Analiz¼
a real¼
a
Gruia Arsu
Institutul de Matematic¼
a al Academiei Române
Abstract. Este o carte LATEX în Limba Român¼
a care foloseşte stilul amsbook.
Cuprins
Introducere
v
Partea 1.
Calcul diferenţial
(dup¼
a Lars Valter Hörmander)
1
Capitolul 1. Calcul diferenţial
1. Inegalitatea Denjoy-Bourbaki
2. Teorema funcţiei inverse
3. Derivate parţiale. Teorema funcţiilor implicite
4. Derivate de ordin superior
5. Simetria derivatei de ordin superior.
6. Formula lui Taylor
7. Funcţii convexe
8. Câteva formule de calcul
3
3
11
13
17
25
27
30
41
Capitolul 2. Funcţii analitice
1. Aplicaţii n-lineare simetrice. Polinoame omogene de grad n.
2. Serii de puteri
3. Funcţii analitice
4. Teorema de compunere în clasa C !
5. Teorema funcţiei inverse în clasa C !
6. Clasa C L
53
53
57
60
68
71
75
Partea 2. O introducere în teoria elementar¼
a a integr¼
arii în Rn
(dup¼
a Martin Jurchescu)
81
Capitolul 3. M¼
asura Lebesgue
1. Mulţimi elementare (pavate) în Rn
2. M¼
asura interioar¼
a şi m¼
asura exterioar¼
a în Rn
3. Volumul Lebesgue
4. Teorema de unicitate a volumului Lebesgue.
5. M¼
asurabilitate
6. M¼
asura Lebesgue
7. Cele trei principii ale lui Littlewood
83
83
87
94
99
102
109
117
Capitolul 4. Integrala Riemann
1. Primitive (R)
2. Integrala Riemann
3. Descompunerea polar¼
a
4. Formulele de schimbare de variabil¼
a
125
125
137
141
145
iii
iv
CUPRINS
Capitolul 5. Integrala Lebesgue
1. Primitive (L)
2. M¼
asurabilitate relativ¼
a
3. Şiruri generalizate
4. Integrala şi integrabilitatea
5. Teoreme de convergenţ¼
a
6. Integrale improprii
7. Schimbarea de variabil¼
a la Integrala Lebesgue
8. Teremele lui Fubini şi Tonelli
9. Spaţiile Lp
155
155
166
174
176
184
192
195
199
215
Partea 3.
Anexe
227
Anexa A.
M¼
asurabilitate
229
Anexa B.
Teorema lui Sard
237
Anexa C.
Schimbarea de variabil¼
a pentru funcţii de clas¼
a C 1 neinjective
245
Anexa D.
Principiul diviziunii
247
Bibliogra…e
251
Introducere
Aceast¼
a lucrare conţine o introducere în calculul diferenţial pe spaţii Banach reale
şi în teoria e1ementar¼
a a integr¼
arii în Rn . Lucrarea este structurat¼
a în trei p¼
arţi.
În prima parte sunt adunate faptele de baz¼
a ale unui calcul diferenţial pe spaţii
Banach reale care trebuie cunoscute. Generalizarea de la calcul diferenţial pe Rn
la calcul diferenţial pe spaţii Banach este remarcabil de bun¼
a, atât de bun¼
a c¼
a
multe teoreme sunt formulate în mod similar şi o privire sumar¼
a a acestei p¼
arţi
ar putea da impresia c¼
a acesta este doar un rezumat al unui curs introductiv în
calcul diferenţial pe Rn . Generalizarea la spaţii vectoriale topologice arbitrare este
o chestiune cu totul diferit¼
a, deoarece în astfel de spaţii teorema funcţiilor implicite
nu mai este valabil¼
a f¼
ar¼
a ipoteze suplimentare. La rândul ei aceast¼
a prim¼
a parte
are dou¼
a capitole. Primul capitol al acestei p¼
arţi prezint¼
a conceptul de funcţie
diferenţiabil¼
a (derivabil¼
a), sunt introduse derivatele de ordin superior şi este de…nit¼
a
clasa unei funcţii (aplicaţii). Sunt stabilite rezultatele fundamentale ale unui calcul
diferenţial pe spaţii Banach reale, simetria derivatei de ordin superior, teorema
funcţiei inverse în clasa C k şi teorema funcţiilor implicite în clasa C k . De asemenea
sunt demonstrate o serie de formule care vor deveni instrumente de lucru e…ciente
în capitolul urm¼
ator. Al doilea capitol este dedicat studiului funcţiilor analitice
reale. În acest capitol sunt stabilite rezultatele fundamentale cum ar … teorema de
compunere în clasa C ! , teorema funcţiei inverse în clasa C ! şi teorema funcţiilor
implicite în clasa C ! .
Partea a doua conţine o introducere în teoria elementar¼
a a integr¼
arii în Rn .
De aceea ne-am limitat aici s¼
a prezent¼
am câteva din teoremele principale ale unei
posibile teorii elementare a integr¼
arii în Rn , conceput¼
a esenţial ca integrare a funcţiilor reale continue de…nite pe mulţimi compacte din Rn , cu prelungire natural¼
a la
funcţii integrabile Lebesgue de…nite pe mulţimi m¼
asurabile Lebesgue. Extinderea
acestei teorii la cazul funcţiilor vectoriale luând valori într-un spaţiu Banach nu
prezint¼
a nici o di…cultate.
Punctul de plecare în prezentarea teoriei îl constitue construcţia aplicaţiei
volum (euclidian) de…nit¼
a pe c(Rn ), clasa tuturor submulţimilor compacte ale span
ţiului R . Cu ajutorul acestei aplicaţii este introdus¼
a noţiunea de anti…ltru m¼
asurabil. Oric¼
arei funcţii de…nite pe Rn cu valori într-un spaţiu topologic i se asociaz¼
a în
mod natural un natural un anti…ltru. Dac¼
a acest anti…ltru este m¼
asurabil, atunci
funcţia se va numi funcţie m¼
asurabil¼
a. În particular, o submulţime din Rn se va
numi m¼
asurabil¼
a dac¼
a funcţia sa caracteristic¼
a este o funcţie m¼
asurabil¼
a, iar m¼
asura sa este marginea superioar¼
a a volumelor tuturor submulţimilor compacte ale
sale. Acesta este pe scurt conţinutul primului capitol din partea a doua.
Pân¼
a în acest moment au fost introduse dou¼
a noţiuni importante folosite în
prezentarea acestei teorii: aplicaţia volum (euclidian) şi anti…ltru m¼
asurabil. În
v
vi
INTRODUCERE
construcţia integralei , vor … folosite alte dou¼
a noţiuni importante şi anume noţiunea de diviziune şi cea de primitiv¼
a a unei funcţii. Primitiva unei funcţii este o
aplicaţie de mulţime de…nit¼
a pe anti…ltru asociat ei care este aditiv¼
a şi satisface teorema de medie. În stabilirea propriet¼
aţilor fundamentale ale primitivei unei funcţii
(teorema de caracterizare, terema de unicitate), principalul instrument de lucru îl
constitue principiul diviziunii. În cazul în care funcţia este m¼
asurabil¼
a, anti…ltrul
asociat ei este mai bogat şi permite introducerea integralei acestei funcţii ca limita
unui şir generalizat de…nit cu ajutorul primitivei sale, indexat dup¼
a elementele din
anti…ltrul asociat ei. Principale teoreme ale teoriei elementare a integr¼
arii în Rn
sunt demonstrate în formalismul propus. Dintre ele vom menţiona formulele de
schimbare de variabil¼
a pentru c¼
a în demonstrarea lor un rol esenţial îl are principiul diviziunii. Formularea sa abstract¼
a este prezentat¼
a într-una din anexele din
partea a treia.
Partea a treia furnizeaz¼
a materiale suplimentare care completeaz¼
a rezultatele
din trunchiul principal al lucr¼
arii. În anexa A sunt introduse câteva tipuri de
m¼
asurabilitate a funcţiilor cu valori vectoriale şi se face o scurt¼
a comparaţie a
acestora. Principalul rezultat este teorema lui Pettis care stabileşte echivalenţa
tipurilor de m¼
asurabilitate considerate. Anexa B este dedicat¼
a teoremei lui Sard.
Acest rezultat se aplic¼
a în anexa C pentru a se demonstra o teorem¼
a de schimbare
de variabil¼
a pentru funcţii de clas¼
a C 1 neinjective. Anexa D conţine versiunea
abstract¼
a a principiul diviziunii care este o tehnic¼
a de trecere de la in…nitezimal
sau local la global.
Partea 1
Calcul diferenţial
(dup¼
a Lars Valter Hörmander)
CAPITOLUL 1
Calcul diferenţial
1. Inegalitatea Denjoy-Bourbaki
Notaţia 1.1. Vom folosi frecvent simbolurile O, o, . Aceste simboluri sunt definite dup¼a cum urmeaz¼a. S¼a presupunem c¼a n este o variabil¼a întreag¼a care tinde
la in…nit, şi x o variabil¼a continu¼a care tinde la in…nit sau la zero sau la o alt¼a
valoare limit¼a; c¼a (n) sau (x) este o funcţie pozitiv¼a de n sau x; şi c¼a f (n) sau
f (x) este o funcţie arbitrar¼a de n sau x. Atunci
(i) f = O ( ) înseamn¼a c¼a
jf j A ;
unde A este independent¼a de n sau x, pentru toate valorile lui n sau x în cauz¼a;
(ii) f = o ( ) înseamn¼a c¼a
f
! 0;
(iii) f
înseamn¼a c¼a
f
! 1:
La început vom considera funcţii de o variabil¼
a real¼
a, dar vom permite ca ele
s¼
a ia valori într-un spaţiu Banach. Astfel, …e I un interval deschis în R şi …e V un
spaţiu Banach cu norma k k.
De…niţia 1.1. O funcţie f : I ! V se zice diferenţiabil¼a în x 2 I cu derivata
f 0 (x) 2 V dac¼a
(1.1)
k(f (x + h)
f (x)) =h
f 0 (x)k ! 0
c^
and h ! 0
Putem scrie relaţia de mai sus în forma echivalent¼a
(1.2)
kf (x + h)
f (x)
hf 0 (x)k = o (jhj)
c^
and h ! 0
Teorema 1.1 (Inegalitatea Denjoy-Bourbaki). Fie f : [0; 1] ! V o funcţie continu¼a. Presupunem c¼a exist¼a A
[0; 1] cel mult num¼arabil¼a astfel încât f este
diferenţiabil¼a în orice punct x 2 (0; 1) r A. Atunci
(1.3)
kf (1)
f (0)k
sup fkf 0 ( )k ; 2 (0; 1) r Ag
Demonstraţie. Putem presupune c¼
a A este num¼
arabil¼
a şi c¼
a f0; 1g
A = fa1 ; a2 ; :::; ak ; :::g
Fie " > 0. Consider¼
am un şir ("n )n , "n > 0, astfel încât
1
X
"n < "
n=1
3
A. Punem
4
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Vom ar¼
ata c¼
a
kf (1)
f (0)k
sup
2(0;1)rA
Pentru aceasta consider¼
am mulţimea
B = f t 2 [0; 1] : 0
s
t ) kf (s)
f (0)k
kf 0 ( )k + 2"
"s +
sup
2(0;1)rA
kf 0 ( )k s +
X
ak s
"k g
Evident 0 2 B şi t 2 B ) [0; t]
B. Fie b = sup B. Vom ar¼
ata c¼
a B = [0; b].
Într-adev¼
ar, dac¼
a s < b, atunci exist¼
a t 2 B astfel încât s < t b, deci s 2 B şi
X
kf (s) f (0)k "s + sup kf 0 ( )k s +
"k
2(0;1)rA
ak s
Pe de alt¼
a parte, din continuitatea lui f în b, utilizând relaţia precedent¼
a deducem
c¼
a
X
kf (b) f (0)k lim kf (s) f (0)k "b + sup kf 0 ( )k b +
"k
s!b
s<b
2(0;1)rA
ak <b
Prin urmare, b 2 B deci B = [0; b]. În continuare, vom ar¼
ata c¼
a b = 1.
Presupunem c¼
a b < 1. Atunci vom analiza dou¼
a cazuri: b 2 A şi b 2
= A.
1 Dac¼
a b 2 A, atunci exist¼
a n0 2 N astfel încât b = an0 . Din continuitatea lui
f în an0 rezult¼
a c¼
a exist¼
a c 2 [0; 1], b < c < 1 astfel încât
t 2 [b; c] ) kf (t)
f (b)k
" n0
şi deci pentru t 2 [b; c] obţinem
kf (t)
f (0)k
kf (t)
f (b)k + kf (b)
"n0 + "b +
sup
2(0;1)rA
"t +
sup
2(0;1)rA
f (0)k
0
kf ( )k b +
kf 0 ( )k t +
X
X
"k
ak <b
"k
ak t
ceea ce ar¼
at¼
a c¼
a c 2 B, contradicţie.
2 Dac¼
a b 2
= A, atunci f este derivabil¼
a în b. Rezult¼
a c¼
a exist¼
a c 2 [0; 1],
b < c < 1 astfel încât
t 2 [b; c] ) kf (t)
f (b)
f 0 (b) (t
b)k
" (t
b)
şi deci pentru t 2 [b; c] obţinem
kf (t)
f (0)k
kf (t)
f (b)k + kf (b)
kf (b)k (t
b) + " (t
b) + kf (b)
f (0)k
0
kf (b)k (t
b) + " (t
b) + "b +
sup
"t +
kf 0 ( )k t +
0
sup
2(0;1)rA
f (0)k
f (0)k
"k
ak t
ceea ce ar¼
at¼
a c¼
a c 2 B, contradicţie.
Prin urmare, b = 1 deci
kf (1)
X
2(0;1)rA
sup
2(0;1)rA
kf 0 ( )k + 2":
kf 0 ( )k b +
X
ak <b
"k
1. INEGALITATEA DENJOY-BOURBAKI
5
Teorema 1.2. Fie f : I ! V o funcţie diferenţiabil¼a în orice punct din I şi v 2 V .
Atunci pentru orice x; y 2 I
(1.4)
kf (y)
f (x)
v (y
x)k
jy
xj sup kf 0 (x + t (y
x))
vk :
jy
xj sup kf 0 (x + t (y
x))
f 0 (x)k :
0<t<1
În particular pentru v = f 0 (x) obţinem
(1.5) kf (y)
t (y
f 0 (x) (y
f (x)
x)k
0<t<1
Demonstraţie. Se aplic¼
a teorema anterioar¼
a funcţiei
x) v. Atunci
(0)
= f (x) ;
(1) = f (y)
(t)
0
= f (x + t (y
x)) (y
v (y
x)k
0
(t) = f (x + t (y
(y
x)
x) v
x))
şi
(y
x) v:
xj sup fkf 0 (x + t (y
x))
Prin urmare
kf (y)
f (x)
=
k (1)
sup
(0)k
0
(t)
t2(0;1)
=
jy
vk ; 0 < t < 1g
fapt ce demonstreaz¼
a teorema.
Corolarul 1.3. Fie f : I ! V o funcţie continu¼a pe I diferenţiabil¼a în orice punct
din I r F , unde F = F I şi fjF = 0. Dac¼a x 2 F şi
f 0 (y) ! 0;
0
c^
and I r F 3 y ! x
atunci f (x) exist¼a şi
f 0 (x) = 0:
Demonstraţie. Dac¼
a y 2 F , atunci f (y) f (x) = 0.
Dac¼
a y 2 I r F , …e z 2 [x; y] \ F cel mai apropiat punct de y. Atunci
kf (y)
f (x)k
=
kf (y)
jy
f (z)k
0
jy
zj sup fkf 0 (z + t (y
xj sup fkf (z + t (y
z))k ; 0 < t < 1g
z))k ; 0 < t < 1g
cu
sup fkf 0 (z + t (y
z))k ; 0 < t < 1g = o (1)
c^
and jy
Într-adev¼
ar, din alegerea lui z rezult¼
a c¼
a
a) t 2 (0; 1) ) z + t (y z) 2 I r F
b) jz + t (y z) xj = j(1 t) (z x) + t (y x)j (1 t) jz
(1 t) jy xj + t jy xj = jy xj
xj ! 0
xj + t jy
Folosind condiţia
f 0 (y) ! 0;
c^
and I r F 3 y ! x
rezult¼
a c¼
a pentru orice " > 0 exist¼
a (") > 0 astfel încât
2 I r F;
Deci pentru jy
j
xj < (") =) kf 0 ( )k < "
xj < (") obţinem
kf 0 (z + t (y
z))k < "
)
sup fkf 0 (z + t (y
z))k ; 0 < t < 1g
":
xj
6
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Exemplul 1.1. Dac¼a P este un polinom şi
e 1=x P (1=x) ; x > 0;
0;
x 0;
f (x) =
atunci f este continu¼a. Derivata sa pentru x 6= 0 este de aceeaşi form¼a cu P (1=x)
înlocuit cu (P (1=x) P 0 (1=x)) =x2 deci f 0 (0) exist¼a şi f 0 (0) = 0. Prin urmare,
P 0 (1=x)) =x2 ;
e 1=x (P (1=x)
f 0 (x) =
x > 0;
x 0;
0;
Fie U un alt spaţiu Banach, X = X
U, f : X ! V .
De…niţia 1.2. Fie x 2 X. Aplicaţia f : X ! V se zice diferenţiabil¼a în x 2 X
dac¼a exist¼a f 0 (x) 2 L (U ; V ) astfel încât dac¼a
(1.6)
kf (x + y)
f 0 (x) yk = o (kyk) ;
f (x)
y!0
Observaţia 1.1. (a) Dac¼a T 2 L (U ; V ) satisface kT yk = o (kyk) ;
T = 0.
Într-adev¼ar, pentru u 2 U; kuk = 1 şi " > 0 mic, avem
y ! 0, atunci
1
o (k"uk)
o (")
kT ("u)k =
=
= o (1) ; " ! 0
"
"
"
Deci kT uk = 0, pemtru orice u 2 U; kuk = 1.
(b) Fie x 2 X şi f : X ! V o aplicaţie f : X ! V . Dac¼a f este diferenţiabil¼a
în x 2 X, atunci diferenţiala este unic¼a.
kT uk =
Vom folosi notaţia
C (X; V ) = ff : X ! V ; 8x 2 X; 9f 0 (x) 2 L (U ; V ) şi f 0 ( ) 2 C (X; L (U ; V ))g
1
Lema 1.4. Dac¼a f este diferenţiabil¼a în …ecare punct al segmentului [x; y] =
fx + t (y x) ; 0 t 1g, atunci pentru orice T 2 L (U ; V ) avem
(1.7)
kf (y)
f (x)
T (y
sup kf 0 (x + t (y
x)k
x)) (y
x)
T (y
x)k
xk sup kf 0 (x + t (y
x))
Tk
f 0 (x)(y
x)k
0<t<1
ky
0<t<1
În particular pentru T = f 0 (x) obţinem
f (y)
f (x)
0
f (x)(y
sup kf 0 (x + t(y
x)
x))(y
x)
0<t<1
xk sup kf 0 (x + t(y
ky
x))
f 0 (x)k
0<t<1
Demonstraţie. Se aplic¼
a (1.3) funcţiei
[0; 1] 3 t ! ' (t) = f (x + t (y
0
0
care are derivata ' (t) = f (x + t (y
k' (1)
' (0)k
x))
tT (y
x)
T (y
x)) (y
x) 2 V
x). Deci
x)k
j1
0j sup k'0 (t)k
x)) (y
x)
T (y
xk sup kf 0 (x + t (y
x))
Tk
= kf (y)
f (x)
T (y
sup kf 0 (x + t (y
0<t<1
0<t<1
ky
0<t<1
x)k
1. INEGALITATEA DENJOY-BOURBAKI
7
Teorema 1.5. Dac¼a fj 2 C 1 (X; V ) şi fj ! f , fj0 ! g local uniform în X, atunci
f 2 C 1 (X; V ) şi f 0 = g.
Demonstraţie. Dac¼
a aplic¼
am lema anterioar¼
a lui fj cu T = fj0 (x) obţinem
fj (y)
kf (y)
fj (x)
f (x)
fj0 (x) (y
ky
x)
g (x) (y
x)k
+
fj0 (x + t (y
x))
fj0 (x)
xk sup kg (x + t (y
x))
g (x)k
xk sup
0<t<1
j!1
ky
0<t<1
ceea ce demonstreaz¼
a c¼
a f este diferenţiabil¼
a în x cu f 0 (x) = g (x). Deoarece g este
1
continu¼
a obţinem f 2 C (X; V ).
Am folosit
(1) fj0 ! g local uniform în X şi fj0 2 C (X; L (U ; V )) ) g 2 C (X; L (U ; V )) :
(2) g 2 C (X; L (U ; V )) ) sup kg (x + t (y x)) g (x)k = o (1), y ! x:
0<t<1
g continu¼
a ) 8" > 0; 9 (") > 0 astfel încât
kz
xk < (") ) kg (z)
g (x)k < "
Dar
ky
xk < (") ) kx + t (y
x)
xk = t ky
+
kg (x + t (y
x))
sup kg (x + t (y
+
xk < (")
g (x)k < "
x))
g (x)k
"
0<t<1
Teorema 1.6. Dac¼a aplicaţiile f : X ! V şi g : X ! L (U ; V ) sunt continue pe
X, şi pentru orice x, y 2 U , aplicaţia t ! f (x + ty) este diferenţiabil¼a în raport
cu t când x + ty 2 X cu derivata g (x + ty) y, atunci f 2 C 1 (X; V ) şi f 0 = g.
Este su…cient s¼a facem ipotezele pentru orice y într-o mulţime Y
U astfel încât
spY = U .
Demonstraţie. 1 Fie x 2 X şi r > 0 astfel încât
x + B (0; 2r)
X
Atunci
(y; t) 2 B (0; r)
( 2; 2)
( 2; 2) 3 t ! ' (t) = f (x + ty)
tg (x) y
Aplicând 1.3) funcţiei
x + ty 2 X;
obţinem
kf (x + y)
f (x)
g (x) yk
= k' (1)
j1
=
' (0)k
0j sup k'0 (t)k
0<t<1
sup kg (x + ty) y
0<t<1
g (x) yk
8
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Deci
kf (x + y)
f (x)
g (x) yk
kyk sup kg (x + ty)
g (x)k = o (kyk)
0<t<1
deoarece g : X ! L (U ; V ) este continu¼
a pe X.
g continu¼
a ) 8" > 0; 9 (") > 0 astfel încât
kz
xk < (") ) kg (z)
g (x)k < "
Dar
kyk < (") ) kx + ty
kg (x + ty)
+
xk = t kyk < (")
g (x)k < "
+
sup kg (x + ty)
g (x)k
"
0<t<1
2 Fie
M = fy 2 U ; 8x 2 X; t ! f (x + ty) este diferenţiabil¼a în raport cu t
când x + ty 2 X cu derivata g (x + ty) yg
Avem Y
M . În continuare vom ar¼
ata c¼
a M este un subspaţiu vectorial închis.
3 Fie 1 , 2 2 R. Fie y1 , y2 2 M i.e. pentru orice x 2 U astfel încât x + ty1 ,
x + ty2 2 X funcţiile
t ! f (x + ty1 ) ;
t ! f (x + ty2 )
sunt derivabile având derivatele g (x + ty1 ) y1 şi respectiv g (x + ty2 ) y2 .
Fie t 2 R astfel încât x + t ( 1 y1 + 2 y2 ) 2 X. Atunci exist¼
a " > 0 astfel încât
jh1 j ; jh2 j < " ) x + (t + h1 )
1 y1 + (t + h2 )
2 y2 2 X
Fie h 2 R, jhj < ". Atunci norma
N = kf (x + (t + h) ( 1 y1 +
2 y2 ))
f (x + t ( 1 y1 +
2 y2 ))
hg (x + t ( 1 y1 +
2 y2 ) ( 1 y1 +
2 y2 ))k
este majorat¼
a de suma normelor
N1 = kf (x + (t + h)
= kf ([x + (t + h)
N2 = kf (x + (t + h)
1 y1 + (t + h)
2 y2 )
f (x + (t + h)
hg (x + t ( 1 y1 +
2 y2 ))
1 y1 + t 2 y2 ] + h 2 y2 )
2 y2 k
1 y1 + t 2 y2 )
f (x + (t + h)
1 y1 + t 2 y2 )
hg (x + t ( 1 y1 +
1 y1 + t 2 y2 )
2 y2 ))
2 y2 k
f (x + t 1 y1 + t 2 y2 )
hg (x + t ( 1 y1 +
= kf (x + t 1 y1 + t 2 y2 + h 1 y1 )
2 y2 )
1 y1 )k
f (x + t 1 y1 + t 2 y2 )
hg (x + t ( 1 y1 +
2 y2 )
1 y1 )k
1. INEGALITATEA DENJOY-BOURBAKI
9
Fiecare norm¼
a este estimat¼
a cu ajutorul (1.4).
N1
jhj j 2 j ky2 k
sup kg (x + (t + h)
1 y1 + t 2 y2 +
h 2 y2 )
g (x + t ( 1 y1 +
2 y2 ))k
0< <1
N2
jhj j 1 j ky1 k sup kg (x + t 1 y1 + t 2 y2 + h 1 y1 )
g (x + t ( 1 y1 +
2 y2 ))k
g(x + t( 1 y1 + 2 y2 ))k = o(1);
h!0
0< <1
Faptul c¼
a
sup kg(x+(t + h) 1 y1 +t 2 y2 + h 2 y2 )
0< <1
şi c¼
a
sup kg (x + t 1 y1 + t 2 y2 + h 1 y1 )
g (x + t ( 1 y1 +
2 y2 ))k = o (1) ;
0< <1
h!0
este consecinţa continuit¼
aţii aplicaţiei g : X ! L (U ; V ) (vezi …nalul punctului 1 ).
4 Fie yn 2 M , yn ! y 2 U . Atunci y 2 M .
Fie x 2 U , t 2 R astfel încât x + ty 2 X. Atunci exist¼
a " > 0 astfel încât
jhj < " ) x + (t + h) yn 2 X;
n 2 N:
Funcţiile
un (h)
u0n (h)
= f (x + (t + h) yn ) ! u (h) = f (x + (t + h) y)
= g (x + (t + h) yn ) yn ! g (x + (t + h) y) y
local unif orn
local unif orn
Teorema anterioar¼
a implic¼
a u ( ) derivabil¼
a şi
u0 (h) = g (x + (t + h) y) y
Propoziţia 1.7. (a) Fie f 2 L (U ; V ). Atunci f este diferenţiabil¼a şi
f 0 (x) = f
(b) Fie U1 ; :::; Un ; V spaţii Banach, Ln (U1 ; :::; Un ; V ) spaţiul aplicaţiilor nlineare continue de…nite pe U1 ::: Un cu valori în V
U1
:::
Un
kf k
3
=
(x1 ; :::; xn ) ! f (x1 ; :::; xn ) 2 V
sup kf (x1 ; :::; xk )k < 1:
kxj k 1
atunci f este diferenţiabil¼a şi f 0 (x1 ; :::; xn ) 2 L (U1
:::
Un ; V ) este de…nit¼a prin
0
f (x1 ; :::; xn ) (y1 ; :::; yn ) = f (y1 ; x2 ; :::; xn ) + f (x1 ; y2 ; :::; xn ) + ::: + f (x1 ; x2 ; :::; yn )
Dac¼a U1 = ::: = Un = U vom pune Ln (U ; V ) în loc de Ln (U; :::; U ; V ).
(c) Fie U; V spaţii Banach. Punem
X = T ; 9T
1
2 L (V ; U )
L (U ; V )
Atunci X este o submulţime deschis¼a a spaţiului L (U ; V ) şi
X 3 T ! f (T ) = T
1
2 L (V ; U )
este diferenţiabil¼a cu
f 0 (T ) : L (U ; V ) ! L (V ; U ) ;
f 0 (T ) S =
T
1
ST
1
10
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
(d) (Regula lanţului) Fie
f : X ! V;
g : Y ! W;
X=X
U
Y =Y
V
;
f (X)
Y
astfel încât f este diferenţiabil¼a în x0 , g este diferenţiabil¼a în f (x0 ). Atunci funcţia
g f : X ! W este diferenţiabil¼a în x0 şi
0
(g f ) (x0 ) = g 0 (f (x0 )) f 0 (x0 )
(1.8)
Demonstraţie. (a) Avem kf (x + y)
(b) Pentru z = (z1 ; :::; zn ) 2 U1 :::
f (x) f (y)k = 0 = o (kyk) ;
Un punem
y ! 0.
kzk1 = max fkz1 k ; :::; kzn kg
Fie x = (x1 ; :::; xn ), y = (y1 ; :::; yn ) 2 U1 ::: Un . Atunci
X
f (x1 + y1 ; :::; xn + yn ) =
f (x1 + "1 (y1 x1 ) ; :::; xn + "n (yn
("1 ;:::;"n )2f0;1g
xn ))
n
deci
f (x1 + y1 ; :::; xn + yn )
f (x1 ; :::; xk )
X
=
f (y1 ; x2 ; :::; xn )
f (x1 + "1 (y1
:::
f (x1 ; x2 ; :::; yn )
x1 ) ; :::; xn + "n (yn
xn ))
("1 ;:::;"n )2f0;1gn
j("1 ;:::;"n )j 2
unde j("1 ; :::; "n )j = "1 + ::: + "n .
n
Fie ("1 ; :::; "n ) 2 f0; 1g , j("1 ; :::; "n )j = k. Atunci
kf (x1 + "1 (y1
x1 ) ; :::; xn + "n (yn
Dac¼
a j("1 ; :::; "n )j = k
kf (x1 + "1 (y1
n k
xn ))k
k
kf k kxk1 kyk1
2, atunci
x1 ) ; :::; xn + "n (yn
n 2
xn ))k
kf k (kxk1 + kyk1 )
2
kyk1
Prin urmare
kf (x1 + y1 ; :::; xn + yn )
k
f (x1 ; :::; xk )
X
f (y1 ; x2 ; :::; xn )
f (x1 + "1 (y1
x1 ) ; :::; xn + "n (yn
("1 ;:::;"n )2f0;1gn
j("1 ;:::;"n )j 2
(2n
1
:::
n 2
n) kf k (kxk1 + kyk1 )
f (x1 ; x2 ; :::; yn )k
xn )) k
2
kyk1
(c) Fie T 2 X şi S 2 L (U ; V ) astfel încât kSk < kT 1 1 k . Atunci T + S 2 X,
deci X este un deschis.
(T + S)
1
=T
1
idV + ST
1
1
=
1
X
0
T
1
ST
1 k
2. TEO REM A FUNC ŢIEI INVERSE
f (T + S)
1
f (T ) + T
1
ST
1
X
=
1
T
11
ST
1 k
2
+
f (T + S)
f (T ) + T
1
ST
1
T
1
ST
1
X
1 2
1 k
ST
0
T
1
(d) Avem
kf (x0 + x)
f 0 (x0 ) xk
f (x0 )
kf (x0 + x)
f (x0 )k
kf (x0 + x)
f (x0 )k
=
1 3
kSk
kSk kT 1 k
o (kxk) ;
+
2
x!0
kf 0 (x0 )k kxk + o (kxk) ;
+
= o (kxk) ;
x!0
x!0
şi
kg (f (x0 ) + y)
g (f (x0 ))
g 0 (f (x0 )) yk = o (kyk) ;
De aici obţinem c¼
a
kg f (x0 + x)
g f (x0 )
kg f (x0 + x)
g 0 (f (x0 )) f 0 (x0 ) xk
g f (x0 )
g 0 (f (x0 )) (f (x0 + x)
0
+ kg (f (x0 )) (f (x0 + x)
o (kf (x0 + x)
0
y ! 0:
f (x0 )
f (x0 ))k
0
f (x0 ) x)k
0
f (x0 )k) + kg (f (x0 ))k o (kxk) = o (kxk) ;
x ! 0:
astfel încât (g f ) (x0 ) = g 0 (f (x0 )) f 0 (x0 ).
2. Teorema funcţiei inverse
Teorema 2.1 (Teorema funcţiei inverse). Fie X un deschis din U , x0 2 X, f :
X ! V derivabil¼a cu derivata continu¼a în x0 şi …e y0 = f (x0 ). Pentru ca s¼a existe
g : Y ! U derivabil¼a, unde Y este o vecin¼atate deschis¼a a lui y0 , astfel încât
(a) f g = id în vecin¼atatea lui y0 sau
(b) g f = id în vecin¼atatea lui x0 sau
(c) f g = id în vecin¼atatea lui y0 şi g f = id în vecin¼atatea lui x0 ,
este necesar şi su…cient s¼a existe o aplicaţie linear¼a A 2 L (V ; U ) astfel încât s¼a
avem corespunz¼ator
0
(a) f 0 (x0 ) A = idV ,
0
(b) Af 0 (x0 ) = idU ,
0 0
(c) f (x0 ) A = idV , Af 0 (x0 ) = idU
0
Condiţia (c) este echivalent¼a cu bijectivitatea lui f 0 (x0 ) şi implic¼a unicitatea
0
0
lui g în vecin¼atatea lui y0 . Dac¼a V (U ) este de dimensiune …nit¼a, atunci (a) (b)
0
este echivalent¼a cu surjectivitatea (injectivitatea) lui f (x0 ).
Demonstraţie. Necesitatea este o consecinţ¼
a imediat¼
a a regulii lanţului punctul
(d) din propoziţia precedent¼
a. În demonstraţia su…cienţei vom observa c¼
a dac¼
a
f g1 = id în vecin¼
atatea lui y0 şi g2 f = id în vecin¼
atatea lui x0 , atunci g1 =
g2 în vecin¼
atatea lui y0 , lucru ce demonstreaz¼
a unicitatea în cazul (c) şi reduce
12
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
demonstraţia la partea de existenţ¼
a din cazurile (a) şi (b). Dac¼
a înlocuim f cu
f A resp. A f observ¼
am c¼
a este su…cient s¼
a studiem cazul în care U = V şi
f 0 (x0 ) = id. Fie > 0 astfel încât s¼
a avem
1
kf 0 (x) idk <
când kx x0 k <
2
Pentru kxj x0 k < , j = 1; 2 obţinem din (1:7) c¼
a
(2.1)
kf (x2 )
f (x1 )
(x2
Prin urmare, f este injectiv¼
a pe fx; kx
kx2
2
x1 k
)
kf (x2 )
f (x1 )
kf (x2 )
f (x1 )k
kx2
x1 )k
kx2
f (xk 1 ) ;
Dac¼
a k > 1 şi kxj
kxk
f (x0 ) = y
x0 k <
xk 1 k
kf (x2 )
f (x1 )k
y0 k < 2 punem
k = 1; 2; :::
atâta timp cât aceasta produce elemente ce satisfac kxk
x0 = y
x1 k
x1 k
2
Pentru a rezolva ecuaţia f (x) = y când ky
x1
2
x1 k
x0 k < g
(x2
xk = xk 1 + y
kx2
x1 )k
y0 ) kx1
x0 k < . Avem
x0 k = ky
y0 k <
f (xk 2 ))k
kxk 1
2
pentru j < k atunci
=
kxk 1
xk 2
(f (xk 1 )
)
kxk
xk 1 k <
2
xk 2 k
2k
deci
kxk
x0 k <
k
X
2 j<
1
Prin urmare, xk este bine de…nit pentru orice k şi este un şir Cauchy. Fie x = lim xk .
Avem kx x0 k < deoarece
kxk
x0 k
)
kxk
x1 k + kx1
kx
x0 k
x0 k <
k
X
2
2 j + kx1
x0 k
+ kx1 x0 k < + =
2
2 2
Pentru a demonstra c¼
a inversa g(y) = x, care este de…nit¼
a acum pentru ky
1
,
este
de
clas¼
a
C
punem
2
g(y) = x;
g(y + k) = x + h:
f (x) = y;
f (x + h) = y + k
Asta înseamn¼
a c¼
a
Deci
k = f (x + h)
Ţinând cont de (2.1) avem
kk
hk
khk
khk
)
2
2
f (x) = f 0 (x)h + o (khk) :
kkk
2 khk ) o (khk) = o (kkk)
y0 k <
3. DERIVATE PAR ŢIALE. TEOREM A FUNC ŢIILOR IM PLICITE
13
Deoarece
kf 0 (x)
(f 0 (x))
1
idk <
1
2
=
(id (id
)
(f 0 (x))
obţinem c¼
a
când
f 0 (x)))
X
1
kx
1
X
kf 0 (x)
g(y) = h = (f 0 (x))
g(y + k)
=
x0 k <
1
f 0 (x))
(id
k
k
idk < 2
k + o (kkk)
fapt ce demonstreaz¼
a c¼
a g este diferenţiabil¼
a şi c¼
a g 0 (y) = (f 0 (g(y)))
funcţie continu¼
a în y0 .
1
care este o
Teorema 2.2. Fie X un deschis din U , f 2 C 1 (X; V ) şi …e x0 2 X, f (x0 ) = y0 .
Pentru ca s¼a existe g 2 C 1 (Y; U ), unde Y este o vecin¼atate deschis¼a a lui y0 , astfel
încât
(a) f g = id în vecin¼atatea lui y0 sau
(b) g f = id în vecin¼atatea lui x0 sau
(c) f g = id în vecin¼atatea lui y0 şi g f = id în vecin¼atatea lui x0 ,
este necesar şi su…cient s¼a existe o aplicaţie linear¼a A 2 L (V ; U ) astfel încât s¼a
avem corespunz¼ator
0
(a) f 0 (x0 ) A = idV ,
0
(b) Af 0 (x0 ) = idU ,
0 0
(c) f (x0 ) A = idV , Af 0 (x0 ) = idU
0
Condiţia (c) este echivalent¼a cu bijectivitatea lui f 0 (x0 ) şi implic¼a unicitatea
0
0
lui g în vecin¼atatea lui y0 . Dac¼a V (U ) este de dimensiune …nit¼a, atunci (a) (b)
0
este echivalent¼a cu surjectivitatea (injectivitatea) lui f (x0 ).
3. Derivate parţiale. Teorema funcţiilor implicite
Fie U1 ; :::; Un spaţii Banach. Pentru 1
ji : Ui ! U1
i : U1
:::
Un ;
i
n vom nota cu ji şi
i aplicaţiile
ji (ui ) = (0; :::; 0; ui ; 0; :::; 0)
i
:::
Un ! Ui ;
i (u1 ; :::; un ) = ui :
Avem relaţiile
i
ji = idUi ;
n
X
ji
1
i
n;
i = idU1 ::: Un :
i=1
Fie X = X
U1
ji;a aplicaţia
:::
ji;a : Ui ! U1
Un , a = (a1 ; :::; an ) 2 X. Pentru 1
:::
Un ;
i
n vom nota cu
ji;a (xi ) = (a1 ; :::; ai 1 ; xi ; ai+1 ; :::; an );
i
ji;a (xi ) = a + ji (xi
ai )
14
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
De…niţia 3.1. Fie a = (a1 ; :::; an ) 2 X şi f : X ! V . Funcţia f ji;a este de…nit¼a
0
pe o vecin¼atate mic¼a a lui ai . Dac¼a exist¼a derivata (f ji;a ) (ai ) 2 L (Ui ; V ) se
numeşte derivata parţial¼a în raport cu xi a lui f şi se noteaz¼a
not @f
0
(f ji;a ) (ai ) =
(a) 2 L (Ui ; V )
@xi
Observaţia 3.1. (a) În general
0
g 0 (a) = (g ( + a)) (0) = (
0
a g) (0)
Folosim derivarea funcţiei compuse
x ! x + a ! g (x + a)
şi deriv¼am în 0.
(b) Deoarece
ji;a (xi + ai ) = a + ji (xi )
obţinem
(f
0
ji;a ) (ai )
0
=
(f
ji;a ( + ai )) (0) = (f
=
((
af )
0
(a + ji ( ))) (0)
0
ji ) (0)
Deci
@f
(a)
@xi
0
ji;a ) (ai ) = ((
af )
0
=
(f
ji ) (0)
=
(f ( + a) ji ) (0) 2 L (Ui ; V )
0
(c) Presupunem c¼a f este diferenţiabil¼a în a. Atunci
@f
0
(a) = f 0 (a) ji;a
(ai ) = f 0 (a) ji 2 L (Ui ; V )
@xi
Folosind identitatea
n
X
ji
i = idU1 ::: Un
i=1
obţinem
f 0 (a) =
n
X
@f
i=1
@xi
(a)
i
Fie x 2 U1 ::: Un , t 2 R, yk 2 Uk astfel încât x + tjk (yk ) 2 X. Presupunem
@f
(x + tjk (yk )) pentru orice 1 i n. Atunci
c¼
a exist¼
a @x
i
d
f (x + tjk (yk ))
dt
=
=
=
=
=
d
f (x + (t + h) jk (yk ))j0
dh
d
f jk;x+tjk (yk ) (xk + (t + h) yk ) j
0
dh
@f
(x + tjk (yk )) yk
@xk
@f
(x + tjk (yk ))
k jk (yk )
@xk
0
1
n
X
@f
@
A jk (yk )
(x + tjk (yk ))
i
@xi
j=1
3. DERIVATE PAR ŢIALE. TEOREM A FUNC ŢIILOR IM PLICITE
15
Folosind teorema 1.6 obţinem rezultatul urm¼
ator.
Teorema 3.1. Fie X = X
U1 ::: Un şi f : X ! V . Atunci urm¼atoarele
a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f 2 C 1 (X; V ) :
@f
(b) Pentru orice 1 i n, @x
2 C (X; L (Ui ; V )) :
i
În acest caz
n
X
@f
f 0 (a) =
(a)
i
@xi
i=1
Teorema 3.2 (Teorema funcţiilor implicite). Fie U , V spaţii Banach, Z = Z
U V , (x0 ; y0 ) 2 Z şi f : Z ! V o funcţie derivabil¼a în …ecare punct (x; y) 2 Z
cu derivata continu¼a în (x0 ; y0 ). Presupunem c¼a f (x0 ; y0 ) = 0 şi c¼a @f
@y (x0 ; y0 ) 2
L (V ; V ) este inversabil¼a. Atunci exist¼a X = X U , Y = Y
V , x0 2 X, y0 2 Y ,
X Y
Z şi o unic¼a funcţie derivabil¼a : X ! Y astfel încât
f (x; (x)) = 0;
x2X
şi
Mai mult X şi Y
orice (x; y) 2 X
0
(x; y) 2 X
Y;
f (x; y) = 0 ) y =
(x) :
se pot alege astfel încât @f
a pentru
@y (x; y) 2 L (V ; V ) este inversabil¼
Y . În aceste condiţii
1
@f
(x; (x))
@y
(x) =
@f
(x; (x)) ;
@x
x 2 X:
Demonstraţie. Fie
jU
U
: U !U
: U
V;
jU (u) = (u; 0) ;
V ! U;
U (u; v) = u;
jV : V ! U
V
:U
V;
jV (v) = (0; v) ;
V ! V;
V (u; v) = v:
Atunci
U
jU = idU ;
jV = idV ;
V
jU
U + jV
V
= idU
V:
Întrucât grupul liniar general
GL (V ) = T ; 9T
1
2 L (V ; V )
L (V ; V )
este o submulţime deschis¼
a a spaţiului L (V ; V ) (vezi propoziţia 1.7 (c) ) şi funcţia
Z 3 (x; y) !
@f
(x; y) 2 L (V ; V )
@y
este continu¼
a cu @f
a c¼
a exist¼
a Z0 = Z0
@y (x0 ; y0 ) 2 GL (V ), rezult¼
Z, (x0 ; y0 ) 2 Z0
@f
astfel încât @y (x; y) 2 GL (V ) pentru orice (x; y) 2 Z0 . Înlocuind dac¼
a este necesar
@f
Z cu Z0 putem presupune c¼
a @y (x; y) 2 GL (V ) pentru orice (x; y) 2 Z.
Consider¼
am funcţia derivabil¼
a
F :Z!X
V;
F (x; y) = (x; f (x; y)) ;
adic¼
a
F = jU
U + jV
f
16
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Ultima formul¼
a atest¼
a faptul c¼
a F este derivabil¼
a. În plus avem
F 0 (x; y)
= jU
U + jV
= jU
U + jV
f 0 (x; y)
@f
(x; y)
@x
@f
(x; y)
@y
U + jV
V
astfel încât ecuaţia
F 0 (x; y) (u; v) = (u; v)
are o unic¼
a soluţie şi anume
u = u;
1
@f
(x; y)
@y
v=
0;
jV
@f
(x; y)
@y
v
@f
(x; y) u
@x
@f
(x; y)
@x
U +jV
!
care implic¼
a
(F 0 (x; y))
1
= jU
U
1
@f
(x; y)
@y
1
V
În limbaj natriceal
F 0 (x; y)
0
(F (x; y))
id
0
@f
@x (x; y)
@f
@y (x; y)
id
1
@f
@y (x; y)
1
0
@f
@y (x; y)
@f
@x (x; y)
1
!
Suntem pentru F şi punctul (x0 ; y0 ) în condiţiile teoremei de inversare local¼
a.
Exist¼
a un deschis Z0 = Z0
în U V şi
Z, (x0 ; y0 ) 2 Z0 , astfel încât F (Z0 ) este un deschis
F : Z0 ! F (Z0 )
este funcţie bijectiv¼
a deschis¼
a, cu inversa sa F
1
funcţie derivabil¼
a şi derivata con-
tinu¼
a în (x0 ; 0) = F (x0 ; y0 ). Deoarece (x0 ; y0 ) 2 Z0 = Z0 exist¼
a X0 = X0
Y =Y
V , x0 2 X0 , y0 2 Y , X0
Y
U,
Z0 . Fie acum
X = fx 2 X0 ; 9y 2 Y; f (x; y) = 0g
Din F (x; y) = (x; f (x; y)) deducem c¼
a
x 2 X , (x; 0) 2 F (X0
Cum F (X0
X
Y ) , jU (x) = (x; 0) 2 F (X0
Y)
, x 2 jU 1 (F (X0
Y ))
Y ) este mulţime deschis¼
a şi jU este funcţie continu¼
a rezult¼
a c¼
aX=
U şi x0 2 X, (f (x0 ; y0 ) = 0) şi
X = jU 1 (F (X0
Y )) :
Pe de alt¼
a parte, dac¼
a x 2 X şi y 0 ; y 00 2 Y sunt astfel încât f (x; y 0 ) = f (x; y 00 ) = 0,
0
atunci F (x; y ) = F (x; y 00 ) = (x; 0) şi din injectivitatea lui F obţinem c¼
a y 0 = y 00 .
Prin urmare,
x 2 X ) 9!y 2 Y cu f (x; y) = 0
Fie x 2 X. Atunci unicul y 2 Y cu f (x; y) = 0 se obţine astfel
x ! jU (x) = (x; 0) ! F
1
(x; 0) = (x; y) !
V (x; y) = y
4. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR
Funcţia
: X ! Y de…nit¼
a prin
=
V
1
F
satisface toate condiţiile din enunţ.
Din egalitatea
f (x; (x)) = 0;
prin derivare deducem c¼
a
@f
@f
(x; (x)) +
(x; (x))
@x
@y
17
jU
x2X
0
(x) = 0;
x 2 X;
adic¼
a
0
@f
(x; (x))
@y
(x) =
1
@f
(x; (x)) ;
@x
x 2 X:
4. Derivate de ordin superior
De…niţia 4.1. Fie k 2 N, k
2. Fie U , V spaţii Banach, X = X
U , a 2 X şi
f : X ! V . Spunem c¼a f este derivabil¼a de ordin k în a dac¼a exist¼a D = D
a 2 D astfel încât f este derivabil¼a în orice punct din D şi aplicaţia
X,
D 3 x ! f 0 (x) 2 L (U ; V )
este derivabil¼a de ordin k
1 în a. Punem
f (k) (a) = (f 0 )
(k 1)
(a)
Propoziţia 4.1. Fie U1 ; :::; Un ; V1 ; :::; Vm ; W spaţii Banach. Atunci aplicaţia
Ln (U1 ; :::; Un ; Lm (V1 ; :::; Vm ; W )) 3
! b 2 Ln+m (U1 ; :::; Un ; V1 ; :::; Vm ; W )
(x1 ; :::; xn ; y1 ; :::; ym ) ! b (x1 ; :::; xn ; y1 ; :::; ym ) =
(x1 ; :::; xn ) (y1 ; :::; ym )
de…neşte un izomor…sm izometric. Inversul s¼au este de…nit prin
Ln+n (U1 ; :::; Un ; V1 ; :::; Vm ; W ) 3 f ! fe 2 Ln (U1 ; :::; Un ; Lm (V1 ; :::; Vm ; W ))
U1 ::: Un 3 (x1 ; :::; xn ) ! fe(x1 ; :::; xn ) = f (x1 ; :::; xn ; ; :::; ) 2 Lm (V1 ; :::; Vm ; W )
Demonstraţie. Fie
deci
2 Ln (U1 ; :::; Un ; Lm (V1 ; :::; Vm ; W )). Atunci
e
b (x1 ; :::; xn ) = b (x1 ; :::; xn ; ; :::; ) =
e
b= :
Dac¼
a f 2 Ln+m (U1 ; :::; Un ; V1 ; :::; Vm ; W ), atunci
deci
(x1 ; :::; xn ) ;
b
fe(x1 ; :::; xn ; y1 ; :::; ym ) = fe(x1 ; :::; xn ) (y1 ; :::; ym ) = f (x1 ; :::; xn ; y1 ; :::; ym )
b
fe = f
18
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
În plus
kf k
=
sup
kf (x1 ; :::; xn ; y1 ; :::; ym )k
kxi k;kyj k 1
=
sup
sup kf (x1 ; :::; xn ; y1 ; :::; ym )k
kxi k 1 kyj k 1
=
sup
sup
kxi k 1 kyj k 1
=
fe(x1 ; :::; xn )
sup
kxi k 1
=
Rezult¼
a c¼
a
fe(x1 ; :::; xn ) (y1 ; :::; ym )
fe
! b şi f ! fe sunt izomor…sme liniare izometrice.
Corolarul 4.2. Avem
f 0 (a) 2 L (U ; V )
şi inductiv
f (k) (a) 2 Lk (U ; V )
Demonstraţie. Avem
(k 1)
D 3 x ! f 0 (x) 2 L (U ; V ) ) (f 0 )
(a) 2 Lk 1 (U ; L (U ; V ))
Lk (U ; V )
Lema 4.3. Fie k 2 N, k
2. Fie U , V spaţii Banach, X = X
U, a 2 X
şi f : X ! V . Presupunem c¼a f este derivabil¼a de ordin k în a. Atunci exist¼a
D=D
X, a 2 D astfel încât pentru orice x 2 D exist¼a derivatele
f 0 (x) ; f 00 (x) ; :::; f (k 1) (x)
şi pentru orice j 2 f1; :::; k
este derivabil¼a de ordin k
1g aplicaţia
D 3 x ! f (j) (x) 2 Lj (U ; V )
j în a şi
f (j)
(k j)
(a) = f (k) (a)
Demonstraţie. Inducţie dup¼
a k. k = 2 se obţine din de…niţie.
f este derivabil¼
a de ordin k în a dac¼
a exist¼
a a 2 D0 = D0
este derivabil¼
a în orice punct din U şi aplicaţia
X astfel încât f
D0 3 x ! f 0 (x) 2 L (U ; V )
este derivabil¼
a de ordin k
1 în a. Ipoteza inductiv¼
a aplicat¼
a tripletului
(f 0 ; k
1; j
1)
implic¼
a existenţa unui deschis D D0 , a 2 D astfel încât pentru orice x 2 D exist¼
a
derivatele
0
(k 2)
(f 0 ) (x) ; :::; (f 0 )
(x)
În plus aplicaţia
D 3 x ! (f 0 )
(k 1)
(x) = f (k) (x) 2 Lk 1 (U ; L (U ; V ))
Lk (U ; V )
4. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR
este derivabil¼
a de ordin (k
1)
(f 0 )
(j
(j 1)
f (k)
k
(k j)
f (j)
Bineînţeles j
1) = k
j în a şi
(a)
(f 0 )
(k j)
=
(k 1)
(a)
k
f (k) (a)
(a)
(k j)
19
+
(a) = f (k) (a)
2, j = 1 …ind tocmai de…niţia.
Lema 4.4. Fie U , V spaţii Banach, X = X U , a 2 X, f : X ! V . Fie k 2 N,
k
2, j 2 f1; :::; k 1g. Presupunem c¼a exist¼a un deschis D
X, a 2 D astfel
încât pentru orice x 2 D exist¼a derivata f (j) (x) şi aplicaţia
D 3 x ! f (j) (x) 2 Lj (U ; V )
este derivabil¼a de ordin k
j în a. Atunci f este derivabil¼a de ordin k în a şi
(k j)
f (k) (a) = f (j)
(a)
Demonstraţie. Bineînţeles j 2, j = 1 …ind tocmai de…niţia. Demonstraţia se
face prin inducţie dup¼
a k. k = 2 se obţine din de…niţie. Aplicaţia
(j 1)
D 3 x ! f (j) (x) = (f 0 )
este derivabil¼
a de ordin k
aplicat¼
a tripletului
j = (k
(x) 2 Lj (U ; V )
1)
(j
Lj 1 (U ; L (U ; V ))
1) în a. Folosind ipoteza inductiv¼
a
(f 0 ; k 1; j 1)
obţinem c¼
a f 0 este derivabil¼
a de ordin k 1 în a şi
(k 1)
(f 0 )
(j 1) (k j)
(a) = (f 0 )
+
f (k) (a) = f (j)
De…niţia 4.2. Fie k 2 N, k
(a)
(k j)
(a)
2. De…nim
C (X; V ) = ff : X ! V ; 8x 2 X; 9f 0 (x) 2 L (U ; V ) şi f 0 ( ) 2 C (X; L (U ; V ))g
1
şi recursiv
C k (X; V ) = f : X ! V ; 8x 2 X; 9f 0 (x) 2 L (U ; V ) şi f 0 ( ) 2 C k 1 (X; L (U ; V ))
Punem
C 1 (X; V ) =
Obţinem astfel şirul de incluziuni
C 1 (X; V )
:::
C k (X; V )
:::
\
k2N
C k (X; V )
C 2 (X; V )
C 1 (X; V )
C (X; V )
Dac¼a f 2 C k (X; V ) vom spune c¼a f este o C k -aplicaţie sau c¼a f este de clas¼a C k
sau c¼a f are clasa C k .
20
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Propoziţia 4.5. (a) Fie U1 ; :::; Un ; V . Atunci
C 1 (U1
Ln (U1 ; :::; Un ; V )
:::
Un ; V ) :
În plus, pentru orice f 2 Ln (U1 ; :::; Un ; V ), f (n+1) = 0:
(b) Fie k 2 N, k
2, X = X
U, Y = Y
V . Dac¼a g 2 C k (Y; U ) şi
k
k
f 2 C (X; V ) astfel încât f (X) Y , atunci g f 2 C (X; V ).
Demonstraţie. Vom stabili în prealabil dou¼
a rezultate care sunt un caz particular al celui de la punctul (b).
1 Fie T 2 L (V ; W ) şi a 2 C p (X; V ). Atunci T a 2 C k (X; W ).
Într-adev¼
ar, conform propoziţiei 1.7 (d) (1:8) avem
(T
0
a) (x)
=
(a0 (x)) = Te (a0 (x)) = Te a0 (x)
T
0
a) = Te a0 ;
) (T
unde
Te : L (U ; V ) ! L (U ; W ) ;
Te (S) = T
S
este un operator liniar m¼
arginit. Presupunem c¼
a a…rmaţia este adev¼
arat¼
a pen0
0
tru valori mai mici decât k. Atunci din (T a) = Te a0 rezult¼
a c¼
a (T a) 2
C k 1 (X; L (U ; W )) deci T a 2 C k (X; W ). În plus, pentru orice j 2 f1; :::; kg
(j)
(T
a)
unde
= Te a(j)
Te : Lj (U ; V ) ! Lj (U ; W ) ;
Acest fapt se demonstreaz¼
a prin inducţie dup¼
a j:
(T
a)
(j+1)
(x)
(j)
a)
0
Te (!) = T
(x) = Te a(j)
=
(T
=
Te a(j+1) (z)
0
!
(z) = Te
a(j)
2 Fie T 2 L (W ; U ) şi a 2 C k (X; V ). Atunci a T 2 C k T
Rezultatul se demonstreaz¼
a prin inducţie dup¼
a k observând c¼
a
0
(a T ) (z)
0
1
(z)
(X) ; V .
a0 (T (z)) T = T (a0 (T (z)))
=
0
) (a T ) = T
a0 T;
unde
T : L (U ; V ) ! L (W ; V ) ;
0
este un operator liniar m¼
arginit. Deci a
0
T (S) = S
T 2C
k 1
T
din pasul inductiv şi
a0 T 2 C k 1
(a T ) = T
folosind punctul anterior. Rezult¼
a c¼
a a T 2 C k . În plus, pentru orice j 2 f1; :::; kg
(j)
(a T )
=T
a(j) T
unde
T : Lj (U ; V ) ! Lj (W ; V ) ;
T (!) = ! T
|
:::
{z
j ori
T
}
4. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR
21
Acest fapt se demonstreaz¼
a prin inducţie dup¼
a j:
(a T )
(j+1)
(z)
=
0
(j)
=
(a T )
a(j)
T
=
a(j)
=
(j+1)
a
0
0
a(j) T
(z) = T
0
(z)
(T (z)) T
(T (z)) T
(T (z)) T
|
:::
{z
T
|
:::
{z
T
}
j ori
T
}
(j+1) ori
=
3 Pentru 1
i
i
: U1
a(j+1) (T (z)) = T
T
n vom nota cu
:::
i
Ui
:::
i
a(j+1) T (z)
aplicaţia
Un ! U1
ci
U
:::
:::
Un ;
(x1 ; :::; xi ; :::; xn ) = (x1 ; :::; xbi ; :::; xn )
ci înseamn¼
unde U
a absenţa factorului Ui din produsul U1 ::: Un , iar xbi înseamn¼
a
absenţa variabilei xi din (x1 ; :::; xn ).
De asemenea pentru …ecare 1 i n avem câte un izomor…sm izometric
Ln (U1 ; :::; Un ; ; V )
ci ; :::Un ; ; L (Ui ; V )
f ! f i 2 Ln 1 U1 ; :::; U
3
f i (x1 ; :::; xbi ; :::; xn ) = f x1 ; :::; ; :::; xn
(x1 ; :::; xbi ; :::; xn ) !
i
4 Demonstraţia punctului (a). Fie k 2 N, k 2. Din propoziţia 1.7 (b) avem
c¼
a f 0 (x1 ; :::; xn ) 2 L (U1 ::: Un ; V ) este de…nit¼
a prin
f 0 (x1 ; :::; xn ) (y1 ; :::; yn )
= f (y1 ; x2 ; :::; xn ) + f (x1 ; y2 ; :::; xn ) + ::: + f (x1 ; x2 ; :::; yn )
=
n
X
i=1
=
n
X
fi
f i (x1 ; :::; xbi ; :::; xn ) (yi )
i
(x1 ; :::; xn ) ( i (y1 ; :::; yn ))
i=1
=
n
X
fi
i
i
(x1 ; :::; xn ) (y1 ; :::; yn )
i=1
deci
f0 =
n
X
i
fi
i
i=1
Presupunem c¼
a a…rmaţia de la punctul (a) este adev¼
arat¼
a pentru
mai mici
Pvalori
n
i
decât k. Atunci f i 2 C k 1 pentru orice 1
i
n, şi din f 0 = i=1 i f i
0
k 1
k
rezult¼
a c¼
af 2C
folosind punctele 1 şi 2 . Deci f 2 C pentru orice k 2 N.
Partea a doua se demonstreaz¼
a prin inducţie dup¼
a n. Folosind punctele 1 , 2
şi formula
n
X
i
f0 =
fi
i
i=1
22
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
obţinem
f (n+1) =
n
X
i=1
i (n)
f
(n)
fi
i
i
i
cu f
= 0 deoarece f i 2 Ln 1 . Deci f (n+1) = 0.
5 Demonstraţia punctului (b). Rezultatul se obţine prin inducţie dup¼
a k. Din
propoziţia 1.7 (d) (1:8) obţinem
0
(g f ) (x) = g 0 (f (x)) f 0 (x)
Presupunem c¼
a a…rmaţia de la punctul (b) este adev¼
arat¼
a pentru valori mai mici
decât p. Atunci f 0 2 C k 1 şi g 0 f 2 C k 1 din pasul inductiv, deci
X 3 x ! (g 0 f (x) ; f 0 (x)) 2 L (V ; W )
L (U ; V )
este de clas¼
a C k 1 . Deoarece aplicaţia biliniar¼
a
B : L (V ; W )
este de clas¼
a C 1 şi
L (U ; V ) 3 (T; S) ! B (T; S) = T
S 2 L (U ; W )
0
(g f ) = B (g 0 f; f 0 )
0
rezult¼
a c¼
a (g f ) 2 C k 1 , deci g f 2 C k .
Lema 4.6. Fie k 2 N, k
2, j 2 f1; :::; k
Dac¼a f 2 C k (X; V ), atunci aplicaţia
1g, X = X
U şi y; y1 ; :::; yj 2 U .
X 3 x ! f (j) (x; y1 ; :::; yj ) 2 V
este derivabil¼a şi
f (j) ( ; y1 ; :::; yj )
0
(x) (y) = f (j+1) (x; y; y1 ; :::; yj )
Demonstraţie. Pentru y1 ; :::; yj 2 U …xate de…nim Ey1 ;:::;yj 2 L (Lj (U ; V ) ; V )
prin Ey1 ;:::;yj = (y1 ; :::; yj ). Atunci
f (j) (x; y1 ; :::; yj ) = Ey1 ;:::;yj
f (j) (x)
Prin urmare aplicaţia
X 3 x ! f (j) (x; y1 ; :::; yj ) = Ey1 ;:::;yj
f (j) (x) 2 V
este derivabil¼
a şi
f (j) ( ; y1 ; :::; yj )
f (j) ( ; y1 ; :::; yj )
0
0
(x) (y)
(x) = Ey1 ;:::;yj
f (j+1) (x)
f (j+1) (x) (y)
=
Ey1 ;:::;yj
=
Ey1 ;:::;yj f (j+1) (x) (y)
=
f (j+1) (x) (y) (y1 ; :::; yj )
=
f (j+1) (x) (y; y1 ; :::; yj )
4. DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR
Lema 4.7. Fie U; V spaţii Banach şi k 2 N, k
X 3 T ! inv (T ) = T
k
23
1. Atunci aplicaţia
1
2 L (V ; U )
unde este de clas¼a C . Derivata sa de ordin k este dat¼a de
X
k
inv(k) (T ) (S1 ; :::; Sk ) = ( 1)
T 1 S (1) T 1 S (2) T
1
:::T
1
S (k) T
1
cu suma efectuat¼a dup¼a toate permut¼arile mulţimii f1; 2; :::; kg.
Demonstraţie. Inducţie dup¼
a k. k = 1 este tocmai propoziţia 1.7 (c). Presupunem a…rmaţia adev¼
arat¼
a pentru k. Pentru o permutare a mulţimii f1; 2; :::; kg
de…nim aplicaţia (k + 1)-linear¼
a prin
k + 1 : L (V ; U )
:::
L (V ; U ) ! Lk (L (U ; V ) ; L (V ; U ))
k + 1 (A1 ; :::; Ak+1 ) (S1 ; :::; Sk ) = A1 S (1) A2 :::Ak S (k) Ak+1
Atunci formula din enunţ poate … rescris¼
a astfel
X
k
(k)
inv (T ) = ( 1)
k + 1 (inv (T ) ; :::; inv (T ))
Rezult¼
a c¼
a X 3 T ! inv(k) (T ) este derivabil¼
a şi
0
inv(k+1) (T ) (S0 ; S1 ; :::; Sp ) = inv(k) (T ) (S1 ; :::; Sk )
= ( 1)
= ( 1)
k
k+1
X
X
T
1
S (1) T
T
1
1
S0 T
1
S (2) T
S (1) T
1
1
:::T
1
S (2) T
1
(S0 )
S (k) T
:::T
1
1
!0
(S0 )
S (k) T
S (1) T 1 S (2) T 1 :::T 1 S (k) T 1 S0 T 1
X
k+1
= ( 1)
T 1 S (0) T 1 S (1) T 1 S (2) T 1 :::T
::: + T
1
+
1
1
S (k) T
1
parcurgând toate permut¼
arile mulţimii f0; 1; 2; :::; kg.
Teorema funcţiei inverse (teorema 2.2) r¼
amâne adev¼
arat¼
a cu C 1 înlocuit cu C k
peste tot. De fapt în demonstraţia teoremei 2.2 obţinem inductiv c¼
a g 2 C k dac¼
a
1
k
0
0
f 2 C folosind egalitatea g (y) = (f (g(y))) . Astfel
g 0 (y) = (f 0 (g(y)))
1
= inv (f 0 (g(y))) = inv f 0 g(y)
şi
f
2
Ck
0
Ck 1 ) g 2 Ck 1 ) f 0 g 2 Ck 1
) g = inv f 0 g 2 C k 1 ) g 2 C k
Teorema 4.8. Fie X un deschis din U , k 2 N, k 1; f 2 C k (X; V ) şi …e x0 2 X,
f (x0 ) = y0 . Pentru ca s¼a existe g 2 C k (Y; U ), unde Y este o vecin¼atate deschis¼a a
lui y0 , astfel încât
(a) f g = id în vecin¼atatea lui y0 sau
(b) g f = id în vecin¼atatea lui x0 sau
(c) f g = id în vecin¼atatea lui y0 şi g f = id în vecin¼atatea lui x0 ,
este necesar şi su…cient s¼a existe o aplicaţie linear¼a A 2 L (V ; U ) astfel încât s¼a
avem corespunz¼ator
24
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
0
(a) f 0 (x0 ) A = idV ,
0
(b) Af 0 (x0 ) = idU ,
0 0
(c) f (x0 ) A = idV , Af 0 (x0 ) = idU
0
Condiţia (c) este echivalent¼a cu bijectivitatea lui f 0 (x0 ) şi implic¼a unicitatea
0
0
lui g în vecin¼atatea lui y0 . Dac¼a V (U ) este de dimensiune …nit¼a, atunci (a) (b)
0
este echivalent¼a cu surjectivitatea (injectivitatea) lui f (x0 ).
De…niţia 4.3. Fie X un deschis din U , Y un deschis din V , k 2 N, k
1 şi
f : X ! Y o aplicaţie.
(a) Spunem c¼a f este C k difeomor…sm dac¼a este bijectiv¼a, iar f şi f 1 au
clasa C k .
(b) Fie x0 2 X. Vom spune c¼a f este C k difeomor…sm local în x0 dac¼a exist¼a
mulţimile deschise X 0 în X şi Y 0 în Y astfel încât x0 2 X 0 , f (X 0 ) = Y 0 şi aplicaţia
indus¼a X 0 ! Y 0 s¼a …e C k difeomor…sm.
Teorema 4.9 (Teorema funcţiilor implicite în clasa C k ). Fie k 2 N, k
1. Fie
k
U , V spaţii Banach, Z = Z U V , (x0 ; y0 ) 2 Z şi f 2 C (Z; V ). Presupunem
a. Atunci exist¼a X =
c¼a f (x0 ; y0 ) = 0 şi c¼a @f
@y (x0 ; y0 ) 2 L (V ; V ) este inversabil¼
X
U, Y = Y
V , x0 2 X, y0 2 Y , X
2 C k (X; Y ) astfel încât
f (x; (x)) = 0;
Y
Z şi o unic¼a funcţie derivabil¼a
x2X
şi
(x; y) 2 X
În plus X şi Y
orice (x; y) 2 X
Y;
f (x; y) = 0 ) y =
(x) :
se pot alege astfel încât @f
a pentru
@y (x; y) 2 L (V ; V ) este inversabil¼
Y.
Demonstraţie. Demonstraţia este o repetare cuvânt cu cuvânt a celei date teoremei 3.2. Singura diferenţ¼
a este utilizare teoremei de inversare local¼
a în clasa C k
în loc de teorema de inversare local¼
a "simpl¼
a".
Corolarul 4.10. Fie f : X ! Y o C k aplicaţie. Atunci f este C k difeomor…sm
local în x0 dac¼a şi numai dac¼a f 0 (x0 ) este bijectiv¼a.
Propoziţia 4.11. Fie X = X U1 ::: Un şi f : X ! V . Atunci urm¼atoarele
a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f 2 C k (X; V ) :
@f
(b) Pentru orice 1 i n, @x
2 C k 1 (X; L (Ui ; V )) :
i
Demonstraţie. Pentru (a) ) (b) se folosesc egalit¼
aţile
@f
(a) = f 0 (a) ji ;
@xi
i = 1; :::; n
Pentru (b) ) (a) se foloseşte identitatea
f 0 (a) =
n
X
@f
i=1
@xi
(a)
i
5. SIM ETRIA DERIVATEI DE ORDIN SUPERIO R.
25
Corolarul 4.12. Fie X = X
U1 ::: Un şi f : X ! V . Atunci urm¼atoarele
a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f 2 C k (X; V ) :
@f
de ordin j k sunt de…nite şi continue.
(b) Toate derivatele parţiale @x@i ::: @x
i
1
j
Demonstraţie. Pentru (b) ) (a) se face inducţie dup¼
a k. Pentru orice 1
@f
k 1
2
C
(X;
L
(U
;
V
))
deoarece
n, @x
i
i
i
@
@ @f
:::
@xi1 @xi` @xi
` k 1 este de…nit¼
a şi continu¼
a. Mai departe se aplic¼
a propoziţia precedent¼
a.
Pentru (a) ) (b) de asemenea se face inducţie dup¼
a k. Se foloseşte faptul c¼
a
@f
k 1
2
C
(X;
L
(U
;
V
))
deci
toate
derivatele
parţiale
pentru orice 1
i
n, @x
i
i
@f
@xi
@
@
@xi1 ::: @xi`
de ordin `
@f
derivatele parţiale @x@i ::: @x
ij
1
k
1 sunt de…nite şi continue. Prin urmare, toate
de ordin j
k sunt de…nite şi continue.
5. Simetria derivatei de ordin superior.
De…niţia 5.1. Fie U , V spaţii Banach şi n 2 N . f 2 Ln (U ; V ) se va numi
simetric¼a dac¼a pentru orice permutare 2 Sn avem
(x1 ; :::; xn ) 2 U n
f (x 1 ; :::; x n ) = f (x1 ; :::; xn ) ;
Vom nota cu Lsn (U ; V ) spaţiul aplicaţiilor n-lineare simetrice.
Observaţia 5.1. Fie A 2 2U [ 2R . Atunci pentru orice n 2 N avem o acţiune
natural¼a a lui Sn pe An
Sn
An 3 ( ; (x1 ; :::; xn )) !
(x1 ; :::; xn ) = (x 1 ; :::; x n ) 2 An
Dac¼a M este o mulţime arbitrar¼a, atunci aceast¼a acţiune induce o acţiune pe
n
M A = ff : An ! M g
( ; f) !
f =f ;
f (x1 ; :::; xn ) = f (x 1 ; :::; x n )
Observaţia 5.2. Avem
(a)
An = An
(b) ( 1 ; :::; n ) 2 Rn , (x1 ; :::; xn ) 2 An
n
n
n
n
X
X
X
X
x
=
x
;
=
j j
j
j
j
j=1
j=1
j=1
j;
j=1
n
X
x j =
j=1
n
X
xj :
j=1
Fie X = X
U , x 2 X şi " > 0 mic astfel încât x + B (0; n")
X. Fie
F : X ! V . Pentru y 2 B (0; ") punem 4y F (x) = F (x + y) F (x) şi pentru
y1 ; :::; yn 2 B (0; ") punem
F (x; y1 ; :::; yn ) = 4yn :::4y1 F (x)
Lema 5.1. (a) Avem
X
F (x; y1 ; :::; yn ) =
( 1)
n
1
:::
n
F (x +
( 1 ;:::; n )2f0;1gn
(b) Fie
2 Sn . Atunci
F (x; y 1 ; :::; y n ) = F (x; y1 ; :::; yn )
1 y1 + ::: +
n yn )
26
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Demonstraţie. (a) Inducţie dup¼
a n. n = 1 este tocmai de…niţia
F (x; y1 ) = 4y1 F (x) = F (x + y1 )
F (x) = ( 1)
Presupunem a…rmaţia adev¼
arat¼
a pentru n
1 1
1 0
F (x + y1 ) + ( 1)
F (x)
1. Atunci
F (x; y1 ; :::; yn ) = 4yn 4yn 1 :::4y1 F (x) = 4yn F ( ; y1 ; :::; yn 1 ) (x)
=
( 1 ;:::; n
+ ( 1)
= F (x + yn ; y1 ; :::; yn 1 )
X
( 1)
1 )2f0;1g
1
( 1 ;:::; n
=
( 1 ;:::; n
X
n
( 1 ;:::; n
:::
1
n
1
F (x + yn +
1 y1 + ::: +
n 1 yn 1 )
1 y1 + ::: +
n 1 yn 1 )
1
X
1 )2f0;1g
n
( 1)
n 1
n
1
:::
n
n
1
:::
1
:::
1
1
n
1
F (x +
1
( 1)
1 ;1)2f0;1g
+
n 1
F (x; y1 ; :::; yn 1 )
F (x +
1 y1 + ::: +
n 1 yn 1 + yn )
n
X
( 1)
1 ;0)2f0;1g
1
F (x +
1 y1 + ::: +
n 1 yn 1 )
n
X
=
( 1)
( 1 ;:::; n )2f0;1g
(b) Folosim (a). Pentru
n
1
:::
n
F (x +
1 y1 + ::: +
n yn )
n
2 Sn …xat¼
a avem
X
F (x; y1 ; :::; yn ) =
n
( 1)
n
:::
1
n
F (x +
1 y1 + ::: +
n yn )
( 1 ;:::; n )2f0;1gn
X
=
( 1)
( 1 ;:::; n )2f0;1g
X
=
( 1 ;:::; n )2
X
=
n
:::
1
n
F (x +
1
y 1 + ::: +
n
y n)
n
( 1)
1 f0;1g
n
1
:::
n
F (x +
y 1 + ::: +
n
y 1 + ::: +
n
y 1 + ::: +
n
1
y n)
n
n
( 1)
1
:::
n
F (x +
1
F (x +
1
y n)
( 1 ;:::; n )2f0;1gn
=
(
;:::;
1
=
X
n
( 1)
n
n )2f0;1g
X
( 1 ;:::; n )2f0;1g
( 1)
n
1
1
:::
:::
n
n
F (x +
1 y 1 + ::: +
y n)
ny n )
n
Teorema 5.2. Fie k 2 N, k
pentru orice x 2 X.
= F (x; y 1 ; :::; y n )
2. Dac¼a f 2 C k (X; V ), atunci f (k) (x) 2 Lsk (U ; V )
6. FO RM ULA LUI TAYLOR
27
Demonstraţie. Prin utilizarea repetat¼
a a estimaţiei (1.7) şi a lemei 4.6, obţinem
pentru L 2 Lk (U ; V ) c¼
a
4yk 4yk 1 :::4y1 f (x)
L (y1 ; :::; yk )
= 4yk 1 :::4y1 f (x + yk )
sup
sup
1 ;tk <1
4yk 1 :::4y1 f (x)
4yk 1 :::4y1 f (x + tk yk ) yk
0<tk <1
0<tk
0
L (y1 ; :::; yk )
L (y1 ; :::; yk )
4yk 2 :::4y1 f 00 (x + tk 1 yk 1 + tk yk ; yk 1 ; yk )
sup k f (k) ( x +
0<tj <1
k
X
tj yj ; y1 ; :::; yk
1
L (y1 ; :::; yk )
L (y1 ; :::; yk ) ) k
Dac¼
a alegem L = f (k) (x) rezult¼
a c¼
a
f (k) (x; y1 ; :::; yp ) k = o (ky1 k ::: kyk k)
k 4yk 4yk 1 :::4y1 f (x)
Aceasta determin¼
a complet f (k) (x), şi deoarece 4yk 4yk 1 :::4y1 f (x) nu depinde
de ordinea în care se aplic¼
a 4yj rezult¼
a c¼
a f (k) (x) 2 Lsk (U ; V ).
6. Formula lui Taylor
Teorema 6.1 (Formula lui Taylor). Fie k 2 N, k
X=X
1, U , V spaţii Banach,
U , x 2 X şi f : X ! V o funcţie derivabil¼a de ordin k în x. Atunci
k f (x + y)
k
X
1
0
j!
k
f (j) (x; y; :::; y ) k = o kyk
| {z }
c^
and y ! 0:
j ori
Demonstraţie. A…rmaţia se demonstreaz¼
a inductiv dup¼
a k. Pentru k = 1 a…rmaţia rezult¼
a din de…niţia derivabilit¼
aţii unei funcţii într-un punct x. Presupunem
c¼
a a…rmaţia este adev¼
arat¼
a pentru orice funcţie derivabil¼
a de ordin k în a şi …e
f : X ! V o funcţie derivabil¼
a de ordin k + 1 în x. De aici rezult¼
a c¼
a exist¼
a
D=D
X, x 2 D astfel încât f este derivabil¼
a în orice punct din D şi funcţia
D 3 z ! f 0 (z) 2 L (U ; V )
este derivabil¼
a de ordin k în x. Conform ipotezei de inducţie avem c¼
a
k f 0 (x + y)
k
X
1
0
j!
