Guia de ejercicios
Matemática
Examen de admisión al A-CPI
Dirección de Admisión
Facultad de Ingenierı́a
Universidad Nacional de Asunción
Enero 2023
Los ejercicios publicados tienen el objetivo de suministrar a los postulantes una guı́a que sirva como base
de estudio a los postulantes que rendirán los exámenes de admisión a la FIUNA a partir de la convocatoria
2022.
El contenido corresponde al programa de estudios conforme a la Resolución CD N.º 1514/2022-004 “Por
la cual se aprueba el reglamento de admisión a la Facultad de Ingenierı́a de la Universidad Nacional de
Asunción” y a la Resolución CD N.º 1514/2022-005 “Por la cual se aprueba el programa de la asignatura
Matemática para el examen de admisión al curso preparatorio de ingenierı́a (A-CPI) de la Facultad de
Ingenierı́a de la Universidad Nacional de Asunción”
Editado por la Dirección de Admisión de la F.I.U.N.A.
Decano:
Director de Admisión:
Docente de Matemática
Prof. Dr. Ing. Rubén López Santacruz
Prof. MSc. Ing. Néstor Barreto
MSc. Edgar Elizeche
Edificio Capitán Bozzano, 2do. Piso
(Ubicado a la entrada del campus de la UNA en San Lorenzo
sobre la Avda. Mcal. López)
Tel.: 021 729 0010 interno 1722 / 1723
admision@ing.una.py
www.ing.una.py
Enero de 2023
Índice
1. Ejercicios resueltos
1
2. Razones y Proporciones
3
Matemática 1
1.
Ejercicios resueltos
OBSERVACIÓN
Los ejercicios resueltos publicados en la presente guı́a corresponden exclusivamente al contenido de Matemática.
Estos ejercicios pueden tener varios métodos de resolución alternativos a los presentados en ésta publicación.
Números primos y compuestos
1. Hallar el menor número N que al dividirlo por 5 da resto 4; al dividirlo por 6 da resto 5; al dividirlo por
7 da resto 6 y al dividirlo por 15 da por resto 14.
Solución: Nótese que N +1 es un múltiplo de 5, 6, 7, 15 y por tanto es múltiplo de mcm(5, 6, 7, 15) =
210. Entonces N = 209.
2. Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar 1632 para que el producto sea divisible por 8250
Solución: Sea N el número buscado y q el cociente de la división (N · 1632)/8250. Entonces,
N · 1632 = 8250 · q
Descomponiendo en factores primos
1632 = 25 · 3 · 17
8250 = 2 · 3 · 53 · 11
Entonces,
25 · 3 · 17 · N = 2 · 3 · 53 · 11 · q
Simplificando 3 · 37 · N = 7 · 11 · q.
272 · N = 275 · q
El menor cociente q = 272, y el menor número es N = 275
3. Hallar el menor número entero positivo no divisible por 4, 6, 9, 11, y 12 tal que al dividirlo por estos
números se obtengan de resto 2
Solución: Sea N el número buscado N = (divisor * cociente) + resto Descomponiendo en factores
primos
4 = 22 6 = 2 · 3 9 = 32 11 = 11 12 = 3 · 22
El mı́nimo común múltiplo de (4, 6, 9, 11, 12) es 396. Ahora
N –2 = 396k
Para que sea el menor numero k = 1.
N –2 = 396 =⇒ N = 398
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4. Hallar el mı́nimo común múltiplo de los cocientes que resultan de dividir 7785 y 43173 por el mayor
divisor primo de cada uno.
Solución: Descomponiendo en factores primos
7785 = 32 · 5 · 173
43173 = 34 · 13 · 41
El mayor divisor primo común del primero es 173 y del segundo 41.
Luego de las respectivas divisiones 7785/173 = 45 y 43173/41 = 1053, y el mı́nimo común múltiplo
de estos números es 34 · 5 · 13 = 5265
5. Dos recipientes contienen 5970 litros y 9657 litros de vino de diferente calidad. Se desean envasarlos, sin
mezclarlos en botellas de igual capacidad. ¿Cuál es la máxima capacidad que deberı́an tener las botellas
y cuántas botellas necesitarı́amos?
Solución: Descomponiendo en factores primos
5970 = 2 · 3 · 5 · 199
9657 = 32 · 29 · 37
El máximo común divisor es 3. La capacidad de cada botella es de 3 litros, el número de botellas
necesarias es
5970 9657
+
= 5209
3
3
Número fraccionario - Exponente y Radicales
1. En una batalla resultaron muertos la décima parte del número de hombres de un ejército, y heridos
la vigésima parte del mismo número, más 40. Los que quedaron útiles representan la mitad de los que
entraron en acción, más 100. ¿Cuántos hombres se componı́a el ejército?
Solución: Sea N el número total de hombres que forman el ejército. Sea m el número de muertos,
N
N
m = 10
. Sea h el número de heridos h = 20
+ 40. Sea u el número de hombre útiles u = N2 + 100.
El número total de hombres del ejército es N = m + h + u.
N=
N−
N
N
N
+
+ 40 +
+ 100
10 20
2
N
N
N
−
−
= 100 + 40
20 10
2
7N
= 140
20
N = 4000
2. Tres personas decidieron festejar un acontecimiento aportando en partes iguales. Uno de ellos trajo 6
botellas de una bebida y otro 9 de la misma bebida. Al hacer las cuentas llegaron a la conclusión de que
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el tercero debı́a contribuir con Gs 54.000 ¿Cuál es el precio de cada botella y como se repartieron los Gs
54000 entre el primero y el segundo?
