Điểm yếu:
- Không thể điều chỉnh giá trị trung bình và phương sai một cách độc lập để phù hợp
với tập dữ liệu lịch sử, do sự tỉ lệ giữa MTTF và phương sai của T. Vì với phân bố hàm
mũ, MTTF là


0
0
MTTF   R(t )dt   e t dt 
1

và phương sai của T là
var(T ) 
1
2
nên khi MTTF tăng (hoặc giảm), phương sai cũng như vậy.
(Điểm yếu này có nêu ra ở tài liệu tham khảo [1], trang 27)
- Không phù hợp khi áp dụng với các item có hàm tốc độ lỗi (tần suất lỗi) không phải là
hằng số (tức phụ thuộc vào thời gian). Vì với phân bố hàm mũ, hàm tốc độ lỗi (tần suất
lỗi) là
z (t ) 
f (t )  e  t

  (constant)
R (t ) e  t
nên một item có phân bố thời gian xảy ra lỗi theo hàm mũ sẽ có hàm tốc độ lỗi không
đổi, tức không phụ thuộc vào thời gian (constant failure rate).
(Điểm yếu này có nêu ra ở tài liệu tham khảo [1], trang 27; tài liệu tham khảo [2] trang
442; và các tài liệu tham khảo [3], [4])
- Không phù hợp với các item có tính lão hóa (xác suất sống sót giảm đi khi item đã qua
sử dụng nhưng vẫn còn hoạt động) do tính chất không có nhớ của nó (memoryless). Vì
với item có 𝑇~ exp() thì hàm sống sót có điều kiện là
R( x | t )  Pr(T > t  x | T > t ) 

Pr(T > t  x)
Pr(T > t )
e  (t  x )
 e  x  Pr(T > x)  R( x)
e  t
nên hàm sống sót của một item đã hoạt động trong 𝑡 đơn vị thời gian sẽ bằng hàm sống
sót của một item mới. Do đó, một item mới và một item đã qua sử dụng (vẫn còn hoạt
động) có cùng xác suất sống sót trong khoảng thời gian có độ dài 𝑡. Và MRL đối với
phân bố hàm mũ là


0
0
MRL(t )   R( x | t ) dx   R( x) dx  MTTF
Do đó, thời gian sống còn lại trung bình MRL(𝑡) của một item có 𝑇~ exp() sẽ bằng
MTTF của nó bất kể tuổi 𝑡 của item đó. Như vậy, item này vẫn tốt như mới miễn là nó
đang hoạt động.
(Điểm yếu này có nêu ra ở tài liệu tham khảo [1], trang 27 - 28; tài liệu tham khảo [2]
trang 442; và tài liệu tham khảo [5])
Tài liệu tham khảo:
[1] Marvin Rausand, Arnljot Hoyland. System Reliability Theory: Models, Statistical
Methods, and Applications, 2nd Edition. John Wiley & Sons, 2003.
[2] Alessandro Birolini. Reliability Engineering: Theory and Practice, 7th Edition.
Springer, 2013.
[3] Sajid Ali, Shafaqat Ali, Ismail Shah, Ghazanfar Farooq Siddiqui, Tanzila Saba
(Senior Member, IEEE), Amjad Rehman (Senior Member, IEEE). “Reliability Analysis
for Electronic Devices Using Generalized Exponential Distribution”. IEEE Access,
2020.
[4] Yanming Yang. “Fault Probability Analysis and Life Prediction of Avionics Based
on Exponential Distribution Model”. IEEE Conference, 2019.
[5] Kong, Yaonan and Ye, Zhisheng. “A Conditional Test for the Exponential
Distribution in Load-Sharing Systems”. IEEE, 2016.
Các ứng dụng của phân bố hàm mũ trong thực tế:
- Phân tích độ tin cậy của các linh kiện điện tử: Phân bố hàm mũ thường được áp dụng
để đánh giá độ tin cậy của các linh kiện điện tử mới, nơi tốc độ lỗi hằng số là một giả
định hợp lý trong giai đoạn đầu của vòng đời sản phẩm. Ví dụ, các linh kiện như điện
trở, tụ điện, và transistor có thể được phân tích bằng phân bố hàm mũ để dự đoán tuổi
thọ và xác suất lỗi.
- Mô hình hóa thời gian giữa các sự cố trong mạng: Trong các hệ thống mạng máy tính
và viễn thông, phân bố hàm mũ có thể được sử dụng để mô hình hóa thời gian giữa các
sự cố hoặc lỗi trong hệ thống mạng. Điều này giúp trong việc dự đoán tần suất và thời
gian xảy ra của các lỗi trong hệ thống.
Bài tập 5.1. Chứng minh rằng “item có tốc độ lỗi không đổi” tương đương với việc nói
“thời gian xảy ra lỗi của item đó được phân bố theo hàm mũ”.
Trả lời:
Với một item có 𝑇~ exp() thì hàm tốc độ lỗi (tần suất lỗi) của nó là:
z (t ) 
f (t )  e  t