(f 0 )
(j)
(x; y; :::; y ) k = o kyk
| {z }
k
c^
and y ! 0:
j ori
Pentru y mic funcţia t ! f (a + ty) este de clas¼
a C k într-o vecin¼
atate a intervalului
[0; 1]. Vom folsi inegalitatea Denjoy-Bourbaki pentru : [0; 1] ! V
(t)
= f (x + ty)
f (x)
t 0
f (x; y)
1!
:::
tk+1 (k+1)
f
(x; y; :::; y )
| {z }
(k + 1)!
(k+1) ori
= f (x + ty)
k+1
X j
0
t (j)
f (x; y; :::; y )
| {z }
j!
j ori
28
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Avem
0
= f 0 (x + ty; y)
(t)
f 0 (x; y)
:::
tk (k+1)
f
(x; y; :::; y )
| {z }
k!
(k+1) ori
= f 0 (x + ty) (y)
f 0 (x) (y)
k
:::
t
(k)
(f 0 ) (x; y; :::; y ) (y)
| {z }
k!
k ori
(f 0 (x + ty)
=
k
X
0
1 0 (j)
(f ) (x; ty; :::; ty )) (y)
| {z }
j!
j ori
Aplicând inegalitatea Denjoy-Bourbaki obţinem
k+1
X
k f (x + y)
0
1 (j)
f (x; y; :::; y ) k = k (1)
| {z }
j!
(0)k
0
sup
(t)
0<t<1
j ori
kyk sup k f 0 (x + ty)
0<t<1
k
X
1
0
j!
(j)
(f 0 )
(x; ty; :::; ty ) k
| {z }
j ori
= kyk sup o (t kyk)
k
0<t<1
k+1
= o kyk
c^
and y ! 0:
Teorema 6.2 (Formula lui Taylor cu rest integral). Fie f : X ! V . Dac¼a f 2 C k
într-o vecin¼atate a segmentului [x; x + y] atunci avem formula lui Taylor
f (x + y) =
k
X1
0
1 (j)
1
f (x; y; :::; y) +
j!
(k 1)!
Z 1
f (k) (x + ty; y; :::; y) (1
0
În particular obţinem
k f (x + y)
k
X
1
0
j!
f (j) (x; y; :::; y) k = o kyk
k
c^
and y ! 0:
Demonstraţie. Fie ` < k. Folosind lema 4.6 obţinem
d (`)
f
x + ty; y; :::; y
dt
0
=
f (`) x + ty; y; :::; y
=
f (`+1) x + ty; y; y; :::; y
deci
d (`)
f (x + ty; y; :::; y) = f (`+1) (x + ty; y; :::; y)
dt
y
k 1
t)
dt
6. FO RM ULA LUI TAYLOR
29
De aici prin integrare prin p¼
arţi avem
Z 1
1
` 1
f (`) (x + ty; y; :::; y) (1 t)
dt
(` 1)! 0
Z
1 1 (`)
d
`
=
f (x + ty; y; :::; y) (1 t) dt
`! 0
dt
Z
1 (`)
1 1 d (`)
`
=
f (x + ty; y; :::; y) (1 t) 10 +
f (x + ty; y; :::; y) (1
`!
`! 0 dt
Z
1
1 1 (`+1)
f
(x + ty; y; :::; y) (1
= f (`) (x; y; :::; y) +
`!
`! 0
`
t) dt
`
t) dt
Rezult¼
a c¼
a formula lui Taylor se obţine inductiv
f (x + y) =
` 1
X
1
j!
0
=
` 1
X
1
0
j!
f
(j)
Deoarece
f
(j)
Z 1
f (`) (x + ty; y; :::; y) (1
f (k) (x + ty; y; :::; y)
f (k) (x; y; :::; y) (1
(x; y; :::; y) +
1
(`
1)!
` 1
t)
dt
0
Z
1 (`)
1 1 (`+1)
`
(x; y; :::; y)+ f (x; y; :::; y)+
f
(x + ty; y; :::; y) (1 t) dt
`!
`! 0
Z
X̀ 1
1 1 (`+1)
`
=
f (j) (x; y; :::; y) +
f
(x + ty; y; :::; y) (1 t) dt
j!
`!
0
0
k
X
1
f (x + y)
j!
0
=
f (j) (x; y; :::; y)
1
(k
1)!
Z 1
k 1
t)
dt
0
rezult¼
a
k f (x + y)
k
X
1
0
j!
f (j) (x; y; :::; y) k
1
sup f (k) (x + ty; y; :::; y)
k! 0<t<1
f (k) (x; y; :::; y)
deci
k f (x + y)
k
X
1
0
j!
k
f (j) (x; y; :::; y) k = o kyk
c^
and y ! 0:
Teorema 6.3 (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange). Fie k 2 N, U spaţiu
Banach, X = X U , x; y 2 U astfel încât [x; x + y] X şi f : X ! R o funcţie
de clas¼a C k+1 . Atunci exist¼a x 2 [x; x + y] astfel încât
f (x + y) =
k
X
1
0
j!
1
f (j) (x; y; :::; y ) +
f (k+1) (x ; y; :::; y )
| {z }
| {z }
(k + 1)!
j ori
(k+1) ori
30
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Demonstraţie. Consider¼
am funcţia
(t) =
k
X
(1
0
j
: [0; 1] ! R
k+1
t)
(1 t)
f (j) (x + ty; y; :::; y ) +
| {z }
(k + 1)!
j!
j ori
Atunci
(1) = f (x + y) ;
k
X
1
(0) =
1
f (j) (x; y; :::; y ) +
| {z }
j!
(k + 1)!
0
Parametrul
se determin¼
a astfel încât
j ori
(1) =
k
X
= (k + 1)! [ f (x + y)
0
(0), i.e.
1 (j)
f (x; y; :::; y ) ]
| {z }
j!
j ori
Fiind îndeplinite condiţiile teoremei lui Rolle pentru funcţia
t 2 (0; 1) astfel încât (t ) = 0. Dar
0
=
rezult¼
a c¼
a exist¼
a
(t)
k
X
0
k
X
(1
j
(1
t)
j!
f
(j+1)
(x+ty; y; :::; y )
| {z }
1
(j+1) ori
=
(1
t)
k!
j 1
k
t)
(1 t)
f (j) (x+ty; y; :::; y )
| {z }
(j 1)!
k!
k
j ori
f (k+1) (x + ty; y; :::; y )
| {z }
k
(1
t)
k!
(k+1) ori
=
k
(1
t)
k!
[ f (k+1) (x + ty; y; :::; y )
| {z }
]
(k+1) ori
Prin urmare, pentru
determinat mai sus, g¼
asim t 2 (0; 1) astfel încât
= f (k+1) (x + t y; y; :::; y )
| {z }
(k+1) ori
Rezultatul se obţine luând x = x + t y 2 [x; x + y].
7. Funcţii convexe
În aceast¼
a secţiune vom studia unele propriet¼
aţi ale funcţiilor convexe de…nite pe
mulţimi deschise şi convexe convexe din Rn . Reamintim c¼
a o submulţime C a unui
spaţiu liniar real E se zice c¼
a este convex¼
a dac¼
a conţine segmentul determinat de
oricare dou¼
a puncte ale sale, adic¼
a
Pentru A
x; y 2 C ) [x; y] = f(1
E mulţimea
co (A) =
T
fC : A
t) x + ty : t 2 [0; 1]g
C, C
C:
E mulţime convex¼
ag :
se va numi înf¼aşur¼atoarea convex¼a a lui A. Dac¼
a E este un spaţiu vectorial topologic, atunci mulţimea
co (A)
= co (A)
T
=
fC : A
C, C
E mulţime convex¼
a şi închis¼
ag :
7. FUNC ŢII CONVEXE
31
se va numi înf¼aşur¼atoarea convex¼a închis¼a a lui A.
Lema 7.1. Fie E un spaţiu vectorial real şi A
co (A) =
x 2 E : 9N
1; 9ti
0;
i=1
În plus, dac¼a E = Rn , atunci
co (A) =
N
P
E. Atunci
ti = 1; 9 i 2 A; x =
x 2 E : 9 1 ; :::; n+1 2 A; 9t1 ; :::; tn+1
0;
x 2 E : 9N
1; 9ti
0;
i=1
Atunci ! (A) este o mulţime convex¼
a şi A
co (A)
Reciproc, …e C
ar¼
atat c¼
a
E mulţime convex¼
a, A
x=
N
P
i=1
ti i 2 C;
N
P
i=1
ti i
N
P
ti
i=1
=
=
N
P
i=1
C. Atunci ! (A)
ti
PN
i=1 ti
N
P
ti
PN
Prin urmare,
! (A)
N
P
i=1
ti i
ti i :
0;
C. Avem doar de
N
P
ti = 1
i=1
i + tN +1 N +1
tN +1 ) + tN +1 N +1 ;
i=1 ti
i=1
! (A) :
(1
i=1
n+1
P
co(A). De aici rezult¼
a c¼
a
8 1 ; :::; N 2 C; 8t1 ; :::; tN
=
ti i :
ti = 1; x =
ti = 1; 9 i 2 A; x =
care se demonstreaz¼
a prin inducţie.
NP
+1
i=1
i=1
Demonstraţie. Punem
! (A) =
n+1
P
N
P
i 2 C:
co (A) ;
deci
co (A) = ! (A) :
n
Presupunem c¼
a E = R . Fie x 2co(A). Atunci
9N
Dac¼
a N
N
1
N
astfel încât
1; 9t1 ; :::; tN > 0;
N
P
i=1
ti = 1; 9 1 ; :::; N 2 A;
a:^{:
x=
N
P
i=1
ti i
n + 1 nu avem ce demonstra. Dac¼
a N > n + 1, atunci 1
, :::,
PN 1 N
sunt liniar dependenţi. Deci exist¼
a b1 , :::, bN 1 2 R, cu i=1 b2i > 0
NP1
i=1
bi ( i
N ) = 0:
PN 1
PN
Luând a1 = b1 , ... , aN 1 = bN 1 , aN =
bi , obţinem c¼
a i=1 a2i > 0,
i=1
PN
PN
i=1 ai = 0 şi
i=1 ai i = 0. Fie m 2 f1; :::; N g astfel încât
aj
tj
am
;
tm
j 2 f1; :::; N g :
32
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Punem
aj tm
am
j = tj
0;
m = 0:
Avem
N
P
j
=
j=1
N
P
j=1
N
P
N
tm P
aj = 1;
am j=1
tj
j=1
j j
=
N
P
j=1
Deci am coborât de la N la N
Corolarul 7.2. Dac¼a A
compact¼a.
tj j
N
N
P
tm P
aj j =
tj j = x:
am j=1
j=1
1. Iter¼
am pân¼
a obţinem N = n + 1.
Rn este mulţime compact¼a, atunci co(A) este mulţime
Demonstraţie. Conform lemei anterioare avem
co (A) = ' An+1
4n+1
unde
4n+1 =
(t1 ; :::; tn+1 ) 2 Rn+1 : t1 ; :::; tn+1
' : An+1
'
1 ; :::; n+1
4n+1 ! Rn ;
; (t1 ; :::; tn+1 ) =
0;
n+1
P
ti = 1 ;
i=1
n+1
P
i=1
ti i :
De…niţia 7.1. Fie X
Rn o mulţime deschis¼a şi convex¼a. Spunem c¼a funcţia
f : X ! R este convex¼a dac¼a pentru orice x; y 2 C şi pentru orice t 2 [0; 1] avem
x; y 2 C ) f ((1
Dac¼a
t) x + ty)
(1
t) f (x) + tf (y)
f este funcţie convex¼a, atunci vom spune c¼a f este funcţie concav¼a.
Presupunem acum c¼
a n = 1 şi c¼
aX
R este un interval deschis.
Propoziţia 7.3. Presupunem c¼a X R este un interval deschis. Fie f : X ! R.
Atunci urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f este convex¼a.
(b) Pentru orice x1 ; x2 ; x3 2 X, x1 < x2 < x3 avem
1
1
1
x1
x2
x3
f (x1 ) f (x2 ) f (x3 )
0
(c) Pentru orice x1 ; x2 ; x3 2 X distincte, adic¼a x1 6= x2 6= x3 6= x1 , avem
1
1
1
x1
x2
x3
f (x1 ) f (x2 ) f (x3 )
1
1
1
x1 x2 x3
x21 x22 x23
0
7. FUNC ŢII CONVEXE
33
Demonstraţie. (a) , (b) Folosind din egalitatea
x2 =
x3
x3
x2
x2
x1 +
x1
x3
x1
x3
x1
obţinem c¼
a
f (x2 )
0
(x3
x3
x3
x2
x2
f (x1 ) +
x1
x3
m
x2 ) f (x1 ) + (x1
x1
f (x3 )
x1
x3 ) f (x2 ) + (x2
x1 ) f (x3 )
m
0
1
1
1
x1
x2
x3
f (x1 ) f (x2 ) f (x3 )
(b) , (c) Deoarece determinantul este o form¼
a multiliniar¼
a alternat¼
a, rezult¼
a c¼
a
funcţia
R : (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 : (x3
R (x1 ; x2 ; x3 ) =
x1 ) (x2
x1 ) (x3
x2 ) 6= 0 ! R;
1
1
1
x1
x2
x3
f (x1 ) f (x2 ) f (x3 )
1
1
1
x1 x2 x3
x21 x22 x23
este simetric¼
a, adic¼
a pentru orice
2 S3 şi pentru orice (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 cu
(x3 x1 ) (x2 x1 ) (x3 x2 ) 6= 0 s¼
a avem
R (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = R (x1 ; x2 ; x3 ) :
Astfel pentru orice x1 ; x2 ; x3 2 X distincte, adic¼
a x1 6= x2 6= x3 6= x1 , g¼
asim
astfel încât x 1 < x 2 < x 3 . Prin urmare
R (x1 ; x2 ; x3 ) = R (x 1 ; x 2 ; x 3 )
2 S3
0:
Presupunem c¼
a X
R este un interval deschis. Fie f : X ! R o funcţie şi
a 2 X. Cuplului (f; a) i se asociaz¼
a o funcţie ra rf;a : X r fag ! R de…nit¼
a prin
ra (x) =
f (x)
x
f (a)
;
a
x 2 X r fag :
S¼
a not¼
am c¼
a valoarea în x a funcţiei ra este panta dreptei determinate de dreapta
care uneşte punctele (a; f (a)) şi (x; f (x)) situate pe gra…cul lui f . Fie x, y, a 2 X
34
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
distincte. Atunci
ra (y)
y
ra (x)
x
f (x) f (a)
x a
f (y) f (a)
y a
=
y x
(f (y) f (a)) (x a) (f (x) f (a)) (y
(y a) (y x) (x a)
1
0
0
a
x a
y a
f (a) f (x) f (a) f (y) f (a)
1 1 1
a x y
a2 x2 y 2
=
=
a)
1
1
1
a
x
y
f (a) f (x) f (y)
1 1 1
a x y
a 2 x2 y 2
=
= R (a; x; y)
Folosind propoziţia anterioar¼
a şi egalitatea
ra (y)
y
ra (x)
= R (a; x; y) ;
x
x; y; a 2 X; x 6= y 6= a 6= x;
obţinem rezultatul urm¼
ator:
Teorema 7.4 (L. Galvani). Presupunem c¼a X
R este un interval deschis. Fie
f : X ! R. Atunci urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f este convex¼a.
(b) Pentru orice a 2 X funcţia ra rf;a : X r fag ! R de…nit¼a prin
ra (x) =
f (x)
x
f (a)
;
a
x 2 X r fag :
este cresc¼atoare.
Teorema 7.5. Presupunem c¼a X R este un interval deschis. Fie f : X ! R o
funcţie convex¼a. Atunci pentru orice a 2 X exist¼a în R
f (x)
x
x<a
fs0 (a) = x!a
lim
f (a)
;
a
fd0 (a) = x!a
lim
f (x)
x
x>a
fd0 (x)
fs0 (y)
şi pentru x, y 2 X, x < y avem
fs0 (x)
fd0 (y) :
În particular, f : X ! R este o funcţie continu¼a, iar funcţiile
fs0
fd0
sunt cresc¼atoare.
: X ! R;
: X ! R;
x ! fs0 (x) ;
x ! fd0 (x)
f (a)
a
7. FUNC ŢII CONVEXE
35
Demonstraţie. Folosind teorema 7.4, pentru orice x
f (x)
x
f (a)
a
f (y)
y
f (a)
a
f (z)
z
y < a < z în X avem
f (a)
:
a
De aici deducem c¼
a fs0 (a) exist¼
a în R şi
f (z)
z
fs0 (a)
Dac¼
aa<u
f (a)
;
a
a; z 2 X; a < z
z, atunci
f (u) f (a)
u a
De aici rezult¼
a c¼
a fd0 (a) exist¼
a în R şi
fs0 (a)
fs0 (a)
fd0 (a) ;
f (z)
z
f (a)
:
a
a 2 X:
Pe de alt¼
a parte luând x < u < v < y în X folosind aceeaşi teorem¼
a deducem
f (v) f (x)
f (x)
f (u) f (x)
=
u x
v x
x
astfel c¼
a l¼
asând u ! x şi v ! y obţinem c¼
a
fd0 (x)
f (v)
v
f (y)
y
f (v)
;
v
fs0 (y) :
a c¼
a f : X ! R este
Deoarece pentru orice a 2 X exist¼
a fs0 (a) şi fd0 (a) în R, rezult¼
o funcţie continu¼
a.
Corolarul 7.6. Fie X
R un interval deschis şi f : X ! R o funcţie convex¼a.
Atunci exist¼a o mulţime cel mult num¼arabil¼a B X astfel încât f este derivabil¼a
pe X r B.
Demonstraţie. Fie B = fx 2 X : fs0 (x) < fd0 (x)g. Atunci familia
f(fs0 (x) ; fd0 (x))gx2B
este o familie de intervale deschise mutual disjuncte. Pentru orice x 2 B alegem un
a
qx 2 (fs0 (x) ; fd0 (x)) \ Q. Obţinem astfel o aplicaţie injectiv¼
B 3 x ! qx 2 Q
Prin urmare, mulţimea B este cel mult num¼
arabil¼
a şi pentru orice a 2 X r B avem
fs0 (a) = fd0 (a).
Revenim acum la cazul general X
Rn o mulţime deschis¼
a, convex¼
a şi f :
X ! R funcţie convex¼
a. Von avea nevoie de urm¼
atorul rezultat.
Propoziţia 7.7. Fie E un spaţiu vectorial real de dimensiune …nit¼a şi ' : E ! R
o funcţie subaditiv¼a pozitiv omogen¼a, adic¼a
' (x + y)
' (tx)
' (x) + ' (y) ;
= t' (x) ;
x; y 2 E;
x 2 E; t
0:
Dac¼a F un subspaţiu vectorial al lui E şi h : F ! R o funcţie liniar¼a pe F cu
proprietatea
h (x) ' (x) ; x 2 F;
e
atunci exist¼a h : E ! R o funcţie liniar¼a pe E astfel încât e
hjF = h şi
e
h (x)
' (x) ;
x 2 E:
36
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Demonstraţie. 1 Fie z 2 E r F şi …e F 0 E subspaţiul vectorial real generat
de F şi z, adic¼
a mulţimea vectorilor de forma y + tz cu y 2 F şi t 2 R. Dac¼
a
y1 ; y2 2 F , atunci
h (y1 ) + h (y2 )
=
h (y1 + y2 )
' (y1
' (y1 + y2 ) = ' (y1
z + z + y2 )
z) + ' (z + y2 ) ;
deci
h (y1 )
De aici rezult¼
a c¼
a
' (y1
z)
' (y2 + z)
a1 = sup (h (y)
' (y
z))
h (y2 ) ;
y1 ; y2 2 F:
inf (' (y + z)
y2F
y2F
h (y)) = a2
Alegem a 2 [a1 ; a2 ]. Vom avea
h (y)
' (y
z)
a
' (y + z)
h (y) ;
' (y z)
;
' (y + z)
y 2 F:
y2F
sau echivalent
h (y) a
h (y) + a
De…nim h0 : F 0 ! R prin
h0 (y + tz) = h (y) + ta
Atunci h0 este o funcţie liniar¼
a pe F 0 care reprezint¼
a prelungire a lui h la F 0 . Avem
pentru t > 0
h0 (y + tz) = h (y) + ta = t h t 1 y + a
t' t 1 y + z = ' (y + tz)
şi de asemenea pentru t < 0
h0 (y + tz) = h (y) + ta = jtj h jtj
1
y
a
jtj ' jtj
1
y
z = ' (y + tz) ;
adic¼
a
h0 (x)
' (x) ;
x 2 F 0:
2 Deoarece dimensiunea lui E este …nit¼
a, o extensie e
h : E ! R a lui h se obţine
aplicând succesiv de un num¼
ar …nit de ori procedeul descris la punctul 1 .
Teorema 7.8. Fie X Rn o mulţime deschis¼a, convex¼a şi f : X ! R o funcţie.
Atunci urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f este convex¼a.
(b) Pentru orice a 2 X exist¼a o funcţie liniar¼a Ta : Rn ! R astfel încât
f (x)
f (a) + Ta (x
a) ;
x 2 X:
Demonstraţie. (a) ) (b) Dac¼
a f : X ! R este o funcţie convex¼
a, atunci pentru
orice u 2 Rn mulţimea
Iu = ft 2 R : a + tu 2 Xg
este un interval deschis în R şi funcţia
Iu 3 t ! f (a + tu) 2 R
este convex¼
a pe Iu , deci funcţia
Iu r f0g 3 t !
este cresc¼
atoare pe Iu r f0g.
f (a + tu)
t
f (a)
2R
7. FUNC ŢII CONVEXE
De…nim 'a : Rn ! R prin
'a (u) = inf
t>0
f (a + tu)
t
f (a)
= lim
t!1
t>0
37
f (a + tu)
t
f (a)
;
u 2 Rn :
Atunci 'a : Rn ! R este o funcţie subaditiv¼
a pozitiv omogen¼
a.
Într-adev¼
ar, pentru s > 0 şi u 2 Rn avem
'a (su)
=
f (a + tsu)
t!1
t
t>0
lim
f (a)
f (a + tsu)
t!1
ts
t>0
= s lim
f (a)
= s'a (u) :
De asemenea pentru u; v 2 Rn avem
f (a + t (u + v))
'a (u + v)
=
1
1
f (a + 2tu) + f (a + 2tv)
2
2
f (a + t (u + v))
t!1
t
t>0
lim
1
f (a + 2tu)
lim
t!1
2 t>0
t
=
=
f (a)
f (a)
+
1
f (a + 2tv)
lim
t!1
2 t>0
t
f (a)
1
1
' (2u) + 'a (2v)
2 a
2
'a (u) + 'a (v)
Pe de alt¼
a parte, din de…niţia sa 'a veri…c¼
a
'a (u)
f (a + u)
f (a)
n
pentru orice u 2 R care satisface a + u 2 X: Rezult¼
a c¼
a
f (x)
f (a) + 'a (x
a) ;
x 2 X:
Din propoziţia anterioar¼
a, cazul F = f0g, deducem c¼
a exist¼
a o funcţie liniar¼
a Ta
pe Rn astfel încât
'a (y) Ta (y) ; y 2 Rn :
deci
f (x)
f (a) + Ta (x
a) ;
x 2 X:
(a) ) (b) Ştim c¼
a pentru orice a 2 X exist¼
a o funcţie liniar¼
a Ta : Rn ! R
astfel încât
f (x) f (a) + Ta (x a) ; x 2 X:
Pentru orice a 2 X de…nim ha : Rn ! R prin
ha (x) = f (a) + Ta (x
a) ;
x 2 Rn :
f (x);
x 2 X:
Atunci ha este o funcţie a…n¼
a care veri…c¼
a
ha (a) = f (a);
ha (x)
Rezult¼
a c¼
a
f (x) = sup ha (x);
a2X
x 2 X:
Cum ha : Rn ! R sunt funcţii convexe pentru orice a 2 X, deducem c¼
a f este
convex¼
a.
38
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Teorema 7.9. Fie X
Rn o mulţime deschis¼a, convex¼a şi f : X ! R o funcţie
derivabil¼a. Atunci urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f este convex¼a.
(b) Pentru orice a; x 2 X are loc relaţia
f (x)
f (a) + f 0 (a) (x
a) :
Demonstraţie. Într-adev¼
ar, f este convex¼
a dac¼
a şi numai dac¼
a pentru orice
a 2 X exist¼
a o funcţie liniar¼
a Ta : Rn ! R astfel încât
f (x)
f (a) + Ta (x
a) ;
x 2 X:
n
Dac¼
a u 2 R , u 6= 0, atunci pentru " mic (astfel încât a
( "; ") 3 t !
a;u (t) = f (a + tu)
are 0 ca punct de minim local. Rezult¼
a c¼
a
"u 2 X) funcţia
tTa (u) 2 R
0
a
a;u (0) = 0, adic¼
f 0 (a) (u) = Ta (u) ;
Deci Ta = f 0 (a).
u 2 Rn :
Teorema 7.10. Fie X Rn o mulţime deschis¼a, convex¼a şi f : X ! R o funcţie
derivabil¼a de ordinul 2. Atunci urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f este convex¼a.
(b) Pentru orice a 2 X are loc relaţia
f 00 (a)
0:
Demonstraţie. Dac¼
a f : X ! R este o funcţie derivabil¼
a de ordinul 2, atunci
pentru orice a 2 X avem
1
a)+ f 00 (a) (x
2
Dac¼
a f este convex¼
a, atunci
f (x) = f (a)+f 0 (a) (x
f (x)
a; x
a)+o kx
f (a) + f 0 (a) (x
ak
2
;
kx
ak ! 0:
a) ;
deci
1 00
2
f (a) (x a; x a) + o kx ak
0; kx ak ! 0:
2
Lu¼
am u 2 Rn , u 6= 0 şi t > 0 mic astfel încât a + tu 2 X. Atunci
2
00
f (a) (u; u) +
L¼
asând t ! 0 obţinem
o t2 kuk
0;
t2
f 00 (a) (u; u)
0;
t ! 0:
u 2 Rn :
Reciproc, dac¼
a f 00 (x)
0 pentru orice x 2 X, atunci folosind formula lui
Taylor cu restul lui Lagrange obţinem c¼
a exist¼
a x 2 [a; x] astfel încât
f (x)
f (a)
f 0 (a) (x
a) =
1 00
f (x ) (x
2
deci
f (x)
f (a) + f 0 (a) (x
De aici deducem c¼
a f este convex¼
a.
a) :
a; x
a)
0;
7. FUNC ŢII CONVEXE
39
Teorema 7.11 (Inegalitatea lui Jensen). Fie X Rn o mulţime deschis¼a, convex¼a
şi f : X ! R o funcţie convex¼a. Atunci pentru orice x1 ; :::; xm 2 X şi pentru orice
ponderi 1 ; :::; m > 0 avem
f
1 x1 + ::: +
1 + ::: +
m xm
1 f (x1 ) + ::: +
m f (xm )
1 + ::: +
m
:
m
Demonstraţie. Punem
m xm
:
+
:::
+
1
m
Deoarece f : X ! R o funcţie convex¼
a exist¼
a o funcţie liniar¼
a Tx : Rn ! R astfel
încât
f (y) f (x) + Tx (y x) ; y 2 X:
Luând y = x1 ; :::; xm obţinem
x=
f (x1 )
f (x) + Tx (x1
..
.
x) ;
f (xm )
f (x) + Tx (xm
x)
Prin înmulţire cu ponderile
1 f (x1 ) + ::: +
1 x1 + ::: +
1 ; :::;
a c¼
a
m > 0 şi sumare rezult¼
m f (xm )
( 1 + ::: +
m ) f (x) +
= ( 1 + ::: +
= ( 1 + ::: +
1 Tx (x1
x) + ::: +
m ) f (x) + Tx ( 1 (x1
m ) f (x) + Tx ( 1 x1 ::: +
x) + ::: +
m xm
m Tx (xm
x)
m (xm
x))
( 1 + ::: +
m ) x)
= ( 1 + ::: +
Deci
f
1 x1 + ::: +
1 + ::: +
1 f (x1 ) + ::: +
m xm
1 + ::: +
m
m f (xm )
:
m
Corolarul 7.12. Pentru orice y1 ; :::; ym > 0 şi pentru orice ponderi
atfel încât 1 + ::: + m = 1 avem
y1 1 :::ymm
1 y1 + ::: +
m ) f (x)
1 ; :::;
m >0
m ym :
Demonstraţie. Funcţia x ! ex este convex¼
a. Avem
e 1 x1 +:::+ m xm
1e
x1
+ ::: +
me
xm
;
Luând x1 = ln y1 ; :::; xm = ln ym obţinem rezultatul.
x1 ; :::; xm 2 R:
Fie a = (a1 ; :::; an ), b = (b1 ; :::; bn ) 2 Rn , a1 < b1 ; :::; an < bn . Vom nota cu
D [a; b] dreptunghiul închis determinat de a şi b, adic¼
a
D [a; b] = [a1 ; b1 ]
:::
[an ; bn ] :
Mulţimea vârfurilor lui D [a; b] va … notat¼
a cu V [a; b]. Von avea
V [a; b] = fa1 ; b1 g
:::
fan ; bn g :
Dac¼
a b1 a1 = ::: = bn an = l > 0, atunci D [a; b] se numeşte cub închis de latur¼
a
l determinat de a şi b. S¼
a not¼
am c¼
a aplicaţia a…n¼
a Ta;b : Rn ! Rn de…nit¼
a prin
Ta;b (x) = (a1 + x1 (b1
a1 ) ; :::; an + xn (bn
an )) ;
x 2 Rn ;
40
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
duce cubul închis de latur¼
a 1 determinat de 0 = (0; :::; 0) şi e = (1; :::; 1) în dreptunghiul închis determinat de a şi b. De asemenea Ta;b duce vârfurile în vârfuri.
Dac¼
a
e1 = (1; 0; :::; 0) ; :::; ei = ( 1i ; 2i ; :::; ni ) ; :::; en = (0; 0; :::; 1)
sunt elementele bazei canonice din Rn , atunci
V [0; e] = eI : I
f1; :::; ng ; eI =
iar
V [a; b] = vI : I
f1; :::; ng ; vI = a +
Lema 7.13. D [a; b] = co (V [a; b]).
Demonstraţie. Deoarece V [a; b]
P
P
i2I ei
i2I (bi
ai ) ei :
D [a; b] şi D [a; b] este convex¼
a deducm c¼
a
co (V [a; b])
D [a; b] :
n
Reciproc, …e y 2 D [a; b]. Atunci exist¼
a un unic x 2 V [0; e] = [0; 1] astfel încât
y = Ta;b (x). Fie 2 Sn astfel încât
x 1
x 2
:::
x n
Atunci x se reprezint¼
a
x = x 1 e + (x 2
+ x n
x 1 ) (e
e 1 ) + :::
x n 1
e
e 1
:::
e n 1 + (1
x n ) 0 2 co (V [0; e])
deci
y = Ta;b (x) 2 co (V [a; b]) :
Lema 7.14. Fie X
Rn o mulţime deschis¼a, convex¼a şi f : X ! R o funcţie
convex¼a. Atunci f este local m¼arginit¼a, adic¼a orice a 2 X are o vecin¼atate pe care
f este m¼arginit¼a.
Demonstraţie. Pentru a 2 X alegem un cub închis K
X, centrat în a, cu
vârfurile v1 , ..., v2n . Atunci K este o vecin¼
atate a lui a şi orice x 2 K este o
combinaţie convex¼
a a vârfurilor v1 , ..., v2n
P2n
x = k=1 tk vk :
Prin urmare,
f (x) = f
P2n
k=1 tk vk
P2n
k=1 tk f (vk )
sup f (vk ) = M;
1 k 2n
deci este superior m¼
arginit¼
a pe K. Din simetria lui K, pentru orice x 2 K exist¼
a
un y 2 K astfel încât
x+y
:
a=
2
Atunci
f (x) + f (y)
f (x) + M
f (a)
:
2
2
De aici deducem c¼
a
2f (a) M f (x) ; x 2 K
şi asta încheie demonstraţia.
8. CÂTEVA FORM ULE DE CALCUL
41
Teorema 7.15. Fie X Rn o mulţime deschis¼a, convex¼a şi f : X ! R o funcţie
convex¼a. Atunci f este local Lipschitz. În particular, f este continu¼a pe X.
Demonstraţie. Conform lemei anterioare, pentru a 2 X putem g¼
asi o bil¼
a
B (a; 2r)
X pe care f este m¼
arginit¼
a. Fie M = supx2B(a;2r) jf (x)j. Pentru
x; y 2 B (a; r), x 6= y punem
r
z=y+
(y x) :
ky xk
Atunci z 2 B (a; 2r). Cum
y=
ky xk
r
z+
r + ky xk
r + ky
xk
x
din convexitatea lui f rezult¼
a c¼
a
r
ky xk
f (z) +
r + ky xk
r + ky
f (y)
De aici deducem c¼
a
f (y)
ky xk
(f (z)
r + ky xk
f (x)
xk
f (x)
2M
ky
r
f (x))
xk
Schimbând rolurile lui x şi y obţinem
f (x)
f (y)
2M
kx
r
f (y)j
2M
kx
r
yk ;
deci
jf (x)
yk
x; y 2 B (a; r) :
8. Câteva formule de calcul
Reamintim câteva lucruri despre derivatele parţiale. Fie U1 ; :::; Un spaţii Banach.
Pentru 1 i n vom nota cu ji aplicaţia
ji : Ui ! U1
Fie X = X
avem
U1
`
Un ;
ji (ui ) = (0; :::; 0; ui ; 0; :::; 0):
i
Un şi f : X ! V o C k -aplicaţie, k
:::
2. Pentru 1
i
@f
(x) = f 0 (x) ji = ji (f 0 (x)) 2 L (Ui ; V )
@xi
) @i f : X ! L (Ui ; V ) ; @i f = ji f 0
@i f (x)
Fie 1
:::
=
n. Atunci
@` @i f
=
@` @i f
=
@` (@i f ) : X ! L (U` ; L (Ui ; V ))
j`
(@i f ) = j`
(ji
Pentru x 2 X, u` 2 U` , ui 2 Ui avem
@` @i f (x) (u` ; ui )
f 0)
0
0
f 0 ) (x) (j` (u` )) (ui )
=
@` @i f (x) (u` ) (ui ) = (ji
=
(ji
=
f 00 (x) (j` (u` )) (ji (ui )) = f 00 (x) (j` (u` ) ; ji (ui ))
f 00 (x)) (j` (u` )) (ui ) = ji (f 00 (x) (j` (u` ))) (ui )
n
42
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Din simetria derivatei de ordinul doi f 00 (x), obţinem relaţia
= f 00 (x) (j` (u` ) ; ji (ui )) = f 00 (x) (ji (ui ) ; j` (u` ))
@` @i f (x) (u` ; ui )
= @i @` f (x) (ui ; u` )
Rezult¼
a c¼
a @` @i f (x) 2 L2 (U` ; Ui ; V ) şi @i @` f (x) 2 L2 (Ui ; U` ; V ) satisfac
@` @i f (x) (u` ; ui ) = @i @` f (x) (ui ; u` ) ;
Presupunem c¼
a pentru 1
i1 ; :::; i`
u` 2 U` ; ui 2 Ui
n, ` < k, am ar¼
atat c¼
a
@i1 :::@i` f : X ! L` (Ui1 ; :::; Ui` ; V ) ;
@i1 :::@i` f (x) (ui1 ; :::; ui` ) = f (`) (x) (ji1 (ui1 ) ; :::; ji` (ui` ))
adic¼
a
@i1 :::@i` f (x) (ui1 ; :::; ui` ) = (ji1
Fie 1
i
:::
f (`) (x) (ui1 ; :::; ui` )
j i` )
) @i1 :::@i` f (x) = (ji1
:::
ji` )
f (`) (x)
) @i1 :::@i` f = (ji1
:::
ji` )
f (`)
n. Atunci
@i @i1 :::@i` f (x) = @i (@i1 :::@i` f ) (x) 2 L (Ui ; L` (Ui1 ; :::; Ui` ; V )) ;
şi
@i (@i1 :::@i` f ) (x) (ui )
0
=
(@i1 :::@i` f ) (x) (ji (ui ))
=
(ji1
:::
j i` )
=
(ji1
:::
ji` )
=
(ji1
:::
j i` )
=
(ji1
:::
j i` )
=
f (`+1) (x) (ji (ui ))
f (`)
0
f (`)
(x) (ji (ui ))
0
(x) (ji (ui ))
f (`+1) (x) (ji (ui ))
f (`+1) (x) (ji (ui ))
(ji1
:::
ji` )
Deci
@i @i1 :::@i` f (x) (ui ) (ui1 ; :::; ui` )
= @i (@i1 :::@i` f ) (x) (ui ) (ui1 ; :::; ui` )
=
f (`+1) (x) (ji (ui )) (ji1 (ui1 ) ; :::; ji` (ui` ))
= f (`+1) (x) (ji (ui ) ; ji1 (ui1 ) ; :::; ji` (ui` ))
Ţinând cont de simetria derivatei de ordinul `, obţinem relaţia
@i1 :::@i` f (x) (ui1 ; :::; ui` )
= f (`) (x) (ji1 (ui1 ) ; :::; ji` (ui` ))
= f (`) (x) ji 1 ui 1 ; :::; ji ` ui `
= @i 1 :::@i ` f (x) ui 1 ; :::; ui `
pentru orice
2 S` . Am demonstrat astfel urm¼
atorul rezultat
8. CÂTEVA FORM ULE DE CALCUL
43
Lema 8.1. Fie X = X U1 ::: Un şi f : X ! V o C k -aplicaţie, k
pentru 1 i1 ; :::; i` n, ` k, avem
2. Atunci
@i1 :::@i` f : X ! L` (Ui1 ; :::; Ui` ; V ) ;
@i1 :::@i` f (x) (ui1 ; :::; ui` ) = f (`) (x) (ji1 (ui1 ) ; :::; ji` (ui` ))
În plus pentru orice
2 S`
@i1 :::@i` f (x) (ui1 ; :::; ui` ) = @i 1 :::@i ` f (x) ui 1 ; :::; ui `
Un = U
|
În continuare U1 = ::: = Un = U , X = X
= ( 1 ; :::;
n) 2 N
n
punem
j j=
1 + ::: +
n;
!=
:::
{z
n ori
1 !::: n !;
@ = @1 1 :::@n n = @1 :::@1 :::@n :::@n
| {z } | {z }
1
ori
Lema 8.2. Fie f : X ! V o C k -aplicaţie, k
(a) Atunci
2.
X
@i1 :::@i` f (x) =
2S`
2S`
ori
@i 1 :::@i ` f (x)
2S`
pentru orice ` k, 1 i1 ; :::; i` n şi
(b) Pentru orice ` k avem
X
X
n
`
2 S` .
(@1 + ::: + @n ) f (x) =
X X `!
2S` j j=`
!
@ f (x)
U . Pentru
}
44
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Demonstraţie. (a) Vom folosi liber …e
în i. Pentru u1 ; :::; u` 2 U avem
X
X
@i 1 :::@i ` f (x) (u1 ; :::; u` ) =
2S`
X
=
i …e
(i) pentru valoarea permut¼
arii
@i (1) :::@i (`) f (x) (u1 ; :::; u` )
2S`
@i (1) :::@i (`) f (x) u (1) ; :::; u (`)
2S`
=
=
=
X
X
X
f (`) (x) ji (1) u (1) ; :::; ji (`) u (`)
2S`
1
f (`) (x) ji (1) u (1) ; :::; ji (`) u (`)
2S`
f (`) (x) ji
2S`
=
X
u
1 (1)
; :::; ji
f (`) (x) ji1 u
1 (1)
; :::; ji` u
1 (1)
u
1 (`)
1 (`)
1 (`)
2S`
=
X
@i1 :::@i` f (x) u
1 (1)
; :::; u
1 (`)
2S`
=
X
1
@i1 :::@i` f (x) (u1 ; :::; u` )
2S`
=
X
@i1 :::@i` f (x) (u1 ; :::; u` )
2S`
`
(b) Pe mulţimea f1; :::; ng consider¼
am relaţia de echivalenţ¼
a
(i1 ; :::; i` )
(q1 ; :::; q` ) () 9 2 S` : q1 = i (1) ; :::; q` = i (`)
Vom nota cu [i1 ; :::; i` ] clasa de echivalenţ¼
a a lui I = (i1 ; :::; i` ). Pentru …ecare
I = (i1 ; :::; i` ) g¼
asim un unic multi-indice = ( 1 ; :::; n ) 2 Nn de lungime j j = `
astfel încât
(i1 ; :::; i` )
(1; :::; 1;:::; n; :::; n):
| {z }
| {z }
1
Secvenţa k; :::; k nu apare dac¼
a
| {z }
k
ori
n
ori
k = 0. Prin urmare,
ori
f[1; :::; 1;:::; n; :::; n] :
| {z }
| {z }
1
ori
`
este mulţimea factor f1; :::; ng =
1
ori
n
n) 2 N
n
; j j = `g
ori
n
card[1; :::; 1;:::; n; :::; n]
| {z }
| {z }
= ( 1 ; :::;
şi
`
=
1
ori
=
`!
!
`
1
2
:::
n 1+
n
n
8. CÂTEVA FORM ULE DE CALCUL
Avem
X
`
(@1 + ::: + @n ) f (x)
X
=
2S`
45
X
@i1 :::@i` f (x)
2S` 1 i1 ;:::;i` n
X X `!
=
!
2S` j j=`
Lema 8.3. Fie U , V spaţii Banach, X = X
4n : U ! U n = U
|
:::
{z
n ori
@ f (x)
U şi n; k 2 N . Fie
U;
}
4n (x) = (x; :::; x)
| {z }
n ori
aplicaţia diagonal¼a şi f : X n ! V o C k -aplicaţie. Atunci pentru orice x 2 X
X 1 X
X 1 X
(k)
(@ f (4n (x))) =
(@ f (x; :::; x)) :
(f 4n ) (x) =
!
!
2Sk
j j=k
Demonstraţie. Pentru 1
j j=k
i
n
ji : U ! U = U
|
şi observ¼
am c¼
a
2Sk
n vom nota cu ji aplicaţia
:::
{z
U;
}
n ori
ji (x) = (0; :::; 0; x; 0; :::; 0)
i
4n = j1 + :::: + jn
Avem
(f
0
4n ) (x)
f 0 (4n (x)) 4n = f 0 (4n (x)) (j1 + :::: + jn )
=
=
(@1 + ::: + @n ) f (4n (x))
=
(@1 + ::: + @n ) f
4n (x)
Prin inducţie obţinem
(f
(k)
4n )
k
Folosind simetria aplicaţiei (f
(f
k
(x) = (@1 + ::: + @n ) f (4n (x)) = (@1 + ::: + @n ) f (x; :::; x)
(k)
4n )
(x)
=
=
(k)
4n )
(x) putem continua astfel
k
(@1 + ::: + @n ) f (4n (x))
1 X
k
(@1 + ::: + @n ) f (4n (x))
k!
2Sk
=
1 X X k!
k!
!
@ f (4n (x))
2Sk j j=k
=
X 1 X
!
j j=k
Deci
(f
4n )
(k)
(x) =
X 1 X
!
j j=k
@ f (4n (x))
2Sk
@ f (4n (x))
2Sk
În rezultatul urm¼
ator se extinde binecunoscuta formul¼
a a lui Leibniz de derivare
a produsului.
46
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Corolarul 8.4. Fie n; k 2 N , U , V1 ; :::; Vn , V spaţii Banach, X = X
U,
u1 : X ! V1 ; :::; un : X ! Vn C k -aplicaţii şi ! 2 Ln (V1 ; :::; Vn ; ; V ). Atunci
X 1 X
( )
(k)
(! (u1 ; :::; un )) (x) =
!
u1 1 (x) ; :::; u(n n ) (x) ; x 2 X:
!
2Sk
j j=k
În particular, dac¼a u1 : X ! C; :::; un : X ! C sunt C k -aplicaţii, atunci
X 1 X
( )
(k)
(u1 ::: un ) (x) =
u1 1 (x) ::: u(n n ) (x)
!
2Sk
j j=k
Demonstraţie. Consider¼
am aplicaţia
f (x1 ; :::; xn ) = ! (u1 (x1 ) ; :::; un (xn ))
Atunci
(
f
4n (x) = ! (u1 ; :::; un ) (x)
(
)
(
)
@ f (x1 ; :::; xn ) = ! u1 1 (x1 ) ; :::; un n (xn )
Teorema 8.5 (Formula lui Faà di Bruno). Fie U , V , W spaţii Banach,
f : X ! V;
g : Y ! W;
X=X
U
Y =Y
V
;
f (X)
C 1 -aplicaţii şi n 2 N . Atunci
(n)
(g f )
(x) =
X
X
1
1 !::: n !
2Sn
Y
0
B f (1) (x)
g (j) (f (x)) B
@ 1!
|
:::
f (n) (x)
| n!
f (1) (x)
1! }
:::
{z
ori
1
:::
1
:::
{z
f (n) (x) C
C
n! }A
:::
{z
f (1) (x) :::
}
ori
n
a
= ( 1 ; :::; n ) 2 Nn pentru care
n şi suma se face dup¼
(k)
f (x)
f (k) (x)
:::
nu apare dac¼a k = 0.
1 + 2 2 + ::: + n n = n. Factorul
k! }
| k!
{z
unde j =
1 + ::: +
k
ori
Demonstraţie. Prin inducţie dup¼
a n se arat¼
a c¼
a
(n)
(g f )
(x) =
n
X
X
j=1
2N j;n
X
an;j; ;
2S n
g (j) (f (x)) (f (1) (x)
|
::: f
|
n
(n)
(x)
1
ori
:::
{z
n
ori
f
(n)
(x))
}
Aici Nj;n = f( 1 ; :::; n ) 2 N : 1 + ::: + n = j; 1 + 2 2 + ::: + n n = ng. Coe…cienţii fan;j; ; g se construiesc recursiv folosind formula
h(k) ( ) (v1 ; :::; vk )
0
(x) (v0 ) = h(k+1) (v) (v0 ; v1 ; :::; vk )
8. CÂTEVA FORM ULE DE CALCUL
47
Un termen
g (j) (f (x)) f (1) (x) u (1) ; :::; f (1) (x) u ( 1 ) ;
f (2) (x) u ( 1 +1) ; u ( 1 +2) ; :::; f (2) (x) u ( 1 +2 2 1) ; u ( 1 +2 2 ) ;
:::; f (n) (x))(:::; u ( 1 +2 2 +:::+n n ) )
prin derivare în x şi calculat în u0 ne d¼
a o sum¼
a care începe cu termenul
g (j+1) (f (x)) f (1) (x) u0 ; f (1) (x) u (1) ; :::; f (1) (x) u ( 1 ) ;
f (2) (x) u ( 1 +1) ; u ( 1 +2) ; :::; f (2) (x) u ( 1 +2 2 1) ; u ( 1 +2 2 ) ;
:::; f (n) (x))(:::; u ( 1 +2 2 +:::+n n ) )
şi continu¼
a cu termeni de forma
g (j) (f (x)) :::; f (k) (x) :::; u ( 1 +:::+k k ) ;
f (k+1) (x) (u0 ; u ( 1 +:::+(k 1) k 1 +nk+1); :::; u ( 1 +:::+(k 1) k 1 +nk+k) );
f (k+1) (x) (u ( 1 +:::+k k +1) ; :::); :::
cu 0 n < k . Ţinând cont de forma acestor termeni obţinem c¼
a
2 Nj;n genereaz¼
a
::: +
k
(1;
1 ; :::;
1+
1 + ::: +
1+
n ) 2 Nj+1;n+1 ;
(:::;
n
=
j + 1;
k+1 + 1:::
=
j;
1;
k
1+
= ( 1 ; :::;
k+1 + 1; :::; 0) 2 Nj;n+1
1 + ::: + n n = n + 1
::: + k ( k
1) + (k + 1) ( k+1 + 1) ::: = n + 1
(n)
Deoarece (g f )
(x) este o aplicaţie n-linear¼
a simetric¼
a obţinem
X
1
(n)
(n)
(g f ) (x) =
((g f ) (x))
n!
n
1 X X
=
n! j=1
2N j;n
=
n
1 X X
n! j=1
=
2N j;n
n
X
X
j=1
2S n
X
an;j; ;
2S n
X
2S n
::: f
|
an;j; ;
2S n
2N j;n
X
cn;j;
(n)
(x)
2S n
::: f
|
X
2S n
g (j) (f (x)) (f (1) (x)
|
:::
{z
n
X
(n)
(x)
f
(n)
ori
n
ori
f
(n)
(x))
}
g (j) (f (x)) (f (1) (x)
|
:::
{z
:::
{z
f
:::
{z
f
f
1
ori
::: f
|
(n)
(1)
ori
1
(1)
ori
1
(x))
}
g (j) (f (x)) (f (1) (x)
|
:::
{z
n)
(1)
(x)
(x) :::
}
(x) :::
}
(x) :::
}
:::
{z
n
ori
f
(n)
(x))
}
48
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
cu
X
cn;j; =
an;j; ;
2S n
coe…cienţi independenţi de f; g şi de spaţiile U , V , W . Deci
(n)
(g f ) (x) =
X
X
cn;j;
g (j) (f (x)) (f (1) (x)
|
:::
{z
2S n
f
(1)
ori
1
(x) ::: f (n) (x)
}
|
:::
{z
n
f
(n)
ori
(x))
}
unde j = 1 + ::: + n şi suma se face dup¼
a = ( 1 ; :::; n ) 2 Nn pentru care
(k)
(x) ::: f (k) (x) nu apare dac¼
a k = 0.
1 + 2 2 + ::: + n n = n. Factorul f
|
{z
}
ori
k
Pentru n 2 N şi k 2 f1; :::; ng …xate punem
g (y)
=
yk
f (x)
=
a1 x + a2 x2 + ::: + an xn
Din teorema multinomului obţinem
(g f ) (x) =
n
Y
X k!
!
j j=k
ai
i=1
i
!
x 1 +2 2 +:::+n n
Rezult¼
a c¼
a
(n)
(g f )
X
(0) =
j j=k
1 +2 2 +:::+n
n
Y
k!
!
ai i
i=1
n =n
!
n!
Folosind formula stabilit¼
a mai devreme şi faptul c¼
a g (j) (0) 6= 0 dac¼
a numai dac¼
a
j = k avem
!
n
Y
X
(n)
ai i
(g f ) (0) = n!
cn;k; k! (1!) 1 (2!) 2 ::: (n!) n
1 +2
j j=k
2 +:::+n
i=1
n =n
Obţinem astfel egalitatea polinomial¼
a
1 +2
X
j j=k
2 +:::+n
1
!
n =n
n
Y
i=1
=
ai i
!
X
j j=k
1 +2 2 +:::+n
cn;k; (1!)
1
(2!)
2
::: (n!)
n
n
Y
ai
i=1
n =n
în variabilele (a1 ; a2 ; :::; an ). Rezult¼
a c¼
a
cn;k; =
1
1
=
! (1!) 1 (2!) 2 ::: (n!) n
1
1
1
2
!
!:::
!
(1!)
(2!)
::: (n!) n
1 2
n
i
!
8. CÂTEVA FORM ULE DE CALCUL
49
Deci
(g f )
(n)
(x) =
X
0
X
1
1 !::: n !
2Sn
B f (1) (x)
g (j) (f (x)) B
@ 1!
|
:::
unde j = 1 + ::: + n şi suma se face dup¼
a
+
2
+
:::
+
n
=
n.
Factorul
1
2
n
nu apare dac¼
a
f (k) (x)
| k!
k = 0.
:::
{z
ori
k
:::
{z
f (n) (x)
| n!
= ( 1 ; :::;
ori
1
:::
{z
n
ori
n) 2 N
n
f (1) (x)
1! }
:::
1
f (n) (x) C
C
n! }A
pentru care
f (k) (x)
k! }
Teorema 8.6 (O formul¼
a de tip Faà di Bruno). Fie U , V , W spaţii Banach,
f : X ! V;
g : Y ! W;
X=X
U
Y =Y
V
;
f (X)
Y
C 1 -aplicaţii şi n 2 N . Atunci
(g f )
=
(n)
n
X
1
(x)
j!
j=1
2N
X
j ;j
X
1
1 !::: j !
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x)
:::
f ( j ) (x))
2Sn
j=n
Demonstraţie. Prin inducţie dup¼
a n se arat¼
a c¼
a
(g f )
(n)
(x) =
n
X
j=1
2N
X
j ;j
X
an;j; ;
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x) ::: f ( j ) (x))
j=n 2Sn
Coe…cienţii fan;j; ; g se construiesc recursiv folosind formula
h(k) ( ) (v1 ; :::; vk )
0
(x) (v0 ) = h(k+1) (v) (v0 ; v1 ; :::; vk )
Un termen
g (j) (f (x)) f ( 1 ) (x) u (1) ; :::; u ( 1 ) ; :::; f ( j ) (x) u (n
j +1)
; :::; u (n)
prin derivare în x şi calculat în u0 ne d¼
a o sum¼
a care începe cu termenul
g (j+1) (f (x)) f (1) (x) u0 ; f ( 1 ) (x) u (1) ; :::; u ( 1 ) ; :::
:::; f ( j ) (x) u (n
j +1)
; :::; u (n)
şi continu¼
a cu termeni de forma
g (j) (f (x)) :::; f ( k +1) (x) u0 ; u ( 1 +:::+ k 1 +1) ; :::; u ( 1 +:::+ k 1 + k )
50
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
cu 1 k j. Ţinând cont de forma acestor termeni obţinem c¼
a
Mj;n genereaz¼
a
(1;
1 ; :::;
n ) 2 Mj+1;n+1 ;
(:::;
k 1;
k + 1;
(n)
Aici Mj;n =
2 N j : j j = n . Deoarece (g f )
simetric¼
a obţinem
(g f )
(n)
(x) =
n
=
=
1 X
n! j=1
n
X
1
n! j=1
X
(g f )
2Sn
X
X
j=1
j) 2
k+1 ; :::) 2 Mj;n+1
(x) este o aplicaţie n-linear¼
a
(x)
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x)
:::
f ( j ) (x))
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x)
:::
f ( j ) (x))
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x)
:::
f ( j ) (x))
2Sn
X
X
an;j; ;
2N j ;j j=n 2Sn
n
X
(n)
X
an;j; ;
2N j ;j j=n 2Sn
=
cu
1 X
n!
= ( 1 ; :::;
X
2Sn
cn;j;
2N j ;j j=n
X
2Sn
cn;j; =
1 X
an;j; ;
n!
2Sn
coe…cienţi independenţi de f; g şi de spaţiile U , V , W . Deci
(g f )
(n)
(x) =
n
X
j=1
X
cn;j;
2N j ;j j=n
X
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x)
:::
f ( j ) (x))
2Sn
Not¼
am cu Mj;n mulţimea
2N j :j j=n
Mj;n =
pe care introducem o relaţie de echivalenţ¼
a
, 9 2 Sj :
=
=
1
; :::;
j
Vom nota cu b clasa de echivalenţ¼
a a lui , i.e. b = f 2 Mj;n :
g şi cu
Rep (Mj;n ) o mulţime de reprezentanţi pentru aceast¼
a relaţie. Dac¼
a fc g 2Mj;n şi
fb g 2Mj;n sunt dou¼
a familii astfel încât b = b pentru orice 2 Mj;n şi 2 Sj ,
atunci
1
0
X
X
X
X
X
X
@
c b =
c b =
c Ab =
c0 b ;
2Mj;n
2Rep(Mj;n ) 2Sj
unde
0
c =
2Rep(Mj;n )
P
2b c
;
cardb
pentru orice
2Sj
2Mj;n
2 Mj;n
sunt simetrice în , i.e. c0 = c0
2 Mj;n şi 2 Sj . Observând acum
c¼
a
X
bj;n; =
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x) ::: f ( j ) (x));
2 Mj;n
2Sn
8. CÂTEVA FORM ULE DE CALCUL
51
sunt simetrice în , i.e. bj;n; = bj;n; pentru orice 2 Mj;n şi 2 Sj , rezult¼
a c¼
a
putem presupune c¼
a fcn;j; g sunt simetrice în , i.e. cn;j; = cn;j; pentru orice
2 Mj;n şi 2 Sj . Deci
(8.1)
n
X
X
X
(n)
(g f ) (x) =
cn;j;
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x) ::: f ( j ) (x))
j=1
2N j ;j j=n
2Sn
cu cn;j; = cn;j; pentru orice 2 Mj;n şi 2 Sj .
Pentru a determina coe…cienţi cn;j; , particulariz¼
am U , V , W , g şi f . Astfel
pentru n 2 N şi k 2 f1; :::; ng …xate punem
g (y)
= yk
f (x)
= a1 x + a2 x2 + ::: + an xn
Folosind formula lui Leibnitz (vezi corolarul 8.4) obţinem
(g f )
(n)
(x) = (f ( ) ::: f ( ))(n) (x)
{z
}
|
k ori
X 1 X
=
!
f ( 1 ) (x)
f ( k ) (x)
:::
2Sn
j j=n
= n!
X 1
f ( 1 ) (x) :::f ( n ) (x)
!
j j=n
= n!
k
X
X
j=1
2N j ;j j=n
1
1 !::: j !
k
k
f k j (x) f ( 1 ) (x) :::f ( j ) (x)
j
deoarece numai j factori sunt derivaţi efectiv ( i
Deci
(g f )
(n)
(x) = n!
k
X
j=1
X
1
!:::
1
j!
2N j ;j j=n
1) şi k
k
k
j r¼
amân nederivaţi.
f k j (x) f ( 1 ) (x) :::f ( j ) (x)
j
Pe de alt¼
a parte folosind formula (8.1) stabilit¼
a mai devreme obţinem în acest caz
(n)
(g f )
(x)
= n!
= n!
n
X
cn;j; g (j) (f (x)) f ( 1 ) (x) :::f ( j ) (x)
j=1
2N j ;j j=n
k
X
X
X
cn;j;
j=1
2N j ;j j=n
k!
(k
j)!
f k j (x) f ( 1 ) (x) :::f ( j ) (x)
Obţinem
k
X
j=1
2N
X
j ;j
j=n
1
1 !::: j !
=
k
X
j=1
k
k
j
X
f k j (x) f ( 1 ) (x) :::f ( j ) (x)
2N j ;j j=n
cn;j;
k!
(k
j)!
f k j (x) f ( 1 ) (x) :::f ( j ) (x)
52
1. CALCUL DIFEREN ŢIAL
Ţinând cont de egalitatea f (0) = 0 şi de faptul c¼
a
f ( ) (0) = !a ;
în 0 va r¼
amâne doar termenul j = k
X
1
1 !a 1 ::: k !a k =
!:::
1
k!
k
2N
;j j=n
Obţinem astfel egalitatea polinomial¼
a
X
X
a 1 :::a k =
2N k ;j j=n
1
2N
n;
X
k ;j
cn;k; k! 1 !a 1 ::: k !a k
j=n
(k! 1 !::: k !) cn;k; a 1 :::a k
2N k ;j j=n
în variabilele (a1 ; a2 ; :::; an ). Rezult¼
a c¼
a
(k! 1 !::: k !) cn;k; = 1;
Deci
(g f )
=
(n)
n
X
1
2 N k ; j j = n; k 2 f1; :::; ng :
(x)
j!
j=1
2N
X
j ;j
j=n
X
1
1 !::: j !
2Sn
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x)
:::
f ( j ) (x))
CAPITOLUL 2
Funcţii analitice
1. Aplicaţii n-lineare simetrice. Polinoame omogene de grad n.
De…niţia 1.1. Fie U , V spaţii Banach şi n 2 N .
(a) f 2 Ln (U ; V ) se va numi simetric¼a dac¼a pentru orice permutare
avem
f (x 1 ; :::; x n ) = f (x1 ; :::; xn ) ; (x1 ; :::; xn ) 2 U n
2 Sn
Vom nota cu Lsn (U ; V ) spaţiul aplicaţiilor n-lineare simetrice.
(b) O aplicaţie
p:U !V
se numeşte polinom omogen de grad n pe U cu valori în V dac¼a exist¼a T 2 Lsn (U ; V )
astfel încât
p (x) = f (x; :::; x) ; x 2 U
Vom nota cu Pn (U ; V ) spaţiul polinomoamelor omogene de grad n. Asfel avem o
aplicaţie surjectiv¼a
Lsn (U ; V ) 3 f ! pf = f
4n 2 Pn (U ; V )
unde
4n : U ! U n = U
|
:::
{z
n ori
U;
}
4n (x) = (x; :::; x)
| {z }
n ori
Un polinom omogen de grad 0 pe U cu valori în V este o aplicaţie p : U ! V
constant¼a. P0 (U ; V ) V .
Teorema 1.1 (Formula de polarizare pentru aplicaţiile n-lineare simetrice). Fie
f 2 Lsn (U ; V ) o aplicaţie n-linear¼a simetic¼a. Atunci
f (u1 ; :::; un ) =
=
1
n!2n
1
n!2n
X
"1
"n pf ("1 u1 + ::: + "n un )
("1 ;:::;"n )2f 1;1gn
X
"1
"n f ("1 u1 + ::: + "n un ; :::; "1 u1 + ::: + "n un ) :
("1 ;:::;"n )2f 1;1gn
Demonstraţie. Fie u1 ; :::; un 2 U . De…nim funcţia
(t1 ; :::; tn )
Atunci
@
(t1 ; :::; tn )
@tn
: Rn ! R prin
=
pf (t1 u1 + ::: + tn un )
=
f (t1 u1 + ::: + tn un ; :::; t1 u1 + ::: + tn un ) :
= f (un ; :::; t1 u1 + ::: + tn un ) + ::: + f (t1 u1 + ::: + tn un ; :::; un )
= nf (t1 u1 + ::: + tn un ; :::; t1 u1 + ::: + tn un ; un ) :
53
54
2. FUNC ŢII ANALITICE
Deoarece f ( ; :::; ; un ) 2 Lsn 1 (U ; V ), continuând prin inducţie se arat¼
a c¼
a
@ n k+1
n!
(t1 ; :::; tn ) = f (t1 u1 + ::: + tn un ; :::; t1 u1 + ::: + tn un ; uk ; :::; un ) :
@tk :::@tn
k!
Prin urmare
1 @n
f (u1 ; :::; un ) =
(t1 ; :::; tn ) ; (t1 ; :::; tn ) 2 Rn :
n! @t1 :::@tn
n
Integr¼
am pe cubul [ 1; 1] şi aplic¼
am teorema lui Fubini şi formula Leibniz–Newton
în …ecare variabil¼
a obţinem
Z
Z
@n
(t1 ; :::; tn ) dt1 :::dtn
n!2n f (u1 ; :::; un ) =
[ 1;1]n @t1 :::@tn
X
=
"1
"n ("1 ; :::; "n )
("1 ;:::;"n )2f 1;1gn
X
=
X
=
"1
"n pf ("1 u1 + ::: + "n un )
("1 ;:::;"n )2f 1;1gn
"1
"n f ("1 u1 + ::: + "n un ; :::; "1 u1 + ::: + "n un ) :
("1 ;:::;"n )2f 1;1gn
n
Dac¼
a integr¼
am pe cubul [0; 1] şi aplic¼
am teorema lui Fubini şi formula LeibnizNewton în …ecare variabil¼
a obţinem o alt¼
a formul¼
a interesaant¼
a.
Z
Z
n
@
n!f (u1 ; :::; un ) =
(t1 ; :::; tn ) dt1 :::dtn
n @t1 :::@tn
[0;1]
Z
Z
X
@n
1 "
=
( 1) n
(t1 ; :::; tn 1 ; "n ) dt1 :::dtn 1
@t1 :::@tn 1
[0;1]n 1
"n 2f0;1g
X
n " ::: "n
("1 ; :::; "n )
=
( 1) 1
("1 ;:::;"n )2f0;1gn
X
=
=
X
n "1 ::: "n
( 1)
pf ("1 u1 + ::: + "n un )
("1 ;:::;"n )2f0;1gn
( 1)
("1 ;:::;"n )2f0;1g
n "1 ::: "n
f ("1 u1 + ::: + "n un ; :::; "1 u1 + ::: + "n un ) :
n
Teorema 1.2. Fie f 2 Lsn (U ; V ) o aplicaţie n-linear¼a simetic¼a. Atunci
X
1
n " ::: "n
f (u1 ; :::; un ) =
( 1) 1
pf ("1 u1 + ::: + "n un )
n!
n
("1 ;:::;"n )2f0;1g
=
1
n!
X
( 1)
n "1 ::: "n
f ("1 u1 + ::: + "n un ; :::; "1 u1 + ::: + "n un ) :
("1 ;:::;"n )2f0;1gn
Corolarul 1.3. Aplicaţia
unde
Lsn (U ; V ) 3 f ! pf = f
4n : U ! U n = U
|
:::
{z
n ori
U;
}
4n 2 Pn (U ; V )
4n (x) = (x; :::; x)
| {z }
n ori
1. APLICA ŢII n-LINEARE SIM ETRICE. POLINOAM E OM OGENE DE G RAD n.
55
este bijectiv¼a. Inversa sa este dat¼a de
Pn (U ; V ) 3 p ! fp 2 Lsn (U ; V )
fp : U n = U
|
fp (u1 ; :::; un ) =
:::
{z
n ori
U ! V;
}
1 @ n pu1 ;:::;un
(t1 ; :::; tn ) ;
n! @t1 :::@tn
u1 ; :::; un 2 U
unde pentru u1 ; :::; un 2 U
pu1 ;:::;un : Rn ! R;
pu1 ;:::;un (t1 ; :::; tn ) = p (t1 u1 + ::: + tn un )
De…niţia 1.2. Exist¼a o unic¼a norm¼a, k kh : Pn (U ; V ) ! [0; 1), care transform¼a
aplicaţiile
Lsn (U ; V ) 3 f ! pf = f 4n 2 Pn (U ; V )
Pn (U ; V ) 3 p ! fp 2 Lsn (U ; V )
în izomor…sme liniare izometrice.
kpkh = kfp k = sup kfp (u1 ; :::; un )k =
kuj k 1
@ n pu1 ;:::;un
1
sup
n! kuj k 1 @t1 :::@tn
Lema 1.4. Fie
j jh : Pn (U ; V ) ! [0; 1) ;
jpjh = sup kp (x)k
kxk 1
Atunci
jpjh
n
kpkh
(1 + e) jpjh
Demonstraţie. Inegalitatea jpjh
kpkh este clar¼
a. Pentru cealalt¼
a inegalitate
n
observ¼
am c¼
a kp (x)k jpjh kxk şi folosim identitatea
X
1
n " ::: "n
p ("1 u1 + ::: + "n un )
fp (u1 ; :::; un ) =
( 1) 1
n!
n
("1 ;:::;"n )2f0;1g
Pentru ku1 k ; :::; kun k
1 avem
1
n!
kfp (u1 ; :::; un )k
1
n!
1
n!
X
("1 ;:::;"n )2f0;1gn
X
("1 ;:::;"n )2f0;1g
X
("1 ;:::;"n )2f0;1gn
jpjh
= jpjh
jpjh
=
1 X n
k
n!
n
k
k=0
n
X
kn
k=0
n
X
n!
ek
k=0
n
(1 + e) jpjh
jpjh k"1 u1 + ::: + "n un k
n
n
=
n
kp ("1 u1 + ::: + "n un )k
n
k
n
k
jpjh ("1 + ::: + "n )
n
56
2. FUNC ŢII ANALITICE
deci
n
kpkh = sup kfp (u1 ; :::; un )k
(1 + e) jpjh
kuj k 1
Propoziţia 1.5. Fie f 2 Lsn (U ; V ) şi pf = f 4n 2 Pn (U ; V ) polinomul omogen
de grad n pe U cu valori în V asociat lui f , i.e.
pf (x) = f (x; :::; x);
| {z }
x 2 X:
n ori
Atunci pentru orice k 2 f1; :::; ng avem
n!
(k)
pf (x) =
f (x; :::; x; ; :::; );
(n k)! | {z } | {z }
n k
x 2 X:
k
În partucular, pentru k = n avem
f=
1 (n)
p (x) ;
n! f
x2X
şi pentru k > n avem
(k)
pf (x) = 0;
x 2 X:
Demonstraţie. În corolarul 8.4 lu¼
am ! = f şi u1 = ::: = un = idU . Atunci
X
1 X
(k)
( )
(k)
pf (x) = (f 4n ) (x) =
f
u1 1 (x) ; :::; u(n n ) (x)
!
2Sk
j j=k
În suna de mai sus apar doar termenii pentru care exact k elemete j sunt 1 celelalta
…ind 0. Practic multiindicele este funcţia caracteristic¼
a a unei submulţimi de k
n
elemente din f1; :::; ng. Num¼
arul lor este
. Ţinând cont de simetria lui f ,
k
pe primele n k poziţii vom pune funcţiile nederivate iar pe ultimile k poziţii vom
pune funcţiile care sunt derivate o singur¼
a dat¼
a. Astfel
X
n
(k)
pf (x) =
f (x; :::; x; ; :::; )
k
| {z } | {z }
2Sk
n
k
=
n k
k!f (x; :::; x; ; :::; )
| {z } | {z }
n k
=
n!
(n
k)!
k
f (x; :::; x; ; :::; )
| {z } | {z }
n k
k
Aici am ţinut cont din nou de simetria lui f .
Corolarul 1.6. Izomor…smul izometric
este dat de
Pn (U ; V ) 3 p ! fp 2 Lsn (U ; V )
fp =
1 (n)
p :
n!
Avem şi
kpkh =
1
sup p(n) (x) (u1 ; :::; un )
n! kuj k 1
k
2. SERII DE PUTERI
57
Reamintind identi…c¼
arile
! b 2 Lsn (U ; V )
Lsn k (U ; Lsk (U ; V )) 3
şi
(x1 ; :::; xn ) ! b (x1 ; :::; xn k ; xn k+1 ; :::; xn ) =
(x1 ; :::; xn k ) (xn k+1 ; :::; xn )
Lsn (U ; V ) 3 f ! fe 2 Lsn k (U ; Lsk (U ; V ))
(x1 ; :::; xn k ) ! fe(x1 ; :::; xn k ) = f (x1 ; :::; xn k ; ; :::; ) 2 Lsk (U ; V )
| {z }
k
obţinem
Corolarul 1.7. Fie f 2 Lsn (U ; V ) şi pf = f 4n 2 Pn (U ; V ) polinomul omogen
de grad n pe U cu valori în V asociat lui f . Atunci
n!
(k)
fe 4n k 2 Pn k (U ; Lsk (U ; V )) ;
pf =
(n k)!
şi
(k)
pf
h
=
n!
(n
fe =
k)!
n!
(n
k)!
kf k =
n!
(n
k)!
kpf kh
Observaţia 1.1. Pe spaţiul polinoamelor omogene de grad n pe U cu valori în
V , Pn (U ; V ), am introdus dou¼a norme echivalente k kh şi j jh . Corolarul anterior
evidenţiaz¼a o proprietate a normei k kh extrem de util¼a în studiul seriilor de puteri.
Aceasta este
n!
p(k) =
kpkh ; p 2 Pn (U ; V ) :
(n k)!
h
2. Serii de puteri
De…niţia 2.1. Fie U , V spaţii Banach. O serie de funcţii de la U la V de forma
1
X
pn ; pn 2 Pn (U ; V ) ;
n=0
se numeşte serie de puteri pe U valori în V . O astfel de serie se va numi convergent¼a
dac¼a exist¼a r > 0 astfel încât seria numeric¼a
1
X
kpn kh rn
n=0
s¼
a …e convergent¼a. Marginea superioar¼a a numerelor r > 0 pentru care seria
P
1
n
a, se numeşte raza de convergenţ¼a a seriei de puteri
n=0 kpn kh r este convergent¼
date.
Teorema 2.1 (Cauchy-Hadamard). Raza de convergenţ¼a
1
X
pn ;
n=0
este dat¼a de formula
=
1
(cu convenţia 10 = +1, +1
= 0):
pn 2 Pn (U ; V )
1
p
n
limn!1
kpn kh
a seriei de puteri
58
2. FUNC ŢII ANALITICE
Demonstraţie. Fie 0
Prin urmare
deci
r < . Atunci seria
q
limn!1 n kpn kh rn
r
1
p
n
limn!1
pentru orice r 2 [0; ). Rezult¼
a c¼
a
n=0 kpn kh r
n
este convergent¼
a.
1
kpn kh
1
p
n
limn!1
P1
kpn kh
p
1p
. Atunci limn!1 n kpn kh rn < 1 deci seria
Fie acum 0
r <
n
limn!1
kpn kh
P1
n
kp
k
r
este
convergent¼
a ceea ce implic¼
a r < . Cum aceast¼
a inegalitate
n
n=0
h
este adev¼
arat¼
a pentru orice r 2 0;
1p
limn!1 n kpn kh
1
p
n
limn!1
kpn kh
obţinem c¼
a
:
P1
Teorema 2.2. Fie n=0 pn o serie de puteri convergent¼a pe U valori în V şi …e
> 0 raza de convergenţ¼a a seriei de puteri date. Atunci
P1 (1)
(a) Seria de puteri n=1 pn pe U valori în L (U ; V ) este convergent¼a şi are
aceeaşi raz¼a de convergenţ¼a .
P1
(b) Pentru orice r 2 (0; ), seria de funcţii de la U la V , n=0 pn , converge
uniform pe mulţimea fx : kxk rg.
(c) Funcţia S : B (0; ) ! V , de…nit¼a prin
S (x) =
1
X
pn (x) ;
x 2 B (0; ) ;
p(1)
n (x) ;
x 2 B (0; ) :
n=0
este derivabil¼a şi
1
X
S 0 (x) =
n=1
Demonstraţie. (a) Deoarece
p(1)
n
h
p(1)
n = n kpn kh
din formula razei de convergenţ¼
a a seriei de puteri, teorema Cauchy-Hadamard,
P1
P1 (1)
deducem c¼
a seriile n=0 pn şi n=1 pn au aceeaşi raz¼
a de convergenţ¼
a .
P1
(b) Fie r 2 (0; ). Atunci seria n=0 kpn kh rn este convergent¼
a. Întrucât
r ) kpn (x)k = kpn (x=r)k rn kpn kh rn
P1
deducem c¼
a seria de funcţii de la U la V , n=0 pn , converge uniform pe mulţimea
fx : kxk rg.
(c) Fie r 2 (0; ). Folosind punctele anterioare deducem c¼
a seriile de funcţii
P1
P1 (1)
rg. De aici rezult¼
a
n=0 pn şi
n=1 pn converg uniform pe mulţimea fx : kxk
kxk
2. SERII DE PUTERI
c¼
a funcţia S : B (0; ) ! V , de…nit¼
a prin
S : B (0; ) ! V;
S (x) =
1
X
1
X
pn (x) ;
n=0
este derivabil¼
a şi avem
S 0 (x) =
59
p(1)
n (x) ;
x 2 B (0; ) :
n=1
P1
Teorema 2.3. Fie n=0 pn o serie de puteri convergent¼a pe U valori în V , …e
> 0 raza de convergenţ¼a a seriei de puteri date şi …e
1
X
S : B (0; ) ! V; S (x) =
pn (x) :
n=0
Atunci S este de clas¼a C 1 şi pentru orice x0 2 B (0; ) şi orice r; r0 > 0 cu kx0 k <
r < r0 < exist¼a M > 0 cu proprietatea
k!
kx x0 k < r kx0 k ) S (k) (x)
M r0
k+1
(r r0 )
pentru orice k 2 N.
Demonstraţie. Inductiv, din teorema precedent¼
a rezult¼
a c¼
a funcţia S este de
clas¼
a C 1 şi are loc relaţia
X
S (k) (x) =
p(k)
n (x)
n k
0
Fie acum x0 2 B (0; ) şi r; r > 0 cu kx0 k < r < r0 < . Atunci seria
1
X
kpn kh r0n
n=0
este convergent¼
a. Deci exist¼
a M > 0 astfel încât
Pe de alt¼
a parte, dac¼
a kx
prin urmare
p(k)
n (x)
p(k)
n
h
kpn kh r0n < M;
x0 k < r
kxk
n k
=
8n 2 N:
kx0 k, atunci kxk
n!
(n
kx
n k
k)!
kpkh kxk
M
x0 k + kx0 k < r şi
n!
(n
rn k
k)! r0n
De aici rezult¼
a c¼
a
S (k) (x)
M
X
n k
Pentru a calcula suma
P
n!
(n
rn k
M X
n!
= 0k
0n
k)! r
r
(n k)!
n k
n!
n k (n k)!
r
r0
f : ( 1; 1) ! R;
Avem
f (t) =
n k
f (t) =
k!
(1
t)
consider¼
am funcţia
k+1
1
X
tn =
n=0
=
X
n k
n!
(n
k)!
1
1
tn k
t
r
r0
n k
60
2. FUNC ŢII ANALITICE
Deci
X
n k
Continuând obţinem
n!
(n
r
r0
k)!
M
r0k 1
S (k) (x)
n k
=
k!
r
r0
k+1
k!
(1
t)
= M r0
k+1
k!
k+1
r0 )
(r
3. Funcţii analitice
De…niţia 3.1. Fie U , V spaţii Banach, X = X
(a) Dac¼a x0 2 X seria de puteri pe U
1
X
1
n!
n=0
U şi f 2 C 1 (X; V ).
f (n) (x0 ) 4n
se numeşte seria Taylor asociat¼a cu f în punctul x0 .
