ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ
ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ
Наманган давлат университети
Физика-математика факультети
Амалий математика ва АТ кафедраси
А. Имомов
Ҳисоблаш усуллари ва MATHCAD
АМАЛИЙ ИШЛАРНИ БАЖАРИШ НАМУНАЛАРИ
Университетларнинг математика, амалий математика ва информатика,
математика ва информатика, касб таълими (информатика ва ахборот
технологиялари) бакалавр йўналишлари учун мўлжалланган
услубий қўлланма
Наманган -2013
1
Аннотация
Ҳозир математик масалаларни дастур тузмасдан ечиш
имконияти туғилди. Бунга сабаб математик тизимларни-математик
дастурларни ишлаб чиқилганлигидар. ОЎЮда қуйидаги математик
дастурлар кўп ишлатилмоқда: MathCAD, MATLAB, Maple,
Mathematika [1-3]. Уларда масалалар кетма-кет, мулоқат тарзида,
кўргазмали-тасвирли ҳолатда ечилади. Дарс жараёни талабалар учун
қизиқарли ташкил этилади ва талаба дарс мазмунини тез, кенг
тушунади ва мисоллар ечиб мавзуни мустаҳкамлаш учун кўп вақти
қолади. MathCAD нинг ажойиб хусусияти шундаки, масала уч хил
ечилиши мумкин:
1) MathCAD нинг ички тилида ёзилган дастур асосида,
2) стандарт ички функциялар асосида,
3) табиий математик тилда ёзилган усулнинг алгоритми ёрдамида.
Ҳисоблаш усуллари алгоритмларини ўрганиш учун учинчи йўл энг
муҳим роль ўйнайди. Ички функцияларда олинган натижалар
олинган жавобни текшириб кўриш учун зарур бўлади.
Услубий қўлланма университетларнинг математика,
амалий математика ва информатика, математика ва информатика,
касб таълими (информатика ва ахборот технологиялари) бакалавр
йўналишлари учун мўлжалланган.
2
Мундарижа
1. Хатоликлар назарияси масалаларини тақрибий ечиш (2 c.)
2.Ночизиқ тенгламаларни тақрибий ечиш (2 c.)
3. Ночизиқ тенгламалар системасини тақрибий ечиш (2 c.)
4. ЧАТС масалаларини тақрибий ечиш. (2 c.)
5. Интерполяция масалаларини ечиш. (2 c.)
6. Тақрибий интеграллаш (2 c.)
7. Оддий дифференциал тенглама (ОДТ) учун Коши масаласи. (2 c.)
8. ОДТ учун чегара масала (4 с.)
8.1.Чекли айирмали схемалар -ЧАС (2 c.)
8.2.Галёркин усуллари группаси (2 с.)
9. Чизиқли дастурлаш ва транспорт масаласи (2 с.)
10. Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар –ХҲДТ (6 с.)
10.1.Параболик дифференциал тенглама (2 с.)
10.2.Гиперболик дифференциал тенглама (2 с.)
10.3.Эллиптик дифференциал тенглама (2 с.)
11. Интеграл тенгламалар-ИТ. (4 c.)
11.1.ИТ учун ЧАС (2 с.)
11.2. ИТ учун ядрони аппроксимация қилиш усули (2 с)
3
1. ХАТОЛИКЛАР НАЗАРИЯСИ
1.1. Асосий формулалар.
1) a  A , a  A  a -абслют хато,  a  a / a -нисбий хато, a  a -лимит
абсолют хато,  a   a - лимит нисбий хато. A  a  a -келишув.
2) Функция ва аргумент хатоликлари: u  f ( x)  f ( x1,..., xn ) , X i  xi   x .
i
f ( x)
f ( x)
), i  1..n ,-аргумент хатолиги.
 xi -функция , xi  u /(n
xi
xi
i 1
n
u  
1.2. 1-масала. A  30  5.44722557505..., a  5.447,  a  ?,  a  ? .
a  A  a  5.44722557505  5.447  0.000225...  0.00023   a ,
a 
 a 0.00023

 0.00004222507  0.00004223   a  0.004223% .
a
5.447
A  30  5.44722  0.00023 .
1.3. 2-масала. Функция кўриниши ва аргументларнинг қиймати ва
хатоликлари берилган, Функциянинг йўл қўйилиши мумкин бўлган хатоси
топилсин.
u(m, n, k )  m2 n3 / k m  28.3  0.02 n  7.45  0.01 k  0.678  0.003 .
Топиш керак:  m,  n,  k , u  ? .
 u(m, n, k ) : m2 n3 / k u  4.022E5
>  m :
m
n
 n :
m
n
 k :
k
k
u :
u (m, n, k )
u (m, n, k )
u (m, n, k )
m 
n 
k
m
n
k
>  m  7.067E  4  n  1.342E  3  k  4.425E  3 u  7.653E  3
1.4. 3-масала. Олдинги мисолда функция берилган ва унинг хатолиги
берилган, аргументларнинг мумкин бўлган хатоликлари топилсин.
u  0.001,  m,  n,  k  ? .
m :
u
f ( x)
3
m
n :
u
f ( x)
3
n
k :
u
f ( x)
3
k
m  0.036 n  6.335E  5 k  3.459E  3 .
4
1.3. ИНДИВИДУАЛ ТОПШИРИҚЛАР.
1.3.1. Функция, нуқтанинг(аргумент) коорднаталари, аргументнинг абсолют
ёки нисбий хатолиги берилган. Функция (аргумент) хатолиги топилсин.
1. A   a1  3.14, a2  3.1425, a3  3.1416, a4  3.14159 (3,141592653589793238462643383)
2. A  2 a1  1.41, a2  1.414, a3  1.4142, a4  1.41421 (1,414213562373095048801688724)
3. A  3 a1  1,73, a2  1.730, a3  1.73205, a4  1.732051 (1,732050807568877293527446341)
4. A  e a1  2.71, a2  2.718, a3  2.7182, a4  2.71828
(2,718281828459045235360287471)
5. A  5 a1  0, 23, a2  0.336, a3  0.3360, a4  0.3361
(2,236067977499789696409173668)
6. A  6 a1  2.44, a2  2.449, a3  2.4494, a4  2.44948
(2,44948974278317809819728407)
7. A  7 a1  2.64, a2  2.645, a3  2.6457, a4  2.64575
(2,6457513110645905905016156)
8. A  8
a1  2.82, a2  2.828, a3  2.8284, a4  2.82842 ( 2,828427124746190097603377448)
9. A  3 9
a1  2.08, a2  2.080, a3  2.0801, a4  2.0800838230519
(2.0800838230519)
10. A  10 a1  3.16, a2  3.162, a3  3.1622, a4  3.16227 (3,16227766016837933199889354)
11. y  k ( x  m)n , x  1, k , m, n  1,..., x  0.001   x  0.01 .
12. y  sin k ( x  m)n , x  1, k , m, n  1,..., x  0.001   x  0.01
13. y  cosk ( x  m)n , x  1, k , m, n  1,..., x  0.001  x  0.01
14. y  tg k ( x  m)n , x  1, k , m, n  1,..., x  0.001  x  0.01
15. y  ln k ( x  m)n , x  1, k , m, n  1,..., x  0.001   x  0.01
1.4.2. Функция ( u   , ε=0.01), аргументларнинг коорднаталари, абсолют ёки
нисбий хатоликлари берилган. Функция (аргументлар) хатоликлари топилсин.
xk y m
, x, y, z  1, k , m, n  1,..., x, y, z  0.001   x,  y,  z  0.01 .
n
z
17. u  sin( xk  y n ) / z m , x, y, z  1, k , m, n  1,..., x, y, z  0.001  x,  y,  z  0.01.
18. u  cos( xk  y n ) / z m , x, y, z  1, k , m, n  1,..., x, y, z  0.001  x,  y,  z  0.01 .
19. u  tg ( xk  y n ) / z m , x, y, z  1, k , m, n  1,..., x, y, z  0.001   x,  y,  z  0.01 .
20. u  ln( xk  y n ) / z m , x, y, z  1, k , m, n  1,..., x, y, z  0.001  x,  y,  z  0.01 .
16. u 
xk y m
, x, y, z  1, k , m, n  1,..., x, y, z  0.0001   x,  y,  z  0.001 .
z
22. u  sin( xk  yn ) / z m , x, y, z  1, k, m, n  1,..., x, y, z  0.0001  x,  y,  z  0.001.
23. u  cos( xk  yn ) / z m , x, y, z  1, k , m, n  1,..., x, y, z  0.0001  x,  y,  z  0.001.
24. u  tg ( xk  yn ) / z m , x, y, z  1, k , m, n  1,..., x, y, z  0.0001  x,  y,  z  0.001 .
25. u  ln( xk  yn ) / z m , x, y, z  1, k , m, n  1,..., x, y, z  0.0001   x,  y,  z  0.001 .
21. u  n
Назарий саволлар ва топшириқлар
1. Абсалют хато, чегаравий абсолют нима?
2. Нисбий хато, чегаравий нисбий хато нима?
3. Нисбий ва абсалют хато орасида қандай муносабат мавжуд?
4. Функция ва аргументлар хатоликлари орасида қандай муносбат мавжуд?
5. Хатоликлар назариясининг тўғри ва тескари масаласига доир элементар
геометриядан мисоллар келтиринг.
5
2. БИР НОЪМАЛУМЛИ НОЧИЗИҚ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ
MathCAD дастурида бир ноъмалумли ночизиқ тенгламаларни тақрибий
ечиш учун стандарт ички функциялар мавжуд, улар root(f(x),x) ) , given ..find,
minimize(f(x),x) -ихтиёрий f(x)=0 тенглама учун, polyroots(v) -кўпҳадли
тенглама f(x)=a 0 +a1x+...+a n x n учун, бу ерда v=[ a 0 ,a1 ,...,a n ]T -коэффицентлар.
Қуйидаги келишувни қабул қиламиз: > белги MathCAD даги командани,
// белги изоҳни билдирсин. (аслида улар MathCAD да ишлатилмайди).
Мисол 1. f(x)=x-cos(x)=0 тенгламани тақрибий ечиш қуйидагича:
> x:=0
// Бошланғич итерация тенглама
f(x):=x-cos(x)
> r:=root(f(x),x)T
r=0.7398 // Ички функцияга мурожаат ва илдизни чиқариш
Графикни келтирамиз ( f(x)=x-cos(x),-10  x  10 ).
20
10
f( x)
0
10
10
0
10
x
Мисол 2. f ( x)  x3  3x2  x  3  0 тенгламанинг барча илдизларини топиш
> v:=[3 -1 -3 1]T
> r=(-1, 3, 1 )T
s:=root(f(x),x) // Коэффицентлар ва ички функция
r:=polyroots(v)
// Илдизларни чиқариш
s  (-1, 3, 1 ) T
Графикни келтирамиз ( f(x)=x3 -3x2 -x+3,-10  x  10 ).
48
100
0
f( x)
100
 192 200
5
0
5
5
x
5
Энди итерация ва Ньютон усулларини ташкил этувчи ҳисоблаш
жараёнларини тузамиз, бу усулларни ўргатишда жуда муҳим аҳамиятга эга.
Мисол 3. Итерация усули. f ( x)  x  cos( x)  0 тенгламани қараймиз.
6
x  5  5
5
cos( x)
0
x
5
5
0
x
> x0 : 0 k : 0..10
5
// Бошланғич итерация ва
итерациялар сонини бериш
> xk 1 : cos( xk )
// f(x)=0 ни x=g(x) кўринишга келтириб итерациялар қуриш
// Натижани чиқариш
> xT =(1, 0.5403, 0.8576,..., 0.7314)
Мисол 4. Ньютон усули. f ( x)  x  cos( x)  0 тенгламани қараймиз.
> x0 : 0 k : 0..10
// Бошланғич итерация ва итерациялар сонини бериш
> xk 1 : xk  ( xk  cos( xk )) /(1  sin( xk ))
// Ньютон усули x(k 1)  x( k )  f ( x( k ) ) / f ( x( k ) )
// Натижани чиқариш
> xT  (1, 0.75036, 0.73911,..., 0.73909)
Мисол 5. Кесмани 2 га бўлиш усули.
5.Кесмани 2 га бўлиш усули. f ( x) : x  2  0.7 x  0 .
 f ( x) : x  2  0.7 x
 x0 : 1 k : 0..10 a : 1 b : 2
// тенглама
// параметрлар
ba
//кесмани 2 га бўлиш усули
2k 1
 xT  {1 1.5 1.125 1.188 1.242 1.246 1.244 1.243} //натижа
 xk 1 : xk  sign( f ( x0 )) sign( f ( xk ))
7
2.4.Индивидуал топшириқлар
Тенгламалар итерация, Ньютон усуллари билан ечилсин. Ечим Mathcad
(Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ёрдамида ва алгоритм тузиб
олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин. Графиклар чизилсин.
Т.р
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Топшириклар
f(x)=0 тенгламанинг энг
кичик нолдан фарқли
мусбат ечими топилсин
f(x)=tg (ax)-bx
f(x)=0 тенгламанинг энг
катта мусбат ечими
топилсин
f(x)=ln (ax)+bx-c
f(x)=0 тенгламанинг энг
кичик нолдан фарқли
мусбат ечими топилсин
f(x)=asin(bx)-cx
f(x)=0 тенглама ечилсин
f(x)=a exp(-bx)-x
f(x)=0 тенглама ечилсин
3
2
f(x)=ax +bx +cx+d
8
a
0,6319
9,4637
0,9464
8,5174
1,8927
4,4164
0,3049
9,1464
0,6098
8,5366
0,9146
7,9268
0,33
10
1
6,3
1,67
8
b
0,9217
13,8249
1,3825
12,4424
2,7650
6,4516
0,3436
10,3081
0,6872
9,6209
1,0308
8,9337
2,3
7,375
2,2
5,189
2,5
6,18
c
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,5
7,75
1
5
1,5
6,25
d
-
0,312
0,893
0,0385
0,944
0,25
0,67
0,5
0,6857
0,982
0,8896
0,107
1,2755
0,7586
0,52
0,963
0,51
0,8
0,6
0,667
0,56
0,503
-2,813
-0,4613
-3,601
-
-
3,6929
2,3738
-1,37
11,2
5,44
6,76
3. НОЧИЗИҚ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАЛАРИНИ ЕЧИШ
MathCAD дастурида ночизиқ тенгламалар системасини тақрибий ечиш
учун стандарт ички функциялар мавжуд, улар given ..find блоки, minimize
(f(x),x) ички функцияси. Мисол сифатида ушбу системаларни оламиз:
f1 ( x1 , x2 )  x12  x22  1 , f 2 ( x1 , x2 )  x12  x2  0 ,
1) given ..find блоки
// бошланғич итерацияни бериш (x:=-1 y:=0)
> x:=1 y:=0
// тенгламаларни бериш, баробар йўғон
>Given x2  y2  1 x2  y  0
// илдизни ўзгарувчига бериш
> r : Find ( x, y)
> r T  0.7861 0.6181
//илдизни чиқариш, ( r T   0.7861 0.6181 )
Итерация ва Ньютон усулларини ташкил этувчи жараёнлар тузамиз.
2) итерация усули. x1  0.5cos x2  1,sin( x1 1)  x2  1.2 системани қараймиз.
> g ( x) : 1  0.5*cos( x2 ) sin( x1  1) 1.2
T
 x 1 :  0.4 0.5
T
// бошланғич итерация ни бериш  x1 :  0.6 0.1
T
// итерацияларни ҳисоблаш
xk 1 : g ( xk  )
 k : 0..5
// итерация функциясини бериш,
0.4 0.562 0.515 0.510 0.511 0.511 
 0.6 0.502 0.655 0.510 0.510 0.510 
x
//
x


