u( x,0) 0, u(0, t ) t 2 , u(1, t ) t t 2 чегара масалани ечиш. (аниқ ечим u x3t t 2 ) 0 t 0 100 100 L T u Pdesolve u x L 1 T 50 Given 2 ut( x t) uxx( x t) x 2 t 6 x u ( x 0) u( 0 t) 0 u( 1 t ) 0 2 tt 0 0 u Pdesolve u x t 100 100 L T Z CreateMesh ( u 0 L 0 T) Z 32 Мисол 2. utt ( x, t ) uxx ( x, t ) 6t (1 x), u( x,0) 0, ut1 ( x,0) t 3 , u(0, t ) t 3 , u(1, t ) t t 3 чегара масалани ечиш. (аниқ ечим u x3t t 3 ) L 1 T 50 m : 100 n : 100 Given wt ( x, t ) v( x, t ) vt ( x, t ) wxx ( x, t ) 6t (1 x) w( x,0) 0 v( x,0) t 3 w(0, t ) t 3 w(1, t ) t t 3 w 0 0 w v : Pdesolve v , x, L , t , T , m, n w : CreatMesh(w,0, L,0, T ) i 0 m j 0 n x i i 1 m t j j T n w i j i j w x t w Мисол 3. uxx u yy 4 тенглама, аниқ ечим u ( x2 y2 ),0 x 8,0 y 3 . u( x,0) x2 , u( x,3) x2 9, u(0, y) y 2 , u(8, y) 64 y 2 . Мисолни relax(a, b, c, d , e, , u, r ) ички функция билан ечамиз, параметрлар ЭДТ нинг чекли айирмали кўринишидан олинади: aui 1, j bui 1, j cui , j 1 dui , j 1 eui , j i , j , a b c d , e 4a, ai , j 1, i : 1..m, j : 1..m,0 r 1 . r –релаксация коэффиценти, усулнинг яыинлашишини таъминлайди. L 8 L 3 m 64 i 0 m j 0 m 1 2 x L i i 1 m y L j j 2 m i j 4 u a i 0 i j i2 ui m xi2 9 u0 j y j2 um j 64 y j2 x 1 b a c a d a e 4 a r 0.99 u relax a b c d e u r u Мисол 4. u:=multigrid(τ, ρ) ички фунция ёрдамида ечиш. > R : 32 r 2 : R / 2 r 2,r 2 : 200 R2,r 2 : 300 R, R : 400 > u : multigrid ( , 4) R : 32 r 2 : R / 2 r 2,r 2 : 200 R2,r 2 : 300 R, R : 400 u : multigrid ( , 4) u 33 6. Галёркин усули. Соддалик учун бир жинсли чегара масалани қараймиз. Бу ҳолда тақрибий-аналитик ечимни қуйидаги кўринишда излаймиз: n un ( x, t ) c j (t ) j ( x), j ( x) sin( j x), 0 ( x, t ) 0 . j 1 ПДТ ва ГДТ учун четланиш ва тақрибий ечим хатолигини киритамиз: n n ( x, t ) n ( x, t , c1 , c2 ,.., cn ) Lun ( x, t ) f ( x, t ) [c j (t ) ( j )c j (t )] j ( x) f ( x, t ); j 1 n n ( x, t ) n ( x, t , c1 , c2 ,.., cn ) Lun ( x, t ) f ( x, t ) [c j (t ) ( j )c j (t )] j ( x) f ( x, t ); j 1 Галеркин усулида четланиш n ( x, t ) базис функцияларга ортогонал қилиб олинади: b b n ( x, t )i ( x)dx 0, i 1, 2,..., n, j ( x, t )i ( x) dx 0, i 1, 2,..., n. a a Шунинг учун биз қуйидаги тенгламаларга келамиз, i 1,..., n : 1 1 cl(t ) ( j ) 2 ci (t ) qi (t ) f ( x, t )i ( x) dx, ci (0) u 0 ( x)i ( x) dx , (ПДТ) 0 0 1 1 1 0 0 0 cl(t ) ( j ) 2 ci (t ) qi (t ) f ( x, t )i ( x) dx, ci (0) u 0 ( x)i ( x) dx, ci(0) u1 ( x)i ( x) dx (ГДТ). Бу тенгламалардан ci (t ) коэффициент топилгач, тақрибий ечим топилади. 