(b) Spunem c¼a f este analitic¼a, dac¼a pentru orice x0 2 X seria Taylor asociat¼a
cu f în punctul x0 este convergent¼a cu raza de convergenţ¼a (x0 ) > 0 şi exist¼a
r 2 (0; (x0 )) astfel încât B (x0 ; r) X şi
kx
x0 k < r ) f (x) =
1
X
1
n!
n=0
f (n) (x0 ; x
|
x0 ; :::; x
{z
n ori
x0 )
}
Teorema 3.1. Fie U , V spaţii Banach, X = X
U şi f 2 C 1 (X; V ). Atunci
urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f este analitic¼a.
(b) Pentru orice x0 2 X exist¼a ; M; r > 0 astfel încât B (x0 ; r) X şi pentru
orice n 2 N s¼a avem
kx
x0 k < r ) k f (n) (x) k
kx
x0 k < r ) k f (n) (x) k
(c) Pentru orice x0 2 X exist¼a
orice n 2 N s¼a avem
M n n!
; r > 0 astfel încât B (x0 ; r)
n
X şi pentru
n!
Demonstraţie. (a) ) (b). Fie x0 2 X …xat şi …e 0 = (x0 ) > 0 raza de
convergenţ¼
a a seriei Taylor asociat¼
a cu f în punctul x0 . Atunci exist¼
a r 2 (0; 0 )
astfel încât B (x0 ; r) X şi
kx
x0 k < r ) f (x) =
1
X
1
n!
n=0
f (n) (x0 ; x
|
Din teorema 2.3 aplicat¼
a seriei de puteri
1
X
1 (n)
f (x0 ) 4n
n!
n=0
rezult¼
a c¼
a pentru 0 < r < r0 <
aM
0 exist¼
kuk < r ) S (n) (u)
0
x0 ; :::; x
{z
n ori
x0 )
}
= M 0 (r0 ) > 0 astfel încât
n!
M 0 r0
n+1
(r r0 )
3. FUNC ŢII ANALITICE
61
pentru orice k 2 N, unde funcţia S : B (0; 0 ) ! V este dat¼
a de
1
X
1
S (u) =
Acum din f (x) = S (x
n!
n=0
x0 ) deducem
n ori
M 0 r0
S (k) (u)
x0 k < r ) k f (n) (x) k
kx
f (n) (x0 )(u; :::; u)
| {z }
n!
(r
r0 )
M n n!
n+1
0 0
r
cu M = M
= r 1r0 .
r r 0 şi
(b) ) (a). Fie x0 2 X …xat şi ; M; r > 0 constantele pentru care avem
B (x0 ; r) U şi pentru orice n 2 N s¼
a avem
x0 k < r ) k f (n) (x) k
kx
M n n!
Dac¼
a r0 este astfel încât r0 < r şi r0 < 1, atunci vom ar¼
ata c¼
a
kx
1
X
1
0
x0 k < r ) f (x) =
f (n) (x0 )(x
|
x0 ; :::; x
{z
x0 )
}
f (k+1) (x0 )(x
|
0
x0 ; :::; x
{z
x0 ) (1
}
n!
n=0
n ori
Vom demonstra acest lucru folosind formula lui Taylor cu rest integral.
f (x)
k
X
1
n!
n=0
f (n) (x0 )(x
|
k
X
1
n!
n=0
1
=
k!
x0 )
}
Z 1
k+1
x0 k < r şi pentru orice k 2 N avem
f (n) (x0 )(x
|
1
k
k!
n
0
Deducem c¼
a pentru kx
k f (x)
x0 ; :::; x
{z
Z 1
0
x0 ) k
}
x0 ; :::; x
{z
n
f (k+1) (x0 )(x
|
x0 ; :::; x
{z
k+1
M (r0 )
k+1
Z 1
x0 ) (1
}
(k + 1) (1
k
t) dt k
k
t) dt = M (r0 )
0
Deoarece r
0
< 1 obţinem
kx
x0 k < r0 ) f (x) =
1
X
1
n!
n=0
(b) ) (c). Se obţine din
M
f (n) (x0 )(x
|
(max f1; M g)n ) M n
Cealalt¼
a implicaţie (c) ) (b) este trivial¼
a.
k
t) dt
x0 ; :::; x
{z
n ori
(max f1; M g
)n
x0 )
}
k+1
62
2. FUNC ŢII ANALITICE
P1
Corolarul 3.2. Dac¼a n=0 pn este o serie de puteri convergent¼a pe U valori în
V cu raza de convergenţ¼a > 0, atunci funcţia
1
X
S : B (0; ) ! V; S (x) =
pn (x) ;
n=0
este analitic¼a.
Demonstraţie. A…rmaţia rezult¼
a din teorema precedent¼
a şi teorema 2.3.
Corolarul 3.3. Fie U , V spaţii Banach, X = X
U şi f : X ! V funcţie
analitic¼a pe X. Atunci f 0 : X ! L (U ; V ) este funcţie analitic¼a pe X.
Demonstraţie. Fie x0 2 X şi …e ; r > 0 constantele pentru care avem B (x0 ; r)
U şi pentru orice n 2 N s¼
a avem
kx
Atunci pentru x 2 B (x0 ; r)
(n)
k (f 0 )
(x) k
x0 k < r ) k f (n) (x) k
= k f (n+1) (x) k
n+1
n
n!
(n + 1)!
n+1 n
2 n!
n
(2 ) n!
deci f 0 : X ! L (U ; V ) este funcţie analitic¼
a pe X.
Corolarul 3.4. Fie U , V spaţii Banach, X = X
U şi f; g : X ! V funcţii
analitice pe X. Atunci f + g : X ! V este funcţie analitic¼a pe X. Dac¼a h : X ! R
este funcţie analitic¼a pe X, atunci h f : X ! V este funcţie analitic¼a pe X.
Demonstraţie. Fie x0 2 X şi …e ; r > 0 constantele pentru care avem B (x0 ; r)
U şi pentru orice n 2 N s¼
a avem
k f (n) (x) k
x0 k < r ) k g (n) (x) k
k h(n) (x) k
kx
Deducem imediat c¼
a
kx
n
n!
n! :
n
n!
n
x0 k < r ) k f (n) (x) + g (n) (x) k
2n! n ;
n 2 N;
deci f + g : X ! V este funcţie analitic¼
a pe X. Pentru urm¼
atoarea a…rmaţie
folosim formula lui Leibnitz stabilit¼
a în corolarul 8.4.
n
X
X
1
(n)
(h(k) (x) f (n k) (x))
(h f ) (x) =
k! (n k)!
k=0
k (h f )
(n)
(x) k
Deci pentru orice n 2 N şi kx
(n)
k (h f )
(x) k
n
X
k=0
+
n
k
2Sn
k h(k) (x) k k f (n k) (x) k
x0 k < r avem
n
X
n
k! (n
k
k=0
n
k)! n = (n + 1)! n
n
2 n! n = (2 ) n!
Rezult¼
a c¼
a h f : X ! V este funcţie analitic¼
a pe X.
3. FUNC ŢII ANALITICE
63
De…niţia 3.2. Vom nota cu
C ! (X; V ) = ff : X ! V ; f este funcţie analitic¼a pe Xg
spaţiul funcţiilor analitice pe X.
Teorema 3.5 (Teorema de identitate). Fie X un deschis conex din U , x0 2 X şi
f : X ! V o funcţie analitic¼a pe X. Dac¼a f (n) (x0 ) = 0 pentru orice n 2 N, atunci
f = 0 pe X.
Demonstraţie. Din de…niţia analiticit¼
aţii şi din ipotez¼
a rezult¼
a c¼
a mulţimea
n
o
M = x 2 X; f (n) (x) = 0; 8n 2 N
este deschis¼
a şi x0 2 X. Cum M este în acelaşi timp mulţime închis¼
a în X, iar X
un deschis conex, rezult¼
a c¼
a M = X, adic¼
a f = 0 pe X.
Teorema 3.6 (Boboc). Fie U , V spaţii Banach, X un deschis din U şi f 2
C 1 (X; V ). Presupunem c¼a exist¼a r > 0 astfel încât pentru orice x 2 X raza de
convergenţ¼a a seriei Taylor asociat¼a cu f în punctul x
1
X
1
n=0
este
Fie
n!
f (n) (x) 4n
r. Atunci f 2 C ! (X; V ).
Demonstraţie. 1 Prin ipotez¼
a, pentru orice x 2 X avem
0
1 1
s
s
f (n) (x)
f (n) (x)
n
A () limn!1 n
r @limn!1
n!
n!
r 1
2 (0; min fr; 1g). Atunci exist¼
a nx; astfel încât
n
nx; ) f (n) (x)
n
n!
2 Pentru m 2 N punem
\ n
Mm; =
x 2 X; f (n) (x)
n!
n 1
n!
n 1
n m
o
Atunci Mm; este mulţime închis¼
a în X şi
Mm;
1
Mm+1;
2 ) Mm; 2
Mm; 1
Din cele ar¼
atate la punctul 1 rezult¼
a c¼
a avem
[
X=
Mm;
m2N
şi întrucât X are proprietatea Baire rezult¼
a c¼
a exist¼
a m 2 N astfel încât M m; 6= ;.
S
Folosind teorema 3.1 obţinem c¼
a f este funcţie analitic¼
a pe m2N M m; .
3 Vom ar¼
ata c¼
a
[
X=
M m; =2
m2N
64
2. FUNC ŢII ANALITICE
Vom demonstra acest lucru prin reducere la absurd. Punem
[
L=Xr
M m; =2
m2N
S
şi presupunem c¼
a L 6= ;. Atunci este mulţime închis¼
a în X şi L
m2N Mm; .
Deoarece L are proprietatea Baire rezult¼
a c¼
a exist¼
a m 2 N astfel încât L \ Mm;
are interiorul nevid. Rezult¼
a c¼
a exist¼
a x0 2 L \ Mm; şi exist¼
a re0 > 0 astfel încât
B (x0 ; re0 )
B (x0 ; re0 ) \ L
X;
r0 ; g. Atunci
Punem r0 = 41 min fe
B (x0 ; r0 )
X;
x0 2 B (x0 ; r0 ) \ L
Consider¼
am acum o component¼
a conex¼
a
=
Mm;
Mm;
a mulţimii deschise B (x0 ; r0 )rL. Atunci
deoarece
y2
B (x0 ; r0 ) r L ) 9 > 0 astf el ^{nc^
at B (y; )
y 2 B (y; ) \
)
[ B (y; ) conexa )
4 Fie x 2
B (x0 ; r0 ) r L. Atunci
B (x; =2)
B (x0 ; r0 ) r L:
[ B (y; ) =
) B (y; )
:
B (x; r)
Într-adev¼
ar,
dist x;
jx
x0 j + dist x0 ;
jx
x0 j + r0 < r0 + r0 = 2r0
=2
De asemenea aven şi
(@ ) \ L 6= ;:
Pentru a ar¼
ata acest lucru alegem x 2 şi punem t0 = sup ft; x + t (x0
Atunci
(1) x + t0 (x0 x) 2 [x; x0 ] B (x0 ; r0 ), deoarece x0 2
= ;
(2) x + t0 (x0 x) 2 ;
(3) x + t0 (x0 x) 2
= , deoarece
x + t0 (x0
x) 2
) t0 6= sup ft; x + t (x0
x) 2
x) 2
g.
g;
(4) x+t0 (x0 x) 2 L, deoarece în caz contrar x+t0 (x0 x) 2 B (x0 ; r0 )rL şi
mulţimea [ fx + t (x0 x) ; t 2 [0; t0 ]g este mulţime conex¼
a ca reuniune
de dou¼
a mulţimi conexe cu intersecţia nevid¼
a. Deoarece
[ fx + t (x0
x) ; t 2 [0; t0 ]g
B (x0 ; r0 ) r L
[ fx + t (x0
x) ; t 2 [0; t0 ]g ) x + t0 (x0
obţinem
=
) t0 < sup ft; x + t (x0
x) 2
g
contradicţie.
Din cele de mai sus obţinem c¼
a
x + t0 (x0
x) 2 (@ ) \ L
5 Vom ar¼
ata c¼
a
x2
) f (n) (x)
n! ( =2)
n 1
;
8n
m:
x) 2
3. FUNC ŢII ANALITICE
65
Pentru început vom observa c¼
a f este analitic¼
a pe B (x0 ; r0 ) r L deoarece f este
analitic¼
a pe M m; =2 \ B (x0 ; r0 ) pemtru orice m 2 N şi
[
[
M m; =2 )
M m; =2 ) = B (x0 ; r0 ) \ (
B (x0 ; r0 ) r L = B (x0 ; r0 ) r (X r
[
=
m2N
m2N
m2N
(M m; =2 \ B (x0 ; r0 ))
Cum =
B (x0 ; r0 ) r L rezult¼
a c¼
a f este analitic¼
a pe .
Pentru a 2 (@ )\L şi b 2 consider¼
am funcţiile analitice
şi b 2 C ! (; V ) de…nite prin
a (x)
b (x)
1
X
1
=
n!
n=0
1
X
1
=
n!
n=0
care satisfac
f (n) (a) (x
|
n ori
f (n) (b) (x
|
(n)
a (a)
(n)
b (b)
n ori
= f (n) (a) ;
= f (n) (b) ;
f (x) =
Cum f 2 C
b);
}
b; :::; x
{z
Deoarece f este analitic¼
a pe
B (b; r) şi
teorema de identitate rezult¼
a c¼
a
1
a);
}
a; :::; x
{z
x 2 B (b; r) ;
n 2 N;
n 2 N:
x2
:
(n)
a (a) ;
) c¼
a
n2N
Folosind din nou teorema de identitate deducem c¼
a
b (x) ;
(B (a; r) ; V )
x 2 B (a; r) ;
(X; V ) obţinem trecând la limit¼
a (a 2 @
a (x) =
!
este mulţime deschis¼
a şi conex¼
a, din
b (x) ;
(n)
(n)
(a) =
b (a) = f
a 2C
x 2 B (a; r) \ B (b; r)
Aici am folosit faptul c¼
a orice mulţime convex¼
a este conex¼
a şi c¼
a B (a; r) \ B (b; r)
este mulţime convex¼
a. Din
f (x)
=
a (x)
=
B (a; r) \ B (b; r) ;
b (x) ;
b (x) ;
rezult¼
a c¼
a
f (x) =
x2 ;
x 2 B (a; r) \ B (b; r)
a (x) ;
x2
Din egalitatea
(k)
a (x) =
1
X
n=k
şi din
B (a; =2)
f (k) (x) =
1
(n
k)!
f (n) (a) (x
|
a; :::; x
{z
:
(n k) ori
a);
}
x 2 B (a; r) ;
B (a; r) deducem c¼
a pentru orice k 2 N avem
(k)
a (x)
1
X
n=k
1
(n
n k
k)!
f (n) (a) ( =2)
;
x2
:
66
2. FUNC ŢII ANALITICE
Întrucât a 2 (@ ) \ L
B (x0 ; r0 ) \ L
Mm; pentru n
f (n) (a)
deci pentru k
m avem
n 1
n!
m avem
k 1
f (k) (x)
1
X
n=k
n!
(n
=
k 1
x2
) f (k) (x)
k)!
2 (n k) =
k!2k+1 = k! ( =2)
k 1
(k)
1
k 1
1
;
(1=2)
t
x2 :
adic¼
a
k! ( =2)
k 1
;
8k
m:
5 Estimarea obţinut¼
a atest¼
a faptul c¼
a
Mm; =2 . Cum
este o component¼
a
conex¼
a arbitrar¼
a a mulţimii deschise B (x0 ; r0 ) r L, rezult¼
a c¼
a
B (x0 ; r0 ) r L
Mm; =2 :
De asemenea avem
B (x0 ; r0 ) \ L
B (x0 ; r0 ) \ L
Mm;
Mm; =2 :
De aici deducem c¼
a
B (x0 ; r0 )
Mm; =2 ) B (x0 ; r0 )
)
)
)
M m; =2
B (x0 ; r0 ) \ (X r M m; =2 ) = ;
[
B (x0 ; r0 ) \ (X r
M m; =2 ) = ;
m2N
B (x0 ; r0 ) \ L = ; contradicţie cu x0 2 B (x0 ; r0 ) \ L:
Contradicţia in…rm¼
a ipoteza, deci L = ;. Prin urmare,
[
X=
M m; =2
m2N
Cum f este funcţie analitic¼
a pe
S
af 2C
m2N M m; =2 obţinem c¼
!
(X; V ).
Corolarul 3.7. Fie U , V spaţii Banach, X
U o mulţime deschis¼a conex¼a şi
f 2 C 1 (X; V ). Dac¼a pentru orice x 2 X exist¼a nx 2 N cu proprietatea
n
nx ) f (n) (x) = 0;
atunci f este un polinom pe X, adic¼a exist¼a n0 2 N cu proprietatea
f (n0 ) (x) = 0;
x 2 X:
Demonstraţie. Pentru orice x 2 X raza de convergenţ¼
a a seriei Taylor asociat¼
a
cu f în punctul x
1
X
1 (n)
f (x) 4n
n!
n=0
este 1 deoarece
limn!1
s
n
f (n) (x)
= 0:
n!
3. FUNC ŢII ANALITICE
67
Din teorema precedemt¼
a rezult¼
a c¼
a f 2 C ! (X; V ). Folosind analiticitatea funcţiei
f , peoprietatea din enunţ se transform¼
a dintr-o proprietate punctual¼
a intr-o proprietate local¼
a, adic¼
a:
Pentru orice x 2 X exist¼a rx > 0; nx 2 N astfel încât
nx
X
1 (n)
f (y) =
f (x)(y x; :::; y x); y 2 B (x; rx ) :
|
{z
}
n!
n=0
n ori
În particular,
f (nx ) (y) = 0;
y 2 B (x; rx )
(n)
n nx ) f (x) = 0;
Pentru orice n 2 N de…nim mulţimea închis¼
a
o
\ n
x 2 X; f (m) (x) = 0
Mn =
m n
Atunci din cele ar¼
atate mai sus rezult¼
a c¼
a Mn este şi mulţime deschis¼
a. De asemenea
avem
[
X=
Mn
n2N
Aceast¼
a egalitate implic¼
a faptul c¼
a exist¼
a n0 2 N astfel încât Mn0 6= ;. Recapitulând am g¼
asit o submulţime nevid¼
a în X care este simultan deschis¼
a şi închis¼
a în
X care este conex¼
a. De aici obţinem c¼
a
n
o
X = Mn0 = x 2 X; f (m) (x) = 0; 8m n0
Deci
f (n0 ) (x) = 0;
x 2 X:
Corolarul 3.8. Fie U , V spaţii Banach, X
U o mulţime deschis¼a şi f 2
C 1 (X; V ). Dac¼a pentru orice submulţime m¼arginit¼a şi închis¼a K a lui X exist¼a
rK > 0 astfel încât oricare ar … x 2 K, raza de convergenţ¼a a seriei Taylor asociat¼a
cu f în punctul x este rK , atunci f 2 C ! (X; V ).
Demonstraţie. Consider¼
am şirul exhaustant de mulţimi m¼
arginite şi închise
fKn g
Kn = x 2 X; kxk 2n ; d x; {X
2 n
Atunci
Kn
=
x 2 X; kxk
2n ; d x; {X
2 n
x 2 X; kxk < 2n+1 ; d x; {X > 2 n 1
K n+1
şi
[
n2N
Kn = X =
[
Kn
n2N
Din teorema precedemt¼
a deducem c¼
a f 2 C! K n; V
!
c¼
a f 2 C (X; V ).
pentru orice n 2 N. Rezult¼
a
68
2. FUNC ŢII ANALITICE
4. Teorema de compunere în clasa C !
Lema 4.1. Fie n; k 2 N, n
1. Atunci
k
X
n+j 1
n 1
j=0
n+k
n
=
şi
k+n 1
n 1
card f 2 Nn ; j j = kg =
Demonstraţie. Prima identitate se demonstreaz¼
a folosind identitatea lui Pascal
şi anume
n
n
n+1
+
=
; 1 m n:
m
m 1
m
Avem
n+1
m
=
n
m
n+2
m
=
n+1
m
n
+
m
1
;
n+1
m 1
+
;
..
.
n+k
m
1
=
n+k
m
2
=
n+k
m
1
+
n+1
m 1
+ ::: +
n+k
m
=
n+k
m
+
n+k 2
m 1
+
n+k 1
m 1
care prin sumare dau
n+k
m
=
n
m
n+k 2
m 1
+
n+k 1
m 1
sau
j=1
Pentru m = n obţinem
n+k
n
k
X
=
=
=
n+j 1
m 1
n
n
+
n
n
1
1
k
X
j=0
k
X
n
m
n+j 1
n 1
j=1
+
+
k
X
j=1
n+j 1
n 1
n+j 1
n 1
Pentru egalitatea a doua proced¼
am prin inducţie dup¼
a n observând c¼
a
n
f 2 N ; j j = kg =
k
[
n =0
=( ;
n) ;
2 Nn 1 ; j j = k
n
4. TEO REM A DE COM PUNERE îN CLASA C !
69
cu reuniunea disjunct¼
a.
card f 2 Nn ; j j = kg
k
X
=
2 Nn 1 ; j j = k
card
n =0
k
X
=
k
n+n
n
n =0
k
X
=
j=0
n
2
2
j+n 2
n 2
k+n 1
n 1
=
Teorema 4.2 (Teorema de compunere). Fie U , V , W spaţii Banach, X = X
Y =Y
U,
V şi
f : X ! Y;
g:Y !W
funcţii analitice. Atunci g f este funcţie analitic¼a.
Demonstraţie. Fie a 2 X. Punem b = f (a) 2 Y . Deoarece f 2 C ! (X; Y ) şi
g 2 C ! (Y; W ) exist¼
a ra ; rb > 0, a ; b > 0 astfel încât
B (a; ra )
X;
f (B (a; ra ))
B (b; rb )
ak
<
bk
<
ra ) k f (n) (x) k
Y
şi pentru orice n 2 N s¼
a avem
kx
ky
rb ) k g (n) (x) k
(n)
Folosim acum teorema 8.6 pentru a estima (g f )
Avem
(g f )
=
(n)
n
X
n
a n!
n
b n!
(x) pentru orice x 2 B (a; ra ).
(x)
1
j!
j=1
X
2N j ;j j=n
X
1
1 !::: j !
2Sn
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x)
:::
f ( j ) (x))
70
2. FUNC ŢII ANALITICE
obţinem
(g f )
(n)
n
X
1
(x)
j!
j=1
= n! na
2N
n
X
j=1
= n! na
n
X
X
j ;j
n
b n! a
b n!
1 +:::+
j
j
b
2N j ;j j=n
n
X
n
j
1
1
j 1
b
n 1
b)
n
a (1 +
n
[ a (1 +
j
b
2 N j; j j = n
card
j=1
=
1 !::: j ! a
2Sn
j=n
X
j=1
=
X
1
j! jb
!:::
!
1
j
b )]
n!
deci
kx
(n)
ak < ra ) (g f )
(x)
[ a (1 +
n
b )] n!
Aceast¼
a estimaţie atest¼
a faptul c¼
a g f 2 C ! (X; W ).
Am folosit
card
2 N j; j j = n
=
2 Nj ; j j = n
card
=
=
n
j+j
j 1
n
j
1
1
j
1
Lema 4.3. Fie U; V spaţii Banach. Punem
1
X = T ; 9T
2 L (V ; U )
L (U ; V )
Atunci X este o submulţime deschis¼a a spaţiului L (U ; V ) şi aplicaţia
X 3 T ! inv (T ) = T
1
2 L (V ; U )
este analitic¼a.
Demonstraţie. Ştim c¼
a X este o submulţime deschis¼
a a spaţiului L (U ; V ) şi c¼
a
aplicaţia
X 3 T ! inv (T ) = T
este de clas¼
a C 1 . Pentru k 2 N, k
1
2 L (V ; U )
1, derivata sa de ordin k este dat¼
a de
X
inv(k) (T ) (S1 ; :::; Sk ) = ( 1)
T 1 S (1) T 1 S (2) T 1 :::T 1 S (k) T 1
k
cu suma efectuat¼
a dup¼
a toate permut¼
arile mulţimii f1; 2; :::; kg. De aici obţinem c¼
a
inv(k) (T )
T
1 k+1
k!
5. TEO REM A FUNC ŢIEI INVERSE îN CLASA C !
1
. Atunci
2kT0 1 k
Fie T0 2 X şi S 2 L (U ; V ) astfel încât kSk
(T0 + S)
1
71
1
= T0 1 idV + ST0 1
=
1
X
T0 1
ST0 1
k
0
deci
(T0 + S)
1
T0 1
1
X
2 T0 1
2 k
0
Prin urmare, pentru T 2 B T0 ; 2 T1 1
k 0 k
inv(k) (T )
k+1
2 T0 1
k!
deci inv este o funcţie analitic¼
a.
Corolarul 4.4. Dac¼a f : X ! L Rd este o funcţie analitic¼a pe X = X
U şi
1
det f 0 (x) 6= 0 pentru orice x 2 X, atunci (f ( )) este de asemenea analitic¼a pe
X.
În particular, dac¼a f : X ! R este o funcţie analitic¼a pe X = X
U şi
f 0 (x) 6= 0 pentru orice x 2 X, atunci 1=f este de asemenea analitic¼a pe X.
Demonstraţie. Se alic¼
a teorema de compunere şi faptul c¼
a
inv : GL Rd = GL (d) ! GL (d) ;
inv (T ) = T
1
este o funcţie analitic¼
a.
5. Teorema funcţiei inverse în clasa C !
Vom preg¼
ati demonstraţia teoremei funcţiei inverse stabilind câteva rezultate elementare.
Lema 5.1. Fie f : (0; 1) ! R, f (t) = t . Atunci f este o funcţie analitic¼a.
Demonstraţie. Avem
f (k) (t)
=
1) ::: (
k + 1) t k
1
k 1
:::
t
2
k
(
= k!
k
Rezult¼
a c¼
a
f (k) (t)
k
k! (j j + 1) t
k
Dac¼
a t0 > 0, atunci
f (k) (t)
sup
1
2 t0
t
3
2 t0
sup 21 t0 t
3
2 t0
f (t) k!
2 (j j + 1)
t0
k
deci f este o funcţie analitic¼
a.
Corolarul 5.2. Fie f : ( 1; a) [ (a; 1) ! R, f (t) = x2
este o funcţie analitic¼a.
a2
1=2
. Atunci f
Demonstraţie. Local f se descompune în produs de funcţii analitice.
72
2. FUNC ŢII ANALITICE
Fie X = X U , Y = Y
V şi f : X ! Y un C 1 -difeomor…sm cu g = f
Y ! X inversul s¼
au. Din egalit¼
aţile g f = idU şi f g = idV deducem
g 0 (f (x)) f 0 (x)
0
0
f (g (y)) g (y)
=
idU ;
=
idV ;
1
;
y 2 Y:
x 2 X:
Fie
B : L (V ; U )
Atunci
:
x 2 X;
Luând y = f (x) obţinem c¼
a
g 0 (f (x)) = (f 0 (x))
1
L (U ; V ) ! L (U ; U ) ;
B (T; S) = T
S:
B (g 0 (f (x)) ; f 0 (x)) = idU 1U ; x 2 X:
Fie k 2 N, k 1. Deriv¼
am ultima egalitate de k ori şi folosim formula lui Leibniz
de derivare (corolarul 8.4 )
k
X
X
1
j! (k j)
j=0
(j)
(g 0 f )
B
(k j)
(f 0 )
;
x 2 X:
Izolând termenul j = 0 şi folosind egalitatea
X
(k)
(k)
B
(g 0 f ) (x) (f 0 ) (x) = g 0 (f (x)) (f 0 ) (x) ;
x 2 X;
0=
(x)
(x)
2Sk
2Sk
obţinem
(k)
0 = g 0 (f (x)) (f 0 )
(x) +
k
X
1
1 X
j! (k j) k!
j=1
(k)
(x)
(f 0 )
(k j)
(x)
;
x2X
2Sk
şi deoarece g 0 (f (x)) = (f 0 (x))
(f 0 )
(j)
(g 0 f )
B
k
X
1
rezult¼
a c¼
a
1
1 X
j! (k j) k!
j=1
(x) =
(j)
f 0 (x) B
(g 0 f )
(k j)
(f 0 )
(x)
(x)
2Sk
Continu¼
am folosind teorema 8.6
(g 0 f )
=
j
X
1
s!
s=1
=
(j)
(x)
X
2N
j
X
s=1
s ;j
X
1
1 !::: s !
(g 0 )
(s)
(f (x))
f ( 1 ) (x)
:::
f ( s ) (x)
2Sj
j=j
X
X
(g 0 )
(s)
(f (x))
s!
f ( 1 ) (x)
1!
1 X 1 X
k!
j!
(f 0 (x)
2N s ;j j=j 2Sj
:::
f ( s ) (x)
s!
!
Deducem
0 (k)
(f )
(x) =
j
k X
X
j=1 s=1
B
0 (s)
(g )
X
2N
(f (x))
s!
s ;j
j=j
f
(
2Sk
2Sj
1)
(x)
1!
:::
f ( s ) (x)
s!
!
(k j)
(f 0 )
(k
(x)
j)!
!!
5. TEO REM A FUNC ŢIEI INVERSE îN CLASA C !
73
adic¼
a o formul¼
a în care apar derivatele
f (1)
f (k) g (2)
g (k+1)
; :::;
;
; :::;
;
1!
k!
2!
(k + 1)!
f (1) (x)
f (k) (x) g (2) (f (x))
g (k+1) (f (x))
; :::;
;
; :::;
1!
k!
2!
(k + 1)!
f (k+1) (x) = F
Aceast¼
a formul¼
a permite calculul derivatei f (k+1) (x) în funcţie de derivatele de ordin mai mic ale lui f , f (1) (x) ; :::; f (k) (x) şi de derivatele g (2) (f (x)) ; :::; g (k+1) (f (x)).
De asemenea ea va … folosit¼
a pentru a estima derivatele lui f în cazul în care g este
funcţie analitic¼
a şi ne va ajuta s¼
a demonstr¼
am c¼
a f este şi ea o funcţie analitic¼
a.
Pentru a realiza acest program vom observa c¼
a dac¼
a X şi Y
sunt
deschişi
P
P din
1
1
R, atunci compunerile se transform¼
a în înmulţire, sumele k!
2Sk şi j!
2Sj
dispar iar acţiunile
şi dispar la rândul lor. Obţinem în acest caz
f (k+1) (x) =
k
X
(k
j + 1)
(s + 1)
s=1
j=1
X
j
X
f 0 (x)
2N s ;j j=j
g (s+1) (f (x)) f ( 1 ) (x)
f ( s ) (x) f (k j+1) (x)
:::
(s + 1)!
(k j + 1)!
1!
s!
astfel încât dac¼
a
f (1) (x)
=
1!
1 ; :::;
f (k) (x)
=
k!
g (2) (f (x))
=
2!
k;
2
; :::;
g (k+1) (f (x))
=
(k + 1)!
k+1
atunci
k+1 =
f (k+1) (x)
(k + 1)!
satisface
k+1 =
k
X
1
(k
(k + 1)! j=1
j + 1)
j
X
X
(s + 1)
s=1
1
s+1
1
:::
s
k j+1
:::
s
2N s ;j j=j
deci
k+1 =
k
X
1
(k + 1)! j=1
(k
j + 1)
k j+1
j
X
(s + 1)
s+1
s=1
X
1
2N s ;j j=j
Presupunem acum c¼
a g este funcţie analitic¼
a. Fie a 2 X. Punem b = f (a) 2 Y .
Atunci exist¼
a ra ; rb > 0, > 0 astfel încât
B (a; ra )
f
(1)
X;
(B (a; ra ))
f (B (a; ra ))
B f
(1)
(a) ; rb
şi pentru orice n 2 N s¼
a avem
ky
Fie
1 = supB(a;ra ) k f
(1)
B (b; rb )
bk < rb ) k g (n) (x) k
Y;
L (U ; V )
n
n!
(x) k < 1 deoarece
k f (1) (x) k
k f (1) (a) k + rb ;
x 2 B (a; ra ) :
74
2. FUNC ŢII ANALITICE
Pornind cu
k+1 =
1 > 0 şirul de numere pozitive de…nit recursiv prin
k
X
1
(k + 1)! j=1
(k
j + 1)
k j+1
j
X
X
s+1
(s + 1)
s=1
1
:::
s
2N s ;j j=j
satisface
sup k f (p) (x) k
p p!;
p = 1; 2; 3; :::
B(a;ra )
Mai mult, exist¼
a
> 0 astfel încât
p
p
;
p = 1; 2; 3; :::
Pentru a demonstra aceast¼
a a…rmaţie vom considera un caz special când
1
X
1
2
1
m m
g (y) = 1 1 y
y =( 1 )
y ( y) (1
y) ;
m=2
1
2
1
. Funcţia este de…nit¼
a pentru 1 < y < 1,
pentru 1 < y < 1
( 1 ) +1
dar intervalul precizat mai devreme este un interval de monotonie care-l conţine pe
1
0 şi pe care vom inversa funcţia. Punem = ( 1 ) şi
: R r f1g ! R;
z2
(z) = z
1
= z+
z
z2
z
1
=
+1
Atunci
0
(z)
=
+2
0
(z)
=
0)
8
>
>
>
<
)
Invers¼
am
>
>
>
:
pe
z
(
z2
z
1
(z
1)
2 =
1
2 ;1
j 1 ( +1)
1; 1
z+
z2
z
1
1
2
z
1
1
(z
cresc¼
atoare
1
2
1
2 ;1
cresc¼
atoare
[ 1;1+( +1)
( + 1)
2
z
1
2
1;1 ( +1)
j 1+( +1)
1
1
2
z1 = 1 ( + 1)
z2 = 1 + ( + 1)
j
+1
1
2
descresc¼
atoare
rezolvând ecuaţia
= x , ( + 1) z 2
(x + ) z + x = 0
care implic¼
a
x+
z (x) =
h
(x
2)
2
4 ( + 1)
2 ( + 1)
i 21
;
x<
+2
1
2 ( + 1) 2 :
( y) = x obţinem c¼
a f (x) = y (x) = z(x) deci
h
i 12
2
x+
(x
2)
4 ( + 1)
1
f (x) =
; x < + 2 2 ( + 1) 2 :
2 ( + 1)
Deoarece g (y) =
Nu mai r¼
amâne decât s¼
a observ¼
am c¼
a f este funcţie analitic¼
a în 0 şi c¼
a
f (p) (0) =
p p!;
p = 1; 2; 3; :::
1)
2
6. CLASA C L
75
Astfel am denonstrat urm¼
atorul rezultat.
Teorema 5.3. Fie X = X
U, Y = Y
V şi f : X ! Y un C 1 -difeomor…sm
1
cu g = f : Y ! X inversul s¼au. Dac¼a g este o funcţie analitic¼a, atunci f este o
funcţie analitic¼a.
Teorema 5.4 (Teorema funcţiei inverse pentru funcţii analitice). Fie X un deschis
din U , f 2 C ! (X; V ) şi …e x0 2 X, f (x0 ) = y0 . Pentru ca s¼a existe g 2 C ! (Y; U ),
unde Y este o vecin¼atate deschis¼a a lui y0 , astfel încât
(a) f g = id în vecin¼atatea lui y0 sau
(b) g f = id în vecin¼atatea lui x0 sau
(c) f g = id în vecin¼atatea lui y0 şi g f = id în vecin¼atatea lui x0 ,
este necesar şi su…cient s¼a existe o aplicaţie linear¼a A 2 L (V ; U ) astfel încât s¼a
avem corespunz¼ator
0
(a) f 0 (x0 ) A = idV ,
0
(b) Af 0 (x0 ) = idU ,
0 0
(c) f (x0 ) A = idV , Af 0 (x0 ) = idU
0
Condiţia (c) este echivalent¼a cu bijectivitatea lui f 0 (x0 ) şi implic¼a unicitatea
0
0
lui g în vecin¼atatea lui y0 . Dac¼a V (U ) este de dimensiune …nit¼a, atunci (a) (b)
este echivalent¼a cu surjectivitatea (injectivitatea) lui f 0 (x0 ).
De…niţia 5.1. Fie X un deschis din U , Y un deschis din V şi f : X ! Y o
aplicaţie.
(a) Spunem c¼a f este C ! difeomor…sm dac¼a este bijectiv¼a, iar f şi f 1 au
clasa C ! .
(b) Fie x0 2 X. Vom spune c¼a f este C ! difeomor…sm local în x0 dac¼a exist¼a
mulţimile deschise X 0 în X şi Y 0 în Y astfel încât x0 2 X 0 , f (X 0 ) = Y 0 şi aplicaţia
indus¼a X 0 ! Y 0 s¼a …e C ! difeomor…sm.
Teorema 5.5 (Teorema funcţiilor implicite în clasa C ! ). Fie U , V spaţii Banach,
Z =Z
U
V , (x0 ; y0 ) 2 Z şi f 2 C ! (Z; V ). Presupunem c¼a f (x0 ; y0 ) = 0 şi
c¼a @f
a. Atunci exist¼a X = X U , Y = Y
V,
@y (x0 ; y0 ) 2 L (V ; V ) este inversabil¼
!
x0 2 X, y0 2 Y , X Y
Z şi o unic¼a funcţie derivabil¼a 2 C (X; Y ) astfel încât
f (x; (x)) = 0;
şi
x2X
(x; y) 2 X Y; f (x; y) = 0 ) y = (x) :
În plus X şi Y se pot alege astfel încât @f
a pentru
@y (x; y) 2 L (V ; V ) este inversabil¼
orice (x; y) 2 X Y .
Demonstraţie. Demonstraţia este o repetare cuvânt cu cuvânt a celei date teoremei 3.2. Singura diferenţ¼
a este utilizare teoremei de inversare local¼
a în clasa C !
în loc de teorema de inversare local¼
a "simpl¼
a".
6. Clasa C L
Fie Ln un şir cresc¼
ator de numere pozitive astfel încât L0 = 1 şi
n
Ln ;
Ln+1
CLn
pentru o constant¼
a C > 0. Dac¼
a U , V , sunt spaţii Banach şi X = X U vom nota
cu C L (X; V ) mulţimea funcţiilor f 2 C 1 (X; V ) care satisfac proprietatea
76
2. FUNC ŢII ANALITICE
C L Pentru orice x0 2 X exist¼a
pentru orice n 2 N s¼a avem
Care este echivalent¼
a cu
0
C L Pentru orice x0 2 X exist¼a
orice n 2 N s¼a avem
X şi
n
M0 ( 0 L n )
0 ; r0 > 0 astfel încât B (x0 ; r0 )
X şi pentru
n
x0 k < r0 ) k f (n) (x) k
kx
0
> 0 astfel încât B (x0 ; r0 )
x0 k < r0 ) k f (n) (x) k
kx
CL ) CL
0 ; M0 ; r0
( 0 Ln )
se obţine din
(max f1; M0 g)n ) M0 n0
M0
Cealalt¼
a implicaţie C L
0
) CL
0
(max f1; M0 g
0)
n
este trivial¼
a.
Observaţia 6.1. (a) Când Ln = n + 1, atunci C L (X; V ) = C ! (X; V ) deoarece
avem
n!
(n + 1)
n
en+1 n!
a
(b) Mulţimea C L (X; V ) cu Ln = (n + 1) , a > 1 se numeşte clasa Gevrey de
ordin a şi ea apare frecvent în teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale.
U şi f 2 C L (X; V ). Atunci
Propoziţia 6.1. Fie U , V spaţii Banach, X = X
f 0 2 C L (X; L (U ; V )).
Demonstraţie. Fie x0 2 X şi …e 0 ; r0 > 0 constantele pentru care avem
B (x0 ; r0 ) U şi pentru orice n 2 N s¼
a avem
n
x0 k < r0 ) k f (n) (x) k
kx
( 0 Ln )
Atunci pentru x 2 B (x0 ; r0 )
(n)
k (f 0 )
(x) k
= k f (n+1) (x) k
( 0 Ln+1 )
0 CLn ( 0 CLn )
n+1
n
deci f 0 2 C L (X; L (U ; V )).
Propoziţia 6.2. Fie U , V spaţii Banach, X = X U şi f; g 2 C L (X; V ). Atunci
f + g 2 C L (X; V ). Dac¼a h 2 C L (X; R), atunci h f 2 C L (X; V ).
Demonstraţie. Fie x0 2 X şi …e 0 ; r0 > 0 constantele pentru care avem
B (x0 ; r0 ) U şi pentru orice n 2 N s¼
a avem
n
k f (n) (x) k
x0 k < r0 ) k g (n) (x) k
k h(n) (x) k
( 0 Ln )
n
( 0 Ln ) :
n
( 0 Ln )
x0 k < r0 ) k f (n) (x) + g (n) (x) k
2 ( 0 Ln ) ;
kx
Deducem imediat c¼
a
kx
n
n 2 N;
6. CLASA C L
77
deci f + g 2 C L (X; V ). Pentru urm¼
atoarea a…rmaţie folosim formula lui Leibnitz
stabilit¼
a în corolarul 8.4.
n
X
X
1
(n)
(h f ) (x) =
(h(k) (x) f (n k) (x))
k! (n k)!
k=0
k (h f )
(n)
n
X
(x) k
(n)
2Sn
n
k
k=0
Deci pentru orice n 2 N şi kx
k (h f )
+
k h(k) (x) k k f (n k) (x) k
x0 k < r0 avem
n
X
(x) k
k=0
n
X
k=0
n
=
n
k
( 0 Lk ) ( 0 Ln k )
n
k
( 0 Ln ) ( 0 Ln )
k
k
n
n k
n k
n
2 ( 0 Ln ) = (2 0 Ln )
Rezult¼
a c¼
a h f 2 C L (X; V ).
Propoziţia 6.3. Fie n 2 N , U , V1 ; :::; Vn , V spaţii Banach, X = X
U , u1 2
C L (X; V1 ) ; :::; un 2 C L (X; Vn ) şi ! 2 Ln (V1 ; :::; Vn ; ; V ). Atunci ! (u1 ; :::; un ) 2
C L (X; V ). În particular, dac¼a u1 2 C L (X; C) ; :::; un 2 C L (X; C), atunci u1 ::: un 2
C L (X; C).
Demonstraţie. Ştim c¼
a ! (u1 ; :::; un ) 2 C 1 (X; V ) şi c¼
a pentru k 2 N, k 1,
derivata sa de ordin k este dat¼
a de
X 1 X
( )
(k)
!
u1 1 (x) ; :::; u(n n ) (x) ; x 2 X:
(! (u1 ; :::; un )) (x) =
!
2Sk
j j=k
De aici obţinem c¼
a
(! (u1 ; :::; un ))
(k)
(x)
k!k
X k!
!
j j=k
(
)
u1 1 (x) ::: u(n n ) (x) ;
Fie x0 2 X şi …e 0;j ; r0 > 0 constantele pentru care avem B (x0 ; r0 )
orice n 2 N s¼
a avem
kx
(k)
x0 k < r0 ) k uj (x) k
Deducem c¼
a pentru x 2 B (x0 ; r0 )
(! (u1 ; :::; un ))
(k)
(x)
k!k
k!k
0;j Lk
X k!
j j=k
k!k (Lk )
k
U şi pentru
j = 1; :::; n:
1
1
0;1 Lk
!
0;1 + ::: +
max (k!k ; 1)
i.e. ! (u1 ; :::; un ) 2 C L (X; V ).
;
0;1 L
!
X k!
j j=k
k
x 2 X:
1
:::
0;n L
:::
0;n Lk
n
n
n
k
0;n
0;1 + ::: +
0;n
Lk
k
78
2. FUNC ŢII ANALITICE
Teorema 6.4 (Teorema de compunere în clasa C L ). Fie U , V , W spaţii Banach,
V , f 2 C ! (X; Y ) şi g 2 C L (Y; W ). Atunci g
X = X
U, Y = Y
C L (X; W ).
f 2
Demonstraţie. Fie a 2 X. Punem b = f (a) 2 Y . Deoarece f 2 C ! (X; Y ) şi
g 2 C L (Y; W ) exist¼
a ra ; rb > 0, a ; b > 0 astfel încât
B (a; ra )
X;
f (B (a; ra ))
B (b; rb )
Y
şi pentru orice n 2 N s¼
a avem
kx
ak <
ky
bk
<
ra ) k f (n) (x) k
rb ) k g (n) (x) k
Folosim acum teorema 8.6 pentru a estima (g f )
Avem
(n)
(g f )
=
n
X
1
(n)
n
a n!
n
( b Ln )
(x) pentru orice x 2 B (a; ra ).
(x)
j!
j=1
2N
X
j ;j
X
1
1 !::: j !
g (j) (f (x)) (f ( 1 ) (x)
:::
f ( j ) (x))
2Sn
j=n
obţinem
(n)
(g f )
n
X
1
(x)
j!
j=1
= n! na
= n! na
X
2N j ;j j=n
n
X
j
( b Lj )
j!
j=1
n
X
= n! na
j=1
X
2 N j; j j = n
card
n
j
1
1
( b Lj )
j!
j
( b Lj )
j!
Acum vom observa c¼
a
j
(Lj )
j!
(Lj )
j!
j
j
=
1 !::: j ! a
2Sn
2N j ;j j=n
j=1
n
X
X
1
j
( b Lj )
1 !::: j !
Lj+1
Lj+n j
:::
j+1
j+n j
(Ln )
Ln
Ln
:::
j!
j+1
n
n
(Ln )
n!
j
1 +:::+
j
6. CLASA C L
79
Deci putem continua
(n)
(g f )
n! na
(x)
n
X
j=1
n! na
n
X
j=1
=
n
n
a (Ln )
=
n
n
a (Ln )
n
j
1
1
n
j
1
1
n
X
n
j
j=1
[ a (1 +
j
( b Lj )
j!
n
j (Ln )
b
n!
1
1
b (1 + b )
n
b ) Ln ]
j
b
n 1
astfel
kx
(n)
ak < ra ) (g f )
(x)
2 N j; j j = n
card
[ a (1 +
b ) Ln ]
n
Aceast¼
a estimaţie atest¼
a faptul c¼
a g f 2 C L (X; W ).
Am folosit
card
=
=
=
2 Nj ; j j = n
n
j+j
j 1
n
j
1
1
1
j
Partea 2
O introducere în teoria elementar¼
a
a integr¼
arii în Rn
(dup¼
a Martin Jurchescu)
CAPITOLUL 3
M¼
asura Lebesgue
1. Mulţimi elementare (pavate) în Rn
De…niţia 1.1. Fie a = (a1 ; :::; an ) ; b = (b1 ; :::; bn ) 2 Rn . Mulţimea D (a; b) de…nit¼a
prin
D (a; b) = Da;b =
n
Y
i=1
[ai ; bi ) = fx = (x1 ; :::; xn ) 2 Rn ; ai
xi < bi ; 1
i
ng
se numeşte dreptunghiul determinat de a şi b.
D (a; b)
6= ;
=;
daca
daca
8i; 1
9i0 ; 1
i n;
i0 n;
ai < bi ;
ai 0 b i 0 :
Dac¼a b1 a1 = ::: = bn an = l > 0, atunci D (a; b) se numeşte cub de latur¼a l.
Not¼am cu Dn mulţimea dreptunghiurilor din Rn şi cu Cn mulţimea cuburilor Rn .
Avem Cn Dn .
O mulţime E
Rn se numeşte elementar¼a (sau pavat¼a) dac¼a este reuniune
…nit¼a de dreptunghiuri (mutual) disjuncte:
E=
k
S
0
D aj ; bj ;
D aj ; bj \ D aj ; bj
j=1
0
= ;;
j 6= j 0 :
Not¼am cu En familia mulţimilor elementare din Rn .
Lema 1.1. Fie r > 0. Orice dreptunghi ; 6= D = D (a; b) Rn se poate scrie ca
reuniune de dreptunghiuri disjuncte cu laturile de lungime < r.
Demonstraţie. Fie k 2 N astfel încât max1 i n 2 k (bi
cji
= ai + j2 k (bi
cJ
=
ai ) ;
cj11 ; :::; cjnn ;
1
i
n;
J = (j1 ; :::; jn ) ;
0
ai ) < r. Dac¼
a
j
e = (1; :::; 1)
atunci
D (a; b) =
k
2
S
D cJ e ; cJ
j1 ;:::;jn =1
Lema 1.2. (a) Dac¼a D; D0 2 Dn , atunci D \ D0 2 Dn .
(b) Dac¼a D; D0 2 Dn , ; =
6 D0 D, atunci D r D0 2 En .
Demonstraţie. (a) Pentru x; y 2 Rn punem
max (x; y)
=
(max (x1 ; y1 ) ; :::; max (xn ; yn )) ;
min (x; y)
=
(min (x1 ; y1 ) ; :::; min (xn ; yn )) :
83
2k ;
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
84
Atunci
D (a; b) \ D (a0 ; b0 ) = D (max (a; a0 ) ; min (b; b0 )) 2 Dn :
(b) Fie ; =
6 D0 = D (a0 ; b0 ) D = D (a; b), ai a0i < b0i bi , 1 i
Ii = [ai ; bi ) = [ai ; a0i ) [ [a0i ; b0i ) [ [b0i ; bi ) = Ii1 [ Ii2 [ Ii3 ; 1 i
n
n
n
S
Q
Q
Q
Iiji ;
Ii1 [ Ii2 [ Ii3 =
D=
Ii =
n
i=1
i=1
(j1 ;:::;jn )2f1;2;3g i=1
D0 =
n
Q
i=1
D r D0 =
Ii2 ;
S
n
Q
(j1 ;:::;jn )2f1;2;3gn i=1
j1 ::: jn 6=2n
n. Atunci
n;
Iiji :
Lema 1.3. Dac¼a D1 ; :::; Dk ; D 2 Dn , atunci D r (D1 [ ::: [ Dk ) 2 En .
Demonstraţie. Demonstraţia se face prin inducţie dup¼
a k. Pentru k = 1 folosim
lema anterioar¼
a:
D r D1 = D r D1 \ D 2 En :
Pentru a trece de la k la k + 1 vom observa c¼
a
p
S
D r (D1 [ ::: [ Dk ) =
Gj ; Gj 2 Dn ; Gj \ Gj 0 = ;; j 6= j 0 ;
j=1
D r (D1 [ ::: [ Dk [ Dk+1 )
=
=
(D r (D1 [ ::: [ Dk )) r Dk+1
!
p
S
Gj r Dk+1
j=1
=
p
S
j=1
deoarece fGj r Dk+1 g1 j p
(Gj r Dk+1 ) 2 En
En este un şir cu termenii mutual disjuncţi.
Corolarul 1.4. Dac¼a D1 ; :::; Dk 2 Dn , atunci D1 [ ::: [ Dk 2 En .
Demonstraţie. Presupunem k
2. Avem
D1 [ ::: [ Dk = D1 [ (D2 r D1 ) [ ::: [ (Dk r (D1 [ ::: [ Dk 1 ))
cu mulţimile D1 ; D2 r D1 ; :::; Dk r (D1 [ ::: [ Dk 1 ) 2 En mutual disjuncte. Deci
D1 [ ::: [ Dk 2 En .
Corolarul 1.5. Dac¼a E; F 2 En , atunci
E [ F; E r F; E 4 F; E \ F 2 En :
Sk
Sp
Demonstraţie. Dac¼
a E = j=1 Dj şi F = l=1 Gl cu Dj , Gl 2 Dn , Dj \Dj 0 = ;
şi Gl \ Gl0 = ; pentru j 6= j 0 şi l 6= l0 , atunci
E[F =
k
S
j=1
Dj [
p
S
l=1
Gl 2 En ;
ErF =
k
S
j=1
(Dj r F ) 2 En
Sp
Sp
deoarece D1 r F = D1 r l=1 Gl 2 En ; ::::; Dk r F = Dk r l=1 Gl 2 En şi
D1 r F; :::; Dk r F sunt mulţimi mutual disjuncte. Mai departe observ¼
am c¼
a
E 4 F = (E r F ) [ (F r E) 2 En
şi
E \ F = (E [ F ) r (E 4 F ) 2 En :
1. M UL ŢIM I ELEM ENTARE (PAVATE) îN Rn
85
De…niţia 1.2. De…nim v : Dn ! R+ şi m : En ! R+ prin
0
daca D (a; b) = ;;
(b
a
)
daca D (a; b) 6= ;;
i
i
i=1
Pk
Sk
şi m (E) = j=1 v (Dj ) dac¼a E = j=1 Dj cu Dj \ Dj 0 = ; pentru j 6= j 0 .
Qn
v (D (a; b)) =
Lema 1.6. Fie D1 ; :::; Dk ; D 2 Dn astfel încât D = D1 [ ::: [ Dk cu Dj \ Dj 0 = ;
pentru j 6= j 0 . Atunci
k
P
v (D) =
v (Dj ) :
j=1
Demonstraţie. Demonstraţia se face prin inducţie dup¼
a n şi k. Cazul n = 1
este adev¼
arat pentru orice k 2 N. Fie D = [a; b), D1 = [a1 ; b1 ) ; :::; Dk = [ak ; bk ).
Renumerotând putem presupune c¼
a a1 < ::: < ak . În acest caz propoziţia
D = D1 [ ::: [ Dk cu Dj \ Dj 0 = ; pentru j 6= j 0
este echivalent¼
a cu propoziţia
a = a1 < b1 = a2 < b2 < ::: < ak < bk = b:
Atunci egalitatea
v (D) =
k
P
v (Dj )
j=1
se transform¼
a în egalitatea evident¼
a
b
a=
k
P
(bj
aj ) :
j=1
Presupunem acum propoziţia adev¼
arat¼
a pentru n 1 şi k 2 N. A…rmaţia pentru
n se demonstreaz¼
a prin inducţie dup¼
a k. Cazul k = 1 este banal. Presupunem
adev¼
arat cazul (n; k) şi s¼
a prob¼
am cazul (n; k + 1).
Fie M mulţimea format¼
a din proiecţiile vârfurilor dreptunghiurilor
D1 ; :::; Dk+1
Qn
pe axa Oxn cuprinse în intervalul (an ; bn ), unde D = i=1 [ai ; bi ).
0
Dac¼
a M = ;, atunci D1 = D10
[an ; bn ) ; :::; Dk+1 = Dk+1
[an ; bn ) cu
0
0
D1 ; :::; Dk+1 2 Dn 1 şi a…rmaţia se obţine din propoziţia adev¼
arat¼
a pentru n 1 şi
k 2 N.
Dac¼
a M 6= ;, atunci vom nota cu H hiperplanul fx 2 Rn ; xn = min M g. Deoarece an < m = min M < bn , hiperplanul H va împ¼
arţi dreptunghiul D în dou¼
a
dreptunghiuri D+ şi D . Avem
D
=
[a1 ; b1 )
:::
+
[an ; m) ;
D+ = [a1 ; b1 )
D
= D [D ;
J
= fj; 1
j
k + 1; Dj
= fj; 1
j
k + 1; Dj
= fj; 1
j
k + 1; Dj \ H 6= ;g:
Fie
J+
J
Atunci pentru j 2 J
v (D) = v D
+
Dj = Dj+ [ Dj ;
+v D
:::
[m; bn ) ;
:
fx 2 Rn ; xn < mgg =
6 ;;
fx 2 Rn ; xn
mgg ;
v (Dj ) = v Dj+ + v Dj ;
cu Dj+ şi Dj dreptunghiuri de…nite ca în cazul dreptunghiului D.
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
86
Deoarece D
=
S
Dj [
j2J
unghiuri fDj gj2J ; Dj
j2J Dj
şi mulţimea M asociat¼
a acestor drept-
este vid¼
a, rezult¼
a c¼
a
P
P
=
v (Dj ) +
v Dj :
j2J
v D
S
j2J
j2J
+
S
Deoarece D = j2J + Dj [
ipoteza inductiv¼
a obţinem c¼
a
S
+
+
j2J Dj şi jJ [ Jj = k + 1
v D+ =
P
j2J +
Din ultimele dou¼
a relaţii deducem
v (D)
P
v (Dj ) +
j2J
P
=
j2J
v (Dj ) +
j2J +
k+1
P
=
P
P
v (Dj ) +
j2J
k, aplicând
v Dj+ :
= v D+ + v D
P
P
=
v (Dj ) +
v Dj+ + v Dj
j2J +
jJ j
+
v (Dj )
P
v (Dj )
j2J
j2J
v (Dj ) :
j=1
Propoziţia 1.7. (a) m (E) nu depinde de reprezentarea mulţimii E.
(b) mjDn = v.
Sk
Pk
0
0
(c) m este (…nit) aditiv¼a: m
j=1 Ej =
j=1 m (Ej ), Ej \ Ej = ;, j 6= j .
(d) m este unic¼a cu propriet¼aţile (b) şi (c).
Sk
Sp
Demonstraţie. (a) Presupunem c¼
a E = j=1 Dj = l=1 Gl cu Dj , Gl 2 Dn ,
Dj \ Dj 0 = ; şi Gl \ Gl0 = ; pentru j 6= j 0 şi l 6= l0 . Atunci
Dj
=
p
S
l=1
Gl
=
k
S
j=1
Gl \ Dj ;
Dj \ Gl 2 Dn ;
Dj \ Gl \ Gl0 = ;;
l 6= l0 ;
Dj \ Gl ;
Dj \ Gl 2 Dn ;
Dj \ Dj 0 \ Gl = ;;
j 6= j 0 ;
şi conform lemei anteriare avem
k
P
j=1
v (Dj ) =
p
k P
P
j=1 l=1
v (Dj \ Gl ) =
p P
k
P
l=1 j=1
v (Dj \ Gl ) =
p
P
v (Gl ) :
l=1
(b) şi (c) se obţin din de…niţie.
a propriet¼
aţile (b) şi (c). Dac¼
a
(d) Fie m : En ! R+ o aplicaţie care veri…c¼
Sk
E = j=1 Dj cu Dj 2 Dn , Dj \ Dj 0 = ; pentru j 6= j 0 , atunci
m (E) =
k
P
m (Dj ) =
j=1
Corolarul 1.8. (a) Dac¼a E; F 2 En , E
(b) Dac¼a E1 ; :::; Ek 2 En , atunci m
k
P
v (Dj ) = m (E) :
j=1
F , atunci m (E) m (F ).
Sk
Pk
j=1 Ej
j=1 m (Ej ).
¼
¼ ŞI M ASURA
¼
¼ îN Rn
2. M ASURA
INTERIOAR A
EXTERIOAR A
87
Demonstraţie. (a) Avem m (E) m (E) + m (F r E) = m (F ).
(b) Fie F1 = E1 ; F2 = E2 r E1 ; :::; Fk = Ek r (E1 [ ::: [ Ek 1 ). Atunci
Sk
F1 ; :::; Fk 2 En , F1
E1 ; :::; Fk
Ek , Fj \ Fj 0 = ; pentru j 6= j 0 şi j=1 Fj =
Sk
a
j=1 Ej . Rezult¼
!
!
k
k
k
k
P
S
S
P
Ej = m
Fj =
m (Fj )
m (Ej ) :
m
j=1
j=1
j=1
j=1
2. M¼
asura interioar¼
a şi m¼
asura exterioar¼
a în Rn
Vom nota cu c(X) clasa tuturor submulţimilor compacte ale spaţiului topologic X,
i.e.
c(X) = fK; K X mulţime compact¼a g
Rn de…nim
De…niţia 2.1. Pentru orice A
(A) = sup fm (E) ; E 2 En ; E
Num¼arul
Ag :
(A) 2 [0; +1] se numeşte m¼asura interioar¼a a mulţimii A.
Lema 2.1. (a) Aplicaţia
: P (Rn ) ! [0; +1] este o m¼asur¼a interioar¼a, i.e.
(i) S (;) = 0, A B ) (A)
(B) :
P
0 = ; pentru
(ii)
A
A;
cu
A
\
A
6= 0 )
(A )
(A) :
2N
2N
(b) Pentru orice A Rn
(A) =
(A) = supfm (E) ; E 2 En ; E
Ag = sup m (E) ; E 2 En ; E
A
(c) Pentru orice E 2 En
(E) =
E
(E) =
E = m (E)
Demonstraţie. (a) (i) se obţine direct din de…niţie.
Sp
(ii)
A ,0
p. Atunci E =
=0 E 2 En ,
S Fie p 2 N. Fie E 2 En , E
A
A
şi
2N
p
P
m (E ) = m (E)
(A) :
j=1
Mulţimile E 2 En , E
A ,0
p
P
p …ind arbitrare obţinem c¼
a
(A )
(A) ;
=1
(b) Pentru D =
Qn
D" =
P
(A )
+
p2N
(A) :
2N
i=1 [ai ; bi ) şi " > 0 punem
n
Q
[ai + x (") (bi
ai ) ; bi
x (") (bi
ai )) ;
i=1
unde 0 < x (") = 1 (1 "=v(D))
2
v (D" ) = (1
1=n
n
< 21 pentru 0 < " < v (D). Atunci D"
2x (")) v (D) = (1
"=v (D)) v (D) = v (D)
":
D şi
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
88
Fie E0 2 En , E0 A, E0 =
Sk0
Dj;"=k0 2 En , E 0;"
E0;" = j=1
…ind arbitrar deducem
m (E0 )
Sk0
0
= ;, j 6= j 0 . Atunci
A şi m (E0;" ) = m (E0 )
". Num¼
arul " > 0
j=1 Dj , cu Dj 2 Dn , Dj \ Dj
E0
supfm (E) ; E 2 En ; E
Ag
supfm (E) ; E 2 En ; E
Ag
(A);
deci
(A)
Cum A
supfm (E) ; E 2 En ; E
Ag
(A):
A, obţinem egalit¼
aţile dorite
(A) =
(A) = supfm (E) ; E 2 En ; E
Ag = sup m (E) ; E 2 En ; E
A :
(c) Fie E 2 En . Atunci
(E) = (E) conform punctului anterior. Deoarece
m (F ) m (E) pentru orice F 2 En , F E şi E 2 En rezult¼
a c¼
a
(E) = sup fm (F ) ; F 2 En ; F
Eg = m (E) :
Deci
Pentru D =
(E) = (E) = m (E) :
i=1 [ai ; bi ) şi " > 0 punem
Qn
D" =
n
Q
[ai
x (") (bi
ai ) ; bi + x (") (bi
ai )) ;
i=1
unde 0 < x (") = (1+"=v(D))
2
1=n
1
< 12 pentru 0 < " < v (D). Atunci D
D" şi
n
v (D" ) = (1 + 2x (")) v (D) = (1 + "=v (D)) v (D) = v (D) + ":
Sk
Sk
"=k
Dac¼
a E = j=1 Dj , cu Dj 2 Dn , Dj \ Dj 0 = ;, j 6= j 0 , punem E " = j=1 Dj 2
En , E
E"
E " şi m (E " )
m (E) =
m (E) + ". Avem
(E)
(E " ) = m (E " )
E
m (E) + ":
Num¼
arul " > 0 …ind arbitrar deducem
m (E) =
E
(E)
m (E) :
Construcţia care urmeaz¼
a este important¼
a şi are câteva consecinţe interesante.
Pentru k 2 N not¼
am cu k familia cuburilor de latur¼
a 2 k şi cu vârfurile în laticea
k n
2 Z . De asemenea vom nota cu
k reuniunea mulţimilor
0 ,..., k , i.e.
k =
şi cu
1 reuniunea mulţimilor
0 [ ::: [
k
0,
1,
2 ,... i.e.
1 =
0[
1[
2 [ :::
0 [ ::: [
k
0,
2 ,... i.e.
Pentru k 2 N not¼
am cu k familia cuburilor închise de latur¼
a 2 k şi cu vârfurile în
k n
laticea 2 Z . De asemenea vom nota cu
k reuniunea mulţimilor
0 ,..., k , i.e.
k =
şi cu
1 reuniunea tururor mulţimilor
1 =
0[
1,
1[
2 [ :::
¼
¼ ŞI M ASURA
¼
¼ îN Rn
2. M ASURA
INTERIOAR A
EXTERIOAR A
89
Lema 2.2. (a) Fie k 2 N şi x 2 Rn . Atunci exist¼a şi este unic Ck;x 2 k astfel
încât x 2 Ck;x .
(b) Fie k; p 2 N şi C 2 k , C 0 2 k+p cu C \ C 0 6= ;. Atunci C 0 C.
(b0 ) Fie k; k 0 2 N şi C 2 k , C 0 2 k0 . Atunci C \ C 0 = ; sau C
C 0 sau
0
C
C.
Demonstraţie. (a) Fie k 2 N şi x 2 Rn . Atunci
Ck;x = 2 k
2k x1 ; :::; 2k xn
unde [a] este partea întreag¼
a a num¼
arului a.
(b) Fie x 2 C \ C 0 . Atunci
C
=
2 k
C0
=
2 k p
de unde rezult¼
a c¼
a C0
2k x1 ; :::; 2k xn
+ 2 k D (0; 1) ;
+ 2 k D (0; 1) ;
2k+p x1 ; :::; 2k+p xn
+ 2 k p D (0; 1)
C. Acest fapt se obţine dac¼
a vom ar¼
ata c¼
a
1)
2 k 2k x
2)
2 k p 2k+p x + 2 k p
2 k p 2k+p x
2 k 2k x + 2 k
Fie m = 2k x 2 Z. Atunci 2k x = m + " cu " 2 [0; 1). 1) este echivalent¼
a cu
2 p [2p (m + ")] = m + 2 p [2p "]
m
2) este echivalent¼
a cu
2k+p x + 1
2p 2k x + 2p , [2p (m + ")] + 1
, [2p "]
2p
2p m + 2 p
1:
Ultima inegalitate este consecinţa urm¼
atorului şir de implicaţii
" < 1 ) 2p " < 2p ) [2p "]
Avem un rezultat similar şi în cazul
2p
1:
.
n
Lema 2.3. (a) Fie k 2 N şi x 2 R . Atunci exist¼a Ck;x 2
(b) Fie k; p 2 N şi C 2
0
C
0
0
k, C
(b ) Fie k; k 2 N şi C 2
C.
Pentru U = U
C0 (U )
0
2
k, C
0
k+p cu C \ C
2
0; C
= fC 2
..
.
1; C
Ck (U )
= fC 2
..
.
k; C
C k (U )
= C0 (U ) [ ::: [ Ck (U ) ;
S
=
Ck (U ) :
C (U )
6= ;. Atunci C 0
0
Atunci C \ C = ; sau C
C.
C 0 sau
Rn şi k 2 N de…nim
= fC 2
C1 (U )
k0 .
0
k astfel încât x 2 Ck;x .
k2N
Ug ;
U; C \ C 0 = ;; 8C 0 2 C0 (U )g ;
U; C \ C 0 = ;; 8C 0 2 C0 (U ) [ ::: [ Ck 1 (U )g ;
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
90
În cazul
folosim notaţiile
C0 (U )
=
C2
0; C
U ;
C1 (U )
=
C2
1; C
U; C \ C 0 = ;; 8C 0 2 C0 (U ) ;
C2
k; C
U; C \ C 0 = ;; 8C 0 2 C0 (U ) [ ::: [ Ck 1 (U ) ;
..
.
Ck (U )
=
..
.
C k (U )
C (U )
= C0 (U ) [ ::: [ Ck (U ) ;
S
=
Ck (U ) :
k2N
Lema 2.4. (a) C (U ) şi C (U ) sunt cel mult num¼arabile.
(b) Orice mulţime deschis¼a U Rn se reprezint¼a ca reuniune cel mult num¼arabil¼a de cuburi mutual disjuncte, mai exact avem
S
U=
C:
C2C(U )
b Orice mulţime deschis¼a U Rn se reprezint¼a ca reuniune cel mult num¼arabil¼a de cuburi închise cu interioarele mutual disjuncte, mai exact avem
S
U=
C:
C2C(U )
(c) Fie fU g1
m, U = U
Atunci exist¼a k 2 N astfel încât
S
K
C2C
k (U1 )
Rn , 1
m şi …e K 2 c (U1 [ ::: [ Um )
C [ ::: [
S
C2C
C:
k (Um )
(c0 ) Fie fU g1
Rn , 1
m şi …e K 2 c (U1 [ ::: [ Um ).
m, U = U
Atunci exist¼a k 2 N şi F C k (U1 ) [ ::: [ C k (Um ) …nit¼a astfel încât
S
K
C:
C2F
S
Demonstraţie. (b) " "
C U se obţine imediat din de…niţie.
C2C(U )
S
" " Dac¼
ax2
=
C, atunci x va aparţine unui cub de latur¼
a 2 k care
C2C
k (U )
intersecteaz¼
a {U , deci
Prin urmare, dac¼
ax2{
Deci U
d x; {U
S
C.
S
d x; {U
p
n2 k :
C, atunci
C2C(U )
p
n2 k ; 8k 2 N ) d x; {U = 0 ) x 2 {U:
C2C(U )
a la fel ca punctul anterior.
b se demonstreaz¼
¼
¼ ŞI M ASURA
¼
¼ îN Rn
2. M ASURA
INTERIOAR A
EXTERIOAR A
91
(c) Deoarece K 2 c (U1 [ ::: [ Um ), rezult¼
a c¼
a d K; { (U1 [ ::: [ Um ) > 0.
Presupunem prin absurd c¼
a nu exist¼
a k 2 N astfel încât
S
S
K
C [ ::: [
C:
C2C
k (U1 )
C2C
Fie k 2 N. Atunci exist¼
a zk 2 K astfel încât zk 2
=
i.e.
zk 2
Kr
C2C
S
C
k (U1 )
!
\ ::: \
k (Um )
C2C
S
k (U1 )
Kr
C2C
C [ ::: [
S
C
k (Um )
!
C2C
C,
k (Um )
:
Rezult¼
a c¼
a zk va aparţine unui cub de latur¼
a 2 k care intersecteaz¼
a {U , 1
(pe …ecare în parte şi nu intersecţia!). Prin urmare,
p
n2 k ; 1
m:
d zk ; {U
K …ind o mulţime compact¼
a, şirul fzk gk2N conţine un subşir zkj
la un element z 2 K. Din
p
d zkj ; {U
n2 kj ; 1
m; j 2 N;
S
j2N
m
convergent
obţinem c¼
a
d z; {U
= 0;
1
m;
deci z 2 K \ {U1 \ ::: \ {Um = ; (( K 2 c (U1 [ ::: [ Um )). Contradicţie!
(c0 ) Acest punct este o completare a celui anterior. K …ind o mulţime compact¼
a,
n
exist¼
a p 2 N astfel încât K 2p [ 1; 1) . Lu¼
am
n
F= fC 2 C k (U1 ) [ ::: [ C k (Um ) ; C \ 2p [ 1; 1) 6= ;g :
Rn . Atunci
P
(U ) =
Corolarul 2.5. Fie U = U
v (C) :
C2C(U )
Demonstraţie. Fie F
C (U ) …nit¼
a. Atunci E =
P
S
C2F
v (C) = m (E)
C 2 En , E
U,
(U )
C2F
deci
P
v (C) = sup
C2C(U )
(
P
v (C) ; F
)
C (U ) f inita
C2F
(U ) :
Fie acum E 2 En , E U . Deoarece E 2 c (U ), conform lemei anterioare,
punctul
S
C. Deducem
(c0 ) cazul m = 1, rezult¼
a c¼
a exist¼
a F C (U ) …nit¼
a astfel încât E
C2F
c¼
a
m (E)
P
C2F
Cum E 2 En , E
v (C)
P
v (C) :
C2C(U )
U a fost ales arbitrar, folosind lema 2.1, obţinem c¼
a
P
(U ) = supfm (E) ; E 2 En ; E U g
v (C) :
C2C(U )
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
92
Rn ,
Lema 2.6. Fie fU g 2N , U = U
S
2 N. Atunci
P
U
2N
S
Demonstraţie. Fie E 2 En , E
(U ) :
2N
2N U
. Deoarece E este mulţime compact¼
a,
n
rezult¼
a c¼
a exist¼
a fU g0
R ,0
m astfel încât E U0 [ ::: [
m, U = U
Um i.e. E 2 c (U0 [ ::: [ Um ). Conform lemei anterioare punctul (c0 ), exist¼
ak2N
şi F C k (U0 ) [ ::: [ C k (Um ) …nit¼
a astfel încât
S
E
C:
C2F
În consecinţ¼
a
P
m (E)
m
P
m (C)
P
=0 C2C
C2F
m
P
P
Cum E 2 En , E
S
2N
S
U
)
m
P
m (C)
=0 C2C(U )
P
m (C)
k (U
(U )
=0
(U ) :
2N
2N U
a fost ales arbitrar, folosind lema 2.1, obţinem c¼
a
= supfm (E) ; E 2 En ; E
S
2N
U g
P
(U ) :
2N
Folosind lema 2.1 (a) împreun¼
a cu lema anterioar¼
a obţinem
Corolarul 2.7. Fie fU g 2N , U = U
Rn , 2 N, cu U \ U 0 = ; pentru
0
6= . Atunci
S
P
U
=
(U ) :
2N
De…niţia 2.2. Pentru orice A
2N
n
R de…nim
(A) = inff
Num¼arul
(U ) ; A
U = U g:
(A) 2 [0; +1] se numeşte m¼asura exterioar¼a a mulţimii A.
Observaţia 2.1. U = U
Rn )
(U ) =
(U ) :
Teorema 2.8. Aplicaţia
: P (Rn ) ! [0; +1] este o m¼asur¼a exterioar¼a i.e.
(i)
(;)S= 0, A B ) (A)P
(B) :
(ii) A
(A)
(A ) :
2N A )
2N
Demonstraţie. (i) se veri…c¼
a trivial.
(ii) Dac¼
a exist¼
a 0 astfel încât
(A 0 ) = 1, atunci inegalitatea se veri…c¼
a
automat. Deci putem presupune c¼
a
(A ) < 1 pentru orice 2 N. Fie " > 0.
Pentru …ecare
2 N alegem U = U
(U ) <
A astfel încât
"
(A ) + +1 :
2
¼
¼ ŞI M ASURA
¼
¼ îN Rn
2. M ASURA
INTERIOAR A
EXTERIOAR A
S
Atunci A
(A)
2N U
S
şi
P
U
2N
Rezult¼
a c¼
a
93
P
(U )
2N
2N
P
(A)
pentru orice " > 0, deci
(A ) +
(A)
Lema 2.9. Pentru orice E 2 En
P
"
2 +1
P
=
(A ) + ":
2N
(A ) + "
2N
2N
(A ).
(E) = (E) =
E = m (E) :
Sk
Demonstraţie. Dac¼
a E = j=1 Dj , cu Dj 2 Dn , Dj \ Dj 0 = ;, j 6= j 0 , punem
S
"=k
k
E " = j=1 Dj 2 En . Atunci
E
E
E
E"
E"
şi
m (E " )
m (E) + ":
Avem
m (E)
=
(E) =
(E)
=
(E " ) = m (E " )
E
E"
E
m (E) + ":
(E)
=
E"
m (E) + ";
deci
m (E) =
(E)
(E)
Num¼
arul " > 0 …ind arbitrar deducem
(E) =
Lema 2.10. Fie A1 ; A2
E = m (E) :
(E) =
Rn astfel încât dist (A1 ; A2 ) = d > 0. Atunci
(A1 [ A2 ) =
(A1 ) +
(A2 ) :
Demonstraţie. Fie
V1 = fx 2 Rn ; dist (x; A1 ) < d=2g
şi
V2 = fx 2 Rn ; dist (x; A2 ) < d=2g :
Atunci
(A1 [ A2 )
=
=
=
inf
A1 [A2 W
(W ) =
inf
A1 [A2 W
inf
(
(W \ V1 ) +
inf
(
(U1 ) +
A1 [A2 W
A1 U1 V1
A2 U2 V2
(W \ (V1 [ V2 ))
(W \ V2 ))
(U2 )) =
(A1 ) +
(A2 ) :
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
94
3. Volumul Lebesgue
Vom nota cu c(X) clasa tuturor submulţimilor compacte ale spaţiului topologic X,
i.e.
c(X) = fK; K X mulţime compact¼a g
De…niţia 3.1. Pentru orice K 2 c(Rn ) punem
(K) =
Num¼arul
(K) :
(K) 2 [0; +1) se numeşte volumul Lebesgue al lui K. Aplicaţia
: c(Rn ) ! R+ ;
(K) ; K 2 c(Rn )
(K) =
se numeşte volumul Lebesgue.
Observaţia 3.1. Mulţimile Dn , Cn , En şi c(X) sunt invariante la translaţii. La
fel şi aplicţiile de mulţimi v : Dn ! R+ , m : En ! R+ , ,
: P (Rn ) ! [0; +1]
n
şi : c(R ) ! R+ sunt invariante la translaţii. Adic¼a pentru orice x 2 Rn
D
E
şi
2
2
Dn ) D + x 2 Dn ;
v (D + x) = v (D + x) ;
En ) E + x 2 En ;
(A + x) =
(A) ;
m (E + x) = m (E + x) ;
(A + x) =
(A) ;
A
Rn :
Folosind lema 2.10 rezult¼
a imediat
Lema 3.1. Fie K; L 2 c(Rn ) cu K \ L = ;. Atunci
(K [ L) =
(K) + (L) :
Teorema 3.2 (Teorema diferenţei pentru volum). Fie K; K 0 2 c(Rn ), K 0
Atunci
(L) :
(K)
(K 0 ) =
sup
L2c(Rn );L KrK 0
K r K 0 . Atunci
Demonstraţie. 1 Fie L 2 c(Rn ); L
(K 0 ) + (L) =
deci
(K 0 [ L) =
(K 0 ) +
(K 0 [ L)
(K) =
(L)
sup
(K) ;
(K) :
L2c(Rn );L KrK 0
2 Vom ar¼
ata acum c¼
a
(K)
(K 0 ) +
sup
(L) :
L2c(Rn );L KrK 0
Fie m 2 N, m
1. Punem
Lm = K \ x 2 Rn : d (x; K 0 )
1
m
Avem
Lm
Lm+1
şi
K r K0 =
= L1 ;
Bm
= K \ x 2 Rn :
1
m+1
Lm :
m 1
Consider¼
am familia de mulţimi fBm g de…nit¼
a astfel
B0
S
2 c(Rn ):
d (x; K 0 )
1
m
Lm+1 :
K.
