Programa de Especialización en Econometrı́a Aplicada
Raı́z Unitaria
Henry Colonia Barrenechea
Universidad Nacional de Ingenierı́a
(Versión sujeta a cambios)
10 de noviembre de 2018
Henry Colonia Barrenechea (UNI)
PEEA - Macroeconometrı́a 1
10 de noviembre de 2018
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Contenido
1
Marco Previo
2
Teorı́a de la Distribución
3
Test de Dickey Fuller
4
Test de Said y Dickey - Dickey Fuller Aumentado ADF
5
Test de Phillips y Perron - PP
6
Prueba Estacionaria (KPSS)
7
Referencias
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Marco Previo
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Teorı́a de la Distribución
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Test de Dickey Fuller
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Test de Said y Dickey - Dickey Fuller Aumentado ADF
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Test de Phillips y Perron - PP
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Prueba Estacionaria (KPSS)
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1. Marco Previo
AR(1) estacionario
Sea el proceso AR(1): yt = αyt−1 + εt , con εt ∼ N(0, σε2 )
Condición de estacionariedad de yt
|α| < 1
Teorema de Representación
Si yt es estacionario
P∞ dek Wold:
k
k
⇒ yt = ψ(L) εt ⇒ ψ(L) = k=0 ψ L , ψ = αk
Varianza de largo plazo:
vlp(yt )=σε2 ψ(1) = σε2 +α2 σε2 +α4 σε2 +α6 σε2 +· · · = σε2 (1−α2 )−1 < ∞
Ley de Grandes Números:
d
T 1/2 (α̂ − α) → N(0, σε2 [σε2 (1 − α2 )−1 ]−1 )
d
T 1/2 (α̂ − α) → N(0, (1 − α2 ))
Caso 4 - Capı́tulo 8 en Hamilton (1994)
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1. Marco Previo
¿Qué pasa si α = 1?
yt ∼ I (1) ⇒ ψK = 1
vlp(yt ) = σ 2 (1 − α2 ) → +∞
p
T 1/2 (b
α − 1) → 0
La distribución colapsa a un punto con masa en cero.
Entonces las distribuciones son distintas para los procesos con raı́z
unitaria y sin raı́z unitaria. Los resultados de procesos I(0) no pueden
aplicarse para procesos I(1).
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Test de Dickey Fuller
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Test de Phillips y Perron - PP
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2. Teorı́a de la Distribución
H0 : α = 1 yt ∼ I (1)
H1 : α < 1 yt ∼ I (0)
Test de Wald:
t=
α
b−1
desv .std.(b
α)
Con α
b estimado por MCO.
Si H0 es cierta, la distribución no se comportarı́a como una t-student, ni
como una normal, sino como una distribución tipo Dickey Fuller.
Esta distribución depende de la presencia de constantes, tendencias y dummies.
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Test de Dickey Fuller
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Test de Said y Dickey - Dickey Fuller Aumentado ADF
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Test de Phillips y Perron - PP
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3. Test de Dickey Fuller
Solo es válido si el verdadero proceso es un AR(1).
Caso I: yt = αyt−1 + εt , sin constante y sin tendencia.
Caso II: yt = c + αyt−1 + εt , con constante y sin tendencia
Caso III: yt = c + δt + αyt−1 + εt , con constante y con tendencia
Beveridge y Nelson (1981) demostraron que ∆yt admite una representación
de medias móviles:
∆yt = δ + Ψ(L)εt
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3. Test de Dickey Fuller
H0 : α = 1, c = 0, yt ∼ I (1)
H1 : α < 1, yt ∼ I (0)
Valor crı́tico al 5 % de significancia en la distribución Dickey Fuller es -2.861,
más negativo que el valor crı́tico de una distribución normal.
Recordar:
Potencia de un test: Probabilidad de que la hipótesis nula sea rechazada cuando realmente es falsa.
Tamaño (size) de un test: Probabilidad de que la hipótesis nula sea
rechazada cuando realmente es verdadera. Generalmente, el tamaño de
un test es equivalente al nivel de significancia.
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Test de Said y Dickey - Dickey Fuller Aumentado ADF
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4. Test de Said y Dickey - Dickey Fuller Aumentado ADF
Said y Dickey (1984) aumentaron el test Dickey Fuller para considerar un
proceso ∆yt que se comporta como un ARMA(p,q).
yt = β 0 Dt + αyt−1 + ut
Estimar por MCO:
0
yt = β Dt + αyt−1 +
j=p
X
ψj ∆yt−j + εt
j=1
tADF =
α
b−1
desv .std.(b
α)
Luego:
0
∆yt = β Dt + γyt−1 +
p
X
ψj ∆yt−j + εt
j=1
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4. Test de Said y Dickey - Dickey Fuller Aumentado ADF
Sabiendo que: γ = α − 1 .
Entonces:
H0 : γ = 0, yt ∼ I (1)
H1 : γ < 0, yt ∼ I (0)
tADF =
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γ
b
desv .std.(b
γ)
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4. Test de Said y Dickey - Dickey Fuller Aumentado ADF
¿Qué valor debe tomar “p”? Hay un trade-off.