8. ЭДТ учун Галёркин усули. Соддалик учун бир жинсли чегара шартларни қараймиз. Тақрибий ечимни m,n umn ( x, y) ciji j ( x, y), i j ( x, y) sin i , j 1 i x j y . sin a a кўринишда излаймиз. Четланиш ва тақрибий ечим хатолигини киритамиз: m,n i2 j2 mn ( x, y) Lumn ( x, y) f ( x, y ) 2 ( 2 2 )cijij ( x) f ( x, y); a b i , j 1 Галеркин усулида четланиш mn ( x, y) ij ( x, y) қилиб олинади: b ( x, t ) ( x)dx 0, mn ij i, j 1, 2,..., n a Шунинг учун биз қуйидаги тенгламаларга келамиз: a b a b 2 j2 2 i A c q f ( x , y ) ( x , y ) dxdy , A ( ) ij ( x, y )kl ( x, y )dxdy i jkl ij kl ij i jkl a 2 b 2 0 0 i , j 1 00 m,n i2 j 2 i x k x j x l x ( 2 2 ) sin sin dx sin sin dy a b 0 a a b b 0 a b 2 Шунинг учун, Aijkl Aij q qij ab i 2 2 j 2 2 4 ( 2 2 ), cij ij , i 1,..., m; j 1,..., n. 4 a b Aij ab i 2 j 2 2 ( 2 2 ) a b Коэффицентларни асосида тақрибий ечим кўринишини топамиз. 34 9.Индивидуал топшириқлар. Дифференциал тенгламалар учун ошкор ва ошкормас схемалар тузилсин ва ечилсин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ва алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин. Параболик дифференциал тенглама ut uxx f ( x, t ) , u( x,0) g ( x) , u(0, t ) 1 (t ), u(1, t ) 2 (t ) . № 1 u( x, t ) x(1 x)sin t u ( x, 0) 0 u (0, t ) 0 u(1, t ) 0 ( x x2 )cos t 2sin t 2 x(1 x)cos t x(1 x) 0 0 ( x2 x)sin t 2co s t 3 x(1 x) exp t x(1 x) 0 0 ( x x2 2)exp t 4 x(1 x)s ht 0 0 0 ( x x2 )c ht 2s ht 5 x(1 x)cht x(1 x) 0 0 ( x x2 )s ht 2cht 6 x(1 x)sin 2t 0 0 0 2( x x2 )cos 2t 2sin 2t 7 x(1 x) cos 2t x(1 x) 0 0 2( x2 x)sin 2t 2co s 2t 8 x(1 x)exp 2t x(1 x) 0 0 2( x x2 2)exp 2t 9 x(1 x)s h2t 0 0 0 2( x x2 )c h2t 2s h2t 10 x(1 x)ch2t x(1 x) 0 0 x3 x3 t2 t3 1 t 2 2( x x2 )s h2t 2ch2t 2 t 6 x 1 t 3 3 t 2 6 x 11 x3 t 2 12 x3 t 3 f ( x, t ) Гиперболик дифференциал тенглама ut uxx f ( x, t ) , u( x,0) g1 ( x), ut(1) ( x,0) g2 ( x) , u(0, t ) 1 (t ), u(1, t ) 2 (t ) . № u( x, t ) u ( x, 0) 1 x(1 x)sin t 2 u (0, t ) u(1, t ) f ( x, t ) 0 ut(0) ( x,0) x(1 x) 0 0 ( x x2 2)sin t x(1 x)cos t x(1 x) 0 0 0 ( x x2 2)cos t 3 x(1 x) exp t x(1 x) x(1 x) 0 0 ( x x2 2)exp t 4 x(1 x)s ht 0 x(1 x) 0 0 ( x x2 2)sht 5 x(1 x)cht x(1 x) 0 0 0 ( x x2 2)cht 6 x(1 x)sin 2t 0 2 x(1 x) 0 0 2( x x2 2)sin 2t 7 x(1 x) cos 2t x(1 x) 2 x(1 x) 0 0 2( x x2 2)cos 2t 8 x(1 x)exp 2t x(1 x) 2 x(1 x) 0 0 2( x x2 2)exp 2t 9 x(1 x)s h2t 0 2 x(1 x) 0 0 2( x x2 2)sh2t 10 x(1 x)ch2t x(1 x) 0 0 0 x3 x3 0 t2 t3 1 t 2 2( x x2 2)ch2t 2 6 x 1 t 3 6 t 6 x x3 t 2 12 x3 t 3 11 0 35 Эллиптик дифференциал тенглама