3. VO LUM UL LEBESGUE
95
Avem
K r K0
K
= Lm [ Bm [ Bm+1 [ :::
= K 0 [ Lm [ Bm [ Bm+1 [ :::
Folosind teorema 2.8 şi de…niţia 3.1 obţinem
(K 0 ) + (Lm ) + (Bm ) + (Bm+1 ) + :::
P1
P1
3 Vom ar¼
ata acum c¼
a seriile k=0 (B2k ) şi k=0 (B2k+1 )sunt convergente.
1
1
< m+1
Pentru început vom observa c¼
a Bm \ Bm+p = ; pentru p 2 deoarece m+p
şi
(3.1)
(K)
1
d (x; K 0 )
m+p+1
1
1
d (x; K 0 )
:
2 Bm )
m+1
m
x
2 Bm+p )
x
1
;
m+p
Folosind lema 3.1 obţinem
p
P
p
S
(B2k ) =
k=0
care implic¼
a
1
P
B2k
(K) < 1
(B2k )
(K) < 1:
k=0
(B2k ) = sup
p
k=0
Similar se obţine c¼
a
1
P
p
P
k=0
(B2k+1 )
(K) < 1:
k=0
P1
Prin urmare, seria k=0 (Bk ) este convergent¼
a.
4 Folosind pasul 3 şi (3.1) obţinem c¼
a pentru orice " > 0 exist¼
a m" 2 N astfel
încât
P
m m" )
(Bk ) < ":
k m
Deci
(K 0 ) + (Lm ) + ";
(K)
(K)
+
(K 0 ) +
" > 0;
sup
m
(L) + ";
m"
">0
L2c(Rn );L KrK 0
(K)
+
(K 0 ) +
sup
(L) :
L2c(Rn );L KrK 0
Teorema 3.3 (Teorema general¼
a de aditivitate pentru volum). Fie K; L 2 c(Rn ).
Atunci
(K [ L) + (K \ L) =
(K) + (L) :
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
96
Demonstraţie. Avem K [ L r K = L r K \ L. Deci
(K [ L)
(K)
=
sup
(C)
C2c(Rn );C K[LrK
=
sup
(C)
C2c(Rn );C LrK\L
=
(L)
(K \ L)
Teorema
3.4 (Teorema de regularitate). Fie L; L0 ; L1 ; ::: 2 c(Rn ), L +1
T
L=
0 L . Atunci
(L) = lim (L ) :
L ;
!1
Demonstraţie. 1 Deoarece L
L +1
(L)
(L +1 )
+
(L)
2 Fie L
L pentru orice
lim
2 N;
(L ) :
!1
U = U . Atunci exist¼
a
L
(L ) ;
2 N obţinem c¼
a
U 2 N astfel încât
U;
U:
T
T
Într-adev¼
ar, condiţia
U este echivalent¼
a cu condiţia {U \
0L
0 L = ;.
Rezult¼
a c¼
a exist¼
a 1 , ..., p 2 N astfel încât {U \ L 1 \ ::: \ L p = ;. Lu¼
am
U = max f 1 ; :::; p g şi vom avea
L U
L
= L 1 \ ::: \ L p ;
+
L U
U;
3 Pentru " > 0 exist¼
a U" = U "
L
U:
L astfel încât
(L)
(U" ) <
Corespunz¼
ator mulţimii U" exist¼
a
{U \ L U = ;
(L) + ":
" 2 N astfel încât
L
U" ;
":
Prin urmare,
(L )
=
+
(L ) <
lim
!1
(L )
+
inff
(U ) ; L
(L) + ";
U = Ug
" > 0;
(U" ) <
(L) + ";
" > 0;
"
(L) :
Observaţia 3.2. Fie T un spaţiu topologic, U = U
A\U
A \ U:
T, A
T . Atunci
"
3. VO LUM UL LEBESGUE
97
Demonstraţie. Fie x 2 A \ U . Dac¼
a V 2 V (x), atunci U \ V 2 V (x). Deoarece
x 2 A rezult¼
a c¼
a
(A \ U ) \ V = A \ (U \ V ) 6= ;
Deci (A \ U ) \ V 6= ; pentru orice, V 2 V (x), prin urmare x 2 A \ U .
De…niţia 3.2. Fie T un spaţiu topologic. Spunem c¼a A
T este local închis¼a dac¼a
pentru orice x 2 A exist¼a U = U 2 V (x) astfel încât A \ U s¼a …e închis¼a în U .
Lema 3.5. Fie T un spaţiu topologic, U = U
sunt echivalente:
(a) A este mulţime local închis¼a;
T, A
T . Urm¼atoarele a…rmaţii
(b) Exist¼a D = D astfel încât A = A \ D;
(c) Exist¼a F = F şi D = D astfel încât A = F \ D.
Demonstraţie. În mod clar sunt adev¼
arate implicaţile (b) ) (c) ) (a).
(a) ) (b). Fie x 2 A. Atunci exist¼
a U = U 2 V (x) astfel încât A \ U s¼
a …e
închis¼
a în U , i.e.
A\U =A\U \U =A\U
- A \ U A \ U ) A \ U A \ U \ U din observaţia anterioar¼
a.
- A \ U A ) A \ U \ U A \ U.
Deci pentru orice x 2 A exist¼
a U = U 2 V (x) astfel încât A \ U = A \ U
A.
a D = D astfel încât
De aici obţinem c¼
a A este o mulţime deschis¼
a în A, i.e. exist¼
A=A\D
Lema 3.6. Fie X
Rn un subspaţiu vectorial cu dimR X < n şi a 2 Rn . Fie
n
K 2 c(R ), K a + X. Atunci (K) = 0.
Demonstraţie. Vom folosi invarianţa la translaţii a volumului Lebesgue. Prima
consecinţ¼
a este faptul c¼
a putem prsupune a = 0.
1 Fie c 2 X r Rn (X Rn , X 6= Rn ), I = [0; 1]. Atunci
KI = fx + tc : x 2 K; t 2 Ig 2 c(Rn ):
Într-adev¼
ar, KI = f (K
I), unde f este funcţia continu¼
a
f :K
I ! X;
f (x; t) = x + tc:
2 Pentru t 2 I punem
Kt = f (K
ftg) = K + tc:
Atunci invarianţa la translaţii a volumului Lebesgue implic¼
a
(Kt ) =
Fie
(K) ;
t 2 I:
1. Atunci
Kp=
p
KI ;
6=
0
p
;
0
p ) Kp= \ Kp0 = = ;:
Vom avea
( + 1) (K) =
P
p=0
Kp=
=
S
p=0
Kp=
!
(KI ) :
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
98
Obţinem
(K)
(K)
Lema 3.7. Fie A
1
( + 1)
+
=
(KI ) ;
1
0:
Rn o mulţime local închis¼a. Atunci
(A) =
sup
(K) :
K2c(Rn );K A
Demonstraţie. Deoarece A este o mulţime local închis¼
a, exist¼
a D = D astfel
încât A = A \ D. Conform lemei 2.4, exist¼
a fC g 2N , C cub 2 N astfel încât
S
D=
6= 0 ) C \ C 0 = ;. Prin urmare,
2N C şi
S
A=A\D =
A\C :
2N
Aplicând teorema 2.8 obţinem
P
(A)
A\C
2N
=
P
2N
A\C
deoarece A \ C 2 c(Rn ). Fie p 2 N . Atunci folosind teorema de aditivitate şi
lema anterioar¼
a ( 6= 0 ) A \ C \ C 0 = 0) obţinem c¼
a
!
!
P
S
S
A\C
=
A\C
=
A\C
0
p
0
p
S
0
A\C
2N
=
Cum p 2 N este arbitrar, rezult¼
a c¼
a
P
A\C
p
(A)
(A)
2N
deci
(A) =
P
2N
Pentru p 2 N punem
S
Kp =
0
Avem
Kp
A
p
A\C
A \ C 2 c(Rn ):
şi
(A) = lim
A)
(K) =
(K)
sup
(K) :
p!1
(Kp ) :
Cum
obţinem c¼
a
K 2 c(Rn ); K
(A) =
(A)
K2c(Rn );K A
Corolarul 3.8. Fie U = U
Rn . Atunci
(U ) =
(U ) =
sup
K2c(Rn );K U
(K) :
4. TEO REM A DE UNICITATE A VOLUM ULUI LEBESGUE.
99
Corolarul 3.9. Pentru orice E 2 En
E = m (E) :
Demonstraţie. E 2 En ) E 2 c(Rn ) )
E . Deoarece
E = m (E) obţinem c¼
a
E = supK2c(Rn );K E
(K) =
Teorema
3.10 (Teorema şirului cresc¼
ator). Fie L; L0 ; L1 ; ::: 2 c(Rn ), L
S
L=
0 L . Atunci
(L) = lim (L ) :
L +1 ;
E = m (E) :
!1
Demonstraţie. 1 Deoarece L
0
L +1
(L )
L pentru orice
(L +1 )
(L) ;
Deci şirul f (L )g 2N este convergent şi
lim
!1
2 Deoarece L
(L )
S
L +1 şi L =
2 N:
2 N obţinem c¼
a
(L) :
0L
obţinem c¼
a
L = L0 [ (L1 r L0 ) [ ::: [ (L +1 r L ) [ :::
Aplicând teorema 2.8 obţinem
(L)
(L0 ) +
P
(L +1 r L )
2N
Deoarece L +1 r L = L +1 \ {L este o mulţime local închis¼
a, din lema anterioar¼
a
şi teorema diferenţei obţinem c¼
a
(L +1 r L ) =
Deci
(L)
Prin urmare,
(K) =
(L +1 )
( (L +1 )
(L ))
sup
(L ) :
K2c(Rn );K L +1 rL
(L0 ) +
P
2N
=
(L0 ) + lim
=
lim
!1
!1
(L )
(L0 )
(L ) :
(L) = lim
!1
(L ) :
4. Teorema de unicitate a volumului Lebesgue.
Pentru K 2 c(Rn ) şi
2 N de…nim
C (K) = fC 2
; C \ K 6= ;g :
Observaţia 4.1. (a) Deoarece K este m¼arginit¼a, obţinem c¼a mulţimea C (K) este
…nit¼a.
(b) Lema 2.2 implic¼a incluziunea
S
K
C
C2C (K)
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
100
Pentru K 2 c(Rn ) şi
2 N punem
K =
S
C
C2C (K)
Lema 4.1. (a)
T K +1 K ,
(b) K =
2N K .
2 N.
Demonstraţie. (a) Fie C 2 C +1 (K) şi x 2 C. Folosind lema 2.2 rezult¼
a c¼
a
exist¼
a şi este unic C ;x 2
astfel încât x 2 C ;x . Deoarece x 2 C ;x \ C 6= ;,
aceeaşi lem¼
a implic¼
a incluziunea C C ;x . Cum ; =
6 C \ K C ;x \ K, obţinem
c¼
a C ;x 2 C (K). Deci C C ;x K pentru orice x 2 C. Prin urmare,
C
K ;
+
K +1
(b) Pentru orice
K
De aici rezult¼
a
K
2 N avem
T
K
2N
K
x 2 Rn ; d (x; K)
K
T
C 2 C +1 (K) ;
2N
x 2 Rn ; d (x; K)
p
n2
p
:
n2
= K:
De…niţia 4.1. (a)Numim volum o aplicaţie : c(Rn ) ! R care veri…c¼a:
1) (;) = 0 şi 0
(K) < 1 pentru orice K 2 c(Rn ).
n
2) K; L 2 c(R ), K L ) (K)
(L).
3) K; L 2 c(Rn ), (K \ L) = 0 ) (K [ L) = (K) + (L).
n
(b) Spunem c¼a volumul : c(R
T ) ! R este regulat dac¼a pentru orice L, L0 ,
n
L1 , ::: 2 c(R ), L +1 L , L =
0 L avem
(L) = lim
!1
(L ) :
: c(Rn ) ! R este invariant la translaţii dac¼a
(c) Spunem c¼a volumul
(x + K) =
(K) ;
x 2 Rn ; K 2 c(Rn ):
Observaţia 4.2. L L +1 L ) (L)
(L +1 )
f (L )g 2N este convergent oricare ar … volumul .
(L ). Rezult¼a c¼a şirul
Lema 4.2. Fie : c(Rn ) ! R un volum invariant la translaţii. Fie X
Rn un
n
n
subspaţiu vectorial cu dimR X < n şi a 2 R . Fie K 2 c(R ), K a + X. Atunci
(K) = 0.
Demonstraţie. Vom folosi invarianţa la translaţii a volumului
secinţ¼
a este faptul c¼
a putem prsupune a = 0.
1 Fie c 2 X r Rn (X Rn , X 6= Rn ), I = [0; 1]. Atunci
KI = fx + tc; x 2 K; t 2 Ig 2 c(Rn ):
Într-adev¼
ar, KI = f (K
I), unde f este funcţia continu¼
a
f :K
2 Fie t 2 I. Punem
I ! X;
Kt = f (K
f (x; t) = x + tc:
ftg) = K + tc:
. Prima con-
4. TEO REM A DE UNICITATE A VOLUM ULUI LEBESGUE.
Atunci invarianţa la translaţii a volumului
(Kt ) =
Fie
implic¼
a
(K) ;
t 2 I:
1. Atunci
Kp=
KI ;
p
6=
0
p
;
p0 ) Kp= \ Kp0 = = ;:
Vom avea
( + 1) (K) =
P
Kp=
S
=
p=0
Obţinem
(K)
(K)
1
( + 1)
+
=
Kp=
p=0
!
(KI ) ;
(KI ) :
1
0:
Teorema 4.3 (Teorema de unicitate a volumului Lebesgue). Fie
un volum regulat invariant la translaţii. Atunci
=
unde
101
D (0; 1)
=
: c(Rn ) ! R
n
([0; 1] ) ;
este volumul Lebesgue.
Demonstraţie. 1 Vom folosi aditivitatea, invarianţa la translaţii a volumului
şi lema anterioar¼
a. Fie k 1.
!
S
n
n
(k [0; 1] ) =
([0; k] ) =
[k1 ; k1 + 1] ::: [kn ; kn + 1]
0 k1 ;:::;kn k 1
P
=
([k1 ; k1 + 1]
:::
[kn ; kn + 1])
0 k1 ;:::;kn k 1
P
=
n
((k1 ; :::; kn ) + [0; 1] )
0 k1 ;:::;kn k 1
P
=
=
n
([0; 1] )
0 k1 ;:::;kn k 1
n
n
k
([0; 1] ) :
Similar,
n
([0; 1] )
=
S
k1 k1 + 1
;
k
k
:::
kn kn + 1
;
k
k
k 1 [k1 ; k1 + 1]
:::
[kn ; kn + 1]
0 k1 ;:::;kn k 1
P
=
0 k1 ;:::;kn k 1
P
=
k 1 (k1 ; :::; kn ) + k 1 [0; 1]
0 k1 ;:::;kn k 1
=
P
k 1 [0; 1]
0 k1 ;:::;kn k 1
= kn
k 1 [0; 1]
n
:
n
n
!
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
102
Deci
n
n
(k [0; 1] ) = k n ([0; 1] ) ;
k 1 [0; 1]
n
n
= k n ([0; 1] ) ;
k
1:
Aceste egalit¼
aţi sunt adev¼
arate pentru orice volum. Pentru a 2 R de…nim volumul
a : c(R
n
Avem
a ([0; 1]
Fie p; q
n
) ! R;
a (K) =
) = k n a k 1 [0; 1]
n
(aK) ;
K 2 c(Rn ):
n
= l n a (l [0; 1] ) ;
k; l
1:
1.
p
n
[0; 1]
q
=
1
n
[0; 1]
q
p
n
= q n p ([0; 1] )
n
n
= q n (p [0; 1] ) = q n pn ([0; 1] )
n
p
n
([0; 1] )
=
q
Deci
n
n
(r [0; 1] ) = rn ([0; 1] ) ; r 2 Q \ (0; 1) :
2 Folosind regularitatea volumului şi densitatea mulţimii Q în R, obţinem c¼
a
n
(r [0; 1] )
=
n
+
([0; r] )
=
n
rn ([0; 1] ) ;
n
r 2 (0; 1) ;
n
([0; 1] ) ([0; r] ) ;
Invarianţa la translaţii a volumului
(C)
=
r 2 (0; 1) :
şi formula de mai sus implic¼
a
S
([0; 1] ) (C) ; C 2
k
n
k2N
(K )
+
=
+ aditivitatea + lema anterioara
n
([0; 1] ) (K ) ;
Lema 4.1 şi regularitatea volumelor implic¼
a
(K) =
n
([0; 1] ) (K) ;
K 2 c(Rn );
2 N:
K 2 c(Rn ):
5. M¼
asurabilitate
De…niţia 5.1. Fie
c(Rn ).
se numeşte anti…ltru pe Rn dac¼a:
1) K, L 2 ) K [ L 2 .
2) K 2 , L 2 c(Rn ), L K ) L 2 .
Anti…ltrul este o compactologie dac¼a veri…c¼a şi
3) x 2 Rn ) fxg 2 .
Exemple 5.1. 1)
= P0 (Rn ) familia submulţimilor …nite ale lui Rn este compactologia cea mai mic¼a.
2) = c(Rn ) este compactologia cea mai mare.
3)
) pe Rn . Atunci
T Fie ( i )i2I o familie de anti…ltre ( resp. compactologii
n
= i2I i este anti…ltru ( resp. compactologie ) pe R .
4) Fie f : Rn ! Y , cu Y spaţiu topologic. Atunci
c (f ) = K 2 c(Rn ) : fjK continu¼a
este un anti…ltru pe Rn .
¼
5. M ASURABILITATE
Lema 5.1. Pentru A
103
Rn de…nim
carA
:
carA (x)
=
Atunci
Rn ! R;
1 ; x2A
:
0 ; x2
=A
c (carA ) = L 2 c(Rn ) : 9L0 2 c(A); 9L00 2 c({A) a.î. L = L0 [ L00 :
Demonstraţie. Într-adev¼
ar, dac¼
a L0 2 c(A) atunci carA jL0
1 este continu¼
a
0
00
deci L 2 c (carA ). Similar, dac¼
a L 2 c({A) atunci carA jL00 0 este continu¼
a, deci
L00 2 c (carA ). Cum c (carA ) este un anti…ltru pe Rn rezult¼
a c¼
a
L 2 c(Rn ) : 9L0 2 c(A); 9L00 2 c({A) a.î. L = L0 [ L00
c (carA ) :
n
Fie L 2 c(R ) astfel încât carA jL este continu¼
a. Atunci
L0 = (carA jL)
1
L00 = (carA jL)
1
(1) = L \ A
este un închis conţinut în mulţimea compact¼
a L. Deci L0 = L \ A 2 c(A). Similar,
(0) = L \ {A
este un închis conţinut în mulţimea compact¼
a L. Deci L00 = L \ {A 2 c({A).
0
00
Deoarece L = L [ L obţinem
L 2 c(Rn ) : 9L0 2 c(A); 9L00 2 c({A) a.î. L = L0 [ L00 :
c (carA )
În concluzie
c (carA ) = L 2 c(Rn ) : 9L0 2 c(A); 9L00 2 c({A) a.î. L = L0 [ L00 :
De…niţia 5.2. a) Fie
c(Rn ) un anti…ltru pe Rn . Spunem c¼a este m¼asurabil
n
dac¼a pentru orice K 2 c(R ) şi pentru orice " > 0 exist¼a L 2 astfel încât
L
K
şi
(K)
(L) < ":
n
b) Fie f : R ! Y , cu Y spaţiu topologic şi c (f ) anti…ltrul asociat. Spunem
c¼a f este m¼asurabil¼a dac¼a c (f ) este anti…ltru m¼asurabil i.e.
8K 2 c(Rn ); 8" > 0; 9L 2 c(Rn ) a.î.
L K, fjL continu¼a
şi
(K)
(L) < ":
Proprietatea
Luzin
c) Fie A
Rn . Spunem c¼a A este m¼asurabil¼a dac¼a funcţia carA este m¼asurabil¼a
i.e.
Proprietatea
Luzin
8K 2 c(Rn ); 8" > 0; 9K 0 2 c(A); 9K 00 2 c({A)
K 0 [ K 00 K a.î.
(K)
(K 0 )
(K 00 ) < ":
Observaţia 5.1. a) c(Rn ) este un anti…ltru m¼asurabil.
b) Dac¼a
c(Rn ) este un anti…ltru m¼asurabil şi K 2 c(Rn ), atunci exist¼a
(L ) 1 , L 2 , L
L +1 K şi (L ) % (K).
L1 2
L02 2
L03 2
..
.
; L1 K
; L02 K
; L03 K
..
..
.
.
;
;
;
..
.
(K)
(K)
(K)
(L1 ) < 1
(L02 ) < 1=2
(L03 ) < 1=3
..
.
; L2 = L1 [ L02 2
; L3 = L2 [ L03 2
..
..
.
.
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
104
Teorema 5.2 (Teorema intersecţiei). Fie ( ) 1 , cu
T
1. Atunci =
este un anti…ltru m¼asurabil.
1
Demonstraţie. Fie K 2 c(Rn ) şi " > 0.
asurabil ) 9 L1 2 1 cu L1 K şi (K)
1 m¼
asurabil ) 9 L2 2 2 cu L2 L1 şi (L1 )
2 m¼
..
.
m¼
asurabil ) 9 L 2
..
.
Obţinem
cu L
1 şi
(L1 ) < "=2,
(L2 ) < "=22 ,
(L
1)
(L ) < "=2 ,
(K)
(L ) < ";
1:
L 2
obţinem L 2
,
1 L 2 c(R ). Din L
T
. Deoarece L L
L 1, L =
L
obţinem
1
T
n
Punem L =
T
L2 =
1
(L) = lim
!1
De aici rezult¼
a c¼
a
(K)
T
=
1
Prin urmare
L
anti…ltru m¼asurabil
(L) = lim ( (K)
!1
1, deci
(L ) :
(L ))
";
L2
:
este un anti…ltru m¼
asurabil.
Lema 5.3. Fie 1 , 2 anti…ltre, 1
atunci 2 este un anti…ltru m¼asurabil.
2.
Dac¼a
Demonstraţie. Fie K 2 c(Rn ) şi " > 0. Deoarece
exist¼
aL2 1
2 astfel încât
L
K
şi
(K)
asurabil,
1 este un anti…ltru m¼
asurabil
1 este un anti…ltru m¼
(L) < ":
n
Deci pentru orice K 2 c(R ) şi pentru orice " > 0 exist¼
aL2
L
K
şi
(K)
2 astfel încât
(L) < ":
Propoziţia 5.4. 1) Orice funcţie f : Rn ! Y continu¼a este m¼asurabil¼a.
f
h
mas
n f
cont
h
2) Rn ! Y
20 ) R
!Y
! Z, f m¼asurabil¼a, h continu¼a ) h f m¼asurabil¼a.
! Z, h homeomor…sm ) (f m¼asurabil¼a , h f m¼asurabil¼a).
hom eo
mas
f
3) Rn ! RN , f = (f1 ; :::; fN ) m¼asurabil¼a , f1 ; :::; fN m¼asurabile.
mas
f
n
4) R
F , F spaţiu normat,
g
2 R, f , g m¼asurabile ) f + g,
f şi kf k
m¼asurabile.
f
f
5) Rn ! R, Rn ! F , f , g m¼asurabile ) f g m¼asurabil¼a.
6) R
n
mas
f
g
mas
Y cu Y = R sau Y = R, f , g m¼asurabile ) sup (f; g) ; inf (f; g)
m¼asurabile.
Demonstraţie. 1) c (f ) = c(Rn ) este un anti…ltru m¼
asurabil.
2) c (f )
c (h f ), c (f ) anti…ltru m¼
asurabil ) c (h f ) este un anti…ltru
m¼
asurabil.
¼
5. M ASURABILITATE
105
3) c (f ) = c (f1 ) \ ::: \ c (fN ).
4) c (f ) \ c (g) c (f + g), c (f ) c ( f ), c (f )
5) c (f ) \ c (g) c (f g).
6) Folosim 4) pentru F = R şi egalit¼
aţile
sup (f; g) =
c (kf k).
f + g + jf gj
f + g jf
; inf (f; g) =
2
2
sup (f; g) + inf (f; g) = f + g:
gj
;
p
Teorema 5.5 (Egorov). Fie f ; f : Rn ! F ,
1, f ! f . Presupunem c¼a f
este m¼asurabil¼a pentru orice
1. Cosider¼am anti…ltrele
n
o
T
u
=
c
(f
)
;
=
K
2
:
f
jK
!
f
jK
:
\
\
1
Atunci
a) \ şi sunt anti…ltre m¼asurabile.
b) f este funcţie m¼asurabil¼a.
Demonstraţie. a) Conform teoremei intersecţiei
Pentru " > 0 punem
(")
= fK 2
=
K2
\ : 9i = i (K; ")
\ : 9i = i (K; ")
a:^{: jfp (x)
a:^{: kfp
asurabil.
\ este anti…ltru m¼
fq (x)j
fq kK
"; 8x 2 K; 8p; q
"; 8p; q
ig
i
Atunci
T
T
1)
(")
(1= )
.
">0
1
2) (") este anti…ltru m¼
asurabil pentru orice " > 0.
Prima parte este imediat¼
a. Dac¼
a vom ar¼
ata c¼
a (") este un anti…ltru m¼
asurabil
pentru
orice
"
>
0,
atunci
folosind
din
nou
teorema
intersecţiei
obţinem
c¼
a
=
T
(1=
)
este
un
anti…ltru
m¼
a
surabil.
1
Vom demonstra c¼
a pentru orice " > 0 (") este un anti…ltru m¼
asurabil. Fie
K 2 c(Rn ) şi > 0. Deoarece \ este anti…ltru m¼
asurabil exist¼
a L 2 \ astfel
încât
L K şi
(K)
(L) < :
Pentru orice
1 …e
L = fx 2 L : jfp (x)
Deoarece (fp
Avem
fq (x)j
T
fq ) jL este continu¼
a, L 2 \ =
L 2 c(Rn );
L
L +1 ;
"; 8p; q
), rezult¼
a c¼
a L 2 c(Rn ).
1 c (f
L=
g
S
L :
1
Într-adev¼
ar,
x 2 L; f (x) ! f (x) ) 9 x 1 a:^{: jfp (x) fq (x)j "; 8p; q
S
S
deci L
L adic¼
aL=
1L
1L :
Din de…niţie avem L 2 (") pentru orice
1. Deoarece
(L ) % (L)
(K)
(L) <
)9 0
1 a:^{:
(K)
x ) x 2 L x;
(L 0 ) < :
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
106
Prin urmare, L 0 2 ("), L 0 L K, (K)
(L 0 ) < . Am ar¼
atat astfel c¼
a
(") este un anti…ltru m¼
asurabil pentru orice " > 0 şi dup¼
a cum am observat deja,
acest lucru implic¼
a faptul c¼
a este un anti…ltru m¼
asurabil.
b) Vom ar¼
ata c¼
a f este funcţie m¼
asurabil¼
a. Fie K 2
\ . Atunci
1) f jK este continu¼
a pentru orice
1.
u
2) Din K 2 rezult¼
a c¼
a f jK ! f jK şi f jK este continu¼
a8
1. Obţinem
c¼
a f jK este continu¼
a deci K 2 c (f ).
c (f )
masurabil
) c (f ) masurabil ) f este funcţie masurabila:
Corolarul 5.6. Fie f : Rn ! Y , cu Y = R sau Y = R, o funcţie m¼asurabil¼a
pentru orice
1. Atunci sup 1 f , inf 1 f , lim sup f , lim inf f sunt funcţii
m¼asurabile.
Demonstraţie. Considerând homeomor…smul
h : [ 1; 1] ! R;
h (t) =
t
=
t sgn (t)
1
t
1+t
t
1 t
; t 0
;
; t>0
cu inversul
h 1 : R ! [ 1; 1] ;
h 1 (s) =
s
=
1 + s sgn (s)
s
1 s
s
1+s
;
;
s 0
;
s>0
avem
f
şi
Aici
h
1
Rn ! R ! [ 1; 1] ,! R
f masurabila , h 1 f masurabila:
8
< 1
0
sgn (t) =
:
1
; t>0
; t=0
; t<0
Rezult¼
a c¼
a putem presupune c¼
a f (Rn ) [ 1; 1] pentru orice
1.
1) Punem g = sup (f1 ; :::; f ). Atunci g este funcţie m¼
asurabil¼
a pentru orice
1, g
g +1 şi lim g = sup 1 f . Folosind teorema lui Egorov obţinem c¼
a
sup f = lim g este o funcţie m¼asurabil¼a.
1
2) inf 1 f = sup 1 ( f ).
3) lim sup f = inf 1 supp fp , lim inf f = sup
Propoziţia 5.7. Familia mulţimilor m¼asurabile
Ln = fA
Rn : A masurabilag
formeaz¼a o -algebr¼a de mulţimi, i.e.
1) ;, Rn 2 Ln .
2) A 2 Ln ) {A 2 LnS
.
3) A 2 Ln ,
1)
1 A 2 Ln .
1 inf p
fp .
¼
5. M ASURABILITATE
107
Demonstraţie. 1) Deoarece car; = 0 şi carRn = 1 obţinem c¼
a c (car; ) =
c (carRn ) = c(Rn ) este un anti…ltru m¼
asurabil.
2) Deoarece
c (carA )
=
=
L 2 c(Rn ) : 9L0 2 c(A); 9L00 2 c({A) a.î. L = L0 [ L00
c (car{A ) ;
A este m¼
asurabil¼
a dac¼
a şi numai dac¼
a {A este m¼
asurabil¼
a
3) Avem
carS A = sup carA :
1
1
Prin urmare avem şirul de implicaţii care demonstreaz¼
a a…rmaţia:
A
2
Ln ;
1 ) carA este f unctie masurabila;
) sup carA = carS
1
S
)
A 2 Ln :
1
este f unctie masurabila
A
1
1
Teorema 5.8 (Luzin). Fie Y un spaţiu topologic şi f : Rn ! Y .
a) Dac¼a f este funcţie m¼asurabil¼a şi B = B Y , atunci A = f
b) Pentru Y = R urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(i) f este funcţie m¼asurabil¼a
(ii) 8 c 2 R, Ac = f 1 ([ 1; c)) 2 Ln .
1
(B) 2 Ln .
Demonstraţie. a) Fie K 2 c(Rn ) şi " > 0. Deoarece f este funcţie m¼
asurabil¼
a,
exist¼
a L 2 c (f ) astfel încât
L
K
şi
(K)
(L) < ":
L 2 c (f ) ) fjL : L ! Y este funcţie continu¼
a)
K0
L \ A = fjL
A, K 0
L. Pentru orice
1
(B) = K 0 2 c(Rn )
1 avem
L = fx 2 L : d (x; K 0 )
{A (( K 0 = L \ A) ;
L
(L ) %
1= g 2 c(Rn );
L
L +1 ;
0
(L)
(K ) teorema diferenţei pentru volum
Rezult¼
a c¼
a
(L) =
deci exist¼
a
0
(K 0 ) + lim (L )
1 astfel încât
(K)
(K 0 )
(L 0 ) < ":
Recapitulând avem K 0 2 c(A); K 00 = L 0 2 c({A); K 0 [ K 00
(K)
0
(K )
L
K;
00
(K ) < "
adic¼
a A = f 1 (B) 2 Ln .
b) Pentru implicaţia "(i) ) (ii)" folosim a).
{Ac = {f
1
([ 1; c)) = f
1
([c; 1]) 2 Ln , Ac 2 Ln :
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
108
Pentru implicaţia "(ii) ) (i)" proced¼
am astfel. Avem
f
1
f
Pentru p
( 1)
= fx 2 Rn : f (x) =
1
= fx 2 Rn : f (x) = 1g = {
(1)
1g =
1 şi i 2 Z punem
Ap;i =
x 2 Rn :
i
1
f (x) <
p
i
p
T
A
2 Ln ;
1
S
A
1
!
2 Ln :
= A pi \ {A i 1
p
De…nim
Rn ! R;
8
; x 2 f 1 ( 1)
<
; x 2 f 1 (1)
=
: i 1
;
x 2 A ;i
f
:
f (x)
i.e.
f = carf 1 (1)
carf 1 ( 1) +
P i
h (t) =
t
=
t sgn (t)
1
carA ;i :
i2Z
Considerând homeomor…smul
h : [ 1; 1] ! R;
1
t
1+t
t
1 t
; t 0
;
; t>0
cu inversul
h 1 (s) =
h 1 : R ! [ 1; 1] ;
s
1 s
s
1+s
s
=
1 + s sgn (s)
;
;
s 0
;
s>0
avem
g
h
1
Rn ! R ! [ 1; 1] ,! R
şi
g masurabila , h 1 g masurabila:
Aici
8
< 1
0
sgn (t) =
:
1
Avem
h 1 f =
1+
carf 1 (1)
1+
; t>0
; t=0
; t<0
carf 1 ( 1) +
Folosind teorema lui Egorov de dou¼
a ori,
P
i2Z 1 +
şi
i 1
i 1
sgn
carA ;i = lim
i 1
p
P
i 1
i2Z 1 +
i 1
sgn
i 1
carA ;i :
i 1
p i= p 1 + i 1
h 1 f = lim h 1 f
P
sgn
i 1
carA ;i
punctual¼a,
punctual¼a,
obţinem c¼
a h 1 f este funcţie m¼
asurabil¼
a deci f este funcţie m¼
asurabil¼
a.
¼
6. M ASURA
LEBESGUE
109
6. M¼
asura Lebesgue
Rn . De…nim
P
= inf
v (Dk ) ; A
De…niţia 6.1. Fie A
e
(A)
S
k2N
e
(A)
=
P
inf
k2N
S
v (Dk ) ; A
k2N
e
(A)
=
P
inf
k2N
S
v (Dk ) ; A
k2N
e
cub (A)
=
P
inf
k2N
S
v (Dk ) ; A
k2N
e
cub (A)
=
P
inf
k2N
S
v (Dk ) ; A
k2N
e
cub (A)
=
inf
P
k2N
S
v (Dk ) ; A
k2N
Lema 6.1. Pentru orice A
Rn
e
e
e
(A) =
(A) =
Dk ; Dk 2 Dn ;
Dk ; Dk 2 Dn ;
Ck ; Ck 2 Cn ;
C k ; Ck 2 Cn ;
C k ; Ck 2 Cn :
e
cub (A) =
e
cub (A) =
(A) =
Demonstraţie. 1) Deoarece D
e
k2N
Dk ; Dk 2 Dn ;
e
cub (A) :
D obţinem c¼
a
D
e
(A)
e
(A)
(A) :
2) În continuare vom ar¼
ata c¼
a
e
Fie " > 0. Fie A
S
e
(A)
(A) :
k2N D k ; Dk 2 Dn . Pentru D =
n
Q
D" =
[ai
x (") (bi
Qn
i=1 [ai ; bi ) şi " > 0 punem
ai ) ; bi + x (") (bi
ai )) ;
i=1
unde 0 < x (") = (1+"=v(D))
2
1=n
1
< 12 pentru 0 < " < v (D). Atunci D
D" şi
n
v (D" ) = (1 + 2x (")) v (D) = (1 + "=v (D)) v (D) = v (D) + ":)
"=2k+1
Considerând pentru orice k 2 N, Dk
k+1
"=2
v Dk
Deci
e
(A)
P
k2N
"=2k+1
, obţinem Dk Dk
"
= v (Dk ) + k+1 :
2
"=2k+1
v Dk
"+
k2N
pentru orice " > 0 şi fDk gk2N
Dn astfel încât A
S
fDk gk2N Dn cu A
a c¼
a
k2N D k rezult¼
e
(A)
"+
+
e
(A)
e
P
e
(A) ;
(A) :
şi
v (Dk )
S
k2N D k .
8" > 0;
Luând inf dup¼
a
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
110
3) Similar se demonstreaz¼
a c¼
a
e
cub (A) =
e
cub (A) :
e
cub (A) =
4) Avem în mod evident
e
e
cub (A)
(A)
întrucât o acoperire cubic¼
a este
S în particular şi o acoperire cu dreptunghiuri. Fie
acum fDk gk2N Dn cu A
a în R, exist¼
a
k2N Dk şi " > 0. Deoarece Q este dens¼
un dreptunghi D ("; k) astfel încât
Dk
"=2k+1
D ("; k)
Dk
şi extremit¼
aţile intervalelor care-l de…nesc s¼
a …e numere raţionale. Acest fapt permite ca D ("; k) s¼
a poat¼
a … împ¼
arţit într-o reuniune disjunct¼
a de cuburi, i.e.
S
D ("; k) =
Cj ;
j2F (";k)
P
v (Cj )
= v (D ("; k))
v (Cj )
=
"=2k+1
v Dk
j2F (";k)
Obţinem
P P
k2N j2F (";k)
P
P
P
P
v (D ("; k))
k2N
v (Cj )
+
"+
k2N j2F (";k)
k2N
P
=
"
+ v (Dk ) :
2k+1
"=2k+1
v Dk
="+
P
v (Dk )
k2N
v (Dk )
k2N
e
cub (A)
e
cub (A)
+
"+
+
e
e
(A)
(A) :
De…niţia 6.2. a) Fie A 2 Ln . De…nim m¼asura Lebesgue a lui A prin
(A) =
sup
(K) = sup
K2c(Rn );K A
(K) :
K2c(A)
Aplicaţia
: Ln ! R+ ;
se numeşte m¼asura Lebesgue.
b) Pentru orice A Rn de…nim
ext (A) =
A!
inf
(A)
(U )
A U =U
Lema 6.2. a) c(Rn )
Ln şi m¼asura Lebesgue restrâns¼a la c(Rn ) este volumul
Lebesgue.
b) Dac¼a A mulţime local închis¼a, atunci A 2 Ln şi (A) = (A).
c) Fie U = U
Rn . Atunci U 2 Ln şi
(U ) =
(U ) =
(U ) =
sup
K2c(Rn );K U
d) Avem
ext =
=
e
.
(K) :
¼
6. M ASURA
LEBESGUE
111
Demonstraţie. a) "c(Rn )
Ln ". Fie L 2 c(Rn ). pentru a ar¼
ata c¼
a L 2 Ln
vom folosi teorema diferenţei pentru volum. Fie K 2 c(Rn ) şi " > 0. Atunci
(K)
(K \ L) =
(K 00 )
sup
K 00 2c(KrK\L)
Cum K r K \ L = K r L, rezult¼
a c¼
a exist¼
a K 00 2 c(K r L) astfel încât dac¼
a
0
0
00
K = K \ L s¼
a avem K 2 c(L), K 2 c({L), K 0 [ K 00 K şi
(K 0 )
(K)
(K 00 ) < ":
Deci L 2 Ln . Deoarece L este cel mai mare copact conţinut în L, m¼
asura Lebesgue
a lui L coincide cu volumul Lebesgue a lui L din de…niţie.
b) Deoarece A este o mulţime local închis¼
a, exist¼
a D = D astfel încâtS
A = A\D.
Conform lemei 2.4, exist¼
a fC g 2N , C cub 2 N astfel încât D =
2N C şi
0
6=
) C \ C 0 = ;. Prin urmare,
A=A\D =
S
2N
A\C :
Cum A \ C 2 c(Rn )
Ln pentru orice 2 N obţinem c¼
a A 2 Ln . Egalitatea
(A) =
(A) este consecinţa imediat¼
a a de…niţiei m¼
asurii Lebesgue a lui A şi a
lemei 3.7.
c) Acest punct este consecinţa imediat¼
a a corolarului 3.8.
d) 1) Se aplic¼
a c). Fie A Rn . Atunci
ext (A) =
inf
A U =U
2) Fie fDk gk2N
Dn cu A
S
(A)
Dk
(U ) =
S
k2N
(A)
+
e
inf
(U ) =
(A) :
A U =U
k2N Dk . Atunci
P
(Dk ) =
k2N
P
(Dk ) =
k2N
P
v (Dk )
k2N
(A) :
3) În continuare vom ar¼
ata c¼
a
e
Dac¼
a
(A)
(A) :
(A) = 1, atunci estimaţia se veri…c¼
a automat. Dac¼
a
n
n
(A) < 1, atunci
exist¼
aU =U
R , A
U şi (U ) < 1. Fie U = U
R , A
U şi (U ) <
1. Conform lemei 2.4 şi corolarului s¼
au, U se reprezint¼
a ca reuniune cel mult
num¼
arabil¼
a de cuburi mutual disjuncte, mai exact avem
S
P
U=
C şi
(U ) = (U ) =
v (C) :
Deci A
U=
S
C2C(U )
C2C(U )
C şi
C2C(U )
e
(A)
P
v (C) =
C2C(U )
e
(A)
+
inf
A U =U
(U ) =
(U ) ;
8A
ext (A) =
U =U
(A) :
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
112
Teorema 6.3 (M¼
asura Lebesgue). a) A; B 2 Ln , A \ B = ; ) (A [ B) =
(A) + (B).
b) A 2 Ln ) (A) = (A).
c) Aplicaţia : Ln ! R+ este o m¼asur¼a complet¼a, regulat¼a şi invariant¼a la
translaţii i.e.
(x + A) = (A) ; x 2 Rn ; A 2 Ln :
Demonstraţie. a) Fie K 2 c(A) şi L 2 c(B). Atunci K [ L 2 c(A [ B),
K \ L = ;. Deci
(K) + (L)
(K) + (L)
(A) + (B)
=
+
+
(K [ L)
(A [ B)
(A [ B) ;
8K 2 c(A); 8L 2 c(B);
sup
(A [ B) :
Reciproc, …e K 2 c(A [ B). Deoarece A 2 Ln , pentru orice " > 0 exist¼
a K 0 2 c(A)
00
0
00
şi K 2 c({A) astfel încât K [ K
K şi
(K 0 )
(K)
Deoarece
{A \ K
K 00
obţinem c¼
a
(K) <
+
(K) <
(A [ B)
Deci
(A [ B)
+
+
{A \ (A [ B) = {A \ B
" + (K 0 ) + (K 00 )
" + (A) + (B) ;
sup
" + (A) + (B) ;
B
" + (A) + (B)
8K 2 c(A [ B)
8" > 0
(A) + (B) :
(A [ B) =
b) Fie U = U , A
(K 00 ) < ":
(A) + (B) :
U . Atunci din de…niţie avem
(A)
(A)
(U ) ;
+
inf
8U = U ; A
U
(A) :
În continuare vom ar¼
ata c¼
a
(A)
1) Presupunem c¼
a
Vom ar¼
ata c¼
a
(A) :
(A) < 1. Atunci exist¼
a U = U, A
8" > 0; 9U" = U " ; A
U"
U
a:^{:
(U" r A) < ":
Presupunem prin absurd c¼
a exist¼
a " > 0 astfel încât
V = V ;A
V
U)
U şi
(V r A)
":
(U ) < 1.
¼
6. M ASURA
LEBESGUE
113
Din de…niţia m¼
asurii Lebesgue a mulţimii V r A rezult¼
a c¼
a exist¼
a KV 2 c(V r A)
astfel încât
(KV )
Fie
"=2:
1. Atunci
A = x 2 U ; d (x; A) = d x; A < 1=
este un deschis care conţine A. Avem
V1
= A1 ) 9K1 2 c (V1 r A) ;
(K1 )
"=2;
V2
= A2 r K1 ; A
V3
= A3 r K1 [ K2 ; A
..
.
V3 = V 3 ) 9K3 2 c (V3 r A) ,
V
= A r K1 [ ::: [ K
..
.
1; A
V2 = V 2 ) 9K2 2 c (V2 r A) ,
V rA
"=2;
(K3 )
"=2;
V = V ) 9K 2 c (V r A) ,
(K )
G¼
asim astfel un şir de compacţi (K )
K
(K2 )
1 mutual disjuncţi astfel încât
U;
(K )
"=2;
1:
Obţinem o contradicţie deoarece
1 >
(U )
+
0
0
<
+
<
"
"
(K1 [ ::: [ K ) =
2 (U )
;
(K1 ) + ::: + (K )
1
0:
Prin urmare am ar¼
atat c¼
a
8" > 0; 9U" = U " ; A
U"
U
a:^{:
(U" r A) < ":
Fie " > 0. Atunci folosind şi punctul a) obţinem c¼
a
(A)
(U" ) =
+
(A) <
(A)
+
(U" r A) + (A) < " + (A)
" + (A)
(A) :
Obţinem c¼
a
(A) =
(A)
în acest caz ( (A) < 1).
2) Fie A 2 Ln arbitrar¼
a. Atunci din prima parte avem
(A \ C) =
(A \ C) ;
8C 2 Cn :
"=2
"=2;
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
114
S
Scriem Rn =
a 1 cu vârfurile în laticea Zn .
1 C , unde C sunt cuburile de latur¼
Folosind a) obţinem c¼
a
p
P
(A \ C )
1
P
(A \ C )
=1
p
S
=
=1
+
=1
Folosind faptul c¼
a
A\C
c) 1) Fie (A )
;. Vom ar¼
ata c¼
a
1
P
(A \ C ) =
1
S
A
=
=1
Avem
1
S
A
1
S
=
=1
=1
1
P
(A \ C )
(A) :
(A )
1
P
A
=1
1
S
(A )
=1
(A ) =
) A \A 0 =
1
P
A
;
=1
A
(A ) :
=1
1
S
A
=1
+
0
(A ) :
=1
p
S
=
6=
=1
=1
De asemenea avem
8p
1
:
=1
1
S
A
=
=1
2)
1
P
asurabile astfel încât
1 un şir de mulţimi m¼
p
P
1
(A) :
=1
Deci
8p
este o m¼
asur¼
a exterioar¼
a obţinem
(A)
1
P
(A) ;
1
P
(A ) :
=1
este m¼
asur¼
a regulat¼
a i.e.
(A) = sup f (K) ; K 2 c(A)g = inf
(U ) ; A
U =U
:
3) este m¼
asur¼
a complet¼
a i.e. A 2 Ln , (A) = 0 şi B
A ) B 2 Ln ,
(B) = 0.
Fie K 2 c(Rn ) şi " > 0. Deoarece A 2 Ln , exist¼
a K 0 2 c(A) şi K 00 2 c({A)
0
00
astfel încât K [ K
K şi
(K)
(K 0 )
(K 00 ) < ":
(A) = 0 şi K 0 A ) (K 0 ) = 0.
B A ) {A {B ) c({A) c({B) ) K 00 2 c({A)
Deci ; 2 c(B), K 00 2 c({B), ; [ K 00 K şi
(K)
Prin urmare B 2 Ln şi
(B) = 0.
(;)
(K 00 ) < ":
c({B).
¼
6. M ASURA
LEBESGUE
115
Corolarul 6.4. Fie A Rn . Urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
a) A 2 Ln şi (A) = 0.
b)
(A) = 0.
S
c) 8" > 0, 9 (C ) 1 un şir de cuburi astfel încât A
1 C şi
P
(C ) < ":
1
d) 8" > 0, 9 (C )
S
1 un şir de cuburi astfel încât A
P
(C ) < ":
1C
şi
1
e) 8" > 0, 9 (K )
1 un şir de compacţi astfel încât A
P
(K ) < ":
S
1K
şi
1
Demonstraţie. Folosind teorema anterioar¼
a, lema 6.1 obţinem implicaţiile a) )
b) ) c) ) d) ) e).
e) ) a). Pentru orice m
1 g¼
asim (K m ) 1 un şir de compacţi astfel încât
S
m
A
şi
1K
P
1
(K m ) < :
m
1
Punem
B=
T
S
m 1
Atunci B 2 Ln , A
B şi
S
(B)
1
+
(B)
=
K
m
1
K
m
!
!
1
;
m
<
1
(A) = 0.
: Ln ! R+ o m¼asur¼a. Fie (A ) 1 un şir de mulţimi m¼asurabile.
S1
A +1 ,
1 şi A =
=1 A , atunci
(A) = lim
!1
b) Dac¼a A +1
8m
0:
…ind o m¼
asur¼
a complet¼
a obţinem c¼
a A 2 Ln şi
Lema 6.5. Fie
a) Dac¼a A
:
A ,
1,
(A1 ) < 1 şi A =
(A) = lim
=1 A
, atunci
(A ) :
(A +1 )
(A),
(A ) = sup (A )
(A) :
Demonstraţie. a) Deoarece
!1
T1
(A ) = inf
!1
lim
(A ) = sup (A ) :
(A )
1, obţinem c¼
a
Putem presupune c¼
a (A ) < 1 pentru orice
1, altfel g¼
asim
încât
1 = (A 0 )
(A )
(A) ;
0:
0
1, astfel
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
116
S1
S1
Avem A =
=1 A = A1 [
=1 (A +1 r A ) cu termenii din a doua reuniune
mutual disjuncţi. Deci
(A)
=
(A1 ) +
1
P
( (A +1 )
(A ))
=1
=
(A1 ) + lim
p
P
p!1 =1
=
lim
p!1
( (A +1 )
(A ))
(Ap+1 ) :
b) Se obţine din a) considerând şirul cresc¼
ator (A1 r A )
1.
Teorema 6.6 (Teorema de unicitate a m¼
asurii Lebesgue). Fie : Ln ! R+ o
n
m¼asur¼a invariant¼a la translaţii astfel încât ([0; 1] ) < 1. Atunci
=
unde
D (0; 1)
=
n
([0; 1] ) ;
este m¼asura Lebesgue.
Demonstraţie. Conform lemei anterioare jc(Rn ) este un volum regulat invariant la translaţii. Folosind teorema de unicitate a volumului Lebesgue rezult¼
a c¼
a
n
(K) =
Fie U = U
Rn . Pentru
K 2 c(Rn ):
([0; 1] ) (K) ;
1 punem K
1
x 2 U : d x; {U
K =
G¼
asim un şir de compacţi (K )
K
; jxj
:
1 astfel încât
K +1 ;
U=
S
K :
1
Folosind din nou lema anterioar¼
a obţinem c¼
a
(U ) = sup (K ) =
n
([0; 1] ) sup (K ) =
Fie A 2 Ln , K 2 c(A) şi U = U , A
n
([0; 1] ) (K) =
(K)
n
([0; 1] ) (U ) :
U . Atunci
(A)
(U ) =
n
([0; 1] ) (U )
sup + inf
n
([0; 1] ) sup
(K)
n
(A)
([0; 1] )
K2c(A)
inf
A U =U
adic¼
a
n
([0; 1] ) (A)
n
(A)
([0; 1] ) (A)
deci
(A) =
n
([0; 1] ) (A) :
(U ) ;
7. CELE TREI PRINCIPII ALE LUI LITTLEWOOD
117
7. Cele trei principii ale lui Littlewood
Cele trei principii ale lui Littlewood sunt euristici1 informale care transmit o mare
parte din intuiţia de baz¼
a din spatele teoriei m¼
asurii a lui Lebesgue. Pe scurt, cele
trei principii sunt dup¼
a cum urmeaz¼
a:
(i) Fiecare mulţime (m¼
asurabil¼
a) este aproape o sum¼
a …nit¼
a de intervale;
(ii) Fiecare funcţie (absolut integrabil¼
a) este aproape continu¼
a;
(iii) Fiecare şir de funcţii (punctual) convergent este convergent aproape uniform.
Suntem în m¼
asur¼
a s¼
a prezent¼
am câteva manifest¼
ari a dou¼
a dintre cele trei principii.
Principiile asupra c¼
arora ne vom apleca în aceast¼
a secţiune sunt primul şi ultimul.
Cel referitor la funcţiile integrabile va … discutat dup¼
a ce vom introduce şi vom
stabili propriet¼
aţile integralei Lebesgue.
Lema 7.1. Fie A o mulţime şi fBi gi2I o familie de mulţimi. Atunci
S
T
S
A4 i2I Bi [ A4 i2I Bi
i2I (A4Bi )
S
S
Demonstraţie. a) Vom ar¼
ata c¼
a A4 i2I Bi
i2I (A4Bi ). Avem
S
S
S
A4 i2I Bi
= A \ { i2I Bi [ {A \
i2I Bi
T
S
= A\
i2I {Bi [
i2I {A \ Bi
S
S
A\
i2I {Bi [
i2I {A \ Bi
S
S
=
i2I A \ {Bi [
i2I {A \ Bi
S
=
A \ {Bi [ {A \ Bi
Si2I
=
i2I (A4Bi )
T
S
b) Pentru incluziunea A4 i2I Bi
i2I (A4Bi ) vom folosi egalitatea A4B =
{A4{B şi punctul a). Avem
T
T
S
A4 i2I Bi
= {A4{ i2I Bi = {A4 i2I {Bi
S
S
i2I {A4{Bi =
i2I (A4Bi )
Diferite manifest¼
ari ale primului principiu al lui Littlewood sunt cuprinse în
rezultatul urm¼
ator.
Teorema 7.2 (Criterii de m¼
asurabilitate). Fie A
sunt echivalente:
(i) A 2 Ln .
A
Rn . Urm¼atoarele a…rmaţii
(ii) (Aproximarea exterioar¼a prin deschişi) Pentru orice " > 0 exist¼a U" = U " ,
U" cu
(U" r A) < ".
(iii) (Aproape deschis¼a) Pentru orice " > 0 exist¼a U" = U " cu
(U" 4A) <
". Cu alte cuvinte, A difer¼a de o mulţime deschis¼a printr-o mulţime cu m¼asura
exterioar¼a cel mult ".
(iv) (Aproximarea interioar¼a prin închişi) Pentru orice " > 0 exist¼a F" = F " ,
F" A cu
(A r F" ) < ".
1 euristic¼
a = metod¼
a de studiu şi de cercetare care serveşte la descoperirea unor cunoştinţe
noi
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
118
(v) (Aproape închis¼a) Pentru orice " > 0 exist¼a F" = F " cu (F" 4A) < ". Cu
alte cuvinte, A difer¼a de o mulţime închis¼a printr-o mulţime cu m¼asura exterioar¼a
cel mult ".
(vi) (Aproape m¼asurabil¼a) Pentru orice " > 0 exist¼a A" 2 Ln cu
(A" 4A) <
". Cu alte cuvinte, A difer¼a de o mulţime m¼asurabil¼a printr-o mulţime cu m¼asura
exterioar¼a cel mult ".
Demonstraţie. (i) ) (ii) Vom prelua fragmente din demonstraţia teoremei 6.3.
1) Presupunem c¼
a
Vom ar¼
ata c¼
a
(A) =
(A) < 1. Atunci exist¼
a U = U, A
8" > 0; 9U" = U " ; A
U"
U
a:^{:
U şi
(U ) < 1.
(U" r A) < ":
Presupunem prin absurd c¼
a exist¼
a " > 0 astfel încât
V = V ;A
V
U)
(V r A)
":
Din de…niţia m¼
asurii Lebesgue a mulţimii V r A rezult¼
a c¼
a exist¼
a KV 2 c(V r A)
astfel încât
(KV ) "=2:
Fie
1. Atunci
A = x 2 U ; d (x; A) = d x; A < 1=
este un deschis care conţine A. Avem
V1
= A1 ) 9K1 2 c (V1 r A) ;
(K1 )
"=2;
V2
= A2 r K1 ; A
V3
= A3 r K1 [ K2 ; A
..
.
V3 = V 3 ) 9K3 2 c (V3 r A) ,
V
= A r K1 [ ::: [ K
..
.
1; A
V2 = V 2 ) 9K2 2 c (V2 r A) ,
V rA
"=2;
(K3 )
"=2;
V = V ) 9K 2 c (V r A) ,
(K )
G¼
asim astfel un şir de compacţi (K )
K
(K2 )
U;
1 mutual disjuncţi astfel încât
(K )
"=2;
1:
Obţinem o contradicţie deoarece
1 >
(U )
+
0
0
<
+
<
"
"
(K1 [ ::: [ K ) =
2 (U )
;
(K1 ) + ::: + (K )
"=2
1
0:
Prin urmare am ar¼
atat c¼
a
8" > 0; 9U" = U " ; A
U"
U
a:^{:
(U" r A) =
(U" r A) < ":
"=2;
7. CELE TREI PRINCIPII ALE LUI LITTLEWOOD
119
S
2) Fie A 2 Ln arbitrar¼
a. Scriem Rn =
a
1 C , unde C sunt cuburile de latur¼
1 cu vârfurile în laticea Zn . Atunci din prima parte avem c¼
a pentru orice " > 0 şi
orice
1 exist¼
a o mulţime deschis¼
a U" astfel încât
Punem U" =
S
A\C
U"
U" şi
(U" r A)
S
1 (U" r A) =
S
S
1 (U" r A \ C
1
P
=1
1
(U" r A \ C ) < "2
a
1 U" . Obţinem c¼
U" r A =
Prin urmare A
şi
:
1 (U" r A \ U" )
)
(U" r A \ C ) = "
1
P
2
1
"
=1
Implicaţile (ii) ) (iii) ) (vi) sunt triviale.
(vi) ) (i) Pentru orice
1 şi exist¼
a o mulţime m¼
asurabil¼
a A 2 Ln cu
2
(A 4A) < 2
. Punem
S
T
M =
A 2 Ln şi M =
1 M 2 Ln
Atunci pentru orice
1 avem
M +1
M ;
S
M 4A
şi
(M 4A)
1
P
=
(A 4A) <
1
P
A 4A
2
2
=
Aici am folosit lema anterioar¼
a pentru incluziunea M 4A
T
M=
N M
pentru orice N
pentru orice N
:
A 4A. Deoarece
1 folosind din nou lema anterioar¼
a obţinem c¼
a
S
M 4A
N M 4A
1. Deducem c¼
a
1
1
P
P
(M 4A)
(M 4A) <
2
=N
Deci
1
=2
S
(M 4A)
1
= 2 N;
=N
=
)
0)
8N
1:
(M r M \ A) = 0
(A r M \ A) = 0
M r M \ A 2 Ln
A r M \ A 2 Ln
Deoarece M 2 Ln deducem c¼
a M \ A = M r (M r M \ A) 2 Ln . Din M \ A 2 Ln
şi A r M \ A 2 Ln rezult¼
a c¼
a
A = (A r M \ A) [ M \ A 2 Ln
Echivalenţele ((i) , (iv) (Aproximarea interioar¼
a prin închişi)) , (v) (Aproape
închis¼
a) , (vi) (Aproape m¼
asurabil¼
a) sunt cosecinţe imediate a celor demonstrate
pân¼
a acum dac¼
a not¼
am c¼
a A 2 Ln , {A 2 Ln , U este mulţime deschis¼
a , F = {U
este mulţime închis¼
a şi egalitatea A4B = {A4{B.
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
120
Teorema 7.3. Fie A Rn . Urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(i) A 2 Ln şi (A) < 1.
(ii) (Aproximarea exterioar¼a prin deschişi cu m¼asura …nit¼a) Pentru orice " > 0
exist¼a U" = U " , A
U" ,
(U" ) < 1 cu
(U" r A) < ".
(iii) (Aproape deschis¼a şi m¼arginit¼a) Pentru orice " > 0 exist¼a U" = U "
m¼arginit¼a cu
(U" 4A) < ". Cu alte cuvinte, A difer¼a de o mulţime deschis¼a
şi m¼arginit¼a printr-o mulţime cu m¼asura exterioar¼a cel mult ".
(iv) (Aproximarea interioar¼a prin mulţimi compacte) Pentru orice " > 0 exist¼a
F" 2 c (Rn ), F" A cu
(A r F" ) < ".
(v) (Aproape compact¼a) Pentru orice " > 0 exist¼a F" 2 c (Rn ) cu
(F" 4A) <
". Cu alte cuvinte, A difer¼a de o mulţime compact¼a printr-o mulţime cu m¼asura
exterioar¼a cel mult ".
(vi) (Aproape m¼asurabil¼a şi m¼arginit¼a) Pentru orice " > 0 exist¼a A" 2 Ln
m¼arginit¼a cu
(A" 4A) < ". Cu alte cuvinte, A difer¼a de o mulţime m¼asurabil¼a
şi m¼arginit¼a printr-o mulţime cu m¼asura exterioar¼a cel mult ".
(vii) (Aproape m¼asurabil¼a cu m¼asura …nit¼a) Pentru orice " > 0 exist¼a A" 2 Ln ,
(A" ) < 1 cu
(A" 4A) < ". Cu alte cuvinte, A difer¼a de o mulţime m¼asurabil¼a
cu m¼asura …nit¼a printr-o mulţime cu m¼asura exterioar¼a cel mult ".
(viii) (Aproape elementar¼a) Pentru orice " > 0 exist¼a E" 2 En cu
(E" 4A) <
". Cu alte cuvinte, A difer¼a de o mulţime elementar¼a printr-o mulţime cu m¼asura
exterioar¼a cel mult ".
(ix) (Aproape elementar¼a diadic¼a) Pentru orice " > 0 exist¼a un întreg " şi o
reuniune …nit¼a E" de cuburi diadice din
cu
(E" 4A) < ". Cu alte cuvinte,
"
A difer¼a de o mulţime elementar¼a diadic¼a printr-o mulţime cu m¼asura exterioar¼a
cel mult ".
(ix) (Aproape elementar¼a diadic¼a) Pentru orice " > 0 exist¼a un întreg " şi o
reuniune …nit¼a E" de cuburi diadice închise din
cu
(E" 4A) < ".
"
Demonstraţie. (i) ) (ii) Aceast¼
a implicaţie este deja stabilit¼
a în cursul demonstraţiei teoremei anterioare (vezi implicaţia (i) ) (ii) punctul 1)). Dac¼
a A 2 Ln şi
(A) =
(A) < 1, atunci exist¼
a U = U, A
U şi
(U ) < 1. În plus, pentru
orice " > 0, exist¼
a U" = U " , A U" U , astfel încât (U" r A) =
Deoarece U" A [ (U" r A) rezult¼
a c¼
a
(U" )
(A) + (U" r A) <
(U" r A) < ".
(A) + " < 1:
(ii) ) (iii) Fie " > 0. Atunci exist¼
a V" = V " , A V" , (V" ) < 1 astfel încât
n
(V" r A) < "=2. Pentru
1 punem B = ( 1; 1) . Atunci
(V" \ B ) 4A =
=
V" \ B \ {A [ A \ { (V" \ B )
V" \ B \ {A [ A \ {V" [ {B
=
V" \ B \ {A [ A \ {B
=
(V" r A) [ (V" r B )
V" \ {A [ V" \ {B
Obţinem c¼
a
((V" \ B ) 4A)
(V" r A) +
(V" r B ) < "=2 + (V" r B )
7. CELE TREI PRINCIPII ALE LUI LITTLEWOOD
Deoarece V" r B +1
V" r B şi
încât (V" r B ) < "=2 pentru
T
a c¼
a exist¼
a "
1 (V" r B ) rezult¼
.
Punem
U
=
V
\
B
.
Atunci
"
"
"
"
121
1 astfel
(U" 4A) < "=2 + (V" r B " ) < "=2 + "=2 < "
Deci U" este mulţime deschis¼
a şi m¼
arginit¼
a care satisface
(U" 4A) < ".
Implicaţiile (iii) ) (vi) ) (vii) sunt triviale.
Pentru implicaţia (vii) ) (i) folosim teorema anterioar¼
a pentru a obţine c¼
a
A 2 Ln . Mai departe observ¼
am c¼
a A A" [ A" 4A, deci
(A)
(A" ) +
(U" 4A) <
(A" ) + " < 1:
(i) ) (iv) Din de…niţia m¼
asurii Lebesgue a mulţimii A
(A) =
sup
(K) = sup
K2c(Rn );K A
rezult¼
a c¼
a pentru orice " > 0 exist¼
a F" 2 c (Rn ), F"
(A)
(K) ;
K2c(A)
(K)
A astfel încât
":
n
Deci pentru orice " > 0 exist¼
a F" 2 c (R ), F" A cu
(A r F" ) < ".
Implicaţiile (iv) ) (v) ) (vi) ) (vii) sunt triviale, iar implicaţia (vii) ) (i) a
fost deja demonstrat¼
a.
am cu k
(i) ) (ix) & (i) ) (ix). Reamintim câteva notaţii. Pentru k 2 N not¼
familia cuburilor de latur¼
a 2 k şi cu vârfurile în laticea 2 k Zn . De asemenea vom
nota cu
k reuniunea mulţimilor
0 ,..., k , i.e.
k =
şi cu
1 reuniunea mulţimilor
0 [ ::: [
k
0,
1,
2 ,... i.e.
1 =
0[
1[
2 [ :::
0 [ ::: [
k
0,
2 ,... i.e.
Pentru k 2 N not¼
am cu k familia cuburilor închise de latur¼
a 2 k şi cu vârfurile în
k n
laticea 2 Z . De asemenea vom nota cu
k reuniunea mulţimilor
0 ,..., k , i.e.
k =
şi cu
1 reuniunea tururor mulţimilor
1 =
Pentru K 2 c(Rn ) şi
0[
1,
1[
2 [ :::
2 N de…nim
C (K) = fC 2
; C \ K 6= ;g :
Deoarece K este m¼
arginit¼
a, obţinem c¼
a mulţimea C (K) este …nit¼
a şi lema 2.2
implic¼
a incluziunea
S
K
C
C2C (K)
Pentru K 2 c(Rn ) şi
2 N punem
K =
S
C
C2C (K)
Deoarece (i) , (ii) şi (i) , (iv) rezult¼
a c¼
a pentru orice " > 0, exist¼
a F" 2 c (Rn ) şi
U" = U " , F"
A
U" , care satisfac
(U" r F" ) < "=2
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
122
Fie
" 2 N astfel încât pentru orice
p
"
< dist F" ; {U" :
n2
Atunci
S
E" =
C
C2C " (F" )
satisface
F" E" U" ; (E" r A) [ (A r F" )
Deducem c¼
a E" este o mulţime elementar¼
a diadic¼
a şi
(E" 4A)
2
U" r F" :
(U" r F" ) = 2 (U" r F" ) < ":
Pentru orice " > 0 exist¼
a un întreg " şi o reuniune …nit¼
a E" de cuburi diadice din
cu
(E
4A)
<
".
"
"
Dac¼
a lu¼
am
S
C
E" =
C2C " (F" )
obţinem implicaţia (i) ) (ix).
(ix) ) (viii) ) (vii) şi (ix) ) (vii) sunt triviale, iar implicaţia (vii) ) (i) a
fost demonstrat¼
a.
Acum ne întoarcem la al treilea principiu al lui Littlewood. Vom avea nevoie
de urm¼
atorul rezultat ajut¼
ator.
c(Rn ) un anti…ltru m¼asurabil pe Rn şi A 2 Ln . Atunci
Lema 7.4. Fie
(A) =
sup
(K) =
K2 ;K A
sup
(K) :
K2c(A)\
Demonstraţie. Din de…niţie avem
(A) =
sup
(K) = sup
K2c(Rn );K A
(K) :
K2c(A)
Dar pentru orice K 2 c(Rn ) şi pentru orice " > 0 exist¼
aL2
L
K
şi
(K)
astfel încât
(L) < ":
Rezult¼
a c¼
a
sup
(K)
"+
K2c(Rn );K A
sup
(L)
L2 ;K A
pentru orice " > 0. La limit¼
a obţinem c¼
a
(A) =
sup
(K)
K2c(Rn );K A
sup
(K)
sup
(K) =
(A)
K2c(Rn );K A
K2 ;K A
deci
(A) =
sup
K2 ;K A
(K) =
sup
(K) :
K2c(A)\
Reamintim trei moduri de baz¼
a în care un şir de funcţii ff g , f : Rn ! F
n
pot s¼
a convearg¼
a la o limit¼
a f : R ! F.
(i) (Convergenţa punctual¼
a) f (x) ! f (x) pentru orice x 2 Rn .
(ii) (Convergenţa punctual¼
a aproape peste tot) Exist¼
aN
Rn cu (N ) = 0
n
astfel încât f (x) ! f (x) pentru orice x 2 R r N .
(iii) (Convergenţa uniform¼
a) Pentru orice " > 0, exist¼
a " 2 N astfel încât
jf (x)
f (x)jF
"
7. CELE TREI PRINCIPII ALE LUI LITTLEWOOD
123
n
pentru orice
" şi pentru orice x 2 R .
Convergenţa uniform¼
a implic¼
a convergenţa punctual¼
a, care, la rândul s¼
au, implic¼
a convergenţa punctual¼
a aproape peste tot. Vom ad¼
auga acum un al patrulea
mod de convergenţ¼
a, care este mai slab decât convergenţa uniform¼
a, dar mai puternic¼
a decât convergenţa punctual¼
a.
De…niţia 7.1. Un şir de funcţii ff g , f : Rn ! F converge local uniform la
f : Rn ! F dac¼a pentru orice K 2 c(Rn ) f jK : K ! F converge uniform la
fjK : K ! F . Cu alte cuvinte, pentru orice K 2 c(Rn ) şi pentru orice " > 0, exist¼a
" 2 N astfel încât
jf (x) f (x)jF "
pentru orice
" şi pentru orice x 2 K.
Exemplul 7.1. Şirul de funcţii ff g , f : R ! R,
1
1
; x>0
x
car(0;1) (x) =
;
0 ; x 0
x
converge punctual la 0 dar nu converge local uniform la 0.
f (x) =
Din exemplul precedent, vedem c¼
a convergenţa punctual¼
a (…e peste tot sau
aproape peste tot) este un concept mai slab decât convergenţa local uniform¼
a. Cu
toate acestea, o teorem¼
a remarcabil¼
a a lui Egorov, care demonstreaz¼
a al treilea
principiu al lui Littlewood, a…rm¼
a c¼
a se poate recupera convergenţa local uniform¼
a,
atâta timp cât suntem dispuşi s¼
a eliminin¼
am o mulţime de m¼
asur¼
a Lebesgue mic¼
a.
Teorema 7.5 (Teorema lui Egorov). Fie f : Rn ! F un şir de funcţii m¼asurabile
care converge punctual aproape peste tot la o alt¼a funcţie f : Rn ! F , şi …e " > 0.
Atunci exist¼a o mulţime m¼asurabil¼a Lebesgue A" cu m¼asura (A" ) ", astfel încât
f converge local uniform la f pe Rn r A" .
Demonstraţie. Prin modi…carea funcţiilor f şi f pe o mulţime de m¼
asur¼
a de
zero (care poate … absorbit¼
a în A" , la sfârşitul argumentului), putem presupune c¼
a
f converge punctual la f peste tot în Rn . Mai exact, exist¼
a N Rn cu (N ) = 0
astfel încât f (x) ! f (x) pentru orice x 2 Rn r N . Înlocuind f cu f carRn rN
şi f cu f carRn rN rezult¼
a c¼
a f (x) ! f (x) pentru orice x 2 Rn .
Vom folosi teorema 5.5 care spune printre altele c¼
a anti…ltrele
n
o
T
u
c (f ) ;
= K 2 \ : f jK ! f jK :
\ =
1
sunt anti…ltre m¼
asurabile.
n
Fie K 1 = ;. Pentru 2 N punem K = 2 [ 1; 1] . Folosind lema aterioar¼
a,
pentru orice " > 0 construim şirul (L ) 2N , L 2
Fie j,
L0 2
L1 2
L2 2
..
.
;
;
;
..
.
L 2
..
.
; L
..
.
2 N. Dac¼
a
L0
L1
L2
K0
K1 r K0
K2 r K1
..
.
K rK
..
.
(K0 ) < (L0 ) + "2 1
(K1 r K0 )
(L1 ) < "2 2
(K2 r K1 )
(L2 ) < "2 3
..
.
;
;
;
..
.
1
;
..
.
(K r K
j + 1, atunci Kj
L
K rK
K
1
{K
1)
(L ) < "2
..
.
1 şi
1
{Kj :
1
¼
3. M ASURA
LEBESGUE
124
Dac¼
a
j, atunci
deci
De aici obţinem c¼
a
S
L
K rK
j+1 L
{Kj
(Kj r Kj 1 ) r
S
2N L
=
=
Rn r
S
S
j2N
jL
0
= Kj r Kj 1 [
Kj :
S
S
2N L
=
S
S
2N L
j2N (Kj r Kj 1 ) r
(Kj r Kj 1 ) r
S
2N L
j2N
P
j2N
=
S
2N L
j2N ((Kj r Kj 1 ) r Lj ) :
Din ultima egalitate deducem c¼
a
P
(A" )
((Kj r Kj 1 ) r Lj )
=
jL
0
(Kj r Kj 1 ) r Lj
A " = Rn r
=
Kj ;
= Kj r (Kj 1 [ Lj )
De…nim A" prin
A"
S
şi
=
Atunci
K
1
"
( (Kj r Kj 1 )
(Lj ))
"
P
2 j 1
j2N
S
Fie acum K 2 c(R r A" ) = c( 2N L ). Atunci exist¼
a j 2 N astfel încât K
Avem
S
S
S
K Kj \
= Kj \
0
jL
2N L
0
jL 2
n
deci K 2
şi prin urmare f jK : K ! F converge uniform la fjK : K ! F .
Kj .
CAPITOLUL 4
Integrala Riemann
1. Primitive (R)
Notaţia 1.1. Fie F un spaţiu vectorial topologic. Fie A F .
Înf¼aşur¼atoarea convex¼a a lui A:
T
co (A) = fC : A C, C mulţime convex¼ag :
Înf¼aşur¼atoarea convex¼a închis¼a a lui A:
co (A)
= co (A)
T
=
fC : A
C, C mulţime convex¼a şi închis¼ag :
Lema 1.1. Fie F un spaţiu vectorial topologic.
a) Fie A F .
co (A) =
1; 9ti
0;
N
P
i=1
Rn = F .
b) Fie A
co (A) =
x 2 Rn : 9N
ti = 1; 9 i 2 A; x =
x 2 Rn : 9 1 ; :::; n+1 2 A; 9t1 ; :::; tn+1
0;
x 2 Rn : 9N
1; 9ti
0;
N
P
i=1
Atunci ! (A) este o mulţime convex¼
a şi A
co (A)
i=1
ti i
ti = 1; x =
i=1
Demonstraţie. a) Punem
! (A) =
n+1
P
N
P
n+1
P
i=1
ti = 1; 9 i 2 A; x =
N
P
i=1
ti i
ti i :
co(A). De aici rezult¼
a c¼
a
! (A) :
Reciproc, …e C mulţime convex¼
a, A C. Atunci ! (A) C. Avem doar de ar¼
atat
c¼
a
N
N
P
P
x=
ti i 2 C; 8 1 ; :::; N 2 C; 8t1 ; :::; tN 0;
ti = 1
i=1
i=1
care se demonstreaz¼
a prin inducţie.
NP
+1
i=1
ti i
=
N
P
i=1
=
=
ti
N
P
i=1
ti
PN
i=1 ti
i + tN +1 N +1
(1
tN +1 ) + tN +1 N +1 ;
N
P
ti
PN
i=1
i=1 ti
125
i 2 C:
126
4. INTEGRALA RIEM ANN
b) Fie x 2co(A). Atunci
9N
1; 9t1 ; :::; tN > 0;
Dac¼
a N
N
P
i=1
ti = 1; 9 1 ; :::; N 2 A;
a:^{:
x=
N
P
i=1
ti i
n + 1 nu avem ce demonstra. Dac¼
a N > n + 1, atunci 1
, :::,
PN 1 N2
sunt
liniar
dependenţi.
Deci
exist¼
a
b
,
:::,
b
2
R,
cu
b
1
N
1
N 1
N
i > 0
i=1
astfel încât
NP1
bi ( i
N ) = 0:
i=1
PN 1
PN
Luând a1 = b1 , ... , aN 1 = bN 1 , aN =
bi , obţinem c¼
a i=1 a2i > 0,
i=1
PN
PN
i=1 ai = 0 şi
i=1 ai i = 0. Fie m 2 f1; :::; N g astfel încât
am
;
tm
aj
tj
Punem
j 2 f1; :::; N g :
aj tm
am
j = tj
0;
m = 0:
Avem
N
P
j
=
j=1
N
P
j=1
N
P
N
tm P
aj = 1;
am j=1
tj
j=1
j j
=
N
P
j=1
Deci am coborât de la N la N
Corolarul 1.2. Dac¼a A
compact¼a.
tj j
N
N
P
tm P
aj j =
tj j = x:
am j=1
j=1
1. Iter¼
am pân¼
a obţinem N = n + 1.