 0.1 0.811 0.202 0.203 0.202 0.202
0.5 0.215 0.20 0.202 0.219 0.219


k 1
k 
k  1
k 
3) Ньютон итерация усулини ташкил этиш: x
: x  ( J ( x )) f ( x ) .
// индекснинг бошланғич қиймати
> ORIGIN :=1
// итерацияловчи функцияларни бериш
> g ( x)T :  x12  x22  1, x12  x  0
 2 x1 2 x2 

 2 x1 1 
// Якоби матрицасини қуриш
> J ( x) : 
> x1 :  1 0
T
> k:=0..5
// бошланғич итерацияни бериш ( x1 : 1 0 )
T
xk 1 : xk   ( J ( xk  ))1 f ( xk  ) //Ньютон итерацияларини қуриш
 1 1 0.833 0.788 0.786 0.786

 0 1 0.667 0.619 0.618 0.618 
1 1 0.8333 0.7881 0.7861 0.7861

0 1 0.6667 0.6190 0.6180 0.6180
>x
// x  
xk 1 : xk   ( J ( xk  ))1 f ( xk  ) формула ҳозирча фақат MathCAD да ишлаяпти.
4) Минимизация усули. f ( x) : ( x12  x22 1)2  ( x2  x12 )2  min масалани
қараймиз. Равшанки, Minimize f(x)=0, яъни f(x)=0. Шунинг учун, топамиз:
9
> x1 : 1 x2 : 0
// бошланғич қиймат ( x1 : 1 x2 : 0 )
 f ( x) : [ x12  x2 2  1]2  [ x12  x2 ]2
// мақсад функция
s : Minimize( f , x1 , x2 ) sT  (0.786 0.618)
//натижалар rT  (0.787 0.618)
3.4.Индивидуал топшириқлар.
Тенгламалар итерация, Ньютон усуллари билан ечилсин. Ечим Mathcad
(Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ёрдамида ва алгоритм тузиб
олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин. Графиклар чизилсин.
N
1
sin( x  1)  y  1.2, 2 x  cos y  2
2
cos( x 1)  y  0.5, x  cos y  3
3
5
sin x  2 y  2,cos( y 1)  x  0.7
4
6
cos x  y  1.5, 2 x  sin( y  0,5)  1
sin( x  y) 1,6x  0, x2  y2  1
7
9
cos x  y  1.5, 2 x  sin( y  0.5)  1
11
cos( x  0.5)  y  0.8

sin y  2 x  1.6
12
13
cos( y  0.5)  x  0.8

sin x  2 y  1.6
14 tg ( xy  0,1)  x 2 ;
15
2 x  cos( y  1)  0;

 y  sin x  0, 4
cos( y  0,5)  x  2

sin x  2 y  1
sin( y  2)  x  1,5

 y  cos( x  2)  0,5
sin( x  1)  y  1

2 x  cos y  2
16 sin( x  y)  1,1x  0,1;
cos( x  1)  y  0,8

 x  cos y  2
sin x  2 y  1, 6

cos( y  1)  x  1
cox  y  1, 2

2 x  sin( y  0,5)  2
24
sin( x  y)  1, 2 x  0, 2
 2
2
x  y  1
30
17
19
21
23
25
27
29
tg ( xy  0.4)  x2 ,0.6x2  2 y 2  1
sin( x  0,5)  y  1,2 x  sin( y  0,5)  1
8 sin( x  y) 1, 2x  0.2, x2  y 2  1
10 tg ( xy  0.3)  x 2 ,0.9 x 2  2 y 2  1

sin( x  y) 1,3x  0, x  y  1
2
2

2
2

0,5 x  2 y  1
18
20
 2
2
x  y  1
tg ( x  y)  xy  0
 2
2
x  2 y  1
3

2
2
sin( x  y )  xy  1, x  y 
4

22 tg ( xy  0, 2)  x 2 ;
26
 2
2

x  2 y  1
sin( x  y)  1,5 x  0;
 2
2
x  y  1
tgxy  x2 , 0,5x2  2 y 2  1
28 sin( x  y)  1, 2 x  0, 2
10
 2
2
x  y  1
sin( x  y)  1, 2 x  0, 2
 2
2
x  y  1
4. ЧИЗИҚЛИ АЛГЕБРА МАСАЛАЛАРИНИ ЕЧИШ.
MathCAD да жуда кўп чизиқли алгебра масалалари ечилиши мумкин ва
бу жараён табиий математика тилида олиб борилади.У нақадар содда ва
тушунарлики, биз айрим асосий командаларни санаб ўтиш билан чекланамиз.
3 4 
7
 A : 
b :   d : A B : A1 x : Bb r : eigenvals( A) s : eigenvecs ( A) //

5 6 
11
2 
 3
 0.217 
 0.779 0.541
r
s



 2.5 1.5
 9.217 
 0.627 0.841
> d  2 B  
3 4 7 
1 0 1
rref (C )  


5 6 11
0 1 1
> C  augment ( A  b) C : 
1
x 
1
1
x 
1
// натижалар
// Поғонасимон С
4.1. Тескари матрица усули
 40
2
 A : 
2

1
 x : A1b
1
 43

 45 
40 2 1 
b :  
 46 
2 2 2

 
1 2 40 
 44 
xT  1 1 1 1 // ечим
1
1
// матрица ва ўнг томон
4.2. Ички функция lsolve(A,b) ёрдамида ечиш
 r : lsolve( A, b) r T  1 1 1 1
4.3. Гаусс усулининг ички функцияси rref(A) ёрдамида ечиш
 40 1 1 1 43
 2 40 2 1 45
 // кенгайтирилган матрица
 B : augment ( A, b) B  
 2 2 40 2 46 


 1 1 2 40 44 
1
0
 s : rref ( B) s  
0

0
0 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 1

0 0 1 1
1
1
x    // ички функция ва ечим
1

1
4.4. Тескари матрица
 C : A1
 0.0251 0.0006 0.0006 0.0006
0.0012 0.0251 0.0012 0.0005
C
 0.0012 0.0012 0.0251 0.0012
 0.0005 0.0006 0.0012 0.0251 


 1 0 0 0 
0 1 0 0
C A  
0 0 1 0
0 0 0 1


11
 1 0 0 0 
0 1 0 0
AC  
0 0 1 0
0 0 0 1


4.5. Dетерминант
 d : A
d1: C
d * d1  1
d=2538588 d1=0.00000039
4.6. Хос сонлар
 r : eigenvals( A)
rT  [44.49 38.866 39.37 37.644]
4.7.Хос векторлар
0
0.0958 
0.3582 0.1852
 0.5338 0.7658 0.7071 0.5129 

s
 0.606 0.5878
0
0.7295 


0.4686 0.6132 0.7071 0.4423
 s : eigenvals( A)
4.8. Итерация усули
 40 1 1 1 
 43
1
 2 40 2 1 
 

 b :  45 E : identity (4) E  0
 A : 
 2 2 40 2 
 46 
0


 

 1 1 2 40 
 44 
0
0 0 0
0 
0 
1 0 0 
x :  
0 
0 1 0

 
0 0 1
0 
 : 0.005
 B : E  A d :  b k : 0..30 xk 1 : d  Bxk 
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0 0.989 0.992 0.993 0.995 0.996 0.997 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999
x  1 0.992 0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 0.999
2 0.994 0.995 0.997 0.997 0.998 0.999 0.999 0.999 0.999
1
1
1
1
3 0.991 0.993 0.994 0.996 0.997 0.997 0.998 0.998 0.999 0.999 0.999 0.999
4.2.Индивидуал топшириқлар.
Тенгламалар системаси Гаусс, итерация, тескари матрица усуллари билан
ечилсин. Хос сонлар ва хос векторлар топилсин. Ечим Mathcad (Maple,
Mathematica) дастурида ички функциялар ёрдамида ва алгоритм тузиб олинсин,
натижаларнинг яқинлигига эришилсин.
8.30 2.62  
3.92
8.45
A
1)
3.77 7.21  

 2.21 3.65  
k
1
2) A  
1

1
4.10
7.78  
8.04
1.69
1.90
16.92   
 22.61  
2.46
 ,   0.2k , k  0,..., n.
,b  
,
 21.3  
2.28