u uxx u yy f ( x, y) , u(0, y) g1 ( y), u(1, y) g2 ( y), u( x,0) g3 ( x), u( x,1) g4 ( x) № u( x, y) u (0, y) u(1, y) u ( x, 0) u( x,1) f ( x, y) 1 ( x x2 )( y y 2 ) y ( x x 2 ) sin 2 0 0 0 0 -4 0 0 0 ( x x2 ) y [( x x 2 )( ) 2 2]sin 2 2 y 0 0 ( x x2 ) 0 y [2 ( x x 2 )( ) 2 ]cos 2 2 0 y y2 0 0 0 0 x [( y y 2 )( ) 2 2]sin 2 2 x [( y y 2 )( ) 2 2]cos 2 2 2 3 4 5 6 ( x x 2 ) cos ( y y 2 ) sin 2 x ( y y 2 ) cos sin x cos 2 x y y2 0 2 y 0 cos 7 2 2 2 ( x x )s hy 0 0 8 ( x x2 )c hy 0 0 9 ( y y 2 )s hx 10 y 2 sin x 2 0 cos y 2 ( x x2 )s h1 0 ( x2 x 2)shy ( x x2 )c h1 0 ( x2 x 2)chy 0 ( x x2 ) ( y y 2 )s h1 0 ( y y 2 )c hx y y2 ( x x2 )c h1 0 0 ( y y 2 2)c hx 11 x3 y3 xy t3 y3 y x 3 x3 x 6 x 6 y 12 x4 y3 xy t3 y3 y x 4 x4 x 12 x 6 y 36 ( y y 2 2)s hx 11. ИНТЕГРАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ТАҚРИБИЙ ЕЧИШ x Мисол 1. Интеграл тенглама ечилсин y ( x) ( x 2 xs) y ( s)dx x 3 ( x / 5 x 2 / 4) 0 Вольтера интеграл тенгламаси учун квадратура формулалар усули -ЧАС 1) Трапеция усули x x2 > k(xs ) x xs 0.1 f ( x) x 5 4 // Ядро Ўнг томон > n 10 a 0 b 1 h //Нуқталар сони ва қадам 2 3 ba h 0.1 n > i 0 n xi a ih A0 h An h i 1 n 1 Ai h T A 0 2 2 //Трапеция фор. коэф 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.05 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 ... //ЧАТС коэффицентларини тузамиз > i 0 n j 0 n Kij kxixj fi fxi ЧАТС ни ечимини топамиз -тақрибий ечим жадвалини топамиз n f j i i i 0 n > u if j i0 A K u j 1 A K i i i i 0 T u 1 0 i j j 2 3 4 5 6 7 0 -0.001 0.003 0.019 0.052 0.109 0.196 8 9 10 0.32 0.486 0.702 0.965 2) Симпсон усули. > n 10 a 0 b 1 h B 0 > h B n 3 0 i 1 floor h // Нуқталар сони ва қадам h 0.1 n n h h B2 i 2 3 B2 i1 4 3 2 3 // Симпсон фор. коэф-.лари 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.033 0.133 0.067 0.133 0.067 0.133 0.067 0.133 0.067 0.133 0.067 T B ba //ЧАТС коэффицентларини тузамиз > i 0 n j 0 n Kij kxixj ЧАТС ни ечимини топамиз -тақрибий ечим жадвалини топамиз n f i > i 0 n ifj i0AjKijuj j i v 1 B K i i i i 0 T v 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 -0.001 0.003 0.019 0.052 0.109 0.196 0.321 0.484 0.706 0.968 3 )Аниқ ечим жадвалини топамиз 3 > ua(x) x 0 T ua i 0 n ua ua x i i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.001 0.008 0.027 0.064 0.125 0.216 0.343 0.512 0.729 37 10 1 Мисол 2. Интеграл тенглама Mathcad да ечилсин: 1 y ( x) ( x 2 xs ) y ( s )dx x 3 ( x / 5 x 2 / 4) 0 Фредгольм интеграл тенглама учун квадратура формулалар усули -ЧАС усули 1) Трапеция усули 2 > ua(x) x3 k(xs ) xs x2 0.1 f(x) x3 0.25x //Ядро Ўнг томон 0.5x ba //Нуқталар сони ва қадам h 0.1 > n 10 a 0 b 1 h n h h > i 0 n xi a ih A0 2 An 2 i 1 n 1 Ai h //Трапеция фор.