Rn este mulţime compact¼a, atunci co(A) este mulţime
Demonstraţie. Conform lemei anterioare avem
co (A) = ' An+1
4n+1
unde
(t1 ; :::; tn+1 ) 2 Rn+1 : t1 ; :::; tn+1
4n+1 =
' : An+1
'
1 ; :::; n+1
4n+1 ! Rn ;
; (t1 ; :::; tn+1 ) =
0;
n+1
P
ti = 1 ;
i=1
n+1
P
i=1
ti i :
De…niţia 1.1. a) Fie K 2 c(Rn ). Se numeşte diviziune a lui K relativ la volumul
Lebesgue , orice familie …nit¼a fKi gi2I , Ki 2 c(Rn ) astfel încât
S
K=
Ki ;
(Ki \ Kj ) = 0; 8i; j 2 I; i 6= j:
i2I
n
b) Fie K 2 c(R ). Se numeşte diviziune punctat¼a a lui K orice familie …nit¼a
4 = f(Ki ; i )gi2I , astfel încât fKi gi2I s¼a …e o diviziune a lui K relativ la volumul
Lebesgue şi i 2 Ki 8i 2 I. Punem
diam (4) = max diam (Ki ) :
1. PRIM ITIVE (R)
127
Lema 1.3. Fie K 2 c(Rn ) şi " > 0. Atunci exist¼a o diviziune punctat¼a 4 =
f(Ki ; i )gi2I a lui K astfel încât diam (4) < ".
p
Demonstraţie. Fie 2 N astfel încât 2
n < ". Reamintim c¼
a
este familia
cuburilor închise de latur¼
a 2 şi cu vârfurile în laticea 2 Zn . Dac¼
a
C (K) = C 2
: C \ K 6= ; ;
n
atunci C (K) este …nit¼
a deoarece K 2 c(R ) este m¼
arginit¼
a şi
S
K
C:
C2C (K)
Lu¼
am 4 = f(KC ; C )gC2C (K) , unde
Atunci
S
KC = K \ C;
S
KC =
C2C (K)
C2C (K)
K \C =
0
C 6= C ; KC \ K
C0
diam (KC )
C 2 K \ C;
S
C2
C 2 C (K) :
K \C =K \
0
C \C )
S
C2
C = K \ Rn = K;
(KC \ KC 0 ) = 0;
p
n < ":
diam (C) = 2
De…niţia 1.2. Fie X 2 c(Rn ) şi F un spaţiu Banach. O aplicaţie u : c(X) ! F
care veri…c¼a
K; L 2 c(X);
(K \ L) = 0 ) u (K [ L) = u (K) + u (L)
se zice -aditiv¼a sau simplu, aditiv¼a.
Observaţia 1.1. a)
(K \ K) =
(K) = 0 ) u (K) = 0. Într-adev¼ar,
(K) = 0 ) u (K) = u (K [ K) = u (K) + u (K) ) u (K) = 0:
b) Fie K 2 c(X), fKi gi2I s¼a …e o diviziune a lui K relativ la volumul Lebesgue
. Atunci
P
u (K) =
u (Ki )
i2I
n
De…niţia 1.3. Fie X 2 c(R ) şi f 2 C (X; F ) unde F este un spaţiu Banach. Se
numeşte primitiv¼a a lui f o aplicaţie u : c(X) ! F care veri…c¼a urm¼atoarele:
a) u este aditiv¼a;
b) u satisface teorema de medie:
K 2 c(X);
(K) > 0 )
u (K)
2 co (f (K)) :
(K)
Observaţia 1.2. Dac¼a F = Rm , atunci co (f (K)) = co (f (K)) deoarece f (K)
este compact.
De…niţia 1.4. Fie X 2 c(Rn ), f 2 C (X; F ), K 2 c(X) şi 4 = f(Ki ; i )gi2I o
diviziune punctat¼a a lui K.
P
s (4; f ) =
(Ki ) f ( i ) 2 F
i2I
se numeşte suma Cauchy-Riemann a lui f relativ la diviziunea punctat¼a 4 =
f(Ki ; i )gi2I . Când f este …xat¼a folosim notaţia s (4) = s (4; f ).
128
4. INTEGRALA RIEM ANN
Lema 1.4. Fie X 2 c(Rn ) şi f 2 C (X; F ) …xate. Atunci pentru orice " > 0 exist¼a
> 0 astfel încât oricare ar … K 2 c(X) şi diviziunile punctate 4 şi 40 ale lui K;
diam (4) ; diam (40 ) <
) js (4)
s (40 )j < " (K) :
Demonstraţie. Deoarece X este un compact şi f : X ! F este o funcţie continu¼
a, rezult¼
a c¼
a f este uniform continu¼
a. Deci exist¼
a 0 > 0 astfel încât
x; y 2 X; jx
0
0
yj <
) jf (x)
f (y)j < ":
Ki00 ; 0i0
Lu¼
am = =2. Fie 4 = f(Ki ; i )gi2I şi 4 =
diviziuni punctate
i0 2I 0
ale lui K 2 c(X). Atunci
S
K =
Ki ;
(Ki \ Kj ) = 0; 8i; j 2 I; i 6= j;
i2I
S
Ki00 \ Kj0 0 = 0; 8i0 ; j 0 2 I 0 ; i0 6= j 0 ;
S
S
=
(Ki \ Ki00 ) ; Ki00 =
(Ki \ Ki00 ) ;
i0 2I 0
i2I
S S
=
(Ki \ Ki00 ) ;
K
=
i0 2I 0
Ki
K
Ki00 ;
i2I i0 2I 0
şi
s (4; f )
=
P
(Ki ) f ( i ) =
i2I
s (40 ; f )
=
P
i0 2I 0
s (4; f )
0
i0
(Ki00 ) f
s (40 ; f ) =
Distingem dou¼
a situaţii.
a) Ki \ Ki00 = ; care implic¼
a
P P
i2I i0 2I 0
P P
i2I i0 2I 0
=
P P
(Ki \ Ki00 ) f ( i ) ;
i2I i0 2I 0
(Ki \ Ki00 ) f
0
i0
0
i0
:
(Ki \ Ki00 ) f ( i )
f
(Ki \ Ki00 ) = 0:
b) Ki \ Ki00 6= ; ) 9 2 Ki \ Ki00 . Obţinem
0
i0
i
)
j i
f ( i)
j+
0
i0
f
;
0
i0
diam (4) + diam (40 ) < 2 =
0
< ":
Rezult¼
a c¼
a
js (4; f )
s (40 ; f )j
P P
i2I i0 2I 0
"
P P
i2I i0 2I 0
(Ki \ Ki00 ) f ( i )
f
0
i0
(Ki \ Ki00 )
= " (K) :
Teorema 1.5. Fie X 2 c(Rn ) şi f 2 C (X; F ) cu F este un spaţiu Banach. Atunci
exist¼a u : c(X) ! F primitiv¼a a lui f pe X.
Demonstraţie. Fie " > 0. Lema anterioar¼
a implic¼
a faptul c¼
a exist¼
a > 0 astfel
încât oricare ar … L 2 c(X) şi diviziunile punctate 4 şi 40 ale lui L,
diam (4) ; diam (40 ) <
) js (4)
s (40 )j < " (L) :
1. PRIM ITIVE (R)
129
Fie K 2 c(X) şi …e (4 ) 1 un şir de diviziuni punctate ale lui K astfel încât
lim !1 diam (4 ) = 0. Atunci exist¼
a
1 astfel încât
diam (4 ) < ;
:
Deci
js (4 ) s (4 0 )j < " (K) ; 8 ; 0
:
Prin urmare şirul (s (4 )) 1 este un şir Cauchy în F , deci exist¼
a c 2 F astfel încât
c = lim s (4 ) :
!1
Dac¼
a (40 ) 1 este un alt şir de diviziuni punctate ale lui K cu lim !1 diam (40 )
= 0, atunci exist¼
a c0 2 F astfel încât
c0 = lim s (40 ) :
!1
Cconsiderând şirul de diviziuni punctate ale lui K, (400 )
00
4002
1 =4
;
obţinem c¼
a exist¼
a c 2 F astfel încât
4002
=4
1 , de…nit astfel
0
c00 = lim s (400 ) :
!1
Cum atât (s (4 )) 1 cât şi (s (40 )) 1 se reg¼
asesc ca subşiruri ale lui (s (400 )) 1
obţinem c¼
a c = c0 = c00 .
Deci limita nu depinde de alegerea şirului (4 ) 1 de diviziuni punctate ale lui
K cu lim !1 diam (4 ) = 0. De…nim
u (K) = c:
Obţinem astfel o aplicaţie u : c(X) ! F şi în continuare vom ar¼
ata c¼
a ea este o
primitiv¼
a a lui f .
a) Fie K 0 ; K 00 2 c(X) cu (K 0 \ K 00 ) = 0 şi K = K 0 [ K 00 . Pentru
1
alegem
- 40 o diviziune punctat¼
a a lui K 0 cu diam (40 ) < 1=
00
- 4 o diviziune punctat¼
a a lui K 00 cu diam (400 ) < 1=
Construim
a a lui K cu diam (4 ) < 1= obţinut¼
a
- 4 = 40 [ 400 diviziunea punctat¼
prin juxtapunerea diviziunilor 40 şi 400 .
Atunci din
s (4 ) = s (40 ) + s (400 )
obţinem c¼
a
u (K) = lim s (4 ) = lim s (40 ) + lim s (400 ) = u (K 0 ) + u (K 00 )
!1
!1
!1
deci u este aditiv¼
a.
b) Teorema de medie. Fie K 2 c(X), (K) > 0 şi …e 4 = f(Ki ; i )gi2I o
diviziune punctat¼
a a lui K.
P (Ki )
s (4)
=
f ( i ) 2 co (f (K))
(K) i2I (K)
Fie (4 ) 1 un şir de diviziuni punctate ale lui K astfel încât lim !1 diam (4 ) =
0. Atunci din
s (4 )
2 co (f (K))
(K)
130
4. INTEGRALA RIEM ANN
obţinem c¼
a
u (K)
s (4 )
= lim
2 co (f (K)) = co (f (K)) :
!1
(K)
(K)
De…niţia 1.5. O funcţie s : c(X) ! R se zice -subaditiv¼a sau simplu, subaditiv¼a
dac¼a:
a) 8K 2 c(X), (K) = 0 ) s (K) 0.
b) 8K; L 2 c(X) cu (K \ L) = 0 ) s (K [ L) s (K) + s (L).
Observaţia 1.3. a) şi b) ) a0 ).
a0 ) 8K 2 c(X), (K) = 0 ) s (K) = 0.
a) ) (K) = 0 ) s (K) 0
b) ) s (K) s (K) + s (K) ) 0
) s (K) = 0:
s (K)
De…niţia 1.6. Fie G un grup abelian. O aplicaţie u : c(X) ! G se zice aditiv¼a
dac¼a satisface
K; L 2 c(X);
(K \ L) = 0 ) u (K [ L) = u (K) + u (L)
Lema 1.6 (de trecere de la "in…nitezimal" sau local la global). Fie s : c(X) ! R
o funcţie subaditiv¼a. Presupunem c¼a
8 (K )
1
c(X) cu
(K ) > 0, K +1
+
inf
s (K )
(K )
K , lim diam (K ) = 0
!1
0:
Atunci
s (K)
0
pentru orice K 2 c(X).
Lema 1.7 (formulare echivalent¼
a). Fie s : c(X) ! R o funcţie subaditiv¼a. Presupunem c¼a
T
8 (K ) 1 c(X) cu (K ) > 0, K +1 K ,
K = fag
1
+
inf
s (K )
(K )
0:
Atunci
s (K)
0
pentru orice K 2 c(X).
Demonstraţie. Fie K0 2 c(X) astfel încât s (K0 ) > 0 ()
" > 0 astfel încât s (K0 ) > " (K0 ). Dac¼
a
C1 (K0 ) = C 2
1 : C \ K0 6= ;
n
;
atunci C1 (K0 ) este …nit¼
a deoarece K0 2 c(R ) este m¼
arginit¼
a şi
S
K0
C:
C2C1 (K0 )
Punem
K0C = K0 \ C;
C 2 C1 (K) :
(K0 ) > 0). Exist¼
a
1. PRIM ITIVE (R)
131
Atunci fK0C gC2C1 (K) este o diviziune a lui K0 cu
p
diam (C) = 2 1 n;
S
K0 =
K0C :
diam (K0C )
C2C1 (K0 )
De aici rezult¼
a c¼
a exist¼
a C0 2 C1 (K0 ) astfel încât
s (K0C0 ) > " (K0C0 ) :
Dac¼
a prin absurd
s (K0C )
8C 2 C1 (K0 ) ;
" (K0C ) ;
atunci
P
s (K0 )
s (K0C )
"
C2C1 (K0 )
<
s (K0 )
P
(K0C ) = " (K0 )
C2C1 (K0 )
Contradicţie!
Punem K1 = K0 \ C0 = K0C0 . Avem
K1
K0 ;
s (K1 ) > " (K1 ) ;
diam (K1 )
p
2 1 n:
Acesta este începutul inducţiei şi reprezint¼
a trecerea de la K0 la K1 .
Dac¼
a
C2 (K1 ) = C 2 2 : C \ K1 6= ; ;
atunci C2 (K1 ) este …nit¼
a deoarece K1 2 c(Rn ) este m¼
arginit¼
a şi
S
K1
C:
C2C2 (K1 )
Punem
C 2 C1 (K) :
K1C = K1 \ C;
Atunci fK1C gC2C2 (K1 ) este o diviziune a lui K1 cu
p
diam (C) = 2 2 n;
S
K1 =
KC :
diam (K1C )
C2C1 (K1 )
De aici rezult¼
a c¼
a exist¼
a C1 2 C2 (K1 ) astfel încât
s (K1C1 ) > " (K1C1 ) :
Dac¼
a prin absurd
s (KC )
8C 2 C2 (K1 ) ;
" (KC ) ;
atunci
s (K1 )
P
s (K1C )
C2C2 (K1 )
<
s (K1 )
"
P
(K1C ) = " (K1 )
C2C2 (K1 )
Contradicţie!
Punem K2 = K1 \ C1 = K1C1 . Avem
K2
K1 ;
s (K2 ) > " (K2 ) ;
diam (K2 )
În mod similar se face trecerea de la K la K +1 .
p
2 2 n:
132
4. INTEGRALA RIEM ANN
Obţinem (K )
c(X) cu propriet¼
aţile
1
K +1 K p
diam (K ) 2
n
s (K ) > " (K ) + s subaditiva )
s(K )
(K ) > "
+
(K )
1
c(X),
(K ) > 0, K +1
K ,
T
1
+
(K ) > 0
K = fag şi
s (K )
>"
(K )
Contradicţie!
Notaţia 1.2. Fie X 2 c(Rn ). Punem
X = fx 2 X; 8Q 2 V (x) \ c(Rn ); (X \ Q) > 0g
sau echivalent x 2 X dac¼a şi numai dac¼a 8U 2 V (x) ; 9K 2 c(X) astfel încât
x 2 K U şi (K) > 0.
Teorema 1.8 (Teorema de caracterizare a primitivei). Fie X 2 c(Rn ) şi f 2
C (X; F ) unde F este un spaţiu Banach. Fie u : c(X) ! F o aplicaţie aditiv¼a.
Urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
b) u satisface teorema de medie:
K 2 c(X);
(K) > 0 )
b1 ) Pentru orice c 2 F ,
K 2 c(X);
u (K)
(K)
(K) > 0 )
u (K)
2 co (f (K)) :
(K)
c
sup jf (x)
x2K
cj = kf
ckK
(K) kf
ckK :
sau echivalent
K 2 c(X) ) ju (K)
b2 ) Pentru orice a 2 X
c (K)j
(K) sup jf (x)
cj =
x2K
u (K)
= f (a)
K!a (K)
lim
adic¼a pentru orice " > 0, exist¼a o vecin¼atate U 2 V (a) astfel încât
u (K)
(K)
f (a) < "
pentru orice K 2 c(X), K U , (K) > 0.
b3 ) Fie (K ) 1 c(X). Dac¼a
(K ) > 0, K +1
K ,
T
1
atunci
lim
!1
K = fag
u (K )
= f (a) :
(K )
1. PRIM ITIVE (R)
Demonstraţie. b) ) b1 ) Fie K 2 c(X),
supx2K jf (x) cj = kf ckK . Atunci
B = fy 2 F : jy
133
(K) > 0 şi c 2 F . Fie M =
cj
Mg
este închis¼
a şi convex¼
a şi f (K)
B. Rezult¼
a c¼
a co (f (K))
satisface teorema de medie obţinem c¼
a:
u (K)
2 co (f (K))
(K)
B,
u (K)
(K)
sup jf (x)
c
B. Deoarece u
cj = kf
x2K
ckK :
b1 ) ) b2 ) Luând c = f (a) în b1 ) vom avea
K 2 c(X);
u (K)
(K)
(K) > 0 )
sup jf (x)
f (a)
x2K
f (a)j = kf
f (a)kK
Fie " > 0. Deoarece f este continu¼
a în a rezult¼
a c¼
a exist¼
a U 2 V (a) astfel încât
jf (x) f (a)j < " pentru orice x 2 U \ X. Dac¼
a K 2 c(X), K
U , (K) > 0,
atunci exist¼
a x0 2 K astfel încât supx2K jf (x) f (a)j = jf (x0 ) f (a)j şi
u (K)
(K)
sup jf (x)
f (a)
x2K
b2 ) ) b3 ) Fie (K )
f (a)j = jf (x0 )
f (a)j < "
c(X) astfel încât
1
(K ) > 0, K +1
T
K ,
1
K = fag :
Atunci în mod clar a 2 X. Fie U = U 2 V (a). Avem
T
{U \
K = ; ) (9 1 ; :::; p 1) {U \ K 1 \ ::: \ K p = ;
1
K 0
+
0 = max ( 1 ; :::;
p)
U:
Conform b2 ), pentru orice " > 0, exist¼
a U" = U " 2 V (a) astfel încât
u (K)
(K)
pentru orice K 2 c(X), K
U" ,
1
astfel
încât
)
K
"
"
u (K )
(K )
f (a) < "
(K) > 0. Dup¼
a cum am v¼
azut mai sus, exist¼
a
U" . Deci
f (a) < ";
":
Prin urmare,
u (K )
= f (a) :
(K )
b3 ) ) b) Fie v : c(X) ! F o primitiv¼
a a lui f . De…nim
lim
!1
s : c(X) ! R;
s (K) = ju (K)
v (K)j :
Deoarece u şi v sunt aditive obţinem c¼
a s : c(X) ! R este o funcţie subaditiv¼
a. Fie
(K ) 1 c(X) astfel încât
T
(K ) > 0, K +1 K ,
K = fag .
1
134
4. INTEGRALA RIEM ANN
Conform b3 )
u (K )
!1
(K )
lim
f (a) = 0:
Deoarece v : c(X) ! F o primitiv¼
a a lui f avem şi
v (K )
(K )
lim
!1
f (a) = 0:
Prin urmare,
s (K )
s (K )
= 0 = inf
(K )
(K )
deoarece s ia numai valori 0. Conform lemei de de trecere de la "in…nitezimal"
sau local la global obţinem c¼
a
lim
!1
s (K)
Deoarece s (K)
0, 8K 2 c(X).
0 pentru orice K 2 c(X), rezult¼
a c¼
a
s (K)
=
u (K)
= v (K) , 8K 2 c(X):
+
0, 8K 2 c(X)
Deci u = v este o primitiv¼
a a lui f .
Corolarul 1.9. Primitiva este unic¼a .
Demonstraţie. Fie u; v : c(X) ! F dou¼
a primitive ale lui f . De…nim
s : c(X) ! R;
s (K) = ju (K)
v (K)j :
Atunci s : c(X) ! R este o funcţie subaditiv¼
a. Deoarece u şi v veri…c¼
a b3 ) atunci
pentru orice (K ) 1 c(X) astfel încât
T
(K ) > 0, K +1 K ,
K = fag .
1
s (K )
s (K )
= 0 = inf
!1 (K )
(K )
Conform lemei de de trecere de la "in…nitezimal" sau local la global obţinem c¼
a
lim
s (K)
Deoarece s (K)
0, 8K 2 c(X).
0 pentru orice K 2 c(X), rezult¼
a c¼
a
s (K)
u (K)
+
0, 8K 2 c(X)
= v (K) , 8K 2 c(X):
Deci u = v.
Corolarul 1.10. Fie " > 0, K 2 c(X) şi u : c(X) ! F primitiva lui f 2 C (X; F ).
Atunci exist¼a 4 = f(Ki ; i )gi2I diviziune punctat¼a a lui K astfel încât
ju (K)
s (4; f )j
" (K) :
1. PRIM ITIVE (R)
135
Demonstraţie. Deoarece f 2 C (X; F ), rezult¼
a c¼
a f este uniform continu¼
a. Deci
pentru " > 0 exist¼
a = (") > 0 astfel încât
x; y 2 X; jx
yj <
) jf (x)
f (y)j < ":
Fie 4 = f(Ki ; i )gi2I o diviziune punctat¼
a a lui K astfel încât diam (4) < .
Atunci
P
P
ju (Ki )
(Ki ) f ( i )j
(u (Ki )
(Ki ) f ( i ))
ju (K) s (4; f )j =
i2I
i2I
P
P
(Ki ) sup jf (x) f ( i )j "
(Ki )
Ki
i2I
i2I
= " (K) :
Aici am folosit b1 ) pentru a estima
ju (Ki )
(Ki ) f ( i )j
(Ki ) sup jf (x)
f ( i )j :
Ki
Deci
ju (K)
s (4; f )j
Lema 1.11. Fie K; K 0 2 c(X), K 0
f 2 C (X; F ). Atunci
u (K 0 )j
ju (K)
K
" (K) :
X şi u : c(X) ! F primitiva lui
(K 0 )) :
sup jf (x)j ( (K)
K
Demonstraţie. Fie 4 = f(Ki ; i )gi2I o diviziune punctat¼
a a lui K astfel încât
0
0
0
i 2 Ki = Ki \ K când Ki 6= ;:
(*)
Fie I 0
I mulţimea tuturor elementelor i 2 I pentru care Ki0 = Ki \ K 0 6= ;.
0
Atunci 4 = f(Ki0 ; i )gi2I 0 o diviziune punctat¼
a a lui K 0 . Avem
P
P
s (4; f ) =
(Ki ) f ( i ) ; s (40 ; f ) =
(Ki0 ) f ( i )
i2I 0
i2I
şi
js (4; f )
s (40 ; f )j
P
( (Ki )
i2I
(Ki0 )) jf ( i )j
sup jf (x)j ( (K)
(K 0 )) :
K
Pentru orice
1 aleg 4 o diviziune punctat¼
a a lui K obţinut¼
a cu diam (4 ) <
1= care veri…c¼
a ( ). Atunci 40 veri…c¼
a diam (40 ) < 1= şi
js (4 ; f )
s (40 ; f )j
sup jf (x)j ( (K)
+
ju (K)
(K 0 ))
K
u (K 0 )j
lim
sup jf (x)j ( (K)
(K 0 )) :
K
Corolarul 1.12 (Teorema de regularitate şi teorema şirului cresc¼
ator pentru primitive). Fie u : c(X) ! F primitiva lui f 2 C (X;TF ). Fie K 2 c(X).
a) Fie (K ) 1 c(X), K +1 K , K =
1 K . Atunci
u (K) = lim u (K ) :
!1
136
4. INTEGRALA RIEM ANN
b) Fie (K )
1
c(X), K
K +1 , K =
S
1K
. Atunci
u (K) = lim u (K ) :
!1
Demonstraţie. În ambele cazui avem conform lemei anterioare
ju (K)
u (K )j
sup jf (x)j j (K)
(K )j
K[K1
şi rezultatul se obţine din teorema de regularitate şi teorema şirului cresc¼
ator pentru
volumul Lebesgue .
De…niţia 1.7. Fie K; K 0 2 c(X), K 0
f 2 C (X; F ). Atunci
lim
L2c(KrK 0 )
K
X şi u : c(X) ! F primitiva lui
8" > 0; 9L" 2 c(K r K 0 );
ju (L) cj < "; 8L 2 c(K r K 0 ); L"
u (L) = c 2 F ,
L
Teorema 1.13 (Teorema diferenţei pentru primitive). Fie K; K 0 2 c(X), K 0
K X şi u : c(X) ! F primitiva lui f 2 C (X; F ). Atunci
u (K 0 ) =
u (K)
lim
L2c(KrK 0 )
u (L) :
Demonstraţie. Fie L 2 c(K r K 0 ). Atunci K 0 [ L
ju (K)
u (K 0 [ L)
0
u (K )
u (K 0 ) + u (L) ;
=
u (L)j
K, K 0 \ L = ;
(K 0 [ L) =
0
sup jf (x)j ( (K)
(K )
(K 0 ) + (L)
(L))
K
Fie " > 0. Folosind teorema diferenţei pentru volumul Lebesgue obţinem c¼
a exist¼
a
L" 2 c(K r K 0 ) astfel încât
(K)
(K 0 )
8L 2 c(K r K 0 ); L"
(L) < ";
L:
Deci
ju (K)
u (K 0 )
u (L)j
" sup jf (x)j ;
K
8L 2 c(K r K 0 ); L"
L
i.e.
u (K)
u (K 0 ) =
Corolarul 1.14. Fie K; K 0 2 c(X), K 0
f 2 C (X; F ). Atunci
ju (K)
u (K 0 )j
sup
L2c(KrK 0 )
lim
L2c(KrK 0 )
ju (L)j
K
u (L) :
X şi u : c(X) ! F primitiva lui
( (K)
(K 0 )) sup jf (x)j
KrK 0
2. INTEGRALA RIEM ANN
137
Demonstraţie. Din teorema diferenţei pentru primitive deducem
u (K)
u (K 0 ) =
lim
L2c(KrK 0 )
u (L)
+
8" > 0; 9L" 2 c(K r K 0 );
ju (K) u (K 0 ) u (L" )j < "
+
u (K 0 )j
ju (K)
ju (K)
" + ju (L" )j
0
u (K )j
"+
sup
L2c(KrK 0 )
+
sup
L2c(KrK 0 )
ju (L)j
ju (L)j :
Conform teoremei de caracterizare a primitivei punctul b1 ) luând c = 0 avem
ju (L)j
sup
L2c(KrK 0 )
sup
L2c(KrK 0 )
ju (L)j
ju (L)j
(L) sup jf (x)j
L
+
sup
(L) sup jf (x)j
KrK 0
L2c(KrK 0 )
+
(K 0 )) sup jf (x)j :
( (K)
KrK 0
Corolarul 1.15. Fie K; K 0 2 c(X), K 0
f 2 C (X; F ). Atunci
(K) = (K 0 )
sau
f (x) = 0; x 2 K r K 0
K
X şi u : c(X) ! F primitiva lui
) u (K) = u (K 0 ) :
Corolarul 1.16 (Teorema general¼
a de aditivitate la nivelul primitivei). Fie K; L 2
c(X) şi u : c(X) ! F primitiva lui f 2 C (X; F ). Atunci
u (K [ L) + u (K \ L) = u (K) + u (L) :
Demonstraţie. Avem K [ L r K = L r K \ L. Deci
u (K [ L)
u (K)
=
=
=
lim
u (L)
lim
u (L)
L2c(K[LrK)
L2c(LrK\L)
u (L)
u (K \ L) :
2. Integrala Riemann
De…niţia 2.1 (Integrala Riemann). Fie X 2 c(Rn ) şi f 2 C (X; F ) unde F este
un spaţiu Banach. Fie u : c(X) ! F primitiva lui f 2 C (X; F ). Pentru orice
K 2 c(X)
Z
f = u (K) :
K
138
4. INTEGRALA RIEM ANN
Notaţie
Z
f=
K
Z
f (x) dx =
K
Z
fd =
K
Z
f (x) d (x) :
K
Propoziţia 2.1 (Propriet¼
aţile integralei Riemannn). a) Fie c 2 F . Dac¼a fc
atunci pentru orice K 2 c(X)
Z
fc d = (K) c:
c,
K
b) Fie f 2 C (X; F ) şi K; L 2 c(X). Atunci
Z
Z
Z
Z
fd +
fd =
fd +
fd :
K[L
K\L
K
L
n
b) Fie K 2 c(R ) şi fKi gi2I o diviziune a lui K relativ la volumul Lebesgue .
Atunci
Z
XZ
fd =
fd :
K
Ki
i2I
c) Fie f; g 2 C (X; F ), ; 2 R (sau ,
2 C în cazul F spaţiu Banach
complex) şi K 2 c(X). Atunci
Z
Z
Z
( f + g) d =
fd +
gd :
K
K
K
d) Fie f 2 C (X; F ) şi K 2 c(X). Atunci
Z
(K) kf kK :
fd
K
În particular,
(K) = 0 )
Z
f d = 0:
K
e) Fie f 2 C (X; F ) şi K 2 c(X). Atunci
Z
Z
jf j d :
fd
K
K
f) Fie f 2 C (X; R). Atunci
f
0)
g) Fie f; g 2 C (X; R). Atunci
f
g)
Z
Z
f
0:
Z
fd
K
În particular,
m
fd
K
M ) m (K)
gd :
K
Z
fd
K
h) Fie X 2 c(Rn ). Atunci aplicaţia
Z
T =
: C (X; F ) ! F
X
este liniar¼a, m¼arginit¼a şi
kT k =
(X) :
M (K) :
2. INTEGRALA RIEM ANN
139
Demonstraţie. a) Fie uc = ( ) c : c(X) ! F , uc (K) = (K) c. Atunci
1) uc este aditiv¼
a.
(K)
2) K 2 c(X), (K) > 0 ) uc(K)
= c 2 fcg = co (fc (K)).
Deci uc este primitiva lui fc c.
b), b) se obţin direct din de…niţie
Z
f = u (K) ; K 2 c(X)
K
şi din propriet¼
aţile primitivei.
c) Fie u : c(X) ! F primitiva funcţiei f 2 C (X; F ), v : c(X) ! F primitiva
funcţiei g 2 C (X; F ) şi w : c(X) ! F primitiva funcţiei f + g 2 C (X; F ). De…nim
s : c(X) ! R;
s (K) = j u (K) + v (K)
Atunci s : c(X) ! R este o funcţie subaditiv¼
a.
Fie (K ) 1 c(X) astfel încât
(K ) > 0, K +1
K ,
T
1
Deoarece u, v şi w sunt primitive rezult¼
a c¼
a
lim
!1
u (K )
= f (a) ;
(K )
lim
!1
v (K )
= g (a) ;
(K )
+
w (K)j
0:
K = fag .
lim
!1
w (K )
= f (a) + g (a)
(K )
s (K )
s (K )
= 0 = inf
:
!1 (K )
(K )
lim
Conform lemei de de trecere de la "in…nitezimal" sau local la global obţinem c¼
a
s (K)
Deoarece s (K)
0, 8K 2 c(X).
0 pentru orice K 2 c(X), rezult¼
a c¼
a
s (K)
w (K)
=
+
0, 8K 2 c(X)
=
Deci w = u + v i.e.
Z
( f + g) d =
u (K) + v (K) , 8K 2 c(X):
K
Z
fd +
K
Z
K
gd , 8K 2 c(X):
S¼
a not¼
am c¼
a se poate da o demonstraţie folosind sumele Cauchy-Riemann.
d) se obţine direct din teorema de caracterizare a primitivei punctul b1 ) luând
c = 0.
Z
f d = ju (K)j
(K) kf kK
K
e) Fie u : c(X) ! F primitiva funcţiei f 2 C (X; F ) şi v : c(X) ! F primitiva
funcţiei jf j 2 C (X; F ). De…nim
s : c(X) ! R;
s (K) = ju (K)j
Atunci s : c(X) ! R este o funcţie subaditiv¼
a.
Fie (K ) 1 c(X) astfel încât
(K ) > 0, K +1
K ,
T
1
v (K) :
K = fag .
140
4. INTEGRALA RIEM ANN
Deoarece u şi v sunt primitive rezult¼
a c¼
a
lim
!1
u (K )
= f (a) ;
(K )
inf
lim
!1
+
s (K )
(K )
lim
!1
v (K )
= jf (a)j
(K )
s (K )
= 0:
(K )
Conform lemei de de trecere de la "in…nitezimal" sau local la global obţinem c¼
a
s (K)
i.e.
Z
fd
K
= ju (K)j
0, 8K 2 c(X)
v (K) =
Z
jf j d , 8K 2 c(X):
K
S¼
a not¼
am c¼
a se poate da o demonstraţie folosind sumele Cauchy-Riemann.
f) Avem
K 2 c(X); (K) > 0 ) u(K)
(K) 2 co (f (K))
şi
(K) = 0 ) u (K) = 0
[0; 1)
)
R
K
f d = u (K) 0
:
8K 2 c(X)
g) se obţine din f).
h) Conform lui d) avem
jT (f )j =
Z
(X) kf kX
fd
X
unde
kf kX = sup jf (x)jF
x2X
şi conform lui a) avem
jT (fc )j =
(X) jcjF =
(X) kfc kX :
Deci
kT k =
(X) :
Corolarul 2.2 (Teorema de convergenţ¼
a pentru integrale - cazul convergenţei uniu
n
forme). Fie X 2 c(R ). Fie f 2 C (X; F ), 2 N şi f 2 C (X; F ). Dac¼a f ! f ,
atunci
Z
Z
lim
f d =
f d ; 8K 2 c(X):
!1
K
K
Demonstraţie. Fie " > 0. Exist¼
a " 2 N astfel încât kf
orice
" . Avem
Z
Z
Z
f d
fd
jf
fj d
(K) kf
K
K
K
(X) kf
" (X) :
f kX
f kX < " pentru
f kX
¼
3. DESCOM PUNEREA POLAR A
141
Corolarul 2.3 (Continuitatea integralei cu parametrii-caz particular). Fie X 2
c(Rn ), T Rp . Fie f 2 C (X T; F ). Atunci
Z
g : T ! F; g (t) =
f (x; t) d (x) ; t 2 T
X
este continu¼a.
Demonstraţie. Fie (t ) 2N un şir convergent la t 2 T . Deoarece f este continu¼
a
şi X 2 c(Rn ) rezult¼
a c¼
a (f ( ; t )) 2N converge uniform la f ( ; t). Rezultatul anterior
implic¼
a
Z
Z
lim g (t ) = lim
f (x; t ) d (x) =
f (x; t) d (x) = g (t) :
!1
!1
X
X
3. Descompunerea polar¼
a
Lema 3.1. Fie A = At 2 L Rd operator simetric pozitiv. Atunci exist¼a şi este
unic B = B t 2 L Rd operator simetric pozitiv astfel încât
A = B2
Demonstraţie. 1 Fie (A) = f 1 ; :::; k g şi M j subspaţiul vectorilor proprii
corespunz¼
ator valorii proprii j . Atunci subspaţiul
M = Rd
M 1
:::
reduce A. Dac¼
a M 6= 0, atunci ; 6=
AjM
Deci
Rd = M 1 :::
M k
(A) r f 1 ; :::;
k g contradicţie.
M k
Considerând baze ortogonale în …ecare subspaţiu M j construim operatorul unitar
V : Rd ! Rd = M 1
:::
M k
care duce baza canonic¼
a în reuniunea bazelor subspaţiilor M j . Atunci
AV ei =
j(i) V ei
i.e.
V t AV =
unde
sau
2L R
j
d
1
+ ::: +
k
k
este proiecţia ortogonal¼
a canonic¼
a pe 0
A=
unde P j = V
2 Punem
1
1 P 1 + ::: +
:::
Rdim M j
kP k
t
2 L Rd este proiecţia ortogonal¼
a pe M j .
jV
B=
2
p
1 P 1 + ::: +
p
kP k
În mod clar avem B = A
p
p
p
p
B2 =
1 P 1 + ::: +
kP k
1 P 1 + ::: +
kP k
Xp p
Xp p
=
i
jP iP j =
i
j ij P i
X
=
iP i = A
:::
0
142
4. INTEGRALA RIEM ANN
3 Unicitatea. Fie C = C t 2 L Rd operator simetric pozitiv astfel încât
A = C 2 . Avem CA = AC i.e.
C ( 1 P 1 + ::: +
k P k ) = ( 1 P 1 + ::: +
kP k ) C
Folosind egalitatea P i P j = ij P i , compunând aceast¼
a egalitate la dreapta cu
P j obţinem
j CP j = ( 1 P 1 + ::: + k P k ) CP j
Compunând aceast¼
a egalitate la stânga cu P i obţinem
j P i CP j =
Dac¼
a i 6= j, atunci
j
i 6=
i P i CP j
j şi din
P i CP j x; y =
i
P i CP j x; y ;
x; y 2 Rd
obţinem P i CP j = 0 pentru i 6= j. Revenind la egalitatea
j CP j = ( 1 P 1 + ::: +
k P k ) CP j ;
folosind aceast¼
a nou¼
a informaţie obţinem
j CP j =
Dac¼
a
j P j CP j :
j 6= 0, atunci
CP j = P j CP j
Dac¼
a j = 0 pentru un j, atunci P j este proiecţia ortogonal¼
a pe nucleul lui A.
Deoarece A = C 2 şi
2
hAx; xi = hCx; Cxi = kCxk
rezult¼
a ker A = ker C deci
CP j = P j CP j = 0
şi în acest caz.
Prin urmare subspaţiile M j reduc C. Dac¼
a
2
CjM j , atunci 2 2
p
2
CjM
=
AjM j = f j g, deci
CjM j =
j . Am obţinut astfel
j
p
p
C=
1 P 1 + ::: +
kP k = B
De…niţia 3.1. Un operator U 2 L Rd se numeşte izometrie parţial¼a dac¼a Uj(KerU )?
?
este o izometrie. (KerU )
se numeşte subspaţiul iniţial, iar ImU subspaţiul …nal.
?
d
R = (KerU )
KerU = Im U
(Im U )
?
?
şi U : (KerU ) ! Im U este un unitar.
?
?
Observaţia 3.1. (a) (Im U ) = KerU t () Im U = (KerU t )
?
x 2 (Im U ) , hx; U yi = 0; 8y , U t x; y = 0; 8y , U t x = 0 , x 2 KerU t
?
(b) (Im U t ) = KerU () Im U t = (KerU )
x 2 Im U t
?
?
, x; U t y = 0; 8y , hU x; yi = 0; 8y , U x = 0 , x 2 KerU
Lema 3.2. Fie U 2 L Rd o izometrie parţial¼a. Atunci:
(a) U U t este proiecţia ortogonal¼a pe subspaţiul …nal.
(b) U t U este proiecţia ortogonal¼a pe subspaţiul iniţial.
(c) U t 2 L Rd este o izometrie parţial¼a.
¼
3. DESCOM PUNEREA POLAR A
?
Demonstraţie. (a) Avem (KerU )
unitar. Asta implic¼
a
U U tx
=
U t x ; 8x )
)
UUt
2
143
?
= Im U t şi U : (KerU )
D
UUt
2
! Im U este un
E
x; x = U U t x; x ; 8x
= UUt = UUt
t
deci U U t este proiecţia ortogonal¼
a pe subspaţiul …nal.
(b) Punem Pi = U t U , Pf = U U t . Ştim c¼
a Pf este proiecţie ortogonal¼
a. Atunci
Pi2
= U t U U t U = U t Pf U;
Pi3
= Pi2 Pi = U t Pf U U t U = U t Pf2 U = U t Pf U;
Pi4
= Pi3 Pi = U t Pf U U t U = U t Pf2 U = U t Pf U
şi
Pi2
2
Pi
= Pi4
Im Pi = Im U t U = U t (Im U ) = U t
KerU t
Pi
=
Pi2
Pi2
Pi
Pi3
Pi3 + Pi2 = 0
deci Pi2 = Pi = Pit .
?
?
= Im U t = (KerU ) :
(c) U t U este proiecţia ortogonal¼
a implic¼
a
D
E
2
2
U tU
= U t U ) U t U x; x = U t U x; x ; 8x ) U t U x = kU xk ; 8x
t
) U t : Im U = KerU t
i.e. U 2 L R
d
?
! Im U t
unitar
este o izometrie parţial¼
a.
Corolarul 3.3. Fie U 2 L Rd . Atunci urmatoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(a) U 2 L Rd este o izometrie parţial¼a.
(b) U t 2 L Rd este o izometrie parţial¼a.
t
Demonstraţie. Trebuie doar s¼
a observ¼
am c¼
a (U t ) = U .
Lema 3.4. Fie U 2 L Rd . Atunci urmatoarele a…rmaţii sunt echivalente
(a) U 2 L Rd este o izometrie parţial¼a.
(b) U U t este proiecţia ortogonal¼a.
?
?
Demonstraţie. (a) ) (b) Avem (KerU ) = Im U t şi U : (KerU ) ! Im U este
un unitar. Asta implic¼
a
D
E
2
U U tx
=
U t x ; 8x ) U U t x; x = U U t x; x ; 8x
)
UUt
2
= UUt = UUt
t
deci U U t este proiecţia ortogonal¼
a pe subspaţiul …nal.
(b) ) (a) U U t este proiecţia ortogonal¼
a implic¼
a
D
E
2
2
UUt
= U U t ) U U t x; x = U U t x; x ; 8x ) U U t x = U t x ; 8x
)
?
U : Im U t = (KerU ) ! Im U
i.e. U 2 L Rd este o izometrie parţial¼
a.
De…niţia 3.2. Fie T 2 L Rd . Punem jT j =
simetric şi pozitiv.
unitar
p
T t T 2 L Rd care este un operator
144
4. INTEGRALA RIEM ANN
Observaţia 3.2. S¼a observ¼am c¼a
D
E
2
2
2
kjT j xk = hjT j x; jT j xi = jT j x; x = T t T x; x = hT x; T xi = kT xk
deci KerT = Ker jT j.
Teorema 3.5 (Descompunerea polar¼
a). Fie T 2 L Rd . Atunci exist¼a U 2 L Rd
t
o izometrie parţial¼a şi A = A 2 L Rd operator simetric şi pozitiv astfel încât
T = UA
Descompunerea este unic determinat¼a de condiţia ca KerU = KerA. În plus Im U =
Im T .
Demonstraţie. S¼
a presupunem c¼
a avem descompunerea
T = UA
Atunci
T t T = AU t U A
?
?
şi U t U este proiecţia ortogonal¼
a pe (KerU ) = (KerA) = Im A deci U t U A = A.
Prin urmare
1=2
A = T tT
= jT j
S¼
a observ¼
am c¼
a
D
E
2
2
2
kjT j xk = hjT j x; jT j xi = jT j x; x = T t T x; x = hT x; T xi = kT xk
deci KerT = Ker jT j.
Pentru a demonstra existenţa, costruim A prin formula de mai sus şi de…nim
U prin
Ux
U Ax
=
0 pentru x? Im A
= T x pentru x 2 Rd
De…niţia lui U este corect¼
a deoarece Ax = 0 ) T x = 0. În plus kAxk = kT xk
?
arat¼
a c¼
a U este izometrie parţial¼
a deoarece este un unitar de la Im A = (KerA) =
?
(KerU ) la Im U = Im T .
Teorema 3.6 (Descompunerea polar¼
a reformulat¼
a). Fie T 2 L Rd . Atunci exist¼a
d
U 2 L R o izometrie parţial¼a astfel încât
T = U jT j
Descompunerea este unic determinat¼a de condiţia ca KerU = KerT . În plus Im U =
Im T .
Demonstraţie. S¼
a observ¼
am c¼
a
D
E
2
2
2
kjT j xk = hjT j x; jT j xi = jT j x; x = T t T x; x = hT x; T xi = kT xk
deci KerT = Ker jT j.
Pentru a demonstra existenţa, de…nim U prin
Ux
=
?
0 pentru x 2 (Im jT j) = Ker jT j
U jT j x = T x pentru x 2 Rd
De…niţia lui U este corect¼
a deoarece jT j x = 0 ) T x = 0. În plus kjT j xk = kT xk
arat¼
a c¼
a U este izometrie parţial¼
a.
¼
4. FO RM ULELE DE SCHIM BARE DE VARIABIL A
145
4. Formulele de schimbare de variabil¼
a
Teorema 4.1 (Teorema determinanţilor). Fie T : Rn ! Rn liniar¼a. Atunci pentru
otice K 2 c (Rn )
(T (K)) = jdet T j (K) :
Demonstraţie. 1 Cazul T singular¼a . Avem
det T = 0 , rangT < n , dim Im T < n
Fie V = Im T . Atunci V este un subspaţiu vectorial cu dimR V < n astfel încât
T (K) V
T (K) 2 c (Rn )
dimR V < n
)
(T (K)) = 0 conform lemei 4.2
Deci
K 2 c (Rn ) :
(T (K)) = jdet T j (K) ;
2 Cazul T nesingular¼a. det T 6= 0 , T : Rn ! Rn izomor…sm liniar şi topologic , T 2 GL (Rn ). Aici
GL (Rn ) = S 2 L (Rn ; Rn ) ; 9S 1 2 L (Rn ; Rn )
este grupul liniar general care este o submulţime deschis¼
a a spaţiului L (Rn ; Rn ).
n
n
Fie S 2 L (R ; R ). De…nim
S : c (R
n
) ! R;
S (K) =
K 2 c (Rn ) :
(S (K)) ;
Atunci S este un volum regulat invariant la translaţii. Conform teoremei de unicitate a volumului Lebesgue exist¼
a C (S) 0 astfel încât
S (K) =
C (S) =
(S (K)) = C (S) (K) ;
D (0; 1) =
S
K 2 c (Rn ) ;
S D (0; 1)
:
Dac¼
a S este un izomor…sm, atunci C (S) > 0. Vom obţine o funcţie C : GL (Rn ) !
(0; +1) pe care o vom determina în continuare.
Câteva propriet¼aţi ale funcţiei C ( ).
a) Dac¼
a R; S : Rn ! Rn sunt liniare, atunci
C (R S) = C (R) C (S) :
Într-adev¼
ar
C (R S) =
R S D (0; 1)
= C (R)
S D (0; 1)
= C (R) C (S) :
b) Dac¼
a S : Rn ! Rn este un izomor…sm, atunci C (S) > 0 şi
C S 1 = C (S)
1
deoarece 1 = C (idRn ) = C S 1 S = C S 1 C (S) :
c) Dac¼
a U : Rn ! Rn este ortogonal¼
a, atunci
C (U ) = 1:
Într-adev¼
ar
C (U ) =
U D (0; 1)
Determinarea funcţiei C ( ).
=
D (0; 1)
) C (U ) = 1:
146
4. INTEGRALA RIEM ANN
Folosind teorema de descompunere polar¼
a, T se reprezint¼
a T = U A, unde U
este un operator ortogonal şi A este un operator pozitiv diagonalizabil i.e. exist¼
a
V : Rn ! Rn astfel încât
1
V
f 1 ; :::;
Avem
C (T )
ng =
V
i ei ;
1
i = 1; :::; n
AV =
(A)
(0; 1)
=
C (U
A) = C (U ) C (A) = C (A) = C V
=
C V
1
([0;
1]
=
=
adic¼
a
AV ei =
A V =
:::
V
[0;
1
n ]) =
1
C (A) C (V )
A V D (0; 1)
1
:::
n = det A
jdet U det Aj = jdet T j :
C (T ) = jdet T j
Lema 4.2. Dac¼a T : Rn ! Rn liniar¼a satisface rangT = dim Im T = p < n, atunci
exist¼a S : Rn ! Rn izomor…sm liniar astfel încât
Im S
T = Rp
f0g
Demonstraţie. Fie v1 ; ..., vp 2 Im T , p vectori liniar independenţi. Atunci
exist¼
a ip+1 , ..., in 2 f1; :::; ng astfel încât v1 ; :::; vp ; eip+1 ; :::; ein s¼
a …e baz¼
a în Rn .
De…nim S : Rn ! Rn prin
Svj
=
ej ;
Seik
=
ek ;
j 2 f1; :::; pg
k 2 fp + 1; :::; ng
Teorema 4.3 (Varianta in…nitezimal¼
a a teoremei determinanţilor). Fie U = U
Rn , a 2 U şi ' : U ! Rn :
a) Dac¼a ' este continu¼a şi diferenţiabil¼a în a, atunci pentru orice (C ) 1
Cub (U ),
T
(' (C ))
C +1 C ;
1;
C = fag ) lim sup
jdet '0 (a)j :
(C )
!1
1
b) Dac¼a în plus ' este şi o aplicaţie deschis¼a, atunci pentru orice (C )
Cub (U ),
T
(' (C ))
C +1 C ;
1;
C = fag ) lim
= jdet '0 (a)j :
!1
(C )
1
1
Aici Cub (U ) desemneaz¼a familia cuburilor închise conţinute în mulţimea U .
Demonstraţie. Pe Rn vom considera norma k k1 .
1 Putem presupune c¼
a a = 0 = ' (a). Fie Tc : Rn ! Rn , Tc (x) = x + c,
n
x; c 2 R .
U
T a#
U a
'
!
!
Rn
# T '(a)
Rn
= T '(a) ' Ta
(0) = 0
0
(0) = '0 (a)
¼
4. FO RM ULELE DE SCHIM BARE DE VARIABIL A
147
şi
(' (C))
( (C a))
=
:
(C)
(C a)
Deci dac¼
a teorema este demonstrat¼
a pentru ( ; 0) obţinem şi teorema pentru ('; a).
2 Cazul '0 (0) nesingular¼a. Fie
Atunci
0
(0) = 0,
= ('0 (0))
: U ! Rn ;
1
':
(0) = 1Rn şi
(x) = x + kxk1 ! (x) ;
n
x2U
cu ! : U ! R continu¼
a şi ! (0) = 0.
Fie C 2 Cub (U ), x0 2 C centrul acestui cub, l (C) latura acestui cub şi " (C) =
supx2C k! (x)k1 . Dac¼
a x; 0 2 C, atunci
kxk1
kx
x0 k1 + k0
l (C) l (C)
+
= l (C) :
2
2
x0 k 1
Prin urmare, pentru x; 0 2 C avem
k (x)
x0 k1
kx
l (C)
+ l (C) " (C)
2
x0 k1 + kxk1 k! (x)k1
l (C)
(1 + 2" (C)) :
2
(C) este conţinut în cubul închis de centru x0 şi latur¼
a
=
Rezult¼
a c¼
a
l (C)
(1 + 2" (C)) = l (C) (1 + 2" (C))
2
2
Obţinem c¼
a
( (C))
1
= ('0 (0))
Deoarece
n
n
l (C) (1 + 2" (C)) =
+
(' (C))
(C)
n
', folosind teorema determinanţilor obţinem
= jdet '0 (0)j ( (C))
(' (C))
(C) (1 + 2" (C))
jdet '0 (0)j (C) (1 + 2" (C))
n
jdet '0 (0)j (1 + 2" (C)) ;
n
8C 2 Cub (U ) ; 0 2 C:
Ultima estimaţie demonstreaz¼
a a) în cazul det '0 (0) 6= 0.
Pentru a demonstra b) în cazul det '0 (0) 6= 0 vom lucra pe cuburi închise
conţinute într-o vecin¼
atate mic¼
a a lui 0.
Fie C 2 Cub (U ), x0 2 C centrul acestui cub, l (C) latura acestui cub şi " (C) =
supx2C k! (x)k1 . Dac¼
a x; 0 2 C, atunci
kxk1
kx
x0 k1 + k0
Prin urmare, pentru x; 0 2 C avem
k (x)
x0 k1
Dac¼
a x 2 @C, atunci
k (x)
kx
x0 k 1
x0 k 1
kx
=
x0 k 1
l (C) l (C)
+
= l (C) :
2
2
kxk1 k! (x)k1
x0 k 1
l (C)
(1
2
kx
l (C) " (C) =
2" (C)) ;
x0 k1
l (C)
2
l (C) " (C) :
l (C) " (C)
148
4. INTEGRALA RIEM ANN
deci
l (C)
(1 2" (C)) :
2
Deoarece limx!0 ! (x) = 0, rezult¼
a c¼
a exist¼
a > 0 astfel încât
k (x)
x0 k1
1
.
3
Dac¼
a C este un cub de centru x0 2 C care conţine originea, cu latura l (C) şi
C 2 Cub (U \ fx : kxk1 < g), atunci cubul închis C 0 de centru x0 şi latur¼
a l (C 0 ) =
l (C) (1 2" (C)) satisface condiţia
C 2 Cub (U \ fx : kxk1 < g) ) " (C) <
C0 \
(1)
(@C) = ;
Într-adev¼
ar, pentru x 2 @C avem
k (x)
l (C)
(1
2
x0 k 1
2" (C)) =
l (C 0 )
)
2
(x) 2
= C0
Acum vom observa c¼
a
(x0 ) 2 C 0
(2)
deoarece 0 2 C ) kx0 k1 = k0
k (x0 )
l(C)
2 şi
x0 k1
l (C)
l (C 0 )
" (C) <
;
2
2
x0 k1 = kx0 k1 k! (x0 )k1
l (C) " (C) < l (C 0 ) = l (C) (1
2" (C)) , " (C) < 1
2" (C) , " (C) <
1
3
Obţinem
C0
(C) [ { (C)
Rn =
0
C \
(@C) = ;
) C0
(C) [ { (C)
(C) = (@C) [ (C)
Vom folosi acum ipoteza c¼
a este continu¼
a şi aplicaţie deschis¼
a
(C) = deschisa ( este aplicatie deschisa)
{ (C) = deschisa ( (C) = compacta)
0
C = conexa, C
0
(C) [ { (C)
(x0 ) 2 C 0 \ (C)
C
0
+
) C0
(C)
(C) (1
2" (C))
(C)
(C) :
Deci
Deoarece
n
( (C))
(C 0 ) = l (C) (1
= ('0 (0))
1
n
2" (C)) =
', folosind teorema determinanţilor obţinem
(' (C)) = jdet '0 (0)j ( (C))
(' (C))
(C)
n
+
jdet '0 (0)j (1
n
2" (C)) ;
jdet '0 (0)j (C) (1
2" (C))
n
8C 2 Cub (U \ fx : kxk1 < g) ; 0 2 C:
Ultima estimaţie demonstreaz¼
a b) în cazul det '0 (0) 6= 0.
¼
4. FO RM ULELE DE SCHIM BARE DE VARIABIL A
149
3 Cazul '0 (0) singular¼a. Dac¼
a '0 (0) : Rn ! Rn satisface
rang'0 (0) = dim Im '0 (0) = p < n;
atunci …e S : Rn ! Rn izomor…sm liniar astfel încât
'0 (0) = Rp
Im S
Fie A = S
f0g
'0 (0) = (A1 ; :::; Ap ; 0; :::; 0) şi
c = kAk =
sup kAxk1 ) jA1 xj ; :::; jAp xj
kAxk1
kxk1 1
c kxk1 :
Fie
Atunci
0
(0) = 0,
i (x) =
(0) = S
: U ! Rn ;
=S
':
0
' (0) = A şi
Ai x + kxk1 ! i (x) ;
kxk1 ! i (x)
;
1 i p;
;
p + 1 i n;
x 2 U:
cu ! = (! 1 ; :::; ! n ) : U ! Rn continu¼
a şi ! (0) = 0.
Fie C 2 Cub (U ), x0 2 C centrul acestui cub, l (C) latura acestui cub şi " (C) =
supx2C k! (x)k1 . Dac¼
a x; 0 2 C, atunci
kxk1
kx
x0 k1 + k0
l (C) l (C)
+
= l (C) :
2
2
x0 k 1
Prin urmare, pentru x; 0 2 C avem
cl (C) + l (C) " (C) ;
l (C) " (C)
;
+
j i (x)j
(C)
p
[ (c + " (C)) l (C) ; (c + " (C)) l (C)]
n
=S
(' (C))
(' (C))
(C)
+
p
n p
2n l (C) (c + " (C)) " (C)
( (C))
Deoarece
1 i p;
;
p + 1 i n;
x2U
n p
[ l (C) " (C) ; l (C) " (C)]
p
n p
= 2n (C) (c + " (C)) " (C)
', folosind teorema determinanţilor obţinem
=
det S 1
( (C))
p
n p
det S 1 2n (C) (c + " (C)) " (C)
+
p
n p
det S 1 2n (c + " (C)) " (C)
;
8C 2 Cub (U ) ; 0 2 C:
Ultima estimaţie demonstreaz¼
a terema în cazul det '0 (0) = 0.
Lema 4.4 (Principiul diviziunii pentru cuburi). Fie U = U Rn şi s : Cub (U ) !
R o aplicaţie. Presupunem c¼a
1) s este o funcţie subaditiv¼a pe cuburi i.e. pentru orice C 2 Cub (U ) s¼a avem
s (C)
s (C1 ) + ::: + s (C2n ) :
unde fC1 ; :::; C2n g este diviziunea baricentricā a lui C.
2) Pentru orice (C ) 0 Cub (U )
C +1
C ;
0;
T
0
C = fag ) inf
s (C )
(C )
0:
150
4. INTEGRALA RIEM ANN
Atunci
s (C)
0
pentru orice C 2 Cub (U ) .
Demonstraţie. Fie C0 2 Cub (U ) astfel încât s (C0 ) > 0. Exist¼
a " > 0 astfel
încât s (C0 ) > " (C0 ).
Consider¼
am fC1 ; :::; C2n g diviziunea baricentric¼
a a lui C0 . Deoarece s este o
funcţie subaditiv¼
a pe cuburi şi este aditiv¼
a rezult¼
a c¼
a exist¼
a i0 2 f1; :::; 2n g astfel
încât
s (Ci0 ) > " (Ci0 ) :
Dac¼
a prin absurd
s (Ci )
8i 2 f1; :::; 2n g ;
" (Ci ) ;
atunci
n
s (C0 )
2
P
n
s (Ci )
"
i=1
<
2
P
(Ci ) = " (C0 )
i=1
s (C0 )
Contradicţie!
Punem C1 = Ci0 . Avem
diam (C0 )
:
2
Acesta este începutul inducţiei şi reprezint¼
a trecerea de la C0 la C1 .
Iterând procedeul obţinem (C ) 0 Cub (U ) cu propriet¼
aţile
C1
C0 ;
s (C1 ) > " (C1 ) ;
diam (C1 ) =
C +1 C
diam (C ) = 2 diam (C0 )
s (C ) > " (C )
s(K )
(K ) > "
+
(C )
0
Cub (U ) , C +1
C ,
T
0
+
Contradicţie cu inf
C = fag şi
s (C )
(C )
s (C )
>"
(C )
0:
Teorema 4.5. Fie U = U
Rn şi ' : U ! Rn diferenţiabil¼a cu det '0 : U ! R
continu¼a. Atunci pentru orice K 2 c (U )
R
(' (K))
jdet '0 (x)j d (x) :
K
Demonstraţie. Fie v : c (U ) ! R primitiva funcţiei jdet '0 j : U ! R: Pentru
orice K 2 c (U ) de…nim
R
s (K) =
(' (K))
jdet '0 j d
K
=
(' (K))
v (K) :
Atunci restricţia funcţiei s la Cub (U ) este o funcţie subaditiv¼
a pe cuburi.
Fie
T
(C ) 1 Cub (U ) ; C +1 C ;
1;
C = fag :
1
¼
4. FO RM ULELE DE SCHIM BARE DE VARIABIL A
151
Folosind varianta in…nitezimal¼
a a teoremei determinanţilor şi condiţia b3 ) de la
teorema de caracterizare a primitivei obţinem c¼
a
inf
s (C )
(C )
s (C )
(C )
(' (C ))
v (C )
lim sup
lim
!1 (C )
(C )
!1
= jdet '0 (a)j jdet '0 (a)j
lim sup
!1
=
0:
Folosind principiul diviziunii pentru cuburi obţinem c¼
a
s (C)
(' (C))
n
Pentru K 2 c(R ) şi
R
0, pentru orice C 2 Cub (U )
C
+
0
jdet ' j d , pentru orice C 2 Cub (U )
2 N de…nim
C (K) = fC 2
: C \ K 6= ;g :
Fie K 2 c (U ). Punem
C (K; U ) = C 2
Fie
0
: C \ K 6= ;; C
U :
1 astfel încât
2
0
1
< p dist K; {U
n
Atunci
C (K; U ) = fC 2
: C \ K 6= ;g = C (K) :
Prin urmare mulţimile
S
K =
C 2 K 2 c (U ) ;
0
C2C (K)
şi conform lemei 4.1 veri…c¼
a
T
K=
K ;
K +1
K ;
0:
0
Fie
0 . Atunci
(' (K))
(' (K ))
P
=
P
' C
C2C (K)
P
C2C (K)
v C = v (K )
C2C (K)
=
R
K
jdet '0 j d :
Folosind teorema de regularitate pentru primitive obţinem c¼
a
R
0
(' (K)) v (K) = K jdet ' j d
Corolarul 4.6. Fie K 2 c (U ). Atunci
(K) = 0
sau
det '0 (x) = 0, x 2 K
)
(' (K)) = 0:
R
C
jdet '0 j d
152
4. INTEGRALA RIEM ANN
Lema 4.7. Fie h 2 C (X; F ), u : c (X) ! F primitiva lui h şi f 2 F = L (F ; R).
Atunci f u : c (X) ! R este primitiva funcţiei f h 2 C (X; R).
Demonstraţie. 1 Fie M
F . Atunci
f (co (M )) = co (f (M )) :
Vom observa c¼
a
f (M ) f (co (M )) f (co (M ))
f (co (M )) este convex¼a şi închis¼a
) co (f (M ))
f (co (M )):
Reciproc, dac¼
a C este convex¼
a, închis¼
a şi f (M )
C, atunci M
f 1 (C) mulţime convex¼
a şi închis¼
a. De aici obţinem c¼
a co (M )
implic¼
a f (co (M )) C. Deci
f (co (M ))
f
f
1
1
(C) cu
(C) care
co (f (M )) :
2 u : c (X) ! F aditiv¼
a ) f u : c (X) ! R este aditiv¼
a.
3 Fie K 2 c (X) astfel încât (K) > 0. Atunci din
u (K)
2 co (h (K))
(K)
deducem c¼
a
f u (K)
2 f (co (h (K)))
(K)
co (f (h (K))) = co ((f
h) (K)) :
Teorema 4.8 (Schimbarea de variabil¼
a I). Fie U = U
Rn şi ' : U ! Rn .
Presupunem c¼a
1) ' este diferenţiabil¼a, deschis¼a şi injectiv¼a.
2) det '0 : U ! R este continu¼a.
Atunci pentru orice K 2 c (U ) şi pentru orice g 2 C (' (K) ; F ) avem
R
R
gd = K (g ') jdet '0 j d :
'(K)
Demonstraţie. 1 Este su…cient s¼
a demonstr¼
am teorema în cazul particular
F = R. Într-adev¼
ar, dac¼
a accept¼
am teorema în acest caz, atunci
R
R
f gd
= K (f g ') jdet '0 j d ; 8f 2 F = L (F ; R)
'(K)
R
'(K)
gd
+
=
R
K
(g ') jdet '0 j d
deoarece F = L (F ; R) separ¼
a punctele.
2 Folosind teorema de prelungire a luiTietze, putem presupune c¼
a funcţia
g 2 C (' (U ) ; R) (' (U ) este mulţime deschis¼
a).
3 Dac¼a ' : U ! Rn este diferenţiabil¼a, deschis¼a şi injectiv¼a, det '0 : U ! R
este continu¼a şi g 2 C (' (U ) ; R), atunci pentru orice K 2 c (U )
R
R
gd = K (g ') jdet '0 j d :
'(K)
Dem. Fie u : c (' (U )) ! R primitiva funcţiei g şi v : c (U ) ! R primitiva
funcţiei (g ') jdet '0 j : U ! R. De…nim s : c (U ) ! R prin
R
R
s (K) =
gd
(g ') jdet '0 j d
'(K)
K
= ju (' (K))
v (K)j :
¼
4. FO RM ULELE DE SCHIM BARE DE VARIABIL A
153
Deoarece
şi
' (K [ L) = ' (K) [ ' (L) ; ' (K \ L) = ' (K) \ ' (L) ;
(K) = 0 )
rezult¼
a c¼
a funcţia
K; L 2 c (U )
(' (K)) = 0;
c (U ) 3 K ! u (' (K)) 2 R
este aditiv¼
a şi prin urmare restricţia funcţiei s la Cub (U ) este o funcţie subaditiv¼
a
pe cuburi.
Fie
T
(C ) 1 Cub (U ) ; C +1 C ;
1;
C = fag :
1
Folosind varianta in…nitezimal¼
a a teoremei determinanţilor şi condiţia b3 ) de la
teorema de caracterizare a primitivei obţinem c¼
a
inf
s (C )
(C )
u (' (C )) v (C )
(C )
(C )
u (' (C ))
(' (C )) v (C )
lim
!1
(' (C ))
(C )
(C )
0
= jg (' (a)) jdet ' (a)j (g ') jdet '0 j (a)j = 0:
=
inf
Folosind principiul diviziunii pentru cuburi obţinem c¼
a
s (C)
0, pentru orice C 2 Cub (U )
+
u (' (C)) = v (C) , pentru orice C 2 Cub (U )
Pentru K 2 c(Rn ) şi
Fie K 2 c (U ). Punem
Fie
2 N de…nim
C (K) = fC 2
C (K; U ) = C 2
0
1 astfel încât
2
0
: C \ K 6= ;g :
: C \ K 6= ;; C
U :
1
< p dist K; {U
n
Atunci
C (K; U ) = fC 2
: C \ K 6= ;g = C (K) :
Prin urmare mulţimile
S
K =
C 2 K 2 c (U ) ;
0
C2C (K)
şi conform lemei 4.1 veri…c¼
a
K=
Fie
0 . Atunci
u (' (K )) =
T
P
K ;
K +1
K ;
0:
0
u ' C
C2C (K)
=
P
v C = v (K ) :
C2C (K)
Folosind teorema de regularitate pentru primitive obţinem c¼
a
u (' (K)) = v (K) ;
154
4. INTEGRALA RIEM ANN
i.e.
R
'(K)
gd =
R
K
(g ') jdet '0 j d :
Corolarul 4.9. Fie U = U Rn şi ' : U ! Rn . Presupunem c¼a
1) ' este de clas¼a C 1 şi injectiv¼a.
2) det '0 (x) 6= 0 pentru orice x 2 U .
Atunci pentru orice K 2 c (U ) şi pentru orice g 2 C (' (K) ; F ) avem
R
R
gd = K (g ') jdet '0 j d :
'(K)
Teorema 4.10 (Schimbarea de variabil¼
a II ). Fie U = U Rn , B U închis¼a în
n
U şi ' : U ! R . Presupunem c¼a
1) ' este diferenţiabil¼a şi det '0 : U ! R este continu¼a.
2) ' (U r B) este mulţime deschis¼a şi ' : U r B ! ' (U r B) este un homeomor…sm.
Atunci pentru orice K 2 c (U ), (B \ K) = 0 şi pentru orice g 2 C (' (K) ; F )
avem
R
R
gd = K (g ') jdet '0 j d :
'(K)
Demonstraţie. Vom observa c¼
a B \ K 2 c (U ).
Într-adev¼
ar, B U închis¼
a în U implic¼
a B = B \ U . Dar K 2 c (U ) deci
Doarece
B \ K = B \ U \ K = B \ K 2 c (U ) :
(K \ B) = 0 ) (' (K \ B)) = 0;
rezultatul se obţine astfel
R
R
R
(g ') jdet '0 j d
= K (g ') jdet '0 j d
(g ') jdet '0 j d
K
K\B
R
=
lim
(g ') jdet '0 j d
L2c(KrK\B) L
R
R
=
lim
gd = 0
lim
0 gd
'(L)
L 2c('(K)r'(K\B)) L
L2c(KrK\B)
R
R
= '(K) gd
gd
'(K\B)
R
= '(K) gd
Corolarul 4.11. Fie U = U
Rn , B
U închis¼a în U şi ' : U ! Rn . Presupunem c¼a
1) ' este de clas¼a C 1 şi ' : U r B ! ' (U r B) este injectiv¼a.
2) det '0 (x) 6= 0 pentru orice x 2 U r B.
Atunci pentru orice K 2 c (U ), (K \ B) = 0 şi pentru orice g 2 C (' (K) ; F )
avem
R
R
gd = K (g ') jdet '0 j d :
'(K)
CAPITOLUL 5
Integrala Lebesgue
1. Primitive (L)
De…niţia 1.1. a) Fie
c(Rn ).
se numeşte anti…ltru pe Rn dac¼a:
1) K, L 2 ) K [ L 2 .
2) K 2 , L 2 c(Rn ), L K ) L 2 .
Anti…ltrul este o compactologie dac¼a veri…c¼a şi
3) x 2 Rn ) fxg 2 .
b) Fie A
Rn , c (A) = fK 2 c(Rn ) : K Ag. Numim anti…ltru pe A orice
anti…ltru
c (A).
Exemple 1.1. 1)
= P0 (A) familia submulţimilor …nite ale lui A este compactologia cea mai mic¼a.
2) = c(A).
T
3) Fie ( i )i2I o familie de anti…ltre pe A. Atunci = i2I i este anti…ltru
pe A.
4) Fie f : A ! Y , cu Y spaţiu topologic. Atunci
c (f ) = K 2 c(A) : fjK continu¼a
este un anti…ltru pe A.
De…niţia 1.2. Fie
c(Rn ) un anti…ltru. O funcţie s :
subaditiv¼a sau simplu, subaditiv¼a dac¼a:
a) 8K 2 , (K) = 0 ) s (K) 0.
b) 8K; L 2 , (K \ L) = 0 ) s (K [ L) s (K) + s (L).
! R se zice
-
Observaţia 1.1. a) şi b) ) a0 ).
a0 ) 8K 2 , (K) = 0 ) s (K) = 0.
a) ) (K) = 0 ) s (K) 0
b) ) s (K) s (K) + s (K) ) 0
s (K)
) s (K) = 0:
Lema 1.1 (Principiul diviziunii). Fie
c(Rn ) un anti…ltru. Fie s :
funcţie subaditiv¼a. Dac¼a pentru orice (K ) 1
(K ) > 0; K +1
K ;
1;
T
1
atunci
s (K)
0
K = fag ) inf
s (K )
(K )
!R o
0;
pentru orice K 2 .
Demonstraţie. Fie K0 2
astfel încât s (K0 ) > 0 ()
" > 0 astfel încât s (K0 ) > " (K0 ). Dac¼
a
C1 (K0 ) = C 2
1 : C \ K0 6= ;
155
;
(K0 ) > 0). Exist¼
a
156
5. INTEGRALA LEBESGUE
c(Rn ) este m¼
arginit¼
a. Punem
atunci C1 (K0 ) este …nit¼
a deoarece K0 2
K0C = K0 \ C 2
C 2 C1 (K) :
;
(K0 2 , K0C = K0 \ C K0 , K0C = K0 \ C 2 c(Rn ) ) K0C = K0 \ C 2
Atunci fK0C gC2C1 (K) este o diviziune a lui K0 cu
p
diam (K0C ) diam (C) = 2 1 n;
C 2 C1 (K) ;
K0C = K0 \ C 2 ;
S
K0 =
K0C :
C2C1 (K0 )
De aici rezult¼
a c¼
a exist¼
a C0 2 C1 (K0 ) astfel încât
s (K0C0 ) > " (K0C0 ) :
Dac¼
a prin absurd
s (K0C )
atunci
P
s (K0 )
8C 2 C1 (K0 ) ;
" (K0C ) ;
s (K0C )
"
C2C1 (K0 )
<
s (K0 )
P
(K0C ) = " (K0 )
C2C1 (K0 )
Contradicţie!
Punem K1 = K0 \ C0 = K0C0 2 . Avem
K1
K0 ;
s (K1 ) > " (K1 ) ;
diam (K1 )
p
2 1 n:
Acesta este începutul inducţiei şi reprezint¼
a trecerea de la K0 la K1 .
Dac¼
a
C2 (K1 ) = C 2 2 : C \ K1 6= ; ;
atunci C2 (K1 ) este …nit¼
a deoarece K1 2
K1C = K1 \ C 2
este m¼
arginit¼
a. Punem
C 2 C1 (K) :
;
Atunci fK1C gC2C2 (K1 ) este o diviziune a lui K1 cu
p
diam (C) = 2 2 n;
S
K1 =
KC :
diam (K1C )
C2C1 (K1 )
De aici rezult¼
a c¼
a exist¼
a C1 2 C2 (K1 ) astfel încât
s (K1C1 ) > " (K1C1 ) :
Dac¼
a prin absurd
s (KC )
atunci
s (K1 )
P
s (K1C )
C2C2 (K1 )
<
s (K1 )
8C 2 C2 (K1 ) ;
" (KC ) ;
"
P
(K1C ) = " (K1 )
C2C2 (K1 )
Contradicţie!
Punem K2 = K1 \ C1 = K1C1 2 . Avem
K2
K1 ;
s (K2 ) > " (K2 ) ;
diam (K2 )
În mod similar se face trecerea de la K la K +1 .
p
2 2 n:
).
1. PRIM ITIVE (L)
Obţinem (K )
1
157
cu propriet¼
aţile
K +1 K p
diam (K ) 2
n
s (K ) > " (K ) + s subaditiva )
s(K )
(K ) > "
+
(K )
1
,
(K ) > 0, K +1
K ,
T
1
+
Contradicţie cu inf
(K ) > 0
K = fag şi
s (K )
(K )
s (K )
>"
(K )
0:
De…niţia 1.3. Fie A
Rn şi f : A ! F unde F este un spaţiu Banach. Se
numeşte primitiv¼a a lui f o aplicaţie u : c(f ) ! F care veri…c¼a urm¼atoarele:
a) u este aditiv¼a:
K; L 2 c(f ); (K \ L) = 0 ) u (K [ L) = u (K) + u (L)
b) u satisface teorema de medie:
K 2 c(f ),
Observaţia 1.2. a)
(K) > 0 )
u (K)
2 co (f (K)) :
(K)
(K) = 0 ) u (K) = 0.
(K \ K) = 0 ) u (K) = u (K [ K) = u (K) + u (K) ) u (K) = 0:
b) Fie K 2 c(f ), fKi gi2I s¼a …e o diviziune a lui K relativ la volumul Lebesgue
. Atunci
P
u (K) =
u (Ki ) :
i2I
Teorema 1.2. Fie A
lui f .
n
R şi f : A ! F . Atunci exist¼a u : c(f ) ! F primitiv¼a a
Demonstraţie. Fie K 2 c(f ). Fie (4 ) 1 un şir de diviziuni punctate ale lui
K astfel încât lim !1 diam (4 ) = 0. Fie " > 0. Conform lemei 1.4, exist¼
a >0
astfel încât oricare ar … diviziunile punctate 4 şi 40 ale lui K,
diam (4) ; diam (40 ) <
) js (4)
Din lim !1 diam (4 ) = 0 rezult¼
a c¼
a exist¼
a
diam (4 ) < ;
s (40 )j < " (K) :
1 astfel încât
:
Deci
js (4 ) s (4 0 )j < " (K) ;
; 0
:
Prin urmare şirul (s (4 )) 1 este un şir Cauchy în F , deci exist¼
a c 2 F astfel încât
c = lim s (4 ) :
!1
Dac¼
a (40 ) 1 este un alt şir de diviziuni punctate ale lui K cu lim !1 diam (40 )
= 0, atunci exist¼
a c0 2 F astfel încât
c0 = lim s (40 ) :
!1
158
5. INTEGRALA LEBESGUE
Considerând şirul de diviziuni punctate ale lui K, (400 )
4002
1 =4
;
obţinem c¼
a exist¼
a c00 2 F astfel încât
1 , de…nit astfel
4002 = 40
c00 = lim s (400 ) :
!1
0
Cum atât (s (4 )) 1 cât şi (s (4 )) 1 se reg¼
asesc ca subşiruri ale şirlui (s (400 )) 1
0
00
obţinem c¼
a c = c = c . Deci limita nu depinde de alegerea şirului (4 ) 1 de diviziuni punctate ale lui K cu lim !1 diam (4 ) = 0. Punem
u (K) = c:
Obţinem astfel o aplicaţie u : c(f ) ! F şi în continuare vom ar¼
ata c¼
a ea este o
primitiv¼
a a lui f .
a) Fie K 0 ; K 00 2 c(f ) cu (K 0 \ K 00 ) = 0 şi K = K 0 [ K 00 2 c(f ). Fie
1:
a a lui K 0 cu diam (40 ) < 1=
- 40 diviziune punctat¼
a a lui K 00 cu diam (400 ) < 1=
- 400 diviziune punctat¼
Construim
- 4 = 40 [ 400 diviziunea punctat¼
a a lui K obţinut¼
a prin juxtapunerea
diviziunilor 40 şi 400 cu diam (4 ) < 1=
Atunci din
s (4 ) = s (40 ) + s (400 )
obţinem c¼
a
u (K) = lim s (4 ) = lim s (40 ) + lim s (400 ) = u (K 0 ) + u (K 00 )
!1
!1
!1
deci u este aditiv¼
a.
b) Teorema de medie. Fie K 2 c(f ), (K) > 0. Fie 4 = f(Ki ; i )gi2I o
diviziune punctat¼
a a lui K.
P (Ki )
s (4)
=
f ( i ) 2 co (f (K))
(K) i2I (K)
Fie (4 )
0.