6.99
14.54   
1 1 1
 n  3

 n  3
k 1 1
 , n  1, 2,....
, k  n  3, n  4, n  5,...., b  
 n  3
1 k 1



1 1 k
 n  3
12
5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФОРМУЛАЛАРИНИ ҚУРИШ
n
n
x  xj
i 0
j  0, j  i
xi  x j
5.1. Лагранж интерполяция кўпҳади: Ln ( x)   f ( xi )li ( x), li ( x)  
.
MathCAD ойнасида қуйидаги командаларни терамиз:
 n : 4 f ( x) : x *sin( x) a : 0 b : 4 h : (b  a) / n
// интерполяция шартлари
 i : 0..n vxi : a  ih vyi  f (vxi )
 vx : 0 1 2 3 4
T
vy   0 0.8415 1.8186 0.4234 3.0272 
T
n
i 0
j 0
// қийматлар
// индексларнинг ўзгариш соҳаси
 i : 0..n j : 0..n
n
// тугун нуқталар, функция
 Ln( x) :  vyi  if (i  j ,1, ( x  vx j ) /(vxi  vx j )) // Лагранж интерполяция кўпҳади
// қийматлар.
 Ln(2.3)  1.689 f (2.3)  1.715 Ln(1)  0.841 Ln(2) 1.8186
n
i 1
i 1
j 0
5.2.Ньютоннинг интерполяция кўпҳади. N n ( x)  f ( x0 )   f [ x0 ,..., xi ] ( x  x j )
MathCAD ойнасида қуйидаги командаларни терамиз:
 n : 4 f ( x) : x *sin( x) a : 0 b : 4 h : (b  a) / n
// интерполяция шартлари
 i : 0..n vxi : a  ih vyi  f (vxi )
 vx : 0 1 2 3 4
T
> k:=0..n
// тугун нуқталар, функция
vy   0 0.8415 1.8186 0.4234 3.0272 
T
k
k
i 0
j 0
a0 : f (vx0 ) ak :  vyi  if (i  j ,1,1/(vxi  vx j ))
n
i 1
i 1
j 0
 Nn( x) : a0   ai  ( x  vx j )
// қийматлар
// бўлинган айирмалар
// Ньютон кўпҳади
// натижалар
> Nn(2.3)  1.6893 Nn(2)  1.8186 Nn(3)  0.4234
5.3. Сплайнлар билан интерполяциялаш: s1 ( x)  f ( xi )  f [ xi , xi1 ]( x  xi ), xi  x  xi 1 .
Чизиқли s1 , кубик s3 сплайнлар қуйидагича қурилади:
 n : 4 f ( x) : x *sin( x) a : 0 b : 4 h : (b  a) / n
// интерполяция шартлари
 i : 0..n vxi : a  ih vyi  f (vxi )
 vx : 0 1 2 3 4
T
// тугун нуқталар, функция
vy   0 0.8415 1.8186 0.4234 3.0272 
T
// қийматлар
 s1( x) : l int erp(vx, vy, x) M : cspline(vx, vy ) s3( x) : int erp(M , vx, vy, x) //сплайнлар
// қийматлар
 s1(1.5)  0.868 s3(1.5)  0.98 f (1.5)  0.997
13
5.4. Индивидуал топшириқлар.
Берилган функция учун Ньютон, Лагранж интерполяция кўпҳадлари, чизиқли,
кубик интерполяция сплайнлари қурилсин. Ечим Mathcad (Maple,
Mathematica) дастурида ички функциялар ёрдамида ва алгоритм тузиб олинсин,
натижаларнинг яқинлигига эришилсин. Тўр нуқталари {xi  a  ih, i  0..n} дан
фарқли учта x1,x 2 ,x3 нуқталарда интерполяция формулалари ва функциянинг
қийматлари ҳисобланиб, қийматлар солиштирилсин. Графиклар чизилсин.
Т.р
Топшириқлар
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
f(x)=tg (ax)-bx
f(x)=ln (ax)+bx-c
f(x)=asin(bx)-cx
f(x)=a exp(-bx)-x
3
2
f(x)=a x +bx +cx+d
a
b
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
c
d
[a,b]
Нукталар
Функция
сони
ҳисобланадиган.
нуқталар
x1 ,x 2 ,x3
10
[0,2]
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
10
x1 ,x 2 ,x3
10
x1 ,x 2 ,x3
10
x1 ,x 2 ,x3
10
x1 ,x 2 ,x3
[3,4]
[1,4]
[3,5]
1
2
3
1
2
3
14
[2.5]
6. КВАДРАТУРА ФОРМУЛАЛАРНИ ҚУРИШ.

n
0
i 0
J   sin( x)dx интегрални ҳисоблайлик, J h :  ci f (i ) Rh : J  J h .
6.1. Тўғри тўртбурчаклар формуласи.
n 1
J hTT : h f ( xi  h / 2) , RhTT 
i 0
h 2 (b  a )
f (c) .
24
 f ( x) : sin( x) a : 0 b :  n : 20
// функция, оралиқ, бўлинишлар сони
b
 J :  f ( x)dx
// ҳисобланадиган интеграл
J 2
a
// қадам, тугун нуқталар
 h : (b  a) / n i : 0..n xi : a  ih
n
 JTT (n) : h f ( xi  h / 2) JJT (n)  1.99
// ТТ формуласи ва қиймати
i 0
6.2.Tрапеция формуласи:
n 1
h (b  a)
 f (a )  f (b) 
J hT : h 

h
f ( xi ) , RhT  
f (c) .


2
12


i 1
2
 f ( x) : sin( x) a : 0 b :  n : 20
// функция, оралиқ, бўлинишлар сони
b
 J :  f ( x)dx
// ҳисобланадиган интеграл
J 2
a
// қадам, тугун нуқталар
 h : (b  a) / n i : 0..n xi : a  ih
n 1
 f (a )  f (b) 
 JT (n) : h 

h
  f ( xi )
2

i 1
JT (n)  1.996 // Трапеция формуласи
6.3.Симпсон формуласи:
m
m 1
h
h 4 (b  a) (4)
J hC : [ f (a )  f (b)  4 f ( x2i 1 )  2 f ( x2i )] , RhTT  
f (c ) .
3
180
i 1
i 1
 f ( x) : sin( x) a : 0 b :  n : 20
b
 J :  f ( x)dx
// функция, оралиқ, бўлинишлар сони
// ҳисобланадиган интеграл
a
// қадам, тугун нуқталар
 h : (b  a) / n i : 0..n xi : a  ih
m
m 1
h
 JS (m) : [ f (a)  f (b)  4 f ( x2i 1 )  2 f ( x2i )]
3
i 1
i 1
 J  2 JS (10)  2.0000067844
// Симпсон формуласи
// интегралнинг аниқ ва тақрибий қиймати
15
6.4. Гаусс квадратура формуласи.
Ушбу Гаусс квадратура формуласи мавжуд:
J hG 
h n
 (5 f (a  h(k  p1 ))  8 f (a  h(k  0.5)) 5 f (a  h(k  p2 ))) ,
18 k 1
1
3
1
3
p1  (1  ), p2  (1  ) ,
2
5
2
5
1
b  a 7 (6)
RhG 
(
) f (c ) .
15750 2
6.5. Қодиқни баҳолашнинг Рунге қоидаси.
z -бирор аниқ миқдор, zh -унинг бирор тақрибий қиймати бўлсин,
z  zh .Фараз қилайлик, улар орасида асимптотик ушбу муносабат ўринли
бўлсин:
z  zh  chk  O(hk m ), c  const .
Масалан, агар f ( x)  C 4[a, b] ва f ( x)  C6[a, b] бўлса,
J  J hT  c1h2  O(h4 ) ,
J  J hTT  c2h2  O(h4 ) ,
J  J hS  c3h4  O(h6 ) ,
асимптотик формулалар ўринли.
Рунге қоидаси қолдиқ ҳадни амалий баҳолашга ёрдам беради ва
қуйидагидан иборат:
rh / 2  J  J h / 2 
zh / 2  zh
.
2k  1
6.7. Тақрибий қийматларни яхшилашнинг Ричардсон экстраполяция
формуласи. z учун zh* янги тақрибий миқдорни Ричардсон экстраполяция
формуласи асосида қуйидагича киритамиз:
zh* 
2 k zh / 2  zh
.
2k  1
У ҳолда янги тақрибий формуоа хатолиги қуйидагича бўлади:
rh*  z  zh*  O(hk m ) , яъни z  zh*  O(hk m ) .
6.8. Монте Карло усули. Монте Карло усулида интеграллар қуйидагича
ҳисобланади:
1
 f ( x)dx  n 
0
1 1
1 n
 f (i ) ,
n i 1
  f ( x, y)dxdy n 
0 0
1 n
 f (i ,i ) .
n i 1
Бу ерда i ,i миқдорлар тасодифий [0,1] кесмада компьютер ёрдамида
яратиладиган ўзаро боғлиқ бўлмаган псевдотасодифий миқдорлар.
Хатоликлар J  n лар  0.997 эҳтимоллик билан ушбу баҳо ёрдамида
аниқланади:


1 n
p ( J   n  3 )  0.997 , J   n  3 ,  
(i   n )2 .

n
n
n  1 i 1
16
6.4. Индивидуал топшириқлар.
Интеграллар тўғри тўртбурчаклар, трапеция, Симпсон, Гаусс усуллари
билан топилсин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички
функциялар ва алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин.
N
f ( x)
[a,b]
F ( x), F ( x)  f ( x)
1
ln x /( x 1  ln x )
1,3,5
2(ln x  1)3/ 2 / 3  2(ln x  1)1/ 2  4 / 3
2
tg 2 x  ctg 2 x
 / 6,  / 3 tgx  ctgx  2x  tg ( / 6)  ctg ( / 6)   / 3
3
1/ x / ln x
4
ln 2 x / x
5
ex 1
6
xe x sin x
7
xshx
8
1/ 9  x 2
9
x2 sin(1/ x)
xarctgx
 2,3
1, 4
0, ln 2
0,1
0, 2
0, 2
1, 2.5
10
11
arcsin x /(1  x)
12
x x (1  ln x)
13
1/ 1  3x  2 x 2
14
( x 2  0.16) / x
15
23 x
16
xarctgx / 1  x 2
17
(e2 x  1) /(ex  1)
18
sin 2 x
19
x2 4  x2
20
e x cos2 x
21
22
23
0, 3 