-си коэф.лари 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.05 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.05 T A 10 ЧАТС коэффицентларини тузамиз > i 0 n j 0 n Kij kxixj Hij ifi j 1 AiKiiAjKij ЧАТС ни ечимини топамиз -тақрибий ечим жадвалини топамиз > i i 0 n f f x Hu f u lsolve ( H f ) T 0 f i 1 2 3 4 -3-3·10 -3 -3 -4.25·10 0 9.75·10 0 5 6 7 8 9 10 0.04 0.094 0.177 0.296 0.456 0.664 0.925 ЧАТС ечими ни топамиз 0 T u 1 2 -3 -3 -2.086·10 0 1.801·10 0 3 4 5 6 7 8 9 10 0.018 0.051 0.109 0.197 0.321 0.487 0.7 0.968 2) Симпсон усули.Симпсон формуласи коэффицентлари. > B0 h Bn h B2 i 2 h i 1 floor n B2 i1 4 h //Нуқталар сони ва қадам 3 3 B 0 2 3 0 T 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.067 0.133 0.067 0.133 0.067 0.133 0.067 0.133 0.067 0.133 0.067 ... ЧАТС коэффицентларини тузамиз > i 0 n j 0 n Kij kxixj Hij ifi j 1 BiKiiBjKij ЧАТС ни ечимини топамиз -тақрибий ечим жадвалини топамиз > v lsolve ( H f ) Hv F //ЧАТС ечимини топамиз 0 T v 0 1 2 3 4 5 6 -3 -3 0.019 0.053 0.112 -1.743·10 0 2.553·10 7 8 9 10 0.2 0.325 0.491 0.706 0.974 3 )Аниқ ечим жадвалини топамиз 3 i 0 n ua ua x i i T 0 > ua(x) x ua 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1·10-3 8·10-3 0.027 0.064 0.125 0.216 0.343 0.512 0.729 38 10 1 Мисол 3. Фредгольм ИТ учун итерация усули b > u ( x) f ( x) K ( x, t )u (t ) K ( x, t ) xt f ( x) x2 x / 4 // ИТ a > a : 0 b : 1 n : 10 h : 0.1 i : 0..n xi : a ih ua( x) : x2 // тўр, аниқ ечим 1 > u0,i : f ( xi ) us ,i : f ( xi ) K ( xi , t )us 1,0 dt // тақрибий ечим учун итерация 0 Мисол 4. Вольтер ИТ учун итерация усули x > u ( x) u 0 K ( x, u (t ))dt K ( x, t ) : a 2.2 x t 2 2.6 2 a : 0 b : 1 h : 0.1 n : 10 //ИТ b > i : 1..n xi : a ih u 0 : 0 u0 : u 0 ui : u 0 K (t , ui 1 )dt // ечим учун итерация a T 0 u 0 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.085 0.168 0.248 0.324 0.395 0.46 0.519 0.573 0.622 0.668 11.4.Индивидуал топшириқлар Қуйидаги интеграл тенгламалар турли хил усуллар билан ечилсин. N 1 2 N exp( x) exp( x) 1 y ( x) exp( xs) y ( s) x . x x2 0.1 1 1 y ( x) 0.5 xsy ( s ) 0 3 /3 0 4 y ( x) 4 xsy ( s ) 1. 2 y ( x) 3 xsy ( s ) 3 x 2. 0 8 10 . 11 /2 y ( x) 4 sin( x) cos( s ) y ( s ) sin( x). 0 x 9 y ( x) exp( x s ) y ( s ) exp( x). 