1 un şir de diviziuni punctate ale lui K astfel încât lim !1 diam (4
)=
u (K)
s (4 )
2 co (f (K)) )
2 co (f (K)) = co (f (K)) :
(K)
(K)
De…niţia 1.4. Fie
c(Rn ) un anti…ltru pe Rn şi G un grup abelian. O aplicaţie
u : ! G se zice aditiv¼a dac¼a satisface
K; L 2 ;
(K \ L) = 0 ) u (K [ L) = u (K) + u (L)
Teorema 1.3 (Teorema de caracterizare a primitivei). Fie A Rn , f : A ! F şi
u : c(f ) ! F o aplicaţie aditiv¼a. Urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
b) u satisface teorema de medie:
K 2 c(f );
(K) > 0 )
b1 ) Pentru orice c 2 F ,
K 2 c(f );
(K) > 0 )
u (K)
(K)
u (K)
2 co (f (K)) :
(K)
c
sup jf (x)
x2K
cj = kf
ckK
1. PRIM ITIVE (L)
159
sau echivalent
K 2 c(f ); (K) > 0 ) ju (K)
b3 ) Fie (K )
c (K)j
(K) sup jf (x)
c(f ). Dac¼a
1
cj =
(K) kf
x2K
(K ) > 0, K +1
T
K ,
1
atunci
lim
!1
ckK :
K = fag
u (K )
= f (a) :
(K )
Demonstraţie. b) ) b1 ) Fie K 2 c(f ),
supx2K jf (x) cj = kf ckK . Atunci
B = fy 2 F : jy
(K) > 0 şi c 2 F .
cj
Fie M =
Mg
B. Deoarece u
este închis¼
a şi convex¼
a şi f (K)
B. Rezult¼
a c¼
a co (f (K))
satisface teorema de medie obţinem c¼
a:
u (K)
u (K)
sup jf (x) cj = kf ckK :
2 co (f (K)) B ,
c
(K)
(K)
x2K
b1 ) ) b3 ) Fie (K )
c(f ) astfel încât
1
(K ) > 0, K +1
K ,
T
1
Fie U = U 2 V (a). Avem
T
{U \
K = ; ) (9 1 ; :::;
1) {U \ K 1 \ ::: \ K p = ;
p
1
K U
+
+
K
K = fag :
U = max ( 1 ; :::;
p)
U
U;
U:
Deoarece K1 2 c(f ), funcţia f : K1 ! F este continu¼
a. Fie " > 0. Exist¼
a
U" = U " 2 V (a) astfel încât astfel încât
Fie K 2 c(f ), K
x 2 U" \ K1 ) jf (x)
U" \ K 1 ,
f (a)j < ":
(K) > 0, atunci exist¼
a x0 2 K astfel încât
sup jf (x)
x2K
f (a)j = jf (x0 )
f (a)j
şi conform b1 )
u (K)
(K)
u (K)
(K)
f (a)
sup jf (x)
x2K
f (a)j = jf (x0 )
f (a)j < "
+
f (a)
<
":
Deci pentru " > 0, exist¼
a U" = U " 2 V (a) şi corespunz¼
ator
"
) K
U" \ K1 )
u (K )
(K )
" =
U" astfel încât
f (a) < ":
160
5. INTEGRALA LEBESGUE
Prin urmare,
u (K )
= f (a) :
(K )
b3 ) ) b) Fie v : c(f ) ! F o primitiv¼
a a lui f . De…nim
lim
!1
s : c(X) ! R;
s (K) = ju (K)
v (K)j :
Deoarece u şi v sunt aditive obţinem c¼
a s : c(f ) ! R este o funcţie subaditiv¼
a. Fie
(K ) 1 c(f ) astfel încât
T
(K ) > 0, K +1 K ,
K = fag .
1
Conform b3 )
u (K )
f (a) = 0:
(K )
Deoarece v : c(f ) ! F o primitiv¼
a a lui f avem şi
lim
!1
v (K )
(K )
lim
!1
f (a) = 0:
Prin urmare,
s (K )
s (K )
= 0 = inf
(K )
(K )
0. Conform principiului diviziunii obţinem c¼
a
lim
!1
deoarece s ia numai valori
s (K)
Deoarece s (K)
0, 8K 2 c(X).
0 pentru orice K 2 c(X), rezult¼
a c¼
a
s (K)
=
u (K)
= v (K) , 8K 2 c(X):
+
0, 8K 2 c(X)
Deci u = v este o primitiv¼
a a lui f .
Corolarul 1.4. Primitiva este unic¼a .
Demonstraţie. Fie u; v : c(f ) ! F dou¼
a primitive ale lui f . De…nim
s : c(f ) ! R;
s (K) = ju (K)
v (K)j :
Atunci s : c(f ) ! R este o funcţie subaditiv¼
a. Deoarece u şi v veri…c¼
a b3 ) atunci
pentru orice (K ) 1 c(f ) astfel încât
T
(K ) > 0, K +1 K ,
K = fag .
1
s (K )
s (K )
= 0 = inf
!1 (K )
(K )
Conform principiului diviziunii obţinem c¼
a
lim
s (K)
Deoarece s (K)
0, 8K 2 c(X).
0 pentru orice K 2 c(X), rezult¼
a c¼
a
s (K)
u (K)
+
0, 8K 2 c(X)
= v (K) , 8K 2 c(X):
1. PRIM ITIVE (L)
161
Deci u = v.
Corolarul 1.5. Fie " > 0, K 2 c(f ) şi u : c(f ) ! F primitiva lui f . Atunci exist¼a
4 = f(Ki ; i )gi2I diviziune punctat¼a a lui K astfel încât
ju (K)
s (4; f )j
" (K) :
Demonstraţie. Deoarece f 2 C (K; F ), rezult¼
a c¼
a f este uniform continu¼
a. Deci
pentru " > 0 exist¼
a = (") > 0 astfel încât
x; y 2 X; jx
yj <
) jf (x)
f (y)j < ":
Fie 4 = f(Ki ; i )gi2I o diviziune punctat¼
a a lui K astfel încât diam (4) < .
Atunci
P
P
ju (Ki )
(Ki ) f ( i )j
(u (Ki )
(Ki ) f ( i ))
ju (K) s (4; f )j =
i2I
i2I
P
P
(Ki ) sup jf (x) f ( i )j "
(Ki )
Ki
i2I
i2I
= " (K) :
Aici am folosit b1 ) pentru a estima
ju (Ki )
(Ki ) f ( i )j
(Ki ) sup jf (x)
Ki
f ( i )j :
Deci
ju (K)
De…niţia 1.5. Fie A
A = fx 2 A : 9 (K )
Pentru
s (4; f )j
Rn şi
c(A) un anti…ltru pe A. Punem
T
;
1
" (K) :
1
K = fxg ; (K ) > 0; K +1
K ;
1g:
= c(A) vom nota simplu A.
Lema 1.6. Fie A 2 c(Rn ), x 2 A şi
echivalente:
(a) x 2 A.
= c(A). Urm¼atoarele a…rmaţii sunt
(b) Pentru orice U = U 2 V (x) exist¼a K 2 c(A) astfel încât x 2 K
(K) > 0.
(c) Pentru orice Q 2 V (x) \ c(Rn ), (A \ Q) > 0.
Demonstraţie. (a) ) (b) Fie (K ) 1 c(A) astfel încât
T
K = fxg ; (K ) > 0; K +1 K ;
1:
1
Fie U = U 2 V (x). Avem
Rezult¼
a c¼
a exist¼
a
p > ::: >
{U \
1
T
1
K =;
1 astfel încât
{U \ K 1 \ ::: \ K p = ; ) {U \ K p = ; ) K p
Deci K p 2 c(A), x 2 K p
U şi
K p > 0.
U
U şi
162
5. INTEGRALA LEBESGUE
(b) ) (c) Fie Q 2 V (x) \ c(Rn ). Atunci Q 2 V (x) deci exist¼
a K 2 c(A) astfel
încât x 2 K
Q şi
(K) > 0. Obţinem
(A \ Q)
(A \ Q)
(K) > 0:
1 punem K = A \ B x; 1 . Atunci K 2 c(A),
T (c) ) (a) Pentru orice
(K ) > 0 şi K +1 K ;
1.
1 K = fxg,
Corolarul 1.7. Fie A
Rn ,
în raport cu anti…ltrul
c(K).
, exist¼a K 2
c(A) un anti…ltru pe A şi x 2 A . Atunci x 2 A
astfel încât x 2 K în raport cu anti…ltrul
Demonstraţie. Pentru ")" lu¼
am K = K1 şi atunci (K ) 1
T
K = fxg ; (K ) > 0; K +1 K ;
1;
c(K) satisface
1
deci x 2 K în raport cu anti…ltrul c(K).
Pentru "(" lu¼
am K = K \ B x; 1 ,
(K ) > 0 şi K +1
K ;
1. Atunci K 2
,
T
1K
1 astfel încât x 2 A în raport cu anti…ltrul
Lema 1.8. Fie K; K 0 2 c(f ), K 0
u (K 0 )j
ju (K)
K
= fxg,
.
X şi u : c(f ) ! F primitiva lui f . Atunci
(K 0 )) :
sup jf (x)j ( (K)
K
Demonstraţie. Fie 4 = f(Ki ; i )gi2I o diviziune punctat¼
a a lui K astfel încât
0
0
0
i 2 Ki = Ki \ K când Ki 6= ;:
(*)
Fie I 0
I mulţimea tuturor elementelor i 2 I pentru care Ki0 = Ki \ K 0 6= ;.
0
Atunci 4 = f(Ki0 ; i )gi2I 0 o diviziune punctat¼
a a lui K 0 . Atunci
P
P
s (4; f ) =
(Ki ) f ( i ) ; s (40 ; f ) =
(Ki0 ) f ( i )
i2I 0
i2I
şi
js (4; f )
s (40 ; f )j
P
( (Ki )
i2I
(Ki0 )) jf ( i )j
sup jf (x)j ( (K)
(K 0 )) :
K
Pentru orice
1 aleg 4 o diviziune punctat¼
a a lui K obţinut¼
a cu diam (4 ) <
1= care veri…c¼
a ( ). Atunci 40 veri…c¼
a diam (40 ) < 1= şi
js (4 ; f )
s (40 ; f )j
sup jf (x)j ( (K)
K
+
ju (K)
(K 0 ))
u (K 0 )j
lim
sup jf (x)j ( (K)
(K 0 )) :
K
Corolarul 1.9 (Teorema de regularitate şi teorema şirului cresc¼
ator pentru primitive). Fie A Rn , f : A ! F şi u : c(f ) ! F T
primitiva lui f . Fie K 2 c(f ).
a) Fie (K ) 1 c(f ), K +1 K , K =
1 K . Atunci
u (K) = lim u (K ) :
!1
1. PRIM ITIVE (L)
b) Fie (K )
1
c(X), K
K +1 , K =
S
163
1K
. Atunci
u (K) = lim u (K ) :
!1
Demonstraţie. În ambele cazuri avem conform lemei anterioare
ju (K)
u (K )j
sup jf (x)j j (K)
(K )j
K[K1
şi rezultatul se obţine din teorema de regularitate şi teorema şirului cresc¼
ator pentru
volumul Lebesgue .
De…niţia 1.6. Fie K; K 0 2 c(f ), K 0
Atunci
lim
X şi u : c(f ) ! F primitiva lui f .
8" > 09L" 2 c(K r K 0 );
ju (L) cj < "; 8L 2 c(K r K 0 ); L"
u (L) = c 2 F ,
0
L2c(KrK )
S¼a observ¼am c¼a c(K r K 0 )
K
c(K)
L
c(f ).
Teorema 1.10 (Teorema diferenţei pentru primitive). Fie K; K 0 2 c(f ), K 0
K X şi u : c(f ) ! F primitiva lui f . Atunci
u (K 0 ) =
u (K)
Demonstraţie. Fie L 2 c(K r K 0 )
lim
L2c(KrK 0 )
c(f ). Atunci K 0 [ L
u (K 0 [ L) = u (K 0 ) + u (L) ;
u (K 0 )
ju (K)
u (L)j
u (L) :
(K 0 [ L) =
K, K 0 \ L = ;
(K 0 ) + (L)
(K 0 )
sup jf (x)j ( (K)
(L))
K
Fie " > 0. Folosind teorema diferenţei pentru volumul Lebesgue obţinem c¼
a exist¼
a
L" 2 c(K r K 0 ) astfel încât
(K)
(K 0 )
8L 2 c(K r K 0 ); L"
(L) < ";
L:
Deci
ju (K)
u (K 0 )
u (L)j
" sup jf (x)j ;
K
8L 2 c(K r K 0 ); L"
L
i.e.
u (K)
u (K 0 ) =
Corolarul 1.11. Fie K; K 0 2 c(f ), K 0
Atunci
ju (K)
u (K 0 )j
sup
L2c(KrK 0 )
lim
L2c(KrK 0 )
ju (L)j
u (L) :
K şi u : c(f ) ! F primitiva lui f .
( (K)
(K 0 )) sup jf (x)j
KrK 0
164
5. INTEGRALA LEBESGUE
Demonstraţie.
u (K)
u (K 0 ) =
lim
L2c(KrK 0 )
u (L)
+
8" > 09L" 2 c(K r K 0 );
ju (K) u (K 0 ) u (L" )j < "
+
u (K 0 )j
ju (K)
ju (K)
" + ju (L" )j
0
u (K )j
"+
sup
L2c(KrK 0 )
+
sup
L2c(KrK 0 )
ju (L)j
ju (L)j :
Conform teoremei de caracterizare a primitivei punctul b1 ), cu c = 0, avem
ju (L)j
sup
L2c(KrK 0 )
sup
L2c(KrK 0 )
ju (L)j
ju (L)j
(L) sup jf (x)j
L
+
sup
(L) sup jf (x)j
KrK 0
L2c(KrK 0 )
+
( (K)
(K 0 )) sup jf (x)j :
KrK 0
Corolarul 1.12. Fie K; K 0 2 c(f ), K 0
Atunci
(K) = (K 0 )
sau
f (x) = 0; x 2 K r K 0
K şi u : c(f ) ! F primitiva lui f .
) u (K) = u (K 0 ) :
Corolarul 1.13 (Teorema general¼
a de aditivitate la nivelul primitivei). Fie K; L 2
c(f ) şi u : c(f ) ! F primitiva lui f . Atunci
u (K [ L) + u (K \ L) = u (K) + u (L) :
Demonstraţie. Avem K [ L r K = L r K \ L. Deci
u (K [ L)
u (K)
=
=
=
Fie A
lim
u (L)
lim
u (L)
L2c(K[LrK)
L2c(LrK\L)
u (L)
u (K \ L) :
Rn şi f : A ! F . Vom nota cu uf : c(f ) ! F primitiva lui f .
Propoziţia 1.14 (Propriet¼
aţile primitivei). a) Fie c 2 F . Dac¼a fc
pentru orice K 2 c(X)
ufc (K) = (K) c:
n
b) Fie A R , f : A ! F şi K; L 2 c(f ). Atunci
uf (K [ L) + uf (K \ L) = uf (K) + uf (L) :
c, atunci
1. PRIM ITIVE (L)
165
b) Fie A Rn , f : A ! F . Fie K 2 c(f ) şi fKi gi2I o diviziune a lui K relativ
la volumul Lebesgue . Atunci
X
uf (K) =
uf (Ki ) :
i2I
n
c) Fie A R , f; g : A ! F , ;
complex) şi K 2 c(f ) \ c(g). Atunci
2 R (sau ,
2 C în cazul F spaţiu Banach
u f + g (K) = uf (K) + ug (K) :
d) Fie A
Rn , f : A ! F şi K 2 c(f ). Atunci
juf (K)j
(K) kf kK :
În particular,
e) Fie A
(K) = 0 ) uf (K) :
n
R , f : A ! F şi K 2 c(f ). Atunci
juf (K)j
f) Fie A
Rn , f : A ! R şi K 2 c(f ). Atunci
f
g) Fie A
ujf j (K) :
0 ) uf (K)
0:
Rn , f; g : A ! R şi K 2 c(f ) \ c(g). Atunci
f
g ) uf (K)
ug (K) :
În particular,
m
f
M ) m (K)
uf (K)
M (K) :
Demonstraţie. a) Fie uc = ( ) c : c(A) ! F , uc (K) = (K) c. Atunci
1) uc este aditiv¼
a.
(K)
= c 2 fcg = co (fc (K)).
2) K 2 c(A), (K) > 0 ) uc(K)
Deci uc este primitiva lui fc c, i.e. ufc = ( ) c
b), b) se obţin direct din de…niţie şi din propriet¼
aţile primitivei.
c) De…nim
s : c(f ) \ c(g) ! R;
s (K) = j uf (K) + ug (K)
u f + g (K)j
0:
Atunci s : c(f ) \ c(g) ! R este o funcţie subaditiv¼
a.
Fie (K ) 1 c(f ) \ c(g) astfel încât
T
(K ) > 0, K +1 K ,
K = fag .
1
Deoarece uf , ug şi u f + g sunt primitive rezult¼
a c¼
a
lim
!1
uf (K )
= f (a) ;
(K )
lim
!1
lim
ug (K )
= g (a) ;
(K )
+
!1
lim
!1
u f + g (K )
= f (a) + g (a)
(K )
s (K )
s (K )
= 0 = inf
:
(K )
(K )
Conform principiului obţinem c¼
a
s (K)
0, 8K 2 c(f ) \ c(g).
166
5. INTEGRALA LEBESGUE
Deoarece s (K)
0 pentru orice K 2 c(X), rezult¼
a c¼
a
s (K)
u f + g (K)
=
0, 8K 2 c(f ) \ c(g)
+
=
uf (K) + ug (K) , 8K 2 c(f ) \ c(g):
d) se obţine direct din teorema de caracterizare a primitivei punctul b1 ) luând
c = 0.
ju (K)j
(K) kf kK
e) De…nim
s : c(f )
c(jf j) ! R;
s (K) = juf (K)j
ujf j (K) :
Atunci s : c(f ) ! R este o funcţie subaditiv¼
a.
Fie (K ) 1 c(f ) astfel încât
(K ) > 0, K +1
K ,
T
1
Deoarece uf şi ujf j sunt primitive rezult¼
a c¼
a
ujf j (K )
= jf (a)j
!1
(K )
uf (K )
= f (a) ;
!1
(K )
lim
inf
s (K )
(K )
K = fag .
lim
+
lim
!1
s (K )
= 0:
(K )
Conform principiului obţinem c¼
a
s (K)
0, 8K 2 c(f )
i.e.
juf (K)j
ujf j (K) , 8K 2 c(f ):
f) Avem
K 2 c(f ); (K) > 0 )
uf (K)
(K) 2 co (f (K))
şi
(K) = 0 ) uf (K) = 0
[0; 1)
)
uf (K) 0
:
8K 2 c(f )
g) se obţine din f).
Deoarece pentru orice K 2 c(f ) uf (K) este integrala Riemann a funcţiei f jK 2
C (K; F ), a…rmaţiile se pot obţine şi din cele corespunz¼
atoare integralei Riemann
2. M¼
asurabilitate relativ¼
a
De…niţia 2.1. Fie A Rn şi Y un spaţiu topologic.
a) Fie
c(A) un anti…ltru pe A. Spunem c¼a este m¼asurabil în raport cu
A sau
este m¼asurabil în A, dac¼a pentru orice K 2 c(A) şi pentru orice " > 0
exist¼a L 2 astfel încât
L
K
şi
(K)
(L) < ":
¼
¼
2. M ASURABILITATE
RELATIV A
167
b) Fie f : A ! Y şi c (f ) anti…ltrul asociat. Spunem c¼a f este m¼asurabil¼a în
A dac¼a c (f ) este anti…ltru m¼asurabil în raport cu A i.e.
8K 2 c(A); 8" > 0; 9L 2 c(Rn ) a.î.
L K, fjL continu¼a
şi
(K)
(L) < ":
Proprietatea
Luzin
c) Fie B
A. Spunem c¼a B este m¼asurabil¼a în A dac¼a funcţia carB jA este
m¼asurabil¼a în A i.e.
Proprietatea
Luzin
8K 2 c(A); 8" > 0; 9K 0 2 c(B); 9K 00 2 c(A r B)
K 0 [ K 00 K a.î.
(K)
(K 0 )
(K 00 ) < ":
Lema 2.1. Fie 1 , 2 anti…ltre, 1
c(A). Dac¼a 1 este un anti…ltru
2
m¼asurabil în raport cu A, atunci 2 este un anti…ltru m¼asurabil în raport cu A.
Demonstraţie. Fie K 2 c(A) şi " > 0. Deoarece
exist¼
aL2 1
2 astfel încât
L
K
şi
(K)
asurabil
1 este un anti…ltru m¼
(L) < ":
Deci pentru orice K 2 c(A) şi pentru orice " > 0 exist¼
aL2
L
K
şi
(K)
2 astfel încât
(L) < ":
Lema 2.2. Fie A1 , A2 , A = A1 [A2 Rn . Presupunem c¼a A1 , A2 sunt m¼asurabile
în A. Fie 1
c(A1 ) un anti…ltru m¼asurabil în raport cu A1 şi 2
c(A2 ) un
anti…ltru m¼asurabil în raport cu A2 . Dac¼a
1t
atunci
1t
2 = fK = K1 [ K2 : K1 2
1 ; K2 2
2g
c(A);
asurabil în raport cu A.
2 este un anti…ltru m¼
Demonstraţie. Fie K 2 c(A) şi " > 0. Deoarece A1 este m¼
asurabil¼
a în A exist¼
a
K10 2 c(A1 ) şi K100 2 c(A r A1 ), K10 [ K100 K a.î.
(K)
(K10 )
(K100 ) < "
Deoarece A2 este m¼
asurabil¼
a în A exist¼
a K200 2 c(A2 ) şi K2000 2 c(ArA2 ), K200 [K2000
00
K1 a.î.
(K100 )
(K200 )
(K2000 ) < "
Dar
K2000
(A r A2 ) \ K100
(A r A2 ) \ (A r A1 ) = A r A1 [ A2 = ;
deci K2000 = ;. Deoarece 1
c(A1 ) un anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A1 şi
c(A2 ) un anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A2 exist¼
a K1 2 1 , K1
K10 şi
2
K2 2 2 , K2 K200 astfel încât
(K10 )
(K1 ) < ";
(K200 )
(K2 ) < "
Avem
K2
K1
K200
K10 A1
K100 A r A1
) K1 \K2 = ; )
(K1 [ K2 ) =
(K1 )+ (K2 )
168
5. INTEGRALA LEBESGUE
Rezumând obţinem c¼
a
(K) < " + (K10 ) + (K100 ) < 2" + (K10 ) + (K200 ) + (K2000 )
= 2" + (K10 ) + (K200 ) < 4" + (K1 ) + (K2 )
+
(K)
care înseamn¼
a c¼
a
1t
asurabil în raport cu A.
2 este un anti…ltru m¼
Corolarul 2.3. Fie A
surabil în raport cu A şi
t
atunci
t
(K1 [ K2 ) < 4"
Rn m¼asurabil¼a în Rn . Fie
c(A) un anti…ltru m¼ac({A) un anti…ltru m¼asurabil în raport cu {A. Dac¼a
= fK = K [ L : K 2
;L 2
g
c(Rn );
este un anti…ltru m¼asurabil.
Lema 2.4. a) Fie B
A Rn şi
c(A) un anti…ltru m¼asurabil în raport cu
A. Atunci B = \ c(B) c(B) este un anti…ltru m¼asurabil în raport cu B.
b) Fie Y un spaţiu topologic, B A Rn şi f : A ! Y funcţie m¼asurabil¼a în
A. Atunci f jB : B ! Y este funcţie m¼asurabil¼a în B.
Demonstraţie. a) Fie K 2 c(B) c(A) şi " > 0. Deoarece
c(A) este un
anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A, exist¼
a L 2 , L K astfel încât
(K)
(L) < ":
Cum
L2 ; L
K
B ) L2
B =
\ c(B);
obţinem c¼
a B este un anti…ltru m¼
asurabil în raport cu B.
b) Avem c (f jB) = c (f ) \ c(B) = c (f )B care este un anti…ltru m¼
asurabil în
raport cu B. Deci f jB : B ! Y este funcţie m¼
asurabil¼
a în B.
Lema 2.5. Fie Y un spaţiu topologic, y0 2 Y …xat, A
şi f : A ! Y . Fie
fy0
:
fy0 (x)
=
Rn ! Y;
f (x) ;
y0
;
Rn o mulţime m¼asurabil¼a
x2A
:
x 2 Rn r A
Atunci f este funcţie m¼asurabil¼a în A , fy0 este funcţie m¼asurabil¼a în Rn .
Demonstraţie. " ) " Pentru aceast¼
a implicaţie observ¼
am c¼
a
c (f ) t c {A
c (fy0 ) :
Conform corolarului 2.3 c (f ) t c {A este un anti…ltru m¼
asurabil. Folosind lema
2.1 deducem c¼
a c (fy0 ) este un anti…ltru m¼
asurabil.
" ( " Pentru aceast¼
a implicaţie observ¼
am c¼
a f = fy0 jA şi rezultatul se obţine
aplicând lema anterioar¼
a.
Corolarul 2.6. Fie A
Rn o mulţime m¼asurabil¼a şi B
A. Atunci B este
m¼asurabil¼a în A dac¼a şi numai dac¼a B este este m¼asurabil¼a în Rn .
Demonstraţie. Avem (carB jA)0 = carB . Prin urmare, carB jA este funcţie m¼
asurabil¼
a în A dac¼
a şi numai dac¼
a carB este funcţie m¼
asurabil¼
a în Rn .
¼
¼
2. M ASURABILITATE
RELATIV A
169
Observaţia 2.1. Dac¼a
c(A) este un anti…ltru m¼asurabil în raport cu A şi
K 2 c(A), atunci exist¼a (L ) 1 , L 2 , L
L +1 K şi (L ) % (K).
L1 2
L02 2
L03 2
..
.
; L1 K
; L02 K
; L03 K
..
..
.
.
;
;
;
..
.
(K)
(K)
(K)
(L1 ) < 1
(L02 ) < 1=2
(L03 ) < 1=3
..
.
Teorema 2.7 (Teorema intersecţiei). Fie ( )
T
raport cu A pentru orice
1. Atunci =
în raport cu A.
Demonstraţie. Fie K 2 c(A) şi " > 0.
asurabil ) 9 L1 2 1 c(A) cu L1
1 m¼
m¼
asurabil ) 9 L2 2 2 c(A) cu L2
2
..
.
m¼
asurabil ) 9 L 2
..
.
Obţinem
c(A) cu L
(K)
(L ) < ";
Punem L =
2 c(R ). Din L
L 2
1L T
1. Deci L 2 =
.
Deoarece
L
L
1
T
!1
De aici rezult¼
a c¼
a
(K)
T
=
1
Prin urmare
1 , cu
(L) = lim ( (K)
!1
anti…ltru m¼asurabil în
este un anti…ltru m¼asurabil
1
K şi (K)
L1 şi (L1 )
(L1 ) < "=2,
(L2 ) < "=22 ,
L
1)
(L ) < "=2 ,
1:
obţinem L 2
T
L 1, L =
, pentru orice
L
obţinem
1
n
(L) = lim
; L2 = L1 [ L02 2
; L3 = L2 [ L03 2
..
..
.
.
(L ) :
1 şi
(L ))
(L
";
L2 :
este un anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A.
Propoziţia 2.8. Fie A Rn şi Y , Z spaţii topologice.
1) Orice funcţie f : A ! Y continu¼a este m¼asurabil¼a în A.
f
h
mas
f
cont
h
mas
hom eo
2) A ! Y
20 ) A ! Y
! Z, f m¼asurabil¼a în A, h continu¼a ) h f m¼asurabil¼a.
în A).
! Z, h homeomor…sm ) (f m¼asurabil¼a în A , h f m¼asurabil¼a
f
3) A ! RN , f = (f1 ; :::; fN ) m¼asurabil¼a în A , f1 ; :::; fN m¼asurabile în A.
mas
f
4) A
F , F spaţiu normat,
g
2 R, f , g m¼asurabile în A ) f + g,
f şi kf k
m¼asurabile în A.
f
f
5) A ! R, A ! F , f , g m¼asurabile în A ) f g m¼asurabil¼a în A.
mas
f
6) A
g
mas
Y cu Y = R sau Y = R, f , g m¼asurabile în A ) sup (f; g) ; inf (f; g)
m¼asurabile în A.
Demonstraţie. 1) c (f ) = c(A) este un anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A.
2) c (f ) c (h f ), c (f ) anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A ) c (h f ) este un
anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A.
170
5. INTEGRALA LEBESGUE
3) c (f ) = c (f1 ) \ ::: \ c (fN ).
4) c (f ) \ c (g) c (f + g), c (f ) c ( f ), c (f )
5) c (f ) \ c (g) c (f g).
6) Folosim 4) pentru F = R şi egalit¼
aţile
sup (f; g) =
c (kf k).
f + g + jf gj
f + g jf
; inf (f; g) =
2
2
sup (f; g) + inf (f; g) = f + g:
gj
;
p
Teorema 2.9 (Egorov). Fie f ; f : A ! F ,
1, f ! f . Presupunem c¼a f
este m¼asurabil¼a în A pentru orice
1. Cosider¼am anti…ltrele
n
o
T
u
c (f ) ;
= K 2 \ : f jK ! f jK :
\ =
1
Atunci
a) \ şi sunt anti…ltre m¼asurabile în raport cu A.
b) f este funcţie m¼asurabil¼a în A.
Demonstraţie. a) Conform teoremei intersecţiei
raport cu A. Pentru " > 0 punem
(")
= fK 2
=
K2
\ : 9i = i (K; ")
\ : 9i = i (K; ")
a:^{: jfp (x)
a:^{: kfp
asurabil în
\ este anti…ltru m¼
fq (x)j
fq kK
"; 8x 2 K; 8p; q
"; 8p; q
ig
i
Atunci
T
T
1)
(")
(1= )
.
">0
1
2) (") este anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A pentru orice " > 0.
Prima parte este imediat¼
a. Dac¼
a (") este anti…ltru m¼
asurabil în raport
T cu A pentru orice " > 0, folosind din nou teorema intersecţiei obţinem c¼
a =
(1= )
1
este anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A.
Vom demonstra c¼
a pentru orice " > 0 (") este un anti…ltru m¼
asurabil în
raport cu A. Fie K 2 c(A) şi > 0.Deoarece \ este anti…ltru m¼
asurabil în raport
cu A exist¼
a L 2 \ astfel încât
L
Pentru orice
K
şi
(K)
(L) < :
1 …e
L = fx 2 L : jfp (x)
Deoarece (fp
Avem
fq (x)j "; 8p; q
g
T
fq ) jL este continu¼
a, L 2 \ =
a c¼
a L 2 c(A).
1 c (f ), rezult¼
L 2 c(A);
L
L +1 ;
L=
S
L :
1
Într-adev¼
ar,
x 2 L; f (x) ! f (x) ) 9 x 1 a:^{: jfp (x) fq (x)j "; 8p; q
S
S
deci L
L, adic¼
aL=
1L
1L :
Din de…niţie avem L 2 (") pentru orice
1. Deoarece
(L ) % (L)
(K)
(L) <
)9 0
1 a:^{:
(K)
x ) x 2 L x;
(L 0 ) < :
¼
¼
2. M ASURABILITATE
RELATIV A
171
Prin urmare, L 0 2 ("), L 0 L K, (K)
(L 0 ) < . Am ar¼
atat astfel c¼
a
(") este un anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A pentru orice " > 0 şi dup¼
a cum am
observat deja, acest lucru implic¼
a faptul c¼
a este un anti…ltru m¼
asurabil în raport
cu A.
b) Vom ar¼
ata c¼
a f este funcţie m¼
asurabil¼
a în A. Fie K 2
\ . Atunci
1) f jK este continu¼
a pentru orice
1.
u
2) Din K 2 rezult¼
a c¼
a f jK ! f jK şi f jK este continu¼
a8
1. Obţinem
c¼
a f jK este continu¼
a deci K 2 c (f ).
c (f )
masurabil ^{n raport cu A
)
c (f ) masurabil ^{n raport cu A
)
f este funcţie masurabila ^{n A:
Corolarul 2.10. Fie f : A ! Y , cu Y = R sau Y = R, o funcţie m¼asurabil¼a
în A pentru orice
1. Atunci sup 1 f , inf 1 f , lim sup f , lim inf f sunt
funcţii m¼asurabile în A.
Demonstraţie. Considerând homeomor…smul
h : [ 1; 1] ! R;
h (t) =
t
=
t sgn (t)
1
t
1+t
t
1 t
; t 0
;
; t>0
cu inversul
h 1 : R ! [ 1; 1] ;
h 1 (s) =
s
=
1 + s sgn (s)
s
1 s
s
1+s
;
;
s 0
;
s>0
avem
g
şi
Aici
h
1
A ! R ! [ 1; 1] ,! R
g masurabila ^{n A , h 1 g masurabila ^{n A:
8
< 1 ; t>0
0 ; t=0
sgn (t) =
:
1 ; t<0
Rezult¼
a c¼
a putem presupune c¼
a f (Rn ) [ 1; 1] pentru orice
1.
1) Punem g = sup (f1 ; :::; f ). Atunci g este funcţie m¼
asurabil¼
a în A pentru
orice
1, g
g +1 şi lim g = sup 1 f . Folosind teorema lui Egorov obţinem
c¼
a
sup f = lim g este o funcţie m¼asurabil¼a ^{n A.
1
2) inf 1 f = sup 1 ( f ).
3) lim sup f = inf 1 supp fp , lim inf f = sup
Propoziţia 2.11. Fie A
1 inf p
fp .
Rn . Familia mulţimilor m¼asurabile în A
Ln (A) = fB
A : B masurabila ^{n Ag
formeaz¼a o -algebr¼a de mulţimi, i.e.
1) ;, A 2 Ln (A).
2) B 2 Ln (A) ) {B 2 LnS(A).
3) B 2 Ln (A),
1)
1 B 2 Ln (A).
172
5. INTEGRALA LEBESGUE
Demonstraţie. 1) Deoarece car; jA = 0 şi carA jA = 1 obţinem c¼
a c (car; jA) =
c (carA jA) = c(A) este un anti…ltru m¼
asurabil în raport cu A.
2) Deoarece
c (carB jA)
fL 2 c(A) : 9L0 2 c(B); 9L00 2 c(A r B) a.î. L = L0 [ L00 g
=
=
c (car{B jA) ;
B este m¼
asurabil¼
a în A dac¼
a şi numai dac¼
a {B este m¼
asurabil¼
a în A.
3) Avem
carS B jA = sup carB jA:
1
1
Prin urmare avem şirul de implicaţii care demonstreaz¼
a a…rmaţia:
A
2
Ln (A);
1 ) carA este f unctie masurabila ^{n A;
) sup carB jA = carS
1
S
)
B 2 Ln (A):
1
1
jA este f unctie masurabila ^{n A
B
1
Teorema 2.12 (Luzin). Fie Y un spaţiu topologic, A Rn o mulţime m¼asurabil¼a
şi f : A ! Y .
a) Dac¼a f este funcţie m¼asurabil¼a în A şi B = B Y , atunci f 1 (B) 2 Ln .
b) Pentru Y = R urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(i) f este funcţie m¼asurabil¼a în A;
(ii) 8 c 2 R, Ac = f 1 ([ 1; c)) 2 Ln .
Demonstraţie. Fie y0 2 Y …xat şi
fy0
:
fy0 (x)
=
Rn ! Y;
f (x) ;
y0
;
x2A
:
x 2 Rn r A
Atunci conform lemei 2.5 f este funcţie m¼
asurabil¼
a în A , fy0 este funcţie m¼
asurabil¼
a în Rn .
a) Avem
(B) = A \ fy01 (B)
A 2 Ln
fy01 (B) 2 Ln Luzin pentru Rn
f
1
) f
1
(B) 2 Ln :
b) Pentru Y = R lu¼
am y0 = 0. Atunci
f
f0 1 ([ 1; c)) =
f
1
1
([ 1; c))
; c 0
:
([ 1; c)) [ {A ; c > 0
"(i) ) (ii)" Observ¼
am c¼
a
f
1
([ 1; c)) = A \ f0 1 ([ 1; c))
şi mai departe folosim lema 2.5 şi teorema lui Luzin pentru Rn (teorema 5.8).
"(ii) ) (i)" Avem
f0 1 ([ 1; c)) =
f
f
1
1
([ 1; c))
([ 1; c)) [ {A
; c 0
2 Ln :
; c>0
Deci f0 este m¼
asurabil¼
a şi prin urmare f este m¼
asurabil¼
a în A.
¼
¼
2. M ASURABILITATE
RELATIV A
173
Fie A Rn şi F un spaţiu Banach. Reamintim trei moduri de baz¼
a în care un
şir de funcţii ff g , f : A ! F pot s¼
a convearg¼
a la o limit¼
a f : A ! F.
(i) (Convergenţa punctual¼
a) f (x) ! f (x) pentru orice x 2 A.
(ii) (Convergenţa punctual¼
a aproape peste tot) Exist¼
a N
A cu (N ) = 0
astfel încât f (x) ! f (x) pentru orice x 2 A r N .
(iii) (Convergenţa uniform¼
a) Pentru orice " > 0, exist¼
a " 2 N astfel încât
jf (x)
f (x)jF
"
pentru orice
" şi pentru orice x 2 A.
Convergenţa uniform¼
a implic¼
a convergenţa punctual¼
a, care, la rândul s¼
au, implic¼
a convergenţa punctual¼
a aproape peste tot. Vom ad¼
auga acum un al patrulea
mod de convergenţ¼
a, care este mai slab decât convergenţa uniform¼
a, dar mai puternic¼
a decât convergenţa punctual¼
a.
De…niţia 2.2. Un şir de funcţii ff g , f : A ! F converge local uniform la
f : A ! F dac¼a pentru orice K 2 c(A), f jK : K ! F converge uniform la
f jK : K ! F . Cu alte cuvinte, pentru orice K 2 c(A) şi pentru orice " > 0, exist¼a
" 2 N astfel încât
jf (x) f (x)jF "
pentru orice
" şi pentru orice x 2 K.
Exemplul 2.1. Şirul de funcţii ff g , f : R ! R,
f (x) =
1
car(0;1) (x) =
x
1
x
0
;
;
x>0
;
x 0
converge punctual la 0 dar nu converge local uniform la 0.
Din exemplul precedent, vedem c¼
a convergenţa punctual¼
a (…e peste tot sau
aproape peste tot) este un concept mai slab decât convergenţa local uniform¼
a.
Cu toate acestea în cazul în care A
Rn este o mulţime m¼
asurabil¼
a, o teorem¼
a
remarcabil¼
a a lui Egorov, care demonstreaz¼
a al treilea principiu al lui Littlewood,
a…rm¼
a c¼
a se poate recupera convergenţa local uniform¼
a, atâta timp cât suntem
dispuşi s¼
a eliminin¼
am o mulţime de m¼
asur¼
a Lebesgue mic¼
a.
Teorema 2.13 (Teorema lui Egorov). Presupunem c¼a A
Rn este o mulţime
m¼asurabil¼a. Fie f : A ! F un şir de funcţii m¼asurabile în A care converge
punctual aproape peste tot la o alt¼a funcţie f : A ! F , şi …e " > 0. Atunci exist¼a
o mulţime m¼asurabil¼a Lebesgue A" cu m¼asura (A" ) ", astfel încât f converge
local uniform la f pe A r A" .
Demonstraţie. Pentru
F : Rn ! F;
2 N punem
F (x) =
f (x) ;
0
;
x2A
x 2 Rn r A
F (x) =
f (x) ;
0
;
x2A
:
x 2 Rn r A
de asemenea de…nim
F : Rn ! F;
Atunci conform lemei 2.5 f este funcţie m¼
asurabil¼
a în A , F este funcţie m¼
asurabil¼
a în Rn şi f este funcţie m¼
asurabil¼
a în A , F este funcţie m¼
asurabil¼
a în Rn .
De asemenea avem F converge punctual aproape peste tot la F . Folosind teorema
174
5. INTEGRALA LEBESGUE
7.5 rezult¼
a c¼
a exist¼
a B" Rn cu (B" ) " astfel încât converge F local uniform
n
la F pe R r B" . Luând A" = A \ B" şi observând c¼
a
F jA = f ;
F jA = f;
obţinem rezultatul dorit, adic¼
a f converge local uniform la f pe A r A" .Mai exact,
pentru K 2 c(A r A" ) avem
K
A \ ((Rn r B" ) [ (Rn r A)) = A \ (Rn r B" )
Rn r B"
deci K 2 c (Rn r B" ). Prin urmare f jK = F jK : K ! F converge uniform la
f jK = F jK : K ! F .
3. Şiruri generalizate
De…niţia 3.1. Fie (I; ) o mulţime ordonat¼a.
a) Fie i0 2 I. i0 se numeşte maximal dac¼a pentru orice i 2 I
i0
i ) i0 = i.
b) Fie i0 2 I. i0 se numeşte cel mai mare element dac¼a pentru orice i 2 I
i
i0 .
c) (I; ) se numeşte …ltrat¼a la dreapta sau …ltrat¼a cresc¼ator sau dirijat¼a dac¼a
8i; j 2 I; 9k 2 I astfel încât i; j
d) Fie J
k:
I, unde (I; ) este dirijat¼a. Spunem c¼a J este co…nal¼a dac¼a
8i 2 I; 9j 2 J astfel încât i
j:
Exemple 3.1. a) N:
b)
c(Rn ) anti…ltru pe Rn cu incluziunea.
Observaţia 3.1. a) Fie (I; ) este dirijat¼a. Dac¼a i0 2 I este maximal, atunci i0
este cel mai mare element.
b) Fie J I co…nal¼a, unde (I; ) este dirijat¼a. Atunci (J; ) este dirijat¼a.
De…niţia 3.2. a) Fie Y o mulţime. Numim şir generalizat de elemente din Y orice
familie (ui )i2I cu (I; ) o mulţime dirijat¼a şi ui 2 Y , 8i 2 I i.e. orice aplicaţie
u : I ! Y; u (i)
ui 2 Y:
b) Dac¼a I = N obţinem noţiune uzual¼a de şir.
c) Dac¼a Y = R sau Y = R şi aplicaţia
u : I ! Y; u (i)
ui 2 Y:
este monoton¼a, atunci spunem c¼a (ui )i2I este un şir generalizat monoton. Corespunz¼ator tipului de monotonie vom avea şiruri generalizate cresc¼atoare, respeciv
şiruri generalizate descresc¼atoare.
d) Dac¼a Y = F , unde F este spaţiu normat, şirul generalizat (ui )i2I se zice
convergent dac¼a exist¼a c 2 F astfel încât pentru orice " > 0 exist¼a i" 2 I astfel
încât
8i 2 I; i i" ) jui cj < ":
e) Dac¼a Y = F , unde F este spaţiu normat, şirul generalizat (ui )i2I se zice
Cauchy dac¼a pentru orice " > 0 exist¼a i" 2 I astfel încât
8i; j 2 I; i; j
i" ) jui
uj j < ":
3. ŞIRURI GENERALIZATE
175
Observaţia 3.2. a) Dac¼a şirul generalizat (ui )i2I este convergent, atunci c 2 F
este unic. c se numeşte limita şirului generalizat (ui )i2I şi o vom nota c = limi2I ui .
Fie c, c0 2 F astfel încât pentru orice " > 0 exist¼a i" , i0" 2 I astfel încât
8i
8i
2 I; i
i" ) jui
i0"
2 I; i
) jui
cj < ";
c0 j < ":
i" , i0" . Rezult¼a c¼a
Cum (I; ) este dirijat¼a, exist¼a j" 2 I astfel încât j"
jc
c0 j
juj"
+
c0 j < 2";
cj + juj"
">0
c = c0 :
b) Fie J
I co…nal¼a, unde (I; ) este dirijat¼a. Fie (ui )i2I un şir generalizat convergent. Atunci (uj )j2J este un şir generalizat convergent şilimj2J uj
= limi2I ui .(J; ) este dirijat¼a.
c) Fie B F . Dac¼a şirul generalizat (ui )i2I este convergent şi ui 2 B, i 2 I,
atunci limi2I ui 2 B.
d) Dac¼a şirul generalizat (ui )i2I este convergent, atunci (ui )i2I este Cauchy.
e) Fie F un spaţiu Banach. Fie (ui )i2I un şir generalizat Cauchy de elemente
din F . Atunci (ui )i2I este convergent.
Exist¼a i1 i2 ::: i
::: astfel încât
i; j
Rezult¼a c¼a (ui )
i
) jui
1
uj j <
:
a c = lim !1 ui
1 este şir Cauchy în F , deci exist¼
ui
ui +p <
1
) jui
cj
. Deoarece
1
şi
i; j
i
) jui
ui j <
) jui
ci j <
1
obţinem c¼a
i
i
2
deci (ui )i2I este convergent şi limi2I ui = c.
f) Fie (ui )i2I un şir generalizat. Dac¼a i0 2 I este maximal ( ) atunci i0 este
cel mai mare element ), atunci (ui )i2I este convergent şi limi2I ui = ui0 .
g) Fie (ui )i2I un şir generalizat din R cresc¼ator şi m¼arginit. Atunci (ui )i2I
este convergent şi
lim ui = sup ui
i2I
i2I
Fie c = supi2I ui . Fie " > 0. Exist¼a i" 2 I astfel încât c
Deoarece (ui )i2I este un şir generalizat din R cresc¼ator obţinem
i
i" ) c
" < ui
" < ui"
c.
c
adic¼a limi2I ui = supi2I ui .
h) Fie f 0. Atunci fu (K)gK2c(f ) este un şir generalizat din R cresc¼ator
K0
K 2 c (f ) ) u (K)
u (K 0 ) =
lim
L2c(KrK 0 )
u (L) =
sup
L2c(KrK 0 )
u (L)
0:
176
5. INTEGRALA LEBESGUE
4. Integrala şi integrabilitatea
Convenţia 4.1. Fie A
Rn şi f : A ! F o aplicaţie. Ori de câte ori vorbim
despre integrala lui f pe A sau despre integrabilitatea lui f pe A vom presupune c¼a
A este mulţime m¼asurabil¼a, i.e. A 2 Ln , şi c¼a f este o aplicaţie m¼asurabil¼a în A.
De…niţia 4.1. Fie A 2 Ln , f : A ! R o funcţie m¼asurabil¼a în A, f
u : c (f ) ! R primitiva lui f .
a) De…nim integrala lui f pe A prin
R
R
f d = A f = sup u (K) 2 [0; 1] :
A
0 şi
De…niţia 4.2. Fie A 2 Ln , f : A ! R o funcţie m¼asurabil¼a în A, f
B = A r f 1 (1). În acest caz punem
R
R
f jBd
daca
f 1 (1) = 0
B
f
d
=
A
1
daca
f 1 (1) > 0
0 şi
K2c(f )
b) Spunem c¼a f este o funcţie integrabil¼a pe A dac¼a şi numai dac¼a
R
f d 2 R , fu (K)gK2c(f ) este un şir generalizat m¼arginit
A
Observaţia 4.1. a) f
0 ) u (K)
Riemann ale lui f sunt 0.
b) Fie K; K 0 2 c (f ),
K0
K ) u (K)
u (K 0 ) =
0, 8K 2 c (f ) deoarece sumele Cauchy-
lim
L2c(KrK 0 )
0
u (K )
+
u (L) =
sup
u (L)
u (K) :
Lema 4.1. Fie A 2 Ln , f : A ! R o funcţie m¼asurabil¼a în A, f
primitiva lui f şi
c (f ) un anti…ltru m¼asurabil în A. Atunci
R
f d = sup u (K) = sup u (K) :
A
0, u : c (f ) ! R
K2
K2c(f )
Demonstraţie. Deoarece
0
L2c(KrK 0 )
c (f ) avem
sup u (K)
sup u (K) :
K2
K2c(f )
Fie K 2 c (f ) c (A). Anti…ltrul …ind m¼
asurabil în A rezult¼
a c¼
a exist¼
a un
şir de compacţi (K ) 1
astfel încât
K1
:::
K
K +1
:::
K
şi
(K ) %
u (K )
sup jf (x)j ( (K)
(K) :
Conform lemei 1.8 avem
0
u (K)
K
+
u (K ) % u (K) :
(K ))
4. INTEGRALA ŞI INTEGRABILITATEA
177
Deci
u (K) = lim u (K )
sup u (L) deoarece (K )
L2
+
u (K)
sup u (L) ;
8K 2 c (f )
L2
+
sup u (K)
1
sup u (L) :
L2
K2c(f )
De…niţia 4.3. Fie F un spaţiu Banach, A 2 Ln , f : A ! F o aplicaţie m¼asurabil¼a
în A. Spunem c¼a f este o aplicaţie integrabil¼a pe A dac¼a şi numai dac¼a jf j este
o funcţie integrabil¼a pe A. ( c (f )
c (jf j)
c (A) ) ( f m¼asurabil¼a ) jf j
m¼asurabil¼a)).
Lema 4.2 (Criterii de integrabilitate). Fie F un spaţiu Banach, A 2 Ln şi f :
A ! F o aplicaţie m¼asurabil¼a în A.
a) Dac¼a g : A ! R este o funcţie integrabil¼a pe A astfel încât
jf j
g;
atunci f este o aplicaţie integrabil¼a pe A.
b) Dac¼a (A) < 1 şi f este m¼arginit¼a, atunci f este o aplicaţie integrabil¼a pe
A.
Demonstraţie. a) Fie
= c (f ) \ c (g) anti…ltru m¼
asurabil în A. Atunci
R
R
jf j
g
K
K
R
g
este
un
şir
generalizat
m¼arginit
K
K2
R
K
jf j K2
+
este un şir generalizat m¼arginit
+
f este o aplicaţie integrabil¼a pe A.
b) Fie M = sup jf (x)j < 1 Rşi g : A ! R, g (x) = M . Atunci c (g) = c (A),
ug = M
este primitiva lui g, K g K2 este m¼
arginit de M (A)
R
sup K g = sup ug (K) = M sup
(K) = M (A) :
K2c(g)
K2c(g)
K2c(A)
b) se obţine acum imediat din a).
Teorema 4.3.RFie f : A ! F o aplicaţie integrabil¼a pe A şi u : c (f ) ! F primitiva
lui f , u (K) = K f . Atunci fu (K)gK2c(f ) este un şir generalizat convergent. Dac¼a
c (f ) este un anti…ltru m¼asurabil în A, atunci fu (K)gK2 r¼amâne un şir
generalizat convergent şi
lim u (K) = lim u (K) :
K2
K2c(f )
Demonstraţie. Fie v : c (jf j) ! R primitiva lui jf j : A ! R. Deoarece
c (f ) c (jf j) este un anti…ltru m¼
asurabil în A
R
jf j d = sup v (K) = sup v (K) = sup v (K) = M < 1:
A
K2c(jf j)
K2c(f )
K2
178
5. INTEGRALA LEBESGUE
Fie " > 0. Atunci exist¼
a K" 2 astfel încât M " < v (K" )
L \ K" = ;. Atunci L [ K" 2 c (f )
M
v (L [ K" ) = v (L) + v (K" ) > v (L) + M
Deci v (L) < " pentru orice L 2 c (f ), L \ K" = ;.
Fie K 2 c (f ), K" K. Atunci
ju (K)
u (K" )j
sup
L2c(KrK" )
ju (L)j
M: Fie L 2 c (f ),
" ) v (L) < ":
sup
L2c(KrK" )
jv (L)j
":
Deci
Reamintim K" 2
ju (K) u (K" )j "; K 2 c (f ) ; K"
c (f ) c (jf j). De aici obţinem c¼
a
ju (K)
u (K 0 )j
K:
K; K 0 2 c (f ) ; K"
2";
K; K 0 ;
adic¼
a fu (K)gK2c(f ) este şir Cauchy. Deoarece F este spaţiu Banach rezult¼
a c¼
a
exist¼
a
lim u (K) = I 2 F:
K2c(f )
Obţinem c¼
a
Deoarece K" 2
ju (K)
obţinem şi
adic¼
a I= limK2 u (K).
Ij
ju (K)
2";
Ij
K 2 c (f ) ; K"
2";
K 2 ; K"
K:
K;
De…niţia 4.4. RFie f : A ! F o aplicaţie integrabil¼a pe A şi u : c (f ) ! F primitiva
lui f , u (K) = K f . De…nim integrala lui f pe A prin
R
R
f d = A f = lim u (K) 2 F:
A
K2c(f )
Corolarul 4.4.R Fie f : A ! F o aplicaţie integrabil¼a pe A, u : c (f ) ! F primitiva
lui f , u (K) = K f şi
c (f ) un anti…ltru m¼asurabil în A. Atunci
R
f d = lim u (K) 2 F:
A
K2
Corolarul 4.5. Fie f : A ! R o funcţie integrabil¼a, f 0. Atunci
R
fd
=
lim u (K) = sup u (K)
A
K2c(f )
=
K2c(f )
lim u (K) = sup u (K) :
K2
K2
De…niţia 4.5. Spunem c¼a f : A ! R este o funcţie integrabil¼a dac¼a
1) A şi f sunt m¼asurabile.
2)
f 1 ( 1) =
f 1 (1) = 0.
3) f jB : B ! R este integrabil¼a, unde B = A r f 1 ( 1) [ f 1 (1) .
În acest caz punem
R
R
f d = B f jBd
A
Observaţia 4.2. Condiţiile 1), 2) implic¼a B este mulţime m¼asurabil¼a şi f jB este
o aplicaţie m¼asurabil¼a în B.
Notaţia 4.1. Fie A
Rn şi F un spaţiu Banach.
L1F (A) = ff : A ! F : f aplicaţie integrabil¼ag
4. INTEGRALA ŞI INTEGRABILITATEA
179
Teorema 4.6 (Propriet¼
aţi ale integralei Lebesgue). a) Fie f , g : A ! F , aplicaţii
integrabile pe A, ,
2 R (sau ,
2 C în cazul F spaţiu Banach complex).
Atunci f + g : A ! F este o aplicaţie integrabil¼a pe A şi
Z
Z
Z
( f + g) d =
fd +
gd :
A
A
A
b) Fie f : A ! F o aplicaţie integrabil¼a pe A. Atunci jf j este funcţie integrabil¼a
pe A şi
Z
Z
fd
A
A
jf j d :
c) Fie f; g : A ! R funcţii integrabile. Atunci
Z
f
0 )
fd
0;
A
Z
Z
f
g )
fd
gd :
A
d) Fie A
Rn . Atunci
(A) =
A
Z
d :
A
e) Fie f : A ! F o aplicaţie integrabil¼a pe A şi B
f jB : B ! F este integrabil¼a.
Dac¼a f : A ! R este o funcţie integrabil¼a, f 0, B
Z
Z
fd
fd :
B
A m¼asurabil¼a. Atunci
A m¼asurabil¼a atunci
A
f) Fie f : A ! F o aplicaţie integrabil¼a pe A. De…nim
f0
:
f0 (x)
=
Rn ! F;
f (x) ;
0
;
x2A
:
x 2 Rn r A
Atunci f este aplicaţie integrabil¼a pe A , f0 este aplicaţie integrabil¼a pe Rn şi
Z
Z
fd =
f0 d :
Rn
A
g) Fie A; B
Atunci
Rn m¼asurabile, f : A [ B ! F o aplicaţie integrabil¼a pe A [ B.
Z
Z
Z
Z
fd +
fd =
fd +
fd :
A[B
h) Fie A
pe A şi
Rn ,
A\B
A
B
(A) = 0. Atunci orice aplicaţie f : A ! F este integrabil¼a
Z
f d = 0:
A
i) Fie f , g : A ! F , aplicaţii integrabile pe A, B = fx 2 A : f (x) 6= g (x)g.
Dac¼a (B) = 0, atunci
Z
Z
fd =
A
j) L1F (A) cu
kf kL1 (A) =
F
este un spaţiu seminormat.
gd :
A
Z
A
jf j d
180
5. INTEGRALA LEBESGUE
Demonstraţie. a) Deoarece f , g : A ! F sunt aplicaţii integrabile pe A rezult¼
a
c¼
a
= c (f ) \ c (g)
c ( f + g)
c (A) este un anti…ltru m¼
asurabil în A. De
asemenea, deoarece f , g : A ! F sunt aplicaţii integrabile, a…rmaţie care este
echivalent¼
a cu a…rmaţia jf j, jgj : A ! R sunt aplicaţii integrabile, rezult¼
a c¼
a j j jf j+
j j jgj : A ! R este o funcţie integrabil¼
a. Atunci
j f + gj
j j jf j + j j jgj ; j j jf j + j j jgj integrabila
+
f + g este integrabil¼a
Pentru K 2
Z
( f + g) d
Z
=
K
Z
+
( f + g) d
lim
Z
=
K
+
=
A
fd +
A
: A ! R integrabile pe A, ,
Z
Z
( + )d
=
( + )d
Z
gd :
K
K2
K
Z
gd
K
A
Am folosit ,
Z
fd +
sup
Z
A
sup
A
0)
Z
d +
+
integrabil¼
a.
d
K
Z
Z
d +
d
K
K
Z
d +
d < 1:
sup
Z
d + sup
K
Z
d
K
A
b) = c (f ) c (jf j) c (A) este un anti…ltru m¼
asurabil în A şi v : c (jf j) ! R
primitiva lui jf j : A ! R. Atunci
ju (K)j
Z
A
v (K) ;
+ lim
K2
K2
fd
= lim ju (K)j
K2
lim v (K) =
K2
Z
A
c) Fie u : c (f ) ! R primitiva lui f . Atunci f
K 2 c (f ). Rezult¼
a c¼
a
Z
f d = sup u (K)
jf j d :
0 ) u (K)
0:
K2c(f )
A
Mai departe se aplic¼
a cele demonstrate mai sus funcţiei h = f
Z
Z
fd
gd :
A
d) Primitiva funcţiei f
departe
Z
A
0 pentru orice
K2c(A)
0 şi vom obţine
A
1 este m¼
asura Lebesgue
d = sup
g
(K) =
(A) :
iar c (f ) = c (A). Mai
4. INTEGRALA ŞI INTEGRABILITATEA
181
e) Conform lemei 2.4 f jB : B ! F este m¼
asurabil¼
a şi c (f jB) = c (f ) \ c(B) =
c (f )B c (f ). Deoarece
c (f jB) = c (f ) \ c(B)
R
B
jf j d =
sup
K2c(f jB)
R
K
c (jf jBj) ;
c (f )
+
jf j d
sup
K2c(f )
R
c (jf j) ;
jf j d =
K
R
A
jf j d :
f) Conform lemei 2.5 avem f este funcţie m¼
asurabil¼
a în A , f0 este funcţie
m¼
asurabil¼
a în Rn şi
c (f ) t c {A
c (f0 )
este anti…ltru m¼
asurabil. Atunci pentru orice K = K 0 [ K 00 2 c (f ) t c {A (i.e.
0
00
K 2 c (f ) şi K 2 c {A ) avem
R
R
R
R
R
R
jf j d = K 0 jf0 j d + K 00 jf0 j d = K 0 jf0 j d = K 0 jf j d
jf j d < 1:
K 0
A
Obţinem c¼
a f0 este aplicaţie integrabil¼
a pe Rn şi
R
R
jf j d
jf j d :
Rn 0
A
Cum f0 jA = f obţinem şi (vezi e))
R
jf j d
A
R
Rn
jf0 j d :
R
jf0 j d =
R
jf j d :
R
R
Deci
Rn
A
Fie " > 0. Atunci exist¼
a K" = K"0 [ K"00 2 c (f ) t c {A astfel încât K =
a implice
K 0 [ K 00 2 c (f ) t c {A , K"0 K 0 ,K"00 K 00 s¼
f d
Rn 0
f d
K 0
De asemenea exist¼
a L" 2 c (f ) astfel încât
L 2 c (f ) ; L"
L )
R
A
< ":
fd
L
Lu¼
am K = (K"0 [ L" ) [ K"00 2 c (f ) t c {A . Atunci
R
f d
Rn 0
R
A
fd
=
=
R
f d
Rn 0
R
f d
Rn 0
R
f d
Rn 0
f d
K 0
R
< 2";
f d
K 0
+
f d
K 0
+
R
R
8" > 0:
Rezult¼
a c¼
a
R
f d
Rn 0
=
R
R
A
fd :
+
fd
R
R
< ":
R
f d
K 0
f d
K"0 [L" 0
R
K"0 [L"
fd
A
fd
R
A
R
A
fd
fd
182
5. INTEGRALA LEBESGUE
g) Consider¼
am urm¼
atoarele aplicaţii integrabile
Rn ! F;
f (x) ;
=
0
;
f1 ; f2 ; f3 ; f4
:
f1 (x)
f2 (x)
=
f (x) ;
0
;
f3 (x)
=
f (x) ;
0
;
f4 (x)
=
f (x) ;
0
;
x2A[B
;
x 2 Rn r A [ B
x2A\B
x 2 Rn r A \ B
x2A
x 2 Rn r A
x2B
:
x 2 Rn r B
Atunci f1 ; f2 ; f3 ; f4 satisfac
f1 + f2
R
fd +
A[B
Z
f3 + f4
+
R
+ R n f2 d
f d
Rn 1
Z
=
R
f d
Rn 3
=
+
fd
Z
=
A\B
R
+ Rn f4 d
fd +
A
Z
fd :
B
h) Din
(A) = 0 rezult¼
a c¼
a A este mulţime m¼
asurabil¼
a şi (A) = 0, i.e.
(K) = 0, 8K 2 c (A). Aceasta implic¼
a c (f )
c (A) este anti…ltru m¼
asurabil
pentru orice aplicaţie f : A ! F . Într-adev¼
ar, pentru K 2 c (A), lu¼
am L = fxg,
unde x 2 K, şi avem L K, L 2 c (f ) şi (K)
(L)
R = 0.
R
Fie f : A ! F şi K 2 c (f ). Atunci (K) = 0 ) K jf j = 0 ) A jf j = 0 ) f
este integrabil¼
a pe A şi
Z
f d = 0:
A
i) Dac¼
ah=f
g, atunci
B = fx 2 A : f (x) 6= g (x)g = h 1 (F r f0g) m¼asurabil¼a şi
Atunci
Z
A
g)
hd =
Z
hd +
B
Z
h)
hd =
ArB
Z
A
+
fd =
Z
(B) = 0:
hd = 0
ArB
Z
gd :
A
Lema 4.7. Fie A 2 Ln , f : A ! R o funcţie integrabil¼a pe A şi g : A ! R o
funcţie arbitrar¼a.
a) Dac¼a f (x) 0 pentru orice x 2 A şi
R
f d = 0;
A
atunci mulţimea
P = fx 2 A : f (x) > 0g
are m¼asura Lebesgue zero, i.e.
n (P ) = 0.
4. INTEGRALA ŞI INTEGRABILITATEA
183
b) Fie
B = fx 2 A : f (x) 6= g (x)g :
Dac¼a n (B) = 0, atunci g este o funcţie integrabil¼a pe A şi
R
R
gd = A f d :
A
Demonstraţie. a) Pentru
2 N punem
P = x 2 A : f (x)
Atunci
P
P +1
S
P; P =
Rezult¼
a c¼
a
n (P
şi
:
m (P ) =
lim
2 N avem
R
fd
n (P )
P
) = 0 pentru orice
n (P ) =
2 N, deci
lim
n (P
!1
R
A
m (P
!1
2N
Pe de alt¼
a parte, pentru orice
2
P
2
):
f d = 0:
) = 0:
b) Fie
N = B [ f 1 ( 1) [ f 1 (1) A:
Atunci din ipoteze deducem c¼
a n (N ) = 0. Rezult¼
a c¼
a N 2 Ln ,
funcţie h : N ! R este o funcţie integrabil¼
a pe N cu
R
hd = 0; vezi teorema 4:6:
N
n (N ) = 0 şi orice
Deoarece
g 1 ( 1)
B[f
1
( 1)
g
Mai departe vom observa c¼
a
g 1 (1)
N;
1
+
B[f
1
( 1) [ f
1
(1)
N
g 1 (1) = 0
( 1) =
g = f carArN + g carN
şi termenii sumei sunt funcţii integrabile pe A,
f
0
f carArN =
g
0
g carN =
În plus avem
R
A
gd =
pe
pe
ArN
;
N
pe
N
:
pe A r N
R
A
fd :
Corolarul 4.8. Aderenţa originii în L1F (A) este spaţiul funcţiilor neglijabile (nule
aproape peste tot) notat NF (A).
Demonstraţie. Avem f 2 f0L1F (A) g , (8" > 0 ) kf 0kL1 (A) < ") ,
F
kf kL1 (A) = 0 , jf j = 0 aproape peste tot , f = 0 aproape peste tot.
F
f 2 f0L1F (A) g , kf
0kL1 (A) < ";
F
8" > 0 , kf kL1 (A) = 0
F
184
5. INTEGRALA LEBESGUE
De…niţia 4.6. Spaţiul cât
L1F (A) = L1F (A) =NF (A)
este un spaţiu normat cu norma
fe
L1F (A)
= kf kL1 (A) ;
F
unde fe = f + NF (A) este clasa de echivalenţ¼a modulo NF (A) a lui f .
5. Teoreme de convergenţ¼
a
Teorema 5.1 (Teorema lui Lebesgue de convergenţ¼
a monoton¼
a). Fie A
mulţime m¼asurabil¼a, f : A ! R, f : A ! R, 2 N. Presupunem c¼a
1) f : A ! R este m¼asurabil¼a pentru orice 2 N.
2) 0 f0 (x) ::: f (x) f +1 (x) ::: 1.
3) f ! f punctual.
Atunci f este m¼asurabil¼a în A şi
R
R
f d = lim A f d :
A
Rn o
!1
Demonstraţie. 1 Cazul particular f : A ! R, f : A ! R, 2 N. Folosind
teorema lui Egorov obţinem c¼
a f este o aplicaţie m¼
asurabil¼
a. Consider¼
am anti…ltrele
m¼
asurabile: T
- \ =n 2N c (f ) anti…ltru m¼
aosurabil în A (teorema intersecţiei).
-
= K2
\ :f
u
jK ! f jK anti…ltru m¼
asurabil în A (teorema lui Egorov).
Atunci
c (f ), deci c (f ) este anti…ltru m¼
asurabil în A şi prin urmare f este
m¼
asurabil¼
a în A.
Inegalitatea
R
R
R
lim A f d = A f d
fd
A
!1
se obţine astfel:
0
R
K
0
care mai departe implic¼
a
lim
R
R
f d
R
A
R
!1 A
K
f d
f +1 d
+ sup
R
K2
A
R
K
f +1 d
R
f d = sup A f d
R
fd ;
R
2N
A
R
K2
fd
A
fd
Dac¼
a sup 2N A f d = 1, atunci A f d = 1 şi egalitatea
R
R
f d = lim A f d
A
!1
se veri…c¼
a în modRtrivial.
Dac¼
a sup 2N A f d < 1, atunci proced¼
am astfel. Fie " > 0. Fie K 2 .
u
Deoarece f jK ! f jK, folosind corolarul 2.2 rezult¼
a c¼
a exist¼
a ";K 2 N astfel
încât
R
R
R
R
m
" < K fm d
f d
sup A f d :
";K ) K f d
A m
Rezult¼
a c¼
a
2N
R
K
R
f d < " + sup A f d
2N
¼
5. TEOREM E DE CONVERGEN Ţ A
185
Luând succesiv supK2 şi inf ">0 deducem
R
R
R
fd
lim A f d = sup A f d
A
!1
2N
Iat¼
a paşii:
R
R
f d < " + sup A f d
R
K2
K
R
f1
A
A
R
" + sup A f d
fd
R
Deci şi în acest caz
1
2N
+ sup
2N
+ inf
">0
A
R
sup A f d
fd
2N
f d = lim
R
!1 A
R
f d = sup A f d :
2N
2 Cazul general f : A ! R, f : A ! R,
(1), f2 1 (1), ...sunt m¼
asurabile şi
f0 1 (1)
f1 1 (1)
f2 1 (1)
:::
f
2 N. Mulţimile f
1
(1)
1
f +1
(1)
1
:::
(1), f0 1 (1),
f
1
(1)
1
Dac¼
a f (1) = 0, atunci teorema este consecinţa punctului 1 deoarece se
poate înlocui cu B = A r f 1 (1) şi restricţiile funcţiilor la B au valorile în [0; 1).
Dac¼
a
f 1 (1)
c > 0, atunci folosind homeomor…smul monoton
h : [ 1; 1] ! R;
h (t) =
1
t
=
t sgn (t)
t
1+t
t
1 t
; t 0
;
; t>0
cu inversul
= h 1 : R ! [ 1; 1] ;
unde
(s) =
s
=
1 + s sgn (s)
8
< 1
0
sgn (t) =
:
1
s
1 s
s
1+s
; s 0
;
; s>0
; t>0
; t=0 ;
; t<0
avem c¼
a
1)
f : A ! [0; 1] ,! R este m¼
asurabil¼
a pentru orice 2 N.
2) 0 (
f0 ) (x) ::: (
f ) (x) (
f +1 ) (x) ::: (
f ) (x) 1.
3)
f !
f punctual.
şi putem folosi teorema lui Egorov pentru a obţine c¼
a
f este o funcţie m¼
asurabil¼
a
în A a…rmaţie care este echivalent¼
a cu f este o funcţie m¼
asurabil¼
a în A. Consider¼
am
anti…ltrele m¼
Tasurabile:
- \ = n 2N c (
f ) anti…ltru m¼
asurabil înoA (teorema intersecţiei).
u
= K2 \:(
f ) jK ! (
f ) jK anti…ltru m¼
asurabil în A (teorema lui Egorov).
Atunci
c(
f ), deci c (
f ) este anti…ltru m¼
asurabil în A şi prin urmare
f este o funcţie m¼
asurabil¼
a în A.
186
5. INTEGRALA LEBESGUE
Din condiţia
astfel încât
1
f
(1)
c > 0 rezult¼
a c¼
a exist¼
aK 2c f
c
:
2
este anti…ltru m¼
asurabil în A, exist¼
aL2
1
(1)
c (A)
(K) >
Deoarece
0
deci exist¼
aL2
,L
(K)
(L) <
0
1
u
f ) jL ! (
(
f ) jL = 1
1
(
f ) jL
<
;
1+(
f ) jL
1+k
f (x) > k;
A
R
f d
L
care implic¼
a
pentru orice k 2 N. Deci
lim
R
!1 A
R
x 2 L;
f d
kc
;
2
k;L :
k;L ;
R
kc
sup A f d >
2
2N
R
R
f d = sup A f d = 1 = A f d
2N
1
f
(1)
c > 0. 1Astfel teorema este
asurabile, f
1 un şir de funcţii m¼
f (x) =
1
P
f (x) ;
Atunci f este m¼asurabil¼a în A şi
R
A
fd =
1 R
P
=1
A
: A ! [0; 1],
1 şi
x 2 A:
=1
Demonstraţie. Fie (f )
k;L 2 N
k;L :
k (L) >
deoarece din de…niţie A f d = 1 când
complet demonstrat¼
a.
Teorema 5.2. Fie (f )
c
:
2
f ) jL = 1jL, pentru orice k 2 N exist¼
a
Rezult¼
a c¼
a
De aici obţinem c¼
a
R
K astfel încât
K astfel încât
(L) >
Acum deoarece (
astfel încât
(K)
,L
c
2
f d :
asurabile dat de
1 şirul de funcţii m¼
s = f1 + ::: + f ;
1:
Atunci
1) 0 s1 ::: s
s +1 ::: 1.
2) Rf = sup sR = lim s . R
3) A s d = A f1 d + ::: + A f d .
Folosind teorema lui Lebesgue de convergenţ¼
a monoton¼
a obţinem rezultatul.
Teorema 5.3 (Lema lui Fatou). Fie (f ) 1 un şir de funcţii m¼asurabile, f :
A ! [0; 1],
1. Atunci
R
R
lim inf f d
lim inf A f d :
A
!1
!1
¼
5. TEOREM E DE CONVERGEN Ţ A
Demonstraţie. Fie (g )
asurabile dat de
1 şirul de funcţii m¼
g = inf fk ;
1:
k
Atunci g
187
f , deci
R
lim inf
!1
R
A
A
g d
g d
+
R
A
f d
lim inf
!1
R
A
f d :
De asemenea, g este m¼
asurabil¼
a pentru orice
1;
1) 0 g1 ::: g
g +1 ::: 1.
2) lim g = sup g = sup inf k fk = lim inf !1 f .
Folosind teorema lui Lebesgue de convergenţ¼
a monoton¼
a obţinem c¼
a
R
R
R
R
lim inf f d = A lim g d = lim A g d
lim inf A f d :
A
!1
!1
!1
!1
Propoziţia 5.4. Spaţiul L1F (A) este complet.
a un subşir (f i )i 1
Demonstraţie. Fie (f ) 1 un şir Cauchy în L1F (A). Exist¼
<
<
:::
astfel
încât
s¼
a
avem
1
2
fni L1 (A) < 2 i ;
fni+1
i = 1; 2; 3; ::: :
F
Punem
gk =
k
X
f i+1
f i F;
i=1
g=
1
X
f i+1
f i F:
i=1
Folosind inegalitatea triunghiului şi modul în care a fost ales subşirul (f i )i 1
obţinem c¼
a kgk kL1 (A) < 1 pentru k = 1; 2; 3; ::: . Prin urmare, aplicând lema lui
F
R
Fatou şirului gk obţinem kgkL1 (A) = A jgj d
1. În particular,
F
g 1 (1) = 0;
i.e. g (x) < 1 -a.p.t., astfel c¼
a seria
1
X
f 1 (x) +
f i+1 (x)
f i (x)
i=1
converge absolut pentru orice x 2 A r N , unde N = g 1 (1). De…nim
P1
f 1 (x) + i=1 f i+1 (x) f i (x) ; x 2 A r N
f (x) =
0
;
x2N
Deoarece
f 1+
k
X1
f i+1
f i = f k;
i=1
deducem c¼
a
f k (x) ! f (x) x 2 A r N:
Alegem " > 0. Exist¼
a un (") 2 N astfel încât kf +p f kL1 (A) < " dac¼
a
F
(") şi p 2 N. Prin urmare, pentru orice
("), lema lui Fatou arat¼
a c¼
a
Z
Z
Z
jf f jF d =
jf f jF d
lim inf
jf k f jF d
":
A
ArN
k!1
ArN
188
5. INTEGRALA LEBESGUE
Din ultima relaţie deducem c¼
a f f 2 L1F (A), deci f 2 L1F (A) [deoarece f =
(f f ) + f ]. Aceeaşi relaţie arat¼
a c¼
a kf f kL1 (A) ! 0 când ! 1.
F
Corolarul 5.5. Spaţiul L1F (A) este un spaţiu Banach.
Demonstraţia precedent¼
a conţine un rezultat su…cient de interesant pentru a …
enunţat separat.
Teorema 5.6. Fie (f ) 1 un şir Cauchy în L1F (A). Exist¼a un subşir (f i )i 1
a f 2 L1F (A) şi N A astfel încât (N ) = 0 şi
1 < 2 < :::, exist¼
f k (x) ! f (x)
x 2 A r N:
Teorema 5.7 (Teorema lui Lebesgue de convergenţ¼
a dominat¼
a). Fie A
Rn o
mulţime m¼asurabil¼a, f : A ! F , f : A ! F , 2 N. Presupunem c¼a
1) f : A ! F este m¼asurabil¼a în A pentru orice 2 N.
2) f ! f punctual.
3) Exist¼a 0 2 N şi exist¼a g : A ! R o funcţie integrabil¼a pe A astfel încât
jf (x)j
g (x) ;
8x 2 A; 8
0:
Atunci f este o aplicaţie integrabil¼a pe A şi
R
R
f d = lim A f d :
A
!1
Demonstraţie. Folosind teorema lui Egorov obţinem c¼
a f este o aplicaţie m¼
asurabil¼
a în A. Criterile de integrabilitate împreun¼
a cu ipotezele 2) şi 3) ne implic¼
a
integrabilitatea lui f pe A.
jf j g
g integrabil¼a
2) şi 3) )
) f integrabil¼a.
Folosind din nou teorema lui Egorov şi teorema intersecţiei obţinem c¼
a urm¼
atoarele
anti…ltre sunt
m¼
a
surabile
în
A:
T
- \ =n 2N c (f ) (teorema intersecţiei).
o
-
= K2
- (g) =
Punem
\ :f
u
jK ! f jK
\ c (g) (teorema intersecţiei).
M=
Fie " > 0. Atunci exist¼
a K" 2
Dac¼
aL2
M
(teorema lui Egorov).
R
A
gd = sup
K2 (g)
(g) astfel încât
" R
M
< K" gd
3
R
K
gd :
M:
(g), L \ K" = ;, atunci L [ K" 2 (g) şi
R
R
R
R
gd = L gd + K" gd > L gd + M
L[K"
De aici deducem c¼
a pentru orice K 2
R
R
fd
sup
fd
K
K"
(g), K"
R
jf j d
L
L2c(KrK" )
K avem
R
"
"
) L gd < :
3
3
sup
L2c(KrK" )
R
L
gd <
"
:
3
¼
5. TEOREM E DE CONVERGEN Ţ A
189
Deci
R
K
R
A
R
fd
K"
+
R
fd
K"
Similar obţinem c¼
a
R
A
"
;
3
fd
R
K"
(g) ; K"
K
"
3
fd
f d
8K 2
"
;
3
f d
8
0:
Folosind corolarul 2.2 rezult¼
a c¼
a exist¼
a "
0 astfel încât
R
R
"
f d
fd < ; 8
":
K"
K"
3
Un "=3-argument încheie demonstraţia teoremei
R
A
f d
R
A
fd
R
A
R
f d
+
R
K"
A
f d
+
R
fd
R
K"
K"
R
f d
fd
K"
fd
" " "
+ + = ";
3 3 3
<
Corolarul 5.8. Fie f 2 L1F (Rn ). Atunci aplicaţia
R
f : Ln ! F;
f (A) = A f d 2 F;
8
":
A 2 Ln
este o m¼asur¼a vectorial¼a.
Demonstraţie. Fie (A )
A \ A 0 = ;. Vom ar¼
ata c¼
a
asurabile astfel încât
1 un şir de mulţimi m¼
f
Fie ' : Rn ! F de…nit prin
1
S
A
=1
1
P
=1
' = carS1
f=
' = carS
f=
Ap
p=1
şi pentru
=
1
P
):
carAp f;
p=1
1 …e ' : Rn ! F de…nit prin
Ap
p=1
f (A
P
carAp f
p=1
Atunci
1) ' : Rn ! F este m¼
asurabil¼
a pentru orice
1.