 0,3
2.3026(ln ln x  ln ln 2)
ln 3 x / 3
2 e x  1  2arctg e x  1
( xex (sin x  cos x)  ex cos x 1) / 2
xchx  shx
ln( x  x 2  9)  ln 3
cos(1/ x)  cos1
x2arctgx / 2  x / 2 1/ arctgx
x arcsin x /(1  x)  x _ arctg x
xx 1
1,3
0,1
ln(( x  0.75  ( x  0.75)2  0.0625)/(0.75  0.5)))/ 2
1, 2
( x 2  0.16)  0.4arccos(0.4 / x)  0.84  0.4arccos(0.4 / x)
(23x 1) / 3/ ln 2
0,1
0,1
1  x2 arctgx  ln( x  1  x2 )
e2 x / 2  e x  x  0.5
0, 2
0,  / 2 x / 2  sin 2 x / 4
0,1.9999 2arcsin( x / 2)  sin(4arcsin( x / 2)) / 2
 0,  
2
( x ln x)
1, e
0,1
arcsin( x /(1  x ))
( x2 1) /( x2  1) / 1  x2  0,1
ex (1  (2sin 2x  cos 2x) / 5) / 2  0.6
1,1.5
 0,1.5
ln(tg ( x / 2))  cos x ln(tgx)  ln tg 0.5...
24
sin x ln(tgx)
25
ex (1  sin x) /(1  cos x)
26
1/(3sin x  2cos x)
27
(ln x / x)2
28
x2 /(3  x)
0,1
1, 2
1, 2
x3 (9ln 2 x  6ln x  2) / 27  2 / 9
x arcsin( x /(1  x ))  x  arctg x
 2 arcsin(sin(2arctgx / 2) / 2
e xtg ( x / 2)
3/ 26  (3cos x  2sin x) /(13(2cos x  3sin x))
-  (ln x  3ln
3
2
x / 2  3ln x  3/ 4) / 2 x2
9x  3x2 / 2  x3 / 3  27ln(3  x)  47 / 6  27
17
7. ОДТ УЧУН КОШИ МАСАЛАСИНИ ТАҚРИБИЙ ЕЧИШ
ОДТ учун Коши масаласини тақрибий ечишни ушбу мисолда кўрамиз:
y  2.2 /( x2  y 2  2.6), y(0)  0
Усуллар сифатида Эйлер (E) yi1  yi  hf ( xi , yi ) , такомиллашган Эйлер
(TE) yi0.5  yi  hf ( xi , yi ) / 2, yi1  yi  hf ( xi0.5 , yi0.5 ) / 2 , прогноз-коррекция (PK)
yi 1  yi  hf ( xi , yi ), yi 1  yi  hf ( xi 1 , yi 1 ) , Рунге-Кутта (RK) усулларини
yi 1  yi  (k1  2k2  2k3  k4 ) / 6 , k1  hf ( xi , yi ) , k2  hf ( xi  h / 2 , k3  hf ( xi  h / 2, yi  hk2 ) ,
k4  hf ( xi 1, yi  hk3 ) ,қараймиз.
Тушунтиришларни // белгидан сўнг келтирамиз.
Биз кенг кўламдаги ички функцияларни ишлатмаймиз: Bulstoer,
bulstoer, bvalfit, Odesolve, Radau, radau, Rkadapt, rkadapt, rkfixed, Sbval, Stiifb,
stiffb, Stiffr, stiffr. Уларнинг кўпчилиги асосида юқоридаги усуллар ётади.
// оралиқ, нуқталар
 a : 0 b : 0 n : 10 h : (b  a) / n Origin : 0 i : 0..n xi : a  ih
 f ( x, y) : 2.2 /( x 2  y 2  2.6) y0 : 0
//ОДТ да ўнг томони, бошланғич шарт
 yi 1 : yi  hf ( xi , yi )
// E усул
 y12i 1 : yi 
h
h
f ( xi , yi ) yTEi 1 : yi  hf ( xi  , y12i )
2
2
// TE усул
// PK усул
 yPKi 1 : yi  hf ( xi  h, yi 1 )
// RK усул коэффицентлари
 k1i : hf ( xi , yi ) k 2i : hf ( xi  h / 2, yi  hk1i / 2)
 k 3i : hf ( xi  h / 2, yi  hk 2i / 2) k 4i : hf ( xi  h, yi  hk 3i ) // RK усул коэффицентлари
1
 yRKi 1 : yi  (k1i  2k 2i  2k 3i  k 4i )
6
// RK усул
Ҳисоблашларни бажариб ушбу натижага келамиз:
0
1
2
3
4
E
0.085 0.169 0.251 0.331 0.408 0.481 0.55
TE
0.085 0.168 0.251 0.331 0.407 0.48
PK
0.084 0.167 0.249 0.328 0.404 0.477 0.545 0.61
RK
0.085 0.168 0.25
0.33
5
6
7
8
9
10
0.614 0.675 0.732
0.549 0.614 0.675 0.731
0.671 0.728
0.406 0.479 0.548 0.613 0.674 0.731
18
7.4. Индивидуал топшириқлар.
Коши масаласининг тақрибий ечими Эйлер, Рунге-Кутта усуллари
ҳисоблансин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар
ва алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин.
ОДТ
[a,b]
N
1
y  xy   x2 sin x
h=(b-a)/n
Аниқ ечим
[0, 0.5] y(0)  1
0.1
cos x  x sin x
2
(1  x) y  y  2  2ln(1  x) [0, 0.5] y(0)  1
0.05
1  x  2ln(1  x)
3
y  y  e x (cos x  sin x)
[0, 0.5] y(0)  1
0.05
e x (cos x  sin x)
4
y  2 y  e2 x
y  2 y  4cos 2 x
[0,1]
0.1
[0,0.2]
y(0)  1
y(0)  1
0.02
(1  x)e2 x
cos 2 x  sin 2 x
[0, 2]
y(0)  2
0.2
e x  e x
[0,0.2]
y(0)  2
0.02
e5 x  e3 x
y  2 y  4cos 2 x
y  y  6e3x
[0,1]
0.1
cos 2 x  sin 2 x
[0,1]
y(0)  1
y(0)  2
0.1
e3 x  e3x
y  y  e x
y  y  5e2 x
[0,1]
y(0)  1
0.1
[0,1]
y(0)  0
0.1
y  (3/ 4) y  (5/ 4)ex / 2
xy  y  x2  x 1
y  3 y  0
[0,1]
y(0)  2
0.1
[1, 2]
y(0)  0
0.1
e x (1  x)
e2 x  e3 x
ex / 2  e3x / 4
x2  x
[0, 0.5]
y(0)  1
0.05
e3x (cos x  sin x)
y(0)  0
0.02
e2 x  0.5e3x  0.5e x
16
[0,1]
y  2 y  2.5e3x  1.5ex
y  y  0.1e2 x  0.5x2  2x [0,1.5]
1
y(0)  5.1
0.1
e x  0.1e2 x  0.5x2  3x  4
17
y  y  2cos x  1  ex
[1,1.5]
y(0)  2.5
0.1
cos x  sin x  1  e x / 2
18
[1,1.5]
y(0)  4
0.05
19
x2 y  xy  2
xy  y  5ln x 1
[1,1.5]
0.05
20
y  y  ex  x2ex / 3
[0, 0.5]
y(1)  5
y(0)  1
2 x  1/ x  x 2
5  ln x
0.05
(1  x)ex  x3ex / 6
21
y  2 y  2e3x
2xy  y  4x2
[0,1]
y(0)  2
0.1
e x  e2 x
[1, 2]
y(0)  2
0.1
3 x  x2
23
2 x y  y  2cos x
[1, 2]
y(0)  1
0.1
sin x  cos x
24
10 y  3 y  20x  0.3x 1 [1, 2]
y(0)  1/ 3
0.1
x2  0.1x3  1/ 3
25
y  y  2ex
[0,1]
y(0)  2
0.1
e x  e x
26
y  2 y  4cos 2 x
[0, 0.5]
y(0)  1
0.05
sin 2 x  cos 2 x
27
y  0.5 y  1.5ex
y  y  xe2 x  2(1  x)
[0,1]
y(0)  1
0.1
e x  e x / 2
[0, 0.5]
y(0)  1
0.05
(1  x)e2 x
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
22
28
y  y  2e x
y  5 y  2e3x
3
БШ
19
8. ОДТ УЧУН ЧЕГАРА МАСАЛАЛАРНИ ТАҚРИБИЙ ЕЧИШ
Бу ерда коллокация, Галёркин, энг кичик квадратлар, чекли
айирмалар усуллари билан тақрибий ечиш MathCAD дастурида ташкил
этилган. Биз кенг кўламдаги ички функцияларни ишлатмаймиз.
1. ОДТ учун чегара масала қуйидагича қўйилади:
Lu  u  p( x)u  q( x)u  f ( x), a  x  b, (дифференциал тенглама-ДТ),
l0u  0u(a)  1u(a)   0 , l1u   0u(b)  1u(b)   1 .(чегара шартлар-ЧШ).
ДТ ва ЧШ қаноатлантирувчи u  u( x)  C 2[a, b] функцияни топиш керак.
Проекцион усулларда тақрибий ечим un ( x)  u( x) қуйидагича изланади:
n
u n ( x)   0 ( x)   c j j ( x) , c j -?.
j 1
Бу ерда {i ( x)} лар базис функциялар, улар махсус усул билан танланади.
Коллокация усулида коэффицентлар қуйидагича топилади:
n
 c L  ( x )  f ( x )  L ( x ) , i=0,1,...,n.
j 1
j
j
j
i
i
0
i
Энг кичик квадратлар усулида коэффицентлар қуйидагича топилади:
a
n
 c ( L , L )  ( f  L , L ), ( f , g )   f ( x) g ( x)dx,
j
j 1
j
i
0
i, j  1,...n
i
b
Галеркин-Ритц усулида коэффицентлар қуйидагича топилади:
a
n
 c ( L , )  ( f  L , ), ( f , g )   f ( x) g ( x)dx,
j 1
j
j
i
0
i
i, j  1,...n
b
Ритц усулида коэффицентлар қуйидагича топилади:
b
b
n
a
a
j 1
F (u )  ( Lu, u )  2(u, f )   u ( x) Lu ( x) dx  2  u ( x) f ( x) dx  min ,  c j ( L j , i )  ( f  L0 , i ),
Базис фунцияларни танлаш:
1-тур чегара шартлар: u (a)=A, u(b)=B , 01 ( x)  A  ( B  A) ( x  a) /(b  a) ,
а) i ( x)  ( x  a)i (b  x), i  1 ;б) i ( x)  sin(
i( x  a)
 ),
ba
i  1.
2-тур чегара шартлар: u (a)=A, u(b)=B ,
02 ( x)   01 ( x)dx  Ax  ( B  A)( x  a)2 /(2(b  a))  C ,
i( x  a)
 ),
ba
3-тур чегара шартлар: 0u(a)  1u(a)  A, 0u(b)  1u(b)  B ,
а) i ( x)  ( x  a)i 1 (b  x)2 , i  1 ;
б) i ( x)  Cos(
0 ( x)     ( x  a) 0  1  A, 0  (0 (b  a)  1 )  B,
a) i ( x)  ( x  a)i 1 (b  x)2 , i  1 ; b) i ( x)  ( x  a)i 1[ i  ( x  a)], i  1.
2. Масаланинг Маткадда ечишни ташкил этиш
А.Коллокация усули
20
i 1
 p(t ) : sin(t ) q(t ) : cos(t ) f (t ) : 6t  3t 2 sin(t )  t 3 cos(t ) // u(t )  p(t )u(t )  q(t )u(t )  f (t )
>  :=3.14 0 (t)=1 n:=5 i:=1..n j:=1..5 t0 :=0 t n :=1 // оралиқ, параметрлар
>
h:=(t n -t 0 )/n  (j,t):=sin(j*  *t) i:=1..n Origin:=0 // қадам, базис функция
> ( j, t ) : ( j, t )  p(t )(t )  q(t )(t )  (t ) : f (t )  0 (t )  p(t )0 (t )  q(t )0 (t )
> ai , j :  ( j, ti ) bi :  (tt )
// ЧАТС элементлари
 a1,1
a
 2,1
> A :  a3,1

 a4,1
a
 5,1
a1,2
a1,3
a1,4
a2,2
a2,3
a2,4
a3,2
a3,3
a3,4
a4,2
a4,3
a4,4
a5,2
a5,3
a5,4
a1,5 
 b1 

b 
a2,5 
 2

a3,5 b :  b3 

 
a4,5 
b4 
 b5 
a5,5 
//A=матрица
b=ўнг томон
c :  0.381 0.058 0.011 0.0004666 0.0000987  // коэф-р
 c : A1b
T
5
> u(t ) : 0 (t )   c j ( j, t )
// ечим
j 1
 u(0.2)  0.013
u(0.4)  0.056
u(0.6)  0.067 u(0.8)  0.034
//қийматлар
В.Галёркин усули
 p(t ) : sin(t ) q(t ) : cos(t ) f (t ) : 6t  3t 2 sin(t )  t 3 cos(t ) // u(t )  p(t )u(t )  q(t )u(t )  f (t )
>  :=3.14 0 (t)=1 n:=5 i:=1..n j:=1..5 t0 :=0 t n :=1 // оралиқ, параметрлар
>
h:=(t n -t 0 )/n  (j,t):=sin(j*  *t) i:=1..n Origin:=0 // қадам, базис функция
> ( j, t ) : ( j, t )  p(t )(t )  q(t )(t )  (t ) : f (t )  0 (t )  p(t )0 (t )  q(t )0 (t )
1
 ai , j :   (i, t ) ( j , t )dt
0
 a1,1
a
 2,1
> A :  a3,1

 a4,1
a
 5,1
 c : A1b
1
bi :   (t ) (i, t )dt
// ЧАТС элементлари
0
a1,2
a1,3
a1,4
a2,2
a2,3
a2,4
a3,2
a3,3
a3,4
a4,2
a4,3
a4,4
a5,2
a5,3
a5,4
a1,5 
 b1 

b 
a2,5 
 2

a3,5 b :  b3 

 
a4,5 
b4 
 b5 
a5,5 
//A=матрица
b=ўнг томон
c :  0.381 0.058 0.011 0.0004666 0.0000987  // коэф. -р
T
5
> u(t ) : 0 (t )   c j ( j, t )
// ечим
j 1
 u(0.2)  0.013
u(0.4)  0.062
u(0.6)  0.073 u(0.8)  0.042
//қийматлар
С. Энг кичик квадратлар усули
 p(t ) : sin(t ) q(t ) : cos(t ) f (t ) : 6t  3t 2 sin(t )  t 3 cos(t ) // u(t )  p(t )u(t )  q(t )u(t )  f (t )
>  :=3.14 0 (t)=1 n:=5 i:=1..n j:=1..5 t0 :=0 t n :=1
// оралиқ, параметрлар
>
h:=(t n -t 0 )/n  (j,t):=sin(j*  *t) i:=1..n Origin:=0 // қадам, базис функция
> ( j, t ) : ( j, t )  p(t )(t )  q(t )(t )  (t ) : f (t )  0 (t )  p(t )0 (t )  q(t )0 (t )
21
1
 ai , j :  (i, t ) ( j , t )dt
0
 a1,1
a
 2,1
> A :  a3,1

 a4,1
a
 5,1
 c : A1b
1
bi :   (t ) (i, t )dt
// ЧАТС элементлари
0
a1,2
a1,3
a1,4
a2,2
a2,3
a2,4
a3,2
a3,3
a3,4
a4,2
a4,3
a4,4
a5,2
a5,3
a5,4
a1,5 
a2,5 
a3,5 

a4,5 
a5,5 
 b1 
b 
 2
b :  b3 
 
b4 
 b5 
//A=матрица
b=ўнг томон
c :  0.381 0.058 0.011 0.0004666 0.0000987  // коэф. -р
T
5
> u(t ) : 0 (t )   c j ( j, t )
// ечим
j 1
 u(0.2)  0.013
u(0.4)  0.063
u(0.6)  0.074 u(0.8)  0.043
//қийматлар
Усулларнинг қийматларини нуқталарда солиштирамиз:
Усуллар/Нуқталар 0.1
-10Е-3
Коллокация
-10Е-3
Галёркин
-10Е-3
ЭКК усули
0.2
0.013
0.013
0.013
0.3
0.035
0.038
0.039
0.4
0.056
0.062
0.063
0.5
0.056
0.074
0.075
0.6
0.067
0.073
0.074
0.7
0.054
0.061
0.062
0.8
0.034
0.042
0.043
0.9
0.015
0.021
0.022
3. ОДТ учун ЧАС ни ечишни ташкил қилиш.
ОДТ учун чекли айирмали схема (ЧАС) қуйидаги кўринишга эга:

u  ui 1
 ui 1  2ui  ui 1
h
 pi i 1
 qi ui  f i , i  0,..., n  1,   f h
 Lh u  
2
2h

h

(1)

u

u
u

u
l u h  {l u h , l u h }  { u   1
0
n 1
,  0 un  1 n
}  g h  { 0 ,  1 }.
0h
1h
0 0
1
 h
h
h
Ноъмалумларни гуруҳлаб уч диогналли тенгламалар системасига келамиз:
u0 ( 0 h  1 )  1u1   0 h,