  (constant)
R (t ) e  t
Bởi vì có sự tương ứng một-một giữa hàm phân bố và hàm tốc độ lỗi:
 t

f (t )  z (t ) . exp    z  u  du  for t > 0
 0

=  e t (exponential distribution)
Do đó, bất kỳ item nào có tốc độ lỗi không đổi đều có phân bố thời gian xảy ra lỗi theo
hàm mũ.
Bài tập 5.2. Một item có thời gian xảy ra lỗi 𝑇 có tốc độ lỗi (tần suất lỗi) không đổi
z (t )    3.5 106 h 1.
(a) Xác định xác suất để thiết bị sống sót được sau 6 tháng hoạt động liên tục mà không
xảy ra lỗi.
(b) Tìm MTTF của item.
(c) Tìm xác suất để item đó lỗi trong khoảng (𝑡1 , 𝑡2 ), trong đó 𝑡1 = 16 tháng và 𝑡2 = 17
tháng.
Trả lời:
(a)
z (t )    3.5 106 h 1  2.52 103 mo 1. (mo: month)
 t

f (t )  z (t ) . exp    z  u  du    e t (exponential distribution)
 0


R(t )  Pr(T > t )   f (u ) du  e t
0
R(6)  e
2.52103 6
 0.9849  98.49 %
(b)


MTTF   R(t )dt   e t dt 
0
0
1


1
 396.8253 mo  33 yr.
2.52 103
(c)
t2
t2
t1
t1
Pr(t1 < T  t2 )  F (t2 )  F (t1 )   f (u ) du    e  u du  e  u
3
Pr(16< T  17)  e2.5210 u
17
t2
t1
 2.4174 103  0.24174 %
16
Bài tập 5.4. Một van an toàn được giả định là có tốc độ lỗi (tuần suất lỗi) không đổi đối
với tất cả các chế độ lỗi. Một nghiên cứu đã chỉ ra rằng tổng MTTF của van là 2450
ngày. Van an toàn hoạt động liên tục và các chế độ lỗi được coi là xảy ra độc lập với
nhau.
(a) Xác định tổng tốc độ lỗi của van an toàn.
(b) Xác định xác suất để van an toàn sống sót được trong thời gian 3 tháng mà không bị
lỗi.
(c) 48% tổng số lỗi được coi là ở chế độ lỗi nghiêm trọng. Xác định thời gian trung bình
xảy ra lỗi nghiêm trọng, MTTFcrit.
Trả lời:
(a)


0
0
MTTF   R(t )dt   e  t dt 
z (t )   
1

1
1

 4.0816  104 d 1.
MTTF 2450
(b)
z (t )    4.0816 104 d 1  1.2245 102 mo 1. (mo: month)
 t

f (t )  z (t ) . exp    z  u  du    e t (exponential distribution)
 0


R(t )  Pr(T > t )   f (u ) du  e t
0
R(3)  e
1.2245102 3
 0.9639  96.39 %
(c)
Giả thuyết 48% tổng số lỗi được coi là ở chế độ lỗi nghiêm trọng. Suy ra tốc độ lỗi
nghiêm trọng (λcrit ) là 48% của tổng tốc độ lỗi:
crit  0.48    0.48  4.0816 104 d 1  1.9592 104 d 1.
Thời gian trung bình xảy ra lỗi nghiêm trọng:
MTTFcrit 
1
crit

1
 5104.12 d.
1.9592 104