2) ' ! ' punctual.
3) jf j : Rn ! R este o funcţie integrabil¼
a pe Rn şi
j' (x)j
jf (x)j ;
8x 2 Rn ; 8
1:
6=
0
)
190
5. INTEGRALA LEBESGUE
Folosind teorema de convergenţa dominat¼
a a lui Lebesgue obţinem c¼
a ' este o
aplicaţie integrabil¼
a pe Rn şi
R
R
'd
= lim Rn ' d
Rn
f
1
S
!1
m
A
1
P
=
=1
=1
f (A
):
Teorema 5.9 (Continuitatea integralei cu parametru). Fie A 2 Ln , Y
y0 2 Y . Fie f : A Y ! F . Presupunem c¼a
1) Pentru orice y 2 Y , f ( ; y) : A ! F este integrabil¼a pe A.
2) Pentru orice x 2 A, f (x; ) : Y ! F este continu¼a în y0 .
Rp şi
3) Exist¼a V = V 3 y0 şi exist¼a g : A ! R o funcţie integrabil¼a pe A astfel încât
jf (x; y)j
g (x) ;
Atunci
u : Y ! F;
u (y) =
8x 2 A; 8y 2 V:
Z
f (x; y) d (x) ;
A
este continu¼a în y0 .
y2Y
Demonstraţie. Fie (y ) 1 un şir, y 2 Y , y ! y0 . Atunci exist¼
a
încât
0 ) y 2 V . Punem
' = f ( ; y ) : A ! F , ' (x) = f (x; y ), x 2 A:
' = f ( ; y0 ) : A ! F , ' (x) = f (x; y0 ), x 2 A:
Atunci
1) ' : A ! F este integrabil¼
a pe A.
2) ' ! ' punctual.
3)
0 ) y 2 V şi
j' (x)j = jf (x; y )j
g (x) ;
8x 2 Rn ; 8
0
1 astfel
0:
Folosind teorema de convergenţa dominat¼
a a lui Lebesgue obţinem c¼
a ' este o
aplicaţie integrabil¼
a pe Rn şi
R
R
'd = lim A ' d
A
!1
u (y0 ) =
Z
m
f (x; y0 ) d (x) = lim
!1
A
Z
f (x; y ) d (x) = lim u (y ) :
A
!1
Teorema 5.10 (Derivarea sub semnul integral). Fie I
R un interval deschis,
A 2 Ln şi f : A Y ! F . Presupunem c¼a
1) Pentru orice y 2 I, f ( ; y) : A ! F este integrabil¼a pe A.
2) Pentru orice x 2 A, f (x; ) : I ! F este derivabil¼a pe I.
3) Exist¼a g : A ! R o funcţie integrabil¼a pe A astfel încât
@f
(x; y)
@y
g (x) ;
8x 2 A; 8y 2 I:
¼
5. TEOREM E DE CONVERGEN Ţ A
Atunci
u : I ! F;
u (y) =
Z
f (x; y) d (x) ;
A
191
y2I
este derivabil¼a pe I şi
Z
@f
(x; y) d (x) ;
A @y
0
u (y) =
y 2 I:
Demonstraţie. Fie y0 2 I …xat. Fie (h ) 1 un şir, h 2 R r f0g Y , h ! 0.
Atunci exist¼
a 0 1 astfel încât
0 ) y0 + h 2 I. Punem
f (x;y0 +h ) f (x;y0 )
, x 2 A,
' : A ! F , ' (x) =
0.
h
(x;
y
)
;,
x
2
A:
' : A ! F , ' (x) = @f
0
@y
Atunci
1) ' : A ! F este integrabil¼
a pe A (din ipoteza 1))
2) ' ! ' punctual (din ipoteza 2))
3)
g (x) ; 8x 2 A; 8
0 ) j' (x)j
0 (din ipoteza 3) şi teorema
creşterilor …nite)
Folosind teorema de convergenţa dominat¼
a a lui Lebesgue obţinem c¼
a ' este o
aplicaţie integrabil¼
a pe Rn şi
R
R
lim A ' d = A 'd
!1
u0 (y0 ) = lim
!1
m
u (y0 + h )
h
u (y0 )
=
R @f
(x; y0 ) d (x) :
A @y
Observaţia 5.1. Este su…cient s¼a cerem veri…cat¼a condiţia 3) local pe I adic¼a:
8y0 2 I, 9V = V 3 y0 , 9g = gV : A ! R o funcţie integrabil¼a pe A astfel încât
@f
(x; y)
@y
g (x) ;
8x 2 A; 8y 2 V:
Teorema 5.11. Fie A 2 Ln , D = D Rp , r 2 N şi f : A D ! F . Presupunem
c¼a
1) Pentru orice y 2 D, f ( ; y) : A ! F este integrabil¼a pe A.
2) Pentru orice x 2 A, f (x; ) : D ! F este de clas¼a C r pe D.
3) Pentru orice 2 Np , j j r, exist¼a g : A ! R o funcţie integrabil¼a pe A
astfel încât
j@ f (x; y)j
g (x) ;
Atunci
u : D ! F;
este de clas¼a C r pe D şi
@ u (y) =
u (y) =
Z
8x 2 A; 8y 2 D:
f (x; y) d (x) ;
A
Z
A
@ f (x; y) d (x) ;
y2D
y 2 D:
192
5. INTEGRALA LEBESGUE
6. Integrale improprii
Reamintim
De…niţia 6.1. Fie T un spaţiu topologic. Spunem c¼a A
T este local închis¼a dac¼a
pentru orice x 2 A exist¼a U = U 2 V (x) astfel încât A \ U s¼a …e închis¼a în U .
Lema 6.1. Fie T un spaţiu topologic, U = U
sunt echivalente:
(a) A este mulţime local închis¼a;
T, A
T . Urm¼atoarele a…rmaţii
(b) Exist¼a D = D astfel încât A = A \ D;
(c) Exist¼a F = F şi D = D astfel încât A = F \ D.
Fie A
Rn o mulţime local închis¼
a. Fie
Reamintim notaţia
8K 2 c (A) , 9L 2
c (A) o mulţime co…nal¼
a i.e.
a.î. K
L:
L1F (A) = ff : A ! F : f aplicaţie integrabil¼a g
Rn o mulţime local închis¼a şi f : A ! F .
1) f este m¼asurabil¼a
a) f se zice aplicaţie local integrabil¼a ,
2) f este integrabil¼a pe compacţi
De…niţia 6.2. Fie A
L1F (A; loc) = ff : A ! F : f aplicaţie local integrabil¼ag
1
b) f 2 LF (A; ) , f 2 L1F (A; loc) şi exist¼a
R
R
(A; )
L1F (A; ) =
f d = lim
K2
R
K
fd
f 2 L1F (A; loc) : 9 lim
K2
R
K
fd
f d se numeşte integrala -improprie a lui f pe A.
c) (A; ) f d este convergent¼a , f 2 L1F (A; ).
R
d) (A; ) f d este absolut convergent¼a , jf j 2 L1R (A; ).
(A;
R )
Lema 6.2. Fie (K ) 1 un şir de compacţi, K
K +1 , A =
F o aplicaţie integrabil¼a pe A. Atunci
R
R
f d = lim K f d :
A
S
1K
!1
Demonstraţie. Pentru orice
f : A ! F;
f =
1de…nim
f
0
pe
K
pe A r K
; i:e: f = carK jA:
Atunci
1) f : A ! F este m¼
asurabil¼
a pentru orice 2 N.
2) f ! f punctual.
3) jf j : A ! R o funcţie integrabil¼
a pe A şi jf j jf j.
4) Avem şi
R
R
R
R
f d = K f d + ArK f d = K f d :
A
Folosind teorema de convergenţa dominat¼
a a lui Lebesgue obţinem c¼
a
R
R
R
f d = lim A f d = lim K f d :
A
!1
!1
şi f : A !
6. INTEGRALE IM PROPRII
193
Corolarul 6.3. Fie K 2 c (Rn ), (K ) 1 un şir de compacţi astfel încât K
S
K +1 ,
K , (K ) % (K) şi f : K ! F o aplicaţie integrabil¼a pe K.
1K
Atunci
R
R
f d = lim K f d :
K
!1
S
Demonstraţie. Fie A =
K. Atunci
1K
R
R
f d = lim K f d ;
A
!1
K r A este m¼
asurabil¼
a şi
K
A
Rezult¼
a c¼
a
K )
(K )
R
R
K
fd =
A
(K r A) = 0.
(A)
lim
(K) )
(K) =
(A) )
(K r A) = 0:
R
R
R
f d + KrA f d = A f d = lim K f d :
!1
Lema 6.4. Fie f 2 L1F (A) şi
R
fd =
A
c (A) o mulţime co…nal¼a. Atunci
R
R
lim K f d = lim K f d :
K2
K2c(A)
Demonstraţie. Fie " > 0. Atunci exist¼
a L" 2 c (f ) astfel încât
R
R
(*)
L 2 c (f ) ; L" L )
fd
f d < ":
A
L
Fie K 2 c(A) astfel încât L" K. Deoarece c (f ) este un anti…ltru m¼
asurabil exist¼
a
(L ) 1 c (f ), L" L
L +1 K astfel încât
(K)
(L ) <
1
;
1:
Obţinem astfel un şir (L ) 1 c (f ), L" L
L +1
(K). Corolarul anterior implic¼
a
R
R
f d = lim L f d :
K
K astfel încât
(L ) %
!1
Înlocuind L cu L în ( ) şi luând lim !1 obţinem c¼
a
R
R
fd
f d < "; 8K 2 c(A); L"
A
K
K:
c (A) …ind o mulţime co…nal¼
a rezult¼
a c¼
a exist¼
a K" 2 astfel încât L"
Deducem c¼
a
R
R
fd
f d < "; 8K 2 ; K" K:
A
K
Deci
R
A
fd =
lim
R
K2c(A) K
f d = lim
K2
R
K
K" .
fd :
Teorema 6.5. Fie A Rn o mulţime local închis¼a şi
c (A) o mulţime co…nal¼a.
a) L1F (A) L1F (A; ) şi
R
R
f d = A f d ; f 2 L1F (A) ;
(A; )
194
5. INTEGRALA LEBESGUE
i.e.
LR1F (A)
&
A
R
b) f 2 L1F (A) ,
(A; )
L1F R(A; )
. (A; )
F
L1F (A; loc)
f d este absolut convergent¼a (, jf j 2 L1R (A; )).
Demonstraţie. a) Este tocmai lema anterioar¼
a.
R
b) 00 ) 00 f 2 L1F (A) , jf j 2 L1R (A) ) jf j 2 L1R (A; )) i.e. (A; ) f d este
absolut convergent¼
a.
00
( 00 Vom ar¼
ata c¼
a
R
R
sup K jf j d = sup K jf j d :
K2
K2c(A)
Fie K 2 c (A). Atunci exist¼
a L0 2
R
jf j d
K
R
K
Deoarece
jf j d
astfel încât K L0 . Prin urmare
R
R
jf j d
sup L jf j d
L0
L2
+
R
sup L jf j d
L2
c (A) rezult¼
a c¼
a
R
sup K jf j d
sup
K2
Acum
R
jf j d =
A
sup
K2c(jf j)
R
K
jf j d
sup
K2c(A)
K2c(A)
R
K
jf j d
R
K
jf j d
sup
K2
R
K
jf j d =
R
(A; )
jf j d < 1
Deci jf j 2 L1R (A) =) f 2 L1F (A).
Observaţia 6.1. L1F (A) $ L1F (A; ) :
Exemplul 6.1. A = [0; 1)
R mulţime local închis¼a, f : A ! R de…nit¼a prin
f (x) =
sin x
x
1
; x>0
; x=0
este o funcţie continu¼a, deci este local integrabil¼a. Vom ar¼ata c¼a f 2
= L1R (A). Avem
c (f ) = c (A). Fie K = [0; ] [ [2 ; 3 ] [ ::: [ [2 ; (2 + 1) ]. Atunci
R
f (x) dx ! 1; când ! 1,
K
deoarece
R
K
f (x) dx =
PR
p=0
sin x
0 x + 2p
dx
PR
p=0
0
sin x
dx
+ 2p
2 P
1
p=0 2p + 1
:
¼ LA INTEGRALA LEBESGUE
7. SCHIM BAREA DE VARIABIL A
Pe de alt¼a parte, …e
mulţime co…nal¼a şi
R2
0
f (x) dx
=
=
= f[0; 2 ] ; [0; 4 ] ; :::; [0; 2
p=0
=
P1 R
p=0
=
P1 R
p=0
sin y
0
sin y
1
(2p + 1)
sin (y + )
dy
y + (2p + 1)
2
2
2
2
y2
dy
dy
2
2
p=0 (2p + 1)
2
1
(2p + 1) + y
y
2y
(2p + 1)
2 2
p=0 (2p + 1)
P1
c (A) o
sin y
dy
y + (2p + 1)
0
P1
=
] ; :::g. Atunci
P1 R 2p +2 sin x
P1 R
dx
=
2p
x
p=0
p=0
P1 R
195
1
< 1:
7. Schimbarea de variabil¼
a la Integrala Lebesgue
De…niţia 7.1. a) Fie A1 , A2 Rn . Fie
c(A2 ) un anti…ltru pe A2 . Anti…ltrul 1 t
1t
c(A1 ) un anti…ltru pe A1 şi
pe
A = A1 [ A2 de…nit prin
2
1
2 = fK = K1 [ K2 : K1 2
1 ; K2 2
2g
2
c(A);
se numeşte anti…ltrul generat de 1 c(A1 ) şi 2 c(A2 ).
b) Fie B
A
Rn şi
c(A) un anti…ltru pe A. Anti…ltrul pe B,
\ c(B) c(B), se numeşte atunci restricţia lui la B.
B =
Lema 7.1 (Reformulare a lemei 2.2). Fie A1 , A2
Rn . Fie 1
c(A1 ) un
anti…ltru m¼asurabil în A1 şi 2
c(A2 ) un anti…ltru m¼asurabil în A2 . Dac¼a A1 ,
A2 sunt m¼asurabile în A = A1 [ A2 , atunci 1 t 2 este un anti…ltru m¼asurabil în
A.
Lema 7.2. a) Fie B A Rn şi
c(A) un anti…ltru m¼asurabil în A. Atunci
\ c(B) c(B) este un anti…ltru m¼asurabil în B.
B =
b) Fie B A Rn şi
c(A) un anti…ltru. Dac¼a B este m¼asurabil¼a în A,
atunci urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente
i)
c(A) este m¼asurabil în A.
ii) B este m¼asurabil în B şi ArB este m¼asurabil în A r B.
În plus avem
:
B t ArB
Demonstraţie. a) este parte a lemei 2.4 .
b) este consecinţa punctului a), a incluziunii
rioare.
Observaţia 7.1. Fie Y un spaţiu topologic, B
c (f jB) = c (f ) \ c(B) = c (f )B ;
B t
A
ArB
şi a lemei ante-
Rn şi f : A ! Y . Atunci
c (f jA r B) = c (f ) \ c(A r B) = c (f )ArB
şi
c (f jB) t c (f jA r B)
c (f ) :
196
5. INTEGRALA LEBESGUE
Corolarul 7.3. Fie Y un spaţiu topologic, B
A Rn şi f : A ! Y . Dac¼a B
este m¼asurabil¼a în A, atunci urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente
i) f : A ! Y funcţie m¼asurabil¼a în A.
ii) f jB : B ! Y este m¼asurabil¼a în B şi f jA r B : A r B ! Y este m¼asurabil¼a
în A r B.
Corolarul 7.4. Fie Y un spaţiu topologic, B
A r B ! Y . Fie f : A ! Y ,
f=
fB
fArB
pe
pe
Rn , fB : B ! Y şi fArB :
A
B
:
ArB
Dac¼a B este m¼asurabil¼a în A, atunci urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente
i) f : A ! Y funcţie m¼asurabil¼a în A.
ii) fB : B ! Y este m¼asurabil¼a în B şi fArB : A r B ! Y este m¼asurabil¼a în
A r B.
Corolarul 7.5. Fie B
A
Rn . Dac¼a A
urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente
i) B este m¼asurabil¼a în A.
ii) B este m¼asurabil¼a în Rn i.e. B 2 Ln .
Rn este m¼asurabil¼a în Rn , atunci
Demonstraţie. Avem
carB =
carB jA
0
pe
pe
A
Rn r A
deci B 2 Ln , carB este m¼
asurabil¼
a în Rn , carB jA este m¼
asurabil¼
a în A , B
este m¼
asurabil¼
a în A.
Rn şi
Observaţia 7.2. Fie U = U ; V = V
Fie
c (U ) un anti…ltru pe U . Atunci
: U ! V o aplicaţie continu¼a.
( ) = f (K) : K 2 g
este un anti…ltru pe V .
Demonstraţie. Avem
K; L 2
) K [L2
)
(K) [ (L) =
(K [ L) 2
( )
şi
L0 2 c (Rn ) ; L0
K\
0
L =
K\
+
1
(K) ; K 2
(L0 ) 2
+
1
(L0 ) 2
( )
Lema 7.6. Fie : U ! V un homeomor…sm. Presupunem c¼a este o aplicaţie
diferenţiabil¼a şi c¼a funcţia det 0 : U ! R este continu¼a. Dac¼a
c(U ) este un
anti…ltru m¼asurabil în U , atunci ( ) este un anti…ltru m¼asurabil în V .
¼ LA INTEGRALA LEBESGUE
7. SCHIM BAREA DE VARIABIL A
Demonstraţie. Fie K, K 0 2 c (U ), K 0
( ) c (V ), K 0 K. Avem
(L)
K. Atunci L0 =
(K 0 ), L =
197
(K) 2
h = det 0 ;R M = supx2K h (x) =RkhkK
0
(L) = ( (K)) = K det
(x) d (x) = K h (x) d (x)
R
(L0 ) = K 0 h (x) d (x)
+
R
R
R
0
(L ) = K h (x) d (x)
h (x) d (x) = KrK 0 h (x) d (x)
K0
+
(L)
0
(L )
M ( (K)
(K 0 ))
(L)
(L0 )
M ( (K)
(K 0 ))
Reţinem c¼
a
(*)
1
Fie " > 0 şi L 2 c (V ). Fie K =
(L) 2 c (U ). Deoarece
c(U ) este un
anti…ltru m¼
asurabil în U , exist¼
a K" 2 , K" K astfel încât
"
(K)
(K" ) <
; M = sup h (x) = khkK :
M +1
x2K
Fie L" =
(K" ). Atunci L" 2
(L)
(L" )
( ), L"
M ( (K)
L şi
M
" < ":
M +1
(K" ))
( )
Corolarul 7.7. Fie U = U ; V = V
Rn şi : U ! V un C 1 difeomor…sm. Fie
Y un spaţiu topologic şi f : V ! Y . Urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente
i) f este m¼asurabil¼a în V .
ii) f
este m¼asurabil¼a în U .
Demonstraţie. Avem
c (f
)=
1
(c (f )) ;
c (f ) =
(c (f
)) :
Corolarul 7.8. Fie U = U ; V = V
Rn şi : U ! V un C 1 difeomor…sm. Fie
A U . Urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente
i) A este m¼asurabil¼a în U (, A 2 Ln ).
ii) (A) este m¼asurabil¼a în V (, (A) 2 Ln ).
Demonstraţie. Avem
carA jU = car (A) jV
:
Corolarul 7.9. Fie U = U ; V = V
Rn şi : U ! V un C 1 difeomor…sm. Fie
A
U m¼asurabil¼a în U , Y un spaţiu topologic şi f : (A) ! Y . Urm¼atoarele
a…rmaţii sunt echivalente
i) f este m¼asurabil¼a în (A).
ii) f
este m¼asurabil¼a în A.
198
5. INTEGRALA LEBESGUE
Demonstraţie. Fie y0 2 Y …xat. Punem
fe : V ! Y;
f] : U ! Y;
f
y0
fe =
pe
(A)
= fy0 jV;
pe V r (A)
f
f] =
pe
pe
y0
f] = fe
A
= (f
U rA
)y0 jU;
:
Atunci f este m¼
asurabil¼
a în (A) , fe este m¼
asurabil¼
a în V , fe
m¼
asurabil¼
a în U , f
este m¼
asurabil¼
a în A.
= f] este
Teorema 7.10 (Schimbarea de variabil¼
a la integrala Lebesgue). Fie U = U ; V = V
Rn şi : U ! V un C 1 difeomor…sm.
a) Dac¼a A U , A 2 Ln , atunci ' (A) 2 Ln .
b) Dac¼a A
U , A 2 Ln şi f : (A) ! F este funcţie m¼asurabil¼a în ' (A),
atunci g = (f
) det 0 : A ! F este funcţie m¼asurabil¼a în A.
c) Dac¼a A
U , A 2 Ln şi f : (A) ! F este funcţie m¼asurabil¼a în
(A), atunci f : (A) ! F este integrabil¼a pe (A) dac¼a şi numai dac¼a g =
(f
) det 0 : A ! F este integrabil¼a pe A. În acest caz avem
R
R
(f
) det 0 d = (A) f d
A
Demonstraţie. a) şi b) sunt deja demonstrate.
c) Caz particular A = U , (A) = V .
f : V ! F;
K
g = (f
2 c (f ) ,
L 2 c (g) ,
0
) det
1
:U !F
(K) 2 c (g) ;
(L) 2 c (f ) :
f : V ! F este funcţie m¼
asurabil¼
a în V , c (f ) este anti…ltru m¼
asurabil în V
b)
) c (g) = L = 1 (K) 2 c (U ) : K 2 c (f ) este anti…ltru m¼
asurabil în U , g =
(f
) det 0 : U ! F este funcţie m¼
asurabil¼
a în U .
1 F = R, f 0 ) g 0. Atunci
R
R
R
f d = sup K f d = sup '(L) f d ;
V
K2c(f )
R
Dar
deci
R
V
U
R
gd = sup
'(L)
L2c(g)
fd =
f d = sup
L2c(g)
R
R
L
L2c(g)
R
L
gd = sup
(f
) det
'(L)
K2c(f )
0
f d = sup
L2c(g)
R
'
1 (K)
d =
R
L
R
L
gd :
gd ;
gd =
R
U
gd :
2 f : V ! F este integrabil¼
a pe V , jf j : V ! R este integrabil¼
a pe V ,
jgj : U ! R este integrabil¼
a pe U , g = (f
) det 0 : U ! F este integrabil¼
a
pe U .
R
R
R
R
f d = lim
f d = lim L gd = U gd :
V
(L)
L2c(g)
L2c(g)
8. TEREM ELE LUI FUBINI ŞI TONELLI
3
(f
199
Cazul general. Fie f : (A) ! F funcţie m¼
asurabil¼
a în
asurabil¼
a în B. Punem
) det 0 : A ! F este funcţie m¼
fe : V ! F;
fe =
ge : U ! F;
f
0
ge =
(A), g =
pe
(A)
;
pe V r (A)
g
0
ge = fe
pe
A
;
pe U r A
det
0
:
Cazul particular implic¼
a: fe : V ! F este integrabil¼
a pe V , ge = fe
U ! F este integrabil¼
a pe U şi
R
R
fed = U ged
V
det
0
:
(A) ! F este integrabil¼
a pe (A) , fe : V ! F este integrabil¼
a pe V şi
R
R
f d = V fed :
(A)
Dar f :
La fel g = (f
) det
integrabil¼
a pe U şi
0
: A ! F este integrabil¼
a pe A , ge : U ! F este
R
A
gd =
R
U
ged :
Deci f : (A) ! F este integrabil¼
a pe (A) , g = (f
) det
integrabil¼
a pe A şi
R
R
R
R
f d = V fed = U ged = A gd :
'(A)
0
: A ! F este
8. Teremele lui Fubini şi Tonelli
Începem cu dou¼
a rezultate ajut¼
atoare.
Lema 8.1. Fie B A Rm mulţimi m¼asurabile, fB : B ! Y şi fArB : A r B !
Y , unde Y = F este un spaţiu Banach sau Y = R. Fie f : A ! Y ,
f=
fB
fArB
pe
pe
B
:
ArB
Atunci urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
i) f : A ! Y este funcţie integrabil¼a pe A.
ii) fB : B ! Y este funcţie integrabil¼a pe B şi fArB : A r B ! Y este funcţie
integrabil¼a pe A r B.
În plus,
R
R
R
f d = B fB d + ArB fArB d :
A
Demonstraţie. Folosind corolarul 7.3 avem c¼
a f : A ! Y este funcţie m¼
asurabil¼
a în A dac¼
a şi numai dac¼
a f jB = fB : B ! Y este funcţie m¼
asurabil¼
a în B şi
f jA r B = fArB : A r B ! Y este funcţie m¼
asurabil¼
a în A r B. Dac¼
a Y = R,
atunci din
f
1
1
( 1) = fB 1 ( 1) [ fArB
( 1) ;
f
1
1
(1) = fB 1 (1) [ fArB
(1)
200
5. INTEGRALA LEBESGUE
obţinem
m
f
1
( 1) =
m
f
1
fB 1 ( 1) = m fB 1 (1) = 0
şi
1
1
f
(
1)
=
m
m fArB (1) = 0
ArB
m
(1) = 0 ,
Deoarece
c (f jB) t c (f jA r B) = c (fB ) t c (fArB ) c (f ) ;
în oricare dintre situaţii anti…ltrul c (fB ) t c (fArB ) este m¼
asurabil în A.
Presupunem c¼
a fB : B ! Y este funcţie integrabil¼
a pe B şi fArB : A r B ! Y
este funcţie integrabil¼
a pe A r B. Atunci pentru orice K = K 0 [ K 00 2 c (f jB) t
0
c (f jA r B), i.e. K 2 c (f jB) şi K 00 2 c (f jA r B), avem
R
R
R
R
R
jf j d
= K 0 jf j d + K 00 jf j d = K 0 jfB j d + K 00 jfArB j d
K
R
R
jf j d + ArB jfArB j d < 1:
B B
Obţinem c¼
a f este aplicaţie integrabil¼
a pe A şi
R
R
R
jf j d
jf j d + ArB jfArB j d :
A
B B
Presupunem c¼
a f este funcţie integrabil¼
a pe A. Cum f jB = fB şi f jA r B =
fArB , folosind punctul e) al teoremei 4.6, obţinem
R
R
R
R
jf j d
jf j d ;
jf
jd
jf j d ;
B B
A
ArB ArB
A
deci fB : B ! Y este funcţie integrabil¼
a pe B şi fArB : A r B ! Y este funcţie
integrabil¼
a pe A r B.
Folosind punctul g) al teoremei 4.6, obţinem şi
R
R
R
f d = B fB d + ArB fArB d :
A
Lema 8.2. Fie A 2 Lm , f : A ! R o funcţie integrabil¼a pe A şi g : A ! R o
funcţie arbitrar¼a.
a) Dac¼a f (x) 0 pentru orice x 2 A şi
R
f d = 0;
A
atunci mulţimea
P = fx 2 A : f (x) > 0g
are m¼asura Lebesgue zero, i.e. m (P ) = 0.
b) Fie
B = fx 2 A : f (x) 6= g (x)g :
Dac¼a m (B) = 0, atunci g este o funcţie integrabil¼a pe A şi
R
R
gd = A f d :
A
Demonstraţie. a) Pentru
2 N punem
P = x 2 A : f (x)
Atunci
P
P +1
P; P =
Pe de alt¼
a parte, pentru orice
2
S
P
şi
2
m (P ) =
2N
2 N avem
R
fd
m (P )
P
:
R
A
lim
!1
f d = 0:
m (P
):
8. TEREM ELE LUI FUBINI ŞI TONELLI
Rezult¼
a c¼
a
m (P
) = 0 pentru orice
201
2 N, deci
m (P ) =
lim
m (P
!1
) = 0:
b) Fie
1
N =B[f
( 1) [ f
1
(1)
A:
Atunci din ipoteze deducem c¼
a m (N ) = 0. Rezult¼
a c¼
a N 2 Lm ,
orice funcţie h : N ! R este o funcţie integrabil¼
a pe N cu
R
hd = 0; vezi teorema 4:6:
N
m (N ) = 0 şi
Deoarece
g 1 ( 1)
B[f
1
( 1)
g
N;
1
g 1 (1)
+
B[f
1
( 1) [ f
1
(1)
N
g 1 (1) = 0
( 1) =
Mai departe vom observa c¼
a
g = f carArN + g carN
şi termenii sumei sunt funcţii integrabile pe A,
f
0
f carArN =
g carN =
În plus avem
R
A
g
0
gd =
pe
pe
ArN
;
N
pe
N
:
pe A r N
R
A
fd :
Presupunem c¼
a n = p + q şi corespunz¼
ator c¼
a avem descompunerea Rn =
q
m
R
R . Vom nota cu m m¼
asura Lebesgue în R . Vom discuta relaţia care exist¼
a
între n , p şi q precum şi relaţia care exist¼
a între integralele pe care le de…nesc
aceste m¼
asuri.
Pentru A Rn şi x 2 Rp vom nota
p
Ax = A (x) = fy 2 Rq : (x; y) 2 Ag
Rq
x-secţiunea mulţimii A. Similar, pentru y 2 Rq se introduce y-secţiunea mulţimii
A
Ay = fx 2 Rp : (x; y) 2 Ag Rp :
S¼
a observ¼
am c¼
a dac¼
a A este mulţime deschis¼
a, atunci Ax este mulţime deschis¼
a
pentru orice x 2 Rp , iar dac¼
a A este mulţime compact¼
a, atunci Ax este mulţime
compact¼
a pentru orice x 2 Rp .
Pentru A Rn vom nota cu A funcţia
A :R
p
! [0; 1] ;
A (x) =
q (Ax ) =
q (A (x))
şi vom studia aceast¼
a funcţie pentru A 2 Ln . S¼
a not¼
am c¼
a dac¼
a A este mulţime
m¼
arginit¼
a, atunci
8x 2 Rp :
A (x) < 1;
202
5. INTEGRALA LEBESGUE
Într-adev¼
ar, dac¼
a A este mulţime m¼
arginit¼
a, atunci exist¼
a a > 0 astfel încât
n
A
[ a; a]
)
deci
A (x) =
q
) U (x)
q (A (x))
[ a; a] ; 8x 2 Rp
q
(2a) ; 8x 2 Rp :
p
A (x) < 1; 8x 2 R .
1 Vom începe cu mulţimile deschise. Fie U = U
Rn = Rp Rq . Conform
lemei 2.4 exist¼
a IU N şi (C ) 2IU o familie cel mult num¼
arabil¼
a de cuburi mutual
disjuncte astfel încât
S
U=
C ; C = Cp Cq;
2 IU
2IU
carU =
P
+
carC =
2IU
carU (x; y) = carU (x) (y) =
P
2IU
P
carC q
carC p
carC p (x) carC q (y)
2IU
Integrând în raport cu y şi folosind teorema lui Lebesgue de convergenţ¼
a monoton¼
a
obţinem c¼
a
U (x)
=
R
=
Deci funcţia
U
:
U (x)
=
=
q (U (x)) =
P
carU (x; y) d q (y) =
carC p (x)
q (C
q
):
2IU
Rp ! [0; 1] ;
R
q (U (x))
q (U (x)) =
q (U (x)) =
carU (x; y) d q (y) =
R
P
carU (x) (y) d q (y)
carC p (x)
q (C
q
)
2IU
este m¼
asurabil¼
a ca limit¼
a a unui şir (cresc¼
ator) de funcţii (simple) m¼
asurabile.
Folosind din nou teorema de convergenţ¼
a monoton¼
a obţinem c¼
a
P
P
p
q
n (U ) =
n (C ) =
p (C ) q (C )
2I
2IU
R U
R
=
(x)
d
(x)
=
p
q (U (x)) d p (x)
U
R R
=
carU (x; y) d q (y) d p (x) ;
adic¼
a
n (U ) =
R
U (x) d p (x) =
R R
carU (x; y) d q (y) d p (x) :
S¼
a observ¼
am c¼
a dac¼
a n (U ) < 1, atunci p
2 Fie K 2 c (Rn ). Atunci K (x) 2 c (Rq )
K (x) =
q (K (x)) =
1
(1) = 0.
Lq pentru orice x 2 Rp , deci
U
q (K (x)) < 1;
Fie U mulţime deschis¼
a şi m¼
arginit¼
a astfel încât K
8x 2 Rp :
U . Atunci
K = U r (U r K) ;
K (x) = U (x)
q (K (x)) =
q (U (x))
(U r K) (x) ;
8x 2 Rp ;
q ((U r K) (x)) ;
8x 2 Rp :
8. TEREM ELE LUI FUBINI ŞI TONELLI
203
Rezult¼
a c¼
a funcţia
K
:
K (x)
=
Rp ! [0; 1) ;
R
=
q (K (x)) =
carK (x; y) d q (y) =
este m¼
asurabil¼
a deoarece
Rn . În plus avem şi
n (K)
=
R
=
3 Fie A 2 Ln ,
U = U astfel încât
carK(x) (y) d q (y)
U (x)
U rK (x)
este m¼
asurabil¼
a pentru orice mulţime deschis¼
aW
W
n (U )
n (U r K) =
K (x) d p (x)
n (A) < 1.
K
R
q (K (x)) =
R
U (x)
U rK (x)
2 N exist¼
a K 2 c (Rn ) şi
Atunci pentru orice
K +1
d p (x)
A
U +1
U ;
2 N;
n (K
)
)
n (A)
2
2
;
2 N:
K (x)
K +1 (x)
A (x)
U +1 (x)
U (x) ;
(x)
K +1 (x)
A (x)
şi
n (A)
n (U
1
1
Pentru orice x 2 Rp avem
2 N;
deci
K
U +1 (x)
(x) ;
U
Punem
A
(x) = sup
2N
Atunci funcţiile
A
K
(x)
=
R
Deoarece
0
=
2
şi
A
(x)
A (x)
A
)
sau echivalent
)
n (A) +
1
+2
=2
R
R
A (x)
A
A (x)
(x) d p (x)
n (K
n (U )
1
rezult¼
a c¼
a
A (x) = inf
2N
x 2 Rp :
(x) ;
n (A)
U
(x) ;
R
U
(x)
n (K
)
x 2 Rp ;
K
2 N:
(x) d p (x)
! 0;
A
(x) d p (x) = 0
(x) d p (x) =
R
A (x) d p (x)
Mai mult deoarece pentru orice 2 N
R
R
(x) d p (x)
n (K ) =
K (x) d p (x)
R A
=
A (x) d p (x)
luând limita dup¼
a
U
asurabile şi
A sunt m¼
A (x)
n (U
(x) ;
K
2 N:
R
U
(x) d p (x) =
n (U
);
obţinem c¼
a funcţiile A şi A sunt integrabile pe Rp şi c¼
a
R
R
(x) d p (x) =
n (A) =
A (x) d p (x) :
A
204
5. INTEGRALA LEBESGUE
Folosind acum lema 8.2 a) deducem c¼
a
p (fx 2 R
p
:
A
(x) <
A (x)g) = 0
Deoarece
fx :
A
(x) <
A (x)g = fx :
A
(x) <
A (x)g [
x:
A (x) <
A (x)
deducem c¼
a
p (fx 2 R
p
:
(x) <
A
A (x)g) =
p (fx 2 R
p
:
A (x)g) = 0
A (x) <
Punctul b) al lemei 8.2 implic¼
a faptul c¼
a A este o funcţie integrabil¼
a pe Rp şi
R
R
R
(x) d p (x) =
A (x) d p (x) =
A (x) d p (x) = n (A) :
A
Mulţimile
fx 2 Rp :
A
1
A (x)g;
(x) <
A
1
(1)
A
(1)
1
A
(1) ;
sunt în Lp şi
p (fx 2 R
p
:
A
(x) <
A (x)g) =
p( A
1
(1)) =
p( A
1
Dac¼
a
N = fx 2 Rp :
atunci
A
N 2 Lp
p
(x) <
şi
A (x)g [
(1)) =
1
A
p( A
1
(1)) = 0:
(1) ;
p (N ) = 0:
Pentru orice x 2 R r N avem
S
S
T
T
(x) A (x)
(x) =
2N K (x) =
2N K
2N U
2N U (x) ;
T
q
2N U (x) = A (x) < 1;
S
T
(x) = q
2N K (x) = q
2N U (x) = A (x) < 1:
A
T
S
= 0:
q
2N U (x) r
2N K (x)
S
T
S
Deoarece A (x) r
a c¼
a
2N K (x)
2N U (x) r
2N K (x) , rezult¼
S
= 0;
q A (x) r
2N K (x)
deci A (x) 2 Lq şi
A (x) =
q (A (x)) =
q (A (x)) =
! [0; 1] ;
A (x) =
A
(x) =
A (x) < 1:
În concluzie funcţia
A :R
p
q (Ax ) =
q (A (x))
este integrabil¼
a pe Rp , exist¼
a N 2 Lp , p (N ) = 0, astfel încât
şi
p
q (A (x)) < 1 ; x 2 R r N
A (x) =
;
x2N
q (A (x))
În plus,
n (A)
=
=
=
R
R
A (x) d p (x) =
Rp rN
R R
R
R
Rp rN
1
A
A (x) d p (x)
carA (x; y) d q (y) d p (x)
carA (x; y) d q (y) d p (x) :
(1)
Rp r N
8. TEREM ELE LUI FUBINI ŞI TONELLI
4 Fie A 2 Ln arbitrar¼
a, K = [
n (A \ K
)
n
; ] 2 c (Rn ),
n (K
205
1. Atunci
n
) = (2 ) < 1;
1
şi
q
(A \ K ) (x) = A (x) \ [ ; ] ;
1:
Rezult¼
a c¼
a pentru orice
1 exist¼
a N 2 Lp , p (N ) = 0 astfel încât
x 2 Rp r N
şi
n (A \ K
)
=
=
Punem N =
=
S
1N
R
R
) A (x) \ [
Rp rN
Rp rN
R R
q ((A \ K
R
) (x)) d p (x)
carA\K (x; y) d q (y) d p (x)
carA\K (x; y) d q (y) d p (x) :
2 Lp . Atunci
S
A (x) =
A (x) \ [
p (N ) = 0 şi pentru orice x 2 R
q
; ] =
1
În plus funcţia
q
; ] 2 Lq
S
1
r N avem
(A \ K ) (x) 2 Lq :
A
:
A (x)
=
Rp ! [0; 1] ;
p
q (A (x)) ; x 2 R r N
x2N
q (A (x)) ;
=
lim
q ((A \ K
=
(carN
A ) (x) +
!1
p
) (x)) ; x 2 Rp r N
;
x2N
q (A (x))
lim carRp rN
!1
A\K
(x)
este m¼
asurabil¼
a. Folosind în dou¼
a rânduri teorema de convergenţ¼
a monoton¼
a precum şi faptul c¼
a integrala este aceeaşi pentru funcţii care difer¼
a doar pe o mulţime
de m¼
asur¼
a nul¼
a, obţinem c¼
a
R
lim n (A \ K ) = lim Rp rN q ((A \ K ) (x)) d p (x)
n (A) =
!1
!1
R
= lim Rp rN q ((A \ K ) (x)) d p (x)
!1
R
= Rp rN q (A (x)) d p (x)
R
R
= Rp rN carA (x; y) d q (y) d p (x)
R R
=
carA (x; y) d q (y) d p (x)
Am obţinut astfel urm¼
atorul rezultat
Lema 8.3. Fie A 2 Ln . Atunci exist¼a N = N (A) 2 Lp astfel încât
1) p (N ) = 0.
2) Pentru orice x 2 Rp r N , funcţia carA (x; ) = carA(x) este m¼asurabil¼a
(, A (x) 2 Lq ).
3) Funcţia
A
:
A (x)
=
este m¼asurabil¼a.
Rp ! [0; 1] ;
R
q (A (x)) = carA (x; ) d q
q (A (x))
; x 2 Rp r N
;
x2N
206
5. INTEGRALA LEBESGUE
4) Are loc egalitatea
n (A)
=
=
=
=
=
f
RR
carA (x; y) d n (x; y)
R
A (x) d p (x)
R
Rp rN
R
Rp rN
R R
q (A (x)) d p (x)
R
carA (x; y) d q (y) d p (x)
carA (x; y) d q (y) d p (x)
g
Observaţia 8.1. Rn ! R, Rn ! F , F spaţiu normat, f , g m¼asurabile ) f g este
m¼asurabil¼a deoarece c (f ) \ c (g) c (f g) şi c (f ) \ c (g) este anti…ltru m¼asurabil
pe Rn .
Cu aceast¼
a observaţie avem
Lema 8.4. Fie A 2 Ln cu n (A) < 1 şi c 2 F , F spaţiu Banach. Atunci exist¼a
N = N (A) 2 Lp astfel încât
1) p (N ) = 0.
2) Pentru orice x 2 Rp r N , funcţia carA (x; ) c = carA(x) c este m¼asurabil¼a
(, A (x) 2 Lq , q (A (x)) < 1).
3) Funcţia
Rp ! F;
R
q (A (x)) c = carA (x; ) cd q
=
0
:
A
A (x)
; x 2 Rp r N
;
x2N
este m¼asurabil¼a.
4) Are loc egalitatea
n (A)
c =
=
=
=
=
RR
R
R
carA (x; y) cd n (x; y)
A (x)
Rp rN
R
Rp rN
R R
cd p (x)
q (A (x))
R
cd p (x)
carA (x; y) cd q (y) d p (x)
carA (x; y) cd q (y) d p (x)
Egalit¼
aţile din lemele anterioare se propag¼
a prin liniaritate la funcţii simple
m¼
asurabile care au valori 0 sau valori într-un spaţiu Banach.
P
Lema 8.5. a) Fie s = i2I ai carAi , I …nit¼a, Ai 2 Ln , şi ai
0. Atunci exist¼a
N = N (s) 2 Lp astfel încât
1) p (N ) = 0.
2) Pentru orice x 2 Rp r N , funcţia s (x; ) este m¼asurabil¼a.
3) Funcţia
s
s (x)
este m¼asurabil¼a.
Rp ! [0; 1]
R
s (x; ) d q
=
0
:
;
;
x 2 Rp r N
x2N
8. TEREM ELE LUI FUBINI ŞI TONELLI
4) Are loc egalitatea
RR
s (x; y) d n (x; y)
R
=
R
=
R
=
s (x) d p (x)
Rp rN
Rp rN
R R
=
207
s (x) d p (x)
R
s (x; y) d q (y) d p (x)
s (x; y) d q (y) d p (x)
P
b) Fie s = i2I ai carAi , I …nit¼a, Ai 2 Ln ,
i2I n (Ai ) < 1, ai 2 F , F
spaţiu Banach. Atunci exist¼a N = N (s) 2 Lp astfel încât
1) p (N ) = 0.
2) Pentru orice x 2 Rp r N , funcţia s (x; ) este m¼asurabil¼a.
3) Funcţia
P
s
s (x)
Rp ! F
R
s (x; ) d q
=
0
:
este m¼asurabil¼a.
4) Are loc egalitatea
RR
s (x; y) d n (x; y)
R
=
R
=
R
=
s (x) d p (x)
Rp rN
Rp rN
R R
=
; x 2 Rp r N
;
x2N
s (x) d p (x)
R
s (x; y) d q (y) d p (x)
s (x; y) d q (y) d p (x)
Trcerea de la funcţii simple m¼
asurabile care au valori 0 la funcţii m¼
asurabile
care au valori 0 se face folosind teorema de convergenţ¼
a monoton¼
a.
Fie f : Rn ! [0; 1] funcţie m¼
asurabil¼
a. Fie (s ) 1 un şir de funcţii simple
m¼
asurabile care satisfac
0
s
f;
s +1
f (x; y) = lim s (x; y) ;
!1
(x; y) 2 Rn :
Atunci pentru orice
1 exist¼
a N = N (s ) 2 Lp astfel încât
1) p (N ) = 0.
2) Pentru orice x 2 Rp r N , funcţia s (x; ) este m¼
asurabil¼
a.
3) Funcţia
s
s
(x)
Rp ! [0; 1]
R
s (x; ) d q
=
0
:
este m¼
asurabil¼
a.
4) Are loc egalitatea
RR
s (x; y) d n (x; y)
=
=
=
=
R
R
R
s
(x) d p (x)
Rp rN
Rp rN
R R
; x 2 Rp r N
;
x2N
s
R
(x) d p (x)
s (x; y) d q (y) d p (x)
s (x; y) d q (y) d p (x)
208
Lu¼
am N =
5. INTEGRALA LEBESGUE
S
1N
2 Lp . Atunci
p (N ) = 0, funcţia
Rq 3 y ! s (x; y) 2 [0; 1]
este m¼
asurabil¼
a pentru orice x 2 Rp r N şi funcţia
carRp rN
carRp rN
s
s
:
(x)
=
Rp ! [0; 1] ;
R
s (x; ) d q
0
;
;
x 2 Rp r N
x2N
este m¼
asurabil¼
a. Toate acestea au loc pentru orice
1.
Deoarece s % f obţinem
1) Funcţia
Rq 3 y ! f (x; y) 2 [0; 1]
este m¼
asurabil¼
a pentru orice x 2 Rp r N ca limita şirului de funcţii m¼
asurabile
(s (x; )) 1 .
2) Funcţia
f
f (x)
Rp ! [0; 1] ;
R
f (x; ) d q
=
0
:
;
;
x 2 Rp r N
x2N
este m¼
asurabil¼
a ca limita şirului cresc¼
ator de funcţii m¼
asurabile carRp rN s
.
1
Aici se foloseşte teorema de convergenţ¼
a monoton¼
a.
Deoarece s % f şi
R
R
RR
R
s (x; y) d n (x; y) = Rp rN s (x) d p (x) = Rp rN s (x; y) d q (y) d p (x)
aplicând
a monoton¼
a obţinem c¼
a:
RR în mod repetat teorema
RR de convergenţ¼
- R s (x; y) d n (x; y)R% f (x; y) d n (x; y) :
p
- R s (x; y) d q (y) % f (x;
R y) d q (y) pentru orice x 2 R r N .
- Rp rN s (x) d p (x) % Rp rN f (x) d p (x) i.e.
R
R
R
R
- Rp rN s (x; y) d q (y) d p (x) % Rp rN f (x; y) d q (y) d p (x).
Am obţinut astfel
Teorema 8.6 (Tonelli). ap ) Fie f : Rn = Rp Rq ! [0; 1] o funcţie m¼asurabil¼a.
Atunci exist¼a Np = Np (f ) 2 Lp astfel încât
1) p (Np ) = 0.
2) Pentru orice x 2 Rp r Np , funcţia f (x; ) este m¼asurabil¼a.
3) Funcţia
f
:
f (x)
=
Rp ! [0; 1] ;
R
f (x; ) d q
0
este m¼asurabil¼a.
4) Are loc egalitatea
RR
f (x; y) d n (x; y)
=
=
=
=
R
R
R
;
;
x 2 Rp r Np
x 2 Np
f (x) d p (x)
(x) d p (x)
Rp rNp f
Rp rNp
R R
R
f (x; y) d q (y) d p (x)
f (x; y) d q (y) d p (x) :
8. TEREM ELE LUI FUBINI ŞI TONELLI
209
aq ) Fie f : Rn = Rp Rq ! [0; 1] o funcţie m¼asurabil¼a. Atunci exist¼a Nq =
Nq (f ) 2 Lq astfel încât
1) q (Nq ) = 0.
2) Pentru orice y 2 Rq r Nq , funcţia f ( ; y) este m¼asurabil¼a.
3) Funcţia
f
f (y)
Rq ! [0; 1] ;
R
f ( ; y) d q
=
0
:
este m¼asurabil¼a.
4) Are loc egalitatea
RR
f (x; y) d n (x; y)
=
=
=
=
RR
Avem
f (x; y) d n (x; y) =
R R
R
R
R
;
;
y 2 Rq r N q
y 2 Nq
f (y) d q (y)
Rp rNq
Rp rNq
R R
f (y) d q (y)
R
f (x; y) d p (x) d q (y)
f (x; y) d p (x) d q (y) :
f (x; y) d q (y) d p (x) =
n
p
q
R R
f (x; y) d p (x) d q (y) :
b) Fie F spaţiu Banach, f : R = R
R ! F o funcţie m¼asurabil¼a. Atunci
urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente
(i) f 2 L1F (Rn ).
(ii) Exist¼a Np = Np (jf j) 2 Lp , p (Np ) = 0 astfel încât
i.e.
x 2 Rp r Np ) jf (x; )j 2 L1R (Rq ) ;
R
jf ( ; y)j d q (y) 2 L1R (Rp r Np ) ;
R
x 2 Rp r Np ) jf (x; y)j d q (y) < 1;
R
R
jf (x; y)j d q (y) d p (x) < 1:
Rp rNp
(iii) Exist¼a Nq = Nq (jf j) 2 Lq ,
i.e.
q (Nq ) = 0 astfel încât
y 2 Rq r Nq ) jf ( ; y)j 2 L1R (Rp ) ;
R
jf (x; )j d p (x) 2 L1R (Rq r Nq ) ;
R
y 2 Rq r Nq ) jf (x; y)j d p (x) < 1;
R
R
jf (x; y)j d p (x) d q (y) < 1:
Rq rNq
Demonstraţie. ap ) deja a fost stabilit, iar pentru aq ) schimb¼
am rolul variabilelor
x şi y.
b) Pentru a vedea c¼
a b) este adev¼
arat se aplic¼
a a) funcţiei jf j.
În mod repetat am folosit observaţia urm¼
atoare.
Observaţia 8.2. Fie f1 , f2 : Rm ! [0; 1] dou¼a funcţii m¼asurabile şi N1 , N2 2 Lm
astfel încât :
1) m (N1 ) = m (N2 ) = 0.
210
5. INTEGRALA LEBESGUE
2) f1 = f2 pe Rm r (N1 [ N2 ) = (Rm r N1 ) \ (Rm r N2 ) :
Atunci
R
R
f d m = Rm rN2 f2 d m :
Rm rN1 1
Demonstraţie. Aceast¼
a observaţie este consecinţa urm¼
atoarelor fapte:
R
R
m (N1 ) = 0 )
m f1 d m = Rm rN f1 d m ;
1
RR
R
(N
)
=
0
)
f
d
=
f d m;
m
2
m
Rm 2
Rm rN2 2
fx : f1 (x) 6= f2 (x)g
m (N1 [ N2 ) =
deci
R
R
f d m
Rm rN1 1
=
q
f d m
Rm rN2 2
=
R
R
m (N1 ) =
f d m
Rm 1
=
f d m
Rm 2
=
N1 [ N2 ;
m (N2 ) = 0;
R
R
f d m
Rm r(N1 [N2 ) 1
q
f d m
Rm r(N1 [N2 ) 2
Lema 8.7. Fie f 2 L1F (Rn ).
a) Fie K 2 c (f ) şi " > 0. Atunci exist¼a s : Rn ! F o funcţie simpl¼a m¼asurabil¼a
astfel încât
jsj jf j
şi
kf carK skL1 < ":
F
b) Exist¼a un şir (s ) 2N de funcţii simple m¼asurabile care satisfac
js j
kf
jf j ;
şi
s kL1 < 2
F
2N
;
2 N:
Demonstraţie. a) Deoarece K 2 c (f ) este o mulţime compact¼
a şi fjK este continu¼
a, rezult¼
a c¼
a fjK este uniform continu¼
a. Asta înseamn¼
a c¼
a exist¼
a = ("; K) >
0 astfel încât
"
x; y 2 K; jx yj < ) jf (x) f (y)j <
n (K) + 1
p
Fie 2 N astfel încât 2
n < şi
C (K) = fC 2
: C \ K 6= ;g :
Deoarece K este m¼
arginit¼
a, obţinem c¼
a mulţimea C (K) este …nit¼
a. Pentru orice
C 2 C (K) alegem xC 2 C \ K C \ K astfel încât
jf (xC )j = min jf (x)j
x2C\K
n
De…nm funcţia simpl¼
a m¼
asurabil¼
a s : R ! F prin
P
s=
f (xC ) carC\K
C2C (K)
Fie x 2 Rn . Dac¼
a x 2 Rn r K, atunci s (x) = 0, deci js (x)j jf (x)j. Dac¼
a
x 2 K, atunci exist¼
a un unic C 2 C (K) astfel încât x 2 C \ K, deci s (x) = f (xC )
şi prin urmare
js (x)j = jf (xC )j = min jf j jf (x)j :
C\K
8. TEREM ELE LUI FUBINI ŞI TONELLI
211
S¼
a estim¼
am acum norma L1F a funcţiei f carK s. Avem
P
f carK s =
(f f (xC )) carC\K
C2C (K)
deci
kf carK
P
skL1
F
C2C (K)
P
R
C2C (K)
C\K
jf
f (xC )j d n
n (C \ K)
sup jf (x)
P
"
n (K) + 1 C2C (K)
n (K)
=
n (K) + 1
<
f (xC )j
x2C\K
n (C \ K)
"
":
b) Conform de…niţiei avem
f 2 L1F (Rn ) , jf j 2 L1R (Rn )
R
jf j d n =
sup
K2c(jf j)
R
m
K
jf j d n = sup
K2c(f )
R
K
jf j d n < 1
Atunci pentru orice 2 N exist¼
a K 2 c (f ) astfel încât
R
R
R
jf j d n = Rn rK jf j d n < 2
0
jf j d n
K
1
:
n
Conform punctului a) g¼
asim s : R ! F astfel încât
js j
jf j
şi
s kL1 < 2
kf carK
1
F
:
Deoarece
kf
f carK kL1
F
=
=
obţinem
kf
s kL1
R
R
jf
f carK j d n
R
jf j d n < 2
jf j d n
Rn rK
Rn rK
kf
F
< 2
f carK kL1 + kf carK
F
1
+2
1
=2
1
s kL1
F
:
Fie f 2 L1F (Rn ). Atunci pentru orice
n
s : R ! F;
cu I mulţime …nit¼
a, (Ai ( ))i2I
js j
2 N exist¼
a o funcţie simpl¼
a m¼
asurabil¼
a
P
s =
ci ( ) carAi ( )
i2I
Ln mutual disjuncte, ci ( ) 2 F astfel încât
P
jf j ; ()
2N
n (Ai ( )) < 1);
i2I
şi
kf s kL1 < 2 ;
2 N:
F
212
5. INTEGRALA LEBESGUE
Deoarece s ! f în L1F , trecând eventual la subşiruri putrm presupune în plus c¼
a
s ! f n -a.p.t.. Deci exist¼
a N Rn = Rp Rq , n (N ) = 0 astfel încât
(s
carRn rN ) (x) ! (f carRn rN ) (x) ;
x 2 Rn r N:
Astfel introducând
' = f carRn rN ,
=s
carRn rN ,
'=f
pe Rn r N;
2 N;
avem
şi
=s
n (N ) = 0
şi
j
j
js j
!'
k'
jf j 2 L1R ;
punctual,
kL1 = kf
2 N;
s kL1 ! 0:
F
F
Conform teoremei 8.6 b) avem (i) , (ii):
(i) f 2 L1F (Rn ).
(ii) Exist¼
a Np;jf j 2 Lp , p Np;jf j = 0 astfel încât
x 2 Rp r Np;jf j ) jf (x; )j 2 L1R (Rq ) ;
R
jf ( ; y)j d q (y) 2 L1R Rp r Np;jf j ;
şi
kf kL1 =
F
i.e.
R
Rp rNp;jf j
R
jf (x; y)j d q (y) d p (x)
R
x 2 Rp r Np;jf j ) jf (x; y)j d q (y) < 1;
R
R
jf (x; y)j d q (y) d p (x) < 1:
kf kL1 = Rp rNp;jf j
F
Similar pentru j'j g¼
asim Np;j'j 2 Lp ,
Np;j'j = 0 astfel încât
x 2 Rp r Np;j'j ) j' (x; )j 2 L1R (Rq ) ;
R
j' ( ; y)j d q (y) 2 L1R Rp r Np;j'j ;
şi
kf kL1 = k'kL1 =
F
i.e.
p
F
R
Rp rNp;j'j
R
j' (x; y)j d q (y) d p (x)
R
x 2 Rp r Np;j'j ) j' (x; y)j d q (y) < 1;
R
R
kf kL1 = k'kL1 = Rp rNp;j'j
j' (x; y)j d q (y) d p (x) < 1:
F
F
Conform lemei 8.5 b) pentru orice 2 N exist¼
a N 2 Lp astfel încât
1) p (N ) = 0.
2) Pentru orice x 2 Rp r N , funcţia
(x; ) este m¼
asurabil¼
a.
3) Funcţia
Rp ! F;
R
(x; ) d q
=
0
:
(x)
este m¼
asurabil¼
a.
;
;
x 2 Rp r N
x2N
8. TEREM ELE LUI FUBINI ŞI TONELLI
4) Are loc egalitatea
RR
(x; y) d n (x; y)
R
=
R
=
R
=
(x) d p (x)
Rp rN
Rp rN
R R
=
213
R
(x) d p (x)
(x; y) d q (y) d p (x)
(x; y) d q (y) d p (x)
Fie Np = Np;jf j [ Np;j'j [ N0 [ N1 [ ::: [ N [ :::. Atunci p (Np ) = 0.
Dac¼
a x 2 Rp r Np , atunci folosind teorema de convergenţ¼
a dominat¼
a în Rq
obţinem
j
(x; )j
(x) =
Deoarece
(x; ) ! ' (x; )
jf (x; )j 2 L1R (Rq ) ;
js (x; )j
R
punctual
+
R
(x; ) d q ! ' (x; ) d q =
(x) !
2N
' (x) :
x 2 Rp r Np
' (x) ;
rezult¼
a c¼
a ' este funcţie m¼
asurabil¼
a. Folosim teorema de convergenţ¼
a dominat¼
a
în Rp r Np obţinem
R
j
(x) !
x 2 Rp r Np
' (x) ;
R
( ; y)j d q (y)
+
jf ( ; y)j d q (y) 2 L1R ;
2N
1
p
' 2 LF (R r Np )
şi
R
' (x) d p (x)
=
=
=
=
lim
!1
lim
R
R
(x) d p (x)
p
!1 R rN
lim
R
p
!1 R rN
RR
(x) d p (x)
R
(x; y) d q (y) d p (x)
lim
(x; y) d n (x; y)
!1
RR
=
' (x; y) d n (x; y)
Pentru ultima egalitate am folosit teorema de convergenţ¼
a dominat¼
a în Rn .
Deci
RR
R
(f carRn rN ) (x; y) d n (x; y) =
' (x) d p (x)
R
R
= Rp rNp
(f carRn rN ) (x; y) d q (y) d p (x)
Contribuţia pe N .
Fie N Rn = Rp Rq , N 2 Ln . Atunci exist¼
a Np0 2 Lp astfel încât
0
1) p Np = 0.
2) Pentru orice x 2 Rp r Np0 , funcţia carN (x; ) = carN (x) este m¼
asurabil¼
a,
N (x) = fy : (x; y) 2 N g 2 Lq .
214
5. INTEGRALA LEBESGUE
3) Funcţia
N
:
N (x)
=
Rp ! [0; 1] ;
R
q (N (x)) = carN (x; ) d q
0
este m¼
asurabil¼
a.
4) Are loc egalitatea
n (N )
=
=
RR
R
carN (x; y) d n (x; y) =
q (N (x)) d p (x)
Rp rNp0
R
;
;
x 2 Rp r Np0
x 2 Np0
N (x) d p (x)
Dac¼
a n (N ) = 0, atunci exist¼
a o mulţime m¼
asurabil¼
a Np00
Rp r Np0 astfel încât
00
p Np = 0 şi
x 2 Rp r Np0 r Np00 ) q (N (x)) = 0:
ep = Np0 [ Np00 , atunci
Dac¼
aN
e
p (Np ) = 0 şi
ep )
x 2 Rp r N
ep . Atunci funcţiile
Fie x 2 Rp r N
q (N (x)) = 0:
(f carN ) (x; )
=
f (x; ) pe
0
pe
N (x)
;
Rq r N (x)
(jf j carN ) (x; )
=
f (x; ) pe
0
pe
N (x)
Rq r N (x)
sunt m¼
asurabile deoarece q (N (x)) = 0. În plus avem
R
R
(f carN ) (x; ) d q =
f (x; y) carN (x; y) d q (y) = 0;
R
R
(jf j carN ) (x; ) d q =
jf (x; y)j carN (x; y) d q (y) = 0;
deci funcţiile sunt integrabile. Rezult¼
a c¼
a funcţia
R
p
ep 3 x ! f (x; y) carN (x; y) d q (y) = 0
R rN
este integrabil¼
a şi
R
RR
R
f (x; y) carN (x; y) d n (x; y) = Rp rNep f (x; y) carN (x; y) d q (y) d p (x)
i.e.
RR
(f carN ) (x; y) d n (x; y) =
R
ep
R p rN
R
(f carN ) (x; y) d q (y) d p (x)
ep . Atunci p (N p ) = 0 şi
Fie N p = Np [ N
RR
R
R
(f carRn rN ) (x; y) d n (x; y) = Rp rNp
(f carRn rN ) (x; y) d q (y) d p (x)
RR
R
R
(f carN ) (x; y) d n (x; y) = Rp rNep
(f carN ) (x; y) d q (y) d p (x)
RR
+
R
R
n rN ) (x; y) d n (x; y) =
n
(f
car
R
p rN p
R
RR
R
R (f carR rN ) (x; y) d q (y) d p (x)
(f carN ) (x; y) d n (x; y) = Rp rN p
(f carN ) (x; y) d q (y) d p (x)
RR
+
f (x; y) d n (x; y) =
Am obţinut astfel
R
Rp rN p
R
f (x; y) d q (y) d p (x)
9. SPA ŢIILE Lp
215
Teorema 8.8 (Teorema lui Fubini). Fie F spaţiu Banach, f : Rn = Rp
f 2 L1F (Rn ). Atunci
(i) Exist¼a N p = N p (f ) 2 Lp , p (N p ) = 0 astfel încât
Rq ! F ,
x 2 Rp r Np ) f (x; ) 2 L1F (Rq ) ;
R
f ( ; y) d q (y) 2 L1F (Rp r N p ) :
(ii) Exist¼a N q = N q (f ) 2 Lq ,
q (N
q
) = 0 astfel încât
q
y 2 R r Nq ) f ( ; y) 2 L1F (Rp ) ;
R
f (x; ) d p (x) 2 L1F (Rq r Nq ) :
(iii) Are loc egalitatea
RR
f (x; y) d n (x; y)
=
=
R
R
Rp rN p
Rq rN q
R
R
f (x; y) d q (y) d p (x)
f (x; y) d p (x) d q (y) :
9. Spaţiile Lp
Spaţiile Lp sunt o clas¼
a de spaţii Banach de funcţii ale c¼
aror norme sunt de…nite
în termeni de integrale şi care generalizeaz¼
a spaţiile L1 discutate mai devreme. Ele
furnizeaz¼
a exemple interesante de teoria general¼
a a spaţiilor Banach şi joac¼
a un rol
central în analiza modern¼
a.
Fie A Rn o mulţime m¼
asurabil¼
a, i.e. A 2 Ln , (A) > 0, şi (F; j j) un spaţiu
Banach. Dac¼
a f : A ! F este o aplicaţie m¼
asurabil¼
a în A şi 0 < p < 1, de…nim
Z
1=p
p
kf kLp (A) =
jf j d
F
A
(permiţând posibilitatea ca kf kLp (A) = 1), şi de…nim
F
LpF (A) = ff : A ! F : f aplicaţie m¼
asurabil¼
a şi kf kLp (A) < 1g:
F
LpF (A) este un spaţiu vectorial, pentru c¼
a dac¼
a f; g 2 LpF (A), atunci
p
p
p
p
p
jf + gj
[2 max (jf j ; jgj)]
2 (jf j + jgj ) ;
f0LpF (A) g
= ff 2 LpF (A) : kf kLp (A) = 0g
astfel încât f + g 2 LpF (A). Avem
F
= ff 2 LpF (A) : f = 0 a.p.t.g
Aderenţa originii în LpF (A) este spaţiul funcţiilor neglijabile (nule aproape peste
tot) notat NF (A). Vom nota cu LpF (A) spaţiul cât LpF (A) =NF (A), adic¼
a
şi vom pune
LpF (A) = LpF (A) =NF (A) ;
fe
Lp
F (A)
= kf kLp (A) ;
F
unde fe = f + NE este clasa de echivalenţ¼
a modulo NF (A) a lui f . Notaţia noastr¼
a sugereaz¼
a c¼
a k kLp (A) este o norm¼
a pe LpF (A). Într-adev¼
ar, este evident c¼
a
F
kf kLp (A) = 0 dac¼
a şi numai dac¼
a f = 0 a.p.t. şi k f kLp (A) = j j kf kLp (A) , astfel
F
F
F
încât singura întrebare este inegalitatea triunghiului. Se poate demonstra c¼
a acesta
din urm¼
a este valabil¼
a numai atunci când p 1, astfel încât atenţia noastr¼
a se va
concentra exclusiv în acest caz.
216
5. INTEGRALA LEBESGUE
Înainte de a trece mai departe, s¼
a vedem de ce inegalitatea triunghiului nu este
valabil¼
a pentru 0 < p < 1. S¼
a presupunem c¼
a a > 0; b > 0, şi 0 < p < 1. Pentru
t > 0 avem
p 1
tp 1 > (t + a)
;
şi prin integrare de la 0 la b obţinem
p
ap + bp > (a + b) :
Astfel, dac¼
a E şi F sunt mulţimi disjuncte de m¼
asur¼
a …nit¼
a pozitiv¼
a în Rn şi dac¼
a
1=p
1=p
punem a = (E)
şi b = (F ) , atunci
kcarE + carF kLp (A) = (ap + bp )
1=p
F
> a + b = kcarE kLp (A) + kcarF kLp (A) :
F
F
Piatra de temelie a teoriei spaţiilor Lp este inegalitatea lui Hölder, pe care o
vom stabili în continuare. Reamintim urm¼
atorul rezultat elementar.
Lema 9.1. Dac¼a a
0, b
0, şi 0 <
< 1, atunci
a b1
a + (1
)b
cu egalitate dac¼a şi numai dac¼a a = b.
Demonstraţie. Rezultatul este evident dac¼
a b = 0; în caz contrar, împ¼
arţim
ambii membrii prin b şi punând t = a=b, rezult¼
a c¼
a este su…cient s¼
a arat¼
am c¼
a
t
t+1
cu egalitate dac¼
a şi numai dac¼
a t = 1. Dar prin calcul elementar, t ! t
t este
strict cresc¼
atoare pentru t 2 [0; 1) şi strict descresc¼
atoare pentru t 2 [1; 1), deci
valoarea sa maxim¼
a, şi anume 1
, se obţine pentru t = 1.
Teorema 9.2 (Inegalitatea lui Hölder). Fie 1 < p; q < 1 astfel încât p 1 +q 1 = 1.
Dac¼a f; g : A ! R sunt funcţii m¼asurabile în A, f; g 0, atunci
Z
1=p Z
1=q
R
p
q
(9.1)
f
gd
f
d
g
d
A
A
A
În particular, dac¼a f 2 LpR (A) şi g 2 LqR (A), atunci f
g 2 L1R (A), şi în acest caz,
egalitatea are loc dac¼a şi numai dac¼a exist¼a ; > 0 astfel încât f p = g q a.p.t..
R
R
Demonstraţie. Rezultatul este trivial, dac¼
a RA f p d = 0 sau R A g q d = 0
(deoarece atunci f = 0 sau g = 0 a.p.t.), sau dac¼
a A f p d = 1 sau A g q d = 1.
Mai mult, s¼
a observ¼
am c¼
a, dac¼
a (9.1) are loc pentru (f; g), atunci ea are loc pentru
( f; g) cu ; > 0. Prin urmare, este su…cient s¼
a se demonstreze c¼
a (9.1) are loc
pentru (f; g) care veri…c¼
a în plus
Z
Z
p
f d =
g q d = 1;
A
A
p
q
cu egalitate dac¼
a şi numai dac¼
a f = g a.p.t.. În acest scop, vom aplica lema 9.1
cu
p
q
a = f (x) ; b = g (x) ;
=p 1
pentru a obţine
(9.2)
f (x) g (x)
p
q
p 1 f (x) + q 1 g (x)
9. SPA ŢIILE Lp
217
Prin integrare obţinem
Z
Z
R
1
p
1
f
gd
p
f
d
+
q
g q d = p 1 + q 1 = 1:
A
A
A
Egalitatea are loc aici dac¼
a şi numai dac¼
a egalitatea a.p.t are loc în (9.2), şi conform
lemei 9.1 acest lucru se întâmpl¼
a atunci când f p = g q a.p.t..
Condiţia p 1 + q 1 = 1 care apare în inegalitatea lui Hölder, apare frecvent
în teoria spaţiilor Lp . Dac¼
a 1 < p < 1, num¼
arul q = p=(p 1), astfel încât
p 1 + q 1 = 1 se numeşte exponentul conjugat lui p. Numerele 1 < p; q < 1 astfel
încât p 1 + q 1 = 1 se numesc exponenţi conjugaţi.
Corolarul 9.3. Fie 1 p; p1 ; p2 < 1 astfel încât p1 1 + p2 1 = p 1 . Dac¼a f1 ; f2 :
A ! R sunt funcţii m¼asurabile în A, f1 ; f2 0, atunci
Z
Z
1=p2
1=p
1=p1 Z
p
f2p2 d
(f1 f2 ) d
d
f1p1 d
A
A
p2
p1
În particular, dac¼a f1 2 LR (A) şi f2 2 LR (A), atunci f1 f2 2 LpR (A), şi în acest
caz, egalitatea are loc dac¼a şi numai dac¼a exist¼a ; > 0 astfel încât f1p1 = f2p2
A
a.p.t..
Demonstraţie. Se aplic¼
a inegalitatea lui Hölder funcţiilor m¼
asurabile în A, f =
f1p ; g = f2p
0 cu p
p2
p
p1
p , q
Z
R
f p f2p d
A 1
p=p1
p1
A
p=p1
f1p1 d
A
adic¼
a,
Z
d
A
Z
= 1. Deci
p=p2
p2
(f2p ) p d
A
p=p2
f2p2 d
;
Z
f2p2 d
A
Z
1=p
p
(f1 f2 ) d
Z
1
p2
p
+
(f1p ) p d
Z
=
1
p1
p
care stisfac
1=p1
f1p1 d
1=p2
:
A
A
Egalitatea are loc aici dac¼
a şi numai dac¼
a exist¼
a ;
p
p p2
(f2 ) a.p.t..
> 0 astfel încât
p1
(f1p ) p =
Corolarul 9.4. Fie (F1 ; j j1 ), (F2 ; j j2 ), (F; j j) spaţii Banach şi : F1 F2 ! F
o aplicaţie biliniar¼a m¼arginit¼a cu norma k k = supjx1 j1 ;jx2 j2 1 j (x1 ; x2 )j. Dac¼a
1 p; p1 ; p2 < 1, p1 1 + p2 1 = p 1 , atunci aplicaţia
B : LpF11 (A)
LpF22 (A) ! LpF (A) ;
B (f1 ; f2 ) (x) =
(f1 (x) ; f2 (x))
este bine de…nit¼a, biliniar¼a şi m¼arginit¼a .În plus avem
kB (f1 ; f2 )kLp (A)
F
k k kf1 kLp1 (A) kf2 kLp2 (A) :
F1
F2
Demonstraţie. Deoarece
jB (f1 ; f2 ) (x)j
k k jf1 (x)j1 jf2 (x)j2 ;
din corolarul precedent obţinem c¼
a B (f1 ; f2 ) 2 LpF (A) şi
kB (f1 ; f2 )kLp (A)
F
x 2 A;
k k kf1 kLp1 (A) kf2 kLp2 (A) :
F1
F2
218
5. INTEGRALA LEBESGUE
Teorema 9.5 (Inegalitatea lui Minkowski). Fie 1 p < 1. Dac¼a f; g : A ! R
sunt funcţii m¼asurabile în A, f; g 0, atunci
Z
Z
Z
1=p
1=p
1=p
p
+
gp d
:
(f + g) d
f pd
A
A
A
Demonstraţie. Rezultatul este evident p = 1 sau dac¼
a f + g = 0 a.p.t.. În caz
contrar, observ¼
am c¼
a
p
p 1
(f + g) = f (f + g)
p 1
+ g (f + g)
şi aplic¼
am apoi inegalitatea Hölder, notând faptul c¼
a (p
este exponentul conjugat lui p:
Z
p
(f + g) d
A
Z
1=p
f pd
A
Z
1=q
(p 1)q
(f + g)
A
Z
=
d
+
1=p
=
A
Z
1=p
gp d
A
1=p
f pd
+
A
Prin urmare,
Z
p
(f + g) d
Z
Z
1=p
gp d
A
Z
1=q
(f + g)
! AZ
Z
1 1=q
p
(f + g) d
d
1=q
p
(f + g) d
1=p
f pd
+
A
Acest rezultat arat¼
a c¼
a, pentru p
Este adev¼
arat mai mult :
(p 1)q
A
A
Teorema 9.6. Pentru 1
1) q = p atunci când q
Z
1=p
gp d
:
A
1, LpF (A) este un spaţiu vectorial normat.
p < 1, LpF (A) este un spaţiu Banach.
a un subşir (f i )i 1
Demonstraţie. Fie (f ) 1 un şir Cauchy în LpF (A). Exist¼
<
<
:::
astfel
încât
s¼
a
avem
1
2
fni+1
Punem
gk =
k
X
fni Lp (A) < 2 i ;
i = 1; 2; 3; ::: :
F
f i+1
f i F;
i=1
g=
1
X
f i+1
f i F:
i=1
Folosind inegalitatea triunghiului şi modul în care a fost ales subşirul (f i )i 1
obţinem c¼
a kgk kLp (A) < 1 pentru k = 1; 2; 3; ::: . Prin urmare, aplicând lema lui
F
R
Fatou şirului gk obţinem kgkLp (A) = A jgj d
1. În particular,
F
g 1 (1) = 0;
i.e. g (x) < 1 -a.p.t., astfel c¼
a seria
1
X
f 1 (x) +
f i+1 (x)
f i (x)
i=1
converge absolut pentru orice x 2 A r N , unde N = g 1 (1). De…nim
P1
f 1 (x) + i=1 f i+1 (x) f i (x) ; x 2 A r N
f (x) =
0
;
x2N
9. SPA ŢIILE Lp
Deoarece
f 1+
k
X1
f i+1
219
f i = f k;
i=1
deducem c¼
a
f k (x) ! f (x) x 2 A r N:
Alegem " > 0. Exist¼
a un (") 2 N astfel încât kf +p f kLp (A) < " dac¼
a
F
(") şi p 2 N. Prin urmare, pentru orice
("), lema lui Fatou arat¼
a c¼
a
Z
Z
Z
p
p
p
jf f jF d =
jf f jF d
lim inf
jf k f jF d
"p :
A
k!1
ArN
p
2 LF (A), deci f 2 LpF (A) [deoarece f
ArN
Din ultima relaţie deducem c¼
a f f
(f f ) + f ]. Aceeaşi relaţie arat¼
a c¼
a kf
f kLp (A) ! 0 când
F
=
! 1.
Demonstraţia precedent¼
a conţine un rezultat su…cient de interesant pentru a …
enunţat separat.
Teorema 9.7. Fie 1
p < 1 şi (f ) 1 un şir Cauchy în LpF (A). Exist¼a un
subşir (f i )i 1 1 < 2 < :::, exist¼a f 2 LpF (A) şi N A astfel încât (N ) = 0 şi
f k (x) ! f (x)
x 2 A r N:
Lema 9.8. Fie B
A
Rm mulţimi m¼asurabile, (F; j j) un spaţiu Banach ,
fB : B ! F şi fArB : A r B ! F . Fie f : A ! Y ,
f=
fB
fArB
pe
B
:
pe A r B
Atunci urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
i) f : A ! F este funcţie p-integrabil¼a pe A (, f 2 LpF (A)).
ii) fB : B ! F este funcţie p-integrabil¼a pe B (, fB 2 LpF (B))şi fArB :
A r B ! F este funcţie p-integrabil¼a pe A r B (, fArB 2 LpF (A r B)).
În plus,
p
p
p
kf kLp (A) = kfB kLp (B) + kfArB kLp (ArB) :
F
F
F
Demonstraţie. Folosind corolarul 7.3 avem c¼
a f : A ! F este funcţie m¼
asurabil¼
a în A dac¼
a şi numai dac¼
a f jB = fB : B ! F este funcţie m¼
asurabil¼
a în B şi
f jA r B = fArB : A r B ! F este funcţie m¼
asurabil¼
a în A r B. Deoarece
c (f jB) t c (f jA r B) = c (fB ) t c (fArB )
c (f ) ;
în oricare dintre situaţii anti…ltrul c (fB ) t c (fArB ) este m¼
asurabil în A.