2
2
(1  pi h / 2)ui 1  (qi h  2)ui  (1  pi h / 2)ui 1  fi h ,
   u  (  h   )u   h
0
1
n
1
 1 n 1
i  1,..., n  1
Уни прогонка (ҳайдаш) усули билан ечиш мумкин. Ушбу
b0   0 h  1 , c0  1 , d 0   0 h, ai  1  pi h / 2, bi  qi h2  2, ci  1  pi h / 2, di  fi h2 ,
i=1,..,n-1 , an  1, bn  0h  1 dn   1h
белгилашларни киритиб стандарт шаклга келамиз:
b0u0  c0u1  d 0

ai ui 1  bi ui  ci ui 1  d i , i  1,..., n  1
a u  b u  d
n
 n n 1 n n
Прогонка усулига асосан ечим ui  vi 1ui 1  wi 1 кўринишда изланади, бу ерда:
22
v  c / a v  b  , w  [d  a w ]/ a v  b  , i  1,...n 1 , v  w  0,
(2)
un  [d n  an wn ]/  an vn  bn  , ui  vi 1ui 1  wi 1 , i  n  1, n  2,..., 0.
(3)
i 1
i
i i
i
i 1
i
i
i
i i
i
0
0
( 1) прогонка коэффициентларни , (2) эса ноъмалумларни аниқлайди.
Ҳисоблашлар ушбу жадвал асосида олиб борилади.
x 
k
bk
ak
↓ k
ck
dk
a  kh
0
1
…
n-1
n
0
wi 1 
di  ai wi
ai vi  bi
0
vi 1  
ci
ai vi  bi
ui  vi 1ui 1  wi 1
0
0
un 
d n  an wn

an vn  bn
Масалани Маткадда ечиш
 p(t ) : sin(t ) q(t ) : cos(t ) f (t ) : 6t  3t 2 sin(t )  t 3 cos(t ) // u(t )  p(t )u(t )  q(t )u(t )  f (t )
>  :=3.14 n:=10 i:=0..n t 0:=0 t n :=1 h:=(t n -t 0 )/n ti : t0  ih // оралиқ, параметрлар
> 0 : 1 1 : 0  0 :
// ЧШ коэффицентлари
> 0 : 1 1 : 0 1 :
// ЧШ коэффицентлари
> b0   0 h  1 , c0  1 , d 0   0 h,
// ЧАТС да 0- тенглама коэффицентлари
> an  1, bn  0h  1 dn : 1h
// ЧАТС да n- тенглама коэффицентлари
> i=1,..,n-1 , ai  1  pi h / 2, bi  qi h2  2, ci  1  pi h / 2, di  fi h2
// i-тенглама коэф.
3
// аниқ ечим
 z : x
T
0
z( x) 
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1·10 -3
8·10 -3
0.027
0.064
0.125
0.216
0.343
0.512
0.729
> m0,0 := 0 h-1 m0,1 : 1 d0 :  0 h
10
1
// Маткадда 0- тенглама коэффицентлари
h
h
mi ,i : bi mi ,i 1 : 1  p( xl )
di : f ( xi ) hi 2 // i-тенг. коэф.
2
2
 mn,n1 : 1 mn,n : 0 h  1 dn :  1h // Маткадда n- тенглама коэффицентлари.
 i : 1..n  1 mi ,i 1 : 1  p( xl )
23
Назорат учун Маткад ойнасида ЧАТС матрицаси ва ўнг томонни экранга
чиқарамиз:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0.95 -1.999
1.05
0
0
0
0
0
0
0
1 6.301·10 -3
0.95 -1.998
1.05
0
0
0
0
0
0
2
0.013
0.95 -1.997
1.05
0
0
0
0
0
3
0.021
0.95 -1.996
1.05
0
0
0
0
d 4
0.029
0.95 -1.995
1.05
0
0
0
5
0.038
0.95 -1.994
1.05
0
0
6
0.048
0.95 -1.993
1.05
0
7
0.059
0.95 -1.992
1.05
8
0.071
0.95 -1.991
9
0.085
10
0.1
2
0
3
0
0
m 4
0
0
0
5
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Ечимнинг тўр нуқталардаги қийматларини чиқарамиз:
 u : m1d
0 1
0 0 0.526E-3
uT 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.907E-3
0.028
0.065
0.126
0.217
0.344
0.513
0.729
1
24
8.4. Индивидуал топшириқлар
Иккинчи тартибли чизиқли ОДТ учун чегаравий масала чекли айирмали
схема тузилиб Галеркин усуллари ва прогонка усули билан ечилсин. Ечим
Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ва алгоритм тузиб
олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин.
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), 0 y(a)+1y' (a)= 0 , 0 y(b)+1y' (b)= 1
№ Тенгламалар
1 y+2xy+3y=1.5,
2
3
4
5
6
7
8
9
y(0,6)=1.1,0.4y(1)+y (1)=2
y-xy+3y=x+1
y(0.8)-0.5y (0.8)=1,y(1.8)=1
y+y/3+xy=2
y(0.6)=1.4, 2y(1.6)-1.5y(1.6)=1.8
y-0.6y/x=x
y(0)=1, y(1)-0.5y(1)=1.8
y+xy-y/(2x)=1,
y(2)+2y(2)=1, y(2.8)=2.5
y+0.4xy-2yx=4x,
y(0.2)-1.5y(0.2)=1, y(1.2)-0.5y(1.2)=2
y+(1.5)y-(3x+0.5)y=4
y(0.6)=1.4, 2y(1.6)-1.5y(1.6)=1.8
y+sinxy+2yx=1.2
y(0)=1.4, y( / 2 )-2y'( / 2 )=2.2
y-sinxy+(x+1)y=2x+1
№ Тенгламалар
16 y+ctgxy-y=3
17
18
19
20
21
22
23
24
y(0.1)=1.4
10
y(1.1)-2.3y (1.1)=2.3
y+cosxy+(3x 2 +1)y=-2.2x
y(0)=0.5, y(1)=2.4
11 y-3xy-1.5y=x+1
1.2y(1.1)+0.6y(1.1)+2=1.4
12
y(1.2)-0.5y(1.2)=2.1
y-(x+1)y+3xy=2x 2
y(1.4)=1, y(2.4)-3.2y(2.4)=1.2
13 y-(2x+1)y-3xy=x
1.1y(0)-0.2y(0)=1.1,y(1)+0.5y(1)=2
14 y-(x+3)y-(4x+1)y=2x
y(0)=1.4 , y(1)=2.4
15 y+(2x+0.5)y+xy=1.7,
y(0)=1, 2y(1)+0.5y(1)=1.4
y(0)=1,y( /2)=1.6
y+(0.1+2x)y-(5x+1)y=1.2
y(0)=2.2 y(1)+0.4y(1)=1.8
y+sinxy-2y=3x+1
y(0)=1.2, y(  /4)=1.8
y+(0.3+1)y-1.8xy=1.4
y(0)=2, y(1)+0.8y(1)=2.6
y+(0.2x+1)y-4y=3x,
y(1.1)=1.7, y(2.1)+2.4y(2.1)=3.6
y+(0.4x+1)y-1.4y=2x+1
y(0)+1.4y(0)=1.6, y(0.6)=4.2
y-(3x+1)y+cosxy=3xsinx
y(0)+1.2y(0)=3.3, y( /2)-1.4y( /2)=4.2
y+(2.3x+4)y-6xy=4x
y(0)-1.2y(0)=1.2, y(0.8)=1.4
y+(3x+1)y-cosxy=sinx
y(1.1)-1.4y=1
25
y(2.1)-2.1y(2.1)=2
y-(3x+1)y-4x=2
y(0)+1.4y-4x=2, y(0.4)=2.5
26
y+y/(3x)-y=3/x
y(0.6)=1.3
27
28
29
30
25
0.5y(1.6)-1.2y(1.6)=2.4
y-3xy-y/(2x)=0.7
y(0.4)=1.4, y(0.7)+1.4y(0.7)=2.1
y+2x 2 y+y=x+1
y(0.7)-2y(0.7)=1,y(1.7)-3y(1.7)=2.3
y-y/2+2y/x=x/4
1.1y(1.1)-y?(1.1)=0.9,3y(1.6)+0.5y(1.6)=1.8
y+3y-y/x=x+1,
y(0.5)=1, y(0.8)-2y(0.8)=1.4
9. Функцияларнинг энг катта ва кичик қийматларини топиш
1. Масала 1. F(x1,x 2 )=60x1 +40x 2 функциянинг 2x1  x2  400 ,
3x1  4x2  900 , x1  3x2  600 , x1  0, x2  0 шартларда энг катта қиймати топилсин.
> Origin : 1
2 1
 400 
 60 
1


> C :   A :  3 4  b : 900  x :   F ( x) : C * x
 40 
1
1 3 
 600 
> Given
> A * x  b x  0 x : Maximize( F , x)
 400 
 x1  140 
>      F ( x)  13200 A * x  900 
 x2  120 
500 
2.Масала 2. 3 та омбордан 5 та магазинга юк олиб борилади. Юкнинг бир
бирлиги Ai таъминотчидан B j истемолчига олиб бориш нархи ушбу жадвалда
келтирилган. Оптимал таъминлаш режаси топилсин.
Таъминотчи
Истеъмолчи
B2
B1
Юк ҳажми
B4
B3
B5
A1
4
11
6
5
15
200
A2
8
7
9
13
10
200
A3
Юкка эҳтиёж
10
5
12
7
20
100
70
80
150
110
90
500
500
> Origin : 1
 4 11 6 5 15 
 200 
1 1 1 1 1




> C :  8 7 9 13 10  A :  200  BT : [70 80 150 110 90] z : 1 1 1 1 1
10 5 12 7 20 
 100 
1 1 1 1 1
> F ( x) : tr (C * xT ) e1 : [1 1 1 1 1]T e2 : [1 1 1]T
>Given
> x * e1  A xT * e2  B // Чекланишлар x11  x12  x13  x14  x15  200 .. x11  x21  x31  70 ..
> x : Minimize( F , x)
 x1,1
>  x21
 x3,1
x1,2
x2,2
x3,2
x1,3 x1,4 x1,5  70 0 40 90 0 

x2,3 x2,4 x2,5    0 110 0 0 90
x3,3 x3,4 x3,5   0 80 0 20 0 
F ( x)  3400
3. Масала 3. f ( x) : [ x2 ( x1 1)]2  [( x1 )2  ( x2 )2 1]2  min топилсин.
2
x :  
2
 1.71667236082328 
> x : Minimize( f , x) x  