0 5 1 0 7 5 x. 6 y ( x) 6 sin 2 ( x) y ( s) 3 x 6 x y ( x) exp(2( x s )) y ( s ) 1 x. 0 x 10 exp(2( x s)) y( s) sin( x). 0 x exp( x s) y(s) sh( x). 0 39 Фойдаланилган адабиёт 1. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе MathCAD. СПб, 2005.-464 с. 2.Ракитин В.И.Руководство по ВМ и приложения MathCAD. М.:ФМ,2005.-264с. 3. Имомов А. Ҳисоблаш усуллари ва MathCAD.Наманган, НамДУ, 2011.-88 б. 4. Имомов А. Дифференциал тенгламаларни MathCAD дастурида ечишни ташкил этиш. АЛКҲК да физика, математика ва информатика фанларини ўқитишни такомиллаштириш истиқболлари. 7-анъанавий республика олий ўқув юртлариаро илмий амалий конференция материаллари. 1-қисм. Тошкент, 2011.-38-41 б. 5. Имомов А. MathCAD да Ҳисоблаш усулларини ташкил этиш. Теорема-2013. Ёш математикларнинг янги теоремалари.Илмий-амалий республика конференцияси материаллари. Н.: НамДУ,2013.-177-181б. 6. Имомов А. MathCAD да дифференциал тенгламаларни ечишни ташкил этиш. Теорема2013. Ёш математикларнинг янги теоремалари. Илмий-амалий республика конференцияси материаллари . Н.: НамДУ,2013.-181-185 б. 7.Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MathCAD. СПб, Лань,2008-352 с. 8. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCAD для студента. СПб, БХВ-Петербург, 2006.-336 с. 9. Половко А.М. Mathematika для студента. СПб, БХВ-Петербург, 2008.-336 с. 10. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М.: ВШ, 2008.-480 с. 11. Имомов А. Ҳисоблаш усуллари, 1-қисм. Н.:НамДУ, 2009-104 б. znuz_215446_20111025095315. 12. Имомов А. Ҳисоблаш усуллари,2-қисм.Н.:НамДУ, 2009.-104 б. znuz_215446_20111102151005 13.. Имомов А. Организация численных методов в MathCAD. Молодой учёный, №6(65), май 1, 2014 г.-с. 15-19. 14.. Имомов А. Организация решения краевых задач для линейных ОДУ в MathCAD. Молодой учёный, №8(67), июнь 1, 2014 г.-с. 1-5. 15. Имомов А. Решение краевой задачи для линейных ДУ в частных производных в MathCAD. Молодой учёный, №8(67), июнь 1, 2014 г.-с. 6-12 16. Имомов А. Организация приближённого решение интегральнқх уравнений в MathCAD. Молодой учёный, № 14(73), сентябрь 1, 2014 г.-с. 6-15 17. Имомов А., Эргашев Б.С. «Реализация схемы Кранка — Николсона для линейного параболического дифференциального уравнения в MathCAD». Молодой учёный, № 14(73), сентябрь 1, 2014 г.-с.1-5. 18. Имомов А.ЭДТ ни MathCADда ечиш.НамДУ, ИА, №3,2013.-152-154. 19. Имомов А. MathCADда ДТ ни ечишни ташкил этиш. НамДУ, ИА, №3,2013.-31-35. 20. Имомов А. Решение КЗ для ПДУ в MathCAD. 21. Имомов А. Решение КЗ для ГДУ в MathCAD. 40