Presupunem c¼
a fB : B ! F este funcţie p-integrabil¼
a pe B şi fArB : ArB ! F
este funcţie p-integrabil¼
a pe A r B. Atunci pentru orice K = K 0 [ K 00 2 c (f jB) t
c (f jA r B), i.e. K 0 2 c (f jB) şi K 00 2 c (f jA r B), avem
R
R
R
R
R
p
p
p
p
p
jf j d
= K 0 jf j d + K 00 jf j d = K 0 jfB j d + K 00 jfArB j d
K
R
R
p
p
jf j d + ArB jfArB j d < 1:
B B
Obţinem c¼
a f este aplicaţie p-integrabil¼
a pe A şi
R
R
R
p
p
p
jf j d
jf j d + ArB jfArB j d :
A
B B
Presupunem c¼
a f este funcţie p-integrabil¼
a pe A. Cum f jB = fB şi f jA r B =
fArB , folosind punctul e) al teoremei 4.6, obţinem
R
R
R
R
p
p
p
p
jf j d
jf j d ;
jf
j d
jf j d ;
A
ArB ArB
A
B B
220
5. INTEGRALA LEBESGUE
deci fB : B ! Y este funcţie p-integrabil¼
a pe B şi fArB : A r B ! Y este funcţie
p-integrabil¼
a pe A r B.
Folosind punctul g) al teoremei 4.6, obţinem şi
R
R
R
p
p
p
p
p
p
kf kLp (A) = A jf j d = B jfB j d + ArB jfArB j d = kfB kLp (B) +kfArB kLp (ArB) :
F
F
F
Lema 9.9. Fie 1 p < 1 şi f 2 LpF (Rn ).
a) Fie K 2 c (f ) şi " > 0. Atunci exist¼a s : Rn ! F o funcţie simpl¼a m¼asurabil¼a
astfel încât
jsj
şi
kf carK
jf j
skLp < ":
F
b) Exist¼a un şir (s ) 2N de funcţii simple m¼asurabile care satisfac
js j
kf
jf j ;
şi
s kLp < 2
F
2N
;
2 N:
Demonstraţie. a) Deoarece K 2 c (f ) este o mulţime compact¼
a şi fjK este continu¼
a, rezult¼
a c¼
a fjK este uniform continu¼
a. Asta înseamn¼
a c¼
a exist¼
a = ("; K) >
0 astfel încât
"
x; y 2 K; jx yj < ) jf (x) f (y)j <
1=p
( n (K) + 1)
p
Fie 2 N astfel încât 2
n < şi
C (K) = fC 2
: C \ K 6= ;g :
Deoarece K este m¼
arginit¼
a, obţinem c¼
a mulţimea C (K) este …nit¼
a. Pentru orice
C 2 C (K) alegem xC 2 C \ K C \ K astfel încât
jf (xC )j = min jf (x)j
x2C\K
n
De…nm funcţia simpl¼
a m¼
asurabil¼
a s : R ! F prin
P
s=
f (xC ) carC\K
C2C (K)
Fie x 2 Rn . Dac¼
a x 2 Rn r K, atunci s (x) = 0, deci js (x)j jf (x)j. Dac¼
a
x 2 K, atunci exist¼
a un unic C 2 C (K) astfel încât x 2 C \ K, deci s (x) = f (xC )
şi prin urmare
js (x)j = jf (xC )j = min jf j
C\K
jf (x)j :
S¼
a estim¼
am acum norma LpF a funcţiei f carK s. Avem
P
f carK s =
(f f (xC )) carC\K
C2C (K)
9. SPA ŢIILE Lp
221
deci
P
p
kf carK
skLp
F
C2C (K)
P
R
C2C (K)
p
p
jf
C\K
f (xC )j d n
n (C \ K)
p
sup jf (x)
f (xC )j
x2C\K
P
"
n (K) + 1 C2C (K)
n (C \ K)
n (K)
"p
(K)
+1
n
"p :
=
<
b) Conform de…niţiei avem
p
f 2 LpF (Rn ) , jf j 2 L1R (Rn )
R
p
jf j d n =
sup
K2c(jf j)
R
m
p
K
jf j d n = sup
K2c(f )
R
p
K
jf j d n < 1
Atunci pentru orice 2 N exist¼
a K 2 c (f ) astfel încât
R
R
R
p
p
p
jf j d n = Rn rK jf j d n < 2
0
jf j d n
K
+1
p
:
Conform punctului a) g¼
asim s : Rn ! F astfel încât
js j
kf carK
jf j
şi
s kLp < 2
1
F
:
Deoarece
kf
p
f carK kLp
R
=
=
obţinem
kf
jf
kf
s kLp
F
p
f carK j d n
R
R
p
p
jf j d n < 2
jf j d n
Rn rK
Rn rK
F
f carK kLp + kf carK
F
1
< 2
1
+2
=2
+1
p
s kLp
F
:
Fie 1
p < 1, A 2 Ln , şi (F; j j) un spaţiu Banach. Conform lemei 9.8,
operatorul de extensie de…nit prin
LpF (A)
3
fe
=
f ! f e 2 LpF (Rn )
f
0
pe
A
;
pe Rn r A
este bine de…nit şi satisface
kf e kLp (Rn ) = kf kLp (A) ;
F
Folosind lema 9.9 rezult¼
a:
F
f 2 LpF (A) :
222
5. INTEGRALA LEBESGUE
Lema 9.10. Fie 1 p < 1 şi f 2 LpF (A).
a) Fie K 2 c (f ) şi " > 0. Atunci exist¼a s : A ! F o funcţie simpl¼a m¼asurabil¼a
astfel încât
jsj jf j
şi
kf carK skLp (A) < ":
F
b) Exist¼a un şir (s ) 2N de funcţii simple m¼asurabile s : A ! F care satisfac
js j
kf
jf j ;
şi
s kLp (A) < 2
F
2N
;
2 N:
Fie U un deschis din Rn . Vom nota C0 (U; F ) spaţiul vectorial al funcţiilor
continue f pentru care exist¼
a o mulţime compact¼
a Kf U cu proprietatea c¼
a
f jU r Kf = 0:
Teorema 9.11. Fie 1
p < 1. Atunci C0 (U; F ) este dens LpF (U ).
Demonstraţie. Este su…cient s¼
a ar¼
at¼
am c¼
a pentru orice A 2 Ln cu A
U,
a în LpF (U ) de elemente din C0 (U; F ).
n (A) < 1, funcţia carA jU este aproximat¼
Folosind teorema 7.3 rezult¼
a c¼
a este su…cient s¼
a ar¼
at¼
am acest lucru pentru A
mulţime compact¼
a din U , i.e. A 2 c (U ). Pentru 2 N punem
V = x 2 Rn : dist (x; A) < 2
şi
dist (x; Rn r V )
dist (x; A) + dist (x; Rn r V )
f
1, f jA = 1, f jRn r V = 0 şi exist¼
a A 2 N astfel încât pentru
U , f 2 C0 (U; F ). Avem
A, V
f (x) =
Atunci 0
orice
kf
carA kLp (U )
F
n (V
r A)
1=p
! 0;
c^
and
! 1:
Ultimul rezultat exprim¼
a o modalitate în care al doilea principiu al lui Littlewood se manifest¼
a. În continuare, vom folosi acest rezultat pentru a da o alt¼
a
versiune a celui de-al doilea principiu al lui Littlewood, cunoscut¼
a sub numele de
teorema lui Lusin:
Teorema 9.12 (Teorema lui Lusin). Fie U un deschis din Rn , f 2 LpF (U ) şi
" > 0. Atunci exist¼a o mulţime m¼asurabil¼a Lebesgue A" U cu m¼asura (A" )
", astfel încât restricţia lui f la U r A" este continu¼a.
Demonstraţie. Conform teoremei anterioare, exist¼
a un şir (f ) 2N de funcţii din
C0 (U; F ) convergent la f în LpF (U ). Folosind teorema 9.7 şi trecând la un subşir
dac¼
a este nevoie, putem presupune în plus c¼
a şirul de funcţii converge punctual
aproape peste tot la f . Conform teoremei lui Egorov, teorema 2.13, exist¼
a o mulţime
m¼
asurabil¼
a Lebesgue A" U cu m¼
asura (A" ) ", astfel încât (f ) 2N converge
local uniform la f pe U rA" . Dar limita uniform¼
a a unui şir de funcţii continue este
continu¼
a, şi acelaşi lucru este valabil şi pentru limitele de uniforme locale (deoarece
continuitatea este ea îns¼
aşi o proprietate local¼
a). Deducem c¼
a restricţia lui f la
U r A" este continu¼
a.
9. SPA ŢIILE Lp
223
Pentru a completa imaginea spaţiilor LpF (A) (LpF (A)), vom introduce un spaţiu
corespunz¼
ator valorii limit¼
a p = 1. Fie A Rn o mulţime m¼
asurabil¼
a, i.e. A 2 Ln ,
şi (F; j j) un spaţiu Banach. Dac¼
a f : A ! F este o funcţie m¼
asurabil¼
a pe A, de…nim
kf kL1 (A) = inf fa
0:
F
(fx : jf (x)j > ag) = 0g ;
cu convenţia c¼
a inf ; = 1. Observ¼
am c¼
a in…mumul este, de fapt atins, pentru c¼
a
1
[
fx : jf (x)j > ag =
x : jf (x)j > a + 1
=1
şi în cazul în care mulţimile din dreapta sunt nule, mulţimea din stânga este nul¼
a.
kf kL1 (A) se numeşte supremumul esenţial al lui jf j şi este notat uneori
F
kf kL1 (A) = ess supx2A jf (x)j
F
De…nim
L1
asurabil¼
a şi kf kL1 (A) < 1g:
F (A) = ff : A ! F : f aplicaţie m¼
F
a dac¼
a f; g 2 L1
L1
F (A), atunci din
F (A) este un spaţiu vectorial, pentru c¼
jf + gj
jf j + jgj
kf kL1 (A) + kgkL1 (A) a.p.t.
F
F
deducem
kf + gkL1 (A)
F
kf kL1 (A) + kgkL1 (A)
F
F
astfel încât f + g 2 L1
= j j kf kL1 (A) , rezult¼
a c¼
a
F (A). Deoarece k f kL1
F (A)
F
k kL1 (A) este o semi-norm¼
a pe acest spaţiu vectorial . Avem
F
f0L1
g
F (A)
=
=
ff 2 L1
F (A) : kf kLp (A) = 0g
F
ff 2 L1
F (A) : f = 0 a.p.t.g
Aderenţa originii în L1
F (A) este spaţiul funcţiilor neglijabile (nule aproape peste
1
a
tot) notat NF (A). Vom nota cu L1
F (A) spaţiul cât LF (A) =NF (A), adic¼
1
L1
F (A) = LF (A) =NF (A) ;
şi vom pune
fe
L1
F (A)
= kf kL1 (A) ;
F
unde fe = f + NE este clasa de echivalenţ¼
a modulo NF (A) a lui f . Astfel perechea
L1
devine un spaţiu normat.
F (A) ; k kL1
F (A)
Rezultatele pe care le-am demonstrat pentru 1
la cazul p = 1, dup¼
a cum urmeaz¼
a:
p < 1 se extind cu uşurinţ¼
a
Teorema 9.13. (a) Dac¼a f : A ! F şi g : A ! F sunt funcţii m¼asurabile în A şi
jf j jgj, atunci
kf kL1 (A) kgkL1 (A) :
F
(b) Dac¼a B 2 Ln , B
A,
F
(B) > 0 şi y 2 F , atunci
kcarB ykL1 (A) = jyj :
F
(c) Dac¼a f : A ! F este o aplicaţie m¼asurabil¼a în A, atunci
kf kL1 (A) = sup kcarK f kL1 (A)
F
K2c(f )
F
224
5. INTEGRALA LEBESGUE
1
(d) Fie (f ) 1 un şir în L1
f kL1 (A) ! 0
F (A) şi f 2 LF (A). Atunci kf
F
dac¼a şi numai dac¼a exist¼a N
A, (N ) = 0 astfel încât şi f ! f uniform pe
A r N.
(e) L1
F (A) ; k kL1 (A) este un spaţiu Banach.
F
(f) Fie (F1 ; j j1 ), (F2 ; j j2 ), (F; j j) spaţii Banach şi : F1 F2 ! F o aplicaţie
biliniar¼a m¼arginit¼a cu norma k k = supjx1 j1 ;jx2 j2 1 j (x1 ; x2 )j. Atunci aplicaţia
B : L1F1 (A)
1
L1
F2 (A) ! LF (A) ;
B (f1 ; f2 ) (x) =
(f1 (x) ; f2 (x))
este bine de…nit¼a, biliniar¼a şi m¼arginit¼a. În plus avem
kB (f1 ; f2 )kL1 (A)
k k kf1 kL1 (A) kf2 kL1 (A) :
F
F1
F2
Demonstraţie. Pentru f : A ! F aplicaţie m¼
asurabil¼
a în A punem
M (f ) = fa 0 :
i
Atunci M (f ) = kf kL1 (A) ; 1
h
(fx : jf (x)j > ag) = 0g :
F
(a) Dac¼
a f : A ! F şi g : A ! F sunt funcţii m¼
asurabile în A şi jf j
atunci M (g) M (f ) deci
kf kL1 (A)
jgj,
kgkL1 (A) :
F
F
(b) Presupunem c¼
a y 6= 0, în caz cotrar enunţul este trivial. Fie a
0. Avem
(carB (x) jyj > a) , (x 2 B) & (jyj > a)
deci M (carB y) = [jyj ; 1], adic¼
a
kcarB ykL1 (A) = jyj :
F
(c) Putem presupunem c¼
a kf kL1 (A) > 0. Pentru orice K 2 c (f ) avem
F
jcarK f j
jf j ) kcarK f kL1 (A)
kf kL1 (A)
F
F
Deci
sup kcarK f kL1 (A)
F
K2c(f )
kf kL1 (A) :
F
Fie 0 < t < kf kL1 (A) arbitrar. Atunci (fx : jf (x)j > tg) >
F
exist¼
a L 2 c (A), L fx : jf (x)j > tg astfel încât
jf (x)j > t;
> 0. Prin urmare,
x2L
şi (L) > . Deoarece f : A ! F este o aplicaţie m¼
asurabil¼
a în A, atunci exist¼
a
K 0 2 c (f ), K 0
L astfel încât (L)
(K 0 ) < (L)
, adic¼
a < (K 0 ).
Deoarece tcarK 0 jf j carK 0 deducem c¼
a
t
kcarK 0 f kL1 (A)
F
sup kcarK f kL1 (A)
F
K2c(f )
Cum t este ales arbitrar în 0; kf kL1 (A) obţinem c¼
a
F
kf kL1 (A)
F
sup kcarK f kL1 (A) :
F
K2c(f )
(d) Mulţimile de…nite prin
n
N = x 2 A : jf (x)
f (x)j
kf
f kL1 (A)
F
o
9. SPA ŢIILE Lp
225
sunt neglijabile (de m¼
asur¼
a nul¼
a), şi reuniunea lor N este de asemenea neglijabil¼
a.
Deoarece
jf (x) f (x)j kf
f kL1 (A) ; x 2 A r N
F
deducem c¼
a kf
f kL1 (A) ! 0 implic¼
a f ! f uniform pe A r N .
F
Reciproc, dac¼
a pentru N
A cu (N ) = 0 avem f ! f uniform pe A r N ,
atunci pentru orice " > 0 exist¼
a (") astfel încât
sup jf (x)
f (x)j
";
(") :
f (x)j > "g
N pentru
x2ArN
Deoarece
(N ) = 0 şi fx : jf (x)
kf
(e) Fie (f )
f kL1 (A)
";
F
("), rezult¼
a c¼
a
(") :
1
1 un şir Cauchy în LF (A). Mulţimile de…nite prin
n
N ; = x 2 A : jf (x)
f (x)j
kf
f kL1 (A)
F
o
sunt neglijabile (de m¼
asur¼
a nul¼
a), şi reuniunea lor N este de asemenea neglijabil¼
a.
Pe complementara A r N , şirul (f ) 1 este un şir Cauchy pentru norma uniform¼
a,
astfel încât (f ) 1 converge pe complementara ArN la o funcţie f . Pentru x 2 N
punem f (x) = 0. Functia f astfel de…nit¼
a aparţine lui L1
F (A) şi
lim kf
f kL1 (A) = 0:
!1
F
(f) Dac¼
a f1 2 L1F (A) şi f2 2 L1
a şi
F2 (A) atunci B (f1 ; f2 ) este integrabil¼
R
A
jB (f1 ; f2 )j d
R
k k
A
jf1 j1 d
kf2 kL1 (A)
F2
Într-adev¼
ar, pentru aproape …ecare x 2 A avem
jB (f1 ; f2 ) (x)j
k k jf1 (x)j1 kf2 kL1 (A) :
F2
Având în vedere teorema 9.13 (b) şi egalitatea formal¼
a 1 1 + 1 1 = 1, este
…resc s¼
a se considere 1 şi 1 ca exponenţi conjugaţi.
Propoziţia 9.14. Dac¼a 0 < p < q < r 1, atunci LqF (A) LpF (A) + LrF (A),
adic¼a, …ecare f 2 LqF (A) este suma unei funcţii din LpF (A) şi a unei funcţii din
LrF (A).
Demonstraţie. Pentru f 2 LqF (A), …e B = fx 2 A : jf (x)j > 1g şi punem g =
carB f şi h = (1 carB ) f = car{B f . Atunci f = g + h şi
p
p
jgj = carB jf j
q
carB jf j ;
deci g 2 LpF (A) şi h 2 LrF (A).
Propoziţia 9.15. Dac¼a 0 < p < q < r
kf kLq (A)
F
unde t 2 (0; 1) este de…nit prin
r
r
jhj = car{B jf j
1, atunci LpF (A) \ LrF (A)
t
1 t
kf kLp (A) kf kLr (A)
F
1
t
1 t
= +
;
q
p
r
F
q
car{B jf j ;
LqF (A), şi
226
5. INTEGRALA LEBESGUE
adic¼a,
1
q
1
r
1:
+
p
r
t= 1
q
p
Demonstraţie. Dac¼
a r = 1, atunci jf j
p
t = q . Avem
q p
kf kL1 (A) aproape peste tot şi
jf j
p
F
p
1
kf kLq p (A) kf kL1q(A) :
kf kLq (A)
F
F
F
Dac¼
a r < 1, folosim inegalitatea lui Hölder pentru perechea de exponenţi
p
şi (1 rt)q :
conjugaţi tq
R
R
q
q
tq
(1 t)q
kf kLq (A) = A jf j d = A jf j jf j
d
F
=
=
R
R
tq
A
A
jf j
jf j
p
tq
p
tq
p
p
tq
R
R
r
jf j
(1 t)q
A
(1
jf j
t)q
r
A
(1 t)q
tq
kf kLp (A) kf kLr (A)
F
F
Luând r¼
ad¼
acina de ordinul q obţinem inegalitatea dorit¼
a.
(1
r
t)q
(1
t)q
r
Partea 3
Anexe
ANEXA A
M¼
asurabilitate
În teorema 2.12 am stabilit printre altele rezultatul urm¼
ator:
Teorema A.1. Fie Y un spaţiu topologic, A
Rn o mulţime m¼asurabil¼a şi f :
A ! Y . Dac¼a f este funcţie m¼asurabil¼a în A şi B = B Y , atunci f 1 (B) 2 Ln .
În cazul în care Y = F este un spaţiu Banach a…rmaţia reciproc¼
a este adev¼
arat¼
a, rezultat pe care-l vom demonstra în aceast¼
a anex¼
a. Vom introduce câteva
tipuri de m¼
asurabilitate a funcţiilor cu valori vectoriale şi vom face o scurt¼
a comparaţie a acestora.
De…niţia A.1. Fie A Rn o mulţime m¼asurabil¼a, F un spaţiu Banach şi f : A !
F o funcţie.
Spunem c¼a f este m¼asurabil¼a Borel dac¼a f 1 (C) 2 Ln pentru orice mulţime
deschis¼a (închis¼a) C din F .
(b) Spunem c¼a f este o funcţie simpl¼a dac¼a f (A) este o mulţime …nit¼a.
(c) Spunem c¼a f este tare m¼asurabil¼a dac¼a exist¼a un şir ffn g de funcţii simple
m¼asurabile Borel astfel încât
fn (x) ! f (x)
-a:p:t:
(d) Spunem c¼a f este slab m¼asurabil¼a dac¼a
f : A ! C este o funcţie
m¼asurabil¼a pentru orice
2F .
(e) Spunem c¼a f are imaginea separabil¼a dac¼a f (A) este o submulţime separabil¼a a lui F . Spunem c¼a f are imaginea separabil¼a -a.p.t. dac¼a exist¼a Nf A,
(Nf ) = 0, astfel încât f (A r Nf ) este o submulţime separabil¼a a lui F .
Observaţia A.1. (a) Fie f : A ! F o funcţie simpl¼a. Dac¼a f (A) = fy1 ; :::; ym g
şi dac¼a Aj = fx : f (x) = yj g, atunci în mod clar
X
f=
carAj yj ;
1 j m
unde carAj este funcţia caracteristic¼a a mulţimii Aj . Dac¼a f : A ! F este o funcţie
simpl¼a m¼asurabil¼a Borel, atunci Aj = fx : f (x) = yj g 2 Ln în reprezentarea de mai
sus.
(b) Fie f : A ! F , g : A ! F astfel încât f este tare m¼asurabil¼a (sau f este
slab m¼asurabil¼a sau f este m¼asurabil¼a Borel) şi f = g -a:p:t:. Atunci g este tare
m¼asurabil¼a (sau g este slab m¼asurabil¼a sau g este m¼asurabil¼a Borel) deoarece este
o m¼asur¼a complet¼a
Lema A.2. Fie S; M submulţimi ale unui spaţiu metric (X; d). Dac¼a S
M şi
M este cel mult num¼arabil¼a, atunci exist¼a S0
S, S0 cel mult num¼arabil¼a astfel
încât S S0 .
229
¼
A. M ASURABILITATE
230
Demonstraţie. Fie r 2 Q+ . Fie M (S; r)
M de…nit¼
a astfel
M (S; r) = fx 2 M : B (x; r) \ S 6= ?g :
Pentru orice x 2 M (S; r), alegem un element s (x; r) 2 B (x; r) \ S. Atunci
mulţimea
S0 = fs (x; r) : r 2 Q+ ; x 2 M (S; r)g
este cel mult num¼
arabil¼
a şi dens¼
a în S.
Fie s 2 S, " > 0 şi r 2 Q+ , r < ". Atunci exist¼
a x (s; r) 2 M \ B (s; r=2), deci
x (a; r) 2 M (S; r=2). Avem
js
s (x (s; r) ; r=2)j
js
<
x (s; r)j + jx (s; r)
s (x (s; r) ; r=2)j
r=2 + r=2 = r < ";
cu s (x (s; r) ; r=2) 2 S0 .
Propoziţia A.3. (a) Limita punctual¼a f a unui şir ff g de funcţii m¼asurabile
Borel este o funcţie m¼asurabil¼a Borel.
(b) Fie f : A ! F o funcţie. Dac¼a f este tare m¼asurabil¼a, atunci f este
m¼asurabil¼a Borel şi are imaginea separabil¼a a.p.t..
(c) Fie f : A ! F o funcţie. Dac¼a f este m¼asurabil¼a Borel, atunci f este slab
m¼asurabil¼a.
Demonstraţie. (a) Fie f (x) ! f (x), x 2 A. Fie C o mulţime deschis¼
a din E.
Atunci f (x) 2 C dac¼
a şi numai dac¼
a exist¼
a k 2 N astfel încât fm (x) 2 C pentru
m > k. Deci
[ \
f 1 (C) =
fm1 (C) 2 Ln ;
k 1 m>k
astfel încât f este m¼
asurabil¼
a Borel.
(b) Acest punct este consecinţ¼
a direct¼
a a punctului (a) şi a de…niţiilor. Dac¼
a
ffn g este un şir de funcţii simple m¼
asurabile Borel pentru care exist¼
a N0 2 L n ,
S
(N0 ) = 0Sastfel încât f (x) ! f (x), x 2 A r N0 , atunci f (A r N0 )
f (A).
Deoarece f (A) este cel mult num¼
arabil¼
a, obţinem c¼
a f are imaginea separabil¼
a
-a.p.t..
1
(c) Fie
2 F . Dac¼
aC
C este o mulţime deschis¼
a, atunci
(C) este o
mulţime deschis¼
a din E, deci
(
f)
1
(C) = f
1
1
(C) 2 Ln :
Lema A.4. Fie F un spaţiu Banach separabil şi B = f : 2 F ; k k 1g. Fie
S B . Atunci exist¼a mulţime num¼arabil¼a
S, astfel încât pentru orice
2 S,
conţine un şir f n g w -convergent la , adic¼a
lim
n!1
n (y) =
(y) ;
y 2 F:
Demonstraţie. Fie fy g 1 un şir dens în F . Pentru orice 2 N,
1, de…nim
aplicaţia
:S!C ;
( ) = ( (y1 ) ; :::; (y )) :
C …ind un spaţiu separabil, rezult¼
a c¼
a exist¼
a un şir
;k k 1 de funcţionale din
S astfel încât şirul
;k
k 1
=
s¼
a …e dens în
;k :
; k 2 N; ; k
(S). Atunci mulţimea
1
¼
A. M ASURABILITATE
este num¼
arabil¼
a şi este w -dens¼
a în S.
Fie
2 S şi 2 N,
1. Deoarece
m 2 N astfel încât
;m
(xi )
231
;k
(xi ) <
1
;
k 1
(y)
(y)
;m
;m
< 2 ky
(y
yi ) +
;m
(S), exist¼
a
i = 1; :::; :
Fie y 2 F şi " > 0. Atunci exist¼
a i = i (") 2 N, i
Pentru > max fi; 3="g avem
;m
este dens în
1 astfel încât ky
(yi )
yi k + ;m (yi )
1
" "
yi k + < 2 + = ":
3 3
ky
(yi ) + j
yi k < "=3.
(yi
y)j
(yi ) + k k ky
yi k
Deci
lim
!1
(y) =
;m
(y) ;
y 2 F:
Lema A.5. Fie f : A ! F o funcţie slab m¼asurabil¼a care are imaginea separabil¼a
-a.p.t.. Atunci funcţia kf ( )kE : A ! R este m¼asurabil¼a.
Demonstraţie. F¼
ar¼
a a restrânge generalitatea (înlocuind A cu M r Nf ), putem
presupune c¼
a f (A) este o mulţime separabil¼
a. Mai mult, putem presupune c¼
a însuşi
F este separabil, în caz contrar, vom înlocui F prin sp f (A). Pentru orice t 2 R şi
2 F punem
T = fx : kf (x)k
tg ;
T
= fx : j
(f (x))j
tg :
Folosind teorema Hahn-Banach şi lema anterioar¼
a cu S = B , obţinem c¼
a
\
\
T =
T =
T :
2B
2
Deoarece
B este o mulţime num¼
arabil¼
a şi f : A ! F este o funcţie slab
m¼
asurabil¼
a, rezult¼
a c¼
a T este o mulţime m¼
asurabil¼
a. Deci kf ( )kE : A ! R este o
funcţie m¼
asurabil¼
a.
Fie h : A ! F o funcţie m¼
asurabil¼
a Borel astfel încât h (M ) este o mulţime cel
mult num¼
arabil¼
a. Dac¼
a h (M ) = fy1 ; :::; ym ; :::g şi dac¼
a Aj = fx : h (x) = yj g 2 Ln ,
atunci în mod clar fAj gj 1 este o partiţie a lui A şi
X
h=
carAj yj ;
j 1
unde carAj este funcţia caracteristic¼
a a mulţimii Aj . Pentru orice k 2 N, k
punem
X
hk =
carAj yj :
1,
1 j k
Atunci
khk (x)k
kh (x)k ;
şi pentru orice x 2 A exist¼
a m = m (x) 2 N, m
hk (x) = h (x) :
x 2 A;
1, astfel încât pentru orice k
m
¼
A. M ASURABILITATE
232
Lema A.6. Fie f : A ! F o funcţie şi ff : A ! F g 1 un şir de funcţii m¼asurabile Borel astfel încât pentru orice 2 N,
1, f (A) este o mulţime cel
mult num¼arabil¼a. Dac¼a f este limita uniform¼a a şirului ff g 1 , atunci f este tare
m¼asurabil¼a.
Demonstraţie. Trecând eventual la subşiruri, putem presupune c¼
a pentru orice
2 N,
1
1
kf (x) f (x)k
; x 2 A:
2 +2
Pentru 2 N,
1 avem
kf (x)
f
1 (x)k
kf (x) f (x)k + kf (x) f 1 (x)k
1
1
1
+ +1 <
; x 2 A:
+2
2
2
2
De…nim şirul de funcţii m¼
asurabile Borel fh : A ! F g 1 prin
f (x) f 1 (x) daca
f1 (x)
daca
h (x) =
Atunci
f (x) =
X
h (x) ;
1
şi pentru orice
2 N,
1 avem
> 1;
= 1:
x2A
1
; x 2 A:
2
În plus, deoarece h are imaginea o mulţime cel mult num¼
arabil¼
a, pentru orice
2 N,
1, h este de forma
X
h =
carB j y j ;
kh (x)k <
j 1
unde fB j gj 1 este o partiţie a lui A cu mulţimi din Ln . Punem
X
h k=
carB j y j :
1 j k
Atunci
kh k (x)k kh (x)k ; x 2 A;
şi pentru orice x 2 A exist¼
a m = m ( ; x) 2 N, m
1, astfel încât pentru orice
k m
h k (x) = h (x) :
De…nim şirul de funcţii simple fgk : A ! F gk 1 prin
X X
X
gk =
carB j y j =
h k:
1
k1 j k
1
k
Fie " > 0. Atunci exist¼
a N = N (") 2 N astfel încât pentru orice p
X
"
kh (x)k < ; x 2 A:
2
N
p+1
Fie x 2 A. Punem m = max fm (1; x) ; :::; m (N; x)g. Pentru k max fm; N g avem
X
X
X
gk (x) =
h k (x) =
h (x) +
h k (x) ;
1
k
1
N
N<
k
¼
A. M ASURABILITATE
şi
kf (x)
gk (x)k
X
=
0
@
h (x)
1
1
X
=
X
n N +1
2
h (x) +
X
h k (x)
N
X
X
N<
k
1
h k (x)A
N <n k
kh (x)k +
n N +1
Deci gk ! f punctual.
X
h (x)
N +1
233
X
n N +1
kh (x)k < 2
kh k (x)k
"
= ":
2
Teorema A.7 (Pettis). Fie A Rn o mulţime m¼asurabil¼a, F un spaţiu Banach
şi f : A ! F o funcţie. Urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f este tare m¼asurabil¼a.
(b) f este m¼asurabil¼a Borel şi are imaginea separabil¼a -a.p.t..
(c) f este slab m¼asurabil¼a şi are imaginea separabil¼a -a.p.t..
Demonstraţie. Conform proproziţiei A.3, trebuie s¼
a ar¼
at¼
am doar c¼
a (c) implic¼
a
(a). F¼
ar¼
a a restrânge generalitatea (înlocuind A cu A r Nf ), putem presupune
c¼
a f (A) este o mulţime separabil¼
a. Prin urmare, exist¼
a o mulţime num¼
arabil¼
a
fyk : k 2 N; k 1g
f (A) dens¼
a în f (A). Pentru orice 2 N,
1, familia
a f (M ), deci conform lemei A.5 mulţimile
B yk ; 1 k 1 acoper¼
B ;k
=
=
x : f (x) 2 B yk ;
(f
sunt m¼
asurabile şi A =
yk )
S
1
B 0;
1
1
=f
=
1
B yk ;
x : kf (x)
k 1 B ;k . De…nim
f (x) = ym ; dac¼a x 2 B 0 ;m = B ;m r
adic¼
a
f =
X
[
1
yk k <
B ;j ;
j<m
carB 0 ;j yj ;
j 1
unde carB 0 ;j este funcţia caracteristic¼
a a mulţimii B 0 ;j . Atunci A =
kf (x)
1
f (x)k <
1
;
x 2 A:
S
0
k 1 B ;k şi
Deoarece B 0 ;k este m¼
asurabil¼
a, este uşor de v¼
azut c¼
a …ecare funcţie f este m¼
asurabil¼
a Borel şi are imaginea o mulţime cel mult num¼
arabil¼
a. Deoarece şirul ff g 1
converge uniform la f , folosind lema A.6 obţinem c¼
a f este tare m¼
asurabil¼
a.
Corolarul A.8. O funcţie f : A ! F este tare m¼asurabil¼a dac¼a şi numai dac¼a
ea este limita uniform¼a -a.p.t. a unui şir ff : A ! F g 1 de funcţii m¼asurabile Borel astfel încât pentru orice 2 N,
1, f (A) este o mulţime cel mult
num¼arabil¼a.
¼
A. M ASURABILITATE
234
Lema A.9. Fie A Rn o mulţime m¼asurabil¼a, F un spaţiu Banach şi f : A ! F
o funcţie m¼asurabil¼a în A. Atunci pentru orice K 2 c (f ) exist¼a LK K o mulţime
cel mult num¼arabil¼a astfel încât f (K) = f (LK ).
Demonstraţie. Pentru orice " 2 (0; 1) \ Q, acoperirea lui K, fBRn (x; ")gx2K
conţine o subacoperire …nit¼
a fBRn (x`;" ; ")g1 ` `(") cu x`;" 2 K. Punem
LK = fx`;" : 1
`
` (") ; " 2 (0; 1) \ Qg :
Atunci LK K este o mulţime cel mult num¼
arabil¼
a şi K = LK . De aici deducem
c¼
a f (K) = f (LK ).
Lema A.10. Fie A Rn o mulţime m¼asurabil¼a, F un spaţiu Banach şi f : A ! F
o funcţie m¼asurabil¼a în A. Atunci f are imaginea separabil¼a -a.p.t..
Demonstraţie. 1 Cazul (A) < 1. Deoarece f : A ! F este o funcţie m¼
asurabil¼
a în A, exist¼
a (K ) 1 , K 2 c (f ), K
K +1
A şi (K ) % (A).
Folosind lema anterioar¼
a, pentru orice
1 exist¼
aL
K o mulţime cel mult
num¼
arabil¼
a astfel încât f (K ) = f (L ). Atunci
S
L=
A
1L
este mulţime cel mult num¼
arabil¼
a şi
Ar
S
f (K )
S
f
1K
=
T
Ar
Punem Nf = A r
S
1K
. Atunci
f (L);
1;
1K
f (L);
1 (A r K
)
S
(A r K ) ;
1
+
1K
= 0:
(Nf ) = 0;
f (A r Nf ) f (L);
cu L =
arabil¼
a.
1 L o mulţime cel mult num¼
2 Cazul (A) = 1. Se aplic¼
a punctul 1 funcţiilor f = f jA : A ! F ,
2 N,
1, unde A = A \ BRn (0; ). Atunci pentru orice
1 exist¼
aN
A ,
(N ) = 0 şi L
A o mulţime cel mult num¼
arabil¼
a astfel încât
S
S
Punem Nf =
bil¼
a, (Nf ) = 0 şi
f (A r N ) f (L ):
S
ara1 N şi L =
1 L . Atunci L este o mulţime cel mult num¼
A r Nf =
S
1 (A
f (A r Nf )
S
r Nf )
S
1 f (L )
1 (A
r N );
f (L):
Corolarul A.11. Fie A
Rn o mulţime m¼asurabil¼a, F un spaţiu Banach şi
f : A ! F o funcţie m¼asurabil¼a în A. Atunci f este este m¼asurabil¼a Borel şi
are imaginea separabil¼a -a.p.t..
¼
A. M ASURABILITATE
235
Teorema A.12 (Pettis+). Fie A Rn o mulţime m¼asurabil¼a, F un spaţiu Banach
şi f : A ! F o funcţie. Urm¼atoarele a…rmaţii sunt echivalente:
(a) f este tare m¼asurabil¼a.
(b) f este m¼asurabil¼a Borel şi are imaginea separabil¼a -a.p.t..
(c) f este slab m¼asurabil¼a şi are imaginea separabil¼a -a.p.t..
(d) f : A ! F o funcţie m¼asurabil¼a în A.
Demonstraţie. Pentru (a) ) (d) se aplic¼
a teorema lui Egorov. Implicaţia (d) )
(b) este consecinţa teoremei lui Luzin (teorema 2.12) şi a lemei anterioare. Celelalte
echivalenţe sunt conţinute în teoremei lui Pettis de mai sus.
ANEXA B
Teorema lui Sard
Reamintim urm¼
atorul rezultat fundamental.
Teorema B.1. Fie X un deschis din Rn , x0 2 X, f : X ! Rm derivabil¼a cu
derivata continu¼a în x0 şi …e y0 = f (x0 ). Pentru ca s¼a existe g : Y ! Rn derivabil¼a,
unde Y
Rm este o vecin¼atate deschis¼a a lui y0 , astfel încât
(a) f g = id în vecin¼atatea lui y0 sau
(b) g f = id în vecin¼atatea lui x0 sau
(c) f g = id în vecin¼atatea lui y0 şi g f = id în vecin¼atatea lui x0 ,
este necesar şi su…cient s¼a existe o aplicaţie linear¼a A 2 L (V ; U ) astfel încât s¼a
avem corespunz¼ator
0
(a) f 0 (x0 ) A = idRm ,
0
(b) Af 0 (x0 ) = idU ,
0 0
(c) f (x0 ) A = idV , Af 0 (x0 ) = idU
0
0
Condiţia (a) este echivalent¼a cu surjectivitatea lui f 0 (x0 ), iar condiţia (b) este
0
0
echivalent¼a cu injectivitatea lui f (x0 ). Condiţia (c) este echivalent¼a cu bijectivitatea lui f 0 (x0 ) şi implic¼a unicitatea lui g în vecin¼atatea lui y0 .
De…niţia B.1. (a) Se spune c¼a aplicaţia f este submersie în punctul x0 dac¼a
0
satisface condiţiile echivalente (a) respectiv (a) ale teoremei de mai sus. Dac¼a
aplicaţia f este submersie în …ecare punct x 2 X, atunci f se numeşte submersie.
(b) Se spune c¼a aplicaţia f este imersie în punctul x0 dac¼a satisface condiţiile
0
echivalente (b) respectiv (b) ale teoremei de mai sus. Dac¼a aplicaţia f este imersie
în …ecare punct x 2 X, atunci f se numeşte imersie.
(c) Se spune c¼a aplicaţia ' este etal¼a (sau difeomor…sm local) în punctul x0
0
dac¼a satisface condiţiile echivalente (c) respectiv (c) ale teoremei de mai sus. Dac¼a
aplicaţia f este etal¼a (sau difeomor…sm local) în …ecare punct x 2 X, atunci f se
numeşte etal¼a (sau difeomor…sm local).
De…niţia B.2. Fie X un deschis din Rn , Y un deschis din Rm şi f : X ! Y
derivabil¼a. Un punct x0 2 X se numeşte punct regulat al lui f dac¼a f este submersie
în punctul x0 şi punct critic în caz contrar. Un punct y0 2 Y se numeşte valoare
regulat¼a al lui Y , dac¼a …bra My0 = f 1 (y0 ) este format¼a numai din puncte regulate
şi valoare critic¼a în caz contrar. Un punct y0 2 Y se numeşte valoare lacunar¼a al
lui f dac¼a y0 2
= f (X). Dac¼a Cf este mulţimea punctelor critice ale lui f , atunci
f (Cf ) este mulţimea valorilor critice ale lui f ; în particular valorile lacunare sunt
valori regulate (aceasta este o consecinţ¼a logic¼a strict¼a a de…niţiei).
La întrebarea privind o evaluare global¼
a a mulţimii valorilor critice ale unei
aplicaţii diferenţiabile f , r¼
aspunsul este dat de o teorem¼
a celebr¼
a pe care o vom
demonstra în aceast¼
a secţiune care îi poart¼
a numele. Vom începe prin a introduce
conceptul de mulţime de m¼
asur¼
a nul¼
a. Reamintim c¼
a:
237
238
B. TEO REM A LUI SARD
(a) Un n-cub de latur¼
a
este un produs
In
Rn
Ij = [aj ; aj + ]
R:
C = I1
::::
de intervale închise de lungime ; deci
M¼
asura (sau n-m¼
asura) lui C este
(C) =
n (C) =
n
:
(b) O submulţime A Rn este de m¼
asur¼
a nul¼
a în Rn dac¼
a pentru orice " > 0,
exist¼
a o acoperire num¼
arabil¼
a a lui A cu n-cuburi C1 ; C2 ; ::: astfel încât
X
(Cj ) < ":
j
Câteva propriet¼
aţi ale mulţimilor de m¼
asur¼
a nul¼
a sunt:
(1) Orice submulţime a unei mulţimi de m¼
asur¼
a nul¼
a este mulţime de m¼
asur¼
a
nul¼
a.
(2) O reuniune num¼
arabil¼
a de mulţimi de m¼
asur¼
a nul¼
a este mulţime de m¼
asur¼
a
nul¼
a.
(3) A Rn este de m¼
asur¼
a nul¼
a dac¼
a şi numai dac¼
a orice punct din A are o
vecin¼
atate în A de m¼
asur¼
a nul¼
a.
Lema B.2. Fie U Rn o mulţime deschis¼a şi …e f : U ! Rn o aplicaţie de clas¼a
C 1 . Dac¼a A Rn este de m¼asur¼a nul¼a, atunci f (A) Rn este de m¼asur¼a nul¼a.
Demonstraţie. Conform propriet¼
aţilor de mai sus, putem prsupune c¼
a A este
conţinut¼
a într-o bil¼
a B din U pe care kf 0 k este m¼
arginit¼
a de s¼
a zicem. Atunci
jf
f (y)j
jx
yj; x; y 2 B
Rezult¼
a c¼
a pentru
B un n-cub de latur¼
a , f (C) este conţinut într-un n-cub
p C
C 0 de latur¼
a
n
= L . Prin urmare, (C 0 ) Ln n . Dac¼
a C1 ; C2 ; ::: este o
acoperire num¼
arabil¼
a a lui A cu n-cuburi conţinute în B, rezult¼
a c¼
a C10 ; C20 ; ::: este
o acoperire num¼
arabil¼
a a lui f (A) cu n-cuburi astfel încât
X
X
(Cj0 ) Ln
(Cj ) < Ln ":
j
j
Rezult¼
a c¼
a f (A) este de m¼
asur¼
a nul¼
a.
Teorema B.3 (Teorema lui Sard). Fie X un deschis din Rn , Y un deschis din
Rm şi f : X ! Y . În ipoteza c¼a f 2 C k (X; Y ) şi k 1 + maxfn m; 0g, mulţimea
valorilor critice ale aplicaţiei f este de m¼asur¼a nul¼a.
Pentru A U
Rn şi k 2 N vom nota cu Ik (A) mulţimea funcţiilor reale de
k
clas¼
a C care se anuleaz¼
a pe A. Pentru k 1vom nota cu Ck (A) mulţimea funcţiilor
reale de clas¼
a C k a c¼
aror derivate parţiale de ordinul întâi se anuleaz¼
a pe A.
Demonstraţia teoremei lui Sard se bazeaz¼
a pe urm¼
atoarea lem¼
a datorat¼
a lui A.
P. Morse.
S1
Lema B.4 (Morse). Fie A U Rn şi k 1. Atunci A = i=0 Ai , unde A0 este
o mulţime num¼arabil¼a şi mulţimile Ai (i 1) au proprietatea urm¼atoare:
B. TEOREM A LUI SARD
239
Pentru orice f 2 Ck (A) exist¼a funcţiile cresc¼atoare bi : R+ ! R+ (depinzând
de f ), lim"!0 bi (") = bi (0) = 0, astfel încât
jf (x)
f (y)j
bi (jx
yj)jx
yjk ;
x; y 2 Ai :
La rândul ei lema lui Morse este consecinţa urm¼
atoarelor trei leme. Vom nota
cu Bm bila unitate închis¼
a din Rm , adic¼
a Bm = BRm (0; 1).
Lema B.5. Fie h = (h1 ; :::; hn ) : Bm ! Rn o aplicaţie de clas¼a C 1 (adic¼a de…nit¼a
şi de clas¼a C 1 într-o vecin¼atate a mulţimii Bm ). Fie f o funcţie real¼a de clas¼a C k
de…nit¼a într-o vecin¼atate a mulţimii h(Bm ) astfel încât pentru un y 2 Bm
j(@j f )(h(x))j
b(jx
jf (h(x))
f (h(y))j
yjk 1 ;
yj)jx
x 2 Int Bm ; j = 1; :::; n;
unde b : R+ ! R+ este o funcţie cresc¼atoare, lim"!0 b(") = b(0) = 0. Atunci
Kb(jx
yjk ;
yj)jx
unde K depinde doar de h.
x 2 Int Bm ;
Demonstraţie. Fie F (t) = f (h(y + t(x y))). Atunci din
X
F 0 (t) =
(xi yi )(@j f )(h(y + t(x y)))(@i hj )(y + t(x
y))
i;j
obţinem c¼
a
jF 0 (t)j
X
j
jx
yjj(@i hj )(y + t(x
X
nK1 jx
yj
n2 K1 jx
yjb(tjx
j
y))jj(@j f )(h(y + t(x
j(@j f )(h(y + t(x
y)))j
y)jk 1
yj)jt(x
y)))j
n2 K1 b(jx
yj)j(x
y)jk ;
unde K1 = supfj(@hj )(z))j : z 2 Bm ; j = 1; :::; ng. Deoarece F (1) = f (h(x)) şi
F (0) = f (h(y)), lema este consecinţa formulei
Z 1
F (1) F (0) =
F 0 (t) d t:
0
S1
Lema B.6. Fie A U Rn . Atunci A = i=1 Ai şi pentru i 1 avem:
(a) Exist¼a hi : "i Bn = B"ni = fx 2 Rn : jxj "i g ! Rn o aplicaţie de clas¼a C 1
astfel încât Ai hi ("i Bn ) şi
jhi (x)
hi (y)j
jx
yj;
x; y 2 "i Bn :
(b) Pentru orice f 2 Ik (A) exist¼a funcţiile cresc¼atoare bi : R+ ! R+ (depinzând
de f ), lim"!0 bi (") = bi (0) = 0, astfel încât
jf (hi (x))j
bi (jx
yj);
x; y 2 "i Bm ; hi (y) 2 Ai :
arabil¼
a de bile închise
Demonstraţie.
S Fie fKi = BRn (ai ; "i )gi 1 o familie num¼
astfel încât U = Ki . Pentru i 1 punem
Ai
hi
= A \ Ki ;
:
"i Bn ! Ki ;
iar bi : R+ ! R+ poate … de…nit¼
a prin
bi (") = supfjf (hi (x))
hi (x) = ai + x;
f (hi (y))j : x; y 2 "i Bn ; jx
yj
"g:
240
B. TEO REM A LUI SARD
Atunci lim"!0 bi (") = bi (0) = 0 este consecinţa uniform continuit¼
aţii lui f pe
mulţimea Ki . Celelalte concluzii ale lemei se veri…c¼
a trivial.
S1
Lema B.7. Fie A
U
Rn şi k
1. Atunci A = i=0 Ai , unde A0 este o
mulţime num¼arabil¼a şi pentru i 1 avem:
(a) Exist¼a hi : B"mi i = fx 2 Rmi : jxj "i g ! Rn o aplicaţie de clas¼a C 1 astfel
încât Ai hi (B"mi i ) şi
jhi (x)
hi (y)j
jx
yj;
x; y 2 B"mi i :
(b) Pentru orice f 2 Ik (A) exist¼a funcţiile cresc¼atoare bi : R+ ! R+ (depinzând
de f ), lim"!0 bi (") = bi (0) = 0, astfel încât
jf (hi (x))j
bi (jx
yj)jx
yjk ;
x; y 2 B"mi i ; hi (y) 2 Ai :
Demonstraţie. Pentru n = 1 vom proceda astfel. Fie A0 mulţimea punctelor
discrete (izolate) ale lui A. Fie fKi = [aS
"i ; ai + "i ]g o familie
num¼
arabil¼
a de
i
T
intervale compacte în R astfel încât U = Ki . Punem A0 = f 2Ik (A) (f 0 ) 1 (0) şi
A00 = A r A0 .
Dac¼
a x 2 A00 , atunci exist¼
a o funcţie g 2 Ik (A) astfel încât g 0 (x) 6= 0. În acest
caz, x va … un zero izolat al funcţiei g, deci un punct discret al mulţimi A. Rezult¼
a
c¼
a A00 A0 .
Dac¼
a x 2 A0 r A0 , atunci
f 0 (x) = f 00 (x) = ::: = f (k) (x) = 0;
deoarece x este punct limit¼
a al unui şir fxi g neconstant de elemente din A. Putem
presupune de exemplu c¼
a xi % x. Atunci aplicând teorema lui Rolle pe …ecare
interval [xi ; xi+1 ] vom obţine un şir x1i % x astfel încât f 0 (x1i ) = 0 care implic¼
a
f 0 (x) = 0. Repetând raţionamentul obţinem egalit¼
aţile de mai sus.
Lu¼
am Ai = A0 \ Ki pentru acei indici pentru care intersecţia este nevid¼
a. Apoi
lu¼
am hi : [ "i ; "i ] ! Ki , hi (x) = ai + x. De…nim funcţia bi : R+ ! R+ prin
bi (")
r(y; u)
sup fr(y; u) : y 2 (A0 r A0 ) \ Ki ; juj "g ;
Z 1
1
(1 t)k 1 j( Ki f (k) )(y + tu)j d t;
=
(k 1)! 0
=
unde Ki este funcţia caracteristic¼
a a mulţimii Ki . Din cele de mai sus, din uniform
(k)
continuitatea funcţiei f
pe mulţimea Ki şi din formula lui Taylor cu rest integral
se obţine estimarea de la punctul (b) în acest caz.
S¼
a presupunem c¼
a n > 1 şi k 1. Pentru A Rn …e
A0 =
n
\
\
(@j f ) 1 (0)
f 2Ik (A) j=1
şi A00 = A r A0 .
S¼
a aplic¼
am lema anterioar¼
a în cazul k = 1 sau ipoteza de inducţie pentru
a o descompunere
k > 1.S Cazul considerat va … (n; k 1; A0 ). Prin urmare exist¼
1
A0 = i=0 A0i , cu A00 o mulţime num¼
arabil¼
a, şi exist¼
a aplicaţiile de clas¼
a C 1 h0i :
mi
n
0
0
mi
B"i ! R astfel încât Ai hi (B"i ) şi
jh0i (x)
h0i (y)j
jx
yj;
x; y 2 B"mi i :
B. TEOREM A LUI SARD
241
Cum pentru orice f 2 Ik (A) şi pentru orice j = 1; :::; n avem @j f 2 Ik 1 (A0 ),
rezult¼
a c¼
a pentru orice i 1 exist¼
a funcţiile cresc¼
atoare b0i : R+ ! R+ astfel încât
0
0
lim"!0 bi (") = bi (0) = 0 şi
j@j f (h0i (x))j
b0i (jx
yj)jx
x; y 2 B"mi i ; h0i (y) 2 A0i :
yjk 1 ;
Aplicând lema B.5 obţinem estimarea de la punctul (b) pentru punctele din A0i .
Prin urmare, am g¼
asit mulţimile A0i şi aplicaţiile h0i care satisfac condiţiile lemei şi
care acoper¼
a mulţimea A0 .
În continuare, dorim s¼
a facem acelaşi lucru şi pentru A00 . Fie a 2 A00 . Asta
înseamn¼
a c¼
a exist¼
a g 2 Ik (A) astfel încât @j g(a) 6= 0 pentru un indice j 2 f1; :::; ng.
Putem presupune c¼
a @n g(a) 6= 0. Din teorema funcţiilor implicite rezult¼
a c¼
a exist¼
a
o vecin¼
atate N a lui a şi o funcţie real¼
a hn , de clas¼
a C k , de…nit¼
a pe o bil¼
a deschis¼
a
Int B"n 1 astfel încât
a + (x0 ; hn (x0 ) : x0 2 Int B"n 1 = fx 2 N : g(x) = 0g :
Dac¼
a vom considera aplicaţia
h(x0 ) = a + (x0 ; hn (x0 );
h : Int B"n 1 ! Rn ;
atunci ea este de clas¼
a C k , jh(x0 ) h(y 0 )j
jx0 y 0 j şi N \ A
h(Int B"n 1 ).
1
Aplic¼
am acum ipoteza de inducţie
ao
S1 cazului (n 1; k; h (N \ A)). Atunci exist¼
descompunere h 1 (N \ A) = i=0 Di , unde D0 este o mulţime num¼
arabil¼
a, exist¼
a
mi
aplicaţiile i : B"mi i ! Rn 1 de clas¼
a C 1 astfel încât Di
(B
)
şi
i
"i
j i (x)
i (y)j
bi (jx
yj)jx
jx
yj; x; y 2 B"mi i :
yjk ;
x; y 2 B"mi i ;
De asemenea, pentru orice ' 2 Ik (h 1 (N \ A)) exist¼
a funcţiile cresc¼
atoare
bi : R+ ! R+ , lim"!0 bi (") = bi (0) = 0, astfel încât
j'( i (x))j
1
i (y) 2 Di :
Dac¼
a f 2 Ik (A), atunci ' = f h 2 Ik (h (N \ A)). Dac¼
a punem Ai (N ) =
h(Di ) şi hi = h
,
vom
obţine
o
descompunere
pentru
N
\
A de tipul dorit în
i
lem¼
a. Acoperim A00 cu vecin¼
at¼
aţi N de felul celor de mai sus şi extragem apoi o
subacoperire num¼
arabil¼
a. Reunind rezultatele obţinute pentru toate aceste cazuri,
obţinem toate elementele cerute în enunţul lemei.
Demonstraţia
Lemei B.4. Conform lemei anterioare exist¼
a o descompunere
S1
A = i=0 Ai , unde A0 este o mulţime num¼
arabil¼
a şi exist¼
a aplicaţiile de clas¼
a C1
hi : B"mi i ! Rn astfel încât Ai hi (B"mi i ) şi
jhi (x)
hi (y)j
jx
yj;
x; y 2 B"mi i :
De asemenea, pentru orice f 2 Ik (A) şi pentru orice i 1 exist¼
a funcţiile cresc¼
atoare
bi : R+ ! R+ (depinzând de f ), lim"!0 bi (") = bi (0) = 0, astfel încât
jf (hi (x))j
bi (jx
j(@j f )(hi (x))j
bi (jx
yj)jx
yjk ;
x; y 2 B"mi i ; hi (y) 2 Ai :
Deoarece pentru orice f 2 Ck (A) avem @j f 2 Ik 1 (A) pentru j = 1; :::; n, rezult¼
a
c¼
a pentru orice i 1 exist¼
a funcţiile cresc¼
atoare bi : R+ ! R+ (depinzând de f ),
lim"!0 bi (") = bi (0) = 0, astfel încât
yj)jx
yjk 1 ;
x; y 2 B"mi i ; hi (y) 2 Ai :
Aici se foloseşte lema B.6 în cazul k = 1 şi lema B.7 în cazul k > 1. Aplicând acum
lema B.5 obţinem c¼
a
jf (hi (x))
f (hi (y))j
Ki bi (jx
yj)jx
yjk ;
x; y 2 B"mi i ; hi (y) 2 Ai :
242
B. TEO REM A LUI SARD
Deoarece Ai
hi (B"mi i ),
jhi (x)
hi (y)j
jx
yj;
x; y 2 B"mi i ;
şi funcţia bi : R+ ! R+ este cresc¼
atoare, rezult¼
a c¼
a
jf (x)
f (y)j
Ki bi (jx
yj)jx
yjk ;
x; y 2 Ai :
Lema B.8. Fie cubul deschis C = fx 2 Rn : 0 < xi < 1g şi ' = ('1 ; :::; 'm ) : C !
Rm o aplicaţie de clas¼a C k . Fie A = fx 2 C : rang ('0 (x)) = 0g. Dac¼a k n=m,
atunci '(A) este mulţime de m¼asur¼a nul¼a în Rm :
a descompunem mulţimea A folosind lema B.4. Atunci A =
S1 Demonstraţie. S¼
arabil¼
a şi mulţimile Ai (i 1) au proprietatea
i=0 Ai , unde A0 este o mulţime num¼
urm¼
atoare:
Pentru orice f 2 Ck (A) exist¼
a funcţiile cresc¼
atoare bi : R+ ! R+ (depinzând
de f ), lim"!0 bi (") = bi (0) = 0, astfel încât
jf (x)
f (y)j
bi (jx
yj)jx
yjk ;
x; y 2 Ai :
Trebuie ar¼
atat doar c¼
a '(Ai ) este mulţime de m¼
asur¼
a nul¼
a în Rm . Deoarece
A0 este o mulţime num¼
arabil¼
a, rezult¼
a imediat c¼
a '(A0 ) mulţime de m¼
asur¼
a nul¼
a.
S¼
a consider¼
am cazul i 1. Avem rang ('0 (x)) = 0 dac¼
a şi numai dac¼
a x este punct
critic pentru toate funcţiile '1 ; :::; 'm . Prin urmare, exist¼
a o funcţie cresc¼
atoare
b = bi : R+ ! R+ astfel încât lim"!0 b(") = b(0) = 0 şi
j'j (x)
'j (y)j
b(jx
yj)jx
yjk ;
x; y 2 Ai ; j = 1; :::m:
Dac¼
a împ¼
arţim …ecare muchie în N p¼
arţi egale, obţinem o diviziune a lui C în N n
cuburi de latur¼
a 1=N , fCq gq . Folosind estimarea de mai sus obţinem c¼
a mulţimea
'(Ai \ Cq ) este conţinut¼
a într-un cub de latur¼
a
p
p k
n
n
b
:
N
N
Prin urmare, volumul total (m¼
asura exterioar¼
a a) al mulţimii '(Ai ) este majorat
(majorat¼
a) de
p
p k !m
p m
p km
n
n
n
n
n
b
ci (N ) = N
b
=
N n km :
N
N
N
Deoarece n km
0 deducem c¼
a ci (N ) ! 0 pentru N ! 1, deci '(Ai ) este
mulţime de m¼
asur¼
a nul¼
a în Rm .
Avem nevoie de un rezultat care este o consecinţ¼
a imediat¼
a a teoremei FubiniTonelli asupra reprezent¼
arii integralelor duble ca integrale iterare.
Lema B.9. Fie S o mulţime m¼asurabil¼a în Rn = Rr Rn r , 0 < r < n. Vom
nota un punct din Rn prin (x; y), x 2 Rr , y 2 Rn r . Pentru c 2 Rr , …e
Sc = fy 2 Rn r : (c; y) 2 Sg:
Atunci S este de m¼asur¼a nul¼a dac¼a şi numai dac¼a Sc este de m¼asur¼a nul¼a pentru
orice c în afara unei mulţimi neglijabile (de m¼asur¼a nul¼a).
B. TEOREM A LUI SARD
243
Lema B.10. Fie cubul deschis C = fx 2 Rn : 0 < xi < 1g şi ' = ('1 ; :::; 'm ) :
C ! Rm o aplicaţie de clas¼a C k . Fie 0 < r < m n şi
Ar (') = fx 2 C : rang'0 (x) = rg:
Dac¼a k
(n
r)=(m
r), atunci '(Ar (')) este mulţime de m¼asur¼a nul¼a în Rm :
Demonstraţie. Este su…cient s¼
a demonstr¼
am c¼
a orice punct a 2 Ar (') are o
vecin¼
atate U în C astfel încât '(U \ Ar (')) s¼
a …e mulţime de m¼
asur¼
a nul¼
a în Rm :
Fie a 2 Ar ('). Efectuând la nevoie o permutare a componentelor f'1 ; :::; 'm g
ale lui ', putem presupune c¼
a
rang(u0 (a)) = r;
unde u = ('1 ; :::; 'r ). Exist¼
a funcţionalele liniare ur+1 ; :::; un pe Rn astfel încât
rang(w0 (a)) = n;
unde w = ('1 ; :::; 'r ; ur+1 ; :::; un ). Conform teoremei aplicaţiei inverse, exist¼
a o
vecin¼
atate a lui a şi o vecin¼
atate a lui w(a) astfel încât w : U ! V s¼
a …e un
difeomor…sm de clas¼
a C k . Atunci aplicaţia
f = ' w 1 : V ! Rm
este de forma
f (v1 ; :::; vn ) = (v1 ; :::; vr ; fr+1 (v); :::; fm (v)):
Dac¼
a
Ar (f ) = fv 2 V : rang (f 0 (v)) = rg;
atunci
f (Ar (f )) = '(U \ Ar (')):
r
Pentru c 2 R , de…nim aplicaţia de clas¼
a Ck
fc : Vc ! Rm r ; fc (y) = (fr+1 (c; y); :::; fn (c; y));
unde Vc = fy 2 Rn r : (c; y) 2 V g. Atunci
(c; y) 2 Ar (f ) , y 2 A0 (fc )
adic¼
a
Ar (f )c = A0 (fc ):
Cum
fc (A0 (fc )) = f (Ar (f ))c = '(U \ Ar ('))c ;
din lema B.8 obţinem c¼
a '(U \ Ar ('))c este mulţime de m¼
asur¼
a nul¼
a în Rm r
r
pentru c 2 R . Aplicând lema anterioar¼
a, obţinem c¼
a '(U \ Ar (')) este mulţime
de m¼
asur¼
a nul¼
a în Rm .
Corolarul B.11. Fie k
C k (X; Y ). Fie 0 r < m
1, X un deschis din Rn , Y un deschis din Rm şi f 2
n şi
Ar (f ) = fx 2 X : rangf 0 (x) = rg:
În ipoteza c¼a
n
m
mulţimea f (Ar (f )) este de m¼asur¼a nul¼a.
k
r
;
r
244
B. TEO REM A LUI SARD
Reamintim c¼
a:
rangf 0 (x) = dim f 0 (x)(Rn ):
Demonstraţia teoremei lui Sard. Dac¼
a m n şi k 1 + n m, atunci
n m
n m
n r
k 1+
1+
=
;
m (m 1)
m r
m r
pentru orice r = 0; 1; :::; m 1. Deoarece
Cf =
m
[1
Ar (f )
r=0
şi f (Ar (f )) este de m¼
asur¼
a nul¼
a, obţinem c¼
a f (Cf ) este de m¼
asur¼
a nul¼
a.
Dac¼
a n < m şi f 2 C 1 (X; Y ), atunci Cf = X = C , unde este aplicaţia de
clas¼
a C1
: X Rm n ! Y;
(x; y) = f (x):
Observând c¼
a X X f0g este de m¼
asur¼
a nul¼
a în Rm şi aplicând lema B.2, obţinem
m
c¼
a f (X) = (X) este de m¼
asur¼
a nul¼
a în R .
ANEXA C
Schimbarea de variabil¼
a pentru funcţii de clas¼
a C1
neinjective
Aici vom prezenta o teorem¼
a de schimbare de variabil¼
a pentru o funcţie de clas¼
a C1
n
de…nit¼
a pe o mulţime deschis¼
a din R , care nu se presupune a … un difeomor…sm
pe imaginea sa. Teorema de mai jos este, prin urmare, o generalizare a teoremelor
standard de schimbare de variabil¼
a.
Teorema C.1. Fie U un deschis din Rn şi ' : U ! Rn o aplicaţie de clas¼a C 1 .
Pentru x 2 Rn punem n (x) = card' 1 (x). Atunci n este m¼asurabil¼a şi pentru
orice funcţie u 0 m¼asurabil¼a pe Rn avem
R
R
(C.1)
u (' (x)) jdet '0 (x)j dx = Rn u (x) n (x) dx:
U
Aceast¼
a teorem¼
a este o extensie a formulelor standard de schimbare de variabil¼
a
în care presupunem c¼
a ' este un difeomor…sm pe imaginea sa. În acest caz n (x)
este funcţia caracteristic¼
a a mulţimii ' (U ). Vom folosi acest rezultat standard în
demonstraţia teoremei.
Vom face o serie de simpli…c¼
ari. Acestea vor avea drept rezultat o formulare
convenabil¼
a a enunţului. Fie
e = U r Cf ;
C' = fx 2 U : det '0 (x) = 0g ; U
'
e = 'jUe ;
n
e (x) = carde
' 1 (x) :
Teorema lui Sard implic¼
a faptul c¼
a ' (C' ) este mulţime de m¼
asur¼
a nul¼
a. Prin
urmare n (x) = n
e (x) aproape peste tot în Rn , deci dac¼
a vom ar¼
ata c¼
a n
e este
e, '
m¼
asurabil¼
a şi c¼
a (C.1) este adev¼
arat¼
a cu U , ', n înlocuiţi cu U
e, n
e, atunci vom
avea rezultatul dorit. Astfel, vom presupune de acum înainte c¼
a det '0 (x) 6= 0
pentru orice x 2 U .
În continuare, pentru m 2 N punem
Km = x 2 U : jxj
2m ; dist (x; @U )
2 m :
Fiecare
a a lui U . Mai mult, Km
IntKm+1 şi
S Km este submulţime compact¼
U = m2N Km . Fie 'm = 'jKm şi nm (x) = card'm1 (x). Atunci, pentru orice
x 2 Rn nm (x) % n (x) când m ! 1. S¼
a presupunem c¼
a putem ar¼
ata c¼
a, pentru
orice m 2 N, nm este m¼
asurabil¼
a şi
R
R
(C.2)
u (' (x)) jdet '0 (x)j dx = Rn u (x) nm (x) dx:
Km
Atunci n este m¼
asurabil¼
a ca limit¼
a punctual¼
a de funcţii m¼
asurabile şi teorema lui
Lebesgue de convergenţ¼
a monoton¼
a implic¼
a faptul c¼
a membrul stâng al lui (C.2)
tinde la membrul stâng al lui (C.1) şi membrul drept al lui (C.2) tinde la membrul drept al lui (C.1). Prin urmare, (C.1) rezult¼
a din (C.2), aşa c¼
a r¼
amâne s¼
a
demonstr¼
am (C.2).
245
246
¼ PENTRU FUNC ŢII DE CLAS A
¼ C 1 NEINJECTIVE
C. SCHIM BAREA DE VARIABIL A
Pentru a simpli…ca notaţia, renunţ¼
am la indicele m. Avem o submulţime compact¼
a K a lui Rn , ' : U ! Rn o aplicaţie de clas¼
a C 1 pe o vecin¼
atate U a lui K ce
0
stisface det ' (x) 6= 0 pentru orice x 2 U . Punem nK (x) = card K \ ' 1 (x) şi
vrem s¼
a ar¼
at¼
am c¼
a nK este m¼
asurabil¼
a şi c¼
a
R
R
0
(C.3)
u (' (x)) jdet ' (x)j dx = Rn u (x) nK (x) dx:
K
Folosind teorema funcţiei inverse, …ecare x 2 U are o vecin¼
atate Ox astfel încât
' este un difeomor…sm al lui Ox pe imaginea sa ' (Ox ). Deoarece K este mulţime
compact¼
a, putem acoperi K cu un num¼
ar …nit de mulţimi deschise Oj astfel încât
pe …ecare dintre ele ' este un difeomor…sm. Atunci exist¼
a > 0 astfel încât orice
submulţime a lui K de diametru < este conţinut într-una
p dintre aceste mulţimi
deschise Oj . Pav¼
am Rn cu cuburi închise de latur¼
a < = n (astfel încât acestea se
intersecteaz¼
a doar pe feţele lor). Fie fQk : 1 k N g familia acelor cuburi care se
intersecteaz¼
a K, şi …e Lk = K \ Qk . Atunci Lk este mulţime compact¼
a şi teorema
standard de schimbare de variabil¼
a ne d¼
a
R
R
(C.4)
u (' (x)) jdet '0 (x)j dx = '(Lk ) u (x) dx:
Lk
Dac¼
a sum¼
am membrul stâng al lui (C.4) dup¼
a k, obţinem membrul stâng al lui
(C.3). Deoarece feţele …ec¼
arui cub, şi de asemenea imaginile lor prin ', toate au
m¼
asura zero, avem de asemenea
PN
nK (x) = card fk : x 2 ' (Lk )g = k=1 car'(Lk ) (x) ; a:p:t: ^{n Rn
Deoarece ' (Lk ) mulţime compact¼
a, acest lucru dovedeşte c¼
a nK este m¼
asurabil¼
a
şi, de asemenea, implic¼
a faptul c¼
a, dac¼
a sum¼
am membrul dreapt al lui (C.4) dup¼
a
k, obţinem membrul dreapt al lui (C.3). Teorema este, prin urmare, demonstrat¼
a.
ANEXA D
Principiul diviziunii
Ideea de diviziune este tot atât de veche ca ideea de integral¼
a. Vom considera aici un
punct de vedere axiomatic pentru a elabora o tehnic¼
a de trecere de la "in…nitezimal" sau local la global, tehnic¼
a pe care o vom folosi în secţiunile urm¼
atoare în
demonstrarea unor rezultate fundamentale.
Fie
o mulţime local închis¼
a într-un spaţiu euclidian (mai general, se poate
lua pentru
orice spaţiu topologic cu compacţii metrizabili). Vom nota cu c( )
mulţimea compacţilor lui . Pentru orice mulţime M , vom utiliza notaţia P (M )
pentru mulţimea tuturor p¼
arţilor lui M şi P0 (M ) pentru mulţimea p¼
arţilor …nite
ale lui M .
De…niţia D.1. a) O baz¼a cu diviziune sau, simplu, o baz¼a pe
B c( ) împreun¼a cu o aplicaţie
este o mulţime
div = divB : B ! P (P0 (B))
astfel încât
1) 8K 2 B, 8 fK1 ; :::; KN g 2 divK ) K1 ; :::; KN K.
2) 8K 2 B, 8" > 0, 9 fK1 ; :::; KN g 2 divK astfel încât
diam (Ki ) < ";
K.
1
i
N:
b) Pentru 8K 2 B, mulţimile fK1 ; :::; KN g 2 divK se numesc diviziuni ale lui
c) Fie B, B0 dou¼a baze cu diviziune pe . Spunem c¼a B0 este o subbaz¼a a lui
B dac¼a B0 B şi
8K 2 B0 ) divB0 K divB K:
d) O subbaz¼a B0 a lui B se zice dens¼a în B dac¼a:
8K 2 B; 8" > 0; 9 fK1 ; :::; KN g 2 divB K
K1 ; :::; KN 2 B0 şi diam (Ki ) < ";
1
i
a.î.
N:
De pild¼a, orice baz¼a este dens¼a în ea înseşi.
e) Dac¼a B este o baz¼a cu diviziune pe , un volum pe B este o aplicaţie :
B ! R care satisface:
1) (K) 0; 8K 2 B.
2) 8K 2 B, 8 fK1 ; :::; KN g 2 divB K ) (K) = (K1 ) + ::: + (KN ).
f) Dac¼a B este o baz¼a cu diviziune pe , este un volum pe B şi G este un grup
abelian aditiv, o aplicaţie u : B ! G se zice -aditiv¼a sau simplu, aditiv¼a dac¼a:
1) 8K 2 B, (K) = 0 ) u (K) = 0.
2) 8K 2 B, 8 fK1 ; :::; KN g 2 divB K ) u (K) = u (K1 ) + ::: + u (KN ).
g) O funcţie s : B ! R se zice -subaditiv¼a sau simplu, subaditiv¼a dac¼a:
1) 8K 2 B, (K) = 0 ) s (K) = 0.
2) 8K 2 B, 8 fK1 ; :::; KN g 2 divB K ) s (K) s (K1 ) + ::: + s (KN ).
247
248
D. PRINCIPIUL DIVIZIUNII
h) Fiind dat¼a o baz¼a cu diviziune B pe , un volum pe B şi o funcţie subaditiv¼a
s : B ! R pe B, o mulţime A
se zice s-neglijabil¼a dac¼a:
8K 2 B; 8" > 0; 9 fK1 ; :::; KN g 2 divB K, 9p 2 f1; :::; N g a.î.
p
P
s (Ki ) < " şi A \ Kp+1 = ::: = A \ KN = ;:
i=1
Fie B o baz¼
a cu diviziune pe
şi
este un volum pe B, …xate. Vom nota cu
mulţimea tuturor punctelor x 2 cu proprietatea c¼
a pentru orice U vecin¼
atate
a lui x în exist¼
a K 2 B astfel încât x 2 K U şi (K) > 0.
Pentru x 2 , ' : B ! R o funcţie şi c 2 R, vom scrie
' (K)
(K)
B3K3x
lim sup
c
dac¼
a pentru orice " > 0, exist¼
a o vecin¼
atate U a lui x în
' (K)
(K)
pentru orice K 2 B astfel încât x 2 K
cu proprietatea c¼
a
c+"
U şi
(K) > 0.
Teorema D.1 (Principiul diviziunii cu "singularit¼
aţi"). Fie B o baz¼a cu diviziune
pe , un volum pe B, s : B ! R o funcţie -subaditiv¼a, B0 o subbaz¼a dens¼a a lui
B şi A
o reuniune num¼arabil¼a de mulţimi s-neglijabile A , 2 N. Dac¼a
s (K)
(K)
B0 3K3x
lim sup
0
pentru orice x 2
r A;
atunci
s (K)
0
pentru orice K 2 B.
Demonstraţie. Fie K 2 B astfel încât s (K) > 0 () (K) > 0). Exist¼
a">0
astfel încât s (K) > " (K). Vom construi un şir de compacţi (C ) 2N , C 2 B0
astfel încât, pentru orice 2 N, s¼
a avem
s (C ) >
" (C ) ;
C +1
C
şi
C \ A = ;;
diam (C ) < 2
Pentru construcţie vom face inducţie dup¼
a .
Vom ar¼
ata mai întâi cum se face trecerea de la K la C0 . Întrucât A0 este
s-neglijabil¼
a,
p
P
9 fK1 ; :::; KN g 2 divB K, 9p 2 f1; :::; N g
s (Ki ) < s (K)
" (K)
şi
i=1
a.î.
A0 \ Kp+1 = ::: = A0 \ KN = ;:
S¼
a observ¼
am c¼
a p < N . Reducere la absurd. Presupunem c¼
a p = N . Atunci
s (K)
s (K1 ) + ::: + s (KN ) < s (K)
" (K) )
(K) < 0 Contradicţie!
De aici rezult¼
a c¼
a exist¼
a i0 2 fp + 1; :::; N g astfel încât
s (Ki0 ) > " (Ki0 ) :
Dac¼
a prin absurd
s (Ki )
" (Ki ) ;
8i 2 fp + 1; :::; N g ;
D. PRINCIPIUL DIVIZIUNII
249
atunci
N
P
s (K)
s (Ki ) =
i=1
<
p
P
s (Ki ) +
i=1
s (K)
N
P
s (Ki )
i=p+1
" (K) + "
N
P
(Ki )
i=p+1
= s (K)
"
p
P
(Ki )
i=1
+
0
<
"
p
P
(Ki )
i=1
p
P
+
(Ki ) < 0
Contradicţie!
i=1
Deoarece B0 o subbaz¼
a dens¼
a a lui B, exist¼
a fQ1 ; :::; Qm g 2 divB Ki0 cu Q1 , ...,
Qm 2 B0 şi diam (Q1 ), ..., diam (Qm ) < 1 = 2 0 . Rezult¼
a mai departe c¼
a exist¼
a
j0 2 f1; :::; mg astfel încât
s (Qj0 ) > " (Qj0 ) :
Dac¼
a prin absurd
s (Qj ) " (Qj ) ; 8j 2 f1; :::; mg ;
atunci
m
m
P
P
s (Ki0 )
s (Qj ) "
(Qj ) = " (Ki0 ) : Contradicţie!
j=1
j=1
Punem C0 = Qj0 .
Acesta este începutul inducţiei şi reprezint¼
a trecerea de la K la C0 .
În mod similar se face trecerea de la C la C +1 .
Din propriet¼
aţile şirului (C ) 2N rezult¼
a c¼
a
T
C = fag cu a 2 r A:
2N
Deoarece s este o funcţie -subaditiv¼
a şi s (C ) > 0 rezult¼
a c¼
a
orice
2 N astfel încât a 2
r A. În plus avem
s (C )
> ";
2N
(C )
fapt ce contrazice
s (K)
(K)
B0 3K3x
lim sup
0
pentru orice x 2
r A;
(C ) > 0 pentru
Bibliogra…e
[1] Nicu Boboc, Analiz¼a matematic¼a , Partea a II-a, Editura Universit¼
a ţii din Bucureşti, 1998.
[2] Ion ColojoarA¼ , Analiz¼a matematic¼a , Editura Didactic¼
a şi Pedagogic¼
a Bucureşti, 1983.
[3] Herbert Federer, Geometric Measure Theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 153, Springer-Verlag, 1969.
[4] Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd Edition, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons, 1999.
[5] Lars Hörmander, The analysis of linear partial di¤ erential operators, Volumul I, Die
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 256, Springer-Verlag 1983.
[6] Steven G. Krantz; Harold R. Parks, A Primer of Real Analytic Functions, Birkhauser,
Boston Basel Berlin, 2002.
[7] Viorel Iftimie, Ecuaţii cu derivate parţiale, Editura Universit¼
a ţii din Bucureşti, 1980.
[8] Martin Jurchescu, Introducere în analiza pe variet¼a ţi, Editura Universit¼
a ţii din Bucureşti,
1980.
[9] Miron Nieolescu, Analiz¼a matematic¼a , I, 1957; II, 1958; III, 1960. Bucureşti, Editura
Tehnic¼
a.
[10] Michael Reed, Barry Simon, Methods of modern mathematical physics. I: Functional
analysis, Academic Press, New York, 1972.
[11] Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Company, Singapore,
1976.
[12] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
[13] Walter Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill Book Company, Singapore, 1991.
[14] Michael E.Taylor, Measure Theory and Integration, Graduate Studies in Mathematics, vol.
76, American Mathematical Society, 2006.
[15] Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, Graduate Studies in Mathematics, vol.
126, American Mathematical Society, 2011.
[16] Kôsaku Yosida, Functional analysis, Third Edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New
York, 1971.
251