1.39533754939537 
> f ( x) : [ x2 ( x1  1)]2  [( x1 )2  ( x2 )2  1]2
> f ( x)  8.329*1012 .
26
10. ХҲДТ НИ ТАҚРИБИЙ ЕЧИШ
1.MathCadда дифференциал тенгламаларни тақрибий ечиш усули.
Узлуксиз дифференциал чегара масала Lu  f берилган бўлсин. Унга бирор
дискрет масала Lhuh  fh ни мос қўямиз, бу ерда h дискретлаштириш
параметри, uh  uh , масалан, uh -аниқ ечим, uh -тақрибий ечим жадвали.Одатда,
дискрет масала сифатида чекли айирмали схема (ЧАС), яъни чизиқли алгебраик
тенгламалар системси (ЧАТС) қаралади. MathCadда дискрет масала Lhuh  fh ни
ечиш ғояси жудда оддий ва табиий: uh  Lh1 f h . Бу ғоя uh , f h матрица бўлса ҳам
ўринли, яъни Au  b ва AU  B ,бу ерда u, b  Rm ;U , B - матрицалар, бўлиши мумкин,
R m -m-ўлчовли Евклид фазоси.
Биз кенг кўламдаги ички функцияларни ишлатмаймиз: multigrid,
numol, Pdesolve, relax. multigrid, relax- Пуаcсон u   ( x, y) тенгламаси учун
мўлжалланган, numol, Pdesolve-вақтга боғлиқ ДТ лар учун мўлжалланган:
Pdesolve(u, x, xrange, t, trange, [xpts], [tpts]),
Multigrid(ρ,ncycle), relax(a,b,c,d,e, ρ,u,r),
numol(xrange, rows,trange, colomns,num_e, num_a,F,init,bc_F).
2. Дифференциал чегара масалалар ва улар учун ЧАСлар.
Параболик тенглама учун дифференциал чегара масалани қараймиз:
Lu  ut  u xx  f  x, t  ,
( 1)
l0u  u( x,0)  g0 (t ), l1u  u(a, t )  g0 (t ), l2u  u(b, t )  g1 (t ), a  x  b,0  t  T .
(2)
Бу ерда u  u( x, t ) , f  f ( x, t ) , g  g ( x, t ) . (1), (2) масала параболик дифференциал
чегара масала (ПДМ) дейилади. ПДМни қаноатлантирувчи u  u ( x, t ) функция
унинг аниқ ечими дейилади Lu  F . .
Гиперболик тенглама учун дифференциал масалани қараймиз:
Lu  utt  u xx  f  x, t  ,
( 3)
lu( x,0)  u0( x), ut' ( x,0)  u1(t ), u(a, t )  g1 (t ), u(b, t )  g 2 (t ), a  x  b,0  t  T .
(4)
Бу ерда u  u( x, t ) , f  f ( x, t ) , g  g ( x, t ) . (3), (4) масала гиперболик дифференциал
чегара масала (ГДМ) дейилади. ГДМ қаноатлантирувчи u  u ( x, t ) функция
унинг аниқ ечими дейилади Lu  F .
27
ПДТ учун ошкормас ЧАС Lhuh  fh , lhuh  gh нинг кўриниши қуйидагича:
 1 (uij 1  uij )  h2 (uij11  2uij 1  uij11 )  fi j 1  0, i  1,..., m  1, j  0,..., n 1.
ui0  u 0 ( xi ), i  0,..., m. , u0j 1  g 0 (t j 1 ),
umj 1  g1 (t j 1 ), j  0,..., n  1.
ПДТ учун ошкормас ЧАС қуйидагича ечилади
ruij11  (1  2r )uij 1  ruij11  uij   fi j 1 , i  1,..., m  1; j  0,..., n  1, r   / h2
ui0  u 0 ( xi ), i  0,..., m. , u0j 1  g 0 (t j 1 ),
umj 1  g1 (t j 1 ), j  0,..., n  1.
ГДТ учун ошкормас ЧАС Lhuh  fh , lhuh  gh нинг кўриниши қуйидагича:
t uij   xuij 1   2 (uij 1  2uij  uij 1 )  h2 (uij11  2uij 1  uij11 )  fi j 1  0, i  1,..., m  1, j  0,..., n  1.
ui0  u 0 ( xi ), ui1  ui0   u 0 ( xi ), i  0,..., m , u0j 1   0 (t j 1 ),
umj 1   1 (t j 1 ), j  0,..., n  1.
ГДТ учун ошкормас ЧАС қуйидагича ечилади:
uk  0k , k  0,..., m , uk1  uk 0  1k 2 0.5 2{ f k 0   xx 0k }, k  1,..., m 1,(uk1  uk 0  1k )
0
rukj11  (1  2r )ukj 1  rukj11  f k j  2ukj  ukj 1 , j  1,...m  1, r  ( / h)2 .
3. ПДТ учун ошкормас ЧАСни MathCadда ечишни ташкил этиш.
Келишув: > белги MathCadда буйруқни, // белги эса изоҳни билдирсин. Улар
MathCadда ишлатилмайди.
> ut
 pt
u xx  f ( xt ) ua( xt)
e
> x0  0 xk  1 u0( x)  sin(   x) m  10 h 
( tk  t0)
> t0  0 tk  0.25 n  8  
n
> g1( t)  0 g2( t)  0 p : 3
 p t
 sin(  x) f(xt)
ua
i j
e
( xk  x0)
2 

h
 p  tj
u ( 1 t)
i  0  m x  x0  i h //Бошланғич шарт
i
m
j  0  n t  t0  j  r 
j
 e
u ( 0 t ) g2( 1 t )
 sin(  x)   p g1( t )
 i
  0.031
// Қадамлар
2
//Чегара шарт, параметр, аниқ ечим
 sin   x
 i mm  1 i  0 m  1 Ami  0 i  1 m  1
2
  p  t  sin   x 
A
 r A
 r A  1  2 r i  0  m j  0  n f     p  e
 i 
i j
i i1
i i 1
i i

> h  0.1
r  3.125
A
0 0
 1 i  1  m A
0 i
 0 u  u0 x A
i
j
// ЧАТС
> i  1  m  1 j  0  n  1 d0 j  g1tj 1 dmj  g2tj 1 dij   fij 1
j  1
> j  0  n  1 u

j
 j
 d u
1
 A

// Ўнг томон
//Ошкормас схемани қатламлар бўйича ечиш
// Бошланғич қийматлар векторини ва ЧАТС матрицасини чиқарамиз:
0
T
u 
0
0
1
2
3
4
0.309
0.588
0.809
0.951
5
1
28
6
7
8
9
0.951
0.809
0.588
0.309
10
0
0
0
1
2
1
1 -3.125
0
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
7.25 -3.125
0
0
0
0
0
0
0
0
7.25 -3.125
0
0
0
0
0
0
0
7.25 -3.125
0
0
0
0
0
0
7.25 -3.125
0
0
0
0
0
7.25 -3.125
0
0
0
0
7.25 -3.125
0
0
0
7.25 -3.125
0
0
7.25 -3.125
0
2
0 -3.125
3
0
0 -3.125
4
0
0
0 -3.125
5
0
0
0
0 -3.125
6
0
0
0
0
0 -3.125
7
0
0
0
0
0
0 -3.125
8
0
0
0
0
0
0
0 -3.125
9
0
0
0
0
0
0
0
0 -3.125
10
0
0
0
0
0
0
0
0
A 
10
0
7.25 -3.125
0
0
1
// Тақрибий ечим ва анақ ечим жадвалларини чиқарамиз:
0
T
u

1
2
3
4
6
7
8
9
0
0
0.309
0.588
0.809
0.951
1
0.951
0.809
0.588
0.309
0
1
0
0.283
0.538
0.741
0.871
0.915
0.871
0.741
0.538
0.283
0
2
0
0.259
0.492
0.677
0.796
0.837
0.796
0.677
0.492
0.259
0
3
0
0.236
0.45
0.619
0.728
0.765
0.728
0.619
0.45
0.236
0
4
0
0.216
0.411
0.565
0.665
0.699
0.665
0.565
0.411
0.216
0
5
0
0.197
0.375
0.516
0.607
0.638
0.607
0.516
0.375
0.197
0
6
0
0.18
0.342
0.471
0.554
0.582
0.554
0.471
0.342
0.18
0
7
0
0.164
0.312
0.43
0.505
0.531
0.505
0.43
0.312
0.164
0
8
0
0.15
0.285
0.392
0.461
0.484
0.461
0.392
0.285
0.15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0.309
0.588
0.809
0.951
1
0.951
0.809
0.588
0.309
0
1
0
0.281
0.535
0.737
0.866
0.911
0.866
0.737
0.535
0.281
0
2
0
0.256
0.487
0.671
0.788
0.829
0.788
0.671
0.487
0.256
0
3
0
0.233
0.444
0.611
0.718
0.755
0.718
0.611
0.444
0.233
0
4
0
0.212
0.404
0.556
0.654
0.687
0.654
0.556
0.404
0.212
0
5
0
0.193
0.368
0.506
0.595
0.626
0.595
0.506
0.368
0.193
0
6
0
0.176
0.335
0.461
0.542
0.57
0.542
0.461
0.335
0.176
0
7
0
0.16
0.305
0.42
0.493
0.519
0.493
0.42
0.305
0.16
0
8
0
0.146
0.278
0.382
0.449
0.472
0.449
0.382
0.278
0.146
0
0
T
ua
T
u

5
T
ua
29
10
10
4.ГДТ учун ошкормас ЧАСни MathCadда ечишни ташкил этиш.
u
u  f(xt) ГДТ ни ошкормас схема билан ечиш 0  x  1 0  t  T T 0 25
> tt xx
3
3
3
3
> u(x0) c x u(0t) d t u(1t) c  dt c 7 d 10 ua(xt) c x  d t
> x0  0 xk  1 m  10 h  xk  x0 k  0 m xk  x0  k h h  0.1
3
// Берилганлар
//Стержень
m
> t0  0 T  0.25 tk  0.2 n  10   tk  t0 j  0 n tj  t0  j  r  
n
3
> c  7 d  10 u0(x)  c x
u
> 0 j
u1(xt)  3 d t
h
2
 k uk1  u1xk0 //Бошланғич шарт
k 0
3
3
u  c t
u
 c  d t
0 j
j
mj
j
 j3

 c t

3
> f ( xt)  6 d t  6 c x ua(xt)  cx  d t
3
f
k j
//Вақт
  0.02
2
3
 c x
u
2
//Чегара шарт
 k j uakj  uaxktj //Ўнг томон
 f x t
// Оддий ошкормас айирмали схема:
> k  0 m uk 0  c xk uk 1  uk0   u1xk 0 k  1 m  1
> h  0.1 r  0.04 A0 0  1 i  1 m A0 i  0 i  1  m  1 Aii1  r Aii 1  r Aii  (1  2r)
//ЧАТС ни шакллантириш
i  0  m  1 A
 0 A
 1
mi
mm
3
// ЧАТС матрицаси
0
A 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-0.04
1.08
-0.04
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
-0.04
1.08
-0.04
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
-0.04
1.08
-0.04
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
-0.04
1.08
-0.04
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
-0.04
1.08
-0.04
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
-0.04
1.08
-0.04
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
-0.04
1.08
-0.04
0
0
8
0
0
0
0
0
0
0
-0.04
1.08
-0.04
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.04
1.08
-0.04
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 
0 1

0
0.007
0.056
0.189
0.448
0.8751.512
2.4013.584
5.103
7


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10


> u 1T  

 0 0.007 0.056 0.189 0.448 0.8751.512 2.4013.584 5.103 7 
>u
10
0
 0 T
 j  1
> j  1  n  1 u