Si “p” es pequeño, es posible que se manifieste correlación serial en
los residuos. La prueba serı́a sesgada (potencialmente, hay variable
omitida por no incluir algunos de los rezagos).
Si “p” es grande, se generan pérdidas de potencia en el test.
Al considerar muchos rezagos, podrı́amos incurrir en caso de variable
redundante. No se producirı́a afectación por el lado del sesgo, pero
sı́ aumentarı́a la varianza de los estimadores, entonces aumentarı́a la
desviación estándar de los mismos. tADF se harı́a más cercano a cero y
serı́a más difı́cil rechazar H0 .
Incluso, si tenemos una H0 falsa, la probabilidad de rechazarla serı́a
menor, lo que refleja una menor potencia del test.
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4. Test de Said y Dickey - Dickey Fuller Aumentado ADF
¿Qué valor debe tomar “p”?
Una regla práctica para escoger “p” es considerar el operador máximo
entero []:
T 1/4
∗
)
pmax = 12(
100
En este caso se incluyen los resultados de simulaciones de Montecarlo,
que muestran que es preferible errar por exceso de rezagos que por
falta de ellos. Este resultado fue establecido por Schwert (1989) y es
semejante en su formulación a lo planteado por Newey y West (1987).
Una alternativa más formal es seguir el procedimiento de Ng y Perron
(2001), que busca maximizar potencia y tamaño del test basándose en
el Modified Akaike Information Criterion (MAIC).
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5. Test de Phillips y Perron - PP
Plantean una alternativa para corregir los problemas de correlación serial y
heterocedasticidad. La regresión auxiliar es idéntica a la del ADF:
yt = β 0 Dt + αyt + ut ,
Zt = tγ=0
σ̂ 2
1/2
λ̂2
ut ∼ I (0)
λ̂2 − σ̂ 2
1
−
2
!
λ̂2
(T )desv .std.(b
γ)
2
σ̂
λ̂2 y σ̂ 2 son estimadores consistentes de varianza
σ̂ 2 = lı́m T −1
T →∞
λ̂2 = lı́m
T
X
T →∞
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t=1
E
T
X
E [ut2 ]
t=1
St2
,
T
St =
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T
X
ut
t=1
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5. Test de Phillips y Perron - PP
b2 Entonces Zt = tγ=0 . Este representa el estadı́stico “t”de
Si σ
b2 = λ
prueba del ADF.
Comentarios
Los tests de Phillips-Perron y Dickey-Fuller Aumentado son asintóticamente equivalentes. Con muestras grandes, los resultados respectivos
serán semejantes.
Los tests de Phillips-Perron (PP) y Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
pierden potencia cuando se evalúa un proceso AR con raı́z cercana a
la unidad.
La potencia de los tests PP y ADF disminuye cuando se incorporan
elementos determinı́sticos.
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6. Prueba Estacionaria (KPSS)
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin (1992) plantean un test con una
hipótesis nula que asume la estacionariedad:
∆yt = β 0 Dt + ut → E [ut ] = 0
ut = ut−1 + εt → E [εt ] = 0
H0 : σε2 = 0 → yt ∼ I (0) → ut = 0
H1 : σε2 > 0 → ut No estacionaria → yt ∼ I (1)
P
2
T −2 T
Ŝ
t=1 t
;
KPSS =
2
λ̂
Ŝt =
t
X
ûi
i=1
ût es el residuo de la regresión respecto a los componentes determinı́sticos.
λ̂ es un estimador consistente de la varianza de largo plazo de ut .
KPSS → 1 cuando yt es estacionario
KPSS → 0 cuando yt es no estacionario
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Referencias
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7. Referencias
Beveridge, S. and C.R. Nelson (1981), “A New Approach to Decomposition of Economic Time Series into Permanent and Transitory Components with Particular Attention toMeasurement of the Business Cycle,”
Journal of Monetary Economics, 7, 151-174.
Dickey, D. and W. Fuller (1979). “Distribution of the Estimators for
Autoregressive Time Series with a Unit Root”, Journal of the American
Statistical Association, 74, 427-431.
Hamilton, J. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press,
New Jersey.
Kwiatkowski, D., P.C.B. Phillips, P. Schmidt and Y. Shin (1992). “Testing the Null Hypothesis of Stationarity Against the Alternative of a
Unit Root”, Journal of Econometrics, 54, 159-178.
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7. Referencias
Newey, W. and West, K. (1987). “A Simple Positive Semidefinite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix”,
Econometrica. Vol. 55, 1987, pp. 703–708.
Ng, S., and P. Perron (1995). “Unit Root Tests in ARMA Models with
Data-Dependent Methods for the Selection of the Truncation Lag”,
Journal of the American Statistical Association. Vol. 90, pp. 268–281.
Phillips, P.C.B. and P. Perron (1988). “Testing for Unit Roots in Time
Series Regression”, Biometrika, 75, 335-346.
Said, S.E. and D. Dickey (1984). “Testing for Unit Roots in Autoregressive Moving-Average Models with Unknown Order”, Biometrika,
71, 599-607.
Schwert, W. (1989). “Test for Unit Roots: A Monte Carlo Investigation”, Journal of Business and Economic Statistics, 7, 147-159
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