Solución: Al aportar en partes iguales el total de las 12 botellas es de 3 · 54000 = 162000. El precio
= 10800. La primera persona gasto 6 · 10800 = 64800. La
de cada botella de vino es de 162000
15
segunda persona gasto 9 · 10800 = 97200.
La primera persona debe recibir Gs 64800 – Gs 54000 = Gs 10800. La segunda persona deber recibir
Gs 97200 – Gs 54000 = Gs 43200.
3. Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales efectuar:
r
p
1
2,45444 . . . × 0,1666 . . . ×
÷ 47
0,5
√
1
÷ 47.
Solución: Sea A = 2,5444 . . ., B = 0,1666 . . ., y C = 0,5
q
q
q
q
√
47
409
2×900+409
2209
Entonces A = 2,45444 . . . = 2 454−45
=
=
=
2
900
900
900
900 = 30 .
5
También B = 1,666 . . . = 1 69 = 15
9 = 3.
1
2
C = 0,5 ÷ 47 = 47 . Entonces
√
2.
r
A×B×C =
47 5
2
× ×
=
30 3 47
r
1
1
=
9
3
Razones y Proporciones
1. Una cuadrilla de obreros emplean 21 dı́as, trabajando 4 horas diarias en realizar cierta obra. ¿Si hubieran
trabajado 1 hora menos al dı́a, en cuántos dı́as habrán terminado la obra?
Solución:
1 obra
1 obra
4 obreros
4 obreros
21 dı́as
x dı́as
4 horas
3 horas
21
4
=
x
3
8 · 14 = 7x
x = 14 dı́as
2. Un libro tiene 450 páginas de 49 lı́neas cada una y 20 letras cada lı́nea. Se lo quiere reimprimir con
menor formato, de 350 páginas con 30 lı́neas cada página. ¿Cuantas letras tendrá cada lı́nea?
Solución:
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450 pág.
300 pág.
49 lı́neas
30 lı́neas
20 letras
x letras
450 · 49 · 20
= 49 letras
300 · 30
=⇒ x =
3. Un grupo de 1600 hombres deben realizar una determinada obra y tiene vı́veres para 10 dı́as, a razón de
3 raciones diarias para cada hombre. Si se disminuye el grupo con 400 hombres, calcular la ración diaria
para cada uno, teniendo en cuenta que se necesitan 8 dı́as para terminar la obra.
Solución:
1600 hombres
1200 hombres
=⇒ x =
3 raciones
x raciones
10 dı́as
8 dı́as
1600 · 3 · 10
= 5 raciones
1200 · 8
4. Se emplean 12 obreros durante 5 dı́as, trabajando 4 horas diarias para cavar una zanja de 240m3 ¿Cuántos
dı́as necesitaran 8 obreros, trabajando 3 horas diarias, para cavar otra zanja de 480m 3 en un terreno
del doble de dificultad?
Solución:
240m3
480m3
24 obreros
8 obreros
=⇒ x =
5 dı́as
x dı́as
4 horas
3 horas
1 dificultad
2 dificultad
480 · 2 · 24 · 5 · 4
= 80 dias
240 · 8 · 3
5. 8 obreros se comprometen a realizar una obra en 28 dı́as. Después de 8 dı́as de trabajo se incorporan al
grupo 2 obreros más y trabajan todos hasta terminar la obra. Calcular la duración total de la obra.
Solución: Primero calculamos el trabajo realizado al término del dı́a 8.
8 obreros
8 obreros
=⇒ x =
28 dı́as
8 dı́as
1 obra
x obra
8·8
2
= obra
8 · 28 · 1
7
Falta realizar 1 − 27 = 57 . Entonces calculamos el tiempo que nos harı́a falta.
8 obreros
10 obreros
28 dı́as
x dı́as
1 obra
5
7 obra
8 · 28 · 75
= 16 dı́as
10 · 1
La duración total de la obra es de 8 + 16 = 24 dı́as
=⇒ x =
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6. Vendı́ dos terrenos en Gs 9.500.000 cada uno. En uno gane el 10 % del precio de venta y en el otro perdı́
el 5 % del costo. ¿Cuánto gane o perdı́ en total?
Solución:
P V –P C = Beneficio
P V1
20P V1
=
B1 = P V1 − P C1 =
100
4
P C2
5P C2
=−
B2 = P V2 − P C2 = −
100
20
Nótese el signo negativo, que modela el hecho de que se perdió dinero. Con la ultima ecuación
necesitamos trabajar mas.
P V2 = P C2 −
=
=⇒ P C2 =
P C2
20
(arreglando la ecuacion anterior)
19P C2
20
20P V2
19
Sumando los dos beneficios,
P V1
5 20P V2
−
·
4
100
19
P V2
P V1
−
=
4
19
9500000 9500000
−
=
4
19
= 1875000
B1 + B2 =
Se gano en total Gs 1.875.000
7. Los sueldos de tres obreros son Gs 23.000, Gs 19.000 y Gs 8000 respectivamente. El patrón ha dispuesto
repartir proporcionalmente a sus sueldos un premio de Gs 300.500 ¿Qué parte de este premio corresponde
a cada uno?
Solución:
23000
× 300500 = 138230
23000 + 19000 + 8000
19000
O2 =
× 300500 = 114190
23000 + 19000 + 8000
8000
O3 =
× 300500 = 48080
23000 + 19000 + 8000
Los obreros reciben Gs 138.230, Gs 114190 y Gs 48080 respectivamente.
O1 =
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