 j 1
 j
2  j  1
  u
  f
 2 u 
1
 A
30
// 0-қатлам
//1-қатлам
// ЧАС ни қатламларда ечиш
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0.007
0.056
0.189
0.448
0.875
1.512
2.401
3.584
5.103
1
0
0.007
0.056
0.189
0.448
0.875
1.512
2.401
3.584
5.103
7
2
0.001
0.008
0.057
0.19
0.449
0.876
1.513
2.402
3.5849
5.1033
6.9842
3
0.0034 0.0104
0.0594
0.1924
0.4514
0.8784
1.5154
2.4044
3.5872
5.1033
6.953
4
0.0077 0.0147
0.0637
0.1967
0.4557
0.8827
1.5197
2.4086
3.5911
5.1019
6.9069
5
0.0144 0.0214
0.0704
0.2034
0.4624
0.8894
1.5264
2.4153
3.5967
5.0977
6.8464
6
0.024
0.031
0.08
0.213
0.472
0.899
1.536
2.4247
3.604
5.0891
6.772
7
0.037
0.044
0.093
0.226
0.485
0.912
1.5489
2.4371
3.6127
5.0747
6.6842
8
0.0538 0.0608
0.1098
0.2428
0.5018
0.9287
1.5656
2.453
3.6222
5.0529
6.5834
9
0.0749 0.0819
0.1309
0.2639
0.5229
0.9498
1.5865
2.4723
3.6319
5.0227
6.4701
10 0.1008 0.1078
0.1568
0.2898
0.5488
0.9757
1.612
2.4952
3.6407
4.9829
6.3448
0
T
u 
10
7
//Тақрибий ва аниқ ечим графиги
5. ЭДТ учун ЧАСни MathCadда ечишни ташкил этиш.
Пуассон тенгламаси
u  f ( x, y),  0( y) : ua(0, y)  m( y) : ua(1, y) , 0( x) : ua( x,0)  n( x) : ua( x,1)
учун вектор –матрицали прогонкани қараймиз.[2]. ЧАС қуйидагича ёзилади:
ui 1  Aui  ui 1  fi , i  1..n  1, ui  [ui1 ,..., uin1 ]T , i  0..n, u0  0 , um  m .
A  [ Ai , j ], Ai ,i  2(1   ), Ai 1,i  Ai ,i 1   .
f 1i :  h2 fi1   i 0
h2 fi 2
h2 fi 3
h2 fi 4 h2 fi 5
h2 fi 6 h2 fi 7
0 : 01 02 03 04 05 06 07 08 0 n 1  T ,
h2 fi 8
h2 fin 1   in 1  T ,
m : m1 m 2 m3 m 4 m5 m 6 m 7 m8 mn 1  T .
Вектор –матрицали прогонкани қуйидаги кўринишга эга:
1) R1  [0ij ]in,j11 , k  1..m  1 Rk 1  ( A  Rk ) 1
2) s1: 0 k  1..m  1
sk 1 : Rk 1 (sk  fk )
3) um : m k : m, m 1..1 uk 1 : Ruk  sk
Ушбу масалани қараймиз:
uxx  u yy  4 ua( x, y ) : x 2  y 2 u (0, y )  y 2 u (1, y )  1  y 2 u ( x, 0)  x 2 u ( x,1)  1  x 2
>  0( y) : ua(0, y)  m( y) : ua(1, y)  0( x) : ua( x,0)  n( x) : ua( x,1) ua( x, y) : x2  y 2
> m : 10 n : 10 h1: 1/ m h2 : 1/ n  : (h1/ h2)2
> i : 0..m j : 0..n xi : i * h1 y j : j * h2
> j : 1..n  1 a j , j 1 :  a j 1, j :  a j , j : 2(1   )
31
> A : submatrix(a,1,9,1,9)
> i : 1..n  1 fi , j : f ( xi , y j )  0i :  0( xi )  ni :  n( xi )
> f 1i :  h2 fi1   i 0
h2 fi 2
h2 fi 3
h2 fi 4 h2 fi 5
h2 fi 6 h2 fi 7
h2 fi 8
> 0 : 01 02 03 04 05 06 07 08 0 n 1  T
h2 fin 1   in 1  T
> m : m1 m 2 m3 m 4 m5 m 6 m 7 m8 mn 1  T
> n : 9 R1: identity(9) R1i ,i : 0 R : submatrix( R1,1,9,1,9)
> s1: 0 um : m
> k : 1..m  1 Q : ( A  R)1 sk 1 : Q(sk  f k ) R : Q
> p : m, m 1..1 uk 1 : Ruk  sk
> k : 1..m uk 
Жавоб:
0.0.467 0..638 0.691 0.751 0.826 0.929 1.79 1.33 1.81
 0.239 0.356 0.393 0.434 0.49 0.579 0.734 1.031 1.64 


 0.132 0.209 0.235 0.265 0.312 0.394 0.549 0.858 1.49 


 0.092 0.139 0.158 0.184 0.225 0.302 0.452 0.753 1.36 
u   0.072 0.108 0.124 0.147 0.186 0.258 0.4 0.683 1.25 


 0.013 0.096 0.112 0.135 0.172 0.241 0.375 0.637 1.16 
 0.059 0.094 0.113 0.138 0.178 0.247 0.372 0.613 1.09 


 0.054 0.097 0.123 0.158 0.207 0.281 0.403 0.621 1.04 
 0.043
0.1 0.143 0.198 0.269 0.361 0.489 0.682 1.01

Изоҳ. 1.Функция Pdesolve(u, x, xrange, t, trange, [xpts], [tpts]) x ва t
ўзгарувчиларга боғлиқ параболик ва гиперболик типдаги дифференциал
тенглама ёки тенгламалар системасини функция ёки вектор функция
кўринишдаги ечимни излайди. Бу ерда xrange, trange-икки элементли вектор
устун кўринишдаги x ва t ўзгарувчларнинг ўзгариш оралиқлари; xpts, tpts - x
ва t ўзгарувчиларнинг ўзгариш оралиқларини бутун сонли бўлиниш сонлари.
Тенглама ва қўшимча шартлар Given .. Pdesolve блокида берилади.
Мисол 1. ut ( x, t )  uxx ( x, t )  x2  2t  6 x, u( x,0)  0, u(0, t )  t 2 , u(1, t )  t  t 2 чегара
масалани ечиш. (аниқ ечим u  x3t  t 2 )


 0   t   0   100 100
  

 L  T 

u  Pdesolve u  x 
L  1 T  50
Given
2
ut( x t)
uxx( x t)  x  2 t  6 x u ( x 0)
u( 0  t)
0
u( 1 t )
0
2
tt
0 0



u  Pdesolve u  x    t     100 100
  L  T 

Z  CreateMesh ( u  0  L 0  T)
Z
32
Мисол 2. utt ( x, t )  uxx ( x, t )  6t (1  x), u( x,0)  0, ut1 ( x,0)  t 3 , u(0, t )  t 3 , u(1, t )  t  t 3
чегара масалани ечиш. (аниқ ечим u  x3t  t 3 )
L  1 T  50 m : 100 n : 100
Given
wt ( x, t )  v( x, t ) vt ( x, t )  wxx ( x, t )  6t (1  x)
w( x,0)  0 v( x,0)  t 3
w(0, t )  t 3 w(1, t )  t  t 3
  w  0   0 

 w
 v  : Pdesolve   v  , x,  L  , t , T  , m, n 
 
     

w : CreatMesh(w,0, L,0, T )
i  0  m j  0  n x  i
i
1
m
t  j
j
T
n
w
i j
 i j
 w x  t
w
Мисол 3. uxx  u yy  4 тенглама, аниқ ечим u  ( x2  y2 ),0  x  8,0  y  3 .
u( x,0)   x2 , u( x,3)   x2  9, u(0, y)   y 2 , u(8, y)  64  y 2 .
Мисолни relax(a, b, c, d , e,  , u, r ) ички функция билан ечамиз, параметрлар
ЭДТ нинг чекли айирмали кўринишидан олинади:
aui 1, j  bui 1, j  cui , j 1  dui , j 1  eui , j  i , j ,
a  b  c  d , e  4a, ai , j  1, i : 1..m, j : 1..m,0  r  1 .
r –релаксация коэффиценти, усулнинг яыинлашишини таъминлайди.
L  8 L  3 m  64 i  0  m j  0  m
1
2
x  L 
i
i
1 m
y  L 
j
j
2 m
 i  j  4
u
a
i 0
i j
 i2 ui m  xi2  9 u0  j  y j2 um j  64  y j2
  x
 1 b  a c  a d  a e  4 a r  0.99
u  relax a  b  c  d  e    u  r
u
Мисол 4. u:=multigrid(τ, ρ) ички фунция ёрдамида ечиш.
> R : 32 r 2 : R / 2  r 2,r 2 : 200  R2,r 2 :  300  R, R : 400
> u : multigrid ( , 4)
R : 32 r 2 : R / 2
 r 2,r 2 : 200  R2,r 2 :  300  R, R : 400
u : multigrid ( , 4)
u
33
6. Галёркин усули. Соддалик учун бир жинсли чегара масалани
қараймиз. Бу ҳолда тақрибий-аналитик ечимни қуйидаги кўринишда излаймиз:
n
un ( x, t )   c j (t ) j ( x),  j ( x)  sin( j x), 0 ( x, t )  0 .
j 1
ПДТ ва ГДТ учун четланиш ва тақрибий ечим хатолигини киритамиз:
n
n ( x, t )  n ( x, t , c1 , c2 ,.., cn )  Lun ( x, t )  f ( x, t )  [c j (t )  ( j )c j (t )] j ( x)  f ( x, t );
j 1
n
n ( x, t )  n ( x, t , c1 , c2 ,.., cn )  Lun ( x, t )  f ( x, t )  [c j (t )  ( j )c j (t )] j ( x)  f ( x, t );
j 1
Галеркин усулида четланиш n ( x, t ) базис функцияларга ортогонал қилиб
олинади:
b
b
 n ( x, t )i ( x)dx  0,
i  1, 2,..., n,   j ( x, t )i ( x) dx  0, i  1, 2,..., n.
a
a
Шунинг учун биз қуйидаги тенгламаларга келамиз, i  1,..., n :
1
1
cl(t )  ( j ) 2 ci (t )  qi (t )   f ( x, t )i ( x) dx, ci (0)   u 0 ( x)i ( x) dx , (ПДТ)
0
0
1
1
1
0
0
0
cl(t )  ( j ) 2 ci (t )  qi (t )   f ( x, t )i ( x) dx, ci (0)   u 0 ( x)i ( x) dx, ci(0)   u1 ( x)i ( x) dx (ГДТ).
Бу тенгламалардан ci (t ) коэффициент топилгач, тақрибий ечим топилади.
8. ЭДТ учун Галёркин усули.
Соддалик учун бир жинсли чегара шартларни қараймиз. Тақрибий ечимни
m,n
umn ( x, y)   ciji j ( x, y), i j ( x, y)  sin
i , j 1
i x
j y
.
sin
a
a
кўринишда излаймиз. Четланиш ва тақрибий ечим хатолигини киритамиз:
m,n
i2 j2
mn ( x, y)  Lumn ( x, y)  f ( x, y )    2 ( 2  2 )cijij ( x)  f ( x, y);
a b
i , j 1
Галеркин усулида четланиш mn ( x, y)  ij ( x, y) қилиб олинади:
b
  ( x, t ) ( x)dx  0,
mn
ij
i, j  1, 2,..., n
a
Шунинг учун биз қуйидаги тенгламаларга келамиз:
a b
a b
2


j2
2 i
A
c

q


f
(
x
,
y
)

(
x
,
y
)
dxdy
,
A


(

)
ij ( x, y )kl ( x, y )dxdy 


 i jkl ij kl  
ij
i jkl
a 2 b 2 0 0
i , j 1
00

m,n
i2 j 2
i x
k x
j x
l x
 ( 2  2 )  sin
sin
dx  sin
sin
dy
a b 0
a
a
b
b
0
a
b
2
Шунинг учун,
Aijkl  Aij 
q
qij
ab i 2 2 j 2 2
4
( 2  2 ), cij  ij 
, i  1,..., m; j  1,..., n.
4 a
b
Aij ab i 2 j 2 2
( 2  2 )
a b
Коэффицентларни асосида тақрибий ечим кўринишини топамиз.
34
9.Индивидуал топшириқлар.
Дифференциал тенгламалар учун ошкор ва ошкормас схемалар тузилсин ва
ечилсин. Ечим Mathcad (Maple, Mathematica) дастурида ички функциялар ва
алгоритм тузиб олинсин, натижаларнинг яқинлигига эришилсин.
Параболик дифференциал тенглама
ut  uxx  f ( x, t ) , u( x,0)  g ( x) , u(0, t )  1 (t ), u(1, t )  2 (t ) .
№
1
u( x, t )
x(1  x)sin t
u ( x, 0)
0
u (0, t )
0
u(1, t )
0
( x  x2 )cos t  2sin t
2
x(1  x)cos t
x(1  x)
0
0
( x2  x)sin t  2co s t
3
x(1  x) exp t
x(1  x)
0
0
( x  x2  2)exp t
4
x(1  x)s ht
0
0
0
( x  x2 )c ht  2s ht
5
x(1  x)cht
x(1  x)
0
0
( x  x2 )s ht  2cht
6
x(1  x)sin 2t
0
0
0
2( x  x2 )cos 2t  2sin 2t
7
x(1  x) cos 2t
x(1  x)
0
0
2( x2  x)sin 2t  2co s 2t
8
x(1  x)exp 2t
x(1  x)
0
0
2( x  x2  2)exp 2t
9
x(1  x)s h2t
0
0
0
2( x  x2 )c h2t  2s h2t
10
x(1  x)ch2t
x(1  x)
0
0
 x3
 x3
t2
t3
1 t 2
2( x  x2 )s h2t  2ch2t
2 t  6 x
1 t 3
3 t 2  6 x
11  x3   t 2
12  x3   t 3
f ( x, t )
Гиперболик дифференциал тенглама
ut  uxx  f ( x, t ) , u( x,0)  g1 ( x), ut(1) ( x,0)  g2 ( x) , u(0, t )  1 (t ), u(1, t )  2 (t ) .
№
u( x, t )
u ( x, 0)
1
x(1  x)sin t
2
u (0, t )
u(1, t )
f ( x, t )
0
ut(0) ( x,0)
x(1  x)
0
0
( x  x2  2)sin t
x(1  x)cos t
x(1  x)
0
0
0
( x  x2  2)cos t
3
x(1  x) exp t
x(1  x)
x(1  x)
0
0
( x  x2  2)exp t
4
x(1  x)s ht
0
x(1  x)
0
0
( x  x2  2)sht
5
x(1  x)cht
x(1  x)
0
0
0
( x  x2  2)cht
6
x(1  x)sin 2t
0
2 x(1  x)
0
0
2( x  x2  2)sin 2t
7
x(1  x) cos 2t
x(1  x)
2 x(1  x)
0
0
2( x  x2  2)cos 2t
8
x(1  x)exp 2t
x(1  x)
2 x(1  x)
0
0
2( x  x2  2)exp 2t
9
x(1  x)s h2t
0
2 x(1  x)
0
0
2( x  x2  2)sh2t
10
x(1  x)ch2t
x(1  x)
0
0
0
 x3
 x3
0
t2
t3
1 t 2
2( x  x2  2)ch2t
2  6 x
1 t 3
6 t  6 x
 x3   t 2
12  x3   t 3
11
0
35
Эллиптик дифференциал тенглама
u  uxx  u yy  f ( x, y) , u(0, y)  g1 ( y), u(1, y)  g2 ( y), u( x,0)  g3 ( x), u( x,1)  g4 ( x)
№
u( x, y)
u (0, y) u(1, y)
u ( x, 0)
u( x,1)
f ( x, y)
1
( x  x2 )( y  y 2 )
y
( x  x 2 ) sin
2
0
0
0
0
-4
0
0
0
( x  x2 )

y
[( x  x 2 )( ) 2  2]sin
2
2
y
0
0
( x  x2 )
0

y
[2  ( x  x 2 )( ) 2 ]cos
2
2
0
y  y2
0
0
0
0

x
[( y  y 2 )( ) 2  2]sin
2
2

x
[( y  y 2 )( ) 2  2]cos
2
2
2
3
4
5
6
( x  x 2 ) cos
( y  y 2 ) sin
2
x
( y  y 2 ) cos
sin
x
cos
2
x
y  y2 0
2
y
0
cos
7
2
2
2
( x  x )s hy
0
0
8
( x  x2 )c hy
0
0
9
( y  y 2 )s hx
10
y
2
sin
x
2
0
cos
y
2
( x  x2 )s h1
0
( x2  x  2)shy
( x  x2 )c h1
0
( x2  x  2)chy
0
( x  x2 )
( y  y 2 )s h1 0
( y  y 2 )c hx
y  y2
( x  x2 )c h1 0
0
( y  y 2  2)c hx
11
 x3   y3  xy
t3
   y3  y  x 3
 x3    x
6 x  6 y
12
 x4   y3  xy
t3
   y3  y  x 4
 x4    x
12 x  6 y
36
( y  y 2  2)s hx
11. ИНТЕГРАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ТАҚРИБИЙ ЕЧИШ
x
Мисол 1. Интеграл тенглама ечилсин y ( x)    ( x 2  xs) y ( s)dx  x 3   ( x / 5  x 2 / 4)
0
Вольтера интеграл тенгламаси учун квадратура формулалар усули -ЧАС
1) Трапеция усули
 x x2 
> k(xs )  x  xs   0.1 f ( x)  x     5  4 


// Ядро Ўнг томон
> n  10 a  0 b  1 h 
//Нуқталар сони ва қадам
2
3
ba
h  0.1
n
> i  0 n xi  a  ih A0  h An  h i  1 n  1 Ai  h
T
A 
0
2
2
//Трапеция фор. коэф
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.05
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
...
//ЧАТС коэффицентларини тузамиз
> i  0 n j  0 n Kij  kxixj fi  fxi
ЧАТС ни ечимини топамиз -тақрибий ечим жадвалини топамиз
 n
 
f  

j  i
i
i  0  n
>
u 
if j  i0 A  K  u
j
1  A K
i
i i
i
0
T
u 
1
0
i j


j 

2
3
4
5
6
7
0 -0.001 0.003 0.019 0.052 0.109 0.196
8
9
10
0.32 0.486 0.702 0.965
2) Симпсон усули.
> n  10 a  0 b  1 h 
B 
0
>
h
B 
n
3
0
i  1 floor
h
// Нуқталар сони ва қадам
h  0.1
n
n
h
h
 B2 i  2 3 B2 i1  4 3
2
3
//
Симпсон фор. коэф-.лари
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.033
0.133
0.067
0.133
0.067
0.133
0.067
0.133
0.067
0.133
0.067
T
B 
ba
//ЧАТС коэффицентларини тузамиз
> i  0 n j  0 n Kij  kxixj
ЧАТС ни ечимини топамиз -тақрибий ечим жадвалини топамиз
n
f  
i
> i  0 n
 ifj  i0AjKijuj
j i
v 
1  B K
i
i i
i
0
T
v 
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 -0.001 0.003 0.019 0.052 0.109 0.196 0.321 0.484 0.706 0.968
3 )Аниқ ечим жадвалини топамиз
3
> ua(x)  x
0
T
ua 

i  0  n ua  ua x
i
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0.001 0.008 0.027 0.064 0.125 0.216 0.343 0.512 0.729
37
10
1
Мисол 2. Интеграл тенглама Mathcad да ечилсин:
1
y ( x)    ( x 2  xs ) y ( s )dx  x 3   ( x / 5  x 2 / 4)
0
Фредгольм интеграл тенглама учун квадратура формулалар усули -ЧАС усули
1) Трапеция усули
2
> ua(x)  x3 k(xs )  xs  x2   0.1 f(x)  x3  0.25x
//Ядро Ўнг томон
  0.5x
 
ba
//Нуқталар сони ва қадам
h  0.1
> n  10 a  0 b  1 h 
n
h
h
> i  0 n xi  a  ih A0  2 An  2 i  1 n  1 Ai  h //Трапеция фор.-си коэф.лари
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 0.05
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1 0.05
T
A 
10
ЧАТС коэффицентларини тузамиз
> i  0 n j  0 n Kij  kxixj Hij  ifi j 1  AiKiiAjKij
ЧАТС ни ечимини топамиз -тақрибий ечим жадвалини топамиз
>
 i
i  0  n
f  f x Hu  f u  lsolve ( H f )
T
0

f
i
1
2
3
4
-3-3·10
-3
-3
-4.25·10
0
9.75·10
0
5
6
7
8
9
10
0.04 0.094 0.177 0.296 0.456 0.664 0.925
ЧАТС ечими ни топамиз
0
T
u 
1
2
-3
-3
-2.086·10
0
1.801·10
0
3
4
5
6
7
8
9
10
0.018
0.051
0.109
0.197
0.321
0.487
0.7
0.968
2) Симпсон усули.Симпсон формуласи коэффицентлари.
> B0  h Bn  h B2 i  2 h i  1 floor n  B2 i1  4 h
//Нуқталар сони ва қадам
3
3
B 
0
2
3
0
T
1
2
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0.067 0.133 0.067 0.133 0.067 0.133 0.067 0.133 0.067 0.133 0.067
...
ЧАТС коэффицентларини тузамиз
> i  0 n j  0 n Kij  kxixj Hij  ifi j 1  BiKiiBjKij
ЧАТС ни ечимини топамиз -тақрибий ечим жадвалини топамиз
> v  lsolve ( H f ) Hv  F
//ЧАТС ечимини топамиз
0
T
v 
0
1
2
3
4
5
6
-3
-3 0.019 0.053 0.112
-1.743·10
0
2.553·10
7
8
9
10
0.2 0.325 0.491 0.706 0.974
3 )Аниқ ечим жадвалини топамиз

3
i  0  n ua  ua x
i
i
T
0
> ua(x)  x
ua 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1·10-3 8·10-3 0.027 0.064 0.125 0.216 0.343 0.512 0.729
38
10
1
Мисол 3. Фредгольм ИТ учун итерация усули
b
> u ( x)  f ( x)   K ( x, t )u (t ) K ( x, t )  xt
f ( x)  x2  x / 4 // ИТ
a
> a : 0 b : 1 n : 10 h : 0.1 i : 0..n xi : a  ih ua( x) : x2 // тўр, аниқ ечим
1
> u0,i : f ( xi ) us ,i : f ( xi )   K ( xi , t )us 1,0 dt
// тақрибий ечим учун итерация
0
Мисол 4. Вольтер ИТ учун итерация усули
x
> u ( x)  u 0   K ( x, u (t ))dt
K ( x, t ) :
a
2.2
x  t 2  2.6
2
a : 0 b : 1 h : 0.1 n : 10 //ИТ
b
> i : 1..n xi : a  ih u 0 : 0 u0 : u 0 ui : u 0   K (t , ui 1 )dt
// ечим учун итерация
a
T
0
u 
0
>
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.085
0.168
0.248
0.324
0.395
0.46
0.519
0.573
0.622
0.668
11.4.Индивидуал топшириқлар
Қуйидаги интеграл тенгламалар турли хил усуллар билан ечилсин.
N
1
2
N
exp( x) exp( x)  1
y ( x)   exp( xs) y ( s)  x 

.
x
x2
0.1
1
1
y ( x)  0.5 xsy ( s ) 
0
3
 /3
0
4
y ( x)  4  xsy ( s )  1.
2
y ( x)  3 xsy ( s )  3 x  2.
0
8
10
.
11
 /2
y ( x)  4  sin( x) cos( s ) y ( s )  sin( x).
0
x
9
y ( x)   exp( x  s ) y ( s )  exp( x).
0
5
1
0
7
5
x.
6
y ( x)  6  sin 2 ( x) y ( s)  3 x 
6
x
y ( x)   exp(2( x  s )) y ( s )  1  x.
0
x
10
 exp(2( x  s)) y( s)  sin( x).
0
x
 exp( x  s) y(s)  sh( x).
0
39
Фойдаланилган адабиёт
1. Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе MathCAD. СПб, 2005.-464 с.
2.Ракитин В.И.Руководство по ВМ и приложения MathCAD. М.:ФМ,2005.-264с.
3. Имомов А. Ҳисоблаш усуллари ва MathCAD.Наманган, НамДУ, 2011.-88 б.
4. Имомов А. Дифференциал тенгламаларни MathCAD дастурида ечишни ташкил этиш.
АЛКҲК да физика, математика ва информатика фанларини ўқитишни такомиллаштириш
истиқболлари. 7-анъанавий республика олий ўқув юртлариаро илмий амалий конференция
материаллари. 1-қисм. Тошкент, 2011.-38-41 б.
5. Имомов А. MathCAD да Ҳисоблаш усулларини ташкил этиш. Теорема-2013. Ёш
математикларнинг янги теоремалари.Илмий-амалий республика конференцияси
материаллари. Н.: НамДУ,2013.-177-181б.
6. Имомов А. MathCAD да дифференциал тенгламаларни ечишни ташкил этиш. Теорема2013. Ёш математикларнинг янги теоремалари. Илмий-амалий республика конференцияси
материаллари . Н.: НамДУ,2013.-181-185 б.
7.Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MathCAD. СПб, Лань,2008-352 с.
8. Половко А.М., Ганичев И.В. MathCAD для студента. СПб, БХВ-Петербург, 2006.-336 с.
9. Половко А.М. Mathematika для студента. СПб, БХВ-Петербург, 2008.-336 с.
10. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М.: ВШ, 2008.-480
с.
11. Имомов А. Ҳисоблаш усуллари, 1-қисм. Н.:НамДУ, 2009-104 б.
znuz_215446_20111025095315.
12. Имомов А. Ҳисоблаш усуллари,2-қисм.Н.:НамДУ, 2009.-104 б.
znuz_215446_20111102151005
13.. Имомов А. Организация численных методов в MathCAD. Молодой учёный, №6(65), май
1, 2014 г.-с. 15-19.
14.. Имомов А. Организация решения краевых задач для линейных ОДУ
в MathCAD.
Молодой учёный, №8(67), июнь 1, 2014 г.-с. 1-5.
15. Имомов А. Решение краевой задачи для линейных ДУ в частных производных в
MathCAD. Молодой учёный, №8(67), июнь 1, 2014 г.-с. 6-12
16. Имомов А. Организация приближённого решение интегральнқх уравнений в MathCAD.
Молодой учёный, № 14(73), сентябрь 1, 2014 г.-с. 6-15
17. Имомов А., Эргашев Б.С. «Реализация схемы Кранка — Николсона для
линейного параболического дифференциального уравнения в MathCAD». Молодой учёный,
№ 14(73), сентябрь 1, 2014 г.-с.1-5.
18. Имомов А.ЭДТ ни MathCADда ечиш.НамДУ, ИА, №3,2013.-152-154.
19. Имомов А. MathCADда ДТ ни ечишни ташкил этиш. НамДУ, ИА, №3,2013.-31-35.
20. Имомов А. Решение КЗ для ПДУ в MathCAD.
21. Имомов А. Решение КЗ для ГДУ в MathCAD.
40